Alexander Kozachinskiy

Alexander Shen
email: alexander.shen@lirmm.fr

Two characterizations of finite-state dimension

Keywords: Finite-state dimension, Superadditive complexity functions, Normal sequences

.

Introduction

The notion of finite-state dimension of a bit sequence was introduced by Dai et al. [START_REF] Dai | Finite-state dimension[END_REF] using finite-state gales. Later Bourke et al. [START_REF] Bourke | Entropy rates and finitestate dimension[END_REF] characterized the finite-state dimension in terms of Shannon entropies of aligned bit blocks (a prefix of the sequence is split into k-bit blocks for some k, and a random variable "uniformly chosen block" is considered).

In this paper we provide two new characterizations (equivalent definitions) of this notion. First (Section 2) we extend old results of Niven -Zuckerman [START_REF] Niven | On the definition of normal numbers[END_REF] and Pillai [START_REF] Pillai | On normal numbers[END_REF] to the case of arbitrary finite-state dimension. These results were proven for normal sequences, i.e., sequences of finite-state dimension 1, and new tools (including Shearer-type inequality for entropies) are needed for the case of arbitrary finite-state dimension. Namely, we show (Theorem 1) that one can equivalently define the finite-state dimension using non-aligned blocks. For that, for a given n we consider a random variable "uniformly chosen k-bit factor" of the n-bit prefix of the sequence, take the lim inf of its Shannon entropy as n → ∞, divide this lim inf by k and then take infimum (or limit) over k. We also provide examples showing that this equivalence works only in the limit (k → ∞), not for blocks of fixed size.

The second characterization of finite-state dimension is given in Section 3. It does not use finite-state machines or entropies at all. We consider non-negative superadditive functions on bit strings, i.e., functions F such that F (uv) F (u) + F (v) for all u and v. Additionally we require some calibration property saying that F cannot be too small on too many inputs. Given a sequence α = α 0 α 1 α 2 . . ., we consider lim inf n F (α 0 α 1 . . . α n-1 )/n. We prove that the finite-state dimension of α is the infimum of these quantities taken over all F that satisfy our requirements.

The first example of a normal sequence was given by Champernowne [START_REF] Champernowne | The construction of decimals normal in the scale of ten[END_REF]. It was the sequence 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 . . . (concatenation of integers 0, 1, 2, 3, . . . written in binary 5 ). Later a more general class of examples was suggested by Copeland and Erdös [START_REF] Copeland | Note on normal numbers[END_REF]. In Section 4, using superadditive functions, we prove a general sufficient condition for normality (=finite-state dimension 1) for a sequence that is a concatenation of some finite strings x 1 , x 2 , x 3 , etc. This sufficient condition is formulated in terms of Kolmogorov complexity of x i : the average Kolmogorov complexity of strings x 1 , . . . , x k should have the same asymptotic growth as the average length of these strings (under some technical conditions; see the exact statement of Theorem 4). In [START_REF] Calude | Finite state complexity[END_REF] Calude, Salomaa and Roblot introduced the notion of automatic complexity and asked whether this notion can be used to characterize normality. This question was answered negatively in [START_REF] Calude | Finite state incompressible infinite sequences[END_REF]. We give an alternative proof of this result using our sufficient condition for normality.

The notion of automatic complexity that can be used to characterize normality and finite-state dimension (and was the starting point for us) was introduced in [START_REF] Shen | Automatic Kolmogorov complexity and normality revisited[END_REF]. A self-contained exposition, including the results of the current paper and other results about finite-state dimension, automatic complexity, finite-state a priori probability and martingales, as well as applications of these notions, will be included in the arxiv version of [START_REF] Shen | Automatic Kolmogorov complexity and normality revisited[END_REF].

Non-aligned entropies

Consider a sequence α = α 0 α 1 α 2 . . ., and some positive integer k. We can split the sequence α into k-bit consecutive non-overlapping blocks (aligned version), or consider all k-bit substrings of α (non-aligned version, see below the exact definition). Then we consider limit frequencies of these blocks. In this way we get some distribution on the set {0, 1} k of all k-bit blocks. We want to define the finite-state dimension of α as the limit of the normalized (i.e., divided by k) Shannon entropy of this distribution when k goes to infinity.

However, we should be more careful since these limit frequencies may not exist. Here is the exact definition. For every N take the first N blocks of length k and choose one of them uniformly at random. In this way we obtain a random variable taking values in {0, 1} k . Consider the Shannon entropy of this random variable (for the definition of Shannon entropy of a random variable see, e.g., [START_REF] Shen | Kolmogorov complexity and algorithmic randomness[END_REF]Chapter 7]). This can be done in an aligned (a) and nonaligned (na) settings, so we get two quantities:

H a k,N (α) = H(α kI . . . α kI+k-1 ), H na k,N (α) = H(α I . . . α I+k-1 )
, where I ∈ {0, . . . , N -1} (the block number) is chosen uniformly at random, and H denotes the Shannon entropy of the corresponding random variable.

Then we apply the lim inf N as N → ∞ and let

H a k (α) = lim inf N →∞ H a k,N (α) and H na k (α) = lim inf N →∞ H na k,N (α).
The following result says that both quantities H a k (α) and H na k (α), divided by the block length k, converge to the same value as k → ∞, and this value can also be defined as inf k H k (α)/k (both in aligned and non-aligned versions).

Theorem 1. For every bit sequence α we have

lim k H a k (α) k = inf k H a k (α) k = lim k H na k (α) k = inf k H na k (α) k .
This common value is called the finite-state dimension of α and denoted by FSD(α). The original definition of finite-state dimension [START_REF] Dai | Finite-state dimension[END_REF] was different, and the equivalence between it and the aligned version of the definition given above was shown in [START_REF] Bourke | Entropy rates and finitestate dimension[END_REF]. The equivalence between non-aligned and aligned versions seems to be new.

To prove this result, it is enough to prove two symmetric lemmas. The first one guarantees that if H a k (α)/k is small (less than some threshold) for some k, then H na K (α)/K is also small (less than the same threshold) for all sufficiently large K; the second says the same with aligned and non-aligned versions exchanged.

Lemma 1. For every α, every k, every K k:

H na K (α) K H a k (α) k + O k K .
Lemma 2. For every α, every k, every K k:

H a K (α) K H na k (α) k + O k K .
This two lemmas easily imply Theorem 1 by taking lim sup K→∞ and then inf k of both sides of both inequalities. So it remains to prove them.

Proof (of Lemma 1). Fix some sequence α, and consider some integer N . Take I ∈ {0, 1 . . . , N -1} uniformly at random and consider a random variable

ξ = α I . . . α I+K-1
whose values are K-bit strings. By definition, the entropy of ξ is H na K,N (α). Let us look at aligned k-bit blocks covered by the block ξ (i.e., the aligned k-bit blocks inside I . . . I + K -1). The exact number of these blocks may vary depending on I, but there are at least m = K/k -1 of them (if there were only m -1 complete blocks, plus maybe two incomplete blocks, then the total length would be at most k(m -1) + 2k -2 = km + k -2, but we have K/k m + 1, i.e., K km + k). We number the first m blocks from left to right and get m random variables ξ 1 , . . . , ξ m (defined on the same space {0, . . . , N -1}). For example, ξ 1 is the leftmost aligned k-bit block of α in the interval I . . . I + K -1. To reconstruct the value of ξ when all ξ i are known, we need to specify the prefix and suffix of ξ that are not covered by ξ i (including their lengths). This requires O(k) bits of information, so

H na K,N (α) = H(ξ) H(ξ 1 ) + . . . + H(ξ m ) + O(k).
We will show that for each s ∈ {1, . . . , m} the distribution of the random variable ξ s is close to the uniform distribution over the first N/k aligned k-bit blocks of α. The standard way to measure how close are two distributions on the same set A is to measure the statistical distance between them, defined as

δ(P, Q) = 1 2 a∈A P (a) -Q(a) .
We claim that (for each s ∈ {1, 2, . . . , m}) the statistical distance between the distribution of ξ s and the uniform distribution on the first N/k aligned blocks converges to 0 as N → ∞. First, let us note that for a fixed aligned block its probability to become s-th aligned block inside a random nonaligned block is exactly k/N (there are k possible positions for a random non-aligned block when this happens). The only exception to this rule are aligned blocks that are near the endpoints, and we have at most O(K/k) of them. When we choose a random aligned block, the probability to choose some position is exactly 1/ N/k , so we get some difference due to rounding. It is easy to see that the impact of both factors on the statistical distance converges to 0 as N → ∞. Indeed, the number of the boundary blocks is O(K/k), and the bound does not depend on N , while the probability of each block (in both distributions) converges to zero. 6 Also, since m = N/k and m = N/k differ at most by 1, the difference between 1/m and 1/m is of order 1/m 2 , and converges to 0 even if multiplied by m (the number of blocks is about m). Now we use the continuity (more precisely, the uniform continuity) of the entropy function and note that all m = N/k -1 random variables in the right hand side are close to the uniform distribution on first N/k aligned blocks (the statistical distance converges to 0), so lim inf

N →∞ H na K,N (α) ( K/k -1) lim inf N →∞ H a k, N/k (α) + O(k),
and dividing by K we get the statement of Lemma 1.

