Frédéric Lantelme
email: frederic.lantelme@upmc.fr

Jiwei Ma

Damien Dambournet

Role of transport in the first atomic layers of the nanoparticles in lithium batteries

A theoretical approach of the insertion/deinsertion of lithium in host materials is proposed to take into account some phenomena not included in classical analyses of lithium battery operation. This is mainly related to the variation of the transport properties in the first atomic layers in the vicinity of the interface which can give rise to rapid storage phenomena. These processes are of great importance in the case of electrodes made of nanoparticles as a result of the considerable development of the interfacial surface. For example, they can be at the origin of the important capacitive behavior of the system. A model based on the numerical integration of transport equations is presented to describe these complex mechanisms. The theoretical analysis is illustrated on the model case of lithium insertion in electrodes made of nanoparticles of anatase and fluorinated anatase.

Introduction

The pressing need for transportable electrical energy sources has given rise to a great deal of work in recent decades. Among these, lithium-based batteries occupy a prominent place due to the electrochemical properties of this element joined to its low density. This sector has benefited from intensive research which has improved performance [START_REF] Yoshio | Lithium batteries[END_REF][START_REF] Van Noorden | [END_REF][3] . A large part of the research was devoted to the development of electrode materials which exhibit a suitable free energy of formation and thus a high open circuit voltage for a high performance battery. In order to improve the battery power, they also should allow a rapid transport of lithium atoms. A device commonly used to fulfill these criteria is based on the lithium insertion in a host material, generally a metal oxide such as V2O5, Nb2O5, LiCoO2, TiO2, etc 4 .

However, a weakness of the system comes from the very slow transport of lithium atoms in the crystal lattice of the host material. An effective way to overcome this difficulty is to reduce the size of host particles which reduces the diffusion length and promotes faster transport 5 . Hence the idea of using particles of reactive material at a nanometric dimension, which considerably increases the contact surface and facilitates the lithium storage; an issue of nanoparticles is accelerated side reactions. The study of these systems has given rise to a large number of research work which focus on the nature of the host material, its preparation and the properties of lithium intercalation. Various systems have been developed which are essentially characterized by the nature of the host material in order to obtain the best lithium intercalation qualities. This work has led to a lot of research to get a more accurate view of the reaction mechanisms. Here is a brief overview of the main work in this area.

The insertion of Li-ions within cathode materials during the discharging of a battery oftentimes brings about one or more structural transformations 6 . A theoretical investigation of the effects of elastic coherency strain on the thermodynamics, kinetics, and morphology of intercalation in single LiFePO4 nanoparticles yields new insights into this important battery material 7 . The kinetics of a two-phase electrochemical reaction in LixFePO4 indicates that the phase transition proceeds with a one-dimensional phase-boundary movement 8 . The core-shell, the compositional striping modulations and the resulting strain gradients point to the need to design cathode materials and electrode architectures to mitigate such pronounced local inhomogeneities in Li-ion intercalation and diffusion 9 .

The different specific constraints of the batteries have given rise to many analytical descriptions of transport phenomena from conventional models. For example, concentration dependent diffusion coefficients are found to be necessary to match experimental results 10 . On the other hand, in a finer way, it was suggested to represent the phase transitions as moving boundary points where jump discontinuities in concentration occur; the question of when it is necessary to include these effects in a transport model is difficult to resolve, because the measured values of the open-circuit voltage for real materials are never completely flat and always exhibit a small dependence on state of charge; it was shown that the jump discontinuities arise as a singular limit of a nonlinear diffusion equation when chemical potentials are used as the driving force for transport 11 . It was also pointed out that variations in the chemical diffusivities over a significant range of lithiation are shown to be explained by the inclusion of both the thermodynamic factor and the flux of lithium due to bulk motion of material 12,13 .

In addition to the influence of the thermodynamic properties and of the structural changes of the materials described above, it is important to pay our attention to an essential characteristic of the batteries, namely the nanometric dimension of the active particles. As already pointed out, the use of nanoparticles has the advantage of significantly increasing the electroactive surface. The increase in surface area is generally taken into account by the introduction of a roughness factor in the calculation elements 14,15 . But this correction does not take into account the specific nature of the transport in the very first atomic layers of the surface thus introduced. Indeed, another consequence of the use of nanoparticles is to considerably shorten the path of lithium transport, which is now reduced to distances of the order of atomic dimensions.

Attention should be drawn to the fact that much of the transport is no longer carried out in the compact layers but remains confined to the first atomic layers of the substrate. In the superficial region the transport properties are greatly affected by the loosening of the surface structure of the material. This phenomenon is generally negligible for large conventional systems but becomes predominant when transport does not exceed a few atomic layers.

The purpose of this paper is to analyze and highlight the important role of transport phenomena in the surface layers of the substrate material: given the nanometric nature of the particles, the influence of transport kinetics in these few superficial atomic layers becomes significant. To tackle in a more structural way the origin of these phenomena it seems interesting to take inspiration from already developed models dealing with the analysis of the transport kinetics in the first atomic layers of the host material 16 .

After a brief description of the materials and of the experimental setup, we will describe the elementary principles involved in the reaction mechanisms. Particular emphasis will be placed on deviations from ideality, on the variation of transport properties in the surface layers, and on the formation of storage layers at the interface; then, to interpret the modifications thus introduced we will briefly recall the principle of the integration of basic equations by the finite difference method [START_REF] Lantelme | Computer Simulation of Electrochemical Processes[END_REF][START_REF] Britz | Digital Simulation in Electrochemistry[END_REF] . Finally, the investigations will be illustrated on the model case of lithium insertion in anatase or fluorinated anatase crystallites.

Experimental

Synthesis. The experimental study examined nanoparticles of anatase and fluorinated anatase; in fact, the action of a fluorinated agent improves the storage properties of the battery. The materials were synthesized using the sol-gel chemistry without and with a fluorinating agent, as described in a previous report [START_REF] Li | [END_REF] . The degree of fluorination may vary depending on the procedure employed; we used a compound with 22 % cationic vacancies, corresponding to Ti0.780.22O1.12F0.40(OH)0.48, where  represents a cationic vacancy.. For more details concerning this formulation see ref. (19).

Electrochemistry. Electrochemical measurements were carried out with three-electrode Swagelok-type cells. The working electrode was prepared with 80 wt.% active materials, 10 wt.% Super P and 10 wt.% polyvinylidene difluoride (PVDF), and lithium metal was used as counter and reference electrodes. 1M LiPF6 in ethylene carbonate (EC) and dimethyl carbonate (DMC) (1:1, v/v) was used as the electrolyte. The electrode is made of a thin layer of a mixture of anatase (2.5 mg/cm 2 ) and carbon (0.32 mg/cm 2 ) nanocrystals with PVDF (0.32 mg/cm 2 ). The theoretical capacity of the material is 3.02 C/cm 2 . Cyclic voltammetry was performed at different scan rates within a potential range of 1.0-3.0 V vs Li + /Li. Galvanostatic intermittent titrations were carried out after one galvanostatic discharge/charge cycle, a constant-current discharge pulse of 84 µA cm -2 was applied for 20 minutes, followed by a relaxation duration of

Results and discussion

Transport equations. A specific advantage of electrochemical techniques is to provide an easy measurement of the reaction flux, J, at the electrode surface and of the concentration, c, of the active species during the electrochemical process. The flux at the electrode surface is given by the current density, i

𝐽°= - 𝑖 𝑛𝐹 (1)
For an ideal and reversible reaction, Ox + ne -→ Red (such as, Li + + e -→ Li), the concentration, c, of the Red species is deduced from the electrode potential from the Nernst law, the concentration of Ox species is assumed to be constant,

𝑐 = exp ( 𝑛𝐹 𝑅𝑇 (𝐸°-𝐸)) (2)
where, E 0 = RT/nF × ln c 0 ; E is the electrode potential vs the pure Red species, c 0 is the concentration of pure Red.

However, most systems exhibit large deviations from ideality; the Nernst equation gives access to the activity, a, of the electroactive species which is linked to the concentration by a factor f called the activity coefficient f:

𝑎 = 𝑓𝑐 = exp ( 𝑛𝐹 𝑅𝑇 (𝐸°-𝐸)) (3)
The activity coefficient demarcates the equilibrium (thermodynamic) response under concentrated conditions. The intercalation electrodes represent very high concentrations (of the order of 50 M) that the activity coefficient becomes a strong function of concentration. Various theoretically consistent treatments were used to recover activity coefficient from the open circuit potential (OCP) curves 20 . Here we refer to a previous work dealing with the system Li-V2O5 which exhibits various phase transformations 21 . It was shown 22 that the large changes in the activity factor vs the concentration were correctly described by the series:

ln𝑓 = ∑ 0.5(ln𝑓 𝑗 -ln𝑓 𝑗-1 )erfc{𝜓 𝑗 (𝑐 -𝑐 𝑇𝑗 )} 𝑛 𝑗=1 (4)
lnfj is the activity factor corresponding to the plateaus of the potential curves; since the reference is the pure compound, lnf0 = 0; the complementary error function, erfc, was used to describe the change from one factor to the next, cTj is the concentration at the inflexion points of the potential curve. ψi is the steepness of the change of the activity factor around the concentration cTj. The various parameters lnfi and ψi were adjusted to obtain a suitable representation of the OCP curves. The driving force for diffusion is the gradient of the chemical potential μ = μ° + RT ln fc; the flux, J, of the electroactive species inside the electrode matrix writes:

𝐽 = -𝐷 ̃(1 + 𝑐 𝜕 ln 𝑓 𝜕𝑐 ) 𝜕𝑐 𝜕𝑥 (5)
where 𝐷 ̃ is the component diffusion of the active species, it is related to the chemical diffusion coefficient, D, by the equation 23,24 𝐷 = 𝐷 ̃(1

+ 𝜕 ln 𝑓 𝜕 ln 𝑐 ) (6)
As pointed out by Levi et al. 25 this expression may be modified according to the thermodynamic model; to examine the influence of the gradient of the activity coefficient a damping factor, φ, is introduced in the calculation

𝐷 = 𝐷 ̃(1 + 𝜑 𝜕 ln 𝑓 𝜕 ln 𝑐 ) (7)
The term Γ is called enhancement factor

𝛤 = 1 + 𝜑 𝜕 ln 𝑓 𝜕 ln 𝑐 (8)
In a non-stationary state the concentration changes obey the mass balance equation

∂𝑐 ∂𝑡 = -∇𝐽 = 𝜕 𝜕𝑥 (𝐷 𝜕𝑐 𝜕𝑥 ) (9)
The integration of transport equations has been solved for different boundary conditions corresponding to galvanostatic or potentiostatic regimes. For a constant value of D algebraic equations are available in literature to interpret the results obtained from transient electrochemical techniques 26 .

