A Sarafianos
email: alexandre.sarafianos@st.com

C Roscian

J.-M Dutertre

M Lisart

A Tria

Electrical modeling of the photoelectric effect induced by a pulsed laser applied to an SRAM cell

Electrical modeling of the photoelectric effect induced by a pulsed laser applied to an SRAM cell

Introduction

A Single Event Upset (SEU) [START_REF] Dodd | Physics-Based Simulation of Single-Event Effects, Device and Materials Reliability[END_REF] is the inversion of the logical state of a memory cell caused by ions or electromagnetic radiation striking one of its sensitive nodes. SEU were first described in 1954 during nuclear testing, when some anomalies were observed in electronic equipments. Nowadays, SEU is a major threat for semiconductor manufacturers. The robustness of chips against SEU could be tested in a cyclotron or by pulsed laser stimulation. This kind of experiments could be very expensive and time consuming. Though physical (e.g. TCAD) simulations may be used, but Spice simulations are faster. In this context, it is interesting to use a tool in order to simulate with a good accuracy the effect of pulsed laser on a chip to analyze its sensitivity to SEU. In this paper, we present an electrical model of the Photoelectric Laser Stimulation (PLS) of an SRAM cell in 0.25µm technology. We used a pulsed laser at 1064nm wavelength to conduct the PLS experiments.

Electrical models of PN junctions under pulsed PLS (N+ on Psubstrat and P+ on Nwell) were previously introduced [START_REF] Sarafianos | Electrical modeling of the photoelectric effect induced by a pulsed laser applied to an NMOS transistor[END_REF]. We have also already introduced electrical models, based on preliminary studies made from measurements and TCAD simulations [START_REF] Llido | Characterization and TCAD Simulation of 90nm Technology NMOS Transistor Under Continuous Photoelectric Laser Stimulation for Failure Analysis Improvement[END_REF][START_REF] Llido | Characterization and TCAD Simulation of 90nm Technology NMOS Transistor Under Continuous Photoelectric Laser Stimulation for Failure Analysis Improvement[END_REF] for continuous PLS at laser power under ~100mW, which create only photoelectrical effects [START_REF] Sarafianos | Building the electrical model of the Photoelectric Laser Stimulation of an NMOS transistor in 90nm technology[END_REF][START_REF] Sarafianos | Building the electrical model of the Photoelectric Laser Stimulation of an PMOS transistor in 90nm technology[END_REF]. This model consists in a simple current source controlled by voltage to model the laserinduced photocurrent. The novelty of the model presented in this paper is that it is one of the first models of a CMOS gate under pulsed photoelectrical laser stimulation which takes into account the interaction between the layout and the Gaussian intensity profile of the laser beam.

This article is organized as follows. Section 2 is a remainder of our past model of PN junction under PLS. Section 3 reviews the SEU mechanism which occurs when an SRAM cell is exposed to PLS. In theory four sensitive areas were expected, however, three were revealed by experiments. A hypothesis is then introduced, based on the topology of the cell, to explain this discrepancy. In section 4 it is proposed to validate our hypothesis by electrical stimulation. Finally, our findings are summarized in the concluding section 5.

Electrical model of a PN junction under PLS

Laser beam centered on the PN junction

The Drain/Psubstrate junctions of an NMOS and a PMOS transistor (W=L=10µm) in 90nm technology were used in these experiments. From the measurements, we were able to model the photocurrent I ph , induced by a pulsed laser passing through the middle of a reverse biased PN junction, with a first order polynomial function (1): [START_REF] Dodd | Physics-Based Simulation of Single-Event Effects, Device and Materials Reliability[END_REF] where a and b are functions of the laser power P laser .

As reported in fig. 1a and1b, a very good correlation is obtained on the N+/Psubstrate and P+/Nwell junctions between practical measurements and electrical simulations (made with this model). Increased laser power

Spatial dependance of the induced photocurrent

The distance between the laser spot and the PN junction has a strong impact on the value of the generated photocurrent. A mathematical approximation was found in order to model this effect (2) which has a Gaussian shape:

(2

)
where d is the distance between the spot and the closest edge of the junction (µm). β, γ, c 1 and c 2 were found different for each optical lens. Moreover w is a function normalized which takes into account the reduction of the width of the Gaussian profile, when the pulse width decreases under the µs. Hence, equation [START_REF] Llido | Characterization and TCAD Simulation of 90nm Technology NMOS Transistor Under Continuous Photoelectric Laser Stimulation for Failure Analysis Improvement[END_REF], that incorporates the spatial dependency (and also the junction area S), is obtained by multiplying equations ( 1) and ( 2).

(3) V laser_trig is a double exponential normalized input signal which trigs the voltage controlled current source. The user thanks to this input signal could choose the moment and the duration of the laser pulse illumination in its electrical simulation.

This model was then used to derive the model of a more complex structure: an SRAM cell, as explainedin the next section.

SEU sensitivity analysis of an SRAM cell

Presentation of the CSRAM cell

The cell studied in this paper is a configuration SRAM (CSRAM) made of five transistors (see fig. 2) similar to those used to store the configuration bitstream in programmable devices (FPGA). However, we will rather use the term SRAM in this paper, since we believe its main results may be generalized to 6 transistors SRAM.

Study of the SEU sensitivity of the SRAM cell

In this subsection, the SRAM sensitivity is studied from a theoretical point of view (considering its schematic and its state).We refer to state one (respectively state zero) when the node DATA_OUT is in high state (resp. low state). The sensitivity of the cell can be investigated by considering which PN junctions are the most reverse biased in function of the SRAM state. Indeed two cases are considered: states "1" and "0". The red arrows in figure 3 In state "1", the two most sensitive areas to laser illumination are the drain junctions of MN1 and MP2.

In state "0", the intensities of the induced photocurrents are inverted in comparison with the case where the SRAM is at the state of "1". In this case the two most sensitive areas are the drains of MP1 and MN2/MN3(These two transistors share their drain).

Therefore four sensitive areas are expected: two in a state "0" and two others in state "1".

Measurement of the SEU sensitivity of an SRAM cell

The SRAM test series was performed with a pulsed laser equipment. The laser beam at the output of the lens has a spot diameter equal to 1µm. It illuminates the front side of the SRAM cell. The dark red color are used to represent the location of the laser spot when the logical value is modified from "0" to "1", and the dark blue color from "1" to "0" for a laser power equal to 1.1W (See Fig. 4). Secondly the light colors represent the extension of areas when the laser power is equal to 1.6W. Only three sensitive areas were revealed (see fig. 4), despite four were expected according the theory.

Hypothesis of a sensitive area masking effect

Due to the Gaussian intensity profile of the laser beam on silicon and the reduction of the gate size, it becomes very difficult to illuminate only one junction without creating effects on the others. It is the reason why it is needed to take into account the topology of the cell and the effect of the laser on several junctions at the same time.

The layout of the studied SRAM cell is depicted on figure 5. Note that transistors MN2 and MN3 have a shared drain diffusion (which is close to the drain of MP2). We made the hypothesis that this layout has the effect to mask the sensitivity of the drain of MP2. Figure 6 illustrates this masking effect which originates from the photocurrent generated by the drain shared between MN2 and MN3 (blue arrows) that counterbalances the effect of the photocurrent induced in the Drain/Nwell junction of MP2 (crossed arrow). This effect lies in the proximity between the drains of MP2 and MN2/MN3, and also in their sizing.

Therefore with a Gaussian approach there is only one sensitive area in state "1" which is the Drain/Psubstrate junction of MN1. There is no such similar counterbalancing effect in state "0". Fig. 6. Illustration of the sensitivity masking effect in state "1".

It is then proposed to illustrate thanks to electrical modeling these effect of topology which give us only three sensitive areas, while four are expected in theory.

Electrical model of the SRAM cell under PLS

In this part we present an electrical model of the SRAM cell under Photoelectrical Laser Stimulation.

The aim of this modeling is to validate our methodology in order to explore some specific results with a very fast calculation time. It could be a great help to understand some physical phenomenon which occurs when a CMOS gate is exposed to a pulsed PLS.

For each PN junction, a sub circuit Iph_Diode is added to the netlist of the SRAM cell (See Fig. 7). In this layout, some junctions are shared (Sources of MP1 and MP2, sources of MN1 and MN2, and drains of MN2 and MN3).

Principle of cartography by electrical modeling

In order to well model electrical laser cartographies of the SRAM cell a simple procedure is used. Firstly it is necessary to create a meshing on the layout of the cell. For each point of the mesh, the distance between this point and all the PN junction centers of the SRAM cell are measured. Mainly thanks to equation ( 2), for each point of the mesh, the photocurrent generated by every PN junction is simulated. This methodology permits to create electrical laser cartographies of the SRAM cell under PLS.

Electrical cartographies

In this section, cartographies made from our electrical model are presented and compared to measurements.

Firstly the laser used in electrical simulation is at a low level. The ELDO simulator (based on a Spice language) probes the output of the SRAM (DATA_OUT). The dark red color is used to represent the location of the laser spot when the logical value is modified from "0" to "1", and the dark blue color from "1" to "0" (See Fig. 9). Secondly the light colors represent the extension of areas when the laser power is at a high level. A very good correlation is attained between the cartographies drawn from experiments (see fig. 5) and those drawn from electrical simulations (fig. 9). This confirms the good results already obtained on single test transistor and also proves that these models still hold for more complex logic gates.

The waveforms of the photoelectric currents and node voltages involved in the masking effect will be added in the final version of this paper. They make it possible to confirm the hypothesis introduced in subsection 2.2.

Conclusion

An electrical model which permits the SPICE simulation of an SRAM cell was built, and validated by the very good correlation obtained with measurements. It is also could be a characterization tool of laser effects on CMOS circuits before manufacturing.

In the case of our SRAM cell, the electrical simulation permits us to understand some specific points. In theory four sensitive areas to PLS are expected on an SRAM. But, the modeling of the cell permits us to validate our hypothesis of masking of one sensitive area due to the topology of the cell. In term of perspective this tool presented in this paper will permits to understand some specific effect, and help designer in order to find and simulated countermeasures against SEU. The very good correlation obtained between the cartographies drawn from simulations and measurements shows the relevance of this approach. It will offer to designers the ability to test the fault or SEU sensitivity of logic gates at design time (before an actual test chip is issued).

Fig. 1 .

 1 Fig. 1. I(V) measurements and simulation results in reverse biasing conditions for different laser power on (a) N+/Psubstrate and (b) P+/Nwell junctions.

Fig. 2 .

 2 Fig. 2. Schematic of the SRAM cell (CSRAM).

Fig. 3 .

 3 Fig. 3. Schematic of the SRAM cell and laser sensitivity in state "1".

Fig. 4 .

