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Résumé :

La contamination humaine par Legionella se produit par inhalation d'un aérosol formé à partir d'un milieu hydrique colonisé. La quantification des légionelles dans l'eau des réseaux est actuellement préconisée pour évaluer le risque de survenue de légionellose. Notre travail a consisté à évaluer différentes techniques de quantification des légionelles dans les aérosols.

Quatre séries de prélèvements ont été effectuées au même point d'usage, dans un établissement de santé, sur une période de sept jours : deux prélèvements d'eau chaude (premier jet et fin de douche) et six prélèvements d'aérosols réalisés avec deux impacteurs en milieu liquide (Impinger SKC), deux impacteurs sur gélose (MAS100  ) et deux membranes de filtration. Les légionelles ont été quantifiées par culture sur gélose (méthode de référence) et par hybridation in situ (Fluorescescence in situ hybridization, FISH). L'eau chaude contenait entre 10 4 et 10 5 UFC/L de Legionella sp. cultivables (essentiellement Legionella pneumophila SG 2 à 14). Aucune Legionella cultivable n'a pu être détectée dans les aérosols de douche. Par contre, la technique FISH associée à l'impaction en milieu liquide a permis la détection de 10 à 100 légionelles/L d'air. Les ratios des concentrations en légionelles dans l'eau et dans l'air varient de 1,9.

12-Prélèvements d'eau

Un premier prélèvement d'eau a été réalisé dès la mise en fonctionnement de la douche dans un flacon stérile contenant du thiosulfate de sodium pour bloquer l'action oxydante d'un éventuel résidu de chlore dans l'eau. Il correspondait au « premier jet ». Ce premier prélèvement, fait sans flambage, à pression et température d'eau chaude maximum était de 300 mL environ. Deux ensemencements directs de 0,2 mL sur gélose GVPC (Glycine, Vancomycine, Polymyxine et Cycloheximide) ont été effectués. L'identification d'espèce et de sérogroupe des légionelles isolées a été réalisée par immunofluorescence directe et sérotypage.

La détection par hybridation in situ (8) a été réalisée sur les 300 mL restants. La douche était alors laissée en fonctionnement pendant 5 à 7 minutes. Un deuxième prélèvement de 1 litre d'eau, à la fin de la douche, était réalisé et la température de l'eau était mesurée. Cinq cents mL ont été utilisés pour la culture selon la norme AFNOR. Trois cents mL ont été filtrés et traités par hybridation in situ. La limite de détection de la norme AFNOR est de 5.10 3 légionelles/L d'eau quand l'eau est ensemencée sans concentration préalable de l'échantillon. La limite de détection pour l'hybridation in situ est de 4,5.10 3 légionelles/L d'eau. La température de la pièce et l'hygrométrie étaient notées tout au long de la durée de la douche.

13-Prélèvements d'aérosols de douche

Après les 5 à 7 minutes d'écoulement d'eau de la douche et un temps de repos de 1 à 2 minutes pour permettre la mise en oeuvre des prélèvements d'air, trois types de biocollecteurs d'air, chacun en double, ont été mis en route simultanément.

131-Impaction en milieu liquide

Des appareils de type Impinger SKC permettent de collecter des aérosols bactériens selon le principe de l'impaction en milieu liquide. L'air est aspiré au travers d'un tube capillaire, puis propulsé tangentiellement à la surface d'un milieu liquide. Dans nos essais, le milieu liquide de recueil de l'échantillon d'air était constitué par 20 ml d'eau distillée stérile apyrogène. Les deux Impingers SKC étaient situés le plus proche possible du jet de la douche et les têtes de prélèvement orientées vers la douche. Pour des raisons pratiques et techniques, ces bioimpacteurs étaient situés sur une table, à 1 m du sol, à l'entrée de la cabine de douche de manière à homogénéiser les conditions de prélèvement d'un échantillonnage à l'autre. Deux prélèvements successifs de 10 minutes étaient effectués, avec changement du liquide de recueil entre les deux. Les Impingers SKC ne fonctionnent que à un débit de prélèvement fixe de 14,5 L/minute, soit un volume d'air prélevé de 145 L. Pour chaque échantillon, deux fois 0,2 mL ont été directement mis en culture sur gélose BCYE α avec L-cystéine. Après incubation des géloses pendant 10 jours à 37°C±1°C, les colonies suspectes ont été comptées, repiquées, identifiées et sérotypées s'il s'agissait de légionelles. Le reste de l'échantillon était filtré sur membrane blanche en polycarbonate de porosité de 0,2 μm et traité par hybridation in situ. La limite de détection théorique de la technique FISH dans ces conditions opératoires, i.e. un volume de liquide de recueil analysé de 18 mL et un volume d'air prélevé de 145L, est de 9 légionelles/L d'air.

132-Impaction sur milieu solide

Le MAS100 ® fonctionne sur le principe de l'impaction en milieu solide. L'air est aspiré et accéléré par passage au travers de trous (cribles). Les particules entraînées par le flux d'air peuvent, suivant leur inertie, dévier des lignes de courant et venir s'impacter sur une surface placée au-dessous de la plaque perforée. Dans nos essais, cette surface est une gélose GVPC (9) spécifique des légionelles permettant d'évaluer directement la concentration des bactéries viables aérosolisées (en UFC/L d'air prélevé).

Trois prélèvements successifs de 250 L, 500 L et 1000 L d'air avec changement des milieux gélosés, ont été réalisés avec les deux appareils en parallèle et situés à 1 m du sol dans les mêmes conditions que les Impingers SKC. Les six géloses ont été incubées 15 jours à 37°C.

Les colonies suspectes éventuelles ont été repiquées sur gélose BCYE avec L-cystéine et sur gélose BCYE sans L-cystéine pour permettre une identification du genre Legionella.

133-Filtration

Deux filtres blancs en polycarbonate de 0,2 μm de porosité et 25 mm de diamètre disposés dans des cassettes de prélèvement spécifiques ont été connectés à deux pompes aspirantes. Ces filtres ont été situés à environ 50 cm du pommeau de la douche et fixés sur une des parois de la douche à 2 m du sol. Le prélèvement a duré de 30 minutes à 1 heure selon les essais. Le débit d'air étant de 10 L/min au maximum, le volume d'air prélevé au maximum pour chaque appareil était de 600 L. Les deux filtres ont été alors directement traités par hybridation in situ.

2-Résultats

21-Conditions générales de prélèvement

Les conditions de prélèvement des quatre séries d'essais ont été similaires. L'humidité relative avant le fonctionnement de la douche était comprise entre 32 et 50 % ; elle atteignait un pic à la fin de la douche (augmentation entre 23 et 56 % par rapport au taux initial) puis diminuait et revenait à sa valeur initiale au bout d'une heure de prélèvement. La température de la pièce augmentait progressivement tout au long de la génération de l'aérosol issu de la douche et l'on pouvait noter une augmentation de 1,5 à 4,4°C selon les essais. La température de l'eau de la douche était comprise entre 29 et 37°C.

22-Prélèvements d'eau

Les résultats des prélèvements d'eau du premier jet et de ceux effectués en fin de douche obtenus par culture sont du même ordre de grandeur (entre 10 4 et 10 5 UFC/L en légionelles) sur toute la semaine. Les premiers prélèvements semblent néanmoins donner des résultats plus élevés que les deuxièmes (Tableau I). L'immunofluorescence directe et le sérotypage ont permis l'identification de Legionella pneumophila sérogroupes 2 à 14 dans des échantillons d'eau de la douche. Les mêmes prélèvements traités par hybridation in situ donnent également des résultats comparables (entre 10 4 et 10 5 légionelles/L) mais semblent indiquer une différence de concentration en légionelles moins marquée entre les prélèvements « premier jet » et ceux de « fin de douche ». Les résultats obtenus sont au moins dix fois supérieurs à la limite de détection de la technique (4,5.10 3 légionelles/ L d'eau). Ces techniques mettent en évidence un nombre légèrement plus important de Legionella (au maximum 1 log) entre la méthode d'hybridation in situ et la méthode par culture.

23-Prélèvements d'aérosols

Aucune légionelle n'a pu être détectée par la méthode de culture lors des échantillonnages d'aérosols de douche par impaction en milieu liquide (Impinger SKC) ou par impaction sur milieux gélosé (MAS100  ) (Tableau II).

