Sabine Teulon Lardic

Cécile Dunoyer

Marguerite Long : une pianiste nîmoise

I -En blanc et noir : un quatre mains Long 9 à l'Ecole Nationale de Nîmes

Premières zones d'ombre d'une légende, la modestie d'une enfance nîmoise, autant que l'apprentissage musical auprès de sa soeur à l'Ecole Nationale de Nîmes nous permettent d'appréhender la place naissante de la femme dans l'éducation musicale spécialisée. Une véritable étude de cas, en ce dernier tiers de XIXe siècle français.

(Planche 1 : Claire et Marguerite Long, photo en vis à vis de la page svp.)

1 -Un milieu familial modeste -Du Bon Dieu au Toro Une enfance modeste de par le milieu familial -le père est employé aux chemins de fer selon l'acte de naissance de Marguerite Marie Charlotte 10 . Lors du rapport du commissaire de Police pour l'obtention de bourse de sa jeune fille en 1891, il n'est plus que commis chez un marchand de vins et loge économiquement chez sa belle-mère, 6 rue Fresque, en compagnie de sa fille aînée, Claire 11 . Bien qu'âgé de quarante neuf ans à sa naissance, c'est un papa « joueur » selon le frais témoignage de Marguerite à six ans, d'après une lettre inédite : « Tu me fais rire souvent, presque tous les jours, mon cher papa, je t'en remercie (…)». La structure familiale semble unie, au regard du même témoignage : « Papa, maman, mamée, Claire, l'oncle et la tante, vous êtes les plus gentille de toutes les personnes, vous me gâtez et quand vous serez malade, je vous soignerez bien. » 12 Une enfance comblée auprès « de parents compréhensifs et tendres (…) placée sous le signe de la musique » 13 , ce sont les témoignages rétrospectifs de l'artiste octogénaire. Ce qu'elle tait, c'est l'épreuve tôt vécue du deuil de la mère, en mars 1890. Les lettres de Marguerite Long enfant, témoignent toutes du désir brûlant de remplir les attentes de ses parents : « Je serai toujours bien sage. (…) J'étudiré bien mon piano, je vous le promez afin que l'année prochaine je puisse joué une jolie valse ou une polka pour le nouvel an » 14 ou bien trois années plus tard « (…) si jusqu'ici j'ai été sotte et désobéissante, croyez que c'est une légéreté qui en est la cause. Mais cette année, je vais tâcher de faire tout ce que je pourrais pour vous faire plaisir, afin de bien me préparer à ma première communion." 15 L'archétype d'une petite fille appliquée et volontaire, empreinte du prosélytisme catholique, c'est également ce que dénote sa manière de célébrer une fête profane du calendrier : « C'est aujourd'hui le nouvel an que le Bon Dieu a fait pour tous. Mes parents chéris, je prie à genoux le Bon Dieu qu'il vous conserve longtemps. Ma petite soeur m'aime beaucoup, que le Bon Dieu lui donne la santé.» De cette période, ses propres relations écrites et radiophoniques ne laissent que peu de traces. En revanche, elle évoque avec ferveur le répertoire lyrique du Grand Théâtre -Aïda, Les Huguenots -chanté par coeur. Serait-ce le bénéfice d'une politique de public spécifique, promue par la Ville de Nîmes ? Les archives recèlent une requête du directeur de l'E.N.M. adressée au Maire, évoquant une sorte de pass pour les deux enseignantes (dont Claire Long) : « Toutes les années, les deux professeurs femmes de l'E.N.M. reçoivent une carte d'entrée au Théâtre, je me permets de 9 Voir la photo des soeurs Long en planche 1. 10 Acte de naissance n°1632, année 1874 (AMN, Table décennale des naissances). 11 Le rapport de police est éloquent sur les sacrifices consentis par le clan familial après le décès de la mère, deux ans après l'installation parisienne de Marguerite. « Le nommé ci-contre  Pierre Long n'est pas employé au chemin de fer, mais simple commis chez un marchand de vins où il gagne 30 francs par mois, il habite chez sa belle-mère, âgée ellemême de 72 ans, il a en outre une fille, Claire Long, qui est professeur de piano au conservatoire de Nîmes et qui supporte toutes les charges de la maison. La deuxième fille est élève au conservatoire de Paris. » Rapport du Commissaire de police du 9 novembre 1891, établi pour la Mairie de Nîmes. 12 Photocopie de lettre manuscrite, datée du 31 décembre 1880 (Fonds M. Long, série 81 J, AD). Voir planche 2. 13 M. Long, Au piano avec Gabriel Fauré, Julliard, 1963, p. 16. 14 M. Long, photocopie de lettre manuscrite, datée du 31 décembre 1880 (Fonds M. Long, série 81 J, ADG) 15 M. Long, photocopie de lettre manuscrite, datée du 31 décembre 1883 (ibidem). vous demander la continuation de cette bonne tradition qui rend des services à l'enseignement musical. »16 Les regrets de quitter sa ville natale, rétrospectivement exprimés en 1960, sont adroitement axés sur la tauromachie, plus que sur le Conservatoire : une coquetterie de vieille dame ou une stratégie ? « Je sentais de quels abandons j'en devais payer le prix. Finies les éblouissantes Corso de Toros ! J'aimais passionnément « mes » arènes, la foule des 30 000 spectateurs pressés sur ses gradins, vivante des mêmes troubles sensations ; j'avais une âme d'aficionado : les détails des costumes de lumière, la minute de Vérité, les subtilités des passes de muleta n'avaient pas de secret pour moi. Ma seule punition réelle était justement d'être privée d'aller aux corridas » 17 Une fois nommée professeur du « cours élémentaire de piano », Claire Long ne cessera d'agrandir sa classe jusqu'à l'année du prix de piano de sa jeune soeur. Certainement par générosité pour celle-ci, elle accorde trois heures supplémentaires d'un cours supérieur de piano, ce que mentionne le rapport d'inspection du 5 juillet 1888 : « je ne puis que signaler le professeur Melle Long, qui, par zèle pour l'Ecole, fait un cours supérieur sans rétribution » 24 . L'ouverture de sa classe, corollaire d'un enseignement de solfège élémentaire et supérieur pour jeunes filles, correspond à un véritable besoin, comme le prouve un recensement manuscrit 25 : de 17 filles en 1884 (chant, piano, solfège) à 92 filles en 1888, un raz de marée ! Quels indices nous livrent ces archives sur les études de Marguerite ? Seuls les prix de l'E.N.M. qui clôturent son parcours éclair en cinq années, trahissent l'exigence de la soeur aînée, autant que les aptitudes de la cadette. Nantie du Prix de piano en 1888, elle joue au concert de distribution des prix le Concerto en ré m de W.A. Mozart 26 , alors que sa première prestation publique date de la distribution des prix en 1886 27 L'année suivante, elle est distinguée par le Prix accordé par le Ministre 28 en 1889, sur la proposition du directeur de l'E.N.M. Lors du concert de distribution des prix au Grand Théâtre, ce 29 juillet 1889 29 , Marguerite interprète le Grand concerto en si mineur de J.N. Hummel, après la prestation d'une Marguerite emblématique de l'univers lyrique : « On a beaucoup applaudi les jeunes élèves et principalement Mélanie Arnal qui a chanté d'une façon ravissante l'air des bijoux de Faust 30 . Mlle Long a exécuté brillamment sur le piano un Concerto d'Hummel (…). Malgré une chaleur suffocante, la salle du Théâtre n'a cessé d'être bondée depuis le parterre jusqu'aux 4 e galeries. » 31 d'obtenir la première année (1890) la première récompense accordée au cours préparatoire, et cette année-ci, dans les cours supérieurs, elle vient d'obtenir le 24 juillet dernier le 1 er Prix » 34 . Effectivement, entrée en 1889 au cours préparatoire du Conservatoire de Paris, admise dès 1890 au cours supérieur (classe d'Henri Fissot), elle emporte le 1 er Prix en 1891. De Claire à Marguerite, un quatre mains nîmois dans la filiation du maître Antoine Marmontel, d'Henri Fissot au fils Marmontel (Antonin), auprès duquel elle se perfectionnera à Paris, ces jalons ressortissent de l'école française du piano, dont elle aura à coeur de devenir à son tour la médiatrice.

Cette ouverture d'une partie de l'enseignement musical aux jeunes filles intervient à l'heure de mutations au sein du monde éducatif. Alors qu'aucune école en France n'autorise la mixité, que l'inscription sur le territoire des Ecoles Normales pour filles ne date que de 1878 35 , elle est concomitante de celle de l'Ecole des Beaux-Arts de Nîmes 36 , des résultats très favorables des futures institutrices de l'Ecole Normale du Gard 37 . Cependant, les rôles et devoirs d'une femme mariée ne s'accommodent pas du statut d'autonomie d'enseignante : mariée le 28 septembre 1898 à l'âge de trente et un ans, Claire Long démissionne de son poste la semaine précédente 38 . Symptomatiquement, l'acte de mariage stipule « Claire Long, sans profession (…) » 39 Un milieu familial modeste, le décès maternel ne seront pas des entraves pour la jeune pianiste nîmoise, à son clavier dès l'âge de six ans. Par l'heureuse conjonction d'une politique culturelle de la IIIe République, positivement discriminatoire à l'égard des jeunes musiciennes d'une part et de l'apprentissage pianistique intensif sous l'égide fraternel d'autre part, Marguerite quitte une Ecole de musique provinciale pour le Conservatoire supérieur, déjà armée et en outre, 1 ère musicienne boursière de la Ville de Nîmes. L'esprit d'ouverture et l'action menée par le père des deux pianistes sont à cet égard exemplaires pour l'époque. Née deux décennies plus tard, Germaine Tailleferre se heurte à son père négociant en vin pour entreprendre une formation au Conservatoire de Paris : « Dans une famille de petits-bourgeois, il n'est pas pensable d'envisager une carrière artistique (…). Les filles ne devaient être que bonnes maîtresses de maison et mères de famille avec, comme on disait alors, « un petit vernis » concernant la peinture, la musique et les lettres. » 40 Soit omis, soit enjolivés par l'artiste, les itinéraires nîmoiszones d'ombre -le sont-ils à dessein ? De Nîmes, la grande dame laissera des traces sélectionnées : sa prestation soliste du Concerto de Mozart, Aïda et Les Huguenots au Grand Théâtre et les hardis spectacles de toros aux arènes, autant dire des halos de lumière ! 34 Lettre manuscrite de Pierre Long, août 1891 (A.M.N., série 1 R 369). Voir en planche 5. 35 J. Dupâquier et Denis Kessler (sous la dir. de), op. cit., p. 290. 36 D'après les résultats de la distribution des Prix de l'Ecole Nationale des Beaux Arts de Nîmes en 1888, la classe des filles de 3 e année, aurait été ouverte en 1885, soit un an plus tard que celle de piano à l'E.N.M. (cf. Journal du Midi, 29 juillet 1888). 37 L'année du départ de M. Long pour le Conservatoire de Paris, le concours de l'Ecole Normale du Gard retient vingt et une filles, pour dix-neuf garçons à l'admissibilité, selon la chronique du Petit Nîmois, 2 août 1889 . 38 Se référer à l'article de S. Teulon Lardic, « Il y a 120 ans … première classe de piano pour jeunes filles à l'Ecole de musique de Nîmes (…) » in Opus 10, décembre 2004. 39 Acte de mariage de Claire Long et de Joseph Marquier n° 402, année 1898 (ADG, Registre des actes de mariage de Nîmes, année 1898). 40 Germaine Tailleferre, « Mémoires à l'emporte-pièce », recueilli par Frédéric Robert, Revue internationale de musique française, n°19, février 1986, p. 11.

II -Ballade pour une reconnaissance créative de l'interprète

J'aime encore la devise que j'avais choisie : Faire Face. » 41 Comment gagner sa vie et sa liberté, quand on est une jeune fille de 17 ans de milieu modeste, nantie d'un 1 er Prix de piano du Conservatoire Supérieur de Paris ?

Devenir professeur de piano 42 , comme sa soeur Claire, l'issue est aussitôt adoptée pour vivre de cours particuliers dans un premier temps 43 , pour se hisser au rang des grands dans un second tempselle attendra 1920 pour que G. Fauré, directeur du Conservatoire Supérieur de Paris ose confier le degré supérieur à la première enseignante, après que la mixité des classes sera effective (1917). Pédagogue pionnière -comme sa soeur à Nîmes -cette activité vitale n'empiétera jamais sur son activité d'interprète, contrairement à sa condisciple aînée Marie Jaëll, dont les écrits didactiques sont de nos jours plus pérennes que ceux de M. Long. Cependant, le couronnement de cette facette professionnelle est bien entendu la cofondation avec le violoniste Jacques Thibaud de l'Ecole Long / Thibaud en 1941, alors qu'elle vient de démissionner (être démissionnée ?) du Conservatoire sous le gouvernement de Vichy, comme deux collègues de renom : Henri Rabaud, le directeur, Louis Laloy, le musicologue. Cette mise en commun de leur savoir-faire et de leur faire savoir se concrétise dans la création deux plus tard du Concours Long / Thibaud en 1943, un concept qui, en pleine Occupation, pallie une carence culturelle française -l'équivalent de la fondation du Festival d'Aix-en-Provence (1948). C'est bien ici la notion de partenariat, celui de deux vedettes nationales mais également de deux instruments rois du répertoire concertant, qui préside à sa conception. Bien piloté par ses fondateurs, le Concours est pérennisé par son internationalisation en 1946, plus tard le don fait à l'Etat (1963).

