Marie Gaille

Marie Gaille Un

Progrès L'idée D'un

Politique De L'art

Louis Chez

Le Roy

G Huppert

J G A Pocock

un progrès de l'art politique chez Louis Le Roy

à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d'enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

de prendre la mesure d'un travail qui allie traduction, commentaire du texte traduit et pensée politique, pensée qui elle-même se développe selon deux axes majeurs, une réflexion normative sur la forme du meilleur régime (la monarchie) et une analyse historique des événements contemporains, en particulier des guerres de religion qui ont bouleversé le royaume de France. Or, c'est pourtant la marque la plus singulière de la pensée de Louis Le Roy que de se déployer dans ces trois directions : traduction, commentaire et pensée politique.

Comme telle, cette pensée se caractérise à la fois par le désir de transmettre le discours des Anciens (et notamment la pensée de Platon et d'Aristote) 5 et par la prétention déclarée de contribuer au progrès de la science politique par l'invention d'un discours nouveau. La combinaison de ce désir et de cette prétention peut nous paraître étonnante, pour qui la volonté d'énoncer des choses nouvelles et originales exclut la redite, la répétition, la reprise du déjà connu. Elle conduit à s'interroger sur la signification que Louis Le Roy attribuait à l'idée d'« invention », terme qu'il utilise pour décrire son activité de penseur politique.

Cette interrogation s'inscrit dans une question plus générale : dans un cadre de réflexion humaniste, y a-t-il un sens, et si oui, lequel, à parler d'imagination politique, entendue comme capacité à dire du nouveau en matière politique ? Une telle question se pose en effet pour tout auteur « humaniste » : « tout le monde à la Renaissance est persuadé de la nécessité de l'imitation ; le concept d'originalité si cher aux Romantiques n'existe pas pour lors ; il est sans objet ». 6 Afin de proposer une réponse à cette question, il faut d'emblée se déprendre de l'illusion moderne qui consisterait à voir dans l'attitude humaniste un rapport de servilité aux Anciens. De la même façon que la Renaissance a inventé le moyen âge pour se définir par opposition à un contre-modèle,7 la modernité a pu voir dans la Renaissance son repoussoir. H. Baron, déjà, avait noté que l'humanisme n'était pas incompatible avec le développement d'un sens critique vis-à-vis de l'histoire et des Anciens. 8 Mais du sens critique à la création, il y a un pas à franchir, sans doute de diverses manières. Les humanistes ne sont pas des imitateurs serviles, à commencer par Pétrarque, qui affirme se complaire dans l'approchant, mais non dans l'identique et vouloir suivre ses devanciers de manière originale et non servile. 9 Dans le même sens, on peut observer que l'un des aspects de la singularité de Machiavel consiste à la fois à reconnaître l'importance d'une lecture des Anciens et à développer une forme d'écriture qui marque la liberté de la réflexion critique à l'égard de leur enseignement : le « comento », distinct de la « glose », supposée fidèle à l'intention de l'auteur et à la lettre du texte. Lorsque Machiavel déclare dans la célèbre lettre à Francesco Vettori (10 décembre 1513), qu'il a composé Le Prince en notant ce dont il a fait son miel dans la conversation avec les Anciens, 10 il faut comprendre qu'il les a lus, qu'il est inspiré par eux mais qu'il ne les répète pas : il crée, à partir de ce dialogue, son propre discours. À la Renaissance, le débat ne porte donc pas sur l'imitation elle-même. Il a pour objet, affirme M.

Magnien, les modes et les moyens de l'imitation. 11 Il porte également, dirons-nous, sur la portée et la limite de l'imitation.

Les auteurs « humanistes » ont modulé de différentes manières leur rapport aux Anciens : entre la reprise et la distanciation critique, voire la rupture déclarée, il y a tout un éventail d'attitudes. Il faut donc introduire un élément de pluralité au sein de la « nébuleuse » humaniste, ce qu'on appelle alors « l'humanisme » désignant moins une attitude commune à l'égard des Anciens qu'une question qui occupa une place centrale dans la réflexion européenne entre le début du 14 ème siècle et le 17 ème siècle, celle de la temporalité propre au savoir. 12 Quelle réponse donne Louis Le Roy à cette question ? Il prétend sur ce point, nous l'avons dit, faire oeuvre d'« invention » dans une partie de ses écrits. L'usage de ce terme doit être rapporté au débat humaniste sur la rhétorique et la dialectique de sources aristotélicienne et cicéronienne, les humanistes désignant le plus souvent par ce terme le fait de trouver l'argument permettant de passer du doute à la certitude. En utilisant le terme d'« invention », Louis Le Roy emprunte-t-il à son tour à la logique aristotélicienne et scolastique l'idée selon laquelle il existe une opération spécifique de l'esprit qui consiste à chercher les « lieux » (ou « topiques ») dont dériveront, dans une discussion, tous les arguments destinés à prouver une thèse ? 13 13 Les « lieux » sont définis par Aristote dans la Rhétorique, II, 26, 1403 a, et le raisonnement dialectique qui recherche ces « lieux » est l'objet des Topiques. La Logique de Port-Royal, III, 17, en donne la définition suivante : « certains chefs généraux auxquels on peut rapporter toutes les preuves dont on se sert dans les diverses matières que l'on traite ». 14

De la vicissitude ou variété des choses en l'univers, et concurrence des armes et des lettres par les premieres et plus illustres nations du monde, depuis le temps où a commencé la civilité, et memoire humaine jusqu'à présent plus s'il est vray ne se dire rien qui n'ayt esté dict auparavant : et qu'il convient par propres inventions augmenter la doctrine des anciens, sans s'arrester seulement aux versions, expositions, corrections, et abregez de leurs ecrits par Loys le Roy dict Regius au

Très-Chrestien Roy de France et de Poloigne Henry III, du nom (à Paris, chez Pierre l'Huillier, rue S. Jacques à l'Olivier, 1575, avec privilège du Roy). Ce texte a été publié une première fois en 1575 puis réédité en 1577, 1579, 1583 et 1584, traduit en italien par Hercole Cato en 1585 et réimprimé en 1592 et en anglais par Robert Ashley en 1594. L'exemplaire de référence pour l'édition Corpus des oeuvres de philosophie en langue française (Paris, Fayard, 1988) est celui de la Newberry Library de Chicago (côte f Y 762 L5679). L'édition est de Ph. Desan.

Ce souci de la possibilité d'un discours novateur s'exprime de manière culminante au dernier et 12 ème livre de cet ouvrage fleuve. Son objet est double : tout d'abord, montrer contre l'opinion selon laquelle rien ne peut se dire qui n'ait été dit auparavant qu'« en rester beaucoup à dire, et la vérité n'estre entierement decouverte, n'y tout le sçavoir occupé par nos devanciers ». D'autre part, encourager « les doctes essayer par propres inventions adjouter ce qui default aux disciplines, faisans pour la postérité ce que l'antiquité a faict pour nous : afin que le sçavoir ne se perdre, ainsi prenne de jour en jour accroissement ». 15 Louis Le Roy avance une série de preuves pour étayer son arguments. Tout d'abord, l'exemple du siècle présent est à ses yeux particulièrement riche en exemples de « l'avancement » des sciences et des lettres. En outre, le savoir a pour nature même de se constituer progressivement et de toujours pouvoir être augmenté et perfectionné. La nature n'a pas octroyé aux Anciens toutes les grâces, de telle sorte que leurs successeurs n'auraient rien à inventer : « Verité se presente à tous ceux qui la veulent chercher, et son capables de la recevoir ». 16 Enfin, les connaissances ont un cycle de vie : beaucoup de choses ont été inventées mais leur connaissance a été perdue. Il faut donc les réinventer. Cet oubli, cette perte participent du cycle même des mutations qui caractérisent tous les corps sublunaires selon Louis Le Roy. De ce fait, les connaissances exigent un renouvellement constant : « nécessairement il faut que les premieres abolies, autres se mettent en leur place, et les vieils livres perdus où elles sont contenues, s'en facent de nouveaux. Comme les autres choses subjettes à mutation ont besoin de continuelle generation, pour se renouveller, et maintenir chacune en son espece ».17 « les imitateurs perpétuels, et toujours translateurs ou commentateurs cachez soubs l'ombre de l'autruy sont vrayement esclaves, n'ayans rien de genereux, et n'osans quelquefois faire ce qu'ils ont apprins longuement ». 18 Ce souci d'être à jour et de mettre à jour les connaissances s'applique particulièrement, pour Louis Le Roy, à l'art politique qui lui paraît être en retard, comparativement aux autres arts qui ont connu de grands progrès en son siècle : « quiconque voudra considérer la restitution es bonnes lettres advenues en ce siècle et l'ornement qu'ont recouvré les arts par la diligence de plusieurs hommes savants : il aura l'occasion de s'émerveiller, voyant les moindres disciplines presque remises à leur entier : et la Politique qui est la plus digne, plus utile et nécessaires de toutes, comme demeurée en arrière : sans laquelle les hommes sociables, par leur naturel ne peuvent maintenir aucunement leurs compagnies et assemblées » 19 La chose lui paraît d'autant plus choquante que l'on a découverte de nouveaux espaces et de nouveaux hommes sur la terre : le besoin d'un progrès de l'art politique se fait d'autant plus cruellement sentir qu'il y a plus d'hommes et plus de territoires à gouverner.

Cette opinion sur le retard de l'art politique est partagée par nombre de ses contemporains. Ainsi Jean Bodin l'exprime également dans les Six livres de la république (1576). Cependant, à la différence de ce dernier, qui en fait le motif d'une nouvelle orientation de la science politique en direction du droit et de l'administration, Louis Le Roy exprime cette opinion dans un lieu qui peut nous sembler incongru : dans le Catalogue des livres mis en lumière par Loys Le Roy, tant de son invention que de sa traduction soit en latin soit en français, qui précède la traduction commentée des Politiques d'Aristote (édition Ambroise Drouart), et dans De l'origine, antiquité, progrès, excellence et utilité de l'art politique (1567), ouvrage dont l'objectif premier est de diffuser les principales idées politiques des Anciens. 20 Autrement dit, l'affirmation de ce retard n'est pas utilisée comme un levier pour se débarrasser du savoir des Anciens ou le déclarer caduc ; elle est au contraire associée à la diffusion et à la promotion de leur pensée dans ces deux textes solidaires du point de vue de l'écriture et de l'histoire éditoriale : De l'origine …suit de près la traduction des Politiques d'Aristote, éditée pour la première fois par Vascosan à Paris en 1568 et lui servira d'introduction dans l'édition de 1576. 18 Ibid., 12, p. 433. 19 Les Politiques d'Aristote, Opus cit. 20 On lit dans cette dernière : « quiconque voudra considérer la restitution des bonnes lettres advenue en ce siècle et l'ornement qu'ont recouvert les arts par la diligence de plusieurs hommes savants : il aura l'occasion de s'émerveiller, voyant les moindres disciplines presque remises à leur entier ; et la Politique, qui est la plus digne, plus utile et nécessaire de toutes être demeurée en arrière », De l'origine, antiquité, progrès, excellence et utilité de l'art politique, Paris, éd. F. Morel, 1575 [édition numérisée par la BNF : NUMM 65609], p. 5 [orth. Modernisé].

