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C st Ñ D •✐❢t✐♥❣ f ✳ ❊✈❡r② ♦❜•❡❝t ✐♥ C st ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ❛s ❜♦t❤ ❛ ❝♦•✐♠✐t ❛♥❞ ❛ •✐♠✐t ♦❢ ♦❜•❡❝ts ♦❢ C✳ ■t ❢♦••♦✇s t❤❛t g ✐s ❢✉••② ❢❛✐t❤❢✉• ❛♥❞ t❤❡♥ t❤❛t C st ❝♦♥t❛✐♥s t❤❡ s♠❛••❡st ❢✉•• ❛♥❞ st❛❜•❡ s✉❜❝❛t❡❣♦r② D 1 ♦❢ D ❡①t❡♥❞✐♥❣ C✳ ❚❤❡r❡ ✐s ❛•s♦ ❛ ✉♥✐✈❡rs❛• ♠❛♣ C st Ñ D 1 ✇❤✐❝❤ ✐s ❡❛s✐•② s❡❡♥ t♦ ❜❡ ❛♥ ✐♥✈❡rs❡ t♦ t❤❡ ✐♥❝•✉s✐♦♥✳ ▲❡♠♠❛ ✵✳✼✳ ▲❡t C ❜❡ ❛♥ ✐❞❡♠♣♦t❡♥t ❝♦♠♣•❡t❡ V✲s♠❛•• p8, 1q✲❝❛t❡❣♦r②✳ ❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ♥❛t✉r❛• ❡♠❜❡❞❞✐♥❣s i : Pro U pCq Ñ Pro U Ind U pCq ❛♥❞ j : Ind U pCq Ñ Pro U Ind U pCq✳ ❲❡ ✇✐•• ❛•s♦ ❞❡♥♦t❡ ❜② k t❤❡ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ C Ñ Pro U Ind U pCq✳ ■❢ ❛♥ ♦❜•❡❝t ♦❢ Pro U Ind U pCq ✐s ✐♥ ❜♦t❤ t❤❡ ❡ss❡♥t✐❛• ✐♠❛❣❡s ♦❢ i ❛♥❞ j✱ t❤❡♥ ✐t ✐s ✐♥ t❤❡ ❡ss❡♥t✐❛• ✐♠❛❣❡ ♦❢ k✳
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❲❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ s❛♠❡ ✇❛②

Ind V C : FctpC, Cat V 8 q Ñ FctpInd V pCq, Cat 8 q Pro V C : FctpC, Cat V 8 q Ñ FctpPro V pCq, Cat 8 q |❡♠❛r❦ ✵✳✾✳ ❚❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ✵✳✽ ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣❛♥❞❡❞ ❛s ❢♦••♦✇s✳ ❚♦ ❛♥② ❢✉♥❝t♦r f : C Ñ Cat V 8 ❛♥❞ ❛♥② ✐♥❞✲♦❜•❡❝t c ❝♦•✐♠✐t ♦❢ ❛ ❞✐❛❣r❛♠ K c G G C G G Ind U pCq ✇❡ ❝♦♥str✉❝t ❛♥ p8, 1q✲❝❛t❡❣♦r② Ind U C pf qpcq » Ind U pcolim f pcqq ✹ ❚♦ ❛♥② ♣r♦✲♦❜•❡❝t d •✐♠✐t ♦❢ ❛ ❞✐❛❣r❛♠ K op d G G C G G Pro U pCq ✇❡ ❛ss♦❝✐❛t❡ ❛♥ p8, 1q✲❝❛t❡❣♦r② Pro U C pf qpdq » lim Pro U pf p dqq ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✵✳✶✵✳ ▲❡t Cat V,st 8
❞❡♥♦t❡ t❤❡ s✉❜❝❛t❡❣♦r② ♦❢ Cat V 8 s♣❛♥♥❡❞ ❜② st❛❜•❡ ❝❛t❡❣♦r✐❡s ✇✐t❤ ❡①❛❝t ❢✉♥❝t♦rs ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡♠ ✕ s❡❡ ❬❍❆•❣✱ ✶✳✶✳✹(✳ ▲❡t Cat V,st,id

