Keywords: Pulse compression, Nonlinear optics in fibers, pulse propagation and solitons, Parabolic pulses

In this work, we demonstrate all-fibered 20-GHz and 40-GHz picosecond pulse sources with duty cycles as low as 1/14. The pulse train is achieved via the high-quality compression of an initial sinusoidal beating through four segments of optical fibers. General design rules are proposed and experimental results are in agreement with numerical predictions.

I. INTRODUCTION

eneration of very low duty-cycle high-quality optical pulse trains at repetition rate of tens of gigahertz around 1.5 µm has become of great interest for many scientific applications such as optical sampling or ultrahigh capacity transmission systems based on Optical Time Division Multiplexing (OTDM). Unfortunately, the current bandwidth limitations of optoelectronic devices do not allow the direct generation of optical pulses having a temporal width below a few picoseconds. Nethertheless, actively mode-locked fiber lasers were found to be an efficient way to overcome this limitation, although they still remain an onerous option. As an alternative issue to conventional mode-locking operation, several techniques have been suggested, such as the conversion of a sinusoidal beating into a train of well-defined, pedestal free pulses. For instance, the use of dispersion decreasing fibers [START_REF] Mamyshev | Generation of fundamental soliton trains for high-bit rate optical fiber communication lines[END_REF], step-like or comb-like fiber set-ups [START_REF] Chernikov | Comblike dispersionprofiled fiber for soliton pulse train generation[END_REF][START_REF] Igarashi | Widely wavelength-tunable 40 GHz femtosecond pulse source based on compression of externally-modulated pulse using 1.4 km comb-like profiled fibre[END_REF], or Raman amplification [START_REF] Mamyshev | Generation of fundamental soliton trains for high-bit rate optical fiber communication lines[END_REF] have been successfully shown to be all-optical approaches to generate such high repetition rate pulse trains. Recently, a technique based on multiple fourwave mixing has also demonstrated its efficiency for the generation of optical pulse trains with repetition rates ranging from 20 GHz to 1 THz [START_REF] Fatome | 20-GHz-to-1-THz repetition rate pulse sources based on multiple four-wave mixing in optical fibers[END_REF]. However, those different schemes have the common feature to generate pulse trains with a high duty cycle (around 1/5). Shorter pulses are clearly feasible, but at the cost of the experimental set-up complexity [START_REF] Igarashi | Widely wavelength-tunable 40 GHz femtosecond pulse source based on compression of externally-modulated pulse using 1.4 km comb-like profiled fibre[END_REF], or with the development of noticeable substructures and pedestals in the recompressed pulses [START_REF] Pitois | Generation of 20-Ghz picosecond pulse trains in the normal and anomalous dispersion regimes of optical fibers[END_REF].

In this paper, we propose a new, passive and cost-effective approach allowing the generation of picosecond optical pulse trains with very low duty-cycle (around 1/15). The letter is organized as follow; we will first describe the physical principles of our approach relying on the progressive reshaping of a sinusoidal beating in a set of carefully-chosen optical fibers. We will detail design rules enabling the rapid scaling and determination of the different elements of the setup. We will then present experimental results validating our technique at a repetition rate of 20 GHz. Other experimental data obtained at 40 GHz will demonstrate the possibility to further extend the concept to higher repetition rates.

II. PRINCIPLE AND DESIGN RULES OF THE CHAIN

Our original method is based on the temporal reshaping of a sinusoidal beating in a succession of optical fibers with lengths, dispersive and non-linear properties carefully chosen. The physical evolution of the beating can be simply decomposed into four stages (illustrated in Fig. 1), each having a clear physical meaning. Our technique is thus physically distinct from set-ups relying on step-like fiber, comb-like fiber [START_REF] Chernikov | Comblike dispersionprofiled fiber for soliton pulse train generation[END_REF] or comb-like profiled fiber [START_REF] Igarashi | Widely wavelength-tunable 40 GHz femtosecond pulse source based on compression of externally-modulated pulse using 1.4 km comb-like profiled fibre[END_REF] where the succession of numerous segments mimics a dispersion decreasing fiber.

For each stage of the set-up, we have derived some semiempirical rules to optimize and facilitate the design of our pulse train compressor. Both previously published and novel analytical formula will be presented, each one taking into account the second order dispersion β 2,k and the non-linear coefficient γ k of the k th fiber. The first stage of our set-up aims to convert an initial sinusoidal beating into a well-separated Gaussian-like pulse train with a duty-cycle of 1/5 through the multiple four-wave mixing process taking place into a standard anomalous fiber [START_REF] Fatome | 20-GHz-to-1-THz repetition rate pulse sources based on multiple four-wave mixing in optical fibers[END_REF]. For a pulse train with a repetition rate f, it has been shown that the optimal average power P 0 at the input of the first segment is given by P 0 ≈ 12.8 |β 2,1 | f 2 / γ 1 [START_REF] Fatome | 20-GHz-to-1-THz repetition rate pulse sources based on multiple four-wave mixing in optical fibers[END_REF]. The optimal fiber length is L 1 ≈ 0.071 / |β 2,1 | f 2 , providing Gaussian chirpfree pulses with negligible pedestals at the output of the first stage. The full-width at half maximum (FWHM) of the reshaped pulses is then T 1 ≈ 1 / 5 f while their peak power is evaluated by P 1 ≈ 4.57 P 0 .

All-Fibered High-Quality Low Duty-Cycle 20-GHz and 40-GHz Picosecond Pulse Sources C. Finot, J. Fatome, S. Pitois and G. Millot

G

The second stage allows the passive reshaping of Gaussian pulses into a train of linearly chirped parabolic pulses thanks to the combined effects of self-phase modulation and normal dispersion [START_REF] Finot | Parabolic pulse generation through passive nonlinear pulse reshaping in a normally dispersive two segment fiber device[END_REF]. In order to have a convenient parabolic reshaping, the optimum fiber length L 2 of the normally dispersive segment and the optimum peak power P 1 ' are L 2 ≈ 0.006 / β 2,2 f 2 and P' 1 ≈ 468 β 2,2 f 2 / γ 2 respectively.

After reshaping inside the L 2 segment, we obtain a parabolic pulse shape having a FWHM T 2 and a peak power P 2 . The pulse is linearly chirped with chirp coefficient C 2 defined as the slope of the temporal chirp. The parameters of the pulses after the second stage are then given by T 2 ≈ 0.39 / f, P 2 ≈ 0.56 P' 1 and

C 2 ≈ 17.3 f 2 .
The purpose of the third stage is essentially to increase the linear temporal chirp of the parabolic pulses in order to enhance the final recompression process. In this aim, those pulses are launched into a highly nonlinear fiber (HNLF) where they are essentially affected by self-phase modulation without suffering any temporal broadening ( T 2 = T 3 ). Due to their parabolic intensity profile, the temporal chirp induced in this third segment is strictly linear [START_REF] Parmigiani | Ultra-flat SPM-broadened spectra in a highly nonlinear fiber using parabolic pulses formed in a fiber Bragg grating[END_REF] and for an initial peak power P 2 ' and a fiber length L 3 , the amount of additional linear chirp is given by C 3 ≈ 4.19 P' 2 L 3 γ 3 f 2 [START_REF] Finot | Parabolic pulse evolution in normally dispersive fiber amplifiers preceding the similariton formation regime[END_REF].

In this context, at the output of the third segment, the linear chirp of the parabolic pulses (C 2 +C 3 ) can therefore be efficiently compensated by means of a usual dispersive element. A compact solution for this compensation could be a chirped fiber Bragg grating but we choose here to implement another solution by simply adding an adequate length of anomalous fiber, which constitutes the final stage of the set-up. Recompressed pulses are finally transformed-limited with a shape close to a first order Bessel function of the first kind [START_REF] Finot | Parabolic pulse evolution in normally dispersive fiber amplifiers preceding the similariton formation regime[END_REF] and with a temporal FWHM given by T 4 ≈ 1.85 f / (C 2 + C 3 ).

Ensuring a sufficiently low power at the input of this last segment to avoid non-linear effect, the length of fiber L 4 required to achieve such a recompression is thus given by

L 4 ≈ 1 / [ 2π (C 2 +C 3 ) β 2,4 ].

III. EXPERIMENTAL RESULTS AT 20 GHZ

We have tested our approach by generating a pulse train at a repetition rate of 20 GHz. Based on the design rules described in the above section, we have settled our experimental set-up by means of commercially available devices ready for a telecom use.

The initial beating is obtained by the temporal superposition of two continuous laser diodes frequency separated by 20 GHz (external cavity laser, ECL). A phase modulator is also inserted in order to suppress the Brillouin backscattering effect. We would like to emphasize that the generation of such a beating is fully compatible with the performances of electro-optic modulators and electronic clocks commonly used in telecommunications.

