E Molina
email: emolina@dim.uchile.cl

A Rapaport
email: alain.rapaport@inrae.fr

An optimal feedback control that minimizes the epidemic peak in the SIR model under a budget constraint ⋆

Keywords: Optimal control, maximum cost, feedback control, epidemiology, SIR model

We give the explicit solution of the optimal control problem which consists in minimizing the epidemic peak in the SIR model when the control is an attenuation factor of the infectious rate, subject to a L 1 constraint on the control which represents a budget constraint. The optimal strategy is given as a feedback control which consists in a singular arc maintaining the infected population at a constant level until the immunity threshold is reached, and no intervention outside the singular arc. We discuss and compare this strategy with the one that minimizes the peak when fixing the duration of a single intervention, as already proposed in the literature. Numerical simulations illustrate the benefits of the proposed control.

Introduction

Since the pioneering work of Kermack and McKendrick [16], the SIR model has been very popular in epidemiology, as the basic model for infectious diseases with direct transmission (see for instance [START_REF] Weiss | The SIR model and the foundations of public health[END_REF][START_REF] Li | An Introduction to Mathematical Modeling of Infectious Diseases[END_REF] as introductions on the subject). It retakes great importance nowadays due to the recent coronavirus pandemic. In face of a new pathogen, non-pharmaceutical interventions (such as reducing physical distance in the population) are often the first available means to reduce the propagation of the disease, but this has economic and social costs. In [START_REF] Morris | Optimal, near-optimal, and robust epidemic control[END_REF][START_REF] Lobry | Qu'est ce que le Pic d'une Épidémie et Comment le Contrôler?[END_REF], the authors underline the need of control strategies for epidemic mitigation by "flattering the epidemic curve", rather than eradication of the disease that might be too costly. Several works have applied the optimal control theory considering interventions as a control variable that reduces the effective transmission rate of the SIR model, and studied optimal strategies with criteria based on running and terminal cost over fixed finite interval or infinite horizon [START_REF] Behncke | Optimal control of deterministic epidemics[END_REF][START_REF] Bolzoni | Time-optimal control strategies in SIR epidemic models[END_REF][START_REF] Bolzoni | Optimal control of epidemic size and duration with limited resources[END_REF][START_REF] Kantner | Beyond just "flattening the curve": Optimal control of epidemics with purely nonpharmaceutical interventions[END_REF][START_REF] Palmer | Optimal control of COVID-19 infection rate with social costs[END_REF][START_REF] Bliman | How best can finite-time social distancing reduce epidemic final size[END_REF][START_REF] Caulkins | The optimal lockdown intensity for COVID-19[END_REF][START_REF] Freddi | Optimal control of the transmission rate in compartmental epidemics[END_REF][START_REF] Ketcheson | Optimal control of an SIR epidemic through finite-time non-pharmaceutical intervention[END_REF][START_REF] Bliman | Optimal Immunity Control and Final Size Minimization by Social Distancing for the SIR Epidemic Model[END_REF]. However, the highest peak of the epidemic appears to be the highly relevant criterion to be minimized (especially ⋆ This paper was not presented at any IFAC meeting. Corresponding author .

when there is an hospital pressure to save individuals with severe forms of the infection). In [START_REF] Morris | Optimal, near-optimal, and robust epidemic control[END_REF], the authors studied the minimization of the peak of the infected population under the constraint that interventions occur on a single time interval of given duration. They obtained that the optimal control consists in four phases: no intervention, apply interventions to maintain the prevalence constant, apply a full intervention that stops the disease transmission and finally release any intervention. This control presents thus three switches and relies on a full break of the transmission. In the present work, we consider the same criterion, but under a budget constraint on the control, as an integral cost. We believe such a constraint to be more relevant as it takes into account the strength of the interventions and does not impose an a priori single time interval of given length for the interventions to take place. We have been able to prove that the optimal solution consists indeed in having interventions on a single time interval but with a control strategy that differs from the one obtained in [START_REF] Morris | Optimal, near-optimal, and robust epidemic control[END_REF]. We shall see that it consists in applying interventions to maintain the prevalence at a constant precise value, so that the interventions are reduced progressively to the point where they are no longer necessary. Therefore, this strategy does not require to apply a full intervention as in [START_REF] Morris | Optimal, near-optimal, and robust epidemic control[END_REF], which in practice is much less demanding. Let us also mention a more recent work [START_REF] Avram | Optimal control of a SIR epidemic with ICU constraints and target objectives[END_REF] that considers a kind of "dual" problem, which consists in minimizing an integral cost of the control under the constraint that the epidemic stays below a prescribed value and an additional constraint on the state at a fixed time. The structure of the optimal strategy given by the authors in [START_REF] Avram | Optimal control of a SIR epidemic with ICU constraints and target objectives[END_REF] is similar to the one we obtained without having to fix a time horizon and a terminal constraint. All the cited works rely on numerical methods to provide the effective control. Here, we give an explicit analytical expression of the optimal control. Let us stress that optimal control problems with maximum cost are not in the usual Mayer, Lagrange or Bolza forms of the optimal control theory [START_REF] Cesari | Optimization Theory and Applications[END_REF], for which the necessary optimality conditions of Pontryagin's Principle apply, but fall into the class of optimal control with L ∞ criterion, for which characterizations have been proposed in the literature mainly in terms of the value function (see for instance [START_REF] Barron | The Bellman equation for minimizing the maximum cost[END_REF]). Although necessary optimality conditions and numerical procedures have been derived from theses characterizations (see for instance [START_REF] Barron | The Pontryagin maximum principle for minimax problems of optimal control[END_REF][START_REF] Di Marco | Minimax optimal control problems. Numerical analysis of the finite horizon case[END_REF]), these approaches remain quite difficult and numerically heavy to be applied on concrete problems. On the other hand, for minimal time problems with planar dynamics linear with respect to the control variable, comparison tools based on the application of the Green's Theorem have shown that it is possible to dispense with the use of necessary conditions to prove the optimality of a candidate solution [START_REF] Hermes | Functional Analysis and Time Optimal Control[END_REF]. Although our criterion is of different nature, we show in the present work that it is also possible to implement this approach for our problem.

The paper is organized as follows. In the next section, we posit the problem of peak minimization to be studied. In Section 3, we define a class of feedback strategies that we called "NSN", and give some preliminary properties. Section 4 proves the existence of an NSN strategy which is optimal for our problem, and makes it explicit. Finally, Section 5 illustrates the optimal solutions on numerical simulations and discusses about the optimal strategy.

Definitions and problem statement

We consider the SIR model

       Ṡ = -βSI(1 -u) İ = βSI(1 -u) -γI Ṙ = γI (1)
where S, I and R denotes respectively the proportion of susceptible, infected and recovered individuals in a population of constant size. The parameters β and γ are the transmission and recovery rates of the disease. The control u, which belongs to U := [0, 1], represents the efforts of interventions by reducing the effective transmission rate. For simplicity, we shall drop in the following the R dynamics. Throughout the paper, we shall assume that the basic reproduction number R 0 is larger than one, so that an epidemic outbreak may occur.

Assumption 1

R 0 := β γ > 1.
For a positive initial condition (S(0), I(0)) = (S 0 , I 0 ) with S 0 + I 0 ≤ 1, we consider the optimal control problem which consists in minimizing the epidemic peak under a budget constraint inf

u(•)∈U max t≥0 I(t), (2)
where U denotes the set of measurable functions u(•) that take values in U and satisfy the

L 1 constraint +∞ 0 u(t)dt ≤ Q.
In the epidemiological context, the integral of the control measures the cumulative efforts in reducing the incidence rate, and Q is a given value not be to exceeded.

Remark 1 From equations (1), one can easily check that the solution I(t) tends to zero when t tends to +∞ whatever is the control u(•), so that the supreme of

I(•) over [0, +∞) in (2) is reached.
Equivalently, one can consider the extended dynamics.

       Ṡ = -βSI(1 -u), İ = βSI(1 -u) -γI, Ċ = -u, (3)
with the initial condition (S(0), I(0), C(0)) = (S 0 , I 0 , Q) and the state constraint

C(t) ≥ 0, t ≥ 0. (4)
A solution of ( 3) is admissible if the control u(•) takes its values in U and the condition ( 4) is fulfilled.

