Rafael A Ando

Leonardo T Duarte

Christian Jutten

Romis Attux

A BLIND SOURCE SEPARATION METHOD FOR CHEMICAL SENSOR ARRAYS BASED ON A SECOND ORDER MIXING MODEL

Keywords: Blind source separation, chemical sensor arrays, ion-selective electrodes, quadratic mixing model

In this paper we propose a blind source separation method to process the data acquired by an array of ion-selective electrodes in order to measure the ionic activity of different ions in an aqueous solution. While this problem has already been studied in the past, the method presented differs from the ones previously analyzed by approximating the mixing function by a second-degree polynomial, and using a method based on the differential of the mutual information to adjust the parameter values. Experimental results, both with synthetic and real data, suggest that the algorithm proposed is more accurate than the other models in the literature.

INTRODUCTION

The problem of blind source separation (BSS) is an important cornerstone in signal processing theory [START_REF] Comon | Handbook of blind source separation[END_REF], with applications including audio signal processing, telecommunications, image processing, brain-computer interface design, analysis of seismic data, among others. To put simply, the BSS problem consists of estimating some signals, which we shall call sources, using measurements which are effectively a mixture of them, and possibly some a priori information on the nature of the desired signals and mixing process.

The common approach for solving the BSS problem starts with the hypothesis that the mixing process is linear and that the source signals are statistically independent, in which case successful algorithms such as the independent component analysis (ICA) [START_REF] Comon | Handbook of blind source separation[END_REF] have been proposed and extensively studied over the last years. However, there are applications for which the linear model is insufficient, and a nonlinear mixing model is required. Among the nonlinear BSS mixing models that have been studied so far, it is important to mention the The authors would like to thank CNPq, FAPESP, CNRS and ERC project 2012-ERC-AdG-320684 CHESS for the funding. The authors are also grateful to Karin Chumbimuni-Torres and Lauro Kubota for providing the data used in the paper.

post-nonlinear (PNL) [START_REF] Achard | Criteria based on mutual information minimization for blind source separation in post nonlinear mixtures[END_REF][START_REF] Duarte | Blind source separation of post-nonlinear mixtures using evolutionary computation and order statistics[END_REF], in which linear mixtures are further distorted by nonlinear functions before the measurement, and the linear quadratic (LQ) [START_REF] Hosseini | Blind separation of linearquadratic mixtures of real sources using a recurrent structure[END_REF][START_REF] Ando | Recurrent source separation structures as iterative methods for solving nonlinear equation systems[END_REF] model, which represents the mixtures as a second-order polynomial on the sources.

In this work, we shall focus on the problem of source separation for ion-selective electrode (ISE) arrays [START_REF] Duarte | A dataset for the design of smart ion-selective electrode arrays for quantitative analysis[END_REF][START_REF] Duarte | Application of blind source separation methods to ion-selective electrode arrays in flow-injection analysis[END_REF][START_REF] Duarte | Design of smart ion-selective electrode arrays based on source separation through nonlinear independent component analysis[END_REF]. ISEs are simple devices which are used for measuring the ionic activity (essentially the effective concentration of an ion) in an aqueous solution. An ISE consists of a sensitive membrane for which the electrochemical potential varies according to the concentration of a specific ion. A well-known example of ISE is the glass electrode used for measuring the pH value [START_REF] Mikhelson | Ion-selective electrodes[END_REF].

The problem of the ISEs, however, is that the membranes are not perfectly selective, which means that when trying to estimate the activity of a certain ion, the measurement will include an interference from ions different from the target one which are also present in the same chemical solution. Because the measurements are a mixture of the activities, a BSS paradigm can be used to separate the signals from each ion by using an array of multiple ISEs.

The problem of estimating the ionic activities based on ISE arrays has already been studied in the past, with the use of a Bayesian source separation method [START_REF] Duarte | A bayesian nonlinear source separation method for smart ion-selective electrode arrays[END_REF], sparsity-based methods [START_REF] Duarte | A sparsity-based method for blind compensation of a memoryless nonlinear distortion: Application to ion-selective electrodes[END_REF] and a PNL model [START_REF] Duarte | Blind source separation of post-nonlinear mixtures using evolutionary computation and order statistics[END_REF][START_REF] Duarte | Design of smart ion-selective electrode arrays based on source separation through nonlinear independent component analysis[END_REF]. In this paper, we will propose a different algorithm for the problem, in which we will model the data by a second-degree polynomial, and compare this approach with the PNL model previously mentioned.

In the paper, we will initially present, in section 2, a description of the BSS problem statement and how it relates to measurements with chemical sensor arrays. In section 3, we will then propose a solution to the problem, and present experimental results in section 4, as well as comparisons with previously analyzed methods. Finally, in section 5 a conclusion and future plans shall be presented.

PROBLEM STATEMENT

Blind Source Separation

Let us consider a set of N sources s

(n) = [s 1 (n), s 2 (n), ..., s N (n)] T and M mixtures x(n) = F [s(n)] = [x 1 (n), x 2 (n),
..., x M (t)] T , where n is the temporal index and F [.] is the mixing function. The goal of the source separation problem is to obtain the sources s(n) given the mixtures x(n), and possibly some a priori information on the properties of the sources (e.g. independence, sparsity, non-negativity, etc) and/or on the mixing process. The problem is said to be non-blind if the mixing function F [.] is known, and it is otherwise said to be blind. If the function F [.] is linear, the mixing function can be represented by a matrix:

x(n) = As(n) ( 1
)
where A is a N × M matrix. For the linear case, there are several classical methods in the literature that can solve the BSS problem under different priors for the sources. A very well-known class of methods is the independent component analysis (ICA), which can successfully separate the sources provided they are statistically independent, at most one of them has a Gaussian distribution, and the mixing function is invertible [START_REF] Comon | Handbook of blind source separation[END_REF].

For the nonlinear case, however, no general solution exists, and the problem has to be analyzed on a case-by-case basis [START_REF] Comon | Handbook of blind source separation[END_REF], depending on the nature of the mixing function. Among the commonly studied nonlinear models are the post nonlinear (PNL) [START_REF] Duarte | Blind source separation of post-nonlinear mixtures using evolutionary computation and order statistics[END_REF] and the polynomial model [START_REF] Deville | Recurrent networks for separating extractable-target nonlinear mixtures. part i: Non-blind configurations[END_REF].

Chemical Sensor Arrays

For the problem of chemical sensor arrays, let us consider a solution in which we have N different ions and M ion selective electrodes (ISE) to measure their activity, which are our sources. However, due to the interference problem, the values measured are actually a nonlinear mixture of the activities of each ion. According to the Nicolsky-Eisenman (NE) equation [START_REF] Bakker | Selectivity of potentiometric ion sensors[END_REF], this interference can be approximately modeled by the equation below:

y i (n) = e i + RT z i F ln   s i (n) + N j=1,j =i a ij s zi/zj j (n)   (2)
where e i is the standard electrode potential (a scalar constant), R is the universal gas constant, T is the temperature, F is the Faraday constant, z i is the valence of the ith ion, and a ij are the selectivity coefficients. The RT ziF slope is called the Nernst slope, and at room temperature of 25 • C, it is approximately 26mV, or 59mV if the logarithm is converted to base 10 (which is the standard practice in chemical applications).

In this paper, we will treat the case in which we have two sources and two electrodes, and the ions have the same valence (for example, Na + and K + ). In this case, (2) becomes 1 y = e + d • log (As)

(3) 1 The argument (n) has been omitted for clarity.

where A is such that a 11 = a 22 = 1, d is the vector containing the estimates of the slope for each ISE, and • denotes the Hadamard (entrywise) matrix product 2 . While the slopes represented by d can be theoretically calculated directly by ( 2), the empirical nature of the NE equation cannot always accurately model the data, and better results can be obtained by giving the model an additional degree of freedom, allowing it to vary the slope.

PROPOSED SOLUTION

Starting from (3), it can be seen that by calculating

x i = 10 y i -e i d i (4)
we obtain the modified mixture set x = As, which is a linear mixture of the two sources and can then be solved by classical linear BSS algorithms. This results in the classical PNL approach in which the difficult part is to estimate the parameters that correctly cancel the nonlinearity -in this case the slopes d. The electrode potentials e becomes only a scalar factor on each mixture, and is therefore unimportant. This amplitude ambiguity can usually be ignored in the BSS paradigm, since it is usually impossible to obtain the correct amplitude of each source without some additional information (because sources with different amplitudes can produce the same mixture set by adjusting the unknown coefficients).

