Thibaut Allemand

Derivation of a two-fluids model for a Bose gas from a quantum kinetic system *

Keywords:

We formally derive the hydrodynamic limit of a system modelling a bosons gas having a condensed part, made of a quantum kinetic and a Gross-Pitaevskii equation. The limit model, which is a two-fluids Euler system, is approximated by an isentropic system, which is then studied. We find in particular some conditions for the hyperbolicity, and we study the weak solutions. A numerical example is given at the end.

Introduction

There has been a lot of research done about Bose-Einstein condensates in mathematics and physics, especially since the Nobel Prize 2001 was awarded to Carl, Cornell and Ketterle who succeeded in creating one for the first time. In particular, mathematicians have been working on various models to see if the predictions of the physicists could be justified mathematically.

There are actually several types of models to describe a Bose-Einstein condensate [START_REF] Pitaevskii | Bose-Einstein Condensation[END_REF]. The only one which is valid without any approximation is the atomistic one, that is, the linear Schrödinger equation for the P bodies density:

ih∂ t Ψ P = H P Ψ P (1)
where H P is the Hamiltonian, i.e. the energy operator, of the system, and h is Planck's constant. Other models can be found depending on the regime under consideration. At zero temperature, the gas is entirely condensated. Assuming that it is in a non-dissipative trap, the one-body density is governed by the Gross-Pitaevskii equation:

ih∂ t Ψ = -h 2 ∆ x Ψ + U Ψ + |Ψ| 2 Ψ
where U is the trapping potential. When the temperature of the gas is close to zero, the gas is composed of a condensate and a normal component. The condensate is still expected to be governed by a Gross-Pitaevskii-type equation, with coupling terms taking into account the mass and momentum exchanges with the normal component. The latter can be described in a probabilistic way using kinetic equations; in this case, a quantum Boltzmann equation, first proposed by Nordheim [START_REF] Nordheim | On the kinetic method in the new statistics and its application in the electron theory of conductivity[END_REF], with additional terms. We could also use a fluid description for the normal part together with the usual Gross-Pitaevskii equation for the condensate; still another possibility is to use a fluid description for both parts of the gas, leading to a two fluids model as predicted by Landau [START_REF] Landau | Course on Theoretical Physics[END_REF]. The way these models are related is represented in Figure 1.

In [START_REF] Pomeau | Rica Théorie cinétique d'un gaz de Bose dilué avec condensat[END_REF], a kinetic model for the non-condensate part has been derived from (1) using the BBGKY expansion in the low density limit. The condensated part is then described by a Gross-Pitaevskii equation, which takes into account both the interactions between the atoms of the condensate, and between them and those of the non-condensate part (called normal fluid).

What we are interested in is to link this model with models at a larger scale, namely, fluid models. This can be done considering the fast relaxation limit for the kinetic equation, together with the semiclassical limit for the Gross-Pitaevskii equation.

Our starting point is the following model: let ϕ ≡ ϕ(t, x, v) ≥ 0 denote the phase-space density function of the normal fluid, and Ψ(t, x) = ρ s (t, x)e iθ(t,x)/h (2)

The terms -2∂ t θ -2V 1 which are added in the microscopic energy conservation equations are here to ensure the possibility of having a condensate with velocity and energy which are other than zero. Indeed, the usual Boltzmann-Nordheim equation was derived in a space homogeneous setting, and up to translations the energy and the velocity of the condensate can only be zero in such a framework. The potentials V 1 and V 2 are given by

V 1 = α(2ρ n + ρ s ) V 2 = α 2 (2ρ n + ρ s ) ( 8
)
where α is a positive constant, ρ s is given by (2) and

ρ n = R N ϕ(t, x, v)dv
is the mass of the normal fluid. Note that very few is known mathematically about the Boltzmann equation for the bosons. It has been studied only in the spatially homogeneous case; see for example [START_REF] Lu | A modified Boltzmann equation for Bose-Einstein particles: isotropic solutions and long-time behavior[END_REF], [START_REF] Escobedo | On a quantum Boltzmann equation for a gas of photons[END_REF], [START_REF] Escobedo | Homogeneous Boltzmann equation in quantum relativistic kinetic theory[END_REF].

In this work, we will (formally) perform the compressible Euler limit on the system (3) together with a semiclassical limit. To do this, we rescale time and space by changing (t, x) to ( t ε , x ε ), where ε is a small parameter, which gives the scaled system

     ∂ t ϕ + v.∇ x ϕ -∇ x V 1 .∇ v ϕ = 1 ε Q(ϕ) + ρ s ε Q 1 (ϕ) i h∂ t Ψ = - h2 2 ∆ x Ψ + V 2 Ψ + i h 2ε Q 2 (ϕ)Ψ. ( 9
)
where h = εh, and we want to determine the asymptotics of this system as h → 0 and ε → 0.

In Section 2, we detail the main physical properties of the model. Then, in Section 3, we obtain a fluid description of the Bose-Einstein condensate and the non-condensate phase. We therefore study the fluid system. In Section 4, we get some conditions for the system to be hyperbolic, and then we show the existence of some local strong solutions. In Section 5, we finally give some details about weak solutions and the propagation of shocks.

Properties of the model

The possibility of obtaining a fluid description of the Bose gas governed by ( 3) is a consequence of some fundamental properties of this system. First, like for the classical Boltzmann and Schrödinger equations, we can write the macroscopic equations wich govern the mass, momentum and energy for both parts of the gas. Then, we characterize the distributions ϕ which minimize the entropy and thus are expected to be attractors of the dynamics in the fast relaxation limit. These two informations will allow us to perform the compressible Euler limit in Section 3.

Conservation laws

Integrating the kinetic equation in (3) against 1, v, |v| 2 , we obtain the equations on the mass, momentum and kinetic energy of the normal fluid. From the Gross-Pitaevskii equation, we derive the equations for the mass, momentum and energy of the condensate.

Mass

We plug the expression of Ψ (2) in the second equation of the system (3). After dividing by the exponential, we can write two equations, one for the real part and one for the imaginary part. They read

∂ t ρ s + ∇ x .(ρ s u s ) = ρ s Q 2 (ϕ) (10)
and

∂ t θ = h 2 2 √ ρ s ∆ x √ ρ s - |u s | 2 2 -V 2 (11)
where

u s = ∇ x θ
denotes the bulk velocity of the condensed phase. Equation [START_REF] Landau | Course on Theoretical Physics[END_REF] gives the law governing the mass density of the condensate.

For the kinetic equation, let us first remark that

R N   1 v |v| 2   Q 1 (ϕ)(v)dv = -   1 u s -2∂ t θ -2V 1   Q 2 (ϕ). ( 12
)
Then, integrating with respect to the velocity over the whole space R N , we obtain the equation satisfied by the mass of the normal fluid:

∂ t ρ n + ∇ x .(ρ n u n ) = -ρ s Q 2 (ϕ) (13)
where we defined the bulk velocity of the normal fluid as

u n = 1 ρ n R N vf (t, x, v)dv.
We can see that neither ρ n nor ρ s are conserved quantities, unless the thermodynamic equilibrium is reached, that is,

Q 2 (ϕ) = 0.
However, the total mass ρ = ρ n + ρ s satisfies a conservation law without any assumption of equilibrium:

∂ t ρ + ∇ x .(ρ n u n + ρ s u s ) = 0. ( 14
)
This means that the normal fluid and the condensate exchange mass until they are at thermodynamic equilibrium.

Momentum

Integrating the kinetic equation against v, we get

∂ t (ρ n u n ) + ∇ x . R N v ⊗ vϕdv = -ρ n ∇ x V 1 -ρ s u s Q 2 (ϕ). ( 15
)
For the condensed part, we differentiate equation [START_REF] Lu | A modified Boltzmann equation for Bose-Einstein particles: isotropic solutions and long-time behavior[END_REF] with respect to x, and, thanks to the mass equations [START_REF] Landau | Course on Theoretical Physics[END_REF] and [START_REF] Pitaevskii | Bose-Einstein Condensation[END_REF], we can write

∂ t (ρ s u s ) + ∇ x .(ρ s u s ⊗ u s ) = -ρ s ∇ x V 2 + ρ s u s Q 2 (ϕ) + h 2 2 ∇ x . √ ρ s ∇ 2 x √ ρ s -∇ x √ ρ s ⊗ ∇ x √ ρ s .
Plugging the expression of the potentials (8), we can see that the total momentum satisfies

∂ t (ρ n u n + ρ s u s ) + ∇ x . R N v ⊗ vϕdv + ρ s u s ⊗ u s + α(2ρ n + ρ s )I N = h 2 2 ∇ x . √ ρ s ∇ 2 x √ ρ s -∇ x √ ρ s ⊗ ∇ x √ ρ s
where I N is the N × N identity matrix. The momentum of each fluid is not preserved even at thermodynamic equilibrium; however, the total momentum obeys a conservation law. This means that, even at the equilibrium, the two parts of the fluid exchange some momentum.

Energy

We now integrate the kinetic equation against |v| 2 :

∂ t R N |v| 2 ϕdv + ∇ x . R N v|v| 2 ϕdv = -2ρ n u n .∇ x V 1 -ρ s |u s | 2 + ρ s (2V 2 -V 1 ) -h 2 √ ρ s ∆ x √ ρ s -ρ s V 1 Q 2 (ϕ).
For the condensed part, the energy writes h 2 |∇ x Ψ| 2 , and satisfies

∂ t h 2 |∇ x Ψ| 2 = h 3 ℜ(i∇ x (∆ x Ψ).∇ x Ψ) -2hℑ( Ψ∇ x Ψ)∇ x V 2 + h 2 2 ∇ x ρ s .∇ x Q 2 (ϕ) + h 2 |∇ x Ψ| 2 Q 2 (ϕ). ( 16
) Computing h 3 ℜ(i∇ x (∆ x Ψ).∇ x Ψ)
and since

h 2 |∇ x Ψ| 2 = ρ s |u s | 2 + h 2 |∇ x √ ρ s | 2 ,
it follows that

∂ t ρ s |u s | 2 + h 2 |∇ x √ ρ s | 2 + ∇ x .(ρ s |u s | 2 u s ) = -2ρ s u s ∇ x V 2 + ρ s |u s | 2 Q 2 (ϕ) + h 2 2 ∇ x ρ s .∇ x Q 2 (ϕ) + h 2 |∇ x √ ρ s | 2 Q 2 (ϕ) + 3h 2 ∇ x .(∇ x √ ρ s ⊗ ∇ x √ ρ s : u s ) -h 2 ∇ x .( √ ρ s u s ∆ x √ ρ s ) + h 2 ∇ x .(∇ x √ ρ s ∇ x .( √ ρ s u s )).
On the other hand, the equation for the potential energy writes:

∂ t α 2 (2ρ n + ρ s ) 2 +∇ x .(α(2ρ n + ρ s )(2ρ n u n + ρ s u s )) = α(2ρ n u n + ρ s u s ).∇ x (2ρ n + ρ s ) -αρ s (2ρ n + ρ s )Q 2 (ϕ) = 2ρ n u n ∇ x V 1 + 2ρ s u s ∇ x V 2 -ρ s V 1 Q 2 (ϕ)
thanks to expressions (8) of the potentials. If we add this equation the the equation for the energy of the condensed part (16), we note that we obtain a conservation equation, plus some terms coming from the interaction with the normal fluid. This conservation property is reminiscent from the energy conservation of the solutions to the Schrödinger equation. Collecting all the pieces together, we get the full energy equation:

∂ t R N |v| 2 ϕdv + ρ s |u s | 2 + h 2 |∇ x √ ρ s | 2 + α 2 (2ρ n + ρ s ) 2 + ∇ x . v|v| 2 ϕdv + ρ s |u s | 2 u s + α(2ρ n + ρ s )(2ρ n u n + ρ s u s ) = h 2 T (ϕ, ρ s , u s ) (17)
with

T (ϕ, ρ s , u s ) =∇ x .( √ ρ s Q 2 (ϕ)∇ x √ ρ s ) + 3∇ x .(∇ x √ ρ s ⊗ ∇ x √ ρ s : u s ) -∇ x .( √ ρ s u s ∆ x √ ρ s ) + ∇ x .(∇ x √ ρ s ∇ x .( √ ρ s u s )).
We check that the total energy is conserved, and that all the terms which do not have a clear physical interpretation formally vanish in the limit h → 0.

