Yasmina Abdeddaïm

Younès Chandarli

Damien Masson

Toward an Optimal Fixed-Priority Algorithm for Energy-Harvesting Real-Time Systems

This paper addresses the real-time xed-priority scheduling problem for battery-powered embedded systems whose energy storage unit is replenished by an environmental energy source. In this context, a scheduling policy should account for incoming energy, capacity of the battery and tasks cost of energy. Thus, classical xed-priority schedulers are no longer suitable for this model. Some algorithms were proposed in precedent works to solve this problem, however, none of them has been proved optimal for concrete tasksets 1 . Based on this motivation, we propose F P CASAP a scheduling algorithm that handles both energy and timing constraints by predicting future possible failure. Such kind of algorithm is said to be clairvoyant. We expect this algorithm to be optimal.

Introduction and Related work

In this paper, we investigate a real-time system model for embedded systems that collect and store energy from their environment. Such systems are composed, in addition to classical embedded system components, by an energy harvester unit (e.g. a solar panel) and an energy storage unit (e.g. a battery). These harvesting embedded systems are more and more present in our lives: sensor networks in structures such as bridges that collects vibration energy, medical implants that collect energy from the human body, mobile or x devices with 1 a concrete taskset is a set of real-time tasks whose osets are known o-line 1 solar panel or windmill etc. Despite of their energy supply particularity, some of these systems need to satisfy strict timing constraints. Therefore, it is important to consider both the time and the energy costs of tasks for the scheduling operations, since both the energy and the CPU times resources of the system have to be shared by the tasks.

The rst work addressing the scheduling problem of energy harvesting systems was presented by Mossé in [START_REF] Allavena | Scheduling of frame-based embedded systems with rechargeable batteries[END_REF]. The problem was solved under a very restrictive task model: the frame-based model where all the tasks have exactly the same period and the same deadline. Later in [START_REF] Moser | Real-time scheduling with regenerative energy[END_REF], Moser et al. proposed an optimal algorithm called LSA (Lazy Scheduling algorithm) for periodic and aperiodic tasks. However, in their hypotheses, the CPU frequency can be changed to adjust the Worst Case Execution Time (WCET) of the tasks depending on their energy consumption. Thus, the results of this work rely on the assumption that tasks energy consumption is directly linked to their WCET. A recent work shows that this hypothesis is not suitable for embedded systems [START_REF] Jayaseelan | Estimating the Worst-Case Energy Consumption of Embedded Software[END_REF].

Later, a clairvoyant algorithm called EDeg has been proposed in [START_REF] El Ghor | A real-time scheduling framework for embedded systems with environmental energy harvesting[END_REF][START_REF] Chetto | Fixed Priority Scheduling Strategies for Ambient Energy-Harvesting Embedded systems[END_REF]. The authors expect that this algorithm may be optimal but as far as we know this property has not been proved. The algorithm EDeg relies on a generalizable meta policy: as long as the system can perform without energy failure, a standard policy such as EDF is used. Then, as soon as future energy failures is detected, the system is suspended as long as timing constraints are met or until the energy storage unit is full. To detect such future energy failure, the notion of slack time [START_REF] Lehoczky | An optimal algorithm for scheduling soft-aperiodic tasks xed priority preemptive systems[END_REF] was extended to the notion of slack energy. Another approach based on model checking for dealing with this problem has been proposed in [START_REF] Abdeddaïm | Real-time scheduling of energy harvesting embedded systems with timed automata[END_REF].

Recently, in a paper under review process [START_REF] Abdeddaïm | The Optimality of PFPasap Algorithm for Fixed-Priority Energy-Harvesting Real-Time Systems[END_REF], we proposed P F P ASAP , a xed-priority algorithm that schedules jobs as soon as possible and we proved its optimality for non concrete tasksets.

The aim of this paper is to study the possibility of extending the optimality of P F P ASAP algorithm to concrete tasks by introducing clairvoyance.

The remaining part of the paper is organized as follow. We present the model in Section 2. In Section 3, we explain why we need a clairvoyant algorithm, then, we propose a new algorithm that we call F P C ASAP . Finally, we discuss future work and we conclude in Section 4.

Model

Taskset Model

We consider a concrete real-time taskset in a renewable energy environment dened by a set of n periodic and independent tasks {τ 1 , τ 2 , . . . , τ n }. Each task τ i is characterized by its priority P i , its worst case execution time C i , its period T i , its deadline D i , its oset O i and its worst case energy consumption E i . The execution time C i and the energy consumption E i of a task are fully independent. A task τ i releases an innite number of jobs which are separated by T i time units, its j th job is denoted J i,j and must execute during C i time units and consume E i energy units. All the tasks consume energy linearly, i.e. a constant amount of energy for each execution time unit. Deadlines are constrained or implicit. The taskset is priority-ordered, task τ n being the task with the lowest priority.

