Robin G De Vilder

Marcel P Visser
email: m.p.visser@uva.nl.

Proxies for Daily Volatility

Keywords: volatility proxy, realized volatility, continuous time embedding, intraday periodicity

High frequency data are often used to construct proxies for the daily volatility in discrete time volatility models. This paper introduces a calculus for such proxies, making it possible to compare and optimize them. The two distinguishing features of the approach are (1) a simple continuous time extension of discrete time volatility models and (2) an abstract definition of volatility proxy. The theory is applied to eighteen years worth of S&P 500 index data. It is used to construct a proxy that outperforms realized volatility.

Introduction

The volatility process is central to financial asset return modelling. Volatility is unobservable, so one often has to rely on proxies when specifying, estimating and evaluating volatility models.

The most common proxy for the square of volatility is the squared close-to-close return. Realized volatility, which is based on intraday data, is nowadays considered a benchmark proxy. A theoretical motivation for constructing realized volatility is that for a large class of semimartingales quadratic variation is an unbiased estimator of conditional return variance (ex post), see, for example, [START_REF] Barndorff-Nielsen | Estimating quadratic variation using realized variance[END_REF], and Andersen, Bollerslev, Diebold, and Labys (2003a). See also [START_REF] Peters | Testing the Continuous Semimartingale Hypothesis for the S&P 500[END_REF], where realized volatility is used to test the hypothesis of a semimartingale. By using realized volatility to evaluate forecasts, [START_REF] Andersen | Answering the skeptics: Yes, standard volatility models do provide accurate forecasts[END_REF] show that GARCH models perform better than expected. High frequency data create additional opportunities. Indeed, some intraday based proxies have superior forecasting power compared to daily returns, see, for example, [START_REF] Ghysels | Predicting volatility: getting the most out of return data sampled at different frequencies[END_REF], and [START_REF] Engle | A multiple indicators model for volatility using intradaily data[END_REF]. In general, the search for a good proxy has suffered from the absence of a straightforward way of comparing proxies. The goal of this paper is to compare and optimize proxies for daily volatility.

Discrete time models, such as GARCH and stochastic volatility models, often have a product structure

r n = v n Z n , (1)
where r n is the close-to-close return, v n the daily volatility, and the Z n are iid innovations.

We shall provide proxies for the factors v n , based on intraday data, and show that it is possible to rank and to optimize proxies without knowing the scaling factors v n themselves.

The first step is to introduce a continuous time extension of the discrete time model (1). The continuous time model also has a product structure. We assume that for each business day the intraday log return process is a randomly scaled, independent copy of a stochastic process Ψ on the unit interval. The iid innovations (Z n ) in (1) are replaced by independent copies of Ψ. The continuous time model is consistent with both the persistence of volatility captured by discrete time volatility models, and with intraday periodicity. There are several papers on the embedding of discrete time models into stationary continuous time models, see, for instance, [START_REF] Drost | Closing the GARCH gap: Continuous time GARCH modeling[END_REF], [START_REF] Meddahi | Temporal aggregation of volatility models[END_REF], and [START_REF] Ghysels | Stochastic volatility[END_REF]. For other approaches, related to embeddability, see, for example, [START_REF] Nelson | ARCH models as diffusion approximations[END_REF], [START_REF] Nelson | Asymptotic filtering theory for univariate ARCH models[END_REF], and [START_REF] Klüppelberg | A continuous-time GARCH process driven by a Lévy process: Stationarity and second-order behaviour[END_REF].

We proceed by defining a large class of volatility proxies. In formal terms one obtains Figures 1 and2 show some properties of the S&P 500 price process at different time scales.

Our S&P 500 futures data consist of 4575 days starting on 1988-01-04 and ending on 2006-05-31. The S&P 500 futures are traded from 8:30 A.M. to 3:15 P.M. Central Standard Time.

See Appendix A for more details.

Financial price processes typically exhibit periods of small variation and periods of large variation. These are referred to as low and high volatility periods, respectively. Let us, for the moment, use realized volatility as a measure of the price fluctuations over the trading day. Realized volatility is an estimator of actual volatility, where actual volatility is defined as the square root of the daily increment in quadratic variation. 1 We use five-minute returns to define realized quadratic variation (RQV n ). This divides the day into 81 five-minute intervals, and we define daily realized volatility by RV n = √ RQV n . For a particular day n, given the partition above, RQV n is the sum of the 81 squared five-minute returns.

In Figure 1(a) the dots in the top half are the differences of the logs of realized volatility on consecutive days: log(RV n ) -log(RV n-1 ). From this figure one may observe that realized volatility varies substantially from day to day. The standard deviation of the logarithmic difference is 0.29. This roughly means that realized volatility changes by about one third of its size a day. A more stable way of describing the fluctuations is to plot an exponentially weighted moving average (EWMA), given by the recursion EWMA n = β • EWMA n-1 + (1β)log(RV n-1 ) with smoothing parameter β = 0.95; this is the solid line in figure 1(a). It shows that realized volatility may be high for several years, and that the size of fluctuations in periods of high volatility may differ by approximately a factor of four from the size in periods of low volatility.

Figure 1 (b) shows two autocorrelation functions. The upper curve is the autocorrelation of the absolute five-minute returns. The lags vary from five minutes to twenty days. There is a clear periodicity of one day. 2 The lower curve depicts the autocorrelation of five-minute absolute returns standardized by the realized volatility RV n of the day. This removes the persistence in the daily realized volatility. Figure 1(c) shows that the hour of the day matters. For each five-minute interval the figure displays the average proportion of daily realized quadratic variation attributable to this interval, resulting in a standardized variation curve. For each interval, this average is taken over 4575 days. There is a distinct U-shape: on average a relatively large proportion of quadratic variation is realized in the period after opening and towards the end of the day. The peak at 9:00 A.M. might be explained by the regularly scheduled releases of important macroeconomic figures, such as Consumer Confidence, Chicago Purchasing Manager, and Leading Indicators. Intraday periodicities and volatility patterns have been widely reported, across markets and across time. For references, see [START_REF] Mcmillan | Intra-day periodicity, temporal aggregation and time-to-maturity in FTSE-100 index futures volatility[END_REF]; for information about scheduled news release times, see [START_REF] Andersen | Micro effects of macro announcements: Real-time price discovery in Foreign Exchange[END_REF].

Although these patterns exist on average, the shape of a particular day generally differs considerably from this average and may take many forms. Figure 1(d) depicts the per-day departure from the U-shape in Figure 1(c) for the nine consecutive days in the middle of our sample. The bold line shows the average intraday increase in the cumulative proportion of daily realized quadratic variation (RQV) for the full data set; at the start of the day it is zero, and at the end of the day it is one. It is the integral of Figure 1(c). We observe a smooth S-shaped curve, which is steep in the morning and towards the end of the day. The numbered curves represent the RQV proportion processes for the nine consecutive days mentioned above. Individual shapes over the day vary substantially: on the fifth day 70% of the day's variation occurs after 2:00 P.M., while on the eighth day 50% of the day's variation has already occurred just after 10:00 A.M. Figure 2 displays the intraday return processes for these nine days, for visual reference. It shows the daily return processes, with respect to the previous day's close: each day the process starts around zero with the overnight return, and at the end of the day one may read off the close-to-close return. The relatively large afternoon volatility on day number 5 in Figure 1 upper dashed line connects the per-interval 0.975 sample quantiles of the RQV -proportion process for all 81 intervals. The lower dashed line connects the 0.025 quantiles. The sample of the nine RQV -proportion processes is not atypical.

Summarizing, daily realized volatility may be high over periods of years, but varies substantially from day to day. The autocorrelations indicate the presence of a day structure. The average intraday volatility pattern shows a clear U-shape. For individual days the shape may differ substantially from the U-shape.

We shall now introduce a model for the log return process that allows for these characteristics. Let us first look at the discrete time models.

End-of-Day Models

Let (R t ), t ∈ R, be the logarithmic cumulative return process of a financial price process.

The time interval [n -1, n) describes the process during the n-th business day. Note that R n represents the opening value on day n + 1. We consider discrete time models that describe the close-to-close returns, given by

r n = R C n -R C n-1 for n ∈ Z.
Here R C n is the closing value of day n, with the convention R C 0 ≡ 0. We adopt the standard assumption that sample paths are right continuous and have left limits (cadlag). We introduce a discrete time filtration (F C n ). The σ-field F C n represents the observable information at the close of day n, including intraday information: we assume that R t is F C n -measurable for t < n. Information F C n may also contain, for example, past news events. The minimal choice for F C n is the sigma-field σ(R t , t < n).

The discrete time models have the form

r n = v n Z n , (1)
with (v n ) a sequence of strictly positive random variables, and (Z n ) a mean zero, variance one, iid sequence. Moreover, it is assumed that Z n is independent of v n . More specifically, Z n+1 is independent of the model information, G C n = {F C n , (v i ) i≤n+1 }, for all n. Note that the model information G C n extends the observable information F C n with information from the process (v k ) up to day k = n + 1. By construction, the innovation Z n is G C n -measurable. The process (v n ) is referred to as the volatility process and is used to describe the dependence structure in the returns (r n ). Distinctive asset price features may be captured in models of this form: uncorrelated returns, heavy tails, volatility persistence. In this paper we will not impose model assumptions on the process (v n ).

Continuous Time Embedding

Let time advance only during trading hours and normalize the length of the interval of intraday trading to one. This means, that time is a real valued index, expressed in terms of business days. The business day is a natural unit of time in financial applications. We assume a product structure as in (1), with the random variable Z n replaced by a stochastic process Ψ n on the unit time interval: for each day the return process over that day is a random standard day process multiplied by a random scaling factor. Let Ψ be a cadlag process on the closed interval [0, 1], left continuous in 1. The standard day processes (Ψ n ) are independent copies of the process Ψ. The scaling factors are strictly positive random variables s n . The day n return process is given by s n Ψ n . Define the discrete time model filtration (G C n ) as above, by

G C n = σ{F C n , (s i ) i≤n+1 }. As above, s n+1 is adapted to G C n . The information set G C
n contains all the information needed to start generating a sample path for the return process on day n + 1. Observable information F C n ⊂ G C n is extended with scaling factors s n , which ensures that Ψ n is G C n -measurable. For each day n, the process Ψ n is assumed independent of the scaling factor s n .

The continuous time process (R t ) is built up from the previous day's close

R C n-1 . Recall the convention, R C 0 ≡ 0. Model. Consider the n-th day, [n -1, n). Let ϑ ∈ [0, 1) denote the time of day. Set t = n -1 + ϑ. The cumulative return process (R t ) satisfies R n-1+ϑ = R C n-1 + s n Ψ n (ϑ), 0 ≤ ϑ < 1. ( 2
)
The standard day process Ψ n+1 is independent of G C n , and the processes (Ψ n ) are identically distributed.

Remark 1. The overnight return, from day n -1 to day n, is given by R

n-1 -R C n-1 = R n-1 -R n-1-0 = s n Ψ n (0).
Definition 2.1. A process that satisfies the conditions of model ( 2) is said to satisfy the scaling hypothesis.

Proposition 2.2. Suppose (R t ) satisfies the scaling hypothesis. Moreover assume EΨ(1) = 0 and var(Ψ(1)) = 1. Then the close-to-close returns (r n ) = (s n Ψ n (1)) satisfy the discrete time model ( 1), with v n = s n and Z n = Ψ n (1).

Proof. The sequence (Z n ) = (Ψ n (1)) is iid, with mean and variance one. The innovation

Z n+1 is independent of G C n , since Ψ n+1 is independent of G C n , by definition. Q.E.D.
If Ψ(1) is not standardized, then the discrete time returns satisfy r n = av n + v n Z n . This means that the continuous time model ( 2) also embeds a simple version of the ARCH-M model introduced by [START_REF] Engle | Estimating time varying risk premia in the term structure: The ARCH-M model[END_REF].

The following example shows that one may use Brownian motion to interpolate.

Example 2.3.1. Let (v n ) n≥1 be a sequence of scaling factors from a discrete time model of the form (1) and let the innovations be standard Gaussian. Take s n = v n and set R 0 = 0. Let Ψ be Brownian motion on [0, 1]. The process (R t ), t ∈ R, constructed according to the recursion (2) satisfies the scaling hypothesis. For Z n = Ψ n (1), the discrete time returns r n = s n Ψ n (1) = v n Z n satisfy the discrete time model (1). One may use the same construction for a sequence (v n ) n∈Z .

