Nathalie Bonneton-Botté
email: nathalie.bonneton@espe-bretagne.fr

Fanny De

La Haye

Keywords: sensory-motor representation, hand, drawing, numerical abilities, children

Cette étude propose d'étudier les relations entre les représentations manuelles et digitales et les habiletés numériques au travers du dessin de la main. Soixante-deux enfants âgés de 4 ans a `5 ans 6 mois ont reçu pour consigne de dessiner une main et de réaliser deux tâches numériques. La première consiste pour l'enfant a `produire une collection de jetons identique a `celle qui lui est proposée (tâche de correspondance terme a `terme). La seconde tâche teste la maîtrise du principe de non pertinence de l'ordre. L'analyse montre que les stratégies graphiques les plus élaborées impliquent plus fréquemment une réussite a `la tâche de correspondance terme a `terme.

Mots-clés : représentation sensori-motrice manuelle, dessin, habiletés numériques, développement.

La relation existant entre les mains et les habiletés numériques a été abordée au travers de différents champs disciplinaires. En archéologie, l'utilisation des doigts pour assister le calcul a été identifiée comme une méthode très ancienne [START_REF] Williams | Finger numbers in the Greco-Roman world and the early middle ages[END_REF]. En neuropsychologie, une proximité topographique entre les zones accueillant les représentations des doigts et des mains et celles contribuant au traitement des nombres [START_REF] Gertsmann | Syndrome of finger agnosia, disorientation for right and left, agraphia and acalculia[END_REF][START_REF] Dehaene | Three parietal circuits for number processing[END_REF] est aujourd'hui attestée. Cette proximité expliquerait pourquoi tant des adultes que des enfants [START_REF] Kinsbourne | The developmental Gerstmann syndrome[END_REF][START_REF] Rourke | Arithmetic disabilities, specific and otherwise: A neuropsychological perspective[END_REF] peuvent présenter simultanément des troubles de la perception digitale et des troubles affectant le traitement du nombre. Une hypothèse fréquemment retenue en neuropsychologie est celle d'une simple proximité spatiale entre les deux zones concernées, sans relation fonctionnelle particulière entre les habiletés manuelles et numériques [START_REF] Marinthe | Gnosies digitales et développement des performances arithmétiques[END_REF]. Néanmoins, l'existence d'une éventuelle relation fonctionnelle entre ces deux habiletés est aussi régulièrement envisagée. Récemment, les résultats obtenus par [START_REF] Andres | Common substrate for mental arithmetic and finger representation in the parietal cortex[END_REF] alimentent cette thèse fonctionnelle en montrant une activation des mêmes régions cérébrales lorsque le sujet adulte réalise des tâches de discrimination des doigts et des tâches d'addition, tandis que cette activation est moins significative lorsque la tâche mathématique proposée concerne les multiplications, opération connue pour être généralement résolue par une récupération du résultat en mémoire a `long terme. La relation entre les habiletés manuelles et la capacité a `manipuler mentalement des quantités est aussi étayée par quelques travaux en psychologie développementale. Les conclusions alimentent fréquemment l'hypothèse d'une relation fonctionnelle entre gnosies digitales et performances arithmétiques [START_REF] Butterworth | The mathematical brain[END_REF]. Ces recherches montrent généralement que les enfants qui recourent le plus souvent aux doigts pour calculer dans les classes préscolaires sont ceux qui présenteront les meilleures performances en calcul en deuxième année d'école primaire [START_REF] Jordan | Development of number combination skill in the early school years: When do fingers help[END_REF]. L'utilisation des doigts permettrait au jeune enfant de se représenter les quantités sur un mode analogique, avant que les représentations symboliques ne soient disponibles, et d'opérer des calculs sur ces représentations [START_REF] Siegler | Strategies choices in addition and subtraction: How do children know what to do?[END_REF]. Les doigts sont aussi fréquemment utilisés par les jeunes enfants pour accompagner l'oralisation de la chaîne numérique [START_REF] Sato | On the relationship between handedness and hand-digit mapping in finger counting[END_REF]. Di Luca et Pesenti (2011) soulignent que l'utilisation d'une séquence de mouvements ordonnée et stable lors du comptage permet a `l'enfant de mémoriser les éléments déja `comptés en s'appuyant sur la correspondance terme a `terme entre les doigts levés et les objets comptés. Ils supposent aussi que cette stratégie facilite la compréhension et le développement du concept de nombre, notamment ses propriétés cardinale et ordinale. Le recours aux doigts ne semble cependant pas concerner tous les enfants de la même façon. Un suivi longitudinal d'élèves réalisé par [START_REF] Jordan | Socioeconomic variation, number competence, and mathematics learning difficulties in young children[END_REF] a aussi montré que les enfants de catégorie socioprofessionnelle défavorisée utilisent moins fréquemment leurs doigts en dernière année de maternelle pour résoudre de petites opérations et montrent de moins bonnes performances deux années plus tard sur ce même type d'épreuve. Les auteurs de ces travaux suggèrent d'enseigner explicitement le recours aux doigts aux enfants de niveau préscolaire. L'hypothèse d'une relation fonctionnelle entre la représentation mentale de la main et les habiletés arithmétiques s'est aussi renforcée grâce aux études longitudinales associant une évaluation des gnosies digitales a `des épreuves numériques. Une étude datant de 1998 montre que les capacités perceptivo-tactiles de 300 enfants de 5 et 6 ans présentant un développement ordinaire prédisent mieux la réussite en calcul que leur niveau de développement intellectuel [START_REF] Luquet | Performances perceptivo-tactiles et performances arithmétiques chez le jeune enfant[END_REF]. Trois ans plus tard, la même équipe de chercheurs montrera que cette relation se maintient dans le temps pour les mêmes enfants. Ils préciseront aussi la nature de la relation en montrant que les gnosies digitales, au moins pour les enfants âgés de 8 ans, prédisent les performances d'épreuves numériques non verbales nécessitant de se représenter et de manipuler des quantités et non celles d'épreuves faisant appel a `une mémoire verbale des faits arithmétiques. Cette relation a été retrouvée par [START_REF] Noël | Finger Gnosia: A predictor of numerical abilities in children?[END_REF], qui montrera qu'entre 6 et 7 ans, les scores de gnosies digitales prédisent mieux les habiletés numériques que les habiletés de lecture. Les conclusions de ces recherches apporteraient un argument supplémentaire en faveur de l'existence d'un patron de dyscalculie développementale de type perceptivo-motrice [START_REF] Marinthe | Gnosies digitales et développement des performances arithmétiques[END_REF][START_REF] Rourke | Arithmetic disabilities, specific and otherwise: A neuropsychological perspective[END_REF]. L'état actuel de nos connaissances ne nous permet pas de trancher entre les hypothèses localisationniste et fonctionnelle [START_REF] Noël | Finger Gnosia: A predictor of numerical abilities in children?[END_REF][START_REF] Crollen | Is finger counting necessary for the development of arithmetic abilities[END_REF]. Comme le suggère [START_REF] Fayol | L'acquisition du nombre[END_REF], des études montrant l'effet bénéfique d'entraînement aux gnosies digitales seraient nécessaires pour alimenter ces thèses. Gracia-Bafalluy et [START_REF] Gracia-Bafalluy | Does finger training increase young children's numerical performance[END_REF] ont proposé ce type d'entraînement a `33 élèves de première année primaire ayant de faibles performances en gnosie digitale ainsi qu'a `14 élèves présentant de bonnes performances. Dans cette étude, les auteurs questionnent la nature du lien qui pourrait exister entre la qualité de la représentation manuelle et les habiletés numériques. Ils supposent que s'il existe un lien fonctionnel entre ces deux habiletés, alors un entraînement visant une meilleure reconnaissance et une meilleure discrimination digitale devrait avoir un impact positif sur les habiletés numériques. À l'issue des huit semaines d'entraînement, le groupe expérimental obtient les meilleures performances aux tests de gnosies et a `certaines épreuves mathématiques (représentation de quantités a `l'aide de doigts et tâches de subitizing) pour lesquels il ne s'est pourtant pas exercé. Par ailleurs, les auteurs constatent aussi un effet bénéfique de cet entraînement sur la représentation interne des doigts et de la main évaluée par un dessin de la main réalisé par l'enfant, tandis que le dessin du bonhomme réalisé avant et après entraînement n'évolue pas significativement. Il nous semble que ce dernier résultat mériterait des investigations supplémentaires. En effet, s'il doit exister une relation entre la qualité du dessin de la main et les performances en gnosie digitale, on comprend mal pourquoi les groupes constitués au départ de cette étude sur la base de performances gnosiques hautes ou basses, ne présentent pas de différence quant a `la qualité du dessin de la main fournie au prétest. Il nous semble au contraire que la relation fonctionnelle hypothétique supposée entre gnosie digitale et habileté numérique devrait être observée au travers du dessin de la main. Par cette recherche, nous aimerions apporter deux types de contributions.

