Éphane St

Sabourau
email: sabourau@gargan.math.univ-tours.fr.

SYSTOLES DES SURFACES PLATES SINGULI ÈRES DE GENRE DEUX

The extremal metrics for the isosystolic problem on surfaces of genus two are studied in this paper. We show that, contrary to Calabi's conjecture in genus three, no flat metric with conical singularities is extremal for this problem in genus two.

Introduction

Soit M une variété riemannienne fermée non simplement connexe munie d'une métrique g. La systole de M , notée sys(M, g), est la borne inférieure des longueurs des courbes fermées non contractiles. Dans le cas où la variété est fermée, elle est atteinte par une géodésique fermée non homotopiquement triviale. Malgré le léger risque de confusion, nous appellerons aussi systoles de M les plus courtes géodésiques fermées non homotopiquement triviales.

La géométrie systolique est née en 1949 lorsque la première inégalité isosystolique du type σ(M, g) :=

Vol(M, g) sys(M, g) n ≥ C où C est une constante strictement positive indépendante de la métrique g, fut établie pour le tore 2-dimensionnel par Loewner dans un travail non publié (voir [START_REF] Berger | Systoles et applications selon Gromov[END_REF] pour une présentation du sujet). Depuis les travaux d'Accola et Blatter en 1960 (voir [START_REF] Accola | Differential and extremal lengths on Riemann surfaces[END_REF] et [START_REF] Blatter | Über extremallängen auf geschlossenen flächen[END_REF]), complétés dans [START_REF] Burago | Geometric inequalities[END_REF]Chap. 5.3], [START_REF] Hebda | Some lower bounds for the area of surfaces[END_REF] et [START_REF] Gromov | Filling Riemannian manifolds[END_REF], nous savons que chaque surface fermée non simplement connexe satisfait une inégalité isosystolique. En dimension supérieure, M. Gromov a montré dans [START_REF] Gromov | Filling Riemannian manifolds[END_REF] que chaque variété essentielle satisfait une inégalité isosystolique. Une réciproque peut être trouvée dans [START_REF] Babenko | Asymptotic invariants of smooth manifolds[END_REF].

L'inégalité de Loewner, Aire(T 2 , g) ≥ √ 3

2 sys(T 2 , g) 2 , est de plus optimale : l'égalité est satisfaite si et seulement si le tore (T 2 , g) est isométrique à un tore plat équilatéral. Hormis cette inégalité, seules deux autres inégalités isosystoliques optimales sont connues à ce jour. Il s'agit des inégalités

σ(RP 2 ) ≥ 2 π et σ(K 2 ) ≥ 2 √ 2
π établies respectivement en 1951 par Pu pour le plan projectif réel (voir [START_REF] Pu | Some inequalities in certains nonorientable manifolds[END_REF]) et en 1986 par C. Bavard pour la bouteille de Klein (voir [START_REF] Bavard | Inégalité isosystolique pour la bouteille de Klein[END_REF], [START_REF] Bavard | Inégalités isosystoliques conformes pour la bouteille de Klein[END_REF] et [START_REF] Sakai | A proof of the isosystolic inequality for the Klein bottle[END_REF]). Le cas d'égalité pour le plan projectif réel est réalisé par la métrique ronde standard. En revanche, le cas d'égalité pour la bouteille de Klein est réalisé par une métrique singulière, l'égalité n'étant atteinte pour aucune métrique lisse. Pour les autres surfaces ainsi que pour les variétés de dimension supérieure, aucune inégalité optimale n'est connue. Pour une notion de systole étendue aux groupes discrets d'isométries de variétés riemanniennes, les métriques extrémales des 17 groupes cristallographiques du plan et des groupes du triangle ont été décrites dans [START_REF] Bavard | L'aire systolique conforme des groupes cristallographiques du plan[END_REF].

Une métrique réalisant un minimum local de la fonctionnelle σ est dite extrémale. L'existence de métriques extrémales pour le problème isosystolique sur les surfaces a été démontrée dans [15, theorem 5.6.C']. Les métriques extrémales des surfaces de genre supérieur à deux ont ensuite été étudiées dans [START_REF] Calabi | Extremal isosystolic metrics for compact surfaces, Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle[END_REF]. Selon [9, p. 309], ces dernières ne sont pas lisses. Dans [START_REF] Calabi | Extremal isosystolic metrics for compact surfaces, Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle[END_REF], E. Calabi décompose les surfaces en différents domaines sur lesquels les métriques plates sont solutions de l'équation d'Euler-Lagrange d'un problème variationnel associé. De plus, il présente deux exemples de métriques plates à singularités coniques sur la surface orientable de genre trois qu'il conjecture extrémales pour le problème isosystolique. Il montre aussi que les métriques extrémales sont plates au voisinage des points par lesquels passent deux systoles exactement. Poursuivant cette étude, R. Bryant démontre que les surfaces extrémales sont plates sur les ouverts en chaque point desquels passent exactement k systoles avec k ≥ 5 (voir [START_REF] Bryant | On extremals with prescribed lagrangian densities, Manifolds and geometry[END_REF]). Dans [START_REF] Berger | Filling Riemannian manifolds or isosystolic inequalities, Global Riemannian geometry[END_REF], M. Berger reprend un exemple, introduit auparavant dans [15, Example 5.6.B'], de métrique plate à singularités coniques sur la surface orientable de genre deux qu'il conjecture extrémale. Notons que chacune des métriques plates singulières précédemment citées est extrémale pour le problème isosystolique conforme, i.e., lorsque l'on restreint l'espace des métriques à une classe conforme. On se réfèrera à ce propos à [2, Chap. 4] et [START_REF] Bavard | Inégalités isosystoliques conformes[END_REF] pour une description de la méthode des longueurs extrémales.

À la lumière de ces résultats et conjectures, les métriques plates à singularités coniques apparaissent comme une classe de métriques intéressantes à étudier en rapport avec le problème isosystolique sur les surfaces. Une étude attentive du problème sur les surfaces de genre deux permet cependant de montrer le résultat suivant. Théorème 0.1. Aucune métrique plate à singularités coniques n'est extrémale pour le problème isosystolique sur les surfaces fermées orientables de genre deux.

Tout au long de cet article, nous raisonnons par l'absurde en considérant une surface M de genre deux munie d'une métrique plate à singularités coniques, extrémale pour le problème isosystolique. L'idée principale consiste à remarquer (Proposition 2.5 et Proposition 2.7) que les positions relatives de certaines systoles au voisinage des singularités coniques sont déterminées par la forme d'intersection de la surface. En utilisant cette propriété, nous établissons tout d'abord des résultats de finitude sur le nombre de systoles (Lemme 3.1, Lemme 3.3 et Proposition 3.4). Nous décrivons ensuite la combinatoire des systoles autour des singularités coniques (Proposition 4.1) et déduisons des résultats de rigidité sur l'angle de ces singularités (Proposition 4.1 et Proposition 4.3). Nous analysons finalement les conséquences sur la géométrie de la surface et montrons que M est nécéssairement formée de trois cylindres plats identifiés le long de leurs bords. Nous concluons en remarquant que cette construction, étudiée dans l'exemple 1.2, n'est pas extrémale pour le problème isosystolique.

Cet article est composé de cinq sections. Dans la première, nous introduisons quelques généralités et décrivons un exemple. Dans la deuxième section, nous relions la géométrie combinatoire de certaines systoles passant par une singularité conique à la forme d'intersection de la surface M . Dans la troisième section, nous dénombrons les systoles autour des singularités coniques. Dans la quatrième section, nous décrivons les positions relatives des systoles au voisinage des singularités coniques de M et montrons que l'angle de ces dernières vaut 3π. La dernière partie est consacrée à la preuve du théorème, laquelle consiste à ramener le problème à l'exemple étudié dans la première section.

Généralités et exemples

Nous commençons par énoncer le résultat suivant dû à E. Calabi (voir [14,Chapître 2]). Ce résultat sera utilisé à plusieurs reprises par la suite.

Lemme 1.1. Soit M une surface fermée extrémale pour le problème isosystolique.

-Au moins deux systoles passent par chaque point de M . -Si deux systoles exactement passent par un point de M , la métrique est plate au voisinage de ce point et les deux systoles sont orthogonales.

Les définitions et généralités suivantes ont été établies dans [START_REF] Troyanov | Les surfaces euclidiennes à singularités coniques[END_REF]. Fixons θ ∈ R. Le quotient de {(r, α) ∈ R + × R/θZ} par {(0, α) | α ∈ R/θZ}, muni de la métrique ds 2 = dr 2 + r 2 dα 2 , représente le cône d'angle θ. Il est noté C θ . Le plan complexe C muni de la métrique ds 2 = |z| 2β |dz| 2 où β = θ 2π -1 est isométrique à C θ . L'origine de C s'identifie au sommet du cône. Une surface possède une métrique plate à singularités coniques (x i ) d'angles (θ i ) si la surface M \ {x i | i ∈ I} est localement euclidienne et s'il existe un voisinage de x i dans M , isométrique à un voisinage du sommet de C θ i pour chaque i ∈ I. Remarquons que si la surface M est fermée, le nombre de singularités coniques est fini. [START_REF] Bavard | Inégalités isosystoliques conformes[END_REF]Sect. 4.4]). Toutefois, elle n'est pas extrémale dans l'ensemble des métriques de M . En effet, un "twist" le long de la géodésique R/Z × { 1 4 } de C 1 ne change pas le taux isosystolique de M . La nouvelle métrique ainsi obtenue n'est pas extrémale puisqu'il existe des points par lesquels ne passe qu'une systole (voir le lemme 1.1). Par conséquent, le taux systolique de M ne réalise pas de minimum local. Plus généralement, aucune systole obtenue en recollant trois cylindres plats rectangles de différentes hauteurs le long d'arcs de leurs bords n'est extrémale.

