Mohamed El Mongi

Ben Gaid

Arben Çela
email: a.cela@esiee.fr

Trading Quantization Precision for Sampling Rates in Systems with Limited Communication in the Uplink Channel

Keywords: Quantized systems, networked control systems, model predictive control, practical stability

There are many situations where distributed control applications have to exchange information through limited bandwidth communication channels. Examples may be found in areas ranging from the underwater robotics to the control of satellites clusters. Bandwidth limitations affect the behavior of these systems. For that reason, there is a strong need for developing methods that maximize the relevancy of the exchanged control information. In general, increasing control inputs update frequency improves the disturbance rejection abilities whereas increasing their quantization precision improves the steady state performance (set point tracking precision for example). However, when the bandwidth is limited, increasing the update frequency necessitates the reduction of the quantization precision and vice versa. Motivated by these observations, and focusing on the uplink bandwidth limitations, an approach for the dynamical on-line state-feedback assignment of control inputs quantization precision and update rate is proposed. This approach, which is based on the model predictive control (MPC) technique, enables to choose the update rate and the quantization levels of control signals from a predefined set, in order to optimize the control performance. A heuristic approach allowing an efficient choice of the elements of this set is proposed. Practical stability properties of the approach are then studied. Finally, the effectiveness of the proposed method is illustrated on a simulation example.

Introduction

Recent years have seen a considerable development in microelectronics. Many small-size and low cost sensors and actuators, based on the micro-electro-mechanical systems (MEMS) technology have emerged. The price of the hardware components has continuously decreased to make them more affordable. This impacted the price of embedded processors, such as digital signal processors (DSPs), as well as wired and wireless communication networks hardware components. Consequently, designers have an increasing choice of inexpensive, ubiquitous and pervasive means of communication, computation, sensing and actuation, offering considerable opportunities for the development of new distributed control applications.

These developments make it more and more important to study the interplay between control theory and information theory, especially when the communications aspects influence the behavior of the controlled dynamical systems. These communication aspects that influence the control may be classified into four categories: bandwidth limitations [START_REF] Brockett | Quantized feedback stabilization of linear systems[END_REF][START_REF] Canudas-De-Wit | Differential coding in networked controlled linear systems[END_REF][START_REF] Elia | Stabilization of linear systems with limited information[END_REF][START_REF] Goodwin | A moving horizon approach to networked control systems design[END_REF][START_REF] Nair | Stabilization with data-rate-limited feedback: tightest attainable bounds[END_REF][START_REF] Tatikonda | Control under communication constraints[END_REF][START_REF] Wong | Systems with finite communication bandwidth constraints -Part II : Stabilization with limited information feedback[END_REF], medium access constraints [START_REF] Ben Gaid | Optimal integrated control and scheduling of networked control systems with communication constraints: Application to a car suspension system[END_REF][START_REF] Brockett | Stabilization of motor networks[END_REF][START_REF] Hristu | Limited communication control[END_REF][START_REF] Lincoln | LQR optimization of linear system switching[END_REF], transmission delays [START_REF] Hespanha | A survey of recent results in networked control systems[END_REF][START_REF] Montestruque | On the model-based control of networked systems[END_REF][START_REF] Zhang | Stability of networked control systems[END_REF] and information loss [START_REF] Schenato | Foundations of control and estimation over lossy networks[END_REF].

Bandwidth limitations affect many areas such as embedded systems [START_REF] Årzén | Control and embedded computing: Survey of research directions[END_REF], formations control [START_REF] Belanger | Decentralized control of satellite clusters under limited communication[END_REF], underwater robotics [START_REF] Speranzon | On collaborative optimization and communication for a team of autonomous underwater vehicles[END_REF] or large arrays of MEMS [START_REF] Berlin | Distributed MEMS: New challenges for computation[END_REF]. However, the majority of the works studying the problem of the control over limited bandwidth channels have been focused on stability issues in presence of quantization and information limitations. Fewer works addressed the problems of the performance in presence of quantization [START_REF] Gupta | On the effect of quantization on performance[END_REF][START_REF] Lemmon | Control system performance under dynamic quantization : The scalar case[END_REF][START_REF] Verriest | Control with delayed and limited information: A first look[END_REF].

The proposed approach is also motivated by practical issues. In fact, as shown in [START_REF] Georgiev | Packet-based control: The H 2 -optimal solution[END_REF], improving the efficiency of a real-time communication protocol amounts to sending messages with a "maximized" data field. In fact, in all communication networks, protocol frames contain fields with fixed and incompressible length. Gathering the data in the same message leads to a more efficient use of the communication resources, since it helps avoiding the fragmentation of the data into several messages and prevents the resulting overhead. This may be done using a "smart" quantization of the control information.

This paper studies the problem of the control over limited bandwidth communication channels and focuses on practical stability and performance aspects in presence of information limitations. It extends the preliminary results exposed in [START_REF] Ben Gaid | Trading quantization precision for sampling rates in networked systems with limited communication[END_REF]. The communication constrains are modeled at the bit level, in bits per second. Using this modeling, we have to determine the control inputs that have to be updated as well as their quantization precision. Naturally, handling dynamically the quantization precision requires some communication resources and some extra computational resources. Consequently, we have to jointly handle the computational complexity, the protocol bandwidth consumption and performance improvements. In order to limit the inherent complexity of the proposed protocol, we suppose that the quantization precision choices of the input control signals belong to a reduced finite set. At each sampling period, quantization possibilities may be chosen from this set. We propose a methodology allowing the construction of this set, in order to ensure the stability and to comply with the computational requirements. Our approach contrasts with the approach of [START_REF] Goodwin | A moving horizon approach to networked control systems design[END_REF], where the quantization precision of control signals is fixed. The proposed approach aims to capture the intuitive idea that high sampling rates improve the disturbance rejection and the transient behavior whereas the fine quantization improves the static precision near the origin [START_REF] Elia | Stabilization of linear systems with limited information[END_REF]. At the same time, it allows to dynamically choose the pertinent control information to send, knowing the plant state and subject to the communication limitations [START_REF] Ben Gaid | Optimal integrated control and scheduling of systems with communication constraints[END_REF][START_REF] Ben Gaid | Optimal integrated control and scheduling of networked control systems with communication constraints: Application to a car suspension system[END_REF]. This paper is organized as follows. Section 2 describes the considered model of a control system with communication constraints affecting the transmission of the control inputs to the actuators. In Section 3, we describe the basic static control and communication scheme, and investigate its practical stability properties. Then, in Section 4, the MPC algorithm, allowing the dynamical assignment of control signals quantization precision and update rate is introduced and studied. Finally, in Section 5, simulation results are presented in order to illustrate the effectiveness of the proposed approach.

Problem setting

Consider the discrete-time LTI system described by the state equation

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), (1)
where x(k) ∈ R n and u(k) ∈ R m . We assume that the pair (A, B) is reachable and that the full state vector x(k) is available to the controller at each sampling period.

The controller is connected to the actuators of the plant through a limited bandwidth communication channel. At each sampling period, at most R bits can be sent to the actuators through the communication channel. The considered communication scheme is described in Figure 1. The control inputs, which are computed by the controller, need to be properly en-

Channel Decoder Encoder Controller Plant u(k) (ū(k), p(k)) x(k)
Figure 1: Information pattern coded before their transmission over the network. This function is performed by the encoder, which converts these control inputs into a sequence of binary symbols. The transmitted information is then decoded by the decoder and applied to the inputs of the plant. We assume that the inputs of the plant are subject to saturation constraints at the actuators, which are defined by

-U i ≤ u i (k) ≤ U i , where U i > 0 and i = 1, . . . , m. (2)
In this paper, . denotes a given matrix norm, 0 n,m represents the n × m matrix whose elements are equal to zero and I n the n × n identity matrix.

Remark 1 (Down-link resources limitations). The literature addressing the problem of control under communication constraints mainly considered the down-link resources limitations, rather than the up-link. For that reason, our contribution may be seen as complementary approach. For its practical implementation on systems with both down-link and up-link limitations, the previously proposed methods in the literature may be used in order to obtain a state estimation at the controller, which could be subsequently used in our proposed approach.

Quantization aspects

Quantization is the process of approximating a continuous range of values into a finite set of discrete values, called reconstruction levels (or quantization levels). In this paper, the quantization is performed using mid-tread uniform quantizers, which are characterized by an odd number of reconstruction levels (which include the value of zero). Let u be a bounded continuous scalar signal verifying

|u| ≤ U , U ∈ R * + . ( 3
)
The set of reconstruction levels of the mid-tread uniform quantizer which may be encoded using M bits (M > 1), given the lower and upper bounds -U and +U , is defined by the set-valued function

U(M, U ) = -U + lL(M, U ), l = 0, . . . , 2 M -2 , ( 4
)
where l is the quantization index and L(M, U ) defined by

L(M, U ) = U 2 M -1 -1 (5)
is the quantization step size.

Remark 2 (Odd number of quantization levels). In the definition of the set valued function U(M, U ), we have intentionally chosen to obtain an odd number of reconstruction levels 0, . . . , 2 M -2 instead of having an even number of reconstruction levels 0, . . . , 2 M -1. This choice was motivated by the need of integrating the zero reconstruction level, which have a particular signification, from the control point of view.

Given M ∈ N * such that M > 1 and U ∈ R * + , the quantizer Q (M,U ) is defined by

Q (M,U ) : R -→ U(M, U ) u -→ c, such that c = Q (M,U ) (u) =        +U if u > U, -U if u ≤ -U, -U + u+U L(M,U ) + 1 2 L(M, U ) if -U < u ≤ U.
The quantizer Q (M,U ) uniquely associates to a real scalar u ∈ R a nearest neighbor c ∈ U(M, U ).

Remark 3. (Quantization when M = 1) When M = 1, the expression (5) is not defined. For the sake of simplicity in the following discussions, we will assume that when

M = 1, for all u ∈ R, Q (1,U ) (u) = 0.

Information pattern

The number of reconstruction levels of the components of a given control input may vary over the time according to an optimization policy (which will be developed in Section 0.4). Consequently, it is necessary for the decoder to identify how to reconstruct the different components of the control input of the plant from the received binary symbols. To this end, the precision vector p(k) ∈ N m is introduced. The i th component p i (k) of the precision vector p(k) describes the number of bits that are required to encode all the reconstruction levels of the quantized control signal u i (k) (using the quantizer Q (p i (k),U i ) ). A compact representation of the precision vector has to be sent to the decoder, together with the control information. To minimize the necessary decoding information (which is described by p(k)), and to be able to produce compact representations of p(k), the set P of possible values of p(k) should contain a limited number of elements.

Let R I and R D be the number of bits which are used to encode respectively the control information and the decoding information. The communication constraints impose

R I + R D = R. ( 6
)
Then P must verify

P ⊆ p ∈ N m such that m i=1 p i = R I , (7)
and

|P| ≤ 2 R D , ( 8
)
where |P| denotes the cardinality of P.

Notion of quantization sequence

The notion of communication sequence was introduced by Brokett [START_REF] Brockett | Stabilization of motor networks[END_REF] and generalized by Hristu [START_REF] Hristu | Optimal control with limited communication[END_REF] in order to quantify the notion of attention [START_REF] Brockett | Minimum attention control[END_REF]. A communication sequence describes, at each sampling period, which control inputs of the system are updated, assuming an infinite quantization precision, which represents an idealized situation.