The average power of the initial beating launched into the first 8385-m long section made of standard SMF is only 21 dBm [START_REF] Pitois | Generation of 20-Ghz picosecond pulse trains in the normal and anomalous dispersion regimes of optical fibers[END_REF]. The second stage is made of non-zero dispersion shifted fiber (NZ-DSF, dispersion D = -1.5 ps.km -1 .nm -1 , γ = 1.7 W -1 .km -1 ) with normal dispersion whose parameters (L 2 = 7700 m, β 2,2 ) have been carefully chosen to match the properties of the pulses generated along the SMF and thus satisfying the relation P 1 = P' 1 . The third segment is a 500-m long HNLF (γ 3 = 13 W -1 .km -1 ) with nearly zero dispersion (a slight normal dispersion is used to prevent instabilities or temporal recompression). In order to achieve a significant spectral broadening and a sufficient linear temporal chirp, we have inserted an erbium doper fiber amplifier (EDFA) at the input of the HNLF so that to reach P' 2 = 23 dBm. The final stage is based on a 630-m long SMF segment, preceded by an optical attenuator to ensure a linear pulse recompression without soliton recompression effect. We have carefully characterised both in phase and intensity the pulses at the different stages of our set-up by use of a Frequency-Resolved Optical Gating (FROG, based on second harmonic generation [START_REF] Fatome | Sensitivity of SHG-FROG for the Characterisation of Ultrahigh-Repetition-Rate Telecommunication Laser Sources[END_REF]). Experimental results are represented in Fig. 2 (circles) and are also compared to various fits corresponding to the theoretical expected shapes described in part II (solid lines). After the first stage, Fig. 2 , we can check that the initial sinusoidal beating is efficiently compressed into a transform limited Gaussian pulse train with a duty-cycle close to 1/5 (FWHM = 11 ps and Time-Bandwith Product = 0.43). In the course of the second stage, Fig. 2 , we clearly verify that those pulses have then acquired an intensity profile in good agreement with a parabolic fit. This parabolic shape is then maintained during the whole propagation in the HNLF whereas the linear chirp is further increased (stage 3, Fig. 2 ). Finally, after recompression along the SMF segment (stage 4), the output pulses, Fig. 2 , are nearly Fourier transformed-limited with a temporal duration of 3 ps (i.e. dutycycle of 1/16) and notably exhibit only low pedestals which are characteristic of recompressed parabolic pulses [START_REF] Finot | Parabolic pulse evolution in normally dispersive fiber amplifiers preceding the similariton formation regime[END_REF] (peakto-pedestal ratio larger than 17 dB). Those generated pulses are then fully suitable for 80-GHz OTDM telecommunications.

IV. EXPERIMENTAL RESULTS AT 40 GHZ

We now present experimental results obtained at a higher repetition rate. Using the design guidelines described in part II, it is clear that higher the repetition rate f is, shorter should be the length of the fibers and higher should be the peak powers launched into the different fiber segments. In other words, increasing the repetition rate by a factor 2 will globally lead to decrease the lengths of the segments L 1 and L 2 by a factor 4 and increase by 6 dB the required input power. One inherent beneficial aspect is that the power available at the output of the second fiber will be sufficiently high to observe a clear spectral broadening in the HNLF without any additional amplification, thus meaning a simplified experimental set-up made of a single line of 4 spliced optical fibers whose principal features are detailed in Fig. 3 for the 40-GHz configuration. We have again characterized the pulses at stages 1, 3 and 4 by means of FROG measurements. In order to fairly observe the compression process, results are plotted (Fig. 4, circles) with a temporal window of 2 signal periods. These results demonstrate that the 4.7-ps transformed-limited Gaussian pulses derived from stage 1 (Fig. 4 ), are efficiently reshaped into a linearly chirped parabolic shape after their successive propagations in the NZ-DSF and HNLF (Fig. 4 ). Final output pulses (Fig. 4 ) exhibit a nearly side-lobe free temporal intensity profile with a temporal width of 1.8 ps (duty cycle of 1/14). The chirp is flat over most of the central part of the pulse. The spectrum of the generated 1.8-ps 40-GHz pulse train is plotted in Fig. 3 and exhibits a symmetric good quality envelope constituted by many generated harmonics separated by 40 GHz as well as an optical signal noise ratio in excess of 35 dB. The generated pulses are then fully suitable for 160-GHz OTDM telecommunication applications. Experimental results are finally compared with those obtained from the numerical integration of the standard Nonlinear Schrödinger Equation (Fig. 4, solid lines). The agreement is excellent and proves the reliability of the technique. We have also checked that higher-order linear and non-linear effects do not affect our proposed device at this repetition rate.

V. CONCLUSION

We have proposed a new and easy to implement method to generate carrier-suppressed pulse return-to-zero trains with low-duty-cycles. An initial sinusoidal beating is converted into nearly transformed limited pulses with very low substructures through the propagation in only four segments of optical fiber whose dispersion and length are carefully chosen. We have derived general guidelines which facilitate the choice and speed-up the scaling of the fibers and powers involved in the nonlinear processes. Experimental results obtained at 20 GHz and 40 GHz show that picosecond pulse trains with duty cycles as low as 1/14 have been generated, thus validating this alternative method to comb-like dispersion decreasing techniques. By reducing the number of segments, we have also relaxed the constraint of tedious splices and consequent losses. A carefully characterisation both in intensity and phase fully agrees with numerical simulations and confirm our approach.

  Manuscript received May 18, 2007. C. Finot, J. Fatome, S. Pitois and G. Millot are with the Institut Carnot de Bourgogne (ICB), Dept. OMR, UMR CNRS 5209 Université de Bourgogne, 21078 Dijon, France. (e-mail: christophe.finot@u-bourgogne.fr).

Fig. 1 .

 1 Fig. 1. General scheme of the set-up illustrating the four successive stages and their relevant parameters.

Fig. 2 .

 2 Fig. 2. Evolution of the intensity and chirp profiles (bottom and top respectively) at different stages of the set-up. 20-GHz experimental results obtained by FROG characterisation (circles) are compared to various fits (solid lines) : stage 1 : gaussian fit of the intensity profile , stage 2 and 3, parabolic fits, stage 4 : fit by a Bessel function of the first kind [8]. Chirp profiles are compared to linear fits. Note that results at stage 4 are plotted with a different temporal scale than results at other stages.

Fig. 3 .

 3 Fig. 3. 40-GHz experimental set-up, parameters and experimental optical spectrum of the 40-GHz recompressed pulses.

Fig. 4 .

 4 Fig. 4. Intensity and chirp profiles at stages 1, 3 and 4. 40-GHz experimental results obtained by FROG characterisation (circles) are compared to numerical simulations of the Nonlinear Schrödinger Equation. (solid line).

ACKNOWLEDGMENT

We would like to acknowledge OFS and more specifically L. Grüner-Nielsen for providing the highly nonlinear fiber. We also thank P. Petropoulos and D.J. Richardson (Optoelectronics Research Centre, UK), as well as V. Couderc (XLim, Limoges) for fruitful discussions.


Aziza Gril-Mariotte

nos jours

AZIZA GRIL-MARIOTTE

Le destin des collections scientifiques et artistiques des cabinets de curiosités de la Société industrielle de Mulhouse, des années 1830 à nos jours

En créant la Société industrielle de Mulhouse (SIM) en 1826, l'objectif des industriels mulhousiens était de favoriser « l'avancement et la propagation de l'industrie ». Si l'innovation scientifique et technique est au coeur de leur préoccupation, elle n'empêche pas quelques membres passionnés de constituer rapidement des collections de géologie, minéralogie et botanique. Parallèlement, dès 1827, la question de la création d'un « musée industriel » est posée par plusieurs membres de la Société qui siégeront aux comités d'histoire naturelle et de l'école de dessin, créés en 1829. Dans leur idée, le « musée » doit répondre à un double intérêt : constituer des collections encyclopédiques et contribuer à l'émulation, notamment des ouvriers qualifiés pour l'industrie textile alors en plein essor. Les dons réguliers sont davantage liés aux aspects scientifique et technique, mais la Société reçoit aussi de nombreux objets de curiosités qui alimentent son « cabinet d'histoire naturelle ». Sous la présidence de Godefroy Engelmann, le comité de l'école de dessin qui devient celui des Beaux-arts en 1831 va jouer un rôle décisif dans l'évolution d'une politique en faveur de la valorisation des collections de la SIM, donnant lieu à l'ouverture de musées au XIX e siècle. L'étude de la constitution de ces collections, un phénomène largement répandu en Europe, dans un contexte industriel spécifique à Mulhouse, permet d'interroger les attentes des industriels et leur positionnement concernant la valorisation des objets.

Plusieurs pistes pourront être évoquées dans la perspective de dresser un état des lieux de ces collections :

• Les sources retraçant la constitution des collections ainsi que le rôle des comités et des membres de la SIM.

• Les démarches entreprises par la SIM pour ouvrir ses collections au public et pour « muséographier » des objets relevant d'un « cabinet de curiosités ».

• Les relations entretenues par la SIM avec la ville de Mulhouse et l'État dans la perspective de valoriser leurs collections.

• Et enfin en conclusion, le devenir aujourd'hui de ces collections.