Thermodynamic equilibrium

Letting ε → 0 in [START_REF] Godlewski | Numerical Approximation of Hyperbolic Systems of Conservation Laws[END_REF] suggests that, in the fast relaxation limit, ϕ satisfies, for almost every

v ∈ R N , Q(ϕ) + ρ s Q 1 (ϕ) = 0.
We therefore need to characterize such functions:

Proposition 1. Let ϕ ≡ ϕ(v) be a smooth, positive valued function on R N . Let u s ∈ R N , V 1 ∈
R be some given constants and let

ρ n = v∈R N ϕ(v)dv, u n = 1 ρ n R N vϕ(v)dv.
Define Q(ϕ) and Q 1 (ϕ) by ( 4) and [START_REF] Escobedo | Homogeneous Boltzmann equation in quantum relativistic kinetic theory[END_REF]. Assume that h = 0, so that C 2 is the set of all the velocities v * , v ′ * such that

u s + v ′ * = v + v * |u s | 2 + V 1 + |v ′ * | 2 = |v| 2 + |v * | 2 .
Then,

Q(ϕ) + ρ s Q 1 (ϕ) = 0 if and only if ϕ is a bosonian, i.e. ϕ(v) = M 1 -M , (18)
where

M = e -|v-un | 2 -|us -un | 2 +V 1 2T
, for some positive constant T .

Proof. The identity

Q(ϕ) + ρ s Q 1 (ϕ) = 0 implies that R N (Q(ϕ) + ρ s Q 1 (ϕ)) log ϕ 1 + ϕ dv = 0.
Using the symmetries of the collision integrals, we have

R N Q(ϕ) log ϕ 1 + ϕ dv = R N R N S N -1 (1 + ϕ)(1 + ϕ * )(1 + ϕ ′ )(1 + ϕ ′ * ) ϕ ′ 1 + ϕ ′ ϕ ′ * 1 + ϕ ′ * - ϕ 1 + ϕ ϕ * 1 + ϕ * × log ϕ 1 + ϕ ϕ * 1 + ϕ * -log ϕ ′ 1 + ϕ ′ ϕ ′ * 1 + ϕ ′ * dvdv * dn and R N Q 1 (ϕ) log ϕ 1 + ϕ dv = R N C2 (1 + ϕ)(1 + ϕ * )(1 + ϕ ′ * ) ϕ ′ * 1 + ϕ ′ * - ϕ 1 + ϕ ϕ * 1 + ϕ * × log ϕ 1 + ϕ ϕ * 1 + ϕ * -log ϕ ′ * 1 + ϕ ′ * dvdv * dv ′ * .
But for all x, y > 0 we have

(x -y)(log y -log x) ≤ 0
with equality if and only if x = y. Hence both integrands are nonpositive functions, and we claim that:

Q(ϕ) + ρ s Q 1 (ϕ) = 0
if and only if Q(ϕ) = 0 a.e. and Q 1 (ϕ) = 0 a.e..

For the same reason, Q(ϕ) vanishes if and only if

ϕ ′ 1 + ϕ ′ ϕ ′ * 1 + ϕ ′ * = ϕ 1 + ϕ ϕ * 1 + ϕ * (19) for almost every v, v * ∈ R N , n ∈ S N -1 , with v ′ , v ′ * satisfying (5), and Q 1 (ϕ) vanishes only when ϕ ′ * 1 + ϕ ′ * = ϕ 1 + ϕ ϕ * 1 + ϕ * for almost every v ∈ R N and v * , v ′ * ∈ C 2 with h = 0 (u s ∈ R N and V 1 are fixed).

We therefore have to solve the functional equation (19). Thanks to the classical Boltzmann theory, we know that if for all

v, v * , v ′ , v ′ * satisfying (5) we have f f * = f ′ f ′ * , then f is a Maxwellian distribution, namely f ≡ M = e (a|v| 2 +b.v+c) with a, c ∈ R and b ∈ R N . Taking f = ϕ 1+ϕ gives that Q(ϕ) vanishes if and only if ϕ = M 1 -M .
The Maxwellian function M can be rewritten

M = e -|v-un | 2 2T +δ
for some T > 0 and δ ∈ R using the macroscopic velocity, since

R N vϕdv = ρ n u n .
We can compute δ by plugging this into Q 1 (ϕ) = 0, which leads to

M ′ * = M M * for all v ∈ R N , v * , v ′ * ∈ C 2 .
We thus obtain:

|v ′ * -u n | 2 2T -δ = |v -u n | 2 2T -δ + |v * -u n | 2 2T -δ which gives, thanks to the definition of C 2 , δ = |u s -u n | 2 -V 1 2T ,
which is the expected result.

Remark 1. M satisfies ϕ 1 + ϕ = M, so that 0 < M < 1.
In particular,

|u s -u n | 2 ≤ α(2ρ n + ρ s ).
Remark 2. In [START_REF] Escobedo | Homogeneous Boltzmann equation in quantum relativistic kinetic theory[END_REF], it is shown that the equilibrium solutions of the Boltzmann-Nordheim equation, which are the minimizers of the entropy, are the bosonian distributions (18) to which a Dirac function must be added if the mass of the initial data is greater than some critical value. In fact, for initial data having a big mass, the formation of a singularity taking the form of a Dirac function means that a condensate has been created in the fluid. Our goal here is to study a model [START_REF] Carles | Semi-Classical Analysis for Nonlinear Schrödinger Equations[END_REF] where a condensate has already occured, and then the corresponding mass has been deleted from the normal component of the fluid. Hence, the initial mass of the normal part of the fluid is assumed to be less than the critical value, and consequently the equilibrium solution is made only of the regular part.

Formal derivation of the fluid model

Our goal in this section is to derive a fluid description of the Bose gas governed by ( 3). This will be achieved at formal level in three steps: we first perform the semiclassical limit h → 0. It allows to pass from a quantum to a classical description of the condensed part. Then, rescaling the time and space as in (9), we perform the compressible Euler limit by the moment method. We get a set of equations on the masses and momentum of the two fluids, and an equation for the total energy. This system is closed. However, it is a system of 2N + 3 equations and as much unknowns. To simplify the subsequent study, we replace it in the third step with a smaller system using the isentropic approximation.

Semiclassical limit

When performed on the usual Schrödinger equation, the semiclassical limit h → 0 allows to recover the laws of classical mechanics from quantum dynamics [START_REF] Carles | Semi-Classical Analysis for Nonlinear Schrödinger Equations[END_REF]. Indeed, h can be seen as a measure of how far we are from classical mechanics. In our case, the limit will allow us to treat the condensed part as a classical fluid.

We assume that all the quantities converge in suitable functional spaces as h → 0. Moreover, we still write ρ s , u s , θ, ϕ, ρ n , u n the limits of these quantities. Under these assumptions, the equation for the phase [START_REF] Lu | A modified Boltzmann equation for Bose-Einstein particles: isotropic solutions and long-time behavior[END_REF] becomes

∂ t θ = - |u s | 2 2 -V 2 .
Hence, as h → 0, Q 2 (ϕ) is changed into

Q 2 (ϕ) = C3 ϕ(v ′ )ϕ(v ′ * ) -ϕ(v * )(ϕ(v ′ ) + ϕ(v ′ * ) + 1) dv * dv ′ dv ′ *
where the new C 3 is the set of all velocities v * , v ′ , v ′ * such that

u s + v * = v ′ + v ′ * |u s | 2 -V 1 + |v * | 2 = |v ′ | 2 + |v ′ * | 2 .
Substituting Q 2 (ϕ) with its new expression, the mass equations ( 10), ( 13) and ( 14) write the same as before. The momentum equation for the normal fluid (15) is also unchanged. The equation for the momentum of the condensed part becomes:

∂ t (ρ s u s ) + ∇ x .(ρ s u s ⊗ u s ) = -ρ s ∇ x V 2 + ρ s u s Q 2 (ϕ).
Thus, the total momentum satisfies the conservation law

∂ t (ρ n u n + ρ s u s ) + ∇ x . R N v ⊗ vϕdv + ρ s u s ⊗ u s + α(2ρ n + ρ s )I N = 0.
Letting h → 0 in the energy equation ( 17) leads to:

∂ t R N |v| 2 ϕdv + ρ s |u s | 2 + α 2 (2ρ n + ρ s ) 2 + ∇ x . v|v| 2 ϕdv + ρ s |u s | 2 u s + α(2ρ n + ρ s )(2ρ n u n + ρ s u s ) = 0.
Note that in the semiclassical limit, the total energy is conserved.

Hydrodynamic limit

We now perform the change of scale (t, x) → ( t ε , x ε ) where ε → 0 is a small parameter. As can be seen on the system (9), this scaling leaves the equations associated to the condensed part unchanged, excepted the collision term Q 2 (ϕ) which gets a factor 1 ε . The small parameter ε is known as the Knudsen number, which is proportional to the mean free path, that is, the average length covered by the particules of the gas between two collisions. Letting this parameter go to 0 means that the collisions occur on a time scale which is very small compared with the observation time scale, so that one can consider that the local thermodynamic equilibrium is reached almost instantaneously.

The principle of the moment method for the compressible Euler limit is as follows: multiplying the kinetic equation in ( 9) by ε and letting ε → 0 suggests that ϕ converges to the bosonian (18). We thus replace ϕ by its limiting value in the moment equations, namely, in the equations for the mass, momentum and kinetic energy of the normal fluid. We do the same for the equations which govern the mass, momentum and energy of the condensate, and we obtain a closed set of hydrodynamic equations describing the macroscopic evolution of a Bose gas.

We assume that all the macroscopic quantities converge as ε → 0 in suitable functional spaces. The only technical point is to compute some integrals, in particular those associated with the momentum and heat flux. We have the identity

R N v ⊗ v M 1 -M dv = ρ n u n ⊗ u n + pI N defining the pressure p = 1 N R N |v| 2 βe -|v| 2 2T 1 -βe -|v| 2 2T where β = e |us -un | 2 -V 1 2T and 0 < β < 1.
Using obvious symmetry properties, we deduce that

R N |v| 2 M 1 -M dv = ρ n |u n | 2 + N p.
In the same way, we have

R N v|v| 2 M 1 -M dv = ρ n |u n | 2 u n + (N + 2)pu n .
At the end, the hydrodynamic limit of the system (3) is given by the following set of equations:

                           ∂ t ρ n + ∇ x .(ρ n u n ) = 0 ∂ t ρ s + ∇ x .(ρ s u s ) = 0 ∂ t (ρ n u n ) + ∇ x .(ρ n u n ⊗ u n + pI N ) = -αρ n ∇ x (2ρ n + ρ s ) ∂ t (ρ s u s ) + ∇ x .(ρ s u s ⊗ u s ) = -α 2 ρ s ∇ x (2ρ n + ρ s ) ∂ t ( 1 2 ρ n |u n | 2 + 1 2 ρ s |u s | 2 + N 2 p + α 4 (2ρ n + ρ s ) 2 )) +∇ x . 1 2 ρ n |u n | 2 u n + 1 2 ρ s |u s | 2 u s + (N +2) 2 pu n + α 2 (2ρ n + ρ s )(2ρ n u n + ρ s u s ) = 0 (20)
This is a kind of two-phases Euler system, the second fluid (the superfluid) being pressureless. They do not exchange mass, while they exchange some momentum, contrary to what occurs in the model proposed by Landau [START_REF] Landau | Course on Theoretical Physics[END_REF].

