Claire Tardieu

Positionnement correctif dans les interactions orales en tandem anglais-français

Keywords: Sato&Sato, 2013) Apprentissage des langues Tandem language learning, corrective feedback, L1/L2 oral interactions

Cet article concerne une expérimentation menée à

Introduction

Cette communication concerne une expérimentation menée à l'Université de la Sorbonne Nouvelle dans le cadre du projet Jeunes chercheurs SITAF (Horgues&Scheuer, 2012-2014) qui a permis la constitution d'un corpus vidéo de 21 dyades placées en situation d'interactions en tandem anglais-français (25h d'enregistrements vidéos). A ce corpus s'ajoutent des métadonnées récoltées à l'issue des enregistrements, soit 84 questionnaires remplis à l'écrit par les participants à l'issue de l'expérimentation et 42 entretiens sur la rétroaction corrective réalisés à la suite et menés par un chercheur.

Du point de vue théorique, cette recherche s'inscrit dans l'interactionnisme et la théorie socioculturelle de la communication (Vygotski, 1981 ;Lantolf, 2000 ;Swain, 2000 ;Léontiev, 1981 ;Wertsch, 1985). L'échange tandem est une pratique intersubjective coconstruite par les partenaires en fonction de leur personnalité, de leur vécu et de leur motivation. Elle doit également à la théorie de l'activité, dans la poursuite des travaux de Léontiev (1981), qui postule que « la nature de l'interaction dyadique dépend étroitement des objectifs des participants, et de l'existence ou non de buts communs partagés entre ces derniers » (Storch, 2004 : 457). Nous nous appuyons en particulier sur les travaux d'Yves [START_REF] Clot | La fonction psychologique du travail[END_REF] qui distingue l'activité projetée de l'activité réalisée.

Au plan méthodologique, nous avons choisi de combiner une approche quantitative (entretiens transcrits codés sous CLAN et questionnaires sur Excel) et une approche qualitative [START_REF] Raby | Entre faux débats et vraies distinctions. Réflexions sur les méthodes de recherches empiriques en didactique de l'anglais[END_REF] avec l'analyse d'enregistrements de dyades. Comme le détaillera la partie 2 de l'article, l'apprentissage en tandem repose essentiellement sur un déséquilibre de compétence langagière entre les interactants(l'apprenant est moins expert dans la L2 que son partenaire tandem pour qui il s'agit de sa langue natale, et vice versa) ; d'autre part, il tire parti de l'engagement réciproquedes partenaires tandem à s'aider mutuellement à progresser dans la L2. L'aide du/de la locuteur natif de la dyade se fait au travers du modèle positif ou input authentique (« positive evidence »pour [START_REF] Long | The role of linguistic environment in second language acquisition[END_REF]etGass, 2003) émanant de la parole native, mais aussi des indications (interventions verbales) qu'il/elle peut fournir concernant la non-conformité des formes produites par l'apprenant (output) par rapport à la forme cible en L1 (« negativeevidence » pour [START_REF] Long | The role of linguistic environment in second language acquisition[END_REF]etGass, 2003). Cette deuxième forme d'apport correspond à ce qui est plus communément appelé rétroaction corrective (« corrective feedback », Lyster&Ranta 1997[START_REF] Lyster | Recasts, repetition, and ambiguity in L2 classroom discourse[END_REF]Lyster&Sato, 2010 ;[START_REF] Mackey | Feedback, noticing and instructed second language learning[END_REF]Lyster, Sato&Sato, 2013) dans la littérature sur l'acquisition-apprentissage des langues étrangères et secondes souvent centrée sur la rétroaction corrective dispensée par les enseignants en classe de langues. Dans cet article, nous appliquons le concept de rétroaction corrective aux interventions verbales à fonction corrective des locuteurs natifs des dyades tandem. Par simplification, nous les désignerons aussi par le terme de « correction(s) », que nous utilisons commesimple synonyme sans qu'il revête les connotations négatives de prescription ou stigmatisation parfois attribuées à la personne qui les produit. Concrètement, il s'agit de croiser les réponses aux entretiens et aux questionnaires portant sur la correction du lexique, de la grammaire et de la phonologie avec les corrections réellement effectuées dans les interactions en tandem.

La question de recherche est la suivante : dans quelle mesure y a t-il cohérence entre la représentation des pratiques de correction du lexique, de la grammaire et de la phonologie et les pratiques correctives elles-mêmes ? Comment cela éclaire-t-il le positionnement correctif des partenaires tandem ? Après avoir présenté le cadre théorique et le protocole de notre recherche, nous présenterons nos hypothèses puis, nous analyserons les résultats pour tenter de les confirmer.

Le cadre théorique et conceptuel

Le tandem linguistique

Rappelons brièvement ce qu'est tandem : il s'agit d'une pratique collaborative développée en premier par l'Office Franco Allemand de la Jeunesse (OFAJ) après la seconde guerre mondiale et qui visait à rapprocher les jeunes Français et Allemands à travers une pratique d'échanges linguistiques et culturels. Cette pratique s'est ensuite développée et a gagné du terrain en Europe avec les travaux de Brammerts (Université de Bochum, 1993, 2003, 2006) et Calvert (Université de Sheffield). A la fin des années 90, la France a participé à un projet Lingua D visant à diffuser le tandem universitaire dans l'enseignement secondaire (Reymond, Tardieu, 1998). Les travaux de Brigitte Helmling (2002[START_REF] Helmling | Group work with peers: pairs advise pairs[END_REF] ont permis de consolider cette pratique qui se développe considérablement aujourd'hui dans les universités à la faveur de la mobilité étudiante. On note ainsi une implantation de tandem en Roumanie (Bagiag, Guy, 2014) et dans d'autres pays européens.

Tandem repose sur deux principes : autonomie et réciprocité.

Le principe d'autonomie

Autonomie, car les apprenants de langue définissent eux-mêmes leurs objectifs et leurs conditions d'échange. Le concept d'autonomie, du grecautonomia -signifie « qui jouit de sespropreslois » (Littré) oucomme le ditHolec: « the ability to take charge of one's own learning, to have, and to hold, the responsibility for the decisions concerning all aspects of this learning » (Holec, 1981 : 3). Cette définition radicale peut être plus ou moins modulée selon le degré d'intégration du tandem dans le cursus universitaire ou scolaire. Notre expérimentation propose un protocole plus restrictif (dans le sens où les tâches de production et consignes ont été suggérées aux participants pour permettre la comparaison entre paires).

Le principe de réciprocité

Quant à la réciprocité, ce terme désigne la relation entre les partenaires tandem qui utilisent à parité temporelle égale chacune des deux langues, ce que l'on nomme parfois familièrement le 50/50. Qu'il s'agisse de tandem à distance ou présentiel, d'échanges écrits ou oraux, la règle d'origine est de veiller à cette équité entre les deux langues : la moitié du temps d'échange oral, ou la moitié du message écrit sont consacrés à une langue, puis l'autre moitié à l'autre langue. Tandem impose aussi que les deux partenaires aient pour démarche d'apprendre ou de perfectionner leur maîtrise de la langue natale de l'autre. Il est ainsi entendu qu'on ne pourra échanger, en tant que « plus expert », qu'avec un partenaire désireux d'apprendre notre langue natale, et vice-versa.

La théorie socioconstructiviste

Comme nous l'avons dit en introduction, notre recherche s'appuie sur la théorie sociocontructiviste (Vygotski, 1934(Vygotski, , 1985) ) qui prend le contrepied de l'épistémologie génétique de Piaget et postule que c'est l'interaction avec un adulte ou un « plus expert » qui permet à l'enfant de développer ses capacités cognitives. Autrement dit, l'interaction précède le développement et non l'inverse. La notion de « plus expert » est importante ici puisque dans le cadre de l'échange en tandem, chacun des deux partenaires remplit cette fonction à tour de rôle. D'autre part, le concept d'étayage fourni ultérieurement par Brüner (1991) paraîtparticulièrement convenir à ce type d'apprentissage autonome et réciproque, puisque l'expertise de chaque partenaire (bien qu'il ne s'agisse pas de professionnels de la pédagogie) est suffisamment avérée pour créer ce déséquilibre dans l'interaction, cette inégalité de compétence linguistique. Cependant, contrairement à la situation enfant-adulte où la relation d'inégalité ne s'inverse pas, dans le cas de Tandem, l'inversion des rôles est constitutive. Ce qui permet à chacun d'expérimenter successivement deux fonctions sociales différentes et donc, d'être tour à tour celui qui produit ou reçoit l'étayage.

