Federico Brunero
email: brunero@eurecom.fr

Petros Elia
email: elia@eurecom.fr

On the Optimality of Coded Caching With Heterogeneous User Profiles

Keywords: Coded caching, file popularity, heterogeneous profiles, information-theoretic converse, user preferences

In this paper, we consider a coded caching scenario where users have heterogeneous interests. Taking into consideration the system model originally proposed by Wang and Peleato, for which the end-receiving users are divided into groups according to their file preferences, we develop a novel information-theoretic converse on the worst-case communication load under uncoded cache placement. Interestingly, the developed converse bound, jointly with one of the coded schemes proposed by Wang and Peleato, allows us to characterize the optimal worstcase communication load under uncoded prefetching within a constant multiplicative gap of 2. Although we restrict the caching policy to be uncoded, our work improves the previously known order optimality results for the considered caching problem.

I. INTRODUCTION

With the introduction of video streaming platforms and cloud computing services, such as Netflix, Amazon Prime and AWS, we witnessed in the recent years a significant rise in the network traffic. On the one hand, the appearance of dataintensive network applications clearly entails more services at disposal of the users, with consequent benefits for the latter. On the other, communication networks are constantly put under pressure to deliver increasingly larger volumes of data in a timely and efficient manner. As a consequence, the explosion of network traffic has sparked much interest in developing new communication techniques and, to this end, much research focused on the pivotal role that caching will play in the future.

The idea of caching simply consists of exploiting low-cost memories at end-receiving users to diminish significantly the network load from a centralized server to its cache-aided receiving users. The real challenge is to intelligently design the placement phase so as to minimize the volume of data that the server has to deliver during the delivery phase. The seminal work in [START_REF] Maddah-Ali | Fundamental limits of caching[END_REF] tackled this problem introducing the clever concept of coded caching, a major breakthrough which pushed even further the benefits of caching. More specifically, the Maddah-Ali and Niesen (MAN) coded scheme in [START_REF] Maddah-Ali | Fundamental limits of caching[END_REF] shed light on the actual information-theoretic gains that caching can provide if the placement phase is carefully designed so that, during the delivery phase, coding techniques can be employed to align the interference patterns. Current research on coded caching spans several topics such as the interplay between multiple antennas and caching [START_REF] Lampiris | Adding transmitters dramatically boosts codedcaching gains for finite file sizes[END_REF]- [START_REF] Tölli | Multi-antenna interference management for coded caching[END_REF], the construction of converse bounds [START_REF] Wan | An index coding approach to caching with uncoded cache placement[END_REF], [START_REF] Yu | The exact rate-memory tradeoff for caching with uncoded prefetching[END_REF] and a variety of other scenarios [START_REF] Hachem | Coded caching for multi-level popularity and access[END_REF]- [START_REF] Brunero | Fundamental limits of combinatorial multiaccess caching[END_REF].

A. Coded Caching With Hetereogeneous User Profiles

Since the introduction of coded caching, many works studied several variations of the original information-theoretic system model. In particular, much research aimed at understanding how caching policies should reflect the possibility that, in real scenarios, contents may have different degrees of popularity and users may have diverging interests.

On the one hand, considering that traditional caching techniques heavily rely on the fact that some contents might be more popular than others, the works in [START_REF] Niesen | Coded caching with nonuniform demands[END_REF], [START_REF] Zhang | Coded caching under arbitrary popularity distributions[END_REF] focused on the interplay between coded caching and file popularities.

On the other hand, some other works sought to explore the scenario where each user is not necessarily interested in the entire library of contents at the main server -as instead was implicitly assumed in [START_REF] Maddah-Ali | Fundamental limits of caching[END_REF]. For instance, the works in [START_REF] Chang | Coded caching with heterogeneous file demand sets -the insufficiency of selfish coded caching[END_REF], [START_REF] Chang | On coded caching for two users with overlapping demand sets[END_REF] explored, for the case of K = 2 users, the performance of selfish coded caching in the presence of heterogeneous user profiles or, equivalently, heterogeneous file demand sets (FDSs), proving that, for the instances proposed therein, unselfish caching policies can do better than selfish ones. Later, the work in [START_REF] Brunero | Unselfish coded caching can yield unbounded gains over selfish caching[END_REF] analyzed for a unified setting the interplay between selfish caching policies and coded caching, providing the meaningful conclusion that unselfish coded caching can be unboundedly better the selfish caching. Subsequently, the recent work in [START_REF] Wan | On the optimal memoryload tradeoff of coded caching for location-based content[END_REF] characterized the optimal memory-load tradeoff for a scenario where users are interested in a limited set of contents which depends on the location of the users themselves.

Recently, the authors in [START_REF] Wang | Coded caching with heterogeneous user profiles[END_REF]- [START_REF] Zhang | Coded caching with heterogeneous user profiles[END_REF] considered coded caching with a very well-defined structure for the user profiles. Assuming that the files in the main library can be classified as either common files (files that can be requested by any user) or unique files (files that can be requested by groups of users only), the work in [START_REF] Wang | Coded caching with heterogeneous user profiles[END_REF] proposed three different coded schemes for such scenario, providing a related analysis for their peak load performance. Then, these three schemes were studied also in [START_REF] Zhang | On the average rate for coded caching with heterogeneous user profiles[END_REF] in terms of their average load performance, whereas the work in [START_REF] Zhang | Coded caching with heterogeneous user profiles[END_REF] provided, by means of a converse bound based on cut-set arguments, some order optimality results.

B. Main Contribution

Our work further explores the system model proposed in [START_REF] Wang | Coded caching with heterogeneous user profiles[END_REF]. In particular, taking advantage of the genie-aided converse bound idea from [START_REF] Yu | The exact rate-memory tradeoff for caching with uncoded prefetching[END_REF], our main result is a lower bound on the optimal worst-case communication load under uncoded prefetching. Interestingly, the derived converse, together with an already existing achievable scheme from [START_REF] Wang | Coded caching with heterogeneous user profiles[END_REF], allows us to characterize the memory-load tradeoff under uncoded placement within a constant multiplicative factor of 2.

C. Paper Outline

The system model and related results are presented in Section II. Section III presents the information-theoretic converse and the order optimality result, whose proofs are provided in Section IV and Section V, respectively. Section VI concludes the paper.

D. Notation

We denote by Z + the set of positive integers. For n ∈ Z + , we define

[n] := {1, 2, . . . , n}. If a, b ∈ Z + such that a < b, then [a : b] := {a, a + 1, . . . , b -1, b}.
For sets we use calligraphic symbols, whereas for vectors we use bold symbols. Given a finite set A, we denote by |A| its cardinality. We denote by n k the binomial coefficient and we let n k = 0 whenever n < 0, k < 0 or n < k. For n ∈ Z + , we denote by S n the symmetric group defined over the set [n].

