Jean Rakotomalala

Robert

Les généralisations en pragmatique

Keywords: généralisation, performativité, narrativité, délocutivité, exhaustif, contradiction generalization, performativity, narrativity, delocutivite, comprehensive, contradiction

Ce texte tente de montrer que la généralisation de la performativité à tous les énoncés ne peut souffrir d'exception. Pour ce faire, il faut également introduire la généralisation de la narrativité à tous les énoncés comme manière d'honorer le principe d'exhaustivité. En outre, il montre également que la généralisation de la délocutivité n'est pas de même nature. Cette fois-ci, c'est une extension du délocutif à n'importe quelle sémiotique et non plus uniquement à la création d'un verbe.

La description doit être non contradictoire, exhaustive et aussi simple que possible. L'exigence de non-contradiction l'emporte sur celle de description exhaustive, et l'exigence de description exhaustive l'emporte sur celle de simplicité. (HJELMSLEV, 1968(HJELMSLEV, -1971, p. 19) , p. 19) Dans notre démarche, il nous semble que la dissociation de l'étude de la langue en tant que forme de l'étude du sens en tant que substance permet de satisfaire aux trois critères. Il est évident que l'étude de la substance revient à faire de la physique. C'est ce qui se passe exactement avec la phonétique, par exemple. Mais si la têche semble aisée au niveau de l'expression, elle aboutit à une aporie méthodologique au niveau du contenu, parce qu'étudier la substance et non la forme dans cette composante du signe, non seulement équivaut à faire du langage une tautologie du réel, mais surtout à faire coïncider les études linguistiques au savoir universel, ce qui est une utopie.

L'étude de la substance au niveau de l'expression contient déjà une certaine inconséquence parce que si le langage est avant tout oral, la numérisation de la communication dans le monde moderne nous montre que seule la forme est pertinente parce que seule elle peut être numérisée, exception faite des imprimantes à trois dimensions. Même dans une expérience empirique, une lettre de sang et une lettre de charbon peut communiquer le même message. Ce qui implique que la substance n'a de pertinence qu'au niveau de la connotation. Ce qui est une sursignification dont la non perception ne compromet nullement la communication.

La situation s'empire au niveau du contenu. C'est ce fourvoiement qui est à l'origine de la dégradation des acquisitions d'une langue qu'elle soit maternelle ou étrangère et surtout allogène comme le français à Madagascar. Pour un exemple utile, parlons de l'enseignement du français à Madagascar.

L'enseignant du français fait l'impasse sur les études de la forme et s'attache à une explication du référent mondaine. La conséquence de cette attitude est qu'elle échoue à la maîtrise du français parce que ce n'est qu'une maîtrise de vocabulaire aboutissant tout juste à un protolangage. S'il est accepté que le protolangage est une communication dans laquelle le vocabulaire est présent et non la grammaire, on comprend facilement que l'echec de cette pédagogie de la substance aboutisse à une pidginisation de la langue malgache.

On peut résumer cette situation en ceci. L'enseignant du français s'acharne sur les vocabulaires et néglige la grammaire sur une cible dont la langue maternelle n'a pas les mêmes contraintes grammaticales que la langue à acquérir. Il en résulte dans une situation de communication libre que le locuteur utilise les vocabulaires du français -ceux dont la notion n'existe pas en malgache ou ignoré -dans une grammaire du malgache. C'est cela que nous entendons par pidginisation. En définitive, c'est par la grammaire qu'une langue s'actualise en tant que moyen de communication partagé par une communauté et, surtout, en tant qu'instrument d'analyse du monde. Si de plus, l'on tient compte du fait que le contexte modifie constamment le vocabulaire, on s'aperçoit que c'est une utopie de cantonner l'apprentissage d'une langue par cette partie seulement parce qu'il n'y a pas de formation universelle (des langues) mais un principe universel de formation (HJELMSLEV, 1968(HJELMSLEV, -1971, p. 98) , p. 98) Ce qui fait donc obstacle à l'acquisition d'une langue étrangère ou allogène, c'est un défaut d'exhaustivité au niveau de la grammaire. Une grammaire prévoit, par exemple, une compatibilité sémantique en termes d'isotopie entre les membres d'une phrase. Pareillement, on peut dire que la pragmatique connaît une contradiction entre la généralisation de la performativité à tous les énoncés et la distribution des actes de langage en illocutoire et perlocutoire.

