V Régnier
email: virginie.regnier@uphf.fr

Do Shape Memory Alloy cables restrain the vibrations of girder bridges? -a mathematical point of view

Keywords: Euler-Bernoulli beam, pointwise stabilization, resolvent operator, eigenvalues and their localization, eigenfunctions, Riesz basis, exponential stability, rate of decay AMS subject classification: 74K10, 35B40, 35Q74, 34L10, 34L15, 34L20, 35B35, 35E15, 93D23

 answer positively. Our study does not allow to give a definite answer yet. The only presence of these cables may not to be enough. Some physical parameters have to be chosen carefully.

Introduction

In this paper, we consider the same problem as in [START_REF] Liu | A Method of Reinforcement and Vibration Reduction of Girder Bridges Using Shape Memory Alloy Cables[END_REF] which is rewritten for simplicity:

∂ 2 u ∂t 2 (x, t) + a ∂ 4 u ∂x 4 (x, t) + b ∂u ∂t (x, t) + α ∂u ∂t (ξ, t)δ ξ = 0 for (x, t) in (0, 1) × (0, ∞) (1) u(0, t) = u(1, t) = ∂ 2 u ∂x 2 (0, t) = ∂ 2 u ∂x 2 (1, t) = 0 for t in (0, ∞) (2) u(x, 0) = u 0 (x), ∂u ∂t (x, 0) = u 1 (x) for x in (0, 1) (3)
where a, b and α are strictly positive constants.

In this problem the function u denotes the transverse displacement of the bridge deck represented by a beam with a uniform section, δ ξ is the Dirac mass concentrated in the point ξ ∈ (0; 1).

Denote by ρ the mass density of the beam, A the area of the cross section of the beam, EI the second moment of area of the cross-section and c the damping of the beam. Then (1)-(3) coincides with the system in [START_REF] Liu | A Method of Reinforcement and Vibration Reduction of Girder Bridges Using Shape Memory Alloy Cables[END_REF] with

a = (EI) ρA , b = c ρA , α = c SMA ρA and k SMA = 0.
The values k SMA and c SMA are respectively the equivalent stiffness and equivalent damping of a damper which represents the Shape Memory Alloy (SMA) cable at the position x. They are calculated by (26) and (27) of [START_REF] Liu | A Method of Reinforcement and Vibration Reduction of Girder Bridges Using Shape Memory Alloy Cables[END_REF].

In fact, the problem considered in [START_REF] Liu | A Method of Reinforcement and Vibration Reduction of Girder Bridges Using Shape Memory Alloy Cables[END_REF] is more precisely the following one with β > 0:

∂ 2 u ∂t 2 (x, t) + a ∂ 4 u ∂x 4 (x, t) + b ∂u ∂t (x, t) + α ∂u ∂t (ξ, t) + βu(ξ, t) δ ξ = 0 for (x, t) in (0, 1) × (0, ∞) (4)

u(0, t) = u(1, t) = ∂ 2 u ∂x 2 (0, t) = ∂ 2 u ∂x 2 (1, t) = 0 for t in (0, ∞) (5)
u(x, 0) = u 0 (x), ∂u ∂t (x, 0) = u 1 (x) for x in (0, 1) (6) Indeed A-R. Liu, C-H. Liu, J-Y. Fu, Y-L. Pi, Y-H. Huang and J-P. Zhang have realized experiments in which the value k SMA (equivalent stiffness of the damper) does not vanish. We start here with a simpler problem but we conjecture that the result will not change since the term we keep is the most important one for the stabilization. In this paper, β = 0. The most important results are generalized to the case β > 0 in remarks (see Remarks 4.4 and 4.7).

Note that the case a = 1, b > 0 and α = 0 is treated in [START_REF] Ammari | The rate at which energy decays in a viscously damped hinged Euler-Bernoulli beam[END_REF]. They even consider L ∞ (0; 1) functions for b, which are positive and non-negative on an open subset of (0; 1). For a constant b, the energy is proved to decrease exponentially and the fastest decay rate is given by the supremum of the real part of the spectrum of the infinitesimal generator of the underlying semigroup.

The case a = 1, b = 0 and α > 0 is treated in [START_REF] Ammari | Stabilization of Bernouilli-Euler beams by means of a pointwise feedback force[END_REF] with two types of boundary conditions. They study the energy decay of a Bernoulli-Euler beam which is subject to a pointwise feedback force (given by the Dirac term). They show that both uniform and non uniform energy decay may occur depending on the boundary conditions. In the case of non uniform decay in the energy space (which is the case we are interested in), they give explicit polynomial decay estimates valid for regular initial data. Their method consists of deducing the decay estimates from observability inequalities for the associated undamped problem via sharp trace regularity results. The same problem is studied by the same authors in [START_REF] Ammari | Stabilization of second order evolution equations by a class of unbounded feedbacks[END_REF] one year later. It is the second example of the applications given in Section 5. The estimates are unchanged for this example but the paper gives more general results: under a regularity assumption, the authors show that observability properties for the undamped problem imply decay estimates for the damped problem.

Let u be a regular solution of system (1)- [START_REF] Akil | Energy decay of some boundary coupled systems involving wave Euler-Bernoulli beam with one locally singular fractional Kelvin-Voigt damping[END_REF]. Its associated total energy is defined by ( 7)

E(t) = 1 2 1 0 (|u t (x, t)| 2 + a|u xx (x, t)| 2 )dx.
Then a classical computation using parts integration gives:

(8) d dt E(t) = -b 1 0 |u t (x, t)| 2 dx -α|u t (ξ, t)| 2 ≤ 0.
Hence system (1)-( 3) is dissipative in the sense that its associated energy is non increasing with respect to time.

A lot of studies have been performed by many authors in the stabilization of Euler-Bernoulli beams. Some of them can be found in the bibliography of the already cited papers : [START_REF] Ammari | The rate at which energy decays in a viscously damped hinged Euler-Bernoulli beam[END_REF], [START_REF] Ammari | Stabilization of Bernouilli-Euler beams by means of a pointwise feedback force[END_REF] and [START_REF] Ammari | Stabilization of second order evolution equations by a class of unbounded feedbacks[END_REF].

The control of networks of Euler-Bernoulli or Timoshenko beams were studied in [START_REF] Dekoninck | Control of networks of Euler-Bernoulli beams[END_REF], [START_REF] Castro | Exact boundary controllability of two Euler-Bernoulli beams connected by a point mass[END_REF], [START_REF] Mercier | Spectrum of a network of Euler-Bernoulli beams[END_REF], [START_REF] Mercier | Control of a network of Euler-Bernoulli beams[END_REF], [START_REF] Mercier | Boundary controllability of a chain of serially connected Euler-Bernoulli beams with interior masses[END_REF] and [START_REF] Akil | Stability and Exact Controllability of a Timoshenko System with Only One Fractional Damping on the Boundary[END_REF] for example. Spectral methods are used like in this paper. More recently, Euler-Bernoulli beams are coupled with wave equations with a Kelvin-Voigt damping in [START_REF] Akil | Energy decay of some boundary coupled systems involving wave Euler-Bernoulli beam with one locally singular fractional Kelvin-Voigt damping[END_REF] for example. See also the references of this paper.

The main goal of this work is to obtain the energy decay rate of the damped Euler-Bernoulli beam subject to a pointwise feedback force representing a Shape Memory Alloy (SMA) cable described by (1) to (3). First we establish the well-posedness and strong stability of the problem. Then an explicit expression for the resolvent is given as well as the eigenvalues and eigenfunctions of the associated dissipative operator. We study the localization of the eigenvalues of the operator for small values of α > 0. We prove that the eigenfunctions are quadratically close to those of the case α = 0. Thus they form a Riesz basis using a result of [START_REF] Pöschel | Inverse Spectral Theory[END_REF].

At last, we give the explicit exponential decay estimate of the energy for regular initial data. The presence of a SMA cable (α > 0) with a weak damping (small value for α) may not restrain the vibrations of girder bridges. Our modelization does not take into account the stiffness term considered in [START_REF] Liu | A Method of Reinforcement and Vibration Reduction of Girder Bridges Using Shape Memory Alloy Cables[END_REF] (β = 0 here). The term which contributes most to the damping is αu t . That is why we start with this situation. See Remark 5.2 which confirms this intuition. The stiffness term (βδ ξ u) even seems to diminish the decay rate of the energy.

Note that the results were not obvious. One may think that adding a damping term (α > 0 versus α = 0) always leads to a better decay rate of the energy. This is not so clear. What we already know (cf. the conclusion of this paper) is that, if α = 0, increasing the value of b does not always lead to a higher decay rate of the energy, which is rather counterintuitive.

This paper does not confirm the results of [START_REF] Liu | A Method of Reinforcement and Vibration Reduction of Girder Bridges Using Shape Memory Alloy Cables[END_REF]. Nor does it refute them. The situation is more complicated. First they have an additional stiffness term but we conjecture that the results will be analogous. Indeed the eigenfunctions are unchanged and the characteristic equation is similar (cf. Remarks 4.4 and 4.7). Moreover the large eigenvalues of the case α > 0 and β = 0 are proved to be close to those of the case α = 0 and β = 0 (see Proposition 4.5) and Remark 5.2 proves that adding the stiffness term (β > 0) leads to some eigenvalues with a real part larger than the supremum of the real part of the eigenvalues with β = 0. All that is not necessarily in contradiction with the experiments of [START_REF] Liu | A Method of Reinforcement and Vibration Reduction of Girder Bridges Using Shape Memory Alloy Cables[END_REF], since we have excluded some values for ξ (cf. Theorem 4.2). As it is said in the conclusion of this paper, some more work is required to give a definite answer to the question in its title.

Well-posedness and strong stability

In this section we study the existence, uniqueness and strong stability of the solution of system (1)-(3).

The energy space H is defined as follows

(9) H = [H 2 (0; 1) ∩ H 1 0 (0; 1)] × L 2 (0; 1)
with the inner product defined by

(U 1 , U 2 ) H = 1 0 (au 1,xx u 2,xx + v 1 v 2 )dx, ( 10
)
for all U 1 = (u 1 , v 1 ), U 2 = (u 2 , v 2 ) ∈ H.
Here again a is a strictly positive constant (as in the introduction). H induced by [START_REF] Cox | The rate at which energy decays in a damped string[END_REF] is equivalent to the usual norm of H.

For shortness we denote by . the L 2 (Ω)-norm. Now, we define a linear unbounded operator A : D(A) → H by: (3) x (ξ + ) -u (3) x (ξ -) = -

D(A) = U ∈ H : (u, v) ∈ [H 4 (0, ξ) ∩ H 4 (ξ, 1) ∩ H 2 (0; 1)] × H 2 (0; 1), u(0) = v(0) = u(1) = v(1) = 0 (11) u xx (0) = u xx (1) = 0, u xx (ξ -) = u xx (ξ + ), u
α a v(ξ) (12)
A(u, v) = v, -au (4) x -bv -αv(ξ)δ ξ , ∀ U = (u, v) ∈ D(A).

Then we rewrite formally System (1)-( 3) into the evolution equation ( 13)

U t = AU, U (0) = U 0 , U 0 ∈ H with U = (u, u t ).

Proposition 2.2

The operator A is m-dissipative in the energy space H.

Proof. On the first hand, the dissipativeness holds since we can check using integrations by parts:

(14) ℜ(AU, U ) H = -b 1 0 |u t | 2 dx -α|u t (ξ, t)| 2 ≤ 0, ∀ U = (u, v) ∈ D(A).
On the other end, the maximality is proved in the following way. Let f := (f 1 ; f 2 ) ∈ H. We look for U := (u; v) ∈ D(A) solution of (15) -AU = f or equivalently [START_REF] Mercier | Boundary controllability of a chain of serially connected Euler-Bernoulli beams with interior masses[END_REF])

f 1 = -v f 2 = -au (4)
x -bv -αv(ξ)

δ ξ ⇔ v = -f 1 au (4) x = f 2 + bf 1 -αf 1 (ξ)δ ξ
Assume that such a solution u exists, then multiplying the second identity by a function φ ∈ V := H 2 (0; 1) ∩ H 1 0 (0; 1), integrating in space and using integration by parts, it follows, since U ∈ D(A)

1 0 au (2) x φ (2) x dx = 1 0

(f 2 + bf 1 )φdx.
This problem has a unique solution u ∈ V = H 2 (0; 1) ∩ H 1 0 (0; 1) by Lax-Milgram's lemma, because the left-hand side of ( 17) is coercive on V . If we consider φ ∈ (D(0, ξ)) ∩ D(ξ, 1) ⊂ V , then u satisfies au (4) x = f 2 + bf 1 -αf 1 (ξ)δ ξ in the distributional sense. This directly implies that u ∈ H 4 (0; ξ) ∩ H 4 (ξ; 1) since f 1 and f 2 belong to L 2 (0; 1). Now, integrating by parts lead to:

1 0 (f 2 + bf 1 -αf 1 (ξ)δ ξ )φdx = ξ 0 au (4) x φdx + 1 ξ au (4)
x φdx + [au [START_REF] Akil | Energy decay of some boundary coupled systems involving wave Euler-Bernoulli beam with one locally singular fractional Kelvin-Voigt damping[END_REF] x (ξ + ) -au

(3) x (ξ + )]φ x (ξ) +[au (3) x (ξ + ) -au (3) x (ξ + )]φ(ξ) + au (2) x φ x (1) -au (2)
x φ x (0).