Proof (of Lemma 2). Take I ∈ {0, 1 . . . , N -1} uniformly at random. We need an upper bound for H a K,N (α), i.e., for H(α KI . . . α KI+K-1 ). For that we use Shearer's inequality (see, e.g., [14, Section 7.2 and Chapter 10]). In general, this inequality can be formulated as follows. Consider a finite family of arbitrary random variables η 0 , . . . , η m-1 indexed by integers in {0, . . . , m -1}. For every U ⊂ {0, . . . , m -1} consider the tuple η U of all η u where u ∈ U . If a family of subsets U 0 , . . . , U s-1 ⊂ {0, . . . , m -1} covers each element of U at least r times, then

H(η U ) 1 r H(η U0 ) + . . . + H(η Us-1
) . In our case we have K variables η 0 , . . . η K-1 that are individual bits of a Kbit block α KI . . . α KI+K-1 (for random I), i.e., η 0 = α KI , η 1 = α KI+1 , etc. The set U contains all indices 0, . . . , K -1, and the sets U i contains k indices i, i + 1, . . . , i + k -1 (where operations are performed modulo K, so there are U i that combine the prefix and suffix of a random K-bit block). Each η i is covered k times due to this cyclic arrangement. In other words, the variable η Ui is a substring of the random string η U = α KI . . . α KI+K-1 that starts from ith position and wraps around if there is not enough bits. There are k -1 tuples of this "wrap-around" type (block of length k may cross the boundary in k -1 ways). These tuples are not convenient for our analysis, so we just bound their entropy by k. In this way we obtain the following upper bound:

H a K,N (α) = H(α KI . . . α KI+K-1 ) 1 k K-k s=0 H(α KI+s . . . α KI+s+k-1 ) + (k -1)k .
Adding k -1 terms (replacing the wrap-around terms by some other entropies), we increase the right hand side:

H a K,N (α) 1 k K-1 s=0 H(α KI+s . . . α KI+s+k-1 ) + (k -1)k .
Let us look at the variable α KI+s . . . α KI+s+k-1 in the right hand side for some fixed s. It has the same distribution as the random non-aligned k-bit block α J . . . α J+k-1 for uniformly chosen J in {0, . . . , N K -1} conditional on the event "J mod K = s":

H(α KI+s . . . α KI+s+k-1 ) = H(α J . . . α J+k-1 | J mod K = s).
The average of these K entropies (for s = 0, . . . , K -1) is the conditional entropy H(α J . . . α J+k-1 | J mod K) that does not exceed the unconditional entropy. So we get

H a K,N (α) 1 k K • H na k,KN (α) + (k -1)k . By taking the lim inf as N → ∞ we obtain H a K (α) K = lim inf N →∞ H a K,N (α) K lim inf N →∞ H na k,KN (α) k + O k K .
However, the lim inf in the right hand side is taken over multiples of K and we want it to be over all indices. Formally, it remains to show that lim inf

N →∞ H na k,KN (α) k = lim inf N →∞ H na k,N (α) k
as the latter is by definition equal to H na k (α)/k. Indeed, the statistical distance between distributions on the first KN (non-aligned) blocks and the distribution on the first KN + r blocks (where r the remainder modulo K) tends to zero since the first distribution is the second one conditioned on the event whose probability converges to 1 (i.e., the event "the randomly chosen block is not among the r last ones" whose probability is KN/(KN + r)).

As we have mentioned, this result implies that non-aligned and aligned versions of normality (uniform distribution on non-aligned and aligned blocks) are equivalent. However, note the asymptotic nature of this argument: to prove that the distribution of (say) non-aligned k-bit blocks is uniform, it is not enough to know that aligned k-bit blocks have uniform distribution; we need to know that the distribution of K-bit blocks is uniform for arbitrarily large values of K. This is unavoidable, as the following result shows.

Theorem 2.

(a) For all k there exists an infinite sequence α such that H na 2 (α) < 2 and H a i (α) = i for all i k. (b) For all k there exists an infinite sequence α such that H a 2 (α) < 2 and

H na i (α) = i for all i k.
Proof. (a) Consider all k-bit strings. It is easy to arrange them in some order B 0 , B 1 , . . . such that the last bit of B i is the same as the first bit of B i+1 , for all i, and the last bit of the last block is the same as the first bit of the first block. For example, consider (for every x ∈ {0, 1} k-2 ) four k-bit strings 0x0, 0x1, 1x1, 1x0 and concatenate these 2 k-2 quadruples in arbitrary order. Then consider a periodic sequence with period B 0 B 1 . . . B 2 k -1 . Obviously all aligned k-bit blocks have the same frequency, so H a k (α) = k. However, for non-aligned bit blocks of length 2 we have two cases: this pair can be completely inside some B i , or be on the boundary between blocks. The pairs of the first type are balanced (since we have all possible k-bit blocks), but the boundary pairs could be only 00 or 11 due to our construction. So the non-aligned frequency of these two blocks is 1/4 + Ω(1/k), and for two other blocks we have 1/4 -Ω(1/k), so H na 2 (α) < 2. However, in this construction we do not necessarily have that H a i (α) = i for i < k. But this is easy to fix. Note that H a k (α) = k implies H a i (α) = i whenever i is a divisor of k. So we can just use the same construction with blocks of length k! instead of k.

(b) Now let us consider a sequence constructed in the same way, but blocks B 0 , B 1 , . . . , B 2 k -1 go in the lexicographical ordering. First let us note that all k-bit blocks have the same non-aligned frequencies in the periodic sequence with period B 0 B 1 . . . B 2 k -1 . (For aligned k-blocks it was obvious, but the non-aligned case needs some proof.) Indeed, consider some k-bit string U ; we need to show that it appears exactly k times in the (looped) sequence B 0 B 1 . . . B 2 k -1 . In fact, it appears exactly once for each position modulo k. For example, it appears once among the blocks B i . Why the same it true for some other position s mod k where the k -s first bits of U appear as a suffix of B i-1 and the last s bits of U appear as a prefix of B i ? Note that (k -s)-bit suffixes of B 0 , B 1 , B 2 , . . . form a cycle modulo 2 k-s , so the first k -s bits of U uniquely determine the last k -s bits of B i , whereas the first s bits of B i are just written in the s-bit suffix of U .

This implies that non-aligned frequencies for all k-bit blocks are the same. Therefore, they are the same also for all smaller values of k. In particular, we can assume for the rest that k is odd. Now let us consider aligned blocks of size 2. We will show that aligned frequency of the block 10 in the sequence

B 0 B 1 . . . B 2 k -1 is 1/4 -Ω(1/k).
Since k is odd (see above), when we cut our sequence into blocks of size 2, there are "border" blocks that cross the boundaries between B i and B i+1 , and other nonborder blocks. Each second boundary is crossed (between B 0 and B 1 , then B 2 and B 3 , and so on), so the border blocks all have the first bit 0. In particular, 10 never appears on such positions. This creates discrepancy of order 1/k for 10, and we should check that it is not compensated by non-boundary blocks. In the blocks B i with even i we delete that last bit and cut the rest into bit pairs. After deleting the last bit we have all possible (k -1)-bit strings, so no discrepancy arises here. In the blocks B i with odd i we delete the first bit, and then cut the rest into bit pairs. In the last pair the last bit is 1 (since i is odd), so once again we never have 10 here, as required (the other positions are balanced).

Superadditive complexity measures

The finite-state dimension is a scaled-down version of effective Hausdorff dimension [START_REF] Lutz | Dimension in complexity classes[END_REF]. The effective Hausdorff dimension of a sequence α = α 0 α 1 . . . can be equivalently defined as the lim inf C(α 0 . . . α N -1 )/N , where C stands for the Kolmogorov complexity function [START_REF] Lutz | The dimensions of individual strings and sequences[END_REF][START_REF] Mayordomo | A Kolmogorov complexity characterization of constructive Hausdorff dimension[END_REF]. We use here plain complexity, but prefix, a priori or monotone complexity (see, e.g., [START_REF] Shen | Kolmogorov complexity and algorithmic randomness[END_REF]Chapter 6]) will work as well, since they all differ only by O(log n) for n-bit strings (see, e.g., [START_REF] Shen | Kolmogorov complexity and algorithmic randomness[END_REF] for more details about Kolmogorov complexity and effective dimension). It is natural to look for a similar characterization of finite-state dimension in terms of compressibility. Such a characterization was given in [7, Section 7]. However, it did not use a complexity notion that can replace C in the definition of effective Hausdorff dimension, using finite-state compressors instead. A suitable complexity notion was introduced in [START_REF] Shen | Automatic Kolmogorov complexity and normality revisited[END_REF], and it indeed gives the desired characterization. We may also use superadditive upper bounds for Kolmogorov complexity. In this extended abstract we present only a version that does not mention Kolmogorov complexity or finite-state machines at all.

Consider a non-negative function F defined on strings. Recall that F is superadditive if F (xy) F (x) + F (y) for all x and y. We call F calibrated if for every n the sum 2 -F (x) taken over all strings x of length n does not exceed some constant (not depending on n). Theorem 3. Let α = α 0 α 1 α 2 . . . be an infinite bit sequence. Then

FSD(α) = inf F lim inf N →∞ F (α 0 . . . α N -1 ) N ,
where the infimum is taken over all superadditive calibrated F : {0, 1} * → [0, +∞).