Les collections naturalistes de la SIM entre curiosité et instruction

La SIM est conçue comme un lieu de débats et de recherches autour de « l'avancement

Cabinets de curiosités du XXI e siècle et la propagation de l'industrie par la réunion sur un point central d'un grand nombre d'éléments d'instruction, par la communication des découvertes et des faits remarquables ». Lors de sa fondation, le but de la Société n'est pas de constituer des collections, qu'elles soient scientifiques ou artistiques, mais d'encourager l'émulation en réunissant des « collections de plans et de produits manufacturés ». Ses premières réalisations d'envergure concernent la formation professionnelle qui doit répondre aux besoins des industries textiles, alors en plein essor. L'école de chimie démarre ses premiers cours dès 1822, puis l'école de dessin en 1829 ; d'autres initiatives suivront tout au long du siècle pour former une main-d'oeuvre spécialisée, accompagnant le développement de l'industrie alsacienne. Mais rapidement lors de leurs réunions à la SIM des membres évoquent d'autres ambitions en proposant « la formation d'une collection de géologie, de minéralogie, et de botanique », résultat des travaux du comité d'histoire naturelle. Leurs comptes rendus permettent de retracer la constitution des collections minéralogiques et zoologiques grâce aux dons importants qui se poursuivent tout au long du siècle :

« M Jean Risler un des membres de notre comité d'histoire naturelle annonce à la société le don généreux qu'elle vient de recevoir de M. Koechlin père, savoir : sa précieuses collection d'insectes, considérée comme la plus complète de France, & comme un chef d'oeuvre d'ordre et d'exactitude ; ainsi que les livres de sa bibliothèque et sa correspondance ayant rapport à l'histoire naturelle (l'entomologie). […] Un autre don non moins généreux est annoncé à la Société par M. le Président : c'est la collection de minéraux et le cabinet de physique de M. Édouard Koechlin notre vice-président, qui en fait abandon en faveur de la société. La société accepte avec reconnaissance cette offre, cependant sur la proposition de M. le Président elle invite M. Koechlin et M. Koechlin consent à se réserver la faculté de reprendre tous les instruments de physique qui composent son cabinet lorsqu'il serait reconnu que ces instruments ne sont pas d'un intérêt direct au but de la société car dès lors elle ne voudrait pas avoir pour sa responsabilité ni l'entretien ni la détérioration d'objets si précieux. »

Ce rapport montre que les collections doivent répondre à un besoin, en l'occurrence servir de support aux travaux des commissions, c'est pour cela que leur accès est réservé aux membres de la société et à leurs invités. Les premiers minéraux sont enrichis par la collection de Ferdinand Koechlin qui contribue à la constitution d'un véritable cabinet de curiosités avec des animaux empaillés, des oeufs d'autruche et divers objets rapportés du Sénégal. Le « clou » de cette collection est une momie d'Égypte offerte par le pasteur Meyer qui viendrait des « catacombes de Thèbes ». La Société continue d'enrichir « son cabinet d'histoire naturelle », tout en refusant les offres d'achat. Elle reçoit régulièrement des coquillages, des oiseaux empaillés, des « objets de curiosité » pour « son musée d'histoire naturelle ». Le procès-verbal de la séance du 28 mars 1838 fait ainsi état de collections d'empreintes de médailles, de monnaies romaines, d'échantillons de roches, d'oiseaux exotiques empaillés et de pétrifications :

« On remarque parmi les objets en dons à la société un beau cygne sauvage, empaillé envoyé par M. Godefroy Heilmann qui l'a tiré non loin de Mulhouse où la rigueur de l'hiver avait attiré une compagnie d'oiseaux du nord qui n'apparaissent pas dans notre pays que par le plus grand froid, une collection d'échantillons de roches et de pétrifications provenant de recherches dans le département du Bas-Rhin des forges de Zinswiller. » Les dons se caractérisent par leur aspect hétéroclite et par l'intérêt accordé aux objets provenant du territoire alsacien. La SIM se trouve rapidement à la tête d'une importante collection qui se partage entre objets de sciences naturelles, de curiosités et diverses productions textiles avec notamment des objets appartenant au patrimoine local. Les dons réguliers et fréquents adressés à la Société par ses membres révèlent une pratique du cabinet de curiosités dans la tradition du siècle des Lumières. La SIM est devenue le réceptacle d'objets qui relèvent d'une curiosité pour la nature et d'une volonté d'étudier les sciences naturelles. Les minéraux, fossiles, coquillages, insectes, animaux empaillés vont quitter les cabinets de leurs propriétaires où ils décorent les murs pour rejoindre les vitrines et les étagères de la SIM. Ces objets changent alors de statut, le regard porté sur eux évolue : d'objets de curiosités et de décors, ils deviennent un support pour étudier la nature, comme l'encourage le comité d'histoire naturelle. Un intérêt qui n'est pas spécifique au contexte industriel, même si on retrouve cet attrait pour l'étude des sciences naturelles dans d'autres villes industrielles comme à Saint-Étienne. En 1833, la Société industrielle de l'arrondissement de Saint-Étienne a mis en oeuvre une bibliothèque, un « beau cabinet d'histoire naturelle » et s'attelle à mettre en oeuvre « un conservatoire de modèles et machines ». Les sociétés savantes de ces deux villes industrielles partagent une même vision saint-simonienne dans laquelle la collecte d'objets doit contribuer au « développement de l'intelligence et du travail parmi [les] concitoyens ». Le contexte manufacturier a contribué à l'essor des collections et à leur valorisation dans la perspective de les offrir au public.

Du cabinet de curiosités au musée d'histoire naturelle

À Mulhouse, les collections d'histoire naturelle vont ainsi constituer le premier musée : « la Société en fondant un musée d'histoire naturelle et d'objets de curiosité a compté sur une réunion de productions de la nature et de la science. » Ses membres entament une réflexion pour les valoriser : « Les collections qui augmentent journellement exigent un nouveau classement, une plus grande surveillance et nécessitent la création d'une commission spéciale des musées pour s'occuper d'une meilleure distribution des objets qui s'y trouvent. » Au nom de « la commission des musées », Engelmann s'adresse aux membres en proposant de prévoir un dispositif pour garantir aux « dépôts temporaires des objets d'art et autres curiosités » une conservation dans les meilleures conditions et permettre ainsi l'accroissement des collections, sans pour autant s'engager dans une politique d'acquisitions. Dans cette perspective, la SIM sollicite le soutien du ministère de l'instruction publique, en 1838, pour obtenir des objets en dépôt :

« La société industrielle a fondé dès l'origine de son institution un musée d'histoire naturelle que depuis lors elle s'est efforcée par tous les moyens en son pouvoir d'agrandir et de rendre plus complet. Bien que la pénurie de ses ressources ne lui ai pas permis de consacrer de fortes sommes à ces objets importants elle n'en possède pas moins aujourd'hui, grâce à des dons qui lui ont été faits, un fonds de collection, lesquels si elles continuaient à être enrichies, ne s'auraient manquer d'offrir un certain intérêt et pourraient surtout ainsi que la société se l'était proposé en le créant, servir à l'enseignement de ceux qui se vouent à l'étude des sciences auxquelles elles se rapportent (…) les frais que viennent de lui occasionner le local du musée ; et le classement des objets qu'il renferme ne lui permettront pas de longtemps songer à faire de nouvelles dépenses, et cependant il serait à regretter de voir tant de peine et de sacrifices rester en quelque sorte stériles, faute d'avoir pu continuer ce qui a été commencé. C'est dans cette fâcheuse position, Monsieur le Ministre, que la société prend la liberté de s'adresser à vous pour obtenir dans le moyen de votre protection, d'être comprise dans les distributions qui se font de temps en temps par la direction du musée royal du jardin des plantes, en objet de collections des différentes branches qui se rattachent aux sciences naturelles. »

La Société devait effectivement recevoir un certain nombre de pièces provenant du Museum d'histoire naturelle avec lequel elle est déjà en relation pour son jardin botanique. En 1839, un règlement du musée est élaboré pour assurer son fonctionnement et son ouverture au public. Le lieu est placé sous la responsabilité et la surveillance du comité d'histoire naturelle qui nomme plusieurs conservateurs bénévoles, selon leurs compétences scientifiques ou plus vraisemblablement leurs centres d'intérêt : collections de naturalisation (mammifères et oiseaux), collections géologiques, collections minéralogiques, fruits en cire et coquillages, collections de botanique. Le musée est ouvert aux écoles le mercredi après-midi et au public le samedi après-midi. Dans la perspective des industriels mulhousiens, le cabinet de curiosités et le musée d'histoire naturelle ne sont qu'un même projet qui participe au courant en faveur des sciences et de l'édification du public. La SIM se voit ainsi sollicitée pour que ses collections soient utiles aux écoles, notamment « les objets d'histoire naturelle nécessaires à l'enseignement de cette partie introduite depuis peu dans l'ordre des leçons ». Une pratique pédagogique qui rappelle l'usage des cabinets en Suisse dans la tradition du siècle des Lumières et dont l'influence apparaît logique à Mulhouse, notamment par les liens que certains membres entretiennent avec des savants bâlois.

-5-© PICST, Cnam, Hicsa, Labex CAP.

Cabinets de curiosités du XXI e siècle

La SIM est devenue le réceptacle idéal pour valoriser les collectes d'objets de ses membres les plus éminents, en associant la découverte scientifique à l'instruction, deux aspects à l'origine de la Société. Ces collections participent, au même titre que les écoles professionnelles, aux initiatives qu'elle mène en faveur de l'éducation. Dans le même temps, ce musée s'inscrit dans le développement des sociétés savantes locales qui oeuvrent pour valoriser des collections d'histoire naturelle où la dimension régionale est importante. L'influence germanique est aussi très présente, la tradition du Kunst-und Wunderkammern s'incarne dans l'aspect hétéroclite des collections.