Proposition 2.3. For any discrete time model of close-to-close returns (r n ) of the form (1) there exists a continuous time extension (R t ) that satisfies the scaling hypothesis.

Proof. Consider a discrete time model r

n = v n Z n of the form (1). Define Ψ n (ϑ) = ϑZ n . Q.E.D.
Remark 2. There are more realistic possibilities for Ψ n than the one in the proof of proposition 2.3. For example, one may use the Brownian bridge to interpolate. Let β be a Brownian bridge on

[0, 1]. Then β(0) = β(1) = 0. Define Ψ n (ϑ) = ϑZ n + β n (ϑ)
, where the β n are Brownian bridges, and

β n+1 is independent of G C n , for all n.
Corollary 2.4. Assume the sequence (v n , Z n ) for the discrete time model ( 1) is stationary.

Then the process (s n , Ψ n ) associated with the extension (R t ) in the proof of Proposition 2.3 is stationary.

Proof. Since (s n , Z n ) is a stationary sequence, and

Ψ n = ϑZ n , the sequence (s n , Ψ n ) is stationary. Q.E.D.
Remark 3. In general, even if the process (s n , Ψ n ) is stationary, the process (R t ) will not be stationary.

Remark 4. Corollary 2.4 also applies to the process

(s n , Ψ n ) of Remark 2, since (s n , Z n , β n ) is stationary.
The scaling hypothesis yields a continuous time process with certain properties. The scaling factors s n reflect the characteristics of the embedded discrete time model. The scaling factor s n on day n may be thought of as the state of the market. This state may change from day to day. It is the only source of dependence between increments of (R t ) on different days. A change in the state may be driven by the return process over the past days. It may also include an external source. A realization of the standard day process Ψ determines the type, or shape of the intraday return process, such as up or down days. The process Ψ captures the intraday properties of the process (R t ). There are no restrictions on the day process Ψ. There may for example be deterministic or random diurnal effects, jumps, autocorrelation in intraday returns, stochastic spot volatility, leverage effects.

Let us now turn to the issue of identification. Processes that satisfy the scaling hypothesis do not have a unique representation.

Example 2.3.2. Consider a representation (s n , Ψ n ) for (R t ) that satisfies the scaling hy- pothesis. Set s ′ n = s n /2 and Ψ ′ n = 2Ψ n . Then (R ′ t ) ≡ (R t ).
Identification of s n and Ψ n is not necessary for the study of proxies, as we will see later.

Proxies

In statistics the term proxy is used for a variable that is not of prime interest itself, but is closely connected to an object of interest. It is related to the concept of estimator, but proxies tend to replace unobservable variables of interest, whereas an estimator is a recipe to estimate a parameter. A good estimator of a parameter will have small mean squared error.

A good proxy to a variable will have large correlation with that variable.

Definitions and Basic Results

Recall that D[0, 1] is the Skorohod space of cadlag functions on [0, 1]. We assume that the elements of D[0, 1] are left continuous in 1. Endow D[0, 1] with the Skorohod topology. The space D[0, 1] is a separable, complete metric space (see [START_REF] Billingsley | Convergence of Probability Measures[END_REF]). The space C[0, 1] of continuous functions on the unit interval is a linear subspace of D[0, 1].

From now on we assume the scaling hypothesis for the process (R t ). Recall that Ψ n denotes the standard day process, s n the scaling factor, and ϑ the time of day. Our proxies are homogeneous volatility proxies. A proxy is a random variable, serving as a proxy for the scaling factor. It is the result of applying a certain estimator, the proxy functional, to the day n return process, s n Ψ n .

Recall that a functional H : D → [0, ∞), acting on a linear space D, is positively homogeneous if

H(αf ) = αH(f ), α ∈ [0, ∞), f ∈ D.
Our proxy functionals are proxy functionals for Ψ.

Π n = H(s n Ψ n )
is a proxy.

Remark 5. For a realization ψ n of Ψ, with ψ n / ∈ D, one may define Π n = 0. A proxy functional is not linear: H(Ψ) + H(-Ψ) > 0 a.s., but H(Ψ -Ψ) = H(0) = 0. A proxy functional need not be symmetric: H(Ψ) need not equal H(-Ψ).

Proxies are linear in the scaling factor s n . By definition

Π n = H(s n Ψ n ). Homogeneity of H implies Π n = s n V n , (3)
where

(V n ) = (H(Ψ n )
) is a sequence of strictly positive iid innovations. Moreover, s n and V n are independent since s n and Ψ n are independent. Thus the proxy gives information about the scaling factor. Note that (3) has the same structure as the discrete time asset return model (1). Because of positivity one may take logarithms,

log(Π n ) = log(s n ) + log(V n ).
This decomposition as a sum of independent random variables underlies many of the results below.

Example 3.1.1. Here are some examples of proxies: absolute daily return; absolute overnight return; high minus low; realized volatility for any grid; maximal absolute two-minute return; actual volatility, defined by the square root of the daily increment in quadratic variation. If Ψ(1) has a density, then the almost sure positivity of H(Ψ) is ensured.

The proxies that we consider suffer from a serious limitation: any construction that uses information from outside of the interval [n, n -1) to estimate s n is not a proxy. For example, the volatility forecast of a daily GARCH model is not a proxy. The restriction to positively homogeneous volatility proxies makes it possible to compare and optimize proxies, without imposing model assumptions on the scaling sequence (s n ). Moreover, a good proxy for s n will be a good proxy under all models for s n .

There are various recipes for creating additional proxy functionals.

Proposition 3.2. Let H (i) , i = 1, . . . , d, be proxy functionals. Let G : [0, ∞) d → [0, ∞) be a measurable, positively homogeneous function. Moreover, let G(x) > 0 if x = 0. Then the functional H : f → G(H (1) (f ), . . . , H (d) (f )) for f ∈ D, is a proxy functional.
Proof. Since G vanishes only at the origin, and every 1) and H (2) be proxy functionals. The functionals f → H(f ) below define more proxy functionals.

H (i) (Ψ) > 0 a.s. we have H(Ψ) > 0 a.s. Homogeneity holds, since H(αf ) = G(H (1) (αf ), . . . , H (d) (αf )) = G(αH (1) (f ), . . . , αH (d) (f )) = αH(f ). Q.E.D. Example 3.1.2. Let H (
1. H(f ) ≡ aH (1) (f ), for a > 0.

H(f

) ≡ w 1 H (1) (f ) + w 2 H (2) (f ), for w 1 , w 2 ∈ (0, ∞). 3. H(f ) ≡ (H (1) (f )) w 1 (H (2) (f )) w 2 , for w 1 , w 2 ∈ R, w 1 + w 2 = 1. 4. H(f ) ≡ max{H (1) (f ), H (2) (f )} and H(f ) ≡ min{H (1) (f ), H (2) (f )}.
Let us now define the nuisance proxy.

Definition 3.3. The nuisance proxy V n for a proxy functional H is

V n = H(Ψ n ).
If var log(H(Ψ)) exists then nuisance variation is λ 2 = var log(H(Ψ)) , else λ 2 ≡ ∞.

Remark 6. So far we have suppressed the proxy functional H in the notation for Π n , V n , λ.

Whenever we need to distinguish between proxy functionals, this will be expressed in the notation.

The nuisance proxy is unobservable. If one thinks of Π n as a measurement of s n , then the nuisance proxy V n is the multiplicative measurement error, see (3). We use the nuisance proxy for comparing proxies and defining optimality.

Definition 3.4. Let H (1) and H (2) be two proxy functionals. Define (λ 2) . A proxy functional H is optimal if it has finite nuisance variation and is better than all other proxy functionals.

(i) ) 2 = var log(H (i) (Ψ)) , i = 1, 2. Then H (1) is better than H (2) if λ (1) ≤ λ (
Remark 7. Let H be a proxy functional and a > 0. Then G(f ) ≡ aH(f ) is an equally good proxy functional. This follows from the equalities var(log(aH(Ψ))) = var(log(a)) + var(log(H(Ψ))) = var(log(H(Ψ))).

Proposition 3.5 below underpins the use of the word proxies in the terminology: it shows that a good proxy has large correlation with the scaling factor s n .

Proposition 3.5.

If 0 < var(log(s n )) < ∞ then corr(log(Π n ), log(s n )) = 1 + λ 2 var(log(s n )) -1/2 (4) Moreover, assume λ (1) ≤ λ (2) < ∞. Then (4) implies corr(log(Π (1) n ), log(s n )) ≥ corr(log(Π (2) n ), log(s n )).
If λ 2 = 0 then corr(log(Π n ), log(s n )) = 1.

Proof. Recall that var(log

(V n )) = λ 2 . Since log(Π n ) = log(s n ) + log(V n ) we have, corr(log(Π n ), log(s n )) = cov(log(s n ), log(s n ))/ var(log(s n )) + var(log(V n )) var(log(s n )) = 1 + λ 2 var(log(s n )) -1/2
This correlation equals 1 if λ 2 = 0.

Q.E.D.

Good proxies may suffer from a bias: if EH(Ψ) = 1 then EΠ n = Es n . The proxy is biased by a constant scaling factor EH(Ψ). One may rescale the proxy to obtain an unbiased version. The rescaled proxy is as good as the original one, see Remark 7.

The task of finding a good proxy amounts to finding a proxy functional H such that H(Ψ)

has small stochastic variation or, ideally, is a constant. The product structure Π n = s n V n of equation ( 3) and the definition of λ ensure that proxies with zero nuisance variation have perfect correlation with s n . Perfect proxies do exist, in special cases. For example, take Ψ the standard Brownian motion. The quadratic variation of Ψ then equals one, so actual volatility

AV n has zero nuisance variation. If a proxy has zero nuisance variation, then one knows the value s n , without knowing the model for the sequence (s n ). However, actual volatility is not always the best proxy for s n .

Example 3.1.3. Consider a standard day process Ψ that is highly fluctuating after opening and has moderate fluctuation for the rest of the day. More specifically, let B denote standard Brownian motion for the interval [0,1] and suppose σ is a positive, discrete random variable, independent of B that takes the values σ 1 and σ 2 with probability 1/2, where σ 1 < 1, σ 2 < 1, σ 1 = σ 2 . Let ϑ 0 ∈ (0, 1). Define the process

Ψ(ϑ) = B(ϑ) 1 ϑ≤ϑ 0 + B(ϑ 0 ) 1 ϑ>ϑ 0 + σ B(ϑ) -B(ϑ 0 ) 1 ϑ>ϑ 0 , 0 ≤ ϑ ≤ 1.
The truncated actual volatility constructed for the interval [0, ϑ 0 ] is a constant, and as such has zero nuisance variation. Actual volatility over the interval [0, 1] is not a constant.

We emphasize that estimating the scaling factor s n is a different exercise from estimating actual volatility AV n . Actual volatility is a measure for the price fluctuations that actually occurred during the whole trading day. As an estimator of the volatility factor s n , actual volatility is merely one out of many possible candidates.

Even when actual volatility is an optimal proxy for the scaling factor, and one is restricted to a finite time grid, it is sometimes possible to improve upon realized volatility.

Example 3.1.4. Assume Ψ is standard Brownian motion on [0, 1]. The quadratic variation over [0, 1] is 1. Realized quadratic variation sums the squared intraday returns

(∆R i ) 2 = (B(ϑ i )-B(ϑ i-1 )) 2 .
Realized quadratic variation of Ψ has expectation 1 and vanishing variance when the mesh of the grid vanishes. Hence it converges in probability to 1.

Consider the sum of squared per-interval high-lows. Replace the sum of squared returns

(∆R i ) 2 = (ϑ i -ϑ i-1 )(∆R i ) 2 /E(∆R i ) 2
, by the sum of squared, standardized high-lows

(ϑ i -ϑ i-1 )hl 2 i /Ehl 2 i .
The new sum has expectation 1 and vanishing variance. It is well known that for standard Brownian motion on the unit time interval the estimator hl 2 /Ehl 2 has approximately 5 times smaller variance than B(1) 2 , see, for example, [START_REF] Parkinson | The extreme value method for estimating the variance of the rate of return[END_REF].

Hence, the use of high-lows results in a higher rate of convergence to the quadratic variation.

Let us return to the issue of identification, which has been addressed by Example 2.3.2. Proposition 3.6 shows that different representations (s n , Ψ n ) for the scaling hypothesis result in the same ordering for proxy functionals.

