Nathalie Aussenac-Gilles

Anne Condamines

Bases de connaissances terminologiques : enjeux pour la consultation documentaire

Introduction

L'accès aux connaissances contenues dans les textes est un problème traité par de nombreuses disciplines, aussi bien en sciences humaineslinguistique, ergonomie, psychologie ...qu'en sciences dites duresmathématiques, informatique, intelligence artificielle (IA) ... -. L'interaction entre ces disciplines est faible voire inexistante. Dans le cadre d'un projet1 mettant en oeuvre la terminologie et, en informatique, la modélisation des connaissances et la gestion documentaire, nous avons pu faire l'expérience d'une interdisciplinarité et mesurer ainsi les complémentarités possibles entre ces trois axes pour améliorer l'exploitation des connaissances documentaires. En particulier, nous pouvons à présent commencer à évaluer les difficultés et le coût de la construction d'une Base de Connaissances Terminologiques (BCT) selon la démarche que nous préconisons. Nous expérimentons ainsi les possibilités d'utiliser une BCT pour construire un système d'accès à des données textuelles, et ce en dimension réelle, dans un domaine fourni par notre partenaire industriel, la DER d'EDF-GDF. Ce système2 s'appuie sur une structuration hypertexte du document et sur la tâche de l'utilisateur pour proposer une indexation structurée. Il exploite aussi une terminologie extraite du document pour guider la recherche par mots-clés dans l'ensemble du texte. Nous rendons compte ici des résultats de cette expérience et de nos réflexions sur l'utilisation de la BCT que nous avons construite dans le cadre de ce projet. L'article est organisé en quatre parties. La première insiste sur la nécessité d'une collaboration interdisciplinaire pour conduire ce type de recherche. La deuxième décrit la méthode qui a été utilisée pour construire la BCT et le rôle du texte dans cette démarche de construction. La troisième vise à présenter le modèle des données mis au point dans le cadre du projet. Dans la quatrième, nous montrons comment les données de la BCT ont été utilisées pour construire un modèle de tâche et comment on pourrait envisager de les utiliser pour construire un index, voire un thésaurus.

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Le contexte : une collaboration interdisciplinaire

1 L'apport de la linguistique

L'ERSS est une équipe de linguistes dont l'un des axes de recherche est l'analyse des corpus spécialisés, en particulier pour étudier leurs caractéristiques par rapport à des corpus généraux, essentiellement du point de vue du lexique, c'est-à-dire de la terminologie. Appliquer ces recherches conduit à des collaborations avec des entreprises (Matra Marconi Space, CNES, EDF, ...) afin de construire des BCT. Ces BCT, rendent compte à la fois de données linguistiques et de données conceptuelles et se veulent le reflet modélisé du corpus étudié : les données implicites sont rendues explicites, les synonymes sont précisés, les sigles explicités, etc. Le texte étudié est, en principe, la référence ultime pour le terminologue-linguiste, ce qui signifie par exemple que les variations de dénomination voire les incohérences sont notées mais non corrigées. De même, la BCT ne garantit pas l'exhaustivité des données sur un domaine. En revanche, la BCT est une construction solide (partie 2) qui n'est pas élaborée sur des critères intuitifs (comme le sont encore la plupart des bases de données terminologiques) mais grâce à une méthode faisant appel à des critères linguistiques, appliqués à des résultats fournis par des outils d'analyse de texte, critères qui s'affinent au fur et à mesure des expérimentations. Ainsi, la BCT peut être considérée comme une ressource fiable, utilisée soit telle quelle (en consultation directe), soit enrichie, complétée, voire adaptée selon les applications. Dans la mesure où le corpus joue un rôle très important dans la constitution de la BCT, il est évident qu'en retour, la BCT peut être utilisée dans le cadre de la consultation documentaire (partie 3).

L'apport de l'intelligence artificielle

L'apport de l'IA, assuré par une équipe de l'IRIT, est double : il concerne le choix de la représentation des connaissances dans un outil général de gestion de BCT, et l'utilisation de modèles conceptuels définis en IA pour guider la consultation documentaire. Cette deuxième contribution a été évaluée lors d'un précédent projet, Hyperplan (Gros,96) (Gros,97). A l'origine, les modèles conceptuels, issus du génie logiciel, ont servi à analyser et concevoir des systèmes de résolution de problème. Ils offrent un cadre adapté à la description informelle de connaissances, suffisamment structuré pour en permettre des exploitations simples. Nous nous appuyons sur des modèles conceptuels adaptés de ceux de la méthode d'acquisition des connaissances MACAO que nous avons développée (Matta,96)

Les outils

Les outils qui peuvent être utilisés dans le cadre d'une analyse de corpus pour construire une BCT viennent d'horizons très divers (linguistique informatique, IA, analyse statistique ...). Les outils terminologiques proposent des candidats termes (LEXTER (Bourigault,94), NOMINO (Plante,95)) ou des relations conceptuelles candidates (SEEK (Jouis,94), IKARUS (Kavanagh,96)). Suivant les cas, ils mettent en oeuvre soit une méthode descendante, qui projette sur les textes des connaissances sur le fonctionnement des phénomènes langagiers, soit une méthode ascendante, qui fait émerger les régularités du texte sans connaître a priori le fonctionnement des données terminologiques. Prenons l'exemple des termes candidats. NOMINO repère les suites de mots qui obéissent à des patrons syntaxiques dont on présume qu'ils peuvent correspondre à des termes, comme « N de N adj » (atelier de génie logiciel) ou « N de N de N adj » (archivage de l'état de configuration logiciel). Au contraire, LEXTER recherche les candidats termes "en creux", sans préjuger de la forme syntaxique qu'ils peuvent avoir. Il utilise la notion de barrières entre lesquelles peuvent apparaître des termes (exemple : après un verbe et avant une préposition autre que "de" ou "à"). Les outils d'analyse de corpus, comme SATO (Daoust,92) utilisé dans ce projet, servent à explorer les contextes en détail. Ainsi, on peut valider ou invalider, sur la base de connaissances linguistiques, les résultats proposés par les outils terminologiques. Plus ou moins élaborés, ces systèmes permettent de retrouver une chaîne de caractères donnée littéralement ou par ses caractéristiques (i.e. identifiée comme nom ou verbe). Plus rarement, ils s'appuient sur une analyse syntaxique complète pour repérer les termes par leur fonction syntaxique dans la phrase (i.e. complément d'objet direct). D'une utilisation très souple, ces outils autorisent une variété importante d'interrogations sans avoir à décider à l'avance le type de résultats attendus.

Les connaissances linguistiques

La mise en oeuvre de connaissances linguistiques conduit à la fois à justifier les choix qui sont faits et à relier la démarche du terminologue à celle du linguiste. Ainsi, le terminologue bénéficie du développement des connaissances en linguistique.

Pour sélectionner les termes hors contexte, il définit des critères de sélection de termes à partir des listes de candidats-termes proposés. Ces critères peuvent concerner les candidats termes considérés individuellement (termes contenant des éléments trop généraux, trop vagues, etc.) ou les uns par rapport aux autres (termes comportant des éléments opposés comme conception générale vs conception détaillée ou des synonymes comme petit projet vs projet de petite taille). La sélection en contexte permet de travailler sur les relations conceptuelles dans le corpus à l'étude. Il s'agit de construire un modèle de ces relations, indépendamment de leur manifestation linguistique. Ainsi, la même relation "a-pour-partie" peut s'exprimer différemment : X a pour parties (éléments, composants, pièces ...) Y et Z (la, le) (décomposition, découpage,...) de X en Y et Z les deux éléments (morceaux, constituants...) Y et Z de X. Il faut retrouver dans le corpus toutes ces manifestations linguistiques et les identifier comme renvoyant bien à une seule relation conceptuelle. Cette approche suppose que l'on parte d'une batterie de relations les plus générales (et donc les plus fréquentes dans le corpus), actuellement une quinzaine, et de séries de marqueurs linguistiques correspondant à chacune de ces relations. Au fur et à mesure du déroulement du travail en corpus, les marqueurs s'affinent parfois jusqu'à être propres à un corpus donné et de nouvelles relations apparaissent. Ce travail permet aussi de décider quels termes vont être finalement conservés. En effet, seuls seront conservés les mots ou groupes de mots qui dénomment des concepts, c'est-à-dire ceux qui sont mis en relation, dans le corpus, par une relation conceptuelle. Ainsi, dans la phase d'architecture est une phase du cycle de vie, on peut retenir les termes architecture et cycle de vie car le marqueur est une phase de signale la présence d'une relation de partie temporelle.

Analyse des résultats

Les résultats sont analysés en trois temps, puis stockés dans un logiciel de gestion de BCT :  Il faut tout d'abord sélectionner, parmi les données obtenues, celles réellement pertinentes pour la BCT : s'assurer de la validité des marqueurs, de la pertinence des relations les unes par rapport aux autres, éliminer les redondances ...  Il faut ensuite organiser les données selon le modèle : répartir informations linguistiques et conceptuelles et déterminer celles à mentionner dans les liens terme/concept.  Il faut enfin faire valider les données par des experts du domaine, qui confirment ou non la bonne interprétation des données textuelles. En principe, ils ne doivent pas trop corriger ces données car alors, le texte ne servirait plus de référence. Ces trois étapes, décrites à plat, sont, en réalité, effectuées en boucles. Ainsi, la validation par l'expert a lieu à différents états d'avancement de la BCT : pour valider les équivalents (synonymes), puis les relations conceptuelles ... A la fin de l'analyse du corpus et de la saisie des données, on obtient un modèle du texte à travers la modélisation terminologique. Une telle BCT peut être utilisée pour différentes applications ; un logiciel d'accès au contenu du texte qui a servi de référence pour la constituer peut être, à l'évidence, une de ces applications.

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Base de Connaissances Terminologiques : modèle des données

Présentation générale

Les BCT constituent un enrichissement significatif des terminologies papier traditionnelles car elles comportent une trace des informations conceptuelles relevées par le terminologue au moment de l'identification des termes (Meyer,92). Le modèle de structuration des connaissances terminologiques des BCT différencie un niveau linguistique d'un niveau conceptuel : on accède ainsi par les termes du domaine à une modélisation conceptuelle (Bourigault,95). Cette composante s'apparente à la partie descriptive des bases de connaissances, ou encore plus étroitement aux modèles du domaine et aux ontologies en IA (Bachimont,96). Pratiquement, les données d'une BCT sont donc organisées en deux parties : le réseau conceptuel et les données linguistiques, ces dernières étant reliées au corpus d'où elles sont extraites (Séguéla,97). Le modèle de BCT que nous proposons comporte trois types de structures : termes, concepts et textes (Fig. 1). Termes et concepts sont distingués afin de dissocier la manifestation linguistique de la notion qu'elle dénomme. On n'associe donc au terme aucune information conceptuelle : sa signification découle de ses concepts associés. Son interprétation dépend de la sémantique des structures représentant les concepts et en particulier des relations conceptuelles.

Termes et concepts doivent donc être définis conjointement. D'ailleurs, ils sont reliés par des liens illustrant l'usage du terme lorsqu'il désigne ce concept.

Le corpus

Le choix du corpus soulève un problème fondamental : il conditionne le domaine couvert par la BCT (en général, ne sont retenus dans la BCT que les termes présents dans le corpus), mais, inversement, le but de l'étude terminologique dans le domaine va déterminer le choix des textes qui le constituent. Dans notre modèle, le corpus est intégré à la BCT, afin de pouvoir y faire directement référence. De manière transparente pour les utilisateurs, il est découpé en unités (la phrase a priori). Ainsi ce sont à ces unités que renvoient les liens terme/concept.

1 ----- ----- ----- Texte 2 ----- ----- ----- Texte 3 ----- ----- -----

Les termes

Dans notre modèle de BCT, le terme correspond au signifiant. La structure de terme rassemble donc, en plus du syntagme qui le désigne, uniquement des informations linguistiques : langue, variantes de forme, catégorie grammaticale, genre, ... Les relations entre termes, comme la synonymie ou la polysémie, sont implicites et calculables à partir des liens terme-concept. Pour savoir si deux termes sont proches, assimilables ou différents, on fait appel au concept associé.

Les concepts et relations conceptuelles

La Si, dans le texte, on trouve plusieurs descriptions d'un même concept, on distinguera autant de concepts que de descriptions, sans utiliser nécessairement la notion de point de vue.  L'interprétation de cette description, liée à son degré de formalisation. Nous avons donné priorité à l'interprétation humaine, par le linguiste qui construit la BCT mais aussi par d'autres personnes, en imposant une description seulement structurée et normalisée. Un concept est donc représenté par un frame où sont explicitées sa place dans la hiérarchie des concepts (selon la relation « est-un »), les connaissances de différenciation (attributs et relations conceptuelles, hérités ou non par les concepts fils), selon un format précis, mais non interprétable par la machine. D'après ce choix, les relations conceptuelles ont, en plus du rôle d'organisation du modèle, un rôle de différenciation linguistique des concepts reliés. Leurs types sont soit prédéfinis, soit propres au domaine. Ces relations n'ont pas une sémantique formelle, mais elles peuvent être interprétées sans erreur grâce à un texte de définition. Le lien terme-concept comporte des informations qui caractérisent les conditions dans lesquelles ce terme désigne ce concept : des extraits du corpus illustrant des usages du terme ; les locuteurs pour qui ce lien est valide ; éventuellement, des marqueurs syntaxico-sémantiques servant à repérer dans les textes des relations conceptuelles associées au concept.