Target Application Description

We consider an embedded system connected to an energy harvesting device. An energy harvesting device is a system collecting energy from its environment (e.g.

with a solar panel). The collected energy is stored in an energy storage unit with xed capacity (e.g. chemical battery or capacitor). We suppose that the quantity of energy that arrives in the storage unit is a function of time which is either known or bounded.

The replenishment of the storage unit is performed continuously even during the execution of tasks, and the energy level of the battery uctuates between two thresholds E min and E max where E max is the maximum capacity of the storage unit and E min is the minimum energy level that keeps the system running.

The dierence between these two thresholds is the part of the battery capacity dedicated to tasks execution, denoted C. We suppose that C is as large as needed to never reach E max during replenishment periods. For the sake of clarity, we can consider without loss of generality that E min = 0 and that C = E max . The battery level at time t is denoted E(t). We note P r (t) the replenishment function of the battery. Then, in order to simplify the problem, we assume P r (t) to be a linear function, i.e. P r (t) = P r × t, P r being a positive integer.

Below, we use P r instead of P r (t) to denote the replenishment function. The replenishment process in energy harvesting systems is usually slower than the dissipation, for this reason we suppose that tasks consume more energy than the one which is replenished during executions, i.e. ∀i, E i ≥ C i × P r .

3 The F P C ASAP Algorithm

3.1

The P F P ASAP algorithm

The P F P ASAP algorithm schedules tasks as soon as possible when there is energy available in the battery, and suspends execution to replenish the energy needed to execute one time unit. A proof of the optimality of this algorithm for non concrete tasksets is proposed in [START_REF] Abdeddaïm | The Optimality of PFPasap Algorithm for Fixed-Priority Energy-Harvesting Real-Time Systems[END_REF] and experiments showed that is has a low overhead. However, the algorithm is no longer optimal when we deal with concrete taskset. Figure 1 shows an example where P F P ASAP fails to schedule a taskset while a valid schedule exists. We can see in Figure 1(b) that P F P ASAP schedules task τ 2 before τ 1 which has no time to replenish enough energy. The P F P ASAP algorithm decides to execute τ 2 without having any information about what will happen later. When τ 1 is activated, the energy available in the storage unit is not sucient because τ 2 consumed it and the (c) A feasible schedule Figure 1: P F P ASAP is not optimal available slack-time is not sucient to replenish enough energy. However, if P F P ASAP had checked whether the future jobs meet their constraints or not, deadline misses could be avoided, Figure 1(c) illustrates such a decision. This leads us to say that P F P ASAP fails to schedule some feasible tasksets because it does not measure the impact of its decisions on future jobs.

O i C i E i T i D i P i τ 1 2 2 12

3.2

As Soon As Possible Clairvoyant Fixed-Priority Algorithm

We aim to nd a scheduling algorithm that can be optimal for concrete tasksets.

P F P ASAP is not optimal but it can be enhanced to extend its optimality. The algorithm has to be clairvoyant in order to avoid potential future failure or deadline misses.

We propose to study a new clairvoyant algorithm that we call As Soon As Possible Clairvoyant Fixed-Priority Algorithm (F P C ASAP ). An algorithm is said to be clairvoyant when it takes scheduling decisions according to the future state of the system, i.e. future processor and energy load, future battery level, and the future amount of incoming energy to the storage unit. The clairvoyance must be limited to a nite interval of time that we call Clairvoyance window.

The F P C ASAP algorithm inherits the behavior of P F P ASAP and add clairvoyance capabilities. It schedules jobs as soon as possible whenever the two following conditions are met:

• there is enough energy available in the storage unit to execute at least one • the execution of the current job does not lead to a deadline miss of jobs of higher priority levels which are requested during clairvoyance window (see below).

If these conditions are not satised, the algorithm suspends all executions for one time unit.

Algorithm 1 shows how F P C ASAP takes decisions at time t when a job of priority level i is ready to run. The F P C ASAP algorithm checks rst if the execution of jobs of priority level higher or equal to t according to P F P ASAP rules meet theirs deadlines. Algorithm 1 rst checks if it is possible to delay the current job by comparing its response time at time t + 1 with its deadline (line 7), then, it repeats the process for higher priority jobs. This prevent from delaying the current job uselessly, because in the case where it is impossible to delay, if a deadline miss occurs in higher priority level in the clairvoyance window, the failure cannot be avoided and the system is not schedulable with F P C ASAP . The rst question is: which jobs should be considered in the clairvoyance computation ? In other words, which job can suer from the energy consumed by the current job of priority level i at time t ?