Proposition 3.6. Suppose H (1) and H (2) are proxy functionals. Moreover, assume (s n , Ψ n ) and (s ′ n , Ψ ′ n ) both satisfy the scaling hypothesis for (R t ). If H (1) is better than H (2) for Ψ, then H (1) is also better than H (2) for Ψ ′ .

Proof. By assumption s

′ n Ψ ′ n = s n Ψ n . Independence of s n and Ψ n implies var(log(s ′ n )) + var(log(H (1) (Ψ ′ n ))) = var(log(s n )) + var(log(H (1) (Ψ n ))) ≤ var(log(s n )) + var(log(H (2) (Ψ n ))) = var(log(s ′ n )) + var(log(H (2) (Ψ ′ n ))).
Hence var(log(

H (1) (Ψ ′ n ))) ≤ var(log(H (2) (Ψ ′ n ))). Q.E.D.

Optimal Proxies

Theorem 3.7. If there exists a proxy functional with finite nuisance variation, then there exists an optimal proxy functional.

Proof. We need to show that there exists a measurable, positively homogeneous functional ), with H * (Ψ) > 0 a.s., and var(log(H * (Ψ))) ≤ var(log(H(Ψ))) for all proxy functionals H.

H * : D → [0, ∞
For a proxy functional H, write U = log(H). Define λ 2 H = var(log(H(Ψ))). Let U denote the space of all log proxy functionals with λ 2 H < ∞. The space U is not empty, by assumption. If EU(Ψ) = a = 0, then H ′ = e -a H is an equally good proxy functional for which Elog(H ′ (Ψ)) = 0. Therefore we may restrict attention to the subspace U 0 of U of centered functionals. The space U 0 is affine: if U 1 , U 2 ∈ U 0 , and w ∈ R, then

wU 1 + (1 -w)U 2 ∈ U 0 , since (H (1) ) w (H (2) ) (1-w) is a proxy functional, see Example 3.1.2. Define λ 2 inf = inf H:log(H)∈U 0 {λ 2 H }.
Consider the space L 2 (D, B), of equivalence classes [U] of log proxy functionals U, with inner product < [U (1) ], [U (2) ] >= E U (1) (Ψ)U (2) (Ψ) . Here, B denotes the Borel sigma-field for D. Notice that U 0 is a subset of L 2 and that λ coincides

with the L 2 -norm ||.|| on U 0 . Let U 1 , U 2 , . . . ∈ U 0 be a sequence for which ||U i || → λ inf . Then [U 1 ], [U 2 ], . . . is a Cauchy sequence in L 2 : apply the parallellogram law to obtain 0 ≤ ||U m -U n || 2 ≤ -4|| U m + U n 2 || 2 + 2||U m || 2 + 2||U n || 2 . Since U 0 is affine, (U m + U n )/2 ∈ U 0 , hence || Um+Un 2 || 2 ≥ λ 2 inf . Therefore ||U m -U n || 2 ≤ -4λ 2 inf + 2λ 2 m + 2λ 2 n → 0 for m, n → ∞.
By completeness of L 2 the sequence [U 1 ], [U 2 ], . . . converges to an element [U 0 ] in L 2 and by continuity of the norm λ 2 0 = λ 2 inf . Pick a functional U 0 ∈ U 0 from [U 0 ]. Let us use U 0 to construct a functional H * that satisfies the above conditions. For every L 2 convergent sequence there exists a subsequence that converges almost surely. Let

U i k = log(H (i k ) (f )) → U 0 (f ) on a set C almost everywhere in D. Define on the convergence set C: H * (f ) = lim H (i k ) (f ). For {αf : f ∈ C, αf / ∈ C, α ∈ [0, ∞)}, define H * (αf ) = αH * (f ). For remaining f ∈ D define H * (f ) ≡ 0. The functional H * assigns a single value to each f ∈ D : consider f 1 , f 2 ∈ C, α 1 , α 2 > 0, and f = α 1 f 1 = α 2 f 2 . Then H * (α 1 f 1 ) ≡ α 1 H * (f 1 ) = α 1 H * (α 2 /α 1 f 2 )
By homogeneity of H * on C this equals α 2 H * (f 2 ) ≡ H * (α 2 f 2 ). Being the result of a limit, the functional H * is measurable. Positive homogeneity follows by construction. Moreover,

H * (Ψ) > 0 almost surely, since U 0 (Ψ) a.s. = log(H * (Ψ)) and var(U 0 (Ψ)) = λ 2 0 < ∞. Finally, var(log(H * (Ψ))) = λ 2 inf ≤ λ 2 H for all H. Q.E.D.
Remark 8. All proxy functionals of the form aH * , a > 0, are optimal, see Remark 7. Any optimal proxy functional H satisfies H(Ψ) a.s.

= aH * (Ψ) for certain a > 0, see Proposition 3.9.

Lemma 3.8. If H * is an optimal proxy functional, and H is a proxy functional, then cov log(H * (Ψ)), log(H(Ψ)) = (λ * ) 2 .

Proof. Consider the proxy functional

H(f ) ≡ H * (f ) w H(f ) 1-w , with nuisance variation λ 2 w = w 2 (λ * ) 2 + 2w(1 -w) cov log(H * (Ψ)), log(H(Ψ)) + (1 -w) 2 λ 2 . Since H * is optimal, ∂λ 2 w /∂w | w=1 = 0. Hence cov log(H * (Ψ)), log(H(Ψ)) = (λ * ) 2 . Q.E.D.
Proposition 3.9. Suppose H (1) and H (2) are two optimal proxy functionals. Then there exists a constant a > 0, such that H (1) (Ψ) a.s.

= aH (2) (Ψ).

Proof. Both proxy functionals have nuisance variation (λ

= H

(2) 0 (Ψ). In other words, if and only if H (1) (Ψ) a.s.

= aH (2) (Ψ), for certain a > 0.

Q.E.D.

Empirically Ranking Proxies

Theorem 3.7 guarantees that optimal proxies for the scaling factor exist, it is however of no help in empirical applications. In empirical applications there is the problem that the process Ψ is of unknown form. As a first practical step, this section provides two propositions that are useful for comparing proxies in an applied setting.

Let H (1) and H (2) be two proxy functionals. The nuisance variations (λ (i) ) 2 are used to compare these proxy functionals. This procedure is infeasible in an empirical situation, since the standard day processes (Ψ n ) are not observed. However, by the multiplicative structure of equation ( 3) and independence of s n and Ψ n , var(log(Π n )) = var(log(s n )) + λ 2 .

(5)

Hence it suffices to compare the variances of the log proxies.

Proposition 3.10. Let H (1) and H (2) be two proxy functionals. Assume var(log(H (1) (Ψ))) < ∞ and var(log(H (2) (Ψ))) < ∞. Assume (s n , Ψ n ) satisfies the scaling hypothesis. Moreover, assume var(log(s n )) < ∞. Then

var(log(Π (1) n )) -var(log(Π (2) n )) = (λ (1) ) 2 -(λ (2) ) 2 . ( 6
)
Proof. The common term var(log(s n )) drops out by equation ( 5).

Q.E.D.

Remark 9. Although the variance of the log proxy of equation ( 5) is useful for comparing proxies, it cannot be used as an absolute measure for the quality of a proxy, due to the unknown term var(log(s n )).

Remark 10. In empirical applications one uses estimates of the variances. In order to reduce estimation error, we shall use the technique of prescaling, see Section 3.5.

The practical conclusion that follows from the following proposition is that good proxies have large autocorrelations: one may compare proxies by inspecting the autocorrelation function of their logarithms. It confirms the following intuition. Proxies are noisy measurements of the scaling factors (s n ). The less noisy a proxy, the more of the structure of (s n ) is visible in the autocorrelation of the proxy sequence. Condition (7) in the proposition below stipulates that the autocorrelation for distant scaling factors dominates the impact of distant innovations. Let ρ • (j) denote j-th order autocorrelation. Let (a j ) ∼ (b j ) denote asymptotic equivalence: a j /b j → 1 for j → ∞.

Proposition 3.11. Assume the conditions of Proposition 3.10 hold. Assume ρ log(sn) (j) = 0 for all j > 0. Moreover, assume

V (i) n = H (i) (Ψ n ), i = 1, 2, satisfies corr(log(V (i) n-j ), log(s n ))/corr(log(s n-j ), log(s n )) → 0 j → ∞, (7)
and var(log(s n )) > ǫ for all n, for certain ǫ. Then the following asymptotic equivalence holds for all n,

ρ log(Π (1) n ) (j) ρ log(Π (2) n ) (j) ∼ var(log(s n-j )) + (λ (2) ) 2 var(log(s n )) + (λ (2) ) 2 var(log(s n-j )) + (λ (1) ) 2 var(log(s n )) + (λ (1) ) 2 , j → ∞. (8)
Proof. Form the left hand side fraction in ( 8) and decompose to obtain:

var(log(s n-j )) + (λ (2) ) 2 var(log(s n )) + (λ (2) ) 2 var(log(s n-j )) + (λ (1) ) 2 var(log(s n )) + (λ (1) ) 2 • cov(log(s n-j ) + log(V (1) n-j ), log(s n )) cov(log(s n-j ) + log(V (2) n-j ), log(s n ))
.

The term to the right of the multiplication dot is equivalent to

ρ log(sn) (j) + corr(log(V (1) n-j ), log(s n )) • λ (1) / var(log(s n-j )) ρ log(sn) (j) + corr(log(V (2) n-j ), log(s n )) • λ (2) / var(log(s n-j ))
, which is asymptotically equivalent to 1: divide the numerator and the denominator by ρ log(sn) (j), take the limit j → ∞ and apply (7).

Q.E.D.

Remark 11. If the process (s n ) is stationary, then the relation in ( 8) simplifies to

ρ log(Π (1) n ) (j) ρ log(Π (2) n ) (j) ∼ var(log(s 0 )) + (λ (2) ) 2 var(log(s 0 )) + (λ (1) ) 2 , j → ∞.

Improving Proxies

Let H (1) , . . . , H (d) be given proxy functionals. In this section we study all proxy functionals of the form f → H (w) (f ) = d i=1 (H (i) (f )) w i , w 1 + . . . + w d = 1, and w i ∈ R for all i. Here, the column vector w is the d-dimensional weight vector. Such a functional is a geometric proxy functional, based on H (1) , . . . , H (d) . The restriction w i = 1 is needed to obtain a proxy functional, but the weights are not restricted to the interval [0, 1]. For this situation there exists an optimal geometric proxy functional that is simple to compute. Let Λ denote the covariance matrix of the logarithm of the nuisance proxies and let λ 2 w be the variance of the logarithm of the geometric proxy nuisance variation. Let ι be a d-dimensional column vector of ones. We then have λ 2 w = w ′ Λw and, similarly to the minimal variance portfolio in Markowitz portfolio theory, λ 2 w is optimal for

w * = Λ -1 ι ι ′ Λ -1 ι , with λ 2 w * = 1 ι ′ Λ -1 ι .
This solution is infeasible: it is impossible to estimate the variance matrix Λ, since the nuisance proxies V (j) n = H (j) (Ψ n ) are not observed. Theorem 3.12 shows that it suffices to know the covariance structure Λ p,n of the logarithm of the proxies at day n to obtain the optimal weights. We have

Λ p,n = var(log(s n )) ιι ′ + Λ. (9)
The covariance matrix Λ p,n equals the covariance matrix Λ with a common noise term var(log(s n )) added to each element. The covariance matrix Λ p,n may be estimated.

Theorem 3.12. Let (s n , Ψ n ) satisfy the scaling hypothesis. Assume var(log(H (i) (Ψ))) < ∞ for i = 1, . . . , d. Let Λ p,n be the covariance matrix of the log of the day n proxies, and let Λ denote the covariance matrix of the log nuisance proxies. The optimal weight vector w that minimizes λ 2 w = w ′ Λw does not depend on the form of the process (s n ) and equals

w * = Λ -1 p,n ι ι ′ Λ -1 p,n ι . Let λ 2 w * = 1 ι ′ Λ -1 ι .
The variance of the logarithm of the optimal geometric proxy is

var(log(Π (w * ) n )) = var(log(s n )) + λ 2 w * .
Proof. The optimal weight w * does not depend on (s n ): it follows from equation ( 9) that arg min w w ′ Λ p,n w = arg min w var(log

(s n )) + w ′ Λw. (10)
Define the Lagrangian w ′ Λ p,n w + µ (1 -w ′ ι). Differentiating the Lagrangian with respect to w yields 2Λ p,n w -µι = 0, hence w = 1/2 Λ -1 p,n µι. By ι ′ w = 1, this yields µ = 2/ι ′ Λ -1 p,n ι and w = Λ -1 p,n ι/ι ′ Λ -1 p,n ι. Since w ′ Λ p,n w is convex in w and we have a unique solution to the first order condition, we have found the optimum.