Objectifs de l'étude

Premièrement, nous souhaitons observer et décrire les capacités des enfants a `dessiner une main sans modèle au cours de la cinquième année. Pour le dessin du bonhomme, les différentes étapes sont bien connues [START_REF] Goodenough | L'intelligence d'après le dessin[END_REF][START_REF] Luquet | Performances perceptivo-tactiles et performances arithmétiques chez le jeune enfant[END_REF]. En revanche, il n'existe pas, a `notre connaissance, d'études analysant de façon systématique les caractéristiques du dessin de la main chez des enfants d'âge préscolaire. Contrairement au dessin du bonhomme, qui peut probablement être réalisé a `partir d'une procédure algorithmique plutôt qu'a `partir d'une représentation interne du corps [START_REF] Picard | Le dessin de l'enfant et son usage dans la pratique psychologique[END_REF], le dessin de la main n'est pas une tâche communément demandée au jeune enfant. De ce fait, sa représentation graphique devrait mieux refléter la représentation interne de la main. Dans le cadre de cette étude, nous observerons, a `l'instar de Gracia-Bafalluy et [START_REF] Gracia-Bafalluy | Does finger training increase young children's numerical performance[END_REF], la qualité globale de la production graphique, c'est-a `-dire ici la capacité de l'enfant a représenter fidèlement les différentes parties constitutives de la main (la paume et les cinq doigts). Cependant, étudier la capacité de l'enfant a `produire un dessin réaliste ne nous semble pas suffisant. Pour Vinter et Marot (2003), les stratégies graphiques révèlent la nature des représentations mentales et, plus particulièrement, la taille des unités cognitives. De ce fait, nous nous proposons d'étudier la planification de l'acte graphique au travers de la capacité de l'enfant a `produire un dessin par un tracé continu ou au contraire en le réalisant segment par segment. [START_REF] Vinter | Graphic syntax and representational development[END_REF] ont pu montrer que cette capacité a `organiser la séquence de mouvements de l'acte graphique en se référant a `un modèle interne global apparaissait a `partir de 6 ans lorsqu'il s'agit de copier des formes géométriques. À 4 et 5 ans, l'enfant a `qui on demande la copie de formes simples serait enclin a `planifier localement son tracé (segment par segment).

Deuxièmement, nous chercherons a `décrire les relations qui caractérisent les performances au dessin de la main et aux épreuves numériques chez un même enfant. Notre étude s'intéressera aux compétences d'enfants sur la période qui s'étend de 4 ans a `5 ans 6 mois. Au cours de cette période, l'enfant est théoriquement en mesure de recourir aux représentations graphiques pour représenter le réel et, comme nous l'avons mentionné précédemment, la capacité de tracer en continu a `partir d'un modèle interne émerge. Du point de vue des habiletés numériques, c'est aussi une période essentielle de mise en relation des représentations analogiques et symboliques des quantités [START_REF] Fayol | L'acquisition du nombre[END_REF]. Notre attention se centrera sur la relation entre certaines caractéristiques du dessin et la représentation du nombre chez l'enfant dans sa composante analogique (la correspondance terme a `terme) et conceptuelle (la non pertinence de l'ordre).

En nous appuyant sur les travaux de Vinter et Marot (2003) et de Vinter et al. (2008), notre première hypothèse suppose que l'étude conjointe des caractéristiques figuratives et syntaxiques (nous entendons ici l'organisation du tracé, sa segmentation ou sa continuité) du dessin de la main révèlera une diversité de stratégies au cours de la période étudiée. Nous affirmons avec les auteurs précédemment cités que ces stratégies reflètent la nature des représentations mentales de la main. Aussi cette analyse devraitelle permettre de distinguer les enfants capables d'organiser le tracé a `partir d'une représentation interne globale de la main (la main est conçue comme un tout) de ceux qui organisent le tracé a partir de représentations locales (la paume puis les doigts). Cette analyse intégrera aussi la capacité de l'enfant a `prévoir et a représenter cinq doigts sur son dessin. Aussi notre première hypothèse, exploratoire, nous conduira-t-elle a `caractériser la nature et la fréquence des stratégies graphiques des enfants de cette période lorsqu'il s'agit pour eux de dessiner une main sans modèle.

Notre seconde hypothèse avance que l'on observera un lien entre la production graphique caractérisée par trois indicateurs

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(nombre de doigts, score global, planification) et les habiletés numériques des jeunes enfants. Si comme le supposent Gracia-Bafalluy et [START_REF] Gracia-Bafalluy | Does finger training increase young children's numerical performance[END_REF], le dessin de la main de l'enfant traduit ses représentations mentales et si ces représentations sont au service d'habiletés numériques, alors les enfants qui créent les productions graphiques les plus abouties devraient aussi être les enfants les plus performants aux tâches numériques. Cette relation sera éprouvée a `partir de deux tâches numériques accessibles aux enfants de cette période. Premièrement, nous étudierons cette relation au moyen de la correspondance terme a `terme, qui renvoie a `la capacité de produire deux collections équivalentes par la mise en correspondance de chaque élément d'une collection avec un élément et un seul de l'autre collection. Cette capacité de correspondance terme a `terme est essentielle a `la compréhension de la cardinalité définie comme la capacité d'identification précise de la taille d'une collection [START_REF] Fayol | L'acquisition du nombre[END_REF]. Deuxièmement, cette relation supposée sera analysée a `partir d'une épreuve plus verbale et conceptuelle, la non-pertinence de l'ordre. La réussite a `une tâche de non-pertinence de l'ordre fournit des informations sur la conceptualisation par l'enfant des relations entre comptage et nombre, c'est-a `-dire sa capacité a `coordonner les propriétés cardinale et ordinale du nombre. En proposant cette deuxième tâche, plus conceptuelle, nous aimerions questionner la nature du lien éventuel qui relie la main et le nombre. Le lien supposé dans la littérature ne concerne-t-il le nombre que dans sa composante analogique ou se retrouve-t-il dans une composante plus conceptuelle ?

Méthode Population

L'échantillon composé de 62 enfants âgés, en moyenne, de 4 ans 9 mois (entre 4 ans et 5 ans 6 mois) est constitué de 31 garçons et 31 filles. L'échantillon a été composé a `partir des populations de quatre écoles de type périurbain non catégorisées en zone d'éducation prioritaire, il n'existe donc pas de surreprésentation des milieux socio-économiques défavorisés. Au regard des dossiers scolaires, les enfants inclus dans cette étude ne présentent pas de trouble avéré ni de retard de développement.

Recueil des données

Les enfants ont été rencontrés dans leur école afin de produire le dessin d'une main ainsi que deux épreuves appartenant au domaine des habiletés numériques. Les épreuves se déroulent le même jour, en début de matinée, et sont proposées par le même expérimentateur. Les passations se font a `l'école de l'enfant, et les épreuves sont dispensées individuellement dans une pièce calme.

Epreuves et critères retenus

Dessin de la main : consigne de l'épreuve. L'expérimentateur propose a `l'enfant de dessiner une main : « Peux-tu dessiner une main ? » Souhaitant que la situation soit la plus écologique possible, aucune consigne supplémentaire n'est donnée. Conformément a `la situation décrite par Gracia-Bafalluy et [START_REF] Gracia-Bafalluy | Does finger training increase young children's numerical performance[END_REF], le crayon est posé sur la feuille de telle sorte que l'enfant puisse engager la tâche avec sa main dominante. Lorsque certains enfants ont voulu utiliser l'autre main pour en faire un contour, l'expérimentateur leur a alors expliqué que cela n'était pas possible et qu'il devait le faire sans modèle. Étonnamment, nous n'avons pas observé d'enfant utilisant l'autre main comme modèle.

Dessin de la main : variables dépendantes retenues et identification de stratégies graphiques

Score reflétant la qualité du dessin de la main. Ce score reprend certains des indicateurs étudiés par Gracia-Bafalluy et [START_REF] Gracia-Bafalluy | Does finger training increase young children's numerical performance[END_REF] : taille relative des doigts, opposition pouce-doigts, taille relative paume-doigts, doigts attachés a `la paume, différenciation paume-doigts. Chaque critère correspond a `un point. Le score maximum est de 5.

Nombre de doigts. Le nombre de doigts est codé 1 ou 0 selon que l'enfant représente ou non le nombre exact de doigts.

Planification du dessin. [START_REF] Vinter | How meaning modifies drawing behavior in children[END_REF] et [START_REF] Vinter | Les activités de dessin chez l'enfant : un accès a `l'étude de ses représentations mentales[END_REF] décrivent a `partir de tâches de copie de formes simples une période, entre 4 et 5 ans, au cours de laquelle les dessins sont planifiés segment par segment (organisation locale). À partir de 6 ans, la planification globale du dessin de la figure apparaîtrait (organisation globale). Dans notre étude, il nous a semblé intéressant de caractériser le degré de planification de la routine graphique des enfants : se représentent-ils la main comme étant composée de plusieurs segments juxtaposés -la paume est dessinée puis des doigts sont ajoutés ? Ou la voient-ils comme un ensemble -la réalisation des doigts étant planifiée dès le début de la routine ? Lorsque le tracé de la main est réalisé en continu, le score est de 1, si les doigts (un ou plusieurs) sont ajoutés progressivement au dessin de la paume, le score est de 0.

La nature et la fréquence d'occurrence des stratégies graphiques seront étudiées en considérant simultanément le nombre de doigts présents sur le dessin et la capacité de planification locale ou globale. Nous avons donc catégorisé les productions en 4 types de stratégies : la première, la plus élémentaire, caractérise des productions planifiées localement et avec une méconnaissance du nombre de doigts a `représenter (D؊P؊). La seconde concerne des productions non planifiées, mais qui aboutissent a `une main réaliste a `cinq doigts (D ؉ P؊). La troisième concerne les productions qui ont été réalisées a `partir d'un modèle interne global de la main, mais qui échouent a `faire figurer les cinq doigts (P ؉ D؊). La quatrième représente les productions les plus élaborées puisque le tracé est réalisé a `partir d'un modèle interne global de la main et que la production est fidèle du point de vue du nombre de doigts attendus (P ؉ D؉).

Habiletés numériques : description des épreuves et variables dépendantes retenues

Épreuve de correspondance terme a `terme. Nous souhaitions recourir a `une épreuve pouvant rendre compte de la capacité de l'enfant a `se représenter une quantité de façon analogique. Il fallait que cette épreuve soit accessible dès la cinquième année et qu'elle ne soit pas verbale. Nous avons considéré que l'épreuve de correspondance terme a `terme pouvait être pertinente a `cet âge [START_REF] Van Nieuwenhoven | Le comptage. Vers la construction du nombre[END_REF]. Il s'agit pour l'enfant de reproduire une collection a `partir d'une collection témoin de six jetons : « Peux-tu mettre ici le même nombre de jetons, pour qu'il n'y en ait pas plus pas moins, pour qu'il y en ait pareil. » Le score attribué est de 1 si l'enfant réussit a `produire une collection quantitativement équivalente.

