Keywords: ……………………, ……17 Références…………………………………………………………………………………………………………………, …, 19

Chapitre 1 : Introduction Générale……………………………………………………………………………………

Résumé

La croissance démographique dans les zones urbaines représente un problème pour la planification des transports. La surcharge des systèmes de transport urbains entraîne des coûts monétaires importants et des problèmes environnementaux. Des mesures politiques sont alors nécessaires pour réduire le niveau de congestion et accroître l'efficacité des systèmes de transport. À court terme, les simulateurs de trafic pourraient constituer un outil puissant pour la conception de solutions innovantes. Mais les simulateurs de trafic classiques sont exigeants sur le plan informatique pour les applications à grande échelle. De plus, la mise en place du scénario de simulation est complexe. Une modélisation de trafic agrégée pourrait être une bonne solution (Daganzo, 2007 ;Geroliminis et Daganzo, 2008). Le réseau routier des villes est divisé en régions, où un diagramme fondamental macroscopique bien défini (MFD) régule les conditions de circulation à l'intérieur de chacune. Le MFD concerne le débit et la densité de trafic moyens dans une région. Bien que l'idée d'agréger le réseau de la ville soit simple, il soulève plusieurs défis qui n'ont pas encore été abordés. Jusqu'à aujourd'hui, seuls Yildirimoglu et Geroliminis (2014)

Chapitre 1 : Introduction Générale

Le concept de la modélisation macroscopique du trafic a été introduit par les travaux originaux de Godfrey (1967). Mais, ces idées ont suscité de la communauté scientifique internationale après les travaux de Daganzo (2007) et Geroliminis & Daganzo (2008). Ce type de simulation suppose l'existence d'un Diagramme Fondamental du Trafic (MFD qui vient de l'anglais, Macroscopic Fundamental Diagram). Il est défini par une relation entre le flux moyen, q (#vehicules/s), et la densité, k (#vehicules/km), des véhicules circulant dans une zone ou réservoir. Son existence a été montrée avec des données réelles de la ville de Yokohama (Japon) par Geroliminis & Daganzo (2008). Le MFD est un outil fondamental, car il décrit les différents états du trafic dans une zone ou réservoir. Il assume l'existence d'une variable d'état : l'accumulation, n(t) (#vehicules). Cela est une propriété intrinsèque de la zone ou réservoir, car il ne dépend pas de la demande. À partir de la Théorie du Trafic, il est possible représente la fonction du flux sortant. En fonction des hypothèses de base sur la fonction de sortie g(t), on peut avoir deux approches de modélisation différentes basées sur: (i) l'accumulation (Daganzo, 2007) ; ou (ii) sur les voyages individuels (Arnott, 2013;[START_REF] Mariotte | [END_REF]). Daganzo (2007) de Simon (1957de Simon ( , 1966de Simon ( , 1990de Simon ( , 1991)). Il y a plusieurs familles des modèles discutées dans la littérature : la théorie du regret (Chorus, 2014 ;Li et al. 2016) ; la théorie des perspectives (Kahneman & Tversky, 1972 ;Tversky & Kahneman, 1992) ; la bande d'indifférence (Han et al. 2015 ;Di et al., 2016) ; et les niveaux d'aspiration (Zhao & Huang, 2016 ;Batista et al., 2018).

La théorie des perspectives (Kahneman & Tversky, 1972 ;Tversky & Kahneman, 1992) a été introduite dans le contexte du choix des itinéraires par Avineri (2004Avineri ( , 2006)) Les niveaux d'aspiration et le concept de rationalité limitée ont été introduits par les travaux originaux de [START_REF] Simon | A behavioral model of rational choice[END_REF][START_REF] Simon | Theories of Decision-Making in Economics and Behavioural Science[END_REF][START_REF] Simon | [END_REF]Simon ( , 1991)). L'idée c'est que les usagers sont conduits par niveaux d'aspiration quand ils font ces choix. Ils représentent un vecteur de contraintes qui doivent être satisfaites pour que les usagers soient satisfaits et n'envisagent plus de changer leur choix. [START_REF] Simon | A behavioral model of rational choice[END_REF][START_REF] Simon | Theories of Decision-Making in Economics and Behavioural Science[END_REF][START_REF] Simon | [END_REF]Simon ( , 1991) )

  proposent un cadre d'affectation dynamique du trafic pour les réseaux régionaux et les modèles MFD. Ce cadre est basé sur le modèle Logit multinomial et ne traite pas explicitement des distributions de longueurs de parcours. De plus, leur structure ne considère pas que les utilisateurs sont différents les uns des autres et ont des objectifs et des préférences différents pour leurs voyages. L'objectif de cette thèse est double. Tout d'abord, l'influence du comportement des utilisateurs sur la performance globale du réseau routier d'une ville est étudiée. Cette analyse se concentre sur la vitesse moyenne du réseau et ses capacités internes et de sortie, en comparant différents modèles tenant compte des différents types de comportement des utilisateurs par rapport à l'équilibre utilisateur déterministe et stochastique. En second lieu, un cadre innovant et complet d'affectation dynamique du trafic pour les modèles multirégionaux basés sur le MFD est proposé. Ce cadre est divisé en plusieurs étapes et repose sur les connexions entre la ville et les réseaux régionaux. Dans un premier temps, des méthodes systématiques de mise à l'échelle sont proposées pour rassembler les voies régionales. Dans un deuxième temps, quatre méthodes sont discutées pour calculer les distributions de longueurs de parcours pour caractériser ces chemins régionaux. Dans la troisième étape, un modèle de chargement de réseau qui considère les distributions de longueurs de parcours explicitement calculées et l'évolution des vitesses moyennes régionales est proposé. Enfin, ce cadre d'affectation dynamique du trafic est étendu pour prendre en compte les usagers qui ont une aversion au regret ou une rationalité imparfaite. Cette thèse s'inscrit dans le cadre d'un projet européen ERC intitulé MAGnUM : approche de modélisation du trafic multi-échelle et multimodal pour la gestion durable de la mobilité urbaine. Cette thèse a été financée par la région Auvergne-Rhône-Alpes sur le programme ARC7 et aussi par le projet européen ERC intitulé MAGnUM (grant agreement No 646592) sur le programme de l'Union Européenne Horizon 2020. Pendant la thèse, S. F. A. Batista a aussi eu une bourse de l'aide à la mobilité internationale de l'Université de Lyon et il a été financé par le programme Avenir pour son séjour à l'École Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL) en Suisse.

