Guillaume Artignan
email: artignan@lirmm.fr

Mountaz Hascoët
email: mountaz@lirmm.fr

Mathieu Lafourcade
email: lafourcade@lirmm.fr

Multiscale Visual Analysis of Lexical Networks

Keywords: Multiscale, Hierarchical Graph, Visualization, Hierarchical Clustering

A lexical network is a very useful resource for natural language processing systems. However, building high quality lexical networks is a complex task. "Jeux de mots" is a web game which aims at building a lexical network for the French language. At the time of this paper's writing, "jeux de mots" contains 164 480 lexical terms and 397 362 associations. Both lexical terms and associations are weighted with a metric that determines the importance of a given term or association. Associations between lexical terms are typed. The network grows as new games are played. The analysis of such a lexical network is challenging.

The aim of our work is to propose a multi-scale interactive visualization of the network to facilitate its analysis. Our work builds on previous work in multi-scale visualization of graphs. Our main contribution in this domain includes (1) the automatic computation of compound graphs, (2) the proximity measure used to compute compound nodes, and (3) the computation of the containment relation used to exhibit the dense relation between one important node and a set of related nodes.

Introduction

Many natural language processing tasks like information retrieval or anaphora resolution require lexical information usually found in resources such as thesauri, ontologies, or lexical networks. Creating such resources can be done either manually in the case of Wordnet [START_REF] Fellbaum | Wordnet an electronic lexical database[END_REF] for example or automatically from text corpora as in [START_REF] Jones | Synonymy and Semantic Classification[END_REF]. In both cases, the generation of accurate and comprehensive data over time is a complex task.

"Jeux de Mots" [START_REF] Mathieu Lafourcade | Jeuxdemots website[END_REF][START_REF] Lafourcade | Making people play for lexical acquisition[END_REF] is a game where players contribute to the creation of a complex lexical network by playing. The game is a two player blind game based on agreement: at the beginning of a game session player A is given an instruction related to a target term. For example: give any term that is related to "cat". User A has a limited amount of time to propose as many terms as possible. At the end of the session, player A's proposed terms are compared to those of a previous player say player B. Points are earned on the basis of agreement, e.g. the intersection of the two sets of terms proposed by A and B. The lexical network of "Jeux de Mots" is built by adding the terms in the agreement. A relation to the target term is also added. The relation between the target term and the terms agreed depends on the initial instruction. In the previous example the relation is a relation of type association. There are 35 other types of relations in "Jeux de mots" including synonymy, antonymy, hyperonymy, etc. Weights are further computed for terms and for relations between terms in order to reflect their importance in the network [START_REF] Lafourcade | Conceptual vectors, lexical networks, morphosyntactic trees and ants : a bestiary for semantic analysis[END_REF]. At the time of this paper's writing, "jeux de mots" contains 164 480 lexical terms and 397 362 associations. Therefore, the visualization of the network is challenging. JeuxDeMots lexical network can be considered as a large graph with terms as nodes and semantic relations between terms as edges.

Multiscale interactive visualization of graphs is an interesting solution to the visual analysis of large graphs. Hierarchical graphs, introduced in [START_REF] Eades | Multilevel visualization of clustered graphs[END_REF] for the first time, have largely influenced the literature in this domain. Approaches vary at different levels. Our approach is based on compound graph construction and full zoom exploration. The construction of the compound graph is further based on a proximity measure used to compute compound nodes and the computation of the containment relation used to exhibit dense relation between one important node and a set of related nodes.

This paper is organized as follows: we start by a review of related work, we further present the data and a careful analysis of some properties that matter for visualization. We further present our main contributions e.g. compound graph construction (section 4) and full-zoom exploration of JeuxDeMots lexical network (section 5).

Our approach to the visual analysis of JeuxDeMots lexical network is based on previous work and mainly related to multilevel graph exploration.

Multilevel graphs are largely used in graph visualization. Indeed multilevel graph drawing methods have been studied in order to accelerate run time and also to improve the visual quality of graph drawing algorithms. In [START_REF] Walshaw | A multilevel algorithm for force-directed graph drawing[END_REF], Chris Walshaw presents a multilevel optimization of the Fruchterman's and Reingold's spring embedder algorithm. The GRIP algorithm [START_REF] Gajer | Grip: Graph drawing with intelligent placement[END_REF] coarsens a graph by applying a filtration to the nodes. This filtration is based on shortest path distance. Fast Multipole Multilevel Method (F M 3 ) [START_REF] Hachul | Drawing large graphs with a potential-field-based multilevel algorithm[END_REF] is also a force-directed layout algorithm. F M 3 is proved subquadratic (more precisely in O(N logN +E)) in time, contrary to previous algorithms. Work in [START_REF] Archambault | Topolayout: Multilevel graph layout by topological features[END_REF] is based on the detection of topological structures in graphs. This algorithm encodes each topological structure by a metanode to construct a hierarchical graph.

Graph hierarchies are also used in Focus-based multilevel clustering. In [START_REF] Boutin | Focus dependent multi-level graph clustering[END_REF][START_REF] Boutin | Multi-level exploration of citation graphs[END_REF][START_REF] Boutin | Multilevel compound treeconstruction visualization and interaction[END_REF] several hierarchical clustering techniques are proposed, to visualize large graphs. These contributions are mainly concerned with accounting for a user focus in the construction of a multi-level structure. Sometimes this results in new multi-level structures such as for example MuSi-Tree (Multilevel Silhouette Tree) in [START_REF] Boutin | Multilevel compound treeconstruction visualization and interaction[END_REF]. Other approaches are based on zooming strategies that include level-of-details dependant of one or more foci [START_REF] Emden | Topological fisheye views for visualizing large graphs[END_REF].

Multilevel graph exploration is challenging. Multilevel graph exploration systems can be divided into two categories : systems needing precomputation to create a hierarchical structure and systems which create hierarchy during the exploration. Our approach fall into the first category.

Approaches that fall in the first category take more time during the construction step but they facilitate multi-level exploration. In [START_REF] Eades | Multilevel visualization of clustered graphs[END_REF] the authors propose an algorithm for creating a graph hierarchy in three dimensions, each level is drawn on a plane. In [START_REF] Schaffer | Navigating hierarchically clustered networks through fisheye and full-zoom methods[END_REF] authors propose a comparison between two methods of multi-level exploration:"Fisheyes View" and "Full-zoom" methods. Work in [START_REF] Emden | Topological fisheye views for visualizing large graphs[END_REF] is based on a zooming technique associated with a precomputed hierarchical graph. The level of detail is computed on-the-fly and depends on the distance to one or more foci. Abello et al. [START_REF] Abello | Visualizing large graphs with compound-fisheye views and treemaps[END_REF] define a compound fisheye view based on a hierarchy graph. In addition the authors link a treemap with a graph hierarchy. In [START_REF] Van Ham | Interactive visualization of small world graphs[END_REF], the authors create a force directed layout, and use it on graphs in order to highlight clusters. This technique is similar to the approaches that merge clusters in small world vizualization. In [START_REF] Balzer | Level-of-detail visualization of clustered graph layouts[END_REF] the contribution is to propose the visualisation of complex software in 3D or in 2D. Edge bundles are created in order to simplify edges. This method uses visual simplification of graphs using a level-of-detail approach.

Approaches that fall into the second category compute a hierarchical graph during the exploration step. The layout of the graph is computed on the fly. The authors of [START_REF] Van Ham | Ask-graphview: A large scale graph visualization system[END_REF] present a tool, ASK-GraphView, based on clustering and interactive navigation. Hierarchical clustering is obtained by detecting biconnex components, and by a recursive call to a clustering algorithm on biconnex components. In [START_REF] Archambault | Grouse: Feature-based, steerable graph hierarchy exploration[END_REF] the authors propose Grouse. Grouse is based on previous work [START_REF] Archambault | Topolayout: Multilevel graph layout by topological features[END_REF] and decomposes the graph based on topological features. Grouse further uses adapted layout algorithms to layout subgraphs.

Data

In the rest of this paper we focus on a subgraph of JeuxDeMots. The subgraph is obtained by studying only the edges that correspond to the relation of type "Associated Idea". Furthermore, we filtered nodes that were not connected to the biggest connected component. The resulting subgraph is composed of 20 238 words and 64 564 edges.

Data analysis

The aim of this section is to better characterise the type of graph we are working on. A study of degree repartitions (distribution of ingoing edges Fig. 1 and distribution of outgoing edges Fig. 2) is useful to show that our degree distributions have power-law tails. γ in = -1.85 the indegree exponent and γ out = -2.27 the outdegree exponent, are high determination coefficients [START_REF] Albert | Statistical mechanics of complex networks[END_REF]. Figure 2: Degree repartition, for outgoing degree. The graph studied is clearly a scale-free graph [START_REF] Albert | Statistical mechanics of complex networks[END_REF]. A second study can be made to compute the clustering coefficient [START_REF] Albert | Statistical mechanics of complex networks[END_REF]. The average of our graph C = 0.2617, and the degree average is D = 6.3805. Moreover the clustering coefficient of a random graph of the same size and average degree is C rand = 0, 00032. Our graph has an average clustering coefficient order of magnitude higher than the coefficient of clustering of a random graph with the same size and the same average degree. Furthermore, the diameter of our graph is 12. For all these reasons, our graph can be considered as a small world network.

Compound graph construction

In order to provide full-zoom exploration of the lexical network it is necessary to automatically compute a hierarchical graph that is coherent for an end-user of lexical networks like, for example, a searcher in natural language engineering or a lexicographer.

The originality of our approach is (1) that it is based on metrics derived from natural language engineering metrics that compute at low cost, and (2) we create a compound graph instead of a clustered graph. It is important to stress that the clustered graph approach is the most frequent one found in the litterature and that it constitutes a serious drawback when it comes to lexical network exploration as will be discussed in the section 4.2.

In order to create a compound graph, we first adapted one proximity measure used in information retrieval and natural language processing tools and we further extend it to provide a multilevel proximity measure used in the construction of the compound graph.

Proximity Measure

The "Direct Proximity Measure" is computed for an edge in a graph. This measure is useful in computing another measure the "Hierarchical Proximity Measure" which will be described in the next section. The hierarchical measure applies to two nodes n and m of a hierarchy, and accounts for the direct proximity measure of the edges linking n to m.

Direct Proximity Measure

The proximity measure is adapted from the measure of tfidf (term frequency -inverse document frequency) [START_REF] Salton | Introduction to modern information retrieval[END_REF]. It is computed on each edge and accounts for the weight of the edge. The weight of each edge represents a degree of confidence. This measure is defined as follows:

Let G be a graph such that G = (V, E), we take an edge e ∈ E and a node n ∈ N and we define :

• source(e) the node source of edge e, and target(e) the node target of edge e.

• ω(e) the weight of edge e.

• δ + (n) is the weighted outgoing degree of n, and δ -(n) is the weighted ingoing degree of n.

The proximity value [START_REF] Salton | Automatic Text Processing: The Transformation, Analysis, and Retrieval of Information by Computer[END_REF] is computed using the following formula :

prox(e) = ω(e) δ -(target(e)) × ω(e) δ + (source(e))
The first (resp. second) factor of our formula corresponds to the proportion of the weight of e in ingoing edges (resp. outgoing edges) of e. The proximity measure, can be computed for a weighted graph, oriented or not. It reflects the importance of e for its extremities. In the example Fig. 3 the importance of e is weak in comparison to the total weight of all incident edges. Consequently, the two nodes have a weak proximity as shown here prox(e) = 10 460 × 10 285 = 0, 00072

Hierarchical Proximity Measure

A hierarchical proximity measurement is computed between two nodes x and y on a hierarchy of l levels with l >= 0 (see figure 5). This measure accounts for the edges e i between x and nodes that are in the shortest path between x and y. The measure prox ρ (x) is computed with the following formula :

prox ρ (x, y) = l i=1 prox(e i ) * (l + 1 -i)
When an edge doesn't exist we will consider its weight to be equal to zero. The hierarchical measure takes parents in the multilevel graph into account and favours close parents over more distant parents.

