Maître De Conférences
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Jouba HMAIDA

Keywords: self-construal, culture, collectivism, individualism

How does culture shape the way we see ourselves? According to Markus and Kitayama's (1991) theory of independent and interdependent self-construals, people from individualistic cultures are more likely to have an independent view of self, whereas people from collectivist cultures are more likely to have an interdependent view of self. Although this theory has important implications for consumer behavior, it has not been adequately researched in the marketing literature. This paper aims to shed some light on the self-construal construct and to provide a synthesis of its applications in consumer behavior.

Introduction

Les théories de la personnalité et de la psychologie sociale en occident ont été basées sur une définition individualiste du soi [START_REF] Triandis | The psychological measurement of cultural syndromes[END_REF]. Dans cette définition de la personne, l'individu est considéré comme autonome, unique et indépendant des autres (Geertz, 1984). Il est moralement et légalement prioritaire à la société et peut intégrer ou quitter librement des relations ou des rôles sociaux [START_REF] Lukes | Individualism[END_REF]. Ce modèle individualiste du soi n'est pas adapté à la plupart des cultures collectivistes où la personne est considérée comme liée aux autres et fondamentalement ancrée dans un large réseau social [START_REF] Triandis | The self and social behavior in differing cultural contexts[END_REF]. De ce fait, [START_REF] Markus | Culture and the self: Implications for cognition, emotion and motivation[END_REF] ont proposé les notions de conception de soi indépendante et de conception de soi interdépendante afin de désigner les différences culturelles concernant la manière dont les individus se définissent et définissent leurs relations avec les autres, en particulier les groupes auxquels ils appartiennent (famille, amis, collègues, etc.). Dans la plupart des cultures individualistes, les individus ont tendance à avoir une conception de soi indépendante, qui met l'accent sur l'unicité de l'individu et son indépendance des autres. En revanche, dans les cultures collectivistes, les individus ont tendance à avoir une conception de soi interdépendante, qui insiste sur les liens sociaux et les relations de groupe [START_REF] Singelis | The measurement of independent and interdependent self-construals[END_REF].

En psychologie sociale, plusieurs travaux ont examiné l'impact de la conception de soi sur différentes variables individuelles comme l'évaluation de la satisfaction dans la vie [START_REF] Suh | From culture to priming conditions: Selfconstrual influences on life satisfaction judgments[END_REF], le sentiment de compassion envers soi [START_REF] Neff | Self-compassion and self-construal in the United-States, Thailand, and Taiwan[END_REF], l'estime de soi [START_REF] Kitayama | Individual and collective processes in the construction of the self: Self-enhancement in the United States and self-criticism in Japan[END_REF], le sentiment d'embarras [START_REF] Singelis | Culture, self-construal, and embarrassability[END_REF], la motivation intrinsèque [START_REF] Iyengar | Rethinking the value of choice: A cultural perspective on intrinsic motivation[END_REF] et la valorisation du soi [START_REF] Heine | Is there a universal need for positive self-regard?[END_REF][START_REF] Kitayama | Individual and collective processes in the construction of the self: Self-enhancement in the United States and self-criticism in Japan[END_REF]. La conception de soi a également suscité l'intérêt des chercheurs en marketing puisque cette différence individuelle [START_REF] Singelis | The measurement of independent and interdependent self-construals[END_REF] semble agir sur le comportement du consommateur. En effet, des études ont montré que la conception de soi influence différentes variables comme les réponses aux messages publicitaires [START_REF] Aaker | I seek pleasures and we avoid pains: the role of selfregulatory goals in information processing and persuasion[END_REF], l'achat impulsif [START_REF] Kacen | The influence of culture on consumer impulsive buying behavior[END_REF][START_REF] Zhang | The influence of self-construal on impulsive consumption[END_REF], l'évaluation des extensions de marque [START_REF] Ahluwalia | How far can a brand stretch? understanding the role of self-construal[END_REF][START_REF] Monga | Cultural differences in brand extension evaluation: The influence of analytic versus holistic thinking[END_REF] ou la connaissance de la marque [START_REF] Ng | Exemplars or beliefs? The impact of self-view on the nature and relative influence of brand associations[END_REF].

Le nombre de publications en anglais au sujet de la conception de soi reflète son intérêt pour la recherche marketing. Cependant, ce concept important dans l'étude du comportement du consommateur, demeure encore méconnu dans la littérature marketing en français. L'objectif de cet article est justement de proposer une clarification de la notion de conception de soi ainsi qu'une synthèse structurée des différentes recherches en marketing qui l'ont mobilisée.

Cet article de synthèse s'organise en quatre parties. Tout d'abord, nous définirons le construit de la conception de soi en le distinguant de ses antécédents l'individualisme et le collectivisme et en présentant les différentes échelles et techniques pour le mesurer. Ensuite, nous dresserons l'inventaire des conséquences présumées de la conception de soi sur certains processus cognitifs, émotionnels et motivationnels. Puis, nous proposerons une synthèse des principales recherches qui l'ont mobilisé en comportement du consommateur. Enfin, nous conclurons par les principales critiques portées au construit de la conception de soi et les voies de recherche.

Le construit de la conception de soi

Lorsqu'ils répondent à la question « qui suis-je? », certains individus ont tendance à se décrire à travers leurs relations importantes, leurs groupes d'appartenance ou leurs rôles sociaux (e.g. je suis maman, je suis professeur, je suis basque), tandis que d'autres ont tendance à se définir en se référant à leurs traits physiques ou psychologiques (e.g. je suis timide, brun, ambitieux). Dans la littérature en psychologie sociale et interculturelle, les chercheurs désignent cette distinction par plusieurs construits comme l'égocentrisme et le sociocentrisme [START_REF] Shweder | Does the concept of the person vary cross-culturally?[END_REF], le soi collectif et le soi individuel [START_REF] Trafimow | Some tests of the distinction between the private self and collective self[END_REF], ou bien la conception de soi indépendante et la conception de soi interdépendante [START_REF] Markus | Culture and the self: Implications for cognition, emotion and motivation[END_REF]. C'est cette dernière qui fera l'objet de notre développement dans la mesure où elle a été adoptée dans plusieurs travaux en Marketing (e.g. [START_REF] Aaker | I seek pleasures and we avoid pains: the role of selfregulatory goals in information processing and persuasion[END_REF][START_REF] Aaker | The Effect of cultural orientation on persuasion[END_REF][START_REF] Agrawal | The effects of self-construal and commitment on persuasion[END_REF][START_REF] Ahluwalia | How far can a brand stretch? understanding the role of self-construal[END_REF][START_REF] Ng | Exemplars or beliefs? The impact of self-view on the nature and relative influence of brand associations[END_REF].

La conception de soi est définie comme « une constellation de pensées, sentiments et actions qui concernent d'une part la relation du soi avec les autres et d'autre part le soi comme une unité distincte des autres » (Singelis, 1994, 581). Cette définition renvoie aux deux dimensions de la conception de soi distinguées dans la littérature, à savoir la conception de soi indépendante et la conception de soi interdépendante [START_REF] Aaker | Culture-dependent assimilation and differentiation of the self: preference for consumption symbols in the United States and China[END_REF][START_REF] Markus | Culture and the self: Implications for cognition, emotion and motivation[END_REF][START_REF] Ng | Exemplars or beliefs? The impact of self-view on the nature and relative influence of brand associations[END_REF][START_REF] Singelis | The measurement of independent and interdependent self-construals[END_REF].

La conception de soi indépendante et la conception de soi interdépendante

La conception de soi interdépendante se réfère à un soi flexible et variable qui met l'accent sur les statuts, les rôles et les relations sociales [START_REF] Markus | Culture and the self: Implications for cognition, emotion and motivation[END_REF][START_REF] Singelis | The measurement of independent and interdependent self-construals[END_REF]. Les interdépendants (i.e., individus ayant une conception de soi interdépendante) ont le sentiment que le soi ne peut pas être séparé des autres ou du contexte social [START_REF] Singelis | Culture, self-construal, and embarrassability[END_REF]. Par conséquent, les autres constituent une source de définition du soi (e.g. je suis membre d'un club de rugby, je suis généreux avec mes amis). L'estime du soi chez les interdépendants émane de la capacité à s'adapter aux différentes situations et à entretenir des relations harmonieuses avec autrui [START_REF] Markus | Culture and the self: Implications for cognition, emotion and motivation[END_REF]. Aussi, réguler l'expression des émotions pour maintenir l'harmonie du groupe est considéré comme un signe de maturité [START_REF] Cross | The what, how, why, and where of selfconstrual[END_REF].

Pour la conception de soi indépendante, elle se réfère à un soi limité, unitaire, stable et séparé du contexte social [START_REF] Markus | Culture and the self: Implications for cognition, emotion and motivation[END_REF][START_REF] Singelis | The measurement of independent and interdependent self-construals[END_REF]. Les indépendants (i.e., individus ayant une conception de soi indépendante) se définissent en se référant davantage à leurs propres traits ou à des attributs qui les différencient des autres qu'à leurs relations avec les autres ou à un contexte particulier (e.g. je suis ambitieux, je suis particulièrement sensible). Ainsi, pour les indépendants, montrer son caractère unique est une base de l'estime de soi [START_REF] Markus | Culture and the self: Implications for cognition, emotion and motivation[END_REF]. Par ailleurs, avoir un comportement cohérent à travers les situations et communiquer de manière affirmée sont considérés comme des signes de maturité [START_REF] Cross | The what, how, why, and where of selfconstrual[END_REF]. Un comportement qui change en fonction de la situation est considéré comme hypocrite ou pathologique par les indépendants [START_REF] De Mooij | Global marketing and advertising : Understanding cultural paradoxes[END_REF].

La conception de soi et l'individualisme/collectivisme

La majorité des chercheurs sur la conception de soi s'accordent sur le fait que la conception de soi indépendante a tendance à se développer davantage dans les cultures individualistes, alors que la conception de soi interdépendante concerne surtout les cultures collectivistes (e.g. [START_REF] Aaker | The Effect of cultural orientation on persuasion[END_REF][START_REF] Hardin | Factor structure of the self-construal scale: implications for the multi-dimensionality of self-construal[END_REF]Nisbett et al., 2001 ;[START_REF] Singelis | The measurement of independent and interdependent self-construals[END_REF][START_REF] Singelis | Culture, self-construal, and embarrassability[END_REF]. L'idée principale de Markus et Kitayama (1991) est que chaque individu nait forcément dans une culture donnée et hérite par conséquent du répertoire de valeurs partagé par les membres de cette culture. Dans les cultures individualistes, les enfants sont incités à développer une identité qui leur permet de s'adapter aux différents contextes sociaux indépendamment de la famille, alors que dans les cultures collectivistes, les enfants sont encouragés à être très interdépendants avec leur famille [START_REF] Triandis | The self and social behavior in differing cultural contexts[END_REF]. Ainsi, une étude de Tardiff et al. (2008) a révélé que les dix premiers mots des bébés chinois sont relatifs aux personnes, alors que ceux des bébés américains concernent les objets. Ces valeurs apprises dès l'enfance définissent les normes et les limites du comportement individuel. Ainsi, les valeurs individualistes incitent à être indépendant, unique, autonome et encouragent la formation de la conception de soi indépendante. En revanche, les valeurs collectivistes incitent à la cohésion, à l'harmonie et à maintenir l'interdépendance avec les autres, encourageant ainsi un soi interdépendant des autres [START_REF] Markus | Culture and the self: Implications for cognition, emotion and motivation[END_REF]. Dans une étude réalisée sur des étudiants en Grèce et au Royaume-Uni, [START_REF] Nezlek | Emotions in everyday social encounters[END_REF] ont examiné les relations entre la conception de soi et l'expérience de certaines émotions (e.g. le bonheur, l'enthousiasme, anxiété, tristesse) lors des interactions sociales. Ils ont constaté que les étudiants anglais lient positivement le sentiment d'être heureux et d'être enthousiaste au sentiment d'indépendance contrairement aux étudiants grecs. Enfin, dans une étude interculturelle, le psychologue Ellsworth1 a montré à des participants américains et chinois un dessin représentant un poisson nageant loin de son groupe. Les américains ont interprété positivement le dessin : un poisson qui essaye de « voler de ses propres ailes ». En revanche, les chinois l'ont interprété négativement : un poisson chassé par le groupe. De la même manière, lorsque le chercheur a montré un dessin avec un groupe de poissons se dirigeant vers un poisson seul, les chinois l'ont interprété comme une rencontre heureuse, alors que les américains l'ont considéré comme une menace pour le poisson isolé.

