Nicolas Peton

Nicolas Lardjane
email: nicolas.lardjane@cea.fr

An immersed boundary method for geometrical shock dynamics

Keywords: Geometrical shock dynamics, Fast-marching method, Immersed boundary method, Shock waves

A new algorithm is presented for the resolution of the Geometrical Shock Dynamics model in presence of obstacles in an Eulerian framework. The numerical method relies on a Fast-Marching like algorithm on a Cartesian grid, which allows dealing with complex geometrical configurations and shock waves interactions at a reduced computational cost. The application of an homogeneous Neumann condition at the border of rigid obstacles, not aligned with the mesh, is based on the Immersed Boundary Method. For a given obstacle, a set of ghost points is defined in the solid area and the corresponding unknown flow parameters are updated using a compatibility condition. A good agreement is observed between numerical results, experimental data and CFD simulations, both in 2D and 3D, which demonstrates the validity and the capabilities of this method.

Introduction

The direct simulation of shock waves propagation in a complex environment, such as in an urban area or in presence of topography, is a challenging problem. Indeed, the shock front undergoes diffraction, reflection and recombination phe-nomena along its path, making difficult to predict its effective local intensity.

The need to develop a method for rapidly calculating the mechanical effects of shocks is, however, of prime importance in many applications such as the prevention of industrial accidents and the computation of structure loading, or the definition of source models for acoustic propagation codes. Recent researches have shown that a promising solution [START_REF] Ridoux | Beyond the limitation of Geometrical Shock Dynamics for diffraction over wedges[END_REF][START_REF] Ridoux | Extension of geometrical shock dynamics for blast wave propagation[END_REF] could be envisaged thanks to the Geometrical Shock Dynamics model (GSD).

In 1957, Whitham introduced the GSD model for the propagation of singlepass shock waves in air [START_REF] Whitham | A new approach to problems of shock dynamics, Part I : Two-dimensional problems[END_REF][START_REF] Whitham | Linear and Nonlinear Waves[END_REF]. In this theory, the shock evolution depends on its local velocity and curvature only, neglecting the post-shock flow. Doing so, this simplified model is essentially valid in the context of strong shocks. However, studies have shown that relatively good results can be obtained even for weaker shocks (see e.g. [START_REF] Baskar | Propagation of curved shock fronts using shock ray theory and comparison with other theories[END_REF][START_REF] Ridoux | Beyond the limitation of Geometrical Shock Dynamics for diffraction over wedges[END_REF]). In comparison to the equations of fluid dynamics, the main advantage of GSD is the significant reduction in the cost of calculation since the computation of the flow behind the shock is not necessary. Only a surface problem with two independent variables must be solved. This property may explain the various extensions of GSD over the last decades in different contexts: unsteady flow behind the shock [START_REF] Best | A generalisation of the theory of geometrical shock dynamics[END_REF][START_REF] Best | A generalisation of the theory of geometrical shock dynamics[END_REF][START_REF] Best | Accounting for transverse flow in the theory of geometrical shock dynamics[END_REF], non-uniform gas properties [START_REF] Han | Chapter 3.7 -Geometrical Shock Dynamics[END_REF], imploding shock waves [START_REF] Anand | Shock dynamics of strong imploding cylindrical and spherical shock waves with non-ideal gas effects[END_REF][START_REF] Anand | On dynamics of imploding shock waves in a mixture of gas and dust particles[END_REF][START_REF] Cates | Shock wave focusing using geometrical shock dynamics[END_REF], atmospheric propagation [START_REF] Besset | Propagation of vertical shock waves in the atmosphere[END_REF], detonation in explosives [START_REF] Aslam | Investigations on detonation shock dynamics[END_REF][START_REF] Aslam | Level set methods applied to modeling detonation shock dynamics[END_REF][START_REF] Lieberthal | Geometrical shock dynamics applied to condensed phase materials[END_REF], supersonic engine start [START_REF] Varadarajan | Geometrical shock dynamics and engine unstart, 41st AIAA Fluid Dynamics Conference and Exhibit[END_REF], or astrophysics [START_REF] Goodman | Ultra-relativistic geometrical shock dynamics and vorticity[END_REF]. Most of these applications rely on the historical Lagrangian algorithm of Henshaw et al. [START_REF] Henshaw | Numerical shock propagation using Geometrical Shock Dynamics[END_REF] which makes difficult to achieve 3D applications and fluid structure interaction where multiple shock waves can interact.

More recently, Noumir et al. presented an algorithm, based on the Fast-Marching formalism, to efficiently solve the GSD model on Cartesian grids [START_REF] Noumir | A fastmarching like algorithm for geometrical shock dynamics[END_REF].

Comparisons with the exact solution of Riemann problems proved the validity and the accuracy of the method. In order to deal with more complex configurations, we now aim to extend this method by considering obstacles of arbitrary shape, not aligned with the mesh. The numerical procedure is inspired by the Immersed Boundary Method, taking into account the specificities of the Fast-Marching paradigm.

In this paper, we first recall the formulation of the GSD model as well as Noumir et al.'s algorithm in Section 2. Then, the extension of the Immersed Boundary Method (IBM) to this model is presented in Section 3. Finally, in section 4, the resulting algorithm is confronted to different configurations in 2D and 3D, the results being compared to experimental data and CFD simulations 40 when available.

The Geometrical Shock Dynamics model

In this section we recall the formulation of the GSD model together with Noumir et al.'s Fast-Marching like algorithm for its numerical approximation.

Physical model

The GSD model [START_REF] Whitham | A new approach to problems of shock dynamics, Part I : Two-dimensional problems[END_REF] is a simplified method describing the propagation of shock waves. According to a geometrical vision, the shock evolution is decomposed along ray tubes (i.e. orthogonal curves to the front) of slowly varying cross sectional area A. Using an approximation of the Euler equations together with the Rankine-Hugoniot relations, Whitham obtained an expression linking A and the local shock Mach number M , known as the A -M rule:

M λ(M ) M 2 -1 ∇M • n + ∇A • n A + F = 0, (1)
where n denotes the outward unit normal to the front and

λ(M ) = 1 + 2 γ + 1 1 -µ(M ) 2 µ(M ) 1 + 2µ(M ) + 1 M 2 , (2a)
µ(M ) = 2 + (γ -1)M 2 2γM 2 + 1 -γ , (2b)
with γ the polytropic coefficient of the gas, fixed at the value 1.4 for the air in this study. The term F represents the influence of the post-shock flow, which can be neglected under the hypothesis of strong shock.

The level-set formalism is employed to represent the shock front, evolving according to its normal local speed V n and curvature only. On a domain Ω ⊂ R d (d = 1, 2, 3), at a given time t, the front is seen as a surface Γ(t) = {x ∈ Ω; φ(x, t) = 0}, where φ denotes a level-set function satisfying the Hamilton-Jacobi equation

∂ t φ + V n |∇φ| = 0. ( 3
)
Assuming the front is single pass, the function φ is defined as φ(x, t) = α(x)-c 0 t, where c 0 is the constant speed of sound in air, in the unshocked part of the domain, and α is the shock position. The relation (3) then reduces to the Eikonal equation

M |∇α| = 1, (4)
where M = V n /c 0 is the local Mach number. Following Whitham [START_REF] Whitham | Linear and Nonlinear Waves[END_REF], one may also show the relation

div n A = 0. (5)
The GSD model is therefore composed of Eqs. ( 4)-( 5), together with the A -M relation [START_REF] Ridoux | Beyond the limitation of Geometrical Shock Dynamics for diffraction over wedges[END_REF] in which the term F is neglected. This model is hyperbolic, meaning that discontinuities can develop on the front. These disturbances, called shockshock by Whitham, are the traces of waves (not modeled) behind the shock.

For example, in the case of irregular reflection, the shock-shock is the locus of the triple point of the Mach stem.

In practice, following the procedure of Noumir et al. [START_REF] Noumir | A fastmarching like algorithm for geometrical shock dynamics[END_REF], we choose to write the model in a simpler way, although non conservative. Noting that

div(n) = ∇α • ∇M + M ∆α, (6)
the combination of Eqs. (1) (with F = 0) and ( 5) leads to the formulation

M |∇α| = 1, ( 7a
) ∇α • ∇M = S(M )∆α, ( 7b
)
where the function S is defined by the formula

S(M ) = - M (M 2 -1) M 2 (λ(M ) + 1) -1 . (8)
Doing so, we get rid of the quantity A and the GSD model [START_REF] Best | A generalisation of the theory of geometrical shock dynamics[END_REF] results in a set of two equations associated to two unknowns, namely α and M . The model is completed with the initial boundary conditions

α| Γ0 = α 0 , (9a)
M | Γ0 = M 0 , (9b)
where α 0 and M 0 are given functions on the hypersurface Γ 0 . In theory, the non conservativity of the formulation (7) could induce precision loss in numerical results. However, as we shall see in Section 4, a good agreement with experimental data is observed.

Numerical approximation

A well-known efficient way to solve isotropic Eikonal equations on Cartesian grids is the Fast-Marching Method (FMM), first introduced by Tsitsikllis [START_REF] Tsitsiklis | Efficient algorithms for globally optimal trajectories[END_REF] and popularized later by Sethian [START_REF] Sethian | Level Set Methods and Fast Marching Methods: Evolving Interfaces in Computational Geometry[END_REF]. An important feature of these equations is that their characteristic lines coincide with the gradient lines of the viscosity solution. However, the GSD model [START_REF] Best | A generalisation of the theory of geometrical shock dynamics[END_REF] does not fall in this category. It can be seen as an anisotropic Eikonal equation where the shock speed is defined implicitly through the nonlinear formula (7b). In such cases, alternative methods have to be considered for the numerical resolution. Some of these, called Ordered Upwind Methods, were introduced by Sethian and Vladimirsky [START_REF] Sethian | Ordered upwind methods for static Hamilton-Jacobi equations[END_REF][START_REF] Sethian | Ordered Upwind Methods for Static Hamilton-Jacobi Equations: Theory and Algorithms[END_REF] for a class of Hamilton-Jacobi equations. Nevertheless, we choose to follow the work of Noumir et al. [START_REF] Noumir | A fastmarching like algorithm for geometrical shock dynamics[END_REF] dealing with an extension of the FMM, which showed encouraging results. In this subsection, we first recall the principle of the standard FMM applied to Eq. (7a) only, to better explain its extension to handle the GSD model [START_REF] Best | A generalisation of the theory of geometrical shock dynamics[END_REF].

Let Ω = [0, L x ]×[0, L y ]×[0, L z ] be a computational domain, discretized by an uniform Cartesian mesh with grid spacings ∆x, ∆y and ∆z. The approximate solution of the shock position α and the Mach number M at grid points are denoted by α i,j,k = α(x i , y j , z k ) and M i,j,k = M (x i , y j , z k ) respectively, where

x i = i∆x, y j = j∆y and z k = k∆z. The FMM takes advantage of the single pass front configuration to compute the values of α i,j,k in the shock vicinity.

The computational domain is divided into three distinct zones:

1. Known: set of points already intercepted by the front whose values are frozen and no longer computed.

2. Narrow Band: neighboring points of the Known set, not yet intercepted.

3. Far: rest of the points, i.e.

those not yet intercepted, but remaining far from the front.

In the FMM, one iteration of the algorithm consists in three steps. First, the Narrow Band point associated to the minimal trial value of α is considered as intercepted by the front and thus moved to the Known set. In the next step, its direct neighbors in the Far set are transferred to the Narrow Band set. Finally, the trial values of α in the vicinity of the new accepted point are updated, using information from the Known set only. The performance of the algorithm is greatly improved using a min-heap data structure to find the point with minimum trial value. For a single pass front, the complexity of the algorithm is O(N log(N )) where N denotes the total number of points in the domain, and can be reduced to as low as O(N ) under further assumptions [START_REF] Yatziv | O(N) implementation of the fast marching algorithm[END_REF].

