Quoc-Son Nguyen
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On shakedown analysis in hardening plasticity

Keywords: A. Plasticity, Strain hardening, B. Shakedown, C. Duality, Variational principles

The extension of classical shakedown theorems for hardening plasticity is interesting from both theoretical and practical aspects of the theory of plasticity. This problem has been much discussed in the literature. In particular, the model of generalized standard materials gives a convenient framework to derive appropriate results for common models of plasticity with strain-hardening. This paper gives a comprehensive presentation of the subject, in particular, on general results which can be obtained in this framework. The extension of the static shakedown theorem to hardening plasticity is presented at ÿrst. It leads by min-max duality to the deÿnition of dual static and kinematic safety coe cients in hardening plasticity. Dual static and kinematic approaches are discussed for common models of isotropic hardening of limited or unlimited kinematic hardening. The kinematic approach also suggests for these models the introduction of a relaxed kinematic coe cient following a method due to Koiter. Some models for soils such as the Cam-clay model are discussed in the same spirit for applications in geomechanics. In particular, new appropriate results concerning the variational expressions of the dual kinematic coe cients are obtained.

Introduction

The elastic shakedown phenomenon is related to the long-term behaviour of a solid under variable loads and expresses the fact that the mechanical response of solids becomes purely elastic if the load amplitude is small enough or if the hardening e ect is strong enough, especially in cyclic plasticity, immaterial of the initial state of the evolution. The possibility of shakedown is interesting in the analysis of quasi-static or dynamic response of elastic-p1astic solids under cyclic loads. Indeed, in cyclic plasticity, an uncontrolled progressive or alternating plastic deformation is often the origin of undesirable e ects for the resistance of a solid. For example, the existence of shakedown will prevent the fatigue phenomenon under plastic strains, which results in failure under a small number of cycles, in contrast with the fatigue under elastic strain with much higher number of cycles (cf. Dang [START_REF] Van | High-Cycle Metal Fatigue From Theory to Application[END_REF]. For this reason, shakedown conditions are discussed in a large number of papers, for di erent applications in the design of structures. Classical shakedown theorems in a quasi-static deformation takes its deÿnitive form from the pioneering works of [START_REF] Bleich | Uber die bemessung statisch unbestimmter stahltragwerke unter beruschsichtigung der elastisch-plastischen verhaltens des bausto es[END_REF], [START_REF] Melan | Theorie Statisch unbestimmter systeme aus ideal-plastischen bausto[END_REF] and [START_REF] Koiter | General problems for elastic-plastic solids[END_REF]. Its generalization to dynamics has been discussed (cf. [START_REF] Corradi | Dynamic non-shakedown theorem for elastic perfectly-plastic continua[END_REF]. Further extensions to hardening plasticity, non-standard plasticity, to visco-plasticity or to damage mechanics and poroplasticity can be found in a large number of references (e.g. [START_REF] Maier | A shake-down matrix theory allowing for workhardening and second order geometric e ects[END_REF][START_REF] Konig | Shakedown of Elastic-Plastic Structures[END_REF][START_REF] Polizzotto | Shakedown problems for mechanical models with internal variables[END_REF][START_REF] Debordes | Dualità e des thà eor emes statique at cinà ematique sur la thà eorie de l'adaptation des milieux continus à elasto-plastiques[END_REF][START_REF] Weichert | Inelastic Analysis of Structures Under Variable Repeated Loads[END_REF][START_REF] Maier | On some issues in shakedown analysis[END_REF]; Bodovillà e and de Saxcà e, 2001). In particular, the reader can refer to [START_REF] Martin | Plasticity: Fundamentals and General Results[END_REF], [START_REF] Polizzotto | A uniÿed treatment of shakedown theory and related bounding techniques[END_REF], [START_REF] Corigliano | Dynamic shakedown analysis and bounds for elasto-plastic structures with non-associated internal variable constitutive laws[END_REF] for a rather complete presentation of the theory and historical survey, to [START_REF] Maier | On some issues in shakedown analysis[END_REF], [START_REF] Ponter | A minimum theorem for cyclic load in excess of shakedown with application to the evaluation of a ratchet limit[END_REF] and [START_REF] Hachemi | Numerical shakedown analysis of damaged structures[END_REF] for new directions on the related subjects.

The objective of this paper is to give a presentation of shakedown theorems in hardening plasticity, available for common models of strain hardening. Since the extension of shakedown theory into hardening plasticity has been much discussed (e.g. [START_REF] Maier | A shake-down matrix theory allowing for workhardening and second order geometric e ects[END_REF][START_REF] Mandel | Adaptation d'une structure plastique à ecrouissable[END_REF][START_REF] Nguyen | Extension des thà eor emes d'adaptation et d'unicità e en à ecrouissage non linà eaire[END_REF][START_REF] Polizzotto | Shakedown problems for mechanical models with internal variables[END_REF][START_REF] Pycko | Alternative approach to shakedown as a solution of min-max problem[END_REF][START_REF] Corigliano | Dynamic shakedown analysis and bounds for elasto-plastic structures with non-associated internal variable constitutive laws[END_REF]Fuschi, 1999 etc.) a complete survey on general results for hardening plasticity in the spirit of Koiter's discussion [START_REF] Koiter | General problems for elastic-plastic solids[END_REF]) is certainly useful. However, because of the complexity and the diversity of hardening laws, it is clear that such a task is di cult and it will be easier to give only a less ambitious presentation on general theorems which can be derived within some description. In this spirit, our attention is focussed on the framework of generalized standard models of plasticity. This framework is a straightforward extension of perfect plasticity, with the same ingredients of convexity and normality and has been shown to be large enough to cover most common models of hardening plasticity [START_REF] Halphen | Sur les matà eriaux standard gà enà eralisà es[END_REF][START_REF] Nguyen | Stability and Nonlinear Solid Mechanics[END_REF]. As in perfect plasticity [START_REF] Koiter | General problems for elastic-plastic solids[END_REF][START_REF] Debordes | Dualità e des thà eor emes statique at cinà ematique sur la thà eorie de l'adaptation des milieux continus à elasto-plastiques[END_REF][START_REF] Pycko | Alternative approach to shakedown as a solution of min-max problem[END_REF], the method of min-max duality can be followed within this framework. The starting point is a static shakedown theorem, given previously in [START_REF] Nguyen | Extension des thà eor emes d'adaptation et d'unicità e en à ecrouissage non linà eaire[END_REF]; [START_REF] Polizzotto | Shakedown problems for mechanical models with internal variables[END_REF]. This theorem leads to the deÿnition of the safety coe cient with respect to shakedown and, by a min-max duality, to dual expressions of the safety coe cient obtained respectively from static and kinematic approaches. This method is then applied to the particular cases of strain hardening materials for which hardening parameters are the plastic strain or equivalent plastic strain.

This discussion also suggests the introduction of a relaxed kinematic safety coecient, following a method due to Koiter, in the so-called Koiter's second shakedown theorem [START_REF] Koiter | General problems for elastic-plastic solids[END_REF]. Some of the obtained results have been announced in [START_REF] Nguyen | On shakedown theorems in hardening plasticity[END_REF]. Min-max duality is also considered for common models of geomechanics such as the Cam-clay model. Finally, a simple example is given in the last section to illustrate the kinematic approach in limited kinematic hardening. Our principal goal is to obtain appropriate theorems for common models of limited isotropic or kinematic hardening or for pressure-dependent geomaterials.

Static shakedown theorems

The quasi-static evolution of an elastic plastic solid under variable loads on the interval [0; +∞[ is considered here. For dynamic-conditions, it is well known that additional terms due to the inertial forces can be taken into account and the same conclusion remains valid as it has been shown in the literature. Let (u(t); (t); p (t)) be the elastic-plastic response of the solid starting from a given initial state on the interval t ¿ 0. By deÿnition, this response will shake down if the existence of the limit

lim t→∞ p (t) (1)
is ensured. It can be noted that this property also ensures that lim t→∞ u(t) -u el (t) and lim t→∞ (t)el (t) exist, under certain additional assumptions (e.g. [START_REF] Debordes | Sur la thà eorie et le calcul  a l'adaptation des structures à elasto-plastiques[END_REF], where el (t); u el (t) denote the ÿctitious response of the same solid, assumed to be purely elastic, to the same loading. The proof of this statement is clear for discrete systems while for continua, some di culties remain concerning the choice of a relevent functional space in the case of perfect plasticity [START_REF] Debordes | Dualità e des thà eor emes statique at cinà ematique sur la thà eorie de l'adaptation des milieux continus à elasto-plastiques[END_REF].

Perfect plasticity

The classical static theorem of shakedown in perfect plasticity, also known as Melan's theorem, states that: Static shakedown theorem. If there exists a self-stress ÿeld s * (x), a safety coe cient m ¿ 1 and a time such that the stress ÿeld m(s * + el (t)) satisÿes everywhere and for all t ¿ the plastic criterion f(m(s * (x) + el (x; t))) 6 0 ∀x; ∀t ¿ then there is shakedown, immaterial of the initial conditions.

The proof of Melan's theorem can be obtained in two steps. In the ÿrst step, it is shown that under the assumptions of the theorem, the dissipated energy W d is necessarily bounded. In the second step, this property ensures the existence of lim t→∞ p (t). To prove the ÿrst step, it is useful to note that for all plastically admissible stress ÿelds ˜ , the following inequality holds:

( -˜ ): ˙ p d ¿ 0:
By taking ˜ = m(s * + el (t)) which is plastically admissible by assumption, it follows that

( - * ): ˙ p ¿ m -1 m d in d
with * = s * + el , where d in = : ˙ p . Since - * is a self-stress ÿeld and since u -u el = 0 on S u , one obtains

0 = ( - * ): ( ˙ -˙ el ) d = ( - * ): ˙ p + ( - * ): L -1 : ( ˙ -˙ * ) d : It follows that -( - * ): L -1 : ( ˙ -˙ * ) d ¿ m -1 m d in d ;
which leads, after a time integration on the interval [ ; t], to

I ( ) -I (t) ¿ m -1 m W d (2)
with

I (t) = 1 2 ( - * ): L -1 : ( - * ) d :
The dissipated energy W d (t) = t : ˙ p d d thus remains bounded for all initial conditions.