Consequently, by taking particular test functions φ and using v = -f 1 , we obtain U ∈ D(A) satisfying [START_REF] Mercier | Control of a network of Euler-Bernoulli beams[END_REF], which finishes the proof of maximality.

Using Lumer-Phillips Theorem (see [START_REF] Pazy | Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations[END_REF], Theorem 1.4.3), the operator A generates a C 0 -semigroup of contractions e tA on H. Then, we have the following result.

U ∈ C 0 (R + , D(A)) ∩ C 1 (R + , H).
(2) If U 0 ∈ H, then system (13) has a unique weak solution

U ∈ C 0 (R + , H).
Now, we have the following general strong stability result. 3) is strongly stable, i.e. for any solution U of [START_REF] Liu | A Method of Reinforcement and Vibration Reduction of Girder Bridges Using Shape Memory Alloy Cables[END_REF] with initial data U 0 ∈ H, it holds

lim t→∞ E(t) = 0,
where E(t) is defined by [START_REF] Arendt | Tauberian theorems and stability of one-parameter of semi-groups[END_REF].

Proof. Since A generates a contraction semigroup and its resolvent is compact in H, using Arendt-Batty Theorem(see [START_REF] Arendt | Tauberian theorems and stability of one-parameter of semi-groups[END_REF], p. 837), system (1)-( 3) is strongly stable if and only if A does not have purely imaginary eigenvalues.

Assume that A has a purely imaginary eigenvalue denoted by iµ with µ ∈ R. Then there exists U = (u, v) = (0; 0) ∈ D(A) such that v = iµu and AU = iµU . Using (18) leads to [START_REF] Pazy | Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations[END_REF] ℜ

[iµ(U, U ) H ] = 0 = -b 1 0 |v(x)| 2 dx -α|v(ξ)| 2 .
This implies |v(ξ)| = 0 and 1 0 |v(x)| 2 dx = 0 (since α > 0 and b > 0). Thus v ≡ 0 almost everywhere on (0; 1) and since v = iµu, u ≡ 0 almost everywhere on (0; 1). Now u and v are continuous on (0; 1) and they vanish at 0 and 1 due to their belonging to D(A). Thus u ≡ v ≡ 0. This contradicts the fact that U = (0; 0).

Explicit expression for the resolvent

In this section we give an explicit expression of the resolvent (µI -A) -1 and prove some useful estimates. In fact such estimates are useful since later on, we will use a result of [START_REF] Borichev | Optimal polynomial decay of functions and operator semigroups[END_REF] (Theorem 2.4) which involves the norm operator of (µI -A) -1 with µ ∈ C.

Let F = (u 1 , v 1 ) ∈ H, we look for a solution U = (u, v) ∈ D(A) of (19) (µI -A)U = F, µ ∈ C.
The explicit expression for the resolvent we give in next Proposition 3.2 involves the restriction on [0; 1] of the classical convolution product of two functions on R. Let us recall the definition and two useful properties we established in [START_REF] Mercier | Decay rate of the Timoshenko system with one boundary damping[END_REF].

Lemma 3.1 (A technical lemma) Let ψ ∈ C ∞ ([0, ∞[)
and f in L 2 (0; 1) be two functions and define their convolution product ψ ⋆ f on [0, 1] by :

(20) (ψ ⋆ f )(x) = x 0 ψ(x -s)f (s)ds, ∀x ∈ [0; 1].
Then the following two properties hold:

1. (ψ ⋆ f ) ∈ H 1 (0; 1) and its derivative is:

(21) (ψ ⋆ f ) ′ (x) = x 0 ψ ′ (x -s)f (s)ds + ψ(0)f (x), ∀x ∈ [0; 1]. 2. If ψ(0) = 0 is also assumed, then (ψ ⋆ f ) ∈ H 2 (0; 1)
and its second derivative is:

(22) (ψ ⋆ f ) ′′ (x) = x 0 ψ ′′ (x -s)f (s)ds + ψ ′ (0)f (x), ∀x ∈ [0; 1].
Proof.

1. The functions ψ extended by 0 on (-∞, 0) and f extended by 0 on R outside [0, 1] are still called ψ and f respectively. Then the convolution product defined by ( 20) is extended by the classical convolution product on R i.e by ( 23)

(ψ ⋆ f )(x) = R ψ(x -s)f (s)ds, ∀x ∈ R. It is well known that (ψ ⋆ f ) ′ = (ψ ′ ) dist ⋆ f where (ψ ′ ) dist is the derivative of ψ in the distributional sense.
Due to the property of ψ and its extension on R we have

(ψ ′ ) dist = ψ ′ + ψ(0)δ 0 ,
where δ 0 is the Dirac distribution at x = 0. The property (21) follows from this remark.

2. ( 22) is a consequence of (21).

Note that weaker assumptions could be made on ψ for this lemma (ψ

∈ C 2 ([0, 1]) is sufficient).

Proposition 3.2 (Explicit expression for the resolvent of the operator A)

Let a, b and α be strictly positive real numbers, ξ a real number in (0; 1) and µ a complex number.

Let the spaces H and D(A) be defined by ( 9) and [START_REF] Dekoninck | Control of networks of Euler-Bernoulli beams[END_REF].

Let F = (u 1 , v 1 ) ∈ H.
Denote by λ the complex number, such that ∃k ∈ Z, arg(λ) ∈ [-π/4 + 2kπ; π/4 + 2kπ), satisfying:

(24)

λ 4 = - bµ + µ 2 a .
Denote by H(x, 0) the Heaviside step function defined by

(25) H(x, 0) := 0, ∀x < 0 1, ∀x ≥ 0.
Define the expressions:

(26) f 0 1 := (µ + b)u 1 + v 1 (27) Det α (λ) := 4λ 2 [-2λ 3 sinh(λ) - αµ a sinh(λξ) sinh(λ(ξ -1))] sin(λ) + αµ a sin(λξ) sinh(λ) sin(λ(ξ -1)) (28) Det 0 (λ) := -8λ 5 sinh(λ) sin(λ) (29) u 0 (λ, x) := 1 2aλ 3 [sin(λx) -sinh(λx)] H(x, 0), ∀x ∈ (0; 1) (30)    A(λ, α) := λ 2 (u 0 (λ, •) ⋆ f 0 1 )(1) + 2λ 2 αu 1 (ξ)u 0 (λ, 1 -ξ) B(λ, α) := (u 0 (λ, •) ⋆ f 0 1 ) xx (1) + 2αu 1 (ξ)u 0,xx (λ, 1 -ξ) C(λ, ξ) := λ 2 (u 0 (λ, •) ⋆ f 0 1 )(ξ)
For simplicity, the dependency of A, B and C on λ and ξ is omitted in the following.

(31) R(µ, A 0 )F := (u 0 ⋆ f 0 1 )(x) + a Det 0 (λ) 4λ 4 {(A -B) sinh(λ) + (A + B) sin(λ)} u 0 (x, λ) +4λ 6 {(A + B) sin(λ) -(A -B) sinh(λ)} u 0,xx (x, λ) (32) ∆(λ, ξ) := 4λ 2 µ a (sin(λξ) sin(λ(ξ -1)) sinh(λ) -sinh(λξ) sinh(λ(ξ -1)) sin(λ)) (33)
∆ 3 (λ, ξ) := 4λµ a sin(λ(ξ -1)) A + B 2 [sinh(λξ) -sin(λξ)] -C sinh(λ) + sinh(λ(ξ -1)) A -B 2 [sinh(λξ) -sin(λξ)] + C sin(λ) (34)
∆ 1 (λ, ξ) := 4λ 3 µ a sin(λ(ξ -1)) - A + B 2 [sinh(λξ) + sin(λξ)] + C sinh(λ) + sinh(λ(ξ -1)) - A -B 2 [sinh(λξ) + sin(λξ)] + C sin(λ) (35) ∆ 0 (λ, ξ) := -4λ 3 2C sin(λ) sinh(λ) -(A + B) sin(λ) sinh(λξ) -(A -B) sin(λξ) sinh(λ)
Then the solution U = (u, v) ∈ D(A) of (µI -A)U = F , with F = (u 1 , v 1 ) ∈ H, is given by:

(36) u(x) = 1 Det α (λ) Det 0 (λ) • R(µ, A 0 )F + α ∆(λ, ξ)(u 0 ⋆ f 0 1 )(x) + a∆ 3 (λ, ξ)u 0 (λ, x) + a∆ 1 (λ, ξ)u 0,xx (λ, x) -µ∆ 0 (λ, ξ)u 0 (λ, x -ξ)
Proof. The computation of an explicit expression for the resolvent of A requires the search for a solution u in

H 4 (0; ξ) ∩ H 2 (0; 1) (resp. in H 4 (ξ; 1) ∩ H 2 (0; 1)
) of the following problem on (0; ξ) (resp. on (ξ; 1)):

(37)

                 au (4) x + (bµ + µ 2 )u + µαδ ξ u = f α 1 v = µu -u 1 u(0) = u(1) = 0 u xx (0) = u xx (1) = 0 u xx (ξ -) = u xx (ξ + ) u (3)
x (ξ + ) -u

(3) where u is a solution of (37) on (0; ξ). Denote by L the classical Laplace transform. Using four successive integrations by parts and the properties of u at 0, 1, ξ -and ξ + leads to:

x (ξ -) = g 1 with f α 1 := (µ + b)u 1 + v 1 + αδ ξ u 1 and g 1 := α a (-µu(ξ) + u 1 (ξ)). Note that f 0 1 defined by (26) is f α 1 with α = 0.
(39) [Lu (4) x ](p) = p 4 [Lu](p) + [u (3) x (ξ -) + pu (2) x (ξ -) + p 2 u x (ξ -) + p 3 u(ξ -)]e -pξ -[u (3) x (0) + p 2 u x (0)]

Applying the Laplace transform to Problem (37) on (0; ξ) gives:

(40) [ap 4 +bµ+µ 2 ][Lu](p)+αµu(ξ)e -pξ +a[u (3)
x (ξ -)+pu (2) x (ξ -)+p 2 u x (ξ)+p 3 u(ξ)]e -pξ -a[u (3) x (0

)+p 2 u x (0)] = L(f α 1 •χ (0;ξ) )
We proceed similarly on (ξ; 1) and sum both functions to get:

(41)

[Lu](p) = 1 ap 4 + bµ + µ 2 [Lf α
1 ](p) + au (3) x (0) + (u (3) x (ξ + ) -u (3) x (ξ -))ae -pξ -au (3) x (1)e -p

+ap 2 [u x (0) -u x (1)e -p ] -αµu 1 (ξ)e -pξ = 1 ap 4 + bµ + µ 2 [Lf α 1 ](p) + au (3) x (0) + αu(ξ)e -pξ -au (3) x (1)e -p + ap 2 [u x (0) -u x (1)e -p ]
The function u 0 defined by (29) satisfies:

L 1 2aλ 3 [sin(λ•) -sinh(λ•)] (p) = 1 ap 4 + bµ + µ 2 . Thus (42) u(x) = [u 0 (λ, •) ⋆ f α 1 ](x) + au (3) x (0) • u 0 (λ, x) + au x (0) • u 0,xx (λ, x) + [αu 1 (ξ) -2αµu(ξ)] • u 0 (λ, x -ξ)
An analogous problem is treated in Section 2.1 of [START_REF] Majkut | Eigenvalue based inverse model of beam for structural modification and diagnostics. Part I: Theoretical formulation[END_REF] for example. Taking into account u(1) = u xx (1) = 0 gives the following two equations:

(43)

           λ 2 [sinh(λ) + sin(λ)]u (3)
x (0) + [sinh(λ) -sin(λ)]u x (0) - αµ a [sinh(λ(1 -ξ)) -sin(λ(1 -ξ))]u(ξ) = -2λ 3 (u 0 ⋆ f 0 1 )(1) -4λ 3 αu 1 (ξ)u 0 (1 -ξ) λ 2 [sinh(λ) -sin(λ)]u (3) x (0) + [sinh(λ) + sin(λ)]u x (0) - αµ a [sinh(λ(1 -ξ)) + sin(λ(1 -ξ))]u(ξ) = -2λ(u 0 ⋆ f 0 1 ) (2) (1) -4λαu 1 (ξ)u 0,xx (1 -ξ) (22)
has been used here since u 0 (0) = u 0,x (0) = 0. The last step is to evaluate (42) at x = ξ:

(44) [sinh(λξ) -sin(λξ)]u (3) x (0) + λ 2 [sinh(λξ) + sin(λξ)]u x (0) -2λ 3 u(ξ) = -2λ 3 (u 0 ⋆ f 0 1 )(ξ).
Now ( 43) and (44) form a 3 × 3 system where the unknowns are u

x (0), u x (0) and u(ξ). Its determinant is Det α (λ). Solving this system gives (36) after long calculations.