The NSN feedback

Let us denote the immunity threshold

S h := R -1 0 = γ β < 1.
Note that S(•) is a non increasing function and that one has İ ≤ 0 when S ≤ S h , whatever is the control. If S 0 ≤ S h , the maximum of I(•) is thus equal to I 0 for any control u(•), which solves the optimal control problem.

We shall now consider that the non-trivial case.

Assumption 2 S 0 > S h .

Under this assumption, we thus know that for any admissible solution, the maximum of I(•) is reached for S ≥ S h . Consider the dynamics with the control u(t) = 0 for all t ≥ 0. One can check from equations (1) that the quantity

t → S(t) + I(t) -S h log(S(t)) (5)
is constant. Then, one has

S(t) + I(t) -S h log(S(t)) = S 0 + I 0 -S h log(S 0 ) (6)
for any t > 0, and the maximum of I(•) reached for S = S h is given by the value

I h := I 0 + S 0 -S h -S h log S 0 S h .
We define the "NSN" (for null-singular-null) strategy as follows.

Definition 1 For Ī ∈ [I 0 , I h ], consider the feedback control

ψĪ (I, S) := 1 -S h S , if I = Ī and S > S h , 0, otherwise. (7)
We denote the L 1 norm associated to the NSN control

L( Ī) := +∞ 0 u ψ Ī (t)dt, Ī ∈ [I 0 , I h ],
where u ψ Ī (•) is the control generated by the feedback [START_REF] Bolzoni | Time-optimal control strategies in SIR epidemic models[END_REF].

This control strategy consists in three phases:

(1) no intervention until the prevalence I reaches Ī (null control), (2) maintain the prevalence I equal to Ī by adjusting the interventions until S reaches S h or the budget is entirely consumed (singular control), (3) no longer intervention when S < S h (null control).

Remark 2 There is no switch of the control between phases 2 and 3, because u(t) tends to zero when S(t) tends to S h , according to expression [START_REF] Bolzoni | Time-optimal control strategies in SIR epidemic models[END_REF].

We shall discuss the practicability of this control in Section 5.

One can check straightforwardly the following properties are fulfilled.

Lemma 1 For any Ī ∈ [I 0 , I h ], the maximal value of the control u ψ Ī (•) is given by

u max ( Ī) := 1 - S h S < 1,
where S is solution of

S -S h log S = S 0 + I 0 -S h log S 0 -Ī.
Moreover, any solution given by the NSN strategy verifies

max t≥0 I(t) = Ī.

Optimal strategy

We first show that the function L can be made explicit.

Proposition 1 One has

L( Ī) = I h - Ī βS h Ī , Ī ∈ [I 0 , I h ]. (8)
PROOF. Note first that whatever is Ī, S(•) is decreasing with the control [START_REF] Bolzoni | Time-optimal control strategies in SIR epidemic models[END_REF]. One can then equivalently parameterize the solution I(•), C(•) by

σ(t) := S 0 -S(t), instead of t. Let us put σ h := σ(t h ) = S 0 -S h .
As long as I < Ī, one has u = 0 which gives

       dI dσ = f (σ) := 1 -S h S0-σ > 0, dC dσ = 0.
Remind, from the definition of I h , that the solution I(•) with u = 0 reaches I h in finite time. Therefore, one can define the number

σ := inf{σ ≥ 0, I(σ) = Ī} ≤ σ h , which verifies σ 0 f (σ) dσ = Ī -I 0 . (9)
For σ ∈ [σ, σ h ], one has u = 1 -S h /S, that is

       dI dσ = 0, dC dσ = -1 βS h Ī 1 -S h S0-σ = -f (σ) βS h Ī < 0.
One then obtains

L( Ī) = C(0) -C(σ h ) = 1 βS h Ī σ h σ( Ī) f (σ) dσ,
and with (9) one can write

L( Ī) = 1 βS h Ī σ h 0 f (σ) dσ + I 0 -Ī .
On the other hand, one has

σ h 0 f (σ) dσ = σ h + S h log S h S 0 = I h -I 0 ,
which finally gives the expression [START_REF] Bolzoni | Optimal control of epidemic size and duration with limited resources[END_REF].

Then, the best admissible NSN control can be given as follows.

Corollary 1 When Q ≤ I h -I0 βS h I0 , the smallest Ī ∈ [I 0 , I h ] for which the solution with the NSN strategy is admissible, is given by the value

Ī⋆ (Q) := I h QβS h + 1 ( 10
)
and one has

L( Ī⋆ (Q)) = Q. ( 11
)
We give now our main result that shows that the NSN strategy is optimal.

Proposition 2 Let Assumptions 1 and 2 be fulfilled. Then, the NSN feedback is optimal with

Ī = Ī⋆ (Q), Q < I h -I0 βS h I0 , I 0 , Q ≥ I h -I0 βS h I0 ,
where Ī⋆ (Q) is defined in [START_REF] Cesari | Optimization Theory and Applications[END_REF], and Ī is the optimal value of problem [START_REF] Barron | The Pontryagin maximum principle for minimax problems of optimal control[END_REF].

PROOF. When Q ≥ I h -I0 βS h I0
, the NSN strategy is admissible and the corresponding solution verifies max t≥0

I(t) = I 0 , which is thus optimal. Consider now Q < I h -I0 βS h I0 . Let (S ⋆ (•), I ⋆ (•), C ⋆ (•)
) be the solution generated by the NSN strategy with Ī = Ī⋆ (Q), and denote u ⋆ (•) the corresponding control. Let S := S ⋆ ( t) where t = inf{t > 0, I ⋆ (t) = Ī}, and t ⋆ h := inf{t > t, S ⋆ (t) = S h }. We consider in the (S, I) plane the curve

C ⋆ := {(S ⋆ (t), I ⋆ (t)); t ∈ [0, t ⋆ h ]}.
For S ≥ S, the control ( 7) is null and a upward normal to C ⋆ is given by the expression

⃗ n(S, I) = βSI -γI βSI , (S, I) ∈ C ⋆ with S ∈ [ S, S 0 ].
On the other hand, the vector field in the (S, I) plane of any admissible solution is

⃗ v(S, I, u) = -βSI(1 -u) βSI(1 -u) -γI .
Then, one has

t h := inf{t > 0, S(t) = S h }.
One has thus I(t h ) < Ī. Define

T := t ⋆ h + 1 γ log Ī I(t h ) > t ⋆ h ,
and consider the non-admissible solution ( S(•), Ĩ(•), C(•)) of ( 3) on [0, T ] defined by the control

ũ(t) = u ⋆ (t), t ∈ [0, t ⋆ h ), 1, t ∈ [t ⋆ h , T ].
One can straightforwardly check with equations (3) that the solution ( S(t), Ĩ(t), C(t)) is

(S ⋆ (t), I ⋆ (t), C ⋆ (t)), t ∈ [0, t ⋆ h ), (S h , Ī exp(-γ(t -t ⋆ h )), C ⋆ (t ⋆ h ) + t ⋆ h -t), t ∈ [t ⋆ h , T ].
Remind, from Corollary 1, that one has C ⋆ (t ⋆ h ) = 0 by equation [START_REF] Di Marco | Minimax optimal control problems. Numerical analysis of the finite horizon case[END_REF]). Clearly, one has ( S(T ), Ĩ(T )) = (S h , I(t h )) and C(T ) < 0. We consider now in the (S, I) plane the simple closed curve Γ which is the concatenation of the trajectory ( S(•), Ĩ(•)) on forward time with the trajectory (S(•), I(•)) in backward time:

Γ := {( S(τ ), Ĩ(τ )), τ ∈ [0, T ]} ∪ {(S(T + t h -t), I(T + t h -t)), τ ∈ [T, T + t h ]},
= D 1 - S h S 1 γI 2 dSdI > 0,
where D is the domain bounded by Γ (see Figure 1 as an illustration). This implies C(t h ) < C(T ) < 0 and thus a contradiction with the admissibility condition (4) of the solution (S(•), I(•), C(•)). We conclude that (S ⋆ (•), I ⋆ (•), C ⋆ (•)) is optimal.