An algorithm for estimating the Nernst slope has been proposed [START_REF] Duarte | A bayesian nonlinear source separation method for smart ion-selective electrode arrays[END_REF][START_REF] Duarte | Separation of sparse signals in overdetermined linearquadratic mixtures[END_REF] and was able to successfully separate the sources, though not perfectly. We propose here a different algorithm, in which instead of estimating the slopes d, we simply use the theoretical value of the Nernst slope given by (2) of d * = 59mV. Since the actual slope is close, but actually different from the theoretical value, by using d * in (4) we obtain:

x i = 10 y i -e i d i d i d * (5)
which leads to x = (As) d/d * , where the exponential is performed entrywise. We can see then that the mixture is no longer linear; but it should have a small measure of nonlinearity, since d i /d * ≈ 1. Therefore, a promising idea is that by modeling it by a second-order polynomial, the approximation would be very close to the actual model. The quadratic terms of this new mixing model would also be able to eventually correct small flaws in the actual NE model [START_REF] Achard | Criteria based on mutual information minimization for blind source separation in post nonlinear mixtures[END_REF]. Thus, our modified mixture set x can be modeled as:

x = As + Bs •2 + cs 1 s 2 (6)
where a 11 = a 22 = 1 and s

•2 = [s 2 1 , s 2 2 ]
T . This mixing model encompasses the class known as linear-quadratic model, for which one can find several methods to deal with [START_REF] Deville | Recurrent networks for separating extractable-target nonlinear mixtures. part i: Non-blind configurations[END_REF]. Since the mixing model is not as simple as the linear 2 The logarithm operation is also performed entrywise.

case, inverting it is no longer trivial, and a recurrent network seems indicated solve even in the non-blind case [START_REF] Deville | Recurrent networks for separating extractable-target nonlinear mixtures. part i: Non-blind configurations[END_REF].

Recurrent Network for Non-blind Model

The idea is that by rewriting the equation as

G[s] = As + Bs •2 + cs 1 s 2 -x = 0 (7)
where s •2 = s • s and • is the Hadamard product, we are able to use classical root-finding algorithms for nonlinear equation systems to solve the problem. One of the most popular such algorithm is the Newton-Raphson method [START_REF] Ando | Recurrent source separation structures as iterative methods for solving nonlinear equation systems[END_REF], which converges to the solution by applying the following iteration

y k+1 = y k -J -1 G (y k )G[y k ] (8)
where J G is the Jacobian of the system, which in our case is

J G = A + 2B • 1 1 s T + cs T 0 1 1 0 (9)

Parameters Estimation

For the blind case, we need a method for estimating the parameters of the model. We used a gradient-based ICA method for this: starting with random parameters, we vary them according to the gradient of a cost function that should be minimized for the correct parameters. For independent sources, we can use the mutual information (MI) as cost function and will therefore need an estimate of the differential of the MI, as proposed in [START_REF] Babaie-Zadeh | Differential of the mutual information[END_REF]. Let us start by defining what can be roughly interpreted as the "gradient" of the MI with respect to y:

β yi (y) = - ∂ log p(y) ∂y i -- d log p(y i ) i ( 10
)
which is the difference between the ith component of the joint score function of y and the marginal score function of y i . It can be proven that y has independent components if, and only if, β y = 0, ∀i [START_REF] Babaie-Zadeh | Differential of the mutual information[END_REF]. It is interesting to note that the score functions (i.e., the derivatives of the MI), and, by extension, the β y (y) defined in ( 10) can be accurately computed by efficient methods as described, for instance, in [START_REF] Pham | Fast algorithms for mutual information based independent component analysis[END_REF]. The "gradient" of the MI with respect to the parameter vector w, can be therefore calculated:

∂I ∂w = E ∂y ∂w T β y (y) (11)
and the iteration to find the parameters can be written as:

w k+1 = w k -µ ∂I ∂w k ( 12
)
where µ denotes the learning rate 3 . When applied specifically to the case of the second order model, and w = [w 1 , ..., w 8 ] T the coefficients that appear in

x = s 1 + w 1 s 2 + w 2 s 2 1 + w 3 s 2 2 + w 4 s 1 s 2 w 5 s 1 + s 2 + w 6 s 2 1 + w 7 s 2 2 + w 8 s 1 s 2 (13)
the matrix of partial derivatives can be calculated as

∂y ∂w = J -1 G (y) y 2 y 2 1 y 2 2 y 1 y 2 0 0 0 0 0 0 0 0 y 1 y 2 1 y 2 2
y 1 y 2 (14) Our proposed algorithm alternates between the iteration to estimate the parameters [START_REF] Deville | Recurrent networks for separating extractable-target nonlinear mixtures. part i: Non-blind configurations[END_REF] and the recurrent network capable of solving the non-blind problem [START_REF] Duarte | Design of smart ion-selective electrode arrays based on source separation through nonlinear independent component analysis[END_REF], until the parameters converge.

EXPERIMENTAL RESULTS

In order to measure the quality of the estimated solutions, the signal-to-intereference ratio (SIR) was used, which is defined as (in decibels):

SIR = 10 log 10 E{s 2 } E{(s -y) 2 } (15)

Simulated Data

For the simulated data, the sources were uniformly distributed in the [0, 1] interval and the first one was sorted, to make it easier to see on the time domain. This does not affect the statistical properties of the sources. We used e i = 100mV (typical electrode potential values), d = [55, 65] T (typical slopes estimated by the PNL), and mixing parameters a 12 = a 21 = 0.5. The ion valences are both equal to 1.

The algorithm was presented with the mixtures as given in (3), and after using standard values of 100mV for the potential and 59mV for the Nernst slope, we obtain a modified mixture set which can be separated with the described network. The sources, mixtures and estimates obtained in this simulation can be seen in Fig. 1. The SIR values obtained were 22.9 dB and 27.8 dB respectively, which can be considered good enough for our source separation simulation, especially in view of the fact that the model only approximates the data.

Another simulation can be done with the addition of white noise to the data, where we incrementally change the noise variation and calculate the obtained SIR as a function of the SNR for the proposed method, and the PNL, which is the method that best performed in the comparisons analyzed in [START_REF] Duarte | Application of blind source separation methods to ion-selective electrode arrays in flow-injection analysis[END_REF]. The results obtained can be seen in Fig. 2.

We can see that for high SNR (i.e., low noise) both methods obtain similarly accurate estimates, whereas for lower SNR the PNL obtains better result, though neither can be said to successfully separate the sources. This is expected, since in this simulation the PNL model characterizes the data exactly, unlike the quadratic network which just approximates it.

Real Data

For the real data, one of the limitations is that the set contains only 41 samples. Together with the fact that the NE equation used in the model is only empirical, it follows that the estimates will not be as good as the ones obtained for the synthetic data. In Fig. 3, we can see the actual sources as the concentrations of Na + and K + , in mol/L, measured during an experiment based on the FIA method for mixing the ions [START_REF] Duarte | Application of blind source separation methods to ion-selective electrode arrays in flow-injection analysis[END_REF]. We can also see in Figs. 4 and5 the mixture signals (as measured by the ISEs) and the modified version of the mixtures, after applying (4).

After using our algorithm on the modified mixture set, we obtain the estimates shown in Figs. 6 and7. The SIR obtained were 16.3 dB and 11.1 dB, respectively. For comparison, the PNL network obtains SIR values of 11.0 dB and 10.6 dB [START_REF] Duarte | Application of blind source separation methods to ion-selective electrode arrays in flow-injection analysis[END_REF], which shows a significant improvement for our proposed method on the first estimate, and a similar result for the Sources and estimates plotted after adjusting the amplitudes second one. Again, the better performance can be explained by the fact that the NE equation does not accurately model the real data, emphasizing the importance of the additional degrees of freedom yielded by our method. Indeed, in [START_REF] Mikhelson | Ion-selective electrodes[END_REF] it has been discussed that the mixing coefficients can vary depending on the concentrations of the ions, unlike what is described by the NE equation.

CONCLUSION

In this paper, we have presented a new algorithm for solving the BSS problem associated with the estimation of ionic activity with an array of ion-selective electrodes. We have compared our proposed network with the previous solutions based on a PNL modeling, and experimental results seem to show an improvement in accuracy.