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Épreuve de non-pertinence de l'ordre. À cette première épreuve, nous avons associé une seconde épreuve fondée sur une connaissance conceptuelle de la non-pertinence de l'ordre en nous inspirant des épreuves proposées par [START_REF] Gelman | Preschoolers' counting: Principles before skill[END_REF] et de Geary et Hoard (2002). Le principe de non-pertinence de l'ordre est la compréhension par l'enfant que l'ordre dans lequel les éléments d'une collection sont énumérés n'affecte pas le résultat du comptage. Dans la situation ici proposée, un personnage en plastique compte six jetons devant l'enfant (par l'entremise de l'expérimentateur) en partant de la droite, puis recommence en partant de la gauche. Un troisième essai consiste a `faire compter le personnage a `partir du troisième jeton. Il s'agit cette fois de vérifier que l'enfant n'a pas élaboré une pseudorègle consistant a `croire que les éléments doivent être comptés en respectant la contiguïté. L'expérimentateur demande a `l'enfant si le personnage a bien compté et de justifier sa réponse. Toutes les justifications faisant référence au cardinal (« oui, c'est bon, ça fait toujours six ») ou explicitant la non-pertinence de l'ordre (« ce n'est pas grave de compter dans ce sens-la `») ont été considérées comme justes. Au contraire, chaque fois que l'enfant a justifié en énonçant une pseudo-règle de comptage ("non, c'est faux, il n'a pas le droit de compter dans ce sens"), nous avons considéré que le principe n'était pas acquis. Le score attribué est de 0 ou 1, selon que l'on considère que la non-pertinence de l'ordre est acquise ou non. Pour obtenir le score de 1 point, il faut donc réussir aux trois essais.

Analyses statistiques des données

Résultats Caractérisation du dessin de la main

Le Tableau 1 présente la répartition des dessins en fonction du nombre de doigt représenté (exact ou inexact) en pourcentage. À cet âge, la majorité des enfants représente les cinq doigts sur le dessin de la main.

Le Tableau 2 présente la répartition en pourcentage des dessins obtenus par planification locale ou globale.

L'analyse des stratégies de planification montre qu'un nombre important de dessins est réalisé a `partir d'un tracé continu. La planification globale du tracé, indicateur de l'existence d'un modèle interne, est possible dès la cinquième année pour une majorité de sujets.

La lecture du Graphique 1 permet de visualiser la répartition des stratégies graphiques observées au dessin de la main réalisé par des enfants âgés en moyenne âgés de 4 ans 9 mois. Croiser la capacité a `planifier le dessin de la main et a `reporter le bon nombre de doigts permet d'identifier le pourcentage d'enfants recourant a `une stratégie élaborée, c'est-a `-dire recourant a `un modèle interne pour guider le tracé tout en respectant le bon nombre de doigts. Sur l'ensemble des 62 productions recueillies, 33,8 % des dessins correspondent aux critères d'une stratégie élaborée.

La moyenne des scores au dessin, calculés a `partir de cinq critères repris de Gracia-Bafalluy et [START_REF] Gracia-Bafalluy | Does finger training increase young children's numerical performance[END_REF], est de 2,4 avec un écart-type de 1,65. L'analyse de variance appliquée aux moyennes des scores de dessin montre qu'il existe un effet significatif du type de stratégie sur la qualité figurative du dessin.

Le

Caractérisation des habiletés numériques

Comme les moyennes l'indiquent dans le Tableau 3, la capacité a `mettre en correspondance terme a `terme deux collections est réussie par 79 % des enfants de l'échantillon. De la même façon, le principe de non-pertinence de l'ordre est observé chez 74,2 % des enfants de cet échantillon.

L'analyse statistique implicative ne permet de distinguer les productions des filles et des garçons ni sur la correspondance terme a `terme (z ϭ Ϫ0,19; p ϭ 0,95) ni sur le principe de non pertinence de l'ordre (z ϭ 0,35; p ϭ 0,95).

Relation entre dessin de la main et mesures des habiletés numériques

Nous avons cherché a `établir une éventuelle relation entre les stratégies au dessin de la main et les performances aux deux tâches numériques. Considérant que la stratégie D ϩ Pϩ la plus élaborée correspond a `une représentation interne de la main de qualité (une unité cognitive constituée d'une paume et de cinq doigts), nous étudierons la relation entre dessin de la main et habiletés numériques en comparant cette stratégie aux trois autres. Ainsi, lors de l'analyse statistique implicative, nous avons regroupé des stratégies les moins élaborées (DϪPϪ; D ϩ PϪ; DϪPϩ seront ici mentionnés comme S-) pour les comparer a `la stratégie la plus élaborée (D ϩ Pϩ mentionnée comme Sϩ).

Le Tableau 4 permet d'analyser l'effet de la réussite aux deux tâches numériques sur la qualité figurative du dessin. Les tests ne sont pas significatifs, il n'est donc pas permis d'établir un lien entre la qualité du dessin et la réussite aux deux tâches numériques considérées dans cette étude.

Le Graphique 3 met en évidence la relation entre le type de stratégie utilisée et la capacité de l'enfant a `réussir la tâche de correspondance terme a `terme. On observe pour les stratégies les moins élaborées un nombre de réussites a `la correspondance terme a `terme supérieur au pourcentage d'échecs. Concernant les stratégies plus élaborées, on note que la réussite a `la tâche de correspondance terme a `terme est quasi systématique (un seul cas d'échec). À partir d'une analyse statistique implicative, nous pouvons établir, avec un seuil a `la limite de la significativité, que la nature de la stratégie implique la réussite a `la tâche numérique de correspondance terme a `terme (z ϭ Ϫ1,62; p ϭ 0,052). Cette quasi-significativité s'explique par la rareté des cas pour lesquels une stratégie graphique élaborée serait associée a `un échec a `la tâche de correspondance terme a `terme. En conformité avec l'hypothèse d'une relation implicative orientée, l'ASI réalisée pour la relation inverse (influence de la réussite en correspondance terme a `terme sur la stratégie au dessin) ne permet pas de conclure a `une relation significative ni même a `une tendance (z ϭ Ϫ0,59; p ϭ 0,28).

Le Graphique 4 met en évidence la relation entre le type de stratégie utilisée et la capacité de l'enfant a `réussir la tâche de non-pertinence de l'ordre. On remarque pour les stratégies les moins élaborées un nombre de réussites a `la tâche de nonpertinence de l'ordre supérieur au pourcentage d'échecs. Concer-

Discussion

Depuis une vingtaine d'années, les recherches en neuropsychologie, psychologie cognitive et psychologie développementale convergent pour attribuer un rôle prépondérant aux représentations digitales dans le développement des habiletés numériques. Néanmoins, ces relations restent obscures, probablement du fait que le choix des épreuves numériques et des indicateurs censés refléter les représentations digitales ne font pas consensus. En conclusion de leur chapitre, [START_REF] Marinthe | Gnosies digitales et développement des performances arithmétiques[END_REF] concluaient sur l'existence d'une relation entre certaines représentations numériques, celles impliquant un format analogique, et les représentations digitales. Mais les auteurs de cette recherche déclaraient aussi qu'il restait a `préciser comment s'établissent ces relations. En cas de difficulté en arithmétique, les auteurs se demandaient en quoi les représentations digitales pouvaient être déficitaires : « S'agit-il de représentations erronées ? De représentations floues ? » (p. 254). L'analyse de la littérature, et plus particulièrement d'une recherche de Gracia-Bafalluy et [START_REF] Gracia-Bafalluy | Does finger training increase young children's numerical performance[END_REF], nous a aussi conduit a `nous interroger sur la pertinence de recourir au dessin comme indicateur de la représentation mentale de la main chez l'enfant. Notre étude se veut donc une contribution a `l'étude des relations entre représentations mentales de la main et habileté numérique au travers du dessin de la main réalisé par l'enfant. Il s'agissait, dans une démarche exploratoire, de décrire les stratégies graphiques caractérisant le dessin de la main a `un âge où les premières habiletés numériques se mettent en place. Nous avons pour cela basé notre analyse sur trois caractéristiques du dessin : la capacité de l'enfant a `représenter cinq doigts, sa capacité a `planifier l'ensemble de son dessin, et un score global reflétant la qualité figurative de la main. Par ailleurs, nous souhaitions savoir si certaines caractéristiques du dessin étaient associées a `certaines habiletés numériques : l'une analogique, la correspondance terme a `terme; l'autre plus conceptuelle, la non-pertinence de l'ordre.