 4 Fig. 4. Cartography of the SEU sensitivity at 1.1W and 1.6W laser power -Experimental results.

Fig. 5 .

 5 Fig. 5. Layout of the SRAM cell.

Fig. 7 .

 7 Fig. 7. Electrical model of the SRAM cell under PLS.

Fig. 9 .

 9 Fig. 9. Cartography of the SRAM SEU sensitivity for two different laser powers -Electrical simulation.


Keywords: chloration, corrosion, réseau bayésien, identification chloride ingress, corrosion, Bayesian network, identification

La pénétration des chlorures dans le béton est l'une des principales causes conduisant à la dégradation des structures en béton armé. Sa modélisation est une tâche importante pour planifier et quantifier les opérations de maintenance des structures. Des paramètres matériau et environnementaux pertinents pour la modélisation pourraient être déterminés à partir de données d'inspection qui sont très limitées en raison des coûts prohibitifs. L'objectif principal de cette étude est de développer une méthode basée sur la mise à jour des réseaux bayésiens pour l'amélioration de l'identification des paramètres des modèles de chloration. Les résultats indiquent que l'approche bayésienne pourrait être un outil utile pour les identifier, même à partir d'un faible nombre de données d'inspection.

ABSTRACT. Chloride ingress into concrete is one of the major causes leading to the degradation of reinforced concrete structures. Its modelling is an important task to plan and quantify maintenance operations of structures. Relevant material and environmental parameters for modelling could be determined from inspection data which is very limited due to expensive costs. The main objective of this paper is to develop a method based on Bayesian network updating for improving the identification of model parameters. The results indicate that Bayesian approach could be a useful tool to identify model parameters even from insufficient inspection data.

Identification bayésienne des paramètres des modèles de chloration dans le béton armé

Thanh-Binh Tran*-Emilio Bastidas-Arteaga*-Stéphanie Bonnet* -Franck Schoefs*

Introduction

La pénétration des chlorures dans le béton est l'un des principaux facteurs générant la corrosion des armatures qui réduit la durée de vie des structures [START_REF] Rosquoët | Chloride propagation in concrete harbor[END_REF][START_REF] Bonnet | Effect of error measurements of chloride profiles on reliability assessment[END_REF]. Par conséquent, les inspections visant à déterminer la concentration des chlorures, sont importantes pour (i) minimiser les risques et les conséquences de l'initiation de la corrosion et (ii) garantir des niveaux optimaux de capacité de service et sécurité (Bastidas-Arteaga et al, 2012a). Sous conditions d'exposition réelles, la pénétration des chlorures est liée à un nombre important de incertitudes [START_REF] Saassouh | Probabilistic modeling of chloride-induced corrosion in concrete structures using first-and second-order reliability methods[END_REF]. Ainsi, la estimation des risques de corrosion devient tâche complexe et nécessite, par conséquent, un nombre de mesures important. Dans la pratique, les inspections ont lieu à l'aide des techniques destructives visant à déterminer des profils en ions chlorure. Ces inspections nécessitent du temps, sont couteuses et parfois la mise en oeuvre s'avère compliquée. Par conséquent, en pratique, l'inspection est réalisée avec un nombre limité de profils. Par conséquent, il est nécessaire d'exploiter au mieux les informations disponibles pour la quantification des incertitudes en utilisant des méthodes statistiques et/ou probabilistes. La méthode bayésienne a été retenue dans cette étude pour traiter ce problème.

Le réseau bayésien (RB) est un outil efficace pour l'identification des paramètres. Bastidas-Arteaga et al (2012b) et [START_REF] Richard | A Bayesian approach to estimate material properties from global statistical data[END_REF] ont proposé une approche basée sur l'utilisation de RB permettant l'identification des paramètres à partir de données réelles et démontrant un accord entre les prévisions numériques et mesures expérimentales. Dans cette étude, le RB est principalement utilisé pour l'identification des paramètres des modèles de pénétration des chlorures en insistant sur l'influence de différentes configurations de RB dans l'erreur de l'identification et les conséquences dans l'estimation des risques de probabilité d'initiation de la corrosion.

Identification bayésienne appliquée à la chloration

Introduction aux réseaux bayésiens

Un RB est généralement représenté comme un graphe acyclique dirigé (GAD). Les noeuds du GAD sont des représentations graphiques d'objets et d'événements qui existent dans le monde réel, et sont appelés des variables ou des états. Les relations causales entre les noeuds sont représentées en dessinant un arc (flèche) entre eux. S'il y a un lien de causalité entre les variables (noeuds), il y aura une flèche de la variable de cause à la variable d'effet. Chaque variable dans le GAD est liée à une densité de probabilité (DP) qui dépend des relations de causalité avec les autres variables. Pour un ensemble de variables aléatoires X, le RB représente la probabilité jointe de l'ensemble. Le RB permet une modélisation probabiliste où la probabilité jointe considère la probabilité conditionnelle de chaque variable.

Application à la pénétration des ions chlorure

2.1.1. Modélisation de la pénétration des ions chlorure Dans le béton saturé, l'équation de diffusion de Fick est généralement utilisée pour estimer la diffusion unidirectionnelle des chlorures [START_REF] Tuutti | Corrosion of steel in concrete[END_REF] : ( )

2 2 c c f f c C C D t x ∂ ∂ = ∂ ∂ (
, 1 2 s c x C x t C erf D t ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ = - ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ (2)
F t ini t ( ) = p t ini ≤ t ( ) = f x ( ) t ini ≤t ∫ dx (3)
où f(x) est la fonction de densité de probabilité jointe du vecteur de variables aléatoires X. L'équation d'état limite en lien avec l'initiation de la corrosion est :

g X,t ( ) = C th X ( ) -C tc X,t ( ) (4)
où C tc (X, t) est la concentration de chlorures au niveau de l'enrobage à temps t. La probabilité d'initiation de la corrosion, p ini , est obtenue en intégrant la fonction de probabilité jointe sur le domaine de défaillance (équation ( 5)).

Modélisation bayésienne de la pénétration des chlorures

La pénétration de chlorures peut être modélisée par le RB présenté dans la figure 1 où C s et D sont les noeuds parents (variables aléatoires à identifier). Il y a n noeuds enfants C(x i , t) (avec i ∈ [1, n]), représentant la concentration de chlorures à la profondeur x i et temps t. Pour un temps donné, le nombre de noeuds enfant correspond au nombre de points en profondeur pour l'inspection. En supposant que C s et D sont deux variables aléatoires indépendantes, les valeurs de C(x i , t) peuvent se calculer facilement à partir de l'équation (3). Dans le RB, la probabilité de la concentration en chlorure p(C(x,t)) peut être calculée comme suit [START_REF] Nguyen | Algorithmes probabilistes appliqués à la mécanique des ouvrages de génie civil[END_REF] :

p C x,t ( ) ( ) = p C x,t ( ) | D,C s ( ) D,C s ∑ p D,C s ( ) avec p D,C s ( ) = p D ( ) p C s ( ) (5)

Figure 1. Modélisation bayésienne de la pénétration des chlorures au temps t

Afin de calculer p(C(x,t)) avec l'équation (6), la probabilité conditionnelle p(C(x,t)|D,C s ) doit être connue. Cette probabilité conditionnelle tient compte de la dépendance entre la teneur en chlorure C(x,t) et les deux paramètres du modèle (D et C s ) et elle est calculée en utilisant le tableau de probabilités conditionnelles (TPC) du RB. Le RB est actualisé avec des évidences/observations. Dans ce cas, les évidences correspondent à des mesures de la concentration de chlorures dans des points et à un des instants donnés. Ainsi, le terme p(C(x,t)|o) représente la

1 2 C s D 3 C(x , t) 1 4 C(x , t) 2 5 C(x , t) 3 j C(x , t) i k C(x , t) n . . . . . . n nodes C( X , t)
distribution de probabilité de C(x,t) en considérant l'évidence o. On peut donc identifier des lois a posteriori pour les variables aléatoires en appliquant le théorème de Bayes:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | , , | p D o p D C x t p C x t o = avec ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , | | , , p C x t D p D p D C x t p C x t = (6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | | , , | s s p C o p C C x t p C x t o = avec ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , | | , , s s s p C x t C p C p C C x t p C x t = (7)
La détermination de toutes les probabilités conditionnelles ainsi que l'identification sont effectuées en utilisant la boîte à outils de RB de Matlab®.

Identification des variables aléatoires avec des RB

La boîte à outils pour les réseaux bayésiens (BRB) est un package open-source développé en Matlab®. Sous l'environnement du Matlab®, les utilisateurs peuvent ajouter, modifier ou faire des compléments de fonctions afin de s'adapter aux différents applications. La BRB supporte un nombre de noeuds très large, de nombreux algorithmes d'inférence (exacts et approximatifs), des RB statiques et dynamiques ainsi que plusieurs algorithmes d'actualisation (Murphy, 2001). Cependant, la BRB est un environnement d'interface non graphique et, par conséquent, la construction d'un RB doit suivre les étapes indiquées sur la figure 2. Traitement Sorties toutes les valeurs probables de chaque paramètre à identifier. En pratique, les intervalles sont fixés en s'appuyant sur des données issues de la littérature ou sur l'avis d'experts. On cherche généralement à identifier des variables continues pour la modélisation probabiliste. Toutefois, afin d'éviter d'utiliser d'algorithmes approximatifs d'inférence pour des variables continues, les variables continues sont remplacées par des variables aléatoires discrètes [START_REF] Straub | Stochastic Modeling of Deterioration Processes through Dynamic Bayesian Networks[END_REF]. La discrétisation de chaque paramètre est décrite dans le tableau 1.

Paramètres

où y représente la moyenne ou l'écart type du paramètre à identifier. 48000 simulations on été utilisées pour déterminer le TPC dans tous les cas étudiés.

Identification à partir de mesures prises dans d'un point en profondeur

Dans cette partie, on s'intéresse à l'identification des moyennes et des écart-types de C s et D à partir des évidences obtenues à un point en profondeur et un instant du temps. La figure 3a présente le profil de chlorure calculé à partir de l'équation (3) en utilisant les valeurs du tableau 2 et à l'instant t = 10 ans. On considèrera dans la suite uniquement l'identification basée sur des mesures prises à l'instant t = 10 ans. Le RB se compose désormais de trois noeuds : deux noeuds parents (C s et D) et un noeud enfant représentant la concentration en chlorure à la profondeur x.

