Gawtum Namah
email: namah@univ-fcomte.fr

Mohammed Sbihi
email: sbihi@recherche.enac.fr

A characterization of the solutions of steady Hamilton-Jacobi equations *

Keywords: Mathematics Subject Classifications: 35F25, 35B40, 35B10

In this note, we propose to revisit the approximate stationary Hamilton-Jacobi equations and analyse the corresponding solutions following certain properties of the hamiltonian. This enables us to give a characterization of the zero set of the limiting solution. We also remark that the analysis can be applied for evolution equations with a time periodic source term.

Introduction

In this note, we will be concerned with the viscosity solutions u α of the approximate Hamilton-Jacobi type equations

αu + H(x, Du) = 0, x ∈ R N (1)
for α > 0 and with the characterization of these solutions and also of the limit of the sequence (u α ) α as α goes to zero. In the above, the hamiltonian H is a continuous function of its variables and Du denotes the gradient of u. Now one knows that for α > 0, equation (1) admits a unique viscosity solution under some suitable hypotheses on the hamiltonian H. We need notably a boundedness property wrt the space variable. For this sake, we will suppose that

H is periodic in x. (2)
We will also want some regularity of the solutions. This will be achieved by the coercivity condition lim

|p|→∞ H(x, p) = ∞, uniformly in x ∈ R N . ( 3
)
The above is a weak regularity assumption in the sense that no convexity assumption of H is called for. Under the hypotheses (2) and (3), for every α > 0, equation (1) admits a unique viscosity solution u α ∈ W 1,∞ (R N ). Moreover u α is periodic. We refer the reader to [START_REF] Lions | Generalized solutions of Hamilton-Jacobi Equations[END_REF], and [START_REF] Barles | Solutions de viscosit des quations de Hamilton-Jacobi[END_REF] for a review of the definition and properties of viscosity solutions for Hamilton-Jacobi equations.

The properties of u α will naturally depend on those imposed on the hamiltonian H. We want to inquire about this dependence. For this, we start by assuming that the function x -→ H(x, 0) has a sign. As a consequence, we have LEMMA 1. Suppose H(x, 0) ≤ 0 for all x ∈ R N . Then (i) u α ≥ 0 for all α > 0 and (ii) (u α ) α is increasing when α goes to zero. We thus need to bound (u α ) if we want to say anything about its convergence. Notice also that, as we naturally expect the limit to be a solution of

H(x, Du) = 0, x ∈ R N (4)
we are brought to inquire about the well-posedness of (4) in the class of bounded continuous solutions. The latter solvability is not to be taken for granted. In fact, one can show that if the so-called ergodic equation

H(x, Du) = λ, x ∈ R N (5)
is solvable in the class of bounded solutions, then it is so for a unique ergodic constant λ ∈ R. See for example the paper of Lions, Papanicolaou and Varadhan [START_REF] Lions | Homogeneization of Hamilton-Jacobi equations[END_REF] where the above equation appears as the cell problem in a homogenization process. This unique λ, usually denoted by the letter c, is also called the critical value and the corresponding solutions, critical solutions, see for e.g. [START_REF] Fathi | Sur la convergence du semi-groupe de Lax-Oleinik[END_REF] and [START_REF] Fathi | PDE aspects of Aubry-Mather theory for quasiconvex hamiltonians[END_REF]. In fact the hypotheses (2) and (3) guarantee the solvability of (5) for some λ ∈ R and thus we just demand that the critical value be equal to zero in our case. Before going further, let us give sufficient conditions for this to be true. LEMMA 2. Let H satisfy (2) and ( 3) with H(x, 0) ≤ 0, x ∈ R N . Assume that there exists a point x * ∈ R N such that H(x * , p) ≥ 0 for all p ∈ R N . Then (5) is solvable iff λ = 0.

A typical example will be the standard hamiltonian in classical mechanics which is given by

H(x, p) = |p| 2 -V (x)
with V periodic in x and min V = 0. It is not difficult to see that H verifies the assumptions of the above lemma so that |Du| 2 -V (x) = λ is solvable only for λ = 0. We thus recover the result observed in [START_REF] Lions | Homogeneization of Hamilton-Jacobi equations[END_REF] where the above example is treated rather in details. Let us also point out that the critical value c can be rather explicitly characterized under some convexity assumptions on H. One can see for example the paper by Fathi-Siconolfi [START_REF] Fathi | PDE aspects of Aubry-Mather theory for quasiconvex hamiltonians[END_REF], where quasiconvex hamiltonians are considered and the one by Roquejoffre in a 1-D context [START_REF] Roquejoffre | Comportement asymptotique des solutions d'quations de Hamilton-Jacobi monodimensionnelles[END_REF], where it is notably shown that in some cases, which includes a strict convexity assumption of H wrt p, we have

c = max x min p H(x, p).
We now state LEMMA 3. Let H(x, 0) ≤ 0 and (4) be solvable. Then

u α -→ α→0 u 0 = sup α>0 u α in C 0 (R N )
with u 0 a periodic solution of ( 4). Now we want to make more precise the characterization of the limit u 0 . Define for this sake the set

Z = {x ∈ R N : H(x, 0) = 0}. ( 6
)
It is easy to verify that, due to the periodicity condition, Z is a nonempty set. We then propose LEMMA 4. Under the hypotheses of Lemma 3, u 0 attains its minimum on Z and vanishes at the minima points. In fact an analogous property applies for u α . More precisely if x 0 is a minimum point of u 0 then it is a minimum point of u α for all α > 0 and u α (x 0 ) = 0. But of course, at this stage we cannot say that the minima points of u 0 and those of the functions u α coincide, i.e. a point x 1 can be a minimum point of a function u α but without being a minimum point of u 0 . Also Lemma 4 tells us that if x 0 is a minimum point of u 0 then x 0 ∈ Z and u 0 (x 0 ) = 0. But does the zero set of u 0 coincide with Z? We now give our main result which states that under an additional condition on H, the zero set of u 0 coincides with the zero set of u α for all α > 0 and is equal to the set Z.

THEOREM. Let H satisfy ( 2) and ( 3) with H(x, 0) ≤ 0, x ∈ R N . Assume also that H(x, p) ≥ 0 for all x ∈ Z and p ∈ R N . Then the sequence of solutions u α of (1) converges to a periodic solution u 0 of (4) whose zero set is exactly equal to Z. Moreover Z coincides also with the zero set of u α for all α > 0. Note that the assumptions of the above theorem ensure the solvability of (4) via the Lemma 2. Let us point out that the above type of characterization is known for time asymtotic limits of Cauchy problems. See for e.g. [START_REF] Namah | Remarks on the long time behaviour of the solutions of Hamilton-Jacobi equations[END_REF] where the zero set of the limiting solution was shown to coincide with the maxima points of the initial condition. The analogy seems to stop here because in the case at present, there is of course no initial condition. What is important in both cases is some monotonicity character of the solutions, wrt the time variable for the Cauchy problem and wrt α for the steady case as stated in Lemma 1.

We proceed in the next section by giving an application of the above result and notably show how the previous analysis can be profitably used to characterize the asymptotic limit in the case of evolution equations having a time periodic source term. And finally the last part will be devoted to the proofs of the lemmas and of the theorem.

The time periodic case

We consider therefore the following Hamilton-Jacobi type equation

αu + ∂ t u + H(x, Du) = f (t), (x, t) ∈ R N × R ( 7
)
where f is a continuous T -periodic function in t. One knows that under assumptions (2) and (3), equation ( 7) admits a unique T -periodic viscosity solution u α (x, t) in W 1,∞ (R N × R), see for example [START_REF] Bostan | Time periodic viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations[END_REF]. We enquire about the limit when α goes to zero.

To simplify the presentation and without loss of generality, we will suppose that the mean of f over one period is zero. We proceed by a decoupling of the equation [START_REF] Namah | Remarks on the long time behaviour of the solutions of Hamilton-Jacobi equations[END_REF]. Consider for this sake

αφ + H(x, Dφ) = 0, x ∈ R N (8)
and αv

+ v t = f (t), t ∈ R. (9)
The ode (9) admits also a unique periodic solution v α for every α > 0 and which has the explicit formulation

v α (t) = e -αt 1 -e -αT T 0 e -α(T -s) f (s)ds + t 0 e -α(t-s) f (s)ds.
It is then not difficult to verify that

v α (t) -→ α→0 F (t) + C * for all t ∈ R
where

F (t) = t 0 f (s)ds and the constant C * = 1 T T 0 sf (s)ds.
Now if we denote by φ α (x) the solution of ( 8), then it is immediate to verify that u α (x, t) = φ α (x) + v α (t) is the solution of [START_REF] Namah | Remarks on the long time behaviour of the solutions of Hamilton-Jacobi equations[END_REF]. Therefore the study of the limit, when α goes to zero, of the time periodic solution u α of ( 7) is reduced to that of the solution φ α of the stationary equation ( 9). In fact, the limiting solution, which is time periodic via F, can thus be completely explicited as we have

u α (x, t) -→ α→0 φ 0 (x) + F (t) + C * uniformly in x ∈ R N and t ∈ R,
with φ 0 as previously characterized following the assumptions on the hamiltonian H.

