P.-M Zhang

C Duval
email: duval@cpt.univ-mrs.fr

G W Gibbons
email: g.w.gibbons@damtp.cam.ac.uk

P A Horvathy
email: horvathy@lmpt.univ-tours.fr

The Memory Effect for Plane Gravitational Waves

Keywords: numbers: 04, 30, -w Gravitational waves; 04, 20, -q Classical general relativity;

We give an account of the gravitational memory effect in the presence of the exact plane wave solution of Einstein's vacuum equations. This allows an elementary but exact description of the soft gravitons and how their presence may be detected by observing the motion of freely falling particles. The theorem of Bondi and Pirani on caustics (for which we present a new proof) implies that the asymptotic relative velocity is constant but not zero, in contradiction with the permanent displacement claimed by Zel'dovich and Polnarev. A non-vanishing asymptotic relative velocity might be used to detect gravitational waves through the "velocity memory effect", considered by

I. INTRODUCTION

By "gravitational memory effect" is meant that a system of freely falling particles (viewed as detectors) initially at relative rest are displaced after the passing of a burst of gravitational radiation [START_REF] Ya | Radiation of gravitational waves by a cluster of superdense stars[END_REF][START_REF] Braginsky | Kinematic resonance and the memory effect in free mass gravitational antennas[END_REF]. The memory effect has risen to prominence recently because of the possibility of its observation using LISA [START_REF] Favata | Post-Newtonian corrections to the gravitational-wave memory for quasi-circular, inspiralling compact binaries[END_REF][START_REF] Lasenby | Black holes and gravitational waves[END_REF] and/or aLIGO [START_REF] Lasky | Detecting gravitationalwave memory with LIGO: implications of GW150914[END_REF], and is also relevant to recent work by Hawking, Perry, and Strominger [6] on soft gravitons and black holes.

The original proposal of Zel'dovich and Polnarev [START_REF] Ya | Radiation of gravitational waves by a cluster of superdense stars[END_REF] claimed that detectors originally at rest will be simply displaced and will have vanishingly small relative velocity, in contrast with later findings of Bondi and Pirani [START_REF] Bondi | Gravitational Waves in General Relativity. 13: Caustic Property of Plane Waves[END_REF]. A "velocity memory effect" highlighted by nonvanishing asymptotic relative velocity was considered by Braginsky, Grishchuk, Thorne, and Polnarev [START_REF] Braginsky | Kinematic resonance and the memory effect in free mass gravitational antennas[END_REF][START_REF] Braginsky | Gravitational-wave bursts with memory experiments and experimental prospects[END_REF][START_REF] Grishchuk | Gravitational wave pulses with 'velocity coded memory[END_REF] and more recently, by Lasenby [START_REF] Lasenby | Black holes and gravitational waves[END_REF].

The analysis of Braginsky and Grishchuk [START_REF] Braginsky | Kinematic resonance and the memory effect in free mass gravitational antennas[END_REF], who also coined the expression "memory effect", is concerned with the motion of test masses moving in a weak gravitational wave at the linear level. Non-linear generalizations were considered in [START_REF] Christodoulou | Nonlinear nature of gravitation and gravitational wave experiments[END_REF][START_REF] Thorne | Gravitational-wave bursts with memory: The Christodoulou effect[END_REF][START_REF] Blanchet | Hereditary effects in gravitational radiation[END_REF][START_REF] Harte | Strong lensing, plane gravitational waves and transient flashes[END_REF]. In the neighborhood of a detector, far from the source, we may approximate the wave by an exact plane wave.

Carroll symmetry [START_REF] Souriau | Ondes et radiations gravitationnelles[END_REF][START_REF] Duval | Carroll symmetry of plane gravitational waves[END_REF] provides us with a description of the trajectories, leading to a new proof of the Bondi-Pirani theorem [START_REF] Bondi | Gravitational Waves in General Relativity. 13: Caustic Property of Plane Waves[END_REF]. Our results might have some relevance for detecting gravitational waves through the "velocity memory effect" [START_REF] Braginsky | Kinematic resonance and the memory effect in free mass gravitational antennas[END_REF][START_REF] Lasenby | Black holes and gravitational waves[END_REF][START_REF] Braginsky | Gravitational-wave bursts with memory experiments and experimental prospects[END_REF][START_REF] Grishchuk | Gravitational wave pulses with 'velocity coded memory[END_REF][START_REF] Zhang | Soft Gravitons & the Memory Effect for Plane Gravitational Waves[END_REF].

II. PLANE GRAVITATIONAL WAVES

Plane gravitational waves are often described in Brinkmann Coordinates (B) [START_REF] Brinkmann | Einstein spaces which are mapped conformally on each other[END_REF][START_REF] Bondi | Gravitational waves in general relativity. 3. Exact plane waves[END_REF] by the metric

g = δ ij dX i dX j + 2dU dV + K ij (U )X i X j dU 2 , (II.1)
where the symmetric and traceless 2 × 2 matrix K(U ) = (K ij (U )) characterizes the profile of the wave. In this Letter we only consider linearly polarized waves with

K ij (U )X i X j = 1 2 A(U ) (X 1 ) 2 -(X 2 ) 2 , (II.2)
where A(U ) is an arbitrary function. Our particular interest lies in "sandwich waves" i.e.

such that K(U ) = 0 only for

U i ≤ U ≤ U f 1 .
The metric (II.1) is an example of a "Bargmann" space which provides a general framework for describing non-relativistic dynamical systems : any natural non-relativistic system with an n dimensional configuration space may be "Eisenhart-lifted" to a system of null geodesics in an (n + 2)-dimensional Lorentzian spacetime endowed with a covariantly constant null Killing vector field ∂ V [START_REF] Eisenhart | Dynamical trajectories and geodesics[END_REF][START_REF] Duval | Bargmann structures and Newton-Cartan theory[END_REF]. From the Bargmann point of view, (II.1)-(II.2) describe a non-relativistic particle subjected to an (attractive or repulsive) harmonic anisotropic oscillator potential, (II.2).

Returning to gravitational radiation and following the suggestion of [START_REF] Gibbons | Theory of the detection of short bursts of gravitational radiation[END_REF], the wave produced by gravitational collapse might be modelled by the (approximate) sandwich wave,

A(U ) = 1 2 d 3 (e -U 2 ) dU 3 (II.3)
shown in fig. 1.

In a (naive) model the "detector" could consist of freely falling particles initially at relative rest. This applies to the mirrors of the LIGO interferometers of those attached to the three satellites making up the proposed LISA detector [START_REF] Lasenby | Black holes and gravitational waves[END_REF].

The profile function in the geodesic equations2 ,

d 2 X dU 2 - 1 2 diag(A, -A) X = 0 (II.4)
acts as an effective potential which is attractive or repulsive depending on the sign of A.

Eqn. (II.4) can be solved numerically, yielding Fig. 1. Gravitational waves can also be discussed in Baldwin-Jeffery-Rosen Coordinates (BJR) [START_REF] Baldwin | The Relativity Theory of Plane Waves[END_REF][START_REF] Rosen | Plane polarized waves in the general theory of relativity[END_REF], for which g = a ij (u) dx i dx j + 2du dv (II.5) with a(u) = (a ij (u)) a positive matrix. The BJR coordinates are not harmonic and typically not global, exhibiting coordinate singularities [START_REF] Souriau | Ondes et radiations gravitationnelles[END_REF][START_REF] Bondi | Gravitational waves in general relativity. 3. Exact plane waves[END_REF][START_REF] Rosen | Plane polarized waves in the general theory of relativity[END_REF]. Let us recall the proof [START_REF] Souriau | Ondes et radiations gravitationnelles[END_REF][START_REF] Zhang | Soft Gravitons & the Memory Effect for Plane Gravitational Waves[END_REF].

Putting χ = det a Plane gravitational waves have a 5-parameter isometry group [START_REF] Bondi | Gravitational Waves in General Relativity. 13: Caustic Property of Plane Waves[END_REF][START_REF] Souriau | Ondes et radiations gravitationnelles[END_REF][START_REF] Bondi | Gravitational waves in general relativity. 3. Exact plane waves[END_REF] identified as the Carroll group in 2 + 1 dimensions with broken rotations [START_REF] Duval | Carroll symmetry of plane gravitational waves[END_REF] and implemented in BJR coordinates as follows : u is fixed, and

x → x + H(u) b + c, (II.8a) v → v -b • x -1 2 b • H(u) b + f, (II.8b)
where H is the symmetric 2 × 2 matrix calculated using the transverse-space matrix,

H(u) = u u 0 a(t) -1 dt. (II.9)
Then Noether's theorem provides us with 5 conserved quantities associated with these isometries [START_REF] Souriau | Ondes et radiations gravitationnelles[END_REF][START_REF] Duval | Carroll symmetry of plane gravitational waves[END_REF],

p = a(u) ẋ, k = x(u) -H(u) p, (II.10)
interpreted as conserved linear and boost-momentum, supplemented by m = u = 1. An extra constant of the motion is e = 1 2 g µν ẋµ ẋν . Geodesics are timelike, lightlike, or spacelike if e is negative, zero, or positive, respectively. The geodesics are thus given by [START_REF] Souriau | Ondes et radiations gravitationnelles[END_REF][START_REF] Duval | Carroll symmetry of plane gravitational waves[END_REF] x(u) = H(u) p + k, (II.11a)

v(u) = - 1 2 p • H(u) p + e u + d, (II.11b)
with d a constant. The trajectories can be determined once the matrix-valued function H(u) in (II.9) had been calculated.

The relation between the two coordinates systems is given by [15, 24]

X = P (u) x, V = v - 1 4 x • ȧ(u)x , (II.12)
where U = u3 , a(u) = P (u) T P (u) and

P = K P , P T Ṗ -Ṗ T P = 0 . (II.13)
Now we consider a sandwich wave. In the "beforezone" U < U i K = 0 and therefore eqn.

(II.13) can be solved by P (u) = 1 so that the Brinkmann and BJR coordinates coincide.

The crucial fact for us is that, by (II.10), the momentum of a particle at rest vanishes, p = 0 for u = U ≤ U i -and thus for all u = U including the "inside zone" U i ≤ U ≤ U f and the "afterzone" U f ≤ U , because p is conserved. By (II.11a) such geodesics are, for any H i.e. for any transverse metric a and therefore for any profile A, simply

x(u) = x 0 , v(u) = e u + v 0 . (II.14)
Thus the particles initially at rest are, when described in BJR coordinates, undisturbed by the passage of the wave4 .

In Brinkmann coordinates both the waves and the geodesics are global with no singularity whatsoever. Solving the equations (II.13) numerically for P yields,

X(U ) = P (u)x 0 , x 0 = const. (II.15)
cf. (II.12). Those complicated-looking trajectories in B coordinates in Fig. 1 are recovered:

the plots overlap perfectly up to the point where the BJR coordinate system becomes singular ; all the curling comes from P (u).

Our plots show that, consistently with the theorem of Bondi and Pirani [START_REF] Bondi | Gravitational Waves in General Relativity. 13: Caustic Property of Plane Waves[END_REF], after the wave has passed the worldlines will first be focused in a finite and initial-position-independent time, and then diverge with constant but non-zero asymptotic velocity -contradicting the claim of Zel'dovich and Polnarev [START_REF] Ya | Radiation of gravitational waves by a cluster of superdense stars[END_REF].

