Harsha Hutridurga

Francesco Salvarani

ON THE MAXWELL-STEFAN DIFFUSION LIMIT FOR A MIXTURE OF MONATOMIC GASES

Multi-species Boltzmann equations for gaseous mixtures, with analytic cross sections and under Grad's angular cutoff assumption, are considered under diffusive scaling. In the limit, we formally obtain an explicit expression for the binary diffusion coefficients in the Maxwell-Stefan equations.

Introduction

The macroscopic description of diffusive phenomena in mixtures goes back to the 19th Century, thanks to the work of Maxwell [START_REF] Maxwell | On the dynamical theory of gases[END_REF] and Stefan [START_REF] Stefan | Ueber das Gleichgewicht und die Bewegung insbesondere die Diffusion von Gasgemengen[END_REF], who introduced a coupled system of cross-diffusion equations, nowadays known as the Maxwell-Stefan system. Since then, a wide literature about multicomponent diffusive phenomena has been published by the Chemical Engineering community (we refer to [START_REF] Krishna | The Maxwell-Stefan approach to mass transfer[END_REF] for a review on the state-of-the-art on the subject), since multicomponent diffusion in fluids plays a crucial role in many (bio)chemical processes.

However, the mathematical and numerical study of the Maxwell-Stefan system is relatively new, and solid results on the subject appeared only very recently (see, for example, [START_REF] Giovangigli | Convergent iterative methods for multicomponent diffusion[END_REF][START_REF] Ern | Projected iterative algorithms with application to multicomponent transport[END_REF][START_REF] Ern | Multicomponent transport algorithms[END_REF][START_REF] Giovangigli | Multicomponent flow modeling[END_REF][START_REF] Bothe | On the Maxwell-Stefan approach to multicomponent diffusion[END_REF][START_REF] Boudin | Diffusive models for the air in the acinus[END_REF][START_REF] Jüngel | Existence analysis of Maxwell-Stefan systems for multicomponent mixtures[END_REF][START_REF] Mcleod | Mixed finite element methods for addressing multi-species diffusion using the Maxwell-Stefan equations[END_REF][START_REF] Boudin | A mathematical and numerical analysis of the Maxwell-Stefan diffusion equations[END_REF][START_REF] Chen | Analysis of an Incompressible Navier-Stokes-Maxwell-Stefan System[END_REF][START_REF] Boudin | The Maxwell-Stefan diffusion limit for a kinetic model of mixtures with general cross sections[END_REF]).

In particular, [START_REF] Boudin | The Maxwell-Stefan diffusion limit for a kinetic model of mixtures[END_REF] is devoted to the formal derivation, under the standard diffusive scaling, of the Maxwell-Stefan diffusion equations from the non-reactive elastic Boltzmann system for monatomic gaseous mixtures, in the vanishing Mach and Knudsen numbers limit. The approach follows the research line introduced in [START_REF] Bardos | Sur les limites asymptotiques de la théorie cinétique conduisant à la dynamique des fluides incompressibles[END_REF][START_REF] Bardos | Fluid dynamic limits of kinetic equations. I. Formal derivations[END_REF][START_REF] Bardos | Fluid dynamic limits of kinetic equations. II. Convergence proofs for the Boltzmann equation[END_REF] and allows to deduce asymptotically a compressible dynamics and to obtain, in the limit, an explicit expression of the binary diffusion coefficients in the Maxwell-Stefan system, depending on the reduced mass of the species, on the temperature and on the cross sections of the kinetic model. A peculiar feature of this approach is the possibility of obtaining explicit coefficients which could be compared with experimental results and contribute to a better understanding of the quantitative behaviour of gaseous mixtures.

The main assumptions of [START_REF] Boudin | The Maxwell-Stefan diffusion limit for a kinetic model of mixtures[END_REF] are the following:

• the initial conditions are well prepared, and are given by local Maxwellians, all with the same temperature;

• the process is supposed to be isothermal;

• the cross sections of the Boltzmann system are of Maxwellian type.

The first two assumptions are very natural, since the presence of temperature gradients may introduce transport phenomena which could hinder the diffusion process, as shown in [START_REF] Boudin | Diffusion asymptotics of a kinetic model for gaseous mixtures[END_REF]. On the other hand, the third one is not completely satisfactory. Indeed, even if the hypothesis of Maxwellian cross-sections has been very popular as it could lead to many explicit calculations (Maxwell and Boltzmann themselves used them very often [START_REF] Villani | A review of mathematical topics in collisional kinetic theory[END_REF]), it has been subsequently noticed that the influence of the collision kernel (or equivalently, of the cross-section) on the solutions to the Boltzmann equation is far from being negligible [START_REF] Villani | A review of mathematical topics in collisional kinetic theory[END_REF].

For this reason, it is important to recover the Maxwell-Stefan diffusion equations from the non-reactive elastic Boltzmann equations for mixtures with more realistic cross sections. In this article, we introduce a new strategy which allows us to handle at the formal level general factorized cross sections, in which the kinetic collision kernel is an analytic function of its argument and the angular collision kernel is even and satisfies Grad's cutoff assumption [START_REF] Grad | Principles of the kinetic theory of gases[END_REF]. By considering these more physical cross sections, we are able to obtain explicit quantitative expressions of the binary diffusion coefficients, whose structure exhibits some nonlinearities which were absent in the case of Maxwellian cross sections.

This study is also interesting from a physical point of view. Indeed, even though many results are available in the case of binary mixtures (see, for example, [START_REF] Van Heijningen | Determination of the diffusion coefficients of binary mixtures of the noble gases as a function of temperature and concentration[END_REF]), many attempts have been made to experimentally determine the binary diffusion coefficients in the Maxwell-Stefan equations, but with a limited success [START_REF] Leahy-Dios | Measurements of molecular and thermal diffusion coefficients in ternary mixtures[END_REF]. We hope that our computation will give a contribution for encouraging the experimental activity and be useful for comparison with experimental data.

We finally point out that the results obtained in this article are valid for monatomic ideal gases only. The extension of our computations to polyatomic gases should be possible by starting from kinetic systems taking into account the internal energy of the molecules (such as the model proposed in [START_REF] Bourgat | Microreversible collisions for polyatomic gases and boltzmann's theorem[END_REF]). We will consider this extension in a near future.

The structure of the article is the following: after describing the kinetic model for non-reactive monatomic gaseous mixtures in Section 2 and the Maxwell-Stefan system in Section 3, in Section 4 we compute the diffusion limit and obtain an explicit expression of the binary diffusion coefficients in the case of analytical cross sections under Grad's cutoff assumption. Finally, we give an appendix where we explicitly compute the Gaussian integrals in the expression for the binary diffusion coefficients.

The kinetic model

The mathematical form of the Boltzmann system for non-reactive monatomic gas mixtures is classical, and has been the starting point of many extensions (such as, for example, [START_REF] Bourgat | Microreversible collisions for polyatomic gases and boltzmann's theorem[END_REF][START_REF] Desvillettes | A kinetic model allowing to obtain the energy law of polytropic gases in the presence of chemical reactions[END_REF]). However, in order to make this article self-consistent, we briefly describe its form.

The model considers a mixture of ideal monatomic inert gases Ai, i = 1, . . . , I with I ≥ 2. Each of them is described by a distribution function fi, which depends on t ∈ R * + (time), x ∈ R 3 (space position) and v ∈ R 3 (velocity). By supposing that no chemical reactions occur and no external forces act on the mixture, its time evolution is a consequence of the mechanical collisions between molecules, which are supposed here to be elastic.

Let us consider two particles belonging to the species Ai and Aj , 1 ≤ i, j ≤ I, with masses mi, mj, and pre-collisional velocities v ′ , v ′ * . A microscopic collision is an instantaneous phenomenon which modifies the velocities of the particles, which become v and v * , obtained by imposing the conservation of both momentum and kinetic energy:

(1)

miv ′ + mj v ′ * = miv + mjv * , 1 2 mi |v ′ | 2 + 1 2 mj |v ′ * | 2 = 1 2 mi |v| 2 + 1 2 mj |v * | 2 .
The previous equations allow to write v ′ and v ′ * with respect to v and v * :

(2)

v ′ = 1 mi + mj (miv + mj v * + mj|v -v * | σ), v ′ * = 1 mi + mj (miv + mjv * -mi|v -v * | σ),
where σ ∈ S 2 describes the two degrees of freedom in [START_REF] Bardos | Sur les limites asymptotiques de la théorie cinétique conduisant à la dynamique des fluides incompressibles[END_REF].