231-Impingers SKC

L'ensemencement direct en duplicat des aérosols de douche prélevés par impaction en milieu liquide (Impinger SKC) sur gélose GVPC n'a pas permis de mettre en évidence de colonies de légionelles. L'analyse par hybridation in situ du milieu de recueil liquide a permis la mise en évidence de bactéries appartenant à la famille Legionellaceae du fait de l'utilisation de sonde oligonucléotidique spécifique [START_REF] Grimm | Specific detection of Legionella pneumophila: construction of a new 16S rRNA-targeted oligonucleotide probe[END_REF]. Les concentrations moyennes en légionelles aérosolisées étaient comprises entre 10 et 100 légionelles/L d'air. La limite de détection de cette technique est de 9 légionelles/L d'air. Le premier prélèvement d'air de 10 minutes montre globalement un nombre plus élevé de légionelles que le deuxième prélèvement de 10 minutes (Figure 1). Dans nos conditions opératoires, nos résultats sont du même ordre de grandeur tout en présentant des fluctuations journalières, sans toutefois révéler de différences entre les niveaux bactériens avant et après la douche des patients. Il semble exister une relation de proportionnalité entre le nombre de légionelles dans l'eau et dans l'air, à travers les quatre séries de manipulations (Figure 1). Le ratio entre la concentration de légionelles détectées par la méthode d'hybridation in situ dans l'eau et celle détectées avec la même méthode dans l'aérosol varie de 1,9.10 3 à 1,8.10 4 .

232-MAS100

Aucune légionelle n'a été détectée après mise en culture directe des géloses prélevées et réisolement des colonies sur milieu spécifique (BCYE-α avec L-cystéine). Les boites comportaient néanmoins de nombreuses colonies de bactéries correspondant à des cocci et des bacilles à Gram positif. Des moisissures ont également envahi progressivement les boites de Pétri.

233-Filtres

Au maximum 9 légionelles pour 536 Litres d'air prélevés ont été détectées par hybridation in situ. Ce n'est qu'à partir de 400 litres d'air prélevés que des légionelles commençaient à être visualisées par hybridation in situ.

3-Discussion

31-Conditions générales de prélèvement

Les conditions opératoires de prélèvements ont été reproduites à l'identique entre les quatre essais réalisés in situ. Il est logique de constater que des paramètres tels que l'hygrométrie et la température de l'air ambiant dans la pièce d'étude varient car ce ne sont pas des paramètres contrôlables dans un établissement de santé utilisé quotidiennement par des patients. Il est également nécessaire de préciser que nos conditions d'aérosolisation n'ont pas tenu compte de la présence de brise jet. Une personne sous une douche représente un obstacle et permet que les particules d'eau se brisent, et que des particules de plus petites tailles, aérosolisables et même inhalables se créent. La présence d'un mannequin sous la douche pour des essais futurs est donc envisagée.

32-Prélèvements d'eau

Lors de cette étude, le nombre de légionelles présentes au point d'usage de cet établissement reste du même ordre de grandeur sur toute la semaine d'échantillonnage. Il s'agit d'un établissement fort contaminé, notamment du fait de la configuration du réseau d'eau (réseau étendu et présence de zone de stagnation) et de la température de l'eau chaude distribuée (mitigeur en production). Comme constaté par de nombreuses études, les légionelles présentent dans un réseau d'eau chaude y ont trouvé un environnement favorable et le colonisent [START_REF] Collectif | Guide d'investigation d'un ou plusieurs cas de légionelloses[END_REF][START_REF] Bollin | Aerosols containing Legionella pneumophila generated by shower heads and hot-water faucets[END_REF][START_REF] Dennis | Legionella pneumophila in aerosols from shower baths[END_REF][START_REF] Breiman | Role of air sampling in investigation of an outbreak of legionnaires' disease associated with exposure to aerosols from an evaporative condenser[END_REF].

33-Prélèvements d'aérosols

331-Impingers

De manière concomitante à la culture, méthode de référence, la technique d'hybridation in situ ciblant les ARN ribosomaux des bactéries a été aussi utilisée pour déterminer la contamination en légionelles de nos échantillons d'aérosols. La détection de bactéries du genre Legionella par hybridation in situ proposée pour estimer une activité physiologique de la cellule [START_REF] Manz | In situ identification of Legionellaceae using 16S rRNA-targeted oligonucleotide probes and confocal laser scanning microscopy[END_REF][START_REF] Joux | Use of fluorescent probes to assess physiological functions of bacteria at single-cell level[END_REF], est supérieure à la détection par culture. Cette technique est spécifique à 72 % du fait de l'emploi de sondes nucléiques complémentaires d'une séquence d'ARN appartenant aux Legionellaceae et sensible à 67 % [START_REF] Buchbinder | Evaluation of detection of Legionella spp. in water samples by fluorescence in situ hybridization, PCR amplification and bacterial culture[END_REF]. L'utilisation de cette méthodologie a été sollicitée car plusieurs auteurs ont rapporté la détection de légionelles alors qu'elles étaient incapables de croître sur milieu gélosé (légionelles viables non cultivables) [START_REF] Steinert | Resuscitation of viable but nonculturable Legionella pneumophila Philadelphia JR32 by Acanthamoeba castellanii[END_REF][START_REF] Nystrom | Not quite dead enough: on bacterial life, culturability, senescence, and death[END_REF][START_REF] Heidelberg | Effect of aerosolization on culturability and viability of gram-negative bacteria[END_REF][START_REF] Ishimatsu | Sampling and detection of Legionella pneumophila aerosols generated from an industrial cooling tower[END_REF]. Cependant, la lecture des résultats obtenus par hybridation in situ est difficile du fait d'une intensité de fluorescence des légionelles hybridées faible indiquant les légionelles aérosolisées présentent probablement un nombre faible de ribosomes, en particulier du fait de leur état physiologique, comme cela a déjà été suggéré pour d'autres bactéries environnementales [START_REF] Poulsen | Use of rRNA fluorescence in situ hybridization for measuring the activity of single cells in young and established biofilms[END_REF][START_REF] Ramos | Bacterial activity in the rhizosphere analyzed at the single-cell level by monitoring ribosome contents and synthesis rates[END_REF][START_REF] Amann | Phylogenetic identification and in situ detection of individual microbial cells without cultivation[END_REF][START_REF] Delong | Phylogenetic stains: ribosomal RNA-based probes for the identification of single cells[END_REF]. Mais il faut préciser que la méthodologie FISH peut détecter les bactéries mortes ou en train de mourir mais ayant un pool d'ARN ribosomaux encore suffisant pour être détecté par microscopie, aussi bien que les vivantes [START_REF] Villarino | Exploring the frontier between life and death in Escherichia coli: evaluation of different viability markers in live and heat-or UV-killed cells[END_REF].

L'absence de légionelles cultivables après collecte par impaction en milieu liquide (Impinger SKC), alors qu'elles sont présentes dans l'eau de douche, peut s'expliquer par un trop faible volume d'aérosol collecté (i.e. 145 L), l'existence de légionelles viables non cultivables ou actives non cultivables [START_REF] Nystrom | Not quite dead enough: on bacterial life, culturability, senescence, and death[END_REF], le stress de dessiccation lors de l'aérosolisation et de la collecte conduisant à une perte de la cultivabilité des bactéries aérosolisées [START_REF] Bollin | Aerosols containing Legionella pneumophila generated by shower heads and hot-water faucets[END_REF][START_REF] Wang | Effect of sampling time and air humidity on the bioefficiency of filter samplers for bioaerosol collection[END_REF][START_REF] Griffiths | Effect of aerosolization, growth phase and residence time in spray and collection fluids on the culturability of cells and spores[END_REF]. Par ailleurs, certaines souches de L. pneumophila ne sont pas cultivables sur milieu BCYEα avec L-cystéine [START_REF] Bornstein | Manuel de bactériologie clinique[END_REF].

Les dix premières minutes de recueil permettent de détecter des légionelles par hybridation in situ alors que le second prélèvement de 10 minutes donne des concentrations moindres voir nulles en légionelles. Sur la base des travaux de Dennis [START_REF] Dennis | Legionella pneumophila in aerosols from shower baths[END_REF] et Tervieza [START_REF] Terzieva | Comparison of methods for detection and enumeration of airborne microorganisms collected by liquid impingement[END_REF], un prélèvement de 15 minutes, pour permettre de collecter un nombre optimal de légionelles peut être préconisé.