  de décrire la fonction MFD, par un changement des variables, comme une relation entre : (i) la production des trajets, P(n) (#vehicules.m/s), et l'accumulation, n (#vehicules); la vitesse moyenne, v(n) (m/s), et l'accumulation, n (#vehicules). La production, P(n), est définie comme le flux moyen dans un réservoir multiplié par la longueur totale du réseau. L'accumulation, n(t), décrit le nombre des véhicules qui circulent dans une zone ou réservoir au cours du temps. L'évolution de l'accumulation au cours du temps est définie par le bilan entre le flux entrant et sortant dans un seul réservoir : 𝑑𝑛 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑡) -𝑔(𝑡), 𝑡 > 0 où f(t) (#vehicules/km) représente la fonction du flux entrant ; et g(t) (#vehicules/km)

  réseau routier et sont informatiquement coûteuses. La méthode 3 apporte des résultats prometteurs pour le calcul de l'ensemble des chemins régionaux ainsi qu'en termes d'efficacité de calcul informatique. Les chemins régionaux sont caractérisés par des distributions des longueurs de parcours à l'intérieur de chaque région traversée. Quatre méthodes sont ensuite proposées pour calculer ces distributions des longueurs de parcours, également basées sur un ensemble de déplacements et sur le partitionnement du réseau urbain. La méthode la plus détaillée, c'est-à-dire qui filtre les déplacements en fonction de leur chemin régional associé, est celle qui donne la plus grande hétérogénéité des distributions de longueur de trajet. L'influence du calibrage des longueurs de parcours pour des applications MFD a été aussi étudiée. Les résultats montrent que les longueurs de parcours influencent d'une forme non négligeable la dynamique de l'évolution des états du trafic dans les régions. La troisième étape consiste à proposer un cadre méthodologique pour le calcul de l'équilibre du réseau régional, qui prenne en compte des distributions des longueurs de parcours calculées explicitement ainsi que l'évolution des états de trafic dans les régions. Pour cela, quatre définitions différentes de l'équilibre du réseau régional sont discutées, étant donné la distribution des longueurs des trajets et l'évolution des états de trafic dans les régions modélisées par le MFD. Les résultats montrent que les distributions des longueurs de parcours ne peuvent pas être négligées sur le calcul de l'équilibre. La corrélation entre les chemins régionaux est prise en compte par l'hypothèse du MFD qui est incorporé sur le calcul de l'équilibre. La définition de l'équilibre 4 doit être celle à prendre en compte pour l'affectation dynamique du trafic sur des réseaux régionaux. À la fin de la deuxième partie de la thèse, on discute aussi l'extension de ce cadre méthodologique pour tenir compte des usagers qui ont un comportement de rationalité limité ainsi qu'une aversion au regret.Le cadre méthodologique d'affectation dynamique du trafic pour les réseaux régionaux et les modèles MFD est le premier qui étudie les connexions entre les réseaux routier de la ville et le régional. Premièrement, il considère des méthodes dédiées pour calculer les chemins régionaux et les distributions de longueur de parcours, en fonction des déplacements sur le réseau urbain. Deuxièmement, il prend en compte les distributions de longueur de parcours calculées explicitement et l'évolution des états de trafic dans les régions. Troisièmement, il est capable de prendre en compte différents types de comportement des utilisateurs.

  'évolution des conditions de trafic dans les régions. L'extension de ce cadre d'affectation dynamique du trafic pour les modèles MFD pour prendre en compte des différents types de comportement des usagers est aussi discutée.Cette thèse est organisée en 8 chapitres, où 6 de ces chapitres sont divisés en deux parties. Le chapitre 1 est l'Introduction générale de la thèse. Le but de la première partie de la thèse est d'évaluer l'influence des différents types de comportement des usagers sur la performance du réseau. Cette première partie est composée de 3 chapitres. Le chapitre 2 présente la revue de littérature des modèles d'affection du trafic. Le chapitre 3 étudie l'influence du comportement des usagers d'aversion au risque pour le choix d'itinéraires, modélisée par la mise en oeuvre Le modèle plus basique qui est appliqué dans la simulation dynamique du trafic est basé sur le premier principe de Wardrop (mentionné sur le point a)), où chaque usager choisit le chemin qui a le temps de parcours minimal. En équilibre, les usagers n'envisagent plus de changer leur choix si leur temps de parcours correspond au minimum. Mais, ce modèle ne considère pas les distributions des temps de trajets. Pour modéliser les distributions des temps de parcours, il y a deux approches qui sont discutées dans la littérature : la théorie d'utilité ; et la logique floue avec la théorie de possibilité. Bien que la logique floue soit discutée dans quelques Pour essayer de résoudre ces limitations, il y a plusieurs modifications qui ont été discutées dans la littérature (e.g.,[START_REF] Prato | [END_REF]. Récemment,Fosgerau et al. (2013) ont proposé le Logit recursive, où le choix est fait au niveau des liens. Si les termes d'erreurs suivent une loi normale multivariée, on a le modèle Multinomial Probit (MNP). D'un point de vue théorique, le MNP est mieux que le MNL, car il considère une formulation flexible de la matrice de variance-covariance. Mais, ce modèle a un coût d'implémentation computationnel vraiment plus élevé que le MNL. Le MNP n'a pas une formulation fermée pour calculer les probabilités. Pourtant, il est nécessaire d'intégrer la loi normale multivariée sur tous les chemins qui lient la paire origine-destination. Sheffi (1985) a proposé de résoudre le MNP avec des simulations de Monte Carlo. L'idée est de faire une discrétisation du terme d'erreur au niveau des liens et de résoudre localement des formulations de l'équilibre usager déterministe. Au final, les flux à affecter sur les chemins correspondent à une moyenne pondérée sur tous les tirages des erreurs. La moyenne pondérée est un proxy du résultat d'un Les modèles de la théorie d'utilité ont une forte limitation du point de vue de la modélisation d'un comportement réaliste des usagers face aux choix d'itinéraires. Cette gamme des modèles suppose que les usagers ont une rationalité parfaite et qu'ils ont une connaissance parfaite du réseau et de ses états du trafic. Comme alternative, on a le concept de rationalité limitée qui a été introduit par les travaux originaux