Proof. We start with an upper bound for the finite-state dimension. Let F be a superadditive calibrated function. We need to show that FSD(α) lim inf

N →∞ F (α 0 . . . α N -1 ) N .
Since FSD(α) can be defined as lim k H a k (α)/k, it is enough to prove that

H a k (α)/k lim inf N →∞ F (α 0 . . . α N -1 ) N + O(1/k) ( * )
for all k. Fix some k ∈ N. We can split α 0 . . . How do we get such a bound? We know that the sum of 2 -F (b) (taken over all blocks b of length k) is bounded by some constant c that does not depend on k. Assume first for simplicity that this constant is 1 and all values of F are integers. Then there exists a prefix-free code for all k-bit blocks where every block b has code of length at most F (b). Then the sum F (b 1 ) + . . . + F (b M ), divided by M , is an average code length for the distribution with entropy H a k,M (α), therefore

F (b 1 ) + . . . + F (b M ) M H a k,M (α),
and F (α 0 . . . α N -1 ) N/k H a k, N/k (α). Now, dividing both sides by N and taking the lim inf, we get the desired inequality ( * ) even without O(1/k) term. This term appears when we recall that the sum of 2 -F (b) over all blocks of length k is bounded by a constant (instead of 1) and that the values of F are not necessary integers. To rescue the argument, we need to add some constant to F and perform rounding that adds a constant term to the average code length bound. We get

F (b 1 ) + . . . + F (b M ) M (H a k,M (α) -O(1)) and F (α 0 . . . α N -1 ) N/k (H a k, N/k (α) -O(1)).
Dividing by N , we get a correction of order O(1/k), as claimed.

For the other direction, we need to assume that H a k (α)/k is small (less than some threshold) for some k and construct a calibrated superadditive function F such that lim inf F (α 0 . . . α N -1 )/N is small (does not exceed the same threshold). For that, we need some general method to construct superadditive calibrated functions. This method is a finite-state version of the a priori complexity notion from algorithmic information theory [START_REF] Shen | Kolmogorov complexity and algorithmic randomness[END_REF]Section 5.3]. Here it is.

Consider a finite set S of vertices (states). Assume that each vertex has two outgoing edges labeled by (0, p 0 ) and (1, p 1 ), where p 0 and p 1 are some nonnegative reals such that p 0 + p 1 = 1. Then we may consider a probabilistic process: being in state s, the machine emits 0 (with probability p 0 ) or 1 (with probability p 1 ), and changes state following the corresponding edge. In addition to such a labeled graph G, fix some state s ∈ S as an initial state. Then we get a probabilistic algorithm that emits bits, and the corresponding measure P G,s on the space of bit sequences. Let P G,s (u) be the probability of the event "starting from s, the process emits a bit sequence with prefix u". For each k the sum of P G,s (u) over all strings u of length k is exactly 1, so the function u → -log 2 P G,s (u) is calibrated. However, it may not be superadditive. To get superadditivity, we take the maximum probability over all initial states s. Lemma 3. Let G be a labeled graph of the described type, and all probabilities on labels are positive. 7 Then the function F G (u) = -log max s∈S P G,s (u) is calibrated and superadditive. Proof (of Lemma 3). (Calibration) Since max s∈S does not exceed s∈S , we conclude that the sum of 2 -F G (u) over all strings of given length does not exceed the number of states.

(Superadditivity) We need to prove that

max s∈S P G,s (uv) max s∈S P G,s (u) • max s ∈S P G,s (v).
We need an upper bound for P G,s (uv) for each s. Indeed, the probability of emitting uv starting from s is equal to the product of the probability of emitting u, starting from s, and the conditional probability of emitting v if u was emitted before. The first probability is P G,s (u) (and does not exceed the maximal value taken over all s). The second probability is P G,s (v), where s is the state s after emitting u. Lemma 3 is proven.

Now assume that H a k (α)/k (for some k) is less than some threshold β. This means that there exists a sequence of prefixes of α such that the entropies of corresponding aligned distributions on {0, 1} k converge to some number less than βk. Compactness arguments show that we may assume that the corresponding distributions on {0, 1} k converge to some distribution Q whose entropy H(Q) is less that βk. Assume for now that all blocks have positive Q-probabilities. Consider a probabilistic process that generates a concatenation of independent k-bit strings each having distribution Q. To generate one string according to Q, we generate its bits sequentially, with corresponding conditional probabilities. So the state is the sequence of bits that are already generated; the states form a tree. Finally, generating the last (kth) bit of this string, we return to the initial state (the root of this tree) and are ready to generate new independent strings with the same distribution.

If G is the labeled graph constructed in this way, all labels are positive (recall that we assume that all Q-values are positive). If s is the root, then

P G,s (b 0 . . . b m-1 ) = Q(b 0 ) • . . . • Q(b m-1 )
. If F (u) is defined as -log P G,s (u), then F (b 0 . . . b m-1 ) = m-1 i=0 (-log Q(b i )).
Recall that the frequencies of all k-bit blocks among b 0 , . . . , b m-1 converge to Q. Therefore,

F (b 0 . . . b m-1 ) = (H(Q) + o(1))m < βkm
for sufficiently large m such that the prefix b 0 . . . b m-1 belongs to the subsequence. Dividing both sides by the length km, we get lim inf N F (α 0 . . . α N -1 )/N β. The only problem is that F (u) may not be superadditive, but we can replace it by a smaller superadditive calibrated function -log P G (u) (taking the maximum of probabilities over all states). This ends the proof for the case when Q is everywhere positive. If not, we may consider another distribution Q that is close to Q but has all positive probabilities. Then F (b 0 . . . b m-1 ) will be bigger, and the increase is Kullback -Leibler divergence between Q and Q . So we just need to make this divergences less than βk -H(Q).

Theorem 3 is proven.

Sufficient condition for normality

Assume that some non-empty strings x 1 , x 2 , . . . are given, and consider the infinite sequence κ = x 1 x 2 . . . obtained by their concatenation. The following theorem provides some conditions that guarantee that κ is a normal sequence.

. . . + C(x n ))/n. Assume that |x n |/(|x 1 | + . . . + |x n-1 |) → 0 and L n → ∞ as n → ∞. If C n /L n → 1 as n → ∞, then κ = x 1 x 2 . . . is normal. In general, FSD(κ) lim inf n→∞ C n /L n .
Recall that normal sequences can be defined as sequences of finite-state dimension 1.

For example, in the Champernowne sequence the string x n is the binary representation of n. It is easy to check all three conditions (the latter one uses that the average Kolmogorov complexity of k-bit strings is k -O(1)).

This theorem and its proof require some notions and results from algorithmic information theory (all needed information can be found, e.g., in [START_REF] Shen | Kolmogorov complexity and algorithmic randomness[END_REF]): the notion of plain Kolmogorov complexity C(x) in used in its statement, the notion of a priori complexity (the logarithm of the continuous a priori probability) is used in the proof. However, this theorem has a corollary that can be formulated without Kolmogorov complexity. For that we consider a random variable i uniformly distributed in {1, . . . , n}, random variable x i whose value are binary strings, and replace C n by the entropy H n of this variable. (If all x i are different, this entropy is log n.) Again, if H n /L n → 1, then κ is normal, and FSD(κ) lim inf H n /L n in the general case. To derive this corollary, we note that the difference between a priori and prefix complexity is negligible (logarithmic compared to length, see below the comparison between a priori and plain complexities), and prefix complexity provides a prefix-free code for the random variable x i (with random i), so the average length of the code is at least the Shannon entropy of this variable.

Proof (of Theorem 4). To prove this result, we need to recall the proof of Theorem 3 and note that we can restrict the inf F in the right hand side to functions F that are computable upper bounds for the a priori complexity up to O(1) precision (see [START_REF] Shen | Kolmogorov complexity and algorithmic randomness[END_REF]Section 5.1] for the definition). Indeed, in the proof we have constructed a distribution on the Cantor space (product of distribution Q on k-bit blocks). If Q were computable, then all the transition probabilities in the graph G we constructed would be computable, and P G,s would be a computable measure on the Cantor space for each s, therefore its negative logarithm would be an upper bound for a priori complexity (up to O(1) precision), and the same is true for the minimum over (finitely many) states s.

However, we may not assume that Q is computable: it is the limit distribution in a sequence of prefixes and may be arbitrary. Still (see the discussion above) we may always choose Q that is close to Q, is computable (even rational) and has non-zero probabilities.

Therefore it remains to show that for every F that is a superadditive upper bound for a priori complexity, the liminf of F (u)/|u|, where u is a prefix of κ, is at least lim inf n C n /L n . If u ends on the block boundary, i.e., if u = x 1 . . . x n for some n, then

F (u) = F (x 1 . . . x n ) F (x 1 ) + . . . + F (x n ) KA(x 1 ) + . . . + KA(x n ) -O(n),
where KA is a priori complexity (we use superadditivity of F and recall that F is an upper bound for KA up to O(1) additive term). Assume for a while that we have plain complexity C in this inequality. Then we may continue and write

F (u) C(x 1 ) + . . . + C(x n ) -O(n) = nC n -O(n) and |u| = nL n , so F (u)/|u| C n /L n -O(1/L n ), and the last term is o(1), since L n → ∞ as n → ∞.
Now we should consider u that do not end on the block boundary. We can delete the last incomplete block and get slightly shorter u . For this u we use the same bound as before, and due to the superadditivity it works as a bound for u. However, we have |u| in the denominator, not |u |. This does not change the lim inf, since we assume that |x n | = o(|x 1 |+. . .+|x n-1 |), so the length of the incomplete block is negligible compared to the total length of previous complete blocks, and the correction factor converges to 1.

Finally, the difference between plain and a priori complexity is O(log m) for strings of length m. Therefore, we get a bound (for prefixes u = x 1 . . . x n )

F (u) |u| KA(x 1 ) + . . . + KA(x n ) -O(n) |x 1 | + . . . + |x n | C(x 1 ) + . . . + C(x n ) -O(log |x 1 | + . . . + log |x n |) -O(n) |x 1 | + . . . + |x n | .
Both O-terms do not change the limit; we have already discussed this for O(n) (recall that n is small compared to the total length, since L n → ∞), and the convexity of logarithm (Cauchy inequality) allows us to write

log |x 1 | + . . . + log |x n | |x 1 | + . . . + |x n | n • log (|x 1 |/n + . . . + |x n |/n) |x 1 | + . . . + |x n | = log L n L n → 0.
Theorem 4 is proven.