Using (10) we obtain the equalities

w * = Λ -1 p,n ι/ι ′ Λ -1 p,n ι = Λ -1 ι/ι ′ Λ -1 ι, which imply var(log(Π (w * ) n )) = var(log(s n )) + λ 2 w * . Q.E.D.
Remark 12. In practice it may be useful to apply prescaling, see Section 3.5 below.

Example 3.4.1. Consider the two dimensional case,

d = 2. Let Λ = (λ i,j ) denote the 2 × 2 covariance matrix cov log(H (1) (Ψ)), log(H (2) (Ψ)) , with λ i,i = (λ (i) ) 2 .
Then,

w * = w * 1 w * 2 = 1 λ 1,1 + λ 2,2 -2λ 1,2 λ 2,2 -λ 1,2 λ 1,1 -λ 1,2 .
This illustrates that an optimal weight may turn negative or larger than 1

: if λ 1,1 < λ 1,2 then w * 2 < 0. This occurs if ρ log H (1) (Ψ),log H (2) (Ψ) > λ 1,1 /λ 2,2
, that is if correlations are positive and large. If, as in Equation ( 9), there is an additional noise term var(log(s n )), then

Λ p,n = var(log(s n )) 1 1 1 1 + λ 1,1 λ 1,2 λ 1,2 λ 2,2 .
This leads to the same w * .

Prescaling

The method of comparing proxies in Proposition 3.10 and the method of improving proxies in Theorem 3.12 are formulated in terms of population variances and covariances. In practical situations, one has to work with the sample counterparts of these quantities, which introduces sampling error. To reduce the sampling error caused by the scaling factors (s n ), we propose the technique of prescaling. The idea is to stabilize the sequence (s n ), by scaling it by a predictable sequence of random variables (p n ).

Definition 3.13. A prescaling sequence (p n ) is an (F C n-1 ) adapted sequence of strictly positive random variables.

The prescaling factors p n will be used to define adjusted scaling factors sn = s n /p n . Proposition 3.14. Assume the process (s n , Ψ n ) satisfies the scaling hypothesis. Prescale the scaling factors (s n ) to obtain the sequence (s n ). The corresponding continuous time process ( Rt ) constructed from (s n , Ψ n ) according to the relation (2) of the continuous time model, satisfies the scaling hypothesis.

Proof. The variables (s n ) are positive. Both p n+1 and s n+1 are G C n -measurable, hence so is sn+1 . Therefore ( Rt ) satisfies the scaling hypothesis.

Q.E.D.

As a result we may define proxies for sn . These are prescaled proxies:

Πn = Π n /p n .
This means that one may replace s n by sn and Π n by Πn in Proposition 3.10 and Theorem 3.12. As a consequence, the population value of the noise term var(log(s n )) of equation ( 9) changes into var(log(s n )) = var(log(s n /p n )).

A good predictor p n of s n may result in a small term var(log(s n )).

Let us say a few words on the role of stationarity. Proposition 3.10 for comparing proxies and Theorem 3.12 for optimizing proxies do not assume stationarity of the process (s n , Ψ n ). This is reflected by the covariance matrix Λ p,n in Theorem 3.12 depending on n. Suppose the process (s n , Ψ n ) is stationary. Then the covariance matrix Λ p is consistently estimated by the sample covariance matrix of the log of the proxies, thereby providing weights ŵ that are consistent for w * . Preliminary results indicate that it is possible to show that ŵ is a consistent estimator for the optimal weight w * , without assuming stationarity for the scaling factors (s n ).

An Empirical Application

This section applies the theory of Sections 2 and 3 to the S&P 500 futures tick data. Appendix A describes the data.

Microstructure Noise Barrier

It is well known that on small time scales financial prices are subject to market microstructure effects, such as the bid-ask bounce, price discreteness, and asynchronous trading, see, for instance, [START_REF] Zhang | A tale of two time scales: Determining integrated volatility with noisy high-frequency data[END_REF], [START_REF] Oomen | Properties of realized variance under alternative sampling schemes[END_REF], and [START_REF] Hansen | Realized variance and market microstructure noise[END_REF]. A commonly used way of avoiding such microstructure effects is to sample at sufficiently wide intervals.

In this paper the measure of comparison is the variance of the logarithm. The proxies RV and RV HL (see Table 1) depend on the sampling interval ∆ϑ. Figure 3 shows the graph of ∆ϑ → var(log(Π ∆ϑ n )), for ∆ϑ ranging from zero to sixty minutes. These curves suggest that a qualitative change of behaviour occurs for ∆ϑ ≈ five minutes for realized volatility, and ∆ϑ ≈ eight minutes for realized high-low. From now on realized volatility is based on five-minute sampling intervals or larger. For realized high-low our minimal sampling interval will be ten minutes.

Ranking Proxies

Table 1 compares twelve simple proxies constructed from the data. We emphasize that these proxies are a set of twelve out of many possible proxies. They are of no special importance themselves.

For each proxy a measure of comparison is given for five samples: first the full sample (days 2 to 4575) and then for four subsamples spanning the full sample (2:1144, 1145:2287, 2288:3431, 3432:4575). The first observation cannot be prescaled and is left out of the variance computations. The measure of comparison is P V (prescaled variance), which is the variance of the logarithm of a proxy after prescaling, P V = var(log( Πn )); see Sections 3.3 and 3.5. Smaller variances correspond to better proxies. For the prescaling sequence (p n ) we take an exponentially weighted moving average filter of five-minute realized volatility with smoothing parameter β = 0.7, yielding a prescaling sequence p n = 0.7 p n-1 + 0.3 RV 5 n-1 . We set the smoothing parameter so that the sample variance of the logarithm of prescaled five-minute realized volatility is minimal. Recall that the prescaled variance equals nuisance variation plus the unknown constant var(log(s n )). The prescaled variance is useful for ranking proxies, but it is not an absolute measure for the quality of a proxy.

Table 1 shows that the quality of realized volatility improves if one samples more frequently. The prescaled variance is largest for the absolute close-to-close returns. 3 The maximal absolute two-minute return is better than high minus low, which tends to use returns based on much longer time spans. Overall, we find that sums of absolute values lead Prescaling by EWMA(0.7) filter for RV5. The following proxies are included. RV5: root of sum of squared 5 min returns; RV10: root of sum of squared 10 min returns; RV15: root of sum of squared 15 min returns; RV20: root of sum of squared 20 min returns; RV30: root of sum of squared 30 min returns; abs-r: absolute close-to-close return; hl: highlow of the intraday return process; maxar2: maximum of the absolute 2-minute returns; RAV5: sum of absolute 5-minute intraday returns; RAV10: sum of absolute 10-minute intraday returns; RVHL10: root of sum of 10-minute squared high-lows; RAVHL10: sum of 10-minute high-lows. to better proxies than sums of squared values. This relates to a finding of [START_REF] Barndorff-Nielsen | Realized power variation and stochastic volatility models[END_REF], whose simulations indicate that absolute power variation, based on the sum of absolute returns, has better finite sample behaviour than realized quadratic variation. The best performing proxy in Table 1 is RAV HL10, the sum of the ten-minute high-lows.

The ranking of the different proxies in the various subsamples is the same as in the full sample, with one exception in the second subsample for RV 30 and maxar2.

Improving Proxies

Let us now explore to what extent the proxies in Table 1 Table 2 provides the optimal weights for the proxies of Table 1. Note that RAV HL10 is the most important component. The prescaled variance of the optimized proxy is P V = 0.039, which outperforms all proxies in Table 1. We refer to this proxy as the optimized proxy Π ( ŵ) . If one extrapolates the prescaled variances of the realized volatilities of Table 1 to a time interval of length zero, one obtains a value between 0.050 and 0.060. The value P V = 0.039 for the optimized proxy is well below those values.

Observe from Table 2 that weights may be negative. In geometrical terms this may be restated as follows. The log proxies are vectors in an affine space. The proxies are highly related, since they all approximate the same scaling factor s n , cf. (3). The optimal proxy is not in the convex hull of the original proxies. The original proxies do not completely reflect the direction of the optimal proxy. The weights outside [0, 1] correct for this. ŵ) 0.039 0.039 0.042 0.044 0.029 Π ( ŵ,1) 0.039 0.038 0.043 0.045 0.030 Π ( ŵ,2) 0.040 0.040 0.041 0.045 0.031 Π ( ŵ,3) 0.040 0.041 0.043 0.043 0.030 Π ( ŵ,4) 0.040 0.041 0.045 0.046 0.028 Table 3 investigates the stability of the optimized proxy Π ( ŵ) . As in Table 1 we report performance measures for the full sample and for four subsamples. By comparing the performance of Π ( ŵ) in the different subsamples to Table 1, it is clear that Π ( ŵ) outperforms all those proxies in every subsample. The proxy Π ( ŵ,i) is constructed using weights based on the i-th subsample. In the first subsample the performance of the globally optimized Π ( ŵ) is not substantially improved by Π ( ŵ,1) . A similar statement holds for the other subsamples. Moreover, proxies based on a particular subsample are close to optimality in all other subsamples. We conclude that the optimality of Π ( ŵ) is stable.

Figure 4 shows the autocorrelations of log(Π ( ŵ) n ) and the log of four different realized volatilities, RV30, RV15, RV10, and RV5. The autocorrelations of the different realized volatilities increase as the sampling interval decreases. The figure also shows that the autocorrelations for the optimized proxy are substantially larger than those for five-minute realized volatility. Hence, Proposition 3.11 provides an additional indication that Π ( ŵ) is the best.

Table 4 explores the quality of the optimized proxy in a heuristic way. It gives the coefficient of determination, R 2 , of a linear regression of the logarithm of a proxy on the logarithm of another proxy lagged one day. A large R 2 in a particular column means that the proxy in that column is largely predictable, suggesting that it is a good proxy for daily volatility. A large R 2 in a particular row means that the proxy in that row is a good predictor.

The optimized geometric proxy Π ( ŵ) is maximal in all rows and all columns.

RV30 RV20 RV15 RV10 RV5 Π

n ) = α + β log(Π (i)
n-1 ) + ε n , for i, j = 1, . . . , 6, and n = 2, . . . , 4575.

We end this section by supplying the simplified proxy Π n = (RAV HL10 n ) 1.82 (RAV 10 n ) -0.82 .

(11)

The proxy ( 11) is almost as good as the optimized proxy Π ( ŵ) n

: it has prescaled variance P V = 0.041.

Conclusions

This paper provides a theoretical basis for the comparison and optimization of volatility proxies, based on intraday data. The theory is founded on a continuous time model that embeds discrete time, daily volatility models.

In this paper a volatility proxy is the result of applying a positively homogeneous functional to the intraday return process. This is a limitation that rules out, for instance, volatility predictors. On the other hand, it offers the possibility of developing a simple theory for comparing and optimizing proxies. By definition, the log of a good proxy has small variance. Equivalently, the correlation with daily volatility is large. We show that optimal proxies exist. An optimal proxy for the scaling factor v n is an optimal proxy under all possible discrete time models of the form r n = v n Z n , where the Z n are iid innovations.

For the S&P 500 data a combination of the high-lows over ten-minute intervals, and the absolute returns over ten-minute intervals yields a good proxy.

A Data

Our data set is the U.S. Standard & Poor's 500 stock index future, traded on the Chicago Mercantile Exchange (CME), for the period 1st of January, 1988until May 31st, 2006. The data were obtained from Nexa Technologies Inc. (www.tickdata.com). The futures trade from 8:30 A.M. until 15:15 P.M. Central Standard Time. Each record in the set contains a timestamp (with one second precision) and a transaction price. The tick size is $0.05 for the first part of the data and $0.10 from 1997-11-01. The data set consists of 4655 trading days. We removed sixty four days for which the closing hour was 12:15 P.M. (this occurs on days before a holiday). Sixteen more days were removed, either because of too late first ticks, too early last ticks, or a suspiciously long intraday no-tick period. This leaves us with a data set of 4575 days with nearly 14 million price ticks, on average more than 3 thousand price ticks per day, or 7.5 price ticks per minute.

