Claudio Vitari

Marc Humbert

Jean-Philippe Rennard

Keywords: Systèmes d'information, classements des revues, communauté francophone, scientométrie Information Systems, journal ranking, french-speaking community, scientometrics. Question à réponse

Face à ce qui est souvent présentée comme une crise d'identité du domaine des Systèmes d'information (SI) et en accord avec Hirsheim et Klein (2003), nous pensons qu'un panorama international des publications faisant ressortir les spécificités « locales » peut contribuer à une évolution favorable. A l'intérieur de la communauté francophone, une telle analyse est nécessaire pour évaluer les revues du domaine et leurs classements de manière à avoir une idée de la production des chercheurs francophones. Les processus de publication (où et comment ?) sont des composants fondamentaux de l'identité de cette communauté francophone, car ils reflètent ses systèmes de valeurs, ses paradigmes, ses pratiques culturelles, ses systèmes de valorisation, sa structure d'organisation et ses aspirations.

Cet article analyse les résultats d'une étude scientométrique conduite sur les revues en Systèmes d'information, ciblant la communauté académique francophone. Sans surprise, Management Information Systems Quarterly (MISQ) qui est considérée comme la revue plus prestigieuse dans la communauté mondiale des SI, apparaît également en tête dans la communauté francophone. Au-delà, cette étude nous permet d'identifier et classer les revues les plus prestigieuses aux yeux des auteurs francophones. Elle montre également la forte polarisation des chercheurs français qui, à la différence de leurs collègues québécois, publient massivement dans SIM ou plus particulièrement dans des revues ayant ou ayant eu des éditeurs en chef européens.

Introduction

On rapporte souvent que le domaine des Systèmes d'information traverse une crise d'identité et se trouve à un point critique de son évolution (Agarwal et Lucas, 2005 ;Hevner et Chatterjee, 2010). Dans ce contexte, il nous a semblé pertinent de conduire une analyse réflexive qui, à travers une étude scientométrique, pourrait contribuer tant à sa connaissance qu'à son développement futur [START_REF] Hirschheim | Crisis in the IS field? A critical reflection of the state of the discipline[END_REF]. La scientométrie peut être définie comme l'étude quantitative de la recherche [START_REF] Davis | ISSI-2001 in Australia, July 2001: A report of the 8th International Conference on Scientometrics and Informetrics[END_REF]Noyer, 1995 ;Polanco, 1998), en s'intéressant au « où » et au « comment » de la publication. En d'autres termes, c'est tout simplement l'étude scientifique du processus scientifique. L'analyse des citations, la méta-analyse des publications et les études d'opinion sont des exemples de méthodes scientifiques couramment employées en scientométrie.

Si en langue anglaise, la communauté internationale des SI publie régulièrement des recherches sur les classements (Lowry, Romans et Curtis, 2004 ;[START_REF] Rainer | EXAMINING DIFFERENCES ACROSS JOURNAL RANKINGS[END_REF], force est de constater que les travaux sur les sous-communautés de la discipline SI sont rares. A l'heure où la mondialisation n'épargne naturellement pas le domaine des SI, le monde académique a besoin d'une vision claire des particularismes locaux. L'observation des différences d'opinions ou de perceptions suivant la langue peut permettre de mettre en évidence l'importance des facteurs culturels dans la recherche : le système de valeurs, les paradigmes, les systèmes de récompenses ou les aspirations des membres de la communauté.

Dans la communauté francophone on peut citer quelques recherches sur ses propres spécificités [START_REF] Peaucelle | La recherche française en systèmes d'information, comparaison avec les États-Unis[END_REF][START_REF] Desq | La spécificité de la recherche francophone en systèmes d'information[END_REF][START_REF] Serenko | The State and Evolution of Information Systems Research in Canada: A Scientometric Analysis[END_REF], mais il n'y a jamais eu d'étude comparative générale par rapport au reste de la communauté mondiale.

Notons aussi que quelques institutions francophones proposent leurs propres classements (Centre National de la Recherche Scientifique -CNRS, Agence d'Evaluation de la Recherche et de l'Enseignement Supérieur-AERES…) mais leurs résultats hétérogènes et leurs méthodologies pas toujours très claires ne contribuent pas forcément au renforcement de l'identité de la discipline [START_REF] Pontille | Revues qui comptent, revues qu'on compte : produire des classements en économie et gestion[END_REF]. Le classement des revues scientifiques en sciences de gestion du CNRS « a vocation à servir de référence pour les chercheurs, les laboratoires et plus largement pour l'ensemble des institutions d'enseignement et de recherche en gestion […] les enjeux directs et indirects de cette classification des revues demeurent considérables, tant en termes quantitatifs qu'en termes qualitatifs (incitation à la publication, carrières des enseignants-chercheurs au sein des Grandes Ecoles et de l'Université, évaluation des laboratoires et équipes de recherche, rayonnement international, etc.) » (CNRS 2011). La liste des revues de l'AERES a été établie comme simple cadre indicatif d'appréciation de la qualité des travaux« des établissements d'enseignement supérieur et de recherche, des organismes de recherche, des unités de recherche, des formations et diplômes d'enseignement supérieur, ainsi que de la validation des procédures d'évaluation de leurs personnels » (AERES 2012). La liste des revues de l'AERES discrimine aussi entre les enseignantschercheurs produisant et non produisant, selon le nombre d'articles publiés dans des revues de cette liste. Au final, l'évaluation de l'AERES a un impact sur les financements publics pour la recherche et l'enseignement.

Travaux antérieurs et méthodologies associées

La recherche scientométrique s'effectue en général à partir de méta-analyses et d'enquêtes. Certains chercheurs estiment que les méta-analyses des publications, qui sont basées sur des données empiriques extraites des publications scientifiques, sont, par nature, plus objectives et précises que les études basées sur des jugements d'experts. On peut citer les travaux récents de Clark, Warren et Au (2007) ; Karuga, Lowry et Richardson (2007) ; Lewis, Templeton et Xin (2007) et Truex, Cuellar et Takeda (2009).

A côté des méta-analyses des publications, les enquêtes d'opinion sont également souvent utilisées pour évaluer le prestige des revues SI, comme l'ont fait dans les dernières années [START_REF] Mylonopolous | On site: global perceptions of IS journals[END_REF], [START_REF] Walstrom | Forums for information systems scholars[END_REF] et Lowry, Romans et Curtis (2004). Si elles souffrent de subjectivité, elles sont néanmoins fort utiles car les opinions sur le prestige des revues émises par les acteurs académiques des SI ont un impact significatif sur le domaine, elles contribuent à le façonner (Lowry, Romans et Curtis 2004). Il est clair que les chercheurs se forgent une opinion sur le prestige des publications de leurs collègues à partir du prestige perçu des revues qui les ont sélectionnées. Le prestige perçu des revues a de fait, un impact important sur les carrières académiques en influant les décisions de recrutement ou de titularisation mais également sur l'organisation de la recherche en général.

Nous nous proposons donc d'enrichir ces travaux de deux façons en combinant une enquête d'opinion et une méta-analyse des publications. En revanche dans cet article nous n'aborderons pas l'analyse des citations.

Enquête d'opinion

Méthodologie de l'enquête Notre enquête reprend en l'adaptant et en l'améliorant sur certains points, la méthodologie utilisée par Lowry, Romans et Curtis(2004). A partir d'une enquête scientométrique, nous avons cherché à étudier le prestige des revues en SI utilisées par la communauté francophone des enseignants-chercheurs du domaine.

Sur une population mondiale de chercheurs en SI d'environ 9000 individus (Lowry, Romans et Curtis 2004), nous avons cherché à cibler la communauté francophone partant de la liste de diffusion de l' Concernant les aspects démographiques et linguistiques, plus de 75% des répondants travaillent en France ; 6% travaillent au Canada ; le reste est réparti sur une quinzaine de pays. Parmi eux, 72% sont de nationalité française, 5% sont canadiens. Le reste est réparti sur 14 autres nationalités (dont un peu plus de 6% pour les pays du Maghreb). Environ 75% des répondants sont francophones de naissance.

Nous avons également demandé dans quelle mesure l'activité des répondants relève de la recherche, de l'enseignement et/ou du secteur professionnel. Plus de 60% des répondants sont à la fois enseignants et chercheurs. Moins de 4% sont essentiellement chercheurs, un peu plus de 4% sont essentiellement enseignants et environ 6% sont essentiellement des professionnels.

Résultats de l'enquête

Le Tableau 1 présente les résultats que nous avons obtenus pour les 10 premières revues.

Tableau 1 : Classements à partir de la question à réponse ouverte et à partir de la question à réponse sur liste prédéfinie

Méta-analyse des publications

Les résultats de l'enquête d'opinion sont complétés par une méta-analyse des publications, dont nous allons présenter la méthodologie, l'échantillon et les résultats. Pour les autres revues non spécialisées (il en restait donc 602), une série de requêtes a permis d'identifier les enregistrements en SI à partir des mots-clés définis par l'auteur de l'enregistrement ou par l'éditeur de la publication et des mots du titre de l'enregistrement. Les critères établis pour ces requêtes ont été définis de manière empirique, par une succession d'itérations à partir de l'analyse des résultats obtenus sur un échantillon aléatoire d'enregistrements. A chaque itération, nous vérifions si les résultats se limitaient bien à des enregistrements véritablement au coeur de la discipline des SI. Il est à noter que dans la définition des critères, les réponses obtenues à notre

Méthodologie de la méta-analyse

Articles d'auteurs dans des régions francophones

Tous les enregistrements de : JCR en management, économie ET sociologie, de SIM, de EJIS, de JSIS, de JAIS ET de ISJ Enregistrements en SI selon : la revue OU le titre OU les mots clés de l'auteur OU les mots clés de l'éditeur Objet d'étude questionnaire ont été une source d'inspiration (nous donnons en « annexe A »les critères retenus pour sélectionner un enregistrement sur les champs « mots-clefs de l'auteur », « mots-clefs de l'éditeur » et « titre »).

La base de données contient pour chaque article l'affiliation des auteurs. Nous avons pu ainsi identifier les auteurs affiliés à une organisation siégeant dans un pays francophone. La distinction entre pays francophones et les pays non francophones a été établie à partir de la page du site Wikipédia qui liste les pays francophones (http://fr.wikipedia.org/wiki/Pays_francophone). Nous avons retenu tous les pays où le français est l'unique langue officielle. Nous avons inclus aussi les états ou parties d'états où le français est co-officiel et parlé par la majorité de la population (la liste complète est en Annexe) Les États partiellement francophones, mais où le français n'est pas langue officielle ont été exclus.