II. SYSTEM MODEL AND RELATED RESULTS

We consider the coded caching setting where there is a single server connected to K users through an error-free broadcast channel. The server has access to a central library that contains N files of B bits each. Each user in the system is equipped with a cache of size M B bits (or, equivalently, M files). According to the system model in [START_REF] Wang | Coded caching with heterogeneous user profiles[END_REF], the K users are split in G groups, where each group consists of K/G users sharing the same interests. Furthermore, the files in the library are divided in two categories, i.e., common files and unique files. There are

N c common files {W c n : n ∈ [N c ]},
where each of them is of interest to every user in the system. Then, for each group g ∈ [G], there are N u files {W u,g n : n ∈ [N u ]}, where each of them is of interest to the users belonging to the group g ∈

[G] only. Assuming that {W c n : n ∈ [N c ]}∩{W u,g n : n ∈ [N u ]} = ∅ for each g ∈ [G], and that {W u,g1 n : n ∈ [N u ]} ∩ {W u,g2 n : n ∈ [N u ]} = ∅ for each g 1 , g 2 ∈ [G] with g 1 ̸ = g 2 , we have N = N c + GN u files in total. Deviating from standard notation practices, we will use W f k ,g(k) d k to denote the file requested by user k ∈ [K], where f k ∈ {c, u}, d k ∈ [N f k ] and g(k) is an abuse of notation to denote the group which user k belongs to, i.e., g(k) ∈ [G] for each k ∈ [K]. We further assume that W c,g(k) d k = W c d k , since common files do not depend on the group g ∈ [G].
In addition, we let d = ((d 1 , f 1 ), . . . , (d K , f K )) be the demand vector and we denote by D the set of all possible demand vectors with distinct requested files, i.e., W

f k 1 ,g(k1) d k 1 ̸ = W f k 2 ,g(k2) d k 2 for each k 1 , k 2 ∈ [K] with k 1 ̸ = k 2 . Finally, we assume N c ≥ K and N u ≥ K/G.
The caching problem consists of two phases. During the placement phase, users have access to the main library, and so each user fills their cache using the library. Here, we focus on uncoded caching policies according to the following definition.

Definition 1 (Uncoded Prefetching). A cache placement is uncoded if each user k ∈ [K] simply copies in their cache a total of (at most) M B bits from the library. Consequently, the files are partitioned as

W c n = {W c n,T : T ⊆ [K]}, ∀n ∈ [N c ] (1) W u,g n = {W u,g n,T : T ⊆ [K]}, ∀n ∈ [N u ], ∀g ∈ [G] (2) where W c
n,T and W u,g n,T represent the bits of W c n and W u,g n , respectively, which are cached only by the users in T .

During the delivery phase, the demand vector d = ((d 1 , f 1 ), . . . , (d K , f K )) is revealed to the server. Denoting by X the set of caching schemes with uncoded placement, the server transmits a message X of R(d, χ, M )B bits for a given demand d ∈ D, a given uncoded cache placement χ ∈ X and some given memory M . The quantity R(d, χ, M ) is called load and our goal is to characterize the optimal worst-case communication load under uncoded cache placement, namely, we aim to characterize the quantity given by

R ⋆ (M ) = min χ∈X max d∈D R(d, χ, M ). (3)
In the following, the dependency on M will be implied for the sake of simplicity.

A. An Existing Achievable Scheme

The authors in [START_REF] Wang | Coded caching with heterogeneous user profiles[END_REF] proposed for the aforementioned setting a coded scheme -referred to as Scheme 2 in [START_REF] Wang | Coded caching with heterogeneous user profiles[END_REF] -which treats separately the caching and the delivery of common and unique files.

1) Placement Phase: First, the cache of each user is split in two parts for some 0 ≤ β ≤ 1, so that βM is the part of cache that is devoted to store common files and (1 -β)M is the part of cache that is devoted to store unique files. Then, common files {W c n : n ∈ [N c ]} are stored across the K users using the MAN cache placement with memory βM . Similarly, unique files {W u,g n : n ∈ [N u ]} are stored across the K/G users in group g ∈ [G] using the MAN algorithm with memory (1 -β)M .

2) Delivery Phase: It was shown in [START_REF] Wang | Coded caching with heterogeneous user profiles[END_REF] that, when there are α users per group requesting unique files, the optimal worst-case load can be upper bounded as

R ⋆ ≤ min β max α R(β, α) (4)
where R(β, α) is defined as

R(β, α) := K tc+1 -Gα tc+1 K tc + G K/G tu+1 -K/G-α tu+1 K/G tu (5)
with t c := KβM/N c and t u := K(1 -β)M/GN u . Since the works in [START_REF] Wang | Coded caching with heterogeneous user profiles[END_REF], [START_REF] Zhang | Coded caching with heterogeneous user profiles[END_REF] treated the variables K, G, N c , N u and t := KM/N as continuous 1 , we do the same here for the sake of simplicity. Further, we extend the Scheme 2 in [START_REF] Wang | Coded caching with heterogeneous user profiles[END_REF] to the entire memory regime 0 ≤ M ≤ N c + N u , using the Gamma function whenever the binomial coefficients in [START_REF] Tölli | Multi-antenna interference management for coded caching[END_REF] have non-integer arguments.

B. A Genie-Aided Converse Bound

We will provide our converse bound on the optimal worstcase load under uncoded prefetching using the genie-aided approach in [START_REF] Yu | The exact rate-memory tradeoff for caching with uncoded prefetching[END_REF]. Consider a demand vector d ∈ D and let u = (u 1 , . . . , u K ) ∈ S K be a permutation of the set [K]. Denoting by Z k the cache content of user k ∈ [K], we can construct a genie-aided user with the following cache content

Z ′ =   Z u k \   i∈[k-1] Z ui ∪ W fu i ,g(ui) du i   : k ∈ [K]   (6)
which is enough for such genie-aided user to inductively decode all the requested files from (X, Z ′ ). Consequently, the following

R(d, χ)B ≥ H(X) (7) ≥ H(X | Z ′ ) (8)
≥ I W fu k ,g(u k ) du k k∈[K] ; X | Z ′ (9) = H W fu k ,g(u k ) du k k∈[K] | Z ′ (10) = k∈[K] T ∈([K]\{u1,...,u k }) W fu k ,g(u k ) du k ,T (11)
holds, which means that we have the following lower bound

R(d, χ) ≥ k∈[K] T ∈([K]\{u1,...,u k }) W fu k ,g(u k ) du k ,T B (12)
on the communication load for a given 2 d ∈ D and χ ∈ X . Since it will be of use later, we define the following

R LB (d, u, χ) := k∈[K] T ∈([K]\{u1,...,u k }) W fu k ,g(u k ) du k ,T B . (13)

III. MAIN RESULTS

The first result provides a converse bound on the optimal worst-case load under uncoded prefetching. The proof is presented in Section IV.

