Hedy Attouch
email: hedy.attouch@univ-montp2.fr

Jean-Bernard Baillon
email: jean-bernard.baillon@univ-paris1.fr

WEAK VERSUS STRONG CONVERGENCE OF A REGULARIZED NEWTON DYNAMIC FOR MAXIMAL MONOTONE OPERATORS

Keywords: maximal monotone operators, Newton-like continuous dynamic, Levenberg-Marquardt regularization, Baillon's counterexample, weak versus strong asymptotic convergence AMS subject classification. 34G25, 47J25, 47J30, 47J35, 49M15, 49M37, 65K15, 90C25, 90C53

In a Hilbert space H, given A : H ⇒ H a general maximal monotone operator whose solution set is assumed to be non-empty, and λ(•) a time-dependent positive regularization parameter, we analyze, when t → +∞, the weak versus strong convergence properties of the trajectories of the Regularized Newton dynamic

The term λ(t) ẋ(t) acts as a Levenberg-Marquard regularization of the continuous Newton dynamic associated with A, which makes (RN) a well-posed system. The coefficient λ(t) is allowed to tend to zero as t → +∞, which makes (RN) asymptotically close to the Newton continuous dynamic. As a striking property, when λ(t) does not converge too rapidly to zero as t → +∞ (with λ(t) = e -t as the critical size), Attouch and Svaiter showed that each trajectory generated by (RN) converges weakly to a zero of A. By adapting Baillon's counterexample, we show a situation where A is the gradient of a smooth convex function, and there is a trajectory of the corresponding system (RN) that does not converge strongly. On the positive side, under certain particular assumptions about the operator A, or on the regularization parameter λ(•), we show the strong convergence when t → +∞ of the (RN) trajectories .

Introduction

Throughout the paper, H is a real Hilbert space, and A : H ⇒ H stands for a general maximal monotone operator whose solution set S = {x ∈ H : 0 ∈ Ax} is supposed to be nonempty. We will analyze the weak versus strong asymptotic convergence properties of a Newton-like continuous dynamics attached to solving the monotone inclusion [START_REF] Abbas | Newton-like dynamics and forward-backward methods for structured monotone inclusions in Hilbert spaces[END_REF] find x ∈ H such that 0 ∈ Ax.

These questions, which have been intensively studied for semigroups of contractions generated by maximal monotone operators, see [START_REF] Baillon | Un exemple concernant le comportement asymptotique de la solution du problème du dt + ∂Φ(u) 0[END_REF][START_REF] Baillon | Une remarque sur le comportement asymptotique des semi-groupes non linéaires[END_REF][START_REF] Brézis | Opérateurs maximaux monotones et semi-groupes de contractions dans les espaces de Hilbert[END_REF][START_REF] Bruck | Asymptotic convergence of nonlinear contraction semigroups in Hilbert spaces[END_REF][START_REF] Peypouquet | Evolution equations for maximal monotone operators: asymptotic analysis in continuous and discrete time[END_REF] and references therein, are seemingly new for the dynamics associated with Newton's method. Our analysis deals with the Regularized Newton dynamic (called (RN) for short) introduced by Attouch and Svaiter in [START_REF] Attouch | A continuous dynamical Newton-like approach to solving monotone inclusions[END_REF] (RN) v(t) ∈ A(x(t)), λ(t) ẋ(t) + v(t) + v(t) = 0.

Recall that, when A is a smooth operator, the classical Newton method writes A (x)(x + -x) + Ax = 0, where A is the derivative of A. Its continuous version gives A (x(t)) ẋ(t) + Ax(t) = 0. Equivalently (N) v(t) = A(x(t)), v(t) + v(t) = 0.

Newton's method, however, requires a lot of regularity both in its discrete and continuous version. The introduction of the additional term λ(t) ẋ(t) in (RN) acts as a Levenberg-Marquard regularization (see [START_REF] Levenberg | A method for the solution of certain non-linear problems in the least squares[END_REF][START_REF] Marquardt | An algorithm for least squares estimation of non-linear parameters[END_REF]) of the ill-posed continuous Newton dynamic (N) associated to A. The parameter λ(t) is taken positive and locally absolutely continuous (indeed it can be taken locally of bounded variation). Of particular interest is the case λ(t) → 0 as t → +∞, which provides a (nonautonomous) dynamical system whose asymptotic behavior is similar to that of the Newton method. As particular cases of operator A, by taking A = ∂Φ, Φ : H → R ∪ {+∞} convex lsc. proper, (resp. A = (∂ x L, -∂ y L), with L : H × H → R closed convex-concave), one obtains Newton-like dynamics for convex minimization, (resp. convex-convave saddle value problems). System (RN) enjoys remarkable properties: a) Firstly, by using the Minty representation of maximal monotone operators, it can be reformulated as a classical differential equation. This representation makes use of J A µ = (I + µA) -1 the resolvent of index µ > 0 of A, and A µ = 1 µ I -J A µ the Yosida approximation of index µ > 0 of A, see [START_REF] Bauschke | Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces[END_REF][START_REF] Brézis | Opérateurs maximaux monotones et semi-groupes de contractions dans les espaces de Hilbert[END_REF][START_REF] Zeidler | Nonlinear functional analysis and its applications, Part II: Monotone operators[END_REF] for basic facts concerning these notions. For any t ∈ [0, +∞[ we set µ(t) = 1 λ(t) , and introduce the new unknown function z : [0, +∞[→ H which is defined by [START_REF] Alvarez | A dynamical system associated with Newton's method for parametric approximations of convex minimization problems[END_REF] z(t) = x(t) + µ(t)v(t).

One can rewrite (RN) with the help of (x, z). One first obtains

(3)

x(t) = J A µ(t) (z(t)), v(t) = A µ(t) (z(t)).
In our context, this is the Minty representation of maximal monotone operators, see [START_REF] Minty | Monotone (nonlinear) operators in Hilbert spaces[END_REF]. The second equation of (RN) can be reformulated as a classical differential equation with respect to z(•), which gives [START_REF] Attouch | A second-order differential system with Hessian-driven damping; Application to non-elastic shock laws[END_REF] x(t) = J A µ(t) (z(t)), ż(t) + (µ(t) -μ(t))A µ(t) (z(t)) = 0.

As a nice feature of system (4), the operators J A µ : H → H and A µ : H → H are Lipschitz continuous, which makes this system relevant to the Cauchy-Lipschitz theorem. Indeed, in [START_REF] Attouch | A continuous dynamical Newton-like approach to solving monotone inclusions[END_REF]Theorem 2.4], it is proved that for any Cauchy data v 0 ∈ A(x 0 ) there exists a unique strong global solution (

x(•), v(•)) : [0, +∞[→ H × H of (RN) which satisfies x(0) = x 0 , v(0) = v 0 .
b) Secondly, the trajectories of system (RN) asymptotically converge under fairly general assumptions. Following [START_REF] Attouch | A continuous dynamical Newton-like approach to solving monotone inclusions[END_REF]Theorem 3.7], suppose that λ(•) is bounded from above on [0, +∞[, and satisfies [START_REF] Attouch | A dynamic approach to a proximal-Newton method for monotone inclusions in Hilbert Spaces, with complexity O(1/n 2 )[END_REF] lim inf t→+∞ λ(t)

λ(t) > -1.
Then, for any strong global solution of (RN), as t tends to +∞ i) v(t) → 0 strongly in H, ii) x(t) converges weakly in H to a zero of A.

The condition λ(t) λ(t) > -1 is equivalent to µ(t) -μ(t) > 0, and hence preserves the monotonicity of the operator governing the differential equation in [START_REF] Attouch | A second-order differential system with Hessian-driven damping; Application to non-elastic shock laws[END_REF]. Condition [START_REF] Attouch | A dynamic approach to a proximal-Newton method for monotone inclusions in Hilbert Spaces, with complexity O(1/n 2 )[END_REF] expresses that λ(t) does not converge too rapidly to zero as t → +∞ (with, roughly speaking, as a critical size, λ(t) = e -t ). Note that the trajectories of system (RN) converge weakly, which makes a sharp contrast with the semigroup associated to a general maximal monotone operator, whose trajectories are solutions of the differential inclusion [START_REF] Attouch | A continuous dynamical Newton-like approach to solving monotone inclusions[END_REF] ẋ(t) + A(x(t)) 0.

Let us recall some classical facts concerning (6) which will enlight our study. For a general maximal monotone operator A, weak ergodic convergence of trajectories of ( 6) was established in [START_REF] Baillon | Une remarque sur le comportement asymptotique des semi-groupes non linéaires[END_REF]. Weak convergence was established in [START_REF] Bruck | Asymptotic convergence of nonlinear contraction semigroups in Hilbert spaces[END_REF] for the case of demi-positive operators. This class includes the subdifferentials of closed proper convex functions A = ∂Φ , as well as operators of the form A = I -T with T a contraction. As the counterexample in [START_REF] Baillon | Un exemple concernant le comportement asymptotique de la solution du problème du dt + ∂Φ(u) 0[END_REF] shows, even in the case of subdifferential operators, the strong convergence property may not be satisfied.

Let us now return to the (RN) dynamic and come to the central question of this paper: We know that, for a general maximal monotone operator and regularizing parameter λ(•), each trajectory of (RN) converges weakly to a zero of A. In many physical or numerical situations, obtaining strong convergence is a desirable feature of the dynamic or the algorithm, see [START_REF] Bauschke | A weak-to-strong convergence principle for Fejer-monotone methods in Hilbert spaces[END_REF] for a general discussion on this topic. Thus it is natural to ask: in what situations strong convergence of the trajectories of (RN) holds true? This turns out to be a challenging question: In the particular case λ(t) = λ 0 e -t , one can perform a direct integration of (RN). In that case, the asymptotic convergence of x(t) can be reduced to the convergence analysis of the Tikhonov approximation, as the regularization parameter goes to zero. By a classical result, see [START_REF] Browder | Existence and approximation of solutions of nonlinear variational inequalities[END_REF][START_REF] Cominetti | Strong asymptotic convergence of evolution equations governed by maximal monotone operators with Tikhonov regularization[END_REF][START_REF] Reich | Nonlinear evolution equations and nonlinear ergodic theorems[END_REF], in this situation, one obtains strong convergence to some minimal norm element.

Thus one may conjecture that strong convergence of trajectories of (RN) holds true in general. As a central result of our analysis we give a negative answer to this claim: by an adaptation to our situation of Baillon's counterexample [START_REF] Baillon | Un exemple concernant le comportement asymptotique de la solution du problème du dt + ∂Φ(u) 0[END_REF], we provide a maximal monotone operator A which is the gradient of a convex C 1 function, and a trajectory of (RN), with λ constant, which converges weakly and not strongly. One may also wonder whether the case λ(t) = λ 0 e -t , for which strong convergence holds for any maximal monotone operator, is exceptional. We shall partially answer to this question and examine some other related ones, among which: Can one provide a counterexample to the strong convergence with a parameter λ(•) which asymptotically tends to zero? (and even more precisely, in the closed-loop case?).

Let us finally mention the rich connections between (RN), integrodifferential equations (see [START_REF] Goudou | Asymptotic behavior of solutions of a gradient like integrodifferential Volterra inclusion[END_REF][START_REF] Crandall | An abstract nonlinear Volterra integrodifferential equation[END_REF][START_REF] Vergara | Lyapunov functions and convergence to steady state for differential equations of fractional order[END_REF]), and second order dynamics with inertial features (see [START_REF] Alvarez | A second-order gradient-like dissipative dynamical system with Hessiandriven damping. Application to optimization and mechanics[END_REF][START_REF] Attouch | A second-order differential system with Hessian-driven damping; Application to non-elastic shock laws[END_REF][START_REF] Maingé | First order continuous Newton-like systems for monotone inclusions[END_REF]), for which similar questions can be raised.

The study of the continuous dynamics (RN) opens the way to algorithmic developments concerning Newton's methods for solving monotone inclusions. See [START_REF] Abbas | Newton-like dynamics and forward-backward methods for structured monotone inclusions in Hilbert spaces[END_REF], [START_REF] Attouch | A dynamic approach to a proximal-Newton method for monotone inclusions in Hilbert Spaces, with complexity O(1/n 2 )[END_REF] for results in this direction. As a distinctive feature of the algorithms obtained from the time discretization of (RN), they involve a large step (proximal) condition, as proposed in [START_REF] Attouch | A dynamic approach to a proximal-Newton method for monotone inclusions in Hilbert Spaces, with complexity O(1/n 2 )[END_REF][START_REF] Monteiro | On the complexity of the hybrid proximal extragradient method for the iterates and the ergodic mean[END_REF][START_REF] Monteiro | Iteration-complexity of a Newton proximal extragradient method for monotone variational inequalities and inclusion problems[END_REF]. It is reasonable to conjecture that the results obtained in this paper have a natural counterpart in the algorithmic framework. This is an interesting question for a future study.