If f and g are nonnegative functions, the operator describing the collisions of molecules of species Ai with molecules of species Aj is defined by

(3) Qij (f, g)(v) := R 3 S 2 Bij (v, v * , σ) f (v ′ )g(v ′ * ) -f (v)g(v * ) dσ dv * ,
where v ′ and v ′ * , are given by (2), and the cross section Bij satisfies the microreversibility assumptions

Bij (v, v * , σ) = Bji(v * , v, σ) and Bij (v, v * , σ) = Bij (v ′ , v ′ * , σ).
It is clear that, when i = j, the previous expressions reduce to the standard Boltzmann kernel in the mono-species case:

(4) Qii(f, f )(v) = R 3 S 2 Bii(v, v * , σ) f (v ′ )f (v ′ * ) -f (v)f (v * ) dσ dv * .
The operators Qij can be written in weak form. For example, by using the changes of variables

(v, v * ) → (v * , v) and (v, v * ) → (v ′ , v ′ * ), we have (5) R 3 Qij(f, g)(v) ψ(v) dv = - 1 2 R 6 S 2 Bij(v, v * , σ) f (v ′ )g(v ′ * ) -f (v)g(v * ) ψ(v ′ ) -ψ(v) dσ dv dv * = R 6 S 2 Bij (v, v * , σ) f (v)g(v * ) ψ(v ′ ) -ψ(v) dσ dv dv * , or (6)
R 3 Qij(f, g)(v) ψ(v) dv + R 3 Qji(g, f )(v) φ(v) dv = - 1 2 R 6 S 2 Bij (v, v * , σ) f (v ′ )g(v ′ * ) -f (v)g(v * ) ψ(v ′ ) + φ(v ′ * ) -ψ(v) -φ(v * ) dσ dv dv * ,
for any ψ, φ : R 3 → R such that the first integrals in ( 5)-( 6) are well defined. When ψ(v) = 1 in (5) we deduce the conservation of the total number of molecules of species Ai. Moreover, if ψ(v) = mi v and φ(v * ) = mj v * , and then if ψ(v) = mi |v| 2 /2 and φ(v) = mj |v * | 2 /2, we recover the conservation of the total momentum and of the total kinetic energy during the collision between a particle of species Ai and a particle of species Aj :

(7) R 3 Qij (f, g)(v) mi v mi |v| 2 /2 dv + R 3 Qji(g, f )(v) mj v mj |v| 2 /2 dv = 0.
The system of equations satisfied by the set of distribution functions (fi) 1≤i≤I is hence

(8) ∂tfi + v • ∇xfi = I j=1 Qij (fi, fj ) on R+ × R 3 × R 3 .

The Maxwell-Stefan model

The Maxwell-Stefan model is suitable to describe an ideal gaseous mixture of I ≥ 2 species, with molecular masses mi, in which no convective phenomena take place and the system is driven to equilibrium by pure diffusion.

For each species of the mixture Ai, 1 ≤ i ≤ I, we consider its concentration ci and its flux Fi -which depend on the macroscopic variables t ∈ R + (time) and x ∈ R 3 (position).

These quantities, which are the unknowns of the system, satisfy the continuity equation

(9) ∂tci + ∇x • Fi = 0 on R+ × R 3 ,
for all 1 ≤ i ≤ I.

Let c = ci be the total concentration of the mixture and let ni = ci/c the mole fraction of species Ai. The Maxwell-Stefan equations can be written in the following form: [START_REF] Bourgat | Microreversible collisions for polyatomic gases and boltzmann's theorem[END_REF] -

c ∇xni = 1 c j =i cj Fi -ciFj Ðij on R+ × R 3 , for all 1 ≤ i ≤ I.
The quantities Ðij are the binary diffusion coefficients between the species Ai and Aj . They are symmetric with respect to the particles exchange, in such a way that Ðij = Ðji.

Note that the Maxwell-Stefan equations ( 10) are linearly dependent. Indeed, by summing [START_REF] Bourgat | Microreversible collisions for polyatomic gases and boltzmann's theorem[END_REF] with respect to i, we obtain an identity. Hence, a supplementary equation is necessary for assuring the closure of the Maxwell-Sterfan system ( 9)- [START_REF] Bourgat | Microreversible collisions for polyatomic gases and boltzmann's theorem[END_REF].

By assuming that the system is closed and under constant and uniform temperature and pressure, it is usual to assume that the total diffusive flux satisfies (11)

I i=1 Fi = 0 on R * + × R 3 ,
which physically means that the diffusive fluxes do not create any mass [START_REF] Giovangigli | Multicomponent flow modeling[END_REF]. By summing [START_REF] Boudin | The Maxwell-Stefan diffusion limit for a kinetic model of mixtures[END_REF] with respect to i, we note that c is uniform in time. Hence, if we suppose that the molecules of the mixture are initially uniformly distributed, the quantity c is a pure constant.

The Maxwell-Stefan asymptotics

In this section we apply the strategy proposed in [START_REF] Boudin | The Maxwell-Stefan diffusion limit for a kinetic model of mixtures[END_REF], with more general cross sections, satisfying the hypotheses defined in Subsection 4.1.

We work in the standard diffusive scaling, by supposing that the mean free path (or, equivalently, the Knudsen number) tends to zero. Since temperature gradients can induce transport phenomena, we will suppose that the temperature T of the mixture is a constant. Moreover, we assume that the bulk velocity of the mixture is of the same order of magnitude as the Knudsen and Mach numbers.

Collision kernels.

In this article, we suppose that the collision kernels Bij depend only on the modulus of the relative velocity, i.e. |v -v * | and on the cosine of the deviation angle θ, where

cos θ = v -v * |v -v * | • σ.
More specifically, we work with collision kernels of the form:

Bij(v, v * , σ) = Φ(|v -v * |)bij (cos θ), (12)
where we assume that the angular collision kernels bij ∈ L 1 (-1, +1) and are even. Observe that, because of the microreversibility assumption on the collision kernels, we have

Bij (v, v * , σ) = Bji(v * , v, σ) =⇒ bij v -v * |v -v * | • σ = bji v * -v |v -v * | • σ ,
and that, by parity, bij (cos θ) = bji(cos θ).

For ℓ ∈ {1, 2, 3}, we denote by w (ℓ) the ℓ-th component of any vector w ∈ R 3 .

If we introduce the polar variable ϕ ∈ [0, 2π], we can find the relationships between the Euclidean coordinates of σ and the spherical ones, namely σ (1) = sin θ cos ϕ, σ (2) = sin θ sin ϕ, σ (3) = cos θ.

The kinetic collision kernel Φ(|v -v * |) is assumed to be analytic in the following sense: there exists a family {an} n∈N * ⊂ R such that Φ can be written as a uniformly converging even power series:

Φ(|v -v * |) = n∈N * an|v -v * | 2n . (13)
4.2. Scaled equation. In order to arrive at the diffusive limit, we introduce a scaling parameter 0 < ε ≪ 1 which represents the mean free path. We denote the corresponding unknown distribution functions as (f ε i ) 1≤i≤I . Each distribution function f ε i solves the following scaled version of ( 8): ( 14)

ε ∂tf ε i + v • ∇xf ε i = 1 ε I j=1 Qij(f ε i , f ε j ), on R+ × R 3 × R 3 .
Finally, we define the corresponding concentrations (c ε i ) 1≤i≤I as the zero-th order moment of the distribution functions f ε i (t, x, v):

c ε i (t, x) = R 3 f ε i (t, x, v) dv, for (t, x) ∈ R+ × R 3 ;
this relationship is a fundamental link between the kinetic equations and the Maxwell-Stefan description.

4.3.