As explained in [START_REF] Noumir | A fastmarching like algorithm for geometrical shock dynamics[END_REF], the FMM needs to be updated to handle the GSD model: two trial values, one for α and the other for M , must be considered at each point of the Narrow Band. In the following, they will be denoted by ϑ and m respectively. Before discussing the enhancements of the FMM, let us present the discrete version of (7). To begin with, the approximation of the Eikonal equation (7a) is done classically using the first order Godunov's scheme [START_REF] Osher | Fronts propagating with curvature-dependent speed: Algorithms based on Hamilton-Jacobi formulations[END_REF]:

max ϑ -α i+1,j,k ∆x , ϑ -α i-1,j,k ∆x , 0 2 + max ϑ -α i,j+1,k ∆y , ϑ -α i,j-1,k ∆y , 0 2 + max ϑ -α i,j,k+1 ∆z , ϑ -α i,j,k-1 ∆z , 0 2 = 1 m 2 . ( 10
)
This upwind procedure has proven to be efficient in many applications [START_REF] Osher | Level Set Methods and Dynamic Implicit Surfaces[END_REF][START_REF] Sethian | Level Set Methods and Fast Marching Methods: Evolving Interfaces in Computational Geometry[END_REF] as it captures the correct viscosity solution of the problem [START_REF] Crandall | Two approximations of solutions of Hamilton-Jacobi equations[END_REF]. Looking at

/* Approximation of D x = ∂ x α ∂ x M */ D x = 0 if ϑ > α i+1,j,k or ϑ > α i-1,j,k then if max(ϑ -α i+1,j,k , 0) > max(ϑ -α i-1,j,k , 0) then D x = ϑ -α i+1,j,k ∆x m -M i+1,j,k ∆x else D x = ϑ -α i-1,j,k ∆x m -M i-1,j,k ∆x end end Algorithm 1: Approximation of ∂ x α ∂ x M at (x i ,y j ,z k ). A similar ap- proach applies to ∂ y α ∂ y M and ∂ z α ∂ z M .
Eq. (7b), the approximation of ∇α • ∇M is based on the upwind directions selected in Eq. ( 10). This ensures a coherent computation of ∇M regarding ∇α. The procedure is detailed for the x direction in Algorithm 1.

Concerning the term ∆α, as mentioned in [START_REF] Noumir | A fastmarching like algorithm for geometrical shock dynamics[END_REF], a second order centered approximation is preferred in order to allow the development of intermediate states during shock-shock or shock-obstacle interactions. To this end, as shown in Fig. 1, the Narrow Band is extended to further points, so that this method can be performed at direct neighbors of the Known set. If a central discretization is not possible (neighbor points of the Far set for example), then a second order upwind formula is chosen, again according to the directions selected in Eq. [START_REF] Anand | Shock dynamics of strong imploding cylindrical and spherical shock waves with non-ideal gas effects[END_REF].

The summary of this procedure in the x direction is presented in Algorithm 2.

Finally, at each point of a subset of the Narrow Band, a local nonlinear system is solved to find the corresponding values of ϑ and m. Newton's method is used for this purpose. Contrary to the standard FMM, this extended version uses indifferently values from the Known or Narrow Band sets to compute the trial values. This is illustrated in Fig. 1. In practice, the updated neighbors of P are the points within a distance of at most 2 neighbors in every direction. This set can be extended; however, taking into account more points does not seem

/* Approximation of ∆ α x = ∂ 2 xx α */ ∆ α x = 0 if α i+1,j,k < INF and α i-1,j,k < INF then /* Centered formula */ ∆ α x = α i+1,j,k -2ϑ + α i-1,j,k ∆x 2 else /* Upwind formula */ if ϑ > α i+1,j,k or ϑ > α i-1,j,k then if max(ϑ -α i+1,j,k , 0) > max(ϑ -α i-1,j,k , 0) then if α i+1,j,k > α i+2,j,k then ∆ α x = ϑ -2α i+1,j,k + α i+2,j,k ∆x 2 end else if α i-1,j,k > α i-2,j,k then ∆ α x = ϑ -2α i-1,j,k + α i-2,j,k ∆x 2 end end end end Algorithm 2: Approximation of ∂ 2 xx α at (x i ,y j ,z k ).
A similar approach applies to ∂ 2 yy α and ∂ 2 zz α.

to have much influence on the precision of the numerical solution.

The iterative procedure of the algorithm can be summarized as follow:

1. Find the Narrow Band point P associated to the smallest value of ϑ. •

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ⋆ Shock front • Known set Narrow Band
Far set ⋆ Newly intercepted point Updated neibourhood

Treatment of rigid obstacles

Only fixed, infinitely rigid obstacles are considered in this work. For GSD, the natural boundary condition at a rigid frontier is the orthogonality of the front to it. This leads to the homogeneous Neumann condition

∇α • N = 0, on ∂Ω s , (11)
where N denotes the outward-pointing unit normal vector of the obstacle Ω s .

In this section we first recall the underlying procedure of the classical Immersed Boundary Method. Then an alternative version compatible with the 125 Fast-Marching like algorithm for GSD is presented.

Classical Immersed Boundary Method

One way to handle rigid obstacles on a Cartesian grid is to use the so-called Immersed Boundary Method [START_REF] Chaudhuri | On the use of immersed boundary methods for shock/obstacle interactions[END_REF][START_REF] Mittal | Immersed boundary methods[END_REF]. The procedure first consists in identifying grid points belonging to the solid domain while having at least one neighbor in

135

A direct and simple method to compute the values α IP is to employ an interpolation from the nearest points in the fluid domain [START_REF] Chaudhuri | On the use of immersed boundary methods for shock/obstacle interactions[END_REF]. This technique provides satisfactory results for the resolution of the Euler equations, but it may fail when applied as such in combination with the Fast-Marching like algorithm.

The reason is that neighbors of image points may not have been assigned trial 140 values yet, which makes the approximation of α IP hazardous.

Modified Immersed Boundary Method

The modification of the Immersed Boundary Method, adapted to the Fast-Marching context, is now presented. Suppose trial values have been computed on a Narrow Band point (x i , y j , z k ) of the fluid domain, located near a rigid wall. The idea consists in updating the values of its neighboring ghost points, say (x i-1 , y j , z k ), (x i , y j-1 , z k ) and x i , y j , z k-1 ), in a way compatible with [START_REF] Anand | On dynamics of imploding shock waves in a mixture of gas and dust particles[END_REF].

A similar 2D configuration is illustrated in Fig. 2. The question to answer is:

what would be the gradient of α at (x i , y j , z k ) computed from its neighbors in the solid domain satisfying the Eikonal equation (7a) and the slip condition (11)?

At the current point location, this gradient, denoted ∇α, satisfies the relations

M ∇α = 1, ( 12a
) ∇α • N = 0. ( 12b
)
The equation (12b) then leads to ∇α = ( ∇α • T)T, where T = (T x , T y , T z ) is a vector locally tangent to the obstacle. Here we suppose the vectors N and T are orthonormal. Written in each coordinate, this relation reads

• N T • • • • • • Narrow Band • Ghost points (x i , y j-1 ) (x i-1 , y j ) (x i , y j ) (x i+1 , y j ) (x i , y j+1 ) Ω s
∂x α = ( ∇α • T)T x , (13a)
∂y α = ( ∇α • T)T y , (13b)
∂z α = ( ∇α • T)T z , (13c)
that is, assuming each coordinate of T is nonzero,

∇α • T = ∂x α T x = ∂y α T y = ∂z α T z . ( 14
)
Combining this result with the Eikonal equation (12a), one gets

M ∂x α T x = 1, (15a)
M ∂y α T y = 1, (15b)
M ∂z α T z = 1. ( 15c
)
In the special case a coordinate of T is zero, the corresponding relation in [START_REF] Besset | Propagation of vertical shock waves in the atmosphere[END_REF] must be used.

To compute the derivatives, the expression of the vector T has to be established. Let us recall that by hypothesis, trial values are available at the point (x i , y j , z k ). Therefore, there exists a priori another approximation of the gradient of α, computed from the fluid domain; this quantity is denoted by ∇α. The decomposition along N and T then leads to

( ∇α • T)T = ∇α -( ∇α • N)N. (16)
Note that the quantity ∇α•N is a priori nonzero as the approximation ∇α does not take the obstacle into account. Moreover, the right hand side in Eq. ( 16)

can be calculated since it depends only on known quantities. Thus, to obtain the expression of T, the previous vector are normalized , that is

T = ∇α -( ∇α • N)N ∇α -( ∇α • N)N . (17)
However, an uncertainty is present in Eq. ( 15) because of the absolute values.

It is possible to get rid of this limitation by setting that ∇α and T are in the same direction. This way, the ratio between each component of these vectors is always nonnegative. Under this assumption, an approximation at first order of α at ghost point is obtained using the formulae Concerning the values of the Mach number M , we simply impose

α i,j,k -α i-1,j,k ∆x = T x M i,j,k , (18a)
α i,j,k -α i,j-1,k ∆y = T y M i,j,k , (18b)
α i,j,k -α i,j,k-1 ∆z = T z M i,j,k . (18c)
M i-1,j,k = M i,j-1,k = M i,j,k-1 = M i,j,k , (19)
where this equality holds only for non-Known points.

In the Fast-Marching like algorithm, once the point (x i , y j , z k ) is moved to the Known set and the values of the neighboring ghost points are updated, these are fixed for the rest of the simulation. Hence the presented procedure applies only at ghost points for which discrete values have not been fixed yet.

A particular treatment should be performed locally at corner points. More precisely, ghost points having neighbors in the fluid domain across multiple obstacle faces should be assigned multiple values for α and M (i.e. one set of unknowns associated to each face). This enhancement has not been implemented because of the complex data structure it requires. In practice, replacing sharp corners by smoothed ones avoids the aforementioned situation, and provides satisfactory results.

The proposed algorithm is simple, straightforward to implement, robust, and compatible with 3D configurations.

Algorithm validation

We now present a series of numerical experiments on uniform Cartesian meshes to attest the capabilities of our algorithm. Comparisons with experimental data as well as with the CFD code UBIK are performed. UBIK is an home-made code solving the compressible Euler equations of fluid dynamics with higher order numerical schemes [START_REF] Jiang | Efficient Implementation of Weighted ENO Schemes[END_REF] and an Immersed Boundary Method for fluid-structure interaction [START_REF] Chaudhuri | On the use of immersed boundary methods for shock/obstacle interactions[END_REF]. This code has been previously validated and 165 used in several configurations [START_REF] Zhao | Comparison of improved finite-difference WENO schemes for the implicit large eddy simulation of turbulent nonreacting and reacting high-speed shear flows[END_REF].

Numerical convergence

To attest the numerical convergence of the method, we consider the diffraction of a planar shock moving at Mach number 10 around a 90 degrees corner on a domain of size [0, 7] × [0, 7]. The approximate solution on a 800 × 800 mesh is represented in Fig. 3. Error estimates as well as the convergence rates and CPU times are gathered in Tab. 1. The relative L 2 norm defined as

Err(M ) 2 = Ω |M approx. -M ref. | 2 Ω |M ref. | 2 (20)
for M (and a similar formula for α) is employed to measure the numerical error, seeing approximate solutions as piecewise constant functions over the domain.

Concerning the orders of convergence, these are given by the formula

order = log(E 2 ) -log(E 1 ) log(N 2 ) -log(N 1 ) , (21)
where E 1 and E 2 represent the errors related to the meshes N 1 ×N 1 and N 2 ×N 2 respectively. This numerical convergence study is performed using the approximate solution on a 6400 × 6400 mesh as the reference solution. This explains the rise in convergence rates for the more refined mesh. The measured CPU times confirm the expected complexity of the algorithm in O(N log(N )), where N is the total number of points.