In xed-priority context, when a higher priority task is requested, it cannot be delayed by lower priory ones. However, since the energy is a common resource, lower priority tasks can consume the energy needed for higher priority ones and can so delay them. The aim of clairvoyance is to delay lower priority tasks when such a problem is detected. Knowing that a job cannot be delayed more than its deadline, the jobs which are aected by the execution or the delay of J i,j at time t, are the ones of priority levels higher or equal to i which are requested between time t and the absolute deadline of J i,j . This denes our clairvoyance window. If a deadline miss occurs after the deadline of J i,j , the system is not feasible and clairvoyance cannot avoid that because whatever happens, J i,j must nish executing before its deadline.

The second question is: how can we check if future jobs meet their deadlines ? A simple way is to compute their response times and compare their termination dates with their absolute deadlines. Since F P C ASAP uses P F P ASAP algorithm for clairvoyance, we have to compute response times according to P F P ASAP rules. Algorithm 2 shows how to compute the response time of a job J i,j at time t with the following notations:

• x i (t): next activation of task τ i ,
• we i (t): energy demand of priority level i at time t,

• wp i (t): processor demand of priority level i at time t,

• w i (t): time demand of priority level i at time t,

• c i (t): is the remaining time cost of job J i,j at time t,

• e i (t): is the remaining energy cost of job J i,j at time t,

• d i (t): is the absolute deadline of job J i,j at time t.

Algorithm 2 ResponseT ime P F P ASAP

1: INPUT : t, J i,j , E(t)

2: w i (t) ← t + 3: repeat 4: w i (t) ← w i (t) 5: we i (t) = l≤i e l (t) + w i (t) -x l (t) T l × E l -E(t) 6: wp i (t) = l≤i c l (t) + w i (t) -x l (t) T l × C l 7: w i (t) = t + max we i (t) P r , wp i (t) 8: if w i (t) > d i (t) then 9:
return w i (t) 10:

end if 11: until w i (t) = w i (t) 12: return w i (t) Algorithm 2 behaves like the classical xed-priority response time algorithm and include tasks energy cost in calculations. It computes analytically the response time of a job J i,j of priority level i by computing progressively the time demand w i (t) which is the maximum time needed to satisfy both of the processor demand wp i (t) and the energy demand we i (t). The energy demand we i (t) is derived from the notion of processor demand. It represents the sum of the energy cost of all the jobs of priority equal or higher than i requested during the time interval [t, w i (t)[. Then, the initial battery level E(t) is removed to t the exact amount of energy to be replenished (Equation is given in line 5 of Algorithm 2).

We deal with the maximum of we i (t) and wp i (t) to get the real response time which includes all higher priority interferences and the replenishment periods necessary for a P F P ASAP schedule. Algorithm 2 supposes that the current battery level E(t) and the remaining value of both energy cost e i (t) and processor cost c i (t) are known at time t.

Clairvoyance computation

At time t, when the F P C ASAP algorithm has to decide whether to execute or not the current job J i,j , it uses clairvoyance to predict potential future failure. if ResponseT ime(J k,j , r k,j , E(r k,j )) > d k (r k,j ) then

Complexity

The main goal of this work is to provide an optimal algorithm. The complexity of this algorithm is crucial but in this stage of research we rst focus on optimality, then, we will study the possibility of reducing the complexity. The computations of clairvoyance and response time algorithms are thus the major keys to the operations performed by F P C ASAP algorithm. The response time of a job at a given instant is given by Algorithm 2 with complexity O(K.n) where n is the number of tasks, and K the number of iterations. In the worst case, K corresponds to the number of interfering jobs and thus is bounded by R/p, where R and p are respectively the longest deadline and the shortest period of tasks. The clairvoyance computation of a periodic taskset at a given time instant can be obtained on-line by computing the P F P ASAP schedule. This is performed with complexity O(K 2 .n) by computing the response time of each job activated during the clairvoyance window. The number of these jobs coincides with the number of interfering jobs in the worst case, i.e. K. Therefore, the complexity of F P C ASAP in the worst case is O(K 2 .n).

Conclusion and Future work

The aim of this work was to nd an optimal algorithm to schedule xed-priority tasksets in energy-harvesting environment. The P F P ASAP algorithm is optimal but only for non concrete taskset. In this paper we presented F P C ASAP a new algorithm that inherits the behavior of P F P ASAP and add failure predictability capabilities. We explained why we need clairvoyance and we gave a sucient clairvoyance window length that allow us to verify whether or not there will be future failures caused by early executions.

To continue this work, we plan to explore the following points.

• Optimality: the most important future work is to prove that F P C ASAP is optimal. This algorithm is expected to keep the optimality of P F P ASAP for non concrete tasksets because it behaves the same when there is no future deadline misses and extends it to concrete ones by delaying lower priority jobs as long as needed when a future problem is detected.

