Gaëlle Lacaze

La notion de « technique du corps » appliquée à l'étude des Mongols

L'article de Mauss sur « la notion de technique du corps » 1 permet de comprendre « les façons dont les hommes, société par société, d'une façon traditionnelle, savent se servir de leur corps » (p. 365). Appliquée à l'étude des peuples Mongols, cette notion met en évidence certains aspects de la notion de personne et des conceptions de l'humanité.

Les peuples mongols sont dispersés entre la Mongolie, la Sibérie septentrionale (Russie) et le nord de la Chine. Dans cet article, je ne ferais référence qu'aux Mongols de Mongolie 2 . Ils possédaient traditionnellement un mode de vie pastoral nomade et un système de croyances chamanique. Ils sont aujourd'hui bouddhisés. À la croisée de trois grandes civilisations, russe, chinoise et turque, les nomades de Mongolie se sont sans cesse adaptés aux modèles allogènes avec lesquels ils étaient en contact ou qui leur ont été imposés. Des caractères turcs, russes et chinois adoptés au fil de l'histoire appartiennent à la culture actuellement revendiquée comme « traditionnelle 3 » par les Mongols de Mongolie.

Le cadre de l'étude

Malgré l'immensité des paysages en Mongolie, les éleveurs nomades, calmes et posés, font peu de gestes et sont rarement expansifs. Ils possèdent un maintien du corps qui leur donne un air altier et une prestance impressionnante. On ne les voit jamais courir ou se hâter. Le protocole interdit de montrer ses sentiments ou ses émotions avec excès et la colère est un art qu'il faut savoir maîtriser. La notion de technique du corps de Mauss offre une grille de lecture intéressante du langage du corps des Mongols.

Une lecture collée au texte

Rappelons la première phrase du texte de Mauss : « Je dis bien les techniques du corps parce qu'on peut faire la théorie de la technique du corps à partir d'une étude, d'une exposition, d'une description pure et simple des techniques du corps » (p. 365). D'emblée, Mauss nous propose d'envisager la notion de technique du corps comme un ensemble cohérent de techniques plurielles, représentatives d'une société ou d'une culture. Chaque technique du corps se constitue à partir d'autres techniques (la danse inclut les techniques manuelles et celles du déplacement) ; en outre, chacune appartient à un ensemble plus large (la danse fait partie des techniques de la veille et du mouvement).

Plus loin dans le texte, Mauss nous invite à considérer cette notion à partir d'un « triple point de vue [biologique, psychologique et sociologique], celui de "l'homme total" […] » (p. 369). Il réaffirme, ainsi, la nécessité de considérer la technicité corporelle comme un ensemble cohérent de techniques, acquises par une personne et lui permettant des relations aux mondes, social et naturel.

Dans ce premier paragraphe, Mauss explique sa démarche et formule ses intentions. Il n'a cependant pas appliqué cette notion « sur le terrain ». Concrètement, il reste donc à savoir comment déchiffrer « les techniques du corps » (p. 365) ? Comment élaborer une grille d'analyse exhaustive de la technicité corporelle d'un groupe ou d'une technique du corps déterminée ?

La troisième phrase du texte nous donne une indication méthodologique : « il faut procéder du concret à l'abstrait, et non pas inversement» 0 (ibid.)… D'incessants renvois des données de terrain au texte de Mauss s'avèrent indispensables pour mettre en évidence comment les techniques du corps, cet ensemble d'« actes traditionnels et efficaces » (p. 371), caractérisent la définition d'un « homme total » pour les Mongols. Il faut avant tout définir le sens qu'ils prêtent au « corps ».

Le Portique, 17 | 2006 La définition du corps en mongol Dans le système chamanique mongol 0 , il existe trois composantes de la notion de personne : une unité de vie individuelle, c'est l'âme qui se réincarne ; un principe générique, c'est la force vitale contenue dans le souffle et distribuée par « lot » ; et une unité physique et matérielle, c'est le « corps ».

L'analyse du terme « corps » en mongol montre qu'il est envisagé dans quatre perspectives. Le corps représente la personne : il est alors le support de l'unité de vie individuelle, « l'âme de stock ». Il est vivant et se caractérise en tant que réceptacle de force vitale. Il est complet, fini et concret. Enfin, un « corps » caractérise l'un des aspects d'un élément double, tel que la berge d'une rivière. Il forme donc un ensemble cohérent structurellement dualiste ; tandis que ses parties le constituent, elles sont constituées par lui.

Les composantes de la personne se trouvent liées les unes aux autres dans le corps. En effet, l'expression « sans corps » désigne les esprits, composés d'air et de vent. Si un esprit vient squatter le corps d'un humain vivant, en faisant prisonnière l'âme qui lui est « fixée » depuis la naissance, celui-ci ne laisse sur le sol ni ombre ni empreinte. L'une des différences entre l'âme humaine et l'esprit réside donc dans le lien à un support concret et en vie, le corps.

Ce lien s'opère à la naissance et se renforce par l'éducation et la socialisation. Il se réactualise quotidiennement par le maintien de l'équilibre du corps. À l'âge adulte, la consommation d'aliments cuits maintient l'équilibre du corps tout en affirmant la domination de sa part humaine. Ainsi, savoir manger de la viande selon l'usage caractérise le « rendement du dressage » (p. 374). C'est autant un signe de mongolité qu'un processus d'humanisation de la force vitale. Or, selon R. Hamayon (p. 549), la force vitale joue pour l'âme dans les composantes de la personne le même rôle que la chair pour l'os dans la constitution du corps. L'âme se trouve donc liée au corps par la qualité de sa force vitale. Autrement dit, pour les Mongols, la vie réside dans le lien de l'âme au corps, que des techniques viennent « dresser » tandis qu'elles le maintiennent en vie.

La notion de technique du corps adaptée aux Mongols

Après avoir illustré le chemin qui l'a conduit à considérer certains « habitus » comme des techniques du corps, c'est-à-dire, en tant qu'« ouvrages de la raison pratique collective et individuelle » (p. 369), Mauss définit « la notion de technique du corps ». Il en propose, ensuite, des perspectives de catégorisation et en donne une « énumération biographique » (p. 376). Il distingue les techniques de la naissance et de l'obstétrique, les techniques de l'enfant, celles de l'adolescent et celles de l'adulte. Il sépare ainsi l'apprentissage des techniques du corps de leur mise en pratique, l'âge adulte étant l'expression du « rendement du dressage » (p. 374). L'énumération « biographique » doit être, selon Mauss, adaptée à chaque société. Or, son application chez les Mongols révèle deux aspects manquants dans l'article de Mauss.

La grossesse : un oubli ?