La théorie de l'activité

La théorie de l'activité de Yves [START_REF] Clot | La fonction psychologique du travail[END_REF] est particulièrement adaptée à notre recherche car elle s'empare de la distinction entre le dire et le faire, entre la représentation de l'action et l'action proprement dite. Ceci inscrit notre recherche dans une démarche compréhensive : comment les acteurs d'un échange envisage-t-il cet échange ? Le positionnement, le stancetaking de chacun par rapport à leur rôle dans l'activité d'interaction orale, nous paraît faire partie d'un corpus d'analyse au même titre que les données de l'activité elles-mêmes.

L'hypothèse du repérage et la rétroaction corrective

Enfin, il serait difficile de s'intéresser au positionnement des partenaires Tandem du point de vue de la correction sans se référer aux travaux de Schmidt (1998) sur le repérage (NoticingHypothesis) et à ceux de Lyster&Ranta (1997), [START_REF] Gass | Input and interaction[END_REF], ou encore [START_REF] Mackey | Feedback, noticing and instructed second language learning[END_REF] sur la rétroaction corrective. Néanmoins, cet article n'est pas focalisé directement sur les types de rétroaction effectuée ce qui pourra faire l'objet d'une autre étude. Nous utiliserons ces références en tant que de besoin, pour spécifier en particulier certaines notions utiles.

Voyons à présent l'expérimentation proprement dite.

Le corpus SITAF d'interactions tandems anglais/français

La collecte du corpus a été pilotée par Céline Horgues et SylwiaScheuer dans le cadre d'un projet innovant jeunes chercheurs à l'Université Sorbonne Nouvelle-Paris 3. Le corpus est constitué de 25 heures d'enregistrements vidéos (deux sessions de tandems anglais/français et des interactions contrôle en L1) ainsi que de métadonnées recueillies à l'issue de la deuxième session d'enregistrement.

Chacune des paires tandems était constituée d'un-eétudiant-e francophone inscrit-e-en licence à l'Université Sorbonne Nouvelle-Paris 3 (la plupart des francophones suivaient des études de licence LLCSE anglais) et d'un-eétudiant-e anglophone en échange dans cette même université au moment de l'expérimentation. Une présentation complète du corpus et de ses enjeux est détaillée dans Horgues&Scheuer (sous presse).

Le recrutement des participants

Les étudiants se sont inscrits au programme loisir de tandem de l'Université sur la base du volontariat, aucune ECT n'était dispensée pour leur participation et hormis la réunion de mise en contact des tandems et la réunion bilan, les binômes étaient libres d'organiser leurs rencontres comme ils le souhaitaient et ils étaient par conséquent entièrement autonomes pour la gestion de leur collaboration tandem. Le recrutement des participants a été effectué au travers d'un questionnaire en ligne et les critères pris en compte pour l'appariement concernaient le profil linguistique, l'âge, le niveau auto-estimé de compétence en L2 (quatre auto-évaluations de leur compétence en L2 leur étaient demandées sur une échelle de 0 à 10 : compréhension écrite, compréhension orale, expression écrite, expression orale), leurs centres d'intérêts et leurs éventuelles requêtes particulières (personne du même sexe, du même âge, etc.).

Plus précisément, dans le cadre du recueil de ce corpus, vingt-et-une paires tandems anglais/français se sont portées volontaires pour participer à l'expérimentation SITAF qui s'est déroulée en deux temps pour permettre une étude longitudinale sur une période de trois mois (février-mai 2013). La première session d'enregistrement s'est déroulée une semaine après la prise de contact des paires tandem et la deuxième session a eu lieu en toute fin de semestre.Au total, ce sont 25 heures de corpus multimodal (enregistrements audio et vidéo) qui ont été enregistrées.

Le profil des participants du corpus SITAF

Aucun des participants n'est bilingue équilibrédans les langues concernées dans l'expérimentation (français/anglais) mais ils ont évidemment des connaissances dans d'autres langues. Les locuteurs francophones (codés F01>F21) sont la plupart des étudiants anglicistes en licence anglais P3 (de L1 à L3) et leur niveau général moyen auto-estimé de compétence en anglais L2 est de 7,2/10. Les locuteurs anglophones (codés A01>A21) proviennent de différentes aires de l'anglophonie (Royaume Uni, Etats Unis, Irlande, Australie) et leur niveau de compétence en L2 (le français) est plus hétérogène que celui des francophones en anglais.

Cela s'explique par la variété de leur spécialité d'études dans leur université d'origine mais aussi par la durée de leur séjour en France au moment de l'expérimentation. Leur niveau général moyen auto-estimé de compétence en français L2 est de 6,9/10. Notons que la différence d'auto-évaluation en L2 entre francophones et anglophones n'est pas significative au plan statistique en ce qui concerne le niveau général (moyenne des quatre souscomposantes). La seule des quatre évaluations pour laquelle la différence entre les groupes de francophones et d'anglophones atteint la significativité statistique1 concerne le niveau d'expression orale en L2 où les francophones s'auto-estiment comme étant un peu plus compétents (6,9/10) que les anglophones (6/10). Dans les trois autres compétences, les autoévaluations ne sont pas significativement différentes entre les deux groupes de participants.

Les tâches de production

Les enregistrements se sont déroulés en studio pour permettre une capture sonore de grande qualité grâce à deux micros. Les participants ont été filmés par trois caméras, une orientée en direction de chacun d'eux pour saisir le détail de leurs postures, gestes et mimiques individuels et une troisième caméra qui cadrait l'intégralité de l'interaction entre les deux interactants.

Trois types de tâches interactives ont été réalisés par les participants :

Le jeu 1 (LiarLiar) consiste en une tâche de narration reposant sur un déficit d'information pour l'interlocuteur natif [START_REF] Ellis | Task-Based Language Learning and Teaching[END_REF]. Il s'agissait pour le participant s'exprimant dans sa L2 de narrer le récit d'un épisode survenu pendant ses vacances tout en y insérant trois mensonges les plus plausibles possibles. Il appartenait à l'interlocuteur de tenter de découvrir les éléments non véridiques du récit de son/sa partenaire tandem en le/la questionnant pendant ou à la fin du récit.

Le jeu 2 (LikeMinds) consiste en une tâche d'argumentation [START_REF] Ellis | Task-Based Language Learning and Teaching[END_REF] où les participants découvrent un sujet de discussion au moment de l'expérimentation, émettent leur opinion sur le sujet avant de déterminer le degré d'accord entre eux sur une échelle de 0 (entièrement en désaccord) à 10 (en accord total). Une tâche de lecture monitorée : le participant s'exprimant en L2 devait lire un texte à deux reprises (The North Wind and the Sun/ La Bise et le Soleil). Lors de la première lecture, son interlocuteur natif avait pour consigne de l'aider à préparer la meilleure lecture possible du passage. Pour la seconde lecture intervenant directement ensuite, l'apprenant devait produire une seconde lecture améliorée du même passage.

Le recueil de métadonnées

L'analyse des donnéesdu positionnement correctif

Hypothèse 1

En ce qui concerne l'hypothèse 1, nous avons comparé les réponses aux questions 9 et 10 des questionnaires (voir annexe,estimation de la fréquence de la rétroaction corrective reçue et apportée) avec le sentiment déclaré dans les entretiens sur ces deux pratiques.

Correction reçue et correction apportée

Correction reçue

Dans les entretiens

On voit sur la figure 1 lafréquence de la correctionreçue. Cependant, le total de ceux qui disent recevoir de la correction souvent, presque toujours ou toujours est quasi identique (17 contre 16). Les locuteurs francophones disent que leurs partenaires les corrigent toujours (10 réponses), presque toujours (3) et souvent (3) ce qui fait un total de 16 sur 21 (une non-réponse) tandis que parfois est noté 4 fois seulement.

La fréquence de la correction ne semble pas entraver le sentiment positif mais au contraire le soutenir.

Comparons à présent le sentiment exprimé dans les entretiens avec la fréquence signalée dans les questionnaires pour ce qui est de la correction apportée ou effectuée. Voyons à présent le lien avec l'estimation de la fréquence de la correction effectuée.

Correction effectuée Dans les entretiens

Dans les questionnaires

La figure 7 met en parallèle la fréquence estimée de la correction effectuée chez les LN francophones et anglophones (voir la question 10 du questionnaire en annexe). Les deux courbes sont assez similaires avec un léger avantage aux anglophones dans leur estimation de la fréquence de la correction effectuée.