Ansatz. As we are interested in pure diffusion dynamics, we suppose that the initial data f in (x, v) for the multi-species Boltzmann equations ( 14) are such that

R 3 f in i (x, v) dv = c in i (x), R 3
vf in i (x, v) dv = O(ε),
where c in i : R 3 → R+ are ε-independent. We moreover suppose that

I i=1 c in i = 1 on R 3 ,
which of course implies that each c in i lies in [0, 1]. As in [START_REF] Boudin | The Maxwell-Stefan diffusion limit for a kinetic model of mixtures[END_REF], we assume that the evolution following ( 14) keeps the distribution functions f ε i (t, x, v) in the local Maxwellian state, with a homogeneous temperature T . We hence suppose that there exist

c ε i : R+ × R 3 → R+, u ε i : R+ × R 3 → R 3 , 1 ≤ i ≤ I, such that (15) f ε i (t, x, v) = c ε i (t, x) mi 2πk T 3/2 e -m i |v-εu ε i (t,x)| 2 /2kT , for (t, x, v) ∈ R+ × R 3 × R 3 .
The starting point of our analysis is the following result, proved in [START_REF] Boudin | The Maxwell-Stefan diffusion limit for a kinetic model of mixtures[END_REF]: Proposition 1. Under the assumption (15) on the distribution functions f ε i (t, x, v), we have the following mass balance equations for all 1 ≤ i ≤ I:

(16) ∂tc ε i + ∇x • (c ε i u ε i ) = 0 on R+ × R 3 .
We further have the following momentum balance for all 1 ≤ i ≤ I:

(17) ε 2 [∂t (c ε i u ε i ) + ∇x • (c ε i u ε i ⊗ u ε i )] + kT mi ∇xc ε i = Θ ε i on R+ × R 3 ,
where the ℓ-th component of Θ ε i is given by

(18) (Θ ε i ) (ℓ) = 1 ε j =i mj mi + mj R 6 S 2 Bij (v, v * , σ)f ε i (v)f ε j (v * ) v * (ℓ) -v (ℓ) + |v -v * |σ (ℓ) dσ dv * dv.
Remark. In Equation (17), we have stressed the actual order in ε of various terms. In particular, as shown in the next lemma, the quantities Θ ε i are of order O(1). This is of the same order as ∇xc ε i in [START_REF] Grad | Principles of the kinetic theory of gases[END_REF]. On the other hand, the first two terms on the left hand side of (17) are of order O(ε 2 ). This clarifies how the diffusive scaling acts on various macroscopic quantities associated with the solutions to the Boltzmann system [START_REF] Ern | Projected iterative algorithms with application to multicomponent transport[END_REF].

Our next task is to analyze the right hand side Θ ε i of the momentum balance [START_REF] Grad | Principles of the kinetic theory of gases[END_REF]. Observe that Θ ε i depends on the independent variables (t, x). Lemma 1. The Θ ε i (t, x) term in the momentum balance (17) can be asymptotically approximated as follows:

(Θ ε i ) (ℓ) (t, x) = j =i ∆ij c ε i c ε j (uj ) ε (ℓ) -c ε i c ε j (u ε i ) (ℓ) + O(ε), (19)
where ∆ij are given by

(20) ∆ij = a0 2πmj bij L 1 (mi + mj) + a1 10πkT bij L 1 mi + n≥2 an mj(mimj) 3/2 bij L 1 4π 2 (mi + mj )(k T ) 3 R 6 n 1 +n 2 +n 3 =n n! n1!n2!n3! × 1≤r≤3 α+β=2nr (2nr)! α!β! [v (r) ] α [-v * (r) ] β e -m i |v| 2 /2kT e -m j |v * | 2 /2kT dv * dv.

Proof

For readers' convenience, let us rewrite the expression [START_REF] Jüngel | Existence analysis of Maxwell-Stefan systems for multicomponent mixtures[END_REF] for (Θ ε i ) (ℓ) :

(Θ ε i ) (ℓ) = 1 ε j =i mj mi + mj R 6 S 2 Bij (v, v * , σ)f ε i (v)f ε j (v * ) v * (ℓ) -v (ℓ) + |v -v * |σ (ℓ) dσ dv * dv.
The term containing σ (ℓ) in ( 18) vanishes. Indeed, both terms for ℓ = 1 or 2 are zero because and for ℓ = 3, because bij is even, one has

S 2 bij v -v * |v -v * | • σ σ (3) dσ = 2π π 0 sin θ cos θ bij (cos θ) dθ = 2π 1 -1 η bij (η) dη = 0.
Gathering the remaining part of the expression for (Θ ε i ) (ℓ) , we have:

(Θ ε i ) (ℓ) = 1 ε j =i 2πmj bij L 1 mi + mj R 6 Φ(|v -v * |)f ε i (v)f ε j (v * ) v * (ℓ) -v (ℓ) dv * dv. ( 21
)
We now substitute the ansatz [START_REF] Giovangigli | Convergent iterative methods for multicomponent diffusion[END_REF] for f ε i (v) and f ε j (v * ) in [START_REF] Maxwell | On the dynamical theory of gases[END_REF]. By writing the power series expansion [START_REF] Ern | Multicomponent transport algorithms[END_REF] for the kinetic collision kernel we obtain:

(Θ ε i ) (ℓ) = j =i c ε i c ε j a0 2πmj bij L 1 (mi + mj ) + a1 10πkT bij L 1 mi (uj ) ε (ℓ) -(ui) ε (ℓ) + n≥2 an mj (mimj) 3/2 bij L 1 4π 2 ε(mi + mj)(k T ) 3 R 6 |v -v * | 2n v * (ℓ) -v (ℓ) e -m i |v-εu ε i | 2 /2kT e -m j |v * -εu ε j | 2 /2kT dv * dv .
The computations that lead to the coefficients of a0 can be found in [START_REF] Boudin | The Maxwell-Stefan diffusion limit for a kinetic model of mixtures[END_REF]. The coefficients of the other terms ai are evaluated by performing the change of variables: (v, v * ) → (v + εu ε i , v * + εu ε j ) and then computing various Gaussian integrals (whose explicit expressions can be found in the Appendix).

Making a change of variables:

(v, v * ) → (v + εu ε i , v * + εu ε j )
in the integral term of the expression written above yields:

(Θ ε i ) (ℓ) = j =i c ε i c ε j a0 2πmj bij L 1 (mi + mj ) + a1 10πkT bij L 1 mi (uj ) ε (ℓ) -(ui) ε (ℓ) + n≥2 an mj(mimj) 3/2 bij L 1 4π 2 ε(mi + mj )(k T ) 3 R 6 |v + εu ε i -v * -εu ε j | 2n v * (ℓ) + ε(uj) ε (ℓ) -v (ℓ) -ε(u ε i ) (ℓ) e -m i |v| 2 /2kT e -m j |v * | 2 /2kT dv * dv .
We employ the multinomial theorem:

(b1 + b2 + • • • + b k ) n = j 1 , j 2 ,..., j k 0≤j i ≤n for each i and j 1 +...+j k =n n j1, j2, . . . , j k b j 1 1 b j 2 2 • • • b j k k
where the multinomial coefficients are n j1, j2, . . . , j k = n! j1!j2! . . . j k ! .