Des données de la BCT à un système de consultation documentaire

Dans le domaine applicatif étudié, le génie logiciel scientifique et technique, la documentation concernée est le guide MOUGLIS3 . Ce classeur, d'environ 350 pages, contient plusieurs types de documents techniques : des recommandations méthodologiques, des plans types ou des guides de rédaction. Une BCT a donc été construite à partir de l'analyse terminologique du Guide, selon la démarche présentée en partie 2, et exploitée pour mettre au point un système de consultation en ligne du Guide, qui est pour le moment sur support papier.

Le système de consultation visé

Le système de consultation documentaire visé s'appuie sur une structure hypertexte pour offrir différents types d'accès au texte, choisis pour leur complémentarité : table des matières ; index de termes, hiérarchisé et précis ; index des activités ; recherche plein texte avec possibilité d'étendre les requêtes en parcourant une hiérarchie de concepts. Une de ses originalités est de proposer au lecteur des accès prédéfinis, choisis pour leur pertinence dans différents contextes (étapes de la tâche au cours de laquelle il utilise le document).

Utilisation de la BCT pour mettre au point le modèle de la tâche

Nature du modèle de la tâche

Dans un contexte de consultation documentaire, un modèle de tâche doit refléter la tâche de celui qui consultera la documentation. Ainsi, il sert à préciser la partie de la tâche que l'utilisateur est en train de réaliser lorsqu'il recherche des informations sur un certain concept.

Choix des champs décrivant les tâches

La description des tâches consiste à associer à chacune un ensemble de concepts pertinents pour sa réalisation. Pour en faciliter la lecture, ces concepts sont organisés selon un plan découpé en « champs », et ceci en fonction de leur « rôle » ou utilisation pour réaliser la tâche. A l'origine, nous avons repris les champs proposés dans le formalisme de MACAO : entrées, sorties, connaissances associées et méthodes. Or dans le document, les tâches sont décrites selon un autre format : documents en entrée/finalisés/initialisés, activités principales, éléments logiciels en entrée/sortie. Afin de garantir la cohérence entre document et modèle, et de rester au plus près de la terminologie familière aux lecteurs, nous avons retenu les mêmes champs que dans le document, ajoutant une description générale à chaque tâche. Des traces de ces champs se retrouvent dans les étiquettes de certaines relations associées aux concepts de phases dans la BCT. Les relations 'conditionne-le-debut-de' (qui précise les résultats requis au début d'une phase) ou 'conditionne-la-fin-de' (qui précise quand une phase est jugée terminée) renvoient aux conditions de réalisation (début et fin) des phases. Elles correspondent aux champs documents en entrée ou document finalisé. De même, la relation 'est-initialisépendant', reliant un document et une phase correspond au champ documents initialisés.

Choix des concepts associés aux tâches et contribuant à leur description

Les concepts associés aux tâches ont été choisis tout d'abord à partir des mots utilisés dans la description en langage naturel de la tâche. Ensuite, cette description a été affinée grâce au réseau conceptuel de la BCT, et c'est là sans doute l'apport le plus significatif de la BCT au modèle. Pour cela, nous avons exploité non pas le nom des relations entre concepts de haut niveau, comme à l'étape précédente, mais les relations spécifiques d'un type donné entre des concepts plus spécifiques. Ainsi, l'ensemble des relations de type 'est-initialisé-pendant' entre les concepts d'étiquette phases-de-... et des fils de document indique les concepts à associer au champ initialisé pendant des tâches correspondantes. D'autres relations présentes dans la BCT ont permis de rajouter à la description de tâches des concepts parce qu'ils étaient en relation avec des concepts déjà mentionnés dans ces tâches. De plus, la confrontation à la BCT a permis de garantir un choix d'étiquettes de concepts cohérent avec le vocabulaire utilisé dans le document.

Choix des références associées aux concepts

Il est sans doute surprenant a priori de noter que la BCT joue une rôle moindre dans la sélection des références associées aux concepts du modèle. Mais cela l'est moins si l'on rappelle les critères appliqués pour retenir une unité textuelle dans les deux cas : critères définitoires, relatifs à l'identification des relations conceptuelles et à la présence du terme associé, dans la BCT (cf. de la connaissance d'un domaine. Un thésaurus se distingue d'un index par le fait que l'index est construit en référence à un texte alors que le thésaurus est construit par introspection. Une BCT, elle, comme l'index, est toujours construite en référence à un texte. Cependant, une BCT pourrait être utilisée comme thésaurus si elle est construite à partir d'un très important volume de textes qui couvrent un domaine entier, en limitant alors le nombre des relations. Enfin, soulignons qu'un des intérêts majeurs d'une BCT est son mode de construction systématique (par opposition à la manière souvent intuitive dont sont construits index et thésaurus). La BCT serait donc plus fiable puisqu'on peut vérifier l'origine des données et la manière dont elles ont été organisées.

Intérêt de la BCT pour guider la consultation documentaire.

La consultation documentaire «plein texte» met souvent en oeuvre des relations sémantiques pour élargir le champ des requêtes. Lorsque, par exemple, on ne trouve pas un mot dans un texte, il est tout à fait légitime de chercher le mot hyperonyme ou celui qui dénomme une partie du concept dénommé par le mot. Ainsi, si à la question "le satellite a-t-il été endommagé?", le logiciel de recherche ne trouve que la phrase "la plate-forme a été endommagée", il doit pouvoir répondre positivement, sachant que la plate-forme est une partie du satellite. Il existe désormais des projets de grande envergure qui visent à recenser, pour une langue, les relations sémantiques qui structurent le lexique. C'est le cas du projet Wordnet, et maintenant du projet Eurowordnet pour les langues européennes. Pour chaque nom (mais les verbes, adjectifs et adverbes sont aussi traités), on peut obtenir ses synonymes, antonymes, hyperonyme, ainsi que les noms qui dénomment l'objet dont le nom traité est une partie ou bien les objets qui sont des parties de l'objet dénommé par le nom traité. Il existe aussi une relation "terme coordonné" qui correspond au "voir aussi" des thésaurus. Pour les domaines spécialisés, qui relèvent d'une connaissance experte, ce sont les terminologues qui, traditionnellement, travaillent sur le lexique. Mais alors les relations conceptuelles sont peu étudiées et lorsqu'elles sont notées, c'est souvent de manière intuitive. Dans le cas des corpus spécialisés, la BCT est certainement une source de données très fiable pour constituer le réseau des relations à retenir pour la recherche «plein texte». La seule difficulté consiste à déterminer celles des relations conceptuelles qui vont être retenues. Tout comme pour la constitution de l'index, il convient sans doute, en effet, de ne pas laisser ouverts trop de chemins possibles sous peine d'aboutir à une explosion combinatoire.

Conclusion

Pratiquement, notre projet est en phase finale. Les bilans tirés de ce travail, qu'ils concernent la pertinence de nos choix méthodologiques, de la représentation des connaissances proposée ou l'intérêt de constituer des BCT pour définir des applications documentaires, ne sont encore que partiels. En tant que source de connaissances et de données associées à un corpus, les BCT semblent des supports tout à fait prometteurs et des bases de travail intéressantes. Par contre, il nous reste encore à mieux évaluer le coût de leur mise au point, l'adéquation de notre démarche, et sa validité sur un autre type de corpus (plus volumineux, plus éloigné de la tâche des utilisateurs par exemple

Figure 1 :

 1 Figure 1 : Organisation des données dans la BCT. Le réseau conceptuel, à droite, est relié aux données terminologiques, à gauche, par des liens qui renvoient à des parties du texte.

  . Une partie du modèle décrit les objets du domaine, leurs propriétés et leurs relations, ainsi que les règles ou contraintes du domaine utilisées pour la résolution de problèmes : c'est le modèle du domaine. Assimilé à un réseau conceptuel, il comporte des connaissances dites descriptives ou statiques. Une deuxième partie du modèle décrit les buts à atteindre pour résoudre ces problèmes et les méthodes de résolution applicables pour réaliser ces buts. Ces méthodes utilisent les connaissances du domaine selon le contrôle qu'elles définissent. Buts et méthodes constituent un modèle de raisonnement, dit dynamique, ou modèle de tâche.

Dans l'objectif de construire un système de résolution de problème, le modèle conceptuel constitue un support au recueil et à l'organisation des connaissances, ainsi qu'un ensemble de spécifications du futur système. En revanche, dans le cadre de la consultation documentaire, cette notion doit être adaptée afin d'assurer des liens vers les textes. Le modèle doit refléter la tâche effectuée par la personne recherchant des informations dans le document.

2 Base de Connaissances Terminologiques : démarche de conception

  Afin de garantir sa fiabilité et ainsi son utilisabilité, la BCT doit être construite avec une méthode précise qui laisse le moins de place possible aux choix basés sur la seule intuition. Cet objectif de transparence garantit aussi que cette méthode puisse être vérifiée, reproduite et enseignée.

	Enfin,
	en explicitant les critères qui président au choix des données de la BCT, non seulement on
	enrichit la connaissance théorique qu'on peut avoir de ces données, mais on définit aussi les
	tâches effectuées par des outils, en totalité ou partiellement, et celles ne pouvant être réalisées que
	manuellement. Définir la méthode de construction de BCT suppose donc aussi que soient
	recensés, voire spécifiés, les outils accélérant cette démarche sans altérer la fiabilité des résultats
	(Condamines,97). Sa mise en place nécessite également d'identifier les connaissances
	linguistiques pertinentes pour définir des critères de choix des données à conserver. Enfin, il
	s'agit d'évaluer les possibilités d'intégration des résultats fournis par les outils dans la réflexion
	linguistique ainsi que le sens à leur donner dans le cadre de la constitution de la BCT.

  modélisation conceptuelle de la BCT vise la caractérisation des notions et non leur définition exhaustive. Un concept est repéré par un identifiant, dans notre cas adapté d'un des termes associés qui peuvent le dénommer. Il véhicule un ensemble d'informations sémantiques, sa description, qui fait apparaître des caractéristiques de la notion correspondante, telles que le terminologue les a repérées dans les textes. Cette description doit être suffisamment explicite, Les valeurs d'attributs et relations d'un concept le caractérisent donc de manière unique. Les vérifications associées à la validation des concepts garantissent cette normalisation et ainsi la cohérence du réseau conceptuel.  La gestion des différentes descriptions possibles d'un concept (ou points de vue) : la notion de point de vue a été retenue au sens linguistique, et s'applique à un terme qui prend plusieurs sens pour un même locuteur. Ainsi, le terme cycle de vie prend deux sens différents dans le document pour les mêmes locuteurs (dont le rédacteur du document). Il est donc relié à deux concepts (#cycle en V et #cycle en spirale). Sur le lien vers le concept #cycle en V est indiqué que ce point de vue est dominant pour le rédacteur du document.

puisque son interprétation indique la définition des termes associés

(Bachimont,96)

. En fait, la description des concepts soulève trois problèmes, pour lesquels nous avons retenu des solutions qui privilégient le point de vue du linguiste (choix justifiés dans (Séguéla,97)) :  Le choix des critères de différenciation des concepts : nous avons décidé qu'un nouveau concept soit créé chaque fois que l'analyse des textes le suggère. Dans sa représentation, ce nouveau concept doit se distinguer d'un concept existant par au moins une relation conceptuelle ou un attribut. Par exemple, la phrase Le dossier de spécification est construit pendant la phase de spécification permet de repérer la relation conceptuelle est-commencépendant entre deux concepts, phase de spécification et dossier de spécification. Cette relation peut servir à différencier le concept dossier de spécification de son père dans la hiérarchie conceptuelle, document.

de la tâche sous forme d'un arbre de tâches

  De même, le modèle du domaine est particulier : il est constitué des concepts utiles à la description de la tâche, mais aussi de références au texte. Pour chaque concept et dans chaque tâche où il est mentionné, ces références sont choisies de manière à présenter le passage du document expliquant le mieux comment ce concept est utilisé pour réaliser cette tâche, en quoi il consiste ou à quoi il sert. Le modèle conceptuel permet donc de définir avec les utilisateurs un ensemble de contextes de consultation, et de fixer des parties de texte pertinentes dans ces contextes. Pour obtenir ce modèle, nous exploitons les données de la BCT, et surtout, nous suivons une démarche basée sur une approche ergonomique. L'idéal serait d'étudier l'activité réelle des utilisateurs. Or dans ce projet, nous nous sommes heurtés à deux difficultés : la tâche étudiée concerne l'ensemble d'un projet, soit plusieurs types d'intervenants ; et surtout, nous n'avons pu procéder à des observations mais seulement à des entretiens auprès d'un expert, l'auteur des documents. En même temps, le modèle doit demeurer cohérent avec le contenu du document, également plus proche de la tâche prescrite que de l'activité. Nous avons donc constitué un modèle de la tâche prescrite, et ceci en trois temps : une première ébauche décrivait les tâches avec du texte ; puis un modèle plus structuré les a décrites à l'aide de concepts regroupés en 'champs' ; enfin, dans le modèle final, les concepts renvoient à des occurrences dans le texte.La BCT reflète la description de la tâche prescrite que présente le document. Par exemple, tous les concepts ayant pour étiquette 'phase de ...' correspondent aux phases d'un projet et donc aux tâches du modèle. Ils sont reliés entre eux par des relations : 'est-une-phase-de' indique qu'une phase entre dans la décomposition d'une autre et 'précède' indique la chronologie de leur déroulement. Enfin, les concepts de phases sont reliés à des activités plus élémentaires par la relation 'est-une-étape-de'. Ces informations ont été utilisées pour choisir une dénomination des tâches cohérente avec le texte et pour vérifier les résultats de l'analyse faite par le cogniticien du document et des entretiens avec l'expert. Elles ont permis de s'assurer de la décomposition des tâches, de leur ordre et de leur position dans l'arbre. Finalement, après validation par l'expert, le degré de décomposition de la tâche n'est pas le même dans la BCT et dans le modèle de tâche.