Voyons à présent le détail : La correspondance est également moins forte chez les francophones qui malgré un sentiment négatif pour 6 d'entre eux disent fournir de la correctiontoujours (3), presque toujours (9), souvent (5), soit 17 au total tandis que parfois est noté 3 fois et il y a une non réponse.

Nous pouvons déjà en conclure que la fréquence estimée de correction reçue semble aller de pair avec l'appréciation (fréquence élevée, appréciation positive) sauf dans le cas de deux anglophones où la fréquence et l'appréciation divergent, ce qui pourrait donner à penser qu'une fréquence élevée peut susciter un effet repoussoir, d'où l'appréciation négative qui s'ensuit.

La cohérence est moins forte dans le cas de la correction effectuée où malgré une appréciation négative pour près d'un tiers des participant-e-s francophones comme anglophones la fréquence de la correction effectuée conserve une estimation haute. Estimation haute ou surestimation ?La question se pose.

A présent, penchons-nous sur des cas particuliers, ceux que nous avons appelés les hypo-et les hyper-correcteurs.

Cas particuliers : les hypo-et hyper-correcteurs

Examinons la figure 10 concernant la question 10 (voir en annexe) sur la correction effectuée.

On remarque une certainecorrespondance entre le degré d'appréciation de la correction effectuée tel qu'il s'exprime dans les entretiens et la fréquence de correction estimée dans les réponses à la question 10 du questionnaire, et ce tant de manière générale que de manière spécifique (vocabulaire, grammaire, phonologie). Si mimétisme il y a, du moins dans l'attitude corrective exprimée, il est indécelable. La paire remarquable A19-F19 semble montrer que c'est bel et bien la variable d'appréciation qui l'emporte sur la variable de l'appariement : autrement dit, dans l'interaction tandem, ce n'est pas parce que l'on a un partenaire tandem hyper-correcteur qu'on le devient automatiquement.

Ceci va dans le sens de notre hypothèse 1 qui postulait une forte correspondance entre l'appréciation et l'estimation de la fréquence. Les six paires tandems témoins ont été sélectionnées parce qu'elles permettaient de s'intéresser aux 4 participants s'étant déclarés les plus hyper-correctifs dans l'entretien (c'est-à-dire ayant reçu l'indice le plus haut de sentiment concernant la rétroaction corrective : A14, A19, F11, F13), les 5 participants s'étant déclarés les plus hypo-correctifs dans l'entretien (A01, F10, A10, F19, F01), et 3 participants ayant obtenu un indice moyen (A11, A13, A14).

Etude de la correction apportée par les LNs : confrontation entre le positionnement sur l'apport de correction et la correction réellement effectuée en interaction

La première observation générale est qu'il y une correspondance (bien que souple) entre les concepts de positionnement (figure 11) et de pratique corrective (figure 12) pour les mêmes locuteurs. En effet, les hypo-correcteurs déclarés en entretiens (locuteurs se situant sur lagauche de la figure 11) tendent effectivement à fournir moins de corrections en interactions que les hyper-correcteurs déclarés (à droite de la figure 11) qui tendent à en effectuer davantage. Contrairement à ce que posait l'hypothèse 2, la corrélation n'est pas si faible que cela, cependant elle n'est pas systématique et des différences individuelles apparaissent entre les participants.

Les variables déterminant la quantité d'instances de corrections apportée par les participants natifs

Il est intéressant de relever un certain nombre de variables qui influencent la quantité de corrections apportées lors des interactions tandem :

L'influence du groupe de locuteurs : la L1 du correcteur

Pour cet échantillon de paires tandem, les six participants francophones ont effectué plus du double d'instances de corrections que leurs 6 partenaires anglophones (respectivement 112

2 Cette observation devra être vérifiée sur le plan statistique.

Les Cahiers de l'Acedle, volume 9, numéro 1, 2012 Recherches en didactique des langues et cultures instances de correction par les francophones contre 51 par les anglophones). Les participants francophones ont apporté deux fois plus de corrections, et ce dans tous les domaines de correction observés (morphosyntaxe, lexique, prononciation et combinaison de deux ou plus de ces domaines (voir la figure 13 ci-dessous).

Le seul différentiel de niveau de compétence en L2 entre les deux groupes de locuteurs ne suffit pas à expliquer l'énorme différence de fréquence de corrections apportées lors des interactions tandems. Si les participants francophones s'étaient un peu mieux auto-évalués dans le questionnaire initial pour l'expression orale en L2 (6,9/10 contre 6/10), ils n'étaient pas pour autant deux fois plus compétents que leur partenaires anglophones. Des raisons socio-culturelles peuvent être invoquées pour rendre compte de cette tendance (pays de l'expérimentation, influence des systèmes éducatifs, poids des conventions sociales et règles de politesse, etc.).

Figure 13 : Nombre de corrections apportéesdans différents domaines par les deux groupes

Le domaine des corrections

La figure 14 ci-dessous montre que le domaine qui fait globalement l'objet du plus grand nombre de corrections correspond au lexique (en vert, presque la moitié des corrections toutes confondues= 70 instances sur 163, soit 42%), puis la morphosyntaxe (en rouge, 30%) puis la phonétique-phonologie(en violet, 15%), puis les corrections portant sur au moins 2 domaines combinés.

Différences individuelles dans la dyade correcteur-apprenant

Le niveau de compétence L2 de l'interlocuteur (réel ou perçu) a évidemment un impact sur les pratiques de correction. Or un faible niveau en L2 n'appelle pas nécessairement beaucoup de corrections de la part de l'interlocuteur natif (et inversement Par exemple, F11 ferme les yeux sur la prononciation erronée de horrib' de son partenaire américain lors de la deuxième session alors qu'elle insistait pour lui faire répéter la forme correcte à la première session.

Conclusion

Les métadonnées et l'analyse des productions effectives en interaction ont montré que les participants tandem de notre corpus ont une certaine conscience vis à vis de leur pratique corrective, et elles illustrent plusieurs degrés de prise en charge de leur rôle de correcteur.

Ce rôle semble plus clairement endossé par les participants francophones qu'anglophones, certainement pour des raisons socioculturelles auxquelles il serait bon de réfléchir plus avant.

Notre hypothèse 1 est validée : il y a forte correspondance entre réponses des questionnaires (fréquence estimée) et discours des participants lors de l'entretien (sentiment, positionnement) pour ce qui est de la représentation de la correction reçue. La correspondance semble un peu moins systématique dans le domaine de la correction apportée. Une appréciation négative de l'apport de rétroaction corrective n'empêche pas une estimation élevée de la fréquence à laquelle un participant estime fournir de la correction. (Schmidt, 1990 ;[START_REF] Lyster | Corrective feedback and learner uptake[END_REF][START_REF] Gass | Input and interaction[END_REF][START_REF] Mackey | Feedback, noticing and instructed second language learning[END_REF] Au vu de l'analyse des entretiens, questionnaires et des interactions tandem enregistrées pour ce corpus, nous pourrions faire la suggestion suivante: il pourrait être utile dans le cadre de dispositifs tandems avec des participants adultes/jeunes adultes de réfléchir à une sensibilisation (et éventuellement une formation) des binômes aux enjeux de la demande et de l'apport de rétroaction corrective, qu'ils pourraient ensuite s'approprier en fonction de

A

  la suite de la seconde session d'enregistrements, des métadonnées ont été recueillies par le biais de deux questionnaires écrits (questionnaire général et questionnaire spécifique à la prononciation -voir la version française du questionnaire général en annexe) ainsi qu'au travers d'entretiens individuels enregistrés sur dictaphone pour 42 participants. Les questionnaires visaient à recueillir des estimations de type quantitatif (fréquences) et directement comparables pour tous les participants. Lors des entretiens individuels, les participants se sont exprimés, entre autres, sur leur vécu de l'expérience tandem au cours du semestre et sur leur positionnement quant à la correction (reçue et apportée) lors des interactions avec leur partenaire tandem. Trois séries de questions spécifiques ont été posées par les deux expérimentatrices (Manoïlov& Tardieu , 2015) menant l'entretien : A. Avez-vous corrigé votre partenaire lorsqu'il/elle s'exprimait en L2 ? Si oui, comment l'avez-vous corrigé ? Qu'avez-vous corrigé ? A quel moment ? Etiez-vous gêné de le/la corriger ? B. Votre partenaire vous a-t-il corrigé(e) lorsque vous vous exprimiez en L2 ? Si oui, comment vous a-t-il/elle corrigé ? Qu'a-t-il/elle corrigé ? A quel moment ? Etiez-vous gêné d'être corrigé ? C. Faites-vous une différence entre la correction effectuée par le/la partenaire tandem et celle effectuée par un professeur en classe ? 3.5. Hypothèses de recherche La mise en regard des données de productions effectives lors d'interactions tandems enregistrées en studio d'un côté et des auto-évaluations quantitatives et qualitatives apportées par les participants d'un autre côté permet d'explorer la question de recherche suivante : y a-til cohérence entre la représentation (i.e. le positionnement imaginé) qu'ont les participants tandem de leurs pratiques de la correction du lexique, de la grammaire et de la phonétiquephonologie et ces pratiques elles-mêmes (le positionnement observable)? Plus particulièrement nous posons les hypothèses suivantes : Hypothèse 1 : Il y aurait un fort degré de cohérence entre les réponses aux questionnaires écrits et celles exprimées dans les entretiens. Hypothèse 2 : Il y aurait un faible degré de correspondance entre les métadonnées (réponses aux questionnaires et aux entretiens) fournies par les participants et les instances effectivement observables de correction du lexique, de la grammaire et de la phonétiquephonologie. Hypothèse 3 : Il y aurait un plus faible degré de correspondance entre métadonnées et pratique effective pour les participants qui se perçoivent comme étant « hyper-correcteurs » que pour ceux qui se déclarent « hypo-correcteurs ».