1-L'enseignement

En retour, la correspondance d'ex disciples finalistes du Concours dévoile l'emprise qu'elle détient sur de jeunes pianistes lancés après leur Prix. En particulier, plusieurs lettres d'Aldo 41 M. Long, Au piano avec Gabriel Fauré, René Julliard, 1963. 42 Elle est dans un premier temps pensionnaire et professeur du cours privé Garnier-Gentilhomme. Elle attend 1906, pour que Fauré la nomme professeur de piano de classe préparatoire au Conservatoire de Paris. 43 Elle est dans un premier temps pensionnaire et professeur du cours privé Garnier-Gentilhomme. Elle attend 1906, pour que Fauré la nomme professeur de piano de classe préparatoire au Conservatoire de Paris. 44 Articles de La Lanterne, 22 juin 1920 ; du Chanteclerc, 2 avril 1927, reproduit par Cécile Dunoyer de Segonzac, op. cit., p. 179. 45 Cf. Cécile Dunoyer de Segonzac, op. cit., p. 181.

Ciccolini (1 er Grand Prix en 1949) lors de ses tournée européennes, attestent d'une allégeance déférente et émouvante. L'en-tête d'une missive -« Chère Marguerite de France, chère mère adoptive » -en dit … long sur certaine frustration féminine, s'exprimant par transfert. De même les lettres de Janine Dacosta (1 er Grand Prix en 1951), de Gabriel Tacchino lui présentant son premier disque, se signalent à notre attention par le ton de piété, la gratitude renouvelée confinant à la fascination. Ce dernier aspect est corroboré par une lettre inédite d'Eric Satie : « Combien je vous remercie ! Vous avez fanatisé ma jeune norvégienne. Elle retournera dans son pays avec des principes français, très français, grâce à vous, Madame. » 46

-Se propulser dans les salons parisiens

Il est de fait que son union le 26 février 1906 avec le jeune et sémillant officier, le vicomte Joseph de Marliave (1873-1914), est porteuse d'un capital social, sans gloser sur leurs liens amoureux. Musicologue beethovénien, fauréen actif -copiste du maître pour les arènes de Béziers 47 -le jeune époux sera fauché dès le 1 er mois de Grande Guerre. Marguerite est propulsée toute à la fois dans les salons bourgeoisles sorties au Bois comme écuyère, le patinage, la danse -et le cercle d'intimité de Fauré -« Ce culte fauréen fut une des joies de ma vie et l'une de ses fiertés. ». Interprète de sa 6e Barcarolle devant le public redoutée de la Société Nationale (1903), l'égérie est adoubée par le maître, dont elle sera le dépositaire de la Ballade en fa  majeur dans sa version pour piano et orchestre [START_REF]la Société des Concerts du Conservatoire. Devenue son oeuvre fétiche, elle l'interprètera à nouveau avec le même prestigieux orchestre, sous la baguette d'A.Cluytens en …1954[END_REF] , exportée par la suite sur les continents (de Russie en Amérique du Sud). Dernier aperçu du capital social de la famille Marliave, son appartenance probable au réseau de la franc-maçonnerie. C'est un indice que je relève dans une lettre inédite du beau-frère de la veuve Long-Marliave 49 .

Selon le témoignage de Pierre Petit 50 , M. Long devenue à la mode après ses récitals des années 1920, près de ses intérêts financiers, choisit d'occuper également l'espace mondain : les courses au Bois, le patinage, les soirées, les leçons de piano au prix fort pour les élèves argentés. Son déménagement dans l'appartement -musée, avenue de la Grande Armée, est bien distinctif d'une ascension sociale.

Veuve à trente neuf ans au début de la Grande Guerre, sans descendance, la pianiste consacre son énergie à la musique..

-Valorisation du statut d'interprète par ses relations de proximité avec les créateurs

L'interprète fait ses preuves à Paris lors de récitals marathoniens dès 1898 [START_REF] Pleyel | Long programme le répertoire romantique en 1 ère partie : Carnaval de Vienne de R. Schumann[END_REF] , quitte à déserter le mariage de sa soeur cette même année, à Nîmes 52 . Adoubée par Gabriel Fauré avant leur brouille vers 1913, de même par les grands chefs d'orchestre français cités en introduction, la pianiste a l'idée de pérenniser cette relation de proximité auprès d'autres compositeurs. Stratégique, volontariste, telle apparaît sa démarche auprès d'Albéniz, Déodat de Séverac, Roger-Ducasse, Debussy, Ravel, Milhaud, Poulenc, Jolivet. Craintive face à l'univers pianistique debussyste si singulier, apanage du pianiste Ricardo Vines53 , c'est elle-même qui aurait eu l'audace de provoquer une rencontre parisienne en juillet 1914, pour l'interprétation de L'Isle joyeuse : « J'aurais donné dix ans de ma vie pour qu'il m'eût appris son secret et la traduction d'une oeuvre pareille. » Lors de leur seconde rencontre, l'été 1917 à St Jean de Luz, Marguerite, jeune veuve de guerre, approfondirait leur échange. « Nous parlions, je jouais sa musique, celle des autres, à laquelle il s'intéressait toujours. (…) Trois mois durant, cet été-là, je n'ai pas quitté le clavier, ou presque, mais l'expérience fut merveilleusement féconde, et immense le bénéfice de ce contact quotidien.» 54 Entre la correspondance du compositeur, peu disert sur leur relation [START_REF]Debussy la mentionne uniquement le 9 mai 1917, pour sa création de 2 Etudes de Roger -Ducasse à la Société musicale indépendante[END_REF] Cette stratégie lui vaut son titre de légende, celui de créer le 14 janvier 1932 le Concerto en sol M de Maurice Ravel et d'en être ensuite son ambassadrice, sous la baguette « incertaine » du maître, à travers l'Europe des capitales : Anvers, Liège, Bruxelles, Amsterdam, Rotterdam, Vienne, Bucarest, Budapest, Prague, Varsovie, Berlin .... [START_REF] Long | [END_REF] Aussi, la photo du couple dédicacée par Ravel affiche : « A Marguerite Long, recordwoman du Concerto » ! La plupart de ses créations engendre effectivement des compliments qui outrepassent le geste de politesse. Cela accréditerait d'une certaine manière les propos de l'instrumentiste faisant état d'une réciprocité fructueuse lors des séances auprès des compositeurs. Pianiste d'élection en son temps, Saint-Saëns lui rend un hommage appuyé pour son interprétation du 3 e Concerto après leur travail à quatre mains : «Vous me donnez là une des jouissances qui sont trop rares dans la vie artistique et consolent de bien des tristesses. » La dédicace amusée que lui adresse Darius Milhaud 60 pour son 1 er Concerto opus 127, qu'elle a tant de fois enregistré, la glorifie : « Je dépose à vos pieds, chère et sublime amie cette oeuvre que vous ferez vivre par vos mains admirables » [START_REF] Milhaud ; Fonds | dédicace du 1 er Concerto  photocopie de[END_REF] . De même André Jolivet, après l'avoir remercié pour son travail sur le Concerto auprès du pianiste P. Entremont 62 -l'encense en 1959 depuis Tokyo : « Ce qui manque à tous ces authentiques pianistes, c'est votre sensibilité et votre lyrisme ! », tout en renseignant la femme d'affaires : « Votre méthode est en vente ici. » 63 Le point d'orgue de cette hyper activité est le concert hommage du 4 juin 1956 au Grand Amphithéâtre de la Sorbonne avec l'Orchestre National de la R.T.F. sous la direction de C. Münch. L'élue y fête ses cinquante ans de carrière en interprétant la fameuse Ballade opus 19 pour piano et orchestre de Fauré, tandis que huit compositeurs -Auric, Daniel Lesur, Dutilleux, Françaix, Milhaud 64 , Poulenc, Rivier, Sauguet -lui offrent les Variations sur le nom de Long. L'éloge vibrant que Jean Cocteau offre à ce rituel, métaphorique de la tauromachie, sacralise l'interprète en « prêtresse (…) des rites du torero et de la bête » 65 Dans un registre plus humoristique, la même gestuelle de la pianiste se trouve assumer la couverture d'Au piano avec Gabriel Fauré, icône toute de blancheur florale et d'ondulation, comme la fleur de son prénom.

Au zénith de sa carrière, la dédicataire a considérablement élargi son capital culturel 66 . Ambassadrice de la musique française, elle contribue à valoriser la créativité de l'interprète : « La musique échappe à toute existence permanente et seule l'interprétation peut lui donner la vie, une vie délicieusement et désespérément éphémère. » Porté par les Long, Cortot, Samson François, Glenn Gould, Martha Argerich, Hélène Grimaud, exploité par les majors de disques, ce statut est dès lors à la musique ce que le sacre du metteur en scène est au renouveau du théâtre.

-Stratégies de communication

Hardie auprès des compositeurs, la femme de tête l'est également dans ses relations de communication, étant parmi les premières interprètes à en réaliser l'impact. Nous avons plus haut souligné l'écho des périodiques, non seulement lors de ses concerts, mais lors des cours publics d'interprétation. A l'égal des personnalités du champ culturel de l'après guerre -Gabriel Dussurget par exemple -elle « ose » l'interview. L'entretien accordé à Paris Match pour la promotion du Concours Long / Thibaud de 1951 67 illustre sa maîtrise en vue de médiatiser le Concours en quête d'image internationale. Un autre entretien du périodique généraliste titre « Une femme à la maison », dans lequel elle prône les charmes de la vie privée pour une femme ! Telles sont les contradictionsou paradoxes -qu'assume la femme émancipée et solitaire, depuis près d'un demisiècle (son 1 er poste officiel date de 1906). Médias sur support papiers, mais aussi médias radiophoniques : la série d'entretiens de 1955 -1956 [START_REF] Long ; Claude Rostand | Mes maîtres, mes amis, mes élèves[END_REF] atteste une culture générale aussi brillante que celle de Milhaud, des qualités oratoires et … du charisme. Le souci de communiquer une image positive semble aussi prégnant que celui qui perçait au travers de sa lettre pré-citée, à six ans.

Lorsqu'elle atteint un grand âgeaprès 1960 (76 ans)elle participe à instaurer sa légende par son activité éditoriale. Elle publie trois études ciblées sur les compositeurs que l'histoire a sacrés -Debussy, Fauré, puis Ravel -laissant de côté Roger-Ducasse ou Albéniz, moins porteurs, Darius Milhaud, encore vivant. Celui consacré à Gabriel Fauré contient le plus d'éléments autobiographiquesenfance, jeune concertiste , épouse de « l'enragé fauréen »dont nous avons culturelles se mettent en place sous Malraux. Pour accomplir ce qu'elle ambitionne depuis les arènes romaines, ses habits de lumière sont des représentations qu'elle participe à élaborer : l'icône « Marguerite de France » pour sa proximité du répertoire français contemporain, l'icône « prêtresse (…) des rites du torero et de la bête » pour son attitude en scène et dans les salons, ou encore l'icône à peine irrévérencieuse d'« immortelle Pâquerette », justifiée par son occupation de l'espace médiatique, bientôt nonagénaire. En négatif, les zones d'ombreêtre fille d'un commis de vin, vivre à l'ombre d'une grande soeur pionnière à Nîmes, tyranniser ses disciples par carence maternelle, rechercher les belles amitiés féminines -seraient à réhabiliter dans une biographie plus critique.