The second step consists of proving that p (t) tends to a limit. The fact that the dissipated energy remains bounded already ensures the existence of a limit of p (t) for any appropriate functional space which is complete with respect to the norm associated with the dissipation, since there exists a constant c ¿ 0 such that : ˙ p ¿ c ˙ p . This inequality follows from the fact that the origin of stress is strictly inside the elastic domain.

This convergence ensures immediately the existence of the limits lim t→∞ u(t)u el (t) and lim t→∞ (t)el (t) for discrete systems. A mathematical di culty, however, remains for continuous media and concerns an appropriate choice of the norm. A method due to [START_REF] Nayroles | Tendances rà ecentes et perspectives  a moyen terme en à elastoplasticità e asymptotique des constructions[END_REF] can be applied concerning the stress ÿeld when the plastic criterion is symmetric with respect to the origin of stress. It consists of proving that the sequence s i = (t i )el (t i ) is a Cauchy sequence with the energy norm s 2 e = s: L -1 : s d and thus converges. Indeed, for all t 2 ¿ t 1 ¿ t 0 , we have

1 2 s 1 -s 2 2 e = t2 t1 ṡ: L -1 : (s -s 1 ) d dt = - t2 t1
˙ p : (s -s 1 ) d dt:

The last integrand can also be written as

-˙ p : (s -s 1 ) = -˙ p : (( - * ) -( 1 - * 1 )) = -˙ p : ( - * ) + 1 : ˙ p -˙ p : * 1 :
In this expression, the ÿrst term is non-positive and the second is bounded by d in = : ˙ p . If the plastic criterion is symmetric with respect to the origin of stress, such as in the case of Mises or of Tresca's criterion, the stress - * 1 is also plastically admissible, thus the third term is also bounded by d in . It follows that = s 1 -s 2 2 e 6 4(W d (t 2 ) -W d (t 1 )): Since the dissipated energy is bounded and cannot decrease, s i is a Cauchy sequence and so this sequence converges. It follows that (t)el (t) tends to a limit when t → ∞.

In the presentation of the shakedown theorem in perfect plasticity, it can be assumed equivalently that there exists a particular plastic strain ÿeld p * generating a self-stress s * such that the stress ÿeld m * is plastically admissible. It should be also emphasized that two principal ingredients are involved in the proof of Melan's theorem. Firstly, the property of contraction of the distance separating two solutions starting from two initial states holds in perfect plasticity. Secondly, the possibility to have a constant solution for the plastic response exists by assumption.

Hardening plasticity

This discussion is limited to the case of generalized standard models of hardening plasticity. A generalized standard material is deÿned by the following conditions:

• State variables are ( ; ), which represent, respectively, the strain tensor and a set of internal parameters. Internal parameters include the plastic strain and other hardening variables. There exists an energy potential W ( ; ) which leads to associated forces = W; ; A= -W;

(3) and to a dissipation per unit volume d in

d in = A ˙ : (4)
• The force A must be plastically admissible, this means that physically admissible forces A * must remain inside a convex domain C, called the elastic domain and deÿned by the plastic criterion f(A * ) 6 0. • Normality law is satisÿed for :

˙ = 9f 9A ; ¿ 0; f = 0: (5)
Thus, the following maximum dissipation principle is satisÿed:

A * ˙ 6 A ˙ = D( ˙ ) = max A * ∈C A * ˙ (6)
in the spirit of Hill's maximum principle in perfect plasticity. Finally, as in perfect plasticity, the notions of convexity, normality, energy and generalized forces are four principal ingredients of the generalized standard models. The dissipation potential D( ˙ ) is convex, positively homogeneous of degree 1. This function is state independent, i.e. independent of the present value of state variables ( ; ), if the plastic criterion is state independent.

The following result has been obtained under some additional assumptions.

Proposition 1 (static shakedown theorem in hardening plasticity). It is assumed that the plastic criterion is state-independent and that

W = W 1 ( ; ) + W 2 ( ); (7)
where W 1 is quadratic and non-negative with respect to ( ; ) and W 2 ( ) is an arbitrary convex and di erentiable function. Then there is shakedown whatever the initial state if there exists a time , a constant internal parameter ÿeld * and a safety coe cient m ¿ 1 such that the force ÿeld mA * (t) is plastically admissible for all t ¿ , where A * =-W; ( * ; * ) denotes the force deÿned from the associated response u * (t).

The associated response u * denotes the response of a corresponding elastic solid admitting the linear elastic relationship

= W; =W 1; = L: + Y = L: ( -p * ) with p * = -L -1 : Y * :
under the same loading (prescribed forces and displacements) and under the inherent plastic strain p * . In particular, the associated stress is * (t) = el (t) + s * where s * denotes the self-stress due to the inherent plastic strain p * .

The proof of this proposition is relatively straightforward. Indeed, let (u(t); (t)) be a solution of the evolution problem starting from a given initial condition. Since under the assumptions introduced, mA * is plastically admissible for all t ¿ , the following inequality holds:

(A -A * ) ˙ d ¿ m -1 m A ˙ d :
From the fact that

( - * ): ( ˙ -˙ * ) -(A -A * )( ˙ -˙ * ) = d dt {W 1 ( - * ; - * ) + W 2 ( ) -W 2 ( * ) -W 2; ( * )( - * )}
since ˙ * = 0, and that

( - * ): ( ˙ -˙ * ) d = 0;
the following equation results:

- d dt {W 1 ( - * ; - * ) + W 2 ( ) -W 2 ( * ) -W 2; ( * )( - * )} d ¿ m -1 m d in d :
Thus estimate ( 2) is again obtained with

I (t) = {W 1 ( (t) - * (t); (t) - * ) +W 2 ( (t)) -W 2 ( * ) -W 2; ( * )( (t) - * )} d :
Since I (t) is non-negative as a sum of two non-negative terms, the dissipated energy W d (t) is bounded by I ( ) for all t ¿ . Repeating the same arguments, the existence of the limit

lim t→∞ (t) - *
is ensured again from this estimate on the dissipated energy. In the same spirit as Melan's theorem, Proposition 2 gives a su cient condition ensuring the shakedown of a solid subjected to a given loading path.

If the plastic criterion is symmetric with respect to the origin in the force space, Nayroles' method is still valid and leads then to the convergence of the stress ÿeld (t) in the elastic energy norm. Indeed, the following expression holds:

: ˙ p = A ˙ + (X -Y T L -1 Y ) ˙ + W 2; ˙ with the notation W 1 = 1=2( : L: + : Y + X ). Thus -˙ p : ( - * ) + 1 : ˙ p - * 1 ˙ p = -˙ : (A -A * ) + A 1 ˙ -A * 1 ˙ -W 2; ˙ -W 2; 1 ˙ -( -1 )(X -Y T L -1 Y ) ˙
and the same argument leads to

6 4(W d (t 2 ) -W d (t 1 )) -(W 2 ( 2 ) -W 2 ( 1 ) -W 2; 1 )( 2 -1 )) - 1 2 ( 2 -1 )(X -Y T L -1 Y )( 2 -1 ) 6 4(W d (t 2 ) -W d (t 1 ))
since the two last terms of the middle expression are non-positive after the assumptions of Proposition 2.

Min-max duality and dual safety coe cients

In the spirit of the min-max duality method, developed by [START_REF] Debordes | Sur la thà eorie et le calcul  a l'adaptation des structures à elasto-plastiques[END_REF] or [START_REF] Pycko | Alternative approach to shakedown as a solution of min-max problem[END_REF] for shakedown theorems in perfect plasticity, the deÿnition of a safety coe cient with respect to shakedown is now introduced and dual static and kinematic approaches are considered.

Static approach and safety coe cient

The deÿnition of a safety coe cient with respect to shakedown can be given from the previous results. where CA, SA, PA, respectively, stand for kinematically, statically and plastically admissible ÿelds. Then there is shakedown if there exists ¿ 0 such that m s ( ) ¿ 1 while no conclusion is available if m s ( ) ¡ 1 for all ¿ 0.

Indeed, if m s ¿ 1 then there exists a constant ÿeld * in the spirit of Proposition 1 and the conclusion holds. In perfect plasticity, this statement reduces to Melan's theorem. In kinematic hardening for example, the linear Zieger-Prager model is often adopted. It is deÿned by state variables ; p with p kk = 0. The energy potential W = 1 2 ( -p ): L:

( -p )+ 1 2 p : h: p leads to associated force A=-W; p = -h: p . The plastic criterion (Mises) is A -k 6 0 and the dissipation potential is D( ˙ p ) = k ˙ p with the notation A = A ij A ij : From Proposition 2, Proposition 3 follows.
Proposition 3. In linear kinematic hardening, the static safety coe cient is deÿned as the maximum

m s ( ) = max p * m (10)
among constant plastic strain ÿelds p * satisfying p * kk = 0 such that m(s * ( p * ) + el -h: p * ) 6 k (11) for all x ∈ and t ¿ .

It is well known in linear elasticity that the self-stress associated with a given initial strain s( I ) is obtained from the resolution of a linear elastic problem with initial strain. In particular, the self-stress associated with a given ÿeld of initial strains I is the solution of the minimization problem of total complementary energy of the elastic solid min s self -stress s + L: I 2 ;

where s denotes the elastic energy norm

s 2 = s: L -1 : s d :
Thus, the associated self-stress can be schematically written in the form

s( I ) = -Z( I ) (12)
where the linear and symmetric operator Z is a projection in the sense of the energy norm. In particular, this linear operator is non-negative since

Z( I )| I = -s( I ): I d = s( I ) 2 ¿ 0:
Let us assume that there exists a state of stress deviator * such that

el (t) - * ¡ k ¡ k ∀t ¿ : (13)
Then the plastic criterion A * ¡ k is always satisÿed if a ÿeld p * is such that

(Z + hI ) p * = * (14)
could be found. Since this equation admits a solution for all * from the fact that the linear, symmetric operator Z + hI is positive-deÿnite when h ¿ 0. Thus, a particular ÿeld p * satisfying the static theorem can then be obtained and there is shakedown. Finally, in linear kinematic hardening, the shakedown problem leads to the discussion of conditions (13) which can be easily solved as it has been shown in the literature (cf. [START_REF] Gittus | Modelling Small Deformations of Polycrystals[END_REF] for example). It is well known that there is shakedown if the amplitude of the elastic stress does not exceed the diameter of the yield surface.