The regularized Newton dynamic

We successively recall basic facts concerning the (RN) dynamic: the global existence and uniqueness theorem, the asymptotic convergence theorem, and some corresponding results for the closed loopregularization approach. Then, we examine some particular situations which enlight our study.

2.1.

The open-loop regularized Newton dynamic. We consider the Regularized Newton Cauchy problem ((RNC) for short)

(RNC)    v(t) ∈ A(x(t)), λ(t) ẋ(t) + v(t) + v(t) = 0, x(0) = x 0 , v(0) = v 0 ∈ A(x 0 ).
Definition 2.1. We say that a pair (x(•), v(•)) is a strong global solution of (RNC) if the following properties i), ii), iii) and iv) are satisfied:

i) x(•), v(•) : [0, +∞[→ H are absolutely continuous on each bounded interval [0, b], 0 < b < +∞; ii) v(t) ∈ A(x(t)) for all t ∈ [0, +∞[; iii) λ(t) ẋ(t) + v(t) + v(t) = 0 for almost all t ∈ [0, +∞[; iv) x(0) = x 0 , v(0) = v 0 .
We make the following standing Regularity assumption on function λ(•):

(RΛ) λ : [0, +∞[→]0, +∞[ is absolutely continuous on each interval [0, b], 0 < b < +∞. Set µ(t) = 1 λ(t) . Thus µ(•) is absolutely continuous on each interval [0, b], 0 < b < +∞.
Theorem 2.2. [6, Theorem 2.4] The following properties hold: i) For any Cauchy data x(0) = x 0 , v(0) = v 0 ∈ A(x 0 ), there exists a unique strong global solution

(x(•), v(•)) : [0, +∞[→ H × H of (RNC);
ii) The solution pair (x(•), v(•)) of (RNC) can be represented as: for any t ∈ [0, +∞[,

(t) = J A µ(t) (z(t)) v(t) = A µ(t) (z(t)), where z(.) : [0, +∞[→ H is the unique strong solution of the Cauchy problem (8) ż(t) + (µ(t) -μ(t))A µ(t) (z(t)) = 0, z(0) = x 0 + µ(0)v 0 . (7) x
Remark 2.3. In some cases, it is worth reinforcing, resp. to weaken, the regularity assumption (RΛ): a) Suppose λ(•) Lipschitz continuous, then so are z(.), x(.) and v(.). b) Suppose λ(•) of bounded variation on bounded sets, then Theorem 2.2 is still valid [START_REF] Attouch | Global convergence of a closed-loop regularized Newton method for solving monotone inclusions in Hilbert spaces[END_REF]Theorem 3.2].

The following result plays a central role in the asymptotical analysis.

λ(t) > -1.
Then v(t) → 0 strongly, and x(t) converges weakly to a zero of A, as t goes to +∞. b) Let us suppose moreover that α is bounded above in a neighbourhood of 0 and ( 12) lim sup

     v(t) ∈ A(x(t)), α v(t) 2 ẋ(t) + v(t) + v(t) = 0, x(0) = x 0 , v(0) = v 0 , v 0 ∈ A(x 0 ), v 0 = 0.
r→0 + r α(r) α(r) < 1 2 .
Then, x(t) converges weakly to a zero of A, as t → +∞.

Corollary 2.6. ([7, Corollary 5.1]) Take α(r) = r θ . Then the conclusions of Theorem 2.5 hold for θ < 1 2 . Equivalently, for 0 < γ < 1, there is asymptotic stabilization of the system (13)

     v(t) ∈ A(x(t)) v(t) γ ẋ(t) + v(t) + v(t) = 0; x(0) = x 0 , v(0) = v 0 ∈ A(x 0 ), v 0 = 0.
2.3. The linear antisymmetric case. We follow [START_REF] Attouch | A continuous dynamical Newton-like approach to solving monotone inclusions[END_REF]Section 6.3]. The anti-clockwise rotation in the plane about the origin through the angle π 2 provides a well-known situation where the semigroup generated by a maximal monotone operator fails to converge (it only converges in the ergodic sense). Thus, take

H = R × R, A = rot(0, π 2 ), A(x 1 , x 2 ) = (-x 2 , x 1 ).
The operator A is maximal monotone, linear, A * = -A (antisymmetric), and Ax, x = 0 ∀x ∈ H. Moreover the origin is the unique equilibrium (zero of A). Recall that, in the linear case, convex subdifferential operators (for which convergence holds) correspond to symmetric operators. Let us describe the (RN) dynamic in this particular situation.

Setting

X(t) = x 1 (t) + ix 2 (t), (RN) is equivalent to (14) (λ(t) + i) Ẋ(t) + iX(t) = 0.
Let us successively examine the different cases: a) λ > 0 is constant. Then, direct integration of ( 14) gives

X(t) = X 0 exp - 1 + iλ 1 + λ 2 t .
We observe that x(t) → 0 as t → +∞. This makes contrast with the ergodic convergence of the semigroup generated by A, which exhibits periodic circular orbits.

b) λ(•) is a positive function. Integration of [START_REF] Browder | Nonlinear Operators and Nonlinear Equations of Evolution in Banach Spaces[END_REF] gives

X(t) = X(0) exp - t 0 1 1+λ(s) 2 ds . Hence +∞ 0 1 1 + λ(t) 2 dt = +∞ ⇒ x(t) → 0 as t → +∞.
The number of rotations around the origin depends on +∞ 0

λ(t) 1+λ(t) 2 dt.
2.4. The case λ(t) = λ 0 e -t , λ 0 > 0. For this choice of λ(•), for any t ≥ 0 0 > λ(t) = -λ(t).

It follows that the trajectory x(•) is bounded (see [START_REF] Attouch | A continuous dynamical Newton-like approach to solving monotone inclusions[END_REF]Lemma 3.5]), and v(t) converges to 0 as t → +∞. It is possible to have a closed formula for x(t), v(t), and to estimate how fast is the convergence of v(t) to 0. Define z(•) by

z(t) = x(t) + 1 λ(t) v(t) = x(t) + e t λ 0 v(t).
Setting µ(t) = 1 λ(t) = e t λ 0 , we have μ(t) = µ(t), which, by [START_REF] Baillon | Un exemple concernant le comportement asymptotique de la solution du problème du dt + ∂Φ(u) 0[END_REF], implies ż(t) = 0 for t ≥ 0. Hence, for t ≥ 0,

x(t) + e t λ 0 v(t) = z(0) = x 0 + 1 λ 0 v 0 which, in view of the inclusion v(t) ∈ A(x(t)) is equivalent to (15) x(t) = J A e t /λ 0 (z(0)), v(t) = A e t /λ 0 (z(0)).
The next proposition is a direct consequence of the above equation.

Proposition 2.7. ([6, Proposition 5.1]) Let λ(t) = λ 0 e -t . Assume that A -1 (0) is non-empty, and let x * 0 be the orthogonal projection of x 0 + λ -1 0 v 0 onto A -1 (0). Then, the following properties are satisfied:

i) ∀t ≥ 0, x(t) -(x 0 + λ -1 0 v 0 ) ≤ x * 0 -(x 0 + λ -1 0 v 0 ) ; ii) ∀t ≥ 0, v(t) ≤ λ 0 e -t x * 0 -(x 0 + λ -1 0 v 0 ) ; iii) lim t→+∞ x(t) = x * 0 . Proof. To simplify the proof, set z 0 = x 0 + λ -1 0 v 0 . i)
To prove the first inequality, take x * ∈ A -1 (0). By monotonicity of A, and z(t) = x(t)

+ 1 λ(t) v(t) = z 0 , we have 0 ≤ 1 λ x * -x(t), 0 -v(t) = x * -x(t), x(t) -z 0 .
Thus,

x * -z 0 2 = x * -x(t) 2 + 2 x * -x(t), x(t) -z 0 + x(t) -z 0 2 ≥ x(t) -z 0 2 .
This being true for any x * ∈ A -1 (0), passing to the infimum with respect to x * establishes the formula. ii) By ( 15) and item i)

v(t) = A e t /λ 0 (z 0 ) = λ 0 e -t x(t) -z 0 ≤ λ 0 e -t x * 0 -(x 0 + λ -1 0 v 0 ) . iii) We have x(t) = J A
e t /λ 0 (z 0 ), which, equivalently, can be written as λ 0 e -t (x(t) -z 0 ) + A(x(t)) 0.

Equivalently, by setting y(t) := x(t) -z 0 , and By = A(y + z 0 ) (note that B is still maximal monotone)

λ 0 e -t y(t) + B(y(t)) 0.

Noticing that λ 0 e -t → 0 as t → +∞, by using the classical asymptotic properties of the Tikhonov approximation, see for example see [START_REF] Browder | Existence and approximation of solutions of nonlinear variational inequalities[END_REF][START_REF] Cominetti | Strong asymptotic convergence of evolution equations governed by maximal monotone operators with Tikhonov regularization[END_REF][START_REF] Reich | Nonlinear evolution equations and nonlinear ergodic theorems[END_REF], we obtain

lim t→+∞ y(t) = proj B -1 (0) 0. Since B -1 (0) = -z 0 + A -1 (0), we finally obtain lim t→+∞ x(t) = z 0 + proj -z 0 +A -1 (0) 0 = proj A -1 (0) z 0 = x * 0 .
Note that v(t) ≤ c e -t , which, as an asymptotical behavior, is almost as good as the "pure" Newton's continuous dynamic.

A situation where there is no strong convergence

Our approach is based on the adaptation to the (RN) dynamic of the counterexample of Baillon. In a different context, a similar strategy was developed in [START_REF] Güler | On the convergence of the proximal point algorithm for convex minimization[END_REF] to provide a sequence generated by the proximal algorithm that is weakly and not strongly convergent.

Let us recall Baillon's result:

Theorem 3.1. ([8, Proposition 1]
) There exists a closed convex proper function Φ : H = l 2 (N) → R + ∪ {+∞}, with ∂Φ -1 (0) = ∅, such that the semigroup S(t) generated by the maximal monotone operator A = ∂Φ satisfies the following property: there exists some a ∈ domΦ such that S(t)a does not converge strongly to an element of ∂Φ -1 (0).

Bruck's theorem [START_REF] Bruck | Asymptotic convergence of nonlinear contraction semigroups in Hilbert spaces[END_REF] states that, for all x ∈ domΦ, S(t)x weakly converges of to an element of ∂Φ -1 (0). Thus Baillon's counterexample is a constructive example of a closed convex proper Φ : H → R ∪ {+∞}, and of a trajectory of the semigroup generated by ∂Φ which converges weakly and not strongly. Baillon's thesis [9] contains an extended version of [START_REF] Baillon | Un exemple concernant le comportement asymptotique de la solution du problème du dt + ∂Φ(u) 0[END_REF], with a counterexample involving a convex function Φ of class C 1 . For our purpose, we need a slightly more precise statement, with Φ ∈ C 1,1 being taken equal to the Moreau envelope of some closed convex function. We recall the definition of the Moreau envelope (see [START_REF] Bauschke | Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces[END_REF] for further details): Given a closed convex proper function Ψ : H → R ∪ {+∞}, its Moreau envelope of index λ > 0 is the function Ψ λ : H → R which is defined by, for all x ∈ H

Ψ λ (x) = inf ξ∈H {Ψ(ξ) + 1 2λ x -ξ 2 }.
We use the following result from [9], whose proof is reproduced here, for the convenience of the reader. It compares the asymptotic behavior of the trajectories generated respectively by ∂Φ and by its Yosida approximation (∂Φ) λ . Proof. Set u(t) = S(t)x and u λ (t) = S λ (t)x. Without ambiguity, we write briefly J λ for the resolvent of index λ > 0 of the subdifferential of Φ. From -u(t) ∈ ∂Φ(u(t)), and -uλ (t) = ∇Φ λ (u λ (t)) ∈ ∂Φ(J λ (u λ (t))), by monotonicity of the operator ∂Φ, we obtain

-uλ (t) + u(t), J λ (u λ (t)) -u(t) ≥ 0. Since -uλ (t) = ∇Φ λ (u λ (t)) = 1 λ (u λ (t) -J λ (u λ (t)))
we equivalently have

-uλ (t) + u(t), λ uλ (t) + u λ (t) -u(t) ≥ 0. Hence 1 2 d dt u λ (t) -u(t) 2 ≤ λ uλ (t), u(t) -λ uλ (t) 2 ≤ λ 4 u(t) 2 . ( 16
)
On the other hand, by the generalized derivation chain rule (see [START_REF] Brézis | Opérateurs maximaux monotones et semi-groupes de contractions dans les espaces de Hilbert[END_REF]Theorem 3

.2]) (17) d dt Φ(u(t)) = -u(t) 2 .
By combining ( 16) and ( 17) we obtain (18) d dt

1 2 u λ (t) -u(t) 2 + λ 4 Φ(u(t)) ≤ 0.
As a consequence,

(19) t → u λ (t) -u(t) 2 + λ 2 Φ(u(t))
is a nonincreasing function, which implies that, for all s ≥ 0 (20) lim

t→+∞ u λ (t) -u(t) 2 + λ 2 Φ(u(t)) ≤ u λ (s) -u(s) 2 + λ 2 Φ(u(s)).
On the other hand, by [START_REF] Cominetti | Strong asymptotic convergence of evolution equations governed by maximal monotone operators with Tikhonov regularization[END_REF], t → Φ(u(t)) is a nonincreasing function, and Φ has been assumed to be nonnegative. Hence Φ(u(t)) converges to a finite value, as well as u λ (t) -u(t) , which allows us to rewrite (20) as follows:

(21) lim t→+∞ u λ (t) -u(t) 2 + λ 2 lim t→+∞ Φ(u(t)) ≤ u λ (s) -u(s) 2 + λ 2 Φ(u(s)).
Since Φ(u(t)) is nonnegative we deduce that for all s ≥ 0

(22) lim t→+∞ u λ (t) -u(t) 2 ≤ u λ (s) -u(s) 2 + λ 2 Φ(u(s)),
and hence

(23) lim t→+∞ u λ (t) -u(t) ≤ u λ (s) -u(s) + λ 2 Φ(u(s)) 1 2
.

