Sandrine Viel
email: sandrine.viel@turbomeca.fr

Thierry Coudert
email: thierry.coudert@enit.fr

Laurent Geneste
email: laurent.geneste@enit.fr

Proposition d'une architecture composée de multiples processus de retour d'expérience coopérants

Keywords: Gestion des connaissances, Retour d'expérience, Entreprise étendue, Système de décision Hiérarchique, Coopération

Cet article présente les premiers résultats d'une étude réalisée en partenariat avec l'entreprise Turbomeca traitant des problèmes engendrés par l'implémentation de processus de retour d'expérience dans une entreprise étendue. La première partie de l'article est dédiée à la définition et à la description des processus de retour d'expérience et des approches les plus avancées pour faciliter leur implémentation. Dans une seconde partie, nous montrons que dans une entreprise étendue, il est nécessaire de définir de multiples processus de retour d'expérience pour que l'approche soit adaptée aux différents niveaux de décisions et aux différents produits/technologies utilisés dans l'entreprise. Nous proposons une trame générale pour intégrer ces différents aspects et nous présentons une illustration d'un cas concret. Finalement, nous concluons sur l'originalité de notre proposition ses avantages et les perspectives de notre travail.

Introduction

La mondialisation des marchés, la libéralisation de l'économie et les progrès réalisés dans le domaine des technologies de l'information et de la communication engendrent des changements profonds dans l'organisation des entreprises. Elles doivent réagir de plus en plus rapidement et anticiper au mieux les problèmes ce qui les conduit bien souvent à s'étendre pour former des entreprises interconnectées en réseau. Dans ce contexte très changeant, un nombre croissant d'entreprises se tourne vers la gestion des connaissances afin de valoriser leurs capitaux immatériels [START_REF] Corso | Managing dispersed workers: the new challenge in Knowledge Management[END_REF] [START_REF] Edvinsson | Intellectual capital[END_REF]. Plusieurs méthodes de Gestion des Connaissances ont ainsi été développées, elles présentent souvent des difficultés de mise en oeuvre car elles nécessitent :

1. l'utilisation de techniques de modélisation conceptuelles, comme par exemple la méthode KADS [START_REF] Wielinga | KADS: A Modelling Approcah to Knowledge Engineering. Knowledge Acquisition, Special issue[END_REF], qui s'avèrent difficile à s'approprier et qui sont grandes consommatrices en temps et ressources humaines [START_REF] Duribreux | Application industrielle d'une approche mixte de modélisation des connaissances[END_REF], 2. l'introduction d'un cogniticien, nouvel acteur de l'entreprise, dont le rôle est d'aider les experts à décrire leurs connaissances et qui implique des investissements supplémentaires [START_REF] Dupuis -Hepner | Les hommes et la mémoire vive de l'entreprise[END_REF],

3. l'extraction non contextualisée de la connaissance des acteurs. De nombreuses méthodes et outils de gestions ont été développés [START_REF] Dieng | Methods and tools for corporate knowledge management[END_REF], mais comme les systèmes de gestion des connaissances sont difficiles à implémenter, de plus en plus de personnes s'intéressent au retour d'expérience car c'est une autre voie possible de valorisation des capitaux immatériels. Le retour d'expérience est un moyen de gérer des connaissances issues d'expériences, c'està-dire, des connaissances spécifiques utilisées dans un contexte particulier de résolution de problèmes. Le processus de retour d'expérience comporte deux phases : la capitalisation et l'exploitation de la connaissance. Dans la littérature, plusieurs approches portant sur le retour d'expérience ont été développées afin de définir la notion du retour d'expérience et une vision générale sur la gestion des expériences [START_REF] Bergmann | Experience Management[END_REF] a notamment été proposée. Nous proposons d'employer ce concept de retour d'expérience pour répondre aux problèmes industriels concernant la capitalisation de la connaissance.

Dans la littérature, plusieurs modèles de retour d'expérience sont proposés. Par exemple, dans [START_REF] Kolb | Experiential learning: experience as the source of learning and development[END_REF], le modèle proposé concerne l'apprentissage par l'expérience. Ce modèle est basé sur un cycle composé de quatre étapes : expérience concrète, réflexion, proposition de concepts abstraits et finalement expérimentation. Pendant la première étape, ce modèle permet d'établir une connaissance personnelle à partir de ses propres expériences. La deuxième étape concerne le partage de la connaissance. La troisième permet la formalisation de la connaissance et la quatrième permet une validation de la connaissance. Une autre approche développée par [START_REF] Aha | Intelligent lessons learned systems[END_REF] concerne un processus générique des leçons apprises. Cette approche décrit un processus générique composé de cinq processus : collecter, vérifier, stocker, diffuser et réutiliser. D'abord, des leçons sont collectées par un centre. Elles représentent des expériences qui sont vérifiées par des experts. Puis, les leçons sont stockées dans une base et un processus de diffusion permet alors à des personnes de réutiliser la connaissance contenue dans les leçons. Dans l'approche de [START_REF] Faure | Modelling the Experience Feedback Loop to improve Knowledge Base reuse in industrial environment[END_REF], un cycle de retour d'expérience est décrit. Ce cycle est décomposé en quatre activités : utiliser des savoirfaire dans les processus industriels, analyser, capitaliser la connaissance et la diffuser. Dans ce modèle, les expériences sont issues des processus industriels. Puis, elles sont converties en règles après une phase d'analyse. Les règles sont ensuite capitalisées dans la base de connaissance sorte de "mémoire d'entreprise" puis diffusées. Le point clé de ce modèle est la conservation de la trace du savoir-faire mis en action dans l'activité Utiliser au moyen des autres activités de la boucle.

Chaque modèle présenté est composé d'une succession d'activités visant à créer des connaissances. Ces activités permettent de transformer l'information issue d'événements simples en connaissance réutilisable. En fait, le rôle des activités du processus de retour d'e xpérience est de rendre exploitable cette information. Dans cette optique, plusieurs outils basés sur le raisonnement à partir de cas (RàPC) [START_REF] Kolodner | Case-Based Reasoning[END_REF] [18] ont été implémentés. Le RàPC est une méthode basée sur la résolution de nouveaux problèmes en réutilisant des expériences employées pour résoudre des problèmes dans le passé. Le raisonnement est basé sur la connaissance qui a été acquise par expérience. Cette expérience acquise est stockée dans la mémoire de cas et est employée pour acquérir de nouvelles connaissances. Dans un premier temps, une recherche est effectuée pour trouver dans la base de cas des expériences semblables (cas) au nouveau cas que l'on souhaite résoudre. Si on trouve des cas similaires, ils peuvent être employés afin de résoudre le nouveau problème. Ces expériences semblables sont alors adaptées, révisées et consignées dans la base de cas. D'autres travaux traitent du problème de modélisation des processus de retour d'expérience dans des contextes industriels spécifiques comme par exemple [START_REF] Bergmann | Generalized cases: representation and steps towards efficient similarity assessment[END_REF], [START_REF] Bickford | Sharing lessons learned in the Department of Energy, AAA-00[END_REF], [START_REF] Courville | Prévention et retour d'expérience à Air France[END_REF] et [START_REF] Delaître | Instrumentation d'un processus de retour d'expérience pour l a gestion des risques, IC[END_REF].

Ces modèles sont généraux et traitent de l'acquisition et de la réutilisation de connaissance mais ils ne tiennent pas compte de l'organisation des entreprises. Dans le contexte industriel, il est important lors de la définition d'un processus de retour d'expérience de tenir compte du fait que les décideurs travaillent pour différentes organisations dans le cadre des entreprises réseaux et/ou pour des secteurs différents de l'entreprise avec des objectifs propres. Par ailleurs, tous les acteurs n'ont pas besoin de la même connaissance et/ou du même niveau de connaissance afin de prendre leurs décisions. Ainsi, nous proposons dans cet article une nouvelle approche pour le retour d'expérience. Notre proposition comprend la mise en place de plusieurs processus de retour d'expérience intégrant différents niveaux de connaissance afin d'être adaptés aux systèmes de décision de l'entreprise. En outre, nous proposons d'intégrer des liens de coopération entre les différents processus de retour d'expérience pour permettre à l'entreprise d'atteindre ses objectifs globaux. Les autres processus de l'entreprise peuvent alors utiliser la connaissance capitalisée et tous les acteurs de l'entreprise peuvent exploiter la connaissance capitalisée. Le processus de retour Considérant une unité opérationnelle avec ses processus et son propre système de décision hiérarchisé, le processus de retour d'expérience permet de créer et de profiter de la connaissance sur la résolution des problèmes spécifiques inhérents à l'unité. La majeure partie du temps, cette connaissance est seulement employée par les acteurs et les décideurs de l'unité afin de résoudre des problèmes spécifiques. Par conséquent, un processus de retour d'expérience est spécifique à une unité opérationnelle. La fonction du processus est de produire de la connaissance en respectant le langage et l'ontologie propres à l'unité. En effet, chacun n'ayant pas les mêmes besoins et n'employant pas le même vocabulaire, la structure du retour d'expérience doit être adaptée pour garder l'expertise de chaque secteur d'une entreprise. Cependant, la connaissance capitalisée par une unité peut être très utile aux acteurs des autres unités afin de résoudre leurs propres problèmes. La possibilité pour l'entreprise de partager sa connaissance locale sur des problèmes spécifiques est très importante. C'est pourquoi nous avons intégré à notre modèle des liens de coopération entre les processus de retour d'expérience. Ainsi, chaque unité peut consulter les autres unités afin de vérifier si une expérience semblable (mais avec un contexte différent) a été capitalisée et (ré)utiliser les savoirs générés à partir de l'expérience. Les acteurs de l'unité dédiée à la conception d'un produit peuvent par exemple avoir besoin d'employer une connaissance capitalisée par les acteurs de l'unité de production afin d'intégrer des modifications lors des phases de conception. Le partage de la connaissance des différentes unités au moyen de mécanismes de coopération permet au système de générer de nouvelles connaissances. Par conséquent, le système peut être considéré comme un ensemble d'unités opérationnelles capable d'apprendre au moyen d'un processus de coopération. Ainsi la connaissance de l'unité peut être améliorée chaque fois que le processus de coopération est mis en application. La connaissance spécifique à une unité est dérivée non seulement de l'information capitalisée par les différents acteurs de l'unité, mais également par des acteurs d'autres d'unités opérationnelles. Le processus de coopération permettant le partage de la connaissance entre les unités est présenté paragraphe 3.2.

Nous détaillons notre architecture comp osée de plusieurs processus de retour d'expérience hiérarchiques qui coopèrent à la partie suivante. Pour cela, nous précisons les mécanismes, les éléments ainsi que les ressources tant humaines que matérielles intervenant dans une telle architecture.

3 Détails de l'architecture

Retour d'expérience hiérarchique

En vue de simplifier la présentation, le système de décision sera divisé en trois niveauxreprésentés sur la figure 2 avec leur périmètre de décision.

Niveau

Horizon 3).

Fig. 3-Processus de retour d'expérience hiérarchique

Entre ces deux cycles majeurs, nous pouvons observer que les problèmes traités dans le cycle de retour d'expérience managérial (concernant les processus) peuvent venir de l'analyse de problèmes techniques.

Il Le processus de coopération doit respecter les différents niveaux de l'architecture hiérarchique présentée paragraphe 3.1. Les liens de coopération entre deux structures hiérarchiques et correspondant à chaque niveau sont représentés sur la figure 5. Ils sont explicités dans les sections suivantes.

Fig. 5-Niveaux du système de décision

Processus de coopération au niveau opérationnel

Au niveau opérationnel, le processus de coopération est principalement utilisé pour partager de la connaissance sur des problèmes simples. La connaissance partagée est essentiellement de la connaissance statistique. Par exemple, le temps moyen entre deux pannes d'un composant est une donnée qui peut être calculée à partir du retour d'expérience capitalisé au niveau opérationnel de l'unité opérationnelle « service après-vente » et intéresser les personnes travaillant à la conception. La connaissance générée est issue de la capitalisation d'un nombre important d'événements à caractère technique. La coopération porte sur la connaissance statistique générée et non sur les événements capitalisés.

Processus de coopération au niveau tactique

Au niveau tactique, la coopération peut être envisagée selon deux formes : partager sur des problèmes complexes techniques ou partager sur des problèmes concernant les processus de l'entreprise.

Concernant l'aspect technique, il devient intéressant de [START_REF] Kolodner | Case-Based Reasoning[END_REF], [START_REF] Watson | Applying Case-Based Reasoning: Techniques for Enterprise Systems[END_REF] peuvent être utilisées. L'objectif de ce type de démarche outre la génération d'une base d'expériences, est de générer des connaissances concernant les problèmes traités. Ces connaissances peuvent concerner, par exemple, la création d'un plan de maintenance préventive en réponse à une succession de défaillances sur un équipement (cf. §5).