Tous les enregistrements en SI correspondant à des auteurs affiliés dans des Etats où le français est langue officielle ont été passés en revue pour exclure les enregistrements en SI correspondant à des auteurs affiliés dans les régions où le français n'est pas la langue parlée par la majorité de la population.

Au final, nous avons exclu les quelques enregistrements n'ayant pas forme d'article, comme les revues d'ouvrage, les corrections, les lettres, les actualités, les biographies, les revues de logiciel informatique, les revues de matériel informatique, les résumés et les éditoriaux (Figure 1).

Figure 1: Représentation graphique de l'ensemble des enregistrements retenus comme objet d'étude

Résultats de la méta-analyse Après avoir sélectionné les articles en Systèmes d'Information écrits par les auteurs affiliés dans les pays francophones, nous avons exploré leur distribution par journal et par pays en regardant en détail les revues plus prestigieuses selon les classements obtenus précédemment.

Le tableau 3 ci-dessous présente une synthèse des résultats obtenus. Les détails sont disponibles en Annexe.

Le critère de décompte retenu est celui qui est le plus souvent utilisé en scientométrie, à savoir pour chaque pays, le nombre d'articles pour lesquels il y a eu au moins une participation d'un auteur ressortissant de ce pays. En conséquence, les totaux ne correspondent pas aux nombres totaux d'articles mais aux nombres totaux de ces participations.

Les colonnes du tableau correspondent aux 10 revues anglophones de notre sélection, au total obtenu pour ces 10 revues et à la revue SIM dans la dernière colonne.

Au niveau des pays, on trouve le décompte pour tous les pays francophones, pour les USA très net leader du classement général et pour le Royaume-Uni qui est le second à bonne distance des USA mais également largement devant le troisième. Les totaux pour les pays francophones et pour les pays européens sont également donnés.

Des résultats plus complets sont fournis en annexe : les décomptes pour tous les pays, le décompte pour l'ensemble des articles de SI référencés dans JCR et ne faisant pas partie du groupe des 11, les décomptes à partir des signatures, plutôt que par articles (Chaque co-auteur compte pour une signature supplémentaire même si le pays est identique). L'analyse factorielle fait apparaître trois regroupements.

JSIS JAIS ITM JIT ISJ

MIS

EJIS, JSIS, ISJ, JIT avec les pays européens

Les pays européens ont ainsi un profil de publications assez similaires et orienté vers EJIS, JSIS, ISJ et JIT. En plus des pays européens, nous retrouvons aussi l'Australie et la Nouvelle Zélande, peut-être pour leurs histoires et cultures proches de celles du Royaume Uni. Les revues, elles, partagent le fait d'avoir à l'origine, des éditeurs en chef qui étaient européens, notamment anglais. Pour certaines revues, l'affiliation des éditeurs reste encore aujourd'hui anglaise ou plus généralement européenne.

MISQ, ITM, JMIS, ISR, JAIS avec l'Amérique du nord

Les pays du continent nord-américains, Québec inclus, sont également proches entre eux et davantage tournés vers MISQ, ITM, JMIS, ISR et JAIS. Etats-Unis et Canada sont les pays d'affiliation de la grande majorité des auteurs dans toutes ces revues, avec une forte prépondérance des Etats-Unis. Cette prépondérance est surtout due à la taille de la population, les volumes sont en effet similaires si l'on raisonne en proportion de la population des deux états. Les éditeurs en chef sont et ont été américains pour les revues de ce groupe (avec quelques rares exceptions).

I&M et l'Asie

Les pays asiatiques, à l'exception de l'Australie et de la Nouvelle Zélande, sont proches de la revue I&M. Même si en valeur absolue la majorité des articles publiés en I&M est étasunienne (53%), les contributions Chinoises (Hong Kong inclus), Taiwanaises, Coréennes, Israéliennes et Singapouriennes sont importantes. Une possible raison de cette surreprésentation asiatique est l'affiliation (University of Hong Kong) de l'éditeur en chef (P.Y.K. Chau).

Tendances

Bien évidemment dans le temps les éditeurs ont changé, les affiliations des éditeurs et des auteurs aussi et il devient donc de plus en plus complexe d'expliquer les liens entre pays et journal. Néanmoins ces regroupements semblent être relativement stables dans le temps, car nous avons analysé spécifiquement les affiliations des auteurs dans toutes ces revues pour les articles publiés en 2010 et nous n'avons pas trouvé de bouleversements. Nous pouvons juste tracer quelques tendances générales. Nous constatons une baisse de la part d'auteurs affiliés en Europe et particulièrement au Royaume-Uni pour EJIS, JSIS, ISJ et JIT et donc une extension de l'internationalisation de ces revues. D'autre part, nous trouvons une augmentation de la part d'auteurs affiliés en Asie dans MISQ, ITM, JMIS, ISR, JAIS et I&M.

Discussions

Ces éléments convergent avec les résultats de l'enquête pour montrer que, pour les français plus encore que pour les francophones le tropisme envers les revues « proches » (par rapport aux affiliations des éditeurs en chef) est fort. La très forte présence du Québec dans les revues anglo-saxonnes montre que la barrière de la langue, mais aussi des réseaux locaux, est importante. La proximité géographique et culturelle reste un déterminant fort. Ceci est confirmé par la présence massive des pays européens dans EJIS, JIT, ISJ et JSIS qui ont eu ou qui ont des éditeurs en chef affiliés dans les pays européens.

France, Québec et francophonie

Nous avons observé de nombreux écarts entre France et Québec. Au niveau de l'enquête, le faible nombre de répondants québécois ne nous a pas permis de montrer une différence significative dans la perception du prestige des revues. Le fait que le nombre de québécois ayant participé à cette enquête soit faible, peut aussi être interprété comme un signe de leur éloignement. Leur participation au colloque de l'AIM 2010 de la Rochelle (où une version papier du questionnaire a circulé) a été faible (2 participants contre 119 français et 1 canadien anglophone) de même que leur participation à la composition du comité scientifique (on ne trouve que 2 membres affiliés au Québec contre 55 affilié en France et 1 affilié au Canada anglophone). Le comité de lecture est encore plus centré autour des affiliés en France, avec un seul québécois et aucun canadien anglophone.

Au niveau de la méta-analyse des publications, il apparaît que globalement, la francophonie est peu présente dans les 10 revues anglophones dominantes puisqu'elle ne représente que 2,73% des articles. A noter que le Québec, contribue pour plus de la moitié au score francophone et dépasse nettement la France alors qu'il est 8 fois moins peuplé.

Comme nous l'avons déjà signalé, les auteurs affiliés au Québec publient clairement plus dans MISQ, I&M et nettement moins dans EJIS et SIM. Il y a clairement une proximité importante entre le Québec, le reste du Canada et les Etats-Unis et des différences très sensibles entre le Québec et la France. Une recherche future pourrait interroger la force d'attraction de la francophonie dans la constitution d'une communauté de langue en SI.

SIM : la revue de référence de la francophonie?

Nos résultats permettent aussi de s'interroger sur l'atteinte de la mission de SIM : « Systèmes d'Information et Management (SIM) entend être la revue de référence de la francophonie concernant les systèmes d'information » (SIM 2012). Nous constatons que MISQ est la première revue dans les deux versions du classement. En revanche, SIM est classé deuxième sur les réponses à la question ouverte, mais SIM descend à la sixième place au moment du choix sur liste.

Les résultats de l'enquête montrent des différences intéressantes relativement au prestige de SIM selon une série d'indicateurs sociodémographique qu'on a pu mesurer : la nationalité, la langue maternelle, la langue courante de travail, le lieu d'obtention du dernier diplôme, le lieu courant du travail, la langue principale de lecture et la langue principale d'écriture. Ainsi, les répondants de nationalité française, de langue maternelle française, travaillant en français, travaillant en France, qui écrivent principalement en français et ayant obtenu leur dernier diplôme en France classent en moyenne, dans la question ouverte, SIM comme la deuxième revue la plus prestigieuse, après MISQ. Par contre, SIM perd en prestige pour les autres répondants et descend au moins à la cinquième position ou plus bas encore. D'autre part, l'analyse des auteurs des articles publiés dans SIM montre premièrement une prévalence d'auteurs affiliés en France par rapport aux autres pays francophones. Deuxièmement, nous retrouvons néanmoins une présence significative d'articles dont les auteurs sont affiliés, partiellement ou complètement, dans des régions non francophones, présence facilité, entre autres, par la possibilité de publier des articles en anglais. Nous trouvons, même si de manière anecdotique, des équipes affiliées entièrement à des pays non-francophones qui ont écrit en français et des équipes affiliées entièrement à des pays francophones qui ont écrit en anglais.

A partir de ces données, on peut conclure que la revue de référence de la francophonie concernant les systèmes d'information reste MISQ. Néanmoins SIM a très clairement une place essentielle pour les affiliés en France et pour les strictement francophones.

Conclusions

Nos résultats et nos discussions doivent d'abord être lu pour ce qu'ils sont. Ils sont menés à partir d'une enquête d'opinion et d'une analyse scientométrique dont les bases sont à relativiser avec des points de comparaison difficiles à trouver car décalés dans le temps. Ensuite notre enquête d'opinion ne reflète que celles d'une partie de la communauté avec des taux de réponses limités. Malgré ces limites fortes ce travail scientométrique a permis d'explorer à travers une méta-analyse et une étude d'opinion les revues de référence pour les acteurs principalement membres de l'AIM, c'est-à-dire celles qu'ils apprécient, celles qu'ils lisent et celles dans lesquels ils publient. L'analyse des citations, troisième méthode principale en scientométrie, n'a pas été appliquée mais des résultats intéressants pourraient émerger au sujet des relations entre communautés.

Cette étude apporte un éclairage utile à la réflexion de la communauté francophone face à des classements internationaux qui n'aident pas forcément au renforcement de l'identité de la discipline et des spécificités de la communauté francophone. Nous avons identifié les revues d'intérêt pour la communauté francophone d'enseignants-chercheurs en SI et nous avons rapporté un classement sur le prestige des revues en SI pour la communauté francophone.