Conformément a `notre premier objectif, cette étude a permis de décrire les capacités des enfants de 4 ans 9 mois a `représenter graphiquement une main le plus fidèlement possible sans l'aide d'un modèle externe. Nous avons constaté qu'une majorité d'enfants étaient capables de représenter les cinq doigts et que plus de la moitié de l'échantillon était en capacité de planifier leur tracé. Rappelons, qu'en situation de copie de formes géométriques, les enfants de 5 ans observés par [START_REF] Vinter | Les activités de dessin chez l'enfant : un accès a `l'étude de ses représentations mentales[END_REF] et [START_REF] Vinter | Graphic syntax and representational development[END_REF] montraient principalement une stratégie de planification locale. Il est permis de penser que la tâche de copie d'un ensemble de rectangles est plus complexe que celle du dessin de la main au regard du modèle interne qui doit être produit pour guider l'activité. Cette différence pourrait expliquer pourquoi les enfants de notre échantillon, âgés en moyenne de 4 ans et 9 mois, recourent majoritairement a `une planification globale. En nous inspirant de la démarche de Vinter et Marot (2003), nous avons ensuite catégorisé les productions graphiques en identifiant des stratégies révélatrices de la nature des représentations mentales et de la taille des unités cognitives disponibles. Nous avons constaté que la capacité de planification n'était pas nécessairement associée a `la capacité de représenter les cinq doigts. Parallèlement, nous avons identifié, sur la période étudiée, un tiers d'enfants présentant une stratégie élaborée. Conformément au modèle de Vinter et Marot (2003) et de Vinter et al. (2008), cette stratégie refléterait l'existence d'un modèle interne de la main sous la forme d'une seule unité cognitive constituée d'une paume et de cinq doigts. L'étude simultanée de ces stratégies et de la qualité figurative du dessin mesurée par un score inspiré de Gracia-Bafalluy et [START_REF] Gracia-Bafalluy | Does finger training increase young children's numerical performance[END_REF] a permis d'observer un lien entre ces deux mesures. Lorsque la planification est globale, la qualité figurative du dessin est meilleure. Cette analyse a aussi permis de montrer que les productions graphiques des enfants qui ne planifient pas et ne représentent pas cinq doigts sont significativement moins réussies, du point de vue figuratif, que celles des trois autres groupes. Ce résultat renforce l'idée défendue par [START_REF] Vinter | Les activités de dessin chez l'enfant : un accès a `l'étude de ses représentations mentales[END_REF] selon laquelle l'étude du dessin, dans ses aspects figuratifs et syntaxiques, « constitue un terrain d'investigation tout a `fait approprié pour approcher la question de l'évolution des connaissances chez l'enfant » (p. 105). Notre première hypothèse supposait que l'étude conjointe des aspects figuratifs et syntaxiques du dessin de la main permettrait de distinguer, au sein d'un échantillon d'enfants, une diversité de stratégies reflétant la nature des représentations mentales de la main. La diversité des stratégies observées et la cohérence observée entre les mesures figuratives et syntaxiques nous encouragent a `valider cette première hypothèse. Finalement, rappelons aussi que dans cette étude, l'ensemble de ces conclusions valent quel que soit le sexe de l'enfant.

Notre second objectif se voulait une contribution a `l'étude des relations entre habiletés numériques et représentations de la main au travers de l'étude du dessin de la main. Nous nous sommes demandé s'il était possible d'établir une relation entre la réussite a certaines épreuves numériques et certaines caractéristiques du dessin. Les épreuves numériques de correspondance terme a `terme et de non-pertinence de l'ordre ont été choisies parce qu'elles sont accessibles aux enfants de la tranche d'âge étudiée, mais aussi parce qu'elles permettent de repérer des élèves fragiles du point de vue de la construction des propriétés cardinales et ordinales du nombre [START_REF] Fayol | L'acquisition du nombre[END_REF][START_REF] Geary | Learning disabilities in basic mathematics: Deficits in memory and cognition[END_REF]Van Nieuwenhoven, Grégoire & Noël, 2008). Dans cette étude, les deux épreuves ont

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été correctement réussies par plus de deux tiers des sujets, indépendamment du sexe.

Concernant l'analyse du score figuratif au dessin, cet indicateur ne semble pas être un bon prédicteur des performances aux tâches numériques. Dans l'étude de Gracia-Bafalluy et [START_REF] Gracia-Bafalluy | Does finger training increase young children's numerical performance[END_REF], nous avions trouvé paradoxal que le score au dessin ne soit pas corrélé aux compétences gnosiques digitales avant entraînement et nous nous étions interrogé sur la pertinence d'utiliser le dessin pour l'investigation des représentations mentales de la main. Dans cette étude, le score au dessin était principalement calculé a `partir de critères figuratifs. Notre recherche contribue a `la compréhension de ce résultat en soulignant que l'aspect figuratif du dessin ne nous semble pas la mesure la plus pertinente a `utiliser pour accéder aux représentations mentales de la main chez l'enfant. En revanche, lorsque nous nous sommes intéressés a `la relation entre les stratégies graphiques et la réussite a `la tâche numérique de correspondance terme a `terme, les conclusions ont été différentes. L'analyse statistique implicative, particulièrement bien adaptée a `notre problématique et a `la nature de nos données, nous a permis de montrer, avec un seuil a `la limite de la significativité, que les enfants qui présentaient une représentation mentale de la main globale et complète étaient ceux qui réussissaient le mieux l'épreuve de correspondance terme a `terme. Ainsi, au regard de notre seconde hypothèse, il nous semble que l'étude du dessin de l'enfant dans la cinquième année en relation avec les performances aux épreuves numériques de type analogique alimente la thèse d'une relation fonctionnelle entre représentation manuelle et habiletés numériques. L'étude de l'organisation syntaxique du tracé comme révélateur de la nature des représentations mentales de la main renforce ici l'idée défendue par Di Luca et Pesenti (2011) de l'existence de racines sensori-motrices sur lesquelles pourraient se construire le concept de nombre. Comment comprendre la relation entre représentation de la main et correspondance terme a `terme ? Il nous semble que deux hypothèses explicatives peuvent être avancées. Soit ces enfants ont une moins bonne représentation sensori-motrice de la main et, de ce fait, tendent moins fréquemment a `accompagner le comptage verbal d'une correspondance terme a `terme entre les mots comptés et les doigts levés comme le décrivent Di [START_REF] Di Luca | Finger numeral representations: More than just another symbolic code[END_REF]. Une seconde explication serait de considérer que la tâche de correspondance terme a `terme nécessite de recourir a `une représentation de la quantité de la collection témoin, représentation éventuellement codée sous un format sensori-moteur. À ce titre, deux stratégies ont été identifiées par Van Nieuwenhoven (1999) pour réaliser cette tâche numérique. La moins élaborée des deux consiste a `faire correspondre a `chaque élément de la collection témoin, un autre élément. La seconde, plus élaborée et plus économique en temps, consiste a dénombrer la collection témoin puis, a `partir de son cardinal, a constituer une collection équivalente. Dans notre étude, les enfants qui ont une représentation fiable de la main ont presque tous réussi cette tâche de correspondance terme a `terme. Pour approfondir cette question, il serait intéressant, dans une étude complémentaire, d'analyser les stratégies des enfants durant la tâche de correspondance terme a `terme afin de savoir s'ils opèrent la correspondance unité par unité ou s'ils se fondent sur le cardinal.

Contrairement a `l'épreuve de correspondance terme a `terme, il n'a pas été possible d'établir une relation d'implication entre certaines caractéristiques du dessin et la tâche de non-pertinence de l'ordre. Cette épreuve teste les connaissances conceptuelles des propriétés cardinales et ordinales du nombre. Pour [START_REF] Baroody | Children's mathematical thinking: A developmental framework for preschool, primary, and special education teachers[END_REF], cette tâche de nature verbale et non procédurale reflète la richesse et la diversité des expériences de dénombrement des enfants : c'est en dénombrant de différentes manières des collections d'objets que les enfants découvrent que l'ordre dans lequel il compte la collection n'a aucun impact sur le cardinal de cette collection. L'enfant qui découvre cette notion ne confondra pas les aspects cardinal et ordinal du nombre, car il saura que chaque mot-nombre peut être attribué a `n'importe quel objet de la collection. L'absence de relation statistique entre les caractéristiques du dessin et l'épreuve conceptuelle reste difficilement interprétable, mais renforce l'idée déja `établie dans la littérature [START_REF] Gracia-Bafalluy | Does finger training increase young children's numerical performance[END_REF][START_REF] Luquet | Performances perceptivo-tactiles et performances arithmétiques chez le jeune enfant[END_REF][START_REF] Marinthe | Gnosies digitales et développement des performances arithmétiques[END_REF] que les représentations manuelles ont une fonction probablement plus importante au cours de tâches nécessitant la manipulation de quantités sous un format analogique. Au contraire, la tâche de non-pertinence de l'ordre ne nécessite probablement pas le recours aux représentations analogiques des quantités en jeu.

Les doigts constitueraient une première représentation sensorimotrice des quantités manipulées ou perçues. Parallèlement et simultanément, l'utilisation de la main et des doigts comme outil pour représenter symboliquement les quantités selon des codes culturellement institués faciliterait la mise en relation entre des formats analogiques et symboliques du nombre. Ainsi, les enfants les plus habiles sur le plan des représentations sensori-motrices de la main et des doigts seraient cognitivement mieux outillés pour se représenter des petites quantités sur lesquelles opérer des transformations, pour comparer des quantités ou encore pour assister le comptage verbal par correspondance terme a `terme entre les mots nombres énoncés et les doigts levés. Néanmoins, nous considérons, comme Di Luca et Pesenti (2011) que les représentations du nombre sont plurimodalitaires et que, par conséquent, les représentations sensori-motrices ne sont pas les seuls outils cognitifs disponibles au cours du développement. C'est d'ailleurs ce qui peut expliquer que certains sujets qui présentent une stratégie graphique peu élaborée puissent néanmoins être en réussite sur les tâches numériques analogique ou conceptuelle.

L'échantillon constitué pour cette étude rassemblait des enfants tous venants et les analyses statistiques réalisées n'ont pu montrer d'effet du sexe sur les variables étudiées. Il nous semble qu'une façon de confirmer ces résultats encore fragiles serait de compléter cette étude par l'analyse de ces relations auprès d'un échantillon constitué d'enfants présentant des difficultés dans les premières habiletés numériques. En effet, dans notre étude, seuls 6 enfants sur 62 ont échoué aux deux épreuves numériques. Nos conclusions devraient donc être confrontées auprès d'un large échantillon d'enfants ayant échoué simultanément aux deux épreuves numériques. Par ailleurs, l'étude de ces relations devrait être entreprise en deça `et au-dela `de la période étudiée (cette investigation est en cours chez des enfants âgés de 6 ans) afin d'identifier une éventuelle logique développementale. Enfin, si ces investigations sont poursuivies, elles devront contrôler la variable liée a `la latéralité afin de vérifier son impact éventuel sur la qualité de la production graphique notamment.

