Vincent Thevenot
email: vincent.thevenot@enit.fr

Lionel Arnaud

Gilles Dessein

Gilles Cazenave-Larroche

G Cazenave

Keywords: 3D stability lobes, Dynamic behaviour, Peripheral milling, Thin walled structures, Notation

Integration of dynamic behaviour variations in the stability lobes method: 3D lobes construction and application to thin-walled structure milling

During some machining operations, vibrations may occur between the part and the tool. This is particularly true in the case of milling when long tools with small diameters are used, or in peripheral milling of thin-walled structures. This phenomenon generates dimensional and geometrical inaccuracies and a poor surface finish (Fig. 1). A reduction of tool life and spindle life is also observed. Therefore, it is necessary to be able to understand the phenomenon, and to control it. Research into machine tool chatter vibrations go back to the 1950s with Tobias [START_REF] Tobias | A theory of regenerative chatter[END_REF], Tlusty [START_REF] Tlusty | The stability of machine tools against self excited vibrations in machining[END_REF] and Merrit [START_REF] Merritt | Theory of self-excited machine tool chatter[END_REF], who explained the regenerative chatter vibrations in orthogonal cutting and developed the stability lobes theory. This theory makes it possible, for a given spindle speed, to predict the engaged length of the cutting edge from which the vibrations will appear. This first model is particularly well-adapted to the tool chatter vibrations in turning, where the direction of the cutting force, chip thickness and dynamic parameters do not change with time. Orthogonal milling stability analysis (with a tool without a helix angle) appeared at the end of the 1960s [START_REF] Sridhar | General formulation of the milling process equation[END_REF][START_REF] Sridhar | A stability algorithm for the general milling process[END_REF], and is used to study the vibrations of the tool. In the middle of the 1990s, Altintas [START_REF] Altintas | Analytical prediction of stability lobes in milling[END_REF] presented an analytical form of the stability lobes theory for milling. This theory can be applied to the study of tool vibrations, because its dynamic characteristics do not change with time. On the other hand, when a thin-walled structure is machined, one realizes that the dynamic behaviour of the tool-workpiece system depends on the tool position in the workpiece [START_REF] Lapujoulade | Prédiction du comportement vibratoire du fraisage latéral de finition des pièces à parois minces[END_REF][START_REF] Davies | Impact dynamics in milling of thin walled structures[END_REF]. We will show in this article how to integrate the behaviour variations of the workpiece during machining.

Stability lobes theory

This study is mainly based on the work of Altintas and Budak [START_REF] Altintas | Analytical prediction of stability lobes in milling[END_REF][START_REF] Budak | Analytical prediction of chatter stability in milling -part I: general formulation[END_REF][START_REF] Budak | Analytical prediction of chatter stability in milling -part II: application of the general formulation to common milling systems[END_REF]. Here, we only give the equations that allow us to trace the lobes.

The stability lobes theory is based on a regenerative chatter model. It aims to predict the oscillations due to tooth n + 1 compared to tooth n (Fig. 2).

Initial assumptions

• The workpiece is mobile compared to the tool, which is much more rigid than the workpiece. • The workpiece can be considered as a rigid body in the machined zone. • The material removal is neglected.

• The workpiece moves along the y direction like a rigid body in the machined zone, according to the following equation: • We use a linear cutting law of the type F t = K t A p A e and F r = K r F t , where F t and F r are, respectively, the tangential and radial cutting force, K t and K r the tangential and radial milling force coefficients, and A p and A e are the axial and radial depth of cut. We will avoid the cases where A e ≪ f z , the feed per tooth, for which the linear cutting law is not very accurate [START_REF] Lapujoulade | Prédiction du comportement vibratoire du fraisage latéral de finition des pièces à parois minces[END_REF]. It is the most difficult assumption to satisfy, considering the relatively small real radial depth of cut. These assumptions are the simplest possible; our aim is to show how to construct the 3D lobes. This construction is applicable to more sophisticated models (non-linear cutting laws, multi degree of freedom, time domain simulations, etc.).

Ü + 2ξω 0 U + ω 2 0 U = F c • y ω 2 0 /k (1)

Calculation of the critical axial depth of cut according to the chatter frequency

Here, we express the critical axial depth of cut, A plim , for one mode, with respect to the chatter frequency ω c (vibration frequency of the workpiece). We use an orthogonal cutting model, although the lobe shape is not exactly the same with an oblique cutting model. But given the measurement inaccuracy for certain parameters, we prefer to use an orthogonal cutting model, which is easier to implement, and can be readjusted with tests. The displacement is considered along the y direction, and we study the down-milling mode.

A plim = 1 z 2π α yy K t Re G y (iω c ) (2)
where z is the number of teeth on the cutter. α yy is the directional dynamic milling coefficient in y direction and is given by:

α yy = 1 2 -cos(2θ) -2K r θ -K r sin(2θ) φ ex φ st ( 3
)
where θ is the engagement angle of the tool, φ ex is the exit angle of the tool and φ st is the start angle of the tool (Fig. 3).

Re G y (iω c ) is the real part of the structural transfer function of a system with one degree of freedom:

Re G y (iω c ) = 1 k 1 -d 2 (1 -d 2 ) 2 + 4ξ 2 d 2 (4)
where d = ω c /ω 0 , ω 0 is the natural pulsation, k is the stiffness and ξ is the damping ratio. Thus, we obtain the graph represented in Fig. 4.