The Fig. 5 gives an example of the computation of the hierarchical proximity measure. In this example, the computation of the hierarchical proximity measure is the following: prox ρ (x, y) = prox(e 1 ) * 4 + prox(e 2 ) * 3 + prox(e 3 ) * 2 + prox(e 4 )

Compound graph versus clustered graph

As mentionned previously, we chose to construct a compound graph instead of a clustered graph. The main difference between compound graphs and clustered graphs is that in the latter case meta-nodes that represent clusters are created [START_REF] Junger | Graph Drawing Software[END_REF]. A difficulty is then to find labels to attach to the meta-nodes created. By building a compound graph we avoid this problem since no new node has to be created. The final structure contains only the nodes of the original graph. Important nodes are used as clusters or compound nodes and the containment hierarchy can be used to express important relations between compound nodes and related nodes. This strategy offers several advantages. Firstly it underlines important nodes. Secondly, it encodes edges with high proximity measure by the containment relation of our compound graph. This graphical coding is not only stronger than simple links, it also simplifies the graphical representation by eliminating a lot of links. Thirdly, as mentionned above, there is no additionnal work to find representatives for meta-nodes, since meta-nodes are nodes, their name is directly found and meaningful.

Algorithm

In this section we present and explain our algorithm. Our algorithm Alg. 1 can be decomposed into three parts :

(1) The initialisation, from line 1 to line 3, (2) the grouping of neighbours, from line 5 to line 10, and (3) the reassignement of neighbours, from line 11 to line 20.

Algorithm:Graph2GraphHierarchy(Graph G;X,Y,Z integers) The initialisation consists in choosing X vertices with a maximum weighted degree (line 1). These vertices constitute seeds for our sub-hierarchies at the level 1. The Fig. 5 (A) describes this initialisation, here we take the nodes {a, b, c}.

1 max ← getMaxDegreeNode(G,
The parts 2 and 3 are enclosed in a Breadth-First search algorithm. The nodes are colored in black in order to know which nodes have already been processed.

The second part of our algorithm consists in taking the neighbourhood of our seeds (line 5). Each seed will be the compound nodes of all nodes in the neighbourhood. Each seed has a different neighbourhood, nevertheless a node can be in several different neighbourhoods, see (B) in Fig. 5, the node d can be affected in two different groups. The third part of our algorithm is the reassignment. Each seed now has a list of child nodes noted children. We select the Y nodes in children which have the highest weighted degree, and on these nodes we select the Z nodes which maximize the proximity with their parents. We obtain a list of selected nodes considered as important (line 13) in the algorithm. We must further reassign all previously added nodes, to nodes in the selected set of nodes if they maximize the proximity value. For example, see the Fig. 5, line (C), node i, g, k are reassigned to new parent nodes in selected.

We iterate with nodes contained in the next level of our hierarchy see Fig. 5 areas (D) and (E). The algorithm stops when all nodes are colored black.

The algorithm is particulary adaptable to scale-free graphs. In particular, it is possible to adapt parameter Y (number of nodes of maximal degree) and Z (number of nodes of maximal proximity) in order to favour either closer or higher degree nodes in the selected set of nodes. If the value of parameter Y is chosen in order to favour the nodes with higher degree it helps to reduce the number of links displayed (replaced by the containment relation) which in turn makes the diagram clearer.

Full-zoom exploration

Zoom is used to support multi-level exploration of the lexical network. It is based on the compound graph generated according to the procedure described in the previous section.

Figure 6: Full-zoom exploration

In the graphical representation, (see figure 5) nodes are represented by circles. The compound graph structure imposes that a node can contain a graph which can be empty or contains other nodes.

At each zoom level, the computation of the surface of a node is defined by : surf ace(x) = 8 < :

4 * π 2 if child(x) = ∅ φ × X c∈child(x)
surf ace(c) otherwise

where φ is a percentage of freedom. For instance if φ = 120%, 20% of the total surface of children is left empty for the legibility of the diagram.

Furthermore, a node is expanded if its surface is higher than a percentage ζ. For instance, if ζ = 25% the node will be expanded when its surface takes more than 25% of the screen surface. This choice allows us to adapt to various screen resolutions.

Conclusion and perspective

In this paper we have proposed an original method for the multi-level exploration of a lexical network. The graph underlying the lexical network has scale free and smallworld properties. Even though we applied our approach to a given lexical network, we believe that our approach is general enough to apply to other networks with similar scale-free and small-world properties. For example, an interesting application would be the multiscale visualization of tags in social bookmarking systems.

In future work, we plan to extend our multi-level exploration tool with editing capacities so that it is possible for a user to modify the generated compound graph when necessary. We also want to integrate a search tool so that it is possible to automatically animate the graph toward a specific term. Finally, we plan to conduct controlled experiments to validate the approach on various datasets.

Figure 1 :

 1 Figure 1: Degree repartition, for ingoing degree.

Figure 3 :

 3 Figure 3: A sample for the proximity metric

Figure 4 :

 4 Figure 4: Hierarchical proximity measure

9

  child(p) ← child(p) ∪ node; 10 color node in BLACK ; 11 for each leaf ∈ leaves do 12 children ← Child(leaf);

14 for

 14 each n ∈ children\ selected do 15 near ← neighbours of n in selected; 16 node ← give a node n' in near maximizing prox ρ (n,root(n')); 17 if node = parent(n) then 18 remove n from child(parent(n)); 19 child(node) ← child(node) ∪ n; 20 leave3 ← leave3 ∪ child(leaf); 21 leave ← leave3;

Figure 5 :

 5 Figure 5: Execution of Graph2GraphHierarchy AlgorithmThe third part of our algorithm is the reassignment. Each seed now has a list of child nodes noted children. We select the Y nodes in children which have the highest weighted degree, and on these nodes we select the Z nodes which maximize the proximity with their parents. We obtain a list of selected nodes considered as important (line 13) in the algorithm. We must further reassign all previously added nodes, to nodes in the selected set of nodes if they maximize the proximity value. For example, see the Fig.5, line (C), node i, g, k are reassigned to new parent nodes in selected.We iterate with nodes contained in the next level of our hierarchy see Fig.5areas (D) and (E). The algorithm stops when all nodes are colored black.The algorithm is particulary adaptable to scale-free graphs. In particular, it is possible to adapt parameter Y (number of nodes of maximal degree) and Z (number of nodes of maximal proximity) in order to favour either closer or higher degree nodes in the selected set of nodes. If the value of parameter Y is chosen in order to favour the nodes with higher degree it helps to reduce the number of links displayed (replaced by the containment relation) which in turn makes the diagram clearer.


Résumé

Le dernier ouvrage de Dominique Cardon présente la version rédigée du cours en Culture numérique que le sociologue assure depuis plusieurs années auprès du collège universitaire de SciencesPo. Dans ces pages, on peut reconnaître la démarche théorique du chercheur aussi bien que l'effort pédagogique de l'enseignant qui assume une responsabilité assez délicate : nous offrir une synthèse critique, accessible, exhaustive et efficace, de la culture numérique à l'état actuel des choses. Au carrefour de deux exigences spéculaires, celle de coder et celle de décoder, le sociologue organise ici une totalité de savoirs et de connaissances interdisciplinaires, naviguant entre informatique et philosophie, sociologie et théorie économique, sciences politiques et analyses de marché. Au centre de son analyse, les nouvelles configurations de l'espace public, les formes de la démocratie internet, l'influence des algorithmes et des moteurs de recherche, le digital labor, le problème de la surveillance. Notre compte rendu, sans aucune prétention d'exhaustivité, revient sur les principales étapes de cette véritable exploration de la culture numérique, qui s'adresse avant tout aux novices tout en constituant un instrument utile de synthèse et de suggestions bibliographiques pour les chercheurs.

Sommario

L'ultima opera di Dominique Cardon è la versione scritta del corso di Cultura digitale che il sociologo tiene da parecchi anni presso il collegio universitario di SciencesPO. In queste pagine è possibile riconoscere l'approccio teorico del ricercatore e lo sforzo pedagogico dell'insegnante che assume une responsabilità assai delicata : offrirci un bilancio critico, abbordabile, esauriente e efficace, della cultura digitale di oggi. In mezzo a due esigenze speculari, quella di codificare e quella di decodificare, il sociologo organizza un insieme di saperi e conoscenze interdisciplinari, muovendosi tra informatica e filosofia, sociologia e teorie dell'economia, politologia e analisi di mercato. Al centro della sua analisi, lo spazio pubblico, la democrazia internet, l'influenza degli algoritmi e dei motori di ricerca, il digital labor, il problema della sorveglianza. La nostra recensione, senza pretese di esaustività, segnala le tappe principali di una vera esporazione della cultura digitale, ceh è un'opera di divulgazione per i novizi e un utile strumento di sintesi e di indicazioni bibliografiche per i ricercatori.

Mot-clés : Culture numérique, web, Cardon, espace public, algorithmes, digital labor

Parole chiave: culture digitale, web, cardon, spazio pubblico, algoritmi, digital labor

Table des matières

La culture numérique selon Dominique Cardon

Peppe Cavallari

Ces dernières années, l'expression « culture numérique » s'est progressivement inscrite dans la pensée pédagogique et sociologique, mais aussi, plus généralement, en sciences humaines, obtenant une reconnaissance institutionnelle qui se manifeste par la création de cours ou de programmes dédiés dans les universités et dans les écoles de technologie et SIC. Une compréhension strictement technique des innovations apportées par la diffusion de l'informatique dans les usages communicationnels et informationnels les plus communs se révèle en effet insuffisante, car les mutations engagées par le numérique ont acquis une dimension que l'on définit, justement, de culturelle. En 2008, dans Digital Cultures, Milad Doueihi décrivait le numérique comme étant un processus civilisateur faisant émerger de nouvelles normes sociales marquées d'un côté par la contradiction entre un accès fluide à l'information et à la liberté d'expression, et de l'autre par des effets de surveillance et de contrôle. L'aspect fondamental du processus civilisateur à l'oeuvre est ainsi, d'après Milad Doueihi, l'universalisme. Cet universalisme, « qui conduit à valoriser l'uniformité, à établir un code où la similitude devient la règle », est comparable à celui de la religion, car, tout comme elle, il suggère et outille une vision du monde et une façon de l'habiter valide pour des communautés par ailleurs très lointaines et différentes.

La dimension religieuse de la culture numérique a pour effet de niveler les différences et de réduire les facteurs locaux à des simples variations superficielles d'une culture technologique universelle et homogène et de son environnement numérique. […] La culture numérique et son environnement toujours changeant sont donc à examiner comme un ensemble de pratiques discursives, qui ont leur propres normes et conventions, qui tendent à fragiliser, à perturber des catégories établies1 .

Quelques années plus tard, Doueihi élaborait la notion d'humanisme numérique basée sur la dimension culturelle de la technologie dominante : L'humanisme numérique est l'affirmation que la technique actuelle, dans sa dimension globale, est une culture, dans le sens où elle met en place un nouveau contexte, à l'échelle mondiale, et parce que le numérique, malgré une forte composante technique qu'il faut toujours interroger et sans cesse surveiller (car elle est l'agent d'une volonté économique), est devenu une civilisation qui se distingue pour la manière dont elle modifie nos regards sur les objets, les relations et les valeurs, et qui se caractérise par les nouvelles perspectives qu'elle introduit dans le champ de l'activité humaine. (Doueihi 2011b, 9-10) L'humanisme numérique apparaissait en somme comme la « convergence entre notre héritage culturel complexe et une technique devenue un lieu de sociabilité ».