There are four expiration months: March, June, September, and December. We use the most actively-traded contract: we roll to a next expiration when the tick volume for this expiration is larger than for the current expiration. An advantage of using future data rather than the S&P 500 cash index is the absence of non-synchronous trading effects which cause positive autocorrelation between successive observations, see [START_REF] Dacorogna | An Introduction to High-Frequency Finance[END_REF]. As in the cash index there are bid-ask effects in the future prices which induce negative autocorrelation between successive observations. We deal with this by taking large enough time intervals, see Section 4.1. Since we study a very liquid asset the error term due to microstructures is relatively small.

Figure 1 :

 1 Figure 1: (a) Daily log realized volatility. Difference (dots). Exponentially weighted moving average (solid line). (b) Periodicity. Lower line: autocorrelations of absolute five-minute returns, standardized by daily RV n . Lags vary from 5 minutes up to 20 days. Upper line: non standardized absolute five-minute returns. Based on 370575 five-minute returns. (c) Average per-interval proportion of RQV. For each of the 81 intraday intervals, the average is taken over 4575 days. (d) Cumulative intraday proportion of RQV. Bold line: average of sample (4575 days). Numbered lines: nine consecutive days starting at 1997-02-12.

Figure 2 :

 2 Figure 2: Nine intraday return processes, with respect to the previous day's close. Starting at 1997-02-12.

Figure 3 :

 3 Figure 3: Plots of the sample variance of the log of a proxy with ∆ϑ ranging from zero to 60 minutes (zero is tick per tick). (a) Realized volatility. (b) Realized high-low.

Figure 4 :

 4 Figure 4: Autocorrelations of log proxies. Lags 1 to 50 days. From bottom to top: RV30, RV15, RV10, RV5, Π ( ŵ) .

  ) 2 . By Cauchy-Schwarz this equality holds if and only if H

	(1) 0 (Ψ)), log(H	(2) 0 (Ψ)) . By Lemma 3.8 this covariance equals
	(λ (1) 0 (Ψ)

* ) 2 . Let H 0 denote the centered proxy: H 0 = exp(-Elog(H(Ψ)) ) H, with Elog(H 0 (Ψ)) = 0. Consider the covariance of the centered log proxies: cov log(H * a.s.

Table 1 :

 1 Performance of twelve proxies. The full sample is split into four subsamples.

		full	1st	2nd	3rd	4th
	name	PV	PV	PV	PV	PV
	RV5	0.064 0.070 0.070 0.073 0.042
	RV10	0.080 0.085 0.093 0.090 0.052
	RV15	0.089 0.096 0.105 0.093 0.061
	RV20	0.100 0.110 0.117 0.103 0.071
	RV30	0.117 0.133 0.134 0.113 0.087
	abs-r	0.611 0.683 0.550 0.635 0.568
	hl	0.161 0.179 0.176 0.160 0.130
	maxar2	0.118 0.134 0.124 0.118 0.088
	RAV5	0.058 0.060 0.065 0.066 0.040
	RAV10	0.072 0.072 0.085 0.082 0.049
	RVHL10	0.053 0.057 0.061 0.061 0.034
	RAVHL10 0.047 0.048 0.055 0.054 0.031

  may be improved. We use the technique of Section 3.4.

	Proxy	RV5	RV10	RV15	RV20	RV30	hl
	weight	0.315	0.082	-0.041	-0.071	-0.036	-0.085
	Proxy maxar2 RAV5 RAV10 RVHL10 RAVHL10
	weight	0.020	-0.423 -0.608	-0.838	2.69

Table 2 :

 2 Optimal weights for the geometric proxy, based on the proxies of Table1, for the full sample.

Table 3 :

 3 Geometric proxies, optimized for different subsamples: performance and stability.

Table 4 :

 4 R 2 of the regression log(Π

	( ŵ)

We use the term volatility in the context of quantities that scale like the returns, and not, for example, like the square of the returns as quadratic variation does.

Although the empirical autocorrelation function is an inappropriate tool for analyzing a nonstationary time series, it is useful for detecting periodic frequencies.

We used absolute returns larger than 0.001, or 10 basis points, in order to avoid taking the log of zero. This leaves

daily returns.


Andrew E Clark
email: andrew.clark@ens.fr.

Augustin Vicard
email: augustin.vicard@pse.ens.fr.

Conditions de collecte et santé subjective : Analyse sur données européennes

Keywords:

Il est banal de dire que la santé subjective, la mesure la plus répandue dans les questionnaires, est sujette à divers biais de mesure. Une question en suspens reste de déterminer en quoi l'information recueillie dépend des conditions de collecte, ces dernières variant considérablement entre les pays et les enquêtes. Dans cet article, on a fait appel à un dispositif quasi-expérimental présent dans la base de données SHARE afin d'étudier deux effets du mode de collecte : le placement de la question de santé déclarée dans le questionnaire ; et la formulation des modalités de réponse proposées. Nous trouvons que les deux effets sont significatifs. L'effet de placement est particulièrement homogène. Dans tous les pays de l'échantillon, les individus enquêtés déclarent en moyenne des niveaux de santé subjective supérieurs après avoir répondu à un questionnaire détaillé de santé. Nous avons pu également mettre en évidence que les variables de santé fonctionnelle -mobilité et limitations quotidiennes, sociales et sensorielles -étaient mieux discriminées lorsque la variable de santé déclarée se trouvait après le questionnaire détaillé. L'effet moyen de formulation est fort, et moins homogène que l'effet de placement : il varie notamment en fonction des pays.

Introduction

La santé est une des variables les plus analysées en économie, comme variable dépendante ou comme variable explicative. Néanmoins, nous ne disposons pas de mesure objective de la santé qui fasse unanimité. Cette situation est différente de celle de l'éducation, par exemple, où on peut s'accorder sur des mesures comme le nombre d'année d'études ou le niveau de diplôme, ou celle de l'emploi, où on peut se mettre d'accord sur une définition objective du chômage ou du travail à temps partiel. Selon l'OMS, « la santé est un état de complet bienêtre physique, mental et social et ne consiste pas seulement en une absence de maladie ou d'infirmité », ce qui ne fournit pas de définition objective. D'ailleurs, les mesures objectives de la santé nécessitent une longue liste de questions sur diverses maladies et fonctions, ce qui les exclut de fait de la plupart des enquêtes auxquelles les chercheurs en sciences sociales font appel.

En conséquence, les chercheurs se tournent souvent vers des mesures subjectives de la santé, qui sont beaucoup plus simples à collecter. La santé subjective -ou santé déclaréecorrespond à la perception qu'a l'individu de sa propre santé. On la mesure à l'aide de questions du type :

« Diriez vous que votre santé est… i) Très bonne ii) Bonne iii) Moyenne iv) Mauvaise v)
Très mauvaise » Ce type de variable est utilisé dans de nombreuses analyses en économie mais aussi dans d'autres disciplines comme l'épidémiologie [START_REF] Bowling | Just one question: If one question works, why ask several?[END_REF]. A la suite de l'utilisation fréquente des mesures de santé subjective, un débat s'est instauré sur leur validité. Des auteurs partent ainsi de l'hypothèse qu'il existe une variable latente, le niveau de santé objectif, dont le niveau de santé subjectif ne serait qu'un reflet. Cependant, la santé subjective ne serait qu'un reflet déformant de la santé objective dans la mesure où les individus auraient des comportements de réponse hétérogènes par rapport à cette question. Ces différences de comportements de réponse proviendraient de plusieurs sources -culture, éducation, langage et plus généralement niveaux de référence de santé. Il est donc important de distinguer, dans les réponses aux questions de santé subjective, ce qui relève de la santé objective de ce qui relève des comportements hétérogènes de réponse. Cette distinction constitue le problème-clef pour la comparaison de niveaux de santé déclarée entre individus, ou même entre le même individu à deux moments différents du temps (les comparaisons inter-et intra-individuelles).

Deux méthodes ont été utilisées pour faire cette distinction, qui se fondent toutes deux sur de l'information extérieure. La première recueille une information exhaustive sur l'état de santé objectif des individus. Elle consiste par la suite à régresser la santé subjective sur cette information objective et sur un certain nombre de variables socioéconomiques d'intérêt (voir par exemple [START_REF] Etilé | Income-related Reporting Heterogeneity in Subjective Health: Evidence from France[END_REF]. Quand l'une des variables socioéconomiques apparaît comme significative, c'est le signe qu'elle a une influence sur le comportement de réponse des individus. Il a ainsi été montré que les personnes âgées déclaraient de meilleurs niveaux de santé subjective (toutes choses égales par ailleurs). La seconde méthode consiste à utiliser des vignettes d'ancrage [START_REF] Dourgnon | Les comparaisons internationales d'état de santé subjectif sont-elles pertinentes ? Une évaluation par la méthode des vignettes-étalons[END_REF][START_REF] Salomon | Comparability of self rated health: cross sectional multi-country survey using anchoring vignettes[END_REF].

Ces deux méthodes permettent donc de montrer les limites de l'utilisation des mesures de santé subjective. Cet article adopte la même perspective mais s'intéresse à un problème différent : l'évaluation de l'effet des conditions de collecte sur les réponses aux questions de santé déclarée.

Comportements de réponse et conditions de collecte

Par conditions de collecte, nous entendons une notion large qui regroupe l'ensemble des éléments suivants : [START_REF] Moore | Measuring New Types of Question Order Effects. Additive and Subtractive[END_REF]. Par exemple, les individus sont plus nombreux à indiquer que la criminalité est le plus grand problème social si ils ont répondu auparavant à une série de questions sur leur expérience personnelle vis-à-vis du crime [START_REF] Johnson | Effects of Question Context and Response Order on Attitude Questions[END_REF]. Pour ce qui est de l'auto-évaluation, le même phénomène se produit. [START_REF] Schwarz | Reports of subjective well-being: Judgmental processes and their methodological implications[END_REF] donnent l'exemple suivant. Si la satisfaction dans la vie est mesurée avant la fréquence de rendez-vous galants, la corrélation entre ces deux mesures est quasiment nulle (-0,12) ; si les rendez-vous galants sont mesurés avant la satisfaction dans la vie, cette corrélation devient significative (0,66). [START_REF] Schwarz | Self Reports. How the Questions Shape the Answers[END_REF] et [START_REF] Schwarz | Reports of subjective well-being: Judgmental processes and their methodological implications[END_REF] fournissent des revues de littérature détaillées de l'impact des conditions de collecte. En particulier, [START_REF] Schwarz | Self Reports. How the Questions Shape the Answers[END_REF] décrit dans quelle mesure les formulations des réponses proposées aux questions subjectives ont une influence sur l'information recueillie. Par exemple, 13 % des individus déclarent avoir eu beaucoup de succès dans leur vie quand l'échelle de réponse s'étend de 0 à 10, contre 34 % quand l'échelle va de -5 à 5, alors que les mêmes labels sont associés aux deux extrémités de la distribution dans les cas.

*
Dans le contexte de la santé, l'échelle de réponses proposée influence aussi significativement l'importance mesurée des symptômes. Dans l'exemple donné par [START_REF] Schwarz | Self Reports. How the Questions Shape the Answers[END_REF] * Le mode de collecte -questionnaire auto-administré vs face-à-face -a un effet significatif sur la distribution de réponses : les réponses sont plus resserrées autour de la modalité médiane en face-à-face. * La place de la question de santé subjective -par rapport à un questionnaire détaillé de santé -a également un impact sur la distribution de réponses, qui est plus resserrée après un questionnaire détaillé de santé. En revanche, le niveau moyen de santé subjective ne diffère pas significativement d'une distribution à l'autre. * Il y a une forte erreur de mesure dans les questions de santé subjective. 28% des individus du groupe de traitement modifient leur réponse entre avant et après le questionnaire détaillé de santé.

Dans l'enquête SHARE, les répondants ont également été séparés aléatoirement en deux groupes selon la technique dite du split sample. Cela nous permet de mettre en évidence l'effet causal de la formulation des modalités de réponse et celui de la place dans le questionnaire.