The isentropic approximation

The system (20) is somehow very complex insofar as it is not a system of conservation laws, and defining weak solutions for such a system is complicated. Consequently, we approximate it with a simpler system, which can be written as a system of conservation laws. To do this, we first claim that the kinetic equation in ( 9) is endowed with a natural entropy S(ϕ), which is defined by:

S(ϕ) = 1 ρ n R N ((1 + ϕ) log(1 + ϕ) -ϕ log ϕ) dv.
We will show that in the case when that entropy is approximatively constant, we can compute the pressure law, thus reducing the number of unknowns, and obtain a closed system of conservation laws. The entropy satisfies the following equation:

∂ t (ρ n S(ϕ)) + ∇ x . R N v ((1 + ϕ) log(1 + ϕ) -ϕ log ϕ) dv = - 1 ε R N (Q(ϕ) + ρ s Q 1 (ϕ)) log ϕ 1 + ϕ dv ≥ 0 (21)
which is analogous to Boltzmann's H-theorem. When ε → 0, the density function ϕ goes to its equilibrium value M 1-M and the entropy (now called S) becomes

ρ n S = - R N M 1 -M log M + log(1 -M ) . (22)
Then, it comes

R N v 1 1 -M log 1 1 -M - M 1 -M log M 1 -M dv = ρ n Su n and S satisfies ∂ t (ρ n S) + ∇ x .(ρ n Su n ) = 0.
Moreover, thanks to the mass conservation for the normal fluid (first equation in the system (20)), we get

∂ t S + u n .∇ x S = 0 (23)
which is a transport equation. Note that S ≡ S 0 , where S 0 is a constant, is a trivial solution of (23).

Remark 3. In the fast relaxation limit ε → 0, the entropy dissipation is expected to concentrate on shock solutions, as occurs for the classical Boltzmann equation. Hence, inequality ( 21) is expected to become an equality in the limit as long as smooth solutions are considered. In other words, ( 23) should be a combination of the other equations of the system.

Using (22), we can compute the entropy with respect to ρ n , p, β and T :

S = N p 2T ρ n -log β - T N/2 ρ n R N log(1 -βe -|v| 2 2 )dv.
From the expressions of the density and pressure for the normal fluid:

ρ n = T N/2 R N βe -|v| 2 2 1 -βe -|v| 2 2 dv, p = 1 N T N/2+1 R N |v| 2 βe -|v| 2 2 1 -βe -|v| 2 2 dv,
remarking that, thanks to an integration by parts,

R N |v| 2 βe -|v| 2 2 1 -βe -|v| 2 2 dv = - N β R N log(1 -βe -|v| 2
2 )dv, we get

S = N 2 + 1 p T ρ n -log β.
If we write

ρ n = T N/2 F 0 (β), p = 1 N T N/2+1 F 2 (β), (24)
we obtain at the end

S = 1 2 + 1 N F 2 (β) F 0 (β) -log β.
It comes out that the entropy depends only on the variable β. If we show that β → S(β) is one-to-one, we will be able to say that if S remains constant, so is β; hence, thanks to (24), we will obtain the following pressure law:

p = cN ρ N +2 N n . ( 25
) with cN = 1 N F 2 (β 0 ) (F 0 (β 0 )) 1+2/N > 0
for some constant β 0 ∈ (0, 1).

Lemma 3.1. The function β ∈ (0, 1) → S(β) is one-to-one.

Proof. We compute the derivative of S with respect to β:

S ′ (β) = 1 2 + 1 N F ′ 2 (β)F 0 (β) -F 2 (β)F ′ 0 (β) F 0 (β) 2 - 1 β .
Hence,

S ′ (β) = 1 2 + 1 N 1 F 0 (β) 2 R N |v| 2 e -|v| 2 2 1 -βe -|v| 2 2 2 dv R N βe -|v| 2 2 1 -βe -|v| 2 2 dv - R N |v| 2 e -|v| 2 2 1 -βe -|v| 2 2 dv R N βe -|v| 2 2 1 -βe -|v| 2 2 2 dv - 1 β .
We want to show that S ′ (β) is negative. To do this, we expand the integrands into power series. We get for the simplest one

R N e -|v| 2 2 1 -βe -|v| 2 2 dv = R N ∞ n=0 β n e -(n+1) |v| 2 2 dv = ∞ n=0 β n R N e -(n+1) |v| 2 2 dv, that is, R N e -|v| 2 2 1 -βe -|v| 2 2 dv = R N e -|v| 2 2 dv ∞ n=0 β n 1 (n + 1) N/2 .
We compute the other integrals using the same tool, and the entropy derivative becomes

S ′ (β) = β 1 2 + 1 N R N |v| 2 e -|v| 2 2 dv R N e -|v| 2 2 dv 1 F 0 (β) 2 ×   ∞ n=0 β n 1 (n + 1) N/2 2 - ∞ n=0 β n 1 (n + 1) N/2+1 ∞ n=0 β n 1 (n + 1) N/2-1   - 1 β .
We can calculate the products of the summations:

∞ n=0 β n 1 (n + 1) N/2 2 = ∞ n=0 c n β n with c n = n k=0 1 (k + 1) N/2 (n -k + 1) N/2 , and ∞ n=0 β n 1 (n + 1) N/2+1 ∞ n=0 β n 1 (n + 1) N/2-1 = ∞ n=0 cn β n with cn = n k=0 1 (k + 1) N/2+1 (n -k + 1) N/2-1 .
A simple calculation shows that cn ≥ c n .

But since

S ′ (β) = 1 2 + 1 N R N |v| 2 e -|v| 2 2 dv R N e -|v| 2 2 dv β F 0 (β) 2 ∞ n=0 (c n -cn )β n - 1 β , it comes S ′ (β) < 0,
and thus β → S(β) is one to one.

From now on, we will assume that the dimension of the space is N = 3. Moreover, we assume that the gas is translation invariant along the y-and z-axis, and that the y-and z-components of the velocities u n and u s are zero. Under these conditions, the system under consideration becomes one-dimensional

         ∂ t ρ n + ∂ x (ρ n u n ) = 0 ∂ t ρ s + ∂ x (ρ s u s ) = 0 ∂ t (ρ n u n ) + ∂ x (ρ n u 2 n + cρ 5/3 n ) = -αρ n ∂ x (2ρ n + ρ s ) ∂ t (ρ s u s ) + ∂ x (ρ s u 2 s ) = -α 2 ρ s ∂ x (2ρ n + ρ s ) (26)
where c = c3 . If (ρ n , ρ s , u n , u s ) is a regular solution of (26), then (ρ n , ρ s , u n , u s , p ≡ cρ 5/3 n ) will be a regular solution of (20). However, this is not true any more when dealing with weak solutions. The reason is that the entropy does not remain constant along shock waves as mentioned in remark 3. Hence, system (26) is actually an approximation of system (20), and not just a particular case of it.

Hyperbolicity and regular solutions

In view of giving some mathematical justifications to the derivation of the hydrodynamic model (20) and of its isentropic approximation (26), it is necessary to have a good understanding of its structure and a good mathematical theory of existence and stability. We are therefore interested in this section in finding smooth solutions to (26).

In Section 5, we will deal with weak solutions of this system. As it will be more convenient to work with a system of conservation laws, we introduce right now the following system of equations:

               ∂ t ρ n + ∂ x (ρ n u n ) = 0 ∂ t ρ s + ∂ x (ρ s u s ) = 0 ∂ t (ρ n u n + ρ s u s ) + ∂ x (ρ n u 2 n + ρ s u 2 s + cρ 5/3 n + α 4 (2ρ n + ρ s ) 2 ) = 0 ∂ t ( 1 2 ρ n u 2 n + 1 2 ρ s u 2 s + 3 2 cρ 5/3 n + α(ρ n + 1 2 ρ s ) 2 ) +∂ x ( 1 2 ρ n u 3 n + 1 2 ρ s u 3 s + 5 2 cρ 5/3 n u n + α(ρ n + 1 2 ρ s )(2ρ n u n + ρ s u s )) = 0 (27)
Actually, the inversibility of the function

F : R * + × R * + × R × R → R * + × R * + × R × R * + (ρ n , ρ s , u n , u s ) → (ρ n , ρ s , ρ n u n + ρ s u s , 1 2 ρ n u 2 n + 1 2 ρ s u 2 s + 3 2 cρ 5 3 n + α(ρ n + 1 2 ρ s ) 2 )
(whose jacobian is j F = ρ n ρ s (u su n )) on the sets

O + =        U =     ρ n ρ s u n u s     s.t. ρ n , ρ s > 0 and u n > u s       
and

O -=        U =     ρ n ρ s u n u s     s.t. ρ n , ρ s > 0 and u n < u s       
is enough to say that on these sets, the smooth solutions to (26) are also solutions of ( 27), and conversely. In addition, they are also solutions of

∂ t U + A∂ x U = 0 ( 28
)
where

A =     u n 0 ρ n 0 0 u s 0 ρ s cρ -1 3 n + 2α α u n 0 α α 2 0 u s     (29)
(with c = 5 3 c > 0), and any of this problem is (strictly) hyperbolic provided the others are.

Hyperbolicity

For a system of the form (28), the right property to study is hyperbolicity, that is, the possibility to diagonalize the matrix A given by (29). Indeed, this property allows to claim the existence and uniqueness of smooth solutions to (28) (see [START_REF] Dafermos | Hyperbolic Conservation Laws in Continuum Physics[END_REF]). It will also be useful when dealing with weak solutions.

Since system (26) is hyperbolic if and only if system (27) or system (28) is, it is enough to investigate the eigenvalues of the matrix A given by (29) to conclude on the hyperbolicity of any of these systems. The characteristic polynomial of A writes

P A (λ) = (λ -u n ) 2 -cρ 2 3 n -2αρ n (λ -u s ) 2 - α 2 ρ s -α 2 ρ n ρ s .
Even if it is of degree 4 and there are explicit formulae for the roots of polynomials of degree 4, they are very complicated and we are not able to use them here. Our analysis relies only on basic analytical tools to find cases where the polynomial has 4 different roots. The main result of this section is the following:

Theorem 4.1. Systems ( 26), ( 27) and ( 28) are strictly hyperbolic if ρ n , ρ s > 0 and if one of these conditions holds:

(u n -u s ) 2 < cρ 2/3 n (30) (u n -u s ) 2 < c α 2 ρ s ρ 2/3 n cρ 2/3 n + 2αρ n (31)
ρ n ≤ c 2α 3 . (32)
Obviously, the condition (32) is the most interesting, because it can be propagated by the solution, whereas the other two may fail to hold after a small time.

Proof. We work with U = (ρ n , ρ s , u n , u s ) and α fixed, with ρ n , ρ s , α > 0. We first notice that lim λ→±∞ P A (λ) = +∞.

On the other hand, if we let

λ * 1 = u s -α 2 ρ s λ * 2 = u s + α 2 ρ s , we can remark that ∀i = 1, 2 P (λ * i ) = -α 2 ρ n ρ s < 0. But u s ∈ (λ * 1 , λ * 2 ) satisfies P A (u s ) = - α 2 ρ s (u n -u s ) 2 -cρ 2/3 n .
Hence, if we assume that (30) holds, we have

P A (u s ) > 0.
Since P A is a continous function of λ, we claim that it has four distinct roots (λ i ) i=1..4 depending on U and α and satisfying (see Figure 2)

λ 1 < u s - α 2 ρ s < λ 2 < u s < λ 3 < u s + α 2 ρ s < λ 4 . λ * 1 λ * 2 +∞ +∞ λ 1 λ P A (λ) λ 2 λ 4 λ 3 us
Figure 2: In the case when P A (u s ) > 0, the polynom P A has four distinct roots.