Influence of the mesh orientation and of the Narrow Band width

A desirable property to check concerns the independence of the results regarding the mesh orientation. To this end we consider a well-known configuration, namely the interaction of a planar shock with a circular obstacle. This problem has been studied by many authors and is well documented in the literature (see e.g. [START_REF] Aslam | Investigations on detonation shock dynamics[END_REF][START_REF] Whitham | Linear and Nonlinear Waves[END_REF]). The computational domain of size [0, 7] × [0, 7] is discretized by 800 × 800 points, while the obstacle has a radius of 0. to the formation of a Mach stem. A very good agreement is observed between the different configurations. Moreover, one may also note that the symmetry of the problem is preserved. Superimposing the shock positions, as shown in Fig. 5, only few discrepancies are found and may be imputed to the local discretization of the obstacle.

The influence of the Narrow Band width is now discussed. We consider the case where the initial shock is parallel to the y-axis, and the Narrow Band has a fixed width between 2 and 10 (corresponding to the stencil size used in the update procedure of the algorithm). In this configuration, this parameter seems to have little influence as the numerical results are almost identical. In Fig. 6 the locus of the triple points is compared with Bryson's experimental data [START_REF] Whitham | Linear and Nonlinear Waves[END_REF] and the results of the UBIK code for several width values. An overall good agreement is observed regarding the simplicity of the GSD model. A slight underestimation of the trajectories is found with our algorithm, which may be due to the non conservativity of the method. In Fig. 7 is gathered the evolution of some quantities during the front propagation:

1. the total number of points in the Narrow Band, 2. the number of points to update in the Narrow Band, 3. the CPU time.

First, for a given width parameter, the total number of points in the Narrow Band does not vary much (see Fig. 7a), except when the front is located near the obstacle. The number of points in the Narrow Band grows linearly with the Narrow Band width parameter. Indeed, in the case of a planar shock, setting E the width of the Narrow-Band and N the number of grid points in the tangential direction, there is E × N points in the Narrow Band. Then the figure 7b shows that the number of points to update is approximately constant for a given width. However, this quantity evolves quadratically with the Narrow Band width. With the aforementioned notations, one can see that it is of the order of (2E + 1)E. As a consequence, this behavior is also observed for the evolution of the CPU time in Fig. 7c. Regarding this study, considering a Narrow Band width of 2 is a good compromise between accuracy and computation time.

More generally, we checked that this value gives satisfactory results even on more complex configurations.

Compression wedge

This validation step consists in analyzing the interaction of a planar shock with compression wedges. A similar study was made by Noumir et al. [START_REF] Noumir | A fastmarching like algorithm for geometrical shock dynamics[END_REF].

However, back then no obstacle was taken into account as the compression occurred against a border of the domain. The numerical domain has a size of are presented in Fig. 8a and8c. The interaction of the shock with the obstacle gives birth to a triple point whose trajectory depends on the wedge angle and the initial Mach number. In Fig. 8b and 8d are presented the evolution of the reflected angle and of the Mach number at the obstacle wall as a function of the wedge angle. As a general trend, the steeper the wedge is, the smaller the Mach stem length is and the higher the Mach number at the border gets. The results given by the GSD model are compared with the ones from the UBIK code and the theoretical values for GSD in the strong shock limit (see [START_REF] Noumir | A fastmarching like algorithm for geometrical shock dynamics[END_REF]).

In comparison to the theoretical values, a good agreement is found for angles less than 30 degrees. Beyond this angle, our algorithm suffers from the non conservativity hypothesis and underestimates the reference data. For angles larger than 45 degrees, the method seems not able to generate a shock-shock.

Transition between regular reflection and Mach reflection

In this section we focus on the capacity of our algorithm to deal with regular reflection (RR) and Mach reflection (MR) when a shock impinges a rigid obstacle. In the former case, the reflected shock is attached to the structure wall, 240 whereas in the latter, both the reflected and incident waves are detached from the obstacle and are linked to it through a third wave, known as Mach stem.

Strictly speaking, the GSD model cannot deal with the RR case. A shock-shock is always present in the model. Nevertheless, the height of this shock-shock is so small in practice that the numerical model does not allow its development. Heilig [START_REF] Heilig | Diffraction of a Shock Wave by a Cylinder[END_REF] and Itoh et al. [START_REF] Itoh | On the transition between regular and Mach reflection in truly non-stationary flows[END_REF]. The obstacle is a cylinder of diameter unity.

The computational domain, of size [0, 1.5] × [0, 1.25], is meshed with 960 × 800 points. Experimentally, during a first phase, the reflection with the structure is regular. Then, when the angle between the incident shock and the obstacle wall is high enough, the reflection becomes irregular and gives birth to a Mach stem.

The path of the associated triple point is shown in Fig. 9b. The GSD results

are compared with the experimental data from Heilig [START_REF] Heilig | Diffraction of a Shock Wave by a Cylinder[END_REF] and Itoh et al. [START_REF] Itoh | On the transition between regular and Mach reflection in truly non-stationary flows[END_REF],

and with the numerical results from UBIK. Although slightly underestimated, as in the case of Subsection 4.1 at a higher Mach number, we observe that our numerical procedure is able to reproduce experimental results with quite a good accuracy.

An opposite configuration, that is the interaction of a planar shock with a circular concave wedge of radius unity, is presented in Fig. 10a. The corresponding domain of size [0, 1.5] × [0, 1.2] is discretized by 1000 × 800 points.

As an initial condition, the shock moves at a Mach number equal to 1.8. This time, the reflection is irregular in the first place with the formation of a growing Mach stem. Then, when the decreasing angle between the incident shock and the obstacle gets under some limit angle, the reflection becomes regular with the disappearance of the Mach stem. The computed triple point path is compared to Itoh et al.'s data [START_REF] Itoh | On the transition between regular and Mach reflection in truly non-stationary flows[END_REF] in Fig. 10b, and with the results from UBIK. In this case, an excellent agreement is found with our approach.

As mentioned by Itoh et al., among others, it should be noted that, given a Mach number for the incident shock, the angle φ associated to the transition RR→MR is different from the one associated to the transition MR→RR.

Tube

We are now concerned with the propagation of a plane shock down a tube, following a study by Schwendeman [START_REF] Schwendeman | A higher-order Godunov method for the hyperbolic equations modelling shock dynamics[END_REF]. The obstacle is delimited by the curves

y 0 (x) = 1 2 + 1 2 cos(x) (22a)

Interaction with a sphere

We now present a 3D test case, namely the interaction of a plane shock with a sphere, as studied by Bryson and reported by Whitham [START_REF] Whitham | Linear and Nonlinear Waves[END_REF]. Here we consider the case where the initial shock Mach number is 2.85. The computational domain of size [0, 5] 3 is discretized by 200 points in each direction. In Fig. 12a, 12b and 12c are represented a 3D view as well as slices at y = 2.5 and z = 2.5 of the results obtained with our GSD algorithm. Similar results are found on these slices, which is an expected behavior due to the symmetry of the problem. As for the configuration presented in Subsection 4.2, the interaction of the shock and the obstacle produces surfaces of triple points locus. Their trajectories are compared with Bryson's data and results from the UBIK code in Fig. 12d. In this configuration, the triple point position is in excellent agreement between all references. This behavior is also observed at higher resolution.

Conclusion

A methodology has been presented in detail to take into account obstacles of arbitrary shape in the GSD model. The numerical method is compatible with the Fast-Marching paradigm on Cartesian grids by using available information in the fluid domain. The procedure relies on ghost points in the inner obstacle wall, on which unknowns are updated to implicitly impose an homogeneous Neumann condition. The proposed algorithm is simple and straightforward to implement. Comparisons on various configurations showed that the algorithm is able to reproduce reference data with a satisfactory precision, even at first order.

Slight discrepancies, such as underestimation of the triple point trajectories, may be imputed to the non conservativity of the model formulation. In the future we plan to extend our method to weak shocks following the Lagrangian idea developed in [START_REF] Ridoux | Beyond the limitation of Geometrical Shock Dynamics for diffraction over wedges[END_REF], and to develop a conservative high order formulation to improve the computational efficiency.

2 .

 2 Add P to the Known set and its neighbors not yet intercepted by the front in the Narrow Band.

120 3 .

 3 Update the values of ϑ and m at neighbors of P in the Narrow Band.

Figure 1 :

 1 Figure 1: Classification of grid points for the extended FMM.

  130 the fluid domain. These points are called ghost points (GP). One then defines boundary points as the orthogonal projection of ghost points onto the obstacle wall. In the fluid part, image points (IP) represent the symmetric of ghost points with respect to the corresponding boundary point. In this context, the Neumann condition (11) locally reads α GP = α IP .

Figure 2 :

 2 Figure 2: Example of configuration in 2D.

Figure 3 :

 3 Figure 3: Diffraction of a planar shock moving at Mach number 10 around a 90 degrees corner. Representation of the successive positions of the shock (grey lines) superimposed on the Mach number colormap.

  5. The initial Mach number of the shock is 2.81. The results obtained with the GSD model are represented in Fig. 4 for different orientations of the front. When hitting the obstacle, the shock splits into two parts, each one forming a triple point. The front then diffracts around the cylinder before recombining, leading(a) θ = 0 degrees. (b) θ = 15 degrees. (c) θ = 30 degrees. (d) θ = 45 degrees.

Figure 4 :

 4 Figure 4: Interaction of a planar shock moving at Mach number 2.81 with a cylinder. Initially the shock is tilted at an angle θ regarding the y-axis. Representation of the successive positions of the shock (grey lines) superimposed on the Mach number colormap.

[0, 7 ]

 7 × [0, 7] and is discretized by 800 × 800 points. Initially, the shock has a Mach number of 10. Results obtained with wedge angles of 10 and 35 degrees

Figure 5 :

 5 Figure 5: Interaction of a planar shock moving at Mach number 2.81 with a cylinder. Comparison of shock positions for different tilt angle θ regarding the y-axis of the initial front.

Figure 6 :

 6 Figure 6: Interaction of a planar shock moving at Mach number 2.81 with a cylinder. Comparison of shock-shock trajectories between Bryson's data [4], the UBIK code and the GSD model with a Narrow Band (NB) width set to 2, 3 and 10.

245

  Two cases are considered to illustrate this behavior.In Fig.9ais represented the interaction of a planar shock, initially moving at Mach number 1.92, with a convex wedge, following the experiments of Evolution of the number of points in the Narrow Band.

  Evolution of the number of points to update in the Narrow Band.

  Evolution of the CPU time.

Figure 7 :

 7 Figure 7: Interaction of a planar shock moving at Mach number 2.81 with a cylinder. Evolution of the number of points in the Narrow Band and of the CPU time.

  (a) θ0 = 10 degrees. Representation of the successive positions of the shock (grey lines) superimposed on the Mach number colormap.

  Evolution of the wall Mach number Mw versus θ0. (c) θ0 = 35 degrees. Representation of the successive positions of the shock (grey lines) superimposed on the Mach number col-Evolution of the reflected angle θw versus θ0.

Figure 8 :

 8 Figure 8: Interaction of a planar shock moving at Mach number 10 with a compression wedge of angle θ 0 regarding the x-axis.

  (a) Representation of the successive positions of the shock (grey lines) superimposed on the Mach number colormap. Itoh et al.'s data UBIK GSD (b) Comparison of the shock-shock trajectory of our algorithm with the ones from Heilig's data [33], Itoh et al.'s data [34] and the UBIK code.