Exemple 1.2. Soient C 1 , C 2 et C 3 trois copies du cylindre plat R/Z × [0, 1 2 ] muni de la métrique produit. Notons α i , α ′ i , β i et β ′ i les arcs du bord de C i correspondant respectivement à [0, 1 2 ] × {0}, [ 1 2 , 1] × {0}, [0, 1 2 ] × { 1 2 } et [ 1 2 , 1] × {
Les formules de Gauss-Bonnet pour les surfaces compactes plates à singularités coniques et pour les disques polygonaux plats à singularités coniques et arêtes géodésiques s'écrivent respectivement

(2π -θ i ) = 2πχ(M ) (1.1) (2π -θ i ) + (π -α i ) = 2π (1.2)
Les angles des singularités coniques et les angles intérieurs aux coins des disques polygonaux sont représentés par θ i et α i . L'entier χ(M ) désigne la caractéristique d'Euler. On pourra consulter [START_REF] Troyanov | Les surfaces euclidiennes à singularités coniques[END_REF] à ce sujet.

Géométrie des systoles : indices et intersections

Dans la suite de cet article, la surface M est supposée être une surface fermée orientable de genre deux munie d'une métrique plate à singularités coniques, extrémale pour le problème isosystolique. On suppose la métrique normalisée de sorte que la longueur des systoles de M soit égale à 1.

Nous étudions dans cette section l'intersection des systoles de M . Nous montrons en particulier dans la proposition 2.5 que deux systoles homologues passant par une même singularité sont confondues. Nous montrons aussi dans la proposition 2.7 que la géométrie combinatoire des systoles au voisinage d'une singularité conique est reliée à la forme d'intersection de la surface.

et γ 2 s'identifient à S 1 × {0} et S 1 × {h}.
Supposons que les courbes non transversales γ 1 et γ 2 ne sont pas disjointes. Elles ont alors une singularité conique x en commun. Dans le cylindre C, le point x induit deux points Soit D un disque adapté à x. Considérons une systole régulière γ ′ passant par un point générique x ′ de D ∩ C et coupant γ 1 dans D ∩ C. La systole γ ′ varie continûment avec x ′ au travers d'une famille γ ′ t de systoles parallèles. L'angle que forment ces systoles avec γ 1 est donc constant non nul. À la limite, quand x ′ tend vers x, on obtient une systole γ issue de x passant par C. Puisque la longueur des arcs γ ′ t ∩ D est constante strictement inférieure à 1, la géodésique γ, issue de

x 0 et x h , où x 0 ∈ S 1 × {0} et x h ∈ S 1 ×
x 0 ∈ S 1 × [0, h], sort du cylindre en coupant γ 2 en un point x ′ 0 différent de x h . Soit α l'arc de γ reliant dans C le point x 0 à x ′ 0 . Soit β = γ \ α l'arc complémentaire dans M . Notons α ′ le plus court arc de γ 2 reliant x h à x ′ 0 . On a L(α ′ ) ≤ 1 2 . Puisque L(α) ≥ h ≥ √ 3
2 , le lacet α ′ ∪ β est de longueur < 1. Les arcs de systoles α ′ et β sont donc homotopes à extrémités fixes. La métrique étant à courbure négative ou nulle au sens d'Alexandrov, les deux arcs α ′ et β coïncident et γ = α ∪ α ′ . Cette dernière courbe peut être raccourcie en lissant dans C l'angle entre α et α ′ . D'où une contradiction.

Le résultat suivant précise l'intersection des systoles de M . Il sera utilisé à de nombreuses reprises par la suite. La courbe a 1 ∪a 2 n'est pas homotopiquement triviale, sinon elle borderait un disque plat à singularités coniques hyperboliques dont le bord, géodésique par morceaux, possède au plus deux angles < π. D'où une contradiction avec la formule de Gauss-Bonnet (1.2). En particulier, L(a 1 ∪ a 2 ) ≥ sys(M ), i.e., L(a 1 ) + L(a 2 ) ≥ 1. Il en va de même en remplaçant a i par b i . En sommant les inégalités L(a

1 )+ L(a 2 ) ≥ 1, L(a i ) + L(b j ) ≥ 1 et L(b 1 ) + L(b 2 ) ≥ 1, on obtient L(a 1 ) + L(a 2 ) + L(b 1 ) + L(b 2 ) ≥ 2.
Puisque l'égalité a lieu dans cette dernière inégalité, les inégalités sommées précédentes sont en fait des égalités. En particulier, les courbes

a 1 ∪ a 2 , a 1 ∪ b 2 , a 2 ∪ b 1 et b 1 ∪ b 2 sont des systoles et L(a i ) = L(b i ) = 1 2 . Ainsi, les courbes c 1 et c 2 s'intersectent en deux points exactement.
Un voisinage tubulaire T suffisamment petit de c 1 ∪ c 2 est homéomorphe à une sphère privée de quatre disques correspondant à quatre des six systoles

a 1 ∪ a 2 , a 1 ∪ b 1 , a 1 ∪ b 2 , a 2 ∪ b 1 , a 2 ∪ b 2 et b 1 ∪ b 2 .
La surface M est de genre deux et les composantes de bord de T sont non contractiles dans M . Par conséquent, deux des quatre composantes de bord de T sont homotopes. Ces deux composantes de bord homotopes ne s'intersectent pas transversalement. D'après le lemme 2.4, elles sont confondues, ce qui est exclu. D'où le point i).

Montrons maintenant le point ii). Supposons qu'une infinité de systoles passe par un point x 0 . Puisque les systoles singulières sont en nombre fini, une infinité de systoles régulières passe par x 0 . En particulier, le point x 0 est régulier et les systoles passant par x 0 s'intersectent transversalement. Puisque les systoles régulières passant par x 0 sont déterminées par leur vecteur tangent, deux d'entre elles sont arbitrairement proches et donc homotopes. Elles admettent alors un deuxième point d'intersection transverse, ce qui contredit le point i).

Supposons qu'il existe une systole γ homologiquement triviale. Rappelons qu'au moins deux systoles passent par chaque point et que les systoles singulières sont en nombre fini. Il existe une systole régulière γ ′ coupant transversalement γ (en un point régulier). Puisque la courbe γ est homologiquement triviale, il existe un second point d'intersection transverse. Ceci contredit le point i) et prouve le point iii).

Montrons le point iv). Soient γ 1 et γ 2 deux systoles homologues différentes. Découpons la surface M le long de ces deux courbes simples, sans point d'intersection transverse d'après i). On obtient deux composantes connexes dont l'une est homéomorphe à un cylindre, puisque la surface est de genre deux. En particulier, les systoles γ 1 et γ 2 sont homotopes. Le lemme 2.4 fournit alors le résultat.

Nous introduisons maintenant de nouvelles définitions, dont celle importante de systole limite. Soient x 0 une singularité conique de M , D un disque adapté à x 0 et γ une systole passant par un point générique de D. Puisque la métrique est plate au voisinage de γ, il est possible de faire varier par translations la courbe γ au travers d'une famille de géodésiques parallèles. On rapproche ainsi γ de x 0 . À la limite, on obtient une systole singulière passant nécessairement par x 0 , d'après la définition d'un disque adapté. Preuve. Si l'intersection entre γ 1 et γ 2 est transverse en x 0 , on a ind(γ 1 , γ 2 ) = ±1 d'après la proposition 2.5.i). Si l'indice entre γ 1 et γ 2 est non nul, i.e., ind(γ 1 , γ 2 ) = ±1, l'angle entre ces deux géodésiques est minoré par l'angle non nul que forment deux de leurs systoles régulières parallèles. L'intersection entre γ 1 et γ 2 est donc transverse et, d'après la proposition 2.5.i), se réduit à un seul point, ici x 0 .

Dénombrement de systoles

Le but de cette section est de montrer qu'au plus trois systoles passent par chaque point générique au voisinage des singularités coniques de M (Proposition 3.4).

Notons J n ∈ M n (R) la matrice anti-symétrique de dimension n dont la partie triangulaire supérieure ne contient que des 1.

Nous montrons un premier résultat de finitude sur le nombre de systoles autour des singularités de M . Lemme 3.1. Soit D un disque adapté à une singularité conique x 0 de M . Au plus cinq systoles passent par chaque point générique de D.

Preuve. Supposons qu'au moins six systoles passent par un point générique de D. Ces systoles s'intersectent transversalement. Avec des orientations convenables, leur matrice d'intersection est alors donnée par J 6 . Le déterminant de J 6 est égal à 1. Par conséquent, les classes d'homologie de ces six systoles sont linéairement indépendantes dans H 1 (M, Z). Ce qui est impossible car la dimension de H 1 (M, Z) est égale à 4.

Le lemme suivant sera utilisé dans la preuve du lemme 3.3. L'idée de sa preuve, inspirée par celle du lemme 3.1, sera reprise par la suite. Lemme 3.2. Soient (γ i ) 1≤i≤5 cinq systoles limites s'intersectant transversalement en une singularité conique x 0 , de matrice d'intersection J 5 . Soient α et β deux systoles limites différentes des (γ i ) 1≤i≤5 passant par x 0 telles que ind(γ 1 , α) = 1 et ind(γ 2 , β) = 1 (les systoles α et β peuvent être éventuellement confondues). La matrice d'intersection des γ i est égale à

A =           0 1 1 1 1 1 e -1 0 1 1 1 a 1 -1 -1 0 1 1 b f -1 -1 -1 0 1 c g -1 -1 -1 -1 0 d h -1 -a -b -c -d 0 i -e -1 -f -g -h -i 0          
où le vecteur ξ = (a, b, c, d, e, f, g, h, i) est égal à l'un des 9-uplets suivants ξ 1 = (1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0) ξ 2 = (0, 0, 0, -1, 1, 0, 0, 0, 1) ξ 3 = (1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1) ξ 4 = (0, 0, 0, -1, 0, 1, 0, 0, 0) Preuve. Dans la figure ci-dessous, la systole limite γ 1 passe légèrement au dessus de x 0 pour signifier graphiquement que la famille de systoles parallèles à γ 1 se situe au dessus de x 0 . De même pour les autres systoles limites γ i . Considérons la sous-matrice J 5 de A correspondant aux cinq premières coordonnées horizontales et verticales. Les mineurs de J 5 issus des termes de la diagonale sont non nuls. Par conséquent, quatre courbes quelconques parmi les (γ i ) 1≤i≤5 induisent en homologie une base de H 1 (M, Z).