Mais

Ce qui veut dire très excatement que le perlocutoire, non seulement fait faillite à l'exhaustivité mais en même temps, il introduit la contradiction au sein de la théorie. Illustre cette corrélation entre l'exhaustivité et la contradiction le passage suivant :

Avec notre définition, seront illocutoires des actes comme l'ordre, la question, l'insulte, la permission, la promesse, la menace, l'adresse, etc. et perlocutoires des actes comme embêter, humilier, flatter, réconforter, consoler, convaincre, etc. (ANSCOMBRE, 1980, p. 67) L'argument qui autorise la distribution découle de l'approche du performatif en terme d'alternative comportementale du côté du destinataire :

(…) on ne peut décrire la valeur sémantique de la question sans y inclure qu'elle se présente comme destinée à imposer à son destinataire le choix répondre/ne pas répondre. D'une façon générale, tout énoncé est la réalisation d'au moins un acte illocutoire. (Ibid. p.66) L'argument qui consiste à prendre énonciateur et énonciataire en tant qu'individus linguistiques ne change rien au problème. Énonciateur et énonciataire n'existent que par catalyse au langage au même titre que la référence mondaine. Cette remarque est très importante parce que, ce qui est à la disposition de l'analyste est l'énoncé dont la forme renseigne sur l'énonciation. Autrement dit, toute considération de l'énonciateur ou de l'énonciataire est une réintroduction par une porte dérobée de la référence mondaine, domaine exclu, non seulement de la définition du signe, mais en outre de la théorie de l'énonciation.

Dès la définition saussurienne, le référent est exclu de la définition du signe compris comme la combinaison du signifiant et du signifié et le signe ainsi obtenu sert à désigner un objet du monde, que nous appelons ici référence mondaine. Si l'on ajoute à cela que la langue est une forme et non une substance, il est absolument évident que la référence mondaine ne peut pas être prise en compte dans n'importe quelle théorie linguistique.

La raison en est simple, non seulement, la référence mondaine se forme de manière différente entre les langues mais en plus, chez un même individu, elle peut se former de manière différente selon l'objectif du locuteur dans son rapport avec l'autre. C'est la problématique soulevée par l'article de FREGE intitulé « Sens et référence » [START_REF] Frege | [END_REF][START_REF] Frege | [END_REF]) qui se trouve ici appliquée. Ce qui revient à dire que ce n'est pas le sens en tant que moyen de la désignation qui doit intéresser la pragmatique mais le sens en tant que forme. Le travail qui consiste à fabriquer un couteau est un travail qui modifie une forme en prévision de l'action future qui peut être accomplie par la manipulation de cette forme. On comprend de cette manière que le couteau soit un couteau par sa forme, indépendamment de la présence ou de l'absence de la chose à couper et indépendamment de la matière dans laquelle il est fait. Similairement, une énonciation produit une forme définie comme ordre et le produit effectivement indépendamment de toute réaction du destinaire et même de son absence.

Car si tel n'est pas le cas, on peut douter que les panneaux de circulation routière intiment quoi que ce soit aux conducteurs sans la vérification permanente par le linguiste comment les automobilistes s'y conforment ou s'y dérobent. Dès lors, on s'aperçoit que cette vérification est non seulement une tâche impossible, mais que surtout, ce n'est plus faire de la linguistique. La caractérisation des actes de langage passe par la logique narrative qui relègue le réel comme une catégorie inutile. En effet, que ce soit une fleur dans le jardin, ou fleur peinte dans un tableau, ou encore, une fleur dans un roman, elle déploie toujours le même parcours d'évocations comme le prévoit la théorie des interprétants dans la sémiotique triadique de PEIRCE qu'il nomme quelquefois de « phanéroscopie » :

La phanéroscopie est la description du phaneron ; par phaneron, j'entends la totalité collective de tout ce qui, de quelque manière et en quelque sens que ce soit, est présent à l'esprit, sans considérer aucunement si cela correspond à quelque chose de réel ou non. (PEIRCE, 1978, p. 67) Force est donc de constater que si les actes de langage se lisent sur l'énonciation, c'est parce que celle-ci produit une forme dans laquelle s'inscrit une transformation du rapport interlocutif. Si dans le monde physique ou plus précisément, dans le monde référentiel, la forme d'un outil préfigure déjà les actions dérivées à partir de son utilisation ; en revanche, dans le langage, la forme de l'énoncé -produite par une énonciation -montre ipso facto l'acte de langage accompli qui se mesure par la logique narrative. C'est cela le caractère fondamentalement dialogique de la parole, elle est faite de modification et de contre modification. Ainsi, une affirmation est telle comme acte accompli par l'énonciation parce qu'elle n'existe pas du tout avant l'énonciation qui la promeut littéralement à l'existence. S'il est admis que la pragmatique s'occupe du rapport interlocutif, on s'aperçoit alors facilement qu'avant l'énonciation qui produit un ordre, le rapport est neutre parce que l'ordre n'existe pas encore, mais après, il est modifié en un rapport hiérachique qui peut être accepté ou contesté. Du coup, on s'aperçoit également que la généralisation de la performativité à tous les énoncés entraîne aussi une narrativité généralisée.