Figure 9 :

 9 Figure 9: Interaction of a planar shock moving at Mach number 1.92 with a convex wedge.

( a )

 a Representation of the successive positions of the shock (grey lines) superimposed on the Mach number colormap. Comparison of the shock-shock trajectory of our algorithm with the ones from Itoh et al.'s data [34] and the UBIK code.

Figure 10 :

 10 Figure 10: Interaction of a planar shock moving at Mach number 1.8 with a concave wedge.

and y 1 (

 1 of size [-0.1, 3] × [0, 2.5], which is discretized by 930 × 750 points. Initially, a planar shock moving at Mach number 2 is located at the entrance of the tube at x = 0. The results obtained with the GSD model are presented in Fig. 11a. The upper boundary wall acts as a compression wedge, hence generating a triple point which propagates down the tube. On the contrary, the lower wall induces an expansion which decreases the shock speed. A comparison of the triple point trajectory with the UBIK code and Schwendeman's data is performed in Fig. 11b. In this configuration, where the angle varies slowly, an excellent agreement with the CFD computation is found.

  (a) Representation of the successive positions of the shock (grey lines) superimposed on the Mach number colormap. Comparison of the shock-shock trajectory of our algorithm with the ones from Schwendeman's data [35] and the UBIK code.

Figure 11 :

 11 Figure 11: Propagation of a planar shock moving at Mach number 2 down a tube.

( a )

 a Slice at y = 2.5. Representation of the successive positions of the shock (grey lines) superimposed on the Mach number colormap. (b) Slice at z = 2.5. Representation of the successive positions of the shock (grey lines) superimposed on the Mach number col-Comparison of shock-shock trajectories with Bryson's data [4] and the UBIK code in the plane z = 2.5.

Figure 12 :

 12 Figure 12: Interaction of a planar shock moving at Mach number 2.85 with a sphere.

Table 1 :

 1 Diffraction of a planar shock of Mach number 10 around a 90 degrees corner. The reference solution for the computation of the error estimates refers to the solution obtained on a 6400 2 mesh.

	Number of points	Relative L 2 error (M )	Convergence rate (M )	Relative L 2 error (α)	Convergence rate (α)	CPU time (s)
	50 2 100 2 200 2 400 2 800 2 1600 2 3200 2	3.525 • 10 -2 2.181 • 10 -2 1.257 • 10 -2 6.990 • 10 -3 3.714 • 10 -3 1.777 • 10 -3 6.538 • 10 -4	-0.693 0.795 0.847 0.912 1.064 1.442	3.441 • 10 -2 2.167 • 10 -2 1.225 • 10 -2 6.536 • 10 -3 3.299 • 10 -3 1.505 • 10 -3 5.439 • 10 -4	-0.667 0.823 0.907 0.987 1.132 1.469	2.400 • 10 -2 7.823 • 10 -2 0.277 1.051 4.055 16.041 68.108

Acknowledgement

N. Lardjane is grateful to Youness Noumir for the discussions and exchanges that gave rise to this work.


Chantal Gauze-Gnagne

Absalome Monde

Massara Camara-Cisse

Youzan Ferdinand Djohan

Gervais Koffi

Audrey Pellicer

Fabrice Raynaud

Pascal Seyer

Céline Lauret

Marion Morena

Christine Feillet-Coudray

Charles Coudray

Georges Tiahou

Séraphin Kati-Coulibaly

Jean Paul Cristol

Eric Badia

Etude de l'effet d'un régime riche en huile de palme sur l'expression génétique des facteurs myogéniques

Keywords: Régime riche graisses, muscle squelettique, Pax7, Myf5, MyoD, MyoG High-fat diet, skeletal muscle, Pax7, Myf5, MyoD, MyoG

teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

INTRODUCTION

Une perte excessive de masse musculaire est associée à un mauvais pronostic dans plusieurs maladies, notamment les myopathies et les dystrophies musculaires, ainsi que dans les troubles systémiques tels que le cancer, le diabète, la septicémie et l'insuffisance cardiaque (Bonaldo and Sandri, 2013). Le muscle squelettique représente 40% de la masse corporelle. Il conditionne la mobilité des individus, mais aussi pour une bonne part, la réponse à l'insuline et de ce fait a un retentissement direct sur l'état de santé. Il est composé de myocytes, qui sont des fibres musculaires plurinucléées. Leurs noyaux se situent en périphérie des fibres. [START_REF] Ciciliot | Muscle Type and Fiber Type Specificity in Muscle Wasting[END_REF]Bonaldo et Sandri, 2013). Il contient aussi des cellules souches dites « satellites » qui sont disposées en périphérie des fibres. Ces cellules peuvent-être activées à partir d'un état de quiescence pour répondre à des besoins tels que la croissance ou la réparation musculaire (Aas et al., 2013). Lorsque le muscle adulte est endommagé, une cascade d'évènements conduit à l'expression de facteurs de transcription qui vont activer les cellules satellites les conduisant dans un cycle de prolifération cellulaire. Ce processus de régénération induit de façon chronologiquement ordonnée l'expression de plusieurs facteurs myogéniques : PAX7 qui est impliqué dans l'activation et la sortie de quiescence des cellules satellites ; MYF5 et MYOD sont exprimés dès le stade de prolifération des myoblastes ; et la Myogénine (MYOG) qui est exprimée lors du processus de différenciation des myoblastes [START_REF] Chen | Androgen Regulation of Satellite Cell Function[END_REF]. Les cellules satellites des muscles squelettiques sont également fortement affectées par l'obésité induite par le régime alimentaire [START_REF] Vignaud | Diabetes provides an unfavorable environment for muscle mass and function after muscle injury in mice[END_REF]. Plusieurs études ont démontré qu'une alimentation riche en graisses (HFD) conduit à l'obésité et provoque une myodégénérescence. Une atrophie du muscle squelettique avec une diminution des protéines myofibrillaires s'en suit, phénotypiquement caractérisée par une perte de masse musculaire et de force (Abrigo et al., 2016 ;[START_REF] Rasool | High fat with high sucrose diet leads to obesity and induces myodegeneration[END_REF]. L'obésité induite par le HFD entrave l'activation des cellules satellites et freine la régénération musculaire [START_REF] Fu | Obesity Impairs Skeletal Muscle Regeneration Through Inhibition of AMPK[END_REF]. Il a été démontré qu'un niveau élevé d'acides gras saturés dans le sang a un effet délétère sur les muscles squelettiques en inhibant à la fois la régénération des fibres musculaires (Brown et al., 2015) et la synthèse des protéines musculaires [START_REF] Woodworth-Hobbs | Docosahexaenoic acid prevents palmitate-induced activation of proteolytic systems in C2C12 myotubes[END_REF]. Pour certains de ces effets, la structure chimique des acides gras semble être un paramètre important dans les réponses obtenues [START_REF] Lipina | Lipid modulation of skeletal muscle mass and function[END_REF].

L'huile de palme (HP), issue de la pulpe du fruit du palmier à huile (Elaeis guineensis) est l'huile végétale la plus utilisée dans le monde. Elle se caractérise à l'état brut par sa couleur rouge orangée du fait de sa richesse en bêta-carotène, précurseur de la vitamine A [START_REF] Monde | Connaissance, attitudes et pratiques sur les valeurs nutritionnelles de l'huile de palme chez le personnel médical et paramédical de l'Institut de cardiologie d'Abidjan[END_REF]. L'Indonésie et la Malaisie sont les principaux producteurs avec respectivement 50% et 35% de la production mondiale [START_REF] Monde | Connaissance, attitudes et pratiques sur les valeurs nutritionnelles de l'huile de palme chez le personnel médical et paramédical de l'Institut de cardiologie d'Abidjan[END_REF]. En Afrique tropicale, elle a toujours occupé une position prépondérante dans la production agricole, les échanges et la consommation de corps gras (Aholoukpe et al., 2013). De ce fait en Côte d'Ivoire, la recherche vise à améliorer la productivité du palmier à huile (Gogbe et al., 2010) et á contribuer à la gestion durable des forêts [START_REF] Gboze | Analyse systématique et phytogéographique de la forêt classée de Badénou (Korhogo, Côte d'ivoire)[END_REF]. Cependant, l'huile de palme fait l'objet de nombreuses controverses ces dernières années du fait, entre autres, de sa richesse en AGS. La situation est telle que la consommation d'huile de palme est parfois déconseillée par le corps médical et paramédical [START_REF] Monde | Connaissance, attitudes et pratiques sur les valeurs nutritionnelles de l'huile de palme chez le personnel médical et paramédical de l'Institut de cardiologie d'Abidjan[END_REF]. Plusieurs comités d'experts se sont réunis et des preuves scientifiques sur le rôle de l'huile de palme dans la sécurité alimentaire, la nutrition et la durabilité ont été analysées [START_REF] Marangoni | Palm oil and human health. Meeting report of NFI: Nutrition Foundation of Italy symposium[END_REF]Geistero et al., 2019). Il est établi qu'il n'existe aucune preuve des effets spécifiques de la consommation d'huile de palme sur la santé par rapport à d'autres graisses riches en acides gras saturés ; la distribution stéréospécifique des acides gras saturés dans la molécule de triacylglycérol de l'huile de palme limite leur taux d'absorption et leurs effets métaboliques ; en accord avec les directives internationales, l'apport en acides gras saturés doit être maintenu à <10% de l'énergie totale, dans le cadre d'une alimentation équilibrée ; dans ces limites, aucun effet délétère de la consommation d'huile de palme sur la santé humaine (et plus particulièrement sur les maladies cardio-vasculaires ou le risque de cancer) n'a pu être démontré avec certitude [START_REF] Marangoni | Palm oil and human health. Meeting report of NFI: Nutrition Foundation of Italy symposium[END_REF]Geistero et al., 2019). Nous avons récemment montré que l'expression des gènes de deux myokines aux propriétés anti-inflammatoires (Il-10 et myonectine), était plus élevée avec les régimes riches en huile de palme. Plus précisément, l'Il-10 est plus élevée dans le cas de l'huile de palme brute et la myonectine dans le cas de l'huile de palme raffinée [START_REF] Gauze-Gnagne | Impact of diets rich in olive oil, palm oil or lard on myokine expression in rats[END_REF]. L'objectif de cette étude était d'analyser l'effet d'un régime riche en huile de palme (brute et raffinée) sur l'expression des facteurs myogéniques dans le muscle de rats sédentaires par comparaison avec d'autre régimes riches en graisse saturées et insaturées (lard et huile d'olive).

MATERIEL ET METHODES

Cadre d'étude

Les rats ont été hébergés au CECEMA (Centre d'Elevage et de Conditionnement Expérimental des Modèles Animaux) de L'université de Montpellier. Les qPCR ont été réalisées à l'Unité U 1046 de l'Institut Universitaire de Recherche Clinique (IURC) de Montpellier.

Population d'étude

L'échantillon d'étude était constitué de 40 rats mâles Wistar âgés de 6 semaines fournis par le laboratoire Janvier Labs de Le Genet -St-Isle en France.

Méthodologie

Les rats ont été répartis au hasard en 5 groupes de 8 rats après une semaine d'adaptation au nouvel environnement. Ils ont été mis en cage par paire, dans un environnement contrôlé à une température entre 20 et 22 °C, un taux d'hygrométrie entre 45 et 60% et un cycle jour /nuit standard de 12 h pendant 12 semaines.