L'enquête SHARE

Deux types de questions sur la santé subjective sont proposés aux répondants de l'enquête SHARE : RAND et EUROP. Elles partagent le même intitulé de question (« Diriez vous que votre santé est… ») mais diffèrent par les modalités de réponses offertes. Le tableau cidessous donne les modalités de réponses associées à chacune de ces questions.

Statistiques descriptives des quatre mesures de santé déclarée

Dans un premier temps nous exploitons la structure de l'enquête SHARE 2004 afin de comparer la santé déclarée en fonction des questions utilisées.

Comparaison des distributions des quatre mesures de santé déclarée

Les histogrammes ci-dessous (Graphique 2) montrent que, conformément à la littérature, la distribution de santé est plus symétrique sous la formulation RAND. En ce qui concerne l'effet de placement, pour les deux formulations, la santé subjective est meilleure quand elle est mesurée après le questionnaire détaillé de santé. Avec la formulation EUROP, les répondants sont ainsi 45,7% à se déclarer en bonne santé après le questionnaire détaillé de santé, contre 42% avant le questionnaire. On observe un phénomène similaire avec la formulation RAND.

Deux modèles polaires de réponse sont envisageables pour prédire l'effet de label : 1) Les enquêtés ne répondent qu'en fonction des intitulés de réponses, sans tenir compte du rang de celles-ci. Dans ce cas, un individu qui aurait répondu « Très bon » avec la formulation EUROP (modalité 1), répondra « Excellent » ou « Très bon » avec la formulation RAND (modalités 1 et 2). Un individu qui aurait répondu « Bon » avec la formulation EUROP (modalité 2) répondra également « Bon » avec la formulation RAND (modalité 3). 2) Les enquêtés ne répondent qu'en fonction du rang des réponses, sans tenir compte de l'intitulé des réponses. Dans ce cas, un individu qui aurait répondu « Très bon » avec la formulation EUROP (modalité 1), répondra « Excellent » avec la formulation RAND (modalité 1). Selon ce modèle, on devrait n'observer que de très faibles différences, non statistiquement significatives, entre les histogrammes d'EUROP1 et de RAND1 d'une part, et ceux d'EUROP2 et de RAND2 d'autre part.

Ces deux cas polaires sont illustrés à l'aide des données issues de la question EUROP1 dans le tableau 2.

3 Les concepteurs du questionnaire ont utilisé le split sample dans l'objectif de rendre les mesures de santé subjectives comparables à la fois avec le questionnaire américain U.S. Health and Retirement Survey, qui adopte la formulation RAND, et avec de nombreux questionnaires européens qui adoptent la formulation EUROP, dont le ECHP. L'aspect le plus inté la relatif des pays. Par exemple, la Grèce passe du 4 ème au 6 ème rang selon que l'on considère EUROP1 ou EUROP2, tandis que la France évolue dans le sens inverse. Le même phénomène s'observe pour les questions RAND, quoique le classement qui en résulte semble plus stable. La formulation des modalités de réponse modifie plus substantiellement le classement des pays. Ici, c'est la Suède qui passe de la 5 ème place avec EUROP à la 1 ère place avec RAND (bien que son classement soit stable par rapport au placement de la question de santé subjective).

Les mêmes d formulation (EUROP ou RAND). Il semble donc que la distribution de santé subjective entre pays soit plus sensible aux conditions de collecte que la distribution de santé subjective entre individus au sein d'un seul pays.

Cette section nous a permis de m fo l'analyse de l'effet de placement par le biais de régressions multivariées, afin de raisonner toutes choses égales par ailleurs4 .

L'effet de la place dans le ques

Le graphique 2 a indiqué que, pour les deux d Cela peut traduire un phénomène de conditionnement : on décrit aux répondants de nombreux problèmes de santé dont ils pourraient souffrir. Cela les incite, en moyenne, à réviser leur jugement en relativisant leurs propres problèmes de santé. 5 Cependant, [START_REF] Crossley | The Reliability of Self Assessed Health Status[END_REF] ne trouvent pas le même résultat lorsqu'ils analysent un échantillon australien : la déclaration moyenne d'état de santé reste inchangée après le questionnaire détaillé de santé. Ils utilisent dans leur étude la formulation RAND. Cela peut correspondre à des différences culturelles entre Australiens et Européens ou alors à un comportement de réponse spécifique de la part de la population âgée de plus de 50 ans. 6Pour évaluer l'importance de cet effet de placement, nous construisons un modèle probit rdonné de la santé subjective (tableau 6 la taille e l'effet moyen de placement. Pour la question RAND comme pour la question EUROP, il rmes croisés dans le tableau 6 indiquent quels individus sont les plus sensibles à l'effet e placement. Parmi les variables socioéconomiques, seule l'éducation semble expliquer et de ymptômes augmentent plus leur niveau de santé déclarée que les autres individus ; en me l'indiquent les tests du tio de vraisemblance entre les modèles avec termes croisés (présentés dans le tableau 6) et les modèles contraints sans termes croisés. Néanmoins le gain de vraisemblance entre les deux spécifications est assez faible. Cela signifie que, dans l'ensemble, l'effet de placement est homogène.

La taille de l'effet de placement est comparée à celle des effets d'autres variables explicatives dans le graphique 3. Ces effets sont calculés pour un individu ayant les caractéristiques uivantes : de sexe masculin, français, premiers quartiles de revenu et de patrimoine, en s parfaite santé objective, âgé de 65 ans, avec 10 années d'études. Ces effets marginaux s'interprètent comme la variation de probabilité de répondre à chacune des modalités. La somme des variations est donc nulle pour chaque variable considérée. On constate ainsi que l'effet de placement est du même ordre de grandeur que l'effet de revenu (défini comme le passage du premier au quatrième quartile de revenu).

Graphique 2. Effets marginaux de cinq variables sur la santé déclarée -15,00% -10,00% -5,00% 0,00% 5,00% Encadré 2.

QUELLES IMPLICATIONS POUR LES DONNÉES SHARE ?

Nos résultats nous conduisent à formuler quelques recommandations plus spécifiques quant à l'utilisation 2004. Cet des variables de santé subjective contenues dans la base SHARE enquête fournit notamment des variables de santé subjective reconstituées pour l'ensemble de l'échantillon. La variable SPHEU est par exemple égale à EUROP1 si l'individu a été interrogé avec la formulation EUROP avant le questionnaire ; elle est égale à EUROP2 dans le cas contraire. La moitié environ des réponses sont donc sujettes à l'effet de placement. On peut concevoir cela comme une erreur de mesure sur la variable de santé subjective à laquelle on ajoute artificiellement de la variance.

Cela devrait conduire, conformément au modèle classique d'erreur de mesure, à atténuer le coefficient devant la variable de santé déclarée si celle-ci est utilisée comme variable explicative. Cela peut aussi biaiser l'estimation des coefficients des variables explicatives les plus corrélées à la santé déclarée. Il serait de ce fait utile d'inclure parmi les variables explicatives une indicatrice qui indique si l'individu a été interrogé avant ou après le questionnaire détaillé de santé. En revanche, si la santé subjective est utilisée comme variable expliquée, les coefficients des variables explicatives ne seront pas biaisés par l'utilisation de la variable reconstituées de santé subjective. L'inclusion d'une variable indicatrice devrait toutefois permettre d'augmenter légèrement la précision des estimateurs.

Enfin, la deuxième vague de l'enquête SHARE abandonne la formulation EUROP pour la formulation RAND, dans l'objectif de permettre une meilleure comparaison des données de santé subjective avec les pays anglophones et notamment avec le Health and Retirement Survey. Rappelons que ce choix (RAND plutôt qu'EUROP) aura un impact sur le classement résultant entre pays, la Suède gagnant notamment de nombreuses places dans les classements internationaux. La question de santé déclarée sera également posée au tout début du module de santé, à l'instar de la question RAND1. Il ne sera dès lors possible de comparer l'évolution de la santé déclarée des répondants entre 2004 et 2006 que sur la moitié de l'échantillon.

Annexe A. Différentes formulations des questions de santé subjective

  De façon générale, un effet de condition de collecte fait appel à la perception qu'a un individu d'une question ou d'un choix. De tels effets ont été mis en évidence dans au moins deux contextes : les préférences dans les situations de choix en environnement risqué ; et l'autoévaluation par les répondants de leur propre situation.Dans le premier contexte, la recherche s'est surtout focalisée sur les effets de formulation de la question et des modalités de réponse. Ces derniers sont définis par[START_REF] Tversky | 1. Mal au dos, douleurs à la hanche, aux genoux ou autres douleurs articulaires 2. Problème cardiaque, angine de poitrine ou autre douleur thoracique à l'effort 3. Essoufflement, difficultés respiratoires 4[END_REF] comme « the decision-maker's conception of the act, outcomes and contingencies associated with a particular choice ». Ces mêmes auteurs montrent que les réponses individuelles sont très différentes selon que l'on décrit les retombées d'une décision en termes de gains ou de pertes. Un des exemples les plus fameux est celui des programmes de

	Encadré 1.
	CONDITIONS DE COLLECTE ET DONNÉES SUBJECTIVES
	aux questions suivantes seront plus souvent
	positives. Ensuite, les enquêtés peuvent réagir par contraste par rapport aux questions
	précédentes. Le score d'honnêteté d'un individu généralement perçu comme malhonnête sera
	encore plus faible si la question qui le mesure suit l'évaluation d'un individu considéré
	comme plus honnête. Enfin, les questions précédentes définissent un contexte qui influence la
	perception des questions suivantes (voir
	Cette diversité de conditions de collecte risque d'introduire des biais dans les réponses des
	enquêtés. Une littérature importante en sciences sociales a d'ailleurs montré que les
	conditions de collecte ont une forte influence sur les réponses données (cf. Encadré 1). A
	notre connaissance, seuls deux articles se sont déjà intéressés aux effets des conditions de
	collecte sur les déclarations de santé subjective.

Mode de collecte : face-à-face, par téléphone, questionnaire auto-administré… * Formulation de la question et des modalités de réponse * Place de la question dans le questionnaire * Période de collecte

Des conditions de collecte différenciées selon les enquêtes et les pays

En ce qui concerne la santé déclarée, les instituts de statistique adoptent des modes de collecte et des formulations assez variables d'un pays et d'un questionnaire à l'autre. Le tableau dans l'Annexe A en donne une illustration en montrant les choix effectués dans les questionnaires de la base de questionnaires de santé European Health Interview & Health Examination Surveys Database. 1 La forme la plus courante des questions posées est non contextualisée et s'exprime de la façon suivante : « Globalement, diriez-vous que votre état de santé est… ». Toutefois, d'autres formulations, plus contextualisées, sont possibles. Par exemple, dans le British Household Panel Survey (BHPS), la question est la suivante : « Please think back over the last 12 months about how your health has been. Compared to people of your own age, would you say that your health has on the whole been... ». Cette formulation invite le répondant à modifier son point de référence, à la fois en termes d'âge et de période de temps. La formulation des modalités de réponse peut également beaucoup varier d'une étude à l'autre. Tout d'abord, certaines enquêtes proposent aux répondants de se classer sur une échelle numérique sans y associer de modalité verbale. C'est le cas de l'enquête française SUMER qui propose une échelle de 1 à 10. La plupart des enquêtes font toutefois un choix différent en proposant des items de réponse sous la forme de propositions verbales. Mais le nombre d'items proposé varie considérablement (de 3 items à 6 items pour la formulation RAND Short-Form 12), tout comme leur formulation. vaccination : si on présente le programme en termes d'individus qui seront épargnés plutôt qu'en termes d'individus qui mourront de la maladie, les répondants sont plus averses au risque.

Dans le contexte de l'auto-évaluation, des psychologues et des statisticiens ont étudié l'impact de l'ordre des questions dans le questionnaire, et celui de la formulation des réponses proposées. Les questions posées avant la question d'intérêt influent notamment sur les réponses données. Plusieurs raisons peuvent expliquer ce phénomène. D'abord, les répondants veulent donner une image cohérente de leurs choix au sein du questionnaire : si une question appelle une réponse positive, les réponses

  Le groupe A a d'abord dû répondre à la question de santé subjective que nous appelons RAND, puis à un questionnaire détaillé de santé physique et mentale, et enfin à la question de santé subjective que nous qualifions de EUROP. Les deux questions subjectives ont été interverties pour le groupe B.3 Nous disposons donc de quatre mesures de santé subjective que nous appelons RAND1 et RAND2 d'une part, et EUROP1 et EUROP2 d'autre part, où le chiffre 1 (2) correspond à une position avant (après) le questionnaire détaillé de santé.

