Stéphane Balac

L Chupin

Fast approximate solution of Bloch equation for simulation of RF artifacts in Magnetic Resonance Imaging

Keywords: Bloch equation, magnetic resonance imaging, Fourier series expansion, Floquet theory

HAL is

Introduction

Magnetic Resonance Imaging (MRI) is a method that generates exquisite images of the soft tissue anatomy of the human body. The principle of MRI is to record the variations of the nuclear magnetisation of the biological tissues by using different kinds of magnetic fields, see [START_REF] Slichter | Principles of Magnetic Resonance[END_REF], [START_REF] Callaghan | Principles of Nuclear Magnetic Resonance Microscopy[END_REF]. A static magnetic field B 0 is used to generate a macroscopic nuclear magnetisation M in the body to be imaged; typically B 0 has a strength around 1 Tesla. This equilibrium magnetisation is aligned with B 0 . To shift the magnetisation vector M from its equilibrium position, a radio-frequency magnetic field (RF field) B 1 is applied at a very characteristic pulsation determined by the Larmor relation

ω 0 = γ B 0 ( 1
)
where γ is a constant called the gyro-magnetic ratio (γ = 42.58 Mhz by Tesla for proton). In MRI this phenomenon is known as the resonance process. The position of the magnetisation vector at the end of the resonance process is determined by the duration of the RF field B 1 . Typically this duration is chosen so that the angle between the initial position and the resulting one is π/2 or π. When the RF field B 1 is stopped, the magnetisation tends to return to its equilibrium position in a process called the relaxation. During the relaxation process the magnetisation creates an induced electric signal in an antenna set in a plane perpendicular to B 0 . This signal is acquired for subsequent processing and gives rise to the image. Moreover, magnetic field gradients (static magnetic field aligned with B 0 with a linear varying intensity in one fixed direction) are applied during the imaging process to set up a spatial correspondence between position in the body and position in the image through a frequency encoding of the MRI signal. Any perturbation of the magnetic fields involved in MRI can disturb the imaging process. The result is a local deformation of the image (called an artifact) that may render the image inaccurate and useless for medical diagnostics. Sources of perturbation of the magnetic fields are various and can be classified in two groups: the one connected to the static magnetic field and the one connected to the RF field. Moreover one can distinguish between defects that are properties of the MRI device (e.g. non uniformity of the magnetic fields over the whole imaging area) and perturbations of the magnetic fields due to the patient himself. Since they are fixed properties of the MRI device, the first ones can be handled with efficiency, either by the use of additional hardware components [START_REF] Abele | Compensation of field distortion with ferromagnetic material and permanent magnets[END_REF] [START_REF] Alexander | Elimination of Eddy current artifacts in diffusion weighted Echo Planar Images: the use of bipolar gradients[END_REF] or by taking into account their effect in the reconstruction algorithm. It is much more difficult to deal with the second ones as they are not identical from one experiment to the other. Common causes of such magnetic field perturbations are changes of magnetic properties in the sample due to metallic implanted objects, such as dental prostheses, hip prostheses, vascular clips, internal orthopaedic devices, etc. Also, metallic surgical instruments used in interventional MRI are responsible for such magnetic field perturbations.

Artifacts produced by the magnetic susceptibility of metallic implants have been widely studied in the literature using an experimental approach, see [START_REF] Schenck | The role of magnetic susceptibility in magnetic resonance imaging[END_REF] for a review, as well as using mathematical modelling and numerical simulation, see [START_REF] Balac | Mathematical modeling and numerical simulation of magnetic susceptibility artifacts in Magnetic Resonance Imaging[END_REF] [START_REF] Balac | Analytic solution to boundary integral computation of susceptibility induced magnetic field inhomogeneities[END_REF]. Less attention has been paid to MRI artifacts caused by eddy currents in conducting metallic implants. Eddy currents may originate either from the RF field B 1 or from the field gradients. However it has been found, see [START_REF] Camacho | Non-susceptibility artifacts due to metallic objects in MR imaging[END_REF], that artifacts due to eddy currents from the magnetic field gradients are not significant. Past studies on artifacts from RF field induced by eddy currents have been mostly qualitative and experimental, see [START_REF] Malko | Eddy-current induced artifacts caused by a MR compatible halo device[END_REF] [10] [START_REF] Sled | Standing-wave a RF penetration artifacts caused by elliptic geometry: an electrodynamic analysis of MRI[END_REF]. In this paper we focus on the modelling of RF artifacts due to eddy currents in metallic conductive object. An important property of RF fields induced by eddy currents in a metallic conductive object is that it has the same frequency as the main RF field B 1 . Moreover the strength of the RF field B ′ 1 is of the same order than the main RF field B 1 and decreases in space from the boundary of the object as the power 3 of the distance.

In order to perform numerical simulation of RF artifact it is necessary to solve two distinct problems. The first one is to compute the RF field disturbances due to the metallic implant; for simple test objects (such as cylinders, spheres or ellipsoids) analytical expressions for the RF field perturbation are known, see [START_REF] Sled | Standing-wave a RF penetration artifacts caused by elliptic geometry: an electrodynamic analysis of MRI[END_REF] [START_REF] Bennett | Artifacts in magnetic resonance imaging from metals[END_REF]. In general a precise calculation of the RF field perturbation involves a boundary value problem with partial differential equation derived from Maxwell's equations and requires the use of PDE approximation schemes. Among the classical methods are the finite element method, the finite difference method and the boundary element method. For a comprehensive treatment of these methods in electromagnetism we refer to [START_REF] Sadiku | Numerical techniques in electromagnetics[END_REF] and [START_REF] Jin | The finite element method in electromagnetics[END_REF]. The second problem, once the RF perturbations are known, is to determine how the evolution of the magnetisation is disturbed during the resonance and relaxation processes and give rise to the artifacts. Time dependence of the macroscopic nuclear magnetisation M under the influence of a magnetic flux density B is modelled by the following differential equation proposed in 1946 by F. Bloch, see [START_REF] Bloch | Nuclear induction[END_REF]

[1], d M d t = γ(M ∧ B) - M x x + M y y T 2 - M z -η 0 T 1 z, (2)
where (M x , M y , M z ) denotes the components of the magnetisation M in the laboratory frame (x, y, z), T 1 and T 2 known respectively as the spin-lattice and spin-spin relaxation times measure the interaction of the nuclei with their surrounding molecular environment and those between close nuclei and η 0 is the strength of the equilibrium magnetisation. This equation is valid during the resonance process as well as during the relaxation process, provided that the correct form for the total magnetic flux density B is taken (B = B 0 + B 1 during the resonance process and B = B 0 during the relaxation process when the RF field is stopped). The basic idea for numerical simulation of MRI images is to solve repeatedly the Bloch equation for each volume element (voxel) in the sample. Actually for each voxel the Bloch equation has to be considered twice. The Bloch equation has to be solved a first time during the resonance process to get the position of the magnetisation vector at the end of the resonance. It is during this stage that we have to take into account the effects of RF field perturbations. The position of the magnetisation vector at the end of the resonance process is the initial position of the magnetisation vector for the relaxation process. Then the Bloch equation has to be solved a second time during the relaxation process. As the RF field B 1 is stopped during the relaxation, there is no RF field disturbances to be taken into account for this stage.

In the ideal case where no disturbance of the RF field B 1 occurs, the Bloch equation can be solved analytically, see [START_REF] Sebastiani | Mathematical principles of basic magnetic resonance imaging in medicine[END_REF]. In a frame in rotation around z at Larmor frequency, the Bloch equation reduces to a system of linear differential equations with constant coefficients. The position of the magnetisation at the end of the resonance process can therefore be determined in a straightforward way without expensive computation. Under RF field perturbations such an approach is not anymore possible: the Bloch equation can not be reduced to a system of linear equations with constant coefficients in an appropriate frame. It means that for each voxel the Bloch equation needs to be solved using a numerical discretisation scheme and it is then very costly to obtain a good resolution image. Typically, the Bloch equation can be solved using Runge-Kutta methods. A drawback of such numerical methods to approximate the solution of a differential equation is that to compute the solution at a given time T (for our concern, the end of the resonance process) the solution has to be computed over the whole interval [0, T ] at different discretisation times and the accuracy of the solution at time T strongly depend on the size of the discretisation step. Moreover an important consideration in using numerical methods to approximate the solution of a differential equation is the stability of the method.

In this paper we present an original method to compute solution M to the bloch equation under RF field inhomogeneities at a given time T directly, without any discretisation of the time interval [0, T ]. The method is based on a series expansion of the solution. Through this transform, the Bloch equation is changed of into an infinite system of linear differential equations with constant coefficients, the unknowns being the coefficients of the series expansion of M. The efficiency of the method stands in the fact that the infinite system can be truncated and a very accurate solution can be obtained with only a few terms in the series expansion. The cost of the method is the computation of eigenvalues and eigenvectors of a block tridiagonal matrix of small size (for magnetic field values commonly used in MRI, this matrix is of size 9 × 9).

The paper is organised as follows. The next section is devoted to a presentation of the Bloch equation in the framework of MRI and to the way it can be solved. In section 3, the mathematical features of our method are presented and convergence estimates are derived. In section 4 we present the algorithm to solve the Bloch equation and compare its efficiency to other numerical schemes.

Bloch equation under RF perturbations

Bloch equation in the rotating frame

We are concerned with the Bloch equation in the situation where a perturbation of the RF magnetic field is superimposed to the usual magnetic fields used in the MRI experiment. During the resonance process, the total magnetic field in a voxel located at a position r is given in the laboratory frame (x, y, z) by

B(r, t) = B 0 + B 1 (t) + B ′ 1 (r, t), (3)
where

B 0 = B 0 z is a constant field, B 1 (t) = B 1 cos(ω 0 t)x -B 1 sin(ω 0 t
)y is the RF magnetic field whereas the perturbation RF field is given by

B ′ 1 (r, t) = (u 1 (r) cos(ω 0 t) + v 1 (r) sin(ω 0 t)) x + (u 2 (r) cos(ω 0 t) + v 2 (r) sin(ω 0 t)) y + (u 3 (r) cos(ω 0 t) + v 3 (r) sin(ω 0 t)) z.
Typically, this latter expression can represent the RF field generated by eddy currents in a metallic conducting object lying in the MRI experiment area (metallic implant, catheter, . . . ). The eddy current is a swirling current set up in the conductor in response to the changing RF field B 1 . It creates, according to Lenz's law, a magnetic RF field opposing the change.