Chez les Mongols, un véritable changement de statut s'opère avec la grossesse. Il n'y a pas d'apprentissage de nouvelles techniques, mais une organisation différente de la technicité corporelle. Sur le terrain, les activités prescrites à la femme enceinte visent à muscler la partie basse du corps en évitant de tirer sur les muscles abdominaux. Les femmes enceintes ne doivent pas se reposer sous peine d'un accouchement difficile. En fait, l'exigence d'activités tend à accroître les facteurs de « sélection naturelle », à rendre robuste le foetus et à favoriser une fausse-couche s'il est fragile. La gestation d'un enfant se prépare donc durant la grossesse.

En effet, dès l'annonce d'une grossesse, la technicité corporelle se modifie. La femme enceinte se voit attribuée une part de viande très ligamenteuse, la rotule, qu'elle doit manger parfaitement. Elle prouve ainsi qu'elle est prête pour l'accouchement, censé « disloquer » son squelette et disjoindre ses os. En maîtrisant la consommation d'une part de viande ligamenteuse, elle manifeste le contrôle de ses propres ligaments et ses os sont alors censés se ressouder sans difficulté.

La naissance constitue la première étape de « fixation » des composantes de la personne : l'âme quitte son enveloppe animale pour s'incarner dans un corps humain, caractérisé par sa vitalité 0 . Si la naissance biologique inaugure la fixation de l'âme au corps alors, en témoignant de sa maîtrise d'une part de viande ligamenteuse, la femme enceinte agit également sur le lien de l'âme au corps du nouveau-né. Le bon déroulement de la grossesse importe donc à double titre, celui de l'accouchement et de la naissance.

Le lien entre les techniques de la grossesse et celles de « la naissance et de l'obstétrique » ne semble pas spécifique à la société mongole. Cependant, selon Mauss, le cycle de vie ne commence qu'à l'accouchement, tandis que les « techniques de la grossesse » n'apparaissent pas dans son texte. La femme enceinte ne semble pas identifiée au même titre que d'autres étapes d'âge alors que la première maternité (grossesse, accouchement et naissance) constitue pour les Mongols, et dans d'autres sociétés, le processus de passage à l'âge adulte. Cette omission reflète, en partie, l'époque et la société dans laquelle vit Marcel Mauss. En occident, le corps n'existe qu'à partir de la naissance tandis que, pour les Mongols et plus largement en Asie, l'enfant compte déjà un an d'âge à la naissance 0 . Les Mongols interprètent les tâches du corps du nouveau-né pour savoir l'origine de l'âme réincarnée, pour « deviner » son avenir que le rituel de la naissance sociale vient rendre faste et propice. L'enfant s'inscrit d'emblée dans une continuité et une filiation.

La maîtrise du langage : une particularité ?

L'application des techniques du corps à l'étude des Mongols invite également à rajouter les techniques d'expression verbale à la liste de Mauss. En effet, l'activité de parole nécessite une certaine maîtrise du corps et le discours verbal implique la connaissance du langage gestuel du groupe auquel on s'adresse 0 . La technicité corporelle sous-tend l'activité de parole, car parler implique toujours de mouvoir son corps.

Chez les Mongols, les limites de la vie sociale et la définition de l'humanité correspondent, entre autres, à celles de l'activité de parole. L'enfant qui ne maîtrise pas le langage ne semble pas tout à fait considéré comme un humain, au même titre que le vieillard qui ne le maîtrise plus. Dans l'adresse ou la référence, les métaphores utilisées pour l'enfant non sevré l'assimilent fréquemment à un petit animal ou à du bétail, tandis que le vieillard sénile semble clairement avoir perdu ses qualités humaines. Une fois maîtrisée, la capacité de parole fait l'objet d'un riche dressage 0 . À l'âge adulte, la maîtrise du langage articulé, la dextérité de la parole, constitue l'une des expressions privilégiées de l'intégrité symbolique de la personne. En effet, la parole apparaît « comme le signe de l'humanisation de la force de vie », elle se trouve ainsi « gage de santé de l'âme » (Hamayon, p. 561) et d'équilibre du corps. A contrario, le défaut de maîtrise du langage caractérise une perte d'intégrité de la personne, une perte d'humanité de la force vitale et, par conséquent, du corps. Elle peut manifester le départ de l'âme et suscite, parfois, l'assimilation aux animaux domestiques 0 . En outre, à l'âge adulte, la maîtrise de l'activité de parole joue un rôle essentiel dans l'exercice du pouvoir et le prestige. Les Mongols redoutent les « paroles blanches ou noires », c'est-àdire l'éloge ou le dénigrement, car en identifiant une personne, on la désigne à l'envie des esprits. En revanche, des spécialistes ou des personnages maîtrisent le caractère performatif du langage : ils possèdent une parole puissante, peuvent dire ou contrer des malédictions.

Une mise en application

Ces compléments effectués, l'application de la notion de technique du corps à l'étude des sociétés mongoles révèle le rapport entre, d'un côté, les représentations du corps et celles de la personne et, de l'autre, entre ces représentations et les conceptions de l'espace et du temps. Nous verrons d'abord comment la notion de « dressage » met en évidence le temps du corps, tandis que son « rendement » révèle les relations entre la maîtrise du corps et le statut de la personne.

Le dressage de l'enfant

Mauss assimile le dressage de l'enfant à celui de l'animal.

Le dressage [est] comme le montage d'une machine, c'est la recherche, l'acquisition, d'un rendement. Ici c'est un rendement humain. Ces techniques sont donc les normes humaines du dressage humain. Ces procédés que nous appliquons aux animaux, les hommes se les sont volontairement appliqués à eux-mêmes et à leurs enfants (p. 374).

Or, les Mongols nomment le processus qui conduit à l'âge adulte « faire un humain ». Ce terme implique, d'une part, la prise en charge de l'éducation par autrui, soulignant l'importance de la transmission et, d'autre part, la non-humanité de l'enfant, souvent assimilé au plus proche des animaux domestiqués, le cheval. Ces deux perspectives apparaissent clairement dans la notion de dressage de Mauss (ibid.).

En mongol, le rituel de la première coupe de cheveux des enfants, qui marque la fin du sevrage, s'appelle « coupe de la crinière [du cheval] » ou « fête des trois ans ». L'assimilation de la coupe de la crinière symbolique des enfants et de la crinière réelle des chevaux dépasse le plan linguistique. En effet, on organise les deux rituels à la même saison, au printemps, à trois ans d'âge pour le poulain et à cet âge supposé ou classificatoire pour l'enfant 0 . La coupe de crinière des chevaux accompagne leur castration. Elle sanctionne donc le changement de statut du cheval qu'elle introduit dans ses fonctions de production et reproduction du troupeau.

Comparable au niveau formel et dans son rôle de séparation/agrégation, le rituel de la première coupe de cheveux clôt la période d'assimilation de l'enfant à un animal. Il l'introduit dans son rôle social, ouvrant le temps de son éducation et de sa socialisation hors du cercle de la famille restreinte 0 . Avant le sevrage, l'enfantelet sort peu ; on évite de le mettre en contact avec le monde extérieur. Après la coupe de cheveux, il va librement sur le campement et accompagne ses aînés sur les pâturages. Le rituel ouvre, également, l'utilisation du nom personnel de l'enfant, auparavant plutôt désigné par des sobriquets. Il s'accompagne de la consommation d'une part de viande en propre, alors que l'enfantelet mangeait celle que ses parents lui donnaient à « becquer ».