Le terme « convergence » avait déjà été mobilisé en 2006 par Henry Jenkins, qui qualifiait de « culture de la convergence » (convergence culture) la culture à l'ère du numérique, car axée sur les dynamiques de la culture participative et sur les formes de l'intelligence collective [START_REF] Lévy | L'Intelligence collective : pour une anthropologie du cyberspace[END_REF]. D'autres auteurs, malgré leurs perspectives théoriques très différentes, s'accordent à reconnaître la dimension culturelle du numérique : un théoricien de la performance et du direct comme Philip Auslander l'identifie ainsi comme culture de la médiation (mediatized culture (1999)), tandis que le philosophe Maurizio Ferraris le considère comme culture de l'enregistrement et d'une nouvelle forme de documentalité 2 . Les acceptions d'un terme aussi polysémique que « culture » sont multiples et versatiles, leurs significations changent selon le cadre conceptuel de référence. Selon plusieurs acceptions, notamment celle qui se réfère à l'agriculture et celle qui évoque le culte, le concept de culture sous-tend l'idée d'un savoir qui empiète sur un savoir faire. La culture ne repose pas seulement sur des notions théoriques car, dans le travail des terres comme dans la liturgie religieuse, elle est faite de gestes, de pratiques, d'actions qui se doivent d'être efficaces et traditionnelles. En effet, d'après les auteurs que nous venons de mentionner, la « culture » est un ensemble varié et cohérent, on pourrait dire un système, de pratiques et de visions du monde, de valeurs et de savoirs, de méthodes et de comportements, de façons de penser et de communiquer, de protocoles et de normes, d'instruments de la connaissance et les connaissances mêmes qui en découlent. Si ce système, dont la dimension constitutive est sociale, est articulé, agencé et régi par une technologie aussi diffusée et omniprésente que la technologie numérique, alors la culture numérique peut être conçue comme la culture à l'époque du numérique. C'est-à-dire la culture propre à notre société contemporaine, car -renversant le concept avec une apparente lapalissade -à l'époque du numérique, la culture ne peut pas ne pas être numérique, parce que la sociabilité qui l'anime et la constitue en tant que produit collectif, elle, est créée et façonnée par « le » numérique. « Culture de la visibilité et de la recommandation », « culture expressive et relationnelle », « culture de l'information en temps réel », « culture participative et citoyenne », sont les caractéristiques de la culture numérique selon Rémy Rieffel qui constatait, en 2014, l'ampleur de la « révolution numérique », sa capacité à questionner le rapport entre l'homme et la technique et, par conséquent, ses contributions à la production d'un nouveau contexte technologique et, par-là, social et culturel. Convoquons enfin un autre auteur qui a réfléchit aux innovations majeures apportées par la démocratisation de la technologie numérique à la production et à la circulation du savoir : Daniel Caron. Dans l'ouvrage L'homme imbibé, Caron nous donne une définition du terme « culture » que nous validons car elle nous semble opérationnelle pour avancer dans notre réflexion : la culture, écrit-il, est « la manière dont nous envisageons le monde autour de nous et la manière dont nous sommes perçus ». Elle constitue « l'ensemble de ce qui affecte le développement de notre esprit et finalement de nos collectivités dans nos manières de nous comporter, de comprendre notre environnement, de l'influencer, de dire et de définir le vrai et le faux, le bon et le mauvais ou l'acceptable et l'inacceptable » 3 . Nos perceptions, nos pratiques, nos convictions, nos valeurs, ces quatre domaines fondamentaux de toute culture sont aujourd'hui infiltrés par les usages propres à la technologie numérique. Il en découle que nous ne pouvons que parler de culture numérique si nous voulons saisir et décrire ce qui caractérise la culture à l'époque et dans le milieu socio-technologique dans laquelle nous vivons.

Le dernier ouvrage de Dominique Cardon assume l'évidence de ce constat en l'érigeant comme titre : ici, culture numérique est « la somme des conséquences qu'exerce sur nos sociétés la généralisation des techniques de l'informatique », car derrière « le numérique » il y a l'informatique (Cardon 2019, 18), mais surtout la culture qu'il faut se forger et dont il faut s'équiper pour pouvoir habiter le monde à l'époque du numérique. La culture numérique, chez le sociologue, identifie et circonscrit un certain savoir, voire l'assortiment des notions et des compétences pratiques que nous nous devons de maitriser pour être à la hauteur du défi implicite posé par ce tournant historique que nous sommes en train de vivre. des livres, des articles, des entretiens, des conférences, des documentaires : en somme tout ce qui est « à lire, à voir, à écouter ». Les suggestions de Cardon ouvrent et structurent un contexte théorique assez hétéroclite : informatique et social, cognitif et politique, commercial et artistique, économique et philosophique.

Dans cet ouvrage, qui est la version rédigée du cours que le sociologue assure depuis plusieurs années, Cardon -se dissociant en cela de la vision pour laquelle la révolution numérique s'inscrit dans le sillage des révolutions industrielles4 -défend que l'impact de la technologie numérique doit être comparé à celui de l'invention de l'écriture puis de celle de l'imprimerie, car en créant un nouveau milieu informationnel et communicationnel, elle engage l'émergence d'un système cognitif et symbolique dans lequel les autorités culturelles et institutionnelles traditionnelles sont mises profondément en question, voire bouleversées. Ce point de vue est à rapprocher, sous un angle épistémologique, des travaux pionniers de Pierre Lévy qui, dans les années 1990, considérait l'informatique comme une technologie de l'intelligence5 ; mais aussi, sous un angle socio-sémiotique cette fois, des supports l'analyse des interfaces de Lév [START_REF] Manovich | The language of new media[END_REF] ; et enfin, dans une perspective davantage historique (du moins, de l'histoire de l'écriture et de la lecture), des propos de Christian Vandendorpe, pour lequel les innovations numériques caractéristiques de notre époque proviennent fondamentalement des changements du texte et de la textualité (1999).

Dans le présent article, nous nous livrons ainsi à une synthèse du travail de Cardon, dans laquelle, sans aucune prétention d'exhaustivité, nous chercherons à marquer les passages qui nous semblent être les plus cruciaux dans un ouvrage qui, tout au long de ses 421 pages, touche à un grand nombre des questions que la technologie numérique et les pratiques qui la constituent ne cessent de nous poser.

Internet et Web : la généalogie d'un nouvel espace public (Chapitres 1-3)

La démarche de Cardon est historique. L'auteur commence ainsi par revenir sur les origines de l'Internet et du Web. Cette histoire implique une leçon sociologique que l'auteur anticipe dans sa déclaration programmatique : L'histoire des sciences et des techniques enseigne qu'une invention ne s'explique pas uniquement par la technique. Elle contient aussi la société, la culture et la politique de son époque. Le choix des technologies, les alliances entre acteurs, la manière de définir les usages sont étroitement liés au contexte social, culturel et politique. Dans le cas d'internet, cet éclairage sociologique est particulièrement important. On ne peut vraiment comprendre la grande transition numérique, cette dynamique qui semble toujours orientée vers le futur, qu'en interrogeant ses origines. (p. 17) Les deux premiers chapitres organisent de façon claire et linéaire plusieurs notions que l'on peut d'habitude trouver éparpillées dans de nombreux ouvrages et pages Web. Ces données retracent l'histoire de la naissance du réseau Internet et de l'invention de l'hypertexte et forment aussi l'imaginaire très hybride, parce qu'informatique, militaire, industriel, universitaire et hippy, que nous associons à l'époque des pionniers du numérique 6 . Cardon propose une synthèse historique toujours très bien référencée, fluide, et raconte les stratégies et les finalités politiques à la base des recherches qui ont conduit à la création d'Internet, parmi lesquelles le concept de réseau distribué de Paul Baran dont s'inspire la transmission de paquets sur Internet (p. 31-35) et la notion de « communauté virtuelle », forgée par Howard Rheingold en 1987. Ce concept marque les premiers échanges à distance possibles grâce à The Well, forum et communauté virtuelle qui introduit la distinction entre 6. À lire, à voir, à écouter :pour l'histoire de l'ordinateur personnel, « History of personal Computers » (77'), http ://www.Youtube.com/watch ?v=AlBr-kPgYuU ; pour l'histoire d'Internet, J. Abbate, Inventing the Internet, Cambridge, The MIT Press, 1999 ; pour une aperçue de l'immense infrastructure physique qui se cache derrrière les écrans, « Andrew Blum : What is the Internet, Really ? » (11'59), TED Talking, september 2012 etA. Blum, Tubes : A journey to the Center of the Internet, New York, HarperCollins, 2013.

monde réel et virtuel 7 . L'utopie de cette époque est l'indifférenciation égalitaire entre les individus : « s'il faut séparer le réel et le virtuel, soutiennent les pionniers des mondes numériques, c'est justement pour abolir les différences entre les individus…ils rêvent d'une communauté atopique, déterritorialisée et ouverte ». Ce n'était que de la « cécité idéologique », remarque Cardon, celle qui caractérisait la toute jeune société de l'information et de la communication en temps réel : « en réalité, il apparaitra très vite que la frontière entre monde réel et virtuel n'est pas si étanche et que les inégalités de ressources sociales et culturelles entre internautes s'exercent aussi dans les espaces en ligne » (p.62). Si l'opposition entre réel et virtuel, qui a marqué cette première période, apparait finalement dépassée grâce à des éclairages philosophiques 8 et à la banalisation des pratiques dites numériques, Cardon conserve cependant ce mot, « internaute », qui à notre avis demanderait d'être utilement mise en question. Ouvrons une parenthèse : « internaute » semble impliquer une conception extra-ordinaire de l'expérience numérique, la même conception qui faisait parler aussi de cyberespace. À l'époque de la connexion permanente, qui ne serait pas internaute ? Nous croyons que ce mot pourrait être heuristiquement propice seulement dans une acception anthropologique et culturelle, pour laquelle, à l'époque du numérique, les êtres humains entreraient dans une nouvelle phase de civilisation dans laquelle ils devraient être qualifiés d'internautes. Mais ce n'est pas en ce sens que Cardon utilise ce terme : le sociologue l'emploie comme on fait usage des mots « spectateurs », « voyageurs » ou « clients », c'est-à-dire des mots faisant référence à une expérience (la vision d'un film, d'un déplacement en train, d'un achat) limitée dans le temps et dans l'espace, tandis que les moments d'entrée et de sortie de la connexion au réseau sont de plus en plus souples, fusionnels et immersifs avec tout ce qui se passe en dehors du réseau, en admettant qu'on puisse encore identifier des choses complètement étrangères aux effets et aux 7. « Qu'entend-on alors pour communauté virtuelle ? D'abord l'idée d'une séparation, d'une coupure entre le réel et le virtuel. Les participant de The Well se félicitent du ton de liberté, de la vivacité, de l'humour et de la curiosité qui règnent en ligne et qui n'ont pu s'épanouir dans les communautés hippies réelles. […] Les premières communautés d'internet qui sont à l'origine de cette idée de séparation entre ''en ligne" et ''hors ligne" considèrent le monde virtuel plus riche, plus authentique et plus vrai que la vie réelle, et non pas futile, trompeur et dangereux comme le voient les critiques aujourd'hui. Le virtuel, c'est un espace pour réinventer, en mieux, les relations sociales » (p. 60).