Since u λ (s) converges to u(s) as λ goes to zero (see [START_REF] Brézis | Opérateurs maximaux monotones et semi-groupes de contractions dans les espaces de Hilbert[END_REF]Theorem 3.2]), and Φ(u(s)) is finitely valued for s > 0, we obtain We can now state the following reinforced version of Baillon's counterexample:

Proposition 3.3. There exists a closed convex proper function Φ : H = l 2 (N) → R + ∪ {+∞}, with S = ∂Φ -1 (0) = ∅, such that the semigroup S λ (t) generated by the Yosida approximation A λ = ∇Φ λ of the maximal monotone operator A = ∂Φ satisfies the following property: there exists some a ∈ dom∂Φ, and λ 0 > 0, such that for any 0 < λ < λ 0 , S λ (t)a does not converge strongly to an element of ∂Φ -1 (0). Passing from a ∈ domΦ to a ∈ dom∂Φ is immediate. One just need to take an arbitraty t 0 > 0, and as a new initial point S(t 0 )a, which, by the regularizing effect, belongs to dom∂Φ.

We can now provide an example where the regularized Newton dynamic has a trajectory which converges weakly but not strongly. Theorem 3.4. There exists a closed convex proper function Φ : H = l 2 (N) → R + ∪ {+∞}, with ∂Φ -1 (0) = ∅, and λ 0 > 0, such that for any λ > λ 0 , there exists (x 0 , v 0 ) ∈ ∂Φ such that the solution trajectory (x(•), v(•)) of ( 28)

   v(t) ∈ ∂Φ(x(t)) λx(t) + v(t) + v(t) = 0; x(0) = x 0 , v(0) = v 0 ∈ ∂Φ(x 0 )
verifies: x(t) converges weakly but not strongly to an element of ∂Φ -1 (0).

Proof. Let us specialize Theorem 2.2 to the particular case λ(•) constant. Setting µ = 1 λ the solution pair (x(•), v(•)) of (RNC) can be represented as: for any t ∈ [0, +∞), ( 29)

x(t) = J A µ (z(t)) v(t) = A µ (z(t)),
where J A µ and A µ denote respectively the resolvent ant the Yosida approximation of the maximal monotone operator A (we will specify it later), and z(.) : [0, +∞[→ H is the unique strong solution of the Cauchy problem [START_REF] Reich | Nonlinear evolution equations and nonlinear ergodic theorems[END_REF] ż(t) + µA µ (z(t)) = 0, z(0) = x 0 + µv 0 .

The change of time scale

w(t) := z( t µ )
in [START_REF] Reich | Nonlinear evolution equations and nonlinear ergodic theorems[END_REF] gives

(31) ẇ(t) + A µ (w(t)) = 0, w(0) = x 0 + µv 0 .
Take A = ∂Φ, a ∈ dom∂Φ, and µ 0 > 0 provided by Proposition 3.3. Thus Φ : H = l 2 (N) → R + ∪ {+∞} is a closed convex proper function with S = ∂Φ -1 (0) = ∅ such that, for any 0 < µ < µ 0 , S µ (t)a does not converge strongly to an element of ∂Φ -1 (0). Fix 0 < µ < µ 0 . By Minty's theorem R(I + µA) = H, which gives the existence of (x 0µ , v 0µ ) ∈ A such that x 0µ + µv 0µ = a. Let us notice that

w(t) = S µ (t)a.
Hence w(t) does not converge strongly as t → +∞. Clearly the same property holds for z(t) = w(µt).

On the other hand, the solution z(•) of the classical differential equation ( 30) satisfies ( 32) ż(t) → 0 strongly as t → +∞. This is a classical property of the semigroup generated by the gradient of a C 1 convex, minorized function. Indeed, this is a direct consequence of the energy estimate ∞ 0 ż(t) 2 dt < +∞ (which itself is a consequence of ( 17)), and of the nonincreasing property of t → ż(t) (valid for any semigroup of contractions). Noticing that (30) can be equivalently written as [START_REF] Vergara | Lyapunov functions and convergence to steady state for differential equations of fractional order[END_REF] ż(t) + z(t) -J µ (z(t)) = 0 we deduce from ( 32) and ( 33) that ( 34) z(t) -J µ (z(t)) → 0 strongly as t → +∞.

Since z(t) does not converge strongly as t → +∞, we deduce that (35) x(t) = J µ (z(t)) converges weakly and not strongly as t → +∞.

This argument is valid for any µ = 1 λ < µ 0 , and hence for any λ > λ 0 =: 1 µ 0 , which completes the proof.

Remark 3.5. a) The argument of Theorem 3.4 can be easily adapted so as to provide a counterexample with a C 1 convex function.

b) The counterexample to the strong convergence of (RN) has been obtained with λ(•) constant. For numerical purpose it would be of great interest to analyze the weak versus strong convergence properties in the case where λ(t) → 0 as t → +∞. Similarly, the closed-loop case should be analyzed from this perspective.

4. On the strong convergence property 4.1. λ(t) = λ 0 e -t as a particular case. In section 2.4, in the case λ(t) = λ 0 e -t , we showed that for any maximal monotone operator A, strong convergence is satisfied by any trajectory generated by (RN). Thus it is a natural question to ask whether this result holds true only for this particular choice of λ(•), or if there is some latitude in the choice of λ(•). We will give some answers to this question. In this section we assume that λ(•) is a positive function which satisfies a) and b): a) λ(t) → 0 as t → +∞, and hence µ(t) = 1 λ(t) → +∞ as t → +∞.

b) λ(t) + λ(t) ≥ 0 for all t ≥ 0, and hence µ(t) -μ(t) ≥ 0 for all t ≥ 0. Let us recall that the solution of (RN) verifies (36)

x(t) = J A µ(t) (z(t)) where J A µ is Yosida approximation of index µ > 0 of the maximal monotone operator A, and z(.) : [0, +∞[→ H is the unique strong solution of the Cauchy problem

(37) ż(t) + (µ(t) -μ(t))A µ(t) (z(t)) = 0, z(0) = x 0 + µ(0)v 0 .
Note first that it suffices to prove that z(t) converges strongly, as shown in the following lemma.

Lemma 4.1. Suppose that z(t) → z ∞ strongly as t → +∞. Then x(t) → x * strongly as t → +∞, where x * is the orthogonal projection of z ∞ onto A -1 (0).

Proof. By (36), and the contraction property of the resolvent operator J µ(t) we have

(38) x(t) -J µ(t) z ∞ = J µ(t) z(t) -J µ(t) z ∞ ≤ z(t) -z ∞ .
By the same argument as in section 2.4 (see also [START_REF] Bauschke | Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces[END_REF]Theorem 23.47]), we have

(39) lim t→+∞ J µ(t) z ∞ = proj A -1 (0) z ∞ = x * .
The conclusion follows from (38), (39), and the assumption z(t) → z ∞ strongly as t → +∞.

Theorem 4.2. Set ψ(t) = μ(t) µ(t) . Let us assume that the two following conditions hold 1 , where M is a nonnegative real number:

1 - M t ≤ ψ(t) ≤ 1 (40) lim sup s,t→+∞ ψ(t) -ψ(s) + t s (dψ) -(τ ) (t -s) ≤ 0. (41)
Then, for any maximal monotone operator A and any trajectory generated by (RN), x(t) converges strongly to an element of A -1 (0).

Proof. Let us fix some ξ ∈ A -1 (0). We thus have (µ(t) -μ(t))A µ(t) ξ = 0. On the other hand by (37) -ż(t) = (µ(t) -μ(t))A µ(t) (z(t)). Using the monotonicity property of A µ(t) and the nonegativity of µ(t) -μ(t) we obtain

(42) -ż(t), z(t) -ξ ≥ 0, which expresses that (43) z(t) -ξ ↓ (nonincreasing function).
Let us further analyze the differential equation which is satisfied by z(•). We have

(44) ż(t) + µ(t) -μ(t) µ(t) (z(t) -ξ) = µ(t) -μ(t) µ(t) J µ(t) z(t) -ξ .
Taking the square norm of the two members of this equality yields

(45) ż(t) 2 +2 µ(t) -μ(t) µ(t) ż(t), z(t) -ξ + µ(t) -μ(t) µ(t) 2 z(t)-ξ 2 = µ(t) -μ(t) µ(t) 2 J µ(t) z(t)-ξ 2 .
On the other hand, since J µ(t) is a contraction and J µ(t) ξ = ξ, we have

(46) J µ(t) z(t) -ξ 2 = J µ(t) z(t) -J µ(t) ξ 2 ≤ z(t) -ξ 2 .
1 when ψ is continuously differentiable, (dψ) -is the negative part of the measure with density the derivative of ψ For any 0 < s ≤ t < +∞, by integration between s and t of the above inequality, and using Cauchy-Schwarz inequality, we deduce that

z(t) -z(s) 2 ≤ (t -s) t s ż(τ ) 2 dτ (49) ≤ t -s) t s (ψ(τ ) -1) d dτ z(τ ) -ξ 2 dτ. ( 50
)
After integration by part of this last expression we obtain

z(t) -z(s) 2 ≤ (t -s) (ψ(t) -1) z(t) -ξ 2 -(ψ(s) -1) z(s) -ξ 2 - t s dψ dτ (τ ) z(τ ) -ξ 2 dτ (51) ≤ (t -s) (ψ(t) -1) z(t) -ξ 2 -(ψ(s) -1) z(s) -ξ 2 + t s ( dψ dτ ) -(τ ) z(τ ) -ξ 2 dτ . (52) Since τ → z(τ ) -ξ is nonincreasing, we deduce that (53) z(t) -z(s) 2 ≤ (t -s) (ψ(t) -1) z(t) -ξ 2 -(ψ(s) -1) z(s) -ξ 2 + z(s) -ξ 2 t s (dψ) -. Equivalently z(t) -z(s) 2 ≤ (t -s) (1 -ψ(t)) z(s) -ξ 2 -z(t) -ξ 2 + z(s) -ξ 2 (t -s) ψ(t) -ψ(s) + t s (dψ) - ≤ t(1 -ψ(t)) z(s) -ξ 2 -z(t) -ξ 2 + z(s) -ξ 2 (t -s) ψ(t) -ψ(s) + t s (dψ) -.
Using assumption (40) on ψ, we obtain

(54) z(t) -z(s) 2 ≤ M z(s) -ξ 2 -z(t) -ξ 2 + z(s) -ξ 2 (t -s) ψ(t) -ψ(s) + t s (dψ) -.
By using the convergence property of t → z(t) -ξ , and assumption (41), we deduce that z(t) satisfies the Cauchy property (as t → +∞), which implies the strong convergence of z(t).

Remark 4.3. The assumption (40), 1 -M t ≤ ψ(t) = μ(t) µ(t) ≤ 1, implies that lim t→+∞ ψ(t) = 1, we means that asymptotically µ(t) behaves like µ 0 e t , for some µ 0 > 0.