Le rituel de la coupe de cheveux marque la fin du processus d'humanisation de l'enfant, ouvrant celui de sa socialisation. Il sépare l'enfance en deux périodes : avant la coupe, c'est le sevrage caractérisé par l'acquisition de la maîtrise du corps et, au niveau symbolique, par la fixation de l'âme grâce à l'humanisation de la force vitale. Une fois la coupe de cheveux effectuée, l'âme « fixée » au corps, l'enfant se trouve moins fragile que le nourrisson et n'est plus « choyé ». On attend qu'il se comporte en adéquation avec son statut, défini par son âge et son sexe. Désormais, on commence à le réprimander en cas de manquement aux règles.

La notion maussienne de dressage en tant que processus comparable pour l'humain et le bétail, semble appropriée aux peuples de traditions pastorales nomades. En assimilant le jeune enfant au poulain afin de marquer son changement de statut, les Mongols affirment la maîtrise qu'ils possèdent de son dressage et réactualisent la domestication de son corps. En effet, à l'âge adulte, les signes caractérisant l'humanité de la personne permettent d'évaluer le « rendement » positif du « dressage » du corps.

L'absence de rituel initiatique ?

Selon Mauss, l'adolescence constitue la fin de l'apprentissage des techniques du corps et de la transmission des connaissances et savoir-faire utiles à l'âge adulte. L'âge adulte correspond donc à l'expression du rendement de son dressage dans celui de sa descendance.

Chez les Mongols, la technicité corporelle change avec la nubilité, la maîtrise de la perchelasso, la consommation d'alcool et la lutte rituelle constituant de nouvelles techniques à acquérir pour le jeune homme qui prouve alors sa capacité à produire et reproduire le groupe. Cependant, il ne semble pas exister de période d'initiation ou de rituel initiatique 0 . Néanmoins, un examen attentif de la lutte, telle qu'elle fût traditionnellement pratiquée et à partir de ce qu'il en demeure dans la fête nationale du Naadam, met en évidence la perspective initiatique 0 de ce jeu rituel, bien que les combats soient peu violents, le but étant de faire tomber l'adversaire.

Chaque combat s'ouvre et se ferme par une séquence rituelle durant laquelle les lutteurs imitent des animaux, traditionnellement, le rut du cerf ou la parade du gallinacé, et aujourd'hui, le vol de Garuda 0 ou l'allure de l'éléphant. Ce n'est plus une assimilation au bétail insistant sur la domestication du corps, mais une incorporation d'animaux sauvages mettant en jeu sa maîtrise. La maîtrise du corps nécessaire pour imiter ces animaux ouvre ainsi des combats qui possèdent une valeur initiatique.

Du point de vue du cycle de vie féminin, les sources disponibles ne permettent pas de savoir s'il existait une valeur initiatique associée au perçage des oreilles, pendant féminin de la coupe de « crinière 0 ». À l'âge adulte, la femme considérée dans une perspective de reproduction, c'està-dire, en tant qu'amante ou parturiente, se voit assimilée à une jument 0 . La métaphore de la domestication animale sert alors à exprimer la maîtrise humaine de la reproduction humaine et son corollaire, le contrôle viril de la fécondité féminine.

Comme nous l'avons mentionné, les Mongols assimilent les adultes ivres à du bétail, sans distinction explicite de sexe. Néanmoins, ces considérations concernent, en pratique, davantage les hommes que les femmes. Pour l'alcoolique, la cure correspond à une volonté de reprendre le contrôle des « rênes de sa vie 0 ». La rechute s'exprime en termes de cavalcade ou de galop. L'humanité du corps réside dans la domestication de sa part animale, toujours présente et susceptible de dominer.

Le processus d'humanisation sépare donc la part humaine de la part animale du corps, que le dressage vient ensuite domestiquer. La maîtrise du corps et les expressions de sa part humaine correspondent donc des signes de rendement positif du dressage.

Le rendement du dressage

Mauss (p. 371-375) propose de classer les techniques du corps en fonction du sexe, de l'âge et d'un rendement attendu du dressage. L'efficacité, le « rendement » (p. 374-375), du dressage résulte du processus de transmission et d'acquisition, développé pendant l'enfance, et de la productivité de chaque technique à l'âge adulte. Le rendement du dressage est positif quand une technique nécessite beaucoup de dressage et qu'elle manifeste la part humaine du corps ; mais il est négatif quand une technique ne nécessite aucun dressage ou quand elle ne renvoie pas à l'humanité du corps.

L'apprentissage des techniques « à fort rendement », c'est-à-dire, les techniques de mouvement, de communication verbale et d'alimentation permet l'humanisation de l'enfantelet. Par la suite, leur maîtrise débouche sur la socialisation de l'enfant, l'acquisition du genre de l'adolescent et l'accès au mariage du jeune adulte. A l'âge adulte, la maîtrise de ces techniques caractérise les expressions de la part humaine du corps. Elle correspond à des manifestations de la présence de l'âme « fixée » dans un corps vivant. La maîtrise des techniques à fort rendement constitue donc une preuve de l'intégrité de la personne. En outre, l'agilité dans ces techniques peut produire du prestige ou une forme de pouvoir (voir la parole du chamane : malédictions et cures). Ainsi, chez les Mongols, le mouvement implique beaucoup de dressage et la maîtrise du mouvement fonde le prestige, voire génère du pouvoir. Les techniques de mouvement possèdent donc un rendement très positif.

Les techniques à faible rendement, en revanche, relèvent d'une partie moins humaine ou plus animale du corps. Elles correspondent à des comportements plus naturels, comme les soins du corps, la sexualité, l'ivresse ou le sommeil. Si l'accès à l'alcool constitue une prérogative des hommes nubiles, l'accès à l'ivresse apparaît à plusieurs titres comme un privilège, en principe, réservé aux anciens 0 . Ainsi, la sexualité n'entraîne pratiquement aucun dressage et, à l'âge adulte, elle implique plutôt une part du corps considérée comme « animale ». La sexualité constitue donc une technique à faible rendement, bien que l'on attende beaucoup de sa maîtrise, indispensable à l'alliance et la filiation 0 . Parallèlement, l'ivresse correspond à une perte d'humanité et, donc, à un départ de l'âme implicitement favorisé pour certaines catégories de personne telles que les anciens, dont on prépare la mort avant d'avoir à gérer la sénilité.

