Keywords: Bronze final atlantique 3, Hallstatt C, dépôts, épées de Gündlingen, rasoirs, fer __________________________

Des éléments du Hallstatt C dans les derniers dépôts français de l'horizon métallique de l'épée en langue de carpe ? Un examen critique.

José Gomez de Soto

Résumé

La date d"enfouissement des derniers dépôts français de l"horizon métallique de l"épée en langue de carpe, traditionnellement datésdu Bronze final atlantique 3, et plus précisément de sa phase BFa 3 récent (horizon de Vénat) reste encore débattue : les plus récents n"auraient en fait été abandonnés qu"au début du premier âge du Fer (Ha C). Au terme de l"inventaire critique des bronzes du Ha C prétendument identifiés dans quelques rares dépôts du BFa 3 récent, le bilan apparaît globalement négatif. Des fragments interprétés comme débris de lames d"épées hallstattiennes (Vénat, Graville-Sainte-Honorineet probablement Chamery) ne portent que de simples arêtes soulignant leurs bords, pas les fines moulures des épées de Gündlingen : il s"agit d"épées du type d"Ewart Park, possiblement tardives. Pour quelques fragments de la trouvaille ambigüe d"Hourtin qui présenteraient bien des filets en relief, la question peut rester posée. Mais on remarque qu"en Gaule de l"Ouest, le décor de filets en relief est attesté sur quelques épées du Bronze final, importées ou de production régionale (épées du type de Mörigen, fragment de lame d"épée de type indéterminé d"Hourtin, épée variante du type en langue de carpe de Vénat, épées du type de Tarquinia d"Amboise) ; de Vénat, une lame d"épée en langue de carpe et celle de l"épée à antennes portent un décor d"incisions parallèles simulant des filets en relief : il existait en Occident des prototypes possibles pour les décors de filets en relief des épées du type de Gündlingen. Ces derniers pourraient d"ailleursn"être aussi qu"une simple évolution stylistique des angulations latérales des lames de certaines épées du type d"Ewart Park. Le rasoir de l"île Guennoc ne provient pas du dépôt, mais constitue une trouvaille indépendante de nature incertaine. L"interprétation de divers objets reste discutable : rasoirs de Petit Villatte abusivement attribués au type de Havré, partie proximale de poignée à pommeau ovale de la Prairie de Mauves sans rapport avec ceux des épées à antennes du premier âge du Fer, appliques annulaires du type de Longy bien différentes celles du Ha C de la tombe de Velburg-Lengenfeld, etc. La branche de mors du dépôt de l"île Guennoc, variante des formes Wallerfangen ou Corcelettes attestées dans les stations littorales helvétiques, ne peut non plus être considérée comme un élément tardif. Enfin, des bronzes du Ha C voire D furent parfois tardivement-par négligence ou frauduleusement -ajoutés à ceux des dépôts dans les collections (Vénat ; dépôt de Plessé « enrichi » d"un lot hétéroclite de bronzes de provenance inconnue dont une épée de Gündlingen). Quant aux pièces de char parfois évoquées, ce sont, non des éléments tardifs, mais les prototypes de leurs équivalentes du premier âge du Fer, autrement dit des modèles éprouvés dont la production put traverser le temps sans changement aucun ou notable. D"autres modèles d"objets (bracelets à petites bossettes, différents types d"appliques, etc.) annoncent eux aussi des types du Ha C. La présence du fer (Vénat, Petit Villatte, les Isles à Chabris, la Haute Queue à Lacroix-Saint-Ouen) ne peut être un argument de datation tardive : moins anecdotique à la fin de l"âge du Bronze, ses premières occurrences en France remontent au Bronze moyen et au Bronze final 1. Il serait évidemment fallacieux d"estimer que la production bronzière du BFa 3 cessa ou se modifia drastiquement au tournant du Ha C vers 800 av. n. è. Notre connaissance de cette production au cours du Ha C se trouve occultée par la quasi-absence de dépôts et la pauvreté des rares attribuables à cette période. Ceux de Wattenheim/Alsenborn en Sarre ou de Scharlachkopf à Bingen en Rhénanie-Palatinat, ceux de l"horizon britannique de Llyn Fawr, la hache à douille de la tombelle 3 de Court-Saint-Etienne en Belgique, etc., montrent une typologie des objets d"usage courant en bronze peu différente de celle du Bronze final, alors que les modèles d"épées, eux, avaient changé.

The razor from Guennoc Island does not come obviously from the hoard of the isle; it must be considered as an independent and uncertain discovery, maybe from a burial. The identification of various artefacts remains disputable: fragments of razors from the Petit-Villatte hoard abusively attributed to Havré type; the proximal part of a hilt with a concave oval pommel from the Prairie de Mauves hoard, which has nothing in common with the antenna-hilted Early Iron Age swords; Longy type annular plaques remotely resembling those from the Ha C Velburg-Lengenfeld burial in Bavaria. On the other hand, Ha C or Ha D bronze artefacts were sometimes later added in museums or collections to hoards" ones, see for instance armlets in the Vénat one. A heterogeneous bunch of bronze objects of unknown provenance "enriched" the Plessé hoard. Either because of their typological determination, or because of the conditions of their discovery, the main objects relied upon for a late dating to the beginning of Early Iron Age of the large hoards from the carp"s tongue horizon do not as a consequence resist an accurate analysis. The fragments of wagons that are sometimes put forward must not be considered as late elements, but as the prototypes of their Early Iron Age correspondents, in other words as tested models, the production of which may have remained more or less unchanged throughout times, which is a rather common phenomenon. Other models of artefacts, such as armlets decorated with small protrusions, or various types of plaques, also herald the Early Iron Age types. The presence of iron pieces (the Vénat, Petit-Villatte, Isles in Chabris, and La Haute Queue in Lacroix-Saint-Ouen hoards) are now no argument for a late dating any more, since iron, already becoming less rare during Late Bronze Age, actually appears in France during Middle Bronze age and beginning of Late Bronze Age. The horse bit cheek from the Guennoc island hoard cannot be considered as a late element as it once was: it is a variant of the Wallerfangen and Corcelettes forms that are attested not only in the Wallerfangen hoard in Saarland, but in the Swiss lakeside settlements as well, abandoned at the end of Late Bronze Age. Obviously, it would be fallacious to think that the production of bronze artefacts during Late Atlantic Bronze Age 3 ceased or drastically changed at the turn of Early Iron Age. We could certainly multiply the examples of the continuity or slow evolution of artefacts, but our knowledge of this particular production during the beginning of Early Iron Age (Ha C) is overshadowed by the almost lack of hoards and the poorness of the rare ones dated from this period. The phenomenon is known to have regained importance only during the middle phase of the Early Iron Age (Ha D1), in particular through the hoards of Armorican type socketed axes in Brittany and Normandy, of ornaments in the Center-West, and the Launac type hoards in Southern Gaul. Hoards such as those of Wattenheim/Alsenborn, Kr. Kaiserslautern in Saarland, or of Scharlachkopf in Bingen, Kr. Mainz-Bingen in Rheinland-Palatinate, those of the Llyn Fawr horizon in Great-Britain, or even the socketed axe from the grave number 3 of Court-Saint-Etienne in Belgium, all testify that the typology of the commonplace bronze artefacts had remained quite similar to the Late Bronze Age one, whereas the models of swords had actually changed.

Key words

AtlanticLate Bronze Age 3, Early Iron Age, hoards, Gündlingen swords, razors, iron ________________________________________________ 1. Introduction Longtemps fut débattueet le reste encore parfois -la question de la date d"enfouissement des derniers dépôts de l"horizon de l"épée en langue de carpe, traditionnellement datés du Bronze final atlantique 3 / Ha B2-3, et plus précisément de sa phase BFa 3 récent ou horizon de Vénat [START_REF] Lehoërff | Le temps des élites en Gaule atlantique. Chronologie des mobiliers et rythmes de constitution des dépôts métalliques dans le contexte européen (XIIIe-VIIe s. av. J.-C.)[END_REF]: certains le furent-ils au début du premier âge du Fer (Ha C1), autrement dit, pendant les premières décennies du VIIIe siècle avant notre ère ? Dans le même ordre d"idée, la contemporanéité des épées à languette dites hallstattiennes traditionnellement réunies dans la famille d"armes dite de Gündlingen et de la période duBFa 3 récent fut maintes fois affirmée.

2. De douteux fragments de lames d"épées à languette dites hallstattiennes 2.1. Un court rappel historiographiquedes interprétations de la genèse des épées à languette dites hallstattiennes(ou de Gündlingen) Le terme « Gündlingen » n"est guère plus retenu dans l"acception d"un type, mais d"une famille de types d"épées à languette du Ha C. Nous l"emploierons dans cet article par commodité de langage, de façon seulement générique, comme l"ont fait, par exemple,M. [START_REF] Trachsel | Untersuchungen zur relativen und absoluten Chronologie der Hallstattzeit[END_REF], P.-Y. [START_REF] Lehoërff | Le temps des élites en Gaule atlantique. Chronologie des mobiliers et rythmes de constitution des dépôts métalliques dans le contexte européen (XIIIe-VIIe s. av. J.-C.)[END_REF], p. 143), ou J. Roussot-Larroque(2012[START_REF]L'âge du Fer en Aquitaine et sur ses marges. Mobilité des hommes, diffusion des idées, circulation des biens dans l'espace européen à l'âge du Fer[END_REF]. L"historiographie de la question de ces épées a été depuis peu rappelée par P.-Y. [START_REF]Le premier âge du Fer en France centrale[END_REF], p. 73 sq. et 2008[START_REF] Dhennequin | L'armement au premier âge du Fer en Europe tempérée[END_REF] ou encore P. Brun, B. Chaume, L. [START_REF] Brun | Le passage de l"âge du Bronze à l"âge du Fer… au fil de l"épée, De l'âge du Bronze à l'âge du Fer en Europe occidentale (Xe -VIIe siècle av. J.-C.). La moyenne vallée du Rhône aux âges du Fer (actes du XXXe colloque international de l[END_REF], aussi nous bornerons nous ici à quelques rappels essentiels.

L"attribution erronée au Hallstatt B (Bronze final III des auteurs d"expression française) des épées de Gündlingen par P. [START_REF] Reinecke | Mainzer Aufsätze zur Chronologie der Bronze-und Eisenzeit[END_REF] resta longtemps une source d"erreur, qui fut tôt corrigéepar J. Déchelette (1913, p. 717), puis, entre autres, par W. [START_REF] Kimmig | Die Urnenfelderkultur in Baden[END_REF], G. [START_REF] Kossack | Sudbayern während der Hallstattzeit[END_REF][START_REF] Cowen | The Hallstatt Sword of Bronze: on the Continent and in Britain[END_REF]. Toutefois, l"hypothèse traditionnelle d"une origine centre-européenne des épées de Gündlingen, puis de leur diffusion vers l"ouest jusqu"à la Gaule et aux îles Britanniques à l"occasion de présumées migrations et/ou par suite d"échanges, voire par des artisans ambulants, se trouvait réaffirmée (Marien, 1958 ;Cowen, 1967, p. 384, 418).

Mais dès 1965 -ce qu"on tend un peu trop à oublier -J. Briard avait eu l"intuition d"une continuité entre les épées du type d"Ewart Park, qu"il qualifiait de protohallstattiennes, et les épées de Gündlingen (Briard, 1965, p. 205). Par la suite, P. [START_REF] Schauer | Zur Herkunft der bronzenen Hallstatt-Schwerter[END_REF]),puis B. O"Connor (1980, p. 245) réinterprètent l"épée du type Thames de J. D. Cowen, non comme une arme typologiquement influencée par l"épée de Gündlingen, mais tout au contraire, commel"aboutissement, au cours du Late Bronze Age 3(LBA 3, parallèle de notre BFa 3),d"une évolution de l"épée du type d"Ewart Park.Ils avancèrent l"hypothèse d"une exportation d"épées du type d'Ewart Park à la fin du Bronze final sur le continent, et là,élaborées au début du premier âge du Fer, celles du type de Gündlingen en seraient une adaptation. Les épées de Gündlingen des îles Britanniques seraient des importations continentales, voire pour certaines des imitations locales. P.-Y. Milcent (2004, p. 73 sq.), de son côté, établit une filiation atlantique directe entre épées d'Ewart Park et de Gündlingen, en s'appuyant en particulier sur l'évolution des bouterolles et une typochronologie affinée des lames et de leurs languettes (type archaïque de Holme Pierrepoint, type Villement, etc.).