Proof of the Theorem

We start by proving the preliminary lemmas.

Proof of Lemma 1

Observe that as H(x, 0) ≤ 0, 0 is a subsolution of (1). By comparison results, we then have u α ≥ 0. Next take 0 < α ≤ β and notice that u α is a supersolution of

βu(x) + H(x, Du) = 0, x ∈ R N ,
since we know that (β -α)u α ≥ 0. Again by comparison results, we have u α ≥ u β .

Proof of Lemma 3

We now suppose that ( 4) is solvable and let φ be a continuous bounded solution. Then observe that φ + φ ∞ is a supersolution of (1) so that we have

0 ≤ u α ≤ φ + φ ∞ i.e. (u α ) α is bounded.
Considering the monotonicity of the sequence (u α ) α , we then have

u α (x) -→ α→0 u 0 (x) = sup α>0 u α (x), x ∈ R N .
In fact, due to the coercivity condition (3), (u α ) α is uniformly bounded in W 1,∞ (R N ) so that the above convergence is uniform, at least locally. The stability result of viscosity solutions then yields that u 0 is a viscosity solution of (4). The periodicity of u 0 results from that of each u α and we are done with the proof of Lemma 3.

Proof of Lemma 4

To prove the lemma, first observe that the set Z = {x ∈ R N : H(x, 0) = 0} is non empty. Indeed at a minimum point x 0 of u 0 (its existence is guaranteed by the periodicity of u 0 ) we have H(x 0 , 0) ≥ 0 which together with the assumption H(x, 0) ≤ 0 leads to H(x 0 , 0) = 0, i.e. x 0 ∈ Z. Note at this stage that H just bounded (instead of being periodic) would not have sufficed. It remains to show that u 0 (x 0 ) = 0. We already know that u α ≥ 0 for all α > 0 and thus u 0 (x 0 ) ≥ 0. Now one can easily verify that u 0 -u 0 (x 0 ) is a supersolution of [START_REF] Barles | Solutions de viscosit des quations de Hamilton-Jacobi[END_REF]. By comparison result, we then have u 0 -u 0 (x 0 ) ≥ u α for all α > 0. A passage to the limit then leads to u 0 (x 0 ) ≤ 0 and thus u 0 (x 0 ) = 0. As pointed out before, since for all α we have 0 ≤ u α ≤ u 0 , x 0 is also a minimum point for u α for all α > 0 and u α (x 0 ) = 0.

Proof of the theorem

For the time being we know that if u 0 vanishes, it does so at a point of Z. Proving the theorem comes therefore to verify that if x 0 is a point of Z then u 0 (x 0 ) = 0 i.e. the zero set of u 0 coincides exactly with Z. Let then x 0 ∈ Z and let us show that u α (x 0 ) = 0, ∀α > 0. We know that u α (x 0 ) ≥ 0. Suppose u α (x 0 ) > 0, for some α > 0.

As u α is bounded and lipschitz continuous, it is almost everywhere differentiable and therefore one can find a sequence (x n ) n such that

x n -→ n→∞ x 0 and Du α (x n ) exists ∀n.

Set p α n = Du α (x n ). Then for all n, there holds

αu α (x n ) + H(x n , p α n ) = 0 (10)
Due to the boundedness of u α and the coercivity condition (3), the sequence (p α n ) n is bounded so that it converges (up to a subsequence) to some p α ∈ R N . A passage to the limit in (10) then leads to αu α (x 0 ) + H(x 0 , p α ) = 0. Now this is not possible because u α (x 0 ) > 0 and by assumption H(x 0 , p α ) ≥ 0. We thus have u α (x 0 ) = 0 and so will be u 0 (x 0 ) by passing to the limit in α.

Now it remains to prove the Lemma 2 and we will be done.

Proof of Lemma 2

We know by [START_REF] Lions | Homogeneization of Hamilton-Jacobi equations[END_REF] that there exists a unique λ for which 5 is solvable. Therefore, to prove the lemma, it suffices to prove that λ = 0. Consider for this sake, for some α > 0, the unique solution u α of the equation

αu α + H(x, Du α ) = λ, x ∈ R N . (11)
Let x 0 be a global minimum point of u α . By testing (11) with 0, one has αu α (x 0 ) ≥ λ and thus

αu α (x) ≥ λ, ∀x ∈ R N . ( 12
)
Consider now the point x * such that H(x * , p) ≥ 0 for all p. As previously, we can find a sequence (x n ) n which has x * as limit and such that αu α (x n ) + H(x n , Du α (x n )) = λ holds for all n. And thus, at the limit n goes to infinity, we recover αu α (x * ) + H(x * , p α ) = λ, which leads to αu α (x * ) ≤ λ, which together with (12) gives αu α (x * ) = λ. Now as α was taken arbitrarily and (u α ) α bounded, by letting α go to zero, we obtain λ = 0.


La stabilité des éléments super-lourds sondée par des mesures de temps de fission

Article proposé : Dominique Jacquet , jacquet@ipno.in2p3.fr Institut de physique nucléaire d'Orsay (IPNO), UMR 8608, CNRS / Univ. Paris-Sud, Orsay Maurice Morjean, morjean@ganil.fr Grand accélérateur national d'ions lourds (GANIL), UPR 3266, CEA / CNRS, Caen

Une technique originale fondée sur la mesure de temps de réactions nucléaires a été développée au laboratoire du Grand Accélérateur National d'Ions Lourds à Caen (GANIL) pour mettre en évidence l'existence de noyaux d'éléments super-lourds -de masse très supérieure à ce qui existe sur terre à l'état naturel -et pour sonder leur stabilité.

e noyau de l'atome est constitué de nucléons, les neutrons -électriquement neutres -et les protons chargés positivement. Pour former un noyau, les nucléons doivent rester confinés à l'intérieur d'une sphère de quelques fermis (10 -15 mètres) de rayon, ce qui n'est possible que parce que la répulsion électrique entre protons (répulsion coulombienne) est compensée par l'interaction nucléaire entre nucléons : l'interaction forte, très attractive pour des distances inter-nucléons de l'ordre du fermi et extrêmement répulsive à plus courtes distances. Pour des nombres de protons supérieurs à environ 110, la répulsion coulombienne l'emporte cependant quel que soit le nombre de neutrons présents. Les modèles de physique nucléaire prédisent pourtant l'existence de noyaux avec plus de 110 protons (noyaux dits super-lourds) parmi lesquels certains seraient particulièrement stables. Ces prédictions ont déclenché d'intenses activités expérimentales afin de synthétiser de nouveaux éléments superlourds et, à ce jour, des éléments comportant jusqu'à 118 protons ont été identifiés. Dans cet article, nous allons donner l'origine de ce regain de stabilité pour les noyaux super-lourds, décrire quelques unes des difficultés expérimentales rencontrées au cours des tentatives de synthèse, puis présenter une approche originale du problème qui a déjà permis de mettre en évidence l'existence et la longue durée de vie de noyaux avec 120 et 124 protons.

Îlot de stabilité et éléments super-lourds

Un ensemble de nucléons ne peut former un noyau, avec l'ensemble de ses propriétés collectives, que si quel que soit le type d'instabilité considérée (émission d'un nucléon ou d'une particule complexe, fission en deux ou plusieurs noyaux moins massifs) il existe une barrière de potentiel suffisamment marquée pour empêcher ou ralentir sensiblement cette transformation radioactive. Un noyau est dit stable lorsque la barrière ne peut être franchie que par effet tunnel, donc avec une probabilité extrêmement faible. Il a alors un temps de vie que l'on considère infini.

La figure 1 donne une représentation schématique du potentiel qui résulte des interactions nucléaire et coulombienne en fonction de la déformation d'un noyau au cours du processus de fission, c'est-à-dire de sa cassure en deux noyaux plus légers. Il convient de noter que cette représentation est très schématique et simplifiée, le paysage de potentiel réel d'un noyau étant multi-dimensionnel et beaucoup plus accidenté. Le noyau dans son état dit fondamental se trouve dans une configuration au voisinage du minimum de potentiel à faible déformation de la figure 1 . Lorsqu'il tente de se déformer, il rencontre une barrière de potentiel, la barrière de fission, qui tend à le ramener vers ce minimum. Pour des barrières de fission pas trop élevées, il peut statistiquement arriver qu'un ensemble de nucléons dispose de suffisamment d'énergie pour que le noyau atteigne des déformations supérieures au point selle (le maximum local de potentiel représenté sur la figure 1 ). Le système descend alors le potentiel jusqu'au point de scission où deux fragments de fission se séparent. Le noyau initial est dans ce cas instable vis-à-vis de la fission et a un temps de vie fini. Les noyaux deviennent d'autant plus instables, c'est-à-dire que leur temps de vie devient d'autant plus court, qu'on leur apporte de l'énergie supplémentaire, les portant ainsi dans un état dit excité . L'énergie d'excitation, générée par exemple lors d'une collision entre noyaux, se répartit entre une énergie L dite intrinsèque (l'agitation des nucléons, que l'on peut assimiler à une température nucléaire) et une énergie collective (due à la déformation ou à des mouvements collectifs du noyau).