	4.2.2	Décomposition

Certaines activités ont pris le statut de tâches dans le modèle afin d'en faciliter la lecture.

  3.1) ; critères contextuels, relatifs à l'utilisation du concept dans une tâche, dans le modèle (cf. 4.2.1). Les occurrences citées dans la BCT peuvent donc être reprises dans le cas où l'on veut renvoyer à une définition du concept. Mais dans les autres cas, le choix d'une référence suppose un retour vers le texte, via un outil comme SATO, pour rechercher les plus pertinentes parmi les occurrences du terme, ou parmi les paragraphes les englobant.Le terme d'indexation est ambigu. Il peut en effet renvoyer à la détermination soit d'indexeurs, soit de mots-clés. Les indexeurs sont des mots ou groupes de mots extraits du document et recensés en une liste, l'index. Pour chaque indexeur, l'index donne les références des passages (tous ou ceux jugés les plus pertinents) où il apparaît. L'index est ou non hiérarchisé mais la structure qui organise cette hiérarchie (la nature des relations) n'est pas explicitée. Les mots-clés, eux, sont définis a priori pour un domaine, souvent avec l'aide d'experts, et organisés en thésaurus. Ce thésaurus est également hiérarchisé avec des relations très rarement explicitées. Les documentalistes y choisissent les mots-clés adéquats pour caractériser un document. En résumé, les mots-clés servent à retrouver un document pertinent à l'intérieur d'un ensemble de documents et les indexeurs servent à retrouver un passage pertinent à l'intérieur d'un document : dans les deux cas, il s'agit de retrouver du texte pertinent à l'intérieur d'un volume de données textuelles largement supérieur à la partie pertinente. De plus, les relations logico-sémantiques implicites qui structurent un index sont très probablement de la même nature que celles qui structurent un thésaurus. Enfin, il n'est pas impossible de trouver, à l'intérieur des index, des mots-clés, c'est-à-dire des mots qui ne sont pas utilisés dans le document mais qui sont pertinents pour accéder à des passages du texte.Conçue en lien étroit avec le texte, il est évident que la BCT peut être directement utilisée pour constituer l'index. Trois éléments doivent cependant être examinés dans cette perspective :  Il n'est pas certain qu'il soit judicieux de conserver toutes les relations conceptuelles de la BCT. D'une part, certaines relations sont sans doute moins parlantes, moins immédiates pour l'utilisateur. Ainsi, dans le projet auquel nous participons, la relation "conditionne le début de", considérée comme très importante par le principal rédacteur du document, n'est sans doute pas à retenir dans l'index. D'autre part, il convient peut-être de ne pas surcharger l'index avec de multiples relations qui risquent de noyer les relations les plus structurantes. En réalité, seule l'expérimentation réelle, qui permettra d'évaluer la réaction des utilisateurs, permettra d'apprécier les choix qui auront été faits.  Les termes de la BCT ne sont peut-être pas tous pertinents pour l'index ; il se peut que le nombre de termes retenus pour la BCT (près de 1500 pour le projet concerné) soit beaucoup trop élevé. Mais, là encore, il est difficile de décider du nombre idéal d'indexeurs, surtout tant qu'une expérimentation n'a pas été réalisée. Le fait de disposer de l'index et du document sur support informatique et non sur papier change en effet considérablement le nombre d'indexeurs tolérés.  Le rajout d'éventuels mots-clés, méta-termes qui synthétiseraient un ensemble de termes, supposerait qu'on fasse appel à une "méta-BCT", ce qui nous amène à examiner les rapports entre BCT et thésaurus. Si on regarde de près les contenus d'un thésaurus et d'une BCT, il semble qu'il y ait assez peu de différences. Tous deux présentent des concepts structurés, des informations linguistiques et des informations d'usage. Les principales différences sont au nombre de trois :  Dans une BCT, les informations linguistiques et conceptuelles sont nettement identifiées et distinguées. Dans un thésaurus, cette distinction est aplatie : on ne distingue pas, par exemple, les liens de synonymie ou d'antonymie des liens de généricité ou de partie-à-tout.  Dans une BCT, les relations conceptuelles sont très définies, leur sémantique est clairement explicitée, on tend même vers leur formalisation. Dans un thésaurus, les relations conceptuelles sont peu précises et souvent même pas explicitées ; la relation "voir aussi", très vague, autorise toutes les interprétations.  Une BCT est toujours construite à partir de corpus alors qu'un thésaurus est construit à partir

	4.3 4.3.3	Des données de la BCT à une indexation De la BCT à un thésaurus
	4.3.1	Index ou thésaurus ?
	Dans ce double mouvement : des mots-clés au texte et du texte aux indexeurs, comment peut-être
	utilisée la BCT ?
	4.3.2	De la BCT à un index

  ). D'autres pistes d'évaluation de nos hypothèses restent à explorer. Maintenant que nous avons développé un environnement informatique de gestion de BCT, nous allons mesurer son adéquation aux besoins des terminologues. Nous envisageons aussi d'autres types d'utilisation des BCT conçues selon notre approche et notre modèle, comme la construction d'ontologies ou de modèles formels(Napoli,93), voire la consultation directe par des acteurs de différents métiers amenés à coopérer. L'étude du passage des BCT aux ontologies est d'un enjeux majeur en IA car il peut donner une validité nouvelle à ces ontologies (Aussenac,95). Dans une perspective plus linguistique, les BCT soulèvent la question de la continuité entre thésaurus et BCT. On peut se demander si les BCT, assimilables à une version informatisée des thésaurus, en sont ou non l'avenir. Bibliographie AUSSENAC-GILLES N., BOURIGAULT D., CONDAMINES A., GROS C. (1995) : « How Can Knowledge Acquisition Benefit from Terminology ? », Proc. 9th Knowledge Acquisition Workshop, Banff. pp. 1/1-1/19. BACHIMONT B. (1996) : « Engagement sémantique et engagement onotoloqique : propositions méthodologiques et problèmes théoriques à propos des ontologies en IA ». Actes des JAC. Séte. Mai 1996.

Ce projet de

ans est financé en partie par la DER d'EDF-GDF, par le Groupement d'Intérêt Scientifique « Sciences de la Cognition » et par la région Midi-Pyrénées. 2 Les fonctionnalités de ce système sont indentiques à celles du logiciel Hyperplan, décrit dans(Gros,97).

Méthodes et Outils pour le Génie Logiciel en Informatique Scientifique


Yu Zhou
email: yu.zhou@inria.fr

Andrey Polyakov

Gang Zheng

Generalized Homogeneous Control with Integral Action

Keywords: Homogeneous system, integral control, finite-time, strict Lyapunov

A generalized homogeneous control with integral action for a multiple-input plant operating under uncertainty conditions is designed. The stability analysis is essentially based on a special version of the non-smooth Lyapunov function theorem for differential equations with discontinuous right-hand sides. A Lyapunov function for analysis of the closed-loop system is presented. For negative homogeneity degree, this Lyapunov function becomes a strict Lyapunov function allowing an advanced analysis to be provided. In particular, the maximum control magnitude and the settling-time of the closed-loop system are estimated and a class of disturbances to be rejected by the control law is characterized. The control parameters are tuned by solving a system of Linear Matrix Inequalities (LMIs), whose feasibility is proved at least for small (close to zero) homogeneity degrees. The theoretical results are illustrated by numerical simulations.

INTRODUCTION

The presence of unknown non-vanishing perturbations and uncertainties can lead the system to an unknown equilibrium. A continuous static feedback controller cannot stabilize a system with a matched non-vanishing disturbance to the origin. Sliding mode control, disturbance observer, and integral control are three common methods for compensating the matched unknown non-vanishing (at the origin) perturbations. Theoretically sliding mode control can compensate matched bounded non-vanishing perturbations. However, in practice, discontinuous control action of the sliding mode control evokes a "chattering", which may even damage a plant in some cases. Integral control action is used in practice in order to eliminate an unknown constant perturbation. In some cases, it can be utilized to reduce the chattering of the sliding mode controller, as for example, in the case of the super-twisting algorithm [START_REF] Levant | Sliding order and sliding accuracy in sliding mode control[END_REF] .

Integral control has an outstanding history in the context of PID (Proportional-Integral-Derivative) control theory. Linear MIMO ( Multiple-Input Multiple-Output) control systems with integral actions are studied, for example, in [START_REF] Morari | Robust stability of systems with integral control[END_REF][START_REF] Gundes | PID stabilization of MIMO plants[END_REF][START_REF] Gündeş | MIMO controller synthesis with integral-action integrity[END_REF] . Linear PI control for nonlinear system is considered in [START_REF] Desoer | Tracking and disturbance rejection of MIMO nonlinear systems with PI controller[END_REF][START_REF] Pachter | Proportional and integral control of nonlinear systems[END_REF] . Some nonlinear integral actions are proposed in [START_REF] Freeman | Robust integral control for a class of uncertain nonlinear systems[END_REF] , [START_REF] Kelly | Global positioning of robot manipulators via PD control plus a class of nonlinear integral actions[END_REF] .

Homogeneity is a dilation symmetry, which is widely used in control theory for system analysis, regulation and observer design [START_REF] Kawski | Families of dilations and asymptotic stability[END_REF][START_REF] Bacciotti | Lyapunov Functions and Stability in Control Theory[END_REF][START_REF] Levant | Homogeneity approach to high-order sliding mode design[END_REF][START_REF] Orlov | Finite time stability and robust control synthesis of uncertain switched systems[END_REF][START_REF] Bhat | Geometric homogeneity with applications to finite-time stability[END_REF][START_REF] Bernuau | On homogeneity and its application in sliding mode control[END_REF][START_REF] Polyakov | Generalized homogeneity in systems and control[END_REF] . Such interest in the homogeneity concept is caused by various useful features of homogeneous systems. In particular, local stability of homogeneous system means the global one; the rate of convergence of homogeneous systems can be assessed by its homogeneity degree [START_REF] Nakamura | Smooth Lyapunov functions for homogeneous differential inclusions[END_REF] ; homogeneous systems are robust with respect to a large class of external perturbations [START_REF]Universal stabilization of a class of nonlinear systems with homogeneous vector fields[END_REF][START_REF] Hong | H ∞ control, stabilization, and input-output stability of nonlinear systems with homogeneous properties[END_REF][START_REF] Andrieu | Homogeneous approximation, recursive observer design, and output feedback[END_REF][START_REF] Bernuau | Verification of ISS, iISS and IOSS properties applying weighted homogeneity[END_REF] and time delays [START_REF] Zimenko | A note on delay robustness for homogeneous systems with negative degree[END_REF] , etc. The most common type of homogeneity used in control design is the so-called weighted homogeneity [START_REF] Bhat | Geometric homogeneity with applications to finite-time stability[END_REF][START_REF] Andrieu | Homogeneous approximation, recursive observer design, and output feedback[END_REF][START_REF] Polyakov | Finite-time and fixed-time stabilization: Implicit Lyapunov function approach[END_REF] .

In [START_REF] Nakamura | High precision control of robot manipulators via finite-time P-PI control[END_REF][START_REF] Nakamura | Homogeneous integral finite-time control and its application to robot control[END_REF] , a homogeneous proportional-integral-derivative control for a single-input-single-output(SISO) system is proposed and its performance is validated by experiments with a robot manipulator. In [START_REF] Mercado-Uribe | Fixed-time homogeneous integral controller[END_REF] , a weighted homogeneous integral control with positive degree on second-order and third-order system is proposed. A weighted homogeneous integral control based on implicit Lyapunov function for a Multiple-Input Multiple-Output (MIMO) system is proposed in [START_REF] Mercado-Uribe | Multiple-input multiple-output homogeneous integral control design using the implicit Lyapunov function approach[END_REF] . The use of the weighted homogeneity-based technique for linear MIMO plants requires specific decomposition of the system [START_REF] Polyakov | Robust stabilization of MIMO systems in finite/fixed time[END_REF] leading to some cumbersome constructions [START_REF] Mercado-Uribe | Multiple-input multiple-output homogeneous integral control design using the implicit Lyapunov function approach[END_REF] .

