Kilian Raschel

Pierre Tarrago

Marches aléatoires dans un cône et fonctions discrètes harmoniques

Introduction

Marches aléatoires et comportement asymptotique

Dans cet article, nous nous intéresserons au comportement de marches aléatoires dans des domaines coniques et commencerons par présenter les motivations et contours de ce sujet. Rappelons qu'une marche aléatoire S = (S n ) n≥1 est un processus aléatoire à temps discret évoluant dans un espace d'états E (que nous considérerons ici toujours dénombrable), tel que la position de S au temps n + 1 dépend du passé uniquement à travers sa position au temps n. Formellement, nous avons donc

P(S n+1 = y|S m = x m , 1 ≤ m ≤ n) = P(S n+1 = y|S n = x n ) := k n (x n , y), (1)
pour tous y et x 1 , . . . , x n appartenant à E, où P(A|B) est la probabilité d'un évènement A sachant que l'évènement B est réalisé, appelée probabilité de A conditionnellement à B. Nous ferons l'hypothèse que la loi de transition k := k n est indépendante du temps (on dit alors que la marche aléatoire est homogène en temps). Une des questions principales est la compréhension de la marche aléatoire en temps long : sachant que la marche aléatoire part d'un point x 1 au temps n = 1, on s'intéresse à P(S n = y|S 1 = x 1 ), la probabilité qu'elle atteigne un point y en un temps n long. Deux cas classiques se présentent alors. Si E est fini, la situation est complètement comprise au premier ordre : sous certaines hypothèses génériques d'irréductibilité et d'apériodicité, ce qui signifie simplement que la marche aléatoire peut aller d'un point à l'autre de l'espace d'états sans évolution périodique, il existe une mesure de probabilité m sur E telle que quand n → ∞, P(S n = y|S 1 = x 1 ) → m(y) pour tous x 1 , y ∈ E. Observons en particulier qu'en temps long, la marche aléatoire oublie son point de départ.

Le deuxième cas classique est celui d'un réseau E = Z d , avec d ≥ 1, et d'un noyau k invariant par translation : k(x, y) = k(0, y -x) := f (y -x). Dans ce cas, qui est la situation principale analysée dans cet article, pour x 0 ∈ Z d , on notera (x 0 + S n ) n≥0 la marche aléatoire décalée de x 0 , avec S 0 = 0. Si la Avec des hypothèses supplémentaires, il est possible d'avoir un développement asymptotique précis de la probabilité précédente, ce que l'on appelle un théorème de la limite locale. Par exemple, si f admet un moment d'ordre deux et une dérive nulle, c'est-à-dire si x∈Z d f (x)|x| 2 < ∞ et x∈Z d f (x)x = 0, alors

P(S n = y) ∼ 1 (2πn) d/2 Γ , (2)
où Γ est lié aux moments d'ordre deux de f . Une fois encore, la marche aléatoire oublie son point de départ en première approximation. L'invariance par translation du noyau k est fondamentale pour l'obtention de ces comportements locaux. Il existe d'ailleurs des généralisations de ces résultats à des marches sur des groupes plus généraux que Z d ou sur des espaces homogènes, où une telle invariance par translation peut de nouveau être introduite. Au contraire, il est souvent très difficile d'obtenir un résultat asymptotique sur le comportement d'une marche aléatoire sur un espace qui soit à la fois infini et non invariant par translation ; c'est le programme de ce qui suit dans le cas de cônes.

Marches aléatoires confinées

Un moyen simple de considérer des espaces d'états infinis et non invariants par translation est de restreindre une marche aléatoire sur Z d à un sous-ensemble A infini du réseau. Sans vouloir faire écho à l'actualité sanitaire, il n'est pas simple d'imposer un confinement à notre processus : en effet, dans de nombreux cas P n≥0 {x 0 + S n ∈ A} = 0. Comment conditionner par un évènement de mesure nulle ?

Une façon élémentaire de contourner ce problème utilise le premier temps de sortie de A τ A x0 = inf{n ≥ 0 :

x 0 + S n ∈ A}. (3)
Nous pouvons introduire la marche S conditionnée à rester dans le domaine A jusqu'à un certain temps N ≥ 0, c'est-à-dire τ A x0 > N . Cela donne bien une marche aléatoire jusqu'au temps N (c'est-à-dire que (1) est encore satisfaite par le processus après conditionnement), dont les probabilités de transition sont données, pour x, y ∈ A et n < N , par

P(x 0 + S n+1 = y|x 0 + S n = x, τ A x0 > N ) = k(x, y) P(τ A y > N -n -1) P(τ A x > N -n) . (4)
Deux inconvénients sont intrinsèques à la construction précédente : tout d'abord ce nouveau processus n'est défini que jusqu'au temps N ; de plus, la nouvelle marche n'est homogène ni en temps ni en espace, et cela même si la marche initiale possédait cette double homogénéité.

Un moyen de retrouver une homogénéité en temps et un horizon de temps infini est de considérer la limite de (4) quand N tend vers l'infini. On obtient alors un nouveau processus S A = (S A n ) n≥0 dont les transitions valent, pour x, y ∈ A,

P(x 0 + S A n+1 = y|x 0 + S A n = x) = k(x, y) lim N →∞ P(τ A y > N -1) P(τ A x > N ) . (5)
Sous réserve d'existence de la limite ci-dessus (ce n'est en rien acquis !), le nouveau processus S A définit une marche aléatoire homogène en temps et à valeurs dans A (par construction). Son noyau est pourvu d'une structure bien particulière, qui fait un lien avec l'analyse harmonique. Fixons x 0 ∈ A et posons

h(y) = lim N →∞ P(τ A y > N -1) P(τ A x0 > N ) . ( 6
)
Nous noterons λ = h(x 0 ). On calcule alors la limite qui apparaît dans (5) :

lim N →∞ P(τ A y > N -1) P(τ A x > N ) = λ h(y) h(x) .
La relation P(τ A x > N ) = y∈A k(x, y)P(τ A y > N -1), obtenue par la propriété de Markov, conduit à

h(x) = λ y∈A k(x, y)h(y). (7)
En d'autres termes, la fonction h dans (6) est λ-harmonique discrète pour le noyau k et dans le domaine A.

Notre notation (6) permet de reformuler le noyau (5) de la marche conditionnée S A comme

k A (x, y) = λ h(y) h(x) k(x, y), (8)
pour x, y ∈ A. La transformation (8) d'un noyau k par une fonction h est appelée conditionnement de Doob, voir [START_REF] Doob | Discrete potential theory and boundaries[END_REF]. Cette construction fournit un nouveau noyau de marche aléatoire seulement si h est positive et λ-harmonique au sens de [START_REF] Denisov | Random walks in cones[END_REF]. Cette méthode, plus conceptuelle que l'approche intuitive présentée en (4), résout le problème du conditionnement par un évènement de mesure nulle. Les fonctions harmoniques jouent donc un rôle central dans le conditionnement de marches aléatoires de Z d à rester dans des sous-domaines fixés. De nombreuses questions se posent cependant au sujet de la construction précédente :

(Q1) Dans quels cas a-t-on bien convergence du quotient des probabilités de survie dans (5) ?

(Q2) Quand ( 5) est bien défini, il existe donc une fonction λ-harmonique h introduite en (6), directement liée au comportement probabiliste de la marche aléatoire en temps long. Peut-on construire et interpréter d'autres fonctions λ-harmoniques, qui conduiraient à d'autres conditionnements de Doob ?

(Q3) Le conditionnement (5) (ou ( 8)) de la marche aléatoire est entièrement décrit par la fonction harmonique h. Existe-t-il, pour certaines marches aléatoires au moins, un moyen de calculer explicitement ou numériquement h ?

Ces trois questions, qui guideront notre présentation, restent largement ouvertes à l'heure actuelle. Le présent article va résumer les résultats récents obtenus dans le cas où le domaine de confinement A est l'intersection d'un cône C de R d avec le réseau Z d . Tout en étant infinis et non invariants par translation, ces domaines sont omniprésents en probabilités pures et appliquées : ils sont par exemple régulièrement utilisés en théorie des files d'attente [START_REF] Cohen | Boundary value problems in queueing system analysis[END_REF][START_REF] Fayolle | Random walks in the quarter plane[END_REF], en combinatoire [START_REF] Bousquet-Mélou | Walks with small steps in the quarter plane[END_REF] ou encore en théorie des représentations des groupes de Lie [START_REF] Biane | Quantum random walk on the dual of SU(n)[END_REF]. Ils présentent de plus l'avantage d'être invariants par dilatation et d'être très bien compris d'un point de vue analytique : on sait par exemple décrire explicitement le noyau de la chaleur avec conditions de Dirichlet dans un cône C assez régulier [START_REF] Varopoulos | Potential theory in conical domains[END_REF], ce qui s'avère essentiel pour l'étude des marches aléatoires conditionnées (voir Section 2).

Formellement, nous allons fixer un sous-domaine connexe et ouvert Σ de la sphère unité

S d-1 ⊂ R d et considérerons le cône C = Z d ∩ (R * + • Σ).
Le domaine A considéré est donc l'intersection de Z d avec le cône engendré par l'ensemble des demidroites issues de 0 et passant par Σ.

Marches homogènes à dérive nulle et unicité de la fonction harmonique

Le cas le plus simple est celui d'une marche aléatoire homogène et à dérive nulle. En effet, pour notre cas conditionné on peut tirer profit de la très riche littérature sur les marches aléatoires à dérive nulle dans Z d (sans contrainte de cônes). Le cas d'une dérive non nulle sera abordé en Section 3.