Lorsque le nombre de protons d'un noyau augmente, sa cohésion nécessite de plus en plus de neutrons. Ceci est dû au fait que, l'interaction électrostatique étant de portée infinie, l'effet de répulsion coulombienne cumule l'effet de tous les protons, alors que l'interaction nucléaire à courte portée ne concerne que les nucléons voisins . Les noyaux deviennent alors de plus en plus lourds et, la répulsion coulombienne dominant de plus en plus, la barrière de fission s'abaisse. Pour les noyaux les plus lourds qui existent à l'état naturel, la fission est ainsi un mode d'instabilité très probable. Pour des nombres de protons supérieurs à environ 110, la barrière de fission que nous venons de décrire de façon classique devrait même disparaître totalement et le système devrait se casser très rapidement ; des noyaux avec plus de 110 protons ne devraient pas exister.

Néanmoins, les noyaux et les nucléons sont des objets qui obéissent aux lois de la mécanique quantique : de façon très analogue aux électrons qui, lorsqu'ils appartiennent au cortège électronique d'un atome, se répartissent sur des niveaux énergétiques discrets, les neutrons et les protons, lorsqu'ils forment un noyau, se répartissent sur des niveaux d'énergie -les couches -qu'ils remplissent progressivement (à quelques rares exceptions près) au fur et à mesure que le nombre de protons Z ou de neutrons N augmente. Les noyaux avec Z = 2 (noyaux d'hélium), 8 (noyaux d'oxygène), …, 82 (noyaux de plomb) sont des noyaux dont le dernier proton est lié par une très grande énergie parce que leur dernière couche de protons est pleine. On parle alors d'un nombre magique de protons. Les barrières de fission calculées classiquement se trouvent surélevées à cause de l'énergie prise par les nucléons pour se structurer en couches qui rend plus profond le puits de potentiel de la figure 1 . Les barrières de fission présentent ainsi de forts maxima pour les nombres magiques.

L'énergie de fermeture de couche, et donc la barrière de fission, sont d'autant plus grandes que les nombres de protons et de neutrons sont tous deux magiques, correspondant à des noyaux doublement magiques. Le noyau doublement magique le plus lourd présent sur terre est le 208 Pb, avec 82 protons et 126 neutrons, tandis que le noyau le plus lourd présent sur terre avec un temps de vie suffisamment long pour être considéré comme quasistable est l' 238 U , avec 92 protons. Les calculs d'effets de couches permettent de bien reproduire les énergies de liaison des nucléons pour les noyaux présents sur terre. Lorsque ces mêmes calculs sont extrapolés vers des nombres de protons supérieurs à 110, ils prédisent l'existence de noyaux doublement magiques avec des barrières extrêmement élevées. La figure 2 donne un exemple de barrières de fission prédites où l'on voit apparaître clairement une région de hautes barrières de fission, appelée îlot de stabilité, autour d'un noyau doublement magique à Z = 114 et N = 178. La barrière de fission prédite pour ce noyau est supérieure à9 MeV (1 MeV = 1,6 10 -13 joule), alors quecelle du noyau 238 U, présent sur terre en abondance, est seulement d'environ 5 MeV. Cependant, les différents calculs ne sont pas en accord sur la position en Z ,59,185 (1995). et N de l'îlot de stabilité ; certains prédisent même plusieurs noyaux doublement magiques au-delà de Z = 110. Selon les calculs, Z = 114, 120, 124 ou 126 et N = 178, 182 ou 184 sont respectivement candidats comme nombres magiques de protons et de neutrons.

Des efforts expérimentaux importants ont été entrepris dans de nombreux pays afin de synthétiser des éléments dits super-lourds, des noyaux de Z > 110 avec leur cortège électronique, stabilisés par les effets de couches. L'élément le plus lourd synthétisé à ce jour à Dubna, en Russie, est l'élément de numéro atomique Z = 118.

Formation et désexcitation de noyaux super-lourds

Les éléments super-lourds n'existent pas à l'état naturel sur terre et ont été vainement recherchés dans de la matière d'origine extraterrestre (météorites, prélèvements lunaires...). Ils doivent donc être créés artificiellement. Pour former de tels noyaux, la technique considérée comme la plus performante à ce jour consiste à accélérer un ion lourd de numéro atomique Z proj utilisé comme projectile pour le faire fusionner avec un noyau cible de numéro atomique Z cible afin de former un noyau composé de numéro atomique Z n.c. = Z proj + Z cible , constitué de l'ensemble des nucléons du projectile et de la cible dans un état d'équilibre statistique. Cependant, depuis les années 1970, de nombreuses expériences ont montré que, pour Z proj × Z cible supérieur à environ 1600, la probabilité de fusion, même lorsque la forte répulsion coulombienne entre projectile et cible est surmontée, devient tellement faible qu'elle n'est plus mesurable. Or c'est précisément avec des couples projectile-cible de Z proj × Z cible >> 1600 que l'on peut espérer créer des noyaux super-lourds par fusion. Par ailleurs, pour des systèmes plus légers, la probabilité de fusion augmente rapidement quand l'énergie cinétique du projectile croît.Pour espérer créer des noyaux composés super-lourds, il faudrait donc idéalement réaliser la fusion à haute énergie cinétique. Or lors d'une réaction de fusion, l'énergie cinétique disponible dans le référentiel du centre de masse se répartit entre énergie de masse du noyau composé et énergie d'excitation. Comme les effets de couches susceptibles de stabiliser les noyaux super-lourds disparaissent rapidement lorsque l'énergie d'excitation augmente, il faut faire un compromis entre haute énergie cinématique du projectile et faible énergie d'excitation, afin de maximiser la probabilité de formation des noyaux composés.

La figure 3 présente de façon schématique l'évolution temporelle observée pour les principaux mécanismes de réaction mis en jeu lors de réactions entre noyaux lourds. Ces mécanismes changent en fonction du paramètre d'impact, distance entre les trajectoires des partenaires de la collision (les faibles paramètres d'impact correspondent à des collisions presque frontales, les paramètres d'impact intermédiaires à des collisions périphériques, tandis que les très grands paramètres d'impact ne donnent pas lieu à réaction nucléaire). La fusion, lorsqu'elle a lieu, intervient aux plus faibles paramètres d'impact. Elle est schématisée, ainsi que les mécanismes de désexcitation du noyau composé formé, dans les deux colonnes de gauche de la figure 3 . Le noyau composé est formé très rapidement (temps typique de l'ordre de 10 -22 à 10 -21 s). Il dispose d'une certaine énergie d'excitation qu'il va évacuer soit en émettant des particules, essentiellement des neutrons et des rayons gamma, soit en fissionnant. A tout moment ces différents processus de désexcitation sont statistiquement en compétition. Si le noyau composé initial et les noyaux fils (produits par émission de particules) arrivent à survivre à la fission suffisamment longtemps pour évacuer toute l'énergie disponible et conduire à un noyau résiduel froid, on a affaire à un processus dit de fusion-évaporation (colonne de gauche de la figure 3 ). Le temps typique nécessaire pour atteindre le noyau résiduel (après refroidissement complet) est d'environ 10 -12 s. La synthèse d'éléments super-lourds est fondée sur ce processus de fusion-évaporation, très peu probable. En effet, à cause de l'énergie d'excitation apportée lors du processus de fusion, la probabilité que le système franchisse la barrière de fission est importante et le processus de fusion suivi de l'éventuelle émission de quelques particules puis par une fission (deuxième colonne, notée fusionfission) est beaucoup plus probable : les noyaux superlourds, bien que formés, ne survivent que de façon transitoire. Les estimations théoriques pour des noyaux superlourds conduisent à des rapports de probabilités (fusion- La probabilité de fusion devient très faible pour des produits Z proj × Z cible > 1600 parce que ce processus est remplacé pour les mêmes paramètres d'impact par un processus beaucoup plus rapide, la quasi-fission, schématisée dans la troisième colonne de la figure 3 . Au cours d'une réaction de ce type, le projectile et la cible s'interpénètrent profondément, échangent des nucléons, l'énergie cinétique disponible peut être complètement dissipée, mais les nucléons ne sont pas piégés à l'intérieur de la poche de potentiel du noyau composé qui n'est ainsi pas formé. Le système composite transitoire se sépare en deux noyaux massifs qui peuvent présenter des masses, des numéros atomiques et des énergies tout à fait similaires à ceux de fragments de fission du noyau composé. La quasi-fission peut être vue comme une prolongation du processus de diffusion profondément inélastique, observé pour des réactions plus périphériques (quatrième colonne figure 3 ), dans lequel le projectile et la cible conservent une partie de leur identité (leurs masses, leurs numéros atomiques, leurs directions initiales). Les distributions angulaires des fragments émergents après une réaction de quasi-fission ou de diffusion très inélastique montrent que le système transitoire n'a pas eu, en moyenne, le temps de faire plus d'une rotation sur lui-même, caractérisant ainsi des réactions très rapides (quelques 10 -20 s au maximum). En revanche, les distributions angulaires des fragments émergents après une réaction de fusion-fission devraient être isotropes, puisque la durée de vie du noyau composé est très supérieure à sa période de rotation. Dans la région des super-lourds, la quasi-fission est un phénomène tellement dominant qu'il devient impossible de signer une éventuelle faible composante de fusion-fission à partir des caractéristiques cinématiques des fragments émergents. C'est en étudiant expérimentalement la différence essentielle entre fusion-fission et quasi-fission, le temps de réaction, que nous allons dans la suite mettre en évidence l'existence de noyaux super-lourds et sonder leur stabilité. Compte tenu des différentes prédictions théoriques mentionnées dans la section précédente, qui concernent les nombres magiques dans la région des noyaux super-