	𝑃(𝑛(𝑡)) d'équilibre d'un réseau régional qui prend en compte les distributions des longueurs de 𝑔(𝑡) ≈ 𝐿 ̅ où 𝐿 ̅ (m) est la longueur moyenne de tous les véhicules qui voyagent dans le réservoir en question. À noter que P(n(t)) est déterminé par la dynamique du MFD. Ce modèle a deux limitations importantes : (i) l'hypothèse sur une longueur moyenne pour tous les véhicules qui circulent dans un réservoir, qui n'est pas du tout réaliste ; et (ii) le modèle a des problèmes à gérer des grandes variations de la demande sur des courtes périodes de temps. La limitation (ii) a été mise en évidence par Mariotte et al. (2016). Arnott (2013) a proposé une formulation alternative où la dynamique de chaque réservoir est décrite par les longueurs des voyages individuels de chaque véhicule : 𝐿 = ∫ 𝑉(𝑛(𝑠))𝑑𝑠 𝑡 𝑡-𝑇(𝑡) d'où il est possible de définir la dépendance de la fonction de sortie, g(t) (Mariotte & Leclercq, 2017) : 𝑔(𝑡) = 𝑓(𝑡 -𝑇(𝑡)) 𝑉(𝑛(𝑡)) 𝑉(𝑛(𝑡 -𝑇(𝑡))) où T(t) représente le temps de trajet d'un véhicule sortant à l'instant t. La résolution numérique de ce modèle est décrite par Mariotte & Leclercq (2017). Cette approche de modélisation macroscopique est plus réaliste car elle considère des longueurs de parcours des véhicules individuels. Mais cela augmente la complexité computationnelle demandée. En outre, c'est un modèle basé sur l'usager. Cette thèse répond à deux objectifs principaux. Dans la première partie de la thèse, l'influence de différents types de comportement des usagers sur la performance d'un réseau urbain est étudiée. Les tests sont effectués sur réseau de Manhattan. Un modèle mésoscopique Lighthill-Whitham-Richards (LWR) est utilisé pour déterminer des temps de trajet dynamiques, qui prennent en compte des effets de propagation de la congestion. La performance du réseau est parcours et lformulation explicite) pour les calculs des probabilités, il a deux très fortes limitations. D'un
	évaluée par le Diagramme Fondamental Macroscopique (MFD) et sa capacité de sortie. Dans côté, le modèle a des problèmes à prendre en compte les utilités corrélées. C'est à dire qu'il
	la deuxième partie de la thèse, un cadre d'affectation dynamique du trafic pour des réseaux surestime les probabilités des chemins qui sont corrélés et sous-estime les probabilités des
	multirégionaux à grande échelle et des modèles MFD du trafic est proposé. Ce cadre chemins indépendants. D'un autre côté, il suppose que le paramètre d'escale de la loi de
	suppose que le flux de sortie, g(t), dépend de l'accumulation des véhicules comprend : (i) la définition de l'ensemble des chemins régionaux ; (ii) la caractérisation des
	dans le réservoir ; et est proportionnel à la longueur moyenne des trajets des véhicules dans chemins régionaux à travers des distributions des longueurs de parcours ; et (iii) la définition
	un réservoir :

de la théorie de la perspective, sur la performance du réseau. Le chapitre 4 étudie l'influence de la rationalité limitée des usagers, compte tenu de leurs préférences pour leurs choix d'itinéraire, sur les performances du réseau et les flux sur les itinéraires individuels. La Section I présente un sommaire des résultats et contributions de la première partie de la thèse. Le but de la deuxième partie de la thèse est de proposer un cadre complet d'affectation dynamique du trafic pour des réseau multirégionaux à grande échelle et les modèles MFD. Cette deuxième partie est divisée en 3 chapitres. Le chapitre 5 discute des méthodologies pour définir l'ensemble des chemins régionaux. Le chapitre 6 présente un cadre méthodologique pour calculer des distributions de longueurs de parcours dans les régions. Le chapitre 7 propose la mise en oeuvre d'un cadre méthodologique pour le calcul de l'équilibre du réseau régional, prenant en compte des distributions des longueurs de parcours et l'évolution des conditions du trafic dans les régions. La Section II discute l'extension de ce cadre d'affectation dynamique pour trafic pour les modèles MFD et réseaux régionaux pour prendre en compte des usagers qui ont une rationalité limitée et une aversion au regret. Le chapitre 8 présente les conclusions de la thèse, résumant les principales contributions et soulignant les directions de recherche future. Chapitre 2 : Revue de littérature études, elle n'est pas considérée sur des applications réelles dans le cadre de simulation dynamique du trafic. Par contre, les modèles basés sur la théorie d'utilité sont les plus utilisés. Ces modèles sont basés sur la définition d'une fonction d'utilité perçue par les usagers, 𝑈 𝑘 : 𝑈 𝑘 = 𝑉 𝑘 + 𝜖 𝑘 , ∀𝑘 ∈ Ω 𝑘 où 𝑈 𝑘 est l'utilité que les usagers perçoivent ; 𝑉 𝑘 représente la partie déterministe de l'utilité qui dépend du temps de trajet de la route k, et des attributs des usagers ; 𝜖 𝑘 représente le terme d'incertitude sur les temps de trajets. Ce dernier terme est aussi mentionné comme terme d'erreur ou terme stochastique dans la littérature. Le terme Ω 𝑘 représente l'ensemble des chemins qui lient l'origine-destination. Les modèles de la théorie d'utilité se distinguent selon l'hypothèse qui est faite sur le terme d'erreur, 𝜖 𝑘 . Si les termes d'erreurs sont des variables indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) selon une loi de Gumbel, on a le modèle Multinomial Logit (MNL). Le MNL est, avec le modèle de Wardrop, un des plus utilisés dans les simulateurs du trafic à cause de sa simplicité d'implémentation. Bien que le MNL ait une forme fermée (c'est à dire, une Gumbel est défini par l'origine-destination. Pourtant, il suppose que tous les chemins d'une même paire origine-destination ont la même variance de temps de parcours, ce qui n'est pas réaliste. MNP. Cette approche apporte des avantages, notamment sur le couplage du MNP avec d'autres modèles de la rationalité limitée. Mais, Nielsen (1997) a mis en évidence la limitation de cette approche, quand on tronque les temps de trajet négatifs et on obtient une distribution normale asymétrique. Pour éviter ce problème, l'auteur propose de considérer une loi gamma. Comme alternative au MNL, il y a aussi des auteurs qui ont proposé le Logit Mixte ou Logit Hybride

(Bekhor, 2002)

. Ce modèle utilise la structure simple du MNL et le terme d'erreur est composé par une combinaison de deux termes : un terme qui est modélisé par une loi de Gumbel ; et un autre qui considère une matrice d'incidence et une loi normale de moyenne nulle et variance unitaire.

  . Cette théorie considère que les usagers ont une aversion au risque d'avoir des retards face à leur choix d'itinéraire. Les différentes alternatives sont évaluées comme des gains et des pertes par rapport à un point de référence. Les usagers ont une aversion au risque face à une perspective des gains ; cherchent le risque face à une perspective des pertes et sont plus sensibles aux pertes qu'aux gains. L'application de cette théorie au choix d'itinéraires reste toujours sur des cas statiques et sur des petits réseaux. Il y a quelques questions qui limitent l'application de la

	théorie des perspectives au choix d'itinéraires, comme : (a) la calibration appropriée des
	paramètres d'aversion au risque ; (b) le bon choix d'un point de référence approprié pour

mesurer les gains et les pertes ; (c) le calcul des gains et des pertes dans un cas de choix dynamique d'itinéraires ; et (d) le choix de bonne fonction des poids pour avoir une bonne pondération des probabilités des gains et des pertes.