Remark 3.3

The expression R(λ, A 0 ) represents the resolvent of the operator A 0 which is A with α = 0. Thus the expression for the solution u given by (36

) is R(λ, A 0 )F if α = 0.

Eigenvalues and eigenfunctions of the operator A

The eigenvalues and eigenfunctions of the operator A defined by [START_REF] Dekoninck | Control of networks of Euler-Bernoulli beams[END_REF] and [START_REF] Majkut | Eigenvalue based inverse model of beam for structural modification and diagnostics. Part I: Theoretical formulation[END_REF] in Section 2 are explicitly calculated. For the sake of completeness, the case α = 0 which corresponds to the operator A a0 of [START_REF] Ammari | The rate at which energy decays in a viscously damped hinged Euler-Bernoulli beam[END_REF] is recalled here. Note the dependency of A on a, b, α and ξ.

First a technical Lemma will be useful in the proof of Theorem 4.2 to handle with particular values for ξ. Assume that a, b, α are strictly positive constants, ξ ∈ (0; 1). The following problem on H 4 (0; ξ) ∩ H 2 (0; 1) (resp. on H 4 (ξ; 1) ∩ H 2 (0; 1)):

(45)              au (4) x -bαδ ξ u = 0 u(0) = u(1) = 0 u xx (0) = u xx (1) = 0 u xx (ξ -) = u xx (ξ + ) u (3) x (ξ + ) -u (3) x (ξ -) = α a bu(ξ)
has no other solution than u ≡ 0 if the polynomial 2 has no solution in (0; 1). There are three cases:

P (x) = 1 - 2αb 3 x 2 (1 -x)
• Case αb > 6: P has exactly two roots in (0; 1) called ξ 1 and ξ 2 in the following.

• Case αb = 6: P has exactly one root in (0; 1) called ξ 0 in the following.

• Case αb < 6: the polynomial P does not vanish on (0; 1).

Proof. The proof starts like that of Proposition 3.2. Denote by u 0 the function defined by u 0 (x) =

x 3 6a • H(x, 0), ∀x ∈ (0; 1). It holds [L x 3 6a ](x → p) = 1 ap 4 , ∀p ∈ (0; +∞). Thus (46) u(x) = au (3) x (0) • u 0 (λ, x) + au x (0) • u 0,xx (λ, x) + α a bu(ξ) • u 0 (λ, x -ξ).
Taking into account u(1) = u xx (1) = 0 gives the following two equations:

(47)

   1 6 u (3) x (0) + u x (0) + α a bu(ξ)(1 -ξ) 3 = 0 u (3) x (0) + 2αbu(ξ)(1 -ξ) = 0
The last step is to evaluate (46) at x = ξ: 3) x (0) + ξu x (0) -u(ξ) = 0. Now (47) and (48) form a 3 × 3 system where the unknowns are u

(48) ξ 3 6 u (
x (0), u x (0) and u(ξ). An obvious solution is (0; 0; 0). Its determinant is P (ξ). The system has no other solution than (0; 0; 0) if and only if P (ξ) does not vanish. The roots of P follow from a classical study of the variations of the function P .

Theorem 4.2 (Eigenvalues and eigenfunctions of the operator A)

Let A be the operator defined by ( 11) and ( 12) in Section 2. Denote by µ n , n ∈ Z the eigenvalues of A and by λ the complex numbers satisfying λ 4 = -bµ + µ 2 a . One of these λ's is such that ∃k ∈ Z, arg(λ) ∈

[-π/4 + 2kπ; π/4 + 2kπ). The others are -λ and ±iλ and they are still denoted by λ.

1. Case α = 0. If b ∈ R + * -{2 √ an 2 π 2 , n ∈ Z * }, then ∃n 0 such that 2 √ an 2 0 π 2 < b < 2 √ a(n 0 + 1) 2 π 2 and
(49)

µ ± n =      1 2 -b ± b 2 -4an 4 π 4 , n = 1, 2, . . . , n 0 1 2 -b ± i 4an 4 π 4 -b 2 , n > n 0 .
The algebraic multiplicity of these eigenvalues is 1.

If ∃n 0 such that b = 2 √ an 2 0 π 2 then µ n0 = - b 2
and the algebraic multiplicity of this eigenvalue may not exceed 2.

In both cases, the associated eigenfunction is defined on (0; 1) by

(50) Φ ± n (x) = sin(nπx)(1, µ ± n ), n ≥ 1.
2. Case α = 0.

(a) Case αb < 6: µ = -b is not an eigenvalue of A.

If ξ / ∈ Q, µ is an eigenvalue of A if and only if the corresponding λ's satisfy λ / ∈ {kπ, k ∈ Z}, λ /
∈ {ikπ, k ∈ Z} and the characteristic equation:

(51) 2(µ + b) sinh(λ) sin(λ) + αλ [sin(λ) sinh(λξ) sinh(λ(1 -ξ)) -sinh(λ) sin(λξ) sin(λ(1 -ξ))] = 0
and the associated eigenfunction is If α takes any other value, the algebraic multiplicity of µ as an eigenvalue of A is at least 1 and its geometric multiplicity is 1.

Φ(µ, •) = (φ(λ, •)(1, µ) where φ(λ, •) is defined on (0; 1) by φ(λ, x) := 1 |λ| 2 • e (ξ-2)|λ| sin(λ) sinh(λ)[sin(λ(x -ξ)) -sinh(λ(x -ξ))] • H(x, ξ) + sinh(λ) sin(λ(1 -ξ)) sin(λx) -sin(λ) sinh(λ(1 -ξ)) sinh(λx) (52
(b) Case αb = 6: there exists ξ 0 in (0; 1) such that, if ξ = ξ 0 , µ = -b is an eigenvalue of A (= A(ξ)). If ξ = ξ 0 , µ = -b is not an eigenvalue of A (= A(ξ)).
In both cases, if ξ / ∈ Q, the other eigenvalues and the associated eigenfunctions are given by the same expressions as in the preceding case.

(c) Case αb > 6: there exist ξ 1 and ξ 2 in (0; 1) such that, if

ξ = ξ 1 or ξ = ξ 2 , µ = -b is an eigenvalue of A (= A(ξ)). If ξ / ∈ {ξ 1 , ξ 2 }, µ = -b is not an eigenvalue of A (= A(ξ)).
In both cases, if ξ / ∈ Q, the other eigenvalues and the associated eigenfunctions are given by the same expressions as in the first case.

Proof. First of all, the operator A has already been proved to have no imaginary eigenvalues (cf. the proof of Theorem 2.4). In particular, 0 is not an eigenvalue.

The computation of the eigenelements of A requires the search for a solution u in H 4 (0; ξ) ∩ H 2 (0; 1) (resp. in H 4 (ξ; 1) ∩ H 2 (0; 1)) of the following problem on (0; ξ) (resp. on (ξ; 1)):

(54)              au (4) x + (bµ + µ 2 )u + µαδ ξ u = 0 u(0) = u(1) = 0 u xx (0) = u xx (1) = 0 u xx (ξ -) = u xx (ξ + ) u (3) x (ξ + ) -u (3) x (ξ -) = - α a µu(ξ)
Case α = 0: the proof is that of Lemma 2.2 of [START_REF] Ammari | The rate at which energy decays in a viscously damped hinged Euler-Bernoulli beam[END_REF], mutatis mutandis.

Case α = 0 and αb < 6: since neither µ = 0 nor µ = -b is an eigenvalue of A (cf. Lemma 4.1), λ cannot vanish and a particular solution of Problem (54) is:

(55) u p (λ, x) := - αµ 2aλ 3 u(ξ) [sinh(λ(x -ξ)) -sin(λ(x -ξ))] H(x, ξ), ∀x ∈ (0; 1)
where H(x, ξ) is for the Heaviside step function defined by

(56) H(x, ξ) := 0, ∀x < ξ 1, ∀x ≥ ξ.
This result is not new: it can be found in [START_REF] Majkut | Eigenvalue based inverse model of beam for structural modification and diagnostics. Part I: Theoretical formulation[END_REF] for example.

The general solution of this problem (i.e. with u

x (ξ + ) -u

x (ξ -) = 0) can be written as:

(57) u g (λ, x) := P 1 cosh(λx) + Q 1 sinh(λx) + R 1 cos(λx) + S 1 sin(λx), ∀x ∈ (0; ξ] P 2 cosh(λ(x -ξ))

+ Q 2 sinh(λ(x -ξ)) + R 2 cos(λ(x -ξ)) + S 2 sin(λ(x -ξ)), ∀x ∈ [ξ; 1)
Using the boundary conditions for u and u xx as well as the continuity of u xx and u

x at ξ, it holds:

(58)

     P 1 = R 1 = 0 P 2 = Q 1 sinh(λξ), Q 2 = Q 1 cosh(λξ), R 2 = S 1 sin(λξ) and S 2 = S 1 cos(λξ) sinh(λ)Q 1 = - αµ 2aλ 3 u(ξ) sinh(λ(ξ -1)) and sin(λ)S 1 = αµ 2aλ 3 u(ξ) sin(λ(ξ -1)) If ξ / ∈ Q, λ / ∈ {kπ, k ∈ Z * } and λ / ∈ {ikπ, k ∈ Z * }. Indeed, if ∃k ∈ Z *
, such that λ = kπ, then sin(λ) = 0 but sinh(λ) = 0 and the last identity of (58) is:

(59) αµ 2aλ 3 u(ξ) sin(kπ(ξ -1)) = 0
Since α = 0, µ = 0 and sin(kπ(ξ -1)) = 0 (the expression only vanishes if ξ ∈ Q), it holds u(ξ) = 0. Now, since sinh(λ) = 0, it implies Q 1 = 0 and consequently, P 2 = Q 2 = 0. The vanishing of u(ξ) also implies that of u p . Thus (60) u(λ, x) = u g (λ, x) := S 1 sin(nπx), ∀x ∈ (0; ξ] S 1 sin(nπξ) cos(nπ(x -ξ)) + S 1 cos(nπξ) sin(nπ(x -ξ)) = S 1 sin(nπx), ∀x ∈ [ξ; 1). Now, u(ξ) = 0 = S 1 sin(nπξ) and S 1 = 0 (otherwise u ≡ 0), then sin(nπξ) = 0, which contradicts the fact that ξ / ∈ Q.

Analogously, λ / ∈ {ikπ, k ∈ Z * } if ξ / ∈ Q. Now, since λ / ∈ {kπ, k ∈ Z * } and λ / ∈ {ikπ, k ∈ Z * }, (58) becomes:
(61)

       P 1 = R 1 = 0 Q 1 = - αµ 2aλ 3 u(ξ) sinh(λ(ξ -1)) sinh(λ) and S 1 = αµ 2aλ 3 u(ξ) sin(λ(ξ -1)) sin(λ) P 2 = Q 1 sinh(λξ), Q 2 = Q 1 cosh(λξ), R 2 = S 1 sin(λξ) and S 2 = S 1 cos(λξ)
Combining that with classical trigonometric formulae leads to:

(62) u g (λ, x) := Q 1 sinh(λx) + S 1 sin(λx), ∀x ∈ (0; 1).

In particular u(ξ) = u p (λ, ξ) + u g (λ, ξ) = u g (λ, ξ) i.e. ( 63
) u(ξ) = - αµ 2aλ 3 u(ξ) sinh(λ(ξ -1)) sinh(λ) sinh(λx) - sin(λ(ξ -1)) sin(λ) sin(λx) .
This implies the following equation, since u(ξ) = 0:

(64) 2aλ 3 sinh(λ) sin(λ) -αµ [sin(λ) sinh(λξ) sinh(λ(1 -ξ)) -sinh(λ) sin(λξ) sin(λ(1 -ξ))] = 0
Multiplying both sides by λ = 0, replacing (aλ 4 ) by (-bµ -µ 2 ) and dividing by µ = 0 leads to the characteristic equation (51).