L'ambition affichée de Louis Le Roy est donc de pallier le retard de l'art politique. 21 Le Catalogue des livres distingue deux genres de contribution au progrès de l'art politique : l'un relève de « l'invention » et l'autre de la « traduction ». La traduction, même si elle n'est pas au centre de notre propos, ne doit pas être négligée. Elle contribue à sa manière à la quête infinie de la vérité. Elle participe tout d'abord du devoir de mémoire que Louis Le Roy assigne aux savants : l'augmentation des connaissances peut consister selon lui, nous l'avons vu, en un recouvrement de savoirs oubliés ou perdus. En présentant au public des idées jugées essentielles, la traduction constitue à cet égard un effort essentiel de recouvrement des connaissances oubliées. Elle peut être au besoin complétée de textes qui diffusent ce savoir sous une autre forme, comme c'est le cas avec le traité De l'origine, antiquité, progrès, excellence et utilité de l'art politique dont l'objet est en premier lieu de rappeler les théories de Platon, d'Aristote et des grands législateurs.

En outre, le livre 12 des Vicissitudes stigmatise « les imitateurs perpétuels, et toujours translateurs ou commentateurs cachez soubs l'ombre de l'autruy », de véritables esclaves.

Aussi peut-on faire l'hypothèse qu'il y a pour lui manière et manière de traduire, l'une synonyme d'esclavage et l'autre qui répond à ce souci de faire progresser l'art politique.

On remarque que Louis Le Roy a fait le choix traduire Aristote en français plutôt qu'en latin. Cette décision n'est pas anodine et elle nous conduit tout droit au commentaire. On y retrouve à la fois la volonté de transmettre les discours antiques et le désir d'« inventer » à leur suite, deux éléments qui caractérisent indissolublement le travail de Louis Le Roy. En effet, la traduction française rend le texte accessible, mais c'est aussi une manière de rivaliser avec le modèle antique, de le surpasser en réincarnant le texte dans une langue moderne. 22 C'est en outre une façon de rétablir une distance avec le texte antique et de légitimer la nécessité d'un commentaire. « Alors qu'en latin, Aristote était 'chez lui', peut-on dire, depuis si longtemps », il est « dépaysé » en français », souligne P. Lardet : 21 Il estime être particulièrement apte à cette tâche. En effet, l'art de la politique se trouve dans cette situation parce que, ditil, « les gens savants qui l'eussent pu décorer par leurs écrits ont délaissé entièrement le maniement des affaires pour s'adonner avant tout à l'inquisition de la vérité, mettant en la contemplation leur souveraine félicité. Et ceux qui ont été appelés aux charges et administrations publiques n'ont pas eu communément grand savoir, ou s'ils en ont eu, le loisir leur a défailli pour écrire » (Ibid., p. 7). Le portrait qu'il trace de lui-même consiste en une sorte d'entre-deux entre action et théorie : il connaît les lettres, sans avoir dédié son existence à la contemplation de la vérité et il a fréquenté les cours, côtoyé ceux qui sont au maniement des affaires, sans avoir eu lui-même en charge ces affaires de l'État (Cf. à Il évoque généralement Florence à la lumière des analyses machiavéliennes. Tout en étant favorable à la monarchie, il adhère ainsi à l'idée selon laquelle la liberté résulte d'un 29 La référence à Machiavel est explicite ou implicite, sans qu'on puisse déterminer de manière évidente pourquoi elle est telle ou telle selon les cas. Par exemple, dans le commentaire du livre V, elle est explicite à propos des communes franches d'Allemagne (Louis Le Roy cite les Discours, II, 9 ; il s'agit sans doute en réalité du chapitre I, 55) et implicite à propos de la définition de la noblesse vénitienne (Discours, I, 55) : Louis Le Roy à Venise les gentilshommes n'ont guère de terres et possessions, mais consiste leur avoir en meubles et marchandises sans qu'ils aient château ni juridiction aucune tellement qu'on estime telle noblesse n'être qu'un titre de prééminenceMachiavel Dans cette république, les gentilshommes le sont plus de nom que de fait. En effet, ils ne tirent pas des gros revenus de leurs possessions, puisque leurs grandes richesses sont fondées sur le commerce et sur les biens meubles ; et de plus aucun d'eux ne possède de châteaux ni n'a de juridiction sur les hommes. 30 On songe plutôt au chapitre conclusif du Prince sur ce point. 31 De l'excellence du gouvernement royal, avec exhortation aux Français de persévérer en celui-ci, sans chercher mutations pernicieuses, 1575 [BNF : NUMM-65609] , p. 11. cf. aussi Les Politiques, p. 288 : « Machiavel, livre I des Discours, chap. 4-5 & 6 essaye de montrer que la contrariété du Sénat et du peuple ait été cause de la liberté et grandeur de Rome ». mélange équilibré des « tempéraments » présents dans la cité et évoque à ce sujet l'échec de la république florentine à mêler correctement ceux-ci. 32 Enfin, il partage son souci de faire face aux mutations présentes ou futures et l'exprime en des termes extrêmement proches de ceux de Machiavel : « les Sages princes ou gouverneurs de républiques n'ont seulement à regarder sur les affaires du présent, mais aussi aux futures : et à celles-ci par une bonne et prudente conduite pourvoir et donner ordre d'heure : pour autant qu'il est aisé de remédier aux dangers que l'on voit venir de loin : mais attendant leur approche de si près, la médecine n'est plus de saison, parce que la maladie est devenue incurable. Et advient de ceci tout conformément à ce que disent les médecins de la fièvre cétique : laquelle à son premier avènement est facile à guérir et difficile à connaître : mais ne l'ayant au commencement connue et médicinée, elle devient de facile connaissance et d'impossible guérison ». 33 La faculté d'« invention » qu'entend déployer Louis Le Roy apparaît de manière plus frappante qu'à travers ces exemples de source machiavélienne lorsque le problème de l'actualisation du propos de l'auteur traduit se pose de façon aiguë : soit que la pensée d'Aristote ne puisse plus être reprise sur telle ou telle point, soit qu'une question nécessite de plus amples développement que ceux des Politiques.

Le commentaire de l'analyse aristotélicienne de la tyrannie offre un bon exemple du premier aspect. Louis le Roy critique le discours machiavélien en tant que pensée favorable à la tyrannie. Or, Machiavel n'a fait, estime-t-il, que suivre Aristote sur ce point : Machiavel « a tiré de ce passage [l'analyse aristotélicienne de la tyrannie] la plupart de ses instructions, en y ajoutant exemples romains et italiens ». 34 La critique se reporte alors de manière quasi mécanique sur Aristote lui-même, jugé « trop curieux en la déduction des moyens tyranniques, pour autant que les mauvais prince sont assez enclins d'eux-mêmes à inventer ce qui sert à leur grandeur et sûreté, sans qu'il soit besoin les instruire par livres ». 35 Enfin, Louis Le Roy prend ses distances de manière explicite vis-à-vis d'Aristote, en soulignant qu'à la différence de Machiavel, il renonce délibérément à aborder cette thématique : « Machiavel formant son Prince a tiré d'ici, comme j'ai dit, les principaux fondements de telle institutions, qui doit être lu avec grande discrétion, pour être écrit par un auteur sans conscience et sans religion, regardant seulement à la puissance et gloire mondaine, qui déçoit beaucoup de gens. Mais nous qui avons proposé de ne rien mettre en avant que n'estimions servir l'honneur de Dieu et au bien commun de la société humaine, passerons ces discours »36 Si le progrès de l'art politique passe donc, sur certains points, par le silence et 42 Cette influence mériterait une analyse pour elle-même, afin de pouvoir définir de manière précise ce syncrétisme théorique qui ne va pas de soi. Ainsi Platon et Aristote sont loin d'entre en accord sur la question du cycle de vie des régimes politique (Aristote se montre critique envers l'idée platonicienne de régularité et 39 Des troubles et différents advenant entre les hommes par la diversité des Religions : ensemble du commencement, progrès et excellence de la Chrétienté souligne ainsi que la dispersion des hommes sur la terre en même temps que les divisions géographiques (mers, montagnes, forêts, déserts) ont eu pour conséquence une absence de communication entre les divers groupes humains : « ne s'entrentendant ni communiquant aucunement ensemble, ils n'ont encore pu avoir ce bien de vivre tous en même religion sous un Dieu et un pasteur, en un troupeau et une foi, comme il est promis dans l'Évangile », feuillet 1, 1568, [version numérisée de la BNF, 1999]. 40 Des troubles et différents advenant entre les hommes par la diversité des Religions : ensemble du commencement, progrès et excellence de la Chrétienté recense ainsi une multitude de conflits religieux dans l'histoire de l'humanité. 41 Ibid., feuillet 11 verso. On remarquera ici qu'il christianise une explication avancée par Machiavel dans les Discours, II, 5. 42 Les trois auteurs sont cités à propos du passage des régimes politiques du bien au mal dans le Catalogue des livres mis en lumière par Louis le Roy, tant de son invention que de sa traduction soit en latin soit en français, qui précède la traduction commentée de La Politique : pour expliquer que « la vieillesse consomme toutes choses », Louis Le Roy cite « Platon au Timée et au Politique, Aristote dans les Météores et Sénèque dans Questions naturelles, cuident cela advenir par la loi fatale du monde, tant selon le mouvement du premier ciel, dont les autres mouvements inférieurs dépendant, et toute nature, que par les conjonctions et séparations des planètes, auxquelles obéissent les éléments, et les choses qui en sont composées ». de circularité). Si l'on met de côté cette question, on peut souligner par ailleurs que cette cause naturelle de la guerre de religion est présentée en des termes très proches de ceux qu'emploie Machiavel dans les Discours à propos de la corruption de la république romaine et des entités politiques en général : « Mais n'y a rien si saint qu'en tant qu'il est manié par les hommes ne soit en peu de temps corrompu de leur malice, avarice, ambition, ignorance, nonchaloir : et à cause des erreurs qui naissent de jour à autre parmi la bonne doctrine, comme les mauvaises herbes entre le froment qui le suffoquent, si elles ne sont sarclés souvent. Les jugements des hommes sont incertains et opinions variables. Les langages changent souvent, se corrompent et perdent. Livres aisés à gâter, transcrits en tant de sortes et de copies, dispersés en divers pays.