• Battery size: in this paper we supposed that the battery is as large as needed to never reach E max . First, we have to nd the minimal capacity satisfying this condition. Then, we will study the impact of E max on our algorithm when the battery size is set by the designer.

• Clairvoyance: we will try to nd a clairvoyance algorithm that computes the exact response times of jobs with a reasonable complexity.

• Preemptions: we will study the possibility of optimizing the number of preemptions and we will evaluate the performance of a non preemptive version of F P C ASAP .

• Priority assignment: we will study the eect of priority assignment policies on F P C ASAP behavior and clairvoyance complexity, for example reversed Rate Monotonic policy (RM -1 ) can reduce the number of higher priority interferences which can enhance sensitively the complexity. We will try also to provide a sucient and necessary feasibility condition that can be used to build an optimal priority assignment (OPA) based on Audsley's algorithm [START_REF] Audsley | Optimal Priority Assignment and Feasibility of Static Priority Tasks with Arbitrary Start Times[END_REF] and Davis' criteria [START_REF] Davis | Priority assignment for global xed priority preemptive scheduling in multiprocessor real-time systems[END_REF].

• Assumptions: nally, we will be interested in measuring the eect of the assumptions we set on both replenishment and task consumption functions, indeed, we will try to nd the worst case of both consumption and replenishment models.

  T rue Algorithm 3 supposes that the remaining cost of tasks and the battery level at each job request are known. This assumption simplies the clairvoyance computation, however, computing these values need heavy calculations and may complexify the clairvoyance algorithm and consequently the overhead of the F P C ASAP Algorithm. This concern remains an open problem.

  ResponseT ime P F P ASAP (t + 1, J i,j , E(t + 1)) > d i (t) then Clairvoyance P F P ASAP (t, J i,j , d i (t), E(t)) then

	Algorithm 1 F P C ASAP Algorithm
	1: t ← 0
	2: loop
	3:	A ← set of active jobs at time t
	4:	if A = ∅ then
	5:	J i,j ← the highest priority job of A
	6:	d i (t) ← the next absolute deadline of J i,j
	7: if 8:	execute J i,j for one time unit at time t
	9:	else
	10: if 11:	execute i,j for one time unit at time t
	12:		else
	13:		suspend the system for one time unit
	14:		end if
	15:	end if
	16:	end if
	17:	t ← t + 1
	18: end loop
		time unit,

  The clairvoyance consists of computing the response time of all the jobs which are requested during the clairvoyance window, i.e. [t, d i (t)[ and checking if they meet their deadlines. Algorithm 3 shows how to do that.

	Algorithm 3 Clairvoyance P F P ASAP Algorithm
	1: INPUT : t, J i,j , d i (t), E(t)
	2: R ← set of jobs J k,j of priority level higher than i which are requested
		during interval [t, d i (t)[
	3: for all J k,j ∈ R do
	4:	r k,j ← the activation date of J k,j
	5:


Pierre Selva

Olivier Dalverny
email: olivier.dalverny@enit.fr

Ébastien Mistou

Moussa Karama

Joël Alexis

Arnaud Deramecourt

Modélisation des assemblages de ballons pressurisés stratosphériques

Keywords: Films polymères, structures minces, nanoindentation, modélisation, éléments-finis, plans d'expériences, ballons stratosphériques Polymers films, thin structures, nanoindentation test, finite-elements, simulations, factorial design, stratospheric balloons

La modélisation et la fabrication des ballons pressurisés stratosphériques longue durée à usage scientifique sont un défi pour le CNES. Ils sont constitués de plusieurs fuseaux en tri-couches PET/PA/PET d'épaisseur 50 µm, assemblés entre eux par des rubans adhésifs en PET de 23 µmd ' épaisseur. Àc e jour, un problème majeur apparaît lors des missions de vol, se traduisant pour certains ballons par une destruction prématurée. Ce travail porte sur l'étude du comportement mécanique des ballons pressurisés stratosphériques et plus particulièrement sur les assemblages des films polymères constituant le ballon. Dans un premier temps, une campagne d'essais de nanoindentation nous permet d'identifier les propriétés élastiques des matériaux après assemblage, et ce pour deux températures de vol du ballon. Dans un second temps, nous modélisons un assemblage nominal en approche 2D puis 3D. Plus particulièrement, un exemple d'application de la technique de submodeling est présentéàp a r t i rd el am od élisation d'un défaut de la jonction. Enfin, à l'aide de la méthode des plans d'expériences et de simulations éléments-finis, nous étudions l'influence des paramètres de conception sur la tenue mécanique d'un assemblage type.