Definition 1 (Periodic communication sequence [START_REF] Hristu | Optimal control with limited communication[END_REF]). A periodic communication δ T -1 sequence of period T and width m is an infinite sequence (δ(0), . . . , δ(T -1), . . .) of elements of {0, 1} m verifying ∀i ∈ N, δ(k + iT ) = δ(k). A periodic communication sequence is fully characterized by the sequence δ T -1 = (δ(0), . . . , δ(T -1)) corresponding to the first period.

The notion of communication sequence is well suited to model the problems of medium access arbitration, when quantization aspects are disregarded. In this paper, since quantization is a main concern, we propose a generalization of the notion of communication sequence, to take into account quantization aspects. This leads to the notion of quantization sequence.

Definition 2 (Periodic quantization sequence). A periodic quantization sequence s T -1 of period T , width m and maximal precision M is an infinite sequence (s(0), . . . , s(T -1), . . .) of elements of {0, . . . , M} m verifying ∀i ∈ N, s(k + iT ) = s(k). A periodic quantization sequence is fully characterized by the sequence s T -1 = (s(0), . . . , s(T -1)) corresponding to the first period.

Example 1. The sequence In this paper, precision vectors are restricted to belong to the set P. For that reason, we will only consider quantization sequences whose components are precision vectors in P. These particular periodic quantization sequences are called admissible periodic quantization sequences. Since P contains only precision vectors that respect the communication constraints, an admissible periodic quantization sequence implicitly respects the required communication constraints.

s 2 =     2 1 4   ,   1 4 3   ,   0 4 2   ,   2 1 4   ,   1 4 3   ,   0 4 2   , . . .
Remark 4 (Communication delays and packet-dropouts issues). The proposed approach could be easily extended to take into account packet-dropouts which are known in advance (and which may be easily modeled using the notion of quantization sequence). However, the problem of the quantized control with unknown packet loss and communication delays is challenging and is out of the scope of this contribution.

Performance index definition

The performance of the controlled system (1) is evaluated using a quadratic cost function, which may be seen as the design specification of its ideal controller.

J(x, u, 0, N) = N -1 k=0 (x(k), u(k)). ( 9
)
where N is the final time, and

(x(k), u(k)) = x(k) u(k) T Q 1 Q 12 Q T 12 Q 2 x(k) u(k) ,
and

Q 1 , Q 2 and Q 12 are respectively n × n, m × m and n × m matrices. Let Q = Q 1 Q 12 Q T 12 Q 2 .
In the following, we assume that Q is positive definite.

3 Static strategy

Algorithm description

Let s T -1 be an admissible T -periodic quantization sequence. Let Λ be the function defined by

Λ : {0, . . . , M} m -→ {0, 1} m s -→ δ, such that δ i = 1 if s i = 0 δ i = 0 if s i = 0. Let L T -1 s = (L s (0), . . . , L s (T -1
)) be the periodic sequence of control gains characterizing the optimal T-periodic controller of system (1) if the communication constraints are described by the periodic communication sequence δ T -1 = (δ(0), . . . , δ(T -1)) = (Λ(s(0)), . . . , Λ(s(T -1))). In this situation, the optimal controller, taking into account the medium access constraints modeled by δ T -1 , is the state feedback control law

u(k) = L s (k)x(k), (10)
where

x(k) = x(k) u(k -1)
.

The control gains sequence L T -1 s may be derived using the approach described in [START_REF] Ben Gaid | Optimal integrated control and scheduling of networked control systems with communication constraints: Application to a car suspension system[END_REF].

Remark 5 (Control gains and communication constraints). The control gains L s (k) are designed to take into account the communication constraints

δ i (k) = 0 =⇒ u i (k) = u i (k -1) (i.e. if δ i (k) = 0, then the i th line of L s (k) verifies L s i,n+i (k) = 1 and L s i,j (k) = 0 for j = n + i).
To each admissible T -periodic quantization sequence s T -1 , a periodic control gains sequence L T -1 s , derived as mentionned previously, may be associated. A simple approach for controlling the system (1) is to use the following control algorithm

p(k) = s(k) v(k) = L s (k)x(k) u i (k) = Q (p i (k),U i ) (v i (k)) if p i (k) = 0 u i (k) = u i (k -1) if p i (k) = 0. ( 11
)
This algorithm is called static strategy, because it is based on a fixed periodic quantization sequence, in opposition to the adaptive strategy, that will be described in the Section 0.4.

Practical stabilization using the static strategy

In this subsection, we are interested in the practical stability properties of the static strategy. Since the control inputs can only take a finite number of values, achieving the asymptotic stability is practically impossible. In fact, in its seminal paper [START_REF] Delchamps | Stabilizing a linear system with quantized state feedback[END_REF], Delchamps has proved that when the input of the system passes through a quantizer having a finite number of quantization levels, then the set of trajectories that correspond to the asymptotic stability has Lebesgue measure zero. This fundamental result motivates the use of practical stability for the studied problem. In the following, the main definitions that are related to the stability notions that will be considered in this paper are reviewed. Definition 3 ((W, V )-stability [START_REF] Fagnani | Quantized stabilization of linear systems: complexity versus performance[END_REF]). Let V and W be two compact sets of R n+m containing the origin in their interiors and such that

V ⊆ W . System (1)(2)(11) is called (W, V )-stable if • W is positively invariant for system (1)(2)(11),
• for all x(0) ∈ W , there exists k 0 (function of x(0)) such that any state trajectory of (1)(2) [START_REF] Brockett | Stabilization of motor networks[END_REF] with initial condition x(0) satisfies x(k) ∈ V for all k ≥ k 0 .

Furthermore, system (1

)(2)(11) is called (W, V )-stable in N -steps if k 0 ≤ N .
Assume that system (1), is uniformly exponentially stable using the control law [START_REF] Brockett | Quantized feedback stabilization of linear systems[END_REF]. Let η > 0 and B η the ball defined by

B η = x ∈ R n+m , such that x ≤ η . ( 12
)
When system (1)( 10) is uniformly exponentially stable, a question that arises is whether it is possible to guarantee the ultimate boundedness of the trajectories of system (1)(2)(11) to any desired final set B η , if its inputs are quantized with a sufficiently high precision. However, due to the possibility of saturation of the control inputs, this ultimate boundedness property may not be verified if the initial extended state is situated in some regions of R n+m , where even the non quantized system (1)(2) [START_REF] Brockett | Quantized feedback stabilization of linear systems[END_REF] subject to control inputs saturations may not be stabilizable. For that reason, and due to these saturation constraints that are considered in the proposed problem formulation, the latter question is reformulated in terms of (W, V )stability. Consider the following perturbed system

x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) + Bw(k). ( 13
)
Assume that the disturbance w(k) belongs to a convex and compact set W. The disturbance w(k) may be seen as a model of the quantization error and its effect on the system. Several methods have been proposed in the literature for computing robustly positively invariant sets, for example [START_REF] Blanchini | Set invariance in control[END_REF][START_REF] Kolmanovsky | Theory and computation of disturbance invariant sets for discrete-time linear systems[END_REF][START_REF] Rakovic | Invariant approximations of the minimal robust positively invariant set[END_REF]. Let F be the set of states that do not lead to the saturation of the control commands using the control law [START_REF] Brockett | Quantized feedback stabilization of linear systems[END_REF]. The set F is defined by

F = x ∈ R n+m such that ∀k ∈ {0, . . . , T -1}, L s (k)x ∈ m i=1 [-U i , U i ] . ( 14
)
Let G γ the greatest convex and compact set in F that is robustly positively invariant for the perturbed system (13)(2) [START_REF] Brockett | Quantized feedback stabilization of linear systems[END_REF] and for bounded disturbances w(k) belonging to W γ defined by

W γ = {w(k) ∈ R m such that for all k ∈ N, w(k) ≤ γ} . ( 15
)
Under these assumptions, the set G γ is positively invariant for system (1)(2)(11) if the "quantization error" is less than or equal to γ. The (G γ , B η )-stability of system (1)(2)( 11) is addressed in the following theorem.

Theorem 1 ((W,V)-stability of the static strategy). For all ε > 0, if system (1)( 10) is uniformly exponentially stable, and the set G ε ϕ (as previously defined) is robustly positively invariant for the system [START_REF] Canudas-De-Wit | Differential coding in networked controlled linear systems[END_REF](2) [START_REF] Brockett | Quantized feedback stabilization of linear systems[END_REF], where ϕ is a constant that depends on the plant model ( 1), the controller [START_REF] Brockett | Quantized feedback stabilization of linear systems[END_REF] and ε, then there exists p 0 ∈ N such that system (1) [START_REF] Belanger | Decentralized control of satellite clusters under limited communication[END_REF], controlled by the control law [START_REF] Brockett | Stabilization of motor networks[END_REF] that is based on the periodic quantization sequence p 0 × s T -1 and the periodic control gains sequence [START_REF] Brockett | Stabilization of motor networks[END_REF] and x(k) its extended state at instant k. Assume first that G γ is robustly positively invariant for the system(13)(2) [START_REF] Brockett | Quantized feedback stabilization of linear systems[END_REF]. Let p ∈ N and v(k) = L s (k)x(k). The quantization error e (p) (k) is defined for i ∈ {1, . . . , m} by

L T -1 s is (G ε ϕ , B ε )-stable. Proof. Let γ > 0. Let x(0) ∈ G γ be the initial condition of system(1)(2)
e (p) i (k) = Q (p×s i (k),U i ) (v i (k)) -v i (k) if s i (k) = 0, 0 if s i (k) = 0. Let Ā(k) = A 0 n,m 0 m,n 0 m,m + BL s (k) L s (k) .
At a given discrete instant k, the extended state x(k) of system(1)(11) verifies

x(k) = Φ(k, 0)x(0) + k-1 i=0 Γ(k, i)e (p) (i), (16)
where

Φ(k, i) =      k-i j=1 Ā(k -j) if k > i, I n+m if k = i, (17)
and

Γ(k, i) =            k-i-1 j=1 Ā(k -j) B if i < k -1, B if i = k -1, 0 n,m if i = k. ( 18
)
The norm . being a matrix norm, we may write

x(k) ≤ Φ(k, 0) x(0) + k-1 i=0 Γ(k, i) e (p) (i) . ( 19
)
Since G γ ⊆ F and G γ is positively invariant for system (1)(2) [START_REF] Brockett | Stabilization of motor networks[END_REF], then the control inputs corresponding to any state trajectory starting from x(0) ∈ G γ never saturate. Consequently, the quantization error converges to zero as p tends to infinity. Hence, for any desired worstcase quantization error γ, there exists p 0 ∈ N such that ∀p ≥ p 0 , ∀k ∈ N, e (p) (k) ≤ γ.

For p ≥ p 0 ,

x(k) ≤ Φ(k, 0) x(0) + k-1 i=0 Γ(k, i) γ. ( 20
)
Let ε sufficiently small and verifying 0 < ε < ε. Let M = max x∈F x . Since system (1) [START_REF] Brockett | Quantized feedback stabilization of linear systems[END_REF] is uniformly exponentially stable, then Φ(k, 0) converges exponentially to zero as k tends to infinity. Consequently, there exists

k 0 ∈ N such that ∀k ≥ k 0 , Φ(k, 0) ≤ ε 2M . Furthermore, we have k i=0 Γ(k, i) = Φ(k, 1)B + Φ(k, 2)B + . . . + Φ(k, k)B + B ≤ ( Φ(k, 1) + Φ(k, 2) + . . . + Φ(k, k) + 1) B . ( 21
)
The uniform exponential stability of system (1) [START_REF] Brockett | Quantized feedback stabilization of linear systems[END_REF] implies that there exists two positive constants c and β < 1 such that for all i

Φ(k, i) ≤ cβ k-i , for k ≥ i. Consequently k i=0 Γ(k, i) ≤ B (1 + c k i=0 β k-i ) = B (1 + c k i=0 β i ) = B (1 + c 1 -β k+1 1 -β ).
Since the sequence

d k = k i=0
Γ(k, i) is increasing and upper bounded by the convergent sequence

B (1 + c 1-β k+1 1-β ), then it is convergent too. Let ϕ = lim k→+∞ k i=0 Γ(k, i) .
It follows that there exists

k 0 ∈ N such that ∀k ≥ k 0 , k i=0 Γ(k, i) -ϕ ≤ ε 2γ . Let k 0 = max(k 0 , k 0 ). Consequently, ∀k ≥ k 0 , x(k) ≤ ε 2M x(0) + ( ε 2γ + ϕ )γ ≤ ε + ϕ γ. ( 22
)
Chossing ϕ = ϕ ε ε-ε and γ = ε ϕ , the theorem is proved.