Numerical illustrations and discussion of practical considerations

We illustrate the behavior of the optimal trajectories with numerical simulations for parameters and initial condition borrowed from [START_REF] Morris | Optimal, near-optimal, and robust epidemic control[END_REF] , which studied the initial stage of COVID-19 disease. (see Table 1). For these values, one computes

R 0 = 3, S h = 1 3 , I h ≃ 0.3.
Figure 2 presents a simulation of the optimal NSN strategy for the budget Q = 28, as an example (the minimum 0.21 0.07 1 -10 -6 10 -6 Table 1 Chosen SIR parameters and initial condition, as in [START_REF] Morris | Optimal, near-optimal, and robust epidemic control[END_REF]. Fig. 2. State variables and control over time for the optimal strategy with the budget Q = 28. peak is reached for Ī ≃ 0.1015). One can see that for maintaining the size I at the constant level I h , the control u is decreasing with respect to time until it reaches the value 0 (no intervention), exactly when the size of susceptible S reaches the immunity value S h . A particular feature of the optimal strategy is to do not have discontinuity of the control when the optimal trajectory leaves the singular arc. In practice, one might not have a precise measurement of the size of the susceptible population S to apply the feedback law [START_REF] Bolzoni | Time-optimal control strategies in SIR epidemic models[END_REF]. However, assuming that the proportion of the infected population I is measured with a relatively good accuracy, say daily, one could adjust the level of restrictions u to keep I as close as possible to I h . Let us underline that one does not necessarily need to measure S to know when to stop the interventions: they have simply to be applied until the budget Q is consumed. Equivalently, as the corresponding effort u decreases progressively until vanishing, the interventions phase ceases also when the control u takes the value 0.

As a comparison, we have computed the optimal strategy which minimizes the epidemic peak for a fixed time duration of interventions without consideration of any budget, obtained by Morris et al. in [START_REF] Morris | Optimal, near-optimal, and robust epidemic control[END_REF] (see Figure 3). It consists in four phases: no intervention, maintain I constant, apply the maximal control (i.e. u = 1) and stop the intervention. This control presents thus three switches and relies on a full break of the transmission, differently to the NSN strategy which presents only one switch (see Remark 2) and does not require a full break (see the maximal value of the control given in Lemma 1). Apply-Fig. 3. Comparison of the time evolution of the infected population I and the control u between the optimal NSN strategy (in blue) and the optimal one of Morris et al. (in red)) [START_REF] Morris | Optimal, near-optimal, and robust epidemic control[END_REF].

ing an NSN strategy appears thus less restrictive to be applied in practice. The strategy proposed by Morris et al. induces also a second peak: after the third phase, the prevalence I increases again up to a peak which has to be equal to the level maintained during the second phase if it is optimally chosen. But this second peak turns out to be non robust under a mischoice (or mistiming) of the second phase (see [START_REF] Morris | Optimal, near-optimal, and robust epidemic control[END_REF] for more details). Comparatively, the NSN is naturally robust with respect to a bad choice of Ī: the maximum value of I is always guaranteed to be equal to Ī. However, a mischoice of Ī has an impact on the budget of the NSN strategy, given by expression [START_REF] Bolzoni | Optimal control of epidemic size and duration with limited resources[END_REF] and illustrated in Table 2 (for model parameters given in Table 1 and Q = 28). Table 3 gives the asymptotic size S ∞ < S h of the susceptible population for the two strategies under budget or duration constraint, corresponding to Figure 3. Note that for both strategies one has I = Ī (where Ī is the peak value of I) and S = S h when entering the last Ī -Ī⋆ -10% -5% -1% +5% +10%

L( Ī) -Q +17% +8% +1.5% -7% -14% Table 2 Variation of the control budget of the NSN strategy under a mischoice of Ī.

phase with u = 0. Then, S ∞ can be determined with the invariant property [START_REF] Bliman | How best can finite-time social distancing reduce epidemic final size[END_REF], as the solution of the equation

f (S ∞ ) := S ∞ -S h log(S ∞ ) = S h + Ī -S h log(S h ).
where f is decreasing for S ∞ < S h . This shows that for both constraints a lower peak implies a larger value of the final size of S (i.e. fewer susceptible individuals that have contracted the disease). 3 Comparaison of the final size of S for the two strategies, corresponding to Figure 3.

In case of a new epidemic among a large population, one can consider that the initial number of infected individuals is very low, while all the remaining population is susceptible. Therefore, one has S 0 + I 0 = 1 with I 0 very small, and the optimal value of Ī can be well approximated by its limiting expression for I 0 = 0, that is

Īℓ := 1 -S h + S h log(S h ) QβS h + 1 . ( 12
)
From property [START_REF] Bliman | Optimal Immunity Control and Final Size Minimization by Social Distancing for the SIR Epidemic Model[END_REF], one also gets an approximation of the value Sℓ of S when I reaches Īℓ with u = 0, as the solution of the equation

Sℓ + Īℓ -S h log( Sℓ ) = 1,
and then an approximation of the duration of the intervention is given by

d ℓ := S h -Sℓ γ Īℓ
(one can easily check that along the singular arc I = Ī, one has Ṡ = -γ Ī). For the parameters of Table 1, one obtains the limiting values given in Table 4. Provided that parameters β and γ of the disease are known (or estimated), and a budget Q is given, one can thus determine the minimal value of the peak and the optimal strategy to apply, without the knowledge of the initial size of the infected population.

In practice, one might not know precisely the initial condition. However, assuming that the proportion of the 4 The limiting optimal values for arbitrarily small I0 (with Q = 28) infected population is measured with a relatively good accuracy when it is not too small, one could apply the approximate feedback which consists in waiting the proportion I to be about the value Īl adjusting daily the effort u so that I remains close to Īl during the time interval d l .

The question of parameters estimation in the SIR model from data is out of the scope of the present work. However, while reaching I = Īℓ without intervention, one may expect refinement of the estimates of β and γ and thus an adjustment of the value of Īℓ .

Note that if it is rather the height of the peak Ī that is imposed, the corresponding effort can be determined with expression [START_REF] Freddi | Optimal control of the transmission rate in compartmental epidemics[END_REF], that is

Q = 1 βS h 1 -S h Ī -1 ,
as well as the duration of the intervention.

To have a better insight of the impacts of the available budget Q on the course of the epidemic, we have considered four characteristics numbers:

• t i : the starting date of the intervention,

• d: the duration of the intervention,

• Ī: the height of the peak,

• u max : the maximal value of the control, of the optimal solution, depicted on Figure 4 as a function of Q for I 0 = 10 -6 and S 0 + I 0 = 1. Let us note that the maximal budget Q under which it is not possible to immediately slow down the progress of the epidemic is given, according to Proposition 2, by

Q max := I h -I 0 βS h I 0 ≃ 4.3 10 6 ,
which is quite high. Moreover, the maximal value of the control is bounded by the value

u max ( Ī) ≤ 1 -S h = 2 3 ,
far from the value 1 (that would consists in a total lockdown of the population). On Figure 4, one can see that the peak Ī can be drastically reduced under a reasonable budget, and that taking larger budgets slows down the decrease of the peak, while the duration of the intervention carries on increasing, almost linearly. Indeed, one has Ṡ = -γ Ī on the singular arc and one thus gets d = ( S -S h )/(γ Ī). For an optimal value of Ī, one has Q = (I h -Ī)/(γ Ī) from [START_REF] Cesari | Optimization Theory and Applications[END_REF] and then one obtains

d = S -S h I h - Ī Q.
For large values of Q, Ī is small and S closed to one, which gives an approximation of d as the linear function of

Q d ≃ 1 -S h I h Q ≃ 2.194 Q.
This implies that for a long duration, fixing the budget Q or the duration d tends to be equivalent. Therefore, for the same large duration, the optimal peak gets near from the optimal one of the strategy of Morris et al. which constraints the duration only, but the difference of the budgets of these two strategies gets increasing with always a lower one for the NSN strategy, as one can see on Figure 5. Finally, this analysis highlights (as already mentioned in [START_REF] Morris | Optimal, near-optimal, and robust epidemic control[END_REF][START_REF] Lobry | Qu'est ce que le Pic d'une Épidémie et Comment le Contrôler?[END_REF]) the importance to do not intervene too early (unless one has a very large budget) and to choose the "right" time to launch interventions. We believe that curves as in Figure 4 might be of some help for decision makers.