Cespropositions nesont désormaisplus guère discutées par les protohistoriens du continent (par ex., [START_REF] Warmenbol | De l"âge du Bronze à l"âge du Fer en France et dans le sud des Pays-Bas, La culture de Hallstatt. Bilan d'une rencontre[END_REF]en dernier lieu, Milcent, 2012). Mais l"hypothèse d"une influence de l"épée de Gündlingen sur les épées des types Thameset d"Holme Pierrepoint, ces dernières peuvant comme les premières porter un décor de filets en relief parallèles aux tranchants, conserve des tenants (par ex., Burgess et Colquhoun, 1988, p. 115 ;[START_REF] Burgess | A Find from Boyton, Suffolk, and the End of the Bronze Age in Britain and Ireland, in Burgess C. et Coombs D., Bronze Age Hoards. Some Finds Old and New[END_REF][START_REF] Burgess | Alignments: Revising the Atlantic Late Bronze Age Sequence[END_REF].

Malgré lamise au point de P. Schauer, les fiches typologiques publiées par la Société préhistorique française [START_REF] Gaucher | Typologie des objets de l'Age du Bronze en France, I, Epées[END_REF]traitent encore des épées de Gündlingendans un ouvrage consacré à celles de l"âge du Bronze. Le point de vue présenté un peu plus tard par J.-P. Mohen (1977, p. 185 sq.) reste quant à lui aussi encore assez ambigu. Puis, de façon assez incompréhensible, la seconde édition en 1985 des fiches typologiques publiées par la Société préhistorique française reste ne variatur par rapport à celle de 1972. Aussi, l"attribution au Bronze final des épées de Gündlingen peut-elle encore, curieusement, se retrouverde ci, de là… Si actuellement la datation au seul Ha C étant acquise, la question de l"attribution au Bronze final des épées de Gündlingen ne se pose plus, celle de l"enfouissement tardif, en France, au cours du Ha C, des plus récents dépôts de l"horizon de l"épée en langue de carpe reste bel et bien discutée (en dernier lieu : Roussot-Larroque, 2013). Il convient donc de réexaminer les éléments du dossier, et celui de quelques autres bronzes à problème des dépôts de l"horizon de l"épée en langue de carpe du BFa 3. 2.2. Le présumé fragment d"épée hallstattienne du dépôt de Vénat à Saint-Yrieix, Charente (fig. 1) Ce fragment fut figuré pour la première fois dans la publication exhaustive du mobilier alors accessible du dépôtpubliée par A. Coffyn, J.-P. Mohen et nous en 1981 (pl. 2, n° 12), sans attirer le moins du monde l"attention à l"époque, y compris des auteurs de l"ouvrage, dont la vigilance avait été prise en défaut : une maladresse du dessinateur avait représenté comme filets en relief ce qui n"étaient que simples arêtes entre les aplatissements latéraux de la lame et ses tranchants... Au seul vu du dessin, le fragment fut un temps interprété comme débris d"épée de type hallstattien, ce dont nous devons bien reconnaître porter la responsabilité (Gomez de Soto, 1984)…Mais après réexamen de l"original, dont pour lever toute ambiguïté nous donnons ici notre relevé établi en 1979 et dont nous avons depuis contrôlé l"exactitude (fig. 1), cette interprétationne peut plus être retenue (Gomez de Soto et al., 2009b, p. 279) :il ne s"agit pas d"un fragment de lame d"épée de Gündlingen, mais d"un fragment d"une du type d"Ewart Park, un modèle d"épée dont les lames présententassez fréquemment cette caractéristique stylistique, les simples arêtespas des filets en reliefs -soulignant les tranchants.C. Burgess et I. Colquhoun(1988, p. 67) classent l"évolution de ces épées en quatre étapes (steps), en y englobant le type Thames de J. D. Cowen. Le type de section qui nous intéresse, bien représentépendant l"étape 4, la plus tardive (par exemple, Burgess et Colquhoun, 1988,n°s 318 et 328), ne concerne pas seulement les plus récentes de ces épées : on le note par exemple, déjà, pour des armes de l"étape 2 (Burgess et Colquhoun, 1988,n°s 290, 293, 392). A défaut d"une épée du type d"Ewart Park, on pourrait encore évoquer une arme du type d"Holme Pierrepoint, queC. Burgess et I. Colquhoun (1988, p. 112)interprètent comme une armehybride entre celles du type d"Ewart Park et celles du type de Gündlingen, dans le sens d"une influence du second sur le premier :de la même façon J. D. Cowen interprétait-il, nous l"avons vu, la genèse de l"épée du type Thames. Dans les faits, l"absence d"association pour les six épées de Grande Bretagne rend cette hypothèse incertaine : on pourrait tout aussi bien y lire une des ultimes variantes de l"épée du type d"Ewart Park au sein d"une sorte de buissonnement stylistique,cette épée évoluant comme celle du type Thames vers le modèle de Gündlingen.Dans cette optique, on pourrait la dater, non du début du premier âge du Fer, mais bien encore du LBA 3 / BFa 3. Mais la question reste objet de débat [START_REF] Brandherm | Carp's-Toung Problems, Durch die Zeit[END_REF]. présumésfragments de lames d"épées du type d"Ewart Park. Autrement dit, l"homogénéité de l"ensemble paraît-elle bien incertaine ; qu"il s"agisse de plusieurs ensembles enfouis à plus ou moinscourte distance les uns des autres ensuite dispersés par l"océan reste une hypothèse tout aussirecevable, sinon biendavantage,que celle du dépôt unique : par exemple, les pointes de Palmela ne sont pas sans évoquer celles d"un autre ensemble girondin, mais homogène celuici, recueilli lui aussi en bord d"océan, à Vendays-Montalivet [START_REF] Roussot-Larroque | Une production originale de l"Age du Cuivre dans le Médoc : pointes de Palmela et haches minces de Vendays-Montalivet (Gironde)[END_REF].

J. Roussot-Larroque interprète plusieurs fragments de lames d"épées d"Hourtin comme débris d"épées de Gündlingen. Au vu des dessins des sections (Roussot-Larroque, 2013, fig. 3, n° 7-10), on peut se demander si certaines d"entre elles au moins ne sont pas analogues à celles des fragments de Vénat et de Graville-Sainte-Honorine, autrement dit, si les épées dont elles proviennent n"appartenaient pas au type d"Ewart Park, voire au type Thames de J. D. Cowen. Nous reviendrons en conclusion sur cette question des filets en reliefs pouvant orner certaines lames d"épées du Bronze final atlantique 3.

De quelques autres bronzes litigieux

3.1. Le rasoir hallstattien attribué au dépôt de l"île Guennoc (ouGaignog) à Landéda, Finistère (fig. 2) Le rasoir de type hallstattien prétendument trouvé dans le dépôt de l"île Guennocse voit régulièrement cité comme preuve de l"enfouissement au début du premier âge du Fer des derniers dépôts de l"horizon de l"épée en langue de carpe (Briard, 1965, p. 219 et 239 ;[START_REF] Briard | L"âge du Bronze à l"île Guennoc. Landéda, Finistère[END_REF]en dernier lieu, Roussot-Larroque, 2013, p. 73). Parvenu au musée des Antiquités nationales de Saint-Germain-en-Laye, actuel Musée d"Archéologie nationale, avec les bronzes du dépôt de l"île Guennoc de la collection de Paul du Chatellier, son appartenance à cet ensemble n"a longtemps pas été mise en doute. Mais un contrôle des sources documentaires nous a montré que le rasoir ne provient certainement pas du dépôt, avis suivi par P.-Y. Milcent (2012, p. 177, note 386).

En effet, si nous reprenons l"histoire des découvertes de bronzes sur l"île Guennoc, nous constatons qu"elles se firent en deux épisodes nettement séparés dans le temps : -une première découverte en février 1890, que P. du Chatellier (1891, p. 19) conte ainsi : « un pêcheur […] trouva sur le littoral de cette île, deux objets en bronze, mis à découvert par la mer qui avait déferlé fortement. Intrigué, il remua la terre là où il les avait rencontrés et en recueillit soixante-dix autres. Informé aussitôt, je me rendis sur les lieux et reconnus dans la trouvaille l"ensemble d"une cachette de fondeur dont je me rendis acquéreur » ; -le rasoir fut recueilli plus tard, ainsi que l"indique Emile Carthaillac (1891, p. 400) : « M. Paul du Chatellier nous signale un objet de bronze […] qui a été trouvé quelque temps aprèsles autres objets(1)». On remarquera, ce qui ne paraît pas anodin, qu"il n"est question pour cette nouvelle trouvaille que du seul rasoir, et non d"un certain nombre d"autres bronzes qui auraient échappé à la première collecte, ce que P. du Chatelier n"eût point manqué d"indiquer à E. Carthaillac, qui de son côté l"eût précisé dans sa note.

Pour P. du Chatellier, cité par E. Carthaillac, le rasoir aurait fait partie du dépôt. Mais on comprend mal pourquoi le pêcheur (ou une autre personne, ce n"est pas précisé), ne l"aurait pas découvert en même temps que le reste du dépôt. Qui plus est, et ce constat non plus n"est pas anodin, c"est le seul objet qui typologiquement n"appartient pas à l"horizon de l"épée à pointe en langue de carpe ! L"inventeur du dépôt, et peut-être du rasoir, aurait évidemment été incapable de faire ce distinguo, et donc n"eût eu aucun intérêt à soustraire cet objet pour le céder indépendamment, d"autant plus que le beau mors en bronze, unique en Bretagne, ne l"avait pas été : il est mentionné dans l"article princeps de P. du Chatellier. Deux explications possibles à ce constat de la trouvaille indépendante du rasoir : -un dépôt d"un objet unique enfoui à quelque distance du premier ; -le mobilier d"une sépulture du Ha C non reconnue car aux ossements détruits par le sol acide de l"île. Il est bien connu que les rasoirs constituent un élément emblématique des sépultures du début du premier âge du Fer, dont ils peuvent ne constituer que le seul mobilier métallique [START_REF] Jockenhövel | Die Rasiermesser in Westeuropa[END_REF][START_REF] Jockenhövel | Die Rasiermesser in Westeuropa[END_REF].

L"ensemble britannique dit« dépôt de Danebury », Hampshire, dans lequel figure aussi un rasoir de type hallstattien, est parfois cité à l"appui de la trouvaille de l"île Guennoc et partant, de la datation au Ha C de certains dépôts de l"horizon de Vénat (Roussot-Larroque, 2013, p. 73). Avant d"en discuter la date, il faut poser une question préalable : s"agit-il bien d"un dépôt au sens classique du terme ? Car la dispersion des bronzes sur une surface relativement large interroge quant aux conditions d"abandon des bronzes : en un geste unique, ou en apports successifs étalés dans le temps sur un lieu privilégié comme, avec une toute autre dimension, un site tel que Flag Fen [START_REF] Coombs | Flag Fen platform and Fengate Power Station post alignmentthe metalwork[END_REF] ou le dépôt de Netherhampton, dit de Salisbury [START_REF] Stead | The Salisbury Hoard[END_REF]Cooneyet al., 2011)en donnent des exemples ? Quoi qu"il en soit, dans l"hypothèse où l"on serait bien en présence d"un dépôt dans l"acception usuelle, sa datation au LBA3 neseraitpas aussi évidente qu"on l"a dit : c"est un assemblage hétéroclite de bronzes d"époques diverses, du Bronze ancien au premier âge du Fer en passant par le LBA3 [START_REF] Cunliffe | The Late Bronze Age Hoard from Danebury, Hants[END_REF]Jockenhövel, 1980, pl. 100, B ;Burgess et Colquhoun, 1988, p. 128).Y figure, outre le rasoir du Ha C, un fragment de hache à douille de type armoricain du type de Tréhou (Cunliffe et O"Connor, 1979, n° 11). Nous savons désormais que ce dernier élément, qu"on datait encore au BFa 3 à l"époque où furent écrites les publications citées ci-dessus, ne serait pas antérieur au Ha D1 (Gomez de Soto etal., 2009a),et de ce fait prouverait un abandon tardif du « dépôt », pas avant le VIIe s. av. J.-C.