L'étude de cas permet d'approcher l'histoire culturelle, dans la mesure où sacrifices, dérobades, contradictions semblent inhérentes au statut d'artiste au féminin. Au risque de « perdre toute féminité » comme le déplorait la pianiste Fanny Mendelssohn, mais du moins sans se métamorphoser en vestale de leur illustre époux, comme Clara Schumann ou Alma Mahler, l'orgueilleuse Long se bat sur le terrain des hommes, sans devenir suffragette : ses collaborations et partenariats se construisent auprès d'hommes. Moderne comme Colette, elle préfigure par la convergence de ses stratégies les conditions actuelles du spectacle vivant : constitution d'un réseau, communication, médiation, création assortie d'un soupçon de charisme ! Ce faisant, toutes deux subliment la prédiction d'une romancière qui s'interrogeait en 1918 sur l'absence de femmes dans le champ littéraire : « Les femmes ont moins de liberté intellectuelle que les fils des esclaves athéniens. Les femmes n'ont donc pas eu la moindre chance de pouvoir écrire des poèmes. Voilà pourquoi j'ai tant insisté sur l'argent et sur une chambre à soi. »74

  : entre nécessité et vocation Sa démarche de pédagogue s'exerce au-delà du commun, avec une stratégie infaillible d'Intendante de la musique depuis le Conservatoire jusqu'à son cours privé. En organisation interne, son choix sélectif d'ex élèves comme répétitrices s'accompagne de missions restreintes, maigres rémunérations, qui ménagent sa suprématie. En organisation externe, sa création d'auditions publiques dès l'année de nomination de professeur de cours supérieur (1920), puis de « Cours de virtuosité et d'interprétation » à compter de 1926 s'accomplit dans la veine des conférences-concerts de Reynaldo Hahn, d'A. Cortot à l'Ecole Normale. Judicieusement donnés dans de grandes salles parisiennes (Gaveau, Erard), ils participent d'une mission de représentation. En effet, la pianiste s'y adresse publiquement à ses propres élèves, devant certaines personnalités musicales dans le public, le tout chroniqué par les médias44 . Elle y invite parfois des disciples étrangersle génial Emil Sauer en janvier 1934, dernier élève de Lisztet non point ses valeureux disciples français comme Alfred Cortot, Ricardo Vines, Edouard Risler, Robert Casadesus. Cette représentation lorgne déjà du côté de la création, puisqu'elle inclue ponctuellement des pièces en première audition à compter des séances de 1931 45 , ainsi L'album de Madame Bovary, recueil de Darius Milhaud, y est créé en 1934.

  et déjà atteint par la maladie d'une part et les souvenirs de la pianiste rétrospectivement relatés d'autre part (1960), se creuse un hiatus, que les lettres de l'épouse Bardac-Debussy à M. Long 56 ne dissipent pas totalement. Légende de Marguerite ou omission d'un compositeur durement atteint par la maladie ? Néanmoins, le fait indiscutable reste sa création posthume de la Fantaisie pour piano et orchestre (1909), sous la baguette debussyste du chef André Messager. Interprète d'élection des compositeurs français, M.Long investit les lieux emblématiques de la création en se produisant fréquemment à la Société Nationale de Musique, la Société Musicale Indépendante, sa rivale, où elle crée le 11 avril 1919 Le Tombeau de Couperin de Ravel 57 . Cette démarche est à double facette, dès lors qu'elle émane d'une pianiste douée : son jeu cautionne en retour le compositeur élu. La correspondance de Darius Milhaud ou celle Francis Poulenc attestent du faire valoir de sa collaboration pianistique, lorsqu'on est jeune compositeur du Groupe des Six. A propos de son petit concertino pour quatre mains en 1931, Poulenc écrit à son ami : « je demanderai à Marguerite Long de me le doigter ce qui fera très bien. (…) Je pense d'ailleurs que du quatre mains réussi sera d'une bonne diffusion. » 58

2 -Claire et Marguerite : premier enseignement pianistique au féminin à l'E.N.M. de Nîmes (1884-1889)

  De fait, la connaissance de la tauromachie 18 lui soufflera certainement des comportements pour occuper la scène avec cette indomptable énergie, devenue proverbiale. A cet égard, relevons ses conseils pour maîtriser l'estrade de concert, énoncés dans le champ sémantique des jeux de l'arène, si ce n'est de la tauromachie : « Pour dominer le public, il faut d'abord se dominer soi-même. En somme, c'est une question de domptage. Garder sons sang-froid et sa lucidité. » Au siècle des Pleyel et Erard, toute famille bourgeoise possède au coeur du salon un piano : la famille Long n'y déroge point. L'aînée, Claire Marie Louise (1867 -1954) est initiée par le pianiste Charles Amédée Mager, ex-premier prix de la classe d'Antoine Marmontel au Conservatoire de Paris, venu s'installer à Nîmes. Selon le témoignage de Marguerite, il « avait déjà réalisé les bienfaits d'une synthèse des méthodes d'enseignement franco-allemandes » 19 .A l'Ecole de Musique de Nîmes, officiellement fondée en 1876, bientôt promue Ecole Nationale de Musique (délibération du Conseil Municipal le 18 novembre 1885), les archives municipales permettent de suivre la création de la première classe féminine de piano. Seule la classe de chant recrute alors des éléments féminins. Sur la proposition de la Commission de surveillance de l'Ecole de Musique, l'arrêté municipal du 1 er septembre 1884 décide le recrutement d'un

	« professeur de piano au cours de jeunes filles ». Le concours de recrutement est annoncé par de
	larges affiches placardées en région 20 . Sans ambiguïté, l'avis précise que « les dames sont seules
	admises » pour la future classe « réservée aux jeunes filles ». Constitué par cinq membres masculins
	(dont le professeur C.A. Mager), le jury auditionne le 28 octobre onze candidates de Nîmes et de
	Montpellier. Depuis les morceaux imposés 21 jusqu'au déchiffrage sous pli cacheté d'Ambroise
	Thomas, alors

directeur du Conservatoire de paris, Claire Long rassemble les suffrages des jurés : 161 points sur 210. En conséquence, elle est recrutée pour cette rentrée 1884 22 . Sa jeune soeur figure parmi ses premières disciples, d'après les traces postérieures d'une annotation du directeur Victor Delaruelle « Je, soussigné Directeur de l'Ecole Nationale de Musique de Nîmes, déclare et certifie que Melle Marguerite Long a suivi pendant quatre ans la classe de piano de l'Ecole et que les

  grandes dispositions dont elle a fait preuve rendent désirable et justifieraient pleinement son admission au Conservatoire de Paris. » 23

Table des planches

 des -planche 1 : photographie de Claire et Marguerite Long (à Nîmes ?), s.d. Fonds M. Long de la Bibliothèque musicale Gustav Mahler (Paris). -planche 2 : M. Long, lettre manuscrite du 31 décembre 1880, photocopie de. Fonds M. Long, série 81 J, Archives Départementales du Gard -planche 3 : Avis de concours à l'Ecole Nationale de Musique de Nîmes. Archives municipales, série 1 R 369. -planche 4 : Programme du concert de distribution des prix de l'E.N.M. de Nîmes, le 29 juillet 1889. Archives municipales, série 1 R 369. -planche 5 : Pierre Long, lettre manuscrite d'août 1891. Archives municipales, série 1 R 369. -planche 6 : photocopie de l'hommage de Jean Cocteau à Marguerite Long. Fonds M. Long, série 81 J, Archives Départementales du Gard. Darius Milhaud (…) Catalogue des oeuvres, Editions Slatkine, 1982. -Cécile Dunoyer de Segonzac, Marguerite Long (1874 -1966). Un siècle de vie musicale française, Edition Findakly, 1993. -Gabriel Fauré, Correspondance, Flammarion, 1980. -Concours International Long / Thibaud, programme 2004. -Marguerite Long, Au piano avec Gabriel Fauré, René Julliard, 1960. -Marguerite Long, Au piano avec Claude Debussy, René Julliard, 1960. -Marguerite Long, Au piano avec Maurice Ravel, présentation par le professeur P. Laumonier, René Julliard, 1971. -Pascal Ory, L'histoire culturelle, P.U.F. Que sais-je ? 2004. -Francis Poulenc, Correspondance 1910-1963, édité par M. Chimènes, Fayard, 1994. -Revue musicale (La), n° 245, 1959 (numéro spécial du Concours Long / Thibaud). -Danielle Roster, Les femmes et la création musicale, L'Harmattan, 1998. -Sabine Teulon Lardic, "Il y a 120 ans … première classe de piano pour jeunes filles à l'Ecole de musique de Nîmes : Claire est professeur, Marguerite, sa soeur, élève", in Opus 10, décembre 2004 (Journal de l'E.N.M. de Nîmes). -Janine Weill, Marguerite Long, une vie fascinante, Julliard, 1969. Deux Arabesques, Jardins sous la pluie, EMI CO51 16 349. -G. Fauré, quatuors avec piano, EMI CDH 769794-2. -Marguerite Long au piano, Orchestre de la Société des Concerts du Conservatoire (CD 1 : Chopin, Fauré, Ravel, Milhaud, CD 2 : Mozart, Beethoven), EMI Classics, 7243 5 72245 29. -Concours international Long-Thibaud : collection de CD captant l'interprétation des finalistes du Concours depuis 1989 (Concours international Long-Thibaut -REM, boîte postale 76 -69813 Tassin la demi-lune Cedex -France. Tel. : 04-78-59-00-95).

	Bibliographie
	-Paul Collaer, Discographie sélective
	-C. Debussy,

Lettre de Victor Delaruelle du 12.07.1889 (A.M.N., série 1 R 369).

M. Long, Au piano avec Gabriel Fauré, p. 17.

La métaphore filée entre le toréador et la pianiste est d'ailleurs reprise par l'hommage que lui adressera Jean Cocteau, aficionado en compagnie de Picasso.

M. Long, Au piano avec Gabriel Fauré, p. 16.

Voir la planche 3.

1ère Fugue en ut m du Clavier bien tempéré de J.S. BACH, Rondo capricioso opus 14 de F. MENDELSSOHN.

Arrêté municipal pré-daté du 11 septembre 1884 (A.M.N., série 1 R 369). Claire Long démissionnera de ce poste par une lettre du 21 septembre 1898, lorsqu'elle épouse le commandant Jospeh Marquier.

Lettre autographe de Pierre Long du 8 juillet 1888, annotation ms. du directeur V. Delaruelle (AMN, série 1 R 369).

Sans doute remarquée lors des visites annuelles de l'inspecteur, représentant du Conservatoire de Paris 32 , Marguerite se prépare ensuite au concours d'entrée de cet établissement. Il est émouvant de lire les deux requêtes paternelles, concernant la demande d'une bourse auprès de la Ville de Nîmes, pour faire face au coût des études parisiennes. Le 8 juillet 1888, Pierre Long adresse une pétition à cet effet, que le directeur de l'Ecole ainsi que les membres de la Commission de surveillance soutiennent : « C'est la première fois que l'Ecole de Musique de Nîmes peut présenter une élève capable de suivre avec honneur les classes du Conservatoire de Paris (…) » 33 . En août 1891, une seconde lettre de Pierre Long remercie la Ville de ses précédentes aidescertainement consécutives à celle de 1888 -avant de solliciter une prolongation de bourse pour sa fille cadette à Paris : « ses aptitudes particulières, jointes à un travail incessant lui ont permis24 Rapport d'inspection de l'E.N.M. de Nîmes pour l'année 1888, signé de Gustave Laroumée, directeur des Beaux-Arts, lettre manuscrite (A.M.N., série 1 R 369).25 Liste des jeunes filles ayant suivi les cours de l'Ecole de musique créés par suite de la convention avec l'Etat, 1884 -1889, document manuscrit (A.M.N., série 1 R 369).26 Nous rectifions cette date faussée dans les biographies. En l'absence de documents relatifs à ce concert dans les séries consacrées à l'E.N.M. (A.M.N. 1 R 369, 1 R 391), nous en avons trouvé les traces dans les périodiques gardois, ce qui permet de dater la prestation. Le Journal du Midi, 29 juillet 1888, chronique sommairement la soirée, en faisant état du programme, dont le « Grand (sic) Concerto en ré m pour piano et orchestre par Mlle Marguerite Long, élève de Mlle Long. Mozart. » 27 Journal du Midi, 25 juillet 1886, « Courrier de la région -Gard ». Le 26 juillet, lors du concert de distribution des Prix de l'E .N.M., elle joue en compagnie d'un violoniste Souvenirs dramatiques pour piano et violon de Charles de Bériot.28 Marguerite Long est proposée en tête de liste, seule fille parmi six candidats. Cf. Victor Delaruelle, Liste par ordre de mérite des élèves proposés par le directeur pour le prix accordé par le Ministre, 10 juillet 1889, lettre manuscrite (A.M.N., série 1 R 369).29 Programme du concert de distribution des prix de l'E.N.M. de Nîmes, le 29 juillet 1889 (A.M.N., série 1 R 369). Voir en planche 4.30 Faust de C. Gounod, air de Marguerite : A ! § Je ris de me voir si belle en ce miroir ! (acte III).31 Le Journal du Midi, 31 juillet 1889.32 Signalons la source erronée de la présence de l'inspecteur Théodore Dubois, alors directeur du Conservatoire de Paris, personnage donc influent. Cette mention apparaît pour la 1 ère fois lors de fragments autobiographiques contenus dans Au piano avec Gabriel Fauré. « T. Dubois, alors inspecteur de la musique aux Beaux-Arts, ayant deux années de suite constaté mes dispositions marquées de progrès rapides vint trouver mes parents, les pressant de me présenter à Paris. (p. 17). Le rapport d'inspection de 1888 est signé de Gustave Laroumée, directeur des Beaux-Arts.33 Lettre manuscrite de Pierre Long, 8 juillet 1888 (A.M.N., série 1 R 369).

