Milton D Jara

NON-EQUILIBRIUM SCALING LIMIT FOR A TAGGED PARTICLE IN THE SIMPLE EXCLUSION PROCESS WITH LONG JUMPS

Keywords: 2000 Mathematics Subject Classification. 60K35 Tagged particle, simple exclusion, Lévy process, hydrodynamic limit, fractional Laplacian

We prove an invariance principle for a tagged particle in a simple exclusion process with long jumps out of equilibrium.

Introduction

A classical problem in statistical mechanics consists in proving that the dynamics of a single (tagged) particle in a particle system satisfies an invariance principle. The first important result on the position of a tagged particle in the diffusive scaling is due to Kipnis and Varadhan [START_REF] Kipnis | Central limit theorem for additive functionals of reversible Markov processes and applications to simple exclusions[END_REF]. In a remarkable paper, they develop an invariance principle for additive functionals of a reversible Markov process and deduce a central limit theorem for a tagged particle in symmetric simple exclusion processes. The approach requires the process to be in equilibrium, that is, that the initial distribution of particles corresponds to an equilibrium measure. This result is robust and can be extended to other situations [START_REF] Varadhan | Self-diffusion of a tagged particle in equilibrium for asymmetric mean zero random walk with simple exclusion[END_REF], [START_REF] Sunder Sethuraman | Diffusive limit of a tagged particle in asymmetric simple exclusion processes[END_REF] (see also [START_REF] Ferrari | Limit theorems for tagged particles[END_REF], [START_REF] Landim | Asymptotic behavior of a tagged particle in simple exclusion processes[END_REF] and the references therein).

Out of equilibrium, the asymptotic behavior of a tagged particle appears as one of the central problems in the theory of interacting particle systems, and remains mostly unsolved. Even a law of large numbers for a tagged particle on a system starting from Bernoulli product measures of slowly varying parameter seems out of reach. Notice however the result of Rezakhanlou [START_REF] Rezakhanlou | Propagation of chaos for symmetric simple exclusions[END_REF] stating that the average behavior of tagged particles is given by a diffusion process. Some results in dimension d = 1 have been obtained [START_REF] Jara | Nonequilibrium central limit theorem for a tagged particle in symmetric simple exclusion[END_REF], [START_REF] Jara | Quenched nonequilibrium central limit theorem for a tagged particle in symmetric simple exclusion[END_REF]. These results are based on the following observation. For nearest-neighbor systems in d = 1, the initial ordering of the particles is preserved, and the position of a tagged particle can be related to the empirical density of particles and the total current of particles through the origin.

Recently, a general approach to this problem has been proposed [START_REF] Jara | Nonequilibrium fluctuations for a tagged particle in mean-zero one-dimensional zero-range processes[END_REF]. The idea is to obtain the hydrodynamic limit of the process seen by an observer sitting on the tagged particle. Let us call this process the environment process. The density of particles for the environment process can be obtained by shifting the density of particles of the original process to the position of the tagged particle. A martingale representation of the position of the tagged particle should allow to obtain the scaling limit of the tagged particle as the solution of some martingale problem. This strategy has been completed in [START_REF] Jara | Nonequilibrium fluctuations for a tagged particle in mean-zero one-dimensional zero-range processes[END_REF] for a mean-zero, zero-range process in dimension d = 1.

However, the position of a tagged particle is a martingale for the zero-range process. We already know from [START_REF] Rezakhanlou | Propagation of chaos for symmetric simple exclusions[END_REF] that the scaling limit of a tagged particle is not in general a martingale. Therefore, it is not clear if this strategy can be followed for the simple exclusion process.

In this article, we consider an exclusion process with long-range jumps. This is a simple exclusion process with transition rate p(x, y) = |y -x| -(d+α) , α ∈ (0, 2). We obtain a non-equilibrium invariance principle for the position of a tagged particle. The limiting process is a time-inhomogeneous process of independent increments, driven by a solution u(t, x) of the fractional heat equation ∂ t u = ∆ α/2 , where ∆ α/2 is the fractional Laplacian. In the equilibrium case, the limiting process is a symmetric, α-stable Lévy process.

In [START_REF] Kipnis | Scaling limits of interacting particle systems, volume 320 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften[END_REF], the position of the tagged particle is written as a martingale plus a an additive functional of the environment process. The invariance principle is therefore obtained as a consequence of the central limit theorem for martingales and for additive functionals of reversible Markov processes. This approach can not be followed for the exclusion process with long jumps, since the tagged particle does not have bounded moments of order greater than α, and in particular, of order two. We therefore represent complex exponentials of the tagged particle as the product of exponential martingales and additive functionals of the environment process. It turns out that, due to the long range interaction, only a law of large numbers for additive functionals of the environment process is needed. This law of large numbers is a consequence of the hydrodynamic limit for the environment process, and the strategy of [START_REF] Jara | Nonequilibrium fluctuations for a tagged particle in mean-zero one-dimensional zero-range processes[END_REF] can be carried out.

The main feature that allow us to solve the tagged particle problem for this model, is that the environment process satisfies the gradient condition ([7], Chapter 5). This condition is not satisfied by the symmetric simple exclusion process of finite range considered in [START_REF] Kipnis | Central limit theorem for additive functionals of reversible Markov processes and applications to simple exclusions[END_REF]. This gradient condition is equivalent to the fact that only a law of large numbers for additive functionals of the environment process is needed to obtain the scaling limit of the tagged particle. Notice that the non-gradient method [START_REF] Varadhan | Diffusive limit of lattice gas with mixing conditions[END_REF] has been developed to overcome this difficulty for the usual hydrodynamic limit of systems that does not satisfy the gradient condition. A natural open problem is to extend the non-gradient method to this setting, to obtain an invariance principle for the tagged particle problem out of equilibrium for the simple exclusion process with finite-range jumps. Notice that when 1 ≤ α < 2, we already need some nongradient tools, to get rid of a non-gradient term that does not contribute to the limit.

For the particular case of the simple exclusion process with long jumps, the additive functional appearing in the martingale decomposition of the tagged particle is already a (singular) function of the empirical measure. For general processes with local interaction, a local replacement lemma confines us to dimension d < 2.

The structure of the article is the following. In Section 2 we give precise definitions of the simple exclusion process with long jumps and the environment process, we state the main results and we define the hydrodynamic limit of the process. In Section 3 we obtain the scaling limit of the tagged particle in equilibrium. Although this result is a consequence of the non-equilibrium result of Section 4, we first give a complete proof of the equilibrium result for two reasons. We obtain in this way a simplified exposition, and the proof of the equilibrium invariance principle can be easily generalized to particle systems with interactions and long jumps. Notice that for the case of a zero-range process with long jumps, the fact that the tagged particle is already a martingale does not really simplify the proof in the equilibrium case, since we are not aware of a characterization of a Lévy process avoiding exponential martingales, that could be of use in this situation. In Section 4, we obtain the scaling limit for the tagged particle out of equilibrium, characterizing the limiting points by means of a martingale problem.

The exclusion process with long jumps

The simple exclusion process with long jumps is a system of long-range random walks on the lattice Z d , conditioned to have at most one particle per site. Consider p : Z d → R + , the transition probability of a simple random walk in Z d . The dynamics of this process can be described as follows. A particle at site x ∈ Z d waits an exponential time of rate 1, at the end of which the particle tries to jump to site x + z with probability p(z). If the site x + y is empty, the jump is accomplished. Otherwise, the particle stays at x and a new exponential time starts. This is done independently for each particle.

This dynamics corresponds to a Markov process η t defined on the state space Ω = {0, 1} Z d . For a configuration η ∈ Ω, η(x) = 1 represents a particle at site x ∈ Z d and η(x) = 0 represents an empty site. The process η t is generated by the operator

Lf (η) = x,y∈Z d p(y -x)η(x) 1 -η(y) f (η xy ) -f (η) ,
where f : Ω → R is a function that depends on a finite number of coordinates, η is an element of Ω and η xy is the configuration obtained from η by exchanging η(x) and η(y):

η xy (z) =      η(y), z = x η(x), z = y η(z), z = x, y.
The set of local functions in Ω is a core for the operator L [START_REF] Thomas | Interacting particle systems, volume 276 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften[END_REF]. We say that the transition rate p(•) is homogeneous, regular of degree α if there exists a function q : R d \ {0} of class C 2 such that p(z) = q(z) for any z ∈ Z d \ {0} → R and such that q(λu) = λ d+α q(u) for any λ = 0 and any u ∈ R d \{0}. Without loss of generality, we assume p(0) = 0. The canonical example of such a rate is p(z) = p * |z| -(d+α) , where p * is the normalizing constant and | • | is the Euclidean norm. Since z p(z) < +∞, we have the restriction α > 0. Since we are interested in non-diffusive scaling limits, we also assume α < 2. The asumption λ = 0 instead of λ > 0 restricts ourselves to symmetric homogeneous functions q.

For each ρ ∈ [0, 1], denote by µ ρ the product measure in Ω such that

µ ρ (η(x) = 1) = 1 -µ ρ (η(x) = 0) = ρ.
Due to the translation invariance of the transition rates, the measures {µ ρ ; ρ ∈ [, 1]} are invariant and ergodic for the process η t .

2.1. The tagged particle. Let η ∈ Ω be an initial configuration of particles such that η(0) = 1. We follow the evolution of the particle initially at the origin together with the evolution of η t . We call this particle the tagged particle and we denote by X t its position at time t. We have the following invariance principle for X t :

Theorem 2.1. Let η t be the simple exclusion process corresponding to an homogeneous, regular transition rate of degree α. Fix a density ρ ∈ [0, 1] and assume that the process η t starts from the measure µ ρ (•|η(0) = 1). Then the process

X n t =: n -1 X tn α converges in distribution on D([0, ∞], R d ) to the Lévy process (1 -ρ)Z t , where Z t is characterized by -log E[exp{iβZ t }] = tψ(β), β ∈ R d , ψ(β) = R d 1 -e iβu q(u)du,
where we take the principal Cauchy value of the integral in the definition of ψ(β).

In order to prove this result, it will be convenient to introduce an auxiliary process (see [START_REF] Kipnis | Central limit theorem for additive functionals of reversible Markov processes and applications to simple exclusions[END_REF]). We define ξ t by the relation

ξ t (z) = η t (X t + z), z ∈ Z d . With this definition, ξ t (0) ≡ 1, so we consider ξ t as a process in Ω * = {0, 1} Z d * , where Z d * = Z d \ {0}.
We call ξ t the environment as seen by the tagged particle. Notice that both ξ t and (η t , X t ) are Markov processes. The advantage in considering ξ t instead of (η t , X t ) is that the former admits invariant measures, while the latter does not. In fact, for any ρ ∈ [0, 1], the product measure ν ρ in Ω * given by

ν ρ (η(x) = 1) = 1 -ν ρ (η(x) = 0) = ρ for any x ∈ Z d *
is ergodic and invariant for ξ t . The generator of ξ t is given by

Lf (ξ) = x,y∈Z d * p(y -x)[f (ξ xy ) -f (ξ)] + z∈Z d * p(z) 1 -η(z) [f (θ z ξ) -f (ξ)],
where θ z ξ corresponds to the configuration

θ z ξ(z) = ξ(x + z), x = -z, 0 ξ(z), x = -z.
The position X t of the tagged particle can be recovered from the evolution of ξ t as follows. Let N z t be the number of translation of ξ t in direction z up to time t. Clearly,

X t = z∈Z d * zN z t .
2.2. The hydrodynamic limit. Let u 0 : R d → [0, 1] be a continuous function.

