Bertrand Toën

Gabriele Vezzosi

Note of Chern character, loop spaces and derived algebraic geometry

In this note we present a work in progress whose main purpose is to establish a categorified version of sheaf theory. We present a notion of derived categorical sheaves, which is a categorified version of the notion of complexes of sheaves of O-modules on schemes, as well as its quasi-coherent and perfect versions. We also explain how ideas from derived algebraic geometry and higher category theory can be used in order to construct a Chern character for these categorical sheaves, which is a categorified version of the Chern character for perfect complexes with values in cyclic homology. Our construction uses in an essential way the derived loop space of a scheme X, which is a derived scheme whose theory of functions is closely related to cyclic homology of X. This work can be seen as an attempt to define algebraic analogs of elliptic objects and characteristic classes for them. The present text is an overview of a work in progress and details will appear elsewhere. Contents 1 Motivations and objectives 1 2 Categorification of homological algebra and dg-categories 6 3 Loop spaces in derived algebraic geometry 10 4 Construction of the Chern character 13 5 Final comments 15

Motivations and objectives

The purpose of this short note is to present a construction of a Chern character defined for certain sheaves of categories rather than sheaves of modules (e.g. vector bundles or coherent sheaves). This is part of a more ambitious project to develop a general theory of categorical sheaves, in the context of algebraic geometry but also in topology, which is supposed to be a categorification of the theory of sheaf of modules. Our original motivations for starting such a project come from elliptic cohomology, which we now explain briefly.

From elliptic cohomology to categorical sheaves

To any (complex oriented) generalized cohomology theory E * (defined on topological spaces) is associated an integer called its chromatic level, which by definition is the height of the corresponding formal group. The typical generalized cohomology theory of height zero is singular cohomology and is represented by the Eleinberg-MacLane spectrum HZ. The typical generalized cohomology theory of height 1 is complex K-theory which is represented by the spectrum BU × Z. A typical cohomology theory of height 2 is represented by an elliptic spectrum and is called elliptic cohomology. These elliptic cohomologies can be combined altogether into a spectrum tmf of topological modular forms (we recommend the excellent survey [START_REF] Lurie | A survey of elliptic cohomolgy[END_REF] on the subject). The cohomology theories HZ and BU × Z are rather well understood, in the sense that for a finite CW complex X is possible to describe the groups [X, HZ] and [X, BU × Z] easily in terms of the topology of X. Indeed, [X, HZ] ≃ H 0 (X, Z) is the group of continuous functions X -→ Z. In the same way, [X, BU × Z] = K top 0 (X) is the Grothendieck group of complex vector bundles on X. As far as we know, it is an open question to describe the group [X, tmf] = Ell 0 (X), or the groups [X, E] for some elliptic spectrum E, in similar terms, e.g. as the Grothendieck group of some kind of geometric objects over X (for some recent works in this direction, see [Ba-Du-Ro] and [St-Te]).

It has been observed by several authors that the chromatic level of the cohomology theories HZ and BU × Z coincide with a certain categorical level. More precisely, [X, HZ] is the set of continuous functions X -→ Z. In this description Z is a discrete topological space, or equivalently a set, or equivalently a 0-category. In the same way, classes in [X, BU × Z] can be represented by finite dimensional complex vector bundles on X. A finite dimensional complex vector bundle on X is a continuous family of finite dimensional complex vector spaces, or equivalently a continuous map X -→ V ect, where V ect is the 1-category of finite dimensional complex vector spaces. Such an interpretation of vector bundles can be made rigorous if V ect is considered as a topological stack. It is natural to expect that [X, tmf] is related in one way or another to 2-categories, and that classes in [X, tmf] should be represented by certain continuous applications X -→ 2 -V ect, where now 2 -V ect is a 2-category (or rather a topological 2-stack). The notation 2 -V ect suggests here that 2 -V ect is a categorification of V ect, which is itself a categorification of Z (or rather of C). If we follow this idea further the typical generalized cohomology theory E of chromatic level n should itself be related to n-categories in the sense that classes in [X, E] should be represented by continuous maps X -→ n -V ect, where n -V ect is now a certain topological n-stack, which is supposed to be an n-categorification of the (n -1)-stack (n -1) -V ect.

This purely formal observation relating the chromatic level to a certain categorical level is in fact supported by at least two recent results. On the one hand, J. Rognes stated the so-called red shift conjecture, which from an intuitive point of view stipulates that if a commutative ring spectrum E is of chromatic level n then its K-theory spectrum K(E) is of chromatic level n + 1 (see [Au-Ro]). Some explicit computations of K(BU × Z) proves a major case of this conjecture for n = 1 (see [Ba-Du-Ro]). Moreover, K(BU × Z) can be seen to be the K-theory spectrum of the 2-category of complex 2-vector spaces (in the sense of Kapranov-Voevodsky). This clearly shows the existence of an interesting relation between elliptic cohomology and the notion of 2-vector bundles (parametrized version of the notion 2-vector spaces), even though the precise relation remains unclear at the moment. On the other hand, the fact that topological K-theory is obtained as the Grothendieck group of vector bundles implies the existence of equivariant K-theory by using equivariant vector bundles. It is important to notice here that the spectrum BU × Z alone is not enough to reconstruct equivariant K-theory and that the fact that complex K-theory is obtained from a categorical construction is used in an essential way to define equivariant K-theory. Recently J. Lurie constructed not only equivariant versions but also 2-equivariant versions of elliptic cohomology (see [START_REF] Lurie | A survey of elliptic cohomolgy[END_REF]§5.4]). This means that not only an action of a group can be incorporated in the definition of elliptic cohomology, but also an action of a 2-group (i.e. of a categorical group). Now, a 2-group G can not act in a very interesting way on an object in a 1-category, as this action would simply be induced by an action of the group π 0 (G). However, a 2-group can definitely act in an interesting manner on an object in a 2-category, since automorphisms of a given object naturally form a 2-group. The existence of 2-equivariant version of elliptic cohomology therefore suggests again a close relation between elliptic cohomology and 2-categories.

Towards a theory of categorical sheaves in algebraic geometry

The conclusion of the observation above is that there should exist an interesting notion of categorical sheaves, which are sheaves of categories rather than sheaves of vector spaces, useful for a geometric description of objects underlying elliptic cohomology. In this work we have been interested in this notion independently of elliptic cohomology and in the context of algebraic geometry rather than topology. Although our final motivations is to understand better elliptic cohomology we have found the theory of categorical sheaves in algebraic geometry interesting in its own and think that it deserves a fully independent development.

To be more precise, and to fix ideas, a categorical sheaf theory is required to satisfy the following conditions.

• To any scheme X there exists a 2-category Cat(X), of categorical sheaves on X. The 2-category Cat(X) is expected to be a symmetric monoidal 2-category. Moreover, we want Cat(X) to be a categorification of the category M od(X) of sheaves of O X -modules on X, in the sense that there is a natural equivalence between M od(X) and the category of endomorphisms of the unit object of Cat(X).

• The 2-category Cat(X) comes equiped with monoidal sub-2-categories Cat qcoh (X), Cat coh (X) and Cat parf (X), which are categorifications of the categories QCoh(X), Coh(X) and V ect(X), of quasi-coherent sheaves, coherent sheaves, and vector bundles. The monoidal 2-category Cat parf (X) is moreover expected to be rigid (i.e. every object is dualizable).

• For a morphism f : X -→ Y of schemes, there is a 2-adjunction

f * : Cat(Y ) -→ Cat(X) Cat(Y ) ←-Cat(X) : f * .
The 2-functors f * and f * are supposed to preserve the sub-2-categories Cat qcoh (X), Cat coh (X) and Cat parf (X), under some finiteness conditions on f .

• There exists a notion of short exact sequence in Cat(X), which can be used in order to define a Grothendieck group K

(2) 0 (X) := K 0 (Cat parf (X)) (or more generally a ring spectrum K(Cat parf (X))). This Grothendieck group is called the secondary K-theory of X and is expected to possess the usual functorialities in X (at least pull-backs and push-forwards along proper and smooth morphisms).

• There exists a Chern character K

(2) 0 (X) -→ H (2) (X), for some secondary cohomology group H (2) (X). This Chern character is expected to be functorial for pull-backs and to satisfy some version of the Grothendieck-Riemann-Roch formula for pushforwards.

As we will see in section §2, it is not clear how to develop a theory as above, and it seems to us that a theory satisfying all the previous requirements cannot reasonably exist. One major observation here is that the situation becomes more easy to handle if the categories M od(X), QCoh(X), Coh(X) and V ect(X) are replaced by their derived analogs D(X), D qcoh (X), D b coh (X) and D parf (X). Our wanted categorical sheaf theory should then rather a be derived categorical sheaf theory, and is expected to satisfy the following conditions.

• To any scheme X is associated a triangulated-2-category Dg(X), of derived categorical sheaves on X. Here, by triangulated-2-category we mean a 2-category whose categories of morphisms are endowed with triangulated structure in a way that the composition functors are bi-exacts. The 2-category Dg(X) is expected to be a symmetric monoidal 2-category, in way which is compatible with the triangulated structure. Moreover, we want Dg(X) to be a categorification of the derived category D(X) of sheaves of O X -modules on X, in the sense that there is a natural triangulated equivalence between D(X) and the triangulated category of endomorphisms of the unit object of Dg(X).

• The 2-category Dg(X) comes equipped with monoidal sub-2-categories Dg qcoh (X), Dg coh (X) and Dg parf (X), which are categorifications of the derived categories D qcoh (X), D b coh (X) and D parf (X), of quasi-coherent complexes, bounded coherent sheaves, and perfect complexes. The monoidal 2-category Dg parf (X) is moreover expected to be rigid (i.e. every object is dualizable).

• For a morphism f : X -→ Y of schemes, there is a 2-adjunction

f * : Dg(Y ) -→ Dg(X) Dg(Y ) ←-Dg(X) : f * .
The 2-functors f * and f * are supposed to preserve the sub-2-categories Dg qcoh (X), Dg coh (X) and Dg parf (X), under some finiteness conditions on f .

• There exists a notion of short exact sequence in Dg(X), which can be used in order to define a Grothendieck group K

(2) 0 (X) := K 0 (Dg parf (X)) (or more generally a ring spectrum K(Dg parf (X))). This Grothendieck group is called the secondary K-theory of X and is expected to possess the usual functorialities in X (at least pull-backs and push-forwards along proper and smooth morphisms).

• There exists a Chern character K

(2) 0 (X) -→ H (2) (X), for some secondary cohomology group H (2) (X). This Chern character is expected to be functorial for pull-backs and to satisfy some version of the Grothendieck-Riemann-Roch formula for pushforwards.

The purpose of these notes is to give some ideas on how to define such triangulated-2-categories Dg(X), how to define the secondary cohomology H (2) (X) and how to define the Chern character. In order to do this, we will follow closely one possible interpretation of the usual Chern character for vector bundles as being a kind of function on the loop space.