Les résultats obtenus lors de ces essais préliminaires sont sans doute également influencés par la nature du milieu de recueil des légionelles : l'eau distillée stérile apyrogène [START_REF] Pascual | Detection of Legionella pneumophila in bioaerosols by polymerase chain reaction[END_REF]. Des essais relevés dans la littérature montrent que le milieu de recueil a une importance sur la collecte des bactéries de l'air. Ainsi pour les légionelles, quelques études indiquent que le bouillon BYE permet de récupérer plus de légionelles comparativement à d'autres milieux testés [START_REF] Breiman | Role of air sampling in investigation of an outbreak of legionnaires' disease associated with exposure to aerosols from an evaporative condenser[END_REF][START_REF] Ishimatsu | Sampling and detection of Legionella pneumophila aerosols generated from an industrial cooling tower[END_REF]. Nos résultats semblent indiquer une relation entre les légionelles dans l'eau et dans l'air, qui fluctuent de la même façon selon les jours et les heures de prélèvement. Cependant, des essais supplémentaires sont nécessaires pour pouvoir mettre en évidence et quantifier le cas échéant ou infirmer une relation entre les légionelles dans l'eau et dans l'air. A notre connaissance, aucune donnée n'existe dans la littérature sur les taux de transfert eau/air pour les légionelles.

Le nombre de légionelles cultivables dans l'eau rapporté au nombre de légionelles cultivables dans l'aérosol nous permet d'obtenir un chiffre correspondant à la réduction du nombre de légionelles lors du passage de l'eau à l'air, qui varie selon les études de 1,5.10 6 à 7,2.10 8 . Lors d'une étude d'Ishimatsu [START_REF] Ishimatsu | Sampling and detection of Legionella pneumophila aerosols generated from an industrial cooling tower[END_REF], des souches de L. pneumophila sérogroupe 1, 3 et 6 ont été retrouvées dans les prélèvements d'eau d'une tour aéroréfrigérante. La concentration moyenne des légionelles cultivables était de 1,2.10 6 UFC/L. Une UFC de L. pneumophila sérogroupe 6, dont le profil de migration électrophorétique après PCR était identique à celui des souches retrouvées dans l'eau a été mise en évidence avec les Impingers ; le ratio de légionelles cultivables eau/air était de 7,2.10 8 . Breiman ( 14) a effectué des dosages de légionelles simultanément dans l'eau du réservoir et l'air du panache d'une tour aéroréfrigérante lors de l'investigation d'une épidémie de maladie des Légionnaires survenue dans une maison de retraite de Los Angeles en 1988. Il retrouvait plus de 9.10 6 UFC/L dans l'eau du réservoir et 2,3 UFC/L d'air. La réduction du nombre de légionelles cultivables après aérosolisation était donc de 3,9.10 6 . Une étude anglaise a réalisé des détections simultanées de L. pneumophila dans l'eau et dans l'aérosol produit par une douche. Les analyses ont mis en évidence des concentrations de l'ordre de 10 3 UFC/L dans l'eau et 6,67.10 -4 UFC/L d'air, soit un ratio de légionelles cultivables entre l'eau et l'air de 1,5.10 6 (13). Bien que les durées et volumes de prélèvements d'air, les milieux de recueil des Impingers SKC, les milieux d'ensemencement des légionelles ainsi que la méthode de détection des légionelles soient différentes par rapport à nos conditions expérimentales, nos résultats semblent prometteurs puisque la réduction de la concentration de légionelles mesurées par hybridation in situ pendant le passage de l'eau lors du premier jet à l'air varie dans notre étude de 1,9.10 3 à 1,8.10 4 .

332-MAS100

Parmi les nombreux milieux gélosés disponibles, les géloses GVPC ont été sélectionnées au vu de la mise en évidence de légionelles cultivables à proximité d'un bassin de boues activées d'une station d'épuration [START_REF] Stampi | Occurrence and seasonal variation of airborne gram negative bacteria in a sewage treatment plant[END_REF] et lors d'une épidémie de fièvre de Pontiac dont la source était une tour aéroréfrigérante [START_REF] Friedman | Pontiac fever outbreak associated with a cooling tower[END_REF]. Dans notre étude, aucune légionelle n'a pu être mise en évidence par impaction directe sur une gélose de type GVPC. La présence de moisissures a gêné la lecture par leur extension rapide. La présence de flore interférente sur la détection par culture de légionelles aérosolisées a précédemment été décrite [START_REF] Nystrom | Not quite dead enough: on bacterial life, culturability, senescence, and death[END_REF][START_REF] Ishimatsu | Sampling and detection of Legionella pneumophila aerosols generated from an industrial cooling tower[END_REF]. Les résultats obtenus ainsi que les limites de certains biocollecteurs concordent avec ceux recensés dans la littérature. L'étude d'Ishimatsu, qui a utilisé conjointement un impacteur sur milieu solide (impacteur d'Andersen à six étages, appareil fonctionnant selon le même principe que le MAS et constitué d'une succession de boîtes étagées, chacune collectant des particules aérosolisées de diamètre décroissant au cours de la progression de l'aérosol dans l'impacteur), et un impacteur en milieu liquide (Impinger) pour déterminer la contamination d'un panache de tour aéroréfrigérante n'a pu conclure que sur les résultats issus de l'Impinger. Ceux issus de l'impaction directe sur milieu gélosé se sont avérés ininterprétable du fait de la présence d'une flore fongique interférente, et ce malgré la présence d'un antifongique dans le milieu de recueil [START_REF] Ishimatsu | Sampling and detection of Legionella pneumophila aerosols generated from an industrial cooling tower[END_REF].

Pour étudier la transmission par aérosol des légionelles présentes dans l'eau, Bollin [START_REF] Bollin | Aerosols containing Legionella pneumophila generated by shower heads and hot-water faucets[END_REF] [START_REF] Bollin | Aerosols containing Legionella pneumophila generated by shower heads and hot-water faucets[END_REF]. L'impossibilité manifeste de détecter des légionelles par la méthode d'impaction sur milieu solide (gélose) peut également être attribuée à la dessiccation de ces bactéries ainsi qu'au traumatisme de l'impaction, facteurs pouvant altérer la cultivabilité des légionelles [START_REF] Wang | Effect of sampling time and air humidity on the bioefficiency of filter samplers for bioaerosol collection[END_REF]. Il serait sans doute intéressant de travailler avec des milieux gélosés contenant des antifongiques et d'en évaluer l'influence sur la détection des légionelles. Les essais pourraient également être effectués avec un milieu spécifique des bactéries à Gram négatif car la plupart des isolats récoltés sont des bactéries à Gram positif, bactéries présentes dans l'air [START_REF] Gorny | Bacterial and fungal aerosols in indoor environment in Central and Eastern European countries[END_REF].

333-Filtres

Bien qu'utilisée pour la collecte de micro-organismes aéroportés [START_REF] Pillai | Bioaerosols from municipal and animal wastes: background and contemporary issues[END_REF], à notre connaissance aucune publication ne porte sur la collecte de légionelles d'aérosol par filtration. Ceci peut s'expliquer probablement par des performances de collecte qui semblent faibles pour la filtration comparativement à l'impaction ou à l'impingement [START_REF] Terzieva | Comparison of methods for detection and enumeration of airborne microorganisms collected by liquid impingement[END_REF]. Par ailleurs, le stress occasionné par l'aérosolisation et la collecte sur un filtre sec a sans aucun doute contribué à la perte importante de légionelles, même avec une détection des bactéries par hybridation in situ.

Dans ces essais, la filtration apparaît comme le moyen de collecte le plus létal pour les bactéries et les légionelles en particulier, comme cela a déjà été observé dans quelques études [START_REF] Duchaine | Comparison of endotoxin exposure assessment by bioaerosol impinger and filter-sampling methods[END_REF][START_REF] Durand | Effect of sampling time on the culturability of airborne fungi and bacteria sampled by filtration[END_REF].

4-Conclusion

  Prélèvements et détection de légionelles aérosolisées au niveau d'une douche dans un établissement de santé C. Landelle 1,2,3 , D. Zmirou-Navier 1 , P. Vanhems 2 , M. Maurin 3 , J.-M. Seigneurin 3 , P. Hartemann 1 , L. Mathieu 4 . 1-Département Environnement et Santé Publique, Université Henri Poincaré, INSERM ERI n°11 :[EP] 2 R, Nancy. 2-Département d'hygiène hospitalière, épidémiologie et prévention, Hôpital E. Herriot, Lyon. 3-Laboratoire de bactériologie-virologie, CHU Michallon, Grenoble. 4-Ecole Pratique des Hautes Etudes, INSERM ERI n°11:[EP] 2 R, Nancy. Département Environnement et Santé Publique, Ecole Pratique des Hautes Etudes, INSERM ERI n°11, Faculté de Médecine, 9 avenue de la Forêt de Haye, BP 184, 54505 Vandoeuvrelès-Nancy, France.