  Les réponses aux questions 9 et 10 des questionnaires ont été codées de 1 (jamais) à 6 (toujours). Nous avons focalisé notre intérêt sur les liens entre la fréquence des corrections reçues et apportées indiquées dans les questionnaires d'un côté et le sentiment exprimé dans les entretiens par rapport à la correction reçue ou apportée d'un autre côté. Le sentiment pour l'apport de correction a été codé en fonction des paramètres suivants : sentiment (plaisant/déplaisant), utilité (utile/inutile), cadrage (règle donnée au départ)(facilitateur/gênant), statut de pair (facilitateur/gênant), posture d'apprenant (facilitateur/gênant), relation amicale (facilitateur/gênant) (voirManoïlov& Tardieu, 2015). Nous avons aussi relevé des positionnementsextrêmes dans les discours de l'entretien que nous avons appelé hyper-et hypo-correcteurs, soit les paires 1, 10, 11, 13, 14, 19, qui font l'objet d'une étude plus ciblée (voir la figure 11 en partie 5).

  ci-dessous que le sentiment est presque exclusivement positif dans les entretiens en ce que concerne la correction reçue, aussi bien chez les locuteurs natifs (LN) francophones que les locuteurs natifs anglophones (seuls A01 et A04 expriment un sentiment négatif).

Figure 1 :Figure 2 :Correction

 12 Figure 1 : Appréciation de la correction reçue (LN francophones)

Figure 3 :

 3 Figure 3 : Estimation de la fréquence de correction reçue (LN anglophones)

Figure 4 :

 4 Figure 4 : Estimation de la fréquence de correction reçue (LN francophones)

Figure 5 :

 5 Figure 5 : Appréciation de la correction effectuée (LN anglophones)

Figure 6 :

 6 Figure 6 : Appréciation de la correction effectuée (LN francophones)

Figure 7 :

 7 Figure 7 : Estimation de la fréquence de correction effectuée (LN francophones et LN anglophones)

Figure 8 :

 8 Figure 8 : Estimation de la fréquence de correction effectuée (LN anglophones)

Figure 9 :

 9 Figure 9 : Estimation de la fréquence de correction effectuée (LN francophones)

Figure 11 -

 11 Figure 11 -Indice de sentiment face à la correction apportée (entretiens)

L

  'hypothèse 2 n'est pas entièrement confirmée par les observations : le sentiment des participants vis-à-vis de la correction apportée est corrélé mais de façon souple et non systématique àleur pratique corrective dans le cadre des deux interactions tandems enregistrées : ceux qui sont plus à l'aise avec l'idée de correction tendent en effet à en apporter spontanément davantage. Mais certains participants ayant déclaré ne pas particulièrement apprécier fournir de correction se trouvent parfois dans l'obligation de le faire. Par ailleurs, certains autres qui déclarent assumer leur rôle de correcteur dans les entretiens en effectuent en réalité très peu en situation. Il semble que les réponses des anglophones des paires témoins soient moins en conformité avec leur pratique corrective avérée/observable, ce qu'il conviendrait de vérifier plus largement sur l'ensemble des paires du corpus.L'hypothèse 3 semble vérifiée : la quantité de corrections observées en interaction est plus conforme au sentiment exprimé dans les entretiens par les hypo-correcteurs que par les hyper-correcteurs qui ont tendance à surestimer leur rôle correctif. Les Cahiers de l'Acedle, volume 9, numéro 1, 2012 Recherches en didactique des langues et cultures En outre, nous avons aussi relevé un certain nombre de variables pouvant influer sur la quantité et le type de correction apportée lors des interactions tandem : la L1 du participant correcteur, le domaine de correction (morphosyntaxe, lexique, phonétique-phonologie, domaines combinés), le facteur temps et de familiarisation (sur une période 3 moins), la tâche de production orale ainsi que les différences individuelles (relatives aux deux participants de la dyade). Précisons que la correction apportée par les partenaires dans le cadre d'une interaction tandem n'est évidemment pas aussi experte, précise ou systématique que celle fournie par un enseignant de langue. Ce n'est d'ailleurs pas ce que l'on en attend, puisque l'intérêt même du dispositif tandem est le statut de pair de l'interlocuteur (ce qui n'est pas compatible avec celui d'un professionnel de l'enseignement-évaluation). Ce statut particulier représente d'ailleurs des avantages psycho-affectifs pour la situation d'apprentissage de par son côté rassurant et empathique, ce qui contribue à instaurer une ambiance amicale et complice pour le développement langagier en L2. Il arrive souvent que lorsqu'une erreur est corrigée par le partenaire tandem elle ne soit pas tout le temps réparée dans le tour de parole suivant (uptake/reprise) par l'apprenant. Or le simple fait que l'attention ait été attirée sur cet élément, qu'il y ait une prise de conscience d'un différentiel entre l'output et la forme cible, constitue la richesse de ce type d'interactions le développement de la L2 (cf. Noticing Hypothesis et Attention Theory

  leur sensibilité et de leur culture individuelles. Cette expérimentation nous a aussi permis de nous confronter aux limites de la notion même de rétroaction corrective dans le cadre d'interactions tandems dans la mesure où l'on observe plutôt un travail de co-construction du discours par les deux partenaires plutôt qu'à un travail de correction au sens strict du terme. ClaireTardieuest professeur des universités au laboratoire Prismes (EA 4398) à l'université de la Sorbonne Nouvelle-Paris 3. Ses domaines de recherche principaux sont l'évaluation en langues et la terminologie didactique.Elle a récemment publié Notions-clés pour la didactique de l'anglais aux Presses de la Sorbonne Nouvelle. Courriel :claire.tardieu@univ-paris3.fr Toile :http://www.univ-paris3.fr/mme-tardieu-garnier-claire-108913.kjsp?RH=ACCUEIL Adresse :Prismes, université Sorbonne Nouvelle Paris 3, 5 rue de l'école de Médecine,

Confrontation entre positionnement correctif et pratique corrective en interaction tandem 5.1. Méthode d'analyse des instances de rétroaction corrective

  Nous avons pris en compte les deux jeux communicatifs (Liar Liar et Like Minds, voir partie 3) pour 12 locuteurs témoins du corpus. Ceci représente environ 20 mins de parole analysée pour chaque locuteur, soit un total de 4 heures de parole. Nous y avons relevé 163 instances

			Les Cahiers de l'Acedle, volume 9, numéro 1, 2012
			Recherches en didactique des langues et cultures
	Figure 10 : Tableau de la correction effectuée (objet et appréciation) chez les hypo-et hyper-correcteurs
	HYPO 5.	correction effectuée vocabulaire grammaire prononciation		Appréciation (entretien)	HYPO
	A01	3	3	2	2	10	-5	A01
	F01	3	3	3	3	12	-3	F01
	A10	5	4	3	3	15	-4	A10
	F10	3	3	3	3	12	-5	F10
	HYPER-							HYPER-
	HYPO	correction effectuée vocabulaire grammaire prononciation			HYPO
	A19	5	6	6	6	24	6	A19
	F19	4	3	2	4	13	-4	F19
	HYPER	correction effectuée vocabulaire grammaire prononciation			HYPER
	A11	5	5	5	5	20	3	A11
	F11	5	5	5	6	21	6	F11
	A13	5	5	5	4	19	3	A13
	F13	5	6	6	6	23	6	F13
	A14	5	5	5	5	20	5	A14
	F14	5	6	5	5	21	6	F14

de correction au total. Précisons à nouveauque nous définissons les instances de correction observée dans la lignée du concept de « negative evidence » posé entre autres par

[START_REF] Long | The role of linguistic environment in second language acquisition[END_REF][START_REF] Gass | Input and interaction[END_REF][START_REF] Lyster | Corrective feedback and learner uptake[END_REF]

, à savoir un moment où l'intervention verbale du locuteur natif (LN)met le doigt sur un écart entre la forme employée par l'apprenant L2 (comprendre le locuteur s'exprimant dans sa L2 à ce moment de l'interaction tandem) et la forme cible dans la L1. Cette intervention peut être effectuée de façon plus ou moins explicite par le LN, et de façon plus ou moins spontanée (ou alors sollicitée par l'apprenant L2).