At last, u(ξ) can be rewritten as:

(65) u(ξ) = u g (ξ) = -sinh(λ(ξ -1)) sinh(λ) sinh(λx) + sin(λ(ξ -1)) sin(λ) sin(λx) = 2aλ 3 αµ due to the characteristic equation.

Hence the expression for the eigenfunction (52). Note that the factor 1 |λ| 2 e (ξ-2)|λ| is aimed at making the function bounded with λ in H.

The last part of the proof concerns the multiplicity of the eigenvalues. Since the characteristic equation ( 51) is invariant under the transform λ → iλ, to each root λ such that λ ∈ {z ∈ C -{kπ, k ∈ Z}, ∃l ∈ Z, arg(z) ∈ [-π/4 + 2lπ; π/4 + 2lπ) correspond three other roots which are ±iλ and -λ. Up to a multiplicative constant, the expression for the eigenfunction is invariant under the transform λ → iλ, thus the geometric multiplicity of µ as an eigenvalue is always 1.

Now (24) is equivalent to (66) µ(λ) = -b + δ(λ) 2
where ±δ(λ) are the (complex) square roots of (b 2 -4aλ 4 ).

The value µ = -b/2 is an eigenvalue of the operator A if and only if δ(λ) = 0 which is the case for the value α defined by (53). In that case, the algebraic multiplicity is at least 2.

If α takes any other value, it is at least 1.

Remark 4.3

The characteristic equation (51) (found for α = 0 and ξ / ∈ Q) becomes sinh(λ) sin(λ) = 0, if α is replaced by 0 in (51). The solutions of this equation are λ = nπ, n ∈ Z and λ = inπ, n ∈ Z. Now, if α tends to 0, αb < 6 so µ = -b is not an eigenvalue of A and since 0 is not an eigenvalue of A, λ = 0. Thus the corresponding eigenvalues are those given for Case α = 0 in Theorem 4.2, which is coherent. 4)-( 6) with the additional term βδ ξ are unchanged (cf. ( 52)) and the characteristic equation (51) becomes:

(67) 2aλ 3 sinh(λ) sin(λ) -(αµ + β) [sin(λ) sinh(λξ) sinh(λ(1 -ξ)) -sinh(λ) sin(λξ) sin(λ(1 -ξ))] = 0.
Multiplying both sides by λ = 0, replacing (aλ 4 ) by (-bµ -µ 2 ) and dividing by µ = 0 leads to the following characteristic equation:

(68) 2(µ + b) sinh(λ) sin(λ) + α + β µ λ [sin(λ) sinh(λξ) sinh(λ(1 -ξ)) -sinh(λ) sin(λξ) sin(λ(1 -ξ))] = 0.
The asymptotic behaviour of the eigenvalues is often useful for the study of stabilization. The following Proposition gives what we call the asymptotic characteristic equation.

Proposition 4.5 (Large eigenvalues of the operator A)

Let A be the operator defined by ( 11) and ( 12) in Section 2. Denote by µ n , n ∈ Z the eigenvalues of A and by λ the complex numbers satisfying

λ 4 = - bµ + µ 2 a . One of these λ's is such that ∃k ∈ Z, arg(λ) ∈ [-π/4 + 2kπ; π/4 + 2kπ
). The others are -λ and ±iλ and they are still denoted by λ.

Assume that α > 0, αb < 6 and ξ / ∈ Q. Then µ is a large eigenvalue of A if and only if the corresponding λ's satisfy the asymptotic characteristic equation:

(69) sinh(λ) sin(λ) = 0.

The algebraic multiplicity of µ as a large eigenvalue of A is exactly 1 and its geometric multiplicity is 1.

Proof. We start from the characteristic equation ( 64) in which the trigonometric functions are replaced by: (70)

     sin(λ) = e ℑ(λ) 2i -e -iℜ(λ) + e -2ℑ(λ) e iℜ(λ) sinh(λ) = e ℜ(λ) 2 e iℑ(λ) -e -2ℜ(λ) e -iℑ(λ) .
Denoting by (71) S(λ) := -e -iℜ(λ) + e -2ℑ(λ) e iℜ(λ) Sh(λ) := e iℑ(λ) -e -2ℜ(λ) e -iℑ(λ)

the characteristic equation ( 64) is equivalent to:

(72) e ℑ(λ)+ℜ(λ) 4i 2aλ 3 S(λ)Sh(λ) -αµ[S(λ)Sh(λξ)Sh(λ(ξ -1)) -Sh(λ)S(λξ)S(λ(ξ -1))] = 0 and, since λ = 0 is excluded here, it is also:

(73) S(λ)Sh(λ) -α µ 2aλ 3 [S(λ)Sh(λξ)Sh(λ(ξ -1)) -Sh(λ)S(λξ)S(λ(ξ -1))] = 0
The expression [S(λ)Sh(λξ)Sh(λ(ξ -1)) -Sh(λ)S(λξ)S(λ(ξ -1))] is bounded with respect to λ, if ℜ(λ) and ℑ(λ) tend to +∞ and the quotient µ 2aλ 3 tends to zero if |λ| tends to +∞. The other cases (ℜ(λ) and ℑ(λ) tend to -∞, ℜ(λ) tends to ±∞ while ℑ(λ) tends to ∓∞) are treated similarly. Hence (69).

The multiplicity of the large eigenvalues follows from the fact that the roots of sin(λ) = 0 are simple as well as those of sinh(λ) = 0. The result is proved using Rouché's Theorem. We follow the proof of Lemma 2.4 of [START_REF] Abdallah | Spectral analysis and exponential or polynomial stability of some indefinite sign damped problems[END_REF]. We denote by h α (λ) the left-hand side of (73) and define, for N large enough, the curves:

(74)        Γ S ±,n := z/|z ± nπ| = C 0 n Γ Sh ±,n := z/|z ± inπ| = C ′ 0 n
Our aim is to choose C 0 such that, by Rouché's Theorem, h α has the same roots as sinh (resp. as sin) inside the curve Γ Sh ±,n (resp. Γ S ±,n ) for every n > N where N is large enough. The proof is written for z ∈ Γ Sh +,n . The rest is analogous.

The first step is to show that, if z ∈ Γ Sh +,n , then |Sh(z)| ≥ C 0 |z| .
Writing z = inπ + ρ n e iθ with ρ n = C 0 n and using trigonometric formulae lead to

(75) | sinh(z)| 2 = | sinh(inπ + ρ n e iθ )| 2 = sinh 2 (ρ n cos(θ)) cos 2 (ρ n cos(θ)) + cosh 2 (ρ n cos(θ)) sin 2 (ρ n cos(θ)) = ρ 2 n + o(1). Now |z| 2 = ρ 2 n cos 2 (θ) + (nπ + ρ n sin(θ)) 2 ≤ (nπ + ρ n sin(θ)) 2 and
(76)

C 2 0 |z| 2 ≤ C 2 0 (nπ + ρ n sin(θ)) 2 = C 2 0 n 2 π 2 + o 1 n 2 = C 2 0 n 2 + o(1) = | sinh(z)| 2 .
Since |Sh(z)| = 2e -ℜ(z) | sinh(z)| and ℜ(z) = ρ n cos(θ) tends to zero when n tends to +∞

(77) ∃N 1 , n ≥ N 1 ⇒ 2e -ℜ(z) ≥ 1 and |Sh(z)| ≥ | sinh(z)| ≥ C 0 |z| . The second step is to show that, if z ∈ Γ Sh +,n , then |h α (z) -S(z)Sh(z)| ≤ |S(z)Sh(z)|.
By definition of h α (z), it holds:

(78) |h α (z) -S(z)Sh(z)| ≤ 1 |z| • αµ 2aλ 2 • |S(z)| • Sh(ξz)Sh((ξ -1)z) -Sh(z) S(ξz)S((ξ -1)z) S(z) . If z ∈ Γ Sh +,n , ℑ(z) = nπ + C 0 n sin(θ) ≥ nπ - C 0 n .
The expression αµ 2az 2 Sh(ξz)Sh((ξ -1)z) -Sh(z) S(ξz)S((ξ -1)z) S(z) is bounded with respect to ℑ(z). Let us denote by C 0 the real number such that

(79) ∃C 1 , ∀z ∈ Γ Sh +,n , ℑ(z) ≥ C 1 ⇒ αµ 2aλ 2 • Sh(ξz)Sh((ξ -1)z) -Sh(z) S(ξz)S((ξ -1)z) S(z) ≤ C 0 .
At last, there exists

N 2 such that N 2 π - C 0 N 2 > C 1 . If N ≥ max{N 1 , N 2 }, z ∈ Γ Sh +,n ⇒ |h α (z) -S(z)Sh(z)| ≤ |S(z)Sh(z)|.
Remark 4.6 The large roots of the characteristic equation ( 51) are close to the roots of (69), that is to say, either (nπ) or (inπ) with n ∈ Z * . The large eigenvalues µ of the operator A with α > 0 are thus near the eigenvalues of the operator A 0 given in the first part of Theorem 4.2.

Remark 4.7 (Case β > 0) The latter Proposition still holds for Problem ( 4)-( 6) with the additional term βδ ξ .

Another natural question which arises in this context is that of the continuity of the eigenvalues with respect to the parameter α.

Proposition 4.8 (Continuity of the eigenvalues and eigenvectors of the operator A with respect to α) Let A be the operator defined by ( 11) and ( 12) in Section 2. Denote by µ an eigenvalue of A and by λ the complex numbers satisfying

λ 4 = - bµ + µ 2 a . One of these λ's is such that ∃k ∈ Z, arg(λ) ∈ [-π/4 + 2kπ; π/4 + 2kπ
). The others are -λ and ±iλ and they are still denoted by λ. Assume that α > 0, αb < 6 and ξ / ∈ Q. Then µ depends continuously on the parameter α and the eigenvector Φ(µ, •) converges pointwise to the eigenvector Φ ± n (up to a multiplicative constant) when α tends to zero.

Proof. To state the continuity of µ with respect to α, we follow the proof of Remark 1 of [START_REF] Abdallah | Spectral analysis and exponential or polynomial stability of some indefinite sign damped problems[END_REF]. We denote by g α (λ) the left-hand side of (51). For a fixed α, denote by λ 0 a root of A. Since λ 0 is isolated, there exists ρ > 0 such that (80)

g α (z) = 0, ∀z ∈ C, such that 0 < |z -λ 0 | < ρ.
Now, g α is a continuous function. Indeed the functions λ → λ 3 , λ → sin(λ) and λ → sinh(λ) are continuous functions on C. As for µ, it is the root of the second degree equation:

(81) µ 2 + bµ + aλ 4 = 0.
Thus it is a continuous function of the coefficients of this equation i.e. a continuous function of the variable λ.

Setting D = {z ∈ C, such that |z -λ 0 | = ρ}, the continuity of g α implies that there exists a positive real number κ such that |g α (z)| ≥ κ, ∀z ∈ D.

For a fixed positive real number ǫ 0 , we consider the mapping of two variables

(82) H : [0, ǫ 0 ] × D → C : (ǫ, z) → g α+ǫ (z) -g α (z).
Since it is a uniformly continuous function and since H(0; z) = 0 for all z ∈ D, we deduce the existence of a positive real number δ such that

(83) |H(ǫ, z)| < κ, ∀(ǫ, z) ∈ [0; δ] × D.
The last two estimates imply that (84)

|g α+ǫ (z) -g α (z)| < |g α (z)|, ∀(ǫ, z) ∈ [0; δ] × D.
Hence Rouché's theorem allows to conclude that g α+ǫ has the same number of roots as g α for all ǫ ∈ [0; δ]. Thus the root λ of g α is a continuous function of α and, by composition, µ is also a continuous function of α.

To finish with the proof, note that, when α tends to zero, αb < 6 then µ + b = 0 and the characteristic equation (51) becomes: sin(λ) sinh(λ) = 0. Thus λ tends either to (nπ) or to (inπ) with n ∈ Z * . If it tends to (nπ) for example, sin(λ) tends to zero and the eigenfunction tends to:

(85) lim λ→nπ φ(λ, x) := 1 n 2 π 2 • e nπ(ξ-2) sinh(nπ) sin(nπ(1 -ξ)) sin(nπx).