The second assumption (41) lim sup s,t→+∞ ψ(t) -ψ(s) + t s (dψ) -(τ ) (t -s) ≤ 0 is even more stringent. Assuming ψ(•) to be increasing, it is equivalent to lim s,t→+∞, s<t (ψ(t) -ψ(s)) (t -s) = 0, which itself is equivalent to

∀ > 0 ∃s : (ψ(t) -ψ(s )) (t -s ) ≤ ∀t ≥ s .
Hence, the function t → (ψ(t) -ψ(s )) (t -s ) remains bounded as t → +∞. Since lim t→+∞ ψ(t) = 1, this forces ψ(s ) = 1. Hence, ψ(t) = 1 for t large enough, which implies µ(t) = µ 0 e t , for some µ 0 > 0. 4.2. Strongly monotone operators. Let us recall that a maximal monotone operator A is said to be strongly monotone, if there exists some α > 0 such that for any (x, v) ∈ A, (y, w) ∈ A w -v, y -x ≥ α y -x 2 . Proposition 4.4. (see also [START_REF] Attouch | A continuous dynamical Newton-like approach to solving monotone inclusions[END_REF]Theorem 3.14]) Supppose that A is a maximal monotone operator which is strongly monotone, and that λ(•) is a nonincreasing function which satisfies: for almost all t > 0 λ(t) + λ(t) ≥ 0.

Then for any trajectory (x(•), v(•)) of the (RN) dynamic, a) x(t) converges strongly to the unique zero of A, b) v(t) converges strongly to 0.

Proof. By [6, Collorary 3.6], v(t) → 0 as t → +∞ (this is a consequence of the energy estimate v ∈ L 2 (0, +∞; H), and of the decreasing property of v(t)) . Let x be the unique zero of A. From 0 ∈ A(x), v(t) ∈ A(x(t)) and the strong monotonicity of A, we have

v(t), x(t) -x ≥ α x(t) -x 2 .
By Cauchy-Schwarz inequality, we deduce that

x(t) -x ≤ 1 α v(t) .
Since v(t) → 0, we obtain x(t) -x → 0 as t → +∞. As a key property note that, if Φ : H → R ∪ {+∞} is an even function, then so is Φ µ . Following [START_REF] Bruck | Asymptotic convergence of nonlinear contraction semigroups in Hilbert spaces[END_REF]Theorem 5] we have that that z(t) converges strongly, which proves our claim.

4.4. Linear monotone operator. In the linear case, we can perform explicit calculations, so as to obtain an accurate view of the asymptotic behavior of the trajectories of (RN). Take H = l 2 (N), and denote by x = (x k ) a generic element of H. Let us give (a k ) a sequence of positive numbers which is bounded from above, i.e., there exists some M > 0 such that for all k ∈ N (56) 0 < a k ≤ M.

Let us define the operator

A : H → H by (57) Ax = (a k x k ).
Clearly, A is a linear continuous monotone operator on H, and hence is a maximal monotone operator. Let us consider the (RN) equation with λ(•) a positive locally absolutely continuous function which is just assumed to be bounded from above, i.e., (58) 0 < λ(t) ≤ Λ for some Λ > 0. Set x(t) = (x k (t)) and x(0) = (x 0k ). For each k ∈ N, we have

(59) (λ(t) + a k ) ẋk (t) + a k x k (t) = 0.
By integration of (59) we obtain (60)

x k (t) = x 0k e -t 0 a k a k +λ(τ ) dτ .
By (58), for each k ∈ N, and all τ ≥ 0 (61)

a k a k + λ(τ ) ≥ a k a k + Λ which implies (62) |x k (t)| ≤ |x 0k |e -t a k a k +Λ .
Since a k > 0, we obtain x k (t) → 0 as t → +∞, which gives the weak convergence x(t) 0. Let us now consider the strong convergence property. We have

(63) x(t) 2 = k |x 0k | 2 e -2 t 0 a k a k +λ(τ ) dτ .
In order to obtain that x(t) → 0, let us apply the Lebesgue dominated convergence theorem: On the one hand, by (61), for each k ∈ N Since k |x 0k | 2 < +∞, by the dominated convergence theorem we obtain that x(t) converges strongly to 0, which is the unique zero of A.

lim t→+∞ t 0 a k a k + λ(τ ) dτ = +∞ 0 a k a k + λ(τ ) dτ = +∞ (64) ≥ +∞ 0 a k a k + Λ dτ = +∞. ( 65

4.5.

A Tikhonov-like result. Let us make the following assumptions on λ(•): i) λ(t) = e -t (1 + (t)).

ii) ˙ (t) ≥ 0.

ii) (t) ↑ 0 as t → +∞. Note that under these assumptions Let us examine the asymptotic behavior of η(t). By (68) we have λ(t)+ λ(t) ≥ 0. By using [START_REF] Attouch | A continuous dynamical Newton-like approach to solving monotone inclusions[END_REF]Lemma 3.5] this implies that the trajectory x(•) is bounded. Set M = sup t x(t) . Since ˙ (t) ≥ 0 and (t) ↑ 0 as t → +∞ Since J A ν(t) is a contraction, by (77) (83) x(t) -J A ν(t) η ≤ η(t) -η which tends to zero. The strong convergence of x(t) is a consequence of the strong convergence of J A ν(t) η, and of the fact that ν(t) tend to infinity (indeed like e t ). This is a consequence of the classical asymptotic properties of the Tikhonov approximation, see for example see [START_REF] Browder | Existence and approximation of solutions of nonlinear variational inequalities[END_REF][START_REF] Cominetti | Strong asymptotic convergence of evolution equations governed by maximal monotone operators with Tikhonov regularization[END_REF][START_REF] Reich | Nonlinear evolution equations and nonlinear ergodic theorems[END_REF].

Note that the strong limit x ∞ of x(t) satisfies:

(84)

x ∞ = proj A -1 0 z 0 + ∞ 0 ˙ (τ )x(τ )dτ .

When = 0 one recovers the classical formula.

Theorem 2 . 4 . [ 6 ,

 246 Theorem 3.7] Suppose that λ(•) is bounded from above on [0, +∞[, and(9) lim inf t→+∞ λ(t)

2. 2 .

 2 The closed-loop regularized Newton dynamic. Given a C 1 function α : ]0, +∞[ → ]0, +∞[, we now consider the closed-loop regularized Newton dynamic[START_REF] Baillon | Une remarque sur le comportement asymptotique des semi-groupes non linéaires[END_REF]

Theorem 2 . 5 .

 25 ([7, Theorem 4.1, Theorem 5.1]) There exists a unique global strong solution (x(•), v(•)) : [0, +∞[→ H × H to (10). Moreover a)

Lemma 3 . 2 .

 32 In a Hilbert space H, let us give a closed convex proper function Φ : H → R + ∪ {+∞}, ∂Φ its subdifferential operator, and for any λ > 0, (∂Φ) λ = ∇Φ λ its Yosida approximation. Let us denote by S(t) and S λ (t) the semigroups generated respectively by ∂Φ and (∂Φ) λ . Then, for any x ∈ domΦ lim λ→0 lim t→+∞ S λ (t)x -S(t)x = 0.

  t) -u(t) = 0.

4. 3 .Proposition 4 . 5 .

 345 Subdifferential of a convex even function. Supppose that A = ∂Φ is the subdifferential of a closed convex even function Φ : H → R ∪ {+∞}. Suppose that λ(•) is constant. Then for any trajectory (x(•), v(•)) of the (RN) dynamic, a) x(t) converges strongly to a zero of A, b) v(t) converges strongly to 0. Proof. Following Lemma 4.1 it suffices to prove that z(t) converges strongly where z(.) : [0, +∞[→ H is a solution of the differential equation (55) ż(t) + µA µ (z(t)) = 0.

  (τ ) dτ ≤ |x 0k | 2 .

  ) + λ(t) = e -t ˙ (t) ≥ 0.As a model example of functionλ(•) verifying i) ii) iii) one can consider (69) λ(t) = e -t (1 -e -2t ) with (t) = -e -2t .Given A a general maximal monotone operator, let us consider a trajectory of the (RNC) dynamic which is associated to A and λ(•) ) ∈ A(x(t)), λ(t) ẋ(t) + v(t) + v(t) = 0, x(0) = x 0 , v(0) = v 0 ∈ A(x 0 ).

  )x(τ )dτ. Since 1 1+ (t) → 1 we obtain (82) lim t→∞ η(t) = η := z 0 + ∞ 0 ˙ (τ )x(τ )dτ.

  Proof. Let Φ : H → R + ∪ {+∞}, and a ∈ domΦ provided by Baillon's counterexample. Thus S(t)a does not converge strongly. Set S(t)a ξ weakly as t → +∞.Let us show the existence of some λ 0 > 0 such that, for any 0 < λ < λ 0 , S λ (t)a does not converge strongly. Let us argue by contradiction. Thus there exists a sequence (λ n ) with λ n → 0 such that S λn (t)a

	converge strongly. Set
	(26)	S λn (t)a → ξ n strongly as t → +∞.
	By the lower semicontinuity property of the norm for the weak topology
		ξ n -ξ ≤ lim t→+∞	S λn (t)a -S(t)a .
	By Lemma 3.2
		lim λ→0	lim t→+∞	S λ (t)a -S(t)a = 0.
	By combining the two last equations we obtain
	(27)		lim
	Using again Lemma 3.2, we deduce that
			lim

n→+∞ ξ n -ξ = 0.

By the triangle inequality

S(t)a -ξ ≤ S(t)a -S λn (t)a + S λn (t)a -ξ n + ξ n -ξ .

Let t → ∞ in the above inequality. By using the strong convergence property

[START_REF] Monteiro | On the complexity of the hybrid proximal extragradient method for the iterates and the ergodic mean[END_REF]

, we obtain

lim sup t→+∞ S(t)a -ξ ≤ lim t→+∞ S(t)a -S λn (t)a + ξ n -ξ .

This being true for any n ∈ N, by letting n → +∞, and by using

[START_REF] Monteiro | Iteration-complexity of a Newton proximal extragradient method for monotone variational inequalities and inclusion problems[END_REF]

lim sup t→+∞ S(t)a -ξ ≤ lim n→+∞ lim t→+∞ S(t)a -S λn (t)a . t→+∞ S(t)a -ξ = 0 a clear contradiction with the weak but not strong asymptotic convergence of S(t)a.

  After multiplication by e t of the differential equation in (70) we obtain(71) λ(t)e t ẋ(t) + e t ( v(t) + v(t)) = 0, )e τ ẋ(τ )dτ + e t v(t) = v 0 . (λ(τ ) + λ(τ ))x(τ )dτ + e t v(t) = v 0 + λ(0)x 0 .Then use the particular form of λ(•) and the corresponding relation (68) to obtain Set z 0 = v 0 + λ(0)x 0 and ν(t) = e t 1+ (t) . After division of (75) by 1 + (t) we obtain

	that is
	(72)		λ(t)e t ẋ(t) +	d dt	(e t v)(t) = 0.
	By integration between 0 and t
			t
	(73) λ(τ Let us integrate by part the integral term in (73) 0
		t
	(74) e τ (75) λ(t)e t x(t) -0 (1 + (t))x(t) -
	(76)	x(t) + ν(t)v(t) =	1 1 + (t)	z 0 +	1 1 + (t)	0	t	˙ (τ )x(τ )dτ,
	i.e.,
	(77)	x(t) = J A ν(t)	1 1 + (t)	z 0 +	1 1 + (t)	0	t	˙ (τ )x(τ )dτ .
	Thus we have
	(78)			x(t) = J A ν(t) η(t)
	with
	(79)	η(t) :=	1 1 + (t)	z 0 +	1 1 + (t)	0	t	˙ (τ )x(τ )dτ.

t 0 ˙ (τ )x(τ )dτ + e t v(t) = v 0 + λ(0)x 0 .


Claude Grasland
email: claude.grasland@parisgeo.cnrs.fr

Robin Lamarche-Perrin
email: robin.lamarche-perrin@mis.mpg.de

Benjamin Loveluck
email: benjamin.loveluck@gis-cist.fr

Hugues

Grasland Claude

Lamarche-Perrin Robin

Loveluck Benjamin

Pecout Hugues
email: hugues.pecout@gis-cist.fr

Keywords: Actualité internationale, agenda médiatique, analyse spatio-temporelle, flux d'information, monde

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L'agenda géomédiatique international : analyse multidimensionnelle des flux d'actualité. Vers une modélisation de l'agenda géomédiatique international : distribution spatiale, temporelle et médiatique des flux d'actualité à travers le monde

Introduction

La construction et surtout l'évolution de l'image du monde que peut se forger un habitant de notre planète dépend dans une large mesure des informations internationales, c'est-à-dire d'un flux de connaissances relatives aux événements récents qui se sont produits en dehors de son propre pays. Chaque jour, un flux important de « nouvelles du monde » traverse donc les frontières, apportant son lot d'actualités positives (exploit sportif, découverte scientifique, etc.) ou, le plus souvent, négatives (catastrophe, guerre, attentat, etc.).