This yields

(Θ ε i ) (ℓ) = j =i c ε i c ε j a0 2πmj bij L 1 (mi + mj) + a1 10πkT bij L 1 mi (uj) ε (ℓ) -(ui) ε (ℓ) + n≥2 an mj(mimj ) 3/2 bij L 1 4π 2 ε(mi + mj )(k T ) 3 R 6 n 1 +n 2 +n 3 =n n! n1!n2!n3! 1≤r≤3 v (r) + ε(u ε i ) (r) -v * (r) -ε(uj) ε (r) 2nr × v * (ℓ) + ε(uj ) ε (ℓ) -v (ℓ) -ε(u ε i ) (ℓ) e -m i |v| 2 /2kT e -m j |v * | 2 /2kT dv * dv .
Another application of the multinomial theorem in the previous expression yields:

(Θ ε i ) (ℓ) = j =i c ε i c ε j a0 2πmj bij L 1 (mi + mj ) + a1 10πkT bij L 1 mi (uj ) ε (ℓ) -(ui) ε (ℓ) + n≥2 an mj(mimj ) 3/2 bij L 1 4π 2 ε(mi + mj )(k T ) 3 R 6 n 1 +n 2 +n 3 =n n! n1!n2!n3! × 1≤r≤3 α+β+γ+λ=2nr (2nr)! α!β!γ!λ! [v (r) ] α [-v * (r) ] β [ε(u ε i ) (r) ] γ [-ε(uj) ε (r) ] λ × v * (ℓ) + ε(uj) ε (ℓ) -v (ℓ) -ε(u ε i ) (ℓ) e -m i |v| 2 /2kT e -m j |v * | 2 /2kT dv * dv . The terms of O(ε -1 ) in (Θ ε i ) (ℓ)
are the following:

j =i c ε i c ε j n≥2 an mj(mimj) 3/2 bij L 1 4π 2 (mi + mj)(k T ) 3 R 6 n 1 +n 2 +n 3 =n n! n1!n2!n3! × 1≤r≤3   α+β=2nr (2nr)! α!β! [v (r) ] α [-v * (r) ] β   v * (ℓ) -v (ℓ) e -m i |v| 2 /2kT e -m j |v * | 2 /2kT dv * dv .
Observe that all the terms in the above sum vanish since the integrands are odd with respect to the variables v or v * . Hence there is no contribution of the terms of O(ε -1 ) to (Θ ε i ) (ℓ) . Now, we move on to consider the terms of order O(1) in (Θ ε i ) (ℓ) , which have the form:

j =i c ε i c ε j a0 2πmj bij L 1 (mi + mj) + a1 10πkT bij L 1 mi (uj) ε (ℓ) -(u ε i ) (ℓ) + n≥2 an mj(mimj) 3/2 bij L 1 4π 2 (mi + mj)(k T ) 3 R 6 n 1 +n 2 +n 3 =n n! n1!n2!n3! 1≤r≤3 α+β=2nr (2nr)! α!β! × [v (r) ] α [-v * (r) ] β (uj ) ε (ℓ) -(u ε i ) (ℓ) e -m i |v| 2 /2kT e -m j |v * | 2 /2kT dv * dv .
Hence, we indeed have the asymptotic behaviour of (Θ ε i ) (ℓ) as in [START_REF] Krishna | The Maxwell-Stefan approach to mass transfer[END_REF] with the coefficients ∆ij given by [START_REF] Leahy-Dios | Measurements of molecular and thermal diffusion coefficients in ternary mixtures[END_REF].

Remark. The kinetic collision kernel for the three dimensional hard spheres, i.e. Φ(|v

-v * |) = |v -v * | is not an analytic function of v -v * .
Hence our approach cannot be directly applied to this case. However, one could approximate the hard sphere kernel by an analytic expression of the type (13) and then perform the computations on the approximate series. This would yield an approximation on the binary diffusion coefficients for the hard sphere case.

4.4.

Limiting behavior of the system. Now, we are equipped to state the main result of this article. Putting together the results of Proposition 1 and Lemma 1, we have indeed proved at the formal level the following theorem.

Theorem 2. The local Maxwellian states [START_REF] Giovangigli | Convergent iterative methods for multicomponent diffusion[END_REF] are solution of the initial value problem for the system of scaled Boltzmann equations

(14) if (c ε i , u ε i ) solves ∂tc ε i + ∇x • (c ε i u ε i ) = 0, ( 22
)
∇xc ε i = j =i ∆ij c ε i c ε j (uj) ε (ℓ) -c ε i c ε j (u ε i ) (ℓ) + O(ε), (23)
with the coefficients ∆ij given by

(24) ∆ij = a0 2πmimj bij L 1 (mi + mj)kT + a110π bij L 1 + n≥2 an 2 π bij L 1 k T (mimj) (mi + mj) n 1 +n 2 +n 3 =n n! n1!n2!n3! α,β,γ,δ,ρ,η∈2N * α+β=2n 1 γ+δ=2n 2 ρ+η=2n 3 (2n1)! α!β! (2n2)! γ!δ! (2n3)! ρ!η! × E (α, β, γ, δ, ρ, η) kT m i (α+γ+ρ)/2 kT m j (β+δ+η)/2
, where

E (α, β, γ, δ, ρ, η) := ((α -1)(α -3) • • • 1) ((β -1)(β -3) • • • 1) ((γ -1)(γ -3) • • • 1) × ((δ -1)(δ -3) • • • 1) ((ρ -1)(ρ -3) • • • 1) ((η -1)(η -3) • • • 1) . (25)
Proof From ( 17) and ( 19), we have:

∇xc ε i = j =i mi kT ∆ij c ε i c ε j (uj) ε (ℓ) -c ε i c ε j (u ε i ) (ℓ) + O(ε).
As the coefficients ∆ij involve Gaussian integrals, by using the expressions from the Appendix, we first compute the integral terms in (20):

R 6 n 1 +n 2 +n 3 =n n! n1!n2!n3! × 1≤r≤3 α+β=2nr (2nr)! α!β! [v (r) ] α [-v * (r) ] β × e -m i |v| 2 /2kT e -m j |v * | 2 /2kT dv * dv = R 6 n 1 +n 2 +n 3 =n n! n1!n2!n3! α,β,γ,δ,ρ,η∈2N * α+β=2n 1 γ+δ=2n 2 ρ+η=2n 3 (2n1)! α!β! (2n2)! γ!δ! (2n3)! ρ!η! [v (1) ] α [v * (1) ] β [v (2) ] γ [v * (2) ] δ [v (3) ] ρ [v * (3) ] η × e -m i |v| 2 /2kT e -m j |v * | 2 /2kT dv * dv
Proceeding as in the Appendix (see ( 27)), the above expression can be computed and equals:

n 1 +n 2 +n 3 =n n! n1!n2!n3! α,β,γ,δ,ρ,η∈2N * α+β=2n 1 γ+δ=2n 2 ρ+η=2n 3 (2n1)! α!β! (2n2)! γ!δ! (2n3)! ρ!η! E (α, β, γ, δ, ρ, η)× kT mi (α+γ+ρ)/2
kT mj

(β+δ+η)/2 2πkT mi 3/2 2πkT mj 3/2
, where E is given by [START_REF] Villani | A review of mathematical topics in collisional kinetic theory[END_REF]. Substituting the above expression for the integrals in ∆ij would yield an explicit expression for ∆ij = mi∆ij/kT :

∆ij =a0 2πmimj bij L 1 (mi + mj)kT + a110π bij L 1 + n≥2 an bij L 1 4π 2 (mi + mj) (mimj) 5/2 (kT ) 4 n 1 +n 2 +n 3 =n n! n1!n2!n3! α,β,γ,δ,ρ,η∈2N * α+β=2n 1 γ+δ=2n 2 ρ+η=2n 3 (2n1)! α!β! (2n2)! γ!δ! (2n3)! ρ!η! × E (α, β, γ, δ, ρ, η) kT mi (α+γ+ρ)/2 kT mj (β+δ+η)/2 2πkT mi 3/2 2πkT mj 3/2 =a0 2πmimj bij L 1 (mi + mj)kT + a110π bij L 1 + n≥2 an 2 π bij L 1 k T (mimj) (mi + mj) n 1 +n 2 +n 3 =n n! n1!n2!n3! α,β,γ,δ,ρ,η∈2N * α+β=2n 1 γ+δ=2n 2 ρ+η=2n 3 (2n1)! α!β! (2n2)! γ!δ! (2n3)! ρ!η! × E (α, β, γ, δ, ρ, η) kT mi (α+γ+ρ)/2 kT mj (β+δ+η)/2
.

Note that the coefficients ∆ij are symmetric with respect to each pair of species since bij = bji and that the structure is much more intricate than the corresponding binary diffusion coefficients computed with Maxwellian cross section in [START_REF] Boudin | The Maxwell-Stefan diffusion limit for a kinetic model of mixtures[END_REF].