Min-max duality

Eqs. ( 8) or (10) are convex optimization problems. The dual approach consists of considering dual problems obtained by relaxing some constraints. For this, the initial problem ( 8) is ÿrst written as the search of maximum of m in the set of constant ÿelds * and time-dependent ÿelds Ã(t) and of coe cients m such that

∀t ¿ ; u * (t)CA; * (t)SA; m Ã(t)PA; * = W; ( (u * ); * ); A * = -W; ( (u * ); * ); Ã(t) = A * (t): (15)
The last constraint is relaxed by the introduction of Lagrange multipliers ÿ(t) associated with the constraint m( Ã(t) -A * (t)) = 0 and the Lagrangian

(ÿ; m; * ; Ã) = m + ∞ m( Ã -A * )ÿ d dt (
deÿnes the dual approach to compute the safety coe cient. It is clear that

m s ( ) 6 m k ( ); (21)
according to general results of saddle-point duality.

In particular, if m k ¡ 1, then it is not possible to ÿnd a self-stress satisfying the condition of the previous propositions.

Dual kinematic approach

In the following sections, the dual kinematic approach will be considered for strain hardening models admitting as internal parameters the plastic strains or the equivalent plastic strain in view of common models in hardening plasticity.

Perfect plasticity

In this case, Eq. ( 10 +∞ if E p is not a compatible ÿeld:

A compatible ÿeld means that there exists a displacement ÿeld u p with u p = 0 on S u such that E p = (∇u p ). It follows that max

p * ; ˜ = m 1 - ∞ 0 el : d p d dt + ∞ D(d p ) d dt:
when d p is admissible and E p = ∞ d p dt is compatible. Admissible rates d p must be considered in order to ensure a ÿnite value of D(d p ). For example, if Mises criterion is satisÿed, the plastic rate is admissible if d p kk = 0. It is concluded after the maximization with respect to m that the following result holds (cf. [START_REF] Koiter | General problems for elastic-plastic solids[END_REF][START_REF] Debordes | Dualità e des thà eor emes statique at cinà ematique sur la thà eorie de l'adaptation des milieux continus à elasto-plastiques[END_REF][START_REF] Pycko | Alternative approach to shakedown as a solution of min-max problem[END_REF]:

In perfect plasticity, the dual kinematic approach leads to a coe cient m k ¿ m s , deÿned as the minimum It is useful to note that m k ¿ 1 if the following inequality holds:

m k = min
∞ D(d p ) d dt ¿ ∞ el : d p d dt ( 27
)
for all plastic strain rate d p admissible and satisfying the condition

E p = ∞ d p dt
compatible. This result is classically known as Koiter's shakedown theorem [START_REF] Koiter | General problems for elastic-plastic solids[END_REF].

As usually established in min-max duality, equality m s = m k is generically satisÿed. In particular, this equality holds if the plastic domain is bounded in the stress space as it has been shown by [START_REF] Debordes | Sur la thà eorie et le calcul  a l'adaptation des structures à elasto-plastiques[END_REF]. It is expected that this equality always holds although a rigorous proof is lacking for continuum solids.

Isotropic hardening

The isotropic hardening model with Mises criterion is deÿned by state variables ; p ; e -p with energy W = 1 2 ( -p ): L: ( -p ) + V (e -p ) and plastic criterion -R(e -p ) -k 6 0 where R(y) = V (y). Since V (y) is a convex function, its derivative R(y) is a non-decreasing function. The associated force is A = ( ; -R) and the dissipation is

d in = : ˙ p -R(e -p ) ˙ p = D = k ˙ p :
If R(y) is bounded and attains its maximum R(y) = R max for y ¿ y max as shown in Fig. 1, the static coe cient m s will be bounded. Let K = k + R max , the calculation can be done in the same spirit and leads to max This result is quite natural in the sense that the behaviour of the solid is the same as in perfect plasticity with yield stress K. As in perfect plasticity, this discussion is given here as a simple illustration of the method.

p * ;e -p * = m 1 - ∞ el : d p d dt + ∞ (k + R max ) d p d dt if E p = ∞ d p dt is a compatible ÿeld,

Linear kinematic hardening

If Zieger-Prager's model is considered, it is not di cult to establish that max p * -(s * -h: p * ):

∞ d p dt d =      0 if E p = ∞ d p dt = 0; +∞ if E p = 0:
The same method then leads to Shakedown theorem (cf. for example to [START_REF] Koiter | General problems for elastic-plastic solids[END_REF], [START_REF] Pham | Shakedown kinematic theorem for elastic-plastic bodies[END_REF]) Proposition 6. In linear kinematic hardening with Mises criterion, the dual kinematic approach leads to a coe cient m k ¿ m s , deÿned as the minimum Thus, closed cycles of plastic rates must be considered instead of compatible plastic cycles as in perfect plasticity or in isotropic hardening.

m k = min
It is clear from this proposition that the result does not depend on the hardening tensor h, the only restriction is its positiveness. The fact that closed cycles must be considered leads to the consideration of the amplitude of the elastic stress and to the trivial result that there is shakedown if this amplitude is smaller than the diameter of the yield surface.

Combined isotropic and linear kinematic hardening models can also be discussed in the same spirit. Again, closed cycles of plastic rates must be considered. This result, to the knowledge of the author, has not been given in the literature and deserves to be underlined although shakedown analysis in linear kinematic hardening is a trivial problem.

Limited kinematic hardening

The model of nonlinear and limited kinematic hardening of Fig. 2 is considered. For this model, the state variables are ; p with p kk = 0. The energy potential is W = 1 2 (p ): L: ( -p ) + V ( p ) where R(y) = V (y) is the monotone function previously introduced in Fig. 1. Thus the generalized force is A = -W ; p = -C with C = R( p ) p = p . With Mises criterion A -k 6 0, the elastic domain is a sphere of radius k and with center C in the force space. This center C remains near the origin since C 6 R max . It is not di cult to establish that

max p * - s * -R( p * ) p * p * : ∞ d p dt d = R max E p if E p is compatible;
+∞ if E p is not compatible:

The same method then leads to Proposition 7. For this limited kinematic hardening model, the dual kinematic approach leads to a coe cient m k ¿ m s , deÿned as the minimum

m k = min d p R max E p d + ∞ k d p d dt (32)
among plastic rates d p satisfying

d p kk = 0; E p = ∞ d p dt compatible; ∞ el : d p d dt = 1: (33)
Again, compatible plastic cycles must be considered as in perfect plasticity or in isotropic hardening.

In particular, if m 0 k ; m lkh k and m nkh k denote, respectively, the kinematic safety coefÿcients in perfect plasticity, in linear kinematic hardening and in nonlinear kinematic hardening with the same yield stress k, it follows from their deÿnition that m 0 k ( ) 6 m nkh k ( ) 6 m lkh k ( ) for all :

(34)

The case of limited hardening (Proposition 7) appears as the penalization of the unlimited case (Proposition 6), R max is the penalty parameter associated with the constraint E p = 0.

A relaxed kinematic coe cient

If incompressible plastic strains and Mises yield criterion are assumed, the plastic rates d p to be considered in the dual kinematic approach must satisfy both compatibility and admissibility conditions:

d p kk = 0 and E p = ∞ d p dt compatible:
A relaxation of the ÿrst condition has been introduced by [START_REF] Koiter | General problems for elastic-plastic solids[END_REF] in order to replace in perfect plasticity the computation of m k by a smaller coe cient deÿned as the minimum. A translation following the p-axis can also be introduced in order to include the origin of stresses inside the elastic domain

m ' = min d p ∞ D(d p ) d dt (35)
among the rates ÿ satisfying

E p = ∞ d p dt compatible; ∞ el : d p d dt = 1 (36)
where d p is a symmetric second order tensor and d p its deviatoric part. From this deÿnition and from the expression of m k in Proposition 5, it is clear that m ' , denoted as the relaxed kinematic safety coe cient, must satisfy m ' 6 m k :

(37)

Moreover, the following result has been established and known as Koiter's second shakedown theorem.

Koiter's second shakedown theorem. If m ' ¿ 1, then the plastic dissipated energy is necessarily bounded for any elastic-plastic evolution of a solid submitted to a given loading path from any initial condition. Thus, there is shakedown.

This theorem can be easily understood under the assumption of the generic equality m s = m k . Indeed, it follows that m s ¿ m ' ¿ 1, thus there is shakedown from the static approach. However, a direct proof has been given by [START_REF] Koiter | General problems for elastic-plastic solids[END_REF] without this assumption.

The same theorem also holds for the limited kinematic hardening model.

Proposition 8 (relaxed kinematic coe cient). In the case of the previous limited kinematic hardening model, the dissipated energy is necessarily bounded and there is shakedown if there exists ¿ 0 such that the relaxed safety coe cient m ' 6 m k , deÿned by

m ' = min d p R max E p d + ∞ k d p d dt (38)
among the symmetric rates d p (x; t) such that

E p = ∞ d p dt compatible ∞ el : d p d dt = 1; (39) satisÿes m ' ¿ 1.
A direct proof is given here without the assumption m s = m k following Koiter's method. Indeed, the response of a hardening solid obeying this model under a given loading path is considered starting from any initial condition. A special compatible rate history d p is now constructed on [ ; +∞[ from the plastic strain rate ˙ p (t); t ∈ [ ; T ] for a chosen time T ¿ . With the notation = el + r + p where r = L -1 s, the following rate is considered:

d p (t) = ˙ p (t) if 6 t 6 T; d p (t) = 1 T r (T ) if 2T ¿ t ¿ T; d p (t) = 0 if t ¿ 2T with (t) = (t) -( ). It is clear that E p = ∞ d p (t) dt = p (T ) + r (T ) = (T ) -el (T )
is a compatible but not necessarily admissible ÿeld. We are interested in the expression of the quantity

∞ el : d p d dt. Since for all t ∈ [0; T ] ( : ˙ p + s: ˙ r -el : ˙ p ) = ( -el )( ˙ -˙ el ) d = 0; el : d p d = ( : ˙ p + s: ˙ r ) d ; it follows that 2T el : d p d dt = T : ˙ p + s: L -1 : ṡ d dt + 1 T 2T T dt el : r (T ) d :
This rate history satisÿes necessarily after the deÿnition of m ' +∞ el :

d p d dt 6 1 m ' +∞ k d p d dt + 1 m ' R max E p d : It follows that m ' -1 m ' T A: ˙ p d dt 6 {W c (s( )) -W c (s(T )) + V ( p ( ) ) -V ( p (T ) ) + 1 m ' (k + R max ) r (T ) + 1 m ' R max p ( ) + 1 m ' R max p (T ) d - 1 T 2T T el : r (T ) dt d ; (40)
where A: ˙ p = k ˙ p and W c (s) = 1 2 s: L -1 : s. The next step of the proof is to check that the second member of this inequality remains bounded. On the one hand, after the introduced assumption on the function V (y) as shown in Fig. 1, the estimate

V ( p ) ¿ R max ( p -y max ) holds and gives 1 m ' R max p (T ) -V ( p (T ) 6 y max R max + 1 -m ' m ' R max p (T ) 6 y max R max :
On the other hand, r remains bounded from the fact that

A = s + el -C 6 k ⇒ s 6 k + R max + el :
It is thus concluded that the second member of Eq. ( 40) is bounded for all T and Proposition 8 holds.