Le régime alimentaire

Le groupe témoin a été nourri par un régime de 3856 Kcal dont 12% provenaient des lipides sous forme d'huile de Soja. Les régimes riches en graisse étaient de 5192 Kcal dont 56% provenaient des lipides. Il y avait au total 4 régimes riches en graisse (HFD, High Fat Diet) : 1 régime riche en huile de palme rouge (cPO, crude Palm Oil), contenant 2,5% d'huile de soja et 30% de cPO ; 1 régime riche en huile de palme raffinée ( rPO,refined Palm Oil), contenant 2,5% d'huile de soja et 30% de rPO sous forme d'oléine de palme ; 1 régime riche en huile d'olive (OO, Olive Oil) contenant 2,5% d'huile de soja et 30% d'OO et 1 régime riche en Lard (contenant 2,5% d'huile de soja et 30% de Lard). Le détail de la composition des régimes est présenté dans le Tableau 1. Tous les régimes contenaient un apport en huile de Soja afin de maintenir un apport adéquat en acide linoléique permettant d'éviter une altération de la croissance observée en cas de carence en acide Linoléique. La composition des régimes, a été élaborée selon les recommandations des régimes des rats de l'American Institut of Nutrition AIN-93 [START_REF] Reeves | AIN-93 purified diets for laboratory rodents: final report of the American Institute of Nutrition ad hoc writing committee and reformulation of the AIN-76A rodent diet[END_REF] Tableau 2: Séquences des amorces utilisées pour quantifier l'expression de l'ARNm.

Gène

RESULTATS

Poids des muscles, du tissus adipeux et poids total des rats A l'issue des 12 semaines de régime, il a été observé une augmentation significative du poids total des rats nourris avec des régimes riches en graisse (HFD) par rapport aux rats du groupe témoin (Tableau 3). Aucune différence significative n'a été observée entre le poids total des rats nourris avec les différents régimes riches en graisse. Le TA adipeux était significativement élevé chez les rats nourris avec un régime riche en graisse et ceci, indépendamment du type de graisse. Concernant le poids des muscles, nous avons pu observer une augmentation significative du poids absolu du muscle soléaire des rats nourris avec un régime HFD indépendamment du type de graisse. Cependant le poids relatif du muscle soléaire (ratio du poids absolu sur le poids total) ne présentait pas de différence significative entre HFD et Témoins. Nous avons observé le phénomène inverse au niveau des muscles gastrocnémien.

Expression des facteurs myogéniques

Une tendance à l'augmentation non significative (p=0,079) de l'expression du gène de Pax7 entre les témoins et l'ensemble des groupes HFD a été observée. Cependant les différences lorsque l'on compare les différents régimes riches en graisse entre eux, ne sont pas significatives (Figure 1).

Tous les groupes HFD ont présenté une expression du gène Myf5 qui n'est pas significativement différente de celle du groupe témoin. Lorsque les différents régimes riches en graisse sont comparés entre eux, une tendance (p=0,08) à la diminution de cette expression est observée pour les groupes rPO et Lard (Figure 2). Les variations observées de l'expression de MyoG ne sont pas significatives aussi bien lorsque l'on compare l'expression Ctrl/HF que Fat/Fat. (Figure 3). Dans ce cas, du fait de la valeur élevée de l'écart type du groupe cPO, le test statistique manque de puissance.

Des différences significatives ont été observées au niveau de l'expression de l'ARNm du gène du facteur myogénique MyoD (Figure 4). L'expression du gène s'est avérée significativement plus faible dans le groupe Témoin que dans l'ensemble des groupes riches en graisse (p=0,0004). D'autre part, en comparant les régimes riches en graisse, il apparaît une expression significativement plus élevée de MyoD (p = 0.05) dans le régime riche en huile d'olive.

Dans la Figure 5, une corrélation positive a été observée entre MyoD et Pax7 (r=0,44 ; p=0,0039). D'autre part, bien que l'expression de MyoG n'ait pas présenté de différence significative entre le groupe Témoin et ceux correspondant aux régimes riches en graisse, une corrélation positive entre Myf5 et MyoG (r=0,56 ; p=0,002) a été observée (Figure 6).

DISCUSSION

L'accumulation excessive de lipides résultant d'un apport élevé d'acides gras plasmatiques est liée à la pathogenèse du syndrome métabolique et des maladies cardiaques. Le terme "lipotoxicité" a été inventé pour décrire le fait que l'accumulation de lipides entraîne un dysfonctionnement cellulaire au niveau de certains tissus, notamment le muscle squelettique, le coeur, le pancréas et le foie [START_REF] Turpin | Examination of "lipotoxicity" in skeletal muscle of high fat diet fed and ob/ob mice[END_REF].

Les facteurs de régulation myogéniques qui comprennent, Myf5, MyoD, et la myogénine (MyoG), contrôlent essentiellement le processus de développement des muscles squelettiques (myogenèse). Divers stimuli extracellulaires et des voies de signalisation distinctes modulent l'expression des facteurs de régulation myogénique [START_REF] Frias De Toledo | MyomiRs as Markers of Insulin Resistance and Decreased Myogenesis in Skeletal Muscle of Diet-Induced Obese Mice[END_REF].

Le microenvironnement d'une cellule peut avoir un impact majeur sur ses propriétés. Tant dans des conditions physiologiques que pathologiques, les contacts de cellule à cellule, la signalisation paracrine, la disponibilité d'oxygène et de nutriments, la matrice extracellulaire et le stress mécanique, tous ces facteurs ont un impact sur les cellules et influencent leur comportement (Rojas-Ríos et González-Reyes, 2014). Cela est particulièrement vrai pour les cellules souches qui, en raison de leur plasticité, peuvent modifier radicalement leur état de prolifération et de différenciation en réponse à des changements dans leur niche [START_REF] Machado | In situ fixation redefines quiescence and early activation of skeletal muscle stem cells[END_REF].

Il est intéressant de noter que chaque graisse utilisée est un mélange complexe d'acides gras avec différents niveaux d'insaturation, mais aussi de composés mineurs (polyphénols, phytostérols, caroténoïdes, vitamines, etc.) influençant certainement le microenvironnement des cellules.

Le terme « huile de palme » recouvre un ensemble de produits, ce qui peut induire une certaine confusion par rapport à d'autres types d'huiles. En effet, la composition des différentes fractions actuellement utilisées par l'industrie sous différentes marques s'écarte du profil standard 50%/50% de l'huile de palme brute. Dans ce contexte, l'oléine de palme contient 44% d'AGS et 56% d'AGI. Ses caractéristiques la rendent plus liquide que l'huile de palme brute. Elle est utilisée dans l'industrie pour les chips etc. A l'autre extrémité du spectre se trouve la fraction de stéarine de palme avec une teneur plus élevée en AGS (68%) et une teneur plus faible en AGI 32%. Celle-ci est plutôt utilisée pour les pâtisseries et constitue une alternative à l'utilisation des huiles hydrogénées, réduisant ainsi la consommation des AG trans [START_REF] Gesteiro | Palm Oil on the Edge[END_REF].

La plupart des travaux scientifiques portant sur l'expression des facteurs myogéniques dans le muscle squelettique se font dans le cadre de l'étude de la régénération musculaire. En général elles sont effectuées après une lésion mécanique [START_REF] Mackey | The breaking and making of healthy adult human skeletal muscle in vivo[END_REF] ou chimique [START_REF] Fu | Obesity Impairs Skeletal Muscle Regeneration Through Inhibition of AMPK[END_REF][START_REF] Hu | PTEN Inhibition Improves Muscle Regeneration in Mice Fed a High-Fat Diet[END_REF]. Dans ce contexte, ces études analysent en fait l'expression des facteurs myogéniques secondaires à l'agression provoquée par ces lésions mécaniques ou chimiques. Notre étude s'est proposé d'évaluer l'effet d'une variation du microenvironnement du muscle squelettique créé par la lipotoxicité secondaire à un régime riche en graisse [START_REF] Turpin | Examination of "lipotoxicity" in skeletal muscle of high fat diet fed and ob/ob mice[END_REF][START_REF] Kusminski | Diabetes and apoptosis: lipotoxicity[END_REF].

Plusieurs études ont concerné l'effet des régimes riches en graisses sur l'expression des facteurs myogéniques, cependant, l'originalité de notre étude réside dans le fait qu'elle compare l'effet de corps gras de nature et de compositions différentes. Nous nous sommes intéressés à plusieurs types de graisses couramment utilisées dans l'alimentation et ayant des compositions différentes d'acides gras ou en composants mineurs comme les caroténoïdes, la vitamine E, les polyphénols, les stérols, etc. Nous avons donc choisi de comparer l'huile de palme (qui peut être utilisée pour l'alimentation soit brute (cPO), soit raffinée sous forme d'oléine de palme (rPO)), à l'huile d'olive vierge (OO) et au Lard.

Un premier niveau d'analyse des résultats obtenus concerne la comparaison du régime témoin avec l'ensemble des régimes riches en graisses, et un deuxième niveau concerne la différence entre les différents régimes riches en graisses entre eux.

Comparaison de l'ensemble des régimes riches en graisse et du régime témoin

Comme attendu, le poids des rats ayant reçu le régime riche en graisses était significativement plus élevé que ceux ayant reçu le régime témoin. La consommation de graisses est un facteur important dans l'augmentation du poids corporel. De nombreuses études suggèrent que la capacité de l'organisme à oxyder les graisses alimentaires est un facteur de risque majeur pour un bilan énergétique positif. Sur la base de plusieurs études effectuées, il a été conclu que l'épidémie d'obésité est principalement due à un apport alimentaire élevé, en particulier sous forme de graisse, et que l'activité physique peut être un outil permettant de moduler l'effet de l'apport en graisse sur la graisse corporelle [START_REF] Kusminski | Diabetes and apoptosis: lipotoxicity[END_REF]. Nous avons observé une augmentation significative du tissu adipeux viscéral (Tableau 3) en accord avec l'étude de Frias et al. ( 2016), qui ont obtenu les mêmes résultats, chez des souris dans des conditions à peu près similaires aux nôtres également après 12 semaines de régimes riches en graisse (59% des Kcal provenant des graisses). Dans cette même étude, une baisse significative du poids relatif du muscle gastrocnémien conforte nos résultats. Dans les travaux de Rocha-Rodrigues et al ( 2015), après 17 semaines de régime HF, une tendance similaire pour ce pourcentage a été obtenue, bien que non significative pour les gastrocnémiens, et dans l'étude de Seo et al (2014), après 10 semaines de régime HF, le poids moyen des gastrocnémiens montre une tendance (non significative) à être plus faible.

Cette réduction significative du poids relatif du gastrocnémien nous a amené à explorer l'expression génétique des acteurs clés de la myogenèse. Le facteur de transcription Pax7 active des composants de plusieurs voies de signalisation qui sont impliquées dans la myogenèse adulte. Pax7 est uniformément exprimé à des niveaux élevés dans les cellules satellites et joue un rôle essentiel dans la régulation de leur fonction. Le facteur Pax7 régule la fonction des cellules souches dans la myogenèse squelettique [START_REF] Soleimani | Transcriptional dominance of pax7 in adult myogenesis is due to high-affinity recognition of homeodomain motifs[END_REF]. L'entretien et la réparation des tissus musculaires adultes sont dirigés par des cellules satellites. Les cellules satellites quiescentes sont activées par l'exercice ou un stress (blessure, lipotoxicité) et entrent dans le cycle cellulaire pour produire à partir d'un pool quiescent des cellules précurseurs myogéniques qui subissent plusieurs cycles de division avant d'entrer dans la différenciation terminale et fusionner avec des myofibres multi nucléées [START_REF] Chargé | Cellular and molecular regulation of muscle regeneration[END_REF][START_REF] Turpin | Examination of "lipotoxicity" in skeletal muscle of high fat diet fed and ob/ob mice[END_REF][START_REF] Rojas-Ríos | Concise Review: The plasticity of Stem Cell Niches: A General Property Behind Tissue Homeostasis and Repair[END_REF][START_REF] Machado | In situ fixation redefines quiescence and early activation of skeletal muscle stem cells[END_REF].