The magnetic RF field induced by eddy currents has a frequency identical to the one of the imposed RF field B 1 but the greater the electrical conductivity of the conductor, the stronger the intensity of the induced field. Inhomogeneities of the static magnetic field as well as magnetic field gradients can be included in the modelling by taking the following form for B 0 : B ′ 0,x (r)x+ B ′ 0,y (r)y + (B ′ 0,z (r)+ B 0 )z. For convenience they won't be considered in the following. Component-wise, the Bloch equation ( 2) reads

                 d d t M x (r, t) = γ (M y (r, t) B z (r, t) -M z (r, t) B y (r, t)) - M x (r, t) T 2 (r) d d t M y (r, t) = γ (M z (r, t) B x (r, t) -M x (r, t) B z (r, t)) - M y (r, t) T 2 (r) d d t M z (r, t) = γ (M x (r, t) B y (r, t) -M y (r, t) B x (r, t)) - M z (r, t) -η 0 (r) T 1 (r) (4)
where the components (B x , B y , B z ) of B are given by B

x (r, t) = (B 1 + u 1 (r)) cos(ω 0 t) + v 1 (r) sin(ω 0 t), B y (r, t) = (-B 1 + v 2 (r)) sin(ω 0 t) + u 2 (r) cos(ω 0 t), and B z (r, t) = B 0 + u 3 (r) cos(ω 0 t) + v 3 (r) sin(ω 0 t).
For convenience, from now on we drop the spatial dependence r and denote M(t) the magnetisation vector at time t. As well, we set τ 1 = T -1

1
and τ 2 = T -1 2 . For biological tissues, the relaxation time T 1 may vary from 100 millisecond to 1 second (e.g. 750 ms for muscle and 250 ms for fat at 1 Tesla) whereas the relaxation time T 2 may vary from 50 to 100 millisecond (e.g. 50 ms for muscle and 80 ms for fat at 1 Tesla). In the situation considered here, the RF magnetic field perturbation B ′ 1 is assumed to have a magnitude in the same range as the original RF magnetic field B 1 , namely 10 -4 to 10 -3 Tesla. As a consequence, since B 0 is around 1 Tesla, the following approximation will be done: B z (r, t) ≈ B 0 .

In matrix form, the Bloch equation reads

d d t M(t) = A(t)M(t) + b (5)
where

A(t) =   -τ 2 γB 0 -γB y (t) -γB 0 -τ 2 γB x (t) γB y (t) -γB x (t) -τ 1   and b =   0 0 τ 1 η 0   . (6)
Let us observe that the matrix A is not suited for the resolution of the differential system by numerical method. Indeed, its coefficients (1, 2) and (2, 1) are of magnitude 10 6 whereas the others are of magnitude 1. By a change of unknown, it is possible to balance the coefficients of the matrix of the differential system. Namely, if we set

M(t) = R(t) m(t) with R(t) the following matrix rotation around z R(t) =   cos(ω 0 t) sin(ω 0 t) 0 -sin(ω 0 t) cos(ω 0 t) 0 0 0 1   , (7)
then m = (m 1 , m 2 , m 3 ) T satisfies the generalised differential system

R(t) d d t m(t) = A(t)R(t) - d d t R(t) m(t) + b. (8)
Since R -1 b = b, this differential system reads

d d t m(t) = Ã(t) m(t) + b (9)
where

Ã(t) = P -1 AP - d d t P =   -τ 2 0 -ω a (t) 0 -τ 2 ω b (t) ω a (t) -ω b (t) -τ 1   (10)
with

ω a (t) = γB y (t) cos(ω 0 t) + γB x (t) sin(ω 0 t), ω b (t) = γB x (t) cos(ω 0 t) -γB y (t) sin(ω 0 t).
As w a and w b are regular functions of time, it's follows from Cauchy-Lipschitz theorem (see [START_REF] Hsieh | Basic theory of ordinary differential equations[END_REF]) that the first order linear differential system (9) has a unique solution under the initial condition m(0) = M 0 .

Solving Bloch equation without RF perturbation

Let us observe that without RF perturbation (u

1 = v 1 = u 2 = v 2 = 0), the matrix Ã(t) reduces to the following constant matrix à =   -τ 2 0 0 0 -τ 2 ω 1 0 -ω 1 -τ 1   (11)
where ω 1 = γB 1 and the differential system ( 9) can be solved analytically using standard results from differential equations theory [16][17]. The matrix à has three distinct eigenvalues :

λ 0 = -τ 2 and λ ± = - 1 2 (τ 1 + τ 2 ) ± 1 2 i 4ω 2 1 -(τ 1 -τ 2 ) 2 . ( 12
)
As the quantity 4ω 2 1 -(τ 1 -τ 2 ) 2 is positive (this property is connected to the values of the physical quantities involved) the eigenvalues λ + and λ -are complex conjugated numbers. The eigenvectors associated to the three eigenvalues λ 0 , λ + and λ -are respectively

v 0 =   1 0 0   , v + =   0 τ 1 + λ + -ω 1   and v -=   0 τ 1 + λ - -ω 1   . ( 13
)
The solution to the homogeneous differential system associated to ( 9) is then

m h (t) = C 0 exp(λ 0 t) v 0 + C + exp(λ + t) v + + C -exp(λ -t) v -with (C 0 , C + , C -) ∈ C 3 whereas a particular solution is found to be m p (t) =      0 - ω 1 τ 1 τ 1 τ 2 + ω 2 1 η 0 - τ 1 τ 2 τ 1 τ 2 + ω 2 1 η 0      . ( 14
)
The solution to the differential system ( 9) is then m(t) = m h (t) + m p (t) where the three constants C 0 , C + and C -are determined by the initial value M 0 of the magnetisation vector M. A look at the values of the different physical quantities involved shows that τ 1 and τ 2 can be neglected compared to ω 1 in [START_REF] Sadiku | Numerical techniques in electromagnetics[END_REF] and the solution m to the differential system (9) under the initial condition M 0 = η 0 z is therefore:

m(t) =   0 η 0 sin ω 1 t η 0 cos ω 1 t   . (15)
Relation [START_REF] Sebastiani | Mathematical principles of basic magnetic resonance imaging in medicine[END_REF] has the following interpretation: in the rotating frame (e 1 , e 2 , e 3 ) image of the laboratory frame (x, y, z) by the rotation R(t), the magnetisation vector starts to flip out of the z axis from its equilibrium position M 0 = η 0 z under the influence of the RF field B 1 .

The flip angle between the magnetisation vector and the z axis is a function of time given by θ(t) = ω 1 t. The magnetisation vector rotates around the e 1 axis with the angular frequency ω 1 .

If the RF field B 1 is applied for a duration T RF , then the magnetisation vector M is tilt over an angle

Θ = θ(T RF ) = ω 1 T RF . (16)
The two flip angles commonly used in MRI are Θ = π/2 and Θ = π. According to [START_REF] Hsieh | Basic theory of ordinary differential equations[END_REF], they are obtained by applying the RF flux density B 1 for a duration T RF = π 2ω1 and T RF = π ω1 respectively. In the laboratory frame the components of the magnetisation vector M(t) = R(t) m(t) are given by :

M(t) =   η 0 sin(ω 1 t) sin(ω 0 t) η 0 sin(ω 1 t) cos(ω 0 t) η 0 cos(ω 1 t)   . ( 17
)
Let us mention that during the relaxation process, the RF field B 1 is stopped (and so RF field perturbations cancel). The magnetisation vector M still evolves according to the Bloch equation ( 5) but now the matrix A(t) is reduced to the constant matrix

A =   -τ 2 γB 0 0 -γB 0 -τ 2 0 0 0 -τ 1   . (18)
Thus, the evolution of the magnetisation vector during the relaxation process is always explicitly known and given in the laboratory frame by

M(t) =   e -τ2 t (C 1 cos(ω 0 t) + C 2 sin(ω 0 t)) e -τ2 t (C 2 cos(ω 0 t) -C 1 sin(ω 0 t)) η 0 -C 3 e -τ1 t   (19)
where the three constants C 1 , C 2 and C 3 are determined by the value of the magnetisation vector at the beginning of the relaxation.

Overview of the method for solving Bloch equation

Under RF perturbation, the matrix à is not constant and the differential system (9) can not be solved analytically. However, the matrix à is continuous and has periodic coefficients of period T 0 = 2π/ω 0 . According to Floquet theory (see [START_REF] Walter | Ordinary differential equations[END_REF]), the fundamental solution X(t) for the differential system (9) has the following expression:

X(t) = Q(t) e tF ( 20
)
where Q is a matrix with continuous and periodic coefficients of period T 0 and F is a constant matrix. Floquet theory gives no practical information about a way to compute the matrices Q and F and actually there exists no general method to compute them. There are two ways of exploiting the Floquet structure of X(t), see [START_REF] Levante | Formalized quantum mechanical Floquet theory and its application to sample spinning in nuclear magnetic resonance[END_REF][19] [START_REF] Casas | Floquet theory: Exponential perturbative treatment[END_REF]. The first one consists in performing a Fourier expansion of the fundamental solution, leading to an infinite system of linear differential equations with constant coefficients. When the constant coefficients have adequate properties, resolution of a truncated system furnishes an approximate solution. The second approach is of perturbative nature and deals with the Floquet form by expanding the two matrices Q and F as

Q(t) = +∞ n=1 Q n (t) and F = +∞ n=1
F n where every term F n is chosen in order to ensure the matrix Q n (t) is periodic and in turn Q n (t) is fixed so as to guarantee the Floquet structure at any order of truncation.

