Cécile Gardiès

Le travail entre tâches, activités et savoirs L exemple

Cet article se propose d examiner l articulation entre savoir et action au travers de l analyse du travail des professeurs-documentalistes pour comprendre quels sont les savoirs mobilisés dans l activité professionnelle. Une recherche-action sur l analyse du travail des professeurs-documentalistes dans l Enseignement agricole français, a permis d engager un important recueil de données sur les tâches et les activités. Cette analyse montre la difficile qualification mise en mots des savoirs mobilisés dans l activité qui renvoie à la difficulté de la prescription peu ancrée sur des savoirs de référence pertinents et légitimes se rattachant à une discipline scientifique : les sciences de l information et de la communication.

Introduction

Le métier de documentaliste consiste à traiter l information, c est-à-dire à communiquer à un public plus ou moins étendu un contenu cognitif qui prendra pour lui un sens précis. Plus largement le documentaliste a en charge la gestion d un centre de documentation, organisation au sein de laquelle il s inscrit comme un intermédiaire entre l offre et la demande d information. Ce rôle de médiateur est fondé sur l analyse de l information « pertinente » afin de présenter le contenu intellectuel des documents et faciliter leur repérage ultérieur (Lamizet et Silem 1997).

Dans l enseignement secondaire en France, c est dans les années 1970 qu apparaissent les premiers documentalistes, parallèlement au développement de la pédagogie du travail sur documents ou encore du travail personnel de l élève. Le rôle du professionnel s affirme ensuite par la création d un statut spécifique de « professeurdocumentaliste » et la mise en place d un concours national de recrutement dès la fin des années 1980. Les centres de documentation et d information (CDI) se structurent autour de cette évolution et le besoin d initier les élèves à leur fonctionnement est concomitant. Dès lors, le professeur-documentaliste assure une double mission, une mission de gestion du centre de documentation et une mission pédagogique. Cependant, la formation initiale de ces professeurs, principalement issue des lettres et de l histoire géographie, reste hétérogène et ne permet pas l acquisition de savoirs propres à la discipline de référence : les sciences de l information et de la communication [START_REF] Gardiès | De la mouvance identitaire à l ancrage scientifique des professionnels de l information documentation dans l enseignement agricole[END_REF]. La formation post-concours est centrée sur l acquisition de savoirs techniques en documentation et de savoirs pédagogiques en information-documentation mais offre surtout l apprentissage de savoirs professionnels [START_REF] Gardiès | De la mouvance identitaire à l ancrage scientifique des professionnels de l information documentation dans l enseignement agricole[END_REF][START_REF] Gardiès | L information documentation dans l enseignement agricole, discipline scolaire ou méta discipline : pour quelle construction de savoirs ? Penser l éducation, n o hors-série[END_REF]. Or, ce métier récemment constitué n est pas reconnu dans l enseignement à son juste niveau, de l avis des professionnels eux-mêmes. En assumant une double fonction, relevant à la fois de la gestion d un service comprenant de tâches techniques et d un enseignement caractérisé par des modes d intervention pédagogiques variés, les professeurs-documentalistes semblent avoir des difficultés de positionnement identitaire (Marcel et Gardiès 2007) et d assises scientifiques communément acceptées qui pourtant permettraient la reconnaissance d une profession structurée et autonome. Si le professeur-documentaliste est « principalement un technicien, reste que les techniques qu il utilise dépendent, pour leur maintenance et leur renouvellement, des acquisitions d une connaissance fondamentale » [START_REF] Meyriat | Y a-t-il une place pour une théorie de la documentation ?[END_REF], peut-on alors identifier les savoirs fondamentaux liés au travail du professeur-documentaliste ? Si leur rattachement à une discipline académique ne paraît pas aller de soi et si les savoirs enseignés se rapprochent plutôt de méthodes voire de techniques (comme cela a été constaté par plusieurs auteurs comme [START_REF] Liquete | L enseignement en information par l enseignant-documentaliste du système éducatif français[END_REF][START_REF] Fondin | La documentation et la science de l information : quel enjeu pour l école ? Esquisse[END_REF][START_REF] Couzinet | Continuing professional education in information literacy for teachers: case study of French secondary school[END_REF], comment alors les pratiques professionnelles, fondées sur une bivalence, peuvent-elles s articuler avec les différents types de savoirs ? Existe-t-il un problème de légitimité du savoir de référence ? Autrement dit le savoir de référence des pratiques professionnelles (de gestion sur le modèle « ingénieur » et d enseignement sur le modèle « agrégé ») des professeurs-documentalistes est-il le savoir « savant ou scientifique » ou plutôt le savoir « expert ou professionnel », constitué à la fois de techniques propres au métier et de compétences capitalisées issues de l expérience ? Cette mobilisation des savoirs, au sens de « mettre des ressources en mouvement » [START_REF] Charlot | Du rapport au savoir : éléments pour une théorie[END_REF]) dans l exercice du métier, pose également la question de la constitution du corpus de savoirs « à enseigner », de leur référentialité et de leur légitimité.

Dans le cadre d une recherche-action sur l analyse du travail des professeurs-documentalistes dans l Enseignement agricole français, nous avons engagé un important recueil de données sur les tâches et activités ainsi que sur le regard que ces professionnels leur portent pour interroger les savoirs mobilisés dans l activité professionnelle. Afin de tenter d éclairer ces questions, nous examinerons, tout d abord de manière théorique, l articulation entre savoir et action par une réflexion sur l activité et sur les différents types de savoirs. Puis, nous présenterons la méthode choisie pour notre investigation, et enfin au travers des résultats de l analyse du travail des professeurs-documentalistes nous tenterons de comprendre quels sont les savoirs mobilisés dans l activité professionnelle et ouvrir ainsi des pistes d approfondissement.

Activité et savoir : quelle dialectique ?

1.1 Action et cognition Entrer dans un lieu de travail, « c est comme si nous pénétrions sur une scène de théâtre où la représentation a déjà commencé : l intrigue est nouée ; elle détermine le rôle que nous pouvons y jouer et le dénouement vers lequel nous pouvons nous diriger. Ceux qui étaient déjà en scène ont une idée de la pièce qui se joue, une idée suffisante pour rendre possible la négociation avec le nouvel arrivant » [START_REF] Bruner | Car la culture donne forme à l esprit[END_REF]. Analyser le travail c est donc entrer dans une pièce en train de se jouer. Cela demande une appréhension parcellaire, par exemple celle proposée par l'ergonomie et la psychologie du travail au travers de la distinction entre la notion de tâche et la notion d activité, afin de dénommer les éléments qui le constituent. La tâche relève de la prescription, elle est ce qui doit être fait. À l opposé, l activité est ce qui se fait [START_REF] Leplat | Tâche et activité dans l analyse psychologique des situations[END_REF] que l on peut considérer comme l activité réalisée, mais qui n est jamais que l actualisation d une des activités réalisables dans une situation parmi les activités concurrentes, au cours desquelles si « l activité est une épreuve subjective où l on se mesure à soi-même et aux autres pour avoir une chance de parvenir à réaliser ce qui est à faire. Les activités suspendues, contrariées ou empêchées, les contre-activités qui l empoisonnent ou l intoxiquent font partie de l activité » [START_REF] Clot | La fonction psychologique du travail, 4 e éd. augmentée[END_REF]. Le travail est aussi ce qui ne se fait pas, ce que l on cherche à faire sans y parvenir, ce que l on aurait voulu ou pu faire, ce que l on pense pouvoir faire ailleurs et qui « doit être admis dans l analyse » [START_REF] Clot | La fonction psychologique du travail, 4 e éd. augmentée[END_REF].

Une tâche peut se définir comme un ensemble de prescriptions, de consignes, de contraintes, qui sont représentées par le sujet comme des données de la situation. L activité est repérable en matière de comportement dans une situation. Le processus de transposition d une tâche donnée en activité se traduit par un certain nombre de consignes, qui permettent de se représenter un premier état de la tâche, nommée tâche prescrite. Cette tâche prescrite est ensuite redéfinie, en fonction d une situation précise, puis, une nouvelle fois transformée, cette fois dans l activité, en prenant en compte les caractéristiques les plus immédiates de la situation : c est la tâche effective, celle qui est véritablement mise en uvre dans l action. A posteriori, l acteur met à jour une nouvelle représentation de la tâche, la tâche réalisée.

Toute action au sens de « mobilisation subjective, d engagement corporel » (Astier 2007) est corrélé aux savoirs au sens « d activité mentale, de mise en patrimoine (langage) d émancipation du contexte et de la transmission éventuelle » (Astier 2007). Il existe ainsi une connaissance que les acteurs engagent dans les différentes situations (expérience, dimension pré réfléchie des actions).

L articulation action et savoir n est pas évidente dans le sens où les actions sont singulières alors que les savoirs sont généraux et certains auteurs parlent plutôt de savoirs d action c est-à-dire d une formulation par les acteurs d un énoncé relatif à l action professionnelle. « Le savoir est construit dans une histoire collective qui est celle de l esprit humain et des activités de l homme et il est soumis à des processus collectifs de validation, de capitalisation, de transmission » [START_REF] Charlot | Du rapport au savoir : éléments pour une théorie[END_REF]. La formulation du savoir inhérent aux activités reste difficile et la pluralité de dimensions en jeu dans le travail en complexifie l appréhension (comme le contexte, l identité des acteurs ou le but de l activité). Il nous paraît alors important de tenter de qualifier les savoirs en jeu dans le travail des professeursdocumentalistes pour en permettre l analyse.

Savoirs savants, savoirs professionnels

Le terme de savoir vient du latin sapere, mot latin qui désigne « avoir de l intelligence, du jugement [ ] connaître, comprendre », au sens général il signifie « avoir la connaissance » [START_REF] Rey | À la recherche d une nouvelle épistémologie de la pratique et de ce qu elle implique pour l éducation des adultes[END_REF]. La connaissance réalise l idée accomplie du savoir, elle signifie « être compétent en » [START_REF] Rey | À la recherche d une nouvelle épistémologie de la pratique et de ce qu elle implique pour l éducation des adultes[END_REF]. Le terme de savoir est d un usage fréquent, multiple et polysémique. Foucault l a défini comme « cet ensemble d éléments, formés de manière régulière par une pratique discursive et qui sont indispensables à la constitution d une science, bien qu ils ne soient pas destinés nécessairement à lui donner lieu, on peut l appeler savoir » [START_REF] Foucault | L archéologie du savoir[END_REF], ou comme le résume Deleuze le savoir est « l agencement de ce qu une époque peut dire (les énoncés) et voir (ses évidences) » (Deleuze 1986).

Beillerot, chercheur en sciences de l éducation, propose deux acceptions de la notion de savoir, celle qui l assimile à un stock de connaissances ou bien celle qui l assimile à un processus, c est-à-dire qui s appuie sur les rapports avec le psychisme, sur la compréhension des apprentissages de ce savoir, sur son appropriation. Il considère ainsi que tout savoir implique un sujet connaissant, qu il est un acte et non une essence et qu en ce sens il nécessite une activité cognitive. C est donc la dimension d appropriation, de transformation accomplie par le sujet qui est au c ur de la conception clinique du savoir. Cette analyse rejoint, à notre sens, celle des sciences de l information et de la communication qui distinguent clairement les notions de savoir et de connaissance pour mieux situer le rôle de l information et de son traitement qui sont au c ur du travail des professeurs-documentalistes.