We can actually prove the Bondi-Pirani theorem independently using our framework.

First we note that A ≈ 0 for large values of U ; then it follows from the geodesic equations (II.4) that the acceleration vanishes, implying constant asymptotic velocity 5 .

The geodesics we are interested in are of the form (II.15); in the beforezone U ≤ U i we have P = 1 and the geodesics are at rest, X(U ) = x 0 . Let us now consider two such special geodesics, X a (U ) and X b (U ); we show that there exist x 0 a = x 0 b such that the two geodesics meet, X a (U 1 ) = X b (U 1 ) for some finite and universal value u 1 > u i . X a,b (U ) = P (u)x 0 a,b , so we need x 0 = x 0 a -x 0 b = 0 such that P (u 1 )x 0 = 0, which happens when P (u 1 ) is a singular matrix, det(P (u 1 )) = 0.

(II.16)

But a = P T P so that det a = (det P ) 2 = χ 4 and therefore det P = 0 iff χ = 0. However, as recalled above, (II.6) implies that χ necessarily vanishes at some u 1 > u i -at the same value where the BJR coordinates become singular. This is not an accident: the singular BJR coordinate system can only be regularized by a singular transformation. Thus P (u 1 ) has a kernel and all geodesics for which x 0 a -x 0 b belongs to the kernel will meet at the same u 1 . If x 0 a -x 0 b does not belong to the kernel, then we get a caustic. For a linearly polarized wave as in (II.1)-(II.2), P = diag(P 11 , P 22 ) and the x 1 resp x 2 coordinates meet at critical (caustic) point when either P 11 or P 22 vanishes, which is where BJR coordinates become singular, cf. fig. 1.

In the flat afterzone u ≥ u f , in particular, we have the exact analytic solution [START_REF] Souriau | Ondes et radiations gravitationnelles[END_REF][START_REF] Zhang | Soft Gravitons & the Memory Effect for Plane Gravitational Waves[END_REF]

P (u) = 1 + (u -u 0 )c 0 a 1/2 0 ⇒ a(u) = a 1 2 0 [1 + (u -u 0 )c 0 ] 2 a 1 2 0 , (II.17)
where we have chosen

u 0 = u f , a 0 = a(u 0 ), c 0 = 1 2 a -1/2 0 ȧ(u 0 )a -1/2 0
= 0 [START_REF] Souriau | Ondes et radiations gravitationnelles[END_REF][START_REF] Zhang | Soft Gravitons & the Memory Effect for Plane Gravitational Waves[END_REF]. Setting 5 Another proof using BJR coordinates is presented in [START_REF] Zhang | Soft Gravitons & the Memory Effect for Plane Gravitational Waves[END_REF].

χ 0 = χ(u 0 ), χ(u) = χ 0 1 + (u -u 0 )Tr(c 0 ) + (u -u 0 ) 2 det(c 0 ) 1 2 . (II.18)
Then the requirement of continuity implies Tr(c 0 ) = 2 χ0 /χ 0 , valid as long as χ = 0. Thus Tr(c 0 ) = 0 unless χ0 = 0. Combining (II.15) and (II.17) yields the trajectory in the afterzone, plotted in fig. 3. The asymptotic velocity is inferred from (II.17 Thus Ẋa = Ẋb for x 0 a = x 0 b in general, as confirmed by numerical calculations. At last, the linear form of P in (II.17) implies that each component of P can have at most one caustic in the afterzone.

III. ILLUSTRATION BY TISSOT DIAGRAM

The action of gravitational waves on a ring of freely falling particles can be illustrated by a series of time-frames showing how the ring is squashed and stretched as the wave passes over it [START_REF] Misner | Gravitation[END_REF]. An initially (i.e. before the pulse) circular disc of geodesics, X • X ≤ 1 for U < U i , projects to a time-independent circle, x • x ≤ 1, which extends to all u, i.e., during and after the sandwich, u ≥ u i . However their inverse images in Brinkmann coordinates are time dependent ellipses,

1 = x • x = X • (P P T ) -1 X (III.1)
as shown in Fig. 4.

FIG. 4: Tissot diagram for the "collapse profile" (II.3). The initial circle is deformed to an ellipse which at u = u 1 degenerates to a line segment, and so on.

IV. SOFT GRAVITONS

We end with a description of the flat spacetime after the burst as being dressed by soft gravitons, a concept which plays a central role in the considerations of [6]. Before the burst a ij = δ ij , and the BJR coordinates coincide with standard inertial coordinates in Minkowski spacetime. After the burst a ij will be u-dependent but nevertheless will have vanishing curvature. Thus there exist coordinates û, v, x such that the 2-metric is âij = δ ij . The transformation relating u, v, x to the û, v, x coordinates is given by (II.12) with P = 0, as follows from the vanishing of K. In the quantum field theory language adopted by Hawking et al. in [6], the coordinate transformation is a "gauge transformation which does not tend to the identity at infinity". In quantum field theory it is customary to distinguish states which so differ and regard them as containing "soft" [i.e. zero-energy] quanta. In the present case the quanta are gravitons given by pp-waves, whose metric is given by (II.5).

V. CONCLUSION

We found that test particles initially at rest move, after the wave has passed, with constant but non-zero relative velocity, contradicting Zel'dovich and Polnarev [START_REF] Ya | Radiation of gravitational waves by a cluster of superdense stars[END_REF] but consistently with Bondi and Pirani [START_REF] Bondi | Gravitational Waves in General Relativity. 13: Caustic Property of Plane Waves[END_REF], whose theorem we proved independently. The non-vanishing asymptotic relative velocity might allow to observe the velocity memory effect by improved Doppler tracking [2, 8, 9] 6 .

The intuitive explanation is that (II.1)-(II.2) is (as said above), the Bargmann metric of an anisotropic oscillator with time-dependent frequencies, one of which is attractive and the other repulsive. The components in the repulsive sector are pushed apart whereas in the attractive sector they are focused and then meet where the matrix P is singular.

FIG. 1 :

 1 FIG. 1: Geodesics in Brinkmann coordinates for particles initially at rest for profile A(U ) in (II.3), modelling gravitational collapse. The trajectories are focused where the effective potential is attractive, and are pushed apart where it is repulsive. In the flat afterzone, the acceleration vanishes.

1 4 >FIG. 2 :

 42 FIG. 2:The numerical solution of eqn. (II.6) for the "collapse profile" (II.3) indicates that the coordinates become singular when u 1 = 0.593342 and when u 2 = 1.97472.

FIG. 3 :

 3 FIG. 3:The analytic (heavy line) and numerical (dashed line) solutions overlap perfectly in the afterzone u ≥ u 0 = 4.

Our conventions are the opposite of that of Bondi and Pirani[START_REF] Bondi | Gravitational Waves in General Relativity. 13: Caustic Property of Plane Waves[END_REF].

V satisfies a more complicated equation, (IV.2.c) in[START_REF] Zhang | Soft Gravitons & the Memory Effect for Plane Gravitational Waves[END_REF].

The notation u or U is used only to distinguish which coordinates we are working with.

If the initial momentum does not vanish, though, p = 0, then the trajectories are obviously not simple straight lines; they can be determined by calculating H(u) in (II.9), cf.[START_REF] Zhang | Soft Gravitons & the Memory Effect for Plane Gravitational Waves[END_REF].

Acknowledgments

GWG would like to thank the Laboratoire de Mathématiques et de Physique Théorique de l'Université de Tours for hospitality and the Région Centre for a "Le Studium" research professorship. PH thanks the Institute of Modern Physics of the Chinese Academy of Sciences in Lanzhou for hospitality. Support by the National Natural Science Foundation of China (Grant No. 11575254) is acknowledged. The authors are grateful to Shahar Hadar, Abraham Harte, Anthony Lasenby, Paul Lasky and Malcolm Perry for helpful exchanges.


Jakub Bilski
email: jakubbilski14@fudan.edu.cn

Emanuele Alesci
email: ealesci@sissa.it

Francesco Cianfrani
email: francesco.cianfrani@ift.uni.wroc.pl

Pietro Donà
email: pietro.dona@cpt.univ-mrs.fr

Antonino Marcianò
email: marciano@fudan.edu.cn

Quantum reduced loop gravity: extension to gauge vector field

I. INTRODUCTION

Quantum reduced loop gravity (QRLG) focuses on the quantization of gravitational syetems that are described by metrics with spatial part and dreibein gauge-fixed to a diagonal form. It was first introduced in [1,2] and then developed in [3]- [9] (see [19] for a review). Hitherto the theory has been successfully implemented for the Bianchi I model. QRLG is derived from Loop Quantum Gravity (LQG) [20][21][22] by imposing weakly gauge-fixing conditions to the states of the kinematical Hilbert space. Therefore it stands as the implementation of LQG to the cosmological sector. At the same time it differs from Loop Quantum Cosmology (LQC) [23][24][25], in which the quantization of the gravitational system is performed in the minisuperspace, i.e. once symmetry-reduction of the phase space has taken place at a classical level. The semiclassical limit of QRLG reproduces the effective Hamiltonian of LQC [6] with µ 0 regularization, while the effective dynamics with improved regularization can be inferred via a statistical average over an ensemble of classically equivalent states [26].

QRLG provides a novel derivation of earlier LQC results, in particular for what concerns the realization of the bouncing scenario. This picture still needs to be completed thou with the introduction of matter field. Since QRLG provides a true graph structure underlying the continuous Universe description, matter fields must be quantized via the tools of the loop quantization [27,28], i.e. in the full theory. Hence, QRLG provides an arena in which the implications of loop quantization for matter fields can be tested. The first of these analyses devoted to the study of matter in LQG traces back to [9], where the QRLG framework was extended in order to include a scalar field. We focus on the implementation of gauge vector fields in this framework. The interest for such a case is not only academic, given the potential role of vector fields in early cosmology [10][11][12][13][14][15][16], which could open a new window on quantum gravity phenomenology. Furthermore, the inclusion of gauge fields in LQG might also open new pathways toward a unified comprehension of forces, with peculiar phenomenological consequences -see e.g. preliminary investigations in Ref. [17,18].

We first introduce vector fields in QRLG and define the operator corresponding to its contribution to the scalar constraint. We then quantize the field by adapting the LQG procedure given in [27,28] (and recently reviewed in [29]) to the reduced model, similarly to the scalar field case discussed in [9]. Basic quantum variables for the matter field are gauge group holonomies and fluxes, just like in lattice gauge theories [30], the lattice being here provided by the cubic graph at which gravitational holonomies are based. The scalar constraint is quantized via a regularization of the classical expression, which provides a constraint for the gravitational contributions written entirely in terms of the holonomies and the fluxes proper of QRLG. Such a formulation is technically achievable and all the relevant computations can be performed analytically, thanks to the expressions of the matrix elements of the volume operator. The outcome of our analysis is the computation of the matrix elements (between the basis elements of QRLG) of the scalar constraint part that involves vector fields, and its expectation value on semiclassical states, which is the starting point for future applications.