10 3 à 1 , 8 . 1 -

 181 10 4 . La technique FISH présente l'avantage d'être rapide (1 jour versus 10 jours pour la culture). Le couplage d'une collecte par impaction en milieu liquide et une détection par FISH permettrait un gain de temps important lors d'une investigation de cas et pourrait permettre de mieux caractériser l'exposition de population à l'agent Legionella. Mots clefs : Légionelles, Aérosol, Hybridation in situ, Culture, Impaction en milieu liquide Key words : Legionella, aerosols, In Situ Hybridization, Culture Techniques, Air Sampling En 1976, à Philadelphie, lors d'un congrès de l'American Legion comportant 4400 participants, 182 d'entre eux ont été atteints d'une pneumonie foudroyante d'étiologie inconnue. 141 personnes furent hospitalisées (81 %) et 29 décédèrent (16 %) (1). En janvier 1977, le « Center for Diseases Control » (CDC) d'Atlanta annonça la découverte par McDade et son équipe (2, 3) d'une nouvelle espèce bactérienne (Legionella pneumophila) responsable de cette « anadémie » (contamination multiple sans contamination inter humaine) appelée, compte tenu des circonstances « maladie des Légionnaires ». Plusieurs travaux ont ensuite montré que cette bactérie était également responsable d'une maladie antérieurement décrite, notamment à Pontiac en 1968 et responsable d'un syndrome pseudo-grippal, d'où le terme de Fièvre de Pontiac (4). Depuis, d'autres espèces appartenant au genre Legionella ont été identifiées et le terme de « légionelloses » est actuellement utilisé pour désigner toutes les infections dont elles sont responsables. La contamination humaine par les légionelles se fait par inhalation d'aérosols formés à partir de milieux hydriques contaminés. La prévention actuelle de la légionellose repose notamment sur la quantification des légionelles dans les réseaux d'eau, par méthode de culture (Norme AFNOR NF T90-431 ; septembre 2003) (5). Toutefois, cette méthode est longue (dix jours), et ne donne pas forcément une bonne appréciation de la contamination de l'air par Legionella. Notre étude porte donc sur la mise au point d'une technique optimale de prélèvement et de détection des légionelles aérosolisées permettant de mesurer cette contamination aérienne, et sur la comparaison de deux techniques (culture versus hybridation in situ), cette dernière technique permettant de rendre un résultat beaucoup plus rapidement, ce qui est essentiel pour identifier une source de contamination au cours d'une épidémie. Matériel et méthodes 11-Conditions générales de prélèvement Des prélèvements d'eau et d'aérosols ont été effectués au mois d'avril 2003 dans un pavillon d'un établissement hospitalier disposant d'un réseau d'eau mitigé, sur une douche utilisée quotidiennement et située à l'extrémité du réseau. Quatre séries de prélèvements ont été effectuées sur une semaine, trois à 11 heures du matin (J0, J+1 et J+7) après la douche des patients et un (J+5) a été effectuée à 5 heures 45, avant la douche des patients. Les légionelles ont été détectées par la méthode de référence : la norme AFNOR NF T90-431 (novembre 1993) (6) et en parallèle par une technique d'hybridation in situ (ou Fluorescence in situ hybridization ou FISH) adaptée des travaux de Manz et al. (7).

  Dès l'obtention des premiers résultats, l'établissement a été averti et des mesures correctives ont été mises en place (choc thermique, purge, suppression du mitigeur en production) comme le préconise la circulaire DGS/SD7A/SD5C-DHOS/E4 n° 2002/243 du 22/04/2002 (15). Certains auteurs ont noté que la production d'un aérosol contaminé au niveau d'une arrivée d'eau se faisait essentiellement à partir des bactéries contenues dans l'eau située entre l'extrémité de cette arrivée et la valve du robinet (12). Le premier jet à l'ouverture d'un robinet peut donc être plus concentré en Legionella que le reste du jet d'eau, et ce d'autant plus après stagnation d'une nuit. Un prélèvement au premier jet simule en partie l'exposition d'un sujet au moment où il commence sa douche alors qu'un prélèvement effectué après flambage et purge du premier jet est plus représentatif de la qualité globale du réseau d'eau. Le moment du prélèvement influence donc fortement la quantification des Legionella, donc la caractérisation de l'exposition et la perception du risque lié à la présence de ces bactéries. La douche prélevée dans cet établissement est majoritairement contaminée par des Legionella pneumophila de sérogroupe 2 à 14 (identifiées par culture), compte tenu de leur proportion importante par rapport au nombre total de Legionella mis en évidence par hybridation in situ. La différence entre les prélèvements premier jet et fin de douche concernant le nombre de L. pneumophila sérogroupe 2-14 (obtenu par culture sur gélose) et le nombre de Legionella.sp. (obtenu par hybridation in situ) peut être expliqué par une perte de la cultivabilité des bactéries (16) et la présence de légionelles non cultivables (17-20).

  a prélevé des échantillons d'eau de robinet et de douche, des écouvillons de pommes de douche et de robinetterie et des prélèvements d'aérosol grâce à des bioimpacteurs d'Andersen. Ces résultats ont montré d'une part des coefficients de réduction très disparates d'un site à l'autre au sein du même réseau et d'autre part que ceux-ci (3 à 8.10 7 ) sont en moyenne plus élevés que ceux des Impingers

Figure 1 -

 1 Figure 1-Relation entre le nombre de Legionella pneumophila exprimé en UFC/L d'eau (identification par culture) et le nombre de légionelles/L d'air (identification par Hybridation in situ) sur les quatre jours de prélèvement. A1 correspond aux premières 10 minutes de prélèvement de l'impinger au jour J0. A2 correspond aux 10 minutes suivantes de prélèvement de l'impinger au jour J0. B11 et B21 correspondent aux deux résultats obtenus pour les deux impingers en parallèle lors des premières 10 minutes de prélèvement au jour J+1. B12 et B22 correspondent aux deux résultats obtenus pour les deux impingers en parallèle lors des deuxièmes 10 minutes de prélèvement au jour J+1. C11 et C21 idem que B11 et B21 pour le jour J+5. C12 et C22 idem que B12 et B22 pour le jour J+5. D11 et D21 idem pour jour J+7. D12 et D22 idem pour le jour J+7.


Manuel Trotta
email: manuel.trotta@emse.fr

Claudia Archetti
email: archetti@essec.edu

Dominique Feillet
email: dominique.feillet@mines-stetienne.fr

Alain Quilliot
email: quilliot@isima.fr

A pickup and delivery problem with a fleet of electric vehicles and a local energy production unit

Keywords: pickup and delivery, electric vehicles, routing, energy production

des établissements d'enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

INTRODUCTION

We study a problem in which a set of capacitated Battery Electric Vehicles (BEVs) carry out pickup and delivery operations with time windows constraints. The energy needed to recharge the batteries of these vehicles is produced in a production unit (p.u.) that is also the depot of the vehicles. Additional batteries are available at the depot, where vehicles can go and swap their batteries. Pickup and delivery operations must be planned over a time horizon divided into periods. In each period it must be decided how much energy to give to the batteries that are at the production unit. Also, if the energy produced is in excess of that required by the batteries, this excess can be sold to the general network at a profit. If the energy required by the batteries is greater than the energy produced, an unlimited amount of energy can be bought from the general network. The objective of the problem is to plan vehicle routes to meet all pickup and delivery demands while maximizing the profit that is made from the energy sold over the time horizon.

We now briefly cite the relevant literature. [START_REF] Gonçalves | Optimization of a distribution network using electric vehicles: A VRP problem[END_REF] is one of the first papers to study pickup and delivery problems with a mixed fleet of BEVs and Internal Combustion Engine Vehicles. In [START_REF] Grandinetti | A pick-up and delivery problem with time windows by electric vehicles[END_REF] the electric Pickup and Delivery Problem with Time Windows (E-PDPTW) is studied. In the context of people transportation, one of the first studies on Dial-a-Ride problems with electric vehicles is [START_REF] Chabrol | A Coupling Metaheuristic-Simulation for a Dial-A-Ride Problem with Electric Autonomy Constraints in Real Traffic Conditions[END_REF]. In [START_REF] Masmoudi | The dial-a-ride problem with electric vehicles and battery swapping stations[END_REF] the authors address the DARP with electric vehicles and a battery swapping policy. Since our problem deals with the management of the energy produced, it can be seen as an integrated problem sharing similarities with the Inventory Routing Problem (IRP) [START_REF] Dror | A computational comparison of algorithms for the inventory routing problem[END_REF] or the Production Routing Problem (PRP) [START_REF] Adulyasak | Optimization-Based Adaptive Large Neighborhood Search for the Production Routing Problem[END_REF].