3.2. Le fragment de languette de pommeau d"épée du dépôt de Petit-Villatte à Neuvy-sur-Barangeon, Cher (fig. 3,n° 2) Le dépôt de Petit Villatte contient unpetit fragment qui fut présenté comme débris de la partie pommeau d"une languette d"épée hallstattiennecassée au niveau de sa perforation (Cordier, 1996, fig. 6, n° 8 ;Cordier, 2009, fig. 236, n° 8). C"est en fait non une pièce cassée, mais au contraire,comme l"a observé P.-Y. Milcent (2012, note 355, p. 176), une pièce brute de fonte à sa partie supérieure, ce qui exclut qu"il s"agisse d"un fragment de languette d"épée de Gündlingen. D"ailleurs, dans l"hypothèse où il aurait s"agit d"une languette brisée, une attribution à une épée du type d"Ewart Park, variante South-eastern de l"étape 4 du phasage typochronologique de ces armes (Burgess et Colquhoun, 1988, pl. 50-51 et n° 644), serait autrement plus recevable qu"à une épée du type de Gündlingen. Dans le même ordre d"idée, on pourrait encore évoquer l"épée du type Thames draguée dans le Trieux à Plourivo, Côtesd"Armor, qui présente également une perforation dans la partie pommeau de sa languette (Briard, 1965, fig. 71, n° 3 ;Milcent, 2012, pl. 63, n° 4).Rappelons pour mémoire le fragment de poignée d"épée du type Thames, indiscutable celui-ci, du dépôt d"Azay-le-Rideau, Indreet-Loire (Cordier, 2009, fig. 187, n° 22 ;Milcent, 2012, fig. 63, n° 5), qui avec l"épée de Plourivo montre que ce type d"arme a, même si modestement, bien circulé sur le Continent.

3.3. Le présumé fragment d"épée à antennes du dépôt du Jardin des Plantes à Nantes, Loire-Atlantique Le dépôt du Jardin des Plantes à Nantes contient un curieux fragment d"un objet à section tubulaire polygonale, qui se présente comme une pièce coudée orthogonalement dont la branche montante se termine en disque (fig. 3, n° 5). Une pièce mince coulée (fig. 3, n° 6), selon F. Parenteau, s"adapterait à la première (Parenteau, 1868, p. 24 et pl. I, n°s 14-15 ;Briard, 1965, fig. 70, n°s 2-2" ;[START_REF] Briard | Un dépôt de l"âge du Bronze Final : le Jardin des Planches à Nantes (Loire-Atlantique)[END_REF], n°s 1-4). F. Parenteau,qui étayait son identification sur une comparaison avec une épée à antennes du Ha D conservée au musée de Nantes, puis J. Briard, interprétèrent le premier fragment comme une antenne de pommeau de poignard ou d"épée.

La proposition de F. Parenteau et J. Briard ne peut emporter la conviction. Les épées à antennes sont relativement nombreuses à la fin de l"âge du Bronze en Italie [START_REF] Peroni | Die Schwerter in Italien. Le spadenell'Italiacontinentale[END_REF] ou en Allemagne du Sud et Europe centrale (cf. par ex., [START_REF] Müller-Karpe H | Die Vollgriffschwerter derUrnenfelderzeit aus Bayern[END_REF]v. Quillfeldt, 1995 ;etc.). Sans être communes en Gaule de l"Ouestlatosensu, elles n"y sont pas inconnues : épées du type de Tarquinia d"Amboise, Indre-et-Loire et variante ou copie du même type de Meung-sur-Loire, Loiret (Cordier, 2009, fig. 334) ; épée atypique du dépôt de Vénat (Coffyn et al., 1981, pl. 3), cette dernière un « bricolage » par fonte en plusieurs coulées d"une poignée à antennes enroulées en spirales jointives sur une lame venant probablement d"une épée du type de Mörigen. Le fragment du Jardin des Plantes ne présente donc aucune parenté avec les appendices des épées antennes classiques ou apparentées du Bronze final,sauf à n"en retenir que l"angulation, ce qui fait bien peu. La comparaison proposée par J. Briard (1971, p. 10) avec l"épée de Whittingham, Northumberland, aux antennes tubulaires à extrémités en coupelles ombiliquées (Burgess et Colquhoun, 1988, n° 755), n"est guère plus convaincante. Tant qu"on ne disposera pas d"un objet plus complet, on ne saurait aller plus loin qu"écrire qu"il s"agit d"un objet d"usage inconnu. F. Parenteau voyait dans le second fragment un vestige d"un complément du fourreau de l"épée destiné à protéger les antennes,interprétation que J. [START_REF] Briard | Un dépôt de l"âge du Bronze Final : le Jardin des Planches à Nantes (Loire-Atlantique)[END_REF] considère avec raison comme hypothétique : en effet, un fourreau de poignard ou d"épée ne protège jamais la poignée de l"arme ! Par voie de conséquence, si cette pièce était effectivement destinée à recouvrir la présumée antenne, ce qui n"est pas démontré, ce constat suffirait à en ruiner la lecture comme débris de poignée d"épée ou poignard à antennes.

Des bracelets hallstattiens ajoutés au dépôt de Vénat

La quasi-impossibilité à se procurer les publications princeps du dépôt de Vénat, d"une qualité rare à leur époque [START_REF] Favraud | A travers l"histoire de la contrée -Le trésor de Vénat[END_REF][START_REF] Chauvet G | La cachette de fondeur de Vénat, suivi de : Une cachette d"objets en bronze trouvée à Vénat, commune de Saint-Yrieix, près d"Angoulême[END_REF], amena R. Audin et R. Riquet à présenter une publication sélective des principales pièces dans le premier volume des InventariaArchaeologica consacré à la France [START_REF] Audin R | Dépôt de fondeur (« cachette de Vénat[END_REF]. Les planches de la nouvelle publication furent réalisées, pour partie à partir des objets originaux conservés au musée de la Société archéologique et historique de la Charente, pour partie d"après les publications anciennes pour les objets non retrouvés à ce moment.

C"est sans doute sur cette publication, et/ou peut-être sur une visite au musée de la Société archéologique et historique de la Charente à Angoulême, que s"appuie l"affirmation de la présence de bracelets du premier âge du Fer dans le dépôt (Briard, 1965, p. 239). En effet, outre des haches à douille de type armoricain étrangères au dépôt (Gomez de Soto, 1980, p. 87 ;Gomez de Soto et al., 2009a), la planche F.-(3) de R. Audin et R. Riquet figure un bracelet rubané orné de bossettes aplaties alternant avec des plages à décor de stries,du type Jb.12.XI.h, variante Saint-Ybard (Milcent, 2004, fig. 80), caractéristique de la phase moyenne du premier âge du Fer, mais encore mal daté à l"époque où J. Briard écrivait, et qu"il attribuait au « Hallstatt C de Reinecke ou Hallstattien I de Hatt ».

Ce bracelet, comme un autre à décor de groupes de stries transversales, bien du Ha C ce dernier, que J. Briard put voir mêlé aux bronzes de Vénat, ne vient pas du dépôt. Si originaux, ils n"eussent pas manqué d"être remarqués et figurés dans les publications princeps de 1893 et 1894. En revanche, ils sont mentionnés, mais comme de provenance inconnue, dans le catalogue du musée de la Société archéologique et historique de la Charente (Catalogue…, 1915, p. 70, D. 5 et 6). De plus, leur patine terneest incompatible avec celle des bronzes authentiquement du dépôt de Vénat, d"un beau vert très sombre pouvant tirer sur le noir, avec souvent des plages d"un vert très clair, dépôts de calcite chargée d"oxyde de cuivre. Comme les haches à douille de type armoricain, elles aussi à patine incompatible avec celle des bronzes du dépôt, ils sesont trouvés mélangés aux bronzes de Vénat lors du déménagement des collections vers 1945.

Objets divers

P.-Y. Milcent (2012, p. 142 et p. 177, note 388) a attiré l"attention sur divers objets retenus par M. [START_REF] Trachsel | Untersuchungen zur relativen und absoluten Chronologie der Hallstattzeit[END_REF] dans sa sériation des ensembles de l"horizon de l"épée en langue de carpeet du premier âge du Fer, qui déterminèrent sa datation au début du Ha C des premiers. Outre les présumés fragments d"épées de Gündlingen, dont il fut traité ci-dessus, divers objets furent pris en compte suite à des identifications erronées, par exemple : -des fragments de rasoirs du dépôt de Petit Villatte [START_REF] Cordier | Le dépôt du Bronze final du Petit-Villatte à Neuvy-sur-Barangeon (Cher) etson contexte régional, Joué-lès-Tours, chez l[END_REF](Cordier, , fig. 20, n°s 5 et 6 et 2009, fig. 249, n°s 5 et 6 ;, fig. 249, n°s 5 et 6 ;ici, fig. 3, n° 4), interprétés comme fragments de rasoirs du type de Havré défini par A. Jockenhövel(1980, p. 139). Des rasoirs présentant comme ceux de Petit Villatte un jour circulaire et une étroite échancrure sommitale ne manquent pas à la fin de l"âge du Bronze, par exemple ceux du type Mailhac I (Jockenhövel, 1980, p. 126). Le fragment n° 5 de Petit Villatte se rapproche en particulier des exemplaires n°s409 et 410 de l"inventaire d"A.

Jockenhövel : il est donc abusif de tenir les deux rasoirs fragmentaires berrichons pour des représentants du type de Havré ; -La branche de mors du dépôt de l"île Guennoc (fig. 4), elle non plus ne peut être considérée comme un élément tardif, comme on a pu le penser : c"est une variante des formes Wallerfangen (Vaudrevange en français) ou Corcelettes [START_REF]Bronzezeitliche Trensen in Mittel undOsteuropa. Grundzüge ihre Entwicklung[END_REF] attestées non seulement dans le dépôt sarrois de Vaudrevange, mais aussi dans les stations littorales helvétiques, abandonnées à la fin de l"âge du Bronze ; -pièce interprétée comme partie proximale d"une poignée d"épée ou de poignard à pommeau ovale concave du dépôt de la Prairie de Mauves (Briard, 1965, fig. 70, n° 5 ;Briard et al., 1966, n° 19 ;ici, fig. 3, n° 1), abusivement assimilé à ceux des épées à antennes du premier âge du Fer (Trachsel, 2004, fig. 74). Si un rapprochement avec un modèle d"arme à antennes devait être proposé, ce serait, mais en ne s"en tenant qu"à la seule forme générale du pommeau, avec les épées du type de Tarquinia, que nous avons vu attestées sur l"axe ligérien ; -appliques annulaires du type de Longy (type RNG 02 : Trachsel, 2004, p. 530-531), présentes dans le dépôt de Vénat (Coffyn et al., 1981, pl. 43, n° 57 à 63), abusivement assimilées à celles, elles bien du Ha C, de la tombe 1 de 1894 deVelburg-Lengenfeld en Bavière, mais de forme en rouelle celles-ci [START_REF] Torbrügge | Die Hallstattzeit in der Oberpflatz I. Auswertung und Gesamtkatalog,Kallmünz, Materialhefte zur bayerischen Vorgeschichte[END_REF]Milcent 2012, pl.68 A16-17).

3.6. Heurs et malheurs du dépôt de Plessé, Loire-Atlantique Pour mémoire, il nous faut enfin évoquer le cas d"une série de bronzes, parmi lesquels un fragment proximal d"épée de Gündlingen, attribués au dépôt de Plessé.