Conclusion

In this note, we have shown how to use the Green's Theorem as a geometric tool to prove the optimality of the "null-singular-null" control strategy for the minimization of the epidemic peak under a budget constraint. This strategy turns out to be different than the one proposed by Morris et al. [START_REF] Morris | Optimal, near-optimal, and robust epidemic control[END_REF] which minimizes the peak fixing a single interval length for interventions, and is simpler to apply. Although the objective of the present work was not to optimize the asymptotic size of the susceptible population (as for instance in [START_REF] Bliman | Optimal Immunity Control and Final Size Minimization by Social Distancing for the SIR Epidemic Model[END_REF]), the study of a compromise between the epidemic peak and the final size could be the matter of future investigations.

  ⃗ n(S, I).⃗ v(S, I, u) = -βγSI 2 u ≤ 0, for any (S, I) ∈ C ⋆ with S ∈ [ S, S 0 ], which shows that any admissible solution is below the curve C ⋆ in the (S, I) plane for S ∈ [ S, S 0 ]. For S ∈ [S h , S], the curve C ⋆ is an horizontal line with I = Ī. Therefore, if there exists an admissible solution (S(•), I(•), C(•)) with max t I(t) < Ī, its trajectory in the (S, I) plane has to be below the curve C ⋆ for any S ∈ [S h , S 0 ]. Let

  that is anticlockwise oriented by τ ∈ [0, T + t h ]. Then one has C(T ) -C(t h ) = Γ dC. From equations (3), one gets dC = -dS βSI -dt = -dS βSI + ) -C(t h ) = Γ P (S, I)dS + Q(S, I)dI, with P (S, I) = 1 -

Fig. 1 .

 1 Fig. 1. The closed curve Γ is composed of the trajectory (S ⋆ (•), I ⋆ (•)) in blue up to to the point (S h , Ī), the additional part ( S(•), Ĩ(•)) in red and the hypothetical better trajectory (S(•), I(•)) in backward time in green.

  same budget same duration NSN S∞ ≃ 0.135 Morris et al. S∞ ≃ 0.129 S∞ ≃ 0.152 Table

Fig. 4 .

 4 Fig. 4. Characteristics numbers as functions of Q.

Fig. 5 .

 5 Fig. 5. Comparison of the of the optimal strategies with same duration (NSN in blue and Morris et al. [20] in red).

Acknowledgements

The authors are very grateful to Professors Claude Lobry and Hector Ramirez for fruitful exchanges. The first author thanks the support of ANID-PFCHA/Doctorado Nacional/2018-21180348, FONDECYT grant 1201982 and Centro de Modelamiento Matemático (CMM), ACE210010 and FB210005, BASAL funds for center of excellence, all of them from ANID (Chile).


Florent Villard

La Chine (postmoderne) créée par le tourisme : Le tai-chi, l'opium, Mao et la techno

Lorsqu'un touriste en quête de « sinité » pousse les portes d'une agence de voyage ou feuillette la brochure touristique d'une agence telle que Kuoni, Asia, ou La maison de la Chine, des marchandises variées aux intitulés alléchants lui sont proposées afin d'assouvir ses désirs d'exotisme: « Lumières Impériales », « Lumières de Chine », « Chine du Sud authentique », « Chine classique des Han », « L'Empire céleste ». Il trouve aussi des titres aux contours plus spécifiques comme « Les montagnes jaunes », « Aux sources du Tai Chi », « Confucius et le Pic de l'Est », « Les rencontres de Chengde », ou même « Chine rouge » et « L'Empire du dragon ». La Chine se décline en de multiples formules qui suivent les sentiers balisés de l'imaginaire touristique. Considérée comme une image et un objet de discours, elle est indissociable des représentations de l'Asie et de l'Orient, tant il y a amalgame, dans le discours touristique, de ces entités géographiques devenues identités discursives. Cette confusion reflète un imaginaire populaire sur l'Orient et l'Asie qui peine souvent à distinguer les différences internes entre les constructions intellectuelles que sont les identités culturelles. Elle rappelle aussi que le discours orientaliste, dans un monde globalisé et postmoderne, n'est pas monolithique et que ses Orients imaginaires se déclinent à l'infini dans l'espace de la culture populaire. 1 Il ne s'agit pas ici de discuter d'un hypothétique écart entre la réalité et sa représentation, deux éléments forcément incommensurables, mais il est question de confronter des représentations et des images contradictoires de la Chine dans le tourisme : une représentation orientaliste traditionnelle d'une part, et la prise en compte de plus en plus flagrante de la modernité chinoise, d'autre part. Cette modernité est notamment matérialisée dans le tourisme par la mise en valeur, en tant qu'objet historique, des traces de l'histoire moderne. Les références à une modernité de la Chine ne contredisent plus le discours passéiste de l'Orientalisme dans le sens où, aujourd'hui, la modernité se conjugue aussi au passé et n'est plus synonyme de contemporanéité. Comment les voyagistes négocient-ils les manifestations de la modernité chinoise au sein d'un discours orientaliste classique présentant une Chine mythique réifiée, symbolisée par une culture aux caractéristiques intemporelles et à l'altérité radicale ? L'évocation récurrente, et récente, par le discours 1 Voir notamment Ziauddin Sardar, Orientalism : Concepts in the Social Sciences, Buckingham, Open University Press, 1999, p.117. Les problématiques de l'Orientalisme ne peuvent plus se résumer à une dichotomie entre un sujet « Occident », créateur d'un objet « Orient ». Le discours orientaliste ne se déploie plus seulement dans les « textes » de l'« Occident », au sens géographique et culturel du terme. Il existe un phénomène d'auto-orientalisme notamment en Chine où les imaginaires de « l'Orient crée par l'Occident » sont exploités et réinventés pour être mis au service de la construction de l'identité culturelle et nationale. De même, la situation singulière de l'Orientalisme japonais vis à vis d'un Orient mythique déconstruit la stricte opposition géoculturelle Orient-Occident telle qu'elle a pu être envisagée chez Said. Koichi Iwabuchi évoque la nostalgie japonaise pour une « Asie » qui, à la différence du Japon, aurait su conserver son identité orientale. Cette « Asie » devient ici le passé du Japon et révèle ce que ce dernier a désormais perdu : « Nostalgia for a (Different) Asian Modernity: Media Consumption of 'Asia' in Japan »,

touristique d'une Chine au présent, ambitieuse et agissante, n'est-elle pas susceptible de déconstruire l'imaginaire orientaliste d'une Chine a-historique ? Cette problématique se développe autour de l'analyse d'un corpus de « textes touristiques », à savoir des brochures publicitaires, issus de deux périodes différentes : les années 1996-1998 et les années 2003-2005. Si ces saisons sont très proches dans le temps chronologique, la nature du discours sur la Chine diffère parfois assez profondément entre ces deux étapes consécutivement à la brutalité, apparente, des changements et de la modernisation en Chine, même si l'imaginaire proposé ne se réfère pas directement à une réalité chinoise. Le rythme de la modernisation chinoise et de la montée en puissance économique du pays est constant depuis presque vingt ans, néanmoins, la représentation, dans les médias et dans la culture populaire française, d'une Chine capitaliste hypermoderne aux transformations fulgurantes (aussi perçues comme inquiétantes) est un phénomène très récent. Les fascicules de la période 1996-1998 font clairement ressortir un imaginaire classique sur une Chine orientalisée, intemporelle et ancrée dans le passé, vue comme l'Autre de l' « Occident », à la fois mystérieuse et mystique. Les éléments historiques de la Chine moderne sont assez peu présents et les références et discours sur la Chine urbaine contemporaine se limitent au cas particulier de Hong-Kong et parfois à quelques remarques sur la modernité urbaine naissante de Pékin et Shanghai. Dans les brochures de 2003-2005, la nouveauté réside dans une prise en compte beaucoup plus importante de la Chine moderne et contemporaine, sans que cet imaginaire orientaliste d'une Chine immuable et exotique soit renié. Afin de donner sens et cohérence à ces textes, nous nous appuyons sur la récurrence des images et discours dans les différentes brochures analysées ainsi que sur l'intertextualité entre ces discours et des référents textuels ou discursifs externes. Cette interprétation est basée à la fois sur une analyse des discours touristiques et sur les apports de la théorie postcoloniale concernant la question de la représentation de l'Autre non-occidental, notamment au travers des écrits fondateurs d'Edward Said.