In section II we introduce QRLG and define the kinematical Hilbert space. We focus our attention on states based on graphs having six-valent nodes [8], which allow us to construct a cubulation of the whole spatial manifold. In section III, the classical and quantum formulation for a vector field is given. On a classical level, we write the contributions of the vector field to the scalar, vector and Gauss constraints. The regularization of the field contribution to the scalar constraint is performed in section IV. We just adapt to our case the regularization performed in [28], i.e. we replace the triangulation with the cubulation of the spatial manifold and SU(2) group elements of LQG with the corresponding U(1) group elements in QRLG. Once the geometric variables have been cast in terms of fluxes and holonomies and the phase space coordinates of the vector field in terms of gauge group holonomies and fluxes, the quantization is straightforwardly performed in section V. The resulting operator is discussed in the large j-limit. We find that when proper semiclassical states are constructed for the vector field, the expectation value of the vector field contribution to the scalar constraint reproduces the correspondent classical expression. This result provides a first check on the consistency of the adopted framework.

Through all this paper we pick the conventions on metric signature (-, +, +, +), on the gravitational coupling constant κ = 16πG and on the speed of light c = 1. The metric tensor is defined as g µν = e I µ e J ν η IJ , where e I µ are vierbein fields and η IJ the flat metric. Dreibeins are denoted as e i a , where lowercase latin indexes a, b, .. = 1, 2, 3 label coordinate on each Cauchy hypersurface constructed by ADM decomposition [31], while i, j, .. = 1, 2, 3 are su(2) internal indexes.

II. QUANTUM REDUCED LOOP GRAVITY

The canonical variables of LQG are holonomies of Ashtekar-Barbero connections [32], smeared along some curve γ, h γ := P exp γ A j a (γ(s))τ j γa (s) and fluxes of densitized triads across some surface S, E(S) := S n j abc E a j dx b ∧ dx c . The kinematical Hilbert space of the theory is defined as the direct sum of the space of cylindrical functions of connections Ψ Γ,f (A) := A|Γ, f := f h l 1 (A), h l 2 (A), ..., h l L (A) along each graph Γ, with a continuous function f : SU(2) L -→ C. It can be represented by the formula:

H (gr) kin := Γ H (gr) Γ = L 2 A, dµ AL , (1)
where A denotes the space of connections and dµ AL is the Ashtekar-Lewandowski measure [33].

The basis states, called spin network states, are given by the expression:

Ψ Γ,j l ,iv (h) = h|{Γ, j l , i v } = v∈Γ i v • l D j l (h l ), (2)
where the triple {Γ, j l , i v } is a graph Γ, spin j of the holonomy along each link l and an intertwiner i v implementing SU(2) invariance at each node v. The product l extends over all the links l emanating from the node v and D j l (h l ) are the Wigner matrices, while the • denotes contraction of the SU(2) indexes. QRLG selects a finite amount of degrees of freedom in LQG and it can be applied to all gravitational models with diagonal metric tensor and triads, hence one can define the line element as

dl 2 = a 2 1 dx 2 + a 2 2 dy 2 + a 2 3 dz 2 , (3)
where the three scale factors are functions of time and of all spatial coordinates. The graph Γ now contains the set of links l i , each being placed along a fiducial direction 1, 2 or 3 . The canonical variables, which are un-smeared versions of holonomies and fluxes are:

E i a = p i δ i a , A i a = c i δ i a (4)
(indexes are not summed in this expression), where |p i | = a1a2a3 ai and the reduced connections c i are proportional to the time derivatives of scale factors. This implies an SU(2) gauge-fixing condition in the internal space, which is realized by the projection of SU(2) group elements, which are based at links l i , onto U(1) group representations. The U(1) group elements are obtained by stabilizing the SU(2) group along the internal directions u l = u i , with u 1 = (1, 0, 0) u 2 = (0, 1, 0) u 3 = (0, 0, 1).

(

) 5
The kinematical Hilbert for QRLG reads:

with Γ being a cuboidal graph. The basis states in the reduced Hilbert space R H (gr) Γ are obtained by projecting SU(2) Wigner matrices on the state |m l , u l , where m l is the magnetic number attached to the link l, which can take only maximum or minimum value (m l = ±j l ) for the angular momentum component

J l = J • u l : l D j l m l m l (h l ) = m l , u l D j l (h l ) m l , u l , h l ∈ SU(2). (7)
Then the basic states, called reduced spin network states, are defined by the following expression:

R Ψ Γ,m l ,iv (h) = h|{Γ, m l , i v } = v∈Γ j l , i v |m l , u l • l l D j l m l m l (h l ), m l = ±j l , (8)
where j l , i v |m l , u l are reduced intertwiners of U(1) group. The reduced spin network states are not orthogonal with respect to the intertwiners i v , since the scalar product reads:

Γ, m l , i v |Γ , m l , i v = δ Γ,Γ v∈Γ l∈Γ δ m l ,m l m l , u l |j l , i v j l , i v |m l , u l . (9)
It is convenient to normalize those states: in this way the reduced intertwiners being just phases drop out from the kinematical reduced Hilbert space.

|Γ, m l , i v N = |Γ; m l R (10)
where N stands for normalized. In this way the Hilbert space R H (gr) Γ

= ⊗ li∈Γ H li with H li being the U (1) i Hilbert space associated to each link l i in direction i. The reduced intertwiners will then just appear when we project the SU (2) operators.

The graphical way of constructing the elements of R H (gr) Γ out of those of the full theory is to replace SU(2) basis elements with the following objects

j l h l j l = j l , m|m , u l m , u l D j l (h l ) m , u l m , u l |j l , m , m = ±j l . (11)
Finally, the canonical reduced variables are R h l i and R E(S), which are constructed by smearing along links of reduced, cuboidal graph Γ and across surfaces S perpendicular to these links, respectively. Since on the quantum level we use only reduced variables, we neglect the left uppercase symbol R in the next sections. The scalar constraint operator, neglecting the scalar curvature term, is obtained from that of LQG by considering only the euclidean part and replacing LQG operators with reduced ones. Its action on three-valent and six-valent nodes has been analyzed in [3] and [8], respectively.

It is worth nothing that the nodes of the cubiodal graph Γ are always six-valent and the graphical representation of a subsystem containing one node with attached links is given by the figure:

|Γ; j l R = j (2) x,y-1,z h (2) x,y-1,z j (2) x,y-1,z j (2) x,y,z h (2) x,y,z j (2) x,y,z j (3) x,y,z h (3) x,y,z j (3) x,y,z j (3) x,y,z-1 h (3) x,y,z-1 j (3) x,y,z-1 x direction -x direction ⊗ , (12)
where the node v x,y,z is placed at (x, y, z), and the symbol j

(i)
x+n,y,z denotes the spin number attached to a link along the i-axis, which starts at the node {x+n, y, z} and ends at the node {x+n+1, y, z}. From now on, we assume the right-handed orientation of links, i.e. the link with the spin number j (i) x+n-1,y,z is ingoing to the node {x + n, y, z}, while j (i) x+n,y,z is outgoing from the same node. In what follows, we will need the expression of the powers of the volume operator V, which acts diagonally [3] on the reduced (and normalized) states (12):

Vn (v x,y,z ) |Γ; j l R = 8πγl 2 P 3 2 n j (1)
x-1,y,z + j

(1) x,y,z 2 j (2)
x,y-1,z + j

(2) x,y,z 2 j (3)
x,y,z-1 + j

(3) x,y,z 2 n 2 |Γ; j l R = = V n vx,y,z |Γ; j l R , (13)
with γ being the Immirzi parameter and

V v := 8πγl 2 P 3 Σ (1) v Σ (2) v Σ (3) v 1 2
being the eigenvalue of the volume operator

V. The quantity Σ (i) v := 1 2 j (i) v + j (i)
v-ei denotes the averaged value of spins attached to the collinear pair of links (ingoing and outgoing) emanated from the node v, where e i is the unit vector along the direction i, such that j

(i) v-ei
represents the spin number of the link along l p (with p being oriented along the fiducial direction i) ending in v.

III. LOOP FRAMEWORK FOR QUANTUM VECTOR FIELD

The action of the gauge field A I µ minimally coupled to gravity reads (we use the notation of [28])

S (A) = - 1 4Q 2 M d 4 x √ -gg µν g ρσ F I µρ F I νσ , (14)
where Q 2 is the coupling constant of dimension 1/ , g is the determinant of four-dimensional metric tensor and F I µρ denotes the field strength

F I µν = ∂ µ A I ν -∂ ν A I µ + C I JK A J µ A K ν , (15)
C I JK being structure constants of the gauge group. The Legendre transform gives the following Hamiltonian:

H (A) = Σt d 3 x -A I t D a E a I + N a F I ab E b I + N Q 2 2 √ q q ab E a I E b I + B a I B b I = Σt d 3 x A I t G (A) I + N a V (A) a + N H (A) sc , (16)
where N is the lapse function and N a is the shift vector, while

V (A) a and H (A)
sc contribute to to the vector and scalar constraints densities of a gravitational field respectively. G (A) I is the Yang-Mills field Gauss constraint dentity that generates gauge transformations in phase space. E a I = √ q Q 2 e µ 0 q ab F J µb δ IJ is the conjugate momentum to the vector field

A I a and B a I = √ q 2Q 2
abc F J bc δ IJ is its magnetic field, where abc := 1 √ q ˜ abc and ˜ abc is the flat Levi-Civita symbol. We also introduced q ab denoting three-dimensional metric on the spacial Cauchy hypersurface Σ t , while q ab and q are the inverse and the determinant of the metric q ab , respectively.

The vector field complement to the total vector constraint reads

V (A) a := F I ab E b I . It generates diffeomorphism transformations.
The contribution to the smeared scalar constraint,

H (A) sc [N ]
encodes all information about the dynamics of the vector field in the gauge and diffeomorphisms invariant phase-space and reads

H (A) sc [N ] := Σt d 3 xN Q 2 2 √ q q ab E a I E b I + B a I B b I := H (A) E [N ] + H (A) B [N ], (17)
where we split it into two parts, the electric and magnetic ones, i.e.

H (A) E [N ] = Q 2 2 Σt d 3 x N √ q q ab E a I E b I (18)
H (A) B [N ] = Q 2 2 Σt d 3 x N √ q q ab B a I B b I . (19)
The phase space coordinates are given by holonomies of the gauge group along reduced graphs Γ, which we denote as follows

h Γ := P exp Γ A a Γ(s) Γa (s) , (20)
where P denotes path ordering and τ I are the generators of the gauge group, and fluxes of the electric vector field around surfaces S, i.e.

E I (S p ) := pqr S⊥l p (v) dl q dl r E p I (v), (21)
where we defined S as the surface spanned by two lattice links l q and l r , dual to l p (in the expression above only the indexes q and r are summed). In what follows we will only consider positive oriented links l, which provides positive oriented surfaces S with respect to the fiducial directions.

