I Ben Gharbia
email: ibtihel.bengharbia@inria.fr

J Ch

Gilbert

I Ben Gharbia

Nonconvergence of the plain Newton-min algorithm for linear complementarity problems with a P-matrix

Keywords: linear complementarity problem, Newton's method, nonconvergence, nonsmooth function, M-matrix, P-matrix Mathematics Subject Classification (2020) 49J52, 49M15, 90C33

The plain Newton-min algorithm to solve the linear complementarity problem (LCP for short) 0

x ⊥ (M x + q) 0 can be viewed as a semismooth Newton algorithm without globalization technique to solve the system of piecewise linear equations min(x, M x + q) = 0, which is equivalent to the LCP. When M is an M-matrix of order n, the algorithm is known to converge in at most n iterations. We show in this paper that this result no longer holds when M is a P-matrix of order 3, since then the algorithm may cycle. P-matrices are interesting since they are those ensuring the existence and uniqueness of the solution to the LCP for an arbitrary q. Incidentally, convergence occurs for a P-matrix of order 1 or 2.

Introduction

The linear complementarity problem (LCP) consists in finding a vector x 0 with n components such that M x + q 0 and x ⊤ (M x + q) = 0. Here M is a real matrix of order n, q is a vector in R n , the inequalities have to be understood componentwise, and the sign ⊤ denotes matrix transposition. The LCP is often written in compact form as follows LC(M, q) : 0 x ⊥ (M x + q) 0.

This problem is known to have a unique solution for any q ∈ R n if and only if M is a P-matrix [START_REF] Samelson | A partition theorem for the Euclidean n-space[END_REF][START_REF] Cottle | The linear complementarity problem[END_REF], i.e., a matrix with positive principal minors: det M II > 0 for all nonempty I ⊂ {1, . . . , n}. We denote by P the set of P-matrices. Other classes of matrices M intervening in the discussion below are the class Z of Zmatrices (which have nonpositive off-diagonal elements: M ij 0 for all i = j) and the class M := P ∩ Z of M-matrices (they are called K-matrices in [START_REF] Cottle | The linear complementarity problem[END_REF]). Since the components of x and M x + q must be nonnegative in LC(M, q), their perpendicularity with respect to the Euclidean scalar product required in the problem is equivalent to the nullity of the Hadamard product of the two vectors, that is

x • (M x + q) = 0.

(1.1)

Recall that the Hadamard product u • v of two vectors u and v is the vector having its ith component equal to u i v i . A point x such that (1.1) holds is here called a node or is said to satisfy complementarity. Since, for a node x, either x i or (M x + q) i vanishes, for all indices i, there are at most 2 n nodes for a nondegenerate matrix M , which is a matrix having nonsingular principal submatrices. On the other hand, a point x such that x and M x+q are nonnegative (resp. positive) is said to be feasible (resp. strictly feasible). A solution to LC(M, q) is therefore a feasible node. Many algorithms have been proposed to solve problem LC(M, q) [START_REF] Murty | Linear Complementarity, Linear and Nonlinear Programming[END_REF][START_REF] Cottle | The linear complementarity problem[END_REF]. They may be based on pivoting techniques [START_REF] Lemke | Bimatrix equilibrium points and mathematical programming[END_REF][START_REF] Cottle | Complementarity pivot theory of mathematical programming[END_REF], which often suffer from the combinatorial aspect of the problem (i.e., the 2 n possibilities to realize (1.1)), on interior point methods, which originate from an algorithm introduced by Karmarkar in linear optimization [22; 1984] (see also [24; 1991] for one of the first accounts on the use of interior point methods to solve linear complementarity problems), and on nonsmooth Newton approaches [START_REF] Facchinei | Finite-Dimensional Variational Inequalities and Complementarity Problems (two volumes)[END_REF], such as the one considered here. See [START_REF] Murty | Linear Complementarity, Linear and Nonlinear Programming[END_REF][START_REF] Cottle | The linear complementarity problem[END_REF] for other iterative methods.

The algorithm we consider in this paper maintains the complementarity condition (1.1) at each iteration, while feasibility is obtained at convergence (when this one occurs). As a result, all the iterates are nodes, except possibly the first one, and the algorithm terminates as soon as it has found a feasible iterate. More specifically, suppose that the current iterate x is a node. The algorithm first defines index sets A + and I + associated with the next iterate x + ; in its simplest form, it takes

A + := {i : x i (M x + q) i } and I + := {i : x i > (M x + q) i }. (1.2)
Then it computes x + by solving the linear system formed of the equations

x + A + = 0 and (M x + + q) I + = 0. (1.3)
To have a well defined algorithm, an assumption on M is necessary so that this system has a solution for any choice of complementary sets A + and I + , and vector q: M must be nondegenerate. The motivation sustaining the algorithm is that it can be viewed as a semismooth Newton method to solve the system of piecewise linear equations min(x, M x + q) = 0, (1.4) in which the minimum operator 'min' acts componentwise: [min(x, y)] i = min(x i , y i ). On the one hand, since, for a and b ∈ R, min(a, b) = 0 if and only if 0 a ⊥ b 0, the system (1.4) is indeed equivalent to problem LC(M, q) (see [26; 1976] and [29; 1977, lemma 2.1] for instance). On the other hand, it is indeed clear that the function in (1.4) is differentiable at a point x without doubly active index (i.e., without index i such that x i = (M x + q) i ) and that its Jacobian matrix is the one used in the linear system (1.3); when there are doubly active indices, the Jacobian used in (1.3), determined by the choice (1.2), is an element of the Clarke generalized Jacobian [9] of the function in (1.4), so that the algorithm may indeed be viewed as a semismooth Newton method [34; 1993]. This description makes it natural to call Newton-min the algorithm that updates x by the formulas (1.2)- (1.3).

Here are some remarks about algorithm (1.2)-(1.3). First, note that the algorithm has a principle quite different from the one used by an interior point approach, which generates strictly feasible points, while complementarity is obtained at the limit. Note also that if, in the local analysis of the method, it is important to allow the first iterate x 1 not to be a node, in this paper, x 1 will always be assumed to be a node. Finally, observe that a consequence of the fact that the algorithm only generates nodes is that it is equivalent to say that it converges or that it converges in a finite number of iterations or that it does not cycle (algorithm (1.2)-(1.3) is a Markov process).

The algorithm sketched above and that we further explore in this paper can be traced back at least to the algorithm (6.2)-(6.4) of Aganagić in [1; 1984], who considers a linear complementarity problem that reads instead 0 (Xx) ⊥ (Y x + q) 0, in which X and Y must be jointly M-regular. Here, it is not important to be precise about the meaning of this property of joint M-regularity, but to know that if X = I, as in LC(M, q), then the property is equivalent to the M-matricity of Y ≡ M . When X = I and Y ≡ M , the algorithm (6.2)-(6.4) of Aganagić [START_REF] Aganagić | Newton's method for linear complementarity problems[END_REF] is exactly the algorithm (1.2)-(1.3) above, which is proven in [1; theorem 6.2] to be monotonically (in the sense that x k