Pour simplifier la description, nous supposerons que les accroissements de la marche ont une matrice de covariance égale à l'identité, c'est-à-dire, pour une marche sans dérive,

E[S 1 (i)S 1 (j)] 1≤i,j≤d
vaut la matrice identité, où S 1 (i) est la i-ème coordonnée de S 1 avec, rappelons-le, S 0 = 0. Par un changement linéaire approprié, les résultats de cette section restent toutefois valides sans cette restriction.

Probabilité de survie

Les nombreux résultats décrivant le comportement de marches dans des cônes culminent avec l'article [START_REF] Denisov | Random walks in cones[END_REF] de Denisov et Wachtel : il en ressort notamment que sous des hypothèses très faibles, il existe un paramètre p > 0 intrinsèque au cône C et une fonction V positive et 1-harmonique (au sens de [START_REF] Denisov | Random walks in cones[END_REF]) tels que le temps de sortie τ C

x (voir notre notation (3)) vérifie quand N → ∞

P(τ C x > N ) ∼ V (x) N p/2 . ( 9
)
Cette estimée assure en particulier la bonne définition de la marche conditionnée construite en [START_REF] Cohen | Boundary value problems in queueing system analysis[END_REF], ce qui répond à la question (Q1) : pour tout choix de x 0 ∈ Z d ∩ C, la fonction h définie en (6) est donc égale à V V (x0) et λ = h(x 0 ) = 1. Dans la suite, nous dirons simplement qu'une fonction est harmonique quand elle est 1-harmonique.

Du brownien aux marches

Nous souhaitons à présent mentionner un outil-clé utilisé par les auteurs de [START_REF] Denisov | Random walks in cones[END_REF] pour prouver [START_REF] Dreyfus | On the nature of the generating series of walks in the quarter plane[END_REF], et plus généralement pour aboutir à une description fine de la marche aléatoire conditionnée en temps long. Il s'agit d'un couplage entre marche aléatoire et mouvement brownien.

Rappelons qu'un mouvement brownien (B t ) t≥0 d-dimensionnel est un chemin aléatoire continu dans R d issu de 0 ; il représente l'objet limite universel des marches aléatoires sans dérive et non conditionnées : après renormalisation conjointe des trajectoires de S n par √ N entre les instants 1 et N et du temps par N , la trajectoire discrète ressemble à un mouvement brownien (B t ) 0≤t≤1 quand N devient grand. Cela implique en particulier qu'entre les temps 1 et N , l'ordre de fluctuation de ce type de marches aléatoires est de l'ordre √ N . Un phénomène plus précis a lieu : sans même renormaliser la marche aléatoire, il existe un mouvement brownien qui reste en tout temps 1 ≤ n ≤ N à distance négligeable de la marche aléatoire par rapport à l'ordre des fluctuations. En particulier, si ce mouvement brownien est loin des bords du cône, avec grande probabilité la marche aléatoire couplée s'en tiendra également éloignée. Ceci est très important pour notre étude : au lieu de considérer une marche discrète dans un domaine restreint, domaine de recherche pour lequel on a peu d'outils directs, il suffit de considérer un mouvement brownien pour lequel on a beaucoup plus d'informations, comme en témoigne par exemple l'un des articles fondateurs [START_REF] Deblassie | Exit times from cones in R n of Brownian motion[END_REF] de ce domaine.

Le comportement de la diffusion brownienne dans un domaine C de R d est plus simple à décrire que celui d'une marche aléatoire dans le même domaine : la (densité de la) probabilité P t (x, y) qu'un brownien issu de x ∈ C se trouve au voisinage de y ∈ C au temps t sans avoir quitté C suit l'équation de la chaleur avec conditions de Dirichlet au bord ∂C de C, c'est-à-dire

     ∂ t P t (x, •) -∆P t (x, •) = 0, sur C, P t (x, y) = 0, y ∈ ∂C, lim t→0 P t (x, •) = δ x ,
où lim t→0 P t (x, •) représente la limite au sens faible de la suite de fonctions (P t (x, •)) t>0 , δ x est la fonction de Dirac en x, et ∆ désigne le Laplacien classique de R d . De même, la probabilité de survie P t (x) (probabilité que le mouvement brownien issu de x n'ait pas quitté C à l'instant t) obéit à l'équation de la chaleur avec conditions de Dirichlet au bord et condition initiale

P 0 (x) = 1, x ∈ C.
L'équation de la chaleur dans un cône est classique du point de vue de l'analyse spectrale ; le comportement des solutions de ces équations aux dérivées partielles est gouverné par une fonction u : C → R + qui satisfait l'équation d'harmonicité ∆u = 0 sur C et u ∂C = 0. Il se trouve que cette fonction, appelée la réduite du cône, est l'unique fonction harmonique positive sur C s'annulant sur le bord (à une constante multiplicative près). Pour donner une idée du rôle fondamental joué par cette fonction dans le cas discret, notons que la fonction harmonique V donnée en (9) admet le comportement asymptotique suivant, quand |x| → ∞ et d(x, ∂C) ≥ ε|x| :

V (x) ∼ u(x)
quel que soit ε > 0, voir [START_REF] Denisov | Random walks in cones[END_REF]. La fonction V étant un exemple de fonction harmonique h introduite en Section 1, cette asymptotique répond partiellement à (Q3) loin des bords de C. En particulier, quand x et y sont grands et se tiennent éloignés du bord du cône, la marche conditionnée S A dans le domaine

A = C ∩ Z d grâce à la fonction harmonique h = V V (x0) a un noyau (8) asymptotiquement égal à k A (x, y) ∼ u(y) u(x) k(x, y).

Théorie de Doob et unicité de la fonction harmonique

Les résultats de Denisov et Wachtel apportent une réponse positive à (Q1) en s'appuyant sur la réduite u du cône C, qui est l'unique fonction harmonique positive pour l'opérateur Laplacien dans C satisfaisant aux conditions de Dirichlet. Il est donc tentant de supposer que de façon analogue, il existe une unique fonction harmonique discrète positive solution de [START_REF] Denisov | Random walks in cones[END_REF], à des constantes multiplicatives près. Cependant, comme nous avons pu écrire plus haut, l'une des difficultés posée par les marches conditionnées consiste en l'absence d'outils analytiques directs (voir toutefois les Sections 3.2 et 4 pour des approches analytiques possibles).

Il existe tout de même un moyen général de décrire l'ensemble des fonctions harmoniques positives d'une marche aléatoire, que nous allons maintenant aborder. Nous avons vu dans la Section 1.2 que conditionner une marche sur Z d à rester dans un domaine jusqu'à un temps long faisait apparaître, à la limite, une fonction harmonique particulière, voir [START_REF] Denisov | Random walks in cones[END_REF] : celle-ci se caractérise comme la limite d'un quotient de probabilités de survie, à condition que ce dernier converge. On souhaiterait modifier cette définition pour se débarrasser de la condition de convergence et ainsi obtenir toutes les fonctions harmoniques possibles. C'est précisément l'objectif de la théorie de la frontière de Martin.

Frontière de Martin

Cette théorie, dont nous ne pouvons donner qu'un court aperçu ici, relie de manière très précise l'ensemble des fonctions harmoniques positives au comportement asymptotique de la marche aléatoire sous-jacente. Les références [START_REF] Doob | Discrete potential theory and boundaries[END_REF][START_REF] Kurkova | Martin boundary and elliptic curves. Markov Process[END_REF][START_REF] Ignatiouk-Robert | Martin boundary of a killed random walk on a half-space[END_REF] contiennent une présentation détaillée de cette notion.

Élargissons d'abord notre problème en nous intéressant à l'équation

   g(x) - y∈C k(x, y)g(y) = f (x), x ∈ C, g(x) = 0, x ∈ ∂C, (10)
où f : C → R + est une fonction donnée. L'équation d'harmonicité [START_REF] Denisov | Random walks in cones[END_REF] est un cas particulier de [START_REF] Duraj | Martin boundary of random walks in convex cones[END_REF], posant f = 0. Cela revient naïvement à inverser l'opérateur Id-k |C (qui, rappelons-le, n'est pas injectif puisque la fonction V introduite en (9) est dans son noyau) ; on voudrait donc poser

g(x) = y∈C   n≥0 k n |C (x, y)   f (y) = y∈C   n≥0 P(x + S n = y, τ C x > n)   f (y) := Gf (x). (11)
Cette solution est bien définie pour toute fonction f à support fini si et seulement si la fonction de Green G(x, y) :

= n≥0 P(x + S n = y, τ C x > n) (12)
est finie pour tous x, y ∈ C. Cette condition de finitude est réalisée dès lors la marche aléatoire est transiente, ce qui signifie qu'elle ne passe qu'un nombre fini de fois par chaque état. L'hypothèse de transience est bien satisfaite dans notre situation : du fait de la dérive nulle, la marche aléatoire non conditionnée sort forcément du cône C en temps fini.

On vérifie facilement que la fonction de Green G(•, y) définie en ( 12) est solution de l'équation (10) pour f = δ y . En d'autres termes, elle est harmonique partout sauf en y ! L'observation-clé pour construire une fonction harmonique en tout point et positive réside dans la remarque suivante : prenons une suite de fonctions (f n ) n≥0 de C dans R + telle que

• quand n → ∞, f n (x) → 0 pour tout x ∈ C ;
• (Gf n ) n≥0 converge simplement sur C vers une fonction non nulle (les fonctions Gf n étant définies par [START_REF] Fayolle | Random walks in the quarter plane[END_REF]).