Theorem 1. For the coded caching problem with heterogeneous user profiles presented in Section II, the optimal worst-case load under uncoded cache placement is lower bounded as

R ⋆ ≥ min β 1 2 K tc+1 K tc + G K/G tu+1 K/G tu ( 14
)
where t c = KβM/N c and t u = K(1 -β)M/GN u .

If we compare the achievable performance in (4) with the converse in Theorem 1, we can provide the following optimality result, whose proof is described in Section V.

Theorem 2. The achievable load in (4) is order optimal within a multiplicative factor of 2. 2 We recall that the dependency on M is implied for the sake of simplicity.

Remark 1. The result in Theorem 2 improves the previously known order optimality results presented in [START_REF] Zhang | Coded caching with heterogeneous user profiles[END_REF]. Indeed, even though the work in [START_REF] Zhang | Coded caching with heterogeneous user profiles[END_REF] provided a converse bound without constraining the placement to be uncoded, the smallest gap to optimality therein was a constant factor 8 for the limited memory regime N/K ≤ M ≤ N/2G. Moreover, the achievable performance in (4) was shown to be within a multiplicative factor of 8+8K/G from optimal for the memory regime G(N c + N u )/K ≤ M ≤ N/2G. Here, although our converse holds under the assumption of uncoded placement, we provide a gap to optimality which is a constant multiplicative factor of 2 for the entire3 memory regime 0 ≤ M ≤ N c + N u .

IV. CONVERSE BOUND PROOF

We recall that our goal is to lower bound the quantity

R ⋆ = min χ∈X max d∈D R(d, χ). ( 15
)
where again the dependency on M is implied to simplify the notation. Denote by D c the subset of D that contains all demands for which users make requests only from common files, which implies d = ((d 1 , c), . . . , (d K , c)) for each d ∈ D c . Similarly, denote by D u the subset of D for which users make requests only from unique files, which implies

d = ((d 1 , u), . . . , (d K , u)) for each d ∈ D u . One can see that |D c | = Nc K K! and |D u | = Nu K/G (K/G)! G
. Then, we proceed to lower bound the optimal worst-case load as follows

R ⋆ = min χ∈X max d∈D R(d, χ) (16)
≥ min

χ∈X max max d∈Dc R(d, χ), max d∈Du R(d, χ) (17)
≥ min χ∈X 1 2 max d∈Dc R(d, χ) + max d∈Du R(d, χ) (18)
≥ min χ∈X 1 2 1 |D c | d∈Dc R(d, χ) + 1 |D u | d∈Du R(d, χ) (19) = min χ∈X 1 2 (R c (χ) + R u (χ)) (20)
where R c (χ) and R u (χ) are defined as

R c (χ) := 1 |D c | d∈Dc R(d, χ) (21)
R u (χ) := 1 |D u | d∈Du R(d, χ). (22)
Notice that (17) holds because (D c ∪ D u ) ⊂ D, whereas both ( 18) and ( 19) follow from the fact that the maximum can be lower bounded by the average. We proceed now to lower bound separately R c (χ) and R u (χ) by means of the genie-aided approach in Section II-B.

A. Lower Bounding R c (χ)

As we observed in Section II-B, the communication load can be lower bounded, for a given demand d and a given caching scheme χ, as in [START_REF] Niesen | Coded caching with nonuniform demands[END_REF]. Hence, if we construct the inequality in [START_REF] Niesen | Coded caching with nonuniform demands[END_REF] for each demand d ∈ D c and for each permutation of users u ∈ S K , and then we sum together all such inequalities, we obtain

K! d∈Dc R(d, χ) ≥ (d,u)∈(Dc,S K ) R LB (d, u, χ) (23)
which can be further rewritten as n,T appears in the RHS of (24) only for those permutations of users where k appears before the elements from the set T in the permutation vector u. Since there is a total of (K -1 -t ′ )!t ′ ! K t ′ +1 such vectors, we can conclude that the subfile W c n,T appears in the RHS of (24) a total of |D c |(K -1t ′ )!t ′ ! K t ′ +1 /N c times when we consider the demands in D c,n,k only. Then, since the reasoning above holds for each user k ∈ ([K] \ T ), we can conclude that the subfile W c n,T appears in the RHS of (24) a total of |D c |(K -t ′ )!t ′ ! K t ′ +1 /N c times. Moreover, we considered a generic subfile W c n,T , so the above holds for any n ∈ [N c ] and for any T ⊆ [K]. Therefore, we can rewrite the RHS of (24) as

R c (χ) ≥ 1 K!|D c | (d,u)∈(Dc,S K ) R LB (d, u, χ) (24
1 K!|D c | t ′ ∈[0:K] |D c |(K -t ′ )!t ′ ! K t ′ + 1 x c t ′ (25)
where x c t ′ is defined as

0 ≤ x c t ′ := n∈[Nc] T ⊆[K]:|T |=t ′ W c n,T BN c . (26)
After some algebraic manipulations, we can rewrite (24) as

R c (χ) ≥ t ′ ∈[0:K] f c (t ′ )x c t ′ (27)
where f c (t ′ ) is defined as

f c (t ′ ) := K t ′ +1 K t ′ . (28)
B. Lower Bounding R u (χ) Applying as before the genie-aided approach from Section II-B, we obtain the following inequality

R u (χ) ≥ 1 K!|D u | (d,u)∈(Du,S K ) R LB (d, u, χ) (29)
recalling that now d = ((d 1 , u), . . . , (d K , u)) for each d ∈ D u . Once again, towards simplifying the expression in (29), we proceed by counting how many times each subfile W u,g n,Tfor any given n ∈ [N u ], g ∈ [G] and T ⊆ [K] -appears in the RHS of (29).