The so-called linear homogeneity studied in this paper covers the weighted homogeneity as a particular case. It is shown in [START_REF] Polyakov | Sliding mode control design using canonical homogeneous norm[END_REF] , all important results known for standard and weighted homogeneous systems hold for linearly homogeneous systems as well. The linear homogeneity is shown to be useful for the homogeneous MIMO control systems design [START_REF] Polyakov | Sliding mode control design using canonical homogeneous norm[END_REF] , [START_REF] Zimenko | Robust feedback stabilization of linear MIMO systems using generalized homogenization[END_REF] . The generalized homogeneous control with integral action is proposed in [START_REF] Polyakov | Generalized homogeneity in systems and control[END_REF] and was utilized for an upgrade of existing linear control law to a generalized homogeneous one in [START_REF] Wang | Generalized homogenization of linear controllers: theory and experiment[END_REF] . The stability of the system is studied based on LaSalle's invariance principle, which does not allow an advanced stability analysis such as settling time estimation and characterization of the perturbations to be rejected.

A strict non-smooth Lyapunov for the super-twisting system (being planar and weighted homogeneous) is proposed in [START_REF] Moreno | Strict Lyapunov functions for the super-twisting algorithm[END_REF] . It allows the algebraic stability/stabilization condition, the simple scheme for the settling-time estimation as well as for the robustness analysis to be provided. In this paper we extend the strict Lyapunov function from [START_REF] Moreno | Strict Lyapunov functions for the super-twisting algorithm[END_REF] to MIMO generalized homogeneous system using the so-called canonical homogeneous norm (see Definition 3). Unlike the paper [START_REF] Moreno | Strict Lyapunov functions for the super-twisting algorithm[END_REF] , the singularity set of the nonsmooth Lyapunov function in the MIMO case is an -dimensional manifold of the space ℝ + . This complicates the stability analysis and requires an application of a special non-smooth Lyapunov function theorem. However, similarly to [START_REF] Moreno | Strict Lyapunov functions for the super-twisting algorithm[END_REF] , this allows the procedure of the control parameters tuning to be formalized in terms of LMIs and an advanced convergence/robustness analysis to be provided.

The main contributions of the paper are as follows.

1. The stability analysis based on a non-smooth Lyapunov function, introduced in [START_REF] Moreno | Strict Lyapunov functions for the super-twisting algorithm[END_REF] for a planar weighted homogeneous system, is extended to the multidimensional case using the canonical homogeneous norm.

2. A generalized homogeneous integral control is proposed for finite-time stabilization of a linear MIMO system under nonvanishing matched and vanishing (at the origin) mismatched perturbations. A strict non-smooth Lyapunov function is constructed. It is shown that control parameters can be tuned by means of solving a system of LMIs.

3. The settling time and the maximal magnitude of the control are estimated.

4. A class of perturbations, which can be rejected by means of the homogeneous integral control, is characterized.

The preliminary version of this paper was presented at the Conference on Decision and Control 2021 [START_REF] Zhou | On strict homogeneous Lyapunov function for generalized homogeneous PI controller[END_REF] . The key differences of this paper are as follows:

• A new generalized homogeneous integral controller is introduced.

• A less conservative LMIs for control parameters tuning are obtained and their feasibility is proven.

• Detailed proofs of all claims are presented.

• New numerical examples, better illustrating theoretical results, are presented.

The paper is organized as follows: Section 2 presents the basic facts about the homogeneous systems and homogeneous control. The problem statement is given in Section 3. Section 4 presents the main results of this paper: a non-smooth Lyapunov function theorem for multi-dimensional differential equations with discontinuous right-hand sides; generalized homogeneous control with integral action and analysis of the closed-loop system via a new strict Lyapunov function. In Section 5, a third-order MIMO linear system with a generalized homogeneous integral controller is studied, and numerical simulations of the proposed control for an omnidirectional mobile robot are presented. Proofs of all claims are given in Appendix.

NOTATION

ℝ is the set of real numbers,

ℝ + = { ∈ ℝ ∶ ≥ 0}; ‖ ‖ = √ ⊤
is the weighted Euclidean norm in ℝ , where a positive definite matrix = ⊤ ∈ ℝ × defined dependently on the context; denotes the zero element of a vector space (e.g., ∈ ℝ is the zero vector but ∈ ℝ × is the zero matrix); ∈ ℝ × is the identity matrix; diag =1 is the diagonal matrix with elements ; ≻ 0(≺ 0, ⪰ 0, ⪯ 0) for ∈ ℝ × means that the matrix is symmetric and positive (negative) definite (semidefinite); ( , ) denotes the space of continuous functions → , where , are subsets of normed vector spaces;

( , ) is the space of functions continuously differentiable at least up to the order ; min ( ) and max ( ) represent the minimal and maximal eigenvalue of a matrix = ⊤ ; max { , } means the maximal value among and ; for ⪰ 0 the square root of is a matrix

= 1 2 such that 2 = ; if ∈ ℝ × then ‖ ‖ = sup ≠ ‖ ‖
‖ ‖ ; a function ∶ [0, +∞) → [0, +∞) belongs to the class  if it is positive definite, continuous and strictly increasing; a class  function belongs to the class  ∞ if ( ) → +∞ as → +∞; a continuous function ∶ ℝ + × ℝ + → ℝ + belongs to the class  if it is  with respect to the first argument and strictly decreasing to zero with respect to the second argument; ∞ denotes the set of essentially bounded measurable functions ℝ → ℝ and ‖ ‖ ∞ ( 0 , 1 ) = ess sup ∈( 0 , 1 ) ‖ ( )‖.

PROBLEM STATEMENT

Let us consider the following system:

̇ = + + ̃ 2 ( ) + 1 ( , ), > 0, (0) = 0 ∈ ℝ , (1)
where ( ) ∈ ℝ is the system state, ( ) ∈ ℝ is a control to be designed, ∈ ℝ × and ∈ ℝ × are system matrices, the unknown function 1 ∶ ℝ + × ℝ → ℝ is assumed to be locally Lebesgue measurable and locally bounded, the unknown function ̃ 2 ∶ ℝ + → ℝ is assumed to be locally Lipschitz continuous. The function ̃ 2 defines matched (possibly non-vanishing) perturbations. The function 1 , which may contain mismatched uncertainties, is assumed to be vanishing as goes to zero, e.g., drag or damping forces in the case of a mechanical system. Notice that the latter vanishing condition is necessary for the stabilizability of the system (otherwise = 0 is not an equilibrium). More restrictions to admissible perturbations 1 and ̃ 2 are given in Section 4.

We study the considered system under the following main assumption.

Assumption 1. The pair of ( , ) is controllable and all states are available/measurable.

Our aim is to design a control law with integral action

= 1 ( )+ ∫ 0 2 ( ( )) , ∶ ℝ → ℝ , = 1, 2, (2)
such that the closed-loop unperturbed system (1)-( 2) is homogeneous of negative degree (in a generalized sense described below) and asymptotically stable. We also need to characterize perturbations 1 and ̃ 2 , which can be rejected by this controller.

PRELIMINARIES

Homogeneous Systems

By definition, the homogeneity is a dilation symmetry 33 34 9 35 15 . A dilation [START_REF] Kawski | Families of dilations and asymptotic stability[END_REF] , 36 is a one-parameter group ( ), ∈ ℝ of transformations satisfying the limit property:

lim → ∞ ‖ ( ) ‖ = ∞ , ∞ = ±∞, ∀ ≠ .

Examples of dilations in ℝ are

• Uniform dilation (L. Euler, 18th century): ( ) = , where is the identity matrix ℝ ;

• Weighted dilation 33 : ( ) = , where > 0, = 1, 2, … , .

• Geometric dilation is a flow generated by unstable 1 vector field in ℝ (see 34 , 9 ).

In this paper we deal only with the so-called linear (geometric) dilation in ℝ , which is defined as follows

( ) = ∶= +∞ ∑ =0 ! , ∈ ℝ , ( 3
)
where ∈ ℝ is said to be an anti-Hurwitz 1 matrix called the generator of the dilation . Definition 1. [START_REF] Polyakov | Sliding mode control design using canonical homogeneous norm[END_REF] A dilation is monotone if → ‖ ( ) ‖ is a monotone increasing function for any ≠ .

Monotonicity of the dilation may depend of the norm in ℝ . Any linear dilation in ℝ is monotone [START_REF] Polyakov | Sliding mode control design using canonical homogeneous norm[END_REF] with respect to the norm in ℝ is defined as follows

‖ ‖ = √ ⊤ , + ⊤ ≻ 0, 0 ≺ = ⊤ ∈ ℝ × . ( 4
)
The linear dilation introduces an alternative norm topology in ℝ by means of a homogeneous norm (see, e.g., [START_REF] Grüne | Homogeneous state feedback stabilization of homogeneous systems[END_REF] for an example of a homogeneous norm induced by the weighted dilation). Definition 2. [START_REF] Polyakov | Sliding mode control design using canonical homogeneous norm[END_REF] The function ‖ ⋅ ‖ ∶ ℝ → [0, +∞) defined as ‖ ‖ = 0 and

‖ ‖ = , where ∈ ℝ ∶ ‖ ‖ ‖ - ‖ ‖ ‖ = 1, ≠ 0
is called the canonical homogeneous norm in ℝ , where is a monotone dilation in ℝ .

For any linear monotone dilation in ℝ , the canonical homogeneous norm is continuous on ℝ and locally Lipschitz continuous on ℝ ∖{ }. Moreover 28 , it is differentiable on ℝ ∖{ } provided that ‖ ⋅ ‖ is given by (4):

‖ ‖ = ‖ ‖ ⊤ ⊤ (-ln ‖ ‖ ) (-ln ‖ ‖ ) ⊤ ⊤ (-ln ‖ ‖ ) (-ln ‖ ‖ ) , ≠ . ( 5
)
Definition 3. [START_REF] Kawski | Families of dilations and asymptotic stability[END_REF] A vector field ∶ ℝ → ℝ (resp. a function ℎ ∶ ℝ → ℝ) is said to be -homogeneous of degree ∈ ℝ if

( ( ) ) = ( ) ( ), ∀ ∈ ℝ , ∀ ∈ ℝ, (resp. ℎ( ( )) = ℎ( ), ∀ ∈ ℝ , ∀ ∈ ℝ),
where is a linear dilation in ℝ .

In [START_REF] Polyakov | Sliding mode control design using canonical homogeneous norm[END_REF] it is shown that any -homogeneous system of degree

̇ = ( ), > 0, (0) = 0 ∈ ℝ (6)
is diffeomorphic on ℝ ∖{ } to a standard homogeneous system. This means that all important results known for standard and weighted homogeneous systems hold for linear homogeneous systems as well. For instance, the results obtained in [START_REF] Nakamura | Smooth Lyapunov functions for homogeneous differential inclusions[END_REF][START_REF] Bhat | Geometric homogeneity with applications to finite-time stability[END_REF] imply that if the system (6) is asymptotically stable then this systems is

• globally uniformly finite-time stable 2 for < 0;

• globally uniformly exponentially stable for = 0;

• globally uniformly nearly fixed-time stable 3 for > 0.

Homogeneous control algorithm

Let us consider the following linear system

̇ = + ( ) + ( , ), > 0, (0) = 0 (7)
where ( ) ∈ ℝ is the system state, ∶ ℝ → ℝ is the feedback control to be designed, ∈ ℝ × and ∈ ℝ × are system matrices, a locally measurable function ∶ ℝ + × ℝ → ℝ models parametric uncertainties and exogenous perturbations.

The system (7) is said to be -homogeneously stabilizable of degree ∈ ℝ if there exists a feedback ∶ ℝ → ℝ such that ( ) = + ( ) is -homogeneous of degree , and the closed-loop system is globally asymptotically stable. The disturbance-free (i.e., = ) system ( 7) is -homogeneously stabilizable with a degree ≠ 0 if and only if the pair { , } is controllable [START_REF] Zimenko | Robust feedback stabilization of linear MIMO systems using generalized homogenization[END_REF] . Theorem 1. [START_REF] Zimenko | Robust feedback stabilization of linear MIMO systems using generalized homogenization[END_REF] If the linear equation

0 + 0 = 0 + , 0 = . ( 8
) 1 A matrix ∈ ℝ × is anti-Hurwitz if the matrix -is Hurwitz. 2 it is Lyapunov stable and ∃ ( 0 ) ∶ ‖ ( )‖ = 0, ∀ ≥ ( 0 ), ∀ 0 ∈ ℝ . 3 it is Lyapunov stable and ∀ > 0, ∃ > 0 ∶ ‖ ( )‖ < , ∀ ≥ independently of 0 ∈ ℝ .
has a solution 0 ∈ ℝ × and 0 ∈ ℝ × such that 0 -is invertible, then for any ≥ -1 such that = + 0 is anti-Hurwitz, the disturbance-free system (7) can always be homogeneously stabilized by the following control

= ℎ ( ) = 0 + ‖ ‖ 1+ -ln ‖ ‖ , = -1 (9)
with 0 = 0 ( 0 -) -1 and any ∈ ℝ × , ∈ ℝ × satisfying the following linear system

⊤ 0 + 0 + ⊤ ⊤ + + ⊤ + = ⊤ + ≻ 0, ≻ 0 (10)
where

0 = + 0 , > 0. The canonical homogeneous norm ‖ ⋅ ‖ is induced by the norm ‖ ‖ = √ ⊤ -1 . Moreover, if 2 ⊤ ( , ) ⊤ (-ln ‖ ‖ ) -1 (-ln ‖ ‖ ) ⊤ ⊤ (-ln ‖ ‖ ) -1 (-ln ‖ ‖ ) < ‖ ‖ , ∀ ≥ 0, (11)
then the perturbed system ( 7) is

• globally uniformly finite-time stable for < 0;

• globally uniformly exponentially stable for = 0;

• globally nearly fixed-time stable for > 0.