Introduction

Le CNES conçoit et développe des ballons pressurisés stratosphériques destinés à des expériences scientifiques (Fig. 1a). Ces derniers sont constitués de plusieurs fuseaux en films polymères assemblés entre eux par des rubans adhésifs en PET de 23 µmd ' épaisseur et 25 mm de large qui sont thermocollés (Fig. 1b). Le matériau constitutif des fuseaux est un film complexe tri-couches composé de polyester 15 µm, de polyamide 20 µme td e polyester 15 µm (PET/PA/PET), pour une épaisseur totale de 50 µm. L'objectif de ce travail est de modéliser le comportement mécanique d'un assemblage de 2 fuseaux dans l e sc o n d i t i o n sr éelles de vol et d'étudier l'influence des paramètres de conception sur la tenue mécanique de la jonction. Il est ici important de préciser que les simulations ne sont pas effectuées sur un ballon complet. En effet, compte tenu des différents détails à prendre en compte et des différentes échelles mises en jeu, le modèle numérique 3D solide serait trop lourd. Il existe un montage expérimental (( NIRVANA )) qui permet de solliciter une jonction entre 2 fuseaux de la même façon que pour le ballon complet [START_REF] Vialettes | Experimental and numerical simulation of super-pressure balloon apex section: Mechanical behaviour in realistic flight conditions[END_REF]. Les conditions environnementales et les chargements sont ainsi fidèlement retranscrits. Par conséquent, les différentes simulations s'appuieront sur la configuration de cet essai expérimental.

L'étude présentée se décompose en différents points. Dans un premier temps, une campagne d'essais de nanoindentation nous permet d'identifier les propriétés élastiques des différents composants sur les assemblages réalisés, àt e m p érature ambiante ainsi qu'àb a s s e température. Dans un second temps, nous modélisons en approche 2D puis 3D une configuration nominale d'assemblage. Enfin, à l'aide de la méthode des plans d'expériences et de simulations éléments-finis, nous étudions l'influence des paramètres de conception sur la tenue mécanique de la jonction.

2M o d élisation 2.1 Caractérisation des matériaux

Dans le but de disposer des propriétés élastiques de chaque couche de l'assemblage (PET, PA, colle), deux campagnes d'essais de nanoindentation à20 La méthode utilisée pour déduire la valeur du module d'Young est celle de Oliver et Pharr qui tient compte du retour élastique lors de la phase de déchargement [START_REF] Oliver | Measurement of hardness and elastic modulus by instrumented indentation: Advances in understanding and refinement to methodology[END_REF]. Notons que pour des polymères, la vitesse de déchargement doit être rapide de manière àp o u v o i rn égliger les phénomènes visqueux. Oliver et Pharr modélisent la partie décharge de l'essai par l'équation suivante :

P = B(h -h f ) m (1)
Une fois les 2 constantes identifiées, la rigiditédecon tact est calculée à partir de la relation (2):

S = dP dh hmax = mB(h max -h f ) m-1 (2)
Le module d'Young E est calculéà partir d'un module réduit E r qui tient compte de l'élasticitéd el ' échantillon et de l'indenteur. E r est déduit de l'équation (3):

E r = √ πS 2β √ A (3)
Enfin, le module d'élasticitéd um a t ériau testée s t déterminép a rl ' équation (4):

1 E r = 1 -ν 2 E + 1 -ν 2 i E i (4)
L e sc o e ffi c i e n t sd eP o i s s o nd e sm a t ériaux ont étép r i sà 0,23 pour le PET et le PA et 0,35 pour la colle [START_REF] Vialettes | Simulation numérique et expérimentale du comportement mécanique des ballons pressurisés stratosphériques[END_REF]. Les essais sont effectués au moyen d'un nanoindenteur MTS NanoXP à partir de mesures dynamiques de la raideur de contact (Continuous Stiffness Measurement). Les résultats sont calculés àpartirdesdifférentes indentations jusqu'à une profondeur de 300 nm (Fig. 2). La pointe utilisée est de type Berkovich (pyramidale). Les valeurs des modules d'élasticité obtenues sont répertoriées dans le tableau 1. Les valeurs des modules du PA et du PET à -40 • C sont issues d'essais conventionnels effectués sur des bandes de PET et PA.

Modélisation 2D/3D

Toutes les simulations sont effectuées pour un comportement élastique des matériaux. En effet, on néglige le caractère visqueux des matériaux mis en jeu, car la rupture du ballon a lieu dès qu'il atteint son altitude de vol, c'està-dire au bout d'une heure environ. Cette hypothèse est d'autant plus vraie à -40 • C, puisque les matériaux se rapprochent d'un comportement fragile. Àc es t a d e ,2t y p e s d'analyse peuvent être effectuées : l'une 2D, l'autre 3D (Figs. 3a et b). Cependant, elles nécessitent l'utilisation de 2 modèles distincts : un modèle global qui est un quart de structure maillée néléments 3D coques représentant l'échantillon testé sur NIRVANA et un modèle local 2D déformations planes ou 3D solide de la jonction.