Finalement, nous souhaitons souligner que certaines de nos conclusions s'accordent avec les propositions de Jordan et al. (2009). À partir de suivis longitudinaux d'enfants issus de milieux socio-économiques défavorisés, ces auteurs constatent que ceux qui développeront des difficultés ultérieurement en mathématiques

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sont aussi ceux qui, dans les niveaux préélémentaires, avaient tendance a `ne pas utiliser spontanément leurs doigts. De ce fait, les auteurs engagent les professionnels a `enseigner explicitement l'utilisation des doigts en maternelle. Le dessin, fréquemment utilisé par les enseignants pour faciliter la conceptualisation de certains domaines, comme celui du schéma corporel, pourrait-il constituer un moyen privilégié d'élaborer une représentation mentale précise de la main ? Par notre contribution, nous avons pu montrer que toutes les informations permettant de décrire l'évolution du dessin au cours de la période étudiée ne se valent pas et que les indicateurs les plus pertinents lorsqu'ils sont considérés conjointement semblent être le nombre de doigts représenté et la planification du dessin. Le score reflétant la qualité figurative globale de la production n'est pas apparu comme un indicateur pertinent du niveau de l'enfant dans le domaine numérique. Aux questions que se posaient [START_REF] Marinthe | Gnosies digitales et développement des performances arithmétiques[END_REF] sur les caractéristiques des représentations digitales d'enfants présentant des difficultés dans le domaine numérique, notre étude apporte, nous semble-t-il, quelques éléments de réponse. Certains enfants pourraient éprouver des difficultés a `se représenter mentalement la main comme une unité constituée d'une paume et de cinq doigts a ùne période où les habiletés numériques s'installent. L'absence de planification traduirait une difficulté a `activer des connaissances conscientes et explicites concernant outil, la main, qui joue un rôle indéniable dans la cognition numérique. D'autres recherches, utilisant le dessin comme moyen d'investiguer la représentation mentale de la main, devraient être entreprises. Si le dessin présente des variantes culturelles [START_REF] Picard | Le dessin de l'enfant et son usage dans la pratique psychologique[END_REF] et si le développement moteur et cognitif est sensible aux pratiques culturelles [START_REF] Dasen | Développement psychologique et activités quotidiennes chez des enfants africains[END_REF], alors l'étude du dessin de la main chez des enfants ayant peu l'occasion de dessiner pourrait contribuer a `porter un éclairage sur la nature des représentations digitales et de leurs relations avec les habiletés numériques. Cette étude est en cours d'analyse.

Abstract

This study aims at studying the relationship between manual and digital representations and numerical skills through the drawing of a hand. Sixty-two children (ages from 4 years old to 5 years and 6 months old) were asked to draw a hand and to carry out 2 numerical tasks: first to produce 2 equivalent collections and then to use the order-irrelevance principle. The statistical implicative analysis shows that more elaborated graphic strategies more strongly imply success producing 2 equivalent collections.

2

  BONNETON-BOTTÉ, HILI, DE LA HAYE ET NOËL tapraid5/cab-cab/cab-cab/cab00315/cab0276d15z xppws Sϭ1 4/9/15 4:42 Art: 2014-0705

  3 HABILETÉS NUMÉRIQUES CHEZ DES ENFANTS D'ÂGE PRÉSCOLAIRE AQ: 2 tapraid5/cab-cab/cab-cab/cab00315/cab0276d15z xppws Sϭ1 4/9/15 4:42 Art: 2014-0705

  Une première analyse descriptive présentera la fréquence des stratégies observées a `la tâche de dessin et la fréquence de réussite aux épreuves numériques. Puisque nos données sont principalement binaires et que notre hypothèse prévoit l'existence d'une relation orientée entre les performances au dessin de la main et aux tâches numériques, nous utiliserons l'analyse statistique implicative (ASI) comme outil d'analyse. Contrairement aux études corrélationnelles ou au khi carré habituellement utilisés pour tester la relation entre variables, l'ASI permet d'analyser le sens de la relation entre deux variables a et b de telle sorte que « si la variable a est observée dans la population, alors on note une propension a `observer la variable b »[START_REF] Gras | An overview of the statistical implicative analysis (SIA)[END_REF]. Enfin, le score reflétant la qualité du dessin n'étant pas une variable binaire, il sera étudié a `partir d'une ANOVA.Malgré l'absence d'hypothèses relatives a `l'effet du sexe dans cette étude, nous vérifierons que cette variable n'a pas d'incidence sur les variables étudiées.

Figure 1 .

 1 Figure 1. Fréquence d'occurrence (en pourcentage) des stratégies graphiques observées au dessin de la main.

  Pϩ tendent aussi a `être meilleur que celui des productions D ϩ PϪ.Une analyse statistique implicative a été réalisée afin de vérifier un effet du sexe sur les variables nombre de doigts et planification. Les productions des garçons et des filles ne sont différenciables ni sur leur capacité de planification (z ϭ 1,12; ns) ni sur leur capacité a `représenter les 5 doigts (z ϭ 0,14; ns). Enfin, l'analyse de variance réalisée sur le score global au dessin ne révèle pas d'effet du sexe, F(1,60) ϭ 0,41; ns.

Tableau 3 Figure 2 .

 32 Figure 2. Relation entre stratégie graphique et score au dessin.

Figure 3 .

 3 Figure 3. Relation entre type de stratégie et réussite a `la correspondance terme a `terme.

Figure 4 .

 4 Figure 4. Relation entre type de stratégie et réussite a `la tâche de non pertinence de l'ordre.

7

  HABILETÉS NUMÉRIQUES CHEZ DES ENFANTS D'ÂGE PRÉSCOLAIRE tapraid5/cab-cab/cab-cab/cab00315/cab0276d15z xppws Sϭ1 4/9/15 4:42 Art: 2014-0705

  Dessin de la main et habiletés numériques chez des enfants d'âge préscolaire

	Nathalie Bonneton-Botté, Hélène Hili et	Yvonnick Noël
	Fanny De La Haye	Université de Rennes 2
	École supérieure du professorat et de l'éducation de Bretagne


T Grenet

J Delahaye

Evidence for thermal activation in the glassy dynamics of insulating granular aluminum conductance

Keywords: numbers: 72.80.Ng, 72.15.Rn, 64.70.P-, 71.30+h

Insulating granular aluminum is one of the proto-typical disordered insulators whose low temperature electrical conductance exhibits ubiquitous non-equilibrium phenomena. These include slow responses to temperature or gate voltage changes, characteristic field effect anomalies and ageing phenomena typical of a glass. In this system the influence of temperature on the glassy dynamics has remained elusive, leading to the belief that the slow relaxations essentially proceed via elastic quantum tunneling. A similar situation was met in insulating indium oxide and it was concluded that in high carrier density Anderson insulators, electrons form a quantum glass phase. In this work we experimentally demonstrate that thermal effects do play a role and that the slow dynamics in granular aluminum is subject to thermal activation. We show how its signatures can be revealed and activation energy distributions can be extracted, providing a promising grasp on the nature of the microscopic mechanism at work in glassy Anderson insulators. We explain why some of the experimental protocols previously used in the literature fail to reveal thermal activation in these systems. Our results and analyses call for a reassessment of the emblematic case of indium oxide, and question the existence of a quantum glass in any of the systems studied so far.

Introduction

Glassy dynamical features have been studied in a variety of disordered insulators and interpreted as signatures of the electron glass. Recent reviews of the experimental and theoretical works may be found in [START_REF] Pollak | The Electron Glass[END_REF]. It has been shown that these systems are never in equilibrium at low temperature and proceed infinitely slowly to an equilibrium state. The relaxations are recorded by measuring the low temperature electrical conductivity, a quantity which is generally very sensitive to these insulators internal characteristics (e.g. amount of disorder or carrier density). The ultimate equilibrium state is believed to possess the minimal conductance and one indeed observes that after a quench from high to low temperature the conductance always logarithmically decreases with time, without any observable saturation on accessible experimental time scales. Field effect measurements performed on gated samples show characteristic conductance minima ("memory dips") located at gate voltages under which the samples have been allowed to relax for some time, an example of which is shown in the inset of Figure 1. The memory dip at a given gate voltage is slowly erased in a characteristic way after the gate voltage has been shifted to another value (see below).

In most glasses, like structural or spin glasses, the dynamics is thermally activated and slows down drastically as the temperature is decreased to the glass transition temperature. However in disordered insulators no signature of a glass transition at finite temperature was found, and in indium oxide and granular aluminum, two extensively studied systems, no signature of thermal activation of the dynamics was observed, leading to the belief that these might be quantum glasses where the slow relaxation proceeds mostly via quantum tunneling [2]. In recent years the glassiness and its associated anomalous field effect have been studied in other systems. The unusual temperature dependence of the conductance relaxations found in thin films of discontinuous metals [3] suggests a slow down of the dynamics upon cooling, and in amorphous Nb x Si 1-x alloys [4] the activated character of the dynamics was directly demonstrated. In light of these recent findings we re-examine the question of the elusive temperature dependence of the dynamics in insulating granular Al films. Our new experiments show unambiguously that the slow dynamics does strongly depend on temperature and is progressively frozen when the samples are cooled, thus dismissing the existence of a purely quantum glassiness in this system. These results and the analysis of previously used experimental protocols in the literature also put the existence of the quantum glass phase in other disordered insulators into question.

The present paper is organized as follows. The next section is devoted to the experimental protocol used. In section 3 we present the experimental results demonstrating thermal activation and clarify why previous experiments led to erroneous conclusions. In section 4 we discuss the activation energies involved in our system, comment on the case of indium oxide, and give some perspectives opened by our findings.