In the same way, we let

   λ * 3 = u n -cρ 2/3 n + 2αρ n λ * 4 = u n + cρ 2/3 n + 2αρ n ; then P A (λ * 3 ) = P A (λ * 4 ) = -α 2 ρ n ρ s < 0 and P A (u n ) = c α 2 ρ s ρ 2/3 n -(u n -u s ) 2 (cρ 2/3 n + 2αρ n ).
Thus, under the condition (31), P A has four distinct roots (λ i ) i=1..4 wich satisfy

λ 1 < u n -cρ 2/3 n + 2αρ n < λ 2 < u n < λ 3 < u n + cρ 2/3 n + 2αρ n < λ 4 .
We have then proved that under the condition (30) or (31), the systems (26), ( 27) and ( 28) are strictly hyperbolic. We now assume that neither (30) nor (31) are verified, that is,

(u n -u s ) 2 ≥ cρ 2/3 n (33)
and

(u n -u s ) 2 ≥ c α 2 ρ s ρ 2/3 n cρ 2/3 n + 2αρ n . (34)
Thus, u n = u s , P A (u n ) ≤ 0 and P A (u s ) ≤ 0. Let us study the sign of P A ( un+us

2

):

P A u n + u s 2 = 1 16 (u n -u s ) 4 - 1 4 α 2 ρ s + cρ 2/3 n + 2αρ n (u n -u s ) 2 +c α 2 ρ s ρ 2/3 n .
Let Q(X) be the polynomial defined by

Q(X) = 1 16 X 2 - 1 4 α 2 ρ s + cρ 2/3 n + 2αρ n X + c α 2 ρ s ρ 2/3 n . Its discriminant is δ = 1 16 α 2 ρ s -cρ 2/3 n + 2αρ n 2 + c α 2 ρ 5/3 n > 0,
and its two roots write

β -= 1 32 1 4 α 2 ρ s + cρ 2/3 n + 2αρ n - √ δ β + = 1 32 1 4 α 2 ρ s + cρ 2/3 n + 2αρ n + √ δ .
Hence,

P u n + u s 2 > 0 ⇔ (u n -u s ) 2 > β + or (u n -u s ) 2 < β -.
Let us assume that (32) holds, or equivalently, that

2αρ n ≤ cρ 2/3 n .
Then,

β + < 1 64 α 2 ρ s + 3cρ 2/3 n .
But, thanks to (33) and (34), we know that

(u n -u s ) 2 > cρ 2/3 n and (u n -u s ) 2 > α 4 ρ s ,
from which we deduce that

(u n -u s ) 2 > β + .
Moreover, we notice that P ′ A (u s )P ′ A (u n ) = 0. We can conclude that the systems (26), ( 27) and (28) are strictly hyperbolic under the condition (30), or (31), or under the only condition (32). In this case, the eigenvalues of A satisfy

λ 1 < u n ≤ λ 2 < u n + u s 2 < λ 3 ≤ u s < λ 4
if u n < u s , or the same thing inverting u n and u s if u s < u n .

Entropy

We are now interested in finding a convex entropy to system (26), that is, a convex function E(U ) such that there exists a function G(U ) which satisfies

∂ t E(U ) + ∂ x G(U ) = 0.
Our research is motivated by the fact that a strictly hyperbolic system having a strictly convex entropy admits regular solutions (see [START_REF] Dafermos | Hyperbolic Conservation Laws in Continuum Physics[END_REF] for example). The entropy we are looking for is given by the physical energy:

E(U ) = 1 2 ρ n u 2 n + 1 2 ρ s u 2 s + 9 10 cρ 5 3 n + α(ρ n + 1 2 ρ s ) 2 .
We can find the equation satisfied by E just from (28); it writes

∂ t E(U ) + ∂ x G(U ) = 0 with G(U ) = 1 2 ρ n u 3 n + 1 2 ρ s u 3 s + 3 2 cρ 5 3 n u n + α(ρ n + 1 2 ρ s )(2ρ n u n + ρ s u s ).
Let us now study its convexity. Its Hessian matrix is given by

∇ 2 U,U E(U ) =     cρ -1 3 n + 2α α u n 0 α α 2 0 u s u n 0 ρ n 0 0 u s 0 ρ s     .
If we denote X = (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) T , where T is the transposition operator, then

X T (∇ 2 U,U E(U ))X =ρ s x 4 + u s ρ s x 2 2 + ρ n x 3 + u n ρ n x 1 2 + α 2 - u 2 s ρ s x 2 + 2αρ s αρ s -2u 2 s x 1 2 + cρ -1 3 n + 2α - u 2 n ρ n - 2α 2 ρ s αρ s -2u 2 s x 2 1 .
Hence, E will be strictly convex uniformly on every compact subset of O under the conditions

       α 2 - u 2 s ρ s > 0 cρ -1 3 n + 2α - u 2 n ρ n - 2α 2 ρ s αρ s -2u 2 s > 0 which are equivalent to u 2 s < α 2 ρ s P A (0) > 0 . ( 35
)
We can now write the following theorem of existence of solutions:

Theorem 4.2. Let α > 0, and A = (ρ n , ρ s , u n , u s ) T , ρ n , ρ s > 0, (30), ( 31) or (32) holds,

u 2 s < α 2 ρ s , P A (0) > 0, u n = u s . Let U 0 ∈ C 1 (R; Ω)
where Ω is a compact subset of A, such that ∂ x U 0 ∈ H l for some l > 1 2 . Then there exists T ∞ , such that 0 < T ∞ ≤ ∞, and a unique function

U ∈ C 1 ([0, T ∞ ) × R; A), which is a classical solution of the problem (28) on [0, T ∞ ) with the initial condition U (0, x) = U 0 (x), ∀x ∈ R,
and of the problem (27) with same initial condition. Moreover,

∂ x U (., t) ∈ C 0 ([0, T ∞ ); H l ).

Weak solutions and the Riemann problem

In Section 4, we have proved the existence of smooth solutions to the problem (26), or equivalently to (27) or (28). However, these solutions are not satisfactory. First, they exist only for small times, while we would like to have global solutions. Moreover, physical experiments often show non regular behaviours to physical problems. The solutions of hyperbolic systems having a physical meaning should therefore be authorized to be discontinous. It is then natural to define a weaker notion of solutions.

In this section, we will recall the usual definition of weak solutions to a system of conservation laws, and state an existence and uniqueness result for the system (27). We will then give some details on the qualitative behaviour of such a solution by studying the characteristic fields and the shock curves.

Existence of weak solutions

When dealing with weak solutions, systems (26), ( 27) and (28) are no more equivalent. Indeed, the usual definition of weak solutions for an hyperbolic system is valid only for systems of conservation laws. We consequently restrict our analysis to the system (27), which we rewrite here:

               ∂ t ρ n + ∂ x (ρ n u n ) = 0 ∂ t ρ s + ∂ x (ρ s u s ) = 0 ∂ t (ρ n u n + ρ s u s ) + ∂ x (ρ n u 2 n + ρ s u 2 s + cρ 5/3 n + α 4 (2ρ n + ρ s ) 2 ) = 0 ∂ t ( 1 2 ρ n u 2 n + 1 2 ρ s u 2 s + 3 2 cρ 5/3 n + α(ρ n + 1 2 ρ s ) 2 ) +∂ x ( 1 2 ρ n u 3 n + 1 2 ρ s u 3 s + 5 2 cρ 5/3 n u n + α(ρ n + 1 2 ρ s )(2ρ n u n + ρ s u s )) = 0 (36) With obvious notations, we can write it ∂ t F (U ) + ∂ x H(U ) = 0.
We define weak solutions in the usual way: 4 . We say that the bounded vector field U = (ρ n , ρ s , u n , u s ) is a weak solution of system (36) supplemented with the initial condition

Definition 5.1. Let U 0 = (ρ 0 n , ρ 0 s , u 0 n , u 0 s ) ∈ (L ∞ (R))
U 0 if for all Φ ∈ (C 1 (R + × R)) 4 compactly supported we have +∞ 0 R F (U (t, x)).∂ t Φ(t, x) + H(U (t, x)).∂ x Φ(t, x) dxdt + R F (U 0 (x))Φ(0, x)dx = 0.
Moreover, we say that U is a solution of the Riemann problem if the initial condition is of the form

U 0 (x) = U - 0 if x < 0 U + 0 if x > 0 where U ± 0 are two constant states in R 4 .
We now state the existence and uniqueness result:

Theorem 5.2. Let Ū = (ρ n , ρs , ūn , ūs ) be a constant state such that ρn , ρs > 0 and ūn = ūs . Let U 0 = (ρ 0 n , ρ 0 s , u 0 n , u 0 s ) be a bounded function of x having small total variation and such that U 0 -Ū L ∞ is sufficiently small; in particular, there exists a constant r > 0 such that ρ 0 n > r and ρ 0 s > r, and such that u 0 nu 0 s > r almost everywhere, or u 0 su 0 n > r a.e.. Then the system (36) endowed with the intial condition U 0 admits a unique weak global entropic (in the sense of Liu) solution.

Weak solutions of hyperbolic equations are not unique in general. The entropy criterion of Liu is a way of selecting physical solutions, and weak solutions are unique in that class. See [START_REF] Baiti | Uniqueness of classical and nonclassical solutions for nonlinear hyperbolic systems[END_REF] for details and more general results on uniqueness of solutions to hyperbolic systems. General existence theorems for hyperbolic systems can be found in [START_REF] Bianchini | Vanishing viscosity solutions of nonlinear hyperbolic systems[END_REF] or [START_REF] Glass | Nonlinear hyperbolic systems: nondegenerate flux, inner speed variation, and graph solutions[END_REF]. Let us just mention that this theorem holds true because of the hyperbolicity condition (32) wich is propagated by the solutions.

Nature of the characteristic fields

Let λ be an eigenvalue of A, that is, a solution of

(λ -u n ) 2 -cρ 2 3 n -2αρ n (λ -u s ) 2 - α 2 ρ s -α 2 ρ n ρ s = 0. (37)
An associated eigenvector is

X =     (λ -u s ) 2 -α 2 ρ s αρ s 1 ρn (λ -u n )((λ -u s ) 2 -α 2 ρ s ) α(λ -u s )     .
We can compute the derivatives of λ directly from (37) and then we get, letting

K = - 1 2 P ′ A (λ) = 0, ∇ U λ =      1 2K ( 2 3 cρ -1/3 n + 2α)( α 2 ρ s -(λ -u s ) 2 ) 1 4K (cρ 2/3 n + 2αρ n -(λ -u n ) 2 ) 1 K (λ -u n )( α 2 ρ s -(λ -u s ) 2 ) 1 K (λ -u s )(cρ 2/3 n + 2αρ n -(λ -u n ) 2 )     
.

Thus, we get for the associated characteristic field

∇ U λ.X = 1 K - 1 2 2 3 cρ -1/3 n + 2α α 2 ρ s -(λ -u s ) 2 2 + α 4 ρ s cρ 2 3 n + 2αρ n -(λ -u n ) 2 - 1 ρ n (λ -u n ) 2 (λ -u s ) 2 - α 2 ρ s 2 + α(λ -u s ) 2 cρ 2 3 n + 2αρ n -(λ -u n ) 2 .
It is easy to see that if n + 2αρ n ) = -α 2 ρ n ρ s < 0, condition (38) always holds for the fields 1 and 4 associated with the extremal eigenvalues. Hence these fields are genuinely nonlinear, and they will induce the formation of shock or rarefaction waves. Nevertheless, we have not been able to establish anything for the fields 2 and 3.

Shock curves

In this part, we are interested in the shock solutions of the Riemann problem for system (27). The solutions we are looking for are of the form

U (t, x) = U -if x < σt U + if x > σt
with U ± = (ρ ± n , ρ ± s , u ± n , u ± s ) the left and right constant states, and σ ∈ R the shock speed. They must satisfy the Rankine-Hugoniot equations, which write for our system (39)

Here, the bracket means [X] = X + -X -.

Let w n = u nσ and w s = u sσ.

Then, the first two equations of (39) write simply

[ρ n w n ] = 0 [ρ s w s ] = 0. ( 40
)
Hence, if we know the left state U -= (ρ - n , ρ - s , u - n , u + s ), the shock speed σ and the right densities ρ + n , ρ + s , it is easy to compute the right velocities u + n and u + s . As expected, the solutions show 5 different states separated by 4 waves. This contrasts with the solutions of the Euler equations which cannot exhibit more than 3 waves in general, 2 waves in the isentropic case. The presence of the superfluid part induces therefore some changes even in the behaviour of the normal part of the fluid compared to a usual (non quantum) fluid.

Conclusions

We have derived a two-fluids model for a quantum gas from a system consisting of a Boltzmann-like and a Gross-Pitaevskii equations. Our derivation is formal, and it seems to be very difficult to obtain a rigourous proof of convergence, at least until there is a good existence framework for the quantum Boltzmann-Bose equation. However, we have shown that our hydrodynamic model is well-posed, which is the first step in a good understanding of the limiting process.

The limit system (27) that we propose does not seem to exist in the litterature. It remains to see whether it provides a good description of the evolution of a superfluid, before any further mathematical exploration of its properties.

Figure 1 :

 1 Figure 1: Various models describing a Bose gas, and their interactions.

(λ -u n ) 2 3 n

 23 cρ holds, then the field is genuinely nonlinear. SinceP A (u ncρ 2 + 2αρ n ) = P A (u n + cρ 2 3

ρ s ρ n u n + ρ s u s 1 2 ρ n u 2 n + 1 2 ρ s u 2 ρ n u n ρ s u s ρ n u 2 n + ρ s u 2 s + cρ 5 / 3 n + α 4 (2ρ n + ρ s ) 2 1 2 ρ n u 3 n + 1 2 ρ s u 3 s + 5 2 cρ 5 / 3 n

 122534153 u n + α(ρ n + 1 2 ρ s )(2ρ n u n + ρ s u s )

Figure 3 :

 3 Figure 3: The mass of the normal fluid ρ n .

n -2αρ n > 0,(38)

Acknowledgements

The author would like to thank S. Cordier for his help on numerical simulations.

