Gilles Dowek

The Undecidability of Pattern Matching in Calculi where Primitive Recursive Functions are Representable

We prove that the pattern matching problem is undecidable in polymorphic λ-calculi (as Girard's system F [8] [9]) and calculi supporting inductive types (as Gödel's system T [10] [9]) by reducing Hilbert's tenth problem to it. More generally pattern matching is undecidable in all the calculi in which primitive recursive functions can be fairly represented in a precised sense.

Introduction

The higher order matching problem in a typed λ-calculus is the problem of determining whether a term is an instance of another i.e. to solve the equation a = b where a and b are terms and b is ground. The decidability of pattern matching in simply typed λ-calculus is still an open problem.

Extensions of simply λ-calculus are obtained by adding dependent types, polymorphism, type constructors and inductive types. In [START_REF] Dowek | L'Indécidabilité du Filtrage du Troisième Ordre dans les Calculs avec Types Dépendants ou Constructeurs de Types (The Undecidability of Third Order Pattern Matching in Calculi with Dependent Types or Type Constructors)[END_REF] we have proved that pattern matching is undecidable in λ-calculi with dependent types or type constructors. We prove in this note that pattern matching is also undecidable in polymorphic λ-calculi (as Girard's System F [8] [START_REF] Girard | Proofs and Types, translated and with appendices[END_REF]) and in λ-calculi supporting inductive types (as Gödel's System T [START_REF] Gödel | Über eine bisher noch nicht benützte Erweiterung des finiten Standpunktes[END_REF] [START_REF] Girard | Proofs and Types, translated and with appendices[END_REF]). More generaly a λ-calculus cannot at the same time be sufficiently expressive to represent primitive recursive functions and let pattern matching be decidable.

Girard's System F

We use the definition of system F and the notations of [START_REF] Barendregt | Introduction to Generalized Type Systems[END_REF] except that we write P rop instead of * and t[x ← t ′ ] for the term obtained by substituting the term t ′ for the variable x in the term t.

Definition: Syntax

Γ ⊢ t : (x : T )T ′ Γ ⊢ t ′ : T Γ ⊢ (t t ′ ) : T ′ [x ← t ′ ]
Definition: β-reduction and β-equivalence The β-reduction (in one step) (£) is the smallest relation compatible with term structure that verifies:

(λx :

T.t u) £ t[x ← u]
The β-reduction relation (£ * ) is the reflexive-transitive closure of the relation £ and the β-equivalence (≡) is the reflexive-symmetric-transitive closure of the relation £.

Definition: Normal Term

A term t is said to be normal if there exists no term u such that t £ u.

Remark:

The proof given in this note also works if we consider η-reduction too.

Theorem: The reduction on well-typed terms is strongly normalizable and confluent, i.e. all the reduction sequences issued from a well-typed term t are finite and if u and u ′ are normal terms such that t £ * u and t £ * u ′ then u = u ′ . Proof: See [8] [9] for the β-reduction and [START_REF] Gallier | On Girard's Candidats de Réductibilité, Logic and Computer Science[END_REF] [7] [START_REF] Salvesen | The Church-Rosser Property for Pure Type Systems with βη-reduction[END_REF] for the generalization to βη-reduction.

Proposition: Let t be a normal well-typed term, t is either an abstraction, a product or an atomic term i.e. a term of the form (w c 1 ... c p ) where w is a variable or a sort.

Proof: If the term t is neither an abstraction nor a product then it can be written in a unique way t = (w c 1 ... c p ) where w is not an application. The term w is not a product (if p ̸ = 0 because a product is of type s for some sort s and therefore cannot be applied and if p = 0 because t is not a product). It is not an abstraction (if p ̸ = 0 because t is in normal form and if p = 0 because u is not an abstraction). It is therefore a variable or a sort.

Definition:

We let N at = ΠP : P rop.P → (P → P ) → P and for every natural number n, n be the Church natural representing n: n = λP : P rop.λx : P.λf : P → P.(f ... (f x) ... ) (n times)

Proposition: For every primitive recursive function f of arity n, there exists in system F a term t of type N at → ... → N at → N at such that if a 1 , ..., a n are natural numbers, then:

(t a 1 ... a n ) = (f a 1 ... a n )
Moreover the term t can be effectively constructed from the definition of f . The term t is said to represents the function f . Proof:

See [8] [9].

The Undecidability of Primitive Recursive Equations

Let us recall some well-known facts about primitive recursive functions.

Proposition:

The following functions are primitive recursive:

• addition and multiplication,

• the function Equal such that (Equal x y) = 0 if x = y and (Equal x y) = 1 otherwise,

• the function α such that (α x n) is the exponent of the n th prime number in the prime decomposition of x.

Proposition: For every finite sequence of natural numbers a 1 , ..., a n , there exists an natural number x such that for every i, 1 ≤ i ≤ n, a i = (α x i). Proof: We take x = Π n i=1 p an n where p n is the n th prime number. Proposition: There is no effective method that decides if, given the definition of a primitive recursive function f , the equation (f x 1 ... x n ) = 0 has a solution.

Proof: We reduce Hilbert's tenth problem [START_REF] Davis | Hilbert's Tenth Problem is Unsolvable[END_REF] to this one. Let (P x 1 ... x n ) and (Q x 1 ... x n ) two polynomials. Let us define the function f as:

(f x 1 ... x n ) = (Equal (P x 1 ... x n ) (Q x 1 ... x n ))
The equation (f x 1 ... x n ) = 0 has a solution if and only if (P x 1 ... x n ) = (Q x 1 ... x n ) also has one.

Remark:

In the previous proposition we can restrict ourselves to equations with only one variable by taking:

(f x) = (Equal (P (α x 1) ... (α x n)) (Q (α x 1) ... (α x n)))
3 The Undecidability of Pattern Matching in Girard's system F Definition: A matching problem on one natural variable is a pair of terms < a, b > such that a is well-typed in the context [x : N at] and b is well-typed in the empty context. A solution of such a problem is a pair < γ, u > such that γ is a well-formed context and u a term well-typed of type N at in the context γ such that a[x ← u] and b have the same normal form (these two terms are well-typed in the context γ).

Remark: Although a may have only x as free variable and b does not have any, there is no restriction on the free variables of the term u since γ is an arbitrary well-formed context.

Proposition: Let Γ be a context and t a normal term well-typed in Γ of type N at such that the normal form of (t N at 0 λy : N at.y) is 0 then the term t is a Church natural.

Proof: Let us consider the context Γ ′ = [P : P rop; x : P ; f : P → P ]. Let the term u be the normal form of (t P x f ). The term u has type P in Γ ′ . We have:

(t N at 0 λy : N at.y) ≡ 0 so:

u[P ← N at, x ← 0, f ← λy : N at.y] ≡ 0
We prove by induction over the structure of u that every normal term u of type P in the context Γ ′ such that the normal form of u[P ← N at, x ← 0, f ← λy : N at.y] is 0 has the form u = (f ... (f x) ... ).