Sous ces conditions, lim n→∞ Gf n sera une fonction harmonique positive. L'exemple fondamental d'une telle construction est le suivant : fixons x 0 ∈ C et prenons

f n = 1 G(x 0 , y n ) δ yn , (13)
pour une suite de points (y n ) n≥0 allant vers l'infini dans C telle que la suite (Gf n ) n≥0 converge (alors nécessairement vers une fonction non nulle, puisque prenant la valeur 1 en x 0 ). La limite définit une fonction harmonique, qui dépend a priori de la façon avec laquelle la suite (y n ) n≥0 va à l'infini, mais ne dépend de x 0 qu'à une constante multiplicative près. L'ensemble des fonctions harmoniques ainsi obtenues est appelé la frontière de Martin de la marche.

Le théorème de représentation de Martin affirme alors que toute fonction harmonique égale à 1 en x 0 peut être obtenue comme combinaison convexe d'éléments de la frontière de Martin (le théorème donne en plus une structure particulière, voir [START_REF] Doob | Discrete potential theory and boundaries[END_REF], qui va au-delà du cadre de cette introduction). Ce théorème donne donc une description de l'ensemble des fonctions harmoniques positives, à condition de pouvoir décrire la frontière de Martin.

Présentons une application de cette théorie au problème de l'unicité de la fonction harmonique positive. Imaginons que pour y n tendant vers l'infini, la fonction de Green (12) admette l'asymptotique

G(x, y n ) ∼ 1 |x -y n | α V (x)F (y n ), (14)
où V est la fonction harmonique donnée en (9), F est une fonction indépendante de x et α est un paramètre dépendant éventuellement de y n . Pour la suite f n introduite en (13) et en omettant tout problème de convergence quand n tend vers l'infini, on aura

Gf n (x) ∼ V (x)F (y n ) V (x 0 )F (y n ) |x 0 -y n | α |x -y n | α ∼ V (x) V (x 0 ) .
On voit donc que pour toute suite (y n ) n≥0 tendant vers l'infini dans le cône, Gf n converge vers la fonction harmonique positive V , à une constante multiplicative près. Cela prouve l'unicité de la fonction harmonique positive. L'un des premiers travaux prouvant de tels résultats fut [START_REF] Biane | Quantum random walk on the dual of SU(n)[END_REF], en lien avec des algèbres de Lie. Dans le cas d'un cône C convexe ou assez régulier et sous certaines conditions de moments des accroissements de la marche aléatoire, une preuve du découplage ( 14) est donnée dans [START_REF] Duraj | Martin boundary of random walks in convex cones[END_REF] et expliquée dans le prochain paragraphe.

Asymptotique du noyau de Green

Pour comprendre le découplage asymptotique de G(x, y) évoqué en [START_REF] Kurkova | Martin boundary and elliptic curves. Markov Process[END_REF], il est instructif de décomposer la fonction de Green ( 12) comme suit :

G(x, y) = n=o(|x-y|) 2 P(x + S n = y, τ C x > n) + n |x-y| 2 P(x + S n = y, τ C x > n) := G negl (x, y) + G fluc (x, y), (15)
où le symbole " " désigne donc les indices n absents de la première somme, de manière à n'en oublier aucun. En effet, nous savons qu'une marche aléatoire non conditionnée fluctue avec une amplitude √ n au temps n ; cela rend naturelle la décomposition ci-dessus quand |x -y| devient grand, et on s'attend à ce que G negl soit négligeable devant G fluc .

Intéressons-nous au second terme dans [START_REF] Lawler | Harnack inequalities and difference estimates for random walks with infinite range[END_REF]. Quand n est nettement plus grand que |x -y|, la position relative de x et y importe peu ; seules comptent les positions de x et y par rapport au bord. Le terme

P(x + S n = y, τ C x > n) (16)
vaut donc approximativement

Cn -d/2 P(τ C x ≥ n/2)P(τ C y ≥ n/2),
où C > 0 est une constante et τ C y représente le temps de sortie pour la marche (-S n ) n≥1 : en effet, du point de vue de y la marche aléatoire va à l'envers ! La contribution n -d/2 est la contribution typique venant du théorème central de la limite locale en dimension d ≥ 1, voir (2). Utilisant [START_REF] Dreyfus | On the nature of the generating series of walks in the quarter plane[END_REF], on déduit que lorsque y → ∞,

G fluc (x, y) ∼ V (x) n |x-y| 2 n -d/2-p/2 P(τ C y ≥ n/2).
Quand y tend vers l'infini dans le cône, deux situations peuvent se présenter : soit la distance de y au bord reste macroscopique devant |y|, soit y s'approche du bord de C en allant vers l'infini. Dans le premier cas, la marche renversée issue de y ne voit pas le bord, et on peut ignorer le terme P(τ C y ≥ n/2). Dans le deuxième cas, la marche aléatoire partant de y ne voit pas l'origine du cône mais un cône C y tangent à C en un point proche de y. En raffinant les résultats de [START_REF] Denisov | Random walks in cones[END_REF], il est possible de montrer que τ C y se comporte de manière semblable à (9) pour le cône tangent C y , ce qui correspond à l'asymptotique

P(τ C y > n) ∼ P(τ Cy y > n) ∼ F (y) n q/2 ,
où F (y) ne tend pas vers 0 et q est le paramètre p du cône tangent C y . En sommant les contributions de G fluc sur n |x -y| 2 , on a alors le comportement asymptotique

G fluc (x, y) ∼ V (x)F (y)|x -y| -d-p-q+2 . ( 17
)
Le problème restant est de savoir quand, dans [START_REF] Lawler | Harnack inequalities and difference estimates for random walks with infinite range[END_REF], G negl (x, y) est effectivement négligeable par rapport à G fluc (x, y). Posons q 0 = sup

K cône tangent à C q K .
Le raisonnement précédent via (17) permet d'interpréter d+p+q 0 -2 comme la décroissance maximale de G fluc (x, y) quand y tend vers l'infini. Si E[|S 1 | d+p+q0-2 ] = ∞, on peut construire un exemple (semblable aux contre-exemples pour l'inégalité de Markov quand la condition de moment n'est plus vérifiée) pour lequel

G negl (x, y) ≥ P(x + S 1 = y, τ C x > 1) ≥ |x -y| -d-p-q0+2
quand y tend vers l'infini, et donc pour lequel, en vertu de [START_REF] Varopoulos | Potential theory in conical domains[END_REF], G negl (x, y) n'est pas négligeable devant G fluc (x, y).

On peut montrer qu'une condition suffisante pour garantir la négligeabilité de

G negl (x, y) consiste à imposer E[|S 1 | d+p+q0-2+ε ] < ∞ pour un ε > 0 quelconque. On a alors, sous cette nouvelle condition de moment, G(x, y) ∼ V (x)F (y)|y -x| -d-p-q+2
quand |y| tend vers l'infini et, d'après le paragraphe sur la frontière de Martin, ce découplage entraîne l'unicité (à constante multiplicative près) de la fonction harmonique positive.

Au delà du cas homogène à dérive nulle

Nous allons présenter deux résultats importants, décrivant l'ensemble des fonctions harmoniques positives dans un cône dans le cas où la marche aléatoire a une dérive non nulle ou n'est pas homogène. Le cas d'une dérive non nulle, qui est traité en premier en suivant [START_REF] Ignatiouk-Robert | Martin boundary of a killed random walk on a half-space[END_REF], conduit à une caractérisation topologique de la frontière de Martin à l'aide d'une courbe particulière. Dans le cas d'une marche aléatoire non homogène avec dérive nulle, qui est abordé dans un deuxième temps et suit [START_REF] Bouaziz | Discrete harmonic functions on an orthant in Z d[END_REF], il est possible de retrouver l'unicité de la fonction harmonique, comme dans le cas homogène.

Dérive non nulle : heuristique et résultats

Commençons par évoquer le fameux théorème de Ney et Spitzer [START_REF] Ney | The Martin boundary for random walk[END_REF], traitant du cas classique de marches aléatoires dans Z d homogènes, irréductibles et avec dérive, pour lequel les fonctions exponentielles jouent un rôle central. Pour plus de commodité nous nous placerons en dimension d = 2 ; les techniques et résultats se généralisent verbatim en dimension quelconque.

Posons L(u, v) = (i,j)∈Z 2 f (i, j) exp(ui + vj) pour (u, v) ∈ R 2 où, rappelons-le (voir la Section 1), f (i, j) représente la probabilité de saut P(S 1 = (i, j)|S 0 = (0, 0)). Un calcul simple montre qu'une fonction exponentielle h(i, j) = exp(ui+vj) est harmonique si et seulement si son paramètre 8 + e -v 8 . La dérive (-1 6 , 1 4 ) est orthogonale à la courbe en l'origine. Ney et Spitzer [START_REF] Ney | The Martin boundary for random walk[END_REF] obtiennent l'asymptotique des fonctions de Green G(x, y) = n≥0 P(x + S n = y) Avant de passer au cas d'un cône (plus restreint géographiquement mais plus riche mathématiquement), évoquons brièvement la propriété de minimalité de certaines fonctions harmoniques. Une fonction harmonique positive h est dite minimale si les seules fonctions harmoniques g vérifiant 0 ≤ g ≤ h sont en fait proportionnelles à h. D'après la théorie de la frontière de Martin et le résultat de Ney et Spitzer, les exponentielles h(i, j) = exp(ui + vj) définissent les seules fonctions harmoniques minimales. On peut retrouver cette propriété par un calcul direct. Si en effet h(i, j) est harmonique, alors h(i + 1, j) l'est également. Sous une hypothèse non contraignante d'irréductibilité, on trouve facilement h(i, j) ≥ ch(i + 1, j), où par exemple c est la probabilité de visiter (i + 1, j) en partant de (i, j) si celle-ci est non nulle, et donc par minimalité h(i + 1, j) = ah(i, j). Comme un raisonnement symétrique s'applique à h(i, j + 1), on aboutit à la propriété classique de morphisme caractérisant les fonctions exponentielles.