Theorem 1 states conditions that guarantee the positive invariance of the extended state as well its the ultimate boundedness to a given ball including the origin, using the static strategy.

Model predictive control 4.1 Algorithm description

Assume that a set C of admissible periodic quantization sequences is defined (a method for the construction of this sequence will be presented in Section 4.2). Then, the problem of the integrated control and communication may be solved on-line using the model predictive control algorithm. The model predictive control is an elegant solution to tackle the hybrid aspect of the considered model, where both the control inputs and the quantization frequency decisions need to be determined at each sampling period. Model predictive control was successfully applied to the control of hybrid systems [START_REF] Bemporad | Control of systems integrating logic, dynamics, and constraints[END_REF] and to the problems of integrated control and medium access allocation [START_REF] Ben Gaid | Optimal integrated control and scheduling of networked control systems with communication constraints: Application to a car suspension system[END_REF].

Using the MPC approach, an optimization problem is solved at each sampling period, in order to determine both the control inputs of the plant u(k) and their quantization precision p(k). This problem is formulated as in the set of equations ( 23

) below.                                      min s T -1 ∈C N -1 h=0 (x(k + h|k), û(k + h|k)) subject to x(k|k) = x(k) û(k -1|k) = u(k -1)
and for all h ∈ {0, . . . , N -1} , for all i ∈ {1, . . . , m}

p(k + h|k) = s(h) v(k + h|k) = L s T -1 (h) xT (k + h|k) ûT (k + h -1|k) T ûi (k + h|k) = Q (p i (k+h|k),U i ) (v i (k + h|k)) if pi (k + h|k) = 0 ûi (k + h|k) = ûi (k + h -1|k) if pi (k + h|k) = 0 x(k + h + 1|k) = Ax(k + h|k) + B û(k + h|k) (23)
Using this approach, the control performance J(x, û, k, N + k) over a horizon of N (which is assumed to be a multiple of T ) is predicted, for the |C| communication sequences of C.

x(k + h|k) and û(k + h|k) constitute the predicted values of x(k + h) and u(k + h), for a given quantization sequence s T -1 and associated control gains sequence L T -1 s T -1 . p(k + h|k) represents the quantization precision of the predicted inputs û(k + h|k). If pi (k + h|k) = 0, then the predicted control input û(k + h|k) cannot be updated. Consequently, its previous value û(k + h -1|k) will be maintained. Control inputs u i (k + h|k) which have to be updated (i.e. whose precision vectors satisfy pi (k + h|k) = 0) are computed by the application of the quantization map Q to the i th element of the result of the state feedback operation

v(k + h|k) = L s T -1 (h) xT (k + h|k) ûT (k + h -1|k)
T . The solution of this optimization problem is the admissible periodic quantization sequence s T -1 * = (s * (0), . . . , s * (T -1)) that minimizes the cost function J(x, û, k, k + N ) subject to the communication constraints.

According to the MPC philosophy, the precision vector and control inputs at instant k are respectively given by p(k) = p * (k|k) = s * (0),

and

u i (k) = û * i (k|k) = Q (p i (k),U i ) (v * i (k|k)) if p i (k) = 0 u i (k) = u i (k -1) if p i (k) = 0, (25)
where v * (k|k

) = L s T -1 * (0)x(k). (26)
In the following, we will represent the model predictive control law (23)(24)(26) [START_REF] Lincoln | LQR optimization of linear system switching[END_REF], when based on a given set of admissible periodic quantization sequences C, by the function κ C (x(k)) of the extended state x(k). The choice of the set C plays an important role in ensuring the practical stability and performance improvements. In the following, a heuristic method for choosing the elements of the set C is proposed. To simplify the notation, the cost function J(x, û, k, k + N ) will be simply denoted by J(x, s), where s is the quantization sequence that is used (as well as its associated control gains sequence) to evaluate the predicted values x and û. It may be also denoted as J(x(k), U (k)), where U(k) = (û(k|k), . . . , û(k + N -1|k)) is a sequence of control inputs that determine the evolution of the system from state x(k) and the associated cost.

A heuristic approach for the choice of quantization sequences

Action domains

In order to simplify the presentation, and without loss of generality, we assume that

R I = bM, ( 27
)
where M represents the maximal precision of the digital-to-analog converters, generally considered as the "infinite precision", and b is the maximal number of control inputs that may be sent with the maximal precision M , during the sampling period. Let a 1,Q = (a 1 , . . . , a Q ) be a sequence of increasing integers such that a 1 = 1 and ∀i ∈ {1, . . . , Q}, a i divides M . Let S(m, M ) be the set of periodic quantization sequences of width m and maximal precision M . Based on the sequence a 1,Q , it is possible to characterize Q remarkable sub-sets of S(m, M ). These particular subsets are called action domains. Formally, the l th action domain A l , l ∈ {1, . . . , Q} is the set of all quantization sequences s T l -1 = (s(o), . . . , s(T l -1)) such that ∀i ∈ {1, . . . , m}, ∀k ∈ {0, . . . , T l -1}, s i (k) ∈ { M a l , 0}. This means that in the l th action domain, a l b inputs may be updated with the precision M a l . The first action domain A 1 represents the quantization sequences that update the minimal number of plant inputs with the maximal precision M . The last action domain A Q represents the set of quantization sequences that update the maximal number of plant inputs with the minimal precision M a Q .

Basic sequences

Let Γ * (r) be an optimal offline periodic communication sequence that minimizes the H 2 norm of the system, assuming that at most r control inputs may be updated during the sampling period with an infinite quantization precision. An efficient method for obtaining optimal and suboptimal solutions (with a guaranteed error bounds) to this optimization problem, using the branch and bound algorithm, was proposed in [START_REF] Ben Gaid | Optimal scheduling of control tasks with state feedback resource allocation[END_REF]. The generated optimal offline communication sequences, using this method, are only dependent on the intrinsic characteristics of the system. In order to further reduce the computational requirements of the algorithm, the search is restricted to the most relevant quantization sequences. To this end, to each action domain, a particular quantization sequence, called basic sequence, is assigned. More formally, to action domain A l , a basic sequence s l B is associated according to the following relation

s l B = M a l Γ * (ba l ). ( 28
)
Although this assignment is suboptimal since the optimization is performed assuming an infinite precision of the control inputs; it allows assigning the update rate of the different control signals according to the systems's dynamics. In fact, solving offline the problem of finding the optimal quantization sequence in the sense of the H 2 performance index is very complex, since it suffers from the curse of dimensionality. The assumption of an infinite quantization precision considerably reduces this complexity, since convex optimization problems may be used inside the optimization algorithm (i.e. bouding phase of the branch and bound algorithm), instead of searching over all the possible discrete values of the control inputs, which increase exponentially with the quantization precision. In the following, we will denote by C l the set of admissible periodic quantization sequences that are obtained by the circular permutation of the basic sequence s l B . Unless stated otherwise, the set C that will be used by the proposed MPC algorithm is defined by

C = Q l=1 C l .

Attraction properties of the MPC

Theorem 1 stated the conditions allowing to guarantee the ultimate boundedness to a given ball including the origin, using the static strategy. Corollary 1 showed that it is possible to refine this neighborhood of the origin if the quantization precision is increased. When the MPC algorithm is used, an interesting question is to determine the conditions under which the MPC will allow to perform the tradeoff between quantization precision and update rates and to "attract" the system to the smallest ball around the origin in steady state, while improving the convergence rate by changing action domains in transient states. The notion of attraction is formalized in the following definition. Definition 4 ((W,V)-attraction). Let W a compact set and V a set containing the origin in its interior and verifying W ∩ V = ∅. System (1)(2) controlled by a control law κ(x(k)) is called (W,V)-attractive if for all trajectory starting in W (i.e. verifying x(0) ∈ W ), there exists a time instant k 0 such that x(k 0 ) ∈ V .

A system is called (W, V )-attractive when any trajectory starting in W is driven in a finite time to V . A (W, V )-stable system is (W, V )-attractive, but the reciprocal is not necessarily true. In the following, sufficient conditions under which these attraction properties are verified, are stated. But before stating these results, the following technical lemma is needed.

Lemma 1 (Characterization of the (W,V)-attraction). Assume that there exists a control law κ(x(k)), a positive definite function P (x) of the extended state of the closed loop system (1)(2) (controlled by κ), and a compact set W that does not contain the origin and such that for all x(k) ∈ W , ∆P (x(k)) = P (x(k + 1)) -P (x(k)) < 0. Let V = {x ∈ R n+m -W for which there exists ỹ ∈ W such that P (x) < P (ỹ)}. If x(0) ∈ W , then there exists an instant k 0 such that x(k 0 ) ∈ V .

Proof. The proof is performed by contradiction. Let x(0) a given initial state in W . Assume that for all k ∈ N, x(k) ∈ W . Since W is compact (and consequently closed) and does not contain the origin, then there exists δ < 0 such that max x∈W ∆P (x) = δ. Therefore, at any instant

k, P (x(k)) = P (x(0)) + k i=1 (P (x(i)) -P (x(i -1))) ≤ P (x(0)) + δk.
Consequently, when k -→ +∞, P (x(k)) -→ -∞, which contradicts the fact that P (x(k)) is a positive definite. For that reason, we conclude that there exists a time instant k 0 such that x(k 0 ) / ∈ W . Since P (x(k)) is strictly decreasing for k ≤ k 0 , then necessarily P (x(k 0 )) < P (x(0)). Thus, x(k 0 ) ∈ V .

Lemma 1 shows that when a positive definite function of the state is strictly decreasing along the trajectories of the system in a region W that does not contain the origin; the state cannot stay indefinitely in this region and must approach the origin. This Lemma will be the basis for proving the attraction properties of the MPC algorithm.

Let P (x(k)) = J(x(k), U * (k)). The function P (x(k)) represents the cost function that is minimized by the MPC algorithm and will play the role of a "Lyapunov function". By construction, P is a positive definite function. We have the following result.

Theorem 2 ((W,V)-attraction of the MPC law κ C l ). Let ξ > 0. Let W = {x ∈ R n+m such that P (x) ≤ ξ} and V two compact sets of R n+m containing the origin in their interiors and such that V ⊆ W . Let be a small positive number, 2) is ensured by the static strategy based on any quantization sequence s l ∈ C l , and if the horizon N of the MPC algorithm is chosen such that N > N , then the MPC algorithm κ C l is ( W , V )-attractive.