Ainsi, par exemple, faire une affirmation, c'est conjoindre un objet de valeur -au sens sémiotique -à un destinaire qui en est disjoint avant mon énonciation. Autrement dit, intelligibilité performative et intelligibilité narrative sont une seule et même chose.

Cette double généralisation permet d'honorer le principe d'exhaustivité parce que ce n'est plus le préfixe performatif qui est décisif comme cela se passe dans les performatifs primaires. Ce qui est décisif est désormais une intelligibilité narrative qui fait advenir à l'existence au moins un acte linguistique lisible sur la forme produite par une énonciation.

La généralisation de la performativité à tous les énoncés est une position théorique qui ne souffre pas d'exceptions. Elle est déduite de la découverte d'un préfixe performatif pour les énoncés qui en sont dépourvus en structure de surface. Lesquels énoncés sont alors qualifiés de constatifs.

La difficulté provient alors des performatifs implicites dans lesquels le préfixe performatif n'existe pas. Deux solutions s'offrent pour ces cas récalcitrants à l'analyste. Ou bien, on les verse dans le perlocutoire comme pour essayer de sauver la théorie de l'actioncas d'ANSCOMBRE -ou bien, on les écarte à titre d'aporie au sein de la théorie -cas de RACANATI -.

Aucune de ces solutions n'est pourtant viable parce qu'elles contreviennent au principe d'exhaustivité. Sinon, elles aboutissent tout simplement à une contradiction qui est la preuve de la faiblesse de la théorie. C'est ainsi que pour ANSCOMBRE, l'insulte est performative et pour RECANATI, elle est écartée momentanément pour préserver la théorie.

La raison de cette exclusion est claire, c'est l'absence de verbe préfixe performatif :

(…) il y a des phrases ont l'énonciation dans un certain contexte revient à accomplir l'acte d'insinuer quelque chose, ou d'insulter quelqu'un, mais la nature des actes qu'accomplit leur énonciation ne peut être rendue explicite, à l'intérieur de ces énoncés, par un verbe performatif. (…) Ces exceptions ont certes leur intérêt, mais comme une discussion de ce point nous conduirait loin sans vraiment nous avancer, il est préférable que nous mettions tout cela entre parenthèses. (RECANATI, 1979, p. 131) La faille de l'analyse peut être résumée en ceci : à force de vouloir chercher à tout prix une marque linguistique de la performativité, on oublie très souvent que la narrativité est l'essence du langage en ce qu'elle interdit au langage d'être une tautologie du réel pour tisser entre ses usagers des actions modificatrices du rapport interlocutif.

Ainsi, par exemple, la narration du mythe d'OEdipe a pour mission d'instaurer l'interdit de l'inceste, de la même manière qu'une insulte, un récit minimaliste, a pour but de faire tomber la dignité humaine et de reléguer l'individu ainsi insulté dans l'animalité pour la majorité des insultes. Cette logique narrative qui fait passer d'un état à un autre est déjà présente sous la plume d'ARISTOTE :

La limite fixée à l'étendue en considération des concours dramatiques et de la faculté de perception des spectateurs ne relève pas de l'art ; car s'il fallait présenter cent tragédies, on mesurerait le temps à la clepsydre, comme on l'a fait dit-on quelque fois. Par contre la limite conforme à la nature même de la chose est celle-ci : plus la fable a d'étendue, pourvu qu'on en puisse saisir l'ensemble, plus elle a la beauté que donne l'ampleur, et, pour établir une règle générale, disons que l'étendue qui permet à une suite d'événements, qui se succèdent suivant la vraisemblance ou la nécessité, de faire passer le héros de l'infortune au bonheur ou du bonheur à l'infortune, constitue une limite suffisante. (1451a) (ARISTOTE, 1985, p. 141) Seulement, la généralisation de la narrativité à tous les énoncés est illustrée par les textes d'ÉCO une vingtaine de siècles plus tard : Face à l'ordre « viens ici », on peut élargir la structure discursive en une macro proposition narrative du type « il y a quelqu'un qui exprime de façon impérative le désir que le destinataire, envers qui il manifeste une attitude de familiarité, se déplace de la position où il est et s'approche de la position où est le sujet de l'énonciation ». C'est, si on veut, une petite histoire, fut-elle peu importante. [START_REF] Eco | Lector in fabula ou la coopération interprétative dans les textes littéraires[END_REF](ECO, [ ] 1985, p. 138), p. 138).