In order to regularize the expression (17) of the scalar constraint for the vector field (see section IV), we need to express the electric and magnetic vector fields in terms of holonomies and fluxes. This can be done in the limit of finer and finer cubulation of the spatial manifold as follows. The electric field can be written in terms of fluxes using the following relation

E I (S p ) ≈ ε 2 E a I (v) δ p a , (22)
being the length of the links spanning S p . As soon as the magnetic field B a I is concerned, one introduces the gauge holonomy

h q r ∆(v) = h -1 l r ∆(v) h -1 l q ∆(v) h l r ∆(v) h l q ∆(v)
along a rectangular loop based at v having links along the directions q and r. In the limit of infinitesimal loops, whose links have length , the holonomy h q r can be expanded as follows

h q r = 1 + 1 2 ε 2 F qr + O(ε 4 ), (23)
where the curvature has been contracted with the gauge group generator, F qr = F I qr τ I . In what follows, the following identity will be used

1 Q 2 pqr tr τ I h q r ∆(v) = ε 2 2Q 2 pqr tr τ I F qr (v) + O(ε 4 ) ≈ ε 2 B a I (v) V(v, ε) δ p a , (24)
where τ I are the Yang-Mills generators in the fundamental representation, for which

tr τ I τ J = δ IJ , (25)
and V(v, ε) is the volume of the region around v with coordinate volume ε 3 . It is worth nothing that discretizing over the cuboidal lattice (12), the continuous expression for the magnetic field B a I = √ q 2Q 2 abc F J bc δ IJ , one gets the sum of fields (24) attached to the outgoing and ingoing links l p emanated from the node v, which can be reexpressed as the four gauge holonomies along loops dual to a given fiducial direction i = p and based at the node v.

We quantize the system of gravitational field and the vector field applying the method described in [28] for LQG to the case of QRLG. Therefore, the total Hilbert space is the direct product:

H (tot) kin = R H (gr) kin ⊗ H (A) kin , (26)
where the Hilbert space for gravity R H (gr)

kin has been described in the previous section. The Hilbert space H (A) kin for the gauge field is defined in terms of cylindrical functions of holonomies of the gauge connections, the only difference with [27] being that only reduced graphs are considered. Basis states of the full theory are represented as |Γ; m l ; n l , i v R = |Γ; m l R ⊗ |Γ; n l , i v , where |Γ; n l , i v are invariant spin network states for the gauge field based at the graph Γ and they are labeled by the quantum numbers n l of the irreducible representation of the gauge group at each link l and the corresponding invariant intertwiners i v at nodes v.

The basic matter operators acting on |Γ; n l , i v are the quantum gauge holonomies ĥ, which act by multiplication in the same way as their gravitational equivalents, creating the holonomy of the composition of two paths, and the quantum electric fluxes that act as the left/right invariant vector fields.

The states in the total Hilbert space H (tot) kin can be described in the following graphical way:

|Γ; j l ; n l , i v R = |Γ; j l R ⊗ |Γ; n l , i v = j (2) x,y-1,z h (2) x,y-1,z j (2) x,y-1,z j (2) x,y,z h (2) x,y,z j (2) x,y,z j (3) x,y,z h (3) x,y,z j (3) x,y,z j (3) x,y,z-1 h (3) x,y,z-1 j (3) x,y,z-1 n (2) x,y-1,z h (2) x,y-1,z n (2) x,y-1,z n (2) x,y,z h (2) x,y,z n (2) x,y,z n (3) x,y,z h (3) x,y,z n (3) x,y,z n (3) x,y,z-1 h (3) x,y,z-1 n (3) x,y,z-1 x direction -x direction ⊗ , (27) where j (i)
p,q,r and n (i) p,q,r are the spin numbers at the associated links l (i) p,q,r and i v are the intertwiners at nodes.

IV. REGULARIZATION OF SCALAR CONSTRAINT

The quantization of the vector field part of the scalar constraint requires a regularization of the both terms in the formula (17). This procedure is done still being in the classical phase space, by rewriting (17) in terms of holonomies and fluxes for both the gravitational part and the terms involving the vector field.

The gravitational part of Hamiltonian constraint is regularized by the method developed in LQG [34], which has been restricted to cuboidal graphs [3,8]. Matter coupled to a dynamical spacetime is regularized introducing matter holonomies coupled to the dynamical lattice (composed of nodes and links). Alternatively, one can introduce a dual picture [35], where matter fields are coupled to the dynamics of granulated space (being volumes and areas of chunks of space) .

In order to regularize

H (A) E and H (A)
B , we follow the procedure given in [28] for LQG in the presence of a vector field, making only restriction to the cuboidal graph.

At first, smearing electric vector fields and applying Thiemann's trick [34], one has

e i a (x) = 4 nγκ V(R) n-1 A i a (x), V(R) n , (28)
such that one can write the following expression for the electric part of Hamiltonian

H (A) E [N ] = Q 2 2 lim ε→0 d 3 x N (x) e i a (x)E a I (x) V 1 2 (x, ε) d 3 y e i b (y)E b I (y) V 1 2 (y, ε) χ ε (x, y) = = 2 5 Q 2 (γκ) 2 lim ε→0 d 3 x N (x) A i a (x), V 1 2 (x, ε) E a I (x) d 3 y A i b (y), V 1 2 (y, ε) E b I (y)χ ε (x, y) (29)
where it has been used the definition of the characteristic function χ ε (x, y) of the box B ε (x) centered in x with coordinate volume ε 3 , precisely

V B ε (x) := V(x, ε) = ε 3 √ q(x) + O(ε 4 ), (30)
which allows to smear a function at the point v, around infinitesimal neighborhood, such that

f (x) = d 3 y δ 3 (x -y)f (y) = lim ε→0 1 ε 3 d 3 y χ ε (x, y)f (y) . ( 31
)
As a next step, we discretize the scalar constraint analogously to the case in which one uses a triangularization of the spatial manifold [34] for the gravitational field in presence of matter [28]. The idea that we follow is to replace the integration over the spatial hypersurface Σ with the sum over the ordered tetrahedra being the triples of links {l, l , l } emanating from all nodes v of the graph Γ. In the case of a cubulation, each node v is always surrounded by eight such triples and it is worth nothing that for each tetrahedron, the remaining seven ones coincide with the seven "virtual" tetrahedra, which are the objects that appear in the procedure of triangulation of any cuboidal or non-cuboidal lattice.

In other words, discretized integration over each tetrahedron, ∆ l,l ,l , becomes the sum over the eight possibilities for choosing a triple of perpendicular links {l, l , l } among each tetrahedron of the triangulation ∆(v) around the node v.

Using the triangulation method one gets the result

H (A) E [N ] = 2 5 Q 2 (16πGγ) 2 lim ε→0 ε 6 v∈V(Γ) v ∈V(Γ) ∆(v) ∆ (v ) N (v) A i a (v), V 1 2 (v, ε) δ a l(v) E c I (v) δ l(v) c × × A i b (v ), V 1 2 (v , ε) δ b l(v ) E d I (v ) δ l(v ) d δ v,v ≈ ≈ 2 3 Q 2 (8γπG) 2 lim ε→0 v,v ∆(v),∆ (v ) N (v) tr τ i h -1 l p ∆(v) V 1 2 ∆(v) , h l p ∆(v) E I S p (v) × × tr τ i h -1 l s ∆ (v ) V 1 2 ∆ (v ) , h l s ∆ (v ) E I S s (v ) δ v,v (32)
where h l(∆) are the SU(2) holonomies in the fundamental representation [34], τ j = -i 2 σ j are the algebra generators with σ j being Pauli matrices and tr denotes the trace over SU(2) algebra. The summations v∈V(Γ) and ∆(v) extend over all the nodes of the cubulation and over all the tetrahedra around each node, respectively, while the symbol δ a l means that a is restricted to assume the value corresponding to the fiducial direction of the link l, i.e. for l = l p one has a = p. An additional factor 1/2 2 has been added to account for the fact that each electric field has been smeared along both the positive and the negative oriented surfaces based at nodes, which are dual to the ingoing and outgoing links along the fiducial directions emanating from the nodes themselves. In the last line the following expansion

tr τ i h -1 l a V n (R), h l a = -tr τ i ε A a , V n (R) + O(ε 2 ) ≈ 1 2 ε A i a , V n (R) (33)
has been applied and vector fields has been replaced by fluxes (21). The magnetic part of Hamiltonian ( 19) is regularized by the same method and reads:

H (A) B [N ] = 2 5 Q 2 (γκ) 2 lim ε→0 d 3 x N (x) A i a (x), V 1 2 (x, ε) B a I (x) V(x, ε) d 3 y A i b (y), V 1 2 (y, ε) B b I (y) V(y, ε) χ ε (x, y) . (34)
By using the same discretization adopted for the electric term (32), one gets

H (A) B [N ] = 2 5 Q 2 (16πGγ) 2 lim ε→0 ε 6 v∈V(Γ) v ∈V(Γ) ∆(v) ∆ (v ) N (v) A i a (v), V 1 2 (v, ε) δ a l(v) B c I (v) V(v, ε) δ l(v) c × × A i b (v ), V 1 2 (v , ε) δ b l(v ) B d I (v ) V(v , ε) δ l(v ) d δ v,v ≈ ≈ 2 5 Q 2 (8γπG) 2 lim ε→0 v,v ∆(v),∆ (v ) pqr stu N (v)× × tr τ i h -1 l p ∆(v) V 1 2 ∆(v) , h l p ∆(v) tr τ I h q r ∆(v) × × tr τ i h -1 l s ∆ (v ) V 1 2 ∆ (v ) , h l s ∆ (v ) tr τ I h q r ∆ (v ) δ v,v (35)
where magnetic fields has been replaced by traces over generators and gauge holonomies (24) of the Yang-Mills gauge group.

V. QUANTIZATION OF THE SCALAR CONSTRAINT

The canonical procedure of quantization of the field contribution to the scalar constraint, after the cubulation of the spatial manifold (which becomes the graph Γ at which the state is based: links and nodes of the cubulations turns to links and nodes of Γ), is nothing but a change of holonomies, volumes and matter variables into quantum operators that act on states (27) belonging to H (tot) kin :

Ĥ(A) |Γ; j l ; n l , i v R = Ĥ(A) E + Ĥ(A) B |Γ; j l ; n l , i v R . (36)
The Poisson brackets in (32) and (35) are replaced by commutators times 1 i that appear only as elements of the following term: tr τ i ĥ-1

l p (∆)
Vn (∆), ĥl p (∆) = tr τ i ĥ-1

l p (∆)
Vn (∆) ĥl p (∆) .

(37)

The quantum operator corresponding to the electric part (32) acts as follows:

Ĥ(A) E |Γ; j l ; n l , i v R = - 2 3 Q 2 (8γπl 2 P ) 2 lim ε→0 v ∆(v),∆ (v) N (v) tr τ i ĥ-1 l p ∆(v) V 1 2 ∆(v) ĥl p ∆(v) ÊI S p (v) × × tr τ i ĥ-1 l s ∆ (v) V 1 2 ∆ (v) ĥl s ∆ (v) ÊI S s (v) |Γ; j l ; n l , i v R (38)
where we applied the Kronecker delta (v = v ) and we introduced the symbol l P = √ G to denote Planck length. Note that the sum over triangulations ∆(v), ∆ (v) does not depend on the choice of internal directions of gravitational su( 2) group (i-indexes) and vector field gauge group (I-indexes), therefore it extends only over possible selections of tetrahedra which contain the link l p ∆(v) and l s ∆ (v) for every choice of direction p and s respectively.

It is worth nothing that in the limit ε → 0 the expression (38) gives finite outcome, hence the dependency on the regulator ε can be simply removed. As a result one obtains a sum of subsystems, called basic cells i extending over all nodes of the graph Γ. Each basic cell, labeled by the position of the central node, is a sum of elements acting on a it and the surrounding six nearest neighbor nodes, placed at the endpoints of links. This cellular structure allows to restrict calculations to a basic cell and to give the final result as the sum over all cells.