In the future, we would like to further study the quadratic model theoretically used in this algorithm, by investigating its separability conditions and stability of the solutions. Another interesting line of research is to include a method in the algorithm to estimate the Nernst slope d as well as the quadratic parameters, resulting in possibly better results. Finally, it is also possible to expand the proposed network for a greater number of sources and electrodes, or sources that have different valences, allowing the proposed network to be used in a wider variety of experiments.

Fig. 1 .Fig. 2 .Fig. 3 .

 123 Fig. 1. Sources (left), mixtures (center) and estimates (right) for our simulation with synthetic data

Fig. 4 .Fig. 5 .

 45 Fig. 4. Mixtures obtained for the FIA experiment

Fig. 6 .

 6 Fig. 6. Estimates obtained in the FIA experiment

Smaller learning rates improve the algorithm's robustness at the expense of longer convergence times. In our simulations we used µ ∈ [0.001; 0.01].


Isabelle Fabre
email: isabelle.fabre@educagri.frhelene.veyrac@educagri.fr

Hélène Veyrac

Introduction

L'espace documentaire, réalité plurielle, semble difficile à définir, pourtant il est important à explorer car il est le territoire privilégié de l'organisation des savoirs et un espace de communication co-construit. Questionné dans le cadre théorique des Sciences de l'information et de la communication, il apparaît comme le socle du dispositif documentaire et découle d'une conception de la relation au public (Véron, 1989) 1 . Il ne peut être conçu comme une simple juxtaposition d'objets car il distribue une information organisée et il est lui-même une énonciation, résultat de la projection d'une pensée : il s'y glisse une subjectivité collective qui bâtit cet espace du savoir. Or, souvent pris entre contrainte architecturale, contrainte budgétaire et contrainte pédagogique, il est pensé principalement par le professionnel qui en a aussi la responsabilité matérielle.

Cependant, cette conception de l'organisation spatiale de l'espace documentaire, considéré comme un artefact, est en partie déterminée par les représentations que les professionnels de l'information -documentation se font des manières d'agir individuelles et collectives. « Dans le domaine de la communication médiatisée par les « artefacts », le nom que porte l'agir est : « usage » » (Jeanneret, 2007 : 3) 2 . Si leur travail peut s'enrichir de leurs propres représentations, il peut également tirer profit des représentations réelles des usagers et replacer la complexité de l'espace documentaire au coeur de la construction d'une culture informationnelle. En effet, « les usagers eux-mêmes peuvent par leur comportement et sans en être conscients contribuer à des déplacements ou à des masquages [du] projet [intellectuel du gestionnaire] » (Beguin-Verbrugge, 2002 : 335) 3 .

Mais, prendre en compte les usages d'un dispositif documentaire demande notamment d'observer les usagers au travers de leur activité, en collectant et en analysant les discours qu'ils portent sur leurs pratiques. On peut considérer que « l'usage du lieu est un processus 1 Véron E. (1989). Espaces du livre : perception et usages de la classification et du classement en bibliothèque. Paris : Bibliothèque publique d'information. 99 p. (Etudes et recherche). 2 Jeanneret Y. (2007). Usages de l'usage, figures de la médiatisation. Communication & langages n° 151, mars 2007, p. 3-19. 3 Béguin-Verbrugge, Annette (2002). Le traitement documentaire est-il une énonciation ? In Actes du XIIIe Congrès national des Sciences de l'information et de la communication (7-9 octobre 2002 ;Marseille). Les recherches en information et en communication et leurs perspectives : histoire, objet, pouvoir, méthode. Rennes : SFSIC. p. 329-335. complexe qui ne saurait être réduit à un comportement physique ou à une impression sensorielle, à une expérience émotionnelle ou à une compréhension logique, sa structure comprenant toutes ces dimensions » (Norberg-Schultz, 1997 : 11) 4 . Ainsi, peut-on penser l'usager comme s'inscrivant dans un espace fait de combinaisons complexes ? Ce questionnement de l'usage fait apparaître des lieux, des circulations, souvent invisibles, car éphémères ou passées. Les professionnels, confrontés à l'écart existant entre la manière dont ils imaginent l'appropriation de cet espace et les usages réels, ne pourraient-ils pas prendre en compte le rôle des représentations pour penser une médiation de l'espace documentaire ? La médiation désigne ici un ensemble d'activités avec des acteurs, des lieux et des temps (Lamizet, 1995) 5 , la médiation documentaire, elle, désigne une médiation des savoirs, où le professionnel en information-documentation est le médiateur qui permet à l'usager de trouver l'information dont il a besoin et pour lequel il met en place un dispositif documentaire adapté.

1-Usages de l'espace documentaire

1-1-Médiation de l'espace documentaire

Un espace documentaire est tout d'abord un bâtiment ou a minima une salle. L'architecte du bâtiment a donc produit un plan qui détermine l'espace matériel construit, l'agencement intérieur des différents sous-espaces et du mobilier. C'est un espace au sein duquel un savoir est organisé, « un lieu dans lequel sont rassemblées et organisées des collections pluridisciplinaires ou spécialisées sur tous types de supports destinés à des publics variés. » (Cacaly 2001, 223). Le professionnel de l'information, architecte des savoirs, pense et organise cet espace en réalisant un plan de classement hors des usagers qui le pratiquent. Or cet espace est un espace de circulation de l'ensemble de ces personnes. Ce sont donc deux plans qui se superposent, celui de l'architecte du bâtiment et celui de l'architecte des savoirs, que les usagers doivent s'approprier.

1-2-Analyse de la représentation graphique de l'espace documentaire D. Ochanine oppose "image cognitive" à "image opérative". Alors que les images cognitives sont "le reflet intégral des objets dans toute la diversité de leurs propriétés accessibles" (Ochanine, Kozlov,1971 : 225) 7 , et sont en ce sens des images relativement réalistes, les images opératives sont des représentations internes, subjectives, mentales du monde, "des structures informationnelles spécialisées qui se forment au cours de telle ou telle action dirigée sur des objets. Les caractères spécifiques essentiels des images opératives sont le laconisme et l'adéquation à la tâche. […] Ce qui caractérise le reflet des objets dans les images opératives consiste en un certain nombre de déformations fonctionnelles. Celles-ci sont en fait une mise en évidence et une accentuation des caractéristiques de l'objet, qui, dans les conditions d'une action donnée, revêtent une signification informationnelle particulière" (Ochanine, Kozlov,1971 : 225) 8 . Ainsi, les images opératives seraient essentiellement formées par les caractéristiques des objets directement utiles à l'action et en accentueraient les points les plus importants.

La représentation graphique sert alors à contourner le questionnement direct sur l'espace documentaire tout en permettant de s'interroger sur ses usages, par les perceptions naissant des images produites. Ces dernières peuvent ainsi être des outils d'émergence des représentations, comme le rappelle J. Ch. Lebahar en évoquant l' Histoire d'un dessinateur 9 de Viollet-le-Duc par ces mots : « la représentation graphique du monde réel et de ses objets, 7 Ochanine, D., Kozlov, V. (1971). L'image opérative effectrice, Questions de psychologie, 3, traduit in L'image opérative, Actes d'un séminaire et recueil d'articles de D. Ochanine, p. 225-251. 8 Op. cit. 9 Viollet-Le-Duc E. (1978). Histoire d'un dessinateur. Rééd. Bruxelles : Pierre Mardaga.

est une pratique de connaissance. Celle-ci consiste à interpréter ce monde en un langage spécialement conçu pour le transformer» (Lebahar, 1983 : 5) 10 .