(u, v) ∈ R 2 satisfait l'équation L(u, v) = 1. ( 18
) La fonction L est convexe et, en (u, v) = (0, 0), L(0, 0) = 1, ∇L(0, 0) = E[S 1 ] ∈ R 2 et
Examinons maintenant la situation des marches dans des cônes, à travers l'exemple du demi-plan Z×N. Les marches aléatoires réfléchies ou tuées dans des demi-espaces Z d-1 ×N sont des cas particuliers de processus Markov additifs (parfois appelés Markov modulés) : l'une des coordonnées (ici la première, qui vit sur Z) est la partie additive, invariante par translation ; la seconde coordonnée est une chaîne de Markov sur N (a priori inhomogène en espace) qui "module" le premier processus.

La structure des fonctions harmoniques minimales est claire : on peut appliquer l'argument précédent à h(i + 1, j) et déduire que toute fonction minimale harmonique prend la forme h(i, j) = exp(ui)h(0, j).

(

) 19
Cela nous permet d'effectuer une réduction de dimension. Supposons un instant u connu dans (19) ; alors la relation d'harmonicité discrète pour h(i, j) se transforme en une relation analogue mais undimensionnelle pour h(0, j). On bascule alors dans la théorie discrète du potentiel sur Z ou N, que nous ne développerons pas ici, mais pour laquelle de nombreux outils et résultats sont disponibles, et grâce à laquelle h(0, j) peut être caractérisée. Le point subtil est de trouver les valeurs possibles pour u dans (19). Suivant une idée originale de Foley et McDonald, on peut calculer de deux façons différentes la limite de

G (i + 1, j), (k, ) G (i, j), (k, ) (20)
lorsque (k, ) tend vers l'infini dans la direction de la dérive. Choisir cette direction particulière n'est en fait pas une restriction : on peut toujours s'y ramener grâce à une transformation de Doob comme présentée en Section 1. D'une part, en utilisant les asymptotiques de chacune des fonctions de Green au numérateur et dénominateur, on aboutit à une limite dans (20) de la forme h(i + 1, j)/h(i, j), où h est une certaine fonction harmonique, dont on peut montrer qu'elle est minimale. Par ailleurs, en utilisant une méthode de "décomposition de Bernoulli", qui étudie la dépendance de la fonction de Green en les premiers pas, toujours dans la direction asymptotique dictée par la dérive, on trouve que la limite de (20) est égale à 1. Autrement dit, après conditionnement de Doob, on trouve systématiquement u = 0 dans (19). Dans le cas des demi-espaces, les calculs sont menés dans [START_REF] Ignatiouk-Robert | Martin boundary of a killed random walk on a half-space[END_REF]. Des idées similaires fonctionnent pour d'autres cônes, avec des détails plus complexes selon la nature des cônes.

Marches inhomogènes et inégalités de Harnack

Les marches aléatoires (x + S n ) n≥0 considérées juqu'ici étaient homogènes en espace. Cela signifie (Section 1) que le noyau de la marche non conditionnée est de la forme k(x, y) = f (y -x), où f : Z d → R + est une mesure de probabilité. Cette hypothèse est cruciale dans la Section 2, puisqu'elle permet de réaliser un couplage entre marche aléatoire et mouvement brownien, expliquant ainsi les similitudes entre le comportement des fonctions harmoniques de la marche discrète et celles du cas diffusif. Cependant, une marche aléatoire générique est inhomogène en espace, et dans cette section nous présentons quelques idées qui s'appliquent dans ce cas non homogène.

Répondre à (Q1) (asymptotique de la probabilité de survie comme en ( 9)) dans le cas non homogène s'avère particulièrement complexe, en raison du comportement non régulier de la marche aléatoire. En revanche, il existe une approche permettant d'aborder la question (Q2) (description de l'ensemble des fonctions harmoniques). Cette méthode, décrite dans [START_REF] Bouaziz | Discrete harmonic functions on an orthant in Z d[END_REF], conduit au premier résultat général d'unicité de la fonction harmonique positive.

De nouveau, la méthode consiste à comparer la situation discrète engendrée par la marche aléatoire à la situation continue d'un processus de diffusion. Rappelons qu'une fonction harmonique pour le mouvement brownien est une fonction harmonique au sens (classique) analytique du terme, c'est-àdire vérifiant dans le domaine

∆f = d i=1 ∂ 2 f ∂x 2 i = 0.
Un comportement bien connu des fonctions harmoniques pour le Laplacien (valide en fait pour tout opérateur différentiel elliptique) est la propriété de moyennisation, qui se traduit par l'inégalité de Harnack : il existe une constante universelle C > 0 (dépendant uniquement de la dimension) telle que si f est une fonction positive harmonique sur une boule de centre x et de rayon 2R, alors pour tous y, z ∈ B(x, R) on a f (z) ≤ Cf (y).

Cette inégalité, qui peut s'obtenir directement à l'aide du noyau de Poisson dans le cas du Laplacien, se comprend intuitivement par le fait qu'une fonction harmonique varie peu quand elle s'éloigne du bord de son domaine de définition (précisément grâce à cette propriété de moyennisation).

Quand on impose de plus à la fonction harmonique de s'annuler sur le bord de son domaine, et si en outre ce bord est assez régulier (Lipschitz par exemple), on peut encore obtenir une inégalité de Harnack au bord, qui prend la forme suivante. Il existe une constante universelle C > 0 telle que pour toutes fonctions f, g harmoniques positives sur l'intersection d'une boule B(x, 2R) et d'un domaine, si f et g s'annulent sur le bord de ce domaine, alors

f (x) g(x) ≤ C f (e) g(e) , f (x) ≤ Cf (e), (22)
où e est un point à distance macroscopique du bord (relativement à R). Par des méthodes assez générales, on peut montrer que les équations (21) et (22) assurent en même temps l'existence et l'unicité de la fonction harmonique positive s'annulant sur le bord, pour tout domaine au bord assez régulier.

L'important travail mené dans [START_REF] Bouaziz | Discrete harmonic functions on an orthant in Z d[END_REF] est d'obtenir ces inégalités de Harnack dans le cas de marches aléatoires non homogènes à dérive nulle dans l'orthant N d . Ces marches doivent tout de même satisfaire certaines conditions : tout d'abord elles doivent être elliptiques, ce qui signifie qu'il existe α > 0 tel que k(x, x ± e i ) ≥ α pour tout vecteur de la base canonique e i . Cette condition est à rapprocher de la théorie des opérateurs différentiels elliptiques, pour lesquels les inégalités de Harnack existent. D'autre part, l'ensemble de pas doit être borné uniformément pour tout x ∈ N d . Cette dernière hypothèse est cruciale : dans le cas d'un ensemble de pas non bornés, les inégalités de Harnack peuvent ne plus être valables [START_REF] Lawler | Harnack inequalities and difference estimates for random walks with infinite range[END_REF]. À l'aide de ces inégalités, les auteurs de [START_REF] Bouaziz | Discrete harmonic functions on an orthant in Z d[END_REF] parviennent à prouver l'existence et l'unicité de la fonction harmonique positive (à constante multiplicative près) par des procédés très semblables à ceux utilisés dans le cas continu. En plus de constituer la première réponse à (Q2) dans un cadre général, ce résultat montre l'aspect central des inégalités de Harnack dans l'étude des chaînes de Markov discrètes. Cette approche a été poursuivie pour obtenir des estimées gaussiennes de marches aléatoires inhomogènes en espace dans des cônes, ou encore pour répondre à la question (Q2) dans le cas où le domaine sur lequel on restreint la marche aléatoire est un domaine Lipschitz.

Sur la construction explicite des fonctions harmoniques dans un quadrant

Cette section est consacrée à la question (Q3) dans le cas d'un quart de plan et d'une marche homogène.

Dans le cas classique continu, le calcul des fonctions harmoniques dans des cônes de R d s'effectue facilement, grâce à la décomposition polaire. À titre d'exemple, en dimension 2, toute fonction harmonique f (x, y) = f (ρ, t) dans le cône d'ouverture θ {ρe it : ρ ≥ 0 et 0 ≤ t ≤ θ} s'écrira comme une somme pondérée de termes ρ kπ/θ sin(ktπ/θ), avec k ≥ 1. Dans le cas discret, l'absence de décomposition polaire sera source de complications considérables mais aussi de richesses.

La littérature existante donne des pistes sur des constructions possibles de fonctions discrètes harmoniques. Si des polynômes ou exponentielles harmoniques peuvent être obtenus de façon élémentaire, via une récurrence, c'est souvent l'existence d'une structure supplémentaire qui ouvre la voie à la construction de fonctions harmoniques. Par exemple, lorsque le cône est une chambre de Weyl, des outils comme le principe de réflexion, des déterminants de Vandermonde, ou un détour par la théorie des représentations et des réseaux de poids permettent d'exprimer des fonctions harmoniques, voir par exemple [START_REF] Biane | Quantum random walk on the dual of SU(n)[END_REF].