Même si les conceptions de soi sont en grande partie déterminées par la culture, les chercheurs s'accordent sur le fait que les deux conceptions de soi coexistent chez une même personne et chacune peut être rendue accessible en fonction du contexte [START_REF] Brewer | Who is this "we"? levels of collective identity and self representations[END_REF][START_REF] Gardner | I value freedom, but we value relationships: Self-construal priming mirrors cultural differences in judgment[END_REF]. En effet, une conception de soi différente de la conception de soi chronique peut être activée à travers les techniques d'amorçage. Par exemple, activer la conception de soi interdépendante chez des participants américains (indépendants) en leur demandant de lire une histoire qui met l'accent sur les obligations familiales [START_REF] Aaker | I seek pleasures and we avoid pains: the role of selfregulatory goals in information processing and persuasion[END_REF].

Les mesures de la conception de soi

Les frontières entre les dimensions indépendance/interdépendance et les dimensions individualisme/collectivisme sont parfois floues concernant leur mesure. En effet, les dimensions culturelles individualisme/collectivisme sont souvent mesurées à partir de la moyenne des réponses d'individus à des échelles auto-administrées. De plus, certaines de ces échelles partagent des items avec des échelles de mesure de la conception de soi [START_REF] Cross | The what, how, why, and where of selfconstrual[END_REF]. Cependant, la distinction conceptuelle subsiste dans la littérature. Les dimensions individualisme/collectivisme sont utilisées pour décrire les cultures, alors que les dimensions indépendance/interdépendance sont utilisées pour décrire les individus [START_REF] Yamada | Biculturalism and self-construal[END_REF]. Plus une culture est individualiste, plus les personnes qui la composent ont une conception de soi indépendante. En revanche, plus une culture est collectiviste, plus les personnes qui la composent sont interdépendants [START_REF] Kim | Individual vs. culture-level dimensions of individualism and collectivism: Effects on preferred conversation styles[END_REF]. Il est important de noter aussi que la conception de soi est uniquement un attribut parmi plusieurs autres attributs qui distinguent les cultures collectivistes et les cultures individualistes [START_REF] Triandis | Individualism and collectivism[END_REF].

Trois mesures sont utilisées principalement pour mesurer la conception de soi :  L'échelle « Twenty Statement Test » ou « TST » de [START_REF] Kuhn | An empirical investigation of self-attitudes[END_REF] Dans sa forme originale, cette méthode développée par [START_REF] Bugental | Investigation into the self-concept: the WAY technique[END_REF] consiste à demander aux personnes interrogées de se décrire telles qu'elles se perçoivent. Elles doivent formuler uniquement trois réponses à l'unique question « qui es-tu » et chacune des trois réponses peut être constituée d'un seul mot ou d'une phrase complète. Diverses adaptations de la forme originale sont apparues. La version la plus connue est le « Twenty Statement Test » de [START_REF] Kuhn | An empirical investigation of self-attitudes[END_REF]. Cette échelle consiste à demander vingt réponses à la question « qui suis-je » en douze minutes. Les réponses sont ensuite codées comme indépendantes si elles décrivent un attribut personnel (e.g. trait, capacité, description physique ou attitude). Elles sont codées comme interdépendantes si elles décrivent un rôle dans une relation (je suis père de deux enfants) ou une appartenance à un groupe social (e.g. je suis membre d'un club).

 L'échelle de Singelis (1994) L'échelle de [START_REF] Singelis | The measurement of independent and interdependent self-construals[END_REF] est l'échelle la plus connue pour mesurer la conception de soi. Cette échelle comprend deux dimensions. La première dimension est composée de douze items qui font référence à la conception de soi interdépendante (e.g. pour moi, il est important de maintenir l'harmonie au sein de mon groupe). La deuxième dimension est composée également de douze items qui font référence à la conception de soi interdépendante (e.g. cela me plaît d'être unique et différent des autres sur plusieurs aspects). Les répondants doivent noter les items sur une échelle de type Likert à sept points, allant de (1) = pas du tout d'accord à (7) = tout à fait d'accord. L'alpha de Cronbach est de 0,73 pour la dimension interdépendante et de 0,69 pour la dimension indépendante.

 L'échelle de Gudykunst et al. (1996)

Cette échelle comprend 29 items. 14 items pour la dimension indépendance et 15 items pour la dimension interdépendance. Les données ayant permis de créer l'échelle ont été collectées dans quatre pays (Japon, Corée, Australie et USA). Les alphas de Cronbach se situent entre 0,80 (USA) et 0,85 (Corée) pour la dimension indépendance et entre 0,73 (Corée) et 0,83 (Australie) pour la dimension interdépendance. [START_REF] Hackman | Self-construal orientation: Validation of an instrument and a study of the relationship to leadership communication style[END_REF] ont proposé une version plus courte de cette échelle, composée de 23 items. 12 items pour l'interdépendance et 11 items pour l'indépendance. Les données ont été collectées dans trois pays (Kirghizistan, USA et Nouvelle Zélande). Les alphas de Cronbach constatés se situent entre 0,78 (Kirghizistan) et 0,86 (Nouvelle Zélande) pour la dimension interdépendance et entre 0,77 (Kirghizistan) et 0,89 (USA) pour la dimension indépendance. Bargh et Huang (2009, 128) définissent l'amorçage comme « l'activation passive, subtile et discrète de représentations mentales données par des stimuli environnementaux externes, de manière à ce que les individus qui subissent l'amorçage ne soient pas conscients de l'influence exercée par ces stimuli ». L'utilisation des techniques d'amorçage pour la conception de soi est basée sur le postulat que tout individu a les deux facettes indépendance et interdépendance [START_REF] Aaker | I seek pleasures and we avoid pains: the role of selfregulatory goals in information processing and persuasion[END_REF][START_REF] Brewer | Who is this "we"? levels of collective identity and self representations[END_REF][START_REF] Yamada | Biculturalism and self-construal[END_REF]. Cependant, une personne sera davantage indépendante ou interdépendante en fonction des normes de sa culture, qui vont influencer l'accessibilité et le degré d'élaboration de ces deux facettes [START_REF] Markus | Culture and the self: Implications for cognition, emotion and motivation[END_REF]. Les techniques d'amorçage permettent d'accéder temporairement à la facette indépendante ou interdépendante du soi et examiner son influence sur différentes variables (e.g. [START_REF] Agrawal | The effects of self-construal and commitment on persuasion[END_REF][START_REF] Gardner | I value freedom, but we value relationships: Self-construal priming mirrors cultural differences in judgment[END_REF][START_REF] Mandel | Shifting selves and decision making[END_REF][START_REF] Ng | Exemplars or beliefs? The impact of self-view on the nature and relative influence of brand associations[END_REF].

 Les techniques d'amorçage

Les deux techniques d'amorçage qui ont le plus d'effet d'après une méta-analyse de [START_REF] Oyserman | Does culture influence what and how we think? Effects of priming individualism and collectivism[END_REF] ont été proposées par [START_REF] Trafimow | Some tests of the distinction between the private self and collective self[END_REF]. Dans la première technique « similar/different », ces derniers ont demandé à des participants chinois de penser à ce qui les différencie de leur amis et des membres de leur famille afin d'amorcer l'indépendance. En revanche, pour activer l'interdépendance, ils ont demandé à des participants américains de penser aux similitudes avec leurs amis et les membres de leur famille. Dans la deuxième technique « Sumerian warrior », des participants américains ont lu une histoire sur un dirigeant militaire qui doit choisir un général pour diriger des troupes en guerre. La fin de l'histoire a été modifiée selon le type d'amorçage désiré. Pour l'amorçage indépendant, le dirigeant militaire choisit un général talentueux sur la base de préoccupations personnelles (i.e., avoir plus de pouvoir et de prestige). Pour l'amorçage interdépendant, le dirigeant choisit comme général un membre de sa famille sur la base de préoccupations collectives (i.e., montrer sa loyauté à sa famille, augmenter le pouvoir et le prestige de sa famille). Dans les deux techniques, les participants ont répondu au test « TST » de [START_REF] Kuhn | An empirical investigation of self-attitudes[END_REF] après l'amorçage, afin de mesurer leur conception de soi. Les résultats des deux expériences ont confirmé les effets attendus de l'amorçage. Les participants ayant subi un amorçage indépendant ont produit plus de cognitions relatives au soi indépendant, alors que les participants ayant subi l'amorçage interdépendant ont produit plus de cognitions interdépendantes.

Gardner, Gabriel et Lee (1999) ont également manipulé la conception de soi avec succès en utilisant la technique de recherche de mots « word search task ». Cette technique consiste à demander aux répondants de lire une des deux versions d'une histoire décrivant un voyage vers une ville et entourer tous les pronoms. Les deux versions diffèrent uniquement selon le type de pronoms employés : des pronoms indépendants (e.g. je, moi, mien) pour l'amorçage de la conception de soi indépendante et des pronoms interdépendants (e.g. nous, nos, notre) pour l'amorçage de la conception de soi interdépendante. Une fois le test réalisé, la conception de soi est mesuré avec le test « TST ». Ainsi, Gardner, Gabriel et Lee (1999) ont constaté que les participants ayant subi l'amorçage interdépendant se définissaient davantage par rapport à leurs relations sociales que ceux ayant subi l'amorçage indépendant.