Parquoi ne se faut ébahir si en l'Ecriture sainte, donnée premièrement en Hébreux et en Grec, puis traduite en toutes langues, ont été admises par l'ignorance du temps passé, plusieurs fausses intelligences et contraires expositions (…) Comme en l'humain s'amassent chaque jour superfluités, qu'il faut chaque fois purger afin que n'en adviennent maladies qui le défassent. Ainsi en la religion s'engendrent par succession de temps abus et erreurs qui la pervertissent s'ils ne sont souvent corrigés et réformés. Les ordres premiers sont peu à peu délaissés et changés, lois enfreintes, moeurs corrompues : qu'il n'est possible par après de redresser sinon en les renouvelant souvent et réduisant à l'intégrité qu'elles avaient du commencement » 43 Causalité divine et causalité naturelle ne sont pas deux ordres indépendants qui se superposent l'un à l'autre pour aboutir au même effet. Ils s'articulent de manière précise dans la conception de l'univers de Louis Le Roy et la philosophie naturelle qui en découle, dont rend compte De la vicissitude ou variété des choses en l'univers …, I : Dieu créateur de l'univers a voulu que le monde connaissent des changements ; il a conféré aux entités surpralunaires le mouvement circulaire parfait ; malgré tout, ces entités étant corporelles, elles sont soumises au changement ; de leurs « vicissitudes » dépendent celles du monde inférieur : qui sont donc inexorables. 44 Si le problème auquel se confronte Louis le Roy n'est pas celui de l'explication des guerres de religion, il est autre : c'est celui des moyens de mettre fin au conflit meurtrier qui bouleverse le royaume de France. Or, c'est dans le commentaire à la traduction du livre des mutations que de tels moyens vont être explicités. Ce commentaire paraît surtout être l'occasion pour Louis Le Roy d'énoncer un jugement négatif sur les mutations, qu'elles surviennent sans que les hommes ne les aient directement provoquées ou qu'elles s'inscrivent dans un projet de réforme politique et institutionnelle. 45 Dans ce jugement, le couple Venise-43 Ibid., feuillets 6 et 7 recto et verso. Cf. aussi dans La Politique, p. 377. Pour Machiavel, cf. Discours sur la première décade de Tite-Live, II, 5 et III, 1. 44 De la vicissitude ou variété des choses en l'univers, I, Opus cit., pp. 17-36. 45 La Politique, II, p. 106. 49 On ne peut donc généraliser la remarque que fait P. Lardet à propos du texte De La vicissitude à l'ensemble des écrits de Louis Le Roy : si cette oeuvre se caractérise par un processus d'accumulation du savoir qui laisse le lecteur libre de juger, parmi les différents éléments mis à disposition par le texte, de celui qui est le plus pertinent, Louis Le Roy sait aussi se montrer plus directif dans les options politiques à privilégier (P. Lardet, 'La politique d'Aristote en français par Louis Le Roy (1568)', in : Philosophy in the sixteenth and seventeeth centuries, Conversations with Aristotle, Opus cit., pp. 138-139). 50 Cl.-G. Dubois, La conception de l'histoire en France au 16 ème siècle (1560-1610), Opus cit., p. 55.

L'exemple vénitien apparaît de manière très fréquente dans les livres qui précèdent le commentaire relatif aux mutations des gouvernements, de telle sorte que le lecteur se trouve familiarisé avec lui lorsque, au livre V, Louis Le Roy entreprend de comparer Florence, Gênes et Sienne, célèbres pour leurs séditions internes, à Venise caractérisée par la stabilité, la concorde et l'union : Venise a été présentée comme une cité-État qui a organisé ses institutions de telle sorte que les trois formes de gouvernement y sont représentées ; on a également appris que les magistratures sont répartis de telle sorte qu'aucune n'excède les autres en puissance, que les citoyens sont les gentilshommes de plus de vingt ans et qu'ils exercent tour à tour les différentes fonctions du gouvernement. Diverses coutumes ont été mentionnées : les banquets publics, la cérémonie d'accession à la citoyenneté, le soin accordé aux pupilles par l'État, la définition de la noblesse par le sang, le mode électoral qui fait une part au « sort », l'organisation de la justice fondée sur le secret des décisions afin de garantir l'indépendance des juges, et enfin l'emploi de condottieri pour éviter qu'un Vénitien

  Loin de définir cet acte d'« invention » comme un geste de rupture, il le pose comme la continuation du discours des Anciens. Malgré tout, Louis Le Roy propose plus qu'une simple reprise du discours politique antique : il procède à sa mise à jour, à la fois pour éclairer le propos de l'auteur traduit et apporter des éclairages utiles à la réflexion sur les problèmes politiques propres à son époque. C'est ce qu'il nomme « invention ». Cette opération, et la position complexe vis-à-vis des Anciens qu'elle implique, passent complètement inaperçues si l'on se contente de lire ses écrits « historiques ». Elle est avant tout visible dans le commentaire qu'il offre aux traductions des textes antiques. C'est donc au genre du commentaire de la traduction, aujourd'hui peu visité par les philosophes et pourtant essentiel au développement de la pensée politique médiévale et renaissante, qu'il faut revenir ici pour appréhender cette opération et ses implications politiques. *** En 1575 est publié l'ouvrage le plus connu de Louis Le Roy, De la vicissitude ou variété des choses en l'univers. Comme l'indique le titre complet de l'ouvrage, L'ensemble de l'ouvrage est guidé par le souci de répondre à la question de savoir si l'on peut dire quelque chose qui n'a pas déjà été dit : De la vicissitude ou variété des choses en l'univers, et concurrence des armes et des lettres par les premieres et plus illustres nations du monde, depuis le temps où a commencé la civilité, et memoire humaine jusqu'à présent plus s'il est vray ne se dire rien qui n'ayt esté dict auparavant : et qu'il convient par propres inventions augmenter la doctrine des anciens, sans s'arrester seulement aux versions, expositions, corrections, et abregez de leurs ecrits par Loys le Roy dict Regius au Très-Chrestien Roy de France et de Poloigne Henry III, du nom (à Paris, chez Pierre l'Huillier, rue S. Jacques à l'Olivier, 1575, avec privilège du Roy). 14

À

  ces trois arguments, Louis Le Roy adjoint une raison d'ordre morale et religieuse : c'est être bon chrétien et faire preuve d'humilité et de « générosité , et non d'arrogance et de paresse », que de travailler en vue d'accroître nos connaissance :

  Le commentateur apparaît ici comme celui qui explique (éclaircit) et confirme par des exemples. Il renvoie à l'une des deux fonctions du commentaire qui est de rendre le texte « lisible ».25 L'argument du second livre des Politiques d'Aristote introduit en outre l'idée qu'à travers les exemples, le commentateur met à jour le propos de l'auteur. C'est ici que prend tout son sens le binôme exemples anciens/exemples modernes : il explicite le propos de l'auteur et en suggère un « aggiornamento ». En ce sens, le commentaire joue un autre rôle, qui consiste à « enrichir » le sens originaire du texte par le travail d'exégèse.26 Il s'agit donc de jeter un pont entre le propos de l'auteur et les temps présents en passant en revue toute l'histoire qui s'est écoulée depuis la rédaction de son oeuvre et en ajoutant aux exemples anciens ceux que le temps présent offre à l'observation : « Beaucoup d'autres en ont écrit depuis : mais la première louange est demeurée à Platon et Aristote, comme aux plus savants et aux plus diligents. Or d'autant qu'Aristote n'allègue ici qu'aucune république de Grèce, assez petites, sans toucher aux étrangères, hormis à la Carthaginoise, n'étant encore lors connu aux Grecs la Romaine, ni parlé des grands royaumes et empires, en lesquels néanmoins apparaît plus la dextérité de gouverner. À cette cause, j'ai dressé une histoire politique ou recueil de toute sortes d'États anciens et modernes, dont j'ai pu avoir connaissance, par lecture, ou par autre recherche, commençant aux Royaumes d'Assyrie, d'Egypte et de Perse, les plus anciens et plus renommés, puis j'ai suivi les temps et les pays, conférant leurs similitudes et différences, observant leurs institutions, disciplines, lois, coutumes : déduisant leur commencement, progrès, accroissements, diminutions, changements, ruines : et essayant de rendre les causes et raisons de tels accidents, selon les règles et préceptes de cet art. Le tout pour ajouter aux Politiques de Platon et Aristote, comme chose très nécessaire à l'intelligence de leurs livres, et à la connaissance de la faculté politique, laquelle n'est toute manifeste par leurs observations, tant doctes et élégantes qu'elles soient. Beaucoup en reste et restera sans que l'occasion se perde d'y ajouter ». 27 Les exemples modernes ont en outre l'avantage de frapper les esprits parce qu'ils renvoient à des événements dont les lecteurs ont une mémoire vive. Ils ont donc une fonction rhétorique dans le discours politique qu'explicite Louis Le Roy dans De L'excellence du gouvernement royal. 28 De manière générale, dans son commentaire, Louis Le Roy avance des exemples anciens empruntés à Aristote ou qu'Aristote lui-même n'a pu évoquer et des exemples « modernes » empruntés à l'histoire contemporaine des divers États européens. Parmi ces derniers, on relève l'importance de l'exemple italien, notamment vénitien, florentin ou génois. Il est le plus souvent passé au filtre d'une référence livresque, Philippe de Commynes, Charles de Seyssel, Gasparo Contarini (à propos de Venise) et Machiavel (à propos de Rome et de Florence). La référence à Machiavel, explicite ou non, joue un rôle tout à fait essentiel dans le travail de commentateur qu'effectue Louis le Roy. 29 Son analyse permet de mettre en évidence la manière dont Louis Le Roy réalise sa mise à jour du discours ancien et entend ainsi « inventer ». De prime abord, on pourrait penser que l'ensemble des références faites à Machiavel repose aussi sur une conviction partagée par les deux auteurs de la nécessité du couplage entre exemple ancien et exemple moderne. Cependant, ce couplage n'a pas la même fonction chez Machiavel et chez Louis le Roy. Le plus souvent, Machiavel l'utilise pour mettre en évidence le décalage entre l'exemple ancien et la situation moderne et c'est dans leur écart qu'il détermine la marche à suivre, énonce son jugement ou sa critique. Quant à lui, Louis Le Roy ne prononce guère des jugements normatifs et prescriptifs et lorsqu'il le fait, par exemple à propos de la mutation, il ne joue pas de ce décalage mais insiste plutôt sur la ressemblance entre deux situations,. La méthode n'est donc pas la même dans l'une et l'autre oeuvre. En revanche, il est incontestable que le propos de Louis Le Roy s'inspire de celui Machiavel sur de nombreux points. Il reprend sa description de l'Italie pour illustrer ce qu'est un territoire politique bouleversé : « L'Italie qui avait été redoutée par tout le monde, fut depuis occupée par les Gots, Hunois et Lombards ; et pour le présent est toute déchirée par lopins, sans religion, sans loi, sans discipline militaire et civile ; remplie d'impureté, lâcheté, brutalité, si croyons à Machiavel ainsi la blasonnant au second livre des Discours ». 30 Il cite également à diverses reprises son analyse des causes de la liberté romaine : « à Rome, la noblesse et le peuple ne cessèrent jamais d'estriver ensemble pour leurs droits (…) mais la force, qui auparavant était divisée en deux parts, maintenait la république en égal contrepoids ni plus ni moins qu'un bateau également chargé autant d'un côté que d'un autre ». 31