Remark. Observe that the first term in the expression for ∆ij is nothing but the expression obtained in [START_REF] Boudin | The Maxwell-Stefan diffusion limit for a kinetic model of mixtures[END_REF]. Note also that ∆ij in [START_REF] Van Heijningen | Determination of the diffusion coefficients of binary mixtures of the noble gases as a function of temperature and concentration[END_REF] is given in terms of the reduced masses of the species and the temperature T except for the term involving a1 in the analytic expression [START_REF] Ern | Multicomponent transport algorithms[END_REF]. In particular, if the kinetic collision kernel has the form Φ(|v -v * |) = |v -v * | 2 , then the preceding computations in the paper yield the following expression for (Θ ε i ) (ℓ) :

(Θ ε i ) (ℓ) = j =i 2πmj bij L 1 (mi + mj) 5kT mi + 5kT mj c ε i c ε j (uj ) ε (ℓ) -c ε i c ε j (u ε i ) (ℓ) + O(ε),
thus giving the following expression for ∆ij : ∆ij = a110π bij L 1 .

The rest of the terms in the expression [START_REF] Van Heijningen | Determination of the diffusion coefficients of binary mixtures of the noble gases as a function of temperature and concentration[END_REF], however, do depend on the temperature T and the dependence is non-trivial.

In the following, let us set

F ε i (t, x) = 1 ε R 3 v f ε i (t, x, v) dv = c ε i (t, x)u ε i (t, x), for (t, x) ∈ R+ × R 3 ,
and denote, for any t ≥ 0 and

x ∈ R 3 , ci(t, x) = lim ε→0 + c ε i (t, x), Fi(t, x) = lim ε→0 + F ε i (t, x).
In the limit, Equations ( 22)-(23) give a system of equations, which has the following form for the density-flux set of unknown (ci, Fi):

∂tci

+ ∇x • Fi = 0, ∇xci = - j =i ∆ij (cj Fi -ciFj). (26)
An argument similar to the ones in [START_REF] Boudin | The Maxwell-Stefan diffusion limit for a kinetic model of mixtures[END_REF], which consists in writing the approximation of the conservation of the kinetic energy at the leading order in ε for the Boltzmann system, allows to deduce that

c = ci = c in i = 1.
We can hence obtain, in the limit, the Maxwell-Stefan system in the case of analytic cross-section and Grad's cutoff assumption: .

       ∂tci + ∇x • Fi = 0 on R+ × R 3 , -c ∇xni = 1 c j =i cj Fi -ciFj Ðij on R * + × R 3 ,

Appendix

The objective of this appendix is the explicit computation of the Gaussian integrals appearing in the expression for ∆ij given by (20) leading to the expression of ∆ij given by [START_REF] Van Heijningen | Determination of the diffusion coefficients of binary mixtures of the noble gases as a function of temperature and concentration[END_REF]. We have the following normalization: Performing integration by parts with respect to v (1) variable we arrive at mi 2πkT Performing an integration by parts in the v (1) variable again yields:

mi 2πkT 3/2 R 3 kT mi 2 (α -1)(α -3)[v (1) ] α-4 e -m i |v| 2 /2kT [v (2) ] β [v (3) ] γ dv (1) dv (2) dv (3)
Continuing in a similar fashion with respect to all the variables, i.e. v (1) , v (2) , v (3) , we arrive at the following expression:

(27) mi 2πkT 3/2 R 3 [v (1) ] α [v (2) ] β [v (3) ] γ e -m i |v| 2 /2kT dv (1) dv (2) dv (3) = ((α -1)(α -3) • • • 1) ((β -1)(β -3) • • • 1) ((γ -1)(γ -3) • • • 1)
kT mi

(α+β+γ)/2
.

e 3 [v ( 1 )( 1 )

 311 -m i |v| 2 /2kT dv = 1. ] α [v (2) ] β [v (3) ] γ e -m i |v| 2 /2kT dv (1) dv (2) dv (3) ] α-1 ∂v (1) e -m i |v| 2 /2kT [v (2) ] β [v (3) ] γ dv (1) dv (2) dv (3) .

2 (

 2 1)[v (1) ] α-2 e -m i |v| 2 /2kT [v (2) ] β [v (3) ] γ dv (1) dv (2) dv (3) α -1)[v (1) ] α-3 ∂v (1) e -m i |v| 2 /2kT [v (2) ] β [v (3) ] γ dv (1) dv (2) dv (3) .

  mj) n 1 +n 2 +n 3 =n

	where the binary diffusion coefficient have the form
	Ðij =	1 c	a0	2πmimj bij L 1 (mi + mj)kT	+ a110π bij L 1 +	n≥2	an	2 π bij L 1 k T	(mimj) (mi + n! n1!n2!n3!	×
				α,β,γ,δ,ρ,η∈2N *	(2n1)! α!β!	(2n2)! γ!δ!	(2n3)! ρ!η!	E (α, β, γ, δ, ρ, η)	mi kT	(α+γ+ρ)/2	mj kT	(β+δ+η)/2	-1
				α+β=2n 1 γ+δ=2n 2 ρ+η=2n 3

Acknowledgments: The authors thank the referees for their useful comments and remarks. The authors appreciate the fruitful suggestions of Claude Bardos during the preparation of this article. This work was partially funded by the projects Kimega (ANR-14-ACHN-0030-01) and Kibord (ANR-13-BS01-0004). H.H. acknowledges the support of the ERC grant MATKIT. F.S. would like to thank the Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences, Cambridge, for support and hospitality during the programme Mathematical Modelling and Analysis of Complex Fluids and Active Media in Evolving Domains. This work was partially supported by EPSRC grant no EP/K032208/1.


POUR CITER CET ARTICLE : M. GAILLE, "« Inquiétudes » animale et humaine face à la différence entre les vivants. Florence Burgat, Liberté et inquiétude de la vie animale", Critique, Libérer les animaux, août-septembre 2009, 747-748, p. 758-770

INQUIETUDE ANIMALE ET INQUIETUDE HUMAINE

ENJEUX ONTOLOGIQUES ET ETHIQUES DE LA DIFFERENCE ENTRE LES VIVANTS

Florence Burgat, Liberté et inquiétude de la vie animale, Paris, Kimé, 2006, 311 p. La tradition philosophique s'est à la fois beaucoup et mal occupée de l'animalité. Telle est le diagnostic posé par Florence Burgat. Elisabeth de Fontenay l'avait dit autrement, peutêtre plus sévèrement encore, en affirmant que l'animal était « un trop pensé (qui est un non pensé) des philosophes ». 1 Florence Burgat fait de ce diagnostic le point de départ d'une tentative pour faire émerger une réflexion féconde à son propos. Si l'on ne peut dire que les philosophes aient négligé l'animalité, il ne s'agit donc pas de constituer et de leur présenter un nouvel objet. Il convient plutôt, tel est le premier mouvement de l'ouvrage consacré par l'auteur à l'animal, de le libérer de la gangue de certaines représentations véhiculées et entretenues par cette tradition. Le dualisme cartésien et « la subjectivité réflexive qui l'accompagne comme seul mode d'ouverture au monde » (p. 11) sont ici visés en premier lieu. Fl. Burgat s'attache à mettre en évidence les failles des deux grandes conceptions de l'animalité qui ont dominé la pensée de l'animal depuis l'époque moderne et, conjointement ou de façon séparée, ont eu pour effet de nous empêcher de penser l'animal en tant que tel, dans sa singularité : ou les animaux ont été envisagés comme envers de l'humain et se sont trouvés de ce fait constamment caractérisés de façon négative ou privative ; ou ils ont été considérés comme des êtres vivants régis par d'immuables lois et alors seulement étudiés du point de vue d'une intelligibilité mécaniste.