Les coefficients de la matrice A satisfont les conditions suivantes :

• D'après la proposition 2.5.i), les coefficients de A valent -1, 0 ou 1.

• Puisque quatre courbes quelconques parmi les (γ i ) 1≤i≤5 induisent en homologie une base de c,d,e,f,g,h,i) de coefficients de A satisfont les conditions précédentes. Plus précisément, le vecteur ξ est égal à l'un des quatre 9-uplets suivants ξ 1 = (1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0) ξ 2 = (0, 0, 0, -1, 1, 0, 0, 0, 1) ξ 3 = (1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1) ξ 4 = (0, 0, 0, -1, 0, 1, 0, 0, 0) Le résultat suivant précise le lemme 3.1.

Lemme 3.3. Soit D un disque adapté à une singularité conique x 0 de M . Au plus quatre systoles passent par chaque point générique de D.

Preuve. Supposons que cinq systoles passent par un point générique de D. Notons (γ i ) 1≤i≤5 les cinq systoles limites passant par x 0 qu'elles induisent. Ces systoles s'intersectent transversalement. Quitte à les renuméroter et à changer leurs orientations, on peut supposer, d'après la proposition 2.5.i), que leur matrice d'intersection est donnée par J 5 . Les systoles γ 1 et γ 2 délimitent ainsi un secteur, en tout point générique duquel passent exactement cinq systoles. De plus, les courbes (γ i ) 1≤i≤4 induisent une base en homologie. Ainsi, d'après la proposition 2.5.iv), deux systoles passant par x 0 ayant des indices identiques avec les (γ i ) 1≤i≤4 sont confondues.

Une famille de systoles non parallèle aux γ i passe par le secteur délimité par γ 5 et -γ 1 , sinon il ne passerait qu'une systole en tout point générique de celui-ci. Cette famille induit par parallélisme une systole limite α passant par x 0 différente des γ i . On oriente α de sorte que l'indice non nul entre γ 1 α soit égal à 1. De manière analogue, il existe une systole limite β passant par x 0 différente des (γ i ) 1≤i≤5 provenant d'une famille de systoles passant par le secteur délimité par -γ 2 et -γ 3 . On l'oriente de sorte que l'indice entre γ 2 et β soit égal à 1. Notons que la systole limite β peut éventuellement coïncider avec α.

Montrons qu'au plus huit systoles limites passent par x 0 . Soit γ une systole limite passant par x 0 différente des (γ i ) 1≤i≤5 . Rappelons que γ ne passe pas par le secteur délimité par γ 1 et γ 2 d'après le lemme 3.1.

Les indices de γ avec γ 1 et γ 2 ne sont pas simultanément nuls. En effet, dans le cas contraire, la systole γ est située "au dessous" de γ 1 et "au dessus" de γ 2 dans la figure précédente. Elle ne coupe donc aucune courbe (γ i ) 1≤i≤4 transversalement en x 0 . D'après la proposition 2.7, les indices de γ dans la base homologique induite par (γ i ) 1≤i≤4 sont nuls. Par conséquent, la systole γ est homologiquement triviale, ce qui est exclu d'après la proposition 2.5.iii).

Nous pouvons donc appliquer le lemme 3.2 à (γ i ) 1≤i≤5 , α et γ ou à (γ i ) 1≤i≤5 , γ et β selon que l'indice de γ avec γ 1 est nul ou non. Nous remarquons alors qu'au plus huit systoles limites (γ i ) 1≤i≤8 passent par x 0 . Remarquons aussi que les indices de ces systoles, et donc leurs positions relatives, sont entièrement déterminés. Les systoles γ 6 , γ 7 et γ 8 correspondent à des courbes d'indices (1, 0, 0, 0, -1), (1, 1, 0, 0, 0) et (0, 1, 1, 0, 0) par rapport aux (γ i ) 1≤i≤5 . Preuve. Supposons que quatre systoles passent par un point générique de D. Notons (γ i ) 1≤i≤4 les quatre systoles limites passant par x 0 qu'elles induisent.

On peut supposer que leur matrice d'intersection est donnée par J 4 . Les courbes γ i induisent une base de H 1 (M, Z).

Montrons qu'au plus neuf systoles limites passent par x 0 .

Les indices de γ 1 et γ 2 avec une systole limite passant par x 0 différente des γ i ne sont pas simultanément nuls, sinon les indices de cette systole dans la base homologique induite par les γ i seraient nuls, contredisant la proposition 2.5.iii).

Soit γ une systole limite passant par x 0 , différente des γ i , telle que ind(γ 1 , γ) = 1. La matrice d'intersection des γ i est égale à

C =       0 1 1 1 1 -1 0 1 1 a -1 -1 0 1 b -1 -1 -1 0 c -1 -a -b -c 0      
Les coefficients de la matrice C satisfont les conditions suivantes :

• Les coefficients de C valent -1, 0 ou 1.

• L'étude des positions relatives des courbes γ i montre que 1 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ -1.

• Le coefficient a vérifie a = -1 puisque seulement quatre familles de systoles passent par le secteur délimité par γ 1 et γ 2 .

• Le vecteur (1, a, b, c) est différent des vecteurs colonnes de ±J 4 car γ n'est homologue à aucune courbe (±γ i ) 1≤i≤4 . • Le rang de la matrice d'intersection C n'excède pas dim H 1 (M, Z) = 4.

Seules trois combinaisons ξ = (a, b, c) de coefficients de C satisfont ces conditions. Elles sont données par les trois triplets ξ 1 = (0, 0, -1), ξ 2 = (0, 0, 0) et

ξ 3 = (1, 0, 0). Soit γ ′ une systole limite passant par x 0 , différente des γ i , telle que ind(γ 2 , γ ′ ) = -1. Par symétrie, le vecteur ξ ′ = (ind(γ 1 , γ ′ ), ind(γ 3 , γ ′ ), ind(γ 4 , γ ′ )) est égal à un des trois triplets ξ ′ 1 = (0, -1, 0), ξ ′ 2 = (0, 0, 0) ou ξ ′ 3 = (-1, 0, 0).
D'après la proposition 2.5.iv), deux systoles passant par x 0 ayant des indices identiques avec les courbes (γ i ) 1≤i≤4 sont confondues. Par conséquent, au plus neuf systoles limites passent par x 0 . Leurs positions relatives au voisinage de x 0 , dans le cas où ces systoles existent, sont données par la figure suivante. Les courbes γ 5 , γ 6 et γ

7 correspondent à ξ = ξ 1 , ξ = ξ 2 et ξ = ξ 3 . Les courbes γ 9 , γ 8 et -γ 7 correspondent à ξ ′ = ξ ′ 1 , ξ ′ = ξ ′ 2 et ξ ′ = ξ ′ 3 .
Remarquons que les systoles limites correspondant à γ 6 , γ 7 et γ 9 ne peuvent exister en même temps. En effet, les trois systoles γ 3 , γ 6 et γ 9 ne s'intersectant pas transversalement, l'angle θ de la singularité conique x 0 est supérieur à 3π. Or les trois systoles limites γ 1 , γ 2 et γ 7 s'intersectent transversalement deux à deux. Donc l'angle θ est strictement inférieur à 3π. D'où une contradiction. Preuve. Soit D un disque adapté à x 0 . Nous envisageons deux cas.

Cas 1 : Supposons qu'exactement deux systoles passent par un point de D.

En utilisant le lemme 1.1 et la proposition 3.4, on montre que deux systoles orthogonales passent par chaque point de D. D'après la proposition 3.4, on montre aussi que l'angle de la singularité conique x 0 est un multiple de π 2 . Les feuilletages systoliques orthogonaux se "referment" donc bien en faisant le tour de x 0 .

Il existe donc quatre systoles limites γ 1 , γ 2 , γ 3 et γ 4 passant par x 0 telles que la systole γ 1 est orthogonale à γ 2 et γ 3 , et partiellement parallèle à γ 4 et telles que la systole γ 3 est orthogonale à γ 1 et γ 4 , et partiellement parallèle à γ 2 . Leurs indices satisfont ind(γ 1 , γ 2 ) = 1, ind(γ 1 , γ 3 ) = 1, ind(γ 1 , γ 4 ) = 0, ind(γ 2 , γ 3 ) = 0, ind(γ 2 , γ 4 ) = 0 et ind(γ 3 , γ 4 ) = 1. La matrice d'intersection des courbes γ i est inversible. Par conséquent, ces courbes induisent une base de H 1 (M, Z).

Si l'angle de la singularité conique est ≥ 7π 2 , il existe une systole limite γ passant par x 0 partiellement parallèle à γ 4 qui ne coupe transversalement aucune systole γ i en x 0 . D'après la proposition 2.7, la courbe γ est homologiquement triviale, ce qui contredit la proposition 2.5.iii). Par conséquent, l'angle de la singularité conique x 0 est égal à 5π 2 ou 3π.

Si l'angle de x 0 vaut 5π 2 , il existe cinq systoles limites (γ i ) 1≤i≤5 comme dans l'énonçé du point i). De plus, il n'existe pas d'autre systole limite passant par x 0 admettant des systoles limites orthogonales, sinon quatre familles de systoles passeraient au voisinage de x 0 dans un secteur issu de x 0 , contredisant la proposition 3.4. Si l'angle de x 0 vaut 3π, il existe six systoles limites (γ i ) 1≤i≤6 comme dans l'énonçé du point ii). De plus, il n'existe pas d'autre systole limite passant par x 0 , sinon la matrice d'intersection des sept systoles en question serait de rang six.

Cas 2 : Supposons que trois systoles exactement passent par chaque point générique de D.