Les modélisations font appel àp l u s i e u r sh y p o t h èses : homogénéisation du tri-couches PET/PA/PET, isotropie des couches, bandes de PET parfaitement centrées entre les fuseaux, colle présente sur toute la largeur du PET, symétrie de la structure, du chargement et des matériaux.

Pour le calcul du modèle global, nous faisons l'hypothèse de considérer le fuseau comme continu, ceci afin de simplifier le modèle. On sait que cette hypothèse engendre une erreur sur le champ des déplacements de l'ordre du pour cent. Les conditions aux limites sont de types tension sur la périphérie de l'assemblage, ce qui permet d'appliquer la contrainte présente dans la peau du ballon durant le vol et donc de simuler la présence du reste du ballon, et pression pris à 15 mbar. La validation de ce modèle numérique en comparaison avec les champs de déplacement relevés sur le dispositif expérimental NIR-VANA par stéréocorrélation est réalisée dans les travaux de Vialettes [START_REF] Vialettes | Simulation numérique et expérimentale du comportement mécanique des ballons pressurisés stratosphériques[END_REF].

La simulation du modèle global nous permet de déterminer les conditions aux limites du modèle local. Dans le cas d'un modèle local 2D déformations planes, ces conditions se résument aux valeurs du champ de déplacement relevées sur le modèle coque ainsi qu'à l'application de la pression. Quant au modèle local 3D solide, nous utilisons la technique de submodeling, c'est-à-dire que les 2 modèles global et local sont directement reliés par le biais de conditions aux limites de type déplacement (faces 1 et 2, Fig. 3b). Il est également nécessaire d'appliquer le chargement local de type pression.

En terme de résultats à2 0 • C, la contrainte normale σ 11 est supportée par les couches les plus rigides (PET, PET/PA/PET). On a donc un transfert progressif de la charge du PET/PA/PET vers les bandes de PET (Fig. 4). Dans le cas du modèle 2D, la contrainte σ 11 atteint une valeur maximale proche de 84 MPa, tandis que le modèle 3D nous donne une valeur proche de 106 MPa. Cette augmentation de l'ordre de 20 % est due au fait q u el em o d èle 3D est soumis àu nétat de traction quasi biaxial contrairement au modèle 2D. Si l'on s'intéresse à la contrainte σ 33 ,ilestévident que sa valeur est nettement inférieure dans le cas 2D déformations planes et n'est pas réaliste puisqu'on suppose ε 33 nulle. En effet, sa valeur est 6 fois plus importante dans le cas 3D et s'élève àen viron 110 MPa. En ce qui concerne le cisaillement dans un plan perpendiculaire au plan du joint σ 12 , on retrouve des valeurs quasi identiques quel que soit le modèle. Si l'on regarde l'évolution du cisaillement au niveau des interfaces de la colle, on s'aperçoit qu'il atteint une valeur maximale puis tend à s'annuler àe n v i r o n1m md e se x t r émités de l'assemblage (Fig. 5).

Finalement, on voit que les 2 modèles locaux 2D déformations planes et 3D solide ont des comportements identiques. On relève que le modèle 2D déformations planes donne des valeurs de σ 12 et de σ 11 à 10-20 % en dessous du modèle 3D. On peut conclure que notre hypothèse de travailler par la suite sur le modèle 2D est correcte, pour des temps de calcul nettement inférieurs.

Analyse du comportement mécanique

de l'assemblage à2 0

• C et -40 • C pour le modèle 2D
Comme l'on vient de le décrire, on assiste, à2 0 • C, à un transfert de charge du fuseau vers les rubans de PET.

Au contraire, à -40 • C, étant donné que la rigidité de la colle est voisine de celle des autres matériaux, la charge est reprise par l'ensemble des couches. À l'entrée de l'assemblage, nous relevons une contrainte σ 11 d'environ 76 MPa supportée par le fuseau. Cette valeur chute ensuite à environ 32 MPa à l'intérieur de la jonction, les couches de colle et PET supportant une contrainte proche de 22 MPa.

Si l'on s'intéresse au cisaillement σ 12 ,onrelève à basse température que sa valeur maximale augmente pour s'annuler ensuite plus rapidement (Fig. 5).

Exemple de modélisation 3D d'un défaut d'assemblage

Au cours du processus de fabrication et d'assemblage des fuseaux, plusieurs types de défauts ont été constatés (inclusion, dissymétrie, pontet de colle. . . ). C'est pourquoi il est nécessaire d'effectuer une étude de la structure en tenant compte de ces imperfections et de quantifier leur impact sur la tenue mécanique de l'assemblage. La technique de submodeling est ici bien adaptée pour prendre en compte localement le caractère 3D du défaut sans pour autant avoir un modèle trop lourd.