Principe de la mesure du temps de fission

Plusieurs techniques expérimentales ont été mises en oeuvre pour estimer les durées des processus de fusionfission et de quasi-fission. Ainsi que nous l'avons dit dans le paragraphe précédent, la quasi-fission est un processus très rapide au cours duquel l'anisotropie des distributions angulaires des fragments émergents permet de mesurer de façon très directe le temps de vie du système transitoire formé grâce à la conservation du moment angulaire au cours de la réaction. A l'opposé, la plupart des approches utilisées pour estimer la durée du processus de fusionfission reposent sur la modélisation du processus de désexcitation des noyaux fissiles lorsqu'ils sont produits au cours d'une réaction nucléaire, et en particulier de la compétition entre les différents canaux de désexcitation qui sont ouverts au système. Le temps de fusion-fission est ainsi souvent déduit de calculs qui reproduisent le nombre de particules légères par événement (chargées ou neutres) émises avant la scission. Cependant, un certain nombre d'indéterminations dans ces modélisations, concernant par exemple les densités d'états quantiques accessibles au système au cours de son évolution, ne permettent pas à l'heure actuelle d'apporter des réponses sans ambiguïtés. C'est la raison pour laquelle nous avons choisi d'utiliser une méthode directe de mesure de temps de fission grâce à la technique dite « d'ombre dans des monocristaux » qui permet de s'affranchir des modèles décrivant le processus de fission.

La gamme de temps accessible par cette méthode peut s'ajuster grâce aux conditions cinématiques de l'expérience. Dans notre cas, l'utilisation de conditions de cinématique inverse (projectile plus massif que la cible) et le choix de l'angle de détection conduit à une limite inférieure des temps mesurables d'environ 10 -18 s.

Procédure expérimentale -Identification des mécanismes de réaction

Pour tester la stabilité d'éventuels noyaux super-lourds formés par fusion, nous avons mis en oeuvre la technique d'ombre dans les monocristaux dont le principe est décrit dans l' encadré . Pour cela, nous avons commencé par identifier et sélectionner différents groupes d'événements issus d'un même mécanisme de réaction, puis nous avons trouvé parmi ces groupes ceux qui correspondent à des réactions quasi-instantanées pour construire des creux de référence de temps courts auxquels comparer les creux de blocage mesurés pour les autres sélections. Nous avons utilisé un dispositif expérimental dans lequel les noyaux et les particules chargées issues des réactions nucléaires étaient détectés dans un angle solide voisin de 4 π stéradians, soit pratiquement tout l'espace. Les creux de blocage étaient mesurés par un système de détection constitué d'une chambre à ionisation suivie d'un détecteur résistif à localisation en silicium de très bonne résolution spatiale (de l'ordre de 0,02°), situé à 20°de la direction du faisceau et vers lequel un axe principal du cristal cible était orienté. Ce système de détection nous a permis d'obtenir le numéro atomique Z du fragment détecté, son énergie et sa direction d'émission. Le reste de la couverture angulaire était fournie par le multi-détecteur Indra, composé de plusieurs centaines de modules (chambres à ionisations, détecteurs en silicium et scintillateurs d'iodure de césium). Indra nous permettait, pour chaque événement de collision, de compter, d'identifier le numéro atomique et de mesurer l'énergie de l'ensemble des produits chargés issus de la réaction. La sélection des événements issus d'un même mécanisme a été faite dans le plan défini par le numéro atomique des produits de réaction détectés à 20 °et leur énergie cinétique (voir figure 4 ), tandis que Indra nous a permis, pour chacun de ces événements, d'assigner de façon certaine un mécanisme de réaction.

Les creux de blocage mesurés pour les sélections Ac, Bd et Bg sur la figure 4 constituent dans notre cas de très bonnes références de temps quasi-instantanés. Il s'agit en effet de réactions de diffusion élastiques (ou faiblement inélastiques) très périphériques, pour lesquelles les numéros atomiques des partenaires n'ont pas ou ont peu changé (Z ≈ 28, Z ≈ 92 et Z ≈ 32 pour la figure 4Ac, 4Bd et 4Bg respectivement) et pour lesquelles la durée d'interaction nucléaire est négligeable (10 -23 s pour une diffusion élastique, inférieure à 10 -22 s pour la diffusion inélastique). Un groupe d'événements étalé entre Z = 30 et Z = 60 a été identifié comme provenant essentiellement de la fission d'un ion projectile uranium faiblement excité (contours Ab et Bf). Un troisième groupe apparaît sous forme d'un croissant situé au voisinage de Z = 80 (contours Aa et Be), dans lequel nous avons identifié des événements qui peuvent provenir soit de réactions de quasi-fission, soit de réactions de fusion-fission. En effet, seuls deux fragments lourds sont détectés avec les propriétés cinématiques attendues pour des fragments de fission. Seul le temps de vie du système transitoire constitué de l'ensemble des nucléons du projectile et de la cible permet alors de définir le mécanisme mis en jeu. C'est donc dans ce troisième groupe que nous avons cherché la trace d'événements à très longs temps de fission, caractérisant la formation de noyaux composés super-lourds.

Mise en évidence de la grande stabilité des éléments de Z = = = = 120 et 124

Pour constituer les creux de blocage, plutôt que d'utiliser une mesure indépendante avec une cible amorphe ( voir l'encadré ), nous avons préféré réaliser au cours de la même expérience une mesure de distribution angulaire des produits de réaction émis à 20°dans un deuxième télescope similaire à celui utilisé pour mesurer les effets d'ombre, mais vers lequel aucun plan ou axe majeur du cristal cible n'était orienté. Cette approximation (d'un

Méthode de blocage

Encadré

Il s'agit, en utilisant une cible monocristalline, de mesurer la distribution angulaire des produits de réaction dans la direction d'un des axes principaux du cristal. En raison de l'interaction atomique (essentiellement coulombienne) entre les ions produits au cours de la collision et les atomes de la rangée du cristal, cette distribution angulaire présente un minimum dans la direction exacte de l'axe, l'ion produit étant défléchi par la rangée. Cet effet d'ombre est d'autant plus marqué que l'ion observé a été produit près de la rangée. Les plans principaux du cristal induisent également un effet d'ombre ; le principe est le même que pour les axes, mais pour la clarté de l'exposé nous ne décrirons ici que le blocage axial. Dans le cas de la fission, les ions détectés sont les fragments de fission, émis à partir du noyau composé formé par la fusion d'un noyau projectile avec un noyau d'un atome du cristal. Plus le temps de vie du noyau composé est long, plus la fission se produit loin de la rangée, donc plus le potentiel atomique ressenti est faible et moins l'effet d'ombre est marqué ( figure E1 ). De façon pratique, l'effet d'ombre est caractérisé grâce au spectre monodimensionnel appelé « creux de blocage », qui présente le rendement normalisé Y en fonction de l'angle Ψ entre la direction de détection et l'axe du cristal. Le rendement normalisé est déterminé par le rapport entre deux distributions angulaires mesurées indépendamment, l'une avec la cible cristalline et l'autre avec une cible amorphe du même matériau, donc sans effet d'ombre. Le creux de blocage se caractérise habituellement par son taux de remplissage dans la direction de l'axe de blocage, noté χ min , et sa largeur ψ 1/2 qui varie avec la charge de l'ion détecté et son énergie. Pour des temps infiniment courts, et en négligeant la taille de l'impact du faisceau sur la cible, la valeur de χ min , qui traduit la probabilité de détecter un fragment précisément dans la direction de l'axe du cristal, ne dépend que des qualités du cristal et de l'amplitude des vibrations thermiques des atomes du réseau à la température de l'expérience. Toute réaction qui dure moins longtemps que le temps nécessaire au système en interaction pour sortir de cette zone de vibrations thermiques donnera la même valeur de χ min . Ceci conduit à une limite inférieure de temps mesurable, qui dépend de la vitesse du système qui recule. La limite supérieure des temps mesurables par cette méthode correspond au temps mis par l'ion pour se trouver dans une région de la maille cristalline où l'action des rangées n'est plus perceptible et où le milieu environnant peut être considéré comme homogène. Les conclusions que nous allons tirer vont être essentiellement fondées sur la comparaison des rendements χ min mesurés à Ψ=0°pour les différentes sélections, le remplissage des creux à 0°constituant la signature la plus directe et la plus facile à visualiser de la présence de réactions à temps longs. Un certain nombre de précautions doivent cependant être prises dans ce type d'analyse afin de s'assurer de la validité de la procédure. En effet, différents effets, liés par exemple à la taille de l'impact du faisceau incident sur la cible ou à des imperfections du cristal, peuvent conduire à un brouillage du creux de blocage tel qu'il serait mesuré dans une expérience parfaite. Pour un creux de blocage étroit, ce brouillage peut générer une augmentation artificielle du χ min . Aussi, afin d'éviter toute ambiguïté sur les conclusions, nous avons toujours utilisé des creux de référence au moins aussi étroits que ceux que nous souhaitions étudier.