Chaque systole limite admet ainsi une systole limite partiellement parallèle. Soient γ 1 , γ 2 et γ 3 trois systoles limites passant par x 0 , induites par trois systoles passant par un même point générique de D. On peut supposer que leur matrice d'intersection est donnée par J 3 et que γ i (0) = x 0 . Sur un voisinage à droite de 0, les courbes γ 1 , γ 2 et γ 3 sont partiellement parallèles à des systoles limites γ 7 , γ 4 et γ 5 . La courbe γ 1 est aussi partiellement parallèle, sur un voisinage à gauche de 0, à une systole γ 6 , orientée de sorte que ind(γ 5 , γ 6 ) = 1. Puisque trois systoles exactement passent par le secteur délimité par -γ 3 et γ 1 (resp. γ 6 et -γ 4 ), on a ind(γ 3 , γ 6 ) = 0 (resp. ind(γ 4 , γ 7 ) = 0). La matrice d'intersection des γ i est donc égale à Si l'angle de la singularité x vaut 5π 2 , alors les systoles limites orthogonales c et c ′ passent par deux autres singularités (différentes de x) d'après la proposition 4.2. En particulier, les courbes c et c ′ s'intersectent une deuxième fois en une singularité x ′ différente des x i et de x, ce qui est exclu. L'angle de la singularité x vaut donc 3π d'après la proposition 4.1. D'après le formule de Gauss-Bonnet (1.1), les singularités (x i ) 1≤i≤5 et x sont les seules singularités coniques de M . Ainsi, toutes les systoles limites γ ′ i passent par x. L'angle de la singularité x est donc égal à 5π 2 . En effet, l'orthogonalité étant préservée par parallélisme, les positions relatives des courbes γ ′ i en x sont les mêmes que celles des courbes γ i en x 0 . On obtient donc une contradiction.

B =           0 1 1 1 1 0 0 -1 0 1 0 a b -1 -1 -1 0 -1 0 0 -1 -1 0 1 0 1 1 0 -1 -a 0 -1 0 1 c 0 -b 0 -1 -1 0 d 0 1 1 0 -c -d 0           où

Preuve du théorème

Nous pouvons à présent démontrer le Théorème 0.1 en nous ramenant à l'exemple 1.2 traité dans la première section.

Preuve du Théorème 0.1. Les angles des singularités coniques de M sont égaux à 3π. D'après la formule de Gauss-Bonnet, la surface M a exactement quatre singularités coniques. Soient γ 1 , γ 2 et γ 3 trois systoles limites deux à deux partiellement parallèles passant par une singularité x. D'après la proposition 4.1, de telles systoles existent. Notons [x, y] le segment le long duquel γ 1 et γ 2 sont partiellement parallèles (l'extrémité y correspond à une singularité conique). Notons aussi γ ′ i la systole limite distincte de γ i et parallèle à γ i . Les systoles γ i et γ ′ i bordent un cylindre plat.

La systole γ ′ 1 , disjointe de γ 1 , passe par deux singularités différentes de x et y d'après la proposition 4.2. Ces deux singularités coniques sont notées x ′ et y ′ . La courbe γ 1 passe donc par les deux seules singularités coniques x et y. Ainsi, γ 3 passe aussi par les deux seules singularités coniques x et y. On montre comme précédemmment que les courbes γ i (resp. γ ′ i ) passent par les deux seules singularités coniques x et y (resp. x ′ et y ′ ). Les systoles limites γ ′ i ne se coupant pas transversalement sont deux à deux partiellement parallèles.

La surface M est par conséquent composée de trois cylindres plats identifiés deux à deux le long de deux paires d'arcs de leurs bords. L'exemple 1.2 étudié dans la première section montre que cette configuration n'est pas extrémale pour le problème isosystolique.

Références

  Les courbes du cylindre C joignant x 0 à x h se projettent sur des courbes fermées non homotopiquement triviales dans M . Leur longueur est donc supérieure à 1. Par conséquent, la hauteur du cylindre vérifie h ≥

  Proposition 2.5. i) Les points d'intersection entre deux systoles forment un ensemble connexe ou vide. L'indice entre deux systoles vaut donc -1, 0 ou 1. ii) Un nombre fini de systoles passe par chaque point de M . iii) Les systoles ne sont pas homologiquement triviales. iv) Deux systoles homologues différentes sont disjointes et bordent un cylindre plat. Preuve. Supposons que les points d'intersection entre deux systoles c 1 et c 2 forment un ensemble comprenant plusieurs composantes connexes (points ou segments). Les systoles c 1 et c 2 se décomposent alors en a 1 ∪ b 1 et a 2 ∪ b 2 où a 1 , b 1 , a 2 et b 2 sont des arcs géodésiques différents de mêmes extrémités.

Définitions 2 . 6 .Proposition 2 . 7 .

 2627 Les systoles singulières obtenues comme limites de systoles régulières parallèles sont appelées systoles limites. Les systoles passant par une singularité se divisent en deux catégories : les systoles limites et les systoles isolées. Les systoles limites passant par x 0 décomposent D en secteurs. Deux systoles limites passant par x 0 sont dites partiellement parallèles si elles coïncident sur un segment d'intérieur non vide.Par la suite, nous ne considèrerons que des systoles limites.Le résultat suivant, fondamental pour la suite, précise le point i) de la proposition 2.5 dans le cas de systoles limites. Il montre que l'indice entre deux systoles limites passant par une même singularité conique est déterminé par leur intersection au voisinage de cette singularité.Par la suite, nous déduirons immédiatement l'indice entre deux systoles limites d'après leurs positions relatives au voisinage des singularités coniques. Soient γ 1 et γ 2 deux systoles limites passant par une singularité conique x 0 . L'indice entre γ 1 et γ 2 est égal à ±1 si et seulement si l'intersection entre les deux courbes est transverse en x 0 . Dans le cas contraire, l'indice est nul.

  le lemme 3.1, les systoles parallèles aux (γ i ) 1≤i≤5 sont les seules systoles régulières passant par le secteur délimité par γ 1 et γ 2 . En particulier, α et β ne passent pas par ce secteur.

H 1 (

 1 M, Z), les vecteurs (1, a, b, c, d) et (e, 1, f, g, h) sont différents à une coordonnée près des vecteurs colonnes de J 5 et -J 5 . En effet, dans le cas contraire, α ou β serait homologue à γ i ou -γ i pour 1 ≤ i ≤ 5. Ce qui est exclu d'après la proposition 2.5.iv). • D'après la proposition 2.7, l'indice entre α et γ i est non nul (et donc égal à ±1) si et seulement si leur intersection en x 0 est transverse. Par conséquent, l'étude des intersections de α avec les courbes (γ i ) 1≤i≤5 montre que 1 ≥ a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ -1. On rappelle que α ne passe pas par le secteur délimité par γ 1 et γ 2 . De manière analogue, en considérant β au lieu de α, on a 1 ≥ f ≥ g ≥ h ≥ -e ≥ -1. • Le rang de la matrice d'intersection A n'excède pas dim H 1 (M, Z) = 4. Un test sur ordinateur permettant d'éviter des calculs fastidieux montre que seules quatre combinaisons ξ = (a, b,

  Il existe une systole limite correspondant à γ 7 , sinon une systole au plus passerait en tout point générique du secteur délimité par -γ 1 et -γ 2 .Montrons par l'absurde que huit systoles limites passent bien par x 0 . Par symétrie, on peut supposer qu'il n'existe pas de systole limite correspondant à γ 8 . Il existe une systole limite correspondant à 6 , sinon une seule systole passerait par certains points du secteur délimité par -γ 1 et -γ 2 . Pour la même raison, la courbe -γ 6 est partiellement parallèle à -γ 2 . Deux systoles au plus passent par chaque point générique du secteur délimité par -γ 2 et -γ 4 . Par conséquent, d'après le lemme 1.1, les systoles -γ 7 et -γ 3 sont orthogonales à γ 2 et partiellement parallèles. Puisque -γ 6 est partiellement parallèle à -γ 2 , les courbes γ 6 et γ 7 forment un angle droit en x 0 . Or, les courbes γ 2 et γ 3 forment aussi un angle droit en x 0 . Donc l'angle que forme γ 1 en x 0 n'est pas plat. D'où une contradiction Montrons maintenant que γ 7 est partiellement parallèle à γ 5 et à γ 3 . Deux systoles exactement passent par chaque point générique du secteur délimité par -γ 1 et -γ 6 . Elles sont parallèles à γ 6 et à γ 7 . D'après le lemme 1.1, ces systoles sont deux à deux orthogonales. On en déduit que γ 5 et γ 7 sont partiellement parallèles. En effet, dans le cas contraire, deux systoles exactement passent par chaque point générique du secteur délimité par γ 5 et γ 7 . Ainsi, γ 1 et γ 6 sont orthogonales. Les courbes γ 1 et γ 7 , coupant orthogonalement γ 6 , sont donc partiellement parallèles. D'où une contradiction. De même, on montre par symétrie que -γ 3 et -γ 7 sont partiellement parallèles. Puisque γ 7 est partiellement parallèle aux courbes γ 3 et γ 5 et que ces dernières s'intersectent transversalement, l'angle de la singularité conique x 0 est strictement inférieur à 3π. Or les systoles limites γ 4 , γ 6 et γ 8 ne s'intersectent pas transversalement. Donc l'angle de la singularité x 0 est supérieur ou égal à 3π. D'où une contradiction. Nous pouvons à présent montrer le résultat principal de cette section. Proposition 3.4. Soit D un disque adapté à une singularité conique x 0 de M . Au plus trois systoles passent par chaque point générique de D.