Our approach does not directly use the Floquet form of the fundamental solution but exploits some of the ideas of the two approaches presented above in the following way. First, let us observe that the matrix Ã(t) admits the following Fourier decomposition:

Ã(t) = 1 k=-1 A 2k e 2ikω0t = A -2 e -2iω0t + A 0 + A 2 e 2iω0t where A 0 =      -τ 2 0 -w (0) a 0 -τ 2 w (0) b w (0) a -w (0) b -τ 1      and A 2 =      0 0 -ω (2) a 0 0 ω (2) b ω (2) a -ω (2) b 0      (21)
with ω

(0) a = 1 2 γ (u 2 + v 1 ) , ω (2)
a = -1 4 γ (v 1 -u 2 + i(u 1 + v 2 )) , ω (0) b = 1 2 γ (2 B 1 + u 1 -v 2 ) , ω (2)
b = 1 4 γ (u 1 + v 2 + i(u 2 -v 1 )
) , and A -2 = A 2 is the conjugate matrix of A 2 . As the solution m(t) of ( 9) is not periodic it is not possible to compute it through its Fourier series expansion. Thus, we look for a formal solution of the following type:

m(t) = k∈Z m k (t)e 2ikω0t (22)
which looks like a Fourier series expansion but with non constant coefficients m k (t). This decomposition is not unique since no condition is imposed on the functions m k . If we use the expansion [START_REF] Balac | On the computation of eigenvectors of a symmetric tridiagonal matrix: comparison of accuracy improvements of Givens and inverse iteration methods[END_REF] in the differential system (9) we obtain k∈Z r k (t)e 2ikω0t = 0 where

r k (t) = d d t m k (t) - 1 j=-1 A 2j m k-j (t) + 2ikω 0 m k (t) -δ k b
with the sequence (δ k ) k given by δ 0 = 1 and δ k = 0 for k ∈ Z * . Contrary to a standard Fourier expansion, it can not be deduced that r k (t) = 0 for all k ∈ Z. Nevertheless, if we can solve all equations r k (t) = 0 under appropriate initial conditions so that the series k∈Z m k (t)e 2ikω0t converges then the series expansion m(t) as given by ( 22) will be solution of the differential system [START_REF] Malko | Eddy-current induced artifacts caused by a MR compatible halo device[END_REF]. If k∈Z m k (0) = M 0 then m(t) will be the solution to the differential system [START_REF] Malko | Eddy-current induced artifacts caused by a MR compatible halo device[END_REF] under the initial condition m(0) = M 0 . The next section is devoted to the study of the following infinite sequence of differential equations:

∀k ∈ Z        d d t m k (t) = 1 j=-1 A 2j m k-j (t) -2ikω 0 m k (t) + δ k b m k (0) = δ k M 0 . ( 23
)
We will show that (23) admits a unique solution and that for a given time t the sequence (m k (t)) k∈Z converges very quickly towards zero when k tends to ±∞. This analysis of the behaviour of the solution to the sequence of differential equations [START_REF] Stewart | Matrix perturbation theory[END_REF] will justify the fact that an approximation of the solution to the Bloch equation can be computed by solving a truncated finite differential system deduced from (23) by taking k ∈ {-N, . . . , N }.

3. Analysis of the behaviour of the sequence (m k ) k∈Z

Mathematical framework

In order to carry on the mathematical analysis of the sequence of differential equations ( 23), we first have to introduce a suitable mathematical framework. A given sequence (u k ) k∈Z of vectors in C 3 can be seen as an infinite vector, denoted by U in the sequel, with the kth component given by U k = u k ∈ C 3 . We denote by ℓ 2 (Z) the space of square summable series

ℓ 2 (Z) = U ∈ (C 3 ) Z ; k∈Z |u k | 2 < +∞
and by ℓ 1 (Z) the corresponding space of absolute convergent series where |u k | denotes the euclidean norm of u k in C 3 . For any positive real number p we defined the following space of weighted square summable series:

ℓ 2 p (Z) = U ∈ ℓ 2 (Z) ; k∈Z (k 2p + 1)|u k | 2 < +∞ .
This space is equipped with the scalar product < , > ℓ 2 p (Z) and its associated norm

ℓ 2 p (Z)
defined as follows: for

U, V ∈ ℓ 2 p (Z) < U, V > ℓ 2 p (Z) = k∈Z (k 2p + 1) (u k • v k ) and U 2 ℓ 2 p (Z) =< U, U > ℓ 2 p (Z) .
We also introduce the space of fast decreasing series defined by

ℓ 2 ∞ (Z) = p∈N ℓ 2 p (Z).
Lemma 1. The spaces ℓ 2 p (Z) have the following properties. 1. ℓ 2 0 (Z) = ℓ 2 (Z) and U ℓ 2 0 (Z) = √ 2 U ℓ 2 (Z) for all U ∈ ℓ 2 0 (Z).

The inclusion ℓ 2

p (Z) ⊂ ℓ 2 q (Z) holds for all (p, q) ∈ (R + ) 2 with p ≥ q and we have U ℓ 2 q (Z) ≤ U ℓ 2 p (Z) for all U ∈ ℓ 2 p (Z).

The inclusion ℓ 2

p (Z) ⊂ ℓ 1 (Z) holds for all p > 1 and we have

U ℓ 1 (Z) ≤ 1 + 2ζ(2p) U ℓ 2 p (Z)
for all U ∈ ℓ 2 p (Z) where ζ is the Riemann function. 4. If S denote the shift operator on ℓ 2 (Z) defined by (SU) k = u k-1 for all k ∈ Z then for all p ∈ N we have

SU ℓ 2 p (Z) ≤ 2 p U ℓ 2 p (Z) and S -1 U ℓ 2 p (Z) ≤ 2 p U ℓ 2 p (Z) . (24)
Proof The first two properties are obvious consequences of the definition of the spaces ℓ 2 p (Z). The inclusion of ℓ 2 p (Z) into ℓ 1 (Z) can be shown easily using the Cauchy-Schwarz inequality. The proof of the last inequalities reads:

SU 2 ℓ 2 p (Z) = k∈Z (k 2p + 1)|u k-1 | 2 = k∈Z ((k + 1) 2p + 1)|u k | 2 = k∈Z 2p n=0 C n 2p k n + 1 |u k | 2 ≤ 2p n=0 C n 2p k∈Z (k n + 1)|u k | 2 ≤ 2p n=0 C n 2p U 2 ℓ 2 n/2 (Z) ≤ 2 2p U 2 ℓ 2 p (Z) ,
with a similar argument for the second inequality. 2

Eventually we define the space L ∞ loc (R + ; ℓ 2 p (Z)) of sequences of functions U : t ∈ R + → (u k (t)) k∈Z ∈ ℓ 2 (Z) such that for all t ∈ R + we have (u k (t)) k∈Z ∈ ℓ 2 p (Z) and the space C(R + ; ℓ 2 ∞ (Z)) of sequences of functions such that for all p ∈ N the function t ∈ R + → U(t) ℓ 2 p (Z) is continuous.

Existence and uniqueness results for the sequence (m k ) k∈Z

The sequence of differential equations ( 23) can be written as an infinite differential system [START_REF] Hart | The Cauchy-Lipschitz method for infinite systems of differential equations[END_REF] for M = (m k (t)) k∈Z as follows

   d d t M(t) = AM(t) + B, M(0) = M 0 (25)
where the operator A is defined by (AM

) k = A 2 m k-1 + A 0 m k + A -2 m k+1 -2ikω 0 m k for all k ∈ Z, and where (B) k = δ k b and (M 0 ) k = δ k M 0 .
We carry out the following change of unknown to remove the dependence on k in the expression of A:

for each k ∈ Z we set u k : t ∈ R + + → e 2ikω0t m k (t). Since |u k (t)| = |m k (t)|
the asymptotic behaviour of the sequences U = (u k (t)) k∈Z and M = (m k (t)) k∈Z when k tends to infinity are similar. In terms of the new unknown U = (u k ) k∈Z the sequence of differential equations [START_REF] Stewart | Matrix perturbation theory[END_REF] reads

∀k ∈ Z    d d t u k = A 2 u k-1 e 2iω0t + A 0 u k + A -2 u k+1 e -2iω0t + δ k b u k (0) = δ k M 0 (26)
or equivalently

   d d t U(t) = A s (t) U(t) + B U(0) = M 0 (27)
where now the linear operator A s is time dependant and defined using the shift operator S and the identity I d in ℓ 2 (Z) as follows:

A s (t) = A 2 e 2iω0t S + A 0 I d + A -2 e -2iω0t S -1 . (28)
Using the estimate in lemma 1 for the shift operator S with p = 0 we obtain that for all Y ∈ ℓ 2 (Z)

A s (t)Y ℓ 2 (Z) ≤ ( A 2 + A 0 + A -2 ) Y ℓ 2 (Z) (29)
where denotes the matricial norm subordinated to the euclidian vector norm. This relation shows that the linear operator A s (t) is continuous from ℓ 2 (Z) into ℓ 2 (Z). Proposition 3.1. There exists a unique solution U ∈ C 1 (R + ; ℓ 2 ∞ (Z)) to the differential system [START_REF] Nyenhuis | Simulation of nuclear magnetic resonance spin echoes using the Bloch equation: Influence of magnetic field inhomogeneities[END_REF]. Moreover, for all p ∈ N and for all t ∈ R + , the solution to [START_REF] Nyenhuis | Simulation of nuclear magnetic resonance spin echoes using the Bloch equation: Influence of magnetic field inhomogeneities[END_REF] satisfies

U(t) ℓ 2 p (Z) ≤ e Cpt |M 0 | + (e Cpt -1) |b| C p ( 30
)
where

C p = 2 p+1 A 2 + A 0 is a constant.
Proof To prove existence and uniqueness of the solution, we use Cauchy-Lipschitz theorem (see [16][17]). We have to prove that the operator (t, Y) ∈ R + × ℓ 2 (Z) → A s (t)Y + B is continuous with respect to t and Lipschitz with respect to Y. The latter condition is fulfilled from relation [START_REF] Zill | A first course in differential equations[END_REF]. Continuity with respect to t is obvious from the definition of A s , see relation [START_REF] Rourke | Solutions and linearization of the nonlinear dynamics of radiation damping[END_REF]. As the initial data sequence satisfies u k (0) = δ k M 0 , we have U(0) ∈ ℓ 2 (Z) and therefore Cauchy-Lipschitz theorem indicates that the solution U to the problem ( 27) is unique and belongs to C 1 (R + ; ℓ 2 (Z)).

Let us now prove the estimate [START_REF] Zienkiewicz | The finite element method[END_REF]. On the one hand, using relation [START_REF] Rourke | Solutions and linearization of the nonlinear dynamics of radiation damping[END_REF] for the operator A s (t) and the estimate in lemma 1 for the shift operator we obtain: 31) On the other hand, for p ∈ N and t ∈ R + we deduce from [START_REF] Nyenhuis | Simulation of nuclear magnetic resonance spin echoes using the Bloch equation: Influence of magnetic field inhomogeneities[END_REF] that

∀p ∈ N ∀Y ∈ ℓ 2 p (Z) A s (t)Y ℓ 2 p (Z) ≤ (2 p A 2 + A 0 + 2 p A -2 ) Y ℓ 2 p (Z) = (2 p+1 A 2 + A 0 ) Y ℓ 2 p (Z) . (
U(t) ∈ ℓ 2 p (Z) satisfies 1 2 d d t U(t) 2 ℓ 2 p (Z) =< d d t U(t), U(t) > ℓ 2 p (Z) =< A s (t)U(t), U(t) > ℓ 2 p (Z) + < B, U(t) > ℓ 2 p (Z)
. Then, from the Cauchy-Schwarz inequality we have [16][17]) gives the estimate

U(t) ℓ 2 p (Z) d d t U(t) ℓ 2 p (Z) ≤ A s (t) U(t) ℓ 2 p (Z) U(t) ℓ 2 p (Z) + B ℓ 2 p (Z) U(t) ℓ 2 p (Z) . Now, from (31) we obtain d d t U(t) ℓ 2 p (Z) ≤ C p U(t) ℓ 2 p (Z) + B ℓ 2 p (Z) . Since U(0) ℓ 2 p (Z) = |M 0 | and B ℓ 2 p (Z) = |b|, Gronwall lemma (see
U(t) ℓ 2 p (Z) ≤ e Cpt |M 0 | + (e Cpt -1) |b| C p .
The proof is completed since we can now assert that the solution U to the problem (27

) belongs to C 1 (R + ; ℓ 2 ∞ (Z)). 2
Corollary 1. There exists a unique solution (m k ) k∈Z to the system of differential equations [START_REF] Stewart | Matrix perturbation theory[END_REF]; it satisfies As the sequence (u k (t)) k∈Z tends very quickly towards zero as k tends to ±∞, an approximation of the values of u k can be obtained by computing the solution

∀t ∈ R + + ∀p ∈ N (m k (t)) k∈Z ∈ ℓ 2 p (Z), i.
U [N ] = (u [N ]
k ) k∈Z of the following finite system of differential equations deduced from ( 26) by truncation:

   d d t u [N ] k (t) = A 2 e 2iω0t u [N ] k-1 (t) + A 0 u [N ] k (t) + A -2 e -2iω0t u [N ] k+1 (t) + δ k b, ∀|k| ≤ N u [N ] k = 0, ∀|k| > N (32)
under the initial condition U [N ] (0) = M 0 . According to Cauchy-Lipschitz theorem, the finite system of differential equations (32) has a unique solution U

[N ] ∈ C 1 (R + , ℓ 2 ∞ (Z)) since u N k = 0 for |k| > N .
The next proposition shows that U [N ] is a "good approximation" of the solution U of ( 26) for values of N which are large enough.