8. À voir, à lire, à écouter : pour naviguer dans les acceptions philosophiques du terme virtuel, Cardon suggère la lecture de l'ouvrage de Marcello Vitali-Rosati, S'orienter dans le virtuel (2012).

ressources propres à la connexion. Dans l'ouvrage cité plus tôt, Milad Doueihi cite un billet de blog de Tim Bray, lequel affirme que nous ne sommes pas des usagers mais tout juste des humains. Nous ne sommes pas des individus qui seraient internautes de façon transitoire, car les êtres humains d'aujourd'hui sont constitués par la connexion. Cependant, on constate que le Baromètre du numérique 2018 (que Cardon insère dans sa bibliographie) continue d'employer ce mot pour identifier les Français connectés au réseau et révéler ainsi que le pourcentage (89%) s'approche d'une couverture totale de la population, en confirmant la dimension banale, et par là culturelle, de la connexion. Quoi qu'il en soit, en tant qu'héritage des premiers discours sociologiques sur les communautés en ligne, le mot « internaute » fonctionne aujourd'hui encore, à notre avis, comme un révélateur terminologique résiduel toujours intéressant.

Ce qui émerge clairement dans la toute première partie de Culture numérique, c'est la nouvelle fonction sociale de la technologie :

La technologie est investie du pouvoir thaumaturgique de révolutionner la société. L'innovation numérique doit permettre de faire tomber les hiérarchies, de court-circuiter les institutions et de bousculer les ordres sociaux traditionnels. La technologie est véritablement pensée comme un instrument d'action politique. (p.68) Cardon note la date du 30 avril 1993, le jour où le CERN a renoncé à ses droits d'auteur sur le logiciel World Wide Web, offert la technologie de l'HTML au monde et publié le code source : ainsi, « les liens hypertexte appartiennent désormais à tous, ils constituent un bien de l'humanité 9 » (p. 88).

Et puis il en souligne une autre, le 30 avril 1995 : à cette date, les connexions au réseau, qui jusque-là étaient gérées par le gouvernement USA, sur la base d'une décision prise par la National Science Foundation, passent dans la disponibilité des opérateurs privés, ceux qu'on appellera par la suite les fournisseurs d'accès. C'est le début de la nouvelle économie, qui se révèlera vite une bulle : « Internet est né comme une utopie politique, écrit Cardon, le Web naît comme la promesse marchande de révolutionner la vieille économie et 11. « La plupart des grandes innovations du web sont parties de rien, ou, pour être plus juste de pas grand-chose. Elles ne sont pas issues de la recherche universitaire ni des laboratoires des grandes entreprises. Elles ne sont pas le fruit d'une vaste réflexion stratégique ni d'une rigoureuse analyse marketing des attentes des consommateurs. La plupart du temps, elles ont surgi sans que personne n'ait vu ni prévu quoi que ce soit. […] L'innovation arrive…de la périphérie ».

12. Cardon dédie un paragraphe entier à Wikipédia, « l'entreprise collective la plus audacieuse jamais réalisée à l'échelle du web (p. 123-131). lités, alors même que ces communautés fonctionnent sans commandement centrale. C'est un travail dans lequel les personnes s'auto-motivent, avec pour conséquence que personne ne donne explicitement d'ordre à d'autres. La valeur des individus est établie selon des critères essentiellement méritocratiques : c'est l'apport de chacun à la fabrication d'un bien collectif qui fait l'objet d'une reconnaissance par les pairs et qui confère un statut au sein de la communauté. Cette reconnaissance a beau être symbolique, lorsqu'un codeur réputé au sein d'une communauté du logiciel libre se fait embaucher par une société informatique, il obtient un meilleur salaire que la moyenne (p. 116).

À partir du troisième chapitre, l'auteur aborde la question de l'espace public, question à laquelle il avait consacré, il y a 8 ans, La Démocratie Internet, dont les pages dédiées à « l'élargissement de l'espace publique » sont ici reprises et retravaillées [START_REF] Cardon | La démocratie Internet : promesses et limites[END_REF]. L'espace public, qui est espace de visibilité et d'accessibilité à l'instar de la sociologie urbaine, et espace d'initiatives et de propositions d'intérêt public selon la théorie politique, est profondément réarrangé par les réseaux sociaux, surtout à travers une reconfiguration et une redistribution de l'acte que Cardon considère comme fondateur de cet espace, c'est-à-dire la prise de parole et, par-là, la production d'une identité. Prise de parole et identité numérique sont les deux concepts sur lesquels Cardon axe sa typologie des réseaux sociaux. La plus importante nouveauté sociologique dans ce domaine est celle pour laquelle des amateurs parlent à d'autres amateurs, rendant publics les propos de n'importe qui. Ce à quoi on assiste et à quoi on participe est un processus d'« individualisation de la vie privée », affirme Cardon (p. 185), qui consiste dans la production d'une identité numérique13 . Lorsqu' il parle de « vraie vie » pour la comparer à la « vie dite virtuelle, ou en ligne » et quand il mobilise la notion de « projection de soi » pour définir l'identité numérique, l'auteur a recours de façon quelque peu ambigüe à des définitions qui pourraient faire croire à une vision ontologiquement et psychologiquement dichotomique de deux plans d'action, de deux vécus, alors même que, pour lui, les pratiques sur les réseaux sociaux ne créent pas de vie parallèle et illusoire mais bien une amplification de la vie.

Espace public, démocratie et médias (Chapitre 4)

Notre « vie réelle » acquiert d'autres dimensions, par le biais d'une exposition qui est avant toute chose exposition à soi-même et, par là, réflexion. Une analyse contre-intuitive de la « gymnastique du bras tendu » propre au geste du selfie, amène Cardon à souligner que « le montreur est son premier regardeur ». La visibilité numérique est donc réflexive : la longueur du bras incarne la « distance à soi » qui préside tout comportement d'exhibition (p. 183). Les pratiques de mise en présence, d'exhibition et de relation contribuent à structurer un espace de parole ouvert à la conversation publique. L'essor des réseaux sociaux et leurs fonctions de producteurs et de diffuseurs d'informations, d'initiatives et de consensus, ne risque pas de menacer l'existence des institutions et des principes de la démocratie représentative. Le Web ne remplace pas l'environnement politico-médiatique traditionnel car au contraire, « les Etats, les médias et les partis politiques restent au coeur de son fonctionnement. Ils ont, eux aussi, progressivement trouvé leur place dans les mondes numériques dont ils sont devenus les acteurs majeurs » (p. 217).

Au couple « démocratie représentative »/« démocratie participative », Cardon ajoute la démocratie internet, caractérisée par des logiques de décentralisation, d'horizontalité et d'auto-organisation de plus en plus hybridées par des dynamiques de centralisation, de contrôle, de surveillance 14 . Au milieu de cette contradiction, l'espace public refaçonné par les réseaux sociaux engendre une nouvelle culture politique, « marquée par une sorte d'affinité de structure, d'une part, les formes collectives qui s'organisent (les communautés comme le logiciel libre ou Wikipedia, les structures de gouvernance comme l'IETF, les activistes du Web comme les Anonymus ou le Parti Pirate) et, d'autre part, les nouvelles formes de mouvement social qui apparaissent au début des années 2000 » (p. 228). Les mobilisations sur les réseau sociaux délégitiment les phases susceptibles de créer la figure du leader : pas de leader, pas de porte-parole ; la singularité de leurs membres est une valeur cruciale, personne ne participe au nom d'une autre association ou groupe organisé. Chacun ne représente que soi-même. L'attachement aux procédures démo- cratiques internes discipline l'absence d'un projet ou d'un programme qui ne sont jamais établis avant que ne se manifeste l'engagement des participants.

C'est pourquoi, comme sur Wikipedia ou dans le monde du logiciel libre, ces collectifs prennent leurs décisions par consensus plutôt que par un vote majoritaire. Consensus ne veut pas dire unanimité, mais une longue série de discussions pour trouver des compromis satisfaisants. Les technologies numériques deviennent alors l'objet dans lequel les militants de ces mouvements investissent une énergie considérable pour débattre des formes et des procédures de prise de décision au sein de leur collectif. Les groupes d'Occupy et de Nuit debout en France ont ainsi créé des wikies réunissant le travail d'une centaine de commissions, elles-mêmes divisées en sous-commissions. S'y manifeste de façon exacerbée un phénomène, souvent observé dans les mondes numériques, consistant à faire du débat sur les procédures la forme même de l'expérience démocratique des participants 15 . (p. 232) Regardant de plus près les revirements de l'actualité politique en Italie, en Estonie, aux États-Unis, en Turquie, en Espagne et même en Allemagne, Cardon rappelle que les médias les plus importants pour une campagne électorale sont encore la télévision et la presse. Le moment où le Web joue un rôle déterminant est lors de l'entrée en politique d'un acteur capable de former et de mobiliser rapidement des communautés en ligne. Dans les régimes autoritaires, c'est aussi en ligne qu'on peut contourner les stratégies des canaux d'information institutionnels. Le numérique accentue l'écart entre un journalisme de qualité, qui s'engage dans des enquêtes, dans la création de nouveaux formats et dans la production de contenus originaux, et un journalisme qui ne serait qu'un prétexte pour faire du marketing et faire cliquer le lecteur sur des informations de tous genres, y compris des fake news. Cardon réduit l'impact réel des fake news à l'échelle de visibilité des différents acteurs 15. À lire, à voir, à écouter : Pour une analyse des mobilisations politiques numériques et le rapport entre numérique et politique, l'ouvrage de Zeynep Tufekci, Twitter and Tears Gas. The Power and Fragility of Netwoorked Protest (2017). Pour une critique de l'utopie démocratique numérique, E. Morozov, « from Slaktivism to Activism », Foreign Policy, 5 september 2009 (disponible en ligne) (Morozov, s. d.). Pour démystifier le récit de la panique suite à l'annonce d'une attaque martienne, annonce donnée par Orson Welles, qui se serait emparé de la population des Etats-Unis, l'ouvrage de A. Brad Schwartz, Broadcast Hysteria. Orson Welles's War of the Worlds and yhe art of Fake News (2015).

numériques pour conclure que « lorsque les acteurs du haut de l'échelle de visibilité d'internet ne se préoccupent pas des informations qui viennent du bas, ou veillent à ne pas les relayer, les fake news ont une circulation limitée, et leur audience reste faible » (p. 272) 16 .

Économie du partage, publicité, digital labor (Chapitre 5)

En 2006, parmi les dix premières capitalisations boursières, une seule entreprise informatique : Microsoft. En 2016, les trois premières entreprises du top 10 sont reliées à l'univers numérique (Apple, Alphabet, Microsoft) tandis qu'Amazon et Facebook accèdent à la sixième et la septième position. C'est à partir de ce constat que Cardon se livre à une analyse du contexte économique contemporain, qui apparait comme étant dominé tout à la fois par les GAFA et par une économie du partage 17 . Ainsi, la possession de données sur les utilisateurs joue un rôle déterminant dans la compétition économique. Cardon adopte des notions de théorie économique telles que la loi des rendements croissants et la loi des effets de réseau, lois auxquelles le numérique ajoute la réduction des coûts de transaction. Dans leur ensemble, ces trois facteurs comportent une tendance monopolististique, propre à tout domaine de l'économie numérique. Dans les pages dédiées aux différents modèles économiques de l'économie numérique, Cardon mentionne Uber et Airbnb, financés par les commissions sur les échanges entre vendeurs et offreurs, Netflix, qui fonctionne par abonnement, Apple et Microsoft qui vendent leur produits, Google et Facebook dont les revenus sont, respectivement au 90% et au 97%, dues à la publicité. Google capture 50% du marché de la publicité en ligne, Facebook les trois quarts de celle affichée sur les réseaux sociaux. Le marketing digital se caractérise par une extraordinaire capacité de profilage des clients, stratégie rendue possible grâce aux cookies, de petits fichiers informatiques inventés en 1994 par Lou Montulli, ingénieur chez Netscape, qui permettent au site de reconnaitre l'identité de celui qui le visite. Son identité n'est que l'ensemble des informations récoltées pendant ses navigations passées. Sur la base de ces données, les espaces d'affichage sont mis aux enchères lors d'opérations qui durent moins de 100 millisecondes.