Il est donc permis de conclure que si performativité doit être généralisée à tous les énoncés, il faut accepter que cette généralisation ne peut plus s'appuyer sur une marque formelle telle qu'un verbe performatif. Il faut dépasser cette position théorique pour donner une plus grande stabilité à la notion par l'introduction de la logique narrative dans le concept. L'avantage de la logique narrative est de bloquer la référence mondaine au profit du spectacle linguistique que déploie l'énonciation. Ce qui revient à dire que si dans le langage, il n'y a que du langage, c'est parce que justement performativité généralisée et narrativité généralisée sont une seule et même chose comme le côté pile et le côté face de la même monnaie.

En ce qui concerne la délocutivité, sa généralisation ne peut pas être absolue comme celle de la performativité ou celle de la narrativité. La généralisation de la délocutivité ne peut pas être étendue à tous les énoncés parce qu'elle est une fonction dérivée. Cependant, elle partage avec ses deux soeurs aînées de s'affranchir d'une marque formelle.

En effet, la première approche de la délocutivité est lexicaliste et elle n'implique du tout aucune performativité. La notion de délocutivité a pris naissance sous la plume de BENVENISTE qui la définit comme la création d'un verbe en fonction de mise en abyme. Ainsi C'est dès lors que l'on s'est aperçu que la généralisation de la délocutivité est un refus de sa restriction à une forme verbale pour s'étendre à n'importe quelle forme sémiotique.

Ainsi, on peut accomplir le salut en utilisant la forme nominale « salut » ; en utilisant les gestuels du hochement de tête, de la courbette, de la main levée, du chapeau ôté ; des formes sonores diverses comme le sifflement, le coup de klaxon ; etc.

  quand le locuteur se trouve dans une communication où il doit parler intégralement en français, il verse carrément dans le protolangage puisque la grammaire du français n'est qu'effleurée dans les classes de langue. Parmi les facteurs à l'origine de cette situation nous pouvons en citer deux. Le péché originel se trouve dans l'ignorance de la grammaire générative et transformationnelle au sein du Département d'Études Françaises lequel est pourtant le fournisseur de professeur licencié qui intervient dans les lycées et collèges. Le deuxième facteur est lié à ce premier dans un cercle vicieux parfait : les universitaires disent aux étudiants qu'ils auraient dû voir le problème grammatical au lycée et les intervenants du lycée promettent que les apprenants verront cela à l'Université. C'est là un cas typique de l'absence d'exhaustivité dans une science et, le pire, c'est que cela entraîne de la contradiction flagrante : l'acquisition d'une langue ne se réduit pas seulement aux vocabulaires mais surtout à la grammaire. En effet, c'est la grammaire qui est la partie la plus commune entre les usagers d'une langue, la partie stable parce qu'elle est constituée d'un ensemble de règles fini qui la rend susceptible d'être apprise. En revanche, le lexique diffère d'un individu à l'autre, et même le dictionnaire, censé être la référence, diffère d'une année à l'autre.

  ANSCOMBRE avoue que sa position est une reprise d'une idée de DUCROT qui se présente de la manière suivante : Dire que c'est un ordre, c'est dire par exemple que son énonciation y est présentée comme possédant ce pouvoir exorbitant d'obliger quelqu'un à agir de telle ou telle façon ; dire que c'est une question, c'est dire que son énonciation est donnée comme capable par elle-même d'obliger quelqu'un à parler, et à choisir pour ce faire un des types de parole catalogués comme réponses. (DUCROT, 1980, p. 30) Cette manière de voir n'est, ni plus ni moins, que le retour à un courant linguistique issu de la psychanalyse, depuis abandonné : le behaviourisme qui est l'étude expérimentale des comportements à partir de stimulus verbaux. Ni l'agissement, ni la réponse du destinataire ne peuvent pas être retenus comme mesure de l'énonciation parce que ces effets de la parole sont perlocutoires et du coup échappent à l'observation du linguiste, parce que relevant du domaine de la référence mondaine, et cela d'autant plus que l'ordre n'est pas toujours suivi d'effet et, une silence par indifférence et, non par ignorance, peut faire suite à une question. Faire dépendre les actes du langage de la réponse du destinataire, c'est tout simplement oublier que la langue est une forme et non une substance. C'est pour cette raison que nous considérons -à la suite de l'affirmation de SAUSSURE -que dans le langage il n'y a que du langage. Dès lors, ce qui peut s'offrir à l'analyse est la forme et rien que la forme. Empruntons la voie métaphorique pour éviter un long développement théorique.