First, we focus on the subfile W u,g n,Ti for a given g ∈

[G], n ∈ [N u ] and T i ⊆ [K] with |T i | = t ′ for some t ′ ∈ [0 : K],
where i denotes the number of users from group g that appear in the set T i , namely, i = |{k ∈ T i : g(k) = g}|. Then, we let k be one of the (K/G -i) users from group g that do not appear in T i and we further assume that the file W u,g n is requested by such user k. If we denote by D g u,n,k the subset of demands in D u for which the file W u,g n is requested by this user k, we can see that

|D g u,n,k | = Nu K/G (K/G)! G /N u = |D u |/N u .
In addition, for each d ∈ D g u,n,k , all permutations u ∈ S K are considered. Nevertheless, as already observed, the subfile W u,g n,Ti appears in the RHS of (29), for each d ∈ D g u,n,k , only when k is located before the elements from T i in the permutation vector u. Since there is a total of (K -1-t ′ )!t ′ ! K t ′ +1 such vectors, the subfile W u,g n,Ti appears |D u |(K -1 -t ′ )!t ′ ! K t ′ +1 /N u times in the RHS of (29) when only the demands D g u,n,k are considered. The same reasoning holds for any of the (K/G -i) users from group g not appearing in T i , so the subfile W u,g n,Ti appears |D u |(K/Gi)(K-1-t ′ )!t ′ ! K t ′ +1 /N u in the RHS of (29). In addition, since this reasoning holds for each g ∈ [G], n ∈ [N u ] and T i ⊆ [K] where i ∈ [max(0, |T i | -K + K/G), min(|T i |, K/G)], after some algebraic manipulations we can rewrite the RHS of (29) as

t ′ ∈[0:K] min(t ′ ,K/G) i=max(0,t ′ -K+K/G) (K/G -i) t ′ + 1 x u t ′ ,i (30)
where x u t ′ ,i is defined as

0 ≤ x u t ′ ,i := g∈[G] n∈[Nu] Ti⊆[K]:|Ti|=t ′ , |{k∈Ti:g(k)=g}|=i W u,g n,Ti BN u . ( 31
)
We can further lower bound the RHS of (29) as follows (K/G -min(t ′ , K/G)) t ′ + 1 min(t ′ ,K/G) i=max(0,t ′ -K+K/G)

t ′ ∈[0:K] min(t ′ ,K/G) i=max(0,t ′ -K+K/G) (K/G -i) t ′ + 1 x u t ′ ,i (32)
≥ t ′ ∈[0:K] min(t ′ ,K/G) i=max(0,t ′ -K+K/G) (K/G -min(t ′ , K/G)) t ′ + 1 x u t ′ ,i (33)
x u t ′ ,i (34)

  ) recalling that d = ((d 1 , c), . . . , (d K , c)) for each d ∈ D c and that W c,g n = W c n for each n ∈ [N c ] and for each g ∈ [G]. Now, towards simplifying the expression in (24), we proceed by counting how many times each subfile W c n,T -for any given n ∈ [N c ] and T ⊆ [K] -appears in the RHS of (24). First, we focus on the subfile W c n,T for some n ∈ [N c ] and T ⊆ [K] such that |T | = t ′ with t ′ ∈ [0 : K]. Next, we denote by D c,n,k the subset of demands in D c for which the file W cn is requested by some specific user k∈ ([K] \ T ). We can see that |D c,n,k | = Nc K K!/N c = |D c |/N c .Then, we observe that, for each d ∈ D c,n,k , all permutations of users u ∈ S K are considered. Nevertheless, we can notice from the construction of (12) that, for each d ∈ D c,n,k , the subfile W c

=t

  ′ ∈[0:K]

Indeed, if the quantities K, G, Nc and Nu are large enough, the rounding errors due to integer effects during calculations can be neglected.

The bound in Theorem 1 becomes 0 only when it holds tc = K and tu = K/G simultaneously. This happens when β = Nc/M and (1 -β) = Nu/M , which implies 0 ≤ M ≤ Nc + Nu. In addition, we recall that the Scheme 2 in[START_REF] Wang | Coded caching with heterogeneous user profiles[END_REF] is extended to the entire memory regime 0 ≤ M ≤ Nc + Nu.

where x u t ′ is defined as

After the passages above, we can rewrite (29) as

where f u (t ′ ) is defined as

C. Lower Bounding R ⋆ Finally, we can lower bound the optimal worst-case load R ⋆ . Indeed, we have the following

Moreover, for any uncoded cache placement χ ∈ X and for some 0 ≤ β ≤ 1, the following

holds for common files, whereas we have the following

for unique files. This means that we can consider x c = (x c 0 , . . . , x c K ) and x u = (x u 0 , . . . , x u K ) as probability mass functions with constraints in ( 42) and (44) on the first moment, where such constraints simply represent the maximum memory that is available across the caches of all users for common files and unique files, respectively. In light of the above, we can write

Notice that, since both f c (t ′ ) and f u (t ′ ) are convex and decreasing in t ′ , we have (47) and (48) from Jensen's inequality and the constraints on the first moment, respectively. The proof is complete.

V. ORDER OPTIMALITY PROOF From Theorem 1 we have

where t ⋆ c = Kβ ⋆ M/N c and t ⋆ u = K(1 -β ⋆ )M/GN u for some optimal β ⋆ . Further, from [START_REF] Wang | Coded caching with heterogeneous user profiles[END_REF] we have

where the inequality in (53) holds since the optimal value β ⋆ , which minimizes the lower bound in Theorem 1, is not necessarily the optimal memory splitting for the scheme in Section II-A. To conclude, we have

which implies that the coded scheme in Section II-A is order optimal within a constant multiplicative factor of 2. The proof is complete.

VI. CONCLUSION In this paper, we considered a coded caching setting with heterogeneous user profiles. Under the system model originally proposed in [START_REF] Wang | Coded caching with heterogeneous user profiles[END_REF], we constructed a novel information-theoretic converse on the worst-case communication load under uncoded prefetching. We developed the lower bound by taking advantage of the genie-aided approach introduced in [START_REF] Yu | The exact rate-memory tradeoff for caching with uncoded prefetching[END_REF]. Interestingly, the proposed converse bound, jointly with the Scheme 2 from [START_REF] Wang | Coded caching with heterogeneous user profiles[END_REF], allows us to characterize the optimal worst-case load under uncoded prefetching within a constant multiplicative factor of 2. Although the converse in Theorem 1 holds under the constraint of uncoded placement, the result in Theorem 2, which provides a constant order optimality factor independent of all system parameters, improves the previously known order optimality results in [START_REF] Zhang | Coded caching with heterogeneous user profiles[END_REF]. Possible extensions could include the study of other (maybe more complex) heterogeneous user profiles as well as establishing the exact fundamental limits of the setting considered in this paper.


Victor Court
email: victor.court@ifpen.fr

La collection "IFPEN Economic Papers" -anciennement « Les Cahiers de l'Économie », depuis 1990 -a pour objectif de présenter des travaux réalisés à IFP Energies nouvelles et IFP School qui traitent d'économie, de finance ou de gestion de la transition énergétique. La forme et le fond peuvent encore être provisoires, notamment pour susciter des échanges de points de vue sur les sujets abordés. Les opinions exprimées dans cette collection appartiennent à leurs auteurs et ne reflètent pas nécessairement le point de vue d'IFP Energies nouvelles ou d'IFP School. Ni ces institutions ni les auteurs n'acceptent une quelconque responsabilité pour les pertes ou dommages éventuellement subis suite à l'utilisation ou à la confiance accordée au contenu de ces publications.