Nous souhaitons ici présenter une construction plus analytique, qui est l'objet du travail [START_REF] Hoang | Constructing discrete harmonic functions in wedges[END_REF]. Notre approche, bien qu'intrinsèque à la dimension 2 (elle fonctionne a priori seulement dans le quart de plan -ou de façon équivalente dans tout cône convexe planaire, après transformation linéaire), ne suppose aucune symétrie ou structure additionnelle sur les pas. L'idée se résume simplement : en utilisant des séries génératrices, les équations d'harmonicité discrète [START_REF] Denisov | Random walks in cones[END_REF] se reformulent en une équation fonctionnelle, qui sera énoncée en (23). Celle-ci appartient à une classe d'équations qui, du fait de ses apparitions répétées dans des problèmes de files d'attente [START_REF] Fayolle | Random walks in the quarter plane[END_REF], de processus stationnaires dans le quart de plan, de processus transients [START_REF] Kurkova | Martin boundary and elliptic curves. Markov Process[END_REF], ou encore d'énumération des chemins en combinatoire [START_REF] Bousquet-Mélou | Walks with small steps in the quarter plane[END_REF], s'est retrouvée au centre d'investigations poussées de la part de différentes communautés mathématiques.

Notre construction permet de décrire l'ensemble des fonctions harmoniques réelles (non nécessairement positives), qui apparaissent notamment dans des développements asymptotiques de certaines quantités pertinentes, comme la probabilité de survie [START_REF] Dreyfus | On the nature of the generating series of walks in the quarter plane[END_REF]. Elle conduit donc à la description de la structure de l'ensemble des fonctions harmoniques. En outre, dans le cas où la frontière de Martin est un singleton (par exemple quand la dérive est nulle, comme prouvé dans [START_REF] Duraj | Martin boundary of random walks in convex cones[END_REF], voir notre Section 2.3), notre construction permet également de calculer l'unique fonction harmonique positive, celle utilisée pour le conditionnement de Doob dans les Sections 1 et 2.

4.1 Une équation fonctionnelle... Afin d'énoncer notre équation principale, nous introduisons donc une marche aléatoire dans Z 2 avec probabilité de saut f (k, ) dans la direction (k, ). Supposons que les sauts positifs sont petits, c'est-à-dire que f (k, ) = 0 si k > 1 ou > 1 ; en revanche, les sauts négatifs peuvent être choisis arbitrairement grands. Introduisons le noyau de la marche

K(x, y) = xy k, f (k, )x -k y --1 .
En vertu de notre hypothèse, K(x, y) est un polynôme (ou une série bivariée si les sauts ne sont pas bornés). Étant donnée une fonction harmonique générique h = (h(i, j)) i,j≥1 avec condition de Dirichlet (i.e., h(i, 0) = 0 pour i ≥ 1 et h(0, j) = 0 pour j ≥ 1), sa série génératrice est définie par

H(x, y) = i,j≥1
h(i, j)x i-1 y j-1 .

L'équation d'harmonicité [START_REF] Denisov | Random walks in cones[END_REF] pour h (pour λ = 1) se traduit alors par l'équation fondamentale K(x, y)H(x, y) = K(x, 0)H(x, 0) + K(0, y)H(0, y) -K(0, 0)H(0, 0).

Montrons à titre d'exemple que l'équation (23) a bien lieu dans le cas de la marche dite simple : 23) provient alors de calculs élémentaires. La série génératrice

f (1, 0) = f (0, -1) = f (-1, 0) = f (0, 1) = 1 4 . L'unique fonction harmonique positive vaut h(i, j) = ij et a pour série génératrice H(x, y) = 1 (1-x) 2 (1-y) 2 . L'égalité (
H(x, y) = 6(xy -1)(y -x) (1 -x) 4 (1 -y) 4 ,
qui correspond à la fonction harmonique signée h(i, j) = ij(i 2 -j 2 ), fournit un autre exemple de solution à l'équation (23).

... et de nombreuses questions

L'équation (23) montre que toute fonction génératrice d'une fonction harmonique doit prendre la forme (avec des notations évidentes)

H(x, y) = F (x) + G(y) K(x, y) (24)
pour des séries entières F et G. En revanche, si K(0, 0) = 0, la formule (24) ne définit pas nécessairement une série entière bivariée. Quelles sont les séries F et G telles que (24) est bien une série en (0, 0) ? Quel est le domaine d'analyticité de H(x, y) dans (24), ou de façon analogue, quelle est la croissance des fonctions harmoniques ? Quel choix de F et G conduit à des fonctions harmoniques positives ? L'ouvrage [START_REF] Cohen | Boundary value problems in queueing system analysis[END_REF] contient une idée féconde pour aborder les questions ci-dessus : dans un contexte probabiliste lié aux distributions stationnaires de marches aléatoires, les auteurs proposent d'évaluer l'équation fonctionnelle principale (23) sur

K = {(x, y) ∈ C 2 : |x| = |y| ≤ 1 et K(x, y) = 0}. (25)
Si, au premier abord peut-être, l'ensemble (25) paraît surprenant, il présente l'avantage de ne contenir que des x et y petits en module, donc on a de bonnes chances de pouvoir y évaluer nos séries génératrices ; de plus, lors de l'évaluation le terme de gauche de (23) disparaîtra, comme par définition K(x, y) = 0. En outre, les rôles joués par x et y sont clairement symétriques dans (25) ; finalement, les projections de cet ensemble s'avèrent décrire des courbes intéressantes S x et S y , voir la Figure 3. À gauche sur la Figure 3, en bleu, la courbe S x = S y définie par (25) dans le cas de la marche simple. Elle est contenue dans la courbe avec auto-intersection représentée au milieu. À droite, la courbe S x pour la marche (-1, 1), (1, 0), (0, -1) est l'intersection de la courbe représentée avec le disque unité. Le cercle unité est représenté en couleur or (sur les trois graphiques).

Réduction à un problème frontière

Si h est effectivement harmonique, l'évaluation de l'équation (23) pour (x, y) ∈ K donne immédiatement

F (x) + G(y) = 0, (26)
où F et G sont définies en (24). Supposons pour la fin de la Section 4 nous trouver dans le cas symétrique f (k, ) = f ( , k), car alors les projections S x = S y de (25) sont les mêmes en x et en y, ce qui simplifiera notre présentation.

f (t) = F (Ψ 1 (t)) si t ∈ H + , -G(Ψ 2 (t)) si t ∈ H -, (27)
et faisons tout de suite une première remarque. Supposant F et G analytiques à l'intérieur de S x , la fonction f est alors analytique sur C \ R. La fonction f est alors dite sectionnellement analytique. Plus intéressant encore, la condition (26) se réécrit simplement comme

f + (t) -f -(t) = 0, t ∈ R (28) où f + (t) et f -(t) représentent les limites de f (z) quand z → t dans H + et H -, respectivement.
Il est particulièrement frappant qu'après l'utilisation des séries génératrices et différentes reformulations, l'équation d'harmonicité [START_REF] Denisov | Random walks in cones[END_REF] devient équivalente à une condition tout à fait classique de continuité (28) pour la fonction f en (27). Toute fonction entière, en particulier tout polynôme, est continue au voisinage de R et donc résout (28). Via les changements de variables inverses (notamment dans les applications conformes), on décrit l'ensemble de toutes les fonctions harmoniques. Cette approche permet de répondre aux différentes questions posées dans la Section 4.2. Nous conjecturons [START_REF] Hoang | Constructing discrete harmonic functions in wedges[END_REF] que dans le cas d'une dérive nulle, l'unique fonction harmonique positive correspond à prendre f (t) = t dans (27) et (28). Positivité (de la fonction harmonique) rimerait donc avec minimalité (du degré du polynôme t dans f (t) = t).

5 Applications en combinatoire

Motivations et reformulation probabiliste

Depuis les années 2000, la communauté combinatoire s'est également emparée de questions étroitement liées aux marches (aléatoires ou déterministes) dans des cônes. Une des motivations principales est l'existence de bijections entre des modèles de marches dans des cônes et de nombreux objets combinatoires : permutations, tableaux de Young, marches ordonnées, orientations bipolaires, etc., voir par exemple [START_REF] Bousquet-Mélou | Walks with small steps in the quarter plane[END_REF]. En parallèle de ces motivations exogènes, les marches dans des cônes sont peu à peu devenues un objet combinatoire d'intérêt propre ; l'un des objectifs majeurs est de classifier les différents modèles de marches selon la complexité de la fonction génératrice de comptage associée, nous y reviendrons plus bas.

Du point de vue combinatoire, le problème typique est le suivant : on fixe un cône C de R d et un ensemble de pas ou directions possibles S de Z d ; on s'intéresse alors aux nombres entiers c(x; n) et c(x, y; n), qui comptent respectivement le nombre de chemins construits à partir de n sauts de S, partant de x et restant dans le cône pour le premier, et un raffinement de la quantité précédente prenant en compte une arrivée fixée en y, de telle sorte que y∈C c(x, y; n) = c(x; n).

Le lien avec les quantités probabilistes précédemment introduites est clair : en renormalisant par le cardinal de l'ensemble de pas à la puissance n (qui trivialement compte le nombre de marches partant de x sans contrainte de cône ni de point d'arrivée), on retrouve respectivement la probabilité de survie (9) et la probabilité locale [START_REF] Ney | The Martin boundary for random walk[END_REF] :

   c(x;n) |S| n = P(τ C x > n), c(x,y;n) |S| n = P(x + S n = y, τ C x > n). (29)
Étant basée sur l'approximation de la marche aléatoire par un mouvement brownien (Section 2), pour des raisons intrinsèques l'approche probabiliste ne permet pas d'obtenir des expressions exactes pour les nombres combinatoires d'intérêt c(x; n) ou c(x, y; n). Elle est en revanche parfaitement adaptée à des considérations asymptotiques, via les résultats obtenus par Denisov et Wachtel (voir (9) pour la probabilité de survie et ( 16) pour la probabilité locale). L'approche probabiliste permet aussi de compter (asymptotiquement) des chemins pondérés dans des cônes, ce qui par définition revient à poser des probabilités de transition non uniformes sur les pas de S. C'est une généralisation naturelle ; par exemple, certains modèles de marches uniformes en dimension d ≥ 2 sont équivalents, après projection, à des modèles de marches pondérées en dimension d < d.