The Chern character and the loop space

The Chern character we will construct for categorical sheaves is based on the following interpretation of the usual Chern character. Assume that X is a smooth complex algebraic manifold (or more generally a complex algebraic stack) and that V is a vector bundle on X. Let γ : S 1 -→ X be a loop in X. We do not want to specify want we mean by a loop here, and the notions of loops we will use in the sequel is a rather unconventional one (see 3.1). Whatever γ truely is, we will think of it as a loop in X, at least intuitively. We consider the pull-back γ * (V ), which is a vector bundle on S 1 . Because of the notion of loops we use this vector bundle is in fact locally constant on S 1 , and thus is completely determined by a monodromy operator m γ on the fiber V γ(0) . The trace of m γ is a complex number, and as γ varies in LX the loop space of X (again the notion of loop space we use is unconventional) we obtain a function Ch(V ) on LX. This function can be seen to be S 1 -equivariant and thus provides an element Ch(V ) ∈ O(LX) S 1 .

Our claim is that, if the objects S 1 and LX are defined correctly, then there is a natural identification

O(LX) S 1 ≃ H ev DR (X),
and that Ch(V ) is the usual Chern character with values in the algebraic de Rham cohomology of X.

The conclusion is that Ch(V ) can be seen as a S 1 -equivariant function on LX.

One enlightening example is when X is BG the quotient stack of a finite group G. The our loop space LBG is the quotient stack [G/G], for the action of G on itself by conjugation. The space of functions on LBG can therefore be identified with C(G), the space of class function on G. A vector bundle V on BG is nothing else than a linear representation of G, and the function Ch(V ) constructed above is the class function sending g ∈ G to T r(g : V → V ). Therefore, the description of the Chern character above gives back the usual morphism R(G) -→ C(G) sending a linear representation to its class function.

Our construction of the Chern character for a categorical sheaf follows the same ideas. The interesting feature of the above interpretation of the Chern character is that it can be generalized to any setting for which traces of endomorphisms make sense. As we already mentioned, Dg parf (X) is expected to be a rigid monoidal 2-category, and thus any endomorphism of an object possesses a trace which is itself an object in D parf (X) ≃ End(1). Therefore, if we start with a categorical sheaf on X and do the same construction as above, we get a sheaf (rather than a function) on LX, or more precisely an object in D parf (LX). This sheaf is moreover invariant under the action of S 1 and therefore is an object in D S 1 parf (LX), the perfect S 1 -equivariant derived category of LX. This sheaf as itself a Chern character which is an element in H S 1 DR (LX), the S 1 -equivariant de Rham cohomology of LX. This element is by definition the Chern character of our categorical sheaf. The Chern character should then expected to be a map

Ch : K (2) 0 (X) -→ H S 1 DR (LX).

Plan of the paper

The main purpose of this paper is to make precise all the terms of this construction. For this we will start by the definitions of the 2-categories Dg(X), Dg qcoh (X), and Dg parf (X), but we do not try to define Dg coh (X) as the notion of coherence in this categorical setting seems unclear at the moment. The objects in Dg(X) will be certain sheaves of dg-categories on X and our approach to the notion of categorical sheaves heavily relies on the homotopy theory of dg-categories recently studied in [START_REF] Tabuada | Une structure de catégorie de modèles de Quillen sur la catégorie des dg-catégories[END_REF][START_REF] Toën | The homotopy theory of dg-categories and derived Morita theory[END_REF]. In a second part we will recall briefly some ideas of derived algebraic geometry and of derived schemes (and stacks) as introduced in [START_REF] Lurie | Derived algebraic geometry[END_REF]. The loop space LX of a scheme X will then be defined as the derived mapping stack from S 1 = BZ to X. We will argue that the ring of S 1 -invariant functions on LX can be naturally identified with HC - 0 (X), the negative cyclic homology of X. We will also briefly explain how this can be used in order to interpret the Chern character with values in cyclic homology as we have sketched above. Finally, in a last part we will present the construction of our Chern character for categorical sheaves. One crucial point in this construction is to define an S 1 -equivariant sheaf on the loop space LX. The construction of the sheaf itself is easy but the fact that it is S 1 -equivariant is a delicate question which we leave open in the present work (see 4.1 and 5.1). Hopefully a detailed proof of the existence of this S 1 -equivariant sheaf will appear in a future work.

Categorification of homological algebra and dg-categories

In this section we present our triangulated-2-categories Dg(X) of derived categorical sheaves on some scheme X. We will start by an overview of a rather standard way to categorify the theory of modules over some base commutative ring using linear categories. As we will see the notion of 2-vector spaces appear naturally in this setting as the dualizable objects, exactly in the same way that the dualizable modules are the projective modules of finite rank. After arguing that this notion of 2-vector space is too rigid a notion to allow for push-fowards, we will consider dg-categories instead and show that they can be used in order to categorify homological algebra in a similar way as linear categories categorify linear algebra. By analogy with the case of modules and linear categories we will consider dualizable objects as categorified versions of perfect complexes and notice that these are precisely the smooth and proper dg-categories studied in [Ko-So, To-Va]. We will finally define the 2-categories Dg(X), Dg qcoh (X) and Dg parf (X) for a general scheme X by some gluing procedure.

Let k be a commutative base ring. We let M od(k) be the category of k-modules, considered as a symmetric monoidal category for the tensor product of modules. Recall that an object M ∈ M od(k) is said to be dualizable if the natural morphism

M ⊗ M ∨ -→ Hom(M, M )
is an isomorphism (here Hom denotes the k-module of k-linear morphisms, and M ∨ := Hom(M, k) is the dual module). It is easy to see that M is dualizable if and only if it is projective and of finite type over k.

A rather standard way to categorify the category M od(k) is to consider k-linear categories and Morita morphisms. We let Cat(k) be the 2-category whose objects are small k-linear categories. The category of morphisms between two k-linear categories A and B in Cat(k) is defined to be the category of all A ⊗ k B op -modules (the composition is obtained by the usual tensor product of bimodules). The tensor product of linear categories endow Cat(k) with a structure of a symmetric monoidal 2-category for which k, the k-linear category freely generated by one object, is the unit.

We have End

Cat(k) (k) ≃ M od(k), showing that Cat(k) is a categorification of M od(k).
To obtain a categorification of M od pf t (k), the category of projective k-modules of finite type, we consider the sub-2-category of Cat(k) with the same objects but for which the category of morphisms from A to B is the full sub-category of the category of A ⊗ k B op -modules whose objects are bi-modules M such that for any a ∈ A the B op -module M (a, -) is projective of finite type (i.e. a retract of a finit sum of representable B op -modules). We let Cat c (k) ⊂ Cat(k) be this sub-2-category, which is again a symmetric monoidal 2-category for tensor product of linear categories. By definition we have End Cat c (k) (k) ≃ M od pf t (k). However, the tensor category M od pf t (k) is a rigid tensor category in the sense that every object is dualizable, but not every object in Cat c (k) is dualizable. We therefore consider Cat sat (k) the full sub-2-category of dualizable objects in Cat c (k). Then, Cat sat (k) is a rigid monoidal 2-category which is a categorification of M od pf t (k). It can be checked that a linear category A is in Cat sat (k) if and only if it is equivalent in Cat(k) to an associative k-algebra B (as usual considered as a linear category with a unique object) satisfying the following two conditions.

1. The k-module B is projective and of finite type over k.

2. For any associative k-algebra A, a B ⊗ k A-module M is projective of finite type if and only if it is so as a A-module.

These conditions are also equivalent to the following two conditions.

1. The k-module B is projective and of finite type over k.

The

B ⊗ k B op -module B is projective.
When k is a field, an object in Cat sat (k) is nothing else than a finite dimensional k-algebra B which is universally semi-simple (i.e. such that B ⊗ k k ′ is semi-simple for any field extension k → k ′ ). In general, an object in Cat sat (k) is a flat family of universally semi-simple finite dimensional algebras over Spec k. In particular, if k is an algebraically closed field any object in Cat sat (k) is equivalent to k n , or in other words is a 2-vector space of finite dimension in the sense of Kapranov-Voevodsky (see for instance [Ba-Du-Ro]). For a general commutative ring k, the 2-category Cat sat (k) is a reasonable generalization of the notion of 2-vector spaces and can be called the 2-category of 2-vector bundles on Spec k.

One major problem with this notion of 2-vector bundles is the lack of push-forwards in general. For instance, let X be a smooth and proper algebraic variety over some algebraically closed field k. We can consider V ect, the trivial 2-vector bundle of rank 1 over X, which is the stack in categories sending a Zariski open U ⊂ X to the linear category V ect(U ) of vector bundles over U . The push-forward of this trivial 2-vector bundle along the structure morphism X -→ Spec k is the k-linear category of global sections of V ect, or in other words the k-linear category V ect(X) of vector bundles on X. This is an object in Cat(k), but is definitely not in Cat sat (k). The linear category V ect(X) is big enough to convince anyone that it can not be finite dimensional in any reasonable sense. This shows that the global sections of a 2-vector bundle on a smooth and proper variety is in general not a 2-vector bundle over the base field, and that in general it is hopeless to expect a good theory of proper push-forwards in this setting.

A major observation in this work is that considering a categorification of D(k) instead of M od(k), which is what we call a categorification of homological algebra, solves the problem mentioned above concerning push-forwards. Recall that a dg-category (over some base commutative ring k) is a category enriched over the category of complexes of k-modules (see [Ta]). For a dg-category T we can define its category of T -dg-modules as well as as its derived category D(T ) by formally inverting quasiisomorphisms between dg-modules (see [START_REF] Toën | The homotopy theory of dg-categories and derived Morita theory[END_REF]). For two dg-categories T 1 and T 2 we can form their tensor product T 1 ⊗ k T 2 , as well as their derived tensor product T 1 ⊗ L k T 2 (see [START_REF] Toën | The homotopy theory of dg-categories and derived Morita theory[END_REF]). We now define a 2-catgeory Dg(k) whose objects are dg-categories and whose category of morphisms from

T 1 to T 2 is D(T 1 ⊗ L k T op 2 ).
The composition of morphisms is defined using the derived tensor product

-⊗ L T 2 -: D(T 1 ⊗ L k T op 2 ) × D(T 2 ⊗ L k T op 3 ) -→ D(T 1 ⊗ L k T op 3 ).
Finally, the derived tensor product of dg-categories endows Dg(k) with a structure of a symmetric monoidal 2-category. The symmetric monoidal 2-category Dg(k) is a categorification of the derived category D(k) as we have by definition

End Dg(k) (1) ≃ D(k).
To obtain a categorification of D parf (k), the perfect derived category, we consider the sub-2-category Dg c (k) having the same of objects as Dg(k) itself but for which the category of morphisms from

T 1 to T 2 in Dg c (k) is the full sub-category of D(T 1 ⊗ L k T op
2 ) of bi-dg-modules F such that for all t ∈ T 1 the object F (t, -) ∈ D(T op ) is compact (in the sense of triangulated categories, see [Ne]). The symmetric monoidal structure on Dg(k) restricts to a symmetric monoidal structure on Dg c (k), and we have

End Dg c (k) (1) ≃ D parf (k),
as an object of D(k) is compact if and only if it is a perfect complex. Finally, the symmetric monoidal 2-category Dg c (k) is not rigid and we thus consider Dg sat (k), the full sub-2-category consisting of rigid objects in Dg c (k). By construction, Dg sat (k) is a rigid symmetric monoidal 2-category and we have

End Dg sat (k) (1) ≃ D parf (k).
The 2-category Dg sat (k) will be our categorification of D parf (k) and its objects should be thought as perfect derived categorical sheaves on the scheme Spec k.