  Supposons maintenant que deux systoles exactement passent par un point de D. Quitte à renuméroter les courbes γ i , on peut supposer qu'exactement deux systoles passent par un point du secteur délimité par γ 3 et γ 4 . D'après le lemme 1.1, ces deux systoles, parallèles à γ 1 et γ 4 , sont orthogonales. L'angle entre γ 1 et γ 4 est donc droit. Ainsi, trois systoles passent par chaque point générique du secteur délimité par -γ 3 et -γ 4 (voir la figure précédente). Autrement, d'après le lemme 1.1, les courbes γ 2 et γ 3 se couperaient orthogonalement, ce qui est exclu. Il existe donc une systole γ 9 partiellement parallèle à -γ 4 , dont l'intersection avec les courbes γ i est donnée par ξ ′ 1 .D'après la remarque suivant la figure précédente, les systoles limites correspondant à γ 6 et γ 7 n'existent pas simultanément. Ainsi, deux familles de systoles exactement passent au voisinage de -γ 1 dans le secteur délimité par -γ 1 et -γ 2 . Leurs systoles limites en x 0 correspondent à ξ = ξ 1 (i.e., γ 5 ) et ξ = ξ 2 ou ξ 3 (i.e., γ = γ 6 ou γ 7 ). De plus, les deux systoles limites γ 5 et γ sont orthogonales.Les systoles parallèles à γ 1 , γ 5 et γ sont les seules systoles régulières passant par le secteur délimité par γ 4 et -γ 1 . Ainsi, puisque γ 5 ne coupe pas γ 1 orthogonalement, la systole γ est partiellement parallèle à γ 4 . Or γ et γ 5 se coupent orthogonalement. D'où une contradiction.Par conséquent, au moins trois systoles passent par chaque point de D. Les neuf systoles limites (γ i ) 1≤i≤9 existent donc, ce qui est exclu.

4 .Proposition 4 . 1 .

 441 Rigidité des angles des singularités coniques L'analyse des positions relatives des systoles au voisinage des singularités coniques permet d'obtenir des résultats de rigidité sur l'angle de ces singularités et sur la géométrie des systoles. Soit x 0 une singularité conique de M d'angle θ. L'angle θ est égal à 5π 2 ou 3π. i) Si θ = 5π 2 , il existe cinq systoles limites (γ i ) 1≤i≤5 passant par x 0 avecγ 1 et γ 2 , γ 1 et γ 3 , γ 2 et γ 5 , γ 3 et γ 4 , et γ 4 et γ 5 orthogonales et γ 1 et γ 4 , γ 1 et γ 5 , γ 2 et γ 3 , γ 2 et γ 4 ,et γ 3 et γ 5 partiellement parallèles. De plus, il n'existe pas d'autre systole limite passant par x 0 admettant des systoles limites orthogonales. ii) Si θ = 3π, il existe six systoles limites (γ i ) 1≤i≤6 passant par x 0 avec γ 1 et γ 2 , γ 1 et γ 3 , γ 2 et γ 6 , γ 3 et γ 4 , γ 4 et γ 5 , et γ 5 et γ 6 orthogonales et γ 1 et γ 4 , γ 1 et γ 6 , γ 2 et γ 3 , γ 2 et γ 5 , γ 3 et γ 5 , et γ 4 et γ 6 partiellement parallèles. De plus, il n'existe pas d'autre systole limite passant par x 0 .

  les coefficients appartiennent à {-1, 0, 1}. L'étude des positions relatives des courbes γ 2 , γ 5 et γ 6 montre aussi que 0 ≤ a ≤ b ≤ 1. On obtient alors une contradiction, car le rang de la matrice d'intersection B excède dim H 1 (M, Z) = 4. La géométrie des systoles décrite dans la proposition 4.1 conduit immédiatement au résultat suivant. Proposition 4.2.-Une systole limite γ coupant orthogonalement une autre systole limite en une singularité x 0 d'angle5π 2 passe par deux autres singularités (différentes de x 0 ). -Une systole limite γ passant par une singularité x 0 d'angle 3π passe par une autre singularité (différente de x 0 ). Preuve. D'après les positions relatives des systoles décrites dans la proposition 4.1, la systole limite γ vérifie ce qui suit. Dans le premier cas, elle est partiellement parallèle à deux autres systoles limites s'intersectant transversalement en x 0 . Dans le second cas, elle est partiellement parallèle à une autre systole limite. La conclusion suit immédiatement. La proposition 4.1 peut être améliorée en étudiant les implications de la rigidité des systoles limites sur l'ensemble des singularités et plus uniquement sur une seule d'entre elles.

Proposition 4 . 3 .

 43 Les angles des singularités coniques de M sont égaux à 3π.Preuve. Supposons qu'il existe une singularité conique x 0 d'angle 5π 2 . D'après la proposition 4.1, il existe alors cinq systoles limites (γ i ) 1≤i≤5 passant par x 0 dont les positions relatives sont données par la figure suivante où les points x i représentent des singularités coniques.Deux systoles γ i s'intersectant transversalement se coupent en un angle droit. Les singularités coniques x i sont deux à deux différentes d'après la proposition 2.5.i). Soit γ ′ i la systole limite parallèle à γ i , i.e., bordant avec γ i un cylindre plat. La courbe γ ′ 1 ne passe pas par x 0 , x 2 et x 3 d'après la proposition 2.5.iv). Elle ne passe pas non plus par x 4 et x 5 d'après la proposition 2.5.i) car γ ′ 1 coupe orthogonalement γ 2 et γ 3 le long de [x 0 , x 1 ]. Par symétrie, les courbes γ ′ i ne passent pas par x j avec j = i. D'après la proposition 4.2, chaque systole limite γ ′ i passe par une singularité différente des x i .D'après la formule de Gauss-Bonnet (1.1) et la proposition 4.1, il existe au plus deux singularités coniques x et x ′ différentes des x i . Trois systoles limites, parmi les cinq systoles γ ′ i , passent par x ou x ′ . Ainsi, deux d'entre elles, notées c et c ′ , se coupent transversalement en une singularité x différente des x i . Cette singularité est leur seul point d'intersection d'après la proposition 2.5.i). Par conséquent, puisque l'orthogonalité est préservée par parallélisme, les courbes c et c ′ s'intersectent orthogonalement en x.

  Un disque D adapté à une singularité conique x 0 est un disque centré en x 0 ne contenant aucune singularité conique autre que x 0 et par lequel ne passe aucun arc de systole singulière autre que ceux passant par x 0 . La terminologie est justifiée par la remarque suivante. Remarque 2.3. Puisque la métrique est à courbure négative ou nulle au sens d'Alexandrov, il ne passe qu'une géodésique entre deux singularités coniques du revêtement universel de M . Par conséquent, il n'existe qu'un nombre fini de systoles singulières. Puisque les systoles singulières sont en nombre fini, chaque singularité conique admet un disque adapté. Le lemme suivant, décrivant la géométrie de systoles homotopes, sera étendu dans la proposition 2.5. Lemme 2.4. Deux systoles différentes, homotopes dans M et sans point d'intersection transverse sont disjointes et bordent un cylindre plat. Preuve. Soient γ 1 et γ 2 deux systoles différentes, homotopes et sans point d'intersection transverse. Les courbes simples γ 1 et γ 2 bordent un domaine obtenu à partir d'un cylindre C de bord γ 1 et γ 2 en identifiant éventuellement des points du bord. Malgré le risque de confusion, nous noterons aussi C ce domaine. Notons que les composantes γ 1 et γ 2 du domaine ne sont pas nécessairement disjointes. Les angles intérieurs au bord du cylindre étant supérieurs ou égaux à π, la formule de Gauss-Bonnet (1.2) et le lemme 2.1 montrent que le cylindre C est plat. Puisque γ 1 et γ 2 sont des systoles, le cylindre C est isométrique au cylindre plat rectangle S 1 × [0, h] où S 1 est le cercle de longueur 1 et h représente la hauteur du cylindre. Les courbes γ 1

	Lemme 2.1. La métrique de M est à courbure négative ou nulle au sens
	d'Alexandrov.
	Preuve. Les courbes passant par des singularités coniques d'angles stricte-
	ment inférieurs à 2π peuvent être raccourcies dans leurs classes d'homotopies.
	En particulier, aucune systole ne passe par de telles singularités. Or, par
	chaque point de la surface extrémale M passe une systole. Par conséquent,
	les angles des singularités de M sont supérieurs à 2π.
	Définitions 2.2. Une courbe est singulière si elle passe par une singularité
	conique. Une courbe est régulière si elle n'est pas singulière. Un point est
	générique s'il n'appartient pas à une systole singulière.

  {h}, obtenus en découpant M le long de γ 1 ∪ γ 2 .

					. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	. . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . .	. . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . .	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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David Rondeau

Thomas Delhaye

Erell Froger

Yves Gimbert

Axel Raux

Yann Guitton

Pierre Le Pogam-Alluard

Myriam Le Roch

Marylene Chollet-Krugler

Proposition of optimization strategies in collision energies on QTOF and Orbitrap instruments to perform comparable CID-MS-MS spectra in metabolomics

ou non, émanant des établissements d'enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Proposition of optimization strategies in collision energies on QTOF and Orbitrap instruments to perform comparable CID-MS-MS spectra in metabolomics David Rondeau, 1 Thomas Delhaye, 1 Erell Froger, 1 Yves Gimbert, 2 Axel Raux, 3 Yann Guitton, 3 Pierre Le Pogam-Alluard, 4 Myriam Le Roch, 5 Marylène Chollet-Krugler 5 Structural identification of biomarkers is an important step in the workflow and metabolomic. The recognition strategies for characterizing the metabolite involve comparisons of fragmentation mass spectra obtained with MS-MS peak lists available on different MS-MS databases (METLIN, HMDB…) or via the interrogations of web-based mass spectrometry ecosystems using molecular networks. However, collision-Induced Dissociation (CID) spectra are function of the internal energy imparted in the precursor ion during the activation process. For increasing the similarity index, it could be interesting to propose strategies for calibrating the CID-MS-MS spectra in internal energy. Such an approach has been initiated in a consortium regrouping different mass spectrometry laboratories. Two strategies have been work out at this purpose.

References :

[1] M. Meot-Ner (Mautner), A. Somogyi. Int. J. Mass Spectrom. 2007, 263, 346-356.

[2] L. Drahos, K. Vékey. J. Mass Spectrom. 2001, 36, 237-263.

[3] D. Rondeau, L. Drahos, K. Vékey. Rapid Commun. Mass Spectrom. 2014, 28, 1273-1284.

[4] J. Sztáray, A. Memboeuf, L. Drahos, K. Vékey. Mass Spectrom. Rev. 2011, 30, 298-320.