Proposition 3.2. The sequence of functions (E [N ] ) N ∈N where E [N ] :

t ∈ R + → U(t) -U [N ] (t) belongs to L ∞ loc (R + ; ℓ 2 ∞ (N, ℓ 2 ∞ (Z))
). This means that for any t ∈ R + , the sequence of complex vectors (E [N ] (t)) N ∈N tends towards zero faster than any power of 1/N . In other words, for all t ∈ R + the sequence U [N ] (t) converge very quickly to U(t) as N tends to infinity.

Proof From equations ( 32) and ( 26) we deduce that E [N ] = (e

[N] k ) k∈Z ∈ C 1 (R + , ℓ 2
∞ (Z)) satisfies the following infinite system of differential equations

             d d t e [N ] k (t) = A 2 e 2iω0t e [N ] k-1 + A 0 e [N ] k + A -2 e -2iω0t e [N ] k+1 , ∀|k| = N + 1 d d t e [N ] N +1 (t) = A 2 e 2iω0t u N + A 0 e [N ] N +1 + A -2 e -2iω0t e [N ] N +2 d d t e [N ] -N -1 (t) = A 2 e 2iω0t e [N ] -N -2 + A 0 e [N ] -N -1 + A -2 e -2iω0t u -N (33)
under the initial condition E [N ] (0) = 0.

To get an estimate of E [N ] (t) for t ∈ R + we proceed on a similar manner as the one used in the proof of proposition 3.1. Considering the scalar-product by e

[N ] k of each side of the kth equation in (33) and summing over k ∈ Z we get 1 2

d d t E [N ] 2 ℓ 2 p (Z) (t) ≤ C p E [N ] (t) 2 ℓ 2 p (Z) + |A 2 e 2iω0t (u N • e [N ] N +1 )| + |A -2 e -2iω0t (u -N • e [N ]
-N -1 )|.

We use the fact that u N = u -N to deduce that

d d t E [N ] 2 ℓ 2 p (Z) (t) ≤ 2(C p + A 2 ) E [N ] 2 ℓ 2 p (Z) (t) + 2 A 2 |u N (t)| 2 .
Multiplying each side of this estimate by N 2q + 1, q ∈ N and summing over all N ∈ Z we have

d d t F (t) ≤ 2(C p + A 2 ) F (t) + 2 A 2 U(t) 2 ℓ 2 q (Z) ,
where

F (t) = N ∈N (N 2q + 1) E [N ] (t) 2 ℓ 2 p (Z)
is the square of the ℓ 2 q (Z)-norm of the sequence

E [N ] (t) ℓ 2 p (Z)
. Finally, Gronwall lemma and the estimate for U given in proposition 3.1 show that for all t ∈ R +

F (t) ≤ 2 A 2 T 0 e 2(Cp+ A2 )(T -s) U 2 ℓ 2 q (Z) (s) ds ≤ 2 A 2 T 0 e 2(Cp+ A2 )(T -s) e Cps |M 0 | + (e Cps -1) |b| C p 2 ds.
The proof is completed since for all time t ∈ R + we have shown that the sequence (E

[N ] k (t)) k∈Z N ∈N
is bounded in ℓ 2 q (N, ℓ 2 p (Z)) for all p and q. 2

To conclude this section it can be notice that, as a consequence of proposition 3.2, the sequence

M [N ] = (m [N ] k ) k∈Z defined by ∀k ∈ Z ∀N ∈ N ∀t ∈ R + m [N ] k (t) = e -2ikω0t u [N ] k (t) (34)
will be a good approximation of the solution M to the system [START_REF] Benoit-Cattin | The SIMRI project : a versatile and interactive mri simulator[END_REF] for values of N which are large enough.

4. Numerical approximation of the sequence (m k ) k∈Z

The algorithm

The differential system (25) can be seen as the following infinite matricial differential system:

d d t M(t) = AM(t) + B (35)
where M(t) = (m k (t)) k∈Z and B = (b k ) k∈Z are infinite vectors and A is the constant infinite matrix defined by

A =         . . . . . . . . . A 2 A 0 (1) A -2 A 2 A 0 A -2 A 2 A 0 (-1) A -2 . . . . . . . . .        
where for all k ∈ Z we have set A 0 (k) = A 0 + 2ikω 0 Id. As the sequence (m k ) k tends very quickly towards 0 (see corollary 1) an approximation of the solution of the infinite differential system (35) can be obtained from the solution to the following finite differential system deduced from (35) by truncating the matrix A:

d d t M [N ] (t) = A [N ] M [N ] (t) + B [N ] (36)
where A [N ] is the constant matrix of size 3(2N + 1) defined by

A [N ] =         A 0 (N ) A -2 A 2 A 0 (N -1) A -2 . . . . . . . . . . . . . . . A -2 A 2 A 0 (-N )         (37)
and

B [N ] = (b k ) k∈{-N,...,N } .
The solution to (36) under the initial condition M [N ] (0) = (0, . . . , 0, M 0 , 0, . . . , 0) is given by the Duhamel formula, see [16][17]:

M [N ] (t) = e tA [N ] M [N ] (0) + t 0 e (t-s)A [N ] ds B [N ] . (38)
If the matrix A [N ] is diagonalisable with A [N ] = P D P -1 and D = diag(d i , i = -3N, . . . , 3N ) then we have

M [N ] (t) = Pe tD P -1 M [N ] (0) + P S(t)P -1 B [N ] (39)
where S(t) = t 0 e (t-s)D ds = diag(s i (t), i = 1, . . . , N ) and s i (t) = e tdi -1 /d i if d i = 0 and s i (t) = t otherwise.

The algorithm to compute an approximation of the solution to the Bloch equation for a given volume element (voxel) is therefore the following.

1. Chose the truncation order N and duration T RF of the RF pulse. 2. Compute the eigenvalues and eigenvectors of the block tridiagonal matrix A [N ] as given by (37). 3. Form the matrices P and D from the eigenvalues and eigenvectors. 4. Compute the s i 's from the eigenvalues. 5. Compute the inverse of P . 6. Compute M [N ] (T RF ) = (m k (T RF )) k∈{-N,...,N } from relation (39)

M [N ] (T RF ) = P e TRF D P -1 M [N ] (0) + P S(T RF )P -1 B [N ] .
7. Compute the magnetisation vector in the rotating frame using the following formula deduced from [START_REF] Balac | On the computation of eigenvectors of a symmetric tridiagonal matrix: comparison of accuracy improvements of Givens and inverse iteration methods[END_REF] :

m(T RF ) ≈ N k=-N m k (T RF )e 2ikω0TRF
where m k (T ) is given by the components 3(N + k) + 1 to 3(N + k) + 3 of the vector M [N ] (T ) of size 3(2N + 1). 8. Compute the approximate magnetisation vector in the laboratory frame :

M [N ] (T RF ) = R(T RF ) m [N ] (T RF )
where R(T RF ) is the rotation matrix given by [START_REF] Balac | Analytic solution to boundary integral computation of susceptibility induced magnetic field inhomogeneities[END_REF].

Remark 1. 1. In this algorithm, the cost in computational time lies in the computation of the eigenvalues and eigenvectors of the matrix A [N ] . This computation can be achieved very quickly if adequate computation algorithm for tridiagonal matrices are used [START_REF] Balac | On the computation of eigenvectors of a symmetric tridiagonal matrix: comparison of accuracy improvements of Givens and inverse iteration methods[END_REF]. 2. When a full MRI sequence is used, only the initial conditions for the Bloch equation are changing from on pulse to the other. The matrix of the differential system remains unchanged and therefore to handle a complete MRI sequence, a loop on steps 6 to 8 is only required. Indeed, as the matrix A [N ] remains unchanged during the whole MRI sequence, there is no need to compute its eigen-elements for each pulse. 3. In standard MRI experiments the values of the diagonal elements τ 1 and τ 2 are small compare to the others elements in the matrix A [N ] . Let us decompose the matrix A [N ] as

A [N ] = H [N ] +F [N ]
where F [N ] = diag(-τ 2 , -τ 2 , -τ 1 , . . . , -τ 2 , -τ 2 , -τ 1 ) and H [N ] is a skew-hermitian matrix since A * -2 = -A 2 . The eigenvalues of H [N ] are all pure imaginary numbers and there exists a unitary matrix Q [N ] and a diagonal matrix D [N ] such that H

[N ] = Q [N ] D [N ] Q [N ] * .
It follows from perturbation theory for hermitian matrices [START_REF] Stewart | Matrix perturbation theory[END_REF] that if d i is an eigenvalue of A [N ] then there exists some eigenvalue di of H [N ] for which

|d i -di | ≤ F [N ] 2 .
Moreover, from Davis and Kahan's theorem [START_REF] Stewart | Matrix perturbation theory[END_REF], if ( di , ṽi ) is an approximation of the eigenpair (d i , v i ) and δ is the gap between di and any other eigenvalue then we have the following estimate

|d i -di | ≤ r 2 2 δ and sin ∠(v i , ṽi ) ≤ r 2 δ . ( 40
)
where sin ∠(v i , ṽi ) is the angle between ṽi and the eigenspace corresponding to those eigenvalues closest to di and r is the following residual r = H [N ] ṽi -di ṽi . As a consequence, in a standard MRI experiment the following approximation can be done: A [N ] ≈ H [N ] . This approximation improve the efficiency of the algorithm since we have to compute the eigen-elements of a skewhermitian matrix and P -1 = P * .