It is possible to show that an object T of Dg c (k) belongs to Dg sat (k) if and only if it is equivalent to an associative dg-algebra B, considered as usual as a dg-category with a unique object, satisfying the following two conditions.

1. The underlying complex of k-modules of B is perfect.

The object

B ∈ D(B ⊗ L k B op ) is compact.
In other words, a dg-category T belongs to Dg sat (k) if and only it is Morita equivalent to a smooth (condition (2) above) and proper (condition (1) above) dg-algebra B. Such dg-categories are also often called saturated (see [Ko-So, To-Va]).

As Dg sat (k) is a rigid symmetric monoidal 2-category we can define, for any object T a trace morphism T r :

End Dg sat (k) (T ) -→ End Dg sat (k) (1) ≃ D parf (k).
Now, the category End Dg sat (k) (T ) can be naturally identified with D(T ⊗ L k T op ) c , the full sub-category of D(T ⊗ L k T op ) of compact objects (here we use that T is saturated and the results of [To-Va, §2.2]). The trace morphism is then a functor

T r : D(T ⊗ L k T op ) c -→ D parf (k)
which can be seen to be isomorphic to the functor sending a bi-dg-module M to its Hochschild complex HH(T, M ) ∈ D parf (k). In particular, the rank of an object T ∈ Dg sat (k), which by definition is the trace of its identity, is its Hochschild complex HH(T ) ∈ D parf (k).

To finish this section we present the global versions of the 2-categories Dg(k) and Dg sat (k) over some base scheme X. We let ZarAf f (X) be the small site of affine Zariski open sub-schemes of X. We start to define a category dg -cat(X) consisting of the following data 1. For any Spec A = U ⊂ X in ZarAf f (X), a dg-category T U over A.

For any

Spec B = V ⊂ Spec A = U ⊂ X morphism in ZarAf f (X) a morphism of dg-categories over A r U,V : T U -→ T V .
These data should moreover satisfy the equation r V,W • r U,V = r U,W for any inclusion of affine opens W ⊂ V ⊂ U ⊂ X. The morphisms in dg -cat(X) are defined in an obvious way as families of dg-functors commuting with the r U,V 's.

For T ∈ dg -cat(X) we define a category M od(T ) of T -dg-modules in the following way. Its objects consist of the following data 1. For any Spec A = U ⊂ X in ZarAf f (X), a T U -dg-module M U .

For any

Spec B = V ⊂ Spec A = U ⊂ X morphism in ZarAf f (X) a morphism of T U -dg- modules m U,V : M U -→ r * U,V (M V ).
These data should moreover satisfy the usual cocyle equation for r

* U,V (m V,W ) • m U,V = m U,W .
Morphisms in M od(T ) are simply defined as families of morphisms of dg-modules commuting with the m U,V 's. Such a morphism f : M -→ M ′ in M od(T ) is a quasi-isomorphism if it is a stalkwise quasiisomorphism (note that M and M ′ are complexes of presheaves of O X -modules). We denote by D(T ) the category obtained from M od(T ) by formally inverting these quasi-isomorphisms.

We now define a 2-categoryDg(X) whose objects are the objects of dg-cat(X), and whose category of morphisms from

T 1 to T 2 is D(T 1 ⊗ L O X T op
2 ) (we pass on the technical point of defining this derived tensor product over O X , one possibility being to endow dg -cat(X) with a model category structure and to use a cofibrant replacement). The compositions of morphisms in Dg(X) is given by the usual derived tensor product. The derived tensor product endows Dg(X) with a structure of a symmetric monoidal 2-category and we have by construction

End Dg(X) (1) ≃ D(X),
where D(X) is the (unbounded) derived category of all O X -modules on X.

Definition 2.1 1. An object T ∈ Dg(X) is quasi-coherent if for any inclusion of affine open subschemes Spec B = V ⊂ Spec A = U ⊂ X the induced morphism T U ⊗ A B -→ T V
is a Morita equivalence of dg-categories.

A morphism

T 1 -→ T 2 , corresponding to an object M ∈ D(T 1 ⊗ L O X T op 2 )
, is called quasi-coherent if its underlying complex of O X -modules is with quasi-coherent cohomology sheaves.

The sub-2-category of Dg(X) consisting of quasi-coherent objects and quasi-coherent morphisms is denoted by Dg qcoh (X). It is called the 2-category of quasi-coherent derived categorical sheaves on X.

Let T 1 and T 2 be two objects in Dg qcoh (X). We consider the full sub-category of D(T 1 ⊗ L O X T op 2 ) consisting of objects M such that for any Zariski open Spec A = U ⊂ X and any object x ∈ (T 1 ) U , the induced dg-module M (a, -) ∈ D((T op 2 ) U ) is compact. This defines a sub-2-category of Dg qcoh (X), denoted by Dg c qcoh (X) and will be called the sub-2-category of compact morphisms. The symmetric monoidal structure on Dg(X) restricts to a symmetric monoidal structure on Dg qcoh (X) and on Dg c qcoh (X).

Definition 2.2 The 2-category of perfect derived categorical sheaves is the full sub-2-catgeory of Dg c qcoh (X) consisting of dualizable objects. It is denoted by Dg parf (X).

By construction, Dg parf (X) is a symmetric monoidal 2-category with

End Dg parf (X) (1) ≃ D parf (X).
It is possible to show that an object T ∈ D qcoh (X) belongs to Dg parf (X) if and only if for any affine Zariski open subscheme Spec A = U ⊂ X, the dg-category T U is saturated (i.e. belongs to Dg sat (A)).

For a morphism of schemes f : X -→ Y it is possible to define a 2-adjunction

f * : Dg(Y ) -→ Dg(X) Dg(Y ) ←-Dg(X) : f * .
Moreover, f * preserves quasi-coherent objects, quasi-coherent morphisms, as well as the sub-2-categories of compact morphisms and perfect objects. When the morphism f is quasi-compact and quasiseparated, we think that it is possible to prove that f * preserves quasi-coherent objects and quasicoherent morphisms as well as the sub-2-category of compact morphisms. We also guess that f * will preserve perfect objects when f is smooth and proper, but this would require a precise investigation. As a typical example, the direct image of the unit 1 ∈ Dg parf (X) by f is the presheaf of dg-categories sending Spec A = U ⊂ Y to the dg-category L parf (X × Y U ) of perfect complexes over the scheme f -1 (U ) ≃ X × Y U . When f is smooth and proper it is known that the dg-category L parf (X × Y U ) is in fact saturated (see [START_REF] Toën | The homotopy theory of dg-categories and derived Morita theory[END_REF]§8.3]). This shows that f * (1) is a perfect derived sheaf on Y and provides an evidence that f * preserves perfect object. These functoriality statements will be considered in more details in a future work.

Loop spaces in derived algebraic geometry

In this section we present a version of the loop space of a scheme (or more generally of an algebraic stack) based on derived algebraic geometry. For us the circle S 1 is defined to be the quotient stack BZ, where Z is considered as a constant sheaf of groups. For any scheme X, the mapping stack Map(S 1 , X) is then equivalent to X, as the coarse moduli space of S 1 is simply a point. In other words, with this definition of the circle there are no interesting loops on a scheme X. However, we will explain in the sequel that there exists an interesting derived mapping stack RMap(S 1 , X), which is now a derived scheme and which is non-trivial. This derived mapping stack will be our loop space.

In this section we recall briefly the notions from derived algebraic geometry needed in order to define the object RMap(S 1 , X). We will also explain the relation between the cohomology of RMap(S 1 , X) and cyclic homology of the scheme X.

Let k be a base commutative ring and denote by Sch k , resp. St k , the category of schemes over k and the model category of stacks over k ([HAG-II, 2.1.1] or [To1, §2, 3]), for the étale topology. We recall that the homotopy category Ho(St k ) contains as full sub-categories the category of sheaves of sets on Sch k as well as the 1-truncation of the 2-category of stacks in groupoids (in the sense of [La-Mo]). In particular, the homotopy category of stacks Ho(St k ) contains the category of schemes and of Artin stacks as full sub-categories. In what follows we will always consider these two categories as embedded in Ho(St k ). Finally, recall that the category Ho(St k ) possesses internal Hom's, that will be denoted by Map.

As explained in Ch. 2.2] (see also [START_REF] Toën | Higher and derived stacks: a global overview[END_REF]§4] for an overview), there is also a model category dSt k of derived stacks over k for the strong étale topology. The derived affine objects are simplicial k-algebras, and the model category of simplicial k-algebras will be denoted by salg k . The opposite (model) category is denoted by dAff k . Derived stacks can be identified with objects in the homotopy category Ho(dSt k ) which in turn can be identified with the full subcategory of the homotopy category of simplicial presheaves on dAff k whose objects are weak equivalences' preserving simplicial presheaves F having strong étale descent i.e. such that, for any étale homotopy hypercover U • → X in dAff k ( Def. 3.2.3,4.4.1]), the canonical map

F (X) -→ holimF (U • )
is a weak equivalence of simplicial sets. The derived Yoneda functor induces a fully faithful functor on homotopy categories

RSpec : Ho(dAff k ) ֒→ Ho(dSt k ) : A → ( RSpec(A) : B → Map salg k (A, B) ),
where Map salg k denotes the mapping spaces of the model category salg k (therefore Map salg k (A, B) ≃ Hom(Q(A), B), where Hom denotes the natural simplicial Hom's of salg k and Q(A) is a cofibrant model for A). Those derived stacks belonging to the essential image of RSpec will be called affine derived stacks.

The category Ho(dSt k ) of derived stacks has a lot of important properties. First of all, being the homotopy category of a model category, it has derived colimits and limits (denoted as hocolim and holim). In particular, given any pair of maps F → S and G → S between derived stacks, there is a derived fiber product stack holim(F → S ← G) ≡ F × h S G. As our base ring k is not assumed to be a field, the direct product in the model category dSt k is not exact and should also be derived. The derived direct product of two derived stacks F and G will be denoted by F × h G. This derived product is the categorical product in the homotopy category Ho(dSt k ). The category Ho(dSt k ) also admits internal Hom's, i.e. for any pair of derived stacks F and G there is a derived mapping stack denoted as

RMap(F, G)

with the property that [F, RMap(G, H)] ≃ [F × h G, H],
functorially in F , G and H.