Experimental protocol

When studying the slow dynamics of a disordered insulator one always faces the same difficulty: the logarithmic conductance relaxation, which corresponds to the growth of a new memory dip, shows no characteristic relaxation time which temperature dependence could be directly studied. Moreover one cannot simply compare the slopes of the relaxation curves for different samples or for a single sample at different temperatures. This is because the mechanism through which the slow relaxations alter the conductance is not understood quantitatively. Hence comparing different curves, one does not know if different slopes reflect different dynamics or different sensitivities of the conductance to the changes occurring in the samples. For instance more conducting samples have significantly lower 1 G dG dLn (t) slopes than more insulating ones, but there is no reason to believe that the relaxations are much slower in conducting samples than in highly insulating ones. Actually we showed earlier [5] that due to ageing effects the slow growth of a new memory dip is not always exactly logarithmic in time. The observed departures from Ln(t) may be used to study the T dependence of the dynamics, however these are small and it may not be very convenient to do so.

In attempts to circumvent the difficulty, protocols using the comparison of two memory dips have been used in the literature. But as we showed earlier [6] they can be problematic and lead to wrong conclusions. For completeness we briefly review and comment on them in Appendix A.

The present study involves an "erasure protocol". It is free of the problems present in other protocols and gives reliable results. The basic idea is quite natural: in order to search for a temperature dependence of the dynamics, one has to "activate" a given set of relaxation times of the system, change the temperature, and re-measure them to see whether they have changed or not. In practice we build a memory dip at a given temperature T build and measure the time needed to erase it after the temperature has been changed to T erase .

The procedure is as follows. A device designed as a MOS-FET, where the channel is the disordered insulator under study, is cooled from high temperature (typically larger than 100K) to T build under a cooling gate voltage V g cool . For the building step the gate voltage is shifted to V g build and is kept at this value for the building time t build so that a memory dip slowly develops. Roughly speaking this step involves a set of relaxation times distributed between a lower cutoff value and t build . Then the gate voltage is shifted to another value V g erase , and one monitors the rate at which the memory dip at V g build is erased, that is to say the rate at which the system looses the memory of its relaxation under V g build . Examples of V g scans performed to monitor the erasure are shown in Figure 2, where one sees the progressive erasure of the memory dip at V g build =0V while V g is kept at V g erase =+15V. If the protocol is isothermal (no temperature change, T build =T erase ) one obviously expects that it takes roughly t build to erase the memory. If the protocol in not isothermal (T build ≠T erase ), the distribution of relaxation times may change, a thermal activation giving rise to a slower (resp. faster) erasure if it is performed at a lower (resp.) higher temperature than T build .

A simple analysis shows that in the isothermal erasure protocol, one expects the amplitude of the memory dip to be erased like [7,8] :

δ G(t) ∝ Ln 1+ t build t ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ (1)
This analysis relies on a relaxation time distribution P(τ i )~1/τ i , corresponding to purely logarithmic relaxations.

Actually things are a bit more complicated. We have previously shown [5] that Eq. ( 1) is only observed if one "ages" the sample for a sufficiently long time at T build between the cool down and the building step. Indeed the ageing effects mentioned above (departures from exactly logarithmic relaxations) modify the erasure dynamics. Generally speaking the system's response, hence its effective relaxation time distribution P(τ i ), depends on its total age since the cool down, a hallmark of a true glass phase. The erasure function then δG(t) differs from Ln(1+t build /t), and the characteristic erasure time that one can define from it exceeds t build and can be as large as 3t build . This phenomenon exists in the present study, however since we will be interested in much larger deviations caused by temperature changes, we will neglect it (this effect has its counter part in spin glasses, and as far as we know still awaits a quantitative explanation).

To summarize isothermal erasure protocols give roughly Eq (1) and in non isothermal experiments, the existence of thermal activation should produce large deviations from Eq (1).

Experimental results

Freezing of the memory dip upon cooling

In the first series of experiments, we build the V g build memory dip at various T build and erase it at T erase =4K, the protocol being repeated for several values of T build >T erase . We wish that the building and erasure steps be performed at well-defined constant temperatures, so whenever the temperature is being changed V g is set to V g cool =-15V. Hence the sample is first cooled from high temperatures (at least 100K) to T build under V g cool =-15V, then V g is switched to V g build =0V and a memory dip is built there for t build =30 minutes. V g is then switched back to -15V and the sample is immediately quenched from T build to T erase =4K by plunging it in the liquid helium bath. As soon as its temperature is stabilized at 4K, which is realized within 10-15 secs, V g is switched to V g erase =+15V were a new memory dip is of course formed. From time to time a full V g scan is performed in order to measure the vanishing memory dip at V g build =0V as well as the increasing new one at +15V, the shape of which will be compared to the vanishing one. The sample itself is used as the thermometer so that its temperature is always precisely known.

For the results shown below we used a 200 angstroms thick insulating granular Al film, whose resistance versus T curve is shown in Figure 1 together with a typical memory dip built at 4K and V g = 0. Details on the samples fabrication and characterization were given in [7].

Figure 2 : Time evolution of memory dips formed at various temperatures T build under V g build =0V and during t build =30 minutes, as they are erased after a cooldown to T erase =4.2K. In each set of curves time increases from bottom to top. The first scan is performed immediately after the cool down, successive scans are separated by 104 minutes time intervals. In (a) we show scans n° 1, 2, 3, 4, 5 and 8; in (b): n° 1, 2, 3, 4, 5, 6 and 8; in (c) n° 1, 2, 3, 4, 5, 8 and 10. One sees the progressive erasure of the memory dip at V g build =0V and the narrow memory dip growing at V g =+15V. Curves are shifted for clarity.

In Figure 2 we show for three T build values, how the G(V g ) curves evolve with time after V g has been set to +15V. In each set of curves the lowest trace is the first one measured at T erase showing the memory dip just before the erasure starts, the higher ones are subsequent traces. Previous studies have shown [7] that although the shape of isothermal memory dips does not vary much with T except below ~10K, their width (FWHM) does vary significantly and is proportional to k B T. It is seen in Figure 2 that the width of memory dips is frozen upon cooling : they all retain their original T build width even after a long time spent at T erase <T build . In other words there is no thermalization of memory dips at low temperature. Note that if the gate voltage was kept at V g build =0V this freezing of the width would be obscured by the overgrowth of an ample new narrow memory dip, which in our protocol is observed at V g erase =+15V. As for the amplitudes one clearly sees that the erasure dynamics strongly depends on

(c)

T build =20K
the difference between T build and T erase . The highest traces correspond to erasure times of 30t build . In the isothermal case after such a time the initial memory dip has been essentially erased, while for the MD quenched from 20K to 4.2K only half of its amplitude has disappeared. It is thus evident that the erasure of the memory dip is much slower when T erase < T build than in the isothermal case. This conclusion is drawn from the direct observation of raw data, and does not involve any comparison or normalization using two different memory dips. Thus the problems associated to such manipulations (see Appendix A) are avoided. In Figure 3 we plotted the time evolution of the fading memory dip amplitude, for various T build values. It is seen that when T build =T erase =4K (isothermal experiment) the amplitude approximately

T* build = 29K δG/G (%) t / t build
follows Eq 1 shown as a continuous line on the graphs. However it is clear that when T build > T erase =4K, such is not the case and it takes a much longer time to erase the memory dip, an effect all the more pronounced as T build is higher. From these data the T build dependence of the characteristic erasure time is clear, and it is seen that a memory dip formed at T build >>4K is substantially frozen at 4K.

Accelerated erasure of the memory dip upon heating

Conversely the activation of the dynamics should manifest itself as an acceleration of the erasure and thus a decrease of the erasure time when T erase >T build . In Figure 4 left we show the results of a series of measurements with T build =4K and T erase >T build . As an acceleration of the dynamics is looked for, smaller t/t build values than in Figure 3 are investigated. The amplitude of the memory dip is seen to depend significantly on T erase but what we are interested in is the time it takes to erase the dips. Unlike in Figure 3 it is not obvious that the curves extrapolate to zero at significantly different times. As seen in Figure 4 right, when normalized, all the curves including a 4K isothermal one are superposed within the experimental error. This extends to a higher T erase range, and corroborates, our previous result of [7]. But while it was thought previously to indicate the absence of thermal activation, we now know that it cannot be correct since it would otherwise contradict the results of Figure 3.

The simplest interpretation of this apparent paradox is the following. When T is increased from T build to T erase the relaxation times that were involved in building the memory dip are shifted to quite short times, such that only parts of the long time tail of the erasure curves can be probed. The shorter time logarithmic parts, which give an easy estimate of the erasure time by extrapolation to zero, cannot be observed. Unfortunately the long time tails have more or less the same shape and when normalized they are roughly superposed. So our measurements are not accurate enough to extract the erasure times from them. This argument is quantified in the next section. The acceleration of the dynamics can nevertheless be demonstrated in the following way. Instead of performing the whole erasure at T erase larger than T build , we perform it at the same temperature as T build (4K), except for a short excursion to a larger T erase . The amplitudes of the fading memory dip measured before and after the higher T excursion can be compared without any normalisation as they are all measured at the same T. The acceleration of the dynamics should manifest itself as a discontinuity in the curves.

In practice a memory dip was formed during 1 hour at 4.2 K and V g build = 0V, then V g was set to +20V, scans being performed from time to time to measure the fading memory dip amplitude at 0V. The temperature excursion was performed between the first and second scans: T was raised (raising time 30-45 seconds) and maintained at a higher value for one minute and then set back to 4.2K

(cooling time around 15 seconds). Figure 5 shows the erasure curves obtained for various excursion temperature values. It is seen that a discontinuity is induced in the curves, which is larger the higher the excursion temperature. This reveals the significant acceleration of the erasure dynamics during the higher temperature excursion. Note the important point that the memory dip measured at 4K after the high temperature excursion has its normal 4K width. This is seen in Figure 6 and shows that the much smaller amplitudes measured after the discontinuity are due to an accelerated erasure and not to a thermal broadening caused by the higher temperature excursion. The data presented above convincingly demonstrate that the slow conductance relaxations are thermally activated and that the dynamics is not dominated by elastic tunneling events. Figure 6 : Examples of memory dips measured just before and just after the higher temperature excursion (see Figure 5). Left: T excursion =12K, right: T excursion =17K. For T excursion =17K the amplitude of the dip measured after the excursion is multiplied by 3 to be more visible. It is seen that while the amplitude is substantially reduced by the excursion, the width is unchanged and acquires no thermal broadening.