The term u has type P so it is neither an abstraction nor a product. It is thus an atomic term (w c 1 ... c p ). If w is different from P , f and x then the normal form of the term u[P ← N at, x ← 0, f ← λy : N at.y] is also atomic with head w and thus is different from 0. So the variable w is among P , f and x. It is not the variable P because we would have p = 0 and the normal form of u[P ← N at, x ← 0, f ← λy : N at.y] would be the term N at which is not 0, so it is either x or f . If w = x then p = 0 so u = x has the required form. If w = f then p = 1, u = (f u ′ ). The term u[P ← N at, x ← 0, f ← λy : N at.y] reduces to u ′ [P ← N at, x ← 0, f ← λy : N at.y], so the normal form of this term is 0. Thus, by induction hypothesis, we have u ′ = (f ... (f x) ... ) and u = (f (f ... (f x) ... )) has the required form.

At last since the normal form of the term (t P x f ) is (f ... (f x) ... ) and this term has not the form (v f ) with v normal we have t = λP : P rop.λx : P.λf : P → P.(f ... (f x) ..

. ).

Theorem: There is no effective method that decides if a matching problem on one natural variable in system F has a solution. Proof: Let f be an unary primitive recursive f , we build a matching problem on one natural variable < a, b > that has a solution if and only if f takes the value 0. Let t be a term representing the function f and P air be the term: P air = λx : N at.λy : N at.λg : N at → N at → N at.(g x y)

Let: a = (P air (x N at 0 λy : N at.y) (t x)) b = (P air 0 0)

Let n be a natural number such that (f n) = 0, the pair < [ ], n > is a solution of the matching problem < a, b >. Conversely, let < γ, u > be a solution of the matching problem < a, b >, the normal form of the term (u N at 0 λy : N at.y) is 0 and the normal form of (t u) is 0. Thus the normal form of u is a Church natural n and (f n) = 0.

Remark: In [START_REF] Dowek | A Second Order Pattern Matching Algorithm in the Cube of Typed λ-Calculi[END_REF] we have developed a more general notion of matching problem ans made a distinction between universal variables that cannot be instanciated by a substitution and existential variables that can be instanciated by a substitution. We have also defined a notion of order of a type T in a context Γ:

• if T is atomic, T = (w c 1 ... c n ) then if w is an universal variable then o(T ) = 1, if w is an existential variable then o(T ) = ∞ and if w is a sort then o(T ) = 2,
• if T = Πy : U.V then o(T ) = max{1 + u, v} where u is the order of U in Γ and v is the order of V in Γ[y : U ] letting y be an existential variable (with the usual conventions n + ∞ = ∞ and max{n, ∞} = ∞).

We have proved in [START_REF] Dowek | A Second Order Pattern Matching Algorithm in the Cube of Typed λ-Calculi[END_REF] that second order matching was decidable in all the systems of the cube of type systems [START_REF] Barendregt | Introduction to Generalized Type Systems[END_REF] including system F . Since the order of N at is infinite, the problems considered in this note are of infinite order. So the problem of decidability of pattern matching in system F with only finite order variables is left open. Since restricting the order of variables to finite order prohibits the use of polymorphism, this problem seems related to the problem of pattern matching in simply typed λ-calculus. [START_REF] Dowek | L'Indécidabilité du Filtrage du Troisième Ordre dans les Calculs avec Types Dépendants ou Constructeurs de Types (The Undecidability of Third Order Pattern Matching in Calculi with Dependent Types or Type Constructors)[END_REF] The Undecidability of Pattern Matching in Gödel's System T Definition: Gödel's System T [10] [START_REF] Girard | Proofs and Types, translated and with appendices[END_REF] is an extension of simply typed λ-calculus in which:

• there are a primitive type N at and primitive symbols O : N at and S : N at → N at,

• for each type T , there is a primitive symbol R T (called the recursor of type T ) of type

T → (N at → T → T ) → N at → T ,
• reduction is extended by the rules:

(R T a b O) £ a (R T a b (S x)) £ (b x (R T a b x))
Theorem: The reduction on well-typed terms is strongly normalizable and confluent. Proof: See [10] [START_REF] Girard | Proofs and Types, translated and with appendices[END_REF].

Remark: Usually η-reduction is not considered in system T . The proof given here also works if we consider η-reduction too, provided that the reduction relation is strongly normalizable and confluent.

Proposition: Let n be the term (S ... (S O) ... ) (n times). For every primitive recursive function f of arity n, there exists in system T a term t of type N at → ... → N at → N at representing the function f , moreover the term t can be effectively constructed from the definition of f . Proof: See [10] [START_REF] Girard | Proofs and Types, translated and with appendices[END_REF].

Proposition: In Gödel's system T , let t be a normal term of type N at such that the normal form of (R Theorem: There is no effective method that decides if a matching problem on one natural variable in system T has a solution. Proof: The proof is the same as the one for system F , except that we replace the term (x N at 0 λy : N at.y) by the term (R N at O λy : N at.λz : N at.z x). Remark: In system T the type N at is primitive, so even first-order pattern matching is undecidable.

Conclusion

In this note we have proved the undecidability of pattern matching in system F and system T . The proofs given here generalize to all the polymorphic systems of the cube of typed λ-calculi [START_REF] Barendregt | Introduction to Generalized Type Systems[END_REF], to all the systems of this cube extended by inductive types [START_REF] Th | Inductively Defined Types[END_REF] and to Martin-Löf's Type Theory [START_REF] Martin-Löf | Intuitionistic Type Theory[END_REF]. More generally if we say that primitive recursive functions can be fairly represented in a typed λ-calculus when these functions can be represented and there exists a term t of type N at → N at such that if u is a term of type N at then the term (t u) reduces to 0 if and only if u represents an integer, then pattern matching is undecidable in all the systems in which primitive recursive functions can be fairly represented.

In [START_REF] Dowek | L'Indécidabilité du Filtrage du Troisième Ordre dans les Calculs avec Types Dépendants ou Constructeurs de Types (The Undecidability of Third Order Pattern Matching in Calculi with Dependent Types or Type Constructors)[END_REF] we have proved the undecidability of pattern matching in calculi with dependent types and type constructors. Pattern matching is therefore undecidable in seven calculi of the cube of typed λ-calculi [START_REF] Barendregt | Introduction to Generalized Type Systems[END_REF]. The problem of the decidability of pattern matching in simply typed λ-calculus is left open. This problem is conjectured decidable in [START_REF] Huet | Résolution d' Équations dans les Langages d[END_REF].

T

  ::= P rop | x | (T T ) | λx : T.T | Πx : T.T The notation T → T ′ is an abbreviation for Πx : T.T ′ when x has no occurrence in T ′ . Definition: Context Γ[x : P rop] ⊢ T : P rop Γ[x : P rop] ⊢ t : T Γ ⊢ λx : P rop.t : Πx : P rop.T

  If w = O then p = 0 so t = O has the required form. If w = S then p = 1, t = (S t ′ ). The term (R N at O λy : N at.λz : N at.z t) reduces to (R N at O λy : N at.λz : N at.z t ′ ), so the normal form of this term is O. Thus, by induction hypothesis, t ′ = (S ... (S O) ... ) and t = (S (S ... (S O) ... )) has the required form.