Pressure-dependent models of geomaterials

In particular, the min-max duality method can be discussed for some common models of soil mechanics.

Cam-clay model

This model, proposed by the Cambridge school [START_REF] Burland | On the generalized stress/strain behaviour of wet clay[END_REF][START_REF] Schoÿeld | Critical State Soil Mechanics[END_REF], is very popular in soil mechanics since it describes correctly the plastic dilatation or contraction observed experimentally.

A generalized standard version of Cam-clay model is considered here. If p denotes the mean pressure, p = kk =3 and q = , the plastic criterion is given by the yield function

((p + R) 2 + bq 2 ) 1=2 -R 6 0;
where R ¿ 0 is a critical pressure denoted as the consolidation pressure and b ¿ 0 is a material constant.

The elastic domain is thus a family of growing ellipses as shown in Fig. 3. This family is homothetical with respect to the origin and there is isotropic hardening. Hardening e ects are described by the variation of the consolidation pressure R. For example, the following relation holds:

R = R 0 exp(y);
where y is the consolidation parameter, a non-decreasing variable with the plastic deformation to ensure that the consolidation pressure is non-decreasing. It can be deÿned Fig. 3. Cam-clay model of geomaterials: the elastic domain is limited by a family of ellipses in the stress space (p × q) and represented by a cone in the force space (A 0 × A × A ).

by the di erence between an equivalent plastic strain and the plastic dilatation p kk y = -p kk : This choice will be shown to be appropriate. It also ensures that the consolidation is possible in compression and not in tension. This is a generalized standard model with internal parameters p ; and energy

W = 1 2 ( -p ): L: ( -p ) + V (y) with V (y) = R thus V (y) = R 0 exp(y):
The generalized forces associated with the plastic dilatation and plastic deviator are A 0 =p+R and A = , respectively. The generalized force associated with is A =-R. The elastic domain is state-independent since it is deÿned by the convex cone

A 2 0 + bA : A + A 6 0: Normality law gives ˙ p kk = A 0 A 2 0 + bA : A = (p + R) R ; ˙ p = b A A 2 0 + bA : A = b R ; ˙ = ¿ 0:
It follows that the plastic volume rate is dilative if p ¿-R and contractive if p ¿-R and that

˙ = | ˙ p kk | 2 + 1 b ˙ p 2 1=2 :
This relation gives the physical interpretation of as a measure of equivalent plastic strain. In particular, the consolidation parameter and the consolidation pressure are non-decreasing since ẏ ¿ 0. The consolidation pressure R is not limited in the previous description since R(y) varies from 0 to +∞ when y varies from -∞ to +∞. Its expression can be in fact replaced and deÿned from any suitable monotone increasing curve such that lim y→-∞ R(y) = 0 and lim y→+∞ R(y) = R max ¡ + ∞. In this case, a model of limited consolidation is obtained.

For such a model, Eq. ( 16) is now considered with à = A * . It is clear that

max p * -(s * + R * I ): ∞ d p dt d =      -R * E p kk d if E p is compatible; +∞ if not: Finally, R * must maximise the quantity ∞ R * (d p kk ) 2 + 1 b d p 2 1=2 d dt d dt - R * E p kk d ¿ 0:
Thus the following result holds from min-max saddle method.

Proposition 9. For a Cam-clay model with limited consolidation, the kinematic approach leads to a coe cient m k ¿ m s , deÿned as the minimum As expected, the result is the same as an elastic perfectly-plastic material with a elastic domain C max associated with the extreme ellipse.

m k = min d p R

Kinematic hardening

In the spirit of the previous Cam-clay model, a particular model of kinematic hardening can also be introduced. Here, the consolidation parameter can increase or decrease and is taken simply as y = -p kk with the plastic criterion

((p + R) 2 + bq 2 ) 1=2 -k 6 0;
where k ¿ 0 is a constant and R(y) ¿ 0 is a given non-decreasing function satisfying

lim y→-∞ R(y) = R min ¿ 0 and lim y→+∞ R(y) = R max ¿ 0:
The elastic domain is now a family of ellipses of the same size, centered on axis p 6 0 of the (p × q)-plane. This is a generalized standard model of kinematic hardening, in the same spirit as Ziegler-Prager's model, with internal parameter p . The translation of the center of ellipse in the interval [ -R max ; -R min ] is due to the variation of the plastic dilatation. When R max ¡ + ∞, there is limited kinematic hardening. In this case, the choice of

R * must maximize -R * E p kk thus R * = R max if E p kk ¡ 0 and R * = R min if E p kk ¿ 0.
Finally, the following proposition holds.

Proposition 10. For the Cam-clay model of limited kinematic hardening, the kinematic approach leads to a coe cient m k ¿ m s , deÿned as the minimum When R max =+∞, there is unlimited kinematic hardening and the following proposition holds.

m k = min d p          ∞ k (d p kk ) 2 + 1 b d p 2 1=2 d dt + (R max E p kk --R min E p kk + ) d          (
Proposition 11. For the Cam-clay model of unlimited kinematic hardening, the kinematic approach leads to a coe cient m k ¿ m s , deÿned as the minimum

m k = min d p ∞ k (d p kk ) 2 + 1 b d p 2 1=2 d dt - R min E p kk d (45)
among the plastic rates d p satisfying

E p = ∞ d p dt compatible; E p kk ¿ 0; ∞ el : d p d dt = 1: (46)
This result is easily understood in the spirit of Propositions 6 and 7 since the back-stress is a pressure in this particular case. Again, the limited case (Proposition 10) appears as a penalization of the unlimited case (Proposition 11), R max is a penalty parameter associated with the constraint E p kk ¿ 0. In particular, if R min = k, the expression to be minimized (45) is exactly the dissipated energy associated with the yield surface deÿned by the ellipse of center -k.

Shakedown conditions for a domain of load values

In the classical presentation of shakedown theorems, the load history in conveniently presented by the elastic response el (t) for t ∈ [0; +∞[. It is well known that instead of a load history, a set of possible values el ( ) depending on n load parameters = ( 1 ; : : : ; n ) for ∈ S can be introduced in the case of cyclic loads. The conditions of safety with respect to shakedown for such a domain of loads can be easily written by adapting the previous theorems. Such a condition means that there is shakedown for any load history deÿned by a curve = (t) taking values in S for all t ¿ 0.

Let u el ( ); el ( ) be the elastic response in displacement and stress under the load . The associated response u * ; * is given by u * = u el ( ) + u * p and * = el ( ) + s * . Static shakedown theorem Proposition 1 can be written in this case under the form of Proposition 1 : Proposition 1 . For generalized standard materials obeying assumptions (7), there is shakedown under any load path (t) ∈ S whatever the initial state if there exists an internal parameter ÿeld * and a safety coe cient m ¿ 1 such that the force ÿeld mA * ( ) is plastically admissible for all ∈ S, where A * ( ) = -W ; ( * ( ); * ).

The particular case of a domain S such that the associated convex domain S c deÿned from S by convexiÿcation is a bounded polyhedral domain with corners r ; r = 1; q, can be considered for practical situations. Since A * ( ) = -Y T el ( ) -X * -W 2; ( * ), the dependence of A * on el is linear and leads to a simpler statement.

Proposition 1 . For generalized standard materials obeying assumptions (7), there is shakedown under any load path (t) ∈ S c whatever the initial state if there exists an internal parameter ÿeld * and a safety coe cient m ¿ 1 such that the force ÿeld mA * ( r ) is plastically admissible for all r = 1; q, where A * ( ) = -W ; ( * ( ); * ).

Illustrative example

The simple case of a symmetric three-bar system is considered here as an illustrative example. The system is composed of three elastic-plastic bars (2,1,2) connected by rigid bars as shown in Fig. 4. It is submitted to a central force F which is maintained constant while the temperature elevation T -T 0 of the central bar is varied and takes its values in the interval [ -T; + T ]. The shakedown condition with respect to thermo-mechanical cyclic loading inside this domain of values is discussed.

Taking account of the symmetry, static and kinematic equations are reduced to 1 + 2 2 = f;

= p 1 + T + 1 = p 2 + 2 ; For this system, a self-stress state respecting the symmetry has the form ( ; -2 ; ) and a compatible state of strain respecting the symmetry the form ( ; ; ). In perfect plasticity, the shakedown is ensured if there exists a self-stress state ( ; -2 ; ) such that the plastic criterion is satisÿed for the extreme loads, i.e. such that

-2 + f ∓ 2Â 3 6 1; + f ± Â 3 6 1:
It is well known that the resulting shakedown domain is a convex domain OABC in Fig. 4, completed by symmetry with respect to axes f and Â.