Concernant la coopération à propos de problèmes intervenant sur les processus de l'entreprise, elle est analogue à celle intervenant au niveau opérationnel sur des problèmes techniques (cf. §3.2.2). C'est essentiellement, la connaissance statistique issue de l'étude d'événements relatifs à des problèmes simples sur les processus qui est partagée entre les acteurs. Par ailleurs, nous pouvons noter que cette démarche doit permettre de participer à l'intégration car les processus sont transversaux,.

Processus de coopération au niveau stratégique

Au niveau stratégique, le processus de coopération permet de partager des connaissances « experte » et des expériences sur des problèmes liés aux processus. La définition de la stratégie de l'entreprise nécessite une complète collaboration de tous les acteurs. A ce niveau, la coopération permet d'apporter des éléments pour la prise de décisions ayant un impact sur le long terme. Les décideurs peuvent prendre des décisions en considérant les expériences et la connaissance capitalisée. Les règles et recommandations élaborées par les unités opérationnelles dans le but de développer leur propre stratégie peuvent être partagées. Ce processus de coopération permet aux grands décideurs de prendre des décisions stratégiques avec un objectif commun de performance de l'entreprise.

Processus de coopération générique

En suivant les niveaux hiérarchiques, il est possible de partager des événements (description, contexte, problème…), des expériences (solutions, cas, scénarii, etc.) ou des connaissances (règles, recommandations, etc.). Le processus de coopération est un processus de collaboration basé sur une architecture client/serveur. Si un problème n'est pas connu dans une unité opérationnelle, il est nécessaire d'envoyer une requête pour décrire le problème et de permettre aux acteurs des autres unités opérationnelles de proposer une réponse. Cette requête peut concerner un besoin en compétences ou en connaissances formalisées.

Si une expertise est nécessaire (niveau 2), une requête au sujet des compétences requises pour l'expertise est envoyée aux autres unités opérationnelles. L'architecture proposée est basée sur l'hypothèse que chaque unité opérationnelle, lorsqu'elle reçoit une requête, va proposer une réponse dans un court délai. Sur la base du management des compétences humaines, les « bons » experts avec les «bonnes » compétences sont choisis pour participer à une réunion et proposer une analyse et des solutions au problème.

Si des connaissances ou des expériences sont nécessaires (niveaux 1 à 3), les requêtes explicites sont envoyées aux autres unités opérationnelles. Dans le but de supporter ce processus, une ontologie [START_REF] Guarino | Ontologies and knowledge bases: Towards a terminological clarification[END_REF] décrivant le contexte du problème peut être utilisée. L'ontologie correspond à une définition consensuelle des concepts du domaine abordé. Le contenu de la requête est ainsi compréhensible par les acteurs recevant la requête. Un modèle d'ontologie peut faciliter l'analyse et la représentation des processus afin d'éviter toute ambiguïté. L'ontologie telle que proposée ici demeure pour l'instant de l'ordre du vocabulaire conceptuel. Elle peut être vue comme une description d'un contexte et du vocabulaire associé afin d'éviter les incompréhensions.

Au niveau opérationnel, le contenu de la requête est simple car le savoir à partager l'est aussi. Par exemple, la requête peut être : « Nous avons besoin du MTBF de la pièce X du produit Y» ; la réponse contient uniquement le MTBF demandé s'il est disponible.

Aux niveaux tactique et stratégique, l'ontologie est nécessaire pour permettre à celui qui reçoit la requête de la comprendre. En considérant un problème particulier à résoudre (technique ou managérial), il faut tout d'abord vérifier si une expérience concernant ce problème n'a pas été capitalisée. Si c'est le cas, la solution associée et mémorisée peut être mise en oeuvre (par exemple mettre en oeuvre une procédure de maintenance corrective sur un équipement). Si aucun savoir n'est disponible, une requête peut être envoyée aux autres unités en utilisant l'ontologie pour une description compréhensible du problème. La requête peut être : une question au sujet d'un problème ou un besoin en compétence d'experts. Si la hiérarchie de décision est capable de réponse au problème, une proposition est envoyée laquelle doit être adaptée, révisée, mise en oeuvre et finalement capitalisée, générant ainsi une nouvelle expérience. Selon les mêmes principes, la réunion d'un groupe de travail chargé de définir des règles ou des recommandations en analysant les expériences passées peut consulter des experts d'autres domaines afin de s'aider dans sa démarche de génération de connaissances.

Application

Contexte de l'application

Turbomeca est une entreprise spécialisée dans la conception, la production et le support des opérateurs de moteurs d'hélicoptères. C'est un domaine complexe aéronautique avec ses exigences de fiabilité. Dans ce contexte de haut niveau de technicité sur un produit critique, Turbomeca a décidé d'améliorer la maîtrise de ses connaissances. Plusieurs initiatives locales de gestion des connaissances sont en cours de mise en place. Les secteurs majeurs de l'entreprise sont concernés : la conception, la production et le support. Nous proposons un processus de retour d'expérience impliquant les trois secteurs précédemment cités. Ce choix a été motivé par le cycle de vie du produit. Notons qu'à Turbomeca, la conception et la production sont en grande partie localisées sur un même site alors que l'activité support est distribuée sur plusieurs sites à travers le monde, ce qui rend la capitalisation et le traitement des expériences difficiles.

Application

Application concernant trois secteurs de l'entreprise Turbomeca

L'organisation de Turbomeca est orientée processus. Une telle organisation implique des échanges aussi bien horizontaux (coopération) que verticaux (hiérarchique). Nous proposons d'appliquer notre modèle de retour d'expérience aux secteurs de l'entreprise Turbomeca suivants : la Conception, la Production et le Support (figure 6).

Fig. 6-Implémentation du modèle de retour d'expérience hiérarchique coopérant à Turbomeca

Pour 7).

Fig. 7-Boucles de retour d'expérience technique du secteur support de Turbomeca

Par exemple, pour un élément X du moteur, l'analyse statistique peut aboutir à un taux de défaillance élevé pour une flotte donnée et, dans un premier temps, à une connaissance statistique indiquant qu'il faut prévoir une surveillance étroite de ce composant et donc une modification du plan de maintenance. Puis, dans un second temps, une analyse approfondie peut être menée et aboutir à la conclusion que l'environnement de vol est la cause principale de la défaillance. La connaissance acquise concerne alors le comportement de l'élément X considéré dans un environnement particulier et les solutions pour éviter que le problème ne se reproduise.

Les données d'entrée pour les niveaux 1 et 2 du processus de retour d'expérience sont les suivantes :

1. niveau D'un autre côté, nous avons proposé un processus de coopération. Au niveau opérationnel, la coopération concerne le partage des données standards, c'est-à-dire, le résultat d'une analyse statistique. Par exemple une personne travaillant sur une ligne de réparation peut envoyer une requête pour demander le coût moyen de production aux personnes travaillant sur les lignes de l'unité opérationnelle de production. Au niveau tactique, la coopération est principalement axée sur le partage de recommandations techniques. Par exemple, une personne travaillant sur un projet en conception peut envoyer une requête aux personnes travaillant dans les îlots du secteur support demandant : « Quelles sont les recommandations issues de l'analyse des principaux endommagements concernant le produit X dans un contexte Y ».

Conclusion et perspectives

Nous venons de voir les liens permettant le partage de données techniques entre les niveaux 1 et 2. Il serait intéressant de poursuivre notre réflexion en s'intéressant aux problèmes concernant les processus car ils pourront être partagés par les acteurs de tous les secteurs vu qu'ils sont liés aux processus qu'ils sont transverses et qu'ils n'intègrent pas d'aspect technologique (facteur limitatif pour le partage). Par ailleurs, nous avons surtout traité la phase d'exploitation du processus de retour d'expérience par l'utilisation de supports de connaissance, il serait intéressant d'approfondir la voie concernant la réutilisation par la recherche directe de la personne détenant l'expertise qui est une voie complémentaire à celle développée.

Nous avons proposé, dans cet article, une architecture basée sur des processus de retour d'expérience multi-niveaux coopérant entre eux adaptée aux entreprises étendues. Nous avons distingué deux sortes de processus de retour d'expérience : un retour d'expérience technique et un autre managérial. Nous prenons en compte différents niveaux de connaissance suivants la structure de décision de l'entreprise et nous précisons les liens entre les différents processus de retour d'expérience principalement basés sur une méthode de coopération. Pour illustrer notre architecture de processus de retour d'expérience coopérant, nous avons proposé une application réalisée à Turbomeca.

Notre réflexion, basée sur une expérience concrète, est encore à un stade préliminaire et nécessite d'autres développements. Le premier axe de développement est la définition d'un environnement collaboratif dédié au retour d'expérience et facilement personnalisable dans le but d'appliquer la trame proposée à des situations spécifiques. Cet environnement devrait permettre la capitalisation des expériences et leur diffusion dans l'entreprise mais aussi la discussion directe entre experts quand cela est nécessaire. Dans ce contexte, un système multi-agent pourrait être une voie intéressant pour supporter l'implémentation.

Un autre point clé concerne la définition d'une méthodologie pour l'implémentation de tels systèmes. En effet, les processus de retour d'expérience sont lourds à implémenter et une méthodologie structurée est nécessaire pour guider leur implémentation. La trame proposée peut être utilisée un point d'entrée dans l'élaboration d'une telle méthodologie. Le dernier axe de travail est la confrontation de notre trame à d'autres systèmes socio-techniques complexes.

  chaque niveau, le besoin en retour d'expérience est différent. Au niveau opérationnel, le cycle de retour d'expérience est de courte durée et traite des problèmes techniques qui ont un faible impact sur le système global. La résolution de problèmes se termine par des actions curatives. A ce niveau, l'information produite est un enregistrement des occurrences d'un événement avec son contexte d'apparition. Et comme à ce niveau, la fréquence d'apparition d'un événement est élevée, la connaissance produite, basée sur des analyses statistiques, est une connaissance dite « statistique ». Au niveau tactique, le cycle de retour d'expérience a une durée plus importante qu'au niveau opérationnel. Seuls les problèmes ayant un impact sur le comportement du système sont étudiés.

	Cs 1. des problèmes techniques observés au Il peut s'agir par exemple : Niveaux de retour niveau opérationnel : d'expérience a) problèmes arrivant fréquemment avec
	Niveau 3	experte un degré de gravité faible pour chaque problème pris séparément,
	Exp b) problèmes avec un degré de gravité
		Cs statistique important même si leur occurrence est Cs experte
	Niveau 2	faible.
	Evt 2. des problèmes liés aux processus détecté au Exp
	niveau tactique. Cs statistique Pour les problèmes techniques, un filtre doit être Niveau 1 appliqué aux problèmes traités au niveau Evt opérationnel dans le but de faire ressortir les
	Type de problèmes devant être traités au niveau tactique. Le
	Technique but de ce processus est de mieux comprendre les Processus problèmes traités causes d'occurrence des problèmes et de trouver une
	Evt : Evénement -Exp : Expérience -Cs stat : Connaissance statistique solution préventive pour éviter que le problème ne
	Cs exp : Connaissance experte se reproduise. En conséquence, un processus
	d'analyse doit être mis en place. Dans les
	entreprises, ce processus peut, par exemple, être mis
	en oeuvre suivant un cycle Plan-Do-Check-Act
	(PDCA). L'analyse implique des experts et la
	capitalisation de l'expérience consiste en un
	enregistrement des échanges entre les experts et des
	choix pour la résolution des problèmes.
	L'expérience collectée est plus riche que celle
	collectée au niveau opérationnel dans la mesure où
	elle fait intervenir une expertise. En revanche,
	l'effort pour résoudre le problème est plus
	important. L'étude de ces expériences permet la
	création de connaissance issue d'une analyse fine
	nécessitant l'intervention d'experts, on parle alors de
	connaissance dite « experte ». Les actions suggérées
	sont plutôt dans le domaine préventif. Pour les problèmes liés au processus, la situation		de	Périmètre de
	est similaire au traitement des problèmes techniques		décision	décision
	au niveau opérationnel : seuls les problèmes simples	Stratégique	Long terme	Entreprise
	concernant les activités du processus sont traités au	Tactique	Moyen terme	Ilot
	niveau tactique et leur résolution est principalement	Opérationnel	Court terme	Machine
	curative.
	Au niveau stratégique, le cycle de retour
	d'expérience est plus long qu'au niveau tactique.
	Les problèmes traités sont des problèmes liés aux
	processus avec une fréquence élevée et/ou un degré
	de gravité important nécessitant une analyse plus en
	profondeur et conduisant à l'application de mesures
	préventives.
	Il est donc possible de distinguer deux
	principaux cycles de retour d'expérience dans le
	système hiérarchique de décision. Le premier est
	orienté vers une résolution de problèmes techniques
	et implique principalement les niveaux opérationnel
	et tactique. Le second cycle est orienté vers une
	résolution des problèmes intervenant sur les
	processus et implique essentiellement les niveaux
	tactiques et stratégiques (figure

Fig. 2-Niveaux du système de décision

A

  Cycles de retour d'expérienceUn autre point intéressant est que la partition peut aider à structurer la coopération entre les différents niveaux hiérarchiques des systèmes de décision. Le retour d'expérience sur les processus a une portée très générale et peut être mise en commun entre plusieurs hiérarchies de décision même si ces hiérarchies ne traitent pas des mêmes problèmes techniques. Le partage de retour d'expérience technique a une portée plus limités car les connaissances partagées sont liées à un domaine technique spécifique. Il existe cependant des interactions possibles entre les différentes unités

	opérationnelles portant sur le partage de	Niveau 3 : Stratégique connaissances, l'architecture	proposée	est
	connaissances techniques. Par exemple, les	inefficiente.
	concepteurs experts peuvent être intéressés par le retour d'expérience des experts en réparation afin d'éviter des conceptions inadéquates (choix de matériaux, tecnologie, etc.). Ces aspects sont développés au paragraphe suivant traitant de la coopération entre les processus de retour d'expérience. 3.2 Coopération entre les processus de retour d'expérience 3.2.1 Les bénéfices de la coopération La coopération entre les processus de retour d'expérience permet de considérer d'autres avantages pour le système de production. En effet, la coopération permet notamment : 1. au décideur d'avoir une vision complète et globale des problèmes afin de proposer des solutions convenables. En effet, grâce à la coopération, le décideur a la possibilité d'employer la connaissance capitalisée par les autres acteurs et peut ainsi se constituer une vision globale, 2. d'améliorer la connaissance détenue par les acteurs d'une unité opérationnelle en la confrontant aux savoirs des autres unités lors des échanges permis par les liens de coopération, 3. d'améliorer la connaissance d'une unité opérationnelle par l'addition de nouvelles informations issues des autres unités. Un processus d'apprentissage peut être ainsi être mis en place. 4. d'accélérer le processus de résolution de problèmes en réutilisant les expériences capitalisées par les acteurs d'autres unités, 5. de faciliter l'identification des personnes ou des experts compétents pour résoudre les problèmes. 6. et enfin de participer à l'intégration des différentes unités en favorisant les échanges. L'architecture proposée permet un partage de connaissances et d'expériences entre les unités	est intéressant d'étudier les liens suivants : 1. dans chaque cycle de retour d'expérience entre les deux niveaux impliqués dans chaque cycle, 2. entre les deux cycles de retour d'expérience. La figure 4 représente un cycle majeur de retour d'expérience impliquant les niveaux 1 et 2 ou 2 et 3 et un cycle mineur n'impliquant qu'un niveau (le niveau 1 ou 2). Les éléments composants le cycle mineur de retour d'expérience sont les entrées du cycle majeur. sur les processus Retour d'expérience technique Niveau 2 : Tactique Niveau 1 : Opérationnel Connaissance statistique Evénement Connaissance experte Expérience Analyse statistique Analyse précise Généralisation Niveau 1 Niveau 2 Niveau 3 (Opérationnel) (Tactique) (Stratégique) Fig. 4-Retour d'expérience
	opérationnelles	selon	une	relation	type
	client/serveur. Le processus de coopération proposé
	entre les unités opérationnelles est une collaboration
	[13]. Elle permet d'organiser un travail collectif avec
	un but commun qui peut concerner la résolution de
	problèmes spécifiques, la réalisation de tâches
	communes et, d'une manière plus globale, la
	performance de l'entreprise. La collaboration est une
	action volontaire faite par les acteurs. Il est essentiel
	que les différents acteurs souhaitent collaborer. En
	d'autres termes, si les acteurs ne s'engagent pas dans
	une démarche de partage de leurs expériences et/ou

  la Conception, nous pouvons distinguer trois niveaux principaux: le niveau prototype (correspondant à un produit), le niveau projet et le niveau programme. Pour la Production, il y a aussi trois niveaux : le niveau ligne (ressource spécialisée), le niveau îlot (ensemble de lignes) et le niveau site (ensemble d'îlots). Pour le Support, nous avons trouvé les mêmes niveaux que pour la production. Les processus sont définis au niveau 3, leur gestion est organisée au niveau 2 et la mise en application est réalisée au niveau 1. 'aider la Conception à prendre en compte les expériences du Support lors de la conception de nouveaux moteurs, 4. d'adapter la stratégie Support. Pour le moment, nous n'avons traité que la boucle de retour d'expérience technique. Pour des raisons de confidentialité, nous ne présenterons dans cet articles que les mécanismes généraux régissant le processus de retour d'expérience (figure

	afin de préciser les mécanismes et les données manipulés par le processus de retour d'expérience		Programme
	dans un environnement distribué.			Projet
	4.2.2 Application concernant le secteur Support de l'entreprise Turbomeca	Site	Prototype Conception	Site
	Le processus de retour d'expérience du support	Ilot			Ilot
	doit fournir des éléments permettant notamment :	Ligne			Ligne
	1. de mesurer l'impact logistique et	Production			Support
	économique du référentiel technique d'entretien, 2. de réaliser des notes de justifications	Niveau 1 (Opérationnel)	Niveau 2 (Tactique)	Niveau 3 (Stratégique)
	techniques, logistiques et économiques
	d'analyses support sur le comportement
	des moteurs en service,
	3. d
		Au niveau 1 (opérationnel), nous capitalisons de
		l'information technique issue des lignes de
		production et de réparation ou des tests réalisés lors
		des phases de prototypage. Au niveau 2 (tactique),
		nous capitalisons des problèmes techniques
		complexes ainsi que leur analyse et de l'information
		sur la gestion des processus. La sélection des
		problèmes et les analyses sont réalisées par les
		équipes des îlots ou des projets. Au niveau 3
		(stratégique), nous capitalisons des problèmes
		complexes concernant les processus et leurs
		analyses. La réflexion est faite au niveau des sites de
		production, de réparation et des programmes pour
		élaborer des recommandations stratégiques.
		Cette structure impose la création de bases de
		données pour capitaliser les données caractérisant
		les cas simples, de bases de connaissances pour
		capitaliser les expériences et les connaissances
		générées et d'outils pour exploiter ces bases. Par
		ailleurs, il faut prévoir la mise en place d'une
		organisation composée de commissions dédiées au
		partage des résultats, à l'interprétation des analyses,
		à l'élaboration de règles et recommandations et à
		leur diffusion.
		Ensuite, nous avons proposé une instanciation du
		processus de retour d'expérience pour le Support et
		des liens entre ce processus avec les autres unités
		opérationnelles car, comme nous l'avons souligné
		paragraphe 4.1, l'activité Support étant distribuée
		sur plusieurs sites à travers le monde, cela rend la
		capitalisation et le traitement des expériences
		difficile et nécessite donc une réflexion particulière

  1: information pour obtenir les données standards (ex : coût, temps pour réaliser des tâches d'entretien, 2. niveau 2 : analyses avec une approche PDCA des problèmes sélectionnés et solutions trouvées permettant d'éviter que ce problème ne se répète, l'objectif est de proposer des recommandations techniques. Les données standard capitalisées au niveau 1 doivent interagir avec les éléments du référentiel technique d'entretien à savoir des tâches d'entretien liées aux produits sur lesquels elles s'appliquent. Sur la figure 8, nous avons illustré l'intégration des données du retour d'expérience niveau 1 au référentiel technique d'entretien.

	traitées en maintenance niveau 4 (maintenance
	réalisée en ateliers de réparation spécialisés). Le
	chemin de recherche de panne est extrait d'un arbre
	global de recherche de panne, il contient les
	différentes étapes permettant de faire correspondre
	les causes à un problème donné.
	Les connaissances générées en sortie pour les
	niveaux 1 et 2 du processus de retour d'expérience
	sont les suivantes :
	1. niveau 1 : recommandations formulées sur la
	base d'information statistique, par exemple, le
	calcul du taux de défaillance de deux produits
	identiques hormis le matériau peut permettre de
	faire une recommandation concernant le
	matériau à privilégier lors de la conception du
	produit en question.
	2. niveau 2 : recommandations techniques sur la
	base d'analyses avec une approche PDCA de
	problèmes sélectionnés et solutions trouvées
	permettant d'éviter que ce problème ne se
	répète.						Evénement	Composer
								Code Evt.
								Composer	Cause
								Code Cause
			Analyse			Généralisa-	Tâche	Composer
		Evt	précise	Exp		-tion	Cs	N° Tâche	Correspondre
	Evéne--ment	Analyse statistique	Sélection d'événements à analyser	Niveau 2 exp	Nom Produit	Composer Appeler	Chemin rech. panne Etapes Code Ch.
								N° Id.
			Cs					Concerner	Nom	Concerner
	Niveau 1	stat					Nb. H
								Composer
								Correspondre
								Module
		Actions curatives immédiates	Actions curatives	Actions préventives	Concerner	N° Id. Nom	Problème
	Capitalisation	Exploitation	Capitalisation -Exploitation	Nb. H	Concerner	Code Pb
	Evt : Evénement -Exp : Expérience -Cs stat : Connaissance statistique	Composer
	Cs exp : Connaissance experte					Elément
								Concerner	N° Id. Nom	Concerner
								Nb. H
								Retour d'expérience niveau 1
								Référentiel technique d'entretien
								Fig. 8-Intégration des données du retour
								d'expérience niveau 1 au référentiel technique
								d'entretien
								Précisons qu'il faudra rajouter, dans le cadre du
								retour d'expérience, aux tâches d'entretien du
								référentiel technique d'entretien concernant les
								niveaux de maintenance 1, 2 et 3 (maintenance
								réalisé sur champ ou en station service) des tâches
								de remise en état correspondant aux réparations


Walid Bechkit

Abdelmadjid Bouabdallah

Yacine Challal

A New Highly Scalable Key Pre-distribution Scheme for WSN

Keywords: WSN, security, key management, scalability

We propose in this paper a new highly scalable key management scheme for WSN. We make use, for the first time, of the unital design theory for key pre-distribution in WSN. We propose a naive mapping from unitals to key pre-distribution as well as an enhanced unital-based key management scheme.

analyze our solution and compare it to basic approaches; results show that our scheme enhances considerably the network scalability while providing good overall performances.

I. INTRODUCTION & MAIN RELATED WORK

Given the sensitivity of the potential applications of WSN, a large scale deployment of this technology relies on the provided dependability. Particularly, security emerges as a challenging issue in WSN because of the resource limitations and the lack of infrastructure. Key management is one of the required building blocks of many security services. Because of resource limitations, symmetric key establishment is one of the favorite paradigms for securing WSN. Many symmetric key management schemes for WSN were proposed in the literature.

In probabilistic schemes, the secure link establishment is conditioned by the existence of shared pre-loaded keys. In the basic Random Key Pre-distribution scheme (RKP) [START_REF] Eschenauer | A key-management scheme for distributed sensor networks[END_REF], each node is pre-loaded with a key ring of keys randomly selected from a large key pool. After the deployment step, neighboring nodes exchange key identifiers to determine the common keys; one of these common keys is then used as the session secret key. Chan et al. proposed in [START_REF] Chan | Random key predistribution schemes for sensor networks[END_REF] the q-composite scheme where two neighboring nodes can establish a secure link only if they share at least q keys. The pairwise session key is calculated as the hash of all shared keys concatenated to each other.

Deterministic schemes ensure that each node is able to establish a pairwise key with each of its neighbors. In [START_REF] Yener | Combinatorial design of key distribution mechanisms for wireless sensor networks[END_REF], authors proposed a deterministic pool based key pre-distribution scheme. Instead to randomly select a subset of keys from the global key pool like in RKP, they use the Symmetric Balanced Incomplete Block Design theory (SBIBD) to construct key rings in such a way each two key subsets share exactly one common key. In [START_REF] Ruj | Key predistribution using combinatorial designs for grid-group deployment scheme in wireless sensor networks[END_REF], authors propose a new key management scheme for grid group WSN. Intra-region secure communications are guaranteed using SBIBD theory while inter-region communications are ensured by special nodes called agents.

Existing research works either support a low number a nodes or degrade the other network performances including connectivity, resiliency and storage overhead when the number of nodes is important. Our goal is then to enhance the network scalability without degrading the other performances. For that purpose, we make use of the unital design theory to construct and pre-distribute key rings and we propose an enhanced unital-based solution which increases considerably the network scalability while providing good overall performances.

II. UNITAL DESIGN & NAIVE KEY ESTABLISHMENT

In combinatorics, the design theory deals with the existence and construction of systems of finite sets whose intersections have specified properties. A unital design is a Steiner 2-design which consists of a set of b = m 2 (m 3 + 1)/(m + 1) subsets called blocks of a set of v = m 3 +1 points. Each block contains k = m + 1 points and each point is contained in r = m 2 blocks. Each pair of points is contained together in exactly one block. We note a unital as a (m 3 +1, m+1, 1) design. Without loss of generality, we focus in this work on Hermitian unitals which exist for all m a prime power. Construction details can be found in [START_REF] Key | Some applications of magma in designs and codes: Oval designs, hermitian unitals and generalized reed-muller codes[END_REF] knowing that other constructions for m not necessary a prime power exist in the literature. A unital may be represented by its v × b incidence matrix that we call M where rows represent the points P i and columns represent the blocks B j . Hence, M ij = 1 if P i ∈ B j and 0 otherwise. For instance, we illustrate in figure 1 an incidence matrix of a (9,3,1) hermitian unital.

First, let us use the unital design to pre-distribute keys in a naive way. We propose a basic mapping in which we associate to each point of the unital a distinct key, to the global set of points the key pool and to each block a key ring. We can then generate from a global key pool of |S| = m 3 + 1 keys, n = m 2 (m 3 + 1)/(m + 1) key rings of m + 1 keys each one. Before the deployment step, the unital blocks matching key rings are generated, and each node is pre-loaded with a distinct key ring as well as the key identifiers. After the deployment, nodes exchange their key identifiers to determine the eventual shared key. We proved that each two key rings share at most one common key.

Storage overhead: When using the naive unital-based key pre-distribution (NU-KP) approach, each node is pre-loaded with one key ring corresponding to one block from the unital, hence, each node is pre-loaded with (m + 1) disjoint keys and their identifiers.

Network scalability: From construction, the total number of possible key rings when using the naive approach is n =

m 2 ×(m 3 +1) (m+1)
= m 2 ×(m 2 -m+1) which is then the maximum number of supported nodes. The network scalability is then extremely enhanced and tends to O(m 4 ) which is very high compared to other schemes. For instance, the SBIBD scheme [START_REF] Yener | Combinatorial design of key distribution mechanisms for wireless sensor networks[END_REF] allows to reach a network scalability of O(m 2 ) at equal design order and then at equal key ring size.

Probability of key sharing:

We calculated the key sharing probability when using the NU-KP scheme and found that it is equal to P c = (m+1) 2 m 3 +m+1 . This probability is low and tends to O( 1 m ) when m is high. In order to improve the key sharing probability while maintaining high network scalability, we propose in the next section an enhanced unital-based key pre-distribution approach. For the sake of brevity, we give an overview of the construction and the key pre-distribution and we highlight the main results. Without loss of generality, we suppose that the unital order m is a perfect square, if it is not the case, we can refer to the nearest integer greater than the square root of m.

Before the deployment step, we propose to generate blocks of a unital design of order m. We propose then to pre-load each node with √ m blocks. The latter are picked in a selective way to be completely disjoint. After the deployment step, nodes exchange their key identifiers to determine the common keys. Unlike the basic approach, each two nodes may share between zero and m keys. If two neighboring nodes share one or more keys, we compute the pairwise key as the hash of all their common keys concatenated to each other, this may enhance the network resiliency. Otherwise, neighboring nodes should establish a secure path composed of successive secure links. Storage overhead: When using the EU-KP approach based on a unital design of order m, each node is pre-loaded with √ m(m + 1) distinct keys as well as their identifiers.

Network scalability: We calculated the network scalability when using our construction and we found that it is equal to n = m √ m(m 2 -m + 1). In figure 2, we compare the scalability of the EU-KP approach to that of the NU-KP and the SBIBD-KP ones at equal key ring size. The figure shows that the naive approach allows to enhance greatly the scalability compared to the SBIBD-KP scheme; the increase factor reaches 10000 when key ring size exceeds 100. Moreover, the figure shows that the EU-KP scheme increases significantly the network scalability compared to SBIBD-KP scheme. For instance, the increase factor reaches five when key ring size is above 100. Otherwise, the obtained results show that at equal network scalability, the key ring size may be reduced over a factor of two when using the EU-KP scheme. Indeed, we reach approximately the same network scalability when using the SBIBD-KP with key ring size equal to 120 and when using the EU-KP with a key ring size of 60.

Probability of key sharing: We calculated the key sharing probability when using the EU-KP approach and we found that is equal to:

P c = 1 -(1 -(m+1) 2 m 3 +m+1
) m . We proved that this ratio tends to L = 1 -e -1 ≈ 0.6321 as m approaches infinity, the probability of key sharing is then always greater than L.

We plot in figure 3 the key sharing probability of the different schemes. The figure shows that the NU-KP scheme provides a bad direct secure connectivity coverage which decreases significantly when the key ring size increases. Indeed, the key sharing probability is low and tends to O( 1 m ). Otherwise, the figure shows that the key sharing probability of the EU-KP scheme remains high even with high value of m and tends to the lower bound L as m approaches infinity. The figure show also that the EU-KP approach provides a better probability of key sharing than the RKP scheme [START_REF] Eschenauer | A key-management scheme for distributed sensor networks[END_REF] and much better than the q-composite ones [START_REF] Chan | Random key predistribution schemes for sensor networks[END_REF]. We calculated the key sharing probability of random schemes when the key pool size is equal to the square of key ring size.

In addition to the fact that the EU-KP approach increases significantly the network scalability, it has a good key sharing probability which, however, remains lower than that of the SBIBD-KP scheme. Nevertheless, our scheme allows to reach a total secure connectivity coverage thanks to the secure path establishment. We found that the average secure path length is about 1.33 under realistic deployment conditions. This average value does not exceed 1.39 even the case of a low density.

We compared finally the resiliency of EU-KP scheme to that of the SBIBD-KP one and found that our solution enhances this metric up to 22%. Indeed, using our scheme, neighboring nodes may share many keys which are used to secure links. Attacker need then more overlap keys to break secure links.

IV. CONCLUSION

We proposed a new scalable key management scheme for WSN. We make use of the unital design theory and we proposed a naive mapping to key pre-distribution as well as an enhanced one. We showed that our scheme enhances considerably the scalability while providing good overall performances.

1 . 1 .Fig. 1 .Fig. 2 .Fig. 3 .

 11123 Fig. 1. Incidence matrix of a (9,3,1) unital


Lorenzo Brasco
email: lorenzo.brasco@univ-amu.fr

ON TORSIONAL RIGIDITY AND PRINCIPAL FREQUENCIES: AN INVITATION TO THE KOHLER-JOBIN REARRANGEMENT TECHNIQUE

Keywords: 2010 Mathematics Subject Classification. 35P30, 47A75, 34B15 Torsional rigidity, nonlinear eigenvalue problems, spherical rearrangements

We generalize to the p-Laplacian ∆p a spectral inequality proved by M.-T. Kohler-Jobin. As a particular case of such a generalization, we obtain a sharp lower bound on the first Dirichlet eigenvalue of ∆p of a set in terms of its p-torsional rigidity. The result is valid in every space dimension, for every 1 < p < ∞ and for every open set having finite measure. Moreover, it holds by replacing the first eigenvalue with more general optimal Poincaré-Sobolev constants. The method of proof is based on a generalization of the rearrangement technique introduced by Kohler-Jobin.

The first one is called principal frequency of Ω and the second one is its torsional rigidity.

Our terminology is a little bit improper, since the usual definition of torsional rigidity differs from our by a multiplicative factor. Since this factor will have no bearing in the whole discussion, we will forget about it. Another frequently used terminology for λ(Ω) is first eigenvalue of the Dirichlet-Laplacian. Indeed λ(Ω) coincides with the smaller real number λ such that the problem -∆u = λ u in Ω, u = 0, on ∂Ω, has a nontrivial solution 1 . In [START_REF] Pólya | Isoperimetric inequalities in mathematical physics[END_REF] Pólya and Szegő conjectured that the ball should have the following isoperimetric-type property:

(⋆) among sets having given torsional rigidity, balls minimize the principal frequency.

In other words, by taking advantage of the fact that λ(t Ω) = t -2 λ(Ω) and T (t Ω) = t N +2 T (Ω), t > 0, they conjectured the validity of the following scaling invariant inequality (1.1)

T (Ω) 2 N +2 λ(Ω) ≥ T (B) 2 N +2 λ(B)
, where B is any ball. We recall that among sets having given volume, balls were already known to minimize λ (the celebrated Faber-Krahn inequality) and maximize T (the so-called Saint-Venant Theorem). This means that the inequality conjectured by Pólya and Szegő was not a trivial consequence of existing inequalities. A proof of (1.1) was finally given by Kohler-Jobin in [START_REF] Kohler-Jobin | Une méthode de comparaison isopérimétrique de fonctionnelles de domaines de la physique mathématique[END_REF][START_REF] Kohler-Jobin | Démonstration de l'inégalité isopérimétrique P λ 2 ≥ π j 4 0 /2, conjecturée par Pólya et Szegő[END_REF], by using a sophisticated new rearrangement technique. The latter is indeed a general result which permits, given Ω and a smooth positive function u ∈ W 1,2 0 (Ω), to construct a ball B having smaller torsional rigidity and a radially decreasing function u * ∈ W 1,2 0 (B) such that

Ω |∇u| 2 dx = B |∇u * | 2 dx and Ω |u| q ≤ B |u * | q dx,
for every q > 1. It is clear that once we have this result, the Pólya-Szegő conjecture is easily proven. Of course this also shows that (⋆) is still true if we replace the principal frequency 1 Here solutions are always understood in the energy sense, i.e. u ∈ W 1,2 0 (Ω) and is a weak (then classical if ∂Ω is smooth enough) solution. It is well-known that by dropping the assumption u ∈ W 1,2 0 (Ω) strange phenomena can be observed, like for example nontrivial harmonic functions being constantly 0 at the boundary ∂Ω. , where 1 < q < 2 * = 2 N N -2 , among sets with given torsional rigidity (see [START_REF] Kohler-Jobin | Symmetrization with equal Dirichlet integrals[END_REF]Theorem 3]).

1.2. Aim of the paper. Unfortunately, the Kohler-Jobin's rearrangement technique seems not to be well-known, even among specialists. Then the goal of this paper is twofold: first of all, we try to revitalize interest in her methods and results. Secondly, we will extend the Kohler-Jobin inequality to more general "principal frequencies", associated with the nonlinear p-Laplace operator, defined by

∆ p u = div (|∇u| p-2 ∇u),
and to some anisotropic variants of it (Section 6). The main difficulty of this extension is due to the lack of regularity of solutions to equations involving ∆ p , indeed in general these are far from being analytic or C ∞ , as required in [START_REF] Kohler-Jobin | Symmetrization with equal Dirichlet integrals[END_REF][START_REF] Kohler-Jobin | Une méthode de comparaison isopérimétrique de fonctionnelles de domaines de la physique mathématique[END_REF][START_REF] Kohler-Jobin | Démonstration de l'inégalité isopérimétrique P λ 2 ≥ π j 4 0 /2, conjecturée par Pólya et Szegő[END_REF]. We will show that the Kohler-Jobin technique can be extended to functions enjoying a mild regularity property (see Definition 3.1), which is indeed satisfied by solutions to a wide class of quasilinear equations (see Lemma 3.2). Also, we will simplify some arguments used in [START_REF] Kohler-Jobin | Symmetrization with equal Dirichlet integrals[END_REF][START_REF] Kohler-Jobin | Une méthode de comparaison isopérimétrique de fonctionnelles de domaines de la physique mathématique[END_REF][START_REF] Kohler-Jobin | Démonstration de l'inégalité isopérimétrique P λ 2 ≥ π j 4 0 /2, conjecturée par Pólya et Szegő[END_REF]. For example, in order to compare the L q norms of the original function and its rearrangement, we will sistematically use Cavalieri's principle, as it is natural. Finally, we will not require smoothness hypotheses on Ω, which is another difference with the work of Kohler-Jobin.

1.3. Notation. In order to clearly explain the contents of this work and the results here contained, we now proceed to introduce some required notations.

By Ω ⊂ R N we still denote an open set with finite measure, while W 1,p 0 (Ω) stands for the closure of C ∞ 0 (Ω) with respect to the norm ∇u L p (Ω) . Throughout the whole paper we will always assume that 1 < p < ∞. In this work we will consider the "first eigenvalues"

(1.2) λ p,q (Ω) = min u∈W 1,p 0 (Ω)\{0} Ω |∇u| p dx Ω |u| q dx p q ,
where the exponent q is such that

(1.3)      1 < q < N p N -p , if 1 < p < N, 1 < q < ∞, if p ≥ N.
Then the quantity λ p,q (Ω) is always well-defined, thanks to Sobolev embeddings. Sometimes we will also refer to λ p,q (Ω) as a principal frequency, in analogy with the linear case.

Observe that a minimizer of the previous Rayleigh quotient is a nontrivial solution of (1.4) -∆ p u = λ u p-q L q (Ω) |u| q-2 u, in Ω u = 0, on ∂Ω, with λ = λ p,q (Ω). The two terms on both sides of (1.4) have the same homogeneity, then if u is solution, so is t u for every t ∈ R. Moreover, it is not difficult to see that if for a certain λ there exists a nontrivial solutions of (1.4), then we must have λ ≥ λ p,q (Ω). These considerations justify the name "first eigenvalue" for the quantity λ p,q (Ω) (see [START_REF] Franzina | Existence and uniqueness for a p-Laplacian nonlinear eigenvalue problem[END_REF] for a comprehensive study of these nonlinear eigenvalue problems).

The principal frequency λ p,q obeys the following scaling law

λ p,q (t Ω) = t N -p-p q N λ p,q (Ω),
then the general form of the previously mentioned Faber-Krahn inequality is

(1.5) |B| p N + p q -1 λ p,q (B) ≤ |Ω| p N + p q -1 λ p,q (Ω),
with equality if and only if Ω is a ball. In other words, balls are the unique solutions to the problem min{λ p,q (Ω) : |Ω| ≤ c}.

Properly speaking, the name Faber-Krahn inequality is usually associated with the particular case of p = q in (1.5). Since the proof is exactly the same for all range of admissible p and q, this small abuse is somehow justified. The special limit case q = 1 deserves a distinguished notation, namely we will set

T p (Ω) = 1 λ p,1 (Ω) = max v∈W 1,p 0 (Ω)\{0} Ω |v| dx p Ω |∇v| p dx .
In analogy with the case p = 2, we will call it the p-torsional rigidity of the set Ω. Of course, inequality (1.5) can now be written as

(1.6) |Ω| 1-p N -p T p (Ω) ≤ |B| 1-p N -p T p (B).
For ease of completeness, we mention that inequalities (1.5) and (1.6) have been recently improved in [START_REF] Fusco | Stability estimates for certain Faber-Krahn, isocapacitary and Cheeger inequalities[END_REF], by means of a quantitative stability estimate. Roughly speaking, this not only say that balls are the unique sets for which equality can hold, but also that sets "almost" realizing the equality are "almost" balls.

It is useful to recall that the proof of (1.5) and (1.6) is based on the use of the Schwarz symmetrization. The latter consists in associating to each positive function u ∈ W 1,p 0 (Ω) a radially symmetric decreasing function u * ∈ W 1,p 0 (Ω * ), where Ω * is the ball centered at the origin such that

|Ω * | = |Ω|. The function u * is equimeasurable with u, that is |{x : u(x) > t}| = |{x : u * (x) > t}|,
for every t ≥ 0, so that u L q = u * L q for every q ≥ 1. More important, by using the Coarea Formula and by exploiting the convexity of t → t p and the isoperimetric inequality, one can obtain the celebrated Pólya-Szegő principle

Ω * |∇u * | p dx ≤ Ω |∇u| p dx.
The reader is referred to [START_REF] Henrot | Extremum problems for eigenvalues of elliptic operators[END_REF]Chapter 2] or [16, Chapters 1 and 2] for more details on the Schwarz symmetrization and the Pólya-Szegő principle.

1.4. Main result. In order to describe the Kohler-Jobin technique and illustrate its range of applicability, in this paper we will consider the following shape optimization problem (1.7) min{λ p,q (Ω) :

T p (Ω) ≤ c},
in the same spirit as conjecture (⋆) recalled at the beginning. Again by taking into account the homogeneities of the quantities involved, the previous problem is the same as min T p (Ω) α(p,q,N ) λ p,q (Ω), where α(p, q, N ) =

p N + p q -1 p N + p -1 .
We point out that the previous shape functional can be written as follows

T p (Ω) α(p,q,N ) λ p,q (Ω) = |Ω| 1-p N -p T p (Ω) α(p,q,N ) |Ω| p N + p q -1 λ p,q (Ω),
i.e. the product of two functionals which are maximized and minimized by balls, respectively.

By suitably extending the Kohler-Jobin technique, we will prove the following inequality, which represents the main result of this paper.

Theorem 1.1. Let 1 < p < ∞ and q be an exponent verifying (1.3). For every Ω ⊂ R N open set having finite measure, we have

(1.8)
T p (Ω) α(p,q,N ) λ p,q (Ω) ≥ T p (B) α(p,q,N ) λ p,q (B),

where B is any ball. Equality can hold if and only if Ω itself is a ball. In other words, the only solutions to the shape optimization problem (1.7) are given by balls having p-torsional rigidity equal to c.

We observe that the whole family of inequalities (1.5) can now be derived by using (1.6) and (1.8). Indeed, we have

|Ω| p N + p q -1 λ p,q (Ω) = |Ω| p N + p q -1 T p (Ω) -α(p,q,N ) T p (Ω) α(p,q,N ) λ p,q (Ω) = |Ω| 1-p N -p T p (Ω) -α(p,q,N )
T p (Ω) α(p,q,N ) λ p,q (Ω)

≥ |B| 1-p N -p T p (B) -α(p,q,N ) T p (B) α(p,q,N ) λ p,q (B) = |B| p N + p q -1 λ p,q (B).
This implies that the Saint-Venant inequality (1.6) permits to improve the lower bounds on the principal frequencies λ p,q provided by the Faber-Krahn inequality, since we can now infer

λ p,q (Ω) ≥ T p (B) T p (Ω)
α(p,q,N ) λ p,q (B), and the term (T p (B)/T p (Ω)) α(p,q,N ) is greater than (|B|/|Ω|) p/N +p/q-1 coming from (1.5).

1.5. Plan of the paper. In Section 2 we collect some basic facts we will need througout the whole paper. In the subsequent section we introduce and characterize the modified torsional rigidity of a set, which will be the main tool needed to define the Kohler-Jobin symmetrization technique. The latter is described in the crucial Proposition 4.1, which occupies the whole Section 4 and represents the core of the paper. Finally, in Section 5 we give the proof of Theorem 1.1 and draw some consequences. The paper is concluded by Section 6, where we discuss the extension of the Kohler-Jobin procedure to general anisotropic Dirichlet integrals, i.e. to quantities like

Ω ∇u p dx, u ∈ W 1,p 0 (Ω),
where • is a strictly convex C 1 norm. In this case as well we can prove the analogous of Theorem 1.1. For ease of exposition, we preferred to treat this kind of generalization in a separate section, so to neatly present the Kohler-Jobin rearrangement avoiding unnecessary technicalities.

Preliminaries

The first result we need is very simple, but quite useful in the sequel. The proof is omitted.

Lemma 2.1. Let A, B > 0 and p > 1, then we have

(2.1) A t -B t p p ≤ p -1 p A p B 1 p-1 ,
for every t ≥ 0, and equality sign in (2.1) holds if and only if

t = A B 1 p-1 .
We define the strictly concave functional

F p (u) = Ω u dx - 1 p Ω |∇u| p dx, u ∈ W 1,p 0 (Ω),
and we denote by u Ω ∈ W 1,p 0 (Ω) its unique maximizer. Observe that u Ω is the unique weak solution of (2.2)

-∆ p u = 1, in Ω, u = 0, on ∂Ω, i.e. u Ω verifies Ω |∇u Ω | p-2 ∇u Ω , ∇ϕ = Ω ϕ dx, for every ϕ ∈ W 1,p 0 (Ω),
The next result collects some equivalent definitions for the p-torsional rigidity.

Proposition 2.2. Let Ω ⊂ R N be an open set having finite measure. Let us denote by 1 Ω the characteristic function of Ω and set p ′ = p/(p -1). Then T p (Ω) can be equivalently characterized as

(2.3) T p (Ω) = 1 Ω p W -1,p ′ (Ω) , (2.4) T p (Ω) = Ω u Ω dx p-1 = p ′ max u∈W 1,p 0 (Ω) F p (u) p-1
, and also

(2.5) T p (Ω) = min V ∈L p ′ (Ω;R N ) Ω |V | p ′ dx : -div V = 1 in Ω p-1 .
where the divergence constraint is intended in distributional sense, i.e.

Ω V, ∇ϕ dx = Ω ϕ dx for every ϕ ∈ W 1,p 0 (Ω).
Proof. For the first characterization, we just observe that by definition of dual norm we have

1 Ω W -1,p ′ (Ω) = sup ϕ∈W 1,p 0 (Ω) Ω ϕ dx : ϕ W 1,p 0 (Ω) = 1 , which immediately gives (2.3), since max v∈W 1,p 0 (Ω)\{0} Ω v dx p Ω |∇v| p dx = max v∈W 1,p 0 (Ω)\{0} Ω |v| dx p Ω |∇v| p dx .
By testing the equation (2.2) with ϕ = u Ω , we obtain

Ω |∇u Ω | p dx = Ω u Ω dx,
so that the maximal value of F p is given by max

u∈W 1,p 0 (Ω) F p (u) = Ω u Ω dx - 1 p Ω |∇u Ω | p dx = p -1 p Ω u Ω dx.
We now prove that the last quantity coincides with T p (Ω). Let v 0 ∈ W 1,p 0 (Ω) be a function realizing the supremum in the definition of T p (Ω), i.e.

T p (Ω) = Ω |v 0 | dx p Ω |∇v 0 | p dx .
We notice that v 0 can be taken to be positive. It is not difficult to see that if we set

λ 0 =     Ω v 0 dx Ω |∇v 0 | p dx     1 p-1 .
then the function w 0 = λ 0 v 0 ∈ W 1,p 0 (Ω) maximizes F p . Indeed, by using Lemma 2.1 and the definition of p-torsional rigidity, for every v ∈ W 1,p 0 (Ω) we get

Ω v dx - 1 p Ω |∇v| p dx ≤ max λ≥0 λ Ω |v| dx - λ p p Ω |∇v| p dx = p -1 p     Ω |v| dx p Ω |∇v| p     1 p-1 ≤ p -1 p T p (Ω) 1 p-1 ,
and equality holds in the previous chain of inequalities if v = λ 0 v 0 . This finally shows that

T p (Ω) = p p -1 max u∈W 1,p 0 (Ω) F p (u) p-1 = Ω u Ω dx p-1
, thus concluding the proof of (2.4).

The characterization (2.5) is a consequence of the equality max

u∈W 1,p 0 (Ω) Ω u dx - 1 p Ω |∇u| p dx = min V ∈L p ′ (Ω;R N ) Ω |V | p ′ dx : -div V = 1 in Ω ,
which in turn follows from a standard duality result in Convex Analysis, for which the reader is referred to [7, Proposition 5, page 89]). We also recall that the unique vector field V Ω minimizing the problem on the right-hand side has the form

V Ω = |∇u Ω | p-2 ∇u Ω .
Remark 2.3 (Torsional rigidity of a ball). For a ball B R (x 0 ) having radius R and center x 0 , it is straightforward to verify that

u B R (x 0 ) (x) = R p p-1 -|x -x 0 | p p-1 β N,p , where β N,p = p p -1 N 1 p-1 ,
is the unique solution of (2.2). Then we get

(2.6) T p (B R (x 0 )) = B u B dx p-1 = ω N β N,p p N (p -1) + p p-1 R N (p-1)+p ,
where ω N is the measure of the N -dimensional unit ball. In what follows, we will set for simplicity

(2.7) γ N,p = ω N β N,p p N (p -1) + p p-1
, which just coincides with the p-torsional rigidity of the unit ball in R N .

We recall some regularity properties of our eigenfunctions, i.e. functions realizing the minimal value λ p,q (Ω). These are collected below.

Proposition 2.4. Let Ω ⊂ R N be an open set with finite measure. Let u ∈ W 1,p 0 (Ω) be a first eigenfunction relative to λ p,q (Ω), i.e. a solution to

(2.8) -∆ p u = λ p,q (Ω) u p-q L q (Ω) |u| q-2 u. Then we have u ∈ C 1 (Ω) ∩ L ∞ (Ω).
Proof. Observe that since the equation is (p -1)-homogeneous, we can always scale a solution u in such a way that u L q (Ω) = 1. Then the L ∞ bound follows in a standard way by means of a Moser's iteration argument. The C 1 result is a consequence of the by now classical results in [START_REF] Dibenedetto | C 1+α local regularity of weak solutions of degenerate elliptic equations[END_REF]. Of course should the boundary of Ω be smooth enough, then this result would be global (see [START_REF] Lieberman | Boundary regularity for solutions of degenerate elliptic equations, Nonlinear Analysis[END_REF]).

At last, we will need the following particular version of the one-dimensional area formula. To prove it under our slightly weaker hypotheses, we just have to use an approximation argument. For every ε > 0 sufficiently small, we have

ψ(A-ε) ψ(0) F (ϕ(t)) ϕ ′ (t) dt = A-ε 0 F (s) ds, since ψ ∈ Lip([0, A -ε]
) and ψ ′ > 0 almost everywhere. It is now sufficient to let ε go to 0 and observe that all the functions involved are positive.

u ∈ W 1,p 0 (Ω) ∩ L ∞ (Ω) is a reference function for Ω if u ≥ 0 in Ω and (3.1) t → µ(t) {u=t} |∇u| p-1 dH N -1 ∈ L ∞ ([0, M ]),
where M = u L ∞ (Ω) and µ denotes the distribution function of u, i.e. the function defined by

µ(t) = |{x ∈ Ω : u(x) > t}|, t ∈ [0, M ].
We will denote by A p (Ω) the set of all reference functions for Ω, i.e.

A p (Ω) = u ∈ W 1,p 0 (Ω) ∩ L ∞ (Ω) :
u ≥ 0 and (3.1) holds . We will see in a while the importance of condition (3.1). Firstly, let us consider a particular class of functions which verify it. The next result is somehow classical, related computations can be found in [START_REF] Talenti | Elliptic equations and rearrangements[END_REF].

Lemma 3.2. Let u ∈ W 1,p 0 (Ω) ∩ L ∞ (Ω) be a positive function such that -∆ p u = f (x, u), in Ω, in a weak sense, where f : Ω × [0, ∞) → [0, ∞) verifies: (i) t → f (x, t) is increasing, for almost every x ∈ Ω; (ii) for every t > 0, we have inf x∈Ω f (x, t) > 0.
We set M = u L ∞ (Ω) , then we have

(3.2) {x : u(x)=t} |∇u| p-1 dH N -1 = {x : u(x)>t} f (x, u) dx, for a.e. t ∈ [0, M ].
In particular, we get u ∈ A p (Ω), i.e. u verifies (3.1).

Proof. By using test functions of the form (u -s) + in the equation solved by u, we get

{x : u(x)>s} |∇u| p dx = Ω |∇u| p-2 ∇u, ∇(u -s) + , dx = Ω f (x, u) (u -s) + dx.
On the other hand, by Coarea Formula we have {x : u(x)>s}

|∇u| p dx = M s {x : u(x)=τ } |∇u| p-1 dH N -1 dτ.
By taking first s = t and then s = t + h with h > 0 and subtracting, we then get

1 h t+h t {x : u(x)=τ } |∇u| p-1 dH N -1 dτ = Ω f (u) (u -t) + -(u -t -h) + h dx.
By passing to the limit on both sides, we conclude the proof of (3.2).

To prove (3.1), it is sufficient to observe that

{x : u(x)>t} f (x, u) dx ≥ inf y∈Ω f (y, t) {x : u(x)>t} dx = inf y∈Ω f (y, t) µ(t),
thanks to the monotonicity of f , so that 0 ≤ µ(t)

{u=t} |∇u| p-1 dH N -1 ≤ 1 inf y∈Ω f (y, t) ,
which means that the quantity we are considering stays bounded whenever t is away from 0, for example if t ≥ M/2. On the other hand if t < M/2 we just notice that f ≥ 0 implies

{x : u(x)>t} f (x, u) dx ≥ {x : u(x)>M/2} f (x, u) dx,
and then again we may proceed as before.

The next counterexample shows that smooth functions may fail to verify (3.1).

Example 3.3. Let us take B = {x : |x| < 1} and a smooth radial function u such that

u(x) = (1 -|x|) α for |x| ≃ 1,
where α > 1. We then have

{u=t} |∇u| p-1 dH N -1 ≃ t (α-1) (p-1) α (1 -t 1/α ) N -1 , t ≃ 0, and
µ(t) = {x : (1 -|x|) α > t} = {x : |x| < 1 -t 1/α } ≃ (1 -t 1/α ) N , t ≃ 0.
This implies that the ratio of the two quantities is unbounded for t approaching 0. Moreover, this ratio behaves like t

(α-1) (1-p) α
, which may even fail to be merely integrable.

We introduce the following set of Lipschitz functions

L = g ∈ Lip ([0, M ]) : g(0) = 0 ,
then for every reference function u ∈ A p (Ω), we clearly have g • u ∈ W 1,p 0 (Ω) whenever g ∈ L. Taking advantage of the equivalent formulations of T p (Ω) provided by Lemma 2.2, we define the modified p-torsional rigidity of Ω according to u by

(3.3) T p,mod (Ω; u) := p p -1 sup g∈L F p (g • u) p-1
, and notice that since we restricted the class of admissible functions, we decreased the value of T p (Ω), i.e. T p,mod (Ω; u) ≤ T p (Ω).

The key point is that for every u ∈ A p (Ω) the modified torsional rigidity is well-defined, i.e. the supremum is attained in the class L. Moreover it can be fully characterized in terms of the distribution function of u and of the Coarea factor {u=t} |∇u| p-1 .

Proposition 3.4. Let u ∈ A p (Ω) be a reference function for Ω. Then the function g 0 defined by

(3.4) g 0 (t) = t 0     µ(τ ) {u=τ } |∇u| p-1 dH N -1     1 p-1 dτ,
(uniquely) realizes the supremum in (3.3). The modified torsional rigidity is then given by

(3.5) T p,mod (Ω; u) =        M 0 µ(t) p p-1 {u=t} |∇u| p-1 dH N -1 1 p-1 dt        p-1 .
Proof. We first observe that the value of T mod (Ω; u) remains unchanged if we restrict the optimization to positive non-decreasing functions. Indeed, let g ∈ L be admissible and let us set

g(t) = t 0 |g ′ (τ )| dτ, t ∈ [0, M ],
then this is non-decreasing by definition and obviously g ∈ L. It satisfies

Ω |∇g • u(x)| p dx = Ω |∇ g • u(x)| p dx, since g ′ (t) = |g ′ (t)|, for a.e. t ∈ [0, M ].
We also notice that we have g(t) ≥ g(t), so that we can simply infer

Ω g(u(x)) dx ≤ Ω g(u(x)) dx,
which finally implies

F p (g • u) ≤ F p ( g • u).
We then observe that for every positive non-decreasing g ∈ L, we have

F p (g • u) = Ω g(u(x)) dx - 1 p Ω g ′ (u(x)) p |∇u(x)| p dx = M 0 g ′ (t) µ(t) dt - g ′ (t) p p {u=t} |∇u| p-1 dH N -1 dt,
where we used Cavalieri's principle in the first integral and Coarea Formula in the second one. By using again Lemma 2.1, we then get

F p (g • u) ≤ M 0 max s≥0 s µ(t) - s p p {u=t} |∇u| p-1 dH N -1 (x) dt = p -1 p M 0 µ(t) p p-1 {u=t} |∇u| p-1 dH N -1 1 p-1 dt, (3.6)
and equality holds if and only if

g ′ (t) =     µ(t) {u=t} |∇u| p-1 dH N -1     1 p-1 , for a.e. t ∈ [0, M ].
Observe that the latter is an L ∞ function on [0, M ], since u satisfies (3.1) by hypothesis. This means the function g 0 defined by

g 0 (t) = t 0     µ(τ ) {u=τ } |∇u(x)| p-1 dH N -1 (x)     1 p-1 dt,
belongs to L and is thus the unique maximizer of F p . In particular

p p -1 F p (g 0 • u) p-1 = T mod (Ω; u).
Finally, the previous equation and (3.6) show the validity of the expression (3.5).

Remark 3.5. The previous result generalizes [18, Lemme 1]. Observe that our proof runs similarly to that in [START_REF] Kohler-Jobin | Une méthode de comparaison isopérimétrique de fonctionnelles de domaines de la physique mathématique[END_REF], but the use of Cavalieri's principle and Lemma 2.1 permitted some simplifications.

Remark 3.6. If Ω ⊂ R 2 is a convex polygon and we take as reference function the distance d Ω from ∂Ω, the corresponding modified p-torsional rigidity has been recently considered in [START_REF] Fragalà | Sharp bounds for the p-torsion of convex planar domains[END_REF], in connection with a conjecture by Pólya and Szegő.

The following result is an isoperimetric inequality for the modified torsional rigidity. This fact will be crucially exploited in the next section, in order to define our spherical rearrangement. Proof. We just observe that T p (B) = T p,mod (Ω; u) ≤ T p (Ω), then by using (1.6) we get

1 ≤ T p (Ω) T p (B) ≤ |Ω| |B| p N +p-1
, which proves the first assertion.

As for equality cases, if |B| = |Ω| by appealing to the equality cases in (1.6) we can surely infer that Ω has to be a ball. Moreover, in this case we also have

T p,mod (Ω; u) = T p (Ω).
We now recall that the function realizing the p-torsional rigidity is unique, up to a renormalization, and that such a function has to be radial for a ball (see Remark 2.3). This implies that for the optimal g 0 realizing T p,mod (Ω; u), we must have that g 0 • u is radial as well which finally implies that u has to be radial. On the other hand, it is easily seen that if Ω itself is a ball and u is radial, then T p,mod (Ω; u) = T p (Ω) and the equality T p (Ω) = T p (B) implies |Ω| = |B|, since two balls have the same p-torsional rigidity if and only if they share the same radius.

Remark 3.8. The previous result can be rewritten in scaling invariant form as

|B| 1-p N -p T p (B) ≥ |Ω| 1-p N -p T p,mod (
Ω; u), with equality if and only if Ω is a ball and u is a radial function. This result generalizes the first inequality 2 appearing in [18, Lemme 2]. See also [START_REF] Kohler-Jobin | Symmetrization with equal Dirichlet integrals[END_REF]Corollary 1].

The Kohler-Jobin rearrangement technique

We are now going to describe the Kohler-Jobin rearrangement for W 1,p 0 functions that satisfy property (3.1). We recalled that in the classical Schwarz symmetrization it is the measure of superlevel sets which plays the leading role in the rearrangement procedure. Now, it is their p-torsional rigidity which will do the job. This is natural, since we are dealing with a shape optimization problem with a constraint on the torsional rigidity, rather than on the measure of admissible sets. Then there exists a radially symmetric decreasing function u * ∈ W 1,p 0 (B) such that

(4.1) B |∇u * | p dx = Ω |∇u| p dx and B f (u * ) dx ≥ Ω f (u) dx, 2
The reader should notice that when p = 2, our definition of torsional rigidity differs from that in [START_REF] Kohler-Jobin | Une méthode de comparaison isopérimétrique de fonctionnelles de domaines de la physique mathématique[END_REF] by a multiplicative factor 4.

for every function f : [0, ∞) → [0, ∞) strictly convex and such that f (0) = 0.

Proof. In order to simplify the notation, in the whole proof we will use the notation

T = T p,mod (Ω; u).
For every t ∈ [0, M ], we will also set

Ω t = {x ∈ Ω : u(x) > t} and T (t) = T p,mod (Ω t ; (u -t) + ),
i.e. the latter is the modified torsional rigidity of Ω t according to the function (u -t) + . Since we have |{x : (u(x) -t) + > s}| = µ(t + s), from (3.5) we can infer the explicit expression of this modified torsion, i.e.

T (t) =    M -t 0 µ(s + t) p p-1 {(u-t) + =s} |∇u| p-1 dH N -1 1 p-1 ds    p-1 =    M t µ(τ ) p p-1 {u=τ } |∇u| p-1 dH N -1 1 p-1 dτ    p-1 .
Observe that from the previous expression we obtain that T ∈ Lip loc ([0, M )), such that T ′ (t) < 0 almost everywhere on [0, M ], since we have

d dt T (t) = -(p -1) µ(t) p p-1 {u=t} |∇u(x)| p-1 dH N -1 (x) 1 p-1 T (t) p-2 p-1 , for a.e. t.
This is useful, since we are going to write the L p norm of ∇u in terms of the "variable" T (t).

More precisely, we first observe that applying the Coarea Formula and then introducing a change of variable ϕ : [a, b] → [0, M ], we have (4.2)

Ω |∇u| p dx = b a ϕ ′ (τ ) {u=ϕ(τ )} |∇u| p-1 H N -1 dτ.
As function ϕ we just take ϕ : [0, T ] → [0, M ] defined by the inverse function

ϕ(τ ) = T -1 (τ ), τ ∈ [0, T ],
then the derivative ϕ ′ (τ ) is obviously given by

ϕ ′ (τ ) = - 1 p -1 {u=ϕ(τ )} |∇u(x)| p-1 dH N -1 (x) 1 p-1 µ(ϕ(τ )) p p-1 τ 2-p p-1 .
BRASCO Also observe that ϕ satisfies the hypotheses of Lemma 2.5, then we finally obtain (4.3)

Ω |∇u| p dx = (p -1) p-1 T 0 τ p-2 µ(ϕ(τ )) p (-ϕ ′ (τ )) p dτ.
The finiteness of the integral in the left-hand side and the previous identity justify the convergence of the right-hand side in (4.3), also for 1 < p < 2.

We now define a radially symmetric decreasing function u * ∈ W 1,p 0 (B). As before, the idea is to prescribe the values of u * by using the torsional rigidity of its superlevel sets. For every τ ∈ [0, T ], let R(τ ) be the unique radius such that the concentric ball B R(τ ) = {x : |x| < R(τ )} ⊂ B has torsional rigidity τ , i.e. by using formula (2.6) we have

R(τ ) = τ γ N,p 1 N (p-1)+p , τ ∈ [0, T ],
where the constant γ N,p is defined in (2.7). Then we introduce the change of variable ψ : [0, T ] → [0, +∞) and we set

u * (x) = ψ(τ ), if |x| = R(τ ).
In other words, u * attains the value ψ(τ ) on the boundary of a ball whose torsional rigidity coincides with τ . Of course, the function u * will be completely determined, once we will specify the function ψ.

We can write the Dirichlet integral of u * as before, that is using τ as variable. This yields

B |∇u * | p dx = - T 0 ψ ′ (τ ) {u * =ψ(τ )} |∇u * | p-1 dH N -1 dτ.
We then observe that for u * by construction we have

|∇u * (x)| = (N (p -1) + p) γ N,p (-ψ ′ (τ )) R(τ ) N (p-1)+p-1 , if |x| = R(τ ),
so that after some (tedious) computations we get

{u * =ψ(τ )} |∇u * | p-1 dH N -1 = (p -1) p-1 τ p-2 µ * (ψ(τ )) p (-ψ ′ (τ )) p ,
i.e. we can infer again (4.4)

B |∇u * | p dx = (p -1) p-1 T 0 τ p-2 µ * (ψ(τ )) p (-ψ ′ (τ )) p dτ,
where µ * is the distribution function of u * .

We are finally ready to define ψ: we impose (4.5)

   (-ψ ′ (τ )) µ * (ψ(τ )) = (-ϕ ′ (τ )) µ(ϕ(τ )) ψ(T ) = 0
By recalling that by construction we have

Ω t R(τ ) Ω B Figure 1.
The construction of Proposition 4.1: the set Ω t has modified torsional rigidity equal to τ . On the circle having torsional rigidity equal to τ , we set u * to be equal to the value ψ(τ ) defined through (4.5). As for the integrals of u, first of all we observe that thanks to Proposition 3.7 we have

µ * (ψ(τ )) = ω N R(τ ) N = ω N τ γ N,p N N (p-1)
µ * (ψ(τ )) ≤ µ(ϕ(τ )), for every τ ∈ [0, M ],
since the torsional rigidity of the ball {x ∈ B : u * (x) > ψ(τ )} is equal to the modified torsional rigidity of {x ∈ Ω : u(x) > ϕ(τ )}. Then (4.5) implies

-ψ ′ (τ ) ≥ -ϕ ′ (τ ), for a.e. τ ∈ [0, T ],
thus integrating we get

(4.6) ψ(τ ) = - T τ ψ ′ (s) ds ≥ - T τ ϕ ′ (s) ds = ϕ(τ ), τ ∈ [0, T ],
since ψ(T ) = ϕ(T ) = 0. Once again Cavalieri's principle and a change of variable gives

Ω f (u) dx = M 0 f ′ (t) µ(t) dt = T 0 f ′ (ϕ(τ )) (-ϕ ′ (τ )) µ(ϕ(τ )) dτ ≤ T 0 f ′ (ψ(τ )) (-ψ ′ (τ )) µ * (ψ(τ )) dτ = B f (u * ) dx,
where we exploited (4.5), (4.6) and the strict convexity of f . This finally concludes the proof.

Remark 4.2 (Equality cases). Observe that in the previous construction we have

µ * (ψ(τ )) = µ(ϕ(τ )),
if and only if the superlevel set {x ∈ Ω : u(x) > ϕ(τ )} is a ball and (u -ϕ(τ )) + is radial, thanks to the equality cases in Proposition 3.7. This implies that equality holds in (4.6) for almost every τ ∈ [0, T ] if and only if Ω is a ball and u is a radial function. This finally gives that

Ω |∇u| p dx = B |∇u * | p dx and Ω f (u) dx = B f (u * ) dx,
if and only if Ω is a ball and u is a radial function.

Remark 4.3 (Assumptions on f ). Observe that the strict convexity f is not really necessary for (4.1) to hold, the argument still works with an f convex. But in this case the identification of equality cases is lost. On the other hand, the condition f (0) = 0 is vital, since one has

Ω f (u) dx ≤ B f (u * ) dx + f (0) |Ω| -|B| ,
and by construction we have |Ω| ≥ |B|. If f (0) > 0, the latter inequality does not permit to say that the integral Ω f (u) dx is increased.

5. Proof of Theorem 1.1

Let v Ω ∈ W 1,p 0 (Ω) be a function such that ∇v Ω p L p (Ω) v Ω p L q (Ω) = λ p,q (Ω).
Since the value of the Rayleigh quotient on the left is unchanged if we replace a function v Ω by its modulus |v Ω |, we can assume that v Ω ≥ 0. Moreover, the function v Ω solves the equation (2.8), then by Proposition 2.4 and Lemma 3.2, we get immediately that v Ω is a reference function for Ω, i.e. v Ω ∈ A p (Ω). Accordingly, the modified torsional rigidity T p,mod (Ω; v Ω ) is well-defined. Let us simply set for brevity

T Ω = T p,mod (Ω; v Ω ),
and recall that T Ω ≤ T p (Ω). We then take B the ball centered at the origin such that

T Ω = T p (B),
and by starting from v Ω , thanks to Proposition 4.1, we can construct

v * Ω ∈ W 1,p 0 (B) such that B |v * Ω | q dx ≥ Ω |v Ω | q dx and B |∇v * Ω | p dx = Ω |∇v Ω | p dx.
Using this and the definition of λ p,q (B), we then obtain

T p (B) α(p,q,N ) λ p,q (B) ≤ T α(p,q,N ) Ω ∇v * Ω p L p (B) v * Ω p L q (B) ≤ T α(p,q,N ) Ω ∇v Ω p L p (Ω) v Ω p L q (Ω) ≤ T p (Ω) α(p,q,N ) λ p,q (Ω), (5.1)
which concludes the proof of (1.8).

As for equality cases, we observe that if equality holds in (1.8), then equality holds everywhere in (5.1). In particular we get

B |∇v * Ω | p dx B |v * Ω | q dx p q = Ω |∇v Ω | p dx Ω |v Ω | q dx p q
.

Thanks to Proposition 4.1 and Remark 4.2, we can finally conclude that Ω has to be a ball. This concludes the proof of Theorem 1.1.

Remark 5.1 (Moser-Trudinger sharp constant). In the case p = N , one may wonder what can be said for the best constant in the Moser-Trudinger inequality (see [START_REF] Moser | A sharp form of an inequality by N. Trudinger[END_REF][START_REF] Trudinger | On imbeddings into Orlicz spaces and some applications[END_REF]), such a constant being defined by

M T N (Ω) = sup Ω exp c N |u| N N -1 : ∇u W 1,N 0 (Ω) ≤ 1 , c N = N (N ω N ) 1 N -1 .
It is straightforward to see that this quantity is maximized by balls among sets having given volume, i.e.

(5.2)

M T N (Ω) |Ω| ≤ M T N (B) |B| ,
the proof consisting of a straightfoward application of the Schwarz rearrangement. This time, it is not clear that balls still maximize with a constraint on the N -torsional rigidity. The reason lies in the fact that the function

f (t) = exp(c N t N ′ ) verifies f (0) > 0.
Then by taking an optimal function v Ω for M T N (Ω) (see [START_REF] Flucher | Extremal functions for the Moser-Trudinger inequality in two dimensions[END_REF][START_REF] Lin | Extremal functions for Moser's inequality[END_REF] for the existence of such a function) and applying Proposition 4.1, we would obtain (see Remark 4.3)

M T N (Ω) ≤ M T N (B Ω ) + |Ω| -|B Ω |,
where B Ω is a ball such that T N (B Ω ) = T N,mod (Ω; v Ω ). In particular B Ω is smaller than a ball B ⋆ having the same torsional rigidity as Ω. In order to show that the ball is still a maximizer, it would sufficies to verify that for every set Ω there holds

M T N (B Ω ) + |Ω| -|B Ω | ≤ M T N (B ⋆ ).
The previous is in turn equivalent to

|Ω| -|B Ω | |B ⋆ | -|B Ω | ≤ M T N (B ⋆ ) |B ⋆ | ,
an estimate which seems difficult to check, since the measure of B Ω depends in an intricate way on Ω.

As a straightforward consequence of Theorem 1.1 we get the following functional inequality of interpolation type, with sharp constant. In what follows we will denote by W 1,p 0 (R N ) the completion of C ∞ 0 (R N ) with respect to the norm ∇u L p . Corollary 5.2. Let 1 < p < ∞ and q be an exponent satisfying (1.3). We still denote

α(p, q, N ) = p N + p q -1 p N + p -1 ,
and p ′ = p/(p -1), then for every u ∈ W 1,p 0 (R N ) ∩ C(R N ) we have

(5.3) u L q ≤ KJ(p, q, N ) 1 {|u|>0} W -1,p ′ α(p,q,N ) ∇u L p ,
where the sharp constant KJ(p, q, N ) is given by KJ(p, q, N ) = T (B 1 ) α(p,q,N ) λ p,q (B 1 )

-1 p ,
and B 1 is the unit ball of R N . Equality in (5.3) holds if and only if u has the form

u(x) = c U x -x 0 s for some (x 0 , c, s) ∈ R N × R × R + , where U ∈ W 1,p 0 (B 1 ) is the (unique) function solving    -∆ p U = λ p,q (B 1 ) U q-1 , in B 1 , U L q = 1 and U > 0.
Proof. It is sufficient to observe that (1.8) implies

T p (B 1 ) α(p,q,N ) λ p,q (B 1 ) ≤ T p ({|u| > 0}) α(p,q,N ) R N |∇u| p dx R N |u| q p q
, then we use the characterization (2.3) of the p-torsional rigidity. Equality cases easily follow from those in (1.8).

Remark 5.3. For simplicity, we stated the previous result for functions in W 1,p 0 (R N ) ∩ C(R N ). This assures that {|u| > 0} is an open set. However, by appealing to the theory of quasi-open sets and of Sobolev spaces in a capacitary sense (see [START_REF] Bucur | Variational Methods in Shape Optimization Problems[END_REF]), one could state the previous inequality for general functions in W 1,p 0 (R N ) Remark 5.4. Observe that (5.3) is a limit case of the following family of interpolation inequalities (5.4)

u L q ≤ C ∇u ϑ (1-1 s )+ 1 s L p |u| s-2 u 1 q -ϑ p * W -1,p ′
, where 1 ≤ s < q < p * and the parameter ϑ is such that ϑ = p * q q -s p * -s .

Here p * denotes the usual Sobolev embedding exponent, i.e. p = N p/(N -p) (let us confine ourselves to the case 1 < p < N , for simplicity). The proof of (5.4) simply follows by combining the Gagliardo-Nirenberg-Sobolev inequality

u L q ≤ C ∇u ϑ L p u 1-ϑ L s
, and the estimate

|u| s dx = |u| s-2 u u dx ≤ |u| s-2 u W -1,p ′ ∇u L p ,
which is a plain consequence of the definition of dual norm. By formally taking the limit for s converging to 1 in (5.4), one ends up with (5.3).

The case of general norms

In this last section, we will see how to adapt the Kohler-Jobin rearrangement to the case of anisotropic principal frequencies and torsional rigidities. The reader could find useful to consult [START_REF] Schneider | Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory[END_REF] for the basic facts about convex bodies needed below. Let 1 < p < ∞ and q still satisfying (1.3), we consider the quantities

λ K p,q (Ω) = min u∈W 1,p 0 (Ω)\{0} Ω ∇u p K dx Ω |u| q dx p q and T K p (Ω) = max v∈W 1,p 0 (Ω)\{0} Ω |v| dx p Ω ∇v p K dx ,
where K is a C 1 centro-symmetric3 bounded strictly convex set and

x K = min{λ ≥ 0 : x ∈ λK}, x ∈ R N ,
i.e. • K is the norm having K as unit ball. Of course by taking K = B the Euclidean ball, we are back to the quantities considered in the previous sections. An interesting particular case of these anisotropic variants is when K is the unit ball of the ℓ p norm, in this case we have

Ω ∇u p K dx = N i=1 Ω |u x i | p dx.
The Faber-Krahn inequality for the corresponding first eigenvalue λ K p,q (Ω) has been derived in [START_REF] Belloni | The pseudo p-Laplace eigenvalue problem and viscosity solution as p → ∞[END_REF], by using the convex symmetrization introduced in [START_REF] Alvino | Convex symmetrization and applications[END_REF]. The latter is just a variant of the Schwarz symmetrization, where balls are replaced by rescaled copies of the polar body K * defined by

K * = ξ ∈ R N : sup x∈K ξ, x ≤ 1 .
In other words, given a positive function u ∈ W 1,p 0 (Ω), we can construct a new Sobolev function u # supported on a scaled copy K * of K * , such that {x : u # (x) > t} is homothetic to K * for every t, and u and u # are equimeasurable. Moreover, for the convex symmetrization as well we have the Pólya-Szegő principle, i.e. (6.1)

Ω ∇u p K dx ≥ K * ∇u # p K dx.
We refer the reader to [2, Theorem 3.1] for the proof. The equality cases are investigated in [8, Theorem 5.1] and [9, Theorem 1].

We also recall the Wulff inequality

(6.2) |Ω| -N -1 N ∂Ω ν Ω K dH N -1 ≥ |K * | -N -1 N ∂K * ν K * K dH N -1 ,
where ν Ω is the outer normal versor 4 to ∂Ω. Equality holds in the previous if and only if Ω = x 0 +s K * , for some x 0 ∈ R N and s > 0. Inequality (6.2) is nothing but a generalization of the classical isoperimetric one and it is of course an essential ingredient of (6.1). The boundary integral appearing in (6.2) is called anisotropic perimeter and for K * we have the simple formula (6.3)

∂K * ν K * K dH N -1 = N |K * |.
as in the Euclidean case. A good reference for (6.2) is the recent paper [START_REF] Figalli | A mass transportation approach to quantitative isoperimetric inequalities[END_REF], where stability issues are addressed as well.

By suitably adapting the rearrangement technique of Kohler-Jobin, one can obtain the following generalization of Theorem 1.1. 4 Here we are a little bit vague about the smoothness assumptions on Ω, since we will not really need this result in what follows. We just mention that (6.2) is naturally settled in the class of set having finite perimeter in the De Giorgi sense. Theorem 6.1. Let 1 < p < ∞ and q satisfying (1.3). Then (6.4)

T K p (Ω) α(p,q,N ) λ K p,q (Ω) ≥ T K p (K * ) α(p,q,N ) λ K p,q (K * ), and equality holds if and only if Ω coincides with the polar body K * , up to translations and dilations.

The proof is exactly the same as in the Euclidean case, it is sufficient to use Proposition 6.5 below, which is nothing but the anisotropic counterpart of Proposition 4.1. In the remaining part of the section, we list the main changes needed for the definition of the anisotropic Kohler-Jobin rearrangement and for the proof of its properties.

First of all, we need the expression of the p-torsional rigidity of the "ball" K * . Lemma 6.2. The unique solution to the problem (6.5) max

u∈W 1,p 0 (K * ) K * u dx - 1 p K * ∇u p K dx, is given by u K * (x) = 1 -x p p-1 K * β N,p , where β N,p = p p -1 N 1 p-1 .
In particular we have

(6.6) T K p (K * ) = |K * | β N,p p N (p -1) + p p-1 .
Proof. The uniqueness of the solution for (6.5) simply follows by the strict concavity of the functional 5 . For simplicity, let us now introduce the notation

H(x) = x K and H * (x) = x K * ,
and observe that the Euler-Lagrange equation for problem (6.5) is

K * H p-1 (∇u) ∇H(∇u), ∇ϕ dx = K * ϕ dx, ϕ ∈ W 1,p 0 (K * ).
By inserting the function u K * defined above and using the relations (see [START_REF] Schneider | Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory[END_REF])

(6.7) H(∇H * (x)) = 1 and ∇H(∇H * (x)) = x H(x) ,
we then obtain that u K * solves this equation and thus is the p-torsion function.

In order to compute the exact value of T K p (K * ) we can use the following trick. First of all, by using the expression of u K * we have

K * u K * dx = |K * | β N,p - 1 β N,p K * H * (x) p p-1 dx.
5 Here enters the assumption of strict convexity on K.

On the other hand, by using u K * as a test function in the Euler-Lagrange equation and appealing to (6.7), we obtain

K * u K * dx = K * H(∇u) p dx = p p -1 1 β N,p p K * H * (x) p p-1 dx.
By comparing the two previous expressions we can compute the value of K * H * (x) p p-1 dx. This finally gives the desired expression for T K p (K * ), since

T K p (K * ) = K * u K * dx p-1
, as in Proposition 2.2.

We can still characterize the modified torsional rigidity in terms of the distribution function and of the (anisotropic) Coarea factor. This is the content of the next result. Proposition 6.3. Let u ∈ A p (Ω) be a reference function for Ω. Then the modified torsional rigidity is given by (6.8)

T K p,mod (Ω; u) =        M 0 µ(t) p p-1 {u=t} ∇u p-1 K ∇u |∇u| K dH N -1 1 p-1 dt        p-1 .
Proof. It is sufficient to use the Coarea Formula in the following form Also observe that since in R N all norms are equivalent, if u is a reference function we also have that

t → µ(t) {u=t} ∇u p-1 K ∇u |∇u| K dH N -1 ∈ L ∞ ([0, M ]).
These two modifications permit to conclude the proof as before. We have equality if and only if Ω itself is a scaled copy of K * and u has the form u(x) = h( x K * ), for some function h.

Proof. This is a consequence of the Saint-Venant inequality for the anistropic torsional rigidity, i.e. |Ω| 1-p N -p T K p (Ω) ≤ |K * | 1-p N -p T K p (K * ), which in turn follows from the Pólya-Szegő principle (6.1) for the convex rearrangement. Thanks to the result of [START_REF] Esposito | Convex symmetrization and Pólya-Szegő inequality[END_REF][START_REF] Ferone | Convex rearrangement: equality cases in the Pólya-Szegő inequality[END_REF], equality is attained if and only if Ω = x + s K * , then the proof of the second part of the statement is as in Proposition 3.7.

Finally, we define the Kohler-Jobin rearrangement, which still keeps the Dirichlet integral fixed and increases the L q norms of a function. This permits to prove Theorem 6.1. Proposition 6.5. Let 1 < p < ∞ and let Ω ⊂ R N be an open set having finite measure. Given a reference function u ∈ A p (Ω), let K * be a scaled copy of the polar body K * such that T K p,mod (Ω; u) = T K p ( K * ). Then there exists a function u * ∈ W 1,p 0 ( K * ) such that its superlevel sets are scaled copy of K * with the same centers and Proof. The proof runs exactly as in Proposition 4.1, up to some relevant changes that we list below. First of all, we observe that the modified torsional rigity of Ω t according to (u -t) + is now given by where now ϕ is the inverse function of T K . As before, we define the new "radial" function

T K (t) =        M t µ(τ )
u * (x) = ψ(τ ), if x K * = R(τ ),
where for every τ ∈ [0, T ] the "radius" R(τ ) is such that

T K p (R(τ ) K * ) = τ.
In other words R(τ ) K * is the unique scaled copy of the polar body K * having torsional rigidity equal to τ . Observe that from the previous we have the relation

R(τ ) = τ T K p (K * ) 1 N (p-1)+p
, and T K p (K) * is the constant depending only on K, N and p given by (6.6). By construction we get ∇u * (x) K = (N (p -1) + p) T K p (K * ) (-ψ ′ (τ )) R(τ ) N (p-1)+p-1 , if x K * = R(τ ), so that, with a small abuse of notation, we obtain

{u * =ψ(τ )} ∇u p-1 K ∇u * |∇u * | K dH N -1 = ∇u * (R(τ )) p-1 K {u * =ψ(τ )} ν K dH N -1 .
Here ν is the outer normal to the set {u * > ψ(τ )}, the latter being R(τ ) K * . Then the integral on the right-hand side is nothing but the anisotropic perimeter of this set, which is homothetic to K * . By (6.3) we can infer

{u * =ψ(τ )} ν K dH N -1 = N R(τ ) N -1 |K * |.
By keeping everything together, we get Then we can define once again ψ through (4.5). The resulting function u * has the desired properties, the proof being exactly the same as in Proposition 4.1.

1 .Introduction 1 . 1 .

 111 Background and motivations 1.2. Aim of the paper 1.3. Notation 1.4. Main result 1.5. Plan of the paper 2. Preliminaries 3. The modified torsional rigidity 4. The Kohler-Jobin rearrangement technique 5. Proof of Theorem 1.1 6. The case of general norms References 1. Background and motivations. Given an open set Ω ⊂ R N with finite measure, we consider the following quantities λ

1

 1 λ(Ω) by any other optimal Poincaré-Sobolev constant. In other words, balls minimize the quantity min u∈W

Lemma 2 . 5 . 0 F

 250 Let A > 0 and ψ ∈ Lip loc ([0, A)) such that ψ ′ (t) > 0 for almost every t ∈ [0, A]. We also set sup [0,A] ψ = M . Let ϕ = ψ -1 be its inverse function, then we have the change of variable formula M ψ(0) F (ϕ(t)) ϕ ′ (t) dt = A (s) ds, for any non-negative Borel function F . Proof. The statement is known to be true if ψ ∈ Lip([0, A]), see [1, Example 3.4.5 and Theorem 3.4.6].

3 .

 3 The modified torsional rigidity Definition 3.1. Given an open set Ω ⊂ R N having finite measure, we will say that

Proposition 3 . 7 .

 37 Let Ω ⊂ R N be an open set having finite measure and u ∈ A p (Ω) a reference function. If B ⊂ R N is a ball such that T p (B) = T p,mod (Ω; u), then we have |B| ≤ |Ω|. We have equality if and only if Ω itself is a ball and u is a radial function.

Proposition 4 . 1 .

 41 Let 1 < p < ∞ and let Ω ⊂ R N be an open set having finite measure. Given a reference function u ∈ A p (Ω), let B be the ball centered at the origin such that T p,mod (Ω; u) = T p (B).

  +p , the change of variable ψ is explicitely given by ψ′ (s)) µ(ϕ(s)) s -N N (p-1)+p ds, τ ∈ [0, T ]. By using the information (4.5) in (4.3) and (4.4), we immediately obtain B |∇u * | p dx = Ω |∇u| p dx, as desired.

Proposition 6 . 4 .

 64 Let Ω ⊂ R N be an open set having finite measure andu ∈ A p (Ω) a reference function. If K * ⊂ R N is a scaled copy of K * such that T K p ( K * ) = T K p,mod (Ω; u), then we have |K * | ≤ |Ω|.

  * | p dx = Ω |∇u| p dx and K * f (u * ) dx ≥ Ω f (u) dx,for every function f : [0, ∞) → [0, ∞) strictly convex and such that f (0) = 0.

Ω

  ∇u p dx = (p -1) p-1 T 0 τ p-2 µ(ϕ(τ )) p (-ϕ ′ (τ )) p dτ,

1 T 0 τ

 10 {u * =ψ(τ )} ∇u p-1 K ∇u * |∇u * | K dH N -1 = (N (p -1) + p) p-1 T K p (K * ) p-1 (-ψ ′ (τ )) p-1 × R(τ ) (N +1)(p-1) 2 +N -1 N |K * |,so that after some some simplifications we obtainB |∇u * | p dx = (p -1) p-p-2 µ * (ψ(τ )) p (-ψ ′ (τ )) p dτ.

This means that x ∈ K implies that -x ∈ K as well.

Acknowledgements. The author wishes to express his gratitude to Dorin Bucur for some useful comments and to Guido De Philippis for suggesting some improvements on a first version of the paper. Some preliminary discussions with Jimmy Lamboley have given the impulse to realize this work. Finally, Matteo Scienza is kindly acknowledged for having provided a copy of [18]. This work has been supported by the ERC Advanced Grant n. 226234 and by the Agence National de la Recherche, through the project ANR-12-BS01-0014-01 Geometrya.