W = {x ∈ W such that (x, κ C l (x)) ≥ max xv∈V (x v , κ C l (x v )) + } and V = W -W . If the (W, V )-stability in N -steps of system (1)(
Proof. Let η = max xv∈V (x v , κ C l (x v ))
. At time step k = 0, the solutions of the open-loop optimal control and communication problem are U * (0) = (û * (0|0), . . . , û * (N -1|0)) and s * . The control input that will be applied to the plant, according to the receding horizon philosophy will be u(0) = û * (0|0). At time step k = 1, the sequence Ǔ(1) = (û * (1|0), . . . , û * (N |0)) is a feasible sequence, where û * (N |0) is defined for i ∈ {1, . . . , m} by

û * i (N |0) = Q (s * i (N ),U i ) (v * i (N |0)) if s * i (N ) = 0, û * i (N -1|0) if s * i (N ) = 0, and v(N |0) = L s * (N )[x * (N |0) û * (N -1|0)] T .
The associated cost is

J(x(1), Ǔ (1)) = J(x(0), U * (0)) -(x(0), u(0)) + (x * (N |0), û * (N |0)). ( 29
)
Since the static strategy based on the quantization sequence s * ∈ C l ensures (W, V )-stability in N -steps of system (1)(2), and knowing that N > N , then x * (N |0) ∈ V . Consequently, by construction of V , (x * (N |0), û * (N |0)) < η. We may write

P (x(1)) -P (x(0)) = J(x(1), U * (1)) -J(x(0), U * (0)) ≤ J(x(1), Ǔ (1)) -J(x(0), U * (0)) < -(x(0), κ C l (x(0))) + η. (30)
This reasoning remains true for all other instants k > 0. The positive definite function P associated to the MPC control law is then strictly decreasing when x(0) ∈ W ⊆ {x ∈ R n+m such that (x, κ C l (x)) > η} . By construction, W is compact, does not contain the origin and verifies W ∩ V = ∅. Consequently, applying the previous lemma, there exists an instant k 0 such that x(k 0 ) / ∈ W and P (x(k 0 )) < P (x(0)) ≤ ξ, thus, x(k 0 ) ∈ V .

Theorem 2 states the conditions under which any trajectory starting in W is driven in finite time to V , using the MPC law κ C l . Let G the set of extended states that can be pratically stabilized by at least one static strategy (as defined by the previous heuristic approach). G is formally defined by

G = Q i=1 G M a i .
In the following, to simplify the notion, let J(x, l i ) = min s∈C i J(x, s). Let R i be the region defined by R i = {x ∈ G such that for all j > i, J(x, l i ) < J(x, l j )} .

It is easy to see that regions R i (i ∈ {1, . . . , Q}), form a partition of G. An interesting question is whether the MPC algorithm κ C is able to ensure the attraction of any trajectory starting in G to a desired ball X f . Theorem 3 provides sufficient conditions to ensure this property. To simplify the notation, let R 0 = X f .

Theorem 3 (Convergent switching between action domains in the MPC law

κ C ). If R 1 ⊂ R 2 ⊂ . . . ⊂ R Q and if the MPC algorithm κ C l ensures (R l , R l-1 )-attraction of system (1)(2) for 1 ≤ l ≤ Q, then system (1)(2), controlled by the MPC control law κ C is (G, X f )-attractive.
Proof. (R 1 , . . . , R Q ) form a partition of G. For that reason, there exists l ∈ {1, . . . , Q} such that the extended state x belongs to region R l . Consequently, by construction of the MPC algorithm κ C , as long as the extended state x belongs to R l , the MPC algorithm κ C l will be applied, until the extended state reaches a region R j with j = l. The (R l , R l-1 )-attraction implies that this region is necessarily included in R l-1 . Consequently, j < l. Applying recursively the same reasoning to the region R j , the theorem is proved.

In simulation, it is observed that when the prediction horizon is sufficiently large, adding more elements to C leads to a better control performance. However, if the set C is reduced to C = {s 1 B , . . . , s Q B }, proving the (W,V)-stability becomes easy, as stated in the following result.

Corollary 1 (Convergent switching between action domains in κ

C for C = {s 1 B , . . . , s Q B }). If R 1 ⊂ R 2 ⊂ . . . ⊂ R Q and if the static strategy s l B ensures (R l , R l-1
)-stability of system (1)(2) for 1 ≤ l ≤ Q, then system (1) [START_REF] Belanger | Decentralized control of satellite clusters under limited communication[END_REF], controlled by the MPC control law

κ C for C = {s 1 B , . . . , s Q B } is (G, X f )-stable.
The proof may be easily established following the same lines as the previous one.

Simulation results

Consider the continuous-time LTI system defined by the state and input matrices

A c =     A cs 0 0 0 0 A cs 0 0 0 0 A cs 0 0 0 0 A cs     and B c =     B cs 0 0 0 0 B cs 0 0 0 0 B cs 0 0 0 0 B cs     ,
where

A cs = 0 110 -900 10
and B cs = 0 210 .

The system is composed of four independent and identical second order open-loop unstable subsystems, with eigenvalues 5 ± 314.6j. The design criteria of the ideal controller for the closed-loop of each subsystem are defined by the matrices Q cs = Diag [START_REF] Tatikonda | Control under communication constraints[END_REF][START_REF] Brockett | Quantized feedback stabilization of linear systems[END_REF] and R cs = 0.01. The communication channel linking the controller to the four distant actuators has a bandwidth of 10 kbps, which means that every 2 ms, at most 20 bits of information can be sent to the actuators. Based on these bandwidth constraints, choosing M = 20, and using the heuristic approach of the previous section, three action domains A 1 , A 2 and A 3 are associated to the global system, and corresponding to the sequence a 1,3 = (a 1 , a 2 , a 3 ) = (1, 2, 4). Since the four subsystems are identical, the basic sequences that are associated to each action domain are defined by

s 1 B =         20 0 0 0     ,     0 20 0 0     ,     0 0 20 0     ,     0 0 0 20     , . . .     , s 2 B =         0 10 0 10     ,     10 0 10 0     ,     0 10 0 10     ,     10 0 10 0     , . . .     ,
and

s 3 B =         5 5 5 5     ,     5 5 5 5     ,     5 5 5 5     ,     5 5 5 5     , . . .     .
The static strategy is first evaluated. In the simulation results (depicted in Figures 2, 3 and4), the control performance corresponding to the application of the basic sequences s 1 B , s 2 B and s 3 B (of action domains A 1 A 2 and A 3 ) is evaluated and compared. In these simulations, the global system is started from the initial condition [0.4 0 0.4 0 0.4 0 0.4 0] T and disturbed at t = 59 ms. It may be observed that the response corresponding to the basic sequence s 1 B presents an oscillatory behavior, resulting from the effect of the long effective update period (which is equal to 8 ms). These oscillations disappear when the basic sequence s 2 B is used. Using the basic sequence s 3 B further improves the disturbance rejection capabilities as well as the response time of the systems, but lead to a degradation of the steady state performance (chaotic behavior near the origin). The main observation that we learn from this example is that using a high action domain improves the transient behavior whereas using low action domain improves the steady state precision. Performing a switching between these actions domains in an automatic and clairvoyant way will allow to take advantage of the benefits of each action domain and to improve the control performance by trading quantization precision for update rates.

The MPC algorithm is next evaluated. The used MPC algorithm was designed using the heuristic approach of the previous section. According to this approach, the set C shall contain the basic sequences s

1 B × R I M , s 2 B × R I M and s 3 B × R I
M as well as their circular permutations. The cardinality of C (i.e. the number of used quantization sequences) is equal to 7. For that reason, 3 bits must be reserved to the encoding of the decoding key. Consequently, the parameters R I and R D were chosen such that The control gains that are associated to each quantization sequence were derived in the same way as for the static strategy. Global system responses corresponding to the use of the MPC algorithm are depicted in Figure 5 (left). It may be observed that using the MPC approach, the tradeoff between precision and rapidity is performed. The advantages resulting from the usage of each basic sequence are achieved. The oscillations caused by the long update period as well as the chaotic behavior near the practical stability region are eliminated and the response to the unpredictable disturbances improved. These improvements are due to a more intelligent choice of the number of quantization levels of the control signals, which are allocated according to the state value of the system. The time evolution of the used action domains is depicted in Figure 5 (right). It may be observed that when the four systems are disturbed at the same time, the MPC algorithm chooses the send at the same time the control inputs to the four systems, using a precision vector from the first action domain. As long as the systems are stabilized, precision vectors from the second and finally from the third action domain are chosen. The corresponding quantization precision of the different control signals is depicted in Figure 6.

Conclusion

In this paper, the problem of the control over limited bandwidth communication channels was studied. A finely grained model was adopted, ensuring the respect of the bandwidth constraints and allowing the characterization of the influence of the update frequency and quantization precision on the control performance. A simple static strategy was first proposed, and its (W,V)-stability properties studied. An efficient approach for the improvement of disturbance rejection capabilities and steady state precision was then proposed. This approach dynamically assigns the quantization precision of the control signals in order to improve the control performance, taking into account the communication and computation requirements of the introduced dynamic protocol. It naturally allows handling LTI systems with multiple inputs. Sufficient conditions for ensuring the practical stability of this approach were stated. Finally, the proposed approach was evaluated and illustrated through a numerical example.

  quantization sequence of period T = 3, width m = 3 and maximal precision M = 4.

Figure 2 : 1 0Figure 3 : 2 0Figure 4 :

 21324 Figure 2: Global system responses obtained for the basic sequence of action domain A 1

R I = 16 and R D = 3 .

 3 The set P containing the possible precision vectors (corresponding to this choice of C) is defined by

Figure 5 : 4 Figure 6 :

 546 Figure 5: Global system responses obtained for the MPC algorithm (left) and used action domains (right)


Ségolène M R Guérin

Yvonne N Delevoye-Turrell

Jonathan M Bird

Costas I Karageorghis

I Et Costas

Karageorghis

Déclarer Le

Yvonne N Delevoye- Turrell

The importance of active

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Résumé

La maladie à coronavirus 2019 (COVID-19) a entraîné le confinement de la moitié de la population mondiale. Cette situation inédite a eu un impact non négligeable sur les habitudes de vie des populations, qui se sont vues dans l'obligation de rester cloîtrées à leur domicile.

Le but de cette étude était d'examiner les effets du confinement sur la santé mentale, le niveau d'activité physique et les comportements sédentaires. Une enquête unique en ligne a été administrée selon un modèle d'étude transversale à 739 participants français. Nos résultats montrent que la santé mentale des jeunes adultes et des personnes âgées était compromise dans une plus large mesure que celle des trentenaires et des cinquantenaires, peu importe qu'ils habitent en milieu urbain ou rural. Une baisse d'activité physique non planifiée et du nombre de pas journaliers (~3500 pas), particulièrement chez les citadins, a été mise en évidence, effet qui n'a pas été retrouvé pour l'activité physique planifiée. Nos données mettent également en lumière, mais seulement chez les femmes, un lien entre le temps passé devant un écran (~1h30) et le niveau de santé mentale. Dans l'ensemble, nos résultats suggèrent que les jeunes adultes et les personnes âgées sont des populations qui nécessitent un soutien social et des interventions ciblées afin de minimiser l'impact psychologique du confinement. De plus, il est crucial d'informer la population sur l'importance de développer des routines sportives pour maintenir le niveau d'activité physique pendant les périodes de restriction des déplacements, notamment pour les femmes habitant en milieu urbain.