Ricardo Vines (1875-1943) : pianiste catalan espagnol, fixé à Paris dès 1887. Ami d'enfance de Ravel, il est aussi le dédicataire de pièces maîtresses de Duparc, Satie, Ravel, Debussy.

Virginia Woolf, Une chambre à soi, trad. française de Clara Malraux, 10/18, 1992, p. 162.


Fr Éd Éric Mazenc

Michael Malisoff

New Bounds for State Transition Matrices

Keywords:

We address the problem of constructing matrix-valued interval observers for estimating state transition matrices for time-varying systems. We provide less conservative estimators than those in recent literature. We cover continuous-and discrete-time linear systems, under Metzler or nonnegativity conditions on the coefficient matrices. We show how to satisfy our Metzler conditions after simple changes of coordinates. We illustrate our method using a feedback stabilized underwater marine robotic dynamics with unknown control gains.

I. INTRODUCTION

C ONTROL theory for time-varying systems is compli- cated by the fact that it calls for replacing the matrix exponential by fundamental (i.e., state transition) matrices that are usually not available in explicit closed form. This problem is made even more difficult for time-varying linear systems that contain time-varying uncertainty in their coefficient matrices. This challenge arises even if the system is time invariant, e.g., for LTI systems ẋ = Ax + Bu with globally asymptotically stabilizing feedback controls u = Kx for constant matrices A, B, and K. This is because implementations naturally lead to uncertain controls gains, so for piecewise continuous bounded functions δ K , the control acting on the system will be u = (K + δ K (t))x, which produces

ẋ = (A cl + ∆ K (t))x (1)
with A cl = A+BK and ∆ K = Bδ K . Since ∆ K is unknown, the exponential representation x(t) = e A cl t x(0) for solutions of the unperturbed system ẋ = A cl x does not apply to [START_REF] Bernard | Observer design for continuoustime dynamical systems[END_REF]. Instead, a natural approach to addressing this problem is to use bounds on ∆ K to estimate solutions of (1). This motivated [START_REF] Mazenc | Stabilization with discrete measurements using bounds on fundamental matrices[END_REF] and [START_REF] Mazenc | Feedback stabilization and robustness analysis with discrete measurements using bounds on fundamental matrices[END_REF], which derived matrix-valued interval observers for fundamental matrices of time-varying linear systems with unknown coefficient matrices, and used the observers in feedback control and observer designs. More precisely, for matrix-valued functions M : [0, +∞) → R n×n and ∆ : [0, +∞) → R n×n whose entries are bounded and piecewise continuous and such that M (t) is Metzler and 0 ≤ ∆(t) ≤ ∆ hold entrywise for all t ≥ 0 for a known matrix ∆, [START_REF] Mazenc | Stabilization with discrete measurements using bounds on fundamental matrices[END_REF] proved that the state transition matrix Φ M -∆ of

Ẋ(t) = [M (t) -∆(t)]X(t) (2)
Supported by US National Science Foundation Grants 1711299 and 2009659 F. Mazenc is with Inria EPI DISCO, L2S-CNRS-CentraleSup élec, 3 rue Joliot Curie, 91192, Gif-sur-Yvette, France (e-mail: frederic.mazenc@l2s.centralesupelec.fr).

M. Malisoff is with Department of Mathematics, Louisiana State University, Baton Rouge, LA 70803, USA (e-mail: malisoff@lsu.edu) is such that

Φ M,∆ (t, s) ≤ Φ M -∆ (t, s) ≤ Φ M,∆ (t, s) (3)
for all s ≥ 0 and t ≥ s, where

Φ M,∆ (t, s) = Φ M (t, s) + Φ M -∆ (t,s)-Φ M +∆ (t,s) 2 and Φ M,∆ (t, s) = Φ M -∆ (t,s)+Φ M +∆ (t,
∆ K = [∆ Kij ]
is known to be bounded by some constant ∆ * ij ≥ 0, then we obtain [START_REF] Borri | Luenberger-like observers for nonlinear timedelay systems with application to the artificial pancreas: The attainment of good performance[END_REF] with the choices M = A cl + ∆ * and ∆(t) = ∆ * -∆ K (t), where ∆ * is the constant matrix [∆ * ij ] for all i and j. The Metzler requirement on A cl can be met by a change of coordinates that transforms A cl into its Jordan canonical form when all of its eigenvalues are real.

This motivates the important question of whether tighter bounds than (3) be determined. Its interest comes from the fact that the tighter the bounds are, the better the control laws or observers or stability analyses are which use them. In many cases, tighter bounds of this type can indeed by found. To understand why, let us consider the special case of (2) where M (t) -∆ is Metzler for all t ≥ 0. Then

Φ M -∆ (t, s) ≤ Φ M -∆ (t, s) ≤ Φ M (t, s) (5)
when t ≥ s ≥ 0; this monotonicity property follows, e.g., by the proof of [6, Lemma 2], with its matrix exponentials replaced by transition matrices. Since Φ M -∆ (t, s) = Φ M (t, s) when ∆ = 0 and Φ M -∆ (t, s) = Φ M -∆ (t, s) when ∆ = ∆, (5) are the best possible bounds for Φ M -∆ (t, s). They are tighter than the bounds in (3) when Φ M (t, s) <

1 2 (Φ M +∆ (t, s) + Φ M -∆ (t, s))
; see Section II-C below for an illustration where [START_REF] Katz | Boundary delayed observercontroller design for reaction-diffusion systems[END_REF] provides tighter bounds than (3). This motivates the present paper. We revisit [START_REF] Mazenc | Stabilization with discrete measurements using bounds on fundamental matrices[END_REF] and [START_REF] Mazenc | Feedback stabilization and robustness analysis with discrete measurements using bounds on fundamental matrices[END_REF] by providing two results. First, in Section II, and in both continuous-and discrete-time cases, we obtain tighter bounds than those of [START_REF] Mazenc | Stabilization with discrete measurements using bounds on fundamental matrices[END_REF] and [START_REF] Mazenc | Feedback stabilization and robustness analysis with discrete measurements using bounds on fundamental matrices[END_REF], by decomposing the disturbances ∆ in (2) into two parts ∆ 1 and ∆ 2 such that M (t) + ∆ 1 (t) is Metzler for all t ≥ 0 and ∆ 2 = ∆ -∆ 1 . Second, in Section III, we present a family of matrices that are similar to full Metzler matrices, making it possible to obtain bounds of the type (5) when ∆ is sufficiently small. This follows from the fact that if a matrix M is full Metzler, then M -∆ is Metzler when ∆ is sufficiently small. This result completes [START_REF] Mazenc | When is a matrix of dimension 3 similar to a Metzler matrix? Application to interval observer design[END_REF], whose conditions ensure that a matrix of dimension 3 is similar to a full Metzler matrix. We illustrate this benefit in Section IV, using a marine robotic dynamics that is perturbed by uncertain control gains, where we find novel bounds for the transition matrix of the perturbed coefficient matrix.

The notation will be simplified when no confusion could arise given the context, and all matrices in this paper are assumed to have only real entries. We set Z ≥0 = {0, 1, . . .} and N = Z ≥0 \ {0}. We use I to denote the identity matrix, 0 to denote the zero matrix, and 1 to denote the matrix whose entries are all 1's, for any dimensions. A square matrix is called Metzler provided its off-diagonal entries are all nonnegative. A matrix is called nonpositive (resp., positive) provided all its entries are nonpositive (resp., positive). A square matrix is called full Metzler provided all its offdiagonal entries are positive. For vectors

V 1 = (v 1,1 .... v 1,n ) ⊤ and V 2 = (v 2,1 .... v 2,n ) ⊤ , we write V 1 < V 2 provided that v 1,i < v 2,i for i = 1, . . . , n; and V 1 ≤ V 2 provided for v 1,i ≤ v 2,i for i = 1, . . . , n.
We use analogous componentwise inequalities for matrices. Square matrices M 1 and M 2 of the same size are called similar provided there is an invertible matrix P so that M 1 = P -1 M 2 P .

For any matrix-valued function F : [0, +∞) → R n×n whose entries are locally bounded and piecewise continuous, the fundamental (or state transition) matrix solution Φ F is defined to be the unique matrix-valued function satisfying

∂Φ F ∂t (t, t 0 ) = F(t)Φ F (t, t 0 ), Φ F (t 0 , t 0 ) = I (6)
for all t 0 ≥ 0 and t ≥ t 0 . Note for later use that this uniqueness property gives

Φ RF R -1 = RΦ F R -1 for all invertible n × n matrices R [10].

II. BOUNDS FOR FUNDAMENTAL MATRICES

We derive our bounds for fundamental matrices of both continuous-and discrete-time systems, and we illustrate how they can produce tighter bounds than those in the literature.

A. Continuous-time system

Let us consider the system

ẋ(t) = [M (t) -∆(t)]x(t) (7)
where M : [0, +∞) → R n×n and ∆ : [0, +∞) → R n×n are loally bounded and piecewise continuous functions. Assume the following (but see Remark 1 for extensions where the signs of the additive uncertainties on M have no restrictions): Assumption 1: The matrix M (t) is Metzler for all t ≥ 0. Assumption 2: There is a known matrix ∆ ≥ 0 such that

0 ≤ ∆(t) ≤ ∆ (8)
for all t ≥ 0.

We let m i,j denote the entry of M in its ith row and jth column for all i and j. Similarly, δ i,j (resp. δ i,j ) is the ij entry of ∆ (resp. ∆). We define the function ∆ 1 = [δ 1 i,j ] by:

δ 1 i,j (t) =      δ i,j (t), if i = j or if m ij (t) -δ i,j ≥ 0 0, otherwise (9)
We also define the function

∆ 2 (t) = ∆(t) -∆ 1 (t). Let ∆ 1 = [δ 1 i,j
] be defined by

δ 1 i,j (t) =      δ i,j (t), if i = j or if m ij (t) -δ i,j ≥ 0 0, otherwise (10)
and ∆ 2 is defined by ∆ 2 = ∆ -∆ 1 . Our first theorem is: Theorem 1: Let Assumptions 1-2 be satisfied. Then, for all t 0 ≥ 0 and t ≥ t 0 , the inequalities

Φ M -∆1 (t, t 0 ) + Φ M -∆ 2 (t,t0)-Φ M +∆ 2 (t,t0) 2 ≤ Φ M -∆ (t, t 0 ) ≤ Φ M -∆ 2 (t,t0)+Φ M +∆ 2 (t,t0
) 2 [START_REF] Mazenc | Event-triggered control for systems with state delays using a positive systems approach[END_REF] are satisfied.

Proof: Let us introduce the matrix

Ω(t) = M (t) -∆ 1 (t) ∆ 2 (t) ∆ 2 (t) M (t) -∆ 1 (t) , (12)
which is Metzler for all t ≥ 0, because M (t) -∆ 1 (t) is Metzler and ∆ 2 (t) ≥ 0 for all t ≥ 0. Also, with the choices

Ω(t) = M (t) ∆ 2 ∆ 2 M (t)
and

Ω(t) = M (t) -∆ 1 0 0 M (t) -∆ 1 , (13)
the inequalities

Ω(t) ≤ Ω(t) ≤ Ω(t) (14)
hold for all t ≥ 0. Also, using the choice

µ = I √ 2 -I √ 2 I √ 2 I √ 2 , (15)
we have

µ -1 = µ ⊤ . (16)
Also, one can readily check that

µΩ(t)µ -1 = M (t) -∆ 1 (t) -∆ 2 (t) 0 0 M (t) -∆ 1 (t) + ∆ 2 (t) (17)
and

µΩ(t)µ -1 = M (t) -∆ 2 0 0 M (t) + ∆ 2 (18)
hold for all t ≥ 0. From ( 14), ( 17) and ( 18), we deduce that

Ω(t) ≤ µ -1 M (t)-∆ 1 (t)-∆ 2 (t) 0 0 M (t)-∆ 1 (t)+∆ 2 (t) µ ≤ µ -1 M (t) -∆ 2 0 0 M (t) + ∆ 2 µ. (19)
Since Ω(t), Ω(t) and Ω(t) are Metzler, the reasoning that gave [START_REF] Katz | Boundary delayed observercontroller design for reaction-diffusion systems[END_REF] gives

Φ Ω (t, t 0 ) ≤ µ -1 Φ M -∆ (t, t 0 ) 0 0 Φ M -∆1+∆2 (t, t 0 ) µ ≤ µ -1 Φ M -∆2 (t, t 0 ) 0 0 Φ M +∆2 (t, t 0 ) µ (20)
for all t 0 ≥ 0 and t ≥ t 0 , where

Φ Ω (t, t 0 ) = Φ M -∆1 (t, t 0 ) 0 0 Φ M -∆1 (t, t 0 ) (21)
for all t ≥ t 0 . These equalities are equivalent to

Φ Ω ≤ Φ M -∆ +Φ M -∆ 1 +∆ 2 2 Φ M -∆ 1 +∆ 2 -Φ M -∆ 2 Φ M -∆ 1 +∆ 2 -Φ M -∆ 2 Φ M -∆ +Φ M -∆ 1 +∆ 2 2 ≤ Φ M -∆ 2 +Φ M +∆ 2 2 Φ M +∆ 2 -Φ M -∆ 2 2 Φ M +∆ 2 -Φ M -∆ 2 2 Φ M -∆ 2 +Φ M +∆ 2 2 . ( 22
)
Comparing the upper left and upper right blocks in ( 22) gives

Φ M -∆1 (t, t 0 ) ≤ Φ M -∆ (t,t0)+Φ M -∆ 1 +∆ 2 (t,t0) 2 ≤ Φ M -∆ 2 (t,t0)+Φ M +∆ 2 (t,t0) 2

and

(23)

0 ≥ - Φ M -∆ 1 +∆ 2 (t,t0)-Φ M -∆ (t,t0) 2 ≥ - Φ M +∆ 2 (t,t0)-Φ M -∆ 2 (t,t0) 2 (24)
for all t ≥ t 0 . Adding these inequalities yields [START_REF] Mazenc | Event-triggered control for systems with state delays using a positive systems approach[END_REF].