Comme nous avons évoqué précédemment, les variables continues ont été discrétisées en intervalles de la même largeur. Le nombre d'intervalles peut s'ajuster pour augmenter la précision des résultats et la rapidité du calcul. Quand un résultat précis est souhaité, un nombre élevé d'intervalles est donc choisi. La figure 3b décrit l'erreur dans l'estimation de la moyenne de C s avec des discrétisations différentes. Pour toutes les configurations, l'erreur est très faible lorsque les mesures sont proches de la surface. On observe aussi des fluctuations à des profondeurs où les teneurs en chlorures sont faibles et le nombre d'intervalles moins important. Il n'y a pas de fluctuation lorsque le noeud est divisé en 200 intervalles. Cela signifie qu'un grand nombre d'intervalles pourrait conduire à une convergence dans les résultats de l'inférence. On retiendra 200 intervalles pour la suite des études. profondeur. Ce comportement peut s'expliquer avec le profil du chlorure présenté dans la figure 3a où la teneur en chlorure diminue avec la profondeur. Cela signifie que, les données de profils de chlorure proches de la surface fourniront de plus amples informations pour la mise à jour de C s , tandis que la faible information dans les parties les plus profondes augmente les erreurs d'identification. Lorsque la teneur en chlorure est proche à zéro, les erreurs sont proches à 40 %. Au contraire, avec des évidences proches de la surface (x ≈ 0cm), nous pouvons obtenir la meilleure identification pour la moyenne et l'écart type de C s avec des erreurs de 1% et 3%, respectivement. D'après l'équation (3), lorsque x ≈ 0cm, C(x, t) ≈ C s . Par conséquent, lorsque x ≈ 0cm, le RB mettra plus de poids sur l'identification de C s .

Figure 4. Erreur dans l'identification avec un point en profondeur

On observe également dans la figure 4 que l'erreur dans l'identification de D diminue lorsque x < 11cm et puis augmente. Ce comportement correspond au fait que la teneur en chlorure au niveau des parties les plus profondes est plus utile dans l'identification du coefficient de diffusion. Cependant, l'erreur augmente pour les points très profonds où les teneurs en chlorure deviennent presque nulles. Les erreurs de l'identification de l'écart-type ont une tendance similaire mais leurs valeurs sont très éloignées des valeurs théoriques (plus de 150 %). Par conséquent, on peut conclure qu'il n'est pas possible effectuer une bonne identification de D en utilisant des évidences obtenues uniquement pour un point en profondeur.

Identification avec des données sur toute la profondeur

Dans cette section, l'identification bayésienne utilisera des données sur toute la profondeur. La profondeur totale est fixée à 15 cm car selon la figure 3a et la figure 4, à des points plus profonds, les informations ne sont pas utiles dans l'actualisation. Le nombre de noeuds enfants dans les RB est maintenant égal au nombre de mesures en profondeur (tableau 3).

La figure 5 présente les erreurs dans l'identification de la moyenne et l'écarttype en fonction de la séparation entre les points du profil en ions chlorure, Δx. Il n'y a pas de changements importants dans l'identification de la moyenne de C s lorsque Δx varie (figure 5a). Les erreurs dans ce cas sont d'environ 5%. Au contraire, l'écart

Influence des données identifiées sur la probabilité d'initiation de la corrosion

Cette section étudie l'influence des données identifiées sur l'évaluation de la probabilité d'initiation corrosion calculée avec les données obtenues à partir des RB. Pour l'estimation de cette probabilité, nous avons considéré que la concentration seuil pour l'initiation de la corrosion suit une loi normale -C th ~ N(µ=2kg/m 3 , σ=0.4kg/m 3 ) et que l'enrobage est 6 cm. Nous avons utilisé les histogrammes issus de l'identification bayésienne directement dans les simulations de Monte-Carlo utilisés pour estimer la probabilité d'initiation de la corrosion pour éviter les hypothèses sur des lois distributions analytiques. La figure 6a montre que la prédiction de la probabilité d'initiation de la corrosion à partir des données identifiées suit la même tendance que celle obtenue à partir des valeurs théoriques. Elle montre également que, lorsque Δx est petit, les résultats de l'identification sont proches des valeurs théoriques. En revanche, à partir de la figure 6b, il est clair que les données identifiées à partir d'un point en profondeur ne fournissent pas des prédictions suffisamment acceptables par rapport aux valeurs théoriques.

Conclusions

La pénétration des chlorures génère des risques de corrosion importants dans des structures en béton armé. L'identification de paramètres pour modéliser les mécanismes de chloration est donc cruciale pour prédire le niveau de chlorures au niveau des armatures qui permettra d'optimiser la maintenance structures exposés à des environnements avec des taux de chlorures importants. Les données d'inspection utilisées pour l'identification (profils en chlorures) sont très limitées en raison des coûts élevés. Par conséquent, il est nécessaire d'utiliser au mieux les données disponibles. Les RB pourraient s'utiliser dans le but d'identifier les incertitudes liées à ce type de problématique. Dans cette étude, des résultats fondés sur des évidences numériques ont révélé qu'il existe une stratégie optimale pour l'identification des variables aléatoires C s et D. Pour C s , la concentration en chlorure mesurée dans un point proche à la surface peut fournir une bonne identification. Ces résultats peuvent se combiner avec des mesures exhaustives pour améliorer l'identification de D lorsque le nombre de profils reste limité.

Figure 2 .

 2 Figure 2. Algorithme pour la construction du RB

Figure 3 .

 3 Figure 3. (a) Profils en ions chlorure à t = 10 ans -(b) Convergence du RB avec le nombre d'intervalles La figure 4 montre les erreurs dans l'identification de la moyenne et l'écart-type de C s et D. Pour C s , les erreurs dans la moyenne et l'écart-type augmentent avec la

Figure 5 .

 5 Figure 5. Erreurs dans l'identification pour (a) la moyenne -(b) l'écart-type

Figure 6 .Figure 7 .

 67 Figure 6. Probabilité d'initiation de la corrosion initiation avec données identifiées : (a) à partir de toute la profondeur -(b) à partir d'un point

amorçage de la corrosion, t ini , est défini comme le temps nécessaire pour atteindre un niveau seuil de chlorures, C th , au niveau des armatures. Cette valeur seuil représente la concentration en chlorure nécessaire pour détruire la

  couche de rouille protectrice et donc pour démarrer l'étape de propagation de la corrosion. Tenant compte des difficultés pour déterminer une valeur unique pour C th (Bastidas-Arteaga et al, 2012a), on va modéliser C th comme une variable aléatoire. t ini se calcule par l'évaluation de l'évolution dans le temps de la concentration en chlorure au niveau des armatures à partir de l'équation (3). La fonction de répartition du temps d'amorçage de la corrosion,

	où erf(.) est la fonction d'erreur. L'équation (3) est uniquement valable quand la
	structure est dans un milieu saturé et elle est soumise à une concentration de
	chlorures en surface constante. Dans la plupart de structures réelles, ces conditions
	sont rarement représentées. Le béton est un matériau hétérogène et C s varie avec le
	temps. En outre, cette solution ne tient pas compte de la capacité de fixation des
	chlorures, le vieillissement du béton et d'autres facteurs environnementaux tels que
	la température et de l'humidité (Bastidas-Arteaga et al, 2011). Bien que cette
	solution néglige certains phénomènes importants, ce modèle sera utilisé ici pour
	illustrer l'identification de variables aléatoires à l'aide des RB.
	2.1.2. Probabilité d'initiation de la corrosion
	Le temps d'( )

ini t F t , est défini comme:

  Discrétisation des variables aléatoiresLes données d'inspection sont utilisées comme des évidences pour actualiser le RB. Ces données sont généralement obtenues à partir de mesures expérimentales ou des connaissances d'experts. Dans cette étude, nous utilisons des évidences numériques obtenues par simulations de Monte-Carlo à partir des variables aléatoires d'entrée connues (tableau 2). La probabilité que C(x,t) appartienne à un intervalle donné pour une profondeur x est calculée pour l'identification des probabilités conditionnelles p(C(x,t) | o). Ces probabilités sont ensuite ajoutées au RB pour l'actualisation à l'aide des équations (7) et (8).

	Error( y) =	y identifié -y théorique y théorique	100%
		Nombre d'intervalles Distribution a priori	Intervalle
	C s (kg/m 3 )	16	Uniforme	(1; 17)
	D (m/s²)		20	Uniforme	(2e-12 ; 8e-12)
	C(x,t) (kg/m 3 )	15	-	(0 ; 12)
		Tableau 1. Paramètres	Distribution	Moyenne	CV
		C s		Log-normale	5.5 (kg/m²)	21.8%
		D		Log-normale	4 10 -12 (m/s)	13%
	Tableau 2. Valeurs théoriques pour les paramètres à identifier
	3. Influence de la configuration du RB et application
	Dans cette section, différentes configurations du RB correspondant à des
	schémas d'inspection différents seront étudiées. Chaque configuration sera évaluée
	en fonction de l'erreur par rapport aux valeurs théoriques :


Thomas De Larrard
email: thomas.de-larrard@insa-toulouse.fr

Frederic Duprat

E Bastidas-Arteaga

Franck Schoefs

Carbonatation

Carbonatation sous température variable : effet du réchauffement climatique sur la fiabilité des structures en Béton Armé

Keywords: carbonatation, béton armé, réchauffement climatique, indice de fiabilité carbonation, reinforced concrete, global warming, reliability index

teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

Introduction

La conception des structures du génie civil repose sur des procédures et des modèles intégrant le chargement, les propriétés des matériaux, la géométrie, l'exposition à un environnement agressif, etc. Une incertitude affecte de manière aléatoire les paramètres régissant la conception des ouvrages, de sorte que les approches probabilistes permettent d'évaluer le risque structural et la fiabilité des ouvrages dans la mesure où elles intègrent une représentation probabilisée des variables. Une des mesures les plus couramment répandues de la fiabilité structurale est l'indice de fiabilité de Hasofer-Lind, noté β [START_REF] Hasofer | An exact and invariant second moment code format[END_REF]. Cet indice est défini dans l'espace normalisé de variables gaussiennes centrées réduites et indépendantes ; l'indice est la distance minimale entre l'origine du repère et la surface de défaillance, définissant ainsi le point de fonctionnement P*. Le but de cette étude est d'exploiter l'indice de fiabilité pour comparer et quantifier les effets des différents scenarii de réchauffement climatique sur la fiabilité des structures en béton armé exposées à un risque de carbonatation. La carbonatation est une évolution chimique des matériaux cimentaires, induite par le transfert réactif du CO 2 dans le milieu poreux. En effet, le dioxyde de carbone atmosphérique réagit avec les hydrates du ciment, dissout la portlandite et forme de la calcite. La principale conséquence dommageable de ce processus chimique est la diminution significative du pH de la solution interstitielle, et la dépassivation des aciers d'armatures, rendant possible leur corrosion. La cinétique de cette dégradation dépend de la température, de la pression partielle de CO 2 atmosphérique et de l'humidité relative, tous paramètres dépendant du temps et indexés aux évolutions climatiques. Pour entreprendre une approche probabiliste, il a donc fallu développer un modèle éléments finis (EF) adapté de carbonatation, tenant compte des variations de température et des variations climatiques. Le modèle est présenté brièvement dans cet article et a été exploité pour calculer un indice de fiabilité pour plusieurs scenarii climatiques.