Calculation of the spindle speed according to the chatter frequency

Here, we seek to express the spindle speed N according to the chatter frequency ω c . In Fig. 2, we note that there exists, between the passage of two teeth, m full vibration cycles, and a fraction ε/(2π) of a cycle. When we express this phase angle according to the chatter frequency and the tooth frequency, we obtain the following expression:

N = 60ω c z 2mπ + 2π -2 arctan d 2 -1 2ξd ( 5
)
Equation 5 allows us to plot the curves (Fig. 5), where for m fixed, we obtain the spindle speed corresponding to a chatter frequency with the same parameters as Fig. 4. ) is not invertible analytically, so we adopt a parametric representation of the lobes, where ω c is the parameter (Fig. 6). Each lobe represents the stability limit for a number of full vibration cycles m. The same parameters as in Figs. 4 and5 are used. This calculation is applicable to each natural mode of vibration of the workpiece, when they are non coupled. The workpiece Steel plate (S235) R = 4 mm z = 4 K t = 2400 MPa K r = 0.9 Ae = 0.1 mm has several number of significant natural modes of vibration. The stability limit is proportional to the modal stiffness and to the damping ratio Eqs. 2, 4. In Fig. 7, we can see that the limit fixed by the fourth mode is never reached.

Obtaining model parameters

The stability lobes calculation requires the dynamic parameters of the workpiece for each natural mode (natural frequency, damping ratio, stiffness). The stiffnesses are determined by a finite element calculation. The damping ratio cannot be easily calculated, so we determine it by measurement. We use a laser vibrometer so as not to disturb the measurement, because there is no contact between the workpiece and the sensor. This sensor makes it possible to measure the natural frequencies on the milling machine, and by exciting the workpiece 3. Parameters used to plot the graph in Fig. 9 ω 0 = 92 ± 1 Hz 1134 MPa < K t < 2880 MPa 0.675 < K r < 0.9 0.0297 < ξ < 0.0363 41.8 × 10 9 N/m < k < 46.2 × 10 9 N/m 0.095 mm < A e < 0.105 mm with a modal hammer, we obtain the damping ratio (Fig. 8). This measurement also allows us to verify the accuracy of the stiffness calculation by comparing the measured frequencies and the calculated frequencies.

Given the measurements inaccuracy, we define the stability limit with a given tolerance margin. Thus, we obtain two curves between which the real stability limit of the system lies (see Fig. 9).

Influence of the tool position on the dynamic behaviour of the workpiece

When a thin-walled structure is machined, we can see that the machined surface is not homogeneous in terms of surface quality. We can see strongly perturbed and slightly perturbed zones (Fig. 14). Thus, the workpiece cannot be considered as a rigid body in the machined zone, and the dynamic behaviour of the workpiece depends on the position of the tool. We thus introduce a third dimension in the stability lobes diagram.

In the third dimension, we introduce the application point of the cutting force, which determines how each mode is excited. For example, the dynamic behaviour of a mode is very different if the exciting force is in a node or in a loop.

The initial dynamic equation used for the stability lobes calculation is:

Ü + 2ξω 0 U + ω 2 0 U = F c • y ω 2 0 /k (6)
The displacement u of a point x of the structure, represented by its n first modes, is defined by:

u x, t = n i u i x, t (7)
with

u i x, t = α i (t)Φ i x (8)
where Φ i x is the modal displacement of the mode i, and α i (t) is a time function.

The modal equation for each mode is:

αi (t) + 2ξ i ω i αi (t) + α i (t)ω 2 i = ∂Ω Φ i x f x, t dS Ω ρΦ i x Φ i x dΩ (9)
where ω i is the natural pulsation of the mode i, f x, t is the force field and Ω ρΦ i x Φ i x dΩ is the modal mass m i .

In fact, f x, t is comparable to a localized force in point M(t), which is mobile along x 1 . It is the cutting force F c (t) (Fig. 10).

So in Eq. 9,

Ω Φ i x f x, t dΩ = Φ i (M(t))F c (t) (10)
When the modes are normalized in displacement at point M 0 , Φ i (M 0 ) = 1 and, with Eqs. 7 and 8:

u i (M 0 , t) = α i (t) = u i (M(t), t) Φ i (M(t)) (11)
Therefore, by substitution into Eq. 9, we obtain in M(t):

ü i (M(t),t) +2ξ i ω i u i (M(t),t) + u i (M(t),t)ω 2 i = Φ 2 i (M(t))F c (t) m i (12)
Eq. 12 is similar to the Eq. 6, with:

U = u i (M(t), t) • x 2 (13) ξ = ξ i ( 14
)
ω 0 = ω i (15) k = k i Φ 2 i (M(t)) (16)
k i , ω i and Φ i (M(t)) are obtained with finite element calculus. Also, it can be obtained by measurement. The regenerative model of vibration is valid for an established mode. So, the time necessary for a significant variation of k i must be much longer that the time necessary for the system to reach the established mode. The cutting tests show that the stability transition is very fast compared to the variation of k (Eq. 16).

Thus, we can plot the stability lobes for each natural mode and at any point of the tool trajectory. For one mode, since the stability limit is proportional to the stiffness k given in Eq. 4, the stability limit increases when the tool is at a node. The stiffness k is theoretically infinite at a node (Eq. 16, Fig. 12). In short, it is much more difficult to excite a mode when the excitation force is near a node, so the stability limit is much higher.