Les conséquences cognitives, émotionnelles et comportementales de la conception de soi 1. Les conséquences cognitives

Selon [START_REF] Markus | Culture and the self: Implications for cognition, emotion and motivation[END_REF], les interdépendants se définissent principalement en fonction des autres et du contexte social, ce qui engendre trois conséquences cognitives importantes. Premièrement, les personnes avec une conception de soi interdépendante sont plus susceptibles d'être attentives et sensibles aux autres que les indépendants, ce qui implique une plus grande élaboration cognitive de l'autre ou du soi en relation avec autrui. Deuxièmement, pour les interdépendants, l'unité de représentation du soi et des autres a tendance à inclure un contexte social relativement spécifique dans lequel le soi et les autres sont ancrés. Ainsi, la connaissance concernant le soi ou les autres n'est pas abstraite et généralisée à travers les contextes mais elle est spécifique au contexte concerné. Par exemple, au lieu de dire que telle personne est généreuse, les interdépendants diront plutôt que telle personne invite tout le monde lorsqu'elle sort avec ses amis. Troisièmement, la considération du contexte social et la réaction des autres influencent certaines activités cognitives basiques et non sociales comme la catégorisation. [START_REF] Chiu | A cross-cultural comparison of cognitive styles in Chinese and American children[END_REF], par exemple, a constaté lors d'un test de catégorisation que les enfants chinois ont davantage tendance à catégoriser les objets sur la base des relations partagées (e.g. plat et cuillère, car on utilise la cuillère pour manger dans un plat), alors que les enfants américains ont tendance à les catégoriser selon la similarité des attributs ou l'appartenance à une catégorie (e.g. moto et voiture, car les deux sont des moyens de transport).

Les conséquences émotionnelles

Selon [START_REF] Markus | Culture and the self: Implications for cognition, emotion and motivation[END_REF], les processus émotionnels diffèrent selon la nature de la conception de soi. Les auteurs distinguent les émotions focalisées sur le soi et les émotions focalisées sur les autres. Les émotions focalisées sur le soi (e.g. la colère, la frustration et la fierté) ont comme référence les attributs internes de l'individu (e.g. besoins, buts, désirs, capacités) et résultent soit du blocage, de la satisfaction ou de la confirmation des attributs internes. En revanche, d'autres émotions sont focalisées sur les autres (e.g. la sympathie, la honte) et se référent plus aux autres qu'aux attributs internes de l'individu. Ces émotions résultent de la sensibilité aux autres, de la prise en considération de leur point de vue et du désir de développer l'interdépendance avec eux. [START_REF] Markus | Culture and the self: Implications for cognition, emotion and motivation[END_REF] estiment que les indépendants sont plus susceptibles d'exprimer et d'éprouver des émotions focalisées sur le soi, alors que les interdépendants sont davantage susceptibles d'exprimer des émotions focalisées sur les autres. Aussi, les auteurs estiment que les indépendants et les interdépendants ont tendance à ne pas exprimer et éprouver les mêmes émotions avec la même intensité. Par exemple, les interdépendants sont censés éprouver moins souvent et moins intensément la colère que les indépendants.

Les conséquences motivationnelles

Markus et [START_REF] Markus | Culture and the self: Implications for cognition, emotion and motivation[END_REF] estiment que les processus motivationnels dépendent également de la nature de la conception de soi. D'après ces auteurs, les sources de motivation des indépendants émanent principalement des besoins internes comme le besoin de développer l'estime de soi, d'accomplir des choses importantes, d'éviter le conflit interne ou de se réaliser. En revanche, pour les interdépendants, les autres jouent un rôle important dans la motivation [START_REF] Markus | Culture and the self: Implications for cognition, emotion and motivation[END_REF]. Trois conséquences principales découlent de ces différences : premièrement, on s'attend à ce que les interdépendants éprouvent davantage de motivations sociales ou qui ont les autres comme référence que les indépendants. Ainsi, [START_REF] Bond | The psychology of the Chinese people[END_REF] a constaté que les chinois (interdépendants) montrent un niveau élevé d'accomplissement social afin de répondre aux attentes des autres comme la famille. En revanche, ils montrent un niveau faible d'accomplissement individuel qui implique que l'individu cherche à répondre à des standards internes d'excellence. Deuxièmement, chez les indépendants, la capacité d'initiative serait vécue comme un effort d'exprimer ses besoins intrinsèques, ses droits et de résister à la pression sociale. En revanche, chez les interdépendants, la capacité d'initiative serait vécue comme un effort d'être réceptif aux autres, de s'ajuster à leurs besoins et de restreindre ses propres besoins ou désirs [START_REF] Markus | Culture and the self: Implications for cognition, emotion and motivation[END_REF]. Troisièmement, les motivations liées au soi comme l'estime de soi, la valorisation ou l'affirmation du soi pourraient avoir différentes formes en fonction de la nature du soi. Ainsi, chez les interdépendants, une opinion positive du soi émanerait davantage de la réalisation des tâches associées au fait d'être interdépendant comme appartenir, s'adapter, occuper sa propre place et maintenir l'harmonie avec les autres. En revanche, chez les indépendants, maintenir une image positive du soi exigerait d'accomplir les tâches liées à la conception de soi indépendante comme être unique, exprimer ses attributs internes et s'affirmer [START_REF] Markus | Culture and the self: Implications for cognition, emotion and motivation[END_REF].

La conception de soi dans la recherche en comportement du consommateur

Plusieurs études ont révélé des différences entre indépendants et interdépendants sur différents aspects du comportement du consommateur comme les réactions aux messages publicitaires [START_REF] Wang | Alternative modes of selfconstrual: dimensions of connectedness-separateness and advertising appeals to the cultural and gender-specific self[END_REF], l'attitude à l'égard de la marque [START_REF] Ng | Exemplars or beliefs? The impact of self-view on the nature and relative influence of brand associations[END_REF], l'évaluation des extensions de marque [START_REF] Ahluwalia | How far can a brand stretch? understanding the role of self-construal[END_REF] et la prise de décision [START_REF] Mandel | Shifting selves and decision making[END_REF]. Dans de nombreuses recherches, ces différences sont imputées aux différences de style de réflexion entre indépendants et interdépendants [START_REF] Nisbett | Culture and systems of thought: Holistic versus analytic cognition[END_REF]. En effet, les indépendants ont tendance à avoir un mode de réflexion analytique, abstrait, indépendant du contexte, alors que les interdépendants ont davantage un style de pensée holistique, concret et dépendant du contexte (e.g. [START_REF] Choi | Causal attribution across cultures: variation and universality[END_REF][START_REF] Masuda | Attending holistically versus analytically: Comparing the context sensitivity of Japanese and Americans[END_REF][START_REF] Nisbett | Culture and systems of thought: Holistic versus analytic cognition[END_REF]. Ainsi, les indépendants ont tendance à se focaliser sur les attributs des objets, à les détacher de leur contexte et à les assigner dans des catégories. En revanche, les interdépendants ont tendance à se focaliser sur les relations entre les objets d'une part, et les relations entre les objets et leur contexte d'autre part, et à essayer d'expliquer et prévoir les événements en se basant sur ces relations [START_REF] Cousins | Culture and self-perception in Japan and the United States[END_REF][START_REF] Nisbett | Culture and systems of thought: Holistic versus analytic cognition[END_REF].

Les recherches relatives à la conception de soi se sont notamment intéressées à son influence sur la catégorisation des marques et l'évaluation des extensions de marques (e.g. [START_REF] Jain | The influence of chronic and situational selfconstrual on categorization[END_REF][START_REF] Ahluwalia | How far can a brand stretch? understanding the role of self-construal[END_REF], la persuasion publicitaire (e.g. [START_REF] Han | Persuasion and culture: Advertising appeals in individualistic and collectivistic societies[END_REF], l'orientation régulatrice (e.g. [START_REF] Aaker | I seek pleasures and we avoid pains: the role of selfregulatory goals in information processing and persuasion[END_REF], la relation marque-consommateur (e.g. [START_REF] Escalas | Self-construal, reference groups, and brand meaning[END_REF] et le comportement d'achat [START_REF] Kacen | The influence of culture on consumer impulsive buying behavior[END_REF]. Nous reviendrons en détail dans ce qui suit sur ces différents domaines d'utilisation de la conception de soi.

La catégorisation des produits et des marques et l'évaluation des extensions de marques

Les différences entre indépendants et interdépendants dans la considération du contexte semblent influencer la catégorisation des produits et des marques [START_REF] Ng | Exemplars or beliefs? The impact of self-view on the nature and relative influence of brand associations[END_REF]. En effet, les interdépendants catégorisent davantage les marques selon l'occasion d'usage, alors que les indépendants catégorisent davantage les marques selon les attributs ou la catégorie de produit [START_REF] Ng | Exemplars or beliefs? The impact of self-view on the nature and relative influence of brand associations[END_REF]. Les interdépendants ont aussi davantage tendance à percevoir des produits appariés comme différents au niveau supérieur de catégorisation, contrairement aux indépendants qui perçoivent plus de similarité [START_REF] Jain | The influence of chronic and situational selfconstrual on categorization[END_REF]. Ces différences sont liées au fait que les indépendants créent des catégories en se basant sur la similarité des attributs. En effet, dans la mesure où les caractéristiques ne sont pas uniques et peuvent concerner plusieurs produits, ils ont tendance à créer moins de catégories mais dont le contenu est plus riche. Par conséquent, les indépendants perçoivent plus de similarité entre les produits appariés à un niveau supérieur de catégorisation que les interdépendants [START_REF] Jain | The influence of chronic and situational selfconstrual on categorization[END_REF].

Les différences de catégorisation entre indépendants et interdépendants influencent également l'évaluation des extensions de marques [START_REF] Ahluwalia | How far can a brand stretch? understanding the role of self-construal[END_REF]. Ainsi, les interdépendants, caractérisés par une réflexion holistique ont tendance à percevoir plus de fit entre l'extension et la marque mère et à évaluer les extensions plus favorablement que les consommateurs indépendants, caractérisés par une réflexion analytique [START_REF] Monga | Consumer response to brand extensions: Does culture matter[END_REF]2007). En effet, le soi interdépendant met davantage l'accent sur les relations et rend plus apte à deviner la relation entre l'extension et la marque-mère, augmentant par conséquent le fit perçu de l'extension et la probabilité qu'elle soit acceptée par les consommateurs [START_REF] Ahluwalia | How far can a brand stretch? understanding the role of self-construal[END_REF]. Par ailleurs, [START_REF] Yoon | Cross-cultural differences in brand extension evaluations: The effects of holistic and analytical processing[END_REF] ont constaté que lorsque le fit perçu entre l'extension et la marque-mère est élevé, les consommateurs interdépendants évaluent l'extension favorablement de la même manière que les consommateurs indépendants. Cependant, lorsque le fit perçu diminue, les consommateurs interdépendants ont tendance à incorporer des informations négatives et à évaluer l'extension moins favorablement que les consommateurs indépendants.