However, in nanoparticles the transport occurs over a few atomic layers and the specificity of the motion in this region must be taken into account. Indeed, in the interfacial domain, the looseness of the crystal lattice enlarges the mass transport facilities. In other words it is possible to consider that over these short distances interfacial energy affects the dynamic response. Thus, as a first approximation, it can be considered that the intercalation of ions in the very first atomic layers is extremely rapid and corresponds to an accumulation process occurring instantaneously over a distance δ. This analysis is in good agreement with the concept of relevant surface activity thickness (RSAT) introduced by Verbrugge and Tobias 27 to calculate by electrochemical techniques the surface activity of metallic alloys.

From a dynamic point of view, this approach amounts to considering that, in this film of thickness δ, the coefficient of diffusion D has an infinite value. Of course, within the material, the diffusion coefficient has a constant finite value which is usually the only one taken into consideration; indeed, generally the diffusion phenomena last long enough and affect the deep mass of the material; the amount of material involved in the surface film becomes negligible.

To refine our model it was considered that in the few atomic layers in the vicinity of the storage layer, of thickness δ, the diffusion coefficient evolves to reach the classical value of the coefficient in the mass of the material. Here, as in our previous articles 16,28 , it was assumed that D obeys the equation

D = D * exp(δ'/x) ( 10
)
where D * is the bulk diffusion coefficient and δ' is a characteristic distance called relevant rapid diffusion thickness (RRDT). A diagram is proposed to illustrate the evolution of transport in the surface layers (Fig. 1).

The current density is linked to the flux at the electrode surface J o (Eq. 1). Now, the accumulation process at the interface has to be taken into account

J o = 𝛿 𝜕𝑐 0 𝜕𝑡 -𝐷 ( 𝜕𝑐 𝜕𝑥 ) 𝑥=𝛿 (11
c(Δx,t) is the concentration at the time t at the distance Δx from the electrode surface. D obeys Eq. 10. Concentrations as a function of time and concentration profiles in the bulk of the substrate were calculated from the diffusion equation (Eq. 14). In finite difference scheme the continuous functions are finitized with centered finite scheme for space derivative:

𝜕𝑐 𝜕𝑥 = 𝑐(𝑥+∆𝑥,𝑡)-𝑐(𝑥-∆𝑥,𝑡) 2∆𝑥 ( 16
)
𝜕 2 𝑐 𝜕𝑥 2 = 𝑐(𝑥+∆𝑥,𝑡)-2𝑐(𝑥,𝑡)+𝑐(𝑥-∆𝑥,𝑡) (∆𝑥) 2 (17)
It must be pointed out that the stability conditions of the finite difference calculation require that the space interval Δx be greater than the diffusion path during the time step: Δx > √2𝐷 Δ𝑡; but, on the other hand, to correctly integrate the evolution of the diffusion coefficient (Eq. 10), it is necessary that the space interval, Δx, be less than the length RRDT, δ'>Δx . For large time intervals, such as in voltammetry at low sweep rate, these conditions may be difficult to meet.

More details concerning the calculation procedure can be found in previous papers [START_REF] Lantelme | Computer Simulation of Electrochemical Processes[END_REF]21 .

Application to lithium insertion in anatase nanocrystals

Electrode structure -Anatase TiO2 has been extensively studied over the past decade due to its application as electrode material for Li batteries 29,30 . In a simplifying assumption and in agreement with the known structure of the nanoparticles, the electrode material will be considered as a collection of nano-platelets of parallelepiped shape 31 (Fig. 2) in contact with the electrolyte and with the carbon powder which provides the electric contact. For an electrode containing m gram of active compounds per unit surface the number of particles is

np = m/(ρ×a×a×b) ( 18
)
where ρ is the specific mass of the compound. It is assumed that the lithium diffusion occurs only in one direction perpendicular to the surface a×a. 31 . The real active surface for the electrochemical reaction is

Sp = np× a×a (19)
The electrochemical reaction occurring in the battery is described by the reaction

TiO2 + yLi + + ye -↔ LiyTiO2 ( 20
)
where y is the lithium intercalation ratio. Upon lithiation to Li0.5TiO2, anatase is observed to undergo a tetragonal to orthorhombic phase transition 32 . The thermodynamically stable ordered phase at y = 0.5 can accommodate excess Li in vacant sites up to y = 0.6 33 ; in agreement with the model developed above, it was shown that the diffusion in this phase is strictly one dimensional 31 . In order to improve the storage capacity of the electrode, fluorinated anatase crystals were also investigated. The samples used in the present description correspond to the fluorinated anatase, Ti0.780.22O1.12F0.40(OH)0.48, as described in previous papers [START_REF] Li | [END_REF]34 .

An estimate of the particle sizes is deduced from microscopic investigation showing that the anatase grains have a dimension of the order of ten nanometers [START_REF] Li | [END_REF]35 . In our study, as a first approximation, they will be assimilated to parallelepipeds according to the representation of Fig. 2, with, for dimension: a = 3 nm and b = 12 nm.

According to the synthesis of the electrodes, the cathodic layer has a thickness of 10 µm. In this layer the weight of anatase or fluorinated anatase unit is 2.5 mg/cm 2 ; the number of particles, np, and their active electrochemical area, Sp, deduced from Eqs 18, 19 are reported in Table 1.

Electrochemical analysis -The electrode potential, E (vs pure lithium metal), corresponding to the electrochemical reaction (Eq. 20) is given by the Nernst's equation

𝐸 = 𝐸°- 𝑅𝑇 𝐹 ln𝑓 𝐿𝑖 𝑐 𝐿𝑖 (21)
with

𝐸°= 𝑅𝑇 𝐹 ln𝑐 𝐿𝑖 𝑜 ( 22
)
𝑐 𝐿𝑖 𝑜 is the concentration of pure lithium metal. The index y (Eq. 20) and cLi are linked through the equation

cLi = y/𝑉 𝐿𝑖 𝑦 𝑇𝑖𝑂 2 (23)
𝑉 𝐿𝑖 𝑦 𝑇𝑖𝑂 2 is the molar volume of the compound

𝑉 𝐿𝑖 𝑦 𝑇𝑖𝑂 2 = 𝑉 𝑇𝑖𝑂 2 + y𝑉 ̅ Li ( 24
)
𝑉 ̅ Li is the partial molar volume of lithium. The above relation assumes that 𝑉 ̅ Li remains constant in the concentration range studied; however, the imprecision eventually introduced is very small; indeed, as indicated above, 𝑉 ̅ Li is much smaller than the molar volume of lithium (𝑉 ̅ Li ≈ 0.1 VLi). As a result, the variations in volume of the substrate during the insertion of lithium are always small.

The value of the activity coefficient, fLi, is deduced from the Eq. 4; the parameters, fj and ψj, the index j varying from 1 to 4, are adjusted in order to obtain a good fit between the calculated curve and experimental OCP curve (Fig. 3). The goodness-of fit values of the parameters involved in the calculation are shown in Table 2.

Analysis by cyclic voltammetry, pseudo-capacitive contribution -

The cyclic voltammograms on anatase, or fluorinated anatase Ti0.780.22O1.12F0.4OH0.45 particles are reported in Figs 45.

To analyze the voltammograms it was assumed that the electrochemical response depends of two components 36 : the faradaic current, iF, coming from the lithium insertion process and from the charge-transfer process with surface atoms (pseudo-capacity), and the non-faradaic current, iC, arising from double layer capacitance, which corresponds, in our field of study, to a very small current 37 ; it can be neglected 36 . In the literature it is generally accepted that the faradaic contribution is the sum of two terms 36,38 :

iF = k1 ν ½ + k2 ν ( 25
)
where ν is the scan rate; k1 and k2 are two constants, the first term arises from the diffusion controlled insertion, and the second one from the pseudo-capacitive effect.

It is now proposed to interpret the cyclic voltammetry response in a more precise way by taking into account the characteristic features of atomic-scale transport.

Surface transport and capacitive effect -The pseudo-capacitive behavior arises from the transport properties in the first atomic layers and from the fast storage of the active material at the surface of nanoparticles. These effects come from the properties of the interface at atomic scale which result in a variation of the diffusion velocity (Eq. 10) and in the existence of an instantaneously charged layer of thickness δ (RSAT).

The finite differences technique is used to calculate the current response during a cyclic potential scan rate corresponding to lithium insertion (Figs 45). The morphological change of the crystal lattice due to the lithium insertion induces a change of the thicknesses δ and δ'. It is assumed that these values reach a maximum for c= cp; for anatase: cp = 15.9×10 -3 mol/cm 3 , for fluorinated anatase: cp = 12.3×10 -3 mol/cm 3 . The corresponding intercalation ratios (Eq. 20)

are respectively: y =0.34 and y = 0.26. To make it easier to implement the calculation, it was assumed that δ and δ' obey the equations

𝛿 = 𝛿 𝑚𝑎𝑥 exp - (𝑐-𝑐 𝑝 ) 2 3𝑐 𝑝 2 (26)
and δ' = 0.25*δ (

The two above empirical relations, and the values of D* and δmax are adjusted in order to obtain the best fit with the experimental curves (Table 3). It should be noted that the δmax values are of the same order of magnitude as those obtained during the electrochemical preparation of metal alloys 28,39 (a few nanometers).