Dans la présente étude, les rats étaient sédentaires. Nous pouvons donc présumer que l'expression des facteurs myogéniques était plutôt induite par le microenvironnement des cellules satellites quiescentes. Nous avons pu observer une tendance à l'augmentation, bien que non significative (p=0,079) de l'expression de Pax7 dans les groupes de rats ayant été soumis à un régime riche en graisse. Cette augmentation pourrait-être attribuée à la lipotoxicité induite par le régime et conduisant à un microenvironnement délétère. La littérature décrit que dans un tel environnement, les cellules satellites vont exprimer le facteur de transcription Pax7 qui se trouve génétiquement en amont des deux autres facteurs de régulation myogéniques MyoD et Myf5 (Buckingham et Relaix, 2007b). En outre, les cellules satellites existent en tant que population hétérogène basée sur l'expression de Myf5, une caractéristique qui divise le pool de cellules satellites en une sous-population de cellules souches auto-renouvelables (Myf5-) et de progéniteurs engagés (Myf5+) [START_REF] Kuang | Asymmetric self-renewal and commitment of satellite stem cells in muscle[END_REF]. Concernant l'expression de Myf5, aucune différence significative n'a été observée entre témoins et régimes riches en graisse. En outre nous avons observé une expression relativement faible en général. Des travaux comparant les fonctions moléculaires de Myf5 et MyoD, deux facteurs de transcription très apparentés qui régulent la spécification et la différenciation des muscles squelettiques, ont indiqué que Myf5 n'a pas de domaine d'activation fort et n'induit pas une transcription robuste [START_REF] Conerly | Distinct Activities of Myf5 and MyoD Indicate Separate Roles in Skeletal Muscle Lineage Specification and Differentiation[END_REF]. Cet état de chose pourrait expliquer la faible expression de Myf5.

L'étude des cascades complexes de signalisation et de transcription qui contrôlent le moment précis de l'expression des gènes régulateurs spécifiques aux muscles ont permis de mettre en évidence les facteurs myogéniques dont, MyoD qui est un régulateur clé de l'engagement dans la différenciation des cellules progénitrices musculaires [START_REF] Conerly | Distinct Activities of Myf5 and MyoD Indicate Separate Roles in Skeletal Muscle Lineage Specification and Differentiation[END_REF][START_REF] Tapscott | MyoD1: a nuclear phosphoprotein requiring a Myc homology region to convert fibroblast to myoblast[END_REF]. MyoD est un maître régulateur de la myogenèse [START_REF] Scionti | LSD1 Controls Timely MyoD Expression via MyoD Core Enhancer Transcription[END_REF]. La hausse très significative de l'expression de MyoD observée dans les régimes riches en graisse (p=0,0004) en comparaison au groupe témoin est en contradiction avec ce que l'on observe dans la plupart des études. En effet [START_REF] Fu | Obesity Impairs Skeletal Muscle Regeneration Through Inhibition of AMPK[END_REF], ont observé une baisse significative de MyoD chez les souris nourries pendant 12 semaines par des régimes riches en graisse après une lésion musculaire avec une cardiotoxine. Cette tendance, bien que non significative a également été observée dans l'étude de Hu et al. (2010) chez des souris nourries avec un régime riche graisses pendant 8 mois par rapport aux témoins après injection de cardiotoxine dans le muscle Tibial antérieur. La différence d'expression de MyoD entre notre étude et celles de Fu et Hu pourrait s'expliquer par le fait que dans ces dernières, les groupes témoins et HF sont soumis à une lésion par injection de cardiotoxine qui constitue alors une agression aigue. Dans notre étude, l'agression qui est simplement due à la lipotoxicité, est de nature différente et conduit à une augmentation plutôt qu'une diminution de l'expression de MyoD.

Dans la présente étude, il peut être considéré que « l'agression chronique », du fait de la lipotoxicité secondaire au régime riche en graisse, provoque cette augmentation significative de l'expression de MyoD par rapport à l'expression des rats témoins dont les muscles ne sont pas soumis à une quelconque agression. L'étude [START_REF] Frias De Toledo | MyomiRs as Markers of Insulin Resistance and Decreased Myogenesis in Skeletal Muscle of Diet-Induced Obese Mice[END_REF], réalisée sur des souris, dans des conditions similaires aux nôtres a mis en évidence une expression de MyoD significativement basse à 4 et 8 semaines de régime mais à 12 semaines, la différence entre HF et témoin n'était plus significative. La corrélation positive qui a été observée entre MyoD et Pax7 (r=0,44 ; p=0,0039) confirme bien que MyoD est un marqueur de l'activation et de la prolifération des cellules satellites, dans les muscles des rats HFD [START_REF] Scionti | LSD1 Controls Timely MyoD Expression via MyoD Core Enhancer Transcription[END_REF]. Bien que l'expression de MyoG n'ait pas présenté de différence significative entre témoins et régimes riches en graisse, il a toutefois été observé, une corrélation positive entre Myf5 et MyoG (r=0,56 ;p=0,002).

Comparaison des différents régimes riches en graisse

L'absence de différence significative au niveau du poids total et des dépôts de tissus adipeux des rats nourris à l'huile de palme, à l'huile d'olive et au Lard confirme bien qu' « aucune huile ne fait plus grossir qu'une autre ». La valeur calorique de toute matière grasse étant de 9 Kcal/g, est indépendante de sa teneur en composés mineurs (Caroténoïdes, vitamine E, polyphénols...), ceux-ci étant dépourvus de valeur calorique. Cette tendance a été observée également au niveau des poids des muscles gastrocnémiens et soléaires. La nature des acides gras des huiles (AGS ou AGMI) ou même leur teneur en composés mineurs (caroténoides, la vitamine E ou les polyphénols) ne semble pas influencer les valeurs biométriques des rats au bout de 12 semaines de régime. Les résultats obtenus par [START_REF] Djohan | High dietary intake of palm oils compromises glucose tolerance whereas high dietary intake of olive oil compromises liver lipid metabolism and integrity[END_REF] L'état physiologique du muscle semble corrélé avec la présence d'un état pathologique du foie dans le cas de la stéatose non alcoolique observée chez les personnes en surpoids [START_REF] Hong | Relationship between sarcopenia and nonalcoholic fatty liver disease: the Korean Sarcopenic Obesity Study[END_REF]Mili'c et al., 2014 ;[START_REF] Rasool | High fat with high sucrose diet leads to obesity and induces myodegeneration[END_REF].

Des études histologiques des muscles, permettant de quantifier les différentes cellules satellites et d'observer la morphologie des myocytes permettront de mieux étayer notre hypothèse. Ces résultats viendront enrichir nos travaux sur l'influence des régimes alimentaires riches en graisses sur le métabolisme musculaire. Nous avions déjà montré que ces régimes pouvaient moduler l'expression de certaines myokines, soit de manière dépendante, soit indépendamment de leur composition (Gauze-Gnagne et al., 2020).

Conclusion

La comparaison de l'expression des rats nourris par un régime riche en graisse et de rats témoins a permis de confirmer la conclusion tirée par [START_REF] Hu | PTEN Inhibition Improves Muscle Regeneration in Mice Fed a High-Fat Diet[END_REF] selon laquelle ce type de régime entrave la maturation des myofibres mais pas l'activation des cellules satellites dans la régénération des muscles (Hu et al., 2016). La spécificité de cette étude qui a permis de comparer des matières grasses riches en AGS (huile de palme brute et raffinée et Lard) et celles riches en AGMI (huile d'olive) permet d'envisager que l'huile d'olive pourrait altérer significativement la myogenèse comparativement à l'huile de palme (rouge et raffinée) et au lard. Cette altération pourraitêtre en relation étroite avec les perturbations hépatiques qui ont pu être observées avec l'huile d'olive décrites dans la littérature [START_REF] Hong | Relationship between sarcopenia and nonalcoholic fatty liver disease: the Korean Sarcopenic Obesity Study[END_REF][START_REF] Djohan | High dietary intake of palm oils compromises glucose tolerance whereas high dietary intake of olive oil compromises liver lipid metabolism and integrity[END_REF]. Cependant, les quantités excessives d'huile utilisées dans ces régimes riches en graisse ne sont pas superposables à celles qui auraient été utilisées dans un modèle humain. Bien qu'un certain nombre d'hypothèses aient été avancées, les mécanismes moléculaires impliqués dans la perturbation de la myogenèse par l'alimentation riche en graisse restent encore à élucider. En ce qui concerne l'huile de palme, il convient de noter qu'aucune altération significative de l'expression des gènes des facteurs régulation de la myogenèse n'a été observée aussi bien dans les régimes riches en huile de palme brute que dans les régimes riches en huile de palme raffinée.

CONFLITS D'INTERETS

Les auteurs déclarent qu'ils n'ont aucun conflit d'intérêts pour cet article.

CONTRIBUTIONS DES AUTEURS

EB, JPC, AM, MC-C, GT et SK-C ont supervisé l'ensemble de l'étude. EB, JPC, FR et CG-G ont analysé et interprété les données. CG-G, AP, PS, YFD, FR et EB ont effectué les recherches bibliographiques. EB, CG-G, AP, MM, et GK ont participé à la rédaction de l'article. CC et CF-C ont conçu les régimes.

Figure 1 :

 1 Figure 1 : Niveau d'expression de l'ARNm de Pax7 dans les différents groupes : (Ctrl = 100%). p1 (HF/Ctrl) = valeur p d'un test statistique de Mann-Whitney lors de la comparaison de tous les groupes HF avec le groupe témoin (Ctrl), et p2 (Fat/Fat) = valeur p d'un test statistique de Kruskal-Wallis lors de la comparaison de chaque groupe à forte teneur en matière grasse entre eux.

Figure 2 :

 2 Figure 2: Niveau d'expression de l'ARNm de Myf5 dans les différents groupes : (Ctrl = 100%). Les règles statistiques sont identiques à celles de la Figure 1.

Figure 3 :

 3 Figure 3: Niveau d'expression de l'ARNm de MyoG dans les différents groupes : (Ctrl = 100%). Les règles statistiques sont identiques à celles de la Figure 1.

Figure 4 :

 4 Figure 4: Niveau d'expression de l'ARNm de MyoD dans les différents groupes : (Ctrl = 100%). Les règles statistiques sont identiques à celles de la Figure 1 et des lettres différentes indiquent une différence de significativité.