L'énumération biographique

Dans « l'énumération biographique » des techniques du corps (p. 376-383), semblent manquer les techniques de la vieillesse. En effet, si l'on suit Mauss, il y a trois phases de la vie après la naissance : l'enfance, l'adolescence et l'âge adulte. Le dressage débouche sur l'âge adulte, période d'expression du rendement de son dressage dans la transmission. En théorie, on pourrait s'arrêter là. Sur le terrain, en revanche, la biographie des informateurs ne s'arrête qu'avec la mort. De nouveaux changements apparaissent à la fin de la vie et de nouvelles manipulations du Le Portique, 17 | 2006 corps s'effectuent pendant la vieillesse. Chez les Mongols, la personne dont les enfants ont eux-mêmes des enfants change une nouvelle fois de statut. L'homme acquiert de nouvelles techniques du corps, tandis que la femme se trouve autorisée à adopter des comportements caractéristiques d'un homme adulte 0 . Ainsi, l'ancienneté s'accompagne d'une tolérance sociale comparable à celle exprimée vis-à-vis des enfants en cours de dressage. À l'enfant, on apprend la maîtrise des protocoles et des règles de bonnes conduites. A contrario, on favorise l'ivresse de l'ancien, dont on tolère ensuite les débordements, voire les déboires.

En outre, les Mongols honorent leurs anciens avec les meilleures parts de viande, accrochée à l'os et bien grasse, comme celle qu'ils réservent aux enfants, tandis que le vieillard sans dent consomme une viande maigre, sans os, indifférenciée et en soupe, à l'instar du nourrisson. Vieillards séniles et nourrissons non sevrés sont deux catégories de personne considérées hors des limites de définition de l'humanité. Comme l'enfance, la vieillesse se divise donc en deux périodes : l'ancienneté, moment de licence et d'exercice du prestige de l'âge ; et la sénilité. Que ce soit par respect pour l'ancienneté ou par tendresse pour la sénilité, les comportements asociaux ou déviants, voire la transgression, sont tolérés chez les vieilles personnes, comme ils le sont pour les enfants en cours d'apprentissage ou pour les enfantelets non-sevrés.

L'âge adulte est donc ouvert par un processus de dressage destiné à socialiser la personne en vue de lui permettre de produire et reproduire son groupe. Il est fermé par un dé-dressage du corps, marquant la sortie de la reproduction et caractérisé par une désocialisation progressive de la personne. Au niveau symbolique, le dé-dressage rompt le lien de l'âme au corps, pour favoriser la réincarnation de l'âme et la mort du corps. La vieillesse prépare, ainsi, l'unité de vie individuelle à retourner dans les mânes d'ancêtres indifférenciés, de manière inversée au processus qui l'avait fixée au corps. La sénilité apparaît alors comme le fruit de ce dé-dressage avant la mort du corps.

Des changements de la technicité corporelle sanctionnent donc les différents « passages » du cycle de vie, depuis la gestation jusqu'à l'accès au statut d'ancêtre. Parallèlement à cet axe de lecture diachronique, il existe un axe synchronique de lecture des techniques du corps dans ce qu'elles organisent la relation à l'espace et les perceptions de l'environnement.

Le corps en mouvement

Chez les Mongols, la technicité corporelle attribue, en principe, une attitude à une catégorie de personne 0 . Une telle distribution possède pour corollaire l'association privilégiée d'une technique de mouvement à une catégorie de personne 0 . Parallèlement, chaque technique du corps semble associée à un lieu spécifique, et certaines sont interdites ou prescrites dans un lieu déterminé 0 . Sur un axe synchronique, les techniques du corps se distinguent donc en fonction de l'acteur et du lieu leur exécution. Le franchissement des seuils marquant le passage entre des lieux différents implique une « technique du corps de passage » (étirement 0 , enjambement, etc.), souvent interdite à un autre moment. Cette structuration de l'espace en fonction des mouvements du corps pourrait constituer une caractéristique des conceptions du corps de peuples nomades.

Les techniques de mouvement produisent ainsi des conceptions et une organisation de l'espace. Elles jouent donc un rôle dans les perceptions du monde environnant. Si elles appartiennent au système de perception, les techniques du corps pourraient alors faire partie du système sensoriel. Ainsi, les techniques du langage participeraient à la construction de l'audition, celles du mouvement au toucher et à la vision, les techniques d'alimentation à la construction du goût et de l'odorat, etc.

Mauss n'a pas envisagé ces dimensions des techniques du corps, mais a cependant mis en évidence comment les techniques du corps peuvent révéler la définition d'un « homme total », de conceptions de la personne, du temps corporel et de relation à l'espace.

Conclusion

En conclusion, la notion de technique du corps met en évidence deux axes de lecture du langage corporel : l'un est diachronique et l'autre, synchronique. L'axe diachronique suit le cycle de vie et l'évolution du statut de la personne, en fonction de sa place dans la production et la reproduction de la société. Sur l'axe synchronique, les techniques du corps organisent le rapport à l'espace et la gestion du monde environnant. Elles jouent également un rôle dans l'organisation sociale.

À la fin de son article, Mauss (p. 383) suggère que les « techniques de l'anormal » sont un aspect de la technicité corporelle, au même titre que les « techniques du normal », celles du corps sain. Mais, il ne considère « l'anormal » que dans le cadre de la maladie et de la cure. Or, « l'anormal du corps » ne se cantonne pas à la maladie ou au handicap. Il se situe également dans la singularité et la marginalité d'individus donnés, dans l'anormal social et la santé mentale, car le corps n'est pas qu'un support physiologique. Il est aussi, et peut être avant tout, le support d'une unité de vie individuelle, d'une âme, qu'il manifeste et concrétise. Ainsi, la définition de l'anormal du corps est-elle, comme le corps, le résultat d'une triple construction : physiologique, psychologique et sociale.

Adaptée au contexte mongol, « la notion de technique du corps » de Mauss révèle la variabilité des catégories de personne en fonction du sexe, de l'âge et d'une maîtrise du corps caractérisant différents degrés de « rendement du dressage ». Le rendement du dressage induit un rapport entre la maîtrise du corps et l'expression de sa part humaine et, a contrario, entre les pertes de maîtrise du corps et des formes de perte d'humanité, voire des manifestations d'une animalité. Il existerait donc un rapport complexe entre la technicité corporelle et la notion de personne, ainsi que dans la production de son statut, c'est-à-dire, dans l'organisation sociale.

Ainsi, les modèles du « corps humain/sain » servant de référence à l'adoption de tout comportement induisent l'existence de corollaires « déviants » considérés retirer une part d'humanité au corps, et donc à la personne. Le statut social, certaines fonctions, maladies, attributs ou handicaps permettent l'émergence de personnes chez qui sont tolérés des comportements généralement « dangereux », déviants par rapport aux techniques du corps sain. La norme corporelle existe donc tant qu'elle peut faire l'objet d'adaptations par des personnages singuliers.

La place de la maîtrise du corps et de sa technicité dans la définition des statuts permet de comprendre comment la maîtrise individuelle de son propre corps peut également déboucher sur une maîtrise du corps de l'Autre par excellence, sur la domestication de l'animal par l'humain ou sur les rapports de domination : des aînés sur les cadets ou de l'homme sur la femme. Les variations dans la maîtrise du corps révèlent donc les rapports de pouvoir qui soustendent une société, dans ses traditions et ses formes de modernité.