  N at O λy : N at.λz : N at.z t) is O then t has the form (S ... (S O) ... ).

Proof: By induction over the structure of t. The term t has type N at so it not an abstraction, since it is normal it is an atomic term (w c 1 ... c p ). If w is different from O and S then the term (R N at O λy : N at.λz : N at.z t) is normal and is different from O. So the variable w is either O or S.

* B.P. 105, 78153 Le Chesnay CEDEX, France. dowek@margaux.inria.fr † This research was partly supported by ESPRIT Basic Research Action "Logical Frameworks".1A context is a list of pairs < x, T > (written x : T ) where x is a variable and T a term.Definition: Typing RulesWe define inductively two judgements: Γ is well-formed and t has type T in Γ (Γ ⊢ t : T ) where Γ is a context and t and T are terms. [ ] well-formed Γ ⊢ T : P rop Γ[x : T ] well-formed Γ well-formed Γ[x : P rop] well-formed Γ well-formed x : T ∈ Γ Γ ⊢ x : T Γ ⊢ T : P rop Γ[x : T ] ⊢ T ′ : P rop Γ ⊢ Πx : T.T ′ : P rop Γ[x : P rop] ⊢ T : P rop Γ ⊢ Πx : P rop.T : P rop Γ ⊢ T : P rop Γ[x : T ] ⊢ T ′ : P rop Γ[x : T ] ⊢ t : T ′ Γ ⊢ λx : T.t : Πx : T.T ′

Acknowledgments

The author would like to thank Amy Felty, Serge Grigorieff, Gérard Huet and Christine Paulin for their help in the preparation of this note.


Communication dans le cadre du colloque « Stratégies d'écriture, stratégies d'apprentissages

Pratiques de l'écriture passées sous silence

Un enfant qui naît sourd n'a pas d'accès au langage oral, comme l'enfant entendant baigné dans les mots dès les premières heures de sa vie. Il lui faudra un effort délibéré pour capturer une parole souvent cotonneuse, floue, incompréhensible. Alors que l'enfant entendant de sept ans qui apprend à lire et à écrire possède déjà un bagage langagier, l'enfant sourd court le risque, quant à lui, d'être un enfant sans langage, si aucune mesure préventive n'est prise pour éviter cette situation. Face à ce risque, de nombreux dispositifs sont mis en oeuvre de plus en plus tôt auprès de l'enfant sourd, de ses parents et de l'institution éducative. Malgré ces dispositifs, un enfant sourd aura toujours un travail particulier à faire pour pouvoir « entendre », « comprendre », « énoncer » un langage. Les chiffres le montrent : nous savons aujourd'hui que quatre-vingts pour cent des sourds sont illettrés1 . En dépit de l'allongement de la scolarité, sa démocratisation, l'effort de formation des maîtres et les progrès des sciences et des technologies éducatives, l'enseignement de la lecture et de l'écriture reste un acte pédagogique fondamental mais fragile. L'apprentissage de la langue écrite est un apprentissage particulièrement ardu Le côté sensuel du langage chez le sourd, selon nous, c'est le geste. Le concept se cristallise à partir d'un geste qui reste dans son champ perceptif. De même que l'enfant entendant reproduit très fréquemment un son de la langue parlée sans forcément savoir ce qu'il signifie, le sourd peut reproduire une trace en sachant que cette trace est porteuse de sens sans connaitre son sens. Avant de devenir un outil langagier, l'écriture s'apprend mais peut être aussi une voie d'apprentissage.

L'écriture permet l'expression d'un langage. Elle donne forme à ce qui est informe. Elle est également un moyen d'apprendre au sens épistémologique du terme : l'écriture s'apprend et apprend.

Elle est une appropriation du langage, notamment grâce à l'activité du recopiage et du geste de la main qui écrit. Il y a un engagement dans l'écriture qu'il n'y a pas dans la lecture. Celui qui écrit, agit, travaille. L'acte d'écrire est un acte allant de l'intérieur vers l'extérieur. En même temps, l'écriture est une activité qui s'intériorise. Elle n'est donc pas seulement un moyen d'information mais aussi un moyen de formation ou plus justement d'autoformation6 . Malgré son ancienneté, la pédagogie de Maria Montessori s'avère être une piste très intéressante pour l'éducation des enfants sourds et malentendants. Montessori distingue l'écriture et la lecture, remarquant que les deux acquisitions ne sont pas absolument simultanées : « l'écriture, quoique cela contredise le préjugé, précède la lecture »7 . Elle met non seulement l'accent sur le geste de l'écriture, mais aussi sur l'apprentissage de l'écriture avant celui de la lecture. Une multitude d'exercices de préparation de l'écriture sont appliquées dans les écoles montessoriennes, comme par exemple la composition de figures géométriques que les enfants remplissent ensuite au crayon de couleur d'une façon déterminée par les figures dessinées. Ce type d'exercice constitue un facteur de l'analyse de l'écriture. Si la lecture est une voie d'accès au langage, elle est manifestement moins active que le travail d'écriture. Avec l'écriture, on est dans l'émission, et non dans la réception, on est soi-même engagé dans cette action.

  Université (AMU), Laboratoire Parole et Langage (LPL) Comment écrit celui qui n'entend pas ? Que peut bien « entendre » le sourd, quand il trace des lettres, des mots, des phrases ? Nous avons observé les stratégies d'écriture et d'apprentissage de 53 personnes sourdes et malentendantes. Malgré leurs difficultés de lecture liées à leur surdité qui est un obstacle majeur dans la communication et l'apprentissage du langage, les sujets de notre population ont une pratique courante de l'écriture. Les résultats de nos enquêtes, menées entre 2008 et 2009, montrent que l'écriture est une voie d'appropriation du langage et un moyen essentiel de communication. Ecrire, pour celui qui n'entend pas, serait-ce parler ?

apprentissages des compétences linguistiques et cognitives

  Communication dans le cadre du colloque « Stratégies d'écriture, stratégies d'apprentissages de la maternelle à l'université », à l'IUFM de Colmar, le 22 mars 2012. 'écrit étant essentiellement la transcription d'une parole, la lecture serait une sorte d'appel « acoustique » pour celui qui lit 2 . Ce qui tendrait à démontrer que le sourd ne pourra jamais lire comme un entendant. Nous ne pouvons rester sur un tel constat, puisqu'il existe des sourds lettrés. L'un des En interrogeant 53 personnes sourdes, devenues sourdes et malentendantes, nous avons pu mettre au jour le rôle de l'écriture dans l'apprentissage des sourds. Celui-ci s'avère fondamental pour l'ensemble de notre population : 84,6% des sujets (lettrés ou non) trouvent que l'écriture est un moyen d'expression langagière et 81,6% d'entre eux jugent le rôle de l'écriture comme celui d'une appropriation du langage Alors que les éducatrices lui demandent de désigner les objets susceptibles de faire du bruit sur une image représentant une scène des vacances à la mer, Matteo pointe spontanément le crayon que tient un homme en train de faire des mots croisés. Les mots, ne font-ils pas du bruit, en silence ? Dans le sens symbolique du langage, écrire, c'est parler sans faire de bruit. C'est un bruit imaginaire. C'est un bruit qui est purement intérieur. La vérité, ne sort-elle pas de la « bouche » des enfants ? Communication dans le cadre du colloque « Stratégies d'écriture, stratégies d'apprentissages de la maternelle à l'université », à l'IUFM de Colmar, le 22 mars 2012. Tableau 1 : L'écriture comme voie possible d'expression langagière Pour vous, l'écriture est (ou était-ce) une voie possible d'expression langagière ? Communication dans le cadre du colloque « Stratégies d'écriture, stratégies d'apprentissages de la maternelle à l'université », à l'IUFM de Colmar, le 22 mars 2012. créateur, permettant d'approcher le langage de façon sensible. Une interaction mutuelle se fait entre la perception visuelle de l'écriture et sa conception gestuelle, parce que dans le visuel il y a le graphique et que ce graphique est produit, non par un geste vocal, mais par un geste manuel. Le geste de la main qui écrit peut être l'équivalent du geste vocal de l'entendant, qui fait défaut chez le sourd. Cet apprentissage par le geste des yeux et de la main s'applique également au sujet entendant, mais est sans doute plus crucial chez celui qui n'entend pas. Raisons de la pratique du recopiage [Quand vous étiez enfant, avez-vous joué à recopier des mots, des phrases et/ou des textes de votre propre gré ?] Si oui, pourquoi ?