Nous présentons ici le calcul d'un défaut occasionné par l'accumulation de colle induisant la formation d'un pli sous le ruban de PET. Le modèle global est dans ce cas un demi-disque puisque seule subsiste une symétrie sur la structure. Le chargement est de type pression sur la face inférieure du système. Le modèle local est maillé avec 54 000 éléments 3D solides à interpolations quadratiques. Les différents éléments constitutifs de l'assemblage sont solidarisés par l'intermédiaire de couplages de degrés de liberté. Le reste du modèle est constituéd ' éléments coques.

À partir de la simulation, nous pouvons observer q u ec et y p ed ed éfaut engendre une augmentation de la contrainte au sens de Von Mises de l'ordre de 15 % par rapport à une structure saine (Fig. 6). En effet, sa valeur passe de 109 MPa àp r ès de 127 MPa. Cette élévation est concentrée au niveau de la courbure du film supérieur de PET. Quant àl ap a r t i ei n f érieure, elle semble être dans un état de contraintes identique à celle de la structure nominale.

3 Étude de sensibilités u rl e sp a r a m ètres de conception

Plan d'expériences

Nous utilisons la méthode des plans d'expériences pour étudier l'influence des paramètres de conception sur la tenue mécanique de l'assemblage [START_REF] Box | Statistics for Experimenters, an introduction to Design, Data analysis and Model Building[END_REF]. En effet, cette t e c h n i q u ep e r m e td em e t t r ee névidence non seulement les paramètres de conception prépondérants, mais aussi les différentes interactions existantes entre ces derniers. Un autre avantage de cette technique, est la possibilité de construire plusieurs plans d'expériences àp a r t i r des mêmes simulations éléments-finis pour étudier des réponses différentes.

Son principe consiste à faire varier au cours de chaque expérience les niveaux de tous les facteurs àl af o i s ,d e manière programmée, en fixant pour ce qui nous concerne 2 niveaux par facteur. On retient l'algorithme de Yates pour fixer les niveaux des facteurs pour chaque essai. Un plan pour lequel chacun des k facteurs ne possède que 2 niveaux est appelép l a n2 k. On appelle facteur X i la variable qui agit sur le système étudiée tr éponse y i la grandeur que l'on mesure au cours des essais.

Variables de conception et réponses observées

On choisit d'étudier les paramètres suivants :

facteur X 1 : largeur PET facteur X 2 : module colle facteur X 3 : module PET facteur X 4 :épaisseur de colle.

Nous appellerons X i X j l'interaction entre les facteurs X i et X j . La réponse observée Y est la valeur maximale du cisaillement au niveau de l'interface colle/PET issue des simulations numériques. Nous construisons un plan d'expériences factoriel complet pour étudier les effets des différents facteurs et interactions. Il est donc nécessaire d'effectuer 24 modèles. Nous négligeons les interactions d'ordre 3 et 4 de manière à libérer certains degrés de liberté du plan et de pouvoir analyser les effets par la méthode de la variance.

Les valeurs des paramètres retenues sont répertoriées dans le tableau 2. L'analyse du graphe des effets déduit du plan d'expériences montre clairement que le facteur le plus significatif sur la valeur maximale du cisaillement à l'interface colle/PET est l'épaisseur du film de colle (Fig. 7). Lorsque cette épaisseur augmente, la valeur de la réponse diminue et la longueur cisaillée augmente (Fig. 8). Au contraire, on voit que la largeur de PET n'a aucune influence sur cette réponse. En effet, comme on a pu le constater à la section 2.3, la colle n'est cisaillée que sur une longueur d'environ 1 mm. Seul le facteur module d'Young de la colle a une influence positive sur la réponse lorsqu'il passe à son niveau haut. Finalement, le test de Student indique que l'on peut négliger le facteur largeur de PET ainsi que les interactions existantes avec ce facteur. graphe des effets que le facteur prépondérant est toujours l'épaisseur de colle, tandis que le moins significatif est ici le module d'Young de la colle (Fig. 9). Nous remarquons de plus que les facteurs module d'Young de la colle et du PET ont une influence contraire sur la réponse par rapport à celle déterminée à2 0 • C.

Conclusion et discussion

La première partie de nos travaux a étéc o n s a c r ée à l'identification des propriétés des matériaux constitutifs par nanoindentation. L'avantage de cette technique réside dans le fait qu'elle nous permet d'évaluer les propriétés directement à l'intérieur de l'assemblage. Ainsi, nous avons déterminé les caractéristiques élastiques àt e m p érature ambiante ainsi qu'à -40 • C.