Activation energy range

We may try to fit the curves of Figure 3 to get an estimate of the activation energies involved. Following [7] the memory dip amplitude being erased is modeled by :

δ G(t) = δ G 0 1-exp - t w τ i ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ exp - t τ i ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ i ∑ ( 2
)
where t is measured starting from t w and the τ i 's are the relaxation times of the slow modes involved in the memory dip formation. If τ i = τ 0 exp(ξ i ) and the ξ i 's have a broad flat distribution then equation ( 1) is obtained. Inserting activation energies we may more generally write :

τ ij (T ) = τ 0 exp ξ i ( )exp ΔE j k B T ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ (3)
Choosing a single ξ 0 and broadly distributed ΔE j 's implies that during the building of the memory dip, an activation energy interval essentially determined by T build is selected. It turns out that this does not permit to fit the whole set of erasure curves properly. A broad distribution of ξ i 's is necessary and the whole set of curves of Figure 3 can be fitted quite well with a single activation energy ΔE 0 ≈ 3 ± 0.5meV . The fit is a bit better if we also take a distribution of activation energies

ΔE j ∈ 0, ΔE max [ ] ,
ΔE max being the fitting parameter. We assume that the ξ i 's and ΔE j 's are not correlated (see Appendix B for a more systematic discussion). In Figure 6 we show the result of the quite satisfactory fit from which we get ΔE max ≈ 5 ± 0.5meV . Concerning the analogous experiment with T erase > T build (Figure 4), the similar numerical calculation with ΔE max =5meV yields the curves shown in Figure 8. One sees that in the whole temperature range a small change should be observed between the 4K isothermal curve and the one with T erase =29K. But the expected difference is of the same order as the experimental points scatter, which may explain why we cannot see it in the data, as anticipated in the previous section. Experimental points are those of Figure 4. The smooth lines are two curves calculated for T erase =4K and T erase =29K and using the same activation energy distribution as in Figure 7. One sees that the difference between the extreme curves are not expected to be larger than the experimental scatter.

Discussion

Activation law and activation energies

We saw that the temperature variation of the slow dynamics is essentially of the Arrhenius type i.e. one can fit the data over the experimental temperature range with a fixed activation energy distribution. However in the framework of the electron glass ideas one does not necessarily expect such a dependence. Like for variable range hopping conductance, the optimization of tunneling probabilities for multi-electron processes may produce a non-Arrhenius behaviour with typical activation energies increasing with the temperature. Our present data do not give evidence of this, but we note that the temperature dependence of our samples conductance is also closer to Arrhenius than to any standard variable range hopping law. It would be interesting to explore broader resistance and temperature ranges as well as systems having Mott or Efros-Shklovskii variable range hopping conductances, to see whether the temperature dependence of the dynamics is different.

As for the presently studied system we may like to compare the activation energy range of the dynamics with typical electronic energy scales, and see whether they are correlated. The typical Al grain size of our samples is 2-5 nm. Assuming 1 nm thick alumina layers separating the grains, we can estimate the average charging energy of a single grain inside the material as E c ≈ 20meV . However the energy scale determining the conductance is smaller. As seen in Figure 1 a quite good empirical fit of σ(T) in the temperature range of interest is :

σ = σ 0 exp - T 0 T ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 0.8 ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ( 4
)
with T 0 ≈ 100K ≡ 8.7meV . We shall not discuss here the precise meaning of the T dependence of the conductance and of T 0 . One may also approximately fit the low temperature part with an Arrhenius law and get T 0( Arrhenius ) ≈ 50K ≡ 4.4meV . Thus the energy scale one may extract form the conductance is of the same order as ΔE max .

To see whether they are correlated, we performed the same dynamical experiment on a less insulating sample obeying Eq. ( 4) with a significantly smaller T 0 ≈ 43K ≡ 3.7meV . Its erasure curves at 4K for dips built at various T buid >4K are shown in Figure 9. It is seen that the curve with T build =8K is well fitted with ΔE max =5meV, exactly like with the more insulating sample. The other curves with larger T build seem to need a somewhat higher ΔE max , which whithin our simple description may indicate a narrower distribution of ξ i 's than in the more insulating samples, but the scatter of the points is larger so that we will not elaborate too much on this.

Comparing with the previous sample, the conductance and slow dynamics activation energies do not seem to be directly correlated: dividing T 0 by a factor of two does not seem to alter ΔE max the same way. This may mean that the slowly relaxing modes and the much faster electronic processes involved in the conductance itself, are to some extent independent. It may be that they are of different nature, or that the samples being strongly heterogeneous, the slow electronic processes occur in highly insulating areas which the current carrying path skirt rather than cross.

Figure 9: Normalized erasure curves in the case T erase >T build (T erase =4.2K) for a more conducting sample than in Figure 7 ( R ! ≈ 1.510 7 Ω ). Like previously the dots are the experimental points, the dotted lines are guidelines through them and the continuous lines are calculated using the same distribution of activation energy with ΔE max ≈ 5meV . Interestingly the observation of a freezing of the dynamics puts the question of any finite temperature glass transition in a new experimental perspective. Such a finite temperature phase transition has been predicted in a mean field treatment of the electron glass [9], a transition that hasn't been observed yet in numerical simulations of electron glass models containing site energy disorder [START_REF] Pollak | The Electron Glass[END_REF]. As far as our experiments with granular Al films are concerned, only a gradual freezing is observed, with no signature of any well-defined finite temperature transition in the temperature range explored.

The questions raised by the precise T dependence of the dynamics, and the link between slow relaxation and conductance activation energies need further investigations in a broader resistivity and temperature range as well as in other systems.

Effects of the high temperature history

Due to freezing, traces of the high temperature gate voltage history of a sample are present at low temperature, and may be impossible to eliminate without heating. This can explain previous observations that did not have a clear interpretation. The freezing of a thermally broadened memory dip is the cause of the "thermal memory" mentioned previously [7], and the evolution of a memory dip shape after it has been cooled (V g kept inside it), corresponds to the overgrowth of a narrower part. Accordingly the shapes of memory dips built during cool-downs are different from isothermal ones, as shown in Figure 10 below. We show the superposition of a memory dip obtained after a quench from 67K and a further growth for a few hours at 4K, with an isothermal 4K one. The frozen modes contribute significantly to the overall amplitude of the first memory dip and broaden its feet. We illustrate it in the case of a highly insulating sample ( R ! ≈ 5.10 10 Ω ). In the less insulating and more commonly studied samples, the effect is less prominent: the lower the resistance per square, the smaller the amplitude of the frozen high T contributions as compared to the low temperature ones.

Figure 10 : Comparison of the shapes of two (normalized) memory dips measured at 4K on the same sample. The thinner dip is an isothermal one entirely grown at 4K. The broader one was grown after a quench cool from 67K and subsequent grown for a few hours at 4K, under the same gate voltage. The difference arises from a broader frozen contribution accumulated during the cooling.

The relative amplitudes of frozen and isothermal low temperature contributions vary a lot among systems. Thus in NbSi [4] one can observe very broad and intense frozen contributions that may make it difficult to isolate and study the low temperature parts. As we already mentioned, in discontinuous gold [3] the low temperature dips are much smaller than the high temperature ones. In the opposite, some indium oxide samples seem to have a very rapidly decreasing memory dip amplitude as the temperature is increased from the liquid helium range [10]. In this case frozen contributions are )

V g (V)
expected to be small and not to disturb low T measurements. But conversely this makes thermal activation more difficult to detect : erasure measurements should be performed in a lower T range than in the present study.

Case of indium oxide

The present results on granular aluminum call for a re-examination of the case of indium oxide. In [11] the question of the temperature dependence of the slow dynamic was considered in the low temperature range (T<6K). The use of a "double conductance excitation" protocol led to the conclusion that highly doped InO x have a T independent dynamics, while in lightly doped In 2 O 3-x the dynamics accelerates when T is reduced. However as these experiments are isothermal, it is not clear to us how they can reflect the T dependence of the dynamics. A more detailed discussion of this point is given in Appendix A. Preliminary results of a similar protocol applied to granular Al show no T dependence of the "viscosity parameter" defined in [11]. This quantity is thus not sensitive to thermal activation, which puts into question conclusions drawn from it.

As far as we know the erasure protocols used in the present work have not been applied to indium oxide. However the memory of high temperature thermal width was shown in [12] : in Figure 10(c) a memory dip built at T build =4.1K is shown to retain its initial width after 8 mins at 1.6K. This is consistent with, but not yet a proof of, thermal activation and freezing. A measurement of the erasure time of this dip would give a definite answer. We feel that as of today the question whether the slow dynamics in indium oxide is or isn't activated and the glass at hand is classical or quantum, is still open.

Conclusion

We have shown that the slow dynamics observed in insulating granular aluminum thin films is thermally activated, unlike what was previously believed. For the samples studied, the behaviour is close to Arrhenius with an activation energy of the order of 30K. In the temperature range studied (4K-30K) no signature of a glass transition temperature is observed. We showed why previous experiments missed the temperature dependence of the slow dynamics and led to the wrong conclusion that it is solely due to quantum tunneling.

The simple erasure protocol we used in the present study does not rely on any normalization procedure or comparison of different memory dips. It is thus free of the uncontrolled assumptions present in other used protocols. We suggest that it is used in all the other systems so that reliable results are obtained and sound comparisons can be made.

In particular we argued that previous experiments on indium oxide are not suitable to test the temperature dependence of the dynamics. It may well be that by using our protocol, thermal activation is found in this system too, which would dismiss the quantum glass hypothesis. Thermal activation would then appear to be a universal feature in all Anderson insulators showing slow conductance relaxations associated to memory dips.