  l'omission, il exige aussi parfois tout le contraire : des réflexion plus développées que celles proposées par l'auteur antique. L'« invention » use alors des exemples et des pensées modernes pour compléter le propos d'Aristote et répondre à une préoccupation particulière liée à l'histoire contemporaine. C'est ce que montre le commentaire du livre V de la Politique d'Aristote. Il présente la particularité d'être extrêmement abondant et nourri. L'importance accordée à la question des « mutations » renvoie, chez Louis Le Roy, au problème de la guerre civile dans laquelle était plongé le royaume de France en raison des conflits confessionnels. Son souci s'exprime de manière récurrente au moment où il publie la traduction et le commentaire des Politiques d'Aristote. En témoignent la Première épître dédicatoire de Louis le Roy au roi de France et de Pologne, Henri III du nom, 37 puis en 1568 Des troubles et différents advenant entre les hommes par la diversité des Religions : ensemble du commencement, progrès et excellence de la Chrétienté, tentative pour rendre compte des conflits religieux à l'échelle de l'histoire de l'humanité, et de nouveau, la même année, ses Considérations sur l'histoire française et universelle de ce temps, dont les merveilles sont succinctement récitées : « toutes les parties de la France en confusion, presque sans justice, loi et magistrats, parents armés contre parents, voisins contre voisins, citoyens contre citoyens, Français contre Français reconnaissant même roi, usant de mêmes lois et même langage. Nous avons vu batailles et rencontres d'armées, villes assiégées, princes saccagés, maisons pillées, plat pays fourragé, temples démolies, sépultures ruinées, les rivières rougies de sang humain, chemins et champs couverts de personnes cruellement massacrées. Nous avons vu les étrangers se mêler de tous côtés en nos querelles ». 38 Enfin, en 1575, la Dédicace au très chrétien roi de France et de Pologne Henri troisième du nom des Vicissitudes rappelle encore « les orages de séditions tant de fois recommencés », « la Chrétienté affligée ».Le problème que se pose Louis Le Roy, à la différence d'autres historiens contemporains de la Saint Barthélémy, comme La Popelinière, n'est pas celui de l'explication du phénomène des guerres de religion. Pour sa part, il semble n'éprouver aucune difficulté à en rendre compte. Tout d'abord, il voit dans la dispersion géographique des hommes une cause de l'existence de différentes manières de croire en dieu.39 La dissension religieuse ellemême, phénomène récurrent de l'histoire des hommes,40 relève d'autres facteurs. D'une part, le conflit confessionnel est liée à la volonté de Dieu : il est du pouvoir absolu de Dieu de réunir les hommes sous une seule et même foi et inversement de diviser les hommes, y compris de les entraîner dans un conflit meurtrier. La guerre civile qui met à feu et à sang le royaume de France est un instrument de la politique divine, à la fois pour punir les hommes de leur immoralité et réguler la population sur la terre : « et pourrait sembler que ces divisions fussent aucunement nécessaires par le monde et telles contrariétés que Dieu a donné à chaque État et quasi à chaque personne, utiles pour les tenir en crainte et humilité. Car les hommes facilement se corrompent et enorgueillissent en grande prospérité et richesse : et quand ils méconnaissent d'où procède telle grâce, Dieu a accoutumé leur envoyer des adversités pour les châtier (…) [Feuillet 12] Davantage quand les régions sont trop pleines d'habitants et que la malice et astuce humaine y est montée au dernier degré, elles sont vidées et purgées par famines et pestes, afin que les peuples y étant réduits à moindre nombre et châtiés puissent mieux vivre ; que s'ils ne s'amendent pour cela, ainsi aillent empirant, ils sont exterminés par le feu et l'eau, ou abîmés par tremblement de terre. Voilà comment Dieu par séditions et guerres, par changement d'état, par mortalités, par déluges, par ardeurs et sécheresses punit les pêchés de toutes gens » 41 D'autre part, Louis Le Roy avance que les guerres de religion sont liées au phénomène de la corruption des entités sublunaires, hommes et cités, royaumes et empires, corruption qui touche aussi les Églises. Louis Le Roy assume sur ce point l'influence conjuguée de Platon (dont il a traduit Le Timée), d'Aristote et de Sénèque.

Florence

  occupe une place de choix (via l'argumentaire de G. Contarini et la description par Machiavel de l'histoire florentine) : la première incarnant la stabilité, la concorde et la duré, la seconde un devenir incertain et soumis à de nombreux changements. Cependant, la référence à l'histoire florentine est aussi le lieu où Louis Le Roy indique les moyens pour le gouvernant d'intervenir dans le conflit confessionnel et de rétablir la paix civile. En effet, Louis Le Roy s'attarde sur l'explication aristotélicienne de la sédition par l'inégalité. 46 Dans un commentaire extrêmement développé (une dizaine de page in-quarto, fait tout à fait exceptionnel dans l'ensemble du texte), il la rattache à la conception du corps politique comme corps composé d'humeurs : « Comme l'égalité bien gardée dans les choses et les personnes engendre amitié, ainsi l'inégalité cause inimitié et dissension, principalement quand l'on garde une proportion entre personnes inégales (…) car comme le monde n'est composé d'éléments semblables, mais différents, accordés néanmoins par analogie, comme montre Platon au Timée : ni le corps humain d'humeurs mêmes, mais dissemblables, tempérées par proportion comme dit Galien au livre des Tempéraments et Hippocrate de la nature humaine et Platon au même Timée et au Phédon : desquels le non naturel excès et défaut et changement d'un lieu en autre non convenable, engendre sédition intérieure et maladie. Ainsi n'est pas cité constituée d'hommes tous semblables mais différents en espèces qui sont unis par traitement proportionné et désunis par inégalité ». 47 L'exemple florentin intervient pour montrer les effets du déséquilibre des humeurs : « Donc comme en fondant au commencement à Florence l'autorité populaire, l'on n'y eut mêlé les tempéraments qui devaient assurer la liberté avec doux et raisonnables moyens, et empêcher que la police ne tombât en désordre par l'ignorance et licence de la multitude, la République y a toujours été confuse, d'autant que d'un côté les citoyens de plus grande qualité et condition se réputaient moins estimés qu'il ne semblait convenable et d'autre part que leur ambition était suspecte au peuple » 48 En proposant cette conception des « mutations » à travers le commentaire du propos aristotélicien, Louis Le Roy ne rompt pas avec le cadre causal mis en place précédemment. La vision du corps mixte composé d'humeurs, et dont le régime de santé correspond à l'équilibre de ces derniers et la maladie à leur déséquilibre, s'y intègre parfaitement : les vicissitudes des entités du monde sublunaire, causés par celles du monde supra-lunaire et de manière ultime par Dieu, s'actualisent dans le déséquilibre des humeurs. Non seulement, par conséquent, ce niveau d'explication s'incorpore parfaitement au cadre causal initial, mais en outre, il le complète de manière tout à fait essentielle pour la fin visée par Louis Le Roy : les hommes ne 46 Aristote, Politique, V, 1, 1301 a 19 sqq. 47 Ibid., V, p. 277. 48 Ibid., p. 323. peuvent prétendre intervenir sur la volonté divine ni sur les vicissitudes des corps supralunaires. Les hommes ne peuvent espérer avoir une influence qu'en intervenant au niveau du monde sublunaire. En indiquant que la sédition résulte de l'inégalité entre les différents groupes composant la cité, que la paix dépend de l'équilibre des humeurs, il indique en réalité au gouvernant le seul motif possible de son action. Sur ce point, on peut affirmer qu'il y a une grande proximité entre Louis Le Roy et Machiavel : tous deux proposent différents niveaux d'explication pour rendre compte de la corruption des corps sublunaires, mais ils mettent particulièrement en avant le cadre de causalité dans laquelle une intervention humaine peut avoir une certaine efficacité. C'est celui de la régulation institutionnelle du conflit des humeurs. Louis Le Roy reprend ainsi mot pour mot cette explication dans De l'excellence du gouvernement royal, avec exhortation aux Français de persévérer en celui-ci sans chercher mutations pernicieuses, afin d'éclairer la voie à suivre pour la royaume de France. 49 Il promeut ce faisant « une solution réaliste, qui pour lui est liée à la tolérance d'une multiplicité de croyances dans l'unité des structures politiques et juridiques ». 50 Comme nous l'avons vu à propos de la tyrannie, Louis Le Roy sait aussi conserver ses distances à l'égard de la pensée de Machiavel. Un autre exemple nous en est fourni, dans le cadre de sa réflexion sur les mutations, par son analyse de l'exemple vénitien, sans relation aucune avec l'indifférence affichée par l'auteur des Discours à l'égard du gouvernement de Venise. Louis Le Roy emprunte la plupart ses informations à propos des institutions vénitiennes au De magistratibus et republica Venetorum de Gasparo Contarini, ouvrage écrit en latin dans les années 1520, publié pour la première fois en 1543 et très rapidement traduit et diffusé en Europe. Il a également d'autres sources, penseurs politiques et historiens, qu'il cite plus rarement mais qui témoignent de l'importante diffusion de l'exemple vénitien dans les discussions sur la nature du bon gouvernement au 16 ème siècle : Claude de Seyssel (La Monarchie de France), Pontano (De bello napolitano), Paul Jove (Historiarum sui temporibus), Bembo (Historiarum venetae), Philippe de Commynes (Charles VIII en Italie) et Machiavel (Discours, I, 55).

  ambitieux n'acquière à la guerre un pouvoir et une renommée tels qu'il puisse conquérir le pouvoir. Le souci d'étouffer les ambitions particulières, de vivre selon l'excellence de la vertu et d'éviter les séditions a été décrit comme la « marque » du gouvernement vénitien à plusieurs reprises.Aussi le lecteur n'est-il pas surpris de lire un éloge du gouvernement vénitien dans le commentaire du livre V des Politiques : « Mais la République de Venise, qui est aristocratique principalement par le Sénat et Collège des Sages, a ses parties tant bien tempérées ensemble et proportionnées (comme l'avons touché en plusieurs passages de cette oeuvre) qu'elle a été très longuement préservée au dedans de séditions et mutations, qui ayant au moins été d'importance, et par dehors s'est entretenue contre les efforts de plusieurs puissants princes. Ayant déjà duré près de douze cent ans sans violence de guerre intestine et sans tomber sous le joug de domination étrangère, ou changé la religion première en laquelle elle a été fondée. Maintes républiques anciennes l'ont passée en grandeur d'Empire, en discipline militaire, et en renommée de hauts faits, mais n'en y a point qu'on lui puisse comparer en bonté de police et de lois, pour bien et heureusement vivre, ni s'en trouver aucune qui ait régné si longuement. Et véritablement pouvons dire que ce soit l'État gouverné en communauté le plus accompli qu'on ait jamais lu ni vu » 51 L'admiration de Louis Le Roy à l'égard de Venise connaît cependant des limites. Si cet exemple moderne surpasse les anciens, et à ce titre justifie la volonté de mettre à jour le discours d'Aristote, s'il est incomparablement précieux au penseur politique qui fait face aux guerres de religion, Louis Le Roy n'en passe pas moins au crible les défauts du gouvernement 51 La Politique, V, p. 331. vénitien. Il en cite trois : la domination absolue dans laquelle les gentilshommes vénitiens tiennent le peuple et les nobles des territoires conquis par leur gouvernement, qui engendre mécontentement et frustration ; le recours aux condottieri, tout aussi dangereux pour le gouvernement vénitien que l'emploi de nobles issus de la cité; l'écart entre les nobles de naissance, issus des familles fondatrices de la cité et les autres, qui les jalousent. De ces défauts, Louis Le Roy retient avant tout qu'ils créent de « mauvaises humeurs » susceptibles de corrompre le corps politique vénitien et de provoquer une « maladie si âpre qu'à peine se pourra trouver le remède à temps ». 52 L'explication qu'il fournit à propos des mutations florentines se trouve donc de nouveau mobilisé pour rendre compte d'une certaine fragilité du gouvernement vénitien dans le temps long de l'histoire, et cela en dépit des apparences. L'exemple vénitien contribue donc sous deux angles -l'un positif, l'autre négatif -à nourrir la réflexion sur les causes des mutations des gouvernements et les moyens de les prévenir ou d'en atténuer les effets. L'art de l'« invention » déployé par Louis Le Roy se marque donc avant tout dans le commentaire aux traductions qu'il propose. Parallèlement à la traduction qui diffuse l'oeuvre des Anciens, il se présente comme un art de continuer leur pensée, c'est-à-dire de compléter ce qui doit l'être dans le discours antique en fonction des problèmes posés par l'histoire contemporaine, sans rompre pour autant avec lui. Cette posture n'est paradoxale que pour ceux qui estiment le geste de création incompatible avec la volonté d'assumer un héritage, l'affirmation d'un possible progrès des arts et des sciences incohérente avec celle d'une histoire cyclique des entités sublunaires. Elle ne l'était visiblement pas pour Louis Le Roy. Son travail de commentateur nous invite en ce sens à une expérience de pensée où le principe de charité interprétatif est la condition nécessaire pour s'ouvrir à un moment de l'histoire où l'ambition de dire du nouveau n'est pas synonyme de rupture avec le passé. D'autre part, la nature même de l'opération à laquelle se livre Louis Le Roy dans son commentaire aux Politiques d'Aristote invite à revenir sur l'usage qu'il fait du terme « invention » et à en proposer une interprétation, dans la mesure où Louis Le Roy lui-même ne théorise pas son geste et ne l'explicite pas en une « méthode », comme nombre de ses contemporains l'ont fait pour leur propre démarche. D'une certaine manière, on peut voir dans la recherche d'exemples modernes destinés à éclairer le discours aristotélicien une activité de l'esprit proche de celle thématisée par Aristote, et reprise par Cicéron, Quintilien et les scolastiques : la recherche des « lieux » argumentatifs à partir desquels emporter la conviction 52 Ibid., p. 332.