Une information a une valeur communicationnelle et ne devient connaissance que lorsqu elle est activée par celui qui la reçoit dans l échange, qui l intègre et l assimile à son propre stock de connaissances et constitue in fine un savoir construit et modélisé. À partir du moment où le savoir est objectivé il pourra à son tour se transformer partiellement en informations à échanger. « Nous pouvons employer le terme d information pour désigner la relation entre le document et le regard porté sur lui [ ] celui de connaissance pour indiquer le travail productif des sujets sur eux-mêmes pour s approprier des idées ou des méthodes ; Et celui de savoir pour caractériser les formes de connaissance qui sont reconnues par une société » [START_REF] Jeanneret | Y a-t-il vraiment des technologies de l information ?[END_REF]. Autrement dit, le professeur-documentaliste en situation de travail manipule des informations, organise les savoirs dans un espace documentaire, participe à l appropriation et l élaboration des connaissances des usagers et pour cela s appuie sur un certain nombre de savoirs qui constituent sa compétence professionnelle. Ce sont ces derniers que nous cherchons à repérer et à qualifier dans l analyse de leur travail.

Certains auteurs en distinguant les savoirs théoriques et les savoirs d action nous proposent une partition susceptible de favoriser la compréhension de la mobilisation des savoirs dans l action. À l origine c est Piaget qui définit le savoir comme n étant pas donné d emblée mais élaboré progressivement en différents stades par l enfant via l exercice de ses actions sur le monde. Ce qui tendrait à indiquer que les savoirs d action sont à la source des savoirs théoriques par un procédé d abstraction, l abstraction réfléchissante produisant des savoirs sur l action. Mais si les savoirs théoriques concernent l acquisition d un ensemble de connaissances établies dans des disciplines scientifiques et la maîtrise de raisonnements logiques permettant la résolution de problèmes, ils ont une visée de connaissance et de compréhension, alors que les savoirs d action se définissent comme des savoir-faire, des routines cherchant à améliorer l action elle-même.

La notion de savoirs de métier ou de savoirs professionnels nous interroge également comme angle d analyse différent d une part pour mieux comprendre les liens avec les savoirs de référence et d autre part pour tenter de cerner leur place dans les savoirs à enseigner.

Les savoirs de métier sont un type de savoir global et singulier qui privilégie l intelligence pratique nécessaire à l action. Le primat est ici accordé à l acquisition de méthodes, dans le sens où les méthodes sont caractéristiques du savoir scientifique, c est-à-dire qu elles mettent en uvre une notion de causalité et de conséquence, visant donc à « comprendre pourquoi ». Les procédés techniques sont ainsi « naturalisés » par rapport aux tâches. Cette approche s oppose à la perception de la théorie comme préalable à la pratique ce qui pose la question du fonctionnement des savoirs dans les techniques. Si les savoirs scientifiques n ont pas vocation à produire l action, ils sont mobilisés dans la construction d un savoir ayant des finalités pratiques. Si « le geste habile révèle souvent un savoir plus considérable qu on ne le croit » (Schön 1996), on est souvent incapable de décrire le savoir que révèle l action, il s agit alors d un savoir tacite. La réussite d une action constitue un savoir-faire mais il y a forcément un niveau de compréhension, de conceptualisation, d abstraction. Il s agit donc de travailler sur le « conscientisable », c est-à-dire de retrouver une source d information sur l action, de la verbaliser. On peut ainsi parler de savoir d action, savoir parce que l information dégagée ici a des propriétés de transmission, de mémorisation, de traitement mais dont la source vient de l action. La mobilisation des savoirs scientifiques peut donc se repérer en fonction de la finalité poursuivie par l acteur, en situation d action, au travers des savoirs professionnels.

La notion de savoirs professionnels est entendue au sens où celui qui y a recourt est un bon professionnel capable de contrôler et d anticiper. Ces savoirs font référence à un ensemble de gestes qui vont de soi. Ce sont donc les gestes d une technique, qui ont été enseignés mais sans forcément que soit acquise la conscience de leur rattachement aux savoirs élémentaires. La question est alors de comprendre comment les savoirs professionnels s articulent aux savoirs scientifiques. Comment sont-ils associés à une organisation des savoirs ? Comment se situent-ils dans un territoire donné ou construit ?

La spécificité des savoirs professionnels, irréductible à des savoirs techniques ou scientifiques, peut se caractériser par des savoirs de référence pluriels qu il reste cependant à identifier clairement dans le cas des professeursdocumentalistes car cette tension n est pas, nous semble-t-il, sans conséquence sur les savoirs à enseigner.

Les savoirs à enseigner, les savoirs enseignés

Les savoirs à enseigner proviennent d une extraction de corpus de savoirs produits dans les établissements d enseignement supérieur et de recherche. Ces savoirs savants constituent un cadre de référence commun normalement partagé. En effet, les savoirs en tant que domaines recensés, catalogués sont produits dans un contexte historique et social, ils font référence à des cultures. Chevallard, chercheur en didactique des mathématiques, a développé, dans les années 1980, des travaux importants autour du concept de transposition didactique. « Au sens restreint, la transposition didactique désigne donc le passage du savoir savant au savoir enseigné. Or c est à la confrontation de ces deux termes, à la distance qui les sépare, par delà ce qui les rapproche et impose de les confronter, que l on peut le mieux saisir la spécificité du traitement didactique du savoir » (Chevallard et Joshua 1991). La transposition didactique va donc consister à remettre en forme le savoir de référence, à le traduire et non à le simplifier. Cette traduction didactique permet de recréer ce savoir en situation d enseignement, différente de la situation de construction du savoir de la recherche scientifique. Les savoirs ne sont pas isolés mais les rapports personnels ou institutionnels aux savoirs sont en relation avec la tâche pour laquelle ces savoirs sont mobilisés, comme le souligne Chevallard « nul savoir ne saurait s autoriser de lui-même » [START_REF] Chevallard | La transposition didactique : du savoir savant au savoir enseigné[END_REF]. Pour lui « l enseignement d un savoir est toujours la réalisation d un projet social » [START_REF] Chevallard | La transposition didactique : du savoir savant au savoir enseigné[END_REF] dans le sens où le savoir possède un habitat et y occupe une fonction, ce qui implique une multilocation institutionnelle. Le statut du savoir enseigné se définit en relation avec sa référence puisque « tout contenu doit faire référence à un savoir [START_REF] Chevallard | La transposition didactique Du savoir savant au savoir enseigné[END_REF] ou à une pratique (Martinand 1982) reconnus par la société comme légitimement enseignable » (Arsac 1994). Autrement dit le savoir à enseigner dans une discipline doit reposer sur une reconnaissance du savoir savant et des pratiques associées qui peuvent être les pratiques sociales, culturelles mais aussi les pratiques professionnelles (savoirs en acte). Mais ce savoir à enseigner au-delà de sa légitimité doit aussi être pertinent et il ne peut être considéré comme un processus achevé mais plutôt comme un processus en cours de stabilisation ou en cours de constitution. Certains savoirs peuvent être parés d une légitimité aux dépends des autres car les savoirs sont constitués par leur socialisation et leur légitimité [START_REF] Beillerot | Pour une clinique du rapport au savoir[END_REF]. La pertinence des savoirs enseignés évaluée par rapport aux compétences visées peut entraîner un certain amalgame dans l identification des savoirs à enseigner dans la mesure où leur référentialité peut être multiple. Or, les contenus des connaissances individuelles sont souvent implicites et n impliquent pas toujours un savoir partagé au sein de pratiques pourtant communes. Losfeld souligne l importance de l individualisation de la connaissance, puisque « toute connaissance ne peut que prendre appui sur ce qui a été fait ou dit auparavant, qu on l intègre ou qu on le rejette [ ] toute connaissance, par le fait même qu elle prend appui sur la prise en compte de documents antérieurs, leur lecture et leur exploitation, est individualisée » [START_REF] Losfeld | Sciences de l information vs sciences de la communication : éléments pour un dialogue épistémologique[END_REF].

Dans le cas du travail des professeurs-documentalistes, la question des savoirs à enseigner et enseignés peut être emblématique dans le sens où ce corpus ré interroge l ensemble des savoirs mobilisés. L analyse du processus de transposition didactique peut ainsi apporter un éclairage sur la nature des savoirs de référence mobilisés qu il reste à approfondir.

Si c est la relation d un individu à un objet de savoir qui est observable, dans le sens où le savoir est mis en évidence lorsqu il est activé par un individu au sein d une tâche, c est cette relation des professeurs-documentalistes au savoir dans les tâches réalisées (dont celles d enseignement) que nous nous proposons d analyser au travers de leur discours sur le film de l activité.

Une réflexion partagée sur le travail

Le dispositif de recherche-action dont nous proposons ici une partie des résultats a été conduit auprès d un groupe de huit professeurs-documentalistes de l Enseignement agricole français. L objectif pratique du dispositif est d être en mesure de « donner à voir » son métier, principalement aux autres enseignants de l établissement qui le méconnaissent, et est en lien avec l objectif de recherche développé : l analyse des activités professionnelles pour tenter de comprendre ce qui se joue en termes de travail, de savoirs, d identité. Il s agit d une « méthodologie d analyse du travail qui prend la forme d une activité réflexive du collectif sur son propre travail. Cette méthodologie privilégie l augmentation du pouvoir de ces collectifs de transformer les buts, les moyens et les connaissances de leur activité professionnelle. Nous pensons qu en secondant de cette manière l activité réflexive de ces collectifs, nous augmentons aussi le pouvoir de notre propre activité de connaissance » [START_REF] Clot | Entretiens en autoconfrontation croisée : une méthode en clinique de l activité[END_REF].

Le dispositif de recherche-action

Cette recherche-action s est déroulée durant deux années scolaires (2008)(2009)(2010), elle a comporté des phases de séminaires collectifs (entre chercheurs et professionnels), des phases de vidéoscopage du travail des professeursdocumentalistes dans leur établissement scolaire sur des activités choisies, des phases d analyse scientifique et des phases d auto confrontation simples et croisées. Un premier séminaire d analyse du travail, où l objectif de la recherche-action a été précisé, a permis de repérer les activités professionnelles des professeurs-documentalistes très peu présentes dans leur référentiel de métier 1 . Considérées comme très importantes dans leur travail quotidien, les activités d accueil des différents usagers, les activités de rangement (traitement, organisation et mise à disposition de l information) et les activités de suivi des élèves (à la fois dans le centre de documentation et d information (CDI) et lors des cours de documentation) ont été plébiscitées. Chaque participant s est positionné sur une ou deux des trois activités. Ces activités ont été vidéoscopées sur une journée complète de travail ordinaire, les enregistrements servant ensuite de support à des entretiens d auto confrontation simple d'une durée d'une heure environ intégralement retranscris.