□

The proof of this theorem is based on the use of the canonical homogeneous norm as a Lyapunov function of the closed-loop system ( 7), ( 9) with = :

‖ ( )‖ = ‖ ‖ ⊤ ⊤ (-ln ‖ ‖ ) -1 (-ln ‖ ‖ )( + ℎ ( )) ⊤ ⊤ (-ln ‖ ‖ ) -1 (-ln ‖ ‖ ) = ‖ ‖ 1+ ⊤ ⊤ (-ln ‖ ‖ ) -1 ( 0 + ) (-ln ‖ ‖ ) ⊤ ⊤ (-ln ‖ ‖ ) -1 (-ln ‖ ‖ ) = -‖ ( )‖ 1+ . ( 12
)
The disturbance rejected by the control law is characterized by the inequality (11), which is obtained from ( 5) and ( 12) using

‖ ( )‖ = -‖ ( )‖ 1+ + 2‖ ‖ ⊤ ( , ) ⊤ (-ln ‖ ‖ ) -1 (-ln ‖ ‖ ) ⊤ ⊤ (-ln ‖ ‖ ) -1 (-ln ‖ ‖ ) .
The formula (12) implies that the canonical homogeneous norm is a Lyapunov function for the closed-loop system. The feasibility of the algebraic system is proven in [START_REF] Polyakov | Robust stabilization of MIMO systems in finite/fixed time[END_REF] . The existence of an appropriate solution for (8) is studied in [START_REF] Zimenko | Robust feedback stabilization of linear MIMO systems using generalized homogenization[END_REF] . It can be shown that the matrix 0 -is invertible for any solution of (8). Obviously, for a sufficiently small | | we have = + 0 is anti-Hurwitz.

MAIN RESULTS

Our aim is to design a generalized homogeneous control with integral action for MIMO system (1). For this purpose we design a strict homogeneous non-smooth Lyapunov function.

Non-smooth Lyapunov function theorem

In many cases (see, e.g., 12 31 38 ), the use of a non-smooth Lyapunov function simplifies the stability analysis of a closed-loop control system. However, it may require special restrictions to the system. Inspired by [START_REF] Orlov | Discontinuous systems: Lyapunov analysis and robust synthesis under uncertainty conditions[END_REF] , [START_REF] Polyakov | Stability notions and Lyapunov functions for sliding mode control systems[END_REF] we prove (see Appendix) the following theorem.

Theorem 2. Let ∶ ℝ → ℝ , ∶ ℝ → ℝ be such that • ∃ , ∈  ∞ ∶ (‖ ‖) ≤ ( ) ≤ (‖ ‖), ∀ ∈ ℝ ; • ∈ (ℝ , ℝ) ∩ 1 (ℝ ∖ , ℝ), where ⊂ ℝ is --dimensional manifold in ℝ , 1 ≤ < ; • ∈ (ℝ ∖ , ℝ ) is locally bounded on ℝ ; • ( ) ≤ -( ) for ∈ ℝ ∖{ ∪ }, where ∈ (ℝ , ℝ
) is a positive definite (resp., semidefinite) function.

Then the system ̇ = ( ), > 0 is globally uniformly asymptotically (resp., Lyapunov) stable4 provided that any trajectory of the system may cross the set ∖{ } only at isolated instances of time, namely, if

∃ ̄ > 0 ∶ ( ̄ ) ∈ ∖{ } then ∃ = ( ̃ ) > 0 such that ( ) ∉ ∖{ } for all ∈ ( ̄ , ̄ + ).
Notice that the simplest sufficient condition to guarantee that the manifold ∶= { ∈ ℝ ∶ ( ) = 0}, ∈ 1 (ℝ ) does not contain non-zero trajectories of the system with ∈ (ℝ ) is ( ) ( ) ≠ 0 for = 0.

The latter condition simply means that trajectories of the systems cross the manifold by avoiding to slide on it. Since in Theorem 2 the vector field may be discontinuous on the manifold , then the presented theorem also holds for systems with discontinuous right-hand sides. In the latter case, the solutions of the system are understood in the sense of Filippov [START_REF] Filippov | Differential equations with discontinuous right-hand sides[END_REF] .

The finite/fixed-time stability analysis by means of a non-Lipschitz Lyapunov function is based on the following corollary.

Corollary 1. If under conditions of Theorem 2 there exist > 0 and ≥ 0 such that

( ) ≤ - ( ) for ∈ ℝ ∖{ ∪ }
then the origin of the system is

• globally uniformly finite-time stable for < 1 and ( ) = 0 for all ≥

1-( (0))

(1-) ; • globally uniformly asymptotically stable for = 1 and (‖ ( )‖) ≤ -(‖ (0)‖) for all ≥ 0;

• globally uniformly nearly fixed-time stable for > 1 and ( ( )) ≤ for all ≥

Generalized homogeneous integral control

Let us consider the following integral controller for the system (7):

( , ) = 0 + ℎ ( ) + ∫ 0 int ( ( )) , ℎ ( ) = ‖ ‖ 1+ -ln ‖ ‖ , ( ) = ‖ ‖ 1+2 ̃ -ln ‖ ‖ , ( 13
)
where 0 and are given in Theorem 1, and ̃ ∈ ℝ × is the gain to be defined.

Remark 2. The control law (13) differs from the algorithms considered in [START_REF] Polyakov | Generalized homogeneity in systems and control[END_REF][START_REF] Mercado-Uribe | Multiple-input multiple-output homogeneous integral control design using the implicit Lyapunov function approach[END_REF][START_REF] Wang | Generalized homogenization of linear controllers: Theory and experiment[END_REF] , since the gain ̃ , in our case, is independent of . This simplifies the practical implementation of the algorithm and allows the classical linear PI algorithms to be easily obtained taking = 0 (see below).

We consider a special class of perturbations as in the system (1). The disturbance function in ( 7) is assumed to have the following representation

( , (⋅)) = 1 ( , ) + ̃ 2 ( ), ̃ 2 ( ) = + ∫ 0 2 ( , ( )) , ≥ 0 (14)
where 1 ∶ ℝ + × ℝ → ℝ and 2 ∶ ℝ + × ℝ → ℝ are assumed to be locally measurable and locally bounded unknown functions (satisfying certain condition given below) and ∈ ℝ is an unknown constant vector. By Newton-Leibniz formula, the representation ( 14) holds for any locally Lipschitz continuous function ̃ 2 taking = ̃ 2 (0) and 2 = ̃ 2 . Notice that ̃ 2 and 2 may depend on the state . For example, if ̃ 2 ( ) = ( , ( )), where the function ∶ ℝ + × ℝ → ℝ is continuously differentiable (or, at least, locally Lipschitz continuous), then the representation ( 14) holds for = (0, 0 ) and 2 ( , ) = ( , ) + ( , ) + ( + ( , )) + 1 ( , ) . With the notation

+1 = + ∫ 0 ( ( )) + 2 ( , ( )) (15)
the closed-loop system becomes

̇ = + 0 + ℎ ( ) + +1 + 1 ( , ), ̇ +1 = ( ) + 2 ( , ). (16)
For 1 = , 2 = , the system ( 16) is ̃ -homogeneous of degree ≥ -0.5 with

̃ ( ) = (1+ ) . ( 17
)
Remark 3. For a single-input system = = 1, the homogeneous integral control (13) becomes a classical PI algorithm for = 0, = . It becomes the super-twisting algorithm 11 , 1 for = 1, = 1, = -0.5, = 1, ̃ = 0 0 0.5 :

̇ 1 = √ | 1 |sign( 1 ) + 2 + 1 ( , ), ̇ 2 = ̃ sign( 1 ) + 2 ( , ).
The very simple (non-Lipschitz) Lyapunov function

= ̃ ⊤ ̃ ̃ , ̃ = | 1 | 1+ sign( 1 ) 2 , 0 ≺ ̃ = ̃ ⊤ ∈ ℝ 2×2 (18)
was designed in [START_REF] Moreno | Strict Lyapunov functions for the super-twisting algorithm[END_REF] for the stability and robustness analysis of the super-twisting system. We extend this result to the MIMO system ( 7) and ( 13) using the linear (geometric) homogeneity and the canonical homogeneous norm.

Theorem 3 (The case of a constant perturbation). Let 1 = , 2 = and the matrices , 0 , 0 , , , be defined as in Theorem 1 for some ≥ -0.5 and some > 0. If the matrix ̃ ∈ ℝ × and the symmetric matrix ∈ ℝ × satisfy the following system of LMIs:

1 = 1+ ̃ ⊤ ̃ ≻ 0 (19) ( ) = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ - + ( ̂ -̃ + ) ⊤ ̃ ⊤ 2 ̃ ⊤ * * * - ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ≺ 0 (20) ⊤ ̃ ̃ ̃ ⊤ ̃ ⊤ ⪰ 0, > 0 (21)
where

= -1 , = + ⊤ ≻ 0 , ̂ = 0 + , ̃ = (1 + ) - , 1 = min -1∕2 -1∕2 , 2 = max ( -1∕2 -1∕2 ) and = ⊤ + ⊤ ̃ ̃ + ̃ ⊤ ̃ ⊤ 2 + ̃ + ⊤ ̃ ⊤ 2
, = 1, 2, then the closed-loop system ( 7), ( 13) with ̃ = -1 ̃ is • globally uniformly finite-time stable for < 0;

• globally uniformly exponentially stable for = 0;

• globally uniformly nearly fixed-time stable > 0.

□

For the proof of this theorem (see Appendix) we show that the system (7) and ( 13) has a Lyapunov function of the form

( ) = 1 2 ⊤ 1+ ̃ ⊤ ̃ ( 22
)
where

= ‖ ‖ 1+ (-ln ‖ ‖ ) +1 and ̇ ( ) ≤ -̃ ‖ ‖ ( ), ≠ , (23)
̃ = -max max 1 2 -1 2 1 ( ) -1 2 1 , = 1, 2 > 0. (24)
The considered Lyapunov function repeats the structure of the Lyapunov function (18), where the modulus | ⋅ | is replaced with the canonical homogeneous norm ‖ ⋅ ‖ and the sign function is replaced with its vector-valued analog (-ln ‖ ‖ ) . Indeed, in the case of the standard homogeneity (i.e., for ( ) = ) we have (-ln ‖ ‖ ) = ‖ ‖ . If = and = then the homogeneous PI controller becomes a version of MIMO super-twisting algorithm. For > 0 the Lyapunov function is a weak Lyapunov function, so the global asymptotic stability in this case is established by LaSalle invariance principle [START_REF] Orlov | Discontinuous systems: Lyapunov analysis and robust synthesis under uncertainty conditions[END_REF] , [START_REF] Salle | Stability by Liapunov's direct method with applications[END_REF] . For < 0 this Lyapunov function is a strict (but non-smooth) due to Theorem 2. For = 1, = -0.5 the Lyapunov function (22) coincides with (18) designed in [START_REF] Moreno | Strict Lyapunov functions for the super-twisting algorithm[END_REF] for the super-twisting system.

Corollary 2. The system of LMIs ( 19)-( 21) is feasible, at least, for < 1 and a small enough | |.

The settling time of the closed-loop system can be estimated using the strict Lyapunov function.

Corollary 3 (Finite-time Stability for < 0). Under conditions of Theorem 3 with < 0, the closed-loop system is finite-time stable and the settling-time ∶ ℝ → ℝ + admits the estimate

( ) ≤ - 2+2 - 2+2 ( 0 ) - 2+2 ̃ where = max ( )∕ ̃ , ̃ = 1 2 min 1+ ̃ ⊤ ̃ and 0 = ‖ 0 ‖ 1+ (-ln ‖ 0 ‖ ) 0 .
Notice that the settling time estimate depends on the system's initial state 0 ∈ ℝ and the unknown constant perturbation ∈ ℝ . Therefore, the settling time cannot be estimated without prior estimates of 0 and .

Remark 4.

Notice that is a continuous function of for -0.5 < < 0. In this case the control can reject a non-vanishing (at = ) matched perturbation only if this perturbation is a constant. Non-constant and non-vanishing (at = ) matched perturbation may be rejected by the control (13) only if = -0.5. In the latter case is discontinuous at = .