Les creux de blocage constitués pour les différentes sélections d'événements décrites dans la section précédente sont présentés sur la partie droite de la figure 4 . Les creux de blocage associés aux sélections Aa et Be montrent pour 238 U+Ni (Z proj + Z cible = 120) et 238 U + Ge (Z proj + Z cible = 124) un niveau de remplissage à Ψ=0°s ignificativement plus important que celui des creux de référence de temps courts (sélections Ac pour 238 U + Ni et Bd et Bg pour 238 U + Ge). Ceci met clairement en évidence des événements de fission à des temps supérieurs à 10 -18 s pour les systèmes transitoires constitués de 120 et 124 protons (les neutrons n'étant pas détectés par notre dispositif expérimental, nous ne pouvons pas préciser les isotopes mis en jeu). Comme les temps typiques de quasifission sont de 100 à 1 000 fois plus courts, ceci permet de signer sans ambiguïté la présence d'événements qui proviennent de processus de fusion-fission. Ce temps de 10 -18 s est certes très court, mais à l'échelle des temps de vie nucléaires, il est suffisamment long pour attester de la formation de noyaux de 120 et 124 protons et pour leur attribuer une grande stabilité vis-à-vis de la fission lorsqu'ils ne sont pas excités. A titre de comparaison, rappelons que pour des noyaux d'uranium, à cause de la barrière de fission relativement haute -de l'ordre de 5 MeVles temps de fission s'étalent entre 10 -16 et 10 -19 s lorsque l'énergie d'excitation croît de quelques MeV à 250 MeV. Une analyse détaillée des creux de blocage Aa et Be permet d'affirmer qu'au moins 10 % des événements sélectionnés proviennent de noyaux composés survivant plus longtemps que 10 -18 s.

Une analyse similaire a été effectuée pour le système 208 Pb + Ge susceptible de former des noyaux de Z = 114 à une énergie d'excitation comparable. Cette analyse n'a montré aucun remplissage significatif des creux de blocage pour les événements où seuls deux fragments lourds étaient détectés. Dans la limite de sensibilité de cette expérience, aucune composante de fission de noyaux composés de Z = 114 survivant plus de 10 -18 s n'a donc pu être mise en évidence. Ceci peut s'interpréter par l'insuffisance du nombre de neutrons N nc du noyau composé pour assurer sa stabilité (N nc est au plus égal à 170 pour l'isotope stable le plus lourd du germanium, valeur très éloignée du prochain nombre magique en neutrons que la plupart des modèles s'accordent à prédire autour de N = 184).

Conclusions

Grâce à des mesures directes de temps de réaction, nous avons montré que l'on pouvait former par la fusion de deux noyaux lourds des noyaux qui comportent plus de 120 protons. Le temps mis par de tels noyaux super-lourds pour fissionner dépend de la hauteur de leur barrière de fission, qui elle-même définit la relative stabilité de ces noyaux. Il devient alors possible, en étendant ce type de mesures à d'autres systèmes cible-projectile, de trouver le maximum de stabilité dans la région des éléments super-lourds et de cerner ainsi expérimentalement l'îlot de stabilité prévu par les théories depuis de nombreuses années. Les résultats déjà acquis pour des noyaux de 120 et 124 protons constituent un apport précieux pour les théories et les modèles nucléaires, qui doivent maintenant reproduire à la fois les très faibles probabilités de synthèse de ces éléments et leur relativement longs temps de fission. Pour y arriver, les paramètres intervenant dans ces calculs (qui sont la plupart du temps extrapolés depuis la région des noyaux connus vers celle des noyaux super-lourds) devront être ajustés, ce qui nécessitera à la fois des efforts expérimentaux et théoriques.

POUR EN SAVOIR PLUS

Figure 1 -

 1 Figure 1 -Représentation schématique à une dimension du potentiel en fonction de la déformation du noyau. La partie gauche de la figure montre les déformations au cours des étapes principales d'un processus de fission.

Figure 2 -

 2 Figure 2 -Barrières de fission calculées pour une énergie d'excitation E* nulle à partir des effets de couches prédits par le modèle de Peter Möller et al., Atomic Data and Nuclear Data Tables, 59, 185 (1995).

Figure 3 -

 3 Figure 3 -Représentation schématique de l'évolution temporelle des mécanismes de réaction entre deux noyaux lourds. Les mécanismes associés aux réactions très périphériques ne sont pas représentés. La diffusion profondément inélastique correspond à des paramètres d'impact plus périphériques que les trois autres mécanismes. Une éventuelle différence entre les paramètres d'impact mis en jeu lors des réactions de quasi-fission et des réactions de fusion reste à déterminer expérimentalement.

  lourds, nous avons choisi d'étudier les noyaux de numéros atomiques Z = 114, 120 et 124, formés respectivement lors de collisions 208 Pb + Ge (Z proj = 82 et Z cible = 32), 238 U + Ni (Z proj = 92 et Z cible = 28) et 238 U + Ge (Z proj = 92 et Z cible = 32).

Figure 4 -

 4 Figure 4 -Partie gauche : Nombre de produits de réaction détectés à 20 degrés en fonction de leur énergie cinétique et de leur numéro atomique. Partie droite : creux de blocage à une dimension pour les sélections d'événements indiquées sur la partie gauche de la figure.

  Ce type d'expérience nécessite d'orienter l'un des axes cristallins de la cible de façon très précise (avec un portecible goniométrique) vers un détecteur de haute résolution spatiale dans lequel on mesure ces effets d'ombre dans la distribution angulaire. La figure E2 présente un exemple d'effet d'ombre mesuré par un détecteur sensible à la position dans la direction d'un axe <110> d'un cristal de silicium. Les chutes de rendement dans les directions de l'axe et des différents plans cristallins sont clairement visibles.

Figure E1 -

 E1 Figure E1-Principe de la mesure de temps de fission par blocage cristallin. Dans le cas d'une fission rapide, le fragment produit près de la rangée (en bleu) est très sensible au potentiel des atomes de cette rangée qui aura tendance à défléchir un fragment initialement émis parallèlement à la rangée. On n'observera donc que très peu de fragments dans la direction de l'axe (effet d'ombre). Pour une fission lente, la fission intervient dans une région du cristal où le potentiel ressenti par le fragment est beaucoup plus faible et donc le minimum observé dans la direction de l'axe sera moins marqué. La représentation du cristal, schématique, ne respecte pas les échelles, le paramètre de maille du cristal étant environ 50 fois plus grand que l'amplitude des vibrations thermiques.

Figure E2 -

 E2 Figure E2 -Creux de blocage mesurés pour des réactions de diffusions élastiques d'un projectile d'uranium sur une cible cristalline de silicium.

  Morjean M. et al., Physical Review Letters, volume 101, article 072701 (2008). Nature , volume 413, page 122 (2001).

	Gemmel D.S., Review of Modern Physics , volume 46, page 129
	(1974).
	Jacquet D. et Morjean M., « Progress in particle and nuclear
	physics », volume 63, page 155 (2009).
	Goldenbaum F. et al., Physical Review Letter , volume 82,
	page 5012 (1999).
	Oganessian Yu.,


Gladys Loranger-Merciris

Daniel Imbert

France Bernhard-Reversat

Jean-François Ponge

Patrick Lavelle

Jean-François Ponge

• Patrick

Lavelle G Loranger-Merciris

G Loranger
email: glorange@univ-ag.fr

J.-F Ponge

Soil fauna abundance and diversity in a secondary semi-evergreen forest in Guadeloupe (Lesser Antilles): influence of soil type and dominant tree species

Keywords: Biodiversity, Litter quality, Macrofauna, Microarthropods, Semi-evergreen forests

come

Introduction

Secondary forests provide goods and ecosystems services to local populations. Brown and Lugo (1990) pointed out that an increasing proportion (40%) of tropical woodlands were secondary forests, i.e., forests that have been, or are still, influenced by human activities. These authors emphasized the need for a sound, sustainable management of such forested areas, in terms of both biodiversity conservation and human welfare. As in primary forests, soil fauna is essential in secondary forests to efficient nutrient cycling, organic matter dynamics, and maintenance of soil physical structure. Such processes are key determinants for primary production and ecosystem C storage [START_REF] Petersen | A comparative analysis of soil fauna populations and their role in decomposition processes[END_REF][START_REF]Faunal activities and soil processes: adaptive strategies that determine ecosystem function[END_REF].