  d'un discours ritualisé -locution chez BENVENISTE -qui sert à souhaiter le « salut » dérive le délocutif « saluer ». DUCROT reproche à BENVENISTE d'avoir fait une définition trop restrictive de la délocutivité. Cette reproche est injustifiée à l'égard du but lexicaliste, en effet, bien que BENVENISTE soit également le père du concept d'énonciation, il a gardé une distance prudente avec les oeuvres d'AUSTIN. Mais elle est justifiée pleinement par rapport à la généralisation de la performativité à tous les énoncés. Il en résulte que le délocutif reprend de manière plus ou moins fidèle, par excès ou par défaut, la performativité du discours locutionnaire dont il dérive. Le discours rituel sur le salut est un discours d'un prêtre qui officie pour une quête du salut dans une forme rituelle, puisqu'il s'agit d'un rapport avec le sacré. C'est ainsi que faire le salut a donner naissance au verbe « saluer » au même titre que « faire la danse », c'est « danser ». Pourtant, il y a une différence de taille entre « saluer » et « danser » : danser est un acte physique et saluer est un acte linguistique. C'est de cette différence que nous avons déduit l'hypothèse selon laquelle la délocutivité est une conversion d'un acte physique en acte de langage. (RAKOTOMALALA, 2014) En effet, la quête de salut s'inscrit dans la transcendance verticale qui implique des offrandes ritualisées. Mais dans le quotidien de la transcendance horizontale, il suffit de dire je vous salue pour accomplir cette quête inscrite dans la transcendance verticale.


Van-Sang Ngo

A GLOBAL EXISTENCE RESULT FOR THE ANISOTROPIC ROTATING MAGNETOHYDRODYNAMICAL SYSTEMS

Keywords: 1991 Mathematics Subject Classification. 76D03, 76D05, 76U05, 76W05 MHD systems, rotating fluids, global existence, Strichartz estimates. 1

In this article, we study an anisotropic rotating system arising in magnetohydrodynamics (MHD) in the whole space R 3 , in the case where there are no diffusivity in the vertical direction and a vanishing diffusivity in the horizontal direction (when the rotation goes to infinity). We first prove the local existence and uniqueness of a strong solution and then, using Strichartz-type estimates, we prove that this solution exists globally in time for large initial data, when the rotation is fast enough.

Introduction

The fluid core of the Earth is often considered as an enormous dynamo, which generates the Earth's magnetic field due to the motion of the liquid iron. In a moving conductive fluid, magnetic fields can induce currents, which create forces on the fluid, and also change the magnetic field itself. The set of equations which then describe the MHD phenomena are a combination of the Navier-Stokes equations with Maxwell's equations.

In this paper, we consider a MHD model, which describes the motion of an incompressible conducting fluid of density ρ, kinematic viscosity ν, conductivity σ, magnetic diffusivity η and permeability µ 0 . We suppose that the fluid is fast rotating with angular velocity Ω 0 around the axis e 3 . We also suppose that the fluid moves with a typical velocity U in a domain of typical size L and generates a typical magnetic field B. We introduce following dimensionless parameters

E = νΩ -1 0 L -2 ; ε = U Ω -1 0 L -1 ; Λ = B 2 ρ -1 Ω -1 0 µ -1 0 η -1 ; θ = U Lη -1
, which describe the Ekman, Rossby, Elsasser and Reynolds numbers respectively.

In geophysics, since the Earth is fast rotating, the Earth's core is believed to be in the asymptotic regime of small Ekman numbers (E ∼ 10 -15 ) and small Rossby numbers (ε ∼ 10 -7 ). In [START_REF] Desjardins | Stability of mixed Ekman-Hartmann boundary layers[END_REF], using these considerations, Desjardins, Dormy and Grenier introduced the following MHD system (1.1)

               ∂ t u + u • ∇u + ∇p ε - E ε ∆u + u ∧ e 3 ε = - Λ ε (curl b) ∧ e 3 + Λθ ε (curl b) ∧ b ∂ t b + u • ∇b = b • ∇u - curl (u ∧ e 3 ) θ + ∆b θ div u = div b = 0 u | t=0 = u 0 , b | t=0 = b 0 ,
with the following asymptotic conditions (1.2) ε → 0, Λ = O(1), εθ → 0 and E ∼ ε 2 , and where u, p and b denote the velocity, pressure and magnetic field of the fluid.