Les résultats confirment que MIS Quarterly est, de façon nette, la revue la plus prestigieuse dans la communauté francophone. Elle l'est également, même si dans une moindre mesure, pour la communauté mondiale en SI (ISR est également très appréciée et EJIS jouit d'une très belle réputation). Si la tête de liste n'est pas remise en question quelques différences émergent pour la suite du classement. Notamment SIM est en 2ème place dans plusieurs classements concernant strictement la France et le français et dans certains classements de francophonie en général.

Nous nous interrogeons également sur la position du Québec dans la communauté francophone en SI étant donnée sa relativement faible contribution à la revue SIM et aux colloques de l'AIM et la proximité plus importante des publications québécoises en SI avec les publications du Canada anglophone plutôt que du reste de la francophonie. Quoi qu'il en soit, compte tenu du prestige et du volume des publications de la communauté du Canada francophone, il nous semble important pour les personnes en charge d'équipes de recherche, de pousser au développement des échanges avec cette partie du monde. Nul doute, au regard de ces résultats, que les chercheurs français, particulièrement les plus jeune d'entre eux, trouveraient avantage à des séjours et collaborations au Québec.

Nous montrons ensuite que SIM demeure une revue essentiellement française qui doit encore élargir sa légitimité à l'ensemble de la francophonie. SIM a un rôle essentiel de structuration de la communauté française au sein de laquelle elle est clairement une référence. Ceci est d'autant plus important que l'on peut penser qu'à cette dimension communautaire est associée une dimension culturelle. On retrouve quelque chose de similaire pour JIT qui accueille des articles écrits pour environ un tiers par des auteurs affiliés au Royaume Uni ou en Irlande. Avec depuis 2007 seulement 10% des auteurs en n'est plus le cas pour EJIS [START_REF] Rowe | Valuing worldwide diversity in a European spirit: being more critical and open[END_REF]. Ce lien entre pays et revue reste à explorer et pourra nous éclairer sur les raisons de ces affinités pour certaines revues et les avantages et inconvénients.

  Nous avons conduit notre méta-analyse sur les publications académiques en SI. La population de départ était constituée des 547.192 enregistrements, répertoriés jusqu'à la fin de l'année 2010 dans la base de données Journal of Citation Report (JCR) 1 en prenant en considération 610 revues (231 en management, 246 en économie, 133 en sociologie).. Nous avons ajouté SIM et EJIS qui étaient dans les premières cinq places dans leclassement issu de notre questionnaire et Journal of Strategic Information Systems (JSIS),Journal of the Association for Information Systems(JAIS) et Information Systems Journal (ISJ) qui font partie du Senior Scholars' Basket of Journal de l'Association for Information Systems, mais qui ne sont pas référencées dans JCR, afin d'assurer la couverture des principales revues académiques en SI, dans notre méta-analyse. Nous faisons l'hypothèse que notre population contient ainsi la majeure partie des articles publiés en Systèmes d'Information et de manière certaine, les articles publiés dans les revues plus prestigieuses.Dans le cas des revues spécialisées en systèmes d'information, nous avons décidé de conserver tous les articles sans opérer de sélection, mais encore fallait-il correctement identifier les revues en question. Pour cela, nous nous sommes basés sur la classification des revues proposée dans la base JCR qui distingue des sous-catégories pour chaque discipline. Nous avons retenu les revues référencées dans au moins une des catégories suivantes : « Computer Science, Information Systems », « Information Science & Library Science », « Computer Science, Interdisciplinary Applications », « Computer Science, Software Engineering ». Elles étaient au nombre de huit : Electronic Commerce Research and Applications(ECRA), I&M, Journal of Information Technology (JIT), JMIS, MISQ, ISR, Information Technology & Management (IT&M) et International Journal of Electronic Commerce (IJEC). L'analyse des présentations de ces revues réalisées par leurs éditeurs nous a conduità éliminer ECRA et IJEC définies comme multi-disciplinaires. Par contre, comme nous l'avons précisé auparavant, nous avons rajouté SIM, EJIS, JSIS, JAIS et ISJ qui ne sont pas dans la base JCR pour aboutir à un total de11 revues considérées comme étant 100% SI.

Figure 2 :

 2 Figure 2: Analyse factorielle. Le graphique correspond aux deux premiers axes factoriels qui totalisent 89% de la variance.

  Certaines institutions ont aussi créé leurs propres classements (Ecole Supérieure des Sciences Economiques et Commerciales -ESSEC Cergy, Haute Ecole de Commerce -HEC Paris…) ou combinent ensemble plusieurs classements (Université Laval -Québec) pour définir leurs règles de sélection, promotion et « tenure » Au vu des nombreux défis qui attendent notre communauté des SI, il nous a semblé opportun d'effectuer une étude scientométrique centrée sur la communauté francophone. Cette première étude exploratoire a pour objectifs :  D'identifier les revues considérées comme les plus prestigieuses pour la communauté francophone d'enseignants-chercheurs en Systèmes d'Information, d'en proposer un classement et de comparer ces résultats par rapport à la vision de la communauté internationale.  De faire une description par pays des publications en SI dans ces revues et d'analyser les publications des auteurs francophones par des comparaisons internes et externes.Pour atteindre nos objectifs, nous proposons une enquête sur le prestige perçu des revues en SI par le monde académique francophone, associée à une méta-analyse des publications. Après avoir présenté la méthodologie de l'enquête d'opinion, puis de la méta-analyse des publications, nous analyserons et discuterons leurs résultats.

  JMIS apparaissent bien dans les trois top 10 comme des incontournables. Le classement d'EJIS varie davantage puisqu'il prend la 3 eme place chez nous, et la 4 ème chez[START_REF] Peffers | Identifying and evaluating the universe of outlets for information systems research: Ranking the journals[END_REF] alors qu'elle n'est qu'à la 11 ème pourLowry, Romans et Curtis (2004). Le positionnement de SIM qui n'apparait pas dans le travailde Lowry, Romain et Curtis (2004), ni dans celuide Peffers et Ya (2003) montre l'importance des publications dans la langue locale. Classée à la deuxième place pour nous, la revue SIM est incontestablement une revue significative pour les chercheurs francophones malgré la pression des publications anglophones. Ces résultats sont en conformité avec les travaux sur l'importance de telles listes et leur pouvoir normatif[START_REF] Loos | National Research and International Competitiveness -An Antinomy?[END_REF]. La taille de l'échantillon ne nous permet pas de mettre en évidence des différences significatives dans la perception du prestige en fonction des listes. Il n'en reste pas moins que l'utilisation de listes est importante pour les répondants. Pour plus de 80% de ceux qui utilisent une liste, celle-ci a une influence forte ou très forte sur le choix des revues dans lesquels ils publient Si l'on s'intéresse à l'influence des listes sur les choix de lecture, on constate qu'elles sont importantes ou très importantes pour 50% des répondants ; elles sont secondaires (influence faible ou très faible) pour environ un quart des répondants. Ceci confirme que les supports de lecture ne sont pas forcément les mêmes que les supports d'écriture. La pertinence de SIM et des quatre premières revues classées par le CNRS dans nos classements, (2) l'éminence de SIM en prestige spontané et (3) la lecture principalement de revues anglophones, mais la publication principalement dans des revues francophones montrent que, concernant les auteurs francophones, la recherche en SI conserve un certain tropisme « local. »

		Notre classement		Classement de Lowry 2004	Classement de Peffers et Ya 2003
	1	Management Information Systems Quarterly (MISQ)	(MISQ) Management Information Systems Quarterly	Information Systems Research (ISR)
	2	Systèmes Management (SIM) d'Information	et	Information Systems Research (ISR)	Management Information Systems Quarterly (MISQ)
	3	European Journal of Information Systems (EJIS)	Journal of Management Information Systems (JMIS)	Journal of Management Information Systems (JMIS)
	4	Information Systems Research (ISR)		Management Science (MS)	European Journal of Information Systems (EJIS)
	5	Journal of Management Information Systems (JMIS)	Communication of Association of Computing Machinery (CACM)	Decision Support Systems (DSS)
	6	Organization Science (OS)		Decision Sciences (DS)	Information & Management (I&M)
	7	Information & Management (I&M)		Decision Support Systems (DSS)	Information Systems Journal (ISJ)
	8	Data and Knowledge Engineering (D&KE)	Institute of Electrical and Electronics Engineers Transactions(IEEET)	Journal of the Association for Information Systems (JAIS)
	9	Decision Support Systems (DSS)		Information and Management (I&M)	International Journal of Electronic Commerce (IJEC)
	10	Management Science (MS)		Association of Computing Machinery Transactions (ACMT)	Information Systems (IS)
	Tableau 2 : Comparaison des trois classements

Une analyse comparative de ces deux classements fait apparaître dans les deux cas l'écrasante supériorité du prestige de Management Information Systems Quarterly (MISQ) qui précède largement le triplé :European Journal of Information Systems (EJIS), Information Systems Research (ISR), Journal of Management of Information Systems (JMIS). Les légères variations de classement observées pour ces 3 revues ne sont pas significatives. La différence observée sur le classement de la revue Systèmes d'Information et Management (SIM) est par contre très significative. Son excellente place en notoriété spontanée n'est pas confirmée dans le classement assisté pour lequel la « raison des classements anglo-saxons » a sans doute un poids plus important.

Si l'on compare nos résultats à ceux

de Lowry, Romans et Curtis (2004)

et

de Peffers et Ya (2003)

, on constate à la fois une forte convergence et une forte disparité (Tableau 2). MISQ, ISR, Au-delà du prestige en tant que tel, nous nous sommes intéressés aux éventuelles spécificités des supports tant de publication que de lecture.

Si l'on examine la langue de publication, on constate que notre échantillon est très orienté vers les publications francophones : près d'un tiers des répondants publient à plus de 80% en français et pour 50% des répondants, le français représente au moins 60% de leurs publications. Le français est marginal (moins de 20% des publications) pour seulement un petit quart des répondants.

Inversement, le français est secondaire dans les lectures : pour un peu plus de 40% des répondants, les lectures en français représentent moins de 20% de l'ensemble de leurs lectures académiques. Seuls 7% des répondants lisent très majoritairement (à plus de 80%) des articles en français et la part des lectures académiques en français dépasse 40% pour à peine le tiers des répondants.