The thermal extrapolation method for the effective temperatures and internal energies of activated ions [1]

The ion behavior modelling method considering the collision activation conditions using RRKM theory [2,3]

Xevo G2 XS QTOF Waters QExactive Q-Orbitrap
<E deposited > = <E int > -<E therm > E coll  E int ~ 30 % E coll  E int ~ 70 % E coll  E int ~ 50 % E coll  E int ~ 10 % Ar N 2 N 2 N 2 E int (

  INSTITUT D'ÉLECTRONIQUE ET DE TÉLÉCOMMUNICATIONS DE RENNESThermochemistry of protonated leucine enkephaline fragmentation[4]

  therm > = 0,42 eV for a mass spectrometer temperature of 298 K Efficiency of Energy Deposition :

  Protonated leucine enkephaline used as thermometer ion m/z 556 m/z 425 m/z 397 m/z 278 CID-MSMS spectrum of [M+H] + m/z 556 (QqTOF Waters) E coll = 20 eV 𝑆𝑌(𝐸𝑥𝑝) = 𝐼 𝑃 + 𝐼 𝑃 + + 𝑖=1 𝑛 𝐼 𝐹 + = 𝐼 𝑚/𝑧(556) 𝐼 𝑚/𝑧(556) + 𝐼 𝑚/𝑧(425) + 𝐼 𝑚/𝑧(397) + 𝐼 𝑚/𝑧(278) at different E coll values Theoretical Survival Yields SY(Theo) calculated at different E coll values ) vs SY(Theo) considering fragmentations (E 0 values) E int (50 %) = 6,8 eV E int (5 eV) E coll (21 eV) E int (50 %) = 4,2 eV E coll (20 eV) P therm (m/z 556) at 293 K <E therm > = 0,99 eV XS Collision cell • Lenght: 18,4 cm • P G (Ar) : 0,3 Pa P therm (m/z 556) at 293 K + 2,0 eV <E therm > = 0,99 + 2,0 = 2,99 eV (531 K) Higher Energy Collision Dissociation cell • Activation time : 5 ms • P G (N 2 ) : 0,003 Pa P therm (m/z 556) at 293 K + 2,7 eV <E therm > = 0,99 + 2,7 = 3,69 eV (596 K) FEDER founds, Ministère de l'Enseignement Supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, région Bretagne, département d'Ille et Vilaine et Rennes Métropole (CPER MATECOM 2015-2020 and CyMoCoD 2021-2026). E int of non-fragmented ions vs E int of activated ions (E 0 = 10 eV) E int (50 %) = 5,9 eV E coll (7 eV) E int (5 eV)

1

  Univ Rennes, CNRS, Institut d'Electronique et des Technologies du numéRique -UMR 6164, Rennes F-35000, France. 2 Université Grenoble Alpes, DCM, UMRS CNRS 5250, F-30058 Grenoble, France. 3 Oniris, INRAE, LABERCA, 44300 Nantes, France. 4 Université Paris-Saclay, CNRS, BioCIS, 91400 Orsay, France. 5 Univ Rennes, CNRS, Institut des Sciences Chimiques de Rennes -UMR 6226 CORINT, Rennes F-35000, France.

cm (eV) 15 % E cm (eV) Nb collisions

	6.15	5.73	10	4.32	133	E 0.50	0.07	77
	6.07	5.65	15	6.48	87	0.74	0.11	51
	6.07	5.65	20	8.64	65	0.99	0.15	38
	7.50	7.08	25	10.80	66	1.24	0.19	38
	16.30	15.88	30	12.96	123	1.49	0.22	71
	91.25	90.83	35	15.12	601	1.74	0.26	349
	E 2.43	2.01	2.5	80		E 0.29	0.04	47
	2.81	2.39	5.0	48		0.57	0.09	28
	3.75	3.33	7.5	44		0.86	0.13	26
	4.70	4.28	9.0	48		1.03	0.15	28
	9.85	9.43	12.0	79		1.38	0.21	46
						E

eV) E deposited (eV) NCE(%) E coll (eV) Efficiency (%) int (eV) E deposited (eV) E coll (eV) Efficiency (%) cm (eV) 15 % E cm (eV) Nb collisions

cm (eV) 15 % E cm (eV) Nb collisions

	E 1.69	1.27	6	21	0.94	0.14	9
	1.76	1.34	5	27	0.78	0.12	11
	2.50	2.08	10	21	1.56	0.23	9
	6.05	5.63	15	38	2.34	0.35	16
	89.82	89.40	20	447	3.13	0.47	191
	E

int (eV) E deposited (eV) E coll (eV) Efficiency (%)

int (eV) E deposited (eV) E coll (eV) Efficiency (%)

				E
	1.39	0.97	6	16
	1.47	1.05	8	13
	1.60	1.18	10	12
	1.79	1.37	12	11
	2.03	1.61	14	12
	2.62	2.20	16	14

cm (eV) 15 % E cm (eV) Nb collisions

	0.69	0.10	9
	0.92	0.14	8
	1.15	0.17	7
	1.38	0.21	7
	1.61	0.24	7
	1.84	0.27	8


Alessandro Silvestrini
email: alessandro.silvestrini@centralesupelec.fr

Maya Hage

Xavier Mininger

Guillaume Krebs

Philippe Dessante

Magneto-Mechanical Topology Optimization with Generalized Optimality Criteria

Keywords: Density-based method, magneto-mechanical analysis, synchronous reluctance machines, topology optimization

come   L'archive ouverte pluridisciplinaire

I. INTRODUCTION

T OPOLOGY optimization (TO) is a design approach that aims to find the optimal material distribution in a defined space. It is different from parametric and shape optimization problems that require an initial design, and this technique also does not rely on the designer's experience. Over the past few decades, TO has been applied in various engineering fields, including electromagnetics [START_REF] Lucchini | Topology optimization for electromagnetics: A survey[END_REF].

In this study, TO is applied to the design of a synchronous reluctance motor (SynRM). Generally, TO of these machines focuses on improving magnetic performances without considering the mechanical aspects. Recent papers propose to deal with the magneto-mechanical TO [START_REF] Lee | Topology optimization for the manufacturable and structurally safe synchronous reluctance motors with multiple iron webs and bridges[END_REF]- [START_REF] Guo | Simultaneous magnetic and structural topology optimization of synchronous reluctance machine rotors[END_REF]. In these works, the objective function for the magnetostatic problem is usually expressed in terms of average torque. In [START_REF] Hage Hassan | Fast multi-material discrete topology optimization for the design of electrical machines[END_REF], the authors propose a cost-effective solution in terms of computing time using the ratio of magnetic energies in the d-axis and q-axis to improve the saliency of the machine, based on a discrete algorithm. In this paper, a novel formulation of the objective function based on magnetic energy is proposed, by expressing it as the difference between the non-linear magnetic energies of d-and q-axis. It is important to note that this approach eliminates the need to calculate the average torque, which is typically obtained by computing its instantaneous values for different rotor positions. With this objective function, a magnetic TO is conducted to determine the magnetic optimal geometry. Subsequently, this geometry is employed in a mechanical TO, with the objective of minimizing the compliance of the rotor under a defined rotational speed load, increasing its robustness. These two TO problems are solved using the Solid Isotropic Material with Penalization method (SIMP). The algorithm chosen is the Generalized Optimality Criteria (GOC), which was initially proposed for structural problems in [START_REF] Kim | Generalized optimality criteria method for topology optimization[END_REF] and is applied here, to the best of the authors knowledge, for the first time to an electromagnetic problem. Furthermore, the gradient of the objective functions is analytically determined using the adjoint variable method.

Corresponding author: A. Silvestrini (email: alessandro.silvestrini@centralesupelec.fr).

II. OPTIMIZATION PROBLEMS DESCRIPTION

The design of SynRM poses a major challenge due to the complexity of their structure. The sizing and optimization process involves a large number of geometric parameters, particularly for the rotor geometry [START_REF] Murataliyev | Synchronous reluctance machines: A comprehensive review and technology comparison[END_REF]. The rotor is composed of flux barriers as well as radial and tangential bridges to enhance mechanical robustness. To obtain the shapes of the barriers and the arrangement of the bridges, in this study the topology optimization of the rotor is being conducted.

In this optimization process, the geometry of the stator is fixed, and the main parameters of the motor are presented in Table I. The multi-physical problem is applied specifically to the design space Ω corresponding to the rotor (Fig. 1). To tackle the multi-physical problem, a two-step approach is adopted. Firstly, a magnetic TO is conducted over the entire domain Ω. Subsequently, the obtained magnetic optimal topology is used as the starting point for further mechanical optimization to ensure a structurally feasible design. For this second step, only the flux barriers composed of air domains constitute the new design domain. This two-step approach has the advantage of simplifying the design process and serves as an initial analysis of the multiphysics problem. The proposed flowchart depicted in Fig. 2 is detailed in the next parts. Both optimization problems are solved using the GOC algorithm, which has several advantages: it is easy to implement, capable of handling multiple constraints, and faster than the commonly used method of moving asymptotes (MMA).

III. GENERALIZED OPTIMALITY CRITERIA ALGORITHM

Since the 99-line Matlab code for topology optimization has been published [START_REF] Sigmund | A 99 line topology optimization code written in matlab[END_REF], the Optimality Criteria (OC) method has been popular. However, the OC method has some limitations, as it only works by minimizing the compliance with a volume fraction constraint. The GOC for TO extends the capability of the OC to multiple inequality constraints and it allows to consider a general objective function. Considering the flowchart in Fig. 2, after the computation of the sensitivity of the objective function and constraints, the design variables ρ are updated at the k th iteration by the following formulation:

(1)

ρ k+1 = ρ k D 1/(β k c0)
where D is the scale factor, β and c 0 two acceleration parameters. In order to consider the general objective function f and multiple constraints g i , the scale factor is calculated based on the sign of the sensitivities. The numerator consists of all terms with negative sensitivities, while the denominator has all terms with positive sensitivities. Consequently, the scale factor is computed as follows:

(2)

D = - ∂f ∂ρ - + N C i=1 µ i ∂g i ∂ρ - ∂f ∂ρ + + N C i=1 µ i ∂g i ∂ρ +
where N C is the number of constraints and µ i the Lagrange multiplier corresponding to constraint g i . The negative and positive sensitivities are taken as ⟨a⟩ -= min(0, a) and ⟨a⟩ + = max(0, a). If the numerator and/or the denominator are zero, the scale factor needs to be modified and limited so that it stays close to one. The Lagrange multipliers are iteratively determined during the optimization process to find a value that satisfies the constraints. The method for updating the Lagrange multipliers can vary depending on the specific algorithm and problem formulation. In this case, a bisection method is employed.