Un autre élément décisif dans l'ouverture de ce musée, propre au contexte mulhousien, est la volonté des industriels de contribuer à la culture et à l'imagination des dessinateurs pour l'industrie textile. Adolphe Braun, dessinateur industriel avant de se consacrer à la photographie, publie un album lithographique destiné à servir de modèles aux dessinateurs où les herbiers et les collections de fossiles ont inspiré de nombreuses planches. Cet album participe à une autre collection, plus originale et plus spécifique à Mulhouse, rassemblée par la SIM dans la perspective d'ouvrir un « musée industriel ». Ce projet est évoqué en 1827, lorsque Daniel Koechlin-Schouch (1785-1871) présente aux membres l'idée de rassembler « une collection d'échantillons de toiles peintes qui puissent montrer les différents degrés que cet art a parcouru depuis sa naissance ». Dix ans plus tard, le projet est toujours en discussion, alors que des démarches ont été entreprises par le conseil d'administration de la SIM pour récupérer le fonds des échantillons conservés par le conseil des Prudhommes. Lorsque le comité des beaux-arts se met en place en 1831, sous la présidence de Godefroy Engelmann (1788-1839), les contours de ce musée restent encore flous entre « former une collection aussi complète que possible de l'industrie cotonnière et surtout celle du Haut-Rhin » et favoriser la formation des dessinateurs pour le textile. Des plâtres de statues du Louvre sont ainsi envoyés car « la perfection, la grâce et la beauté doivent être les compagnes de la science ». Les discussions montrent que le président de la commission défend à la fois l'idée d'un musée des beaux-arts et celle d'un « musée industriel du Haut-Rhin ». Cette position s'explique par la personnalité d'Engelmann, ancien élève de Regnault aux Beaux-Arts de Paris, qui développe la lithographie, et sa disparition prématurée ne met pas fin aux ambitions qu'il affiche pour sa ville. Il faudra néanmoins attendre quelques années pour que la SIM soit en mesure de présenter ses collections dans un véritable musée. La volonté d'oeuvrer à offrir une culture artistique aux dessinateurs pour les manufactures textiles est toujours la raison d'être du musée, mais l'évolution de la situation industrielle, après 1870, contribue à modifier la conception de certaines collections.

Le déploiement des ambitions muséales de la SIM

Les ambitions muséales de la SIM se déploient durant deux périodes. La première se déroule à la fin des années 1830, lorsqu'elle a accumulé des collections, notamment par le « dépôt temporaire d'objets de curiosités et autres ». En janvier 1838, une circulaire est adressée à tous les membres, en France et à l'étranger, pour présenter la situation des musées de la SIM et appeler aux dons :

« Notre Société qui compte aujourd'hui douze ans d'existence a formé depuis quelques années, à côté d'une bibliothèque d'ouvrages scientifiques, un musée d'histoire naturelle et d'objets d'art et de curiosité ainsi qu'un musée industriel destiné particulièrement à réunir des échantillons de tous les produits manufacturés de l'Alsace depuis les temps les plus reculés jusqu'à nos jours (…). Elle vient d'agrandir considérablement son local et les objets dignes d'être exposés au regard du public, pouvant désormais être plus convenablement disposés dans les vastes salles affectées à cette institution. À cette occasion la Société industrielle, confiante dans l'intérêt que doit inspirer à tout le monde et particulièrement aux habitants du Haut-Rhin une réunion de musées unique dans notre département, a été amenée à faire un appel à toutes les personnes du pays qui posséderaient des objets précieux d'art ou d'industrie, pour les engager à enrichir les collections de la société, soit à titre de dons, soit comme simples dépôts provisoires à charge de restitution sur première réquisition. Ainsi un grand nombre d'objets d'art ou d'antiquité, d'anciens échantillons d'industrie du pays, etc., disséminés aujourd'hui dans des collections particulières ou entre les mains de personnes qui tiendraient néanmoins à en conserver la propriété, pourront à cette condition, être déposés dorénavant dans un local où le public en jouira et où une parfaite conservation leur sera assurée, jusqu'au moment où le propriétaire témoignera le désir de les reprendre. Une commission spéciale et permanente est déjà constituée à cet effet et tous les objets confiés à la Société industrielle, soit à titre de dons, soit comme dépôts temporaires, seront enregistrés et étiquetés avec le nom du donateur ou du déposant. »

Cette circulaire montre comment le cabinet, pensé comme un complément à la bibliothèque, est devenu un musée ouvert au public dans une perspective philanthropique. Le parcours du musée repose sur la générosité des collectionneurs et, conscients de ses limites, un système de dépôts est proposé aux membres de la SIM. Ce procédé contribuera tout au long du siècle à l'enrichissement des collections et favorisera à terme les dons par les déposants ou leurs familles.

La deuxième période se situe durant l'annexion, à partir de la fin des années 1870, lorsqu'une politique muséale ambitieuse est mise en oeuvre. Depuis les années 1840, les collections n'ont cessé d'augmenter, sans que la SIM ne soit toujours en mesure d'assurer leur entretien et leur valorisation. Assez rapidement, et alors que l'appel aux dons et aux dépôts a rencontré un grand succès, les nouvelles salles ouvertes en 1837 se sont avérées insuffisantes. La SIM décide de se donner les moyens humains et financiers pour redéployer plusieurs musées et des projets qui n'ont pu être mis en oeuvre comme le « musée de peintures », confié en 1864 à la ville de Mulhouse et jamais ouvert au public. Durant cette période, la SIM est devenue un des lieux où les liens avec la France sont entretenus et encouragés, grâce aux membres qui ont quitté l'Alsace et aux correspondants dans les villes industrielles françaises. L'influence germanique n'est pourtant pas absente, elle va se manifester dans la construction d'un nouveau bâtiment qui exprime toute l'ambition muséale de la Société. Avant même sa construction, le premier musée à rouvrir est celui d'histoire naturelle dans une version revisitée du cabinet de curiosité où s'accumulent les objets du monde naturel. En 1878, les nouveaux statuts prévoient une ouverture au public plus étendue. Les comptes rendus du comité d'histoire naturelle révèlent qu'il a fallu attendre 1884 pour qu'une « ère nouvelle » s'ouvre. En employant ces termes, les industriels veulent montrer le travail scientifique de classement et les efforts de conservation. Entre 1878 et 1884, un vaste chantier se met en place pour traiter les animaux empaillés attaqués par les insectes, classifier et étiqueter chaque objet. Il débouche sur la conception d'une « exposition rationnelle » pour « rompre avec le système actuel d'exhibition qui consiste à exposer aux yeux du public la collection entière ». Des choix muséographiques se mettent en place dans une volonté de rationaliser le cabinet de curiosités afin d'en faire un musée scientifique. Un catalogue est même imprimé pour être vendu aux visiteurs. Les collections minéralogiques et animalières continuent de s'accroître par les dons des membres, désormais la SIM ne cherche plus à accumuler des objets, mais à développer « l'esprit d'émulation ». L'ouverture au public s'accompagne d'une véritable réflexion de l'usage des collections, tout en conservant une présentation sous vitrine et un aménagement des objets qui relève malgré tout du cabinet de curiosités.

« Des efforts aussi clairvoyants eurent comme effet d'encourager l'élan des protecteurs du musée et d'éveiller la curiosité de visiteurs de plus en plus nombreux. Ils prouvent surtout que le Comité d'Histoire Naturelle a compris qu'il ne suffit pas de vouloir créer, mais qu'il faut, pour qu'une création soit durable, que longuement mûrie et prudemment poursuivie, elle tende à un but précis et profitable, susceptible de marquer un progrès et de concourir au bien général. La richesse intrinsèque d'une collection s'effacera dans ces conditions devant la valeur instructive qu'une organisation pratique aura su lui donner. »

Les ambitions muséales de la SIM se sont incarnées à cette date dans la construction monumentale d'un bâtiment surnommé le « musée de la Société industrielle » dont l'architecture imposante, à proximité du siège de la Société et de la gare, incarne la volonté de faire de Mulhouse une ville de musées. Après le lancement du concours d'architecture, les propositions ont été scrupuleusement comparées par la commission du musée et les membres sont autant attentif à l'harmonie et l'élégance du bâtiment qu'à sa dis-position intérieure et à la question de l'éclairage des salles. L'emplacement est choisi pour sa visibilité : « l'accès doit être facilité au public autant que possible. Quel meilleur moyen de l'attirer que de le placer à sa portée, en vue de tous, et de solliciter chacun à y entrer par l'aspect même de la foule de ceux que l'on voit de loin se presser à sa porte ? » Ce nouveau bâtiment, inauguré en 1883, présente au rez-de-chaussée des espaces pour le musée industriel et technologique en cours de formation. Au premier étage ont été installés le « musée historique du Vieux-Mulhouse », le « musée archéologique » qui se résume à une salle où est présentée la collection de Frédéric Engel-Dollfus offerte à la SIM et une grande salle consacrée à un « musée ethnographique ». Au deuxième étage, le « musée des tableaux » est disposé dans une grande galerie, il est complété par un cabinet d'estampes et deux grandes salles prévues pour l'organisation d'expositions. Le bâtiment qui présente au-dessus de l'imposante porte d'entrée un cartouche où est inscrit « musée » a permis de proposer une organisation rationnelle des collections de la SIM. Cet ensemble ambitieux s'inscrit dans la vocation à l'origine des collections : favoriser la créativité des dessinateurs pour les manufactures ; mais il reflète aussi dans les préoccupations muséales de la fin du XIX e siècle en édifiant le goût du public :

« Le comité des Beaux-Arts, chargé par la Société industrielle de l'organisation du Musée dont nous nous occupons, consacre tous ses efforts à l'augmentation et au bon classement des collections qui lui sont confiées, mais en veillant soigneusement à ce que tous les objets qui y sont admis présentent le caractère artistique qui, seul, pourra maintenir à notre Musée le mérite que nous avons toujours tenu à lui donner : à savoir de fournir aux jeunes artistes et dessinateurs de bons modèles dignes d'être imités, et de contribuer autant que possible à former et à épurer le goût du public nombreux que nous désirons voir visiter nos collections. »

Dans l'hôtel de la SIM, le musée d'histoire naturelle « débarrassé de tout ce qui lui est étranger » a pu se déployer, au plus près de ses fondateurs et de ses utilisateurs. Situé à côté de la bibliothèque, il reste un lieu d'étude, même si son ouverture au public est élargie, provoquant des difficultés dans la surveillance des collections qui subissent plusieurs vols. D'autres salles, libérées par la construction du grand bâtiment, abritent le « musée du dessin industriel » constitué par l'assemblage de plusieurs collections. Le choix de conserver les collections naturalistes et les productions illustrant l'histoire de l'industrie textile, ensemble au siège de la SIM, relève d'une organisation pratique, mais aussi symbolique car ces objets incarnent l'idée originelle des collections avec la constitution d'un cabinet pour la science et l'industrie. La spécificité des collections mulhousiennes s'incarne dans cette double perspective.