La technique des entretiens d auto confrontation (qu elle soit simple ou croisée) est empruntée à la clinique de l activité (voir par exemple [START_REF] Clot | Clinique de l activité et pouvoir d agir[END_REF]Clot et 2004) ) qui la théorise comme étroitement liée à ses cadres d analyse. Cependant dans notre cas, les entretiens d auto confrontation sont utilisés comme une technique permettant la production d éléments empiriques.

Lors d un deuxième séminaire des entretiens d auto confrontation croisées ont été organisés. Une sélection des extraits vidéos et un choix de binômes de professeurs-documentalistes basé sur une rapide analyse des vidéos des premiers entretiens a permis l expression verbale devant tout le groupe qui n intervenait que dans un second temps. Ces entretiens d auto confrontation croisées ont été retranscris et étudiés, et une première analyse de l ensemble des entretiens a été restituée aux participants. À la suite des échanges, chacun a communiqué par écrit une « réaction » sous forme de commentaires, de compléments ou de nouvelle réflexion.

Retour sur la méthode

Le fait de retenir ici les trois formes d auto confrontation, décrites ci-dessus, a des conséquences importantes sur le contenu de la démarche mais aussi et surtout sur sa portée, sur la légitimité et la recevabilité de notre discours et de notre recherche sur le travail des professeurs-documentalistes. Ces trois formes d auto confrontation nous ont permis d approcher le travail de manière croisée et par différentes focales, pour tenter d'aborder les savoirs mobilisés, l identité professionnelle ou encore le processus de professionnalisation. Notre matériau empirique étant constitué des discours des acteurs, ces derniers ont fait l objet d une retranscription systématique et d une analyse de contenu pour pouvoir être étudié. Il s agissait d une démarche inductive de condensation, sélection des extraits significatifs et de catégorisation orientée par la consistance des catégories d analyse au travers de leur « représentation » dans les extraits de discours. La dimension inductive est toutefois relativisée par l orientation du questionnement.

Ce protocole de recherche-action a nécessité une « contractualisation » rigoureuse explicitant objectifs et contraintes réciproques et garantissant des règles éthiques strictes bien au-delà des simples autorisations institutionnelles. Cette contractualisation a permis un engagement dans le dispositif en dehors duquel rien n était possible. Nous n avons pas occulté par ailleurs le « coût » du dispositif technique et symbolique comme la violence de l intrusion d un regard « dissymétrique », le questionnement et une certaine remise en cause de ses manières de faire. « On retiendra l idée qu il faut très précisément situer l action pour développer l activité. Car, en situant l action, en l arrêtant, on la rend disponible pour une autre action. A une condition : qu elle soit disponible pour les sujets concernés. Disponible pour les observés afin qu'ils puissent en re-disposer pour la re-disposer » (Clot 2005).

L analyse du travail

Néanmoins c est cet ensemble qui nous a permis d appréhender l expérience professionnelle par l activité, c est-àdire d avoir une lecture de l action professionnelle au travers du prisme de l acteur concerné : ses motifs, ses raisons d agir, la hiérarchie de ses choix, ses stratégies, sa lecture des situations (en termes de ressources/contraintes), son activité visée (à la différence de son activité réalisée, son activité empêchée, etc.).

La production scientifique issue de cette recherche-action, et reprenant les grandes catégories d analyse, sera présentée dans une avant dernière phase aux professionnels et fera l objet ensuite d une publication de vulgarisation à destination des autres professeurs-documentalistes mais aussi de tous les acteurs des établissements (enseignants, proviseurs ). En effet, cette recherche-action doit déboucher sur l élaboration d outils permettant aux professeursdocumentalistes (principalement aux nouveaux) de s intégrer plus facilement, et à leur vraie place, dans les lycées agricoles français.

Nous présentons ici une partie de cette analyse qui nous a amenée à nous interroger sur les savoirs mobilisés dans l activité professionnelle pour mieux comprendre le métier et peut-être mieux le donner à voir. Les objectifs poursuivis dans cette partie de la recherche-action peuvent se décliner en trois points :

-comprendre le travail des professeurs-documentalistes entre tâches prescrites et activités réalisées -repérer les savoirs mobilisés dans la pratique professionnelle via la focale des activités -appréhender le rapport aux savoirs des professionnels

Le rapport aux savoirs dans le travail des professeurs-documentalistes

3.1 Activités, tâches et savoirs Nous avons choisi une entrée par les tâches et les activités menées quotidiennement par les professeursdocumentalistes pour tenter de comprendre les savoirs professionnels mobilisés et ceux qui sont en partie implicites. Les codes utilisés pour référencer les extraits sont explicités dans le tableau 1. -L activité appréhendée au travers des postures et des valeurs Ainsi l activité est souvent décrite au travers des valeurs « là ce n est pas du technique c est du relationnel » (P7ACC), « inventaire : le boulot pas gratifiant » (P3ACC), « pour moi le travail de gestion c est valorisant » (P2ACC), et des postures qu elle engendre, « moi je ne suis pas la même en étant en cours et en étant au CDI » (P2ACC) « donner une alchimie, une unité à l ensemble » (P8ACC), « essayer d avoir une cohérence » (P4ACS).

Ce qui sous tend ici l activité est liée à une mobilisation subjective « on fait tous des choix » (P6ACC), à un engagement, « construire ensemble » (P5ACS). On est donc bien dans l activité, dans la mise en uvre de la tâche en terme de comportement dans une situation « donc je me fais plaisir aussi sinon ça n a aucun intérêt » (P2ACS).

-L activité appréhendée au travers des stratégies mises en uvre L activité est aussi décrite au travers des stratégies mises en uvre « C est de l accompagnement », « pour développer l autonomie » (P1ACC) « on contrôle régulièrement » (P5ACC), « le fait de mettre les ouvrages derrière le bureau me servait de pallier de décompression » (P6ACC) « tu vas plus faire ce qui nécessite une compétence » (PACS), « je n ai pas envie de mettre la main dans cet engrenage » (P8ACS) « je suis un peu dans la même stratégie » (P3ACC).Ces stratégies font partie de l activité elle-même, elles représentent une dimension pré-réfléchie de l action, « je n ai pas de rapport à la répartition des tâches, je n ai pas du tout de principes sauf que c est moi qui fait les cours» (P6ACC), se rapprochant de la notion d expérience, comme « j essaie de m impliquer pas mal sur les projets pédagogiques » (P2ACS), « on essaie le plus possible d accrocher les élèves » (P7ACS), « là j informe [ ] j ai pas peur de prendre des positions » (P8ACS), « j essaie d en faire un endroit attractif pour qu ils viennent » (P7ACS).

-L activité appréhendée au travers de jugement sur le métier Les activités ne sont verbalisées qu accompagnées d un jugement de valeur sur le métier « un travail complètement déstructuré » (P2ACC), « débloquer les problèmes [ ] on doit travailler à 150 % » (P7ACS), « ça représente peu d intérêt intellectuel mais pour le cdi c est très important pour le fonctionnement, c est incontournable (P5ACS), autant d éléments décrits comme pour pondérer l activité elle-même, « j aimerais avoir plus de temps pour l animation » (P6ACS), c est-à-dire que l activité est décrite en terme de comportement pas toujours choisi, une manière peut-être de réintroduire la tâche, la prescription.

Autrement dit, ces verbalisations montrent que la tâche prescrite reste floue dans certains domaines, notamment ceux que nous avons pointés comme « cachés » à savoir l accueil et le rangement. La tâche effective va donc se réaliser en mobilisant non pas des savoirs précis mais des valeurs ou des stratégies individuelles qui demandent une mobilisation, une implication personnelle forte mais quelque fois déstructurée dans ce rapport au métier prescrit « multiple » et comportant des tâches cachées peu identifiables par rapport à des savoirs. « On est quand même très sollicités sur des projets et on a du mal à tout faire [ ] l élève devrait être prioritaire mais faut pas se voiler la face non plus, on n a pas le temps de tout faire » (P2ACC). Effectivement la difficulté de l articulation savoirs action se manifeste par une mise en discours superficielle concernant la qualification des savoirs dans l activité. Les postures et valeurs pédagogiques, la mobilisation subjective, l engagement se traduisant par des comportements et des stratégies identitaires qui montrent un rapport au métier où la dimension pré-réfléchie de l action laisse la place à une pondération de l activité basée sur l expérience, sur la prescription engendrant une « norme pédagogique » c est-àdire des manières de faire, d être ou de penser socialement définies et sanctionnées.

Savoirs et travail

Dans les discours, apparaissent des notions, que l on peut qualifier de structurantes par rapport à un savoir implicite, et qui sont rattachées aux activités : c est d abord autour du classement lié à l activité « rangement » que sont cités des savoirs liés à : -l organisation des connaissances, par exemple au travers des termes relevés : cote, adresse sur les rayons, classement, classification. Leur qualification s exprime ainsi : « les classements sont des savoirs que l on acquiert en formation [ ] la signalétique tu l apprends en formation » (P7ACS), « connaître l organisation du fonds [ ] c est intéressant de connaître le pourquoi du comment des classifications, les différents types de classification, ce sont des choses que l on peut apprendre sur le tas mais il me semble qu on n a pas le même regard si on a des bases théoriques dessus [ ] la mise en place d un système de classement çà correspond à des objectifs, c est raisonné, c est réfléchi » (P6ACS).

-la diffusion de l information est également évoquée « pour moi, il y a différents moyens d accès à l information et la base en est un, le bulletin bibliographique, le furetage, les présentoirs, toutes les voies parallèles » (P6ACC), « avec le rangement tu donnes l opportunité aux élèves de voir l information qui est là [ ] il y a déjà un procédé plus intellectualisé [ ] ranger c est remettre de l information dans un flux actif, dynamique, une dynamique de circulation d information » (P6ACS).

-Qualification des savoirs : « Les savoirs sous-jacents aux activités d accueil et de rangement, ce sont des notions de bibliothéconomie, il faut maîtriser çà, c est tout de ce qui est bulletinage, catalogage, classement [ ] logiciels documentaires, méthodologie de recherche, capacité de traitement de l information, connaissance de la chaîne documentaire de l évaluation du besoin jusqu à la mise en rayon » (P5ACS) est très hétérogène. La perception par les professionnels des savoirs en jeu semble se différencier par le critère de son apprentissage : soit c est un savoir théorique repéré par un critère « d acquis en formation », soit c est un savoir pratique car appris grâce à l expérience professionnelle. « Il y a des savoirs théoriques pour tout ce qui concerne les plans de classement après c est vrai qu il y a des choses qui s affinent en fonction de la pratique, du lieu, de l établissement [ ] on va adapter l outil de classement au public et au lieu. Donc il y a des savoirs théoriques et puis après des applications locales je dirais » (P6ACS).

-Rattachement de ces savoirs à une discipline : l information-documentation « La discipline est en train de se construire, nos savoirs ne sont pas complètement posés » semble encore timide, et demande une justification auprès des autres acteurs « il faut montrer qu il y a des savoirs, du contenu, qu on est une discipline » (P5ACS), voire même de s en convaincre entre professionnels puisque « les sciences de l information ne sont pas encore un contenu disciplinaire, mais un contenu qui est plus lié à des techniques qu à une science » (P6ACS).