TRISTAN XI Symposium

Original abstract submittal

PROBLEM DESCRIPTION AND MILP MODELLING

The problem can be formally described as follows. We have a complete directed graph G = (N , A), where N is the set of all nodes and A = {(i, j) : i, j ∈ N , i ̸ = j} is the set of arcs connecting each pair of nodes. The set of nodes N = {0, 2n + 1} ∪ P ∪ D consists of two copies of the depot/production plant (0, 2n + 1) , the set of pickup nodes P = {1, . . . , n} and the set of delivery nodes D = {n + 1, . . . , 2n}. Every route begins and ends at the depot. There are n transportation requests that have to be served over a planning horizon H of H periods {1, . . . , H}, each of duration τ . Periods can be interpreted as hours. The time horizon can be interpreted as a whole day, and nothing happens between two time horizons. The state of the fleet/system at the end of the time horizon is exactly the state of the system at the beginning of the following time horizon. An arc (i, j) in set A has an associated non-negative energy cost e ij and a non-negative travel time τ ij . We assume that a fleet V of |V| = V homogeneous BEVs is available at the depot, each of capacity Q. Vehicles can swap their batteries at the depot. We assume that vehicles move at constant speed on the network. K batteries are available, each of capacity Q e . Among them, V batteries are located on the vehicles and K -V are located at the depot. In each period h, p h is the energy produced, and it is available at the beginning of the period. If a battery is recharged during a period, it is available only at the end of the period. Moreover, if a vehicles visits the depot to swap its battery, the latter can be recharged only from the following period on. Anyway, vehicles are allowed to visit the depot and wait for the end of the period. The recharging rate is denoted by λ, and corresponds to the maximum quantity of energy that a battery can get in a period. The average state of charge of a battery is the same at the beginning and at the end of the time horizon. We make this hypothesis because the idea is to define a sustainable/domestic production and consumption of the energy that vehicles use. In fact, the production unit can be imagined as a solar power plant. Every transportation request specifies an origin s i , a destination t i , a time window [r i , d i ] and a demand q i , where this demand at each delivery is equal to q n+i = -q i . Each user node must be visited exactly once, while the depot may be visited multiple times. Moreover, the depot must be visited at the beginning and at the end of each tour. The time window to visit the depot is set to [0, L], where L is length of the planning horizon (L = Hτ ). Moreover, we assume that the number of stops that a vehicle can make to swap its battery is not limited. Vehicles are allowed to wait at any node in the graph.

At the beginning of each period h, the energy p h must be split among the batteries located at the depot and the general network. If the energy is assigned to the general network there is a profit. If in a period h the energy produced p h is not sufficient to recharge the batteries, additional energy can be bought from the general network. Obviously, the energy cannot be bought and sold to the general network in the same period h. The quantity of energy that can be bought from the general network is not limited. The energy cost is different for each period h: α h denotes the unitary selling cost and β h denotes the unitary purchasing cost (β h > α h significantly). The objective is to satisfy all transportation requests at maximal revenue. The revenue is defined as the difference between the quantity of energy sold to and the quantity of energy bought from the general network. The side-effect is that the energy used by the vehicles must be minimised.

We now introduce the notation used in the problem formulation. We call trip a couple t = (r, h) where r is a path between two nodes and h is the starting period of the path. All trips are made up by paths where the depot is the starting and ending node. In what follows, we make the simplifying hypothesis that trips can only start (end) at the beginning (at the end) of a period. We denote the set of trips with T . Let ϵ it denote a parameter that is equal to 1 if request i belongs to trip t and δ th is equal to 1 if trip t is active during period h. Let c th denote the cost of trip t in period h. Let γ k denote the state of charge of battery k at the beginning of the time horizon. For each period h, let the continuous variables s h denote the quantity of energy sold, b h the quantity of energy bought and l kh the state of charge of battery k at the end of period

TRISTAN XI Symposium

Original abstract submittal h. Let a kh denote the quantity of energy given to battery k in period h. Let u kh be a binary decision variable equal to 1 if battery k is at the depot for an entire period h. Let x kt denote a binary decision variable equal to 1 if battery k is used in trip t. Note that if k∈K x kt = 0 then trip t is not selected. The formulation is as follows:

max h∈H α h s h - h∈H β h b h (1) s.t.: k∈K a kh + s h = p h + b h h ∈ H (2)
a kh ≤ λu kh k ∈ K, h ∈ H (3)
l k0 = γ k k ∈ K (4) k∈K l kH ≥ k∈K l k0 (5)
l kh = l kh-1 + a kh - t∈T c th δ th x kt k ∈ K, h ∈ H (6) l kh ≤ Q e k ∈ K, h ∈ H (7) k∈K (1 -u kh ) ≤ V h ∈ H (8)
u kh + t∈T δ th x kt ≤ 1 k ∈ K, h ∈ H (9) t∈T ϵ it k∈K x kt ≥ 1 i ∈ R (10) b h , s h ≥ 0 h ∈ H (11)
a kh ≥ 0 k ∈ K, h ∈ H (12) l kh ≥ 0 k ∈ K, h ∈ H ∪ {0} (13)
u kh ∈ {0, 1} k ∈ K, h ∈ H (14) x kt ∈ {0, 1} k ∈ K, t ∈ T (15)
Constraints (2) ensure that in each period, the energy produced is completely split among the batteries and the general network. Constraints (3) impose a limit on the amount of energy given to a battery in a period. Constraints (4) and ( 5) ensure that the average state of charge is the same at the beginning and at the end of the time horizon. Constraints (6) model the change in battery charge levels over time. Constraints (7) specify the upper bound for the battery charge levels. Constraints (8) set an upper bound on the number of active vehicles. Constraints (9) ensure that trips are done only by active vehicles. Constraints (10) ensure that each request belongs to at least one trip. Constraints (11)-( 15) define the decision variables. Note that time and capacity constraints are taken into account when the trips are generated.

SOLUTION METHOD

Our problem can be seen as an integrated problem where both routing decisions and energy management decisions have to be made. Formulation (1)-( 15) is an integrated model based on set T of trips. As formulation (1)-( 15) suffers from the fact that the number of feasible trips is exponential, we propose a heuristic algorithm which is based on a heuristic generation of a subset of feasible trips. Specifically, the solution method can be divided into three phases:

TRISTAN XI Symposium

Original abstract submittal 1. generation of a subset T of trips 2. resolution of formulation ( 1)-( 15) based on T 3. repair procedure.

As for phase 1, we use a randomized construction heuristic. Let h 1 and h 2 denote the starting and ending period of a trip t, respectively. For every possible pair (h 1 , h 2 ) we generate a pool of promising trips using a Greedy Randomized Adaptive Search Procedure (GRASP). Once we have set T we solve formulation (1)-( 15) over set T (phase 2). Due to constraints (10) multiple trips that contain the same request may be selected and therefore a pair of nodes may be visited more than once. This could be needed in order to satisfy all requests, as we do not generate all possible trips. In such a case, solutions are repaired as follows (phase 3). If T i is the subset of selected trips that all contain request i, we leave i in the trips that corresponds to the maximum saving of the distance travelled. We tested our formulation on benchmark instances introduced in [START_REF] Li | A Metaheuristic for the Pickup and Delivery Problem with Time Windows[END_REF] for the Pickup and Delivery Problem with Time Windows (PDPTW). We adapted the instances by generating data on energy production and consumption, as well as on selling and buying price for energy. Detailed results of the solutions will be presented during the conference.


Rafael Accácio Nogueira
email: rafael-accacio.nogueira@centralesupelec.fr

Romain Bourdais
email: romain.bourdais@centralesupelec.fr

Simon Leglaive
email: simon.leglaive@centralesupelec.fr

Hervé Guéguen
email: herve.gueguen@centralesupelec.fr

Expectation-Maximization Based Defense Mechanism for Distributed Model Predictive Control

Keywords: Distributed constrained control and MPC, Cyber security in networked control systems, Decentralized Control and Large-Scale Systems

Controlling large-scale systems sometimes requires decentralized computation. Communication among agents is crucial to achieving consensus and optimal global behavior. These negotiation mechanisms are sensitive to attacks on those exchanges. This paper proposes an algorithm based on Expectation Maximization to mitigate the effects of attacks in a resource allocation based distributed model predictive control. The performance is assessed through an academic example of the temperature control of multiple rooms under input power constraints.

INTRODUCTION

The information collected, processed, and transmitted within cyber-physical systems (CPS) impacts physical systems whose proper functioning is essential for society, like energy networks, industrial processes, water distribution, and others. Attacks in those critical infrastructures, such as Stuxnet, increased awareness for cyber-security of CPS.