We say that a sequence {µ n } n of probability measures in Ω is associated to u 0 if for any ǫ > 0 and any continuous function G : R d → R of bounded support we have

lim n→∞ µ n η ∈ Ω; n -d z∈Z d η(z)G(z/n) -G(x)u 0 (x)dx > ǫ = 0.
Fix a sequence {µ n } n of measures in Ω. We denote by η n t the process η tn α starting from µ n . The distribution of η n t in D([0, ∞), Ω) is denoted by P n and the expectation with respect to P n is denoted by E n . We define the empirical density of particles π n t by

π n t (dx) = 1 n d z∈Z d η n t (z)δ z/n (dx),
where

δ x is the Dirac-δ distribution at x ∈ R d . Notice that π n t is a process in D([0, ∞), M + (R d )), where M + (R d ) is the set of positive, Radon measures in R d .
The following result can be proved as in ( [START_REF] Kipnis | Scaling limits of interacting particle systems, volume 320 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften[END_REF], Chapter 4): Theorem 2.2. Let u 0 be a continuous, integrable initial density profile. Assume that {µ n } n is associated to u 0 . Then, the process π n t converges in probability to the deterministic path u(t, x)dx, where u(t, x) is the solution of the hydrodynamic equation

∂ t u = Lu u(0, •) = u 0 (•) (2.1)
and L is the integral operator given by

LF (x) = R d q(y) F (x + y) + F (x -y) -2F (x) dy.
In particular, for any time t > 0, any ǫ > 0 and any continuous function G : R d → R of bounded support we have

lim n→∞ P n n -d z∈Z d η n t (z)G(z/n) -G(x)u(t, x)dx > ǫ = 0,
In order to obtain an invariance principle for X n t in the case 1 ≤ α < 2, some hypothesis are required. For two probability measures µ, ν in Ω, we define the entropy H(µ|ν) of µ with respect to ν by H(µ|ν) = dµ/dν log(dµ/dν)dν if µ is absolutely continuous with respect to ν and H(µ|ν) = ∞ if µ is not absolutely continuous with respect to ν.

Consider now a sequence of measures {µ n } n associated to u 0 and such that µ n {η(0) = 1} = 1. For each n fixed, we tag the particle initially at the origin, and we denote now by X n t its position at time tn α . We have an invariance principle for X n t :

Theorem 2.3. Assume that 0 < α < 1. Under the previous conditions on the initial measures {µ n } n , the process X n t converges in distribution to the process of independent increments Z t , characterized by the martingale problem

M β t = exp iβZ t + t 0 q(x) 1 -e iβx 1 -u(s, x + Z s ) dxds (2.2)
is a martingale for any β ∈ R d , where u(t, x) is the solution of the hydrodynamic equation (2.1). Fix a density ρ ∈ (0, 1). For 1 ≤ α < 2, the same result is true under the additional hypothesis

sup n n -d H(µ n |µ ρ ) < +∞. (2.3)
The entropy bound (2.3) plus the fact that {µ n } n is associated to the profile u 0 imply that u 0 -ρ is absolutely integrable. In fact, for a product measure µ n such that µ n {η(x) = 1} = u 0 (x/n), the entropy bound 2.3 is satisfied if and only if |u 0 (x) -ρ|dx is finite. A large deviations argument shows that for a given profile u 0 , the entropy of {µ n } n with respect to µ ρ is minimized by a sequence of measures of product form.

The process Z t turns out to be a Markov process. The evolution of Z t can be understood as follows. Put initially a particle at the origin. Then, this particle tries to move following the jumps of a Lévy process Z t . Each jump is accomplished with probability 1 -u(t, x), where x is the point of arrival. This is done independently for each jump. In particular, for u 0 = ρ we recover Theorem 2.1.

3.

Invariance principle for X n t : the equilibrium case For each z ∈ Z d * and each θ ∈ R, the process

M z t = exp{iθN z t + (1 -e iθ ) t 0 p(z) 1 -ξ s (z) ds}
is a mean-one complex martingale. Since the jumps of M z t , M z ′ t for z = z ′ are all different with probability one, for any

β ∈ R d , choosing θ = βz/n, M β,n t = exp iβX n t + z =0 p(z)(1 -e iβz/n ) tn α 0 p(z) 1 -ξ s (z) ds (3.1)
is an exponential martingale with E[M β,n t ] = 1 for any t, β, n. We follow the standard approach to prove Theorem 2.1. First we prove convergence of the finitedimensional distributions of X n t to the corresponding distributions of (1 -ρ)Z t . We do this in Section 3.1. Then in Section 3.2 we prove tightness of the distributions of {X n t } n in the Skorohod space D([0, T ], R d ), from which convergence follows.

3.1. Convergence for t > 0 fixed. In this section we prove the following Theorem 3.1. For each t > 0, X n t converges in distribution to (1 -ρ)Z t . Proof. It is enough to prove pointwise convergence of the corresponding characteristic functions. In other words, we just need to prove that

lim n→∞ E[exp{iβX n t }] = E[exp{iβ(1 -ρ)Z t }] = exp{-(1 -ρ)tψ(β)} for any β ∈ R d . Let us define v n (ξ) = n α z∈Z d * p(z)(1 -e iβz/n ) 1 -ξ(z)
and notice that

v n dν ρ = (1 -ρ)n α z∈Z d * p(z)(1 -e iβz/n ) = 1 -ρ n d z∈Z d * q(z/n)(1 -e iβz/n ).
This last sum is a Riemann sum for the integral (1 -ρ) (1 -e iβu )q(u)du, and therefore

lim n→∞ v n dν ρ = (1 -ρ)ψ(β).
The function ℜ(1-e iβu ) = 1-cos(βu) is of quadratic order around 0. In particular, the integral ℜ(1 -e iβu )q(u)du is absolutely summable, and

sup n ||ℜ(v n )|| ∞ < +∞. Since |e iω | = 1 for any ω ∈ R, we see that exp{ tn α 0 n -α v n (ξ s )ds} is uniformly bounded in n.
The martingale M β,n t can be written in terms of v n and X n t :

M β,n t = exp iβX n t + 1 n α tn α 0 v n (ξ s )ds .
As we will see, Theorem 2.1 is a simple consequence of the following Lemma:

n = ℜ(v n ), w n = ℑ(v n ).
Notice that w n has a worse singularity at the origin than u n , and both functions have the same decay at infinity. Therefore, we will prove the lemma just for w n , the proof for u n being easier. The variance of w n can be explicitly computed to obtain the bound

(w n ) 2 dν ρ ≤ C(q, ρ) n d 1 + β 2 1 1/n du u d+2α-1 .
In particular, (w n ) 2 dν ρ ≤ C(q, ρ)n 2α-2 and for 0 < α < 1, (w n ) 2 dν ρ → 0 as n → ∞, and the lemma is trivial (there is no need of time integration). When 1 ≤ α < 2 an extra argument is needed. The idea is the following. For sites x near the origin, jumps of opposite sign cancel each other, as in the case of a diffusive system. Since the transition rate p(•) has infinite second moment, these cancellations do not hold for large x. Introduce a truncation around 0 of size n γ . If γ is big enough, by the previous argument the variance of the truncated function vanishes as n → ∞. In the other hand, if γ is small enough, the central limit variance of small jumps vanishes too. We will prove that γ can be chosen in such a way that both things happen simultaneously.

For l ∈ N, define

w l n (ξ) = n α |z|≤l p(z) sin(βz/n) ρ -ξ(z) .
We have the bound

(w n -w l n ) 2 dν ρ ≤ C(q, ρ) n d 1 + β 2 1 l/n du u d+2α-1 , and taking l = n γ , (w n -w n γ n )dν ρ → 0 as n → ∞ for γ > (2α -2)/(d + 2α -2).
Of course, in order to have cancellations of small jumps, we need the time integral. We have the following estimate, valid for any function in Ω * [START_REF] Kipnis | Central limit theorem for additive functionals of reversible Markov processes and applications to simple exclusions[END_REF]:

E sup t≤T 1 n α tn α 0 w l n (ξ s )ds 2 ≤ 20T n α ||w l n || 2 -1
, where (3.2)

||w l n || 2 -1 =: sup f ∈L 2 (νρ)
2 f, w l n ρ -f, -Lf ρ and •, • ρ denotes the inner product in L 2 (ν ρ ). Since the time t is fixed in this section, we do not need the supremum inside the expectation, but it will be needed later. In order to obtain an estimate of 2 f, w l n ρ in terms of f, -Lf ρ , we first do some manipulations:

2 f, w l n = n α |z|≤l p(z) sin(βz/n) ξ(-z) -ξ(z), f ρ = n α |z|≤l p(z) sin(βz/n) ξ(z), f (ξ z,-z ) -f (ξ) ρ ≤ n α |z|≤l p(z) sin(βz/n) λ(z) 2 ξ(z), ξ(z) ρ + + 1 2λ(z) f (ξ z,-z ) -f (ξ) 2 dν ρ , (3.3)
where we have used the symmetry of p(•) in the first line, the invariance of ν ρ under ξ → ξ z,-z in the second line and Cauchy-Schwartz inequality in the third line. After a change of variables, the inner product f, -Lf ρ can be written as

f, -Lf ρ = 1 4 x,y∈Z d * p(y -x) f (ξ x,y ) -f (ξ) 2 dν ρ .
Therefore, a simple way to estimate ||w l n || 2 -1 is choose λ(z) in such a way that the sum bounding w l n , f ρ can be balanced by f, -Lf ρ . In other words, we choose

n α p(z) sin(βz/n) 1 2λ(z) = 1 4 p(2z) = 1 2 d+α+2 p(z),
with λ(z) = 2 d+α+1 n α sin(βz/n). We obtain in this way the bound

||w l n || 2 -1 ≤ 2 d+α n α 1 n d |z|≤l q(z/n) sin 2 (βz/n).
The sum is a Riemann sum of the integral l/n 0 q(u) sin 2 (βu)du. For l/n = o(1), this integral is of order (l/n) 2-α . Putting this estimate into (3.2), we obtain the bound

E sup t≤T 1 n α tn α 0 w l n (ξ s )ds 2 ≤ ct(l/n) 2-α .
for some constant c = c(q, d). Choosing l = n γ , we see that (l/n) 2-α goes to 0 as n → ∞ for any γ < 1. Therefore, taking γ between 1 -d/(d + 2α -2) and 1, we have proved that