As we have noted, this sufficient condition implies the normality of the Champernowne number [START_REF] Champernowne | The construction of decimals normal in the scale of ten[END_REF]. It is also easy to see that Copeland -Erdös criterion [START_REF] Copeland | Note on normal numbers[END_REF] can be derived in the same way. In this result some integers are skipped, but in such a way that the bit length of the ith remaining integer is still (1 + o(1)) log i, and the sufficient condition can be still applied. More work is needed to derive the result of Besicovitch [START_REF] Besicovitch | The asymptotic distribution of the numerals in the decimal representation of the squares of the natural numbers[END_REF] saying that that concatenated binary representations of perfect squares form a normal number. For this example x m is a binary representation of m 2 , has length about 2 log m and complexity about m, so we get only the lower bound 1/2 for its finite-state dimension from Theorem 4. To prove normality, we should split the string x m into two halves of the same length x m = y m z m . It is easy to see that the most significant half of m 2 determines m almost uniquely, so the complexity of y m is close to the complexity of m. For z m it is not the case: if m has j trailing zeros in the binary representation, then m 2 has 2j trailing zeros and its complexity decreases at least by j -O(1) compared to the complexity of m. A simple analysis shows that this estimate is exact, and since the average number of trailing zeros in a random s-bit string is O(1), we get the required bound. Now let us give more details. Let z m be the suffix of x m of length log 2 m +1, i.e., the length of z m is exactly the length of the binary representation of m, and let y m ∈ {0, 1} * be the corresponding prefix, i.e., x m = y m z m . Note that the length of y m is log 2 m + O(1). Therefore, the average length of y 1 , z 1 , . . . , y m , z m is log 2 m+O(1), and it remains to show that the average Kolmogorov complexity of these strings is log m • (1 -o(1)). We will do this by showing that the average of conditional complexities C(i|y i ), C(i|z i ) over i ∈ {1, . . . , m} is O(log log m). Since we already know that the average of C(i) over i ∈ {1, . . . , m} is log 2 m + O(1), this would give the desired bound. Indeed, this follows from the chain rule:

C(y i ) C(i) -C(i|y i ) -O(log log m), C(z i ) C(i) -C(i|z i ) -O(log log m).
For the first part we will show not only that the average of C(i|y i ) is at most O(log log m), but that the same is true for every i. Indeed, assume that you know y i and the length of the binary representation of i (let us denote this quantity by k). Then there is at most O(1) different j of length k such that y j = y i . Indeed, the difference between i 2 and j 2 is |i 2 -j 2 | = Ω(|i -j| • 2 k ). On the other hand, by definition we have that i 2 = 2 k y i + z i , j 2 = 2 k y i + z j , which means that that difference between i 2 and j 2 is |z i -z j | = O(2 k ). Therefore, if for the k-bit number j we have y j = y i , then j differs from i only by some constant. We need only to specify the length of the binary representation of i, using O(log log m) bits.

As we mentioned earlier, we need a more complicated argument to show that the average of C(i|z i ) is O(log log m). The reason is that it is true only for averages: there are some i such that C(i|z i ) is of order log m. We have to show somehow that the number of "bad" i is negligible. To do so we need the following technical lemma. Lemma 4. Let t(n) denote the largest natural number d such that n is divisible by 2 d (i.e., t(n) is the number of trailing zeros in the binary representation of n). Then for every a ∈ N the number of x ∈ {0, 1, . . . ,

2 k -1} such that x 2 ≡ a 2 (mod 2 k ) is at most O(2 t(a) ).
Proof. Indeed, assume that a has z trailing zeros and v) , so min(u, v) z -1. Then max(u, v) k -z -1, so one of x -a and x + a is a multiple of 2 k-z-1 , and each case contributes at most 2 z+1 = O(2 z ) solutions for the equation x 2 = a 2 (mod 2 k ). This lemma implies that C(i|z i ) = O(t(i) + log log m). Indeed, assume that z i and the length of the binary representation of i (denoted by k in the sequel) are given. Suppose that j is a k-bit number satisfying z j = z i . Then, as i 2 = 2 k • y i + z i , j 2 = 2 k • y j + z i , the difference between i 2 and j 2 is the multiple of 2 k . By Lemma 4 the number of such j is O(2 t(a) ), i.e., specifying one of them requires t(a) + O(1) bits.

x 2 = a 2 (mod 2 k ) for some x ∈ {0, 1 . . . , 2 k -1}. Then x 2 -a 2 = (x -a)(x + a) is a multiple of 2 k , therefore x -a is a multiple of 2 u and x + a is a multiple of 2 v for some u, v such that u + v = k. Then 2a = (x + a) -(x -a) is a multiple of 2 min(u,
As the average of t(i) is O(1), this gives the required bound for the average value of C(i|z i ).

Calude, Salomaa and Roblot [3, Section 6] define a version of automatic complexity in the following way. A deterministic transducer (finite automaton that reads an input string and at each step produces some number of output bits) maps a description string to a string to be described, and the complexity of y is measured as the minimal sum of the sizes of the transducer and the input string needed to produce y; the minimum is taken over all pairs (transducer, input string) producing y. The size of the transducer is measured via some encoding, so the complexity function depends on the choice of this encoding. "It will be interesting to check whether finite-state random strings are Borel normal" [3, p. 5677]. Since normality is defined for infinite sequences, one probably should interpret this question in the following way: is it true that normal infinite sequences can be characterized as sequences whose prefixes have finite-state complexity close to length? It turns out [START_REF] Calude | Finite state incompressible infinite sequences[END_REF] that this is only a sufficient condition, not a criterion. More precisely, there is a normal sequence such that finite-state complexity of its first n bits is o(n). This example is also an easy consequence of Theorem 4. Indeed, let us denote the complexity defined in [START_REF] Calude | Finite state complexity[END_REF] by CSR(x). It depends on the choice of the encoding for transducers, but the following theorem is true for every encoding, so we assume that some encoding is fixed and omit it in the notation.

Theorem 5 ([4]). (a) If a sequence α = a 0 a 1 . . . is not normal, then there exists some c < 1 such that the CSR(a 0 . . . a n-1 ) < cn for infinitely many n. Proof. The first part of the statement can be proven using Shannon coding in the same way as in [START_REF] Shen | Automatic Kolmogorov complexity and normality revisited[END_REF]. For the second part we construct an example of a normal sequence using Champernowne's idea and Theorem 4. The sequence will have the form β = (B 1 ) n1 (B 2 ) n2 . . . ; here B i is the concatenation of all strings of length i (say, in lexicographical ordering, but this does not matter), and n i is a fast growing sequence of integers.

To choose n i , let us note first that for a periodic sequence (of the form XY ∞ ) the CSR-complexity of its prefixes of the form XY k is o(length). Indeed, we may consider a transducer that first outputs X, then outputs Y for each input bit 1. So CSR(XY m ) = m + O(1), and the compression ratio is about 1/|Y |. To get o(length), we use Y c for some constant c as a period to improve the compression. Now consider the complexity/length ratio for the prefixes of β if the sequence n i grows fast enough. Indeed, assume that n 1 , n 2 , . . . , n k are already chosen and we now choose the value of n k+1 . We may use the bound explained in the previous paragraph and let X = (B 1 ) n1 . . . (B k ) n k and Y = B k+1 . For sufficiently large n k+1 we get arbitrarily small complexity/length ratio. (Note that good compression is guaranteed only for some prefixes; when increasing k, we need to switch to another transducer, and we know nothing about the length of its encoding.) It remains to apply Theorem 4 to show that for some fast growing sequence n 1 , n 2 , . . . the sequence β is normal. We apply the criterion by splitting B k into pieces of length k (so all strings of length k appear once in this decomposition of B k ). We already know that the average Kolmogorov complexity of the pieces in B k is k -O(1) (and the length of all pieces is k). This is enough to satisfy the conditions of Theorem 4 if x 1 . . . x n ends on the boundary of the block B k . But this is not guaranteed; in general we need also to consider the last incomplete group of blocks that form a prefix of some B k . The total length of these blocks is bounded by |B k |, i.e., by k2 k . We need this group to be short compared to the rest, and this will be guaranteed if n k-1 (the lower bound for the length of the previous part) is much bigger than k2 k . And we assume that n k grow very fast, so this condition is easy to satisfy. Theorem 5 is proven.

  α N -1 into M = N/k aligned k-bit blocks b 1 , . . . , b Mand a tail of length less than k. Since F is superadditive, its value of α 0 . . . α N -1 is at least the sum of its values on blocks b 1 , . . . , b M (plus the value on the tail; it is non-negative and we ignore it). So we need a lower bound for the sum F (b 1 ) + . . . + F (b M ).

  for arbitrary k-bit blocks b 0 , . . . , b m-1 . Now let b 0 b 2 . . . b m-1 be the prefix of α from the subsequence of prefixes where the corresponding distributions converge to Q

Theorem 4 .

 4 Let L n be the average length of the first n strings, i.e., L n = (|x 1 |+ . . . + |x n |)/n. Let C n be the average Kolmogorov complexity of the same strings, i.e., C n = (C(x 1 ) +

  (b) lim inf CSR(b 0 . . . b n-1 )/n = 0 for some normal sequence β = b 0 b 1 . . .

In fact, Champernowne spoke about decimal notation and sequences of digits, but this does not make a big difference.