La célèbre thèse de Said, résumée dans le sous-titre de son ouvrage L'Orientalisme: L'Orient créé par l'Occident, postule que l' « Orient » en tant que monde a-historique réifié, Autre absolu de l' « Occident », affublé de caractéristiques récurrentes dans l'espace et dans le temps, est une création née des discours tenus par les Occidentaux. 2 Edward Said, dans une approche interdiscursive, balaie deux cent ans d'histoire avec la volonté d'identifier et de définir ce qu'il considère comme un discours sur l' « Orient » -son existence même et ses caractéristiques -et sur les Orientaux. Said constate que ce discours est indissociable de l'entreprise colonialiste occidentale: l' « Occident » (les hommes de science, les hommes politiques, les écrivains) s'est inventé un Autre qu'il a objectivé pour mieux le maîtriser et le subjuguer. En dépit des nombreuses critiques adressées au travail de Said, et notamment celle, paradoxale, qui lui reproche d'avoir lui-même inventé, réifié et déhistoricisé un « Occident » en fonction de sa vision de l'Orientalisme, il apparaît clairement, en particulier à travers la culture populaire contemporaine en 2 Edward W. Said, L'Orientalisme, L'Orient créé par l'Occident, New-York, Vintage Books, 1994.

France, que les traces de l'Orientalisme tel qu'il a été défini par Said sont une réalité discursive qui, bien que multiple et hétérogène, ne peut-être niée. [START_REF]à vivre l'instant présent est en effet « vendeur » dans un monde qui n'a plus de sens historique, mais c'est aussi un cliché ancien[END_REF] Intemporelle et Autre Le discours d'une Chine hors du temps, préservée de l'histoire et de la modernité est une constante des brochures touristiques. Les lieux et monuments proposés par les voyagistes dans le cadre de circuits appartiennent à la Chine traditionnelle et impériale, de même que les photos illustrant les séjours représentent toujours des éléments du passé. L'industrie touristique, toujours en quête de différence, aussi bien culturelle que spatiale ou temporelle, mobilise systématiquement une symbolique du passé, qu'il s'agisse de la Chine ou d'un autre pays. [START_REF] Asie | « contraignent » les consommateurs à s'y conformer. Le discours orientaliste ne se construit plus aujourd'hui dans la littérature, mais il a investi les agences de marketing, postes avancés du capitalisme contemporain, qui le vendent sous des formes et sur des supports multiples[END_REF] Néanmoins, en comparaison avec le traitement discursif appliqué à d'autres pays, en particulier aux pays du monde occidental, la singularité chinoise, « orientale », se traduit dans le statut accordé au passé par rapport au présent : le discours touristique ne nous présente pas un passé « folklore » ou un passé « musée » qui aurait déjà subi une opération de sauvegarde et donc de mise en patrimoine, mais il tend à dire que le passé est présent en Chine, qu'il est vivant. 5 Alors qu'un voyagiste révèle à propos de l'Asie : « chaque geste suppose le secret de civilisations millénaires »6 , un autre met en valeur « l'habileté asiatique naturelle et des techniques millénaires pour un shopping différent ». 7 Les « civilisations millénaires » ne sont pas ici représentées par des objets d'art ou des monuments historiques qui auraient le statut de vestiges du passé à « protéger » ou « conserver », elles se traduisent plutôt dans des pratiques, s'inscrivent à travers « chaque geste », vivent et passent dans les corps « asiatiques ». Cette essentialisation des pratiques corporelles se retrouve dans l'affirmation d'une « habileté asiatique » qui ne serait pas le fait de l'histoire mais celui de la nature, qui ne prendrait pas place dans une région et chez un peuple donnés mais au sein de l'Asie 3 L'une des critiques faites à Said est celle de faire le jeu des fondamentalismes dans le monde arabe. Le purisme des idéologies nationalistes et de leurs logiques exclusives est pourtant étranger à la pensée de Said qui n'a cessé d'écrire que l'identité était une construction intellectuelle, toujours hybride et constamment en devenir. Dans un entretien publié dans la revue Interventions : International Journal of Postcolonial studies, Volume 1, Number 1, 1998, pp. 81-96, Said revient sur la récupération de ses théories par des courants fondamentalistes : « and to think that in some way my book licenses these characters [fundamentalists] (sic) to fulminate against something called the West, which is a position I abjure. I say even the notions of the Occident and Orient are ideological fictions and we should try to get away from them as much as possible. ». Dans le présent article, les termes « Orient » et « Occident » représentent des « fictions idéologiques ». Sur la distinction entre le patrimoine et l'oeuvre exposée au musée, Rachid Amirou nous rappelle que le patrimoine « est sous la menace du temps et des hommes, on parle alors de 'protection' ; l'oeuvre exposée au musée est censée traverser, immuable et inchangée, les époques et les péripéties humaines, on la 'conserve'», Imaginaire du tourisme culturel, Paris, PUF, 2000, p.77. tout entière, comme s'il existait une identité biologique asiatique. Ces énoncés, à travers leur opération de généralisation et de réification, sont typiques du discours orientaliste. Les voyagistes s'appliquent sans cesse à donner des gages de contemporanéité au passé en mettant en exergue le caractère traditionnel de la vie quotidienne des Chinois par le biais de pratiques du quotidien dites « immuables », inchangées, en synchronie avec les vestiges du passé que le touriste s'apprête à visiter. Ils insistent sur les pratiques, les techniques, les coutumes et l'ensemble du « patrimoine immatériel » et du « patrimoine vivant » afin de les distinguer d'un patrimoine tangible et matériel constitué par les monuments et objets du passé. Rachid Amirou différencie le patrimoine immatériel désignant des « formes mortes (vestiges) […] qu'on retrouve dans le résultat des collectes conservées dans les archives de folklore ou dans les musées d'ethnologie » du patrimoine dit vivant qui définit « l'ensemble des traditions ou pratiques ludiques [actuelles] inscrites dans la vie quotidienne d'une communauté ». 8 L'Unesco reconnaît aujourd'hui des biens culturels « immatériaux » au titre du patrimoine mondial de l'humanité. Elle se propose ainsi de préserver certaines pratiques culturelles du quotidien comme elle protège les monuments architecturaux. En insistant sur le patrimoine vivant dans les brochures, l'industrie touristique postule quant à elle la permanence de pratiques du passé non parce qu'il y aurait une volonté affichée de les « conserver » ou de les « protéger », mais parce que ces pratiques, contemporaines et vivantes, seraient naturellement inscrites dans le quotidien des Chinois. De plus, en accord avec une posture idéologique dominante dans les médias et la culture populaire en France, le discours touristique affirme que la Chine postmaoïste retrouve, depuis quelques années, son passé : Entre Tai-Chi et Chi-Kong, gymnastiques traditionnelles qui se pratiquent dans la rue, et les pratiques de mah-jong, réhabilitées après Mao, les Chinois renouent avec leur passé, emplissent de nouveau les temples, vénèrent l'esprit des ancêtres puis passent comme si de rien n'était au modernisme le plus avancé. 9