Il en ressort une distinction claire entre supports de lectures et de publications. Notre échantillon lit principalement les revues internationales, mais publie d'abord en français.

Nous nous sommes également intéressés à l'utilisation de classements par les institutions d'origine des répondants. Les trois-quarts des répondants disent utiliser un classement. 30% des répondants n'utilisent que le classement CNRS et 18% n'utilisent que le classement AERES. Le classement CNRS est utilisé à des degrés divers par 56% des répondants ; l'AERES l'est qu'à hauteur de 31%.

Nos trois comparaisons (1) entre le classement

de Peffers et Ya (2003)

Lowry, Romans et Curtis (2004)

et le nôtre, (2) entre le prestige spontané et le prestige assisté et (3) entre les supports de lecture et de publication, montrent des convergences. (1)

  Une Analyse Factorielle des correspondances permet de visualiser assez facilement les aspects les plus marquants des relations entre pays et revues. Pour la réaliser, nous avons utilisé Les 10 revues anglophones (JSIS, JAIS, ITM, JIT, ISJ, MISQ, ISR, JMIS, I&M, EJIS) et les 18 premiers pays par rapport au total des articles : Royaume Uni (RU), Danemark (Da), Irlande (Ir), France (Fr) , Australie (Au), Nouvelle Zélande (NZ), Etats-Unis (EU),

	Canada Anglophone (Ca), Québec (Qu), Chine (Ch), Taiwan (Ta), Corée (Co), Israël (Is),
	Singapour (Si), Finlande (Fi), Pays Bas (Pb), Espagne (Es), Norvège (No). La revue SIM a
	été ajoutée comme illustration mais elle n'a pas été inclue dans l'analyse factorielle
	(Figure 2).
									JMI			To-
							Q	ISR	S	I&M EJIS	tal SIM
	Belgique fran-
	cophone	0	0	0	0	1	0	1	0	2	1	5	3
	Canada -Qué-
	bec	6	3	1	7	6	18	11	3	18	3	76	21
	France	7	2	0	5	3	5	2	6	4	21	55 193
	Suisse franco-phone	0	1	0	1	0	0	1	1	0	0	4	1
	Etats-Unis	106 179	43 104 117 329 279 283 642 243	232 5	11
	Royaume-Uni	95	9	1 179 123	13	4	5	47 279 755	0
	Total tous pays	392 296	71 518 413 517 405 421	121 9 884	513 6 260
	Total pays franco-
	phones	13	6	1	13	10	23	15	10	24	25 140 218
	Part pays franco-
	phones	3% 2% 1% 3% 2% 4% 4% 2% 2% 3% 3% 84%
	Total pays euro-péens	168	39	4 303 207	59	18	47 170 489	150 4 213
	Part pays euro-péens	43% 13% 6% 58% 50% 11% 4% 11% 14% 55% 29% 82%
	Tableau 3: Synthèse des résultats

  Les décomptes pour tous les pays de l'ensemble des « signatures » dans les articles de SI (y compris ceux de JCR ne faisant pas partie du groupe des 11). Chaque co-auteur d'un article compte pour une signature supplémentaire même si le pays est le identique.

	Belgique fran-cophone Belgique non francophone Lituanie Luxembourg Total tous pays Bénin Brésil Brunei Malaisie Malte Total pays fran-cophones Maroc Part pays fran-cophones Bulgarie Burkina Faso Mexique Namibie Total pays euro-péens Canada -Qué-bec Nigéria Norvège Part pays euro-péens	0 2 1 0 392 29 0 0 0 0 6 2 0 0 0 5 0 13 6 0 0 3% 2% 0 0 0 0 168 39 6 3 1 4 13 43% %	1 71 518 1 1 1 1 13 1 1% 3% 4 303 1 7 2 11 6% 58%	1 1 0 0 413 0 0 0 10 0 2% 0 0 207 6 11 50% 11% 517 23 4% 59 18 4	1 405 2 15 4% 18 11 1 4% 11% 14% 55% 2 1 4 2 1 421 121 884 9 1 1 1 2 11 24 25 3% 2% 3% 1 1 47 170 489 3 18 3 1 8 13	5 10 1 1 5136 260 3 0 7 1 9 0 141 218 1 1 27% 84% 1 0 1 0 0 1504 213 76 21 2 54 1 29% 82%	35 15 7 1 7298 12694 43 8 2 25 1 1 14 21 25 34 1 285 644 1 1 3 4% 5% 1 2 3 1 17 18 1 1 2410 4127 1 100 197 10 12 40 95 33% 33%
	Canada anglo-phone Nouvelle-Zé-lande		13 22 7 3	6	10 9	14 8	42 7	43 1	22 2	43 7	22 6	237 50	4	197 59	109
	Oman		0	0			0	1					1				1
	Ouganda												0		1		1
	Pakistan Pays-Bas Annexe C		15	1		29	11	7	3	10	36	30	0 142	1	1 262	1 405
	Pérou												0		1		1
	Philippines		0	0			0	1					1		1		2
	Pologne												0		10	10
	Portugal		0	0			1					3	4	1	27	32
	Qatar République tchèque Roumanie Afrique du Sud Royaume-Uni Algérie Allemagne		0 JSIS 2 0 95 9 7	JAIS ITM 0 0 1 179 7 5	0 2 123 JIT 17	ISJ 13 1 8	1 MISQ ISR JMIS I&M 2 0 0 7 4 5 47 279 6 7 15 10	1 0 0 2 EJIS 755 23	Total top1 0 16 105	16 SIM 6 4 943 6	1 16 autre s JCR Total gé-néral 37 57 6 1 1 1698 300 411
	Russie Arabie Saoudite Saint Martin Argentine Serbie et Mon-Australie Autriche ténégro Singapour Bahrein Slovaquie Bangladesh Slovénie Belgique franco-phone Sri-Lanka Belgique non fran-cophone Suède Bénin Suisse franco-Brésil Brunei phone Suisse non fran-Bulgarie Burkina Faso cophone Syrie Canada -Québec Taiwan Canada anglo-phone	0 18 10 0 0 49 0 0 0 1 0 3 6 3 0 1 2 0 7 1 0 0 0 10 1 1 22	0 17 0 2 0 0 0 0 0 0 5 1 35	0 1 2 7 1 6 1 4 1 1 10	0 1 109 3 3 1 3 10 0 2 0 0 12 8 16	0 43 6 14 0 1 1 4 0 0 0 10 2 20	29 2 9 1 24 1 54	2 16 14 1 2 1 2 3 16 5 50	1 6 1 39 3 3 6 88 34	7 37 8 25 2 2 17 1 1 6 1 34 6 66	3 1 0 0 76 2 141 0 6 2 0 2 34 4 17 1 1 8 114 31	9 383 24 1 2 6 26 1 11 1 1 1 126 338	10 1 2 93 18 15 6 1 70 16 30 49 274 4	6 13 9 1 336 2 43 235 4 18 44 21 36 1 1 104 23 21 2 48 1 124 1 388 307	15 9 719 67 2 4 56 62 1 34 1 3 1 299 649
	Tanzanie Chili Thailande Chine Chypre		3	0 0 12 0	3 21 0	1	1 0 8 1	0 19 0	22	18	1 37	5 94	0 4 23 1	9 255 2	1 1 4	16 289 7	1 8	26 544 9
	Tunisie Colombie Turquie Corée du Sud Costa Rica		0 0	0 0 12 1	8 0	1 11	0 0 14	4 0	11	1 10	5 5	3 72	0 10 13	5 160 1	27	5 268 37 5 1	5 428 2
	Croatie															8		8
	Vénézuela Danemark Yougoslavie Egypte Emirats Arabes Unis		0 0	0 7 0 0 1	7 0 0		0 16 0	25 0 1	4 1	2	2 1	2 1 1	2 24 1	88 2 2	8 2	68 10 8 1	158 10 2

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Annexe A

Critères retenus pour sélectionner un enregistrement sur les champs « mots-clefs de l'auteur », « mots-clefs de l'éditeur » et « titre »

Critères sur les champs « mots-clefs de l'auteur » et « mots-clefs de l'éditeur »

Critères sur le champ « Titre » Like "*computer*" Or Like "*information*" And Like "*system*" Or Like "*data*" And Like "*system*" Or Like "*knowledge*" And Like "*system*" Or Like "*information*" And Like "*technology*" Or Like "*Enterprise resource Planning*" Or "ERP" Or "IS" Or Like "*KMS*" Or Like "*electronic*" Or Like "* e-*" Or Like "e-*" Or "IT" Or "CRM" Or "XRM" Or "*data" And Like "*administration*" Or "Datamining" Or "EAI" Or "*data" And Like "*mining*" Or Like "data management" Or Like "*information processing*" Or "CAD" Or Like "*computer aided*" Or "GUI" Or "Data-mining" Like "*computer*" Or Like "*information*"And Like "*system*" Or Like "*data*"And Like "*system*" Or Like "*knowledge*"And Like "*system*" Or Like "*information*"And Like "*technology*" Or Like "*Enterprise resource Planning*" Or "ERP" Or Like "*KMS*" Or Like "*electronic*" Or Like "* e-*" Or Like "e-*" Or ="CRM" Or ="XRM" Or "*data" And Like "*administration*" Or "Datamining" Or "EAI" Or "*data" And Like "*mining*" Or Like "data management" Or Like "*information processing*" Or "CAD" Or Like "*computer aided*" Or "GUI" Or "Data-mining"

Annexe B

Les décomptes pour tous les pays de l'ensemble des articles de SI (y compris ceux de JCR ne faisant pas partie du groupe des 11). On compte les articles pour lesquels il y a eu au moins une participation d'un auteur ressortissant de ce pays.