8 ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ❢✉•• s✉❜❝❛t❡❣♦r② ♦❢ Cat V,st 8 s♣❛♥♥❡❞ ❜② ✐❞❡♠♣♦t❡♥t ❝♦♠♣•❡t❡ st❛❜•❡ ❝❛t❡❣♦r✐❡s✳ |❡♠❛r❦ ✵✳✶✶✳ ■t ❢♦••♦✇s ❢r♦♠ ❬❍❆•❣✱ ✶✳✶✳✹✳✻✱ ✶✳✶✳✸✳✻✱ ✶✳✶✳✶✳✶✸ ❛♥❞ ✶✳✶✳✹✳✹( t❤❛t t❤❡ ❢✉♥❝t♦rs Ind U C ❛♥❞ Pro U C r❡str✐❝ts t♦ ❢✉♥❝t♦rs
Ind U C : FctpC, Cat V,st 8 q Ñ FctpInd U pCq, Cat V,st 8 q Pro U C : FctpC, Cat V,st 8 q Ñ FctpPro U pCq, Cat V,st 8 q

❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✵✳✶✷✳ •✐✈❡♥ ❛♥ p8, 1q✲❝❛t❡❣♦r② C ✇✐t❤ ❛•• ✜♥✐t❡ ❝♦♣
•❡♥t t♦ C ❛♥❞ • ❋♦r ❛♥② n✱ t❤❡ ❙❡❣❛• ♠❛♣s ✐♥❞✉❝❡ ❛♥ ❡q✉✐✈❛•❡♥❝❡ C b xny Ñ pC b x1y q n » C n ✳ ✇❤❡r❡ C b xny ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ✜❜r❡ ♦❢ p ❛t xny✳ ❲❡ ✇✐•• ❞❡♥♦t❡ ❜② Cat b,V 8 t❤❡ p8, 1q✲❝❛t❡❣♦r② ♦❢ V✲s♠❛•• s②♠♠❡tr✐❝ ♠♦♥♦✐❞❛• p8, 1q✲❝❛t❡❣♦r✐❡s ✕ s❡❡ ❬❍❆•❣✱ ✷✳✶✳✹✳✶✸(✳ ❙✉❝❤ ❛ ❝♦❈❛rt❡s✐❛♥ ✜❜r❛t✐♦♥ ✐s ❝•❛ss✐✜❡❞ ❜② ❛ ❢✉♥❝t♦r φ : Fin ˚Ñ Cat V 8 ✕ s❡❡ ❬❍❚❚✱ ✸✳✸✳✷✳✷( ✕ s✉❝❤ t❤❛t φpxnyq » C n ✳ ❚❤❡ t❡♥s♦r ♣r♦❞✉❝t ♦♥ C ✐s ✐♥❞✉❝❡❞ ❜② t❤❡ ♠❛♣ ♦❢ ♣♦✐♥t❡❞ ✜♥✐t❡ s❡ts µ : x2y Ñ x1y ♠❛♣♣✐♥❣ ❜♦t❤ 1 ❛♥❞ 2 t♦ 1 b " φpµq : C 2 Ñ C |❡♠❛r❦ ✵✳✶✺✳ ❚❤❡ ❢♦r❣❡t❢✉• ❢✉♥❝t♦r Cat b,V 8 Ñ Cat V 8 ♣r❡s❡r✈❡s ❛•• •✐♠✐ts ❛s ✇❡•• ❛s ✜•t❡r❡❞ ❝♦•✐♠✐ts ✕ s❡❡ ❬❍❆•❣✱ ✸✳✷✳✷✳✹ ❛♥❞ ✸✳✷✳✸✳✷(✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ ✐t ❢♦••♦✇s ❢r♦♠ t❤❡♦r❡♠ ✵✳✶ ✲ ✭✈✐✐✮ t❤❛t t❤❡ ❢✉♥❝t♦r Ind U ✐♥❞✉❝❡s ❛ ❢✉♥❝t♦r Ind U : Cat b,V 8 Ñ Cat b,V 8 ❚❤❡ s❛♠❡ ❤♦•❞s ❢♦r Pro U ✳ ❚❤❡ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥s Ind U ❛♥❞ Pro U t❤❡r❡❢♦r❡ r❡str✐❝t t♦