Figure 5 :

 5 Figure 5 : Graphe de corrélation entre MyoG et Myf5.

Figure 6 :

 6 Figure 6 : Graphe de corrélation entre MyoD et Pax7.

La réaction de polymérisation en chaîne en temps réel, (Polymerase Chain Reaction, qPCR)

  La concentration totale d'ARN a été mesurée avec le spectrophotomètre NanoDrop 2000 (Thermo Scientific, Waltham, MA, USA). Puis 500ng de ARN totaux ont été rétrotranscrit en ADNc par une enzyme du kit Takara (Takara Bio Europe, France). Les ADNc obtenus ont été dilues au 1/10e et conservés à -80 °C. Nous avons utilisé la base de donnée « Ensembl » pour récupérer les séquences nucléotidiques des exons du ou des transcrits de notre gène d'intérêt. Le software Primer 3 et le Logiciel « Beacon » nous ont permis de sélectionner les couples d'amorces (Tableau 2). Un MIX (16,7 µl) contenant le couple d'amorces, du Sybr Green et de l'eau Ultra pure ont été combinés à l'ADN (5,2 µl) dans chaque eppendorf. Puis 10 µl du mélange ont été déposés en double dans les puits de la plaque de réaction. Les plaques ont été lues grâce au LightCycler® 480 SYBR Green I Master (Roche Applied Science, France) qui effectue des cycles d'amplification de l'ADN à 3 températures différentes permettant la dénaturation des doubles brins, l'hybridation des amorces et l'élongation. L'abondance de l'ARN d'intérêt est quantifiée par mesure de fluorescence émise lorsque le Sybr Green s'intercale entre les deux brins d'ADN. Les résultats ont été ensuite traités en effectuant un ratio du niveau d'expression du gène d'intérêt sur le niveau d'expression d'un gène de ménage (ou gène de référence). Le gène de référence utilisé est le gène Rplp0 (60S acidic ribosomal protein P0).

	billes FastPrep-24TM 5G (MP Biomedicals, France). Tableau 1 : Composition des différents régimes.
	INGREDIENTS (g/kg)	CONTRÔLE			REGIME RICHE EN GRAISSE
					cPO	rPO	OO	Lard
	Caséine		165		200	200	200	200
	Amidon maïs		442,5		233,8	233,8	233,8	233,8
	Maltodextrine		144		80	80	80	80
	Saccharose		100		53	53	53	53
	Huile de Soja		50		25	25	25	25
	Huile de palme rouge		0		300	0	0	0
	Oléine de palme		0		0	300	0	0
	Huile olive extra v.		0		0	0	300	0
	Lard		0	.	0	0	0	300
	L'accès des animaux à l'eau et à la nourriture était libre. La pesée des animaux s'est Cellulose 50	50	50	50	50
	effectuée une fois par semaine. Les animaux Minéraux (AIN-93M) 35	42	42	42	42
	ont été pris en charge conformément aux
	directives du Comité du Soin Animal de Vitamines (AIN-93M) 10	12	12	12	12
	l'Université de Montpellier. Notre protocole a été approuvé par le comité d'Ethique local de L-Cystine 2	2,4	2,4	2,4	2,4
	Montpellier, France. Chlorure de choline		1,5		1,8	1,8	1,8	1,8
	Au terme des 12 semaines, les animaux ont été sacrifiés après anesthésie au Valeur calorique (Kcal) 3856	5192	5192	5192	5192
	phénobarbital % Lipides dans RCT (Ceva	Santé	Animale, 12%	56%	56%	56%	56%
	Libourne, France). Les tissus musculaires
	(soléus et gastrocnémiens) et les tissus
	adipeux viscéraux ont été prélevés et rincés
	dans une solution de NaCl à 0,9%, pesés et
	congelés dans l'azote liquide puis conservés à
	-80 °C.
	Afin d'étudier l'expression des gènes
	impliqués dans la myogenèse nous avons
	procédé à l'extraction au TRIzol (Invitrogen
	Life Technologies, Cergy Pontoise, France)
	des ARNm à partir de 50 mg de muscle
	gastrocnémien à l'aide de l'homogénéiseur à

L'analyse statistique Le logiciel STATVIEW a été utilisé pour effectuer l'analyse statistique. Les tests statistiques de Mann et Whitney ont servi à l'évaluation des différences entre le groupe contrôle et le groupe des régimes riches en graisse (Ctrl/HF). Les différents régimes riches en graisse ont été comparés avec le Test de Kruskal-Wallis suivi d'un post hoc test de Dunn (Fat/Fat). cPO: huile de palme brute (crude Palm Oil) ; rPO : huile de palme raffinée (refined Palm Oil) ; OO : huile d'olive (Olive Oil). RCT: ration calorique totale.

Tableau 3 :

 3 Caractéristiques des données biométriques des Rats.

		Ctrl	cPO	rPO	OO	Lard	P 1	P 2
	Poids Initial (g)	209 ± 12	203 ± 4	204 ± 5	207 ± 5	208±7	NS	NS
	Poids Final (g)	528 ± 27a	609 ± 40b	612 ± 52b	588 ± 49b	611±66b	0,003*	NS
	Poids du TA viscéral (g)	28,6 ± 8,2a	44,7 ± 9,1b	46,0 ± 7,8b	42,7 ± 10,5b	46,0 ±11,5b	0,0002*	NS
	Gastrocnémien gauche, g	2,81±0,16	2,91±0,25	2,94±0,22	2,89±0,23	2,99±0,18	NS	NS
	Gastrocnémien gauche /TOT, %	0,53±0,02a	0,48±0,04b	0,49±0,05b	0,49±0,04b	0,49±0,04b	0,0026*	NS
	Gastrocnémien droit, (g)	2,83±0.16	2,97±0.21	2,98±0,25	2,85±0,28	3,01±0,17	NS	NS
	Gastrocnémien droit /TOT, %	0,54±0,02a	0,49±0,04b	0,49±0,05b	0,49±0,05b	0,50±0,04b	0,0062*	NS
	Soléaire gauche (g)	0,22±0,03a	0,27±0,02b	0,26±0,03b	0,26±0,03b	0,26±0,02b	0.0007*	NS
	Soléaire gauche/ TOT,%	0,041±0,004	0,044±0,003	0,044±0,005	0,043±0,004	0,043±0,005	NS	NS
	Soléaire droit (g)	0,23±0,03a	0,26±0,02b	0,26±0,02b	0,25±0,02b	0,25±0,03b	0.0149*	NS
	Soléaire droit /TOT,%	0,043±0,005	0,043±0,003	0,043±0,004	0,043±0,005	0,040±0,005	NS	NS

Les valeurs sont exprimées en moyenne ± ET (n = 8). Sur la même ligne, les valeurs affectées de lettres différentes sont significativement différentes Les rats ont été nourris avec leur régime alimentaire respectif pendant 12 semaines. cPO: huile de palme brute (crude Palm Oil) ; rPO : huile de palme raffinée (refined Palm Oil) ; OO : huile d'olive (Olive Oil). p1 = valeur p d'un test statistique Mann-Whitney lors de la comparaison de tous les groupes à forte teneur en graisse (HF) et du groupe témoin (Ctrl). p2 = valeur p d'un test statistique Kruskal-Wallis lors de la comparaison de cPO, rPO, OO et Lard. *indique la significativité à p <0,05. TA : tissu adipeux.

  lors d'une étude préliminaire sur cette population de rats avaient mis en évidence une absence d'inflammation et une absence de stress oxydant. Cependant une résistance à l'insuline avait été observée dans tous les régimes, or il se trouve que celle-ci pourrait entrainer des modifications au niveau de la signalisation induite par les facteurs de régulation myogénique(Aas et al., 2013).Aucune modification significative de l'expression des facteurs de régulation myogénique n'a été observée, aussi bien avec le régime riche en huile de palme brute qu'avec le régime riche en huile de palme raffinée. Cependant, le régime dont l'expression des facteurs myogéniques était systématiquement supérieure à l'expression des autres régimes était celui riche en huile d'olive. Cette élévation était significative pour MyoD (p=0,05), á tendance forte avec Myf 5 (p=0,08). La nature de l'AG ou la composition en composés mineurs pourraient donc influencer l'expression de MyoD. D'après les arguments que nous avons exposés plus haut, il pourrait-être envisagé que l'huile d'olive puisse présenter une lipotoxicité plus accrue que l'huile de palme et le lard. En effet, ce qui diffère entre l'huile d'olive, l'huile de palme et le lard, est à la fois sa composition en AGMI et en composés mineurs. Les travaux de[START_REF] Djohan | High dietary intake of palm oils compromises glucose tolerance whereas high dietary intake of olive oil compromises liver lipid metabolism and integrity[END_REF] comparant l'huile de palme rouge et raffinée à l'huile d'olive avait mis en évidence chez les rats au régime riche en huile d'olive au bout de 12

	semaines,	une	stéatose	hépatique,
	compromettant le métabolisme lipidique et
	l'intégrité du foie. En outre, des travaux
	récents ont démontré que la régénération et
	l'entretien du muscle squelettique ont une
	relation étroite avec l'obésité et le
	dysfonctionnement	du	foie.

REMERCIEMENTS

Nos remerciements vont à l'endroit du Fond Ivoirien pour la Recherche et le Conseil Agricole (FIRCA) qui a contribué


I. INTRODUCTION

As one introduction, I could say that the odometric model is well known now and that everything is shaped for the solution to be executed under Maple 2021.

The reasoning by recurrency has been done to fully demonstrate the given equations as given as below.

II. SYSTEM OF EQUATIONS

The equations are given by the article "Odometric Navigation with Matching of Landscape Features." as given by [START_REF] Ollivier | Odometric navigation with matching of landscape features[END_REF]. III. SOLUTION I have been using the stochastic formulation of the solution by adding the noise, it is because of the propagation of the odometric errors, which are the precision on the heading angle and the mismatches of the odometric data, involved in the system of the equations of the odometric model.

IV. RESOLUTION

The demonstration is the initialization of the recurrency given with the execution of the equation of the odometric model on the system of the equations in the rank n-1 to the rank n.

V. CONCLUSION

As one conclusion, I could say that the odometric model is well known now and that everything is done for the solution of a model of automation to be resolved with the odometric model, and moreover the demonstration has been applied to the system of the equations of the odometric model to ensure that the error propagation become true.

1 Abstract-The odometric model is demonstrated herein. We have been resolving to simulate, integrate, explain and then to validate the odometric model. The model of resolution is to be programmed in the Maple language, with the help of a solver for Maple 2021. Index Terms-Odometry; Vehicle location and navigation systems; Mobile positioning systems; Trajectory; Discretization of a model; Control of a vehicle; Resolution analysis; Recurrency analysis.

Edern Ollivier ,

 Ollivier Member, IEEE edern.ollivier.fr@ieee.org 17 RUE DE L'AMIRAL HAMELIN at Paris 16 (75116) Demonstration of the propagation of the stochastic error of the odometric model by the recurrency

ACKNOWLEDGMENT

I would like to thank the professor of mathematics who has trained me for the baccalaureate with the demonstration of the recurrency.


Donnay Fleury
email: donnay-fleury.nahimana@inrets.fr

LEOST Nahimana Inrets

Emmanuel Duflos
email: emmanuel.duflos@ec-lille.fr

Juliette Marais
email: juliette.marais@inrets.fr

Reception State Estimation of GNSS satellites in urban environment using particle filtering

Keywords: Satellite navigation, Position estimation, Dirichlet distribution, Particle filtering

The reception state of a satellite is an unavailable information for Global Navigation Satellite System receivers. His knowledge or estimation can be used to evaluate the pseudorange error. This article deals with the problem using three reception states: direct reception, alternate reception and blocked situation. This parameter, estimated using a Dirichlet distribution, is included in a particle filtering algorithm to improve the GNSS position in urban area. The algorithm takes into account two observation noise models depending on the reception of each satellite. Gaussian probability distribution is used with a direct path whereas a Gaussian mixture model is used in the alternate case.

I. INTRODUCTION

Main transport applications with Global Navigation Satellite Systems are used in dense urban area. The consequences of environmental obstructions are a lack of the position service and multipath phenomena come out and degrade in particular the accuracy of the position. Solutions are currently used to decrease the influence of the multipath on the accuracy and the availability of GNSS systems. This paper focuses on filtering methods and presents the estimation of the reception state of each satellite. The originality of the approach is to adapt the error model in the filtering process to the reception condition of each satellite signal. A state model of reception of each pseudorange is indicated by a variable. The variable will be helpful to choose a model of all observation errors when multipath are involved in satellite reception process. This parameter takes three values, one for direct path (Line Of Sight: LOS), one for alternate case (Non LOS) and another for no reception state. Because of the geometric position of satellites and the obstacle situation (buildings, trees...) in relation to the mobile position, the value of the parameter changes randomly during the time. For an alternate path reception, the probability distribution of the errors is unspecified because of multipaths. This distribution is then modelled by a Gaussian mixture model. This modelling allows us to model the overall reception process which switches between the observation's models corresponding with the three states of reception (LOS, NLOS and no reception). In this paper, we will recall the typical errors caused by the multipaths in typical urban canyon environments [START_REF] Nahimana | Pseudo-range error modelling in urban environment[END_REF]. In the third part, algorithms performed will be described with an emphasis on the multi-sensors (multisatellites) situation. A particle filtering algorithm adaptated to the new conditions. We have chosen to describe a pseudorange error modelling in the urban area assuming that the error distributions in urban environment can be approximated by a mixture of Gaussian. Statistical studies will be performed in order to provide the best distribution error model for a typical urban canyon over time. Simulation results will illustrate it.