More precisely, we should speak not about the probability of a given block, since the same k-bit block may appear in several positions, but about the probability of its appearance in a given position. Formally speaking, we use the following obvious fact: if we apply some function to two random variables, the statistical difference between them may only decrease. Here the function forgets the position of a block.

This is a technical condition needed to avoid infinities in the logarithms.

Supported by RaCAF ANR-15-CE40-0016-01 grant. The article was prepared within the framework of the HSE University Basic Research Program and funded by the Russian Academic Excellence Project '5-100'.


Aurélie Beaugency
email: aurelie.beaugency@u-bordeaux4.fr

Erdem Mustafa Sakinç
email: mustafa.sakinc@u-bordeaux4.fr

Damien Talbot
email: damien.talbot@udamail.fr

E T Airbus

DES CHOIX OPPOSES Aurélie Boeing

Beaugency

Externalisation de ressources et compétences stratégiques : Airbus et Boeing, des choix opposés

Keywords: ressources, compétences, externalisation, financiarisation, aéronautique

Selon l'approche par les ressources, les ressources et compétences stratégiques doivent être conservées dans l'entreprise car elles sont source d'un avantage concurrentiel. Les commandes de vol d'un avion constituent, en appliquant le modèle VRIO, un exemple de ressources et compétences stratégiques. Si Airbus internalise la conception et la production de ce système, ce n'est pas le cas de Boeing qui choisit de l'externaliser. Cet article vise à comprendre les raisons de ces choix stratégiques divergents opérés par ces industriels dans la définition de leurs frontières. Nous montrons qu'Airbus, via l'internalisation, opte pour une maîtrise à long terme de ce composant critique et cherche à étendre et à enrichir ses connaissances, comme le montre l'analyse des dépôts de brevets. La financiarisation de la stratégie de Boeing, qui privilégie la performance financière immédiate, explique le choix de l'externalisation afin de réduire les coûts de conception et de production des commandes de vol. Il apparaît alors nécessaire de ne pas en rester à la seule approche par les ressources pour analyser les choix d'externalisation.

INTRODUCTION

Une façon de questionner les frontières de la firme consiste à définir les compétences et les activités qu'elle doit conserver en interne et celles qu'elle doit externaliser, délimitant de la sorte un « dedans » et un « dehors ». Cette question du choix de l'externalisation est traitée notamment par l'approche par les ressources (Resource-Based View) [START_REF] Wernerfelt | A resource based view of the firm[END_REF][START_REF] Prahalad | The core competence of the corporation[END_REF][START_REF] Barney | Firm resources and sustained competitive advantage[END_REF], pour qui la capacité d'une firme à construire et développer un ensemble de compétences coeurs, ou stratégiques, est garante de son avantage concurrentiel. Elle préconise alors de les conserver en interne car leur détention est source d'avantages compétitifs [START_REF] Prahalad | The core competence of the corporation[END_REF][START_REF] Barthélémy | Stratégies d'externalisation, Préparer, décider et mettre en oeuvre l'externalisation d'activités stratégiques[END_REF]. Pour les avionneurs, les commandes de vol constituent des ressources stratégiques qui nécessitent des compétences elles aussi stratégiques pour les déployer. Notamment, la défaillance des commandes de vol d'un avion met en péril l'intégrité même des passagers. Ainsi, le niveau de certification exigé pour ce composant critique est maximal. Ce caractère critique impose a priori à tout avionneur la maîtrise totale de ce système pour conserver la confiance des compagnies aériennes clientes. En outre, les technologies incorporées dans les commandes de vol sont très spécifiques et rendent le système difficile à imiter. Pour autant, on observe que si Airbus a effectivement internalisé ce système, Boeing adopte une stratégie opposée d'externalisation.

Comment expliquer ces choix stratégiques opposés effectués par deux concurrents dans la définition de leurs frontières ? C'est tout l'objet de cet article que de répondre à cette question.

Pour ce faire, nous proposons de ne pas en rester à une problématique de maîtrise des ressources et compétences. Si cette maîtrise intervient dans le choix d'externaliser ou non, d'autres critères sont aussi à prendre en compte, en particulier celui de la réduction de coûts que peut générer une externalisation. Et dans le cas d'une financiarisation croissante des stratégies qui fait de la performance financière à court terme et la valorisation des actions les premiers objectifs à atteindre, ce critère du coût devient dominant. Ainsi, si l'approche par les ressources conserve une portée explicative pour comprendre le choix d'Airbus, elle doit être enrichie d'une perspective plus financière pour rendre compte de la stratégie de Boeing qui connaît un tel phénomène de financiarisation.

Ce travail s'organise en trois temps. Dans une première partie, nous décrivons le caractère critique et stratégique (via le modèle VRIO) des commandes de vol. Dans une deuxième partie, nous montrons qu'Airbus et Boeing développent des stratégies opposées dans le cas des commandes de vol, le premier internalisant le système, le second l'externalisant. Ces résultats sont ensuite discutés dans une troisième partie dans laquelle la financiarisation de la stratégie de Boeing est démontrée. Nous concluons sur la nécessité de ne pas en rester à la seule approche par les ressources pour analyser les choix d'externalisation.

LE MODELE VRIO APPLIQUE AUX COMMANDES DE VOL

L'APPROCHE VRIO

Si l'Ecole de Harvard [START_REF] Porter | Competititve Strategy[END_REF] nous apprend que la performance de l'entreprise résulte des conditions du secteur dans lequel elle est insérée et, en particulier de son intensité concurrentielle, l'approche par les ressources (Ressource based View) [START_REF] Wernerfelt | A resource based view of the firm[END_REF][START_REF] Prahalad | The core competence of the corporation[END_REF][START_REF] Barney | Firm resources and sustained competitive advantage[END_REF], lie quant à elle la performance aux déterminants internes. Le développement de l'entreprise dépend alors de la façon dont sont cultivées les ressources et améliorées leurs combinaisons pour forger des compétences [START_REF] Prahalad | The core competence of the corporation[END_REF][START_REF] Grandval | Les actions grises dans la théorie des ressources : une compétence cardinale pour la PME ?[END_REF], 2005).

Les ressources sont des actifs tangibles ou intangibles spécifiques, tels que les ressources financières, physiques, humaines, technologiques, organisationnelles, réputationnelles [START_REF] Grant | Toward a knowledge-based theory of the firm[END_REF] et relationnelles [START_REF] Dyer | Specialized supplier networks as a source of competitive advantage: evidence from auto industry[END_REF][START_REF] Dyer | The relational view: cooperative strategy and sources of interorganizational competitive advantage[END_REF]. Notamment, la capacité d'une firme à entretenir sa base de connaissances constitue une ressource importante, faisant de celle-ci un catalyseur d'informations et de connaissances [START_REF] Grant | Toward a knowledge-based theory of the firm[END_REF]. Les compétences sont comprises comme le déploiement simultané de plusieurs ressources pour réaliser une activité.

Elles renvoient à une capacité de coordination, d'agencement original des ressources particulier à la firme qui les exploite.

Une ressource ou une compétence est dite stratégique si elle permet à l'entreprise de disposer d'un avantage concurrentiel durable. Pour fonder cet avantage concurrentiel durable, plusieurs conditions doivent être respectées (modèle VRIO) [START_REF] Barney | Firm resources and sustained competitive advantage[END_REF][START_REF] Barney | Looking inside for competitive advantage[END_REF][START_REF] Peteraf | The Cornerstones of Competitive Advantage: A Resource-Based View[END_REF][START_REF] Barney | Strategic Management and Competitive Advantage[END_REF] :

les ressources et les compétences qui présentent le plus de valeur sont celles qui donnent accès à un grand nombre de marchés et donnent à un produit sa valeur aux yeux du client. Elles peuvent aussi permettre d'exploiter une opportunité offerte par l'environnement ou bien de se prémunir d'une menace (Valeur) ;

les ressources et les compétences ne doivent pas être détenues par un grand nombre d'entreprises (Rareté) ;

les ressources et compétences doivent être difficiles et/ou très coûteuses à imiter par les concurrents. L'ambiguïté causale, qui renvoie à l'idée que la firme maitrise mal le la causalité entre ressources et avantage concurrentiel, la dépendance de sentier qui fait place à l'histoire de l'organisation, la difficulté à répliquer les relations sociales internes ou encore le dépôt de brevets gênent l'imitation [START_REF] Dierickx | Asset Stock Accumulation and Sustainability of Competitive Advantage[END_REF] (Inimitabilité) ;

la firme doit être capable d'exploiter les ressources et compétences, ce qui suppose une organisation efficace des processus et de sa structure (Organisation).

Ces ressources et compétences définies comme stratégiques sont alors l'atout majeur de la firme et contribuent à la définition de ses frontières. L'entreprise peut retirer un avantage concurrentiel durable des ressources et des compétences qui respectent ces conditions. En suivant ce raisonnement, la firme ne devrait pas les externaliser car elles font partie de son coeur de métier. [START_REF] Prahalad | The core competence of the corporation[END_REF][START_REF] Barthélémy | Stratégies d'externalisation, Préparer, décider et mettre en oeuvre l'externalisation d'activités stratégiques[END_REF] et offrent un avantage compétitif à long terme [START_REF] Quinn | Strategic Outsourcing[END_REF]. C'est le cas pour les commandes de vol.

LES COMMANDES DE VOL ÉLECTRIQUES : UNE RESSOURCE STRATEGIQUE SELON LE MODELE VRIO.