The third equation in (39) writes [ρ n u 2 nρ n u n σ + ρ s u 2 sρ s u s σ + cρ 5/3 n + α 4 (2ρ n + ρ s ) 2 ] = 0.

Using (40) and letting

and

In the same way, the fourth Rankine-Hugoniot relation (39) becomes, using (41):

.

Equations ( 40), (41), (42) imply that the Rankine-Hugoniot relations are satisfied if and only if

Thanks to the implicit functions theorem, for any left state U -= (ρ - n , ρ - s , u - n , u - s ) and shock velocity σ 0 such that D (ρn,ρs,un,us) J(ρ - n , ρ - s , u - n , u - s , σ 0 ) is invertible (take for example ρ - n = ρ - s = u - n = 1, u - s = σ 0 = 0), there exist some right states U + (σ) close to U -for σ in a neighbourhood of σ 0 such that

that is, system (36) admits some shock solutions, which can be parametrized by the velocity σ. Note that the entropy criterion will select just half of each shock curve.

Such shock solutions can be observed with numerical simulations. Examples of numerical results using a Lax-Friedrichs scheme (see [START_REF] Godlewski | Numerical Approximation of Hyperbolic Systems of Conservation Laws[END_REF] for example) are given by Figure 3 which represents the quantity ρ n . The figure is made of three graphics which show the results of the numerical scheme using a spatial grid made of 1000, 5000 and 10000 points. The time step is taken so that ∆t ∆x = 5.


Rafael Encinas

teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

La loi française relative au devoir de vigilance des entreprises est-elle extraterritoriale ? Réflexions sur une question mal posée

La loi française relative au devoir de vigilance des entreprises est-elle extraterritoriale ?

Réflexions sur une question mal posée

Rafael Encinas de Muñagorri, « La loi française relative au devoir de vigilance des entreprises est-elle extraterritoriale ? Réflexions sur une question mal posée » in Le droit entre Ciels et Terres, Mélanges en l'honneur du Professeur Laurence Ravillon, Paris, Pedone, 2022, pp. 405-420.

Que les entreprises transnationales, ou si l'on préfère multinationales, puissent être à l'origine de graves atteintes aux droits humains et libertés fondamentales est un triste constat qui justifie à lui seul l'engagement des juristes soucieux de lutter contre les inégalités les plus criantes de la mondialisation 1 . Le problème n'est pas nouveau, et notre passé colonial et esclavagiste montre que la recherche de la prospérité, pour les États et les entreprises, favorise la docilité et l'assoupissement des esprits 2 . Voltaire était vif pour combattre les justices de son temps, moins pour dénoncer l'esclavagisme qui assurait une part de sa fortune et lui permettait de boire sa tasse de chocolat en toute quiétude. Est-on, en ce début du 21ème siècle, au réveil d'une longue sieste ? Est-il temps pour les juristes de remuer ciel et terre ? Sans doute. Et pour le moment d'honorer la mémoire de Laurence RAVILLON, personnalité à l'intelligence vive et généreuse que j'ai aimée.

Les initiatives portées devant les instances européennes ou internationales visant à pointer la responsabilité des entreprises transnationales sont anciennes et les projets de succèdent sans donner pour le moment des résultats concrets 3 . Elles se conjuguent avec les procédés privés dits de « responsabilité sociale/sociétale des entreprises » qui font désormais partie de la régulation normative 4 . Si pour le droit international les entreprises multinationales sont des « créatures » 5 , elles ne seraient pas nécessairement monstrueuses. Cela dit, la responsabilité juridique peine à se frayer un chemin et les progrès sont minces, comme si les juristes éprouvaient des difficultés à se saisir d'un objet fuyant, ce qui a été bien analysé à partir du droit international public et privé 6 . D'où un effort pour imaginer un droit nouveau à même de contraindre les entreprises transnationales à sortir de leur confortable irresponsabilité/impunité 7 . donneuses d'ordre s'inscrit dans ce contexte. Cherchant à déjouer le schéma où les entreprises transnationales instrumentent les lois étatiques à leur profit, elle incite, sous l'aiguillon de la responsabilité civile, ces mêmes entreprises à produire des normes privées pour répercuter des obligations le long des entités composant leur chaîne de valeur [START_REF]Dans la suite du présent article, on parlera de chaînes de valeur, que[END_REF] . Il y aurait là « un retournement de situation extraordinaire », où « on se sert finalement des opérateurs transnationaux pour en faire, en les instrumentalisant en quelque sorte, les vecteurs du droit français » [START_REF] Loquin | Discussion[END_REF] . Ruse de la raison [START_REF] Frydman | Petit manuel pratique de droit global[END_REF] , la loi serait « offerte » aux entreprises transnationales comme un cheval de Troie permettant de faire pénétrer la lumière du droit international dans les sombres recoins des ateliers de la mondialisation.

Contrairement à ce qui a pu être écrit, la loi française n'est pas isolée ; elle s'inscrit dans une convergence remarquable. Il existe en effet d'autres initiatives nationales, législatives ou jurisprudentielles, visant à faciliter, sous l'angle du fond ou de la procédure, la mise en responsabilité des entreprises transnationales 11 . Rien d'étonnant à cela : à défaut de droit mondial, les droits nationaux cherchent à sanctionner l'atteinte à des droits humains et des libertés fondamentales par les entreprises transnationales.

Cela dit, la loi française sur le devoir de vigilance est spécifique sur au moins trois aspects 12 . D'abord, elle est pragmatiquement adaptée aux chaînes globales de valeur. Elle vise des activités de plusieurs entités (sociétés filiales, sous-traitants ou fournisseurs avec lesquels il est entretenu une relation commerciale établie) correspondant à la réalité économique et organisationnelle des chaînes d'approvisionnement et de production, ainsi juridiquement reconstituées. Ensuite, la loi est matériellement ambitieuse : elle entend contraindre une entité localisée sur le territoire français à établir un plan comportant des mesures de vigilance raisonnable propres à « identifier les risques et à prévenir les atteintes graves envers les droits humains et les libertés fondamentales, la santé et la sécurité des personnes, ainsi que l'environnement » 13 . Le périmètre est large et prend appui sur une terminologie contemporaine qui renouvelle celle classique des droits de l'Homme [START_REF] Champeil-Desplats | Théorie générale des droits et libertés[END_REF] . En imposant aux grandes entreprises la mise en place d'un plan de vigilance à l'échelle des chaînes de valeur, le législateur parie sur l'articulation [START_REF] Sachs | L'influence du droit international de l'environnement sur les entreprises multinationales, A propos de la proposition de loi française relative au devoir de vigilance des entreprises[END_REF] de la loi et des standards internationaux avec des sources privées internes aux entreprises susceptibles d'être répercutées le long des entités formant cette chaîne. Enfin, le loi est paradoxalement de mutisme territorial : alors que l'exposé des motifs [START_REF]Rappelons que la loi est née d'une proposition des parlementaires et non d'une projet porté par le gouvernement[END_REF] fait référence explicite à la responsabilité des entreprises multinationales pour des faits dommageables produits à l'étranger -cas de l'effondrement de l'immeuble du Rana Plaza au Bangladesh -il n'est fait aucune référence dans le texte législatif à des éléments d'extranéité ou d'extraterritorialité renvoyant hors de France.

Les débats préalables et les commentaires postérieurs à l'adoption de la loi relative au devoir de vigilance ont été nourris et animés17 . Sans prétendre en reprendre la teneur, la présente contribution vise à éclaircir les arguments relatifs au caractère extraterritorial (ou non) de la loi relative au devoir de vigilance. Certains commentateurs estiment que la loi sur le devoir de vigilance a une « portée extraterritoriale »18 comporte des « dimensions extraterritoriales »19 , impose « des obligations d'application extraterritoriale » 20 , ou encore « a une vocation quasi-naturelle à une application extra-territoriale » 21 , alors que d'autres considèrent qu'il n'en est rien, ou du moins expriment des doutes sur le caractère extraterritorial de la loi 22 . Doit-on en déduire que certains auteurs sont réticents à la loi sur le devoir de vigilance comme si l'extraterritorialité venait entacher la loi d'une tare congénitale, d'un vice unilatéraliste ? Le débat est-il ainsi structuré sur le plan doctrinal ? Existe-t-il une controverse sur l'extraterritorialité de la loi française relative au devoir de vigilance ?

Et dans l'affirmative, quelle est sa signification ? Autant d'interrogations qui, à partir d'une incompréhension initiale, ont suscité notre curiosité de néophyte et l'envie d'engager une réflexion pour analyser ce qui nous paraît être un faux problème, une question mal posée. Pour le montrer, il convient en premier lieu d'affronter le concept d'extraterritorialité dans sa diversité. Utiliser le mot « extraterritorialité » sans en préciser le sens, mais en reconnaissant qu'il est pluriel, d'une complexité redoutable, serait une paresse de l'esprit. En deuxième lieu, on s'interrogera sur l'utilité du concept d'extraterritorialité pour analyser les problèmes de droit international posés par la loi relative au devoir de vigilance. En troisième lieu, il sera question d'aborder les valeurs qui sous-tendent les prises de position sur le caractère extraterritorial ou non de la loi. Autrement dit, le fait de savoir si la loi relative au devoir de vigilance est extraterritoriale sera envisagé sous l'angle conceptuel, analytique et axiologique.

En utilisant les ressources du droit international public et privé, le cadre méthodologique qui est le nôtre s'inscrit dans la recherche de leur enrichissement ou de leur dépassement, et entend avec modestie contribuer à des réflexions en cours, dans une perspective de théorie critique 23 , en lien avec les approches plurielles du droit global 24 . Les quelques illustrations données dans cet article porteront sur le droit transnational du travail 25 , même si les propos tenus restent pertinents pour d'autres domaines.

I. CONCEPTS

Le

Présence d'extraterritorialité au sens large

Les réflexions sur le concept d'extraterritorialité de juristes formés au droit international privé ne sont pas moins approfondies, et se montrent plus sensibles à intégrer des raisonnements en terme de conflits de lois.

A vrai dire, ce dernier mode de raisonnement modifie la perspective puisque le caractère territorial ou extraterritorial d'une loi apparaît moins comme une donnée intrinsèque que comme le résultat de sa désignation par la règle de conflit. « C'est donc seulement à partir de la consultation des règles de conflits de lois que l'on pourra affirmer que telle règle substantielle de droit privé est territoriale ou extraterritoriale » [START_REF] Jacquet | La norme juridique extraterritoriale dans le commerce international[END_REF] .

Cette conception n'est pas pour autant pleinement satisfaisante et Jean-Michel Jacquet, après avoir examiné les analyses traditionnelles menées à partir du droit international public et du droit international privé, les considère comme insuffisantes et propose un critère large de l'extraterritorialité : « la norme extraterritoriale sera donc celle qui tend à développer certains effets au-delà du territoire de l'État qui l'a émise » [START_REF]C'est nous qui soulignons[END_REF] .

Cette conception pour le moins accueillante conduit par exemple l'auteur à reconnaître un effet extraterritorial à l'application de dispositions impératives de droit du travail, telles que celles relatives à la constitution d''un comité d'établissement en France, puisqu'elles peuvent avoir pour conséquence d'être prise en compte par une société mère dans un pays étranger 36 . Il y aurait là un effet extraterritorial secondaire. Tandis qu'un effet extraterritorial primaire se produirait lorsque la norme de l'État qui en est l'auteur entend régir une situation juridique principalement localisée en dehors de la sphère de compétence de cet État 37 .