  Le degré de tolérance aux erreurs dans sa L1 augmente et l'attention à la forme diminue au profit d'une priorité donnée au sens et à la fluidité de la communication (un phénomène bien décrit parBrammerts & Calvert, 2003).

	Les Cahiers de l'Acedle, volume 9, numéro 1, 2012 Les Cahiers de l'Acedle, volume 9, numéro 1, 2012
	Recherches en didactique des langues et cultures Recherches en didactique des langues et cultures
	Figure 14 : les domaines de correction concernés (deux groupes de locuteurs confondus) domaines de correction morphosynt lex l'interlocuteur 3 . 5.3.4. L'influence de la tâche de production
	phon
	comb Le jeu 1 (Liar Liar, tâche de narration) a donné lieu à trois fois plus de corrections (127) que
	le jeu 2 (Like Minds, tâche d'argumentation) (36), et ceci pour les deux sessions confondues.
	En particulier, le jeu de narration a suscité beaucoup d'instances de corrections de lexique
	(technicité des récits, référence à des événements improbables, etc.) ce qui nécessite d'avoir Cependant, une différence apparaît entre les participants anglophones et francophones (voir un lexique riche et précis. Par ailleurs, dans le premier jeu, la prise de parole en L2 est en la figure 13) : si les anglophones corrigent majoritairement des problèmes lexicaux (plus partie continue et la répartition des rôles y est plus déséquilibrée que pour le deuxième jeu : de la moitié, soit 56%) bien plus que des problèmes de morphosyntaxe (15%), les l'interlocuteur natif se doit d'être particulièrement attentif au propos de l'apprenant L2 qui participants francophones corrigent presque à parts égales morphosyntaxe et lexique (37% pour chaque domaine). Cela correspond bien à ce qui émerge des questionnaires : les est le narrateur principal.
	participants francophones y ont en effet déclaré recevoir principalement des corrections
	Correction apportée par LN ANG et LN FR d'ordre lexical. Cette différence de préférence dans les domaines de correction pourrait
	Nombr s'expliquer par deux facteurs : i) les apprenants anglophones feraient autant d'erreurs 45
	40 morphosyntaxiques que lexicales à la différence des apprenants francophones qui feraient e
	15 20 25 35 majoritairement des erreurs de lexique (ce qui semble une hypothèse peu probable), ii) les d'insta 30 nces de ANG LN francophones seraient aussi conscients des erreurs de morphosyntaxe que de lexique FR correct chez leur partenaire tandem, alors que les LN anglophones seraient principalement sensibles
	5 10 aux problèmes lexicaux. A nouveau, il est probable que des facteurs socio-culturels, comme ions
	morphosynt. les traditions éducatives des deux profils de participants, jouent un rôle. lex phon comb
	domainesde correction 5.3.3. L'influence du temps écoulé entre les deux sessions et de la
	familiarisation
	Beaucoup plus d'instances de correction ont été relevées lors de la première session qu'à la
	deuxième trois mois plus tard. Ceci représente une baisse du nombre de corrections lors de
	la deuxième session (-18%). Il y a plusieurs raisons à cela : le degré d'amitié et de
	complicité augmente progressivement entre les deux partenaires tandems, ils/elles
	développent aussi une certaine accoutumance aux habitudes langagières et idiosyncrasies de

Test Studentd'égalité des moyennes (N=21, p<0,005).

Annexes

Questionnaires soumis aux participants francophones

 [ 0 , 10, 20, 30 , 40 , 50 , 60 , 70 , 80 , 90 , 100 ]% du temps 5. A combien estimez-vous le pourcentage global de temps passé à parler en anglais pendant vos conversations tandems : [ 0 , 10, 20, 30 , 40 , 50 , 60 , 70 , 80 , 90 , 100 ]


Petru Mironescu
email: mironescu@math.univ-lyon1.fr

Profile decomposition and phase control for circle-valued maps in one dimension

Keywords: Profile decomposition, circle-valued map, phase, Sobolev spaces 2002 AMS classification subject. 46E35

When 1 < p < ∞, maps f in W 1/p,p ((0, 1); S 1 ) have W 1/p,p phases ϕ, but the W 1/p,pseminorm of ϕ is not controlled by the one of f . Lack of control is illustrated by "the kink": f = e ıϕ , where the phase ϕ moves quickly from 0 to 2π. A similar situation occurs for maps f : S 1 → S 1 , with Moebius maps playing the role of kinks. We prove that this is the only loss of control mechanism: each map f :

(M a j ) ±1 , where M a j is a Moebius map vanishing at a j ∈ D, while the integer K = K( f ) and the phase ψ are controlled by M. In particular, we have K ≤ c p M for some c p . When p = 2, we obtain the sharp value of c 2 , which is c 2 = 1/(4π 2 ). As an application, we obtain the existence of minimal maps of degree one in W 1/p,p (S 1 ; S 1 ) with p ∈ (2 -ε, 2).

Résumé. Décomposition en profils et contrôle des phases des applications unimodulaires en dimension un.

Si 1 < p < ∞, les applications f appartenant à W 1/p,p ((0, 1); S 1 ) ont des phases ϕ dans W 1/p,p , mais la seminorme W 1/p,p de ϕ n'est pas contrôlée par celle de f . L'absence de contrôle est illustrée par "le pli": f = e ıϕ , où la phase ϕ augmente rapidement de 0 à 2π. Pour des applications f : S 1 → S 1 , le même phénomène apparaît, avec les transformations de Moebius jouant le rôle des plis. Nous prouvons que cet exemple est essentiellement le

Introduction

Let 0 < s < 1, 1 ≤ p < ∞ and let f : (0, 1) → S 1 belong to the space W s,p . Then f can be written as f = e ıϕ , where ϕ ∈ W s,p [START_REF] Bourgain | Lifting in Sobolev spaces[END_REF]. Once the existence of ϕ is known, a natural question is whether we can control |ϕ| W s,p in terms of | f | W s,p . For most of s, p the answer is positive. The exceptional cases are provided precisely by the spaces W 1/p,p ((0, 1); S 1 ), with 1 < p < ∞ [START_REF] Bourgain | Lifting in Sobolev spaces[END_REF]. In these spaces, lack of control is established via the following explicit example. For n ≥ 1, we define ϕ n as follows:

ϕ n (x) :=        0,
for 0 < x < 1/2 2πn(x -1/2), for 1/2 < x < 1/2 + 1/n 2π, for 1/2 + 1/n < x < 1 .

Then |ϕ n | W 1/p,p → ∞ (since ϕ n → ϕ = 2π χ (1/2,1) a.e., and ϕ does not belong to W 1/p,p ). On the other hand, if we extend u n := e ıϕ n with the value 1 outside (0, 1) and still denote the extension u n then, by scaling,

|u n | W 1/p,p ((0,1)) ≤ |u n | W 1/p,p (R) = |u 1 | W 1/p,p (R) < ∞.
Thus |u n | W 1/p,p ((0,1)) 1 and |ϕ n | W 1/p,p ((0,1)) → ∞. Finally, we invoke the fact that W 1/p,p phases are unique mod 2π [START_REF] Bourgain | Lifting in Sobolev spaces[END_REF].