Découvert en 1859, ce dépôt se composait, d"après la documentation princeps, d"une quinzaine de bronzesqui furent acquis par la Société archéologique de Nantes. A part des bracelets disparus ou non encore identifiés, le dépôt est actuellement conservé au musée Dobrée de Nantes, où il a été dessiné par J. Briard, qui le publiant en a donné la bibliographie détaillée [START_REF] Briard | La cachette de Plessé, Loire-Atlantique[END_REF](Briard, et 1965, p. 315, n° 368), p. 315, n° 368).

En 1978, F. Letterlé remarqua un lot de bronzes en vente chez un antiquaire parisien, qui l"autorisa à les photographier [START_REF] Letterlé | Nouveaux éléments concernant le dépôt de Plessé (Loire-Atlantique)[END_REF]. Certains de ces bronzes portaient la mention « Cachette de Plessé 1860 Coll. Pitre de lisle (sic) du Drenneux (sic) Déchelette appendice âge du Bronze p. 71 n° 453 ». Lesindications de page et de numéro correspondent exactementà la mention du dépôt de Plessépar J. Déchelette dans le volume d"appendices au tome de sonManuel consacré à l"âge du Bronze [START_REF] Déchelette | Manuel d'Archéologie préhistorique, celtique et gallo-romaine[END_REF]. En revanche, J. Déchelette n"indique P. de Lisle du Dreneuc qu"en termes de bibliographie, mais pas de collection, et indique bien le dépôt au musée de Nantes. La collection proposée par l"antiquaire parisien se composait de quatorze pièces : -un fragment d"épée de Gündlingen ; -huit pointes de lances. D"après les photographies, une richement décorée (Letterlé, 1985, n° 13), une à l"extrémité distale brisée et ailerons semble-t-il moulurés longitudinalement(n° 3) et au moins quatre autres (n° 7, 8, 9, 14) appartiennent indiscutablement à l"horizon de Tréboul du Bronze moyen 1 ; -une hache à rebords au tranchant brisé du Bronze moyen, peut-être de type vendéen ; -deux phalères ; -un talon de lance ; -une gouge. Autrement dit, sur quatorze objets, sept, soit la moitié, indubitablement du Bronze moyen ! F. Letterlé émet plusieurs hypothèses quant à cette collection, en particulier celle d"une division des bronzes du dépôt lors de la découverte, dont les plus belles pièces auraient pu être soustraites et vendues indépendamment des modestes fragments conservés au musée Dobrée. Cette hypothèse n"est pas recevable pour plusieurs raisons : -l"état de conservation des bronzes du musée Dobrée tel que présenté par J. [START_REF] Briard | La cachette de Plessé, Loire-Atlantique[END_REF], « très corrodés, quelques objets étant même agglutinés par suite de l"altération »,est conforme à ce qu"indiquent les sources anciennes. Par contraste, le métal des bronzes de l"antiquaire présente un bel état de conservation ; -la proportion anormalement élevée de pièces du Bronze moyen pour un dépôt de la fin de l"âge du Bronze : ces derniers n"en contiennent généralement pas, ou lorsque ceci est, en proportion infime : par exemple,une seule hache à talon du Bronze moyen 2 parmi les centsoixante-huit bronzes du dépôt de la Tiédenaie à Saint-Père-en-Retz, Loire-Atlantique (Maggi et [START_REF] Paitier | Dépôt du Bronze final de la Tiédenaie à Saint-Père-en-Retz (Loire-Atlantique)[END_REF], un unique fragmentde hache à talon dans le dépôt 1 deKergaradec à Gouesnac'h, Finistère, sur cent soixante-six objets (Fily, 2009, p. 98). D"ailleurs, aucun objet du Bronze moyen ne figure au sein de la collection du dépôt de Plessé conservée au musée Dobrée [START_REF] Briard | La cachette de Plessé, Loire-Atlantique[END_REF].

Il est donc évident que la série de bronzes de l"antiquaire parisien n"a rien à voir avec le dépôt de Plessé. Il ne s"agit probablement pas même d"un dépôt, mais d"un lot hétéroclite réuni à date plus ou moins récente. Par quel mystère ces bronzes furent-ilscinquante et un ans au moins après la découverte de Plessé en 1859, puisque la mention qu"ils portent ne saurait être antérieure à 1910, comme le fait remarquer F. Letterlé -donnés au dépôt, honnêtement suite à une erreur, ou par une manoeuvre malhonnête dans le dessein de les valoriser à la revente ? On ne le saura sans doute jamais.

Conclusion

Au terme de cet inventaire de bronzes du premier âge du Fer prétendument identifiés dans quelques rares dépôts de l"horizon métallique de l"épée en langue de carpe, le bilan apparaît négatif.

• Pour ce qui concerne les fragments de lames d"épées interprétés comme débris d"armes du type de Gündlingen. Les simples arêtes soulignant leurs bords -qu"on ne saurait confondre avec les fins filets des épées de Gündlingen-des fragments de lames d"épéesde Vénat et de Graville-Sainte-Honorine et semble-t-il certains d"Hourtin, indiquent que ces débris de lames proviennent d"épées du type d"Ewart Park, possiblement de modèles tardifs. Ne poseraient problème qu"un ou deux fragments d"Hourtin, qui au vudes dessins ne présenteraient pas de simples angulation parallèles aux tranchants, mais bien des filets en relief. Fragments de lames d"épées de Gündlingen ou non ? En Gaule de l"Ouest, le décor de filets en relief sur des lamesest attesté sur quelques rares épées incontestablement de la fin de l"âge du Bronze présumées importées ou d"origine régionale, par exemple en Aquitaine sur l"épée du type de Mörigendraguée dans la Garonne près de Bordeauxou sur un fragment de lame d"épée de type indéterminé d"Hourtin (Roussot-Larroque, 2013, fig. 3, n° 2 et 6), en Centre-Ouest sur la lame d"une épée décorée, variantedu type à pointe en langue de carpe du dépôt de Vénat (Coffyn et al., 1981, pl. 2, n° 1). Dans le dépôt de Vénat encore, une très belle lame d"épée à pointe en langue de carpe porte un riche décor d"incisionsparallèles à la nervure centrale qui simule un véritable décor de filets en relief, de même pour la lame de l"épée à antennes du dépôt (Coffyn et al., 1981, pl. 3),qui provient probablement, comme nous l"avons suggéré ci-dessus, d"une épée du type de Mörigen. Les épées à antennes du type de Tarquinia, présentes en Gaule ligérienne (Cordier, 2009, fig. 334) présentent aussi un tel décor de filets en relief. Il existe donc bien en Occident des prototypes possibles pour les décors de filets en relief, comme le rappelaient C. Burgess et I. Colquhoun I (1988, p. 114-116). Il n"est donc pas forcément nécessaire d"invoquer l"imitation des filets des épées hallstattiennes pour rendre compte de la genèse des filets en relief de toutes les épées occidentales de production régionale. Et par ailleurs, les filets pourraient n"être que le fruit de la simple évolution stylistique des angulations latérales des lames.

Déterminer le type des épées d"oùviennent les fragments de lames concernées reste problématique en l"absence de restes de poignées : les grands dépôts de la fin de l"âge du Bronze ne manquent pas de fragments d"épées qui échappent à toute typologie, venant d"armes de type originaux sans doute produites en quantité infime ; la présence à Hourtin de fragments de languettes de poignée lèverait toute ambiguïté quant à la nature des épées dont viennent les tronçons qui nous intéressent.Mais par ailleurs, l"ambiguïté de la nature des trouvailles d"Hourtin rend toute conclusion qu"on en pourrait tirer sujette à discussion… Quoi qu"il en soit, il est clair que si les derniers dépôts continentaux de l"horizon de l"épée en langue de carpe, dans sa phase de Vénat, s"étaient trouvés contemporains des épées de Gündlingen, les plus volumineux d"entre eux, et en particulier celui de Vénat, eussent dû en contenir des fragments, puisque ce type d"arme sera présent dans l"Ouest au Ha C, en Aquitaine (Roussot-Larroque, 2012 et 2013), mais aussi dans les pays de la Loire [START_REF] Verger | Epée à languette, épée à antennes. Nos ancêtres les Gauloisaux portes de l'Armorique[END_REF]. Or, ce n"est pas le cas ! •Le rasoir de l"île Guennoc ne provient visiblement pas du dépôt, mais constitue une trouvaille indépendante de nature incertaine.

• Des objets à identification discutable : fragments de rasoirs du dépôt de Petit Villatte abusivement attribués au type de Havré, partie proximale de poignée d"épée ou de poignard à pommeau ovale concave du dépôt de la Prairie de Mauves sans rapport avec les épées à antennes du premier âge du Fer, appliques annulaires du type de Longyne ressemblant que de loin à celles du Ha C de la tombe de Velburg-Lengenfeld en Bavière.

•Des bronzes tardivement ajoutés à ceux de dépôts dans les collections :bracelets du premier âge du Fer dont un du typede type Saint-Ybard présentés comme appartenant au dépôt de Vénat, dépôt de Plessé « enrichi » d"un lot hétéroclite de bronzes de provenance inconnue.

Ainsi, les principaux éléments retenus pour proposer une datation tardive, au début du premier âge du Fer(le Ha C1 frühde M. [START_REF] Trachsel | Untersuchungen zur relativen und absoluten Chronologie der Hallstattzeit[END_REF] des derniers grands dépôts de l"horizon de l"épée en langue de carpe ne tiennent pas devant une critique précise, soit de leurs déterminations typologiques, soit de leurs conditions de découverte.

Quant aux pièces de char mises parfois en avant [START_REF] Trachsel | Untersuchungen zur relativen und absoluten Chronologie der Hallstattzeit[END_REF], ellesdoivent être considérées, non comme des éléments tardifs, mais au contraire, comme des prototypes de leurs équivalentes du Ha C (Pare, 1992, p. 19 sq. ;[START_REF] Milcent | Le dépôt à éléments de char du Bronze final d"Onzain (Loir-et-Cher, Centre, France) : présentation préliminaire[END_REF],autrement dit, comme des modèles à l"efficacité reconnue dont la production put traverser le temps sans changement aucun ou notable, un phénomène somme toute banal. D"autres modèles d"objets, tels les bracelets à petites bossettes, ou encore différents types d"appliques, annoncent eux aussi des types du premier âge du Fer (Coffyn et al., 1981, p. 61). De même, la branche de mors du dépôt de l"île Guennoc, d"un modèle attesté dans les stations littorales helvétiques, ne peut non plus être considérée comme un élément tardif.Quant à la présence de pièces de fer dans le dépôt de Vénat soulignée par J. Briard (1965, p. 239), ou encore dans ceux de Petit Villatte, des Isles à Chabris, Indre,ou de la Haute Queue à Lacroix-Saint-Ouen, Oise, on sait qu"il ne peut s"agir d"un argument pour des datations tardives, car, si le fer devient moins anecdotique à la fin de l"âge du Bronze, ses premières occurrences en France remontent au Bronze moyen et au Bronze final 1 (Gomez de Soto et [START_REF] Gomez De | La transition du Bronze final au premier âge du Fer (XIIIe-VIIe siècles av. J.-C.) dans le Centre-Ouest de la France et sur ses marges. De l'âge du Bronze à l'âge du Fer en Europe occidentale (Xe -VIIe siècle av. J.-C.). La moyenne vallée du Rhône aux âges du Fer (actes du XXXe colloque international de l[END_REF].