x k+1 for k 2) and globally (i.e., x 1 may be arbitrary) convergent to the unique solution of LC(M, q), provided M ∈ M (in [START_REF] Aganagić | Newton's method for linear complementarity problems[END_REF], the first iterate x 1 is supposed to be zero, but this assumption is not necessary). Under the conditions that x 1 = 0 and M ∈ M, this algorithm is actually identical to the one proposed and analyzed earlier by Chandrasekaran [8;[START_REF] Chandrasekaran | A special case of the complementary pivot problem[END_REF] [1; remark 2]. Although not presented in that manner, the algorithm proposed by Bergounioux, Ito, and Kunisch [5;[START_REF] Bergounioux | Primal-dual strategy for constrained optimal control problems[END_REF] to solve a strongly convex quadratic optimal control problem, under the name of primal-dual active set strategy (PDAS), can be viewed as an extension of algorithm (1.2)-(1.3) to an infinite dimensional problem (see [4; 2000] for a comparison with interior point methods); the authors prove the convergence of the algorithm on a discretized version of the problem under some conditions. In [19; 2003], Hintermüller, Ito, and Kunisch consider a quadratic optimization problem with simple bounds, which can actually be written as a linear complementarity problem like LC(M, q); they establish the equivalence between the PDAS strategy and the semismooth Newton method, i.e., algorithm (1.2)-(1.3); the algorithm is also shown to be locally superlinearly convergent when M ∈ P, and to be monotonically (in the sense that i x k i i x k+1 i ) and globally convergent when M is in the set that we denote here by M ε := {M : M is a matrix near an M-matrix of the same order}. (1.5) In M ε , the level of proximity to an M-matrix is left unprecise (and depends on the considered matrix M ), but in the proof of [19; theorem 3.4], this proximity is sufficiently tight to imply M ε ⊂ P. Another interesting property of algorithm (1.2)-(1.3), proved by Kanzow [21;2004], is its convergence in at most n iterations when M ∈ M and the first iterate is a node. When applied to algorithm (1.2)-(1.3), the result of Fischer and Kanzow [16; 1996] shows that a solution to LC(M, q), if any, is reached in one step, provided x 1 is sufficiently close to that solution and M is a nondegenerate matrix. To conclude this review of results, we would like to cite the quadratic local convergence of Newton's method for piecewise C 1 functions proved by Kojima and Shindo [25; 1986], which is related to the formulation (1.4) of problem LC(M, q). This paper presents examples of nonconvergence of the Newton-min algorithm when M is a P-matrix. These counter-examples hold for the plain (or undamped) Newton-min algorithm, i.e., without the use of globalization techniques such as linesearch or trust regions. One may believe that, as a Newtonlike method to solve a nonlinear (and nonsmooth) system of equations, this is not a good strategy. We share this opinion, in general. However the algorithm deals with a piecewise linear function, and it has been shown to be convergent without globalization techniques when M is a P-matrix sufficiently near an M-matrix (see the discussion in the previous paragraph). Therefore, searching for the weakest assumptions for which these convergence properties hold seems to us a valid topic. The examples in this paper show that it is not enough to require the P-matricity for M .

The paper is structured as follows. In the next section, we are more specific on the definition of the algorithm, by making it a slightly more flexible than in the description (1.2)-(1.3) above. Some elementary properties of the algorithm, useful in the sequel, are also given. Section 3 describes and analyzes the examples of nonconvergence of the plain Newton-min algorithm with a Pmatrix, when n 3. These counter-examples work for both definitions of the algorithm, those of sections 1 and 2. In them, the algorithm can be forced to cycle and visit p nodes, with a p that can be chosen arbitrarily in {3, . . . , n}. We consider successively the cases when n is odd and even, which require a different analysis. These counter-examples readily imply that the convergence radius of the plain Newton-min algorithm for solving LC(M, q) with M ∈ P, which is known to be > 0 [19; 2003], can be arbitrarily small (corollary 3.8). In section 4, the plain Newton-min algorithm is claimed to converge for a Pmatrix when n = 1 or n = 2, a crumb of consolation (the details can be found in [2]). The paper concludes with the perspective section 5.

The algorithm

The plain Newton-min algorithm described in this section generates points that satisfy the complementarity conditions in (1.1), while the nonnegativity conditions in LC(M, q) are satisfied when the solution is reached. The starting point x 1 may or may not satisfy this complementarity condition.

Algorithm 2.1 (plain Newton-min) Let x 1 ∈ R n . For k = 2, 3, . . ., do the following. 1. If x k-1 is a solution to LC(M, q), stop. 2. Choose complementary index sets A k := A k 0 ∪ A k 1 and I k := I k 0 ∪ I k 1 , where
A k 0 := {i : x k-1 i < (M x k-1 + q) i }, A k 1 ⊂ E k := {i : x k-1 i = (M x k-1 + q) i }, I k 0 := {i : x k-1 i > (M x k-1 + q) i }, I k 1 := E k \ A k 1 .
3. Determine x k as a solution to

x k A k = 0 (M x k + q) I k = 0. (2.1)
The algorithm is well defined if M is nondegenerate. This assumption will be generally reinforced by supposing that M ∈ P. We recall from [START_REF] Fiedler | On matrices with nonpositive off-diagonal elements and principal minors[END_REF][START_REF] Cottle | The linear complementarity problem[END_REF] that

M ∈ P ⇐⇒ any x verifying x • (M x) 0 vanishes. (2.2)
Note that algorithm 2.1 is more flexible than the one presented in section 1, in that the doubly active indices (those in E k ) can be chosen to belong either to A k or I k . If this choice is not entirely determined by the current point x k , the generated sequence {x k } may no longer be a Markov process. We will not be more precise here, however, since this choice has actually no impact on the counter-examples given in this paper, for which the algorithm never generates iterates with doubly active indices.

In this paper, we always assume that x 1 is a node; then there are two complementary subsets A 1 and I 1 of {1, . . . , n}, such that x 1 A 1 = 0 and (M x 1 + q) I 1 = 0. In other contexts, in particular for studying the local convergence of the algorithm [START_REF] Hintermüller | The primal-dual active set strategy as a semismooth Newton method[END_REF], it is better not to make this assumption.

By the selection of the index sets in step 2, one certainly has for k 2:

x k-1 A k (M x k-1 + q) A k and x k-1 I k (M x k-1 + q) I k . (2.3) Therefore, x k-1 A k 0 and (M x k-1 + q) I k 0 (2.4)
must hold [START_REF] Hintermüller | The primal-dual active set strategy as a semismooth Newton method[END_REF][START_REF] Kanzow | Inexact semismooth Newton methods for large-scale complementarity problems[END_REF]. Indeed, for i ∈ A k , x k-1 i (M x k-1 + q) i by (2.3) and, since either x k-1 i = 0 or (M x k-1 + q) i = 0 by complementarity, one necessarily has x k-1 i 0, which proves the first inequality in (2.4). A similar reasoning yields the second inequality in (2.4).

We denote by e i the ith vector of the canonical basis of R n : its jth component is equal to 1 if j = i and to 0 otherwise.

Nonconvergence for n 3

In this section, we show that the plain Newton-min algorithm described in section 2 may not converge if M is a P-matrix and n 3. We start in section 3.1 with the case when n is odd and provide an example of a P-matrix M , a vector q, and a starting point, for which the algorithm makes cycles having n nodes. In section 3.2, we consider the case when n is even and construct another class of P-matrices, which can be viewed as perturbations of the matrices in the first example, for which a cycle having n nodes is also possible. We conclude in section 3.3 by constructing examples for which the plain Newton-min algorithm makes cycles visiting p nodes, with p arbitrary in {3, . . . , n}.

Cycles with an odd number of nodes

In this section, we show the nonconvergence of the plain Newton-min algorithm for problems having the following features.

Example 3.1 Let n 2. The matrix M ∈ R n×n and the vector q ∈ R n are given by

M =       1 α α . . . . . . 1 α 1       and q = 1,
where 1 denotes the vector of all ones and the elements of M that are not represented are zeros. More precisely,

M ij = 1 if i = j, M ij = α if i = (j mod n) + 1
, and M ij = 0 otherwise. Since q 0, a solution to LC(M, q) for these data is x = 0.

⊓ ⊔

The matrix M and the vector q in example 3.1 have already been used by Morris [START_REF] Morris | Randomized pivot algorithms for P -matrix linear complementarity problems[END_REF] (in that paper, α = 2, M is the transpose of the one here, and q = -1), although we arrived at them in a different manner, as explained in section 4 of [2]. For completeness and precision, we start by studying the P-matricity of the matrix M in example 3.1 (the result for n odd and α = 2 was already claimed in [START_REF] Morris | Randomized pivot algorithms for P -matrix linear complementarity problems[END_REF] without a detailed proof). Proof Observe first that if α -1, the nonzero vector x = 1 is such that x • (M x) = (1 + α)1 0; hence M / ∈ P. Observe next that M ∈ P when -1 < α < 0. Indeed, let x ∈ R n be such that x • (M x) 0 or equivalently

x 1 (x 1 + αx n ) 0, x 2 (x 2 + αx 1 ) 0, . . . , x n (x n + αx n-1 ) 0. (3.1)
If x n > 0, using (3.1) from right to left shows that all the components of x are positive and verify

0 < x n |α|x n-1 |α| 2 x n-2 • • • |α| n-1 x 1 |α| n x n .
Since |α| < 1, this is incompatible with x n > 0. Having x n < 0 is not possible either (just multiply x by -1 and use the same argument). Hence x n = 0 and using (3.1) from left to right shows that x = 0. The P-matricity now follows from (2.2).