An overview of accuracy and efficiency of the method

In order to get information on its accuracy we have compared the values of the magnetisation given by our method to the exact solution of the Bloch equation (available only when no RF perturbation exists) and to the solution computed by the ode45 solver of matlab (all with default accuracy values). The computations were done on a Intel Pentium IV 3 Ghz personal computer under matlab. The following values were used : B 0 = 1 Telsa, B 1 = 10 -3 Tesla, η 0 = 1, T 1 = 750 ms, T 2 = 50 ms and θ = π 2 . Comparison of accuracy and cpu times for 16 3 = 4096 executions is given in Table I.

Table I. Comparison of accuracy and cpu times (in s.) for 16 3 executions using the method with different values of N and the ode45 solver. When RF perturbations are involved, the Bloch equation does not possesses an exact solution. In table 4.2 we have compared, for different truncation orders N , the values of the magnetisation and the CPU times. We have considered a random RF perturbation of same magnitude as the RF field B 1 . Computation with the ode45 matlab solver gives the following approximate solution M = (-0.22511588898239, 0.97495030267178, -0.00903991786250); computation CPU time is 1325.18 s. It can be see that a good approximation of the solution is already obtained for N = 0 and that the convergence of the method is very fast. The exponential convergence of the method has been explained in section 3. However, the fact that a good approximation of the solution is obtained for N = 0 for usual values of the parameter used in MRI can be surprising. Let us explore the underlying reasons. For N = 0 the approximation of m(t) is m [0] (t) = M 0 (t) and from equation (36) we have m [0] solution of the differential system

N = 0 N = 1 N = 2 N =
d d t m [0] (t) = A 0 m [0] (t) + B 0 = A 0 m [0] (t) + b (41)
where A 0 is given by ( 21), whereas m(t) is solution of the differential system

d d t m(t) = Ã(t)m(t) + b (42)
under an identical initial condition m(0) = m [0] (0) = M 0 . For the two differential equations ( 41) and (42), we have the integral representation formula:

m(t) = M 0 + t 0 Ã(s)m(s) d s + bt and m [0] (t) = M 0 + A 0 t 0 m [0] (s) d s + bt.
From the Fourier series expansion of à = A 0 + e -i2ω0s A 2 + e i2ω0s A -2 we deduce that (t) is a good approximation of m(t). Typically in a MRI experiment the field B 0 is around 1 Tesla whereas B 1 is around 10 -3 Tesla so that ω 1 /ω 0 ≈ 10 -3 .

m(t) = m [0] (t) + t 0 e -i2ω0s A 2 m(s) d s + t 0 e i2ω0s A -2 m(s)

Description of the magnetisation vector evolution

As seen in section 2 the evolution of the magnetisation in the rotating frame (e 1 , e 2 , e 3 ) without RF perturbation is described by relation [START_REF] Sebastiani | Mathematical principles of basic magnetic resonance imaging in medicine[END_REF]. The magnetisation m starts to flip out of the z axis from its equilibrium position M 0 = η 0 z under the influence of the RF field B 1 . The magnetisation m evolves in a plane perpendicular to e 1 . After a length of time T RF = π 2ω1 , the magnetisation vector rotates 90 degrees and lies in the transverse plane (x, y), see Fig. 1. It is in this position that it can be detected giving rise to the MRI signal during the relaxation process. View from the laboratory frame, the magetisation vector evolves in a spiroidal movement, see the right picture in Fig. 1.

The evolution of the magnetisation vector m is modified under RF perturbations. We have seen in section 4.2 that the solution m [0] of the differential system where A 0 is given by ( 21) can be considered as a good approximation of m. The solution to this linear differential equation with constant coefficients can be computed analytically. Under the assumption that τ 1 and τ 2 can be neglected compared to ω 1 the solution m [0] to (43) under the initial condition M 0 = η 0 z reads

d d t m [0] (t) = A 0 m [0] (t) + b (43)
m [0] (t) =      - v 1 + u 2 b η 0 sin(αt) 2B 1 + u 1 -v 2 b η 0 sin(αt) M 0 cos(αt)      (44)
where b = (2B 1 + u 1 -v 2 ) 2 + (v 1 + u 2 ) 2 and α = 1 2 γb. In Fig. 1 we have depicted together the evolution of the magnetisation vector with and without RF perturbations in the rotating frame (e 1 , e 2 , e 3 ) and in the laboratory frame (x, y, z) for a π/2 pulse with B 1 = 10 -3 Tesla, u 1 = 9.1 10 -4 Tesla, u 2 = 1.1 10 -3 Tesla, v 1 = 5 10 -4 Tesla and u 2 = 8. 3 10 -4 Tesla.

It can be seen from relation (44) and from Fig. 1 that under RF perturbation the magnetisation vector doesn't lie in the transverse x-y plane after a length of time T RF = π 2ω1 as it could. The consequence is a diminution of the MRI signal intensity from normality and therefore an inaccurate MRI image.

matlab program

On the basis of this work and the one we devoted to susceptibility artifacts, see [START_REF] Balac | Mathematical modeling and numerical simulation of magnetic susceptibility artifacts in Magnetic Resonance Imaging[END_REF], we have developped a matlab program that simulates both the susceptibility and the eddy current artifacts in the case of a metallic implant with spherical shape (for such geometry, analytical expressions for the induced RF and static magnetic fields are known, see [START_REF] Jackson | Classical electrodynamics[END_REF]). These two kinds of artifact add to the MRI image without our knowing of the contribution of each one to the image distortion. Our program enables to hide one of the two artifacts and image the other or image the effects of the two artifacts together. It is then possible to compare for different materials the importance of each source of image distorsion. The program can be obtained from the authors. In Fig. 2 we show the artifact generated by a metallic ball made of copper with a magnetic susceptibility of -2 10 -5 usi and an electric conductivity of 5.9 10 7 . It is placed in a 2.5 Tesla magnetic field B 0 and a RF field B 1 of 10 -3 Tesla. The slice depicted in Fig. 2 passes through the centre of the slice and is perpendicular to the magnetic field B 0 . It has a side length of 5 cm. The slice-selection gradient and the read-out gradient strength are 10 -2 Tesla/meter. The slice thickness is 3 mm. Comparison of the two images shows the contribution of RF field perturbation to the image artifact (the non disturbed image should be a black disk in a uniformly grey background).

Conclusion

We have presented a method to solve numerically the Bloch equation under RF field inhomogeneities and we have justified it from a mathematical point of view. The method is based on a truncated series expansion of the solution and it is suited to furnish directly the position of the magnetisation vector at the end of the resonance process at time T without having to compute it successively at the nodes of a subdivision of the time interval [0, T ]. The computational cost of the method reduces to the computation of the eigen-elements of a block tridiagonal matrix of very small size (usually 3 × 3 or 9 × 9). Although the method has been designed to solve the Bloch equation in the context of MRI artifact simulation, it has a more general range of use. The method is devoted to be implemented in MRI simulator (such as the SIMRI project [START_REF] Benoit-Cattin | The SIMRI project : a versatile and interactive mri simulator[END_REF]) in order to take into account RF effects in the imaging process and enable the simulation of RF artifact induced by objects of very general shapes under a large variety of image acquisition sequences.

2 3. 3 .

 23 e. m k (t) tends towards zero as k tends to ±∞ faster than any power of 1/k. Proof It is a consequence of the definition of the functional space C 1 (R; ℓ 2 ∞ (Z)) and the fact that the two sequences (u k ) k∈Z and (m k ) k∈Z satisfy |u k | = |m k |. Asymptotic behaviour of the sequence (m k ) k∈Z

d s and integration by parts shows that t 0 e

 0 ±i2ω0s A ∓2 m(s) d s = O(a 2 ω -1 0 )where a 2 = A 2 = A -2 = O(ω 1 ). It follows that the difference between the 2 vectors m [0] (t) and m(t) satisfies y ′ (t) = A 0 y(t) + O(ω 1 /ω 0 ) under the initial condition y(0) = 0. Therefore we have m(t) = m [0] (t) + O(ω 1 /ω 0 ). It means that when the static magnetic field B 0 has sufficiently large values or the RF field B 1 has sufficiently small values the quantity m[0]

Figure 1 .

 1 Figure 1. Comparison of the magnetisation vector evolution for a π/2 pulse with and without RF perturbation: from left to right : in the plane (e2, z), in the rotating frame (e1, e2, z) and in the laboratory frame (x, y, z).

Figure 2 .

 2 Figure 2. Simulation of the RF and the susceptibility artefacts generated by a ball (on the left) and visualisation of the RF artifact counterpart alone.

Table II .

 II Comparison of solutions and CPU times (in s.) for 163 executions using the method with different values of N .

		N = 0	N = 1	N = 2	N = 3
	Times	4.36	12.1	25.97	47.8
		-0.24326287201152 -0.24326289631217 -0.24326289631192 -0.24326289631189
	M	0.96630713580637	0.96630713685089	0.96630713685049	0.96630713685088
		0.07993334331631	0.07993336879906	0.07993336879932	0.07993336879911


Franck Descombas
email: f.descombas@orange.fr

Guy Gimenez

L'épreuve du corps Travail de la pluralité psychique dans un dispositif hypnothérapeutique q Psychic plurality and hypnotherapy

Keywords: Pluralité psychique, Groupalité interne, Hypnothérapie, États du Moi, Dissociation Psychic plurality, Internal groupality, Ego states therapy, Hypnosis, Dissociative processes 1

Les auteurs abordent la question de la pluralité psychique, de ses avatars et de ses remaniements. Du point de vue théorique, ils rappellent ce que ce concept doit aux travaux de Janet, de Federn et de Kaës. Cette notion a donné lieu à divers dispositifs thérapeutiques mobilisant diversement les processus représentationnels et visant à susciter un remaniement au sein de la groupalité interne lorsque celle-ci se révèle pathogène. C'est le cas du modèle hypnotique des « états du Moi » qui en raison de la centralité du processus dissociatif trouve dans la modélisation groupale de l'appareil psychique un champ d'application particulièrement riche. Les auteurs soulignent la pertinence de ce dispositif dans le traitement des pathologies dissociatives. D'un point de vue critique empruntant du constructivisme, ils rappellent la nécessité de se référer à un cadre multifactoriel afin de rendre compte de la phénoménologie hypnotique. .