Il serait évidemment fallacieux d"estimer que la production bronzière du BFa 3cessa ou se modifia drastiquement au tournant du premier âge du Fer vers 800 av. notre ère. Nous avons évoqué ci-dessus quelques exemples de continuités ou d"évolutions lentes, des phénomènes banals qui sont de tous les temps, ce que l"on tend trop à oublier ! On pourrait certainement multiplier ces exemples de continuités logiques, si notre connaissance de cette production bronzière du premier Fer ancien ne se trouvait occultée par la quasi-absence de dépôts, et la pauvreté des rares attribuables à cette période (Milcent, 2012, p. 145).Le phénomène ne reprendra de l"ampleur qu"au cours du Ha D1,avec en particulierles dépôts de haches à douille de type armoricainen Bretagne et en Normandie, ceux de paruresen Centre-Ouest et le phénomènelaunacienen Gaule du Sud. Hors de France, pour la période du Ha C, des dépôts germaniques tels ceux de Wattenheim/Alsenborn, Kr. Kaiserlautern, en Sarre (Kolling 1968, pl. 54-55 ;Kibbert, 1984, pl. 98-99) ou de Scharlachkopf à Bingen, Kr. Mainz-Bingen, en Rhénanie-Palatinat (Kibbert, 1984, pl. 108),ceux de l"horizon britannique de Llyn Fawr [START_REF]Llyn Fawr metalwork in Britain: a review[END_REF], ou encore la hache à douille de la tombelle 3 de Court-Saint-Etienne en Brabant (Mariën, 1958, p. 108 sq.), montrentune typologie des objets d"usage courant en bronze assez peu différente de celle du Bronze final, alors que les modèles d"épées avaient, eux,radicalement changé. Les dépôts launaciens, qui affichent aux VIIe et VIe s. av. notre ère une production métallique conservant encore bien des modèles d"artefacts typologiquement encore du Bronze final (raison pour laquelle ils furent longtemps classés à cette période) associés à des types nouveaux, en particulier dans le domaine de la parure, donnent un miroir de ce qui se produisit certainement aussi ailleurs en Gaule, en Gaule atlantique en particulier.

2.3. Les fragments de lames d"épées des dépôts de Graville-Sainte-Honorine au Havre, Seine-Maritime et de Chamery, Marne Lefragment de lame d"épée de Graville-Sainte-Honorine, passé inaperçu, mais sur lequel B.O"Connor (1980, p. 242) attira l"attention, montre le même type de section que celui de Vénat(Verron, 1976, fig. 4, n° 16). Bien que ses bords ne fussent pas soulignés de filets en relief mais de simples arêtes, G. Verron le rapprochait des lames hallstattiennes, sans toutefois attribuer formellement cette pièce à une épée de Gündlingen(Verron, 1976, p. 592,légende de la fig.4). De son côté, B. O"Connor rappelle fort justement,comme nous l"écrivions ci-dessus à propos du tronçon de lame de Vénat, que certaines épées du type d"Ewart Park présentent elles aussi la même caractéristique que le fragment normand. R. L. Doize attribue au « type de Hallstatt » un fragment de lame du dépôt de Chamery, sans le décrire pour argumenter son propos(Doize, 1959, pl. I, n° 4 et p. 533). Sur le dessin, fâcheusement dépourvu de section, qu"en donne cet auteur, on ne distingue pas clairement de filets. Il est probable que cette lame n"était bordée que de simples arêtes, comme celles de Vénat et de Graville-Sainte-Honorine : elle appartiendrait donc à une variante du type d"Ewart Park. Vu l"indigence de l"information disponible quant à ce fragment de lame, il est pour le moins hasardeux d"y voir un argument pour un enfouissement tardif au Ha C pour le dépôt de Chamery.2.4. Les fragments de lames d"épées duprésumé« dépôt » d"Hourtin, GirondeLe présumé« dépôt » d"Hourtin « attribuable, au moins en partie, au Ha B3 » (Roussot-Larroque, 2013, p. 62) n"est actuellement connu que par une courte mention (Ibid.). Il s"agit en fait d"une centaine de bronzes dispersés par l"océan Atlantique le long d"une plage suite à une tempête, dont la fourchette chronologique est fort large : les plus anciens sont des pointes de Palmela, il est aussi mentionné des fragments d"épées pistilliformes du Bronze final atlantique 2/Ha A2-B1, des éléments du Bronze final atlantique 3/Ha B2-3, et de


Ammari Kaïs
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Shel Farhat
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K A Ïs

Farhat Shel

STABILITY OF A TREE-SHAPED NETWORK OF STRINGS AND BEAMS

Keywords: 2010 Mathematics Subject Classification. 35R02, 35M33, 35B40, 93D15, 74K05, 74K10 uniform stability, polynomial stability, frequency domain method, network, strings, Euler-Bernoulli beams

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We consider a model (S) of a tree-shaped network of N elastic materials, constituting of strings and Euler-Bernoulli beams.

To start let us first introduce some notations for the tree under consideration (as introduced in [START_REF] Abdallah | Exponential stability of a general network of 1-d thermoelastic materials[END_REF] or in [START_REF] Mercier | Control of a network of Euler-Bernoulli beams[END_REF]). Let G be a finite tree embedded in R m , with N edges and p vertices. We denote E = {e 1 , ..., e N } the set of edges, V = {a 1 , ..., a p }, p = N + 1, the set of vertices of G and we suppose that a 1 is the root of G and that a 1 and a 2 are ends of e 1 . For a fixed vertex a k , let I(a k ) the set of indices of edges adjacent to a k . Denote V int the set of interior vertices and V ext the set of exterior vertices of G. Each edge e j of length j is a curve parametrized by π j : [0, j ] -→ e j , x j → π j (x j ), and sometimes identified with the interval (0, j ). The incidence matrix D = (d ij ) p×N is defined by

d ij =    1 if π j ( j ) = a j , -1 if π j (0) = a j , 0 otherwise,
and for a function u : G -→ C we set u j = u • π j its restriction to the edge e j and we will denote u j (x) = u j (π j (x)) for any x in (0, j ).

We denote by ., . and . the inner product and norm in L 2 -space, respectively. Suppose that the equilibrium position of the tree of elastic strings and beams coincides with G.

Our model is then described as follows: every string e j satisfies the following equation [START_REF] Abdallah | Exponential stability of a general network of 1-d thermoelastic materials[END_REF] u j tt -u j xx = 0 in (0, j ) × (0, ∞), and every beam e j satisfies the following equation [START_REF] Ammari | Asymptotic behavior of some elastic planar networks of Bernoulli-Euler beams[END_REF] u j tt + u j xxxx = 0 in (0, j ) × (0, ∞) where u j = u j (x, t) is the function describing the displacement of the string or beam e j . The initial conditions are [START_REF] Ammari | Feedback stabilization of a coupled string-beam system[END_REF] u j (x, 0) = u j 0 (x), u j t (x, 0) = u j 1 (x). Denote by I S (a k ) (resp. I B (a k )) the set of strings (resp. beams) adjacent to a k and V S ext (resp. V B ext ) the set of exterior strings (resp. exterior beams), then the transmission conditions at the inner nodes are (4)

             u j (a k , t) = u l (a k , t) j, l ∈ I(a k ), a k ∈ V int , u j xx (a k , t) = u l xx (a k , t) j, l ∈ I B (a k ), a k ∈ V int , j∈I B (a k ) d kj u j x (a k , t) = 0, a k ∈ V int , j∈I B (a k ) d kj u j xxx (0, t) - j∈I S (a k ) d kj u j x (0, t) = 0, a k ∈ V int ,
and the boundary conditions are (5)

u j k (a k , t) = 0, a k ∈ V ext , u j k xx (a k , t) = 0, a k ∈ V B ext
where j k is the index of the unique edge adjacent to a k ∈ V ext .

For a classical solution u of (S), the energy is defined as the sum of the energy of its components, that is,

E(t) = 1 2 N j=1 j 0 u j t (x, t) 2 dx + 1 2 j∈I S j 0 u j x (x, t) 2 dx + 1 2 j∈I B j 0 u j xx (x, t) 2 dx.
Differentiate formally the energy function with respect to time t, we get dE dt (t) = 0, and the system is conservative. Many researchers have devoted to stabilize such models of networks of strings or of beams, by applying a control at an external node or by forcing the damping conditions at inner nodes. In [START_REF] Ammari | Stabilization of star-shaped networks of strings[END_REF], the authors prove the polynomial stability of a star-shaped network of strings when a feedback is applied at the common node and in [START_REF] Ammari | Stabilization of generic trees of strings[END_REF] and [START_REF] Valein | Stabilization of the wave equation on 1-d networks[END_REF] the authors prove a similar result for a tree of strings when the feedback is applied at an external node. In [START_REF] Ammari | Asymptotic behavior of some elastic planar networks of Bernoulli-Euler beams[END_REF] we consider a network of beams. See also [START_REF] Wang | Riesz basis and stabilization for the flexible structure of a symmetric tree-shaped beam network[END_REF] for exponential stability of a star-shaped network of beams and [START_REF] Han | Riesz basis property and stability of planar networks of controlled strings[END_REF] for asymptotic stability of a star-shaped network of Timoshenko beams. In [START_REF] Shel | Exponential stability of a network of elastic and thermoelastic materials[END_REF] and [START_REF]Exponential stability of a network of beams[END_REF] we add thermoelastic edges to the network of elastic materials to obtain an exponential stability result.

For strings-beams networks see [START_REF] Ammari | Study of the nodal feedback stabilization of a string-beams network[END_REF] where the authors considered a star-shaped network of beams and a string, with controls applied at all the exterior nodes. They proved a result of exponential stability. Some results of polynomial stability have proved before, for coupled string-beam systems [START_REF] Ammari | Feedback stabilization of a coupled string-beam system[END_REF] (see [START_REF] Ammari | Stabilization of elastic systems by collocated feedback[END_REF] for general setting) and for chains of alternated beams and strings [START_REF] Ammari | Spectral analysis and stabilization of a chain of serially Euler-Bernoulli beams and strings[END_REF], when feedbacks are applied at inner nodes.

In this paper we study a more general case of networks, in fact, it is the model (S) presented at the beginning, stabilized by applying feedbacks at all leaves (the root remains free). For this, let V S ext and V B ext respectively the set of external nodes of strings and those of beams, different from a 1 , V * = V -{a 1 }, V * ext = V ext -{a 1 } and let δ in {0, 1} with δ = 1 if e 1 is a string and δ = 0 if e 1 is a beam. Then instead of (5) we take

u 1 (a 1 , t) = 0, (1 -δ)u 1 xx (a 1 , t) = 0, u j k x (a k , t) = -d kj u j k t (a k , t), a k ∈ V S ext , u j k xxx (a k , t) = d kj u j k t (a k , t), u j k x (a k , t) = 0, a k ∈ V B ext . Formally, we have d dt E(t) = - a k ∈V * ext u j k t (a k , t) 2 ≤ 0.
So the system is dissipative. We prove different decay results of the energy of the system depending on the position of beams relative to strings. Precisely (S) is exponentially stable if and only if there is no beam following a string from the root to leaves. For example, if (S) is reduced to a coupled string-beam system, then it is exponentially stable if the control is applied on the string and non exponentially stable if the control is applied on the beam. Moreover the system is polynomially stable in the last case.

The method that we use to show exponential or polynomial stability is based on the resolvent approach. The paper is organized as follows: In section 2, we reformulate the system (S) as an evolution equation in a Hilbert space, and prove that it is associated with a C 0 -semigroup of contraction and in section 3, by using frequency domain method, we first prove, under some conditions, that the system (S) is exponentially stable, then we give a result of polynomial stability.

Abstract setting

First let I S and I B the respective sets of indices of strings and beams in the tree. Then for a function f on G we set f S = (f j ) j∈I S and f B = (f j ) j∈I B , and we rewrite

f as f = (f S , f B ).
The aim of this section is to rewrite the system (S) as an evolution equation in an appropriate Hilbert space. We then prove the existence and uniqueness of solutions of the problem using semigroup theory.