Le marché de la donnée publicitaire est un monde opaque qui entretient une discrétion délibérée afin de ne pas susciter l'opprobre. Les entreprises prospères qui dominent cet univers, inconnues du grand public, s'appellent Axciom, Bluekai, Rapleaf ou Weborama. Ces courtiers de données (data brokers) ont établi des places de marché électronique pour échanger entre eux les données des utilisateurs et compilent les informations aux franges de la légalité, profitant de la mansuétude des régulateurs. C'est un des domaines que le régulateur européen regarde de très près malgré la résistance des lobbies des publicitaires, qui estiment ces échanges de données indispensables à la personnalisation de la publicité. (p. 316) Après avoir décrit minutieusement le fonctionnement du service Google Ads, qui est sans doute le plus efficace modèle publicitaire sur le Web (p. 316-318), Cardon se penche sur le modèle de notation qui -à partir de l'idée d'Ebay de demander aux acheteurs de noter les vendeurs -s'est imposé comme étant la source et le régime de la réputation dans tout contexte marchand et tout espace transactionnel : Tripadvisor, La Fourchette, Allociné, Amazon, etc. Le risque de voir émerger de faux commentaires discrédite certes le système mais ce n'est pas pour autant que les clients n'arrivent pas à reconnaitre les commentaires authentiques, estime Cardon sur la base de diverses enquêtes 18 . Le cinquième chapitre se termine par une réflexion très documentée sur le digital labor, sujet auquel Cardon a déjà dédié sa discussion avec Antonio Casilli 19 . Nos actions les plus quotidiennes qui se passent dans des plateformes et dans des applications numériques produisent de la valeur et rendemt la plateforme plus performante et plus pertinente dans ses services, quels qu'ils soient. A la lumière de ce constat, Cardon cite les deux théories qui sont autant de façons de considérer le rapport entre individus et environnement numérique. L'opéraïsme de Toni Negri, pour qui le travail de la « multitude » échappe à l'emprise du marché, en engendrant ainsi des éléments d'extériorité qui ne se traduisent pas en valeur marchande. Les nouveaux théoriciens du digital labor, poursuit Cardon, soutiennent la thèse pour laquelle toute activité numérique revient à être la phase du processus de mise au travail généralisée. « Selon cette thèse, synthétise l'auteur, être sur internet c'est participer à ce mécanisme, et c'est donc subir une forme d'exploitation » (p. 341). Deux autres formes d'exploitation sont celles des tâches parcellisées qui, en attendant les robots (ainsi que nous l'annonce le titre du dernier ouvrage d'Antonio [START_REF] Casilli | En attendant les robots : enquête sur le travail du clic[END_REF], à laquelle Cardon renvoie), sont exécutées par des travailleurs souvent désocialisés qui travaillent depuis leur domicile en échange d'une rémunération infime, et celle des employés déguisés en auto-entrepreneurs dans le secteur de l'intermédiation de service (chauffeurs, livreurs, etc.). Cardon cite l'exemple de Deliveroo qui revendique une neutralité, celle de la médiation entre les restaurateurs et les particuliers. Cette neutralité selon Cardon ne peut pas être reconnue et par ailleurs, l'Inspection du travail la qualifie de travail dissimulé car les travailleurs partagent une évidente dépendance économique et technique par rapport à la plateforme. L'avis de Cardon à ce sujet ne laisse pas de place aux équivoques :

Les plateformes aiment à se présenter comme une sorte d'intermédiaire neutre et agnostique entre les différentes faces du marché qu'elles permettent de coordonner. Cette rétention à la neutralité paraît de plus en pus contestable. Les plateformes gouvernes les marchés qu'elles fabriquent non seulement pour assurer la concurrence entre vendeurs, mais aussi pour délimiter les usages et les formes d'interaction entre les segments d 'utilisateurs. (p. 347-348) 19. D. Cardon, A. Casilli, Digital labor, Paris, INA, 2015. Par ailleurs, les plateformes surveillent la qualité des produits vendus et décrochent l'information sur la fiabilité des vendeurs et des usagers, jusqu'à gérer un arbitrage entre vendeurs et acheteurs lors des situations conflictuelles. « Il semble donc difficile, en conclut Cardon, de soutenir que les plateformes soient des marchés neutres[…] Il est plus que temps d'inventer une régulation qui protège les droits de ceux qui vivent des activités qu'elles ne rendent pas simplement possible, mais qu'elles encadrent et commandent » (p. 349).

Algorithmes, Big data et surveillance (chapitre 6)

Dans le dernier chapitre, Cardon aborde la question des algorithmes. L'auteur de « Dans l'esprit du Page Rank. Une enquête sur l'algorithme de Google » et de A quoi rêvent les algorithmes ? nous avait mis en garde face à la supposée neutralité de ces infrastructures de calcul déjà en 2012, dans La démocratie Internet 20 . Ici, le sociologue ne peut que proposer de nouveau les principales acquisitions théoriques qui se basent sur deux considérations, devenues patrimoine commun à partir justement des travaux du sociologue.

La première :

Les algorithmes ne sont pas neutres. Ils renferment une vision de la société qui leur a été donnée par ceux qui les programment dans les grandes entreprises du numérique. Les artefacts techniques contiennent les principes, les intérêts et les valeurs de leurs concepteurs : la mise en oeuvre opérationnelle de ces valeurs passe par des choix techniques, des variables statistiques, de seuils que l'on fixe et des méthodes de calcul.

La seconde :

Il serait déraisonnable de ne pas s'y intéresser sous le prétexte que ce sont des objets techniques complexes que seuls les informaticiens peuvent comprendre. Sans rentrer dans les détails sophisti-20. Les algorithmes qui permettent de hiérarchiser les informations enferment des principes de classement et des visions du monde. Ils structurent très profondément la manière dont les internautes voient les informations et se représentent le monde numérique dans lequel ils se promènent, sans toujours soupçonner le travail souterrain qu'exercent les algorithmes sur leur itinéraire (Cardon 2010, 95).

qués du calcul, nous devons être attentifs à la manière dont nous fabriquons ces calculateurs car, en retour, ils nous construisent. (p. 357) Cardon revient sur sa systématisation topographique de quatre familles d'algorithmes : à côté du Web, l'algorithme mesurant la popularité des sites ; au-dessus du Web, les algorithmes qui s'occupent de hiérarchiser l'autorité des informations ; dans le Web, les algorithmes qui mesurent la réputation ; en dessous, les algorithmes prédictifs du marketing digitale. Les critères et les paramètres des ces quatre types d'algorithmes dérivent d'une certaine vision de l'homme et du social tout en apportant une autre vision de l'individu, de son habitus, de sa façon de vivre le social. Après la description de ces quatre familles qui est reprise de A quoi rêvent les algorithmes ?21 , celui qu'on peut qualifier de sociologue des algorithmes pose plusieurs questions cruciales, par lesquelles progresse sa réflexion : « Comment et par qui voulons-nous être calculés ? Quel degré de maîtrise et de contrôle voulons-nous avoir sur les décisions que prennent les algorithmes ? Qu'est-ce que nous ne voulons pas laisser calculer ? ». L'auteur est bien conscient de la portée philosophique, éthique, juridique et politique de ce questionnement radical qui seul peut démystifier la naïveté insouciante du plus grand nombre. Aujourd'hui, le RGDP (règlement européen sur les données personnelles) impose la transparence des décisions algorithmiques : nous avons le droit de vérifier si des intérêts subreptices influent sur la mise en oeuvre des algorithmes. Il faut se rappeler que les algorithmes sont « idiots » pour ne pas risquer de leurs attribuer des intentionnalités qui ne leur sont pas propres. Les algorithmes, remarque Cardon, peuvent produire des effets désagréables et trompeurs que leurs concepteurs n'ont pas anticipés et qui ne sont pas toujours manifestes (par exemple, des discriminations dans les prédictions criminelles, dans l'autocomplete de Google et dans les offres des vendeurs sur Airbnb), mais il n'y a pas lieu de les démoniser car « puisque les algorithmes forment leurs modèles à partir des données fournies par nos sociétés, leurs prédictions tendent à reconduire automatiquement les distributions, les inégalités et les discrimination du monde sociale » (p. 407)22 .

Le dernier développement de l'ouvrage est celui de la surveillance, qui semble s'être transformée en autocontrôle, écrit Cardon en citant opportunément Gilles Deleuze et l'exemple du Panopticon. Surveillance du marché, surveillance des autres individus (les voisins, les ex-partenaires, les futurs employeurs, les collègues, les parents) et de l'État, cette dernière étant particulièrement sensible dans un contexte politique marqué à l'échelle mondiale par des stratégies terroristes. La surveillance, observe cardon, s'est mise en place avec le soutien et la tolérance de nos sociétés. Maintenant, face à l'exigence d'une négociation de nos droits individuels qui doit pouvoir opposer des limites à ces systèmes, Cardon appelle à des revendications collectives, car il ne faut pas considérer la privacy comme étant une question personnelle mais comme un droit collectif. Le droit à une société dans laquelle pouvoir « garder des jardins secrets », quitte à renoncer à une partie d'efficacité dans le service que nous rendent les plateformes et les algorithmes. « Plus que jamais, écrit Cardon dans ses conclusions, il appartient aux chercheurs, aux communautés, aux pouvoirs publics et surtout aux internautes de préserver la dynamique réflexive, polyphonique et peu contrôlable amorcée par les pionniers du Web » (p. 421).

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9.

  Cardon nous invite à ne pas sous-estimer la portée de cette décision, compte tenu du fait que, lorsqu'il généralise le like, en 2010, Facebook crée un nouveau lien qui en revanche ne sera jamais public : le like demeure un lien propriétaire (p.89).les marchés traditionnels, mais rien n'a fonctionné comme prévu » (p. 91) 10 . Après avoir raconté les vicissitudes des premières innovations du Web, les innovations « ascendantes » 11 , dont le hashtag sur Twitter, inventé en 2006 par un simple inscrit au réseau, Chris Messina, et le « miracle sociologique auquel personne ne croyait » de Wikipedia 12 , fondée en 2000 par Jimmy Wales, petit entrepreneur dans le secteur de l'e-commerce, Cardon introduit la question du commun (deuxième chapitre) qui ensuite se poursuit par une réflexion sur l'espace public.« Le commun n'est ni un bien privé, c'est-à-dire la propriété exclusive d'un ou plusieurs détenteurs, précise Cardon, ni un bien public gouverné par la puissance publique au nom de l'intérêt général. Le Web compte beaucoup de caractéristiques d'un bien public, comme celle d'être accessible et partagé par tous, mais il a ceci de spécifique que la communauté qui veille sur lui a, non pas des droits, mais une autorité particulière de gouvernance » (p. 111). Pour décrire l'historicité de cette dialectique entre logiciels propriétaires et logiciels libres, Cardon fait référence à deux figures principales : Bill Gates, qui en 1976, dans une lettre envoyée aux membres du Homebrew Computer Club de Menlo Park, déclare de ne pas vouloir permettre l'emploi gratuit du logiciel conçu pour l'Altair 8800, et Richard Stallman, développeur et fondateur, en 1985, de la Free Software Foundation. C'est Stallman qui, en 1983, lance GNU, le logiciel libre devenu Linux en 1991 grâce à Linus Torvalds. Ces pages sont denses de références que l'auteur sait détailler sans pour autant alourdir sa synthèse, avant de réfléchir à la culture de l'open source qui marque les pratiques numériques :[Dans les communautés des logiciels libres] Le travail est régi par une fine division des tâches et une distribution des responsabi-10. À lire, à voir, à ecouter : pour l'histoire de la privatisation du réseau et de l'émérgence d'une nouvelle économie, Cardon renvoi à l'ouvrage de Shane Greenstein, How the Internet Became Commercial. Innovation, Privatization and the Birth of a New Network (2015).