L'organisation plurielle de la psyché, dans sa dimension structurale comme dans ses effets potentiellement psychogènes, a donné lieu à de nombreux développements théoriques. Ceuxci sont principalement issus des travaux de Janet [START_REF] Gimenez | L'automatisme psychologique[END_REF] et, dans le champ psychanalytique, des recherches de Freud [START_REF] Freud | L'interprétation des rêves[END_REF], 1 de Federn [START_REF] Federn | La psychologie du moi et les psychoses[END_REF] et des développements de Kaës [START_REF] Kaës | Identification multiple, personne conglomérat, moi groupal. Aspects de la pensée freudienne sur les groupes internes[END_REF][START_REF] Kaës | Le groupe et le sujet du groupe[END_REF]. D'un point de vue phénoménologique, le constat de cette pluralité se fonde, au niveau comportemental, sur l'observation de symptômes cliniques pouvant être qualifiés de dissociatifs, et au plan discursif sur le repérage de marqueurs langagiers évoquant l'expression d'un discours plurivocal [START_REF] Bakhtine | Esthétique et théorie du roman[END_REF][START_REF] Ducrot | Le dire et le dit[END_REF], ou polyphonique [START_REF] Kaës | La polyphonie du rêve[END_REF], émanant d'un Moi hétérogène, divisé, dissocié. Sur le plan des pratiques, un certain nombre de dispositifs thérapeutiques, issus des thérapies d'inspiration analytique ou du courant humaniste [START_REF] Gestalt | Une thérapie du contact[END_REF][START_REF] Petit | thérapie de l'ici et maintenant[END_REF][START_REF] Berne | Des jeux et des hommes[END_REF][START_REF] Jaoui | L'Analyse Transactionnelle[END_REF], se fondent sur une conception plurielle de la psyché se référant à des modèles partitifs de la personnalité. Nous avons plus particulièrement interrogé le modèle dit des « états du Moi » [START_REF] Watkins | Ego-State Therapy: An Overview[END_REF][START_REF] Phillips | Psychothérapie des états dissociés -Guérir le moi divisé[END_REF], issu de l'hypnothérapie contemporaine. En mobilisant de fac ¸on centrale le processus dissociatif, de part ses spécificités langagières et psychoaffectives, l'hypnose devrait, en effet, proposer une articulation théoricoclinique particulièrement pertinente au regard de la modélisation plurielle de l'appareil psychique.

Développements théoriques

Nous présenterons dans une première partie quelques aspects théoriques issus de travaux d'auteurs permettant de conceptualiser la pluralité psychique et son fonctionnement des points de vue psychogénétique, structurel et processuel.

Janet : les existences psychologiques multiples

Étudiant le fonctionnement psychique à partir de l'observation des phénomènes hypnotiques, Pierre Janet, dès L'automatisme psychologique [START_REF] Gimenez | L'automatisme psychologique[END_REF], dégage le concept de « diverses existences psychologiques », pouvant être successives ou simultanées, naturelles ou hypnotiquement générées. Ce concept est étayé par un modèle cognitif général dont nous avons retenu trois points principaux :

• l'activité de l'esprit comme opération de synthèse ;

• les faiblesses de cette activité et leurs conséquences psychogènes ;

• la place assignée par Janet à l'hypnose dans cette modélisation.

L'activité psychique comme opération de synthèse

Janet décrit l'activité de l'esprit comme une opération de synthèse active, reliant ou fusionnant en un état unique diverses sensations, perceptions, souvenirs, représentations, et qui dans un second temps les rattache au groupe d'images et de jugements antérieurs constituant le Moi ou la personnalité. Cette activité serait modulée par une opération de filtrage, ou d'abstraction sélective, des éléments du champ de l'expérience, en fonction de données cognitives ou de facteurs affectifs : « L'opération de synthèse semble pouvoir choisir et rattacher au moi, par conséquent à la conscience personnelle, tantôt les uns, tantôt les autres... » ( [START_REF] Gimenez | L'automatisme psychologique[END_REF], p. 350).

Diverses composantes du champ de l'expérience se trouvent dès lors, soit non perc ¸ues, soit reléguées dans le domaine subconscient. Elles y formeraient des « composés instables », qui dans un développement ordinaire sont de courte viabilité et ne tardent pas à se dissoudre.

Les faiblesses de l'activité de synthèse et leurs conséquences

Janet soutient l'hypothèse que ces composés connaissent parfois un autre destin : au lieu de se dissoudre, ils peuvent s'organiser en « groupes de phénomènes actuellement réunis » ( [START_REF] Gimenez | L'automatisme psychologique[END_REF], p. 155), dissociés les uns des autres. L'organisation psychique à laquelle ils aboutissent est alors un état de désagrégation. Ce phénomène serait particulièrement lisible dans les pathologies mentales, qui « montrent avec plus de netteté encore le développement de ce groupe secondaire de phénomènes et la formation de plusieurs formes d'existence psychologique » ( [START_REF] Gimenez | L'automatisme psychologique[END_REF], p. 157).

D'un point de vue cognitif, Janet rend compte de la constitution de ces personnalités secondaires par la notion de « faiblesse de synthèse actuelle ». Une défaillance particulière du Moi à pouvoir intégrer certaines informations en une seule conscience personnelle serait à l'origine de la formation de divers composés, conglomérats « réunis autour d'un autre centre » ( [START_REF] Gimenez | L'automatisme psychologique[END_REF], p. 158). Dans cette perspective, un groupe secondaire est constitué, qui mène au sein de la psyché une existence quasi autonome et aboutit à la formation d'un jugement d'existence particulier appelé « idée du Moi ». Un tel groupe reconnaît son unité propre et s'exprime en première personne.

Pour Janet, un état de santé mentale parfaite correspondrait à une capacité de synthèse sans faille, dont peu peuvent se prévaloir. Ces précipités instables disparaissent normalement rapidement, alors qu'ils semblent se cristalliser dans les organisations pathologiques. Ils permettent de rendre compte des « automatismes psychologiques », phénomènes qui échappent au contrôle conscient,àla rationalité etàla volonté, et pour aboutir à l'idée d'une vie psychique non consciente et composite.

Janet se place d'un point de vue cognitif et expérimental pour décrire le mécanisme entrant en jeu dans la constitution des personnalitésou « personnages »secondaires, mécanisme qualifié par lui de « faiblesse de synthèse actuelle», de « faiblesse morale » ou encore de « misère psychologique ». Il ne formule pas d'hypothèse sur les origines de cette faiblesse et ses implications affectives sous-jacentes. Il faudra donc faire référence aux développements psychodynamiques autour de la notion de conflit intrapsychique, et adopter un point de vue inférentiel, pour donner à ces observations la portée psychoaffective qui leur font défaut.

L'hypnose et les diverses existences psychologiques

Janet observe que l'état hypnotique permet l'identification et l'expression des diverses existences psychologiques : « Il est possible, au moyen de l'hypnotisme, de ramener le sujet à l'une ou à l'autre de ses diverses personnalités anormales et de lui rendre le caractère et les souvenirs qu'il avait dans cet état » ( [START_REF] Gimenez | L'automatisme psychologique[END_REF], p. 160). Les « existences psychologiques » ne seraient donc pas un effet ou une création du dispositif (hypnotique), qui les aurait créées, mais selon Janet elles lui préexistent.

Il ne fait pas de doute cependant que cette modélisation de l'appareil psychique a partie liée au dispositif expérimental des recherches menées par Janet, en particulier à l'utilisation de l'hypnose comme procédure d'investigation. Conscient sans doute pour une part de cette difficulté méthodologique, Janet met en garde ses lecteurs contre une utilisation abusive ou naïve de l'hypnose. Il recommande une extrême rigueur, l'hypnose profonde (« somnambulisme ») étant à ses yeux susceptible de créer artificiellement une personnalité seconde, et par les effets de la suggestibilité d'exposer l'expérimentateur au biais que l'on dirait aujourd'hui de confirmation d'hypothèse.

Federn : le concept d'états du Moi

C'est au psychanalyste Paul Federn [START_REF] Federn | La psychologie du moi et les psychoses[END_REF], qui a beaucoup étudié la question des frontières du Moi, que l'on doit le concept d'« états du Moi ». Un état du Moi se compose d'un ensemble de comportements, d'expériences, de perceptions et de représentations, liés entre par un principe commun, et séparés des autres états du Moi par une frontière.

Le Moi et ses états

Dans une perspective psychodynamique, Federn propose une définition du Moi comme système actif en perpétuel remaniement. Si le Moi représente le principe qui maintient à travers les changements de l'existence un sentiment de continuité et de cohérence, il n'est pas pour autant « un agrégat qui fonctionnerait de fac ¸on statique », mais « une unité active de la vie de l'individu, une unité construite et maintenue contre des forces qui s'y opposent » ( [START_REF] Federn | La psychologie du moi et les psychoses[END_REF], p. 249). Le Moi selon Federn contient différents états, correspondant à des contenus spécifiques qui ne s'annulent pas, mais s'accumulent de fac ¸on plus ou moins isolée dans sa partie inconsciente.

Le refoulement et les états du Moi

Federn rend compte du développement de certains états mentaux pathologiques par la résurgence d'états du Moi antérieurs qui « n'ont pas été suffisamment désinvestis pendant le processus de maturation, mais ont été refoulés. À mesure que la maladie progresse, ces états refoulés et ces réactions refoulées du moi parviennent à la conscience et pénètrent le moi actuel » ( [START_REF] Federn | La psychologie du moi et les psychoses[END_REF], p. 249). Un retour du refoulé serait donc à l'oeuvre dans la réémergence d'états du Moi à la conscience. Cette opération ne constitue pas en soi un critère psychopathogénique : « l'influence des attitudes du moi et des états du moi est utile ou perturbante suivant leur normalité et leur adéquation aux besoins présents. Une personnalité intégrée, par conséquent, signifie le maintien du contrôle non seulement des réactions partielles du moi, mais aussi des différents états du moi. Ce maintien exige un investissement solide et fort de l'état du moi mûr et durable » ( [START_REF] Federn | La psychologie du moi et les psychoses[END_REF], p. 229).

L'un des points forts de la théorie de Federn est de penser le refoulement comme s'exerc ¸ant non seulement sur des représentations, mais sur des ensembles de contenus psychiques (comprenant des représentations d'objets et un mode d'investissement objectal, des composantes pulsionnelles et des frontières caractéristiques) constituant des états antérieurs du Moi. Ces états ne disparaissent donc pas avec le développement de l'individu, mais ils demeurent retenus dans l'inconscient où ils sont « engrammés » et d'où ils seraient toujours susceptibles de faire retour et d'occuper le devant de la scène psychique. C'est ce qui se passe de fac ¸on exemplaire dans le rêve, dans l'hypnose, et dans certains états pathologiques.

Cette perspective nous semble présenter le pendant psychodynamique de la notion développée par Janet en ce qui concerne :

• la capacité du Moi à intégrer des éléments épars, éventuellement conflictuels, etàles synthétiser en une unité personnelle ; • en cas d'échec de cette fonction, la persistance intrapsychique de ces éléments sous forme d'existences psychologiques autonomes (Janet) ou d'états du Moi refoulés et engrammés dans l'inconscient (Federn) ; • l'accès à ces contenus rendu facilité par le dispositif hypnotique.