Let us consider

V =    f = (f S , f B ) ∈ j∈I S H 1 (0, j ) × j∈I B H 2 (0, j ) | f satisfies (6)    where (6)
       f 1 (a 1 ) = 0, f j (a k ) = f l (a k ) j, l ∈ I(a k ), a k ∈ V int , ∂ x f j k (a k ) = 0 a k ∈ V B ext , j∈I B (a k ) d kj ∂ x f j (a k ) = 0 a k ∈ V int .
Note that we can rewrite the last two equations in one, as follows

j∈I B (a k ) d kj ∂ x f j (a k ) = 0 a k ∈ V * .
Define the energy space of (S) by

H = V × N j=1 L 2 (0, j )
endowed by the inner product

y 1 , y 2 H := j∈I S ∂ x f j 1 , ∂ x f j 2 + j∈I B ∂ 2 x f j 1 , ∂ 2 x f j 2 + N j=1 g j 1 , g j 2 where y k = (f k , g k ) , k = 1, 2.
Then H is a Hilbert space. Now define the operator A on H by

D(A) = y = (u, v) ∈ V × V | u S ∈ j∈I S H 2 (0, L j ), u B ∈ j∈I B H 4 (0, L j )
and y satisfies [START_REF] Ammari | Spectral analysis and stabilization of a chain of serially Euler-Bernoulli beams and strings[END_REF] where ( 7)

             ∂ x u j k (a k ) = -d kj v j k (a k ), a k ∈ V S ext , (1 -δ)∂ 2 x u 1 (a 1 ) = 0, ∂ 2 x u j (a k ) = ∂ 2 x u l (a k ), j, l = I B (a k ), a k ∈ V int , ∂ 3 x u j k (a k ) = d kj v j k (a k ), a k ∈ V B ext , j∈I S (a k ) d kj ∂ x u j (a k ) - j∈I B (a k ) d kj ∂ 3 x u j (a k ) = 0, a k ∈ V int and A     u S u B v S v B     =     v S v B ∂ 2 x u S -∂ 4 x u B     , (u S , u B , v S , v B ) ∈ D(A).
Then, putting y = (u, u t ), we write the system (S) into the following first order evolution equation ( 8)

dy dt = Ay, y(0) = y 0
on the energy space H, where y 0 = (u 0 , u 1 ).

We have the following result, Lemma 1. The operotor A is the infinitesimal generator of a C 0 -semigroup of contraction (T (t)) t≥0 .

Proof. First we have

Re( Ay, y H ) = - a k ∈V * ext v j k ( j k ) 2 ≤ 0.
We show now that every positive real number λ belongs to ρ(A).

Let z = (f, g) ∈ H, we look for y = (u, v) ∈ D(A) such that (λ -A)y = z i.e., λu j -v j = f j , j = 1, ..., N, (9)
λv j -∂ 2 x u j = g j , j ∈ I S , (10)
λv j + ∂ 4 x u j = g j , j ∈ I B . (11)
Then

λ 2 u j -∂ 2 x u j = g j + λf j , j ∈ I S , (12)
λ 2 u j + ∂ 4 x u j = g j + λf j , j ∈ I B . ( 13
)
Let w in V. Multiplying the first equation by w S and the second equation by w B , we get respectively

λ 2 j 0 u j w j dx + j 0 ∂ x u j ∂ x w j dx -∂ x u j w j j 0 = j 0 (g j + λf j )w j dx for j in I S and λ 2 j 0 u j w j dx+ j 0 ∂ 2 x u j ∂ 2 x w j dx+ ∂ 3 x u j w j j 0 -∂ 2 x u j ∂ x w j j 0 = j 0 (g j +λf j )w j dx
for j in I B . Now summing the two obtained equations, the left hand side will be

λ 2 N j=1 j 0 u j w j dx + j∈I S j 0 ∂ x u j ∂ x w j dx + j∈I B j 0 ∂ 2 x u j ∂ 2 x w j dx + a k ∈Vint   - j∈I S (a k ) d kj w j (a k )∂ x u j (a k ) + j∈I B (a k ) d kj w j (a k )∂ 3 x u j (a k )   + a k ∈Vext v j k (a k )w j k (a k ) + a k ∈Vint j∈I B (a k ) d kj ∂ 2 x u j (a k )∂ x w j (a k ).
We find, by taking into account ( 6) and ( 7)

(14) a(u, w) = F (w)
where

a(u, w) = λ 2 N j=1 j 0 u j w j dx + j∈I S j 0 ∂ x u j ∂ x w j dx + j∈I B j 0 ∂ 2 x u j ∂ 2 x w j dx +λ a k ∈Vext u j k (a k )w j k (a k )
and

F (w) = N j=1 j 0 (g j + λf j )w j dx + λ a k ∈Vext f j k (a k )w j k (a k ).
a is a continuous sesquilinear form on V × V and F is a continuous anti-linear form on V. Moreover, there exists C > 0 such that, for every

w ∈ V |a(w, w)| ≥ C w 2 V
. By the Lax-Milgram's lemma, problem [START_REF] Han | Riesz basis property and stability of planar networks of controlled strings[END_REF] has a unique solution u in V. It is easy to verify that: u belongs to

j∈I S H 2 (0, L j ) × j∈I B H 4 (0, L j ), v = λu -f ∈ V,
u S and u B satifies respectively [START_REF] Batty | Optimal polynomial decay of functions and operator semigroups[END_REF] and [START_REF] Below | A characteristic equation associated to an eigenvalue problem on c 2 -networks[END_REF], and the conditions

             ∂ x u j k (a k ) = -d kj v j k (a k ), a k ∈ V S ext , (1 -δ)∂ 2 x u 1 ( 1 ) = 0, ∂ 2 x u j (a k ) = ∂ 2 x u l (a k ), j, l = I B (a k ), a k ∈ V int , ∂ 3 x u j k (a k ) = d kj v j k (a k ), a k ∈ V B ext , j∈I S (a k ) d kj ∂ x u j (a k ) - j∈I B (a k ) d kj ∂ 3 x u j (a k ) = 0, a k ∈ V int . Furthermore y 2 H ≤ c z 2 H , where c is a positive constant independent of y. In conclusion, y = (u, v) ∈ D(A) and (λ -A) -1 ∈ L(H), that is, λ ∈ ρ(A).
Corollary 2. For an initial datum y 0 ∈ H there exists a unique solution y ∈ C([0, +∞), H) of problem [START_REF] Ammari | Stabilization of elastic systems by collocated feedback[END_REF]. Moreover if

y 0 ∈ D(A), then y ∈ C([0, +∞), D(A))∩ C 1 ([0, +∞), H).
Remark 3. Note that, by the Sobolev embedding theorem, (I -A) -1 is a compact operator and then the spectrum of A consists of all isolated eigenvalues, i.e., σ(A) = σ p (A).

Asymptotic behavior

The aim of this section is to show that the system (S) is asymptotically stable. Moreover, we will prove that the solution is exponentially stable if there is no beam following a string, from the root to the leaves, as in the first tree (Figure 1), and polynomially, non exponentially stable if at least a beam follows a string, as in the second tree (Figure 2).

We will use the following two results. The first gives us a necessary and sufficient condition for the exponential stability of a C 0 -semigroup of contraction, for the proof see [START_REF] Gearhart | Spectral theory for contraction semigroups on Hilbert space[END_REF], [START_REF] Huang | Characteristic condition for exponential stability of linear dynamical systems in Hilbert spaces[END_REF] or [START_REF] Prüss | On the spectrum of C 0 -semigroups[END_REF]. Theorem 4. A C 0 -semigroup of contraction e tL on a Hilbert space is exponentially stable if, and only if,

(15) iR ∩ σ(L) = ∅ and (16) lim |β|→∞ sup (iβ -L) -1 < ∞.
The second, due to [START_REF] Batty | Optimal polynomial decay of functions and operator semigroups[END_REF] (see also [START_REF] Batty | Non-uniform stability for bounded semigroups on banach spaces[END_REF] and [START_REF] Liu | Characterization of polynomial decay rate for the solution of linear evolution equation[END_REF]), characterizes the polynomial decay of a C 0 -semigroup of contraction. for some constant C > 0 and for α > 0 if, and only if, (15) holds and

(17) lim |β|→∞ sup 1 β α (iβ -L) -1 < ∞.
3.1. Asymptotic stability. In this section, we prove [START_REF] Huang | Characteristic condition for exponential stability of linear dynamical systems in Hilbert spaces[END_REF], that is, the system (S) is asymptotically stable.

Theorem 6. The semigroup (T (t)) t≥0 , generated by the operator A is asymptotically stable.

Proof. It suffices to show that (15) holds, otherwise, by taking into account Remark 3, there is a real number β, such that λ := iβ is an eigenvalue of A. Let y = (u, v) the corresponding eigenvector. We have ( 18)

   v j = λu j for j in {1, ..., N }, ∂ 2
x u j = λv j for j in I S , -∂ 4 x u j = λv j for j in I B . If λ = 0, multiplying the second and the third equations of ( 18) by u j and summing, we obtain, using ( 6) and ( 7),

j∈I S ∂ x u j 2 + j∈I B ∂ 2
x u j 2 = 0 which implies that u = 0 and hence v = 0. Then, in the sequal, we suppose that λ = 0.

Taking the real part of the inner product of λy -Ay = 0 with y in H, we obtain

Re( Ay, y H ) = - a k ∈V * ext v j k (a k ) 2 = 0. Thus v j k (a k ) = 0 for a k ∈ V * ext and then u j k (a k ) = 0 for a k ∈ V * ext , which holds for k = 1; ∂ 3 x u j k (a k ) = 0 for a k ∈ V B ext and ∂ x u j k (a k ) = 0 for a k ∈ V S ext .
Then, u is zero on every maximal subgraph of strings not followed by beams. Now let G a maximal subgraph of beams not followed by strings. We want prove that u is zero on G .

First case: G = G. For each j in {1, ..., N }, substituting the first equation of (18) into the third, we obtain, (

∂ 4

x u j + λ 2 u j = 0. For the sequel, we use a matrix method [START_REF] Below | A characteristic equation associated to an eigenvalue problem on c 2 -networks[END_REF]. Firt of all we shall introduce some definitions and notations used in [START_REF] Below | A characteristic equation associated to an eigenvalue problem on c 2 -networks[END_REF] (see also [START_REF] Abdallah | Exponential stability of a general network of 1-d thermoelastic materials[END_REF]).

The adjacency matrix E = (e jk ) p×p of G is defined by in particular, if r(x) = x q then, we write A (q) instead of r(A). Furthermore, the matrix L = ( jk ) p×p is defined as follows jk = s(j,k) if e jk = 1, 0 otherwise, where s(j, k) is the indice of the edge connecting a j to a k .

e jk = 1
To a function f on G is associated the matrix function F defined by

F : [0, 1] -→ C p×p , x -→ F (x) = (f jk (x)) p×p , with f jk (x) = e jk f s(j,k) s(j,k) 1 + d js(j,k) 2 -xd js(j,k) .
The system [START_REF] Prüss | On the spectrum of C 0 -semigroups[END_REF] is then rewritten as ( 20)

L (-4) * U + λU = 0.
Integrate equation [START_REF] Shel | Exponential stability of a network of elastic and thermoelastic materials[END_REF] we obtain

(21) U (x) = A 1 * cos( βLx)+A 2 * sin( βLx)+B 1 * cosh( βx)+B 2 * sinh( βLx),
where without loss of generality we have supposed that β > 0 and with

A 1 , A 2 , B 1 , B 2 ∈ C p×p . Then L (-1) * U = β -A 1 * sin( βLx) + A 2 * cos( βLx) +B 1 * sinh( βx) + B 2 * cosh( βLx) , (22)
L (-2) * U = β -A 1 * cos( βLx) -A 2 * sin( βLx) +B 1 * cosh( βx) + B 2 * sinh( βLx) , (23)
L (-3) * U = β 3/2 A 1 * sin( βLx) -A 2 * cos( βLx) +B 1 * sinh( βx) + B 2 * cosh( βLx) . ( 24
)
The function U satisfies also, ( 25)

U (1 -x) = U (x) T .
The boundary and transmission conditions can be expressed as follows:

For the continuity condition of u at the inner nodes, there exists ϕ =

   ϕ 1 . . . ϕ p    ∈ C p such that (26) U (0) = (ϕe T ) * E, where e =    1 . . . 1    ∈ R p .
Since u is zero at all external nodes then ϕ j = 0 when a j is an external node. The continuity condition of ∂ 2 x u at the interior nodes and the fact that ∂ 2 x u is zero at the root can be expressed in this manner,

there exists ψ =    ψ 1 . . . ψ p    ∈ C p such that ψ 1 = 0, and (27)
L (-2) * U (0) = (ψe T ) * E.
The forth condition of ( 6) and the fifth of ( 7) applied to u are expressed respectively as follows 21) and ( 23) and using (25) we get, by combining the two obtained equations

A 1 = 1 2 (U (0) -L (-2) * U (0)) = 1 2 ((ϕ -ψ)e T ) * E, (30)
B 1 = 1 2 (U (0) + L (-2) * U (0)) = 1 2 ((ϕ + ψ)e T ) * E, (31)
(34) sinh (-1) ( βL) * (B T 1 -B 1 cosh( βL)) = B 2 .
Multiplying, in the Hadamard product, the above equation by E * , we get, using (33)

(35) sinh (-1) ( βL) * (B T 1 -B 1 cosh( βL)) * E * e = 0,
We recall the following elementary rules for a matrix M ∈ C p×p (see [START_REF] Dekoninck | The eigenvalue problem for networks of beams[END_REF]), (36) (M * B T 1 )e = M (ϕ + ψ), (M * B)e = diag(M e)(ϕ + ψ). Then, (35) implies J(ϕ + ψ) = 0, where

J = sinh (-1) ( βL) * E * -diag sinh (-1) ( βL) * cosh( βL) * E * e .
The matrix, obtained from J * E * T * E * by removing rows and colums that are zero, is a strictly diagonally dominant matrix. Since ϕ 1 = ψ 1 = 0, this implies that the vector ϕ + ψ, and hence the matrix B 1 , is zero. Return to (34) we deduce that B 2 = 0.