Si l'analyse de ces nouvelles internationales relève classiquement des études de sciences de la communication ou des sciences politiques, elle intéresse également la géographie politique ou économique qui peut voir dans ces flux des marqueurs marqueurs originaux des dynamiques contemporaines de globalisation ou de régionalisation qui recomposent le système-Monde [START_REF] Dollfus | Trois ou quatre choses que la mondialisation dit à la géographie[END_REF]. Cartographier le trajet de ces nouvelles internationales dans le temps, l'espace et les différents médias ouvre des possibilités inédites d'analyse à l'interface entre les sciences sociales et les sciences informatiques. Mais cela suppose de disposer d'un formalisme adéquat.

Après avoir rappelé les apports des travaux existants sur la structuration de l'actualité internationale (1), nous proposons une liste d'hypothèses susceptibles d'être testées sur un corpus de flux RSS internationaux de journaux quotidiens (2). Nous montrons alors comment les différentes formes de modélisation de cette information (3) permettent de révéler des structures à la fois temporelles, médiatiques et géographiques dans la circulation des nouvelles internationales (4).

La structuration de l'actualité internationale

Des hypothèses fondatrices

On s'est depuis longtemps intéressé à la responsabilité de la presse dans la sélection des faits portés à la connaissance du grand public, et qui font des médias les « portiers » (gatekeepers) de l'information [START_REF] White | The 'gate keeper': a case study in the selection of news[END_REF]. Pour Walter [START_REF] Lippmann | Public Opinion[END_REF][START_REF] Lippmann | Public Opinion[END_REF]), les médias sont une « fenêtre sur le monde » et jouent un rôle clé dans la formation de l'opinion à travers ce qu'ils donnent à voir. La question des inégalités de traitement médiatique d'un événement en fonction de sa localisation géographique est également ancienne [START_REF] Schramm | One Day in the World's Press[END_REF]. En particulier, des asymétries Nord/Sud ou centre/périphérie ont été identifiées dans les études sur les médias, qui se traduisent notamment par un faible volume de nouvelles concernant les pays de moindre importance économique et politique, ou par des pics de visibilité ponctuels essentiellement lié à des événements négatifs de type guerres, catastrophes, famines, etc.

Ainsi, selon Einar Östgaard (1965), certains « facteurs » dans le processus de traitement de l'information empêchent la « libre circulation de l'information » (free flow of news), et implicitement un traitement médiatique « égalitaire » des pays du monde. Ces facteurs peuvent être liés aux conditions économiques et politiques de la chaîne de production de l'information : différences dans la collecte des informations « à la source » (manque de moyens, censure ou intimidation des témoins et journalistes, actions de relations publiques, etc.), présence d'intermédiaires entre la source et la publication (notamment le rôle prépondérant joué par les quatre grandes agences de presse occidentales de l'époque AP, UPI, AFP et Reuters), et enfin choix éditoriaux au moment de la publication. D'autres facteurs ont trait à la mise en forme de l'information, notamment afin de la rendre plus attractive pour le lecteur. Au final, le processus de traitement de l'information introduirait une « distorsion » de l'actualité mondiale (donc de l'image du monde ainsi véhiculée), un renforcement du statu quo et un accent trop marqué sur les dimensions conflictuelles.

Dans une logique similaire, l'article influent de Johan Galtung et Mari Holmboe Ruge (1965) publié dans le même numéro de revue proposait d'identifier les critères de « valeur d'actualité » (news values ou newsworthiness), c'est-à-dire les caractéristiques intrinsèques permettant à des faits d'être sélectionnés parmi la « cacophonie » des événements se déroulant à travers le monde, et ainsi d'acquérir le statut d'actualité médiatisée (« how do events become news? », p. 65). Pour J. Galtung et M. H. Ruge, ces caractéristiques incluent par exemple la fréquence, l'intensité, la proximité culturelle, mais aussi la dimension « négative » ou « catastrophique » de l'information ou encore le fait qu'elle affecte des « élites » (des pays riches, ou bien des individus célèbres). Elles ont pour conséquence que l'information internationale est structurée en fonction d'un prisme centrepériphérie, où tout ce qui se passe à la périphérie (dans les pays du Sud) est présenté en fonction de ses conséquences pour le centre (les pays du Nord), plutôt qu'en fonction d'enjeux propres.

Ces analyses doivent évidemment être replacées dans le contexte des années 1960 de la décolonisation, de la guerre froide, ainsi que du mouvement des non-alignés. Celui-ci a donné lieu dans les années 1970 au débat à l'UNESCO sur la nécessité d'établir un « Nouvel ordre mondial de l'information », avec notamment la mise en place d'agences de presse dans les pays du Sud pour contrebalancer la vision ethnocentrée des agences existantes [START_REF] Mattelart | Les enjeux de la circulation internationale de l'information[END_REF]. Ce contexte est important, car l'idée sous-jacente est que la mise en place d'institutions orientées vers une gouvernance mondiale doit s'accompagner d'un espace public réellement représentatif de la « communauté internationale » et que les intérêts de tous les pays doivent être pris en compte à parts égales.

La théorie de l'agenda médiatique et son application aux actualités internationales

Depuis, de nombreux autres travaux sont venus abonder mais aussi nuancer cette approche [START_REF] Harcup | What is news? Galtung and Ruge revisited[END_REF], adoptant souvent une lecture de la couverture de l'actualité internationale en termes d'« impérialisme ». Dans certains cas, des hypothèses très critiques ont également été défendues, par exemple par Noam Chomsky et Edward Herman (2008[START_REF] Chomsky | La Fabrication du consentement. De la propagande médiatique en démocratie , nouvelle édition revue et corrigée[END_REF]), selon qui les médias de masse nord-américains seraient engagés dans une entreprise de propagande idéologique, dans la mesure où l'actualité présentée serait avant tout le reflet des intérêts et de la politique étrangère du gouvernement des États-Unis. D'autres auteurs ont également testé des facteurs tels que la proximité régionale, les échanges commerciaux, les liens établis avec les anciennes puissances coloniales, la proximité linguistique, le degré de liberté de la presse, etc. La plupart de ces travaux, cependant, se sont focalisés sur le traitement de l'actualité internationale au sein d'un pays ou d'une région. Denis [START_REF] Wu | Investigating the determinants of international news flow. A meta-analysis[END_REF][START_REF] Wu | Systemic determinants of international news coverage: a comparison of 38 countries[END_REF] a certes entrepris de dresser un tableau plus général de l'actualité internationale et de ses « déterminants systémiques », à travers des analyses comparatives fondées sur un large échantillon de pays qui sont venues confirmer empiriquement que les médias reflètent l'existence de relations de pouvoir centre-périphérie, mais sans pouvoir véritablement rentrer dans plus de détails.

Ces approches sont venues converger avec des théories développées en parallèle, en particulier l'idée de mise à l'agenda selon laquelle les médias sélectionnent ou mettent en avant les faits qui sont portés à l'attention dans l'espace public [START_REF] Mccombs | The agenda-setting function of mass media[END_REF][START_REF] Mccombs | The evolution of agenda-setting theory: 25 years in the marketplace of ideas[END_REF][START_REF] Mccombs | Setting the Agenda. The Mass Media and Public Opinion[END_REF]. La question de l'agenda médiatique se présente ainsi comme centrale. Elle désigne le résultat des opérations de traitement et de production de l'information, qui permettent à certains événements d'accéder à la visibilité. L'agenda géomédiatique, tel que nous le définissons dans cet article, désigne les pays qui bénéficient (ou non) d'une couverture médiatique. Il s'agit donc d'un proxy très simplifié pour identifier la couverture des événements internationaux, et l'importance différente qui peut leur être accordée. Depuis l'établissement des théories classiques sur les médias évoquées plus haut, deux changements majeurs sont intervenus qui ont considérablement complexifié la lecture de l'agenda médiatique s'agissant de l'actualité internationale. Il s'agit d'une part de la fin de la guerre froide et de l'accélération de la mondialisation, et d'autre part de l'avènement d'internet et de la numérisation croissante de l'information. Ces transformations incitent à tester à nouveau les hypothèses liées aux facteurs d'actualité et à la mise à l'agenda, afin de comprendre comment la représentation médiatique influe sur « l'imaginaire global » [START_REF] Orgad | Media Representation and the Global Imagination[END_REF] voire sur la notion disputée de « sphère publique transnationale » [START_REF] Fraser | Transnationalizing the public sphere. On the legitimacy and efficacy of public opinion in a post-westphalian world[END_REF][START_REF] Nash | Transnationalizing the Public Sphere[END_REF]. De nombreux travaux ont ainsi montré la persistance, à la fois de systèmes médiatiques nationaux qui sur-déterminent la lecture de l'actualité internationale [START_REF] Flew | The ongoing significance of national media systems in the context of media globalization[END_REF], et d'une hiérarchisation centre-périphérie de cette actualité en dépit des nouvelles capacités de circulation de l'information sur internet [START_REF] Himelboim | International network of foreign news coverage: old global hierarchies in a new online world[END_REF]. En particulier, bien qu'ayant mis la publication à la portée de tous, internet n'aurait pas mis fin à une certaine redondance de l'information, due à l'« hégémonie » persistante des grands médias ainsi que des agences de presse qui les alimentent en actualités [START_REF] Rebillard | Du traitement de l'information à son retraitement[END_REF][START_REF] Palmer | L'Information mondialisée[END_REF][START_REF] Paterson | Making Online News. The Ethnography of New Media Production[END_REF].

Mais au-delà de tableaux très généraux, qui confirment en effet des inégalités structurelles dans le traitement de l'actualité internationale, ces transformations nous invitent aussi à rechercher des représentations plus nuancées de l'agenda géomédiatique. Comment un pays est-il traité par différents médias au cours du temps ? Comment un média donné accorde-t-il plus ou moins d'importance à tel ou tel pays ? A quel moment, par exemple au cours d'une année, un pays est-il le plus susceptible d'être couvert médiatiquement ? Cet article se donne ainsi pour objectif de caractériser le plus finement possible les différentes dimensions de l'agenda géomédiatique international, en variant les perspectives pour tenir compte du point de vue adopté.

Hypothèses et corpus

Vers la mise en évidence d'un agenda géomédiatique international

Nous faisons l'hypothèse qu'il est possible de mettre en évidence des propriétés fondamentales de l'agenda international des quotidiens de presse en ne retenant de chaque nouvelle internationale que :

• le média responsable de la publication de la nouvelle ;

• la date de publication de la nouvelle ;

• la liste des pays étrangers présents dans le titre de la nouvelle.

Il s'agit d'une information très simplifiée et appauvrie par rapport à un article de journal (que celuici soit de presse écrite, radio, télévisuelle ou web). Il serait en effet possible de tirer, à partir de l'intégralité de l'article, des informations plus précises, non seulement sur les pays cités, mais également sur les événements relatés, les personnes ou institutions concernées, voire le jugement éventuel porté par le journal sur le pays ou les événements et la possibilité de qualifier les nouvelles de positives, négatives ou neutres afin de vérifier les modalités d'appréciation des pays, indépendamment de leur fréquence de citation. Mais cet appauvrissement présente l'avantage de faciliter le traitement massif d'un très grand nombre d'items issus de plusieurs médias et sur de longues périodes. On espère ainsi gagner en profondeur de champ ce que l'on perd en netteté.