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EROI minimum et croissance économique *

Par Victor COURT † Ingénieur et économiste, Centre économie et management de l'énergie, IFP School, IFP Énergies nouvelles Et Florian FIZAINE ‡ Économiste, Institut de recherche en gestion et économie, Université Savoie Mont-Blanc Les notions d'énergie nette et d'EROI ont progressivement gagné en popularité depuis leur création dans les années 1970. Particulièrement utiles pour caractériser, respectivement, l'état d'abondance et la difficulté à extraire l'énergie de l'environnement, leur mesure s'avère néanmoins difficile. Depuis quelques années, dans un contexte de raréfaction des hydrocarbures et de basculement vers les énergies décarbonées, plusieurs études ont essayé d'estimer l'impact d'une baisse de l'EROI sur le fonctionnement d'une société industrielle. Une autre façon d'approcher ce sujet revient à se demander s'il est possible d'estimer la valeur minimum d'EROI requise pour soutenir la croissance économique. En raison de certaines faiblesses méthodologiques, les résultats de ce champ de recherche restent hétérogènes et difficiles à interpréter, d'autant qu'ils s'inscrivent dans un contexte de requalification de l'objectif à atteindre (croissance économique ou qualité de vie), auquel la science ne pourra pas répondre seule.

Mots-clefs : EROI minimum, transition bas-carbone, croissance économique, prospérité.

De prime abord, les concepts d'énergie nette et de taux de retour énergétique (TRE), ou Energy Return on Investment (EROI) en anglais, paraissent simples et utiles pour mieux comprendre ce qui se joue dans un projet de transition bas-carbone. Plusieurs questions importantes ont émergé il y a quelques années autour de ces notions : quel est le lien entre EROI et prospérité économique ? Faut-il nécessairement un système énergétique avec un EROI élevé pour observer une croissance économique élevée ? Peut-on définir une valeur de EROI en-dessous de laquelle la croissance économique est impossible ? Cet article se propose de faire le point sur les connaissances existantes vis-à-vis de ces interrogations. Après avoir rappelé les concepts d'énergie nette et d'EROI, simples et intuitifs en apparence, nous détaillerons les raisons pour lesquelles l'utilisation de ces notions est difficile en pratique. Nous reviendrons ensuite sur les résultats les plus importants en ce qui concerne le EROI minimum requis pour observer une croissance de l'activité dans une économie moderne. Nous discuterons enfin des notions de croissance, de prospérité et de leurs liens avec l'EROI et la sobriété.

Un système énergétique est toujours cannibale [START_REF] Odum | Energy, ecology, and economics[END_REF] a probablement été le premier à remarquer que la variable déterminante pour un système thermodynamique quelconque (un être vivant, un écosystème, une société humaine, etc.) est la quantité d'énergie qui est disponible une fois que les besoins énergétiques propres à son système d'extraction d'énergie ont été satisfaits. Dans le cadre macroéconomique qui nous intéresse ici, l'énergie nette est donc la quantité d'énergie qui atteint l'économie une fois que les besoins propres au système énergétique ont été satisfaits. On a donc :

É𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 𝑛𝑒𝑡𝑡𝑒 = é𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑖𝑡𝑒 -é𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑖𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑙′é𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 (1)
L'énergie nette est donc l'énergie disponible pour faire autre chose qu'extraire de l'énergie de l'environnement, c'est-à-dire soutenir les activités économiques qui définissent un mode de vie donné. L'EROI, mis au point par [START_REF] Hall | Migration and metabolism in a temperate stream ecosystem[END_REF], est un concept dérivé qui correspond non pas à la soustraction mais au rapport entre la quantité d'énergie fournie par un processus donné et la quantité d'énergie consommée par ce même processus :

𝐸𝑅𝑂𝐼 = é𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑖𝑡𝑒 é𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑖𝑒 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑖𝑟𝑒 𝑙′é𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 (2)
Cet indicateur mesure donc l'accessibilité d'une ressource énergétique : plus l'EROI d'un système énergétique est élevé, plus la quantité d'énergie nette délivrée est importante pour chaque unité d'énergie préalablement investie [START_REF] Hall | EROI of different fuels and the implications for society[END_REF]. Un point important est de comprendre que l'EROI évolue au cours du temps sous l'effet de deux facteurs antagonistes : (i) l'appauvrissement de la qualité des ressources (car après avoir exploités les meilleurs gisements, de pétrole ou de vent, il faut se contenter des moins bons), qui tend à diminuer l'EROI ; et, au contraire, (ii) le changement technique (par effet d'apprentissage, de rendements d'échelle et par R&D) qui tend à augmenter l'EROI [START_REF] Court | Long-term estimates of the energy-return-on-investment (EROI) of coal, oil, and gas global productions[END_REF].

Le diable est dans les détails

Depuis plusieurs années, les études se suivent pour estimer l'EROI des énergies fossiles (charbon, pétrole, gaz), des renouvelables modernes (hydroélectricité, éolien, solaire), ou encore du nucléaire. Le but est de pouvoir comparer les systèmes énergétiques du point de vue de leurs capacités à fournir de l'énergie nette à la société, et ainsi comprendre ce qu'une transition vers un système bas-carbone implique en termes d'EROI agrégé (ou « sociétal »). Plusieurs chercheurs, tels que [START_REF] Brandt | Calculating systems-scale energy efficiency and net energy returns: a bottom-up matrix-based approach[END_REF] et [START_REF] King | Matrix method for comparing system and individual energy return ratios when considering an energy transition[END_REF], ont souligné que le terme EROI est plutôt vague et qu'il serait préférable de parler d'energy return ratio (ERR, ou « ratio de retour énergétique » en français), en faisant à minima la distinction entre un gross energy return ratio (GERR), c'est-à-dire la production d'énergie brute divisée par l'énergie consommée pour assurer la production de cette énergie, et un net energy return ratio (NERR), c'est-à-dire l'énergie nette (donc l'énergie brute moins l'énergie investie) qui va à la consommation finale divisée par l'énergie consommée pour assurer la production de l'énergie brute 1 .