  ce sujet P. Lardet, 'La politique d'Aristote en français par Louis Le Roy (1568)', in : Philosophy in the sixteenth and seventeeth centuries, Conversations with Aristotle, éd. C. Blackwell et S. Kusukawa, Ashgate, 1999, pp. 134-135). Il se pose ici en héritier du penseur politique pratique, celui qui précède le divorce entre action et contemplation, tel Aristote, Cicéron et Platon. Précisons que Louis Le Roy songe là à Platon comme disciple de Socrate, qui faisait profession de s'occuper des affaires des hommes, et non le Platon ficinien de la tradition renaissante néoplatonicienne, métaphysique et précurseur du christianisme (Cf. à ce sujet M. Isnardi-Parente, 'Loys le Roy su Platone e Aristotele nell'introduzione ai 'Politiques', Opus. Cit). le naturaliser en vernaculaire, c'est certes le rendre plus accessible, mais c'est aussi rappeler sa qualité d'étranger. En latin, Aristote était universel ; en français, le revoilà particulier » 23 Autrement dit, le revoilà antique et c'est comme tel, d'ailleurs, qu'il exige un commentaire établissant un pont entre le présent et la parole antique. Ce choix de la langue de traduction porte en lui-même l'exigence d'un commentaire. L'originalité de Louis Le Roy, dans la série des traducteurs de La Politique d'Aristote, est d'avoir inventé la formule éditoriale qui consiste à publier dans une seule et même langue, en l'occurrence le français, la traduction et le commentaire. 24 Or, le commentaire est sans doute le lieu où se déploie par excellence la faculté d'invention revendiquée par Louis Le Roy en matière politique. Dans le titre même de la traduction, le rôle du commentateur est mis en avant : Les politiques d'Aristote dans lesquelles est montrée la science de gouverner le genre humain en toutes espèces d'États publics, traduites du grec en français par Loys Le Roy dit Regius, avec expositions prises des meilleurs auteurs, spécialement d'Aristote même, et de Platon, conservés ensemble où les occasions des matières par eux traitées s'offraient : dont les observations et raisons sont éclaircies et confirmées par innumérables exemples anciens et modernes, recueillis des plus illustres empires, royaumes, seigneuries et républiques qui furent onques, et dont l'on a pu avoir la connaissance par écrit, ou le fidèle rapport d'autrui.

22

C'est sur ce point que M. Fumaroli cite Louis Le Roy dans L'âge de l'éloquence (Paris, Albin Michel, 1994) et que M. Magnien revient également sur son travail de traducteur in : 'D'une mort, l'autre (1536-1572) : la rhétorique reconsidérée', in : Histoire de la rhétorique dans l'Europe moderne, 1450-1950, Opus cit., p. 364. «

Louis Le Roy ne cherche pas à établir les différences entre les pensées d'Aristote et Platon. Comme on le verra, il se situe même plutôt du côté de ceux qui affirment une « concordance » entre les deux auteurs, sans pour autant chercher à la commenter et à la fonder. En guise d'introduction à cette question de la « concordance » entre Platon et Aristote, on pourra lire J. Moreau, 'De la concordance d'Aristote avec Platon', in : Platon et Aristote à la Renaissance, 16 ème colloque international de Tours, Paris, Vrin, 1976, pp. 43-58.

M. Magnien, 'D'une mort, l'autre (1536-1572) : la rhétorique reconsidérée', in : Histoire de la rhétorique dans l'Europe moderne, 1450-1950, dir. M. Fumaroli, Paris, PUF, 1999, p. 355.

Sur ce point, on pourra utilement se reporter à Penser entre les lignes -Philologie et Philosophie au Quattrocento, F. Mariani Zini (éd.), Presses universitaires du Septentrion, Cahiers de philologie/ Apparat critique, 19, 2001.

H. Baron, in : (éd.) P. O. Kristeller et Ph. Wiener, Renaissance essays, I, Rochester (N.Y.), University of Rochester Press, 1992, p. 108.

Fr. Pétrarque, Le Familiari, XXII, 2, 20, éd. V. Rossi et U. Bosco, vol. IV, 1942, p.

10 Machiavel : « le soir venu, je retourne chez moi et j'entre dans mon cabinet ; sur le seuil, j'enlève mes vêtements quotidiens, couverts de boue et tout crottés, et je revêts des habits dignes de la cour d'un roi ou d'un pape ; et vêtu comme il se doit, j'entre dans les antiques cours des Anciens, où, reçu par eux avec amour, je me repais de ce mets qui solum est mien et pour lequel je naquis ; et là je n'ai pas honte de parler avec eux et de leur demander les raisons de leurs actes ; et eux, par humanité, ils me répondent ; et pendant quatre heures de temps, je ne ressens aucun ennui, j'oublie tout tracas, je ne crains pas la pauvreté, la mort ne m'effraie pas : je me transporte tout entier en eux. Et comme Dante dit qu'il n'est pas de science sans que l'on retienne ce que l'on a compris, j'ai pour ma part noté, dans leur conversation, ce dont j'ai fait mon miel et j'ai composé un opuscule De principatibus … » Le Prince, tr. de J-L. Fournel et J-Cl. Zancarini, Le Prince, Paris, PUF, 2000, p. 531. 11 M. Magnien, 'D'une mort, l'autre (1536-1572) : la rhétorique reconsidérée', in : Histoire de la rhétorique dans l'Europe moderne, 1450-1950, Opus cit., p. 356.12 De ce point de vue, la thèse défendue par L. Yilmaz dans Le temps moderne. Variations sur les Anciens et les contemporains (Paris, Gallimard, 2004), selon qui la Querelle des Anciens et des Modernes est le point d'arrivée d'un processus dont l'origine remonte au 14 ème siècle et connaît un développement majeur à la Renaissance, est sans doute juste. Mais en opérant le rapprochement entre l'humanisme et l'époque de la Querelle, elle gomme la variété d'attitudes possibles dans le rapport au passé : si toute affirmation de nouveauté est en réalité un positionnement par rapport à l'ancien, l'étude ne doit-elle pas se porter sur les différentes d'attitude plutôt que sur leur tronc commun ?

Ibid., p. 15 (Sommaire).

Ibid., 12, p. 431. La formule était déjà énoncée dans l'argument du second livre des Politiques d'Aristote : « la vérité se présente à ceux qui la veulent chercher et son capables de la recevoir : elle n'est pas encore toute occupée », in : Les Politiques d'Aristote esquelles est montree la science de gouverner le genre humain en toutes espèces d'estats publiques traduites de Grec en François par Loys Le Roy dict Regius, avec exposition prises des meilleurs Autheurs, specialement d'Aristote mesme, et de Platon, conservez ensembles où les occasions des matieres par eux traictees s'offroient : dont les observations et raisons sont éclaircies et confirmées par innumerables exemples anciens et modernes, recueillis des plus illustres Empires, Royaumes, Seigneuries et Républiques qui furent onques, et dont l'on a pu avoir la connaissance par escrit, ou le fidèle rapport d'autruy. Augmentées du 9 ème et 10 ème livres, composés en Grec au nom d'Aristote, par Kyriac Stross, Patrae Florentin, traduits et annotés par Frédéric Morel interprète du Roy, à Paris, chez Ambroise Drouart, 1600, p. 49.

Ibid., 12, p. 437.

Pierre Lardet, Ibid., p. 128. P. Lardet rappelle que la performance de Le Roy est à situer par rapport à d'autres versions de la Politique. Pour le 16 ème siècle, l'inventaire par F. Edward Cranz et Charles B. Schmitt des éditions d'Aristote permet de dégager trois moments : d'abord les années 1501-1516, avec le succès d'une formule italo-française couplant la traduction de Leonardo Bruni (c. 1438) et le commentaire de Jacques Lefèvre d'Etapes (1506) : près d'un quart (soit dix-sept) des soixantedouze éditions latines du siècle est constitué par celles de Bruni parues en ces quinze années, et le tiers de ce quart (soit six) se trouve muni du commentaire de Lefèvre. Ensuite les années 1542-157, où s'affirme la prépondérance française, mais au plan des traductions latines. A un an près (1542-1543) se suivent les versions de deux rivaux : le rhétoricien érasmisant Jacques-Louis d'Estrebay (Strebaeus) et le théologien bénédictin Joachim Périon. L'une connaît six éditions jusqu'en 1550, l'autre cinq jusqu'à 1557. Mais à cette date, la version Bruni (détachée cette fois du commentaire de Lefèvre qui n'est plus imprimé après 1543) reprend le dessus pour une vingtaine d'années : seize éditions jusqu'à 1581. Troisième moment, plus étendu : 1567-1600. Un troisième français (après d'Estrebay et Périon) innove en latin : Denis Lambin, en 1567, lecteur de grec au collège royal (soit un an avant que Le Roy publie sa Politique en français). C'est à Lambin qu'il va revenir de détrôner la vieille vulgate latine de Bruni : Isaac Casaubon retiendra sa version pour la grande édition des Opera d'Aristote en 1590. Canonicité tardive, vu la concurrence devenu forte des vernaculaires : la Politique a existe en italien dès le milieu du siècle, avec Antonio Brucioli à Venise et Bernardo Segni à Florence (1547 et 1549) ; elle paraît en espagnol à Saragosse en 1584, grace à Pedro Simon Abril. Mais c'est Le Roy qui compte le plus, avec les quatre éditions parisiennes de 1568 à 1600, et surtout le fait que la version anonyme anglaise de 1598 se fonde sur son français.

24 P. Lardet, Ibid., p. 133-

134.25 K. Stierle, 'Les lieux du commentaire', in : G. Mathieu-Castellani et M. Plaisance (éd.), Les commentaires et la naissance de la critique littéraire, actes du Colloque international sur le commentaire, Paris, mai 1988, Paris, Aux Amateurs de livres, 1990, p. 21.

Ibid., p. 20. On pourra retenir ce propos de K. Stierle pour évoquer ces deux fonctions classiques du commentaire : « écartement du voile posé devant la création elle-même ou production de surplus de sens », p. 21.

La Politique, II, Argument, p. 49.

« et attendu que les affaires prochaines de notre patrie, âge et mémoire émeuvent plus, j'en toucherai aussi sommairement les tumultes advenus par mêmes occasions en la République de Florence … », De L'excellence du gouvernement royal, p. 11.