	Tableau 4 : Effectif
	Non réponse	Effectif	8
	Non réponse Pour m'amuser / pour le mystère / pour le plaisir des mots	1	25
	Tout à fait d'accord / plutôt d'accord Pour progresser / pour la mémoire / pour travailler l'esthétique de mon écriture 44	25
	Plutôt en désaccord / tout à fait en désaccord Pour l'école / pas de plaisir objectifs de notre travail est de fournir des données généralement passées sous silence concernant la 8 10 Total / répondants 52 Total / réponses 60
	pratique de l'écriture chez les sourds. Trop souvent associée à une légende, selon laquelle ceux qui écrivent sont des écrivains ou des poètes, des « doués » ou des « plumes faciles », l'écriture se départ mal d'un certain prestige et d'un certain élitisme. La particularité de notre travail est d'interroger une population étonnamment négligée : les sourds lettrés. Aucune étude complète n'a été entreprise dans ce domaine, et comme nous allons le voir, celui-ci nous réserve bien des surprises. On parle toujours des fameux 80 % de sourds illettrés, mais qu'en est-il des 20 % restants ? Personne ne s'y est intéressé. C'est justement cette population que nous avons souhaité rencontrer. Nous sommes allée interroger 53 personnes sourdes et malentendantes, à Paris, Rennes, Lyon, Aix-en-Provence, Bruxelles et autres villes sinon villages. À partir de leurs réponses à notre questionnaire, nous formons 4 groupes de sujets, selon qu'ils sont très lettrés (donc grands lecteurs et ayant une aisance certaine de l'écriture), lettrés (bons lecteurs et bons scripteurs), moyennement lettrés (lecteurs et scripteurs moyens) ou peu lettrés (lecteurs et scripteurs ayant des difficultés à lire et à écrire). Un questionnaire de 10 pages servit de cadre d'entretien. Il fut l'occasion d'une vraie rencontre avec les interrogés. (tableaux 1 et 2). L'écriture permet donc de lever l'empêchement de la communication liée à la surdité de nos enquêtés 3 . L'écriture est « une valeur », telle que l'exprime Shéhérazade en langue des signes sur le ton de l'émerveillement : Interrogés : 53 / Répondants : 52 / Réponses : 66 Tableau 2 : L'écriture comme voie possible d'appropriation langagière Pour vous, l'écriture est (ou était-ce) une voie possible d'appropriation du langage (un moyen de formation ou d'autoformation au langage) ? Effectif Non réponse 4 Tout à fait d'accord / plutôt d'accord 40 Plutôt en désaccord / tout à fait en désaccord 8 Autre précision 1 Total / répondants 49 Interrogés : 53 / Répondants : 49 / Réponses : 54 du recopiage. L'activité de recopiage est un moyen d'intégrer des caractères écrits et d'assimiler l'écriture. Engagé dans l'action de lire et d'écrire, l'apprenant observe des traits déjà tracés par quelqu'un d'autre, puis les reproduit par imitation. Il y a un mouvement dialectique avec la lecture, outre l'acte d'écrire, lui-même, qui suppose un engagement du corps. Cet acte permet l'enregistrement Stratégies d'Par apprentissage visuo-gestuel, lors de l'initiation à l'écriture, on entend surtout celui provenant Interrogés : 53 / Répondants : 45 / Réponses : 60
			Effectif
	Non réponse		1
	Oui, je jouais à recopier des lettres, des mots, des phrases		40
	Oui, je jouais à imiter des écritures (des signatures par exemple)		24
	Oui, je jouais à d'autres jeux		10
	Non, je ne jouais pas à recopier des mots, des phrases et/ou des textes	7
	Autres précisions		15
	Total / répondants		52
	Interrogés : 53 / Répondants : 52 / Réponses : 96

2 pour des personnes qui n'entendent pas ou mal. Beaucoup de personnes sourdes ne bénéficient pas ou peu d'une immersion quotidienne dans la langue française.

LLes données issues des 53 questionnaires remplis représentent 530 pages de données et l'ensemble des notes de retranscription de nos entretiens fait plus de 420 pages. Nous nous sommes donc retrouvée avec une très grande quantité d'informations discursives, outre les données venant du questionnaire lui-même.

Les résultats de nos enquêtes montrent que les plus lettrés comme les moins lettrés de notre population de sujets ont une activité écrite : sur 49 répondants de notre population, 20 sujets ont une pratique de l'écriture personnelle « presque tous les jours » ou « au moins une fois par semaine » et 18 autres interrogés écrivent pour le seul plaisir d'écrire « en certaines occasions ». Les sourds ont souvent des difficultés d'expression langagière, puisqu'ils n'entendent pas les mots, les phrases, les informations diverses qui circulent autour d'eux. Pourtant, malgré ou peut-être « grâce » à leurs difficultés, l'écriture n'est pas du tout rejetée. Pourquoi ?

Stratégies de communication silencieuse

Je sens que l'écriture permet une relation, avec l'email par exemple. Quand tu remplis un papier, même si tu ne sais pas où il va, tu sens malgré tout que tu donnes quelque chose, que ça a une valeur. Ça crée une relation. Imagine si tu ne savais pas écrire ! Quelqu'un d'autre devrait écrire pour toi ! Ça créerait une relation entre cette personne et celle à qui tu dois écrire, mais pas entre toi et le destinataire ! Pourquoi l'écriture est-elle si importante pour les sourds et les malentendants, même pour ceux qui ont une langue des signes ou une langue orale ? L'écriture ouvre une porte sur un espace sans obstacle. Elle s'empare de quelque chose qui passe. Elle capture l'instant qui est par essence éphémère.

Par sa trace, elle la fait durer. L'écrit traduit quelque chose qui se parle dans une langue inconnue. Ce qui n'est pas encore là se manifeste. Écrire, c'est rendre visible sa parole et se rendre visible par la parole. Cette parole fait du bruit, paradoxalement, sans faire de bruit.