E[(n -α tn α 0 w n (ξ s )ds) 2 ] → 0 as n → ∞. Remark 3.3. Considering the martingales M β,n t,s = M β,n t+s (M β,n t ) -1
, it is easy to prove that the increments of X n t are conditionally independent and identically distributed. It follows that for any finite sequence of times t 1 < ... < t k we have

(X n t1 , ..., X n t k ) → (1 -ρ)(Z t1 , ..., Z t k ) in distribution. 3.2. Tightness of the sequence {X n t } n .
Fix some positive time T and let us denote by Q n the distribution of X n t in the Skorohod space D([0, T ], R d ) of càdlàg trajectories. Let us denote by T T the set of stopping times bounded by T , with respect to the filtration F t associated to ξ t . We prove tightness of the sequence {Q n } n by using Aldous' criterion:

Proposition 3.4 (Aldous). Let {Q n } n be a family of probability distributions in D([0, T ], R d ). The family {Q n } n is relatively compact on the set of probability distributions in D([0, T ], R d ) if i) The family {Q n (ω(0) ∈ •)} n of distributions in R d is relatively compact. ii) For any ǫ > 0, lim δ→0 lim sup n→∞ sup τ ∈TT γ≤δ Q n (|ω(τ + γ) -ω(τ )| > ǫ) = 0.
Since X n 0 ≡ 0, the first condition is trivially satisfied. To prove ii), we split X n t in two pieces: let l = l(n) be a sequence to be chosen later and define

X n,1 t = 1 n |z|≤l zN z tn α , X n,2 t = 1 n |z|>l zN z tn α .
In other words, X n,1 t corresponds to the small jumps of X n t and X n,2 t corresponds to the long jumps of X n t . Tightness of X t will follow from tightness of each one of these processes. Let us start with X n,2 t . We have the estimate

P (|X n,2 τ +γ -X n,2 τ | > ǫ) ≤ 1 2ǫ |β|≤1/ǫ 1 -E[e iβ(X n,2 τ +γ -X n,2 τ ) ] dβ. Define M n,2 t
in the natural way. The process M n,2 τ +t (M n,2 τ ) -1 is a F τ +t -martingale, and therefore

E exp iβ(X n,2 τ +t -X n,2 τ ) + n -α (τ +t)n α τ n α v n (ξ s ) -v l n (ξ s ) ds = 1,
where v l n is the truncation of v n , defined as we did for w l n . In particular,

1 -E[e iβ(X n,2 τ +γ -X n,2 τ ) ] ≤ E 1 -exp n -α (τ +γ)n α τ n α v n (ξ s ) -v l n (ξ) ds .
Choosing l = n, we see that v n -v l n is uniformly bounded in ξ and uniformly bounded in compact sets in β. Therefore, the previous integral involving v n -v n n can be bounded by C(ǫ)δ for β ∈ [-1/ǫ, 1/ǫ] uniformly in n, and condition ii) is satisfied by X n,2 t . Notice that in the case 0 < α < 1, there is no need of truncation: v n is already bounded. In particular the proof of tightness for 0 < α < 1 is complete. We assume then 1 ≤ α < 2.

As pointed out before, the exponential martingales M β,n t were introduced since X n t has no bounded second moments. This is not longer a problem for X n,1 t . For each z ∈ Z d * , the process

M z t = N z t - t 0 p(z) 1 -ξ s (z) ds is a martingale of quadratic variation t 0 p(z) 1 -ξ s (z) ds. As before, the martingales {M z t , z ∈ Z d * } are mutually orthogonal. We can write X n,1 t as X n,1 t = 1 n |z|≤n zN z tn α = 1 n |z|≤n zM z tn α + 1 n |z|≤n zp(z) tn α 0 1 -ξ s (z) ds. Therefore, X n,1 t = M n,1 t + n -α tn α 0 v n,1 (ξ s )ds, where M n,1 t is a martingale of quadratic variation M n,1 t = |z|≤n z 2 n 2 p(z) tn α 0 v n n,1 (ξ s )ds,
and we have defined

v l n,1 (ξ) = 1 2n d |z|≤l z n q(z/n) ξ(-z) -ξ(z) .
In this last identity, we have used the symmetry of q(•). Notice that M n,1 t ≤ tn -d z (z/n) 2 q(z/n). By Aldous' criterion and the optional sampling theorem, the sequence of processes {M n,1 t } n is tight:

P M n,1 τ +γ -M n,1 τ > ǫ ≤ 1 ǫ 2 E M n,1 τ +γ -M n,1 τ 2 ≤ 1 ǫ 2 E M n,1 τ +γ -M n,1 τ ≤ 1 ǫ 2 δ n d |z/n|≤1 (z/n) 2 q(z/n).
Since x 2 q(x) is absolutely integrable in the unit ball, we conclude that

lim δ→0 lim sup n→∞ sup τ ∈TT γ≤δ P M n,1 τ +γ -M n,1 τ > ǫ = 0.
We are left to prove tightness for the process n -α tn α 0 v n n,1 (ξ s )ds. Remember the computations after Lemma 3.2. Notice the similarity between the functions v n,1 and w n . For l = n θ with θ between (2α -2)/(d + 2α -2) and 1, E[(v n n,1 -v l n,1 ) 2 ] goes to 0 as n → ∞. In the other hand,

E n -α (τ +γ)n α τ n α v n n,1 (ξ s ) -v l n,1 (ξ s ) ds 2 ≤ ≤ γE n -α (τ +γ)n α τ n α v n n,1 (ξ s ) -v l n,1 (ξ s ) 2 ds ≤ γT E v n n,1 -v l n,1 2 n→∞
----→ 0.

Following the same computations in the proof of Lemma 3.2, we can obtain

lim n→∞ E sup t≤T tn α 0 v l n,1 (ξ s )ds 2 = 0,
and in particular n -α tn α 0 v n n,1 (ξ s )ds is tight, which end the proof of tightness for {Q n } n . 4. Invariance principle for X n t : the non-equilibrium case In this section we prove Theorem 2.3. We follow the approach introduced in [START_REF] Jara | Nonequilibrium fluctuations for a tagged particle in mean-zero one-dimensional zero-range processes[END_REF]. That is, first we prove tightness in the Skorohod space for the sequence {X n t }. Therefore, the joint process (π n t , X n t ) is tight as well. In particular, the empirical density as seen by the tagged particle πn t is also tight, where

πn t (dx) = 1 n d z∈Z d * ξ n t (z)δ z/n (dx).
Take a subsequence for which each one of the previous processes converges. Then, using the martingale representation (3.1) of X n t and the convergence of π n t , πn t , X n t , we obtain a martingale characterization of the limit points of X n t . In fact, it turns out that v n (ξ s ) is a function of the empirical measure. Notice the similarity between (3.1) and (2.2). We finish the proof by an uniqueness result for the process satisfying (2.2).

This program can be accomplished for 0 < α < 1 in a simple way. As we saw in Section 3.2, when 1 ≤ α < 2 small jumps cancel each other in a non-trivial way. The needed estimates are more intricate out of equilibrium. In the other hand, since q(x)(1 -e iβx ) is not uniformly integrable, v n (ξ s ) is not longer a function of the empirical measure. A cut-off argument to take into account cancellations of small jumps is needed again. 4.1. Tightness and characterization of limit points: 0 < α < 1. We start proving tightness of {X n t }. Recall 3.1:

M β,n t = exp iβX n t + t 0 v n (ξ n s )ds
is a martingale. Therefore, for any stopping time τ bounded by T and any γ > 0,

P (|X n τ +γ -X n τ | > ǫ) ≤ 1 2ǫ |β|≤1/ǫ 1 -E[e iβ(X n τ +γ -X n τ ) ] dβ ≤ 1 2ǫ |β|≤1/ǫ 1 -E exp τ +γ τ v n (ξ s )ds dβ.
Since v n is uniformly bounded in n, ξ and for β in compact sets, we conclude that X n t is tight. In general, tightness of the vector (X n t , π n t ) can not be obtained from the tightness of each component. However, since π n t converges in probability to a deterministic limit, we have that (X n t , π n t ) is tight in D([0, ∞), R d × M + (R d )). Take a limit point Z t of X n t and take a subsequence (still denoted by) n such that (X n t , π n t (dx)) converges to (Z t , u(t, x)dx). Then, for any continuous, bounded function G : R d → R we have

lim n→∞ t 0 G(x)π n s (dx)ds = t 0 R d G(x)u(s, x + Z s )dxds in distribution. Notice that v n (ξ n s ) = q(x)(1 -e iβx ) 1 -πn s (dx)
, where 1πn s is the empirical measure defined with 1-ξ n t (x) instead of ξ n t (x). The function q(x)(1e iβx ) is not continuous at x = 0, but it is absolutely integrable. In particular, there exists a sequence {G n } n of continuous functions with bounded support such that G n (x) converges to q(x)(1 -e iβx ) in L 1 (R d ). Moreover, we can take G n = q(x)(1 -e iβx ) in a ring of inner radius 1/n and outer radius n, centered at the origin. Since the number of particles per site is bounded, we conclude that

lim n→∞ t 0 v n (ξ n s )ds = t 0 R d q(x)(1 -e iβx ) 1 -u(s, x + Z t ) dxds.
Since everything in (3.1) is bounded, by the Dominated Convergence Theorem we conclude that

M β t = exp iβZ t + t 0 q(x)(1 -e iβx ) 1 -u(s, x + Z s ) dxds is a martingale for any β ∈ R d .
4.2. Tightness and characterization of limit points: 1 ≤ α < 2. As we have learned from Section 3.2, when 1 ≤ α < 2, an argument to take into account cancellation of small jumps is needed. First we observe that the arguments of the previous section allow us to prove tightness of the truncated process

X n,ǫ,2 t = 1 n |z|≥ǫn zN z tn α
for each ǫ > 0. Therefore, we are left with the problem of tightness for X n,ǫ t = X n t -X n,ǫ,2 t . The jumps of X n,ǫ t are bounded by ǫ. Remember the decomposition

X n,ǫ t = M n,ǫ t + t 0 v ǫn n,1 (ξ n s )ds.
The proof of tightness for M n,ǫ t follows as in the equilibrium case. Therefore, we are left with the problem of tightness for the integral part t 0 v ǫn n,1 (ξ n s )ds. The whole point here is to estimate integrals of the form (z/n) -1 t 0 {ξ n s (z) -ξ n s (-z)}ds. The same problem arises in the hydrodynamic limit of non-gradient systems [START_REF] Varadhan | Diffusive limit of lattice gas with mixing conditions[END_REF], [START_REF] Quastel | Diffusion of color in the simple exclusion process[END_REF]. We start with an exponential bound on the norm of the integral term: Lemma 4.1. There exist constant c > 0 and function λ(ǫ) with λ(ǫ) → 0 as ǫ → 0, such that

E ρ exp n d t1 t0 v ǫn n,1 (ξ n s )ds ≤ c exp n d (t 1 -t 0 )λ(ǫ) ,
where E ρ corresponds to the expectation with respect to the process ξ n t starting from µ ρ .