The inclusion functor j of commutative k-algebras into salg k (as constant simplicial algebras) induces a pair (i, t 0 ) of (left,right) adjoint functors

t 0 := j * : Ho(dSt k ) → Ho(St k ) i := Lj ! : Ho(St k ) → Ho(dSt k ).
It can be proved that i is fully faithful. In particular we can, and will, view any stack as a derived stack (we will most of the time omit to mention the functor i and consider Ho(St k ) as embedded in Ho(dSt k )). The truncation functor t 0 acts on affine derived stacks as t 0 (RSpec(A)) = Spec(π 0 A). It is important to note that the inclusion functor i does not preserve derived internal hom's nor derived fibered products. This is a crucial point in derived algebraic geometry: derived tangent spaces and derived fiber products of usual schemes or stacks are really derived objects. The derived tangent space of an Artin stack viewed as a derived stack via i is the dual of its cotangent complex while the derived fiber product of, say, two affine schemes viewed as two derived stacks is given by the derived tensor product of the corresponding commutative algebras

i(Spec S) × h i(Spec R) i(Spec T ) ≃ RSpec (S ⊗ L R T ).
Both for stacks and derived stacks there is a notion of being geometric ([HAG-II, 1.3, 2.2.3]), depending, among other things, on the choice of a notion of smooth morphism between the affine pieces. For morphisms of commutative k-algebras this is the usual notion of smooth morphism, while in the derived case, a morphism A → B of simplicial k-algebras is said to be strongly smooth if the induced map π 0 A → π 0 B is a smooth morphism of commutative rings, and π * A ⊗ π 0 A π 0 B ≃ π * B. The notion of geometric stack is strictly related to the notion of Artin stack ( Prop. 2.1.2.1]). Any geometric derived stack has a cotangent complex ( Cor. 2.2.3.3]). Moreover, both functors t 0 and i preserve geometricity.

Let BZ be the classifying stack of the constant group scheme Z. We view BZ as an object of St k , i.e. as the stack associated to the constant simplicial presheaf BZ :

alg k → SSets , R → BZ,
where by abuse of notations, we have also denoted as BZ the classifying simplicial set, i.e. the nerve of the (discrete) group Z. Such a nerve is naturally a pointed simplicial set, and we call 0 that point. Definition 3.1 Let X be a derived stack over k. The derived loop stack of X is the derived stack LX := RMap(BZ, X).

We will be mostly interested in the case where X is a scheme or an algebraic (underived) stack. Taking into account the homotopy equivalence

BZ ≃ S 1 ≃ * h * ' * * ,
we see that we have LX ≃ X × h X× h X X, where X maps to X × h X diagonally and the homotopy fiber product is taken in dSt k . Evaluation at 0 ∈ BZ yields a canonical map of derived stacks p : LX -→ X.

On the other hand, since the limit maps canonically to the homotopy limit, we get a canonical morphism of derived stacks X → LX, a section of p, describing X as the "constant loops" in LX.

If X is an affine scheme over k, X = Spec A with A a commutative k-algebra, we get that

LX ≃ RSpec(A ⊗ L A⊗ L A A),
where the derived tensor product is taken in the model category salg k . One way to rephrase this is by saying that "functions" on LSpec A are Hochschild homology classes of A with values in A itself. Precisely, we have

O(LX) := RHom(LX, A 1 ) ≃ HH(A, A),
where HH(A, A) is the simplicial set obtained from the complex of Hochschild homology of A by the Dold-Kan correspondence, and RHom denotes the natural enrichment of Ho(dSt k ) into Ho(SSet). When X is a general scheme then O(LX) can be identified with the Hochschild homology complex of X, and we have

π i (O(LX)) ≃ HH i (X).
In particular, when X is a smooth and k is of characteristic zero, the Hochschild-Kostant-Rosenberg theorem implies that

π 0 (O(LX)) ≃ ⊕ i H i (X, Ω i X/k
). The stack S 1 = BZ is a group stack, and it acts naturally on LX for any derived stack X by "rotating the loops". More precisely, there is a model category dSt S 1 /k , or S 1 -equivariant stacks, and LX is naturally an object in the homotopy category Ho(dSt S 1 /k ). This way, the simplicial algebra of functions O(LX) is naturally an S 1 -equivariant simplicial algebra, and thus can also be considered as an S 1 -equivariant complex or in other words as an object in D S 1 (k), the S 1 -equivariant derived category of k. The category D S 1 (k) is also naturally equivalent to D(k[ǫ]), the derived category of the dg-algebra k[ǫ] freely generated by an element ǫ of degree -1 and with ǫ 2 = 0. The derived category D S 1 (k) is thus naturally equivalent to the derived category of mixed complexes (see [Lo]) (multiplication by ǫ providing the second differential). When X = Spec A is an affine scheme, O(LX) can be identified, as a mixed complex, with the Hoschschild complex HH(A), with its canonical mixed complex structure. As a consequence, we have

π i (O(LX) hS 1 ) ≃ HC - i (A),
where HC -denotes negative cyclic homology and K hS 1 denotes the simplicial set of homotopy fixed points of an S 1 -equivariant simplicial set K. In other words, there is a natural identification between S 1 -invariant functions on LX and negative cyclic homology of X. This statement of course can be generalized to the case of a scheme X.

Proposition 3.2 For a scheme X we have

π 0 (O(LX) hS 1 ) ≃ HC - 0 (X),
where the right hand side denotes negative cyclic homology of the scheme X.

When k is of characteristic zero and X is smooth over k then proposition 3.2 states that

π 0 (O(LX) hS 1 ) ≃ H ev DR (X/k).
The even part of de Rham cohomology of X can be identified with S 1 -equivariant functions on the derived loop space LX. This fact can also be generalized to the case where X is a smooth Deligne-Mumford stack over k (again assumed to be of characteristic zero), but the right hand side should rather be replaced by the (even part of) de Rham orbifold cohomology of X, which is the de Rham cohomology of the inertia stack IX ≃ t 0 (LX).

To finish this part, we would like to mention that the construction of the Chern character for vector bundles we suggested in section §1 can now be made precise, and through the identification of proposition 3.2 this Chern character coincides with the usual one. We start with a vector bundle V on X and we consider its pull-back p * (V ) on LX, which is a vector bundle on the derived scheme LX. This vector bundle p * (V ) comes naturally equipped with an automorphism u. This follows by considering the evaluation morphism π : S 1 × LX -→ X, and the vector bundle π * (V ). As S 1 = BZ, a vector bundle on S 1 × LX consists precisely of a vector bundle on LX together with an action of Z, or in other words together with an automorphism. We can then consider the trace of u, which is an element in π 0 (O(LX)) ≃ HH 0 (X). A difficult issue here is to argue that this function T r(u) has a natural refinement to an S 1 -invariant function T r(u) ∈ π 0 (O(LX) hS 1 ) ≃ HC - 0 (X), which is the Chern character of V . The S 1 -invariance of T r(u) will be studied in a future work, and we refer to our last section below, for some comments about how this would follow from the general theory of rigid tensor ∞-categories.

Construction of the Chern character

We are now ready to sketch the construction of our Chern character for a derived categorical sheaf. This construction simply follows the lines we have just sketched for vector bundles. We will meet the same difficult issue of the existence of an S 1 -invariant refinement of the trace, and we will leave this question as an conjecture. However, in the next section we will explain how this would follow from a very general fact about rigid monoidal ∞-categories.

Let T ∈ Dg parf (X) be a perfect derived categorical sheaf on some scheme X (or more generally on some algberaic stack X). We consider the natural morphism p : LX -→ X and we consider p * (T ), which is a perfect derived categorical sheaf on LX. We have not defined the notions of categorical sheaves on derived schemes or derived stacks but this is rather straightforward. As in the case of vector bundles explained in the last section, the object p * (T ) comes naturally equipped with an autoequivalence u. This again follows from the fact that a derived categorical sheaf on S 1 × LX is the same thing as a derived categorical sheaf on LX together with an autoequivalence. We consider the trace of u in order to get a perfect complex on the derived loop space T r(u) ∈ End Dg parf (LX) (1) = D parf (LX).

The main technical difficulty here is to show that T r(u) possesses a natural lift as an S 1 -equivariant complex on LX. We leave this as a conjecture.

Conjecture 4.1 The complex T r(u) has a natural lift

T r S 1 (u) ∈ D S 1 parf (LX),
where D S 1 parf (LX) is the S 1 -equivariant perfect derived category of LX. The above conjecture is not very precise as the claim is not that a lift simply exists, but rather than there exists a natural one. One of the difficulty in the conjecture above is that it seems difficult to characterize the required lift by some specific properties. We will see however that the conjecture can be reduced to a general conjecture about rigid monoidal ∞-categories.

Assuming conjecture 4.1, we have T r S 1 (u) and we now consider its class in the Grothendieck group of the triangulated category D S 1 parf (LX). This is our definition of the categorical Chern character of T .

Definition 4.2 The categorical Chern character of T is

Ch cat (T ) := [T r S 1 (u)] ∈ K S 1 0 (LX) := K 0 (D S 1 parf (LX)). The categorical Chern character Ch cat (T ) can be itself refined into a cohomological Chern character by using now the S 1 -equivariant Chern character map for S 1 -equvariant perfect complexes on LX. We skip some technical details here but the final result is an element

Ch coh (T ) := Ch S 1 (Ch cat (T )) ∈ π 0 (O(L (2) X) h(S 1 ×S 1 ) ),
where L (2) X := RMap(S 1 ×S 1 , X) is now the derived double loop space of X. The space π 0 (O(L (2) X) h(S 1 ×S 1 ) ) can reasonably be called the secondary negative cyclic homology of X and should be thought (and actually is) the S 1 -equivariant negative cyclic homology of LX. We therefore have

Ch coh (T ) ∈ HC -,S 1 0 (LX). Definition 4.3 The cohomological Chern character of T is Ch coh (T ) := Ch S 1 (Ch cat (T )) ∈ HC -,S 1 0 (LX) := π 0 (O(L (2) X) hS 1 ×S 1 ) defined above.
Obviously, it is furthermore expected that the constructions T → Ch cat (T ) and T → Ch coh (T ) satisfy standard properties such as additivity, multiplicativity and functoriality with respect to pullbacks. The most general version of our Chern character map should be a morphism of commutative ring spectra

Ch cat : Kg(X) -→ K S 1 (LX),

where Kg(X) is a ring spectrum constructed using a certain Waldhausen category of perfect derived categorical sheaves on X and K S 1 (LX) is the K-theory spectrum of S 1 -equivariant perfect complexes on LX. This aspect of the Chern character will again be investigated in more details in a future work.