Ind U C : FctpC, Cat b,V 8 q Ñ FctpInd U pCq, Cat b,V 8 q Pro U C : FctpC, Cat b,V 8 q Ñ FctpPro U pCq, Cat b,V 8 q ✺ ✵✳✷ ❉❡r✐✈❡❞ ❛•❣❡❜r❛✐❝ ❣❡♦♠❡tr② ❲❡ ♣r❡s❡♥t ❤❡r❡ s♦♠❡ ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞ r❡s✉•ts ❛❜♦✉t ❞❡r✐✈❡❞ ❛•❣❡❜r❛✐❝ ❣❡♦♠❡tr②✳ ▲❡t ✉s ❛ss✉♠❡ k ✐s ❛ ✜❡•❞ ♦❢ ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝ 0✳ ❋✐rst ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❜② ❚♦ë♥ ❛♥❞ ❱❡③③♦s✐ ✐♥ ❬❍❆•✷(✱ ❞❡r✐✈❡❞ ❛•❣❡❜r❛✐❝ ❣❡♦♠❡tr② ✐s ❛ ❣❡♥❡r❛•✐s❛t✐♦♥ ♦❢ ❛•❣❡❜r❛✐❝ ❣❡♦♠❡tr② ✐♥ ✇❤✐❝❤ ✇❡ r❡♣•❛❝❡ ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❛•❣❡❜r❛s ♦✈❡r k ❜② ❝♦♠♠✉t❛t✐✈❡ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛• ❣r❛❞❡❞ ❛•❣❡❜r❛s ✭♦r ❝❞❣❛✬s✮✳ ❲❡ r❡❢❡r t♦ ❬❚♦ë✸( ❢♦r ❛ r❡❝❡♥t s✉r✈❡② ♦❢ t❤✐s t❤❡♦r②✳

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k pyqqu » colim φ : kÑl ˜Mapp∆ 1 , C l q Mapp˚>˚,C l q tp Cpφqpxq, Cpφqpyqqu » colim φ : kÑl Map C l p Cpφqpxq, Cpφqpyqq ▲❡♠♠❛ ✶✳✼✳ ▲❡t K ❜❡ ❛ V✲s♠❛•• ✜•t❡r❡❞ s✐♠♣•✐❝✐❛• s❡t ❛♥❞ •❡t C : K Ñ Cat V 8 ❜❡ ❛ ❞✐❛❣r❛♠ ♦❢ V✲s♠❛•• ❝❛t❡❣♦r✐❡s✳ ▲❡t ✉s ❛ss✉♠❡ t❤❛t ❢♦r ❡❛❝❤ ✈❡rt❡① k P K t❤❡ ❝❛t❡❣♦r② C k " Cpkq ❛❞♠✐ts ✜♥✐t❡ ❝♦•✐♠✐ts ❛♥❞ t❤❛t t❤❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ♠❛♣s ✐♥ t❤❡ ❞✐❛❣r❛♠ C ♣r❡s❡r✈❡ ✜♥✐t❡ ❝♦•✐♠✐ts✳ ❋♦r ❛♥② k Ñ l P K✱ •❡t ✉s ✜① t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ♥♦t❛t✐♦♥s colim C i G G Ind V pcolim Cq C l C k φ kl o o u k y y j k G G Ind V pC k q a k y y f kl G G Ind V pC l q g kl o o ✇❤❡r❡ t❤❡ ❢✉♥❝t♦r a k ✐s Ind V pu k q✳ ❚❤❡ ❢✉♥❝t♦r φ kl ✐s t❤❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ♠❛♣ Cpk Ñ lq✱ t❤❡ ❢✉♥❝t♦r f kl ✐s Ind V pφ kl q ❛♥❞ g kl ✐s ✐ts r✐❣❤t ❛❞•♦✐♥t✳ ✭✐✮ ✭▲✉r✐❡✮ ❚❤❡ ❝❛t❡❣♦r② colim C ❛❞♠✐ts ✜♥✐t❡ ❝♦•✐♠✐ts ❛♥❞ ❢♦r ❛♥② k t❤❡ ❢✉♥❝t♦r u k ♣r❡s❡r✈❡s s✉❝❤ ❝♦•✐♠✐ts✳ ■t ❢♦••♦✇s t❤❛t a k ❛❞♠✐ts ❛ r✐❣❤t ❛❞•♦✐♥t b k ✳ ✭✐✐✮ ✭▲✉r✐❡✮ ❚❤❡ ♥❛t✉r❛• ❢✉♥❝t♦r Ind V pcolim Cq Ñ colim Ind V p Cq P Pr L,V 8 ✐s ❛♥ ❡q✉✐✈❛•❡♥❝❡✳ ❚❤♦s❡ t✇♦ ❝❛t❡❣♦r✐❡s ❛r❡ ❛•s♦ 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❲❡ ✇✐•• ♥❡❡❞ ♦♥❡ •❛st •❡♠♠❛ ❛❜♦✉t t❤❛t ❝❛t❡❣♦r② IPdSt shy,b S ✳ ▲❡♠♠❛ ✷✳✻✵✳ ❚❤❡ ❢✉••② ❢❛✐t❤❢✉• ❢✉♥❝t♦r IPdSt shy,b S X IPdAff S Ñ IPdSt S Ñ dSt S ♣r❡s❡r✈❡s ✜♥✐t❡ •✐♠✐ts✳ Pr♦♦❢✳ ❚❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❛♥ ❡♠♣t② •✐♠✐t ✐s ♦❜✈✐♦✉s✳ ▲❡t t❤❡♥ X Ñ Y Ð Z ❜❡ ❛ ❞✐❛❣r❛♠ ✐♥ IPdSt shy,b S X IPdAff S ✳ ❚❤❡r❡ ❡①✐st a ❛♥❞ b ❛♥❞ ❛ ❞✐❛❣r❛♠ σ : K Ñ Fct ´Λ2 1 , C ra,bs 0,0 s✉❝❤ t❤❛t K ✐s ❛ U✲s♠❛•• ✜•t❡r❡❞ s✐♠♣•✐❝✐❛• s❡t ❛♥❞ t❤❡ ❝♦•✐♠✐t ✐♥ IPdSt S ✐s X Ñ Y Ð Z✳ ❲❡ ❝❛♥ ♠♦r❡♦✈❡r ❛ss✉♠❡ t❤❛t σ ❤❛s ✈❛•✉❡s ✐♥ FctpΛ 2 1 , Pro U pdAff S qq » Pro U pFctpΛ 2 1 , dAff S qq✳ ❲❡ ❞❡❞✉❝❡ t❤❛t t❤❡ ✜❜r❡ ♣r♦❞✉❝t X ˆY Z ✐s t❤❡ r❡❛•✐s❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✐♥❞✲♣r♦✲❞✐❛❣r❛♠ ✐♥ ❞❡r✐✈❡❞ ❛✣♥❡ st❛❝❦s ✇✐t❤ ❝♦t❛♥❣❡♥t ❝♦♠♣•❡① ♦❢ t♦r ❛♠♣•✐t✉❞❡ ✐♥ ra ´1, b `1s✳ ■t ❢♦••♦✇s t❤❛t X ˆY Z ✐s ❛❣❛✐♥ ✐♥ IPdSt shy,b S X IPdAff S ✳ ✷✳✷ ❙②♠♣•❡❝t✐❝ ❚❛t❡ st❛❝❦s ✷✳✷✳✶ ❚❛t❡ st❛❝❦s✿ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ❛♥❞ ✜rst ♣r♦♣❡rt✐❡s ❲❡ ❝❛♥ ♥♦✇ ❞❡✜♥❡ ✇❤❛t ❛ ❚❛t❡ st❛❝❦ ✐s✳ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✷✳✶✳ ❆ ❚❛t❡ st❛❝❦ ✐s ❛ ❞❡r✐✈❡❞ ❆rt✐♥ ✐♥❞✲♣r♦✲st❛❝❦ •♦❝❛••② ♦❢ ✜♥✐t❡ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✇❤♦s❡ ❝♦t❛♥❣❡♥t ❝♦♠♣•❡① ✕ s❡❡ 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colim H‰EĂF tdu à H‰DĂE M D M tdu G G colim H‰EĂF à H‰DĂE M D ❲❡ ❤❛✈❡ ❜② ❛ss✉♠♣t✐♦♥ colim H‰EĂF tdu à H‰DĂE M D » M F tdu rd ´2s ❛♥❞ colim tduĹEĂF à H‰DĂE M D » M tdu ' ˜colim tduĹEĂF à tduĹDĂE M D ¸' ˜colim tduĹEĂF à H‰DĂE tdu M D » M tdu ' M F rd ´2s ' M F tdu rd ´2s ❚❤❡ r❡s✉•t ❢♦••♦✇s✳ ✻✶ ▲❡♠♠❛ ✸✳✷✸✳ ❋♦r ❛♥② B P cdga ď0 k ♦❢ ✜♥✐t❡ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✱ t❤❡ ✐♥❞✲♣r♦✲st❛❝❦ L d U pSpec Bq ✐s ❛ ❚❛t❡ st❛❝❦✳ Pr♦♦❢✳ ▲❡t ✉s ✜rst ❢♦❝✉s ♦♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ ❛✣♥❡ •✐♥❡ A 1 ✳ ❲❡ ❤❛✈❡ t♦ ♣r♦✈❡ t❤❛t t❤❡ ❝♦t❛♥❣❡♥t ❝♦♠♣•❡① L L d U pA 1 q ✐s ❛ ❚❛t❡ ♠♦❞✉•❡✳ ❋♦r ❛♥② s✉❜s❡t D Ă F ✇❡ ❞❡✜♥❡ M p,n D t♦ ❜❡ t❤❡ ❢r❡❡ k✲❝♦♠♣•❡① ❣❡♥❡r❛t❡❞ ❜② t❤❡ s②♠❜♦•s ta α1,...,α d , ´n ď α i ă 0 ✐❢ i P D, 0 ď α i ď p ♦t❤❡r✇✐s❡u ✐♥ ❞❡❣r❡❡ 0✳ ❋r♦♠ t❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ •❡♠♠❛ ✸✳✶✽✱ ✇❡ ❤❛✈❡ Z d E » colim n lim p Specpkr À DĂE M p,n D sq ❛♥❞ L d U pA 1 q » lim H‰EĂF Z d E ✇❤❡r❡ F " t1, . . . , du✳ ■❢ ✇❡ ❞❡♥♦t❡ ❜② π t❤❡ ♣r♦•❡❝t✐♦♥ L d U pA 1 q Ñ Spec k✱ ✇❡ ❣❡t L L d U pA 1 q » π ˚˜colim H‰EĂF lim n colim p à DĂE M p,n D ¸» π ˚˜lim n colim p colim 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V✲s♠❛•• st❛❜•❡ p8, 1q✲❝❛t❡❣♦r✐❡s ♣✳✺ Cat V,st,id 8 ❈❛t❡❣♦r② ♦❢ V✲s♠❛•• st❛❜•❡ ❛♥❞ ✐❞❡♠♣♦t❡♥t ❝♦♠♣•❡t❡ p8, 1q✲ ❝❛t❡❣❡②✲❊✐•❡♥❜❡r❣ ❝♦❤♦♠♦•♦❣② ❝♦♠♣•❡① ♦❢ t❤❡ A✲❞❣✲▲✐❡ ❛•❣❡❜r❛ L ♣✳✼✾ dAff k ❈❛t❡❣♦r② ♦❢ ❞❡r✐✈❡❞ ❛✣♥❡ s❝❤❡♠❡s ♦✈❡r k ♣✳✻ dgExt A ❈❛t❡❣♦r② ♦❢ tr✐✈✐❛• sq✉❛r❡ ③❡r♦ ❡①t❡♥s✐♦♥s ♦❢ A ♣✳✽✷ dgLie A ❈❛t❡❣♦r② ♦❢ A✲❞❣✲▲✐❡ ❛•❣❡❜r❛s ♣✳✼✶ dgMod A ❈❛t❡❣♦r② ♦❢ A✲❞❣✲♠♦❞✉•❡s ♣✳✻ dgRep A pLq ❈❛t❡❣♦r② ♦❢ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ A✲❞❣✲▲✐❡ ❛•❣r❡❜r❛ L ♣✳✾✵ dSt k ❈❛t❡❣♦r② ♦❢ ❞❡r✐✈❡❞ st❛❝❦s ♦✈❡r k ♣✳✻ dSt Art k ❈❛t❡❣♦r② ♦❢ ❞❡r✐✈❡❞ ❆rt✐♥ st❛❝❦s ♦✈❡r k ♣✳✻ dSt f A ❈❛t❡❣♦r② ♦❢ ❢♦r♠❛• st❛❝❦s ♦✈❡r A ♣✳✽✷ dSt Tate S ❈❛t❡❣♦r② ♦❢ ❚❛t❡ st❛❝❦s ♦✈❡r S ♣✳✹✹ FctpC,Dq ❈❛t❡❣♦r② ♦❢ ❢✉♥❝t♦rs C Ñ D ♣✳✶ Fin ˚❈❛t❡❣♦r② ♦❢ ♣♦✐♥t❡❞ ✜♥✐t❡ s❡ts ♣✳✺ F X ❋✉♥❝t♦r ♠❛♣♣✐♥❣ ❛ ▲✐❡ ❛•❣❡❜r❛ ♦✈❡r X t♦ ❛ ❢♦r♠❛• st❛❝❦ ♣✳✽✻ Ind U pCq ❈❛t❡❣♦r② ♦❢ U✲s♠❛•• ✐♥❞✲♦❜•❡❝ts ✐♥ C ♣✳✷ Ind U C ■♥❞✲❡①t❡♥s✐♦♥ ❢✉♥❝t♦r t♦ Ind U pCq ♣✳✹ IPdSt shy,b S ❈❛t❡❣♦r② ♦❢ s❤② ❛♥❞ ❜♦✉♥❞❡❞ ✐♥❞✲♣r♦✲st❛❝❦s ♦✈❡r S ♣✳✹✷ IPerf pXq ❉❡r✐✈❡❞ ❝❛t❡❣♦r② ♦❢ ✐♥❞✲♣❡r❢❡❝t ❝♦♠♣•❡①❡s ♦♥ X 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