Kaës : la théorie des groupes internes

Toujours dans le champ psychanalytique, R. Kaës [START_REF] Kaës | Identification multiple, personne conglomérat, moi groupal. Aspects de la pensée freudienne sur les groupes internes[END_REF][START_REF] Kaës | Le groupe et le sujet du groupe[END_REF] a théorisé de fac ¸on forte et décisive l'idée de pluralité interne « intuitionnée » par Janet dans la notion « d'existences psychologique », et par Federn dans celle « d'états du moi ». Trouvant appui sur la notion freudienne de « groupes psychiques », Kaës propose la notion de « groupalité psychique » et de « groupalité interne », articulant de fac ¸on rigoureuse l'intraet l'interpsychique en rendant compte dans l'intrapsychique de l'existence de discours et d'expressions d'une pluralité psychique : un discours plurivocal, polyphonique de la part du sujet, discours plus ou moins autonome et plus ou moins lié. Kaës a ainsi développé le concept de « groupalité interne », et en a précisé les formes, les fonctions et les processus. Partant de la représentation freudienne de la psyché comme groupe et comme activité de groupement/dégroupement, Kaës développe l'idée que l'inconscient est structuré comme un groupe, mettant ainsi en oeuvre non seulement une simple juxtaposition d'éléments hétéroclites, mais une structure d'organisation soumise à des règles et répondant à des mécanismes. La notion de groupalité psychique n'est pas, dans cette perspective, l'introjection dans l'espace intrapsychique du sujet des groupes externes, des processus intersubjectifs ou sociaux : c'est avant tout « un schème d'organisation et de représentation de la matière psychique » ( [START_REF] Kaës | Les théories psychanalytiques du groupe[END_REF], p. 113), une structure a priori de la psyché.

Le fantasme, paradigme des groupes internes

L'approche structurale du fantasme, telle qu'elle a été dégagée par Freud dans l'analyse de Schreber2 ou dans le fantasme « On bat un enfant », 3 constitue selon Kaës le paradigme qui permet de penser la structure et le fonctionnement des groupes internes comme tentatives de métaphorisation des emplacements et déplacements possibles du sujet, de ses objets et de leurs relations : « dans de telles configurations, le sujet lui-même se représente directement ou à travers ses délégués » ( [START_REF] Kaës | Les théories psychanalytiques du groupe[END_REF], p. 114).

Le statut du sujet, tel qu'il se dégage de cette conception groupale de la vie intrapsychique, est celui, selon l'expression de Kaës [START_REF] Kaës | Groupes internes, relation d'objet et appareil psychique groupal[END_REF][START_REF] Kaës | Un singulier pluriel[END_REF], de « sujet singulier-pluriel ». Cette notion permet de penser les divisions internes, paradoxes, contradictions, souffrances, dont les symptômes se font l'expression. « Le sujet singulier-pluriel condense le paradoxe d'être simultanément multiple et un, de se grouper dans l'assemblage conflictuel de ses objets, de ses pulsions et de leurs représentants, de se fondre dans l'indifférenciation d'un « on » anonyme et désubjectivisé, ou d'y prendre une place singularisante, et pouvoir se penser comme Je en s'en séparant. Le sujet singulier-pluriel se constitue dans la souffrance de ces hiatus et dans les bénéfices qu'il tire de sa division. Il en est ainsi lorsqu'il délègue à une partie de lui-même la fonction de le représenter tout entier auprès d'une autre partie de lui-même, ou auprès des représentants d'un autre ou de plus d'un autre. Il en est encore ainsi lorsqu'il délègue cette fonction à des représentants externalisés : de ceux-ci, comme de ceux-là, dans la division du monde interne, il peut ne rien vouloir savoir, les méconnaître ou au contraire les accepter comme des inconnus familiers ou des étrangers inquiétants en lui-même » ( [START_REF] Kaës | Groupes internes, relation d'objet et appareil psychique groupal[END_REF], p. 34).

La théorisation du groupe interne, déclinée en groupe conglomérat archaïque (personnages internes non clairement différenciés du psychotique, par exemple) et groupes internes matures, permettent de penser et d'articuler cette dimension groupale du psychisme avec le dispositif et la théorie psychanalytique. Nous proposons ce modèle de Kaës pour offrir un modèle cohérent et rigoureux à la méthode intuitive élaborée par Watkins [START_REF] Watkins | Ego-State Therapy: An Overview[END_REF] et Phillips [START_REF] Phillips | Psychothérapie des états dissociés -Guérir le moi divisé[END_REF]. Si l'individu est un groupe, il peut sembler légitime de s'adresser aux membres de ce groupe de fac ¸on spécifique, voire de les faire interagir. Kaës apparaît ainsi pour nous comme le maillon théorique nécessaire pour articuler les intuitions de Janet et Federn à la technique de Watkins et Phillips.

La psychothérapie hypnotique des « états du Moi »

Diverses approches psychothérapeutiques se proposent de travailler l'aspect pluriel de la psyché, mettant en oeuvre différents modèles partitifs de la personnalité. C'est le cas, dans le champ des psychothérapies humanistes, de la Gestalt Thérapie [START_REF] Gestalt | Une thérapie du contact[END_REF][START_REF] Petit | thérapie de l'ici et maintenant[END_REF], de l'Analyse Transactionnelle [START_REF] Berne | Des jeux et des hommes[END_REF][START_REF] Jaoui | L'Analyse Transactionnelle[END_REF], mais aussi dans certains dispositifs de thérapies individuelles en situation groupale, au premier rang desquels le psychodrame analytique [START_REF] Kaës | Le psychodrame psychanalytique de groupe[END_REF]. C'est aussi le cas, dans le champ de l'hypnothérapie contemporaine, du modèle des « États du Moi » (ego-states therapy) formalisé par le psychiatre américain Watkins [START_REF] Watkins | Ego-State Therapy: An Overview[END_REF], et repris par Phillips [START_REF] Phillips | Psychothérapie des états dissociés -Guérir le moi divisé[END_REF].

Les dispositifs thérapeutiques issus de ces approches, qui relèvent de champs conceptuels divers et peu compatibles, ont en commun de mobiliser les processus de focalisation, de dissociation et de régression, et les activités de figuration et de scénarisation. L'hypnothérapie des états du Moi se caractérise en outre par le fait qu'elle fait appel à un état modifié de la conscience, susceptible d'une part, de potentialiser ces processus, d'autre part de permettre un accès facilité à des contenus psychiques peu accessibles à la conscience vigile ordinaire. Cette facilitation n'est pas tant due selon notre perspective à une baisse des défenses du sujet hypnotisé, qu'à la nature dissociative caractérisant le phénomène hypnotique, comme état de relaxation ou fluidité mentale et simultanément de focalisation interne [START_REF] Rainville | Neurophénoménologie des états et des contenus de conscience dans l'hypnose et l'analgésie hypnotique. Actes du 4 e congrès annuel de la SETD[END_REF].

La dissociation

Empruntant aux travaux de Janet et de Federn, Watkins considère la personnalité comme étant composée de plusieurs « états du Moi », chacun servant une fonction adaptative, et séparé de chaque autre par des degrés variés de dissociation. Le Moi, là encore, est abordé non comme un ensemble homogène, mais comme un groupe divisé composé d'une multitude d' « états du Moi ». « Un état du Moi peut être défini comme un système organisé de comportements et d'expériences dont les éléments sont liés ensemble par un principe commun » [START_REF] Watkins | Ego-State Therapy: An Overview[END_REF] (traduction personnelle, de même pour les autres citations de cet auteur) pouvant être, par exemple, l'âge, une fonction, un besoin, une expérience, etc.

Selon cette approche, les états du Moi se structurent et s'organisent dans la personnalité par l'effet de mécanismes dissociatifs survenant au cours de la vie, souvent dans l'enfance, ou suite à un traumatisme. Ces auteurs distinguent trois modalités de formation des états du Moi, à partir de deux mécanismes psychogénétiques fondamentaux, l'intégration et la différenciation [START_REF] Watkins | Ego-State Therapy: An Overview[END_REF][START_REF] Phillips | Psychothérapie des états dissociés -Guérir le moi divisé[END_REF] :

• par différenciation, au cours du développement normal de l'individu (acquisition par l'enfant de différents patterns comportementaux). Leurs frontières sont perméables et souples ; • par introjection de figures significatives (figures parentales, donnant lieu aux identifications et aux objets internes). Par exemple, l'introjection d'un parent punitif peut aboutir à la formation d'un état du Moi qui, lorsqu'il « accapare la conscience », pour reprendre l'expression freudienne, 4 devient persécutif pour ses propres enfants ; • sous l'effet d'un traumatisme. L'expérience traumatique est alors renfermée dans un état du Moi, dissocié des autres par une frontière étanche visant à protéger le reste de la personnalité de ses effets envahissants et destructeurs. Cette opération serait selon nous à rapprocher des concepts d'incorporation, de crypte et de fantôme, développés par Abraham et Torok [START_REF] Abraham | L'écorce et le noyau[END_REF]. Le maître-mot en est la dissociation.

Chaque état du Moi est ainsi séparé des autres par une frontière plus ou moins étanche selon le degré de dissociation. Les différents états du Moi peuvent rester séparés et sans communication, marquant un blocage de l'activité de liaison par le mécanisme dissociatif. « Lorsque l'un de ces états est investi de l'énergie du Moi, il devient le « self » dans l'ici et maintenant. Nous disons qu'il est « exécutif », et il éprouve les autres états [. . .] comme étant « lui », « elle », ou « cela », parce qu'ils sont alors investis de l'énergie de l'objet » ( [START_REF] Watkins | Ego-State Therapy: An Overview[END_REF], p. 233).

Cette approche postule que lorsque les états du Moi sont en conflit, pour cause de compétition des fonctions d'adaptation, de besoins développementaux variables, ou en raison de réponses posttraumatiques divergentes, la fragmentation qui en résulte peut contribuer à l'émergence de signes cliniques [START_REF] Phillips | Psychothérapie des états dissociés -Guérir le moi divisé[END_REF]. L'objectif que vise cette approche est de permettre au sujet de créer des liens entre ses états du Moi, de mettre en oeuvre une restructuration du groupe interne par la mobilisation des mécanismes associatifs et les « changements dans la perméabilité des frontières entre les différents états du Moi » ( [START_REF] Phillips | Psychothérapie des états dissociés -Guérir le moi divisé[END_REF], p. 198). Le but est l'intégration de la part dissociée à l'ensemble de la personnalité. Cette intégration peut selon nous être comprise comme l'assomption dans le fantasme, autrement dit dans la groupalité interne, de représentations et d'affects dissociés. Une hypothèse centrale de cette approche est que tous les états du Moi ont une fonction adaptative positive pour la personnalité, y compris dans les cas où le comportement apparaît dysfonctionnel.