IV. TWO-STEP TOPOLOGY OPTIMIZATION PROBLEMS

A. Magnetostatic optimization problem

The magnetic optimization problem is formulated as follows:

min ρ f (ρ) = -(W d (ρ) -W q (ρ)) s.t. N elem e=1 ρ e V e = V max mag 0.001 ≤ ρ e ≤ 1 (3)
where ρ represents the design variables, ρ e and V e are the elementary density and volume of the mesh element e, N elem the total number of mesh elements (8712), and V max mag is the maximum material volume fixed here at 55%. Typically, the rotor core of a SynRM is made up of laminated iron sheets that occupy between 50% and 80% of the rotor volume, depending on the specific motor design and application. In this study,volume constraints are then chosen to achieve a light motor design with a total volume of 60%.

The objective function is expressed as the difference between the magnetic energies W d and W q . To determine the two magnetic energies, windings are fed respectively by a d-axis and q-axis current with a density of 10 A/mm² and a respective current angle of 0°and 90°. By formulating the objective function in terms of energy difference, due to the correlation between magnetic energy and inductance, the mean torque T e is obtained (4). This eliminates the need for numerous calculations required if the objective function was formulated in terms of average torque.

(4)

L d ≃ 2W d i 2 d L q ≃ 2W q i 2 q T e = 3 2 p(L d -L q )i d i q
where p is the number of pole pairs, L d , i d and L q , i q are the d-and q-axis inductance and current respectively. The two-dimensional magnetostatic problem ( 5) is formulated in terms of magnetic vector potential A and solved on Matlab by a finite element analysis. The non-linear B-H behavior is approximated by Marrocco's expression.

(5) K m (A)A = J where K m is the magnetic stiffness matrix that contains the magnetic non-linearity of the material and J is the current density vector.

Since the design variable ρ e varies in a continuous interval, the reluctivity in the design domain material is interpolated such that: ( 6)

ν e = ν 0 + (ν f (b e ) -ν 0 )ρ e
where ν e , ν 0 , and ν f are respectively the element reluctivity, the reluctivity of air and reluctivity of non-linear electrical steel, b e the elementary magnetic flux density. The non-linear magnetic energy W is expressed by the formulation:

(7) W = e [ν 0 -ν 0 ρ e + 2ν f (b e )ρ e ] b 2 e 2 -ρ e W co (b e )
where W co is the non-linear magnetic co-energy. To update the design, the gradient of the objective function is necessary. In this study, using the Adjoint Variable Method (AVM) [START_REF] Cea | Conception optimale ou identification de formes, calcul rapide de la dérivée directionnelle de la fonction coût[END_REF] the derivative of magnetic energy with respect the design variables is analytically evaluated. Once solved ( 5), the sensitivities are computed using the adjoint state λ, which is determined as the solution of the following linear system, in both d-and q-axis:

(8) ∂(K m (A)A -J) ∂A T λ = - ∂W ∂A
Then the sensitivities of the non-linear magnetic energy with respect to each design variable ρ can be finally calculated with: ( 9)

∂f (ρ) ∂ρ = ∂(W d (ρ) -W q (ρ)) ∂ρ A + λ T d ∂(K m (A d )A d -J d ) ∂ρ ρ + λ T q ∂(K m (A q )A q -J q ) ∂ρ ρ B.

Mechanical optimization problem

Next, the optimal geometry resulting from the magnetic optimization (Fig. 4a) is considered as the initial design for the mechanical TO. Note that no symmetry was imposed, in order to give maximum freedom to the topological optimization. The new optimization space is formed by the air regions of flux barriers, highlighted in yellow in Fig. 3. In this step, to achieve a robust rotor geometry, a mechanical analysis is conducted. Subsequently, the compliance C is evaluated as follows:

(10) C(ρ) = F (ρ) T u = u T K s (ρ)u
where K s is the global structural stiffness matrix, u the global vector of nodal displacements, and F (ρ) the mechanical loading corresponding to the global inertial forces. These forces depend on the density ρ and act along the radial direction. Considering one single element, the force is evaluated as: where m e is the mass of the element, r e its distance from the center of rotation, and ω the angular speed of the rotor, equal to 10000 rpm. Similar to the previous problem, ρ e is taken from a continuous interval. The constitutive equation of the material is expressed by interpolating Young's modulus:

(12) E e = E min + (E f e -E min )ρ q e
where E f e is the Young's modulus of electrical steel, E min an imposed Young's modulus minimum value, and q the SIMP penalization factor, here equal to 3. The optimization problem is then formulated as:

min ρ C(ρ) = u T K s u s.t. Nair e=1 ρ e V e = V max mec 0.001 ≤ ρ e ≤ 1 (13)
where N air is the total number of air mesh elements (4099), and V max mec is the maximum additional material volume, fixed here at 10% to obtain a final rotor structure of 60% of total iron volume. The gradient of the objective function is also obtained using the AVM, it is calculated considering the structural compliance that has design-dependents loads and it is formulated as follows:

(14) ∂C(ρ) ∂ρ = -u T ∂K s ∂ρ u + 2u T ∂F ∂ρ
Once the gradient is computed, a sensitivity filter is applied to ensure a feasible solution and to avoid the formation of checkerboard patterns that are present for mechanical TO. The formulation of the filtered gradient is given by:

(15) ∂ C(ρ) ∂ρ e = i∈Ne w(x i )ρ i ∂C ∂ρi /v i ρ e /v e i∈Ne w(x i )
where N e represents the neighborhood of the element e, ρ i the density of the neighbor element i, v i the volume of the element i, and w(x i ) a weighting function that depends on the distance between the neighboring element i and the target element e. The function w(x i ) is defined as follows:

(16) w(x i ) = 1 -∥x i -x e ∥/r f ilter where r f ilter is a parameter, chosen here to be equal to 3 mm, which defines the neighborhood size, and ∥x i -x e ∥ represents the distance between the center of the ith element and the center of the eth element. Therefore, the size of the set N e depends on the parameter r f ilter . This radius should be chosen based on the mesh size.

V. RESULTS AND DISCUSSION

Final optimized designs are given in Fig. 4, with the magnetic optimization design (a) and the mechanical optimization design (b) showing iron bridges. To analyze the magnetic behavior of the machines, the average torque is determined in post-processing by the average of its instantaneous values, calculated using Arkkio's method [START_REF] Arkkio | Analysis of induction motors based on the numerical solution of the magnetic field and circuit equations[END_REF]. An optimal current angle has been determined after the optimization process. The mechanical displacement of the geometry obtained in Fig. 4b is given in Fig. 5a, obtained with a zero-displacement boundary condition applied on the rotor shaft. To analyze the impact of bridges, another mechanical TO is performed with the constraint V max mec fixed at 7%. As expected, the average torque has increased, while the mechanical displacement has almost doubled, as in Fig. 5b. The results are summarized in Table II, allowing a comparison of average torque and compliance. The bridges reduce the compliance of the rotor and limit the maximum deformation in the air gap due to centrifugal forces, as shown in Fig. 5. Furthermore, considering the material yield strength and a safety factor of 2, the resulting admissible Von Mises stress is 200 MPa. In Fig. 6, it can be observed that the target stress value is never reached, with a maximum stress of 26 MPa (Fig. 6a) and 28.6 MPa (Fig. 6b). A relationship has also been observed between the volume constraint, the compliance, and the average torque. The results of this analysis are shown in Fig. 7. We varied the volume constraint from 3% to 15%, and processed each resulting geometry with the proposed TO, calculating the average torque with the optimal current angle. These results highlight the inverse correlation between compliance and average torque with a quasi-linear evolution vs V max mec . Indeed, compliance is the inverse of stiffness, as the volume constraint increases, the structure becomes more rigid but at the disadvantage of torque.

VI. CONCLUSION

In this article, the GOC algorithm is used to solve a magneto-mechanical TO problem applied to a SynRM. A novel formulation of the magnetic objective function is proposed and the utilised two-step approach simplifies the design process of the rotor and determines the optimal position of both flux barriers and iron bridges. After further investigations, a trade-off must be considered between the magnetic performance and the rotor's mechanical integrity. The proposed algorithm will be extended to a simultaneous magneto-mechanical optimization, and compared to the approach presented in this paper.

Fig. 1 .

 1 Fig. 1. Geometry and mesh of the motor with the yellow design space Ω.

  (11) F e = ρ e m e r e ω 2

Fig. 3 .

 3 Fig. 3. Rotor domain (in yellow) for the mechanical optimization.

Fig. 4 .

 4 Fig. 4. Magnetic (a) and mechanical (b) optimization result.

Fig. 5 .

 5 Fig. 5. Rotor displacement [m] with Vmax mec 10% (a) and 7% (b).

Fig. 6 .

 6 Fig. 6. Von Mises stress distribution with Vmax mec 10% (a) and 7% (b).

Fig. 7 .

 7 Fig. 7. Relationship between mechanical volume constraint, average torque and compliance.

TABLE II

 II

	MAGNETIC AND MECHANICAL RESULTS
	Optimization problem	W d -Wq [J]	Average torque [N.m]	Compliance [J]	Max. displacement [m]
	Magnetostatic	0.0366	25.6	-	-
	Mechanical (10%)	0.0301	18.2	0.42	1.62e-6
	Mechanical (7%)	0.0315	20.3	0.52	2.55e-6


Jean-François Mignot

L'archive ouverte

T R U S T B U T V E R I F Y

Vincent BUSKENS, Rense CORTEN and Chris SNIJDERS, Advances in the Sociology of Trust and Cooperation. Theory, Experiments, and Field Studies (Berlin/Boston, De Gruyter, 2020, X p.) Why do some people trust each other and cooperate, thus reaching mutually beneficial and socially optimal outcomes, while others do not? This is one of the foundational questions of sociology and the central question of this 548-page book edited by Vincent Buskens and Rense Corten, both sociologists at Utrecht University, and Chris Snijders, a sociologist at the Eindhoven University of Technology.