Notes

1. Les renvois au texte de M. Mauss (« Notion de technique du corps », Sociologie et Anthropologie, Paris, PUF, 1950), nombreux dans cet article, qui en propose une lecture critique et une application, comportent uniquement la page de la 8 e édition (Sociologie et Anthropologie, Paris, PUF, Quadrige, 1999 : p. 365-386). 2. La Mongolie s'étend sur une superficie de 1 500 000 km 2 . Y vivent 2,5 millions de personnes, majoritairement des Xalx. Seuls 40% de la population vivent encore du pastoralisme nomadise. Premier satellite de l'URSS dès 1921-1924, elle en était également le moins industrialisé… En 1991, à la suite de l'avènement du libéralisme dans l'ex-bloc soviétique, la Mongolie passait d'une économie planifiée de type socialiste à une économie de marché. 3. Les sociétés mongoles se caractérisent par une certaine discontinuité dans la construction de leurs traditions, perpétuellement en voie d'élaboration. « Traditionnelles », les sociétés mongoles le sont sans aucun doute. Mais ce qu'elles ont de plus « traditionnel », c'est une manière spécifique d'adapter le contenu de leurs pratiques et de leurs représentations pour en garantir la pérennité face à d'autres sociétés, plus complexes, face aux peuples sédentaires, ou aux religions universalistes. 0. Les matériaux exposés sont issus, entre autres, de trois ans « de terrain » (1996)(1997)(1998)(1999)(2000) sur le territoire des Darxad du Xövsgöl, minorité située au nord-ouest de la Mongolie. J'ai, depuis, élargi, complété et actualisé cette recherche. 0. Voir Roberte Hamayon, La Chasse à l'âme. Esquisse d'une théorie du chamanisme sibérien, Nanterre, Société d'ethnologie, 1990, p. 551-552. 0. Au moment de la conception, une unité de vie individuelle, « l'âme de stock », est censée quitter les mânes d'ancêtres claniques indifférenciés en attente de réincarnation pour rejoindre le corps qui lui est attribué. 0. Le comput de l'âge des Mongols ne correspond pas à celui utilisé en occident. En effet, à la naissance, le nouveau-né compte déjà un an d'âge. De plus, au Nouvel an (organisé au mois de février, en fonction du calendrier lunaire), humains comme animaux acquièrent traditionnellement une nouvelle année d'âge. Ainsi, un bébé né au mois de décembre acquiert sa deuxième année au mois de février suivant, tandis que, biologiquement, il n'a que deux mois d'existence. 0. Choisir le moment de tenir un discours donné s'effectue par la prise en compte de paramètres divers (lieux, composition de l'assemblée, etc.) qui mettent en scène le langage du corps. De plus, savoir décoder ce langage et l'adopter donne de la force au discours. 0. Les vire-langues sont très développés pendant l'enfance. La connaissance de proverbes ou de devinettes permet d'acquérir la capacité de raisonnement et les valeurs morales du groupe (Françoise Aubin, « Sagesse des anciens, sagesse des enfants, dans les steppes mongoles », in F. Blanchon (dir.), Enfances. Asie IV, 1997, p. 106). 0. Les Mongols disent de la personne saoule, ne pouvant plus articuler un mot, qu'elle « a perdu odeur et qualités humaines » ; qu'elle est « devenue [comme] du bétail ». Ces conceptions relèvent d'un système de croyances chamaniques. 0. La coupe de cheveux est organisée à l'âge de 2 ou 4 ans pour les filles et 3 ou 5 ans pour les garçons. Cependant, le comput de l'âge des Mongols reste classificatoire (voir la note précédente) et la maîtrise du langage demeure l'élément déterminant l'organisation de la coupe de cheveux. Quand l'enfant sait dire les mots « pierre » et « cheval », c'est la fin du sevrage. 0. Le rituel de coupe de cheveux rassemble les membres de la famille étendue, tandis que celui de la naissance s'était effectué dans le cadre du cercle domestique. 0. R. Hamayon (1990, p. 501-502) mentionne, chez les Bouriates de Xuda, un rituel lié à la figure du « bouquetin jaune » effectué par les jeunes hommes sous la tutelle du chamane. On n'en trouve pas directement mention en Mongolie. 0. En effet, les tournois faisaient l'objet d'une période de réclusion des jeunes hommes accompagnés d'un « entraîneur » (zasuul). Dans les combats, seuls des beaux-frères potentiels pouvaient s'affronter, chacun mettant à l'épreuve sa virilité. 0. Oiseau mythique du bouddhisme. 0. Ce soin du corps se définit comme un processus commençant à l'entrée dans l'enfance (perçage) et fermé par l'entrée dans la nubilité (port de boucles). 0. Durant la grossesse, plusieurs expressions la comparent à une jument. Parallèlement, dans la relation sexuelle, l'homme est assimilé à un cavalier et la femme, à la jument qu'il monte au sens propre, comme au sens figuré. L'amble caractérise la femme qui agite correctement le bassin durant une relation sexuelle. 0. Voir G. Lacaze, « Boire et donner à boire (Chez les peuples centrasiatiques de tradition nomade pastorale) », Les Cahiers de l 'IREB n° 16, 2003, p. 38-45. 0. Selon un proverbe populaire : « à 30 ans boire 3 verres ; à 40 ans boire 4 verres ; à 50 ans en boire 5 ; et à 60 ans boire avec joie ». 0. La sexualité ne se confond pas avec le genre qui constitue l'enjeu de toutes les techniques de dressage du corps. À l'âge adulte, la différence sexuelle est l'un des piliers de l'organisation sociale. 0. L'ancienneté lui ouvre l'accès au statut d'adulte, tandis qu'auparavant la femme est considérée comme une enfant, un cadet classificatoire. 0. Un homme ne s'assoit ni ne marche comme une femme, ni un enfant comme un adulte ou un vieillard. 0. La course est une technique du corps d'enfant, tandis que le saut et le bond caractérisent les chamanes en séance ou les moines bouddhistes dansant le Cam. Course, sauts et bonds sont peu appréciés en temps ordinaire chez un adulte qui, pressé, préférera toujours une monture à ses jambes. 0. La marche, déplacement de femmes, caractérise le campement, tandis que la monte, dont certaines techniques sont spécifiques aux hommes, correspond aux pâturages ; on l'interdit sur le campement. Parallèlement, au centre de la yourte, on s'assoit et l'on mange. L'allongement, réservé au sommeil, n'y est pas admis, tandis que des « invités » y sont assis, etc. 0. L'étirement marque le passage du sommeil à la veille. Il s'effectue entre l'espace intime du lit, situé aux limites internes de l'habitat, et l'espace public des alentours de la table, placée au centre de la yourte. Il permet le retour de l'âme dans le corps après sa sortie nocturne, dont le rêve offre un témoignage. On l'interdit en dehors du réveil sous peine que « les connaissances s'échappent par les aisselles ».