When α = 0, M is the identity matrix and is therefore a P-matrix. Suppose now that n is even. If α 1, the nonzero vector x, defined by

x i = (-1) i+1 , is such that x • (M x) = (1 -α)1
0; hence M / ∈ P. Let us now show, by contradiction, that M ∈ P if 0 < α < 1, assuming that there is a nonzero x satisfying x • (M x) 0, hence that (3.1) holds. Then, as above, all the components of x are nonzero and one can assume that x n > 0. Starting with the rightmost inequality of (3.1), one obtains by induction for i = 1, . . . , n -1:

x n-i -1 α i x n < 0 (for i odd) and

x n-i 1 α i x n > 0 (for i even).

Since n is even, x 1 -(1/α n-1 )x n < 0 and, using the first inequality of (3.1),

x n -(1/α)x 1 (1/α n )
x n , which is in contradiction with 0 < α < 1 and x n > 0.

Suppose finally that n is odd and α > 0. Again, for proving that M ∈ P, we argue by contradiction, assuming that there is a nonzero x such that x • (M x) 0, which is equivalent to (3.1). As above, one can assume that x n > 0. Starting with the rightmost inequality in (3.1), one can specify by induction the sign σ(x i ) of the x i 's:

σ(x n-1 ) = -1, σ(x n-2 ) = 1, . . . , σ(x 1 ) = (-1) n-1 = 1,
since n is odd. Finally, the first inequality in (3.1) gives σ(x n ) = -σ(x 1 ) = -1, in contradiction with x n > 0. Hence x = 0 and M ∈ P by (2.2).

⊓ ⊔

Recall that e k denotes the kth basis vector of R n .

Lemma 3.3 Suppose that n 2 and consider problem LC(M, q) in which M and q are given in example 3.1 with α > 1. When applied to that problem LC(M, q) and started from x 1 = -e 1 , algorithm 2.1 cycles by visiting in order the n nodes x k = -e k , k = 1, . . . , n.

Proof The proof proceeds by induction. By assumption, x 1 = -e 1 . Suppose now that x k-1 = -e k-1 for some k ∈ {2, . . . , n} and let us show that x k = -e k . There hold

x k-1 =               0 . . . 0 -1 0 0 . . . 0               and M x k-1 + q =               1 . . . 1 0 1 -α 1 . . . 1              
, where the component -1 (resp. 0) is at position k-1 in x k-1 (resp. in M x k-1 + q). The update rules of algorithm 2.1 and α > 1 then imply that I k = {k} and x k = -e k . We still have to show that x n+1 = -e 1 . From x n = -e n , one deduces that

x n =        0 0 . . . 0 -1        and M x n + q =        1 -α 1 . . . 1 0        .
Again, the update rules of algorithm 2.1 and α > 1 show that I n+1 = {1} and x n+1 = -e 1 . Therefore algorithm 2.1 cycles.

⊓ ⊔

By combining lemmas 3.2 and 3.3, one can see that algorithm 2.1 may cycle when M is a P-matrix of odd order n 3: this is the case when the algorithm is started at x 1 = -e 1 and when M and q are given by example 3.1, with n odd and α > 1. When n is even, the condition α > 1 used in lemma 3.3 prevents the matrix M from being a P-matrix. It is not difficult to show, however, that the algorithm can also cycle when n is even, n 4, and M ∈ P, by using the construction given in the proof of proposition 3.7: the cycle visits an odd number of nodes (hence < n).

Cycles with an even number of nodes

The next family of examples is obtained by perturbing the matrices of example 3.1 with a parameter β, in order to construct cycles having n nodes for an even oder P-matrix.

Example 3.4 Let n 3. The matrix M ∈ R n×n and the vector q ∈ R n are given by

M =          1 β α α . . . β β . . . 1 . . . α 1 β α 1          and q = 1,
where the elements of M that are not represented are zeros or, more precisely, for i, j ∈ {1, . . . , n}:

M ij =        1 if i = j α if i = (j mod n) + 1 β if i = ((j + 1) mod n) + 1 0 otherwise.
Since q 0, a solution to LC(M, q) for these data is x = 0.

⊓ ⊔

Conditions for having an n-node cycle with algorithm 2.1 on problem LC(M, q) with M and q given by example 3.4 are very simple to express. Lemma 3.5 Suppose that n 3 and consider problem LC(M, q) in which M and q are given in example 3.4 with α > 1 and β < 1. When applied to that problem LC(M, q) and started from x 1 = -e 1 , algorithm 2.1 cycles by visiting in order the n nodes defined by x k = -e k , k = 1, . . . , n.

Proof The proof is quite similar to the one of lemma 3.3 and proceeds by induction. By assumption, x 1 = -e 1 .

Suppose now that x k-1 = -e k-1 for some k ∈ {2, . . . , n -1} and let us show that x k = -e k . There hold

x k-1 =                 0 . . . 0 -1 0 0 0 . . . 0                 and M x k-1 + q =                 1 . . . 1 0 1 -α 1 -β 1 . . . 1                
, where the component -1 (resp. 0) is at position k-1 in x k-1 (resp. in M x k-1 + q). The update rules of algorithm 2.1, α > 1, and β < 1 then imply that

I k = {k} and x k = -e k .
Therefore, by induction

x n-1 =          0 0 . . . 0 -1 0          and M x n-1 + q =          1 -β 1 . . . 1 0 1 -α          .
The update rules of algorithm 2.1, α > 1, and β < 1 then imply that I n = {n}, so that

x n =        0 0 . . . 0 -1        and M x n + q =          1 -α 1 -β 1 . . . 1 0          .
Again, the update rules of algorithm 2.1, α > 1, and β < 1 show that I n+1 = {1}. Therefore, x n+1 = -e 1 and algorithm 2.1 cycles.

⊓ ⊔

We have now to examine whether the conditions on α and β given by lemma 3.5 are compatible with the P-matricity of the matrix M in example 3.4. Actually, the conditions on α and β ensuring the P-matricity of that matrix M are nonlinear and much more complex to write than the simple conditions on α given in lemma 3.2; in particular, their number depends on the dimension n. The shaded regions in figure 3.1 show the intersections with the box [-2, 2] × [-2, 2] of the sets P formed of the (α, β) pairs for which the matrix M is a P-matrix, when its order is n = 3, 4, 5, and 6. Of course, by lemma 3.2, P contains the set {(α, β) : -1 < α < 1, β = 0} when n is even and the set {(α, β) : -1 < α, β = 0} when n is odd. It is not clear at this point, however, whether, for any n 3, these regions will contain points with α > 1 and β < 1, which are the conditions highlighted by lemma 3.5. Lemma 3.6 below shows that this is actually the case since P always contains the interiors of the nonconvex polyhedron and the ellipse represented in figure 3.1, which are independent of n.

To prepare the proof of lemma 3.6, we write the circulant matrix M in example 3.4 as follows

M = I + βJ n-2 + αJ n-1 ,
where I denotes the n × n identity matrix and J is the elementary circulant n × n matrix , 2] for which the matrix M of example 3.4 is a P-matrix, when its order is n = 3, 4, 5, and 6; these regions are nonconvex but star-shaped with respect to (0, 0), which is the point corresponding to the identity matrix. According to lemma 3.6, the interiors of the represented nonconvex polyhedron and ellipse, which are independent of n, are always contained in these regions, for any n 3.

J =       0 1 0 0 . . . . . . 1 1 0       . -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 n = 3 n = 4 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -2 -1.5 -1 -0.
More precisely, J ij = 1 if j = (i mod n) + 1 and J ij = 0 otherwise. It is well known [17; formula (4.7.10)] that J is diagonalizable on C, meaning that there is a diagonal matrix D ∈ C n×n and a nonsingular matrix P ∈ C n×n such that J = P DP -1 ; in addition its eigenvalues are the nth roots of unity: D := Diag(1, w 1 , . . . , w n-1 ), where w = e 2πi/n and i is the imaginary unit.