Xu et al. (2011) et Ramos et al. (2013)

ont fait des contributions importantes dans l'application de la théorie des perspectives au trafic. Mais, l'application et le calibrage de cette théorie au choix dynamique des usagers restent toujours ouverts.

influence du comportement d'aversion au risque des usagers sur la performance d'un réseau routier

  Et, ils ont présenté la formulation du modèle sous la forme d'un problème d'optimisation.Celle-ci présente un défi pour son application au niveau dynamique. De plus, le modèle dépend fortement de l'ordre strict des préférences des usagers.Dans ce chapitre, nous examinons la réponse du réseau routier aux choix des itinéraires des usagers, quand ils ont un comportement d'aversion au risque. Pour cela, nous considérons l'application de la théorie des perspectives pour modéliser les choix des usagers et un modèle mésoscopique de Lighthill-Whitham-Richards (LWR) du trafic. Pour les tests, nous considérons un réseau routier du type de Manhattan. Nous analysons la performance du réseau en termes de sa capacité interne et de flux de sortie, ainsi que de sa vitesse moyenne interne, par rapport

	La théorie du regret (Chorus, 2014) essaye de modéliser l'aversion au regret des usagers. C'est
	à dire, les usagers veulent minimiser leur regret par rapport aux chemins qui ne sont pas
	utilisés. Pourtant, les usagers seront contents si leur choix correspond à un chemin qui a un
	temps de trajet inférieur aux autres qui ne sont pas utilisés. Li et al. (2016) ont décrit
	l'application de la théorie du regret sur la formulation du point fixe et l'ont testée dans un
	contexte du choix d'itinéraires statiques. Pour modéliser la stochasticité, les auteurs ont
	considéré le modèle MNL. Un cas d'application de ce modèle à un contexte dynamique du
	trafic reste toujours ouvert.
	mesurée par rapport au temps de trajet minimal. Le formalisme mathématique de la bande
	d'indifférence est décrit sur la forme d'un point fixe par Han et al. (2015). Di et al. (2014) ont
	aussi étudié l'unicité de la solution d'équilibre obtenue par ce modèle et proposent des
	méthodes pour obtenir des équilibres de rationalité limitée uniques, avec la bande

a appelé ce comportement de « satisficing », qui vient de la concaténation des mots anglais « satisfy » et « suffice ». La calibration des niveaux d'aspiration est faite à travers une bande d'indifférence qui a été appliquée au trafic par les travaux

de Mahmassani (1987)

. L'idée de la bande d'indifférence c'est que les usagers considèrent un itinéraire comme acceptable, si son temps de trajet est dans une bande d'indifférence. Une des limitations de l'application des modèles de la rationalité limitée est la non unicité de la solution de l'équilibre du réseau. À cause de cette limitation,

Zhao & Huang (2016)

ont considéré que les usagers ont un ordre strict des préférences pour faire leur choix. Chapitre 3 : L'à des modèles de choix d'itinéraire plus classiques comme l'équilibre déterministe et stochastique de l'utilisateur (DUE et SUE). Dans un contexte de réseau avec peu d'alternatives, nous montrons que les capacités internes et de sortie du réseau ainsi que la vitesse moyenne interne augmentent par rapport au SUE. Le comportement d'aversion au risque et un comportement de rationalité parfaite des usagers démontrent des résultats agrégés de performance du réseau similaires. De plus, les flux sur les itinéraires sur les conditions de l'équilibre d'aversion au risque sont très similaires à ceux sur des conditions du DUE et SUE. Chapitre 4 :

Les effets de la rationalité limitée des usagers sur la performance d'un réseau routier

  Dans ce chapitre, nous revenons sur le principe de la rationalité limitée appliqué à l'affectation dynamique du trafic pour évaluer ses influences sur la performance du réseau. Nous étudions l'influence du comportement de rationalité limitée des usagers sur : (i) les flux sur les itinéraires à l'équilibre du réseau ; et (ii) la performance du réseau routier en termes de sa capacité interne, d'entrée et de sortie. Pour le calcul de l'équilibre, nous proposons un cadre méthodologique qui est basé sur des simulations de Monte Carlo pour prendre en compte

l'incertitude sur les temps de trajet. Le comportement de rationalité limitée des usagers est lié à ces préférences strictes ou au cas où les usagers n'ont pas de préférence. On considère un simulateur mésoscopique Lighthill-Whitham-Richards (LWR) du trafic pour calculer des temps de trajets dynamiques qui prennent en compte des effets de propagation de la congestion et des ondes de choc. L'équilibre du réseau est calculé à l'aide de la méthode des moyennes successives. À titre de référence, les résultats sont comparés à la fois par l'équilibre utilisateur déterministe et stochastique (DUE et SUE). Les tests dynamiques sont faits dans un réseau routier du type de Manhattan. On montre que quand l'indifférence des usagers par rapport à ses leurs d'itinéraires augmente, la capacité interne et entrante diminue, ainsi que la capacité de sortie. Nous testons également le cadre sur un réseau de jouets Braess pour mieux comprendre les changements dans les flux de route à l'équilibre pour les ordres de recherche et les valeurs croissantes des niveaux d'aspiration.

Chapitre 5 :

La définition des chemins régionaux pour des applications à grande échelle

  Jusqu'à présent, peu d'attention a été accordée à la construction d'un cadre d'affectation dynamique du trafic pour les modèles MFD. La première étape consiste à identifier les chemins régionaux pour définir l'ensemble des chemins. L'objectif de ce chapitre est de proposer trois méthodes pour rassembler les chemins régionaux. Deux de ces méthodes reposent sur un ensemble de déplacements dans le réseau routier microscopique et sur son partitionnement. Ils sont basés sur une recherche exhaustive dans le réseau routier microscopique et sont définis comme les méthodes de référence. L'autre méthode est basée sur les K-chemins les plus courts calculés directement dans le réseau régional. Les trois méthodes sont testées sur le réseau du 6 ème arrondissement de Lyon (France). Nous montrons que les méthodes de référence nécessitent une grande taille de l'ensemble des déplacements.

Cela prend beaucoup de temps pour les réseaux routiers des grandes villes, comme à l'échelle de la métropole de Lyon, et nous proposons une méthode alternative. Nous montrons que cette méthode donne un ensemble de chemins régionaux avec un haut niveau de similarité par rapport aux méthodes de référence. Elle est également capable de trouver dans environ 80% des cas, le chemin régional le plus significatif pour chaque paire Origine-Destination régionale, par rapport aux méthodes de référence. Mais, elle ne répertorie que les chemins régionaux dans environ 50% des cas, lorsque l'on considère un critère de similarité strict par rapport aux méthodes de référence.

Chapitre 6 :

Estimation des longueurs de parcours pour des applications des modèles agrégés du trafic

  'un des ingrédients clés des modèles de trafic basés sur les MFD est la définition des longueurs de parcours à l'intérieur des régions. Dans ce chapitre, nous proposons quatre méthodes pour estimer des distributions des longueurs de parcours sur la base d'un ensemble des déplacements sur le réseau routier microscopique ainsi que sur son partitionnement. Ces méthodes diffèrent les unes des autres en fonction du niveau de détail que nous envisageons de filtrer les déplacements à l'intérieur de chaque région. C'est-à-dire: (i) aucune information sur l'origine et la destination régionales des déplacements; (ii) la région suivante à parcourir pour les déplacements; (iii) les régions précédentes et suivantes parcourues par les déplacements; et (iv) le chemin régional associé défini par chaque déplacement. Nous testons les quatre méthodes sur le réseau du 6 ème arrondissement de Lyon (France).

