Luciano Da
email: luciano@ifsc.usp.br

F Costa

Though having no formal mathematical definition other than corresponding to a functional mapping a set of values into a respective scalar having the same physical unit, the concept of means play a fundamental role in science and technology for its ability to summarize data as well as an indication of a respective central tendency. In addition, the arithmetic mean, including its weighted version, coincide with the physical concept of center of mass. After revising the concepts of center of mass, fiuctionals, and statistical expectance, the present work aims at presenting some of the main types of means -namely the arithmetic, weighted, truncated, geometric, harmonic, Lehmer, contraharmonic and root mean square, as well as some of their main respective characteristics. The possibility to combine more than one type of mean as a means to characterize datasets is also briefly outlines and illustrated.

Introduction

We live in a world that increasingly relies on generating, analyzing and modeling data (e.g. [START_REF] Da | Modeling: The human approach to science[END_REF]). In particular, given that collected data sets can have large sizes, it becomes interesting to conceive means for summarizing these sets in terms of a substantially smaller number of respective numeric properties.

Arguably, the mean of a set of numeric values (e.g. [START_REF] Da | Statistical modeling[END_REF][START_REF] Mukhopadhyay | Probability and Statistical Inference[END_REF][START_REF] Degroot | Probability and Statistics[END_REF][START_REF] Kreyszig | Advanced Engineering Mathematics[END_REF][START_REF] Srinath | Introduction to statistical signal processing with applications[END_REF][START_REF] Kay | Fundamentals of statistical signal processing: estimation theory[END_REF][START_REF] Gray | An introduction to statistical signal processing[END_REF]) corresponds to the most natural and frequently adopted quantity employed to summarize the set from which it is calculated, as illustrated in Figure 1.

Such special importance and popularity of the mean can be traced back to antiquity, to the point that the arithmetic, geometric and harmonic means are often referred to as Pythagorean means, as they were studied as early as by the Pythagoreans under a mainly geometric point of view. The understanding of the mean as a characterization of the centrality of data emanates particularly from this type of geometric approaches, and especially from the directly related concept of center of mass (e.g. [START_REF] Serway | Physics for scientists and engineers[END_REF][START_REF] Morin | Introduction to classical mechanics: with problems and solutions[END_REF][START_REF] Thornton | Classical dynamics of particles and systems[END_REF][START_REF] José | Classical Dynamics: A Contemporary Approach[END_REF]).

The importance of the concept of mean is also reflected in its several types which have been developed along millennia, which includes but are not limited to arithmetic, geometric, harmonic, and root mean square. Many relevant issues are therefore implied by the existence of several types of means, including in which sense they differ one another, which are their properties, and when it would be interesting to apply each of them.

One of the main objectives of the present work is to address some of the main types of means from the above perspectives. However, given the special role of the mean as a means for data characterization and summarization, we also pay special attention to how the considered types can be applied, and eventually combined, for that finality.

We start by discussing the meaning of the concept of mean and by presenting some of the main types of data that are typically available, and which can be respectively characterized in terms of means. Then, we provide a brief introduction to the concept of center of mass in terms of Newtonian mechanics, and then from the perspective of probability and statistics. The several considered types of mean -including arithmetic, weighted, truncated, geo-metric, harmonic, Lehmer, contraharmonic, as well as the root mean square -are introduced, discussed and illustrated. The possibility to combine more than one type of means as a means of characterizing and representing data is then briefly discussed.

2 What is the Meaning of Mean?

Before proceeding further with our discussion about the mean, it is of particular interest to contemplate its meaning and possible definition. It may come as a surprise that, unlikely other mathematical concepts including distances (which need to satisfy some requisites), there is no formal definition of what a mean actually is, except that it necessarily corresponds to a functional, namely a mapping from the data into a single scalar (typically real) value having the same physical unit. For instance, a mean of distance values represented in meters will yield a scalar also in meters.

Informally speaking, the mean has been frequently associated to the ideas of centrality and summarization/expectance.

The connotation of centrality can be readily appreciated by considering its intrinsic relationship with the physical concept of centroid, or center of mass, of a given object, which can be discrete (a finite set of point masses) or continuous (an infinite set of connected point masses). As a matter of fact, the means of the coordinates of a set of points, each with the same mass, along each of the involved axes corresponds formally to the center of the mass of that object.

As discussed further in Section 4, the center of mass of a 3D (or 2D) object represents the point at which the respective object will undergo only linear acceleration, and no angular acceleration, while affected by a force passing through it. Alternatively, an object can be placed into unstable equilibrium when placed onto a wedge directed at its center of mass.

The mean therefore conveys the idea of corresponding to the 'most central point' of an object, taken from the specific physical-geometric perspective and, as such, it has some special properties as above indicated.

The connotation of the mean as summarization and expectance is typically related, as it will be further discussed in Section 5, to the areas of data analysis, statistics and probability. From this perspective, the mean of a data set would provide an effective summarized description of the respective data elements which would be, however, incomplete in the sense that several other properties of the data could not be taken into account by a single scalar measurement. For instance, a lot of apples can be effectively summarized in terms of the respective average weight, or of some other respective property of particular interest (e.g. diameter or Brix sweetness).

At the same time, the arithmetic mean can also be probabilistic understood as being related to the expectance of the random variable from which the data elements were sampled. Observe, however, that expectance and the arithmetic mean, however, are not identical concepts. More strictly speaking, the arithmetic mean of a set of available samples provides an estimation of the expectance based of the respective continuous random variable.

So, we can summarize the above considerations as:

A mean of a set of numeric observations is henceforth understood as corresponding to a functional mapping that set into a scalar having the same physical unit, while summarizing the data and/or providing some information about its centrality.

Though often used indistinctly, the mean is also not the same as average, in the sense that the latter typically associated to the arithmetic mean, while the concept of mean is broader and encompasses several other types.

Types of Data

Given that we are particularly interested in using means for characterizing and representing data, it is interesting to consider some respective possible types. To being with, we observe that by data we will be referring to collections of respective data elements. In the case of numeric data, the values of the observed data elements is often called scores or raw scores.

Basically, we shall understand the two following overall types of data: (i) unstructured and (ii) structured. Unstructured datasets will henceforth be taken to correspond to the traditional concept of sets, being therefore characterized by the fact that the order of the data elements does not matter. On their hand, structured data involve not only the data elements themselves, but also their mutual relationships (including order), as is the case of discrete data structures including vectors, matrices, lists, trees, graphs, as well as continuous structures such as functions as well as scalar and vector fields.

Regarding the number of elements in a data, we can have finite data or infinite data, both of which will be considered in the present work. Continuous data are necessarily infinite, but discrete data sets can also be infinite.

Another possible division of types of data is as categoric and numeric. The former case includes data elements corresponding to generic symbols, including labels, words, tags, etc. As implied in their own name, numeric data elements are numbers of several types, including natural, integer, rational, irrational, real, complex, etc. In the present work we will focus on numeric data, though categories can also be translated into numeric values by imposing some respective mapping.

In principle, the mean can be estimated from any data involving numeric entries. However, as the mean does not consider any of the relationships (including eventual order) between the data elements, any additional relational information originally available in the original data will not be taken into account. In such cases, it often becomes interesting to complement the mean in terms of additional functionals capable of yielding more comprehensive summarizations of the original relational data.

The Center of Mass

In Newtonian physics (e.g. [START_REF] Serway | Physics for scientists and engineers[END_REF][START_REF] Morin | Introduction to classical mechanics: with problems and solutions[END_REF][START_REF] Thornton | Classical dynamics of particles and systems[END_REF][START_REF] José | Classical Dynamics: A Contemporary Approach[END_REF]), the concept of center of mass is intrinsically related to the idea of angular acceleration and torque. In the case of a point particle with mass m and a reference point P , as illustrated in Figure 2, the respective torque ⃗ τ can be expressed as:

⃗ τ = ⃗ F × ⃗ r (1)
where × is the cross product between two vectors. It follows that:

|⃗ τ | = ⃗ F |⃗ r| sin(α) = ⃗ F d (2)
where the distance d is often called the lever arm, and α is the smaller angle between the vectors ⃗ F and ⃗ r. Let us consider the physical arrangement of N point particles, all with the same mass m, mechanically vinculated linear along the x-axis, as illustrated in Figure 3. Given that gravitation g is assumed to take place downwards, the same force ⃗ F = m g will be induced at each of the identical point particles. It can be shown that no angular acceleration will be implied when the object is pivoted at position x provided the following requirement is satisfied:

τ clockwise = τ counterclk (3)
This condition leads to the following expression in the case of the situation depicted in Figure 3.

-F (x 1 -x) -. . . -F (x m -x)+ + F (x m+1 -x) + . . . + F (x N -x) = 0 =⇒ =⇒ m i=1 (x i -x) + N i=m+1 (x i -x) = 0 =⇒ =⇒ N i=1 (x i -x) = 0 =⇒ x = 1 N N i=1 x i (4)
As could be expected, the imposed torque symmetry led to the identification of the equilibrium position x as corresponding to the arithmetic mean of the position of the point particles, therefore confirming the direct relationship between this type of mean and the physical concept of center of mass.

The extension of the above formulation to an object formed by a set of vinculated point particles with possibly distinct masses m i , i = 1, 2, ldots, N , is relatively immediate by considering that the force ⃗ F i induced at each particle i can be readily expressed das:

⃗ F i = m i ⃗ g (5)
Thus, it follows that:

-m 1 g (x 1 -x) -. . . -m m g (x m -x)+ + m m+1 g (x m+1 -x) + . . . + m N g (x N -x) = 0 =⇒ =⇒ g m i=1 m i (x i -x) + N i=m+1 m i (x i -x) = 0 =⇒ =⇒ N i=1 m i (x i -x) = 0 =⇒ N i=1 m i x i - N i=1 m i x = 0 =⇒ =⇒ x = 1 N i=1 m i N i=1 m i x i (6)
which corresponds to the weighted arithmetic mean of the values corresponding to the point mass positions x i , weighted by the respective mass m i .

The role of the center of mass in classical (Newtonian) mechanics is so special that, in addition to its direct relationship to the concepts of arithmetic and weighted arithmetic means, it also allows the summarization of some of the dynamic properties of a non-infinitesimal object while concentrating all its mass concentrated at the respective centroid (e.g. [START_REF] Morin | Introduction to classical mechanics: with problems and solutions[END_REF][START_REF] Thornton | Classical dynamics of particles and systems[END_REF][START_REF] José | Classical Dynamics: A Contemporary Approach[END_REF]).

Functionals, Statistics and Probability

Given some numeric data (discrete or continuous), such as a set S of numbers, it is possible to assign a respective scalar value to that set, which will henceforth be considered to be real. The mapping that implements this association is often called a functional.

A generic functional F can be mathematically expressed as:

F : f (x) -→ F (f (x)) ∈ R (7)
As already observed, the means of a set S of values are functionals on S. However, not every functional is a mean, including the mode, median, extremes and the range of S, to name but a few cases among infinite possibilities.

When considered from the perspective of statistics and probability (e.g. [START_REF] Da | Statistical modeling[END_REF][START_REF] Da | Randomness: A challenging central concept[END_REF][START_REF] Mukhopadhyay | Probability and Statistical Inference[END_REF][START_REF] Degroot | Probability and Statistics[END_REF][START_REF] Kreyszig | Advanced Engineering Mathematics[END_REF][START_REF] Srinath | Introduction to statistical signal processing with applications[END_REF][START_REF] Kay | Fundamentals of statistical signal processing: estimation theory[END_REF][START_REF] Gray | An introduction to statistical signal processing[END_REF]), the concept of mean relates directly to the expectance of a random variable X, which constitutes a functional that can be expressed in discrete form as:

E[X] = N i=1 x i p i (x) (8)
where x i are N the possible values of the discrete random variable X and p i corresponds to the respective relative frequencies.

In case the discrete random variable is represented in terms of a set of N samples S = {s 1 , s 2 , . . . , s N }, with s i ∈ {x 1 , x 2 , . . . , x N }, the respective arithmetic average can be alternatively estimated in terms of the respective average:

E[X] = 1 N N i=1 s i (9)
A discussion of the relationship between Equations 8 and 9 can be found in [START_REF] Da | Statistical modeling[END_REF].

In the case of a continuous random variable X, the expectance becomes:

E[X] = ˆ∞ -∞ x p(x) dx (10)
where p(x) is the probability density function of X.

It is also possible to define the average of a generic function f (x), or signal (e.g. [START_REF] Brigham | Fast Fourier Transform and its Applications[END_REF][START_REF] Da | Convolution! Researchgate[END_REF][START_REF] Srinath | Introduction to statistical signal processing with applications[END_REF][START_REF] Kay | Fundamentals of statistical signal processing: estimation theory[END_REF][START_REF] Gray | An introduction to statistical signal processing[END_REF][START_REF] Vetterli | Foundations of signal processing[END_REF]), within an interval [a, b] as follows:

f (x) = 1 b -a ˆb a f (x) dx (11)
The concept of expectance can be readily generalized to the quantities known as moments, which are functionals defined as:

M k [X] = E[X k ] = ˆ∞ -∞ x k p(x) dx (12)
where k is often taken as corresponding to a positive integer value.

Of particular interest are the central moments, which take into account a translation by the respective expected value E[X], being defined as:

M k [X] = E (X -E[X])] k = = ˆ∞ -∞ (x -µ x ) k p(x) dx (13)
The important quantity know as variance of a random variable X is a particular case of a central moment, obtained for k = 2:

σ 2 X = M 2 [X] = ˆ∞ -∞ (x -µ x ) 2 p(x) dx (14)
The standard deviation of X can then be defined as:

σ X = + σ 2 X ( 15
)
6 Arithmetic Mean

The arithmetic mean of a set of sampled values s i , i = 1, 2, . . . , N , can be defined as follows:

µ = 1 N N i=1 s i (16)
which, as seen in Section 5, corresponds to the expectance of the random variable as sampled by the discrete set of values x i . In addition, as discussed in Section 4, the arithmetic mean of the coordinates of a set of points with the same mass yields the respective center of mass. As a consequence, the relative position of the arithmetic mean among a set of points becomes invariant to respective translations.

This quantity is also often referred to as the average of the values. Observe that while the average is a particular type of mean, there are several other means that are not averages.

As a simple example, the arithmetic mean of the set of values S = {1, 2, 3, 4, 5} is:

µ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 5 = 4
Figure 4 illustrates the arithmetic mean, as well as its comparison with other means considered in the present work, regarding the above data set (a) as well as its translated version (b), inclusion of an outlier point (c), as well as a logarithmically skewed version (d). Interestingly, the arithmetic mean resulted always in the middle of the other means in all these considered cases.

The arithmetic mean is always the largest among the three Pythagorean means. In addition, it is translational invariant to the values of the random variable and particularly sensitive to the presence of outliers.

Weighted Arithmetic Mean

The weighed arithmetic mean can be understood as an immediate generalization of the arithmetic mean taking place when weights are assigned to the respective random variables, as we have already discussed in Section 4 from the Newtonian mechanics point of view.

In the case of a set of observed values x i , i = 1, 2, . . . , N of a discrete random variable X, each with associated weight w i , the weighted arithmetic mean can be expressed as:

ω = 1 N i=1 w i N i=1 x i w i (17)
In the case of a continuous random variable X in an interval [a, b] with weights w(x), we have:

ω = 1 ´b a w i dx ˆb a x w(x) dx (18)
As a simple example of the calculation of the weighted arithmetic mean, we shall consider the following set describing the observed values x i of a discrete random vari-able X and their respective weights w i in terms of respective tuples [x i , w i ]:

S = {[x 1 = 1, w 1 = 4]; [x 2 = 3, w 2 = 2]; [x 3 = 5, w 3 = 4]}
The respective weighted arithmetic mean can be obtained from Equation 17as:

ω = 1 10 [(1)(4) + (3)(2) + (5)(4)] = 3
The weighted arithmetic mean shares several of its properties with the arithmetic mean from which it derives, including translational invariance and particular susceptibility to outliers.

Outliers and the Truncated Mean

Real-world data often incorporate outliers (e.g. [START_REF] Da | On counterexamples and outliers[END_REF][START_REF] Hawkins | Identification of outliers[END_REF][START_REF] Comin | Archetypes and outliers in the neuromorphological space[END_REF][START_REF] Ghosh | Outliers: An evaluation of methodologies[END_REF]), namely outcomes that are far too far and/or unlikely (i.e. have low probability), when compared with the other values in the same set of data. Though there is not definitive manner of defining outliers, they can often be identified in terms of outcomes of a discrete random variable having probability smaller than a given threshold T . In the case of continuous variables, the probability can be estimated around a neighborhood of the respective values being considered as outcome.

The truncated mean typically corresponds to estimating any type of mean after a set of outliers has been discarded. The main motivation for this approach stems from the fact that it reduces the sensitivity of the means to the presence of outliers.

Figure 5 illustrates the sensitivity of the weighted arithmetic mean to outliers, and the effectivity of the respective truncated approach in reducing the susceptibility to outliers.

Geometric Mean

Given a set of positive positive values x i , i = 1, 2, . . . , N , the respective geometric mean can be expressed as:

g = N N i=1 x i = N √ x 1 x 2 . . . x N (19)
An interesting insight about particularly interesting applications of the geometrical mean can be obtained by taking the logarithm of both sides of the above expression, assuming x i > 0, yielding: which corresponds precisely with the arithmetic mean of the set of values log x i . In other words, taking the geometric mean of the set x i is the same as the logarithm of the arithmetic mean of the set log x i .

log g = 1 N N i=1 log x i (20)
As a simple example of geometric mean calculation, consider the set of observations:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
We then have that:

g = 7 √ 7! ≈ 2.5598
A typical application of the geometric means is for summarizing the modification rate along M subsequent periods of time. For instance, let us say that the rate of increase of the height of a tree was observed to be as follows:

x 1 = 0.05(5%) along the first year;

x 2 = 0.01(1%) along the second year;

x 3 = 0.07(7%) along the third year.

A summarization of the overall growth rate may consider the respective geometric mean: g = 3 (0.05) (0.01) (0.07) ≈ 0.032711

The summarization of the above growth rates in terms of the arithmetic mean would otherwise lead to:

µ ≈ 0.043333
The geometric mean, which is always the smallest among the three Pythagorean means, is often applied in economics.

Harmonic Mean

The harmonic mean of a set of N positive values x i can be written as:

h = N N i=1 1 xi = N 1 x1 + 1 x2 + . . . + 1 x N (21)
An interesting manner to better understand the harmonic mean is by rewriting the above expression as:

1 h = 1 N N i=1 1 x i (22)
As a simple example of geometric mean calculation, consider the set of observations: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

The respective harmonic mean can be obtained as:

h = 7 1 1 + 1 2 + . . . + 1 7 ≈ 2.69973
The harmonic mean, which is always the largest among the three Pythagorean means, is often applied in economics.

Lehmer and Contraharmonic Means

The Lehmer mean can be expressed as:

c = 1 N N i=1 x k i 1 N N i=1 x k-1 i (23)
One of its particular cases (for k = 2) is the contraharmonic mean:

c = 1 N N i=1 x 2 i 1 N N i=1 x i = 1 N x 2 1 + x 2 2 + . . . + x 2 N 1 N (x 1 + x 2 + . . . + x N ) (24)
As a simple example of geometric mean calculation, consider the set of observations: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Leading to the following contraharmonic mean:

c = 1 7 (1 + 2 + . . . + 7) 1 7 (1 2 + 2 2 + . . . + 7 2 ) = 5
The Lehmer and contraharmonic means are often considered in mathematics, especially in the areas of statistics and probability (e.g. [START_REF] Chu | Optimal lehmer mean bounds for the toader mean[END_REF][START_REF] Anderson | The contraharmonic mean of hsd matrices[END_REF][START_REF] Zhao | Optimal bounds for neuman-sándor mean in terms of the convex combinations of harmonic, geometric, quadratic, and contraharmonic means[END_REF]).

12 Root Mean Square -RMS

The root mean square of a set of N values x i can be expressed as:

RM S = 1 N N i=1 x 2 i = 1 N (x 2 1 + x 2 2 + . . . + x 2 N ) (25)
In the case of a function f (x) considered along an interval [a, b], we have:

RM S = 1 b -a ˆb a f 2 (x) dx (26)
One particularly interesting application of the RMS is for characterizing data sets and functions that have zero arithmetic average, of which the sinusoidal functions provide a prototypic example. By taking the observed values (scores) to the second power, the respective sum becomes necessarily positive, and therefore distinct from zero.

In the case of the sine and cosine, larger amplitudes will imply in larger RMS values. In particular, we have that the RM S along full periods of any of these two functions is equal to the amplitude multiplied by 1 √ 2 , as illustrated in Figure 6.

In electricity, the RMS value of an oscillating current or voltage wave corresponds to the value of a constant current or voltage that would dissipate the same thermal energy on a same electrical resistance R (e.g. [START_REF] Gray | Electronic Principles: Physics, Models and Circuits[END_REF][START_REF] Kumar | Electric Circuits and Networks[END_REF][START_REF] Serway | Physics for scientists and engineers[END_REF][START_REF] Da | Steady state analysis of AC circuits: An amalgamated approach[END_REF]).

As a simple example of geometric mean calculation, consider the set of observations: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

The respective root mean square therefore is: (in salmon).

RM S = 1 7 (1 2 + 2 2 + 3 2 + . . . + 7 2 ) ≈ 4.47214

Combining Means for Data Characterization

The fact that the types of means considered in this work are typically distinct one another suggests that they are providing mutually complementary information about the original data set, which can then be combined in order to obtain a set of features providing a more comprehensive description of the original data.

In this section we provide a brief illustration of this possibility, respective to three sets of 30 data elements sampled from the following probability density functions: The above averages have been chosen large enough to avoid negative scores, which cannot be used in the geometric mean.

Figure 7(a) illustrates the respectively obtained scatterplot considering the respective arithmetic and geometric means of each of the 90 considered datasets. As could be expected, given the similar centers of mass and dispersions, the obtained clusters resulted particularly close one another.

By applying principal component analysis (PCA, e.g. [START_REF] Johnson | Applied multivariate analysis[END_REF][START_REF] Gewers | Principal component analysis: A natural approach to data exploration[END_REF]) on the arithmetic, geometric, harmonic and contraharmonic means, as well as the root mean square characterization of the considered data elements, we obtain the projection shown in Figure 7(b), which presents a moderately wider separation between the groups.

The fact most of the variation of the original data have been accounted for by the two first principal components indicate that, at least for the specific set of data considered in this example, the respective means are highly It should be observed that distinct tendencies can be possibly obtained for other types of data.

Concluding Remarks

Though not formally defined, the concept of mean plays a central role in virtually every area of science and technology. In addition to corresponding to a functional taking a set of values (or scores) into a respective scalar value, the several possible types of means also convey the idea of centrality, be it from the physical or statistical points of view, being also understood as implementing a summa-rization of the values of the elements in the original data sets.

The present work aimed at presenting, illustrating and discussing several types of means in a hopefully accessible, though relatively abbreviated manner. The discussed types of means were: arithmetic, weighted, truncated, geometric, harmonic, Lehmer, contraharmonic and root mean square approaches.

After discussing possible interpretations of the meaning of the mean, as well as characterizing some of the main types of data typically available, the concept of mean was approached from the perspectives of Newtonian physics (center of mass) as well as functionals, probability and statistics (expectance).

In addition to providing respective presentation and illustration, the effects of data translation as well as the presence of outliers and skewness have also been briefly discussed subsequently. The possibility to combine several types of means while characterizing data has also been illustrated in terms of a simple specific example.

Figure 1 :

 1 Figure 1: The arithmetic mean as a means to summarize a set of discrete integer values. Observe that the mean constitutes a functional, mapping a set of numbers into a single scalar value having the same physical unit.

Figure 2 :

 2 Figure 2: A point particle with mass m is under action of a force F as shown in the diagram. The torque of the force respectively to a reference point P , defining the relative position vector r to the particle, corresponds to the quantity ⃗ τ = ⃗ F × ⃗ r. It follows from properties of the the cross product that the the magnitude of τ can be calculated as the product between the magnitude of the force ⃗ F and the lever arm d = |⃗ r| sin(α).

Figure 3 :

 3 Figure 3: A set of N linearly vinculated point particles with the same mass m, represented respectively to the x-axis. The sought center of mass of this object is represented as x. A total of m particles are at the left-hand side of x, leaving N -m particles at the right-hand side. Gravitation g is assumed to take place downwards.

Figure 4 :

 4 Figure 4: Illustration of the arithmetic, geometric, harmonic, and contraharmonic means, as well as the root mean square, obtained for the set of values S = {1, 2, 3, 4, 5} (a), as well as for its translation by 2 (b), incorporation of the outlier 15 (c), and after being logarithmically skewed (d). Observe the effect of the translation in approximating the means, as well as the relatively large influence on them by the other considered modifications.

Figure 5 :

 5 Figure 5: Illustration of the high sensitivity of the arithmetic mean respectively to outliers respectively to a discrete probability distribution of a discrete random variable X including two outlier values, namely 1 and 2. The number of observations of each value of X are shown as H. The average shown in blue is obtained in case all values are taken into account T = 1. By setting T = 4, the value X = 1 is discarded, resulting in a new respective truncated arithmetic mean show in green. The two outliers can be avoided by setting T = 7, which results in the truncated arithmetic mean shown in salmon. Observe that the three obtained means are greatly influenced by the presence of the outliers.

Figure 6 :

 6 Figure 6: A full period of the sine function with amplitude 1 and its respective RMS value of 1 √ 2

  (a) uniform in the interval [10, 20]; (b) normal with average 15 and variande 1; (c) normal with average 16 and variance 2.

Figure 7 :

 7 Figure 7: (a) Scatterplot between the arithmetic and geometric means obtained for the 3 considered datasets; and (b) twodimensional projection, through principal component analysis (PCA), of the feature vectors incorporating the arithmetic, geometric, harmonic and contraharmonic means, as well as the root mean square obtained for the same datasets. The two axes correspond to the two principal components, whose percentage explanation of the variation of the original data is also respectively shown.

Acknowledgments

Luciano da F. Costa thanks CNPq (grant no. 307085/2018-0) and FAPESP (grant 15/22308-2).

Observations

As all other preprints by the author, the present work contains preliminary work subject to further revision and validation. Respective modification, commercial use, or distribution of any of its parts are not possible, as this work has author copyright. Many of the preprints by the author are also available in Hal and/or arXiv. This work can also be cited by using the DOI number or article identification link. Thanks for reading.


M Jedidi
email: melek.jedidi@xlim.fr

E Rouzaud

L Ferhat

Y Leventoux

C Jimenez

I Tiliouine

F Gérôme

B Debord

F Benabid

V Couderc

S Février

All-fiber source of 30 fs 24 nJ pulses at 1760 nm

Keywords: Few-cycle laser pulse, fiber soliton, hollow core fiber 1

We propose an all-fiber scheme for temporal compression of picosecond pulses down to 30 fs durations based on solitonic effects and dedicated hollow-core fiber for in-line spectral filtering and soliton delivery. The setup can be used as a driver source for spectrum generation in the ultraviolet and infrared region of the electromagnetic spectrum.

INTRODUCTION

Since the invention of the laser, a longstanding challenge has been the extension of the laser light to new wavelengths. In particular, the nonlinear generation of ultraviolet and infrared radiation has been the subject of intense research in the last decades [START_REF] Sylvestre | Recent advances in supercontinuum generation in specialty optical fibers [Invited[END_REF]. However, generating a supercontinuum in these two regions with the current approaches is quite challenging [START_REF] Sylvestre | Recent advances in supercontinuum generation in specialty optical fibers [Invited[END_REF][START_REF] Travers | Blue extension of optical fiber supercontinuum generation[END_REF][START_REF] Becheker | Optical parametric generation in OP-GaAs waveguides pumped by a femtosecond fluoride fiber laser[END_REF]. Recently, systems based on the use of nonlinear crystals for spectrum extension has become a possible solution for supercontinuum generation in several regions using a common laser source [START_REF] Lesko | A six-octave optical frequency comb from a scalable few-cycle erbium fibre laser[END_REF]. In Ref. [START_REF] Lesko | A six-octave optical frequency comb from a scalable few-cycle erbium fibre laser[END_REF], a few-cycle pulse laser source with nJ energy and high repetition rate drives the nonlinear generation of a large spectrum from the UV to the MIR. The Er fiber laser source pumps solid crystals to generate high order harmonics covering the blue side of the spectrum or mid-infrared supercontinuum by difference frequency generation.

Along this line, we have recently demonstrated high-order harmonics generation in ZnO by means of a fiber laser at 1760 nm [START_REF] Jedidi | High-Energy Solitonic Source of High Harmonics[END_REF]. In fact, a chirped pulsed amplifier laser at 1560 nm was coupled to a large-mode-area (LMA) fiber, where nonlinear interactions induced multi-solitonic fission and self-frequency shift towards longer wavelengths. The HHG process took place in the ZnO film deposited directly onto the output facet of the compression fiber, in an attempt to produce an all-fiber source of high harmonics from longer driving wavelength. However, the residual picosecond pedestal was presumably disturbing the HHG process by heating the nonlinear semiconductor sample. The pedestal was filtered out by means of free space optics, thereby ruining the advantage of the all-fiber architecture. For this reason, the next step was to change the freespace setup used in our previous work to an all-fibered system. Hollow-core fiber holds potential for such application by allowing for both spectral filtering and dispersion-less soliton delivery through meter long pieces of fiber. In this communication, we introduce tubular inhibited-coupling (IC) hollow-core fiber for spectral filtering and soliton delivery. Finally, we demonstrate an all fiber-based compression ratio of 21 by splicing a highly nonlinear fiber at the output of the hollow-core fiber.

STUDY OF FILTERING STAGE

The setup is composed of a chirped-pulse amplifier erbium-doped fiber system delivering pulses with a duration of 650 fs, an energy up to 1 µJ at a repetition rate of 1 MHz (Fig. 1a). It is followed by a large mode area fiber with a core diameter D = 50 µm and a numerical aperture (NA) of 0.055. As the pulses propagate through the fiber, the interplay between anomalous dispersion and self-phase modulation leads to multi-solitonic compression and fission followed by soliton selffrequency shift (SSFS) under intrapulse stimulated Raman scattering.

Finally, a soliton is obtained at 1760 nm with a pulse duration of 68 fs and an energy up to 41 nJ corresponding to 0.5 MW peak power. The spectrum obtained after passing through a lumped longpass spectral filter with cut-on wavelength of 1580 nm is shown by the blue curve in Fig. 1b. It is worth noting that the obtained soliton is accompanied with residual light above 1580 nm, which disturbs its exploitation in downstream nonlinear stages.

To maintain an all-fiber setup, we must replace the lumped spectral filter by an optical fiber. The distributed fiber filter must also ensure undisturbed soliton propagation, hence the choice of a hollow core fiber. The idea is to match the transmission bandwidth of the fiber with the soliton bandwidth. Based on these requirements, hollow-core fibers using IC propagation mechanism are the suitable tool [START_REF] Couny | Generation and photonic guidance of multi-octave optical-frequency combs[END_REF]. For our specific case, the optimal choice was the use of tubular-lattice hollow-core fibers (T-HCF) [START_REF] Bufetov | Revolver Hollow Core Optical Fibers[END_REF][START_REF] Debord | Ultralow transmission loss in inhibited-coupling guiding hollow fibers[END_REF]. In comparison to other kind of hollow core fibers based on photonic bandgap guidance, T-HCF offers the advantage of strongly reduced the field overlap of the air-core mode with the cladding material and therefore reduced chromatic dispersion and nonlinearity. In such IC fiber, the transmission edges can be tuned by properly choosing the thickness of the cladding walls [START_REF] Février | Understanding origin of loss in large pitch hollow-core photonic crystal fibers and their design simplification[END_REF].

In our experiments, we utilized a T-HCF with a core diameter of 36 µm, a cladding composed of eight tubes with a pitch of 20 µm, an average diameter of 13.5 µm. The average tube wall thickness of 756 nm (Fig. 1c) fixes the blue edge of the transmission band at approximately 1660 nm (at -10 dB). One interesting feature of this type of fiber is summarized as follows. First, the guided field is concentrated in the hollow region. Secondly, each tube has a fixed number of modes, responsible for efficiently guiding light in the central fiber section in case these modes are not phase-matched to the core mode. This anti-resonance condition takes place at the interfaces of each tube. As an approximation, the tubes can be described as Fabry Perot resonators. When the condition of resonance is met due to an angle at almost 𝜋/2, the reflection coefficient is almost zero, leading to large losses in the cladding. On the other hand, when there is anti-resonance, the mode is guided through the air core of the fiber with a strong enhancement of the confinement driven by the IC [START_REF] Debord | Hollow-Core Fiber Technology: The Rising of "Gas Photonics[END_REF]. This resonance effect is strongly wavelength dependent, and results in a long-pass filter behavior as shown in Fig. 1c. Fig. 2a shows that the transmission window observed in experiments is well reproduced by the numerical simulations. The fiber presents a low anomalous chromatic dispersion in the transmission band above 1835 nm. As shown in Fig. 2b, the dispersion at 1760 nm around the soliton central wavelength is 𝐷 = -3.

EXPERIMENTAL RESULTS

The output signal from the LMA fiber was launched into the T-HCF (Fig. 3a). The spectrum measured after 1 m of HCF was recorded and displayed in Fig. 3b, blue. The fiber filters out the residual pump while preserving the power spectral density of the soliton. The output energy level is around E = 32 nJ corresponding to an insertion loss of 1 dB (including launching efficiency and transmission loss). The temporal characteristics of the soliton were studied by second-harmonic generation frequency resolved optical gating (SHG-FROG). The FROG trace recorded for a 1760 nm central wavelength is shown in Fig. 4a. The retrieved pulse duration of the soliton centered at 1760 nm is 200 fs, while its duration was measured to 68 fs after the LMA fiber. From the temporal durations and fiber length, we deduced an absolute value of the chromatic dispersion of 2.84 ps.nm -1 .km -1 , in qualitative agreement with the computed value. The central wavelength of the soliton was tuned by varying the launched power. The higher the launched power, the higher the energy of the shifted soliton and therefore the longer the soliton shift. For a soliton centered at 1688 nm, the measured pulse duration is 560 fs (Fig. 4b), while for a soliton centered at 1840 nm, the measured pulse duration is 80 fs (Fig. 4c). These measurements were used to deduce the absolute value of the chromatic dispersion at various wavelengths. The results overlaid in Fig. 2b agree well with the modelling results and confirm that the zero-dispersion wavelength is around 1835 nm. In order to enhance the temporal compression, and based on the solitonic compression, the output of the HCF was spliced to 4 cm of a single mode fiber (SMF) of 8 µm core diameter with an anomalous dispersion of 30 ps.nm -1 .km -1 at 1760 nm. The pulse duration of 200 fs was compressed down to 30 fs with an energy level up to 24 nJ corresponding to a peak power of 0.7 MW. The corresponding FROG spectrogram is shown in Fig. 5a while the spectra before and after the compression stage, displayed in Fig. 5b.

CONCLUSION

In summary, we have demonstrated a new way to filter signal at the output of a temporal compression setup by maintaining an all fiber system and controlling the nonlinear response of the medium by using a hollow core fiber. The experiments show that the impact of the chromatic dispersion on the pulse can be mitigated by tuning the central wavelength close to the zero-dispersion wavelength. Pulse duration of 80 fs at 1835 nm central wavelength are obtained at the output of the system. A second stage was added to the system, allowing an optimization of the compression to around 30 fs. The setup can be used as a driver source for spectrum generation in the ultraviolet and infrared region of the electromagnetic spectrum.

Figure 1 .

 1 Figure 1. (a) Setup for production of high-energy soliton at 1760 nm. (b) Spectrum recorded before (black) and after (blue) the lumped long-pass filter. (c) Transmission curve of the HCF, 5 m length. Insert: Scanning electron microscope image of the fiber facet.

Figure 2 .

 2 Figure 2. (a) Transmission for 1 m and (b) chromatic dispersion computed for the HCF. Black dots are the dispersion values deduced from the temporal measurements.

Figure 3 .

 3 Figure 3. (a) All fiber setup for production of high-energy solitons at 1760 nm. (b) Spectra recorded after the LMA fiber (black) and after the hollow core fiber (blue).

Figure 4 .

 4 Figure 4. FROG spectrograms of soliton centered at (a) 1760 nm, (b) 1688 nm, (c) 1835 nm

Figure 5 .

 5 Figure 5. (a) FROG spectrogram of compressed pulse centered at 1760 nm. (b) spectrum of the pulse before (blue) and after (black) the compression fiber.


Jixiong Liu

Viet-Phi Huynh

Yoan Chabot
email: yoan.chabot@orange.com

Raphaël Troncy

Des données tabulaires aux graphes de connaissances : état de l'art des méthodes d'interprétation sémantique de tables

Keywords: Interprétation sémantique de tables, Annotation, Données tabulaires, Graphes de connaissances Semantic Table Interpretation, Table annotation, Tabular data, Knowledge graph

Les données tabulaires sont omniprésentes sur le Web et dans les entrepôts de données des entreprises. Ces tableaux contiennent des informations pouvant potentiellement devenir des connaissances après une étape d'interprétation sémantique de tables se basant sur un graphe de connaissances. Ce papier propose un état de l'art des différentes tâches et méthodes existantes pour mener à bien cette interprétation. Dans un premier temps, nous proposons une nouvelle classification des tableaux reflétant la diversité et la complexité de ces structures. Nous décomposons ensuite le problème de l'interprétation sémantique en cinq soustâches et passons en revue trois familles d'approches au travers du prisme des corpus d'évaluation proposés par la communauté.

Introduction

Les formats de données tels que CSV et XLS sont couramment utilisés en entrée d'algorithmes d'apprentissage automatique. Ainsi, l'interprétation des données tabulaires est une tâche ayant attiré beaucoup d'attention ces dernières années, avec notamment la cristallisation des efforts de recherche autour de challenges scientifiques comme SemTab [START_REF] Jiménez-Ruiz | Sem-Tab 2019 : Resources to Benchmark Tabular Data to Knowledge Graph Matching Systems[END_REF]. Pour rendre les données tabulaires intelligibles, l'idée principale est de trouver des correspondances entre les éléments composant le tableau et les entités/concepts/relations décrits dans les graphes de connaissances (KG) encyclopédiques comme DBpedia [START_REF] Bizer | DBpedia-A crystallization point for the Web of Data[END_REF] et Wikidata [START_REF] Vrandečić | Wikidata : a free collaborative knowledge base[END_REF], ou spécifiques à l'entreprise. Ce problème est connu sous le nom d'annotation de données tabulaires (ou STI en anglais pour Semantic Table Interpretation). Les KG peuvent être utilisés pour guider l'interprétation sémantique tout en étant eux-mêmes les artefacts pouvant être enrichis ou corrigés par le résultat de l'interprétation. L'annotation des données tabulaires avec des entités sémantiques ouvre la voie à une utilisation plus intelligente des données. Elle permet d'envisager notamment des services basés sur ces nouvelles informations sémantique (e.g., indexation, recherche et recommandation d'informations à un niveau conceptuel) et de contribuer à l'amélioration des systèmes de questions/réponses. L'interprétation automatique des données tabulaires est un problème complexe en raison du contexte limité disponible pour résoudre les ambiguïtés, du format de présentation des tableaux, et du caractère incomplet des KG vis à vis des connaissances présentes dans les tableaux. Ce papier vise à définir les différentes sous-tâches d'annotation de données tabulaires et à passer en revue les méthodes qui ont été proposées à ce jour, ainsi que leurs performances sur des ensembles de données d'évaluation bien établis dans la communauté. La structure de ce papier est la suivante. La section 2 définit les notions essentielles inhérentes aux données tabulaires et propose une nouvelle taxonomie des types de tableaux. La section 3 définit ensuite les tâches liées à l'annotation de données tabulaires. La section 4, passe en revue les représentants de trois familles d'approches (non mutuellement exclusives) respectivement basées sur des heuristiques, sur de l'ingénierie de caractéristiques (ou feature engineering) et de l'apprentissage profond. La section 5 évalue les performances des systèmes STI puis la section 6 liste les défis scientifiques subsistants. Le lecteur peut se réferer à [START_REF] Liu | From tabular data to knowledge graphs : A survey of semantic table interpretation tasks and methods[END_REF] pour plus d'informations sur les jeux de données, les benchmarks ou encore les méthodes utilisées dans chacune des approches de l'état de l'art.

La première source d'information d'un système STI est la table elle-même (dans la suite du papier, les termes "table" et "tableau" seront utilisés de manière équivalente). Un tableau est un arrangement bidimensionnel de données comportant n lignes et m colonnes. Une cellule est l'élément de base d'un tableau où

T ij (0 ≤ i ≤ n -1, 0 ≤ j ≤ m -1)
indique la cellule de la ligne i et de la colonne j du tableau T . Outre les données qu'elles contiennent, les métadonnées et le contexte dans lequel les tables apparaissent constituent des informations précieuses pour l'inteprétation. Par exemple, si un tableau a été publié sur une page web décrivant la Bundesliga, cette table est probablement plus en rapport avec le football qu'avec n'importe quel autre sport. Il est ainsi utile de collecter à la fois le tableau lui-même et ses métadonnées lors de l'extraction des données. Avant d'interpréter un tableau, il est important d'identifier son type afin de prendre en compte ses spécificités dans le processus de STI. Étant donné l'importante hétérogénéité des tables en termes de format, de provenance et d'utilisation, nous introduisons dans cette section une classification des types de tableaux (figure 1) basée sur les classifications existantes avec une analyse plus approfondie des tables relationnelles. Cette classification des tables vise à faciliter la définition du champ d'application des approches et à aider à mieux décrire les défis liés aux tâches de STI. 2). Les tableaux à sujet monocellulaire associent chaque ligne d'un tableau horizontal (ou chaque colonne d'un tableau vertical) à un seul sujet. Les mentions (i.e. label représentant une entité) des sujets sont indiquées dans une seule colonne (resp. ligne). Par exemple, dans la figure 2(a), la colonne "Department" contient les sujets. Les autres colonnes décrivent les sujets. Les tableaux à sujet composé nécessitent la combinaison de plusieurs cellules pour former le sujet de chaque ligne (resp. colonne). Par exemple, dans le tableau de la figure 2(b), on peut identifier les sujets (classes de train particulières) en fusionnant les colonnes "Lines", "Manufacturer" et "Class". Les tableaux à sujets multiples contiennent des cellules qui se réfèrent à des sujets différents tout en étant dans la même ligne. Dans la figure 2(c), une ligne est composée de deux sujets : "Artist(s)" est le sujet de la colonne "Nationality", tandis que "Album" est le sujet des colonnes "Release year", "Artist(s)", "Worldwide sales" et "Ref(s)". Les tableaux à sujet masqué ne mentionnent pas explicitement le sujet de chaque ligne (resp. colonne). Par exemple, dans la figure 2(d), chaque ligne décrit le résultat d'un match de football, mais la mention du match lui-même n'est pas explicite dans le tableau. La sous-classe orientation spécifie la direction des relations. Connaître le sens des relations structurant un tableau simplifie son interprétation en permettant d'associer les bons attributs à un sujet donné par exemple. Dans les tableaux horizontaux, les sujets sont décrits horizontalement, ce qui signifie que chaque ligne décrit un sujet différent. Dans les tableaux verticaux, les sujets sont décrits verticalement, ce qui signifie que chaque colonne décrit un sujet différent. Les matrices, quant à elles, doivent être interprétées cellule par cellule (et non ligne par ligne ou colonne par colonne) tout en tenant compte des en-têtes horizontaux et verticaux.

Interprétation automatique de tables

Après avoir donné les définitions nécessaires à l'étude du domaine, cette section présente le processus de STI en détaillant les cinq tâches qui le composent. Une tâche d'annotation peut être définie par les éléments du tableau qui doivent être annotés et par le type de candidats considérés (individus, concepts ou propriétés du KG).

Nous proposons de décomposer le domaine de l'interprétation de tables en cinq tâches principales illustrées dans la figure 3 : "cell-entity annotation", "column-type annotation", "columns-property annotation" [START_REF] Jiménez-Ruiz | Sem-Tab 2019 : Resources to Benchmark Tabular Data to Knowledge Graph Matching Systems[END_REF], la thématisation ("topic annotation"), et la tâche de correspondance ligneinstance [START_REF] Ritze | Matching Web Tables To DBpedia -A Feature Utility Study[END_REF].

L

Approches

Dans cette section, nous passons en revue les approches de STI. Plusieurs jeux de données ont été proposés pour évaluer les approches de STI. Certains d'entre eux sont des références pour l'évaluation dans lesquels les composants des tableaux (cellules, lignes, colonnes ou paires de cellules) sont associés à des éléments de KG (entité, classe ou propriété), tandis que d'autres jeux de données proposent des tableaux de qualité pour permettre l'entrainement de système. Plusieurs jeux de données sont utilisés pour comparer les approches de STI dans cet état de l'art : Limaye [START_REF] Limaye | Annotating and searching web tables using entities, types and relationships[END_REF], T2D [START_REF] Ritze | Matching HTML Tables to DBpedia[END_REF], WDC [START_REF] Lehmberg | A large public corpus of web tables containing time and context metadata[END_REF], TabEL

Approches heuristiques

La famille des approches heuristiques regroupe diverses approches de STI utilisant des algorithmes simples et ne nécessitant pas d'efforts significatifs d'ingénierie de caractéristiques ou d'apprentissage. En effet, les tâches de STI sont ici effectuées à l'aide de techniques heuristiques telles que les mesures de similarité de chaînes de caractères [START_REF] Morikawa | Semantic Table Interpretation using LOD4ALL[END_REF][START_REF] Oliveira | Adogannotating data with ontologies and graphs[END_REF][START_REF] Wang | Understanding tables on the web[END_REF], le vote majoritaire [START_REF] Zwicklbauer | Towards Disambiguating Web Tables[END_REF], TF-IDF [START_REF] Oliveira | Adogannotating data with ontologies and graphs[END_REF][START_REF] Thawani | Entity Linking to Knowledge Graphs to Infer Column Types and Properties[END_REF] ou les méthodes probabilistes [START_REF] Nguyen | MTab : Matching Tabular Data to Knowledge Graph using Probability Models[END_REF]. Le contexte du tableau, y compris l'en-tête, le titre et les cellules voisines [START_REF] Huynh | DAGO-BAH : Enhanced Scoring Algorithms for Scalable Annotations of Tabular Data[END_REF][START_REF] Wang | Understanding tables on the web[END_REF] peuvent être pris en compte par ce type d'approches mais pas systématiquement. Nous identifions deux sous classes d'approches heuristiques. Tout d'abord, les approches basées sur les opérations de lookup travaillent avec un ensemble initial d'entités candidates déterminé par un service de recherche. Après avoir généré des candidats, ces méthodes les classent à l'aide de différentes métriques reposant sur les éléments du tableau (par exemple, les cellules, TABLE 1 -Les approches de STI sont classifiées en trois familles. "R2I" correspond à la tâche de correspondance ligneinstance ; "TA" correspond à la thématisation ; "T i * " indique que des informations de la ligne sont utilisées pour annoter une cellule donnée ; "T * j " indique que l'approche tire parti des informations portées par la colonne étudiée (CEA, CTA) ou les colonnes voisines (CPA) ; "T 0 * " signifie que l'approche utilise les informations contenues dans l'en-tête ; "T * * " indique que l'approche entraine un modèle sur l'ensemble des éléments contenus dans la table incluant les influences entre colonnes ; "T out " indique que l'approche utilise, en complément de la

Approches basées sur l'ingénierie de caractéristiques

Cette famille de méthodes extrait des caractéristiques statistiques et lexicales (telles que la distribution des valeurs numériques, l'occurrence des mentions de cellules, la similarité textuelle, etc.) des lignes et des colonnes du tableau et les utilise dans des modèles d'apprentissage automatique. Les algorithmes utilisés par cette famille sont, par exemple, SVM [START_REF] Mulwad | Using linked data to interpret tables[END_REF], Random Forest [START_REF] Pham Minh | Semantic Labeling : A Domain-Independent Approach[END_REF]

Approches basées sur l'apprentissage profond

L'apprentissage profond a connu un grand succès dans plusieurs domaines grâce à la disponibilité d'énormes quantités de données et de puissantes ressources informatiques. Il a attiré de plus en plus l'attention de la communauté du STI au cours des dernières années. Nous identifions deux courants principaux dans cette famille d'approches. Premièrement, la modélisation de KG se concentre sur l'apprentissage de plongement des entités représentant les cellules des tables (et non les cellules elles-mêmes). Plus précisément, les techniques de plongements de KG (par exemple, TransE [START_REF] Bordes | Translating embeddings for modeling multi-relational data[END_REF] et TransH [START_REF] Wang | Knowledge graph embedding by translating on hyperplanes[END_REF]) sont utilisées pour plonger les entités et leurs relations dans un espace vectoriel. Les modèles de STI reposent sur l'intuition que les entités d'une même colonne doivent présenter des similitudes sémantiques. Elles doivent donc être proches les unes des autres dans l'espace de plongement au regard de la distance de similarité cosinus [START_REF] Efthymiou | Matching web tables with knowledge base entities : from entity lookups to entity embeddings[END_REF] ou de la distance euclidienne [START_REF] Chabot | DAGOBAH : an end-to-end contextfree tabular data semantic annotation system[END_REF]. DAGOBAH Embeddings [START_REF] Chabot | DAGOBAH : an end-to-end contextfree tabular data semantic annotation system[END_REF]

FIGURE 1 -

 1 FIGURE 1 -Classification des types de tables.

FIGURE 2 -

 2 FIGURE 2 -(a) Table à sujet monocellulaire a , (b)Table à sujet composé b , (c) Table à sujets multiples c , (d) Table à sujet masqué d . a. https://en.wikipedia.org/wiki/France#Major%20cities b. https://en.wikipedia.org/wiki/Bay_Area_Rapid_Transit c. https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_best-selling_albums_of_the_21st_century d. https://fr.wikipedia.org/wiki/Coupe_du_monde_de_football_1998

  [START_REF] Sekhar Bhagavatula | Tabel : Entity linking in web tables[END_REF], Zhang et al.[START_REF] Zhang | Effective and efficient semantic table interpretation using tableminer+[END_REF] et Sem-Tab 2019, 2020, 20211 . Parmi les cinq tâches présentées dans la section précédente, la littérature se concentre principalement sur le CTA, le CEA et le CPA. Nous proposons de classer les systèmes STI selon trois familles représentatives de leur méthodologie intrinsèque : les méthodes heuristiques (section 4.1), les méthodes basées sur l'ingénierie de caractéristiques (section 4.2) et les méthodes basées sur l'apprentissage profond (section 4.3). La table 1 présente plus de détails sur cette classification, notamment les algorithmes représentatifs, les tâches ciblées, les éléments de tableau utilisés, les KG cibles et l'année de publication.

  tion de ces dimensions. Par exemple, le tableau représenté dans la figure 2(b) sur les lignes de chemin de fer est un tableau concis (dimension structurelle), un tableau horizontal (orientation) et un tableau relationnel à sujet composé (relation interne). Dans la suite, nous définissons plus en détail chacune de ces trois dimensions.

	La sous-classe structure de notre classification est divi-
	sée en quatre types de tableaux. Les tableaux imbriqués
	contiennent un ou plusieurs tableaux dans une ou plusieurs
	de leurs cellules. Les tableaux divisés sont des tableaux
	pouvant être divisés en sous-tableaux. Les tableaux concis
	contiennent des cellules fusionnées afin d'éviter les répéti-
	tions de cellules faisant référence au même contenu dans
	les lignes et/ou les colonnes. Les tableaux multivalués
	contiennent plusieurs valeurs (sous la forme d'une énumé-
	ration non structurée par exemple) dans une seule cellule.
	La sous-classe relation interne prend en compte les rela-
	tions sémantiques entre les cellules. Dans notre classifica-
	tion, nous proposons les types suivants. Les tableaux re-
	lationnels sont des structures dans lesquelles chaque ligne
	(ou colonne) fournit des informations sur une entité spé-
	cifique, et les colonnes (ou lignes) correspondantes repré-
	sentent des attributs qui décrivent l'entité. Les tables d'en-
	tité, également appelées tables attribut-valeur, sont utili-
	sées pour décrire une entité unique. Une table d'entité
	énumère les attributs de l'entité (e.g. infobox Wikipédia).
	Les matrices présentent un arrangement bidimensionnel
	de données qui doivent être lues simultanément horizon-
	talement et verticalement. Une matrice associe des paires
	(row, column) aux valeurs des cellules par le biais d'une
	propriété unique. Les autres tables contiennent des infor-
	mations mais ne correspondent pas aux types susmention-
	nés (e.g. les énumérations et les calendriers).
	La littérature considère les tables relationnelles comme une
	feuille dans les taxonomies de types de tables [26]. Ce-
	pendant, les tables relationnelles présentent une diversité
	importante, notamment dans la représentation des entités.
	Nous proposons de les classer plus finement en fonction des
	caractéristiques de leurs sujets. Le sujet d'une ligne d'un
	tableau relationnel horizontal (resp. d'une colonne d'un ta-
	bleau relationnel vertical) est une entité qui est décrite par
	les ensembles de cellules dans cette ligne (resp. colonne).
	Nous introduisons quatre sous-types de tableaux relation-
	nels (figure

  table, des métadonnées et le contexte associés à la table.

	Zhou et al [60]	√	√	√	DBpedia	Wikipedia Tables	2021
	le type de colonnes, etc.). Venetis et al. [52] et TabEL [5]
	sont deux approches notables de cette sous-classe. Deuxiè-
	mement, les approches itératives sont construites à partir
	d'un système à base de lookup, avec une étape supplémen-
	taire de désambiguïsation pour reclasser les entités candi-
	dates. Les techniques de désambiguïsation itératives jouent
	un rôle important dans l'amélioration des performances et
	de nombreuses approches performantes de l'état de l'art
	appartiennent à cette sous-classe, notamment T2K [42],
	MTab [35], LinkingPark [12], JenTab [1] et DAGOBAH
	SL [20, 21, 22].

  et le module Radar Station[START_REF] Liu | Radar Station : Using KG Embeddings for Semantic Table Interpretation and Entity Disambiguation[END_REF] sont deux approches utilisant la modélisation de KG. Deuxièmement, la modélisation des tableaux considère directement le contenu textuel du tableau ainsi que les interactions intra-table et inter-table. De leur côté, les méthodes d'apprentissage nécessitent de grands ensembles de données d'entraînement qui ne sont pas toujours simples à collecter ou à générer. Certaines approches d'apprentissage limitent toutefois le nombre de candidats cibles pour pallier au manque de données d'apprentissage. Le score AH est pris en compte pour SemTab 2019 tandis que le score AF1 est utilisé pour SemTab 2020 et 2021 tamment parce qu'elle peut propager l'erreur d'une annotation à l'ensemble de la colonne, voire à l'ensemble du tableau. Supposons par exemple un tableau avec une colonne contenant les noms de famille d'écrivains et une autre colonne contenant les titres de livres (pour les besoins de l'exemple, nous supposons que la majorité de ces livres ont été adaptés au cinéma). Si le KG cible couvre largement les films mais seulement quelques oeuvres littéraires (ou est moins précis pour cette deuxième catégorie), le processus d'annotation pourrait typer la deuxième colonne comme "film", ce qui pourrait conduire à mal désambiguïser les mentions dans la première colonne (si certains acteurs apparentés ont des noms de famille similaires par exemple). En conséquence, ce tableau sera interprété comme un élément "acteurs-films" au lieu de la cible correcte "écrivainslivres". Certains mécanismes existants, tels que l'attribution d'un score de confiance à chaque candidat, peuvent aider à filtrer davantage les annotations incorrectes mais restent insuffisant. Enfin, nous soulignons que les approches futures devraient également envisager de s'attaquer à des domaines dans lesquels il n'existe que des KG naissants, l'objectif étant d'utiliser la STI pour augmenter ces KG dans une boucle vertueuse. Troisièmement, nous observons que de nombreuses approches n'exploitent que partiellement les éléments du tableau (table 1), bien que les approches les plus récentes tendent à inverser cette tendance. Nous pensons que l'exploitation du plus grand nombre d'éléments possible devrait améliorer la précision en ajoutant davantage d'informations contextuelles. Ainsi, les modèles de langage pourraient être utilisés. En effet, on peut considérer un tableau comme un moyen de structurer le langage : dans le cas le plus simple, une ligne du tableau peut être considérée comme une phrase décrivant un sujet avec quelques attributs. Il en va de même pour le sous-graphe correspondant dans le KG cible. La représentation des phrases pourrait donc être utilisée pour calculer les similitudes. Néanmoins, la spécificité des données tabulaires et des KG doit être prise en compte, ce qui implique d'adapter les mécanismes d'attention à cette structure. Nous remarquons également que la plupart des approches traitent les tableaux de manière indépendante. Cependant, certaines tables sont liées les unes aux autres puisqu'elles peuvent être générées avec le même template, faire partie d'un corpus cohérent de tables ou être liées par des identifiants communs (e.g. bases de données SQL). Nous pensons que les systèmes de STI pourraient tirer un avantage significatif de la combinaison d'éléments de tableaux avec des connexions entre tableaux, qui peuvent être considérées comme une autre couche de contexte ajoutée pour capturer des informations plus riches sur les données à traiter.