Lemma 3.6 The set of (α, β) pairs ensuring that M ∈ P in example 3.4

contains the set {(α, β) : |α| -1 < β < |α|/4 or α 2 + 8(β -1 2 ) 2 < 2}.
Proof We only have to show that when α and β satisfy

|α| -1 < β < |α| 4 or α 2 + 8 β - 1 2 2 < 2, (3.2)
the matrix M + M ⊤ is positive definite, since then M is clearly a P-matrix [23; p. 175]. For any integer p, (J p ) ⊤ = J n-p . Therefore M + M ⊤ = 2I + αJ + βJ 2 + βJ n-2 + αJ n-1 and, using J = P DP -1 , we obtain

M + M ⊤ = P 2I + αD + βD 2 + βD n-2 + αD n-1 P -1 .
This identity shows that the eigenvalues of the symmetric matrix M + M ⊤ are the (necessarily real) numbers λ k := 2 + αe 2kπi/n + βe 4kπi/n + βe 2k(n-2)πi/n + αe 2k(n-1)πi/n , for k = 0, . . . , n -1. Using e 2kpπi/n + e 2k(n-p)πi/n = 2 cos(2kpπ/n) (for p integer) and cos 2θ = 2 cos 2 θ -1, we obtain

λ k = 2 + 2α cos(2kπ/n) + 4β cos 2 (4kπ/n) -2β.
We see that the desired positivity of the eigenvalues λ k depends on the positivity of the following polynomial on [-1, 1]:

t → ϕ(t) = 2βt 2 + αt + (1-β).
We denote by t ± := [-α ± (α 2 -8β(1 -β)) 1/2 ]/(4β) the roots of ϕ when β = 0 and consider in sequence the three possible cases, identifying in each case conditions that ensure the positivity of ϕ on [-1, 1].

• Case β = 0. Then ϕ is positive on [-1, 1] if |α| < 1.

• Case β > 0. There are two subcases.

• If ϕ has no real root, i.e., if α 2 < 8β(1 -β) or equivalently α 2 + 8(β -1 2 ) 2 < 2, then ϕ is clearly positive on R.

• If ϕ has two (possibly equal) real roots t ± , i.e., if α 2 8β(1 -β), then these verify t -t + and ϕ is positive on

[-1, 1], -either if 1 < t -, which is ensured if -α -1 < β < -α/4, -or if t + < -1, which is ensured if α -1 < β < α/4.
• Case β < 0. Then, ϕ has two real roots t ± , which verify t + < t -, and ϕ is positive on [-1, 1] if both t + < -1 and 1 < t -holds, which is ensured if |α| -1 < β < 0.

By gathering the above conditions, we obtain (3.2). ⊓ ⊔

Nonconvergence

The nonconvergence result is summarized in proposition 3.7, in which it is shown that cycles made of p nodes are possible when n 3 and p ∈ {3, . . . , n}.

It is then shown with proposition 3.8 that when n 3, although the plain Newton-min algorithm is known to converge locally, i.e., when the starting point is near the solution to LC(M, q), the radius of convergence can be made as small as desired by modifying q; this makes the convergence of the plain Newton-min algorithm unlikely. Proposition 3.7 (nonconvergence for n 3) When n 3, algorithm 2.1 may fail to converge when trying to solve LC(M, q) with a P-matrix M . A cycle made of p nodes is possible, for an arbitrary p ∈ {3, . . . , n}.

Proof Since the plain Newton-min algorithm visits only a finite number of nodes, it fails to converge if and only if it cycles.

When n 3 is odd, a cycle made of n nodes is possible on problem LC(M, q) with M and q given by example 3.1, and α > 1: lemma 3.2 shows that M ∈ P and lemma 3.3 shows that a cycle is possible.

When n 4 is even, a cycle made of n nodes is possible on problem LC(M, q) with M and q given by example 3.4, and α and β satisfying α > 1 and α-1 < β < α/4 (hence β < 1/3): lemma 3.5 shows that a cycle is possible and lemma 3.6 shows that M ∈ P.

When n 3 and p ∈ {3, . . . , n}, consider a p × p matrix M ∈ P, a vector q ∈ R p , and a starting point x1 ∈ R p , such that algorithm 2.1 applied to problem LC( M , q) and starting at x1 generates iterates xk forming a cycle made of p nodes (this is possible by what has just been proven). With obvious notation, define

M = M 0 p×(n-p) 0 (n-p)×p I n-p , q = q 0 n-p
, and x 1 = x1 0 n-p .

The P-matricity of M is clear, by observing that x • (M x) 0 implies x = 0. Denote by x k the kth iterate generated by algorithm 2.1 on LC(M, q) starting from x 1 . Observe first that when an index i > p, there holds x k i = 0, whenever i ∈ I k or i ∈ A k ; therefore the generated iterates x k ∈ R p × {0 n-p }. Hence, if the same rule as the one used by algorithm 2.1 on R p is used to decide whether an index i ∈ E k will be considered as being in I k or A k , the iterates x k will be (x k , 0 n-p ). Obviously, as the xk 's, these iterates also form a cycle made of p nodes.

⊓ ⊔

To make the above nonconvergence result more concrete, we provide two examples of P-matrices M n , of order n = 3 and n = 4 respectively, which make algorithm 2.1 fail with an n-cycle, when it starts at x 1 = (-1, 0, . . . , 0) to solve problem LC(M n , 1):

M 3 :=   1 0 2 2 1 0 0 2 1   and M 4 :=     1 0 1/2 4/3 4/3 1 0 1/2 1/2 4/3 1 0 0 1/2 4/3 1     . (3.3)
We have used the lemmas 3.2 and 3.3 for constructing M 3 and the lemmas 3.5 and 3.6 for designing M 4 .

The convergence radius of an iterative algorithm for finding a solution x to a given problem is the largest ρ > 0 such that the algorithm converges to x when the initial iterate is in the ball of center x and radius ρ. The plain Newton-min algorithm is known to be locally convergent [19; 2003]. By scaling the variables in the previous examples, however, one can make the convergence radius of the plain Newton-min algorithm as small as desired. Even though this observation is straightforward, we highlight it in the following corollary to stress the fact that without modification the plain Newton-min algorithm may have little chance to converge. Corollary 3.8 (small convergence radius for n 3) When n 3, the convergence radius of algorithm 2.1 to solve LC(M, q) with a P-matrix M may be arbitrarily small.

Proof Take an example of matrix M ∈ P and vector q 0 such that algorithm 2.1 cycles when it tries to solve LC(M, q) from some nonzero x 1 (this is possible by using one of the problems considered in the proof of proposition 3.7). The convergence radius of algorithm 2.1 for that problem is therefore less than x 1 (the solution is 0). Now, algorithm 2.1 starting at x1 = εx 1 , for some ε > 0, for solving LC(M, εq) generates the iterates xk = εx k and therefore cycles. The convergence radius for the plain Newton-min algorithm on this new problem is less than ε x 1 , which can be made arbitrarily small by letting ε ↓ 0.

⊓ ⊔ 4 Convergence for n = 1 or 2

If the plain Newton-min algorithm does not necessary converge for a P-matrix M of order n 3, it does converge when n = 1 or 2.

Proposition 4.1 (convergence for n = 1 or n = 2) Suppose that M is a P-matrix and that n = 1 or n = 2. Then the plain Newton-min algorithm converges.

The proof of this proposition can be found in the full report [2]. It was obtained by highlighting first necessary conditions for having a cycle made of 3 nodes. It is then shown that, when M is a P-matrix, the algorithm cannot do cycles made of 2 distinct nodes and that the conditions for making a cycle made of 3 distinct nodes cannot be satisfied when n = 2 (when n = 1 such a 3-cycle does not exist).

Perspectives

The work presented in this paper can be pursued along at least two directions. One possibility is to better mark out the set of matrices for which the plain Newton-min method converges. According to [19; 2003, theorem 3.4] and the counter-examples of the present paper, this set contains the set M ε of matrices sufficiently near an M-matrix but not all of the larger set P of P-matrices, see the discussion around (1.5). Such a study may result in the identification of an analytically well defined set of matrices or it may be a long process with an endless refinement. In the first case, it would be nice to see whether membership in that new matrix class can be determined in polynomial time, knowing that recognizing a P-matrix is a co-NP-complete problem [START_REF] Coxson | The P -matrix problem is co-NP-complete[END_REF][START_REF] Tseng | Co-NP-completeness of some matrix classification problems[END_REF].