For j = 1, ..., N, the expression of u j is then u j (x) = a j 1 cos( βx) + a j 2 sin( βx), (a j 1 , a j 2 ∈ C) which easily implies, using the transmissions conditions and the fact that u and ∂ x u vanish at the leaves, that u = 0.

Second case: G = G. Let a be the nearest node of G to a 1 . Then a is an end of at least one string.

For simplicity of notations we will suppose, in this part, that a = a 1 and G = G but with boundary conditions at a 1 :

   u j (a 1 ) = u l (a 1 ) j, l ∈ I(a 1 ), ∂ 2 x u j (a 1 ) = ∂ 2 x u l (a 1 ), j∈I B (a1) d 1j ∂ x u j (a 1 ) = 0 .
As for the first case, there is ψ =

   ψ 1 . . . ψ p    in C p with ϕ j = 0 when a j ∈ V * ext , such that U (0) = (ϕe T ) * E and L (-2) * U (0) = (ψe T ) * E.
The third and forth conditions of ( 6) and the fifth of ( 7) applied to u are expressed as follow :

(L (-1) * U (0) * E)e = 0 and (L (-3) * U (0) * E * )e = 0. As in the first case we obtain (30), ( 31), ( 32), ( 33) and (34). Moreover, (ϕ k + ψ k ) k=2,...,p will be the trivial solution of a homogeneous linear system whose matrix is invertible. Then B 1 * E * and B 2 * E * T * E * are zero.

For j ∈ {1, ..., N } -I(a 1 ) the expression of u j is then u j (x) = a j 1 cos( βx) + a j 2 sin( βx), (a j 1 , a j 2 ∈ C), which easily implies, by using the transmissions conditions and the fact that u and ∂ x u vanish at the leaves, u j = 0. Then we can suppose that G is a start of beams e j , j ∈ I(a 1 ). Without loss of generality, we identify e j with (0, j ) by taking π j (0) = a 1 . In such case we have the following system :

         u j ( j ) = 0, j ∈ I(a 1 ), ∂ x u j ( j ) = 0 and ∂ 3 x u j ( j ) = 0, j ∈ I(a 1 ), u j (0) = u l (0) and ∂ 2 x u j (0) = ∂ 2 x u l (0), j, l ∈ I(a 1 ), j ∂ x u j (0) = 0. Which implies                a j 1 cos( √ β j ) + a j 2 sin( √ β j ) + b j 1 cosh( √ β j ) + b j 2 sinh( √ β j ) = 0, j ∈ I(a 1 ), -a j 1 sin( √ β j ) + a j 2 cos( √ β j ) = 0, j ∈ I(a 1 ), b j 1 sinh( √ β j ) + b j 2 cosh( √ β j ) = 0, j ∈ I(a 1 ), b j 1 = b l 1 , j, l ∈ I(a 1 ), j a j 2 + b j 2 = 0.
The discriminant of the above system is

∆ = j   k =j cosh( β k )(sin( β j ) + sinh( β j ))  
which is different from zero. We conclude that u j = 0, j ∈ I(a 1 ). That is, u is null on G . By iteration, and using transmission conditions we conclude that u is zero on G. The above discussion is sufficient to conclude that y = 0, which contradict the fact that y = 0.

3.2. Exponential stability. In this section we suppose that there are no beam following a string (Figure 1), and we prove that the solution of the whole system (S) is exponentially stable. Theorem 7. If there are no beam following a string ( from the root to leaves) then, the system (S) is exponentially stable.

Proof. It suffices to prove that ( 16) holds. Suppose the conclusion is false. Then there exists a sequense (β n ) of real numbers, without loss of generality, with β n -→ +∞, and a sequence of vectors (

y n ) = (u n , v n ) in D(A) with y n H = 1, such that (iβ n I -A)y n H -→ 0 which is equivalent to iβ n u j n -v j n = f j n -→ 0, in H 1 (0, j ), j in I S , (37)
iβ n u j n -v j n = f j n -→ 0, in H 2 (0, j ), j in I B , (38)
iβ n v j n -∂ 2 x u j n = g j n -→ 0, in L 2 (0, j ), j in I S , (39)
iβ n v j n + ∂ 4 x u j n = g j n -→ 0, in L 2 (0, j ), j in I B . (40) Then -β 2 n u j n -∂ 2 x u j n = g j n + iβ n f j n , j in I S , (41)
-β 2 n u j n + ∂ 4 x u j n = g j n + iβ n f j n , j in I B (42) and v j n 2 -β 2 n u j n 2 -→ 0, j = 1, ..., N.

First, Since

Re(

(iβ n -A)y n , y n H ) = a k ∈V * ext v j k (a k ) 2 ,
we obtain

v j k n (a k ) -→ 0, for j ∈ V * ext . Then β n u j k n (a k ) -→ 0 for a k ∈ V * ext , ∂ 3 x u j k n (a k ) -→ 0 for a k ∈ V B ext and ∂ x u j k n (a k ) -→ 0 for a k ∈ V S ext , and recall that ∂ x u j k n (a k ) = 0 for j ∈ V B ext . Let a k ∈ V S ext and q a function in C 1 ([0, j k ], C).
The real part of the inner product of (41) with q∂ x u j k n gives

1 2 β 2 n u j k n (x) 2 q(x) j k 0 + 1 2 ∂ x u j k n (x) 2 q(x) j k 0 - 1 2 j k 0 ∂ x u j k n (x) 2 + β 2 n u j k n (x) 2 q x (x)dx + Re iβ n f j k n (x)q(x)u j k n (x) j k 0 -→ 0. ( 43
)
With q(x) = x or q(x) = j k -x we can deduce easily that (44) -1 2

j k 0 ∂ x u j k n (x) 2 + β 2 n u j k n (x) 2 dx -→ 0,
and as in [START_REF] Shel | Exponential stability of a network of elastic and thermoelastic materials[END_REF] it follows that, (45)

β n u j k n (a s ) -→ 0, ∂ x u j k n (a s ) -→ 0, and Re iβ n f j k n (a s )u j k n (a s ) -→ 0
where a s is the end of e j k different from a k . By iteration we conclude that for every j ∈ I S -{1}, the properties (44) and (45) hold.

If there is no beam in the tree, then the fifth condition in ( 7) with (45) imply that ∂ x u 1 n (a 2 ) -→ 0. Then as for j in V S ext , with using (45) again and the continuity condition of u at internal nodes, we obtain

- 1 2 1 0 ∂ x u 1 n (x) 2 + β 2 n u 1 n (x) 2 dx -→ 0.
Then, we conclude that y n → 0 which contradict the fact that y n = 1 and the proof is then complete. Now suppose that there is at least one beam. Without loss of generality, we suppose that there is no string in G.

Let j in {1, ..., N } and q a function in C 2 ([0, j ], C) such that ∂ 2 x q = 0. We want to calculate the real part of the inner product of (42) by q∂ x u j n .

Straight-forward calculations gives

Re -β 2 n u j n , q∂ x u j n

+ Re ∂ 4 x u j n , q∂ x u j n = - 1 2 β 2 n u j n (x) 2 q(x) j 0 + 1 2 j 0 β 2 n u j n 2 ∂ x qdx + Re ∂ 3 x u j n (x)q(x)∂ x u j n (x) j 0 - 1 2 ∂ 2 x u j n (x) 2 q(x) j 0 + 3 2 j 0 ∂ 2 x u j n 2 ∂ x qdx -Re ∂ 2 x u j n (x)∂ x u j n ∂ x q(x) j 0 , and
Re g j n + iβ n f j n , q∂ x u j n = Re j 0 g j n ∂ x u j n qdx -Re iβ n j 0 ∂ x (qf j n )u j n dx + Re iβ n f j n (x)q(x)u j n (x) j 0 .
Since g j n , f j n and ∂ x (qf j n ) converge to 0 and iβ n u j n and ∂ x u j n are bounded, the first and the second terms of the right member of the above equality converge to 0. It follows

- 1 2 β 2 n u j n (x) 2 q(x) j 0 + Re ∂ 3 x u j n (x)q(x)∂ x u j n (x) j 0 - 1 2 ∂ 2 x u j n (x) 2 q(x) j 0 -Re ∂ 2 x u j n (x)∂ x u j n ∂ x q(x) j 0 -Re iβ n f j n (x)q(x)u j n (x) j 0 + 1 2 j 0 β 2 n u j n 2 ∂ x qdx + 3 2 j 0 ∂ 2 x u j n 2 ∂ x qdx -→ 0. ( 46
)
In particular if a k is in V B ext then with j = j k and q(x) = x or q(x) = j k -x (46) becomes

- j k 2 ∂ 2 x u j k n (a k ) 2 + Re d kj k ∂ 2 x u j k n (a s )∂ x u j k n (a s ) + 1 2 j k 0 β 2 n u j k n 2 dx+ (47) 3 2 j k 0 ∂ 2 x u j k n 2 dx → 0
where a s is the end of e j k different from a k . Multiplying (42) by 1

β 1/2 n e -β 1/2 n ( j k -x) or by 1 β 1/2 n
e -β 1/2 n x , then, as in [START_REF]Exponential stability of a network of beams[END_REF], after noting that ∂ 3

x u j k n (a k ) and β n u j k n (a k ) tend to 0, we obtain

(48) ∂ 2 x u j k n (a k ) -→ 0.
Hence, (47) can be rewritten as (49)

Re d kj k ∂ 2 x u j k n (a s )∂ x u j k n (a s ) + 1 2 j k 0 β 2 n u j k n 2 dx + 3 2 j k 0 ∂ 2 x u j k n 2 dx -→ 0.
Now let q ≡ 1 (46) can be rewritten, for j k , as

- 1 2 β 2 n u j k n (a s ) 2 + Re ∂ 3 x u j k n (a s )∂ x u j k n (a s ) - 1 2 ∂ 2 x u j k n (a s ) 2 - Re iβ n f j k n (a s )u j k n (a s ) → 0.
For j in I(a s ), multiplying (42) by 1