The determination of activation energies provides a new grasp on the physics at work. Its systematic study in different systems, and comparisons with specific predictions of the theoretical and numerical approaches of the electron glass [START_REF] Pollak | The Electron Glass[END_REF], which are all in the classical limit, may bring new knowledge about the mechanisms of glassiness observed in disordered insulators. 1/τ. One cannot compare the dynamics of different samples or of the same sample at different temperatures by simply comparing their relaxation slopes, either dG dLn (t) or 1 G dG dLn (t) . This is because one does not know how to relate the amplitudes of the conductance changes to the advancement of the systems relaxations toward equilibrium. In most systems studied G vanishes rapidly when T is lowered at low temperature, so does also dG dLn (t) . It seems more sensible to consider 1 G dG dLn (t) . This quantity increases significantly when T is lowered, but nobody believes that this reflects a sharp acceleration of the dynamics upon cooling. Remarkably discontinuous metal films show an opposite behaviour [3], which is thought to demonstrate a freezing of the dynamics, but the erasure protocol used in this paper should be used to confirm and quantify this conclusion.

A.2 Isothermal "two dip experiment" (TDE) and its variants A "two dip experiment" (TDE) protocol was developed in [13] to study doping effects in indium oxide films. In this experiment one first builds a memory dip for a given time t 1 (typically 24 hours), after which one shifts the gate voltage to another value thus starting to build a second memory dip. One then determines the time τ TDE at which the amplitudes of the two dips become equal. We discussed this protocol in [6] in some detail. If the amplitudes of the two memory dips evolve logarithmically with time with equal slopes, like in granular Aluminum and highly doped InO x , it is not expected to give any valuable information on the system dynamics as one simply expects τ TDE ≈ t 1 t scan (where t scan is the V g scan time used in the measurement). This dependence was checked experimentally with granular aluminum.

In [14] a "double conductance excitation " (DCE) protocol was discussed, which in our view is a mere variant of the TDE. In this case one builds the second memory dip for a fixed time t w and one computes the quantity η = ΔG 0 ΔG(t w )

where ΔG 0 is the initial amplitude of the first memory dip and ΔG(t w ) is the amount by which it was erased during t w . If all dips amplitudes evolve like Ln(t) with equal slopes then ΔG(t w ) is also the amplitude of the second memory dip after t w . Again η does not contain any useful piece of information as it is expected to be η = Ln t 1 t scan ( )

Ln t w t scan ( )

.

In [11] and [14] the TDE and DCE were used at various temperatures. For highly doped indium oxide they yielded no temperature dependence for τ TDE nor for η. This is quite natural owing to what we just said: by principle these protocols cannot reveal any temperature dependence on these samples. However the authors concluded that these results imply a temperature independent dynamics, a conclusion more or less explicitly based on the assumption that after t 1 the samples have reached full equilibrium. This assumption is unlikely and contradicts what is known about these systems, i.e. they never reach full equilibrium after a quench in any experimental time scale. The Ln(t) relaxation may have flattened after t 1 =24h, but it is not a constant and this make all the difference. Actually the highly doped indium oxide samples may have a thermally activated dynamics, this would not contradict the T independent τ TDE and η. In our case we do not see any T dependence of η in highly insulating granular films, which glassy dynamics is thermally activated as shown in the present paper.

For less doped indium oxide samples, τ TDE and η were shown to decrease when T is decreased. This was interpreted as an acceleration of the dynamics as T is reduced, a doubtful conclusion according to the preceding considerations. Several mechanisms may explain the results. The time evolutions of the two memory dips may not be symmetrical logarithmic relaxations [6], a fact which has actually been reported.

The results of the present paper also suggest a possible explanation. In the presence of activated dynamics, if the quench cool and growth of the first memory dip during t 1 are performed under the same V g , then the dip contains a frozen contribution formed during the cooling. In granular aluminum this contribution is not a negligible part of the total amplitude even if the memory dip was grown for t 1 =24 hours after the quench. It obviously alters the τ TDE and η values in a T dependent manner, as its relative contribution to ΔG 0 depends on the final temperature of the quench. We conclude that isothermal experiments are not reliable to study any temperature dependence of the dynamics as long as relaxations are logarithmic. Protocols in which T is changed are needed.

A.3 Non isothermal "two dip experiment"

In principle two dip experiments where the first and second memory dips are grown at different temperatures T 1 and T 2 may reveal the T dependence of the dynamics.

In particular if the relaxation times have an Arrhenius dependence, their distribution function, and hence the slopes of the relaxation curves, is T dependent. But as shown below in Appendix B it is not necessarily the case in the experimental time window where the Ln(t) behaviour is observed. So non isothermal TDE is not necessarily sensitive to thermal effects. Moreover, the interpretation of the data relies on assumptions about the behaviour of the first memory dip amplitude when T is changed from T 1 to T 2 . In the case of granular aluminum, as seen in our present study, a memory dip grown at low T has a much larger amplitude than another one grown at a higher temperature. So performing TDE with T 1 >T 2 leads to the wrong conclusion that the dynamics is drastically accelerated when T is lowered. This problem is only partially eliminated if, taking into account the thermal width of the memory dips, one uses their areas instead of their amplitudes to determine τ TDE .

Hence the quantitative analysis of non isothermal TDE experiments is not as straightforward as it would seem.

A.4 "Erasure" protocol

The erasure protocol described and used in the present study, including higher temperature excursions to probe the acceleration of dynamics upon heating (see main text), is free of the problems considered above, and is arguably the only reliable protocol used so far to test temperature effects on the slow dynamics. It demonstrated an activated kind of temperature dependence in amorphous NbSi and granular Al films.

Since only logarithmic relaxations are experimentally observed, the practically accessible values of m lie in the flat part of the distribution. Depending on the relative values of ξ max and ΔE max k B T the flat part of the distribution may or may not depend on T. In Figure 7 it is seen that the temperature dependence of the curves saturates when T build is if the order 20-29K. This means that ΔE max k B is of the same order. Nevertheless slow relaxations still occur at these temperatures, which provides a lower bound for ξ max . Relaxations go on for at least one hour at 30K, then with the typically used value τ 0 ≈ 10 -12 sec one gets ξ max > 35. Thus in the whole experimental temperature range one has ξ max > ΔE max k B T and the flat part of N(m) is temperature independent. For all practical purposes we may take ξ max infinite. Thus for each value of ΔE j one has a broad set of ξ i , giving rise to a logarithmic contribution to the MD growth during the building step of duration t w , and a contribution to the erasure curve of the form: δ G j = δ G 0 Ln 1+ t w t exp ΔE j T build -T erasure T build T erasure

⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎡ ⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ .
The total erasure curve used to fit the data in Figure 7 and Figure 9 is the sum of such contributions with ΔE j running from 0 to ΔE max , the upper bound being the fitting parameter.

Note that since the flat part of N(m) in temperature independent, in the corresponding temperature range non isothermal TDE would be unable to reveal the T dependence of the dynamics.

Figure 1 :

 1 Figure 1: Resistivity curve of a 200 angstroms thick granular Al film used for the measurements and analyses shown in Figure 2 to Figure 7. Inset: conductance versus gate voltage curve showing a typical memory dip grown at 4.2K under V g =0V.

Figure 3 :

 3 Figure 3 : Time evolution of the memory dip amplitude during its erasure at T erase =4.2K, for various T build >T erase . Amplitudes are given in % of the (4.2K) conductance. The continuous curves show the expected isothermal behaviour. The differences with the experimental points demonstrate the freezing of the dynamics.

Figure 4 :

 4 Figure 4 : Time evolution of the memory dip amplitude during its erasure at various T erase (T build =4.2K). In (a) amplitudes are given in % of the conductance. From bottom to top T erase =20K, 12K, 10K, 8K, 4.2K. In (b) on sees that the normalized curves are superposed within the experimental scatter and extrapolate to zero at the same time. No indication of an accelerated dynamics when T erase >T build appears, in apparent contradiction with Figure 3.

Figure 5 :

 5 Figure 5: Time dependence of memory dips formed at T build =4.2K during 1 hour and erased at T erase = 4.2K except for a short excursion at a higher temperature T excursion indicated on the graphs (temperature rise duration : 30-45 secs, stay at T excursion : 60 secs, cooling back to 4.2K within around 15 secs). The discontinuity created in the curves demonstrates the acceleration of the erasure during the short high T excursion.

Figure 7 :

 7 Figure 7: Normalized erasure curves in the case T erase < T build (T erase =4.2K). The experimental points are those of Figure 3, the dotted lines are guidelines through the points. The continuous lines are calculated using a flat distribution of activation energies [0, ΔE max ]. The fitting parameter ΔE max ≈ 5 ± 0.5meV . See text for more details.

Figure 8 :

 8 Figure 8: Normalized erasure curves in the case T erase >T build (T build =4.2K).Experimental points are those of Figure4. The smooth lines are two curves calculated for T erase =4K and T erase =29K and using the same activation energy distribution as in Figure7. One sees that the difference between the extreme curves are not expected to be larger than the experimental scatter.

Acknowledgement

We acknowledge several fruitful discussions with A. Frydman and M. Pollak.

Appendix A: analysis of previously used protocols

For completeness and clarity, we discuss here briefly the various protocols used so far in the literature to study the temperature dependence of the slow dynamics in Anderson insulators, an their shortcomings.

A.1 Relaxation slopes

The mere existence of slow Ln(t) conductance relaxations in a broad temperature range (from 1K to 50K) is not a proof that the dynamics is not thermally activated, but only that long enough relaxation times survive up to the high temperature limit, with a distribution function proportional to

Appendix B: relaxation time distribution

We discuss here the model used to fit the data of the present study. We suppose that the relaxation time of each relaxing "mode" is of the form

where due to disorder the parameters ξ i and ΔE j are uncorrelated and broadly distributed, with constant distribution functions equal to N ΔE and N ξ between zero and maximum bounds ξ max and ΔE max . One then obtains the distribution function of m depicted below: