Tryfon Antonakakis

Fadi Baïda

Abderrahmane Belkhir

Kirill Cherednichenko

Shane Cooper

Richard Craster

Guillaume Demesy

John Desanto

Gérard Granet

Editor Evgeny Popov

Boris Gralak

Sébastien Guenneau

Daniel Maystre
email: daniel.maystre@fresnel.fr

André Nicolet

Brian Stout

Gérard Tayeb

Fréderic Zolla

Benjamin Vial

GratinGs: theory and numeric applications

Introduction

Since the 80's, specialists of gratings can rely on very powerful grating softwares [START_REF] Petit | Electromagnetic theory of gratings[END_REF][START_REF] Maystre | Rigorous vector theories of diffraction gratings[END_REF][START_REF] Nevière | Light Propagation in Periodic Media: Differential Theory and Design[END_REF][START_REF] Li | Rigorous and Efficient Grating-Analysis Method Made Easy for Optical Engineers[END_REF][START_REF] Moharam | Rigorous coupled-wave analysis of metallic surfacerelief gratings[END_REF][START_REF] Botten | The dielectric lamellar diffraction grating[END_REF]. These softwares are able to compute grating efficiencies for almost any kind of grating in any domain of wavelength, even though the progress of grating technologies needs endless extensions of grating theories to new kinds of structures. These softwares are based on elementary laws of Electromagnetics. Using mathematics, these laws lead to boundary value problems which can be solved on computers using adequate algorithms.

However, a grating user should not ignore some general properties of gratings which can derived directly from the boundary value problem without any use of computer. These analytic properties are valuable at least for two reasons. First, they strongly contribute to a better understanding of an instrument which puzzled and fascinated many specialists of Optics since the beginning of the 20th century. Secondly, they allow a theoretician to check the validity of a new theory or its numerical implementation, although one must be very cautious: a theory can fail while its results satisfy some analytic rules. Specially, this surprising remark apply to properties like energy balance or reciprocity theorem.

The first part of this chapter is devoted to the use of the elementary laws of Electromagnetics for stating the boundary value problems of gratings in various cases of materials and polarizations. Then, we deduce from the boundary value problems the most important analytic properties of gratings.

From the laws of Electromagnetics to the boundary-value problems

Presentation of the grating problem

Figure 2.1 represents a diffraction grating. Its periodic profile P of period d along the x axis separates air (region R 0 ) from a grating material (region R 1 ) which is generally a metal or a dielectric. The y axis is the axis of invariance of the structure and the z axis is perpendicular to the average profile plane. We denote by z M the ordinate of the top of P, its bottom being located on the xy plane by hypothesis. We suppose that the incident light can be described by a sum of monochromatic radiations of different frequencies. Each of these can in turn be described in a time-harmonic regime, which allows us to use the complex notation (with an exp(-iωt) time-dependence). In this chapter, we assume that the wave-vector of each monochromatic radiation lies in the cross-section of the grating (xz plane). In the following, we deal with a single monochromatic radiation.

The electromagnetic properties of the grating material (assumed to be non-magnetic) are represented by its complex refractive index ν which depends on the wavelength λ = 2πc/ω in vacuum (c = 1/ √ ε 0 µ 0 being the speed of light, with ε 0 and µ 0 the permittivity and the permeability of vacuum). This complex index respectively includes the conductivity (for metals) and/or the losses (for lossy dielectrics). It becomes a real number for lossless dielectrics.

In the air region, the grating is illuminated by an incident plane wave. The incident electric field -→ E i is given by :

- → E i = - → P exp ik 0 x sin(θ ) -ik 0 z cos(θ ) , (2.1)
with θ being the angle of incidence, from the z axis to the incident direction, measured in the counterclockwise sense, and k 0 being the wavenumber in the air (k 0 = 2π/λ , we take an index equal to unity for air). The wave-vector of the incident wave is given by:

- → k i 0 =   k 0 sin(θ ) 0 -k 0 cos(θ )   .
(2.

2)

The physical problem is to find the total electric and magnetic fields -→ E and -→ H at any point of space.

Maxwell's equations

First, let us notice that the physical problem remains unchanged after translations of the grating or of the incident wave along the y axis since they do not depend on y. Therefore, if -→ E (x, y, z) and -→ H (x, y, z) are the total fields for a given grating and a given incident wave, -→ E (x, y + y 0 , z) and -→ H (x, y + y 0 , z) will be solutions too, regardless of the value of y 0 . Assuming, from the physical intuition, that the solution of the grating problem is unique, we deduce that -→ E and -→ H are independent of y.

In order to state the mathematical problem, we use the harmonic Maxwell equations in

R 0 : ∇ × - → E = iω µ 0 - → H , (2.3)
∇ × - → H = -iωε - → E , (2.4)
with:

ε = ε 0 in R 0 , ε 1 = ε 0 ν 2 in R 1 .
(2.5)

In the following, equations (2.3) and (2.4) will be called first and second Maxwell equations respectively. We note that Maxwell's equations ∇.

-→ E = 0 and ∇.

-→ H = 0 are the straightforward consequences of the first and second Maxwell equations (it suffices to take the divergence of both members).

We introduce the diffracted fields

-→ E d and -→ H d defined by: -→ E d = - → E - - → E i in R 0 , - → E in R 1 , (2.6)
-→ H d = - → H - -→ H i in R 0 , - → H in R 1 . (2.7)
The interest of the notion of diffracted field is that it satisfies the so-called radiation condition (or Sommerfeld condition, or outgoing wave condition), in contrast with the total field which does not satisfy this condition in R 0 since it includes the incident field. This means that the diffracted fields must remain bounded and propagate upwards in R 0 when z → +∞. The same property must be satisfied in R 1 , but that time the diffracted fields must remain bounded and propagate downwards in R 1 when z → -∞. Since the incident fields satisfy Maxwell's equations in R 0 , the diffracted fields satisfy these equations as well. Introducing the components of the diffracted fields on the three axes, Maxwell's equations yield:

∂ E d y /∂ z = -iω µ 0 H d x , (2.8a
)

∂ E d y /∂ x = iω µ 0 H d z , (2.8b
)

∂ E d z /∂ x -∂ E d x /∂ z = -iω µ 0 H d y , (2.8c
)

∂ H d y /∂ z = iωεE d x , (2.9a
)

∂ H d y /∂ x = -iωεE d z , (2.9b
)

∂ H d z /∂ x -∂ H d x /∂ z = iωεE d y .
(2.9c)

Boundary conditions on the grating profile

On the grating profile, the tangential component of the electric and magnetic fields must be continuous 1 . Thus the boundary condition is given by:

( ---→ [E d ] 0 + --→ [E i ] 0 ) × - → n = ---→ [E d ] 1 × - → n , (2.10)
( ---→ [H d ] 0 + --→ [H i ] 0 ) × - → n = ---→ [H d ] 1 × - → n , (2.11)
with -→ n being the unit normal to P, oriented toward region R 0 (figure 2.1) and the symbol

[ - → F ] p denoting the limit of - →
F when a point of region R p tends to the grating profile (with p ∈ (0, 1)). As for Maxwell's equations, we note that the other boundary conditions on the normal components of the fields are consequences of equations (2.10) and (2.11). It is worth noting that the linkage between these two boundary conditions is a typical example of an elementary property which is difficult to establish, at least for those who are not acquainted with the theory of distributions. Projecting equations (2.10) and (2.11) on the three axes yields:

[E d y ] 0 -[E d y ] 1 = -[E i y ] 0 , (2.12a
)

n x [E d z ] 0 -n z [E d x ] 0 -n x [E d z ] 1 + n z [E d x ] 1 = -n x [E i z ] 0 + n z [E i x ] 0 , (2.12b
)

[H d y ] 0 -[H d y ] 1 = -[H i y ] 0 , (2.13a
)

n x [H d z ] 0 -n z [H d x ] 0 -n x [H d z ] 1 + n z [H d x ] 1 = -n x [H i z ] 0 + n z [H i x ] 0 . (2.13b)

Separating the general boundary-value problem into two separated scalar problems

The first conclusion to draw from equations (2.8), (2.9), (2.12) and (2.13) is that they can be separated into two independent sets. -→ E i is given by equation (2.1) and thus is not an unknown field. The same remark applies to the complementary set (TM case), but with the transverse component of the magnetic field and the xz components of the electric field. As a consequence, the general problem of diffraction by a grating can be decomposed into two elementary mathematical problems.

The TE case problem

In the first one, the xz components of the magnetic field can be expressed as functions of the transverse component of the electric field using equations (2.8a) and (2.8b). Inserting their expression in equation ( 2.9c) shows that E d y satisfies a Helmholtz equation:

∇ 2 E d y + k 2 E d y = 0, (2.14)
with:

k = k 0 in R 0 , k 1 = k 0 ν in R 1 .
(2.15)

The associated boundary condition on the diffracted electric field can be deduced from equations (2.12a) and (2.1): The boundary value problem allows us to deduce a fundamental property of gratings. Let us suppose that the incident field is TE polarized, i.e. that the electric incident field is parallel to the y axis (P x = P z = 0). In these conditions, the equations associated with the TM case are homogeneous: they do not contain the incident field since the right-hand member of equation (2.12b) vanishes. If we believe that the solution of the grating problem is unique, it must be concluded that the xz component of the diffracted and total electric field vanish. On the other hand, the magnetic field is parallel to the xz plane. In other words, in the TE case, the grating problem becomes scalar: we must determine the y-component of the diffracted electric field. The xz components of the magnetic field deduce the y-component of the diffracted electric field using equations (2.8a) and (2.8b).

E d y 0 -E d y 1 = -P y exp ik 0 x sin(θ ) -ik 0 z cos(θ ) ,

The TM case problem

Now, let us deal with the TM case. As for the TE case, it can be shown that the y-component of the magnetic field satisfies a Helmholtz equation by using equations (2.8c), (2.9a) and (2.9b):

∇ 2 H d y + k 2 H d y = 0. (2.19)
The boundary conditions need the calculation of the incident magnetic field. From equation (2.1) and Maxwell equation (2.3), it turns out that:

-→ H i = - → Q exp ik 0 x sin(θ ) -ik 0 z cos(θ ) , (2.20)
with:

- → Q = 1 ω µ 0 - → k i 0 .
-→ P exp ik 0 x sin(θ )ik 0 z cos(θ ) .

(2.21)

The associated boundary condition on the diffracted magnetic field can be deduced from equations (2.13a) and (2.20):

[H d y ] 0 -[H d y ] 1 = -Q y exp ik 0 x sin(θ ) -ik 0 z cos(θ ) , with (x, z) ∈ P, (2.22)
while the boundary condition on its normal derivative is obtained by inserting the expressions of the xz components of the electric field (equations (2.9a) and (2.9b)) in equation (2.12b).

Remarking that the incident field satisfies the same equations, we obtain finally: 2.23) and radiation conditions for z → ±∞ define the boundaryvalue problem for TM case. As for TE case, the uniqueness of the solution shows that that when the magnetic incident field is parallel to the y axis (Q x = Q z = 0), the equations associated with the TE case are homogeneous: they do not contain the incident field. It can be concluded that the xz components of the diffracted and total magnetic fields vanish. On the other hand, the electric field is parallel to the xz plane. In other words, in the TM case, the grating problem becomes scalar: we must determine the y-component of the diffracted magnetic field. The xz components of the electric field deduce from the y-component of the diffracted magnetic field using equations (2.9a) and (2.9b).

1 ε 0 dH d y dn 0 - 1 ε 1 dH d y dn 1 = - 1 ε 0 dH i y dn 0 , = - iQ y ε 0 - → n . - → k i 0 exp ik 0 x sin(θ ) -ik 0 z cos(θ ) ,

TE and TM cases: a unified presentation of the boundary-value problem

In order to deal with both cases simultaneously, we denote by F d the field defined by:

F d = E d y for TE case, H d y for TM case.
(2.25)

In the same way, by assuming that the incident field has a unit amplitude (P y =1 for TE case and Q y =1 for TM case), the incident field in both cases is given by:

F i = exp ik 0 x sin(θ ) -ik 0 z cos(θ ) , (2.26)
the total field F being given by:

F = F d + F i in R 0 , F d in R 1 . ( 2
∇ 2 F d + k 2 F d = 0, F d 0 -F d 1 = -exp ik 0 x sin(θ ) -ik 0 z cos(θ ) with (x, z) ∈ P, 1 τ 0 dF d dn 0 - 1 τ 1 dF d dn 1 , = - i τ 0 - → n . - → k i 0 exp ik 0 x sin(θ ) -ik 0 z cos(θ ) , with (x, z) ∈ P, F d must
τ i = 1 for TE case, ε i for TM case, i ∈ (0, 1). (2.32)
In the following, this boundary-value problem will be called normalized grating problem. It is worth noting that equations (2.29) and( 2.30) take a simpler form by introducing the total field F:

[F] 0 = [F] 1 , (2.33) 1 τ 0 dF dn 0 = 1 τ 1 dF dn 1 .
(2.34)

The special case of the perfectly-conducting grating

The first grating theories were devoted to perfectly conducting gratings. This case is very important since it is realistic for metallic gratings in the microwave domain and far infrared regions.

In the visible and infrared regions, it can provide qualitative results. However, in these regions, one must be very cautious. The existence of surface plasmons propagating at the vicinity of the grating surface generates strong resonance phenomena for TM case. Due to these phenomena, the properties of real metallic gratings and those of perfectly-conducting gratings may completely differ [START_REF] Maystre | Rigorous vector theories of diffraction gratings[END_REF].Moreover, the perfect conductivity model allows one to simplify the grating theory, since the associated boundary-value problems are much simpler.

Basically, the equations associated to the perfect conductivity model are the same as for real metallic or dielectric gratings, except equations (2.4) and (2.11). Let us give a brief explanation to this property. In Maxwell equation (2.4), the right-hand member includes the volume current density -→ j in the metal since this term is proportional to the electric field ( -→ j = σ -→ E , σ being the conductivity of the metal). When the conductivity tends to infinity, the volume current density and the total fields concentrate more and more on the grating surface since the skin depth tends to zero. As a consequence, at the limit when the conductivity tends to infinity, the fields are null in R 1 while the volume current density -→ j becomes a surface current density -→ j P . This surface current density cannot be included in the right-hand member of equation (2.4) since it is a singular distribution (for the specialist of Schwartz distributions [START_REF] Schwartz | Mathematics for Physical sciences[END_REF], it writes -→ j P δ P ). Finally, equation (2.4) becomes:

∇ × - → H = -iω ε-→ E + -→ j P , (2.35)
with ε being the permittivity of the material. Furthermore, taking into account that the total fields vanish inside R 1 , the boundary condition (equation (2.11)) becomes:

- → n × ( ---→ [H d ] 0 + --→ [H i ] 0 ) = -→ j P . (2.36)
This equation reduces to a relation between the surface current density on P and the limit of the magnetic field above P. It does not constitute any more an element of the boundary-value problem.

In conclusion, for perfectly conducting gratings, the fields inside R 1 vanish and, using equations (2.3), (2.4), (2.10), (2.6) and (2.7), the basic vector equations for the field in R 0 can be written:

∇ × -→ E d = iω µ 0 -→ H d , (2.37) ∇ × -→ H d = -iωε 0 -→ E d , (2.38) ( ---→ [E d ] 0 + --→ [E i ] 0 ) × - → n = 0. (2.39)
Following the same lines as in subsections 2.2.4.1 and 2.2.4.2, the boundary value problems for perfectly conducting gratings are given by: For TE case:

∇ 2 E d y + k 2 0 E d y = 0, E d y 0 = -P y exp ik 0 x sin(θ ) -ik 0 z cos(θ ) , with (x, z) ∈ P, E d
y must satisfy a radiation condition for z → +∞.

(

(2.42)

For TM case:

∇ 2 H d y + k 2 0 H d y = 0, dH d y dn 0 = -iQ y - → n . - → k i 0 exp ik 0 x sin(θ ) -ik 0 z cos(θ ) , with (x, z) ∈ P,
H d y must satisfy a radiation condition for z → +∞.

(2.43)

(2.44)

(2.45)

Pseudo-periodicity of the field and Rayleigh expansion

This section establishes the most famous property of diffraction gratings: the dispersion of light, which is a consequence of the well known grating formula. In general, this formula is demonstrated using heuristic considerations of physical optics. Here, we propose a rigorous demonstration based on the boundary-value problem stated in subsection 2.2.4.3. First, let us show that the field F d is pseudo-periodic, i.e. that:

F d (x + d, z) = F d (x, z)exp ik 0 d sin(θ ) . (2.46)
With this aim, we consider the function G(x, z) defined by:

G(x, z) = F d (x + d, z)exp -ik 0 d sin(θ ) . (2.47)
The pseudo-periodicity of F d is proved if we show that F d (x, z) = G(x, z). Owing to the uniqueness of the solution of the boundary-value problem defined by equations (2.28), (2.29), (2.30) and (2.31), this equation is satisfied if G obeys the same equations. Obviously, G satisfies these equations since d is the grating period. Thus F d is pseudo-periodic, with coefficient of pseudoperiodicity k 0 sin(θ ), as well as F i and F. Notice that in normal incidence (θ = 0), pseudoperiodicity becomes ordinary periodicity, which in that case is a straightforward property since both grating and incident wave are periodic.

Using the pseudo-periodicity, let us show that the field above and below the grating is a sum of plane waves. With this aim, we notice from equation (2.28) that F d (x, z)exp -ik 0 x sin(θ ) has a period d and thus can be expanded in a Fourier series:

F d (x, z) exp -ik 0 x sin(θ ) = +∞ ∑ n=-∞ F d n (z) exp(2iπnx/d).
(2.48)

Multiplying both members of equation (2.48) by exp ik 0 x sin(θ ) yields :

F d (x, z) = +∞ ∑ n=-∞ F d n (z) exp(iα n x), (2.49)
with:

α n = k 0 sin(θ ) + 2πn/d. (2.50)
Introducing this expression of F d (x, z) in Helmholtz equation (2.28), we find :

+∞ ∑ n=-∞ d 2 F d n (z)/dz 2 + (k 2 -α 2 n )F d n (z) exp(iα n x) = 0, (2.51)
and multiplying both members by exp -ik 0 x sin(θ ) ,

+∞ ∑ n=-∞ d 2 F d n (z)/dz 2 + (k 2 -α 2 n )F d n (z) exp(2iπnx/d) = 0. (2.52)
It seems, at the first glance, that the left-hand member of equation (2.52) is a Fourier series, and thus that the coefficients of this Fourier series vanish. This is not correct. Indeed, we have to bear in mind that k, defined in equation (2.15) is not a constant. As a consequence, if 0 < y < z M , a region called intermediate region in the following, k 2 depends on x and the left-hand member of equation (2.52) is not a Fourier series. However, above and below this intermediate region, k 2 is constant and we can write that the Fourier coefficients vanish:

∀n, d 2 F d n (z)/dz 2 + γ 2 0,n F d n (z) = 0 if y > z M , (2.53a) ∀n, d 2 F d n (z)/dz 2 + γ 2 1,n F d n (z) = 0 if y < 0, (2.53b)
with:

γ i,n = (k 2 i -α 2 n ) i ∈ (0, 1). ( 2

.54)

We deduce that:

F d n (z) = I 0,n exp(-iγ 0,n z) + D 0,n exp(+iγ 0,n z) if y > z M , D 1,n exp(-iγ 1,n z) + I 1,n exp(+iγ 1,n z) if y < 0, (2.55)
and therefore, using equation (2.49),

F d (x, z) =        ∑ +∞ n=-∞ I 0,n exp(iα n x -iγ 0,n z)+ +D 0,n exp(iα n x + iγ 0,n z) if z > z M , ∑ +∞ n=-∞ D 1,n exp(iα n x -iγ 1,n z)+ +I 1,n exp(iα n x + iγ 1,n z) if z < 0.
(2.56)

Let us remark that equation (2.54) does not assign to γ i,n a unique value. However, equation (2.56) shows that its determination can be chosen arbitrarily since a sign change does not modify the value of the field, provided that I 0,n and D 0,n are permuted. The determination of these constants will be given by:

Re (γ i,n ) + Im (γ i,n ) > 0, i ∈ (0, 1), (2.57)
with Re (q) and Im (q) denoting the real and imaginary parts of q. Equation (2.56) shows that the field above and below the intermediate region can be represented by plane wave expansions. The propagation constants of the plane waves along the x and z axes are respectively equal to α n and ±γ i,n . In the physical problem, some of these plane waves must be rejected since they do not obey the radiation condition. This condition entails that I 0,n = I 1,n = 0 since, according to equation (2.57), the associated plane waves propagate towards the grating profile. Finally, equations (2.56), (2.27) and the radiation condition allow us to express the total field by adding the incident field:

F(x, z) =    exp(iα 0 x -iγ 0,0 z)+ + ∑ +∞ n=-∞ D 0,n exp(iα n x + iγ 0,n z) if z > z M , ∑ +∞ n=-∞ D 1,n exp(iα n x -iγ 1,n z) if z < 0, (2.58)
the sums being the expression of the scattered field in both regions. The unknown complex coefficients D 0,n and D 1,n are the amplitudes of the reflected and transmitted waves respectively. The conclusion of this subsection is that above and below the intermediate region, the field reflected and transmitted by the grating takes the form of sums of plane waves (Rayleigh expansion [START_REF] Rayleigh | On the dynamical theory of gratings[END_REF]), each of them being characterized by its order n.

Grating formulae

According to equation (2.54), almost all the diffracted plane waves (an infinite number) are evanescent: they propagate along the x axis at the vicinity of the grating profile since they decrease exponentially when |z| → +∞. For z → +∞, they correspond to the orders n such that α 2 n ≥ k 2 0 , thus rendering γ 0,n = i (α 2 nk 2 0 ) a purely imaginary number. Only a finite number of them, called z-propagative orders, propagate towards z = +∞ , with α 2 n ≤ k 2 0 , thus γ 0,n = (k 2 0α 2 n ) being real. Let us notice that among these orders, the 0 th order is always included, since γ 0,n = k 0 cos(θ ). It propagates in the direction specularly reflected by the mean plane of the profile, whatever the wavelength may be. In contrast, the other z-propagative orders are dispersive. Indeed, their propagation constants along the x and z axes are equal to α n and γ 0,n , in such a way that the diffraction angle θ 0,n of one of these waves, measured clockwise from the z axis, can be deduced from α n = k 0 sin(θ 0,n ). Using the expression of α n given by equation (2.50), the angle of diffraction is given by :

sin(θ 0,n ) = sin(θ ) + n 2π k 0 d = sin(θ ) + n λ d . (2.59)
This is the famous grating formula, often deduced from heuristic arguments of physical optics.

For the field below the grooves, the wavenumber k 0 is replaced by k 1 = k 0 ν. If the grating material is a lossless dielectric, the directions of propagation of the transmitted field obey a grating formula as well. This formula is similar to equation (2.59) but the angles of transmission θ 1,n can be deduced from α n = k 0 ν sin(θ 1,n ), which yields, using a counterclockwise convention:

ν sin(θ 0,n ) = sin(θ ) + n 2π k 0 d = sin(θ ) + n λ d . (2.60)
The 0 th order is always included in the z-propagative orders2 . It propagates in the direction of transmission by an air/dielectric plane interface, whatever the wavelength may be. In contrast, the other z-propagative orders are dispersive. When the grating material is metallic, the transmitted plane waves are absorbed by the metal and the z-propagating orders below the grooves no longer exist. In conclusion of this section, the reflected and transmitted fields include, outside the grooves, a finite number of plane waves propagating to infinity with scattering angles given by the grating formulae. All the orders are dispersive, except the 0 th orders. The reflected 0 th order takes the specular direction while for a lossless material, the transmitted 0 th order takes the direction transmitted by an air/dielectric plane interface. Consequently, a polychromatic incident plane wave generates in a given order n different from 0 a sum of plane waves scattered in different directions, i.e. a spectrum. The measurement of the intensity along this spectrum allows one to determine the spectral power of the incident wave. This dispersion phenomenon is the most important property of diffraction gratings. It explains why this optical component has been one of the most valuable tools in the history of Science.

Analytic properties of gratings

Balance relations

The mathematical balance relations established in this subsection will allow us to demonstrate very important general properties of gratings. These balance relations state mathematical links between characteristics of the field in two regions separated by large distances, without considering the fields in between. They can give a relation between the fields at z = +∞ and the fields on the grating profile, or the fields at z = -∞ and the fields on the grating profile, or the fields at z = +∞ and z = -∞.

Lemma 1

We consider two pseudoperiodic functions u and v of the two variables x and z, defined in R 0 , which belong to the class G 0 of functions having the following properties:

• They are pseudo-periodic, with the same coefficient of pseudo-periodicity α, in other words, u(x, z) exp(-iαx) and v(x, z) exp(-iαx) are periodic,

• They are solutions of a Helmholtz equation:

∇ 2 u + k 2 0 u = 0, (2.61a) ∇ 2 v + k 2 0 v = 0, (2.61b)
with k 0 being real.

• They are bounded for z → ∞,

• They are square integrable in x and locally square integrable in z,

• Their values on P are square integrable, as well as their normal derivatives.

We introduce the sesquilinear functional defined by:

F 0 = P u dv dn -v du dn ds.
(2.62)

The symbol P denotes a curvilinear integral on one period of the profile P of the grating, with ds being the differential of the curvilinear abscissa on P. Obviously, the value in region R 0 of the fields F(x, z), solutions of the four boundary-value problems defined in subsection 2.2.4, belong to G 0 , as well as the incident field F i . It is to be noticed that we do not impose a boundary condition on P or a radiation condition at infinity, but we still impose that these functions must remain bounded at infinity. Following the same lines as in section 2.3, it can be shown that above the top of the grooves, u and v can be represented by plane wave expansions, similar to that of equation (2.56

): if z > z M , u(x, z) = +∞ ∑ n=-∞ [I 0,n exp(iα n x -iγ 0,n z) + D 0,n exp(iα n x + iγ 0,n z)],
(2.63a)

v(x, z) = +∞ ∑ n=-∞ [I 0,n exp(iα n x -iγ 0,n z) + D 0,n exp(iα n x + iγ 0,n z)]. (2.63b)
Let us notice that some terms must be eliminated in the Rayleigh expansions. Indeed, the field must remain bounded at infinity. It is not the case for the incident terms of coefficients I 0,n and I 0,n unless the corresponding plane waves are z-propagating waves. Thus we define the set U 0 of orders corresponding to z-propagating waves and equations (2.63) become:

u(x, z) = ∑ n∈U 0 I 0,n exp(iα n x -iγ 0,n z) + +∞ ∑ n=-∞ D 0,n exp(iα n x + iγ 0,n z), (2.64a) v(x, z) = ∑ n∈U 0 I 0,n exp(iα n x -iγ 0,n z) + +∞ ∑ n=-∞ D 0,n exp(iα n x + iγ 0,n z), (2.64b) v(x, z) = ∑ n∈U 0 I 0,n exp(-iα n x + iγ 0,n z)+ + +∞ ∑ n=-∞ D 0,n exp(-iα n x -iγ 0,n z).
(2.64c) Now, we show that F 0 can be expressed as a function of the Rayleigh coefficients I 0,n , D 0,n , I 0,n and D 0,n . With this aim, we multiply equation (2.61a) by v, the conjugate of equation (2.61b) by u and we substract the first from the second, which yields:

u∇ 2 v -v∇ 2 u = 0 in R 0 . (2.65)
Integrating equation (2.65) in the blue area of figure 2.2 and applying the second Green identity yields:

Ω 0 u dv dn -v du dn dl = 0, (2.66)
with Ω 0 being the boundary of the blue area of figure 2.2 and dl denoting the differential of the curvilinear abscissa on Ω 0 . According to equations (2.64a) and (2.64c), u dv dx and v du dx are periodic. Since the orientations of the normal on verticals OΓ 1 and LΓ 2 are opposite, the contributions of the integrals on these segments cancel each other. Furthermore, the normal to OΓ 1 and LΓ 2 is parallel to the z axis and oriented downwords, then equation (2.66) becomes:

P u dv dn -v du dn ds = Γ 1 Γ 2 u dv dz -v du dz dx. (2.67)
Introducing in the right-hand member of equation (2.66) the expressions of u and v given by equations (2.64a) and (2.64c), separating the terms n ∈ U 0 from the other ones and taking into account that d x=0 exp in 2π d x = δ n,0 , with δ n,0 being the Kronecker symbol, one can obtain, after some cumbersome but not difficult calculations that:

P u dv dn -v du dn ds = ∑ n∈U 0 γ 0,n (I 0,n I 0,n -D 0,n D 0,n ).
(2.68)

Lemma 2

In this section, it is supposed that the grating material is lossless, in such a way that plane waves can propagate in R 1 . Lemma 2 is similar as lemma 1, but for region R 1 . We denote by U 1 the set of orders corresponding to z-propagating waves in R 1 . The expressions of u and v below the x axis are given by:

u(x, z) = ∑ n∈U 1 D 1,n exp(iα n x -iγ 1,n z) + +∞ ∑ n=-∞ I 1,n exp(iα n x + iγ 1,n z), (2.69a) v(x, z) = ∑ n∈U 1 D 1,n exp(iα n x -iγ 1,n z) + +∞ ∑ n=-∞ I 1,n exp(iα n x + iγ 1,n z), (2.69b) v(x, z) = ∑ n∈U 1 D 1,n exp(-iα n x + iγ 1,n z)+ + +∞ ∑ n=-∞ I 1,n exp(-iα n x -iγ 1,n z).
(2.69c)

Following the same lines as in section 2.5.1.1 but for the yellow area of figure 2.2 and noting that the normal is now oriented towards the exterior of the domain, it can be deduced that:

P u dv dn -v du dn ds = -∑ n∈U 1 γ 1,n (I 1,n I 1,n -D 1,n D 1,n ).
(2.70)

Compatibility between Rayleigh coefficients

In order to state a relation between the Rayleigh coefficients above and below the grating profile, we assume that the functions u and v satisfy the boundary conditions imposed on the total fields by equations (2.33) and (2.34). On the other hand, we do not impose radiation conditions at infinity, but the functions must remain bounded. In other words, u and v can be considered as solutions of the most general grating problem, in which the incident wave is not restricted to a single plane wave, but to the sum of all the plane waves generating diffracted waves in the same directions, with arbitrary amplitudes. It is straightforward to show from equations (2.33) and (2.34) that the left-hand members of equations (2.68) and (2.70) are proportional, then to deduce a relation including the coefficients of the Rayleigh expansions of the field only:

1 τ 0 ∑ n∈U 0 γ 0,n (I 0,n I 0,n -D 0,n D 0,n )+ 1 τ 1 ∑ n∈U 1 γ 1,n (I 1,n I 1,n -D 1,n D 1,n ) = 0.
(2.71)

This equation states the most general relation of compatibility between two solutions of the general diffraction grating problem associated to different sets of incident waves. When the grating material is perfectly conducting, it is easy to show that the compatibility equation holds, provided that the sum n ∈ U 1 is cancelled in equation (2.71).

Phenomenological theories of gratings make a wide use of the notion of scattering matrix (or S-matrix). The scattering matrix states the linear relation between the amplitudes of the diffracted and incident waves. We define the column matrix containing the amplitudes of the incident waves. More precisely, we define the normalized amplitudes of the incident and scattered waves by Ĩ0,n =

√ γ 0,n I 0,n , D0,n = √ γ 0,n D 0,n , Ĩ1,n = τ 0 τ 1 γ 1,n I 1,n , D1,n = τ 0 τ 1 γ 1,n D 1,n ,
n ∈ (0, 1), and by definition, the scattering matrix is a square matrix defined by:

D = SI, (2.72)
with I being a column vector containing successively all the incident amplitudes Ĩ0,n for n ∈ U 0 and all incident amplitudes Ĩ1,n for n ∈ U 1 , D being a column vector containing successively all the diffracted amplitudes D0,n , and all the incident amplitudes D1,n for n ∈ U 1 . Thus, the order of column matrices I and D is the sum|U 0 | + |U 1 | of the cardinals of U 0 and U 1 Using these notations, equation (2.71) can be expressed in the very simple form:

< D|D >=< I|I >, (2.73)
the scalar product of two column matrices of order N being defined by:

< P|Q >= N ∑ j=1 P j Q j . (2.74)
Using equation (2.72) to eliminate D in equation (2.77) yields:

< SI|SI >=< (S * S)I|I >=< I|I >, (2.75)
with S * being the adjoint matrix of S. Since equation (2.75) must be satisfied for any value of I and I , we deduce that:

S * S = 1, (2.76)
with 1 being the identity matrix. Equation (2.76) shows that S is unitary.

Energy balance

The energy balance relation is obtain by taking u = v in equation (2.77), which gives:

< D|D >=< I|I >, (2.77)
or equivalently:

D = I . (2.78)
Let us show why this equation is known as energy balance relation. To this end, it suffices to use the Poynting theorem and to calculate the flux of the Poynting vector

- → E × - → H through the rectangle Γ 1 Γ 2 Γ 4 Γ 3 of figure 2.2.
Since the grating material is lossless, the flux of the Poynting vector through this rectangle (with now the normal oriented toward the exterior, in contrast with figure 2.2) must be null. The contributions of the vertical sides Γ 1 Γ 3 and Γ 2 Γ 4 cancel each other, thanks to the periodicity of the Poynting vector ( -→ H has a coefficient of pseudoperiodicity which is the opposite to that of -→ E ). At the top of the rectangle, the calculation of the flux of the Poynting vector can be achieved by using the Rayleigh expansion given by equations (2.64). Taking into account that d x=0 exp in 2π d x = δ n , elementary calculations show that the contributions to this flux of the different plane waves are decoupled and are proportional to -γ 0,n |I 0,n | 2 and +γ 0,n |D 0,n | 2 . At the bottom of the rectangle, we use the Rayleigh expansion given by equations (2.69). The contributions of the plane waves are decoupled as well and are proportional to -

τ 0 τ 1 γ 1,n |I 1,n | 2 and + τ 0 τ 1 γ 1,n |D 1,n | 2 ,
with the same coefficient of proportionality as the contributions on the top of the rectangle. Therefore, the energy balance can be written:

∑ n∈U 0 γ 0,n |D 0,n | 2 + ∑ n∈U 1 τ 0 τ 1 γ 1,n |D 1,n | 2 = = ∑ n∈U 0 γ 0,n |I 0,n | 2 + ∑ n∈U 1 τ 0 τ 1 γ 1,n |I 1,n | 2 .
(2.79)

The first and second terms in the left-hand member of equation (2.79) represent the energy diffracted upwards and downwords respectively and the corresponding terms in the right-hand member are the incident energy propagating downwords and upwards respectively. Coming back to the physical problem where the incident wave is unique and has a unit amplitude (see equation (2.26)), equation (2.79) becomes:

∑ n∈U 0 γ 0,n |D 0,n | 2 + ∑ n∈U 1 τ 0 τ 1 γ 1,n |D 1,n | 2 = γ 0,0 , (2.80)
the right-hand member representing the incident energy. In that case, the efficiency ρ i,n , i ∈ (0, 1) is defined as the ratio of the energy diffracted in a given order over the incident energy. Using equation (2.79) yields:

ρ i,n =      γ 0,n γ 0,0 |D 0,n | 2 if i = 0, τ 0 τ 1 γ 1,n γ 0,0 |D 1,n | 2 if i = 1, (2.81)
and the energy balance can be written:

∑ n∈U 0 ρ 0,n + ∑ n∈U 1 ρ 1,n = 1. (2.82)
The sum of efficiencies is equal to unity. When the grating is perfectly conducting, it is easy to show that the energy balance still holds, provided that the sum n ∈ U 1 is cancelled in equations (2.79), (2.80) and (2.82). When the grating material is lossy, the sum n ∈ U 1 must be cancelled as well and one can show that equation (2.82) becomes:

∑ n∈U 0 ρ 0,n < 1. (2.83)
The sum of reflected efficiencies is smaller than one, a rather intuitive result if we bear in mind that a part of the incident energy is dissipated in the grating material.

Reciprocity

In order to demonstrate the well known reciprocity relation, we consider a function u, sum of the solution of the normalized grating problem (see equations( 2.28), (2.29), (2.30) and (2.31)) and of the corresponding incident field (in other words, u is the total field). In order to define v, we consider the p th order of diffraction (p ∈ U 0 ) in R 0 , with diffraction angle θ 0,p . Then, we consider a second problem, but with angle of incidence θ = -θ 0,p , as shown3 in figure 2.3. The incident wave in this second case has a direction of propagation which is just the opposite of that of the p th diffracted order in the first case and straightforward calculations show that the corresponding p th order in R 0 has a direction of propagation which is the opposite of that of the incident wave in the first case, which entails θ 0,p = -θ . This geometrical property is known in optics as the reversion theorem. The constants of propagation of the p th diffracted order in this second case are given by α p = -α 0 and γ 0,p = γ 0,0 and more generally, the constants of propagation of an arbitrary n th diffracted order in this second case are given by α n = -α p-n and γ 0, n = γ 0,p-n . Thus v can be written:

v (x, z) = exp(-iα p x -iγ 0,p z) + +∞ ∑ n=-∞ D 0,n exp(-iα p-n x + iγ 0,p-n z).
(2.84) Functions u and v do not satisfy the conditions of the equation of compatibility (equation (2.71)) since they have not the same pseudo-periodicity. It is not so for u and the function v = v which is given by: v(x, z) = exp(iα p x + iγ 0,p z)

+ +∞ ∑ n=-∞ D 0,n exp(iα p-n x -iγ 0,p-n z).
(2.85) Identifying the incident and diffracted waves in equation (2.85) yields:

I 0,n = D 0,p-n , (2.86a)
D 0,n = δ n-p , (2.86b)
and from equation (2.71), it turns out that: γ 0,p D 0,p = γ 0,p D 0,p .

(2.87) This is the reciprocity theorem: the products of the amplitudes of the plane waves represented in figure 2.3 by their propagation constants along the z axis is invariant. In order to state the reciprocity theorem in a form which is most widespread, we take the modulus square of both members of equation (2.87):

γ 0,p 2 |D 0,p | 2 = γ 0,p 2 |D 0,p | 2 .
(2.88)

Writing equation (2.88) in the form:

γ 0,p γ 0,p |D 0,p | 2 = γ 0,p γ 0,p |D 0,p | 2 , (2.89)
and bearing in mind that γ 0,p = γ 0,0 and γ 0,p = γ 0,0 , and using the definition of the efficiencies given in equation (2.81), equation (2.89) yields:

ρ 0,p = ρ 0,p . ( 2

.90)

The efficiency is invariant. Figure 2.4 illustrates two other cases where the reciprocity theorem applies. These properties can be demonstrated by following the same lines as in the first part of this section. It is important to notice that the reciprocity theorem illustrated in figure 2.3 holds for lossy materials [START_REF] Maystre | Le théorème de réciprocité pour les réseaux de conductivité finie: démonstration et applications[END_REF]. More surprisingly, the theorem can be generalized to evanescent waves [START_REF] Carminati | Reciprocity of evanescent electromagnetic waves[END_REF].

Uniqueness of the solution of the grating problem

If two different solutions of the normalized grating problem exist, their difference w(x, z) does not include any incident wave. We will show that such a field vanish. We assume here that the grating material is lossless. First, using the compatibility equation (2.71) with u = v = w, it emerges that: 1

τ 0 ∑ n∈U 0 γ 0,n |D 0,n | 2 + 1 τ 1 ∑ n∈U 1 γ 1,n |D 1,n | 2 = 0. (2.91)
Since τ 0 , τ 1 , γ 0,n and γ 1,n are positive, equation (2.91) implies that D 0,n = D 1,n = 0. This is an important result since it means that if w exists, it has no effect on the far field: the solution in the far field is unique. However, it could exist a function w localized at the vicinity of the grating profile and tending to zero exponentially at infinity. The interested reader can find a complete and not straightforward demonstration of the uniqueness in [START_REF] Petit | Electromagnetic theory of gratings[END_REF], at least for the TE case. Now, we consider the diffraction problem schematized in figure 2.5. An incident wave of wavevector -→ k 0 is incident on a doubly-periodic structure separating air (region R 0 ) from a grating material (region R 1 ). We use all the notations defined in the preceding sections to characterize the materials. The incident field is schematized in figure 2.6. The direction of incidence is specified by the polar angles Φ and Ψ (see figure 2.6). In order to define the polarization of the incident field, we construct the circle MNM'N' in the plane perpendicular to -→ k 0 , with the continuation of NN' intersecting the z axis and MM' being perpendicular to NN'. The polarization angle δ is the angle between M'M and the direction of the incident electric field -→ P . With these notations, the incident electric field is given by: - --→ NN NN . As in the case of classical gratings, it is possible to show that above the top of the grating (z > z M ), the field can be expanded in the form of a sum of plane waves:

Analytic properties of crossed gratings

→ E i = - → P exp iαx + iβ y -iγz , ( 2
- → E (x, z) =          ∑ +∞ n=-∞ ∑ +∞ m=-∞ --→ I 0,n,m exp(iα n x + iβ m y -iγ 0,n,m z)+ + ---→ D 0,n,m exp(iα n x + iβ m y + iγ 0,n,m z) , if z > z M , ∑ +∞ n=-∞ ∑ +∞ m=-∞ ---→ D 1,n,m exp(iα n x + iβ m y -iγ 1,n,m z)+ + --→ I 1,n,m exp(iα n x + iβ m y + iγ 1,n,m z) if z < 0.
(2.93)

The wavevectors of all these plane waves must be orthogonal to their vector amplitudes. As for the incident wave, we can define the transverse and longitudinal components of the vector amplitudes of the plane waves, the transverse component (for example D t 0,n,m ) being orthogonal to the z axis in the plane perpendicular to the wavevector (α n , β m , γ 0,n,m ) and the longitudinal (for example D l 0,n,m ) its component in the orthogonal direction of the same plane. Using the Poynting theorem, it can be shown, as in section 2.5.3, that the efficiencies in the z-propagating orders are given by:

ρ i,n,m =      γ 0,n,m γ 0,0 | - → D 0,n,m | 2 if i = 0, γ 1,n,m γ 0,0 ( 1
ν 2 |D l 1,n,m | 2 + |D t 1,n,m | 2 ) if i = 1.
(2.94)

Of course, the line associated to i = 1 in equation (2.94) must be cancelled if the grating material is lossy. We define, as for classical gratings, the sets U 0 and U 1 of z-propagating orders in R 0 and R 1 respectively and, when the grating material is lossless, the energy balance can be written: ∑ (n,m)∈U 0 ρ 0,n,m + ∑ (n,m)∈U 1 ρ 1,n,m = 1.

(2.95)

We will not demonstrate the reciprocity theorem, the interested reader can find the proof in [START_REF] Petit | Electromagnetic theory of gratings[END_REF]. This theorem, in the case of an order (p, q) propagating in R 0 can be expressed in the following form: γ -→ P .

-→ D 0,p,q = γ -→ P .

-→ D 0,p,q .

(2.96)

In the first case, the incident electric field with vector amplitude -→ P and propagation constant along the z axis -γ generates in R 0 in the (p, q) order, with (p, q) ∈ U 0 , a plane wave of vector amplitude -→ D 0,p,q and propagation constant along the z axis γ 0,p,q . In the second case, we consider an incident wave which propagates in the direction which is just the opposite to that of the (p, q) order in the first case. Thus its constant of propagation along the z axis is -γ = -γ 0,p,q . The vector amplitude of this incident wave is equal to -→ P . It can be shown that in this second case, the (p, q) order takes the direction which is the opposite of that of the incident wave in the first case and its vector amplitude is equal to -→ D 0,p,q . Thus, equation (2.96) can be expressed in the following form: the scalar product of the vector amplitudes of the incident and diffracted waves propagating in the opposite directions, multiplied by the propagation constant of the incident wave along the z axis, is constant. It can be shown that this relation entails the reciprocity in natural light for the efficiencies: < ρ 0,p,q >=< ρ 0,p,q >, (2.97) with < ρ 0,p,q > being the average between the efficiencies in both cases of polarization (δ = 0 and δ = π 2 ).

Conclusion

We have established the mathematical bases of grating theories: the boundary-value problems. Most of the formalisms used for solving the grating problems numerically start from these boundary-value problems, for example the integral theory [START_REF] Petit | Electromagnetic theory of gratings[END_REF][START_REF] Maystre | Rigorous vector theories of diffraction gratings[END_REF].Other theories use some conditions of these problems but deal directly with Maxwell equations, for example the RCWA method [START_REF] Moharam | Rigorous coupled-wave analysis of metallic surfacerelief gratings[END_REF]. Without any doubt, the boundary-value problems are necessary to demonstrate the analytic properties of gratings. Very often, these properties are ignored or neglected. However, properties like energy balance or reciprocity are needed for a full understanding of the puzzling properties of this crucial component of optics and nanophotonics. These analytic properties are also widely used to check new grating softwares. However, they are not more than casting out nines. They can show that a software fails if they are nor satisfied on its numerical results. It must be emphasized that they can never prove its validity if they are satisfied. Some important analytic properties of gratings have not been mentioned in this chapter. It is the case for example for the Marechal and Stroke theorem, the only grating property which allows one to know the field diffracted by a grating without any calculation. This theorem, which is restricted to perfecly conducting echelette gratings used for TM polarization in very special conditions will be given in the chapter devoted to the applications of grating properties.

Figure 2 .

 2 Figure 2.1: Notations.

Figure 2 . 2 :

 22 Figure 2.2: Balance relations.

Figure 2 . 3 :

 23 Figure 2.3: The reciprocity theorem: The efficiency in the p th order is the same in the two cases symbolized by red and blue arrows.

Figure 2 . 4 :

 24 Figure 2.4: Other reciprocity relations: The efficiency is the same in the two cases symbolized by red and blue arrows.

Figure 2 . 5 :

 25 Figure 2.5: A crossed grating with periods d x and d z on the x and z axes.

Figure 2 . 6 :

 26 Figure 2.6: Notations for the incident field.

  with (x, z) ∈ P.

			(2.23)
	It can be noticed that equation (2.23) has a simple interpretation: the product continuous across the profile. Finally, the radiation condition yields:	1 ε	dH y dn	is
	H d

y must satisfy a radiation condition for z → ±∞. (2.24) Equations (2.19), (2.22), (

  satisfy a radiation condition for y → ±∞,

	(2.28)
	(2.29)
	(2.30)
	(2.31)
	with:

The continuity of the tangential component of the magnetic field is valid for materials having bounded values of permittivity. When the permittivity of the grating material is infinite, as in the model of perfectly conducting material, this condition does not hold.

This property does not hold if the upper medium is not air but has an index ν greater than the index ν of the lower medium, provided that the incidence is chosen in such a way that the incident wave is totally reflected by a plane interface (Total Internal Reflection). In that case, sin(θ ) is replaced by ν sin(θ ) in equation (2.60), in such a way that the zeroth order is evanescent if ν sin(θ ) > ν.

It must be remembered that the conventions for the measurements of the angles of incidence and diffraction in R 0 are opposite


1.

Introduction : des chronologies mentales en linguistique du signifiant On sait que les linguistiques du signifiant (Delport 2008) envisagent le signe grammatical comme le symptôme d'un processus mental qu'il est possible de schématiser au moyens de topologies cinématiques, comme le tenseur binaire radical de la psychomécanique du langage. Ce rapport du signe en tant que trace observable au signifié en tant que processus cognitif a fait l'objet de plusieurs conceptions.

Pour Guillaume 1919, dans le système de l'article un/le en français, chaque signe est le marqueur d'un processus : l'article indéfini un signe la « particularisation » (mouvement conceptuel de réduction de l'extensité du support nominal extériorisé par déflexité et vecteur d'actualisation par la transition du nom puissanciel de langue en syntagme nominal effectif de discours) ; l'article défini le signe la « généralisation »1 , le mouvement conceptuel inverse. Chaque marqueur correspond à un cinétisme propre, quantifiable et aspectualisable par des saisies précoce, éventuellement médiane ou intermédiaires, et terminale, ce qui permet en discours de livrer des valeurs contextualisées apparemment contradictoires pour chacun, spécifique et générique. En outre, les deux opérateurs sont eux-mêmes hiérarchisés séquentiellement : l'indéfini, « visée au singulier », correspond à un premier cheminement mental orienté de la généralité du savoir mémoriel préalable vers la singularité de l'occurrence ciblée et produit des effets d'extraction d'un fond de tableau mémorisé et de mise en contraste ; le défini, dans le cadre d'un second cheminement mental corrélatif au premier, reprend la variation du support une fois franchi le seuil du singulier et amorce un traitement secondaire par réintégration au fond général. Ainsi, le modèle guillaumien du processus de détermination du nom nécessite que l'on distingue en psychomécanique deux chronologies cognitives aspectualisables séparément : l'une interne, concernant chaque opérateur considéré dans sa spécificité comme une tension munie de seuils de saisies interceptives (U1 et S1 pour un) ; l'autre externe, concernant l'enchaînement des opérateurs dans un processus global, chaque marqueur correspondant à une étape de la chaîne opératoires dont il est un maillon, une étape, un pas (un et le dans le système de la détermination). La même méthode d'analyse par la double chronologie interne et externe a été appliquée à d'autres psychosystèmes, en particulier la préposition (Moignet 1960(Moignet , 1974) ) et certains temps verbaux comme l'imparfait de l'indicatif, qui disposent à la fois d'une position chronologique dans le système intégrant et d'une chronologie interne (Moignet 1981, 79) : étant eux-même saisies du processus intégrant, ils présentent des saisies diverses au sein du le processus intégré.

Par rapport à cet héritage, la linguistique du signifiant considère que l'on peut s'appuyer sur les conditions d'expérienciation articulatoire du signifiant, dans sa double dimension motrice et perceptuelle, pour modéliser le processus cognitif-sémantique vectorisé par la forme, son invariant, son signifié de puissance. Chez Guillaume, cette considération était occasionnellement présente : le profil aspectuel commun à l'infinitif, au futur de l'indicatif (futur catégorique) et au condictionnel (futur hypothétique) est reflété par la présence de l'élément formateur submorphologique -r-; la perfectivité commune au passé simple et au futur est reflétée par l'élément formateur -a (en synchronie et pour les verbes du premier groupe, mais avec des origines diachronies disjointeshabere au présent pour le futur), de même que l'imperfectivité de l'imparfait et du conditionnel est reflétée par le submorphème d'imparfait qu'ils partagent. Dans la plupart des cas, Guillaume ne cherchait pas à motiver ses modèles par l'observation d'éventuels formants : il n'a pas, par exemple, envisagé que -l-soit, en synchronie, analysable comme un élément formateur commun aux pronoms personnels toniques et atones (lui, il, elle), aux articles définis (le, la, les), aux possessifs (leur, leurs), à l'interrogatifs quel, à l'anaphorique tel. Divers travaux de l'école guillaumienne ont poussé dans cette direction (à partir de Molho 1988 avec « l'hypothèse du formant »), et certaines approches relient directement l'invariant formantique postulé avec le positionnement articulatoire du phonème correspondant dans la cavité buccale (Toussaint 1983), sa position relative au sein d'un parcours de phonèmes dans un paradigmes de formes grammaticales (Rocchetti 1991) ou sa valeur oppositive relativement à d'autres phonèmes convoqués par les oppositions de marqueurs (Nobile 2008).

Par rapport à cette mouvance générale ancienne et récente, l'auteur de ces lignes a réalisé deux propositions théoriques : la théorie des cognèmes (TC, Bottineau 2000[START_REF] Bottineau D | Les cognèmes de l'anglais : principes théoriques[END_REF][START_REF] Bottineau D | Les cognèmes de l'anglais et autres langues[END_REF][START_REF] Bottineau D | Le problème de la négation et sa solution dans la langue anglaise : le cognème N[END_REF][START_REF] Bottineau D | Le cognème <M>, marque linguistique de la présence de l'auteur dans les grammèmes anglais[END_REF][START_REF] Bottineau D | The Cognemes of the Spanish Language: towards a Cognitive Modelization of the Submorphemic Units in the Grammatical Words of the Spanish Language[END_REF]Bottineau , 2008, 2010abc) , 2010abc) et la théorie des actes corporimentaux langagiers (TACML, Bottineau 2010def, 2011). La première concerne exclusivement la morphosémantique grammaticale. A partir de l'observation systématique de la structure des unités grammaticales de signification (pronoms, déterminants, auxiliaires, prépositions, conjonctions, flexions verbales, marques casuelles, affixes) et la mise en évidence de tous les recoupements analogiques qui s'offrent à l'observation, la TC considère que dans certaines langues, tout marqueur grammatical est composé d'une grappe de submorphèmes consonantiques et vocaliques, organisés en syllable conformément aux contraintes morphophonologiques de la langue en question : chaque submorphème active un processus défini glosable en termes d'instruction, par exemple en anglais « rechercher une occurrence non mémorisée de X » pour le submorphème wh-de where « où », when « quand », which « quel », what « que », who « qui », why « pourquoi ». L'effet instructionnel du submorphème n'est pas inhérent au phonème, il ne s'active que dans le cadre systémique d'oppositions et d'analogies : wh-ne produit son effet que par contraste avec un autre, th-, dont l'instruction se glose « rechercher une occurrence mémorisée de X », comme dans there « là », then « là », the « le », this et that « ce », thus « ainsi », though « malgré ». Faute d'être activé par une opposition systémique et/ou une corrélation analogique, un phonème ou graphème n'est pas activé et ne constitue pas un élément formateur pertinent, comme le th-de thumb « pouce » ou le wh-de whim « caprice ». Le lexique possède pour sa part une gamme diversifiée de matrices consonantiques à valeur de classificateur phénoménologique par classe d'expérience sensorimotrices, dont certaines mobilisent les mêmes submorphèmes que les marqueurs grammaticaux, comme st, classificateur de l'immobilisation pour le lexique (stand « être debout », still « immobile », stop « arrêter ») et opérateur de l'interruption dans le domaine grammatical (superlatif first « premier », last « dernier », best « meilleur », worst « pire » / « pis », most « plus », Adj. monosyllabique + -st « (le) plus (Adj.) »). Dans le domaine grammatical, chaque opérateur se présente donc comme une grappe (cluster) 2 , une agglutination figée de submorphèmes dont l'ensemble correspond, en termes instructionnels, à la notice de montage métalinguistique du signifié de puissance composite et abstrait qu'il s'agit de faire mettre en oeuvre par l'usager de la forme. Par exemple, en anglais, le démonstratif this coordonne (i) un acte de remémoration d'une occurrence th-, (ii) un acte d'assimilation -i-, (iii) un acte d'actualisation présente -s : this book associe (-i-) la récupération d'une entité repérée (th-) à un acte présent (-s) de catégorisation notionnelle effectivement nommée par le substantif ; alors que that book dissocie (-a-) un acte de remémoration présente (th-) d'un acte de catégorisation présenté comme révolu (-t) : that book = cette occurrence dont la classe « livre » est présupposée (par le savoir commun acquis en situation et/ou en discours) et peut éventuellement faire l'objet d'une requalification ou réévaluation (par modalisation appréciative, de contenu variable selon les contextes, souvent soulignée par la prosodie et la cogestualité). Selon cette analyse, chaque alternance submorphémique dénote des parcours schématiques déterminés, comme l'opposition amémoriel / mémoriel (wh-/th-), l'opposition association / dissociation (-i-/-a-) et l'opposition actualisation / révolution (-s/-t), si bien que chaque opérateur se présente comme une coordination de processus mentaux envisageables comme chronologies aspectualisables au sein de séquences intégrantes. Dans la présente étude, nous appliquons cette méthode d'analyse à la morphologie grammaticale de l'espagnol et dégageons les principaux systèmes concernés.

La seconde proposition théorique mentionnée, la théorie des actes corporientaux langagiers (TACML), est une théorie générale de la parole dont la théorie des cognèmes (TC) est la composante submorphologique. La TACML repart du constat phénoménologique (Lavelle 1942, Merleau-Ponty 1954) selon lequel tout acte verbal se réalise par une production motrice vocale qui connaît deux modes d'existence : elle peut être soit somatisée dans le cadre de l'adresse communicationnelle (l'exophasie), soit simulée et confinée à l'expérience neurophysiologique dans le cas de la parole intérieure réflexive et bouclée (l'endophasie). Ce constat rend inévitable l'hypothèse selon laquelle la parole est un engagement corporel qui participe de la conduite d'actes procéduraux de conceptualisation complexes constitutifs de la conscience immédiatement vécue par autrui (exophasie centrifuge) comme pour soi-même (endophasie centripète) : parler, c'est (se) faire penser. L'idée n'est pas que la parole soit la seule manifestation de la pensée intelligente (tout acte de catégorisation, d'attribution de propriétés théoriques et pragmatiques à un objet reconnu, d'évaluation émotionnelle, de planification intentionnelle, sont des actes « intelligents » qui ne mobilisent pas la parole même s'ils convoquent des savoirs pour une large part acquis via les interactions verbales), mais que la parole et le mot sont le moteur (au sens étymologique de movere) spécifique d'un forme particulière de l'idéation, à savoir la génération enactive (littéralement, en acte) d'actes de conscience complexes, mobilisant des classes sémantiques sociales (les notions, héritées d'un patrimoine collectif d'interactions verbales dialogiques) et les articulants selon des gabarits de repérages et de combinaisons eux-mêmes sociaux (issus d'un patrimoine intellectif immense, dont la logique) : la parole, le logos pensateur (plutôt que la pensée verbale) ou cogitateur, le générateur corporel d'actes conceptuels, traite conjointement deux fonctions par le même opérateur, la coordination des consciences autour d'actes mentaux fédérateurs médiés par des comportements somatiques percevables et partageables, et l'élévation de des actes d'intelligence de chaque participant au niveau de puissance enregistré par les formes symboliques et combinatoires porteuses de l'expérience intellectuelle de la communauté en tout moment historique de son développement -ce qui fait du langage un système simplexe [START_REF] Berthoz | La simplexité[END_REF].

L'exploration de cette hypothèse suppose la reconstruction d'un programme général : chaque langue est un système de ressources spécifiques comprenant (i) le lexique, le mot comme un synthèse dialogique, citation d'un fragment de discours de soi ou d'autrui, convoquant une notion collective et culturelle distincte des catégories construite dans l'expérience empirique non verbale) ;

(ii) la syntaxe comme protocole routinier d'enchaînement opératoire ;

(iii) la prosodie comme modulation symptomatique de l'autocontrôle énonciatif réflexif (avec son parasitage émotionnel) et du guidage allocutif des effets sémantiques, émotionnels et pragmatiques ;

(iv) la morphologie grammaticale, les opérateurs comme grappes complexes de processus cognitifs coordonnés et vectorisés par des submorphèmes exécutables dans l'expérience sensorimotrice avérée (exophasie) ou simulée (endophasie).

Prises ensembles, ces quatre composantes constituent le type cognitif de cogitation permise par le recours à une langue donnée, très différent selon que l'on considère le castillan, le breton ou le basque. Le recadrage de la TC au sein de la TACML ajoute les trois éléments suivants :

(a) la parole en général étant la conduite corporelle d'actes mentaux de conceptualisation, l'hypothèse d'une corrélation forte entre l'expérience sensorimotrice des actes de signification et le profil des actes de conceptualisation est légitime, si ce n'est inévitable ;

(b) les signifiés de puissance que la TC propose pour les opérateurs grammaticaux doivent être compris aussi bien comme des processus interprétatifs destinés à autrui (exophasie adressée) que comme des processus réflexifs que le locuteur active pour son propre compte par la parole bouclée (endophasie) ;

(c) l'invariant d'un opérateur grammatical ne se comprend pleinement que dans l'économie générale de la tirade ou séquence phrastique et dans le contexte typologique des types d'unités lexicales (classes de mots, isolations, compositions, agglutinations) et des enchaînements syntaxiques avec leur effet spécifique (qui n'est pas nécessairement une « chaîne informationnelle »).

Dans la présente étude, on applique donc la TC ainsi contextualisée par la TACML. On présente le système général de l'aspectualisation des processus mentaux (2 ème section), plusieurs des microsystèmes concernés (3 ème section), et on en tire les conséquences relativement à la psychomécanique et en théorie générale.

Submorphémie générale et aspectualité

Le système des langues romanes est complexe à présenter : comme l'a montré Rocchetti pour l'italien, il ne fonctionne pas par simple appariements contrastifs, mais implique des chaînes de phonèmes associés à des paradigmes spécifiques comme ceux des pronoms personnels, des flexions personnelles du verbe, des marqueurs aspectuels (infinitif et participes, ou encore du pluriel nominal (en italien du moins). On va donc distinguer des séries spécifiques telles que :

-domaine verbal, série consonatique des rangs personnels en latin : 1 ère personne -m (habebam), 2 e personne -s (habebas), 3 e personne -t (habebat)

-domaine verbal, série vocalique des rangs personnel en italien : -o (amo), -i (amai), -Ø (ama_)

-domaine verbal, séries mixtes vocalo-consonantiques à divers niveaux en diachronie : latin -o, -s, -t (amo, amas, amat) ; espagnol -o, -s, -Ø (canto, cantas, canta).

Le principe général est que l'on observe la concurrence entre deux marquages d'un même schème de hiérarchisation des personnes par degrés d'éloignement du locuteur selon trois niveaux proximal, médial et distal, l'un ancien et consonantique (-m, -s, -t), l'autre récent et vocalique (-o, -i, -Ø). L'italien n'a réalisé la transition de l'un à l'autre que pour certain temps verbaux, alors que l'espagnol présente une hybridation des deux schèmes que l'on observait déjà en latin. Faut-il considérer le paradigme des rangs de personnes (construit par le linguiste observateur et analyste) comme un parcours cognitif inconscient de type automatisme janétien (Janet 1885) ou psychomécanisme guillaumien ? L'analogie de traitement du pluriel par les marques de 3 e personne et de l'aspect par le mode quasi-nominal du verbe latin invitent à une réponse positive :

-domaine verbal, marques de 3 e personne : -nt (pluriel amant), -t (singulier amat) todo combine la marque de savoir mémorisé à celle de perfectivité non niée par -n-, signalant que la quantité cumulée est le maximum auquel il était possible d'accéder pour l'objet considéré dans le contexte de l'énoncé : une totalité.

-
Dans ce microsystème exemplaire, en observant la composition submorphémique des opérateurs, on recompose le faisceau instructionnel correspondant au processus mental de quantification, avec deux dimensions essentielles : du côté de l'opération de quantification, est discutée la question de la complétude par la présence ou non de N, ce qui fait de cuanto et tanto des pseudo-gérondifs, et de todo un pseudo-participe passé dont les formes discutent l'aspectualité non pas d'un processus référenciel, mais du processus même de la pensée par laquelle la « représentation » s'élabore dans un acte de présentation à l'esprit (de l'autre, par la communication adressée ; ou de soi-même, par l'endophasie réflexive). Du côté résultat de quantification, est discutée la stabilisation du résultat obtenu, dans le cadre du partage interlocutif : cuanto est une quantification subjective non stabilisée, non arrêtée par validation interlocutive, et à suspendre ou faire arrêter par l'allocutaire ; tanto et todo, des quantifications consensuellement ratifiées. Ainsi, l'analyse cognématique révèle à la fois la manière dont les formes grammaticales apprises par les modèles pratiqués par autrui fournit des modèles sociaux de conceptualisation collective pratiquables pour soi-même comme pour autrui, et que l'organisation même des microsystèmes concernés recèle une distribution intersubjective de l'élaboration de la connaissance : un savoir en construction n'est considéré comme acquis et stabilisé que dans le cadre d'une covalidation interlocutive (ce qui rejoint en partie la problématique de la théorie de la relation interlocutive de Douay et Roulland). Ce microsystème sédimente dans sa submorphologie un scenario routinier de l'interaction dialogale : un constructivisme submorphologique qui formalise des schémas de théorie de l'esprit exécutables de manière intuitive suite à un apprentissage par la pratique.

Prépositions, submorphologie et aspectualité

La classe des prépositions présente un exemple remarquable où la cohérence submorphémique de la cognématique met en oeuvre le système aspectuel dans un domaine autre que celui du verbe en tant que marqueur du temps d'évènement, et pour lequel le système d'interprétation mobilise largement la notion de chronologie de l'esprit, séquencialité opérationnelle des processus de construction du sens. Dans le cas de l'anglais, j'ai signalé dans des études antérieures l'isomorphisme des systèmes de la préposition et de l'aspect verbal : La grammaire simplifiée pose les équivalences bien connues: a, directif, complète un verbe de mouvement (ir a Madrid); en, locatif, suit un verbe de localisation (estar en Madrid); de, ablatif, escorte un verbe de provenance (venir de Madrid). Sans être globalement erronée, cette présentation est simpliste en ce qu'elle réduit la sémantique des prépositions à la classe des situations spatiales à laquelle chacune est censé référer terme à terme selon une perspective encodagiste, et en ce qu'elle ignore l'importance du traitement processuel de l'acte de conceptualisation, qui dans certains cas prend le pas sur la motivation du choix de la préposition par la schématisation de la référence. Selon Bénaben 2002, en « prend en quelque sorte le relais de la préposition précédente » a et exprime l'entrée ou la localisation dans un lieu, articulant comme le gérondif la transition d'un avant opératif à un après résultatif et, pour l'entité localisée, la perspective d'un changement d'état ou d'une spécificité des propriétés momentanément attribuées en fonction de la localisation. En conséquence, dans les localisations, en n'est utilisé que si l'état ou les propriétés du localisé sont affectés par l'acte de localisation : Estoy en el pie de un volcán (blog) suggère l'émotion ressentie dans cette situation et fait du volcan une source d'influence et un générateur d'affect pour le sujet, alors que Estoy al pie del castaño est purement locatif. Estar al pie del muro (*en) : un mur ne possédant pas de pied à proprement parler (à la différence d'un volcan, métaphoriquement bien sûr), la focalisation de l'affect associé à l'objet inexistant n'est pas de mise. Plus classiquement, Gijón está en el norte de España parce que l'Espagne « inclut » Burgos -la localisation inclusive fait de l'hispanité une propriété de Burgos et nous renseigne sur un attribut essentiel de cette ville ; alors que Burgos está al norte de Madrid ne fait pas de Burgos une ville madrilène, si l'on peut dire. Certaines expressions comme al pie de la letra sont figées avec la préposition a parce que l'on ne voit pas quel type de propriété cette localisation métaphorique pourrait attribuer au sujet en elle-même. La préposition fonctionne comme un système simplexe, traitant conjointement plusieurs problèmes : le repérage des entités autour de relations et la manière dont les relations activées modifient bilatéralement les propriétés des entités concernées par le rapport, selon une logique caractéristiquement phénoménologique (sujet et objet de conscience se constituant par la relation interactive).

prospection
De ce fait, l'idée même que a et de « expriment un mouvement » est en soi erronée si l'on parle exclusivement de mouvement référenciel « dans l'extralinguistique » et exclut l'effet performatif de l'emploi prépositionnel dans l'acte énonciatif d'élaboration du sens avec sa chronologie propre. La préposition a porte l'attention prospectivement vers une cible recherchée dans un espace conceptuel projeté, ce qui la rend compatible avec un verbe de mouvement lui-même orienté vers une cible (comme ir) et crée entre les deux une relation de complémentarité opératoire dans l'élaboration du sens, mais pas de redondance sémantique à proprement parler du côté de l'effet de sens qui en résulte, la scène représentée. De même, de oriente l'attention vers un rapport préétabli, qui fait l'objet d'une reconnaissance rétrospective pseudo-mémorielle, et complète harmonieusement un verbe de provenance comme venir ou llegar (si c'est l'origine du mouvement qui retient l'intérêt Concernant durante, on rencontre occasionnellement la construction durante de, en principe considérée comme une erreur :

[Titre] La desaparición forzada de niños y niñas en El Salvador durante el conflicto armado [Début de l'article] La desaparición forzada de personas antes y durante de la guerra en El Salvador, constituyó una práctica sistemática de violaciones a derechos humanos, ejecutada y tolerada por el Estado (militares, paramilitares y otros funcionarios). Dans cet exemple, extrait d'un texte journalistique au dessus de tout soupçon, durante de est obtenu au minimum par réitération analogique de la construction antes de, ce qui est en soi déjà intéressant et illustre la notion de construction au sens de Goldberg 1995 et 2006, mais peut-être faut-il également y voir un effet de prise de recul par rapport au titre qui introduisait le même repérage en première instance, avec un effet heuristique. Toujours est-il que l'erreur ou le lapsus, si c'en est un, ne tombe pas mal.

Pour leur part, desde et hasta, en dépit d'origines hétérogènes en diachronie (latin de-ex-de, arabe hatta), présentent des matrices de cognèmes presque parfaitement symétriques :

desde = forme géminée / redupliquée / « bégayante » de de = de-s-de hasta = forme géminée / redupliquée / « bégayante » de a = a-s-t-a L'élément différenciateur T n'en est pas un puisqu'il est déjà compris dans D-. On doit donc se demander quel est l'intérêt cognitif de disposer d'un marqueur qui contraint son utilisateur de conceptualiser deux fois le même trajet. La valeur instructionnelle de ces opérateurs complexes se laisse schématiser comme suit : Hasta peut également être utilisé pour des trajecteurs autres que des « mobiles spatiaux » matériels : Hasta Juan Pablo II fue a Zakopane ! Dans cet emploi, le locuteur fait réaliser à l'allocutaire un parcours mental exploratoire, au terme duquel il trouve Jean-Paul II (ce que Culioli nomme le parcours d'un domaine notionnel, celui dont le pape était culturellement considéré comme exclu : Zakopane est une station de ski huppée au sud de Cracovie dans les Carpathes polonaises). Le trajecteur correspond ici à la conscience interprétative en tant que parcours mental de construction du sens, et celle-ci est bel et bien affectée psychologiquement : le sens de cet emploi de hasta implique toujours un commentaire du genre « rendez-vous compte », « ça n'allait pas sans dire », « ce fait étonnant, pour être accessible, requérait un parcours mental poussé ».

Conclusion

L'intérêt de ce genre d'analyse est que techniquement, on prend connaissance du processus submorphologique de formation du sens ; et sémantiquement, du côté de l'interprétation, on se trouve mieux armé pour expliciter l'effet sémantique, pragmatique, psychologique et interlocutif du marqueur -la modélisation de la profondeur stratifiée des opérateurs complexes présente une méthode régulée en vue de contrôler le sentiment sémantique que l'on obtient introspectivement pour une forme donnée. On trouve là un critère qui permet de penser sérieusement le rapport entre présupposés et implicatures, entre heuristique et herméneutique. Une théorie est vraiment opérante quand elle permet de rendre compte des effets de sens mieux que d'autres, ou quand elle permet de mettre en lumière des facettes sémantiques qui avaient été ignorées, ou peu prises en compte, ou mal raccordées à la valeur centrale. Avec une lecture cognématique de desde et hasta, on peut supposer qu'un traductologue est mieux armé pour cerner la finesse des effets, et qu'un enseignant est mieux équipé pour préciser la nature du savoir-faire sémantique qu'il s'agit de mettre en place. On observe ici un fonctionnement caractéristique de la cognématique : au minimum, elle trouve dans les formes articulées le processus mental par lequel on produit des configurations schématiques et topologiques qui ont déjà été entrevues sous d'autres facettes dans d'autres cadres théoriques (psychomécanique du langage, théorie des opérations prédicatives et énonciatives grammaire méta-opérationnelle ou théorie des phases, grammaire cognitive, sémantique cognitive) sans en passer par le vecteur biosémiotique (= la linguistique du signifiant : la production et mise en oeuvre des schèmes mentaux par les processus articulatoires incarnés). Et au maximum, la cognématique extrait de l'expérience des processus de conceptualisation formellement incarnés par les signifiant dans leur dimension biomécanique des facettes des effets de sens qui n'avaient pas été reconnues ou considérées comme importantes.

En l'occurrence, l'aspect n'est pas une catégorie réservée à la description ou présentation des procès par les verbes et les prépositions : cette catégorie concerne aussi la processualisation de la construction des segments de sens en général. La grammaire d'une langue n'échappe pas au principe phénoménologique selon lequel la conscience de la durée se construit dans l'expérience de la durée de la conscience, et les formes aspectuelles, qu'elles relèvent de la catégorie prépositionnelle ou verbale, convoquent le noeud relationnel qui articule ces facettes du déroulement. Au niveau du signifiant, le même appareil submorphosémantique articulatoire, la cognématique, orchestre cette coordination en s'appliquant transcatégoriellement à des niveaux morphosyntaxiques et des classes de mots distincts. L'acceptation de la cognématique suppose deux douloureux renoncements : celui à une morphosyntaxe exclusivement distributionnelle, qui ne reconnaît le statut de morphème qu'à des marqueurs munis d'une valeur (au sens saussurien) par un principe de commutabilité à un niveau catégoriel et syntaxique donné ; et celui à une sémantique exclusivement fondée sur la référence à et/ou la représentation d'un réel empiriquement perçu et cognitivement formalisé, puis reflété par des formes. L'obligation à ce double renoncement tient à une donnée triviale mais incontournable : les unités de paroles ne sont pas des objets symboliques, mais des comportements sémiotiques appris, matérialisés par une exécution motrice psychique et/ou somatique, correspondant des boucles perçactives, et leur modélisation ne peut pas ignorer les conditions phénoménologiques de leur expérienciation ou les effets psychosémantiques de leur mise en oeuvre sur les consciences interactives des sujets sans les dénaturer fatalement.

Quantifieurs : aspectualisation d'un parcours conceptuel de quantification Fortineau

  domaine verbal, marques d'aspect : -nd-(participe amandus), -t-(amatus)La 3 e personne plurielle se laisse analyser comme un délocutif ouvert et indéterminé (cf. castillan Llaman a la puerta « on frappe à la porte »), où -n, élément formateur négatif (que l'on retrouve dans uno espagnol, on français et one anglais), marque l'inachèvement du processus d'identification de la personne délocutée, et donc l'ouverture à l'inclusion d'un paradigme ouvert de possibilités, potentiellement pluriel), alors que la 3 e personne singulière correspondant à un délocutif fermé et déterminé se résume à la marque de perfectivité -t non niée par -n-, signe que l'identification du délocuté spécifique est menée à son terme, jamais nécessaire dans une syllabe, ce qui rend la marqu superflue) alors que dans le domaine vocalique elle est réalisée par e (la syllabe se construisant par définition autour d'une voyelle, l'existence d'une marque de neutralisation est nécessaire).Particulièrement intéressant est le fonctionnement du négateur -n-, qui se présente comme un intervenant extérieur sur le cinétisme d'accomplissement perfectif t/d, ce qui lui confère un rôle de commentateur selon une relation comparable d'une part au rapport idée regardante / idée regardée qui sous-tend le subjonctif français dans le modèle guillaumien (chronothèse intermédiaire, in fieri, de la chronogenèse, de même que le gérondif est la saisie intermédiaire, was « quoi » et das « ça », wo « où » et da, dort « là », « là-bas » ; wh-/th-en anglais dans when « quand » et then « alors », where « où » et there « là », which « quel » et this « ceci », what « que » / « quoi » et that « cela ». Le marqueur cu-d'appréhension amémorielle de l'objet quantifié déclare le locuteur en état d'ignorance, soulève une question, et délègue à l'allocutaire la charge de compléter la connaissance qui fait une transition d'un inaccompli de quantification -nt-(la quantité n'est pas une totalité) à un accompli -d-(la quantité perfectivée est un tout indépassable). On remarquera que pour parler de ces notions et processus, on utilise inévitablement les termes français, issus du latin, dans lesquels le même phénomène est impliqué, tels que quantité, tout et totalité. Ces deux transitions se présentent en décalage, déterminant trois niveaux de progression de l'acte de quantification selon les marqueurs instructionnels associés par les opérateurs, que résume le tableau suivant : Cuanto articule une entité inconnue amémorielle à une marque d'imperfactivité, livrant une quantification indéterminée : le locuteur ne connaît pas la quantité cumulée à ce stade et en appelle à l'allocutaire pour préciser la chose (cuánto) ou fige

	Par suite, on observe des couples homogènes et hétérogènes :
	-couple consonantique : -r et -d-dans le domaine de l'aspect verbal avec l'infinitif
	cantar, le participe passé cantado et l'impératif cantad (visée perfective en
	actualisation) ;
	-couple vocalique : -o et -a pour les genres masculin et féminin (le premier étant construit en système comme une propriété générique de départ et de principe, par Cuanto, tanto, todo
	défaut et indéterminée (non marquée), et le second étant distingué comme une N+T : inaccompli T : accompli
	CUANTO propriété spécifique, marquée, donc allocentrée, repérée au terme d'un parcours de TANTO CU-: amémoriel Opération : quantification en cours : quantification en cours sélection, d'identification et d'attribution) ; Résultat : quantité obtenue inconnue Résultat : quantité obtenue connue -Couple hybride : -o et -s de conjugaison. TODO
	T-: mémoriel	Opération : quantification épuisée
		Résultat : quantité obtenue connue
	-
	N
	R/O
	S/I (Ø/E)
	T-D/A

perfectivée. Parallèlement, dans le domaine de l'aspect, la perfectivation est obtenue par (-t, et l'imperfectivité, littéralement l'im-perfectivité, est obtenue par l'infixation d'un élément formateur négatif ou privatif -n-, exactement comme, dans le métalexique, « l'imperfectif » et « l'inaccompli » sont la négation du « perfectif » et de « l'accompli » par un préfixe négatif jouant un rôle privatif. Cette analogie entre les deux microsystème manifeste que les paradigmes respectifs, du point de vue externe du linguiste qui les « couche » sur la page, fonctionnent, du point de vue « interne » du sujet qui les mobilise, comme des parcours mentaux munis d'une aspectualité et de seuils de saisie, qu'il est possible de schématiser et de modéliser dynamiquement par des vecteurs. De l'heuristique qui précède, on extrait le schéma général qui va suivre ; et compte tenu du fait que cette étude ne s'intéresse pas à la transition du schème vocalique au schème consonantique ni à leur hybridation, on les indifférencie et les superpose dans le même tableau, étant entendu que, dans les microsystèmes spécifiques que l'on présente dans les sections suivantes, il faudra tenir compte de ce phénomène, et, dans une étude ultérieure, spécifier plus avant les paramètres qui les mettent en contraste et la signification de leur coexistence en diachronie (comme la perte du marqueur de perfectivation sur le délocutif, au singulier comme au pluriel : cantat 1 canta, cantant 1 cantan) et en synchronie (notamment dans le cas du passif latin amor, amaris, amatur, qui cumule les deux schèmes, impliquant une double prédication et une approche polyphonique de la passivation). Ainsi simplifié, pour le castillan actuel, le système se schématise comme suit : La position initiale et l'amorçage intentionnel du parcours est instancié par -r-(schème consonantique) et -o (schème vocalique) ; la capture médiane du parcours est réalisée consonantiquement par -s-et vocaliquement par i ; la perfectivation est réalisée par t-d et -a. La neutralisation du schème est réalisée par Ø dans le domaine consonantique (la consonne n'est in fieri, du mode quasi-nominal), et d'autre part à l'incidence externe du second degré qui définit l'adverbe avec son rôle modalisateur. L'une et l'autre analogie recoupent l'analyse polyphonique de la négation en théorie de l'énonciation, qui y voit la réfutation par le locuteur d'un propos attribué à une source énonciative (une « voix ») distincte, abstraite, fictive, mais structurellement nécessaire dans le cadre d'une mise en scène pseudo-dialogale des rapports conflictuels, comme le fait Guillaume avec ses pseudo agents de conscience que sont l'idée regardante et l'idée regardée. Il est tout à fait révélateur d'observer que l'infixation du négateur -n-, dans les conditions pratiquées dans le système de l'aspect, respecte cette définition « sociale » et interactionnelle de l'opération de réfutation.

3. (2012), repartant de l'analyse cognématique du système de l'aspect, propose la reconnaissance d'un système cuanto, tanto, todo par lequel la construction conceptuelle du processus de quantification articule deux composantes que l'on peut schématiser et recontextualiser comme suit :

-une transition d'un niveau amémoriel cu-(quantité indéterminée) à un niveau mémoriel t-(quantité déterminée), couple submorphémique que l'on retrouve dans les langues romanes (latin et français qu-/t-) et germaniques (allemand w-/d-dans wann « quand » et dann « alors » (temporel), wenn « si » et denn « alors » (déductif), défaut, ce qui en fait un marqueur interrogatif, un stimulus appelant une réponse. Le marqueur t-d'appréhension mémorielle, analogue à l'élément formateur du participe passé, fonctionne comme opérateur de saturation à valeur conclusive, et ne fait pas appel à l'allocutaire.

l'indétermination en l'état (cuanto) ;

tanto associe une entité mémorisée et fixée à une marque d'imperfectivité : la quantité est stabilisée avant le terme de perfectivation ; elle figure un acquis cumulatif mais pas une totalité conclusive ;

  de continuité systémique en diachronie entretenue au niveau des éléments formateurs et non des opérateurs dans lesquels ils s'inscrivent -indice que l'unité minimale de signification en morphosémantique grammaticale est non pas le morphème, mais le submorphème. A ces prépositions de base s'ajoutent l'attributif for, version spatiale et puissancielle de to, comme dans les corrélations for + S / to + V (It's important for him to succeed) et sa version d'orientation inverse, l'ablatif from, « préposition miroir » de for, qui oriente le mouvement d'un trajecteur depuis une source vers le sujet observateur en première personne (le locuteur, marqué par le formant -m commun aux pronoms, aux auxiliaires de modalité et aux verbes d'apparence comme loom, seem). En l'absence d'infinitif flexionnel en -r pour le verbe des langues germaniques, ces deux prépositions for et from n'entretiennent pas de relation analogique directe avec le système des flexions verbales du mode quasi-nominal. en + V-ant) ; une préposition ablative de munie du marqueur de rétrospection -d-partagé avec le participe passé en -do ; mais les préposition latines per et pro, confondues en espagnol par por redoublé par la composition por + a 1 para, a fait se disjoindre les représentations de la projection (para) et de la « transjection » spatiale et causale (andar por la calle, actuar por miedo, ir por sal), ce qui les éloigne du rôle systémique de pseudoinfinitif prospectif 3 , laissant la place être occupée par a directif en vis-à-vis de de ablatif. Mais le fait le plus remarquable est que derrière les séries verbale (infinitif, gérondif, participe) et prépositionnelle simple (a, en, de) s'ajoute une série prépositionnelle complexe desde, durante, hasta qui reconduit la trilogie à un niveau de complexité supérieure en l'inversant selon un parcours bouclé, conformément au modèle oscillatoire proposé parToussaint (2003Toussaint ( et 2004) :

				inspection	rétrospection
	prépositions	to	in	at
	mode quasi-nominal to + base verbale prospection inspection rétrospection rétrospection inspection prospection V-ing V-ed
	verbes	-r	-nd-	-d-
	simples To prépositionnel est prospectif en ce qu'il sélectionne une cible directionnelle parmi d'autres 1 a prépositions (por/para) en de
	prépositions			d-esde	durante	hasta
	complexes
	4.1. Prépositions simples.

possibles (to the right, to the left), et to préverbal ouvre la perspective d'actualisation d'un évènement sélectionné parmi d'autres

(to eat, to dring, to sleep…)

. In prépositionnel porte l'attention de l'interprétant vers l'intérieur d'un espace borné matériel ou abstrait (in addition, in truth) ; -ing, quasi isomorphique relativemant à in malgré des origines diachroniques sans rapport à la préposition (amalgame d'un déverbatif germanique et d'un gérondif roman), focalise l'attention sur l'intériorité d'une tension aspectuelle, livrant une « vision sécante du temps d'évènement » -concrètement, un échantillon de déroulement qui masque les segments d'accompli et d'inaccompli et rend nécessaire leur rétablissement abductif pour prendre conscience des tenants et des aboutissants, des présupposés et des implicatures selon un rapport de symptôme à diagnostic : localisé « dans » un espace, on regarde autour de soi ; localisé « dans » un déroulement, on regarde avant et après : on prospecte et on « rétrospecte ». Enfin, at prépositionnel focalise un site envisagé comme seuil transitionnel de basculement d'un avant à un après : un espace culturel en tant que déclencheur d'action ou de mode de vie (at home, at work, at the church, at the hospital) ; un évènement pragmatique ou verbal déclencheur de réaction (I was shocked at the verdict) ; une localisation spatiale pensée comme une étape dans un parcours : After AEthelred's death at London in 1016 his son Edmund Ironside was proclaimed king there by the witangemot and left to gather forces in Wessex. Il n'y a pas non plus d'origine commune à at et -ed au niveau des opérateurs, et l'isomorphisme des systèmes n'est compréhensible qu'en termes de réfection analogique et En castillan, on retrouve la préposition pseudo-gérondive en, intériorité spatiale, alignée sur le gérondif par l'élément formateur négatif -n-(comme cela se produit en français avec la préposition en et la marque du participe présent en -ant, parfaitement homphones, créant un effet d'accord par harmonie entre un sujet prédéfini régi et un verbe à sujet prédéfini dans le cas du gérondif

  ). Mais on trouve de nombreux et célèbres emplois où l'hypothèse localiste est exclue, comme l'attribution de propriété simple ou complexe et préconstruite : los monumentos de Madrid ; la mujer de los ojos azules « la femme aux yeux bleus », où ojos azules est pris comme propriété visuelle saillante à partir de laquelle la femme est sélectionnée parmi d'autres -la syntaxe ordonnant l'oculomotricité prescrite à l'allocutaire observateur pour accéder à la bonne cible visuelle, et ne reflétant aucument un mouvement attesté dans l'espace observé. Par contraste, en français, à (aux yeux bleus) attribue le repéré la femme à l'indice perceptuel pris pour repère et qui focalise l'attention, inversant le rapport fond / saillance par rapport à ce que laisserait prévoir la relation métonymique partie / tout qui relie les yeux bleus à leur propriétaire. De manière remarquable, l'anglais obtient un effet comparable à celui de de espagnol avec les adjectifs composés : the blue-eyed girl, où -ed fait de l'attribution blue eyes un préconstruit révolu à l'instant de parole, signalé comme acquis par une marque de participe passé sur un syntagme non verbal, dans une fonction adjectivale, et avec une valeur aspectuelle rétrospective qui ne concerne que la chronologie des opérations de formation du sens, sans rapport aucun avec une quelconque événementialité dans le « réel ». Il est clair que -ed anglais et de espagnol involuent le même formant d, mais l'anglais, qui adjectivise et thématise le prédicat attributif, produit des effets de figement qui bloquent son emploi pour des combinaisons qui ne renvoient pas à des propriétés stables, à la différence de de espagnol, qui rhématise la propriété attribuée et se prête à des qualifications transitoires : la mujer de la bufanda rosada / *the pink-scarfed woman 1 the woman with the pink scarf. Et même avec les verbes de mouvement, seuls desde et hasta introduisent un complément dont le mouvement est senti comme redondant par rapport au cinétisme évoqué par le verbe : Vengo de Madrid peut ne renvoyer qu'à l'origine de la personne, vs vengo desde lejos ; et en présence d'un nom de déplacement, c'est desde qui se substitue au verbe : excursiones *de / desde Madrid (français depuis / à partir de, jamais de dans ce contexte) -preuve si besoin est que la préposition simple n'exprime pas le mouvement, mais conduit un mouvement conceptuel compatible et complémentaire, qui ne saurait être assimilé au mouvement matériel évoqué par un verbe.4.2. Prépositions complexesPour caractériser les prépositions complexes, on peut les envisager comme la déflexivisation grammaticalisatrice (Bottineau 2010fg) de la racine lexicale d'un verbe de mouvement par un marqueur autonome qui figure un mouvement actualisé mais envisagé hors de la relation à un trajecteur défini (que le verbe, lui, spécifie par la personne du sujet) : voy a Madrid / hasta Madrid ; vengo de Madrid / desde Madrid. Dans le cas de durante, ce qui est déflexivisé est l'aspect cursif correspondant au marqueur gérondif : Estoy trabajando / durante mi trabajo. Dans tous les cas, la déflexivité suppose la perte de la spécification du sujet (éventuellement compensable par le possessif), la neutralisation du couplage prédicationnel, et la compression de la proposition en un syntagme adverbial, mais en conservant la valeur cinétique de l'élément déflexivisé. Ceci explique l'effet de redondance ou d'insistance presque emphatique obtenue par les combinaisons ir hasta et venir desde, couramment pratiquées, et plus chargées d'investissement subjectif.

  ou temporellement (desde ayer / hoy / mañana), y compris dans l'espacetemps interlocutif (desde luego), parcours dont toutes les étapes sont ressenties comme une source d'affect. Ce parcours peut être instancié par un mouvement matériel (Cartas desde mi celda) ou figuré (Me miraba desde la puerta).-Inversement, pour hasta, le premier a présente une trajectoire prospective, qu'effectue après le s actualisateur et le t perfectivateur le second a, activateur du trajecteur qui parcourt l'intervalle borné. Hasta (de l'arabe hatta) se présente ainsi en synchronie comme le perfectif de hacia imperfectif (de faciem, cf. face à)[START_REF] Darbord | Grammaire historique[END_REF], lui-même muni d'un couple vocalique ia correspondant à celui de l'imparfaitía. Cette inversion de l'ordre de présentation de la trajectoire et du trajecteur illustre une nouvelle fois le modèle oscillatoire défendu par Toussaint 2003 et 2004. Pour hasta comme pour desde, de multiples implications sont possibles : l'ampleur du déplacement, l'importance de ses enjeux (Si yo voy hasta Madrid no es para ser decepcionado), la manière dont le déplacement affecte le sujet matériellement et psychologiquement, alors que Voy a Madrid est neutre en matière d'affect du côté du sujet. Dans les corrélations d'origine à destination, on ne trouve pas nécessairement l'appariement « logique » desde / hasta[START_REF] Coste | Syntaxe de l'espagnol moderne[END_REF], a étant préféréré « si on ne veut pas trop insister sur le terme » ni sur, précisons-le, les conditions d'expérienciation du déplacement.

	de	a
	s	s	t
	de	a
	I 0
	Chacun des opérateurs se construit à deux niveaux en ordre inverse :
	-pour desde, le second de sous-jacent active seulement la simulation mentale d'une
	relation, un « chemin » (path) sans trajecteur (au sens langackérien) ; le premier de,
	articulé au second par le marqueur s d'actualisation, concrétise le second en
	surimposant la représentation d'un trajecteur qui exécute le mouvement théorique

présupposé par le second. Ce redoublement morphologique permet de traiter cumulativement deux instructions distinctes, celles de se représenter une trajectoire (de 2 ) et celle de la faire parcourir par un mobile instancié par une entité (de 1 ). L'effet obtenu est l'image d'un parcours depuis une source repérée spatialement (desde la ventana)

On laisse de côté les discussions autour des différents appariements terminologiques : particularisation / généralisation, singularisation / universalisation, et les formulations croisées.

Ces termes sont eux-mêmes porteurs des léléments formateurs gr-(cf. grex) et cl-(cf. club).

On laisse ici de côté la présentation du cognème -r-(Bottineau 2008), sa portée pour l'ensemble de la morphosémantique grammaticale de l'espagnol (dont por et para), sa relation au modèle de Luquet 2004 pour le système verbal de l'espagnol, et sa discussion par Luquet 2008 pour l'application au subjonctif imparfait, que l'on réserve à une étude ultérieure.

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