Given these structures' complexity, scale, and geographic distribution, it is necessary to adopt decentralized control structures rather than monolithic ones. For these systems, a set of controllers are designed to collectively ensure the safe and efficient operation of the facilities. This operation is done cooperatively, where the controllers exchange information. This approach can be used, i.e., for the voltage regulation of electrical networks, the production-consumption balance in these same networks, water distribution, and many other applications. Multiagent systems [START_REF] Kantamneni | Survey of multi-agent systems for microgrid control[END_REF] and distributed Model-based Predictive Control (dMPC) [START_REF] Maestre | Distributed Model Predictive Control made easy[END_REF] are standard approaches to design these controllers.

A few articles have focused on safety in dMPC frameworks, presenting vulnerabilities of different frameworks, such as Lagrange-based decomposition [START_REF] Velarde | Vulnerabilities in lagrange-based distributed model predictive control[END_REF], Jacobi-Gauss decomposition [START_REF] Chanfreut | Vulnerabilities in distributed model predictive control based on Jacobi-Gauss decomposition[END_REF], and primal decomposition [START_REF] Nogueira | Detection and mitigation of corrupted information in distributed model predictive control based on resource allocation[END_REF].

The authors in these works highlight the complexity of the problems. A modification of a local goal, the hacking of communication, or the failure of one of the agents are events that disrupt global behavior. If one of these agents is attacked, it can result in the violent destruction of the corrupted element (perhaps the whole system), or more subtly, it can lead to a deviant behavior that is more difficult to detect. Some strategies are presented to mitigate the effects of such an event. For instance, dismissing extreme values as in [START_REF] Velarde | Vulnerabilities in lagrange-based distributed model predictive control[END_REF] or using secure scenarios based on reliable historical data [START_REF] Maestre | Scenario-based defense mechanism against vulnerabilities in lagrange-based dmpc[END_REF]. [START_REF] Nogueira | Detection and mitigation of corrupted information in distributed model predictive control based on resource allocation[END_REF] proposed a safe algorithm based on data reconstruction to mitigate the effects of a false data injection (FDI) in the communication between a coordinator and local constraint-free agents, which were bound by global equality constraints.

In this paper, we propose an extension of their approach by including local constraints and changing the global constraints. This extension profoundly changes the complexity, as the exchanges between the agents and the coordinator are no longer characterized by affine functions but by Piecewise Affine (PWA) functions. This fact leads not only to a combinatorial explosion but also to a parametric identification challenge. To overcome this problem, we propose using a learning method based on the Expectation Maximization (EM) algorithm [START_REF] Dempster | Maximum likelihood from incomplete data via the em algorithm[END_REF], which allows us to estimate the corruption mechanism and correct it if necessary. This paper is organized as follows. First, Section 2 introduces the primal decomposition-based dMPC and its vulnerabilities. Then in Section 3, we study the local problems and propose a detection and mitigation mechanism based on the Expectation Maximization algorithm. Moreover, in Section 4, we illustrate the algorithm with an academic simulation and assess its performance. Finally, in Section 5, we conclude with an outlook of future works.

Notation: In this paper, ∥•∥, ∥•∥ , and ∥v∥ Y = ∥Y 1 2 v∥ represent the ℓ 2 , Frobenius and weighted norms. Proj T (•) is the Euclidean projection onto T . ⊗ (⊙) is the Kronecker (Hadamard) product. vec(A) vectorizes matrix A. n : i : j is a row vector builder with elements {n, n + i, . . . , n + mi}, where m = truncate( j-n i ), and n : j means i = 1. 0 m = 0 m×1 (1 m = 1 m×1 ), where 0 m×n (1 m×n ) is a 0 (1) filled m-by-n matrix. 1 {x} is the indicator function returning 1 if x is true and 0 otherwise. S n , and S n ++ (S n + ) are symmetric and positive (semi-)definite matrices of size n. A † = (A T A)

-1 A T . A vector v i , corresponds to the i-th agent, and these vectors can be stacked in a vector v. E [x] is the expected value of random variable x, and P(A | B) is the conditional probability of A given condition B. diag(A 1 , . . . , A N ) corresponds to a block diagonal matrix.

PROBLEM STATEMENT

In this section, we present a dMPC algorithm based on the primal decomposition [START_REF] Boyd | Notes on decomposition methods[END_REF] and a vulnerability of the decomposition, which can be exploited.

Model Predictive Control

Consider a system composed of discrete-time linear timeinvariant agents i ∈ M = {1 : M }, modeled by

x i [k + 1] = A i x i [k] + B i u i [k] y i [k + 1] = C i x i [k] , (1)
with x i [k] ∈ R nx , u i [k] ∈ R nu and y i [k] ∈ R ny . Each agent's input u i [k] is constrained by 0 nu ⪯ u i [k] ⪯ u max , (2)
with u max ∈ R nu . The agents are coupled by global input constraints with weighting matrices Γ i ∈ S nu + :

i∈M

Γ i u i [k] ⪯ u max .
(3)

The overall system is controlled by a Model-based Predictive Control (MPC), which computes the optimal input for a finite prediction horizon H = {1 : N p } by solving the following problem:

minimize u[k:k+Np-1|k] J[k] i∈M J i [k] j∈H ∥v i [k + j|k]∥ 2 Qi + ∥u i [k + j -1|k]∥ 2 Ri subject to (1), (2) and (3) ∀i ∈ M ∀j ∈ H , (4)
where

Q i ∈ S + , R i ∈ S ++ , and v i [k] is a control objective. J ⋆ [k]
denotes the optimal value of the objective function for the optimal control sequences u

⋆ i [k : k + N p -1|k].
The problem in (4) is solved at each time k, and the u ⋆ i [k|k] are applied in their respective subsystem i, following a receding horizon strategy (RHS).

Since the prediction horizon and the number of agents can be large, solving (4) at each time k can be rather challenging due to computational costs. Another issue that can arise is the fact that the complete information

I i = {A i , B i , C i , Q i , R i , Γ i , v i }
from all the subsystems is needed to solve the problem, which can be viewed negatively from a confidentiality point of view. So, we use the primal decomposition method, sometimes called quantity decomposition or resource allocation, with which we can profit from the parallelism, while avoiding the use of the complete information I i .

Primal Decomposition based dMPC

The technique decomposes the monolithic MPC in (4) into M modified MPC problems (5a) (solvable in parallel by each subsystem) called local problems, and a master problem (5b), which is equivalent to the global problem and is solved by a coordinator.

J ⋆ i (θ i [k]) = minimize u i [k:k+Np-1|k] J i [k] subject to (1) & (2) Γ i u i [k] ⪯ q i [k] : d i [k]    ∀i ∈ M ∀j ∈ H (5a) J ⋆ = minimize q i [k:k+Np-1|k] i∈M J ⋆ i (q i [k]) subject to i∈M q i [k] ⪯ umax q i [k] ⪰ 0n u , ∀i ∈ M    ∀j ∈ H (5b)
The modified MPC problems (5a) are created by exchanging the u max in (3) by vectors q i [k], which correspond to the quantity of the total resource u max allocated to agent i in time k for each prediction j, thus the names resource allocation and quantity decomposition. This new set of constraints have associated dual

variables d i [k] ⪰ 0 nu . The sequences q i [k : k + N p -1|k] and d i [k : k + N p -1|k] can be aggregated in vectors θ i [k] = 1 Np ⊗ q i [k], and λ i [k] = 1 Np ⊗ d i [k].
The master problem finds the optimal allocation sequences θ ⋆ i by using a projected sub-gradient method:

θ[k] (p+1) = Proj S (θ[k] (p) -ρ (p) g[k] (p) ), (6) where
S = {θ | I M c θ ⪯ U max & θ ⪰ 0}, being c = N p n u , I M c = 1 M ⊗ I c , U max = 1 Np ⊗ u max , (
p) is a given step in the iterative process and g (p) [k] is a sub-gradient of the objective function of problem in (5b) in step (p).

From [START_REF] Boyd | Notes on decomposition methods[END_REF], it is known that

-λ i [k] are sub- gradients of objective J[k]. Plugging it in g[k] (p) we have θ[k] (p+1) = Proj S (θ[k] (p) + ρ (p) λ[k] (p) ), (7)
which henceforth is referred to as the negotiation.

Once the negotiation for a given time k converges, the u ⋆ i [k|k] found in the last step of the negotiation are applied in their corresponding agent and then the RHS is followed.