Another possibility is to modify the algorithm to force its convergence for P-matrices or an even larger class of matrices. Being able to deal with Pmatrices is important for at least three reasons. First, linear complementarity problems with a P-matrix are encountered in practice [36; 2004]. Next, this is exactly the class of matrices that ensure the existence and uniqueness of the solution to the LCP [START_REF] Samelson | A partition theorem for the Euclidean n-space[END_REF][START_REF] Cottle | The linear complementarity problem[END_REF], which forces us to pay attention to these matrices. Finally, the possibility to find a polynomial algorithm to solve the LCP with a P-matrix still seems to be an open question. Some authors argue that such an algorithm might exist; see Morris [32; 2002], who refers to a contribution by Megiddo [30; 1988], himself citing an unpublished related note of Solow, Stone and Tovey [37; 1987]. The possibility that a modified version of the plain Newton-min algorithm might have the desired polynomiality property cannot be excluded. A natural remedy would be to add a globalization technique (linesearch or trust regions, see [START_REF] Conn | Trust-Region Methods[END_REF]6] for example) to the plain Newton-min algorithm in order to force its convergence; see [18,20; 1990, 2009], for contributions along that direction. This globalization is not straightforward since the Newton-min direction may not be a descent direction of the standard ℓ 2 merit function associated with (1.4) [START_REF] Ben Gharbia | [END_REF].

Lemma 3 . 2

 32 Consider the matrix M in example 3.1. If n is even, M ∈ P if and only if |α| < 1. If n is odd, M ∈ P if and only if α > -1.

Fig. 3 . 1

 31 Fig.3.1 The shaded regions are formed of the (α, β) pairs in [-2, 2] × [-2, 2] for which the matrix M of example 3.4 is a P-matrix, when its order is n = 3, 4, 5, and 6; these regions are nonconvex but star-shaped with respect to (0, 0), which is the point corresponding to the identity matrix. According to lemma 3.6, the interiors of the represented nonconvex polyhedron and ellipse, which are independent of n, are always contained in these regions, for any n 3.

Acknowledgements We would like to thank P. Knabner and S. Kräutle for having drawn our attention on the Newton-min algorithm and its efficiency on practical problems [7, 27; 2009, 2010], and M. Hintermüller, Ch. Kanzow, N. Metla [31; 2008], and A. Griewank for various exchanges of mails and conversations on the topics. Also, we wish to thank the two referees for their helpful comments. This work was partially supported by the MoMaS group (PACEN/CNRS, ANDRA, BRGM, CEA, EDF, IRSN).


Ludmila Fagot

Keywords: Droit humanitaire, Guerres maritimes, Marine nationale, Neutralité, Croix-Rouge

Les navires-hôpitaux sont utilisés pour soigner les malades et blessés. Ils jouent le rôle d'assistance médicale lors d'expéditions ou de guerres. Pour autant, aucun statut protecteur ne leur est dédié avant la fin du XIX e siècle. Le droit humanitaire, sous l'impulsion de la Croix-Rouge, s'intéresse avant tout aux combats terrestres et à la protection des civils. Ce n'est qu'avec une utilisation intensive des navires-hôpitaux face aux guerres continentales, puis supra-étatiques, qu'une réflexion émerge quant à leur statut et à leur neutralité. Une fois des règles établies, dans le but de leur garantir une relative sécurité, les navires-hôpitaux sont confrontés à leur violation. Toutefois, en réaction aux horreurs de la Seconde Guerre mondiale, des conventions tentent de corriger, pour l'avenir, les pratiques abusives.

Introduction

Depuis peu, les navires-hôpitaux ont refait surface, notamment pendant la crise sanitaire du Covid-19 1 . Associés d'ordinaire aux guerres maritimes, l'utilisation de ces bâtiments est variée, particulièrement au profit du droit humanitaire et qui dépasse le simple cadre des conflits supra-étatiques.

Leur dénomination en témoigne. Ils sont appelés tant « galère-hôpital », « flutehôpital », « transport-hôpital », « hôpital-flottant », « ponton-hôpital » que « stationnaire », dans l'idée de « suppléer, sur place, l'insuffisance hospitalière ou l'insalubrité climatique » 2 . Pour autant, leur dénominateur commun est celui de « soigner les malades ou blessés » 3 .

Pour être qualifié de la sorte, un navire doit exercer cette fonction à titre principal et sur une période déterminée. Dans le cas contraire, un bâtiment pourrait facilement se revendiquer comme navire-hôpital alors même que le soin de malades ou de blessés correspond à un élément isolé et spontané.

Toutefois, l'apparition de navires-hôpitaux, au fil des siècles, ne permet pas d'établir avec certitude si tous ces bâtiments répondent bien à ces caractéristiques. Par exemple, la première trace d'un navire-hôpital remonterait au V e siècle avant notre ère en Grèce Antique.

Le navire Therapia aurait joué un rôle médical lors de l'expédition de Sicile entre 415 et 413 avant notre ère 4 . Le long et périlleux voyage aurait rendu nécessaire l'utilisation d'un navire spécifique, avec la présence de médecins, dans l'hypothèse où l'équipage aurait dû être soigné 5 . Peu d'informations permettent de corroborer ce récit. En revanche, la place centrale de la médecine dans la mythologie grecque ne permet pas de douter qu'une certaine influence a été exercée. Le dieu Asclépios aurait soutenu Jason dans sa quête pour la Toison d'or 6 . Il constitue, 1 G. NOUGUE, « Les navires-hôpitaux dans la lutte contre la pandémie aux États-Unis », Revue Défense nationale, t. 1165, 2020, p. 1. Disponible à l'adresse : https://www.defnat.com/pdf/Nougue%20(T%201165).pdf 2 G.-J. de PLESSIX, Le navire-hôpital : essai historique, Thèse de médecine, Bordeaux II, 1977, p. 6. 3 « Navire-hôpital », VERGE-FRANCESHI M., Dictionnaire d'histoire maritime, Paris, Robert Laffont, ainsi, le premier médecin sur un navire7 . Aussi, les travaux d'Hippocrate à compter du IV e siècle avant notre ère, amènent un courant de pensée médical humanitaire en prônant que le soin des malades doit s'effectuer sans considérer l'origine des individus [START_REF] Harouel-Bureloup | Traité de droit humanitaire[END_REF] .

Jusqu'au XV e siècle, aucun navire-hôpital en tant que tel n'est recensé 9 . L'usage occasionnel complique, dès lors, une telle qualification. L'apparition des navires-hôpitaux français semble corrélée avec, d'une part, l'étatisation et, d'autre part, la création de la Marine Royale sous Richelieu 10 , c'est-à-dire la marine de guerre. De plus, l'allongement des routes maritimes entraîne une spécialisation des navires [START_REF] Chaline | La mer et la France. Quand les Bourbons voulaient dominer les océans[END_REF] . Ceux-ci sont adaptés progressivement à des activités particulières 12 . Le navire-hôpital trouve alors sa place dans la mesure où il accompagne les expéditions et les conflits interétatiques.

Précisément, le navire-hôpital se développe pour répondre à un besoin. Ces voyages éprouvants rendent indispensable une assistance médicale. Dès lors, dans le cadre des combats et des croisades, ces bâtiments apportent leur soutien. En outre, l'amélioration des armes de guerre s'effectue en parallèle de l'évolution de ces navires [START_REF] Gaurier | Histoire du droit international. De l'Antiquité à la création de l'ONU[END_REF] . Pour autant, les navires-hôpitaux sont introduits au service d'un état sans disposer d'un statut propre et protecteur. Ce n'est qu'avec un usage plus régulier et plus structuré qu'émergent de telles considérations, notamment face à l'élargissement des conflits armés. À compter du XIX e siècle, le droit humanitaire naît en réaction aux guerres continentales et réfléchit avant tout aux répercussions terrestres [START_REF] Harouel-Bureloup | Neutralité des hôpitaux militaires de Louis XV à Henry Durant[END_REF] . Dans un second temps, les guerres maritimes provoquent une forme de prise de conscience à l'égard de l'intérêt des navires-hôpitaux et du renforcement nécessaire de leur garantie 15 . À ce sujet, l'historiographie semble significative. En effet, les études traitant des navires-hôpitaux s'intéressent principalement à leur usage lors des guerres mondiales. Tel est le cas avec l'ouvrage de Gilles Barnichon, Les navires-hôpitaux français au XX e siècle, paru en 1998. En outre, les ouvrages de droit humanitaire dressent régulièrement un portrait parcellaire du rôle de ces navires ainsi que de la protection qui leur est accordée. La question de la neutralité des hôpitaux et de la protection des civils sur terre fascine davantage. Ce n'est que dans un second temps que l'utilisation progressive des navires-hôpitaux par la France provoque une extension du droit humanitaire à la mer.