Cependant, l'entreprise de Florence Burgat n'est pas seulement critique à l'égard de la philosophie car celle-ci recèle à ses yeux une ressource propre essentielle pour penser l'animal de façon positive et indépendante : la phénoménologie hégélienne. Le second mouvement de l'ouvrage consiste à exposer cette ressource. Hegel est ainsi le premier à avoir pris en compte, au sein de la vie organique, une différence entre la vie végétale et la vie animale : « le sentiment de soi se forge face à l'hostilité du monde, et à la simple vitalité de la vie végétale fait place l'inquiétude ». 2 Ce qui distingue la seconde de la première (mouvement spontané, perception, émotion) composent un ensemble indiquant « la non-naturalité » de la vie animal (p. 11). Cet ensemble permet de conférer une identité propre à l'animal, indépendamment de la question de la nature de l'homme et bien au-delà de ce que la biologie mécaniste d'inspiration cartésienne est susceptible d'offrir, en termes de caractérisation de la vie animale. Suivre l'inspiration hégélienne requiert une condition : parmi les attributs dont se trouve doté l'animal, ne figure pas la conscience. Or, la philosophie moderne a fait de celle-ci l'un des critères majeurs, sinon la marque, de la subjectivité. L'animal conçu par la phénoménologie nous donne à penser « un sujet sans conscience » (p. 20). Il faut donc accepter une autre définition du sujet, cette fois-ci arc-boutée à la différence entre le végétal et 1 É. de Fontenay, Le Silence des bêtes. La philosophie à l'épreuve de l'animalité, Paris, Fayard, 1998. Florence Burgat a consacré à cet ouvrage un article pour Critique, 'La question animale', oct. 1999, n° 629, pp. 800-813. l'animal : est sujet « tout individu qui agit et perçoit, et pour lequel se présentent par conséquent un monde de la perception et un monde de l'action » (p. 20).

De façon plus spécifique, la démonstration de Fl. Burgat s'orchestre en quatre temps. Le premier met en évidence combien la pensée philosophique a « failli à sa tâche » (p. 30) en se laissant dominer par un questionnement qui a annexé la réflexion sur l'animal à l'interrogation sur la nature de l'homme. Cela se perçoit à travers la structuration de la pensée en binômes de notions opposées à travers lesquelles des places et des rôles distincts ont été distribués aux hommes et aux animaux : âme/corps, nature/culture, intelligence/instinct, vie/existence, etc. De façon systématique, « rien ne se dit positivement de l'humain qui ne se dise en même temps négativement de l'animal » (p. 27).

La distribution n'est pas seulement d'ordre ontologique. Elle a des effets pratiques et moraux déterminants : « ce qui, dans ce discours, passe pour une réalité fondée en nature -les animaux sont à la disposition de l'humanité en raison d'une infériorité substantielle qui fait des usages auxquels ils sont soumis leur vocation naturelle -est en vérité le produit d'une mainmise qui, par cette naturalisation, cherche à se doter de légitimité » (pp. 26-27). Le procédé qui consiste à « animaliser » un être correspond de ce fait à une destitution du « droit à avoir des droits », au refus de le traiter toujours aussi comme une fin, et jamais simplement comme un moyen (p. 44). À plusieurs reprises, Florence Burgat suggère même qu'à son sens, l'ontologie a été instrumentalisée et mise au service de l'exploitation des animaux.

Elle examine un effet contemporain de cette instrumentalisation, particulièrement frappant pour qui s'intéresse à la définition croisée de l'homme et de l'animal : les xénogreffes, c'est-à-dire la greffe d'un organe animal dans le corps humain. Force est de constater que celles-ci n'ont pas donné lieu à une réflexion renouvelée sur la proximité entre l'homme et l'animal. Au contraire, afin de préserver ce « réservoir d'organes pour l'humanité » que constituent certaines vies animales et permettre son exploitation (p. 53), l'on s'est contenté de penser cette proximité comme une simple compatibilité organique.

L'effet en retour d'une telle conception de l'animal est théoriquement très insatisfaisant pour une pensée de l'homme. En effet, celle-ci achoppe, dans une telle représentation des choses, sur plusieurs points : l'origine et la nature de la raison, la division interne de l'homme, écartelé entre sa partie raisonnable et sa partie « animale », le rôle moralement discriminant attribué à la raison.

Mais elle l'est plus encore à l'égard des animaux comme le montre la critique du dualisme cartésien. Celui-ci s'attache au statut de la douleur animale, conçue en corrélation avec le binôme âme/corps, fondamental dans la construction d'une différence ontologique et morale entre l'homme et l'animal : « lorsque l'animal a faim, froid ou mal, ce sont des affections de premier degré : son corps est frappé par une douleur, mais, commente Florence Burgat, il ne la ressent point, puisque seule l'instance pensante est capable de s'en faire l'écho » : « si une douleur affecte pareillement le corps d'un homme et le corps d'un animal, l'homme seul connaît la douleur, au double sens d'entendre et d'éprouver » (p. 84). Le matérialisme, même moniste, ne constitue en aucun cas une issue aux impasses du dualisme cartésien du point de vue d'une interrogation sur la nature de l'animal et de sa différence avec l'homme. En effet, même lorsqu'il associe homme et animal dans « une sorte de monisme de la chair vive » (p. 110), le matérialisme, notamment dans sa tradition behaviouriste, élimine la part vécue et ne peut donc tirer les implications du devenir vulnérable commun à l'homme et à l'animal. Par ailleurs, il faut souligner l'existence d'une sorte d'effet pervers au sein de ce matérialisme : si l'individu se perd, « chacun devenant un élément interchangeable » au sein d'un ensemble physico-chimique homogène (p. 111), « la hiérarchie entre les espèces se réorganise autour des degrés dans la complexité neurophysiologique » (p. 111).

Florence Burgat n'entend pas se contenter de cette construction philosophique de l'animal. Un détour par la pensée heideggérienne, permet de poser les premières pierres d'un autre travail conceptuel et d'une définition différente de l'animal. En effet, même si, à ses yeux, Heidegger a finalement proposé un chemin décevant -en rabattant la vie animale sur la vie en général, il a eu l'ambition de penser la vie animale à partir d'elle-même. 3 La troisième partie de l'ouvrage de Fl. Burgat développe les premiers contours d'une telle pensée, en se détournant du rapport de l'animal à l'homme pour s'intéresser à celui qu'il est susceptible d'entretenir avec le végétal. En effet, la thèse hégélienne se comprend dans le cadre d'une telle relation : « tout se passe comme si la prise en compte de la vie sous ses modalités végétales faisait apparaître la singularité de la vie animale : le déploiement d'une existence. La liberté, l'inquiétude, le désir, la finitude, le sentiment de soi impriment cette vie » (p. 143). L'animal éprouve dans son environnement un sentiment d'étrangeté. Il peut en faire l'expérience sur le mode de l'hostilité. Par différence, le règne végétal est « calme » et il n'est pas affecté par la douleur : il ne comporte pas de singularité et se trouve dans une relation d'immédiateté à lui-même.

Cette spécificité du règne animal conduit Florence Burgat à reprendre à son compte, au-delà de la référence hégélienne, les analyses du biologiste et philosophe allemand Jakob von Uexküll, célèbre pour son analyse de la vie de la tique, et celles que Maurice Merleau-Ponty a proposées dans le sillage de ce dernier.4 L'idée d'une subjectivité sans conscience, arrimée à l'activité perceptive-active, promue par Jakob von Uexküll, est en effet nécessaire pour donner sens au comportement animal. Cette perspective complexifie le propos de Florence Burgat. Elle donne lieu à une incursion dans l'univers de la psychiatrie animale. Dans ce cadre, Florence Burgat revient sur la notion de « conscience ». Elle souligne de nouveau l'impossibilité de qualifier l'animal à partir d'elle dès lors que cette notion renvoie au sens classique du terme à une subjectivité, mais suggère finalement, qu'entendue autrement, elle n'est pas totalement dénuée de pertinence pour appréhender le rapport au monde des animaux. Les travaux de Henry Ey ouvrent à cet égard des pistes essentielles, en s'intéressant au système nerveux complexe des animaux et aux possibles variations pathologiques de leur structure psychique : « Ce qu'Henry Ey choisit de nommer la psychoïde animale désigne la conscience animale qui, selon lui, ressemble à la conscience humaine (de part sa structure) sans pour autant s'y identifier (la dimension du langage instaurant une médiation qualitative supplémentaire) » (p. 257). Surtout, la « conscience animale » se caractérise par sa « vulnérabilité » et c'est ce qui retient tout particulièrement l'attention de Florence Burgat, soucieuse de rendre compte d'un comportement animal et de l'inquiétude qui le caractérise.