La récurrence du préfixe « re-» atteste de ce discours du retour: il est question d'un Empire du Milieu qui « renoue » avec sa culture, fait « renaître » ses traditions, « retrouve » ses pratiques religieuses. A cette idée de la renaissance du passé, d'un « réveil », se couple le discours orientaliste de l'immobilisme et de l'intemporalité de la Chine : les voyagistes usent et abusent d'adjectifs tels que « immuable », « éternelle », « intemporelle » pour la qualifier. Accentuant encore cette symbolique du passé et du temps arrêté, les personnages en photo dans les brochures sont la plupart du temps des vieillards. Monde d'hier, la Chine est aussi un monde d'ailleurs. Le second type de discours massif et classique dans les brochures touristiques est celui de l'altérité. Affublée d'une différence radicale, la Chine se confond ici aussi avec un « Orient » homogène pour devenir l'Autre par rapport à un « nous » 8 Amirou, Imaginaire du tourisme culturel, p.23. 9 Asietours 1999, Accortour, p.60.

occidental. Le tourisme essentialise cette altérité et cette différence qui se caractérise par la récurrence des dichotomies « Orient-Occident ». C'est ainsi que dès qu'il est question de la modernité et d'une forme d'hybridité culturelle, comme par exemple à propos de Hong Kong, on mentionne un « savoureux mélange d'Orient et d'Occident ». 10 Les voyagistes insistent sans cesse sur l'idée que la Chine, et bien sûr l' « Orient », serait « un autre monde » où les lois de la nature ne s'appliqueraient pas forcément, où des forces mystérieuses et irrationnelles s'imposeraient, où, finalement, il se passerait des choses bizarres. Ce discours de l'altérité radicale se focalise notamment sur les forces spirituelles et religieuses qui seraient, là-bas, omniprésentes. Il est ainsi question des « mystères du yin et du yang », des « chemins initiatiques », de « divinités et de sages ». On évoque « des pèlerins (qui) se frottent à un chiffon imprégné d'encre pour s'approprier les vertus des textes sacrés qu'on imprime depuis le Moyen-Âge ». 11 L'Asie est, nous dit-on, « terre de spiritualité ». Cette spiritualité chinoise, asiatique, orientale est implicitement positionnée en opposition avec un « Occident » matérialiste. Il arrive aussi que cette dichotomie soit clairement énoncée comme dans cette remarque: « Médecine chinoise, herboristerie aux pharmacopées aussi efficaces qu'insolites à nos esprits cartésiens, acupuncture précise et presque magique, … en Asie, la chimie occidentale n'est guère de mise. » 12 C'est ainsi qu'en opposant ces techniques « presque magique[s] » aux pratiques dites occidentales, on les place dans un champ étranger à la raison, suggérant l'absence de rationalité des peuples asiatiques.

Rêver dans les intertextes du passé

Gilbert Trigano, père fondateur de la célèbre agence de voyage Le Club Méditerranée, surnomme les voyagistes des « vendeurs de rêve ». Les professionnels du marketing touristique vendent la Chine telle qu'elle est rêvée par le touriste potentiel, ils s'appliquent à représenter non pas une réalité chinoise mais la Chine telle qu'elle est construite dans l'imaginaire populaire. Le touriste est toujours en quête de ce que Amirou nomme un « inconnu connu », il ajoute que « tout voyage s'apparente ainsi à une tautologie, on va 'découvrir' ce qu'on connaît déjà ». 13 L'exotisme recherché par le touriste est toujours balisé, c'est pourquoi les publicistes ne mobilisent pas tant des références à une réalité chinoise, mais plutôt l'imaginaire des touristes français -catégories sociales et culturelles définies et ciblées par les professionnels du marketing -sur la Chine. Lorsque les publicités affirment que la Chine est « un monde intemporel » et l'Asie le royaume de l'irrationnel, ou encore que le peuple chinois est un « peuple joueur », ce n'est assurément pas en référence à la Chine en tant que réalité, ni même à son histoire. Roland Barthes avait inventé le terme de « sinité » pour évoquer cette « chose » qui n'est pas la Chine. 14 Les représentations de la Chine renvoient au passé de la société et du pays dans lequel elles s'énoncent, c'est à dire ici à l'histoire des représentations de la Chine et des Chinois en France et en Europe. Le « Chinois joueur » est un stéréotype que l'on rencontre souvent dans les brochures touristiques. 15 Il s'agit aussi d'une représentation récurrente dans les discours racistes en Europe à la fin du XIX e siècle comme l'a analysé Gregory Lee dans ses travaux sur l'histoire des racismes anti-chinois. 16 Le référent de la représentation est extérieur à ce qu'il est censé représenter, à savoir la « vérité » ou réalité, et l'image s'alimente, s'enrichit et surtout se justifie et se légitime dans le miroir d'autres images. Le discours touristique a intégré ce mouvement circulaire et il n'est pas rare que les brochures fassent des appels déclarés à cet « univers du discours » comme dans l'exemple suivant, à propos de Shanghai, où sont citées les « aventures de Tintin & Milou » et les « romans de science fiction des années 40 et 50 » en tant qu'éléments de comparaison avec la réalité chinoise :