COVID-19

La maladie à coronavirus 2019 (COVID-19) a entraîné le confinement de la moitié de la population mondiale. Cette situation inédite a eu un impact non négligeable sur les habitudes de vie des populations, qui se sont vues dans l'obligation de rester cloîtrées à leur domicile afin d'atténuer la transmission de cette maladie infectieuse émergente extrêmement contagieuse. Les routines quotidiennes ont été bousculées de par la nécessité de télétravailler, de gérer à la maison ses enfants à plein temps, d'instaurer une distanciation physique, ou encore de réduire les déplacements [START_REF] Haleem | Effects of COVID-19 pandemic in daily life[END_REF]. Parce qu'il restreint les individus dans un espace de vie fermé, le confinement limite considérablement les mouvements, affectant l'activité physique spontanée généralement liée aux nécessités de la vie quotidienne en dehors de la maison (e.g., se rendre au travail à pied ou à vélo, monter les escaliers, promener le chien ; [START_REF] Margaritis | How to deal with COVID-19 epidemic-related lockdown physical inactivity and sedentary increase in youth? Adaptation of Anses' benchmarks[END_REF]. Ainsi, des changements néfastes d'habitudes de vie, de régime alimentaire, et de bien-être psychologique des personnes ont été massivement reportés au cours des dernier mois (voir Deschasaux-Tanguy et al., 2020 ;[START_REF] Di Renzo | Eating habits and lifestyle changes during COVID-19 lockdown: An Italian survey[END_REF]2020[START_REF] Luo | The psychological and mental impact of Coronavirus Disease 2019 (COVID-19) on medical staff and general public -A systematic review and meta-analysis[END_REF]. Avec l'éventualité de situations similaires à l'avenir, il est important de mieux comprendre les facteurs sociétaux qui peuvent accentuer les inégalités de santé pour aider au développement d'une politique sociale équitable.

Fin juillet 2020, alors que plus de quatre mois se sont écoulés depuis que la COVID-19 a été classée comme pandémie par l'Organisation Mondiale de la Santé, très peu d'études ont contrasté les effets délétères du confinement en fonction de l'âge. Pourtant, les générations sont susceptibles d'être impactées différemment par l'isolement à domicile.

Tandis que les adolescents et les jeunes adultes peuvent souffrir du manque de socialisation, les personnes âgées pourraient être davantage touchées par l'absence de visite des personnes aimées. Les trentenaires ont quant à eux dû faire face à des changements drastiques dans leurs activités professionnelles, avec une augmentation des activités sur écrans (e.g., réunions virtuelles) tout en organisant le suivi scolaire de leurs enfants à la maison. C'est ainsi qu'une étude italienne a montré que le niveau de bien-être psychologique était significativement moins élevé pendant le confinement chez les personnes de 30 à 50 ans [START_REF] Favieri | The Italians in the time of Coronavirus: Psychosocial aspects of unexpected COVID-19 pandemic[END_REF]. L'isolement, le chômage, l'insécurité financière, la violence, et le fragile équilibre travail-famille sont autant de facteurs de risque qui peuvent accentuer les inégalités de santé entre les femmes et les hommes [START_REF] Marchand | Gendered depression: Vulnerability or exposure to work and family stressors[END_REF]. Il a en effet été rapporté que les femmes sont plus susceptibles que les hommes d'avoir une charge de travail domestique et des responsabilités familiales plus importantes, effets qui sont potentialisés pendant les épidémies [START_REF] Mclaren | Covid-19 and women's triple burden: Vignettes from Sri Lanka, Malaysia, Vietnam and Australia[END_REF]. Tout particulièrement pendant la COVID-19, les femmes sont plus à risque d'exposition directe au virus de par leur surreprésentation dans le milieu de la santé et des services, mais elles ont également été davantage affectées par les pertes d'emploi liées à la pandémie [START_REF] Bilodeau | Covid-19 : Un impact plus grand chez les femmes. The Conversation[END_REF]. Sur le plan psychologique, une littérature croissante montre également qu'être une femme est un facteur de risque important en ce qui concerne l'impact négatif du confinement, avec des niveaux plus élevés de stress, d'anxiété, et de dépression que chez les hommes [START_REF] Luo | The psychological and mental impact of Coronavirus Disease 2019 (COVID-19) on medical staff and general public -A systematic review and meta-analysis[END_REF][START_REF] Wang | Immediate psychological responses and associated factors during the initial stage of the 2019 coronavirus disease (COVID-19) epidemic among the general population in China[END_REF]. Des observations similaires avaient déjà été réalisées lors des pandémies précédentes (e.g., virus Ebola et Zika), indiquant l'importance d'une réponse genrée pour éviter de creuser d'autant plus les inégalités de santé entre les femmes et les hommes.

Selon

Il a été suggéré que l'activité physique (i.e., tout mouvement des muscles squelettiques responsable d'une augmentation de la dépense énergétique) est un moyen efficace pour améliorer la santé mentale et la qualité de vie [START_REF] Demont-Heinrich | The association between physical activity, mental health and quality of life: A population-based study[END_REF][START_REF] Paluska | Physical activity and mental health[END_REF][START_REF] Stephens | Physical activity and mental health in the United States and Canada: Evidence from four population surveys[END_REF]. Des études expérimentales ont démontré que les interventions sous forme d'exercices physiques soulagent les symptômes de la dépression et de l'anxiété [START_REF] Lawlor | The effectiveness of exercise as an intervention in the management of depression: Systematic review and meta-regression analysis of randomised controlled trials[END_REF]Long & Vanstavel, 1995) et al., 2020 ;[START_REF] Deschasaux-Tanguy | Diet and physical activity during the COVID-19 lockdown period[END_REF][START_REF] Xiang | Impact of COVID-19 pandemic on children and adolescents' lifestyle behavior larger than expected[END_REF]. Cheval et collaborateurs (2020) rapportent en effet que pendant le confinement lié à la COVID-19, les temps de loisirs ont été caractérisés par moins d'activité physique vigoureuse et davantage d'activités sédentaires. Pour pouvoir encourager des habitudes de vie active, il est nécessaire de mieux caractériser la nature de ces activités sédentaires, et ce afin de pouvoir orienter les campagnes de sensibilisation. De plus, différents impacts sur la santé mentale ont été mis en évidence selon le type d'activité sédentaires pratiqué (e.g., activité passive vs. mentalement actives ; [START_REF] Hallgren | Passive and mentally-active sedentary behaviors and incident major depressive disorder: A 13-year cohort study[END_REF]. Ainsi, dans la présente étude, nous avons évalué l'impact du confinement sur le temps passé à réaliser des activités sédentaires en discriminant le temps passé sur écran (i.e., ordinateur, télévision), et le temps passé à réaliser une autre activité de loisir (i.e., lecture, discussions, écoute radio).

Il est ardu de pratiquer une activité physique régulière lorsque les salles de sport et les parcs sont fermés, surtout pour les citadins. De manière intéressante, Zenic et collaborateurs (2020) ont montré que pendant le confinement, les adolescents vivant en ville ont davantage réduit leur pratique d'activité physique comparativement à leurs homologues vivant à la campagne. Il est ainsi possible que les effets du confinement sur les habitudes sportives aient été différents en fonction de l'environnement de vie (urbain vs. rural). Ces résultats sont corroborés par [START_REF] Katewongsa | The effects of COVID-19 pandemic on physical activity of the Thai population: Evidence from Thailand's Surveillance on Physical Activity 2020[END_REF], qui ont trouvé que les adultes (18-64 ans) vivant en milieu rural étaient moins susceptibles que ceux vivant en milieu urbain d'avoir un niveau suffisant d'activité physique modérée à intense durant la pandémie. En milieu rural, les lieux de pratique sont en effet variés, avec des opportunités qui s'offrent en fonction de la nature : champs, forêts, routes pavées, bord de rivière-lieux qui sont restés disponibles pendant le confinement. Considérant qu'en ville les maisons et les appartements disposent de moins de jardins privatifs, et que les parcs urbains été fermés, les citadins n'avaient accès qu'à très peu d'environnements offrant la possibilité d'une pratique sportive. Cependant, il est possible qu'une personne ayant développé, avant le confinement, des habitudes de vie incluant la pratique régulière d'activités sportives aura un besoin de se dépenser physiquement plus accru que celle n'ayant pas une telle routine. Ces habitudes seraient alors un facteur important permettant à tous, et notamment les citadins, d'inventer un moyen de réaliser des séances d'activité physique adaptées au sein du foyer pour limiter les effets négatifs de la sédentarité forcée (e.g., séances avec un coach virtuel).

Le but de cette étude était d'examiner les effets du confinement imposé par la COVID-19 sur la santé mentale, les comportements sédentaires, et la quantité d'activité physique en dissociant les activités sportives planifiées (i.e., inclues dans une habitude de vie pré-confinement) et les activités non planifiées. Nous avons émis l'hypothèse selon laquelle le confinement aurait un effet négatif sur la santé mentale et ce peu importe l'âge (H1), et que la santé mentale chez les hommes serait moins impactée par le confinement que celle des femmes (H2). De plus, nous avons émis l'hypothèse selon laquelle le confinement augmenterait les comportements sédentaires, peu importe le sexe et l'environnement de vie (H3). Nous nous attendions à ce que la quantité d'activité physique soit plus élevée avant que pendant le confinement, peu importe le sexe (H4). Cependant, la baisse de quantité d'activité physique serait moindre pour les activités physiques, particulièrement chez les gens vivant en milieu urbain (H5).

Méthode

Participants

Le recrutement a été effectué par l'entremise de messages sur les réseaux sociaux et de publicité dans la presse grand public. Pour pouvoir être inclus dans l'étude, les participants devaient (a) être capable de répondre à des questions en français, (b) être âgés de 18 ans ou plus, et (c) de résider en France pendant le confinement. Les sportifs pratiquant des entraînements exigeant un effort physique important (e.g., athlètes, gymnastes) ont été exclus.

Une fois redirigés vers le site de l'enquête en ligne, les participants recevaient une lettre

Mesures

Des mesures démographiques (e.g., l'âge, le statut COVID-19) ont été récoltées. Un résumé des données démographiques se trouve en Table 1. Les participants ont été regroupés en fonction de quatre tranches d'âge : les jeunes adultes (18-30 ans), les adultes d'âge moyen Les comportements sédentaires ont été évalués à partir du temps par jour consacré à des occupations sédentaires avant et pendant le confinement. Il a ainsi été demandé à chaque participant•e de fournir une approximation en heures du temps journalier passé assis, ainsi que du temps passé devant un écran (e.g., ordinateur ou téléviseur).

Procédure

Un modèle d'étude transversale a été utilisé, et une enquête unique a été administrée via un logiciel en ligne (LimeSurvey ; Hambourg, Allemagne). La santé mentale, les quantités d'activités physiques, ainsi que les comportements sédentaires ont été mesurés avant et pendant le confinement en France, avec un cadre rétrospectif adopté en ce qui concerne les mesures pré-confinement. L'enquête en ligne a été lancée le 21 avril 2020 et a été fermée le 10 mai 2020 ; elle a donc pris effet pendant la période de confinement stricte.

L'enquête a duré environ 20 min, et les volontaires n'ont reçu aucune compensation financière pour leur participation.

Analyse de Données et Traitement Statistique

Les scores standardisés (z > ± 3.29) ont été calculés afin de détecter les valeurs aberrantes univariées. Le test de la distance de Mahalanobis (p < .001) a été utilisé pour identifier les données aberrantes multivariées. Les hypothèses paramétriques qui sous-tendent les (M)ANOVAs à modèles mixtes [START_REF] Tabachnick | Using multivariate statistics[END_REF] ont été examinées. La santé mentale a été analysée avec une ANOVA 2 (Confinement) × 2 (Sexe) × 4 (Age) de Type II [START_REF] Langsrud | ANOVA for unbalanced data: Use Type II instead of Type III sums of squares[END_REF] (https://osf.io/pkebv/?view_only=5d7bf8b9b47d43e3a7e4db4e0f257bc1). Les tailles des effets (i.e., ηp 2 et dz) ont été systématiquement reportés pour rendre compte de l'ampleur des effets observés (plus la taille de l'effet est grande, plus la proportion de variance expliquée par les différentes variables est grande ; [START_REF] Lakens | Calculating and reporting effect sizes to facilitate cumulative science: A practical primer for t-tests and ANOVAs[END_REF].