The algorithm to find the optimal θ ⋆ i [k] can be summarized in Algorithm 1, and the exchange between coordinator and agents can be seen in Fig. 1. Subsystems solve (5a), and send λ ⋆ i (θ

MPC 1 . . . MPC M Coordinator Negotiation λ1[k] θ1[k] λM [k] θM [k]
(p) i ) Coordinator updates allocations (7) p := p + 1 until ∥θ (p) -θ (p-1) ∥ ≤ ϵ
One can observe that each agent only sends λ i [k] instead of using I i . An interpretation of λ i [k] is the dissatisfaction of agent i with the resource θ i [k] allocated for it, where λ i [k] = 0 c means total satisfaction. The coordinator trusts in the authenticity of the λ i [k] received to update the allocations. However, if false data is injected, the negotiation can be driven by a malicious agent, taking advantage of this trust to favor itself, harm others or even destabilize the negotiation, as shown in [START_REF] Nogueira | Detection and mitigation of corrupted information in distributed model predictive control based on resource allocation[END_REF].

Our main objective is to mitigate the effects of a given configuration where agents send untrustworthy λi = γ i (λ i ).

TOWARDS A SAFE DMPC

Here we focus on the local problems in (5a), and study how their structure can contribute for a safe dMPC algorithm.

Local Problems -Formal Analysis

The local problems (5a) can be rewritten in a equivalent (same solution) constrained quadratic program (QP) form:

minimize U i[k] J i (θ i ) = 1 2 U i [k] T H i U i [k] + f i [k] T U i [k] (8a) subject to Γi U i [k] ⪯ θ i [k] : λ i [k] (8b) U i [k] ⪰ 0 c , (8c)
v i [k] = y i [k] and v i [k] = y i [k] -w i [k].
The approach depends only on the fact that H i ∈ S + does not vary w.r.t. k, while f i [k] does. Those facts are instrumental for the results in the following sections.

We can get an explicit solution for the dual variables λ i [k], which are Piecewise Affine (PWA) functions w.r.t. θ i [k]:

λ i [k] = -P n i θ i [k] -s n i [k], if G n [k]θ i [k] ⪯ b n [k], (9)
with n ∈ {1 : N }.

The halfspaces defined by the pairs

(G n [k], b n [k]
) represent the combinations of active constraints (8b) for a given time k, which vary w.r.t.

v i [k].
The P n i are constructed using H i and Γi ; and s n i are constructed using H i , f i [k] and Γi . The specific construction depends on the active constraints in (8b). For example, if all constraints are active, we have

P ac i = ( Γi H -1 i ΓT i ) -1
and

s ac i [k] = P ac i Γi H -1 i f i [k].
Futhermore, if all constraints are inactive, we have P in i = 0 c×c and s in i = 0 c .

Remark 1. The s n i [k] depend on time k, while P n i do not. Challenge 1. It is important to note that since v i [k] is unknown by the coordinator, it cannot anticipate the partition of the space for each agent. Challenge 2. For the same reason, the values of s i [k] are also unknown.

As each constraint can be active or inactive, for a given group of t constraints, we can have at most N = 2 t different combinations of active sets. Assumption 1. We assume that none of the active/inactive constraints combinations are redundant (no linear dependency), nor make the optimization infeasible (no empty intersection). Thus we always have N zones.

The Attack

We suppose the malicious agent chooses a function γ i (•) to use throughout a given time k. Assumption 2. γ i (•) does not change during the negotiation phase for a given time k. Assumption 3. The agent chooses a linear function

λi = γ i (λ i ) = T i [k]λ i , ( 10
) where T is invertible. Such attack function results in a PWA solution for λi [k]: λi [k] = -P n i [k]θ i [k] -sn i [k], if G n [k]θ i [k] ⪯ b n [k], (11) with n ∈ {1 : N }, P n i [k] = T i [k]P n i and sn i [k] = T i [k]s n i [k].
Observe that as the function is applied only in λ i [k], it does not affect the zones' hyperplanes.

We fix the index for the zones where all constraints are active to 1, now referenced to as zones 1 or the 1-zones.

Detection and mitigation

Supposing we have a sequence of θ i [k] in a zone j, we can estimate the parameters for this zone with

λi [k] = γ i (λ i (θ i [k])) = -P j i [k]θ i [k] -sj i [k]. (12)
Assumption 4. The nominal value of P j i for this given j-zone, denoted P j i , is available from reliable attack-free historical data.

Since P j i do not change w.r.t. time, we can detect a deviation from nominal behavior using

E i [k] = ∥ P j i [k] -P j i ∥ F . Let D i be an indicator D i = 1 {Ei[k]≥ϵ P } , (13)
which detects the attack in agent i if the disturbance E i [k] disrespects an arbitrary bound ϵ P .

If an attack is detected, we can estimate the inverse of T i (k) with

T i (k) -1 = P j i P j i [k] -1 , ( 14
) if P j i [k]
is invertible, and P j i [k] is only invertible when all constraints are active, that means, when j = 1. Assumption 5. For each agent i, at every time k, there is a corresponding 1-zone.

Moreover, from (9), we can reconstruct λ :

λ irec = T i [k] -1 λi (15)
In order to estimate P 1 i [k], we must have enough observed points in the 1-zones, so we propose to generate points surrounding arbitrary θi in the 1-zones. Assumption 6. Given the unconstrained solution of 8

Ů ⋆ i [k] = -H -1 i f i [k], we suppose Γi Ů ⋆ i [k] ⪰ 0 c
for all k, that means, the points θ i = 0 c are in the 1-zones.

Unfortunately, since we do not know the hyperplanes separating the different zones, we do not know how close of θi = 0 c we need to generate our points. So we generate points arbitrarily close to θi and use the Expectation Maximization (EM) algorithm, which can potentially identify the parameters of all N modes.

Expectation Maximization

As the method is the same for all agents and repeated each time k, we drop the subscript i and the time dependency [k] to simplify the notation.

Given a set of parameters P, a set of observable data B and a set of non-observable data U, the main objective of the EM algorithm is to find estimators of P that maximize the log marginal likelihood of the observed data ln P(B; P), for models with latent variables in U.

Since maximizing ln P(B; P) does not have an analytical solution, the algorithm solves the optimization problem iteratively. So, rather than finding the P that maximizes ln P(B; P), we find the P that maximizes the expectation of the complete data log-likelihood ln P(B, U; P) w.r.t. the posterior probabilities P(U|B; P) calculated using a given set of parameter estimates P cur . These steps provide a convergence-guaranteed iterative algorithm ensuring a monotonic increase of the log-marginal likelihood at each iteration (Algorithm 2). As (11) gives us a multidimensional PWA function, we propose using a multidimensional expansion of the model referred to as mixture of linear regressions in [START_REF] Faria | Fitting mixtures of linear regressions[END_REF] to map the relation between Θ and Λ.

We will call the model mixture of affine regressions, since our regressors have linear and constant terms:

λ o = -P z θ o -sz , if in zone z, (17) with z ∈ Z = {1 : Z}. Remark 2.
Observe that the indices z, do not necessarily correspond to the original indices n.

As ( 17) is a PWA function whose modes depend on the unknown zone z ∈ Z, we associate to each couple (λ o , θ o ) a latent unobserved random variable z o that indicates in which zone in Z the observable variables were obtained. These variables are organized in Z ∈ R 1×O which is our set of latent variables U.

The latent variable z o follows a categorical prior distribution, with associated probabilities Π = {π z |z ∈ Z} such

P(z o = z) = π z ∈ [0, 1], z∈Z π z = 1.
As parameters to estimate, we have P = {P z | z ∈ Z}, with P z = ( P z , sz , π z ).

Since θ is our input, we consider a non-informative improper probability density function [START_REF] Christensen | Bayesian ideas and data analysis: an introduction for scientists and statisticians[END_REF] P(θ o ) ∝ 1.

Given the input and latent variables, the response variable λ o is modeled as a multivariate normal random variable with probability density function

P(λ o |θ o , z o = z; P z ) = N (λ o ; f (θ o ; P z ), Σ z ), (18)
where, following (17), the mean vector is defined by f (θ o ; (P, s, π)) = -P θ os, and the covariance matrix Σ z tends to 0.

We can calculate the posterior probabilities ζ zo (P) = P(z o = z|λ o , θ o ; P), also called responsibilities:

ζ zo (P) = π z N (λ o ; f (θ o ; P z ), Σ z ) Z j=1 π j N (λ o ; f (θ o ; P j ), Σ j ) , (19)
and then calculate the expectation of ln P(Θ, Λ, Z; P) with respect to ζ zo (P cur ) (Bishop, 2006, Chapter 9)

E ζzo(Pcur) [ln P(Θ, Λ, Z; P)] = o∈O z∈Z ζ zo (P cur )α zo , (20)
where

α zo = ln π z + ln N (λ o ; f (θ o ; P z ), Σ z ).
Remark 3. The Σ z used in (19) are updated using a technique called Simulated annealing [START_REF] Ozerov | Multichannel nonnegative matrix factorization in convolutive mixtures for audio source separation[END_REF], where they are initialized with arbitrarily significant values indicating the uncertainty of the parameters and it is reduced as the estimations converge.