En effet, si des navires-hôpitaux sont déployés à partir du XVIe siècle, notamment avec une conception humanitaire embryonnaire, aucune réglementation de leur usage et de leur protection n'est envisagée (I). Ce n'est qu'avec le retentissement des guerres supra-étatiques que la question de la neutralité des navires-hôpitaux s'immisce, permettant un élargissement du droit humanitaire (II).

I) L'absence de réglementation à l'ère d'un proto droit humanitaire (XVI-XIX e )

À compter du XVI e siècle, les navires-hôpitaux sont conçus comme une réponse à l'augmentation du nombre de blessés. Pour autant, en France, leur utilisation est marginale. Aucune réglementation n'est alors envisagée (a). L'élargissement des conflits armés provoque une première prise de conscience et amène à une réflexion autour de la protection de ces navires (b).

a. L'utilisation épisodique des navires-hôpitaux (XVI-XVIII e )

En France, les navires-hôpitaux sont déployés de manière ponctuelle 16 Si les navires-hôpitaux se font encore rares au début du XVI e siècle, leur déploiement progresse en Europe, notamment en Espagne. Précurseur en la matière, l'état dispose du navirehôpital San Pedro de Mayor au sein de la Grande Armada 30 . Lors de l'expédition contre l'Angleterre, en 1588, l'Espagne prévoit deux bâtiments hospitaliers pour une flotte de centtrente navires 31 . Toutefois, ceux-ci ne sont déployés qu'en tant que magasin médical. L'idée de soigner les blessés ou les malades au cours de conflits maritimes progresse dans les esprits. La présence de l'Ordre des frères de Saint-Jean dans les ports, dès 1545, pour assurer des services hospitaliers en témoigne 32 .

De son côté, l'Angleterre ne prévoit aucun navire-hôpital et estime que « les chirurgiens sont inutiles à bord » 33 des bateaux. Ces navires font leur apparition au début du XVII e siècle dans la tradition anglaise. En 1620, lors de l'expédition contre Alger, l'Angleterre prend conscience des intérêts que représente la détention d'un tel navire 34 . En ce sens, le Godwill, premier navire-hôpital anglais, est conçu. Toutefois, il n'aurait pas servi pour sa fonction hospitalière. Comme l'Espagne, les navires-hôpitaux offrent davantage de garanties et exercent avant tout des services annexes. Pour autant, l'Angleterre persiste en prévoyant à plusieurs reprises des bâtiments hospitaliers. La Loyal Katherine, par exemple, est utilisée pendant les guerres anglo-hollandaises de 1654 à 1674 35 . Le navire prend en charge pas moins de cinq cents blessés. Leur nombre augmente rapidement, rendant nécessaire l'acquisition de deux autres navires-hôpitaux : Le John Advice et la Catherine. Ces navires marchands sont transformés en 1672 pour répondre aux besoins des combats 36 . En dehors de ce conflit, l'Angleterre développe sa flotte hospitalière à compter de 1702 durant la guerre de succession d'Espagne. Quatorze navires rejoignent alors la marine anglaise 37 . Leur déploiement progressif permet la fixation d'une organisation, notamment à l'égard de l'équipage. À partir de 1703, « un chirurgien, quatre 29 En ce qui concerne la France, les navires-hôpitaux arrivent avec la réforme de la Marine Royale par Richelieu. Celle-ci permet progressivement un processus de spécialisation des navires [START_REF] Chaline | La mer et la France. Quand les Bourbons voulaient dominer les océans[END_REF] . Ceux-ci sont davantage adaptés à leurs activités. En ce sens, le premier bâtiment de ce type est le Clomp, en 1636, dans le cadre du voyage de Belle Isle à Toulon. Toutefois, l'émergence de navires-hôpitaux au sein de la flotte française se comprend avant tout par le choc généré par les pertes humaines considérables lors des affrontements. Particulièrement, l'enchaînement de guerres et d'expéditions entraîne des décès successifs de marins et d'officiers [START_REF] Verge-Franceschi | La marine française au XVIIIe siècle[END_REF] . L'idée de mort est omniprésente. Les maladies, comme la dysenterie, ravagent l'équipage. Ceux-ci meurent avant même le début des combats. Tel est le cas avec la guerre de Sept Ans, conflit pendant lequel le navire-hôpital l'Apollon est nécessaire pour limiter tant les dégâts militaires que les pertes humaines provoquées par la maladie. Une prise de conscience s'impose alors et permet tant aux médecins qu'aux chirurgiens d'embarquer « au sein des vaisseaux puis directement au sein des navires-hôpitaux » 42 . La prise de conscience ne s'arrête pas là puisqu'une réelle réflexion porte sur l'amélioration des conditions d'hygiène. Michel Vergé-Franceschi, historien français, rapporte les paroles de Colbert qui aurait soutenu que : « La propreté est comme l'âme de la Marine sans laquelle il est impossible qu'elle puisse subsister » 43 . Dès lors, la salubrité, la nourriture, la désinfection des navires apparaissent comme un « enjeu pour la maîtrise de grands espaces maritimes » 44 . Ces questions semblent perdurer au XVIII e siècle, avec des « crises d'effectifs » 45 similaires. L'historien de la marine André Reusner compare en ce sens le recensement des expéditions et des campagnes militaires à des « martyrologies, tellement la maladie touche les marins et soldats » 46 .

Ces évolutions dans les esprits se retrouvent juridiquement dans diverses ordonnances du XVIIe et XVIIIe siècle. D'une part, l'ordonnance de la marine de 1689, prise par Louis XIV, se charge de réglementer le contrôle par l'intendant des « bâtiments destinés pour servir d'hôpitaux à la suite de l'armée » et de vérifier qu'ils « sont commodes et bien disposés pour y recevoir les malades et s'il y a tous les meubles, médicaments et rafraichissements convenables, dont il sera donné un inventaire » [START_REF]Ordonnance de Louis XIV pour les armées navales et arsenaux de Marine[END_REF] . Également, dans le cas de figure où un navire prend en charge un nombre trop important de blessés, celui-ci peut les « transporter dans les lieux les plus proches du mouillage, pour y faire disposer des tentes ou des logements » 48 . D'autre part, l'ordonnance de 1765 dispose que : « il y aura un vaisseau ou autre bâtiment, de grandeur convenable pour servir d'hôpital à la suite des escadres de sa majesté, composées de dix vaisseaux, ou d'un moindre nombre, suivant leur destination » [START_REF]Ordonnance du Roi concernant la marine[END_REF] . À partir de cette ordonnance, l'utilisation des navires-hôpitaux est perçue comme essentielle. Que ce soit pour la gestion d'épidémies, pour des expéditions coloniales ou des guerres, ces bâtiments constituent des pièces centrales de l'histoire maritime française.

Toutefois, aucune ordonnance ne traite de la protection de ces navires. Les premières idées sur la neutralité lors de conflits armés font leur apparition, mais concerne principalement les batailles terrestres. À titre exceptionnel, une convention de 1790, entre la France et l'Angleterre, prévoit l'inviolabilité des vaisseaux qui exercent une mission hospitalière et qui transportent des prisonniers pris en mer [START_REF] De Plessix | Le navire-hôpital : essai historique[END_REF] . Cet acte pose une seule condition, celle de ne pas détenir de matériel de guerre. La question de la neutralité découle dès lors du statut du bâtiment, en fonction de s'il est regardé, ou non, comme un navire de guerre [START_REF] Gaurier | Histoire du droit international. De l'Antiquité à la création de l'ONU[END_REF] .

b. L'élaboration d'une protection induite par les guerres continentales (XIX-XX e )

Après la Révolution française, la guerre change de nature, passant du roi à la nation52 . L'évolution des armes à feu et des stratégies militaires rend nécessaire l'établissement d'un cadre légal. Toutefois, au début du XIX e siècle, l'utilisation de navires-hôpitaux par la France reste encore hétérogène et les réflexions sur la neutralité embryonnaires.