L analyse du travail du professeur-documentaliste montre une construction de savoirs de métier singulier. Elle privilégie l intelligence pratique nécessaire à l action même si la perception du besoin de savoir savant comme préalable à la pratique existe quoique difficilement cerné pour le professionnel. Le primat concernant les savoirs est accordé à l acquisition de méthodes et de savoirs-être, « petit à petit ils apprivoisent l espace, l outil CDI, l objet livre ou l objet périodique » (P6ACC) ou encore « essayer de leur donner des clés visuelles qui fassent que même si on comprend pas le mode de classement [ ] on arrive à percevoir des thèmes par endroit [ ] la classification, on n a pas été très loin avec eux, ils ont repéré de façon très globale » (P4ACS), même si l on peut considérer que les méthodes sont caractéristiques du savoir scientifique mettant en uvre une notion de causalité et de conséquence, on ne peut que noter un certain amalgame dans la mobilisation des savoirs « ce sur quoi on achoppe souvent dans la recherche documentaire, c est la lecture parce que finalement les outils ils arrivent à les maîtriser et la grosse difficulté c est finalement quand on a le document, on ne sait pas le lire [ ] il faut déjà se réconcilier avec la lecture mais là c est un travail qui ne concerne pas que les documentalistes » (P6ACC).

Cet amalgame ressort dans le repérage des activités professionnelles et dans le rattachement des gestes courants à des savoirs élémentaires, puisque ce sont plutôt les postures et les valeurs pédagogiques qui sont mises en avant ainsi que les stratégies. Enfin c est le rapport au métier qui est évoqué par les acteurs eux-mêmes dans l analyse de leur activité de gestion de l information. « L ambiguïté quant à l existence de savoirs pertinents soutenant la pratique observée vient de là. Tout savoir est, pour l acteur, d abord savoir en acte. Tout savoir est pratique sociale » [START_REF] Chevallard | La transposition didactique Du savoir savant au savoir enseigné[END_REF].

Quelle mobilisation des savoirs dans le travail ?

Ces constats se retrouvent aussi dans la définition des savoirs enseignés. Les discours sur les « savoirs » à enseigner se repèrent surtout autour, d une part, de l information « former à l information, qu elle soit scientifique, historique ou autre, en leur donnant un outil qui marche » (P6ACS) et d autre part, de la fiabilité et validité des sources, de la validité de l information et enfin de la classification. « Apprendre aux élèves à aller vers une source qui est fiable », « démarche d appropriation de l information, de vérification, une démarche intellectuelle qui est formatrice », « les systèmes de classification et les systèmes de codification çà nécessite quand même un apprentissage, il y a toujours besoin d explications » (P3CE). Les professionnels semblent raisonner en terme de savoir-faire à transmettre ou même en terme de capacités professionnelles à produire, cependant ils ont conscience de la nécessité de « contenus » à transmettre et du rattachement de ces contenus à une discipline tout en soulignant l inachèvement de cette référentialité. « Le professeur-documentaliste se réfère à des savoirs difficilement identifiables, ces derniers correspondent davantage à des savoir-faire qu à des notions d information documentation. Cela est principalement lié au fait que la discipline sur laquelle il s appuie n est pas encore très stable et reconnue » (P4 CE).

On peut se demander si dans le cas des professeurs-documentalistes, il existe une « noosphère » au sens de Chevallard transposant les savoirs de référence ? Cette notion de « cité savante » qui veille à la transposition didactique, par exemple via les manuels scolaires qui objectivent et standardisent, via la présence d associations pédagogiques qui diffusent des interprétations des contenus à enseigner semble absente du quotidien des professeursdocumentalistes et le tâtonnement exprimé dans la définition à la fois des savoirs enseignés et des situations d apprentissage témoignent de cette difficulté. « Ces nouveaux savoirs disciplinaires ne sont pas encore suffisamment précis et inscrits dans la formation des professeurs documentalistes qui doivent se les approprier. Ils peuvent du coup déstabiliser les pratiques d enseignement » (P4CE). Or, pour définir le savoir, « notion cardinale de toute didactique qui en organise l interrogation et en polarise le champ » [START_REF] Arsac | Différents types de savoirs et leur articulation, Paris, La pensée sauvage[END_REF], les auteurs de manuels, de programmes, cherchent à décomposer en éléments simples le savoir pour en permettre la lisibilité. Cela opère du côté de ce que le savoir donne à voir avec une inscription du côté de l action et du côté du discours qui influe sur l identité des enseignants, « en France, dans le second degré la référence à une discipline est traditionnellement constitutive de l identité professionnelle » [START_REF] Beillerot | Pour une clinique du rapport au savoir[END_REF]. Les professionnels participent eux-mêmes à l élaboration des savoirs en partie à partir de l expérience mais soulignent la difficulté à penser leur transposition didactique de par la confusion avec les savoirs mobilisés dans l action professionnelle hors de l enseignement. « N avons-nous pas tendance à confondre les outils professionnels, les savoirs professionnels et ceux destinés aux élèves ? » (P6CE). Effectivement les exigences du savoir sont de l ordre de l immatériel, de la mise en discours, qui demande un autre rapport au savoir car il s agit d un « rapport à un monde mis à distance, mis en mots » [START_REF] Charlot | Du rapport au savoir : éléments pour une théorie[END_REF].

Les commentaires sur les situations d apprentissage permettent aussi de confronter savoirs enseignés et situations pédagogiques, en comparant par exemple une situation de cours et une situation d exposition pédagogique, « via l exposition, on a travaillé sur les unes ; les caractéristiques de la presse sur Internet ; là moi je savais ce que je faisais, j ai intégré des concepts d info-doc forts, très forts » (P6ACC). Cependant ce vécu n est pas partagé par tous car la notion de construction de savoirs par l élève lui-même est une préoccupation forte « oui mais ils ne les auront pas construits » (P4CE), et renvoie à la posture pédagogique d enseignant ainsi qu à la définition de contenus à enseigner « mais ils construisent bien des savoirs en lisant un article », « il fallait qu ils répondent à des questions, c était préparé [ ] pour moi c est çà être prof. Je sais quels sont mes objectifs, je sais quels concepts il y a derrière et çà ne passe pas par moi en face d une classe » (P6ACC).

Les professeurs-documentalistes sont confrontés à des tâches prescrites multiples souvent peu explicites dans la mobilisation nécessaire de savoirs. L activité réalisée fait alors appel principalement à des savoirs professionnels (gestes de métier) pourtant « à toute technique est associée une science, fondatrice sur le plan théorique et conceptuel, de cette technique » [START_REF] Fondin | La « science de l information » et la documentation, ou les relations entre science et technique[END_REF]. Quant aux tâches d enseignement prescrites, elles se heurtent à une référentialité floue voire à un problème de légitimité du savoir de référence. Or il y a une double valence du savoir, celle de la légitimité et celle de la pertinence. Dans un système didactique la légitimité est assurée par l institution, la construction de la pertinence est à la charge du système. Si l institution (ici l enseignement agricole en France) donne une certaine légitimité aux savoirs à enseigner en information-documentation, notamment dans le cadre de la rénovation des programmes en cours actuellement, il reste que le curriculum de référence reste peu pertinent au niveau conceptuel dans la définition des savoirs à enseigner [START_REF] Couzinet | L ancrage des savoirs des professeurs documentalistes en SIC : question de professionnalisation et d identité[END_REF]. La pertinence fonde une légitimité pratique mais la légitimité est de l ordre de l institution, établie à la suite d un jugement entre pairs, elle contient un soubassement épistémologique. La pertinence est du côté de l action et de l adéquation épistémologique. Pour autant, « un savoir ne reste valide que tant que la communauté scientifique le reconnaît comme tel, qu une société continue à considérer qu il s agit là d un savoir ayant de la valeur et méritant d être transmis » [START_REF] Charlot | Du rapport au savoir : éléments pour une théorie[END_REF]. Il s agit donc de penser les liens travail savoirs en posant les concepts sous jacents, au sens d une approche théorique, conceptuelle qui va vers une opérationnalité de recherche pour décrire, comparer, observer. Chaque concept mobilisé prend son sens dans un rapport aux autres concepts auxquels on le relie, c est une sorte de réseau sémantique, rendu opératoire, c est-à-dire apte à produire des connaissances, à « servir ». Le concept sert à penser, à interpréter à donner du sens et à produire du savoir (découverte de sens et explication de phénomènes). Le concept permet ainsi de différencier le rapport au savoir que l on produit car « les concepts ne sont pas des représentations vraies ou fausses de la réalité mais plutôt des constructions faites pour accomplir un travail le mieux possible. Cela signifie que le travail conceptuel doit trouver un débouché non seulement théorique mais aussi méthodologique, c est-à-dire donnant une direction claire au « travail à faire » (Leleu-Merviel et Useille 2008).

Si nous tentons de synthétiser les résultats au regard des objectifs de cette recherche, nous avons pu relever qu il existait une partie des activités réalisées dans le travail des professeurs documentalistes qui sont des activités « cachées », au sens de peu visible et qui renvoient à des tâches prescrites floues. Ces activités sont plutôt vécues et verbalisées par les acteurs au travers de postures (manière d être), de valeurs (engagement subjectif) et de stratégies identitaires. Nous avons noté une difficile qualification des savoirs mobilisés dans la mise en oeuvre de ces activités voire à un amalgame entre les différents types de savoirs qui se retrouve exacerbée dans la définition des savoirs à enseigner. Enfin la question centrale de la référentialité, de la légitimité et de la pertinence des savoirs à enseigner est mise au jour dans cette analyse et demandera des approfondissements en mobilisant d autres cadres théoriques comme ceux de la didactique disciplinaire pour mieux cerner le rapport aux savoirs, celui des professionnels mais aussi en retour celui des élèves.