Effets du réchauffement climatique

Sur la base des évolutions récentes, plusieurs études ont estimé que la concentration atmosphérique de CO 2 pourrait augmenter de 379 ppm en 2005 à plus de 1000 ppm aux alentours de 2100 (IPCC 2007). Ainsi, la gestion sur le long terme des structures BA (Béton Armé) devrait intégrer cette augmentation de la concentration en CO 2 et du réchauffement climatique de manière plus globale. Cette augmentation est complexe à estimer parce qu'elle dépend de nombreux facteurs technologiques, sociaux et politiques. Ces facteurs ont été pris en compte par l'International Panel on Climate Change (IPCC 2007) qui a défini quatre familles de scenarii de réchauffement climatique (A1, A2, B1 et B2). Ces scenarii correspondent à des évolutions de croissance démographique, de développement économique, de basculement vers des énergies propres, etc. Le scenario A1 décrit un monde avec une croissance économique très importante, une population qui augmente significativement jusqu'au milieu du siècle avant de décroître, et l'apparition rapide de nouvelles technologiques à rendement optimisé. Cette famille de scenarii est elle-même divisée en 3 groupes selon la nature des énergies utilisées : des énergies fossiles (A1F1), des énergies non-fossiles (A1T) ou un équilibre entre les deux (A1B). Le scenario A2 décrit un monde hétérogène avec une augmentation constante de la population. Le développement économique y est divers selon les régions du monde et locales, et les évolutions technologiques sont plus lentes et inégales. Le scenario B1 est analogue au scenario A1 en ce qui concerne les évolutions démographiques, mais avec une évolution rapide des structures économiques orientées vers les services et l'information, une réduction de la production de matériaux et l'apparition d'énergies propres et efficaces. Le scenario B2 décrit un monde avec des développements locaux des infrastructures économiques et sociales, avec une croissance raisonnée de la population et une variété des évolutions technologiques. Les projections à partir de 2000 de la concentration de CO 2 dans l'air pour les scenarii A1B, A2 et B1 ont été simulées grâce au logiciel MAGICC (Model for Assessment of Greenhouse-gas Induced Climate Change) [START_REF] Wigley | Economic and environmental choices in the stabilization of atmospheric CO 2 concentrations[END_REF]. Parmi ceux-ci, le scenario A2 est donc le plus pessimiste quant à la production de CO 2 . L'effet du réchauffement climatique dépend des caractéristiques géographiques et météorologiques de l'endroit considéré pour l'étude. Ce travail concentre particulièrement l'étude sur les villes françaises de Nantes et de Toulouse. Nantes est située à 50 km de la côte Atlantique, avec un climat océanique tempéré, caractérisé par des hivers peu rigoureux et pluvieux et des étés doux. Toulouse est une ville du sud de la France avec un climat sous influences continentales, océaniques et méditerranéennes : étés très chauds et secs, automnes ensoleillés, hivers cléments et printemps pluvieux. Les évolutions climatiques à Nantes et Toulouse ont été estimées à partir des données simulées par le modèle ARPEGE V4 CERFACS [START_REF] Déqué | The ARPEGE-IFS atmosphere model: a contribution to the French community climate modelling[END_REF]

Modélisation du séchage et de la carbonatation

Equations de conservation de la masse et simulations Eléments Finis

Nous présentons brièvement dans cette section le modèle développé pour décrire les phénomènes couplés de séchage et de carbonatation dans le béton, qui est une version simplifiée du modèle initialement proposé par [START_REF] Bary | Coupled moisture-carbon dioxide-calcium transfer model for carbonation of concrete[END_REF]. Cette version est détaillée dans de [START_REF] De Larrard | Influence of aggregate shapes on drying and carbonation phenomena in 3D concrete numerical samples[END_REF]. Ce modèle repose sur l'hypothèse que les principaux phénomènes régissant la carbonatation sont la migration de l'eau à travers la porosité connectée et la diffusion du CO 2 sous forme gazeuse, ainsi que ses interactions avec les phases hydratées initialement présentes dans le matériau pour former de la calcite. En conséquence, le processus chimique est décrit par deux équations de conservation de la masse couplée, l'une écrite pour l'eau et l'autre pour le dioxyde de carbone. Ces équations s'appuient notamment sur les relations de van Genuchten (1980), faisant apparaître un paramètre m décrivant les isothermes de désorption. On y fait également apparaître notamment la perméabilité intrinsèque du matériau K, et la porosité φ. Parmi les paramètres influents de la modélisation du transfert réactif du CO 2 se trouve le coefficient de diffusion en phase gazeuse ; la cinétique de diffusion est pondérée par un coefficient de réduction fonction de la saturation des pores. Le couplage entre ces équations apparaît à travers le degré de saturation et à travers les termes sources de formation d'eau (l'eau libérée par les hydrates lors de leur dissolution), et de dissolution du CO 2 pour la formation de la calcite. Ces deux termes sources sont exprimés à partir du taux molaire de formation de calcite, lui-même exprimé à partir du taux molaire de dissolution de la portlandite, et de celui des autres hydrates (CSH, ettringite, aluminates, etc.). Les cinétiques de dissolution/précipitation ont en effet été considérées distinctes pour la portlandite par rapport aux autres hydrates en raison de l'instabilité chimique de cette espèce, et donc de sa plus grande réactivité [START_REF] Bary | Coupled moisture-carbon dioxide-calcium transfer model for carbonation of concrete[END_REF]. La principale simplification de ce modèle par rapport aux versions antérieures concerne l'estimation de la concentration en calcium. En effet, dans les précédentes publications afférentes, une équation de conservation était écrite et résolue pour le calcium, couplée aux autres équations, pour décrire le transfert réactif du calcium en solution dans la porosité du béton. Dans l'approche présentée ici, on suppose que la cinétique de diffusion du calcium est négligeable, de sorte que les réactions de dissolution des hydrates et de formation de calcite relèvent d'un équilibre chimique local. Cela revient à supposer la cinétique de diffusion du calcium lente devant le processus global de carbonatation.

Le modèle a été implanté dans le code EF Cast3M et les équations résolues successivement et itérativement sur un schéma numérique totalement implicite. Le modèle a été testé et validé par comparaison avec des résultats expérimentaux et numériques antérieurs [START_REF] Bary | Coupled moisture-carbon dioxide-calcium transfer model for carbonation of concrete[END_REF]. Les détails de l'implémentation du modèle et de sa validation sont donnés dans de [START_REF] De Larrard | Influence of aggregate shapes on drying and carbonation phenomena in 3D concrete numerical samples[END_REF]. Pour les simulations présentées ici, le matériau considéré est un béton de CEM I avec un rapport eau/ciment de 0,42. Un certain nombre des paramètres relatifs aux modèles de séchage (la perméabilité intrinsèque K et le paramètre m du modèle de désorption de van Genuchten) ou de carbonatation (le coefficient de diffusion du CO 2 ), ou relatifs aux propriétés du matériau (la porosité initiale de la pâte de ciment φ) ou à la géométrie considérée pour l'étude (l'épaisseur d'enrobage, notée e et correspondant à l'épaisseur de béton entre l'armature et la face du béton exposée à l'environnement extérieur agressif) sont choisis comme les variables aléatoires d'entrée des simulations probabilistes. Ces paramètres seront présentés de façon plus détaillée dans la section consacrée aux simulations probabilistes. Le béton est supposé avoir une saturation initiale homogène et correspondant à celle de l'an 2000 (point de départ des scenarii de réchauffement climatique). Dans la mesure où le pH n'est pas accessible directement via les simulations numériques, le front de carbonatation est estimé à partir du profil de portlandite. Il a été décidé de considéré que le front se situait au seuil de 2/3 de la portlandite initiale dissoute. Ce modèle, quoique simplifié, permet l'obtention de profils de calcite et de portlandite satisfaisants, tout en restant compatible avec une démarche probabiliste.

Prise en compte des variations de température

Le modèle présenté précédemment a dû être modifié pour tenir compte des variations de température induites par le réchauffement climatique. Dans la mesure où l'on s'intéresse ici à une évolution globale de la température et pas à des variations à de courtes échelles temporelles, il a été supposé que l'effet du gradient de température dans l'épaisseur d'enrobage de béton considérée ici était négligeable devant la variation de la température moyenne sur les échelles de temps considéré. En effet, les simulations de carbonatation atmosphériques sont réalisées sur pas de temps de 20 ou 30 jours, période sur laquelle les variations quotidiennes de températures sont moyennées sur l'enrobage (cinétique de transfert de chaleur très rapide devant celle des transferts réactifs de H 2 0 et CO 2 ). De fait, la température dans l'enrobage est supposée constante au cours du pas de temps et égale à la température extérieure moyenne sur cette période. Cela revient à supposer que la cinétique des transferts de chaleur est largement supérieure à celle des transferts réactifs de l'eau et du CO 2 . Cette hypothèse est corroborée par [START_REF] Yuan | Prediction of temperature response in concrete in a natural climate environment[END_REF]. Notons ici que les autres conditions aux limites climatiques (humidité relative extérieure et pression partielle de CO 2 dans l'atmosphère) sont disponibles avec un pas de temps quotidien mais appliquée au système avec une valeur moyenne sur chaque pas de temps. L'influence de la température apparaît dans le modèle à chaque fois avec une thermo-activation modélisée par une loi d'Arrhénius. La démarche est analogue à celle présentée dans de [START_REF] De Larrard | Modelling the influence of temperature on accelerated leaching in ammonium nitrate[END_REF]. Les phénomènes suivants sont considérés impactés par la température :

• le coefficient de diffusion du CO2, avec une énergie d'activation de 39 kJ/mol [START_REF] Saetta | The carbonation of concrete and the mechanism of moisture, heat and carbon dioxide flow through porous materials[END_REF]) ; • la solubilité rétrograde des hydrates : plus la température est élevée, moins les hydrates sont solubles [START_REF] Dickson | Solubilities of CaO-SiO 2 -H 2 O phases at 25, 55 and 85°C[END_REF]), se traduisant par une énergie d'activation de -440 kJ/mol [START_REF] Papadakis | Physical and chemical characteristics affecting the durability of concrete[END_REF]) ;

• la loi de Henry traduisant l'équilibre entre le CO 2 sous phases liquides et gazeuses, avec une énergie d'activation de 19,95 kJ/mol [START_REF] Fogg | Chemicals in the atmosphere: solubility, sources and reactivity[END_REF] ;

• la viscosité dynamique de l'eau, décroissante avec la température, ce qui se traduit par une énergie d'activation de -15,7 kJ/mol [START_REF] Reinhardt | Permeability and self-healing of cracked concrete as a function of temperature and crack width[END_REF] ;

• les isothermes de sorption/désorption [START_REF] Poyet | Temperature dependence of the sorption isotherms of cementbased materials: Heat of sorption and Clausius-Clapeyron formula[END_REF], avec une énergie d'activation dépendant elle-même de la température.