Indeed the other terms tend to zero since sin(λ) tends to zero and the following two expressions are bounded with λ:

(86)      1 |λ| 2 • e (ξ-2)|λ| sinh(λ)[sin(λ(x -ξ)) -sinh(λ(x -ξ))] • H(x, ξ) 1 |λ| 2 • e (ξ-2)|λ| sinh(λ(1 -ξ)) sinh(λx).
And if λ tends to (inπ), sinh(λ) tends to zero and the eigenfunction tends to:

lim λ→inπ φ(λ, x) := 1 n 2 π 2 • e nπ(ξ-2) sin(inπ) sinh(inπ(1 -ξ)) sinh(inπx) = -i 1 n 2 π 2 • e nπ(ξ-2) sinh(nπ) sin(nπ(1 -ξ) sin(nπx).
(87) Indeed the other terms tend to zero since sinh(λ) tends to zero and the following two expressions are bounded with λ:

(88)      1 |λ| 2 • e (ξ-2)|λ| sin(λ)[sin(λ(x -ξ)) -sinh(λ(x -ξ))] • H(x, ξ) 1 |λ| 2 • e (ξ-2)|λ| sin(λ(1 -ξ)) sin(λx).
Hence the announced result concerning the eigenfunctions.

Localization of the eigenvalues of the operator A for small values of α

The aim of this Section is to determine the localization of the eigenvalues of the operator A for small values of α compared with the case α = 0 already studied in [START_REF] Ammari | The rate at which energy decays in a viscously damped hinged Euler-Bernoulli beam[END_REF] and recalled in Theorem 4.2.

Theorem 5.1 (Localization of the eigenvalues of the operator A for small values of α) Let A be the operator defined by ( 11) and ( 12) in Section 2 with ξ / ∈ Q. Denote by µ an eigenvalue of A.

The case α = 0 is already known (cf. Theorem 4.2). If b ≤ 2 √ aπ 2 , then

(89) sup µ∈σ(A) ℜ(µ) = - b 2 . If b > 2 √ aπ 2 , then (90)
sup µ∈σ(A) ℜ(µ) = 1 2 (-b + b 2 -4aπ 4 ).
Now, for any ǫ > 0, there exists α 0 such that, if

0 < α < α 0 , it holds: if b ≤ 2 √ aπ 2 , then (91)
ℜ(µ) ≤ - b 2 + ǫ. If b > 2 √ aπ 2 , then (92)
ℜ(µ) ≤ 1 2 (-b + b 2 -4aπ 4 ) + ǫ.
Now, it holds, for all 1 ≤ n ≤ n 0 :

(99)

-b < 1 2 (-b-b 2 -4aπ 4 ) < 1 2 (-b-b 2 -4an 4 π 4 ) < - b 2 < 1 2 (-b+ b 2 -4an 4 π 4 ) < 1 2 (-b+ b 2 -4aπ 4 ) < 0.
Thus, for all n ≥ 1 and α sufficiently small:

(100) ℜ(µ ± n ) < 1 2 (-b + b 2 -4aπ 4 ).
Note that, if ξ belonged to Q, there would exist (m, n) ∈ (N * ) 2 such that ξ = m n and sin(2nπξ) would vanish (as well as sin(2knπξ) for k ∈ Z). More calculations would be required to get the third (at least) degree Mac Laurin polynomials of the functions involved in the characteristic equation since the second degree term for λ and for µ n also vanishes.

Remark 5.2 (Case β > 0) The first-degree Taylor polynomial linear approximation of ℜ(µ ± n ) if we add the term βδ ξ to get Problem ( 4)-( 6) contains the additional term:

(101) ±2 sin 2 (2nπξ) √ b 2 -4an 4 π 4 • β.
Note that the real part of the eigenvalues µ + n is larger than that of the same eigenvalues with β = 0. This confirms what we said in the introduction: the stiffness term does not improve the decreasing of the energy. If the SMA cables restrain the vibrations of girder bridges, it only comes from the damper term αu t δ ξ . All that is true if sin 2 (2nπξ) does not vanish, which happens for some values of ξ. That is why this result does not contradict the experiments of [START_REF] Liu | A Method of Reinforcement and Vibration Reduction of Girder Bridges Using Shape Memory Alloy Cables[END_REF].

Energy decreasing

Ψ ± n := 1 n 2 π 2 e nπ(ξ-2) sinh(nπ) sin(nπ(1 -ξ)) sin(nπx)(1, µ ± ) (respectively by (103) Ψ ± n := -i 1 n 2 π 2 e (ξ-2)|λ| sin(nπ) sin(nπx)(1, µ ± )).
Theorem 6.2 (Riesz basis for the operator A) Let Φ(µ, •) still be defined as in Theorem 4.2 and Ψ ± n given by the above definition. There exists n 0 ≥ 1, such that

(104) |n|≥n0 Φ(µ, •) -Ψ ± n 2 H < ∞.
Thus, the root eigenvectors of A form a Riesz basis of H.

Proof. First the Ψ ± n form an orthogonal basis (see [START_REF] Ammari | The rate at which energy decays in a viscously damped hinged Euler-Bernoulli beam[END_REF]).

The inner product in H has two terms. Since the eigenvector Φ(µ, •) is defined as Φ(µ, •) := (φ(λ, •)(1, µ) and since µ has the same behaviour as λ 2 for large values of λ, it is enough to consider the first term in the inner product. Now the eigenfunction defined by ( 52) is made of three terms. Let us start with the third one. The second one is analogous with easier calculations. That is why we do not give details for this second term. Let us prove that, if λ → nπ (n ∈ N * ), then

1 0 e (ξ-2)|λ| sin(λ) sinh(λ(1 -ξ)) sinh(λx) + e (ξ-2)nπ sin(nπ) sinh(nπ(1 -ξ)) sinh(nπx) 2 dx = O 1 n 2 . ( 105
)
The integrand is of the form

|A • B -A 0 • B 0 | 2 ≤ 2|A -A 0 | 2 • |B| 2 + 2|A 0 | 2 • |B -B 0 | 2 with (106) |A 0 | 2 := |e (ξ-2)nπ sin(nπ) sinh(nπ(1 -ξ))| 2 = O e -2nπ .
Since, for x ∈ (0; 1), sinh(λx) = O e 2|ℜ(λ)| = O e 2nπ (cf. proof of Proposition 4.5 about the large eigenvalues), it holds:

(107)

1 0 |B| 2 := 1 0 |sinh(λx)| 2 dx = O e 2nπ .
Thus it is enough to show the following two estimates:

|A -A 0 | 2 := e (ξ-2)|λ| sin(λ) sinh(λ(1 -ξ)) -e (ξ-2)nπ sin(nπ) sinh(nπ(1 -ξ)) 2 = O 1 n 2 e -2nπ (108) (109) 1 0 |B -B 0 | 2 := 1 0 |sinh(λx) -sinh(nπx)| 2 dx = O 1 n 2 e 2nπ .
Coming back to the definition of the trigonometric functions, it holds:

(110) sin(λ) -sin(nπ) = 1 2i (e iℜ(λ) e -ℑ(λ) -e inπ ) -(e -iℜ(λ) e ℑ(λ) -e -inπ ) .

Then, using the mean-value Theorem as well as the asymptotic behaviour of the difference (λ -nπ) obtained in the proof of Proposition 4.5 about the large eigenvalues:

(111)

e iℜ(λ) e -ℑ(λ) -e inπ 2 = e iℜ(λ) -e inπ + e -ℑ(λ) -1 • e iℜ(λ) 2 ≤ 2 e -ℑ(λ) -1 2 + 2 |cos(ℜ(λ)x) -cos(nπ) + i (sin(ℜ(λ)) -sin(nπ))| 2 ≤ 2 e -ℑ(λ) -1 2 + 2 (cos(ℜ(λ)) -cos(nπ)) 2 + 2 (sin(ℜ(λ)) -sin(nπ)) 2 ≤ C 2 0 n 2 exp 2 C 0 n + o(1/n) + 4 (ℜ(λ) -nπ) 2 = O 1 n 2 . Now (108) is of the form |E • F -E 0 • F 0 | 2 ≤ 2|E -E 0 | 2 • |F | 2 + 2|E 0 | 2 • |F -F 0 | 2 with (112)                  |F -F 0 | 2 := e iℜ(λ) e -ℑ(λ) -e inπ 2 = O 1 n 2 |E 0 | 2 := e (ξ-2)nπ sinh(nπ(1 -ξ)) 2 = O e -2nπ |E -E 0 | 2 := e (ξ-2)|λ| sinh(λ(1 -ξ)) -e (ξ-2)nπ sinh(nπ(1 -ξ)) 2 = O e -2nπ | sin(λ)| 2 = sin nπ + O 1 n 2 = (-1) n sin O 1 n 2 = O 1 n 2 .
Hence (108). Analogously, it holds:

(113) sinh(λx) -sinh(nπx) = 1 2 (e ℜ(λ)x e iℑ(λ)x -e nπx ) -(e -ℜ(λ)x e -iℑ(λ)x -e -nπx ) .

Using once more the mean-value Theorem as well as the asymptotic behaviour of the difference (λ-nπ) obtained in the proof of Proposition 4.5 about the large eigenvalues:

(114)

e ℜ(λ)x e iℑ(λ)x -e nπx 2 = e ℜ(λ)x -e nπx + e iℑ(λ)x -1 • e ℜ(λ)x 2 ≤ 2 e ℜ(λ)x -e nπx 2 + 2e 2ℜ(λ)x (cos(ℑ(λ)x) -1) 2 + sin 2 (ℑ(λ)x) ≤ 4 C 2 0 n 2 exp 2 nπ + C 0 n + o(1/n) = O 1 n 2 e 2nπ .
Hence (109).

The first term of the eigenfunction has to be considered. Finally, the energy is proved to decay exponentially and the localization of the eigenvalues for small values of α leads to a lower bound for the decay rate in that case. This bound is the optimal decay rate obtained for α = 0 in [START_REF] Ammari | The rate at which energy decays in a viscously damped hinged Euler-Bernoulli beam[END_REF] which means that the decay rate for small values of α > 0 is equal to that with α = 0 (i.e. without SMA cables). SMA cables do not restrain the vibrations of girder bridges if α is close to zero. This is not in contradiction with the experiments of [START_REF] Liu | A Method of Reinforcement and Vibration Reduction of Girder Bridges Using Shape Memory Alloy Cables[END_REF] but it means that the simple fact of adding SMA cables may not be enough. Theorem 6.3 (Exponential stability and decay rate for small values of α) System (1)-(3) (presented in the introduction) is exponentially stable and, for any ǫ > 0, there exists α 0 such that for any 0 < α < α 0 , for any solution U of (13) with initial data U 0 ∈ D(A), there exist constants C > 0 and ω 0 (ǫ) < 0 depending on a, b and α such that:

E(t) ≤ Ce 2ω0(ǫ)t U 0 2 D(A) , ∀t > 0,
where E(t) is defined by ( 7) and Proof. According to Theorem 6.2, the system of eigenvectors of A constitutes a Riesz basis. Consequently, by a standard argument (see the proof of Theorem 2.5 of [START_REF] Ammari | The rate at which energy decays in a viscously damped hinged Euler-Bernoulli beam[END_REF] for example), the optimal energy decay rate is identified with the supremum of the real part of the eigenvalues of A.

Thus the result follows from Theorem 5.1.

Remark 6.4 (Case α = 0)

In [START_REF] Ammari | The rate at which energy decays in a viscously damped hinged Euler-Bernoulli beam[END_REF] the systems of eigenvectors of A and A 0 (obtained with α = 0) are proved to be quadratically close in V × L 2 (0, 1) using the explicit expression of the eigenfunctions of both operators. Thus, it follows from Theorem 3 in Appendix D of [START_REF] Pöschel | Inverse Spectral Theory[END_REF], that the system of eigenvectors of A 0 constitutes a Riesz basis. Consequently, by a standard argument (see the proof of Theorem 2.5 in [START_REF] Ammari | The rate at which energy decays in a viscously damped hinged Euler-Bernoulli beam[END_REF]), the optimal energy decay rate is identified with the supremum of the real part of the eigenvalues of A 0 . With the notation of Theorem 6.3, it means that ω = ω 0 (0) when α = 0.

Conclusion

One could have thought that adding the damping term αδ ξ u t , α > 0 would logically increase the decay rate of the energy compared with the case α = 0 already studied by Ammari, Dimassi and Zerzeri in [START_REF] Ammari | The rate at which energy decays in a viscously damped hinged Euler-Bernoulli beam[END_REF].

In fact this is not obvious. If α is small, we have proved that the decay rate does not change. Is it clear that it will increase with α? This is not clear either.