Selon cette conception large, il est certes possible de considérer comme extraterritorial la loi relative au devoir de vigilance au sens où elle tend à développer certains effets à l'étranger. L'objectif de la loi n'est pas de se cantonner à la responsabilité des sociétés mères et entreprises donneuses d'ordre implantées en

France aux seules situations survenant sur le territoire français : il est de retenir leur responsabilité, y compris pour des dommages survenus à l'étranger par suite d'un défaut de vigilance des activités des filiales, soustraitants ou fournisseurs. La possibilité pour la victime d'un préjudice à l'étranger de pouvoir saisir les tribunaux français pour faute d'un devoir de vigilance constitue, selon la classification proposée par l'auteur, un effet territorial secondaire de la loi. Il pourrait même être soutenu que la loi sur le devoir de vigilance a un effet extraterritorial primaire, en estimant qu'elle entend régir une situation de responsabilité hors de la sphère de compétence de cet État, du moins lorsque le dommage est localisé à l'étranger.

Versatilité des concepts d'extraterritorialité

En définitive, selon le concept d'extraterritorialité retenu, il est possible de qualifier ou non la loi sur le devoir de vigilance « d'extraterritoriale ». Les deux conceptions exposées, que l'on ira pas jusqu'à présenter comme caractéristiques de la doctrine en droit public et ou en droit privé, reposent sur l'idée d'un droit territorial étatique. Mais l'éclairage n'est pas située au même endroit lorsqu'il est question d'extraterritorialité. Tandis que l'extraterritorial renvoie, selon des conceptions strictes, à la réalisation du droit hors du territoire étatique, dans un ordre juridique étranger, ce qui porte l'attention du dedans vers le dehors (inside out), les conceptions larges portent l'attention à l'effet (la portée ou l'incidence) du droit étatique à l'étranger (outside in). La loi relative au devoir de vigilance pourra être dite extraterritoriale dans le second cas, mais non dans le premier.

A titre de comparaison, on pourrait citer d'autres exemples telle que la règle matérielle posée par l'article 1231-5 du code du travail prévoyant le régime du licenciement d'un salarié mis à disposition par une société mère dans une filiale étrangère. La loi pourrait être dite extraterritoriale selon une conception large puisqu'elle peut avoir des effets à l'étranger, mais non selon une conception stricte, l'application de la disposition ayant lieu sur le territoire français malgré la présence de plusieurs éléments d'extranéité, en l'occurrence formulée explicitement dans la règle. Lorsque des éléments localisés dans un pays étranger sont pris en compte par une loi nationale, il est en effet plus exacte de parler d'extranéité, sans préjuger de l'effet d'extraterritorialité lato sensu que pourrait avoir telle loi nationale dans un pays étranger. nombreuses exceptions [START_REF] Keeton | I. The Rise and Extent of Extraterritoriality -(072[END_REF] , y compris sous l'angle du droit international public. Plus encore, l'État a le droit, et parfois même l'obligation, d'adopter des lois ayant une application extraterritoriale afin de « protéger les intérêts fondamentaux de la communauté internationale » [START_REF] Carreau | [END_REF] . Quant au conceptions retenues à partir du droit économique, en particulier de droit de la concurrence, les meilleurs spécialistes font le constat actuel, notamment à partir des pratiques des États-Unis d'Amérique du Nord, mais aussi plus largement dans un contexte de recul du multilatéralisme, d'une certaine banalisation de l'extraterritorialité [START_REF]Sur la fonction d'orientation des concepts juridiques, et leur différence avec les notions renvoyant à un objet doctrinal plus stable[END_REF] .

Cela dit, les concepts juridiques ne sont pas de simples outils pour décrire le monde, ils peuvent contribuer à affiner les analyses du droit en vigueur, et sont porteurs de valeurs 42 . Voyons ce qu'il en est pour l'extraterritorialité au regard du devoir de vigilance.

II. ANALYSES

Adopter une loi nationale pour envisager la responsabilité d'une société mère ou une entreprise donneuse d'ordres dans le cadre de ses activités multinationales soulève des interrogations légitimes aux juristes formés dans la dichotomie du droit interne et international. La considération de « l'extraterritorialité », substantielle ou procédurale, est-elle utile pour analyser la loi relative au devoir de vigilance dans ses rapports avec le droit international privé ? Comme on va brièvement le montrer, il n'en est rien, ni pour analyser les justifications de la loi applicable, ni pour déterminer la juridiction compétente.

Inutilité de l'extraterritorialité pour justifier de la loi applicable

Les interrogations des spécialistes du droit international privé sur la loi relative au devoir de vigilance sont désormais bien formulées [START_REF] Voir Not | Brèves remarques sur le devoir de vigilance et le droit international privé[END_REF] . Dans le silence de la loi sur l'hypothèse de dommages survenus à l'étranger, les auteurs se sont interrogés sur la cohérence de l'application de la loi du 27 mars 2017 au regard des règles de conflit. La loi française se présente certes comme applicable, mais à quel titre ? Outre des problèmes liés à la localisation du siège social de sociétés en France, la question la plus discutée porte sur la responsabilité prévue par le texte. Responsabilité civile délictuelle pour faute -ce qui serait le fruit d'un compromis stratégique du législateur -la loi renvoie explicitement aux articles 1240 et 1241 du code civil. Mais comment justifier l'application de la loi française, en présence dommages survenus à l'étranger, lorsque le règlement Rome II sur la loi applicable aux obligations non contractuelles désigne, comme règle générale de conflit dans son article 4, la loi du lieu de survenance du dommage 44 ? De là une série d'arguments visant à justifier du caractère applicable de la loi française, soit comme loi susceptible de présenter des liens manifestement plus étroits que ceux du pays où les dommages sont survenus 45 , soit comme loi de police, loi du for régissant

Patriotisme économique

En France et en Europe, c'est surtout dans le domaine économique que l'extraterritorialité est contestée. Il s'agit en particulier de répondre aux atteintes portées par les mesures extraterritoriales mises en oeuvre par les États-Unis d'Amérique du Nord. Le rapport Gauvain, au titre éloquent [START_REF]Rapport Gauvin du 26 juin 2019 à la demande du Premier Ministre, Rétablir la souveraineté de la France et de l'Europe et protéger nos entreprises des lois et mesures à portée extraterritoriale[END_REF] , dresse le bilan de ces atteintes et propose des propositions pour y remédier. L'extra-territorialité américaine est perçue, à juste raison, comme une politique juridique agressive portant atteintes aux intérêts économiques des entreprises françaises et européennes. A chacun son patriotisme, mais de ce côté de l'atlantique, le patriotisme défensif de la France apparaît comme une réponse à celui agressif des États-Unis.

Il est en revanche plus surprenant de voir apparaître, sous l'angle du patriotisme, certains arguments dans le cadre de la loi relative au devoir de vigilance. Au cours des débats préparatoires, après avoir déploré, parmi d'autres, l'incertitude du texte sur « son éventuelle portée extraterritoriale », le rapporteur de la commission des lois au Sénat invoque les risques économiques qu'il ferait courir aux entreprises françaises [START_REF]de porter une atteinte disproportionnée à la compétitivité des entreprises françaises et à l'attractivité de la France. Les entreprises étrangères intervenant sur le marché français ne seraient pas soumises aux mêmes obligations. Ces obligations auraient un impact sur les PME françaises soustraitantes, du fait de l'extension du plan de vigilance, et imposeraient des coûts de mise en oeuvre et de contrôle de celui-ci non évalués sur l'ensemble des chaînes d'approvisionnement des grandes entreprises en France et à l'étranger[END_REF] .

Il est certes de bonne guerre parlementaire de faire feu de tout bois, y compris dans un registre proche de celui des intérêts défendus, comme en témoigne les prises de position du Mouvement des entreprises de France (Medef), et surtout de l'Association française des entreprises privées (Afep), ayant été à la manoeuvre pour combattre la proposition de loi. Avec le recul, les arguments s'affinent et outre les habituelles jérémiades hayekiennes sur les incertitudes, les complexités et les coûts induits par une réglementation légale contraignante, le principal argument susceptible d'être lié à l'extraterritorialité concerne la distorsion de concurrence induite entre les entreprises française (ou européennes) et les autres [START_REF] Cf | dans le cadre européen, la position de l'AFEP -Juin 2019[END_REF] . Il y aurait là des « impacts négatifs causés par des concurrents internationaux moins soucieux que les entreprises de l'UE en termes de conduite responsable des affaires » 63 . Ironisons à peine : les gentilles entreprises françaises et européennes vigilantes sur les risques générés le long de leur chaîne de valeur seraient concurrencées de manière déloyale par les méchantes entreprises étrangères se moquant de la violation des droits humains et les libertés fondamentales. Il n'y aurait donc qu'une seule alternative : soit imposer un droit universel contraignant pour tous, soit laisser libre chacun sans contrainte, avec la responsabilité sociale des entreprises pour seul garde fou.

Sans revenir à la critique du « paradigme compétitif » et de ses paradoxes qui a déjà été faite avec brio 64 , y compris en comparant l'extraterritorialité dans sa conception américaine et européenne, il importe de relever que la prétendue extraterritorialité de la loi relative au devoir de vigilance comporte une signification particulière. Loin d'être contestée comme une agression économique armant le bras d'une puissance

  concept d'extraterritorialité a été construit à partir celui de territorialité. Il est possible de le comprendre à partir de deux sens distincts. Tiré du latin extra qui signifie « en dehors (de), au-delà (de) » 26 , l'extraterritorialité renvoie à un élément en dehors d'un territoire, au-delà d'un territoire. C'est pourquoi parler d'un droit international, mondial ou global extraterritorial n'a guère de sens, sauf à concevoir son application dans d'autres mondes -demain une exoplanète peut être ! En revanche, l'assise territoriale d'un droit étatique nous est familière et son extension -en dehors et au-delà de ce même territoire -est souvent perçue comme anormale. Extra est aussi utilisé, dans un deuxième sens, comme un préfixe augmentatif proche de super (extra-fort, extra-rapide), ce qui donne une autre connotation à extra-territorial -avec trait d'union, puisqu'il est alors question d'une sorte de super territorialité. 27 . Mais cela ne veut pas dire grand chose sur le plan juridique sauf à articuler, abusivement du point de vue linguistique, mais avec un effet de renfort, la première signification à la deuxième : le droit en dehors ou au-delà du territoire, l'« extraterritorial », prenant le sens d'un droit « extra-territorial », d'un droit super territorial. Il est alors plus clair de parler d'une conception extensive ou conquérante de la territorialité visant à s'appliquer en dehors et au-delà d'un territoire donné 28 .Ces premières considérations nous font prendre conscience de la relativité juridique du couple territorialité/extraterritorialité et rend d'autant plus méritoire l'apport des juristes de droit international public et privé pour préciser le concept d'extraterritorialité. Donnons en deux illustrations divergentes en les confrontant à la loi relative au devoir de vigilance.Absence d'extraterritorialité au sens strictParmi les juristes de droit international public, le travail conceptuel réalisé par Brigitte Stern sur l'extraterritorialité, ou plus exactement l'application extraterritoriale d'une norme étatique, fait référence 29 . « On peut dire qu'il y a extraterritorialité de l'application d'une norme, si tout ou partie d'un processus d'application se déroule en dehors du territoire de l'État qui l'a émise » 30 . Deux modalités sont à distinguer selon que l'application suppose l'intervention d'autorités extérieures à l'auteur de la norme (extraterritorialité indirecte ou médiatisée) -ce qui est le cas d'un juge appliquant une loi étrangère -ou que « l'application par l'État auteur de la norme ne se réalise pas en totalité sur le territoire de cet État » (extraterritorialité directe).Qu'en est-il pour la loi relative au devoir de vigilance ? Le processus d'application de la loi se déroule-t-il, pour tout ou pour partie, en dehors du territoire de l'État français ? De manière explicite, rien ne semble l'indiquer puisque la loi du 27 mars 2017 ne formule que des obligations (établir un plan de vigilance) à l'égard des sociétés et d'entreprises donneuses d'ordre implantées en France, et prévoit une action en responsabilité civile -implicitement en France -sur le fondement du droit français. Le mécanisme imaginé repose certes sur l'idée que l'entreprise mère ou donneuse d'ordre concernée doit prévenir les risques et éviter que des dommages se produisent le long de sa chaîne de valeur.