Etonnant ensemble de bâtiments de style 1920-1930 et de grande majesté, construits le long d'une magnifique corniche qui longe les quais de cette ville dont le nom résonne à nos oreilles comme des aventures de Tintin & Milou. En face de cette ville et de l'autre côté du fleuve Huang Pu, la nouvelle ville de Pudong avec ses gratte-ciel qui ressemblent étrangement aux couvertures des romans de science fiction des années 40 et 50. 17 Il est significatif de constater que « Tintin & Milou » ne renvoie pas ici à la ville de Shanghai en soi, mais à son nom, élément de « l'univers du discours », qui « résonne à nos oreilles ». L'Oriental « non cartésien » et sa civilisation figée dans le passé sont des discours, ainsi que Said l'a mis en lumière dans ses écrits, qui ont inventé leur propre objet : l' « Orient ». « L'inconnu connu » recherché par le touriste en Chine ou en Asie correspond à un imaginaire orientaliste qui, bien que positif dans le tourisme, relevait d'un discours très négatif et critique à la fin du XIX e siècle: à la Chine ayant préservé ses traditions malgré la modernité telle que nous la présentent les voyagistes aujourd'hui faisait écho une Chine incapable de changer et d'évoluer sous la plume des voyageurs, administrateurs 14 « La Chine est une chose, l'idée que pouvait s'en faire, il n'y a pas longtemps encore, un petit-bourgeois français en est une autre : pour ce mélange spécial de clochettes, de poussepousses et de fumeries d'opium, pas d'autre mot possible que celui de sinité. », Roland Barthes, Mythologies, Paris, Editions du Seuil, 1957, p.194. 15 On nous dit par exemple que le Chinois « prend la vie comme un jeu », Toute l'Asie en voyage individuel sur mesure, 2004-2005, Asia, p.163. 16 Gregory B. Lee, Chinas Unlimited : Making the Imaginaries of China and Chineseness, Honolulu, University of Hawai'i Press, 2003, p.32. coloniaux, écrivains et philosophes : une civilisation « figée » 18 , « le pays de l'immobilité » 19 , « L'âme de la Chine, c'est la tradition, l'éternelle tradition » 20 . Cet immobilisme congénital se retrouve à la même époque dans l'affirmation suivante d'Ernest Renan qui tente une démonstration théorique de la supposée stagnation chinoise : « La Chine est en quelque sorte une Europe non perfectible : elle a été dès son enfance ce qu'elle devait être à jamais, et telle est la raison de son infériorité. ». 21 Dans les années 1950, Fernand Gigon, journaliste suisse ayant publié de nombreux ouvrages sur l'Asie, fait cette remarque magistrale en introduction de son ouvrage Asie Multiple : Le monde peut évoluer, passer de la Joconde de Léonard de Vinci au E=MC2 d'Einstein, sans que l'Asie bouge d'un millimètre ou que son apport au progrès, à notre progrès occidental, varie en qualité et en quantité. 22 Cette vision de la Chine comme monde intemporel s'inscrit assurément dans un discours plus vaste sur l' « Orient » en général. Que cette idée d'immobilité se soit affirmée pendant la grande période d'expansion coloniale du XIX e siècle, notamment française et anglaise, ne doit évidemment rien au hasard. L' « Orient-objet », passif et stagnant, devait être transformé, développé et, in fine, civilisé par les bons soins de ceux-là même qui le définissaient. Comme le note l'anthropologue Franck Michel : « Hier comme aujourd'hui, parler de la Chine immobile a toujours sous-entendu l'idée sournoise de pouvoir la rendre mobile à notre gré ! ». 23 La représentation de l'intemporalité a traversé les époques et se trouve remobilisée et idéalisée dans un discours contemporain sur l'Autre, qu'il s'agisse de l' « Orient » ou de la Chine. L'historicité de ces images et discours est présente aussi lorsque les brochures touristiques exaltent une terre d' « Orient » mystérieuse et exotique, empreinte de mysticisme, de magie et de spiritualité. Ces images font écho dans le passé -à travers le prisme des missionnaires chrétiens, d'une part, et de la philosophie rationaliste des Lumières d'autre part -aux visions critiques de contrées où règne la « superstition », de peuples stagnants en retard sur l'Histoire à cause de leur incapacité à raisonner. Les discours sur l'immobilisme de la civilisation chinoise et les déviances, ou insuffisances, spirituelles et intellectuelles des Chinois accompagnent la période coloniale au XIX e siècle. Ces représentations n'existent pas indépendamment de la situation de domination économique et militaire des puissances Tristan D'Huriel (établie par), La Chine vue par les écrivains français, Paris, Bartillat, 2004, p. 98. Cette idée d'une Chine qui serait une civilisation non évolutive, mûre dès sa naissance, se retrouve deux siècles plus tôt dans les écrits de Voltaire, voir dans Jonathan D. Spence, La Chine imaginaire : Les Chinois vus par les Occidentaux de Marco Polo à nos jours, Montréal, Les Presses de l'Université de Montréal, 2000, p.113. 22 Il ajoute : « De toutes les civilisations, celles de l'Asie sont peut-être les seules à être immortelles. Leur immobilité leur assure une protection contre l'usure du temps et du mouvement. Elles vivent en fonction de l'éternité. », Fernand Gigon, Multiple Asie, Paris, Editions Arthaud, 1958, p.9. 23 Franck Michel, En route pour l'Asie : Le rêve oriental chez les colonisateurs, les aventuriers et les touristes occidentaux, Strasbourg, Editions Histoire & Anthropologie, 1995, p.73. occidentales en Chine et de ses conséquences dans le domaine culturel et religieux. La Chine n'a été que partiellement colonisée mais elle s'est trouvée en position d'infériorité à partir du milieu du XIX e siècle et son image en a été grandement affectée en France et en Europe. 24 Cette image de l' « Autre-Chine » a toujours été conditionnée et orientée par l'agenda idéologique de celui qui la produisait, son discours s'étalonnant sur les conditions politiques, culturelles et épistémologiques de son temps. C'est ainsi que la Chine fut une terre de révolution alternative dans les années 1960 pour une partie de la jeunesse et de l'intelligentsia d'Europe occidentale au moment où tombaient les dernières illusions sur la situation en Union Soviétique. De même, lorsque Voltaire faisait l'éloge des institutions politiques et de la moralité chinoises au milieu du XVIII e siècle, il visait indirectement l'ordre clérical en France et voulait proposer en exemple un modèle de société et de pouvoir étatique qui, bien que sans fondement chrétien, était sophistiqué, organisé et efficace. Si le discours mobilisé par les voyagistes correspond assez précisément à des a priori et énoncés très répandus à la fin du XIX e siècle, il s'est néanmoins adapté aux « besoins » nouveaux de l'imaginaire orientaliste occidental. Alors qu'au XIX e siècle on fustigeait la décadence du non-Occident pour mieux le coloniser, alors que l'on dénonçait l'absence de rationalité pour mieux imposer l'unique Raison, le tourisme, aujourd'hui, propose des remèdes orientaux exotiques à la crise de la modernité dans les sociétés occidentales. L'éditorialiste de l'agence Asia présente ainsi l'Asie comme le royaume du souci de soi et du bien-être individuel dans un monde, que l'on suppose alors dominé par le mode de vie de la modernité occidentale, qu'il qualifie d'angoissant : « Le bien-être est tendance. Valeur montante dans un monde incertain et anxiogène que génère notre 21 e siècle ». 25 Le « présent perpétuel » de l'Orient postmoderne Aujourd'hui la Chine n'est plus seulement représentée comme un refuge exotique situé dans des temps immémoriaux. La distance géographique ne se traduit plus systématiquement en distance temporelle. Dans leurs représentations de la Chine, les brochures touristiques intègrent désormais de plus en plus des éléments de l'histoire moderne chinoise. Cette modernité chinoise se décline à travers les clichés classiques de l'ambiance coloniale des concessions comme le propose un circuit qui prévoit une halte dans un bar branché de Shanghai, The Face: « Ambiance exotique, dans une maison coloniale au milieu d'un parc, avec lits à opium et touche décadente, bar aux parfums des années 20 ». 26 La Chine moderne est aussi représentée à travers le passé très récent de la République Populaire. On propose ainsi la visite 24 Boothroyd, Détrie, Le voyage en Chine, p.511. 25 Plages d'Asie : séjours et bien-être en Asie, 2004-2005, Asia, p.2. d'un Pékin « rétro-Mao » en passant notamment par « la maison de Song Qingling, héroïne communiste, avec son mobilier année 50 et ses photos de l'époque maoïste.». 27 Cet imaginaire de la période postimpériale semble s'intégrer presque naturellement, comme dans un tableau, dans un discours exotique et orientaliste réifiant. L'évocation de Mao, des fumeries d'opium ou de la révolution culturelle sont autant de signifiants d'un passé récent, moderne, dont la dimension historique a été éliminée, et qui se trouvent comme étalés à la surface de notre temps sur un tableau anachronique, juxtaposés à côté d'autres objets symboliques tels que la Cité interdite, la Grande muraille, le Tombeau des Ming, les Hutongs de Pékin ou encore les minorités ethniques. Ces éléments, comme placés dans la vitrine d'une boutique de souvenirs, sont mis sur les rebords de l'Histoire pour être au service du touriste-consommateur. L'une des caractéristiques du tourisme est de faire perdre toute dimension historique aux lieux et monuments qu'il propose à la vente. Alors que la Chine réelle, peuplée d'individus vivants, n'a pas encore « digéré » ce passé récent, le tourisme en fait déjà un lieu de mémoire, un vestige du passé. C'est pourquoi le discours touristique sur la Chine moderne ne doit pas être considéré comme « vacciné » de l'idéologie orientaliste. La modernité chinoise -capitaliste et débridée du Shanghai des années trente, ou révolutionnaire et collectiviste de la République Populaire -reste exotique et intemporelle. L'affirmation suivante d'Edward Said semble ainsi avoir perdu aujourd'hui de sa validité : « écrire sur l'Orient moderne, c'est […] faire paraître une démystification bouleversante des images recueillies dans les textes ». 28 Appliquée au présent, cette remarque n'est-elle pas anachronique ? Lorsque Said parle ici de « l'Orient moderne » c'est dans le sens d'un « Orient » qui serait contemporain de celui qui le représente, l' « Occident ». La « démystification bouleversante » ne peut prendre effet que si l' « Orient » se trouve positionné dans une relation de simultanéité temporelle avec l' « Occident ». Il n'est plus alors ce monde immobile situé dans le passé que les textes avaient toujours décrits. Cependant, plus encore qu'un « Orient » contemporain de l' « Occident », ce que Said nomme « l'Orient moderne » est aussi synonyme d'Orient réel, un monde que le romantique Gérard de Nerval n'aurait pas souhaité visiter afin de ne pas voiler sa vision imaginaire de l' « Orient »: « Pour quelqu'un qui n'a jamais vu l'Orient, disait un jour Nerval à Gautier, un lotus est toujours un lotus ; pour moi, c'est seulement une espèce d'oignon ». 29 Représenter la Chine en tant que « moderne » n'entraîne pas de démystification car le lit à opium, la révolution culturelle ou la figure de Mao ne sont finalement que des « images recueillies dans les textes », autant que peuvent l'être les toitures courbées des maisons traditionnelles, les Hutongs de Pékin, la Grande muraille ou, en tant que patrimoine vivant immatériel, le « Chinois joueur ». La « Chine moderne » est déjà en situation de diachronie avec le temps présent. Peut-on alors considérer qu'écrire aujourd'hui sur un « Orient postmoderne », dans le sens où il serait contemporain de 27 Ibid, p.171. 28 Said, L'Orientalisme, L'Orient créé par l'Occident, p.120. 29 Ibid, p.120. 1 0 l' « Occident », pourrait « faire paraître une démystification bouleversante des images recueillis dans les textes » ? Le terme postmoderne étant pris ici dans le sens purement chronologique d'une modernité contemporaine se distinguant des « modernités antérieures », celles du passé. 30 A première vue, le discours touristique pourrait ainsi donner à penser qu'il prend part à un travail de démystification de l'imaginaire orientaliste en évoquant de manière assez récurrente non seulement la modernité chinoise en tant qu'objet du passé, mais aussi le présent de la Chine. Ce souci des professionnels du tourisme d'une mise en lumière de la Chine contemporaine doit se comprendre dans le contexte d'une montée en puissance économique et politique de ce pays. Dans le discours médiatique et l'imaginaire populaire dominant, la Chine n'est plus seulement aujourd'hui l'Empire du Milieu, immuable et ancestral, elle est aussi la puissance économique, politique et par conséquent culturelle de demain. L'image de la Chine change en même temps que les rapports de domination économique et les hégémonies géopolitiques s'inversent: la passivité des sagesses orientales se mue progressivement en agressivité du capitalisme chinois et asiatique. La locomotive de l'Histoire serait en train de devenir chinoise et l'idée que l'Asie sera un jour hégémonique fait son chemin. Ainsi, la Chine évoque désormais le présent et parfois même aussi le futur : « Un nouveau monde en marche qu'il est facile de voir dans les galeries et les quartiers futuristes de Shanghai ». 31 De même, l'énoncé « Vivez le XXI e siècle avec Shanghai et Hong Kong » accrédite l'idée que la Chine serait entrée dans le temps historique, qu'elle aurait un futur, « le XXI e siècle », ce qui induit qu'elle aurait aussi eu un passé, perdant alors son a-historicité, caractéristique propre aux civilisations de l'« Orient ». 32 Cette nouvelle « réalité » de la contemporanéité chinoise, prise en compte par les « vendeurs de rêve » de l'industrie touristique, est susceptible de provoquer un choc frontal des imaginaires. Si les touristes rêvent d'un « inconnu connu », une Chine née dans les textes du passé, au moyen de quel procédé dialectique peut-on représenter la Chine contemporaine -vivante, inattendue, en synchronie avec le monde dans lequel les touristes vivent et tournée vers le futur -sans briser les fantasmes et les mythes orientalistes d'une Chine du passé immuable et exotique ? La résolution de cette équation se trouve dans l'insistance que le discours touristique met à donner une dimension postmoderne à la Chine, en accordant ici à cette notion polémique et critique une triple signification. D'un point de vue purement chronologique d'une part, la Chine postmoderne serait celle qui viendrait après une Chine moderne devenue objet d'histoire et rentrée dans les musées. Une dimension idéologique et politique intervient d'autre part avec l'idée d'une postmodernité qui serait une modernité dont le projet serait arrivé à son terme, une modernité « réussie », réconciliée avec son passé, 30 Paul Ricoeur évoque une concurrence entre deux emplois du terme « modernité » : un « concept répétitif » au service de « l'histoire des représentations » du passé et un concept synonyme de « notre temps » qui distingue « notre modernité des modernités antérieures. », La mémoire, l'histoire, l 'oubli, Seuil, 2000, p. 409. 1 en harmonie totale avec la culture d'avant comme si, en Chine, les contradictions sociales et culturelles de la modernisation étaient dépassées, comme si l'Histoire était arrivée à son terme. Cette condition postmoderne prend enfin une signification culturaliste puisqu'au lieu d'être l'aboutissement d'un processus historique, fin d'une histoire représentée comme linéaire, elle ne serait que la condition naturelle de l' « Orient » en tant que monde au « présent perpétuel » où le temps, non linéaire, serait sans passé ni futur. Plus qu'une idée de modernité aboutie qui implique un processus d'évolution, c'est l'idée d'une postmodernité chinoise (ou orientale) qui transparaît lorsque les voyagistes évoquent les pratiques contemporaines, notamment celles de la Chine urbaine. C'est ainsi que Shanghai est décrite en ces mots : Poussée par une jeunesse créative et ambitieuse, Shanghai affiche fièrement sa vitalité ravageuse. Nouvelle économie, musique techno, galeries avant-gardistes sont les moteurs d'une population enthousiaste, qui ne renie rien de ses racines et sait se ressourcer dans des jardins zen immuables. 33 Bien que le Zen soit une branche du bouddhisme au Japon historiquement issue du Chan chinois, l'expression « jardins zen immuables » fait référence à une mode du Zen dans la Chine urbaine qui est contemporaine et paradoxalement inspirée de pratiques spirituelles orientalisantes issues du monde occidental. Si l'hypermodernité représentée par la « nouvelle économie, musique techno, galeries avantgardistes » et les « racines » locales du « zen » ne sont pas antagonistes, ce n'est pas en raison d'une fusion harmonieuse de la tradition et de la modernité comme le suggère le marketing touristique, il s'agit au contraire de phénomènes qui ne participent que d'un seul et même monde, produits de la mondialisation économique et culturelle : la mode du Zen n'est ni moins moderne ni plus orientale que les galeries avant-gardistes ! Dans la citation ci-dessus, l'objectif est de montrer qu'en Chine, avantgardisme et modernisme ne sont pas des tendances en rupture avec le passé. Cette alliance de l'avantgarde économique et de la tradition se retrouve à propos de Pékin: Nous sommes dans les hutongs, entrelacs d'allées et de maisons familiales qui faillirent bien disparaître dans les grands travaux urbanistes de Pékin, mais qui sont aujourd'hui heureusement sauvés et réhabilités par les jeunes cadres branchés de la capitale désireux de retrouver un peu de leurs racines dans un cadre traditionnel modernisé. 34 Le recours à la figure de l'oxymore invite à poser cette question naïve : comment un « cadre » peut-il être à la fois « traditionnel » et « modernisé » si ce n'est en postulant qu'en Chine les processus de modernisation, ou plus simplement le temps qui passe, ne transforment pas les éléments du passé, ici la 33 Toute l'Asie en voyage individuel sur mesure, 2004-2005, Asia, p.164. 34 Tentations : Toute l'Asie en circuits, été 2005, Asia, p.72.