The kinematic approach consists of ÿnding the safety coe cient m k of the loads f; ±Â. For this, plastic increments (d + 1 ; d - 1 ) and (d + 2 ; d - 2 ) in bars 1 and 2, associated with the extreme loads, are introduced. The kinematic approach gives m k as the minimum of the dissipated work

m k = min d 2|d + 2 | + 2|d - 2 | + |d + 1 | + |d - 1 | (49)
among compatible increments i.e.

d + 2 + d - 2 = d p 1 + d - 1 = E p satisfying 2 el+ 2 d + 2 + 2 el- 2 d - 2 + el+ 1 d + 1 + el- 1 d - 1 = 1:

Conclusion

In this paper, new results concerning the expression of kinematic safety coe cients, available for common models of limited isotropic and kinematic hardening, are given. The expressions obtained from the min-max duality such as ( 19), ( 30), ( 32), ( 38), ( 41) and ( 45) provide a useful complement to the static approach. Propositions 7-11 are new compared to the existing results of the literature in shakedown analysis since they deal principally with the kinematic approach. They are particularly simple and can be easily exploited to approximate by upper bounds the theoretical values in hardening plasticity as it is usually done for shakedown and limit analyses in perfect plasticity. In particular, the amplitude of the plastic rate path, denoted as E p in this discussion, ÿgures explicitly in the expression of the kinematic safety coe cients.

For the models considered here, it should be emphasized that the material always o ers its maximum allowable resistance given by the saturation limit of the yield surface. It is true that this remarkable capability holds only for appropriate ow laws of the plastic strain and internal parameters, as it has been emphasized in the literature (cf. for example, [START_REF] Fuschi | Structural shakedown for elastic-plastic materials with hardening saturation surface[END_REF]. However, this conclusion could possibly remain available for a class of hardening materials larger than the generalized standard models. It may be then interesting to discuss the least restrictive assumption on constitutive equations ensuring this result and the validity of the static and kinematic approaches. For non-associated ow laws, it is already known that no general variational principle or dual theorems could be derived for shakedown analysis or for limit analysis.

  For a given loading history on the time interval [0 + ∞[, Proposition 2. Let m s be the safety coe cient deÿned by the maximum m s ( ) = max * m (8) among all constant ÿelds * such that ∀t ¿ ; u * (t)CA; * (t)SA; mA * PA; * = W; ( (u * ); * ); A * = -W; ( (u * ); * ); (9)

  ) leads to the strain rate history ÿ = d p and to the Lagrangian = m + ∞ m( ˜ - * ): d p d dt; (22) where m ˜ must be plastically admissible and * = s * + el . The operation max s * leads to d p ) = max m ˜ PA m ˜ : d p . The ÿrst problem leads to max s * self -stress -s * :

  rates d p satisfying d p admissible; E p = ∞ d p dt compatible; ∞ el : d p d dt = 1: (26)

Fig. 1 .

 1 Fig. 1. A model for isotropic hardening.

  while the result is inÿnite otherwise. It is concluded that Proposition 5. In isotropic hardening with Mises criterion, the dual kinematic approach leads to a coe cient m k ¿ m s , deÿned as the minimum

Fig. 2 .

 2 Fig. 2. A model for limited kinematic hardening.

  d p ) d dt with D m (d p ) = max ∈Cmax

  In the same spirit, for a limited kinematic hardening model, Proposition 7 leads to the following statement Proposition 7 . For the limited kinematic hardening model, the dual kinematic approach leads to the computation of a coe cient m k , deÿned as the minimum

Fig. 4 .

 4 Fig. 4. A symmetric three-bar system and shakedown domains in perfect plasticity, limited kinematic hardening and linear kinematic hardening.

  leads to the initial problem since the result of the minimization with respect to ÿ then gives min ÿ = m if Ã(t) = A * (t) for all t ¿ and min ÿ = -∞ otherwise.

	The saddle-point problem max Proposition 4. The dual problem m k = min	16)

* ; Ã; m min ÿ (17) in the set of arbitrary ÿelds ÿ(t) and * ; Ã(t); m such that ∀t ¿ ; u * (t)CA; * (t)SA; m Ã(t)PA; * = W; ( (u * ); * ); A * = -W; ( (u * ); * ); (18) ÿ max * ; Ã; m (19) in the set of arbitrary ÿelds ÿ(t) and * ; Ã(t) such that ∀t ¿ ; u * (t)CA; * (t)SA; m Ã(t)PA; * = W; ( (u * ); * ); A * = -W; ( (u * ); * );

This condition gives

In linear kinematic hardening, the shakedown domain can be found easily. There is shakedown if the amplitude of the elastic response is small enough to satisfy the plastic criterion. Thus, there is shakedown if |Â| ¡ 3=2 as shown in Fig. 4 and no shakedown if |Â| ¿ 3=2. In the last cases, the responses are elastic-plastic and periodic for periodic loadings. The kinematic approach in kinematic hardening leads to the search of the minimum of the same expression (49) under the last condition among closed plastic increments

and thus, m k = 3=2Â. Thus, m k ¿ 1 if  ¡ 3 2 which is the result obtained by the static approach as shown in Fig. 4.

In limited kinematic hardening, from the static shakedown theorem (Proposition 1), there is shakedown if a plastic strain state ( p * 1 ; p * 2 ) can be found such that the associated self-stresses ( * 2 ; * 1 ; * 2 ), deÿned by *

lead to plastically admissible stress states. This means that the inequalities 2 3 ( p * 2 -p * 1 ) +

must be satisÿed, where r( p )=(1=k)R( p ). The kinematic approach consists of solving the problem

is then necessary to consider two possibilities:


S Harispe

A Imoussaten

F Trousset

J Montmain

Utilisation des fonctions de croyance pour l'estimation du contenu informationnel des concepts d'une ontologie On the consideration of a bring-to-mind model for computing the Information Content of concepts defined into ontologies

Keywords: Contenu informationnel, ontologie, fonctions de croyance, similarité sémantique Information content, ontology, belief functions; semantic similarity. 12

Les ontologies sont le support de nombreuses applications basées sur l'exploitation de connaissances expertes. Elles sont utilisées en particulier pour estimer le contenu informationnel ( IC ) des concepts clés d'un domaine : une notion fondamentale dont dépendent diverses analyses basées sur les ontologies, e.g. les mesures sémantiques. Cet article propose de nouveaux modèles d' IC basés sur la théorie des fonctions de croyance. Ces modèles ont pour objet de remédier à une limitation des modèles classiques qui ne tiennent pas compte de l'Hypothèse d'Inférence Inductive ( HII ) pourtant intuitivement utilisée par l'homme. Dans les modèles classiques d' IC , les occurrences d'un concept (e.g. Maths) ont une influence sur l' IC des concepts plus généraux subsumant le concept (e.g. Sciences) ; en revanche, elles n'affectent en rien l' IC d'un concept subsumé (e.g. Algebra). C'est ce comportement que se propose de prendre en compte l'HII. Les propriétés attendues de notre modèle d' IC donnent les contraintes mathématiques à respecter lors de sa construction. Des évaluations empiriques viennent vérifier qu'il a également un comportement des plus satisfaisants pour les cas d'usage les plus classiques d' IC .

Problématique

Les ontologies sont le support de nombreuses applications basées sur de la connaissance experte, e.g. systèmes d'information médicale ou d'aide à la décision clinique [START_REF] Staab | Handbook on ontologies[END_REF]. En particulier, elles fournissent des taxonomies qui établissent un ordre partiel des concepts clefs d'un domaine (e.g. classification de maladies). En définissant des relations de généralisation/spécialisation (i.e. les relations d'hyperonymie/hyponymie) entre les concepts, ces taxonomies traduisent des consensus cognitifs sur une hiérarchie d'abstraction structurant les concepts du domaine. Elles sont donc très utiles pour concevoir des systèmes en Intelligence Artificielle et largement utilisées en Recherche d'Information (RI), Traitement Automatique du Langage Naturel (TALN) et raisonnement approché pour ne citer que quelques usages. Les taxonomies permettent d'analyser les propriétés intrinsèques et contextuelles des concepts. En effet, en analysant leurs topologies et diverses informations propres à l'usage d'un concept, plusieurs auteurs ont proposé des modèles qui tirent avantage de ces taxonomies pour estimer l'informativité ou contenu informationnel ( IC ) de concepts [START_REF] Resnik | Using Information Content to Evaluate Semantic Similarity in a Taxonomy[END_REF]. Ces modèles sont conçus pour apprécier l'idée intuitive et conceptuelle que l'homme peut se faire de l'informativité d'un concept. Par exemple, la plupart des gens seront d'accord pour dire que le concept Algèbre est plus informatif que le concept Mathématiques dans le sens où savoir que Lucie étudie l'algèbre est plus informatif que de savoir qu'elle étudie les mathématiques. Dans ce cas, la conjecture semble naturelle puisque le premier fait implique le second étant donné que l'algèbre est un domaine d'étude particulier des mathématiques. Disposer d'estimateurs d' IC précis revêt une importance particulière dès lors que l'on cherche à étendre l'usage des ontologies à des applications qui font appel au raisonnement approché. En effet, nombre d'analyses basées sur des ontologies, e.g. calculer des similarités entre concepts, dépendent fortement de la qualité de ces estimateurs. Ainsi, les modèles d' IC jouent-ils un rôle fondamental dans la définition de mesures sémantiques, largement utilisées en RI, TALN et inférence de connaissances.

Modèles usuels d'IC

La transitivité de la relation assure que toute instance d'un concept cC  est une instance de chacun des ancêtres de c (i.e. IC doit décroitre de façon monotone des feuilles à la racine :

12 , c c C  1 2 1 2 ( ) ( ) c c IC c IC c .
Ce qui suit décrit les deux principales approches utilisées pour estimer l' IC d'un concept.

L'approche intrinsèque est uniquement basée sur la structure topologique de la taxonomie et étudie la position du concept dans cette dernière. Elle ne prend pas en compte les instances associées aux concepts. De nombreux estimateurs ont été proposés basés sur la profondeur du concept, le nombre de ses ancêtres/descendants, le nombre de feuilles qu'il subsume... ou en utilisant une combinaison de ses éléments. Une expression de l' IC basée sur un seul de ces éléments est, par exemple, fournie par Seco et al. [START_REF] Seco | An Intrinsic Information Content Metric for Semantic Similarity in WordNet[END_REF]

IC et théorie de l'évidence

Reprenons l'exemple de la section 1 : savoir que Lucie étudie l'algèbre est plus informatif que de savoir que Lucie étudie les mathématiques -en référence à la Figure 1 . Cette représentation conduit à introduire distribution de probabilité sur 2  afin de comptabiliser les observations imprécises. Les fonctions définies dans la théorie de l'évidence possèdent les propriétés nécessaires pour propager la masse de l'information observée sur les sous-ensembles de  . Nous allons maintenant présenter comment elles ont été utilisées afin de modéliser l' HII .