La persuasion publicitaire

Les indépendants et les interdépendants ne réagissent pas de la même manière aux messages publicitaires. [START_REF] Han | Persuasion and culture: Advertising appeals in individualistic and collectivistic societies[END_REF] ont démontré que les publicités qui utilisent des appels mettant l'accent sur les bénéfices individualistes sont plus persuasives pour les indépendants que pour les interdépendants. En revanche, les publicités qui mettent l'accent sur les bénéfices pour la famille et le groupe d'appartenance sont moins persuasives pour les indépendants en comparaison des interdépendants. [START_REF] Wang | Alternative modes of selfconstrual: dimensions of connectedness-separateness and advertising appeals to the cultural and gender-specific self[END_REF] ont également constaté que l'attitude des interdépendants est favorablement influencée par les axes publicitaires mettant l'accent sur les autres, alors que celle des indépendants est positivement influencée par les axes publicitaires mettant l'accent sur l'individu. Cependant, une étude réalisée par [START_REF] Aaker | Empathy versus pride: the influence of emotional appeals across cultures[END_REF], auprès d'étudiants en Chine et aux Etats-Unis, a révélé des résultats contraires. En effet, ces auteurs ont constaté que les publicités basées sur les émotions associées aux autres (e.g. empathie, honte) influencent plus favorablement l'attitude des indépendants comparées aux publicités basées sur les émotions associées au soi (e.g. fierté, frustration). En revanche, les publicités focalisées sur les émotions associées au soi influencent plus favorablement l'attitude des interdépendants que celles focalisées sur les émotions liées aux autres. Par ailleurs, [START_REF] Agrawal | The effects of self-construal and commitment on persuasion[END_REF] ont examiné l'effet de l'engagement du consommateur envers la marque comme une variable modératrice de la relation entre la conception de soi et la persuasion publicitaire. Les résultats de deux études réalisées respectivement au Népal et aux Etats-Unis ont révélé que lorsque les consommateurs sont très engagés envers la marque, les axes publicitaires cohérents avec la conception de soi chronique (indépendante ou interdépendante) sont davantage efficaces. En revanche, lorsque l'engagement envers la marque est faible, les axes publicitaires cohérents avec la conception de soi amorcée sont davantage efficaces.

L'orientation régulatrice

La théorie de l'orientation régulatrice « regulatory focus » de [START_REF] Higgins | Beyond pleasure and pain[END_REF] est basée sur le principe selon lequel les individus cherchent le plaisir et évitent la souffrance. Elle fait une distinction entre les buts de promotion ou de recherche du plaisir (e.g. accomplissements) et les buts de prévention ou d'évitement de la souffrance (e.g. sécurité). Certaines études ont lié la théorie de l'orientation régulatrice à la conception de soi. Ainsi, [START_REF] Aaker | I seek pleasures and we avoid pains: the role of selfregulatory goals in information processing and persuasion[END_REF] ont démontré que les buts associés à des besoins de promotion et de prévention influencent la persuasion et que la conception de soi modère leur impact. En effet, les indépendants sont davantage persuadés par les informations focalisées sur la promotion (e.g. réussites, réalisations possibles), qui sont cohérentes avec un but de recherche de plaisir, alors que les interdépendants sont plus persuadés par les informations focalisées sur la prévention (e.g. sécurité, désagréments à éviter), qui sont cohérentes avec un but d'évitement de la souffrance.

En partant de l'hypothèse que les indépendants sont attirés par les buts de promotion et les interdépendants par les buts de prévention, [START_REF] Zhang | The attractiveness of enriched and impoverished options: Culture, self-construal, and regulatory focus[END_REF] ont examiné l'influence de la conception de soi sur l'évaluation des options enrichies « enriched » et des options appauvries « impoverished », au travers d'une étude interculturelle menée en Chine et aux Etats-Unis. Dans la littérature, une option enrichie a des valeurs extrêmes pour tous ses attributs, certaines sont supérieures à la moyenne et d'autres inférieures à la moyenne, alors qu'une option appauvrie a des valeurs moyennes pour tous ses attributs. [START_REF] Zhang | The attractiveness of enriched and impoverished options: Culture, self-construal, and regulatory focus[END_REF] donne l'exemple d'un consommateur qui doit décider entre deux restaurants. Le premier restaurant est supérieur à la moyenne en ce qui concerne le service et la qualité de la cuisine, mais inférieur à la moyenne en ce qui concerne le temps d'attente et l'ambiance. Le deuxième restaurant est moyen au niveau du service, de la qualité de cuisine, du temps d'attente et de l'ambiance. Dans ce cas, le premier restaurant est un exemple d'une option enrichie et le deuxième restaurant d'une option appauvrie. Les auteurs ont démontré que lorsque la conception de soi indépendante est activée ou prédominante, les individus ont tendance à donner plus d'importance aux attributs positifs qu'aux attributs négatifs, car ils sont plus cohérents avec les buts de promotion. Dans ce cas, l'option enrichie est perçue comme plus attractive que l'option appauvrie. En revanche, lorsque la conception de soi interdépendante est activée, les individus ont tendance à donner plus d'importance aux attributs négatifs par rapport aux attributs positifs, car ils sont cohérents avec les buts de prévention. Dans ce cas, l'option enrichie est perçue comme moins attractive que l'option appauvrie.

Enfin, [START_REF] Hamilton | Achieving your goals or protecting their future? The effects of self-view on goals and choices[END_REF] ont démontré que l'orientation régulatrice est une variable médiatrice de la relation entre la conception de soi et le choix du consommateur. En effet, ces auteurs ont révélé que lorsque la conception de soi interdépendante est amorcée avec des publicités qui mettent l'accent sur les relations, les participants sont davantage attirés par les produits qui offrent des bénéfices liés à la prévention (i.e., éviter les pertes). En revanche, lorsque la conception de soi indépendante est activée avec des publicités qui mettent l'accent sur le soi, les participants sont davantage attirés par les produits qui offrent des bénéfices liés à la promotion (i.e., maximiser les gains).

La relation marque-consommateur

La conception de soi influence également l'attitude des consommateurs à l'égard de la marque. [START_REF] Ng | Exemplars or beliefs? The impact of self-view on the nature and relative influence of brand associations[END_REF] se sont intéressés à l'influence de la conception de soi sur les associations à la marque et sur l'attitude à l'égard de la marque. L'étude menée sur des étudiants singapouriens (interdépendants) et américains (indépendants) a révélé que lorsqu'ils pensent à une marque, les indépendants ont tendance à penser à des associations plus abstraites de la marque (i.e., évaluatives ou descriptives de la marque), alors que les interdépendants ont tendance à penser à des associations plus concrètes de la marque (i.e., produits spécifiques de la marque). Les auteurs ont également constaté que l'attitude des indépendants est davantage influencée par les associations abstraites de la marque, alors que celle des interdépendants est davantage influencée par les associations concrètes de la marque.

Par ailleurs, [START_REF] Escalas | Self-construal, reference groups, and brand meaning[END_REF] ont examiné l'effet de la cohérence entre la marque et le groupe d'appartenance sur le lien entre la marque et le consommateur. Les résultats de leur étude ont révélé que les marques qui sont cohérentes avec le groupe d'appartenance « ingroup » développent les connexions entre le soi et la marque chez tous les consommateurs, qu'ils soient indépendants ou interdépendants. Cependant, les marques qui sont cohérentes avec les autres groupes ou le « outgroup » ont un effet plus négatif sur les indépendants par rapport aux interdépendants. Cette différence est liée au fait que les indépendants cherchent davantage à marquer leurs traits uniques et à se distinguer des autres.

Enfin, [START_REF] Swaminathan | My brand or our brand: The effects of brand relationship dimensions and self-construal on brand evaluations[END_REF] ont démontré que la relation marqueconsommateur a de nombreuses dimensions (e.g. concept de soi, pays d'origine) et que l'impact de ces dimensions est significativement modéré par la conception de soi. En effet, leurs résultats montrent que lorsque la connexion de la marque au soi est élevée, les consommateurs ont tendance à résister aux informations négatives sur la marque, et que cet effet est plus prononcé chez les indépendants. Les auteurs ont constaté également que la connexion au pays d'origine minimise l'effet des informations négatives sur la marque, mais cet effet est plus important chez les interdépendants. Ces résultats s'expliquent par le fait que l'identité des indépendants est davantage liée aux attributs du soi, alors que celle des interdépendants est davantage liée aux groupes d'appartenance (e.g. pays d'origine).

Le comportement d'achat

Certaines études ont examiné les différences entre indépendants et interdépendants concernant le comportement d'achat. Parmi ces études, celle de Kacen et Lee (2002) a testé l'influence de la conception de soi sur le comportement d'achat impulsif au travers d'une étude interculturelle menée en Australie, aux Etats-Unis, à Hong Kong, à Singapour et en Malaisie. Les résultats de l'étude ont révélé que la conception de soi modère la relation entre le trait d'achat impulsif et le comportement d'achat impulsif et que cette relation est plus forte chez les indépendants par rapport aux interdépendants. Selon [START_REF] Kacen | The influence of culture on consumer impulsive buying behavior[END_REF], les interdépendants sont moins influencés par leur trait d'achat impulsif que les indépendants. Ainsi, ils ont moins tendance à passer à l'acte et acheter de façon impulsive. De même, [START_REF] Zhang | The influence of self-construal on impulsive consumption[END_REF] ont examiné l'influence de la conception de soi sur la consommation impulsive. Leur étude a révélé que les indépendants ont une attitude plus positive à l'égard de la consommation immédiate que les interdépendants et que cet effet est modéré par l'état d'impulsivité. En outre, les auteurs ont constaté que la présence d'un pair du même sexe accroit la tendance à l'achat impulsif pour les indépendants, alors qu'elle la décroit pour les interdépendants. Enfin, [START_REF] Chen | Cultural differences in consumer impatience[END_REF] estiment que les indépendants sont moins patients et prennent moins en considération le futur que les interdépendants. Par conséquent, ils valorisent davantage la consommation immédiate que les interdépendants.

Par ailleurs, [START_REF] Chelminski | The effects of individualism and collectivism on consumer complaining behavior[END_REF] s'est intéressé à l'influence de la conception de soi sur le comportement post-achat et plus particulièrement sur le comportement de réclamation. Ainsi, il a comparé les indépendants et les interdépendants selon trois types de comportements de réclamation : réclamer verbalement directement au parti concerné ; faire du bouche à oreille négatif ou changer de marque ; faire un procès. L'étude a révélé que les interdépendants ont moins tendance à se plaindre verbalement ou à intenter une action en justice que les indépendants lorsqu'ils rencontrent un problème avec le produit. Cependant, ils ont davantage tendance à faire du bouche à oreille négatif auprès du groupe d'appartenance.

Conclusion

L'objectif principal de cette recherche était de mettre en lumière l'intérêt de la notion de conception de soi dans la recherche en comportement du consommateur et de proposer une synthèse des travaux les plus marquants la concernant. Avec la globalisation des marchés, les entreprises ont plus que jamais besoin de variables qui les aident à mieux comprendre et prédire le comportement des consommateurs de différentes cultures et en déduire les actions à mener. En effet, même si on assiste à une convergence des technologies, des médias et des systèmes financiers, les comportements des consommateurs continuent de diverger [START_REF] De Mooij | Global marketing and advertising : Understanding cultural paradoxes[END_REF].

Les critiques portées au construit de la conception de soi

La théorie de la conception de soi indépendante et interdépendante de Markus et Kitayama (1991) a subi comme la plupart des théories certaines critiques. Ainsi, Matsumoto (1999) a affirmé que les études basées sur cette théorie pour expliquer les différences culturelles concernant des variables psychologiques, par exemple n'ont pas donné des résultats convergents. Cependant, [START_REF] Matsumoto | Culture and self: an empirical assessment of Markus and Kitayama's theory of independent and interdependent self-construals[END_REF] reconnait que la théorie de la conception de soi indépendante et interdépendante a eu un impact majeur sur la recherche en psychologie interculturelle et sociale. D'après l'auteur, pendant des décennies, les chercheurs ont rapporté des différences entre cultures collectivistes et individualistes, concernant des variables psychologiques, sans être capables de développer des théories pour les expliquer. Ainsi, les différences de conception de soi représentent un des médiateurs possibles susceptibles d'expliquer certaines différences culturelles et permettant de développer la recherche en psychologie interculturelle.

Une autre critique est liée à la mesure de la conception de soi. D'après une méta-analyse de [START_REF] Levine | Self-construal scales lack validity[END_REF], les échelles de mesure de la conception de soi manquent de validité convergente et de stabilité à travers les cultures. En outre, les auteurs estiment que la plupart des échelles disponibles sont multidimensionnelles et non pas bidimensionnelles avec une dimension indépendance et une dimension interdépendance.

En réponse à ces critiques, [START_REF] Gudykunst | Assessing the validity of self construal scales[END_REF] ont analysé cinquante études mesurant la conception de soi dont les résultats se sont révélés cohérents. Les auteurs estiment que ce résultat n'aurait pas pu être possible si le modèle bidimensionnel de la conception de soi ou les échelles destinées à le mesurer comportaient des problèmes majeurs.

Les voies de recherche

Malgré son intérêt, la recherche en marketing concernant la conception de soi est très récente et offre par conséquent un potentiel de recherche important. D'abord, des recherches récentes mériteraient d'être approfondies, notamment sur l'influence de la conception de soi sur un ensemble de variables comme l'intention de soutenir une marque en ligne [START_REF] Bernritter | We' are more likely to endorse than 'I': the effects of self-construal and brand symbolism on consumers' online brand endorsements[END_REF] ; les réactions aux actions du marketing lié à une cause [START_REF] Chen | Cause-related marketing is not always less favorable than corporate philanthropy: The moderating role of self-construal[END_REF] ; le matérialisme chez les adolescents (De Araujo Gil, Leckie et Johnson, 2016) ou l'utilisation des coupons de réduction [START_REF] Kim | The Effects of impression management on coupon redemption across cultures[END_REF].

Ensuite, une méta-analyse pourrait être également envisagée afin d'examiner l'effet de certaines variables socio-démographiques comme le sexe ou l'âge sur les dimensions indépendance et interdépendance. Par exemple, concernant l'influence du sexe sur la conception de soi, [START_REF] Clancy | Photographic depictions of the self: gender and age differences in social connectedness[END_REF] ont constaté que lorsqu'ils demandent aux hommes et aux femmes de se décrire en choisissant des photos, les femmes ont davantage tendance à choisir des photos avec les autres ou avec les membres de la famille. En revanche, les hommes ont davantage tendance à choisir des photos où ils sont seuls. De même, [START_REF] Josephs | Gender and self-esteem[END_REF] ont établi que le sens de la valeur est très lié à l'autonomie et au sens d'accomplissement personnel chez les hommes, tandis que les femmes mettent davantage l'accent sur le lien et la sensibilité aux autres. Cependant, ces résultats n'ont pas été confirmés par d'autres recherches. Ainsi, dans une étude réalisée à Hong Kong, [START_REF] Luk | Explaining Chinese self-esteem in terms of the self-concept[END_REF] n'ont pas trouvé de lien significatif entre la conception de soi et le genre. De même, [START_REF] Dhawan | Self-concepts across two cultures: India and the United States[END_REF] ont montré que la culture a une influence plus importante sur la conception de soi que le genre. Cette controverse appelle donc à des études supplémentaires sur le sujet.

Enfin, la majorité des études sur la conception de soi ont été menées auprès de consommateurs nord-américains et de l'Asie de l'Est. Par conséquent, cette notion a été surtout mesurée chez des sujets issus de ces cultures, engendrant un manque d'information concernant la nature de la conception de soi dans les autres cultures. Ainsi, il serait intéressant d'étendre la mesure de la conception de soi à d'autres pays. Une conséquence évidente à ces différences de mesure de la conception de soi est la disponibilité uniquement d'échelles de mesure ayant été développées auprès d'échantillons nord-américains. Il s'avère donc nécessaire de procéder à une adaptation de ces échelles à d'autres contextes.

Cité inWang C.L. (2008)


H Guo

G Martin

L Buiron

IMPROVEMENT OF SODIUM FAST REACTOR CONTROL RODS CALCULATIONS WITH APOLLO3 ®

CEA is largely involved in the study of GEN-IV Sodium Fast Reactors (SFR). Some innovative reactivity control systems are proposed such as utilization of different absorbers or moderators materials, modification of absorber pin geometry, and application of burnable neutron poison. These designs possess potentials to improve its safety margin, economical performance or core characteristics while its complete analysis requires notably more accurate calculation of efficiency and evolution of isotopes' concentrations under irradiation.

At the same time, the new determinist transport code APOLLO3 ® is under development at CEA and it will replace ERANOS code for fast reactors analysis. The scheme in APOLLO3 ® is constituted with two steps: subassembly calculation and core calculation with Multi-Parametric Output Library as connectors which enable the interpolation of cross-sections according to specific parameter. In this paper, each step and different crosssection scheme are detailed and validated by continuous energy Monte Carlo calculations. These results are also compared with determinist code system ERANOS.

Our works show high adaptability of TDT solver in APOLLO3 ® to complexes geometries and evolution of isotopes. With the ability of MINARET to treat unstructured mesh, the heterogeneous geometry, keeping absorber pins at core level calculation, improves significantly the calculation of control rods' efficiency. APOLLO3 ® compute more accurately core's reactivity variation with burn-up tabulated cross section scheme. Although variation of spatial self-shielding effect is very significant in absorber depletion, tabulated cross-sections scheme is able to bring this variation from sub-assembly calculation to core calculation. Hence, even homogeneous control rod description at core level shows accurate computation of reactivity variation.

Consequently, with development and validations, APOLLO3 ® shows improvement on SFR control rods neutronic simulation and analysis. With these new schemes presented in this paper, innovative reactivity control systems designs will be completely characterized and investigated in the near future.

I. INTRODUCTION

Current control rods sub-assemblies in Fast Reactors (FR) adopt generally B4C as absorber material because of its high absorption ability from 10 B. However, B 4 C generates gas, heat and pellet swelling during irradiation of neutrons. These effects reduce its residence time and safety margin. CEA is largely involved in the study of a GEN-IV Sodium Fast Reactor (SFR) especially in the prototype project -ASTRID [START_REF] Venard | The ASTRID core at the end of the conceptual design phase[END_REF] . This would be an opportunity to explore innovative reactivity control systems for fast reactors.

Self-breeder cores in current designs reduce the excess reactivity at beginning of cycle and hence the need of large controls rods margin. This advantage allows the use of reduced efficiency absorber materials such as europium, gadolinium, hafnium, and so on. However, accurate simulation of their depletion under irradiation would be required because the reactivity worth variation of low [START_REF] Vidal | APOLLO3 Homogenization Techniques for Transport Core Calculation -Application to the ASTRID CFV Core[END_REF] B enriched B 4 C would be not negligible while materials such as hafnium and gadolinium process complex depletions chains and absorption resonance. Beside alternative absorber materials to B 4 C, improved absorber pin size and application of moderator materials would also be potential candidates to innovative designs. And their evaluation requires the ability to treat complex geometry in details.

At same time, a determinist transport code called APOLLO3 ® is under development at CEA. It will replace ERANOS code for fast reactors analysis. Unstructured adaptive mesh S N solvers (MINARET) [START_REF] Moller | Minaret, a deterministic neutron transport solver for nuclear core calculations[END_REF] , as well as 2-D and 3-D Method of Characteristic's (MOC) are already implemented in APOLLO3 ® [START_REF] Sciannandrone | Optimized tracking strategies for step MOC calculations in extruded 3D axial geometries[END_REF] . This recent neutronic transport code would be suitable for the evaluation of control rods sub-assemblies in GIV fast reactors and some challenge design works. This paper focus on the development and validation of calculation schemes in APOLLO3 ® for SFR especially for the simulation of control rods. These schemes developed in APOLLO3 ® use rich feedback from determinist code ERANOS [START_REF] Rimpault | THE ERANOS CODE AND DATA SYSTEM FOR FAST REACTOR NEUTRONIC ANALYSES[END_REF] and are validated by Monte-Carlo method TRIPOLI-4 ® [START_REF] Brun | TRIPOLI-4®, CEA, EDF and AREVA reference Monte Carlo code[END_REF] .

SFR-3600-MOX is one of the SFR reactors concepts of the Generation-IV nuclear energy studied in an 1231 ICAPP 2018, Charlotte, North Carolina, April 8-11, 2018 international collaboration benchmark conducted by the Working Party on Scientific issues of Reactor Systems (WPRS) of the OECD/NEA [START_REF] David | Benchmark for Neutronic Analysis of Sodium-cooled Fast Reactor Cores with Various Fuel Types and Core Sizes[END_REF] . Eleven international organizations contributed to this benchmark with different neutronic data library and transport code. This benchmark includes calculations of several key parameters of core and offers rich feedback of neutronic simulation. Therefore, this benchmark is a good reference for validation of newly developed schemes in APOLLO3 ® . The detailed description of WPRS/SFR-3600-MOX can be found in the Reference [START_REF] David | Benchmark for Neutronic Analysis of Sodium-cooled Fast Reactor Cores with Various Fuel Types and Core Sizes[END_REF] .

II. SCHEME DESCRIPTIONS

The calculation scheme for SFR using APOLLO3 ® contains two calculation steps as shown in Fig 1 : subassembly calculation followed by core calculation. We present as follow the details of these two and they are compared with ERANOS and validated by TRIPOLI-4 ® in this paper.

II.A. Description of cross-section and chains libraries

The JEFF-3.1.1 nuclear data library used in this paper is processed with the GALILEE [START_REF]Galilee: A nuclear data processing system for transport, depletion and shielding codes[END_REF] system to produce multi-group cross-sections set and probability tables of resonant isotopes in a 1968 groups structure. The elastic, inelastic and (n, xn) transfer matrices are distinguished with description up to P5 Legendre order expansion. The Legendre order expansion is limited as P1 in this paper. The influence of Legendre order expansion is already discussed in Reference [START_REF] Archier | New reference APOLLO3 calculation scheme for sodium cooled fast reactors: from sub-assembly to full-core calculations[END_REF] .

The chain, especially the description of fission products, has important influence on the variation of reactivity in depletion calculations. In this paper, the depletion chain data for APOLLO3 ® uses explicit fission products with relevant data from evaluated files or tuned data from experiments. This depletion chain contains 126 fission products, 26 actinides and 5 additional isotopes. In comparison with a reference chain with far more isotopes (885 fission products and 26 actinides), it gathers the 99.9% of the reactivity loss in a SFR [START_REF] Archier | Validation of a Multi-Purpose Depletion Chain for Burnup Calculations through TRIPOLI-4 CALCULATIONS and IFP Perturbation Method[END_REF] . The sub-assembly calculation and core calculation shares the same chains data.

II.B. Description of sub-assembly calculation

Sub-assembly calculations aim to produce a homogenized (from exact geometries to simplified geometries) and collapsed (from 1968 to 33 groups) cross-sections library for the core calculation.

Sub-assembly calculations adopt the exact geometries of the fuel, fertile, control rods and other structures. Fig 2 shows different geometries of SFR-3600 MOX that are treated in sub-assembly calculation. The fuel sub-assemblies are described alone with reflective conditions. And for other structures sub-assemblies calculation, clusters contain both structure zones and fuel zones where the fuel zone has the objective to produce a representative neutrons spectrum. Except for the new Reflectors-Fuel cluster calculations, all sub-critical cluster calculation is set also with reflective conditions. Although B1 homogeneous leakage model and B heterogeneous leakage model are already available and validated in APOLLO3 ® [START_REF] Vidal | APOLLO3 Homogenization Techniques for Transport Core Calculation -Application to the ASTRID CFV Core[END_REF] , no leakage model is used in this paper and it would be studied in the near-future. with multi fuel and reflectors S/As is proposed [START_REF] Jouault | A New Breakdown Methodology to Estimate Neutronic Model Biases Applied to APOLLO3® SFR Core Calculations[END_REF] , and it's also adapted in our works. As shown in Fig 2 (b), the Reflector-Fuel cluster contains two fuel S/As and four reflector S/As. Each reflector S/A in this cluster is homogenized to one independent cross-section set which will be associated with its correspondent reflector S/A in the core calculation.

The sub-assembly calculation contains two steps: self-shielding calculation and flux calculation. The subassembly calculation in this paper is achieved by Two/Three Dimensional Transport (TDT) solvers in APOLLO3 ® . The self-shielding calculation is calculated with Pij method using TDT-CPM solver with probability tables available in the 1968 groups' library. Then the flux calculation is done with MOC solver (TDT-MOC). TDT is able to treat not only two dimensions but also three dimensions geometries [3][12] . In this paper only 2-D MOC in APOLLO3 ® is used. 3D-MOC is a excepted method to compute axial heterogeneous configuration such as the fuel S/A in ASTRID-CFV [START_REF] Archier | Validation of the Newly Implemented 3D TDTMOC Solver of APOLLO3 Code on a Whole 3D SFR Heterogeneous Assembly[END_REF] , and the control rods when they parked at critical position. To ensure the angular and spatial convergence of flux, some improved tracking parameters for TDT is used in this work [START_REF] Archier | New reference APOLLO3 calculation scheme for sodium cooled fast reactors: from sub-assembly to full-core calculations[END_REF] .

After convergence of self-shielding calculation and flux calculation, the fine cross-sections is collapsed into a broader energy group (33 groups in this works) and homogenized into larger regions according to the needs in the core calculation. The homogenization techniques used in this work is the classical flux-volume approach. More homogenization techniques combined with/without leakage models are already available in APOLLO3 ® and their validation with this benchmark would be a part of future works. At the end of sub-assemblies calculation, these cross-sections are stored in the Multi-Parametric Output library (MPO) files, which will be used later in core calculation. MPO contains tabulated cross-sections according to some parameters such as time value, burn-up, temperature and concentration of isotopes. If other core states are required such as sodium voiding case or change in material temperature, the material would be settled at these wanted states to calculate their cross-sections and store its indicated parameter. The neutronic data, mainly the reaction rate at normal state and depletion chain data, are passed to the MENDEL depletion solver. MENDEL [START_REF] Lee | SFR whole core burnup calculations with TRIPOLI-4 Monte Carlo code[END_REF] aims of succeeding current depletion solver DARWIN [START_REF] Tsilanizara | DARWIN: An Evolution Code System for a Large Range of Applications[END_REF] and is a depletion solver for both Monte Carlo TRIPOLI-4 ® and deterministic APOLLO3 ® transport code systems. The result of depletion, i.e. the depleted isotopes concentrations, is then returned to execute next time step calculation.

II.C. Description of core calculation

As shown in Fig 1, after homogenization process in sub-assembly calculation, except for the control rods, the sub-assemblies in the core configuration are considered as hexagonal. In our study, two core geometry schemes distinguished by the geometry of control rods in core calculation are considered:

1) Homogeneous controls rods configuration (shortened in AP3-CR-HOMO) takes control rods S/A as a homogenous hexagon.

2) Heterogeneous controls rods configuration (shortened in AP3-CR-HETE) keeps the absorber pins in the hexagon of controls rods.

Each region in core geometry referred to the isotopes concentration and the cross-section in associated MPO file. For the active zone, the concentration and crosssection come from the homogenization of a Fuel subassembly i.e. Fig 2 .a. For other regions, the concentration and cross-section come solely from the homogenization of the structure zones in the clusters with fuel sub-assembly. This homogenization can be complete or partial according to its corresponding geometries in the core. For instance, the control rod sub-assembly in Fig 2 .b can be homogenized into one single region for AP3-CR-HOMO scheme. However, AP3-CR-HETE scheme homogenize each absorber pin control rods as independent region and the remains structures as one other region.

The AP3-CR-HETE core geometry for SFR-3600 MOX is shown in Fig 3 . We then used the transport S N solver MINARET [START_REF] Moller | Minaret, a deterministic neutron transport solver for nuclear core calculations[END_REF] for the core calculation. this solver offer also a new flexibility in the symmetry of core geometry because of its ability to treat both structured and unstructured geometries. As shown in Fig 3, the SFR-3600 MOX is reduced to one sixth of its original core with reflective boundary condition at the top side and the lower right side. This symmetry option accelerates significantly the calculation. (parallelism on angular directions), DSA method and Chebyshev acceleration [START_REF] Archier | New reference APOLLO3 calculation scheme for sodium cooled fast reactors: from sub-assembly to full-core calculations[END_REF] .

The flux calculation is performed using MINARET [START_REF] Moller | Minaret, a deterministic neutron transport solver for nuclear core calculations[END_REF] solver in this works. The use of other solver: PASTIS or MINOS [START_REF] Baudron | MINOS: A Simplified Pn Solver for Core Calculation[END_REF] will be studied in the future. Then core physic data are passed to MENDEL depletion solver which returns isotopes concentration for next step calculation. Three cross-section schemes are tested:

1) Constant XS: the calculation uses the updated concentrations from MENDEL solver while the isotopic cross-sections remain constant;

2) Variable XS: the calculation uses the updated concentrations from MENDEL solver and interpolates the cross-sections from MPO according to its time parameter.

3) Macro XS: the calculation interpolates both crosssections and concentration from MPO according to its time parameter.

If calculations of other core states are needed in certain time step, the cross-sections are loaded from its relative MPO files with one of previous cross-sections scheme. According to the benchmark, there are four core states expected to be estimated: normal, sodium void, Doppler and control rods inserted.

III. SUB-ASSEMBLY VALIDATION III.A. Fuel sub-assembly calculation

In this section, we focus in a simple depletion case that is SFR-3600 MOX fuel sub-assembly, as shown in Fig 2 .a, with reflective boundaries. This case will help us to validate the depletion calculation of TDT, to study the influence of cross-sections schemes in core calculation and would contribute to the future uncertainty analysis [START_REF] Rimpault | Objectives and Status of the OECD/NEA sub-group on Uncertainty Analysis in Modelling (UAM) for Design, Operation and Safety Analysis of SFRs (SFR-UAM)[END_REF] .

In this simple case, APOLLO3 ® sub-assembly calculation considers the detailed geometry and core calculation uses homogenized hexagonal tube with reloading of cross-sections from sub-assembly calculation. The three previous cross-section schemes are applied in the core calculation and burn-up of fuel is chosen as time parameter for Variable XS and Macro XS scheme. The evolution of its reactivity, void worth and Doppler constant are calculated in this work with two determinist transport codes: APOLLO3 ® and ERANOS, and one Monte-Carlo transport code, TRIPOLI-4 ® as reference.

The ERANOS calculation scheme is close to APOLLO3 ® calculation with constant XS scheme in the core level calculation while it uses ECCO [START_REF] Rimpault | Algorithmic Features of the Ecco Cell Code for Treating Heterogeneous Fast Reactor Subassemblies[END_REF] to generate the self-shield cross-sections at beginning of evolution and VARIANT solver [START_REF] Carrico | Three-Dimensional Variational Nodal Transport Methods for Cartesian, Triangular, and Hexagonal Criticality Calculations[END_REF] for the core evolution calculation. ERANOS uses two different chains: one is pseudo-fission products chain and the other one is explicit chain while both of them are different from the chain used in APOLLO3 ® . The TRIPOLI-4 ® uses detailed geometry and continuous data and continuous energy nuclear data library. TRIPOLI-4 ® and APOLLO3 ® share the same explicit depletion chains and depletion solver in this works. The purpose of this sub-assembly depletion benchmark is to investigate the different calculation schemes and hence all of them share same data library JEFF3.1.1. The influence of data library was studied in detail in Reference [16].

The variation of reactivity with time of this simple case is shown in Table I. The power generated is normalized to 50 W per gram of heavy nucleus (HN) and the irradiation time is 410 Equivalent Full Power Day (EFPD) dividing into four equal time steps. Firstly, different codes show high coherence in the BOEC reactivity calculation. The result from TDT solver in APOLLO3 ® has only several pcm discrepancy from TRIPOLI-4 ® calculation if multi-groups fission spectrum is used. With one average fission group, TDT solver, MINARET and ERANOS underestimates the reactivity about 50 pcm by comparing with Monte-Carlo reference. However, the fission spectrum has very slight influence on the reactivity variation according to TDT solver's results.

Table I : Variation of Reactivity with time in infinite fuel

sub-assembly from different codes Time (EFPD) 0 410 Variation TRIPOLI-4 ® [START_REF] Rimpault | Objectives and Status of the OECD/NEA sub-group on Uncertainty Analysis in Modelling (UAM) for Design, Operation and Safety Analysis of SFRs (SFR-UAM)[END_REF] 11756 12189 433 ERANOS Explicit Chain [START_REF] Rimpault | Objectives and Status of the OECD/NEA sub-group on Uncertainty Analysis in Modelling (UAM) for Design, Operation and Safety Analysis of SFRs (SFR-UAM)[END_REF] 11708 At EOEC, the TRIPOLI-4 ® shows an increase of reactivity about 433 pcm while TDT solver underestimate this increase about 30 pcm. The fuel S/A's reactivity increases with time (during one cycle i.e. 410 EFPD) because SFR-3600 MOX is self-breeder design without specific blanket zones. TDT solver generates selfshielded cross-section for core calculation. The reactivity variation from MINARET solver is very close to one obtained with TDT solver if Variable XS scheme or Macro XS scheme is used. However, MINARET Constant XS Scheme over-estimates the increase of reactivity about 60 pcm by comparing with Variable XS scheme. The explicit chain in ERANOS over-estimates the variation of reactivity about 184 pcm by comparing with TRIPOLI-4 ® result while ps-FP chains underestimate 1234 ICAPP 2018, Charlotte, North Carolina, April 8-11, 2018 about 30 pcm. The variation of reactivity in ERANOS with ps-FP model is close to TDT while ERANOS use Constant XS scheme. If the influence of cross-sections' variation is considered, the ps-FP calculation underestimates about 90 pcm reactivity increase by comparing with TRIPOLI-4 ® while its explicit chain calculation overestimates about 124 pcm. Although ps-PF model shows a better "accuracy" in the reactivity calculation, associated uncertainty study needs the concentration of real fission production and hence an explicit chain. The more detailed benchmarks with same depletions chains and different neutronic library will be continued between ERANOS and APOLLO3 ® .

The sodium void worth and Doppler Constant are two important "safety" parameters for the core physic study. They are calculated for both fuel sub-assembly depletion benchmark and core depletion benchmark. In this benchmark, the sodium void worth is defined by the reactivity change between the sodium voided and normal states such as: Δρ = ρ void -ρ normal where the subscripts void and normal indicate the sodium voided and normal states, respectively. In this benchmark, the sodium voided state is defined by voiding all sodium in the active core, which contains the inner and outer fuel zones in SFR-3600 MOX core.

The Doppler constant is defined by: K D = (ρ high -ρ normal )/ln(T high -T normal ) where the subscript high indicates the perturbed core state. In this work, the high fuel temperature is a factor of two of that of the normal fuel temperature that means 3000 K in MOX materials.

The results from different code and different calculation schemes are shown in Table II and Table III. For the sodium void worth, if we take Monte-Carlo method as reference, APOLLO3 ® , both with TDT and MINARET solver, improve this parameter's accuracy about 60 ~ 70 pcm compared to ERANOS. And this parameter increases 89 pcm after 410 EFPD in TRIPOLI-4 ® calculation. APOLLO3 -TDT solver computes almost same variation as Monte-Carlo method and is able to model the influence of depletion to MINARET solver if the variation of cross-section is considered in the core level calculation. Both ERANOS and Constant XS scheme in APOLLO3 ® under-estimate this increase of sodium void worth. For Doppler Constant, all solvers show coherence at BOEC with slight difference. With the variation of self-shielded cross-sections, Variable XS and Macro XS estimate the variation of this Doppler Effect in a better way than Constant XS scheme. The influence of different nuclear data library and their uncertainty would be also an interesting research direction with this simple model.

Table II. Benchmark of Sodium Void Worth in infinite

fuel sub-assembly (unit: pcm) Time (EFPD) 0 410 Variation TRIPOLI-4 ® [START_REF] Rimpault | Objectives and Status of the OECD/NEA sub-group on Uncertainty Analysis in Modelling (UAM) for Design, Operation and Safety Analysis of SFRs (SFR-UAM)[END_REF] 3090 3179 89 ERANOS [START_REF] Rimpault | Objectives and Status of the OECD/NEA sub-group on Uncertainty Analysis in Modelling (UAM) for Design, Operation and Safety Analysis of SFRs (SFR-UAM)[END_REF] 2990 [START_REF] Rimpault | Objectives and Status of the OECD/NEA sub-group on Uncertainty Analysis in Modelling (UAM) for Design, Operation and Safety Analysis of SFRs (SFR-UAM)[END_REF] -921 -802 120 ERANOS [START_REF] Rimpault | Objectives and Status of the OECD/NEA sub-group on Uncertainty Analysis in Modelling (UAM) for Design, Operation and Safety Analysis of SFRs (SFR-UAM)[END_REF] -

III.B. Control rods sub-assembly validation

Hereafter, we present the main results obtained with our calculation scheme for control rods cluster. The geometry for APOLLO3-TDT is shown in Both fuel and absorber are depleted and the power density is normalized as 50 W/g(HN). There are 4 equal length time steps between 0 and 410 EFPD.

The variation of reactivity of this cluster is shown in The 10 B absorption cross-sections used in the homogenous core level calculation is shown in Fig 5 where the absorber is homogenized into whole S/A. The flux gradient is large in absorber S/A. Furthermore, before arriving in the inner regions of absorber, neutrons in lower energy are already absorbed by the outer regions. This important gradient in the distribution of absorption reaction rate is so-called spatial self-shielding effect. For CR-HOMO calculation, the absorber is homogenized to whole S/A and hence this effect is accounted in the subassembly calculation level which leads to a reduced effective in the low energy domain (typically 1 keV). During irradiation, the outer region of absorber is depleted firstly which enable more neutrons travel to the inner region. And hence, the absorption reactions decrease in the outer region but increase in the inner region with consumption of absorber materials. Consequently, the spatial self-shielding effect is reduced with time and hence the effective absorption cross-section increase with time. Constant XS scheme does not compute the variation of screening effect with depletion and hence underestimate the absorption ability of absorber material. Variable XS scheme reload the XS according to its depletion and hence increase the calculation accuracy about 40 % with still 12.8 % overestimation. The cross-section homogenized for APOLLO3 ® heterogeneous geometry is close to its intuitive values because there is no homogenization for B 4 C material (with flux-volume homogenization method) and the selfshielding effect raised from absorption resonance for B10 is negligible. However, if other materials such as hafnium and gadolinium are used as absorber material, the selfshielding effect should be considered with care in the S/A level calculation as they have important absorption resonances. As the keep of absorber pins in the core geometry, the spatial screening effect is well treated in core calculation. The difference of CR-HETE in TABLE IV comes from the XS scheme in the fuel part. The bestestimation from APOLLO3-MINARET has only 1 pcm difference from TRIPOLI-4 ® .

IV. CORE VALIDATION IV.A. Core reactivity

Based on previous calculation in 2-D subassembly/cluster calculation, the benchmark of the SFR-3600-MOX is achieved to investigate the application of these schemes in the 3-D core. For calculation in this section, the thermal power is settled 3600 MW and the total depletion time is 410 EFPD which is divided into four steps with same length of time. In this part, only the fuel parts are depleted while other structures are considered as static materials. For the APOLLO3 ® calculations, three cross-section schemes are used for fuel zones with its burn-up as parameter to interpolate the cross-sections.

The reactivity of SFR-3600 MOX core is shown in TABLE V where APOLLO3 ® , TRIPOLI-4 ® and ERANOS use JEFF-3.1.1 cross-section data library. The APOLLO3 ® use homogenous geometry in core level calculation. The heterogeneous control rods geometry increases several pcm of core reactivity at BOEC and has almost no influence on the variation of core's reactivity because the anti-reactivity of control rods is not important when they park outside the fissile zones. ERANOS results underestimate core reactivity by about 340 pcm while APOLLO3 ® overestimate by about 130 pcm comparing to Monte-Carlo results at BOEC. APOLLO3 ® shows improved core reactivity calculation compared to ERANOS and the overestimation of reactivity in APOLLO3 ® can be further reduced by other homogenization methods together with advanced leakage models [11] [19] . The reactivity variations from ERANOS and APOLLO3 ® Variable XS are close to TRIPOLI-4 ® result which is about -260 pcm. The influence of time mesh is also studied with APOLLO3 ® where reduced time mesh (one step for 410 EFPD) enlarge the reactivity loss about 9 pcm and fine time mesh (10 steps) reduce the reactivity loss about 1 pcm.

The Macro XS in APOLLO3 ® showed good performance in previous fuel sub-assembly calculation while it lost totally the accuracy in the core calculation. In the Macro XS scheme, not only the cross-section but also the isotopes concentrations are passed into the core calculation with burn-up in fuel as connection parameter. However, the flux spectrum and distribution in the core are always slightly different from its reference subassembly calculation because of the influence of other fuel zones and structures zones. And hence, at same burnup, the concentration from core calculation is not the same as the one from sub-assembly calculation. Consequently, Macro XS scheme does not fit the whole core depletion.

The same as previous sub-assembly depletion benchmark, the Variable XS scheme shows better coherence with Monte-Carlo method for APOLLO3 ® . Constant XS scheme underestimates always about 60 pcm of reactivity loss by comparing with Variable XS scheme. The core calculation shows same phenomenon in the fuel depletion benchmark. The TRIPOLI-4 ® and APOLLO3 ® share complete chains and depletion solver, while ERANOS use ps-FP chain in core calculation. The reactivity variation from ERANOS has only several pcm differences from TRIPOLI-4 ® although it use Constant XS scheme. ERANOS ps-FP model shows a good reactivity variation, but a calculation with explicit chain is expected for the uncertainty study.

The Sodium Void Worth and Doppler Effect at BOEC and EOEC are summarized in TABLE VI where APOLLO3 ® use Variable XS scheme In this benchmark, by comparing with ERANOS ® , APOLLO3 ® does not improve the accuracy of void effect and Doppler Effect calculations. The more detailed study is needed for their improvement.

At EOEC three states: sodium void, Doppler Effect and control rods inserted are considered. For the Constant XS scheme, the sodium void worth, Doppler Effect constant at EOEC and their variation from BOEC of SFR 3600 MOX core is shown in TABLE VI. The structure and the multi-influence between fuel and structure are not well computed. The isotopes' concentration and flux distribution evaluate with time and hence these parameters. After one cycle irradiation, the sodium void worth from APOLLO3 ® is close to TRIPOLI-4 ® results with 176 pcm lower estimation using Variable XS scheme and with 205 pcm lower estimation using Constant XS scheme. TRIPOLI-4 ® shows a 358 pcm increase while the best estimation of determinist code comes from APOLLO3 ® Variable XS scheme but only with 140 pcm increase. The Doppler Effect decreases with time. ERANOS shows better absolute value and APOLLO3 ® Variable XS shows better variation.

IV.B. Control Rods Efficiency

Control rods S/A is the most important subcritical structure in the core. Stochastic codes are able to keep the "exact" geometries of control rod and use continuous energy. The deterministic approaches compute selfshielding effect in the sub-assembly calculation step and use homogenized geometries in the core level calculation. According to the benchmarks results [START_REF] David | Benchmark for Neutronic Analysis of Sodium-cooled Fast Reactor Cores with Various Fuel Types and Core Sizes[END_REF] , most deterministic approaches overestimate the control rod reactivity worth by comparing with stochastic approach.

The result from ERANOS ® was performed with rod heterogeneity correction using an equivalence method [START_REF] Moller | Minaret, a deterministic neutron transport solver for nuclear core calculations[END_REF] . In this method, the heterogeneous controls rods S/A is surrounded by homogenous fuel in a 2-D-XY model. This geometry is then solved by BISTRO 2-D S N transport code [START_REF] Rimpault | THE ERANOS CODE AND DATA SYSTEM FOR FAST REACTOR NEUTRONIC ANALYSES[END_REF] to get its direct and adjoint neutrons flux. Using the perturbation tool in the ERANOS ® , the equivalent homogenized cross-section is corrected by the adjoint flux from its correspondent homogeneous model until the convergence of homogenous model's reactivity to the heterogeneous model's reactivity. The corrected crosssections produced from this method are similar to the cross-section used in APOLLO3 ® , as shown in Fig 5 and will be used in the core level calculation. This method is developed to adapt depletion calculation and axial effects by D. Blanchet and M. Andersson [18] [19] .