	Chapitre 7 :
	Nous montrons d'abord que considérer une seule longueur moyenne de parcours dans la
	même région n'est pas représentatif de toutes les longueurs de trajets régionaux plausibles
	calculées par des méthodes plus raffinées. Nous proposons une procédure pour mettre à jour
	les longueurs de parcours lorsque qu'une nouvelle matrice d'origine-destination régionale est
	envisagée. Nous montrons aussi que la définition des longueurs de parcours influence la
	dynamique du trafic dans les régions. Nous montrons aussi que les longueurs de parcours sont
	influencées par les états du trafic dans les régions et soulignons qu'elles doivent être mises à
	jour en conséquence.

L

Un cadre d'attribution de trafic dynamique pour les réseaux multirégionaux MFD

  Dans ce chapitre, nous proposons la mise en oeuvre d'un cadre méthodologique d'affectation dynamique du trafic pour les réseaux régionaux et les modèles MFD. Ce cadre méthodologique prend en compte des longueurs de parcours qui sont calculées explicitement et l'évolution des conditions de trafic dans les régions. Le cadre proposé prend en compte la stochasticité à la fois des longueurs de parcours et de la vitesse moyenne régionale. Par conséquent, nous définissons quatre définitions d'équilibre de réseau, en fonction des termes considérés comme stochastiques. Nous proposons un schéma de résolution numérique basé sur des simulations de Monte Carlo et la méthode des moyennes successives est utilisée pour calculer l'équilibre du réseau. Sur la base de nos scénarios de test, nous montrons que la variabilité des longueurs de parcours à l'intérieur des régions ne peut pas être négligée. De plus, il est également important de prendre en compte la stochasticité sur les vitesses moyennes régionales pour tenir compte de la corrélation entre les chemins régionaux. Nous Cette thèse réponde à deux objectifs principaux. Dans la première partie de la thèse, on étudie l'influence du comportement des usagers sur la performance d'un réseau routier, en termes de sa capacité interne et de flux de sortie, ainsi que de sa vitesse moyenne interne, par rapport à des modèles de choix d'itinéraire plus classiques comme l'équilibre déterministe et stochastique de l'utilisateur (DUE et SUE). Les tests sont menés sur un réseau routier du type de Manhattan et ciblent une population des usagers homogène. C'est-à-dire que tous les usagers ont le même type de comportement. On considère des usagers qui ont une aversion aux risques, une rationalité limitée et une aversion au regret. En général, la vitesse moyenne augmente par rapport aux deux équilibres de référence, lorsque les utilisateurs manifestent un comportement d'aversion au risque. Les capacités internes et de sortie du réseau augmentent par rapport au SUE, mais diminuent par rapport au DUE. La rationalité limitée des Dans la deuxième partie de la thèse, un cadre méthodologique complet d'affectation dynamique des usagers sur des réseaux régionaux et les modèles MFD du trafic a été proposé.

	Chapitre 8 : Conclusions
	discutons également une implémentation du cadre d'affectation dynamique du trafic proposé
	dans le 6 ème arrondissement de Lyon (France), où les longueurs de parcours sont calculées
	explicitement. Les états de trafic sont modélisés en considérant le modèle MFD basé sur
	l'accumulation. Les résultats mettent en évidence l'influence de la variabilité des longueurs de
	parcours sur les états de trafic prédits par le modèle MFD.
	Le noyau de ce cadre est composé par la définition et caractérisation des chemins régionaux.
	Dans cette thèse, on suppose que le partitionnement du réseau routier pour la définition des
	régions est bien défini et donné en ente du cadre méthodologique. Dans une première étape,

usagers avec des préférences indifférentes diminue les capacités internes et de sortie, tandis que les préférences strictes des utilisateurs indiquent une tendance opposée. L'indifférence des usagers face au choix des itinéraires diminue la vitesse moyenne du réseau par rapport au SUE. Compte tenu des préférences strictes des utilisateurs, la vitesse moyenne du réseau diminue par rapport aux deux équilibres de référence. L'aversion au regret des usagers diminue, en général, la vitesse moyenne du réseau ainsi que les capacités internes et externes par rapport au DUE. Pour certains paramètres du modèle d'aversion au regret, les capacités internes et de sortie augmentent par rapport au SUE. Dans cette première partie de la thèse, des cadres métrologiques pour l'implémentation de ces modèles, qui prennent en compte différents types de comportement des usagers, ont été proposés et testés pour la première fois dans la littérature dans un contexte d'affectation dynamique. trois méthodes sont proposées pour définir les chemins régionaux en fonction des déplacements des usagers dans le réseau routier ainsi que de son partitionnement. Les méthodes 1 et 2 sont basées sur des recherches exhaustives des plus courts chemins sur le


Jean-Claude Bermond

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Some Ramsey numbers for directed graphs


Jean-Claude Bermond

Nombre Chromatique Total Du Graphe R-Parti Complet

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Arthur Hugeat

Julien Bernard

Gwenhaël Merou

Pierre Bourgeois

Jean Friedt

Jean Friedt Filter

Filter optimization for real time digital processing of radiofrequency signals: application to oscillator metrology

Filter optimization for real time digital processing of radiofrequency signals: application to oscillator metrology A. Hugeat * † , J. Bernard † , G. Goavec-Mérou * , P.-Y. Bourgeois * , J.-M. Friedt * * FEMTO-ST, Time & Frequency department, Besanc ¸on, France † FEMTO-ST, Computer Science department DISC, Besanc ¸on, France Email: {pyb2,jmfriedt}@femto-st.fr

Abstract-Software Defined Radio (SDR) provides stability, flexibility and reconfigurability to radiofrequency signal processing. Applied to oscillator characterization in the context of ultrastable clocks, stringent filtering requirements are defined by spurious signal or noise rejection needs. Since real time radiofrequency processing must be performed in a Field Programmable Array to meet timing constraints, we investigate optimization strategies to design filters meeting rejection characteristics while limiting the hardware resources required and keeping timing constraints within the targeted measurement bandwidths.