Zeina Abu Aisheh
email: zeina.abu-aisheh@unicaen.fr

Sébastien Bougleux
email: sebastien.bougleux@unicaen.fr

Olivier Lézoray
email: olivier.lezoray@unicaen.fr

p-Laplacian regularization of signals on directed graphs

Keywords: Directed graphs, p-Laplacian, Graph signal, Regularization

teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

Introduction

With the development of new sensors, signals can now be generated from many different sources providing images, meshes, social or biological networks, to quote a few. These signals often have a structure much more irregular than a classical Euclidean grid but they can be represented by graphs [START_REF] Lézoray | Image Processing and Analysis with Graphs: Theory and Practice[END_REF]. When data vectors are associated with graph vertices, a so-called graph signal is obtained. The new research field of signal processing on graphs aims at extending the classical discrete signal processing tools to signals living on an underlying irregular graph (see [START_REF] Shuman | The emerging field of signal processing on graphs: Extending high-dimensional data analysis to networks and other irregular domains[END_REF] for a review) and one of its key ingredients is the graph Laplacian. Indeed, the graph Laplacian plays an important role in describing the structure of a graph signal from weights that measure the similarity between the vertices of the graph [START_REF] Chung | Spectral graph theory[END_REF]. Several definitions of the graph Laplacian have been considered so far for undirected graphs [START_REF] Von Luxburg | A tutorial on spectral clustering[END_REF]: the combinatorial Laplacian, the normalized Laplacian and the random-walk Laplacian. These Laplacians have become increasingly popular in graph signal processing [START_REF] Pang | Graph laplacian regularization for image denoising: Analysis in the continuous domain[END_REF][START_REF] Kheradmand | A general framework for regularized, similaritybased image restoration[END_REF][START_REF] Tremblay | Design of graph filters and filterbanks[END_REF] and machine learning [START_REF] Ng | On spectral clustering: Analysis and an algorithm[END_REF][START_REF] Von Luxburg | A tutorial on spectral clustering[END_REF]. Some extensions of the Laplacian have been also proposed for directed graphs [START_REF] Chung | Laplacians and the cheeger inequality for directed graphs[END_REF][START_REF] Bauer | Normalized graph laplacians for directed graphs[END_REF][START_REF] Hein | Graph laplacians and their convergence on random neighborhood graphs[END_REF]. A nonlinear extension of the Laplacian also exists that is called the p-Laplacian. This latter operator has been considered for undirected graphs and enables to recover analogues (when p = 2) of the combinatorial Laplacian [START_REF] Bougleux | Local and nonlocal discrete regularization on weighted graphs for image and mesh processing[END_REF][START_REF] Elmoataz | Nonlocal discrete regularization on weighted graphs: A framework for image and manifold processing[END_REF] and of the normalized Laplacian [START_REF] Zhou | Regularization on discrete spaces[END_REF]. Unfortunately there exists actually no formulation of the p-Laplacian for the general case of directed graphs and we propose in this paper three different formulations for the latter (i.e., combinatorial, normalized, and random-walk, similarly to the Laplacian on undirected graphs). Then, we consider the problem of p-Laplacian regularization of signals on directed graphs that minimizes a loss function plus a regularization term. To the best of our knowledge this is the first time that the use of the p-Laplacian on directed graphs is considered for graph signal regularization. Finally we show some results for the filtering of different graph signals.

Notations

We introduce in this section the notations that will be used in the paper. A graph represents a set of elements and a set of pairwise relationships between those elements [START_REF] Lézoray | Image Processing and Analysis with Graphs: Theory and Practice[END_REF]. The elements are called vertices and the relationships are called edges. Formally, a graph G [START_REF] Diestel | Graph Theory, 4th Edition[END_REF] is defined by the sets G = (V, E) in which E ⊆ V × V. We denote the ith vertex as v i ∈ V. Since each edge is a subset of two vertices, we write e ij = {v i , v j }. A graph is called directed when each edge e ij contains an ordering of the vertices. A directed edge from v j to v i will be denoted v j → v i . The edges of a graph can be weighted with a function denoted by w : E → R + . The adjacency matrix representation of directed graph is a |V| × |V| matrix W where W ij = w(v i , v j ) if v i → v j ∈ E and 0 otherwise. For undirected graphs the matrix W is symmetric and W T = W. This will not be the case in this paper since we consider directed graphs and if v i → v j ∈ E this will not necessarily imply that

v j → v i ∈ E or that w(v i , v j ) = w(v j , v i ). The out-degree of a node v i , d + (v i ), is equal to d + (v i ) = vi→vj ∈E w ij . The in-degree of a node v i , d -(v i ), is equal to d -(v i ) = vj →vi∈E w ji . Note that in an undirected graph, d + (v i ) = d -(v i ) , ∀v i ∈ V and is denoted d (v i ).
The out-degree matrix D + is a diagonal matrix with D +ii = d + (v i ), and similarly for D -. When the graph is undirected, one has D + = D -= D. For undirected graphs, several Laplacian formulation exist [START_REF] Von Luxburg | A tutorial on spectral clustering[END_REF]. The combinatorial Laplacian is the matrix

L = D -W. The normalized Laplacian is L = D -1/2 LD -1/2 = I -D -1/2 WD -1/2 . The random walk Laplacian is L rw = D -1 L = I -D -1 W.
Now we define the space of functions on graphs (i.e., for graph signals). Let H(V) be the Hilbert space of real-valued functions defined on the vertices of a graph, a graph signal is a function f : V → R n of H(V) that maps each vertex to a vector f(v i ). The space H(V) is endowed with the usual inner product f, h H(V) = vi∈V f (v i )h(v i ), where f, h : V → R. Similarly, let H(E) be the space of real-valued functions defined on the edges of G. It is endowed with the inner product F, H H(E) = eij ∈E F (e ij )H(e ij ), where F, H : E → R are two functions of H(E).

3 p-Laplacian on directed graphs

Definitions

To define the p-Laplacian we need first to introduce several operators that operate on directed graphs. The formulation of these operators is similar to the one found in [START_REF] Zhou | Regularization on discrete spaces[END_REF] but are expressed here on directed graphs. It is important to note that in contrast to undirected graphs, there has been few studies on Laplacian for directed graphs [START_REF] Chung | Laplacians and the cheeger inequality for directed graphs[END_REF] and even less for the p-Laplacian [START_REF] Zhou | Semi-supervised learning on directed graphs[END_REF]. The directed difference operator of a graph signal f ∈ H(V), called d w : H(V) → H(E), over a directed edge v i → v j is denoted by (d w f )(v i , v j ). We do not explicitly provide now the definition of this difference operator and will show that with different definitions, different p-Laplacian on directed graphs can be formulated. The adjoint operator d * w : H(E) → H(V), of a function H ∈ H(E), can then be expressed at a vertex v i ∈ V by using the definition of the inner products since

H, d w f H(E) = d * w H, f H(V)
. The gradient operator of a function f ∈ H(V), at vertex v i ∈ V , is the vector of all the weighted directed differences (d w f )(v i , v j ), with respect to the set of outgoing edges v i → v j ∈ E:

(∇ w f)(v i ) = ((d w f )(v i , v j )) T , ∀(v i → v j ) ∈ E . (1)
Its L p norm is defined by

(∇ w f)(v i ) p = vi→vj ∈E |(d w f )(v i , v j )| p 1/p . (2)
Then, the p-Laplacian ∆ p w f : H(V) → H(V) can be formulated as the discrete analogue of the continuous one by [START_REF] Elmoataz | Nonlocal discrete regularization on weighted graphs: A framework for image and manifold processing[END_REF]:

∆ p w f (v i ) = 1 2 d * w ∇ w f(v i ) p-2 2 (d w f )(v i , v j ) = 1 2 d * w (d w f )(v i , v j ) ∇ w f(v i ) 2-p 2 (3)
where p ∈ (0, +∞). If we choose specific formulations for the directed difference operator, we can end-up with new formulations of the p-Laplacian on directed graphs, that we propose in the sequel. Details are provided only for the first formulation due to paper length constraints.

Combinatorial p-Laplacian on directed graphs

First we consider

(d w f )(v i , v j ) = w(v i , v j )(f (v j ) -f (v i )) (4)
as a directed difference operator on the edge v i → v j . This is similar to the one used for the combinatorial Laplacian on undirected graphs. Using the definitions of the inner products in H(E) and H(V), we can express the adjoint operator

(d * w H)(v i ) = vj →vi H(v j , v i )w(v j , v i ) - vi→vj H(v i , v j )w(v i , v j ) . (5)
Proof.

H, d w f H(E) = (vi,vj )∈E (d w f )(v i , v j )H(v i , v j ) = (vi,vj )∈E w(v i , v j )(f (v j ) -f (v i ))H(v i , v j ) = 1 2 vi∈V   vi→vj H(v i , v j )w(v i , v j )(f (v j ) -f (v i )) + vj →vi H(v j , v i )w(v j , v i )(f (v i ) -f (v j ))   = 1 2 vi∈V   2 vj →vi H(v j , v i )w(v j , v i )f (v i ) -2 vi→vj H(v i , v j )w(v i , v j )f (v i )   = vi∈V f (v i )   vj →vi H(v j , v i )w(v j , v i ) - vi→vj H(v i , v j )w(v i , v j )   = d * w H, f H(V )
The adjoint operator measures the difference between the in-and outgoing flows at a vertex and can be associated to the divergence operator denoted by -d * w . Then, using Equation ( 3) and the definitions of d w , d * w and ∇ w , a combinatorial p-Laplacian formulation on directed graphs can be expressed by:

∆ p w f (v i ) = 1 2   f (v i )   vj →vi w(v j , v i ) 2 ∇ w f(v j ) 2-p 2 + vi→vj w(v i , v j ) 2 ∇ w f(v i ) 2-p 2   -   vj →vi w(v j , v i ) 2 ∇ w f(v j ) 2-p 2 f (v j ) + vi→vj w(v i , v j ) 2 ∇ w f(v i ) 2-p 2 f (v j )     (6)
On the opposite to the classical formulation on undirected graphs [START_REF] Bougleux | Local and nonlocal discrete regularization on weighted graphs for image and mesh processing[END_REF][START_REF] Elmoataz | Nonlocal discrete regularization on weighted graphs: A framework for image and manifold processing[END_REF], the latter takes into account both ingoing and outgoing edges from vertices. However, with a specific (directed or undirected) graph and a given value of p, we can recover several state-of-the-art Laplacian formulations (up to a power of 2 on the weights). With undirected graphs, the formulation of [START_REF] Bougleux | Local and nonlocal discrete regularization on weighted graphs for image and mesh processing[END_REF] is recovered, with symmetric directed graphs the formulation of [START_REF] Hein | Graph laplacians and their convergence on random neighborhood graphs[END_REF] is recovered. With p = 2, other formulations have been proposed on directed graphs but they only use in-degrees as ∆ 2 w f = (D --W)f [START_REF] Singh | Graph fourier transform based on directed laplacian[END_REF] or out-degrees as ∆ 2 w f = (D + -W)f [START_REF] Olfati-Saber | Consensus problems in networks of agents with switching topology and time-delays[END_REF]. Our proposal encompasses these. In particular, for p = 2, Equation ( 6) can be expressed as

∆ 2 w f = 1 2 (D -+ D + -W -W T )f in matrix expression. With undirected graphs and the classical combinatorial Laplacian ∆ 2 w f = Lf is recovered [3].