The storage process can be interpreted in terms of pseudo capacitance, C. The charge density q, stored in the RSAT layer is q= F δ Sp c(0) (28) c(0) is the concentration at the electrode surface at a potential, E. The value of the capacitance, C, is deduced from the classical formula, C = dq/dE. The charge increment, dq, induced by a potential increment, dE, can be deduced from concentration change, dc(0), calculated from the Nernst equation (Eq. 3); then

C = dq/dE =Fδ Sp dc(0)/dE (29)
In Table 3 are reported the maximum values Cmax of the capacitance, which occurs when δ = δmax, so, according to Eq. 26, when c= cp.. The values of the so-called capacitance may seem to be enormous. However, they are in good agreement with the experimental observations. For example, in the fluorinated anatase at a scan rate of 10 mV/s, almost all the current has a capacitive origin (Fig. 6); thus, to obtain a current density, ic, of the order of 10 mA/cm 2 with a scan rate, ν, of 10 mV/s, a capacitive constant, C, of the order of one Farad is required (reminder of the formula: ic = C × ν).

Due to the large increase in the electroactive surface it has sometimes been suggested that the double-layer capacity could account for the large values obtained. This suggestion is hardly conceivable: for usual solvents, the order of magnitude of the double-layer capacity [START_REF] Srinivasan | Fuel cells. From Fundamental to Applications[END_REF] is at most around 18 μF/cm 2 , which corresponds, even for an area of around 550 cm 2 , to a capacity of 10 mF, a value much lower than those obtained experimentally (Table 3). For that matter, a large part of this paper has been written in an attempt to analyze this phenomenon. The importance of the so-called capacitive response is also underlined by the work of Wang et al. 36 which show that, even at low scan rates (0.5 mV/s), the capacitive response is not negligible.

This model also makes it possible to link the variations of the so-called capacity to the size of the particles. Indeed, the capacitive effect depends directly on the contact surface, Sp, which is inversely proportional to the particle size as can be deduced from Eqs 18, 19. This suggests that the capacitive effect will also be inversely proportional to the particle size. This dependence is well observed experimentally 36 . At lower sweep rates the influence of the capacitive current decreases, concentration profiles indicate a deeper penetration of lithium atoms into the bulk of the electro material, the electrochemical response is getting closer to the classical laws of diffusion.

Diffusion and thermodynamics -In order to obtain a more accurate determination of the diffusion into the bulk of anatase particles dependence a galvanostatic intermittent titration technique is used. The procedure consists of a series of current pulses, each followed by a relaxation time, in which no current passes through the cell. The digital simulation technique is used to calculate the electrode response from the model presented above. As deduced from the cyclic voltammetry investigations the surface storage capacity is taken into account and the bulk diffusion coefficient is adjusted to obtain the best fit with the experimental results. As shown in Fig. 7, the fitted curves correctly represent the experimental curves. The values of the diffusion coefficients are shown in Fig. 8.

It should be noted that wide fluctuations in the diffusion coefficient are obtained as a function of the degree of lithium insertion. These variations reflect the change in structure of the anatase crystals; they can result in a change in the thermodynamic properties of the system that is reflected in the evolution of the enhancement factor (Eq. 7). The curves of Fig. 8 show that there is some correlation between the evolution of this factor and that of diffusion coefficients.

This approach makes it possible to envisage a reasoned study linking the structural, thermodynamic and kinetic properties of the system. The anatase OCP curve (Fig. 3) exhibits two potential plateaus at E1 = 1.808 V, and E2 = 1.605 V, which correspond respectively to the compounds TiO2Liy, with y1 = 0.302 and y2 = 0.635. The Gibbs energies of lithium insertion in the compounds are ΔG1 = -52.7 kJ and ΔG2 = -98.4 kJ. The formation of these compounds leads to a large departure from ideality during the insertion of lithium. This results in significant variations in the activity coefficient, f, which according to Eq. 5, influences the diffusional behavior of lithium.

Conclusion

The analysis of lithium insertion, in a host material made of nanoparticles shows that special attention needs to be given to the study of transport phenomena in the first atomic layers of the interface. In this region the looseness of the crystal lattice enlarges the mass transport facilities.

It results in additional effects not included in the classical analyses. To describe the system behavior it is required to introduce the characteristics of surface transport in the diffusion equation which can be solved by numerical calculation. This model takes into account the actual contact surface and includes the concept of storage layer correlated with the increase of the diffusion coefficient in the vicinity of the interface. In addition, the variations of transport kinetics are related to the thermodynamic properties of the medium.

This work highlights the primary and complex role of atomic-scale transport phenomena in the surface layers of electrode materials. The analysis thus developed can be a useful tool for directing research towards structure with rapid charge kinetics and thus increase the available power. This is how the idea of fluorination of anatase came about: this treatment improves diffusivity, surface storage and pseudo-capacitance (Table 3). In addition, the study focuses directly on the capacitive properties of the electrode; it can thus be useful for the research, development and processing of materials for super-capacitors

The significant effect of transport in the first atomic layers of the substrate is highlighted. To facilitate the implementation of the model, simplifying assumptions were arbitrarily introduced: shape of particles, variation of the thickness of the storage layers (Eqs 26, 27); in addition, the finite difference treatment could be refined. Nevertheless, this study can be adapted and may provide a useful basis for more accurate analysis of the electrochemistry of nanoparticle systems. In the present work we have endeavored to develop a method of analysis of these mechanisms. The theoretical procedure is illustrated on the model case of lithium insertion in anatase nanoparticles studied by cyclic voltammetry or by galvanostatic titration; in particular, it accounts for the high values of the observed capacitive effects. Moreover, it can be easily extended to the analysis of charge-discharge processes under various experimental conditions.

D

  ) c0 is the concentration in the surface layer of thickness δ. The introduction of metal ions in the matrix of the crystal creates a volume change of the electrode deduced from the partial molar volume of the electroactive component 𝑉 ̅ 𝑀 . It results that during the electrolysis the interface moves with a velocity v v = J 𝑉 ̅ 𝑀(12) The quantity 𝑉 ̅ 𝑀 takes account of the constraints introduced by the insertion of the active element M into the substrate. In general 𝑉 ̅ 𝑀 is clearly lower than the molar volume VM; under the action of strong stresses, 𝑉 ̅ 𝑀 can even become negative.The displacement of the interface is introduced in the diffusion equation which becomes depends on the distance, x, (Eq. 10) and, according to Eq. 9, the concentration change obeys the equation contrast with the classical treatment, it is no more possible to integrate the complete diffusion equation into an algebraic form. It is proposed to solve the problem by numerical integration of the diffusion equation according to a procedure already developed to study the electrowinning of refractory metals28 . The technique requires an analytical representation of the thermodynamic and kinetic properties of the system.Integration of the diffusion equations.The digital simulation technique used to calculate the transient curve consists in solving the partial differential equation by numerical calculation[START_REF] Lantelme | Computer Simulation of Electrochemical Processes[END_REF] .A numerical model is set up within a digital computer and the model is allowed to evolve by a set of algebraic laws deriving from equations defining the mass transport. The space (x coordinate) is divided in small intervals, Δx, and the time into small time steps, Δt. The concentration of the electroactive reagent at the electrode surface, at the time t, is given by the Nernst equation, and the current density is related to the concentration gradient at the electrode surface 𝐽 𝑜 = 𝛿 𝑐(0,𝑡)-𝑐(0,𝑡-∆𝑡)

FiguresFigure 1 .

 1 Figures

Figure 2 .

 2 Figure 2. Platelet-like nano-particle 31 , simplified form used for the calculation.

Figure 3 .

 3 Figure 3. Open circuit potential curve, anatase and fluorinated anatase (yLi + ) is the intercalation ratio).

Figure 4 .

 4 Figure 4. Experimental (continuous line) and fitted (dashed line) cyclic voltammograms of lithium insertion/deinsertion in anatase and fluorinated anatase; electrode surface: 0.78 cm 2 . Sweep rates: (a) ν=10 mV s -1 , (b) ν= 5 mV s -1 , (c) ν=2 mV s -1 .

Figure 5 .

 5 Figure 5. Experimental (continuous line, after 2 cycles activation) and fitted (dashed line) cyclic voltammograms of lithium insertion/deinsertion in fluorinated anatase; electrode surface: 0.78 cm 2 ; scan rate: ν= 0.05 mV s -1 .

Figure 6 .

 6 Figure 6. Cyclic voltammograms of lithium insertion/deinsertion in anatase and fluorinatedanatase; electrode surface: 0.78 cm 2 ; shaded region, capacitive current determined from the procedure using Eq. 25 at ν=10 mV s -1 .

Figure 7 .

 7 Figure 7. Galvanostatic intermittent titration. (a) Experimental and (b) fitted curves in anatase and fluorinated anatase; current density: 84 µA cm -2 , duration of the galvanostatic charge: 1200 s, relaxation time: 20 h (yLi + is the intercalation ratio).

Figure 8 .

 8 Figure 8. Diffusion coefficient deduced from the different sequence of the galvanostatic intermittent titration curves. Calculated enhancement factors (Eq. 8, with φ = 0.26). (a): TiO2; (b): Ti0.78□0.22O1.12F0.40(OH)0.48.

Table Content Table 1 .

 Content1 Characteristic quantities of the system.

	Dimension of	For 1 cm 2 (electrode surface)
	nano-particles
	a (nm) b (nm)	np, number of	Sp, electrochemical
			nano-particles	interface, (cm 2 )
	3.0	12	6.18×10 15	556

Table 2 .