Les collections muséales de la SIM sont indissociables de l'histoire de l'industrie mulhousienne où le textile gouverne, même si ne se réunissent pas que des manufacturiers, mais aussi des savants, érudits, ingénieurs qui tous participent à divers titres à un collectionnisme encyclopédique. Un véritable engouement pour les objets relevant autant des sciences naturelles que de l'art se propage et les travaux des comités ont certainement encouragé les membres à constituer leurs propres collections. Une pratique qui caractérise le monde des hommes d'affaires et des industriels au XIX e siècle, et qui dans le contexte d'une culture protestante revêt une finalité philanthropique qui justifie l'ouverture des musées. Frédérique Engel-Dollfus, connu pour sa sensibilité saint-simonienne, s'adresse aux membres de la SIM à l'occasion de l'inauguration du nouveau bâtiment « en recommandant l'étude des beaux-arts comme l'une des distractions les mieux faites pour réagir contre la tyrannie du coton ! » Une préconisation qui s'adresse autant aux industriels qu'à leurs ouvriers.

Du point de vue institutionnel, les collections mulhousiennes offrent une étude de cas intéressante car l'implication des municipalités, une règle à la fin du XIX e siècle, est ici remplacée par celle d'une Société où l'émulation se manifeste aussi dans les actions de philanthropie. C'est d'ailleurs un aspect mis en avant dans le « rapport de la commission constituée pour étudier le projet de création d'un nouveau musée, présenté par M. Auguste Dollfus » : « Quant au loyer même du terrain, la ville nous en fait la concession en considérant de l'avantage que nous lui offrons de construire, sans autre concours de sa part, un vaste bâtiment à la destination de musées. Tous nos musées en effet, nous le répétons, sont ouverts gratuitement au public ; ils servent à l'instruction de tous ceux qui veulent venir les visiter, et leur installation, ainsi que leur entretien, sont une charge municipale dans toutes les villes de quelque importance qui tiennent à honneur de posséder des institutions de ce genre. Nous pouvons être reconnaissants à notre municipalité de son concours éclairé, mais il doit nous être bien permis de dire qu'en cette circonstance nous ne sommes pas seuls à recevoir, et que la libéralité de la ville envers nous répond à une libéralité non moins grande que témoignent au public la Société industrielle et le groupe nombreux des souscripteurs qui lui permettre l'exécution de son nouveau projet. » L'annexion n'a fait que renforcer une situation déjà existante et le positionnement très francophile des industriels s'exprime dans les collections muséales. L'attachement à l'Alsace s'incarne dans l'essor d'un collectionnisme régionaliste, l'histoire naturelle s'exprime par les animaux empaillés trouvés à proximité de Mulhouse, comme les collections de minéraux ou encore les achats de peintures d'artistes alsaciens. L'enrichissement des collections muséales devait se poursuivre jusqu'à la Première Guerre mondiale, avant que la Seconde Guerre marque un coup d'arrêt définitif à la politique muséale de la SIM. En 1944, tous les bâtiments ont subi de lourds dommages liés aux bombardements de la gare toute proche, les salles où se trouvait le musée d'histoire naturelle, ont été complètement détruites et le grand bâtiment des musées est très endommagé.

  La période de l'après-guerre est marquée par des préoccupations plus urgentes que la rénovation des musées et il faudra attendre une dizaine d'années pour que le grand bâtiment soit restauré et rouvre au public avec un nouveau musée : celui de l'Impression sur Étoffes, héritier des collections industrielles de la SIM. Entre 1946 et 1956, le comité d'histoire naturelle rassemble les vestiges des collections naturalistes dans une villa donnée par une donatrice mulhousienne et il obtient le soutien du Museum d'histoire naturelle de Paris qui envoie un dépôt. Finalement, faute de moyens financiers et humains, le projet de rétablir le musée d'histoire naturelle est abandonné. Les objets du Museum regagnent Paris et les collections connaissent différentes localisations. Les animaux empaillés, une partie des coquillages et quelques minéraux sont déposés au lycée Schweitzer pour former un cabinet scientifique, perpétuant ainsi les pratiques des membres du comité d'histoire naturelle du XIX e siècle. Les collections minérales demeurent dans le bâtiment de la Société, avant d'intégrer l'école de Chimie. Aujourd'hui, le réseau « Musées Sud Alsace » qui rassemble une dizaine de musées à Mulhouse et dans les environs, se présente comme « le plus prestigieux réseau de musées techniques et de civilisation industrielle d'Europe ». Au-delà de l'opération de communication et du slogan touristique, l'inventaire de ces musées révèle comment la curiosité, la science et l'industrie ont connu de fortes mutations après la Seconde Guerre mondiale, malgré le destin chaotique des collections de la SIM. Une partie des collections qui formait le musée d'histoire naturelle a rejoint le musée Electropolis en 1992. La nouvelle muséographie, réalisée en 2003, repense le cabinet de curiosités pour y exposer les objets de la nature et techniques liés à l'histoire de l'électricité. L'objet est à nouveau envisagé comme un support à l'étude et à la découverte de la science dans une présentation évoquant l'ambiance des cabinets de curiosités. Leur renouveau, apparu dans les années 1990, explique cette mise en scène qui revendique une filiation avec le cabinet du siècle des Lumières comme le montrent les expériences de manipulations pseudo-scientifiques proposées aux visiteurs.

© PICST, Cnam, Hicsa, Labex CAP.Cabinets de curiosités du XXI e siècle


We show that pulse spectral broadening in normally dispersive nonlinear fiber amplifiers may be enhanced by introducing a suitable dispersion tapering. We obtain an analytical dispersion profile which permits to reduce pulse propagation in a varying dispersion fiber to the case of an equivalent fiber with constant parameters.

It is well-known that intense optical pulses with an initial parabolic power profile keep their shape and acquire a linear frequency chirp upon propagation in nonlinear optical fibers with normal group velocity dispersion (GVD) [START_REF] Anderson | Wavebreaking-free pulses in nonlinear-optical fibers[END_REF][START_REF] Dudley | Self-similarity and scaling phenomena in nonlinear ultrafast optics[END_REF]. In the additional presence of linear amplification, parabolic pulses enjoy the remarkable property of representing a common asymptotic state (or attractor) for arbitrary input optical pulses with a given energy, irrespective of their initial time duration or peak power [START_REF] Fernmann | Self-similar propagation and amplification of parabolic pulses in optical fibers[END_REF][START_REF] Kruglov | Self-similar propagation of high power parabolic pulses in optical fiber amplifiers[END_REF][START_REF] Kruglov | Self-similar propagation of parabolic pulses in normal dispersion fiber amplifiers[END_REF][START_REF] Finot | Asymptotic characteristics of parabolic similariton pulses in optical fiber amplifiers[END_REF][START_REF] Finot | Numerical and experimental study of parabolic pulses generated via Raman amplification in standard optical fibers[END_REF]. As well known, linear gain may be introduced in the normally dispersive fiber by means of external pumping, through the inherent Raman gain [START_REF] Finot | Numerical and experimental study of parabolic pulses generated via Raman amplification in standard optical fibers[END_REF] or by doping the fiber itself with rare-earth ions [START_REF] Fernmann | Self-similar propagation and amplification of parabolic pulses in optical fibers[END_REF][START_REF] Billet | Intermediate asymptotic evolution and photonic bandgap fiber compression of optical similaritons around 1550 nm[END_REF].

Because of their resistance to optical wave-breaking and self-similar amplification behavior, parabolic pulses or similaritons may lead to high-energy, ultrashort optical pulses when in combination with a linear dispersive grating pair [START_REF] Fernmann | Self-similar propagation and amplification of parabolic pulses in optical fibers[END_REF]. Moreover, the process of similariton formation in the normal dispersion regime permits the generation of intense ultrashort pulses in fiber lasers by avoiding the pulse break-up which is typical of optical solitons in the anomalous dispersion regime [START_REF] Ilday | Self-similar evolution of parabolic pulses in a laser[END_REF]. In the design and optimization of similariton-based amplifiers and lasers, it is of crucial importance to evaluate the transition from a given input pulse into its asymptotic similariton solution [START_REF] Billet | Intermediate asymptotic evolution and photonic bandgap fiber compression of optical similaritons around 1550 nm[END_REF]10]. Although this task is generally achieved by means of intensive numerical simulations, in recent work it was shown that the entire propagation dynamics of a parabolic pulse in nonlinear fiber optics amplifiers may be well described in terms of a simple finite-dimensional model involving two coupled ordinary differential equations for the adiabatic evolution of the pulse parameters [11].