Final comments

On S 1 -equivariant trace maps

Our conjecture 4.1 can be clarified using the language of higher categories. Recall that a (1, ∞)category is an ∞-category in which all n-morphisms are invertible (up to higher morphisms) as soon as n > 1. There exist several well behaved models for the theory of (1, ∞)-categories, such as simplicially enriched categories, quasi-categories, Segal categories and Rezk's spaces. We refer to [START_REF] Bergner | A survey of (1, ∞)-categories[END_REF] for an overview of these various notions. What we will say below can be done in any of these theories, but, to fix ideas, we will work with S-categories (i.e. simplicially enriched categories).

We will be using Ho(S-Cat) the homotopy category of S-categories, which is the category obtained from the category of S-categories and S-functors by inverting the (Dwyer-Kan) equivalences (a mixture between weak equivalences of simplicial sets and categorical equivalences). An important property of Ho(S -Cat) is that it is cartesian closed (see [START_REF] Toën | The homotopy theory of dg-categories and derived Morita theory[END_REF] for the corresponding statement for dg-categories whose proof is similar). In particular, for two S-categories T and T ′ we can construct an S-category RHom(T, T ′ ) with the property that

[T ′′ , RHom(T, T ′ )] ≃ [T ′′ × T, T ′ ],
where [-, -] denote the Hom sets of Ho(S -Cat). Any S-category T gives rise to a genuine category [T ] with the same objects and whose sets of morphisms are the connected components of the simplicial sets of morphisms of T .

We let Γ be the category of pointed finite sets and pointed maps. The finite set {0, . . . , n} pointed at 0 will be denoted by n + . Now, a symmetric monoidal S-category T is a functor T : Γ -→ S -Cat such that for any n ≥ 0 the so-called Segal morphism

T (n + ) -→ T (1 + ) n ,
induced by the various projections n + → 1 + sending i ∈ {1, . . . , n} to 1 and everything else to 0, is an equivalence of S-categories. The full sub-category of the homotopy category of functors Ho(S -Cat Γ ) consisting of symmetric monoidal S-categories will be denoted by Ho(S -Cat ⊗ ). As the category Ho(S -Cat) is a model for the homotopy category of (1, ∞)-categories, the category Ho(S -Cat ⊗ ) is a model for the homotopy category of symmetric monoidal (1, ∞)-categories. For T ∈ Ho(S -Cat ⊗ ) we will again use T to denote its underlying S-category T (1 + ). The S-category T (1 + ) has a natural structure of a commutative monoid in Ho(S -Cat). This monoid structure will be denoted by ⊗.

We say that a symmetric monoidal S-category T is rigid if for any object x ∈ T there is an objetc x ∨ ∈ T and a morphism 1 → x ⊗ x ∨ such that for any pair of objects y, z ∈ T , the induced morphism of simplicial sets

T (y ⊗ x, z) -→ T (y ⊗ x ⊗ x ∨ , z ⊗ x ∨ ) -→ T (y, z ⊗ x ∨ )
is an equivalence. In particular, the identity of x ∨ provides a trace morphism x ⊗ x ∨ → 1 (y = x ∨ , z = 1). Therefore, for any rigid symmetric monoidal S-category T and an object x ∈ T we can define a trace morphism T r x : T

(x, x) ≃ T (1, x ⊗ x ∨ ) -→ T (1, 1).
Let T be a fixed rigid symmetric monoidal S-category and S 1 = BZ be the groupoid with a unique object with Z as automorphism group. The category S 1 is an abelian group object in categories and therefore can be considered as a group object in S-categories. The S-category of functors RHom(S 1 , T ) is denoted by T (S 1 ), and is equiped with a natural action of S 1 . We consider the sub-S-category of invertible (up to homotopy) morphisms in T (S 1 ) whose classifying space is an S 1 -equivariant simplicial set. We denote this simplicial set by LT ("L" stands for "loops"). It is possible to put all the trace morphisms T r x defined above into a morphism of simplicial sets (well defined in Ho(SSet))

T r : LT -→ T (1, 1).

Note that the connected components of LT are in one to one correspondence with the set of equivalences classes of pairs (x, u), consisting of an object x in T and an autoequivalence u of x. The morphism T r is such that T r(x, u) = T r x (u) ∈ π 0 (T (1, 1)). We are in fact convinced that the trace map T r can be made equivariant for the action of S 1 on LT , functorially in T . To make a precise conjecture, we consider S -Cat rig the category of all rigid symmetric monoidal S-categories (note that S -Cat rig is not a homotopy category, it is simply a full sub-category of S -Cat Γ ). We have two functors S -Cat rig -→ S 1 -SSet, to the category of S 1 -equivariant simplicial sets. The first one sends T to LT together with its natural action of S 1 . The second one sends T to T (1, 1) with the trivial S 1 -action. These two functors are considered as objects in Ho(F un(S -Cat rig , S 1 -SSet)), the homotopy category of functors. Let us denote these two objects by L : T → LT and E : T → T (1, 1).

Conjecture 5.1 There exists a morphism in Ho(F un(S -Cat rig , S 1 -SSet))

T r : L -→ E, in such a way that for any rigid symmetric monoidal S-category T the induced morphism of simplicial sets T r : LT -→ T (1, 1) is the trace map described above.

It can be shown that conjecture 5.1 implies conjecture 4.1. In fact the tensor 2-categories Dg parf (X) are the 2-truncation of natural rigid symmetric monoidal (2, ∞)-categories, which can also be considered as (1, ∞)-categories by only considering invertible higher morphisms. An application of the above conjecture to these rigid symmetric monoidal (1, ∞)-categories give a solution to conjecture 4.1, but this will be explained in more detailed in a future work. To finish this part on rigid (1, ∞)categories let us mention that a recent work of J. Lurie and M. Hopkins on universal properties of (1, ∞)-categories of 1-bordisms seem to solve conjecture 5.1 [START_REF] Lurie | talk at the Abel symposium[END_REF]). We think to have another solution to the part of conjecture 5.1 concerned with the rigid symmetric monoidal (1, ∞)-categories of saturated dg-categories, which is surely enough to also imply conjecture 4.1. This again will be explained in a future work.

Relations with variations of Hodge structures

The derived loop space LX and the S 1 -equivariant derived category D S 1 parf (LX) have already been studied in [Be-Na]. In this work the category D S 1 parf (LX) is identified with a certain derived category of modules over the Rees algebra of differential operators on X (when, say, X is smooth over k of characteristic zero). We do not claim to fully understand this identification but it seems clear that objects in D S 1 parf (LX) could be identified with some kind of fltered complexes of D-modules on X. Using this identification our categorical Chern character Ch cat (T ) probably encodes the data of the negative cyclic complex HC -(T ) of T over X together with its Gauss-Manin connection and Hodge filtration. In other words, Ch cat (T ) seems to be nothing more than the variation of Hodge structures induced by the family of dg-categories T over X. As far as we know the construction of such a structure of variations of Hodge structures on the family of complexes of cyclic homology associated to a family of sturated dg-categories is, up to conjecture 4.1, a new result (see however [Ge] for the construction of a Gauss-Manin connection on cyclic homology). We also think it is a remarkably nice fact that variations of Hodge structures appear naturally out of the construction of our Chern character for categorical sheaves.

It is certainly possible to describe the cohomological Chern character of 4.3 using this point of view of Hodge structure. Indeed, HC -,S 1 0 (LX) is close to be the S 1 -equivariant de Rham cohomology of LX, and using a localization formula it is probably possible to relate HC -,S 1 0 (LX) with HP 0 (X) [[t]][t -1 ], where HP 0 (X) is periodic cyclic homology of X and t is a formal paramater. We expect at least a morphism HC -,S 1 0 (LX) -→ HP 0 (X)

[[t]][t -1 ].
The image of Ch coh (T ) by this map should then be closely related to the Hodge polynomial of T , that is p Ch(Gr p HC -(T ))t p , where Gr p HC -(T ) is the p-th graded piece of the Hodge filtration of Hochschild homology and Ch is the usual Chern character for sheaves on X.

Back to elliptic cohomology ?

In the introduction of this work we mentioned that our motivation to start thinking about categorical sheaf theory was elliptic cohomology. However, our choice to work in the context of algebraic geometry drove us rather far from elliptic cohomology and it is at the moment unclear whether our work on the Chern character can really bring any new insight on elliptic cohomology. About this we would like to make the following remark. Since what we have been considering are categorified version of algebraic vector bundles, it seems rather clear that what we have done so far might have some relations with what could be called algebraic elliptic cohomology (by analogy with the distinction between algebraic and topological K-theory). However, the work of M. Walker shows that algebraic K-theory determines completely topological K-theory (see [Wa]), and that it is possible to recover topological K-theory from algebraic K-theory by an explicit construction. Such a striking fact suggest the possibility that an enough well understood algebraic version of elliptic cohomology could also provide some new insights on usual elliptic cohomology. We leave this vague idea for future works.


Marie-Anne Paveau

Les

teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

Les diseurs de vérité ou de l'éthique énonciative

Introduction

Dire la vérité, quoi de plus évident? Dans les représentations courantes qui constituent souvent la morale non questionnée de nos sociétés, la vérité nous semble valorisée, et même valorisante. Si l"on y regarde de plus près, on se rend compte que l"énoncé de la vérité a une valeur ambiguë: celui qui dit la vérité est souvent marginalisé, voire condamné.

Après avoir décrit rapidement la manière dont les philosophes et le sens commun posent le problème de la vérité, je présenterai trois figures de locuteurs de vérité, les « diseurs de vérité », le messager, le parrèsiaste et le whistleblower, à partir desquelles peut se poser la question de l"articulation entre éthique et linguistique, à travers l"énonciation et la profération.

Dire la vérité : pratiques et représentations

L"impératif de véracité se rencontre dans toutes les grandes cultures: dans les sagesses asiatiques, la véracité est une valeur fondamentale, et Les entretiens de Confucius contiennent par exemple de nombreuses maximes qui soulignent le devoir de sincérité:

-Tseng Tzeu dit : « Je m'examine chaque jour sur trois choses : si, traitant une affaire pour un autre, je ne l'ai pas traitée sans loyauté; si, dans mes relations avec mes amis, je n'ai pas manqué de sincérité; si je n'ai pas négligé de mettre en pratique les leçons que j'ai reçues » (2005, I. 4).

-Le Maître dit : « Si un homme honorable manque de gravité, il ne sera pas respecté et sa connaissance ne sera pas solide. Qu'il mette au premier rang la loyauté et la sincérité; qu'il ne lie pas amitié avec des hommes qui ne lui ressemblent pas; s'il tombe dans un défaut, qu'il ait le courage de s'en corriger » (2005, I, 8).