Détermination de l'indice de fiabilité

La détermination de l'indice d'Hasofer-Lind relève d'un problème d'optimisation sous contrainte. La fonction à minimiser est la distance euclidienne dans l'espace standardisé sous la contrainte G(u)=0, où G est la fonction de défaillance, définissant le domaine de défaillance, telle qu'une valeur négative de la fonction définisse le domaine de sécurité et une valeur négative le domaine de défaillance. Cette fonction définit donc un état limite, et doit être continue, au moins aux alentours du point de conception (caractérisé parce qu'il donne la distance minimale entre le domaine de défaillance et l'origine de l'espace standardisé). Dans cette étude, l'indice de fiabilité est calculé à partir de l'algorithme du gradient projeté [START_REF] Duprat | The projection gradient algorithm with error control for structural reliability[END_REF]. En pratique, lorsque la fonction d'état limite est calculée par des simulations EF, les expressions analytiques des dérivées partielles ne sont pas disponibles. Par souci de simplicité, on a recours à la méthode des différences finies pour le calcul du vecteur gradient. L'erreur de troncature résultant des termes négligés dans le développement en série de Taylor de la fonction G(x) peut être réduite en utilisant une petite perturbation. Néanmoins, la taille de la perturbation doit être choisie en conformité avec les inexactitudes de calculs acceptées dans les procédures de résolution (seuil de convergence) et les erreurs d'arrondis numériques inévitables qui affectent la réponse de la méthode des éléments finis. Par conséquent, une procédure particulière est utilisée pour le choix de la perturbation dans l'estimation du vecteur gradient. Cette procédure rend compte de la précision numérique globale du modèle EF, afin d'éviter que la convergence de l'algorithme de projection du gradient n'échoue en raison d'une valeur de perturbation inappropriée. En outre, l'algorithme permet d'éviter des recours inutiles au modèle EF en mettant à jour les composantes du vecteur gradient.

L'idée de base de cette étude est de comparer l'influence des scenarii de réchauffement climatique à l'aune des effets sur l'estimation de l'indice de fiabilité. Ainsi, on considère le matériau présenté dans la partie 3 de cette étude et, pour chaque scenario, on utilise l'algorithme du gradient projeté pour estimer l'indice de fiabilité d'Hasofer-Lind pour un état limite correspondant à la dissolution de la portlandite autour de l'armature. Ainsi, l'effet du scenario de réchauffement climatique pourra être quantifié à travers les valeurs obtenues pour l'indice de fiabilité. La première étape consiste à définir la fonction de défaillance. Dans la mesure où le phénomène considéré est la carbonatation du béton, laquelle induit la corrosion des armatures, la fonction d'état limite est basée sur le seuil de portlandite dissoute caractéristique du front de carbonatation. Ainsi, si plus de 67 % de la portlandite initiale a été dissoute, l'échantillon étudié est considéré comme défaillant. De fait, la fonction de défaillance est définie à partir de la fraction volumique de portlandite à l'enrobage, entre la fin des simulations (100 ans) et l'état initial. Notons que le choix du seuil de portlandite va affecter l'indice de fiabilité, mais dans la mesure où il s'agit de la même valeur de seuil pour toutes les situations, la comparaison des scenarii de réchauffement climatique reste pertinente, quel que soit le seuil retenu. Il a été décidé ici de mener cette étude avec 5 variables aléatoires. La première est l'enrobage. Il s'agit d'une variable correspondant à un aléa structural global, lié à une variabilité induite par le procédé de construction. La seconde variable aléatoire est la porosité initiale de la pâte de ciment. Cette variable a une influence significative sur la cinétique des processus de diffusion. Deux autres variables correspondent au phénomène de séchage : la perméabilité intrinsèque K 0 et le paramètre m du modèle de van Genuchten décrivant les isothermes de désorption. La dernière variable aléatoire est le coefficient de diffusion du CO 2 . Ces quatre dernières variables sont des propriétés du matériau. Leur variabilité représente l'aléa naturel et la variabilité spatiale des caractéristiques du matériau, même pour une formulation de béton donnée. Ces cinq paramètres apparaissent de façon indépendante dans les équations du modèle, si bien que nous les considérerons noncorrélés (ce qui est éventuellement discutable d'un point de vue physique). Les valeurs moyennes de ces variables ont été prises égales respectivement à 2 cm pour l'enrobage, 30% pour la porosité de la pâte de ciment, 1,8x10 -22 m 2 pour la perméabilité intrinsèque, 1,9x10 -8 m 2 /s pour le coefficient de diffusion du CO 2 , 0,532 pour le paramètre m de van Genuchten. Ces valeurs sont analogues à celles de de Larrard et al. ( 2013) pour la validation du modèle. Par commodité, il a été choisi de représenter leur variabilité par une loi normale, caractérisée pour toutes les variables par un coefficient de variation de 5 %, ce qui est de l'ordre de grandeur de la variabilité observée pour une formulation analogue (de Larrard et al. 2010). Il est à noter que ce coefficient de variation relativement faible est caractéristique de ce que l'on retrouve sur un béton dont la mise en oeuvre est particulièrement surveillée. On peut trouver des coefficients de variations plus importants pour des chantiers dont la mise en oeuvre ou la fabrication du béton sont moins régulières. Ce qui importait dans le cadre de cette étude était l'impact du scenario climatique sur la variation de l'indice de fiabilité. Un coefficient de variation plus important aurait amené à des indices de fiabilité plus faibles, mais seule la variation relative nous intéresse dans le cadre de la présente étude.

Résultats et discussion

Avant d'analyser les résultats, rappelons que l'indice de fiabilité a été calculé pour 3 scenarii, notés A1B, A2 et B1. Schématiquement, le scenario A1B est celui pour lequel l'élévation de la température est le plus significative, de même que la décroissance de l'humidité relative. Le scenario B1 prédit une élévation de température sensiblement moindre, idem que la décroissance de l'humidité. Le scenario A2 est intermédiaire entre les précédents. Pour chaque scenario, 3 évolutions de la pression partielle de CO 2 sont considérées : une haute, une médiane et une basse. Enfin, ces 9 cas ont été appliqués aux climats de Nantes et de Toulouse. Les résultats des calculs de l'indice de fiabilité sont recensés dans le Tableau 2. Tableau 2. Indice de fiabilité en cas de réchauffement climatique à Nantes et Toulouse.

La première conclusion à tirer de ces résultats est que l'intervalle de variation de l'indice de fiabilité est très large (de 1,87 à 16,03). Notons que d'un point de vue statistique un indice de fiabilité supérieur à 8 n'a pas de réelle signification, dans la mesure où cela place le point de fonctionnement dans des queues de distribution rendant vide de sens les valeurs estimées. Toutefois, dans la mesure où on se trouve ici dans un exercice quelque peu artificiel (ne serait-ce que considérer la même formulation pour deux types de conditions extérieures aussi différentes n'est pas réaliste), nous affichons les valeurs calculées, en appelant à la plus grande prudence quant à leur utilisation. Puisque l'on a considéré des variables aléatoires réparties suivant des lois normales avec un coefficient de variation relativement faible, et que, donc, on a considéré le même matériau pour les conditions froides et humides de Nantes, et chaudes et sèches de Toulouse, il est « normal » de constater une grande disparité dans les états de sécurité des cas considérés, ce qui se traduit par la largeur de l'intervalle pour les indices de fiabilité calculés. Le climat Toulousain induit une carbonatation relativement rapide en raison de la température globalement élevée, sachant que la carbonatation est un phénomène thermoactivé. En outre, l'humidité relative dans le climat nantais reste majoritairement dans l'intervalle 80-85%, ce qui correspond à l'effet « pessimum » sur la diffusion : quand l'humidité relative est trop importante, il n'y a pas assez de phase gazeuse dans les pores pour que la diffusion gazeuse du CO 2 puisse être effective. Attention toutefois à considérer que cette « sécurité naturelle » liée à l'humidité n'apparaît ici que parce que seul le phénomène de carbonatation a été pris en compte dans le calcul de l'indice de fiabilité, mais l'effet contraire serait observé si l'on considérait le processus de corrosion (pour lequel l'humidité est un critère très favorable). La seconde conclusion découle des observations de chaque ville et chaque scenario, et de la comparaison des 3 évolutions de CO 2 . Trivialement, plus la pression partielle de dioxyde de carbone est élevée, plus l'indice de fiabilité est faible, ce qui est parfaitement « physique » dans la mesure où les conditions de pression extérieure créent un gradient, moteur des processus diffusifs. Ce qui importe ici est de constater que passer de l'estimation haute ou basse de la pression a moins d'influence sur l'indice de fiabilité que le scenario lui-même. Ainsi, β est 25% plus important pour Toulouse-A2-Basse que pour Toulouse-A2-Haute, mais il est 99% plus important pour Toulouse-A1B-Haute que pour Toulouse-A2-Haute. Cet effet est également observable à Nantes, quoique moins significativement (seulement 2% de différence entre Nantes-A2-Haute et Nantes-A2-Basse), ce qui peut s'expliquer par les très hautes valeurs de l'indice de fiabilité (ce qui signifie que le point de fonctionnement est dans les queues de distributions pour tous les paramètres d'entrée). La principale information est que l'indice de fiabilité évolue très significativement avec le scenario considéré : +264% pour Toulouse en considérant B1 au lieu de A2 (estimation haute du CO 2 ), et +28% pour Toulouse dans la même situation. Là encore, l'augmentation plus faible du β pour Nantes que pour Toulouse est due aux valeurs très élevées de l'indice de fiabilité pour Nantes et le fait que, dans les queues de distributions, une « petite » variation de β correspond à un changement significatif du sens physique. Pour conclure sur la comparaison des scenarii, il apparaît que plus la température augmente et plus l'humidité relative décroît, plus l'indice de fiabilité est faible. D'un point de vue physique, les explications de cette tendance sont les mêmes que celles expliquant les différences observées entre Nantes et Toulouse. Le point important ici est la quantification de l'impact de ces scenarii, qui est significatif : par exemple, pour Toulouse, selon le scenario optimiste B1 l'indice de fiabilité varie entre 6,8 et 7, ce qui correspond à un domaine de sécurité satisfaisant ; mais si on suit le scenario A2, l'indice de fiabilité tombe entre 1,9 et 2,3, impliquant un risque de carbonatation-dépassivationcorrosion à surveiller attentivement. Tableau 3. Indice de fiabilité pour les différents scenarii de réchauffement climatique (les valeurs marquées d'un astérisque n'ont pas de sens mathématique) pour CO 2 médian.