Comment ne pas évoquer le cas de ce petit garçon sourd de 5 ans, Matteo, qui nous surprit profondément, au cours d'une séance d'éducation auditive dans un centre pour enfants sourds et malentendants.

sensoriel et la mémorisation des signes graphiques. Dans le recopiage, il n'y a pas seulement un copiage, c'est-à-dire l'imitation, la copie « servile » d'une écriture. D'ailleurs les résultats de nos analyses indiquent que seulement 24 personnes cochent la case « oui, je jouais à imiter des écritures », contre 40 sujets approuvant la réponse « oui, je jouais à recopier des lettres, des mots, des phrases » (tableau 4). Le recopiage suppose aussi la répétition, le mouvement en arrière. Il sous-entend donc les deux mécanismes cognitifs fondamentaux : l'imitation et la répétition qui favorisent les apprentissages en général 5 . Par le geste, par l'acte d'écrire, il y a dépassement de l'obstacle de la surdité.

Tableau 3 : Pratique du recopiage Quand vous étiez enfant, avez-vous joué à recopier des mots, des phrases et/ou des textes de votre propre gré ?

  Communication dans le cadre du colloque « Stratégies d'écriture, stratégies d'apprentissages de la maternelle à l'université », à l'IUFM de Colmar, le 22 mars 2012. De janvier à juillet 2011, nous avons eu la chance de pouvoir « expérimenter » une pédagogie centrée sur l'écriture au sein d'une institution pour enfants sourds. Ce fut un travail passionnant, car il nous a permis d'avoir une idée « pratique » de la suite de notre recherche. Nous fûmes en contact « direct » avec des enfants sourds qui ne savaient ni lire ni écrire, et nous avons pu « expérimenter » les principales théories développées dans notre travail de thèse. En très peu de temps, toutes nos hypothèses se sont confirmées : l'enfant sans accès aisé au langage apprend à écrire, à lire et même à parler, en écrivant ! Ces expériences pédagogiques montrent que notre travail a des retombées fructueuses et percutantes. Avec elles, s'ouvre un vaste chantier de victoires silencieuses et de recherches originales mais abordables. Selon d'autres participants, le processus de l'écriture est une parole à soi : « Je me parle à l'intérieur de moi [et] je réfléchis, explique Dominique. Après, c'est une idée que je développe, avec le dictionnaire à côté de moi. Je ne me déplace jamais sans mon dictionnaire à la maison ! ». Il peut aussi y avoir une sorte de parole visuelle pour la lecture et une parole sonore voire « musicale » pour l'écriture, comme chez Frédérique : Quand je lis, ce sont des images, mais quand j'écris, ce sont des sons dans ma tête. Avec la langue des signes, ce ne sont pas des images mais des sons : je traduis [les sons en signes], c'est curieux, est-ce du à mon manque de contact avec les sourds ? L'écriture aide même à parler. Ainsi, s'exprime Jean-Marc : « Ecrire mieux, après je sais mieux. Aussi, après, je parle mieux. Si on corrige ce que j'écris, après c'est mieux pour parler ». Stratégie Communication dans le cadre du colloque « Stratégies d'écriture, stratégies d'apprentissages de la maternelle à l'université », à l'IUFM de Colmar, le 22 mars 2012. Communication dans le cadre du colloque « Stratégies d'écriture, stratégies d'apprentissages de la maternelle à l'université », à l'IUFM de Colmar, le 22 mars 2012.

Conclusion

Pour répondre à une des questions que pose une telle recherchecomment écrivent ceux qui n'entendent pas ? -il semblerait, d'après les 53 entretiens que nous avons pu mener, que chaque cas soit particulier. Que se passe-t-il quand le sourd écrit ? Il y a un souvenir, une image, une parole, une pensée, une connaissance. Ainsi s'exprime notamment Françoise : « quand j'écris par exemple sur une promenade en marche à pieds en montagne, je replonge dedans, je revis l'aventure ». Pour Céline, il y a surtout l'imagination : « L'écriture, c'est un rapport imaginaire : on imagine beaucoup de choses, ce n'est pas toujours la réalité ». d'écriture et stratégie d'apprentissage sont étroitement liées. L'écriture sert à « avancer », comme le raconte Marc :

Voir notamment D. Gillot, Le Droit des Sourds. Rapport au Premier Ministre, Paris, Assemblée Nationale, 1998.

Voir notamment B. Jurdant, Ecriture, monnaie et connaissance, thèse de doctorat ès lettres, science, technologie et société, université de Strasbourg, 1984 ; D. De Kerckhove et C. Lumsden, The Alphabet and the brain. The lateralization of writing, Berlin, Heidelberg, New York, Springer-Verlag, 1988.

M. Hamm, L'apprentissage de l'écriture et de la lecture chez les personnes sourdes et malentendantes, thèse de doctorat ès sciences de l'éducation, université de Strasbourg, 2010, p. 159.

Qu'en est-il des stratégies d'apprentissages chez les sourds ? Beaucoup de nos sujets se rappellent avoir joué à recopier des mots, des phrases et des textes quand ils étaient enfants : 40 sur 52 répondants se souviennent d'avoir pratiqué le « jeu du recopiage » pour le plaisir et pour le désir de progresser (tableau 3). Pour ce qui est du vécu de leur apprentissage de l'écriture, 39 sur 52 soit les trois quarts des sujets considèrent celui-ci comme plutôt facile et donc possible. En revanche, le vécu de l'apprentissage de la lecture a été assez difficile pour 24 sujets sur 53. L'obstacle de la parole est particulièrement évoqué. Quand le sourd lit, il « entend » lui aussi à sa façon les mots : il entend la part fantasmatique ou fantomatique de la langue orale. Mais quand il écrit, ressentirait-il davantage un mouvement interne : le rythme de sa propre écriture 4 . Avant d'avoir un sens pour la conscience, l'écriture n'est-elle pas une sensation visuelle mais surtout gestuelle ? L'écriture commence avec un geste, celui d'une main qui trace des lettres, des points, des ronds, des ponts, des boucles, des bâtonnets sans faire de bruit. C'est un acte physique, très intime et 4 M. Hamm, L'apprentissage de l'écriture et de la lecture chez les personnes sourdes et malentendantes, ouvr. cité, p. 113 et p. 161.

F. Doré et P. Mercier, Les fondements de l'apprentissage et de la cognition, Lille, Presses Universitaires de Lille, 1992.

M. Hamm, L'apprentissage de l'écriture et de la lecture chez les personnes sourdes etmalentendantes, ouvr. cité, p. 113 et p. 245.

M. Montessori, Pédagogie scientifique. La maison des enfants, Tome 1, traduction du français par Georgette Jean-Jacques Bernard, Paris, Desclée de Brouwer, 1909/1992, p. 178.