Index Terms-Software Defined Radio, Mixed-Integer Linear Programming, Finite Impulse Response filter I. DIGITAL SIGNAL PROCESSING OF ULTRASTABLE CLOCK SIGNALS Analog oscillator phase noise characteristics are classically performed by downconverting the radiofrequency signal using a saturated mixer to bring the radiofrequency signal to baseband, followed by a Fourier analysis of the beat signal to analyze phase fluctuations close to carrier. In a fully digital approach, the radiofrequency signal is digitized and numerically downconverted by multiplying the samples with a local numerically controlled oscillator (Fig. 1) [START_REF] Sherman | Oscillator metrology with software defined radio[END_REF]. As with the analog mixer, the non-linear behavior of the downconverter introduces noise or spurious signal aliasing as well as the generation of the frequency sum signal in addition to the frequency difference. These unwanted spectral characteristics must be rejected before decimating the data stream for the phase noise spectral characterization [START_REF] Andrich | High-precision measurement of sine and pulse reference signals using software-defined radio[END_REF]. The characteristics introduced between the downconverter and the decimation processing blocks are core characteristics of an oscillator characterization system, and must reject out-ofband signals below the targeted phase noise -typically in the sub -170 dBc/Hz for ultrastable oscillator we aim at characterizing. The filter blocks will use most resources of the Field Programmable Gate Array (FPGA) used to process the radiofrequency datastream: optimizing the performance of the filter while reducing the needed resources is hence tackled in a systematic approach using optimization techniques. Most significantly, we tackle the issue by attempting to cascade multiple Finite Impulse Response (FIR) filters with tunable number of coefficients and tunable number of bits representing the coefficients and the data being processed.

II. FINITE IMPULSE RESPONSE FILTER

We select FIR filter for their unconditional stability and ease of design. A FIR filter is defined by a set of weights b k applied to the inputs x k through a convolution to generate the outputs

y k y n = N k=0 b k x n-k
As opposed to an implementation on a general purpose processor in which word size is defined by the processor architecture, implementing such a filter on an FPGA offer more degrees of freedom since not only the coefficient values and number of taps must be defined, but also the number of bits defining the coefficients and the sample size. For this reason, and because we consider pipeline processing (as opposed to First-In, First-Out FIFO memory batch processing) of radiofrequency signals, High Level Synthesis (HLS) languages [START_REF] Kasbah | Multigrid solvers in reconfigurable hardware[END_REF] are not considered but the problem is tackled at the Veryhigh-speed-integrated-circuit Hardware Description Language (VHDL) level. Since latency is not an issue in a openloop phase noise characterization instrument, the large numbre of taps in the FIR, as opposed to the shorter Infinite Impulse Response (IIR) filter, is not considered as an issue as would be in a closed loop system.

The coefficients are classically expressed as floating point values. However, this binary number representation is not efficient for fast arithmetic computation by an FPGA. Instead, we select to quantify these floating point values into integer values. This quantization will result in some precision loss.

The tradeoff between quantization resolution and number of coefficients when considering integer operations is not trivial. As an illustration of the issue related to the relation between number of fiter taps and quantization, Fig. 2 exhibits a 128coefficient FIR bandpass filter designed using floating point numbers (blue). Upon quantization on 6 bit integers, 60 of the 128 coefficients in the beginning and end of the taps become null, making the large number of coefficients irrelevant and allowing to save processing resource by shrinking the filter length. This tradeoff aimed at minimizing resources to reach a given rejection level, or maximizing out of band rejection for a given computational resource, will drive the investigation on cascading filters designed with varying tap resolution and tap length, as will be shown in the next section. Indeed, our development strategy closely follows the skeleton approach [START_REF] Crookes | An environment for generating FPGA architectures for image algebrabased algorithms[END_REF], [START_REF] Crookes | Design and implementation of a high level programming environment for FPGA-based image processing[END_REF], [START_REF] Benkrid | Towards a general framework for FPGA based image processing using hardware skeletons[END_REF] in which basic blocks are defined and characterized before being assembled [START_REF] Benkrid | Hide: A hardware intelligent description environment[END_REF] in a complete processing chain.

In our case, assembling the filter blocks is a simpler block combination process since we assume a single value to be processed and a single value to be generated at each clock cycle. The FIR filters will not be considered to decimate in the current implementation: the decimation is assumed to be located after the FIR cascade at the moment.

III. FILTER OPTIMIZATION

A basic approach for implementing the FIR filter is to compute the transfer function of a monolithic filter: this single filter defines all coefficients with the same resolution (number of bits) and processes data represented with their own resolution. Meeting the filter shape requires a large number of coefficients, limited by resources of the FPGA since this filter must process data stream at the radiofrequency sampling rate after the mixer.

An optimization problem [START_REF] Leung | Handbook of scheduling: algorithms, models, and performance analysis[END_REF] aims at improving one or many performance criteria within a constrained resource environment. Amongst the tools developed to meet this aim, Mixed-Integer Linear Programming (MILP) provides the framework to formally define the stated problem and search for an optimal use of available resources [START_REF] Yu | Design of linear phase FIR filters in subexpression space using mixed integer linear programming[END_REF], [START_REF] Kodek | Design of optimal finite wordlength FIR digital filters using integer programming techniques[END_REF].

First we need to ensure that our problem is a real optimization problem. When designing a processing function in the FPGA, we aim at meeting some requirement such as the throughput, the computation time or the noise rejection noise. However, due to limited resources to design the process like BRAM (high performance RAM), DSP (Digital Signal Processor) or LUT (Look Up Table ), a tradeoff must be generally searched between performance and available computational resources: optimizing some criteria within finite, limited resources indeed matches the definition of a classical optimization problem.

Specifically the degrees of freedom when addressing the problem of replacing the single monolithic FIR with a cascade of optimized filters are the number of coefficients N i of each filter i, the number of bits C i representing the coefficients and the number of bits D i needed to represent the data x k fed to each filter as provided by the acquisition or previous processing stage. Because each FIR in the chain is fed the output of the previous stage, the optimization of the complete processing chain within a constrained resource environment is not trivial. The resource occupation of a FIR filter is considered as C i ×N i which aims at approximating the number of bits needed in a worst case condition to represent the output of the FIR. Indeed, the number of bits generated by the ith FIR is (C i + D i ) × log 2 (N i ), but the log function is avoided for its incompatibility with a linear programming description, and the simple product is approximated as the number of gates needed to perform the calculation. Such an occupied area estimate assumes that the number of gates scales as the number of bits and the number of coefficients, but does not account for the detailed implementation of the hardware. Indeed, various FPGA implementations will provide different hardware functionalities, and we shall consider at the end of the design a synthesis step using vendor software to assess the validity of the solution found. As an example of the limitation linked to the lack of detailed hardware consideration, Block Random Access Memory (BRAM) used to store filter coefficients are not shared amongst filters, and multiplications are most efficiently implemented by using DSP blocks whose input word size is finite. DSPs are a scarce resource to be saved in a practical implementation. Keeping a high abstraction on the resource occupation is nevertheless selected in the following discussion in order to leave enough degrees of freedom in the problem to try and find original solutions: too many constraints in the initial statement of the problem leave little room for finding an optimal solution. P f BP=40% BW=40% rejection transition width=20% Fig. 3. Shape of the filter transmitted power P as a function of frequency: the bandpass BP is considered to occupy the initial 40% of the Nyquist frequency range, the stopband the last 40%, allowing 20% transition width.