1-3-La représentation graphique de l'espace documentaire

Nous tenterons de voir si les représentations graphiques de l'espace documentaire peuvent être révélatrices des usages du dispositif au travers des représentations mentales des différents acteurs. Ce croisement de représentations, dans une confrontation ici provoquée par le chercheur, éclaire une médiation où les processus d'appropriation et/ou de détournement existent au sein des usages. On rejoindrait ainsi la définition de la médiation comme action d'accompagnement et de construction de dispositifs d'interprétation qui produisent du sens et des liens (Gellereau, 2006)

2-Collecte des représentations croisées

Dès lors, pour explorer ces aspects, nous nous demanderons si les professionnels peuvent imaginer des appropriations de l'espace différentes des leurs et si oui, comment les anticipentils ? Par ailleurs, comment les usagers disent-ils s'approprier l'espace documentaire ? De quelle manière se caractérise la variabilité des représentations graphiques des différents usagers et sur quoi porte-t-elle ? Enfin, confronté à un échantillon représentatif de cette variabilité, le professionnel prend-il conscience du rôle de médiation de l'espace documentaire

2-3 Représentations singulières des élèves

Après les représentations mentales du professionnel (P) qui ont été saisies par la trace graphique et la confrontation orale, nous choisissons de placer les usagers-élèves comme guide de leurs propres usages au sein de l'espace documentaire, car ceux à qui il est destiné et qui contribuent à son fonctionnement, font partie intégrante de cet espace. Nous demandons aux élèves de "dessiner le plan du Cdi, le plus fidèlement possible, vu de l'intérieur, en dix minutes", en les regroupant dans une salle éloignée du lieu qu'ils doivent représenter. Pour traiter ce matériau, nous avons établi des critères de choix de cinq dessins dans l'objectif de constituer un échantillon représentatif de la diversité des seize dessins obtenus 17 .

Nous avons choisi dans l'ensemble des dessins de présenter ici les plus représentatifs.

Dessin élève 1

Dessin élève 2

Dessin élève 3

Deux des dessins proposent autour des tables, des chaises en nombre. Pour l'un d'entre eux, elles semblent même être un élément primordial dans l'espace documentaire (dessin 2). Tous les éléments ne sont pas légendés mais on remarque dans quatre dessins sur cinq une volonté 17 Les dessins se distinguaient notamment selon la présence ou l'absence (1) d'objets du mobilier, (2) d'indications écrites relatives au savoir documentaire (3) de la mention du professionnel (dessin d'un personnage, mention du nom du professionnel), (4) de la nature des déformations fonctionnelles (amplification / réduction d'espaces), et (5) de la justesse des dessins par comparaison avec le plan étalon. de qualifier, par les mots, des éléments qui ont trait aux ressources documentaires ("bibliothèque", "revue", "encyclopédie", "livres", "magazines horticoles", etc.). Les quatre éléments pressentis par (P) comme devant se trouver dans le plan des élèves sont, effectivement présents, mais seulement deux d'entre eux sont systématiquement mentionnés : le bureau du documentaliste et le groupe des quatre ordinateurs. Les archives ont seulement été nommées par deux élèves sur cinq (dessin 1) avec une erreur de positionnement pour l'un d'eux, et les magazines du coin lecture ont été repérés seulement par un élève.

3-Représentations croisées

3-1-Anticipation par le professionnel de l'appropriation de l'espace par des usagers L'analyse des représentations singulières de (P) montre que ce dernier a conscience de l'impact de l'usage sur la représentation graphique. Il n'a pas une vision "positiviste" mais affirme que tous les élèves n'ont pas tous la même représentation mentale du Cdi. En lui demandant de dessiner les éléments qui pourraient être malgré tout communs aux représentations graphiques des élèves, il a dessiné « sa représentation de ces représentations », et anticipé ainsi le laconisme et la sélectivité des images mentales des élèves ainsi que la déformation fonctionnelle.

On remarque que c'est toujours en réponse à une contrainte que (P) définit ces différents usages et explique la présence de tel ou tel élément de l'espace documentaire représenté. Pour (P), la contrainte agirait comme moteur principal de l'usage. C'est ainsi qu'il note que le « Le coin des ordinateurs » est une réponse à du travail à faire, la zone lecture « c'est un peu un refuge aussi pour eux dans le fonctionnement actuel de l'établissement aussi qui dans les règles de vie scolaire fait que soit on est en étude, soit on est au Cdi », le bureau des documentalistes « pour la pression que ça exerce, les rappels à l'ordre » ou encore, concernant la zone archives revues, « ils y ont passé tellement de temps, avec envie ou pas ».

Ainsi, (P) n'évoque pas de déformation qui serait due à l'investissement d'un espace pour des raisons non imposées comme le coin lecture pour le plaisir de lire, l'espace table pour travailler en groupe, les chaises pour rêver à son futur métier, les beaux livres sur les jardins pour le plaisir esthétique, etc.

3-2-Appropriation de l'espace par les usagers

Le plan, bâti entièrement par l'élève, sert de support au commentaire oral d'une visite virtuelle. Cet exercice, difficile au début, intéresse les élèves voire les amuse. Ils sont, au travers du dessin, confrontés tout d'abord au moment où l'on entre et à l'« atmosphère » de l'unité du lieu qui détermine des premiers éléments. Puis ils « séjournent » mentalement dans le lieu, cette phase est celle de la clarification, de l'accord que l'on doit trouver dans un lieu relié à un Tous ces points précisent la manière dont on use du lieu (Norberg-Schultz, 1997 : 10) 18 . En effet, c'est la relation extérieur/intérieur qui est essentielle et qui renvoie à l'identité du lieu.

On ressent une tension entre la volonté de préserver chez (P) l'espace du Cdi comme lieu public nécessaire aux pratiques d'apprentissage et l'envie de s'approcher, de la part de l'élève d'un espace plus personnel voire privé au travers de l'utilisation d'Internet et de la messagerie mais aussi de l'investissement affectif de certains éléments. « Je préfère m'asseoir à cette table [l'élève entoure la table du fond, près des fenêtres, le plus à gauche vers les rayonnages

puis là, cette partie, j'utilise plus [il hachure la « grande table »] je m'assieds plus ici, c'est trop vaste, il y a trop d'espace, on peut pas assez se réunir pour travailler ensemble… ».

Cette table, qui dans la plupart des dessins semble «manger » tout l'espace, offre par sa déformation matière à questionnement. Alors qu'on pourrait croire qu'il s'agit d'un signe de sur-investissement, la déformation renvoie plutôt ici à un rejet de la part des élèves. Leur espace préféré semble au contraire se loger dans les détails voire les parties confinées. Ni l'amplification, ni l'utilisation de légende ne nous semblent correspondre à une plus grande utilisation. La déformation chez l'élève se loge plutôt dans la précision et dans l'intégration de détails. C'est le cas par exemple des chaises et fauteuils qui créent une multitude (dessin 2).

3-3-Confrontation du professionnel aux représentations graphiques des usagers.

Nous avons confronté l'échantillon des cinq dessins d'élèves, dans le cadre d'un nouvel entretien semi-directif, à la représentation de l'espace documentaire du professeurdocumentaliste et à l'idée qu'il a pu se faire des représentations des élèves. Nous nous attachons à relever les écarts entre ce à quoi s'attend (P) et ce qu'il perçoit des données recueillies auprès des élèves. C'est de ces moments de déséquilibre que l'on espère créer un intérêt, et ici, lors de cette confrontation, tenter d'approcher le rôle que joue l'espace dans la médiation documentaire. Le Cdi peut être considéré comme un espace familier où l'habitude masque l'intensité réelle des choses. Pour l'interroger, nous utilisons un espace de communication et d'échange qui rend possible la rencontre entre les deux entités constituantes de l'espace documentaire : le professionnel et l'usager. Cette situation inédite, propice au questionnement permet de sortir de la sphère des représentations pour passer à celle de la réflexion. Nous avons misé sur le fait que l'étonnement permettrait ce passage. En effet, l'étonnement est source de plaisir et de satisfaction car il permet de démultiplier les potentialités de l'objet étudié dans l'observation. Il crée une rupture dans l'équilibre (Félix, Saujat, 2007) 21 . Il ne s'agit pas d'interroger en quoi l'espace documentaire est, en lui-même, étonnant mais plutôt d'interroger les raisons pour lesquelles chaque regard sur cet objet s'étonne.