La tradition chrétienne prône l"amour et le respect de la vérité en toute occasion et condamne le mensonge: c"est le discours tenu par Saint Augustin dans le De mendacio, repris par Thomas d"Aquin pour lequel le mensonge est « mauvais ». Pour Montaigne, héritant des traditions antique et chrétienne dans les Essais, le mensonge est un « maudit vice » (« Des menteurs », I-IX), et s"oppose avec la méchanceté aux qualités de vérité et de générosité qui sont le propre des gens courageux (« De la présomption », II-XVII). Mais cette conception témoigne également d"une sociologie avant la lettre, l"auteur des Essais condamnant le mensonge également parce qu"il menace la cohésion sociale: « Notre intelligence se conduisant par la seule voie de la parole, celui qui la fausse, trahit la société publique » (« Du démentir », II-XVIII).

Position qui se retrouve presque intacte dans la pragmatique moderne, le principe de sincérité de P. Grice étant paraphrasable par cette maxime ancienne. Les moralistes du 17e siècle ne cesseront de défendre la vérité et la sincérité, dans le cadre d"une conception de la parole participant de l"éducation morale: la préface des Caractères rappelle qu"« on ne doit parler, on ne doit écrire que pour l"instruction » (1995: 118). Les philosophes des Lumières, qui défendent la vérité dans les usages des mots, font aussi l"éloge de certaines valeurs, comme la sincérité: pour Montesquieu, elle est « la vertu qui fait l'honnête homme dans la vie privée et le héros dans le commerce des grands » (Éloge de la sincérité, 1717).

Je ne vais pas détailler ce fil de la vérité et de la sincérité qui court dans l"ensemble de l"histoire de la pensée, mais je dois m'arrêter cependant sur l'une des manifestations les plus connues, dans l"histoire de la philosophie, de cet attachement à la véracité, qui est la position de Kant par rapport au mensonge. Dans la célèbre controverse qui l"oppose à B. Constant en 1796 à propos de l"exemple classique du mensonge pour protéger un fugitif poursuivi par un assassin, publiée sous le titre Le droit de mentir (2003), il présente le devoir de vérité comme sacré dans un texte intitulé « La véracité est un devoir absolu et inconditionnel »:

« C"est donc un commandement sacré de la raison, un commandement qui n"admet pas de condition, et qu"aucun inconvénient ne saurait restreindre, que celui qui nous prescrit d"être véridiques (loyaux) dans toutes nos déclarations » [START_REF] Constant | Le droit de mentir, Paris, Mille et une nuits. ARRIEN[END_REF][START_REF] Constant | Le droit de mentir, Paris, Mille et une nuits. ARRIEN[END_REF] : 49).

Pour B. Constant au contraire, « tout le monde n'a pas droit à la vérité »: « Dire la vérité est un devoir. Qu"est-ce qu"un devoir ? L"idée de devoir est inséparable de celle de droits: un devoir est ce qui, dans un être, correspond aux droits d"un autre. Là où il n"y a pas de droits, il n"y a pas de devoirs. Dire la vérité n"est donc un devoir qu"envers ceux qui ont droit à la vérité. Or nul homme n"a droit à la vérité qui nuit à autrui. » [START_REF] Constant | Le droit de mentir, Paris, Mille et une nuits. ARRIEN[END_REF][START_REF] Constant | Le droit de mentir, Paris, Mille et une nuits. ARRIEN[END_REF]: 35).

Dans cette tradition, la vérité est donc une valeur morale et un principe universel. On trouve des traces de cette conception dans de nombreux discours, en particulier dans le discours politique, où la promesse de sincérité et l"engagement de vérité est un stéréotype discursif. Un exemple (presque) au hasard extrait d"un discours de voeux de N. Sarkozy en 2007: « J'ai voulu mettre chacun face à ses responsabilités. J'ai pris les miennes. J'ai pu commettre des erreurs. Mais depuis huit mois, je n'ai agi qu'avec le souci de défendre les intérêts de la France et pas un jour ne s'est passé où je ne me sois répété l'engagement que j'ai pris envers chacun de vous: "Je ne vous tromperai pas, je ne vous trahirai pas". Je vous dois la vérité, je vous la dirai toujours, je ne m'autoriserai aucune hypocrisie » (SARKOZY, Voeux aux Français, 31.12.2007, texte disponible sur le site de la Présidence de la République française).

Le lexique de l"engagement et l"auto-citation de la « maxime personnelle » du sujet illustrent bien la notion déontologique de devoir de véracité. En même temps, la politique est habitée par le mensonge, comme le montrent de nombreux travaux sur la question en science politique, des dissimulations de Nixon déclenchant le fameux « Watergate » à toutes les autres affaires de secrets, d"écoutes et de mensonges qui surgissent régulièrement dans la vie politique de tous les pays, l"élément -gate étant même devenu un outil néologique productif (Camillagate, Monicagate, Foreclosure-gate, Irangate et tout récemment DSK-gate). La vie sociale elle aussi est ponctuée de « mensonges blancs », selon une appellation issue de Thomas d'Aquin, qui arrondissent les angles et évitent les guerres, froides ou déclarées. Et il n'est pas si sûr que la vérité soit toujours considérée comme une chose bonne (à dire) et conforme à la morale.

Le messager de vérité, une figure ambiguë

Une plongée dans les dictionnaires des proverbes du monde contredit en effet à la fois l"idée d"un devoir universel de vérité, la nécessité naturelle de la vérité dans la langue et jusqu"au caractère vertueux de la vérité. Une bonne partie des proverbes, tous pays et langues confondus, qui mentionnent la vérité la présentent en effet comme un discours dangereux, à même de condamner son diseur à la marginalité, l"exil, voire la mort. Quelques exemples:

-Trois sortes de gens disent la vérité : les sots, les enfants et les ivrognes -Une vieille erreur a plus d'amis qu'une nouvelle vérité -On frappe toujours le violoneux de la vérité avec son propre archet -Celui qui dit la vérité doit s'attendre à être expulsé de neuf villes -Qui dit tout haut la vérité risque de manquer d'abri -Celui qui dit toujours la vérité ne trouvera jamais un asile -Si tu dis la vérité, point ne pèches, mais que de maux tu suscites ! -Avec la vérité qui nous accompagne, on va partout, même en prison ! -Celui qui dit la vérité doit avoir son cheval sellé Être un messager de vérité n'est donc guère confortable, et cela dans presque toutes les cultures. L'inconfort se transforme en danger si la nouvelle apportée est à la fois vraie et funeste. Il existe de nombreux exemples philosophiques et littéraires de cette figure négative du messager. L"adage d"Érasme «Legatus non caeditur, neque violatur » (Adages, 4.7.20) insiste sur cette ambiguïté périlleuse du statut du diseur de vérité. Cette conception de la parole insupportable du messager survient deux fois dans L"Antigone de Sophocle, de la bouche même du gardien au moment où il annonce que Polynice a reçu une sépulture (« Les mauvaises nouvelles sont fatales à qui les apporte », v. 276), et plus tard de la part de Créon quand le messager vient lui dire la mort d"Eurydice (« Messager, courrier d'atroces tourments, que viens-tu m'apporter? », v. 1290). L"adage est repris par Shakespeare dans Henri IV et Le roi Lear, et l"expression s'est déclinée en différentes variantes. Ne tirez pas sur le messager fournit en effet une sorte de modèle discursif qui varie ses cibles: ne tirez pas sur le pianiste, sur le shérif, sur le trader, et même sur la coccinelle asiatique (rencontré sur un blog de jardinage) ou sur les Lions indomptables (trouvé dans un article sur la célèbre équipe de football camerounaise)

Le messager inaudible est presque une figure de la sagesse morale et politique, comme le montre la fameuse maxime de Chamfort, dans un chapitre sur la France, l"esclavage et la liberté: « En France, on laisse en repos ceux qui mettent le feu, et on persécute ceux qui sonnent le tocsin » (1923 [1795] VIII, D: 171). On n'aime pas celui qui apporte une mauvaise nouvelle, parce qu'il annonce des contenus malheureux, certes, mais surtout parce qu'il dérange l'ordre social et trouble le confortable déni qui fait tenir les sociétés.

B. Stanford a intitulé l'un de ses livres Don't Shoot the Messenger: How Our Growing Hatred of the Media Threatens Free Speech for All of Us: il y montre que la haine des messagers de mauvaises nouvelles que sont les medias remet gravement en cause la liberté d'expression dans l'ensemble de la société. À partir du moment où l'on « tire sur le messager », alors la vérité est bâillonnée et ne sont alors plus formulées que les « bonnes » nouvelles ou les informations acceptables parce que consensuelles.

La vérité n'est pas toujours bonne à dire, dit le proverbe. La figure du messager, « homme à abattre », est l'une des incarnations de cette sagesse ambiguë. Il en existe une autre, issue de la philosophie grecque, le parrèsiaste.

Le parrèsiaste ou le courage de la vérité

Dans son dernier cours au Collège de France donné en 1984, édité sous le titre Le courage de la vérité (2009), M. Foucault développe longuement une figure antique du diseur de vérité, le parrèsiaste, celui qui pratique la parrêsia. Elle « consiste à dire, sans dissimulation ni réserve ni clause de style ni ornement rhétorique qui pourrait la chiffrer et la masquer, la vérité. Le « tout-dire » est à ce moment-là: dire la vérité sans rien en cacher, sans la cacher par quoi que ce soit » (2009, p. 11). Traduisible selon lui par « franc-parler », la parrêsia est un dire-vrai qui constitue une vertu essentiellement politique. Il existe également un sens apostolique et spirituel de la parrêsia, trait fondamental de la parole du prophète. La notion apparaît assez souvent dans le Nouveau testament où elle est plutôt traduite dans le vocabulaire de la confiance, de l"assurance et de la parole ouverte. Cette manière de « tout dire » recèle cependant l'ambiguïté fondamentale attachée à la notion même de vérité: la parrêsia peut en effet devenir une menace pour la démocratie en y introduisant des différences de légitimité, et elle peut aussi franchir les limites psychiques de l'acceptable en se muant en franchise perverse. M. Foucault précise dans Le courage de la vérité que dire le vrai n"est pas suffisant pour qu"il y ait parrêsia: « […] il faut que le sujet, en disant cette vérité qu'il marque comme étant son opinion, sa pensée, sa croyance, prenne un certain risque, risque qui concerne la relation même qu'il a avec celui auquel il s'adresse » (2009, p. 12). Et c"est de ce risque que vient, en termes éthiques, la valeur de ce dire vrai: « D'où ce nouveau trait de la parrêsia: elle implique une certaine forme de courage, courage dont la forme minimale consiste en ceci que le parrèsiaste risque de défaire, de dénouer cette relation à l'autre qui a rendu possible précisément son discours » (2009, p. 13). M. Foucault peut alors donner de la parrêsia une définition synthétique, qui présente la notion dans le cadre d'un contrat de parole: « La parrêsia est donc, en deux mots, le courage de la vérité chez celui qui parle et prend le risque de dire, en dépit de tout, toute la vérité qu"il pense, mais c"est aussi le courage de l"interlocuteur qui accepte de recevoir comme vraie la vérité blessante qu"il entend » (2009, p. 14).