In fact, the proposed integral control is capable to reject (at least, theoretically) a wide range of disturbances. Based on Theorem 3, we present a broader class of perturbations that can be rejected by the proposed generalized homogeneous control with integral action.

Corollary 4 (The case of time and state dependent perturbations). Let under conditions of Theorem 3 the following inequalities hold:

2 | | ⊤ ⊤ (-ln ‖ ‖ ) (-ln ‖ ‖ ) 1 ( , ) | | ⊤ ⊤ (-ln ‖ ‖ ) (-ln ‖ ‖ ) ≤ 1 ‖ ‖ (25)
| | | ⊤ 1 ( , ) ⊤ (-ln ‖ ‖ ) (-ln ‖ ‖ ) 1 ( , ) | | | 4 ≤ 2 3 ‖ ‖ 2 (26)
| | | ⊤ ⊤ (-ln ‖ ‖ ) 2 ( , ) | | | ≤ 2 ‖ ‖ 1+2 ( 27
) ⊤ 2 ( , ) ( ⊤ ) -1 2 ( , ) 4 ≤ 2 4 ‖ ‖ 2+4 (28)
where the parameters 1 , ̃ 1 , 2 , ̃ 2 ≥ 0 satisfy the systems of LMIs (19-20) and

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ( ∑ 4 =1 -) + ( ±2 1 ̃ ) ⊤ ̃ ⊤ 2 ̃ ⊤ * 4 ⊤ + ̃ * * - * * * - 3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ≺ 0 (29)
where = ̂ -̃ + . Then the closed-loop system ( 7), ( 14), ( 13) is

• globally uniformly finite-time stable for < 0;

• globally uniformly exponentially stable for = 0;

• globally uniformly nearly fixed-time stable > 0.

The homogeneous systems are also robust in the sense of Input-to-State Stability [START_REF] Desoer | Tracking and disturbance rejection of MIMO nonlinear systems with PI controller[END_REF] with respect to a wide class of perturbations [START_REF] Hong | H ∞ control, stabilization, and input-output stability of nonlinear systems with homogeneous properties[END_REF] , [START_REF] Bernuau | Verification of ISS, iISS and IOSS properties applying weighted homogeneity[END_REF] . The ISS analysis of a nonlinear control system with the homogeneous PI control is given in the following corollary, which, in particular, proves that the presented controller is applicable for some non-linear systems as well.

Corollary 5. Let a function ∶ ℝ × ℝ × ℝ → ℝ × ℝ be a continuous and

( , +1 , ) = + ( 0 + ℎ ( ) + +1 ) ( ) , ∈ ℝ , +1 ∈ ℝ ,
where 0 , ℎ , are components of the homogeneous PI controller (13) defined according to Theorem 3 for > -0.5. If there exists a linear dilation in ℝ such that

( ( ) , (1+ ) +1 , ( ) ) = ̃ ( ) ( , +1 , ), ∀ ∈ ℝ, ∀ ∈ ℝ , +1 ∈ ℝ , ∀ ∈ ℝ , (30)
where ̃ ( ) is given by ( 17), then the system

̇ ̇ +1 = ( , +1 , ), > 0, (0) = 0 , ∈ ∞
is input-to-state stable.

The latter corollary, in particular, guarantees the robustness (in the sense of the input-to-state stability) of the closed-loop system (1), (13) with respect to measurement noises. Indeed, all conditions of the corollary are fulfilled for ( ) = ( ) ( ) ,

( , +1 , ) = + ( 0 + hom ( + 1 ) + +1 ) + 2 ( + 1 ) , = 1 2 , 1 , 2 ∈ ℝ ,
where ∈ ℝ 2 models perturbations. If 0 ∈ ∞ is a measurement noise (i.e., we measure ̃ = + 0 ) then selecting 1 = 0 and 2 = 0 0 we conclude that the linear system (1) with the homogeneous PI controller ( 13) is ISS with respect to the measurement noise.

Finally, the estimate of the maximum magnitude of the controller ( 13) is given below.

Corollary 6 (The estimate of the control magnitude). Under conditions of Theorem 3 (or Corollary 4) one has

‖ ( )‖ ≤ ‖ 0 ‖ ⋅ ‖ ‖ + ‖ ‖ ⋅ ‖ ‖ 1+ + √ ( 0 ) ̃ + ‖ ‖ ℝ , ( 31
)
where ̃ and 0 are defined in Corollary 3, the vector norm in ℝ is defined as ‖ ‖ = √ ⊤ , the vector norm in ℝ is given by ‖ ‖ = √ ⊤ and the matrix norm for ∈ ℝ × is defined as follows ‖ ‖ = √ max ( -1∕2 ⊤ -1∕2 ).

Control tunning and "upgrading" from a existing linear PI controller

There are several parameters for homogeneous PI control tuning. The first one is the homogeneity degree ∈ [-0.5, 0). The case = 0 corresponds to a linear PI algorithm, but for = -0.5 we derive a MIMO version of the super-twisting algorithm. [START_REF] Desoer | Tracking and disturbance rejection of MIMO nonlinear systems with PI controller[END_REF] The system ̇ = ( , ), > 0, (0) = 0 , ∈ ∞ is said to be input-to-state stable [START_REF] Sontag | Smooth stabilization implies coprime factorization[END_REF] if there is a function ∈  and a function ∈  such that for all initial states ( 0 ) = 0 ∈ ℝ , all 0 ≥ 0 and for all admissible inputs ∈ ∞ the following inequality holds:

‖ ( , 0 )‖ ≤ ‖ 0 ‖, -0 + ‖ ‖ ∞ ( 0 , )
.

The generator and the "homogenization" gain 0 are calculated via ( 9) and = + 0 , where the matrices 0 , 0 are independent of the homogeneity degree (see Theorem 1) defined by means of the system matrices and only .

The second parameter > 0 can be utilized for the tuning of the convergence time (the larger , the faster convergence) and the robustness of the system (the larger , the larger class of perturbations can be rejected). The parameters and can be determined by solving the LMIs (10) for the selected and . The LMI ( 10) is always feasible.

On the final step, using the selected parameters, the gain ̃ of the integral term can be found by solving the LMIs ( 19), ( 20) and (21). Corollary 2 guarantees that the homogeneous PI controller can always be designed via suggested procedure, at least, if is close to zero. To tune the finite-time controller, we may start from close to zero and, next, decrease while the LMIs ( 10) and ( 19)-( 21) remain feasible.

The paper [START_REF] Wang | Generalized homogenization of linear controllers: theory and experiment[END_REF] proposes a method for "upgrading" a well-tuned linear PI controller

( ) = ( ) + ∫ 0 ( ) , ≥ 0
to a homogeneous one (13). The parameters and are suggested to be taken from the linear controller. So, to complete the upgrade, the parameters , has to be selected such that the LMIs will be feasible with respect to and ( = ( -0 ) and ̃ =

). In the view of Corollary 2, such an "upgrade" is always possible, at least, for close to 0 and ∈ (0, 1).

EXAMPLE

In this section, two examples of the proposed control design are provided. In the first example, we compare the homogeneous PI control with linear PI control. We also demonstrate the possibility of the "upgrading" of a linear PI algorithm to a homogeneous one. In the second example, we apply the homogeneous PI control to an omnidirectional mobile robot and compare it with a homogeneous control without integral action.

MIMO linear system stabilization

Let us consider the system ̇ = + ( + ) + ( ,

)
with the parameters

= ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 0 1.0 0.5 0 0 1.0 1.0 2.0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ , = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 1.0 0 0.5 0.5 ⎤ ⎥ ⎥
⎦ and the perturbation is defined as

= 1 + + ∫ 2 , 1 = 0.01[1, 1, 1] ⊤ √ ‖ ‖, 2 = 0.01[1, 1] ⊤ √ ‖ ‖, = [0.2, 0.2] ⊤ .
and models the measurement noise. We have proven the robustness of the homogeneous PI controller with respect to some classes of matched and mismatched perturbations. The robustness (in the sense of Intut-to-State stability) of homogeneous control systems with respect to the measurement noises is well known [START_REF] Hong | H ∞ control, stabilization, and input-output stability of nonlinear systems with homogeneous properties[END_REF] , [START_REF] Bernuau | Verification of ISS, iISS and IOSS properties applying weighted homogeneity[END_REF] . For simulations, the noise is generated by a normally (Gaussian) distributed random signal with the zero mean and the variance of 0.0005.

Then, selecting = -0.45, = 0.5 and by solving the LMIs ( 10) and (19-21) (we use the package YALMIP and solver SEDUMI in MATLAB), we obtain: 1a,1b). Both controllers have good quality for the system without perturbations. In the presence of additive disturbances , the system driven by generalized homogeneous control with integral action converges much faster than the system with linear PI control (see Figures 1c,1d). Homogeneous finite-time controllers (as any sliding mode or high gain algorithm) are more sensitive to the noise than linear algorithms. However, in the presence of both noises and perturbations, the homogeneous PI controller still provides the better control performance than the linear controller (see Figures 1e,1f). We also demonstrate a possibility of an "upgrading" of a linear feedback algorithm to a homogeneous one with a better control quality. For this purpose we fix the gains and of the above linear controller and search for , and such that the system of LMI ( 10) and (19-21) is fulfilled. For the "upgrading", we select = -0.1, = 0.5, then the control parameters are determining by solving the LMIs 19-21 * = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣

= ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1.45 0 0 0.0031 1 0 -0.0062 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ , = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 3
1.45 0 0 0.0007 1 0 -0.0014 0 1

⎤ ⎥ ⎥ ⎦ , * = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣
0.0819 0.0164 0 0 0.01 0 0.0348 0.0069 0.01

⎤ ⎥ ⎥ ⎦ ,
The results of the simulation are shown in Figure 2. Comparing performance of the origin linear PI control(see Figures 1b,1d,1f) and the "upgraded" (generalized homogeneous) control (see Figures 2a,2b,2c), we can observe an essential improvement of the control quality (such as faster convergence and better robustness) in both perturbed and non-perturbed case.

Mobile robot stabilization

Let us consider an omnidirectional mobile robot [START_REF] Ovalle | Omnidirectional mobile robot robust tracking: Sliding-mode outputbased control approaches[END_REF] modeled by the following ordinary differential equation :

̈ + ( ̇ ) ̇ + ̇ = + ( 32
)
where ∈ ℝ 3×3 , ∈ ℝ 3×3 and ∈ ℝ 3×3 are system matrices, = [ , , ] ⊤ , ( , ) is the coordinates of robot on the plane ℝ 2 , is the orientation angle with respect to -axis of the inertial frame, ∈ ℝ 3 is the control input, and ∈ ℝ 3 denotes the matched additive disturbance. Denoting = 3 --1 , = -1 , the model can be rewritten as

̇ ̈ = 3 --1 ̇ + -1 ( + ) ⇐⇒ ̇ = + ( + ) (33)
where

= [ ̇ ⊤ , ̈ ⊤ ] ⊤ , = -( ̇ ) ̇ . = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣
3.9364 -0.5189 -0.5189 -0.5189 3.9364 -0.5189 -0.5189 -0.5189 1.1491 The parameters of homogeneous controller are obtained by solving the LMIs via MATLAB package YALMIP and the solver SEDUMI. The simulation was done in Simulink with the solver ODE45 (Dormand-Prince), and the relative tolerance is 10 -5 . For = -0.4, = 0.5, the controller parameters are given as follows: For the simulation, we consider a constant perturbation = [2, 2, 0.2] ⊤ and the initial state (0) = [1.5, 1.5, 1, 0, 0, 0] ⊤ . The simulation results are presented in Figure 3, where the homogeneous controllers with and without integral action are compared. Note that in Figure 3a, the robot governed by the homogeneous PI control (with integral action) can reach the origin, but the controller without integral action has a static error. According to Figures 3b,3c and 3d the integral action almost has no effect in the transition phase, but it helps to improve precision in the steady state.

⎤ ⎥ ⎥ ⎦ , ( ̇ ) = [0, 0, 4.254] ̇ ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 0 1 0 -1 0 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ , = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 165
0 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣

CONCLUSION

In this paper, based on a non-smooth Lyapunov function method, we present a strict Lyapunov function for analysis and design of the generalized homogeneous integral controller with negative homogeneity degree.

• The controller is designed in a simpler form that makes it easier to implement in practice and to cover both linear PI and super-twisting SM algorithms as particular cases.

• The controller gain can be easily tuned by LMIs, which is beneficial when dealing with high-dimension system. In comparison to the preceding integral homogeneous controller [START_REF] Mercado-Uribe | Integral control design using the implicit lyapunov function approach[END_REF] , [START_REF] Polyakov | Generalized homogeneity in systems and control[END_REF] , the generalized integral homogeneous control does not require the system's specific structure, thus it can avoid cumbersome constructions.

• Furthermore , the generalized integral control can reject matched constant and Lipschitz perturbations as some vanishing at zero mismatched perturbations.