 2 Values of the parameters used to describe the evolution of the activity coefficient (Eq. 4). F--TiO2 represents Ti0.780.22O1.12F0.40(OH)0.48.Logarithms of the activity coefficients, ln fj.Steepness factors to describe the changes of the activity coefficient, Ψj (cm 3 mol -1 )

		ln f1	ln f2	ln f3	ln f4
	TiO2	-41	-57	-63	-138
	F-TiO2	-40	-58	-63	-172
	Concentrations at the transition points, cTj (mol cm -3 )
		cT1	cT2	cT3		cT4
	TiO2	0.057	0.035	0.025	0.0004
	F-TiO2	0.057	0.033	0.019	0.0002
		Ψ1	Ψ2	Ψ3	Ψ4
	TiO2	83	195	333	338
	F-TiO2	91	143	257	273

Table 3 .

 3 Values of the diffusion coefficient at the interface, D* (Eq. 10). Maximum value of the storage thickness, δmax (Eq. 26), and pseudo-capacitance associated to that thickness (Eq. 29).

		D* (10 -17 cm 2 s -1 )	δmax, ( nm)	Cmax (mF cm -2 )
	TiO2	1.3	2.0	283
	F-TiO2	4.0	4.7	978

Acknowledgement

The research leading to these results has received funding from the French National Research Agency under Idex@Sorbonne University for the Future Investments program (No. ANR-11-IDEX-0004-02) and the Nature Science Foundation of China (No. 21805209).


Francesco Fanelli
email: fanelli@math.univ-lyon1.fr

Eduard Feireisl
email: feireisl@math.cas.cz

Some remarks on steady solutions to the Euler system in R d

Keywords: 2010 Mathematics Subject Classification: 35Q31 (primary), 76B03, 76N10, 35F60 (secondary) Euler system, non-homogeneous fluid, steady solution, far field conditions

We show that the Euler system of gas dynamics in R d , d = 2, 3, with positive far field density and arbitrary far field entropy, admits infinitely many steady solutions with compactly supported velocity. The same proof yields a similar result for the incompressible Euler system with variable density. In particular, these are examples of global in time smooth (non-trivial) solutions for the corresponding time-dependent systems.

Introduction

In the recent work [START_REF] Gavrilov | A steady Euler flow with compact support[END_REF], Gavrilov showed that there exists a compactly supported non-trivial velocity field U ∈ C ∞ c (R 3 ; R 3 ) solving the steady incompressible Euler equations

(1)

U • ∇ x U + ∇ x P = 0 div x U = 0 .
A different proof of this fact, based on the Grad-Shafranov ansatz from plasma physics, was given by Constantin, La and Vicol [START_REF] Constantin | Remarks on a paper by Gavrilov: Grad-Shafranov equations, steady solutions of the three dimensional incompressible Euler equations with compactly supported velocities, and applications[END_REF]. In addition, the solution enjoys a remarkable orthogonality relation:

(2) U • ∇ x P = 0.

The result of Gravilov may seem surprising at the first glance as the Euler system (1), due to non-locality (by Biot-Savart law), is not expected to admit compactly supported velocity field, even when its vorticity is compactly supported. On the contrary, this property is known in the two-dimensional case, where a typical example is the Rankine vortex (see Section 2.2 of [START_REF] Majda | Vorticity and incompressible flow[END_REF]):

u = (u 1 , u 2 )(x 1 , x 2 ) , u 1 = -x 2 Ψ(|x| 2 ) , u 2 = x 1 Ψ(|x| 2 ) ,
where Ψ is an arbitrary smooth function.

Moreover, observe that, if = (|x|) is a radially symmetric smooth function, with ≥ 0, it is easy to check that (3)

div x u = 0 , div x ( u) = ∇ x • u = 0
and that, if in addition Ψ vanishes in a neghbourhood of origin, it is possible to find a suitable radially symmetric function π = π(|x|) such that

(4) u • ∇ x u = -(|x|)Ψ 2 (|x| 2 )x = -∇ x π(|x|) .
Consequenly, the couple [ , u] thus constructed solves the steady non-homogeneous incompressible Euler system (3), [START_REF] Gavrilov | A steady Euler flow with compact support[END_REF]. Note that can be an arbitrary non-negative C 1 function, vacuum is allowed and may be even unbounded for |x| → ∞.

Stationary solutions of the Euler system of gas dynamics

The stationary solutions to the (complete) Euler system of gas dynamics satisfy the following system of equations:

(5)

     div x ( u) = 0, div x ( u ⊗ u) + ∇ x π( , s) = 0 div x su = 0 , x ∈ R d , d = 2, 3 ,
where is the mass density, u the velocity, s the entropy, and π = π( , s) the pressure, see e.g. Chapter 13 of [START_REF] Benzoni-Gavage | Multidimensional hyperbolic partial differential equations. First-order systems and applications[END_REF] for details. There are various possibilities for choosing the state variables for this problem. As we are interested in smooth solutions, the specific choice plays no role. For the sake of simplicity, we consider the equation of state of polytropic gases:

(6) π( , s) = γ exp(as) , γ > 1 , a > 0 .
More general state equations can be handled in a similar manner.

As the problem is posed on the whole space R d , the far field conditions must be prescribed. It can be seen, by a straightforward modification of the argument by Chae [2, Theorem 1.1], that all solutions of (5) with compactly supported velocity field and integrable pressure,

π( , s) ≥ 0 , R d π( , s) dx < ∞ ,
must be trivial, meaning u = 0. Indeed multiplying the momentum equation in (5) on x and integrating by parts yields

R d |u| 2 + π( , s) dx = 0 .
Accordingly, we focus on positive far field values of the density and arbitrary constant values of the entropy:

(7) u → 0 , → ∞ > 0 , s → s ∞ ∈ R as |x| → ∞ ,
where ∞ > 0 and s ∞ ∈ R are given constants. We remark that the same argument as the previous one can be used for the incompressible system (1), to show that the pressure P satisfies As observed by Gavrilov [START_REF] Gavrilov | A steady Euler flow with compact support[END_REF], if U is a compactly supported velocity field solving the homogeneous incompressible Euler system (1), ( 2) with a pressure P , and

Ψ ∈ C 1 c (R), then u = Ψ(P )U satisfies (9) div x u = 0 , u • ∇ x u + Ψ 2 (P )∇ x P = 0 , u • ∇ x P = 0 in R 3 .
We focus on

Ψ ∈ C 1 c (R) such that (10) supp[Ψ] = (b, P ∞ ) , b ≤ inf x∈R d P (x) .
In view of (8), we have that u = Ψ(P )U ≡ 0. Now, given (9), we look for the density and entropy in the form = (P ), s = s(P ), for suitable , s ∈ C 1 (R). Obviously,

div x ( u) = (P )∇ x P • u + (P )div x u = 0 , div x ( su) = ( s) (P )∇ x P • u + s(P )div x u = 0 ,
while the momentum equation yields div x ( u ⊗ u) + (P )Ψ 2 (P )∇ x P = 0 . Therefore, seeing that ∇ x π( , s) = ∂ π (P ), s(P ) (P )∇ x P + ∂ s π (P ), s(P ) s (P )∇ x P , we adjust , s so that they solve

(11) d dz π (z), s(z) = (z)Ψ 2 (z), = 0 ≥ 0, s = s 0 for z ≤ b, (P ∞ ) = ∞ , s(P ∞ ) = s ∞ .
In accordance with the pressure law (6), we have ∂ π > 0 and ∂ s π > 0 whenever > 0; whence it is easy to see that (11) admits infinitely many different solutions. In particular, for any given

∈ C 3 (R), s ∈ C 3 (R) such that = 0 > 0 for z ≤ b , = ∞ for z ≥ P ∞ , (z) > 0 for z ∈ (b, P ∞ ) s = s 0 for z ≤ b , s = s ∞ for z ≥ P ∞ , s (z) ≥ 0 for z ∈ (b, P ∞ ) , (12)
we may fix

Ψ(z) = 1 (z) d dz π (z), s(z) 1 2
.

Thus, the triplet = (P ), s = s(P ), u = Ψ(P )U is the desired stationary solution. We have shown the following result.

Theorem 2.1 (Stationary solutions for the full Euler system). Suppose that the pressure satisfies the equation of state (6). Let [U, P ] be a smooth solution of the system (1), (2) in R 3 with compactly supported velocity field U.

Then any triplet = (P ), s = s(P ), u = Ψ(P )U , with , s, Ψ satisfying (10), (11), is a smooth solution of the full Euler system (5), (6), with the far field conditions (7). In particular, for any given far field conditions ∞ > 0, s ∞ ∈ R, the Euler system (5), ( 6), (7) admits infinitely many smooth solutions satisfying

u = 0 , = ∞ , s = s ∞ outside a bounded ball in R 3 .
The choice s = s ∞ in (12) yields the result for the isentropic system. In addition, in this case we get solutions satisfying div x u = 0 , u • ∇ x = 0 .

In particular, they also solve the non-homogeneous incompressible Euler system (3), (4) in R 3 . Finally, we point out that a similar construction for d = 2 is possible, with the Rankine vortices replacing Gavrilov's solution.

To conclude, we remark that smooth stationary solutions are, of course, global in time smooth solutions of the corresponding evolutionary Euler system.

  ) < P ∞ ≡ lim |y|→∞ P (y) for any x ∈ O -a non-empty open subset of R 3 .

Acknowledgements

The work of F.F. has been partially supported by the LABEX MILYON (ANR-10-LABX-0070) of Université de Lyon, within the program "Investissement d'Avenir" (ANR-11-IDEX-0007), and by the projects BORDS (ANR-16-CE40-0027-01) and SingFlows (ANR-18-CE40-0027), all operated by the French National Research Agency (ANR).

The work of E.F. was partially supported by the Czech Sciences Foundation (GAČR), Grant Agreement 18-05974S. The Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Czech Republic is supported by RVO:67985840.