Normalized p-Laplacian on directed graphs

Second we consider

(d w f )(v i , v j ) = w(v i , v j ) f (v j ) d -(v j ) - f (v i ) d + (v i ) (7)
as a directed difference operator on the edge v i → v j . This is close to the one used for the normalized Laplacian on undirected graphs, except that we normalize with both in-and out-going degrees since we consider directed graphs. Using the definitions of the inner products in H(E) and H(V), we can express the adjoint operator

(d * w H)(v i ) = vj →vi H(v j , v i )w(v j , v i ) d -(v i ) - vi→vj H(v i , v j )w(v i , v j ) d + (v i ) . (8)
Then, using Equation ( 3) and the definitions of d w , d * w and ∇ w , a normalized p-Laplacian formulation on directed graphs can be expressed by:

∆p w f (v i ) = 1 2   f (v i )   vj →vi w(v j , v i ) 2 d -(v i ) ∇ w f(v j ) 2-p 2 + vi→vj w(v i , v j ) 2 d + (v i ) ∇ w f(v i ) 2-p 2   -   vj →vi w(v j , v i ) 2 ∇ w f(v j ) p-2 2 d -(v i ) d + (v j ) f (v j ) + vi→vj w(v i , v j ) 2 ∇ w f(v i ) p-2 2 d + (v i ) d -(v j ) f (v j )     (9)
As previously we can recover several state-of-the-art formulations. With directed graphs, p = 2 and weights replaced by their square root, the formulation can be reduced to

∆2 w f (v i ) = f (v i ) - 1 2   vj →vi w(v j , v i )f (v j ) d -(v i ) d + (v j ) + vi→vj w(v i , v j )f (v j ) d + (v i ) d -(v j )   (10)
or as

I -1 2 D -1/2 - WD -1/2 + + D -1/2 + W T D -1/2 -
f in matrix form. This formulation is closely related to the normalized Laplacian for symmetric directed graphs proposed in [START_REF] Hein | Graph laplacians and their convergence on random neighborhood graphs[END_REF][START_REF] Zhou | Learning from labeled and unlabeled data on a directed graph[END_REF] and expressed as I -1 2 D -1/2 WD -1/2 + D -1/2 W T D -1/2 f . As it can be seen they normalize only by D since the graph is symmetric, in contrast to our approach. A similar remark can be made for the formation of [START_REF] Chung | Laplacians and the cheeger inequality for directed graphs[END_REF] for symmetric directed graphs that are strongly connected. With undirected graphs, our formulation reduces to ∆2

w f (v i ) = f (v i ) - vj ∈V w(vj ,vi) √ d(vi)d(vj )
f (v j ) which is exactly the normalized Laplacian (I -D -1/2 WD -1/2 )f for undirected graphs [START_REF] Chung | Spectral graph theory[END_REF].

Random-walk p-Laplacian on directed graphs

Third we consider

(d w f )(v i , v j ) = w(v i , v j ) d + (v i ) (f (v j ) -f (v i )) (11)
as a directed difference operator on the edge v i → v j . This is similar to the one used for the random-walk Laplacian on undirected graphs. Using the definitions of the inner products in H(E) and H(V), we can express the adjoint operator

(d * w H)(v i ) = vj →vi H(v j , v i )w(v j , v i ) d + (v i ) - vi→vj H(v i , v j )w(v i , v j ) d + (v i ) . (12)
Then, using Equation ( 3) and the definitions of d w , d * w and ∇ w , a random-walk p-Laplacian formulation on directed graphs can be expressed by:

∆ p,rw w f (v i ) = 1 2   f (v i )   vj →vi w(v j , v i ) 2 d + (v j ) ∇ w f(v j ) 2-p 2 + vi→vj w(v i , v j ) 2 d + (v i ) ∇ w f(v i ) 2-p 2   -   vj →vi w(v j , v i ) 2 d + (v j ) ∇ w f(v j ) 2-p 2 f (v j ) + vi→vj w(v i , v j ) 2 d + (v i ) ∇ w f(v i ) 2-p 2 f (v j )     (13)
Again, with a specific (directed or undirected) graph and a given value of p, we can recover several state-of-the-art Laplacian formulations (up to a power of 2 on the weights). In particular, for p = 2, Equation ( 13) can be expressed as

∆ 2,rw w f = (I -1 2 D -1 + (W + W T ))f in matrix expression.
With directed graphs and p = 2 the formulation in matrix expression of [START_REF] Hein | Graph laplacians and their convergence on random neighborhood graphs[END_REF] is recovered, and with undirected graphs and p = 2 the classical random-walk Laplacian ∆ 2,rw w f = L rw f is recovered [START_REF] Von Luxburg | A tutorial on spectral clustering[END_REF]. With p = 2, a similar formulation for directed graphs has been expressed as (I -D -1 + W)f in [START_REF] Bauer | Normalized graph laplacians for directed graphs[END_REF].

p-Laplacian Regularization on Directed Graphs

In the previous section, we have proposed general formulations for combinatorial, normalized and random-walk p-Laplacians on directed graphs. From these, we consider the problem of p-Laplacian regularization of signals on directed graphs that minimizes a loss function plus a regularization term. Let f 0 : V → R be a noisy graph signal of a clean graph signal g : V → R corrupted by a given noise n such that f 0 = g + n. To recover the uncorrupted function g, a commonly used method is to seek for a function f : V → R which is regular enough on G, and also close enough to f 0 . This inverse problem can be formalized by the minimization of an energy functional, that typically involves a regularization term plus an approximation term (also called loss). The proposed graph p-Laplacians can be used to define a regularization functional R p w : H(V) → R + on directed graphs by

R p, * w (f ) = ∆ p, * w f, f H(V) = d w f, d w f H(E) = vi∈V (∇ w f)(v i ) p 2 ( 14
)
where ∆ p, * w is among equations ( 6),( 9) or [START_REF] Pang | Graph laplacian regularization for image denoising: Analysis in the continuous domain[END_REF]. Since R p, * w ≥ 0, ∆ p, * w is positive semi-definite. From this we consider the following variational problem of p-Laplacian regularization on directed graphs

g ≈ min f :V→R E p, * w (f, f 0 , λ) = 1 p R p, * w (f ) + λ 2 f -f 0 2 2 , ( 15
)
where the regularization functional R p, * w can be induced from one of the proposed p-Laplacians on directed graphs. When p ≥ 1, the energy E p, * w is a convex functional of functions of H(V). To get the solution of the minimizer (15), we consider the following system of equations

∂E p, * w (f, f 0 , λ) ∂f (v i ) = 0, ∀v i ∈ V (16)
For all the p-Laplacians we have proposed, it can be proved that

1 p ∂R p, * w ∂f (vi) = 2∆ p w f (v i ) (
this is a direct consequence of Equation ( 14)) and the system of equations is then re-written as follows:

2∆ p, * w f (v i ) + λ(f (v i ) -f 0 (v i )) = 0 ( 17
)
By substituting the expression of ∆ p, * w f (v i ) by one of the proposed p-Laplacians (∆ p w , ∆p w , ∆ p,rw w ) into Equation ( 17), the system of equations can be solved using a linearized Gauss-Jacobi iterative method. Let t be an iteration step, and f (t) be the solution at step t, then the following iterative algorithm is obtained for each of the proposed p-Laplacian on directed graphs.

f t+1 (v i ) = λf 0 (v i ) + vj →vi w(vj ,vi) 2 f t (vj ) φ(vj ,vi) ∇wf t (vj ) 2-p 2 + vi→vj w(vi,vj ) 2 )f t (vj ) φ(vi,vj ) ∇wf t (vi) 2-p 2 λ + vj →vi w(vj ,vi) 2 γ1(vj ,vi) ∇wf t (vj ) 2-p 2 + vi→vj w(vi,vj ) 2 γ2(vi,vj ) ∇wf t (vi) 2-p 2 (18)
where φ, γ 1 and γ 2 are defined as follows, depending on the chosen directed p-Laplacian ∆ p, * w :

-Combinatorial p-Laplacian: φ(v j , v i ) = γ 1 (v j , v i ) = γ 2 (v i , v j ) = 1, -Normalized p-Laplacian:φ(v j , v i ) = d -(v i ) d + (v j ), γ 1 (v j , v i ) = d -(v i ) and γ 2 (v i , v j ) = d + (v i ), -Random-walk p-Laplacian: φ(v i , v j ) = d + (v i ) and γ 1 (v j , v i ) = γ 2 (v i , v j ) = d + (v i ).

Experiments and Results

In this section we provide sample results for the filtering of three different types of graphs signals for different directed graphs topologies and p-Laplacians. PSNR values will be used to compare the results. To weight the edges of the graphs, we use a parameterless function w(v i , v j ) = 1 -

F f 0 τ (vi)-F f 0 τ (vj ) 2 max v k →v l ∈E F f 0 τ (v k )-F f 0 τ (v l ) 2
. The vector

F f 0 τ (v i ) = f 0 (v j ) : v j ∈ N τ (v i ) ∪ {v i } T
corresponds to the set of values around v i within a τ -hop N τ (v i ) (for images this is a patch of size (2τ + 1) 2 ). We will consider two types of directed graphs: 8-adjacency directed grid graph (denoted G 0 , that connects each vertex to its 8 spatially closest nearest neighbors), and k-nearest neighbor directed graphs (denoted G α,τ k , that connects each vertex to its k nearest neighbors in terms of F f 0 τ L 2 norm within a α-hop).