		2
	Tableau 1. Modalités de réponse dans les formulations RAND et EUROP
	RAND	EUROP
	5 Excellent	Très bon
	4 Très bon	Bon
	3 Bon	Moyen
	2 Acceptable	Mauvais
	1 Médiocre	Très mauvais
	Echantillon entier
	Groupe A	Groupe B
	Formulation RAND	Formulation EUROP
	Questionnaire	Questionnaire
	détaillé de santé	détaillé de santé
	Formulation EUROP	Formulation RAND

Les formulations des modalités de réponses EUROP et RAND semblent être celles qui sont le plus fréquemment utilisées dans les enquêtes sociales ou de santé, comme le montre le tableau de l'annexe A. La formulation EUROP est la formulation la plus ancienne. Elle a été utilisée à partir de la fin de la seconde Guerre Mondiale dans de nombreux questionnaires. La formulation RAND a été utilisée pour la première fois par la Rand Corporation à la fin des années 1970

[START_REF] Bowling | Just one question: If one question works, why ask several?[END_REF]

dans le cadre du questionnaire Short-Form 36 (SF-36). L'objectif était de mieux discriminer entre les différents états de santé, en partant du constat que les individus avaient tendance à déclarer des niveaux de santé élevés. Il semblait ainsi nécessaire de proposer aux répondants plus de modalités de réponse connotées positivement que de modalités connotées négativement. Dans l'enquête SHARE, les individus ont été répartis aléatoirement, au sein de chaque pays, entre deux groupes, comme indiqué par le graphique 1. Graphique 1. Architecture du questionnaire SHARE.

Histogramme de la santé subjective (formulation RAND)

  Tableau 2. Deux cas polaires de l'effet de formulation Les histogrammes réels dans le graphique 2 ne correspondent pas exactement à ces modèles théoriques de réponse. Ils semblent surtout très éloignés de ce que décrit le modèle théorique d'équivalence des rangs. En revanche, le modèle d'équivalence des labels semble constituer une approximation correcte des distributions, sauf pour la première modalité de EUROP (« Très bon ») qui a un effectif considérablement plus faible que celui des deux premières modalités de RAND (« Excellent » et « Très bon »).Au final, il semble que le comportement de réponse des enquêtés se trouve entre les deux modèles polaires décrits ci-dessus, avec vraisemblablement une sensibilité plus forte aux intitulés des réponses qu'au rang de celles-ci.Graphique 2. Santé subjective avant et après le questionnaire détaillé de santé ource : Enquête SHARE 2004 onses données par le même individu aux questions de santé ubjective. Les chiffres correspondent aux pourcentages de ligne. Par exemple, 20,4% des les deux effets qui nous intéressent -effet de placement et effet de formulation -sont mêlés. Il confirme toutefois les conclusions auxquelles nous avons abouties en commentant les histogrammes : * L'effet de placement apparaît clairement. Par exemple, un nombre important (15,9%) des individus du groupe B qui ont répondu « Très mauvais » à EUROP1 répondent Très bon », la quatrième modalité de la question RAND2. C'est d'autant plus remarquable que l'effet de placement, dont nous avons vu qu'il pousse les répondants à déclarer un niveau de santé plus élevé, doit induire une augmentation des réponses « Très bon ». B pour une présentation des variables retenues). Dans cette perspective, on construit, pour chaque question, cinq groupes d'observations qui correspondent aux modalités de réponse des questions de santé déclarée. On mesure ensuite, pour chaque variable socioéconomique ou de santé, la dispersion au sein des groupes (dispersion intra-modalités) et la dispersion entre les valeurs moyennes des groupes (dispersion inter-modalités). La dispersion totale d'une variable donnée au sein de l'échantillon est la somme des dispersions intramodalités et inter-modalités. Plus la dispersion inter-modalités est grande comparée à la dispersion totale, plus la mesure de santé subjective sera discriminante pour une variable donnée.On constate ainsi que toutes les mesures de santé subjective discriminent beaucoup mieux les nfin, la plus grande symétrie de l'histogramme des questions RAND1 et RAND2 aurait ableau 4. Comparaison du pouvoir discriminant (variance inter-modalité sur variance totale) EUROP 1 EUROP 2 RAND 1 RAND 2 variables de santé objective que les variables socioéconomiques. Par ailleurs, on remarque que le pouvoir discriminant de la santé subjective par rapport aux problèmes de mobilité et aux variables de limitations (quotidiennes, sociales et sensorielles) est plus important quand la santé déclarée est mesurée après le questionnaire détaillé. De ce fait, la santé subjective mesurée après le questionnaire détaillé semble intégrer de façon plus importante des dimensions qui sont introduites dans le questionnaire détaillé et qui appartiennent de façon moins évidente au domaine de la santé, comme les dimensions fonctionnelles. Dans la littérature existante, ce type d'effet est qualifié d'effet de contexte (voir la section 2).

	pourcentage d'individus qui déclarent un niveau de santé égal ou supérieur à « Bon » (niveaux
	Distribution initiale (EUROP1) Très mauvais 2.1% Histogramme de la santé subjective (formulation EUROP) Mauvais Moyen 8.5% 30.3% 42.0% Bon 1 à 2 pour EUROP, et 1 à 3 pour RAND).	Très bon 17.2%
	Distribution théorique 50,0% Tableau 5. Proportion d'individus qui ont répondu mieux que « Bon » selon la formulation (RAND1) Equivalence des rangs Médiocre Acceptable Bon Très Bon 45,7% EUROP 1 EUROP 2 RAND 1 RAND 2 Excellent 2.1% 8.5% 30.3% 42.0% 17.2% Equivalence des labels Médiocre Acceptable Bon Très Bon + Excellent 10.5% 30.3% 42.0% 45,0% Moyenne 59,1% 64,2% 68,1% 72,8% 42,0% « Acceptable » à RAND2, améliorant ainsi leur réponse. Le même phénomène est à France ) ) ) ) 59,3% (7 69,1% (4 64,7% (7 70,9% (7 40,0% l'oeuvre quand 8,4% des individus du groupe B ayant répondu « Mauvais » à EUROP1 Autriche 59,6% (6) (7) (5) (6) 64,3% 69,7% 73,1% 17.2% 8,0% 23,9% 38,5% 19,0% 10,6% 5,4% 21,8% 40,8% 21,9% 10,1% 0,0% 5,0% 10,0% 15,0% 20,0% 25,0% 30,0% 35,0% 40,0% 45,0% Médiocre Acceptable Bon Très Bon Excellent Proportion RAND1 RAND2 2,1% 8,5% 30,3% 17,2% 1,8% 7,1% 27,0% 18,5% 0,0% 5,0% 10,0% 15,0% 20,0% 25,0% 30,0% 35,0% Très mauvais Mauvais Moyen Bon Très bon Proportion EUROP1 EUROP2 Maladies chroniques dans l'échantillon. éclarent des niveaux de santé en moyenne supérieurs après le questionnaire détaillé de santé. Lecture : 8% des enquêtés ont répondu « Médiocre » à la formulation RAND1. * ng. Par exemple, 61,8% des individus du groupe B qui Tableau 3. Matrices de transition 1 2 3 4 5 Allemagne 54,7% (8) 57,7% (8) 60,4% (8) 65,3% (8) répondent « Bon » à RAND2. Suède 61,9% (5) 67,7% (5) 86,0% (1) 90,5% (1) Encore une fois, les répondants semblent plus sensibles aux intitulés des modalités de Pays-Bas 67,2% (2) 72,5% (3) 73,5% (3) 74,7% (4) réponses proposées qu'à leur ra Espagne 48,6% (9) 52,0% (10) 53,3% (10) 60,7% (10) ont répondu « Bon » à la question EUROP1 (quatrième modalité proposée) ont Italie 45,4% (10) 53,6% (9) 56,0% (9) 62,5% (9) également répondu « Bon » à la question RAND2, contre seulement 30,5% qui ont répondu « Groupe A (RAND1/EUROP2) Très m s Ma is M n B Trè on auvai uva oye on s b Médiocre 1 20 % 56 % 21 % 1, 0, ,4 ,2 ,6 6% 1% Acceptable 2 0,5% 9,8% 74,2% 1 5,3% 0,2% Bon 3 0,0% 0,5% 17,9% 76,5% 5,1% Très bon 4 0,0% 0,0% 2,9% 54,0% 43,1% Excellent 5 0,0% 0,1% 1,3% 20,6% 78,0% Groupe B (EUROP1/ RAND2) Médiocre Ac le Très Excellent ceptab Bon bon Très mauvais 80 % 15 % 2, 0, 0, 1 ,5 ,9 3% 9% 5% Mauvais 2 39,5% 52,0% 8,4% 0,1% 0,0% Moyen 3 1,2% 51,9% 41,3% 4,8% 0,9% Bon 4 0,0% 3,1% 61,8% 30,5% 4,5% Très bon 5 0,1% 0,2% 9,1% 44,1% 46,5% Lecture : 20,4% des enquêtés du groupe A qui ont répondu « re la ion RAND1, ont ensuite répondu « Très mauvais » avec la question EUROP2. subjective oir discriminant des quatre questions de santé ubjective par rapport à différentes dimensions socio-économiques et de santé objective (voir Médioc » avec quest Source : Enquête SHARE 2004 Pouvoir discriminant de la santé Le tableau 4 cherche à comparer le pouv s pourtant pu laisser penser que la formulation RAND était plus discriminante que la formulation EUROP. Cependant, ce n'est pas le cas : les formulations EUROP et RAND sont tout autant discriminantes par rapport aux variables de santé considérées dans cette étude. T des quatre mesures de la santé déclarée Variables socio-économiques Premier quartile de patrimoine 0, 0, 0, 0, 5% 6% 5% 4% Deuxième quartile de patrimoine 1,0% 1,0% 1,0% 0,7% Troisième quartile de patrimoine 0,1% 0,1% 0,1% 0,1% Quatrième quartile de patrimoine 2,4% 2,4% 2,2% 2,2% Premier quartile de revenu 0,1% 0,1% 0,1% 0,2% Deuxième quartile de revenu 2,1% 2,3% 2,1% 1,7% Troisième quartile de revenu 0,0% 0,0% 0,0% 0,1% Quatrième quartile de revenu 2,9% 2,9% 3,0% 2,5% Âge 7,0% 8,2% 6,9% 7,2% Homme 0,6% 0,4% 0,5% 0,6% Célibataire 0,8% 1,3% 1,1% 0,8% Nombre d'années d'études 7,3% 7,2% 8,1% 6,8% Variables de santé Maladies chroniques 26 25,3% 24,4% ,7% 24,0% Symptômes 28,0% 27,1% 26,1% 26,5% Mobilité 32,2% 38,7% 33,5% 36,4% Limitation dans les activités quotidiennes 16,1% 23,8% 15,3% 19,9% Limitation dans les activités quotidiennes (2) 17,5% 22,7% 15,6% 20,2% Santé mentale 19,9% 20,9% 21,1% 20,4% Sens 6,7% 9,0% 8,0% 9,4% Lecture : Pour la formulation EUROP1, la nce aria M s chroniques de varia de la v ble de aladie entre les modalités de santé subjective représente 26,7% de la variance totale de la variable Danemark 66,0% (3) 72,7% (2) 72,9% (4) 76,8% (3) Grèce 64,0% (4) 64,3% (6) 68,1% (6) 73,9% (5) Suisse 79,8% (1) 82,0% (1) 83,5% (2) 85,4% (2) Lecture : 59,3% ais in écla de n » ou supérieur avec ulation ela a nce e p dix pays analysés) par ressant de ce tableau est peut-être le classement des pays. La position de question de santé au sein du questionnaire a notamment un impact léger sur le classement analyses menées sur les variables d'éducation et d'âge, réparties en quartiles, onnent des classements qui sont totalement stables en fonction du placement (1 ou 2) et de la ettre en évidence l'existence d'effets de placement et de rmulation, qui semblent différer d'un pays à l'autre. La section suivante formalisera tionnaire formulations RAND et EUROP, les individus des Franç terrogés d rent un état santé « Bo la form EUROP1. C place l Fra en septièm osition (sur l'annexe E rapport à ce critère.
	Source : Enquête SHARE 2004
	C	lassements de santé
	D	ans la perspective d'une comparaison internationale des niveaux de santé déclarée, nous
	regardons le rang de chaque pays en termes de santé subjective. Le tableau 5 montre le