Validation tests

We now consider the peripheral down-milling of a steel plate. Its thickness is 1 mm; two perpendicular sides are embedded (Fig. 10). The programmed radial depth of cut is 0.1 mm, and the feed rate is 0.05 mm/tooth. We use a cylindrical mill; the diameter is 8 mm with 4 teeth, and the helix angle is 45 • .

The stability lobes of this workpiece are represented (Fig. 11) for the first and second modes. The same parameters as in Fig. A machining pass with a constant axial and radial depth of cut is realized. We voluntarily use an unstable spindle speed at point M 0 to excite the second mode of the workpiece, i.e. N = 9000 rpm and A p = 12 mm. The stability lobes in three dimensions for the second mode of the workpiece are represented in Fig. 12.

With a section of the stability lobes in three dimensions in the plane (x 1 , A plim ) at N = 9000 rpm, we can determine where the vibrations will appear in the workpiece (Fig. 13). We also machined a workpiece while increasing the axial depth of cut to determine the stability limit as a function of location on the workpiece with the aim of readjusting the stability lobes along A plim .

We can see a good correlation between the position of the predicted stability transitions and those observed in the machined surface (Fig. 14).

Moreover, by comparing this surface with the modal deformation of the second mode given by finite element calculus (Fig. 14), we can see the nodes (zone 4) and the loops (zones 1 and 7) of the mode. On the other hand, we observe different transition zones in the surface.

The fourth zone is in the node of the mode, and we can see that the surface quality is relatively acceptable. In this zone, the machining is stable as predicted by the lobes.

The first and seventh zones are in the loops of the mode; the workpiece behaviour is strongly unstable and non-linear during machining, even if the surface quality seems acceptable. Therefore, it is very difficult to predict the workpiece behaviour, since the vibrations are so important that the tool doesn't remain in contact with the workpiece [START_REF] Fofana | Effect of regenerative process on the sample stability of a multiple delay differential equation[END_REF][START_REF] Minis | Analysis of linear and nonlinear chatter in milling[END_REF].

The transition from unstable zone to stable zone (and conversely) is in two distinct stages. The first stage (second, sixth and eighth zones) presents a very poor surface quality where the marks show an attenuation of the vibration in term of amplitude and frequency compared to stable zones. These marks are well-ordered, firstly because the tool leaves the workpiece, and secondly because the vibration frequency tends to match with a multiple of the tooth frequency. The second stage (third and fifth zones) shows a softer behaviour of the workpiece. The vibration frequency is stable, and the tool does not leave the material. We observe only an attenuation (or increase) of the amplitude.

We will not pursue the study of the different marks observed in the machined surface, because the information given by them (amplitude and frequency) can be obtained by other methods, which will be discussed in the next section.

As stated earlier, the surface quality of the unstable zones can be compared to that observed in the stable zone, and is found to be even better than the surface quality of the stable zone. Nevertheless, in the unstable zones, it is very difficult to control the radial depth of cut and thus, the dimensional constraints. Moreover, the emergence of unstable zones necessarily goes through very perturbed transition zones around the modal nodes of the workpiece. These transition zones do not respect the constraints of surface quality, so we do not try to get some benefit from unstable zones.

Measure of vibrations during machining

To measure vibrations during machining, Delio et al. [START_REF] Delio | Use of audio signals chatter detection and control[END_REF] suggest measuring the sound intensity, but this method requires attenuation filters which are not compatible with a workshop. Thus, it is very difficult to apply this method in these conditions. Therefore, the measuring circuit described earlier, used to determine the dynamic parameters of the workpiece, will allow us to measure the vibrations of the workpiece during machining. On the other hand, this measure is incompatible with the use of lubrication, since the beam is perturbed by the cutting fluid. Therefore, we have to carry out machining without lubrication to be able to measure the vibrations. From experience, we know that the cutting fluid slightly increases the damping ratio of the machining system. Thus, if a machining is stable without lubrication, it will be more stable with lubrication.

To measure the vibrations, we record the signal in the time domain during the machining thanks to signal processing software. The software allows us to select the part of the signal which corresponds to the zone under consideration and to display an FFT in order to obtain the different vibration frequencies of the workpiece in this zone. Thus we can characterize each zone in terms of frequency and amplitude.

Discussion

By definition, machining is a forming process by material removal. Therefore, when the material removal is significant, the dynamic properties (natural frequencies, mainly) of the workpiece change according to the tool position. Thus, we include the variation of the dynamic parameters of the workpiece in the third dimension of the stability lobes, on top of behaviour variation of the nodes and the loops. The variation of the natural frequencies of the workpiece during machining introduces a shift of the lobes along the spindle speed axis. Consequently, if this shift is rather significant, it is possible that no stable spindle speed exists throughout the machining process. Then, we must adjust the spindle speed during machining in order to achieve a stable behaviour of the workpiece.

At the beginning of this article, we assumed that the tool is much more rigid than the workpiece. In practice, this assumption may not be true, and the tool and the workpiece may be mobile. In this case, if the natural modes of the tool and the workpiece are close, there can be coupling between them. The stability lobes theory presented is no longer valid, and we have to rewrite the equations according to the new configuration.

We also assumed that the tool is cylindrical with a constant cutting speed at any point on its periphery, and with a constant helix angle. Thus, the distribution of the cutting force is uniform along the tool, and we know the resultant position of this distributed cutting force. A problem arises if we must use a tapered end-mill with a non constant helix angle. In this case, the distribution of the cutting force is no longer uniform, and the resultant position of the cutting force changes.

Also, we will use a deformable taper end mill to machine a thin-walled structure with a significant material removal (machining of a centrifugal impeller).

Conclusion

In this article, we show how to introduce in the stability lobes theory the dynamical behaviour variation of the workpiece with respect to tool position. A third dimension, the tool position, is introduced in the stability lobes diagram. This 3D lobes construction is validated by an experimental approach. Thus, we can obtain the optimal cutting conditions all through the machining process.

It is also necessary to integrate into the stability lobes model the variation of the dynamic parameters of the workpiece during machining due to material removal, and the use of a deformable tool. This work is in progress and will be developed further. The model thus obtained will have to be integrated with the CAD-CAM system, or developed with specific software adapted to an industrial context.

Fig. 1 .

 1 Fig. 1. Vibratory problems encountered in peripheral milling

Fig. 2 .

 2 Fig. 2. Regenerative chatter model with one degree of freedom

Fig. 3 .Fig. 4 .Table 1 .Fig. 5 .

 3415 Fig. 3. Start and exit angle in down-milling

Fig. 6 .Fig. 7 .

 67 Fig. 6. Characteristic plot of stability lobes

Fig. 8 .Fig. 9 .

 89 Fig. 8. Determination of dynamic parameters

4

 4

Fig. 10 .Fig. 11 .

 1011 Fig. 10. Application point of the cutting force in the test workpiece

Fig. 12 .Fig. 13 .Fig. 14 .

 121314 Fig. 12. Stability lobes in three dimensions for the second mode of the workpiece

Table 2 .

 2 Modal properties of the workpiece and cutting conditions used to plot the graph in Fig.7

	Mode	ω 0 (Hz)	ξ	k (N/m)
	1	592	0.033	44.497 ×10 9
	2	1088	0.023	108.109 ×10 9
	3	2100	0.01	803.759 ×10 9
	4	3320	0.009	1.119 ×10 12


Vincent Thevenot
email: vincent.thevenot@enit.fr

Lionel Arnaud

Gilles Dessein

Gilles Cazenave-Larroche

Influence de la position de l'outil sur le comportement dynamique en fraisage de parois minces

Keywords: Lobes de stabilité 3D, fraisage de paroi mince, comportement dynamique 3D stability lobes, milling of thin walled structure, dynamic behaviour

Les problèmes vibratoires rencontrés lors de l'usinage en contournage de parois minces affectent la qualité de la pièce finie et dans une moindre mesure, la durée de vie de l'outil et de la broche. C'est pourquoi il est nécessaire de pouvoir limiter ces problèmes par un choix approprié des conditions de coupe. La théorie des lobes de stabilité permet de choisir les conditions de coupe adéquates en fonction du comportement dynamique de la pièce ou de l'outil. Nous introduisons ici les variations de comportement dynamique dues à la position de l'outil, dans le but d'obtenir des conditions de coupe optimales tout le long de l'usinage. Cette généralisation du tracé classique des lobes de stabilité nous conduit à représenter les lobes en trois dimensions. Ces résultats théoriques sont comparés à des usinages expérimentaux de pièces minces, en avalant.

Introduction

Lors de certaines opérations d'usinage, il peut apparaître des vibrations entre la pièce et l'outil. C'est notamment le cas en fraisage lorsqu'on utilise des outils longs de faible diamètre ou que l'on veut usiner une paroi fine en contournage. Ce phénomène engendre une imprécision dimensionnelle, géométrique et un mauvais état de surface (Fig. 1). On observe également une diminution de la durée de vie de l'outil et de la broche. C'est pourquoi il faut être capable de comprendre le phénomène, et de le maîtriser. Les bases de la compréhension des vibrations du couple outil-pièce remontent aux années 1950 avec S.A. Tobias [START_REF] Tobias | A Theory of Regenerative Chatter[END_REF], J. Tlusty [START_REF] Tlusty | The stability of Machine Tools Against Self Excited Vibrations in Machining[END_REF] et H.E. Merrit [START_REF] Merritt | Theory of Self-Excited Machine Tool Chatter[END_REF], qui ont expliqué le phénomène de vibrations auto-entretenues en coupe orthogonale, et mis au point la théorie des lobes de stabilité. Cette théorie permet, pour une vitesse de rotation donnée, de prédire la longueur d'arête en prise à partir de laquelle les vibrations vont apparaître. Ce premier modèle est particulièrement bien adapté aux vibrations de l'outil en tournage où la direction des efforts de coupe, l'épaisseur de copeau et les paramètres dynamiques ne changent pas notablement au cours du temps. La théorie des lobes de stabilité appliquée au fraisage orthogonal (outil sans angle d'hélice) apparaît à la fin des années 60 [START_REF] Sridhar | General Formulation of the Milling Process Equation[END_REF][START_REF] Sridhar | A Stability Algorithm for the General Milling Process[END_REF], et est utilisée pour étudier les vibrations de l'outil. Au milieu des années 90, Y. Altintas [START_REF] Altintas | Analytical Prediction of Stability Lobes in Milling[END_REF] présente une forme analytique de la théorie des lobes de stabilité pour le fraisage. Cette théorie est bien adaptée pour l'étude des vibrations de l'outil car ses caractéristiques dynamiques ne changent pas au cours du temps. Mais lorsqu'on usine une paroi fine, on se rend compte que le comportement dynamique du couple outilpièce varie suivant la position de l'outil sur la pièce [START_REF] Lapujoulade | Prédiction du Comportement Vibratoire du Fraisage Latéral de Finition des Pièces à Parois Minces[END_REF][START_REF] Davies | Impact Dynamics in Milling of Thin Walled Structures[END_REF]. Nous montrerons dans cet article comment intégrer les variations de comportement de la pièce pendant l'usinage.

Théorie des lobes de stabilité

Dans ce travail, nous nous baserons essentiellement sur les travaux de Y. Altintas et E. Budak [START_REF] Altintas | Analytical Prediction of Stability Lobes in Milling[END_REF][START_REF] Budak | Analytical Prediction of Chatter Stability in Milling, Part I : General Formulation[END_REF][START_REF] Budak | Analytical Prediction of Chatter Stability in Milling, Part II : Application of the General Formulation to Common Milling Systems[END_REF]. Nous ne donnons ici que les équations permettant de tracer les lobes.

La théorie des lobes de stabilité est basée sur un modèle de coupe avec vibrations régénératives. Elle vise à prédire dans quelles conditions (profondeur de passe axiale et vitesse de rotation broche) les oscillations dues à la dent n+ 1 ont une amplitude plus ou moins importante par rapport aux oscillations dues à la dent n (Fig. 2).

Hypothèses de départ

-Nous considérons ici la pièce mobile par rapport à l'outil, qui est beaucoup plus rigide que la pièce. -La pièce est assimilée à un corps rigide dans la zone d'usinage.

-L'enlèvement de matière est négligé.

-La pièce se déplace suivant la direction y, comme un corps rigide dans la zone usinée, et selon l'équation suivante :

Ü + 2ξω 0 U + ω 2 0 U = ((F c .y)ω 2 0 )/k (1)
-Nous utilisons une loi de coupe linéaire du type

F t = K t A p A e et F r = K r F t , où F t et F r sont respec-
tivement les efforts de coupe tangentiels et radiaux, K t et K r les coefficients spécifiques de coupe tangentiels et radiaux et A p et A e les profondeurs de passe axiales et radiales. Nous éviterons les cas où A e ≪ f z , l'avance à la dent, pour lesquels la loi de coupe linéaire est peu précise [START_REF] Lapujoulade | Prédiction du Comportement Vibratoire du Fraisage Latéral de Finition des Pièces à Parois Minces[END_REF]. C'est l'hypothèse la plus difficile à respecter étant donné l'imprécision sur la profondeur de passe radiale réelle en finition qui est très faible. Ces hypothèses sont simples, notre but étant de montrer comment construire les lobes. Toutefois, cette construction est applicable à des modèles plus compliqués (loi de coupe non-linéaire, plusieurs degrés de liberté, simulation temporelle ...).

Calcul de la profondeur de passe axiale limite en fonction de la pulsation de broutement

On exprime ici la profondeur de passe axiale limite A plim pour un mode, en fonction de la fréquence de broutement ω c (fréquence de vibration de la pièce). Nous utilisons un modèle en coupe orthogonale, bien que la forme des lobes ne soit pas tout à fait la même avec un modèle en coupe oblique. Mais étant donné les imprécisions de mesure sur certains paramètres, nous préférons utiliser un modèle en coupe orthogonale, plus facile à mettre en oeuvre, et qui peut être recalé avec des essais. Le déplacement est considéré suivant y, et nous étudions le cas du fraisage en avalant. α yy est le coefficient directionnel dynamique suivant y donné par :

A plim = 1 z 2π α yy K t ℜe[G y (iω c )] (2)
α yy = 1 2 [-cos (2θ) -2K r θ -K r sin (2θ)] φex φst (3)
avec θ l'angle d'engagement de l'outil, φ ex l'angle de sortie de l'outil, et φ st l'angle d'entrée de l'outil (Fig. 3).

ℜe[G y (iω c )] est la partie réelle de la fonction de transfert complexe d'un système à un degré de liberté :

ℜe[G y (iω c )] = 1 k 1 -d 2 (1 -d 2 ) 2 + 4ξ 2 d 2 (4)
où d = ω c /ω 0 , ω 0 est la pulsation propre, k est la raideur, et ξ est le taux d'amortissement. Nous obtenons ainsi le graphe représenté sur la figure 4.

Calcul de la vitesse de rotation de la broche en fonction de la pulsation de broutement

On cherche ici à exprimer la vitesse de rotation N de la broche en fonction de la pulsation de broutement ω c . À partir de la figure 2, on constate qu'il existe entre deux passages de dent un nombre entier de longueurs d'onde m, et une fraction ε/(2π) de longueur d'onde. En exprimant ce déphasage en fonction de la pulsation de broutement et de la fréquence de dent, nous obtenons l'expression suivante :

N = 60ω c z 2mπ + 2π -2 arctan d 2 -1 2ξd (5)
L'équation (5) permet de tracer les courbes de la figure 5, où, pour m fixé, on obtient la vitesse de rotation de la broche correspondant à une pulsation de broutement. Les mêmes paramètres que pour la figure 4 sont utilisés.

Calcul de la profondeur de passe axiale limite

en fonction de la vitesse de rotation de la broche et du nombre de longueurs d'onde entières À ce stade, nous disposons de A plim = f (ω c ) et de N = f (ω c ). La fonction N = f (ω c ) n'étant pas inversible analytiquement, nous traçons les lobes de manière paramétrique avec ω c le paramètre (Fig. 6). Chaque lobe représente la limite de stabilité pour un nombre entier de longueurs d'onde m. Les mêmes paramètres que pour la figure 4 et la figure 5 sont utilisés.

Ce calcul est applicable à chaque mode propre de la pièce, lorsque ceux-ci sont suffisamment espacés. La pièce est une structure continue, elle possède donc par définition une infinité de modes propres. Il s'en suit une infinité de lobes. De plus, pour un mode, il peut y avoir une infinité de longueurs d'onde entière entre deux passages de dent. Il y a donc une infinité de lobes par mode. Mais plus le mode considéré est élevé, plus sa raideur est élevée. La profondeur de passe axiale limite étant proportionnel à cette raideur modale ainsi qu'à l'amortissement modal ( Éqs. ( 2), ( 4)), on s'aperçoit que seuls les premiers modes de la pièce jouent un rôle prépondérant. Sur la figure 7 sont représentés les lobes de stabilité des quatre premiers modes propres de la pièce d'essai. On peut s'apercevoir qu'il n'est pas nécessaire de prendre en compte le quatrième mode, étant donné que la limite fixée par ce mode n'est jamais atteinte. Nous utilisons un vibromètre laser, avec lequel il n'y a pas contact avec la pièce, pour ne pas perturber la mesure. Ce capteur nous permet de mesurer les fréquences propres sur la machine, et en excitant la pièce avec un marteau d'impact, de déterminer les taux d'amortissements (Fig. 8). Cette mesure nous permet également de Étant donné l'imprécision des mesures, nous sommes amenés à définir la limite de stabilité en intégrant une certaine marge d'erreur. Il en résulte deux courbes entre lesquelles se trouve la limite de stabilité réelle du système (Fig. 9). Nous ne cherchons pas des précisions plus élevées que celles données dans le tableau 3, notre but étant de faire apparaître des zones d'optimisation.

4 Influence de la position de l'outil sur le comportement dynamique de la pièce

Lorsqu'on usine une paroi fine, on se rend compte que la surface résultante n'est pas homogène en terme d'état de surface. Il apparaît des zones fortement marquées et des zones faiblement marquées (Fig. 14). La pièce ne peut donc pas être assimilée à un corps rigide dans la zone usinée, et son comportement dynamique dépend de la position de l'outil. Nous introduisons ainsi une troisième dimension au tracé des lobes de stabilité.

Nous introduisons dans la troisième dimension le point d'application de l'effort de coupe, qui détermine comment chaque mode est excité. Par exemple, le comportement dynamique d'un mode est différent si la force d'excitation est appliquée sur un noeud ou sur un ventre.

Rappelons l'équation dynamique de départ pour le calcul des lobes.

Ü + 2ξω 0 U + ω 2 0 U = ((F c .y)ω 2 0 )/k (6)
Le déplacement u d'un point x de la structure, représentée par ces n premiers modes, est défini par :

u(x, t) = n i u i (x, t) (7)
avec u i (x, t) = α i (t)Φ i (x) (8)
avec Φ i (x) la déformée modale du mode i, et α i (t) une fonction du temps. L'équation modale pour chaque mode est :

αi (t) + 2ξω i αi (t) + α i (t)ω 2 i = ∂Ω Φ i (x)f (x, t)dS Ω ρΦ i (x)Φ i (x)dΩ (9)
avec ω i la pulsation propre du mode i, f (x, t) le champ d'effort, et

Ω ρΦ i (x)Φ i (x)dΩ la masse modale m i .
En fait, f (x, t) est assimilable à un effort ponctuel au point M (t), qui est mobile suivant x 1 . C'est l'effort de coupe F c (t) (Fig. 10).

Ainsi, dans l'équation [START_REF] Budak | Analytical Prediction of Chatter Stability in Milling, Part I : General Formulation[END_REF] :

Ω Φ i (x)f (x, t)dΩ = Φ i (M (t))F c (t) (10)
En normalisant les modes en déplacement au point M 0 , Φ i (M 0 ) = 1 et en remplaçant dans les équations ( 7) et [START_REF] Davies | Impact Dynamics in Milling of Thin Walled Structures[END_REF] :

u i (M 0 , t) = α i (t) = u i (M (t), t) Φ i (M (t), t) (11)
Ainsi, par substitution dans l'équation (9), nous obtenons en M (t) :

üi (M (t), t) + 2ξ i ω i ui (M (t), t) L'équation [START_REF] Minis | Analysis of Linear and Nonlinear Chatter in Milling[END_REF] est analogue à l'équation (6) de départ, avec :

+ u i (M (t), t)ω 2 i = Φ 2 i (M (t))F c (t) m i (12)
U = u i (M (t), t).x 2 (13) ξ = ξ i (14) ω 0 = ω i (15) k = k i Φ 2 i (M (t)) (16)
k i , ω i et Φ i (M (t)
) sont obtenus par un calcul éléments finis. Ils peuvent être également déterminés par la mesure. Le modèle de coupe avec vibrations régénératives est valable en régime établi. Ainsi, le temps nécessaire pour observer une variation significative de k i doit être beaucoup plus long que le temps nécessaire au système pour atteindre le régime établi. Les essais d'usinage montrent que la transition de stabilité est très rapide par rapport à la variation de la raideur k ( Éq. ( 16)) (Fig. 14).

Nous pouvons donc tracer les lobes de stabilité pour tous les modes propres de la pièce en tout point de la trajectoire de l'outil. Pour un mode, la limite de stabilité étant proportionnelle à la raideur k ( Éqs. ( 2), ( 4)), la limite de stabilité augmente lorsque l'outil est sur un noeud. La raideur k est théoriquement infinie sur un noeud ( Éq. ( 16)) (Fig. 12).

Essais de validation

L'étude porte sur l'usinage en contournage et en avalant d'une plaque en acier d'épaisseur 1 mm, encastrée sur deux de ses côtés perpendiculaires (Fig. 10). La profondeur de passe radiale programmée est de 0,1 mm et l'avance à la dent de 0,05 mm.dent de rotation volontairement instable au point M 0 en cherchant à exciter le deuxième mode de la pièce, soit N = 9000 tr.min -1 , et A p = 12 mm. Le tracé des lobes de stabilité en 3 dimensions du deuxième mode de la pièce est représenté sur la figure 12.

Une coupe du tracé des lobes en 3 dimensions dans le plan (x 1 , A plim ) à la vitesse de 9000 tr.min -1 , nous permet de déterminer les zones d'apparition des vibrations sur la pièce (Fig. 13). Nous réalisons également un usinage en augmentant progressivement la profondeur de passe axiale de façon à faire apparaître la limite de stabilité en un point de la pièce et ainsi recaler le tracé selon l'axe A plim . On constate une bonne corrélation entre la position des transitions stabilité/instabilité prédite par les lobes et celle observée sur la surface résultant de l'usinage (Fig. 14).

De plus, en confrontant cette surface à la déformée modale du deuxième mode obtenue par simulation (Fig. 14), on retrouve bien les noeuds (zone 4) et les ventres (zones 1 et 7) du mode considéré. Par contre on observe différentes zones de transition sur cette surface.

La zone 4 se trouve sur le noeud du mode, et on constate que l'état de surface est relativement acceptable. L'usinage dans cette zone est stable, comme l'ont prédit les lobes en 3 dimensions. Les zones 1 et 7 se trouvent sur les ventres du mode, la pièce présente un comportement très instable et fortement non-linéaire lors de l'usinage, même si l'état de surface paraît acceptable. Il est dès lors très difficile de prédire le comportement de la pièce, l'outil sortant de la matière [START_REF] Fofana | Effect of Regenerative Process on the Sample Stability of a Multiple Delay Differential Equation[END_REF][START_REF] Minis | Analysis of Linear and Nonlinear Chatter in Milling[END_REF]. Le passage d'une zone instable à une zone stable (et inversement) se fait en fait en 2 étapes distinctes. La première étape (zones 2, 6 et 8) présente un état de surface très dégradé dont les marques traduisent une atténuation (ou augmentation) des vibrations en terme d'amplitude et de fréquence par rapport aux zones instables. Les marques observées sont très ordonnées, ce qui est dû au fait que l'outil sort de la matière d'une part, et que la fréquence de vibration de la pièce tend à s'accorder avec un multiple de la fréquence de dent d'autre part. La deuxième étape (zones 3 et 5) montre un comportement plus calme de la pièce. La fréquence de vibration est stabilisée, et l'outil ne sort plus de la matière. On observe seulement une atténuation (ou augmentation) de l'amplitude.

Nous ne pousserons pas plus loin l'étude des différentes marques observées sur la surface résultant de l'usinage, car les renseignements qu'elles nous fournissent (fréquence et amplitude de vibration) peuvent être obtenu par d'autres moyens dont nous parlerons dans le prochain chapitre. Comme nous l'avons vu plus haut, l'état de surface observé dans les zones instables peut être du même ordre que celui observé dans les zones stables, voire meilleur. Mais dans les zones instables il est très difficile de maîtriser la profondeur de passe radiale, donc les contraintes dimensionnelles. De plus, l'apparition de zones instables passe nécessairement par des zones de transition très perturbées autour des noeuds de la pièce. Ces zones de transition ne respectant pas les contraintes d'état de surface, nous ne chercherons donc pas à tirer parti des zones instables.

6 Mesure des vibrations pendant l'usinage Pour mesurer les vibrations pendant l'usinage, il existe différentes méthodes dont la mesure de l'intensité acoustique proposée par T. Delio et al. [START_REF] Delio | Use of Audio Signals Chatter Detection and Control[END_REF]. Mais cette méthode nécessite des filtres d'atténuation des bruits incompatibles avec l'environnement d'un atelier de fabrication. Elle s'avère donc difficile à mettre en oeuvre dans ce contexte. C'est pourquoi, la chaîne de mesure décrite plus haut, nécessaire à l'obtention des paramètres dynamiques de la pièce, va également nous permettre de mesurer les vibrations de la pièce pendant l'usinage. Par contre, cette mesure est incompatible avec l'utilisation de la lubrification. En effet, le faisceau est perturbé par le fluide de coupe. Il s'agit donc d'effectuer des usinages à sec pour pouvoir mesurer les vibrations. Mais nous savons par expérience que le fluide de coupe augmente légèrement l'amortissement du système usinant. Dès lors, un usinage stable à sec, le sera d'autant plus avec la lubrification.

Pour mesurer les vibrations, nous enregistrons le signal dans le domaine temporel pendant toute la durée de l'usinage grâce à un logiciel de traitement du signal. Le logiciel nous permet ensuite de sélectionner la partie du signal correspondant à la zone désirée, et d'effectuer une FFT afin d'obtenir les différentes fréquences de vibration de la pièce dans cette zone. Nous pouvons ainsi caractériser chaque zone en terme de fréquence et d'amplitude.