As announced in the introduction, let us prove that, if α = 0, increasing the value of b may not increase the decay rate of the energy. Indeed, in that situation, the energy decreases exponentially and the decay rate is given by the maximum of ℜµ + n which is In conclusion, the decay rate of the energy may be better with α > 0 (with α large enough) than with α = 0 i.e. Shape Memory Alloy cables may restrain the vibrations of girder bridges effectively.

The experiments of [START_REF] Liu | A Method of Reinforcement and Vibration Reduction of Girder Bridges Using Shape Memory Alloy Cables[END_REF] would be confirmed mathematically if we were able to prove that there exist α > 0, β > 0, ξ ∈ (0; 1) and ω 1 (α, β, ξ) < ω 0 (0), such that all the roots of the characteristic equation (68) are such that the corresponding µ's satisfy ℜ(µ) ≤ ω 1 (α, β, ξ). We conjecture that this requires a value for ξ which is excluded in our theorems.

Remark 2 . 1

 21 The norm (U, U )

Theorem 2 . 3 (

 23 Existence and uniqueness) (1) If U 0 ∈ D(A), then system (13) has a unique strong solution

Theorem 2 . 4 (

 24 Strong stability)System (1)-(

  First we still denote by u the function defined by (38) u(x) := 0, ∀x < 0 and x > ξ u(x), ∀x ∈ (0; ξ).

Lemma 4 . 1 (

 41 Is µ = -b an eigenvalue of A?)

  ) with H(x, ξ) the Heaviside step function at ξ. Denote by r = r(a, b) the real positive number such that r 4 = b 2 4a . Then, if (53) α = -4ar 3 sinh(r) sin(r) b[sinh(r) sin(rξ) sin(r(ξ -1)) -sin(r) sinh(rξ) sinh(r(ξ -1))]then µ = -b/2 is an eigenvalue of A with algebraic multiplicity at least 2 and its geometric multiplicity is 1.

Remark 4 . 4 (

 44 Case β > 0) The eigenfunctions of Problem (

1 0e

 1 Since | sin(λ)| 2 = O 1 n 2 and e (ξ-2)|λ| sinh(λ) sinh(λ(x -ξ))H(x, ξ) 2 = O(1) for x > ξ, it holds, if λ → nπ (n ∈ N * ): (ξ-2)|λ| sin(λ) sinh(λ) sinh(λ(x -ξ))H(x, ξ)

b 2 -

 2 4aπ 4 ) + ǫ, if b > 2 √ aπ 2 .

+ b 2 -4an 4 π 4 = -2an 4 π 4 b + √ b 2 - 4 b + b 2 -4an 4 0 π 4 , n = 1 , 2 ,

 2424412 4an 4 π 4 , n = 1, 2, . . . , n 0 where b ∈ R + * -{2 √ an 2 π 2 , n ∈ Z * } and n 0 is such that 2 . . . , n 0and the last bound tends to zero, if b tends to +∞.

Acknowledgements. Thanks to S. Nicaise who suggested this problem to me as well as the reflection around the fact that increasing the value of b when α = 0 may not increase the decay rate. I would like to dedicate this paper to D. Mercier with whom I have enjoyed doing mathematics for so many years. I wish him a happy retirement!

Proof. Since the study is restricted here to the case of the small non-vanishing values of α, the eigenvalues µ of the operator A are known to be such that the corresponding λ's satisfy λ / ∈ {kπ, k ∈ Z}, λ / ∈ {ikπ, k ∈ Z} and the characteristic equation:

The first remark is that this equation is invariant under the transform λ → iλ so it is enough to consider

In order to compute the first degree Mac Laurin polynomial for the function λ(α) i.e. to find λ 1 such that λ = nπ + λ 1 α + o(α) around the value α = 0, we write all the first degree Mac Laurin polynomials for the functions involved in equation ( 93) as functions of λ around λ = nπ (n ∈ N * ):

(94)

Inserting all these results into the characteristic equation (93) leads, for n such that n > n 0 , to:

(96)

At last, λ = nπ + λ 1 α + o(α) is put into the expression of µ ± n , which leads after some calculations to:

(97)

The real part of µ ± n is:

The eigenvalues of A for small positive values of α and large values of n are on the left of those we have for α = 0 (whose real part is -b/2).

As for the case of small values of n (1


Gertrudis Van De Vijver

Franc ROTTIERS Ariane Bazan

Franc Rottiers

John Gilbert

Enactivisme

Gertrudis Van De Vijve

John Gilbert Resume

Enactivisme et internalisme: de l'ontologie à la clinique

Keywords: énactivisme, internalisme, externalisme, psychopathologie, métaphysique, constitution, perception, ontologie, philosophie critique enactivism, externalism, psychopathology, metaphysics, constitution, perception, ontology, critical philosophy

Le but de cet article est de cerner au plus près l'enjeu de la « querelle onto logique » entre énactivisme et internalisme, à partir de deux types de questionnement, l'un métaphysique et l'autre clinique. Pour ce qui concerne le volet métaphysique, notre propos est de comprendre la portée des distinctions conceptuelles à partir des positionnements ontologiques fondamentaux en jeu. Nous en avons délimité deux : d'une part la question ontologique peut être considérée « décidable » à partir du schéma conceptuel, d'autre part la question ontologique exige une clarification et une explicitation de la nature et la signification de « ce qui est » à partir des conditions de possibilité (i.e. processus de différentiation, de constitution) considérées comme pertinentes. Nous avons situé l'énactivisme plus proche de ce dernier point de vue, plus proche aussi des soucis de constitution caractéristiques de la philosophie critique. Le volet clinique se propose de voir de manière plus concrète ce qui peut être constitutif de la perception à partir de trois cas cliniques. Le premier cas illustre une étonnante résonance entre la systématique du comportement du patient et le dispositif expérimental de Lenayen particulier à propos de ce qui est nommé 'le balayage'. Le second cas offre une voie de sortie par rapport à la critique que Jacob adresse à l'énactivisme: alors que la critique dénonce le contresens entre le modèle énactiviste et l'atténuation structurelle du retour sensoriel, le cas montre comment cette atténuation pourrait au contraire être essentielle à la constitution normale de la perception. Un troisième cas clinique permet alors de saisir le rôle constitutif de ces deux dynamiques de constitution, c'est-à-dire le balayage et l'atténuation, au niveau de la perception du langage.

QUESTIONS DE LIMITES, QUESTIONS ONTOLOGIQUES

Il est vrai que la conception énactive de la perception est souvent présentée par ses partisans comme ayant des conséquences ontologiques radicales sur la nature et le contenu de l'expérience visuelle (cf. Jacob, p. 13). Qui plus est, l'énactivisme aurait des conséquences radicalement différentes de, et à maints égards incompatibles avec une conception « classique », cognitiviste ou internaliste de la perception. Si la position internaliste (cartésienne) considère que « la nature et le contenu de tout état psychologique d'un individu dépendent des seules ressources mentales intrinsèques à cet individu et sont indépendants à la fois de son corps et de son environnement » (Jacob, p. 13), la position énactiviste considérera que les états psychologiques, les contenus des expériences psychologiques, s'individuent de manière différente, notamment à partir de « l'activité exploratoire de l'environnement » (Jacob, p. 14), c'est-à-dire du corps et, le cas échéant, de prothèses appropriées, visuelles ou autres. La querelle entre internalisme et externalisme, ou entre un cognitivisme inter naliste et un énactivisme externaliste serait donc avant tout une querelle ontologique autour des « principes d'individuation de la nature et du contenu des états psychologiques » (Jacob, p. 14). Cette querelle porterait en premier lieu sur le statut du corps, qui est selon les énactivistes une instance active et exploratrice tourné vers un environnement, une source d'expérience et de savoir ayant des implications non-négligeables au niveau de nos perceptions et de nos représentations, tandis que pour les cognitivistes internalistes, la perception (ou la cognition) se laisserait aborder de manière adéquate et valable au niveau proprement computationnel ou représentationnel, sans qu'une interférence significative est à espérer au niveau de l'action du corps. Dans le dernier cas, des distinctions fondamentales sont faites entre percevoir comme « l'enregistrement d'un fait », l'intention d'agir et l'action proprement dite (cf. Jacob, p. 12). Ces distinctions risqueraient de s'estomper dans une vision où la perception est vue comme une action, dans la mesure où l'action couvrirait à la fois et de manière confuse ces trois registres.

Il n'est pas notre intention d'entrer dans la technicité du débat concernant le statut de l'énactivisme ou de la distinction entre internalisme et externalisme. Toutefois, il nous semble important d'essayer de cerner de plus près l'enjeu de la dite « querelle ontologique ». En particulier la question d'où, de quel point de vue, au nom de quoi, les distinctions sont faites reste pour nous quelque peu énigmatique. Déjà, il ne nous semble pas évident de considérer un cadre ontologique, et une éventuelle querelle venant des incompatibilités à ce niveau, simplement à partir du statut des entités individuées. Nous savons bien que dans la tradition analytique, en particulier depuis l'article de Quine sur l'ontologie, « On what there is » (1948), la question ontologique s'inscrit largement dans le registre sémantique : il ne s'agit pas de déterminer ce qui est, il s'agit de déterminer ce que le cadre conceptuel dit ce qui est1 . A ce niveau-là, il peut sembler que les incompatibilités sont évidentes : dans l'internalisme les états psychologiques se laissent individuer au niveau computationnel/représentationnel, tandis que dans l'externalisme cette individuation se fait (aussi) à partir du corps sensori-moteur. Mais est-ce que l'enjeu ontologique ne se situe qu'à ce niveau-là ? Audelà des divergences conceptuelles apparentes, il est en effet frappant de noter comment dans l'article de Jacob et dans les textes de Noë qu'il cite, les deux positions sont traitées à partir d'un seul et même cadre où « règne » déjà une distinction, de manière tacite, entre interne et externe, entre corps et esprit, ou entre action et représentation.

Prenons, par exemple, l'idée de l'externalisme du véhicule. Noë (2004, p. 50) soutient que « il n'est pas besoin de re-présenter le monde sur son disque dur interne », ou encore (cf. Jacob, p. 15) que « notre sens perceptif de la présence des détails dans une scène visuelle n'exige pas la construction (ou Van de Vijver, G., [START_REF] Van De Vijver | Enactivisme et internalisme : de l'ontologie à la clinique[END_REF] Enactivisme et internalisme : de l'ontologie à la clinique. Intellectica 43/1, 93-103. l'hypothèse) d'une représentation interne détaillée ». D'où l'idée de « l'externalisme du véhicule » : tout ne doit pas être à l'intérieur du moment qu'une partie peut être mise au compte du véhicule extérieur. Mais qu'est-ce qui est « véhiculé » dans une telle approche ? Non seulement il devient clair que ce qui est interne et externe a déjà été décidé d'une certaine manière, même si la décision ellemême reste largement implicite. De plus, il s'avère qu'une telle distinction est soutenue en termes de « plus ou moins » : une représentation interne détaillée n'est pas nécessaire dans la mesure où le véhicule externe fait l'affaire.

Autre exemple : la discussion que développe Pierre Jacob sur la différence entre dépendance causale et dépendance constitutive (p. 14). Sans nous arrêter sur la façon problématique dont le terme « constitution » est ici utilisé, ce qui est « véhiculé » dans cette distinction est une certaine forme de réalisme selon lequel « les livres, les maisons d'édition, les bibliothèques, les ordinateurs et les centrales électriques » peuvent être considérés comme faisant partie du contenu de certaines croyances, en vertu du fait que ces objets font partie de la chaîne causale impliquée dans la formation des croyances. Toutefois, d'autres objets n'en font apparemment pas partie. En effet, quand Jacob, suivant ici Rowlands, traite du contenu des croyances sur les virus il dit la chose suivante (p. 14) : « (…) on aurait tort de soutenir, par exemple, que les microscopes sont constitutifs du contenu des croyances sur le virus (ou de la signification du mot français « virus ») à partir du fait qu'ils contribuent efficacement à former des croyances sur les virus. » A partir de quel critère sera-t-il alors décidé si oui ou non un objet fera partie de manière significative d'une chaîne causale menant à des contenus de croyances ? Est-il si évident d'exclure le microscope, ou le stylo et le papier, en tant que choses contribuant potentiellement à la constitution d'un objet (scientifique ou autre) ? Manifestement, le virus, comme beaucoup d'autre choses sur lesquelles il semble y avoir un accord « évident », est quelque chose « out there », quelque chose qui se laisse sans doute aborder de différentes manières, par microscope, stylo ou papier, mais dont « l'objectivité » est assuré en définitive indépendamment des manières et moyens utilisés pour l'approcher.