A class of perturbations to be rejected by the mentioned controller is characterized. Besides, the settling time and the magnitude of the controller are estimated. All estimates are obtained in terms of the so-called canonical homogeneous norm, which can be computed numerically or explicitly estimated analytically (see, [START_REF] Polyakov | Generalized homogeneity in systems and control[END_REF]Chapter 9 ) The simulations demonstrate that the generalized homogeneous integral controller has a faster response than a linear PI controller with the same gains and better precision that a generalized homogeneous controller without integral action. A further study about the case of a positive homogeneity degree, which implies fixed-time convergence properties of the system, will be an interesting problem for our future research.

APPENDIX

Proof of Theorem 2

First of all notice that continuity of on ℝ implies that lim sup → ( ) ≤ -( ), where the limit → is understood in the Hausdorff topology (see, e.g. [START_REF] Filippov | Differential equations with discontinuous right-hand sides[END_REF] ). Let ( ) be an arbitrary trajectory of the system and let ̄ > 0 be such that ( ̄ ) ∈ ∖{ }. On the one hand, by assumption of the theorem, ̄ is isolated (from the right), i.e. there exists > 0 such that ( ) ∉ ∖{ } for all ∈ ( ̄ , ̄ + ). In this case, the function → ( ( )) is continuously differentiable on ( ̄ , ̄ + ].

On the other hand, since any continuous function is uniformly continuous on any compact, then the function → ( ( )) is uniformly continuous on [ ̄ , ̄ + ], i.e. there exists

∈  such that | ( ( ′ )) -( ( ′′ ))| ≤ (| ′ -′′ |), ∀ ′ , ′′ ∈ [ ̄ , ̄ + ].
For any ∈ ( ̄ , ̄ + ) and any ℎ ∈ (0, ) one has [ , + ℎ] ⊂ ( ̄ , ̄ + ) and

( ( ̄ + ℎ)) -( ( ̄ )) ℎ = ( ( ̄ + ℎ)) -( ( + ℎ)) + ( ( + ℎ)) ℎ + -( ( )) + ( ( )) -( ( ̄ )) ℎ ≤ 2 (| ̄ -|) + ( ( + ℎ)) -( ( )) ℎ = 2 (| ̄ -|) + ∫ +ℎ ̇ ( ( )) ℎ = 2 (| ̄ -|) ℎ + ̇ ( ( * )) | | * ∈[ , +ℎ]
where the mean value theorem is utilized on the last step. Since ∈  then for any ℎ ∈ (0, ) we can always select = (ℎ) ∈ ( ̄ , ̄ + ) such that (| ̄ -|) ≤ ℎ 2 . The latter means that (ℎ) → ̄ as ℎ → 0 + and

+ ( ( ̄ )) ∶ = lim sup ℎ→0 + ( ( ̄ + ℎ)) -( ( ̄ )) ℎ ≤ lim sup ℎ→0 + 2ℎ + ( ) | | | | = ( * )∶ * ∈[ (ℎ), (ℎ)+ℎ]
≤ -( ( ̄ )).

Hence, we derive + ( ( )) ≤ -( ( )) as long as ( ) ≠ 0 and by 47, Corollary 2, page 11 , the function → ( ( )) is monotone deceasing. The latter means ( ( )) ≤ ( (0)) and ‖ ( )‖ ≤ -1 ( (‖ (0)‖)), ∀ > 0, i.e. the system is Lyapunov stable [START_REF] Lyapunov | The general problem of the stability of motion[END_REF] , where -1 denotes the inverse function of ∈  ∞ .

Since is monotone then ∃ lim →+∞ ( ( )) = * . To complete the proof it is sufficient to show that * = 0. Suppose the contrary, i.e. * > 0. In this case, ( ( )) ≥ * for all ≥ 0 and ‖ ( )‖ ≥ -1 ( * ), where -1 denotes the inverse function of ∈  ∞ , Hence, ( ( )) ≥ * ∶= inf

‖ ‖≥ -1 ( * )
> 0, ∀ ≥ 0 and + ( ( )) ≤ - * , ∀ > 0.

Using 47, Theorem 9.3, page [START_REF] Mercado-Uribe | Fixed-time homogeneous integral controller[END_REF] we derive the contradiction: ( ( )) ≤ - * ≤ 0, ∀ > 1∕ * .

Proof of Corollary 1

Since + ( ( )) ≤ -( ( )), ∀ ≥ 0 then using 47, Theorem 9.3, page [START_REF] Mercado-Uribe | Fixed-time homogeneous integral controller[END_REF] we derive

(1 -) 1-( ( )) -1-( (0)) ≤ -for ≠ 0, ln ( ( )) -ln ( (0)) ≤ -for = 0
and complete the proof.

Supporting result

The proof of our main theorem uses the following result.

Lemma 1. For any 1 ∈ ℝ , 2 ∈ ℝ and ∈ ℝ with ‖ ‖ = 1, the inequality

⊤ 1 ⊤ 2 ≤ 1 2 ‖ 1 ‖‖ 2 ‖ + 1 2 ⊤ 1 2
holds.

Proof. For 1 = 2 the result is a trivial consequence of the Cauchy-Swartz inequality. Let 1 ≠ 2 . Select the basis in ℝ as follows

1 = 1 ‖ 1 ‖ , 2 = 2 ‖ 2 ‖ , , ∈ ℤ|, ⊤ = 0, 3 ≤ ≤ , 1 ≤ ≤
then for any element ∈ ℝ , we have = 1 1 + 2 2 + ⋯ + .

Due to the fact that ‖ ‖ = 1, then we obtain

2 1 + 2 2 + 2 1 2 ⊤ 1 2 + ∑ =3 2 = 1 and ⊤ 1 ⊤ 2 = ‖ 1 ‖‖ 2 ‖ ⊤ 1 ⊤ 2 = ‖ 1 ‖‖ 2 ‖( 1 + 2 ⊤ 2 1 )( 1 ⊤ 1 2 + 2 ) = ‖ 1 ‖‖ 2 ‖ 1 2 + 2 1 + 2 2 ⊤ 1 2 + 1 2 ⊤ 1 2 2 = ‖ 1 ‖‖ 2 ‖ 1 - ∑ =3 2 ⊤ 1 2 + 1 2 1 -⊤ 1 2 2
On the other hand, since

2 1 2 (1 + ⊤ 1 2 ) ≤ 2 1 + 2 2 + 2 1 2 ⊤ 1 2 = 1 - ∑ 1=3 2 then 1 2 1 -( ⊤ 1 2 ) 2 = 1 -⊤ 1 2 1 2 1 + ⊤ 1 2 ≤ 1 -⊤ 1 2 1 - ∑ =3 2 2 and ⊤ 1 ⊤ 2 ≤ ‖ 1 ‖‖ 2 ‖ 1 2 1 + 1 ⋅ 2 1 - ∑ =3 2 ≤ 1 2 ‖ 1 ‖‖ 2 ‖ + 1 2 1 2 1 - ∑ =3 2 ≤ 1 2 ‖ 1 ‖‖ 2 ‖ + 1 2 ⊤ 1 2 .

The proof of Theorem 3

Let us consider the Lyapunov function candidate:

= ‖ ‖ 2+2 2 + 2 + 2‖ ‖ 1+ +1 ̃ (-ln ‖ ‖ ) 2 + +1 +1 2 .
The canonical homogeneous is defined in the implicit manner: ⊤ ⊤ (-ln ‖ ‖ ) (-ln ‖ ‖ ) = 1, and its derivative respect to is given by (5). For 1 = and 2 = , let calculate the derivative of . Using (12) and the formula (5) we derive

̇ ( ) = -‖ ‖ 2+3 + ‖ ‖ 1+2 2 ⊤ ⊤ (-ln ‖ ‖ ) +1 ( ) + ‖ ‖ 1+2 ⊤ +1 ̃ (-ln ‖ ‖ ) + ̃ ( ) where
( ) ∶= ⊤ ⊤ (-ln ‖ ‖ ) (-ln ‖ ‖ ) ̃ ( ) ∶= ‖ ‖ 1+ +1 ̃ (-ln ‖ ‖ ) . Denoting = + ⊤ , ̃ = (1 + ) - , ̂ = 0 + and ̃ = -1 ̃ , we obtain ̃ ( ) =‖ ‖ ‖ ‖ ̇ +1 ̃ ̃ (-ln ‖ ‖ ) + ‖ ‖ 1+ ̇ +1 ̃ (-ln ‖ ‖ ) + ‖ ‖ 1+ ⊤ +1 ̃ (-ln ‖ ‖ ) ̇
For 0 = + 0 we have the identities 0 ( ) = ( ) 0 , ( ) = , ∈ ℝ. It is equivalent to:

(-ln ‖ ‖ ) 0 = ‖ ‖ 0 (-ln ‖ ‖ ), (-ln ‖ ‖ ) = ‖ ‖ -1 .
Utilizing the latter identities, it yields that

̃ ( ) =2‖ ‖ ⊤ ⊤ (-ln ‖ ‖ ) +1 +1 ̃ ̃ (-ln ‖ ‖ ) ( ) -‖ ‖ 1+2 +1 ̃ ̃ (-ln ‖ ‖ ) + ‖ ‖ 2+3 ⊤ ⊤ (-ln‖ ‖ ) ̃ ⊤ -1 ̃ (-ln‖ ‖ ) + ‖ ‖ 1+2 +1 ̃ ̂ (-ln ‖ ‖ ) + ‖ ‖ ⊤ +1 ̃ +1 Denoting = 1∕2 (-ln ‖ ‖ ) , = 1∕2 +1 and = -1∕2 ̃ ̃ +1 .
Taking into account ⊤ = 1 and using Lemma 1 we derive

∶= ( ⊤ )( ⊤ ) ≤ 1 2 ‖ ‖‖ ‖ + 1 2 ⊤ or, equivalently, ≤ 1 2 √ +1 +1 √ +1 ̃ ̃ -1 ̃ ⊤ ̃ ⊤ +1 + 1 2 ⊤ +1 ̃ ̃ +1 If 2 ≥ ̃ ̃ -1 ̃ ⊤ ̃ ⊤ , then we have ≤ 1 2 +1 + ̃ ̃ +1 Notice that the inequality 2 ≥ ̃ ̃ -1 ̃ ⊤ ̃ ⊤ is equivalent (by Schur complement) to ̃ ̃ ̃ ⊤ ̃ ⊤ ⪰ 0, > 0 Therefore, we have ̇ ( ) ≤ ‖ ‖ ⊤ ( ) (34)
where

( ) = -+ ̃ ⊤ -1 ̃ + ( ̂ -̃ + ) ⊤ ̃ ⊤ 2 * with = ⊤ + ̃ ̃ + ̃ ⊤ ̃ ⊤ 2 + ̃ + ⊤ ̃ ⊤ 2
. Taking into account 1 ≤ ( ) ≤ 2 we complete the proof using the convex embedding ( ) =

( 1 ) + (1 -) ( 2 ) and using the Schur complement for the transformation of ( ) ≺ 0 to (20). Notice that ‖ ⋅ ‖ is not differentiable at . However, for > 0 using the formula (5) it can be shown that the function → ‖ ‖ 1+ (-ln ‖ ‖ ) is differentiable on ℝ and its partial derivatives vanish at zero. In this case, satisfies LaSalle invariance principle [START_REF] Salle | Stability by Liapunov's direct method with applications[END_REF] implying that the closed-loop system is globally uniformly asymptotically stable. If = 0 then ‖ ‖ 1+ (-ln ‖ ‖ ) = and is a quadratic Lyapunov function such that ̇ ( ) ≤ ( ) . For -0.5 ≤ < 0 the Lyapunov function candidate is continuous but not differentiable on the surface = of + dimensional space. By Theorem 2 the system is globally uniformly asymptotically stable. Finally, using the ̃ -homogeneity of the system we complete the proof.

Proof of Corollary 2

The feasibility of (10) for any ∈ [-1, 1∕ ] is proven in [START_REF] Nekhoroshikh | Finite-time stabilization under state constraints[END_REF] , [START_REF] Polyakov | Generalized homogeneity in systems and control[END_REF] . Taking into account the representation = + 0 we conclude that → as → 0. In this case ( ) → 2 uniformly on and ̃ → as → 0. In the limit case the system of LMIs ( 19)-( 21) becomes:

1 = ̃ ⊤ ̃ ≻ 0 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ - 2 + ( ̂ + ) ⊤ ̃ ⊤ 2 ̃ ⊤ * ⊤ 2 + ̃ + ⊤ ̃ ⊤ 2 * * - ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ≺ 0 ⊤ ⪰ 0, > 0
On the one hand, from (10), we have

̂ ⊤ + ̂ + ⊤ + = 0 (35) considering the generator = + 0 , then ̂ ⊤ + ̂ + 2 + ⊤ 0 + 0 = 0 ⇐⇒ ̂ + ⊤ + ̂ + + 2 ( -1) + 2
⊤ 0 + 0 = 0 For < 1 and sufficiently close to zero we have

̂ + ⊤ + ̂ + ≻ 0 (36)
The latter means that ̂ + is anti-Hurwitz, and consequently invertible. Let ̃ ⊤ = -̂ + -⊤

. For a sufficiently small we have

≺ 0 ⇐⇒ ̂ ≺ 0 ⇐⇒ ̃ + ⊤ ̃ ⊤ 2 ≺ 0 ⇐⇒ -⊤ ̂ + -⊤ + ̂ + -1 ≺ 0 where ̂ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 + ( ̂ + ) ⊤ ̃ ⊤ 2 * ̃ + ⊤ ̃ ⊤ 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ , + ̂ + ⊤ ̃ ⊤ = .
The inequality (36) yields

-⊤ ̂ + -⊤ + ̂ + -1
≺ 0, so the system of LMIs ( 19)-( 21) is feasible at least for a sufficiently small | | and < 1.