Fonctions de croyance

La théorie des fonctions de croyance a été introduite par Shafer [START_REF] Shafer | A mathematical theory of evidence[END_REF] pour modéliser l'imprécision et l'incertitude. Elle a été appliquée dans plusieurs domaines où l'information est fournie par des capteurs imprécis ou des jugements d'experts [START_REF] Imoussaten | A multicriteria deci-sion support system using a possibility representation for managing inconsistent assessments of experts involved in emergency situations[END_REF]. Nous résumons dans la suite les principales notions de la théorie des fonctions de croyance.

Soit  un ensemble fini. Une fonction de masse m est une distribution de probabilité sur

2  ( : 2 [0,1] m  
), elle est aussi appelée bpa (basic probability assignment). Soit A , () mA est la proportion de la masse affectée à A lui-même et non à un sous-ensemble plus petit [START_REF] Shafer | A mathematical theory of evidence[END_REF]. Dubois [START_REF] Dubois | Formal representations of uncertainty[END_REF]. Comme la fonction de plausibilité, la mesure de probabilité pignistique tire profit d'informations sur les ancêtres pour inférer de l'information sur les descendants.

Propagation de l'information

Revenons sur l'exemple de l'utilisateur qui possède une bibliothèque de 100 livres : 98 [START_REF] Resnik | Using Information Content to Evaluate Semantic Similarity in a Taxonomy[END_REF]). En revanche, la fonction de plausibilité Pl permet de propager les masses dans les deux sens, et notamment des ancêtres vers les descendants, l'observation d'un ancêtre rend plausible (crédible) l'observation de chacun de ses descendants : avoir des témoignages sur la présence de livres de mathématiques dans la bibliothèque ne prouve pas qu'il y ait des livres de géométrie, mais renforce néanmoins la plausibilité de cet événement. Cette intuition correspond à l'𝐻𝐼𝐼.

IC et fonctions de croyance

Évaluations

Notre principale contribution porte sur la de l'HII dans l'𝐼𝐶 𝑃𝑙 et l' m BetP IC . Cette proposition répond aux limites des IC existants (c.f. Section I) en permettant une estimation plus fine de l'informativité d'un concept en considération de l'HII. Discuter la pertinence de considérer cette hypothèse en fonction d'un contexte particulier dépasse le cadre de cette contribution. L'idéal serait cependant de tester la performance des IC proposés dans la tâche de modélisation de l'HII. Une telle évaluation est cependant difficile à mettre en oeuvre car il faudrait au préalable définir une procédure (e.g. mesure) permettant de comparer des modèles implémentant cette hypothèse. Néanmoins, puisque (i) les applications et les apports de notre contribution ont été soulignés, (ii) aucun modèle implémentant l'HII n'a été proposé jusque-là à notre connaissance, et (iii) aucun test ne permet d'évaluer la performance avec laquelle un IC modélise cette hypothèse, nous proposons d'évaluer notre contribution indirectement, en discutant l'impact des IC sur la performance des systèmes qui reposent sur leur utilisation. Nous souhaitons en particulier nous assurer que les IC proposés n'impactent pas négativement la performance de ces systèmes. Pour cela nous proposons de discuter l'impact des IC sur la performance des mesures de similarité sémantique. Tous les résultats présentés peuvent être reproduits en utilisant le code source et les données publiés à l'adresse : https://github.com/sharispe/published_xp. De nombreuses mesures permettent d'estimer la similarité sémantique de deux concepts définis dans une taxonomie ; celles-ci sont largement utilisées en RI, TALN et dans différentes techniques de raisonnement approché. Parmi les plus performantes, plusieurs mesures reposent sur les modèles classiques d'IC introduits en section II. Nous présentons deux mesures populaires que nous utiliserons dans nos évaluations. Resnik [START_REF] Resnik | Using Information Content to Evaluate Semantic Similarity in a Taxonomy[END_REF] définit la similarité des concepts 𝑐 1 et 𝑐 2 comme l'IC de leur ancêtre commun le plus informatif :

𝑠𝑖𝑚 𝑅𝑒𝑠𝑛𝑖𝑘 (𝑐 1 , 𝑐 2 ) = max 𝑎∈𝐴(𝑐 1 )∩𝐴(𝑐 2 )

𝐼𝐶(𝑎)

L'adaptation proposée par Lin [START_REF] Lin | An Information-Theoretic Definition of Similarity[END_REF] considère aussi la spécificité des concepts comparés : La motivation concernant l'utilisation d'un tel modèle d'évocation, est qu'intuitivement un fait augmente l'état de croyance des faits qu'il généralise, e.g. apprendre qu'une personne apprécie les livres de Maths peut nous conforter dans l'idée qu'elle puisse aimer les livres d'Algèbre. Ces modèles ont la propriété intéressante de répondre à l'incapacité des modèles d'IC existants à modéliser ce comportementcela malgré le rôle important que celui-ci semble avoir dans la mise en place de processus cognitifs. De plus, en considérant certains concepts comme des expressions imprécises d'autres concepts, ces nouveaux modèles d'IC apportent un regard original sur l'information portée par l'observation de concepts en considération d'un ordre partiel les structurant. Les premières évaluations empiriques de ces mesures, basées sur l'étude de l'impact des IC sur la performance des mesures sémantiques, montrent que les modèles proposés rivalisent avec les modèles classiques les plus performants. Des résultats complémentaires sur les corrélations entre ICs sont proposés dans [START_REF] Harispe | On the consideration of a Bring-to-mind Model for Computing the Information Content of Concepts defined into Ontologies[END_REF]. Pour toutes ces raisons, nous pensons que les modèles d' IC implémentant l'HII sont adaptés à de nombreux contextes applicatifs, e.g. recommandation, RI, TALN. Néanmoins, nous souhaitons souligner que la sémantique associée au modèle implémentant l'HII n'est probablement pas adaptée à tous les contextes des analyses supplémentaires dans différents contextes applicatifs méritent d'être menées pour compléter nos résultats et affiner notre compréhension des modèles d' IC . De façon intéressante, notre étude a permis de faire le lien entre des contributions de domaines de recherche qui avaient jusque-là peu de connections. En effet, en soulignant le lien étroit entre la fonction de croyance Bel et la probabilité à la base de la définition de l'IC de Resnik, ainsi que l'intérêt de considérer la plausibilité et la probabilité pignistique pour implémenter l'HII, nous avons mis en évidence l'impact intéressant que le cadre des fonctions de croyance pourrait avoir sur les travaux de recherche portant sur l'estimation d'IC, les mesures sémantiques et plus généralement, la recherche approchée basée sur l'utilisation d'ontologies. 

𝑠𝑖𝑚 𝐿𝑖𝑛 (𝑐

Figure 1 -

 1 Figure 1 -Taxonomie de sujets

Figure 1 .

 1 Dans cette configuration, l' IC des concepts peut être utilisé pour caractériser le centre d'intérêt d'un utilisateur. Savoir qu'un utilisateur a un manuel de mathématiques sera considéré comme moins informatif que de savoir qu'il a un manuel d'algèbre. En effet, de

  Cette notion est généralement utilisée pour décrire la spécificité d'un concept cC  en comparant le nombre d'instances associées à ce concept / c I relativement à I . Plus un concept est restrictif ( / c I est petit), plus sa spécificité est grande. Dans la littérature, la spécificité d'un concept est aussi mesurée par la quantité d'information ( IC : Information Content) apportée par le concept. Dans cet article, nous nous référons à la notion d' IC définie comme une fonction associant à chaque concept une valeur réelle positive, i.e. imposées en modélisation des connaissances, l'

  sont explicitement annotés par Maths, 1 annoté par Algèbre et 1 annoté par Antiquité. Dans ce cas, les concepts observés sont associés aux éléments focaux suivants : 3 montre les masses associées à cette partie de la taxonomie pour cet exemple.

Figure 3 -

 3 Figure 3 -Propagation des masses par Bel et Pl dans une taxonomie



  Soient une fonction de masse m, Bel et Pl respectivement les fonctions de croyance et de plausibilité associées à m,  l'ensemble des labels associés à C. Plusieurs propositions de nouveaux IC qui intègrent la propagation d'instances du haut vers le bas sont alors envisageables avec les fonctions de la théorie des croyances introduites. Ainsi, pour tout cC  , on peut poser : a-Notons que l' IC défini par la fonction Bel, i.e., permet pas de propager les masses des ancêtres vers les descendants et que par ailleurs, la contrainte de monotonie est vérifiée pour chacun des IC proposés. Le choix de la fonction logarithmique découle de l'application de la définition classique du contenu informationnel et fait donc référence à la théorie de l'information de Shannon.