Nous mettons en question précisément ce genre d'évidence et d'objectivité qui est véhiculé ici. Notre propos concerne donc bien la question ontologique et une divergence fondamentale s'annonce entre d'une part ceux qui semblent considérer que la question ontologique est « décidable » à partir du schéma conceptuel, ou au contraire ceux qui soutiennent que « ce qui est » concerne bien d'une certaine manière ce qui est déjà en jeu, mais dont il s'agit de clarifier et d'expliciter la nature et la signification à partir de conditions de possibilité considérés comme pertinentes.

En ce qui concerne le premier point de vue, il s'est avéré, à travers la philosophie analytique, la philosophie de l'esprit, le cognitivisme, etc., que ce qui est en jeu au niveau ontologique est très souvent une conception du « sens commun » de ce qui est ou n'est pas, conception dont on peut se demander si elle ne repose pas plus sur le « bon sens », c'est-à-dire sur des accords ou désaccords sociaux et sur des mécanismes de consolidation de groupe que sur des arguments philosophiques. Wittgenstein le soulignait déjà, de manière provocatrice, en défiant Moore et Russell de « prouver qu'il n'y a pas de rhinocéros dans la salle ». Ce sur quoi il mettait le doigt avec cette provocation, était une certaine forme de réalisme du « common sense » dont Russell et Moore partageaient l'intuition, dans la mesure où ils avaient tendance à traiter l'argument selon lequel il n'y a « manifestement » pas de rhinocéros dans la salle, comme argument philosophique. Wittgenstein mettait en doute précisément la valeur philosophique de cet argument.

Le point de vue alternatif se démarque nettement d'un point de vue réaliste en tâchant de prendre en compte et d'articuler l'idée que « ce qui est » n'est jamais donné ou évident, mais est au contraire toujours « mené à être ». Ce qui est évident, n'est pas -précisément dans la mesure où il s'agit d'une évidence. Par exemple, la question que [START_REF] Husserl | Testing Freud's Hypothesis that Word Forms and Word Meanings are Functionally Distinct in the Unconscious: Subliminal Primary Process Cognition and its Links to Personality, Neuro-psychoanalysis[END_REF][START_REF] Husserl | Testing Freud's Hypothesis that Word Forms and Word Meanings are Functionally Distinct in the Unconscious: Subliminal Primary Process Cognition and its Links to Personality, Neuro-psychoanalysis[END_REF]) se pose dans L'origine de la géométrie, concerne la façon dont un objet mathématique est « mené à être » en tant qu'objet. Il décrit ce Van de Vijver, G., [START_REF] Van De Vijver | Enactivisme et internalisme : de l'ontologie à la clinique[END_REF] Enactivisme et internalisme : de l'ontologie à la clinique. Intellectica 43/1, 93-103. processus à travers différentes phases ou étapes, parmi lesquelles il considère l'écrit (« le stylo et le papier »), comme constitutif de cette objectivité. Dans une telle approche, il n'est donc pas évident de considérer l'écrit comme quelque chose de négligeable, comme il n'est sans doute pas évident de considérer le microscope comme non constitutif du virus en tant qu'objet scientifique.

De manière générale, le deuxième point de vue considère que tout questionnement ontologique doit entraîner une confrontation de la raison avec sa propre historicité, et que toute science doit donc assumer l'historicité de son objet. C'est là l'enjeu central d'une approche critique en philosophie. « Ce qui est » n'est pas donné de manière anhistorique, mais peut par contre acquérir un statut d'existence à l'intérieur d'une activité signifiante qui s'est déployée dans le temps. La question ontologique est alors prise dans un projet où l'instance signifiante (ou raisonnable) examine à chaque fois sa propre validité en s'affrontant à sa propre historicité. Par conséquent, si interne et externe, corps et esprit, activité et passivité sont différenciés, l'approche critique entraînera un questionnement des processus de différentiation qui ont été en jeu pour en arriver à ces distinctions. Elle demandera donc une explicitation des conditions dans lesquelles ces termes ont acquis une signification. Cette explicitation peut très bien se faire à différents niveaux, au niveau sensitif, représentationnel, symbolique. Une telle approche pourrait même en un sens être appelée véritablement énactiviste, dans la mesure où les processus d'explicitation décrits ci-dessus sont bien des formes d'activité qui en tant que telles priment sur les résultats de ces activités. La discussion que développe Jacob, à partir de sa lecture des textes de Noë, démontre toutefois qu'il n'est pas facile pour l'énactivisme d'éviter l'écueil cartésien et qu'il n'est certainement pas suffisant de s'en tenir à promouvoir au niveau conceptuel l'idée du corps, de l'action ou de la sensori-motricité du corps.

Comment alors articuler une position qui tienne compte de ce qui est du corps ou de l'activité corporelle sans être pris de manière implicite dans le schéma cartésien? Qui plus est, comment tracer des lignes de recherche qui seraient plus proches de l'idée que tout ce qui est, soit au niveau de ce qu'on appelle le corps, soit au niveau de ce qu'on appelle l'esprit, est le résultat d'un processus dynamique qui mène à cette différentiation? Nous parlions de la distinction entre corps et esprit, mais nous aurions tout aussi bien pu prendre comme exemple celle entre sujet et objet, entre forme et contenu, entre intérieur et extérieur, ou entre activité et passivité. De manière abstraite, il s'agit à chaque fois de comprendre ces distinctions à partir des processus de différentiation dont elles sont issues comme ces distinctions-là. L'idée que le corps en tant qu'instance active au niveau sensorimoteur ait un impact sur les processus cognitifs, représentationnels ou computationnels, demande donc une clarification ou une explicitation du point de vue à partir duquel à la fois le corps et la cognition acquièrent un sens. La question centrale dans une démarche dynamique et critique, devient donc celle du point de vue à partir duquel les distinctions acquièrent un sens. Sans doute la manière la plus appropriée pour aborder cette idée de point de vue, la meilleure façon de révéler les points implicites à l'oeuvre dans les distinctions que nous venons de décrire, est de partir de conditions dynamiques et historiques autres, c'est-à-dire autres que purement conceptuelles ou philosophiques. C'est ce que nous proposons de faire dans la deuxième partie de ce commentaire, en prenant appui dans l'article de Charles Lenay d'une part, et dans quelques fragments cliniques d'autre part. Ce qui motive ce dernier choix, est l'idée que ce qui se présente dans la clinique a un potentiel de surprise, de choc même, par rapport aux distinctions conceptuelles qui nous bercent quotidiennement. Ce que nous discuterons en particulier, c'est le fait que la distinction entre interne et externe requiert chez certains sujets un effort tellement éloigné de ou étrange par rapport à cette évidence quotidienne, que s'ouvre à nous une autre perspective sur ce que peut vouloir dire un processus actif et articulé dans lequel quelque chose de l'ordre de l'objet (l'extérieur) est activement différencié, délimité, détaché même du sujet (intérieur), une autre perspective donc sur un processus par lequel une expérience « se fait » intentionnelle tout en délimitant, détachant sujet et objet.

Van de Vijver, G., [START_REF] Van De Vijver | Enactivisme et internalisme : de l'ontologie à la clinique[END_REF] Enactivisme et internalisme : de l'ontologie à la clinique. Intellectica 43/1, 93-103.

POINTS DE VUE : LA CLINIQUE ET L'EXPERIMENTATION

Grâce à son dispositif expérimental Lenay en vient à qualifier la perception comme « l'apparaître des objets dans une extériorité » et le mouvement actif du sujet comme ce qui permet de constituer « un espace de perception » sans quoi non seulement les capacités de discrimination du sujet restent très limitées, mais encore « les stimuli demeurent perçus à la surface de la peau » (p. 28).

Mettons en parallèle ces qualifications avec quelques observations cliniques avec des patients psychotiques.

Un premier patient, R.V., 45 ans fait preuve d'un comportement curieux : il semble ne pas pouvoir avancer de trois pas sans devoir en refaire deux en sens arrière, il ne peut ouvrir une porte sans la refermer, pour la rouvrir ensuite, la refermer un peu, l'entrouvrir, la refermer etc. Fréquemment, il fait et défait, complètement ou bien partiellement et à plusieurs reprises, certains de ses gestes, tant dans le sens avant que dans le sens arrière. Non seulement il en est ainsi de tous ses mouvements ambulatoires et gestuelles propres, qui plus est, il demande fréquemment à ceux qui l'entourent d'en faire autant : de revenir sur leurs pas, de faire en sens inverse le geste de la main ou de la tête qu'ils viennent de faire, de refermer le livre qu'ils viennent d'ouvrir, etc.

En session, il donne l'explication suivante à son comportement : il souffre de 'sensations pénétrantes' (en Flamand : 'indringende gevoelens'), c'est-à dire que le monde lui tombe dessus et lui colle à la peau : il a l'expérience que les autres personnes présentes dans les couloirs ou dans les salles et qu'il aperçoit s'avancer au loin, l'envahissent, viennent sur lui, viennent en lui, que la chaise sur laquelle il s'assied, rentre en lui. En d'autres termes, il ne parvient pas, d'ordinaire, à avoir (à créer ?) l'expérience de distance, ou encore, pour reprendre les termes de Lenay, les stimuli demeurent perçus à la surface de la peau, pénétrant la surface de la peau.

En session, R.V. ajoute de plus que les mouvements des autres (personnes, choses) lui causent des 'pétillements sur la rétine' ('knetteringen op het netvlies') et que ces pétillements sont la cause directe et unique de 'pensées indésirables'. Si tout était immobile, dit-il, il n'aurait pas de problèmes. Quelques exemples de telles 'pensées indésirables' : 'une aiguille dans mon oeil', 'la désintégration de mon appareil photo quand G.C. passait au niveau de l'armoire dans le premier living', 'mon oeil aspiré', 'un pénis à travers mon couteau', 'mon muscle pectoral déchiré quand P.L. passait dans le couloir', 'mes entrailles sorties quand C.C. passait au niveau de l'ancienne laverie', 'quand J.D. allait de l'endroit où pend l'ouvre-boîte à sa chaise, mes couilles décrochées ou fondues', 'quand le commandant des pompiers allait à la ferme, mon gros intestin un peu déchiré' etc. (témoignages écrits datant du 11. 09.1995 au 21.11.1998).

Pour être quitte de ses pensées, les gens concernés doivent défaire les mouvements qui sont à l'origine de ses pensées indésirables, c'est-à-dire que G.C., par exemple, doit rebrousser chemin à partir de l'armoire dans le premier living, J.D. doit aller de sa chaise à l'endroit où pend l'ouvre-boîte en marche arrière etc. Si d'aventure la personne concernée accepte de faire le mouvement inverse, R.V. fixe avec attention cette manoeuvre, puis baisse la tête en fermant les yeux de façon crispée, semble se concentrer un moment, puis relève la tête, et il semble qu'il soit quitte de la pensée indésirable. Cela ne signifie pas pour autant qu'il n'y ait plus accès : quand on la lui demande, il est toujours en état de la donner. Simplement, il semble ne plus être poursuivi par elle. Dans le cas (fréquent) où les gens concernées refusent (lassés) de défaire le mouvement, il semble que R.V. ne puisse se défaire de la pensée indésirable. Les pensées indésirables s'accumulent alors à différents endroits. Il dit ainsi qu'il n'est pas encore prêt à quitter le département dans l'institut psychiatrique où il réside (pour un autre département) car « il y a encore tant de pensées à défaire ».

Un autre patient, C.V., 40 ans, fonctionne relativement bien en groupe, mais souffre du fait qu'il doit investir une quantité énorme de temps et d'énergie à contre-penser une masse de pensées qui lui Van de Vijver, G., [START_REF] Van De Vijver | Enactivisme et internalisme : de l'ontologie à la clinique[END_REF] Enactivisme et internalisme : de l'ontologie à la clinique. Intellectica 43/1, 93-103. rendraient la vie impossible. En session, il rend compte de ce qu'il vit : quand il perçoit le monde, son vécu est envahi par les détails de cette perception. C'est-à-dire, s'il se laissait aller, il serait rapidement englouti par le pointillé du papier peint, par les dessins dans le bois, par les irrégularités dans le dessin du sol, par les lignes des contours des meubles, etc. -et en particulier par toute asymétrie, irrégularité ou par tout dépassement. Ces asymétries et imperfections sont de véritables menaces pour son attention ; elles sont capables d'envahir tout son espace mental et de le mener de question en question : « D'où vient cette asymétrie, qui l'a produite, pourquoi, quel était le motif de celui qui l'a produite ? ». Cet état des choses oblige C.V. à investir de façon structurelle dans son programme journalier une quantité de temps dédiée à l'activité de contre-penser. Il se fatigue mentalement tant du fait de devoir contre-penser sa perception, qu'il n'est plus capable de libérer de l'énergie pour les tâches simples de la vie et n'est plus capable de vivre une vie autonome.