Proof. We can get rid of the modulus by observing that e |x| ≤ e x + e -x . By Feynman-Kac formula and the variational expression for the largest eigenvalue of a symmetric operator, we have the estimate

log E ρ exp n d t1 t0 v ǫn n,1 (ξ n s )ds ≤ (t 1 -t 0 )n d sup f v ǫn n,1 , f 2 ρ -f, -Lf ρ ,
where the supremum is over functions f : Ω * → R d with f, f ρ = 1. Computations very similar to 3.3 allow us prove that the right-hand side of the previous expression is bounded by

(t 1 -t 0 )c |z|≤ǫn (z/n) 2 q(z/n) ≤ n d (t 1 -t 0 )λ(ǫ),
where we have used the fact that x 2 q(x) is absolutely integrable in the unit ball.

The following result is a restatement of ([7], Corollary 7.6.6.4), and it is a (not so immediate) consequence of Lemma 4.1. 3) is needed. The proof of Theorem 2.3 is otherwise independent of (2.3). See ( [START_REF] Kipnis | Scaling limits of interacting particle systems, volume 320 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften[END_REF], Section 7.6) for more details.

We therefore have proved tightness for t 0 v ǫn n,1 (ξ n t )ds, from where tightness of X n t follows. Notice that we still did not make use of the fact that c(ǫ, T ) → 0. As in the previous section, tightness of (π n t , X n t ) follows. However, now the function q(x)(1 -e iβx ) is not absolutely integrable. We introduce a truncation in order to overcome this problem. Define Z n,ǫ t = X n t -X n,ǫ t . Tightness of Z n,ǫ t follows as before. Let Z ǫ t be a limit point of Z n,ǫ t , and take a subsequence such that X t n converges to some process Z t and Z n,ǫ t converges to Z ǫ t . Define q ǫ (x) = q(x)1(|x| ≥ ǫ). Then, M β t = exp iβZ ǫ t + t 0 q ǫ (x)(1 -e iβx ) 1 -u(s, x + Z s ) dxds is a martingale for any β ∈ R d . It is clear that for each n > 0, Z n,ǫ t converges to X n t as ǫ → 0. By Lemma 4.1, this convergence is uniform in n. Here we need the fact that c(ǫ, T ) → 0. Therefore, we can exchange the limits n → ∞ and ǫ → 0 to prove that Z ǫ t converges to Z t as ǫ → 0. By the same arguments, we conclude that M β t = exp iβZ t + t 0 q(x)(1 -e iβx ) 1 -u(s, x + Z s ) dxds is a martingale for any β ∈ R d .

4.3.

Uniqueness of the martingale problem. In the previous section we proved that all the limit points of X n t satisfy the martingale problem (2.2). Denote by Z t any of such limit points. It follows that (see 4.2.1 and 1.2.8 in [START_REF] Stroock | ume 233 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften[END_REF]) Z t satisfies the martingale problem F (t, Z t ) -t 0 ∂ t + L s F (s, Z s )ds is a martingale for any bounded function F ∈ C 1,2 ([0, ∞) × R d ), where L t is the integral operator L t F (x) = R d q(y){F (x + y) -F (x)}{1 -u(t, x + y)}dy, where we have to consider the principal value of the integral. This operator corresponds to the generator of a time-inhomogeneous process of independent increments. Uniqueness for this martingale problem can be obtained by adapting the arguments of [START_REF] Stroock | ume 233 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften[END_REF] to this setting (see also [START_REF] Stewart | Markov processes[END_REF]).

acknowledgments

The author would like to thank valuable discussions with L. Silvestre and S.R.S Varadhan, and the kind hospitality at the Courant Institute, where this work was initiated.

Lemma 3 . 2 . 1 n d tn α 0 v

 3210 For any t > 0, lim n→∞ n (ξ s )ds = (1 -ρ)tψ(β) in probability.In fact, since E[M β,n t ] = 1 we have E[e iβX n t -e -(1-ρ)tψ(β) ] ≤ E 1 -e n -α R tn α 0 vn(ξs)ds-(1-ρ)tψ(β) ,and this last quantity goes to zero by Lemma 3.2 plus sup n ||ℜ(v n )|| ∞ < +∞.Now we turn to the proof of the Lemma.Proof of Lemma 3.2. Define vn = v n -v n dν ρ and u

Proposition 4 . 2 .Remark 4 . 3 .

 4243 For each T, ǫ > 0 there exists a constant c(ǫ, T ) with c(ǫ, T ) → 0 as ǫ → 0 such that sup n>0 It is in the proof of the previous proposition that the entropy bound(2.


K Roncin

SIMULATION DU COMPORTEMENT DYNAMIQUE DU VOILIER DYNAMIC BEHAVIOUR SIMULATION OF SAILING BOAT

Un simulateur de deux voiliers en interaction est réalisé dans l'optique de fournir au sportif un outil d'analyse fiable. Nous décrivons ici les différents modèles utilisés. Un soin particulier a été apporté à l'évaluation des efforts hydrodynamiques stationnaires. La méthode des plans d'expériences a été mise en oeuvre pour exploiter les essais en bassin des carènes réalisés au Laboratoire de Mécanique des Fluides de l'École Centrale de Nantes. Des résultats partiels du modèle obtenu sont présentés. Enfin, un exemple de simulation illustre les possibilités offertes.

INTRODUCTION

L'étude présentée est extraite d'un travail thèse en cours au Laboratoire de Mécanique des Fluides de l'École Centrale de Nantes. Son objectif est de fournir au sportif un outil d'analyse fiable pour l'optimisation de la conduite d'un voilier en match racing. Dans cet article, nous abordons les différentes étapes de la construction du simulateur. Le voilier évolue à la frontière de deux domaines fluides, l'air et l'eau. Les deux aspects fondamentaux en sont donc l'analyse des actions aérodynamiques sur les voiles et les oeuvres mortes et l'analyse des actions hydrodynamiques sur la carène et les appendices (quille et safran). Bénéficiant de l'accès à un bassin d'essais des carènes, nous avons naturellement privilégié la modélisation des efforts hydrodynamiques. Un simulateur nécessite des données structurées. Cela nous a incité à aborder les essais en bassin en mettant en oeuvre la technique des plans d'expériences, encore inexploitée dans ce domaine. La plupart des études sur les voiliers sont orientées vers la conception. Il s'agit de déterminer l'influence des principaux paramètres de forme pour optimiser les performances. Notre optique est différente. Nous nous attachons à décrire le comportement d'un voilier donné pour optimiser son fonctionnement et aborder des problèmes simples de tactique. Dès lors, nous pouvons approfondir l'étude de l'influence des paramètres de position et d'attitudes, là où les études classiques se contentent de modèles simplifiés, (pour l'influence de la gîte par exemple), ou même éludent le problème comme pour l'influence de l'assiette. Dans cet article nous décrivons notre démarche vis à vis de chaque composante du simulateur et les modèles que nous choisissons. Nous présentons comme résultats des éléments du modèle hydrodynamique issus des essais et enfin nous commentons un exemple de résultat obtenu avec le simulateur pour le deux voiliers en interaction.

NOTATIONS ET REPERES

B V r

: vitesse du centre de gravité du voilier dans le référentiel absolu (R 0 ). VMG (Velocity Made Good) : projection de B V r sur l'axe du vent réel. C L , : coefficient de portance. C D : coefficient de traînée. C T : coefficient d'effort total. ρ A masse volumique de l'air. δ : angle: de barre V WA : vitesse du vent apparent. V WT : vitesse du vent réel. β WA : angle du vent apparent. γ : ratio traînée sur portance pour le gréement (voiles, mat, etc.). Angles de cardan : φ gîte (roulis), θ assiette (tangage), et ψ cap (lacet). R 0 : repère galiléen lié à la terre, origine sur la surface libre au repos, l'axe X 0 dans la direction du nord géographique, Z 0 vertical ascendant. R B : repère lié au bateau, origine au centre de gravité nominal, X B vers l'avant, Y B vers bâbord, Z B vers le haut. La position du voilier, assimilé à un solide, est connue à tout instant par le vecteur position et par φ, θ, et ψ.

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ φ * θ φ - φ * θ φ θ - = Σ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ψ θ φ • Σ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ cos cos sin 0 sin cos cos 0 sin 0 1 ] [ avec ; ] [ r q p & & & ψ ψ OB X x1 Y y1 θ θ OB z1=Z z2 x1 x2=x B φ φ OB y2 yB z2 zB O B (x OB , y OB , z OB ) z B x B y B y 0 z 0 x 0 O 0

EFFORTS DE PESANTEUR ET EFFORTS HYDROSTATIQUES

Les efforts de pesanteur sont exprimés par leur résultante en O B . La masse des équipiers et leurs positions sont introduites indépendamment pour permettre d'intervenir sur le réglage de l'attitude du bateau (gîte et assiette). Les effets dynamiques du déplacement des équipiers sur le bateau ne sont pas pris en compte pour l'instant Les efforts hydrostatiques sont obtenus par un modèle en fonction des paramètres d'attitude. Dans la version actuelle le modèle est linéaire mais il n'y aura aucune difficulté à l'améliorer.

EFFORTS HYDRODYNAMIQUES

Les efforts hydrodynamiques sont la résultante de l'action des contraintes normales et tangentielles sur la partie de la coque en contact avec l'eau. Du fait des mouvements du bateau et de l'état de la mer l'écoulement réel est en général complexe. L'approche habituelle est de décomposer les efforts hydrodynamiques en trois types d'efforts dont les effets sont cumulés.

-Les efforts engendrés par le déplacement du bateau en translation à vitesse constante et attitude fixe. Ce fonctionnement correspond à la marche stabilisée du voilier sur eau plate.

-Les efforts et les mouvements du bateau provoqués par les vagues.

-Les efforts engendrés par les manoeuvres du bateau, changement de cap, d'attitude et de vitesse. Nous les appellerons efforts de manoeuvrabilité, ils comprennent une partie stationnaire, avec les efforts engendrés par les rotations, et une partie non-stationnaire fonction entre autres des accélérations. Dans la réalité du fonctionnement du voilier, tous ces efforts hydrodynamiques coexistent et sont couplés à des degrés divers.