En conclusion, la connaissance des fonctions harmoniques discrètes associées aux marches ainsi que de l'exposant critique du cône conduit à des asymptotiques précises pour les nombres de marches c(x; n) et c(x, y; n), via ( 9) et (29).

Classes de fonctions

De façon plus inattendue, l'interprétation probabiliste (29) permet d'aborder la question de la classification des fonctions génératrices n≥0 c(x; n)t n ou n≥0 c(x, y; n)t n (30) au sens suivant. Étant donnée une série n≥0 c n t n , on voudrait la situer dans la hiérarchie suivante des fonctions :

• fonctions rationnelles (quotients de deux polynômes),

• fonctions algébriques (solutions d'une équation polynomiale),

• fonctions différentiellement finies (solutions d'une équation différentielle linéaire à coefficients polynomiaux),

• fonctions différentiellement algébriques (également solutions d'une équation différentielle à coefficients polynomiaux, mais a priori non linéaire).

Hors de ces cas avec structure restent les

• fonctions hypertranscendantes (solutions d'aucune équation différentielle algébrique, à l'instar de la fonction Γ d'Euler ou de la fonction ζ de Riemann).

Dire si la série génératrice d'un modèle combinatoire appartient à l'un ou l'autre de ces ensembles de fonctions permet de classifier ce modèle au sein d'une classe plus vaste (par exemple les marches à petits pas dans le quadrant comme dans [START_REF] Bousquet-Mélou | Walks with small steps in the quarter plane[END_REF][START_REF] Dreyfus | On the nature of the generating series of walks in the quarter plane[END_REF]) ; cela donne en outre une mesure de sa complexité. Observons également qu'il est équivalent de dire qu'une série est différentiellement finie ou que ses coefficients sont P-récursifs, c'est-à-dire satisfont une équation de récurrence linéaire à coefficients polynomiaux (on peut penser aux nombres de Fibonacci, aux nombres de Catalan ou encore à la factorielle). L'existence de telles récurrences est très naturelle en combinatoire, dans la mesure où elles donnent accès au calcul efficace et rapide de coefficients associés à de grands indices. Ajoutons que les différents ensembles de fonctions susmentionnés satisfont différents théorèmes de clôture (ils restent stables par somme, produit, parfois composition, produit de Hadamard, etc.), ce qui les rend manipulables.

Rationalité des exposants critiques et nature des séries génératrices

Connaître l'asymptotique des coefficients c n donne une indication, voire une preuve, du fait que leur série génératrice n≥0 c n t n n'appartient pas à l'une des classes de fonctions mentionnées plus haut. Ainsi par exemple, si

c n ∼ K • r n • n α (31)
et si r est un nombre transcendant ou si l'exposant critique α est irrationnel ou un nombre entier négatif, alors la série ne peut pas être algébrique. Dans un esprit similaire, si la série est différentiellement finie, alors nécessairement r et α dans (31) sont tous deux des nombres algébriques. Dans un contexte plus combinatoire, mentionnons le résultat profond suivant dû à André, Chudnovski et Katz (présenté en détail dans [START_REF] Bostan | Non-D-finite excursions in the quarter plane[END_REF]). Si une suite d'entiers (c n ) n≥0 se comporte asymptotiquement comme (31) et si la série associée est une nouvelle fois différentiellement finie, alors nécessairement α est rationnel.

Avec cela en tête, il est naturel de se pencher sur la question suivante : étant donné nos nombres de marches c(x; n) et c(x, y; n) et leurs séries associées (30), sous réserve qu'ils puissent être décrits asymptotiquement comme (31), quand leur exposant asymptotique est-il rationnel ou irrationnel ? Par exemple, est-il possible d'étudier la rationalité de p dans (9) ?

Cela ouvre tout un champ de questionnements. Il y a peu à dire en dimension 1, car les exposants typiques sont rationnels (le plus souvent 0, -1 2 , -3 2 ). En dimension deux, on utilise d'abord (9) et (29) pour voir que l'exposant critique α dans (31) vaut α = -p 2 pour c(x; n) en dérive nulle. Un théorème de la limite locale (asymptotique de [START_REF] Ney | The Martin boundary for random walk[END_REF]) et (29) prouveraient que α = -p -1 pour c(x, y; n) sans condition sur la dérive. Les résultats de Denisov et Wachtel conduisent à

p = π arccos a , (32)
où a est naturellement associé à la marche aléatoire et s'interprète comme un coefficient de corrélation. L'algébricité de a est immédiate par construction (il est calculé en résolvant un système d'équations polynomiales). Mieux, la rationalité de p dans (32) est accessible et permet (voir [START_REF] Bostan | Non-D-finite excursions in the quarter plane[END_REF]) de prouver que tout un ensemble de modèles admet des séries non différentiellement finies. Ainsi les premier et dernier modèles sur la Figure 4 possèdent un α rationnel, tandis qu'on prouve facilement que p = π arccos(-1 4 ) / ∈ Q pour la marche du milieu sur la Figure 4.

En dimension d ≥ 3, Denisov et Wachtel [START_REF] Denisov | Random walks in cones[END_REF] expriment α au moyen de la valeur propre principale d'un problème de Dirichlet. De ce fait, on se heurte dès la dimension 3 à des questions de théorie spectrale encore ouvertes, comme par exemple le problème suivant : on considère un triangle sphérique et on essaie de calculer la première valeur propre pour le problème de Dirichlet. À gauche sur la Figure 5, la marche simple dans l'octant correspond à un triangle sphérique équilatéral avec angle π 2 , dont le spectre est parfaitement connu. À droite sur la même figure, un grand triangle équilatéral d'angle 2π 3 , qui correspond à une marche dans l'octant N 3 avec sauts égaux aux trois vecteurs de la Les combinatoriciens nomment cet ensemble de pas "Kreweras 3D", en lien avec les anciens travaux de Germain Kreweras. On conjecture que le premier exposant est irrationnel dans ce second cas.

Figure 1 -

 1 Figure 1 -Marches dans des cônes en petite dimension

  Hess[L](0, 0) est la matrice de covariance de S 1 , donc définie positive.Une dérive nulle garantit pour une marche irréductible que seul le point (u, v) = (0, 0) est solution de (18), comme alors (0, 0) est le minimum global de L. À l'inverse, en présence d'une dérive, L(0, 0) n'est plus le minimum de L et cette même équation (18) est satisfaite par le bord d'un convexe fermé d'intérieur non vide. Elle définit donc un ensemble homéomorphe à S d-1 , c'est-à-dire un cercle en dimension 2. Nous représentons Figure2la courbe de niveau (18) pour la marche L(u, v) = e u 6 + e -u 3 + 3e v

Figure 2 -

 2 Figure 2 -Un exemple de courbe de niveau (18)

Figure 3 -

 3 Figure 3 -Projection en x de l'ensemble (25)

4 Figure 4 -

 44 Figure 4 -Exemples en dimension 2 : des modèles de marches et la valeur de arccos a dans (32) associée

Figure 5 -

 5 Figure 5 -En dimension 3 l'exposant critique est lié à la valeur propre principale pour le problème de Dirichlet sur un triangle sphérique

Remerciements

Nous remercions chaleureusement Irina Ignatiouk-Robert et Sami Mustapha pour leur disponibilité et leurs remarques. Nous adressons également nos vifs remerciements à Mireille Bousquet-Mélou, Aurélien Djament et Mylène Maïda pour leur relecture attentive de l'article et leurs nombreuses suggestions d'amélioration.


Juan Antonio Lossio-Ventura

Clement Jonquet
email: jonquet@lirmm.fr

Mathieu Roche
email: mathieu.roche@cirad.fr

Maguelonne Teisseire
email: maguelonne.teisseire@teledetection.fr

Automatic Biomedical Term Polysemy Detection

Keywords: Polysemy Detection, Biomedical Polysemy Detection, BioNLP, Disambiguation, Classification

Polysemy is the capacity for a word to have multiple meanings. Polysemy detection is a first step for Word Sense Induction (WSI), which allows to find different meanings for a term. The polysemy detection is also important for information extraction (IE) systems. In addition, the polysemy detection is important for building/enriching terminologies and ontologies. In this paper, we present a novel approach to detect if a biomedical term is polysemic, with the long term goal of enriching biomedical ontologies. This approach is based on the extraction of new features. In this context we propose to extract features following two manners: (i) extracted directly from the text dataset, and (ii) from an induced graph. Our method obtains an Accuracy and F-Measure of 0.978.