In the case of large scale fluids in fast rotation, the Coriolis force is a dominant factor and leads to an anisotropy between the horizontal and the vertical directions (see the Taylor-Proudman theorem, [START_REF] Cushman-Roisin | Introduction to geophysical fluid dynamics[END_REF], [START_REF] Greenspan | The theory of rotating fluids[END_REF] or [START_REF] Pedlosky | Geophysical fluid dynamics[END_REF]). Taking into account this anisotropy, we suppose that the diffusion term in the vertical direction is negligible, compared with the one in the horizontal direction. Thus, we replace the Laplacian operator ∆ in all direction by the "horizontal" Laplacian operator ∆ h = ∂ 2 1 + ∂ 2 2 in the equation of the fluid velocity. We emphasize that to understand the case where there is no magnetic diffusion is a chalenging case in both physical and mathematical points of view (see F. Lin and P. Zhang [START_REF] Lin | Global small solutions to an MHD-type system: the three-dimensional case[END_REF] and F. Lin and T. Zhang [START_REF] Lin | Global small solutions to a complex fluid model in three dimensional[END_REF]). In this paper, we consider the case of zero vertical magnetic diffusion which is an intermediate mathematical model between the case with full magnetic diffusion and the case with zero magnetic diffusion. We also refer to the work of C. Cao et al. [START_REF] Cao | Global regularity for the 2D MHD equations with mixed partial dissipation and magnetic diffusion[END_REF], [START_REF] Cao | The 2D MHD equations with horizontal dissipation and horizontal magnetic diffusion[END_REF], [START_REF] Cao | The 2D incompressible magnetohydrodynamics equations with only magnetic diffusion[END_REF] where some anisotropic situations on the MHD system were considered. Thus, the case where the Laplacian is replaced by the horizontal Laplacian in both equations presents a lot of mathematical interest.

All along this paper, we always use the index "h" to refer to the horizontal terms and horizontal variables, and the index "v" or "3" to the vertical ones. Taking into account the classical vectorial identities,

(curl b) ∧ b = b • ∇b - 1 2 ∇ |b| 2 , (curl b) ∧ e 3 = ∂ 3 b -∇b 3 ,
and curl (u ∧ e 3 ) = ∂ 3 u (since div u = 0), we will consider the following mathematical model of fast rotating MHD systems in R 3 , (1.3)

             ∂ t u -ν∆ h u + u • ∇u -b • ∇b + u ∧ e 3 ε + µ∂ 3 b = -∇p ∂ t b -ν ′ ∆ h b + u • ∇b -b • ∇u + µ∂ 3 u = 0 div u = div b = 0 u | t=0 = u 0 , b | t=0 = b 0 ,
where ν, ν ′ > 0 are diffusion coefficients in the horizontal direction and where we put together the gradient terms and we still denote the obtain quantity ∇p to simplify the notation. To the best of my knowledge, there are only few known results, concerning local existence and uniqueness of solution, and global existence of solutions in the case of small initial data of systems of the same type as the MHD system, in both isotropic ( [START_REF] Desjardins | Stability of mixed Ekman-Hartmann boundary layers[END_REF], [START_REF] Dormy | MHD flow in a slightly differentially rotating spherical shell, with conducting inner core, in a dipolar magnetic field[END_REF], [START_REF] Rousset | Stability of large amplitude Ekman-Hartmann boundary layers in MHD: the case of ill-prepared data[END_REF], [START_REF] Benameur | Asymptotic study of a magneto-hydrodynamic system[END_REF]) and anisotropic cases ( [START_REF] Abidi | Global existence for the magnetohydrodynamic system in critical spaces[END_REF], [START_REF] Benameur | Study of anisotropic MHD system in anisotropic Sobolev spaces[END_REF]).