supposés. Il relève ainsi la forte présence des chaises dans les dessins des élèves, alors que lui-même avait choisi de ne pas les représenter. Puis, alors qu'un élève inscrit un fauteuil près des fenêtres (dessin 3), (P) note « il n'y a pas de fauteuil là normalement ». (P) poursuit « normalement elles y sont pas, elles étaient entreposées là parce qu'un peu cassées, normalement il n'y a pas de sièges là sous les fenêtres directement ». Pourtant, l'élève a réellement investi cet espace, au point qu'en commentant son plan, il ajoute une table en face du fauteuil. C'est aussi la qualification de « panneau publicitaire » pour un présentoir de nouveautés, qui fait basculer cet élément de mise en valeur documentaire dans l'univers commercial. C'est encore, pour (P), apprendre que certains endroits vus par lui comme étant utilisés ne le sont pas par les usagers ou en tout cas pas déclarés comme tels. On peut alors s'interroger sur cette notion de lisibilité d'un espace documentaire : celui-ci est-il appréhendable en dehors d'un travail de signification documentaire ? En effet, certains auteurs avancent qu'"un bâtiment est "lisible" lorsque le repérage des différents secteurs par les usages s'effectue facilement. La signalétique fait partie des composants qui facilitent le repérage mais la disposition géographique et spatiale des différents éléments structurels de la bibliothèque, cernée à première vue par l'usager, est aussi déterminante." (Ledoux, 2006 : 35)

Conclusion

Au terme de cette recherche, l'espace documentaire, dans le contexte que nous avons défini, apparaît complexe dans sa représentation et induit des usages multiples. Nous avons pu mettre au jour cette complexité grâce à sa représentation graphique, à la confrontation des plans réalisés et des différents discours sur ces plans. D'une part la représentation graphique a permis une plongée dans le vécu de l'espace documentaire et a nécessité de cheminer dans le lieu par la pensée. La réflexion, née de ce moment de découverte de ses propres usages a fait alors émerger un intérêt pour son propre espace vécu. D'autre part, l'étonnement face à la représentation graphique de l'autre, a surgi lors de la confrontation. Le vécu unique est alors devenu partageable et a pu permettre de communiquer à partir de perceptions exprimées.

Autrement dit, l'étonnement, par l'interrogation qu'il a suscité, a amené à analyser plus finement encore les propres usages et les propres représentations de chacun, par la confrontation. Un intérêt pour l'espace vécu de l'autre émerge alors. Ainsi, les résultats ont montré que des professionnels peuvent avoir une représentation de l'espace documentaire qui ne rencontre pas forcément celle des élèves. Ces représentations, sans concorder ni se compléter nécessairement, sont riches d'éléments d'analyse. L'écriture de l'espace documentaire, incluant dans cet acte l'élève et le professeur-documentaliste, a paru possible ici.

Cependant, la représentation graphique des usagers proposée au professionnel pourrait s'enrichir de la confrontation aux discours produits lors de la réalisation des plans. Les discours, venant en surimpression, pourraient permettre une réelle appropriation du dessin de l'autre, de sa représentation et donc de son rôle actif dans la perception d'un espace.

L'espace documentaire semble se bâtir grâce à l'interaction des professionnels chargés de son agencement et des usagers qui le pratiquent confirmant en cela la notion d'espace de communication. La prise en compte des représentations multiples est peut-être une piste à envisager pour que puisse s'effectuer la rencontre. En effet, les différents acteurs, professionnel comme usager, peuvent avancer l'un vers l'autre en bousculant et partageant leurs propres représentations. Ainsi, l'espace documentaire pourrait s'écrire collectivement. L'appréhension de cet espace pourrait emprunter d'autres chemins que les enseignements documentaires traditionnels, notamment une concertation qui prendrait en compte la diversité des représentations et donc des usages. De cette rencontre naîtrait alors le terreau pour une coconstruction de sens de l'espace documentaire susceptible de faire émerger une médiation par le lieu.

  Ainsi si « la notion d'usage […] a longtemps été associée à un pôle récepteur opposé à un pôle concepteur, à la sphère des passions et des singularités individuelles, opposée à la sphère des organisations […] elle a trouvé les moyens de sortie de ces pré-structurations en se rapprochant d'une problématique des médiations et en affrontant la complexité des données qu'elle génère par ses démarches empiristes » (Souchier, Jeanneret, Le Marec, 2003 : 39) 6 . Il s'agit donc de saisir la complexité des usages de l'espace documentaire via la collecte des représentations mentales croisées pour analyser les processus médiateurs potentiellement engendrés par les choix d'organisation de l'espace documentaire, et à travers lui du dispositif documentaire.

  11 . La distinction élaborée par D. Ochanine permet de proposer une analyse des images recueillies, complétées par des entretiens, et d'aborder les images opératives en deux temps : d'une part le laconisme (absence d'élément) et la sélectivité (choix d'éléments) de ces images, et d'autre part leurs déformations fonctionnelles (amplification de certaines parties directement utiles à l'action). Cette recherche vise à montrer l'intérêt et les limites de la représentation graphique comme instrument de mise en évidence des variabilités des représentations mentales de l'espace documentaire.

?

  10 Lebahar J. C.(1983). Le dessin d'architecte : simulation graphique et réduction de l'incertitude. Paris : EditionsParenthèses, 1983. 132 p. 11 Gellereau, M. (2006). Pratiques culturelles et médiation. Sciences de l'information et de la communication : objets, savoirs, discipline, sous la dir. de Stéphane Olivesi. Grenoble : Presses Universitaires deGrenoble, 2006. p. 27-42. 2-1-L'espace documentaire particulier de l'enseignementNous avons investi le domaine de l'enseignement qui permet d'observer des structures relativement petites et au sein desquelles un professionnel de l'information porte seul la responsabilité de l'aménagement de l'espace documentaire. Par ailleurs, la représentation graphique comme support de collecte des discours paraît particulièrement adaptée aux usagers que sont les élèves. L'espace documentaire est concrétisé, dans l'enseignement secondaire, par le Centre de Documentation et d'Information (Cdi). Les professeurs documentalistes en ont une représentation que nous avons pu identifier lors d'une enquête précédemment menée 12 , et l'ensemble des discours collectés sur un même objet a pu témoigner de la perception multiple d'un espace pourtant unique dans sa fonction (Fabre, 2006) 13 . La représentation mentale est le support déterminant des enseignements et de l'organisation spatiale qu'ils conçoivent. Elle joue un rôle central pour les élèves dans l'accès aux documents, dans la formation aux savoirs documentaires et dans l'autonomie de la recherche documentaire. L'une des pratiques pédagogiques courantes, en début d'année, consiste en une visite guidée, inaugurant les « initiations au Cdi » de la rentrée scolaire, au cours de laquelle généralement ils complètent un plan muet. L'objectif annoncé, comme le suggère M. Gellereau est que « […] la visite guidée construit un monde fictif, commun aux interactants, qui donne accès à ce qui nous est étranger en nous le rendant familier […] » (Gellereau, 2006 : 265) 14 . Autrement dit, il s'agit de donner les informations nécessaires à l'utilisation du Cdi en spécifiant les différents sous-espaces, la place des différents supports d'information et la classification. L'investigation a été menée dans un lycée auprès d'un professeur-documentaliste et d'un groupe d'élèves 15 représentatifs d'usagers ayant déjà reçu des enseignements spécifiques 16 . 12 auprès des documentalistes de l'Enseignement agricole public. 13 Fabre I. (2006). L'espace documentaire comme espace de savoir : itinéraires singuliers et imaginaires collectifs. Doctorat en Sciences de l'information et de la communication, Université Toulouse 2. 14 Gellereau, M. (2006). Les mises en scène de la visite guidée : communication et médiation. Paris : L'Harmattan. 279 p. (Communication et civilisation) 15 L'enseignant est en milieu de carrière. Le choix de la classe s'est fait en collaboration avec ce dernier. Il s'agit d'une classe d'élèves de niveau BEPA 2 Exploitation (Brevet d'étude préparatoire agricole, 2 ème année. Exploitation, spécialisation : cultures sous abri). L'effectif de cette classe est de 16 élèves dont l'âge moyen se situe entre 16 et 18 ans.Nous avons mis en place un recueil des données en trois temps : celui des représentations du professionnel (le professeur-documentaliste), celui des usagers (les élèves) et enfin le recueil de la confrontation des représentations graphiques des élèves auprès du professeurdocumentaliste.2-2-Représentations singulières du professionnelLe recueil de données concerne, dans un premier temps, les représentations mentales du professionnel et vise à identifier l'anticipation éventuelle d'appropriations distinctes des usagers. Le professionnel (P) dessine sur une page l'espace du Cdi tel qu'il le perçoit puis tel qu'il imagine que les usagers se le représentent. Il est invité à commenter ce dernier graphique tout au long de sa conception. Nous demandons à (P) de faire apparaître les endroits où les élèves vont le plus souvent, puis, de montrer ce qu'il pense qu'ils ne mettront pas en évidence sur leur dessin. Pour entrer dans la logique supposée des élèves et évoquer ainsi leur cheminement, nous lui demandons d'anticiper les éléments qui, d'après lui, seront présents dans la représentation graphique des élèves. Les éléments de l'espace documentaire seront ainsi pointés non plus dans une globalité fantasmée mais au travers des usages qui se succèdent dans l'avancée dans l'espace.Plan du Cdi imaginé par (P) : ensemble des éléments pressentis dans la représentation graphique des élèves.Lors de l'entretien qui suit ce plan imaginé, (P) pressent quatre éléments fondamentaux qui seront pointés par les élèves. Il précise ainsi que les « premières choses qui vont apparaître dans la tête des élèves c'est le bureau puisqu'ils ont la contrainte de passer devant nous et de s'inscrire ». Puis ce sont les quatre ordinateurs car « ils viennent pour ça », puis « les archives de revues parce que normalement dans leur cursus ils ont travaillé sur ces documents16 Les professeurs-documentalistes de l'Enseignement Agricole ont un métier hybride : ils sont à la fois gestionnaire d'un CDI et enseignant en information-documentation. A ce titre, ils ont des heures d'enseignement inscrits dans des modules de certaines classes. Fabre I.,Gardiès C. (2007). Construction des compétences informationnelles dans l'enseignement agricole : une mise en oeuvre paradoxale. In Organisation des connaissances et société des savoirs : concepts, usages, acteurs. Actes du 6 ème colloque international du chapitre français de l'ISKO (International Society of Knowledge Organisation, 7-8 juin 2007, Toulouse, Université Paul Sabatier, p.185-203. plusieurs fois ». Enfin, « ces revues là, qui sont des revues généralistes » [coin supérieur droit du dessin]. Dans un deuxième temps, selon (P), les éléments qui doivent apparaître dans leur dessin, sont « les étagères de livres » mais il pense que leur nombre ne sera pas exact. « Les revues, mais je ne suis pas sûr qu'ils les aient repéré … enfin, si, ça dépend des élèves, eux [cette classe] sont particulièrement concernés par l'horticulture qui est là donc il y en a certains peut-être qui l'auront mentionnée. Il y a ce coin là aussi » [coin TV avec les fauteuils]. Pour (P), « la grande table là, ils l'investissent pas mal […] Certains élèves auront mis ça aussi peut-être [romans] […] Je pense qu'ils ont repéré biologie et horticulture, peut-être les usuels […] Le présentoir sera sûrement repéré mais plutôt parce que c'est souvent un obstacle ».