LES EFFORTS PROVOQUES PAR LES VAGUES

Les bateaux à voiles ont en général une longueur de l'ordre de la longueur d'onde des vagues significatives ou inférieure. Dans ces conditions, l'état de mer à une influence directe sur la façon dont les barreurs réalisent les manoeuvres. L'idéal serait donc de connaître à chaque instant les efforts appliqués au bateau. Mais le problème est difficile et dans un premier temps nous nous intéresserons uniquement aux effets moyens. Il n'est alors pas utile de connaître les efforts et les mouvements dans le repère moyen à chaque instant. Il suffit de déterminer globalement la moyenne de l'augmentation de la résistance à l'avancement. (et la modification des efforts moyens sur les voiles). Cela demande une étude préalable pour relier ces grandeurs aux caractéristiques du bateau, à l'état de la mer, à la vitesse et au cap du bateau par rapport à la direction des vagues. Cette étude n'étant pas encore réalisée pour le First-Class 8, les simulations présentées ne tiennent pas compte de l'état de la mer.

EFFORTS DE MANOEUVRABILITE

Les efforts engendrés par les manoeuvres du voilier dépendent de façon couplée de la position et des angles d'attitude ainsi que de leurs dérivées premières et secondes. Les formulations simplifiées ne prennent en compte que les coefficients des termes d'ordre le plus bas dans le développement de ces efforts. Le principal problème vient des difficultés d'évaluation des coefficients et principalement de ceux qui concernent les vitesses de rotation. Leur évaluation par le calcul n'est pas encore opérationnelle et l'évaluation expérimentale fait appel à des procédures et à du matériel très lourds dont nous ne disposons pas. Pour l'instant nous prenons en compte ces effets sur les surfaces portantes en transportant le torseur cinématique au centre d'effort de ces surfaces. Pour la carène nous utilisons des coefficients extrapolés de valeurs obtenues par Masuyama dans [START_REF] Yukata | Dynamic Performance of Sailing Cruiser by full-scale Sea Test[END_REF] [16] pour un voilier de taille légèrement supérieure mais de conception voisine. Les premiers tests avec le simulateur montrent que la valeur des coefficients des termes de vitesse de rotation de la carène a peu d'influence sur les résultats contrairement aux effets portants sur les appendices. En conséquence nous n'avons pas cherché à approfondir la détermination de ces coefficients, d'autant plus que nous pourrons prochainement utiliser le code Icare [START_REF] Alessandrini | Etude numérique de l'écoulement visqueux autour d'une carène en présence d'une surface libre : résolution des équations de couche limite et de Navier-Stokes[END_REF] qui permettra d'identifier tous les coefficients de manoeuvrabilité sans réaliser d'expérimentation. La qualité de l'évaluation des efforts hydrodynamiques conditionne la précision de la performance globale du voilier. Des outils numériques de calcul d'écoulement autour des carènes, en code « Fluide Parfait » (REVA [START_REF] Delhommeau | Les problèmes de diffraction-radiation et de résistance de vagues: étude théorique et résolution numérique par la méthode des singularités[END_REF], Aquaplus) et en code Navier-Stokes [START_REF] Alessandrini | Etude numérique de l'écoulement visqueux autour d'une carène en présence d'une surface libre : résolution des équations de couche limite et de Navier-Stokes[END_REF] sont développés et perfectionnés par un travail de recherche permanent. Nous avons cependant privilégié dans un premier temps la démarche purement expérimentale. Le Laboratoire dispose en effet de moyens d'essais lourds en hydrodynamique, notamment un bassin des carènes de 72 m dont on va prochainement doubler la longueur, un dynamomètre à 6 composantes et un orienteur spécifique pour l'étude des voiliers [START_REF] Talotte | Adaptation de procédures expérimentales au cas des voiliers en gîte et dérive, comparaison des résultats expérimentaux et numériques[END_REF]

EFFORTS HYDRODYNAMIQUES STATIONNAIRES

UN POINT SUR LES METHODES EXPERIMENTALES

De nombreuses techniques ont été mises en oeuvre pour tester les voiliers en bassin des carènes. Elles vont de la technique en navigation libre (« free sailing technique ») dont le principe est d'appliquer au bateau une force censée reproduire l'effort vélique, à la technique captive, qui consiste à tracter le bateau à une vitesse donnée en bloquant tous ses degrés de liberté pour lui imposer une attitude fixe. Avec la première méthode on mesure, lorsque qu'elle est stabilisée, l'attitude prise par le bateau. Avec la deuxième on mesure le torseur des efforts appliqués au bateau. Dans la pratique les techniques de mesure adoptées sont des variantes de ces deux méthodes extrêmes Elles sont obtenues, suivant le cas, en bridant ou en relâchant certains degrés de liberté. La méthode en navigation libre a été introduite par Alan et al. en 1957 [START_REF] Alan | Yacht testing[END_REF]. L'avantage recherché est d'obtenir des combinaisons réalistes des paramètres d'attitude et de diminuer ainsi le nombre d'essais nécessaire pour tester une carène. La technique la plus récente est développée au MARIN [START_REF] Gommers | Design of a dynamometer for testing yacht models[END_REF]. La maquette n'est pas tout à fait libre puisque l'angle de dérive est imposé. Le point de traction se déplace horizontalement grâce à des servo-moteurs pour éliminer la composante de moment de lacet. Le temps de stabilisation est de 15 à 20 secondes. Bien que séduisantes ces méthodes présentent quelques inconvénients. En premier lieu les attitudes obtenues dépendent de suppositions sur la force propulsive appliquée et en particulier sur le point d'application de cette force. Elles dépendent aussi de l'orientation du safran qui parfois est introduite comme paramètre indépendant. D'autre part, la méthode ne peut pas fournir de données pour des combinaisons de paramètres d'attitudes correspondant à un bateau en manoeuvre. Enfin, l'état stable du système, qui parfois n'est pas atteint, met un certain temps à s'établir. D'un point de vue technique ces méthodes obligent à respecter la position verticale du centre de gravité sur la maquette et demandent des dispositifs expérimentaux sophistiqués. Après dix ans d'expérience de ce type d'essais Murdey au NRC [START_REF] Murdey | Techniques for testing sailing yachts[END_REF] conclut que les méthodes d'essais semi-captives sont en définitive plus productives à condition de les associer avec un VPP. Elles permettent de tester plusieurs états d'équilibre pour une carène.

Les méthodes semi-captives reviennent à fixer le bateau sur un dynamomètre à l'aide d'un dispositif qui permet de libérer un ou plusieurs degrés de liberté. Ces degrés de liberté correspondent évidemment aux mouvements qui présentent une raideur de sorte qu'un état d'équilibre puisse être atteint en cours de mesure. Il s'agit donc du pilonnement, du tangage et éventuellement du roulis. A l'E.C.N. C. Talotte [START_REF] Talotte | Adaptation de procédures expérimentales au cas des voiliers en gîte et dérive, comparaison des résultats expérimentaux et numériques[END_REF] a mis au point une technique laissant libre ces trois degrés de liberté et appliquant la force de traction à une hauteur proche de celle du point d'application des efforts véliques. Les instabilités se sont avérées trop importantes. Dans la plupart des cas l'état stationnaire ne pouvait pas être atteint sur la longueur du bassin. D'autre part la gîte obtenue dépend d'une supposition sur la hauteur du centre vélique et du centre de gravité. Les résultats ne peuvent pas être étendus à des cas de chargement différents. Cette technique ne pourra donc pas s'inscrire dans une démarche d'optimisation ou de détermination de l'influence de paramètres de réglage. Elle a été abandonnée. C. Talotte au cours de sa thèse [START_REF] Talotte | Adaptation de procédures expérimentales au cas des voiliers en gîte et dérive, comparaison des résultats expérimentaux et numériques[END_REF] a ensuite utilisé un dispositif composé d'un dynamomètre à six composantes sur lequel la maquette est fixée par un orienteur. Le pilonnement et l'assiette sont libres. Le point de poussée est abaissé au niveau du pont et le problème est donc de compenser le déficit de moment piqueur pour que l'assiette en essai soit proche de l'assiette en fonctionnement réel. La procédure impose donc une série d'essais préalables en traction droite à assiette fixe et à différente vitesse pour obtenir une courbe de traînée qui permet de calculer une compensation de moment. Ce calcul dépend du modèle vélique pour évaluer l'altitude du centre d'efforts. La compensation est ensuite obtenue en déplaçant longitudinalement une masse sur le pont. Cette méthode semi-captive est intéressante lorsqu'il s'agit de comparer rapidement et au moindre coût des carènes entre elles à des points de fonctionnement donnés. Elle ne permet pas de déterminer l'influence de l'assiette sur la performance alors que nous avons montré l'importance de ce paramètre [START_REF] Roncin | Simulation dynamique du voilier[END_REF]. En définitive, après avoir réalisé quelques essais avec cette méthode nous avons préféré nous orienter vers des méthodes, qui conformément à notre démarche, permettent de caractériser la carène indépendamment de tout modèle d'effort vélique.

LES METHODES EXPERIMENTALES UTILISEES

La méthode « modèle fixe »

Cinq paramètres influencent le torseur des efforts hydrodynamiques sur une carène en traction rectiligne et uniforme : la vitesse d'avance, l'enfoncement par rapport à la surface libre, et trois angles caractérisant l'attitude du modèle : la gîte, l'assiette et la dérive. Dans un premier temps nous avons fait varier ces cinq paramètres indépendamment afin de mesurer l'influence de chacun d'entre eux. Pour chaque essai le modèle est lié rigidement au système de mesure. Avec cette technique on a donc cinq paramètres de réglage et six mesures pour la détermination complète du torseur des efforts sur la carène dans chaque configuration. Cela conduit à un nombre très élevé d'essais mais également à des difficultés de mise en oeuvre. L'enfoncement notamment est délicat à régler, car la composante verticale des efforts sur la maquette diffère grandement selon la valeur des autres paramètres de réglage. Pour nombre d'essais le déplacement effectif du modèle s'avère irréaliste. Toutes ces raisons nous ont fait abandonner cette méthode.

La méthode semi captive avec pilonnement libre

Seul le degré de liberté de translation verticale est laissé au modèle. L'assiette est fixe, ce qui d'une part permet de caractériser son influence et d'autre part donne des mesures plus stables. Nous avons adopté un point de traction fixe au niveau du centre de gravité de la carène. Les déformations engendrées par les moments de torsion sont évaluées et on en tient compte dans le dépouillement. Il reste cinq paramètres de réglage. On règle directement le déplacement du modèle et non plus l'enfoncement. Ce qui permet d'obtenir des résultats pour des configuration plus réalistes.

LA METHODE DES PLANS D'EXPERIENCES

Notre objectif est de modéliser les grandeurs mises en jeu (le torseur des efforts appliqués à la carène) à partir de la connaissance d'un minimum de points de fonctionnements. Les efforts hydrodynamiques sur la carène en gîte et dérive à vitesse constante sont obtenus à partir de différentes méthodes d'interpolation entre des points de fonctionnements issus des campagnes d'essais en bassin des carènes. Pour passer des résultats sur le modèle au réel, on suppose que la composante de pression des efforts est proportionnelle à λ 3 , avec λ le rapport d'échelle de longueur entre la maquette et le réel. On utilise la méthode préconisée par l'International Towing Tank Conference pour l'évaluation de la composante de friction et la méthode de Prohaska pour la détermination du coefficient de forme.