One can calculate the action of the operator (38) from the following expression (see appendix (A)):

tr τ i ĥ-1

l p Vn (v) ĥl p |Γ; j l ; n l , i v R = i 2 8πγl 2 P 3 2 n ∆ (p), n 2 v δ i,p Σ (j) v Σ (k) v n 2 |Γ; j l ; n l , i v R , (39)
where j, k denotes the two orthogonal directions to i and ii

∆ (p),n v δ i,p = 1 2 n j (i) v + j (i) v-ei - 1 2 n -j (i) v + j (i) v-ei + 1 2 n δ i,p (40)
Hence, the operator (38) reads:

Ĥ(A) E |Γ; j l ; n l , i v R = 2Q 2 (8γπl 2 P ) 1 2 v N (v) δ p,s T (v) [l p ,l q ,l r ]∈T (v) Σ (p) v Σ (q) v Σ (r) v 1 4 ∆ (p), 1 4 v Σ (p) v 1 4 ÊI S p (v) × × T (v) [l s ,l t ,l u ]∈T (v) Σ (s) v Σ (t) v Σ (u) v 1 4 ∆ (s), 1 4 v Σ (s) v 1 4 ÊI S s (v) |Γ; j l ; n l , i v R . (41)
The summation [l p ,l q ,l r ] extends over the 6 permutations of links in a given triple of edges, while the summations T (v) goes over the 8 possible choices of triples with mutual orthogonal links. Note that the expression

Σ (p) v Σ (q) v Σ (r) v 1 4
is invariant under the choice of triple of links, hence one can put it in front of the sum as Σ

v Σ

v Σ

(3) v 1 4 . Each term

i The example, with the central node vx,y,z, is given by the illustration of state (27). ii We are assuming all spin numbers j (i) are bigger than 1/2, otherwise we get different expressions of ∆ (p) v δ i,p for ingoing and outgoing links l p .

to smear discrete expressions and consider the following expansion for j

1 2 i : ∆ (p),n v = - n 2 Σ (p) v n-1 + O j n-3 ≈ - n 2 p i (v) ε 2 8πγl 2 P n-1 , (45)
where p (i) (u) denote gravitational momenta at the point u, which are related to spin-numbers by the following relation

p i (v) ε 2 = 8πγl 2 P Σ (i) v . (46)
It is worth nothing that at the leading order the expansion (45) gives terms of order

8γπl 2 P ε 2 p i 2
and similar terms, namely of ε -4 order, come form the smeared magnetic operators (23). Any other artifacts of discretization (e.g. the ones from the formulas (30) or ( 33)) would give negligible contributions, providing additional positive ε powers in the numerator.

Then the expectation value, R Ĥ(A)

R := R Γ; j l ; n l , i v | Ĥ(A) |Γ; j l ; n l , i v R reads: R Ĥ(A) R ≈ Q 2 2 lim ε→0 v 1 ε 3 d 3 u χ ε (v, u) N (v) ε 3 q(v) 3 i=1 ε 2 p 1 (v) p 2 (v) p 3 (v) p i (v) 2 × × ÊI S i (v) 2 + 1 Q 4 q(v) {l j ,l k }⊥i {l l ,l m }⊥i ijk ilm tr τ I ĥl j l k (v) tr τ I ĥl l l m (v) , (47)
where q 11 = p 2 p 3 p 1 , q 22 = p 3 p 1 p 2 , q 33 = p 1 p 2 p 3 are metric components, while q = |p 1 p 2 p 3 | is the determinant and each holonomy acts as a left or right invariant vector field.

Let us assume to construct a proper semiclassical state for the gauge field variables, such that expectation values and eigenvalues become classical quantities. Hence we get:

ÊI S i (v) 2 E I S i (v) 2 {l j ,l k }⊥i {l l ,l m }⊥i ijk ilm tr τ I ĥl j l k (v) tr τ I ĥl l l m (v) ε 2 2 tr τ I F jk (v) ε 2 2 tr τ I F lm (v) , (48)
Note that the right hand sides of the expressions (48) contribute to the smeared classical objects inside the box centered at v. Then in the limit ε → 0 we have v = u and v d 3 u χ ε (v, u) = d 3 u, so finding

R Ĥ(A) R h (A) ≈ Q 2 2 d 3 u N (u)
q(u)

3 i=1
q ii (u) E i I (u) 2 + ijk q(u) 2Q 2 F I jk (u) ilm q(u)

2Q 2 F I lm (u) , (49)
where the discrete eigenvalues has been replaced by the continuous variables. It precisely coincides with the classical expression (17) with the metric in the diagonal gauge.

VI. CONCLUSIONS

We extended the formulation of QRLG in order to include a gauge vector field. We settled down all the necessary tools in order to have a well-defined quantum theory, which essentially reduces to a lattice gauge theory on a cubic lattice. The adherence to the loop quantization program implied a peculiar expression for the matter part of the scalar constraint operator, which has been defined and analyzed, showing how it provides the right semiclassical limit as soon as proper semiclassical states for the gauge field are provided and a large-j limit is taken for the gravitational degrees of freedom.

Next-to-the-leading order terms in the large-j expansion can be easily computed starting from the achievements of the present work and they provide the first kind of quantum gravity corrections computed for a vector field in LQG. This will be done in future developments.

i It is worth noting that one can remove the positive spin numbers restriction. Therefore, assuming |j| > 1/2 in (40), one gets the same expression (45) for |j| However, there are other kind of quantum gravity corrections, coming directly from the fact that the quantization of vector fields that has been implemented is not equivalent to the Fock quantization. The determination of these corrections would give us a comprehensive description of quantum vector fields on a quantum spacetime.

The present analysis provides the expression of the quantum operator associated with the matter part of the scalar constraint, which generates the dynamics of the vector field on a quantum spacetime. The investigation of such dynamics is affected by the same kind of problems which plague the formulation of lattice gauge theory, namely the lack of explicit solutions, unless in some quite trivial cases.

In this respect, the combination of the present results with the definition of a dynamical vacuum out of the Fock vacuum, given in [36], is a promising perspective in view of the application of the present framework to physically relevant cases.

ACKNOWLEDGMENTS J. B. and A. M. wishes to acknowledge support by the Shanghai Municipality, through the grant No. KBH1512299, and by Fudan University, through the grant No. JJH1512105. E. A. wishes to acknowledge the John Templeton Foundation for the supporting grant #51876. The work of F. C. was supported by funds provided by the National Science Center under the agreement DEC12 2011/02/A/ST2/00294.

of the summations above depend just on the internal direction p, such that the summation over the 6 permutations becomes the summation over the three fiducial directions times 2, [l p ]∈T (v) → 2 3 i=1 and it gives the same result for each of the 8 choices of triples of links, hence T (v) → 8.

Finally, we end up with:

Similarly, the quantization of the magnetic part of the scalar constraint (35) results with the expression:

where we introduced the gauge holonomy operator operator, ĥq r ∆(v) that is the quantum equivalent of the holonomy h q r ∆(v) (24). The action of the operator (43) is derived as for the electric part of the scalar constraint operator (41). The only nontrivial difference comes from the term pqr ptu tr τ I ĥq r (T ) tr τ I ĥt u (T ) , which depends on the considered links for each fiducial direction p → i. This operator at a given node is the summation over all the links emanating from the node of some terms which provide the insertion of the holonomies along two of the dual loops to the considered link. Since there are two possibilities for choosing an orientation of the link l p along a given direction i and the term ∆ 4 is symmetric under change of an orientation, hence one can simplify the summation

, where the summation {l j ,l k }⊥i extends over all orthogonal links to the fiducial direction i. Therefore we end up with the action of the operator (43) expressed by the following formula:

where ĥl j l k denotes the holonomy along the square constructed from l j and l k .

V.1. Large j limit

We now show how to perform the large j limit of the formulas (42), (44) and we outline how the expectation value of the quantum Hamiltonian coincides with the classical expression (17) at the leading order, as soon as a suitable semiclassical limit is performed. To calculate this limit one can use the definition of the characteristic function (31) Appendix A

Below we refine the derivation provided in [9] of the action of tr τ iĥ-1 l p Vn (v) ĥl p , so to recover (39). Let us perform the calculation for an outgoing link l p and p = 3:

where a, b, d are indexes in the fundamental representation; let us choose the basis in which τ 3 is diagonal and the holonomies read ( ĥl 3 ) da = e iaθ δ da . Since the volume acts after the insertion of the holonomy ĥl 3 , the application of the aforementioned operator to a state provides the coefficient [Σ (1) Σ (2) (Σ (3) + a/2)] n/2 . Thus we find

Hence, using the δ's it turns out that a = d = b, such that the two exponentials disappear and

Since, the only generator with nonvanishing diagonal components is τ 3 , the expression above recasts

from which for outgoing link in the p = 3 direction (39) follows. For p = 1, 2, h l p is diagonal modulo some discrete rotations, which can be moved to τ i . Therefore, the same result is obtained by rotating the SU(2) generator τ i and the only non-vanishing contributions are for i = 1, 2. For ingoing link the only difference is that ( ĥl 3 ) da = e -iaθ δ da and the rest of the analysis is similar.


Keywords: accessibilité, handicap psychique, cognitif, mental, pôle d'échange intermodaux, attente, enquête qualitative accessibility, mental, cognitive and psychological disabilities, multimodal transportation hubs, waiting, qualitative survey

Le pôle d'échanges multimodaux comme lieu d'attente : noeud des problèmes rencontrés en situation de handicap psychique, cognitif ou mental ?

The multimodal transportation hubs are also places for waiting. Is it the node of problems for people with a mental, a cognitive or a psychological disability ? Joël Meissonnier, CEREMA.

Introduction

Moins visibles et souvent moins comprises, les situations de handicap psychique, cognitif et mental n'échappent heureusement pas aux ambitions de la loi française de mise en accessibilité de la voirie et des espaces publics. Mais la formulation de préconisations suppose de mieux comprendre et de mieux analyser, au préalable, les difficultés rencontrées par les personnes concernées par ces situations de handicap. Après un cadrage et une présentation des méthodologies employées, nous décrirons, témoignages à l'appui, les tactiques et comportements de mobilité des personnes enquêtées au gré de leurs itinéraires quotidiens à Paris ou à Amiens. La traversée des pôles d'échanges, en tant que passages obligés des chaînes de mobilité en transport en commun, nous apparaîtra particulièrement délicate à négocier pour les personnes en situation de handicap psychique, cognitif ou mental. Dans un premier temps, nous nous pencherons sur les caractéristiques spatiales qui rendent ces « lieux d'articulation » plus difficilement accessibles. Dans un second temps, nous nous intéresserons aux pôles d'échanges comme « moment d'articulation » dans le déroulement chronologique de la chaîne de mobilité car, comme nous le montrerons, du point de vue des personnes en situation de handicap psychique, cognitif ou mental, l'attente en ces lieux mène à des comportements relativement paradoxaux.