  de livres]. Je trouve qu'on y est plus tranquille. On est plus dans un endroit un peu plus confiné, on peut plus échanger. Je trouve que c'est plus sympa ici ». Le Cdi est de moins en moins un lieu que les élèves occupent à seule fin de consulter des documents. Le lieu confortable où l'on amène aussi son travail inscrit de plus en plus « des modes de sociabilité culturelle » (Souchier, Jeanneret, Le Marec ; 2003 : 254) 19 , mais s'écarte par là même de la recherche d'équilibre et d'homogénéité souhaitée par le professionnel, du fait de l'offre de services et de cette diversité d'usages qui se multiplient. Par ailleurs, en s'appuyant sur les travaux de Fischer pour lequel « l'analyse sémiotique de l'espace architectural consiste à montrer que les bâtiments sont à la fois des signes et des instruments » (Fischer, 1989) 20 , on peut noter qu'un espace perdure alors qu'il est en contradiction avec leurs usages. En effet, lors des entretiens, la « grande table » qui est omniprésente dans tous les dessins, sert principalement pour les cours et n'est plus guère utilisée volontairement par les élèves lorsqu'ils sont au Cdi de leur propre initiative. « Bon et 18 Op. cit. 19 Op. cit. 20 Fischer G.-N. (1989). Psychologie des espaces de travail. Paris : Armand Colin, 1989. 217 p.

  22 . Cela signifie-t-il, par exemple, que les professionnels sous-estiment le rôle des mobiliers dans la médiation documentaire ? Pourtant, (P) dans son discours signale les éléments de mobilier comme étant des objets contribuant à la médiation, mais il précise qu'« ils n'ont pas besoin d'être qualifiés » contrairement aux artefacts qu'il inscrit sur son plan et dont les dénominations désignent pour lui des savoirs comme « archives », « romans », « usuels », « horti », « bio ». Est-ce à dire que certains éléments sont porteurs de savoirs documentaires alors que d'autres objets ne portent rien ? Pourtant si on écoute l'un des élèves, il y a une forte interaction entre la proximité du fauteuil et le rapport de l'usager au livre. On peut même dire avec l'élève que la présence du fauteuil a une fonction réelle sur la lecture et qu'elle influence l'organisation des savoirs et son appréhension. Le commentaire de (P) sur le dessin 4, qui pour lui valorise cet aspect, est « on peut venir, on peut s'asseoir, c'est un lieu qui me reçoit, entre guillemets ».Par ailleurs, la présence de certains éléments semble rassurer (P). « Les archives, ils les ont tous repérées » […] « je ne suis pas surpris de voir qu'il y en ait aucun qui aient oublié les ordinateurs, je ne suis pas surpris qu'il y en ait aucun qui n'aient pas mentionnéle coin lecture ». Pourtant, les archives ne sont présentes que dans un dessin sur deux, et sur un second leur emplacement est barré. Même chose pour le coin lecture qu'ils positionnent en effet massivement mais, cela est spécifié lors des entretiens, comme un endroit repéré et non pas comme un espace investi. Il semblerait que ces espaces investis lors des cours soient différents des espaces fréquentés dans les moments libres. Les premiers vont alors apparaître, dans la représentation du Cdi, comme des usages contraints. Les résultats montrent que le professionnel imagine des modes d'appropriation de l'espace propres aux usagers, différents du sien. Ainsi, lors de l'entretien (P) s'interroge sur la consigne qui a été donnée aux élèves pour faire leur plan. « Ca dépend ce que vous leur avez dit : c'était à la fois en usage individuel ou en classe ? […] Parce que qu'il suffit qu'il se soit focalisé sur l'usage classe ou l'usage individuel » [pour expliquer les différences de représentations] 23 . Des élèves ont barré des zones d'espaces, pourtant utilisées pendant les périodes de cours, et les déclarent comme inusitées : (P) ne comprend pas pourquoi, alors que ce sont des espaces utilisés en cours. « C'est pas possible qu'ils ne soit jamais venus là ». Ils ont donc, selon (P) représenté leur usage libre mais pas leur usage accompagné par un de leur enseignant, dans le cadre d'un cours. (P) est clairvoyant face aux différents usages et à leur variabilité ; ainsi s'il distingue des usages différents entre les élèves, il distingue aussi plusieurs usages pour un même élève, qui peuvent ainsi co-exister. Par exemple, un usage libre, un usage dans le cadre de travaux de recherche documentaire imposé, un usage en situation de cours. (P) est étonné par le nombre de travées bien restitué par la plupart des dessins, et le niveau de détail important. Cela tend à lui montrer un niveau d'appropriation qu'il ne soupçonnait pas. Ainsi, il semble frappé par l'importance et la précision des dessins des élèves en particulier sur les mobiliers (tables, chaises, nombre de travées) alors que « dans le reste il y a beaucoup plus d'imprécision », peu d'indications en terme de ressources documentaires. La confrontation à l'ensemble des dessins, mis côte à côte fait dire à (P) qu'il est plutôt « agréablement surpris […] j'ai l'impression qu'ils se le sont approprié, c'est un lieu qui fait partie de leur vie scolaire ». Face au dessin 2 (P) souligne : « j'ai l'impression qu'il y en a certains qui peuvent valoriser l'aspect accueil, toutes ces petites chaises là, on arrive, on s'assoit […] ». Sur un des dessins, aucun mot n'a été utilisé mais son auteur a dessiné dans les plus petits détails les pièces techniques des ordinateurs et du photocopieur (dessin 3). (P) dit : « là çà me fait le même effet, on dirait presque qu'il y a le couvert là ; c'est tout l'aspect technologique qui est bien mis en évidence, mais aussi l'aspect accueil avec les fauteuils ». Mais tout de suite après il module sa première réaction en notant qu'il s'attendait à un espace plus « lisible » en terme d'organisation documentaire, il ajoute qu'il souhaite donc transformer ce lieu : « il faut qu'on fasse un travail de lisibilité de l'espace parce que même si ils placent des espaces qui n'ont pas besoin d'être qualifiés (les tables, etc.) dans le reste, il y a beaucoup plus d'imprécision, d'erreur». (P) ne fait pas de commentaires sur l'absence d'éléments de classification dans les dessins des élèves. Pourtant, il note ce qu'il pressent : « ils auront probablement pointé la biologie, l'horticulture et peut-être les usuels ». Au-delà, (P) semble agréablement surpris par « les détails dans le nombre de travées » […] « ils ont plutôt une bonne vision de l'espace […] j'ai l'impression que c'est un lieu qui leur est familier ». Les « pratiques vivantes » (Jeanneret,2007 : 16) 24 dans leurs multiplicités nous apparaissent plus déterminantes que les savoirs documentaires enseignés, dans l'appropriation de l'espace documentaire.