Cette démarche que nous proposons d'appeler « analyse de l'agenda géomédiatique international » ne peut cependant avoir d'intérêt que si certaines conditions sont remplies. La plus importante de ces conditions est l'existence de contraintes imposant aux médias d'effectuer des arbitrages entre différentes nouvelles candidates à la publication. Faute de connaître les raisons qui ont présidé aux choix des rédactions des journaux, on se propose d'interroger rétrospectivement la distribution géographique des articles publiés dans la rubrique internationale de médias comparables pour tenter de répondre par exemple aux trois questions suivantes :

• « Q1 : Quels sont les pays qui ont bénéficié de la plus importante couverture au cours d'une semaine précise ? La réponse varie-t-elle selon les médias ? »

• « Q2 : Quelles sont les semaines où un pays précis a été le plus présent dans l'actualité internationale au cours de l'ensemble d'une année ? La réponse varie-t-elle selon les médias ? »

• « Q3 : Quels sont les couples semaine-pays qui ont bénéficié de la plus forte attention de la part d'un média précis ? » Les deux premières questions s'inscrivent dans une logique de comparaison des agendas géomédiatiques en insistant soit sur sa dimension spatiale (les pays dont un média parle le plus comparativement aux autres), soit sur sa dimension temporelle (les semaines où le média parle le plus d'un pays comparativement aux autres). Elles nécessitent donc un référentiel exogène qui peut être soit un fournisseur global de nouvelles (grandes agences de presse, Google News), soit un ensemble d'autres médias de nature équivalente. La troisième question peut en revanche être traitée pour un média isolé puisqu'elle part d'un référentiel endogène qui est l'ensemble de la production du média considéré sur une période de temps. Elle s'inscrit donc dans une logique de recherche d'événements singuliers qui constituent des anomalies ou des ruptures par rapport au comportement moyen du média. Le corpus final contient 292 767 items qui vérifient la condition symbolique d'avoir franchi une frontière internationale puisqu'ils apportent au lecteur du média d'un pays donné des nouvelles relatives à des faits se passant dans un pays étranger. Celles-ci peuvent être mises en correspondance avec des problématiques propres à la théorie de l'agenda médiatique, détaillées en 1.2, et en particulier avec les trois questions posées en 2.1.

Un corpus adapté

Formalisation du cube géomédiatique

Le , .) = 0,55 % de sa couverture médiatique à Cuba entre avril 2014 et avril 2015 ? Sachant que les autres journaux ont concentré v(. , t , s)/ v(. ,t ,.) = 9,0 % de leur couverture sur Cuba pendant cette semaine ? Etc. Suivant l'information disponible pour examiner la valeur initiale ( v(m ,t , s) = 16,33 UCM), celle-ci ne sera pas interprétée de la même manière. Il apparaît donc essentiel de connaître les distributions marginales ( v (m ,. ,.) , v (. , t , .) , v(. , . , s) , v(m ,t , .) , v(m , . , s) , v(. , t , s) ) pour aborder les différentes questions relatives à l'agenda géomédiatique.

Modèles d'analyse et agenda géomédiatique

Les modèles de données que nous proposons consistent à anticiper la couverture médiatique d'une case du cube à partir des valeurs marginales et de certaines hypothèses d'homogénéité des données au sein du cube. Par exemple, nous pouvons supposer que la distribution spatiale de la couverture médiatique est la même d'un média à l'autre (cf. modèle ASM ci-dessous) : autrement dit, on essaye de définir un « agenda géomédiatique moyen », partagé par tous les médias à un instant donné, et permettant d'identifier leurs spécificités en mesurant les écarts entre le modèle (l'« agenda moyen » des médias du corpus) et les valeurs observées (l'« agenda propre » d'un média donné). Les écarts au modèle ASM indiquent donc qu'un média s'est démarqué de cette « carte moyenne » sur la période considérée en couvrant certains pays plus ou moins que les autres médias (fig. 4). En schématisant, ils montrent comment un « citoyen national » (qui lit tel ou tel média particulier) est exposé à un agenda géomédiatique différent de celui d'un « citoyen du monde » fictif (c'est-à-dire qui lirait une agrégation de médias nationaux).

Formule : v * (m, t , s)= v (. , t , s) v (. , t , .) ×v (m, t , .)

Exemple : v(. , t , s)/ v(. ,t ,.) = 9,0 % de la couverture médiatique de la semaine du 15 décembre a été concentrée sur Cuba (tous médias confondus). Sachant que Le Monde a émis v(m ,t , .) = 276 UCM pendant cette période, on s'attend à ce que v * (m, t , s) = 276 x 9,0 % = 24,9 UCM aient été consacrées à Cuba. Le pays a donc été 1,53 fois moins cité par Le Monde que ce qui était attendu en considérant l'« agenda géomédiatique moyen » sur cette période. Il s'agit donc d'un « non-événement » pour le média (significativité de -0,92) : Le Monde s'est démarqué la semaine du 15 décembre en se concentrant moins sur l'actualité de Cuba que ne l'ont fait les autres médias du corpus (même s'il s'agit toujours d'un événement de forte intensité selon les critères internes du journal, cf. résultat du modèle précédent).

Modèle de l'Agenda Temporel Moyen (ATM)

Le modèle ATM permet de répondre à une dernière question : « Au cours de l'année dernière, concernant l'actualité d'un pays donné, sur quelle période votre journal préféré a-t-il mis l'accent par rapport aux autres journaux ? » Comme avec le modèle ASM, ce modèle permet donc de comparer le point de vue d'un média particulier avec le point de vue général, mais dans une perspective temporelle (« quelles sont les semaines les plus importantes pour le pays considéré ? ») et non plus spatiale (« quels sont les pays importants pendant la semaine considérée ? »). Il montre ainsi, pour un pays donné, les divergences de « calendrier » entre un agenda géomédiatique « national » et un agenda géomédiatique « mondial ».

Applications et perspectives

Les trois modèles que nous avons identifiés permettent d'explorer efficacement un grand nombre de questions, soit de façon conjointe (application des trois modèles à un même objet d'analyse), soit de façon sélective (choix d'un modèle et comparaison d'objets différents). On peut illustrer ces deux options en revenant aux questions posées au début de l'article.

Comparaison des pays et des périodes ayant fait événement dans l'agenda géomédiatique de deux journaux

En supposant que nous cherchions à identifier des couples semaines-pays ayant fait événement dans différents journaux par rapport à leur calendrier propre, il suffit d'appliquer à chacun de ces journaux le modèle ASTI pour amorcer une réflexion sur les événements communs à tous les médias (événements globaux) ou spécifiques à un nombre plus restreint de médias (événements régionaux) voire cantonnés à une minorité (événements locaux).

Perspectives

Malgré leur simplicité apparente, les trois modèles présentés dans cet article ont montré leur fécondité et surtout leur complémentarité pour décrypter les différentes facettes des agendas géomédiatiques internationaux. Ils constituent le point de départ de recherches plus poussées dans au moins trois directions.

1. Prise en compte de l'autocorrélation temporelle : dans la version actuelle du modèle ATM, une semaine est comparée à l'ensemble des autres semaines d'une période de référence fixe.

Il serait certainement plus intéressant d'utiliser des fenêtres de temps mobile, typiquement fondées sur la médiatisation passée, pour construire des modèles prospectifs.

2. Prise en compte de l'autocorrélation spatiale : dans la version actuelle du modèle ASM, on constate de fortes corrélations entre la distribution des résidus et la distance séparant les pays d'origine et de destination d'une nouvelle. Il serait donc intéressant de prendre en compte les effets de proximités historiques, linguistiques ou géographiques dans le cadre de modèles d'interaction non pas de type gravitaire simple comme [START_REF] Wu | Systemic determinants of international news coverage: a comparison of 38 countries[END_REF] mais avec des contraintes de conservation du total des nouvelles émises par les médias ou reçues par les différents pays. Utiliser des contraintes plutôt que des variables de masse (population, PIB, etc.) permet en effet de mieux comprendre les règles d'arbitrages entre deux pays.

3. Ajout d'une dimension thématique permettant de former des hypercubes. Dans un premier temps, nous proposons de nous limiter à des cas simples indiquant juste la présence ou l'absence dans les items d'un thème précis, comme les tremblements de terre. Mais on peut imaginer des analyses plus ambitieuses utilisant par exemple des attributs de type « négatif », « neutre » ou « positif » pour qualifier le contenu des items et vérifier des hypothèses sur les effets d'agenda de second ordre [START_REF] Mccombs | Setting the Agenda. The Mass Media and Public Opinion[END_REF].

Conclusion

Les processus et les facteurs présidant à la sélection des faits par les médias de masse, et en vertu desquels ces faits se voient élevés au rang d'événement, demeurent complexes dans un environnement informationnel qui se caractérise aujourd'hui par la diversité des modes de publication, par la numérisation qui assure une plus grande fluidité de circulation des contenus, et par des interactions accrues entre les pays dans le contexte de la mondialisation. S'agissant de l'actualité internationale, de nombreux travaux ont montré cependant qu'en dépit de cette complexité, une structuration sous-jacente voire un « ordre du monde » pouvait être mis au jour, qui se traduisait par une visibilité différenciée des pays qui le composent : c'est ce que nous avons appelé l'agenda géomédiatique international. À travers ce travail, qui est le fruit d'une collaboration originale entre différentes disciplines -étude des médias, géographie, informatique -nous avons voulu caractériser au plus près cet agenda géomédiatique, en variant les perspectives et en proposant une modélisation de ses différentes dimensions (spatiales, temporelles, médiatiques). Nous nous sommes ensuite appuyés sur le corpus de flux RSS collectés par le projet GEOMEDIA pour tester empiriquement ces modèles, et en proposer différentes interprétations. Ces outils permettent ainsi de sortir d'une vision unifiée de ce que serait « l'actualité internationale », pour prendre en compte les différentes lectures qui peuvent en être faites, selon l'échelle géographique (locale, nationale, internationale) et selon la profondeur temporelle (immédiateté, temps long) adoptées. Il s'agit donc d'instruments décisifs pour une compréhension véritablement circonstanciée des flux médiatiques internationaux.

Figure 1 :

 1 Figure 1 : Répartition géographique et nombre d'items publiés par les 36 flux RSS du corpus

Figure 3 :

 3 Figure 3 : Singularités spatio-temporelles dans l'agenda géomédiatique du flux RSS international du journal Le Monde au cours de la semaine du 15 au 21 décembre 2014 (Modèle ASTI)

Figure 4 :

 4 Figure 4 : Singularités spatiales de l'agenda géomédiatique du flux RSS international du journal Le Monde au cours de la semaine du 15 au 21 décembre 2014 (Modèle ASM)

Figure 5 :

 5 Figure 5 : Singularités temporelles de l'agenda géomédiatique du flux RSS international du journal Le Monde concernant l'Ukraine (Modèle ATM)

4. 1 .

 1 Comparaison de l'agenda géomédiatique des journaux au cours de la semaine du 15 au 21 décembre 2014 Chacun des trois modèles apporte une lecture différente de l'actualité et des pays qui ont été mis à l'honneur par les différents journaux au cours d'une semaine particulière (ici, la semaine du 15 au 21 décembre 2014). Commentaire : Si l'on s'intéresse aux événements nouveaux et inattendus qui ont marqué une semaine particulière, le modèle ASTI est certainement le plus adapté puisqu'il normalise les écarts par rapport à un référentiel propre à chaque journal. L'examen de la liste des pays ayant connu des écarts positifs significatifs pour la totalité des journaux pendant la semaine du 15 décembre 2014 renvoie ici sans surprise à trois ou quatre événements majeurs : le discours conjoint de B. Obama et R. Castro suite à la reprise de relations diplomatiques (USA et Cuba), un attentat terroriste ayant fait 132 morts dont 120 enfants (Pakistan), une prise d'otage terroriste dans une chocolaterie s'achevant par la mort du terroriste et de deux otages (Australie).Commentaire : Si en revanche on s'intéresse aux spécificités géographiques des agendas médiatiques, alors il vaut mieux utiliser le modèle ASM. Il signale assez clairement par exemple que les journaux nord et sud-américains ont proportionnellement plus couvert l'actualité relative à Cuba que les journaux européens ou asiatiques au cours de cette semaine. Le drame survenu au Pakistan a quant à lui obtenu une place comparativement plus importante dans les journaux britanniques, indiens, français et belges.Commentaire : Enfin le modèle ATM permet quant à lui de s'intéresser aux spécificités chronologiques des agendas médiatiques, c'est-à-dire de repérer les médias qui, par rapport à un pays donné, ont particulièrement concentré leurs efforts sur cette semaine précise. On peut ainsi remarquer que les médias situés dans des pays proches du Pakistan (Inde, Singapour, Malaisie) n'ont pas privilégié la semaine du 15 décembre 2014 dans leur « calendrier géomédiatique », car ils publient régulièrement des nouvelles sur ce pays tout au long de l'année.

Commentaire:

  Même si les pays dont chacun des deux journaux parlent le plus ne sont pas les mêmes, on repère de très fortes similarités dans les séquences médiatiques concernant des pays qui demeurent présents dans les nouvelles internationales à l'occasion de crises. Il y a une similarité frappante notamment en ce qui concerne les périodes de focalisation sur Israël et les TerritoiresPalestiniens, l'Ukraine et la Russie, la Syrie, l'Irak et l'Iran. La concordance des agendas médiatiques ne se limite donc pas à des événements dramatiques ponctuels comme l'attentat contre Charlie Hebdo en France ou le tremblement de terre du Népal.