Résultats Données Aberrantes et Tests Diagnostic

Un total de 158 cas de données aberrantes univariées a été repéré. Les scores bruts correspondants ont été modifiés par l'ajout ou la soustraction d'une unité, et ce jusqu'à ce que les scores z soient contenus dans l'intervalle -3.29-3.29 [START_REF] Tabachnick | Using multivariate statistics[END_REF]. Un 2). La santé mentale était moins bonne chez les femmes que chez les hommes dans notre échantillon. Cependant, cette inégalité de santé était similaire avant et pendant le confinement, amenant à la non acceptation de H2. Le temps passé assis et le temps passé devant un écran s'est accru pendant le confinement et ce, peu importe le sexe et l'environnement de vie, supportant H3. L'activité physique non planifiée et le nombre de pas effectués pendant le confinement étaient plus faibles qu'avant et ce peu importe le sexe des participants, supportant ainsi H4. Enfin, l'interaction Confinement × Environnement n'était pas significative pour les activités physiques planifiées, mais l'était en revanche pour les activités physiques non planifiées et le nombre de pas (voir Figure 3), menant à l'acception partielle de H5.

Santé Mentale

Le GHQ-12 permet de quantifier le degré de souffrance psychologique, offrant une évaluation subjective sur l'anxiété et la dépression subcliniques, ainsi que sur le dysfonctionnement social. L'interaction Confinement × Groupe d'Âge a montré que la santé mentale des jeunes adultes et des personnes âgées était compromise dans une plus large mesure que celle des trentenaires et des personnes d'âge mûr. Des résultats similaires ont été rapportés par Qiu et collaborateurs (2020), qui montrent que le niveau de détresse psychologique au début de la pandémie de COVID-19 était plus élevé chez les participants âgés de 18 à 30 ans, et de 60 ans et plus.

Les jeunes adultes sont une population particulière à risque pour les angoisses liées à la pléthore d'informations caractéristique des réseaux sociaux [START_REF] Gao | Mental health problems and social media exposure during COVID-19 outbreak[END_REF]. De plus, de nombreux jeunes sont retournés se confiner au domicile familial. Le retour dans une cellule familiale et la séparation des groupes d'amis ont pu être autant d'éléments entrainant une augmentation du mal-être (voir Annexe 1). Les personnes âgées, pour lesquelles la baisse de santé mentale était particulièrement importante (i.e., dz = .64), sont quant à elles davantage sujettes à la solitude engendrée par la distanciation physique (Mills et al., 2020 ;Morley & Vellas, 2020). Il est également pertinent de noter que le risque de mortalité est beaucoup plus élevé chez les populations âgées que chez les plus jeunes (~15 % ; Shahid et al., 2020), entraînant ainsi la peur de mourir de la COVID-19 -qui plus est seuls, sans les proches à proximité. Une stratégie permettant de compenser cette inégalité d'âge face à la COVID-19 serait par exemple de maintenir les visites quotidiennes des équipes paramédicales (infirmiers, kinésiologues, et auxiliaires de vie) pour que ces professionnels puissent conserver, dans une situation de confinement même partiel, le rôle crucial de soutiens psychologiques pour maintenir les éléments cruciaux de la santé mental comme les encouragements non-verbaux [START_REF] Guéguen | Nonverbal encouragement of participation in a course: the effect of touching[END_REF], et les contacts tactiles par les massages [START_REF] Hernandez-Reif | Breast cancer patients have improved immune and neuroendocrine functions following massage therapy[END_REF].

Les présents résultats relatifs à la santé mentale montrent un effet principal du sexe, avec une moins bonne santé mentale pour les femmes que pour les hommes. Cependant, même si l'écart de santé mentale entre les hommes et les femmes se creuse pendant le confinement (Mdiff = 1.37, SDdiff = 1.11) par rapport à avant (Mdiff = 0.41, SDdiff = 0.78), la grande variabilité de changements a possiblement empêché l'apparition de différences statistiques significatives. Ainsi, contrairement à d'autres [START_REF] Mclaren | Covid-19 and women's triple burden: Vignettes from Sri Lanka, Malaysia, Vietnam and Australia[END_REF], nous n'avons pas confirmé qu'être une femme est un facteur de risque supplémentaire en ce qui concerne l'impact négatif du confinement sur la santé mentale. Une explication à ces résultats pourrait être que dans notre échantillon, l'effet du confinement sur la santé mentale est puissant masquant ainsi l'effet du sexe. Une autre explication tient au fait que nous avons eu une large proportion de répondants qui étaient des jeunes femmes avec un haut niveau de diplôme. Avant le confinement, nous avons observé que les scores au GHQ-12 étaient plus élevés pour les hommes que pour les femmes mais surtout pour les adultes jeunes, confirmant des résultats rapportés par d'autres (Liang et al., 2020). Cependant, ces inégalités de santé n'étaient pas observées chez les adultes plus âgés. Ainsi, l'absence d'interaction Confinement × Sexe sur la santé mentale dans la présente étude pourrait être un effet de la représentativité de l'âge. Il serait alors important dans des recherches futures de confirmer la possibilité que l'âge est un modérateur des inégalités de santé entre les femmes et les hommes.

Activités Physiques

Notre enquête a été menée au beau milieu de la période la plus stricte de confinement en France, durant laquelle la population ne pouvait sortir de chez elle qu'une heure par jour.

En ce qui concerne l'activité physique planifiée (i.e., toute activité prévue à l'avance dans la routine quotidienne), les présents résultats n'indiquent aucun changement entre avant et pendant le confinement. Ainsi, chez les participants pour lesquels une routine sportive était préétablie, le confinement n'a pas posé d'obstacle particulier à sa continuité. Même si les gymnases et les salles de sports étaient fermés, ces participants ont réussi à trouver les moyens pour faire perdurer leur routine sportive. Nous pouvons citer à ce sujet les programmes sportifs en ligne et les applications de sport à la maison (voir Peçanha et al., 2020), pour permettre aux individus de poursuivre une routine d'activités physiques en autonomie, qu'ils habitent en ville ou à la campagne.

En ce qui concerne l'activité physique non planifiée, nos données montrent que les participants ont amplement diminué leur quantité pendant comparativement à avant le confinement, avec une magnitude d'effet statistique large (voir Table 2). Parce qu'il cantonne les personnes dans un espace fermé, le confinement limite considérablement les possibilités d'activité physique spontanée (e.g., monter les escaliers, flâner dans les magasins), peu importe le sexe des participants et leur environnement de vie. Ces résultats sont corroborés par une baisse drastique du nombre de pas journalier (~3500 pas par jour; voir Figure 3). A noter que ce taux de 3500 pas par jour (approximativement 2,6 km non parcouru) correspond à un manque de dépense énergétique de plus de 175 kcal par jour. Les chiffres rapportés dans la presse corroborent cette estimation en décrivant une prise de poids de 2,5 kg en moyenne par adulte après un confinement de seulement 8 semaines (Sondage IFOP pour Darwin Nutrition, mai 2020).

L'interaction significative Confinement × Environnement sur le nombre de pas indique que le confinement a eu davantage d'effet négatif chez les individus vivant en milieu urbain plutôt que rural. Ce dernier résultat n'est pas surprenant puisqu'en temps normal, bon nombre de gens résidant à la compagne ont besoin de leur voiture pour se déplacer, tandis que les individus vivant à la ville peuvent marcher jusqu'à l'arrêt de bus ou de métro le plus proche, ou se rendre à pied à leur lieu de travail et autres destinations du quotidien. En revanche, pendant une période de restriction des déplacements, cette différence se retrouve gomméed'autant que les habitants des campagnes peuvent plus facilement sortir se balader sans croiser quiconque (e.g., dans les champs, la montagne), maintenant ainsi leur niveau d'activités physiques tout en respectant les règles strictes de distanciation sociale (voir Figure 3).

Comportements Sédentaires

En ce qui concerne les comportements sédentaires au sein de la population française, les présents résultats mettent en lumière une augmentation du temps passé assis et devant un écran (~1h30 pour chaque), phénomènes qui ont également été reportés dans d'autres nations européennes [START_REF] Cheval | Relationships between changes in self-reported physical activity and sedentary behaviours and health during the coronavirus (COVID-19) pandemic in France and Switzerland[END_REF]Constandt et al., 2020 ;[START_REF] Di Renzo | Eating habits and lifestyle changes during COVID-19 lockdown: An Italian survey[END_REF]. Avec la mise en place du télétravail et de l'éducation numérique, il n'est pas surprenant que le temps passé devant des écrans soit en forte augmentation. Pour les personnes travaillant depuis leur domicile, il n'y avait que peu d'alternatives plausibles, en particulier au sein des professions managériales et intellectuelles qui caractérisent fortement notre échantillon (voir Table 1). Il a en effet été montré que pendant la pandémie de la COVID-19, un niveau élevé de comportements sédentaires était associé à une plus grande probabilité de symptômes dépressifs (Schuch et al., 2020). Le fait qu'il y ait eu une augmentation marquée du temps passé assis, ce qui est en accord avec nos données sur le nombre de pas journalier, est donc davantage préoccupant.

Durant le confinement, nombre de travailleur•es ont vu leur temps libre augmenter, effet qui s'explique par l'affranchissement de leur temps habituel de transport domiciletravail. Ainsi, en environnement rural, les personnes ont pu prendre ce temps libre additionnel pour créer un potager, marcher pour se libérer l'esprit ou bricoler. En ville, le manque d'espace privé a amèné à une difficulté plus importante à s'engager dans des activités autres qu'assis. Il est donc plausible que nos participants, et notamment les citadins, aient utilisé ce temps libre pour s'adonner à des activités sédentaires avec ou sans écran (e.g., lire, jouer à des jeux de société, regarder la télévision). Cheval et collaborateurs (2020) ont cependant montré que l'augmentation des activités sédentaires liées aux loisirs était associée à une diminution de la santé physique, de la santé mentale, et de la vitalité subjective. Il serait donc important à l'avenir de lancer des campagnes d'information ciblées, pour sensibiliser la population au rôle crucial d'un corps actif pour maintenir un bon état de santé, et limiter l'émergence de symptômes dépressifs, notamment en situation de confinement. L'effet néfaste des activités sur écran a été ici révélé comme un facteur sociétal prédictif d'une baisse en santé mentale spécifiquement pour les femmes. En effet, notre modèle de régression linéaire a montré que 5 % de la variance au sein des scores GHQ-12 était attribuable avec le nombre d'heures écran le seul facteur significatif. Cet élément nouveau devrait être pris en compte dans les campagnes de prévention ciblant spécifiquement les femmes ayant une profession remplacée par du temps télé-travaillé sur écran.

Points Forts et Limitations

Nous avons pu évaluer la santé mentale, les dimensions planifiées et non planifiées de l'activité physique, ainsi que les comportements sédentaires avant et pendant le confinement.

Nous avons pu mettre en évidence des inégalités face à la santé mentale en fonction du sexe, de l'âge et surtout de l'environnement de vie. En conséquence, les présentes conclusions constituent une contribution originale à une littérature COVID-19 en plein essor.