Mais d'autres problèmes méthodologiques se posent lors du calcul de l'EROI de systèmes énergétiques différents, notamment la cohérence de leurs limites physiques [START_REF] Brandt | A general mathematical framework for calculating systemsscale efficiency of energy extraction and conversion: energy return on investment (EROI) and other energy return ratios[END_REF][START_REF] Brandt | Calculating systems-scale energy efficiency and net energy returns: a bottom-up matrix-based approach[END_REF][START_REF] Modahl | How methodological issues affect the energy indicator results for different electricity generation technologies[END_REF][START_REF] Zhang | Practical ambiguities during calculation of energy ratios and their impacts on life cycle assessment calculations[END_REF][START_REF] King | Comparing world economic and net energy metrics, part 1: single technology and commodity perspective[END_REF][START_REF] Carbajales-Dale | Comparing apples to apples: why the net energy analysis community needs to adopt the life-cycle analysis framework[END_REF][START_REF] Raugei | Energy return on investment of major energy carriers: review and harmonization[END_REF]. Pour des raisons de disponibilités des données, les estimations se sont longtemps focalisées sur l'EROI du pétrole et du gaz, qui sont des énergies primaires, alors qu'en ce qui concerne les énergies bas-carbone (nucléaire et renouvelables), on se place au niveau de l'électricité produite par ces infrastructures et on parle donc d'énergie finale 2 . Des comparaisons ont été faite entre les EROIs de ces différents types d'énergie, mais elles sont hasardeuses. En pratique, on devrait toujours se retreindre à comparer des EROIs de systèmes énergétiques qui fournissent des vecteurs énergétiques équivalents. Ainsi, il est légitime de comparer l'EROI de l'électricité produite à partir de gaz (ou d'un autre combustible fossile) avec celui de l'électricité produite à partir d'une éolienne (ou d'une autre infrastructure bas-carbone : barrage, panneaux photovoltaïques, centrale solaire à concentration ou nucléaire). Et de la même manière, cela a du sens de comparer les EROIs de différents carburants liquides, provenant du pétrole ou de la biomasse, par exemple. Mais cela n'a pas de sens de comparer l'EROI du charbon avec celui de l'électricité d'origine solaire, car on voit bien que dans ce cas on mélange des pommes et des oranges [START_REF] Raugei | Net energy analysis must not compare apples and oranges[END_REF].

Ces problèmes prennent toute leur ampleur lorsque l'on souhaite parler de l'évolution temporelle de l'EROI de l'ensemble du système énergétique. En effet, la transition bascarbone implique un changement des vecteurs énergétiques utilisés, notamment par une

EROI, dépense énergétique et (dé)croissance

Dans le cadre de l'étude que nous avons publié il y a quelques années [START_REF] Fizaine | Energy expenditure, economic growth, and the minimum EROI of society[END_REF], nous avons aussi montré qu'il existait une relation étroite entre l'indicateur de dépenses monétaires énergétiques exprimées en pourcentage du PIB et l'EROI. Pour ce faire, il faut d'abord estimer l'énergie investie dans le système énergétique, 𝐸 𝑖𝑛 , en termes monétaires :

𝐸 𝑖𝑛 = 𝐸 𝑜𝑢𝑡 × 𝑃 𝑒 (1 + 𝑀𝑅𝑂𝐼) × 𝐸𝐼 (4)
Où 𝐸 𝑜𝑢𝑡 est la quantité d'énergie produite et vendue, 𝑃 𝑒 est le prix moyen de l'énergie, 𝑀𝑅𝑂𝐼 est le taux de rendement monétaire (c'est-à-dire la marge) dans le système énergétique, et 𝐸𝐼 est l'intensité énergétique des dépenses monétaires. L'énergie investie est donc le produit des dépenses monétaires effectuées dans le système énergétique pour le construire et l'exploiter multipliée par l'intensité énergétique de ces dépenses monétaires. On peut ensuite faire l'hypothèse que l'intensité énergétique des dépenses monétaires consenties dans le secteur énergétique s'apparentent à l'intensité énergétique du PIB (𝐺𝐷𝑃) du pays considéré, soit 𝐸𝐼 = 𝐸 𝑜𝑢𝑡 𝐺𝐷𝑃 ⁄ . En injectant cette expression dans l'équation (4) et en remplaçant le tout dans l'équation (2), on obtient :

𝐸𝑅𝑂𝐼 = 1 𝑃 𝑒 (1 + 𝑀𝑅𝑂𝐼) × 𝐸 𝑜𝑢𝑡 𝐺𝐷𝑃 (5)
On remarque ainsi qu'une façon de lutter contre la baisse de l'EROI associé à une hausse des coûts de construction et d'exploitation peut consister à réduire l'intensité énergétique de ces dépenses. Finalement, l'expression (5) peut encore être exprimé par : Nous avions montré ce lien pour les États-Unis [START_REF] Fizaine | Energy expenditure, economic growth, and the minimum EROI of society[END_REF], et il a depuis été répliqué à l'échelle de l'OCDE par des économistes de cette institution (OCDE, 2022). Les explications théoriques derrière ce phénomène relèvent à la fois d'un impact sur l'offre et sur la demande globale [START_REF] Barnard | Developing an input-output based method to estimate a national-level energy return on investment (EROI)[END_REF]. Du côté de l'offre, la hausse du prix de l'énergie conduit à une hausse des dépenses énergétiques qui pousse les entreprises à produire moins et à un prix plus élevé, le tout engendrant moins de croissance économique.

𝐸𝑅𝑂𝐼 = 𝐺𝐷𝑃 × (1 + 𝑀𝑅𝑂𝐼) 𝑃𝑒 × 𝐸𝑜𝑢𝑡 (6)
Du côté de la demande, la hausse des dépenses énergétiques exerce un effet dépressif sur la consommation des ménages, les amenant à revoir leur arbitrage en faveur des dépenses énergétiques qui sont difficilement substituables, et à réduire en même temps leur dépenses dans les autres types de consommation par un effet revenu négatif. Les quelques gagnants tirant des surprofits dus à l'augmentation des prix de l'énergie ayant une propension à dépenser relativement faible [START_REF] Cookson | Shake shocked: cash windfalls and household debt repayment[END_REF] [START_REF] Malm | L'Anthropocène contre l'histoire. Le réchauffement climatique à l'ère du capital[END_REF] repose sur de nombreuses activités intenses en énergie (par exemple, passer des vacances à l'autre bout du monde ou rouler en SUV) qui ne sont peut-être pas essentielles pour maintenir une bonne qualité de vie. Car c'est bien évidemment cela qui est important, pas la croissance du PIB en tant que telle. En dernière instance, c'est bien la structure de l'économie et les modes de vie qui définissent la quantité d'énergie nette nécessaireet donc l'EROI minimum requispour soutenir un certain niveau de bien-être et d'opulence matérielle. Ainsi, une société qui jugera que son bien-être et sa qualité de vie passe par l'accès au plus grand nombre possible de biens matériels et à des loisirs à haute intensité énergétique nécessitera davantage d'énergie nette qu'une société dans laquelle le bien-être se définit avant tout par la qualité des relations interpersonnelles et la disponibilité de loisirs et de services de proximité. Avec un système énergétique de taille équivalente, cette seconde société pourra prospérer avec un EROI plus faible que la première. Cette limite à aussi une retranscription en termes de résilience par rapport au prix de l'énergie : une activité économique moins intense en énergie résistera mieux à une augmentation des prix, que ce soit en tendance longue ou à cause d'un choc ponctuel.