Nous pouvons élargir l'étude à plusieurs autres localités en France, correspondant à des climats différents. Ces résultats sont présentés dans le Tableau 3 en reprenant les indices calculés pour Nantes et Toulouse, et en y adjoignant les résultats pour Clermont-Ferrand, Marseille, Strasbourg et Paris. Pour ces calculs, seul le scenario intermédiaire de pression de CO 2 a été retenu. Comme précédemment, on y trouve pour certaines villes des valeurs d'indice de fiabilité très élevée, statistiquement non représentatives. Toutefois, ces valeurs permettent d'établir une gradation dans l'effet du climat (différent selon les localisations) sur la fiabilité par rapport à la carbonatation atmosphérique. On notera également pour Marseille des indices de fiabilité négatif. Cela n'a aucun sens mathématique, il faut lire dans ces cas-là β=0. Physiquement, cela signifie que le point moyen est dans le domaine de défaillance. Les valeurs algébriques calculées ici permettent de voir à quel point Marseille est « loin » dans le domaine de défaillance. Rappelons ici que l'on s'est placé dans une situation parfaitement artificielle dans la mesure où l'on a considéré la même formulation de béton pour toutes ces localités, indépendamment des conditions d'exposition. On retrouve les conditions présentées précédemment, à savoir que les villes connaissant un climat chaud, telles que Marseille ou Toulouse, voient globalement une carbonatation plus rapide, ce qui se traduit par un β plus faible. De même, l'effet de la saturation est observable entre Nantes et Paris, où l'écart de température n'est pas très significatif (cf. Tableau 1), mais il l'est sur l'humidité relative. Il ressort de cette étude que la variation de la pression partielle de CO2, selon que l'on se place dans une estimation haute, basse ou médiane, est le facteur le moins influent sur la variation de l'indice de fiabilité, devant la variation de la température et celle de l'humidité relative. Les variations d'humidité ont un effet aussi significatif que celles de la température sur le β dans la mesure où une saturation importante inhibe le processus de carbonatation. En revanche, les cinétiques de séchages sont importantes devant celles de la carbonatation, de sorte qu'on s'est intéressé ici principalement à l'évolution tendancielle de l'humidité. Les effets de cycles rapides sur les cinétiques de dégradation sont en cours d'étude et feront l'objet de communications ultérieures. Terminons cette étude par quelques mots sur les coordonnées du point de conception dans l'espace standardisé. Il ressort en effet que le point de conception est atteint pour un enrobage décalé de -2 à -15 écarts-types selon le scenario et la ville considérés, tandis que les autres variables aléatoires se situent à 0,2 à 2 écartstypes. Cela indique simplement que parmi les paramètres considérés pour l'étude probabiliste, le plus influent relativement à la fiabilité de l'ouvrage est l'épaisseur d'enrobage, et que les autres variables ont un effet dont l'influence est d'un ordre de grandeur analogue. On peut rapporter ces résultats à ceux que l'on obtiendrait avec une approche déterministe de type élasticité. Pour cela, on a considéré une simulation de référence (tous les paramètres d'entrée sont pris égaux à leur valeur moyenne), puis, pour chaque paramètre d'entrée, en laissant les autres à leur valeur moyenne, une simulation a été menée en augmentant ce paramètre de 5 %. On peut alors quantifier l'impact de cette variation du paramètre d'entrée sur la fonction de défaillance. Les résultats de cette approche sont présentés dans le Tableau 4. On y observe que l'effet sur la fonction de défaillance est très visible pour les cas à indice de fiabilité faible (pour la ville de Toulouse en l'occurrence), et non significatif si l'indice de fiabilité est important (pour Nantes), puisqu'alors il faut un écart important par rapport à la position moyenne pour s'approcher du domaine de défaillance. Ainsi, lorsqu'on est proche de la défaillance, c'est l'enrobage qui a l'effet le plus significatif sur la dépassivation, ce qui est conforme aux observations précédentes. Pour le cas d'un indice de fiabilité élevé, cette approche déterministe ne permet pas de conclure puisqu'on est trop loin du point de conception pour que ce type d'approche (qui ne s'extrapole que pour un fonctionnement linéaire du processus, ce qui n'est pas le cas ici) définisse un paramètre influent.

Conclusions et perspectives

Dans la présente étude, nous avons proposé un modèle simplifié de carbonatation sous conditions variables de température, humidité relative et pression partielle de CO 2 . Ce modèle a été développé dans le but de calculer l'indice de fiabilité de structures en béton armé exposées à un risque de corrosion des armatures induite par carbonatation de la pâte de ciment. Nous avons calculé l'indice de fiabilité correspondant pour plusieurs villes en France, correspondant à différents types de climat distincts (océanique, continental, méditerranéen, etc.), suivant plusieurs scenarii de réchauffement climatique et d'évolution de la pression atmosphérique en CO 2 pour 100 ans. Cette étude a montré que le réchauffement climatique et l'évolution de l'humidité relative ont un impact significatif sur la fiabilité des structures BA. L'indice de fiabilité correspondant peut pratiquement être divisé par 3 selon le scenario suivi. Ce résultat souligne la nécessite de suivre et de prendre en compte les évolutions climatiques autant que possible, que ce soit pour la température, l'humidité relative et la pression partielle de CO 2 dans l'atmosphère. Cette étude a aussi montré, en première approche, que le paramètre conditionnant le plus significativement la sûreté des structures restait l'épaisseur d'enrobage, davantage que les propriétés de transfert du matériau (porosité, perméabilité, coefficient de diffusion, isotherme de désorption). Notons que ces résultats recoupent les recommandations proposées par le CSIRO [START_REF] Wang | Analysis of Climate Change Impacts on the Deterioration of Concrete Infrastructure -Synthesis Report[END_REF], organisme australien qui a étudié l'impact des scenarii de réchauffement climatique sur les structures BA (mais en dehors d'un cadre fiabiliste et en utilisant un modèle d'ingénierie au lieu d'un modèle EF). Les recommandations portent également sur l'épaisseur d'enrobage dans un premier lieu et sur les propriétés diffusives du matériau (notamment la porosité). Ce travail nécessite des approfondissements, notamment concernant les lois de distribution retenues pour la variabilité des propriétés des matériaux et des structures. En outre, il faudrait prendre en compte les corrélations entre les propriétés matériaux intervenant dans les simulations des processus couplés de dégradation. Une étude plus approfondie devrait être menée sur l'influence du choix d'une valeur pour le seuil de dissolution de la portlandite définissant la position du front de carbonatation, ainsi que la relation entre ce seuil et l'initiation effective de la corrosion.

Remerciements.

Les auteurs souhaitent adresser leurs remerciements à Météo-France pour avoir fourni les projections de données climatiques utilisées dans cette étude, ainsi que Commissariat à


Emilio Bastidas-Arteaga

Mark G Stewart

Cost-Effectiveness of Climate Change Adaptation Strategies for Existing Coastal Reinforced Concrete Structures

Keywords: Chloride ingress, corrosion, climate change, adaptation, existing structures

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Introduction

There exists environmental an operational actions that affect performance, serviceability and safety of reinforced concrete (RC) structures. Among these actions, chloride ingress into concrete leads to: corrosion initiation, loss of cross-sectional area of reinforcing steel, cover cracking and spalling, and loss of concrete-steel bond. Consequently, the interaction of these deterioration consequences with service loading could reduce operational life of RC structures. Experimental evidence and numerical studies indicate that chloride ingress and corrosion propagation are highly influenced by weather conditions in the surrounding environment [START_REF] Bastidas-Arteaga | A comprehensive probabilistic model of chloride ingress in unsaturated concrete[END_REF]. Therefore, a potentially important factor for asset management is the possible influence of climate change. Since structures have been designed against past climate, structural design and maintenance should be adapted to these new environmental conditions.

The present paper will focus on the assessment of the costs and benefits of a climate adaptation measure (increase in design cover) for existing RC structures in France. The Benefit-to-Cost Ratio (BCR) is selected for comparing the cost-effectiveness of adaptation strategies because it seems to be a metric that government and policy makers are familiar with. Although the paper focuses only on one adaptation strategy and specific places, it provides a methodology for the assessment of the costeffectiveness of climate change adaptation strategies for existing structures that could be extended to study other adaptation strategies or deterioration processes worldwide.

Climate Change Effects and Modelling

The IPCC Fifth Assessment Report will use Representative Concentration Pathways (RCPs) that include a mitigation scenario leading to a low forcing level (RCP 2.6), two medium stabilization scenarios (RCP 4.5/RCP 6) and one high baseline emission scenario (RCP 8.5) [START_REF] Moss | The next generation of scenarios for climate change research and assessment[END_REF]. This study will cover RCP 8.5 and RCP 4.5 scenarios representing high and medium emission scenarios, respectively.

The economic assessment of adaptation measures will be dependent on timedependent changes in environmental parameters (temperature, relative humidity (RH)) that are site-specific. This work will focus on the study of the effects of climate change on two port locations in France: Saint-Nazaire and Marseille. These cities correspond to different types of climate. Saint-Nazaire is close to the Atlantic Ocean in the Northern part of the country and has a temperate oceanic climate. Marseille is placed in the South-East on the Mediterranean coast and has a Mediterranean climate rather hot and dry.

The overall impact of climate change on the future weather of the selected locations was estimated by using data computed by the French general circulation model CNRM-CM5. Figure 1 presents the yearly projections of temperature and RH for Saint-Nazaire and Marseille for the selected climate change scenarios (RCP 4.5 and RCP 8.5) since 2005. By comparing climate (before 2005) in both cities, it is noted that Marseille is hotter and dryer than Saint-Nazaire. Climate change projections announce mainly temperature increase without significant changes in RH for both cities until the end of the next century. By comparing mean temperatures over the periods (2001-2010) and (2091-2100) for both places, it was found that climate change could increase temperature by approximately 1.5ºC and 3.5ºC for RCP 4.5 and RCP 8.5 scenarios, respectively. Although climate change effects are relatively similar for both cities, the kinematics of chloride ingress and corrosion propagation could be affected by the climate specific to each place.