Conclusion

Si « toute présomption de savoir exprime la conjecture d un besoin, et d un manque : celui d une chose absente le «savoir » qui viendrait, par définition si l on peut dire, combler ce besoin, tout savoir est ainsi un « supposé savoir ». La problématique des savoirs est le fruit d une extériorité par rapport aux pratiques » [START_REF] Chevallard | La transposition didactique Du savoir savant au savoir enseigné[END_REF], alors la recherche-action présentée ici peut participer de cette extériorité pour mieux cerner le savoir en jeu dans les pratiques professionnelles de professeurs-documentalistes. La difficile qualification mise en mots des savoirs mobilisés dans l activité des professeurs-documentalistes renvoie à la difficulté de la prescription peu ancrée sur des savoirs de référence pertinents et légitimes, ce qui entraîne des amalgames entre savoirs professionnels, savoirs savants et savoirs à enseigner. Le rattachement des savoirs à une discipline (les sciences de l information et de la communication) inscrits à la fois dans les tâches et les activités concourrait à clarifier le rapport aux savoirs dans l exercice d un métier à plusieurs facettes. En effet « au plan institutionnel, les professeurs-documentalistes entrent dans le dénombrement des enseignants relevant de la discipline sciences de l information et de la communication [ ], ce sont les sciences de l information et de la communication qui élaborent les savoirs théoriques de référence nécessaires aux professeurs-documentalistes pour accomplir toutes leurs missions auprès des élèves et pour affirmer leur identité d enseignant au sein de la communauté scolaire » [START_REF] Couzinet | De l usager à l initié : vers une culture informationnelle partagée[END_REF]). L objectif de l analyse du travail des professeurs-documentalistes menée et relatée ici est de permettre une articulation des savoirs pratiques et théoriques en les mobilisant dans des schèmes d action. Il s agit d une analyse compréhensive qui, comme le souligne Barbier, permet une formalisation des savoirs pratiques et une amélioration, puis une production des savoirs sur la pratique par une recherche sur les processus et leur fonctionnement avec une mise en évidence de variables et de leur articulation [START_REF] Barbier | Savoirs théoriques et savoirs d action[END_REF]. La méthode utilisée pour appréhender travail et savoirs nous a permis, au travers des discours des professeursdocumentalistes basés sur l analyse des films de certaines activités professionnelles, de mieux comprendre la mobilisation des savoirs et la difficulté actuelle pour référencer ce travail aux savoirs disciplinaire des sciences de l information et de la communication. En effet la richesse des éléments significatifs des discours autorise une analyse en capacité de répondre aux objectifs initiaux de cette recherche. Cependant des pistes d approfondissement ont été mises au jour, il paraît par exemple important de mener un travail d une part de qualification et de définition des savoirs savants mobilisables dans la pratique professionnelle et ce en rapport avec la bivalence du métier, et d autre part d'étudier la question de la didactique de l information documentation notamment par le prisme du rapport aux savoirs. En effet on peut dire que le rapport au savoir dans le travail de professeur-documentaliste entraîne « un certain type de rapport au monde qui implique toujours du renoncement provisoire ou profond, à d autres formes du rapport au monde, à soi et aux autres, en ce sens la question du savoir est toujours aussi une question identitaire » [START_REF] Charlot | Du rapport au savoir : éléments pour une théorie[END_REF].

http://www.chlorofil.fr/metiers-recrutements/textes-officiels/metiers/etablissements-publics/professeurdocumentaliste-et-tepeta-documentation.html


Thierry Harge

Thierry Hargé

A deformation formula for the heat kernel

Keywords: heat kernel, quantum mechanics, Wiener integral, Feynman integral, Euler-Lagrange equations, Hamiltonian systems, non-autonomous; A.M.S. subject classification: 35K08, 81Q30, 70H03, 70H05

Let P0 be a time-dependent partial differential operator acting on functions defined on ν , quadratic with respect to ∂x 1 , . . . , ∂x ν , x1, . . . , xν . Let c be a matrix-valued regular potential. Under suitable conditions, we give an "explicit" expression of "the" heat kernel associated to P0 + c for small |t|, t ∈ , Ret 0, x, y ∈ ν .

Introduction

Let ν 1. For j, k = 1, . . . , ν, let A j,k , B j,k , C j,k be complex functions analytic in a neighbourhood U of the origin. Let

P 0 := ν j,k=1 A j,k (t) ∂ xj + ν l=1 B j,l (t)x l ∂ x k + ν l ′ =1 B k,l ′ (t)x l ′ - ν j,k=1
C j,k (t)x j x k .

(1.1)

As well-known, under suitable assumptions on the matrix A, the equation

   ∂ t u = P 0 u u| t=0 + = δ x=y (1.2)
admits an explicit solution p 0 t (x, y) := 1 (4π∆t) ν/2 e -1 t Φ0(x,y,t) .

(1.3)

Here Φ 0 denotes a polynomial of total degree 2 with respect to x, y, whose coefficients are analytic near 0; ∆ is the determinant of the matrix A j,k (0) 1 j,k ν .

Let c be a regular square matrix-valued function defined on U × ν . Let p t (x, y) be a solution of    ∂ t u = P 0 + c(t, x) u u| t=0 + = δ x=y

(1.4) and let p conj t (x, y) be defined by p t (x, y) = p 0 t (x, y)p conj t (x, y).

Roughly speaking, if the autonomous case is considered for the sake of simplicity, p conj t may be related to two transition amplitudes:

p conj t (x, y) = y| exp t(P 0 + c) |x y| exp(tP 0 )|x .
First let us assume that

P 0 = ∂ 2 x1 + • • • + ∂ 2
xν (free case) or, more generally,

P 0 = ∂ 2 x1 + • • • + ∂ 2 xν -λ(x 2 1 + • • • + x 2
ν ), λ ∈ Ê (harmonic case). Under strong assumptions on the scalar potential c, p conj is Borel summable with respect to t [START_REF] Hargé | Borel summation of the small time expansion of the heat kernel[END_REF]. The same work is done in [START_REF] Hargé | Borel summation of the heat kernel with a vector potential case[END_REF] in the free case, but with a vector potential instead of a scalar one. A so-called deformation formula (respectively its vector potential version) which gives a convenient representation of p conj t is used.

The main aim of this paper is to explore the limits of this formula by considering the non-autonomous case. This explains the choice of the operator P 0 in (1.1). Our deformation formula is given in Theorem 2.1. We do not attempt to give a uniqueness statement for the definition of the heat kernel and we refer to [Ha7] for precise statements about this question.

This formula is related to Wiener and Feynman integrals [It, A-H]. As in these references, we write the potential as the Fourier transform of a Borel measure. See [START_REF] Hargé | Borel summation of the small time expansion of the heat kernel[END_REF] for more details about the relationship between this formula and Wiener or Feynman integrals.

The shape of the formula can be explained by using a heuristic Wiener representation of p t (x, y) and Wick's theorem (see [START_REF] Hargé | Borel summation of the small time expansion of the heat kernel[END_REF]Appendix]). However we prove the deformation formula by working directly on the equations satisfied by p conj t (x, y) without attempting to obtain an expression of p t (x, y). This formula uses a so-called deformation matrix. This matrix, in the autonomous case, is considered in [Ge-Ya, On].

By the heuristic method, it is easy to see that the construction of this matrix involves a "propagator" (defined as in quantum field theory). Here we first give another definition of this object and we prove a posteriori that it verifies the propagator equation (see section 3.2).

The shape of the operator P 0 implies that p 0 t (x, y) can be written explicitly using the solution of a classical Hamiltonian system. The deformation matrix also depends on this solution, hence, by the deformation formula, the expression of p conj t (x, y) only involves objects related to this Hamiltonian system.

We assume in Theorem 2.1 that the functions A, B and C satisfy a reality assumption (see (2.13)), implying that P 0 | t∈iÊ is symmetric with respect to the L 2 -inner product. This assumption is natural if the Schrödinger kernel is considered.

One can certainly establish a deformation formula in the case of a vector potential perturbation of P 0 (instead of a scalar potential one) and give a Borel summability statement for the small time expansion of p conj t (x, y).

Notation and main results

For

z = |z|e iθ ∈ , θ ∈ [-π/2, π/2], let z 1/2 := |z| 1/2 e iθ/2 . For T > 0, let D T := {z ∈ ||z| < T }, D + T := {z ∈ D T |Re(z) > 0} and D+ T := {z ∈ D T |Re(z) 0}. For λ, µ ∈ ν , we denote λ • µ := λ 1 µ 1 + • • • + λ ν µ ν , λ 2 := λ • λ, λ := ( λ1 , . . . , λν ), |λ| := (λ • λ) 1/2
and we extend the two first notations to operators such as Let Ω be an open domain in m and let F be a complex finite dimensional space. We denote by A(Ω) the space of F -valued analytic functions on Ω, if there is no ambiguity on F . Let T > 0. C ∞ D+ T , A( 2ν ) denotes the space of smooth functions defined on D+ T with values in A( 2ν ). We denote by C ∞ b,1 (i] -T, T [×Ê m ) the space of smooth M-valued functions defined

∂ x = (∂ x1 , . . . , ∂ xν ). Let A = (A j,k ) 1 j,k ν with A j,k ∈ . If x, y ∈ ν , j,k A j,k x j y k is denoted by x • Ay or A • x ⊗ y if A is symmetric. We set t A
on i] -T, T [×Ê m such that f ∈ C ∞ b,1 (i] -T, T [×Ê m ) ⇔ ∀(α, β) ∈ AE × AE m , ∃C > 0, ∀(t, x) ∈ i] -T, T [×Ê m , |∂ α t ∂ β x f (t, x)| C(1 + |x|) α .
We always consider these spaces with their standard Frechet structure (the semi-norms are eventually indexed by compact sets or differentiation order).

Let B be the collection of all Borel sets on Ê m . An F -valued measure µ on Ê m is an F -valued function on B satisfying the classical countable additivity property [Ru]. Let | • | be a norm on F . We denote by |µ| the positive measure defined by

|µ|(E) = sup ∞ j=1 |µ(E j )|(E ∈ B),
the supremum being taken over all partition {E j } of E. In particular |µ|(Ê m ) < ∞. Note that dµ = hd|µ| where h is some F -valued function satisfying |h| = 1 |µ|-a.e. If f is an F -valued measurable function on Ê m and λ is a positive measure on Ê m such that Ê m |f |dλ < ∞, one may define an F -valued measure µ, by setting dµ = f dλ. Then d|µ| = |f |dλ.

Let A, B and C be some ν × ν complex matrix-valued analytic functions defined on a neighbourhood of 0 in . Let us assume that the matrices A, C are symmetric and that the matrix A(0) is real positive definite. The operator P 0 defined in (1.1) can be rewritten as

P 0 = A(t) • (∂ x + B(t)x) 2 -C(t) • x ⊗ x (2.1)
where

A(t) • (∂ x + B(t)x) 2 := ν j,k=1 A j,k (t) ∂ xj + ν l=1 B j,l (t)x l ∂ x k + ν l ′ =1 B j,l ′ (t)x l ′ .
The fact that (1.2) admits a solution as mentioned in the introduction will be recovered later. Our main result gives a formula for the solution of a perturbation of (1.2). We need some classical objects associated to the operator defined in (2.1). For t ∈ , |t| small, let L be the following Lagrangian acting on ν -valued functions

L := 1 4 q • A -1 q + q • Bq + q • Cq. (2.2)
The Euler-Lagrange equations associated to (2.2) can be written

q = E q + F q (2.3)
where

E := ȦA -1 + 2A( t B -B) , F := 4AC -2A Ḃ.
(2.4) Let x, y ∈ ν . Let t be a small positive number. We denote by q ♮ t the solution of (2.3) with the conditions q ♮ t (0) = y, q ♮ t (t) = x if it is uniquely defined. Notice that q ♮ t can be expressed by

q ♮ t = q ♭ t x + q ♯ t y (2.5)
where the matrices-valued functions q ♭ t , q ♯ t are respectively solutions of q = E q + F q (matrix-valued equation) (2.6) with the conditions

q ♭ t (0) = 0 , q ♭ t (t) = ½, respectively q ♯ t (0) = ½ , q ♯ t (t) = 0. Let q⋄ t (with ⋄ = ♮, ♭, ♯) be defined on [0, 1] by the relation q ⋄ t (s) = q⋄ t s t .
(2.7)

Notice that q♭ t is the solution of q = tE(ts) q + t 2 F (ts)q , q(0) = 0 , q(1) = ½ (2.8)

and that q♯ t is the solution of q = tE(ts) q + t 2 F (ts)q , q(0) = ½ , q(1) = 0.