If one considers instead maps f : S 1 → S 1 , always in the critical case f ∈ W 1/p,p , 1 < p < ∞, then a new phenomenon occurs: f has a degree deg f , and does not have a W 1/p,p phase at all when deg f = 0 [START_REF] Brezis | Degree theory and BMO. I. Compact manifolds without boundaries[END_REF]Remark 10]. However, even if deg f = 0 (and thus f has a W 1/p,p phase ϕ), we have a loss of control phenomenon similar to the one on (0, 1). Indeed, let M a (z) := az 1 -a z , a ∈ D, z ∈ D, be a Moebius transform (that we identify with its restriction to S 1 , M a : S 1 → S 1 ). Let f a (z) := z M a (z), so that f a is smooth and deg f a = 0. One may prove (see below) that |M a | W 1/p,p = |Id| W 1/p,p , and thus f a is bounded in W 1/p,p . However, if a → α = e ıξ ∈ S 1 , then the smooth phase ϕ a of f a converges a.e. to ϕ(e ıθ ) :=

ξ -θ, if ξ -π < θ < ξ 2π + ξ -θ, if ξ < θ < ξ + π , which does not belong to W 1/p,p .
[Here, uniqueness of the phases and convergence hold mod 2π.] Thus ϕ a is not bounded as a → α ∈ S 1 . On the other hand, the plot of ϕ a shows that ϕ a has a "kink shape", and thus we have here the analog of the example on (0, 1). There are evidences that this loss of control mechanism is the only possible one. For example, the phase of the kink is not bounded in W 1/p,p , but clearly is in W 1,1 (same for f a ). Bourgain and Brezis [START_REF] Bourgain | On the equation div Y = f and application to control of phases[END_REF] proved that for every f ∈ W 1/2,2 ((0, 1); S 1 ), we may split f = e ıψ v, with ψ and v = e ıη satisfying

|ψ| W 1/2,2 | f | W 1/2,2 and |η| W 1,1 = |v| W 1,1 | f | 2 W 1/2,2 . (1)
Intuitively, one should think at v as at "the kink part of f ". The above result was extended by Nguyen [START_REF] Nguyen | Inequalities related to liftings and applications[END_REF] to 1 < p < ∞: for every 1 < p < ∞ and every f ∈ W 1/p,p ((0, 1); S 1 ), we may split f = e ıψ v, with ψ and v = e ıη satisfying

|ψ| W 1/p,p ≤ C p | f | W 1/p,p and |η| W 1,1 = |v| W 1,1 ≤ C p | f | p W 1/p,p . (2)
Here we present another result in this direction, written for simplicity on the unit circle.

Theorem 1. Let 1 < p < ∞ and M > 0. Then there exist constants c p and F(M) such that:

every map f ∈ W 1/p,p (S 1 ; S 1 ) satisfying | f | p W 1/p,p ≤ M can be written as f = e ıψ K j=1
(M a j ) ε j , with

ε j ∈ {-1, 1}, K ≤ c p M, (3)
and |ψ| p W 1/p,p ≤ F(M). ( 4
)
When p = 2, we may take c 2 = 1/(4π 2 ), and this constant is optimal.

Corollary 1. Let 1 < p < ∞ and let f n , f ∈ W 1/p,p (S 1 ; S 1 ) be such that f n f in W 1/p,p . Then, up to a subsequence, there exist K ∈ N, ε j ∈ {-1, 1}, a j n ∈ D, α j ∈ S 1 , j = 1, . . . , K, ψ n ∈ W 1/p,p (S 1 ; R), and a constant C, such that:

i) f n = e ıψ n K j=1 (M a j n ) ε j f ; ii) a j n → α j as n → ∞; iii) ψ n C in W 1/p,p as n → ∞.
The theorem and the corollary are reminiscent of profile decompositions obtained in different, often geometrical, contexts. We mention e.g. the work of Sacks and Uhlenbeck [START_REF] Sacks | The existence of minimal immersions of 2-spheres[END_REF] on minimal 2-spheres, the analysis of Brezis and Coron [START_REF] Brezis | Problèmes de convergence dans certaines EDP non linéaires et applications géométriques[END_REF][START_REF] Brezis | Convergence de solutions de H-systèmes et application aux surfaces à courbure moyenne constante[END_REF][START_REF] Brezis | Convergence of solutions of H-systems or how to blow bubbles[END_REF] of constant mean curvature surfaces, or the one of Struwe [START_REF] Struwe | A global compactness result for elliptic boundary value problems involving limiting nonlinearities[END_REF] of equations involving the critical Sobolev exponent. There are also abstract approaches to bubbling as in the work of Lions [START_REF] Lions | The concentration-compactness principle in the calculus of variations. The limit case[END_REF] about concentrationcompactness or the characterization of lack of compactness of critical embeddings in Gérard [START_REF] Gérard | Description du défaut de compacité de l'injection de Sobolev[END_REF], Jaffard [START_REF] Jaffard | Analysis of the lack of compactness in the critical Sobolev embeddings[END_REF] or Bahouri, Cohen and Koch [START_REF] Bahouri | A general wavelet-based profile decomposition in the critical embedding of function spaces[END_REF].

Let us comment on the connection between (2) and our theorem. First, (2) has the following version for maps on S 1 : we may split f = e ıψ v,

with |ψ| W 1/p,p ≤ C p | f | W 1/p,p and |v| W 1,1 ≤ C p | f | W 1/p,p . Next, a Moebius maps satisfies |M a | W 1,1 = 2π, and thus K j=1 (M a j ) ε j W 1,1 ≤ 2π K ≤ 2π c p M. (5)
Estimate [START_REF] Bourgain | Lifting, degree, and distributional Jacobian revisited[END_REF] shows that ( 3) is a refinement of the second part of (2). On the other hand, ( 4) is weaker than the first part of (2), since F(M) need not have a linear growth (and actually we do not have any control on F). This suggests the following

Conjecture. Let 1 < p < ∞. Then there exist constants c p , d p such that every f ∈ W 1/p,p (S 1 ; S 1 ) satisfying | f | p W 1/p,p ≤ M can be decomposed as f = e ıψ K j=1 (M a j ) ε j , with ε j ∈ {-1, 1}, K ≤ c p M, (6)
and

|ψ| p W 1/p,p ≤ d p M. (7)
In addition, when p = 2, we may take c 2 = 1/(4π 2 ).

Proofs

We start by recalling or establishing few auxiliary results. Given 1 ≤ p < ∞, f , f n will denote maps in W 1/p,p (S 1 ; S 1 ). When 1 < p < ∞, " " refers to weak convergence in W 1/p,p . 1. Recall that, up to a multiplicative factor α ∈ S 1 , the Moebius transforms give all the conformal representations u : D → D. In particular, M a : S 1 → S 1 is a smooth orientation preserving diffeomorphism, and thus deg

M a = 1. Consequence: if g : S 1 → S 1 is continuous, then deg [g • M a ] = deg g. 2. If 1 ≤ p < ∞ and a ∈ D, then | f • M a | W 1/p,p = | f | W 1/p,p . [Here, we let | f | W 1,1 := ´S1 | ḟ | = ´2π 0 |d[ f (e ıθ )]/dθ| dθ and, for 1 < p < ∞, | f | p W 1/p,p := ´S1 ´S1 | f (x) -f (y)| p /|x -y| 2 dxd y.]
In or- der to prove the desired equality when p = 1, we write M a (e ıθ ) = e ıϕ(θ) , 0 ≤ θ ≤ 2π, with ϕ smooth and increasing. Then

| f • M a | W 1,1 = ˆ2π 0 d dθ [ f (e ıϕ(θ) )] dθ = ˆϕ-1 (2π) ϕ -1 (0) d dθ [ f (e ıθ )] dθ = ˆ2π 0 d dθ [ f (e ıθ )] dθ = | f | W 1,1 .
When 1 < p < ∞, we rely on the following identity, valid for measurable functions F :

S 1 × S 1 → [0, ∞]: ˆS1 ˆS1 F(M a (x), M a (y)) |x -y| 2 dxd y = ˆS1 ˆS1 F(x, y) |x -y| 2 dxd y. (8)
Proof of ( 8): We have [M a ] -1 = M a and thus, after change of variables, (8) amounts to

|x -y| 2 | Ṁa (x)| | Ṁa (y)| = |M a (x) -M a (y)| 2 , ∀ x, y ∈ S 1 . (9)
In turn, (9) follows immediately from the straightforward equality

| Ṁa (x)| = 1 -|a| 2 |1 -a x| 2 . 3. If 1 ≤ p < ∞ and a ∈ D, then deg [ f • M a )] =
deg f . Indeed, to start with, such f has a degree, since W 1/p,p → VMO and VMO maps gave a degree stable with respect to BMO convergence [START_REF] Brezis | Degree theory and BMO. I. Compact manifolds without boundaries[END_REF]. By item 1, the desired equality holds true for smooth f . The general case follows by density of C ∞ (S 1 ; S 1 ) into W 1/p,p (S 1 ; S 1 ) [11, Lemmas A.11 and A.12] and by stability of the VMO degree. 4. If 1 ≤ p < ∞ and the degree of f is d, then we may write f (z) = e ıψ(z) z d , with ψ ∈ W 1/p,p (S 1 ; R). This follows easily from the fact that maps f ∈ W 1/p,p ((0, 1); S 1 ) lift within W 1/p,p [START_REF] Bourgain | Lifting in Sobolev spaces[END_REF].