Climate projections are subject to considerable uncertainty, and depend on CO 2 emission scenarios and accuracy of general circulation models. A comprehensive model of weather (RH and temperature) should be integrated with deterioration models to assess the effects of a changing climate. This study considers a simplified stochastic approach for modelling climate [START_REF] Bastidas-Arteaga | Influence of global warming on durability of corroding RC structures: A probabilistic approach[END_REF][START_REF] Bastidas-Arteaga | A comprehensive probabilistic model of chloride ingress in unsaturated concrete[END_REF].

Deterioration Modelling

Deterioration modelling allows estimating the effects of chloride ingress with regard to serviceability or ultimate limit states. Ultimate limit states are highly dependent on both, geometrical characteristics (cross-sectional dimensions, span length, etc.) and loading (dead, live, seismic, etc.). Therefore, to generalise the results, this work focuses on a serviceability limit state in which the cost-effectiveness of adaptation measures is evaluated in terms of its effect on the time to corrosion damage of the concrete cover (severe cracking or spalling). Corrosion-induced cover cracking and damage occurs on the concrete surface above and parallel to the rebars. The time to corrosion damage, (severe cracking or spalling), T sp is thus obtained as the sum of three stages: (i) corrosion initiation (T i ); (ii) crack initiation (T 1st , time to first cracking -hairline crack of 0.05 mm width), and; (iii) crack propagation (T sev , time for crack to develop from crack initiation to a limit crack width, w lim ) -i.e., T sp =T i +T 1st +T sev . After corrosion initiation, the kinematics of T 1st and T sev is controlled by corrosion propagation.

The time to corrosion initiation, T i , is estimated by comparing the chloride concentration at the cover depth, c t , with a threshold concentration for corrosion initiation C th . The adopted chloride ingress model considers the interaction between three physical processes: chloride ingress, moisture diffusion and heat transfer [START_REF] Bastidas-Arteaga | A comprehensive probabilistic model of chloride ingress in unsaturated concrete[END_REF].

After corrosion initiation, the diameter reduction of reinforcing bars induced by corrosion can be estimated in terms of a change in the volumetric rate by using Faraday's law. The residual diameter of the reinforcing bar at time t is mainly dependent on the corrosion rate i corr . Given the complexity of the corrosion process, i corr depends on many factors such as concrete pH and availability of oxygen, and water in the corrosion cell. This study considers a time-variant corrosion rate model that takes into account the effect of temperature changes (Duracrete 2000b;Duracrete 2000a).

The time to crack initiation, T 1st , is based on the model by El Maaddawy & Soudki (2007). The time to severe cracking, T ser , referred to herein is the time when concrete cover cracking reaches a limit crack width of 1 mm and is estimated by using the model proposed by [START_REF] Mullard | Corrosion-Induced Cover Cracking: New Test Data and Predictive Models[END_REF]

Repair and Adaptation Strategies for Existing Structures

The repair strategy is often defined by taking into account various criteria such as: remaining lifetime, extent of damage, costs, etc. Probabilistic modelling of deterioration can be used to: (i) determine the remaining lifetime, (ii) calculate the extent of damage and (iii) optimise maintenance costs. However, for existing structures, probabilistic modelling should also account for the evolution in time of design standards, construction technologies, repair materials, etc. Under a changing climate, the repair strategy could be combined with a climate adaptation strategy to account for these new environmental conditions.

Damage Risks and Repair Strategy

The time-dependent damage risks of the repaired material will not be the same as the original material due to changed temperature and humidity at the time of repair (i.e. when the concrete is new). Hence, the damage risk for repaired concrete exposed to the environment for the first time at time of repair, will change depending on the new climatic conditions and time of repairs:

p si (iΔt,t) = Pr t ≥ T sp,i ⎡ ⎣ ⎤ ⎦ (1)
where T sp,i is the time to severe cracking when new concrete is exposed to the environment for the first time after repair and Δt is the length of the inspection interval.

A patch repair is the most common technique to repair corrosion damage in RC structures -e.g., [START_REF] Bre | Residual Life Models for Concrete Repair -Assessment of the Concrete Repair Process[END_REF]. For a patch repair, the concrete cover is typically removed to approximately 25 mm past the steel bars (which are then cleaned of corrosion products) and a repair material is installed. The maintenance strategy assumes that: • concrete is inspected at time intervals of Δt; • patch repair is carried out immediately after corrosion damage has been discovered at time of i th inspection at time iΔt; • patch repair includes an updating to the current design standard (increase of concrete cover); • damage limit state exceedance results in entire RC surface being repaired; • repair could improve durability performance of the structure when there is an updating of cover requirements before repair. However, for simplicity, it is supposed that the repair material has the same characteristics than the construction material; • damage may re-occur during the remaining service life of the structure, i.e., multiple repairs may be needed.

Evolution of Design Standards in France

Construction standards provide design recommendations to account, in a simplified way, for uncertainties related to material properties, models, loading, geometry, etc. Advances in understanding the behaviour of materials and physical phenomena and practical experience imply evolution of construction standards. In the case of RC structures subject to chloride ingress, Figure 2 presents the evolution in time of the minimum concrete cover recommended by design standards. These standards were published as circulars of the official diary in France. The circular of the 20 th Oct. 1906 recommended a minimum concrete cover varying between 15 and 20 mm for the main reinforcement without distinction of the kind of exposure. In 1934, a new circular recommended 35 mm cover for structures close to the sea and 20 mm for structures in land. Concrete cover was increased to 40 mm and 50 mm in 1664 and 1992, respectively for structures close to the sea. Finally, the Eurocode (European standard 2004), which is mandatory after 2010 in France, suggests concrete covers for different exposure conditions. For example, there are three exposure zones for marine structures: atmospheric XS1, submerged XS2 and splash and tidal XS3. Figure 2 plots the concrete cover for a XS3 exposure (55 mm).

Cost Benefit Analysis of Existing Structures

Costs and benefits may occur at different times so in order to obtain consistent results it is necessary for all costs and benefits to be discounted to a present value. In the present study, costs and benefits of existing structures are measured from the time of the cost benefit assessment. If an existing structure is built in the calendar year t construct , and if it is assumed that corrosion damage is always detected when the structure is inspected, then the expected damage cost measured from year of assessment t assess to end of service life T t , is E damage (T t ) is:

E damage T t ( ) = ΔP s,i C damage 1+ r ( ) iΔt-t assess i=1 T t /Δt ∑ with iΔt > t assess -t construct , t construct < t assess (2)
where T t is the service life (typically T t =100 years), n is the number of damage incidents, i is the number of inspection, ΔP s,i is the probability of damage incident between the (i -1) th and i th inspections which is a function of time since last repair which is turn is affected by damage risks p si (iΔt,t).

The risk reduction caused by an adaptation measure is thus:

ΔR T t ( ) = E damage-BAU T t ( ) -E damage-adaptation T t ( ) E damage-BAU T t ( ) (3)
where E damage-BAU (T t ) and E damage-adaptation (T t ) are the cumulative expected damage cost (economic risk) for no adaptation measures (business as usual BAU or existing practice) and adaptation measures, respectively. If an adaptation measure is effective then E damage-adaptation (T t ) will be significantly lower than E damage-BAU (T t ) resulting in high risk reduction ΔR(T t ).

The cost of adaptation, in this case, additional repair costs associated with increased cover, will occur at the same time as the damage (repair) costs are incurred. It follows that the expected cost of adaptation is directly proportional to damage costs

E adapt (T t ) = ΔP s,i C adapt (1+ r) iΔt-t assess i=1 T t /Δt ∑ with iΔt > t adapt -t construct , t construct < t assess (4)
where C adapt is the cost of adaptation measures that reduces risk by ΔR.

Two criteria will be used to assess the cost-effectiveness of adaptation strategies: (i) Benefit-to-cost ratio or BCR and (ii) Probability of cost-effectiveness or Pr(BCR>1). The 'benefit' of an adaptation measure is the reduction in damages associated with the adaptation strategy, and the 'cost' is the cost of the adaptation strategy. The benefit-to-cost ratio BCR(T t ) is:

BCR T t ( ) = E damage-BAU T t ( ) ΔR T t ( ) E adapt (T t ) (5)
where E damage-BAU (T t ) is the cumulative expected damage cost (economic risk) for no adaptation measures (i.e, 'business as usual' or 'do nothing'). All costs are discounted to present values. Note that the additional cost of repair for concrete with a higher cover is treated herein as an adaptation cost, and not as a reduced benefit. Clearly, an adaptation measure that results in a benefit-to-cost ratio exceeding unity is a costeffective adaptation measure.

The analysis assumes that many input variables are random variables (see Table III) and so the output of the analysis (BCR) is also variable. This allows the probability that an adaptation measure is cost-effective Pr(BCR>1) to be calculated by using Monte-Carlo simulation.

Cost of Damage (C damage )

The cost of repair or replacement and associated user losses, etc. are considerable and for some structures user losses are often much greater than direct repair, replacement and maintenance costs. User losses and other user disruption costs are site and structure specific, but for many RC structures such costs will be minimised if the RC element to be repaired is an external structural member such as walls, columns or facade panels. This study considers costs estimated for the repair of RC slabs and beams of the Agri-foodstuffs terminal of the Nantes Saint-Nazaire Port (Srifi 2012) C damage =323€/m 2 . This value considers costs related to: studies, site installation, scaffolding, demolition, repair, operating loss, and other costs. The repair consisted of removing and rebuilding cracked/chloride polluted concrete cover between 4 and 8 cm for slabs and beams without replacing corroded bars.

Cost of Adaptation (C adapt )

The baseline case for construction cost per unit volume (C cv ) including forms, concrete, reinforcement, finishing and labour is approximately 490-850€/m 3 , 910-1010€/m 3 and 780-1560€/m 3 for RC slabs (4.6-7.6 m span), RC beams (3.0-7.6 m span) and RC columns (300 mm × 300 mm to 900 mm × 900 mm), respectively (RSMeans 2012). These costs will be therefore used to estimate the costs of the two adaptation strategies.

It is assumed that an increase in design cover would increase cost of forms, concrete, reinforcement, finishing and labour by an amount proportional to the extra volume of concrete needed. Since C damage units are €/m 2 of surface area, but C cv is given as per unit volume, then cost of construction (C c ) and C adapt should be converted to cost per surface area exposed to deterioration, and so is corrected for structural member dimension such as slab depth or beam or column width (D).

Table I presents the adaptation costs for various structural elements (per mm of extra cover). This table also presents the adaptation costs for 5 and 10 mm increase in extra cover. Clearly, adaptation costs are higher for a square column if cover is increased on all four faces of a square RC column, and damage can occur on all four faces.