Watkins utilise l'hypnose, qui mobilise des opérateurs spécifiques de changement [START_REF] Masson | Les Opérateurs Thérapeutiques de Transformation en hypnoanalyse[END_REF], pour activer et travailler avec les états du Moi refoulés ou dissociés. Cet état particulier de la conscience permet, en effet, au sujet d'activer un ou plusieurs objets de son monde interne et de travailler sur les relations qu'il entretient avec les autres. « Les états du moi n'apparaissent pas spontanément et ouvertement, ils doivent généralement être activés par l'hypnose » [START_REF] Watkins | Ego-State Therapy: An Overview[END_REF]. La thérapie des états du Moi s'appuie sur le fait que l'hypnose mobilise les processus de dissociation, de focalisation interne et induit une fluidité mentale facilitant les associations entre des représentations qui normalement s'excluent. L'effet spécifique de l'abord hypnotique de ce modèle par rapport aux autres dispositifs thérapeutiques tient selon nous au phénomène dissociatif, inhérent à l'expérience hyp-notique comme au phénomène traumatique [START_REF] Spiegel | Hypnosis in the treatment of victims of sexual abuse[END_REF] et à ses conséquences en termes de constitution d'états du Moi non intégrés.

La personnalité multiple est pour nous le modèle pathologique implicite de Watkins et Phillips. Dans la méthode proposée, après avoir fait alliance avec la personne toute entière, le thérapeute s'adresse à une partie de la personnalité (un « état du moi »), qui, dans les cas de conflit psychique difficile, va entrer en contact avec un autre « état du moi ». Dans le cas de la personnalité multiple, on observera des phénomènes spécifiques de changement de voix, de comportement, de vocabulaire, mais aussi d'identité de l'état du moi, qui pourra alors répondre, réagir, et argumenter de fac ¸on autonome par rapport à la personnalité toute entière. Le travail consistera en une intégration de parts de la personnalité restées jusque-là activement séparées.

Pluralité et interaction de variables

Pour opératoire qu'il soit en clinique, en particulier dans le traitement des pathologies de la dissociation, le modèle des états du Moi n'échappe pas à la critique constructiviste. Nous nous départissons d'une vision naïve, magique et obsolète, selon laquelle l'hypnose agirait sur le sujet de manière automatique et indépendante des caractéristiques interactionnelles.

Dans le traitement hypnothérapeutique, le processus de remaniement dans les groupes internes est opérationnalisé par la convergence de plusieurs variables, liées à l'état hypnotique lui-même, aux spécificités du lien patient/hypnothérapeute, et au type de discours et d'intervention mis en oeuvre par le praticien.

Le vécu subjectif concerne les caractéristiques de l'état hypnotique lui-même, défini par Roustang comme un état indéterminé et informel de réceptivité, d'attente, de pure puissance [START_REF] Roustang | Qu'est-ce que l'hypnose[END_REF]. Il convient dès lors de tenir compte de l'effet des représentations sociales et culturelles du phénomène hypnotique, ainsi que des concepts théoriques de l'hypnothérapeute, sur les productions du sujet. Cet état se caractérise également par la mobilisation de la capacité du sujet à figurer ses objets internes (identifications, imagos, représentants des pulsions).

Le niveau intersubjectif est lié aux caractéristiques du lien spécifique entre le patient hypnotisé et l'hypnothérapeute5 [START_REF] Borch-Jacobsen | L'hypnose dans la psychanalyse[END_REF][START_REF] Chertok | Le non-savoir des psy. L'hypnose entre la psychanalyse et la biologie[END_REF], posant les questions du transfert et de « l'identification » reconnue par Freud comme étant « la forme la plus originaire du lien affectif à l'objet ». 6 Ce niveau interroge également le type de relation d'objet particulier induit par la régression structurelle en état d'hypnose : relation d'objet fusionnelle ou symbiotique [START_REF] Chertok | Le non-savoir des psy. L'hypnose entre la psychanalyse et la biologie[END_REF][START_REF] Michaux | Au-delà de la représentation sociale de l'hypnose. Un phénomène aux formes multiples[END_REF], mobilisant des mécanismes archaïques et une forte émergence en processus primaires. Une implication de ce constat réside dans l'impact de la qualité du lien et des mouvements de type transférentiels sur le vécu du sujet et ses productions imaginatives et discursives.

Le niveau discursif enfin interroge les caractéristiques de la communication et du langage hypnotique, en particulier l'intralocution et la proférence. L'intralocution est une structure de communication dans laquelle le locuteur (hypnothérapeute) se met en position d'énonciateur des états internes et des comportements du destinataire (le sujet). Par l'intralocution, le clinicien énonce le discours interne du patient qui accepte alors de le laisser énoncer ou coénoncer ses états internes, ses vécus, ses comportements [START_REF] Melchior | Vers un modèle communicationnel de l'hypnose[END_REF]. L'intralocution favorise l'estompage des frontières entre les interlocuteurs et le développement d'un échange symbiotique. La proférence, utilisée par le praticien, constitue une infraction aux règles habituelles du langage. Par ce procédé, le langage ne représente pas la réalité, et ne renvoie pasàdes référents déjà là (fonction référentielle), il crée, en partie, ce qu'il énonce [START_REF] Austin | Quand dire, c'est faire[END_REF][START_REF] Melchior | Vers un modèle communicationnel de l'hypnose[END_REF], création amplifiée par un consensus à deux.

Dans ce contexte spécifique, deux niveaux opératoires du langage se dégagent : celui des contenus sémantiques, portant sur le sens des signifiants, et celui des déterminants formels et structurels de l'énoncé. L'induction et les suggestions représentent une forme langagière préconstruite dont le sujet se saisit pour figurer ses contenus internes (états du Moi refoulés ou dissociés ; noyaux archaïques informes en attente de contenus...).

L'intralocution implique que l'auteur des paroles et comportements dans la transe hypnotique n'est pas le sujet lui-même, mais un autre : comme si les paroles ou actes étaient sans auteur, comme spontanés. L'auteur sera alors censé être à la fois le sujet lui-même et un autre, une partie du sujet lui-même prise pour lui tout entier, qui recevra dans l'énoncé hypnotique diverses appellations : « esprit inconscient », « esprit intérieur », « part de soi », représentant le sujet métonymique [START_REF] Melchior | Vers un modèle communicationnel de l'hypnose[END_REF][START_REF] Melchior | Créer le réel[END_REF]. L'utilisation des sujets métonymiques s'inscrit ainsi dans la « stratégie de déresponsabilisation transitoire » opérée par l'hypnose.

Il ne fait pas de doute que les modèles théoriques et thérapeutiques ont un effet sur les phénomènes produits et contribuent à susciter l'émergence des réalités qu'ils observent, ce qui invite à une certaine prudence dans l'appréciation des données cliniques. Appliquée à la thérapie des états du Moi, cette remarque implique que le dispositif contribue à offrir une forme représentationnelle et langagière à ce qu'il énonce, en l'occurrence des états du Moi, par les effets de la proférence et l'accroissement de la suggestibilité en hypnose ( [START_REF] Melchior | Créer le réel[END_REF], p. 469-470). L'écueil serait de n'observer que ce que l'on a contribué à créer : dans le modèle des états du Moi, un sujet métonymique, compris comme une partie du sujet, portant la responsabilité du symptôme ou du comportement.

Au-delà du dispositif spécifique de la thérapie des états du Moi, c'est la question du terme « hypnose » qui est soulevée, avec tout ce que ce signifiant, suffisamment vague, peut véhiculer dans l'imaginaire en termes d'attentes et de croyances.

En tant qu'état de conscience modifiée, l'hypnose peut être considérée comme un état de pure potentialité susceptible de recevoir diverses formes culturellement codifiées [START_REF] Michaux | Au-delà de la représentation sociale de l'hypnose. Un phénomène aux formes multiples[END_REF][START_REF] Jarret | La dialectique du clos et de l'ouvert en psychothérapie de relaxation[END_REF]. Selon les appartenances théoriques ou idéologiques, et les caractéristiques privilégiées, cet état se trouve diversement qualifié. Chaque culture définit des normes visant à institutionnaliser ce phénomène à travers des systèmes de croyances et des rituels, sacrés ou profanes. Ce constat vise à souligner l'importance du fait culturel dans la forme qu'épousent le vécu et les productions du sujet en état de transe hypnotique. En cela aussi le référentiel culturel, théorique, idéologique ou mythologique, contribueàfaire émerger les formes dont il est porteur et les processus qui lui sont attribués, selon une boucle de rétroaction opérante.

Conclusion

L'expérience hypnotique potentialise les processus de figuration et de scénarisation. Par la mise en oeuvre d'interventions spécifiques, dans le modèle des états du Moi, elle rend possible l'expression et le remaniement des liens régissant le groupe interne, et la mobilisation de mécanismes de dégagement. Ces processus passent par la régression contrôlée vers des formations et des processus archaïques, la perte temporelle des limites du Moi et des repères, pour s'organiser progressivement autour de scènes fantasmatiques, dans un cadre thérapeutique suffisamment contenant pour rendre possible la mobilisation des capacités de rêverie et de réorganisation interne.

Nous souscrivons à la définition théorique de Gruenewald [START_REF] Gruenewald | Some thoughts on the distinction between the hypnotic situation and the hypnotic condition[END_REF], qui dans le phénomène hypnotique distingue ce qui relève de la situation d'intersubjectivité et ce qui tient à l'état particulier de la conscience. Cliniquement, ces deux réalités sont inséparables pour rendre compte des phé-

Freud S. Remarques psychanalytiques sur l'autobiographie d'un cas de paranoïa (le Président Schreber)(1911). In: Cinq psychanalyses, ([3], p. 263-324).

Freud S. Un enfant est battu. Contribution à la connaissance de la genèse des perversions sexuelles (1919). In: Névrose, psychose et perversion. ([5], p. 219-243).

Freud, S. Le Moi et le C ¸a (1923). In: Essais de psychanalyse. ([6], p. 243-305).

Freud, S. Psychologie des foules et analyse du Moi (1921). In: Essais de psychanalyse. ([6], p.129-242).

Ibid.

nomènes hypnotiques. Ainsi les productions du sujet en état d'hypnose, loin de ne constituer que des réponses automatiques et désubjectivées à une suggestion fantasmatiquement toute-puissante, sont des réponses coconstruites, déterminées par la qualité de la relation intersubjective et par les effets d'actes langagiers spécifiques. Elles ne prennent sens que dans un cadre relationnel et dans un champ sémantique culturellement codifiés.