Norberg-Schultz C. (1997). L'art du lieu : architecture et paysage, permanence et mutations. Paris : Le Moniteur. 312 p.

Dictionnaire encyclopédique des sciences de l'information et de la communication / sous la dir.de B. Lamizet et A. Silem. Paris : Ellipses Marketing, 1997. p. 364.

Souchier E., Jeanneret Y., Le Marec J. (2003). Lire, écrire, récrire : objets, signes et pratiques des médias informatisés. Paris : Bibliothèque publique d'information. 350 p. (Etudes et recherche).

Félix C., Saujat F. (2007). Les débuts dans le métier d'enseignant. In Congrès international de l'AREF (Actualité de la Recherche en Education et en Formation), 28-31 août 200, Strasbourg. [En ligne : http://www.congresintaref.org/actes_pdf/AREF2007_Christine_FELIX_367.pdf ]

Ledoux, E. Bellemare, M., Trudel, L., Montreuil, S., Marier, M. (2006). La bibliothèque, un lieu de travail : guide pratique en ergonomie pour concevoir les espaces, Montréal : Editions ASTED, APSAM.

Lors de la consigne donnée aux usagers, nous n'avions pas évoqué les situations d'usage afin de ne pas orienter leur dessin.

Op. cit.

Dessin élève 3


D F F Baptista

R A Ando

L T Duarte

C Jutten

R Attux

Theoretical Studies and Algorithms Regarding the Solution of Non-Invertible Nonlinear Source Separation

In this paper, we analyse and solve a source separation problem based on a mixing model that is nonlinear and non-invertible at the space of mixtures. The model is relevant considering it may represent the data obtained from ionselective electrode arrays. We apply a new approach for solving the problems of local stability of the recurrent network previously used in the literature, which allows for a wider range of source concentration. In order to achieve this, we utilize a second-order recurrent network which can be shown to be locally stable for all solutions. Using this new network and the priors that chemical sources are continuous and smooth, our proposal performs better than the previous approach.

PROBLEM STATEMENT

The general blind source separation (BSS) problem consists in estimating sources, represented by the vector s = [s 1 , s 2 , ..., s n ] T , that have been mixed by an unknown function F (.), given only the mixtures x = [x 1 , x 2 , ..., x n ] T and prior information on the model or the sources.

x = F (s).

(

For a linear function F (.), the problem can be uniquely solved -up to scale and permutation ambiguities -by formulating a criterion of statistical independence, but this is no longer possible for a generic nonlinear mapping. [START_REF] Comon | Handbook of Blind Source Separation: Independent component analysis and applications[END_REF][START_REF] Hyvärinen | Nonlinear independent component analysis: Existence and uniqueness results[END_REF][START_REF] Jutten | Advances in blind source separation (bss) and independent component analysis (ica) for nonlinear mixtures[END_REF]. It is well known that the nonlinear BSS problem is very difficult to solve, since the generic nonlinearities can cause multiple statistical independent solutions that are still mixtures of the sources.

In the literature, we can find several approaches for dealing with specific nonlinear mixtures, such as the Post-Nonlinear (PNL) [START_REF] Comon | Handbook of Blind Source Separation: Independent component analysis and applications[END_REF][START_REF] Taleb | Source separation in post-nonlinear mixtures[END_REF] and the Linear-Quadratic (LQ) [START_REF] Hosseini | Blind separation of linear-quadratic mixtures of real sources using a recurrent structure[END_REF]. For the latter, a recurrent network has been proposed as part of the solving system, and, with some modifications, can also be used for a different mixing model which shall be analyzed in this paper, represented as follows:

x 1 = s 1 + a 1 s 2 2 x 2 = s 2 + a 2 √ s 1 (2)
This model describes data obtained from ion-selective-electrodes (ISEs), where we have two sources (i.e. chemical species) and two sensors. More details about the suitability of model ( 2) to the problem can be found in [START_REF] Duarte | Design of smart ion-selective electrode arrays based on source separation through nonlinear independent component analysis[END_REF]. Our main goal in this paper is to obtain an estimate y = (y 1 , y 2 ) of the sources s = (s 1 , s 2 ), when the exact selectivity coefficients a ij and the mixtures x = (x 1 , x 2 ) are known. For the mixing model ( 2), the nonlinearity creates a difficulty for being non-invertible, since two distinct source points can be mapped onto the same mixture. Indeed, as can be seen in Fig. 1, the model effectively "folds" the source space, and this folding depends on the selectivity coefficients, as seen in Fig. 2. For a given point in the mixture space x = (x 1 , x 2 ), it can be seen that the possible solutions are the sources y = (s 1 , s 2 ) and a mixture of the sources, given by:

y * = √ s 1 a 1 a 2 2 -1 + 2a 1 a 2 s 2 2 (a 1 a 2 2 + 1) 2 , -a 1 a 2 2 s 2 + 2a 2 √ s 1 + s 2 a 1 a 2 2 + 1 (3)
The folding frontier (i.e., the locus of the points for which y = y * ) is given by:

a 1 a 2 s 2 = √ s 1 . (4)
Since we are dealing with aqueous ionic solutions, we can restrict the sources concentrations to s i ∈ [0, 1]. In this region of interest, we shall henceforth call the points below and above the folding frontier regions 1 and 2 respectively, as seen in Fig. 3. It can also be seen that while some of the points in region 1 are mapped to an invertible area (i.e., y * is outside the region of interest, and therefore no ambiguity ensues), all points from region 2 are mapped to the non-invertible area.

RECURRENT NETWORK ANALYSIS

The use of recurrent networks to solve this problem has already been considered before by Duarte and Jutten [START_REF] Duarte | Design of smart ion-selective electrode arrays based on source separation through nonlinear independent component analysis[END_REF], who achieved good but limited results since the network used is not locally stable for all possible ionic concentrations. In order to solve this issue, a new approach that implements a second-order recurrent network based on the Newton-Raphson's method has been proposed [START_REF] Ando | Blind Source Separation in the Context of Polynomial Mixtures[END_REF]. The goal in using a recurrent network is to obtain the solutions of the model ( 2) numerically, since obtaining the analytical solution is not always straightforward.

Recurrent Network

The main idea to obtain a separating system is to represent (2) as

G(s) = s 1 + a 1 s 2 2 -x 1 s 2 + a 2 √ s 1 -x 2 = 0 (5)
Then, the source separation problem can be interpreted as a homogeneous nonlinear equation system and can be solved by root-finding algorithms such as the Newton-Raphson's method [START_REF] Ando | Blind Source Separation in the Context of Polynomial Mixtures[END_REF]. This leads to the following equation:

y(m + 1) = y(m) -µJ G -1 G(y(m)) (6)
where y is the estimate of the sources, µ ∈ (0, 1] is an adjustment scale factor, m is the iteration index of the network and J G is the Jacobian matrix of G. To avoid discontinuities in the derivatives when extending (2) to R 2 , we can use:

x 1 = y 1 + a 1 y 2 2 x 2 = y 2 + a 2 |y 1 |sign(y 1 ) (7)
which is the same model as [START_REF] Comon | Handbook of Blind Source Separation: Independent component analysis and applications[END_REF]

in the region of interest [0, 1] × [0, 1].
When the network converges, we obtain y(m + 1) = y(m), which is defined as a fixed point of the network. From (6), we can show that this happens if and only if G = 0, since J G -1 is non-singular.