Stable similariton pulses may also be generated in passive optical fibers, provided that a suitable tapering of the GVD profile (i.e., a hyperbolic decrease of dispersion with distance) is introduced [12]. First experimental demonstrations of this prediction have been reported only quite recently by using either a comb-like profiled dispersion decreasing fiber (DDF) [13], or a three-section DDF with linearly decreasing dispersion in each section [START_REF] Plocky | Experiments on the generation of parabolic pulses in waveguides with lengthvarying normal chromatic dispersion[END_REF]. A drawback of using passive DDFs is the presence of linear loss, which may negatively affect the pulse reshaping process whenever several km of fiber are involved. Moreover, since along a passive DDF the GVD decreases asymptotically to zero, the relative contribution of higher order GVD grows larger as the length of the DDF increases. As a result, pulse reshaping in the passive configuration may exhibit a strong sensitivity to third-order dispersion, that eventually lead to optical shock type instabilities [START_REF] Latkin | Theory of parabolic pulse generation in tapered fiber[END_REF]. It is therefore important to consider the possible benefits of combining amplification with dispersion tapering for the design of similariton-based nonlinear optical devices. Indeed, recent experiments have demonstrated that a hybrid approach for parabolic pulse generation consisting in adding Raman gain to picosecond pulse propagation in a suitably tapered DDF may permit to reduce the temporal broadening, and at the same time increase the spectral density of the generated parabolic pulses [START_REF] Finot | Parabolic pulse generation with active or passive dispersion decreasing optical fibers[END_REF].

In this work we show that it is indeed possible to obtain the asymptotic evolution of pulses propagating in nonlinear dispersive fiber amplifiers with varying parameters by means of a formal description involving an equivalent amplifier with constant parameters. Indeed, we will point out that the entire optical pulse propagation in a nonlinear DDF amplifier may be exactly described whenever the dispersion tapering is obtained as the solution of a Riccati equation.

Extensive numerical simulations confirm the validity of the proposed approach, and suggest that DDF fiber amplifiers may find important applications to pulse spectral broadening and supercontinuum generation, as well as telecommunication applications such as for example optical code-division multiple access.

BASIC EQUATIONS

The propagation of short optical pulses in a nonlinear optical fiber with linear gain and varying GVD may be described in terms of the dimensionless nonlinear Schrödinger equation

(NLSE) with varying coefficients 2 2 2 ( ) , 2 0 q q i D Z q q i q Z T β δ ∂ ∂ - + = ∂ ∂ (1)
where the dimensionless time is T=t/t 0 , distance is Z=z/L NL =zγP 0 , and

0 P Q q =
represents the dimensionless electric field, where L NL =1/(γP 0 ) is the nonlinear length. Moreover, t 0 , P 0 are arbitrary time and power units. In addition, β=L NL /L D is the ratio between the nonlinear length and the dispersion length at z=0, i.e. L D =t 0 2 /β 2 . The function

0 ) z ( D 1 > ≥
describes the longitudinal variation of the fiber GVD along its length. Finally,

δ 0 =Γ 0 /2=(G-α)L NL /2, G[m -1 ]
and α[m -1 ] are the power gain and loss coefficients of the fiber. It is convenient to rewrite Eq. [START_REF] Anderson | Wavebreaking-free pulses in nonlinear-optical fibers[END_REF] in terms of the new distance coordinate ξ and field amplitude u defined as [12] ) (

) ( 0 Z D q u dX X D Z = ≡ ∫ ξ (2) One obtains dZ dD D D q D Z q d dZ Z D T Z q Z u 2 2 / 3 1 2 1 1 ) ( ) , ( - ∂ ∂ =         ∂ ∂ = ∂ ∂ ξ ξ (3)
When one divides each term in Eq.(1) by D 3/2 , taking into account Eqs.(2-3) one finally obtains the NLSE with constant coefficients

u u i u u i u T β δ ξ ∂ ∂ - + = ∂ ∂ (4)
where we defined the virtual constant (i.e., ξ-independent) gain coefficient δ=Γ/2 and

0 1 1 ( ) ( ) ( ) dD Z D Z D Z dZ   Γ = Γ -     . ( 5
)
Since for a DDF one has dD/dZ<0, Eqs.(4-5) mean that, in a properly designed DDF, the evolution of the re-normalized complex amplitude u obeys the NLSE with both constant GVD and constant virtual linear gain coefficient δ. Eq.( 4) shows that the constant GVD is equal to the dispersion at the input end of the DDF (i.e., where D(Z=0)=1), whereas Eq.( 5) reveals that the constant gain coefficient δ (or Γ) is obtained by locally adding two Z-varying contributions, namely the sum of the physical gain coefficient δ 0 and of the virtual gain which is induced by the dispersion profile, both divided by the dispersion decrease function D(Z). As a result, we anticipate that dispersion tailoring may permit to reduce, with respect to a constant dispersion fiber (CDF), the linear amplifier gain which is necessary to achieve a certain amount of spectral broadening of the input pulses. Note however that the DDF length say, L DDF , in the presence of a given physical gain coefficient δ 0 , should be increased with respect to the length L of a CDF with the corresponding virtual gain coefficient δ, according to the relationship

. L dZ ) Z ( D DDF L 0 = ∫ (6)
From Eq.( 5), for any given set of δ and δ 0 , the optimal dispersion profile D(Z) of the DDF is obtained as the solution of the first-order nonlinear Riccati differential equation 2 0

, ( 0) 1. dD D D D Z dZ = Γ -Γ = = (7)
The solution of the above equation is well known in the theory of ordinary differential equations.

By following the simple steps as outlined in the appendix, one obtains from Eq.( 7) the dispersion profile ( )

0 0 0 0 ( ) 1 1 Z D Z e Γ   Γ Γ -Γ   = +   Γ Γ + Γ -     , (8)
which permits to calculate the integral in Eq.( 6) as

( ) { } 0 0 0 0 1 ( ) log 1 log , DDF DDF L L L D Z dZ e Γ   = = Γ -+ Γ - Γ   Γ ∫ (9) so that ( ) { } 0 0 1 log 1 log . L DDF L e Γ   = Γ -+ Γ - Γ   Γ (10)

ANALYSIS

We may express the field u in Eq.( 4) in terms of its intensity ρ and phase φ, or instantaneous

frequency T ) T ( ∂ ∂ - = φ ω [ ]       ′ ′ - = = ∫ T T d ) , T ( i exp ) , T ( i exp ) , T ( ) , T ( u ξ ω ξ ρ φ ξ ρ ξ (11)
We shall consider the propagation of initially chirp-free parabolic pulses of the type

     =         - = T ) ( C ) , T ( ) ( T T 1 ) ( ) , T ( 0 2 0 2 0 ξ ξ ω ξ ξ ρ ξ ρ (12)
for |T|<T 0 (ξ) (ρ=ω=0 otherwise), with C 0 (ξ=0)=0, in a DDF with initial (i.e., at ξ=0) normal dispersion at λ 0 =1550 nm of D 0 =-5 ps/(nm km). Note that the root-mean-square time width T rms and the full-width-at-half-maximum T fwhm of the pulse (11)(12) are related as follows:

where the input pulse energy U 0 =4ρ 0 (ξ=0) T 0 (ξ=0)/3.

To be specific, let us consider the following typical fiber parameters: the effective area is A eff =40 µm 2 , the nonlinear index is n 2 =3.2x10 -20 m 2 /W, and the SPM coefficient is γ=3.2 (W km) -1 . Moreover, we set t 0 =1 ps and P 0 =10 W, so that L NL = 31 m and β=0.197. 8) corresponding to the real DDF gain coefficient δ 0 =0.05 (this means a physical gain of 14 dB/km for the choice of fiber parameters as given above), and to different values of the virtual gain coefficient δ (namely, δ=0.125, 0.25 and 1, respectively) of the equivalent CDF (see Eq.( 4)). As it can be seen, the rate of decrease of the fiber dispersion coefficient D(Z) grows larger with δ. In particular, for δ/δ 0 =20 the dispersion decrease is mostly concentrated in the first 10% of L DDF . Moreover, in this case in most of the DDF the dispersion is close to its asymptotic value

05 . 0 ) Z ( D = ∞ →
(so that the actual DDF dispersion is equal to -0.25 ps/(nm.km)). This fact has two consequences: first, as the GVD is mostly close to its zero value, it is likely that the pulse amplification will be strongly affected by third-order dispersion. Second, it should be expected that pulse amplification in the DDF is not much different from the amplification that would be observed in a CDF with the dispersion value equal to the average (over the length L DDF ) dispersion of the DDF, which obviously reduces the interest in obtaining a special dispersion profiling as in Eq.( 8). Therefore, it appears that it is preferable to introduce a dispersion profile D(Z) associated with a smaller virtual CDF gain coefficient such as δ=0.25 or δ=0.125 (see Fig. 1(b)), since in these cases the DDF dispersion remains mostly above the corresponding asymptotic values of -1 ps/(nm km) or -2 ps/(nm km), respectively.