Following these considerations, the model is expressed as:

     R i = F(N i , C i ) A i = N i × C i ∆ i = ∆ i-1 + P i (1)
To explain the system 1, R i represents the stopband rejection dependence with N i and C i , A i is a theoretical area occupation of the processing block on the FPGA as discussed earlier, and ∆ i is the total rejection for the current stage i. Since the function F cannot be explictly expressed, we run simulations to determine the rejection depending on N i and C i . However, selecting the right filter requires a clear definition of the rejection criterion. Selecting an incorrect criterion will lead the linear program solver to produce a solution which might not meet the user requirements. Hence, amongst various criteria including the mean or median value of the FIR response in the stopband as will be illustrated lated (section III-B), we have designed a criterion aimed at avoiding ripples in the passband and considering the maximum of the FIR spectral response in the stopband (Fig. 3). The bandpass criterion is defined as the sum of the absolute values of the spectral response in the bandpass, reminiscent of a standard deviation of the spectral response: this criterion must be minimized to avoid ripples in the passband. The stopband transfer function maximum must also be minimized in order to improve the filter rejection capability. Weighing these two criteria allows designing the linear program to be solved. The objective function maximizes the noise rejection (max(∆ imax )) while keeping resource occupation below a user-defined threshold, or as will be discussed here, aims at minimizing the area needed to reach a given rejection (min(S q ) in the forthcoming discussion, Eqs. 2 and 3). The MILP solver is allowed to choose the number of successive filters, within an upper bound. The last problem is to model the noise rejection. Since filter noise rejection capability is not modeled with linear equations, a look-up-table is generated for multiple filter configurations in which the C i , D i and N i parameters are varied: for each one of these conditions, the low-pass filter rejection is stored as computed by the frequency response of the digital filter (Fig. 4). Various rejection criteria have been investigated, including mean value of the stopband response, median value of the stopband response, or as finally selected, maximum value in the stopband. An intuitive analysis of the chart of Fig. 4 hints at an optimum set of tap length and number of bit for representing the coefficients along the line of the pyramidal shaped rejection capability function.

Linear program formalism for solving the problem is well documented: an objective function is defined which is linearly dependent on the parameters to be optimized. Constraints are expressed as linear equations and solved using one of the available solvers, in our case GLPK [11]. With the notations used in the description of system 1, we have defined the linear problem as: a) Variables:

x i,j ∈ {0, 1} i is a given filter j is the stage If x i,j is equal to 1, the filter is selected b) Constants:

F = {F 1 ...F p } All possible filters
p is the number of different filters S max Total space available inside the FPGA c) Constraints:

1 ≤ i ≤ p 1 ≤ j ≤ q q is
the max of filter stage ∀j, i x i,j = 1 At most one filter by stage

S 0 = 0 initial occupation ∀j, S j = S j-1 + i (x i,j × A i ) (2) S j ≤ S max N 0 = 0 initial rejection ∀j, N j = N j-1 + i (x i,j × R i ) (3)
N q 160 an user defined bound (e.g. 160 dB here)

d) Goal: min S q
The constraint 2 means the occupation for the current stage j depends on the previous occupation and the occupation of current selected filter (it is possible that no filter is selected for this stage). And the second one 3 means the same thing but for the rejection, the rejection depends the previous rejection plus the rejection of selected filter.

A. Low bandpass ripple and maximum rejection criteria

The MILP solver provides a solution to the problem by selecting a series of small FIR with increasing number of bits representing data and coefficients as well as an increasing number of coefficients, instead of a single monolithic filter. Fig. 5 exhibits the performance comparison between one solution and a monolithic FIR when selecting a cutoff frequency of half the Nyquist frequency: a series of 5 FIR and a series of 10 FIR with the same space usage are provided as selected by the MILP solver. The FIR cascade provides improved rejection than the monolithic FIR at the expense of a lower cutoff frequency which remains to be tuned or compensated for.

The resource occupation when synthesizing such FIR on a Xilinx FPGA is summarized as Tab. I. We have considered a set of resources representative of the hardware platform we work on, Avnet's Zedboard featuring a Xilinx XC7Z020-CLG484-1 Zynq System on Chip (SoC). The results reported in Tab. I emphasize that implementing the monolithic single FIR is impossible due to the insufficient hardware resources (exhausted LUT resources), while the FIR cascading 5 or 10 filters fit in the available resources. However, in all cases the DSP resources are fully used: while the design can be synthesized using Xilinx proprietary Vivado 2016.2 software, implementing the design fails due to the excessive resource usage preventing routing the signals on the FPGA. Such results emphasize on the one hand the improvement prospect of the optimization procedure by finding non-trivial solutions matching resource constraints, but on the other hand also illustrates the limitation of a model with an abstraction layer that does not account for the detailed architecture of the hardware.

B. Alternate criteria

Fig. 5 provides FIR solutions matching well the targeted transfer function, namely low ripple in the bandpass defined as the first 40% of the frequency range and maximum rejection of 160 dB in the last 40% stopband. We illustrate now, for demonstrating the need to properly select the optimization criterion, two cases of poor filter shapes obtained by selecting the mean value and median value of the rejection, with no consideration for the ripples in the bandpass. The results of the optimizations, in these cases, are shown in Figs. 6 and7.

In the case of the mean value criterion (Fig. 6), the solution is not acceptable since the notch at the end of the transition band compensates for some unacceptable rise in the rejection close to the Nyquist frequency. Applying such a filter might yield excessive high frequency spurious components to be aliased at low frequency when decimating the signal. Similarly, the lack of criterion on the bandpass shape induces a shape with poor flatness and and slowly decaying transfer function starting to attenuate spectral components well before the transition band starts. Such issues are partly aleviated by replacing a mean rejection value with a median rejection value (Fig. 7) but solutions remain unacceptable for the reasons stated previously and much poorer than those found with the maximum rejection criterion selected earlier (Fig. 5).

IV. FILTER COEFFICIENT SELECTION

The coefficients of a single monolithic filter are computed as the impulse response of the filter transfer function, and practically approximated by a multitude of methods including least square optimization (Matlab's firls function), Hamming or Kaiser windowing (Matlab's fir1 function). Cascading filters opens a new optimization opportunity by selecting various coefficient sets depending on the number of coefficients. Fig. 8 illustrates that for a number of coefficients ranging from 8 to 47, fir1 provides a better rejection than firls: since the linear solver increases the number of coefficients along the processing chain, the type of selected filter also changes depending on the number of coefficients and evolves along the processing chain.

V. CONCLUSION

We address the optimization problem of designing a lowpass filter chain in a Field Programmable Gate Array for improved noise rejection within constrained resource occupation, as needed for real time processing of radiofrequency signal when characterizing spectral phase noise characteristics of stable oscillators. The flexibility of the digital approach makes the result best suited for closing the loop and using the measurement output in a feedback loop for controlling clocks, e.g. in a quartz-stabilized high performance clock whose long term behavior is controlled by non-piezoelectric resonator (sapphire resonator, microwave or optical atomic transition). ACKNOWLEDGEMENT This work is supported by the ANR Programme d'Investissement d'Avenir in progress at the Time and Frequency Departments of the FEMTO-ST Institute (Oscillator IMP, First-TF and Refimeve+), and by Région de Franche-Comté. The authors would like to thank E. Rubiola, F. Vernotte, and G. Cabodevila for support and fruitful discussions.