(2.9) Actually (2.8) (respectively (2.9)) admits a unique solution for complex t with small modulus, which provides the good definition of q♭ t (s) (respectively q♯ t (s)). Then, by (2.7), one gets the existence and uniqueness of q ♭ t (s), q ♯ t (s) for s ∈ [0, t] and small positive t. The following expressions play a central role in the statement of our main result. For s, s ′ ∈ [0, t], let K t (s, s ′ ) be the ν × ν matrix defined by

K t (s, s ′ ) := t s∨s ′ q ♭ τ (s)A(τ ) t q ♭ τ (s ′ )dτ.
(2.10)

For complex t with small modulus and s, s ′ ∈ [0, 1], we also denote

Kt (s, s ′ ) := 1 s∨s ′ q♭ tτ s τ A(tτ ) t q♭ tτ s ′ τ dτ. (2.11) If t is real, positive and s, s ′ ∈ [0, t], one gets K t (s, s ′ ) = t Kt s t , s ′ t . For s = (s 1 , . . . , s n ) ∈ [0, 1] n , we define Kt (s) • ∂ z ⊗ n ∂ z := n j,k=1 ∂ zj • Kt (s j , s k )∂ z k .
This differential operator acts on A( νn ).

We denote by T a positive number such that (2.8)-(2.9) admits a unique solution for t ∈ D T and the map (t, s) -→ q ⋄ t (s) (with

⋄ = ♭, ♯) is analytic near D T × [0, 1]. Theorem 2.1 Let T b > 0.
Let f be a measurable function on D T b × Ê ν with values in a complex finite dimensional space of square matrices, analytic with respect to the first variable. Let µ * be a positive measure on Ê ν . Assume that for every R > 0

Ê ν e R|ξ| sup |t|<T b |f (t, ξ)|dµ * (ξ) < ∞.
(2.12)

Let µ t be the measure defined by dµ t (ξ) = f (t, ξ)dµ * (ξ) and let c(t, x) = Ê ν exp(ix • ξ)dµ t (ξ).
Let P 0 be an operator as in (2.1). Let us assume that each g = A, iB, C satisfies:

The function g| iÊ is real-valued near 0.

(2.13)

Let p conj be defined by

p conj = ½ + n 1 v n , (2.14) where v n (t, x, y) := t n × 0<s1<•••<sn<1 e t Kt(s)•∂z ⊗n∂z c(s n t, z n ) • • • c(s 1 t, z 1 ) z1 = q♮ t (s1) . . . zn = q♮ t (sn) d n s. (2.15)
Then there exists T c > 0 such that

p conj ∈ A(D + Tc × 2ν ) ∩ C ∞ D+ Tc , A( 2ν ) ∩ C ∞ b,1 (i] -T c , T c [×Ê 2ν ).
The function u := p 0 × p conj is a solution of (1.4).

We shall now give another useful expression of

p conj . Let n 1, s = (s 1 , . . . , s n ) ∈ [0, 1] n and ξ = (ξ 1 , . . . , ξ n ) ∈ Ê νn . Let q♮ t (s) • ξ := q♮ t (s 1 ) • ξ 1 + • • • + q♮ t (s n ) • ξ n , Kt (s) • ξ ⊗ n ξ := n j,k=1 ξ j • Kt (s j , s k )ξ k , (2.16
)

d νn µ ⊗ st (ξ) := d ν µ snt (ξ n ) • • • d ν µ s1t (ξ 1 ). Then, we get Remark 2.2 v n (t, x, y) = t n 0<s1<•••<sn<1 e iq ♮ t (s)•ξ e -t Kt(s)•ξ⊗nξ d νn µ ⊗ st (ξ)d n s.
(2.17)

Remark 2.3 Let us consider some examples.

• In the free case A = ½, B = C = 0, we have (see also [START_REF] Hargé | Borel summation of the small time expansion of the heat kernel[END_REF])

q♮ t (s) = y + s(x -y), Kt (s) • ∂ z ⊗ n ∂ z = n j,k=1 s j∧k (1 -s j∨k )∂ zj • ∂ z k . Then v n (t, x, y) = t n 0<s1<•••<sn<1 e i y+s(x-y) •ξ × exp -ts(1 -s) • n ξ ⊗ ξ d νn µ ⊗ st (ξ)d n s where s(1 -s) • n ξ ⊗ ξ := n j,k=1 s j∧k (1 -s j∨k )ξ j • ξ k .
• Let us assume that A = ½, C = 0 and B = -i 2 β where the matrix β is skew-symmetric, real and constant with respect to t. Then q♮ t (s) = e -iβt(1-s) sin(βts) sin(βt)

x + e iβts sin βt(1 -s) sin(βt) y,

Kt (s, s ′ ) = e iβt(s ′ -s) sin(βts ∧ s ′ ) sin βt(1 -s ∨ s ′ ) βt sin(βt) .
Remark 2.4 Let us make some comments on the functional spaces introduced in Theorem 2.1. The space A(D + Tc × 2ν ) allows one to consider the function p conj as a solution of the (complex) heat equation. The space C ∞ D+ Tc , A( 2ν ) allows one to consider the function p conj as a solution of the Schrödinger equation, viewed as a limit case of the heat equation. Both spaces are local with respect to the space variables x and y. The space

C ∞ b,1 (i] -T c , T c [×Ê 2ν
), which gives information about global properties of the function p conj with respect to the space variables, provides a unicity statement (see [Ha7]).

3 Proofs of the results

Some properties of classical objects associated to P 0

Let us recall why equation (1.2) admits a solution as in (1.3). Let S(x, y, t)

:= t 0 L| q=q ♮ t ds = 1 t 1 0 L| q=q ♮ t ds = 1 t Φ(x, y, t) (3.1) where L := 1 4 A -1 (ts) • q ⊗ q + t q • B(ts)q + t 2 C(ts) • q ⊗ q and Φ(x, y, t) := 1 0 L| q=q ♮ t ds. (3.2)
Φ, as q♮ t , is analytic for complex t with small modulus. Since q♮ t is linear with respect to x, y, Φ is a polynomial of total degree 2 in x, y and its coefficients are analytic near 0. By classical theory, since q ♮ t verifies the Euler-Lagrange equations, S satisfies the eikonal equation

∂ t S + H| q=x,p=∂xS = 0, where H = q • ∂L ∂ q -L = A • (p -Bq) ⊗ (p -Bq) -C • q ⊗ q.
Let us remark that

∂ x S = p ♮ t (t), (3.3) where p ♮ t := ∂L ∂ q | q=q ♮ t . Putting u = λ t e -S in (1.
2) shows us that the partial differential equation in (1.2) is equivalent to

∂ t λ t = - 1 t A(t) • ∂ 2 x Φ + γ(t) × λ t , (3.4)
where γ(t) := Tr A(t)B(t) . Differential equations and boundary conditions satisfied by q♭ t and q♯ t involve that q♮ t = y + s(x -y) + tχ(s, t, x, y) where χ is linear in x, y with analytic coefficients in s, t.

Then Φ(x, y, t) = 1 4 A -1 (0) • (x -y) 2 + tΨ(t, x, y), (3.5)
where Ψ is a polynomial of total degree bounded by 2, with respect to x, y, with analytic coefficients in t. Since ∂ 2

x Φ only depends on t,

- 1 t A(t) • ∂ 2 x Φ + γ(t) = - ν 2t + θ(t)
where the function θ is analytic near 0. Then for every ∆ > 0 and every polynomial K ∈ [y],

λ t = 1 (4π∆t) ν/2 exp t 0 θ(s)ds + K(y)
satisfies (3.4). Then, by (3.5), the function

u := 1 (4π∆t) ν/2 e t 0 θ(s)ds-Ψ(t,x,y)+K(y) e -1 4t A -1 (0)•(x-y) 2
is solution of the partial differential equation in (1.2). Let us choose ∆ := det A j,k (0) 1 j,k ν .

Then

u| t=0 + = e -Ψ(0,y,y)+K(y) δ x=y .

Let us choose K(y) = Ψ(0, y, y) = 1 t Φ(y, y, t). Then u is the solution of (1.2) and, denoting this solution by p 0 , (1.3) is satisfied where Φ 0 (x, y, t) := Φ(x, y, t) -Φ(y, y, t) + t 2 1 0 θ(ts)ds.

(3.6)

The following results will be useful. (3.7)

Proof By (2.8), |q ♭ t (s)| 2 for complex t with small modulus. Similarly, the same estimate holds for q♯ t . Then (2.5) implies (3.7).

Proposition 3.2 For small positive number t, for every (x, y) ∈ 2ν , s ∈ [0, t] and α ∈ {1, . . . , ν}

1 p 0 ∂ x + B(t)x p 0 = - 1 2 A -1 (t) q♮ t (t).
(3.8)

∂ t + q♮ t (t) • ∂ x q ♮ t,α (s) = 0, (3.9)
q ♮ t,α denoting the α-coordinate of the vector q ♮ t .

Proof Recall that p 0 := 1 (4π∆t) ν/2 e -1 t Φ0 . By (3.6), p 0 = 1 (4π∆t) ν/2 e -S+Γ(t,y) where Γ is a polynomial in y with analytic coefficients in t near 0. Then, by

(3.3), 1 p 0 (∂ x + B(t)x)p 0 = -∂ x S + B(t)x = -p ♮ t (t) + B(t)q ♮ t (t). But p = ∂L ∂ q = 1 2 A -1 q + Bq. This proves (3.8). Let w(s) := ∂ t + q♮ t (t)•∂ x q ♮ t (s). Hence w(0) = 0 and w(t) = ∂ ∂t q ♮ t (s) s=t + q♮ t (t) since q ♮ t (t) = x. Then w(t) = d dt q ♮ t (t) = 0. Moreover q ♮ t ,
and therefore w, is solution of (2.3) since the operator ∂ t + q♮ t (t) • ∂ x does not depend on s. For small t, the null function is the unique solution of (2.3) with vanishing boundary conditions. Then w ≡ 0 and (3.9) is proven.

Remark 3.3 the identity (3.9) is a generalization of [START_REF] Hargé | Borel summation of the small time expansion of the heat kernel[END_REF](4.23)] and [START_REF] Hargé | Borel summation of the heat kernel with a vector potential case[END_REF](3.18)].

Lemma 3.4 Let A, B and C as in Section 2 such that A, iB and C satisfy (2.13). Then there exists T e ∈]0, T [ such that 1. The matrix-valued functions q♭ t and q♯ t are real for t ∈ iÊ, |t| < T e .