Here we introduce a variable ϕ z = [vec( P z ) T (s z ) T ] T . We can find an optimal ϕ z for the problem in (16), by taking the gradients of (20) with respect to vectors ϕ z and making them vanish. Because of the multidimensional nature of the problem, some matrix operations are needed to synthesize the results. After those operations, we have a matricial solution that yields the optimal estimates ϕ z new : .

ϕ z new = (Ξ z Ω) † Ξ z vec(Λ), (21) where
Ω = [(ΥΘ∆) ⊙ Y ; G], with matrices Υ = 1 T c ⊗ I c , ∆ = I O ⊗ 1 T c , Y = G ⊗ 1 c , G = 1 T O ⊗ I c , and Ξ z = diag( ζ(z z1 ; P cur )I c , • • • , ζ(z zO ; P cur )I c ).
As we can see, ( 21) is the solution of a weighted Least-Squares, with responsibilities as weights, which adjust the contribution of all observations to the regression models.

We can see some similarities to the K-planes algorithm (see [START_REF] Bradley | K-plane clustering[END_REF]), but EM is more compromising. Instead of affecting the observed data to a zone with 100% of certainty (hard assignment), EM uses each zone's responsibilities (soft assignment).

Once the estimates ϕ new z converge, we can reconstruct the estimates P z and sz , and use them in our mitigation scheme proposed in §3.3. Since the z indices do not necessarily correspond to the indices n in (9) (due to initialization of P), to find the z that corresponds to n = 1, we take the observation o for θ = 0 c , which we know belongs to the 1-zone, and we find the most probable z with arg max.

z ζ zo (P).

Remark 4. A discussion about the initialization and update of other parameters is beyond the scope of this article, so we refer the reader to Bishop (2006).

Safe dMPC Algorithm

Integrating the EM to our detection and mitigation mechanism we can propose in Algorithm 3 a secure dMPC, divided into two phases: detection and negotiation. The new algorithm corresponds to adding a supervision layer for each agent as in Fig. 2 Algorithm 3: Secure DMPC. The system consists of 4 distinct rooms (I to IV), which we want to control the air temperatures inside each one of them. The systems are modeled as continuous-time linear time-invariant systems using the 3R-2C model, with parameters in Tables 1 and2, and dynamics

ẋi (t) = A ci x i (t) + B ci u i (t) y i (t) = C ci x i (t) , (22)
with

A ci =     - 1 C walls i R oa/ia i - 1 C walls i R iw/ia i 1 C walls i R iw/ia i 1 C air i R iw/ia i - 1 C air i Ro i - 1
C air i R iw/ia i     B ci = 10 C walls i 0 T C ci = [1 0] , MPC 1 . . . MPC M Coordinator Superv. 1 Superv. M Negotiation λ1[k] θ1[k] λM [k] θ M [k]
Fig. 2. Exchange between agents in secure dMPC.

where

x i = [x A T i x W T i ] T .
x Ai and x W i are the mean temperatures of the air and walls inside room i. u i is the input (the heating power) for the corresponding room. The inputs are constrained by

4 i=1 u i (t) ⪯ 4kW.
The subsystems are discretized using zero-order hold discretization method with sampling time T s = 0.25h and the quantity decomposition-based dMPC is implemented using prediction horizon N p = 4.

Three scenarios are simulated for a period of 12.5h:

(1) Nominal behavior.

(2) Agent I presents non-cooperative behavior for k ≥ 25.

(3) Agent I presents non-cooperative behavior for k ≥ 25, with correction.

For scenarios ( 2) and (3), Agent I uses .

In Fig. 3, first, we compare the air temperature in room I with its reference (w I = 25.5 • C), and then the decision variable E I (k) with the threshold ϵ P . Observe that the reference w I is not reached in the nominal behavior (in magenta), due to power constraints by which the systems are influenced. As expected, the decision variable lies under the threshold ϵ P = 10 -4 with values of order E N I (k) ≈ 10 -10 . When the agent presents a selfish behavior (in orange), the tracking error w Iy I is reduced, almost attaining the reference. In this case, the detection variable surpasses ϵ P , E S I ≈ 200, indicating the change of behavior. When the correction is activated in the system, the temperatures approach their nominal value y N I . We can also illustrate the good performances of our proposition by comparing the inputs in Fig. 4. When room I is selfish, its control increases while other rooms' decrease. When the correction is activated, it approaches the nominal.

[k] -P 1 I F p E N I (k) E S I (k) E C I (k)
We can also evaluate the performance of the proposed mechanism by comparing the objective functions calculated using the period of simulation N = 50 for the three scenarios (Table 3). When agent I is selfish, we see the decrease in its objective (≈ -40%), degrading the overall performance (≈ +10%). When the correction mechanism is activated, the absolute percentual error is | J C -J N J N | ≤ 10 -8 .

CONCLUSION AND FUTURE WORKS

In this paper, we proposed an algorithm for monitoring and correcting exchanges between agents in a resourcesharing framework. The first phase of the algorithm identifies the attacker by exploiting the exchange structure. After this identification, if necessary, it is possible to reconstruct the original mechanism and recover nominal optimality by inverting the attack. This principle should be generalized to cases when the attack is not entirely invertible, reconstructing by parts the original mechanism. Also, other decomposition structures and attack models need to be explored, which we plan to do shortly.

Fig. 1 .

 1 Fig. 1. Exchange between coordinator and agents.

  where U i [k] stacks the input prediction sequences, and Γi = I Np ⊗ Γ i . The values for H i and f i [k] vary depending on the control objective v i [k]. The approach presented in this paper works for linear control objectives such as

Fig. 3 .

 3 Fig. 3. Air temperature in room I and the decision variable E I [k] for three scenarios: nominal (N), selfish behavior (S), and selfish behavior with correction (C).

  For a group of O exchanges between an agent and the coordinator, we observe the input and response variables, identified as θ o and λ o , o ∈ O = {1 : O}, which can be organized in Θ, Λ ∈ R c×O . (Θ, Λ) is our set of observable data B.

	Algorithm 2: Expectation Maximization
	Initialize parameters P new repeat
	P cur ← P new E step:
	Evaluate P(U|B; P cur ) M step:
	Reestimate parameters using:
	P new = arg max.

P E P(U |B;Pcur) [ln P(B, U; P)] (16) until P cur converges

Table 1 .

 1 Model Parameters

	Symbol Meaning
	C air i C walls i R iw/ia i R ow/oa i R oa/ia i	Heat Capacity of Inside Air Heat Capacity of External Walls Resist. Between Inside Air and Inside Walls Resist. Between Outside Air and Outside Walls Resist. Between Inside and Out. Air (from windows)

Table 2 .

 2 Parameters for each agent

	Symbol	I	II	III	IV	Unit
	C walls	5.4 4.9 4.7 4.7	10 4 J/K
	C air	7.5 8.4 8.2 7.7	10 4 J/K
	R oa/ia	5.2 4.6 4.9 5.4 10 -3 K/W
	R iw/ia	2.3 2.4 2.3 2.9 10 -4 K/W
	R ow/oa	1.5 0.6 0.7 0.7 10 -4 K/W

Table 3 .

 3 Objective functions J i (% error)

	Agent	Nominal	Selfish	+ Correction
	I	35008.7 (0.0)	21969.6 (-40.0)	35008.7 (-0.0)
	II	29495.3 (0.0)	38867.4 (30.0)	29495.4 (0.0)
	III	24808.7 (0.0)	33266.4 (30.0)	24808.7 (0.0)
	IV	23457.8 (0.0)	31511.0 (30.0)	23457.8 (0.0)
	Global	112770.6 (0.0)	125614.4 (10.0)	112770.6 (-0.0)

  Bishop, C.M. (2006). Pattern Recognition and MachineLearning. Springer Science and Business Media LLC. Fig. 4. Control applied in all rooms for the 3 scenarios.

	4	Applied control u i (kW )
	Nominal	I	II	III	IV
	2
	0
	2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
	4
	Selfish	I	II	III	IV
	2
	0
	2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
	4
	+ Correction	I	II	III	IV
	2
	0
	2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50
		Time (k)