Décomposition

Les efforts hydrodynamiques sont considérés comme des fonctions à cinq variables. Chaque fonction est décomposée comme la somme de plusieurs fonctions à une, deux , trois, quatre et cinq variables.

ordre d ns Interactio Vb f E ordre d ns Interactio Vb f E Vb f E ordre d ns Interactio Vb f E Vb f E ordre d ns Interactio Vb f E Vb f E Vb f E simples Effets f E f E f E f E Vb f E f Vb f x x x x x x x x x x x x x x x β θ φ θ φ β θ φ β φ θ φ β θ φ β θ φ β θ φ + + ∆ + + + + + + + + + ∆ + + + + + = ∆ L L L
La méthode ne présente d'intérêt que si les termes d'ordre supérieur sont négligeables. On se limite donc au calcul des effets simples et aux interactions d'ordre 2 voire 3. De plus, les coefficients sont obtenus par des calculs de moyenne ce qui améliore la partie aléatoire de la précision des mesures. Nous avons implémenté dans le simulateur le modèle Tagushi de premier ordre pour ce qui concerne la traînée de la carène et de la quille. Pour la portance un modèle de premier ordre ne suffit pas car il pose des problèmes de continuité à gîte et dérive nulle. En effet, nous n'avons exploré dans nos campagnes d'essais qu'un quart de l'espace vectoriel des 5 paramètres retenus en considérant que les efforts sont symétriques par rapport à la gîte et par rapport à la dérive. Cette hypothèse ne devrait pas être trop pénalisante car le voilier ne parcourt pas souvent les zones du domaine que nous n'avons pas exploré (gîte et dérive de signe opposé). Toujours est-il que pour les fonctions impaires (la portance et certains moments) le modèle additif simple ne peut garantir une continuité à zéro. En attendant d'implémenter des modèles d'ordre supérieur nous avons choisi de conserver pour la portance le modèle issu de la théorie des ailes proposé par P. Van Oossanen [START_REF] Van Oossanen | theoretical estimation of the influence of some main design factors on the performance of international twelve meter class yachts[END_REF]. De plus, le couplage entre les vitesses de rotation de roulis et de lacet sont plus facilement pris en compte en distinguant les efforts sur la carène et les efforts sur la quille.

Analyse des résultats

On peut utiliser une troncature du modèle pour caractériser l'influence d'un paramètre ou d'une combinaison de paramètres sur un effort. La Figure 2 représente par exemple la somme

x x x x c E c E c E C S 23 3 2 + + + =
, on isole ainsi les effets de la gîte et de l'assiette sur la traînée. On peut noter que le point optimal, pour lequel le coefficient de traînée est minimal, ne se situe pas carène droite mais avec un peu de gîte (entre 10 et 15°) et une assiette légèrement piqueuse (environ1°). Il y a une évolution combinée de l'influence des 2 paramètres, l'assiette optimale dépend de la gîte et inversement. Cette figure est une coupe de l'évolution du Cx au point moyen ) , , , , (

M M M M M Vb M ∆ β θ φ
, de l'espace vectoriel d'investigation. en ce point :

Cx Vb Cx M M M M M = ∆ ) , , , , (
β θ φ
La coupe a une allure différente selon le lieu. Les coupes du coefficient de traînée sont ici représentés pour 4 vitesses (1, 1.5,1.75 et 2.5 m/s). A faible vitesse(1m/s) la gîte combinée à une assiette piqueuse (maquette enfoncée sur l'avant) améliorent notablement le coefficient de traînée, tandis que la tendance s'inverse à haute vitesse (2.5m/s). L' interaction entre la vitesse et l'assiette est représentée dans le modèle par la fonction "E13cx" (Figure 7).

Erreur de modélisation sur le coefficient de traînée Cx

Figure 8

La différence entre le modèle d'ordre n et les résultats expérimentaux est appelée résidu d'ordre n. Plus l'ordre du modèle est élevé, plus le résidu (l'erreur) est distribué suivant une courbe de Gauss. On considère couramment que les intéractions d'ordre élevée (>3) sont faibles et se confondent pour un plan factoriel avec la part aléatoire de l'erreur de mesure. On observe que l'erreur absolue (en Newton) est comparable avec la précision du système de mesure pour des essais à moyenne vitesse.

EFFORTS AERODYNAMIQUES

La modélisation des efforts aérodynamiques a longtemps été le parent pauvre des études sur les voiliers. En plus des problèmes théoriques et expérimentaux qu'elle pose, cette modélisation présente des difficultés du fait des multiples réglages possibles de la structure souple que constituent les voiles et le gréement. Il faut donc veiller à ce que l'évaluation des efforts véliques ne soit pas "précisément fausse". Il faut également remarquer que dans la démarche de conception, une évaluation sommaire de ces efforts, si elle est faite de façon cohérente, peut suffire à comparer des performances brutes de voiliers. Récemment les études numériques se sont développées, d'abord en fluides parfaits [START_REF] Farid | Contribution à l'étude des écoulements stationnaires et instationnaires autour des voiles de navire[END_REF] [START_REF] Kermarec | Exploitation des outils numériques d'aide à la conception des voiles. Bilans et perspectives[END_REF]et plus récemment en fluide visqueux [START_REF] Caponnetto | America's cup yacht design using advanced numerical flow simulations[END_REF].Si les méthodes "Fluide Parfait" évaluent correctement la portance au près serré, lorsque les voiles travaillent en finesse, il n'en va pas de même de la traînée qui est largement affectée par les décollements tourbillonnaires à la jonction du mat et de la grand voile. Si bien que les codes fluides parfaits ne peuvent être exploités pour évaluer la performance sans être associés à des résultats expérimentaux. On a donc cantonné ces méthodes soit à l'étude des déformations [START_REF] Caponnetto | America's cup yacht design using advanced numerical flow simulations[END_REF], soit à l'étude de l'interaction entre les voiles [3] [17]. A l'aide des nouveaux outils informatiques, on commence à envisager l'étude en fluide visqueux. Mais les temps de calcul sont importants. Caponnetto et al. [START_REF] Caponnetto | America's cup yacht design using advanced numerical flow simulations[END_REF] donnent un ordre de grandeur de 8 heures pour la convergence du calcul sur les 12 processeurs d'une station Silicon Graphic origin2000. Pour les premières versions du simulateur nous avons opté pour une solution simple et éprouvée. Nous avons adapté le modèle empirique de Myers datant de 1975 [START_REF] Hugo | Theory of sailing applied to ocean racing yachts[END_REF], et repris dans de nombreux VPP [START_REF] Van Oossanen | theoretical estimation of the influence of some main design factors on the performance of international twelve meter class yachts[END_REF]. La force latérale au près est définie par :

[3] [4] [9] [12]
φ γ β γ ρ cos ) cos( cos 2 2 ⋅ - ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = L S wA A L C A V F Myers donne
Le modèle de Myers est un modèle auto-réglé, c'est à dire qu'il considère un réglage optimal de la voilure pour chaque angle d'incidence. Notre calcul s'effectue sur une géométrie fixe de la voilure que nous faisons simplement varier en incidence par rapport à l'écoulement infini amont. Les courbes n'ont naturellement pas la même allure. Elles se coupent simplement au point de fonctionnement du voilier au près. Pour le foc l'intersection se situe aux alentours de 23° d'incidence par rapport au vent apparent. Pour la grand-voile il existe une différence très sensible selon que l'on borde la grand voile dans l'axe ou si on l'ouvre de seulement 10°. Il est donc délicat d'effectuer une comparaison. On note d'ailleurs que le modèle de Myers et celui de l'IMS se contredisent puisque l'un place le coefficient de pression de la grand voile nettement en dessous de celui du foc alors que l'autre le place au-dessus. On peut simplement conclure que nos résultats semblent raisonnables. Ces premiers résultats nous ont montré que la méthode fluide parfait a un domaine d'application restreint. On ne peut pas se contenter de calculer un écoulement autour d'une géométrie donnée sans vérifier que le calcul est valide vis à vis des hypothèses et notamment vis à vis du non contournement des arêtes vives. Le cas échéant, il faut modifier cette géométrie. Nous plaçons en perspective l'utilisation d'un algorithme systématique de modification de la géométrie des voiles (vrillage et incidence) afin d'obtenir des résultats pour des profils adaptés à l'écoulement. Nous pourrions alors déterminer la plage exacte de validité de la méthode en comparant de nouveau nos résultats aux modèles auto-réglés de Myers et de l'IMS. ). La présence de l'adversaire est représentée par un tourbillon dont on obtient l'intensité à partir de la portance développée par ses voiles :

INTERACTION AERODYNAMIQUE

SIMULATION

Nous présentons ici un cas simple de simulation (Figure 12). Deux voiliers louvoyant sont placés dans un champ de vent constant de 5 noeuds orienté à -90 degrés par rapport à l'axe. Chacun d'entre eux est piloté par un correcteur proportionnel asservi par rapport à un angle du vent apparent correspondant approximativement au VMG (vitesse optimale de remontée au près). A l'instant initial les voiliers partent arrêtés. Le voilier de gauche part avec un gain au

Figure 1

 1 Figure 1

Figure 2 Figure 3 Figure 4 Figure 5 Figure 6 Figure 7

 234567 Figure 2Figure3

  Nous avons comparé nos résultats avec ceux du modèle de Myers[START_REF] Hugo | Theory of sailing applied to ocean racing yachts[END_REF]et avec les formules 2D de la jauge IMS[START_REF] Claughton | Developments in the IMS VPP Formulations[END_REF] [START_REF] Steven | Toward a rational upwind sailing force model for VPPs[END_REF]. Nos calculs se situent logiquement en dessous de la jauge IMS 2D puisque notre gréement a une envergure finie.

Figure 11

 11 Figure 11

  h qui représente l'envergure du gréement.Le champ de vitesse de perturbation est le champ induit par ce tourbillon. Il est additionné au champ de vitesse incident pour obtenir la vitesse.Le coefficient k permettra d'ajuster le modèle grâce aux résultats disponibles dans la littérature et en particulier ceux de Caponnetto[START_REF] Mario | the aerodynamic interference between two boats sailing close-hauled[END_REF].

2 DEMARCHE POUR LA REALISATION DU SIMULATEUR

  Le voilier est assimilé à un solide rigide. De façon schématique, le principe fondamental de la dynamique s'écrit dans le repère lié au bateau : Un module d'évaluation est construit pour chaque type d'effort. La méthode utilisée pour réaliser les modules est fonction des moyens et des modélisations physiques disponibles. Le degré de complexité de chaque modèle est également choisi pour que le temps de calcul reste compatible avec les différentes utilisations pratiques du simulateur. Le travail de modélisation est réalisé en priorité avec les outils expérimentaux et numériques disponibles ou développés au Laboratoire de Mécanique des Fluides de l'École Centrale de Nantes. L'option retenue a été de construire le simulateur de façon à pouvoir intégrer les différents modèles nécessaires à son fonctionnement au fur et à mesure de leur évolution, que les progrès soient obtenus par des études numériques ou expérimentales. L'environnement Matlab-Simulink a été adopté parce qu'il permet de dissocier dans le simulateur des entités indépendantes et interchangeables. Chaque entité est définie structurellement et visuellement par un objet. Elle est reliée aux autres entités par des relations d'entrées-sorties. Ce mode de programmation est bien adapté à l'objectif de modularité.