La notion de parrêsia et la figure du parrèsiaste, dont Démosthène est un prototype, est présente chez Sénèque, Plutarque, Gallien. M. Foucault insiste sur la vertu de courage qu"il présente comme véritablement structurelle à la parrêsia, courage qu"il associe également à la noblesse: « Un homme par conséquent qui parle pour des motifs nobles, et qui, pour ces motifs nobles, s'oppose à la volonté de tous, celui-là, dit Socrate, s'expose à la mort » (2009, p. 37). Mais c'est sur la philosophie cynique qu'il s'arrête longuement pour illustrer cette posture de parole aux dimensions éthique et politique. Il mentionne en particulier une description du philosophe cynique par Epictète, qui propose une figure bien intéressante pour notre série, celle de l'éclaireur: « Epictète explique que le rôle du cynique, c'est d'exercer la fonction d'espion, d'éclaireur.

Et il emploie le mot kataskopos, qui a un sens précis dans le vocabulaire militaire: ce sont des gens qu'on envoie un peu en avant de l'armée pour regarder aussi discrètement que possible ce que fait l'ennemi. C'est cette métaphore qu'Epictète utilise ici, puisqu'il dit que le cynique est envoyé comme éclaireur en avant, au delà du front de l'humanité, pour déterminer ce qui, dans les choses du monde, peut être favorable à l'homme ou peut lui être hostile » (2009, p. 154).

Après cette marche en avant toujours solitaire, l'éclaireur, explique Foucault, revient parmi les hommes pour « annoncer la vérité, annoncer les choses vraies sans […] se laisser paralyser par la crainte » (2009, p. 155). Cette pratique du dire vrai est articulée à un mode de vie, dont la célèbre figure de Diogène est l'illustration: un mode de vie qui a éliminé « toutes les conventions inutiles » et « toutes les opinions superflues », une philosophie qui réduit la vie à elle-même: « Je n'ai ni femme, ni enfant ni palais de gouverneur, mais la terre seule et le ciel et un vieux manteau. Et qu'est-ce qui me manque ? Ne suis-je pas sans chagrin et sans crainte, ne suis-je pas libre ? » (parole du philosophe cynique dans les Entretiens d'Epictète).

Parrêsia est également un mot important dans le lexique de la Bible, qui reçoit des traductions un peu différentes de « franc-parler » ou « dire vrai ». Les équivalents appartiennent plutôt au champ de la confiance, qui, quand elle se fait parole publique, correspond à la franchise ou la liberté de parole. La traduction du mot n'est pas stable dans la Bible, et il est donc difficile de repérer le mot dans le texte en français. N. Adeline décrit cette situation lexicale: Il cite ensuite plusieurs passages où apparaît, derrière ses traductions, le mot de parrêsia. Par exemple, dans l"Évangile selon Saint Jean, Jésus répond à des contradicteurs avec « hardiesse » lors de la fête des Tentes et impressionne les habitants de Jérusalem qui n'osent cependant, par crainte, « parler ouvertement » de ce diseur de vérité: « Personne ne parlait librement de Jésus » (Jean 7, 13). Il s"adresse alors à la foule, et se décrit lui-même en parrèsiaste: « Quelques habitants de Jérusalem disaient: "N'est-ce pas celui qu'ils cherchent à tuer ? Le voilà qui parle librement, et les Juifs ne lui disent rien"» (Jean 7, 26).

Dans les Actes des apôtres, cette qualité de parole attribuée à Jésus touche aussi Pierre et Jean, qui comparaissent devant le Sanhédrin, accusés de diffuser les enseignements de Jésus. Les chefs des Juifs, les anciens et les scribes sont étonnés devant « l'assurance » des apôtres: « En voyant l"assurance de Pierre et de Jean, ils étaient étonnés, car ils se rendaient compte que c"étaient des gens du peuple sans instruction. Ils reconnaissaient en eux ceux qui étaient avec Jésus. Mais comme ils voyaient debout auprès d"eux l"homme guéri, ils n"avaient rien à répliquer » (Actes 4, 13-14).

N. Adeline conclut en présentant « un des passages les plus riches du Nouveau

Testament sur les valeurs de la conviction, de l'assurance, de la parrêsia ». Ce sont les dernières paroles de Jésus à ses disciples:

Et les disciples reprennent les paroles de Jésus: « Maintenant tu parles ouvertement et tu ne tiens plus des discours figurés. Maintenant nous savons que tu sais tout et que tu n'as besoin que personne t'interroge; c'est pourquoi nous croyons que tu es sorti de Dieu » (Jean 16, 29).

On voit donc, à partir de ces deux traditions, la philosophie cynique et la naissance du christianisme, que la parrêsia appartient à un type de vérité hétérodoxe, qui va à l'encontre des pratiques langagières habituelles et reconnues d'une société ou d'un groupe. Le diseur de vérité n'est pas un simple locuteur; c'est un prophète, audacieux et combatif, marginal et condamné (parfois à mort), qui assume toutes les ambiguïtés du discours de vérité quand il prend une dimension politique.

Le parrèsiaste est donc un locuteur muni de cette vertu de courage qui est pour Aristote une vertu politique, celle de l"homme libre, et qui sera d'ailleurs pour Thomas d"Aquin la première des vertus, celle qui permet les autres. En même temps, il est aussi porteur d'une menace politique, la démocratie se trouvant considérablement fragilisée par le dire vrai, qui introduit une hiérarchie de valeur dans les différents discours. M. Foucault formule très clairement cette ambiguïté de la vérité publiquement et donc politiquement dite. D'un certain côté, la parrêsia empêche la folie totalitaire qui repose sur la soumission silencieuse des citoyens: « À partir du moment où on n'a pas la parrêsia on est [...] obligé de supporter la sottise des maîtres. Et rien de plus dur que d'être fou avec les fous, d'être sot avec les sots. Cette mention du fait que, sans parrêsia, on est en quelque sorte soumis à la folie des maîtres, cela veut dire quoi et montre quoi ? Eh bien, cela montre que la parrêsia a pour fonction justement de pouvoir limiter le pouvoir des maîtres. Quand il y a de la parrêsia, et que le maître est làle maître qui est fou et qui veut imposer sa folie, que fait le parrèsiaste, que fait ce-lui qui pratique la parrêsia ? Eh bien justement, il se lève, il se dresse, il prend la parole, il dit la vérité. Et contre la sottise, contre la folie, contre l'aveuglement du maître, il va dire le vrai, et par conséquent limiter par là la folie du maître. A partir du moment où il n'y a pas de parrêsia, alors les hommes, les citoyens, tout le monde est voué à cette folie du maître » (2009, p. 148).

De l'autre, la parrêsia est rendue impossible par la conservation de la démocratie: les sociétés et institutions démocratiques, explique M. Foucault, ne peuvent accueillir ni même supporter le discours de la vérité sur ce mode de la franchise, car il faudrait alors soutenir l"idée d"un « partage éthique » ou « différenciation éthique ». Cela conduirait à distinguer les citoyens selon leur degré de proximité avec la vérité, donc de faire la différence « entre ceux qui sont bons et ceux qui sont mauvais, entre les meilleurs et les pires », ce qui contrevient à l"idée même de démocratie comme « champ politique défini par l'indifférence entre les sujets parlants » (2009, p. 44). On verra plus bas à quel point cette analyse de M. Foucault est juste: les sociétés ne supportent pas, à tous les sens du terme, que les vérités, surtout celles qui ne sont pas bonnes à dire, soient dites, et elles ont en ce sens un lourd programme de travail, à la fois social, discursif et politique, à accomplir pour l'amélioration éthique de la circulation de la parole.

Le whistleblower ou le tragique de la vérité

En 1987, S. Langton réalise The Whistle Blower, un film tiré d"un roman de J. Hale qui porte le même titre. Michael Caine y interprète Frank Jones, vétéran de la Seconde guerre mondiale porteur d"une haute idée de la Grande-Bretagne, qui enquête sur la mort mystérieuse de son fils Bob, employé comme spécialiste de russe par les services secrets britanniques. Le slogan du film est: « Dans le monde secret des dissimulations gouvernementales, le seul homme qui ose dire la vérité survivra-t-il ? ». L"enquête se révèle difficile et dangereuse, Frank Jones affrontant le maillage épais du silence, du mensonge et de la corruption, qui recouvre la vérité, inaudible en pleine guerre froide, du meurtre de son fils. Il devient donc cet homme « qui parle pour des motifs nobles, et qui, pour ces motifs nobles s'oppose à la volonté de tous » dont parle Socrate. Comme le roman, le film est largement occupé par des réflexions sur le dévoilement impossible de la vérité, la puissance de la raison d"État et la culture de la dissimulation des agents de services secrets.

Cette année est attendu un film du même nom (à la soudure graphique près), The Whistleblower, réalisé par l"Américaine Larysa Kondracki, et interprété par Rachel Weisz. Signe des temps sans doute, et film de femme, le diseur de vérité est une diseuse, personnage inspiré d"une policière du Nebraska, Kathryn Bolkovac, envoyée en Bosnie après la guerre dans un dispositif de maintien de la paix, et qui découvre un trafic sexuel impliquant des fonctionnaires de l"ONU. Le slogan du film, un peu différent du précédent est: « Pourra-t-elle atteindre la vérité avant de se faire prendre? » Le whistleblower, c"est celui qui donne un coup de sifflet (to blow a whistle), c"està-dire qui révèle un dysfonctionnement grave qui a lieu dans une organisation. Au sens propre, le terme désigne le policier qui signale une infraction ou un crime par un coup de sifflet destiné à la fois à appeler ses collègues et à alerter la population d"un danger. Métaphoriquement il désigne un individu qui pratique le « whistleblowing », c"est-à-dire qui révèle « des pratiques illégales, immorales ou illégitimes couvertes par ses employeurs, à des personnes ou des organisations susceptibles d'intenter une action », selon la définition proposée par deux juristes australiens (BROWN, LATIMER 2008: 768). La plupart des whistleblowers sont des « internal whistleblowers», c"est-à-dire qu"ils révèlent des dysfonctionnements dans leur propre société ou organisation, la révélation concernant une organisation extérieure à l"agent étant plutôt rare. Il existe quelques figures célèbres de whistleblowers, régulièrement citées et constituées en exemples: Sherron Watkins, qui a révélé le scandale Enron en 2001, Joe Darby, à l"origine des révélations sur les maltraitances et les pratiques de torture à la prison d"Abu Graïb en 2004 ou Jeffrey Wigand, qui révèle dans les années 1990 comment la firme de tabac qui l"emploie ment sur les effets de la nicotine. Un film a été réalisé à partir de cette histoire, The Insider (un film de Michael Mann sorti en 1999 et interprété par Russell Crowe), et d"autres whistleblowers sont mis en scène au cinéma, la plupart du temps dans des blockbusters soutenus par des acteurs prestigieux, comme la célèbre Erin Brokovich, qui donne son nom à un film de Steven Soderbergh en 2000, où le personnage est interprété par Julia Roberts. Le « film de whistleblower » est désormais un véritable sous-genre cinématographique. Tout récemment, l'affaire Wikileaks a mis sur le devant de la scène un Whistleblower géant: le site est en effet entièrement dédié au whistleblowing, dans la plus pure tradition américaine de la révélation des procédures cachées, du démasquage des mensonges d'État et de la mise au jour de la vérité, avec en prime la figure romanesque de son fondateur, Julian Assange, et l'utilisation inédite jusqu'à présent du support de diffusion du web.