5. Let 1 < p < ∞. For f ∈ W 1/p,p (S 1 ; S 1 ), let u = u( f ) be its harmonic extension. Set c p := inf{| f | p W 1/p,p ; u(0) = 0}.
Clearly, c p is achieved, and therefore c p > 0. 6. When p = 2, we have the following straightforward calculations: if f = n∈Z a n e ınθ , then Chapter 13], and deg [11, eq (25)]. This leads to

| f | 2 W 1/2,2 = 4π 2 n∈Z |n| |a n | 2 [10,
f = n∈Z n |a n | 2
4π 2 | deg f | ≤ | f | 2 W 1/2,2 ,
with equality e.g. when f (z) := z d . On the other hand, if u( f )(0) = 0, then a 0 = 0 and thus

| f | 2 W 1/2,2 = 4π 2 n =0 |n| |a n | 2 ≥ 4π 2 n =0 |a n | 2 = 4π 2 n∈Z |a n | 2 = 2π f 2 L 2 = 4π 2 .
Thus c 2 ≥ 4π 2 , and the example f (z) := z shows that c 2 = 4π 2 . 7. For 1 < p < ∞, there exists some constant c p such that

c p | deg f | ≤ | f | p W 1/p,p , ∀ f ∈ W 1/p,p (
f = e ıψ , with ψ ∈ W 1/p,p (S 1 ; R) and |ψ| W 1/p,p ≤ C | f | W 1/p,p . (10)
Indeed, set v := u/|u|, and write v = e ıϕ , with smooth ϕ. By standard properties of the functional calculus and of trace theory, and by the lifting estimates in [START_REF] Bourgain | Lifting in Sobolev spaces[END_REF], we have ϕ ∈ W 2/p,p (D; R), and then ψ := tr ϕ ∈ W 1/p,p (S 1 ; R) satisfies

|ψ| W 1/p,p ≤ C(p) |ϕ| W 2/p,p ≤ C(p) |v| W 2/p,p ≤ C(δ, p) |u| W 2/p,p ≤ C(δ, p) | f | W 1/p,p . 9. Let 1 < p < ∞ and c < c p . If | f | p W 1/p,p ≤ c, then there exists some δ > 0 such that |u( f )| ≥ δ in D. Proof by contradiction: assume that | f n | p W 1/p,p ≤ c, f n g and and |u( f n )(a n )| ≤ 1/n. Since u(g • M a ) = [u(g)]
• M a , we may assume (by item 2) that a n = 0. We find that u( f

)(0) = 0 and | f | p W 1/p,p < c p , which is impossible. 10. Let 1 < p < ∞. Assume that f n f and f n → f a.e. Then | f n | p W 1/p,p = | f | p W 1/p,p + | f n f | p W 1/p,p + o(1)
. Indeed, if we set g n := f n f , then this follows from the Brezis-Lieb lemma [START_REF] Brezis | A relation between pointwise convergence of functions and convergence of functionals[END_REF] and the identity

g n (x) [ f n (x) -f n (y)] = f (x) -f (y) + g n (x) f (y) [g n (x) -g n (y)].
Proof of the Theorem 1. The proof is by complete induction on the integer part L := I(c p M) = I(M/c * p ) of c p M. The case where L = 0 follows from items 8 and 9. Let L > 0 and let M be such that I(M/c * p ) = L. Assume, by contradiction, that the theorem does not hold for M. We may thus find a sequence ( f n ) with the following properties:

(a) | f n | p W 1/p,p ≤ M.
(b) For any K ≤ L and any choice of a 1 , . . . , a K ∈ D and of signs ε j = ±1 such that K j=1 ε j = deg f n , if we write f n = e ıψ n K j=1 (M a j ) ε j , then we have

|ψ n | W 1/p,p → ∞.
[It is always possible to take K, a j , ε j and ψ n as above: it suffices to let K := | deg f | ≤ I(M/c p ) ≤ I(M/c * p ) = L, ε j := sgn deg f , and a j = 0.] By item 8 and property (b), there exist points a n ∈ D such that u( f n )(a n ) → 0. By item 2, we may assume in addition that a n = 0. Thus, in addition to (a) and (b), we may assume (c) f n f and f n → f a.e., for some f with u( f )(0) = 0. Set g n := f n f . By item 10 and the definition of c p , we have

| f | p W 1/p,p ≥ c p ≥ c * p , and |g n | p W 1/p,p = M -| f | p W 1/p,p + o(1). Let N > M -| f | p W 1/p,p be such that I(N/c * p ) = I((M -| f | p W 1/p,p )/c * p ) ≤ L -1. For large n, we have |g n | p W 1/p,p ≤ N.
By the induction hypothesis, we may write (possibly up to a subsequence)

g n = e ıη n R j=1 (M b j n ) ε j , with |η n | p W 1/p,p ≤ F(N) and R ≤ N/c * p .
On the other hand, if d := deg f , b j n := 0 and ε j := sgn d, then we may write f = e ıη R+|d| j=R+1 (M b j n ) ε j , with η ∈ W 1/p,p (item 4). In addition, we have |d| ≤ | f | p W 1/p,p /c p (item 7). Finally, with ψ n := η n + η and K := R + |d| ≤ M/c * p , we have f n = e ıψ n K j=1 (M b j n ) ε j , and (ψ n ) is bounded in W 1/p,p . This contradiction completes the proof of the first part of the theorem.

Optimality of (3) when p = 2 follows from the fact that, by item 6, f (z

) := z d , d > 0, satisfies | f | 2 W 1/2,2 = c 2 d
and requires at least d Moebius maps in its decomposition. Proof of Corollary 1. By replacing f n with f n f , we may assume that f n 1. Up to a subsequence, we may write f n = e ıη n P j=1 (M a j n ) ε j , with a j n → α j ∈ D, j = 1, . . . , P, and η n η.

With no loss of generality, we assume that α 1 , . . . , α K ∈ S 1 and α K+1 , . . . , α P ∈ D. Since (clearly) M a j n α j , j = 1, . . . , K, we find that 1 = e ı(η-C) P j=K+1 (M α j ) ε j for some appropriate C. Thus, with ζ n := η n -η, we have

f n = e ı(ζ n +C) K j=1 (M a j n ) ε j P j=K+1 M a j n M -1 α j ε j = e ıψ n K j=1 (M a j n ) ε j , for some ψ n such that ψ n -ζ n → C in W 1/p,
p , and thus ψ n C.

Applications

We start with an immediate consequence of Theorem 1.

Corollary 2.

Let d be a non negative integer and δ > 0. Then there exist a constant F(d, δ) such that: every map f ∈ W 1/2,2 (S 1 ; S 1 )

satisfying deg f = d and | f | 2 W 1/2,2 ≤ 4π 2 (d + 1) -δ dans be written as f = e ıψ d j=1 M a j , with |ψ| 2 W 1/2,2 ≤ F(d, δ).
m p := min{| f | p W 1/p,p ; deg f = 1} is achieved.
Proof. When p = 2, it follows from item 6 that m 2 is achieved by multiples of Moebius maps.

When 1 < p < 2, consider a minimizing sequence for m p . Since m p ≤ |Id| p W 1/p,p := I p , we may assume that

| f n | p W 1/p,p ≤ I p → I 2 = 4π 2 as p → 2. ( 11
)
On the other hand, when f :

S 1 → S 1 we have | f | 2 H 1/2 ≤ 2 2-p | f | p W 1/p,p . Thus | f n | 2 H 1/2 ≤ J p := 2 2-p I p → 4π 2 as p → 2. ( 12
)
For p sufficiently close to 2 and fixed δ > 0, we have J p ≤ 8π 2 -δ. We next apply Corollary 2 to f n and write f n = e ıψ n M a n , with

|ψ n | W 1/2,2 ≤ F(1, δ). Set g n := f n • M a n . By item 2, (g n ) is
a minimizing sequence for m p . On the other hand, we have g n = e ıϕ n Id, with ϕ n := ψ n • M a n bounded in W 1/2,2 (S 1 ; R) (by ( 8)). Therefore, up to a subsequence ϕ n ϕ in W 1/2,2 , and thus g n g := e ıϕ Id in W 1/2,2 . We find that deg g = 1. Since (g n ) is bounded in W 1/p,p , we obtain that g n g in W 1/p,p . By a standard argument, g achieves m p .