Pour citer cet article

À propos de l'auteur

Gaëlle Lacaze Gaëlle Lacaze est maître de conférence au département d'ethnologie de l'Université Marc Bloch, à Strasbourg. Diplômée de l'Inalco en langue et civilisation mongoles, elle a soutenu une thèse d'ethnologie sur les représentations et les techniques du corps du corps chez les peuples mongols à l'Université de Paris X-Nanterre, sous la direction de R. Hamayon. Gaëlle Lacaze a été chargée de cours en anthropologie à l'Université de Metz. Elle a publié plusieurs articles, participé à des ouvrages collectifs, ainsi que réalisé deux films documentaires.

Droits d'auteur

Tous droits réservés

Résumé / Abstract / Resumen / Zusammenfassung

La mise en application de la « notion de technique du corps » de Marcel Mauss à l'étude des peuples mongols révèle les adaptations indispensables pour chaque société étudiée de l'énumération biographique proposées par l'auteur. Cet article met ainsi en évidence les intuitions géniales de Mauss qui présentait déjà la nécessité d'adapter cette notion à chacune de ses applications. Les techniques du corps offrent à l'analyse des instruments de la lecture du langage gestuel d'un groupe. Bien davantage encore, elles permettent d'accéder aux conceptions de la personne et de sa position dans les mondes social et naturel. Ainsi elles éclairent la définition mongole de l'humanité et mettent en évidence le système de perception de l'environnement de peuples de tradition nomade pastorale.

The application of Marcel Mauss's notion of "techniques of the body" to the study of the peoples of Mongolia shows how this notion must be adapted to suit each society. This article reveals Mauss's brilliant intuitions which already suggested the necessity of these adaptations. The techniques of the body are essential instruments in the analysis of a group's corporal language. Furthermore, they shed light on concepts concerning the individual and their position in the social and natural worlds. In this way, they participate in clarifying the Mongolian notion of humanity, as well as in revealing the ways in which nomadic peoples perceive the environment. « La noción de las técnicas del cuerpo entre los Mongoles ». La aplicación de la « noción de técnica del cuerpo » de Marcel Mauss al estudio de los pueblos mongoles revela las adaptaciones indispensablesde la enumeración biográfica que propone el autor para cada sociedad estudiada. Nuestro artículo pone de relieve las geniales intuiciones de Mauss, quien ya presentaba la necesidad de adaptar dicha noción a cada una de sus aplicaciones. Las técnicas del cuerpo proponen al análisis unos instrumentos de lectura del lenguaje gestual de un grupo. Aun más, permiten acceder a las concepciones de la persona y de su posición en el mundo social y cultural. De este modo ilustran la definición mogol de la humanidad y ponen de relieve el sistema de percepción del entorno de unos pueblos de tradición nómada y pastoral.

Dieser Artikel zeigt wie die geniale intuitive Erkenntnis der "Körpertechniken" bei den Völkern der Mongolei angewendet werden kann. Sie bieten der Analyse eine Lektüre der Gebärdensprache einer Gruppe. Sie werfen sogar ein neues Licht auf die mongolische Vorstellung der Menschheit, sowie auf das Wahrrnehmungssystem von der Umwelt bei diesen nicht sesshaften Hirtenvölkern.

  « La notion de « technique du corps » appliquée à l'étude des Mongols », Le Portique [En ligne], 17 | 2006, mis en ligne le 15 décembre 2008, Consulté le 30 juin 2012. URL : / index842.html


M El

Functional continuity of unital B 0 -algebras with orthogonal bases

Keywords: 2010 Mathematics Subject Classification: 46H40 B 0 -algebra, orthogonal basis, multiplicative linear functional. I. Preliminaries

Functional continuity of unital B_0-algebras with orthogonal bases

A topological algebra is a complex associative algebra which is also a Hausdorff topological vector space such that the multiplication is separately continuous. A locally convex algebra is a topological algebra whose topology is determined by a family of seminorms. A complete metrizable locally convex algebra is called a B 0 -algebra. The topology of a B 0 -algebra A may be given by a countable family ( . i ) i≥1 of seminorms such that x i ≤ x i+1 and xy i ≤ x i+1 y i+1 for all i ≥ 1 and x, y ∈ A. A multiplicative linear functional on a complex algebra A is an algebra homomorphism from A to the complex field. Let A be a topological algebra. M * (A) denotes the set of all nonzero multiplicative linear functionals on A. M (A) denotes the set of all nonzero continuous multiplicative linear functionals on A. A seminorm p on A is lower semicontinuous if the set {x ∈ A : p(x) ≤ 1} is closed in A.

Let A be a topological algebra. A sequence (e n ) n≥1 in A is a basis if for each x ∈ A there is a unique sequence (α n ) n≥1 of complex numbers such that x = Σ ∞ n=1 α n e n . Each linear functional e * n :

A → C, e * n (x) = α n , is called a coefficient functional. If each e *
n is continuous, the basis (e n ) n≥1 is called a Schauder basis. A basis (e n ) n≥1 is orthogonal if e i e j = δ ij e i where δ ij is the Kronecker symbol. If (e n ) n≥1 is an orthogonal basis, then each e * n is a multiplicative linear functional on A. Let A be a topological algebra with an orthogonal basis (e n ) n≥1 . If A has a unity e, then e = Σ ∞ n=1 e n . Let (x k ) k be a net in A converging to 0, since the multiplication is separately continuous, e n x k = e * n (x k )e n → k 0 and so e * n (x k ) → k 0. Then each orthogonal basis in a topological algebra is a Schauder basis. Let f be a multiplicative linear functional on A. If f (e n0 ) = 0 for some

n 0 ≥ 1, then f (x)f (e n0 ) = f (xe n0 ) = f (e * n0 (x)e n0 ) = e * n0 (x)f (e n0
) for all x ∈ A and therefore f = e * n0 ∈ M (A). This shows that M (A) = {e * n : n ≥ 1}. Here we consider unital B 0 -algebras with orthogonal bases. These algebras were investigated in [START_REF] Sawon | Fréchet algebras with orthogonal basis[END_REF] where we can find examples of such algebras.

II. Results

Proposition II.1. Let (A, ( . i ) i≥1 ) be a unital B 0 -algebra with an orthogonal basis (e n ) n≥1 . Then there exists x ∈ A such that the sequence (e * n (x)) n≥1 is not bounded.

Proof. Suppose that sup n≥1 |e * n (x)| < ∞ for all x ∈ A. For each x ∈ A, let x = sup n≥1 |e * n (x)|, . is a lower semicontinuous norm on A since (e n ) n≥1 is a Schauder basis. Let τ A be the topology on A determined by the family ( . i ) i≥1 of seminorms. We define a new topology τ on A described by the norm . and the family ( . i ) i≥1 of seminorms. The topology τ is stronger than the topology τ A . By Garling's completeness theorem [1, Theorem 1], (A, τ ) is complete. The topologies τ A and τ are homeomorphic by the open mapping theorem. Then there exist i 0 ≥ and M > 0 such that x ≤ M x i0 for all x ∈ A, hence 1 = |e * n (e n )| ≤ e n ≤ M e n i0 for all n ≥ 1. This contradicts the fact that e n → n 0.