Introduction

The Web is by far the largest information archive available worldwide evolving. This resource contains important information about several domains. This is the case for biomedicine, that brings knowledge through numerous publications [START_REF] El-Rab | Biomedical text disambiguation using umls[END_REF]. In this context, there are several methods to extract relevant information tackling the disambiguation problem [START_REF] El-Rab | Biomedical text disambiguation using umls[END_REF][START_REF] Zhong | Word sense disambiguation improves information retrieval[END_REF]. This issue has been also recently addressed by the research of concepts, analyzing text to extract instances of concepts associated with user queries [START_REF] Agirre | Random walks for knowledge-based word sense disambiguation[END_REF]. The ontologies are very useful for the identification of concepts; the main objective is the creation of knowledge in a domain. They must be regularly enriched by the introduction of new terms. So, to enrich ontologies/vocabularies with new terms, it is necessary to know the possible senses of a term, this is the well known Word Sense Induction (WSI) domain. One preliminary step is to detect if a term is polysemic (binary decision). If the term is polysemic, then to make a deep search of their senses. To our knowledge, there are no studies for the same purpose.

Therefore, in order to meet the challenge, we propose a novel methodology to detect if a term is polysemic by defining new features, extracted directly from the textual dataset and from an induced graph, as described after. In turn, our methodology uses two dictionaries allowing us to determine the use of a same term in different domains (i.e., biomedical and agronomy). To the best of our knowledge, graphs have never been used to define features for classification purpose. In this work the main idea is to capture the dataset characteristics from the structural shape and size of graph induced from the dataset. This approach enables to obtain excellent results, with 97.8% for Accuracy and F-Measure.

The paper is organized as follows. First, the methodology is detailed in Section 2.. Results are presented in Section 3.. We discuss related work in Section 4. followed by conclusion and perspective in Section 5..

Towards Polysemy Detection

In this section, we present the proposed methodology to determine if a biomedical term is polysemic. We present the new features that serve to characterize the dataset. Figure 1 shows the workflow of our approach, which is described hereafter.

Extraction of New Features

We present new features based on statistical measures to characterize our dataset. They are extracted directly from the dataset and from an induced graph. We select appropriate learning algorithms to determine if a term is polysemic. Totally 23 features are proposed, 11 direct and 12 from the induced graph. Their effectiveness are illustrated by comparing the results obtained by different supervised algorithms.

Notation: for each term t let A t = a i the set of titles/abstracts of Medline containing t.

Direct Features

To create these features, we apply some statistical measures and we use UMLS 1 and AGROVOC 2 dictionaries, which are respectively a biomedical and agronomic thesaurus. These dictionaries have a degree of overlap, which contains in general the polysemic terms, i.e. terms belonging to biomedical and agricultural domains, for instance "cold" term. So, our hypothesis behind the use of two different dictionaries, is to predict if a term is polysemic only if it appears in these two different contexts. Table 1 shows the 11 direct features created.

Graph-based Features

As previously mentioned, we decided to use the graph structure to characterize our dataset. In such a way, we take advantage of the graph's properties, such as, the neighborhood, the edge weights, the size. We built a undirected graph for each term, each graph is independent from the others.

Graph construction: A graph (see Figure 2) for each biomedical term is built. Vertices denote terms, and edges denote co-occurrence relations between terms. Cooccurrences between terms are computed as the weight of the relation in the initial dataset. This relation is statisticbased by linking all co-occurring terms without considering their meaning or function in the text. Each graph is built with the first 1 000 terms extracted with BIOTEX application 3 from A t . The graph is undirected as the edges imply that terms simply co-occur, without any further distinction regarding their role. We use the Dice coefficient (called D), a basic measure to compute the co-occurrence between two terms x and y in a text (i.e. title or abstract) in order to create the graph. Table 1 shows the 12 graph-based features. In Figure 2, v t represents the vertex with the term t, v i represents a vertex i in the graph, N(v i ) the neighborhood of v i , |N(v i )| the number of neighbors of v i , r j the neighbor j of v i , weight(v, r j ) the edge weight between v i and its neighbor r j , it means weight(v i , r j ) = D(v i , r j ).

1 http://www.nlm.nih.gov/research/umls/ 2 http://aims.fao.org/agrovoc 3 http://tubo.lirmm.fr/biotex/ Direct Features 1) Number of Words: represented as nW ords(t), is the number of words that contains the term t. For instance nWords(Lung cancer)= 2.

2) Number of UMLS Terms: represented by termsU (t), that is the number of UMLS terms contained in the set of abstracts At.

3) Minimum of UMLS Terms: denoted as minU (t), represents the minimum number of UMLS terms contained for each a of At. minU (t) = min(termsU (a1), termsU (a2), ...) 4) Maximum of UMLS Terms: denoted as maxU (t), represents the maximum number of UMLS terms contained for each a of At. maxU (t) = max(termsU (a1), termsU (a2), ...) 5) Mean of UMLS terms: denoted as meanU (t), represents the mean of number of UMLS terms for each a of At.

meanU (t) = 1 n × n i=1 termsU (ai)
6) Standard deviation of UMLS Terms: denoted as sdU (t), represents the standard deviation of number of UMLS terms contained for each a of A.

sdU (t) = 1 n-1 × n i=1 (termsU (ai) -meanU (t)) 2 7)
meanA(t) = 1 n × n i=1 termsA(ai)
11) Standard deviation of AGROVOC Terms: denoted as sdA(t), represents the standard deviation of number of AGROVOC terms contained for each a of A. Example: An illustrative example on how to extract features has been submitted as supplementary material of this paper.

sdA(t) = 1 n-1 × n i=1 (termsA(ai) -meanA(t)) 2 Graph-based Features 1)

Machine Learning Algorithm

We use some well-known supervised algorithms, implemented in the Weka4 software with the default parameters per each algorithm, such as:

Naives Bayes (NB) Meta Bagging (MB) AdaBoost (AB) M5P Tree (M5P) Tree Decision (TD) Multilayer Perceptron (NN) SVM (SVM)

MultiClassClassifier Logistic (MCC)

Extraction of New Features

We present new features based on statistical measures to characterize our dataset. They are extracted directly from the dataset and from an induced graph. We select appropriate learning algorithms to determine if a term is polysemic.

The main idea, is to capture the characteristics of dataset from the structural shape and size of graph induced from the dataset. Totally 23 features are proposed, 11 direct and 12 from the induced graph. Their effectiveness are illustrated by comparing the results obtained by different supervised algorithms.

Notation: for each term t let A t = a i the set of titles/abstracts of Medline containing t.

Data and Results

Gold Standard Dataset

Our dataset is composed of 406 ambiguous and not ambiguous entities. The ambiguous entities have been extracted from the MSH WSD5 (Jimeno-Yepes et al., 2011) dataset, which consists of 106 ambiguous abbreviations, 88 ambiguous terms, and 9 which are a combination of both, for a total of 203 ambiguous entities. The rest of the dataset of 203 not ambiguous entities, built with the same methodology from MSH WSD. This dataset is well-known in Word Sense Disambiguation literature applied to the biomedical domain. This dataset has been submitted accompanying this paper. Table 2 summarizes the details of our gold standard dataset.

Results

In this section, we report experiments done to evaluate the performance of the new proposed features (in total twenty three). Algorithms cited in section 2.2. are evaluated with a 10-cross-validation. Results are provided in terms of Accuracy (A), Precision (P), Recall (R), and F-Measure (F) over the dataset. In section 3.2.1., experiments are done with direct and graph-based features separately. We also wanted to explore the performance of the features by mixing the 11 direct features with the 12 graph-based features, these results are presented in section 3.2.2.. As major studies deals with the identification of the correct meaning of a term, a comparison of our approach with others can not be provided. To our knowledge there are not studies focused in the detection of polysemy with binary output (i.e., true or false).

Direct and Graph-based Features

Discussion

We evaluate in detail the informativeness of the features. For this purpose, from Table 4 we take the created decision tree (TD), in order to discuss the types of features highlighting by this algorithm. Figure 3 shows the associated decision tree. We can see that only 4 of the 23 features have been taken into account for classification. Two direct (minU (t), sdA(t)) and two graph-based (sum(v t ), ngU M LS(v t )) features. The two direct features are extracted with UMLS (minU (t)) and AGROVOC (sdA(t)), this confirms that overlapping between the two dictionaries are useful to detect the biomedical term polysemy. We can observe in Figure 3 that the combination of minU (t) and sum(v t ) allows us to classify the most not polysemic terms, 199 of 203. Table 5 presents the confusion matrix, corresponding to an Accuracy (A) of 0.97 (see Table 4, column A, row TD).

Related Work

One related task to polysemy detection is the term ambiguity detection (TAD) [START_REF] Baldwin | Automatic term ambiguity detection[END_REF], which given a term and a corresponding topic domain, determines whether the term uniquely references a member of that topic domain. For instance, given a term such as Brave and a category such as film, the task is make a binary decision as to whether all instances of Brave reference a film by that name. In this case, the term Brave is already indexed in this category. In our case, we evaluate candidate terms that are not indexed. Another close study proposes a measure to decide if a preposition is polysemous to determine the preposition senses [START_REF] Köper | A rank-based distance measure to detect polysemy and to determine salient vector-space features for german prepositions[END_REF]. In this case, the prepositions exist already in a terminology. This is similar to the well studied issues of named entity disambiguation (NED) and word sense disambiguation (WSD). These tasks assume that the number of senses of a word is given. This makes these tasks inapplicable in enriching terminology tasks. One task that requires polysemy detection is word sense induction (WSI), which attempts to both figure out the number of senses of a word, and what they are. WSI uses unsupervised techniques to automatically identify the set of senses denoted by a word [START_REF] Navigli | A quick tour of word sense disambiguation, induction and related approaches[END_REF][START_REF] Wang | A sense-topic model for word sense induction with unsupervised data enrichment[END_REF]. The main approaches to WSI proposed are categorized in four types: i) Context clustering: The distributional profile of words implicitly expresses their semantics, a well-known approach to context clustering is the context-group discrimination algorithm [START_REF] Schütze | Automatic word sense discrimination[END_REF][START_REF] Van De Cruys | Latent semantic word sense induction and disambiguation[END_REF]; ii) Word clustering: Cluster words which are semantically similar and to discover a sense, for instance the work of [START_REF] Pantel | Discovering word senses from text[END_REF]; iii) Co-occurrence Graphs: These techniques have the same principle than the word clustering approaches, but they use graphs of word co-occurrences to identify the set of senses of a word [START_REF] Navigli | Inducing word senses to improve web search result clustering[END_REF], for instance some algorithms such as HyperLex [START_REF] Véronis | Hyperlex: lexical cartography for information retrieval[END_REF], Pagerank [START_REF] Agirre | Evaluating and optimizing the parameters of an unsupervised graph-based wsd algorithm[END_REF][START_REF] Agirre | Personalizing pagerank for word sense disambiguation[END_REF]; and iv) Probabilistic clustering: The objective is to formalize WSI in a generative model. For each ambiguous word a distribution of senses is drawn [START_REF] Lau | Word sense induction for novel sense detection[END_REF][START_REF] Brody | Bayesian word sense induction[END_REF].