The proof of Corollary 3

Since

‖ ‖ 2+2 = ‖ ‖ 2+2 ⊤ ⊤ (-ln ‖ ‖ ) (-ln ‖ ‖ ) ≤ then for -0.5 ≤ < 0 one has ‖ ‖ ≥ 2+2 2+2 and ̇ ( ) ≤ -̃ 2+2 1+ 2+2 ( ), ∀ ≥ 0.
Taking into account +1 (0) = we complete the proof.

The proof of Corollary 4

If 1 ≠ and 2 ≠ then (25) implies that

2 | | ⊤ ⊤ (-ln ‖ ‖ ) (-ln ‖ ‖ ) 1 ( , ) | | ≤ 1 ‖ ‖
and repeating the considerations of the proof of Theorem 3 we derive

̇ ≤ ‖ ‖ ̄ ⊤ ̄ ̄ where = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ‖ ‖ 1+ (-ln ‖ ‖ ) +1 (-ln ‖ ‖ ) 1 ( , ) 2 ( , ) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ , ̄ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ -+ + ( ±2 1 ̃ ) ⊤ ̃ ⊤ 2 ̃ ⊤ 2 * ̃ 2 2 * * 0 0 * * * 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ . where = ̃ -1 ̃ ⊤ . Notice that 2 ⊤ +1 ̃ (-ln ‖ ‖ ) 1 ≤ 2 3 ⊤ +1 ̃ -1 ̃ ⊤ +1 ‖ ‖ + ‖ ‖ ⊤ 1 ⊤ (-ln ‖ ‖ ) (-ln ‖ ‖ ) 1 2 3 and 2 ⊤ +1 2 ≤ 2 4 ‖ ‖ ⊤ +1 ⊤ +1 ( ) + ( ) ⊤ 2 ( ⊤ ) -1 2 2 4 ‖ ‖ .
Using the inequalities ( 26), ( 27), (28) we derive ̇ ≤ ‖ ‖ ⊤ ̃ ( ) , where

̃ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ( ∑ 4 =1 -) + + ( ±2 1 ̃ ) ⊤ ̃ ⊤ 2 * + 4 ⊤ + ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ with = ̃ -1 ̃ ⊤ .
Applying the convex embedding and Schur complement we complete the proof.

Proof of Corollary 5

The proof is inspired by [START_REF] Hong | H ∞ control, stabilization, and input-output stability of nonlinear systems with homogeneous properties[END_REF] . Since, by Theorem 3, the unperturbed system [ ̇ ⊤ , ̇ ⊤ +1 ] ⊤ = ( , +1 , ) is asymptotically stable, then according to the converse Lyapunov function theory for homogeneous systems [START_REF] Rosier | Homogeneous Lyapunov function for homogeneous continuous vector field[END_REF] , there exist a ̃ -homogeneous Lyapunov function ∈ (ℝ ) ∩ ∞ (ℝ ∖{ }) of degree 1 such that

( ) = ⋅ ( , ) < 0, = [ ̇ ⊤ , ̇ ⊤ +1 ] ⊤ .
For the perturbed system, the time derivative of is given by ̇ = ∇ ⋅ ( , ) -∇ ⋅ ( , ) + ∇ ⋅ ( , ) = ∇ ⋅ ( ( , ) -( , )) + ( ).

Using the identity for the partial derivative of homogeneous functions (see, e.g. [START_REF] Polyakov | Sliding mode control design using canonical homogeneous norm[END_REF] ), where ∶= ̃ (-ln ‖ ‖ ̃ ) . Since ‖ ‖ = 1 then = sup

‖ (-ln ‖ ‖ ̃ ) ‖ = ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ -ln ‖ ‖ ̃ ‖ ‖ (-ln ‖ ‖ ) ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ≤ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ -ln ‖ ‖ ̃ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
.

Since the dilation is monotone, there exists a positive constant such that 15, Corollary 6.5 page 179

‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ -ln ‖ ‖ ̃ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ≤ -ln ‖ ‖ ̃ ‖ ‖ = ‖ ‖ ‖ ‖ ̃ , for ‖ ‖ ̃ ≥ ‖ ‖ . Then, ≤ ‖ ‖ +1 ̃ ‖ ‖ ∕‖ ‖ ̃ -.
It is clear that there exist positive constants > 0 and = max 1,

1 -1 (( ∕2 ) 1∕ )
, where -1 (⋅) is the inverse function to , such that ( ) < -‖ ‖ 1+ ̃ , provided that ‖ ‖ ̃ ≥ ‖ ‖ . Taking into account the topological equivalence of the Euclidean and -homogeneous norms 15, Lemma 7.2, page 186 we conclude that is the ISS Lyapunov function [START_REF] Sontag | On characterizations of the input-to-state stability property[END_REF] . The proof is complete.

Proof of Corollary 6

Notice that ‖ ‖ ≤ ‖ 0 ‖ + ‖ ℎ ( )‖ + ‖ +1 -‖ . Then, by taking into account

⊤ ⊤ = ⊤ 1∕2 -1∕2 ⊤ -1∕2 1∕2 ≤ max ( -1∕2 ⊤ -1∕2 ) ⊤
we derive ‖ 0 ‖ ≤ ‖ 0 ‖ ⋅ ‖ ‖ and ‖ hom ( )‖ ≤ ‖ ‖ ⋅ ‖ ‖ 1+ . Since ( ( )) ≤ ( 0 ) then ⊤ +1 ( ) +1 ( )

≤ ( 0 )
̃ . The proof is complete.

1

  ... 0 ... ... ... 0 ...

1 - 1 (Remark 1 .

 111 -1) and for any > 0. □ Theorem 2 and Corollary 1 remain valid for a time-varying system ̇ = ( , ) provided that the term ( ) is replaced with sup ∈ℝ ( , ).

  ̃ ( ) ̃ ( ) = , ∀ ∈ ℝ ,and a generalized homogeneity of (see (30)), we derivė = ‖ ‖ (1+ ) ̃ ( ) ( , (-ln ‖ ‖ ̃ ) ) -( , ) + ( ) ( , ) .

  , ) < 0, there exists > 0 such thaṫ ≤ ‖ ‖ (1+ ) ̃ ‖ ( , (-ln ‖ ‖ ̃ ) ) -( , )‖ -. Since the function is continuous, there exist ∈  ∞ such that ‖ ( , (-ln ‖ ‖ ̃ ) ) -( , )‖ ≤ (‖ (-ln ‖ ‖ ̃ ) ‖)By assumption, is a linear dilation. Due to the group property of the dilation, we have

FIGURE 1

 1 FIGURE 1Comparison of homogeneous PI control and linear PI control without and with the perturbations and noises.

FIGURE 2

 2 FIGURE 2Performance of the homogeneous PI control obtained by an "upgrading" of linear controller .

FIGURE 3

 3 FIGURE3 Simulation results for the omnidirectional mobile robot regulated by generalized homogeneous control with integral action (GHIC) and generalized homogeneous control (GHC) without integral action.

  To illustrate the robustness of the proposed generalized homogeneous PI control, we design a linear PI control

			=	10.6540 1.8339 1.8339 3.5954	,	= 0.5139
				=		+ ∫	,
	=	-11.85 -3.6471 -3.2985 0.97 0.3504 -1.0383	,	=	-0.2385 -0.08056 -0.02665 0.02176 0.09374 -0.1923	.
	in such a way, in the nominal (disturbance-free and noise-free) case, it provides approximately the same time response as the
	homogeneous one. For the initial state 0 = [0.1, 0.1, 0.1]⊤ both controllers guarantee ‖ ‖ ≤ 0.001 after approximately the
	same instant of time = 2.78 (see Figures
						.1591 0.8489 0.4211	⎤
						0.8489 1.4690 -0.0154 ⎥	,
						0.4211 -0.0154 1.4924	⎥ ⎦
	0 =	0 0.0069 -0.9965 -2 -4.0346 0.9827	,	=	-2.2737 -1.0838 -0.6828 0.5636 1.3007 -0.5996	,
	̃ =	-0.1289 -0.0674 -0.0223 0.0108 0.0784 -0.1608	, ̃ =	-1.3539 -0.5740 -0.5323 -0.1977 0.1583 -0.6190	,

In the case of discontinuous solutions are understood in the sense of Filippov.

ACKNOWLEDGEMENTS

This work is partially supported by Chinese Science Council (CSC) 202006030019, the National Natural Science Foundation of China under Grant 62073081 and Grant 62050410352.

Data sharing not applicable to this article as no datasets were generated or analysed during the current study.


Julie Bonnald

José Utge

Mary Kuhner

Samuel Wasser

Edward Asalu

John-Paul Okimat

Sabrina Krief

Genetic

Genetic Confirmation of a Hybridization Zone of Forest and Savannah Elephants at the Extreme North of Kibale National Park, Uganda

de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d'enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

The two species have different habitats but their range overlaps in some ecotones → The two species live together and few hybrids have been reported

The hybridization areas still remain understudied

The border between DRC and Uganda appears to be the main hybridization area Savannah Elephant 2 Forest Elephant 3

We aim to provide better knowledge of the main hybridization area, located on the DRC-Uganda border, to support efficient conservation plans What is the composition of elephant populations living in a forested hybridization area?

• Collection of 177 non-invasive fecal samples

  NORTH OF KIBALE NATIONAL PARK, UGANDA Julie Bonnald a,b , José Utge a , Mary K. Kuhner c , Samuel K. Wasser c , Edward Asalu d , John Paul Okimat b & Sabrina Krief a,b African elephants were recently recognized as two distinct species by the IUCN 1

••o

  DNA Extraction, Amplification and Genotyping o 15 microsatellite loci • Identification of the individuals • Molecular sexing of the elephants 4 Species and Hybrid assignment analyses: EBhybrids software 5 Reference samples: 1692 Savannah elephants & 715 Forest elephants o Gives the probability of being Savannah, Forest or Hybrid (F1, F2, BXS, BXF, other) Study conducted in the context of the project « Forest-Fauna-Populations in Uganda » Study site: Sebitoli area, extreme north of Kibale National Park, Uganda Forest with dense undergrowth surrounded by agricultural lands What are the drivers responsible for this hybridization area? Was this hybridization area created due to poaching pressures? What conservation status should Hybrids have? What are the behavioral adaptations of Savannah elephants living in forest? References: 1 Hart, J., Gobush, K., Maisels, F., Wasser, S., Okita-Ouma, B., Slotow, R., 2021. African Elephant Specialist Group's 2021 Red List Assessment and Status Report treat forest and savanna elephants as separate species. Oryx 55 (2), 169-172 2 Gobush, K.S., Edwards, C.T.T., Balfour, D., Wittemyer, G., Maisels, F., Taylor, R.D., 2021a. Loxodonta africana. The IUCN Red List of Threatened Species 2021: e.T181008073A181022663. https://dx.doi.org/10.2305 3 Gobush, K.S., Edwards, C.T.T., Maisels, F., Wittemyer, G., Balfour, D., Taylor, R.D., 2021b. Loxodonta cyclotis. The IUCN Red List of Threatened Species 2021: e.T181007989A181019888. https://dx.doi.org/10.2305 4 Aznar-Cormano, L., Bonnald, J., Krief, S., Guma, N., & Debruyne, R. (2021). Molecular sexing of degraded DNA from elephants and mammoths: a genotyping assay relevant both to conservation biology and to paleogenetics. Scientific reports, 11(1), 1-11. 5 Mondol, S., Moltke, I., Hart, J., Keigwin, M., Brown, L., Stephens, M., Wasser, S.K., 2015. New evidence for hybrid zones of forest and savanna elephants in central and west Africa. Mol. Ecol. 24 (24), 6134-6147 6 Rohland, N., Reich, D., Mallick, S., Meyer, M., Green, R.E., Georgiadis, N.J., Hofreiter, M., 2010. Genomic DNA sequences from mastodon and woolly mammoth reveal deep speciation of forest and savanna elephants. PLoS Biol. 8 (12), e1000564 • NO FOREST ELEPHANTS detected in this forested area • HIGHER PROPORTION of Hybrids compared to the whole hybridization area (18,2%) 5 • FERTILE despite an ancient separation between the two species (2.6 -5.6 My) 6 • FEMALES and MALES among Savannah elephants and Hybrids Read the article here Contact: juliebonnald@gmail.com a. Eco-Anthropologie, Muséum national d'Histoire naturelle, Université Paris Diderot, CNRS, Paris, France b. Sebitoli Chimpanzee Project, Sebitoli research station, Kibale National Park, Fort Portal, Uganda c. Center for Environmental Forensic Science, University of Washington, Seattle, WA, USA d. Uganda Wildlife Authority, Kampala,