Remark 1: The nonnegativeness of ∆ in Assumption 2 is not restrictive at all. Indeed, if we know constant matrices ∆ s ≤ 0 and ∆ l ≥ 0 such that ∆ s ≤ ∆(t) ≤ ∆ l for all t ≥ 0, then (7) can be rewritten as

ẋ(t) = [M ⋆ (t) -∆ ⋆ (t)]x(t) with M ⋆ (t) = M (t) -∆ s and ∆ ⋆ (t) = ∆(t) -∆ s , and M ⋆ (t) is Metzler (if M (t) is Metzler) and 0 ≤ ∆ ⋆ (t) ≤ ∆ with ∆ = ∆ l -∆ s ≥ 0 for all t.
Hence, when the inequalities ∆ s ≤ ∆(t) ≤ ∆ l hold for all t ≥ 0 and ∆ s ≤ 0, we can always find a new decomposition for M -∆ as the difference between a Metzler and a nonnegative matrix for which Assumptions 1-2 hold. For simplicity, we use Assumption 2. Let us add that any square matrix can be decomposed as the sum of a Metzler matrix and a nonpositive matrix. The smaller the nonpositive matrix is in the decomposition, the closer to the fundamental solutions are the bounds obtained from Theorem 1. Thus, to obtain useful bounds, it may be worthwhile to first transform a system through a time-varying change of coordinates to get a new system for which, roughly speaking, a small function ∆(t) can be obtained. See [START_REF] Mazenc | Interval observers for linear time-invariant systems with disturbances[END_REF] for such a change of coordinates.

B. Discrete-time system

We consider the discrete-time system

X k+1 = (M k -∆ k )X k ( 25
)
where

M k ∈ R n×n and ∆ k ∈ R n×n for k ∈ Z ≥0 . Assume: Assumption 3: For all k ∈ Z ≥0 , we have M k ≥ 0.
Assumption 4: There is a matrix ∆ ≥ 0 such that for all k ∈ Z ≥0 , the inequalities

0 ≤ ∆ k ≤ ∆ (26)
are satisfied. We let δ k,i,j (resp. δ i,j ) denote the entry of ∆ k (resp. ∆) in its ith row and jth column for all i and j. We also use

E (i,j) = (M j-1+i -∆ j-1+i ).....(M i+1 -∆ i+1 )(M i -∆ i ) (27)
for all i ∈ Z ≥0 and j ∈ N, where in (27) and some of what follows, we place parentheses around the (i, j) (which are used to indicate a range of indices that are used in the product of matrices on the right side) to distinguish it from the subscripts without parentheses that indicate entries in the ith row and jth column of a matrix. We also define the entries δ 1 k,i,j of the matrix

∆ 1 k = [δ 1 k,i,j ] for all k ∈ Z ≥0 by δ 1 k,i,j = δ k,i,j , if m k,i,j -δ i,j ≥ 0 0, otherwise, (28)
where m k,i,j is the entry of M k in row i and column j.

Similarly, we define ∆

1 k = [δ 1 k,i,j ] for all k ∈ Z ≥0 by δ 1 k,i,j = δ i,j , if m k,i,j -δ i,j ≥ 0 0, otherwise. (29)
Similarly, we define the sequences

∆ 2 k = ∆ -∆ 1 k , (30)
R (i,j) = (M j-1+i + ∆ 2 j-1+i )...(M i+1 + ∆ 2 i+1 )(M i + ∆ 2 i ), (31)
and

S (i,j) = (M j-1+i -∆ 2 j-1+i )...(M i+1 -∆ 2 i+1 )(M i -∆ 2 i ). (32)
Our main result in the discrete-time case is then as follows: Theorem 2: For all i ∈ Z ≥0 and all j ∈ N, the inequalities

(M j-1+i -∆ 1 j-1+i )...(M i -∆ 1 i ) + S (i,j) -R (i,j) 2 ≤ E (i,j) ≤ R (i,j) +S (i,j) 2 (33)
are satisfied.

Proof: We use the matrices

∆ 2 k = ∆ k -∆ 1 k , Ω k = M k -∆ 1 k ∆ 2 k ∆ 2 k M k -∆ 1 k , (34)
Ω k = M k ∆ 2 k ∆ 2 k M k , (35)
and

Ω k = M k -∆ 1 k 0 0 M k -∆ 1 k . ( 36
)
Then

Ω k ≥ 0, Ω k ≥ 0, Ω k ≥ 0, and
Ω k ≤ Ω k ≤ Ω k (37)
hold for all k ∈ Z ≥0 . We also use the matrices (15) and the j-fold products

κ (i,j) = Ω j-1+i ...Ω i+1 Ω i , κ (i,j) = Ω j-1+i ...Ω i+1 Ω i , (38)
G (i,j) = (M j-1+i -∆ 1 j-1+i )...(M i -∆ 1 i ), (39)
and

κ (i,j) = G (i,j) 0 0 G (i,j) . ( 40
)
Then we deduce from the inequalities (37) that

κ (i,j) ≤ κ (i,j) ≤ κ (i,j) (41)
for all i ∈ Z ≥0 and j ∈ N. One can also readily check that

µκ (i,j) µ -1 = E (i,j) 0 0 S (i,j) , (42)
where S (i,j) is the j-fold product of matrices

S (i,j) = (M j-1+i -∆ 1 j-1+i + ∆ 2 j-1+i ) .....(M i+1 -∆ 1 i+1 + ∆ 2 i+1 )(M i -∆ 1 i + ∆ 2 i ) (43)
and

µκ (i,j) µ -1 = S (i,j) 0 0 R (i,j) (44)
with R (i,j) and S (i,j) defined respectively in (31) and (32) and µ defined in (15). Consequently, the inequalities

κ (i,j) ≤ µ -1 E (i,j) 0 0 S (i,j) µ ≤ µ -1 S (i,j) 0 0 R (i,j) µ (45)
are satisfied. They can be rewritten as:

κ (i,j) ≤ E (i,j) +S (i,j) 2 -E (i,j) +S (i,j) 2 -E (i,j) +S (i,j) 2
E (i,j) +S (i,j) 2 ≤ R (i,j) +S (i,j) 2 -S (i,j) +R (i,j) 2 -S (i,j) +R (i,j) 2 R (i,j) +S (i,j) 2 . ( 46
)
Comparing the upper left and upper right blocks in ( 46) gives

(M j-1+i -∆ 1 j-1+i )...(M i -∆ 1 i ) ≤ E (i,j) +S (i,j) 2 ≤ R (i,j) +S (i,j) 2 (47)
and 0 ≥ -

-E (i,j) +S (i,j) 2 ≥ S (i,j) -R (i,j) 2 (48)
for all i and j. By adding (47)-(48), we obtain (33).

C. Comparison

Through a simple example, we show that the bounds from Theorem 1 can be better than those of the inequalities (3).

Consider the one dimensional system

Ẋ(t) = [-1 -∆(t)]X(t) (49)
where ∆ is a piecewise continuous function that admits a known constant ∆ such that 0 ≤ ∆(t) ≤ ∆ for all t ≥ 0.

For this system, the inequalities (3) are

Φ -1,∆ (t, s) ≤ Φ -1-∆ (t, s) ≤ Φ -1,∆ (t, s) (50)
for all t ≥ s ≥ 0 with the following choices:

Φ -1,∆ (t, s) = e -(t-s) + e (-1-∆)(t-s) -e (-1+∆)(t-s) 2 Φ -1,∆ (t, s) = e (-1+∆)(t-s) +e (-1-∆)(t-s) 2 . ( 51
)
By the definitions of ∆ 1 and ∆ 2 , we have ∆ 1 (t) = ∆(t) and ∆ 2 (t) = 0. Then Theorem 1 gives

e -(1+∆)(t-s) ≤ Φ M -∆ (t, s) ≤ e -(t-s) (52)
for all t ≥ s. Then we observe that

e -m < e (-1+∆)m +e (-1-∆)m 2 (53)
for all m > 0 because this inequality is equivalent to

1 < e ∆m +e -∆m 2 (54)
Similarly, for all m > 0, we have

e -m + e (-1-∆)m -e (-1+∆)m 2 < e -(1+∆)m (55)
because ( 55) is also equivalent to (54). We conclude that the bounds in (52) are tighter than those of (50).

III. FULL METZLER MATRICES

In this section, we exhibit important families of matrices which are similar to full Metzler matrices. Starting from a constant matrix M that is similar to full Metzler matrix F , this will make it possible to use the methods of the previous section to provide bounds on fundamental solutions for the system ẋ = (M + ∆(t))x after a change of coordinates when the absolute values of the entries of the piecewise continuous unknown matrix ∆ are small enough. To see why, notice that if

F = Q -1 M Q for some invertible matrix Q, then the dynamics of the new variable z = Q -1 x are ż = (F + Q -1 ∆(t)Q)z,
which in conjunction with the methods from the previous section will allow us to bound the state transition matrix for F + Q -1 ∆(t)Q when Q -1 ∆(t)Q is treated as a (small) perturbation; see our illustration below.

A. Block triangular matrices

This lemma is key to proving our first theorem of this section, by providing full Metzler matrices F ϵ , where 0 n1×n2 denotes the n 1 × n 2 zero matrix for integers n 1 and n 2 :

Lemma 1: Consider the constant matrix

N = d 0 1×n 0 n×1 p ∈ R (n+1)×(n+1) (56)
where d > 0, p = [p i,j ] ∈ R n×n , p i,j > 0 for all i and j, and d < p 1,1 . Then, with the choices

F ϵ =          d+ϵ 2 p11 1+ϵ 2 ϵ(p1,1-d) 1+ϵ 2 ϵp 1,2 . . . ϵp 1,n ϵ(p1,1-d) 1+ϵ 2 dϵ 2 +p1
         (57)
and

R ϵ =        1 ϵ 0 . . . 0 -ϵ 1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . . . . 1        (58)
for any constant ϵ > 0, we have R ϵ N R -1 ϵ = F ϵ . Proof: The result follows from a block multiplication of matrices. In fact, using the fact that

R -1 ϵ =         1 1+ϵ 2 -ϵ 1+ϵ 2 0 . . . 0 ϵ 1+ϵ 2 1 1+ϵ 2 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . . . . 1         , ( 59
)
one can prove that the conclusion holds. Remark 2: One can easily extend Lemma 1 to matrices with nonpositive diagonal entries. Indeed, if matrix M is similar to a full Metzler matrix, then a matrix M + λI where λ is any real number is similar to a full Metzler matrix.

B. Diagonal matrices with distinct diagonal entries

Using Lemma 1, we prove the following, which we will use below to estimate the effects of uncertainties on systems whose coefficient matrices are not necessarily diagonal:

Theorem 3: Consider the diagonal matrix

D = diag{d m , ..., d 1 } ∈ R m×m (60)
where d i > d j when i < j. Then there are a matrix θ ∈ R m×m and a full Metzler matrix F such that θDθ -1 = F . Proof: We can assume that d m > 0. Indeed, if this were not satisfied, then we can first study D + νI, where ν ∈ R is such that d m + ν > 0. We proceed by induction.