Perspectives

Par définition, l'usinage est un procédé de mise en forme par enlèvement de matière. Ce qui induit, lorsque l'enlèvement de matière est significatif, une modification des paramètres dynamiques de la pièce (fréquences propres notamment) fonction de la position de l'outil. Ainsi, on intègre, sur la troisième dimension introduite plus haut, en plus du changement de comportement au passage de l'outil sur les noeuds et les ventres, la variation des paramètres dynamiques de la pièce. La modification des fréquences propres de la pièce pendant l'usinage introduit un décalage des lobes suivant l'axe portant la vitesse de rotation de la broche. Dès lors, si ce décalage est assez important, il peut arriver qu'il n'existe pas de vitesse de rotation stable pour tout l'usinage. Il faut alors pouvoir faire varier cette vitesse en cours d'usinage de façon à assurer la complète stabilité du système.

Au début de cet article, nous avons considéré que l'outil est infiniment rigide au regard de la pièce. Mais il arrive que cette hypothèse ne soit pas vérifiée, et que la pièce et l'outil soient mobiles. Auquel cas, si les modes propres de la pièce et de l'outil sont proches, il peut y avoir couplage entre les deux. La théorie des lobes de stabilité telle que nous l'avons présentée n'est plus valable, et il faut réécrire les équations suivant la nouvelle configuration.

Nous avons également considéré l'outil comme étant cylindrique où la vitesse de coupe est constante en tout point de la périphérie de celui-ci, et où l'angle d'hélice est constant. La répartition de l'effort de coupe est donc uniforme le long de l'outil, et nous connaissons la position de la résultante de cet effort réparti. Mais nous allons être amené à utiliser un outil conique à angle d'hélice variable. La répartition de l'effort n'est plus uniforme dans ce cas là, et la position de la résultante de l'effort de coupe change.

Nous allons également être confronté au cas où nous usinons une pièce mince avec un outil conique déformable (usinage d'un rouet centrifuge par exemple) avec un enlèvement de matière significatif.

Conclusion

Dans cet article, nous avons montré comment introduire dans la théorie des lobes de stabilité les variations de comportement dynamique de la pièce, en fonction de la position de l'outil. Une troisième dimension est ainsi intégrée au tracé des lobes, qui est la position de l'outil. Cette représentation des lobes en trois dimensions est validée par des usinages expérimentaux. Nous pouvons ainsi obtenir des conditions de coupe optimales tout le long de l'usinage.

Il est également nécessaire d'intégrer à la théorie des lobes de stabilité la variation des paramètres dynamiques de la pièce pendant l'usinage dû à l'enlèvement de matière, ainsi que l'utilisation d'outils déformables. Ce travail est en cours et sera développé plus tard. Le modèle ainsi obtenu devra faire l'objet soit d'une intégration à la CFAO, soit à la mise au point d'un logiciel dédié adapté au contexte industriel.

Fig. 1 .

 1 Fig. 1. Problèmes vibratoires rencontrés en contournage.

Fig. 2 .

 2 Fig. 2. Modèle de coupe avec vibrations régénératives à un degré de liberté.

Fig. 3 .

 3 Fig. 3. Angles d'entrée et de sortie en avalant.

Fig. 4 .Tableau 1 .

 41 Fig. 4. Tracé de A plim en fonction de d. Tableau 1. Paramètres utilisés pour tracer le graphe figure 4. Pièce en acier (S235) Ae = 0,1 mm R = 4 mm z = 4 Kt = 2400 MPa Kr = 0,9 k = 45 × 10 9 N.m -1 ξ = 0, 033 ω0 = 592 Hz

Fig. 5 .

 5 Fig. 5. Tracé de N en fonction de d.

Fig. 6 .

 6 Fig. 6. Tracé caractéristique des lobes de stabilité.

Fig. 7 .

 7 Fig. 7. Tracé des lobes de stabilité pour 4 modes.

Fig. 8 .

 8 Fig. 8. Dispositif de détermination des paramètres dynamiques.

Fig. 9 .

 9 Fig. 9. Tracé des lobes de stabilité intégrant l'imprécision de mesure des paramètres.

Fig. 10 .

 10 Fig. 10. Application de l'effort de coupe sur la pièce d'essai.

- 1 .

 1 Nous utilisons une fraise cylindrique de 8 mm de diamètre, à 4 dents et avec un angle d'hélice de 45 • . Les lobes de stabilité correspondant à cette pièce sont représentés sur la figure 11 pour les modes 1 et 2, avec les mêmes paramètres que pour la figure 4. Ils sont tracés au point M 0 de la pièce qui correspond au coin libre. Nous réalisons un usinage à profondeur de passe axiale (et radiale) constante en choisissant une vitesse

Fig. 11 .

 11 Fig. 11. Tracé des lobes des 2 premiers modes de la pièce d'essai.

Fig. 12 .

 12 Fig. 12. Tracé des lobes en trois dimensions du 2 e mode de la pièce.

Fig. 13 .

 13 Fig. 13. Coupe à = 9000 tr.min -1 dans le plan (x1, A plim ).

Fig. 14 .

 14 Fig. 14. Position des transitions stabilité/instabilité sur la surface usinée et corrélation avec la déformée propre du deuxième mode.