2 Formalisme et existant 2.1 Ontologies : formalisme adopté

  par la propriété de transitivité de la relation de subsomption, tout livre indexé par Algèbre est nécessairement associé à Maths et Sciences. En d'autres termes, quand la bibliothèque d'un utilisateur sera analysée, tout ouvrage traitant d'Algèbre contribuera à renforcer l'idée que l'utilisateur porte de l'intérêt à l'Algèbre, aux Mathématiques et à la Science. Dans les modèles classiques d' IC , l'informativité du concept Maths est simplement vue comme une fonction du nombre de ses instances (i) directes et (ii) indirectes, i.e. le cardinal (i) de l'ensemble des livres explicitement annotés par Maths, et (ii) de l'ensemble des livres indexés par Algèbre ou Géométrie dans notre exemple. Par la suite, quand l' IC d'un concept est calculé avec l'un des modèles de la littérature, l'information relative au nombre d'occurrences des concepts qui le subsument ne sera pas prise en compte. Par exemple, sur la Figue 1, le nombre d'occurrences du concept Maths ne sera pas pris en compte pour estimer l' IC du concept Algèbre. Toutefois, ce choix de modélisation peut induire des résultats non souhaités et peut être mal adapté à certains contextes d'utilisation. Illustrons le coeur de la problématique sur la base de l'exemple de la bibliothèque. Considérons un cas extrême où un utilisateur a une bibliothèque de 100 livres dont 98 sont explicitement annotés par Maths, 1 est annoté par Algèbre et 1 par Antiquité. Avec un modèle classique, les ICs des concepts Algèbre et Antiquité seront les mêmes.

	informatif que celui d'Algèbre puisqu'il	partiellement l'ensemble des concepts	C
	permet d'identifier un centre d'intérêt possible de l'utilisateur qui ne pouvait jusqu'alors être soupçonné au vu des observations. Cet article propose de définir et d'étudier de nouveaux	qu'elle définit.  ( ) | D c x C x c  A c ( )  respectivement l'ensemble des ancêtres et des  | x C c x  et  représentent alors
	modèles d' IC en considérant que l'estimation de l'informativité d'un concept est	descendants (non stricts) du concept L'unique concept sans ancêtre (excepté lui-cC  .
	contextuelle et largement impactée par le fait	même) est appelé root 	( A root	 } root ) { 	.
	que nous ayons souvent recours à l'inférence	Les concepts n'ayant aucuns descendants
	inductive au quotidien. Par exemple, dire que quelqu'un aime les mathématiques tend à renforcer l'idée que ce quelqu'un pourrait bien aimer l'algèbre. Ce point de vue sera désigné tout au long de l'article par hypothèse	exceptés eux-mêmes appelés des feuilles et sont notés Leaves.     () D c c  sont L'ensemble des feuilles subsumées par le c concept cC  sera noté Leaves (i.e.
	d'inférence inductive (HII).	() Leaves D c Leaves 	).
		c
	Cet article propose et évalue de nouveaux modèles d' IC qui règlent certaines limitations d'usage des estimateurs d'informativité de la littérature en implémentant l' HII . Le principe consiste à considérer les occurrences de concepts subsumant dans le calcul de l' IC du subsumé pour conférer à notre modèle un caractère intuitif qui nous semble assez naturel, du moins dans certains cas d'usage des IC . Nous nous appuyons sur le cadre théorique des fonctions de croyance pour asseoir notre proposition. L'article est structuré comme suit. La section 2 introduit le formalisme et dresse un rapide état de l'art des différents modèles d'IC existants. La section 3 introduit les notions de la théorie des croyances nécessaires à la compréhension	À chaque concept cC  ensemble d'instances et le concept peut alors est attaché un être considéré comme la classe de ces instances, e.g., le concept Maths de la Figure 1 représente l'ensemble des livres qui sont annotés par ce concept. Notons 𝐼 l'ensemble de toutes les instances (i.e., tous les livres de Lucie dans l'exemple). Pour un concept cC  , deux sous-ensembles de I peuvent lui être associés. Le premier, noté c I , désigne l'ensemble des instances de I annotées par c (sans considération de la taxonomie). Nous considérerons qu'aucune instance ne peut être annotée simultanément par deux concepts différents dont l'un est descendant de l'autre. / c Le deuxième, noté I , désigne l'ensemble
	de notre modèle et explique comment les	des instances de c obtenu par transitivité de la
	mettre en oeuvre pour modéliser l'HII. La	relation	:	II 	. Il en découle que
				/ cx
	section 4 est dédiée à l'évaluation et compare	Autrement dit, cela signifie que savoir qu'il y xc
	notre proposition aux modèles existants dans	a un livre d'algèbre dans la bibliothèque n'est / root II  et c Leaves  ,
	les usages les plus classiques : l'évaluation est	pas plus informatif que de savoir qu'il y en a
	essentiellement orientée autour de l'impact des	un qui traite de l'antiquité, et cela bien que
	modèles d' IC sur les mesures sémantiques.	nous	sachions	que		l'utilisateur	est
		extrêmement intéressé par les mathématiques
		(98 ouvrages). A notre sens, cette remarque
		met en avant une limite dans l'utilisation des
		modèles classiques d' IC qui ne considèrent
		qu'une information partielle sur les relations
	Considérons une ontologie dont peut être extraite une taxonomie ( , ) OC  (en appliquant des règles d'inférence si nécessaire). Cette taxonomie ordonne ( )	entre les concepts et les instances-ce qui nous parait contre-intuitif dans certains cas d'usage comme dans l'exemple précédent. En effet, dans ce cas, la plupart des gens s'accorderont à affirmer que le sujet Antiquité est plus

/ cc II  .

  comme par exemple celle de Sanchez et al.[START_REF] Sanchez | Ontology-based information content computation[END_REF] qui utilise à la fois le nombre de feuilles subsumées par un concept et le nombre de ses ancêtres. De manière générale, les IC intrinsèques sont efficaces pour estimer la quantité d'information portée par un concept en analysant les propriétés topologiques de la taxonomie. Cependant, ils ne peuvent pas prendre en compte l'utilisation qui est faite d'un concept dans un cadre applicatif spécifique. Dans de nombreux cas, l'IC ne peut pour autant pas être estimé sans tenir compte du contexte dans lequel le concept est utilisé. Par exemple, le concept Fuzzy logic est inconnu de la majorité des gens et peut donc être considéré comme très spécifique/informatif dans la plupart des contextes. Cependant, il n'aura que peu d'apport informatif s'il est utilisé pour caractériser les articles publiés dans une revue comme Fuzzy Sets and Systems.

	approches (intrinsèque et extrinsèque) n'est
	capable de modéliser l'HII, les sections
	suivantes étudient de nouvelles expressions de
	l' IC intégrant cette notion. Notre proposition
	et inversement proportionnelle au nombre de descendants : définie comme étant ( ) 1 log ( ) / log Seco IC c D c C  . Des expressions intrinsèques plus se base sur des statistiques d'événements imprécis hiérarchisés par la structure de la taxonomie plutôt que d'utiliser la solution d'agréger les deux types d'IC comme proposé complexes existent, Afin de surmonter les limitations de l'approche intrinsèque, des éléments d'information extrinsèques (i.e. qui ne viennent pas de la pour estimer l'IC du concept. L'approche extrinsèque est basée sur la théorie de l'information de Shannon où le caractère informatif d'un concept est le résultat de l'analyse statistique d'un corpus de textes. À l'origine, Resnik [2] définit l' IC d'un concept comme étant inversement proportionnelle à sa probabilité d'apparition dans le corpus. En considérant que l'information sur l'usage d'un concept puisse être obtenue de l'étude d'un ensemble d'entités annotées par les concepts (e.g. livres d'une bibliothèque), la probabilité (notée () c p c I I  . Le contenu informationnel d'un concept est alors défini par : ( ) log ( ) IC c p c  . D'autres formulations d' IC peuvent être trouvées dans [5]. Les formulations intrinsèques ne prennent pas en compte la manière dont sont utilisés les concepts. En revanche, les formulations extrinsèques n'utilisent qu'une très faible partie de la sémantique exprimée dans la taxonomie : seule l'information portée par les descendants d'un taxonomie) peuvent aussi être pris en compte dans [17].
	concept est utilisée pour estimer l' IC . Par
	conséquent, aucune de ces deux approches
	n'implémentent	l'Hypothèse	d'Inférence
	Inductive (	HII ) : en utilisant ces méthodes, en
	aucun cas, le nombre d'observations d'un
	concept ne modifiera notre croyance à
	observer l'un de ses descendants, e.g. savoir
	qu'il y a 98 livres de Maths dans la librairie de
	Lucie n'influence en aucune manière les IC
	des observations « Lucie a un livre d'algèbre »
	et « Lucie a un livre d'antiquité » qui
	demeurent identiques (dans le cas intrinsèque :
	la taxonomie est indépendante des instances ;
	dans le cas extrinsèque : Lucie a un livre sur
	chaque sujet). Du fait qu'aucune de ces deux

pc ) qu'une instance appartenant à I soit une instance de c est / ( ) /

  où Algèbre est une feuille et Mathématiques est l'un de ses parents. La seule information Lucie étudie les mathématiques signifie que l'on ne peut répondre plus précisément à la question Qu'étudie Lucie ? On peut cependant supposer que l'information véhiculée est imprécise par manque de connaissances. Seule une source mieux informée sur Lucie pourrait répondre plus précisément par Algèbre ou plus spécifique que 𝑐′ doit être associée à un sous-ensemble de labels plus petit que celui associé à 𝑐′. En effet, si on se contentait de construire

									des concepts autres que les feuilles comme
									l'ensemble des labels associés aux concepts
									feuilles subsumés par	c , on pourrait avoir
									   avec	' cc  , e.g. lorsqu'un concept
									cc	'
									n'a qu'un seul fils. Afin que la propriété (2)
									soit satisfaite, il est alors nécessaire d'ajouter
									une feuille fictive à chaque concept qui n'est
									pas une feuille. A chacune de ces feuilles
									fictives est associé un nouveau label	 ajouté
									c
									à  .	c qui ne
									font pas implicitement référence aux
									descendants (exclusifs) de	c . Ainsi	
									Maths
									permet de faire référence aux instances du
									concept Maths (livres de Maths) qui ne
									peuvent pas être considérés comme des livres
									d'Algèbre ou de Géométrie. Cela permet de
									définir		{} 	. Dans
									c	c	'
									' cc
									notre exemple, le concept Maths correspond à
									une réponse imprécise que nous représentons
									par	le	sous-ensemble
										{ 	,		,		}	alors que les
									Maths	Algebra	Geometry	Maths
									réponses Algèbre et Géométrie sont précises :
	Géométrie. C'est cette remarque que nous	Algebra 	Algebra {} 	et	Geometry 	Geometry {} 
	allons exploiter pour introduire l'HII en
	utilisant la théorie des fonctions de croyance.
	L'idée pour modéliser l'imprécision véhiculée
	par un concept c d'une consiste à
		associer un sous-ensemble	 d'un
									c
	ensemble fini de labels		n { , ,..., } 12   	. La
	construction de  doit respecter les propriétés
	suivantes : (1) les éléments les plus spécifiques
	(les feuilles) sont associés à des singletons :
	c leaves 	,	1 ; (2)	' c c C ,  ,	' cc ,
					c
	alors	   . La première propriété signifie
		c		c	'
	qu'en prenant en compte la taxonomie, une
	annotation par une feuille est une annotation
	précise, i.e. réduite à un singleton. Ainsi,
		{} 	où	 est le label associé à
	c leaves 		c		c
	c leaves 	. La seconde propriété signifie qu'une
	annotation par un concept
									 pour
									c

c c  renvoie aux instances de c  comme suit :