Induction Hypothesis. There is an invertible matrix

L ∈ R k×k such that Ldiag{d k , ..., d 1 }L -1 = G, where G = [g ij ] ∈ R k×k is positive. Moreover, g 11 > d k+1 .
Step 1. The induction hypothesis is satisfied at the step

1 for k = 1, with L = 1, because d 1 > d 2 .
Step k + 1. Let us assume that the induction hypothesis is satisfied at the step k for some choices of G and L. Then let

L ⋆ = 1 0 0 L (61)
Then L ⋆ diag{d k+1 , ..., d 1 }L -1 ⋆ = G ⋆ , where

G ⋆ = d k+1 0 0 G . (62)
By Lemma 1, the matrix G ⋆ is similar to

H ϵ =          d k+1 +ϵ 2 g1,1 1+ϵ 2 ϵ(g1,1-d k+1 ) 1+ϵ 2 ϵg 1,2 . . . ϵg 1,k ϵ(g1,1-d k+1 ) 1+ϵ 2 d k+1 ϵ 2 +g1,1 1+ϵ 2 g 1,2 . . . g 1,k ϵg2,1 1+ϵ 2 g2,1 1+ϵ 2 g 2,2 . . . g 2,k . . . . . . . . . ϵg k,1 1+ϵ 2 g k,1 1+ϵ 2 g k,2 . . . g k,k          . (63)
for any ϵ > 0. The matrix H ϵ is positive. Also, d k+2 < d k+1 .

It follows that there is a constant ϵ > 0 such that

d k+1 +ϵ 2 g11 1+ϵ 2 > d k+2 (64)
Hence, the induction assumption holds at step k + 1. Remark 3: The preceding theorem can be extended easily to any diagonal matrix with distinct diagonal entries, because then the matrix is similar to a matrix D = diag{d m , ..., d 1 } such that d i > d j when i < j.

C. Diagonal matrices with repeated diagonal entries

Let us establish the following result: Theorem 4: For any n ∈ N, the matrix

D = diag{d 1 , d 2 , ...., d 2 } ∈ R n×n (65)
for values d 1 > d 2 is similar to the full Metzler matrix F = d 2 I + d1-d2 n 1 where 1 ∈ R n×n is the matrix whose entries are all 1's. When n ≥ 3 and d 1 ≤ d 2 , D is not similar to a full Metzler matrix.

Proof: First part: Consider the case where

d 1 > d 2 . Set Q =          1 1 0 . . . 0 1 -1 1 . . . 1 0 -1 . . . 0 . . . . . . . . . . . . 1 1 0 0 . . . -1          ∈ R n×n (66)
which is invertible (e.g., since any x ∈ R n such that x ⊤ Q = 0 would need to satisfy x 1 + . . . x n = 0 and x i -x i+1 = 0 for i = 1, . . . , n -1 and so is x = 0). Then

Qdiag{1, 0..., 0} =         1 0 . . . 0 1 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 . . . 0         (67)
and

1Q = n         1 0 . . . 0 1 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 . . . 0         (68)
It follows that Qdiag{1, 0..., 0}Q

-1 = 1 n 1. Since D = d 2 I + (d 1 -d 2 )diag{1, 0..., 0}, (69)
it now follows that QDQ -1 = d 2 I + d1-d2 n 1. This concludes the first part of the proof. Second part: We consider the case where n ≥ 3 and d 1 ≤ d 2 .

The case d 1 = d 2 is trivial because of (69). Therefore, let us focus our attention to the case where d 1 < d 2 . Since D = d 2 I + (d 2 -d 1 )D 1 with D 1 = diag{-1, 0..., 0}, the matrix D is similar to a full Metzler matrix if and only if D 1 is similar to a full Metzler matrix.

To show that D 1 is not similar to a full Metzler matrix, let us proceed by contradiction. Suppose that there were an invertible matrix R ∈ R n×n such that RD 1 R -1 = F , where F is full Metzler. Let µ > 1 be a large enough constant such that F + µI is positive. By the Perron-Frobenius theorem, F + µI has a simple dominant eigenvalue. By similarity, the characteristic polynomial of F + µI equals that of D 1 + µI and is given by (

x -[µ -1])(x -µ) n-1 , where n -1 ≥ 2.
In particular, µ is the dominant eigenvalue and is not simple, which yields a contradiction. This concludes the proof.

IV. MARINE ROBOTIC APPLICATION

We revisit the dynamics from [START_REF] Mazenc | Event-triggered control for discrete-time systems using a positive systems approach[END_REF] for controlling the depth and pitch degrees-of-freedom (or DOF) for an autonomous underwater vehicle (or AUV), which was shown to be suitable for studying the BlueROV2 vehicle that is widely used for environmental surveys such as the study of corals. As in [START_REF] Mazenc | Event-triggered control for discrete-time systems using a positive systems approach[END_REF], we assume that the AUV is equipped with a Doppler Velocity Logger (or DVL), which is used to estimate its velocity. For marine surveys close to the sea floor, the DVL can experience bottom lock, making it impractical to ensure consistent thrust controls or to continuously change the control values. In [START_REF] Mazenc | Event-triggered control for systems with state delays using a positive systems approach[END_REF] and [START_REF] Mazenc | Event-triggered control for discrete-time systems using a positive systems approach[END_REF], event-triggered controls (as defined, e.g., in [START_REF] Borri | Event-triggered control of nonlinear systems with time-varying state delays[END_REF] and [START_REF] Heemels | An introduction to event-triggered and self-triggered control[END_REF]) were designed for this model, to reduce the numbers of time instances when the control values are changed. Here, we study a complementary problem of inconsistent thrust controls by estimating the transition matrix of the closed loop AUV dynamics when it is affected by unknown control gains. We use Theorem 3.

Assuming that the vehicle is neutrally buoyant, we can linearize the dynamics in the depth plane to obtain [START_REF] Mazenc | Event-triggered control for discrete-time systems using a positive systems approach[END_REF] (m -X ẇ(t) ) ẇ(t) -(mx g + Z q ) q(t)

-Z w w(t) -(mU + z q )q(t) = Z γs u Z and (mx g + M ẇ(t)) ẇ(t) + (I yy -M q ) q(t) -M w w(t) + (mx g U -M q )q(t) -M θ θ = M γs u M (70)
whose parameters were obtained experimentally in [START_REF] Prestero | Verification of a Six-Degree of Freedom Simulation Model for the REMUS Autonomous Underwater Vehicle[END_REF]. Its states are the depth and pitch velocity x = [w, q] ⊤ , and its control inputs u Z and u M are the force and moment required to produce motion of the vehicle, respectively, where we assume that the surge nominal velocity is U = 0.1m/s. With the controller and parameters from [START_REF] Mazenc | Event-triggered control for discrete-time systems using a positive systems approach[END_REF] and [START_REF] Prestero | Verification of a Six-Degree of Freedom Simulation Model for the REMUS Autonomous Underwater Vehicle[END_REF]

Our strategy for studying this system can be summarized in several steps. First, we choose K 0 such that A + BK 0 has distinct negative real eigenvalues. Hence, using Remark 3, we can find a matrix P such that F = P (A + BK 0 )P -1 is a full Metzler matrix, by first diagonalizing A + BK 0 to obtain the required structure (60). Next, we consider the case where the control u = (K 0 + δ K (t))x is perturbed by a piecewise continuous bounded uncertainty δ K (t) (representing uncertain control gains) having known bounds. Then the new state variable z = P x satisfies ż = (F + P ∆ K (t)P -1 )z, where ∆ K = Bδ K . One can find constant matrices κ and κ such that κ ≤ P ∆ K (t)P -1 ≤ κ, so the tight bounds e (F +κ)(t-s) ≤ Φ F +P ∆ K P -1 (t, s) ≤ e (F +κ)(t-s) (72) hold for all s ≥ 0 and t ≥ s, provided F + κ is still Metzler (again by the monotonicity condition from [6, Lemma 2]). This uses the fullness of the Metzler condition on F in an essential way, because if F is a full Metzler matrix, then F + κ will be Metzler provided all entries κ are small enough.

To see how this can be done in the special case where we use the choice K 0 = [0.59, 0.23] from [START_REF] Mazenc | Event-triggered control for systems with state delays using a positive systems approach[END_REF], notice that this choice of K 0 produces a matrix A + BK 0 having eigenvalues -1.6203 and -0. , where θ = 1 1 -1 1 . (73)

Then we can satisfy the preceding requirements with P = θR 0 and F = θDθ -1 -1.7I. This gives the requirement min{κ 1,2 , κ 2,1 } ≥ d2-d1 2 on the off-diagonal elements of κ, to ensure that F + κ is still Metzler and to obtain (72).

V. CONCLUSION

We provided new matrix-valued interval observers for transition matrices for continuous-time and discrete-time timevarying systems. We illustrated how they can be less conservative than those that were provided by [START_REF] Mazenc | Stabilization with discrete measurements using bounds on fundamental matrices[END_REF] and [START_REF] Mazenc | Feedback stabilization and robustness analysis with discrete measurements using bounds on fundamental matrices[END_REF]. A key ingredient was our novel transformations of diagonalized matrices into full Metzler matrices. Our estimations are of independent interest, owing to the need to find nonconservative interval observers for fundamental matrices under unknown control gains. Also, as noted in [START_REF] Mazenc | Stabilization with discrete measurements using bounds on fundamental matrices[END_REF], transition matrix estimations are useful for stabilization and observer design [START_REF] Bernard | Observer design for continuoustime dynamical systems[END_REF], [START_REF] Borri | Luenberger-like observers for nonlinear timedelay systems with application to the artificial pancreas: The attainment of good performance[END_REF], [START_REF] Katz | Boundary delayed observercontroller design for reaction-diffusion systems[END_REF]. We aim to study how our new transition matrix estimates may improve on the convergence rates for the stabilization and observer results from [START_REF] Mazenc | Stabilization with discrete measurements using bounds on fundamental matrices[END_REF] and [START_REF] Mazenc | Feedback stabilization and robustness analysis with discrete measurements using bounds on fundamental matrices[END_REF].

  , the dynamics (70) become ẋ(t) = Ax(t) + Bu with

  322801. Using a diagonalizing matrix R 0 for A + BK 0 , we can now apply Theorem 3 toD = 1.7I + R 0 (A + BK 0 )R -1 0 = diag{d 2 , d 1 } = diag{0.0796973, 1.3772}, which by the proof of Theorem 3 (applied with n = 2 and ϵ = 1) satisfies θDθ

  Remark 2]. For instance, if A cl in (1) is Metzler, and if each entry ∆ Kij of the matrix

	2	s)	;	(4)
	see our definitions and notation below.
	Many systems can be transformed into the form (2) after
	a change of variables; see [10,


Lucas Desport

Carlos Andrade

Sandrine Selosse

Trade-off between CO 2 utilization and CO 2 transport and storage in the global energy transition

Keywords: TIMES modeling, Bottom-up energy model, CO2 capture, CO2 utilization, CO2 transport and storage

We use TIAM-FR, an Integrated Assessment Model representing the world energy system and its impact on climate change to assess the contributions of CO2 utilization and CO2 storage. While we assume that no costs for CO2 transport must be supported in the case of CO2 utilization, we vary the cost for CO2 transport and observe the impact of the deployment rate of CCU and CCS in scenarios compliant with the Paris Agreement. In this integrated assessment exercise, we show that the impact of the cost of CO2 transport and storage on the deployment rate of CCU is not straightforward. Increasing the cost of transport and storage affects the yield of global electricity, resulting in higher prices that in turn make electrolysis more expensive. As CO2 utilization is very dependent on energy and hydrogen, we find that CCU becomes less competitive as the cost of CO2 transport and storage rises. Besides, while CO2 storage is proved very efficient in tackling climate change in the early 2030s, CO2 utilization is only deployed significantly by 2050, and the increased cost of CO2 transport and storage delays its roll-out.