  14. À lire, à voir, à écouter : pour aborder la politologie du numérique avec une vision optimiste, Cardon signale l'intervention de Pia Mancini (co-créatrice du logiciel libre democracyOS) « How to Upgrade Democracy for the Internet Area », TED Talk 2014 et celle de Clay Shirky, « How Internet Will (One Day) Transform Government », TED Talks, 2012.

  16. À lire, à voir, à écouter, pour une contestation de l'idée que Donald Trump ait gagné grâce aux fake news, D. J. Watts et D. M. Rothschild, « Don't Blame the Election on fake News, Blame it on the Media », Columbia Journalism Rewiew, 5 décembre 2017 (Watts et Rothschild 2017) et H. Allcott et M. Gentzkow, « Social Media and Fake News in the 2016 Election », Journal of Economic Perspectives, 31 (2), 2017 (Allcott et Gentzkow 2017). 17. À lire, à voir, à écouter : pour l'économie des plateformes, D. Evans et R. Schmalensee, De précieux intermédiaires. Comment Blablacar, Facebook, Paypal ou Uber créent de la valeur (Evans, Schmalensee, et Tirole 2017a) et C. Benavent, Plateformes. Sites collaboratifs, marketplaces, réseaux sociaux…Comment ils influencent nos choix (Benavent 2016).

  18. À lire, à voir, à écouter : parmi les études sociologiques sur les systèmes de notation, D. Pasquier, Valérie Beaudouin, T. Legon, « Moi je lui donne 5/5 ». Paradoxes de la critique amateure en ligne, Paris, Presses des Mines, 2014 et S. David et T. Pinch, « Six Degrees of Reputation : The Use and Abuse of Online Rewiew and Recommandation Systems », dans T. Pinch et R. Swedberg (eds), Living in a material World. Economic Sociology Meets Science and technology Studies, Cambridge (Mass.), The MIT Press, 2008.

M.Doueihi, Digital Cultures (2011a). En traduction française, La grande conversion numérique(2008, 25, 26)

M. Ferraris, Anima e iPad (2011). Traduction française Âme et iPad (2014) ; Mobilizzazione totale (2015), traduction française, Mobilisation totale (2016).

D.-J. Caron, L'homme imbibé. De l'oral au numérique : un enjeu pour l'avenir des cultures ? (2014) : pour notre compte-rendu de cet ouvrage, voir ici).

Nous entrons dans un monde nouveau que le numérique enrichit, transforme et surveille, écrit-il dans son Introduction. Il est important de disposer de connaissances variées et interdisciplinaires pour y vivre avec agilité et prudence, car si nous fabriquons le numérique, le numérique nous fabrique aussi.(Cardon 2019, 9) Cette circularité liant l'homme aux artefacts, ainsi que la nécessité de développer et d'institutionnaliser des stratégies pédagogiques capable de nous apprendre, ne serait-ce que les grandes lignes, du fonctionnement de la machine, avaient déjà été théorisées dans A quoi rêvent les algorithmes ?, où Cardon revendiquait le droit à une instruction de base incluant les logiques et les paramètres des algorithmes qui orientent nos gestes, nos déplacements et nos décisions[START_REF] Cardon | Qu'est-ce que le digital labor ?[END_REF]. Quatre ans après cet ouvrage déjà devenu un classique de la sociologie francophone du numérique, Cardon semble vouloir prendre en charge cette responsabilité pédagogique, de plus en plus urgente, d'organiser, de stabiliser et de divulguer un savoir indispensable à l'époque actuelle. Le sociologue nous donne un cadre conceptuel dense et cohérent et un apparat de connaissances qui font aussi la narration, synthétique et exhaustive, de la généalogie et de la socialisation des outils et des pratiques liées à l'écriture et à la communication, à la socialisation et à la recherche scientifique, au partage du savoir et au marché. Le généreux corpus bibliographique anglo-francophone qui accompagne chaque chapitre nous signale

C'est la position, entre autres, de Jeremy Rifkin. Cf. J. Rifkin, La troisième Révolution industrielles. Comment le pouvoir latéral va transformer l'énérgie, l'économie et le monde, Paris, editions LLL, 2012

5. Voir P. Lévy Les technologies de l'intelligence, (1990) et Qu'est-ce que le virtuel ? (2001).

À lire, à voir, à écouter :pour une théorie générale de la vie privée, H. Nissembaum, Privacy in Context. Technology, Policy and the Integrity of Social Life (2010).

Pour cette raison nous renvoyons le lecteur à notre compte rendu de cet ouvrage, disponible ici.

À lire, à voir, à écouter : sur la gouvernementalité algorithmique, la présentation de Antoniette Rouvroy « Rencontre avec Antoniette Rouvroy : gouvernementalité algorithmique et idéologie des big data » YouTube, 6 mars 2018 ; sur les effets de discrimination,


Ciprian A Tudor Samos

/ Matisse

On the structure of Gaussian random variables

Keywords: 2000 AMS Classification Numbers: 60G15, 60H05, 60H07 Gaussian random variable, representation of martingales, multiple stochastic integrals, Malliavin calculus

We study when a given Gaussian random variable on a given probability space (Ω, F , P ) is equal almost surely to β 1 where β is a Brownian motion defined on the same (or possibly extended) probability space. As a consequence of this result, we prove that the distribution of a random variable in a finite sum of Wiener chaoses (satisfying in addition a certain property) cannot be normal. This result also allows to understand better a characterization of the Gaussian variables obtained via Malliavin calculus.

Introduction

We study when a Gaussian random variable defined on some probability space can be expressed almost surely as a Wiener integral with respect to a Brownian motion defined on the same space. The starting point of this work are some recent results related to the distance between the law of an arbitrary random variable X and the Gaussian law. This distance can be defined in various ways (the Kolmogorov distance, the total variations distance or others) and it can be expressed in terms of the Malliavin derivative DX of the random variable X when this derivative exists. These results lead to a characterization of Gaussian random variables through Malliavin calculus. Let us briefly recall the context. Suppose that (Ω, F, P ) is a probability space and let (W t ) t∈[0,1] be a F t Brownian motion on this space, where F t is its natural filtration. Equivalent conditions for the standard normality of a centered random variable X with variance 1 are the following: E 1 -DX, D(-L) -1 |X = 0 or E f ′ z (X)(1 -DX, D(-L) -1 = 0 for every z where D denotes the Malliavin derivative, 1 L is the Ornstein-Uhlenbeck operator, •, • denotes the scalar product in L 2 ([0, 1]) and the deterministic function f z is the solution of the Stein's equation (see e.g. [START_REF] Nourdin | Stein's method on Wiener chaos[END_REF]). This characterization is of course interesting and it can be useful in some cases. It is also easy to understand it for random variables that are Wiener integrals with respect to W . Indeed, assume that X = W (h) where h is a deterministic function in L 2 ([0, 1]) with h L 2 ([0,1]) = 1. In this case DX = h = D(-L) -1 X and then DX, D(-L) -1 = 1 and the above equivalent conditions for the normality of X can be easily verified. In some other cases, it is difficult, even impossible, to compute the quantity E DX, D(-L) -1 |X or E f ′ z (X)(1 -DX, D(-L) -1 . Let us consider for example the case of the random variable Y = 1 0 sign(W s )dW s . This is not a Wiener integral with respect to W . But it is well-known that it is standard Gaussian because the process β t = t 0 sign(W s )dW s is a Brownian motion as follows from the Lévy's characterization theorem. The chaos expansion of this random variable is known and it is recalled in Section 2. In fact Y can be expressed as an infinite sum of multiple Wiener-Itô stochastic integrals and it is impossible to check if the equivalent conditions for its normality are satisfied (it is even not differentiable in the Malliavin calculus sense). The phenomenon that happens here is that Y can be expressed as the value at time 1 of the Brownian motion β which is actually the Dambis-Dubbins-Schwarz (DDS in short) Brownian motion associated to the martingale

M Y = (M Y t ) t∈[0,1] , M Y t = E (Y |F t ) (recall that F t is
the natural filtration of W and β is defined on the same space Ω (or possibly on a extension of Ω) and is a G s -Brownian motion with respect to the filtration G s = F T (s) where

T (s) = inf(t ∈ [0, 1]; M Y t ≥ s))
. This leads to the following question: is any standard normal random variable X representable as the value at time 1 of the Brownian motion associated, via the Dambis-Dubbins-Schwarz theorem, to the martingale M X , where for every t M X t = E(X|F t )?

By combining the techniques of Malliavin calculus and classical tools of the probability theory, we found the following answer: if the bracket of the F t martingale M X is bounded a.s. by 1 then this property is true, that is, X can be represented as its DDS Brownian motion at time 1. The property also holds when the bracket M X 1 is bounded by an arbitrary constant and M X 1 and β M X 1 are independent. If the bracket of M X is not bounded by 1, then this property is not true. An example when it fails is obtained by considering the standard normal random variable W (h 1 )sign(W (h 2 )) where h 1 , h 2 are two orthonormal elements of L 2 ([0, 1]). Nevertheless, we will prove that we can construct a bigger probability space Ω 0 that includes Ω and a Brownian motion on Ω 0 such that X is equal almost surely with this Brownian motion at time 1. The construction is done by the means of the Karhunen-Loève theorem. Some consequences of this result are discussed here; we believe that these consequences could be various. We prove that the standard normal random variables such that the bracket of its associated DDS martingale is bounded by 1 cannot live in a finite sum of Wiener chaoses: they can be or in the first chaos, or in an infinite sum of chaoses. We also make a connection with some results obtained recently via Stein's method and Malliavin calculus.

We structured our paper as follows. Section 2 starts with a short description of the elements of the Malliavin calculus and it also contains our main result on the structure of Gaussian random variables. In Section 3 we discusses some consequences of our characterization. In particular we prove that the random variables whose associated DDS martingale has bracket bouned by 1 cannot belong to a finite sum of Wiener chaoses and we relate our work with recent results on standard normal random variables obtained via Malliavin calculus.