		La taille des
	La repré-	tableaux constitue un autre défi pour les méthodes d'ap-
	sentation des éléments de base du tableau comme les cel-	prentissage. Certaines méthodes s'appuient sur les carac-
	lules ou les colonnes est apprise à l'aide de réseaux de neu-	téristiques statistiques calculées à partir du tableau (par
	rones profonds [11, 19] ou de modèles de langage comme	exemple, la longueur des mentions). Ces caractéristiques ne
	BERT [16, 49, 60].	sont pas statistiquement stables si le nombre de cellules du
		tableau est faible.
	5 Evaluation	L'essor de l'apprentissage profond. A partir de 2017,
	Dans cette section, nous analysons plus en détail les per-	l'apprentissage profond a fait son entrée dans le domaine
	formances, les forces et les faiblesses de chaque famille	du STI. Par rapport aux approches d'ingénierie de caracté-
	d'approches de STI. La Table 2 résume les performances	ristiques, les réseaux de neurones profonds permettent au
	des trois meilleurs systèmes avec les scores F1, AP, ou	système de traiter les caractéristiques des tables plus ef-
	AF1 les plus élevés pour les tâches CEA, CTA et CPA	ficacement, car l'étape d'ingénierie de caractéristiques est
	sur les ensembles de données couramment utilisés par la	parfois difficile et longue à maintenir. Par exemple, Sher-
	communauté. Les scores AP et AF1 sont utilisés pour la	lock [19] est basé sur 1588 caractéristiques issues de co-
	tâche de CTA afin de prendre en compte la multiplicité	lonnes. Pour remédier à ce problème, un apprentissage de
	des annotations possibles, avec des types plus ou moins	bout en bout est préférable et de plus en plus utilisé, par
	génériques/plus ou moins porteurs d'informations. Les en-	exemple, la modélisation de KG à l'aide de plongements de
	sembles de données, la méthode de collecte des résultats	graphes [17] et la modélisation de tables avec des modèles
	et les métriques d'évaluation sont présentés plus en détail	de type BERT[54]. Cependant, nous observons que les ap-
	dans [28].	proches de modélisation de tables utilisant des modèles de
	Sur la base de notre classification des approches de STI,	langage ciblent toujours des tâches d'annotation de classes
	nous observons que les systèmes heuristiques apparaissent	(CTA) ou de relations (CPA). La tâche d'annotation d'enti-
	dans les trois premiers systèmes pour tous les ensembles KGs publiques VS KGs ad-hocs. De nombreuses ap-de données et toutes les tâches. En particulier, aucun des proches s'appuient sur des KG encyclopédiques tels que systèmes à base d'ingénierie de caractéristiques ou des sys-Wikidata et DBpedia, qui fournissent des informations tèmes basés sur l'apprentissage profond n'a atteint le po-riches permettant de produire des annotations de qualité. dium pour les tâches d'appariement d'entités (CEA et cor-respondance ligne-instance). L'une des principales raisons est que, contrairement aux tâches de CTA ou CPA, qui va-lorisent des caractéristiques sur les colonnes ou des paires de colonnes, les caractéristiques qui peuvent être utilisées pour annoter des cellules ou des lignes sont plus rares. Cela limite donc les performances de ces systèmes. Méthodes d'appariement VS méthodes d'apprentissage. Nous avons observé que les approches de STI reposent soit sur l'appariement (association d'une entité du KG et d'une cellule de la table) soit sur de l'apprentissage. L'apparie-ment est la base des approches heuristiques, tandis que l'in-génierie de caractéristiques et les méthodes basées sur l'ap-prentissage profond reposent sur l'apprentissage de la re-présentation du tableau d'entrée. Ces approches peuvent également être combinées : les annotations apprises par les réseaux de neurones sont affinées à l'aide de tech-niques d'appariement utilisées lors d'un post-traitement (DAGOBAH Embeddings [10] et ColNet [11] en sont deux exemples). D'après nos observations, l'efficacité des opé-Toutefois, une plus grande quantité d'informations en-traîne également une plus grande ambiguïté, et les bases de connaissances sont généralement incomplètes. Les évo-lutions des KGs dans le temps sont également un défi pour les approches. Nous observons que certaines approches [16, 19, 30, 49, 54, 40] traitent uniquement le KG cible comme un dictionnaire de concepts. Toutefois, savoir comment in-jecter correctement la structure du KG cible dans un modèle statistique reste une question ouverte. 6 Conclusion et directions de re-cherche Ces dernières années ont été marquées par une croissance significative du domaine de l'interprétation de données ta-bulaires, notamment sous l'impulsion d'initiatives telles que SemTab. Dans cette étude, nous avons fourni un en-semble de définitions autour des données tabulaires et des tâches d'intepretation pour structurer et unifier le domaine ainsi qu'une vue actualisée sur les approches de l'état	tés (CEA) n'a pas encore fait l'objet de travaux spécifiques de ce type, excepté TURL [16] proposant une matrice de relever pour améliorer les systèmes STI. Bien que les tra-visibilité pour décrire les connexions entre les éléments du vaux récents aient permis de réaliser des progrès significa-tableau (par exemple, les cellules dans les mêmes colonnes, tifs dans le domaine du STI, les approches existantes pré-les cellules dans les mêmes lignes, etc.). En outre, de nom-sentent plusieurs limites que nous décrivons ensuite. breux systèmes [49, 54, 60] simplifient la représentation des tableaux en ignorant l'ordre des lignes et des colonnes no-tamment. Compromis entre l'efficacité et la précision. Les sys-tèmes d'annotation sont généralement confrontés à un com-promis entre efficacité et précision. TableMiner+ [59] in-troduit un appariement partiel dans lequel le calcul du CTA repose sur seulement huit lignes du tableau afin d'améliorer Tout d'abord, la plupart des approches se concentrent sur des tables à sujet monocellulaire dans des tables relation-nelles ou d'entités et font de fortes suppositions quant à la mise en forme utilisée pour la présentation des tables. En outre, les approches actuelles tiennent peu compte des spécificités de certaines tables relationnelles telles que les sujets cachés ou les sujets composés. Pour combler cette la-cune et stimuler la recherche de nouvelles solutions, nous pensons qu'il est important d'élargir le spectre des com-les performances. Cette stratégie rend en effet les systèmes plus rapides mais dégrade la précision. Par exemple, si l'on considère l'annotation d'une colonne contenant Bi-plexités trouvé dans les corpus. À cette fin, nous recomman-dons de créer de nouveaux ensembles de données avec des structures de tableaux multiples et des contenus complexes den", "Donald Trump", "Barack Obama", "Abe Shinzo"], l'application de la correspondance partielle sur les trois pre-mières cellules de la colonne produira "Présidents améri-cains" comme type de cette colonne, alors que la réponse correcte est plus probablement "politiciens" puisque "Abe Shinzo" n'est pas un président américain mais un premier ministre japonais. Enfin, les systèmes dont le pipeline d'an-notation comprend une étape de génération de candidats dé-afin d'aborder toute la diversité des données du monde réel. Nous estimons que la complexité du contenu ne devrait pas se limiter au bruit ajouté aux mentions, que ce soit de ma-nière synthétique ou manuelle, car ce type de complexité peut être géré sans difficulté par la plupart des approches comme le démontre les résultats des derniers challenges SemTab.
	de l'art. Ces dernières sont classées en trois familles, les	pendront fortement du service de lookup d'entités utilisé.
	approches heuristiques, l'ingénierie de caractéristiques et	Cependant, les points d'accès publics imposent plusieurs li-
	l'apprentissage profond. Nous avons également mis en évi-	mites à leur utilisation et l'obtention d'un ensemble de can-
	dence les systèmes de STI les plus performants pour chaque	didats avec une couverture souhaitable de la table cible peut
	ensemble de données et avons identifié plusieurs défis à	prendre davantage de temps.

rations d'appariement dépendent fortement de la compatibilité entre la table et le KG cible. Par conséquent, ce type de technique souffre de l'incomplétude du tableau et des problématiques de knowledge shifting du KG. Les méthodes d'appariement sont moins résistantes au bruit que les méthodes d'apprentissage. a. Deuxièmement, les approches existantes supposent que le KG cible est complet et exempt d'erreurs. Par conséquent, une annotation (instance, type ou relation) peut toujours être générée même si le résultat correct ne se trouve pas dans le KG. Cette situation peut être préjudiciable, no-

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