Tropical semi-evergreen dry forests can be regarded as one of the most endangered major tropical ecosystem (Janzen 1988;[START_REF] Lerdau | Tropical deciduous forest: death of a biome[END_REF][START_REF] Gillespie | Life history characteristics and rarity of woody plants in tropical dry forest fragments of Central America[END_REF]. During the last four centuries, they have been extensively converted to pastures or farmlands, and the remaining secondary woodlands have been exploited for timber, fuel wood, or charcoal production [START_REF] Murphy | Ecology of tropical dry forest[END_REF][START_REF] Lerdau | Tropical deciduous forest: death of a biome[END_REF]). In the Caribbean islands, forest decline in dry areas proceeded at an especially high rate due to the small size of landmasses and to the high density of populations [START_REF] Lugo | Tropical forests in the Caribbean[END_REF]. At the present time, patches of semi-evergreen, dry secondary natural forests remain on the steepest slopes of these islands. Secondary woodlands issued from forest plantations and intended for timber production may be found on more suitable locations. Soil fauna diversity and its linkage with the whole ecosystem structure and functioning is still poorly known in such forests, as for the other types of tropical secondary forests [START_REF] Laclau | Changes in biological factors of fertility in managed eucalyptus plantations on a savanna soil in Congo[END_REF][START_REF] Höfer | Structure and function of soil fauna communities in Amazonian anthropogenic and natural ecosystems[END_REF][START_REF] Warren | Soil macrofauna and litter nutrients in three tropical tree plantations on a disturbed site in Puerto Rico[END_REF].

Soil macrofauna and microarthropod abundance and soil macrofauna diversity were described in two stands of a secondary semi-evergreen dry forest in the island of Grande-Terre, Guadeloupe (Lesser Antilles).

These stands had both different soil types and site histories and exhibited various main canopy tree species. The aims of the present work were (1) to measure soil fauna abundance and diversity at the two contrasting sites and

(2) to assess the influence of soil physicochemical characteristics and of main tree species on soil fauna abundance and diversity.

Materials and methods

Study sites

The study was carried out in the northern part of the island of Grande-Terre (Guadeloupe, French West Indies) in a tropical semi-evergreen lowland forest (UNESCO classification, Anonymous) that extended more than 2,700 ha. The landscape was characterized by a series of plateaus with frequent outcroppings of the Pleistocene limestone bedrock. The annual rainfall averaged 1,300 mm, February and March being the driest months with less than 60 mm per month on average. The mean annual temperature at the study area was 26°C.

One study site, the natural forest, was located in an old growth, secondary semi-evergreen forest that stretched over a 35-km fault scarp where the steep slope reached 45%. The soil was a shallow calcareous Leptosol (FAO-UNESCO classification, [START_REF] Driessen | Lecture notes on the major soils of the world[END_REF]. Forty-three plant species were present, but Pisonia subcordata L. and Bursera simaruba (L.) Sarg., two native deciduous tree species, accounted for 40% of the total basal canopy area [START_REF] Imbert | La forêt tropicale semi-décidue de la Guadeloupe: structures spatiales et production de litière dans la région nord de la Grande-Terre[END_REF].

The other site, the planted forest, was located in a 50-year-old forest plantation grown on a calcareous Vertisol that developed at the edge of a plateau. Despite subsequent silvicultural treatments, natural regeneration of native species has occurred. When the study was conducted, a thick understorey was present, and 46 plant species were present. Among the most abundant tree species were Swietenia macrophylla King (planted, exotic), Tabebuia heterophylla (DC.) Britton (planted, native), and B. simaruba (spontaneous, native), which covered 32, 30, and 7% of the total canopy area, respectively (unpublished data).

Soil physicochemical characteristics

In the natural forest, the upper horizon (A horizon) was 10 cm thick, and the lower horizon (A/C horizon) was found between 10 and 40 cm deep. In the planted forest, the A horizon was 20 cm thick, and the lower horizon (SV horizon) was found between 20 and 60 cm deep. Soil texture was determined at each site, for upper and lower horizons.

Ten soil cores of 40 cm deep were taken randomly at each site, at the beginning of the experiment.

These cores were separated in several layers, 0-10, 10-20, 20-30, and 30-40 cm. Samples were sieved to 2 mm and homogenized. Total C and N were performed on subsamples sieved at 200 μm and determined with a CHN Carbo Erba® auto-analyzer.

At each site, three soil samples (10 cm deep) were taken randomly bimonthly during 1 year, and percent moisture was calculated (drying during 72 h at 105°C).

Chemical composition of leaves

Freshly fallen leaves of the chosen plant species were collected from the forest floor. Nitrogen, soluble C, total soluble phenols, tannins, and fibers (cellulose, lignin) were analyzed at the CIRAD laboratory (-Centre de Coopération Internationale en Recherches Agronomiques pour le Développement,‖ Montpellier, France). The leaves were air-dried and milled, and total N content was measured by the Kjeldahl method. Soluble C compounds were extracted by mixing 2 g of the milled leaves in 60-ml cold water during 2 h and determined by the chemical oxygen demand using the HACH method [START_REF] Jirka | Micro semi-automated analysis of surface and wastewaters for chemical oxygen demand[END_REF]. Total soluble phenolics were extracted with 70% methanol and measured colorimetrically using the Folin-Ciocalteu method [START_REF] Marigo | Sur une méthode de fractionnement et d'estimation des composés phénoliques chez les végétaux[END_REF].

Precipitating tannins were measured with the same method after precipitation of bovine serum albumin, washing, and re-dissolution of the precipitate [START_REF] Hagerman | Protein precipitation method for the quantitative determination of tannins[END_REF]. Cellulose and lignin were analyzed by sequential digestion of fibers [START_REF] Van Soest | Use of detergents in the analysis of fibrous feeds. II. A rapid method for determination of fiber and lignin[END_REF]. Samples (0.7 g of the milled leaves) were first extracted with neutral detergent. Lignocellulose (-acid detergent fiber‖ or ADF) was obtained after extraction with acid detergent. Lignin (-acid detergent lignin‖ or ADL) was obtained after hydrolysis with 72% H2SO4. Cellulose corresponded to the difference between ADF and ADL.

Soil macroinvertebrates

Macroinvertebrates were sampled during the wet season at both sites under the dominant tree species mentioned above, using the modified Tropical Soil Biology and Fertility method [START_REF] Anderson | Tropical soil biology and fertility: a handbook of methods, 2nd edn[END_REF]. Ten or more trees from each species were randomly chosen in the two sites. Four samplings were achieved between 1996 and 1998. During the whole sampling period, 100 samples were taken in the natural forest and 120 in the planted forest. Under the canopy of each tree, soil macroinvertebrates were collected and sorted by hand from a soil block including litter (30×30×30 cm), which was dug out with a spade then sprinkled over a plastic sheet. Soil macroinvertebrates were determined and classified in six groups: Diplopoda, social insects (ants, termites), epigeic earthworms, anecic earthworms, insect larvae, and miscellaneous. The last group contained Coleoptera, Chilopoda, Isopoda, Dermaptera, Blattodea, Araneidae, Heteroptera, Gasteropoda, terrestrial Turbellaria, Homoptera, and Orthoptera. Macroinvertebrates were identified at species level or as morphospecies (i.e., individuals that differed from morphological features).

Soil microarthropods

In November 1996, during the wet season, microarthropods were sampled under the selected tree species in both sites, at the same time than macroinvertebrates. Twenty or more individual trees of each species were randomly chosen in the two sites. Under the canopy of each tree, one core, 100 cm2 in area and 9 cm in depth (including litter layer), was taken. These cores were divided in three layers: 0-3, 3-6, and 6-9 cm, and microarthropods were extracted within a week using the dry funnel method modified from [START_REF] Macfadyen | Animal ecology. Aims and methods[END_REF]. During the whole sampling period, 55 samples were taken in the natural forest and 60 in the planted forest. The collected animals were classified in three groups: Collembola, Acari, and miscellaneous.