G Delelis
email: gerald.delelis@univ-lille.fr

R Kubiak

K Doba

Version franc ¸ aise de la Relationship Specific Experience in Close Relationships scale (RS-ECR) French version of the Relationship Specific Experience in Close Relationships scale (RS-ECR)

Keywords:

. The same thing is true for the scores of women and men. Nevertheless, the results also show the weakness of several items or mixed saturations. These limitations are discussed. Generally, the use of this French version to rate the attachment strategies of romantic partners is discussed in terms of its relevance for the evaluation of the consequences of specific attachment strategies on diverse couples' issues such as their dyadic adjustment, intimacy, or dyadic coping.

r é s u m é

Un fonctionnement harmonieux dans les interactions sociales dépend de la qualité des relations à autrui, telles que les stratégies d'attachement impliquant proximité, intimité et sentiment de sécurité. Les relations de couple étant centrales dans les interactions de l'individu adulte, l'identification des stratégies d'attachement spécifique au/à la partenaire pourrait être un enjeu majeur pour les thérapeutes et les chercheurs. Cette étude propose une version franc ¸ aise de l'échelle courte et spécifique aux relations de couple, la Relationship Specific Experience in Close Relationships scale, employée par [START_REF] Mizrahi | Reassuring sex: Can sexual desire and intimacy reduce relationship-specific attachment insecurities[END_REF]. Les résultats ont été obtenus auprès des conjoints de 115 couples hétérosexuels franc ¸ ais (n = 230). La structure factorielle en deux dimensions (anxiété d'attachement et évitement d'attachement) et les indices de fidélité sont satisfaisants et conformes à ceux de la version initiale. Cette échelle peut s'avérer un outil pertinent pour évaluer les stratégies d'attachement entre partenaires de couples et leurs conséquences sur les niveaux d'ajustement dyadique ou sur la mise en oeuvre d'un coping commun.

© 2019 Soci ét é Franc ¸ aise de Psychologie. Publi é par Elsevier Masson SAS. Tous droits r éserv és.

Introduction

Élaborée initialement par [START_REF] Bowlby | Attachment and loss[END_REF], la théorie de l'attachement met en évidence l'importance dans le développement socio-affectif de l'individu de l'histoire et de la qualité des premières interactions avec l'environnement. Pour lui, la dimension de sécurité joue un rôle central dans les liens d'attachement. En situation de détresse ou de menace, la fonction commune aux différents comportements d'attachement de la personne réside dans la régulation de la proximité avec la figure d'attachement, ceci à des fins de gestion et de réduction de la détresse et de maintien d'un sentiment de sécurité [START_REF] Ainsworth | Patterns of attachment. A psychological study of the strange situation[END_REF][START_REF] Crugnola | Attachment patterns and emotion regulation strategies in the second year[END_REF].

Les travaux sur l'attachement adulte se séparent en deux courants : le courant développementaliste qui s'intéresse à l'attachement aux parents et aux traces laissées par les expériences infantiles [START_REF] Bretherton | Intrapersonal, interpersonal, and contextual risk factors for overprovision of partner support in marriage[END_REF][START_REF] Cassidy | Avoidance and its relation to other defensive processes[END_REF][START_REF] Kobak | Attachment and emotion regulation during mother-teen problem-solving: A control theory analysis[END_REF][START_REF] Main | Security in infancy, childhood, and adulthood: A move to the level of representation[END_REF] et le courant dit psychosocial qui s'intéresse aux attachements actuels de l'adulte, c'est-à-dire l'attachement interpersonnel [START_REF] Bartholomew | Attachment styles among young adults: A test of a four-category model[END_REF] et l'attachement amoureux [START_REF] Hazan | Romantic love conceptualized as an attachment process[END_REF]. Si l'attachement adulte se distingue de l'attachement chez l'enfant par la diversité des attachements actuels et passés, il s'en différencie également par son mode d'évaluation. Chez l'adulte, la majorité des recherches sur les modèles d'attachement privilégient des mesures représentationnelles plutôt que des mesures comportementales comme le paradigme de la situation étrange [START_REF] Ainsworth | Patterns of attachment. A psychological study of the strange situation[END_REF]. Chez l'adulte, la plupart des protocoles sont basés sur l'analyse d'entretiens semi-structurés -comme l'AAI (Adult Attachment Interview ;[START_REF] George | The Adult Attachment Interview[END_REF] -ou sur une multitude d'outils parmi lesquels, en particulier, des questionnaires anglo-saxons très utilisés dans la littérature scientifique, par exemple l'ECR (Experiences in Close Relationships Scale ; [START_REF] Brennan | Self-report measurement of adult attachment: An integrative overview[END_REF] ou le RSQ (Relationship Scales Questionnaire ; [START_REF] Griffin | Models of the self and other: Fundamental dimensions underlying measures of adult attachment[END_REF].

L'attachement est défini par la tendance qu'a l'individu à rechercher et à maintenir la proximité et le contact avec un individu particulier, ou plusieurs individus, qui lui procure/procurent un sentiment de sécurité ainsi qu'une protection physique et psychologique [START_REF] Ainsworth | Patterns of attachment. A psychological study of the strange situation[END_REF][START_REF] Bowlby | Attachment and loss[END_REF]voir aussi Guedeney & Guedeney, 2002ou Sperling & Berman, 1994). Le système d'attachement est activé lorsque la personne montre une certaine détresse ou se trouve dans une situation de danger physique ou psychologique [START_REF] Pistole | Caregiving in attachment relationships: A perspective for counselors[END_REF]. Dans les situations où la figure d'attachement est perc ¸ ue comme disponible et bienveillante, le système d'attachement fournit à la fois un « havre de paix » à la personne en répondant à ses besoins de sécurité (par le soutien émotionnel et la résolution de problèmes dans des situations stressantes) et une base sécure en encourageant son autonomie et son ouverture à l'environnement.

Les auteurs issus de l'approche psychosociale (par exemple, [START_REF] Bartholomew | Attachment styles among young adults: A test of a four-category model[END_REF][START_REF] Hazan | Romantic love conceptualized as an attachment process[END_REF][START_REF] Shaver | Attachment-related psychodynamics[END_REF] ouvrent une nouvelle perspective dans la compréhension de l'attachement adulte par l'intermédiaire de la notion de « styles d'attachement ». Cette notion, empruntée initialement à [START_REF] Ainsworth | Patterns of attachment. A psychological study of the strange situation[END_REF], s'applique à l'âge adulte pour décrire les différences individuelles d'attachement (attentes, pensées, sentiments et comportements) dans des relations actuelles de l'adulte comme les relations amoureuses [START_REF] Hazan | Romantic love conceptualized as an attachment process[END_REF] et les relations interpersonnelles [START_REF] Bartholomew | Attachment styles among young adults: A test of a four-category model[END_REF]. Les assises conceptuelles proposent, tout comme c'est le cas chez les enfants, l'existence de différents styles d'attachement chez l'adulte.

Les personnes ayant un style d'attachement sécure établissent facilement avec autrui une relation de confiance, des communications claires et ouvertes, et peuvent affronter facilement la séparation [START_REF] Bartholomew | Attachment styles among young adults: A test of a four-category model[END_REF]. Chez les personnes sécures, il existe une bonne cohérence entre les représentations qu'elles se font de leurs attachements et la réalité vécue. Il y a ici un libre accès aux souvenirs et aux émotions [START_REF] Bartholomew | Attachment styles among young adults: A test of a four-category model[END_REF][START_REF] Hazan | Romantic love conceptualized as an attachment process[END_REF][START_REF] Shaver | Attachment-related psychodynamics[END_REF]. En revanche, le style d'attachement est évitant lorsque l'individu maintient une indépendance d'action et une distance émotionnelle avec la figure d'attachement, notamment par crainte de la dépendance et d'une trop forte intimité interpersonnelle [START_REF] Bartholomew | Attachment styles among young adults: A test of a four-category model[END_REF][START_REF] Hazan | Romantic love conceptualized as an attachment process[END_REF][START_REF] Shaver | Attachment-related psychodynamics[END_REF]. Le style d'attachement est considéré comme anxieux lorsque l'individu craint la désapprobation de l'autre et craint que cet autre le rejette, qu'il ne soit pas disponible pour lui [START_REF] Mikulincer | Attachment theory and affect regulation: The dynamic development, and cognitive consequences of attachment-related strategies[END_REF]. En termes de prévalence, selon [START_REF] Feeney | Attachment style as a predictor of adult romantic relationship[END_REF], l'attachement dispositionnel sécure serait le plus présent (56 %) contre 25 % pour l'attachement évitant et 19 % pour l'attachement anxieux.

Pour [START_REF] Bowlby | A secure base. Parent-child attachment and healthy human development[END_REF], les relations conjugales sont des relations réciproques d'attachement et de soin dans lesquelles les partenaires ont, normalement, le double rôle de personne attachée et de figure d'attachement ou de caregiver [START_REF] Collins | Attachment and caregiving in adult close relationships: Normative processes and individual differences[END_REF][START_REF] Kunce | An attachment-theoretical approach to caregiving in romantic relationships[END_REF]. [START_REF] Hazan | Romantic love conceptualized as an attachment process[END_REF] initient ainsi le développement d'une théorie de l'attachement chez l'adulte en indiquant que la formation d'un lien d'attachement entre les partenaires de couples suit les mêmes étapes que la formation de ces liens dans la relation parent-enfant [START_REF] Bowlby | A secure base. Parent-child attachment and healthy human development[END_REF]. Les théories de Bowlby et de Hazan et Shaver s'accordent sur plusieurs points. D'abord, l'individu se sent davantage en sécurité en présence de la figure d'attachement. Ensuite, on y distingue trois types d'attachement (sécure, anxieux, anxieux-évitant) et on y considère que les représentations mentales du monde, de soi et d'autrui (dits « modèles internes opérants ») sont relativement stables et fondées sur les expériences précoces. Enfin, la relation conjugale implique l'interaction de l'attachement, du soin et de la sexualité [START_REF] Fraley | Adult romantic attachment: Theoretical developments, emerging controversies and unanswered questions[END_REF].