  Toutefois, ce n'est pas l'obligation légale d'établir un plan de vigilance qui, à proprement parler, s'applique à 27 Dans la suite du texte, nous garderons la nuance, en utilisant ce tiret lorsqu'il sera question de super territorialité. 28 Comp. L. d'AVOUT, « L'extraterritorialité du droit dans les relations d'affaires », JCP G., 2015, doctr. 1112, n° 1. qui parle de « territorialité débordante », au sens large d'une extraterritorialité non opposée à la territorialité mais constituant son dépassement. L'auteur oppose cette extraterritorialité au sens large à l'extraterritorialité au sens strict, où les éléments essentiels du commandement sont tous localisés hors du territoire. 29 B. STERN, « Quelques observations sur les règles internationales relatives à l'application extraterritoriale du droit », 'étranger : les filiales, sous-traitants, fournisseurs localisés à l'étranger n'ont pas d'obligation légale d'établir un plan de vigilance, ni de s'y conformer. Aussi l'image d'un « ruissellement en cascade » des obligations le long de la chaîne de valeur est attrayante[START_REF] Parance | Discussion[END_REF] , mais est ici -si l'on ose dire -source de confusions. L'obligation légale reste localisée en France et ne déborde pas à l'étranger. Les procédés susceptibles d'être mis en oeuvre par les normes privées contenues dans un plan de vigilance ne relèvent pas du domaine de la loi : ce sont des obligations imposées par les entreprises transnationales et non des obligations légales. Envisageons tout de même le concept d'extraterritorialité dans ses deux branches.

	Soutenir l'existence d'une extraterritorialité indirecte ou médiatisée conduit à envisager l'hypothèse où la
	loi française relative au devoir de vigilance supposerait l'intervention d'autorités extérieures pour être
	appliquée à l'étranger. En théorie, rien n'est exclut, même si pour l'instant on imagine mal que la loi française
	puisse être appliquée, en tant que loi étrangère, par une juridiction d'un pays où des dommages seraient
	survenus. Faut-il néanmoins s'attendre à ce que loi française relative au devoir de vigilance soit un jour
	appliquée par un juge du Bangladesh ou de Côte d'ivoire ? La question mérite d'être posée même si
	l'hypothèse paraît improbable.

Annuaire Français de Droit International, XXXII, CNRS, 1987 et « Une tentative d'élucidation du concept d'application extraterritoriale », Revue Québécoise de Droit International, 1986, n°3, p. 49. 30 Op. cit., RQDI, p. 51. Pour une autre définition, souvent citée, « situation dans laquelle les compétences d'un État (législatives, exécutives, juridictionnelles), régissent des rapports de droit situés en dehors du territoire dudit État », in Dictionnaire de droit international public, J. Salmon (dir.), Bruylant, Bruxelles, 2001, p. 491. La définition présente l'inconvénient de reposer sur une localisation du « rapport de droit », comme si elle était évidente, alors que cela fait partie du problème. lConsidérer que la loi française traduit une extraterritorialité directe paraît a priori plus crédible et correspondrait, pour reprendre la classification proposée, à des « situations dans lesquelles un État prétend appréhender, à travers son ordre juridique des éléments situés en dehors de son territoire » 32 . Toutefois, une application extraterritoriale n'apparaît, au sens strict, que lorsque la norme prétend « générer un effet juridique hors du territoire », telle est sa conséquence attendue. En revanche, lorsque l'élément -faits et situations juridiques extérieurs au territoire -est la cause d'une application territoriale, il se réduit à la prise en compte d'un élément étranger comme condition d'application d'un texte en France, ce qui s'apparente à un élément d'extranéité, et non à proprement parler à une extraterritorialité 33 . La loi française n'a pas pour objet de produire un effet juridique hors du territoire français ; elle n'est pas, au sens strict, d'application extraterritoriale. Cela n'est pas dire qu'une telle décision n'aura aucune conséquence à l'étranger, mais cela renvoie à une autre conception de l'extraterritorialité.

  De manière plus concrète, quel est l'enjeu juridique de la qualification « d'extraterritorialité » ? Il est faible, voir nul 38 . D'où la difficulté d'élaborer une notion associée à un régime juridique. De plus, le prétendu principe selon lequel les lois nationales ne devraient pas produire d'effet extraterritorial a toujours connu de 36 Op. cit., n° 47, p. 355. L'auteur évoque l'arrêt Compagnie international des Wagonts-lits, qui a été revisitée E. PATAUT, Liber Amicorum Rodière. 37 JACQUET, Op. cit., p. 364. 38 L. d'AVOUT, op. cit., n°4, selon lequel les classifications et distinctions de l'extraterritorialité demeurent descriptive, « nulle conséquence juridique contraignante ne leur est associée ». L'auteur s'interroge même sur la « disparition du concept d'extraterritorialité » n° 20, au profit d'une coordination des droits et des pratiques nationales dans le secteur des affaires, n° 22.

Dossier « Le devoir de vigilance des entreprises transnationales », coord. L. d'AMBROSIO et P. BARRAUD DE LAGERIE, Droit et société, 2020, p. 623.

A.-S. EPSTEIN, « La portée extraterritoriale du devoir de vigilance des sociétés mères et des entreprises donneuses d'ordre », Cahiers de droit de l'entreprise, 2018, dossier 30.

R. BISMUTH, « Regards croisés sur l'extraterritorialité du droit », introduction, Cahiers de droit de l'entreprise,

2018, dossier 24. 20 V. PIRONON, Groupes Multinationaux, Filiales et succursales, Fascicule Jurisclasseur International, 2019, n° 112. 21 B. PARANCE et E. GROULX avec la coll. de V. CHATELIN Chatelin, « Regards croisés sur le droit de vigilance et le duty of care », Clunet, 2018, doctr. 2, n°21. 22 En ce sens, H. MUIR WATT, « Devoir de vigilance et droit international privé -. -Le symbole et le procédé de la loi du 27 mars 2017 », Revue internationale de la Compliance et de l'Ethique des Affaires, 2017, étude 95 ; Eric LOQUIN, Discussion 50 ans CREDIMI. 23 Voir en particulier, H. MUIR-WATT, Discours sur les méthodes du droit international privé (des formes juridiques de l'inter-altérité) , Les livres de poche de l'Académie de droit international de la Haye, Bril /Njhoff, 2019. 24 Pour un inventaire raisonné des théories du droit global, J.-B. RACINE,« Approches du droit global », Clunet 2019, p. 666. 25 A. BLACKETT et A. TREBILCOCK, Research Handbook on Transnational Labour Law, Cheltenham, Edgar, 2016. cf. notamment, « Due diligence on labour issues : Opportunities and limits of the UN Guiding Principles on Business and Human Rights », p. 93. 26 Le grand Robert de la langue française, 2ème éd., tome 3, Dictionnaires le Robert, Paris, 2001,


GANIL2015 Evaluation de l'extension de la ligne LISE2000

L. Perrot (IPN Orsay, perrot@ipno.in2p3.fr, 01 69 15 71 58), S. Grévy, F. Chautard, R. Hue, O. Kamalou (GANIL Caen) Dans le cadre des prospectives GANIL2015, nous présentons dans ce document nos réflexions concernant l'extension de la ligne d'ions super épluchés (LISE) dite LISE2000. Nous ne traiterons pas ici des motivations scientifiques de ce projet, ceci ayant fait l'objet de discussions dont les résultats sont accessibles [START_REF]Device: LISE/SISSI, leader: Stéphane Grévy[END_REF][START_REF]Summary of the « fragmentation[END_REF].

I -Contexte

Dans ce contexte, nous proposons la modification de LISE2000 avec l'ajout d'une section de sélection en vitesse (Filtre de Wien) et d'un dipôle de sélection en moment. Ce couplage a été suggéré du résumé lors du meeting sur la fragmentation du 4 décembre 2008 [START_REF]Summary of the « fragmentation[END_REF] (voir la figure 1 de cette référence). La section de sélection en vitesse pourrait s'inspirer de celle existante sur LISE3. La section de sélection en moment pourrait provenir pour toute ou partie du spectromètre BBS (Big-Bite Spectrometer [START_REF] Van Den | The Big-Bite Spectrometer for AGOR[END_REF]) dont le programme scientifique auprès du cyclotron AGOR à KVI (Pays-Bas) pourrait s'arrêter à brève échéance. Des contacts ont été pris avec des physiciens locaux à ce sujet. Nous ne traiterons pas en détail dans cette note des aspects de dynamique des faisceaux ni des performances accessibles avec un tel système. Ces points ne pourraient être étudiés que dans un deuxième temps. Nous nous attacherons ici à une évaluation au premier ordre des coûts financier et humain, avec une indication des échéances temporelles possible.

La Figure 1 Toute extension de la ligne LISE2000 et la pérennité de la ligne LISE3 rend caduque la ligne de faisceau entrant dans la salle D5 (accès direct au multidétecteur INDRA). Cependant, il sera pertinent de conserver la séparation des salles D4, D5 et D6 afin de permettre, notamment, l'installation d'une expérience dans la salle D6 avec présence de faisceau dans la salle D5 ou inversement. De même, le cadre de l'adaptation de la salle D5 ayant pour but l'accueil du spectromètre BBS, la conservation de l'entité D5 permettra de ne pas stopper les expériences dans les salles D4 ou D6 durant l'installation. L'extension de la salle imposera le déplacement de certains murs et l'allongement vers l'est du mur de la salle D5, l'accès à cette salle étant alors déplacé (cf. Figure 2). La salle d'acquisition avancée (peu utilisée) attenante sera supprimée. Le mur sud des salles d'expériences n'est pas déplaçable plus au sud en raison d'une part de l'existence d'une galerie souterraine à la verticale du couloir de circulation ouest-est et d'autre part de la limite sud du bâtiment des aires (circulation du pont roulant). En termes de sureté et de radioprotection, il ne semble à priori pas nécessaire de faire d'évaluation spécifique, les niveaux radiologiques attendues devant être du même ordre de grandeur au maximum que ceux existant actuellement dans la salle D4. Une étude dédiée devra bien évidemment être menée en lien avec les services compétents en sureté et radioprotection du GANIL.

II -Extension de LISE2000

A partir de ces considérations générales, nous proposons une esquisse de l'extension envisagée (cf. Figure 2). Ce design doit avant tout être validé par la dynamique faisceau. A -Section filtre de Wien :

La section du filtre de Wien de LISE3 a été dupliquée. La distance entre l'entrée de cette section et le premier quadripôle est d'environ 1.2 m. C'est en ce point que pourrait se raccorder la ligne LISE2000 actuelle avec la section filtre de WIEN au point de fentes communes. La distance inter-quadripôle entre le dernier de LISE2000 (Q74) et le 1 er du filtre (équivalent Q63) serait de l'ordre de 2.8 m. Cette distance devra être suffisante pour permettre des expériences nécessitant un temps de vol limité au bout de l'actuelle LISE2000. Dans cette hypothèse, on gagnerait très fortement à positionner les trois quadripôles d'entrée du filtre sur un banc déplaçable. Après études de dynamique faisceau, il pourrait être envisagé que ce banc puisse également servir pour le filtre de LISE3 (petit intérêt en terme de coût d'éléments magnétique -3 quadripôles : ~50k€). En considérant des propriétés optiques équivalentes en termes de focalisation après le filtre de WIEN, il pourrait être choisi une distance de focalisation de 2 m après le centre du dernier quadripôle du filtre (équivalent Q68). C'est en ce point que seront positionnées les fentes de sélection verticale du Filtre de Wien. Il faut ensuite construire une section de transport point-point (maille à trois quadripôles) de longueur environ 3.5 m. C'est au point image de cette section que sera localisé le point cible du spectromètre. Dans le design des deux sections d'adaptation du filtre et de la maille de transport, il sera essentiel de prévoir autour de ce point cible la possible installation de système de détection de grandes tailles comme MUST2, GASPARD, PARIS, EXOGAM, FAZIA, INDRA. Dans l'actuelle proposition, la distance entre le dernier quadripôle de la maille de transport et le premier de BBS est d'environ 1.9 m. B -Section spectromètre: BBS est un spectromètre disposé sur un banc tournant autour de l'axe de la cible (comme SPEG et VAMOS). Néanmoins, dans la configuration proposée, l'angle de rotation est limitée par la présence du mur sud de la salle D5 (rotation ~20°). A noter que ces considérations ne prennent pas en compte l'éventuelle modification de la structure du filtre de Wien compte-tenu des exigences scientifiques et des caractéristiques des noyaux mis en jeu (masses, rigidité…).