Data processing

The effect of site on soil fauna abundance and diversity was tested with analyses of variance (ANOVA). The within-site effect of plant species on soil fauna abundance and diversity was tested with nested ANOVA, using site as the main factor. The plant species effect was further explored using a posteriori multiple means comparisons. Fisher's least significant difference (LSD) was used for multiple means comparisons (i.e., LSD comparisons were made only when the main effect of plant species was significant at p<0.05). Data were log transformed to normalize the variance across treatments.

Results

Soil physicochemical characteristics

The natural forest soil had a silt loam texture and the planted forest soil had a clayish texture (Table 1). The organic matter content was significantly higher in the Leptosol (natural forest) than in the Vertisol (planted forest), Table 1. Soil moisture (bimonthly measurements) was not significantly different in the two sites (Table 1, p>0.05).

Litter analysis

Chemical analyses (Table 2) showed that freshly fallen leaves of T. heterophylla had the lowest content in lignin and tannin and were also characterized by the highest cellulose content. Freshly fallen leaves of S. macrophylla had a higher phenol content than leaves of T. heterophylla and P. subcordata. Leaves of P. subcordata had a high N content, more than twice that of the other species.

Soil macrofauna

A preliminary analysis of variance showed that there were no significant differences between the four sampling periods, regarding soil fauna collected under the same conditions (i.e., same plant species and site). Thus, the data collected at the four sampling dates were pooled. Soil macrofauna abundance was significantly higher in the Vertisol of the planted forest than in the Leptosol of the natural forest (Table 3). The effect of tree species on total soil macrofauna density was highly significant (p<0.001, Fig. 1,Table 4). B. simaruba was associated with the lowest abundance in the natural forest, and T. heterophylla was associated with the highest soil macrofauna abundance in the planted forest (Table 4). Diplopoda and epigeic earthworm abundances were the highest under T. heterophylla (Table 4).

Tannin content in leaves of the four tree species was weakly negatively correlated with total soil macrofauna abundance (p=0.09).

Ninety species and morphospecies were collected over the four sampling dates (Appendix). The two sites had 40 species and morphospecies in common. Three morphospecies and species of earthworms were identified: an epigeic morphospecies Dichogater sp. and two anecic species Amynthas rodericensis and Polypheretima elongata. The anecic species were only found in the planted forest. Seven species of millipedes were identified. There was no significant difference between the two sites regarding soil macrofauna diversity (71 species and morphospecies in the natural forest and 61 in the planted forest). The effect of plant species on soil macrofauna community composition was highly significant (F=5.4, p<0.001). B. simaruba in the natural forest was associated with the lowest soil macrofauna diversity. There was no significant difference between the other tree species regarding soil macrofauna diversity.

Soil microarthropods

Acari and Collembola dominated soil microarthropods in the two study sites (from 72 to 83% of total soil microarthropods). The abundance of total soil microarthropods was not significantly different between the two sites (Table 3). However the abundance of Collembola was significantly higher in the planted forest (p<0.004, Table 3), and the abundance of Acari was significantly higher in the natural forest (p<0.004, Table 3). The effect of plant species on total soil microarthropod abundance was highly significant (p<0.001, Table 4). S. macrophylla from the planted forest and B. simaruba from the planted forest were associated, respectively, to the highest and the lowest soil microarthropod abundance (Table 4). Soil microarthropods was mainly located in the upper 3 cm of soils (Fig. 2). The percentage of soil microarthropods in the 3-to 9-cm layer of the planted forest was significantly higher than in the natural forest (p<0.001, Fig. 2).

Discussion

Soil effect

The two sites presented two distinct soil types which were primarily characterized by contrasted texture and organic matter content. Soil depth was also different within the two sites (data not shown): The Leptosol of the natural forest was shallow (≤55 cm deep), and the Vertisol of the planted forest was deeper (≥80 cm deep).

According to the model proposed by [START_REF] Lavelle | A hierarchical model for decomposition in terrestrial ecosystems: application to soils of the humid tropics[END_REF], soil biological processes are led by a succession of hierarchized factors; parameters which operate at the largest scales (climate and soil properties) constrain parameters operating at smaller scales (soil fauna and microorganisms). Under the same climatic area, the main regulation for organic matter decomposition was probably exerted by soil properties. Our data and observations corroborated this hierarchical model. In fact, under the same tree species (B. simaruba), there was a significant difference in soil fauna abundance and diversity between the two soils.

In the Vertisol under the planted forest, we found two macrofauna communities: (1) an epigeic one dominated by millipedes and (2) a soil-dwelling one dominated by the anecic earthworm P. elongata. In the Leptosol under the natural forest, we found an epigeic macrofauna community dominated by millipedes but no soil-dwelling macrofauna community. A likely explanation for this is that anecic earthworms such as P. elongata do not tolerate dehydratation. During the dry season, these worms usually move to moist, deeper soil horizons to aestivate [START_REF] Lavelle | Soil ecology[END_REF]. Such behavior was impossible in the shallow Leptosol of the natural forest.

Anecic earthworms are known to contribute to the mixing of mineral and organic material and produce solid organo-mineral aggregates that participate to the maintenance of strong macro-porosity [START_REF] Alegre | Dynamics of soil physical properties in a low input agricultural system inoculated with the earthworm Pontoscolex corethrurus in the Amazon region of Peru[END_REF][START_REF] Blanchart | Regulation of soil structure by geophagous earthworm activities in humid savannas of Côte d'Ivoire[END_REF]). In addition, these invertebrates homogenize the upper part of the soil profile and accelerate litter incorporation into the soil, decomposition of fresh soil organic matter, and nutrient turnover [START_REF] Jabiol | Tropical dry forests: the most endangered major tropical ecosystem[END_REF]. In previous studies comparing organic matter decomposition and humus formation in the two study sites, the high impact of P. elongata on soil functioning was demonstrated. In fact, the activity of this keystone species leads to the formation of a Eumull humus form in the planted forest, which is characterized by the rapid incorporation of litter to an organo-mineral horizon with crumb aggregates [START_REF] Loranger | Formes d'humus originales dans une forêt semidécidue de la Guadeloupe/Particular humus forms in a tropical semi-evergreen forest of Guadeloupe[END_REF][START_REF] Loranger | Humus forms in two secondary semi-evergreen tropical forest stands[END_REF]. The biological activity of P. elongata is also responsible for the much quicker litter disappearance in the planted forest as compared to the natural forest [START_REF] Loranger | Leaf decomposition in two semi-evergreen tropical forests: influence of litter quality[END_REF].

Soil microarthropods also varied between the two sites. In the natural forest, soil microarthropod community was dominated by Acari. At this site, the high organic matter content of top layers may be favorable to these mainly fungivorous animals. In the planted forest, the microarthropod community was dominated by Collembola; these mainly saprophagous animals may feed on anecic earthworm casts and mucus [START_REF] Salmon | Earthworm excreta attract soil springtails: laboratory experiments on Heteromurus nitidus (Collembola: Entomobryidae)[END_REF]). In the natural forest, soil microarthropod activity was located at the soil surface (upper 3 cm), whereas it extended to the upper 10 cm in the soil of the planted forest. The vertical distribution of microarthropod populations is influenced by several factors. Among them, pH, food resources, and pore size have been highlighted [START_REF] Ponge | Interaction between soil fauna and their environment[END_REF]. In our study, differences in microarthropod vertical distribution may be attributed to soil structure, in particular pore size [START_REF] Didden | Reactions of Onychiurus fimatus (Collembola) to loose and compact soil. Methods and first results[END_REF], and to vertical distribution of organic matter [START_REF] Poursin | Etude des peuplements de microarthropodes (Insectes Collemboles et Acariens Oribates) dans trois humus forestiers acides de la Forêt d'Orléans (Loiret, France)[END_REF], due to anecic earthworm activities.

Vegetation quality effect

Because plant species differ both in litter production and quality, individual plant species may have important effects on soil fauna and on the processes they regulate [START_REF] Wardle | Ecological linkages between aboveground and belowground biota[END_REF]. Several other studies report the effect of the chemical composition of decomposing plant material on soil fauna. Soil fauna particularly avoid litter rich in tannin-proteins complexes, polyphenols, and lignin [START_REF] Satchell | Lumbricidae[END_REF][START_REF] Satchell | Selection of leaf litter by Lumbricus terrestris[END_REF][START_REF] Tian | Biological effects of plant residues with contrasting chemical compositions under humid tropical conditions: effects on soil fauna[END_REF][START_REF] Harbone | Role of phenolic secondary metabolites in plants and their degradation in nature[END_REF]. Those tannin-proteins complexes are degradable only by white rot fungi, and microorganisms found in the guts of earthworm and isopod [START_REF] Neuhauser | Soil invertebrates and the degradation of vanillin, cinnamic acid, and lignins[END_REF]. High contents in N and soluble carbohydrates are attractive for soil fauna [START_REF] Bocock | Changes in leaf litter when placed on the surface of soils with contrasting humus types. I. Losses in dry weight of oak and ash leaf litter[END_REF][START_REF] Satchell | Selection of leaf litter by Lumbricus terrestris[END_REF][START_REF] Tian | Biological effects of plant residues with contrasting chemical compositions under humid tropical conditions: effects on soil fauna[END_REF].