Plusieurs études mettent en évidence le fait que le lien d'attachement entre deux partenaires est établi de manière stable après un changement progressif -changement lié à l'ajustement nécessaire à des interactions prolongées, répétées, intimes avec un autre individu, nécessaire à une nouvelle interdépendance -en moyenne au bout de deux ans de relation [START_REF] Fagundes | Making of romantic attachment bonds: Longitudinal trajectories and implications for relationship stability[END_REF][START_REF] Hazan | Attachment as an organizational framework for research on close relationships[END_REF][START_REF] Waters | The latent structure of secure base script knowledge[END_REF]. [START_REF] Fraley | Attachment formation and transfer in young adults' close friendships and romantic relationships[END_REF] montrent que ce transfert d'un attachement initial vers un attachement envers la ou le partenaire est associé à des niveaux plus élevés de soin mutuel, de soutien, de confiance et d'intimité. [START_REF] Doherty | The composition of attachment networks throughout the adult years[END_REF] montrent également qu'il existe des différences dans la qualité de l'attachement au/à la partenaire selon la situation de la dyade : la qualité la plus faible est retrouvée chez les personnes au stade du flirt ainsi que chez les couples n'ayant plus d'enfant(s) à charge tandis que la plus élevée concerne les personnes vivant ensemble, avec ou sans enfants.

L'étude de [START_REF] Doherty | The composition of attachment networks throughout the adult years[END_REF], menée sur les partenaires de 272 couples, précise la prévalence du partenaire comme principale figure d'attachement : 74 % de leurs participants (un peu plus de 400) sont pleinement attachées à leurs conjoint(e)s, lesquel(le)s sont vu(e)s comme répondant davantage et de manière plus forte aux composantes de l'attachement comparativement aux parents, enfants, frères et soeurs, ou encore aux amis (voir aussi [START_REF] Eastwick | The attachment system in fledgling relationships: An activating role for attachment anxiety[END_REF].

Selon [START_REF] Hazan | Romantic love conceptualized as an attachment process[END_REF], les types d'attachement se distinguent sur plusieurs aspects de la relation amoureuse : les individus sécures perc ¸ oivent ainsi leur relation comme heureuse, chaleureuse et basée sur la confiance. Ils acceptent et soutiennent leur partenaire de manière inconditionnelle. Leurs relations semblent durer plus longtemps que celles des individus non sécures. Les individus au style évitant se caractériseraient à la fois par leur crainte de l'intimité et par un fort désir de réciprocité, d'union et d'attraction sexuelle extrême, par une grande variabilité émotionnelle générale et par de la jalousie. Ils auraient une vision moins positive de leurs expériences sentimentales que les individus sécures. Les individus avec un attachement insécure anxieux présenteraient la même variabilité émotionnelle que les individus avec un attachement évitant ainsi que la même jalousie marquée [START_REF] Mikulincer | Attachment security in couple relationships: A systematic model and its implication for family dynamics[END_REF][START_REF] Mikulincer | Security enhancement, self-esteem threat, and mental depletion affect provision of a safe haven and secure base to a romantic partner[END_REF]. [START_REF] Bartholomew | Avoidance of intimacy: An attachment perspective[END_REF] Plus l'attachement est anxieux, plus le sentiment d'être aimé(e) diminue et plus le désir de sentir l'implication de la/du partenaire croît [START_REF] Birnbaum | When sex is more than just sex: Attachment orientations, sexual experience, and relationship quality[END_REF][START_REF] Bretherton | Intrapersonal, interpersonal, and contextual risk factors for overprovision of partner support in marriage[END_REF]. À l'inverse, un niveau élevé d'évitement est associé à de moindres sentiments d'être aimé(e) et d'aimer (et globalement à une faible satisfaction vis-à-vis de la relation) ainsi qu'à une moindre importance accordée à l'état de la/du partenaire [START_REF] Birnbaum | When sex is more than just sex: Attachment orientations, sexual experience, and relationship quality[END_REF][START_REF] Birnie-Porter | Does relationship status matter for sexual satisfaction? The roles of intimacy and attachment avoidance in sexual satisfaction across five types of ongoing sexual relationships[END_REF]. [START_REF] Mizrahi | Reassuring sex: Can sexual desire and intimacy reduce relationship-specific attachment insecurities[END_REF] étudient quant à eux l'attachement au/à la partenaire de couple actuel(le) et examinent la manière dont l'expression du désir sexuel et l'intimité émotionnelle contribuent aux changements dans les attachements relationnels spécifiques. Afin de tester leurs hypothèses, ils proposent une adaptation aux couples de la version abrégée par [START_REF] Mikulincer | Exploring individual differences in reactions to mortality salience: Does attachment style regulate terror management mechanisms[END_REF] de l'Experience in Close Relationshipsscale (ECR ; [START_REF] Brennan | Self-report measurement of adult attachment: An integrative overview[END_REF]. Ils évaluent alors les scores des participants, en séparant hommes et femmes, sur deux dimensions corrélées de l'attachement en couple : l'évitement d'attachement et l'anxiété d'attachement au/à la partenaire.

Une telle mesure semble pertinente dans l'étude du fonctionnement des couples étant donné qu'elle est spécifiquement dédiée aux partenaires de dyades et qu'une évaluation courte peut s'avérer particulièrement utile pour explorer ces stratégies d'attachement à la/au partenaire spécifique dans une grande variété de situations ou pour une diversité importante de couples. Comme aucun équivalent en langue franc ¸ aise n'existe à ce jour, l'objectif de notre étude est de proposer une version franc ¸ aise de cette échelle.

Méthode

Participants

Les deux conjoints de 115 couples hétérosexuels (n = 230) ont participé à cette étude après avoir rec ¸ u des informations sur celle-ci oralement et via une lettre d'informations puis après avoir complété un formulaire de consentement. Le recrutement des couples a été mené en collaboration avec des investigateurs étudiants qui ont sollicité ces couples dans leur entourage proche (famille, connaissances, voisins) et dans le réseau social de cet entourage. Aucun dédommagement ou rémunération n'était rec ¸ u(e) en échange de leur participation. La prise en considération des deux partenaires de ces couples ne pose pas ici de problèmes dans la mesure où l'étude tente de proposer une version franc ¸ aise

Matériel et Procédure

La version originale de la Relationship Specific Experience in Close Relationshipsscale a fait l'objet d'une traduction séparée par deux des auteurs, d'une mise en conformité et d'une rétro-traduction par une traductrice professionnelle. La résolution des désaccords et les choix entre termes équivalents ont été réalisés au coup par coup au travers d'échanges directs entre les auteurs et la traductrice : par exemple pour l'item 8 la formulation « J'ai beaucoup besoin d'être rassuré-e sur le fait que mon/ma partenaire tient à moi » (pour « I need a lot of reassurance that my partner really care about me ») a posé question, de même que la formulation de l'item 5 « Juste quand mon/ma partenaire commence à se rapprocher de moi, je constate que c'est moi qui m'éloigne de lui/d'elle » (pour « Just when my partner starts to get close to me I find myself pulling away ») et le choix ici -et également par ailleursa été fait de privilégier une formulation qui soit au plus près d'une forme verbale usuelle et d'un niveau langagier moyen, compréhensible par le plus grand nombre. L'évaluation s'est faite en mesures auto-rapportées sur base d'un questionnaire en format papier. Les deux conjoints des couples recrutés en tout-venant et ayant accepté de prendre part à l'étude ont tout d'abord rempli un formulaire individuel de consentement (le protocole a fait l'objet en amont d'une évaluation éthique) puis ont chacun rec ¸ u un questionnaire sous enveloppe, enveloppe qui devait être remise dûment fermée après avoir rempli le questionnaire, ceci afin de garantir au maximum la confidentialité des données, y compris entre partenaires. Un code de participation était associé à chacun des conjoints des couples sollicités pour garantir leur anonymat. Enfin, dans ces mêmes objectifs, les données ont été saisies par un autre investigateur que celui ayant contacté les couples.

Le questionnaire abrégé et adapté proposé par [START_REF] Mizrahi | Reassuring sex: Can sexual desire and intimacy reduce relationship-specific attachment insecurities[END_REF] cible deux propriétés de la relation d'attachement dans un couple : la tendance à l'évitement et celle à éprouver de l'anxiété dans cette relation de couple et compte 16 items évaluant « l'anxiété d'attachement spécifiquement liée à la relation de couple » (huit items) et « l'évitement d'attachement spécifiquement lié à la relation de couple » (huit items). Les participants évaluent dans quelle mesure chaque item correspond à leurs sentiments et ressentis dans la relation de couple actuelle grâce à des échelles en sept points (1 : fortement en désaccord avec la proposition, 7 : fortement en accord avec la proposition).

L'ordre de présentation des items a été repris de la version originale. Les items 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 et 15 réfèrent à l'évitement d'attachement spécifique au/à la partenaire ; les items 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 et 16 renvoient à l'anxiété d'attachement spécifique au/à la partenaire. Les participants répondaient à ces items selon la consigne -également reprise à l'identique et traduite : « Les énoncés suivants portent sur la fac ¸ on dont vous vivez habituellement votre relation avec votre partenaire actuel(le). Répondez à chaque énoncé en indiquant à quel point vous êtes d'accord ou non. Notez le numéro dans l'espace prévu, en utilisant l'échelle de notation suivante : 1 : Fortement en désaccord, 2 : En désaccord, 3 : Légèrement en désaccord, 4 : Neutre, 5 : Un peu en désaccord, 6 : D'accord, 7 : Fortement d'accord ». Un score d'anxiété d'attachement et un score d'évitement d'attachement spécifique au/à la partenaire sont calculés -après inversion des scores pour les items 3, 13 et 15 -en moyennant les réponses des participants aux items correspondants.

Résultats

Analyse et poids factoriels

Les données recueillies ont fait l'objet d'une analyse en composantes principales, étant attendu qu'une structure en deux facteurs serait la mieux ajustée aux données empiriques.