En effet, la France ne compte aucun navire-hôpital au début du siècle [START_REF]Pour la plupart, les navires-hôpitaux détenus par la France ont été coulés ou ne sont plus en état de naviguer[END_REF] . L'intervention contre l'Espagne en 1823 l'illustre bien puisque sur soixante-sept bâtiments, aucun navire hospitalier n'est prévu [START_REF] De Plessix | Le navire-hôpital : essai historique[END_REF] . Leur usage renaît avec le colonialisme, pour une fonction tant d'ambulance que d'hôpital flottant. L'Armide joue ce second rôle au moment où l'épidémie de fièvre jaune gagne La Réunion en 1832 55 . De surcroît, les navires-hôpitaux exercent pleinement leur mission lors de la Guerre de Crimée en évacuant les blessés et en tentant de soigner les malades. À bord de la Belle Poule et de la Proserpine, le choléra, le typhus et le scorbut touchent tous les passagers 56 . Pour autant, les traitements demeurent insuffisants puisque 60 % des blessés et malades décèdent [START_REF] Buirette | La Croix-Rouge : aux origines du droit international humanitaire[END_REF] . Le paradoxe tient au fait que les services annexes de ces bâtiments restent grandement favorisés, préférant parfois réduire le personnel médical pour gagner de la place. Durant l'expédition du Maroc en 1907, quatre navires-hôpitaux sont déployés, mais trois servent au transport des troupes, des animaux et du matériel militaire [START_REF] De Plessix | Le navire-hôpital : essai historique[END_REF] .

Seul le Ving-Long, déjà utilisé pour la campagne de Chine de 1900, revêt réellement une fonction hospitalière.

Les avancées techniques et les réflexions nouvelles à l'égard de la salubrité permettent toutefois d'envisager, dès la conception, l'amélioration de ces navires. Par exemple, le bois de la coque est progressivement remplacé par du fer de sorte qu'elle ne se décompose pas. De Toutefois, la guerre maritime n'est pas visée par ses propos. La guerre terrestre reste la seule directement concernée. L'hécatombe de ces conflits provoque une vague d'émotion là où les réflexions autour du secours en mer sont encore peu considérées. En ce sens, la Conférence internationale de Genève, en 1863, qui fonde la Croix-Rouge, ne mentionne pas les guerres navales 69 . De plus, la Convention de Genève de 1864 pour l'amélioration du sort des militaires blessés dans les armées en campagne ne prévoit aucune disposition à l'égard du secours en mer.

En revanche, un projet de révision pour l'extension de cette convention aux guerres maritimes propose l'ajout d'un article 11. Il dispose que « des stipulations analogues à celles qui précèdent, relatives aux guerres maritimes, pourront faire l'objet d'une stipulation postérieure entre les puissances intéressées ». Le secours aux victimes de la guerre maritime apparaît au fur et à mesure dans les débats. Le docteur Le Roy présente également diverses clauses à ce sujet. Pour autant, la prudence et la réticence amènent le comité à supprimer l'article. Il aurait préféré appliquer la convention au préalable pour adapter ultérieurement les mesures aux guerres navales 70 .

En France, la Croix Rouge est reconnue comme d'utilité publique par un décret du 23 juin 1866 et prend officiellement le nom de Société de secours aux blessés des armées de terre et de mer. L'article 1 du décret la qualifie « d'auxiliaire des armées de terre et de mer » 71 . Malgré la suppression de l'article permettant une extension des dispositions, l'idée de secours chemine et se concrétise au sein de l'organisation humanitaire française. Le Bulletin de la société l'exprime en 1865 : « On reconnaît partout aujourd'hui que les services sanitaires les mieux organisés par les intendances et par les administrations les plus actives et les plus éclairées, ne sauraient suffire, à un moment donné, aux nécessités des guerres actuelles et aux louables exigences de la philanthropie moderne. Aucune puissance ne peut maintenir en temps de paix, le personnel que réclament les blessés un jour de bataille. Aussi, la Société est-elle acceptée par tous les gouvernements comme une oeuvre de secours auxiliaire ouverte à tous les concours généreux et dévoués » 72 . Le soutien apporté par la Croix-Rouge ne peut pas se limiter aux frontières terrestres.

Or, ces questions restent débattues au sein du comité. Le président de la Conférence, le Comte Charles Sérurier, est opposé au secours des blessés en mer 73 . Il estime que cette possibilité ne devrait pas être envisagée dans la mesure où les navires pourraient se mettre en 69 V. HAROUEL, L'essor du comité international de la Croix-Rouge et la France 1863-1918, Thèse de droit, Poitiers, 1996, p. 459. 70 Ibid., p. 460. 71 Ibid., p. 461. 72 « Bulletin de la Société de secours aux blessés militaires des armées de terre et de mer », n° 1, 1865, p. 1. Disponible à l'adresse : https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k96869755 73 V. HAROUEL, L'essor du comité international de la Croix-Rouge et la France 1863-1918, op. cit., p. 464. droit humanitaire 82 . Enfin, la Convention Internationale pour l'unification de certaines règles en matière d'assistance et de sauvetage maritime de 1910 est venue s'ajouter aux précédentes. Son article 11 dispose, notamment, que le capitaine est tenu de « prêter assistance à toute personne, même ennemie, trouvée en mer et en danger de se perdre » 83 .

Les premières guerres continentales ont contribué à l'élaboration de règles internationales permettant la protection des navires-hôpitaux. Ces dispositions constituent une consécration des revendications touchant à leur neutralité et à la volonté d'établir un droit qui surpasse les conflits interétatiques. Toutefois, la violence ne cesse d'augmenter, conduisant ces principes à rester lettre morte.

II)

L'élargissement du droit humanitaire face aux guerres supra-étatiques (XXe-

XXI e )

Les règles conceptualisées à la fin du XIX e et au début du XX e siècle tendent à encadrer les pratiques de la guerre. Pour autant, en parallèle, les conflits armés gagnent en puissance et s'écartent des principes instaurés (a). Ces pratiques abusives sont vivement condamnées. Cela conduit à repenser l'encadrement de la guerre maritime et à l'intégrer véritablement dans le champ du droit humanitaire (b).

a.

Les violations au droit humanitaire (XX e )

Malgré les règles du droit humanitaire, le XX e siècle est marqué par deux guerres mondiales qui balayent ces principes. Les navires-hôpitaux sont déployés intensivement, à la frontière du droit.

Toutefois, en 1914, lorsque la guerre éclate, le service de santé militaire française est en pleine réorganisation et n'est pas prêt pour des combats de cette envergure. L'officier Grandclément relate par ailleurs que : « La guerre devait être continentale, et les ressources du territoire national devaient, seules, être prévues comme utilisables pour chaque pays. […] Aucun bâtiment de ce genre n'était armé ni même prévu pour les besoins des armées 82 Article 12, « Convention de la Haye 1907 ». Disponible à l'adresse : https://ihldatabases.icrc.org/fr/ihl-treaties/hague-conv-iii-1899/article-12?activeTab=undefined 83 P. EBERLIN, Crimes de guerre en mer 1939-1945, Fécamp, La Falaise, 2007, p. 115. le navire avait un pavillon de commerce et était armé 95 . Le Comité International de la Croix-Rouge intervient alors en affirmant que le Portugal respectait bien les prescriptions et que l'acte turc constituait, à l'inverse, une violation 96 .