In addition to the dispersion profile information that is provided by Fig. 1, it is important to evaluate the real DDF length that in each case corresponds to a given length of the virtual CDF as described by Eq.( 4). This information is obtained by Eq.( 10) and it is displayed in Fig. 2, which illustrates in real units the DDF length as a function of the physical linear gain δ 0 , for a given value of the virtual gain coefficient δ=0.5. In Fig. 2(a) the length of the virtual CDF was set equal to 150 m: with this choice, the physical DDF gain of 14 dB/km (which corresponds to δ 0 =0.05) leads to a DDF length of 1 km (see vertical arrow in Fig. 2(a)). Whereas in Fig. 2(a) the horizontal arrow indicates the DDF length in the limit case of a passive (i.e., δ 0 0) DDF. As it can be seen in Fig. 2(a), with δ 0 <0.1 the necessary DDF length rapidly grows up to large values. Fig. 2(b) was obtained for δ=0.25: in this case the effective CDF length was increased from 150 to 350 m, so that again the DDF gain of 14 dB/km (i.e., δ 0 =0.05) results in a 1 km long DDF (see arrow in Fig. 2(b)).

As we intend to exploit the active DDF for pulse reshaping applications, an important question is which is the minimum DDF length that is necessary for entering into the so-called similariton propagation regime [START_REF] Billet | Intermediate asymptotic evolution and photonic bandgap fiber compression of optical similaritons around 1550 nm[END_REF]10]. Indeed, by applying to our case the analysis of ref. [11],

we may confirm that a 1 km long DDF with δ 0 =0.05, and a CDF length of either 150 or 350 m (for δ=0.5 or 0.25, respectively) is a sufficient length for reaching the self-similar or nonlinear amplification regime. For example, Fig. 3 was obtained (as figure 4 (a-b) of ref. [11]) from the finite-dimensional description of the evolution of the parabolic pulse parameters along the CDF: the empty dots indicate the distance for entering into the self-similar or similariton amplification regime. Fig. 3 corresponds to an input a parabolic pulse as in Eqs. (11)(12) with the energy U 0 =94 pJ, which propagates as described by the equivalent CDF equation ( 4 , where T 0 SS is defined by the second of equations ( 13). The plot of Fig. 3 confirms that the CDF length of 350 m is the minimum distance that is required in order that the amplification of the parabolic pulse fully enters into the self-similar amplification regime.

A parameter that permits evaluate the improvement which is brought about by introducing a dispersion decreasing profile is the ratio between the products of the physical gain coefficient times the length of the DDF, and of the same parameters for the virtual CDF, or R=L DDF δ 0 /(Lδ).

Figure 4 shows the dependence of the DDF gain/length product decrease factor R as a function of the physical gain coefficient δ 0 for a CDF length of 350 m and for the virtual gain δ=0.25: the arrow corresponds to a 1 km long DDF as in figure 2(b). Figure 4 shows that a 1 km long DDF with the physical gain coefficient δ 0 =0.05 leads to about 30% reduction of the gain/length product with respect to the equivalent virtual CDF. This means that, for relatively small values of the physical gain coefficient, the virtual gain improvement which is introduced by dispersion tapering overcompensates the drawback of the length increase of the DDF with respect to the equivalent CDF. This result is due to the nonlinear nature of the Riccati differential equation [START_REF] Finot | Numerical and experimental study of parabolic pulses generated via Raman amplification in standard optical fibers[END_REF] which determines the dispersion profile D(Z).

It is interesting to consider the case of a DDF with an initially (i.e., at z=0) twice larger (in absolute value) normal dispersion, i.e., we set D 0 =-10 ps/(nm km). With the choice t 0 =1 ps and P 0 =20 W, one obtains L NL = 16 m; note that the dimensionless β parameter remains unchanged at β=0.197. In Fig. 5(a) we compare the DDF dispersion profile that was previously shown in Fig. 1(b) (for δ 0 =0.05, δ=0.25 with L NL = 31 m), with the dispersion profile that is obtained with L NL = 16 m and δ 0 =0.025 (i.e., still 14 dB/km of physical gain for the DDF in real units, and β=0.197 whenever the initial dispersion is D 0 = -10 ps/(nm km)). The virtual CDF gain coefficient is maintained unchanged at δ=0.25 in both cases. In Fig. 5(b) we show, as in Fig. 2, the DDF length as a function of its gain coefficient δ 0 , in the case of the nonlinear distance L NL =16 m. Here the virtual gain coefficient of the associated CDF is δ=0.25, and its length is 175 m. The arrow indicates the case of a gain equal to 14 dB/km for the DDF (that is, δ 0 =0.025) and shows that L DDF is again equal to about 1 km. By computing a plot similar to Fig. 3, the choice of a 175 m length for the CDF corresponds to the minimum distance for entering into the self-similar regime for a parabolic pulse with input pulse energy U 0 =190 pJ that propagates in a CDF with the virtual gain coefficient δ=0.25 and L NL =16 m.

PULSE EVOLUTION

In this section we shall investigate in some details the pulse reshaping action of an active DDF with a dispersion decreasing profile adapted to the physical distributed gain as given by the solution (8) of section 2. In Fig. 6 we present a comparison of the evolution with distance of the RMS time width of different, but initially chirp-free, pulses in a CDF (i.e., with D(Z)=1) and in a DDF. In both cases the physical gain coefficient was set to δ 0 =0.1, which corresponds to 28 dB over the 1 km length of the fiber amplifier with the parameters as defined in Section 3 and the initial normal dispersion at λ 0 =1550 nm of D 0 =-5 ps/(nm km), and a virtual gain coefficient δ=0.5. We deliberately used here a linear gain which is twice as large as the value of 14 dB/km that was used in the previous section, in order to clearly show the convergence into the selfsimilar parabolic pulse (11-13) of different input pulses, for distances well within the DDF length of 1 km. In Fig. 6, the evolution in the DDF or the CDF of the RMS time width of a Gaussian pulse with the initial FWHM duration of 10 ps (hence 8.5 ps of RMS duration, since for a Gaussian pulse

rms fwhm T T 1774 . 1 =
) and 10 W peak power is indicated by a dot-dashed and a dotted curve, respectively. Whereas the corresponding RMS time width of an initial parabolic pulse with the same 10 ps FWHM (hence 6.3 ps RMS) time duration and peak power is indicated by a solid and a dashed curve, respectively. As it can be seen in Fig. 6, after a certain distance (about 400 m in the CDF and 700 n in the DDF) the two different input pulses converge to the same self-similar parabolic attractor. Moreover, in the similariton regime the time width of pulses in the DDF is considerably shorter than in the CDF: for example, at 1 km the output pulse RMS duration is equal to about 35 ps for the DDF versus 70 ps for the CDF. On the other hand, the evolution of the spectral width of the different input pulses in the two fibers as shown by Fig. 7 shows that the DDF leads to much larger spectral broadening than the CDF. Indeed, the output spectral width of the pulses they emerge from the 1 km long DDF is equal to 11.1 THz, as opposed to 3.7 THz for the CDF.

The details of the intensity profiles in both the time and the frequency domains of the Gaussian and the parabolic pulses as they emerge from the either the CDF or the DDF are shown in the top and bottom part of Fig. 8, respectively. As it can be seen in Fig. 8, the peak power of pulses from the DDF is nearly doubled with respect to the CDF, whereas the temporal width is halved. At the same time, Fig. 8 confirms that the spectral broadening of both parabolic and Gaussian pulses in the DDF is increased by about a factor of three with respect to the CDF. It is interesting to point out that, following the analysis of Sections 2-3, the same pulse evolution that is observed in the DDF of Figs. 6-8 could be observed in an equivalent CDF with a linear gain coefficient increased by a factor of five, that is as high as 140 dB/km (i.e., δ 0 =0.5 in dimensionless units). However, following Eq.( 9), the length of this CDF could be reduced to just 250 m, so that the actual integrated gain of the equivalent CDF would need to be equal to 35 dB. These considerations are confirmed by the numerical solution of Eq.( 4) with the parabolic pulse input condition (11)(12), as shown by the plots of Fig. 9.