Mais tous ces éléments sont bien évidemment normatifs. Il n'existe pas de consensus sur ce qui fait la qualité de vie/le bonheur et sur la façon dont on le mesure. D'autre part, même si un tel consensus existait, la voie à prendre pour faire émerger cette société alternative reste elle aussi en question : réforme progressive de l'intérieur, révolution radicale, bifurcation dans les marges, ou peut-être un mélange de ces trois possibilités ?

  des usages. Des lors, il est difficile de comparer l'EROI moyen d'un système énergétique majoritairement fossile, c'est-à-dire reposant sur des combustibles solides, gazeux et liquides, avec celui d'un système bas-carbone reposant sur bien plus d'électricité, d'hydrogène et de biomasse (solide avec le bois, liquide avec les agrocarburants, ou gazeuse avec le biogaz).Avec ces avertissements en tête, on peut tout de même se pencher sur la question de l'interaction entre l'EROI agrégé d'une société et son niveau de prospérité économique. En particulier, on peut imaginer qu'il existe une valeur minimum d'EROI en-dessous de laquelle une société moderne ne pourrait plus croître, ni même peut-être assurer ses fonctions essentielles, car le système énergétique « cannibaliserait » une trop grande part de l'énergie produite, rendant ainsi l'énergie nette (parvenant au reste de la société) plus rare et donc plus chère, ce qui gripperait la machine économique (Murphy et[START_REF] Hall | Year in review-EROI or energy return on (energy) invested[END_REF].Pour comprendre ce point, il est crucial de voir que la relation entre EROI et activité économique est fortement non-linéaire, tout simplement parce que le lien entre EROI et disponibilité de l'énergie nette est lui-aussi fortement non-linéaire : Si l'EROI connaît une nouvelle baisse en dessous de 5, la quantité d'énergie détournée vers le secteur énergétique augmente de façon exponentielle, et progressivement il ne reste plus d'énergie nette disponible pour faire autre chose qu'extraire de l'énergie. Bien sûr, dans ce contexte, pour maintenir le flux d'énergie nette une parade consiste à augmenter la taille du système énergétique, mais cela ne constitue qu'une fuite en avant coûteuse.Tous les résultats du paragraphe précédent concernent l'énergie primaire, mais quand est-il lorsqu'on déplace la réflexion au niveau de l'approvisionnement en énergie finale ? Malheureusement, il n'existe aucune étude ayant estimé le EROI minimum requis en termes d'énergie finale pour une société, mais plusieurs ont estimé l'évolution de cet indicateur pour quelques pays, ou au niveau global, ce qui permet d'en déduire indirectement ce que serait la valeur minimale requise pour l'EROI de l'énergie finale d'une économie moderne. Par exemple,[START_REF] Barnard | Developing an input-output based method to estimate a national-level energy return on investment (EROI)[END_REF] ont constaté que l'EROI de l'énergie finale au Royaume-Uni est passé de 12,7 en 1997 à une valeur maximale de 13,8 en 2000, avant de retomber progressivement à 5,6 en 2012. De même,[START_REF] Feng | Modeling the point of use EROI and its Implications for economic growth in China[END_REF] ont estimé que l'EROI de la production d'énergie finale en Chine a diminué de 11 à 5,3 entre 1987 et 2012. Similairement,[START_REF] Brockway | Estimation of global final-stage energy-return-on-investment for fossil fuels with comparison to renewable energy sources[END_REF] ont estimé que l'EROI mondial des combustibles fossiles au stade final est passé de 6 à 5,4 entre 1995 et 2011. Tous ces résultats suggèrent que l'EROI minimum nécessaire pour l'approvisionnement en énergie finale des sociétés contemporaines se situe en-dessous de 5, mais à combien exactement cela personne ne peut vraiment le dire 4 .

	100%
	(% Diminution de l'EROI et falaise d'énergie nette 25% 50% 75% de Parts l'énergie relatives produite)
	0%
	50	45	40	35	30	25	20	15	10	5	0
						EROI
		Energie investie pour récupérer l'énergie
		Energie nette disponible pour la société
			𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 𝑛𝑒𝑡𝑡𝑒 = 1 -	1 𝐸𝑅𝑂𝐼					(3)
											pour
	qu'un pays présente un IDH de 0,7 (seuil permettant de bénéficier d'une « qualité de vie
	convenable »). Enfin, en se basant sur diverses données (quantités et prix des différentes
	énergies consommées, produit intérieur brut) concernant les États-Unis, nous avons nous-
	même estimé qu'entre 1950 et 2012 l'économie américaine avait eu besoin d'un
	approvisionnement en énergie primaire caractérisé par un EROI d'au moins 11 pour
	2 L'énergie primaire est présente naturellement dans l'environnement sous forme de stocks (charbon, pétrole, gaz, uranium) ou de flux (soleil, cours d'eau, vagues, marées, vent, géothermie). Ces bénéficier d'un taux de croissance positif (Fizaine et Court, 2016).
	ressources primaires ne sont pas utilisables en tant que telles. Elles doivent être extraites de
	l'environnement et converties en des formes énergétiques secondaires, aussi appelées « finales ».
	L'énergie secondaire ou finale correspond aux produits solides, liquides et gazeux qui proviennent du
	traitement du charbon, du pétrole brut et du gaz naturel, ou des flux thermiques et électriques eux-

1 Par ailleurs,

[START_REF] King | Comparing world economic and net energy metrics, part 1: single technology and commodity perspective[END_REF]

ont montré qu'une autre distinction cruciale devait être faite entre « l'ERR instantané » d'un système énergétique, c'est-à-dire la production annuelle d'énergie divisée par l'énergie annuelle investie, et « l'ERR complet » portant sur l'ensemble du cycle de vie d'un système énergétique, c'est-à-dire la production cumulée d'énergie divisée par l'ensemble de l'énergie investie sur toute la durée de vie du système. Dans ce cadre, pour un système énergétique donné, « l'ERR complet » représente la moyenne sur l'ensemble du cycle de vie des « ERRs instantanés » qui peuvent varier chaque année. mêmes issus de la combustion d'énergies fossiles ou des énergies renouvelables

(cours d'eau, vagues, marées, vent, géothermie)

. Ensuite, une multitude de machines et d'appareilsallant du moteur d'une voiture à l'ampoule d'une lampe, en passant par tous les appareils mécaniques, électriques et électroniques que nous utilisonsconvertissent cette énergie finale en énergie utile, sous forme de mouvement, de chaleur, de lumière ou de transformations chimiques

(Court, 2022, pp. 138-139)

. électrification Comme le montre la figure 1, si l'EROI d'une société passe de 50 à 35, la part de l'énergie produite que la société consacre au secteur énergétique sous forme d'investissements directs et indirects passe de 2 % à 2,86 % ; en d'autres termes, l'énergie nette passe de 98 % à 97,1 % de la production d'énergie brute. Ce changement est important, mais il est probablement gérable par n'importe quelle société. En revanche, si l'EROI passe de 20 à 5, alors l'énergie cannibalisé par le secteur énergétique passe de 5 % à 20 % de la production d'énergie brute. Figure 1. EROI et falaise d'énergie nette. Source : adapté de Brockway et al. (2019).