La tentative de caractériser l'animal pour lui-même que propose Florence Burgat est d'une nature complexe. Dès lors qu'elle s'attache à mettre en évidence des caractéristiques qui le différencient plutôt du règne végétal que du règne humain, on comprend qu'il ne s'agit pas de penser l'animal isolément. Son entreprise consiste plutôt à refuser de mettre une réflexion ontologique sur l'animal au service de celle relative à l'homme. La pensée des différences paraît conserver sa pertinence ; elle ne doit pas en revanche contribuer à établir une échelle des êtres. Sans afficher de conviction (néo-)platonicienne particulière, Florence Burgat n'est donc pas étrangère au questionnement ontologique énoncé par Platon dans Le Sophiste, à propos des formes isolées et de la nécessité de distinguer « selon chaque genre, quels sont ceux qui peuvent, et ceux qui ne peuvent pas communiquer ». 5 Dans cette perspective, le problème central est celui des « rapports mutuels » qu'entretiennent les êtres, le risque étant de mettre fin à tout discours possible dès lors que l'on conçoit toutes choses indépendamment les unes des autres. Comme le souligne Nestor Cordero dans sa traduction du dialogue platonicien, toutes les choses qui existent ne sont pas nécessairement en rapport les unes avec les autres. Certains genres ne communiquent pas. Le philosophe (ou dialecticien) est celui qui cherche à détecter « toutes les tendances possibles » des choses existantes « conduisant à des unions ou à des séparations mutuelles ». 6 L'on aimerait dès lors comprendre ce que la conception renouvelée de l'animal, proposée par Florence Burgat dans le sillage de la pensée hégélienne induit en termes de « liaison » avec l'homme. Selon elle, le prisme du rapport au végétal permet de mieux voir que celui du rapport à l'homme la spécificité de l'animal ; mais se tourner vers le premier pour mettre en évidence de façon plus claire les attributs singuliers de l'animal n'annule pas la question du rapport entre l'homme et l'animal. L'on peut au contraire vouloir la reposer à la lumière de cette nouvelle caractérisation. Florence Burgat entend mettre de côté une définition qui distribue en miroir des attributs positifs et négatifs -l'un a ou est ce que l'autre n'a ou n'est pas. En proposant l'idée d'une subjectivité sans conscience pour caractériser en propre l'animal, va-t-elle vraiment au-delà d'une telle procédure de conceptualisation ? Cela n'est pas certain.

Il s'agit-là, au demeurant, d'un problème tout relatif : Florence Burgat, en s'intéressant à la relation entre le végétal et l'animal, montre qu'elle ne remet pas en question de façon radicale la pratique dialecticienne de la philosophie et ce qu'elle implique en termes de réflexion sur la « liaison » entre les êtres. La définition en miroir de deux êtres, l'un étant le négatif de l'autre, est l'une des voies possibles ouvertes par cette pratique et il n'y a dès lors aucune raison ontologique de la rejeter. D'une certaine manière, l'idée d'une subjectivité sans conscience relève du même procédé : même si, en dotant l'animal d'une subjectivité, Florence Burgat invite à rouvrir notre compréhension de cette notion, l'homme apparaît finalement doté d'un attribut, la conscience, dont l'animal ne dispose pas, à moins de l'entendre au sens très particulier entrevu ci-dessus. Il faut donc finalement comprendre que c'est moins la forme de la définition véhiculée par la philosophie de l'époque moderne que son contenu qui est véritablement problématique aux yeux de Florence Burgat.

Elle l'est doublement. D'un point de vue ontologique, elle s'avère, nous l'avons vu, pauvre et insuffisante car elle ne permet pas d'appréhender « la liberté, l'inquiétude, le désir, la finitude, le sentiment de soi » qui caractérisent la vie animale (p. 143). De ce point de vue, Florence Burgat a raison de vouloir substituer à cette définition « moderne » de l'animal sa conception fondée sur le regard phénoménologique. Son ancrage dans la tradition philosophique aurait d'ailleurs pu lui fournir d'autres armes que la phénoménologie. Peut-être fallait-il remonter au-delà de l'époque moderne pour retrouver des tentatives de caractérisation fines de l'animal et de sa différence avec l'homme. Jean-Louis Labarrière a notamment mis en évidence combien la réflexion d'Aristote ne se contentait pas d'une définition selon laquelle l'animal est le négatif de l'homme. De prime abord, pourtant, cette réflexion semble destinée à établir des différences de genres en nature. Selon Aristote, les âmes, au nombre de trois, constituent les critères distinctifs entre les vivants : l'âme nutritive, tout d'abord, permet de distinguer le vivant du non-vivant et elle caractérise en propre les végétaux. Cette forme d'âme permet d'accomplir les fonctions vitales minimales : nutrition, accroissement et dépérissement, reproduction. L'âme sensitive, ensuite, spécifie les animaux parmi les vivants. Elle renvoie à la sensation et ce qu'on peut y rattacher : le désir, le mouvement, la mémoire et la phantasia. Enfin, l'âme intellectuelle ou pensante distingue les êtres humains parmi les animaux. [START_REF] Aristote | Les facultés que nous avons énumérées sont les facultés nutritive, désirante, sensitive, locomotrice et dianoétique. Les plantes ne possèdent que la faculté nutritive. D'autres êtres [les animaux] possèdent celle-ci et, en outre, la faculté sensitive ; et s'ils possèdent la faculté sensitive, ils possèdent aussi la faculté désirante (…) À certains animaux appartiennent en outre la faculté de locomotion, d'autres encore [l'homme et tout être vivant, s'il en existe, d'une nature semblable ou supérieure] ont encore la faculté dianoétique et l'intellect [la raison discursive et la raison intuitive[END_REF] Cependant, la nature de la différence entre ces trois âmes, et en particulier entre l'âme qui caractérise les animaux et celle qui spécifie l'homme, est en réalité ambiguë à divers égards. Les hommes paraissent cumuler les trois âmes, mais la distinction d'avec les animaux se brouille en bien des occasions. [START_REF] Labarrière | Langage, vie politique et mouvement des animaux[END_REF] Ainsi, les animaux autres que l'homme sont dépourvus de logos et disposent seulement de la phone. Cependant, celle-ci est définie comme le signe de la douleur et du plaisir, 9 et elle rend certains animaux autres que l'homme capables d'apprendre, de comprendre, voire de partager leur instruction et de signifier quelque chose à propos de quelque chose. [START_REF] Labarrière | Langage, vie politique et mouvement des animaux[END_REF] Dans le même sens, les hommes ne disposent pas d'une phantasia spécifique par rapport aux animaux, c'est-à-dire de la capacité à se représenter des choses, complément indispensable de la faculté désirante et source de mouvement. Beaucoup d'animaux possèdent aussi la phantasia et c'est le fait que les hommes peuvent se représenter les choses à partir des raisonnements de la pensée, et pas seulement à partir des informations données par les sens, qui les distingue. 11 Finalement, l'homme est sans doute un animal plus politique que d'autres, mais il n'est pas le seul animal politique : d'autres animaux le sont également, en un sens second du terme « politique » qui renvoie à l'idée d'un travail en commun, notamment destiné à assurer la survie matérielle du groupe.

Cette brève incursion dans la pensée aristotélicienne montre qu'il est sans doute excessif de dire que « la philosophie a failli à sa tâche » et que les philosophes n'ont cherché à penser l'animal que pour mieux penser l'humain (p. 30).

Au-delà de l'insatisfaction ontologique dont témoigne Liberté et inquiétude de la vie animale, le problème suscité par la définition « moderne » de l'animal apparaît également à Florence Burgat d'ordre éthique. Cette définition, en effet, a légitimé et légitime encore une instrumentalisation et une exploitation des animaux ainsi que diverses formes de maltraitance à leur égard, au point qu'on peut soupçonner l'ontologie de s'être mise au service de la satisfaction des « besoins » humains. Penser l'animal en propre vise à ôter aux hommes la possibilité de l'instrumentaliser et de le maltraiter : la nouvelle définition que Florence Burgat propose efface en effet de sa caractérisation les traits qui ont rendu possibles et légitimes ces formes immorales de relation à l'animal.