R Ravaud

G Lemarquand

MAGNETIC COUPLINGS WITH CYLINDRICAL AND PLANE AIR GAPS: INFLUENCE OF THE MAGNET POLARIZATION DIRECTION

We present a synthesis of cylindrical magnetic couplings realized with tile permanent magnets whose polarizations can be radial, tangential or axial. The expressions of the torque transmitted between the two rotors of each coupling have been determined by using the coulombian approach. All the calculations have been performed without using any simplifying assumptions. Consequently, the expressions obtained are accurate and enable a fast comparison between all the structures presented in this paper. Strictly speaking, there are two great kinds of couplings generally used in engineering or medical applications. The first ones use a cylindrical air gap though the second ones use a plane air gap. The best configuration for obtaining the greatest torque turns out to be different between couplings using cylindrical or plane air gaps.

INTRODUCTION

Up to now, the progress in permanent magnet manufacturing [START_REF] Yonnet | Rare-earth Iron Permanent Magnets, ch. Magnetomechanical devices[END_REF]- [START_REF] Yonnet | Permanent magnet bearings and couplings[END_REF] have paved the way for the design of very efficient magnetic couplings [START_REF] Charpentier | Optimization of unconventional p.m. couplings[END_REF]- [START_REF] Ravaud | Torque in permanent magnet couplings: comparison of uniform and radial magnetization[END_REF] or permanent magnet machines [START_REF] Chau | Transient analysis of coaxial magnetic gears using finite element comodeling[END_REF]- [START_REF] Ravaud | Permanent magnet couplings: field and torque three-dimensional expressions based on the coulombian model[END_REF]. Indeed, the assembly of tile permanent magnets have allowed manufacturers to design devices that can be easily optimized [START_REF] Yao | The radial magnetic coupling studies of perpendicular magnetic gears[END_REF]- [START_REF] Yonnet | Analytical calculation of permanent magnet couplings[END_REF]. Several approaches [START_REF] Furlani | A two-dimensional analysis for the coupling of magnetic gears[END_REF]- [START_REF] Akyel | Mutual inductance calculation for non-coaxial circular air coils with parallel axes[END_REF] are used for the study of the torque transmitted between two permanent magnet rotors [START_REF] Akoun | 3d analytical calculation of the forces exerted between two cuboidal magnets[END_REF]- [START_REF] Elies | Analytical study of radial stability of permanent magnet synchronous couplings[END_REF]. For performing such optimizations with analytical approaches, the first step is certainly the determination of the magnetic field [START_REF] Jian | Analytical calculation of magnetic field distribution in coaxial magnetic gears[END_REF] [START_REF] Babic | Magnetic force calculation between thin coaxial circular coils in air[END_REF] produced by the permanent magnet structure.

The analytical calculation of the magnetic field produced by arc-shaped permanent magnets [START_REF] Ravaud | Discussion about the analytical calculation of the magnetic field created by permanent magnets[END_REF] [START_REF] Ravaud | Magnetic field produced by a tile permanent magnet whose polarization is both uniform and tangential[END_REF] has been largely studied by many authors .

In addition, some authors have proposed series expansions for obtaining a fast evaluation of the magnetic field produced by ring permanent magnets [START_REF] Kwon | Analysis of the far field of permanent magnet motors and effects of geometric asymmetries and unbalance in magnet design[END_REF] [START_REF] Perigo | General expressions for the magnetic flux density produced by axially magnetized toroidal permanent magnets[END_REF] . Such analytical methods are suitable for the design Many papers dealing with the optimization of magnetic couplings use the finite element method. However, as mentioned in [START_REF] Azzerboni | Threedimensional calculation of the magnetic field created by currentcarrying massive disks[END_REF] , it is more interesting to use some analytical expressions for calculating the magnetic field produced by arc-shaped permanent magnets if such analytical approaches are possible. We think that it is also the case when the calculation of the forces or torques are required.

The main configurations generaly used for realizing magnetic couplings are presented below. Indeed, magnetic couplings are performed with either cylindrical air gaps, as shown in Some analytical studies have been performed by several authors [START_REF] Akoun | 3d analytical calculation of the forces exerted between two cuboidal magnets[END_REF]- [START_REF] Bancel | Three-dimensional analytical optimization of permanent magnets alternated structure[END_REF] for studying such magnetic couplings. However, these studies omitted the curvature effect of the tile permanent magnets. On the other hand, such approaches, based on the linearized model of a mag-Figure 3. Magnetic couplings using cylindrical air gaps; from left to right : coupling using tile permanent magnets radially magnetized, coupling using tile permanent magnets tangentially magnetized, coupling using tile permanent magnets axially magnetized net, are fully analytical and thus interesting to use for optimization purposes.

We propose in this paper to use an exact formulation based on the coulombian model for calculating the torque transmitted bewteen tile permanent magnets radially, tangentially or axially magnetized. Our semi-analytical expressions are based on only one numerical integration whose convergence is fast and robust. All the analytical expressions have been determined without any simplifying assumptions.

CONFIGURATIONS STUDIED IN THIS PAPER

We present in this section the six configurations studied in this paper.

Strictly speaking, our investigation encompasses both the classical magnetic couplings but also unconventional couplings manufactured with tile permanent magnets tangentially magnetized. The choice of the tile permanent magnet polarization depends greatly on the involved application. Basically, the main criterion for optimizing magnetic couplings is the value of the torque transmitted between the two rotors.

To do so, several criteria must be taken into account: the media used, the number and the tile dimensions as well as the intrinsic properties of the magnets (coercitive field). However, the shape of the torque versus the angular shift can also be the main optimization criterion. This is why several configurations of tile permanent magnets with different polarizations must be compared to each other. We have represented in . Magnetic couplings using plane air gaps; from left to right : coupling using tile permanent magnets radially magnetized, coupling using tile permanent magnets tangentially magnetized, coupling using tile permanent magnets axially magnetized Magnetic couplings using tile permanent magnets radially or axially magnetized are rather well known whereas the ones using tile permanent magnets tangentially magnetized are less known. The magnetic couplings using plane air gaps are presented in

USING THE COULOMBIAN MODEL FOR STUDYING THE MAGNETIC COUPLINGS

We present now the three-dimensional equations for the study of the structures presented in the previous section.

Torque transmitted between two tile permanent magnets radially magnetized

The torque transmitted between two tile permanent magnets radially magnetized is determined by using the analytical expressions determined in a previous paper [START_REF] Ravaud | Permanent magnet couplings: field and torque three-dimensional expressions based on the coulombian model[END_REF]. These analytical expressions are based on the coulombian model of a magnet.