: les flux RSS internationaux de journaux quotidiens L

  'analyse des flux RSS internationaux émis par des journaux quotidiens de différents pays du monde constitue un corpus de données potentiellement intéressant pour étudier les pays et les événements ayant accédé à la visibilité médiatique en tant qu'actualités internationales. Un flux RSS est une collection d'items comportant chacun un titre, un résumé et un lien vers soit un article original du journal, soit une reprise avec ou sans modification de dépêches d'agence de presse. Il délivre ainsi chaque jour à ses lecteurs une sélection d'informations sur ce qui s'est passé d'important dans le monde ou plutôt ce qui a été jugé comme tel par les auteurs de la sélection. Un flux RSS « International » constitue donc, au jour le jour, une réponse à notre question initiale : en dehors de votre pays, où se sont produits des événements importants dans le monde au cours des derniers jours ? Nous avons utilisé dans cet article la base de données développée dans le cadre du projet ANR CORPUS GEOMEDIA (2013-2016, http://geomedia.hypotheses.org). Cette base contient les informations publiées depuis avril 2014 par plus de 250 flux RSS issus de 160 journaux, en provenance de 38 pays et rédigées dans 7 langues différentes, qui ont été collectées en temps réel.

	Pour chaque item du corpus, nous avons enfin identifié à l'aide d'une procédure d'étiquetage
	automatique les pays cités dans son titre, parmi les 197 pays reconnus par l'ONU. Cette procédure
	repose sur un dictionnaire trilingue de 4 013 mots répartis en plusieurs catégories : noms de pays,
	gentilés, capitales, certaines villes et régions importantes, certains chefs d'État et acteurs importants.

Une partie de ces flux sont explicitement catégorisés comme appartenant à la rubrique « International ». Tous les flux RSS ne sont cependant pas également comparables ni adaptés à nos hypothèses. Il a donc fallu utiliser plusieurs critères (cf. annexes en ligne 1 ) pour aboutir à un échantillon suffisamment homogène pour que l'on puisse comparer valablement les choix éditoriaux. Au final, la procédure de sélection nous a amené à retenir 36 flux RSS de la catégorie « International » provenant de journaux situés dans 23 pays différents (fig.

1

). La distribution spatiale de ces 36 flux met en relief la quasi-absence des États africains et d'Asie centrale dans le corpus. Ces absences, qui affectent tout le corpus du projet GEOMEDIA, sont expliquées à la fois par le choix des langues du corpus (français, anglais, espagnol) et par le faible nombre de quotidiens dans ces zones géographiques émettant des flux RSS de débit suffisant pour une analyse quantitative.

Nous avons ensuite choisi une fenêtre temporelle d'un an pour nos expériences, du 28 avril 2014 au 26 avril 2015, répartie en 52 semaines. Bien que les journaux dont sont issus nos flux RSS soient tous des quotidiens, il existe d'importantes variations cycliques dans la production des item RSS au cours de la semaine avec notamment un creux marqué les jours de week-end. La production d'items est en revanche presque toujours très stable d'une semaine à l'autre. Cette procédure relativement simple est néanmoins efficace au vu des marges d'erreurs de plus ou moins 5 % calculées après un étiquetage manuel dans le cadre d'analyses préliminaires réalisées par l'ANR GEOMEDIA.

  Le cube géomédiatique constitue le point de départ de notre analyse. Il apparaît cependant difficile d'interpréter les données brutes sans élément de comparaison : « Est-ce que Cuba a été largement couvert par Le Monde la semaine du 15 décembre ? » Sachant que Le Monde a émis un total de

	m ∈M	∑ t ∈T	∑
	v(m ,t , .) = 276 UCM pendant cette semaine ? Sachant que Le Monde a consacré en moyenne
	v(m , . , s)/v(m , .

cube géomédiatique est une représentation tridimensionnelle des données du corpus servant à modéliser les flux d'information médiatique. Chaque case (m ,t , s) du cube quantifie la couverture médiatique du média m∈M concernant le pays s∈S au cours de la période t ∈T . Cette quantité de couverture médiatique, notée v (m ,t , s)∈ℝ , est une fonction agrégeant les articles du corpus au sein du cube en fonction (1) du flux RSS auquel ils appartiennent, (2) de leur date de publication et (3) du résultat du processus d'étiquetage géographique (fig.

2

). Figure 2 : Les trois dimensions du cube géomédiatique Il existe de nombreuses manières de quantifier la couverture médiatique. Dans cet article, nous supposons que les articles constituent des unités d'information homogènes et additives. Ainsi, chaque article du corpus contribue de manière équivalente à la quantité de couverture médiatique totale, notée v(. , . , .)= ∑ s∈S v(m , t , s) . Par exemple, le corpus qui nous intéresse contient un total de v (. , . , .) = 292 767 Unités de Couverture Médiatique (UCM) (cf. partie 2.3). Plus précisément, lorsqu'un article ne cite qu'un seul pays dans son titre, ce pays reçoit 1 UCM de la part du flux d'information. Lorsqu'un article cite plusieurs pays, nous supposons que la couverture médiatique est uniformément répartie entre les pays. Ainsi, si k pays sont cités, chacun d'eux reçoit 1/k UCM. Le cube géomédiatique est ainsi construit en agrégeant ces quantités pour chaque triplet (m ,t , s)∈M ×T ×S . Par exemple, pendant la semaine du 15 au 21 décembre 2014, le journal Le Monde a publié 30 articles dont le titre faisait référence à Cuba, dont : 3 articles ne mentionnant que Cuba (comptant donc pour 3 UCM), 26 articles mentionnant également les États-Unis (comptant donc pour 13 UCM) et 1 article mentionnant simultanément Cuba, les États-Unis et le Vatican (comptant donc pour 1/3 UCM). Ainsi, pour m = « Le Monde », t = « semaine du 15 décembre » et s = « Cuba », nous avons v (m ,t , s) = 16,33 UCM.

  Formellement, il s'agit de définir à partir des marges du cube une quantité de couverture médiatique v est-à-dire que la distribution spatiale des citations est conservée, même si le média n'a pas publié autant d'articles toutes les semaines. Cette carte peut bien sûr varier d'un média à l'autre (en fonction des spécificités de chacun) et nous verrons avec les deux modèles suivants comment comparer les médias entre eux. Les écarts au modèle ASTI indiquent donc les pays qui ont été, sur une certaine période, plus ou moins couverts que d'habitude par le média (fig.3). Cette approche permet donc d'identifier l'« agenda géomédiatique interne » d'un média et les fluctuations de cet agenda en fonction d'événements exceptionnels de l'actualité.

	Formule : v * (m, t , s)=	v (m , . , s) v (m , . , .)	×v(m , t , .)
	Exemple : v(m , . , s)/v(m , . , .) = 0,55 % de la couverture médiatique du journal Le Monde entre
	avril 2014 et avril 2015 s'est concentrée sur Cuba. Sachant que Le Monde a émis v(m ,t , .) =
	276 UCM la semaine du 15 décembre, on s'attend à observer v
	3.2.1. Modèle de l'Agenda Spatio-Temporel Interne (ASTI)
	Le modèle ASTI permet de répondre à la question suivante : « Parmi les pays dont votre journal
	préféré a parlé au cours de l'année dernière, quels sont ceux dont il a plus parlé que d'habitude, et
	sur quelles périodes ? » Ce modèle permet donc de détecter les irrégularités spatio-temporelles dans
	l'agenda géomédiatique d'un média particulier, et par extension de déceler des événements associés
	aux pays dont il est question.

* (m, t , s) que l'on s'attendrait à observer si l'hypothèse d'homogénéité était respectée, c'est-àdire si tous les médias avaient le même agenda.

Le rapport v(m ,t , s)

/v * (m ,t , s) entre la quantité de couverture observée et la quantité de couverture attendue donne alors l'écart au modèle et permet d'identifier les spécificités de l'agenda du média considéré. Nous pouvons également faire un test de significativité pour évaluer la probabilité d'observer la valeur v(m ,t , s) étant donnée la valeur attendue v * (m, t , s) . On supposera par exemple, en première approximation, que le média peut être modélisé par un processus de comptage suivant une loi de Poisson de moyenne v * (m, t , s) (signifiant notamment que toutes les citations situées au sein d'une même case sont indépendantes les unes des autres). La significativité d'une valeur observée est donnée par la probabilité de la valeur étant donné le modèle, normalisée entre -1 et 1 : la significativité est donc proche de -1 pour une valeur observée anormalement faible par rapport au modèle, proche de 1 pour une valeur anormalement forte, et proche de 0 pour une valeur observée en accord avec le modèle. En pratique, le modèle ASTI suppose que, pour chaque média m∈M , la distribution spatiale de sa couverture médiatique est homogène d'une semaine à l'autre. En d'autres termes, chaque média a une « carte de couverture géomédiatique » qui lui est propre et qui garde la même forme au cours du temps : c'* (m, t , s) = 274 x 0,55 % = 1,51 UCM concernant Cuba. Sachant que l'on observe en pratique v (m ,t , s) = 16,33 UCM, Cuba a donc été 10,8 fois plus cité que ce qui était attendu en considérant l'« agenda géomédiatique interne » du journal. Il s'agit donc d'un événement de très forte intensité (significativité de 1,00) : l'actualité de Cuba la semaine du 15 décembre constitue une rupture significative dans l'agenda du journal Le Monde.

  Ce modèle permet donc de comparer le point de vue d'un média particulier avec le point de vue général agrégé sur une courte période de temps, et par extension d'observer des divergences entre un agenda géomédiatique « national » et un agenda géomédiatique « mondial » à un instant donné. En pratique, le modèle ASM suppose que, pour chaque semaine t ∈T , la distribution spatiale de la couverture médiatique est similaire d'un média à l'autre. En d'autres termes, pendant une semaine donnée, les médias ont tous une « carte de couverture géomédiatique » similaire : c'est-à-dire que leurs citations sont distribuées de manière identique entre les pays, même si les médias n'ont pas tous publié autant d'articles pendant la semaine considérée. Cette « carte moyenne » peut bien sûr varier d'une semaine à l'autre (en fonction des événements qui se sont produits), mais elle est synchronisée entre les médias.

	fortement couverts, mais moins que d'habitude (e.g., Israël, Syrie, Iraq), (3) des pays assez peu
	couverts, mais bien plus que d'habitude (e.g., Guinée, Mozambique, Cameroun) et (4) des pays
	assez peu couverts, comme d'habitude (e.g., Inde, Soudan).
	3.2.2. Modèle de l'Agenda Spatial Moyen (ASM)
	Le modèle ASM permet de répondre à la question suivante : « Parmi les pays dont la presse
	internationale a parlé cette semaine, quels sont ceux dont votre journal préféré a plus parlé que les
	autres ? »

  En pratique, le modèle ATM suppose que, pour chaque pays s∈S , l'évolution de sa couverture médiatique est similaire d'un média à l'autre. En d'autres termes, la « série temporelle » ou le « calendrier » concernant ce pays est similaire d'un média à l'autre : c'est-à-dire que leurs citations concernant le pays ont la même distribution temporelle, même s'ils ne couvrent globalement pas le pays avec la même intensité. Ce « calendrier moyen » peut bien sûr varier d'un pays à l'autre (en fonction des événements qui s'y produisent) et les écarts au modèle indiquent qu'un média s'est démarqué de ce « calendrier moyen » en insistant plus ou moins sur une semaine donnée par rapport aux autres médias (fig.5). Cuba a donc été 1,3 fois plus citée que ce qui était attendu en considérant son « calendrier médiatique moyen ». Il s'agit donc d'un événement de faible intensité pour le journal (significativité de 0,80) : Le Monde s'est démarqué dans son « calendrier propre » concernant Cuba en insistant plus que les autres médias sur cette semaine particulière (même s'il a moins parlé de Cuba que les autres journaux pendant cette semaine, cf. résultats du modèle précédent).

	Formule : v * (m, t , s)=	v(. , t , s) v(. , . , s)	×v (m, . , s)
	Exemple : v(. , t , s)/ v(. ,. , s) = 18,8 % de la couverture médiatique concernant Cuba entre
	avril 2014 et avril 2015 s'est concentrée sur la semaine du 15 décembre (tous médias confondus).
	Sachant que Le Monde a émis v(m , . , s) = 63,7 UCM concernant Cuba entre avril 2014 et
	avril 2015, on s'attend à ce que v	* (m, t , s) = 63,7 x 18,8% = 12,0 UCM aient été émises pendant la
	semaine du 15 décembre.