Ce qu'il y a de commun dans les cas de R.V. et de C.V., est leur obligation à investir des moyens mentaux et/ou physiques dans le fait de dépenser ou de contre-penser, et que cette activité serve à restaurer un rapport supportable au monde, et en particulier un rapport supportable à leur perception du monde. Le terme de perception est à prendre au premier degré : ce qui est d'abord menaçant, tant pour R.V. que pour C.V., est le fait que de jeter un regard sur le monde puisse aboutir au vécu d'un envahissement par ce monde ; le fait de jeter un regard peut avoir comme conséquence que le monde entre en eux. Il semblerait donc, que la clinique va dans le sens de ce qu'indique Lenay, c'est-à-dire que le vécu de distance entre celui qui regarde et ce qui est regardé ne soit pas une évidence, mais que la mise en extériorité des percepts requiert une participation active du sujet.

Qui plus est, il est frappant de retrouver dans le cas de R.V. le besoin impératif d'imposer un mouvement de va-et-vient pour maintenir certaines images à distance. Malgré les différences qu'il y a certainement lieu de faire entre l'un et l'autre propos, il reste qu'il y a une résonance remarquable entre cette observation clinique et le propos de Lenay : « L'extériorité spatiale de la cible ne peut être constituée que par la possibilité d'aller et venir librement et réversiblement autour d'elle, quittant et retrouvant alternativement le contact » (Lenay, p. 31) ; « C'est donc la réversibilité, la possibilité de revenir à une même position qui rend possible la construction d'un espace de perception » (Ibid., p. 39) ; « Seul compte le savoir-faire de s'avancer réversiblement dans l'espace pour que celui-ci se constitue pour le sujet » (Ibid., p. 41) ; « (…) la forme perçue est « extérieure » en tant que le champ récepteur doit aller et venir réversiblement autour d'elle » (Ibid., p. 43). R.V. semble confirmer textuellement cette dynamique quand il dit par exemple, en commentant son propre mouvement d'inversion du mouvement premier : 'Tout doit retourner au même' ('Alles moet op hetzelfde terugkomen').

Cette résonance de propos peut mener à la formulation, au niveau des « contingences sensorimotrices » de la perception, de l'hypothèse déjà proposée antérieurement à propos du mécanisme à la base des perceptions hallucinatoires chez les psychotiques. Pour rappel et comme est mentionné dans l'article de Jacob, ces hallucinations, et en particulier les hallucinations verba les, pourraient résulter d'un dysfonctionnement au niveau du mécanisme de production des copies d'efférence. Ces copies d'efférence (voir Figure 1 dans l'article de Jacob), sont des copies des commandes motrices données qui, grâce à un mécanisme prédictif, peuvent anticiper -et atténuer du même coup -les réafférences sensorielles résultant de ces commandes motrices. Leur présence est en même temps un signal physiologique attestant du fait que le mouvement corporel associé est un mouvement intentionnel et actif du sujet et non un mouvement imposé de l'extérieur et subi passivement. Si, pour certains mouvements -comme par exemple, certaines articulations -le retour des copies d'efférence serait absent, le vécu du sujet serait un vécu uniquement proprioceptif et le mouvement associé serait dès lors obligatoirement interprété comme un mouvement imposé de l'extérieur, et non comme un mouvement commandé par le sujet lui-même. Au niveau du mouvement articulatoire verbal, le vécu du sujet pourrait alors être qu'il « entend des voix ».

Van de Vijver, G., [START_REF] Van De Vijver | Enactivisme et internalisme : de l'ontologie à la clinique[END_REF] Enactivisme et internalisme : de l'ontologie à la clinique. Intellectica 43/1, 93-103.

Or, si ce mécanisme est défaillant au niveau de certains mouvements articulatoires dans la psychose, il n'est pas interdit de supposer que cette défaillance puisse être plus générale et valoir également au niveau des mouvements sensori-moteurs dont Lenay propose qu'ils soient constitutifs de la perception : « La perception est nécessairement une synthèse des successions d'actions et sensations. (…) Chaque position de la cible correspond seulement à un invariant sensori-moteur, c'est-à-dire une loi liant les actions aux sensations qui reste stable relativement aux variations de ces actions et sensations. La perception doit donc être ici l'accès à une loi de pointage liant les actions effectuées à leurs conséquences sensorielles » (Lenay, p. 30, en italiques dans le texte). Supposons que, parallèlement à ce qui est suggéré pour le mécanisme des hallucinations [START_REF] Frith | The Self in Action: Lessons from Delusions of Control, Consciousness and Cognition[END_REF], il y ait (occasionnellement ou régulièrement) chez le psychotique défaillance du retour des copies d'efférence des mouvements constitutifs de la perception. Deux conséquences seraient à prévoir. D'une part, comme l'indique Jacob (Jacob, 24) -mais en contrepoint à l'argument qu'il propose -il s'en suivrait une non-atténuation du retour perceptif comme est structurellement le cas pour le retour proprioceptif de tout mouvement actif et volontaire du sujet. Le propos de Jacob est qu'une non atténuation du retour perceptif serait en contradiction avec le but même d'un mouvement supposé constitutif de la perception ; une approche énactive et externaliste de la perception serait dès lors en contradiction directe avec « une théorie importante dans les neurosciences cognitives de l'action » (Jacob, p. 23), ce qui invaliderait cette approche. Or, les observations cliniques suggèrent une lecture différente : comme on le voit dans le cas de C.V., il se pourrait que cette non-atténuation soit plutôt détractrice de la perception normale ; il se pourrait qu'une perception normale requiert une atténuation du retour perceptif de façon à éviter une invasion de l'attention par les détails de cette perception comme dans le cas de C.V. Sans ce mécanisme protecteur, le sujet serait réduit et contraint à remplacer cette atténuation structurelle et inconsciente par une stratégie consciente d'atténuation ou d'inhibition exigeant des moyens mentaux et cognitifs au niveau de l'attention. D'autre part, il s'en suivrait une non-reconnaissance du mouvement d'appréhension du monde par lequel le sujet se constitue tout en constituant activement et intentionnellement « son » monde. De façon similaire aux « voix », le sujet aurait le vécu d'un monde s'imposant sous forme de « sensations pénétrantes » -le terme exact qu'utilise R.V. pour témoigner de son vécu. A nouveau, pour faire barrage à cette invasion, le sujet s'en trouverait réduit et contraint à se réapproprier consciemment le sens de l'agentivité de sa perception en remplaçant un mécanisme sensori-moteur qu'on pourrait supposer structurellement inconscient par un mécanisme sensori-moteur conscient de va-et-vientou de balayage, pour reprendre le terme de Lenay -mobilisateur de moyens mentaux ou cognitifs supérieurs.

EN CONCLUSION : UNE EXTRAPOLATION VERS LE CONCEPTUEL ET LE LANGAGE

En finale, nous aimerions faire écho à une remarque de Lenay : « Remarquons que l'approche que nous proposons ici des phénomènes cognitifs a soigneusement évité la question du langage. » (Lenay, p. 49). Lenay se propose de traiter la question du langage comme d'« un problème ultérieur » qui s'interrogerait sur le « comment dans certaines conditions ces contenus [de l'expérience] peuvent être structurés ou modifiés via leur association à un système de signes linguistiques pour la réflexion ou l'expression » ajoutant : « la question est (…) mieux engagée que si l'on part de la syntaxe des signifiants avant de chercher comment elle pourra être porteuse d'un signifié, ce qui fait courir un grand risque de se laisser enfermer dans le formalisme » (Ibid., p. 49). Abondant dans le sens de cette dernière formulation, il est possible de suggérer que ce qui a été caractérisé par cette approche énactive de la perception serait en fait extrêmement proche de -pour ne pas dire identique à -ce qui pourrait être supposé au niveau du langage, si l'on considère que le langage est physiologiquement et avant toute autre chose un mouvement articulatoire (voir aussi [START_REF] Bazan | Representations in the Gap between Motor Intention and Motor Realization[END_REF][START_REF] Van De Vijver | Enactivisme et internalisme : de l'ontologie à la clinique[END_REF] Enactivisme et internalisme : de l'ontologie à la clinique. Intellectica 43/1, 93-103. Bunder, 2005). Partant de la supposition de Lenay qu'une perception se constitue par un mouvement de balayage, de va-et-vient ou de réversibilité, mouvement constitutif mais lui-même inconscient, c'est-à-dire activement atténué ou inhibé, on peut formuler l'hypothèse qu'il en va de même pour le mouvement articulatoire : la perception du langage requerrait elle aussi que l'articulation se ferait en un mouve ment réversible de va et vient, mouvement dont on n'aurait normalement pas conscience car structurellement inhibé. Or, les observations avec les patients psychotiques, qu'on suppose défaillants dans leur système d'inhibition, permettent à nouveau de mettre à jour le balayage inconscient supposé. En effet, ce dont ils témoignent fréquemment est précisément que les mots, les lettres, les chiffres, les sons, les phrases et les images se jouent dans leurs têtes, se tournent et se retournent. Quand par exemple, interrogeant C.V. sur 'un pénis à travers mon couteau', il lui est demandé si il ne voulait pas plutôt dire « un couteau à travers mon pénis », il répond 'ça me venait comme ça, les mots s'étaient retournés'. Il montre une page avec la phrase écrite : '28-11-95 Een penis door mijn mes 28-11-1995' ; le fait qu'il ait flanqué la phrase de part et d'autre par la même date confirme l'impression d'un mouvement retourné. Un autre patient encore, L.D., témoigne ouvertement et fréquemment de sa lecture réversible du dit. Quelques passages de diverses séances (26.09.2005 -16.01.2006) : 'Ik hoop dat er een dromedaris bestaat.' ('J'espère qu'il existe un dromadaire'), phrase dans laquelle dromedaris est égale à moordenaars (« assassins ») ; 'de wijsheid van het meisje' ('la sagesse de la fille'), phrase dans laquelle meisje est égale à wijs (« sage ») qui réfère à wegwijs (« orienté »), mot dans lequel weg est égale à gew-apend (« armé »), puisque la fille possède 'une façon d'être armée de manière rusée et raffinée' ('een richting van gewapend te zijn op een geslepen, geraffineerde manier') ; 'Ge moet niet meer komen.' ('Tu ne dois plus venir.'), phrase dans laquelle komen est égal à mokken (« petites femmes ») et qu'il faut dès lors comprendre comme « Tu ne dois plus aller voir les petites femmes. » ; « doorgaan » (« avoir lieu ») est égal à « rode nagel » (« ongle rouge »), qui réfère au fait que normalement un ongle sur lequel on cesse une pression reprend une couleur rouge, sauf en cas d'intoxication où il reste blanc « pour cause de disparition des globules blancs », etc. Un jour, en session, alors qu'il semblait particulièrement envahi par cette perception chaotique, il a pris sa tête dans ses mains et soupirant de façon désespérée a formulé cette plainte : 'Martel dans ma tête, des chiffres et des lettres dans ma tête, des chiffres et des lettres retournés, je n'arrive pas à arrêter ça, tout tourne et se retourne, lettres, mots, chiffres, ça me donne beaucoup de stress' ('Muizenissen in mijn kop, cijfers en letters in mijn kop, omgedraaide cijfers en letters, ik kan dat niet stilleggen, alles draait en keert, letters, woorden, cijfers, dat geeft me een zware stress. ', 23.01.2006). On pour rait dès lors supposer (et certains résultats psycholinguistiques à propos de l'ambiguïté linguistique vont dans ce sens -voir par exemple, Klein Villa et al., in press) que le langage se présente structurellement sous une forme phonologique polysémique, due entre autres aux lectures multiples et multidirectionnelles du train phonologique, mais que les lectures alternatives et non contextuelles soient structurellement inhibées ou désactivées. Tout comme ce qui fut proposé pour la perception de la propre articulation chez le psychotique (c'est-à-dire, « les voix ») ou comme ce qui est supposé ici pour le mécanisme énactif de la perception dans la psychose, on pourrait donc également supposer que le mécanisme de suppression structurel de la perception du langage serait défaillant à certains moments chez le sujet psychotique. Cette hypothèse aurait l'avantage de proposer un mécanisme unique pour certaines observations phénoménologiques très diverses dans la psychose en accord avec une théorie importante dans les neurosciences cognitives de l'action et une approche énactive de la perception.