Stability of Solutions

We can calculate the stability condition of Eq. ( 6), for all fixed points. It is well known that for discrete dynamic systems, if all eigenvalues λ i of the Jacobian matrix of the recurrence evaluated at the fixed point satisfy |λ i | < 1, the system is locally stable. Computing the Jacobian matrix at the fixed points, leads to:

J| G=0 = ∂y1(m+1) ∂y1(m) ∂y1(m+1) ∂y2(m) ∂y2(m+1) ∂y1(m) ∂y2(m+1) ∂y2(m) G=0 = 1 -µ 0 0 1 -µ (8)
From (8) we conclude that for µ ∈ (0, 1], the fixed points are always locally stable. According to this result, the stability problem found in [START_REF] Duarte | Design of smart ion-selective electrode arrays based on source separation through nonlinear independent component analysis[END_REF] no longer exists, since the solution (s 1 , s 2 ) is stable for all source concentrations. However, we now have to deal with a non-separating solution (3) that is also stable. Since the two solutions are always in different regions, it is important to know how to control which solution we want the network to obtain. Given a sufficiently small step for the network in ( 6) -e.g., µ = 0.1 -, if we initialize in (0.9, 0.1) and (0.1, 0.9) we converge to solutions in regions 1 and 2 respectively, as seen in Fig. 4. As a result, specifying the initial point can be used to reach the separating solution of the model.

Pivot Points

To have more knowledge about the solutions' trajectories near the folding frontier, we can look at Fig. 5. In Fig. 5a, we see the trajectory of the sources when it crosses the frontier. In Fig. 5b, we see two different trajectories in the (y 1 , y 2 ) plane: the one represented by squares, corresponding to the estimate when we initialize in region 1, and one represented by circles when we initialize in region 2.

From the initial point of the trajectory, we can see that the solution corresponds to the square estimate before crossing the frontier, and the circle one afterwards. Let us define the point when the solution crosses the frontier as the pivot. Moreover, the pivot is also the point at which the initialization should be changed.

After observing the behaviour of the trajectory of the sources and the estimates in several simulations, it was suggested that the correct solution should combine the estimates in such a way that the resulting signal would be as smooth as possible near the folding frontier. As can also be seen in Fig. 5, we can verify that, near the border, the correct solution is smoother than the alternative in which no change of initialization occurs. Therefore, using as priors that the source are continuous and smooth, we propose an algorithm that determines which initialization should be applied to the points at the non-bijective region in order to obtain the correct solution.

PROPOSED ALGORITHM

In this section, we propose an algorithm that identifies the pivots and the initializations that should be used to recover the signal. In the following sections, we will present the technical aspects of the proposed algorithm.

Identification of Potential Pivots

In order to identify the pivots, we calculate the entire estimate with only the initialization in region 1 and make a system that predicts, at a given point of the calculated signal, if the next point would cross the border. The prediction does not have to be very accurate, since it only identifies potential pivots. After identifying all pivots, we segment the signal into blocks in which all the points are either initialized in region 1 or 2. In Fig. 6 we can see two signals in each graph, a thin one representing the estimated sources obtained with initialization at region 1, and a thick one representing the real sources. The vertical lines represent potential pivots given by the algorithm, and as we can see, all points where the initialization should be changed were identified.

For the prediction of the next point, a factor based on the curvature of the trajectory of the estimates was included. This is because when the sources cross the border, the trajectories of the estimates tend to rapidly change their direction, yielding high curvature. The algorithm therefore considers such abrupt variations as an indicative that the next point is a probable pivot. For more details about how the prediction is done, one can look at the pseudocode in Table 1.

Classification of each Block

After segmenting the signal, we need to identify which initialization each block should be given. For that, we initially check for points outside the non-bijective area. As previously mentioned, we know that such points can only come from region 1, so we can safely initialize its corresponding block in it. For the remaining blocks, we select the initialization that maximizes the measure of smoothness around the pivot. We define smoothness as:

S(y) = Var(y 2 (n + 1) -y 2 (n)) (9)
where Var(.) is the empirical variance calculated in a N -sized window (N = 11 samples) centered around the pivot and n is the sample index of the signal. A pseudocode of the entire algorithm can be seen in Table 1:

Table 1. Pseudocode of the proposed algorithm 1. Using (6), obtain y, the estimate from initialization point 1.

2. For each point of y, predict the next point using:

ŷ(n + 1) = y(n) + λ(n) ∆y(n) ||∆y(n)|| (10) λ(n) = n i=n-4 ||∆y(i)|| 5 exp(1 -|cosθ|) (11)
where ∆y(n) = y(n)-y(n-1) is the last step, θ(n) the angle between ∆y(n+1) and ∆y(n+3), and λ(n) a scalar factor based on the curvature of the trajectory. 3. If ŷ(n + 1) is in region 2, store it as a potential pivot. 4. Segment signal into blocks separated by potential pivots. 5. Assign non-ambiguous blocks to region 1. 6. For the remaining blocks, test initializations in both regions and select the combination that minimizes the smoothness (9).

In this section, we analyse the performance of the proposed algorithm and compare it to the previous methods for solving the problem [START_REF] Duarte | Design of smart ion-selective electrode arrays based on source separation through nonlinear independent component analysis[END_REF]. We simulate sources by filtering a uniform random signal with a high order low-pass filter, with variable cut-off frequency. As one may notice, the smaller the cut-off frequency, the smoother the estimated sources obtained. To estimate the performance of the technique, we measure the Signal-to-Interference ratio (SIR) -defined in Eq. ( 12) -for each block of the signal.

SIR = 10 log 10 E{s 2 } E{(s -y) 2 } (12)
If a block's SIR is lower than a certain threshold, we consider that the estimates are wrong, otherwise we consider them correct. For our simulation, we used 15 dB as the threshold. We can then calculate the percentage of errors given by the algorithm.

First Scenario

In this simulation, we keep the sources' smoothness constant and vary the selectivity coefficients h, defined, for the sake of illustration, as a 1 = a 2 = h. Fig. 7 shows the average percentage of errors, for 300 trials for each h and 20 different h ∈ [0.1, 0.95]. We can verify that for selectivity coefficients h < 0.6, results for both the proposed network and the previous one can be considered similar. However, for h ∈ [0.6, 0.9] our approach yields considerably better results. For h > 0.9 (i.e. for ill-conditionned mixtures), the errors with the two methods are above 10% and grow rapidly with h, and we can consider that both methods fail.

Second Scenario

In the second scenario, we keep the selectivity coefficients constant (h = 0.8) and vary the sources' smoothness by adjusting the filter's cutoff frequency. As we can see in Fig. 8, for all cutoff frequencies tested, the proposed algorithm performed better than the previous technique.

We can also see that regardless of the signal's smoothness, the percentage of errors in our technique remains roughly constant and very low (about 2%), which suggests the smoothness of the sources do not interfere in the algorithm's performance.

CONCLUSION

In this paper we considered a problem of source separation in non-invertible nonlinear mixtures derived from an application in which chemical sensor arrays are used to measure ionic concentrations. For the simple case of two mixtures and two sources, we proposed a new method for solving the problem which has better stability properties. The nonlinear mapping studied presented difficulties caused by the existence of multiple solutions, which makes the model non-invertible. Nonetheless, our proposed method was capable of solving it using the prior source smoothness, and experimental results attested to the efficiency of the method even when the mixture is ill-conditioned.

Future works include extending the method to the blind case (i.e. when the mixing coefficients are unknown) and investigating other approaches, such as how the overdetermined scenario (i.e., with more sensors than sources), could provide additional information which would help solve the non-invertibility problem.

Fig. 1 . 2 Fig. 2 .

 122 Fig. 1. Illustration of the folding of the source space

Fig. 3 . 2 Fig. 4 .

 324 Fig. 3. Mapping of the frontiers in the source and mixture spaces

2 Fig. 5 .

 25 Fig. 5. Trajectories near the folding frontier.

2 Fig. 6 .

 26 Fig. 6. Block segmentation of the estimates. Thick and thin curves represent the sources and the estimate, respectively.

Fig. 7 .Fig. 8 .

 78 Fig. 7. Simulation results for fixed source smoothness and varying selectivity coefficient

⋆ The authors would like to thank FAPESP, CNPq, CNRS and ERC project 2012-ERC-AdG-320684 CHESS for the funding.