Images

The first type of graph signal we consider is 2D color images (see Figure 2) and f : V → R 3 . An image has been corrupted by Gaussian noise and we filter the latter with p-Laplacian regularization with different configurations: a 8-adjacency directed grid graph (with λ = 0.05, p=1), and a 8-adjacency directed grid graph augmented with a 10-nearest neighbor graph within a 5-hop (λ = 0.09 with patches of size 3 × 3). The nonlinear 1-Laplacian always provides better results than the linear 2-Laplacian. With G 0 the graph is directed but symmetric and the filtering reduces to the undirected case [START_REF] Elmoataz | Nonlocal discrete regularization on weighted graphs: A framework for image and manifold processing[END_REF], whereas with G 0 ∪ G 5,1 10 the graph is not symmetric. As it can be seen, adding directed edges to the graph can enhance the results. We have observed that for the directed normalized p-Laplacian the results can degrade when low values of the in-degree occur. This is not the case for ∆ p,rw w that always enables to obtain better results whatever the configurations we tested.

Database of images

The second type of graph signal we consider is an image database (see Figure 3) and f : V → R 28×28 . We selected a subset of 90 images from the MNIST database for digits 0, 1, 3 and corrupted the images with Gaussian noise of standard devision σ. Then a directed 5-nearest neighbor graph is constructed on the whole dataset (α = ∞). This graph is not symmetric. As it can be seen in Figure 3, the filtering with the ∆1 w enables to remove the noise while preserving the main structures. Table 1 presents additional results for different amounts of noise. Again, better results are obtained with p = 1 but the best results are obtained with different p-Laplacians, the normalized Laplacian having this time a much better behavior than for images. 1. Image database regularization on directed graphs (λ = 10 -4 ). Best results (in terms of PSNR) are bold faced.

Meshes

Finally, we consider 3D colored meshes as a last graph signal and f : V → R 3 . The meshes are 3D scans from an ancient building and a person. The color is noisy due to the scanning process and the objective is to filter the vertices colors and not their 3D coordinates. The considered graph is a symmetric directed mesh graph (provided from the scan) augmented with a 5-nearest neighbor graph within a 3-hop. To compare vertices we use F f 0 1 . However, since the mesh graph is not regular, the feature vectors are not of the same size. We cannot use a L 2 distance to compare them, so we use instead the Earth Mover Distance between the histograms of F f 0 1 . For space contraints, we show results only with ∆ p,rw w that provided the best results. Again with p = 1 the filtering enables a much better preservation of the signal sharp edges while removing noise.

Conclusion

In this paper we have proposed three formulations for p-Laplacians on directed graphs. They used specific difference operators on directed graphs that are inspired from the combinatorial, the normalized and the random-walk laplacians. These formulations of p-Laplacians on directed graphs had never been addressed before unless for specific graphs (symmetric and with p = 2 [START_REF] Hein | Graph laplacians and their convergence on random neighborhood graphs[END_REF]). Our proposal goes beyond this. From these formulations, we have considered the problem of p-Laplacian regularization of graph signals and proposed a solution to the latter. Finally, some experimental results show the benefit of the approach for the filtering of three types of graph signals: images, images' databases, and 3D colored meshes. Given the results, none of the proposed p-Laplacians on directed graphs can be considered as always providing the best results which motivates the need for several formulations. Directed and non symmetric graphs have also shown their interest with respect to classical symmetric undirected graphs. In future works, we will consider other optimization schemes as well as the introduction of non symmetric weights for directed symmetric graphs with applications in image semi-supervised segmentation.

  Figure1illustrates the influence of the graph construction: nearest neighbors with patchbased distances better capture the image geometry and this can be beneficial for latter processing.

Fig. 1 .

 1 Fig. 1. Examples of directed graphs for an image. From left to right: original image, a symmetric 8-grid graph, 10-nearest neighbor graphs (inside a 11 × 11 window with color-based or 3 × 3 patch-based distances).

Fig. 2 .

 2 Fig. 2. p-Laplacian regularization of a corrupted image. See text for details.

Fig. 3 .

 3 Fig. 3. p-Laplacian regularization of a corrupted image database (with ∆p w , p = 1, and λ = 10 -4 ). See text for details.

Fig. 4 .

 4 Fig. 4. 3D colored mesh regularization on directed graphs (From left to right: original mesh, filtering with ∆ p,rw w , λ = 0.05, with p = 2 and p = 1).

  ). See text for details.

	σ		20		40
	∆ p, * w	∆ p w	∆p w ∆ p,rw w	∆ p w	∆p w ∆ p,rw w
	p = 2 14.54 14.63 14.56 12.91 13.08 12.88
	p = 1 16.37 16.83 16.80 14.01 13.11 13.73
	Table

This work received funding from the Agence Nationale de la Recherche (ANR-14-CE27-0001 GRAPHSIP), and from the European Union FEDER/FSE 2014/2020 (GRAPHSIP project).


Nicolas Sutton-Charani
email: nicolas.sutton-charani@hds.utc.fr

Sébastien Destercke
email: sebastien.destercke@hds.utc.fr

Thierry Denoeux
email: t.denoeux@hds.utc.fr

Training and evaluating classifiers from evidential data: application to E 2 M tree pruning

Keywords: classification, uncertain data, E 2 M algorithm, error rate, belief functions, E 2 M decision trees, pruning

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Training and evaluating classifiers from evidential data: application to E2M tree pruning

Nicolas Sutton-Charani, Sébastien Destercke, Thierry

Introduction

Data uncertainty can have many origins: measurements approximations, sensor failures, subjective expert assessments, etc. Taking into account this uncertainty to learn a classifier is challenging because of the analytical and computational difficulties to extend standard statistical learning methodologies to uncertain data. However, in the past years, several approaches [START_REF] Périnel | Construire un arbre de discrimination binaire à partir de données imprécises[END_REF][START_REF] Denoeux | Maximum likelihood estimation from uncertain data in the belief function framework[END_REF] have been proposed to learn model from uncertain data.

Once a classifier is built from a learning (uncertain) samples, it is usually evaluated by a misclassification or error rate which is computed from test samples. This error rate corresponds to the probability of misclassification and is estimated by the frequency of misclassified test samples. However, even in methods dealing with uncertain data, this misclassification rate is usually computed using precise test samples. This can be explain by the absence of genuine uncertain benchmark datasets, that remain to be built.

Yet, there is no reason to separate the training and the learning data by making only the former uncertain. In practice, one should be able to tackle uncertainty in all the data sets, without distinction. This is the main issue tackled in this paper, in which we propose a means to evaluate classifiers and models from uncertain test data. The uncertain data, from now on called evidential data, will be modelled by the means of belief functions, that offer a flexible framework to model epistemic uncertainty. We will use the evidential likelihood [START_REF] Denoeux | Maximum likelihood estimation from uncertain data in the belief function framework[END_REF] as a generic tool to learn and to assess probabilistic models from such evidential data.

In addition, we will apply our proposition to the E 2 M decision trees classification model [START_REF] Sutton-Charani | Learning decision trees from uncertain data with an evidential em approach[END_REF], which is a decision tree methodology adapted to uncertain learning data modelled by belief functions. It is learned using the E 2 M algorithm [START_REF] Denoeux | Maximum likelihood estimation from uncertain data in the belief function framework[END_REF] which is an extension of the well known EM algorithm to evidential data. Our proposal will be applied in two different manners: to prune E 2 M decision trees, and to evaluate the resulting classifiers. Indeed, pruning requires to evaluate the pruned trees performances, hence to potentially evaluate them on evidential data in the case of E 2 M decision trees.

Section 2 introduces the problem of learning under evidential data, and recalls the evidential likelihood approach, together with the E 2 M decision tree approach. In Section 3 we give the details of the evidential error rate estimations and in Section 4 a E 2 M pruning procedure is proposed and some experiments are presented. Apart from solving the evaluation problem with evidential data, it will also provides us with a classification technique able to handle uncertain data at all levels, both in training and in test phases.

Background

This section briefly reminds required elements to understand the paper. Further details can be found in complementary papers [START_REF] Denoeux | Maximum likelihood estimation from uncertain data in the belief function framework[END_REF][START_REF] Sutton-Charani | Learning decision trees from uncertain data with an evidential em approach[END_REF]

Classification under evidential data

The goal of a classification technique is to learn a mapping C from J attributes

X = {X 1 , . . . , X J } ∈ Ω 1 × . . . Ω J = Ω X to a class Y ∈ Ω Y = {C 1 , . . . ,C K }.
Classically, this is done using a set of n learning precise data (x, y). In this paper, we consider evidential data, meaning that a datum is modelled by a mass function on Ω X (for the input uncertainty) and Ω Y (for the class uncertainty). Recall that a mass function on a space Ω is a positive mass m : 2 Ω → [0, 1] defined on Ω power set such that

∑ E⊆Ω ,E = / 0 m(E) = 1. The contour function 1 pl : Ω → [0, 1] induced by it is pl(ω) = ∑ ω∈E m(E).
We consider that this classifier C is learned from an evidential learning set of n samples

(m x , m y ) =    m x 1, . . . m x n, m y 1, . . . m y n,   
and is evaluated using an evidential test sample of n samples

(m x t , m y t ) =    m x 1,t . . . m x n ,t m y 1,t . . . m y n ,t    .
While data are assumed to be evidential, we want to learn a probabilistic parametric classifier with parameters θ providing for an (evidential) entry m x a probability P θ (Y |m x ), the decided class then corresponding to

C (m x ) = arg max C i ∈Ω Y P θ (C i |m x ).

Evidential likelihood and E 2 M algorithm

In standard probability theory, the likelihood L(θ ; w) of a parameter θ given a sample w corresponds to the probability P θ (W = w) of observing this sample given that parameter. Maximising this likelihood provides good estimators of the parameter value. Denoeux [START_REF] Denoeux | Maximum likelihood estimation from uncertain data in the belief function framework[END_REF] has extended this concept to evidential data. When w ∈ A is imprecisely observed, then an imprecise likelihood corresponding to the probability to pick a sample inside A in the population can be computed as

L(θ ; A) = ∑ w∈A L(θ ; w) = P θ (W ∈ A)
If our knowledge about w is not only imprecise but also uncertain and modelled by a mass function m w having A 1 , . . . , A z as focal elements, the evidential likelihood of the parameter becomes

L(θ ; m w ) = z ∑ i=1 m w (A i )L(θ ; A i ). (1)
In general, finding the (global) value θ maximizing Eq. ( 1) is difficult, as the function is non-convex and complex. However, the E 2 M algorithm provides a means to obtain a local maximum of (1). It is an iterative algorithm very similar to the EM algorithm [START_REF] Dempster | Maximum likelihood from incomplete data via the em algorithm[END_REF], the main difference is the measure used to compute expectations at the E step. In order to take into account both the available knowledge (represented by m w ) and the model aleatory uncertainty, the E step uses the conjunctive combination P(. | θ , m w ) := P θ ∩ m w , which is a probability measure, to compute the expectation. Algorithm 1 summarizes the E 2 M algorithm.