Proposition II.2. Let A be a unital B 0 -algebra with an orthogonal basis

(e n ) n≥1 . If x = Σ ∞ n=1 t n e n ∈ A such that t n ∈ R, t n ≤ t n+1 for n ≥ 1 and t n → ∞, then f (x) ∈ R for all f ∈ M * (A). Proof. If f ∈ M (A), f = e * n for some n ≥ 1, then f (x) = t n ∈ R. If f ∈ M * (A) M (A), then f (e n ) = 0 for all n ≥ 1. Suppose that f (x) / ∈ R, f (x) = α + iβ with β = 0. Since t n → ∞, there exists n 0 ≥ 1 such that t n ≥ α + |β| for all n ≥ n 0 . We define the sequence (s n ) n≥1 by s n = t n0 for 1 ≤ n ≤ n 0 and s n = t n for n ≥ n 0 + 1. It is clear that y = Σ ∞ n=1 s n e n ∈ A such that s n ≥ α + |β|, s n ≤ s n+1 for n ≥ 1 and s n → ∞. Since f (e n ) = 0 for all n ≥ 1, f (y) = f (x) = α + iβ. We have f (|β| -1 y) = |β| -1 α + i|β| -1 β, then f (|β| -1 y -|β| -1 αe) = i|β| -1 β. Set z = |β| -1 y -|β| -1 αe = Σ ∞ n=1 sn-α |β| e n . The real sequence ( sn-α |β| ) n≥1 is positive increasing and sn-α |β| → ∞, then z -1 = Σ ∞ n=1 |β| sn-α e n ∈ A by [3, Theorem 0.1] and f (z -1 ) = -i|β|β -1 , so f (z+z -1 ) = 0. Set v = z + z -1 = Σ ∞ n=1 ( sn-α |β| + |β| sn-α )e n and v n = sn-α |β| + |β| sn-α for all n ≥ 1. Since the map g : [1, ∞) → R, g(x) = x + 1
x , is increasing and the sequence

( sn-α |β| ) n≥1 ⊂ [1, ∞) is increasing, it follows that (v n ) n≥1 is a positive increasing sequence and v n → ∞. By [3, Theorem 0.1], v -1 = Σ ∞ n=1 1 vn e n ∈ A and therefore f (e) = f (v)f (v -1 ) = 0. This contradicts the fact that f is nonzero.
The following two results are due to Sawon and Wronski [START_REF] Sawon | Fréchet algebras with orthogonal basis[END_REF], the proofs are given for completeness.

Theorem II.3([3, Theorem 2.1]). Let A be a unital B 0 -algebra with an orthog- onal basis (e n ) n≥1 . If x = Σ ∞ n=1 t n e n ∈ A such that t n ∈ R, t n ≤ t n+1
for n ≥ 1 and t n → ∞, then every multiplicative linear functional on A is continuous.

Proof. Suppose that M * (A) M (A) is nonempty. Let f ∈ M * (A) M (A), then f (e n ) = 0 for all n ≥ 1. Put f (x) = α, then α ∈ R by Proposition II.2. Since t n → ∞, there exists n 0 ≥ 1 such that t n > α for n ≥ n 0 . Consider y = Σ ∞ n=1 λ n e n ∈ A such that λ n = t n0 for 1 ≤ n ≤ n 0 and λ n = t n for n ≥ n 0 + 1. Since f (e n ) = 0 for all n ≥ 1, it follows that f (x) = f (y) = α. We have y -αe = Σ ∞ n=1 v n e n ∈ A where v n = λ n -α for all n ≥ 1. It is clear that v n > 0, v n ≤ v n+1 for n ≥ 1 and v n → ∞. By [3, Theorem 0.1], (y -αe) -1 = Σ ∞ n=1
1 vn e n ∈ A, so y -αe is invertible and f (y -αe) = 0, a contradiction.

Proposition II.4([3, p.109]). Let (A, ( . i ) i≥1 ) be a unital B 0 -algebra with an orthogonal basis (e n ) n≥1 . Then the set N of all positive integers can be split into two disjoint subsets N 1 and N 2 such that by putting A 1 = span(e n ) n∈N1 and A 2 = span(e n ) n∈N2 , we have (1)

A = A 1 ⊕ A 2 ; (2) if f is a multiplicative linear functional on A such that f / ∈ M (A), then f /A1 = 0.
Proof. By Proposition II.1, there is x = Σ ∞ n=1 t n e n ∈ A such that the sequence (t n ) n≥1 is not bounded. Then there exists a subsequence (t kn ) n≥1 of (t n ) n≥1 such that |t kn | ≥ n 2 for all n ≥ 1. For each i ≥ 1, there is M i > 0 such that t n e n i ≤ M i for all n ≥ 1. Let i ≥ 1 and n ≥ 1, n 2 e kn i ≤ |t kn | e kn i = t kn e kn i ≤ M i , then e kn i ≤ n -2 M i . This implies that Σ ∞ n=1 e kn is absolutely convergent. Let A 1 = span{e kn : n ≥ 1}, A 1 is a unital B 0 -algebra with an orthogonal basis (e kn ) n≥1 and Σ ∞ n=1 n

1 2 e kn ∈ A 1 since n 1 2 e kn i ≤ n -3 2 M i for all i ≥ 1 and n ≥ 1. Set N 1 = {k n : n ≥ 1}, N 2 = N N 1 and A 2 = span{e n : n ∈ N 2 }.
A 2 is a B 0 -algebra with an orthogonal basis (e n ) n∈N2 and the unity u 2 = e -u 1 where u 1 = Σ ∞ n=1 e kn is the unity of

A 1 . Let x ∈ A, x = xe = x(u 1 +u 2 ) = xu 1 +xu 2 ∈ A 1 +A 2 , then A = A 1 ⊕A 2 . If f is a multiplicative linear functional on A such that f / ∈ M (A), f /A1
is a multiplicative linear functional on A 1 such that f /A1 (e kn ) = 0 for all n ≥ 1. Since Σ ∞ n=1 n

1 2 e kn ∈ A 1 , f /A1 is continuous on A 1 by Theorem II.3 and therefore f /A1 = 0.

Sawon and Wronski [3, p.109] posed the following problem:

Problem. Let A be a unital B 0 -algebra with an orthogonal basis (e n ) n≥1 . Does there exist a maximal subalgebra 1) and ( 2) hold?