Les tests de Kaiser-Meyer-Olkin (KMO = 0,753) et de sphéricité de Bartlett [ 2 (120) = 1074,49, p < 0,0001] ont été réalisés pour attester du caractère factorisable des données. L'analyse en composantes principales a permis de dégager quatre facteurs avec des valeurs propres supérieures à 1 (4,039, 2,566, 1,308, 1,161). L'examen du tracé de ces valeurs propres [START_REF] Cattell | The scree test for the number of factors[END_REF] et l'analyse parallèle de Horn [START_REF] Horn | A rationale and test for the number of factors in factor analysis[END_REF] ont permis de retenir deux facteurs représentant respectivement 25,25 % et 16,04 % de la variance totale. Une rotation oblique (Delta = 0) a ensuite été effectuée dans la mesure où [START_REF] Mizrahi | Reassuring sex: Can sexual desire and intimacy reduce relationship-specific attachment insecurities[END_REF] ont reproduit un modèle théorique présupposant deux dimensions psychologiquement en corrélation (ici, r = 0,244, p < 0,01). Le Tableau 1 montre que les items saturent principalement (au-delà de 0,30) sur les dimensions présupposées : anxiété d'attachement et évitement d'attachement. [START_REF] Mizrahi | Reassuring sex: Can sexual desire and intimacy reduce relationship-specific attachment insecurities[END_REF] ne les fournissent pas mais, ici, les poids factoriels pour l'anxiété d'attachement s'étendent de 0,361 à 0,776. L'item 16 présente le poids factoriel le plus faible et l'item 4, qui présente le deuxième plus faible poids factoriel sature aussi de manière non négligeable sur l'évitement d'attachement (0,367). Pour l'évitement d'attachement, les poids factoriels s'étendent de 0,287 à 0,732. L'item 7 présente un poids factoriel inférieur à 0,30. Pour notre échantillon, les items 4 et 7 paraissent ainsi problématiques. Par ailleurs, il est à noter que les items ayant suscité des échanges quant à la traduction (les items 5 et 8 par exemple), présentent ici de manière rassurante de bonnes saturations dans la dimension concernée.

Analyse de fidélité

Une analyse de fidélité interne (alphas de Cronbach) a été menée sur la version franc ¸ aise montrant des issues comparables aux alphas initiaux donnés par [START_REF] Mizrahi | Reassuring sex: Can sexual desire and intimacy reduce relationship-specific attachment insecurities[END_REF] : 0,777 pour l'évitement d'attachement et 0,744 pour l'anxiété d'attachement. L'alpha de Cronbach, tous items réunis a aussi été calculé dans la mesure où les deux dimensions sont par hypothèse corrélées, cet alpha est de 0,782.

En outre, une distinction par sexe a également été faite dans la mesure où [START_REF] Mizrahi | Reassuring sex: Can sexual desire and intimacy reduce relationship-specific attachment insecurities[END_REF] fournissent ces alphas en les dissociant selon le sexe des participants pour attester de la pertinence de l'échelle tant pour les hommes que pour les femmes en couples hétérosexuels. Les alphas par sexe observés dans la présente étude sont tout à fait comparables à ceux-ci (Tableau 2).

Scores globaux et scores par sexe

Les scores moyens sont ici de 2,53 (ET = 1,01) pour l'anxiété d'attachement et de 3,82 (ET = 1,11) pour l'évitement d'attachement. De plus, [START_REF] Mizrahi | Reassuring sex: Can sexual desire and intimacy reduce relationship-specific attachment insecurities[END_REF] fournissent les scores moyens par sexe et les scores observés ici (pour des couples de durée de vie commune allant de 1 à 54 ans) sont tout à fait comparables aux scores initiaux qu'ils fournissent pour une population jeune (voir Tableau 2).

En entrant dans le détail des réponses aux items, il est également notable que les réponses des hommes et des femmes ne diffèrent que pour deux items sur les 16 de l'échelle. Une Anova testant l'effet du sexe sur ces réponses indique une différence pour les seuls items 1 (facteur évitement d'attachement), F(1,228) = 4,32, p = 0,0388 (M femmes = 3,26, ET = 1,81 vs M hommes = 3,77, ET = 1,87) et 12 (facteur anxiété d'attachement), F(1,228) = 6,51, p = 0,0114 (M femmes = 3,44, ET = 2,03 vs M hommes = 2,80, ET = 1,75). Les scores globaux ne montrent d'ailleurs pas de différence selon le sexe : respectivement pour l'anxiété d'attachement F(1,228) = 1,59, p = 0,2079 et pour l'évitement d'attachement F(1,228) = 0,11, p = 0,7402.

Enfin, la durée de vie commune ne semble pas influencer les réponses fournies par les conjoints pour les deux dimensions ciblées comme l'attestent des analyses de régression considérant la durée des couples comme facteur prédicteur des scores d'anxiété d'attachement et d'évitement d'attachement : les t de Student associés à ces régressions sont respectivement pour les femmes t(1,115) anxiété = 1,18, p = 0,24, t(1,115) évitement = 1,04, p = 0,299 et pour les hommes, t(1,115) anxiété = -0,34, p = 0,973, t(1,115) évitement = -0,277, p = 0,782.

Discussion et Conclusion

L'objectif de cette étude était de proposer une version franc ¸ aise de la Relationship Specific Experience in Close Relationships scale. Une version traduite et rétro-traduite a été soumise aux deux conjoints de 115 couples hétérosexuels. Une analyse en composantes principales, une analyse de fidélité et des comparaisons par sexe ont été réalisées.

Si [START_REF] Mizrahi | Reassuring sex: Can sexual desire and intimacy reduce relationship-specific attachment insecurities[END_REF] ont ciblé une population composée d'individus de couples jeunes, nous avons considéré ici une large étendue de durées de couple afin de tester la validité de l'échelle non seulement auprès de jeunes couples mais aussi auprès de couples de plus longue durée de vie commune. De même, afin de tester la pertinence de l'échelle quel que soit le sexe des personnes y répondant, nous avons, comme le font Mizrahi et al., précisé les scores par sexe, les éventuelles différences et les similarités.

Les résultats de cette étude permettent de montrer que l'échelle, en sa version franc ¸ aise, peut être utilisée en l'état tant pour les hommes que pour les femmes comme le montrent la répartition factorielle, les alphas de Cronbach et les scores moyens par dimension, lesquels sont comparables à ceux donnés par [START_REF] Mizrahi | Reassuring sex: Can sexual desire and intimacy reduce relationship-specific attachment insecurities[END_REF]. Le fait qu'hommes et femmes ne montrent sur cette échelle que peu de différences est particulièrement intéressant en termes de portée et d'applicabilité de l'échelle ainsi qu'en termes de cohérence des dimensions qu'elle mesure.

Les items ayant posé question lors du travail de traduction ne semblent pas avoir généré de décalages quant à la version d'origine et saturent fortement dans la dimension dans laquelle ils sont censés saturer. Néanmoins, la version franc ¸ aise de cette échelle présente encore quelques faiblesses qu'il conviendrait peut-être de corriger avant utilisation.

En particulier, supprimer les items 4 (« Je m'inquiète beaucoup de ma relation avec ma/mon partenaire ») et 7 (« Je trouve cela difficile de m'autoriser à dépendre de ma/mon partenaire »), soit un item par dimension, pourrait constituer une réponse avec des facteurs expliquant alors respectivement 25,73 % et 19,95 % de la variance totale et des alphas de Cronbach passant à 0,80 pour l'évitement d'attachement et à 0,72 pour l'anxiété d'attachement. [START_REF] Mizrahi | Reassuring sex: Can sexual desire and intimacy reduce relationship-specific attachment insecurities[END_REF] ne reviennent pas sur le détail des scores par item dans la mesure où proposer cette échelle n'était pas leur objectif premier et il est difficile de savoir si ces items 4 (« I worry a lot about my relationship with my partner ») et 7 (« I find it difficult to allow myself to depend on my partner ») posaient déjà question dans la version originale. Il est cependant envisageable que la version franc ¸ aise rende l'item 4 trop extrême pour un individu en couple ne vivant pas une situation de détresse conjugale et que la traduction d'une partie de l'item 7 (« to allow myself to depend on (. . .) ») rende la proposition ambiguë. Cet aspect reste à tester. Il convient donc, pour une utilisation de cette échelle, d'être attentif/attentive à la manière dont l'inclusion ou non de ces deux items affecte le score pour chacune des deux dimensions évaluées.

L'item 6 (« Je m'inquiète du fait que ma/mon partenaire ne tienne pas autant à moi que moi à elle/lui » ; anxiété d'attachement) présente également une saturation supérieure à 0,300 sur la dimension d'évitement d'attachement. Cet aspect devra être surveillé lors d'utilisations ultérieures de cette version.

Ensuite, pour les items 1 (« Je préfère ne pas montrer à ma/mon partenaire ce que je ressens en mon for intérieur ») et 12 (« J'ai parfois l'impression de forcer ma/mon partenaire à me témoigner plus de sentiments, d'engagement dans notre relation qu'elle/il le ferait normalement ») le sexe induit des différences de scores : les femmes présentent des scores inférieurs à ceux des hommes pour l'item 1, les hommes présentent des scores inférieurs à ceux des femmes pour l'item 12. Il est possible que ces différences reflètent des rôles sociaux de sexe dans le couple ou des niveaux d'assertivité différents ou encore un écart dans les attentes et styles communicatoires des hommes et des femmes.

En outre, les résultats présentés ici permettent d'étendre les constats faits par [START_REF] Mizrahi | Reassuring sex: Can sexual desire and intimacy reduce relationship-specific attachment insecurities[END_REF] à propos de couples jeunes à des couples dont la durée de vie commune est plus longue, c'est-à-dire à des couples dont les partenaires sont plus « expérimentés » quant à une vie de couple et aux ajustements que celle-ci implique. Ainsi, la Relationship Specific Experience in Close Relationshipsscale rend possible l'évaluation des stratégies d'attachement spécifique au/à la partenaire, quelle que soit la durée des couples. En cela, cette échelle semble un outil fiable rendant bien compte du type de relation existant dans le couple -en tous les cas pour des couples hétérosexuels, caucasiens et ne présentant pas a priori de problématique conjugale.