En revanche, une affaire de torpillage a un retentissement plus large. Le navire-hôpital Elekta de la Croix-Rouge, rattaché à l'Autriche, est torpillé le 20 mars 1916 par la France. La Croix-Rouge autrichienne, indignée, formule une plainte auprès du Comité International. Elle argue, notamment, que son navire était bien doté des signes distinctifs et que le nom avait bien été communiqué 97 . Le ministre de la Marine française s'excuse en soutenant qu'un manque de visibilité l'avait conduit à confondre le bâtiment avec un bateau de transport de troupes 98

  . Ces excuses sont refusées et l'organisation autrichienne exige du Comité International que la reconnaissance d'une violation volontaire du droit humanitaire soit actée. Elle demande réparation pour le préjudice subi 99 . Pour autant, l'instance centrale adopte elle aussi une position de neutralité en publiant une note explicative 100 . Elle ne souhaite pas s'ériger en arbitre simplement défendre les intérêts du droit humanitaire. L'Allemagne, de son côté, augmente la tension en prenant une ordonnance le 29 janvier 1917. Celle-ci prévoit que les navires-hôpitaux qui entrent dans la zone entre la Manche et la Mer du nord seraient torpillés 101 . De fait, l'Asturias et le Glocester Castle le sont. L'Allemagne estime que les bâtiments hospitaliers des alliés sont utilisés pour le transport de matériels et de troupes et considère qu'ils sont, dans ce cas, en droit de violer les dispositions 102 . En réponse, la France fait pression en menaçant d'embarquer les prisonniers précieux pour l'Allemagne sur ses navires-hôpitaux 103 . Cela semble dissuader la Triple-Alliance qui ne torpille plus aucun navire-hôpital français. De plus, les alliés décident, d'un commun accord, de faire naviguer leurs bâtiments hospitaliers sans signes distinctifs et feux éteints pour qu'ils soient perçus de la même manière que des navires marchands. Ils retirent également leurs navires-hôpitaux des listes officielles pour ne pas être reconnus 104 . Cette violation volontaire des conventions « peut de six bâtiments hospitaliers restés intacts 125 . Pour autant, ce conflit est incomparable avec les grandes guerres, dans leurs intensités comme dans les pertes humaines et matérielles. Depuis, les navires-hôpitaux militaires sont employés pour des missions humanitaires sous la direction des puissances maritimes. Récemment, ces bâtiments se sont déployés en tant qu'hôpital flottant et train sanitaire face à la pandémie du Covid-19. Tel est le cas du USNS Comfort, ancien pétrolier construit en 1976 et converti en 1986 126 . La Royal Navy a disposé un de ses navires-hôpitaux aux Caraïbes 127 et la France a utilisé le PHA Tonnerre pour transporter des malades « de la Corse au continent » 128 . En revanche, aucun navire-hôpital français n'a été édifié depuis la Seconde Guerre mondiale. Des « navires avec de grandes capacités hospitalières » 129 sont privilégiés en cas de besoin. Cela rejoint le programme américain Common Hull Auxiliary Multi-Mission Platform qui prévoit la construction de bâtiments multiusages. Conclusion Les navires-hôpitaux nous renvoient à l'émergence d'un droit humanitaire maritime. Par leur utilisation, les acteurs internationaux ont oeuvré pour leur protection et donc aussi celles des malades et blessés auxquels ils portent secours. Pour autant, le terme de « neutralité » est questionnable. L'usage des navires-hôpitaux par les états, sous couvert d'une diplomatie humanitaire, s'inscrit dans le développement d'un soft power qui sert avant tout leurs propres intérêts. La Chine, d'un côté, tente de devenir une puissance internationale depuis 2008 et construit ce type de bâtiments 130 . Ceux-ci sont déployés tant en Asie du Sud, qu'en Proche-Orient ou encore en Afrique de l'Est. Les États-Unis, d'un autre côté, cherchent à « soigner leur image à l'étranger » 131 en se déployant aux quatre coins du monde. Leurs navires sont présents en Amérique latine et centrale, en Indonésie, au Vietnam ainsi qu'aux Caraïbes. Ces missions humanitaires sont teintées régulièrement d'ingérence. Dès lors, le jeu de représentation des états pose la question de leur propre neutralité. Sans oublier que le contexte actuel, entre la guerre en Ukraine et les tensions entre la Chine et Taïwan, pourrait donner une nouvelle impulsion aux navires-hôpitaux.

  Orient 20 . Un exemple qui témoigne de leur investissement tant dans le domaine religieux que militaire est celui des croisades, avant tout aux côtés de l'Espagne 21 . L'Ordre cherche à défendre les intérêts de l'Église tout en apportant une aide aux pèlerins chrétiens présents22 . Leur participation à des batailles terrestres est indéniable. Ce n'est qu'à /www.biusante.parisdescartes.fr/sfhm/hsm/HSMx1996x030x001/HSMx1996x030x001x0077.pd f plus, une fois installée à Malte en 1530, aucune mention de navire-hôpital n'est effectuée alors même que les interventions militaires contre les Turcs et Barbaresques entraînent une croissance de leurs forces navales 29 .

	d'un regard nouveau sur les conditions de navigation 17 . Pour autant, d'autres puissances
	maritimes européennes impulsent la construction et l'utilisation de navires-hôpitaux. De plus,
	dès le XVI e siècle, certains ordres religieux en auraient fait l'usage.
	Tel est le cas de l'Ordre de Malte 18 . La communauté des Hospitaliers de Saint-Jean fut
	fondée autour de 1070 et devient un ordre religieux à compter de 1099 sous la direction de
	Gerard Martigues 19 . À partir de 1118, l'Ordre revêt une double nature en s'attribuant des
	compétences militaires. Pour autant, l'idée de secours n'est pas reniée. Leurs voeux monastiques
	tiennent à l'obéissance, la pauvreté, la chasteté ainsi qu'à l'assistance aux pèlerins et à la
	. Leur présence dans la flotte française est le reflet d'une prise de conscience quant à l'intérêt de la médecine et 15 V. HAROUEL, L'essor du comité international de la Croix-Rouge et la France 1863-1918, Thèse de protection des états latins d'médicales, t. XXX, n° 1, 1996, p. 77. Disponible à l'adresse :
	droit, Poitiers, 1996, p. 459. https:/
	16 G.-J. DE PLESSIX, Le navire-hôpital : essai historique, op. cit., p. 39.

compter de la conquête de Rhodes au XVI e siècle que l'Ordre s'étend au fur et à mesure à la mer

23

. Notamment, la pratique corsaire et les guerres contre les Ottomans en mer Égée rend indispensable l'utilisation de navires 24 . Anne Brogini, chercheuse, souligne toutefois que les hospitaliers ont toujours disposé de bateaux, principalement pour le transport de nourriture, d'armes, de chevaux ou encore de soldats

25

. Pourtant, aucun navire-hôpital n'est recensé à partir de leur déploiement en mer, au sein de conflits armés. En revanche, un moment charnière s'inscrit dans le cadre du siège de Rhodes par les Ottomans en 1522. Ceux-ci ne tolèrent plus l'exercice d'un contrôle des mers. Pendant cinq mois et avec trois cents bâtiments, les Ottomans encerclent l'île 26 . En 1523, l'Ordre négocie avec les Ottomans pour pouvoir quitter la région de manière indemne en échange de toutes leurs possessions territoriales 27 . Dans cette fuite, l'Ordre aurait transformé une galère en navire-hôpital

[START_REF] Pierredon | L'ordre de Malte, neuf siècles au service des pauvres[END_REF]

. Néanmoins, peu de sources permettent de corroborer ce récit et laissent donc planer un doute sur la conversion réelle de cette galère. De

  A. BROGINI, Les hospitaliers et la merXIV-XVIIIe siècles, Chamalières, Illustoria, 2015, p. 41. 30 G.-J. DE PLESSIX, Le navire-hôpital : essai historique, op. cit., p. 9. sous-ordres, huit assistances et des nourrices 38 composent le personnel médical à bord » 39 . Qu'il s'agisse de l'Espagne ou de l'Angleterre, les navires-hôpitaux demeurent, au XVII e siècle, une création spontanée et pratique. Ils correspondent à un besoin ponctuel et leur maintien au sein des flottes, au XVIII e siècle, en témoigne par la multiplication des conflits armés et des expéditions coloniales.

	31 Ibid., p. 10
	32 Ibid.
	33 Ibid., p. 9.

34 Ibid., p. 13. 35 Ibid., p. 15. 36 Ibid., p. 16. 37 Ibid., p. 19.

chirurgiens

125

  Ibid., p. 325. 126 G. NOUGUE, « Les navires-hôpitaux dans la lutte contre la pandémie aux États-Unis », Revue Défense

	nationale,	t. 1165,	2020,	p. 1.	Disponible	à	l'adresse	:
	https://www.defnat.com/pdf/Nougue%20(T%201165).pdf
	127 Ibid., p. 2.

128 Ibid., p. 4. 129

Ibid.

130

Ibid.

131

Ibid., p. 2.

En Rome Antique, on retrouve des médecins sur certains navires, notamment sous le règne de Trajan

Il faut ici comprendre le terme de nourrice comme une traduction de « nurse », se rapprochant davantage du métier d'infirmière que de celui de nourrice.

P. BUIRETTE, « La Croix-Rouge : aux origines du droit international humanitaire », Le droit

Sources imprimées

« Bulletin de la Société de secours aux blessés militaires des armées de terre et de mer », n° 1, 1865, p. 1-3.