Les commandes de vol appartiennent à la catégorie des systèmes embarqués dits « temps réel critique »1 , avec des exigences de réactivité et de sécurité de l'équipement très strictes. Actuellement, les innovations successives ayant permis l'électrisation progressive des commandes de vol vont dans ce sens, la version électrique apporte par rapport à la version hydro-mécanique un gain de masse (et donc de consommation de carburant) de 17% environ [START_REF] Thillois | L'avion plus électrique rempli ses objectifs[END_REF], ainsi qu'une réduction de coûts de maintenance.

Un système complexe à produire et à imiter

Les critères de Rareté et Inimitabilité peuvent s'apprécier simultanément du fait du caractère critique des commandes de vol. Trois raisons à cela :

premièrement, tout problème sur les commandes de vol entraine un retour de l'appareil sur le site de maintenance et l'immobilisation pour plusieurs jours, donc des coûts supplémentaires souvent élevés [START_REF] Delehelle | Etude d'un concept d'actionneur électromécanique linéaire à effet magnétique et piézolélectrique en vue d'applications dans le domaine des commandes de[END_REF] ;

deuxièmement, une défaillance technique des commandes de vol met en péril la sécurité des passagers. Ici, la sécurité et la sûreté des vols influencent directement les orientations technologiques suivies en particulier pour les systèmes dits temps réels critiques comme les commandes de vol. Le domaine avionique est structuré en plusieurs grands ensembles définis par l'Air Transport Association 2 . La RTCA DO-178B répertorie ceux-ci selon leur niveau de criticité DAL (Design Assurance Level).

Les commandes de vol sont des systèmes classés au niveau maximal A : toute défaillance du système peut entrainer un problème catastrophique ;

troisièmement, ce système intègre de plus en plus de composants non dédiés aux applications aéronautiques, et dont l'utilisation peut, a priori, ne pas satisfaire aux critères de certification du milieu.

Plus généralement, l'éléctronisation des systèmes avionique a favorisé un lien technologique très fort entre les industries aéronautique et électronique, qui se traduit aujourd'hui par une dépendance de la première envers la dernière. En effet, suite à de la démocratisation de l'électronique pour le grand public, la production dédiée au marché de l'aéronautique et 2 Entre autres grands ensembles on retrouve le pilotage automatique (ATA 22), les communications (ATA 23), l'électrique (ATA 24), les commandes de vol (ATA27), la navigation (ATA 34), l'avionique modulaire intégrée (ATA 42), les systèmes de diagnostic et de maintenance (ATA 45), la cartographie (ATA 91). Nous associons à ces données l'étude des brevets. On considère généralement le brevet comme un output du processus de recherche et développement d'une firme, celle-ci protégeant ses développements importants pour sa survie par un dispositif de propriété intellectuelle étendu visant à empêcher la copie [START_REF] Dierickx | Asset Stock Accumulation and Sustainability of Competitive Advantage[END_REF]) mais surtout faire valoir une exclusivité d'utilisation [START_REF] Granstrand | The Economics of Intellectual Property[END_REF]. Si la complexité du système et ses multiples connexions générant des interdépendances technologiques constituent déjà une barrière à la copie, le brevet vient stratégiquement verrouiller les dispositifs clés.

Tableau 1 : firmes par système

La littérature a longtemps débattu de l'usage du brevet comme outil d'analyse des dynamiques technologiques des firmes, notamment en raison des biais induits par les pratiques différentes de droits de la propriété intellectuelle entre les Etats, de la propensité inégale des secteurs à breveter, ou encore de leur réelle utilisation par les firmes [START_REF] Laperche | La propriété industrielle : moteur ou frein à l'innovation ?[END_REF][START_REF] Ben Lakhdar | Innovation et brevet : une comparaison transaltantique[END_REF][START_REF] Gallini | Patent policy and costly imitation[END_REF][START_REF] Arundel | What percentage of innovation is patented? Empirical estimates for European firms[END_REF]. Malgré ces limites, dans un secteur peu étudié comme l'avionique, le brevet apparaît comme un outil utile à la compréhension des dynamiques technologiques des acteurs. Déjà, l'analyse du secteur conduite par [START_REF] Acha | Exploring the miracle: strategy and management knowledge of the knowledge base in the aeronautics industry[END_REF] montrait, au travers de l'analyse brevets, un changement de gouvernance technologique dû à l'explosion de l'électronique grand public. Dans l'approche VRIO, l'utilisation du brevet permet de rendre compte partiellement de la structuration des bases de connaissances de ces deux acteurs sur les commandes de vol, système complexe à appréhender de par la combinaison technologique nécessaire à sa réalisation (comme [START_REF] Prencipe | Technological competencies and product's evolutionary dynamics: a case study from the aero-engine industry[END_REF][START_REF] Prencipe | Breadth and depth of technological capabilities in CoPS: the case study of the aircraft engine control system[END_REF] l'avait souligné pour les moteurs d'avions).

Les brevets ont été extraits de la base de données FamPat (Questel) via le logiciel Orbit. Une

Figure 1 : dépôts de brevets d'Airbus et Boeing depuis 1980 dans le domaine des commandes de vol (moyenne des familles de brevets par période)

Source : auteurs, à partir de la base de données Qpat.

Légende : les colonnes rouges (Airbus) et bleues (Boeing) symbolisent la période débutant avec le lancement de chaque programme et finissant avec le premier vol de l'avion.

AIRBUS : RÉ-INTERNATIONALISATION PARTIELLE DES RESSOURCES ET

COMPÉTENCES

Du fait de l'extension croissante du champ des savoirs à maîtriser pour concevoir et produire un avion de plus en plus complexe, les avionneurs ne sont plus en capacité de conserver en Source : auteurs, à partir de la base de donnés brevets Qpat.

BOEING : UNE EXTERNALISATION MAÎTRISÉE

Dès les années 70, Boeing cherche de nouveaux partenaires en ouvrant sa production à un consortium composé par le gouvernement japonais comprenant trois acteurs majeurs (Mitsubishi, Kawasaki et Fuji) et à l'italien Finnmeccanica, chaque équipementier participant au financement des programmes via le partage de risques. Grâce à l'approche de partage de coûts et des risques, Boeing a encouragé ses partenaires à s'impliquer dans l'outil de production et a ainsi amélioré la qualité et le prix des éléments. Avec le lancement du programme B777, pour s'adapter à la contraction des budgets de défense des gouvernements américains et européens et à l'intensification de la concurrence avec Airbus, Boeing a porté l'accent sur l'accélération des cadences de production et la consolidation de ses marchés, renvoyant le développement de nouveaux produits aux décennies suivantes. Ce mouvement d'externalisation s'accentue encore avec le programme B787 (externalisé à hauteur de 70% en valeur, contre 50% pour l'A350) [START_REF] Fingleton | gone: How an American titan clipped its own wings[END_REF][START_REF] Macpherson | Boeing's diffusion of commercial aircraft technology to Japan: Surrendering the US industry for foreign financial support[END_REF][START_REF] Sorscher | Problem-solving culture in Boeing Commercial Airplanes[END_REF]. Les contrats de partage des risques et coûts ont été signé avec les partenaires historiques mais aussi avec nombreux nouveaux fournisseurs répartis dans le monde entier. La capacité à développer les compétences exigées, à supporter les coûts, à respecter les exigences de qualité et à financer à parts égales la R&D ont été les critères de sélection des fournisseurs, lesquels sont responsables de l'intégralité de la conception, et du management de leur propriété intellectuelle sur le programme.

Concernant les commandes de vol électriques proprement dites, la firme américaine ne les a introduites qu'à partir du programme B777 en confiant, par exemple pour la partie

BOEING, L'EXTERNALISATION COMME CONSÉQUENCE DE LA FINANCIARISATION DE SA STRATÉGIE

Finalement, si l'utilisation du modèle VRIO explique la ré-internalisation des calculateurs des commandes de vol opérée par Airbus, il ne permet pas d'analyser le choix de l'externalisation fait par Boeing. Nous proposons pour ce faire de prendre en compte la financiarisation des stratégies qui fait de la réduction des coûts l'objectif premier à atteindre et devient, au côté d'une approche par les ressources, explicative des stratégies d'externalisation [START_REF] Milberg | Shifting sources and uses of profits-sustaining US financialization with global value chains[END_REF][START_REF] Milberg | Financialization and the Dynamics of Offshoring[END_REF].

Si la conservation de ressources et compétences stratégiques est un premier facteur explicatif des choix d'internalisation vs externalisation, la réduction des coûts de production est une seconde explication à prendre en compte. L'externalisation croissante vers des fournisseurs internationaux est une réponse à cette recherche de réduction des coûts, ici d'achats. Si cette préoccupation est commune à tous les architectes intégrateurs6 , elle est particulièrement prégnante chez Boeing du fait du phénomène de financiarisation de sa stratégie.

L'entreprise financiarisée est vue par ses dirigeants comme un actif financier duquel la valeur peut être enlevée, plutôt qu'un actif productif au travers duquel la valeur peut être crée. De ce point de vue, les dirigeants doivent maximiser la valeur actionnariale en alignant leurs propres intérêts sur ceux des actionnaires [START_REF] Lazonick | Marketization, Globalization, Financialization: The Fragility of the US Economy in an Era of Global Change[END_REF]. La performance d'une entreprise est de plus en plus basée sur les critères financiers à court-terme et sur le cours des actions [START_REF] Christensen | Innovation Killers: How Financial Tools Destroy Your Capacity to Do New Things?[END_REF]. La financiarisation peut alors être définie comme le processus de subordination des stratégies de la firme à l'accumulation du capital financier. Le phénomène de financiarisation affecte aussi la distribution de bénéfices sous la forme de dividendes et le rachat d'actions, illustrant la montée de l'influence des investisseurs institutionnels [START_REF] Lazonick | Maximizing Shareholder Value: A New Ideology for Corporate Governance[END_REF]. Entre 1999 et 2012, Boeing a ainsi distribué cinq fois plus de dividendes à ses actionnaires qu'Airbus et racheté cinq fois plus d'actions (cf. figure 5).