Introduction

In recent decades, Integrated Assessment Models (IAM) have gained interest in the guidance of decision-makers for their environmental policies. Prospective energy models exploring the future of the world energy system driven by cost-optimal investment choices in energy carriers and technologies help draw pathways in compliance with the climate goals. These energy models have proven and emphasized the need for Carbon Capture and Storage (CCS) technologies to decarbonize our societies [START_REF] Köberle | The Value of BECCS in IAMs: a Review[END_REF][START_REF] Selosse | Bioenergy with carbon capture and storage: how carbon storage and biomass resources potentials can impact the development of the BECCS[END_REF][START_REF] Iea | CCUS in clean energy transitions[END_REF][START_REF] Morris | Scenarios For The Deployment Of Carbon Capture And Storage In The Power Sector In A Portfolio Of Mitigation Options[END_REF][START_REF] Paltsev | Hard-to-Abate Sectors: The role of industrial carbon capture and storage (CCS) in emission mitigation[END_REF]. In the meantime, poor insights have been delivered concerning the utilization of CO2. Indeed, Carbon Capture and Utilization (CCU) faces many hurdles: low TRL [START_REF] Cuéllar-Franca | Carbon capture, storage and utilisation technologies: A critical analysis and comparison of their life cycle environmental impacts[END_REF][START_REF] Chauvy | Selecting emerging CO2 utilization products for short-to mid-term deployment[END_REF], high costs CO2 [START_REF] Ueckerdt | Potential and risks of hydrogenbased e-fuels in climate change mitigation[END_REF][START_REF] Hepburn | The technological and economic prospects for CO2 utilization and removal[END_REF], small market sizes [START_REF] Chauvy | Selecting emerging CO2 utilization products for short-to mid-term deployment[END_REF][START_REF]Accelerating the uptake of CCS: industrial use of captured carbon dioxide[END_REF], and limited environmental benefits [START_REF] Cuéllar-Franca | Carbon capture, storage and utilisation technologies: A critical analysis and comparison of their life cycle environmental impacts[END_REF][START_REF] De Kleijne | Limits to Paris compatibility of CO2 capture and utilization[END_REF][START_REF] Ravikumar | Assessing the Relative Climate Impact of Carbon Utilization for Concrete, Chemical, and Mineral Production[END_REF]. This might explain why CCU is either poorly represented in energy models [START_REF] Desport | An overview of CO2 capture and utilization in energy models[END_REF][START_REF] Butnar | Review of Carbon Capture Utilisation and Carbon Capture and Storage in future EU decarbonisation scenarios[END_REF], and rarely a significant contributor to climate mitigation, although it has been found crucial to decarbonate hard-to-abate sectors such as aviation [START_REF] Dahal | Techno-economic review of alternative fuels and propulsion systems for the aviation sector[END_REF][START_REF] Schmidt | Power-to-Liquids as Renewable Fuel Option for Aviation: A Review[END_REF][START_REF] Zhang | Recent development in studies of alternative jet fuel combustion: Progress, challenges, and opportunities[END_REF] or the chemical industry [START_REF] Bazzanella | Low Carbon Energy and Feedstock for the European Chemical Industry[END_REF][START_REF] Kätelhön | Climate change mitigation potential of carbon capture and utilization in the chemical industry[END_REF]. This imbalance leads us to ask the following question: what drives the roll-out of CCU in the results of energy models? We focus on a potential driver: the cost of transport and storage of CO2. Because CCU does not require specific investments for the transport -and storage -of CO2, it may become more competitive than CCS for high costs of transport and storage. Generally, in energy models, the cost of CO2 transport and storage is merely represented through a standard cost of 10 $/tCO2 [START_REF]Climate change 2014: mitigation of climate change ; Working Group III contribution to the Fifth Assessment Report of the Intergovernmental Panel on Climate Change[END_REF], while studies show it can exceed 60 $/tCO2 [START_REF] Smith | The cost of CO2 transport and storage in global integrated assessment modeling[END_REF][START_REF] Ieaghg | The Status and Challenges of CO2 Shipping Infrastructures[END_REF]. Thus, we explore the sensitivity of CCU roll-out to the costs of CO2 transport and storage.

Nomenclature

Methodology

The TIAM-FR model

This analysis is carried out with TIAM-FR, the French version of the TIMES Integrated Assessment Model (TIAM) [START_REF] Loulou | ETSAP-TIAM: the TIMES integrated assessment model Part I: Model structure[END_REF][START_REF] Loulou | ETSAP-TIAM: the TIMES integrated assessment model. part II: mathematical formulation[END_REF]. TIAM is a global model and a member of the TIMES family models developed under the Energy Technology System Analysis Program (ETSAP). TIMES is a generator of partial equilibrium techno-economic models representing the energy system of geographical areas -or regions, on a long-term horizon (often 2100). It performs a cost optimization of the energy supply: the present and future energy demands are satisfied by the energy produced within a region and the trades with other regions, depending on the activity level chosen by the solver. TIAM-FR represents the world energy system disaggregated in 15 regions and assesses the impact on climate change. Its technology-rich representation depicts the energy system decade by decade tracking the evolution of different energy forms, technologies, and end-uses (industry, commercial, residential, agriculture, transport), constituting the Reference Energy System (RES).

The technologies are characterized by the energy carriers and materials they consume, the energy services they provide, their techno-economic properties, and the GHG they emit. The structure of the model enables us to consider variations across the 15 regions regarding their socio-economic properties (cost of capital, labor, and energy), energy demand projections, and commercial routes. Driven by end-use demands, TIAM-FR aims to supply energy services at a minimum discounted cost (𝑑 , ) by choosing the most strategic investments to operate the energy system. It computes the total net present value (NPV) of the total annual cost of the system (Cost) in each region r. So, the model computes the following objective function, and it solves the problem by minimizing the objective function in a linear program encoded in the GAMS optimization language.

𝑁𝑃𝑉 = 1 + 𝑑 , × 𝐶𝑜𝑠𝑡 ,
Investment decisions are made on the operation of the energy system over the 21 st century and for each region of the model. Specifically, the model produces two types of results when computing optimization. First, the primal solution of the linear program provides, for each period y and region r: technology investments, operation rates, the energy and material flows, the imports and exports of each tradeable commodity, the extraction levels of each primary resource, emissions by technology, by sector and total. Secondly, the program provides a dual solution, which provides the "shadow price" of each commodity of the RES (fuels, materials, energy services, emissions). Thus, information on the marginal costs of environmental measures such as GHG reduction targets is available. The interest of this type of modeling is to offer the opportunity to explore the possible energy futures in the long term based on scenarios i.e., consistent assumptions on the trajectories of the determinants of the system.

In addition, the model is equipped with a climate module allowing accounting for every GHG emitted by the energy system and calculates the impact on temperature elevation in the atmosphere. This type of modeling offers the opportunity for each region to explore the possible energy pathways in the long term through different scenarios.

As mentioned, TIAM-FR is geographically integrated and represents the world energy system. It offers this representation in 15 regions, as follows: Africa (AFR), Australia-New Zealand (AUS), Canada (CAN), China (includes Hong Kong, excludes Chinese Taipei; CHI), Central and South America (CSA), Eastern Europe (EEU), Former Soviet Union (includes the Baltic states, FSU), India (IND), Japan (JPN), Mexico (MEX), Middle-East (includes Turkey; MEA), Other Developing Asia (includes Chinese Taipei and Pacific Islands; ODA), South Korea (SKO), United States of America (USA) and Western Europe (EU-15, Iceland, Malta, Norway, and Switzerland; WEU). These different regions of the world are linked together in terms of energy exchanges. Because TIAM-FR is assessing both changes in the energy system and climate, the model is considered an Integrated Assessment Model (IAM). Its technology-rich representation enables to include more than 1000 processes including CCU and CCS technologies, which are described in the next section. TIAM-FR has been used to assess technology contribution to the decarbonization of the global energy system [START_REF] Selosse | Bioenergy with carbon capture and storage: how carbon storage and biomass resources potentials can impact the development of the BECCS[END_REF][START_REF] Kang | Contribution of global GHG reduction pledges to bioenergy expansion[END_REF], policy assessments [START_REF] Didelot | Balancing Energy Efficiency and Fossil Fuel: The Role of Carbon Pricing[END_REF], and water management constraints [START_REF] Bouckaert | A prospective analysis of waste heat management at power plants and water conservation issues using a global TIMES model[END_REF].

The modeling of CCS and CCU

In the RES above are described the CO2 flows available for the model to invest in. TIMES models are driven by techno-economic data (CAPEX, OPEX, efficiencies, discount rate, lifespan, emissions, etc.) extracted from the literature to describe the numerous processes of the RES. The TIAM-FR model features a wide array of opportunities to decarbonize the energy system with CCS and CCU options. It includes three capture techniques (pre-combustion capture, oxy-combustion capture, and post-combustion capture) and different capture technologies with partial (65% to 90%) or nearly full capture (98,5%). The model can invest in CO2 capture assets in the steelmaking sector [START_REF] Griffin | Industrial Energy Use from a Bottom-Up Perspective: Developing the Usable Energy Database (Beta version)[END_REF][START_REF] Etsap | [END_REF][START_REF] Keys | Decarbonisation options for the Dutch steel industry[END_REF][START_REF] Kuramochi | Techno-economic assessment and comparison of CO2 capture technologies for industrial processes: Preliminary results for the iron and steel sector[END_REF][START_REF] Kuramochi | Comparative assessment of CO2 capture technologies for carbon-intensive industrial processes[END_REF][START_REF] Vogl | Phasing out the blast furnace to meet global climate targets[END_REF], the cement sector (non-metals) [START_REF] Ieaghg | Deployment of CCS in the cement industry[END_REF][35][START_REF] Cemcap | Design and performance of CEMCAP cement plant with MEA post combustion capture[END_REF], the power sector including bioenergy with CCS (BECCS) [START_REF] Irlam | Global CCS Institute : Global Costs of Carbon Capture and Storage[END_REF][START_REF] Ieaghg | Update techno-economic benchmarks for fossil fuel-fired power plants with CO₂ capture[END_REF][START_REF] Kang | La place de la bioénergie dans un monde sobre en carbone: Analyse prospective et développement de la filière biomasse dans le modèle TIAM-FR[END_REF][START_REF] Morris | Representing the costs of lowcarbon power generation in multi-region multi-sector energy-economic models[END_REF], the hydrogen sector [START_REF] Parkinson | Levelized cost of CO2 mitigation from hydrogen production routes[END_REF][START_REF] Dnv-Gl | Study on the Import of Liquid Renewable Energy: Technology Cost Assessment[END_REF][START_REF] Schmidt | Future cost and performance of water electrolysis: An expert elicitation study[END_REF], and in Direct Air Capture (DAC) units [START_REF]Negative Emissions Technologies and Reliable Sequestration: A Research Agenda[END_REF][START_REF] Mcqueen | Natural Gas vs. Electricity for Solvent-Based Direct Air Capture[END_REF]. Consequently, negative emissions are an option of the model, achievable either from BECCS or DACCS, but also with biochar in the iron and steel industry.

To capture the competition of CCS and CCU with other technical options, the model features other opportunities to decarbonize the aforementioned sectors, i.e., renewables, bioenergy, hydrogen from electrolyzers, electrification, or energy efficiency and material efficiency improvements.

As for the transport and storage of CO2, we have chosen to represent onshore and offshore options solely, with no disaggregation regarding the transport technology (pipeline or shipping), or storage type (saline aquifers or depleted oil and gas fields). The potentials for CO2 storage onshore and offshore are extracted from the lower estimate of Kearns et al. [START_REF] Kearns | Developing a Consistent Database for Regional Geologic CO2 Storage Capacity Worldwide[END_REF], which assumes a cumulative storage capacity of 7,900 GtCO2 split unequally in different regions of the world. Enhanced oil recovery (EOR) and Enhanced coal bed methane (ECBM) are not considered.

Unlike CO2 capture, the costs of CO2 transport and storage are not well-known, as there are no significant experiences in CO2 in this link of the chain, but mostly because the costs are very case-dependent. The main parameters are the type of transport (pipeline onshore/offshore and shipping), the distance between the capture site and the storage site, and the depth and capacity of the well. This information is difficult to collect globally and implement in an energy model. In TIAM-FR, the costs of CO2 transport and storage are taken from Smith et al. [START_REF] Smith | The cost of CO2 transport and storage in global integrated assessment modeling[END_REF] in the base case, although those will be modified later in the study.

Our modeling of CO2 utilization includes the chemical conversion of CO2 into

 Methanol through hydrogenation [START_REF] Pérez-Fortes | Methanol synthesis using captured CO2 as raw material: Techno-economic and environmental assessment[END_REF][START_REF] Zhang | Techno-Economic Optimization of CO2-to-Methanol with Solid-Oxide Electrolyzer[END_REF][START_REF] Hank | Economics & carbon dioxide avoidance cost of methanol production based on renewable hydrogen and recycled carbon dioxide -power-to-methanol[END_REF], and possible further enhancement into gasoline through the methanol-to-gasoline (MtG) process [START_REF] Hennig | Techno-economic analysis of hydrogen enhanced methanol to gasoline process from biomass-derived synthesis gas[END_REF]. Methanol can be used subsequently in the transport sector.  Synthetic natural gas (SNG) through methanation [START_REF] Chauvy | Production of synthetic natural gas from industrial carbon dioxide[END_REF][START_REF] Fasihi | Long-Term Hydrocarbon Trade Options for the Maghreb Region and Europe-Renewable Energy Based Synthetic Fuels for a Net Zero Emissions World[END_REF][START_REF] Gorre | Production costs for synthetic methane in 2030 and 2050 of an optimized Power-to-Gas plant with intermediate hydrogen storage[END_REF][START_REF] Park | Techno-economic analysis of adiabatic four-stage CO2 methanation process for optimization and evaluation of power-to-gas technology[END_REF][START_REF] Szima | CO2 Utilization Technologies: A Techno-Economic Analysis for Synthetic Natural Gas Production[END_REF].  Petroleum liquids (gasoline, diesel, and jet fuels) through the Fischer-Tropsch process [START_REF] Schmidt | Power-to-Liquids as Renewable Fuel Option for Aviation: A Review[END_REF][START_REF] Albrecht | A standardized methodology for the techno-economic evaluation of alternative fuels -A case study[END_REF][START_REF] Schemme | H2-based synthetic fuels: A techno-economic comparison of alcohol, ether and hydrocarbon production[END_REF][START_REF] Falter | Climate Impact and Economic Feasibility of Solar Thermochemical Jet Fuel Production[END_REF][START_REF] Zang | Performance and cost analysis of liquid fuel production from H2 and CO2 based on the Fischer-Tropsch process[END_REF][START_REF] Marchese | CO2 from direct air capture as carbon feedstock for Fischer-Tropsch chemicals and fuels: Energy and economic analysis[END_REF].