On the structure of Gaussian random variable

Let us consider a probability space (Ω, F, P ) and assume that (W t ) t∈[0,1] is a Brownian motion on this space with respect to its natural filtration (F t ) t∈[0,1] . Let I n denote the multiple Wiener-Itô integral of order n with respect to W . The elements of the stochastic calculus for multiple integrals and of Malliavin calculus can be found in [START_REF] Malliavin | Stochastic Analysis[END_REF] or [START_REF] Nualart | Malliavin Calculus and Related Topics[END_REF]. We will just introduce very briefly some notation. We recall that any square integrable random variable which is measurable with respect to the σ-algebra generated by W can be expanded into an orthogonal sum of multiple stochastic integrals

F = n≥0 I n (f n ) (2)
where

f n ∈ L 2 ([0, 1] n ) are (uniquely determined) symmetric functions and I 0 (f 0 ) = E [F ].
The isometry of multiple integrals can be written as: for m, n positive integers and

f ∈ L 2 ([0, 1] n ), g ∈ L 2 ([0, 1] m ) E (I n (f )I m (g)) = n! f, g L 2 ([0,1]) ⊗n if m = n, E (I n (f )I m (g)) = 0 if m = n. (3)
It also holds that

I n (f ) = I n f
where f denotes the symmetrization of f defined by f (x 1 , . . . , x x ) = 1 n! σ∈Sn f (x σ(1) , . . . , x σ(n) ). We will need the general formula for calculating products of Wiener chaos integrals of any orders m, n for any symmetric integrands

f ∈ L 2 ([0, 1] ⊗m ) and g ∈ L 2 ([0, 1] ⊗n ); it is I m (f )I n (g) = m∧n l=0 l!C l m C l n I m+m-2l (f ⊗ l g) (4)
where the contraction

f ⊗ l g (0 ≤ l ≤ m ∧ n) is defined by (f ⊗ ℓ g)(s 1 , . . . , s n-ℓ , t 1 , . . . , t m-ℓ ) = [0,T ] m+n-2ℓ f (s 1 , . . . , s n-ℓ , u 1 , . . . , u ℓ )g(t 1 , . . . , t m-ℓ , u 1 , . . . , u ℓ )du 1 . . . du ℓ . (5)
Note that the contraction (f ⊗ ℓ g) is an element of L 2 ([0, 1] m+n-2ℓ ) but it is not necessary symmetric. We will by (f ⊗ℓ g) its symmetrization. We denote by D 1,2 the domain of the Malliavin derivative with respect to W which takes values in L 2 ([0, 1] × Ω). We just recall that D acts on functionals of the form f (X), with X ∈ D 1,2 and f differentiable, in the following way: D α f (X) = f ′ (X)D α X for every α ∈ (0, 1] and on multiple integrals

I n (f ) with f ∈ L 2 ([0, 1] n ) as D α I n (f ) = nI n-1 f (•, α).
The Malliavin derivative D admits a dual operator which is the divergence integral δ(u) ∈ L 2 (Ω) if u ∈ Dom(δ) and we have the duality relationship

E(F δ(u)) = E DF, u , F ∈ D 1,2 , u ∈ Dom(δ). (6)
For adapted integrands, the divergence integral coincides with the classical Itô integral.

Let us fix the probability space (Ω, F, P ) and let us assume that the Wiener process (W t ) t∈[0,1] lives on this space. Let X be a centered square integrable random variable on Ω. Assume that X is measurable with respect to the sigma-algebra F 1 . After Proposition 1 the random variable X will be assumed to have standard normal law.

The following result is an immediate consequence of the Dambis-Dubbins-Schwarz theorem (DDS theorem for short, see [START_REF] Karatzas | Brownian motion and stochastic calculus[END_REF], Section 3.4, or [START_REF] Revuz | Continuous martingales and Brownian motion[END_REF], Chapter V).

Proposition 1 Let X be a random variable in L 1 (Ω). Then there exists a Brownian motion (β s ) s≥0 (possibly defined on an extension of the probability space) with respect to a filtration

(G s ) s≥0 such that X = β M X 1
where M X = (M X t ) t∈[0,1] is the martingale given by [START_REF] Hu | Some processes associated with fractional Bessel processes[END_REF]. Moreover the random time T = M X 1 is a stopping time for the filtration G s and it satisfies T > 0 a.s. and ET = EX 2 .

Proof: Let T (s) = inf t ≥ 0, M X t ≥ s . By applying Dambis-Dubbins-Schwarz theorem

β s := M T (s)
is a standard Brownian motion with respect to the filtration G s := F T (s) and for every t ∈ [0, 1] we have M X t = β M X t a.s. P . Taking t = 1 we get

X = β M X 1 a.s.. The fact that T is a (G s ) s≥0 stopping time is well known. It is true because ( M X 1 ≤ s) = (T (s) ≥ 1) ∈ F T (s) = G s . Also clearly T > 0 a.s and ET = EX 2 .
In the sequel we will call the Brownian β obtained via the DDS theorem as the DDS Brownian associated to X.

Recall the Ocone-Clark formula: if X is a random variable in D 1,2 then

X = EX + 1 0 E (D α X|F α ) dW α . (7)
Remark 1 If the random variable X has zero mean and it belongs to the space D 1,2 then by the Ocone-Clark formula [START_REF] Nualart | Central limit theorem for multiple stochastic integrals and Malliavin calculus[END_REF] we have M X t = t 0 E (D α X|F α ) dW α and consequently

X = β R 1 0 (E(DαX|Fα)) 2 dα
where β is the DDS Brownian motion associated to X.

Assume from now on that X ∼ N (0, 1). As we have seen, X can be written as the value at a random time of a Brownian motion β (which is fact the Dambis-Dubbins-Schwarz Brownian associated to the martingale M X ). Note that β has the time interval R + even if W is indexed over [0, 1]. So, if we know that β T has a standard normal law, what can we say about the random time T ? It is equal to 1 almost surely? This is for example the case of the variable X = 1 0 sign(W s )dW s because here, for every t ∈ [0, 1], M X t = t 0 sign(W s )dW s and M X t = t 0 (sign(B s ) 2 ds = t. An other situation when this is true is related to Bessel processes. Let (B (1) , . . . B (d) ) be a d-dimensional Brownian motion and consider the random variable

X = 1 0 B (1) s (B (1) s ) 2 + . . . + (B (d) s ) 2
dB (1) s + . . .

+ 1 0 B (d) s (B (1)
s ) 2 + . . . + (B (d) s ) 2 dB (d) s (8)
It also satisfies T := M X t = t for every t ∈ [0, 1] and in particular M X 1 = 1 a.s.. We will see below that the fact that any N (0, 1) random variable is equal a.s. to β 1 (its associated DDS Brownian evaluated at time 1) is true only for random variables for which the bracket of their associated DDS martingale is almost surely bounded and T and β T are independent or if T is bounded almost surely by 1.

We will assume the following condition on the stopping time T .

There exist a constant M > 0 such that T ≤ M a.s.

The problem we address in this section is then the following: let (β t ) t≥0 be a G t -Brownian motion and let T be a almost surely positive stopping time for its filtration such that E(T ) = 1 and T satisfies (9). We will show when T = 1 a.s.

Let us start with the following result.

Theorem 1 Assume (9) and assume that T is independent by β T . Then it holds that ET 2 = 1.

Proof: Let us apply Itô's formula to the G t martingale β T ∧t . Letting t → ∞ (recall that T is a.s. bounded) we get

Eβ 4 T = 6E T 0 β 2 s ds.
Since β T has N (0, 1) law, we have that Eβ 4 T = 3. Consequently

E T 0 β 2 s ds = 1 2 .
Now, by the independence of T and β T , we get E(T

β 2 T ) = ET Eβ 2 T = 1. Applying again Itô formula to β T ∧t with f (t, x) = tx 2 we get ET β 2 T = E T 0 β 2 s ds + E T 0 sds.
Therefore E T 0 sds = 1 2 and then ET 2 = 1.

Theorem 2 Let (β t ) t≥0 be a G t Wiener process and let T be a G t bounded stopping time with ET = 1. Assume that T and β t are independent. Suppose β T has a N (0, 1) law. Then T = 1 a.s.

Proof: It is a consequence of the above proposition, since

E(T -1) 2 = ET 2 -2E(T )+1 = 0.
Proposition 2 Assume that (9) is satisfied with M ≤ 1. Then T = 1 almost surely.

Proof: By Itô's formula,

Eβ 4 T = 6E T 0 β 2 s ds = 6E 1 0 β 2 s ds + E R + β 2 s 1 [T,1] (s)ds.
Since 6E Next, we will try to understand if this property is always true without the assumption that the bracket of the martingale M X is finite almost surely. To this end, we will consider the following example. Let (W t ) t∈[0,1] a standard Wiener process with respect to its natural filtration

F t . Consider h 1 , h 2 two functions in L 2 ([0, 1]) such that h 1 , h 2 L 2 ([0,1]) = 0 and h 1 L 2 ([0,1]) = h 2 L 2 ([0,1]) = 1. For example we can choose h 1 (x) = √ 21 [0, 1 2 ] (x) and h 2 (x) = √ 21 [ 1 2
,1] (x) (so, in addition, h 1 and h 2 have disjoint support). Define the random variable

X = W (h 1 )signW (h 2 ). ( 10
)
It is well-known that X is standard normal. Note in particular that X 2 = W (h 1 ) 2 . We will see that it cannot be written as the value at time 1 of its associated DDS martingale. To this end we will use the chaos expansion of X into multiple Wiener-Itô integrals.

Recall that if h ∈ L 2 ([0, 1]) with h L 2 ([0,1]) = 1 then (see e.g. [START_REF] Hu | Some processes associated with fractional Bessel processes[END_REF])

sign(W (h)) = k≥0 b 2k+1 I 2k+1 (h ⊗(2k+1) ) with b 2k+1 = 2(-1) k √ 2π(2k + 1)k!2 k , k ≥ 0.
We have Proposition 3 The standard normal random variable X given by ( 10) is not equal a.s. to β 1 where β is its associated DDS martingale.

Proof: By the product formula (4) we can express X as (note that h 1 and h 2 are orthogonal and there are not contractions of order l ≥ 1)

X = k≥0 b 2k+1 I 2k+2 h 1 ⊗h ⊗2k+1 2 and E (X|F t ) = k≥0 b 2k+1 I 2k+2 (h 1 ⊗h ⊗2k+1 2 )1 ⊗2k+2 [0,t] (•) for every t ∈ [0, 1].
We have

(h 1 ⊗h ⊗2k+1 2 )(t 1 , . . . , t 2k+2 ) = 1 2k + 2 2k+1 i=1 h 1 (t i )h ⊗2k+1 2 (t 1 , .., ti , .., t 2k+2 ) (11)
where ti means that the variable t i is missing. Now, M X t = E (X|F t ) = t 0 u s dW s where, by ( 11)

u s = k≥0 b 2k+1 (2k + 2)I 2k+1 (h 1 ⊗h 2k+1 2 )(•, s)1 ⊗2k+1 [0,s] (•) = k≥0 b 2k+1 h 1 (s)I 2k+1 h ⊗2k+1 2 1 ⊗2k+1 [0,s] (•) +(2k + 1)h 2 (s)I 1 (h 1 1 [0,s] (•))I 2k h ⊗2k 2 1 ⊗2k [0,s] (•) .
for every s ∈ [0, 1]. Note first that, due to the choice of the functions h 1 and h 2 ,

h 1 (s)h 2 (u)1 [0,s] (u) = 0 for every s, u ∈ [0, 1].
Thus the first summand of u s vanishes and

u s = k≥0 b 2k+1 (2k + 1)h 2 (s)I 1 (h 1 1 [0,s] (•))I 2k h ⊗2k 2 1 ⊗2k [0,s] (•) . Note also that h 1 (x)1 [0,s] (x) = h 1 (x) for every s in the interval [ 1 2 , 1]. Consequently, for every s ∈ [0, 1] u s = W (h 1 ) k≥0 b 2k+1 (2k + 1)h 2 (s)I 2k h ⊗2k 2 1 ⊗2k [0,s] (•) .
Let us compute the chaos decomposition of the random variable 1 0 u 2 s ds. Taking into account the fact that h 1 and h 2 have disjoint support we can write

1 0 u 2 s ds = k,l≥0 b 2k+1 b 2l+1 (2k + 1)(2l + 1)W (h 1 ) 2 1 0 dsh 2 (s) 2 I 2k h ⊗2k 2 1 ⊗2k [0,s] (•) I 2l h ⊗2l 2 1 ⊗2l [0,s] (•) . Since W (h 1 ) 2 = I 2 h ⊗2 1 + 1 0 h 1 (u) 2 du = I 2 h ⊗2 1 + 1
and

E (sign(W (h 2 )) 2 = 1 0 dsh 2 2 (s)E   k≥0 b 2k+1 (2k + 1)I 2k h ⊗2k 2 1 ⊗2k [0,s] (•)   2 = 1
we get

1 0 u 2 s ds = 1 + I 2 h ⊗2 1 ×   1 + k,l≥0 b 2k+1 b 2l+1 (2k + 1)(2l + 1) 1 0 dsh 2 (s) 2 I 2k h ⊗2k 2 1 ⊗2k [0,s] (•) I 2l h ⊗2l 2 1 ⊗2l [0,s] (•) -EI 2k h ⊗2k 2 1 ⊗2k [0,s] (•) I 2l h ⊗2l 2 1 ⊗2l [0,s] (•) =: 1 + I 2 h ⊗2 1 (1 + A).
Therefore we obtain that (1 + A) = 1 almost surely which implies that I 2 (h ⊗2 1 )(1 + A) + A = 0 a.s. and this is impossible because I 2 (h ⊗2 1 ) and A are independent.