  Bel Pl est la contrepartie de la probabilité traditionnelle Pr . L'utilisation judicieuse de cette paire en lieu et place de Pr serait de conserver l'encadrement. Cependant, comme l' IC d'un concept est communément entendu comme une valeur dans + , un choix doit être effectué. De plus, d'autres fonctions que Bel et Pl sont proposées dans le cadre de la théorie de l'évidence. Par exemple, la mesure de probabilité pignistique BetP de Smets[START_REF] Smets | The transferable belief model[END_REF] est calculée à partir de la fonction de masse m. La mesure BetP est définie via sa distribution de probabilité associée notée

											article est de modéliser l'HII via la fonction de
											plausibilité. La fonction de plausibilité
											: 2 Pl  	[0,1]	est définie comme suit :
	et al. voient probabilité qu'un agent ne sache rien de plus () mA comme la que A   (où  est la valeur qu'on cherche à connaitre) [9].	,   B B A    degré auquel on estime que l'évènement A est ( ) ( ) Pl A m B où () Pl A exprime le plausible. Par exemple, puisque Algèbre Maths    , si Maths  alors la
	Si nous faisons le lien avec la taxonomie et	plausibilité de		Algèbre	est renforcée. Ainsi,
	l'ensemble de labels  associé, une annotation imprécise véhiculée par un concept cC  est représentée dans  par le sous-ensemble c  . La quantité () c m  fait	plus la probabilité d'observer le concept Maths est grande, plus la plausibilité que l'annotation soit Algèbre est renforcée. Quand les observations (éléments focaux) sont
	référence à									imprécises, la probabilité d'un événement A, notée Pr(A), est aussi imprécise et est encadrée comme suit : [ ( ), ( )] Pr(A) Bel A Pl A  .
											Dans la théorie de l'évidence, la paire
											( ) 0 mA	( , )
	sont appelés éléments focaux et leur ensemble
	est noté . Pour mesurer la masse de croyance
	totale affectée à un sous-ensemble A, il faut rajouter à () mA, les quantités () mB des
	éléments focaux B inclus dans A. Cette mesure
	est modélisée par la fonction de croyance,
	notée Bel , (	: 2 Bel  	[0,1]	) définie par
	( ) Bel A	,  B B A  	( ) m B	. 1
	Pour la taxonomie, la quantité somme des masses de tous les éléments focaux Bel  est la () c	m betP comme
	inclus dans prouvent c  : si une instance d'Algèbre est c  , i.e. les événements qui observée, alors une instance de Maths est observée. En revanche, avec la fonction Bel ou	suit : ∀ , Pour  , la distribution de probabilité , ( ) ( ) / m AA betP m A A   .    m betP peut être vue comme la moyenne
	la fonction p définie dans [2], observer une	pondérée de probabilités uniformes sur les
	instance de Maths ne renseigne pas sur ce	éléments focaux contenant  où les poids
	qu'on peut dire sur Algèbre, i.e. l'HII n'entre	sont les masses de ces éléments focaux
	pas en jeu. L'approche proposée dans cet
	1 Pour un concept c,	() c Bel  correspond à la quantité
	définie par Resnik [2] comme la probabilité d'observer une
	instance de c, noté	() pc :	Bel	( ) c  	( ) p c		I	c	/	I
											/

/ / c II , i.e. la probabilité d'observer une instance de c et seulement une instance de c, ce qui exclut les instances des concepts descendants de c. Les sous-ensembles A  tels que . Notons que p ne devrait pas être vue comme une distribution de probabilité sur C [2] vu que ( ) 1 p root  , root C  et les éléments de C ne sont pas considérés indépendants.

  dans une taxonomie en tenant compte à la fois de l'ordre partiel et de statistiques relatives à leur usage (e.g. dans des textes). En particulier, par la définition de deux IC extrinsèques basés sur la plausibilité et sur la probabilité pignistique, nous avons introduit deux modèles d'IC implémentant l'hypothèse d'inférence inductive (HII), i.e. que les observations d'un concept impactent (i) l'informativité à la fois du concept en question et de ses généralisations, mais aussi (ii) l'informativité des concepts qu'il généralise.

	performance des mesures reposant sur l'IC	SimLex999 (SL) [14], pour lequel nous avons IC Resnik 0.114 0.114 0.108 0.108
	Resnik (i) montre que les résultats observés ne	utilisé les 666 paires de noms qu'il contient. IC Resnik (i) 0.538 0.601 0.527 0.588
	découlent pas du fait que l'IC n'ait pas	IC Seco	0.482	0.480	0.525 0.592
	d'impact sur la performance des mesures.	L'ordre partiel des concepts comparés dans IC Sanchez 0.541 0.583 0.527 0.583
	Nous avons aussi analysé les corrélations entre	notre évaluation est fourni par WordNet 3.1
	les estimations d'IC obtenues à l'aide des différents modèles. Les résultats obtenus	[15] -seule la partie associée aux noms a été considérée. Les jeux de tests utilisés Conclusion
	mettent en évidence, comme souhaité, que les IC implémentant l'HII se comportent différemment. Cela souligne alors que ces modèles sont performants -au minimum dans un contexte de calcul de similarité sémantique.	fournissent des paires de concepts et les scores de similarité associés. Le calcul de l'IC de Resnik et des IC proposés dépendant de l'observation de fréquences d'utilisation des concepts, nous avons utilisé les statistiques Nous avons présenté de nouveaux modèles d'IC basés sur les fonctions de croyance. Ils permettent d'estimer le contenu informationnel de concepts définis
	Nous avons aussi observé que l'IC basé sur la	fournies par le Princeton WordNet Gloss
	probabilité pignistique a un comportement qui	Corpus (http://wordnet.princeton.edu/glosstag.shtml).
	se rapproche plus de l'IC belief que de l'IC	Les expériences menées reposent sur les
	plausibilité. Conformément avec les inégalités	mesures et les IC implémentés dans la
	∀𝑐 ∈ 𝐶, 𝐼𝐶 𝑃𝑙 (𝑐) ≤ 𝐼𝐶 𝐵𝑒𝑡𝑃𝑚 (𝑐) ≤ 𝐼𝐶 𝐵𝑒𝑙 (𝑐), ces	Semantic Measures Libary (http://www.semantic-
	résultats suggèrent que l'IC basé sur la	measures-library.org) [16]. Les IC proposés dans
	probabilité pignistique permet d'obtenir un	cet article ont eux aussi été développés en
	compromis intéressant, i.e. de modéliser l'HII	utilisant cette librairie.
	tout en s'assurant d'obtenir des estimations
	d'IC qui ne soient pas radicalement différentes	Le Tableau 1 présente les corrélations de
	de celles obtenues traditionnellement.		Spearman et Pearson obtenues avec chaque
					configuration de mesure pour les différents
	Tableau 1 -Performance des mesures	jeux de test (RG, MC et SL). Les résultats sont
					présentés pour les IC proposés (Belief,
	Pearson	Spearman	Pignistic et Plausibility) et différents IC (voir
	Resnik	Lin	Resnik	Lin	section 2). Nous avons aussi considéré une
	Rubenstein & Goodenough	formulation intrinsèque de l'IC proposé par
	𝑠𝑖𝑚 𝑅𝑒𝑠𝑛𝑖𝑘 (𝑐 1 , 𝑐 2 ) 0.478 0.455 0.432 0.480 0.455 0.424 𝐼𝐶(𝑐 1 ) + 𝐼𝐶(𝑐 2 ) 0.498 0.454 0.423 Les mesures de similarité sémantique sont IC Belief 0.478 1 , 𝑐 2 ) = IC Pignistic* 0.481 IC Plausibility* 0.498 IC Resnik 0.477 0.477 0.468 0.439 classiquement évaluées au regard de leur IC Resnik (i) 0.339 0.339 0.320 0.320 capacité à mimer l'appréciation qu'a l'homme de la similarité sémantique. La performance des mesures est alors évaluée par l'étude des corrélations de Pearson/Spearman entre des scores attendus et estimés. Les jeux de tests se composent de paires de concepts associées à des scores attendus de similarité, généralement la moyenne des similarités exprimées par différents participants. Nous proposons ici de comparer la performance des mesures utilisant des modèles d'IC classiques et ceux proposés dans cet article. Trois jeux de tests ont été utilisés : (i) Rubenstein & Goodenough (RG) [12], 65 paires de mots, (ii) Miller & Charles IC Seco 0.482 0.480 0.455 0.443 IC Sanchez 0.516 0.514 0.451 0.435 Miller & Charles IC Belief 0.761 0.833 0.756 0.797 IC Pignistic* 0.774 0.843 0.758 0.794 IC Plausibility* 0.827 0.836 0.769 0.791 IC Resnik 0.809 0.838 0.793 0.804 IC Resnik (i) 0.280 0.281 0.266 0.266 IC Seco 0.808 0.841 0.760 0.808 IC Sanchez 0.836 0.847 0.775 0.765 SimLex 666 IC Belief 0.528 0.597 0.531 0.582 IC Pignistic* 0.534 0.594 0.533 0.583 (MC) [13], 28 paires de concepts et (iii) IC Plausibility* 0.527 0.564 0.521 0.565	Resnik, ici dénommée Resnik (i) pour intrinsèque. Nous rappelons que les IC basés sur la plausibilité et sur la probabilité pignistique implémentent l'HII, ils sont associés au symbole * dans le tableau 1. Les résultats soulignent que les modèles d'IC proposés (Belief, Pignistic, Plausibility) rivalisent avec les meilleurs modèles d'IC lorsqu'ils sont évalués au travers de l'étude des performances des mesures sémantiques. Ce résultat n'a rien de surprenant pour le modèle basé sur la fonction de croyance car celui-ci n'est au final qu'une variante de l'IC proposé par Resnik. Cependant, de façon intéressante, ces résultats soulignent qu'en plus d'implémenter l'hypothèse d'inférence inductive, les IC reposant sur la plausibilité et la probabilité pignistique permettent d'obtenir des performances comparables à celles des meilleurs modèles d'IC. A noter que la faible