Ibid., « Et attendu que les affaires prochaines de notre patrie, âge et mémoire émeuvent plus, j'en toucherai aussi sommairement les tumultes advenus par même occasion en la république de Florence, qui l'ont changé en duché, afin que par la considération des choses anciennes et modernes l'on puisse par celle-ci juger les présentes et les futures, telles ou semblablement. Comment donc en fondant à Florence l'autorité populaire, l'on n'y eut mêlé le tempérament qui devaient assurer la liberté avec doux et raisonnable moyens et empêcher que la police ne tombât en désordre par l'ignorance et licence de la multitude, la république y a toujours été confuse », p. 11. Il reprend cette idée dans De l'excellence du gouvernement royal ….

Les Politiques, V, p. 300. Chez Machiavel, cf. à ce sujet notamment Le Prince, 3 et 24, et les Discours, III, 1.

Les Politiques, V , p. 372.

Ibid., Cet aspect a été souligné par P. Lardet, art. cit., p. 143

Ibid.

Il y évoque « la France longuement travaillée d'émotions civiles, qui se sont lors élevées plus grandes que devant, et appauvries par les calamités précédentes », « la malice du temps », « les troubles », « le peuple affligé », la malheureuse discorde qui l'a ainsi travaillé » et « l'horrible orage de la guerre civile ».

Considérations sur l'histoire française et universelle de ce temps, dont les merveilles sont succinctement récitées, 1568, p. 3.

d'abord : mettre au centre de l'interrogation, comme l'a fait Machiavel, la question des mutations ; interpréter celles-ci, comme lui, dans le cadre d'une cosmologie des humeurs.

Leçon pratique ensuite, qui nous fait quitter Florence et l'auteur du Prince et des Discours pour Venise, modèle par excellence de stabilité et de concorde. La combinaison de ces éléments serait apparue comme un paradoxe aux yeux de Machiavel ou des partisans de la « constitution » de Venise. Mais l'importation d'idées va rarement sans transformation et le souci premier de Louis Le Roy n'était pas la fidélité à un auteur ou à un courant de pensée : il résidait dans le rétablissement de l'unité du royaume français.

Marie Gaille-Nikodimov (CNRS/CERSES)


Clément Aubert

Marc Bagnol

Unification and Logarithmic Space

Keywords: Implicit Complexity, Unification, Logarithmic Space, Proof Theory, Pointer Machines, Geometry of Interaction

We present an algebraic characterization of the complexity classes Logspace and NLogspace, using an algebra with a composition law based on unification. This new bridge between unification and complexity classes is inspired from proof theory and more specifically linear logic and Geometry of Interaction. We show how unification can be used to build a model of computation by means of specific subalgebras associated to finite permutations groups. We then prove that whether an observation (the algebraic counterpart of a program) accepts a word can be decided within logarithmic space. We also show that the construction can naturally represent pointer machines, an intuitive way of understanding logarithmic space computing.

Introduction

Proof theory and complexity theory. There is a longstanding tradition of relating proof theory (more specifically linear logic [START_REF] Girard | Linear logic[END_REF]) and implicit complexity theory that dates back to the introduction of bounded [START_REF] Girard | Bounded Linear Logic: A Modular Approach to Polynomial Time Computability[END_REF] and light [START_REF] Girard | Light linear logic[END_REF] logics. Control over the modalities [START_REF] Schöpp | Stratified Bounded Affine Logic for Logarithmic Space[END_REF][START_REF] Dal Lago | Bounded Linear Logic, Revisited[END_REF], type assignment [START_REF] Gaboardi | An Implicit Characterization of PSPACE[END_REF] and stratification of exponential boxes [START_REF] Baillot | Linear logic by levels and bounded time complexity[END_REF], to name a few, led to a clearer understanding of the complexity bounds linear logic could entail on the cut-elimination procedure.

We propose to push further this approach by adopting a more semantical and algebraic point of view that will allow us to capture non-deterministic logarithmic space computation. Geometry of Interaction. As the study of cut-elimination has grown as a central topic in proof theory, its mathematical modeling became of great interest. The Geometry of Interaction [START_REF] Girard | Towards a Geometry of Interaction[END_REF] research program led to mathematical models of cut-elimination in terms of paths in proofnets [START_REF] Asperti | Paths in the lambda-calculus[END_REF], token machines [START_REF] Laurent | A token machine for full geometry of interaction[END_REF] and operator algebras [START_REF] Girard | Geometry of interaction 1: Interpretation of System F[END_REF]. It was already used with complexity concerns [START_REF] Baillot | Elementary Complexity and Geometry of Interaction[END_REF][START_REF] Girard | Epistemology versus Ontology[END_REF].

Recent works [START_REF] Girard | Epistemology versus Ontology[END_REF][START_REF] Aubert | Characterizing co-NL by a group action[END_REF][START_REF] Aubert | Logarithmic Space and Permutations[END_REF] studied the link between Geometry of Interaction and logarithmic space, relying on the theory of von Neumann algebras. Those three articles are indubitably sources of inspiration of this work, but the whole construction is made anew, in a simpler framework.

Unification. Unification is one of the key-concepts of theoretical computer science, for it is used in logic programming and is a classical subject of study for complexity theory. It was shown [START_REF] Girard | Geometry of Interaction III: Accommodating the Additives[END_REF][START_REF] Girard | Three lightings of logic (Invited Talk)[END_REF] that one can model cut-elimination with unification techniques.

Execution will be expressed in terms of matching in a unification algebra. This is a simple framework, yet expressive enough to encode the action of finite permutation groups on an unbounded tensor product, which is a crucial ingredient of our construction.

Contribution. We carry on the methodology of bridging Geometry of Interaction and complexity theory with a renewed approach. It relies on an simpler representation of execution in a unification-based algebra, proved to capture exactly logarithmic space complexity.

While the representation of inputs (words over a finite alphabet) comes from the classical Church representation of lists, observations (the algebraic counterpart of programs) are shown to correspond very naturally to a notion of pointer machines. This correspondence allows us to prove that reversibility (of machines) is related to the algebraic notion of isometricity (of observations). Organization of this article. In Sect.1 we review some classical results on unification of first-order terms and use them to build the algebra that will constitute our computational setting.

We explain in Sect.2 how words and computing devices (observations) can be modeled by particular elements of this algebra. The way they interact to yield a notion of language recognized by an observation is described in Sect. [START_REF] Girard | Light linear logic[END_REF].

Finally, we show in Sect.4 that our construction captures exactly logarithmic space computation, both deterministic and non-deterministic.

The Unification Algebra

Unification

Unification can be generally thought of as the study of formal solving of equations between terms.

This topic was introduced by Herbrand, but became really widespread after the work of J. A. Robinson on automated theorem proving. The unification technique is also at the core of the logic programming language Prolog and type inference for functional programming languages such as CaML and Haskell.

Specifically, we will be interested in the following problem:

Given two terms, can they be "made equal" by replacing their variables? For any t ∈ T , we will write Var(t) the set of variables occurring in t . We say that a term is closed when Var(t) = ∅ , and denote T c the set of closed terms.

Notation. The binary function symbol • is not associative, but we will write it by convention as right associating to lighten notations:

t• u•v := t • (u•v) Definition 2 (substitution) A substitution is a map θ : V → T such that the set Dom(θ) := { v ∈ V | θ(v) = v } (the domain of θ ) is finite. A substitution with domain { x 1 , . . . , x n } such that θ(x 1 ) = u 1 , . . . , θ(x n ) = u n will be written as { x 1 → u 1 ; . . . ; x n → u n } .
If t ∈ T is a term we write t.θ the term t where any occurrence of any variable x has been replaced by θ(x) .

If θ = { x i → u i } and ψ = { y j → v j } , their composition is defined as θ; ψ := { x i → u i .ψ } ∪ { y j → v j | y j ∈ Dom(θ) }
Remark. The composition of substitutions is such that t.(θ; ψ) = (t.θ).ψ holds.

Definition 3 (renamings and instances)

A renaming is a substitution α such that α(V) ⊆ V and that is bijective. A term t is a renaming of t if t = t.α for some renaming α .

Two substitutions θ, ψ are equal up to renaming if there is a renaming α such that ψ = θ; α .

A substitution ψ is an instance of θ if there is a substitution σ such that ψ = θ; σ .

Proposition 4

Let θ, ψ be two substitutions. If θ is an instance of ψ and ψ is an instance of θ , then they are equal up to renaming.

Definition 5 (unification) Two terms t, u are unifiable if there is a substitution θ such that t.θ = u.θ .

We say that θ is a most general unifier (MGU) of t, u if any other unifier of t, u is an instance of θ .

Remark. It follows from Proposition 4 that any two MGU of a pair of terms are equal up to renaming.

We will be interested mostly in the weaker variant of unification where one can first perform renamings on terms so that their variables are distinct, we introduce therefore a specific vocabulary for it. As unification grew in importance, the study of its complexity gained in attention. A complete survey [START_REF] Knight | Unification: A Multidisciplinary Survey[END_REF] tells the story of the bounds getting sharpened: general first-order unification was finally proved [START_REF] Dwork | On the sequential nature of unification[END_REF] to be a Ptime-complete problem.

In this article, we are concerned with a very much simpler case of the problem: the matching (Definition 6) of linear terms (ie. where variables occur at most once). This case can be solved in a space-efficient way.

Proposition 8 (matching in logarithmic space [START_REF] Dwork | Parallel Algorithms for Term Matching[END_REF]Lemma 20]) Whether two linear terms t, u with disjoint sets of variables are unifiable, and if so finding a MGU, can be computed in logarithmic space in the size1 of t, u on a deterministic Turing machine The lemma in [START_REF] Dwork | Parallel Algorithms for Term Matching[END_REF] actually states that the problem is in NC 1 , a complexity class of parallel computation known to be included in Logspace.

We will use only a special case of the result, matching a linear term against a closed term.

Flows and Wirings

We now use the notions we just saw to build an algebra with a product based on unification. Let us start with a monoid with a partially defined product, which will be the basis of the construction.

Definition 9 (flows)

A flow is an oriented pair written t u with t, u ∈ T such that Var(t) = Var(u) . Flows are considered up to renaming: for any renaming α , t u = t.α u.α . We will write F the set of (equivalence classes of ) flows. We set I := x x and (t u) † := u t so that (.) † is an involution of F .

A flow t u can be thought of as a 'match ... with u -> t' in a ML-style language. The composition of flows follows this intuition. Definition 10 (product of flows) Let u v ∈ F and t w ∈ F . Suppose we have chosen two representatives of the renaming classes such that their sets of variables are disjoint. The product of u v and t w is defined if v, t are unifiable with MGU θ (the choice of a MGU does not matter because of the remark following Definition 5) and in that case: (u v)(t w) := u.θ w.θ .

Definition 11 (action on closed terms)

If t ∈ T c is a closed term, (u v)(t) is defined whenever t and v are unifiable, with MGU θ , in that case (u v)(t) := u.θ

Examples. Composition of flows:

(x • c (c• c)•x)(y • z z • y) = x • c x• c•c . Action on a closed term: (x • c x • c• c)(d•c • c) = d• c .
Remark. The condition on variables ensures that the result is a closed term (because Var(u) ⊆ Var(v) ) and that the action is injective on its domain of definition (because Var(v) ⊆ Var(u) ). Moreover, the action is compatible with the product of flows: l(k(t)) = (l k)(t) and both are defined at the same time.