Cet article comprend plusieurs annexes, notamment relatives aux choix de corpus, qui seront rendues disponibles sur le site de l'Espace Géographique lors de la publication. Certaines annexes sont déjà disponibles sur le site de l'ANR GEOMEDIA, voir par exemple : http://geomedia.hypotheses.org/314.

Remerciements

Ce travail a été partiellement financé par le projet GEOMEDIA du GIS-CIST, soutenu par l'ANR dans le cadre du projet « Corpus, données et outils de la recherche en sciences humaines et sociales » (ANR-12-CORP-0009).


Anson W K Ma

Camilo Cruz
email: camilo.cruz-0@etudiants.ensam.fr

Ana Giner

Malcolm Mackley

Gilles Régnier

Francisco Chinesta
email: francisco.chinesta@paris.ensam.fr

G Regnier

Modeling elastic behaviour in functionalized carbon nanotube suspensions

Keywords: Carbon nanotubes, Brownian dynamics simulation, Viscoelastic behaviour

à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d'enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

INTRODUCTION

This work reports recent experimental findings and rheological modeling on chemically treated singlewalled carbon nanotubes (CNTs) suspended in an epoxy resin. When a CNT suspension is subject to a steady shear flow, it exhibits a shear-thinning characteristic. In terms of viscoelasticity, smallamplitude oscillatory measurements revealed mild elasticity for semi-dilute CNT suspensions. A "quasi-network" model was proposed in order to model the extra contribution of elasticity due to the presence of CNTs. The model postulates that for a treated CNT suspension at rest, there exists an equilibrium orientation distribution of CNTs and given the mutual repulsive force between treated CNTs, an isotropic orientation distribution is expected to be the most energy favorable configuration. It is conjectured that CNTs interact via repulsive force but there is no physical contact between them in a semi-dilute suspension. Smallamplitude oscillations perturb this orientation distribution, with a tendency for the CNTs to return to an isotropic orientation distribution. The network model predicts that both G" and G' increase as a function of frequency. This paper revisits the main orientation mechanisms that allow defining a large variety of mechanical models.

MECHANICAL MODELING

Nanotube kinematics

In what follows the carbon nanotubes are modeled as rigid rods suspended in a Newtonian matrix whose kinematics is assumed undisturbed by the nanotubes presence. A simple rheological flow is supposed taking place. From the dynamical point of view these rods consist of two beads (in which the fluid effects are localized) connected by a rigid rod that only serves to connect both beads.

The fiber center of gravity is assumed translating with the flow. Thus, fixing the origin of the coordinates system on the fiber center of gravity the location of the tube beads is given by:

b L = ± x p ( 1
)
where L is the tube half length and p is an unitary vector aligned with the fiber direction. In what follows we focus our analysis in one of the tube beads. We assume that at the tube scale the gradient of the velocity field remains constant.

ABSTRACT: This work reports recent experimental findings and rheological modeling on chemically treated single-walled carbon nanotubes (CNTs) suspended in an epoxy resin. When a CNT suspension is subject to a steady shear flow, it exhibited a shear-thinning characteristic, which was subsequently modeled by a Fokker-Planck (FP) simple orientation model. In terms of viscoelasticity, small-amplitude oscillatory measurements revealed mild elasticity for semi-dilute CNT suspensions. Some tentative models are proposed in order to model the extra contribution of elasticity due to the presence of CNTs.

Different forces are acting on the tube:

Flow drag. This force is proportional to the difference of velocities existing at each bead between the undisturbed fluid velocity f v and the bead velocity b v , that is:

( ) ( ) drag f b L ζ ζ = - = ∇ ⋅ - F v v v p p (2)
being its associated torque:

2 drag drag L = × T p F (3)
where " × " denotes the vector product and the existence of two beads has been taken into account.

It can be noticed that the net force due to the drag forces is zero, because the forces acting on both beads have the same value but opposite directions.

External torque. Tubes can be subjected to torques generated by external sources or even from the electrostatic interaction with all the surrounding tubes. These torques will be denoted by ext T .

Inertia. The inertia effects associated with the tubes rotation could be retained in the model by considering

inert mL = F p (4)
being m the bead mass. Then the torque writes:

2 inert inert L = × T p F (5)
Brownian effects. The beads are subjected to mechanical interaction with other nanotubes beads as well as to the continuous bombardment coming from the solvent molecules thermally activated. These impacts are usually modeled using random forces acting on the beads. These random effects introduce a characteristic time and then an intrinsic elastic behavior. These effects will be addressed later but ignored by the moment. Now, the equilibrium of torques (neglecting Brownian effects) implies:

drag ext inert + + = T T T 0 (6)
We are only addressing 2D models and two scenarios will be considered: I. Only the drag effect acting on the tubes are retained in the model. In this case ext = T 0 and inert = T 0 , and then Eqs. ( 6) and (3) lead to:

( ) ( ) ( ) : T = ∇ ⋅ - ⋅ ⋅ = ∇ ⋅ - ⊗ p v p p D p p v p D p p p (7)
where D is the strain rate tensor 1 . Eq. ( 7) coincides with the expression obtained by Jeffery in the particular case of fibers with an infinite aspect ratio. Now, assuming a 2D modeling, that allows writing (cos ,sin )

T ϕ ϕ = p
, and assuming the simple shear flow defined by ( )

T ,0 y γ = v , Eq. (7) writes:
( )

( ) sin

ϕ ϕ γ ϕ = -. We can notice that the tubes rotate and tend to align along the flow direction ( )

0 ϕ = .
II. Drag and inertia effects coexist. In this case, with ext = T 0 , Eqs. ( 6), (3) and (5) lead to:

( ) ( ) 2 ( , ) sin m ζ ϕ ϕ ϕ ϕ γ ϕ = - + (8)

Computing stresses

Firstly, we consider the simplest scenario: a CNT dilute suspension with neither external torques nor inertia effects. Because of the dilute scenario, Brownian effects can be in first approximation also neglected. For the sake of simplicity we consider all the models defined in two-dimensions and the undisturbed simple shear flow previously introduced. In this case, the rotation velocity results from Eq. ( 7), leading to the drag force acting on each bead:

( ) ( ) ( ) ( ) cos sin cos sin drag L ϕ ζ γ ϕ ϕ ϕ   =     F (9) or:
( ) ( )

sin cos drag L ζ γ ϕ ϕ = F p (10)
that proves that the applied force is collinear with the tube. The virial stress for a population of N tubes (within an elementary volume) results:

1 2 i N B i i i L = = = - ⊗ ∑ τ F p (11)
where B F is the sum of the forces (except the viscous one) applied on the bead. In any case, as we are considering the force transmitted from the beads connector to each bead, the drag forces are implicitly taken into account. The connector tension can be 1 " ⊗ " denotes the tensor product ( ) ( ) ( ) calculated by enforcing the bead equilibrium 2 . Thus, introducing Eq. (10) into Eq. ( 11) it results:

kl k l ⊗ =
( ) ( ) 2 1 2 cos sin i N i i i i i L ζγ ϕ ϕ = = = ⊗ ∑ τ p p (12)
proving the expected symmetry of the extra-stress tensor due to the presence of the CNTs and also proves that this extra-stress depends on the tubes concentration (number of fibers), tubes shape (length) as well as on their orientations. Tubes aligned in the flow direction or perpendicularly to this direction do not resist the flow leading to a null extra-stress. The maximum extra-stress is obtained when all the tubes align at 4

π with respect to the flow direction. It is easy to prove that in the general case the extra-stress tensor (12) writes:

( )

2 1 2 : i N i i i i i L ζ = = = ⊗ ⊗ ⊗ ∑ τ D p p p p (13)
Obviously this expression is also valid for general flows and not only in the case of the simple shear flow here considered.

The procedure just described can be generalized to address more general situations involving different forces acting on the dumbbells. In what follows we are analyzing the effects of random forces and external torques in the simple shear 2D flow previously introduced:

Introducing Brownian effects. We are analyzing the contribution of these effects on the extra-stress tensor. The first consequence, but not the only one, is that the presence of Brownian effects alters the orientation distribution involved in the expression (13). Moreover, the applied random forces will contribute to the extra-stress tensor. To evaluate this extra-contribution we start recalling that rotational Brownian effects could be interpreted as a kind of rotary diffusion (as it is usually modeled within the kinetic theory framework) producing a random rotation of mean equal to zero and a standard deviation equal to 2 r D t ∆ , that is:

( ) 0, 2 rand r D t ϕ ∆ = ℜ
∆ , which could be associated [START_REF] Grassia | Computer Simulation of Polymer Chain Relaxation via Brownian motion[END_REF] As the connector tension must equilibrate precisely the one coming from the drag, we can use in the virial stress expression directly the drag force with opposite sign.

with the random rotary velocity:

rand rand t ϕ ϕ ∆ = ∆ ;
from which it results:

( ) 0, 2 2 0, r rand r rand D t D t t t ϕ ϕ ℜ ∆   ∆ = = = ℜ   ∆ ∆ ∆   (14)
whose associated torque is:

( )

2 2 0, r rand rand r z D LF t ζ   = × = ℜ   ∆   T p t e ( 15
)
where rand F represents the component of the random force applied on the bead in the angular direction defined by the unit vector ( )

sin ,cos T ϕ ϕ = - t , that is perpendicular to p , r
ζ is a rotational friction coefficient, and z e is the out of plane unit vector: z = × e p t . The component of the Brownian force (applied on the bead) in the rod direction ( p ) affects neither the rotational velocity nor the extra-stress as we will prove later. Thus, for practical applications we could simply write:

2 0, 2 r r rand D L t ζ   = ℜ   ∆   F t (16)
Obviously, using the expression (16) for the force applied on the beads originated by the Brownian effects, and enforcing the equilibrium, we can derive the expression of the rotational velocity that involves the sum of the Jeffery term (7) plus the random contribution (14). Now, the presence of the random forces (16) affects the virial stress expression, whose general form (when only drag and Brownian effects are considered) writes3 [1]:

4 2 2 : p N C d η   = + -     I τ D a a ( 17
)
where η is the fluid viscosity, p N is a coefficient depending on the fiber concentration and the fiber aspect ratio, C is a constant, 2 d = in 2D or 3 d = in 3D, I is the unit matrix and 2 a and 4 a are the second and fourth order orientation tensor: proving the symmetry of the extra-stress tensor.

Taking into account external torques. When an external torque is applied, it can be represented as two forces applied on the dumbbells (having the same intensity and opposite directions). Now, the equilibrium of torques allows computing the tube rotational velocity and the bead equilibrium leads to the connector tension which appears in the stress expression. However, in this case the resulting extrastress tensor becomes non-symmetric, inducing some interpretation difficulties that needs more in deep analyses.

MORE ON THE EXTRA-STRESS TENSOR

The first term of Eq. ( 17) can be easily obtained from Eq. ( 13). Thus, in what follows we focus in the second term, assuming for the sake of simplicity that the suspension involves a single tube initially aligned on the x-axis, i.e.

( )

0 1,0 T = p
, and that the solvent fluid is at rest. The averaged value of the xcomponent of the random forces acting on each bead vanishes. On the contrary, the y-component produces a small rotation θ of the tube. Thus, with θ θ θ

= -⋅ ⊗ + ⊗ =   -ℜ -ℜ + ℜ =   -ℜ ℜ   τ R p p p R p (
0 2 2 0 2 C C C ϕ =     = =     -     τ I (20)
Now, for a population of tubes aligned in a generic direction ϕ the extra-stress tensor is obtained by rotating tensor (20):

cos sin ˆ; sin cos 2 T C ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ   = =   -   τ I S S S (21)
that after some simple manipulations and an averaging in the ϕ coordinate results in Eq. ( 17).

By prescribing the strain ( ) where δ is the phase angle between the applied strain and the stress response.

MORE SOPHISTICATED MODELS

Recently we have proposed some more sophisticated models. One of them lies in incorporating an electrostatic repulsive force between tubes that results in an electrostatic torque that is introduced in the procedure previous described. The other model accounts for the tube bending. This effect was modelled by assuming the tube consisting of a number of segments whose mutual rotation was restricted by incorporating a spring.

CONCLUSIONS

All the models until now considered exhibit elastic effects that vanish as the strain rate increases, because at high shear rates the tubes tend to rotate affinely with the flow (the other effects being negligible with respect the hydrodynamic drag). Thus a modulus ' G decreasing with the frequency is found at high frequencies, in contrast with the experimental measures in which the elastic modulus increases with the strain frequency. Thus, further modelling developments must be needed.

  a b a b , and ":" the tensor product twice contracted, i.e.

This expression will be deduced in section 3.