-Contexte et problématique

La loi du 11 février 2005 pour l'égalité des droits et des chances, la participation et la citoyenneté des personnes handicapées a pour ambition de rendre accessible l'ensemble de la chaîne de déplacement (cadre bâti, voirie, espaces publics, systèmes de transport et leur intermodalité) « aux personnes handicapées ou à mobilité réduite ». Elle confie aux autorités organisatrices de transport l'élaboration de Schémas Directeurs d'Accessibilité des services de transport (SDA) et impose aux communes ou intercommunalités de construire des Plans de mise en Accessibilité de la Voirie et des Espaces publics (PAVE). L'état actuel d'avancement des SDA et des PAVE met en évidence un besoin de connaissance plus fin des pratiques de mobilité et des gênes éprouvées pour alimenter les diagnostics de déplacements. Les préconisations relatives aux personnes en situation de handicap psychique, cognitif ou mental font tout particulièrement défaut. C'est pour y remédier qu'une recherche financée par le programme PREDIT a été menée par l'Université Paris I (CRIDUP), le CEREMA (Dter Nord-Picardie) et l'IFSTTAR (DEST) en collaboration avec la ville d'Amiens et Amiens Métropole.

Cette contribution porte donc sur une frange peu étudiée, peu connue et peu visible de la population : les personnes en situation de handicap psychique, cognitif ou mental.

Définitions

Sans entrer dans la complexité et la diversité des pathologies -car notre travail d'observation socioanthropologique des pratiques n'a aucune vocation médicale -il convient de s'entendre sur quelques définitions vulgarisées relatives aux situations de handicap étudiées ; définitions que nous empruntons à Laurent Saby (2013).

Le handicap mental peut se définir comme la conséquence d'une déficience intellectuelle. Cette dernière peut être considérée comme une capacité plus limitée d'apprentissage et un développement intellectuel significativement inférieur à la moyenne. Il se traduit par des difficultés plus ou moins importantes de réflexion, de conceptualisation, de communication, de décision.

Le handicap cognitif est la conséquence de dysfonctionnements des fonctions cognitives : troubles de l'attention, de la mémoire, de l'adaptation au changement, du langage, des identifications perceptives (gnosies) et des gestes (praxies). Le handicap cognitif n'implique pas de déficience intellectuelle mais des difficultés à mobiliser ses capacités.

Le handicap psychique est la conséquence de troubles psychiques invalidants. Comme le handicap cognitif, le handicap psychique n'implique pas de déficience intellectuelle. Il est caractérisé par une alternance d'états psychiques calmes ou tendus et par des difficultés à acquérir ou à exprimer des habiletés psychosociales, avec des déficits d'attention et des difficultés à élaborer et suivre un plan d'action. Il peut donc notamment se traduire par des angoisses, des troubles cognitifs (mémorisation, attention, capacités d'organisation, d'anticipation, adaptation au contexte de la situation) et des difficultés dans la relation à autrui et la communication.

Sans prétendre refléter l'ensemble de ces situations de handicap ni dans leur exhaustivité ni dans leur intégralité, cette contribution fait le choix de s'intéresser aux charnières de la chaîne de déplacement intermodale (gares, stations de métro, pôles d'échanges...). Cette rupture dans l'enchaînement modal place les usagers d'un mode de transport en commun dans un lieu-moment très particulier de par : → ses dimensions → son architecture → son animation → la diversité des rythmes des personnes en présence → les sollicitations visuelles et sonores → le nombre des micro-décisions à prendre Il convient de comprendre le handicap en situation. Le concept d'accessibilité dans le champ du handicap est passé progressivement d'une approche « physicaliste » (l'infirmité) à une approche normative (la situation de handicap1 ) dès lors que l'on a pu envisager que le « manque » ne reposait pas simplement sur l'organe et sa fonction, mais également sur la place de l'individu dans la société. L'approche conceptuelle de type interactionniste a permis d'aborder le handicap comme une différence relative, et non plus comme une différence absolue [START_REF] Thierry | L'accessibilité socio-cognitive[END_REF].

Cette approche féconde de la situation de handicap nous invite d'une part, comme c'est communément le cas désormais dans la littérature, à questionner l'effet de l'environnement traversé. Dans quelle mesure les lieux de l'intermodalité affectent-ils les chaînes de mobilité des personnes en situation de handicap psychique, cognitif ou mental ? Ces espaces tiennent-ils davantage de l'oasis rassérénante ou de l'obstacle à contourner ?

Par ailleurs, l'approche par la situation de handicap nous amène à interroger l'intermodalité tant dans sa dimension spatiale que dans sa dimension temporelle. C'est là un point sur lequel cette contribution entend insister parce qu'il est moins communément rencontré dans la littérature. Les rythmes et temps d'attente en ces lieux méritent, en particulier, une analyse que nous nous efforçons de produire ici. Comment les personnes en situation de handicap psychique, cognitif ou mental vivent-elles ces moments d'articulation ?

Prenant acte qu'il n'est pas nécessaire d'être reconnu handicapé pour être en situation de handicap (femme enceinte, personne avec poussette...), nous avons investigué les situations de handicap psychique, cognitif et mental au sens large. Notre contribution s'appuie sur deux matériaux qualitatifs.

• Une série de six focus groups réalisés en 2012-13 à Paris et Amiens. Le premier avec des personnes dites « naïves » (personnes sans déficience connue) ; le second avec des étudiants étrangers ou que l'on savait ne pas être originaires de la région (parisienne) ; le troisième avec des accompagnants professionnels (éducateurs) de personnes ayant un handicap reconnu ; le quatrième avec des proches et parents ; le cinquième avec des personnes suffisamment âgées pour qu'une altération cognitive et/ou psychique existe potentiellement ; et le dernier avec des jeunes souffrant d'épilepsies dites « pharmaco-résistantes ».

La méthode des focus groups est particulièrement appropriée pour considérer un objet de recherche par la génération d'un débat. Une mise en présence de plusieurs personnes à qui l'on propose un sujet de discussion commun présente l'intérêt de pousser chacun à construire son argumentation par adhésion ou par opposition à ce que les autres expriment. Chaque participant, d'après la position qu'il défend, témoigne de ce qu'il a à perdre ou à gagner dans la proposition débattue. La présence d'un animateur-modérateur permet, lorsque nécessaire, de recentrer le débat. Cette méthode, plutôt exploratoire, s'avère très utile pour offrir un panorama des enjeux qui structurent un champ de recherche.

ruptures que cette mise en situation factice provoque (rythme, niveau d'attention, recherche de repères...) et la manière dont les personnes suivies font face à l'imprévu. Si les « jeux de piste » auquel Anni Borzeix (2001) soumet des voyageurs en gare du nord sont parfois qualifiés par elle de « parcours du combattant », c'est à Stéphane Juguet et Stéphane Chevrier ( 2003) que l'on doit d'avoir érigé l'expression en notion méthodologique. L'expérimentation permet immédiatement de discriminer ceux des usagers dont l'expérience antérieure est facilement mobilisée pour faire face à l'expérience inédite de ceux qui sont moins capables de procéder à des ajustements lorsqu'ils quittent leurs trajets, repères et comportements routiniers. Les premiers, parce qu'ils entreprennent des transferts de compétences et mobilisent des savoir-faire acquis dans d'autres contextes, parviennent à trouver des solutions alternatives aisément. Les seconds sont rapidement noyés dans la masse des informations à collecter et à analyser ; ils se tirent d'affaire aux prix d'efforts cognitifs considérables. Ces mises en situation expérimentales sous la forme de parcours filmés de personnes handicapées ont réclamé une longue et minutieuse préparation en amont. Il nous a fallu expliquer le principe de l'exercice, rassurer sur le fait qu'il ne portait pas à conséquence, mettre en confiance les personnes interrogées et obtenir toutes les autorisations nécessaires des tuteurs le cas échéant. (ESAT) situé dans la zone industrielle d'Amiens Nord. Habituellement, son père l'accompagne le matin et elle revient à domicile seule en empruntant les transports en commun, un trajet qui comporte un changement. Nous avons proposé à Marie un parcours du combattant : tenter pour la première fois de faire le trajet « aller » seule. Arrivée dans le pôle d'échanges de la gare d'Amiens, Marie explique qu'il suffit d'attendre l'autobus « en face », c'est-à-dire sur le trottoir situé en face du quai où elle a l'habitude de descendre du bus en arrivant de la zone industrielle. Mais cette règle communément valable (attendre sur le trottoir d'en face pour prendre la direction opposée) ne vaut plus dans le pôle d'échanges. La séquence vidéo3 montre Marie qui attend à un endroit qui n'est pas un quai (mais plutôt un passage piéton). Les bus passent devant elle sans qu'elle comprenne pourquoi ils ne s'arrêtent pas pour la prendre.

-Résultats

-Les pôles d'échanges du point de vue des personnes en situation de handicap psychique cognitif et mental

Les témoignages recueillis nous ont permis de pointer un problème particulier, celui de la non-transitivité de la qualité de passage par un pôle d'échange. Aisé dans un sens, ce passage peut être rendu plus complexe dans un autre. En gare, un départ en train comporte une part d'aléatoire (le quai n'est pas systématiquement le même) ce qui suppose de trouver, d'interpréter et de comprendre des informations afin d'aboutir à un arbitrage (tel quai, telle voiture, telle place...). A contrario, une arrivée en gare où il suffit de suivre et repérer des panneaux sortie (et où la montre ne suscite plus la même angoisse) apparaît bien plus aisée. Fabien a une déficience intellectuelle. Son parcours commenté démontre une grande expérience du réseau de bus amiennois et une aisance pour se déplacer (il peut comparer différents itinéraires alternatifs). Pourtant, Fabien est illettré. Il explique compenser ce handicap par la relation qu'il noue avec les chauffeurs qu'il salue et avec qui il tente toujours de sympathiser. Arrivés dans le pôle d'échanges de la gare d'Amiens, nous lui suggérons un parcours du combattant qui le détourne de son itinéraire routinier : se rendre au zoo. Sans soucis, Fabien prend des renseignements auprès d'employés de la société de transport, quitte à demander confirmation de l'information à plusieurs reprises. Ne sachant pas lire une carte, la séquence vidéo montre que Fabien bénéficie aussi de l'aide des nombreux voyageurs en attente sur les quais.

Les pôles d'échanges sont des lieux où se croisent bon nombre de gens d'apparence pressés ; qu'ils soient ou non dans un réel contexte d'urgence. La norme ainsi produite est d'accélérer le pas à l'imminence d'un départ, ce qui crée une effervescence assez particulière et confère une ambiance caractéristique à ces lieux. Les personnes en situation de handicap ayant besoin de prendre le temps de la réflexion doivent faire un travail sur elles-mêmes pour ne pas céder à cette norme de l'urgence qui, potentiellement, les pousse à prendre des décisions hâtives, parfois inappropriées.

Etienne est trisomique et se rend habituellement seul en transport en commun de son foyer d'hébergement à son lieu de travail (ESAT) dans la zone industrielle d'Amiens Nord. Lors du parcours commenté que nous avons fait ensemble, à l'approche de la gare d'Amiens, Etienne aperçoit le bus qu'il devait prendre accoster l'arrêt. Mais Etienne refuse de s'empresser, il attend consciencieusement que le feu passe au vert pour les piétons. Bien que le bus ne soit qu'à quelques enjambées, Etienne explique avec ses mots qu'il a appris à ne pas céder à l'urgence : « sinon ma maman, elle pleure ».