Dans un second temps, nous avons modélisé, àp a r t i r de la configuration expérimentale NIRVANA, une zone locale de l'assemblage de 2 fuseaux. Deux types d'études ont étéabordés : l'une de type 2D déformations planes, l'autre de type 3D solide. Les deux modèles ont des comportements similaires, les résultats en terme de contraintes sont de l'ordre de 20 % inférieurs pour le cas 2D, mais pour des temps de calcul nettement réduits. À2 0 • C, le transfert de charge s'effectue du fuseau vers les rubans de PET, tandis qu'à basse température, la colle ayant un module voisin des autres couches, la charge est reprise par l'ensemble de l'assemblage. La technique de submodeling a également été utilisée pour modéliser un type de défaut de l'assemblage des fuseaux. Nous présentons ici un exemple où une accumulation de colle s'est produite sous le ruban de PET. À partir des simulations élémentsfinis, nous constatons que ce type de défaut engendre une augmentation du champ de contrainte de 15 %, notamment au niveau de la bande de PET. Cette étude permet de donner un ordre de grandeur des augmentations de contraintes que subit le ballon suite à des imperfections de fabrication. Ces valeurs doivent être prises en compte pour les futurs dimensionnements de la structure.

Dans un troisième temps, l'étude de l'influence des paramètres de conception sur la tenue mécanique de l'assemblage a été effectuée àp a r t i rd el am o d élisation 2D de la jonction. Plusieurs plans d'expériences ont été réalisés à partir des simulations numériques à2 0 • C ainsi qu'à -40 • C. La réponse étudiée est la valeur maximale du cisaillement au niveau de l'interface colle/PET. Nous pouvons affirmer que le facteur prépondérant sur cette réponse est l'épaisseur de colle. Plus cette épaisseur augmente, plus la contrainte de cisaillement diminue. Nous montrons également que les facteurs ont des effets différents sur cette réponse à2 0 • C et -40 • C. Il est important de noter que les résultats annoncés par un plan d'expériences dépendent de la sortie observée qui dans ce cas est le niveau de cisaillement dans le plan [START_REF] Vialettes | Experimental and numerical simulation of super-pressure balloon apex section: Mechanical behaviour in realistic flight conditions[END_REF][START_REF] Oliver | Measurement of hardness and elastic modulus by instrumented indentation: Advances in understanding and refinement to methodology[END_REF]. Cette réponse n'est peut-être pas l'unique critère pertinent. Un second plan d'expériences a étéc o n s t r u i t en considérant comme réponse la valeur maximale de la contrainte normale σ 11 dans le ruban de PET. Comme on pouvait s'y attendre, on montre que dans ce cas les facteurs prépondérants sont l'épaisseur ainsi que la rigidité du PET.

Fig. 1 .

 1 Fig. 1. Vue d'ensemble, (a) ballon pressurisé, (b) assemblage de fuseaux.

Fig. 2 .

 2 Fig. 2. Évolution du module d'Young du PA en fonction de la profondeur indentée.

Fig. 3 .

 3 Fig. 3. Modèle local de l'assemblage, (a) 2D, (b) 3D.

Fig. 4 .

 4 Fig. 4. Visualisation du champ des contraintes σ11.

Fig. 5 .

 5 Fig. 5. Évolution du cisaillement à l'interface colle/PET à2 0 • C et -40 • C.

Fig. 6 .

 6 Fig. 6. Champ des contraintes de Von Mises à la jonction des fuseaux, (a) structure nominale, (b) structure avec défaut.

Tableau 2 . 3

 23 Valeurs des facteurs retenues. Facteurs Niveau bas Niveau haut 20 • C -40 • C 20 • C -40 • C Largeur PET (mm) Analyse des résultats à2 0 • C

3. 4

 4 Analyse des résultats à -40 • C À basse température, nous remplaçons le facteur largeur du PET par son épaisseur. Nous constatons sur le

Fig. 7 .

 7 Fig. 7. Graphe des effets pour le plan d'expériences à2 0 • C.

Fig. 8 .

 8 Fig. 8. Évolution du cisaillement à l'interface colle/PET pour différentes épaisseurs de colle à2 0 • C.

Fig. 9 .

 9 Fig. 9. Graphe des effets pour le plan d'expériences à -40 • C.

  • C et -40 • C sont effectuées. La nanoindentation est une technique permettant l'évaluation de la dureté et du module d'élasticité d'un matériau par l'enfoncement d'une pointe de la taille du nanomètre, selon un cycle chargement/déchargement. Nous utilisons cette technique, car elle nous permet de déterminer les propriétés mécaniques des matériaux directement au sein de l'assemblage. Ceci nous permet donc de nous affranchir d'éventuelles évolutions entre les propriétés des matériaux non assemblés puis assemblés, consécutives au processus de fabrication.