Torque transmitted between two tile permanent magnets tangentially magnetized

Let us now consider the torque transmitted between two tile permanent magnets tangentially magnetized. The geometry considered and the is directed along u θ in cylindrical coordinates. The torque transmitted between the two tile permanent magnets tangentially magnetized is determined by integrating the magnetic field produced by the inner tile permanent magnet on the magnetic pole surface densities of the outer tile permanent magnet. By denoting H(r, θ, z), the magnetic field produced by the inner tile permanent magnet in all points in space, the torque transmitted bewteen the two tile permanent magnets can be expressed as follows:

T = J 2 r 4 r 3 z 2 z 1 H θ ( r, θ 4 , z) rd rd z -J 2 r 4 r 3 z 2 z 1 H θ ( r, θ 3 , z) rd rd z (1)
where H θ (r, θ, z) is expressed as follows:

H θ (r, θ, z) = -∇. r 2 r 1 z 2 z 1 G( r, r )dφ( r ) . u θ ( 2
)
where G( r, r ) is the three-dimensional Green's function defined as follows:

G( r, r ) = 1 4π r -r (3)
where r an observation point and r a point located on the charge distribution. It is noted that G( r, r ) has been largey used in [START_REF] Ravaud | The three exact components of the magnetic field created by a radially magnetized tile permanent magnet[END_REF]. In addition, dφ( r ) is defined by :

dφ( r ) = J 1 µ 0 drdz (4) By setting x = cos(θ m -θ j ), y = sin(θ m -θ j ) and c = r 2 i + (z n -z k ) 2 ,
the final expression of the torque can be written as follows:

T = 2 i,j,k,m,n=1 (-1) (i+j+k+m+n) r 4 r 3 ϑ( r, i, j, k, m, n)d r (5)
and ϑ( r, i, j, k, m, n) is expressed as follows: The torque transmitted between the two tile permanent magnets axially magnetized is determined by integrating the magnetic field produced by the inner tile permanent magnet on the magnetic pole surface densities of the outer tile permanent magnet. By denoting H(r, θ, z), the magnetic field produced by the inner tile permanent magnet in all points in space, the torque transmitted bewteen the two tile permanent magnets can be expressed as follows:

ϑ( r, i, j, k, m, n) = ry r2 + (z k -z n ) 2 + r i (r i -2 rx) + rx log r i -rx + r2 + (z k -z n ) 2 + r 2 i -2r i rx - (z k -z n )( √ x 2 -1 -x) 2 √ x 2 -1 log[A i,j,k,m,n ] - (z k -z n )( √ x 2 -1 + x) 2 √ x 2 -1 log[B i,j,k,m,n ] (6)
A i,j,k,m,n = -2 (z k -z n ) 3 r i r(x 2 -1) -ξ + r2 (x 2 -1)( √ x 2 -1 -x) ( √ x 2 -1 -x)(r i + r( √ x 2 -1 -x)) B i,j,k,m,n = -2 (z k -z n ) 3 r i r(x 2 -1) + ξ - r2 (x 2 -1)( √ x 2 -1 + x) ( √ x 2 -1 -x)(-r i + r( √ x 2 -1 + x)) ξ = x 2 -1(z k -z n ) z k -z n + r 2 i + r2 -2r i rx + (z k -z n ) 2 (7)
T = J 2 r 4 r 3 θ 3 θ 3 H θ ( r, θ, z 2 ) rd rd θ -J 2 r 4 r 3 θ 4 θ 3 H θ ( r, θ, z 1 ) rd rd θ ( 8
)
where H θ (r, θ, z) is expressed as follows:

H θ (r, θ, z) = -∇. r 2 r 1 θ 2 θ 1 G( r, r )dφ( r ) . u θ ( 9
)
where

dφ( r ) = J 1 µ 0 rdrd θ ( 10
) By setting ξ = r 2 i + r 2 l -2r i r l x + (z n -z k ) 2 and ξ 2 = ξ + r l -r i x,
the expression of the torque transmitted between two tile permanent magnets axially magnetized can be written as follows:

T = 2 i,j,k,l,n=1
(-1) (i+j+k+l+n)

θ 4 θ 3 ϑ( θ, i, j, k, l, n)d θ (11) ϑ( θ, i, j, k, l, n) = b 3 2 x 3(x 2 -1) 3 2 tanh -1 r l √ x 2 -1 √ b - r 3 l x 9 - br l x 3(x 2 -1) + xξ 6(x 2 -1) -r i r l -2bx -3r 2 i x + r i r l x 2 + 3r 2 i x 3 +x log(ξ 2 ) - br i 2 + r 3 i x 2 2 + r 3 i 6 + ξ 6 -r i r l x + r 2 i (2 -3x 2 ) + 2(r 2 l + (z n -z k ) 2 ) - log(ξ 2 ) 2 r i x(r 2 i (x 2 -1) -(z n -z k ) 2 ) + b 3 2 r i x -b 3 2 r i x 3 + b 2 x 2 log(A I ) 6(x 2 -1) 3 2 bx 2 -2 √ br i x √ x 2 -1 + r 2 i (x 2 -1) ) + -b 3 2 r i x + b 3 2 r i x 3 + b 2 x 2 log(A II ) 6(x 2 -1) 3 2 bx 2 + 2 √ br i x √ x 2 -1 + r 2 i (x 2 -1) ) (12)
By setting α +,-= bx 2 ± 2

√ br i x √ x 2 -1 + r 2 i (x 2 -1)
, the parameters A I and A II are defined as follows:

A I = 6(x 2 -1) 2 -r 2 i + r i r l x + r 2 i x 2 -r i r l x 3 b 3 2 (r l -r l x 2 + √ b √ x 2 -1)α -r i -r i x 2 + √ bx √ x 2 -1 + 6(x 2 -1) 2 √ b(r l -r i x) √ x 2 -1 + b(x 2 -1) + ξ √ x 2 -1α - b 3 2 (r l -r l x 2 + √ b √ x 2 -1)α -r i -r i x 2 + √ bx √ x 2 -1 (13)
A II = 6(x 2 -1) 2 b + r 2 i -r i r l x -bx 2 -r 2 i x 2 + r i r l x 3 b 3 2 √ bx √ x 2 -1 + r i (x 2 -1) α + √ b √ x 2 -1 + r l (x 2 -1) + 6(x 2 -1) 2 √ b(r l -r i x) √ x 2 -1 -ξ √ x 2 -1α + b 3 2 √ bx √ x 2 -1 + r i (x 2 -1) α + √ b √ x 2 -1 + r l (x 2 -1) (14)

COMPARISON OF THREE KINDS OF MAGNETIC COUPLINGS USING A CYLINDRICAL AIR GAP

This section presents a comparison between three kinds of magnetic couplings using cylindrical air gaps. The torque transmitted between the outer (led rotor) and inner (leading rotor) rotors is determined for three configurations using 8, 16 and 32 tile permanent magnets. In other words, the angular widths of each tile permanent magnet are For the rest of this paper, all the simulations have been carried out with 2 tile permanent magnets on each rotor.

Simulations

The simulations have been carried out with the following dimensions: each tile permanent magnet has a magnetic polarization that equals 1 T. Their radial width is 3 mm and their height is 3 mm. The air gap between the two rotors is 0.1 mm. The torque transmitted between the two rotors is represented versus the angle θ, that is, versus the angular shift between the two rotors.

Discussion

Figure 7 shows that tile permanent magnets radially magnetized are the best solution for having the greatest torque between two rotors with a cylindrical air gap. However, as tile permanent magnets radially magnetized are rather difficult to manufacture, it can be interesting to compare the torque transmitted between two rotors made of tile permanent magnets tangentially magnetized and two rotors made of tile permanent magnets axially magnetized. Figure 7 shows that tile permanent magnets tangentially magnetized are required when the number of tile permanent magnets used is high (typically superior to 32 for each rotor). When this number is lower, it is more interesting to use tile permanent magnets axially magnetized.