Dans le même pôle d'échange de la gare d'Amiens, Marie, elle aussi trisomique (mais plus à l'aise pour s'exprimer) poursuit son parcours du combattant. Ayant compris qu'elle n'attendait pas le bus au bon endroit, nous lui indiquons où se situe le quai. Elle aperçoit alors le bus qu'elle cherche dont le numéro (9) est affiché sur la girouette arrière. Il est à quai et elle décide de courir pour le rattraper. Cette décision hâtive lui fera finalement prendre une décision inappropriée. La ligne de bus numéro 9 comporte deux terminus : « centre commercial » et « zone industrielle » que seule la girouette avant pouvait lui indiquer. La séquence vidéo montre bien comment Marie monte finalement dans un bus qui ne part pas dans la bonne direction.

En guise de première conclusion, on peut retenir le caractère spécifique est délicat que le pôle d'échanges, en tant que « lieu d'articulation » dans la chaîne de mobilité, représente pour tout un chacun et tout particulièrement pour les personnes en situation de handicap psychique, cognitif ou mental. Qu'en est-il si on l'envisage maintenant en tant que « moment d'articulation » dans le déroulement chronologique de la chaîne de mobilité ?

-L'attente en pôles d'échanges (et autres espaces de l'intermodalité)

Peu étudiée, l'attente constitue pourtant une séquence délicate dans le déroulement du déplacement. Pour le comprendre, un cadrage théorique s'impose afin de montrer qu'en mobilité, l'attente est double. La langue anglaise emploie deux verbes (« to wait » et « to expect ») là où la langue française utilise un seul et même vocable. [START_REF] Gasparini | Temps ferrovière et temps des voyageurs : l'attente en gare[END_REF] propose une distinction entre deux formes d'attentes vécues dans des situations de transport. Waiting est l'attente d'un événement avec plus ou moins d'immobilité contrainte alors qu'expectation est l'attente d'événements dont l'imminence est plus ou moins prévisible et probable. Ces deux dimensions de l'attente ne sont pas contradictoires mais, selon nous, participent à créer un espace-plan à deux axes sur lesquels peuvent être positionnées différentes attentes en situation de mobilité selon que l'inaction est plus ou moins contrainte ; selon que l'anticipation est possible ou non. [START_REF] Stéphane | Arrêt demandé[END_REF] font référence à Jakobson (1963) 5 pour distinguer différentes séquences d'un itinéraire en transports en commun, faites d'embrayages (lorsque le voyageur est engagé dans l'atteinte d'un but) et de débrayages (lorsque celui-ci peut s'extraire de la situation présente pour penser, se divertir, se reposer...). La distinction rejoint celle que font Dubuisson, Hennion et Rabeharisoa (1999) lorsqu'ils parlent d'une alternance de flottements (modalité de présence pendant laquelle l'usager se laisse guider par ses pas) et de réengagements (modalité de présence active se donnant un objectif assigné lorsque l'attention est captée). Pouvoir s'offrir des périodes de relative déconnexion libératrices 6 pendant un déplacement routinier suppose une confiance en sa propre vigilance mais aussi une confiance sous forme de délégation de l'attention dans un système expert [START_REF] Giddens | Les conséquences de la modernité[END_REF] : l'alarme de la montre, le système de diffusion des annonces en gare ou toute autre forme d'alerte socialement fondée comme le mouvement d'une foule en direction d'un quai permettent d'interrompre le « débrayage » et la reprise du cours d'action [START_REF] Jacques | Anthropologie cognitive & analyse des compétences[END_REF]. L'intérêt de ces notions est de ne pas nous borner à la distinction pauvre entre périodes de mouvement et périodes d'attente, mais d'introduire le vécu du voyageur et sa façon de s'approprier le déplacement dans l'analyse.

-Premier constat : malgré une possible anticipation, des personnes en situation de handicap qui préfèrent l'inaction.

En situation d'attente, certaines personnes rencontrées tendent à préférer des attentes que l'on parvient à anticiper et ne cherchent pourtant pas à employer le temps de l'attente ainsi libéré à une autre activité, quand bien même elles le peuvent. Elles ne se risquent pas à improviser un achat tout en attendant un train. L'important, pour elles, est de maintenir tous leurs sens éveillés. Elles relatent un travail permanent de focalisation de leur attention ; activité cognitive intense qui peut d'ailleurs devenir épuisante. L'endurance à supporter une attente qui s'éternise est à estimer eu égard à cette fatigue liée au déplacement.

Marion, dyspraxique, ne peut pas compter être alertée par un message sonore de la mise à quai d'un train auquel elle ne prêterait pas attention : « Ne pas réussir à faire deux choses à la fois... c'est tout moi. Quand une personne me parle, si je suis concentrée sur autre chose, je peux mettre 5 minutes avant de réagir, avant de réaliser qu'on pose le regard sur moi ».

Quand elle attend le train en gare, Marion garde les yeux rivés sur le panneau d'affichage. Le maintien de tous les sens éveillés est primordial.

Louise, épileptique, dit : « Je suis toujours obligée d'être vraiment fixée devant le panneau [lumineux du métro] ». Qu'est-ce qui vous déconcentre dans les transports en commun ? Mylène : « Le bruit, le monde. Moi j'y suis sensible ». Dans un pôle d'échange ou « dans le bus » Pascal « réfléchis un p'tit peu » pour « savoir ce qu'[il] va faire » après, mais ne s'engage dans aucune autre activité.

Ces personnes en situation de handicap psychique, cognitif ou mental vivent une attente embrayée [START_REF] Boullier | Les voyageurs et les objets en régime automatique[END_REF]. Elles restent à l'affût d'informations utiles contribuant, notamment, à réduire l'émergence d'une angoisse. Toute possibilité d'anticiper les événements est bonne à prendre. Tout risque de dispersion inutile de l'attention est à écarter. Si un certain nombre d'affordances 7 distribuées dans l'espace de l'intermodalité peuvent être saisies pour assister le déplacement (écoute d'un message d'alerte, consultation d'écrans), le risque tient à ce qu'elles deviennent des attracteurs cognitifs qui détournent inutilement le regard de l'information pertinente et recherchée : une affiche publicitaire, un klaxon intempestif produisent des messages « inutiles » (du point de vue du cheminement) qui, potentiellement, brouillent les pistes et créent un bruit de fond difficile à surmonter pour certaines personnes cherchant à s'orienter ou à suivre un itinéraire. Le parcours commenté de Marion qui, à un moment donné se laisse distraire par une sucette publicitaire, en est la meilleure illustration. « Les espaces des métros sont surchargés d'inscriptions. La délégation de certaines tâches cognitives à l'environnement ne va pas sans une certaine sélection de la part des voyageurs. Seuls certains éléments graphiques peuvent supporter des enchaînements du type perception/action, et ils doivent comme insupportés par l'immobilité, ces personnes optent pour l'action.

Il n'est peut-être pas abusif de rapprocher le comportement de Simone de celui qu'ont des personnes psychotiques prises en charge par le SAVS où travaille Camille. Elle évoque des situations de fugue où l'immobilité devient insupportable : Camille : « Ça peut être l'angoisse qui va amener [la personne] dans le métro. Une personne qui est psychotique, dans une crise d'angoisse, elle se sauve ; en courant. [L'individu] se met en danger clairement parce qu'il ne regarde pas [quand il] traverse la rue... il se sauve en courant et il s'engouffre dans la première bouche de métro. [Ces personnes, c'est un peu comme si elles avaient] le goût d'aller voir le métro [comme si cette mobilité] allait les calmer mais elles peuvent se mettre en danger (…) Le mouvement... c'est une passion des personnes psychotiques. ».

-Une question de confiance ?

En somme, il émergerait des situations de handicap étudiées deux formes radicalement opposées mais pareillement paradoxales. Les situations de handicap cognitif, psychique ou mental paraissent placer les individus sur la diagonale nord-est / sud-ouest de notre représentation schématique. L'hypothèse que nous avançons (d'une inversion des diagonales en situation de handicap) doit peut-être être rapprochée du continuum opposant les deux formes de « métaphores de l'autrui » (Joseph,1996) ? L'auteur s'appuie sur une modélisation idéal-typique pour rendre compte des formes d'inadaptation aux compétences nécessaires à l'expérience urbaine du passant.

• Ces ressources, qui se définissent par leur format temporel, sont aussi des instruments de mesure. Un livre de poche, une cigarette ou une barre chocolatée sont des chronomètres construits selon une unité temporelle et sur un format de la mobilité.

Nos enquêtes qualitatives nous invitent à considérer le besoin d'un sixième type de ressources qui permettraient de mieux surmonter les angoisses relatives à l'attente au sein d'un pôle d'échanges ; angoisses que chacun éprouve plus ou moins mais que les personnes en situation de handicap psychique, cognitif ou mental parviennent moins que d'autres à dominer. Inventer de telles ressources participerait, dans une logique de conception universelle, d'une plus grande mise en confiance de tous les usagers des transports en commun. Elles bénéficieraient aux passagers qui, occasionnellement au moins, éprouvent un symptôme de saturation cognitive en un tel lieu. Certes, les cinq autres types de ressources contribuent déjà, à leur manière, à mettre en confiance l'usager des réseaux de transport mais la question de ces ressources psychologiques spécifiques peut être posée. En France, récemment, on a vu apparaître dans bon nombre de gares SNCF de curieux objets :

• Un vélo statique en libre-service a pour fonction manifeste de recharger la batterie des téléphones portables des voyageurs en partance. Cette possibilité de pédaler tout en étant immobile, face à un panneau d'affichage, ne pourrait-elle pas remplir aussi la fonction latente d'occuper une attente -qui deviendrait sinon hyperactivepar cette activité physique ? • Un piano droit a été mis à disposition des voyageurs dans ces mêmes gares. Les clients de la SNCF en disposent librement, certains avec une étonnante virtuosité. La mélodie se diffuse dans l'enceinte de la gare et contribue à produire une ambiance -potentiellement apaisante ou stressante selon le musicien -pour les passagers en partance. • Un babyfoot en libre-service permet aux jeunes et moins jeunes en attente de l'affichage d'un quai, de libérer une énergie ou de se débarrasser d'un stress par le jeu.

Il pourrait être utile d'étudier et de considérer les bienfaits -et inconvénients -de ces objets dans la perspective de ce sixième type de ressources à destination du voyageur pendant une séquence intermodale. Ces ressources doivent accompagner l'attente, plus ou moins longue mais inéluctable, puisque l'intermodalité est le propre de tout réseau de transports en commun performant. Ces ressources doivent produire ou permettre l'émergence d'un sentiment de confiance sans altérer la capacité d'alerte à l'imminence d'un danger et l'éveil d'une vigilance à l'imminence d'un départ.