La définition donnée plus haut est l"une de celles qui reçoit l"accord des spécialistes de la question. En effet, le whistleblower, figure courante dans la culture anglosaxonne, dans la réalité des pratiques et dans les discours, est au centre d"un important domaine de recherche scientifique. Les whistleblowers sont des figures abondamment observées et théorisées aux États-Unis, au Canada, en Grande-Bretagne et en Australie. Il existe de nombreux travaux sur le whistleblowing en droit (une question essentielle étant sa protection juridique), en science politique, en sociologie, en éthique médicale, en psychologie, etc. Cette figure n"est pas du tout traitée en France, où des sociologues autour de F. Châteauraynaud ont proposé celle du « lanceur d"alerte », très différente, en particulier sur la plan moral: si le whistleblower constitue une figure à fort coefficient d"éthicité, et travaillée comme telle par les chercheurs, la figure du lanceur d"alerte a été construite en dehors de la problématique morale, et, à l'origine, dans le contexte des risques naturels. Mais dans les faits, il existe parfois des confusions entre les deux notions.

Je rapproche le whistleblower du parrèsiaste car, exactement comme le diseur de vérité antique, le whistleblower est la victime paradoxale de l"impossibilité de la société à entendre un discours de vérité: admiré pour l"honnêteté de sa parole et pour sa vertu de courage, il est cependant, et tout en même temps, stigmatisé et marginalisé, parfois très durement, pour les conséquences négatives de sa parole sur l"entreprise ou l"organisation, mais surtout sur les relations sociales qui la constituent. Le philosophe australien P. Bowden, spécialiste de philosophie morale, et qui s"intéresse de près au whistleblowing, décrit bien cette situation: "Whistleblowers are regarded as heroespeople who place a very high value on honesty and ethical behaviour within their organisations. The women who exposed the criminal activities of the senior executives of Enron and WorldCom or Coleen Rowley of the FBI, who stated publicly that her agency"s testimony to a Senate hearing on the September 11 disaster was seriously flawed, were feted nationally, placed on the front cover of TIME magazine and proclaimed Persons of the Year. Reality is far different. Country after country in the western world and every state in Australia has been forced to pass legislation that protects whistleblowers from reprisals from their colleagues or superiors. With very few exceptions, including the whistleblowers of Enron and WorldCom, whistleblowers will lose their jobs or be forced to resign. Study after study has demonstrated the victimisation that whistleblowers suffer, victimisation that can originate from otherwise quite honest and trustworthy work associates. Consistent case study evidence indicates that whistleblowing, even when acknowledged to be meritorious, typically results in victimisation of whistleblowers" (Bowden 2005: 1).

Toutes les enquêtes montrent en effet, rappelle-t-il dans la suite de son article, que les whistleblowers qui diffusent au grand jour de mauvaises pratiques à grande échelle ou particulièrement dangereuses, sont la plupart du temps persécutés et courent de ce fait un véritable danger. La persécution des whistleblowers est devenue une question importante dans plusieurs pays: bien qu"ils soient en principe protégés des représailles de leurs employeurs par la loi, dans les faits de nombreuses affaires ont montré que les whistleblowers étaient sanctionnés par divers moyens, rétrogradation, retenues sur salaires, suspension, « mise au placard », harcèlement, et même maltraitance psychique grave.

C"est la raison pour laquelle plusieurs pays en particulier l"Australie et les États-Unis, particulièrement en avance sur ce point, ont mis en place un arsenal juridique de protection. Aux États-Unis, des mesures de protection ont été prise depuis le False Claims Act qui a légitimé le whistleblowing en 1863, relayé par le Lloyd La Follette Act en 1912, jusqu"au récent « Whistleblower Protection Act » de 2007. Un « National Whistleblower Center » a été crée en 1988. En Australie, des lois de protection des whistleblowers ont été discutées et adoptées dans tous les états dans les années 1990 et 2000.

Mais comme le signalent A.J. Brown et P. Latimer, « il est important que les lois sur les whistleblowers promeuvent une culture dans laquelle les révélations honnêtes soient respectées, valorisées et même récompensées » (2008: 768). La vertu du whistleblower dépend en effet de son environnement: les démocraties sont sans doute plus aptes à accepter le whistleblowing, puisqu"elles soutiennent en principe la transparence, la liberté d"expression et la responsabilité, que les régimes dictatoriaux ou autoritaires.

J"ai envisagé jusqu"à présent le whistleblowing du côté des discours, mais certains travaux portent sur les dispositions des agents. La plupart des auteurs, en particulier ceux qui travaillent sur les dimensions morale et psychique du whistleblowing, comme C.F. Alford, soulignent que les whistleblowers ont des motivations variées, que l"on ne peut ramener à une seule catégorie, mais que tous partagent la conviction que ce ne serait pas moralement acceptable de ne pas parler. Il existe donc, comme pour le parrèsiaste, une véritable dimension morale de la parole du whistleblower, qui prend le risque d"une disqualification personnelle pour le bien et parfois la sauvegarde de la communauté, au terme d"une réflexion proprement éthique. Ce phénomène, C.F. Alford l"appelle le « narcissisme moralisé » (narcissism moralized), concept très intéressant et suffisamment fin pour spécifier cette posture particulière de parrêsia moderne. Dans son ouvrage de 2001 intitulé Whistleblowers: Broken Lives and Organizational Power, C.F. Alford explique que le narcissisme n"est pas réductible à la conception de sens commun d"amour de soi et d"incapacité à prendre l"autre en compte, mais peut constituer « une source profonde et puissante de moralité, menant certains narcisses à sacrifier leurs biens humains pour une idée noble » (2001: 78). Dans un article plus récent sur les récits de vie des whistleblowers, recueillis dans un centre d"accueil et de repos, ouvert par un ancien whistleblower qui y organise des groupes de parole, C.F. Alford décrit les « vies brisées » de ces (trop) vertueux agents: "Most whistle-blowers are fired (though it is admittedly difficult to measure these things).

Theirs is an act of considerable consequence, especially when one considers that among fired whistleblowers, most will lose their homes and ultimately, their marriages. A majority will turn to alcohol or drugs for some period during their long journey" (ALFORD 2007 en ligne).

Il explique que les commentaires des whistleblowers sur leurs actes présentent des récurrences importantes, qu"il illustre par ce discours prototypique, reconstitué à partir de plusieurs témoignages: « I did it because I had to ... because I had no other choice ... because I couldn't live with myself if I hadn't done anything ... because it was speak up or stroke out.... What else could I do? I have to look at myself in the mirror every morning? » (2007: en ligne). C.F. Alford propose pour nommer cette posture morale inédite et paradoxale la catégorie du "choiceless choice" (le choix sans choix). Il montre également que les récits des whistleblowers sont déficients dans leur aptitude à produire du sens et attribue ce déficit à la réception du récit plus qu"à sa production, le whistleblower soulignant fréquemment que son discours n"est pas entendu, ce qui rejoint l"inacceptabilité dont M. Foucault dote la parrêsia. On peut dire que le récit du locuteur pris par le narcissisme moralisé n"est pas ajusté aux valeurs de l"environnement, en tout cas dans les sociétés démocratiques contemporains; il est inajusté aux discours acceptables, à la décence des relations entre agents, et à la réalité du monde, la plupart des individus qui sont dans l"entourage des whistleblowers préférant ignorer la perturbation majeure qu"ils produisent.

Certains auteurs travaillent à réduire voire éliminer cet inajustement, en particulier dans le domaine de l"éthique médicale. Le juriste australien T.A. Faunce, spécialisé dans le droit médical et l"éthique médicale, estime que le whistleblowing en milieu médical (healthcare whistleblowing) souffre encore du paradoxe qui fait du whistleblower un « paria », alors que toutes les études montrent que les whistleblowers sont très généralement sincères dans leur désir d"appliquer les vertus fondamentales et les principes de l"éthique médicale [START_REF] Faunce | Developing and Teaching the Virtue-Ethics Foundations of Healthcare Whistle Blowing[END_REF]. Pour lui, ce paradoxe est dû au fait qu"il n"existe pas, dans les théories comme dans les enseignements d"éthique médicale, de fondement éthique de ce comportement. Sa collègue américaine V. Lachman, spécialiste de bioéthique à l"université Drexel de Philadelphie, est également très favorable à l"intégration d'une l"éthique du whistleblowing dans la formation médicale, de manière à ce que le whistleblowing en milieu médical finisse, un jour, idéalement, par disparaître [START_REF] Lachman | Whistleblowers: Troublemakers or Virtuous Nurses ?[END_REF].

La figure du whistleblower est donc une figure d"agent moral, que son discours

«

  Dans le Nouveau Testament les attestations de ces deux mots sont nombreuses: parrêsia et parrêsiazomai se rencontrent une quarantaine de fois et nous noterons que la répartition de ces attestations est irrégulière. Aucun emploi chez Matthieu. Un seul emploi chez Marc. Mais des emplois dans l"Évangile selon Jean et le reste dans les Actes et les Epîtres. Rien d"étonnant à ce qu"on rencontre souvent, dans les textes centraux de la proclamation apostolique, un mot qui exprime l"assurance et la force de la conviction » (« Parresia, l"assurance », blog biblique.fr, 2006).

«

  Je vous ai dit tout cela en discours figurés. L"heure vient où je ne vous tiendrai plus de discours figurés, mais où je vous annoncerai ouvertement [« en toute clarté » dans une autre version] ce qui concerne le Père. En ce jour-là vous demanderez en mon nom, et je ne vous dis pas que c"est moi qui demanderai au Père pour vous; en effet le Père lui-même est votre ami, parce que vous, vous avez été mes amis et vous avez acquis la conviction que, moi, je suis sorti de Dieu. Je suis sorti du Père et je suis venu dans le monde; maintenant je quitte le monde et je vais vers le Père » (Jean 16, 25-28).