2. For s, s ′ ∈ [0, 1], the coefficients of the matrix Kt (s, s ′ ) are real for t ∈ iÊ, |t| < T e .

3. There exist Φ 1 a polynomial with respect to x and y whose coefficients are analytic near 0 and k an analytical function near 0 such that

p 0 t (x, y) := k(t) (4π∆t) ν/2 e -1 t Φ1(x,y,t) and Φ 1 | x,y∈Ê ν ,t∈i]-Te,Te[ is Ê-valued.
Proof We take the point of view of the Schrödinger equation. Since the functions A, iB, C satisfy (2.13), the Lagrangian L| t=i t is a polynomial with respect to q and q with coefficients which are real functions with respect to t. Therefore the Euler equations associated to L| t=i t by differentiating with respect to t have real coefficients and q♭ i t, q♯ i t and q♮ i t (for x, y ∈ Ê ν ) are real for t ∈ Ê, | t| small enough. Then, by (2.11), Kt (s, s ′ ) ∈ Ê for s, s ′ ∈ [0, 1] and by (3.2), Φ(x, y, t) ∈ Ê for t ∈ iÊ, |t| small enough, and x, y ∈ Ê ν . Let us choose Φ 1 (t, x, y) := Φ(t, x, y) -Φ(t, y, y). Then by (3.6), Assertion 3 holds.

The propagator equation

In a heuristic way, the shape of the deformation formula can be explained by the Wiener representation of the heat kernel and Wick's theorem (see [START_REF] Hargé | Borel summation of the small time expansion of the heat kernel[END_REF]Appendix]). The matrix K t (s, s ′ ) appears therefore as a propagator. In this section, we prove that K t (s, s ′ ) indeed satisfies the propagator equation (cf. Proposition 3.6). First, we claim that (q ♭ t , p ♭ t ) satisfies Hamiltonian equations associated to a Hamiltonian H = Tr( t pLp + t pM q + t qN q)

(3.10)

where L, M, N are matrix-valued analytic functions near 0, L, N being symmetric. Let us introduce some notation. Let M be a finite dimensional squarematrix space. If f is a regular Ê-valued function on M 2 , we denote by ∂f ∂X , ∂f ∂Y the matrices defined by

df (X, Y ) • (H, K) = Tr t H ∂f ∂X + Tr t K ∂f ∂Y .
For instance ∂f ∂X = BY and ∂f ∂Y = t BX if f (X, Y ) = Tr( t XBY ). This notation will allow us to take into account the matrix structure of the trajectories of Lagrangian or Hamiltonian systems. In particular, we shall use the matrix product (see Lemma 3.5). The Euler-Lagrange equations associated to Lagrangian L := Tr 1 4 t qA -1 q + t qBq + t qCq yields (2.6), which proves that q ♭ t is a solution of these equations. Therefore p = ∂L ∂ q = 1 2 A -1 q + Bq and the Lagrangian L yields a Hamiltonian

H = Tr t q ∂L ∂ q -L = Tr 1 4 t qA -1 q -t qCq = Tr t (p -Bq)A(p -Bq) -t qCq .
Then (q ♭ t , p ♭ t ) satisfies Hamiltonian equations with a Hamiltonian as in (3.10).

Lemma 3.5 Let H be a Hamiltonian as in (3.10). Then the matrix t qp -t pq is constant along Hamiltonian trajectories.

Proof It suffices to prove that t qp + t q ṗ is symmetric on Hamiltonian trajectories. Since q = ∂H ∂p = 2Lp + M q and ṗ = -∂H ∂q = -(2N q + t M p), t qp + t q ṗ = 2 t pLp -2 t qN q.

This matrix is symmetric which proves Lemma 3.5. Now, we can prove that K t (s, s ′ ) satisfies the propagator equation.

Proposition 3.6 For small positive number t and every (s,

s ′ ) ∈]0, t[ 2 , K t (s, s ′ ) satisfies    -d 2 K ds 2 + E(s) dK ds + F (s)K = A(s ′ )δ s=s ′ K| s=0 = K| s=t = 0 .
Proof By (2.10) and since q ♭ s (s) = ½,

dK ds = t s∨s ′ q♭ τ (s)A(τ ) t q ♭ τ (s ′ )dτ -1 s ′ <s A(s) t q ♭ s (s ′ ) and d 2 K ds 2 = t s∨s ′ q♭ τ (s)A(τ ) t q ♭ τ (s ′ )dτ -1 s ′ <s q♭ s (s)A(s) t q ♭ s (s ′ ) + d ds A(s) t q ♭ s (s ′ ) -A(s ′ )δ s=s ′ .
Then, since q ♭ τ satisfies (2.6),

- d 2 K ds 2 + E(s) dK ds + F (s)K = A(s ′ )δ s=s ′ + 1 s ′ <s w(s ′ )
where

w(s ′ ) := q♭ s (s)A(s) t q ♭ s (s ′ ) + d ds A(s) t q ♭ s (s ′ ) -E(s)A(s) t q ♭ s (s ′ ).
We claim that w ≡ 0. Since t w satisfies (2.6), it suffices to check that w| s ′ =0 = 0 and w| s ′ =s = 0. The first equality is obvious. Since

q ♭ s (s) = ½, ∂ ∂s q ♭ s (s ′ ) s ′ =s = -q♭ s (s).
Then

w| s ′ =s = q♭ s (s)A(s) + Ȧ(s) -A(s) t q♭ s (s) -E(s)A(s). By (2.4) w| s ′ =s = A(s) A -1 (s) q♭ s (s) -t q♭ s (s)A -1 (s) + 2 B(s) -t B(s) A(s). But p = ∂L ∂ q = 1 2 A -1 q + Bq. Then w| s ′ =s = 2A(s) p ♭ s (s) -t p ♭ s (s) A(s)
. By Lemma 3.5, the matrix t q ♭ s p ♭ s -t p ♭ s q ♭ s is constant. It vanishes for s ′ = 0 and is equal to p ♭ s (s) -t p ♭ s (s) for s ′ = s. Hence w| s ′ =s = 0 and w vanishes. This proves Proposition 3.6.

The deformation matrix

For the proof of Theorem 2.1, we must establish some properties of Kt (s) (here s ∈ [0, 1] n , cf. (2.16)) which we call the deformation matrix. We already studied it [START_REF] Hargé | Borel summation of the small time expansion of the heat kernel[END_REF] in a particular case. The following lemma (see [START_REF] Hargé | Borel summation of the small time expansion of the heat kernel[END_REF]) will be useful.

Lemma 3.7 Let T > 0 and M > 0. There exists T > 0 satisfying the following property. Let f be an analytic function on

D T verifying f (0) = 0, f ′ (0) = 1, sup t∈D T |f (t)| M and, for every t ∈ D T , Ret = 0 ⇒ Ref (t) = 0.
(3.11)

Then, for t ∈ D T , Ret > 0 ⇒ Ref (t) > 0.
(3.12)

Proposition 3.8 Let E be the space of measures µ = n j=1 δ sj ξ j such that n 1, ξ j ∈ Ê ν , s j ∈]0, 1[. For complex t with small modulus, we denote by (., .) t the following bilinear form on E

(µ 1 , µ 2 ) t := 1 0 1 0 dµ 1 (s) • Kt (s, s ′ )dµ 2 (s ′ ).
Notice that

(µ 1 , µ 2 ) 0 = 1 0 1 0 s ∧ s ′ (1 -s ∨ s ′ )A(0).dµ 1 (s) ⊗ dµ 2 (s ′ ).
Then for complex t with small modulus ∀µ ∈ E, |(µ, µ) t | 2(µ, µ) 0 .

(3.13) Remark 3.9 The bilinear form (., .) 0 is symmetric positive definite (see [START_REF] Hargé | Borel summation of the small time expansion of the heat kernel[END_REF]Rem. 4.4]).

Proof By Proposition 3.6 and analytic continuation, Kt satisfies for complex t with small modulus

     A -1 (ts) -d 2 ds 2 + tE(ts) d ds + t 2 F (ts) Kt (s, s ′ ) = δ s=s ′ Kt | s=0 = Kt | s=1 = 0 . (3.14) Let (ξ 1 , . . . , ξ n ) ∈ Ê νn and (s 1 , . . . , s n ) ∈]0, 1[ n . The function u defined by u(s) = n j=1 Kt (s, s j )ξ j is continuous and piecewise differentiable on [0, 1]. Let µ := n j=1 δ sj ξ j . By (3.14)      A -1 (ts) -d 2 ds 2 + tE(ts) d ds + t 2 F (ts) u = µ u(0) = u(1) = 0 (3.15) Let H 0 := L 2 ([0, 1], ν
) . Let ε k,l be the coordinates of an orthonormal basis of Ê ν diagonalizing the real symmetric matrix A -1 (0). For n 1, k, l ∈ {1, . . . , ν} and s ∈ [0, 1], set e n,k,l (s) = √ 2 sin(nπs)ε k,l . (e n,k ) n,k is an orthonormal basis of H 0 which diagonalizes the unbounded self-adjoint operator S := -A -1 (0) d 2 ds 2 (Dirichlet boundary conditions). Let

H 1 0 := f ∈ H 0 df ds ∈ L 2 , f (0) = f (1) = 0 = n,k f n,k e n,k n,k |nf n,k | 2 < ∞ and H -1 := n,k f n,k e n,k n,k f n,k n 2 < ∞ . For (f, g) ∈ H -1 × H 1 0 or (f, g) ∈ H 0 × H 0 , let f, g := 1 0 f (s) • g(s)ds = n,k fn,k g n,k .
The operator S 1/2 can be viewed as an isomorphism from H 1 0 to H 0 and from H 0 to H -1 . Natural Hilbertian norms induced by S ±1/2 can be defined on H 1 0 and H -1 . Then µ ∈ H -1 and µ = (S + T t )u, where

T t = -A -1 (ts) -A -1 (0) d 2 ds 2 + A -1 (ts) tE(ts) d ds + t 2 F (ts) .
Since S + T t = S 1/2 (1 + S -1/2 T t S -1/2 )S 1/2 and S -1/2 T t S -1/2 || L(H 0 ,H 0 ) goes to 0 when t goes to 0, one has, for small complex t, that 1 + S -1/2 T t S -1/2 is invertible and

(1 + S -1/2 T t S -1/2 ) -1 L(H 0 ,H 0 ) 2. Hence (µ, µ) t = µ, u = µ, S -1/2 (1 + S -1/2 T t S -1/2 ) -1 S -1/2 µ = S -1/2 µ, (1 + S -1/2 T t S -1/2 ) -1 S -1/2 µ
and by Cauchy-Schwarz inequality

|(µ, µ) t | 2|S -1/2 µ| 2 H 0 . But |S -1/2 µ| 2 H 0 = µ, S -1 µ = (µ, µ) 0 .
This proves (3.13).

Proof of Theorem 2.1

The following lemma will be useful.

Lemma 3.12 Let m 0 and Ω 1 , Ω 2 be some open subsets of such that Ω 1 ⊂⊂ Ω 21 . There exists C m,Ω1,Ω2 > 0 satisfying the following property: for every analytic bounded matrix-valued function θ on Ω 2 and every analytic bounded -valued function ϕ on Ω 2 one has

∂ m t (θe ϕ ) = α m e ϕ (3.18)
where α m denotes an analytic matrix-valued function on Ω 2 such that

sup Ω1 |α m | C m,Ω1,Ω2 × sup Ω2 |θ| × 1 + (sup Ω2 |ϕ|) m .
Proof The lemma can be proved with the help of Cauchy's formula by induction on m.