Corollary 1 implies the "bubbling-off of circles along a sequence of graphs", in a sense that will be specified below. A basic object within the theory of Cartesian currents of Giaquinta, Modica and Souček [START_REF] Giaquinta | Cartesian currents in the calculus of variations. I, volume 37 of Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete[END_REF] is the one of graphs of maps, considered as currents. For smooth maps f : S 1 → S 1 , the graph is defined (as a current) as follows. Every smooth 1-form γ on S 1 × S 1 can be written (uniquely) as

γ(s, t) = F(s, t) ω(s) + G(s, t) λ(t);
here, ω and λ are the 1-forms given by ω(s, t) = s 1 ds 2 -s 2 ds 1 , respectively λ(t) = t 1 dt 2 -t 2 dt 1 , ∀ s, t ∈ S 1 , and F, G are smooth functions. Then (as an oriented curve on S 1 × S 1 ) the graph G f of f acts on γ through the formula

〈G f , γ〉 = ˆS1 F(s, f (s)) + ˆS1 G(s, f (s)) f ∧ ∂ τ f . ( 13
)
Clearly, when f is smooth formula (13) defines a current G f ∈ D 1 (S 1 × S 1 ) := (Ω 1 (S 1 × S 1 )) * . It was proved in [17, Section 3] (see also [START_REF] Giaquinta | On sequences of maps into S 1 with equibounded W 1/2 energies[END_REF] for a higher dimensional context) that ( 13) can be used in order to define G f as a current when f is merely W 1/2,2 . The key observation is that the integral ´S1 G(s, f (s)) f ∧∂ τ f can be interpreted as a duality bracket between G(•, f

) ∈ W 1/2,2 and f ∧ ∂ τ f ∈ (W 1/2,2 ) * . If we set 〈G f , γ〉 := ˆS1 F(s, f (s)) + 〈G(•, f ), f ∧ ∂ τ f 〉 W 1/2,2 ,(W 1/2,2 ) * , ∀ f ∈ W 1/2,2 (S 1 ; S 1 ), (14)
then we obtain a current which coincides with the usual graph of f when f is smooth, and is continuous with respect to the strong W 1/2,2 convergence [START_REF] Mironescu | A variational problem with lack of compactness for H 1/2 (S 1 ; S 1 ) maps of prescribed degree[END_REF].

One of the aims of the theory of Cartesian currents is to describe the limiting behavior of graphs under weak convergence of maps. In this direction, the following result was obtained in [START_REF] Mironescu | A variational problem with lack of compactness for H 1/2 (S 1 ; S 1 ) maps of prescribed degree[END_REF]Proposition 3.1].

Proposition 1. If f n

f in W 1/2,2 (S 1 ; S 1 ) then, up to a subsequence, there are finitely many points α 1 , . . . , α m ∈ S 1 and nonzero integers d 1 , . . . , d m such that

G f n → G f + m j=1 d j δ a j × S 1 in D 1 (S 1 × S 1 ). (15)
Here,

〈δ α × S 1 , γ〉 = ˆS1 G(α, t).
A. Pisante [19] showed me that it is still possible to define G f and to extend Proposition 1 to maps f ∈ W 1/p,p (S 1 ; S 1 ) with 1 < p < ∞.

Proposition 2. (

[19]) Let 1 < p < ∞. It is possible to define G f ∈ D 1 (S 1 ×S 1 ), ∀ f ∈ W 1/p,p (S 1 ; S 1 ).
This definition is unique and natural, in the following sense:

1. G f coincides with the usual graph when f is smooth.

2. If f n → f strongly in W 1/p,p , then G f n → G f in D 1 (S 1 × S 1 ).
In particular, the density of C ∞ (S 1 ; S 1 ) into W 1/p,p (S 1 ; S 1 ) implies that G f is uniquely defined the properties 1 and 2 above.

Proof. Since we use arguments partly similar to the ones in [17, Proof of Proposition 3.1], we do not give all details. Given G ∈ C ∞ (S 1 × S 1 ), set

g(s) := S 1 G(s, t) d (t).
Then there exists some h ∈ C ∞ (S 1 ×S 1 ), that we may choose (at least locally around some fixed G 0 ) to depend smoothly on G such that G(s, t) λ(t) = g(s) λ(t) + d t h(s, t).

Here, d t stands for the partial differential ∂ τ(t) h(s, t) dt; d s is defined similarly.

When f is smooth we have

〈G f , γ〉 = ˆS1 F(s, f (s)) - ˆS1 d s h(s, f (s)) + ˆS1 g(s) f (s) ∧ ∂ τ f (s). (16)
Clearly, formula [START_REF] Mironescu | A variational problem with lack of compactness for H 1/2 (S 1 ; S 1 ) maps of prescribed degree[END_REF] still makes sense when f is merely in W 1/p,p (and thus ψ is merely W 1/p,p ).

It is easy to see that G f defined by ( 17) is a current, and that its dependence on f is continuous. [The latter property comes from the fact that the degree d and the phase ψ depend continuously on f [START_REF] Brezis | Sobolev Maps with Values into the Circle[END_REF].] For further use, let us note the following identity, obtained by density: if f ∈ C ∞ (S 1 ; S 1 ) and f (z) = e ıψ(z) z d , then f in W 1/p,p (S 1 ; S 1 ) then, up to a subsequence, there are finitely many points α 1 , . . . , α m ∈ S 1 and nonzero integers d 1 , . . . , d m such that

G f n → G f + m j=1 d j δ a j × S 1 in D 1 (S 1 × S 1 ). ( 19
)
Sketch of proof. Let d := deg f and write f (z) = e ıψ(z) z d , with ψ ∈ W 1/p,p . We write f n as in Corollary 1. Set f n := f n e ıψ n f . Using [START_REF] Nguyen | Inequalities related to liftings and applications[END_REF] with f and f replaced by e ıψ n f and f n , we easily find that

〈G f n , γ〉 = 〈G f , γ〉 + K j=1 ˆS1 g(s) (M ε j a j ) ∧ ∂ τ (M ε j a j )(s) + o(1) as n → ∞. (20)
A straightforward calculation shows that ˆS1 g(s) (M ε j a j ) ∧ ∂ τ (M ε j a j )(s) → 2π ε j g(α j ) as j → ∞, whence the conclusion of the proposition.

S 1 , 8 .

 18 S 1 ) [5, Corollary 0.5]. We let c p be the best constant such that this estimate holds, and set c * p := min{c p , c p }. We also set c p := 1/c * p . By item 6, for p = 2 we have c 2 = c 2 = c * 2 = 4π 2 , and c 2 = 1/(4π 2 ). Let 1 < p < ∞. Let δ > 0 and assume that |u( f )| ≥ δ in D. Then there exists some C = C(δ, p) such that

2 .

 2 Corollary 2 with d = 1, as well as a weak version of the corollary when d ≥ 2 were obtained in [2, Theorem 4.4, Theorem 4.8]. As an application of Corollary 2, we obtainTheorem There exists some ε > 0 such that, for p ∈ (2 -ε, 2],

  Let d := deg f and write, as in item 4, f (z) = e ıψ(z) z d , with ψ smooth. Then[START_REF] Lions | The concentration-compactness principle in the calculus of variations. The limit case[END_REF] becomes〈G f , γ〉 = ˆS1 F(s, f (s)) -ˆS1 d s h(s, f (s)) + d ˆS1 g(s) -ˆS1 ∂ τ g(s) ψ(s).

  〈G f f , γ〉 = ˆS1 F(s, f (s) f (s)) -ˆS1 d s h(s, f (s) f (s)) + d ˆS1 g(s) -ˆS1 ∂ τ g(s) ψ(s) + ˆS1 g(s) f ∧ ∂ τ f (s).

( 18 )

 18 Proposition 3. ([19]) Let 1 < p < ∞. If f n

Acknowledgements

The author was supported by the ANR project "Harmonic Analysis at its Boundaries", ANR-12-BS01-0013-03, and by the LABEX MILYON (ANR-10-LABX-0070) of Université de Lyon, within the program "Investissements d'Avenir" (ANR-11-IDEX-0007) operated by the French National Research Agency (ANR). He thanks A. Pisante for sharing with him Propositions 2 and 3.