The first goal of this paper is to establish Fujita-Kato type results about the local existence and uniqueness of a strong solution (global for small data) of the anisotropic system (1.3). One can already find a proof of the local existence in [START_REF] Benameur | Study of anisotropic MHD system in anisotropic Sobolev spaces[END_REF]. Here, in order to have a self-contained paper, we give another proof for the local existence result. Let F and F -1 be the Fourier transform and its inverse and throughout this paper, we also use the simplified notation u = F(u). In order to state these results, for any σ 1 , σ 2 ∈ R, we introduce the anisotropic Sobolev spaces 1 , defined by

H σ 1 ,σ 2 (R 3 ) = u ∈ (S ′ ) 3 R 3 1 + |ξ h | 2 σ 1 1 + |ξ 3 | 2 σ 2 | u(ξ)| 2 dξ
Theorem 1.1 (Local existence and uniqueness). Let s > 1 2 . For any divergence free vector fields u 0 , b 0 in H 0,s (R 3 ), there exists a time T > 0 such that the system (1.3) has a unique solution

(u, b) ∈ L ∞ [0, T ], H 0,s (R 3 ) ∩ C [0, T ], H 0,s (R 3 ) 2 , with (∇ h u, ∇ h b) ∈ L 2 [0, T ], H 0,s (R 3 ) 2 .
Moreover, there exists a constant c > 0 such that if u 0 H 0,s + b 0 H 0,s ≤ c min {ν, ν ′ }, then the solution exists globally in time, that is

(u, b) ∈ L ∞ R + , H 0,s (R 3 ) ∩ C R + , H 0,s (R 3 ) 2 , with (∇ h u, ∇ h b) ∈ L 2 R + , H 0,s (R 3 ) 2 .
The goal of the second and main part of this paper consists in proving that this local strong solution is actually global in time, even if the initial data are large, provided that the rotation is fast enough. Following the ideas of [START_REF] Chemin | Fluids with anisotropic viscosity, Special issue for R. Temam's 60th birthday[END_REF], [START_REF] Ngo | Rotating Fluids with small viscosity[END_REF] and [START_REF] Charve | Global existence for the primitive equations with small anisotropic viscosity[END_REF], we wish to show that the large Coriolis force implies global existence of the solutions for large initial data. Notice however that the MHD system is much more complex than the system of general rotating fluids ( [START_REF] Chemin | Fluids with anisotropic viscosity, Special issue for R. Temam's 60th birthday[END_REF], [START_REF] Ngo | Rotating Fluids with small viscosity[END_REF]) or the system of primitive equations ( [START_REF] Charve | Global existence for the primitive equations with small anisotropic viscosity[END_REF]). Here, we address the case where the horizontal viscosity also goes to zero as the rotation goes to infinity, i.e. (1.4) ν = ν ′ = ε α , α > 0, and µ = 1 ε .

These considerations lead us to the following system (1.5)

               ∂ t u -ε α ∆ h u + u • ∇u -b • ∇b + u ∧ e 3 ε + ∂ 3 b ε = -∇p ∂ t b -ε α ∆ h b + u • ∇b -b • ∇u + ∂ 3 u ε = 0 div u = div b = 0 u | t=0 = u 0 , b | t=0 = b 0 .
To state the second result, for any σ 1 , σ 2 ∈ R, we define the following spaces

Ḣσ 1 ,σ 2 (R 3 ) = u ∈ (S ′ ) 3 : R 3 |ξ h | 2σ 1 1 + |ξ 3 | 2 σ 2 | u(ξ)| 2 dξ 1 2 < +∞ L 2 h Ḣσ 2 v (R 3 ) = u ∈ (S ′ ) 3 : R 3 |ξ 3 | 2σ 2 | u(ξ)| 2 dξ 1 2
< +∞ ,

and for any η > 0, s > 1 2 , let (1.6) Y s,η = Ḣ-η,s (R 3 ) ∩ L 2 h Ḣ-η v (R 3 ) ∩ H η,η+s (R 3
). In this paper, we will also use the anisotropic Lebesgue spaces L q 1 h L q 2 v (R 3 ) with q 1 , q 2 ≥ 1, which are defined as

L q 1 h L q 2 v (R 3 ) = L q 1 (R 2 h ; L q 2 v (R)) = u ∈ (S ′ ) 3 R 2 h Rv |u(x h , x 3 )| q 2 dx 3 q 1 q 2 dx h 1 q 1 < +∞ .
The main result of this paper is the following global existence result.