The main advantage of describing the propagation in the DDF in terms its equivalent virtual CDF, is that this permits using the known asymptotic results of Eq.( 13) for the analytical prediction of the evolution of the parabolic pulse in the dispersion tapered amplifier. For example, by using Eqs. (11)(12)(13) one obtains (see Fig. 10(a In a similar manner, one may easily estimate the output FWHM spectral width of the linearly chirped parabolic pulses as they emerge from a given length of DDF (say, 1 km), by calculating the spectral width of the pulse at the output of the corresponding virtual CDF whose length is given by Eq.( 9). Indeed, in the self-similar or similariton regime the FWHM spectral width is As shown in Fig. 11(a), we have also applied the exact asymptotic expressions (13) to calculate the optimal input FWHM time width of a parabolic pulse versus the input pulse energy for the dispersion profiles shown in Fig. 5. Here we kept the DDF length fixed to 1 km, whereas its physical gain coefficient is δ 0 =0.025, and the virtual gain coefficient of the associated CDF is

EFFECTS OF THIRD-ORDER DISPERSION

As mentioned in the introduction, one of the major obstacles to the use of a passive DDF for similariton generation is the presence of third-order dispersion (TOD) which leads to propagation instabilities or shock formation [START_REF] Latkin | Theory of parabolic pulse generation in tapered fiber[END_REF][START_REF] Kodama | The Whitham equations for optical communications: mathematical theory of NRZ[END_REF]. Let us briefly consider the influence of TOD on parabolic pulse propagation in a DDF amplifier: the evolution of the pulse field envelope Q is described by the extended amplified NLSE

( ) 2 3 2 2 3 0 2 3 , 2 6 z z Q Q iQ i Q Q i Q T T β β γ δ ∂ ∂ + - + = ∂ ∂ (14)
where β 3 is the third-order dispersion. Figures 12(a-b) show the input (dashed grey curve) and output (after 1 km DDF with the physical gain δ=0.1) profile (in time and frequency domains, respectively) of an initial 10 W peak power, 10 ps FWHM parabolic pulse as it emerges from a DDF with no TOD (solid curves), and with all other parameters as in the case of Fig. 8. This should be compared with Figs. 12(c-d), where in numerically solving Eq.( 14) the TOD was increased from zero up to β 3 =0.025 ps 3 /km: as it can be seen, at 755 m the pulse exhibits a significant temporal and spectral asymmetry. Next, Figs. 13(a-b) show that after 779 m of DDF the pulse develops a shock in its leading edge, which corresponds in the spectral domain to significant amount of red-shifted radiation. Additionally, the plots of Figs. 13(c-d) show that when the TOD is reduced down to β 3 =0.015 ps 3 /km, the shock only develops after a 974 m long DDF. An approximate but analytical prediction for the critical distance at which a TOD-induced shock may be observed in an active DDF may be obtained from the Kodama's inequality [START_REF] Kodama | The Whitham equations for optical communications: mathematical theory of NRZ[END_REF]

0 3 2 3 4 1 ρ β β NL L > - (15)
where ρ 0 is the dimensionless peak power of the pulse. Eq.( 15), which was rigorously obtained for square optical pulses (i.e., nonreturn-to-zero or NRZ pulses), predict that a shock wave type of instability develops on the pulse whenever the TOD is large enough that the inequality is satisfied. It turns out that one may predict (with about 10% accuracy) the onset of an optical shock as the peak power of the pulse reaches 450 W at 779 m (see Fig. 13(a)), or 900 W at 974 m (see Fig. 13(b)), provided the path-average values of the GVD β 2 and of the pulse peak power ρ 0 are used in Eq.( 15). The advantage of using an active DDF in order to reduce the impact of TOD is clear from both the left-hand side of Eq.( 15), and the nonzero asymptotic value D(Z>>1)=Γ 0 /Γ of the dispersion profile [START_REF] Billet | Intermediate asymptotic evolution and photonic bandgap fiber compression of optical similaritons around 1550 nm[END_REF]. As shown by Fig. 1(a), in contrast with the passive case, in the active DDF the second-order dispersion does not vanish, hence the generated parabolic pulse will be less impacted by TOD. Note finally that, although in solving Eq.( 14) we considered a TOD that is constant with z, we may anticipate that a suitable TOD management may permit to counteract its negative influence on pulse propagation in DDF amplifiers.

However the detailed analysis of the influence of TOD on pulse reshaping by means of DDF amplifiers is beyond the scope of this paper, and we plan to discuss this issue elsewhere.

CONCLUSIONS AND ACKNOWLEDGEMENTS

In this work we presented a theoretical analysis of pulse propagation in a varyingdispersion, nonlinear optical fiber amplifier. We pointed out an analytical dispersion profile which permits to reduce optical pulse propagation to a description in terms of the amplified NLSE with constant parameters. We have analysed the influence of both the physical gain and of the dispersion tapering (or virtual gain coefficient) on the pulse reshaping properties of the active DDF. In particular, our analysis permits to obtain analytic relationships for both the optimal input pulse width and the corresponding output spectral width of the optical pulses. Additionally, by exploiting the known properties of the equivalent constant parameters amplified NLSE, one may determine, hence control the minimum DDF length which leads to the asymptotic amplification regime. Let us note that the proposed guidelines for the dispersion profile may be quite easily adapted to a comb like fiber set-up, where a set of carefully chosen normally

The integration constant C is determined by the condition that D(Z=0)=1, so that one finally obtains the required dispersion profile as given by Eq.( 8). pulse in a CDF (dashed (dotted) curve) and in a DDF (solid (dot-dashed) curve) with a physical gain δ 0 =0.1 in each case, and a virtual gain coefficient δ=0.5 for the DDF.

7. Same as in Fig. 6, for the RMS spectral width.

  Institut Carnot de Bourgogne, UMR 5209 CNRS-Université de Bourgogne, 9 Av. A. Savary, BP 47 870, F-21078 Dijon Cedex, FRANCE I INTRODUCTION

  Figure 1(a) shows the solution (8) for the dispersion profile D(Z) corresponding to the virtual gain coefficient δ=0.5, and to different values of the physical linear gain coefficient 0 0 δ δ ≤ ≤ . As it can be seen, in each case the fiber dispersion reduction coefficient D(Z) rapidly decreases in the first 100 m of DDF, whereas D(Z) decreases only slowly with Z at longer lengths, in particular for large values of the physical gain δ 0 .

Figure 1 (

 1 Figure 1(b) shows the dispersion profile D(Z) of Eq.(8) corresponding to the real DDF gain

  ) with β=0.2 and δ=0.25. As it can be seen, the shortest distance is obtained in correspondence of an input RMS pulse

  )) the dependence of the optimal input pulse as a function of the input pulse energy, for different virtual gain coefficients δ=0.25 or δ=0.125 of the equivalent CDF, and the fixed value of δ 0 =0.05 for the physical gain coefficient. As it can be seen from figure10(a), for input pulse energies U 0 close to 100 pJ, the input FWHM time width decreases from 10 ps to 6 ps as the CDF virtual gain coefficient (and the corresponding dispersion profile D(Z) of the DDF) is varied from δ=0.125 up to δ=0.25.

=

  Figure 10 (b) illustrates the prediction of Eqs.(11- 13) for the output FWHM spectral width of a parabolic pulse as a function of the input pulse energy, for a fixed DDF length of 1 km, the physical gain coefficient δ 0 =0.05, and different virtual gain coefficients δ of the associated equivalent CDF (corresponding to the different dispersion profiles which are shown in Fig.1). As it can be seen from Fig.10(b), for input pulse energies U 0 close to 100 pJ, the output FWHM spectral width increases from 2.8 THz up to 4.5 THz as the CDF virtual gain coefficient (and the corresponding dispersion profile D(Z) of the DDF) is varied from δ=0.125 up to δ=0.25.

δ=0. 25 .

 25 Finally, Fig. 11(b) shows the corresponding output FWHM spectral width of the parabolic pulse as a function of the input pulse energy, for the same choice of DDF and CDF parameters.

1 . 2 . 3 .

 123 Fiber length dependence of the dispersion profile with (a) δ=0.5 and different values of δ 0 or (b) with δ 0 = 0.05, and δ=0.125, 0.25, 1. Length of DDF (km) as a function of the physical gain δ 0 , for a virtual gain (a) δ=0.5 and CDF length of 150 m (the horizontal arrow indicates a passive DDF) (b) δ=0.25, and CDF length of 350 m. Vertical arrows at δ 0 =0.05 point to a DDF length of 1 km in both cases. Minimum distance for entering the self-similar regime for the equivalent CDF with δ=0.25, vs. the input parabolic pulse RMS time width, with input pulse energy U 0 =94 pJ. 4. Dependence of the ratio R of gain coefficient-fiber length product δ 0 L of the DDF and of the equivalent CDF, vs. the DDF gain δ 0 , for δ=0.25: the arrow indicates the δ 0 =0.05 case. 5. (a) Dispersion profile of the DDF for the nonlinear distance L NL =16 m (31 m), so that δ 0 =0.025 (δ 0 =0.05); the virtual δ=0.25 in both cases; (b) DDF length vs. δ 0 for L NL =16 m, with δ=0.25 and the CDF length of 175 m. The arrow indicates the 1 km DDF length for a physical gain of 14 dB/km. 6. Comparison of the evolution with distance of the RMS time width of a parabolic (Gaussian)

8 . 9 .

 89 Figs.6-7, but with the linear gain δ=0.5.

Figure 1 Figure 2 Figure 3 Figure 4 Figure 5

 12345 Figure 1

Figure 8 Figure 9

 89 Figure 7

Figure 10 Figure 11

 1011 Figure 10

dispersive fibers mimics the continuous dispersion decrease. An added benefit of using an active DDF, with respect to the passive case, is that in the active case the optimal dispersion profiles do not vanish as the DDF length grows larger, which reduces the deleterious influence of higher order dispersion. Finally, we provided a simple method to estimate the threshold for the onset of TOD-driven pulse instabilities in active DDFs.

We are grateful to A. Sysoliatin for several discussions on the practical design of dispersion decreasing optical fibers. This research was supported by the Agence Nationale de la Recherche (SUPERCODE project) and by the Conseil Régional de Bourgogne.

APPENDIX

In order to solve Eq. [START_REF] Finot | Numerical and experimental study of parabolic pulses generated via Raman amplification in standard optical fibers[END_REF] all that is needed is a particular solution. Take for example the constant