Social dilemmas

To answer this question, the authors of the 23 chapters present theoretical contributions, experimental tests and field studies of variations of two well-known "social dilemmas": the "prisoner's dilemma" and the "trust game". Assuming that individuals do what they think is best for them (subjective utility maximization), these social dilemmas are strategic interactions in which individuals' decisions lead to an outcome that is suboptimal for all, i.e. a possible alternative outcome would have been preferable for everyone. In the prisoner's dilemma, a two-player simultaneous game where each player may either cooperate or defect, each has an incentive to defect (whatever the other does), thus depriving everyone of the benefits of cooperation (mutually profitable exchange). The trust game is a two-player sequential game, where first the trustor chooses whether or not to place trust in the trustee and, if so, the trustee then gets to decide whether to honor or abuse that trust. Given that once trust is placed, the trustee has an incentive to abuse it, the trustor-anticipating this-decides not to trust the trustee in the first place, thus leading to the suboptimal situation depriving everyone of the benefits of trust. Many of the chapters present extensions of such social dilemmas, such as a multi-player prisoner's dilemma with more than two choices of action (public goods game), or repeated games or games embedded in a larger setting. The book thus contains numerous variations on a common research program, making it not only interesting, but also largely coherent. One of the recurring themes of the book is that, at the level of households, organizations, businesses, neighborhoods and society at large (vs. the individual level), trust and cooperation may emerge if individuals are involved in repeated interactions or embedded in social networks or other institutional arrangements. Let us review some of the book's results which might be of interest to most social scientists.

Theoretical contributions

In its first, theoretical section (Chs. 2-11), the book addresses the role of networks, reputation and information exchange in the emergence of trust and cooperation. Cooperation problems may be overcome by network embeddedness: by enabling individuals to monitor each other's contributions, it allows sanctions to be more effectively directed at free riders (Ch. 5). Trust problems may also be overcome by reputation systems, for at least two reasons (Ch. 7). First, before choosing between trusting and not trusting, the trustor may learn about the trustee's past inclination to either honor or abuse trust. Second, the trustee may have to take into account that the trustor could sanction bad behavior by leaving a negative rating, thus diminishing the trustee's opportunity for future exchange. Reputation systems, however, tend to produce extreme arbitrary market concentration: trustors might tend to choose whichever trustee was lucky enough to be able to build an initial reputation, thus triggering a "reputation cascade" through cumulative advantage. As computer simulations show, these reputation cascades are relatively robust, i.e. they can still be observed when reputation systems are noisy, for example, when a timely shipped item arrives late or is lost or when a reliable seller receives negative ratings by error or by his competitors. "As trustors flock to safe havens, untried exchange alternatives that may be qualitatively equivalent, or even superior, are left unexploited" [151]. Precisely, reputation is a socially acquired evaluative opinion about a social actor regarding a tendency to act in a particular way (Ch. 6). One of its consequences is that, given some shared norms on how one should behave, people abstain from behavior for fear of losing their good (moral) reputation. As populations (including friendship networks) become more heterogeneous with regard to the social norms to which they adhere, reputation effects may weaken and become restricted to local pockets. Similarly, the lack of information exchange allowed several scandals of the years 2010s to occur, such as deceptive emissions monitoring software in cars, or sexual abuse of minors by the Catholic clergy-as cases were settled behind closed doors, there were fewer trials because victims did not have models for complaints (Ch.8). Concerning the case of scientific fraud by Dutch social psychologist Stapel, one of the questions was: Why were his fake papers not stopped earlier? "Precisely because reviews by scientific journals involve several anonymous persons, fraudulent scientists will not be easily found out, since reviewers may take their task lightly, counting upon other reviewers, who do the same" [163]. Network structure itself is related to how information may flow (Ch.10). For instance, actors bridging structural holes by connecting otherwise disconnected segments of a social network have access to information and resources that circulate over the network while maintaining a small number of ties. Thus, scientists may retain non-redundant collaboration ties because they are associated with resources unavailable in other collaborations. Other chapters model opinion dynamics. In the "bounded confidence model", agents update their opinions by averaging over all opinions that are not too far away from their own (Ch.9). The authors then introduce two simple extensions of this model. First, they introduce a bias of the type "leftists listen more to the left, rightists listen more to the right", leading to strongly polarized camps ("polarization by biased confidence"). By contrast, in the simplest "bounded confidence model", extreme opinions are under a one-sided influence (the most leftist individual can only be influenced by people to his right) and tend to move in the direction of the center. Second, they introduce a group of radicals who, by contrast with others, adhere to their radical opinion, leading to radicalization. Radicals may have an influence even on agents that are far away from the radical position, as long as there are enough bridges between them. (The crucial importance of bridges for both polarization and the radicalization of opinions is also illustrated in Ch.5.)

Experimental tests

In the second part of the book (Chs.12-18), mechanisms related to trust and cooperation are tested in the lab, suggesting that individual preferences, social identity and framing, but also social and institutional embeddedness-including networks and reputation effects-may help solve certain cooperation problems. Sometimes, cooperation among a certain number of actors might be beneficial to them but detrimental to society at large (Ch.16). To prevent collusion between suppliers in a market with few suppliers, introducing an actor with aggressive social preferences (a "maverick" deriving utility from relative, not absolute payoff) puts collusion under pressure. "We conclude that the existence of rivalistic attitudes may justify antitrust policies that protect mavericks" [357].

Ingroup favoritism is the human tendency to value the outcomes of ingroup members more than those of outgroup members (Ch.12). Interestingly, ingroup favoritism appears to be much stronger when the outgroup is better off than the ingroup. By contrast, when the outgroup is worse off than the ingroup, the average subject is no longer "spiteful": they attach similar weights to the outcomes of outgroup and ingroup others. Cooperation might thus be particularly difficult to achieve among unequal groups, for lack of will by the inferior group. Some experiments of repeated prisoner's dilemmas in social networks address a combination of reputation effects and partner choice (Ch.17). In academic life, cooperation in common research projects should be more likely in departments with dense networks, in which information about defections is easily shared among colleagues (reputation effect). In addition, when researchers are able to choose their partner, cooperation may increase because cooperators may avoid defectors. For instance, cooperation in common research projects should be more likely if academics can freely choose their coauthors and ostracize free riders. The level of cooperation in a group playing public good games may also depend on the type of sanctions they might use-either positive sanctions (carrots) or negative sanctions (sticks) (Ch.18). Cooperation is higher when players are able to use sticks rather than carrots because "sticks function as credible threats, i.e. they support cooperation without needing to be used […]. The threat of sticks is effective and cheap, while the costs of continuously providing carrots make them less effective" (Ch.18,.

Field studies

If "Experiments are only tools for identifying potential effects" (Ch.16, p. 378), it is necessary to test mechanisms related to trust and cooperation in the field. The third part of the book (Chs.19-23) is slightly disappointing, however, because some of these field studies do not test the mechanisms discussed in the first two parts. A chapter on a particularly important topic, nevertheless, uses network data from the German section of the Children of Immigrants Longitudinal Study in Four European Countries (CILS4EU, 2010-2011), and shows that religious heterogeneity in classrooms of adolescents (share of Muslim students) tends to reduce social integration in classrooms (number of reciprocal friendships) (Ch.23). Indeed, a higher diversity of a characteristic associated with homophilous preferences should reduce overall social cohesion, i.e. the number of ties among individuals. Sharing characteristics reduces the cognitive and physical costs of communicating, anticipating and evaluating behavior, building mutual expectations and developing trust, and this might be particularly true for homophily that is of a religious nature.

Critique

The book contains various useful extensions of social dilemmas which, overall, lead to the conclusion that cooperation and trust might be affected by various individual--and, more importantly, sociallevel--factors, including networks. When people can directly observe other people's past propensity to honor trust or cooperate, or when they can learn this information through other people's reputation, their social environment makes it easier for them to trust others and cooperate with them, enabling everyone to gain from the exchange. I recommend this interesting book to researchers who want to delve deeply into the causal mechanisms behind cooperation and trust. That being said, I would like to raise two series of questions. First, from a theoretical perspective, although undoubtedly convincing and important, it is not clear that the book's results may be unified into a coherent theory of trust and cooperation. As mentioned by the authors themselves, "Enriching game models by social context, framing, and psychological hypotheses is an important step to enhance the explanatory power of a theory of social interaction. However, we are still far away from a general, unified theory and doubts remain that the social sciences will ever attain this goal" (Ch.13, p. 316). In addition, any unified theory might not apply to both trust and cooperation, which are distinct topics. Indeed, the trust game may be interpreted as preventing trust because of defensive motivations: if the trustor could be assured the trustee would honor his trust, he would definitely trust him. By contrast, the prisoner's dilemma may be interpreted as preventing cooperation not just because of defensive but also because of aggressive motivations: if one player knew the other would cooperate, he would still defect. Perhaps addressing the differences between cooperation and trust more systematically would enable us to make some theoretical progress. Second, from an empirical perspective, the book does not directly address the "big picture" of the variations in interpersonal trust across countries or periods. For instance, the 2016 review of the social-scientific literature on "Trust" by Esteban Ortiz-Ospina and Max Roser [https://ourworldindata.org/trust] establishes several facts based on surveys that I would have liked to see addressed, if not entirely explained. Why is it that, according to the World Values Survey, more than 60% of respondents from Nordic countries (Norway, Sweden and Finland) think that "most people can be trusted," by contrast with fewer than 10% of respondents from South America (Brazil, Colombia, Ecuador and Peru)? And why is it that, according to the US General Social Survey, the share of US citizens who agree that most people can be trusted declined from 46% in 1972 to 32% in 2018? It is not clear whether these facts might be explained by variations in network structures and reputation effects of the kind referred to in the book. However, it would definitely be worth testing empirically the book's theoretical hypotheses used to explain such macro facts.

J E A N -F R A N Ç O I S M I G N O T