Illustrative Example

Problem Description

This example will illustrate the probabilistic assessment of the cost-effectiveness of adaptation strategies for existing RC structures placed in two cities in France (Saint-Nazaire and Marseille) under a splash and tidal exposure. Table II describes the design cover according to the recommendations of French standards for structures built between 1970 and 2010 (Figure 2). For structures built in 2010, the cover was selected for a splash and tidal zone (XS3 exposure (European standard 2004)) and rebar a diameter of 16 mm. This paper also considers that the same concrete was used for the construction and repair of all the structures. This concrete has a characteristic compressive strength, f' ck = 35 MPa, as recommended by the Eurocode 2 for XS3 exposure (European standard 2004).

Other assumptions are summarised as follows: (i) the structural lifetime is T t =100 years, (ii) the limit crack width for repair is w lim =1 mm, (iii) the environmental chloride concentration, C env , corresponds to a XS3 exposure, (iv) all structural components will be subject to the same environmental conditions, (v) the chloride ingress is one-dimensional, (vi) the adaptation strategy consist of increasing concrete cover by 5 or 10 mm with respect to standard recommendations, (vii) the time for assessment of costs is t assess = 2013, (viii) the discounting rate is 4%. The probabilistic models used to estimate damage probabilities (p s ) are presented in Table III. It is assumed that all the random variables are statistically independent. Monte Carlo simulations were used for the assessment of damage probabilities and the propagation of uncertainties throughout the cost-benefit analysis.

MPa

normal a 4600(f c ) 0.5 0.12 a truncated at 0, b truncated at 10mm, c f c =1.162f c (28)

Results

Damage probabilities and climate change effects

Figure 3a presents the time-dependent probability of severe cracking for the RCP 4.5 climate change scenario and structures built under different construction standards in Saint-Nazaire and Marseille. Although the concrete properties and cover are the same for both cities, probabilities of severe cracking are larger for structures built in Saint-Nazaire. As indicated in Section 2, RH is about 8% larger in Saint-Nazaire than Marseille by increasing water content in the capillary pores and chloride diffusion rate. This higher RH will therefore shorten the time to corrosion initiation by increasing the probability of severe cracking. It is also observed the effects of the evolution of constructions standards that, for a given time after construction, decrease the probabilities of damage. These results indicate that although increasing design cover is an effective protection for reducing damage induced by chloride ingress, the effectiveness of this measure depends on specific exposure conditions.

For Marseille, climate change predictions announce increases of temperature of 1.8 and 3.5ºC by 2100 with respect to year 2000 levels for the RCP 4.5 and RCP 8.5 climate change scenarios, respectively. Figure 3b shows the effects of these climate change scenarios on the probability of severe cracking. As expected, probabilities of severe cracking are larger for RCP 8.5 exposure because higher temperatures accelerate chloride ingress and corrosion propagation [START_REF] Bastidas-Arteaga | A comprehensive probabilistic model of chloride ingress in unsaturated concrete[END_REF]. The effects of the RCP 8.5 scenario are larger for recent structures because the differences in temperatures between both climate change scenarios announced by general circulation models increase after 2050 Figure 1. As a consequence, for structures built in 1970 the difference of temperature between both climate change scenarios is about 0.7 ºC (in 2070) whereas for recent structures (built in 2010), this difference is 1.7ºC (in 2110). From an engineering point of view, RCP 8.5 and RCP 4.5 climate change scenarios could be interpreted respectively as upper of lower bounds for carrying out sensitivity studies. This point will be illustrated later in the assessment of the cost effectiveness of adaptation measures. is highly dependent on both the location and the type of structural component. The mean BCR is lower for Marseille and small structural components. For most part of structural components in Marseille the mean BCR is lower than 1 indicating that the adaptation strategies are not cost-effective. This means that, for the studied material, current design cover (55 mm) is cost-efficient for Marseille. On the opposite, adaptation strategies are cost-effective for all components in Saint-Nazaire. Thus, recommendations of current standards and adaptation measures could be more or less adapted to local climate conditions. It is also noted that the mean BCR decreases for small structural components for which the adaptation cost is higher (e.g., Table I). For both locations, increasing extra cover by 10 mm is less cost-effective. Even if risk reduction ΔR is larger for Δc adapt =10 mm, the costs associated to this adaptation strategy are larger by reducing the mean BCR. Thus, it is possible to conclude that the mean BCR for the whole structure could be maximised by performing different actions for individual components: (i) optimising the extra cover, (ii) considering different types of adaptation strategies, and/or (iii) doing noting. The mean BCR is also influenced by the construction year. To explain this relationship, Figure 5 presents the mean BCR as a function of the construction year for slabs built in Saint-Nazaire. The adaptation time considered in this results is t adapt =2020. It is noted that the BCR is lower than one for the older structures and increases for recent ones. A BCR<1 implies that the adaptation measure is not cost effective for old structures and that the standards recommendations are most cost effective during the structural lifetime. The increment of BCR is due, on the one hand, to the increase of concrete cover recommended by the standards and/or considered by the adaptation measures. This means that larger concrete cover is more convenient for this kind of exposure. On the other hand, the increment of BCR is also related to the increase of climate change effects on deterioration rates that justify the implementation of adaptation measures. As mentioned in previous results, the adaptation strategy Δc adapt =10 mm is less cost-effective for all adaptation years. The following results will therefore focus on the repair strategy Δc adapt =5 mm. Figure 5 also indicates the effects of the climate change scenario. It is noted that higher mean BCR are expected for the RCP 8.5 scenario that announces more important changes with respect to actual climate. The differences between results for both scenarios are larger for recent structures because they will be exposed to the largest climate variations that are announced after 2050 (Figure 1). These climate variations will induce more corrosion damage by increasing the cost-effectiveness of adaptation strategies. Figure 6 presents the effect of the adaptation year on the mean BCR for slabs (D=300mm) built at several years in Saint-Nazaire for Δc adapt =5 mm and the RCP 4.5 scenario. It is noted that both the mean BRC and the Pr(BCR>1) decrease when the adaptation year is close to the end of the structural lifetime. There is a year after which the mean BCR is lower that 1 indicating that investments are not cost-effective after given times. These results could be used by an owner/stakeholder to evaluate the benefits and the risks of implementing adaptation strategies at various years. For example, it is observed that mean BCR and Pr(BCR>1) are small for older structures and therefore the owner/stakeholder could prioritise investments in adaptation measures for new structures. These curves could be also used to evaluate the impact of the adaptation year. For example, for structures built in 2000, if the owner/stakeholder decides to postpone the adaptation actions until 2040 the mean BCR is about 2.5 which is still interesting. However, the Pr(BCR>1) for this adaptation time is less than 0.3 indicating that the risks of having no benefits are larger.

Conclusions

This paper focused on climate adaptation for existing RC structures built at different years (and therefore under different durability standards), and subject to two different types of climate in France. The results indicate that although increasing design cover is an effective protection for reducing damage induced by chloride ingress, the effectiveness of this measure depends on specific exposure conditions, the construction and adaptation times.

Figure 1 .

 1 Figure 1. Yearly temperature and relative humidity predictions for Saint-Nazaire and Marseille.

Figure 2 .

 2 Figure 2. Recommended concrete cover and adaptation measures for RC structures subjected to chloride ingress in a splash and tidal zone.

Figure 3 .

 3 Figure 3. Probability of severe cracking for: (a) structures built in Saint-Nazaire and Marseille under the RCP 4.5 scenario, and (b) structures built in Marseille under RCP 4.5 and RCP 8.5 scenarios.

Figure 4 .

 4 Figure 4. Mean BCR for structural components in Marseille and Saint-Nazaire under a RCP 4.5 climate change scenario.

Figure 5 .

 5 Figure 5. Mean BCR for slabs (D=300mm) built in several years in Saint-Nazaire and tadapt=2020.

Figure 6 .

 6 Figure 6. Effect of the adaptation year on the mean BCR and Pr(BCR>1) for slabs (D=300mm) built at several years in Saint-Nazaire, RCP 4.5 scenario and Δcadapt=5 mm.

  that accounts for the effect of concrete confinement. The times of crack initiation and propagation depend on the corrosion They are also dependent on concrete strength -i.e., tensile concrete strength, f t , and elastic modulus of concrete E c . These parameters are computed in terms of the characteristic compressive strength, f ck .

	25 rate.	RCP 4.5				0.85				RCP 4.5
	Temperature (ºC)	15 20	RCP 8.5 Marseille			Relative humidity	0.7 0.75 0.8	St-Nazaire		RCP 8.5
									Marseille
		10 1950	1980 St-Nazaire	2010 Time (yr) 2040	2070	2100	0.65 1950	1980	2010 Time (yr) 2040	2070	2100

Table I .

 I Adaptation costs for various structural elements.

	Structural element D (mm)	C adapt	a (€/m 2 ) 5 mm increase (€/m 2 ) 10 mm increase (€/m 2 )
	Slabs	100	0.85	4.23	8.45
	Slabs	300	0.49	2.44	4.88
	Beams	200 to 800 0.98	4.88	9.75
	Sq. columns	300	1.56	7.80	15.60
	Sq. columns	600	1.01	5.01	9.75
	a Per mm of extra cover

Table III .

 III Probabilistic models of the random variables. (Bastidas-Arteaga & Schoefs 2012; Bastidas-

			Arteaga et al. 2013)
	Variable			Units	Distribution	Mean	COV
	Reference chloride diffusion coefficient, D c,ref	m 2 /s	log-normal	3×10 -11	0.20
	Environmental chloride concentration, C env	kg/m 3	log-normal	7.35	0.20
	Concentration threshold for corrosion initiation, C th wt% cem. normal a	0.5	0.20
	Cover thickness, c t			mm	normal b	Table II	0.25
	Reference humidity diffusion coefficient, D h,ref	m 2 /s	log-normal	3×10 -10	0.20
	Thermal conductivity of concrete, λ	W/(m°C) beta on [1.4;3.6] 2.5	0.20
	Concrete specific heat capacity, c q	J/(kg°C) beta on [840;1170] 1000	0.10
	Density of concrete, ρ c			kg/m 3	normal a	2400	0.04
	Reference corrosion rate, i corr-20		µA/cm 2 log-normal	6.035	0.57
	28 day concrete compressive strength, f c (28)	MPa	normal a	1.3(f' ck )	0.18
	Concrete compressive strength, f t	c	MPa	normal a	0.53(f c ) 0.5 0.13
	Concrete elastic modulus, E c	c

Acknowledgements

The support of the projects PHC Fasic 2013 (30490UL), CAEx (Climate Adaptation Engineering for Extreme Events Cluster) and Coselmar (Compréhension des Socio-Ecosystèmes Littoraux et Marins pour l'Amélioration de la Valorisation des Ressources Marines, la Prévention et la Gestion des Risques) is gratefully acknowledged.