Sur cet aspect, l'on pourrait vouloir élargir la réflexion de Florence Burgat au-delà de la confrontation qu'elle organise entre philosophie de l'époque moderne et regard phénoménologique. Certes, cet ancrage dans la philosophie a sa raison d'être, explicitée dans l'ouvrage. D'une part, « certains courants scientistes » « voudraient abandonner les animaux aux seules sciences du vivant, réduire toute interrogation les concernant à un pur problème biologique -et ce dans le cadre d'une biologie qui continue à prendre modèle sur les sciences physiques et à voir dans l'animal un corps sans intériorité » (p. 13). D'autre part, une incursion dans les sciences humaines, et notamment dans l'anthropologie et la sociologie, lui apparaît tout aussi délétère car celles-ci « s'emploient à faire disparaître les animaux en ne leur reconnaissant d'existence que comme 'ce qui fait sens' au sein des pratiques humaines dans lesquelles ils sont pris (domestication, sacrifices, dans leurs formes antiques ou modernes…), ou en ravalant les problèmes éthiques inhérents aux utilisations dont ils font l'objet (boucherie, chasse, expérimentation …) à la seule 'acceptabilité sociale' » (p. 14). Mieux vaut donc, selon Florence Burgat, demeure au sein du champ philosophique, qui a ses insuffisances, mais recèle aussi les leviers conceptuels nécessaires pour une réflexion féconde sur l'animal.

On peut toutefois regretter ce point de vue, notamment sur la sociologie et l'anthropologie, d'autant que ces disciplines entretiennent avec la philosophie des relations historiques, épistémologiques et conceptuelles complexes, irréductibles à celles de champs de réflexion bien distincts. Adopter ce point de vue prive probablement Florence Burgat de ressources théoriques précieuses pour modifier le rapport éthique de l'homme à l'animal et tout au moins la question posée à son égard. On peut faire à cet égard plusieurs remarques. Tout d'abord, le regard éloigné de l'anthropologue permet d'emblée de se départir de la conception de l'animal et de sa différence avec l'homme proposée par la philosophie moderne, et de percevoir dans notre vie quotidienne même de multiples expressions d'une toute autre vision de l'animal :

« Pour les Amérindiens et la plupart des peuples restés longtemps sans écriture, le temps des mythes fut celui où les hommes et les animaux n'étaient pas réellement distincts les uns des autres et pouvaient communiquer entre eux. Faire débuter les temps historiques à la tour de Babel, quand les hommes perdirent l'usage d'une langue commune et cessèrent de se comprendre, leur eût paru traduire une vision singulièrement étriquée des choses. Cette fin d'une harmonie primitive se produisit selon eux sur une scène beaucoup plus vaste ; elle affligea non pas les seuls humains, mais tous les êtres vivants. Aujourd'hui encore, on dirait que nous restons confusément conscients de cette solidarité première entre toutes les formes de vie. Rien ne nous semble plus urgent que d'imprimer, dès la naissance ou presque, le sentiment de cette continuité dans l'esprit de nos jeunes enfants. Nous les entourons de simulacres d'animaux en caoutchouc ou en peluche, et les premiers livres d'images que nous leur mettons sous les yeux leur montrent, bien avant qu'ils ne les rencontrent, l'ourse, l'éléphant, le cheval, l'âne, le chien, le chat, le coq, la poule, la souris, le lapin, etc. ; comme s'il fallait, dès l'âge le plus tendre, leur donner la nostalgie d'une unité qu'ils sauront vite révolue » 12 Ce même regard éloigné permet de mettre en évidence une conscience aiguë du problème moral posé par le fait de tuer des êtres vivants pour s'en nourrir. À défaut de l'être dans la philosophie moderne commentée par Florence Burgat, cette conscience est perceptible dans les grands récits, les mythes et les représentations cosmologiques qu'ont élaborés les différents groupes humains, du récit biblique qui fait se succéder l'épisode de la Chute, la première alimentation carnivore (Noé) et l'histoire de la tour de Babel, aux visions de l'alimentation carnivore comme « forme à peine atténuée de cannibalisme » développées par certains peuples sans écriture. 13 instrumentaliser et maltraiter les animaux à des fins qui leur sont propres. Mais ils ne font pas -pas tous, pas toujours -avec la bonne conscience dont paraît témoigner la philosophie moderne critiquée par Florence Burgat.

Enfin, c'est sans doute à partir du champ de l'anthropologie, d'une anthropologie d'ailleurs fortement nourrie par la philosophie, que peut être posée la question la plus radicale à propos du rapport d'instrumentalisation, d'exploitation et de maltraitance du règne du vivant, animal et au-delà. Philippe Descola a mis en évidence les façons variées dont les sociétés humaines distinguent dans l'ensemble des entités composant le monde « une nature ». Dans le monde occidental, la conception dominante paraît renvoyer à l'ensemble de choses extérieures au « jeu de l'intersubjectivité ». Ses éléments sont caractérisés par un commun « défaut d'humanité » et apparaissent comme un « conglomérat anomique d'objets en attente de sens et d'utilité ». 14 Le regard éloigné de l'anthropologue montre que de toutes autres relations sont possibles avec ces éléments de la « nature » et il s'accompagne d'une angoisse, celle qui naît du spectacle de l'abandon de la nature. En Occident tout particulièrement, la nature paraît orpheline ; elle n'a pas de « rapporteur » et on n'a pas encore su lui conférer de véritables moyens d'expression. 15 Surtout, ce qui nous paraît décisif au regard d'un questionnement éthique sur le rapport de l'homme à l'animal est la disjonction soulignée par Ph. Descola entre les différentes ontologies de la nature et les rapports d'instrumentalisation ou d'exploitation de cette dernière. Il apparaît que l'on ne peut préjuger des implications éthiques de telle ou telle ontologie de la nature :

« Dans de nombreuses régions de la planète, humains et non-humains ne sont pas conçus comme se développant dans des mondes incommunicables et selon des principes séparés ; l'environnement n'est pas objectivé comme une sphère autonome ; les plantes et les animaux, les rivières et les rochers, les météores et les saisons n'existent pas dans une même niche ontologique définie par son défaut d'humanité. Et cela semble vrai quels que soient par ailleurs les caractéristiques écologiques locales, les régimes politiques et les systèmes économiques, les ressources accessibles et les techniques mises en oeuvre pour les exploiter. » 16 La question qui en découle ouvre une piste de réflexion ici essentielle : si l'exploitation et l'instrumentalisation du règne animal s'avère relativement indépendante de sa caractérisation ontologique, peut-être faut-il dissocier travail ontologique et travail éthique, et chercher à formuler un principe de conduite par-delà la caractérisation ontologique des êtres et ses effets fréquents de hiérarchisation du vivant. Marie Gaille (CERSES, CNRS-Université Paris Descartes) 25211 signes 14 Ph. Descola, Par-delà nature et culture, Paris, NRF, Gallimard, 2005, p. 25, p. 56 et p. 15 pour les expressions citées. 15 Ibid., pp. 552. 16 Ph. Descola, Par-delà nature et culture, Opus cit., p. 56.

À l'occasion d'un cours donné durant le semestre d'hiver 1929-1930 à l'Université de Fribourg-en-Brisgau.

J. von Uexküll, Mondes animaux et monde humain, suivi de Théorie de la signification [1934], tr. de Ph. Muller, Paris, Denoël, 2004 ; référence est aussi faite à F. J.-J. Buytendijk, L'homme et l'animal, Essai de psychologie comparée [1958], tr. de R. Laureillard, Paris, Gallimard, 1965 et De la douleur, tr. de A. Reiss, d'après la version allemande, Paris, PUF, 1951 ; M. Merleau-Ponty, La Nature, Notes, cours du Collège de France, 1956-1957, Paris, Le Seuil, 1995.

Platon, Le Sophiste, tr. de N. Cordero, Paris, GF Flammarion, 1993, 253d-254a, p. 169.

Ibid., Introduction, pp. 48-50.