COMPARISON OF THREE KINDS OF MAGNETIC COUPLINGS USING A PLANE AIR GAP

Simulations

The simulations have been carried out with the following dimensions: each tile permanent magnet has a magnetic polarization that equals 1 T. Their radial width is 3 mm and their height is 3 mm. The air gap between the two rotors is 0.1 mm. For each tile permanent magnet, we have r 1 = 0.025 m, r 2 = 0.028 m, r 3 = 0.025 m, r 4 = 0.028 m, z 1 = 0.0031 m, z 2 = 0.0061 m, z 3 = 0 m, z 4 = 0.003 m.

PARAMETRIC STUDY OF THE TORQUE TRANSMITTED IN CYLINDRICAL AIR GAPS USING TILE PERMANENT MAGNETS RADIALLY, AXIALLY

AND TANGENTIALLY MAGNETIZED

Couplings using cylindrical air gaps

We present in this section a parametric study of the torque transmitted between the stator and the rotor of a coupling made of two tile permanent magnets with radial, axial or tangential polarizations located on the led and leading parts of this machine. For this purpose, we consider first a coupling using a cylindrical air gap with the following dimensions:

r 2 -r 1 = 0.003 m, r 4 -r 3 = 0.003 m, z 1 = 0 m, z 2 = 0.003 m, z 3 = 0 m, z 4 = 0.003 m, J 1 = J 2 = 1 T, θ 4 -θ 3 = θ 2 -θ 1 = π 32 .
We represent in Figs 9-A, 9-B and 9-C the torque transmitted between the leading and led parts of a coupling for four air gaps (0.1 mm, 0.3 mm, 0.5 mm, 1 mm). In the three configurations, the smallest the air gap is, the greatest the torque is. These figures also show that the way the torque decreases versus both the angular shift and the air gap is similar for the three polarizations of the tile permanent magnets.

The other important parameter that can be optimized in a magnetic coupling is certainly the thickness of the permanent magnets on each parts.

We represent in Figs 10-A, 10-B and 10-C the torque transmitted between the leading and led parts of a coupling for three magnet thicknesses (0.003 m, 0.005 m, 0.011 m). In the three configurations, the smallest the magnet thickness is, the greatest the torque is. These figures also show that the way the torque decreases versus both the angular shift and the air gap is similar for the three polarizations of the tile permanent magnets.

= J 2 = 1 T, θ 4 -θ 3 = θ 2 -θ 1 = π
In short, the previous figures show that for a cylindrical coupling, the air gap must be the smallest and the magnet thickness must be the greatest and the magnet polarization should be radial.

We can applied the previous results to the case of plane magnetic couplings. Indeed, in the case of plane air gaps, the air gap must also be the smallest, the magnet height must be the greatest and the magnet polarization should be axial.

Discussion

Figure 8 shows that tile permanent magnets axially magnetized are not always the best solution for having the greatest torque between two rotors with a plane air gap. When the number of tile permanent magnets used is high, it is more interesting to stack tile permanent magnets axially magnetized. In the other hand, when the number of tile permanent magnets used is low, it is more interesting to stack tile permanent magnets radially magnetized. Furthemore, tile permanent magnets tangentially magnetized can also be a good compromise whatever the number of tile permanent magnets used.

Figures 9 and 10 present elements of information about how to optimize cylindrical magnetic couplings with radial, axial or tangential polarizations. In short, the air gap must always be the smallest and the magnet thickness should be the greatest. However, the cost and the weight of the magnet structure must also be taken into account.

CONCLUSION

This paper has presented a synthesis of magnetic couplings made of tile permanent magnets radially, tangentially or axially magnetized.

First, we have presented new semi-analytical expressions of the torque transmitted between two tile permanent magnets tangentially and axially magnetized. Such a three-dimensional approach allows us to compare several configurations made of tile permanent magnets radially, tangentially or axially magnetized. All the calculations have been carried out without any simplifying assumptions. Therefore, these expressions are accurate whatever the tile permanent magnet dimensions. Then, we have proposed to compare magnetic couplings using cylindrical air gaps and magnetic couplings using plane air gaps.

For the ones using cylindrical air gaps, it is always more interesting to use tile permanent magnets radially magnetized. For the couplings using plane air gaps, the most interesting polarization depends greatly on the number of tile permanent magnets used. Howevern when the angular width of the tile permanent magnet is greater than P i 4 , the axial polarization is the most interesting in the case of plane air gaps.

Figure 1 .

 1 Figure 1. Magnetic coupling using a cylindrical air gap and tile permanent magnets radially magnetized

Figure 2 .

 2 Figure 2. Magnetic coupling using a plane gap and tile permanent magnets radially magnetized

  Fig 1, or with plane air gaps, as shown in Fig 2.

  Fig 3 three magnetic coulpings using only cylindrical air gaps. The three magnetic couplings presented in Fig 3 are composed of tile permanent magnets radially, tangentially or axially magnetized.

Figure 4

 4 Figure 4. Magnetic couplings using plane air gaps; from left to right : coupling using tile permanent magnets radially magnetized, coupling using tile permanent magnets tangentially magnetized, coupling using tile permanent magnets axially magnetized

Fig 4 .

 4 The three magnetic couplings presented in Fig 4 are also composed of tile permanent magnets radially, tangentially and axially magnetized. Such couplings are used in pharmaceutical processes.

5 .

 5 Two tile permanent magnets tangentially magnetized related parameters are shown in Fig 5. All the calculations are carried out by using the coulombian model. Thus, each tile permanent magnet is represented by magnetic pole surface densities that appear only on the straight faces of the each tile (Fig 5). For the tile located on the left in Fig 5, its inner radius is r 1 and its outer one is r 2 . Its angular width is θ 2 -θ 1 and its height is z 2 -z 1 . Its magnetic polarization J 1 is directed along u θ in cylindrical coordinates. For the tile located on the left in Fig 5, its inner radius is r 3 and its outer one is r 4 . Its angular width is θ 4 -θ 3 and its height is z 4 -z 3 . Its magnetic polarization J 2

6 .

 6 Two tile permanent magnets axially magnetized 3.3. Torque transmitted between two tile permanent magnets axially magnetized

π 4 rad, π 8

 8 rad, π 16 rad, π 32 rad and π 64 rad. For each tile permanent magnet, we have r 1 = 0.0219 m, r 2 = 0.0249 m, r 3 = 0.025 m, r 4 = 0.028 m, z 1 = 0 m, z 2 = 0.003 m, z 3 = 0 m, z 4 = 0.003 m.

Figure 7 .

 7 Figure 7. Representation of the torque transmitted between two rotors with a cylindrical air gap with tile permanent magnets radially, tangentially and axially magnetized. The angular widths taken are π 4 rad, π 8 rad, π 16 rad and π 32 rad respectively from the upper figure to the lower figure

Figure 8 .Figure 9 .Figure 10 .

 8910 Figure 8. Representation of the torque transmitted between two rotors with a plane air gap with tile permanent magnets radially, tangentially and axially magnetized. The angular widths taken are π 4 rad, π 8 rad, π 16 rad and π 32 rad respectively from the upper figure to the lower figure