	{ hydrodynam iques efforts	} { aérodynami ques efforts B R B O , +	} { B R B O , et efforts de +	pesanteur ques hydrostati	} { } O B dynamique Torseur B R B O , =	,	B R

COMPARAISON DU MODELE DE MYERS AVEC UN CODE NUMERIQUE "FLUIDE PARFAIT"

  une valeur indicative de 10° pour γ.Ce modèle ne fait pas intervenir de paramètres de réglages. Il est donc intéressant pour les premières versions d'un simulateur. En effet, l'intérêt d'introduire des réglages de voiles sophistiqués est discutable tant que les modèles utilisés dans les autres modules ne seront pas suffisamment fins pour que l'influence de ces réglages soit significative. Dans la littérature[START_REF] Hazen | Design System and Services[END_REF][20][START_REF] Sugitomo | A method for optimizing sail design[END_REF], le réglage des voiles est introduit sous forme de deux coefficients multiplicatifs, l'un pour réduire la voilure, il affecte donc la position du centre de poussée vélique et la surface de la voilure, tandis que le deuxième affecte les coefficients aérodynamiques pour tenir compte d'un réglage du creux des voiles. Ils pourront donc être introduits facilement dans le modèle par la suite. Dans un premier temps nous avons adopter le modèle simple de Myers[START_REF] Hugo | Theory of sailing applied to ocean racing yachts[END_REF]. Nous avons souhaité ensuite confronter des éléments du modèle au calcul numérique en utilisant le code développé par l'équipe de M. Guilbaud[START_REF] Guilbaud | Numerical Study of Sail Aerodynamics[END_REF][START_REF] Farid | Contribution à l'étude des écoulements stationnaires et instationnaires autour des voiles de navire[END_REF]. Tout régatier connaît l'importance des effets visqueux et des décollements de l'écoulement autour d'une voile. L'utilisation d'un code fluide parfait ne se justifie qu'à l'allure du près où les voiles travaillent en finesse et pour la détermination de la portance. Caponneto[START_REF] Mario | the aerodynamic interference between two boats sailing close-hauled[END_REF] confirme qu'à cette allure la méthode fluide parfait donne de bons résultats pour le coefficient de portance. Comme dans ces conditions, la plupart des modèles véliques considèrent simplement que l'effort vélique est perpendiculaire au mat, et la position du centre de poussée est évaluée par des considérations géométriques sommaires, nous avons voulu vérifier si un calcul fluide parfait donnait de meilleures indications d'une part sur le centre de poussée et l'influence éventuelle des différents paramètres de réglage (incidence, vrillage), et d'autre part sur la direction de l'effort vélique. Les premiers résultats ont montré que l'utilisation de la méthode fluide parfait impliquait des contraintes encore plus restrictives que nous ne l'avions escompté. La première condition pour qu'un calcul " fluide parfait " soit exploitable est que la voile doit être adaptée partout. Cela signifie que l'on doit vérifier qu'il n'y a pas de contournement des arêtes vives (guindant, bordure, têtière). S'il existe dans le calcul un point de contournement, le coefficient de pression locale prends des valeurs qui ne sont pas réalistes et le résultat est alors très sensible à la finesse du maillage. Dans ce cas il n'y a pas convergence entre le calcul d'efforts par intégration des pressions et par circulation. Il est dès lors apparu impossible d'adapter sans en modifier la géométrie les profils de voiles fournis par le fabricant. Il a donc été nécessaire de modifier la géométrie des voiles en modifiant le vrillage. L'angle de vrillage est un angle de rotation de la voile autour de son guindant qui varie linéairement en fonction de l'altitude y. Il est nul au niveau le plus bas de la voile (y min ), dans le repère ayant son guindant pour axe vertical, et il est maximal au point le plus haut (y max ).

															C D
															C L
															C T
	Van	Oossanen		donne			une	évaluation	λ
	systématique de	γ	=	0	.	044	+	0	.	-089 1	φ ⋅ C	2 L		ψe	V B
	déterminée par des formules de régression L'expression des coefficients de portance est	βwA	V wA
	polynomiale au second ordre en fonction de	V wT
	l'angle d'incidence.
															V B
	Pour le génois, par exemple le modèle donne : ⋅ + ⋅ + = ; 041 . 0 344 . 0 04 . 1 2 β β WA WA L avec C	β	WA	∈	⎢ ⎣ ⎡	8 π	;	2 π	⎥ ⎦ ⎤	(génois)
	5.1 LE MODELE AERODYNAMIQUE DANS UN SIMULATEUR
	Un simulateur est le plus souvent piloté par une seule personne et il n'est pas utile de
	reproduire toute la complexité du réglage du voilier dont plusieurs " régleurs "s'occupent en
	navigation réelle. Le modèle aérodynamique dans un simulateur doit donc être simple
	d'utilisation si on souhaite reproduire le même environnement dans le simulateur et libérer le
	" pilote " des contraintes du réglage. La grande majorité des modèles de la littérature adopte
	cette optique. On dénombre au plus trois paramètres de réglage : le vrillage [7] [16], la
	réduction de voilure, le creux. L'influence de ces paramètres doit être évaluée au préalable
	pour qu'ils puissent intervenir globalement dans le simulateur comme de simples gains
	agissant sur les efforts véliques et leur point d'application.
	5.2

) , ( 14) , ( 13) , ( 12

, , , , ( vent de 4 mètres soit une demi-longueur et termine avec plus de 10 mètres d'avance après 250 secondes.

Figure 12

Figure 13 La Figure 13 Un simulateur a été construit qui met en interaction deux voiliers. Les premiers résultats sont en accord avec les observations du régatier, même s'il reste à introduire quelques améliorations pour une représentation fidèle du comportement du voilier. Dans le cours terme sont prévus : l'introduction des interactions d'ordre 2 pour le modèle hydrodynamique, l'introduction d'une modélisation non linéaire de l'hydrostatique, qui s'impose si nous voulons pleinement exploiter les résultats des campagnes d'essais, l'introduction de la modélisation d'un sillage visqueux pour l'interaction aérodynamique et ensuite l'exploitation des résultats d'un code numérique tridimensionnel. A plus long terme, notamment grâce au progrès des calculs numériques tridimensionnels en fluide réel, on peut envisager d'évaluer plus finement l'influence des vitesses de rotation du voilier sur la résistance à l'avancement et sur la manoeuvrabilité.


Lionel Bureau

Non-linear rheology of a nanoconfined simple fluid

Keywords: numbers: 64.70.pm, 83.50.Lh, 83.50-v, 83.60.Rs

We probe the rheology of the model liquid octamethylcyclotetrasiloxane (OMCTS) confined into molecularly thin films, using a unique Surface Forces Apparatus allowing to explore a large range of shear rates and confinement. We thus show that OMCTS under increasing confinement exhibits the viscosity enhancement and the non-linear flow properties characteristic of a sheared supercooled liquid approaching its glass transition. Besides, we study the drainage of confined OMCTS via the propagation of "squeeze-out" fronts. The hydrodynamic model proposed by Becker and Mugele [Phys. Rev. Lett. 91, 166104 (2003)] to describe such front dynamics leads to a conclusion in apparent contradiction with the dynamical slowdown evidenced by rheology measurements, which suggests that front propagation is not controlled by large scale flow in the confined films.

Supercooled liquids share qualitative rheological features upon approaching the glass transition [1]: (i) their viscosity increases dramatically, and (ii) they exhibit non-newtonian properties (shear thinning) when the time scale of mechanical forcing becomes shorter than that of structural relaxation. The precise origin of such a behavior is the subject of active theoretical and numerical investigations [2]. Recently, an extension to flow situations of the mode-coupling theory (MCT) has been proposed, in order to describe this non-linear rheology [3]. Now, a stringent test of theoretical predictions against experimental results requires measurements, over a large range of shear rate ( γ), of the non-linear properties as jamming is gradually approached. These are extremely challenging to perform on atomic glass formers, because of their elevated glass transition temperature and flow stress. The most comprehensive studies to date have focused on colloidal suspensions of thermosensitive particles, in which the volume fraction, hence the distance to jamming, can be finely tuned [4]. It has thus been shown that, in very good agreement with MCT, the flow stress of such suspensions exhibits a rate dependence all the weaker that the distance to glass transition is small, until a yield stress develops when the suspension gets jammed [4]. Such a behavior can be considered as the rheological hallmark of the approach to glass transition.

Here, we show that increasing confinement represents an alternative pathway to bring a system close to its jammed state under well-controlled conditions. Surface Forces Apparatus (SFA) experiments have shown that simple liquids confined between solid walls below thicknesses of a few molecular diameters exhibit enhanced flow resistance [5]. From SFA experiments probing the linear response of ultrathin liquid films, Demirel and Granick (DG) concluded to a confinement-induced dynamical slowdown, akin to what occurs in supercooled liquids [6]. However, this conclusion has been challenged by other groups probing the large strain shear response of confined fluids [7,8]. Moreover, experiments by Becker and Mugele (BM) have shown that a confined liquid drains stepwise by expelling monolayers via the propagation of "squeeze-out fronts" [9]. A model of the front dynamics, extending the work of Persson and Tosatti [10], led them to conclude that the confined fluid retained its bulk viscosity, dissipation enhancement arising from high friction on the confining walls.

The nature of the mechanisms by which the properties of liquids are affected by confinement at the molecular scale therefore remains an open question. Such an issue, which is of interest for the fundamental understanding of the jamming transition [11], is also of paramount importance for boundary lubrication [START_REF] Persson | Sliding Friction[END_REF], and for nanofluidics, where the knowledge of the flow properties of liquids confined into nanometer-sized channels or structures is crucial [13].

In this Letter, we report on the first SFA study in which both large strain shear rheology and squeeze-out fronts measurements are performed, in the same experimental run, on the nonpolar liquid octamethylcyclotetrasiloxane (OMCTS), which has been used in the aforementioned works.

(i) We show unambiguously, from flow curves measured over 6 decades of γ, that OMCTS under increasing confinement exhibits the viscosity enhancement and nonnewtonian features of a supercooled liquid approaching the glass transition.

(ii) We observe squeeze-out front dynamics in quantitative agreement with that previously reported [9]. When analyzed within the framework of the BM model, it results in an effective viscosity two orders of magnitude lower than that directly measured in shear. We conclude that such an apparent contradiction arises from an improper assumption by BM about the nature of the mass transport mechanism at play during front propagation.