  Le pôle d'échange (ou plateforme intermodale) déroute des personnes n'ayant appris et compris le fonctionnement des transports en commun que dans une logique de desserte de ligne. Constant, épileptique parisien, évoque l'accès au Zénith de Paris : « là-bas c'est tellement compliqué... on te dépose à un endroit et ce sera... je ne sais pas où … quand tu vas le reprendre... il faut le chercher le bus pour le reprendre [au retour]. Ça peut être à un endroit super compliqué à [trouver] ». Marguerite, une personne âgée à Amiens, était habituée à se rendre chez sa fille sans changement de bus. Elle a maintenant un changement à faire via le pôle d'échange de la gare d'Amiens. Elle se plaint de « ces histoires de quai pour les bus ». En particulier « à la gare », précise Simone. Lise abonde dans leur sens : « [Les bus sont] les uns sur les autres… ». Et Noëmie d'ajouter : « des fois en double file ». Simone continue : « Il y a 5 quais [différents] ! » Et Lise de conclure : « Et ils oublient de vous prendre... Ça arrive ». De par son fonctionnement plus complexe et moins intuitif, le pôle d'échange génère des difficultés spécifiques. Le traitement architectural, visuel et sonore de cet espace public d'interconnexion mérite un soin particulier pour faciliter traversées et stations non seulement des personnes en situation de handicap psychique, cognitif ou mental mais de tout un chacun. Marie, amiennoise de 20 ans, est trisomique. Elle travaille dans un atelier protégé zoo...

  Camille, éducatrice en SAVS 4 à Paris dit : « [Un patient avec lequel on travaille] ne sait ni lire, ni écrire et ne connaît que les trajets qu'il a fait régulièrement. Il est incapable [de prendre un train] seul à la gare de Lyon. [Pourtant], il a un fils qui habite à Valence et va régulièrement à la gare de Lyon pour prendre le train ». Une aide lui est nécessaire à l'aller, pas au retour. Noémie, une personne âgée d'Amiens évoque aussi la disproportion des services en gare selon que l'on arrive ou que l'on parte : « Vous achetez des tickets de métro parisien au Relais H [Relay] mais vous ne pouvez pas acheter de tickets de bus d'Amiens ! » Il est primordial de s'intéresser aux difficultés rencontrées par les personnes en situation de handicap dans les pôles d'échange sous peine de les en exclure. Certaines personnes finissent, en effet, par renoncer à le traverser. Constant, jeune épileptique, raconte: « Un jour on m'a dit : prenez cette direction, et changez à Châtelet, j'ai dit non, ça [n'est pas possible]. Un truc où tu rentres sur des trottoirs [tapis roulants] et tu ne sais pas où est la fin. C'est trop, c'est mortel... ». Refusant de traverser le pôle d'échanges hypercentral de Chatelet, Constant parvient à emprunter le réseau du métro moyennant un ou deux changements supplémentaires par des pôles d'échanges secondaires.Toutefois, le pôle d'échange comporte l'intérêt d'offrir une garantie plus grande, pour une personne en situation de handicap, de trouver une aide humaine.Mylène, épilepique, dit : « Quand j'arrivais à Châtelet, je me plantais tout le temps. À chaque fois, il fallait que je demande. Il y a un truc [bureau] de police, et je demandais tout le temps parce que je n'arrive pas à me situer ».

D

  'ordinaire, une faible possibilité d'anticipation de l'attente invite à l'immobilité ; c'est le cas par exemple lorsque l'on souhaite traverser un carrefour à feu et qu'il n'y a rien d'autre à faire que d'attendre le passage du signal lumineux au vert. Symétriquement, une plus grande possibilité d'anticipation de l'attente pousse d'ordinaire à meubler celle-ci, à entreprendre des activités qui tuent le temps. La possibilité de remplir le temps de l'attente par un travail d'anticipation de l'échéance est communément libératrice ; on peut lire une revue, faire une course ou allumer une cigarette lorsque l'on sait anticiper l'issue d'une situation d'attente. Mais cela suppose de maîtriser l'alternance des embrayages et débrayages qui composent le déroulement d'un cheminement.

excès de confiance.

  D'un côté, Isaac Joseph évoque la « figure de l'insomniaque » que l'altérité insupporte avec toutes ses conséquences imaginaires. Nous traduisons cela par une difficulté à faire confiance aux autres, aux systèmes experts (automates et automatismes tels que la montre ou le tableau d'affichage). • De l'autre, la « figure du somnambule », un être flottant et fragile, mobile et sans prise, dépendant d'autrui et bercé de l'illusion de la familiarité : sa vulnérabilité tient à la grande confiance qu'il place en autrui.Nous traduisons cela par un Pour Isaac Joseph, l'espace social du passant se construit précisément dans l'écart entre ces deux figures extrêmes et inadaptées : « L'hospitalité paradoxale et minimale que nous attendons d'un espace public urbain (...) [suppose] qu'il soit accessible et nous offre des prises pour l'activité en cours, tout en ménageant la possibilité de se déprendre, d'évoluer dans un monde de liens faibles ». Le sentiment de confiance joue un rôle primordial dans le caractère hospitalier ou non-hospitalier qui émane d'un lieu. Au fond, la représentation sous la forme d'un (ou comme nous le suggérons de deux) continuum a pour intérêt de réintroduire les situations de handicap dans l'éventail des possibles. Tout un chacun est amené à éprouver un symptôme de saturation cognitive (Cognitive Overflow Syndrome 8 ) en mobilité. La situation de handicap n'apparaît vraiment que lorsque cette saturation s'accompagne d'une montée d'angoisse se traduisant par une quasi-paralysie ou, au contraire, par une hyperactivité. Or, une partie de ces situations de handicap pourraient bien trouver une issue si, dès la conception des pôles d'échanges, était intégrée la nécessaire prise en compte des émotions et des facteurs sensoriels participant d'un niveau (parfois trop grand, parfois trop faible) de confiance. À titre d'exemple concret, rappelons qu'une des grandes raisons de l'altération de la confiance d'une personne en situation de handicap tient à l'avènement d'événements impromptus, inattendus ou aléatoires. Le sentiment de sécurité ontologique est alors mis à mal entraînant à la fois une peur de l'autre, une méfiance des systèmes experts et même un doute quant à ses propres capacités d'analyse et d'arbitrage. Pour y remédier, le système des pas autocollants (ou de tout autre cheminement lumineux au sol) est plébiscité. S'il peut s'apparenter à un travail cognitif 'mâché' qui produit un rapport 'enfantin' au système de transport, cet accompagnement mètre par mètre dans les dédales d'un pôle d'échange est salvateur en situation exceptionnelle (travaux, grèves, modification de quai, sorties d'urgence et alertes à la bombe...). Pourquoi ne concevrait-on pas des pôles d'échanges intégrant cette possibilité de fléchage formant des tracés lumineux (et podotactiles) momentanés, à actionner en situation exceptionnelle ? 'après une typologie proposée par S. Chevrier et S. Juguet (2003), l'attente en transports en commun, réclame un certain nombre de ressources. Il y a : • celles pour « poser le regard » : l'environnement est un spectacle, un écran où se projettent des scènes de la vie urbaine. Le journal déplié à la page des sports joue aussi ce rôle d'écran sur lequel on peut poser le regard pour fuir celui des autres ou pour ne pas 'perdre la face'. • celles pour « se protéger », permettent de 'soulager son corps' soumis aux intempéries, fatigué, qui progressivement 'perd pied'. Le parapluie tendu à bout de bras devient abri décapotable, un toit pliant pour se protéger du crachin. Le parapluie replié devient une canne, une troisième jambe, prolongement du bras, qui accompagne le marcheur dans son déplacement. • celles pour « s'informer, s'orienter, se guider », ce sont des boussoles qui nous permettent de ne pas 'perdre le nord' : cartes, plans, croquis, panneaux signalétiques, repères urbains... • celles qui permettent d'accéder, d'établir des connexions, de se brancher et de « maintenir du lien ». Un téléphone portable joue ce rôle de clé, de mise en réseau pour ne pas 'perdre prise' sur le monde, pour rester en contact avec ses proches. • et celles qui permettent de gérer, voire de « tuer le temps » pour ne pas le perdre.

	Conclusion : une nouvelle ressource nécessaire à l'attente ?

D

Selon la classification adoptée par l'Organisation Mondiale de la Santé (Classification Internationale du Fonctionnement, du handicap et de la santé, OMS,

2001), le handicap est perçu comme un processus résultant de l'interaction entre des caractéristiques personnelles et des facteurs environnementaux. On parle de « situation de handicap », en vertu d'un processus de production du handicap[START_REF] Fougeyrollas | Classification québecoise : processus de production du Handicap[END_REF].

• Une série de quatre parcours commentés, parfois complétés de parcours du combattant et réalisés in situ à Amiens avec des personnes ayant une trisomie 21, une déficience intellectuelle ou une dyspraxie. La méthode des parcours commentés vise à réintroduire le passager-passant dans un contexte concret, « c'est une mise en récit en temps réel du parcours » (Miaux, 2008). Concrètement, il s'agit de suivre l'individu au milieu de la multitude des acteurs (autres passants) et des objets (modes de transport, mobilier urbain...) avec lesquels il interagit au cours de son cheminement et qui constitue le propre de l'aléatoire urbain. Tout en suivant cet individu, il s'agit de l'écouter verbaliser ses faits et gestes. La méthode des parcours commentés, parfois également dénommée méthode des trajets-voyageurs commentés (Lévy, 2001) ou encore méthode des itinéraires (Petiteau, Pasquier, 2001) se donne pour ambition d'analyser l'acte de traverser l'espace urbain tel qu'il est « en train de se faire » afin de recueillir « le point de vue du voyageur en marche ». Si la méthode a été imaginée en France, au laboratoire de recherche CRESSON (École d'Architecture de Grenoble), elle s'appuie sur la technique du « penser tout haut » imaginée par Alan Newell et Herbert Simon (1972) aux États-Unis. En outre, nous avons suggéré à quelques personnes relativement autonomes, d'interrompre leur pratique de déplacement routinière pour se lancer dans un parcours du combattant. Scénario à l'appui, il s'agissait concrètement de tenter d'atteindre une destination inhabituelle ou de suivre un itinéraire non préparé 2 . La vidéo donne à voir les

Un film a été monté et accompagne le rapport de recherche PREDIT. Diffusion soumise à conditions. Reproduction interdite.

Ainsi, comme expliqué plus haut, le comportement des individus se situe communément sur la diagonale nord-ouest/sud-est du schéma. Où se situent les personnes en situation de handicap psychique, cognitif ou mental dans l'espace théorique de l'attente ainsi schématisé ? Notre contribution entend développer une hypothèse originale qui se dégage d'une analyse inductive des données d'enquête : bon nombre de personnes confrontées à une situation de handicap psychique, cognitif ou mental feraient des choix paradoxaux. Deux formes d'attente paradoxales semblent émerger.6 Elles sont salvatrices pour les navetteurs au long cour[START_REF] Joël | Provinciliens : les voyageurs du quotidien, entre capitale et province[END_REF].

La notion d'affordance[START_REF] James | The Theory of Affordances[END_REF] dérive du verbe to afford en anglais que l'on peut traduire en français à la fois par offrir et par être en mesure de faire quelque chose. Cette notion désigne la capacité d'un objet à suggérer sa propre utilisation. L'espace urbain est rempli d'affordances que[START_REF] Stéphane | Arrêt demandé[END_REF] qualifient « d'invitations à agir » : la poubelle invite à jeter, la boîte aux lettres fait penser à poster une lettre...

Il s'agit d'une saturation liée à une sur-sollicitation des attracteurs cognitifs.[START_REF] Saadi | Attracteurs cognitifs et travail de bureau[END_REF]