One area which extracts several kinds of features is Metalearning. The objective is given a dataset to select a suitable predictive model. The steps of Meta-Learning are: a) Meta-features extraction, and b) Evaluation and selection of the best learner algorithm to the dataset. Meta-features are categorized in 3 classes. The first one is based on statistical and information-theoric characterization. The second one exploits properties of some induced hypothesis, for instance tree, graphs. The third one, landmarkers, uses information obtained from the performance of learning algorithms as features. In this paper we investigated the two first types of meta-features in order to propose original features (see Section 2.). The most frequent extracted features from datasets, are frequency, mean, standard deviation, etc. These measures have been used to extract metafeatures according to an induced decision tree [START_REF] Peng | Improved dataset characterisation for meta-learning[END_REF]. The authors extracted 15 meta-features. Additional features have been proposed, as transformations of existing ones [START_REF] Castiello | Meta-data: Characterization of input features for metalearning[END_REF], and some guidelines have been fixed to select the most informative ones. In their work, 9 new meta-features have been proposed. Other statistic meta-features have been presented in [START_REF] Reif | Meta2features: Providing meta-learners more information[END_REF], the authors added an additional feature selection method in order to automatically select the most useful measures. A similar work (Reif et al., 2012a) presented a new function, which is a novel data generator for creating datasets. As we saw, induced decision tree is in general used to extract features, but there is not approach based on graph models for feature extraction. Graphs are a very useful structure thanks to their properties.

Conclusions and Perspectives

In this paper, we present a novel approach to predict if a term is polysemic focused on the biomedical domain. The main contribution of this paper is the definition of new features, which are directly extracted from the text dataset and from an induced graph. Our novel approach is based on the extraction of new features that characterize better our dataset. This allowed a more efficient classification task (polysemy prediction). For the classification we used the most well-known supervised algorithms over the whole features. First, we evaluated the direct features. Then, the evaluation of graph-based features. And finally, we evaluated the performance of mixing these two kinds of features, obtaining the best results. The results were calculated in terms of Accuracy, Precision, Recall and F-Measure. We observed the set of supervised algorithms on the features mixing got an accuracy (A) between 95.3% and 97.8%. Next step is the use of the created graph, to determine the possible senses for poslysemic terms. Different perspectives can be considered in the future, such as increasing the number of features using other dictionaries like Wordnet associated to a general domain.

Figure 1 :

 1 Figure 1: Workflow Methodology for Polysemy Prediction.

Figure 2 :

 2 Figure 2: Graph created for the term t.

  Number of Neighbors: is the number of neighbors of vertex vt in the induced graph. ng(vt) = |N(vt)| 2) Sum of Edge Weights: denoted as sum, represents the sum of edge weights specifically for the vertex vt in the graph created for t. sum(vt) = ng(vt) j=1 weight(vt, rj) 3) Minimum of Number of Neighbors: denoted as minNG, represents the minimum number of neighbors of all vi in the graph created for t. minN G(t) = min(ng(v1), ng(v2), ...) 4) Maximum of Number of Neighbors: denoted as maxNG, represents the maximal number of neighbors of all vi in the graph created for t. maxN G(t) = max(ng(v1), ng(v2), ...) 5) Mean of Number of Neighbors: denoted as meanNG, represents the mean of the number of neighbors of all vi in the graph created for t. meanN G(t) = 1000 i=1 ng(vi) 1000 6) Standard deviation of Number of Neighbors: denoted as sdNG, represents the standard deviation of the number of neighbors of all vi in the graph created for t. sdN G(t) = √ 1000 i=1 (ng(vi)-meanN G(t)) 2 1000-1 7) Min of Sum of Edge Weights: denoted as minSUM, represents the minimum sum of edge weights of all vi on the graph created for t. minSU M (t) = min(sum(v1), sum(v2), ...) 8) Max of Sum of Edge Weights: denoted as maxSUM, represents the maximum sum of edge weights of all vi on the graph created for t. maxSU M (t) = max(sum(v1), sum(v2), ...) 9) Mean of Sum of Edge Weights: denoted as meanSUM, represents the mean of sum of edge weights of all vi in the graph created for t. meanSU M (t) = 1000 i=1 sum(vi) 1000 10) Standard deviation of Sum of Edge Weights: denoted as sdSUM, represents the standard deviation for the sum of edge weights of all vi in the graph created for t. sdSU M (t) = √ 1000 i=1 (sum(vi)-meanSU M (t)) 2 1000-1 11) Number of Neighbors in UMLS: represented as ngUMLS, is the number of terms being neighbors with the vertex vt in the graph and in turn are in UMLS. ngU M LS(vt) = |N(vt)|r j ∈U M LS 12) Sum of Edge Weights in UMLS: as sumUMLS, represents the sum of edge weights for vt that are in UMLS for the graph created for t. sumU M LS(vt) = ngU M LS(vt) j=1 weight(vt, rj)

Figure 3 :

 3 Figure 3: Decision Tree.

  Number of AGROVOC Terms: denoted as termsA(t), represents the number of AGROVOC terms contained in the set of abstracts At of t. 8) Minimum of AGROVOC Terms: denoted as minA(t), is the minimum number of AGROVOC terms contained in each a of At.

minA(t) = min(termsA(a1), termsA(a2), ...) 9) Maximum of AGROVOC Terms: denoted as maxA(t), is the maximum number of AGROVOC terms contained in each a of At. maxA(t) = max(termsA(a1), termsA(a2), ...) 10) Mean of AGROVOC Terms: denoted as meanA(t), represents the mean of number of AGROVOC terms for each a of At.

Table 1 :

 1 New Features for Polysemy Detection

Table 2 :

 2 Details of our Gold Standard Dataset

	Description	Dataset
	Nb of Entities	406
	Nb of Ambiguous Entities	203
	Nb of Not Ambiguous Entities	203
	Nb of Tokens of the Context of Ambiguous Entities	7 597 337
	Nb of Tokens of the Context of Not Ambiguous Entities 8 294 378
	Mean of Tokens for each Ambiguous Entity	37 425
	Mean of Tokens for each Not Ambiguous Entities	40 859

  Table3shows the results obtained on our dataset with direct features (left side) and graph-based features (right side). We can see that M5 Model tree gets the best results with direct features, and Meta Bagging gets the best results with graph-based features. Both with an accuracy (A) of 0.921. This means that the supervised algorithms with our direct features have classified correctly 92% instances (polysemic or not).

			Direct Features			Graph-based Features
		A	P	R	F	A	P	R	F
	NB	0.860 0.863 0.860 0.859	0.860 0.863 0.860 0.859
	AB	0.897 0.903 0.897 0.896	0.899 0.900 0.899 0.899
	TD	0.879 0.882 0.879 0.879	0.882 0.884 0.882 0.882
	SVM	0.919 0.922 0.919 0.919	0.874 0.875 0.874 0.874
	MB	0.892 0.896 0.892 0.891	0.921 0.922 0.921 0.921
	M5P	0.921 0.925 0.921 0.921	0.884 0.885 0.884 0.884
	NN	0.906 0.907 0.921 0.906	0.906 0.907 0.906 0.906
	MCC 0.914 0.915 0.914 0.914	0.914 0.914 0.914 0.914

Table 3 :

 3 Direct and Graph-based Features3.2.2. Combining two kinds of FeaturesWe study the effect of feature mixing, that means direct plus graph-based features. These two types of features are combined and Table4reports the results. We can see that Neural Network model (Multilayer Perceptron) gets excellent results, with an accuracy (A) of 97.8%. This table illustrates as well that the minimal performance is 95.3% of accuracy. We can prove that the combination of two kinds of features gives the best results.

		A	P	R	F
	NB	0.956 0.956 0.956 0.956
	AB	0.975 0.976 0.975 0.975
	TD	0.970 0.970 0.970 0.970
	SVM	0.966 0.966 0.966 0.966
	MB	0.970 0.970 0.970 0.970
	M5P	0.963 0.963 0.963 0.963
	NN	0.978 0.978 0.978 0.978
	MCC 0.953 0.953 0.953 0.953

Table 4 :

 4 Combining two kinds of Features

Table 5 :

 5 Confusion Matrix

http://www.cs.waikato.ac.nz/ml/weka/

http://wsd.nlm.nih.gov/

Acknowledgements

This work was supported in part by the French National Research Agency under JCJC program, grant ANR-12-JS02-01001, as well as by University of Montpellier,CNRS, IBC of Montpellier project and the FINCyT program, Peru.