In addition, CO2 can be mineralized with steel slags and coal fly ashes and mixed with clinker to produce low-carbon cement [START_REF]Negative Emissions Technologies and Reliable Sequestration: A Research Agenda[END_REF]. We assume that CO2 utilization does not have to pay for transporting CO2, i.e., the CO2 is captured and used in the same place.

As the environmental impact of CCS and CCU is very dependent on the nature of the carbon used or stored, i.e. fossil or climate-neutral carbon, our modeling ensures a transparent and fair accounting of CO2 emissions in which any sector is responsible only for its direct emissions, illustrated in Figure 2. Let a process be fuelled by whatever fossil resources, 100% of the carbon it contains will be emitted into the atmosphere in the form of CO2. Let a process be fuelled by whatever fossil resources and equipped with a carbon capture unit, 10% of the carbon will be released into the atmosphere because of the imperfect capture efficiency (90%), but 90% of the CO2 captured (CPTCO2) will be sent to dummy processes (represented in yellow in Figure 2) so the solver chooses whether this CO2 will be used or stored. These sector-specific dummy processes are practical as they enable to aggregate the bulk of captured CO2 into two entities -also called commodities -for storage (SNKCO2) or utilization (CO2FOS), which prevents duplicating processes in the model, and consequently the resolution time. On one hand, the CCUFOS commodity is converted by the CCU plant into a fuel (SYNFUEL) containing fossil carbon and consumed by the end-use process. This way, the 90% CO2 that has been avoided by the capture unit is finally released into the atmosphere. On the other hand, the CO2 to be stored (SNKCO2), can be sent to a storage process either onshore (SINKON), offshore (SINKOFF), or mineralized (CCUS), depending on their storage capacity and costs regionally. Thus, the 90% CO2 that was avoided at the capture unit is sealed.

In the case where the carbon captured is climate neutral, i.e. either atmospheric or biogenic), the accounting for CO2 emissions slightly differs. Let a process be fuelled by bioenergy, the emissions are accounted for zero -although upstream GHG emissions due to land use change or biomass harvesting are attributed to another sector. Let a process be fuelled by biomass and equipped with a carbon capture unit, there are still no direct emissions. However, 90% of the CO2 flue gas is captured (CPTCO2N) and sent to dummy processes likewise. If the CO2 is used, it is aggregated into a single commodity (CO2NEU) representing a flux of CO2 that is not harmful -or neutral -to the environment due to its origin. This CO2 commodity can be used by any CCU plant, but it will generate a fuel (SYNFUELN) that does not generate CO2 emissions when it is combusted in an end-use process. Thus, the CO2 that has been captured and utilized has no direct impact on the environment. However, if the climate-neutral CO2 captured is to be stored, then the negative emissions are accounted for by the dummy processes: for every ton of CO2 captured from a given sector, the same amount of CO2 is deducted from the emissions of this sector.

Scenarios

As mentioned above, there is considerable uncertainty about the cost of CO2 transport and storage, which might influence the deployment rate of CO2 capture. The costs of CO2 utilization are also very uncertain due to the lower maturity of the process it involves. Furthermore, the utilization of CO2 is closely related to the availability and cost of hydrogen to manufacture synthetic fuels, which are uncertain also. With the TIAM-FR model, we explore the penetration potential of CO2 utilization in Mt of CO2 utilized by varying the cost of CO2 storage between 10$/tCO2 to 90$/tCO2, and the cost of CO2 utilization processes, including DAC and hydrogen.

Reviewing the techno-economic literature on processes that convert CO2 into synthetic fuels, one can find very different estimates in their techno-economic properties, reflecting the degree of optimism of the research. For each of the CO2 utilization pathways, we define three scenarios (low, medium, and high) with different techno-economic properties regarding the CCU chain, i.e., the cost of utilization plants, the cost of hydrogen, and the cost of DAC. The same approach was developed for the production cost of hydrogen. Table 1 describes the main techno-economic properties of CCU processes for each scenario. An exhaustive description of techno-economic assumptions is available in Appendix A.

All scenarios are compliant with the Paris Agreement, i.e. the model minimizes the total annual cost of the energy system so the temperature elevation does not exceed 1.5°C by 2100, without overshooting. For each of the fifteen scenarios, we analyze the deployment rate of CCU and CCS by tracking the CO2 flows from the capture to utilization or storage.

Results and discussion

Unsurprisingly, the deployment rate of CCS is very impacted by the cost of CO2 TnS. Notably, the increase in CO2 TnS costs impacts both the global yield of electricity and production costs. The higher the cost of CO2 TnS, the fewer CCS is competitive compared to other power units which reduces the amount of electricity generated, requires to operate more expensive plants, and raises the cost of electricity (Figure 3). We observe the same impact on the hydrogen sector which uses much less electricity to operate electrolyzers as the cost of electricity increases with higher CO2 TnS costs. The electrolyzers are then replaced by more expensive bio-gasification processes to manufacture hydrogen, increasing the cost by more than 15% percent in all scenarios.

The combined effects of less electricity and hydrogen available at higher prices directly impact the deployment of CO2 utilization. Indeed, in each scenario, the deployment rate of CO2 utilization decreases as the cost of CO2 TnS increases (Table 2), although we have assumed that CCU plants are exempt from the costs of CO2 transport. This counter-intuitive result can be explained by the collateral effects of higher CO2 TnS cost, particularly on the electricity and hydrogen sectors, on which CCU depends. Thus, CCU processes, which are already known to be expensive, become less and less attractive as the cost of CO2 TnS rises. Figure 3: Global electricity production and price in a "High" cost scenario.

On the secondary axis is displayed the cost of electricity plotted with a black line.

Regardless of the scenario, the utilization of CO2 remains much less important than the storage of CO2 with 7% of the CO2 captured sent to utilization assets in the Low scenario, and 4% in the Medium and High scenario. In terms of absolute values, this represents the annual conversion of up to 5.0 to 3.3 GtCO2/y depending on the scenario (Figure 4). While CO2 starts being stored from 2025 onwards, the penetration of CO2 utilization is as sharp as it is late, since no CO2 is converted before 2050 in the Low scenario, or 2070 in the High scenario.

The CO2 used is entirely dedicated to producing fuels, especially methane in the Low and Medium scenarios, that is subsequently used in the industry sector (Figure 5). Only in the High scenario, the model invests in Fischer-Tropsch processes converting CO2 into gasoline, diesel, and jet fuels to power the transport sector. Because hydrogen manufacture is so expensive in this scenario, CO2-based fuels become more competitive than the hydrogen route as it requires investing in capital-intensive hydrogen means of transportation in the end. This observation can be made also when comparing the Medium scenario with the High scenario; when the cost of CO2 TnS is between 10 to 50$/tCO2, higher amounts of CO2 are used in the High scenario because of the lower competitiveness of hydrogen in these cases. The remaining CO2 is used to produce carbon-neutral methanol either used raw or enhanced into diesel for the transport sector. The large majority of the CO2 used concerns inevitable process CO2 coming from the electricity sector and the industry sector, i.e. from cement plants and iron and steel plants. Consequently, CO2 utilization cannot play a significant role in mitigating GHG emissions as the CO2 used is then reemitted again when the CO2-based fuels are combusted. Any additional tons of CO2 used are biogenic, captured from ethanol fermentation processes. There is no CO2 captured directly from the atmosphere, even for very low-cost DAC such as in the Low scenario.

Conclusion and discussion

The results reflect the complexity of CCU deployment, as it interacts with many other technologies of the energy system. The scenarios obtained with our integrated tool TIAM-FR reveal a counter-intuitive result that the amount of CO2 used is inversely proportional to the cost of CO2 transport and storage, whilst CO2 utilization assets do not incur that cost. Since the increased cost of CO2 transportation and storage does limit the deployment of CCS in the energy system, it impacts the production and cost of electricity and hydrogen, two essential commodities for operating CO2 conversion units. Thereby, the competitiveness of CCU is reduced so we observe a decline in the quantity of CO2 used as the cost of CO2 TnS increases. Nonetheless, the results prove that the cost of hydrogen has a significant impact on the deployment rate of CCU as the quantity of CO2 used is roughly doubled from the High scenario to the Low scenario. Finally, DAC plants are never started up to run CO2 utilization plants or to generate negative emissions.

However, the importance of CCS appears much greater than CCU in the near future and after, as no CCU is deployed before 2050. CCS is massively deployed to eliminate the emissions of the industry and to generate negative emissions. It can be expected that if CO2 is to be buried offshore with high costs induced, it would increase the cost of hydrogen and electricity, affecting the deployment of CO2 utilization. TotalEnergies, and the French ministry of ecological and solidarity transition. The views expressed in the reports, or any public documents linked to the research program are attributable only to the authors in their personal capacity and not to the funder.

Acknowledgments

Figure 1 .

 1 Figure 1. Reference Energy System (RES) of the TIAM-FR model with the carbon loops

Figure 2 .

 2 Figure 2. Accounting of CO2 fluxes. CO2 emissions are represented with arrows that are directed to the atmosphere. The percentage assigned represented the proportion of CO2 captured initially from the hydrocarbon.

Figure 5 :

 5 Figure 5: Utilization of CO2 by process and scenario

Figure 4 :

 4 Figure 4: Progressive penetration of CO2 utilization

Figure 6 :

 6 Figure 6: Breakdown of the origin of CO2 utilized. Sup refers to the supply sector, Elc refers to the electricity sector, Ind refers to the industry sector, Fossil denotes fossil CO2 used, Neutral denotes carbon-neutral CO2 used, and Process denotes industrial process CO2 used.

Table 1 .

 1 Main techno-economic parameters considered in the three scenarios

	Process	Scenario	Reference	CAPEX	OPEX	Efficiency
		Low	[57]	56 $/GJpa	6,0 $/GJ	77%
	Fischer-Tropsch	Medium	[60]	90 $/GJpa	6,0 $/GJ	66%
		High	[59]	116 $/GJpa	6,1 $/GJ	58%
		Low	[52]	27 $/GJpa	0,11 $/GJ	78%
	Methanation	Medium	[53]	52 $/GJpa	0,10 $/GJ	78%
		High	[7,61]	80 $/GJpa	0,53 $/GJ	73%
		Low	[47]	31 $/GJpa	0,10 $/GJ	80%
	Hydrogenation to methanol	Medium	[48]	45 $/GJpa	0,05 $/GJ	70%
		High	[49]	93 $/GJpa	0,16 $/GJ	70%
		Low	Different	730 $/kWel	19 c$/tH2	71%
	Electrolysis	Medium	scenarios taken from	975 $/kWel	34 c$/tH2	66%
		High	[41,43]	1256 $/kWel	52 c$/tH2	61%
		Low	Different	126 $/tCO2	21 $/tCO2	4,0 GJ/tCO2
	DAC	Medium	scenarios taken from	196 $/tCO2	33 $/tCO2	5,0 GJ/tCO2
		High	[44]	522 $/tCO2	61 $/tCO2	5,8 GJ/tCO2

Table 2 :

 2 Cumulative amount of CO2 utilized at the horizon 2100 in GtCO2

	TnS cost scenario	Low	Medium	High
	10$/tCO2	108	63	65
	30$/tCO2	118	56	58
	50$/tCO2	106	52	55
	70$/tCO2	104	51	41
	90$/tCO2	104	52	42

  This research is funded by TotalEnergies and the Ministry of Higher Education and Research as part of a doctoral program (CIFRE). This work is also supported by the Chair Modeling for sustainable development, driven by Mines Paris -PSL and École des Ponts ParisTech, supported by ADEME, EDF, GRTgaz, RTE, SCHNEIDER ELECTRIC,

	100%
	90%
	80%
	60% 70%															CCU_Sup_Neutral
	50%															CCU_Elc_Neutral
	40%															CCU_Sup_Fossil
	30%															CCU_Elc_Fossil
	20%															CCU_Ind_Neutral
	10%															CCU_Ind_Process
	0%	10$/tCO2	30$/tCO2	50$/tCO2	70$/tCO2	90$/tCO2	10$/tCO2	30$/tCO2	50$/tCO2	70$/tCO2	90$/tCO2	10$/tCO2	30$/tCO2	70$/tCO2	90$/tCO2	CCU_Ind_Fossil
				Low					Medium				High