Un large échantillon de participants (N = 739) a pu être touché, ce qui nous a permis d'avoir un nombre suffisant de sujets dans chaque cellule d'analyse de nos (M)ANOVAs à deux et trois facteurs. Nous avons utilisé une série d'instruments d'auto-évaluation qui ont été soumis à des procédures de validation complètes (i.e., BREQ-3, BLPAQ, GHQ-12 ;Cid et al., 2018 ;[START_REF] Salama-Younes | Factor structure and internal consistency of the 12-item General Health Questionnaire (GHQ-12) and the Subjective Vitality Scale (VS), and the relationship between them: A study from France[END_REF]Vencato et al., 2020). De plus, nous avons utilisé des procédures approfondies de filtrage des données uni et multivariées en relation avec les hypothèses paramétriques.

Il existe un biais d'auto-sélection commun aux enquêtes en ligne de cette nature, qui se traduit souvent par la sous-représentation des groupes âgés et à faibles niveaux socioéconomiques (voir Table 1). De plus, nous avons un nombre beaucoup plus important de femme (n = 560) par rapport aux hommes (n = 179).

Axes de Recherche et Recommandations Pratiques

La présente étude est transversale par nature (observation d'une population dans sa globalité, à un instant donné dans le temps), et implique donc des mesures rétrospectives. Il serait donc intéressant, lors de futures études, de pouvoir rapidement mettre en place une collecte de données afin de pouvoir contraster des mesures prises à intervalles réguliers (i.e., approches longitudinale). De plus, les bases de données préexistantes se sont avérées d'une grande aide afin d'avoir accès à des mesures pré-confinement (e.g., [START_REF] Deschasaux-Tanguy | Diet and physical activity during the COVID-19 lockdown period[END_REF]. La création et la mise à jour régulière de ces banques de données serait un atout non négligeable pour avoir une base de comparaison pertinente en temps de crise.

Des résultats divergents ont été mis en évidence en ce qui concerne les effets de sexe (voir Liang et al., 2020). Il conviendrait donc d'étoffer la littérature à ce sujet afin d'identifier les variables qui médiatise l'effet délétère du confinement sur la santé mentale selon que l'on soit une femme ou un homme. Cela pourrait par exemple dépendre de l'emploi, avec des différences femmes-hommes plus marquées dans les échantillons de participants contenant une large proportion de (a) femmes occupant des professions socio-éducatives avec des tâches avec contacts humains qui sont remplacées par des visio-conférence, et/ou de (b) femmes au foyer qui doivent s'occuper à plein temps de la vie de la famille. L'âge est également un potentiel médiateur, avec les jeunes femmes étant plus susceptibles de se retrouver socialement isolées que les trentenaires et les femmes d'âge mûr.

La diminution de l'activité physique non planifiée et l'augmentation des comportements sédentaires représentent la conclusion la plus frappante de la présente étude, avec la plus grande ampleur de l'effet observé, attribuable au confinement en France (voir Table 2). Ces résultats doivent alerter les pouvoirs publics, et les encourager en temps ordinaire à multiplier les campagnes d'informations sur l'importance cruciale d'une activité physique régulière, pour développer des habitudes de vie active, en ciblant principalement les individus qui n'ont pas de routines sportives bien établies. En temps de crise, il est essentiel d'informer la population générale sur la nécessité d'adapter l'activité physique pratiquée, sa fréquence et sa durée, pour compenser la diminution de l'activité physique spontanée et éviter ou au moins atténuer les effets de la restriction des mouvements quotidiens [START_REF] Margaritis | How to deal with COVID-19 epidemic-related lockdown physical inactivity and sedentary increase in youth? Adaptation of Anses' benchmarks[END_REF].

Il convient alors de prendre des précautions, notamment pour les femmes habitant dans un environnement urbain, quant au type d'activités réalisées pendant leur temps libre, en évitant d'accroître les activités sédentaires sur écran. Surtout en période de restriction des mouvements, il peut être extrêmement tentant de regarder la télévision, jouer aux jeux vidéo, ou encore dévorer des informations sur les réseaux sociaux. Il est cependant hautement recommandé d'interrompre régulièrement les périodes assises prolongées (e.g., trois minutes de pause active toutes les heures), afin de réduire la probabilité de ressentir des symptômes de dépression et d'anxiété (Hallgren et al., 2020), d'améliorer l'humeur et de diminuer la sensation de fatigue (Bergouignan et al., 2016), mais également de diminuer la réponse glycémique (Climie et al., 2018).

Conclusions

Les résultats de la présente étude suggèrent que les jeunes adultes et les personnes âgées sont des populations qui nécessitent un soutien social et des interventions ciblées pour atténuer les effets psychologiques délétères du confinement. Mais plus généralement, nos résultats indiquent que le confinement français a entraîné une baisse de santé mentale associée à une baisse d'activité physique non planifiée et du nombre de pas journaliers (~3500 pas), particulièrement chez les individus habitant en ville ; cependant, cet effet n'a pas été retrouvé pour les activités physiques planifiées. Ainsi, il est crucial d'informer la population sur l'importance de développer des habitudes de vie active, en situations normales, pour être capable en situation de confinement de mainteniren toute autonomiela quantité d'activités physiques produites. Ainsi, il sera possible pour tous de préserver une santé mentale pendant les périodes de restriction des déplacements, notamment pour les jeunes femmes habitant en milieu urbain.

Légendes des figures

  Mots clés : confinement ; environnement de vie ; inégalités ; santé mentale ; sédentarité #RestezChezVous : Importance des Habitudes Sportives et de l'Environnement de Vie pour Prévenir les Inégalités de Mal-être et de Sédentarité Pendant le Confinement

  cette étude, les trentenaires et les individus d'âge mûr sont plus susceptibles de porter le poids d'une famille à charge dont il faut s'occuper sans répit. Cependant, aucune de ces études n'a contrasté la santé mentale des individus de différents groupes d'âge avant et pendant le confinement.

  d'information et complétaient le formulaire de consentement éclairé. Un total de 739 participants (560 femmes et 179 hommes) a répondu à l'enquête. Le protocole a reçu un avis favorable du comité d'éthique de [nom caché pour le processus de relecture] (2020-421-S83 Covid-19), et a été accompagné d'une déclaration française CNIL (ConfinAction, 2020-05).

(

  31-50), les adultes d'âge mûr (51-70) et les personnes âgées (> 70). Les zones urbaines ont été définies comme ayant une population > 10.000 habitants. L'ensemble des informations démographiques est disponible en Annexe 1. La santé mentale a été évaluée à partir du General Health Questionnaire-12 (GHQ-12 ; Goldberg & Williams, 1988), qui se compose de 12 items construits selon une échelle de Likert à 4 points (e.g., 0 = Mieux que d'habitude, 3 = Beaucoup moins que d'habitude). Les scores des 12 items ont été additionnés pour générer un score total allant de 0 à 36, avec un score élevé indiquant un degré important de souffrance psychologique. Les deux périodes visées ont été (a) le mois avant que les participants ne soient au courant de la pandémie de COVID-19 (i.e., avant le confinement), et (b) depuis la mise en place du confinement dû au COVID-19 (i.e., pendant le confinement). La quantité d'activité physique réalisée spontanément avant et pendant le confinement a été quantifiée en utilisant le Brunel Lifestyle Physical Activity Questionnaire (BLPAQ ; Karageorghis et al., 2005). Ce questionnaire comprend neuf items construits selon une échelle de Likert à 5 points (e.g., 1 = Pas du tout, 5 = Fortement). Pour chaque participant, deux scores factoriels ont été calculés : l'activité physique planifiée (moyenne des scores aux items 1-6), et l'activité physique non planifiée (moyenne des scores aux items 7-9). Un score élevé indique un niveau important d'activité physique. Il a également été demandé aux participants d'indiquer leur nombre moyen de pas journalier, mais seulement s'ils utilisaient une mesure électronique (e.g., montre connectée). Les deux périodes visées ont été avant et pendant le confinement dû au COVID-19.

  . Les scores factoriels d'activité physique (i.e., planifiée et non planifiée) ainsi que les comportements sédentaires (i.e., temps passé assis et devant un écran) ont été analysés à partir d'une MANOVA 2 (Confinement) × 2 (Sexe) × 2 (Environnement). Le nombre moyen de pas journalier a été analysé avec une ANOVA 2 (Confinement) × 2 (Sexe) × 2 (Environnement). Pour identifier où se situaient les différences significatives, des comparaisons par paires (i.e., t tests) avec correction de Bonferroni pour les comparaisons multiples ont été utilisées. Une analyse de régression linéaire multiple a été menée avec les variables indépendantes comportementales (niveau d'activités physiques planifiées, le niveau d'activités non planifiées, le temps passé assis et le temps passé devant un écran) comme prédicteurs, et la variable dépendante (GHQ-12 pendant confinement) comme variable estimée. Les scores pour les femmes et les hommes ont été analysés séparément. Les variables ont été contrôlées pour la multicollinéartié en examinant les facteurs d'inflation de la variance. Le traitement de données et les analyses statistiques ont été effectués avec R (packages utilisés : pastecs, Hmisc, rlist, tidyr, moments, dplyr, rstatix, heplots, lsr) ; les données et les codes de traitements sont disponibles en ligne.