Let us prove Theorem 2.1. We choose T c = 1 2 min(1, T a , T b , T d , T e ) (see Lemma 3.1, (2.12), Proposition 3.10 and Lemma 3.4).

-1-Let us check that v n given by (2.17) and p conj = ½ + n 1 v n are well defined for t ∈ D + Tc . For t ∈ D + 2Tc , let

ϕ n (t) := q♮ t (s) • ξ + it Kt (s) • ξ ⊗ n ξ, F n := t n e iϕn(t) f (s n t, ξ n ) • • • f (s 1 t, ξ 1 ).
Let R > 0 and let (x, y) ∈ 2ν such that |x| + |y| < R. By Lemma 3.1 and by (3.16), |iq ♮ t (s)

• ξ| 2R(|ξ 1 | + • • • + |ξ n |) and Re(t Kt (s) • ξ ⊗ n ξ) 0. For ξ * ∈ Ê ν and ξ = (ξ 1 , . . . , ξ n ) ∈ Ê νn , let us denote f(ξ * ) := sup |t|<T b |f (t, ξ * )|, f ⊗ (ξ) := f(ξ n ) • • • f(ξ 1 ), d νn µ ⊗ * (ξ) := dµ * (ξ n ) • • • dµ * (ξ 1 ), G n := 2 n T n c exp 2R(|ξ 1 | + • • • + |ξ n |) f ⊗ (ξ). Then |F n | G n . Let A := 2 Ê ν exp(2R|ξ|)f(ξ)dµ * (ξ). Then Ê νn G n d νn µ ⊗ * (ξ) (AT c ) n and n 1 0<s1<•••<sn<1 Ê νn G n d νn µ ⊗ * (ξ)d n s < ∞.
Hence v n and p conj are well defined on D + 2Tc × 2ν since R is arbitrary (let us remark that the expressions (2.15) and (2.17) of v n are clearly equivalent). By the dominated convergence theorem, p conj ∈ A(D + Tc × 2ν ).

-2-Let us check that p conj is well defined for t ∈ D+ Tc and that p conj ∈ C ∞ D+ Tc , A( 2ν ) . Let R > 0. By (3.7) and (3.17), there exists M > 0 such

that for n 1, 0 < s 1 < • • • < s n < 1, (ξ 1 , . . . , ξ n ) ∈ Ê νn , t ∈ D 2Tc , (x, y) ∈ 2ν and |x| + |y| < R, |ϕ n (t)| M 1 + n(|ξ 1 | + • • • |ξ n |) 2 . (3.19)
We want to use the dominated convergence theorem. For m 0, let t) .

F n,m := ∂ m t t n f (s n t, ξ n ) • • • f (s 1 t, ξ 1 )e iϕn(
By Lemma 3.12 and (3.19), there exists K m > 0 such that

|F n,m | K n+1 m n m 1 + (|ξ 1 | + • • • + |ξ n |) 2m exp 2R(|ξ 1 | + • • • + |ξ n |) f ⊗ (ξ), for t ∈ D Tc , Ret 0. Then the inequality 1 (2m)! 1 + (|ξ 1 | + • • • + |ξ n |) 2m exp(|ξ 1 | + • • • + |ξ n |) yields |F n,m | G n,m where G n,m := (2m)!K n+1 m n m exp (1 + 2R)(|ξ 1 | + • • • + |ξ n |) f ⊗ (ξ). Let A = Ê ν exp (1 + 2R)|ξ| f(ξ)dµ * (ξ). Then Ê νn G n,m d νn µ ⊗ * (ξ) (2m)!n m K n+1 m A n and n 1 0<s1<•••<sn<1 Ê νn G n,m d νn µ ⊗ * (ξ)d n s < ∞.
Since R and m are arbitrary, the dominated convergence theorem proves that

p conj ∈ C ∞ D+ Tc , A( 2ν ) . -3-Let us check that p conj ∈ C ∞ b,1 i] -T c , T c [×Ê 2ν . Let α ∈ AE, β, γ ∈ AE ν , x, y ∈ Ê ν and t ∈] -2T c , 2T c [. Let F n := ∂ α t ∂ β x ∂ γ y (i t) n e iϕn(i t) f (i ts n , ξ n ) • • • f (i ts 1 , ξ 1 ) .
Let (e 1 , . . . , e ν ) be the standard basis of Ê ν . For δ = 1, . . . , ν, let us denote

̟ δ,♭ (t) := (q ♭ t (s 1 )e δ ) • ξ 1 + • • • + (q ♭ t (s n )e δ ) • ξ n , ̟ δ,♯ (t) := (q ♯ t (s 1 )e δ ) • ξ 1 + • • • + (q ♯ t (s n )e δ ) • ξ n . Then F n = i α ∂ α t θ n (t)e iϕn(t) t=i t
where

θ n (t) := t n ̟ β1 1,♭ (t) • • • ̟ βν ν,♭ (t)̟ γ1 1,♯ (t) • • • ̟ γν ν,♯ (t)f (ts 1 , ξ 1 ) • • • f (ts n , ξ n ).
Then there exists M 1 > 0 such that, for t ∈ D 2Tc ,

|θ n (t)| M 1 |ξ| |β|+|γ| 1 f ⊗ (ξ).
By (3.17) there exists M 2 > 0, such that, for t ∈ D 2Tc ,

|ϕ n (t)| M 2 (|x| + |y|)|ξ| 1 + n|ξ| 2 1 .
Then, by Lemma 3.12, there exists C > 0 such that for t ∈] -T c , T c [, n 1, ξ ∈ Ê νn and x, y ∈ Ê ν

|F n | C 1 + (|x| + |y|)|ξ| 1 + n|ξ| 2 1 α |ξ| |β|+|γ| 1 f ⊗ (ξ).
Here we also use that, by assertions 1 and 2 of Lemma 3.4, ϕ n (i t) ∈ Ê. This proves that p conj ∈ C ∞ b,1 (i] -T c , T c [×Ê 2ν ).

-4-Let us verify that the function p 0 p conj , with p conj given by (2.14), is a solution of (1.4). By continuity and analyticity arguments, it suffices to check (1.4) for small positive number t. Let

D x := ∂ x + B(t)x.
Then, if v = v(t, x) is a regular function with respect to its arguments,

A(t) • D 2 x (p 0 v) = A(t) • D 2 x p 0 v + 2A(t) • D x p 0 ⊗ ∂ x v + p 0 A(t).∂ 2 x v.
A solution u of (1.4) is then given, if we use the relation u = p 0 v, by a solution v of the conjugate equation

   ∂ t -2 p 0 A(t) • D x p 0 ⊗ ∂ x v = A(t) • ∂ 2 x v + c(t, x)v (t = 0) v| t=0 + = ½ .
Let v 0 = ½. By (3.8), it suffices to verify that, for n 1, v n given by (2.15) satisfies   

∂ t + q♮ t (t) • ∂ x v n = A(t) • ∂ 2 x v n + c(t, x)v n-1 v n | t=0 + = 0 , (3.20)
for small positive number t and n 1. By (2.15)

v n = 0<s1<•••<sn<t F n d n s,
where

F n = exp K t (s) • ∂ z ⊗ n ∂ z c(s n , z n ) • • • c(s 1 , z 1 ) z1 = q ♮ t (

  for the transpose of the matrix A and |A| ∞ := sup |x|=1 |Ax|. In what follows, we shall consider a potential function defined on D T × ν with values in a finite dimensional space of square matrices, say M. We always use on M a norm | • | such that |AB| |A B| for A, B ∈ M and |½| = 1 (½ denotes the unitary matrix).

Lemma 3. 1

 1 There exists T a ∈]0, T [ such that for every s ∈ [0, 1], (x, y) ∈ 2ν and t ∈ D Ta , |q ♯ t (s)| 2(|x| + |y|).

  y)n α e |ξ|1 f ⊗ (ξ) whereQ(x, y) := C ′ 1 + α1+α2=α α 1 + 2α 2 + |β| + |γ| !(|x| + |y|) α1 . Let A = Ê ν e |ξ| f(ξ)dµ * (ξ). Then Ê νn |F n |d νn µ ⊗ * (ξ)d n s Q(x, y)n α A n . Therefore, for t ∈ i] -T c , T c [ and x, y ∈ Ê ν ,

  zj • K t (s j , s k )∂ z kwhere K t is defined by (2.10). Then∂ t + q♮ t (t) • ∂ x v n = (boundary) + (interior)

			s1)
			. . .
			zn = q ♮ t (sn)
		n
		j,k=1
	where
	(boundary) =	0<s1<•••<sn-1<t	F n | sn=t d n-1 s,
	(interior) =	∂ t + q♮
	0<s1<•••<sn<t

.

Here K t (s) • ∂ z ⊗ n ∂ z := ∂ t (t) • ∂ x F n d n s.

i.e. there exists ρ > 0 such that Ω 1 + Dρ ⊂ Ω

.

Proposition 3.10 Let A, B and C be as in Theorem 2.1. There exists T d ∈ ]0, T [ such that for every n 1, s = (s 1 , . . . , s n ) ∈ [0, 1] n , (ξ 1 , . . . , ξ n ) ∈ Ê νn , t ∈ with the condition 0 < s

(3.17)

Let us choose arbitrary vectors ξ 1 , . . . , ξ n such that (ξ 1 , . . . , ξ n ) does not vanish. By Remark 3.9, (µ, µ) 0 = 0. Let f be the function defined by

We claim that the function f satisfies (3.11). It suffices to check that g(t) := Kt (s) • ξ ⊗ n ξ satisfies (2.13). This holds by Lemma 3.4. By (3.13), f is bounded for complex t with small modulus. Obviously f (0) = 1 and f ′ (0) = 1. By Lemma 3.7, there exists

Remark 3.11 The reality assumption (2.13) is crucial for establishing (3.11). What happens when (2.13) does not hold? Then the statement of Lemma 3.7 can be replaced by the following one. Let T > 0, M > 0 and ε ∈]0, π/2[. There exists

Therefore (3.16) can be replaced by

Then, even if Assumption (2.13) is removed, the deformation formula will remain valid for t ∈ D Tε -{0}, arg t ∈] -π/2 + ε, π/2 -ε[. One can expect to recover the Schrödinger kernel if the function c is chosen as in [Ha7, Proposition 4.5 (case 2)].

Since

where

.

On the other hand,

where

.

For s ∈ [0, t], q ♮ t (s) = q ♭ t (s)x + q ♯ t (s)y. Then

.

By (2.10), ∂ t K t (s, s ′ ) = q ♭ t (s)A(t) t q ♭ t (s ′ ) and then

∂ zj • q ♭ t (s j )A(t) t q ♭ t (s k )∂ z k .

Therefore G n = H n and (interior) = A(t) • ∂ 2 x v n .