II. THREE SATELLITE RECEPTION STATE

In an urban environment, the satellite signal can be received with or without reflexion according either to the position of the receiver, the satellites or the obstacles close to the receiver. These propagation phenomena set up a signal delay on the reception and thus make a geometrical bias on the pseudorange (estimated distance between satellite and receiver). These errors have different characteristics according to the reception state of the satellite considered. We assume two cases of reception .

A. Direct ray

When the satellite signal is received without reflexion or diffraction, the pseudorange is correctly estimated. This is the case of reception in an open sky "free of obstacles" environment for example. The distribution of the pseudorange errors is then Gaussian [START_REF] Grewal | Global Positioning Systems, Inertial Navigation, and Integration[END_REF]. The Kalman filter and its alternatives (EKF and UKF) used for linear or nonlinear systems with Gaussian noises are then well adapted for this "Line Of Sight"case of reception.

B. Alternate path

This state occurs when the signal is received after reflexions or diffractions on obstacles. We assume that there is not any direct ray. This will be called the alternate path or the Non Line of Sight (NLOS) state. The distribution of the errors in this case is unknown (unspecified). It is related to external parameters such as obstacles density around the GNSS receiver, their height, distance to the mobile,• • •

C. No reception

The satellite is completely unavailable or his signal is very weak to be received. The satellite may be under the horizon (negative elvation angle) or its signal may be blocked by the obstacles although it is above the horizon.

D. Evolution and observation models

The filtering of the noise (or the errors) that we propose is based on the principles of nonlinear filtering. We consider the state sequence {x t ; t ∈ N} composed of the 3D dynamic user parameters. The observations y t are the pseudoranges given from N expected satellites. v t and w t are respectively the process and measurement noises. The state of reception of each pseudorange y t is modelled by a discrete variable r. The three values represent the LOS, NLOS and blocked cases. Because of the geometric position of satellites and obstacles (buildings,• • •) surrounding the mobile, the value of this variable randomly. In the following, the r variable have to take tree values 0, 1 and 2 representing the tree hypothetic reception states of each satellite.

r t,i = j (1)
where j ∈ {0, 1, 2} and i = 1, • • • , N t : number of satellites.

r t,i =    0 for blocked situation 1 for direct ray 2 for alternate path
The equations of states and measurements are expressed as follows:

• Equation of evolution process, dynamics parameters of the mobile:

x t = f (x t-1 , v t-1 ) (2)
• Observation equation (pseudoranges):

y t = h(x t , w t ) (3)
The observation noises w t will be modelled according to each satellite reception state as described above. The pseudoranges y t observed are related to the hidden state s x t by a nonlinear equation ( 3). This equation comes to:

y t ≈          0 for r t,i = 0 h(x t ) + N u t,i , Σ 2 t,i for r t,i = 1 h(x t ) + J j=1 π j (x t ) N u j (x t ), Σ 2 j (x t ) for r t,i = 2
Where N (u(.), Σ 2 (.)) is the normal error distribution with mean u(.) and variance Σ 2 (.) for satellite i.

In case of an alternate path, the pseudorange error has a gaussian mixture distribution with J components. Each component has a mean u(.) , a variance Σ 2 (.) and a parameter π(.) weighting its contribution in the mixture. The three variables depend on state vector x t .

III. PARTICLE FILTERING ALGORITHM

A. Probability distribution functions

Particle filters are Sequential Monte Carlo Methods which have been employed in many signal processing areas envolving estimation methods [3] [7]. In positioning and navigation, the study in [START_REF] Gustafsson | Particle filters for positioning, navigation, and tracking[END_REF] is one of them. We will use a bayesian estimation of the two unknown variables according to the evolution model [START_REF] Grewal | Global Positioning Systems, Inertial Navigation, and Integration[END_REF]. v t is a centered white gaussian noise. The a priori pdf for the evolution process is then written: p(x t /x t-1 , r t-1,i , y t-1,i ). At time t = 0, the pdf is assumed to be p 0 (x 0 ).

The a priori density of the reception state variables is:

P r(r t,i = 0) = α t,i,0 P r(r t,i = 1) = α t,i,1 P r(r t,i = 2) = 1 -(α t,i,0 + α t,i,1 )
And then,

P r(r t /α t ) = N i=1 P r(r t,i /α t,i ) (4)
x(k)

t ∼ q(x t /x (k) t-1 , r(k) t-1,i , y t-1,i ) (5) r(k) t,i
∼ q(r t,i /x

(k) t-1 , α (k) t-1,i , y t-1,i ) (6) α(k) t,i
∼ q(α t,i /α

(k) t-1,i , r(k) t-1,i , σ) (7)
Where

q(• • • / • • •) is the importance distribution. The opti- mal importance distribution in (5) is p(x t /x (k) t-1 , r(k) t-1,i , y t-1,i ).
In this work, we make use of an approximation obtained with Extended Kalman filtering. For more information on how to choose the importance distribution, [START_REF] Gustafsson | Particle filters for positioning, navigation, and tracking[END_REF] and [START_REF] Doucet | Sequential Monte Carlo Methods in practice[END_REF] give more details.

Caron in [START_REF] Caron | Particle Filtering for Multisensor Data Fusion With Switching Observation Models: Application to Land Vehicle Positioning[END_REF] demonstrates particle filter algorithms for switching observation models specially in an asynchronous case. Appling this theory to our specified reception states, the equation ( 6) showing the importance distribution can be rewritten as follows: [START_REF] Liu | Sequential Monte Carlo methods for dynamic systems[END_REF] Then, the probabilities α t,i in ( 7), the optimal importance distribution q(α t,i /α

• for r t,i = 0, q r t,i /x (k) t-1 , α (k) t-1,i , y t-1,i = α (k) t-1,i,0 p 0 (y t,i ) 2 j=0 α (k) t-1,i,j p j (y t,i ) (8) • for r t,i = 1, q r t,i /x (k) t-1 , α (k) t-1,i , y t-1,i = α (k) t-1,i,1 N y t,i -h t,i,1 (x (k) t|t-1 ) , Σ 2 t,i,1 (k) 2 j=0 α (k) t-1,i,j N y t,i -h t,i,j (x (k) t|t-1 ) , Σ 2 t,i,j (k) (9) • for r t,i = 2, q r t,i /x (k) t-1 , α (k) t-1,i , y t-1,i = α (k) t-1,i,2 M m=1 π(x t,i ) N y t,i -h m (x (k) t|t-1 ) , Σ 2 m (k) 2 j=0 α (k) t-1,i,j M m=1 π(x t,i ) N y t,i -h m (x (k) t|t-1 ) , Σ 2 m (k)
(k) t-1,i , r(k) t-1 , σ
) is given by a Dirichlet distribution for each satellite.

q(α t,i /α (k) t-1,i , r(k) t-1 , σ) = D (σ + 1) α (k) t-1,i (11)
where α

(k) t-1,i = σ σ+1 α (k) t-1,i + 1 σ+1 δ r (k) t,i
(j) for j ∈ 0, 1, 2, and σ is a fixed value related to the evolution of α t,i parameter.

B. Particle filter algorithm with observation switching models

This algorithm is based to the particle filtering algorithms developped in [START_REF] Doucet | Sequential Monte Carlo Methods in practice[END_REF].

• Initialization For k = 1, • • • K, (K: number of particles) -draw x (k) 0 ∼ p 0 (x 0 ) -draw α (k) 0,i ∼ p 0 (α 0,i ) -assign initial particle weights: w k 0 ← 1 K • Iteration For t = 1, 2, • • • -Notice N t For k = 1, • • • K, -draw the evolution vector x(k) t ∼ q(x t /x (k) t-1 , r(k) t-1,i , y t-1,i ) -For satellite i = 1, • • • N t * draw the reception state variable r(k) t,i ∼ q(r t,i /x (k) t-1 , α (k) t-1,i , y t-1,i ) * draw the probabilities α(k) t,i ∼ q(α t,i /α (k) t-1,i , r(k) t-1,i , σ) k = 1, • • • K, update the weights wk t ∝ w k t-1 p(y t,i /x (k) t-1 , r(k) t-1,i )p(x (k) t /x (k) t-1 ) q(x (k) t /x (k) t-1 , r(k) t-1,i , y t-1,i ) × p(r (k) t,i /α (k) t,i ) q(r (k) t,i /x (k) t-1 , α (k) t-1,i , y t-1,i ) × p(α (k) t,i /α (k) t-1,i ) q(α t,i /α (k) t-1,i , r(k) t-1,i , σ) (12)
-Normalize the weights to get

K k=1 w(k) t = 1
• Resampling This step is usefull to reduce degeneracy of the particle filter algorithm. Over time, some particles get more and more small weights and their contribution is not significant. To avoid this phenomenon, those particles are aliminated with resampling methods [START_REF] Carpenter | An improved particle filter for non-linear problems[END_REF], [START_REF] Kitagawa | Monte Carlo filter and smoother for non-Gaussian nonlinear state space models[END_REF] and [START_REF] Liu | Sequential Monte Carlo methods for dynamic systems[END_REF].

-

Evaluate N ef f = 1 K k=1 w(k) t 2
A threshold N t is defined and compared to N ef f . Resampling will occur when N ef f ≤ N t and the value of particle weights come to

w k t ← 1 K • replace particles: x(k) t,i ← x (k) t,i • replace particles: α(k) t,i ← α (k)
t,i . The pdf used to sample the particles are those expressed in ( 5), ( 6) and [START_REF] Arulampalam | A Tutorial on Particle Filters for On-line Non-linear/Non-Gaussian Bayesian Tracking[END_REF]. The estimated reception state is: r t,i = r(k) t,i * wk t . The next paragraph shows the results for illustrating the algorithm performance.

IV. SIMULATIONS

Simulations have been performed with a 3D model of the city of Rouen, north of France (Latitude: 49.4497 Longitude: 1.08262). The track simulated corresponds to a public transport bus line that crosses the downtown and is about 8230 meters long. With ERGOSPACE a 3D ray-tracing tool, we assume that a maximum of 3 reflections can be processed by the receiver. Data were collected every 1 second. The tool provides pseudo-range values for each satellite function of time and satellite states of reception. These true states are compared with the states estimated by the algorithm carried out. The fig. 2) and fig. 2 draw the error estimation along the Fig. 1. Estimated positions on the transport bus line bus run. The show that the PF algorithm is more accuralate than the Kalman or the EKF algorithm. We notice that the raised error peaks on the fig. 2, especially with KF, are due to turning points on the track. The errors seem to be higher than those on the current GNSS receiver. The reason is that the pseudoranges used in this simulation to estimate the GNSS position are raw data which before smoothing and squaring process.

Table I summarizes the best performances of particle filter methods compared to the other filtering techniques. Nevertheless, its main shortcoming remains its processing time.

Fig. 2 .Fig. 3 .Fig. 4 .

 234 Fig. 2. Comparison of estimated errors

Fig. 5 .

 5 Fig. 5. Evolution of αt

TABLE I COMPARISON

 I OF THE PF ALGORITHM WITH KALMAN FILTER AND EXTENDED KALMAN FILTER