We obtain an interesting consequence of the above result.

Corollary 1 Let X be given by (10). Then the bracket of the martingale M X with M X t = E (X|F t ) is not bounded by 1.

Proof: It is a consequence of Proposition 3 and of Theorem 2.

Remark 2 Proposition 3 provides an interesting example of a Brownian motion β and of a stopping time T for its filtration such that β T is standard normal and T is not almost surely equal to 1.

Let us make a short summary of the results in the first part of our paper: if X is a standard normal random variable and the bracket of M X is bounded a.s. by 1 then X can be expressed almost surely as a Wiener integral with respect to a Brownian motion on the same (or possibly extended) probability space. The Brownian is obtained via DDS theorem. The property is still true when the bracket is bounded and T and β T are independent random variables. If the bracket of M X is not bounded, then X is not necessarily equal with β 1 , β being its associated DDS Brownian motion. This is the case of the variable (10).

Nevertheless, we will see that after a suitable extension of the probability space, any standard normal random variable can be written as the value at time 1 of a Brownian motion constructed on this extended probability space.

Proposition 4 Let X 1 be a standard normal random variable on (Ω 1 , F 1 , P 1 ) and for every i ≥ 2 let (Ω i , F i , P i , X i ) be independent copies of (Ω 1 , F 1 , P 1 , X 1 ). Let (Ω 0 , F 0 , P 0 ) be the product probability space. On Ω 0 define for every t ∈ [0, 1]

W 0 t = k≥1 f k (t)X k
where (f k ) k≥1 are orthonormal elements of L 2 ([0, 1]). Then W 0 is a Brownian motion on

Ω 0 and X 1 = 1 0 1 u dsf 1 (s) dW 0 u a.s..

Proof:

The fact that W 0 is a Brownian motion is a consequence of the Karhunen-Loève theorem. Also, note that

X 1 = W 0 , f 1 = 1 0 W 0 s f 1 (s)ds
and the conclusion is obtained by interchanging the order of integration.

Remark 3 Let us denote by F 0 t the natural filtration of W 0 . It also holds that

E X 1 |F 0 t = E t 0 g u dW 0 u where g u = 1 u dsf 1 (s).
It is obvious that the martingale E X 1 |F 0 t is a Brownian motion via the DDS theorem and X 1 can be expressed as a Brownian at time 1.

Consequences

We think that the consequences of this result are multiple. We will prove here first that a random variable X which lives in a finite sum of Wiener chaoses cannot be Gaussian if the bracket of M X is bounded by 1. Again we fix a Wiener process (W t ) t∈[0,1] on Ω.

Let us start with the following lemma.

Lemma 1 Fix N ≥ 1. Let g ∈ L 2 ([0, 1] ⊗N +1
) symmetric in its first N variables such that 1 0 dsg(•, s) ⊗g(•, s) = 0 almost everywhere on [0, 1] ⊗2N . Then for every k = 1, . . . , N -1 it holds that 1 0 dsg(•, s) ⊗k g(•, s) = 0 a.e. on [0, 1] 2N -2k .

Proof: Without loss of generality we can assume that g vanish on the diagonals (t i = t j ) of [0, 1] ⊗(N +1) . This is possible from the construction of multiple stochastic integrals. From the hypothesis, the function

(t 1 , . . . , t 2N ) → 1 (2N )! σ∈S 2N 1 0
dsg(t σ(1) , . . . , t σ(N ) , s)g(t σ(N +1) , . . . , t σ(2N ) , s)

vanishes almost everywhere on [0, 1] ⊗2N . Put t 2N -1 = t 2N = x ∈ [0, 1]. Then for every x, the function (t 1 , . . . t 2N -2 ) → σ∈S 2N-2 1 0
dsg(t σ(1) , . . . , t σ(N -1) , x, s)g(t σ(N ) , . . . , t σ(2N -2) , x, s) is zero a.e. on [0, 1] ⊗(2N -2) and integrating with respect to x we obtain that -2) . By repeating the procedure we obtain the conclusion.

1 0 dsg(•, s) ⊗1 g(•, s) = 0 a.e. on [0, 1] ⊗(2N
Let us also recall the following result from [START_REF] Nualart | Central limit theorem for multiple stochastic integrals and Malliavin calculus[END_REF].

Proposition 5 Suppose that F = I N (f N ) with f ∈ L 2 ([0, 1] N ) symmetric and N ≥ 2 fixed.
Then the distribution of F cannot be normal.

We are going to prove the same property for variables that can be expanded into a finite sum of multiple integrals.

Theorem 3 Fix N ≥ 1 and et let X be a centered random variable such that X = N +1 n=1 I n (f n ) where f ∈ L 2 ([0, 1] n ) are symmetric functions. Suppose that the bracket of the martingale M X (1) is bounded almost surely by 1. Then the law of X cannot be normal.

Proof: We will assume that EX 2 = 1. Suppose that X is standard normal. We can write X as X = 1 0 u s dW s where u s = N n=1 I n (g n (•, s)). As a consequence of Proposition 4,

1 0 u 2 s ds = 1 a. s.
But from the product formula (4)

1 0 u 2 s ds = 1 0 ds N n=1 I n (g n (•, s)) 2 = 1 0 ds N m,n=1 m∧n k=1 k!C k n C k m I m+n-2k (g n (•, s) ⊗ g m (•, s))ds.
The idea is to benefit from the fact that the highest order chaos, which appears only once in the above expression, vanishes. Let us look to the chaos of order 2N in the above decomposition. As we said, it appears only when we multiply I N by I N and consists in the random variable I 2N The conclusion of the above theorem still holds if M X satisfies (9) and M X 1 is independent by β M X 1 .

Finally let us make a connection with several recent results obtained via Stein's method and Malliavin calculus. Recall that the Ornstein-Uhlenbeck operator is defined as [START_REF] Karatzas | Brownian motion and stochastic calculus[END_REF]. There exists a connection between δ, D and L in the sense that a random variable F belongs to the domain of L if and only if F ∈ D 1,2 and DF ∈ Dom(δ) and then δDF = -LF .

LF = -n≥0 nI n (f n ) if F is given by
Let us denote by D the Malliavin derivative with respect to W and let, for any

X ∈ D 1,2 G X = DX, D(-L) -1 X .
The following theorem is a collection of results in several recent papers.

Theorem 4 Let X be a random variable in the space D 1,2 . Then the following affirmations are equivalent.

1. X is a standard normal random variable.

For every

t ∈ R, one has E e itX (1 -G X ) = 0. 3. E ((1 -G X )/X) = 0. 4. For every z ∈ R, E (f ′ z (1 -G X )) = 0
, where f z is the solution of the Stein's equation (see [START_REF] Nourdin | Stein's method on Wiener chaos[END_REF]).

Proof: We will show that 1. ⇒ 2. ⇒ 3. ⇒ 4. ⇒ 1. First suppose that X ∼ N (0, 1). Then

E e itX (1 -G X ) = E(e itX ) - 1 it E De itX , D(-L) -1 X = E(e itXn ) - 1 it E Xe itX = ϕ X (t) - 1 t ϕ ′ X (t) = 0.
Let us prove now the implication 2. ⇒ 3. It has also proven in [START_REF] Nourdin | Density formula and concentration inequalities with Malliavin calculus[END_REF], Corollary 3.4. Set F = 1 -G X . The random variable E(F |X) is the Radon-Nykodim derivative with respect to P of the measure Q(A) = E(F 1 A ), A ∈ σ(X). Relation 1. means that E e itX E(F/X) = E Q (e itX ) = 0 and consequently Q(A) = E(F 1 A ) = 0 for any A ∈ σ(X n ). In other words, E(F |X) = 0. The implication 3. ⇒ 4 is trivial and the implication 4. ⇒ 1. is a consequence of a result in [START_REF] Nourdin | Stein's method on Wiener chaos[END_REF].

As we said, this property can be easily understood and checked if X is in the first Wiener chaos with respect to W . Indeed, if X = W (f ) with f L 2 ([0,1]) = 1 then DX = D(-L) -1 X = f and clearly G X = 1. There is no need to compute the conditional expectation given X, which is in practice very difficult to be computed. Let us consider now the case of the random variable Y = 1 0 sign(W s )dW s . The chaos expansion of this variable is known. But Y is not even differentiable in the Malliavin sense so it is not possible to check the conditions from Theorem 4. Another example is related to the Bessel process (see the random variable 8). Here again the chaos expansion of X can be obtained (see e.g. [START_REF] Hu | Some processes associated with fractional Bessel processes[END_REF]) but is it impossible to compute the conditional expectation given X.

But on the other hand, for both variables treated above their is another explanation of their normality which comes from Lévy's characterization theorem. Another explanation can be obtained from the results in Section 2. Note that these two examples are random variables such that the bracket of M X is bounded a.s.

Corollary 2 Let X be an integrable random variable on (Ω, F, P ). Then X is a standard normal random variable if and only if there exists a Brownian motion (β t ) t≥0 on an extension of Ω such that D β X, D β (-L β ) -1 X = 1.

(13)

Proof: Assume that X ∼ N (0, 1). Then by Proposition 4, X = β 1 where β is a Brownian motion on an extended probability space. Clearly (13) holds. Suppose that there exists β a Brownian motion on (Ω, F, P ) such that (13) holds. Then for any continuous and piecewise differentiable function f with Ef ′ (Z) < ∞ we have

E f ′ (Z) -f (X)X = E f ′ (X) -f ′ (X) D β X, D β (-L β ) -1 X = E f ′ (Z)(1 -D β X, D β (-L β ) -1 X = 0
and this implies that X ∼ N (0, 1) (see [START_REF] Nourdin | Stein's method on Wiener chaos[END_REF], Lemma 1.2).

1 0 β 2 s

 2 ds = 3 and Eβ 4 T = 3 it follows that E R + β 2 s 1 [T,1] (s)ds = 0 and this implies that β 2 s (ω)1 [T (ω),1] (s) = 0 for almost all s and ω. Clearly T = 1 almost surely.

1 0 u 2 s

 2 ds = 1 almost surely if and only if 1 + I 2 h ⊗2 1

1 0 1 0g

 11 g N (•, s) ⊗ g N (•, s)ds . The isometry of multiple integrals (3) implies that N (•, s) ⊗g N (•, s)ds = 0 a. e. on [0, 1] 2N and by Lemma 1, for every k = 1, . . . , N -1.

1 0g 1 0 1 0

 111 N (•, s) ⊗k g N (•, s)ds = 0 a. e. on [0, 1] 2N -2k . (12) Consider now the the random variable Y := I N +1 (f N +1 ). It can be written as Y = I N (g N (•, s))dW s and b y the DDS theorem, Y = β Y R ds(I N (g N (•,s))) 2 . The multiplication formula together with (12) shows that 1 0 ds(I N (g N (•, s))) 2 is deterministic and as a consequence Y is Gaussian. This is in contradiction with Proposition 5.

Acknowledgement: The Proposition 4 has been introduced in the paper after a discussion with Professor Giovanni Peccati. We would to thank him for this. We are also grateful to Professor P. J. Fitzsimmons for detecting a mistake in the first version of this work.