Figure 6 : proportion de stock-options accordées au PDG (A) et aux cadres supérieurs (B) par rapport aux actions en circulation chez Airbus et Boeing

A B

Enfin, la concentration sur la performance de l'action et le court-termisme induits par la financiarisation impactent négativement l'effort de R&D [START_REF] Christensen | Innovation Killers: How Financial Tools Destroy Your Capacity to Do New Things?[END_REF][START_REF] Lazonick | Marketization, Globalization, Financialization: The Fragility of the US Economy in an Era of Global Change[END_REF]. Malgré l'introduction de nouvelles technologies au fil des programmes américains et européens, la proportion de dépenses de R&D est restée stable tandis qu'Airbus a investi plus que Boeing en R&D pendant les années 2000.

  défense ne représente plus que 7% (Décision, 2012) de la production mondiale de semiconducteurs. Par conséquent, l'industrie des semi-conducteurs ne fournit plus de composants spécifiquement adaptés aux besoins des architectes intégrateurs. De fait, les firmes conceptrices de systèmes avioniques ont dû développer des compétences pour s'adapter aux contraintes règlementaires et technologiques que nous venons d'expliquer. L'effort de R&D doit porter sur la globalité du système tout en respectant les cahiers de charges précis pour chaque sous-système afin de garantir leur conformité au moment de la certification. Les exigences de réactivité et de sécurité très strictes des autorités de normalisation et de certification ont imposé la dissimilarité des équipements. Le principe de dissimilarité signifie que chaque équipement doit être redondé (d'où la présence de calculateurs primaires et secondaires), et sa conception hardware et software doit avoir été réalisée par deux équipes différentes, afin de prévenir toutes défaillances simultanées des équipements. Ce qui suppose un nombre suffisant d'acteur sur ce marché et ouvre la voie à une concurrence. Malgré ce principe, du fait de la complexité du système, des contraintes lourdes quant à sa réalisation (dissimilarité) et des exigences des organismes de certification, rares sont les firmes dans le monde (moins d'une dizaine) capables de concevoir et de produire un tel équipement (cf. tableau 1 pour une liste des firmes concernées sur les programmes étudiés).

  recherche combinant codes CIB, mots clés et analyse d'experts a permis l'identification de 176 familles de brevets pour Airbus et 228 pour Boeing, sur une période de 30 ans correspondante aux périodes de développement et de lancement des programmes aéronautiques étudiés. Comme le montre la figure1, le séquencement de la période en 6 séries permet d'affiner l'analyse des dynamiques technologiques tout en tenant compte des cycles de développement long (6-7 ans) de l'industrie aéronautique (cf. supra pour une analyse de la figure).

  interne l'ensemble des compétences nécessaires. Airbus ou Boeing centrent leurs activités sur l'amont (conception, R&D) et sur l'aval de la chaîne de valeur (assemblage, commercialisation, services associés en formation et assistance technique) et remplissent de la sorte des fonctions d'architecte et d'intégrateur des activités(Brusoni et Prencipe, 2001 ;[START_REF] Brusoni | Knowledge Specialization, Organizational Coupling, and the Boundaries of the Firm: Why Do Firms Know More Than They Make?[END_REF][START_REF] Mcguire | The United States, Japan and the aerospace industry: from capture to competitor?[END_REF], tant la maîtrise des interactions entre les systèmes composants l'avion est cruciale(Mowery et Rosenberg, 1989). Au-delà de ces traits communs, on observe des différences notables entre Airbus et Boeing concernant la conception et l'industrialisation des éléments de structure et des systèmes les plus stratégiques. C'est le cas pour les commandes de vol.Sur les premiers programmes Airbus lancés dans les années 70, comme l'A300 et l'A310, la division du travail était simple et correspondait essentiellement aux politiques industrielles nationales, organisées autour d'entreprises nationalisées. Ces programmes étaient conçus pour être technologiquement conservateurs afin de maitriser les coûts en insistant sur l'utilisation de composants standardisés. L'idée était de convaincre des clients potentiels de la similarité de leurs achats avec leurs flottes existantes[START_REF] Thornton | Airbus Industrie, The Politics of an International Industrial Collaboration[END_REF]. Airbus concentrait ses développements internes sur quelques technologies de pointe comme les commandes de vol électriques, dont l'A320 sera, le premier dans la gamme Airbus, équipé du système.Airbus a choisi en prime abord d'externaliser les commandes de vol électriques, confiant la réalisation et la conception des calculateurs à la SFENA 4 qui disposait des compétences nécessaires (notamment la maitrise des lois de pilotage) à la réalisation du sous-système. La chute des financements publics conduit Airbus en effet à recourir à des partenaires pour partager les risques, maitriser les coûts de développement, tout en continuant à s'inspirer des compétences technologiques de ses fournisseurs. Avec l'A330/340, Airbus adopte une nouvelle politique d'achat qui induit l'externalisation de systèmes vers des firmes appartenant à des pays non-partenaires du consortium européen, sous réserve qu'elles contribuent aux coûts de recherche et développement 5 . Avec l'A380, Airbus a poursuivi sa recherche de nouveaux partenaires partout dans le monde. Le coût du programme, estimé à plus de 10 milliards de dollars, explique grandement cette stratégie croissante d'externalisation. Ainsi, certaines firmes asiatiques ont été élevées du rang de sous-traitant à celui de partenaire partageant les risques. Considérant le potentiel commercial des compagnies aériennes asiatiques envers ce nouvel appareil, de nombreux contrats ont été signés avec des firmes chinoises, japonaises et coréennes. L'externalisation est aussi orientée vers les firmes américaines en raison de leur positionnement dans les technologies de pointe, des ventes prévisionnelles d'avions aux compagnies américaines et de certains motifs financiers, comme la couverture des risques de change (les avions sont vendus en dollars, tandis qu'Airbus paie un grande partie de ses achats en euros)[START_REF] Mcguire | The United States, Japan and the aerospace industry: from capture to competitor?[END_REF]. Le programme A350 est l'occasion de développer encore cette stratégie en consolidant le réseau des fournisseurs (« New System Policy »). Pour ce faire, des work packages plus globaux et plus intégrés sont proposés à des équipementiers qui interviennent plus tôt dans le processus de développement[START_REF] Doerfler | Choosing Paths to Becoming a Systems Integrator: Lessons from Airbus[END_REF]. Ainsi, Airbus a établi trois joint-ventures avec ses partenaires chinois. La décision en 2012 de construire un nouveau site d'assemblage aux Etats-Unis (Mobile) démontre l'ambition de la firme européenne de devenir une entreprise mondiale. C'est la combinaison entre les perspectives de marchés, le contrôle des coûts de production et la possibilité d'acquérir auprès des fournisseurs des compétences technologiques qui ont décidé de la stratégie d'externalisation d'Airbus. C'est pourtant dans ce contexte favorable à l'externalisation qu'à partir du programme A330/340 Airbus entame un processus progressif de ré-internalisation de la conception et de la production de l'équipement, même si Sextant Avionique se voit encore confier les calculateurs secondaires. Finalement, l'internalisation complète des calculateurs interviendra dans les années 2000 avec les programmes A380 et A350. Airbus est le seul architecte intégrateur à avoir pratiqué une telle ré-internalisation d'un sous-système des commandes de vol (cf. infra tableau 1).Pour comprendre ce processus de ré-internalisation des commandes de vol, nous avons analysé plus finement la structuration du portefeuille de brevets détenus par Airbus (cf. figure2). Deux évolutions sont observables. D'une part, Airbus approfondit sa connaissance des technologies liées à ce système critique. En effet, le nombre de brevets déposés par 5 Par exemple, BAE a externalisé la production d'une partie de la structure des ailes à la firme américaine Textron Aerostructures, et Aerospatiale a externalisé la production de composants au canadien Bombardier. l'architecte intégrateur européen croît considérablement à partir du milieu des années 1990, ce qui correspond à la préparation du programme A380 pour lequel l'effort de recherche et développement pour le système « commandes de vol » a été conséquent (cf. infra figure1).Les enjeux portaient notamment sur la capacité à maitriser l'appareil en vol (très gros porteur) et la réduction du poids des équipements, en remplaçant les circuits et les actionneurs hydrauliques par des solutions électriques. D'autre part, et plus généralement, Airbus améliore sa maitrise des connaissances liées au processus de commande des équipements (calcul numérique notamment) pour contrôler l'appareil(navigation, transmissions, etc.). Ce constat éclaire la volonté d'Airbus de maitriser complètement le processus de développement et ainsi de pallier toute défaillance d'un fournisseur.

Figure 2 :

 2 Figure 2 : évolution des bases de connaissances technologiques d'Airbus sur la période 1980-2010 (en nombre de brevets enregistré par technologie)

  calculateurs, leur conception et fabrication à GEC Avionics. Il s'agit ici d'une externalisation « maîtrisée » par l'architecte-intégrateur, ce dernier cherchant à conserver, potentiellement, une possibilité de ré-internalisation. L'analyse des orientations technologiques prises par la firme de Seattle révèle une stratégie différente de celle d'Airbus. Si les brevets ont montré clairement la volonté d'Airbus de maitriser et développer ses compétences pour réaliser le système « commandes de vol », ceux déposés par Boeing sont révélateur d'une maitrise de l'intégration de ces systèmes dans l'appareil, avec une prise en compte plus importante de leurs impacts sur la voilure, le fuselage, (positionnement des actionneurs), les liaisons avec les autres équipements en bord (transmissions).