By adding a formal element ⊥ (representing the failure of unification) to the set of flows, one could turn the product into a completely defined operation, making F an inverse monoid. However, we will need to consider the wider algebra of sums of flows that is easily defined directly from the partially defined product.

Definition 12 (wirings)

Wirings are C-linear combinations of elements of F (formally: almost-everywhere null functions from F to C ), endowed with the following operations:

i λ i l i j µ j k j := i,j such that (likj ) is defined λ i µ j (l i k j ) (with λi,µj ∈C and li,kj ∈F ) and i λ i l i † := i λ i l † i (where λ is the complex conjugate of λ )
We write U the set of wirings and refer to it as the unification algebra.

Remark. Indeed, U is a unital * -algebra: it is a C-algebra (considering the product defined above) with an involution (.) † and a unit I .

Definition 13 (partial isometries)

A partial isometry is a wiring

U ∈ U satisfying U U † U = U . Example. (c • x x • d) + (d • c c • c) is a partial isometry.
While U offers the general algebraic background to work in, we will need to consider particular kind of wirings to study computation.

Definition 14 (concrete and isometric wirings)

A wiring is concrete whenever it is a sum of flows with all coefficients equal to 1 . An isometric wiring is a concrete wiring that is also a partial isometry. Given a set of wirings E we write E + for the set of all concrete wirings of E .

Isometric wirings enjoy a direct characterization.

Proposition 15 (isometric wirings)

The isometric wirings are exactly the wirings of the form i u i t i with the u i pairwise disjoint (Definition 6) and t i pairwise disjoint.

It will be useful to consider the action of wirings on closed terms. For this purpose we extend Definition 11 to wirings.

Definition 16 (action on closed terms) Let V c be the free C-vector space over T c . Wirings act on base vectors of V c in the following way

i λ i l i (t) := i such that li(t) is defined λ i l i (t) ∈ V c
which extends by linearity into an action on the whole V c . Isometric wirings have a particular behavior in terms of this action.

Lemma 17 (isometric action)

Let F be an isometric wiring and t a closed term. We have that F (t) and F † (t) are either 0 or another closed term t (seen as an element of V c ).

Tensor Product and Permutations

We define now the representation in U of structures that provide enough expressivity to model computation. Unbounded tensor products will allow to represent data of arbitrary size, and finite-support permutations will be used to manipulate these data.

Notations. Given any set of wirings or closed terms E , we write Vect(E) the vector space generated by E , ie. the set of finite linear combinations of elements of E (for instance Vect(T c ) = V c ). Moreover, we set I := { λI | λ ∈ C } (with I = x x as in Definition 9) which is the * -algebra of multiples of the identity, and u v := u v + v u . For brevity we write " * -algebra" instead of the more correct " * -subalgebra of U " ( ie. a subset of U that is stable by linear combinations, product and (.) † ).

Definition 18 (tensor product) Let u v and t w be two flows. Suppose we have chosen representatives of these renaming classes that have their sets of variables disjoint. We define their tensor product as (u v) ⊗ (t w) := u•t v • w . The operation is extended to wirings by bilinearity. Given two * -algebras A, B , we define their tensor product as the * -algebra

A ⊗ B := Vect F ⊗ G F ∈ A, G ∈ B
This actually defines an embedding of the algebraic tensor product of * -algebras into U , which means in particular that (F ⊗ G)(P ⊗ Q) = (F P ) ⊗ (GQ) . It ensures also that the ⊗ operation indeed yields * -algebras. Notation. As • , the ⊗ operation is not associative. We carry on our convention and write it as right associating:

A ⊗ B ⊗ C := A ⊗ (B ⊗ C) .

Definition 19 (unbounded tensor)

Let A be a * -algebra. We define the * -algebras A ⊗n for all n ∈ N as A ⊗0 := I and A ⊗n+1 := A ⊗ A ⊗n and the * -algebra A ⊗∞ := n∈N A ⊗n .

We will consider finite permutations, but allow them to be composed even when their domain of definition do not match.

Notations. Let S n be the set of finite permutations over {1, . . . , n}, if σ ∈ S n , we define σ +k ∈ S n+k as the permutation σ extended to { 1, . . . , n, . . . , n + k } letting σ +k (n + i) := n + i for i ∈ { 1, . . . , k } . We also write I k := Id {1,...,k} ∈ S k .

Definition 20 (representation)

To a permutation σ ∈ S n we associate the flow

[σ] := x 1 • x 2 • • • • • x n • y x σ(1) • x σ(2) • • • • • x σ(n) • y
A permutation σ ∈ S n will act on the first n components of the unbounded tensor product (Definition 19) by swapping them and leaving the rest unchanged.

The wirings [σ] internalize this action: in the above definition, the variable y at the end stands for the components that are not affected.

Example. Let τ ∈ S 2 be the permutation swapping the two elements of {1, 2} and

U 1 ⊗ U 2 ⊗ U 3 ⊗ I ∈ U ⊗3 ⊆ U ⊗∞ . We have [τ ] = x 1 • x 2 • y x 2 • x 1 • y and [τ ](U 1 ⊗ U 2 ⊗ U 3 ⊗ I)[τ ] † = U 2 ⊗ U 1 ⊗ U 3 ⊗ I .

Proposition 21 (representation)

For σ ∈ S n and τ ∈ S n+k we have

[σ +k ] = [σ][I n+k ] = [I n+k ][σ] [σ +k • τ ] = [σ][τ ] and [σ -1 ] = [σ] † Definition

Words and Observations

The representation of words over an alphabet in the unification algebra directly comes from the translation of Church lists in linear logic and their interpretation in Geometry of Interaction models [START_REF] Girard | Geometry of interaction 1: Interpretation of System F[END_REF][START_REF] Girard | Geometry of Interaction III: Accommodating the Additives[END_REF]. This proof-theoretic origin is an useful guide for intuition, even if we give here a more straightforward definition of the notion.

From now on, we fix a set of two distinguished constant symbols LR := { L, R } .

Definition 23 (word algebra)

To a set S of closed terms, we associate the * -algebra

S * := Vect { t u | t, u ∈ S }
(which is indeed an algebra because unification of closed terms is simply equality)

The word algebra associated to a finite set of constant symbols Σ is the * -algebra defined as

W Σ := (I ⊗ Σ * ⊗ LR * ) ⊗ (T * c ) ⊗1
( Tc is the set of all closed terms, I is defined at the beginning of Sect.1.3

⊗ is as in Definition 18 and (.) ⊗1 is the case n = 1 of Definition 19)

The words we consider are cyclic, with a begin/end marker , a reserved constant symbol. For example the word 0010 is to be thought of as 0010 = 10 00 = 0 001 = • • • . We consider therefore that the alphabet Σ always contains the symbol .

Definition 24 (word representation) Let W = c 1 . . . c n be a word over Σ and t 0 , t 1 , . . . , t n be distinct closed terms. The representation W (t 0 , t 1 , . . . , t n ) ∈ W + Σ with respect to t 0 , t 1 , . . . , t n of W is an isometric wiring (Definition 14), defined as

W (t 0 , t 1 , . . . , t n ) := x • • R•(t 0 • y) x • c 1 • L • (t 1 • y) + x • c 1 • R • (t 1 • y) x • c 2 • L• (t 2 • y) + • • • + x • c n • R• (t n • y) x • • L•(t 0 • y)
We now define observations, programs computing on representations of words. They lie in a particular * -algebra based on the representation of permutations presented in Sect.1. Moreover when an observation happens to be an isometric wiring, we will call it an isometric observation.

3 Normativity: Independence from Representations

We are going to define how observations accept and reject words. This needs to be discussed, because there is an issue with word representations: an observation is an element of U and can therefore only interact with representations of a word, and there are many possible representation of the same word (in Definition 24, different choices of closed terms lead to different representations). Therefore one has to ensure that acceptance or rejection is independent of the representation, so that the notion makes the intended sense. The termination of computations will correspond to the algebraic notion of nilpotency, which we recall here.

Definition 35 (separating space)

A subspace E of V c is separating for a wiring F whenever F (E) ⊆ E and

F n (E) = 0 implies F n = 0 .
Observations are finite sums of wirings. We can naturally associate a finitedimensional vector space to an observation and a finite set of closed terms.

Definition 36 (computation space) Let { t 0 , . . . , t n } be a set of distinct closed terms and φ ∈ O + Σ an observation. Let N (φ) be the smallest integer and S(φ) the smallest (finite) set of closed terms such that φ ∈ (S(φ

) * ⊗ Σ * ⊗ LR * ) ⊗ S N (φ) . The computation space Comp φ (t 0 , . . . , t n ) is the subspace of V c generated by the terms s•c • d• ( a 1 • • • • • a N (φ) • )
where

s ∈ S(φ) , c ∈ Σ , d ∈ LR and the a i ∈ { t 0 , . . . , t n } . The dimension of Comp φ (t 0 , . . . , t n ) is |Σ|2(n + 1) N (φ) |S(φ)| (where |A| is the cardinal of A ), which is polynomial in n .
Lemma 37 (separation) For any observation φ and any word W , the space Comp φ (t 0 , . . . , t n ) is separating for the wiring φ W (t 0 , . . . , t n ) .

Proof (of Theorem 34). With these lemmas at hand, we can define the non-deterministic algorithm below. It takes as an input the representation W (t 0 , . . . , t n ) of a word W of length n . φ being a constant, one can compute once and for all N (φ) and S(φ) .

1: D ← 2|S(φ)| |Σ|(n + 1) N (φ) 2: C ← 0 3: pick a term v ∈ Comp φ (t 0 , . . . , t n ) 4: while C ≤ D do 5: if (φW (t 0 , . . . , t n ))(v) = 0 then 6: return ACCEPT 7: end if 8:
pick a term v in (φW (t 0 , . . . , t n ))(v)

9:
v ← v 10:

C ← C + 1 11: end while 12: return REJECT All computation paths (the "pick" at lines 3 and 8 being non-deterministic choices) accept if and only if (φW (t 0 , . . . , t n )) n (Comp φ (t 0 , . . . , t n )) = 0 for some n lesser or equal to the dimension D of the computation space Comp φ (t 0 , . . . , t n ) . By Lemma 37, this is equivalent to φW (t 0 , . . . , t n ) being nilpotent. The term chosen at lines 3 is representable by an integer of size at most D and is erased by the one chosen at line 8 every time we go through the while-loop. C and D are integers proportional to the dimension of the computation space, which is representable in logarithmic space in the size of the input (Definition 36). The computation of (φW (t 0 , . . . , t n ))(v) at line 5 and 8 and can be performed in logarithmic space by Proposition 8, as we are unifying closed terms with linear terms.

Moreover, if φ is an isometric wiring, (φW (t 0 , . . . , t n ))(v) consists of a single term instead of a sum by Lemma 17, and there is therefore no non-deterministic choice to be made at line 8. It is then enough to run the algorithm enumerating all possible terms of Comp φ (t 0 , . . . , t n ) at line 3 to determine the nilpotency of φW (t 0 , . . . , t n ) .

Completeness: Representing Pointer Machines as Wirings

To prove the converse of Theorem 34, we prove that wirings can encode a special kind of read-only multi-head Turing Machine: pointers machines. The definition of this model will be guided by our understanding of the computation of wirings: they won't have the ability to write and acceptance will be defined as termination of all paths of computation. For a survey of this topic, one may consult the first author's thesis [START_REF] Aubert | Linear Logic and Sub-polynomial Classes of Complexity[END_REF]Chap.4], the main novelty of this part of our work is to notice that reversible computation is represented by isometric operators.