1237

APOLLO3 ® does use exact geometries for fuel and structures in sub-assembly calculation which compute well the space effect and also the impact of absorber on the fuel. The homogenization technologies used here is flux-volume although moment homogenization technologies combined with/without leakage model are already validated for fuel part [START_REF] Vidal | APOLLO3 Homogenization Techniques for Transport Core Calculation -Application to the ASTRID CFV Core[END_REF] . It would be interesting to study the influence of homogenization technologies and leakage effects. In the core level there are two different geometries: the homogenous core and heterogeneous core which is benefit from the ability of MINARET in the treatment of unstructured mesh.

I.A.1. Static calculation

In this section, we focused on WPRS/SFR-3600-MOX benchmark where control rods are not supposed to evolve under irradiation. The reactivity worth of control rods shown in TABLE VII is the difference of core's reactivity between all control rods park on the bottom and on the top of fissile region. For the APOLLO3 ® core calculation, 19 CPU of office computer use about 6 hours for one time step calculation of homogenous configuration and the heterogeneous configuration use about 5~6 times as that of homogenous configuration. Both APOLLO3 ® and ERANOS overestimate the efficiency of control rods at BOEC in this benchmark. However, by comparing with ERANOS, AP3-CR-HOMO geometry improves 185 pcm and AP3-CR-HETE geometry improves accuracy about 420 pcm. The best estimation of APOLLO3 ® has only about 173 pcm overestimation on control rods' efficiency. Furthermore, the reference of TRIPOLI-4 ® used here is in the previous benchmark. In our own calculation of TRIPOLI-4 ® , the difference between APOLLO3 ® and Monte-Carlo is only about 34 pcm.

With core flux distribution concentrate to the center core, the control rods efficiency increases slightly with time. This increase in APOLLO3 ® is more important than TRIPOLI-4 ® and ERANOS. However, all APOLLO3 ® results show an improved performance at the EOEC control rods efficiency calculation by comparing with ERANOS especially when APOLLO3 ® uses CR-HETE core configuration and Variable XS scheme. The best APOLLO3 ® results at EOEC over-estimate about 241 pcm by comparing with TRIPOLI-4 ® .

I.A.2. Depletion calculation

The more regular position for the control rods in the core is to keep the critical state of the core. The control rods insert into the fissile zone and the absorber material deplete with irradiation of neutrons.

Firstly, SFR-3600-MOX's control rods located at inner/outer interface are inserted 10 into the core. The anti-reactivity introduced by this insertion in TRIPOLI-4 ® , AP3-CR-HOMO and AP3-CR-HETE are respectively -127 pcm, -134 pcm and -133 pcm. The neutron spectrum and 10 B absorption in the insertion zone are compared between APOLLO3 ® and TRIPOLI-4 ® . The neutron spectrum in absorber material from AP3-CR-HETE calculation is consistent with results from TRIPOLI-4 ® . The AP3-CR-HOMO's result is slightly different from TRIPOLI-4 ® but its corrective cross-section reduces this difference in the absorption rate. The neutron spectrum obtained in cluster sub-calculation is "harder" than the one from core calculation because it's relatively compact geometry and lack of effects from other structures.

The relative 10 B absorption rate in Fig 6 is the ratio between the average reaction rate in absorber classified by its row and the average value in whole S/A. The spatial distribution increases from the center row to the external row. The difference between AP3-CR-HETE and TRIPOLI-4 ® is smaller than 0.8 % if the center pin (1/37 of whole absorber pins) is not considered where AP3-CR-HETE overestimation is roughly around 3.3%. Combined with previous sub-assembly calculation, this distribution validation ensures the correct evolution of CR-HETE in a 3-D core calculation.

The difference between APOLLO3 ® cluster calculation and the core calculation is less than 10 %. The gradient in cluster calculation is more important because there is less fuel to provide a flat flux. A larger control 1238 ICAPP 2018, Charlotte, North Carolina, April 8-11, 2018 rods cluster with more fuel region in subassembly calculation may improve its representativeness from the point of view that more similar flux spectrum and distribution in the sub-assembly calculation by comparing the core calculation would better simulate the selfshielding and spatial screening effects. Furthermore, when the control rods are parked at critical position, the neutrons arrived from its bottom is not negligible while the representative cluster is only a 2-D geometry which considers only the radial neutron distribution. The 3-D sub-assembly calculation or leakage model may helpful and the detailed development and validation needed to be done. The efficiency in TABLE VIII is calculated for rods at inner core/outer core interface 25 cm insertion when the 1/5 th of fuel is reloaded every cycle ("real" equilibrium core with reloading pattern). Each cycle has 410 EFPD. If the absorber is not depleted, it's efficiency increase slightly because the flux spatial redistribution. The variation raised by the evolution of absorbers' isotopes is about 20 % of its initial efficiency according to AP3-CR-HETE Variable XS scheme. And then the depletion of control rods is also compared between CR-HETE and CR-HOMO geometry with Variable XS scheme which validate the precision of AP3-CRHOMO geometry with Variable XS scheme at core level calculation.

V. CONCLUSIONS

Accurate evaluation of control rod system characteristics is a one of the main issue of fast reactor evaluation regarding sustainable use of absorber materials. Current self-breeder core design need reduced reactivity margin for reactivity management and innovative control rod design involving alternative material such as hafnium or gadolinium may bring flexibility and improvement in this research field. To do so, advanced numerical methods implemented in APOLLO3 ® code system were tested and showed good accuracy towards Monte-Carlo reference calculations. The tabulated cross-section scheme improves significantly the accuracy on computation of reactivity variation. The benefit of MOC based calculation at lattice level combined with the ability to handle and treat unstructured geometries at core level bring new tools that enable to meet the designer requirements.

Although deeper study and improvement are required to cover the whole range of innovative configurations, the present calculation provides high level confidence to be used as reference tools for design purpose.

  XS: Cross-sections; Conc: Concentration; Para: Parameter; AP3-CR-HETE: Heterogeneous controls rods in geometries of core calculation; AP3-CR-HOMO: Homogeneous control rods in geometries of core calculation Fig 1. APOLLO3 ® depletion calculation schemes

Fig 2 .

 2 Fig 2. Geometries of S/A in SFR-3600 MOX a) 1/12 th of Fuel sub-assembly. b) 1/12 th CSD-Fuel cluster. c) 1/12 th CSD Follower-Fuel cluster. d) Reflectors-Fuel cluster. As shown in Fig 2, there are four reflector S/As with void boundary condition on its right side and reflective on other sides. The key for sub-assembly calculation is to use representative spectrum and distribution of flux for the self-shielding, homogenization and collapsing computations To simulate the slowing-down effect of neutrons from the fuel zone to the reflector, a large cluster

Fig 3 . 1

 31 Fig 3. 1/6 th Heterogeneous geometry of SFR-3600 MOX To reach angular and spatial convergence, we use S6 level-symmetric quadrature (72 directions) with DGLP11 finite element type. The mesh size is 5 cm for the axial discretization and 36 triangles by hexagon (radial discretization) which leads to about 345 100 cells for AP3-CR-HOMO core configuration and 2 348 920 cells for the AP3-CR-HETE core configuration. MINARET also contains several features to speed up the resolution of the transport equation: MPI parallel computation

  Fig 2.b where each control rods sub-assembly contains 37 absorber pins with natural B 4 C. The geometries used in APOLLO3-MINARET are shown in Fig 4.a and Fig 4.b where CR-HOMO homogenize whole sub-assembly as hexagonal tube and CR-HETE keeps absorber pins' geometries in the core level calculation. Those results are compared with the continuous energy Monte Carlo TRIPOLI-4 ® code whose geometry is shown in Fig 4.c where each absorber pin is divided into 18 independent depletion zones to compute the heterogeneous distribution of reaction in these regions.

Fig 4 .

 4 Fig 4. a) 1/12th of homogenous CSD-Fuel cluster used in MINARET (CR-HOMO). b) 1/12th of heterogeneous CSD-Fuel cluster used in MINARET (CR-HETE). c) 1/12th of CSD-Fuel cluster used in TRIPOPLI-4.

Fig 5 .

 5 Fig 5. Variation of 10 B effective absorption cross-section with time and normalized flux at initial state (in 33 groups)

  ICAPP 2018, Charlotte, North Carolina, April 8-11, 2018

Fig 6 .

 6 Fig 6. 10 B absorption spatial distribution (ring by ring) in the inserted parts of CSD (between C1 and C2, 10 cm inserted) and in CSD cluster

TABLE IV

 IV

	. The variation of reactivity is similar between
	APOLLO3-TDT	and	TRIPOLI-4 ® .	APOLLO3-
	MINARET solver overestimates this variation while the
	Variable XS scheme improves this accuracy especially for
	CR-HOMO geometry.
	ICAPP 2018,			1235

Charlotte, North Carolina, April 8-11, 2018

TABLE IV

 IV

		. Reactivity Variation of CSD-Fuel Cluster
	Time (EFPD)	0	410	Variation
	TRIPOLI-4 ®	-21189	-20101	1087
	AP3-TDT	-21150	-20058	1092
		APOLLO3-MINARET
	HOMO	Constant	-22530	-20885	1645
	HETE	Constant	-21152	-19979	1173
	HOMO	Variable	-22530	-21304	1226
	HETE	Variable	-21152	-20066	1086

TABLE V .

 V SFR-3600 MOX Core Reactivity (unit: pcm)

	Code	XS Scheme BOEC EOEC Variation
	TRIPOLI-4 ®[6]	--	1931	1671	-260
	ERANOS [6]	--	1594	1341	-252
		Constant	2062	1857	-205
	APOLLO3 ®	Variable	2062	1796	-266
		Macro	2062	1997	-65

TABLE VI

 VI

		. SFR-3600 MOX Sodium Void Worth and
		DOPPLER Constant (unit: pcm)
	Code	TRIPOLI-4 ®[6] ERANOS [6] APOLLO3 ®
		Sodium Void Worth
	BOEC	1963	1931	2005
	EOEC	2321	2056	2145
	Variation	358	125	140
		Doppler Constant
	BOEC	-982	-971	-992
	EOEC	-834	-887	-896
	Variation	148	84	96

TABLE VII

 VII

		. SFR-3600 MOX Control Rods' Worth (units:
			pcm)
		Code	BOEC	EOEC	Variation
	TRIPOLI-4 ®[6]	-5624	-5792	-168
	ERANOS [6]	-6217	-6364	-147
			APOLLO3 ®
	HOMO	Constant	-6032	-6328	-296
	HETE	Constant	-5797	-6066	-269
	HOMO	Variable	-6032	-6301	-269
	HETE	Variable	-5797	-6033	-236

TABLE VIII .

 VIII Evolution of control rods efficiency at critical position (units: pcm)

	Geometry HOMO HOMO	HETE
	Absorber	Static Depleted Depleted
	1st BOEC	509	509	510
	2nd BOEC	504	491	493
	3rd BOEC	514	483	484
	4th BOEC	515	463	464
	5th BOEC	518	445	447
	6th BOEC	526	430	432
	Variation	17	-79	-78

ACKNOWLEDGMENTS

APOLLO3 ® and TRIPOLI-4 ® are registered trademark of CEA. The first author would like to thank the APOLLO3 ® development team for their efforts in developing the code. We gratefully acknowledge AREVA and EDF for their long term partnership and their support.