  total de cinq données aberrantes univariées multiples a été repéré et retiré avant de réaliser les analyses statistiques croisées. Les tests de diagnostic de données aberrantes multivariées pour chaque cellule d'analyse ont révélé 12 cas pour deux analyses (BLPAQ et comportements sédentaires MANOVA). Ces données aberrantes multivariées ont été retirées des analyses correspondantes. La vérification des histogrammes a confirmé une dispersion respectant la loi normale pour toutes les variables dépendantes à l'exception de la MANOVA 2 (Confinement) × 2 (Sexe) × 2 (Environnement) sur les scores au BLPAQ menée pour les activités planifiées. Le test M de Box a été utilisé pour vérifier les matrices de covariance intra-sujet. Les résultats étaient significatifs pour toutes les analyses à l'exception de l'ANOVA 2 (Confinement) × 2 (Sexe) × 4 (Tranche d'Âge) menée sur les scores au GHQ-12. Santé Mentale L'ANOVA 2 (Confinement) × 2 (Sexe) × 4 (Tranche d'Âge) sur les scores au GHQ-12 n'a pas révélé d'interaction d'ordre supérieur. L'interaction Confinement × Tranche d'Âge était significative (voir Table 2). Une comparaison par paire a indiqué que les scores GHQ-12 étaient plus élevés pendant plutôt qu'avant le confinement pour les jeunes adultes (t[321] = -5.36, p < .001, dz = .38) et les personnes âgées (t[21] = -3.48, p = .002, dz = .64; voir Figure 1). Les interactions Confinement × Sexe et Sexe × Tranche d'Âge n'étaient pas significatives (voir Table 2). L'effet principal du confinement était significatif, avec des scores GHQ-12 moins élevés avant le confinement (M = 11.6, SD = 4.56) que pendant le confinement (M = 13.03, SD = 6.29). L'effet principal du sexe était également significatif, avec des scores GHQ-12 moins élevés chez les hommes (M = 12.53, SD = 5.76) que chez les femmes (M = 11.64, SD = 4.75). De plus, l'effet principal de la tranche d'âge était significatif, avec des scores GHQ-12 plus élevés pour les adultes jeunes (M = 13.10, SD = 5.87) que pour les adultes d'âge moyen (M = 12.06, SD = 5.40), et d'âge mur (M = 11.12, SD = 4.82). Le modèle linéaire de régression multiple mené pour prédire les scores au GHQ-12 par les niveaux d'activités physiques et les comportements sédentaires chez les hommes n'était pas significatif, F(5, 170) = 0.85, p = .498, Adj. R 2 = -.01. Cependant, l'analyse similaire menée chez les femmes était significative, F(5, 552) = 8.36, p < .001 ; Adj. R 2 = .05). Les scores GHQ-12 pendant le confinement étaient prédits par le nombre d'heures passées devant un écran, β = 0.29, p = .010. *Insérer la Figure 1 approximativement ici* Activités Physiques L'analyse statistique sur les scores au BLPAQ n'a révélé aucune interaction d'ordre supérieur ou de double interaction significative (Confinement × Sexe, Confinement × Environnement, Sexe × Environnement ; voir Table 2). L'effet principal du sexe n'était pas significatif, mais les effets du confinement et de l'environnement l'étaient. Les analyses posthoc univariées ont révélé que les effets du confinement, F(1, 729) = 74.59, p < .001, ηp 2 = .09), et de l'environnement, F(1, 729) = 18.37, p < .001, ηp 2 = .02, n'étaient confirmés que pour les activités physiques non planifiées. Les participants réalisaient plus d'activités physiques non planifiées avant le confinement (M = 2.23, SD = 0.71) comparativement à pendant (M = 1.98, SD = 0.76), et lorsqu'ils habitaient dans un environnement rural (M = 2.23, SD = 0.77) plutôt qu'urbain (M = 2.04, SD = 0.72). *Insérer la Figure 2 approximativement ici* Nombre de Pas Moyen Journalier L'ANOVA effectuée sur le nombre de pas moyen n'a pas confirmé la triple interaction Confinement × Sexe × Environnement. Les interactions Confinement × Sexe et Sexe × Environnement étaient également non significatives (voir Table 2). Cependant, l'interaction Confinement × Environnement était significative, avec un nombre plus important de pas avant le confinement (t[262] = -2.70, p < .001, dz = .35) pour les personnes habitant un environnement urbain (M = 7808.90, SD = 3269.13) plutôt qu'un environnement rural (M = 6643.18, SD = 3388.92 ; voir Figure 3). L'effet simple du confinement était significatif, indiquant la production d'un plus grand nombre de pas avant (M = 7420.33, SD = 3349.66) que pendant le confinement (M = 3998.94, SD = 3743.54). Enfin, l'effet simple du sexe était significatif avec la production d'un plus grand nombre de pas par les hommes (M = 6765.38, SD = 4246.11) que par les femmes (M = 5502.95, SD = 3773.63). L'effet simple de l'environnement n'était pas significatif (voir Table 2). *Insérer la Figure 3 approximativement ici* Comportements Sédentaires La MANOVA sur les comportements sédentaires n'a pas indiqué de triple ou de double interaction (Confinement × Sexe, Confinement × Environnement, Sexe × Environnement ; voir Table 2). L'effet simple du sexe n'était pas significatif, mais les effets principaux du confinement et de l'environnement l'étaient. Les test F ont révélé que l'effet du confinement était significatif pour le temps passé assis, F(1, 719) = 180.65, p < .001, ηp 2 = .20, et pour le temps passé devant un écran, F(1, 719) = 156.14, p < .001, ηp 2 = .18, avec moins de temps passé assis et devant un écran avant le confinement (respectivement, M = 7.13, SD = 2.95 ; M = 6.30, SD = 2.99) que pendant le confinement (respectivement, M = 8.59, SD = 3.54 ; M = 7.70, SD = 3.51; voir Figure 4). Pour l'effet de l'environnement, les tests F étaient significatifs pour le temps passé assis, F(1, 719) = 40.18, p < .001, ηp 2 < .05, et le temps passé devant un écran, F(1, 719) = 31.66, p < .001, ηp 2 < .04. Plus spécifiquement, les comparaisons pairées ont confirmé que les individus habitant un environnement rural passaient moins de temps assis (M = 6.95, SD = 3.20) que les individus habitant un environnement urbain (M = 8.36, SD = 3.31). De plus, le temps passé devant un écran était également moindre pour les personnes habitant dans un environnement rural (M = 6.19, SD = 3.20) qu'urbain (M = 7.44, SD = 3.33; voir Figure 4). *Insérer la Figure 4 approximativement ici* Discussion Le but de cette étude était d'examiner les effets du confinement sur la santé mentale, la quantité d'activités physiques et les comportements sédentaires. Les résultats ont révélé une détérioration de la santé mentale pour tous les participants mais cette baisse était significativement plus importante chez les jeunes adultes (18-30 ans) et les personnes âgées (71 ans et plus), amenant qu'une acceptation partielle de H1 (voir Table

Figure 1 .

 1 Figure 1. Violin Plot Pour les Scores au General Health Questionnaire-12

Figure 2 .

 2 Figure 2. Boxplot Pour les Sous-Échelles du Brunel Lifestyle Physical Activity Questionnaire

Figure 3 .

 3 Figure 3. Raincloud Plots Pour le Nombre de Pas Journalier

Figure 4 .

 4 Figure 4. Raincloud Plot Pour le Temps Passé Assis et Devant un Écran

  . Ainsi, la pratique d'activité physique pourrait être un bon moyen pour contrecarrer les effets psychologiques néfastes du confinement. Bons nombres d'études ont cependant constaté une augmentation des comportements sédentaires pendant la pandémie (i.e., tout comportement d'éveil en position couchée, assise, ou allongée caractérisée par une dépense énergétique faible ; voir Constandt

Table 1

 1 Caractéristiques Démographiques de l'ÉchantillonNote. Par soucis de concision, les participants qui ont répondu "je préfère ne pas répondre" ne sont pas reportés dans cette table.

	Total	18-30 ans	31-50 ans	51-70 ans	71 ans et plus
	ds (N = 739 ; 100%) (n = 324 ; 43.8%) (n = 251 ; 34.0%) (n = 142 ; 19.2%) (n = 22 ; 3.0%) p ηp 2

Table 2

 2 Statistiques Inférentielles Pour Chaque Variable Dépendante

	Trace de Pillai ddl	F	p	ηp 2

Table 1 (suite)

 1 Par soucis de concision, les participants qui ont répondu "je préfère ne pas répondre" ne sont pas reportés dans cette table.

	Caractéristiques Démographiques Complètes de l'Échantillon
		Total	18-30 ans	31-50 ans	51-70 ans	71 ans et plus
		(N = 739 ; 100%) (n = 324 ; 43.8%) (n = 251 ; 34.0%) (n = 142 ; 19.2%) (n = 22 ; 3.0%)
	Variables	n	%	n	%	n	%	n	%	n	%
	Handicap
	Oui	20	2.72	6	0.02	7	2.80	7	4.96	-	-
	Non	716	97.28	317	98.14	243	97.20	134	95.04	22 100.00
	Symptômes de la COVID-19
	Oui	73	9.92	40	12.38	24	9.60	8	5.67	1	4.50
	Non	663	90.08	283	87.62	226	90.40	133	94.33	21	95.50
	Diagnostic de la COVID-19
	Oui	13	1.76	5	1.55	8	3.20	-	-	-	-
	Non	725	98.24	318	98.45	243	96.80	142 100.00	22 100.00
	Note.


est destinée au dépôt

  Setting: Results of 847 Patients Enrolled in the Radico-ILD Cohort in France V Cottin, S Jouneau, B Crestani, H Nunes, L Wemeau, P Bonniaud, D Israël-Biet, M Reynaud-Gaubert, J Dalphin, J Naccache, et al. To cite this version: V Cottin, S Jouneau, B Crestani, H Nunes, L Wemeau, et al.. Demographics and Baseline Characteristics of Patients with Idiopathic Pulmonary Fibrosis (IPF) in a Real-World Setting: Results of 847 Patients Enrolled in the Radico-ILD Cohort in France. American Thoracic Society, May 2020, Virtuel, France. 201 (A3349). inserm-04056757

Am J Respir Crit Care Med 2020;201:A3349 Internet address: www.atsjournals.org Online Abstracts Issue

L'archive ouverte pluridisciplinaire HAL,

Demographics and Baseline Characteristics of Patients with Idiopathic Pulmonary Fibrosis (IPF) in a Real-World Setting: Results of 847 Patients Enrolled in the Radico-ILD Cohort in France

V. Cottin 1 , S. Jouneau 2 , B. Crestani 3 , H. Nunes 4 , L. Wemeau 5 , P. Bonniaud 6 , D. Israël-BIet 7 , M. Reynaud-Gaubert 8 , J. Dalphin 9 , J. Naccache 10 , S. Marchand-Adam 11 , S. Quetant 12 , D. Montani 13 , S. Hirschi 14 , M. Chevereau 15 , I. Dufaure-Garé 15 , A. F. Clement 16 , RaDiCo-ILD; 1 Louis Pradel Hosp, Univ of Lyon, Lyon, France, 2 Pneumologie, CHU de Rennes, Rennes, France, 3 Service de Pneumologie, Hopital Bichat, Paris, France, 4 Avicenne hospital, Bobigny, France, 5 University of Lille, Lille, France, 6 University of Dijon, Dijon, France, 7 University Paris HEGP, Paris, France, 8 University of Marseille, Marseille, France, 9 Université Franche Comté, Besançon, France, 10 University Paris Tenon, Lyon, France, 11 University of Tours, Tours, France, 12 University of Grenoble, Grenoble, France, 13 Service de Pneumologie, Centre de reference de l'Hypertension Pulmonaire Sévère, Hopital de Bicetre, Le Kremlin Bicêtre, France, 14 University of Strasbourg, Strasbourg, France, 15 RaDiCo, Inserm, Paris, France, 16 Trousseau Hosp, Paris 75012, France.

Corresponding author's email: vincent.cottin@chu-lyon.fr

Rationale: Idiopathic pulmonary fibrosis (IPF) is a rare condition and few epidemiological data are available in France. This specific research project aims to describe characteristics of treated IPF patients and the impact of antifibrotic treatments in terms of morbidity and mortality in the French real-life setting. Methods: The French RaDiCo (Rare Disease Cohort)-ILD (idiopathic Interstitial Lung Diseases) registry is an ongoing observational study initiated in June 2017, with a sub-analysis of IPF patients. This longitudinal long-term cohort includes pediatric and adult patients with ILD and is supported by the national network of reference and competence centers for rare pulmonary diseases. IPF was diagnosed using international ATS/ERS 2011 criteria with a diagnosis of IPF or working diagnosis of IPF by multidisciplinary discussion. Here, we present the baseline data of IPF patients. Results: Between June 15 th 2017 and September 4 th 2019, 1246 ILD patients were enrolled in the RaDiCo-ILD registry from 18 centers, including 847 with IPF (68%). IPF patients were mostly male (82.7%), with a mean age of 72.5 ± 9 years at inclusion and a mean BMI of 26.8 ± 4.3; 44.6 % of IPF patients included were incident cases, with a median length between diagnosis and inclusion of 8.9 months (Q1=0.9 and Q3=26.4); 25.3% had a biopsy. The mean FVC at IPF diagnosis was 73.4 ± 25.0 % of predicted value (n=561), and the mean DLCO at IPF diagnosis was 39.6 ± 18.2 % predicted value (n=498). Among patients with available information on anti-fibrotic treatment, 347 had been treated (at least one dose) with nintedanib, and 312 with pirfenidone; among patients treated with antifibrotics, 113 were treated with both treatments sequentially. Conclusions: The RaDiCo-ILD registry provides accurate realworld data on the demographics of patients with IPF in France. It will generate a long-term followup and will be an invaluable tool to describe the natural history and progression of patients with IPF in real-life conditions.