Fig. 1 .

 1 Fig. 1. Fully digital oscillator phase noise characterization: the Device Under Test (DUT) signal is sampled by the radiofrequency grade Analog to Digital Converter (ADC) and downconverted by mixing with a Numerically Controlled Oscillator (NCO). Unwanted signals and noise aliases are rejected by a Low Pass Filter (LPF) implemented as a cascade of Finite Impulse Response (FIR) filters. The signal is then decimated before a Fourier analysis displays the spectral characteristics of the phase fluctuations.

Fig. 2 .

 2 Fig.2. Impact of the quantization resolution of the coefficients: the quantization is set to 6 bits -with the horizontal black lines indicating ±1 least significant bit -setting the 30 first and 30 last coefficients out of the initial 128 band-pass filter coefficients to 0 (red dots).

Rejection as a function of number of coefficients and number of bitsFig. 4 .

 4 Fig. 4. Rejection as a function of number of coefficients and number of bits

Fig. 5 .

 5 Fig. 5. Comparison of the rejection capability between a series of FIR and a monolithic FIR with a cutoff frequency set at half the Nyquist frequency.

Fig. 6 .

 6 Fig.6. Comparison of the rejection capability between a series of FIR and a monolithic FIR with a cutoff frequency set at half the Nyquist frequency.

Fig. 7 .

 7 Fig. 7. Comparison of the rejection capability between a series of FIR and a monolithic FIR with a cutoff frequency set at half the Nyquist frequency.

Fig. 8 .

 8 Fig. 8. Evolution of the rejection capability of least-square optimized filters and Hamming FIR filters as a function of the number of coefficients, for floating point numbers and 8-bit encoded integers.

TABLE I RESOURCE

 I OCCUPATION ON A XILINX ZYNQ-7000 SERIES FPGA WHEN SYNTHESIZING THE FIR CASCADE IDENTIFIED AS OPTIMAL BY THE MILP SOLVER WITHIN A FINITE RESOURCE CRITERION. THE LAST LINE REFERS TO AVAILABLE RESOURCES ON A ZYNQ-7020 AS FOUND ON THE ZEDBOARD.

	FIR	BlockRAM LookUpTables DSP rejection (dB)
	1 (monolithic)	1	76183	220	-162
	5	5	18597	220	-160
	10	8	24729	220	-161
	Zynq 7020	420	53200	220


Fabrice Devaux
email: fabrice.devaux@univ-fcomte.fr

Gnatiessoro Soro

Alexis Mosset

Florent Bassignot

Eric Lantz

Gnatisorro Soro

One-photon and two-photon quantum holography with bi-photon states of large spatial dimensionality

Introduction

High-dimensionality spatial entanglement allows access to large Hilbert spaces, with applications in numerous fields of quantum optics [1]. By itself, a source of quantum light issued from spontaneous down conversion (SPDC) appears as incoherent, preventing the formation of an image of the spatial spectrum of an object (a transparency) in the Fourier plane. However, coincidence imaging of the pairs of twin photons allows this spatial spectrum to be retrieved [2][3][4]. All these experiments measured coincidences between two single-photon counting modules scanned on the signal and idler images. These procedures are time-consuming and use a very little part of the incident photons, leading to potential loopholes [5] if applied to the demonstration of basics properties of entanglement like the Einstein-Podolsky-Rosen (EPR) paradox [6]. Because of these drawbacks, imaging with single-photon sensitive cameras has became more and more popular and allows massively parallel coincidence counting [7]. Here we report coincidence imaging of bidimensional phase holograms using two EMCCD cameras [9]. As in [2,3], no single photon image is formed, while the cross-correlation of the twin images allows a coherent image to be retrieved in the far-field or in the near-field of the bi-photon states source. Two imaging configurations are investigated where spatial informations are retrieved when the holograms are read either with both photons or with one photon of the bi-photon states and when spatial correlations are investigated either in the far-field or in the near-field of the bi-photon states source, respectively.

Experimental protocol and results

The experimental set-up for two-photon QH is illustrated in Fig. 1a. Photon pairs with a dimensionality of 1790 in the two-dimensional transverse space are generated via SPDC in a type-II geometry [9]. The crystal (i.e. near field of twin photons) is imaged with a 4f imaging system on a binary phase hologram and the entire flux of spontaneous down converted light illuminates the hologram. Fig. 1b shows the binary pattern engraved on a glass slide to create the phase hologram and the insert corresponds to the pattern encoded in the hologram : an array of 9 Dirac peaks. The engraving depth of the holograms is adjusted to produce a 0 -π 2 binary phase modulation at 710 nm in order to optimize the diffraction efficiency of the hologram with the biphotons source. The cross-polarized signal and ilder beams transmitted by the hologram are then naturally separated by free space propagation thanks to the walk-off. Lastly, photons of pairs are detected and resolved spatially in the far-field on two EMCCD cameras used in photon counting mode [7]. Before detection, photons pairs emitted around the degeneracy are selected by narrowband interference filters centered at 710 nm. The Fig. 1c shows the far-field mean spatial distribution of photons signal (or idler) transmitted by the hologram, we can observe that the spatial information encoded in the hologram is not retrieved, because of the incoherent nature of SPDC [3,4]. In contrast and in good agreement with the theory and stochastic simulations based on the Wigner formalism [9,10], when cross-corrrelation in momentum between twin images is calculated (Fig. 1d), the spatial distribution of two-photon coincidence rate restores the original pattern encoded in the hologram at ±1 diffraction orders because of the binary character of the hologram. In order to improve the signal-to-noise ratio (SNR) of the retrieved pattern, this cross-corrrelation image is calculated over 80000 twin images.

For one-photon QH the setup is modified such as only one of the two SPDC beams is transmitted by the hologram lying in the far-field of SPDC source and information is restored by the measurement of the near-field spatial coincidences.

Conclusion

We have shown that two-photon imaging potentially allows coherent manipulation of light in complex situations like holography. Unlike previous experiments [2,3], all the light is used, preventing loopholes due to the selection of a small part of the photons and allowing full bi-dimensional manipulation of high dimensionality biphoton states, with potential applications in present hot topics, like boson sampling.

Fig. 1 .

 1 Fig. 1. (a) Experimental setup for two-photon QH. (b) Pattern of the 0 -π 2 binary phase hologram. The insert represents the pattern encoded in the hologram: an array of 9 Dirac peaks. (c) Average photon number in single far-field images (signal or idler) of SPDC. (d) Restored hologram formed by the normalized cross-corrrelation in momentum, given in dB, calculated over 80000 twin images. The white dotted squares indicate the location of the original pattern encoded in the hologram.