β 1/2 n e -β 1/2 n x or by 1 β 1/2 n e -β 1/2 n ( j -x) , we get, 1 β 1/2 n d sj ∂ 3 x u j n (a s ) + ε∂ 2 x u j n (a s ) + β 1/2 n d sj ∂ x u j n (a s ) + εβ n u j n (a s ) -→ 0.
with ε ∈ {-1, 1}. Summing over j ∈ I(a s ), by taking into account the continuity condition of u n and ∂ 2 x u n , the damping conditions, four in [START_REF] Ammari | Study of the nodal feedback stabilization of a string-beams network[END_REF] and fifth in [START_REF] Ammari | Spectral analysis and stabilization of a chain of serially Euler-Bernoulli beams and strings[END_REF], and boundary condition at a 1 if j = 1, we deduce

∂ 2 x u j n (a s ) + β n u j n (a s ) -→ 0, which leads to 1 β 1/2 n ∂ 3 x u j n (a s ) + β 1/2 n ∂ x u j n (a s ) = α j n -→ 0.
Hence, for any positive real number a we have

Re ∂ 3 x u j n (a s )∂ x u j n (a s ) = Re ∂ 3 x u j n (as) β 1/2 n β 1/2 n ∂ x u j n (a s ) = Re (α j n -β 1/2 n ∂ x u j n (a s ))β 1/2 n ∂ x u j n (a s ) ≤ -β n ∂ x u j n (a s ) 2 + a 2 β n ∂ x u j n (a s ) 2 + 1 2a α j n 2 .
Moreover, for any real positive number b we have

-Re iβ n f j n (a s )u j n (a s ) ≤ b 2 β 2 n u j n (a s ) 2 + 1 2b f j n (a s ) 2 .
Thus, we obtain the following framing for j k ,

- 1 2 β 2 n u j k n (a s ) 2 + Re ∂ 3 x u j k n (a s )∂ x u j k n (a s ) - 1 2 ∂ 2 x u j k n (a s ) 2 -Re iβ n f j k n (a s )u j k n (a s ) - 1 2b f j k n (a s ) 2 ≤ (- 1 2 + b 2 )β 2 n u j k n (a s ) 2 - 1 2 ∂ 2 x u j k n (a s ) 2 + (-1 + a 2 )β n ∂ x u j k n (a s ) 2 ≤ 0 with a = b = 1 2 . Which implies that β 2 n u j k n (a s ) 2 , ∂ 2 x u j k n (a s ) 2 , β n ∂ x u j k n (a s ) 2 , 1 β n ∂ 3 x u j k n (a s ) 2 -→ 0
and then all the expressions

Re ∂ 3 x u j k n (a s )∂ x u j k n (a s ) , Re ∂ 2 x u j k n (a s )∂ x u j k n (a s ) and Re iβ n f j k n (a s )u j k n (a s )
tend to 0 as n goes to infinity. Then (49) leads to 1 2

j k 0 β 2 n u j k n 2 dx + 3 2 j k 0 ∂ 2 x u j k n 2 dx -→ 0.
We iterate such procedure to obtain that for j = 1,

1 2 j 0 β 2 n u j n 2 dx + 3 2 j 0 ∂ 2 x u j n 2 dx -→ 0 and for j ∈ I(a 2 ) -{1}, β 2 n u j n (a 2 ) 2 , ∂ 2 x u j n (a 2 ) 2 , Re ∂ 3 x u j n (a 2 )∂ x u j n (a 2 ) , Re ∂ 2 x u j n (a 2 )∂ x u j n (a 2 ) → 0.
Finally let j = 1. Using continuity conditions of u n and ∂ 2 x u n , and damping conditions, four in [START_REF] Ammari | Study of the nodal feedback stabilization of a string-beams network[END_REF] and fifth in [START_REF] Ammari | Spectral analysis and stabilization of a chain of serially Euler-Bernoulli beams and strings[END_REF], (46) leads to 1 2

1 0 β 2 n u 1 n 2 dx + 3 2 1 0 ∂ 2 x u 1 n 2 dx -→ 0.
In conclusion y n converge to 0, which contradict the hypothesis that y n = 1.

3.3. Polynomial stability. In this section we suppose that there is at least a beam following a string (Figure 2). We will prove that the solution of the whole system (S) is polynomially stable and not exponentially stable.

Theorem 8. If at least one beam follows a string then, the C 0 -semigroup (T (t) t≥0 is polynomially stable. More precisely: if all the sets of beams following strings are singletons then there is C > 0 such that e tA y 0 ≤ C t y 0 D(A)

for every y 0 ∈ D(A).

If there is a string followed by at least two beams then there is C > 0 such that e tA y 0 ≤ C t 2/3 y 0 D(A) for every y 0 ∈ D(A). We want prove that β

√ n ) = π √ n + o( 1 √ n ), cos( β n π) = cos( π √ n ) = 1 + o( 1 √ n ), tan(β n π) = tan( π n ) = π n + o( 1 n √ n ), cosh( β n π) = cosh((n + 1 √ n )π) =

5 Figure 2 .

 52 Figure 1. first tree

Theorem 5 .

 5 A C 0 -semigroup of contraction e tL on a Hilbert space H satisfies e tL y 0 ≤ C t 1 α y 0 D(L)

  if a j and a k are adjacent, 0 otherwise. The Hadamard product of two matrices A = (a jk ) p×p and B = (b jk ) p×p is the matrix A * B = (a jk b jk ) p×p and for a function r : R → R, we define the matrix r(A) = (r jk ) p×p by r jk = r(a jk ) if e jk = 1, 0 otherwise,

3 )

 3 * U (0) * E * )e = 0where E * is obtained from E by annulling the first line.Substitute (26-27) in[START_REF] Valein | Stabilization of the wave equation on 1-d networks[END_REF][START_REF] Wang | Riesz basis and stabilization for the flexible structure of a symmetric tree-shaped beam network[END_REF](24), and (28-29) in[START_REF]Exponential stability of a network of beams[END_REF][START_REF] Valein | Stabilization of the wave equation on 1-d networks[END_REF][START_REF] Wang | Riesz basis and stabilization for the flexible structure of a symmetric tree-shaped beam network[END_REF] leads to

and (A 2 *

 2 E * )e = 0, (32) (B 2 * E * )e = 0. (33) By taking x = 1 in (

and β 3 2 .

 32 /2 n (-d 1 cos( β n π) + d 2 sin( β n π) + d 3 cosh( β n π) + d 4 sinh( β n π)) = iβ n (d 1 sin( β n π) + d 2 cos( β n π) + d 3 sinh( β n π) + d 4 cosh( β n π)).(73)Summing (72) and (73), we obtain2 β n (d 3 cosh( β n π) + d 4 sinh( β n π)) = i(d 1 sin( β n π) + d 2 cos( β n π) + d 3 sinh( β n π) + d 4 cosh( β n π)).Now, by substituting (68-70) and (75) into (74) we get2d 1 β n h( β n π) -2β n tan(β n π) sin( β n π) sinh( β n π) +i 1 -cosh( β n π) cos( β n π) + β n tan(β n π)h( β n π) = 2 β n sin( β n π) sinh( β n π) -ih( β n π)n π) = cosh( β n π) sin( β n π) + sinh( β n π) cos( β n π).

3 / 2 n d 1 is equivalent to √ n π 2 2 2 √ n + 1 n then √ β n = n + 1 √n = n( 1 + o( 1 √

 3222111 as n goes to infinity. Since β n = n 2 + n )) and sin( β n π) = sin( π

Acknowledgments References

Acknowledgments

The authors wish to thank Région Rhône-Alpes for the financial support CO-OPERA, CMIRA 2013.

Proof. In the sequel α is equal to 1 or 3/2.

It suffices to prove that [START_REF] Liu | Semigroups associated with dissipative systems[END_REF] holds. Suppose the conclusion is false. Then there exists a sequence (β n ) of real numbers, without loss of generality, with β n -→ +∞, and a sequence of vectors (y n ) = (u n , v n ) in D(A) with y n H = 1, such that β α n (iβ n I -A)y n H -→ 0 which is equivalent to

Then

n (a k ) -→ 0, and recall that ∂ x u j k n (a k ) = 0 for a k ∈ V B ext . As in the proof of the previous theorem, if e j is a string followed by no beam then

and if a k is an end of such edge then (57) β

n ∂ x u j n (a k ) -→ 0. Now we can suppose without loss of generality that all edges are beams, except that related to the root wich is a string.

Again, as in the previous proof, we have that for every beam e j which not adjacent to the string, (58) β

and all the expressions

tend to zero as n goes to infinity.

Let j ∈ I(a 2 ) -{1} (equivalently, e j is a beam attached to a 2 ), then the real part of the inner product of (55) by q∂ x u j n , with q = x or q = j -x gives

Summing over j in I(a 2 ) -{1}, one can deduce easily that

and in particular, for every beam e j

Now we want prove that, for j in I(a 2 ) -{1}, β n u j n (a 2 ) and ∂ 3 x u j n (a 2 ) converge to 0.

First case: In this case there is one and only one beam e j attached to e 1 and α = 1.

The real part of the inner product of (55) by q∂ x u j n , with q = 1 gives

2 and β n ∂ 2 x u j n (a 2 ) converge to zero as n goes to infinite. Multiplying (55) by 1 βn e -β 1/2 n x or by 1 βn e -β 1/2 n ( j -x) , we obtain, using the results below ∂ 3 x u j n (a 2 ) -→ 0. We deduce, using the fifth condition in [START_REF] Ammari | Spectral analysis and stabilization of a chain of serially Euler-Bernoulli beams and strings[END_REF], that ∂ x u 1 n (a 1 ) -→ 0. Second case: In this case there is a string followed by at least two beams and α = 3/2. First, (55) implies

Second, we need the following lemma (due to Gagliardo and Nirenberg [START_REF] Liu | Semigroups associated with dissipative systems[END_REF]):

Lemma 9.

(1) There are two positive constants C 1 and C 2 such that for any w in H 1 (0, j ), (63)

(2) There are two positive constants C 3 and C 4 such that for any w in H 2 (0, j ), (64)

The remainder of the proof. Applying the previous lemma several times, one can deduce easily that (65) ∂ 3 x u j n (a 1 ) -→ 0. Return back to the fifth condition in [START_REF] Ammari | Spectral analysis and stabilization of a chain of serially Euler-Bernoulli beams and strings[END_REF] with using (65), we get ∂ x u 1 n (a 1 ) -→ 0. Now multiplying (54), when u j = u 1 , with q(x) = 1 -x or q(x) = x, then as for ( 43) and (44), with using (65) again and the continuity condition of u at a 2 , it follows

Then we conclude that y n → 0 which contradict the fact that y n = 1 and the proof is then complete. Now we prove the lack of the exponential stability.

Theorem 10. If at least one beam follows a string then the system is not exponential stable in the energy space H.

To simplify the proof we consider the reduced system composed of one string e 1 and one beam e 2 with 1 = 2 = π. Precisely the system (S) is

Proof. We prove that the corresponding semigroup (T (t)) t≥0 is not exponentially stable.

For n ∈ N, such that √ n is integer and even let β n = n 2 + 2 √ n + 1 n and f n = (0, 0, -sin β n x, 0), then β n → +∞ and f n is in H and is bounded. Let

We will prove that y n → +∞.

We have

n and u 2 n are of the form

The transmission and boundary conditions are rewritten as follows

and

Now suppose that ∂ x u 1 n is bounded. The real part of the inner product of (66) with (π -x)∂ x u j n gives

By taking into account (69-70) and (77), u

In conclusion y n is not bounded.

Remark 11. Let ε > 0. By taking β n = n 2 + 2n 1-α + 1 n 2α with 0 < α < ε and such that n 1-α is integer and even and y n is such that f n = (β 1 2 -ε n (A -iβ n ))y n , then we can prove that y n is not bounded and then the polynomial stability of (S) can't be butter than 1 t 2 .

Comment

If we replace the boundary conditions by the followings u 1 (a 1 , t) = 0, (1 -δ)u 1 xx (a 1 , t) = 0, u j k x (a k , t) = -u j k t (a k , t), a k ∈ V S ext , u j k xx (a k , t) = -u j k tx (a k , t), u j k (a k , t) = 0, a k ∈ V B ext , then we obtain the same results.