Figure 3 :

 3 Figure 3 : évolution des bases de connaissances technologiques chez Boeing sur la période 1980-2010 (en nombre de brevets enregistré par technologie)

  La financiarisation des stratégies se traduit par une réduction des dépenses d'investissement afin d'augmenter les valeurs de court-terme, à l'exemple du bénéfice par action (earnings per share). Une comparaison entre Airbus et Boeing nous montre que les dépenses d'investissement de Boeing ont diminué depuis des années 1990 et restent toujours inferieures aux dépenses d'Airbus (cf. figure 4).

Figure 4 :

 4 Figure 4 : dépenses d'investissement sur chiffre d'affaires chez Airbus et Boeing (en %)

Figure 5 :

 5 Figure 5 : distribution annuelle aux actionnaires chez Airbus et Boeing (dividendes et rachat d'actions)

Figure 7 :

 7 Figure 7 : dépenses de R&D comparées au chiffre d'affaires (en %) chez Airbus et Boeing entre 1980 et 2013

sous forme de signal à des calculateurs qui le traitent et commandent les actionneurs situés sur les gouvernes. Un

	1.2
	système de capteurs intelligents répartis sur l'ensemble de l'appareil analyse les données de
	vol (anémomètre, gyromètre, etc.) qui sont ensuite traitées par des calculateurs dédiés et
	affichées sur les instruments de bord du pilote. Le calculateur assure la transmission des
	données et devient le garant de la capacité de l'équipement à remplacer le mouvement de
	l'homme (manoeuvre des câbles). Ce système peut être considéré comme une ressource
	stratégique telle que le conçoit le modèle VRIO.

Trois types d'équipements composent le sous-système. Les moyens de commandes du pilote (manche, levier des aérofreins, palonnier) transmettent des informations

.1. Les commandes de vol électriques : une présence indispensable sur les avions

	La conception d'un avion se structure autour de l'assemblage de systèmes et sous-systèmes
	complexes. Parmi ceux-ci, l'avionique occupe désormais une position centrale du fait de
	l'introduction massive des commandes électriques et de l'électronique dans les systèmes qui
	visent à une réduction des coûts par un effet d'allègement de l'appareil.
	Depuis une vingtaine d'années, les commandes de vol électriques sont des composants exigés
	par les compagnies aériennes pour l'achat d'un avion civil de plus de 100 places. Jusque dans
	les années 1960, les appareils militaires et civils étaient équipés de commandes de vol
	hydrauliques et mécaniques, où le pilote tirait sur un manche relié par des câbles à des
	actionneurs placés sur les ailes et gouvernes. Les programmes Concorde et Mirage 2000 sont
	les premiers à intégrer partiellement la commande électrique (ou Fly by Wire), les objectifs
	étant d'améliorer la manoeuvrabilité de l'appareil et de faciliter l'introduction de nouvelles
	fonctions et équipements (Sghairi Haouati, 2010). Par la suite, les commandes de vol
	électriques sont progressivement généralisées dans le domaine civil à partir des programmes
	A320 pour Airbus et B777 pour Boeing. Leur présence est source de valeur pour le client,
	conditionne (sans l'assurer) le succès commercial et constitue une barrière à l'entrée pour
	d'éventuels concurrents.

2.3. Exploiter les ressources et les compétences Enfin

  ou « distribuées » 3 amènent une répartition des calculateurs sur l'ensemble de l'appareil (éclatement de la masse) et soutiennent l'embarquement sur un même calculateur de plusieurs fonctions. L'impact de ces changements d'architectures impose une implication forte des architectes intégrateurs dans leur conception puisqu'elle remet en cause la manière selon laquelle le produit « avion » était jusqu'alors conçu. Les calculateurs des commandes de vol sont affectés car maintenus sur une architecture indépendante des autres dû à leur criticité, ce qui pose des questions sur les futures architectures des nouveaux programmes.

			Commandes de vol
		Calculateurs	Flight Management	Actionneurs
	B777	GEC Avionics	Honeywell	Parker
	A330/340	Thales	Honeywell	Liebherr
			Thales
	B787 Concrètement, Dans le cas de la firme européenne, la création d'une structure dédiée à GE-Smith (CCS) Honeywell Moog
	Honeywell (Calc) l'innovation (EADS IW) comprenant un Centre de Compétences dédié à l'électronique et à
	A350 l'intégration des systèmes comme les calculateurs des commandes de vol, illustre cette Airbus Honeywell Moog
	Source : auteurs. volonté d'exploiter des ressources et compétences stratégiques liées à l'équipement. Par

La très forte spécificité technologique de ce type de système le rend non redéployable à ce jour sur d'autres produits. Les rares firmes capables de concevoir et produire des commandes de vol électriques sont inscrites dans des trajectoires technologiques propres : elles bénéficient d'effets d'expérience construits dans le temps long, finalement peu imitables et peu redéployables. La complexité intrinsèque du système (matérielle, logicielle, ingénierie système), lui-même lié à d'autres systèmes étendent la base de connaissances nécessaire à la réalisation du système, chaque technologie devant être maitrisée et combinée avec les autres. Cet assemblage technologique explique la diversité des brevets déposés par les acteurs maitres d'oeuvre du système (cf. supra), ce dernier ne pouvant pas être copié partiellement. 1., dernier critère selon le modèle VRIO pour qualifier des ressources de stratégiques, la firme doit être organisée pour exploiter les ressources et les compétences (Organisation). C'est dans cette dernière dimension que la notion de frontière de la firme prend tout son sens puisqu'elle relève de la conception et de la production ou non par la firme de cette ressource, ou de la décision d'en confier la réalisation à un partenaire. Depuis une vingtaine d'années, des réflexions autour des nouvelles architectures des systèmes électroniques dans les futurs programmes, affectant notamment la conception des commandes de vol, ont été menées. Jusqu'alors, les avions étaient conçus selon une architecture dite « fédérée », où les calculateurs étaient affectés au traitement d'une fonction. Les nouvelles architectures dites « modulaires » ailleurs, des process organisationnels contraignants et spécifiques sont déployés dans les firmes développant des équipements de DAL A. Parmi ces process, citons la rédaction obligatoire des documents traçant la réalisation du logiciel, la vérification de chaque point de spécification et leur justification, la vérification du code et la fourniture des résultats de tous les tests de vérification du logiciel. En tout, près de 70 points et objectifs doivent être défendus et conformes à la norme pour valider une certification. Tableau 2 :

modèle VRIO appliqué aux commandes de vol Conditions Commandes de vol Valeur

  Si, a priori, les commandes de vol apparaissent comme une ressource stratégique dans la mesure où elles représentent un atout majeur dans la conception d'un avion, et par conséquent doivent en toute logique être maintenues à l'intérieur des frontières de la firme, l'étude terrain montre des disparités dans les stratégies des avionneurs. Notre cas d'étude vient ici illustrer les différences de perception des acteurs concernant leurs propres frontières.Cette recherche qualitative mobilise deux études de cas comparatives, concernant les programmes A330/340 et A350 d'Airbus et leurs équivalents chez Boeing, le B777 et le B787. Les données ont été recueillies dans le cadre de deux thèses en cours. A chaque fois deux sources, primaire et secondaire, ont été utilisées : l'entretien semi-directif et la documentation[START_REF] Yin | Case study research: Design and methods[END_REF]. Plus précisément, cet article a bénéficié des informations recueillies lors de 10 entretiens semi-directifs menés entre octobre et décembre 2013 auprès

	2. CAS D'ETUDE : AIRBUS ET BOEING, DES STRATEGIES OPPOSEES
	2.1.	METHODE DE RECHERCHE ET DONNEES
	Rareté	Une dizaine de firmes conceptrices et productrices dans le monde
	Inimitabilité	Trajectoires technologiques spécifiques
		Augmentation forte du nombre de brevets déposés par Airbus et Boeing
	Organisation	Centre de compétences dédiés à l'électronique et à l'intégration des systèmes
		Processus de traçabilité des équipements de la conception à la maintenance.
	Source : auteurs.

Présence exigée par les compagnies aériennes Réduction des coûts d'exploitation et de maintenance Confiance des compagnies aériennes accordée à Airbus et Boeing dans leur maîtrise de ce système critique (« temps réel critique », composant « grand public) d'ingénieurs-experts des technologies de l'électronique et d'ingénieurs-managers des systèmes du domaine. Les données financières utilisées ont été recueillies par les sources primaires (les rapports annuels et les communiqués de presse des firmes) et les sources secondaires (les articles de presse, les entretiens donnés aux journalistes par les dirigeants des firmes et base de données sectorielles et financières Airframer et Capital IQ).

Les systèmes dits « temps réel critiques » sont assujettis à l'évolution dynamique de l'avion et à des contraintes temporelles dont le non-respect entraine une défaillance catastrophique du système.

Les architectures distribuées développées par les deux avionneurs sont l'IMA (Integrated Modular Avionics) pour Airbus, et CCS (Common Core System) pour Boeing.

La SFENA (Société Française d'Equipements pour la Navigation Aérienne) fut intégrée à la société Sextant Avionique, crée en 1989 qui regroupait les branches avionique d'Aerospatiale, de Crouzet, de Thomson CSF. Sextant Avionique est depuis 2001 nommée Thales Avionics, filiale du groupe Thales.

Au début des années 2000, Airbus a mis en place successivement trois plans de réduction des coûts (Route 06 qui a été suivi par Power8 et Power8+).