C -Ligne Arête-D5 :

Comme illustré sur la Figure 2, la ligne de faisceau entre l'arête et la salle D5 est supprimée, ceci n'impliquant aucune modification de structure particulière sur l'arête. Outre 2 dipôles, 7 quadripôles et 2 steerers, systèmes de pompage et détecteurs de profils de faisceau sont récupérés lors de cette opération. En particulier, la récupération des alimentations en courant de l'ensemble de cette structure est intéressante. Cependant, certains de ces éléments étant connectés sur la grille de commutation du GANIL, il n'y a donc pas autant d'alimentations en courant rendues réellement disponibles.

D -Modification salle D5 :

L'insertion du spectromètre BBS implique une modification de la salle D5. Elle permettra en outre de disposer les baies d'électroniques associées à BBS et aux systèmes de détection. L'extension de cette salle impose l'augmentation de la surface au sol. Les modifications suivantes de la structure des murs sont à envisagées :

-Le mur Ouest de la salle D5 (séparation avec D4) est identique, seul est envisagé son déplacement vers l'est sur une distance de 2.2 m environ. Ce déplacement s'impose dans l'option d'un filtre identique à celui de LISE3 et le maintien de la salle D5 séparée de D4. La localisation de ce mur ne pourrait être faite qu'autour des quadripôles finaux de la section du filtre de Wien. Il sera néanmoins nécessaire de prendre en compte l'encastrement d'un ou de deux de ces quadripôles dans le mur. La contribution radiologique de ce point devrait être étudiée afin de s'assurer que le débit de dose dans D5 est limité quand il y a présence du faisceau dans D4 (avec une cage de Faraday ou bloc d'arrêt sur LISE2000 et/ou faisceau transmis en D6).

- -Le mur Est de la salle D5 étant déplacé vers l'est pour s'ajuster avec celui de la salle D6, il y a un gain d'une longueur de l'ordre de 4 mètres sur ce mur. Cette longueur disponible sera employée pour le rallongement du mur Sud de la salle. Il restera à récupérer des 2 mètres manquant.

III -Investissements

A -Investissements financier

Les investissements à faire sur ce projet sont estimés en découplant les fonctions de sélection en vitesse (Filtre de Wien+maille point-point) de celle sélection en moment (BBS). La réalisation de la section filtre de Wien incomberait naturellement à GANIL qui dispose déjà d'une partie des éléments magnétiques et des alimentations en courant. Le spectromètre BBS provenant de KVI, il serait judicieux d'associer ce laboratoire pour la fourniture de toute ou partie des éléments de ce spectromètre : alimentations en courant, éléments magnétiques (quadripôles et dipôle), châssis, baies et électronique associées. Actuellement, un groupe de physique est intéressé par une utilisation de BBS à KVI pour des études sur les hyper-noyaux mais ce programme est en attente d'un financement européen. Il existe aussi un groupe de physiciens réfléchissant à la possibilité de se rapprocher de SPIRAL2 afin de monter un programme de recherche sur les noyaux exotiques. Des discussions sont en cours pour étudier leur intérêt dans le déménagement de BBS au GANIL.

Le coût du transport du spectromètre BBS est évalué autour de 50keuros (à préciser).

Pour la section du filtre de Wien, il faut potentiellement disposer de 6 quadripôles (2 de rayon de gorge 100mm, 4 à 140mm) et de deux filtres de Wien de 2.5 mètres de long. Nous rappelons que pour n filtres de Wien identiques, la dispersion en vitesse D varie comme n²D après le n ième filtre à champ magnétique constant dans chaque filtre. Sachant qu'il est impossible d'avoir deux expériences simultanées sur LISE3 et LISE2000, les alimentations des quadripôles et des 2 dipôles du filtre ainsi que la plateforme haute tension du filtre de Wien seront utilisables par commutation de LISE3 à LISE2000. Ceci est à ce titre déjà le cas par exemple pour les quadripôles d'adaptation de LISE2000 (Q71 à Q74) avec ceux de l'adaptation en D4 (Q41 à Q44).

Une estimation du prix d'un quadripôle du type de ceux décrits plus haut est de l'ordre de 15k€. Le coût d'un Filtre de Wien, en tenant compte des éléments déjà existant au GANIL, a été estimé à 200 k€. Il peut être noté que le coût total de l'extension de LISE3 dans les années 1990 fut d'environ 200k€. Une re-normalisation au coût d'aujourd'hui devrait être logiquement appliquée. Une inflation de 3% sur 15 ans correspond à un accroissement de 50%, soit un total de 300k€. C'est l'option de base du projet. Une option consistant à mutualiser entre LISE3 et LISE2000 les sections d'adaptation (quadripôles) a aussi été envisagée.

Pour la section de transport entre le filtre et le spectromètre (maille point-point), il faut disposer de 3 quadripôles et du pompage (les alimentations provenant de la grille de commutation).

Pour le système de pompage de la section filtre de Wien, une réutilisation du système de pompage existant sur la section d'adaptation du faisceau de D5 est envisagée. Pour information, le coût d'une pompe type cryogénique est de l'ordre de 40k€.

Le coût de la section maille de transport entre le filtre et BBS est de 50k€. Elle prend en compte les éléments magnétiques et le pompage.

A ces investissements doit s'ajouter les câbles de l'ensemble des éléments : alimentations en tension et en courant, automate de LISE.

Le coût de la section "Filtre de Wien" est détaillé dans le Tableau 1. Pour la section spectromètre, nous avons aussi dégagé deux options. La première suppose la mise à disposition des seuls éléments magnétiques et de la structure. La deuxième suppose aussi la mise à disposition des alimentations en courant et du pompage.

Le coût de la section "Spectromètre" est détaillé dans le Tableau 2. Un coût total du projet compris entre 600 k€ (lignes d'adaptation communes entre LISE3/LISE2000 et récupération maximum de BBS) et 900 k€ (2 lignes totalement indépendantes et récupération minimum de BBS) peut être estimé.

B -Investissements humain

Concernant les besoins en personnel, l'évaluation a montré les besoins suivant (en hommesmois) pour l'installation : Étude : 3 Génie civil : 2 Électricité : 4 Installation : 8

Il pourrait être tiré profit de conserver l'existence de la salle D5 pour ne pas imposer l'arrêt durant une période trop importante des expériences sur LISE.

C -Planning

La première étape du projet sera l'étude approfondie de l'optique de ce dispositif afin de proposer un design complet de l'extension de la ligne. Les propriétés optiques seront confrontées avec les besoins scientifiques. C'est seulement après cette étude que pourra réellement être donné la pertinence du projet. 6 mois temps plein pour une personne sur la dynamique faisceau permettra d'obtenir des résultats satisfaisants.

Avant réception du spectromètre de KVI, les actions pourraient porter d'une part sur la réalisation du filtre de Wien et d'autre part sur la préparation de la salle D5 et ses afférents. Le temps de ces actions doit être de l'ordre de 5 mois. L'installation complète de BBS devrait prendre moins de 6 mois en espérant bénéficier du soutien d'experts techniques du KVI pour une petite partie de ce temps. En mettant ces temps bout à bout, le projet devrait pouvoir s'étendre sur 18 mois (cf. Dans le cadre du réexamen du dossier de sureté du GANIL, il est nécessaire de définir les salles susceptibles de recevoir des faisceaux post accélérés de haute intensité. Dans cette optique, l'utilisation du filtre de Wien de la salle D6 est envisagée dans un mode FULIS par plusieurs LoI Spiral2. Afin d'une part d'éviter le transport des faisceaux radioactifs le long de l'ensemble du spectromètre LISE (et ainsi limiter les zones à "nucléariser") et d'autre part de faciliter les procédures de réglage du filtre pour les réactions de fusion-évaporation, un accès direct au filtre de Wien de la salle D6 depuis l'arête de poisson est une option séduisante. Une illustration est proposée sur la Figure 4 ci-dessous. Il est important de noter que cette ligne directe arête-D6 implique une redéfinition des salles D4 et D6.

Nous voudrions insister ici sur la cohérence des deux modifications proposées, bien que très éloignées en termes de planification. En premier lieu, l'utilisation actuelle du filtre de Wien en mode FULIS est extrêmement contraignante en terme de planning car le temps nécessaire a l'adaptation du filtre en mode Normal/FULIS empêche un enchainement rapide des expériences. Cette contrainte est grandement réduite par l'extension de la ligne LISE2000. En second lieu, l'utilisation du filtre de Wien en mode FULIS est difficile du à la difficulté d'aligner le faisceau a l'entrée du filtre. L'installation d'une ligne directe arête-D6 permettra sans aucun doute d'améliorer cette situation. La solution que nous proposons n'a pas fait l'objet d'étude plus poussée. La ligne de faisceau SPIRAL2 nécessite l'emploi de deux dipôles à 45° raccordée derrière un triplet de la maille de transport de l'arête de poisson du GANIL. La grosse difficulté est sans doute l'adaptation du faisceau après la déviation. Il est nécessaire de disposer de 4 quadripôles. D'après le schéma, la localisation du premier doublet ne peut se faire que directement après le 2 ème dipôle à 45°. Le deuxième doublet est commun avec la déviation achromatique. Deux contraintes se dégagent dans cette adaptation, d'une part la grande distance entre les deux doublets et d'autres part la taille de la chambre à vide dans le 2 ème dipôle de la déviation achromatique. Des études de dynamiques faisceaux doivent impérativement être menée afin d'envisager la coexistence des deux lignes de faisceaux.

  présente le schéma des aires expérimentales actuelles autour des salles D4, D6 (LISE2000 et LISE3) et D5 (INDRA).

Figure 1 :

 1 Figure 1 : Schéma de principe de la zone sud-est des aires expérimentales du GANIL incluant les salles D4, D5 et D6. Les limites sud et est du batiment sont également précisées.

Figure 2 :

 2 Figure 2 : Schéma de principe des aires expérimentales (salle D5) modifiées afin de prendre en compte l'extension de la ligne LISE2000.

Figure 3 )

 3 sachant que tout dépend du feu vert aux études de dynamique, des modes de financements, des engagements d'achats et de la collaboration avec KVI. L'arrivée du spectromètre doit pouvoir se faire quand la salle est prête et que les forces du GANIL sont disponibles durant cette période. Un démarrage théorique est possible pour octobre 2010. En incluant d'éventuels glissement jusqu'à 6 mois, pour un démarrage des études au second semestre 2009, il est plus raisonnablement envisageable un premier faisceau mi 2011.

Figure 3 :

 3 Figure 3 : Planning du projet de la réalisation de l'extension de LISE2000

Figure 4 :

 4 Figure 4 : Schéma de principe des aires expérimentales modifiées pour prendre en compte les faisceaux SPIRAL2 sur LISE.

  de mur vers le sud). Le mur Nord délimitant D5/D6 et la salle d'acquisition avancé pourra être déplacé partiellement vers le nord sur environ 5 mètres de long et 1 mètre vers le nord. Le mur Sud est rallongé vers l'est d'environ 6 mètres.

Le mur Nord séparant D5 et D6 est concerné à deux titres. La petite chicane (dans laquelle le tube à vide du faisceau primaire vers D5 passait) pourra être supprimée (déplacement de ce tronçon

Section filtre de Wien Solution de base Option 1 Tableau 1 : Evaluation du coût d'installation d'une section Filtre de Wien pour LISE2000

	2 sections nouvelles et totalement		Nouveau filtre pour LISE2000 et
	indépendantes	coût	Quadripôles partagés sur banc	coût
	2 Filtres	200	Nouveau Filtre pour L2000: 2 Filtres	200
	6 quadripôles	90 Bancs transportables	50
	Structure, chambre à vide…	50 Structure, chambre à vide…	40
	Maille point-point	50 Maille point-point	50
	câblage	50 câblage	50
	Aléas (20%)	88 Aléas (20%)	78
		528		468

Section spectromètre Tableau 2 : Evaluation du coût d'installation du spectromètre BBS pour LISE2000

	Solution de base : Dispo		Option 1: Dispo
	spectromètre	coût	Spectro+Alim+pompage	coût
	Transport	50 Transport	50
	Modification salle D5 (murs, sol)	30 Modification salle D5 (murs, sol)	30
	câblage	50 câblage	50
	détection	50 détection	50
	pompage	40
	Alimentation	100
	Aléas (20%)	64 Aléas (20%)	36
		384		216