S

Le tableau 3 montre les deux rép s individus qui ont répondu « Médiocre» à la question RAND1 (avant le questionnaire détaillé de santé) ont répondu « Très mauvais» à la question EUROP2. Ce tableau est difficile à interpréter car

  La santé subjective peut être intégrée en tant que variable explicative dans des analyses causales. C'est le cas par exemple de l'analyse de l'offre de travail ou du bien-être subjectif. Les résultats de notre analyse suggèrent que le mode de collecte n'aura pas d'impact portant sur la relation estimée au sein d'un pays. L'utilisation de la formulation RAND au t leur conception de la santé si on leur posait des questions questionnaire détaillé de santé. Nous avons en im lieu de la formulation EUROP ne modifiera le coefficient d'aucune variable explicative : seul le coefficient du terme constant sera translaté. L'effet est donc équivalent à la conversion de température de Celsius en Kelvin.2) Une mesure synthétique de santé est parfois construite en estimant la relation entre santé subjective et plusieurs indicateurs objectifs de santé[START_REF] Jürges | Cross-country Differences in General Health[END_REF]. Cette approche se fonde sur l'idée d'une certaine stabilité de cette relation au sein d'une population. Or notre analyse a révélé que les enquêtés modifiaien détaillées notamment sur les aspects fonctionnels de leur santé. De ce fait, la pondération de chaque mesure objective de santé dépendra du mode de collecte. Il semble dès lors problématique de fonder la construction d'un indice de santé sur une variable qui est assez sensible au mode de collecte des données.3) La santé subjective est enfin utilisée pour évaluer les classements entre groupes socioéconomiques ou entre pays. Notre analyse a montré qu'il était délicat de comparer deux questionnaires différents qui ne placent pas la question de santé déclarée dans la même position (avant ou après) par rapport à un revanche montré que le classement entre groupes socio-économiques ou entre pays n'était pas très sensible à l'effet de placement : que l'on utilise la santé déclarée mesurée systématiquement avant ou en l'absence d'un questionnaire de santé ou mesurée systématiquement après celui-ci, le classement résultant n'en sera pas beaucoup affecté. Cela n'est pas vrai pour l'effet de formulation puisque le classement de santé subjective entre pays diffère sensiblement selon la formulation (RAND ou EUROP) choisie. Au final, il ressort de notre analyse que les classements entre pays sont très sensibles aux conditions de collecte, notamment à la formulation des modalités de réponse, tandis que les classements entre groupes socio-économiques le sont considérablement moins. Ces derniers sont dès lors moins problématiques.

	1)
			Première maladie chronique
			Homme
			Excellent
			Très bon
			Revenu	Bon
			Acceptable
			Médiocre
			Italie
			Effet de placement
			10,00%	15,00%
	Lecture : Le fait d'avoir une première maladie chronique diminue la probabilité de se déclarer
	en excellente santé de 2,5%, pour la formulation RAND1 et pour un individu aux
	caractéristiques suivantes : de sexe masculin, français, premiers quartiles de revenu et de
	patrimoine, en parfaite santé objective, âgé de 65 ans et ayant effectué 10 années d'études.
	L'effet revenu fait référence à un passage du premier quartile vers le dernier quartile de
	revenu.
	6. Conséquences pour la recherche empirique
	N	otre analyse nous conduit à formuler deux types de recommandation. Premièrement, il s'agit
	d	e comprendre quelles sont les précautions à appliquer lorsque l'on utilise les variables de
	tions sont détaillées dans l'encadré 2. santé subjective issues de la base SHARE : ces précau
	D	euxièmement, il s'agit de comprendre les conséquences de nos résultats pour la recherche
	appliquée qui utilise des variables de santé subjective. Ces dernières sont utilisées dans trois
	contextes différents :

  Des médicaments pour d'autres douleurs (maux de tête, mal de dos,..) 9. Des médicaments pour dormir 10. Des médicaments pour l'anxiété et la dépression 11. Des hormones pour l'ostéoporose 12. Des médicaments pour l'ostéoporose, autres que des hormones 13. Des médicaments pour les brûlures d'estomac 14. Des médicaments pour la bronchite chronique Limitation dans les activités quotidiennes Nombre de limitations dans les activités quotidiennes, dont : 1. S'habiller, y compris mettre ses chaussures et ses chaussettes 2. Se déplacer dans une pièce 3. Prendre son bain ou sa douche 4. Manger, par exemple couper les aliments 5. Se mettre au lit ou se lever 6. Utiliser les toilettes, y compris s'y lever et s'y asseoir Limitation dans les activités sociales Nombre de limitations dans les activités sociales, dont : 1. Utiliser une carte pour se repérer dans un lieu inconnu 2. Préparer un repas chaud 3. Aller faire les courses 4. Passer des appels téléphoniques 5. Prendre des médicaments 6. Faire le ménage ou jardiner 7. Gérer votre argent, par exemple payer les factures et suivre vos dépenses Santé mentale Nombre de déclarations de problèmes de santé mentale, parmi (échelle de dépression euro-D)

			articulaires
	Pays Australie (2004) Autriche (1999) Belgique (2004) Bulgarie (2001) Bulgarie (2002) Canada (2000) Canada (2003) Croatie (2001) Croatie (2003) Croatie (2003) Chypre (2003) République tchèque (2002) EUROP Formulation réponse RAND SF-36 EUROP EUROP EUROP EUROP RAND SF-36 RAND SF-36 EUROP EUROP RAND SF-36 EUROP Danemark (2000) EUROP Estonie (1996) EUROP Estonie (2004) S1 Finlande (2005) S1 France (1996) EUROP France (2002) EUROP France (2004) S3 Allemagne (1998) RAND SF-36 Allemagne (1998) EUROP Grèce (1998) S4 Hongrie (2003) EUROP Iceland (2001) EUROP	Formulation question Classique Classique Classique Classique Classique DefSanté Classique Classique DefSanté Classique Classique Classique Classique Classique Classique Classique Âge Classique Âge Classique Classique Classique 8. euro1 Dépression Classique euro2 Pessimisme Classique euro3 Envies suicidaires Mode collecte Face-à-face Face-à-face Auto-administré Face-à-face Face-à-face Téléphone Face-à-face / téléphone Face-à-face Face-à-face Face-à-face Face-à-face Face-à-face Face-à-face Face-à-face Auto-administré Auto-administré Face-à-face Face-à-face Face-à-face Auto-administré Face-à-face Face-à-face Face-à-face euro4 Sentiment de culpabilité	Place dans le questionnaire AV AV AP AV AV AV AV AV AV AV AV AV AV AV AV AV AP AP AV AV AP AV AV AV
	Canada / USA (2003)	RAND SF-36	Classique euro5 Problèmes de sommeils Face-à-face	AV
	Irlande (2002)	RAND SF-36	Classique euro6 Manque d'intérêt	Auto-administré	AV
	Italie (1999) Italie (2002)	EUROP Echelle de 1 à 5 Classique Classique euro7 Irritabilité euro8 Manque d'appétit Auto-administré Face-à-face euro9 Sentiment de fatigue	AP AV
	Italie (2002)	EUROP	Classique euro10 Problèmes de concentration Face-à-face	AP
	Lettonie (2003)	EUROP	Classique euro11 Se remémore une activité plaisante Face-à-face	AV
	Lettonie (2002)	S1	Classique euro12 A pleuré lors du dernier mois Face-à-face	AV
	Lituanie (2002) Sens Europe (2001)	S1 EUROP	Classique Limitations de l'ouïe et de la vue, dont : Face-à-face Classique Face-à-face 1. Porte des lunettes ou des lentilles de contact 2. Porte un appareil de correction auditive	AV AV
	Europe (2002)	EUROP	Classique 3. Qualité de la vue	Face-à-face	AV
	Europe (2005)	EUROP	Classique 4. Qualité de l'ouïe	Face-à-face	AV
	Malte (2002)	EUROP	Classique	Face-à-face	AV
	Malte (2002)	EUROP	Classique	Auto-administré	AP
	Pays-Bas (2001)	RAND SF-36	Classique	Face-à-face	AV
	Pays-Bas (2001)	RAND SF-36	Classique	Face-à-face	AP
	Pays-Bas (2001)	RAND SF-36	Classique	Auto-administré	AP
	Norvège (2002)	EUROP	Classique	Face-à-face	AV
	Norvège (2002)	RAND SF-36	Classique	Auto-administré	AV
	Pologne (2003)	EUROP	Classique	Face-à-face	AV
	Pologne (2004)	EUROP	Classique	Face-à-face	AV
	Roumanie (2000)	EUROP	Classique	Face-à-face	AV
	Slovénie (2001)	EUROP	Classique	Auto-administré	AV

Cette base est consultable à l'adresse suivante : https://www.iph.fgov.be/hishes/index.cfm?CFID=70946&CFTOKEN=83041976

Seuls les intitulés des modalités de réponse en français sont reportés. Les intitulés dans toutes les langues de la base de données SHARE peuvent être trouvés dans[START_REF] Jürges | True Health vs. Response Styles: Exploring Cross-Country Differences in Self-reported Health[END_REF].

Il serait également intéressant d'approfondir l'analyse de l'effet de labels proposés dans un cadre multivarié. Cette analyse s'avère toutefois plus problématique que pour l'effet de placement puisque nous cherchons à comparer des réponses formulées selon des échelles différentes (RAND et EUROP). Les résultats dépendent ainsi des hypothèses formulées quant à l'équivalence entre les items des deux échelles.

Le signe de cet effet pourrait théoriquement aller dans le sens inverse : le questionnaire de santé pourrait permettre à certaines personnes de se remémorer certaines difficultés qu'elles ont négligées dans un premier élan.

Cela peut aussi correspondre à des différences dans la distribution des états de santé. Faisons l'hypothèse d'une variable de santé objective sous-jacente que les répondants comparent à des seuils pour déterminer leur réponse à la question de santé subjective. Il n'est pas difficile de voir que si une population est répartie à proximité des seuils, un petit effet, en translatant les seuils, va suffire à faire changer les répondants de catégorie. En revanche, si la population est distribuée de façon à se trouver très éloignée des seuils, un petit effet ne fera changer personne de catégorie.

Ces variables explicatives ne servent pas à contrôler l'effet de placement, puisque nous nous situons dans un cadre quasi-expérimental (la répartition des individus dans les groupes A et B du graphique 1 a été effectuée aléatoirement). Leur rôle consiste à isoler l'impact des termes croisés.

% ; ** e 1 %.On a également construit le même modèle sans les termes croisés, afin de déterminer d est d'environ 0,14 et significatif au seuil de 1%. Comme nous nous situons dans un cadre quasi-expérimental, la taille de cet effet est indépendante de l'inclusion des variables explicatives. On retrouve donc bien le résultat de la section 4 selon lequel les réponses à la question de santé subjective sont plus élevées après le questionnaire détaillé qu'avant celui-ci. En le comparant aux effets d'autres variables, l'effet de placement apparaît comme étant à peu près deux fois moins fort que celui d'avoir un problème de mobilité (pour l'individu moyen de l'échantillon). Cet effet de placement est remarquablement stable entre pays, comme l'indique le coefficient de l'effet moyen de formulation dans des régressions séparées par pays.Les te d significativement (au seuil de 5%) l'amélioration des réponses entre avant et après le questionnaire. Les individus les plus éduqués augmentent significativement moins leur déclaration de santé : ils sont dès lors moins sensibles aux effets de placement. Le même résultat est trouvé par[START_REF] Johnson | Effects of Question Context and Response Order on Attitude Questions[END_REF] dans leur étude sur la criminalité et les problèmes sociaux. Ils l'interprètent en termes de sophistication cognitive induite par l'éducation.En ce qui concerne les variables de santé, ceux qui souffrent de maladies chroniques s revanche, les individus qui souffrent de problèmes de mobilité ou de limitations augmentent moins leur déclaration. Ceci confirme notre interprétation de la section 4 : le fait d'avoir répondu au questionnaire détaillé de santé conduit les individus à adopter une conception plus fonctionnelle de la santé. C'est un cas typique d'effet de contexte.L'ensemble des termes croisés est significatif au seuil de 1 %, com ra

* Nous remercions Ed Diener