De futures études employant cette mesure pourraient malgré tout tester d'éventuelles variations de scores sur le moyen ou le long terme par un test-retest, en prenant en considération (analyses dyadiques) le fait que les conjoints vivent ensemble. Ce type d'analyse permettrait peut-être de dégager des profils de couples différents dans leur évolution en prenant en compte des mesures associées telles que l'ajustement de couple ou les stratégies de coping communes. De même, la question des stratégies d'attachement spécifique au/à la partenaire pour des couples confrontés à une situation de santé ou en situation de détresse conjugale reste posée.

Le repérage de ces stratégies, anxiété d'attachement et évitement d'attachement, spécifiques au/à la partenaire, est important dans la mesure où les stratégies à l'âge adulte peuvent être variables selon les contextes psychosociaux d'interactions. En effet, il apparaît d'importance de pouvoir évaluer les stratégies d'attachement utilisées par un individu dans ses relations plurielles à des autruis significatifs : relations conjugales, familiales, amicales [START_REF] Eastwick | The attachment system in fledgling relationships: An activating role for attachment anxiety[END_REF][START_REF] Mikulincer | Attachment in adulthood: structure, dynamics and change[END_REF]. Ainsi, ces stratégies pourraient constituer des marqueurs de l'état des relations entre les partenaires et pourraient être liées à leur ajustement dyadique [START_REF] Spanier | Measuring dyadic adjustment: New scales for assessing the quality of marriage and similar dyads[END_REF] ou à leur intimité [START_REF] Reis | Intimacy as an interpersonal process[END_REF][START_REF] Péloquin | Sexuality examined through the lens of attachment theory: Attachment, caregiving, and sexual satisfaction[END_REF][START_REF] Schaefer | Assessing intimacy: The PAIR Inventory[END_REF] ainsi qu'au coping mis en oeuvre dans ces couples [START_REF] Bodenmann | Dyadic coping: A systematic transactional view of stress and coping among couples: Theory and empirical findings[END_REF] en cas de confrontation à un épisode stressant comme une maladie chronique ou une rupture dans le cours normal de la vie (accident, échec, etc.). La consigne employée (« [. . .] la fac ¸ on dont vous vivez habituellement votre relation avec votre partenaire actuel(le) ») cible les propriétés d'attachement dans une relation spécifique, conjugale. Ce type de mesure permet de dépasser d'éventuels effets de circonstances exceptionnelles au moment du remplissage du questionnaire comme, par exemple, une dispute récente ou à l'inverse un événement positif fort vécu en commun. A contrario, des études futures utilisant une consigne centrée sur la forme récente de la relation de couple pourraient permettre d'évaluer l'incidence de différents événements de vie dans un couple sur les stratégies d'attachement spécifiques des deux partenaires. Cet aspect nous semble être une piste prometteuse.

Cette version franc ¸ aise de la Relationship Specific Experience in Close Relationshipsscale nous semble ainsi être un outil prometteur pour la recherche relative aux déterminants du fonctionnement des couples mais également en tant que diagnostic dans le cadre d'une relation de couple en dysfonctionnement ou non satisfaisante : quel est l'état des attachements spécifiques au/à la partenaire pour chacun des conjoints ? Existe t-il des décalages et si oui ceux-ci sont-ils ou non problématiques dans la régulation des communications et interactions au quotidien ? Ces types d'interactions impactent-ils la manière dont les conjoints font face à des événements de vie déstabilisant leur fonctionnement habituel ? De futures études couplant cette échelle et des mesures ciblant des concepts proches tels que l'estime de soi des partenaires, la valeur sociale en couple, la satisfaction maritale, l'intimité ou l'ajustement conjugal devraient permettre d'en évaluer plus précisément la validité et la plus-value.

Cet outil ouvre également des perspectives intéressantes pour explorer et comparer les stratégies d'attachement spécifique au/à la partenaire par exemple chez des couples « à distance » (militaires en poste éloigné, personnes incarcérées), chez des couples à décalage culturel ou dont les conjoints diffèrent fortement en raison de leur âge ou de leur expérience de vie de couple (secondes unions, familles recomposées par exemple) ou encore chez des couples homosexuels (le désemboîtement des rôles sociaux de sexe et/ou la distinction sexe-genre serait alors possibles). Par ailleurs et enfin, le format court de cette échelle autorise réellement une utilisation auprès de publics très variés, incluant des publics âgés ou présentant des problèmes attentionnels.

  souligne que les dimensions d'attachement anxieux (en tant que désir d'approche) et d'attachement évitant peuvent coexister chez un même individu. Selon Mikulincer et Shaver (2007), l'hyperactivation du système d'attachement d'un individu -attachement anxieuxcorrespondrait à des tentatives pour mener la figure d'attachement, insuffisamment réactive, à fournir plus d'attention ainsi que des soins et du soutien plus adaptés. La désactivation de ce système -attachement évitant -aurait pour objectifs d'inhiber les tendances à la recherche de soutien et de maintenir une distance émotionnelle dans une relation intime. Reizer, Ein-Dor et Shaver (2014) examinent ces stratégies d'hyperactivation et de désactivation et leur effet sur la satisfaction dans la relation de couple. Ils montrent que plus le niveau d'hyperactivation ou de désactivation du système d'attachement d'une personne est élevé, plus sa satisfaction dans la relation est faible. Cette étude montre également que : • la désactivation affecte la satisfaction dans la relation seulement quand l'individu et sa/son partenaire ont tous deux un faible niveau d'évitement ; • l'impact sur la satisfaction est plus important lorsque la personne a un(e) partenaire fortement anxieux(se) et ; • l'hyperactivation du système d'attachement permet de prédire une réduction de la satisfaction chez les personnes au faible niveau d'évitement.

  de l'échelle et non d'explorer les liens entre les réponses des partenaires d'un même couple. En outre, Mizrahi et al. (2016) considéraient exclusivement des jeunes couples ; pour vérifier dans quelle mesure l'échelle est à même d'être employée aussi avec des couples plus anciennement formés, les participants étaient les conjoints de couples d'une durée aussi bien d'une seule année de vie commune que de nombreuses années. Ainsi, les femmes étaient âgées de 19 à 74 ans (M = 39,19, ET = 15,63) et les hommes de 19 à 74 ans (M = 39,83, ET = 15,29). Ces couples hétérosexuels, recrutés en tout-venant, étaient des couples franc ¸ ais, avaient une durée de vie commune comprise entre 1 et 54 ans (M = 15,83, ET = 13,85), 59 étaient mariés, 11 pacsés et 65 d'entre eux avaient des enfants au moment de l'étude. Par ailleurs, leurs niveaux d'études allaient du BEP au bac + 5 et toutes les catégories socioprofessionnelles étaient représentées.

  Configuration factorielle pour la version franc ¸aise de la Relationship Specific Experience in Close Relationshipsscale (RS-ECR).

	Tableau 1
	Items			Facteur 1.	Facteur 2.
				Évitement	Anxiété
				d'attachement	d'attachement
	15. Je me sens à l'aise avec le fait de partager mes pensées et sentiments avec	,732	-,130
	ma/mon partenaire
	11. Je souhaite me rapprocher de ma/mon partenaire, mais je continue à	,712	,123
	garder mes distances
	5. Juste quand ma/mon partenaire commence à se rapprocher de moi, je me	,676	-,003
	surprends à m'éloigner
	9. Je ne suis pas assez à l'aise pour m'ouvrir à ma/mon partenaire	,663	,176
	13. J'ai l'habitude de discuter de mes problèmes et soucis avec ma/mon	,658	-,238
	partenaire
	1. Je préfère ne pas montrer à ma/mon partenaire ce que je ressens en mon for	,620	-,040
	intérieur
	3. Je suis très à l'aise lorsque je suis proche de ma/mon partenaire	,611	-,012
	8. J'ai beaucoup besoin d'être rassuré(e) sur le fait que ma/mon partenaire	-,038	,776
	tient à moi
	2. Si je ne parviens pas à faire que ma/mon partenaire s'intéresse à moi, je	-,190	,648
	m'inquiète ou je m'énerve
	10. Je souhaite souvent que les sentiments de ma/mon partenaire pour moi	-,023	,641
	soient aussi forts que les miens à son égard
	14. Je suis frustré(e) si ma/mon partenaire n'est pas disponible quand j'ai	,205	,608
	besoin d'elle/de lui
	12. J'ai parfois l'impression de forcer ma/mon partenaire à me témoigner plus	,246	,600
	de sentiments, d'engagement dans notre relation qu'elle/il le ferait
	normalement
	6. Je m'inquiète du fait que ma/mon partenaire ne tienne pas autant à moi que	,321	,511
	moi à elle/lui
	4. Je m'inquiète beaucoup de ma relation avec ma/mon partenaire	,367	,460
	16. Quand ma/mon partenaire n'est pas d'accord avec moi, je me sens	,001	,361
	vraiment mal
	7. Je trouve cela difficile de m'autoriser à dépendre de ma/mon partenaire	,287	,267
	Tableau 2
	Alphas de Cronbach et scores (moyennes et écarts-types) dans l'étude de Mizrahi et al. (2016, temps 1) et dans la présente
	étude.
		Mizrahi et al.		Présente étude
		Fidélité	Moyenne (E.-T.)	Fidélité	Moyenne (E.-T.)
	Femmes
	Anxiété d'attachement	0,74	4,03 (1,26)	0,75	3,92 (1,13)
	Évitement d'attachement	0,83	1,92 (0,81)	0,80	2,50 (1,03)
	Hommes
	Anxiété d'attachement	0,78	3,70 (1,05)	0,74	3,72 (1,09)
	Évitement d'attachement	0,73	2,13 (0,73)	0,76	2,55 (1,00)