Experiments were performed on a home-built SFA [14] (Fig. 1). The liquid is confined between two atomically smooth backsilvered mica sheets glued onto crossed cylindrical lenses (radius of curvature ∼1 cm). The normal force F n is measured by means of a load cell of stiffness 9500 N.m -1 . The "contact" area A, over which the mica sheets elastically flatten to form a circular parallel gap in which the liquid is confined, is monitored by videomicroscopy. The thickness of the film, d, is determined by multiple beam interferometry [15] and fast spectral correlation [14,16]. Once confined under a given load, over an area A, the liquid is sheared, in a plane Couette geometry, by moving laterally one surface at a velocity V in the range 10 -4 -10 2 µm.s -1 , while measuring the resulting tangential force F t with a cell of stiffness 5200 N.m -1 . The shear stress sensitivity of the instrument is F t /A ∼ 200 Pa. Our SFA has the unique feature of using the normal force signal as the input of a feedback loop, which allows to perform steady-state experiments over large shear amplitudes (up to hundreds of microns) under constant normal load conditions, whatever the level of confinement of the liquid. The mica sheets were prepared as described in [17], glued onto the cylindrical lenses using a UV curing glue (NOA 81, Norland), and cleaved with adhesive tape immediately before being installed in the SFA, so as to obtain contaminant-free surfaces [18]. OMCTS from Fluka (purum grade ≥99%) was vacuum distilled before use. A drop (∼ 150 µL) of the liquid, filtered through a 0.2 µm membrane, was injected between the surfaces. It was then left at T = 20 ± 0.01 • C for 12h in the sealed SFA, containing P 2 O 5 to scavenge residual moisture, before beginning experiments.

FIG. 1: Force vs distance curve during approach of the surfaces (loading velocity 0.5 nm.s -1 ). Inset: scheme of the setup. White light is shone on the confined film, and the transmitted intensity is sent (i) to a spectrometer for spectral analysis [15], and (ii) to a CCD camera acquiring images of the contact area A at a rate of 55 s -1 .

Fig. 1 shows a force-distance profile measured upon quasi-static approach of the surfaces: it is clearly seen that below 6 nm [START_REF]Steps are observed below ∼9 nm. The first ones, occuring at Fn ≤ 10 -5 N[END_REF], the thickness of the confined liquid decreases by steps of approximately 8 Å, which corresponds to the minor diameter of the slightly oblate OM-CTS molecule. This reflects the well-documented wall-induced layered structure of the fluid, which gives rise to the so-called solvation forces [START_REF] Christenson | [END_REF].

We first focus on shear experiments performed on layered OMCTS films with thicknesses ranging from 6 down to 2 monolayers. Over the whole range of confinement and velocity explored, we have observed: (i) a smooth stable shear response (see time trace in the inset of Fig. 2b), and (ii) a steady-state value of F t which increases with V . On Fig. 2a, we plot the steady-state flow stress σ = F t /A versus shear rate γ = V /d for the different film thicknesses. The same data are plotted on Fig. 2b as the effective viscosity η eff = σ/ γ versus γ. It can be seen that, as the OMCTS thickness is reduced from n =6 to 2 monolayers:

(i) The flow stress, and hence the viscosity, steadily increases [START_REF]σ( γ) have been measured under a pressure p going from 1.5 MPa (n = 6) to 7[END_REF].

(ii) The dependence of σ on γ shifts from linear (newtonian) to sublinear (shear-thinning).

(iii) The crossover shear rate, γc , above which nonnewtonian behavior is observed, shifts to smaller values.

(iv) For n ≤4 monolayers, power-law shear thinning (σ ∼ γα , α < 1) at low γ crosses over to a quasi-plateau regime.

This set of features is characteristic of the approach to jamming, as reported experimentally [4] and predicted by MCT and numerical simulations [2,3]. This is further supported by the fact that η eff ( γ) curves measured for different n collapse onto a single master curve when plotted as η eff /η 0 vs γ/ γc , with η 0 the zero shear viscosity (Fig. 2c). The inset of Fig. 2c shows that both η 0 and 1/ γc (i.e. the relaxation time of the liquid) sharply increase as the film thickness is decreased. The reduced viscosity obeys η eff /η 0 ≃ 1/(1+ γ/ γc ) 0.88 , which is consistent with theoretical predictions for sheared supercooled systems [2]. Finally, the observation of a quasi-plateau regime which does not extend down to the lowest shear rates indicates that, in the present experiments, confined OMCTS approaches but does not reach jamming. This is consistent with the fact that (see inset of Fig. 2b), upon cessation of shear, the stress relaxes (i) very slowly, over ∼ 5 s, and (ii) down to a non-measurable level.

These observations lead us to conclude, in good agreement with DG [6], that OMCTS undergoes dynamical slowdown upon increasing confinement, similarly to a supercooled system close above jamming. Such a conclusion contrasts with that of Klein [7] or Israelachvili [8], who observed responses exhibiting a stick-slip dynamics which they interpret in terms of shear-melting of a confinement-induced ordered solid-like structure. Such a discrepancy might have two origins. (i) The use of different protocols for mica surface preparation: Indeed, the method employed in [7,8], in contrast to that described above, may lead to surface contamination by a submonolayer of nanoparticles, which have been suggested as a possible reason for the observed stick-slip behavior [START_REF] Israelachvili | [END_REF]. (ii) Differences in the crystallographic alignment of the confining surfaces, which is expected to affect the shear response of the intercalated molecular film [23]. No systematic investigation have been made so far of the effect of alignment between contaminant-free surfaces, and we therefore cannot discriminate between point (i) and (ii) above to explain differences.

We now present the results from squeeze-out experiments. During loading, we record the light intensity transmitted through the contact area, along with F n and d. We observe, as in [9,17], that a film of thickness n monolayers drains via nucleation/growth of a circular region of thickness (n -1) layers (see Fig. 3). Nucleation is accompanied by elastic relaxation of the confining sheets, which are locally bent in the boundary zone connecting the regions of thickness n -1 and n (Fig. 3 inset). This creates a 2D pressure gradient which then drives the monolayer expulsion [9]. The local curvature of the mica sheets induces a contrast in the transmitted intensity (Fig. 3a-c) which allows us to follow with time the position of the "squeeze-out" front. We have thus measured, for successive n → n -1 transitions, the squeeze-out time τ needed to expel one monolayer from the contact area A. We have done so before and after rheology experiments, and did not observe any influence of shear history on front dynamics. In the Persson and Tosatti (PT) model [10], the front velocity is related to the 2D pressure gradient by: ∇p 2D = -ρ 2D µ eff V , where p 2D ∼ P a and ρ 2D = ρa [9, 10] (P = F n /A is the applied pressure, ρ the fluid density and a the molecular size), V is the front velocity and µ eff a viscous drag coefficient. The latter is deduced from the squeeze-out time as [10]: µ eff = 4πτ P/(ρA). On Fig. 3d we have plotted µ eff as a function of film thickness for our experiments, along with the values obtained by Becker and Mugele (BM) [9]. There is quantitative agreement between both data sets. BM have extended the PT model by assuming that front propagation is controlled by a "layered" Poiseuille flow between the front and the edge of the confinement area (Fig. 3 inset), and thus proposed that µ eff should identify with the drag coefficient of a Hele-Shaw flow, i.e. µ eff = 12η eff /(ρd 2 ), with ηeff a shear viscosity and d the film thickness [9]. We use this expression to infer ηeff (d) from the front dynamics. On Fig. 3e, we compare [24] it to η eff (d) obtained from shear data. It appears that ηeff , which stays close to the bulk value down to 3-layer-thick films, is about two orders of magnitude lower than η eff .

We propose the following explanation to this apparent paradox. Shear experiments are a straightforward way to measure η eff , in contrast to squeeze-out experiments, which require modelling of the front dynamics to infer a viscosity. Therefore, we consider that the reliable results regarding η eff (d) are those from shear rheology. We are then left with the observation of squeeze-out fronts which, given the η eff (d) obtained in shear, travel much faster than expected from the drag mechanism assumed in the BM picture, from which we have also drawn erroneous conclusions in a recent study [17]. This suggests that the front dynamics is not controlled by the coherent sliding of adjacent incompressible molecular layers ahead of the front. Indeed, another piece of information emerges from the force-distance profile of Fig. 1: between two steps, the film thickness is observed to decrease by about 3 Å as the force is increased. Such a thickness variation is reversible upon load reduction. This shows that layered OMCTS films are substantially compressible, hence contain a non-negligible amount of free volume, which is consistent with the fact that confined films do not reach jamming. This certainly facilitates local rearrangements, and it is therefore likely that during propagation of a squeeze-out front, molecules in the layered region ahead of it permeate between layers in order to accommodate for density variations in the vicinity of the front. The apparent low resistance to front propagation suggests that permeation, rather than large scale coherent sliding of layers, controls mass transport ahead of the fronts. It implies that, pending further modelling, front dynamics cannot be used to infer a viscosity.

In summary, we have probed the rheology of a simple fluid under molecular confinement, and conclude that its behavior is akin to that of a sheared supercooled liquid close above the glass transition. This shows, as suggested by recent experiments on colloids [11], that confinement can be used as an alternative route to finely control the approach to jamming. Our results now raise two important questions. (i) We observe a liquidlike behavior down to the thinnest film investigated, which brings up the issue of how to cross the jamming transition under confinement. Two routes can be envisaged. It can be done by varying the chemical corrugation of the walls, as shown in friction experiments [25] or in numerical simulations [26], or, as mentioned above, by changing the orientation between the crystalline lattices of the confining surfaces. (ii) We find that 6 layer-thick films already exhibit a viscosity two orders of magnitude larger than the bulk value. This raises the question of the scale below which non-bulk behavior appears, and how it compares to the range of surface forces.

We thank A. N. Morozov for fruitful discussion and C. Caroli for critical reading of the manuscript.

FIG. 2 :

 2 FIG. 2: (a) σ( γ) for OMCTS films of ( ) 6, ( ) 5, ( ) 4, (•) 3, and (•) 2 monolayers. (b) η eff ( γ), symbols as in (a). Insert: time trace of (•, left scale) σ measured at V = 0.1 µm.s -1 on a 2nm-thick film, (line, right scale) the forth and back shear motion applied. (c) Master curve showing data from (b) plotted as η eff /η0 vs γ/ γc. The solid line is a fit of the form η eff /η0 = 1/(1 + γ/ γc) 0.88 . Inset: values for η0 (•, left scale) and 1/ γc (•, right scale) used for each n.

FIG. 3 :

 3 FIG. 3: (a-c): Sequence of images (96×96 µm 2 ) showing the front propagation during a 3 → 2 transition. (d): µ eff vs n (number of monolayers). (•) our results, (•) BM results, adapted from [9]. Inset: schematic cross-section of the film during squeeze-out. (e): η eff vs n. (•) measured in shear, and (•) deduced from squeeze-out experiments. The horizontal line indicates the bulk viscosity of OMCTS.