Definition 38 (pointer machine)

A pointer machine over an alphabet Σ is a tuple (N, S, ∆) where

• N = 0 is an integer, the number of pointers, • S is a finite set, the states of the machine, A pointer machine will be called deterministic if for any A ∈ S × Σ × LR , there is at most one B ∈ S × Σ × LR and one σ ∈ S N such that A → B × σ ∈ ∆ .

• ∆ ⊆ (S × Σ × LR) × (S × Σ × LR) × S N ,
In that case we can see ∆ as a partial function, and we say that M is reversible if ∆ is a partial injection.

We call the first of the N pointers the main pointer, it is the only one that can move. The other pointers are referred to as the auxiliary pointers. An auxiliary pointer will be able to become the main pointer during the computation thanks to permutations.

Definition 39 (configuration) Given the length n of a word W = c 1 . . . c n over Σ and a pointer machine M = (N, S, ∆) , a configuration of (M, n) is an element of

S × Σ × LR × {0, 1, . . . , n} N
The element of S is the state of the machine and the element of Σ is the letter the main pointer points at. The element of LR is the direction of the next move of the main pointer, and the elements of {0, 1, . . . , n} N correspond to the positions of the (main and auxiliary) pointers on the input.

As the input tape is considered cyclic with a special symbol marking the beginning of the word (recall Definition 24), the pointer positions are integers modulo n + 1 for an input word of length n . There is no constraint on c , but every time this value differs from the letter pointed by p σ(1) , the computation will halt on the next MOVE phase, because there is a mismatch between the value that is supposed to have been read and the actual bit of W stored at this position, and that would contradict the first part of item 4. In terms of wirings, the MOVE phase corresponds to the application of the representation of the word, whereas the SWAP phase corresponds to the application of the observation.

Definition 41 (acceptance)

We say that M accepts W if any sequence of transitions

C i MOVE ---→ C i SWAP ---→ C i such that C i = C i+1
for all i is necessarily finite. We write L(M ) the set of words accepted by M .

This means informally: we consider that a pointer machine accepts a word if it cannot ever loop, from whatever configuration it starts from. That a lot of paths of computation accepts "wrongly" is no worry, since only rejection is meaningful: our pointer machines compute in a "universally non-deterministic" way, to stick to the acceptance condition of wirings, nilpotency.

Proposition 42 (space and pointer machines) If L ∈ NLogspace , then there exist a pointer machine M such that L(M ) = L . Moreover, if L ∈ Logspace then M can be chosen to be reversible.

Proof (sketch). It is well-known that read-only Turing Machines -or equivalently (non-)Deterministic Multi-Head Finite Automata -characterize (N)Logspace [START_REF] Hartmanis | On Non-Determinancy in Simple Computing Devices[END_REF]. It takes little effort to see that our pointer machines are just a reasonable rearrangement of this model, since it is always possible to encode the missing information in the states of the machine. That acceptance and rejections are "reversed" is harmless in the deterministic (or equivalently reversible [START_REF] Lange | Reversible Space Equals Deterministic Space[END_REF]) case, and uses that co-NLogspace = NLogspace to get the expected result in the non-deterministic case.

As we said, our pointer machines are designed to be easily simulated by wirings, so that we get the expected result almost for free.

Theorem 43 (space completeness) If L ∈ NLogspace , then there exist an observation φ ∈ O + Σ such that L(φ) = L . Moreover, if L ∈ Logspace then φ is an isometric wiring. One can easily check that this translation preserves the language recognized (there is even a step by step simulation of the on the word W by the wiring [M ]W (t 0 , . . . , t n ) ) and relates reversibility with isometricity: in fact, M is reversible if and only if [M ] is an isometric wiring. Then, if L ∈ Logspace , M is deterministic and can always be chosen to be reversible [START_REF] Lange | Reversible Space Equals Deterministic Space[END_REF].

Discussion

The language of the unification algebra gives us a twofold point of view on computation, either through algebraic structures (that are described finitely by wirings) or pointer machines. We may therefore start exploring possible variations of the construction, combining intuitions from both worlds.

For instance, the choice of a normative pair can affect the expressivity of the construction: the more restrictive the notion of representation of a word is, the more liberal that of an observation can become, as suggested by T. Seiller. Whether and how this can affect the corresponding complexity class is definitely a direction for future work.

Another pending question about this approach to complexity classes is to delimit the minimal prerequisites of the construction, its core. Earlier works [START_REF] Girard | Epistemology versus Ontology[END_REF][START_REF] Aubert | Characterizing co-NL by a group action[END_REF][START_REF] Aubert | Logarithmic Space and Permutations[END_REF] made use of von Neumann algebras to get a setting that is expressive enough, we ligthen the construction by using simpler objects. Yet, the possibility of representing the action of permutations on a unbounded tensor product is a common denominator that seems deeply related to logarithmic space and pointer machines.

The logical counterpart of this work also needs clarifying. Indeed, the idea of representation of words comes directly from proof-theory, while the notion of observation does not seem to correspond to any known logical construction.

Finally, execution in our setting being based on iteration of matching, which is computable efficiently by a parallel machine, it seems possible to relate our modelisation with parallel computation.

Definition 1

 1 (terms) We consider the following set of first-order terms T ::= x, y, z, . . . | a, b, c, . . . | T• T where x, y, z, • • • ∈ V are variables, a, b, c, . . . are constants and • is a binary function symbol.

  22 (permutation algebra) For n ∈ N we set [S n ] := { [σ] | σ ∈ S n } and S n := Vect[S n ] . We define then S := n∈N S n , which we call the permutation algebra. Proposition 21 ensures that the S n and S are * -algebras.

3 .

 3 Definition 25 (observation algebra) An observation over a finite set of symbols Σ is any element of O + Σ where O Σ := (T * c ⊗ Σ * ⊗ LR * ) ⊗ S , i.e. a finite sum of flows of the form (s • c • d s•c • d) ⊗ [σ] with s, s closed terms, c, c ∈ Σ , d, d ∈ LR and σ is a permutation.

  the transitions of the machine (we will write (s, c, d) → (s , c , d ) × σ the transitions, for readability).

  Definition 40 (transition) Let W be a word and M = (N, S, ∆) be a pointer machine. A transition of M on input W is a triple of configurationss, c, d, (p 1 , . . . , p N ) MOVE ---→ s, c , d, (p 1 , . . . , p N ) SWAP ---→ s , c , d , (p σ(1) , . . . , p σ(N ) ) such that 1. if d ∈ LR , d is the other element of LR , 2. p 1 = p 1 + 1 if d = R and p 1 = p 1 -1 if d = L , 3. p i = p i for i = 1, 4. c is the letter at position p 1 and c is the letter at position p 1 , 5. and (s, c , d) → (s , c , d ) × σ belongs to ∆ .

Proof.

  By Proposition 42, there exists a pointer machine M = (N, S, ∆) such that L(M ) = L. We associate to the set S a set of distinct closed terms [S] and write [s] the term associated to s . To any element D = (s, c, d) → (s , c , d ) × σ of ∆ we associate the flow[D] := ([s ] • c • d [s] • c• d) ⊗ [σ] ∈ ([S] * ⊗ Σ * ⊗ LR * ) ⊗ S n ⊆ O +Σ and we define the observation [M ] ∈ O + Σ as D∈∆ [D] .

The size of a term is the total number of occurrences of symbols in it.

This work was partly supported by the ANR-10-BLAN-0213 Logoi and the ANR-11-BS02-0010 Récré.

Definition 26 (nilpotency)

A wiring F is nilpotent if F n = 0 for some n .

Definition 27 (automorphism) An automorphism of a * -algebra A is a linear application ϕ : A → A such that for all F, G ∈ A : ϕ(F G) = ϕ(F )ϕ(G) , ϕ(F † ) = ϕ(F ) † and ϕ is injective .

Example. ϕ(U 1 ⊗ U 2 ) := U 2 ⊗ U 1 defines an automorphism of U ⊗ U . Notation. If ϕ is an automorphism of A and ψ is an automorphism of B , we write ϕ ⊗ ψ the automorphism of A ⊗ B defined for all A ∈ A, B ∈ B as

Definition 28 (normative pair) A pair (A, B) of * -algebras is a normative pair whenever any automorphism ϕ of A can be extended into an automorphism ϕ of the * -algebra E generated by A ∪ B such that ϕ(F ) = F for any F ∈ B ⊆ E .

The two following propositions set the basis for a notion of acceptance/rejection independent of the representation of a word.

Proposition 29 (automorphic representations) Any two representations W (t 0 , . . . , t n ), W (u 0 , . . . , u n ) of a word W over Σ are automorphic: there exists an automorphism ϕ of (T * c ) ⊗1 such that

x , extended by linearity.

Proposition 30 (nilpotency and normative pairs) Let (A, B) be a normative pair and ϕ an automorphism of

Proof. Let ϕ be the extension of ϕ as in Definition 28 and ψ := Id U ⊗ ϕ .

We have for all n = 0 that (Gψ(F )

By injectivity of ψ , (Gψ(F )) n = 0 if and only if (GF ) n = 0 .

Corollary 31 (independence)

, B is a normative pair, W a word over Σ and F ∈ U ⊗ B . The product of F with the representation of the word, F W (t 0 , . . . , t n ) , is nilpotent for one choice of (t 0 , . . . , t n ) if and only if it is nilpotent for all choices of (t 0 , . . . , t n ) .

The basic components of the word and observation algebras we introduced earlier can be shown to form a normative pair.

Theorem 32

The pair (T * c ) ⊗1 , S is normative.

Proof (sketch). By simple computations, the set

can be shown to be a * -algebra E , the * -algebra generated by S ∪ (T * c ) ⊗1 . As ϕ is an automorphism of (T * c ) ⊗1 , it can be written as ϕ(G ⊗ I) = ψ(G) ⊗ I for all G , with ψ an automorphism of T * c . We set for

I which extends into an automorphism of (T * c ) ⊗∞ by linearity. Finally, we extend φ to A by ϕ(σF ) := σ φ(F ) . It is then easy to check that ϕ has the required properties.

Remark. Here we sketched a direct proof for brevity, but this can also be shown by involving a little more mathematical structure (actions of permutations on the unbounded tensor and crossed products) which would give a more synthetic proof.

We can then define the notion of the language recognized by an observation, via Corollary 31.

Definition 33 (language of an observation) Let φ ∈ O + Σ be an observation over Σ . The language recognized by φ is the following set of words over Σ : L(φ) := { W word over Σ | φ W (t 0 , . . . , t n ) nilpotent for any (t 0 , . . . , t n ) }

Wirings and Logarithmic Space

Now that we have defined our framework and showed how observations can compute, we study the complexity of deciding whenever an observation accepts a word (4.1), and how wirings can decide any language in (N)Logspace (4.2).

Soundness of Observations

The aim of this subsection is to prove the following theorem:

Theorem 34 (space soundness) Let φ ∈ O + Σ be an observation over Σ .

Actually, the result stands for the complements of these languages, but as co-NLogspace = NLogspace by the Immerman-Szelepcsényi theorem, this makes no difference. The main tool for this purpose is the notion of computation space: finite dimensional subspaces of V c (Definition 16) on which we will be able to observe the behavior of certain wirings. It can be understood as the place where all the relevant computation takes place.