Algorithm 1: Estimation with the E 2 M algorithm

Input: θ (0) , γ Output: final θ 1 r = 1; 2 repeat 3 E-step: Q(θ , θ (r) ) = E[log(L(θ ;W )) | θ (r) , m W ] ; 4 M-step: θ (r+1) = arg max θ ∈Θ Q(θ , θ (r) ) ; 5 r = r + 1; 6 until L(θ (r) ;m w )-L(θ (r-1);m w ) L(θ (r-1) ;m w ) > γ; 7 θ = θ (r) ;

E 2 M decision trees

Decision trees or more precisely classification trees are famous classifiers that provide interpretable outputs [START_REF] Breiman | Classification And Regression Trees[END_REF]. They recursively partition the space Ω X into leaves that contains probabilities over the classes Ω Y .

The purity of a leaf t h (defining a subset of Ω X ) is usually evaluated by some impurity measure such as Shanon entropy i(t

h ) = -∑ K k=1 α k h log(α k h ) where α k h = P(Y = C k | t h ).
The purity gain obtained by splitting t h into t L and t R is computed as

δ i = i(t h ) -π L i(t L ) -π R i(t R ) where π L = P(t L | t h ) and π R = P(t R | t h
) are the probabilities of being in each children leaves. In usual approaches the leaves probabilities π h and the class probabilities inside leaves α k h are estimated by frequencies of learning samples in leaves and of their different class labels inside the leaves:

πh = n(t h ) n αk h = n k (t h ) n(t h )
where n is the number of learning samples, n(t h ) is the number of learning sample in the leaf t h and n k (t h ) is the number of learning samples of class C k inside the leaf t h . E 2 M decision trees [START_REF] Sutton-Charani | Learning decision trees from uncertain data with an evidential em approach[END_REF] are an extension of classical decision trees to evidential data. The main idea is to see the tree as a mixture (the leaves weights π h ) of multinomial distributions (the class probabilities α k h ), and to learn this probabilistic model using the E 2 M. We proposed to estimate the probabilities of leaves and of class in leaves by maximising their likelihood in regard to the uncertain learning sample (m x , m y ). We have:

{ πh , αk h } h,k = θ = arg max θ ∈Θ L(θ ; (m x , m y ))
Within decision trees techniques, pruning is a classical way to avoid over-fitting and that are usually based on a compromise between interpretability and accuracy [START_REF] Breiman | Classification And Regression Trees[END_REF][START_REF] Esposito | A comparative analysis of methods for pruning decision trees[END_REF]. Most of them consider possible sub-trees of the initial learned tree, and pick one satisfying an evaluation criteria always based (at least partially) on classification accuracy. Yet, evidential data do not allow a straightforward computation of accuracy, hence a need of new evaluation techniques to be able to prune.

3 Uncertain classifiers evaluation with the E 2 M algorithm: evidential error rates estimation

While techniques introduced in the previous sections allow to learn from evidential data (see also [START_REF] Masson | Ecm: An evidential version of the fuzzy c-means algorithm[END_REF]), the problem of evaluating classifiers with an evidential test data set (m x t , m y t ) remains. This section proposes a solution also exploiting the evidential likelihood and E 2 M algorithm.

Let E in{0, 1} be an aleatory variable representing the misclassification of C , equal to 1 in case of misclassification, 0 in case of good classification. We have E ∼ Ber(ε) where ε is the misclassification rate, i.e., P(Y = C (x)|x).

With precise data, ε, whose estimation ε is the frequency of misclassified examples in the learning test and corresponds to maximising its likelihood L(θ ; e = {e 1 , . . . , e n })with e i = 0 if C (x i,t ) = y i,t , 1 otherwise. We therefore get ε = n 1/n where n 1 is and the number of 1 in e.

In practice, when one has evidential data, the E 2 M model still provides a unique prediction C (m x i,t ), which has to be compared to an evidential output m y i,t . In practice, each m y i,t can be mapped to a mass function m e i over {0, 1} such that

m e i ({0}) = m y i,t (C (m x i,t )) (2)
m e i ({1}) = ∑ E⊆Ω y ,C (m x i,t ) ∈E m y i,t (E) (3)
m e i ({0, 1}) = ∑ E⊆Ω y ,C (m x i,t )∈E,|E|>1 m y i,t (E) (4)
Given this sample, the evidential accuracy can be computed as follows:

L(ε; m e ) = n ∏ i=1 [(1 -ε)pl i (0) + ε pl i (1)] (5)
Q(ε; ε(q) ) = nlog(1 -ε) + log( ε 1 -ε ) n ∑ i=1 ξ (q) i (6) ε(r+1) = argmax ε∈[0,1] Q(ε; ε(q) ) = 1 N N ∑ i=1 ξ (q) i ( 7
)
where As an illustration, Figure 1 represents the variation of the evidential error rate in function of m e i ({0, 1}) = γ for n = 100 samples, and where the proportion of samples where m e i ({1}) = 1γ versus samples where m e i ({0}) = 1γ is given by the precise error rates ε 0.4 and 0.6. Interestingly we can see that the estimation, by privileging the most present observation, tends to accentuate either the quality of accurate models (ε < 0.5) or the unreliability of inaccurate ones. We can therefore expect this evidential accuracy to provide reliable choices.

ξ (q) i = E[E i | ε(q) ; m e i ] = ε(q) pl i (1) (1 -ε(q) )pl i (0) + ε(q) pl i (1)
with pl i (0) = Pl({e i = 0}) = m e i (

Application: pruning of E 2 M decision trees

This section illustrates the evidential error rate to the pruning of E 2 M decision trees. Considering the sequence of sub-trees induced by successive splits, we simply pick the one that obtains the smallest evidential error rate on a pruning sample (different from the initial learning sample). Indeed, our goal is not to define optimal pruning criterion, but simply to illustrate the use of evidential error rates.

Our experiments concern five precise benchmark datasets (coming from UCI) sin which we artificially injected uncertainty. For each observation w i (attribute and class) of the precise datasets, a noise level γ i was uniformly sampled in [0, 1]. A number u was then uniformly sampled on [0, 1], if u < γ i then the (noised) value w i is replaced by another value w * i drawn uniformly from Ω W (either attribute or class spaces), otherwise w * i = w i . Obtained evidential data are m(w

* i ) = 1 -γ i and m(Ω W ) = γ i .
We learnt simultaneously standard CART decision trees and E 2 M ones and compared their error rates. For each test we learnt the trees on one third of the datasets, pruned them on another third and test them on the left third by computing standard error rates and evidential ones. All computations are achieved on noised data (considering crisp replacements for CART and evidential ones for E 2 M) The stopping criteria were composed of a maximum of 10 leaves and a relative minimum purity gain of 5%. 1 summarizes the means of error rates obtained for 100 tests for each dataset. For each methodology the error rate are compared before the learning (the naive error rate is obtained by predicting systematicaly the class the most frequent in the learning sample), once the trees are learnt but before pruning and after pruning. The high error rates are due to noise both in the learning and in the testing phases.

Both evidential and classical error rates appear to be smaller for E 2 M trees than for CART ones. If this is not surprising for the evidential error rate after pruning (as it is the minimized criterion), the other better scores confirm the interest of using evidential approaches. The pruning strategy also increases accuracy for the balance and glass datasets, despite the small size of the learnt trees. E 2 M trees appear to be naturally smaller than CART ones but can still be pruned thank to the evidential error rates computations.

Table 2 compares the size of the CART and E 2 M trees before and after pruning. A learning failure occurs when the noised dataset does not enable any first split in regards to the stopping criteria. CART trees appears to be bigger than E 2 M ones before and after pruning. We can interpret this as an impact of the data uncertainty on the complexity of the learnt model. In deed, it not necessary to have a complex model with partially unreliable data.

Conclusions

We have introduced a way, through the notion of evidential likelihood, to evaluate classifier in presence of uncertain (evidential) data. Such a technique appears as essential and necessary if we want to fully tackle the problem of uncertain data, as assuming uncertain learning data and certain test data (at least in the output), if valid on benchmark data sets, seems unrealistic in practical applications. We have also tested our approach on the E 2 M decision trees, and doing so have proposed, to our knowledge, the first method that is able to handle data uncertainty in attributes and classes, both in learning and testing. As perspective, it would be interesting to compare our study to other approaches, both from a theoretical and practical standpoint. For example, we could compare ourselves to the strategy consisting of transforming evidential data into probabilistic one through the pignistic transform [START_REF] Smets | Belief induced by the partial knowledge of the probabilities[END_REF].

6 Fig. 1

 61 Fig. 1 Variations of the evidential error rate ε with the uncertainty level γ when ε = 0.4 and 0.6

Table 1

 1 Comparison of CART and E 2 M decision trees efficiency before and after pruning Table

			classical error rate			evidential error rate
	data set	naive	CART unpruned pruned unpruned pruned E 2 M	naive	CART unpruned pruned unpruned pruned E 2 M
	iris	0.67	0.60	0.60	0.57	0.58 0.79	0.65	0.66	0.59	0.60
	balance scale 0.60	0.60	0.60	0.58	0.58 0.63	0.62	0.62	0.51	0.51
	wine	0.65	0.61	0.62	0.60	0.60 0.75	0.64	0.67	0.64	0.64
	glass	0.68	0.69	0.68	0.68	0.67 0.74	0.73	0.73	0.67	0.67
	e.coli	0.72	0.73	0.72	0.74	0.73 0.75	0.74	0.74	0.71	0.70

Table 2

 2 Comparison of CART and E 2 M decision trees sizes before and after pruning

			CART				E 2 M
	data set	before pruning	after pruning	before pruning	after pruning
		# failures # leaves # failures # leaves # failures # leaves # failures # leaves
	iris	3	9.57	13	4.57	0	4.36	6	3.39
	balance scale	99	1.01	99	1.01	0	7.01	0	5.21
	wine	0	10	15	4.79	0	4.05	10	3.06
	glass	52	5.26	70	2.08	0	6.92	14	4.46
	e.coli	52	5.26	70	2.08	0	6.92	14	4.46

no other notions will be needed in this paper