Quel est le EROI minimum requis pour une société moderne ?

À notre connaissance, seules quatre études ont essayé d'estimer la valeur minimum requise pour l'EROI d'une société.

[START_REF] Hall | What is the minimum EROI that a sustainable society must have?[END_REF]

ont été les premiers à proposer un EROI technique minimum de 3 pour l'énergie primaire (plus exactement pour le pétrole à la sortie du puits). Ces mêmes auteurs ont avancé, sans calcul explicite, qu'une valeur un peu plus élevée de l'ordre de 5 devait être nécessaire pour soutenir les sociétés contemporaines ; et ils ont estimé qu'un EROI minimum d'environ 12 à 14, toujours en termes d'énergie primaire, était probablement nécessaire pour qu'une société capitaliste moderne puisse avoir un taux de croissance économique positif.

[START_REF] Weißbach | Energy intensities, EROIs (energy returned on invested),and energy payback times of electricity generating power Energy[END_REF]

estiment quant à eux qu'un EROI minimum de 7 est requis pour les pays de l'OCDE, mais là-aussi cette estimation est faite au doigt mouillé. La première étude quantitative dans ce domaine est celle de

[START_REF] Hall | Energy, EROI and quality of life[END_REF]

, mais son objectif est particulier : au lieu de chercher la valeur minimum d'EROI nécessaire pour maintenir une croissance économique positive, son but est plutôt de réaliser des corrélations assez simples (bien que non linéaires) entre l'EROI et l'indice de développement humain (IDH) de différents pays 3 . Le principal résultat de cette étude est qu'un EROI sociétal d'environ 15 semble nécessaire (au stade de l'énergie primaire)

3 L'IDH a été créé pour évaluer le bien-être dans un pays en ne se référant pas uniquement à un indicateur économique comme le produit intérieur brut ou le revenu national brut. Cet indicateur est une moyenne géométrique de trois composantes normalisées se référant respectivement à l'espérance de vie, à l'éducation et au niveau de vie économique. C'est un indice de classement des pays non pas absolu mais relatif : pour chacune des trois dimensions, la note 1 est attribuée au pays qui a la première place, et une note entre 0 et 1 est donné aux autres pays (par application d'une formule simple) ; on réalise ensuite la moyenne (géométrique) des notes de ces trois dimensions pour obtenir une note agrégée (UNDP, 2022).

économique des USA entre 1951 et 2011 Dépenses énergétiques des USA en pourcentage du PIB

  Cette expression économique de l'EROI revient alors à une représentation de la capacité à produire de la valeur économique avec des dépenses monétaires effectuées dans le secteur énergétique. L'EROI est donc approximativement relié à l'inverse des dépenses énergétiques exprimées en pourcentage du PIB. Or, c'est précisément cet indicateur qui semble corrélé négativement à la croissance économique du PIB. Un niveau élevé de dépenses énergétiques (en % du PIB) apparaissant comme une condition suffisante (mais pas nécessaire) pour réduire la croissance (voir la figure2). Figure 2. Relation entre les dépenses énergétiques en pourcentage du PIB et la croissance économique pour les USA (haut) et l'OCDE (bas). Source : Fizaine et Court (2016), OCDE (2022).

		8%
		7%
		6%
		5%
		4%
		3%
		2%
		1%
		0%
	Croissance	-4% -3% -2% -1%	3%	4%	5%	6%	7%	8%	9%	10%	11%	12%	13%	14%	15%
		-5%
		8%
		7%
		6%
		5%
		4%
		3%
		2%
		1%
		0%
			6%	7%	8%	9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 19% 20%
		-1%
		-2%
		-3%
		-4%
		-5%

Croissance économique OCDE entre 1971 et 2022 Dépenses énergétiques de l'OCDE en pourcentage du PIB

  , l'effet net sur la demande semble négatif. Les preuves empiriques (économétriques) restent toutefois fragiles compte tenu du faible nombre de récessions économiques survenues à la suite de hausses de dépenses énergétiques. Le contexte de hausse des prix de l'énergie prévalant depuis la fin 2022 permettra peut-être de préciser cette relation, même si les dispositifs mis en place par les gouvernements pour protéger les consommateurs et les entreprises (bouclier tarifaire, chèques énergies, recapitalisation) vont probablement « diluer » la relation à travers le temps (le paiement s'étalant sur de nombreuses années par le remboursement de la dette publique engendrée par ces mesures). 'autre part, nous avons eu besoin jusqu'à présent de systèmes énergétiques avec des EROI élevés car l'économie fossile

	Un EROI en baisse est-il vraiment un problème ?
	S'il semble évident que l'EROI d'une société ne doit pas passer en dessous de l'unité,
	l'impact de la baisse de l'EROI vers les minimums estimés précédemment soulèvent
	plusieurs points d'interrogation. Tout d'abord, dans la mesure où les sociétés évoluent
	technologiquement, économiquement et culturellement, il semble inopportun de vouloir
	chercher une valeur absolue d'EROI minimum. L'efficacité énergétique, c'est-à-dire la
	capacité à fournir un même service économique en consommant moins d'énergie peut ainsi
	faire baisser la valeur minimum requise pour l'EROI sociétal (Court, 2019). En effet, s'il faut
	moins d'énergie pour fournir le même service économique grâce aux gains d'efficacité
	énergétique, avec un système énergétique de taille équivalente la « cannibalisation
	énergétique » est moins pénalisante pour les autres secteurs économiques. Néanmoins,
	cette option peut s'avérer de plus en plus coûteuse à mesure que l'on épuise les gisements
	d'efficacité énergétique.

D

Seule étude dans son genre à notre connaissance, Vittorio Ecclesia et al. (2022) ont poussé l'analyse jusqu'au stade de l'énergie utile. Pour le Portugal, entre 1960 et 2014, il semble que l'énergie utile ait été délivrée avec un EROI agrégé d'environ 3.