4 Franck

 4 Michel, Désirs d'Ailleurs : Essai d'anthropologie des voyages, Strasbourg, Editions Histoire & Anthropologie, 2002, p.180.

  5

10Asie:

  Voyages sur mesure, mars/octobre 2005, Kuoni, p.43. 11 Kuoni, 1998-2000, p.106. 12 Plages d'Asie : Séjours et bien-être en Asie, 2004-2005, Asia, p.1. 13 Ibid, p.94 ; Franck Michel estime aussi que « [Le voyage est] vérificateur d'histoire passée plus facilement que producteur d'histoire immédiate », Désirs d'Ailleurs : Essai d'anthropologie des voyages, p.98.

  ) De Chassiron, Notes sur le Japon, La Chine et l'Inde, Paris, Dentu et Reinwald, 1861, p. X. 20 Louis Carpeaux, Pékin qui s'en va, Paris, Maloine, 1913.

  21

Asietours 1999, Accortour, p.1.

Toute l'Asie 2002-2003, Asia, p.4.

Rev'Asie, Hiver 2004[START_REF] Tentations | 45 Plages d'Asie : Séjours et bien-être en Asie[END_REF], Groupe Teker, p.8.

Toute l'Asie en voyage individuel sur mesure, 2004-2005, Asia, p.175.

Toute l'Asie en voyage individuel sur mesure,[START_REF] Lazzarato | Les révolutions du capitalisme, Les empêcheurs de penser en rond[END_REF] - 2005, Asia, p.163. , Asia, p.163.

Tentation d'Asia, hiver 2002-2003, Asia, p.54.