A 1 = span{e n : n ∈ N 1 }(N 1 ⊂ N ) of A for which (
Proposition II.5. Let A be a unital B 0 -algebra with an orthogonal basis (e n ) n≥1 . Then the following assertions are equivalent: (i) A = span{e n : n ∈ N } is a maximal subalgebra of itself for which (1) and (2) hold; (ii) every multiplicative linear functional on A is continuous.

Proof. (i) ⇒ (ii) : Let f be a multiplicative linear functional on A such that f / ∈ M (A), f is zero on A by (i). Then every multiplicative linear functional on A is continuous. (ii) ⇒ (i) : It is clear that A satisfies [START_REF] Garling | On topological sequence[END_REF]. Let f be a multiplicative linear functional on A such that f / ∈ M (A), then f is zero on A since f is continuous, hence A satisfies (2).

Proposition II.6. Let (t n ) n≥n0 be a complex sequence, the following assertions are equivalent:

(i) Σ ∞ n=n0 |t n -t n+1 | < ∞; (ii) there exists M > 0 such that |t q | + Σ q-1 n=p |t n -t n+1 | ≤ M for all q > p ≥ n 0 . Proof. (i) ⇒ (ii) : Let > 0, there exists n 1 ≥ n 0 such that Σ ∞ k=n |t k -t k+1 | ≤ for every n ≥ n 1 . let m > n ≥ n 1 , |t n -t m | ≤ |t n -t n+1 | + ... + |t m-1 -t m | ≤ . Then the sequence (t n ) n≥n0 converges, so there is M 0 > 0 such that |t n | ≤ M 0 for all n ≥ n 0 . Let q > p ≥ n 0 , |t q | + Σ q-1 n=p |t n -t n+1 | ≤ M 0 + Σ ∞ n=n0 |t n -t n+1 |. (ii) ⇒ (i) : Let p ≥ n 0 and q = p+1, Σ p n=n0 |t n -t n+1 | ≤ |t q |+Σ q-1 n=n0 |t n -t n+1 | ≤ M. Then the sequence (Σ p n=n0 |t n -t n+1 |) p≥n0 is positive increasing and bounded, so it is convergent i.e. Σ ∞ n=n0 |t n -t n+1 | < ∞.
Proposition II.7. Let (A, ( . i ) i≥1 ) be a unital B 0 -algebra with an orthogonal basis (e n ) n≥1 .

If (t n ) n≥n0 is a complex sequence such that Σ ∞ n=n0 |t n -t n+1 | < ∞, then Σ ∞ n=n0 t n e n ∈ A.
Proof. Let q > p ≥ n 0 , by using the equality t n = t q +Σ q-1 k=n (t k -t k+1 ) for every p ≤ n < q, we obtain that Σ q-1 n=p t n e n = t q (e p + ... + e q-1 ) + Σ q-1 k=p (t k -t k+1 )(e p + ...+e k ). Let i ≥ 1, Σ q-1 n=p t n e n i ≤ |t q | e p +...+e q-1 i +Σ q-1 k=p |t k -t k+1 | e p +...+ e k i ≤ (|t q | + Σ q-1 k=p |t k -t k+1 |) sup p≤k≤q e p + ... + e k i ≤ M sup p≤k≤q e p + ... + e k i by Proposition II.6. Let > 0, since e = Σ ∞ n=1 e n ∈ A, there is n 1 ≥ n 0 such that e p + ... + e k i ≤ M -1 for n 1 ≤ p ≤ k, hence sup p≤k≤q e p + ... + e k i ≤ M -1 for n 1 ≤ p < q. Then Σ q-1 n=p t n e n i ≤ for n 1 ≤ p < q. This shows that Σ ∞ n=n0 t n e n is convergent in A.

Theorem II.8. Let (A, ( . i ) i≥1 ) be a unital B 0 -algebra with an orthogonal basis (e n ) n≥1 . Then every multiplicative linear functional on A is continuous. Remark. Proposition II.5 and Theorem II.8 give an answer to Sawon and Wronski's problem.

Proof. By Proposition II.7, x = Σ ∞ n=1 1 n e n ∈ A. Let f ∈ M * (A) and α = f (x), then f (αe -x) = 0. We have αe -x = Σ ∞ n=1 (α -1 n )e n = Σ ∞ n=1 αn-1 n e n . Let N be the set of all positive integers. Put I α = {n ∈ N : n = α -1 }, I α = N if α -1 / ∈ N and I α = N {α -1 } if α -1 ∈ N. Let m α = inf{n ∈ N : |α|n - 1 > 0} and consider the complex sequence ( n αn-1 ) n≥mα . Let n ≥ m α , n αn-1 - n+1 α(n+1)-1 = 1 (αn-1)(α(n+1)-1) . We have |αn -1| ≥ |α|n -1 and |α(n + 1) -1| ≥ |α|(n + 1) -1 = |α|n + |α| -1 ≥ |α|n -1. Let n ≥ m α , |α|n -1 > 0, hence 1 |αn-1| ≤ 1 |α|n-1 and 1 |α(n+1)-1| ≤ 1 |α|n-1 . Consequently | n αn-1 -n+1 α(n+1)-1 | = 1 |αn-1||α(n+1)-1| ≤ 1 (|α|n-1) 2 . Then Σ ∞ n=mα n αn-1 e n ∈ A
Note. Let A be a unital B 0 -algebra with an orthogonal basis (e n ) n≥1 and let δ be a translation invariant metric defining the topology of A. For each n ≥ 1, define b (n) = Σ ∞ k=n e k , this sequence converges to zero in A. For each n ≥ 1, there exists p n ≥ 2 such that δ(b (k) , 0) ≤ 1 n 2 for all k ≥ p n . We can assume that (p n ) n≥1 is a strictly increasing sequence in N. Then x = Σ ∞ n=1 b (pn) converges in A since δ(b (pn) , 0) ≤ 1 n 2 for all n ≥ 1. Let k ≥ 1, we have e * k (x) = 0 for 1 ≤ k < p 1 and e * k (x) = n for p n ≤ k < p n+1 . Therefore (e * k (x)) k≥1 is an increasing sequence of natural integers such that e * k (x) → ∞. This shows that the condition in [3, Theorem 2.1] is always satisfied and so Theorem II.8 can be deduced from Theorem II.3.

  by Proposition II.7 and therefore Σ n∈Iα n αn-1 e n ∈ A. If α -1 / ∈ N i.e. I α = N, (αe -x)Σ ∞ n=1 n αn-1 e n = e, then αe -x is invertible, a contradiction. If α -1 ∈ N, put n α = α -1 , then (αe -x)Σ n∈Iα n αn-1 e n = Σ n∈Iα e n , hence Σ n∈Iα e n ∈ Ker(f ) since αe -x ∈ Ker(f ). If e nα ∈ Ker(f ), then e = e nα + Σ n∈Iα e n ∈ Ker(f ), a contradiction. Finally f (e nα ) = 0 and therefore f = e * nα .


Jean-Claude Bermond

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The circuit -hypergraph of a tournament


Jean-Claude Bermond

Decomposition of Kn* into k

HAL is