Therefore, the higher quality of T. heterophylla leaves, i.e., their low tannin content (0.3% dry matter), probably explain the development of an abundant macrofauna community under the canopy of this species. On the contrary, soil macrofauna development was limited under B. simaruba, P. subcordata, and S. macrophylla which all have tannin-rich leaves.

Conclusion

Our study shows that, 50 years after tree plantation, soil macrofauna diversity in the planted forest was similar to that of the natural forest. Moreover, soil macrofauna abundance was higher in the planted forest. This is probably due to the fact that these sites were located on two distinct soil types, which were characterized by contrasted features. Moreover, in the planted forest, the activity of the anecic earthworm P. elongata may generate food resources (casts, mucus) and microhabitats (burrows, macroaggregates), which favor the development of other soil fauna species. Soil macrofauna abundance and diversity also depended on the tree species effect. The effect of plant litter quality varied according to each dominant tree species and was superimposed to soil effect.

Besides, it has been shown that tree plantations may facilitate secondary succession by reestablishing nutrient cycling, providing habitat for seed dispersers, and improving the microclimate for native species establishment in the understorey (Brown and Lugo 1990). [START_REF] Höfer | Structure and function of soil fauna communities in Amazonian anthropogenic and natural ecosystems[END_REF] also showed that in Amazonian ecosystems, soil fauna in forest plantations was similar to the fauna of the nearby primary forest and, despite structural differences (i.e., in species and dominance spectrum), reached comparable level of functional efficiency (i.e., concerning litter decomposition). Old plantations are known for their high understorey plant species richness, including many native tree species [START_REF] Lugo | Comparison of tropical tree plantations with secondary forests of similar age[END_REF]. This high plant diversity may, in turn, enhance soil animal diversity.

Fig. 1 Fig. 2

 12 Fig.1Soil macrofauna abundance (indivuals m -2 ) under five selected plant species in a natural forest and in a planted forest in North Grande-Terre (Guadeloupe)

Fig. 1

 1 Fig. 1

Fig. 2

 2 Fig. 2

Table 1

 1 Soil physicochemical characteristics of a Leptosol (natural forest) and a Vertisol (planted forest) inNorth

	Grande-Terre (Guadeloupe)
		Natural	Planted	p
		forest	forest
	A horizon (upper horizon)
	% Clay	10 (1)	78 (0.1)	<0.001
	% Silt	71 (3)	14 (0.1)	<0.001
	% Sand	19 (4)	8 (0.2)	ns
	A/C or SV horizon (deeper horizon)
	% Clay	49 (3) a	76 (1.3) b	<0.001
	% Silt	28 (3) a	14 (0.1) b	<0.001
	% Sand	23 (5) a	10 (0.8) b	ns
	C 0-10 cm (%)	22 (5)	6 (0.5)	<0.001
	C 10-20 cm (%)	13 (5)	5 (0.6)	<0.001
	C 20-30 cm (%)	11 (2)	2 (0.2)	<0.001
	C 30-40 cm (%)	9 (2)	1.5 (0.1)	<0.001
	N 0-10 cm (%)	2 (0.3)	0.5 (0.04)	<0.001
	N 10-20 cm (%)	1.2 (0.2)	0.4 (0.02)	<0.001
	N 20-30 cm (%)	0.9 (0.2)	0.2 (0.02)	<0.001
	N 30-40 cm (%)	0.8 (0.2)	0.1 (0.01)	<0.001
	Soil moisture (%)	31 (8)	33 (5)	ns
	Standard errors are given in parentheses. df=1
	ns Non significant
	a A/C horizon
	b SV horizon

Table 2

 2 Chemical composition of freshly fallen leaves of five selected tree species, in a natural forest and in a planted forest in North Grande-Terre (Guadeloupe)Values (percent of dry matter) are means of three replicates; standard errors are given in parentheses. For each tree species, means with the same letter are not significantly different based on a LSD test. df=3 ns Nonsignificant; B Bursera simaruba; P Pisonia subcordata; S Swietenia macrophylla; T Tabebuia heterophylla

		Natural forest		Planted forest			p
		B	P	B	S	T
	Total N (%)	1.1 (0.1) b	2.5 (0.1) a	1.01 (0.1) b	1.1 (0.1) b	0.9 (0.1) b	<0.001
	Soluble C (%)	8.3 (0.3)	2.4 (0.5)	8.3 (0.3)	3.0 (0.3)	5.3 (0.3)	ns
	Soluble phenols (%)	10.0 (1.0) ab	6.7 (0.6) bc	10.0 (1.0) ab	12.7 (0.6) a	4.5 (2.3) c	0.01
	Tannins (%)	3.3 (0.7) a	1.8 (0.8) a	3.3 (0.7) a	2.9 (0.6) a	0.3 (0.1) b	0.03
	Cellulose (%)	20.9 (0.4) b	19.2 (0.6) b	20.9 (0.4) b	19.8 (4.1) b	32.1 (2.3) a	0.01
	Lignin (%)	22.8 (9.6) a	29.5 (15.1) a	22.8 (9.6) a	29.1 (10.0) a	12.0 (2.1) b	0.05

Table 3

 3 Means (individuals per m2), standard errors (in parentheses), F ratio, and p values (ANOVA tests) for the responses of soil fauna abundance to site effects in a natural forest and in a planted forest in North Grande-

	Terre (Guadeloupe)
		Natural	Planted	F	p
		forest	forest
	Diplopoda	37 (7)	82 (14)	32.7	<0.001
	Epigeic earthworms	2 (1)	10 (3)	8.4	0.004
	Anecic earthworms	0 (0)	7 (2)	9.8	0.002
	Insect larvae	9 (2)	33 (9)	27.6	<0.001
	Social insects	20 (6)	31 (11)	0.1	ns
	Total soil macrofauna	100 (14)	183 (24)	32.8	<0.001
	Collembola	1.104 (3.103)	2.104 (3.103)	8.5	0.004
	Acari	3.104 (4.103)	2.104 (2.103)	8.8	0.004
	Total soil microarthropods 5.104 (7.103)	6.104 (6.103)	0.4	ns
	df=1
	ns Nonsignificant

Table 4

 4 Means (individuals per m 2 ), standard errors (in parentheses), F ratio, and p values (ANOVA tests) for the responses of soil fauna abundance to plant species nested within sites effect [plant species (sites)], in a natural forest and in a planted forest in North Grande-Terre (Guadeloupe)

		Natural forest		Planted forest			F	p
		B	P	B	S	T
	Diplopoda	16 (3) c	59 (12) b	64 (16) b	67 (10) b	115 (16) a	8.9	<0.001
	Epigeic earthworms	1 (1) b	2 (1) b	5 (2) b	4 (1) b	22 (6) a	8.8	<0.001
	Anecic earthworms	0 (0)	0 (0)	2 (1)	10 (3)	9 (3)	1.7	ns
	Insect larvae	9 (2)	9 (2)	36 (18)	24 (4)	38 (7)	2.1	ns
	Social insects	19 (7)	22 (4)	12 (5)	34 (11)	46 (17)	1.2	ns
	Total soil macrofauna	66 (16) c	132 (26) b	146 (47) b	155 (31) b	248 (51) a	11.8	<0.001
	Collembola	1.104 (3.103) b	9.103 (4.103) c	2.103 (3.102) c	4.104 (7.103) a	1.104 (3.103) b	8.7	<0.001
	Acari	4.104 (7.103) a	3.104 (6.103) a	6.103 (6.102) b	3.104 (4.103) a	2.104 (3.103) a	10.8	<0.001
	Total soil microarthropods	5.104 (1.104) b	4.104 (9.103) b	1.104 (7.102) c	9.104 (1.104) a	5.104 (5.103) b	15.9	<0.001

For each group, means with the same letter are not significantly different based on LSD. df=3 ns Nonsignificant; B Bursera simaruba; P Pisonia subcordata; S Swietenia macrophylla; T Tabebuia heterophylla

Acknowledgments Thanks are due to Professor Jean-Paul Mauriès (Muséum National d'Histoire Naturelle, Paris) for identifying the millipedes at the species level. We thank Serge, Rose, Kenny and Karen Loranger, Patrick Merciris, Alain Dufrénot, Maguy Dulormne, Vanessa Hequet, Rachel Morton, and Emile Timodent for their valuable help in the field and in the laboratory. We thank the -Office National des Forêts‖ (ONF) for free access to the plantation forest (Pouzzole domain). Thanks are also due to Dr. Jean-Pierre Rossi (INRA Bordeaux-Aquitaine) and Dr. Sébastien Barot (IRD Bondy) for their advices on statistical analyses.

Appendix

Soil macrofauna species and morphospecies collected in a natural forest and in a planted forest in North Grande-Terre (Guadeloupe)