Theorem 1.2 (Global existence for large initial data). Let s > 1 2 , η > 0. There is a constant α 0 > 0 such that, for any 0 < α ≤ α 0 and for any r 0 > 0, there exists ε 0 > 0 such that, for any 0 < ε ≤ ε 0 and for any divergence free initial data u 0 , b 0 ∈ Y s,η satisfying u 0 2 Ys,η + b 0 2 Ys,η ≤ r 2 0 , the system (1.5) has a unique, global strong solution,

(u, b) ∈ L ∞ (R + , H 0,s (R 3 )) ∩ C(R + , H 0,s (R 3 )) 2 , with (∇ h u, ∇ h b) ∈ L 2 (R + , H 0,s (R 3 )) 2 .
The strategy of proving this theorem consists in cutting off the system (1.5) in frequencies. For 0 < r < R, let

(1.7) C r,R = ξ ∈ R 3 | r ≤ |ξ h | ≤ R; r ≤ |ξ 3 | ≤ R; r ≤ |ξ| ≤ R ,
and let χ : R → R be a C ∞ -function such that

χ(x) = 1 if 0 ≤ |x| ≤ 1 0 if |x| ≥ 2.
Next, we define the following frequency cut-off function:

(1.8) Ψ(ξ) = χ |ξ| R 1 -χ 2 |ξ h | r 1 -χ 2 |ξ 3 | r ,
and we remark that support of Ψ is included in the set C r 2 ,2R and Ψ is identically equal to 1 in C r,R . Then, we decompose the system (1.5) into two parts. The linear part is (1.9)

                       ∂ t u -ε α ∆ h u + u ∧ e 3 ε + ∂ 3 b ε = -∇p ∂ t b -ε α ∆ h b + ∂ 3 u ε = 0 div u = div b = 0 u | t=0 = u 0 b | t=0 = b 0 , where u 0 = F -1 (Ψ(ξ)F(u 0 )(ξ)) and b 0 = F -1 (Ψ(ξ)F(b 0 )(ξ))
. The nonlinear part is the following system:

(1.10)                              ∂ t ũ -ε α ∆ h ũ + ũ • ∇ũ + ũ • ∇u + u • ∇ũ -b • ∇ b -b • ∇b -b • ∇ b + ∂ 3 b ε + ũ ∧ e 3 ε = -∇ p + b • ∇b -u • ∇u ∂ t b -ε α ∆ h b -b • ∇ũ -b • ∇u -b • ∇ũ + ũ • ∇ b + ũ • ∇b + u • ∇ b + ∂ 3 ũ ε = b • ∇u -u • ∇b div ũ = div b = 0 ũ| t=0 = ũ0 = u 0 -u 0 , b| t=0 = b0 = b 0 -b 0 .
The outline of the paper is as follows. In Section 2, for the convenience of the reader, we give the detailed proof of the local existence (global existence for small data) and uniqueness of a strong solution of the system (1.3). The main result of this paper (Theorem 1.2) will be given in Section 3. We first establish the needed Strichartz estimates for the linear system (1.9) and then, using an appropriate frequency cut-off, we show that the nonlinear system (1.10) is globally well-posed, and we prove Theorem 1.2. In the appendix, we brieftly recall some elements of the Littlewood-Paley theory.

Classical Fujita-Kato-type results

In this section, we prove Theorem 1.1 about local existence and uniqueness results of strong solutions (the solutions are global for small data) for the system (1.3). To simplify the proof, we can suppose, without any loss of generality, that ν = ν ′ > 0. We also remark that, using the divergence free property of u and b, we can calculate the pressure term as follows

(2.1) p = -∆ -1 i,j ∂ i ∂ j (u i u j ) -∂ i ∂ j (b i b j ) + 1 ε (∂ 2 u 1 -∂ 1 u 2 ) .

2.1.

Global existence for small initial data. In order to prove the global existence of a strong solution for small initial data, we apply the method of approximation of Friedrichs.

For any n ∈ N, let

J n u = F -1 1 B(0,n) F(u) ,
where F is the Fourier transform and B(0, n) is the ball with center 0 and radius n. Then, we consider the following approximate system

                       ∂ t u n -νJ n ∆ h u n + J n (J n u n • ∇J n u n ) -J n (J n b n • ∇J n b n ) + J n (J n u n ∧ e 3 ) ε + µ∂ 3 J n b n = J n ∇∆ -1 i,j ∂ i ∂ j J n u i n J n u j n -J n b i n J n b j n + 1 ε (∂ 2 J n u 1 n -∂ 1 J n u 2 n ) ∂ t b n -νJ n ∆ h b n -J n (J n b n • ∇J n u n ) + J n (J n u n • ∇J n b n ) + µ∂ 3 J n u n = 0 div u n = div b n = 0, u n| t=0 = J n u 0 ; b n| t=0 = J n b 0 .
Since this system is an ODE in L 2 (R 3 ), the Cauchy-Lipschitz theorem implies the local existence in time of a unique solution

U n = u n b n in L 2 (R 3 ), the maximal lifespan of which is T n = T n (u 0 , b 0 ). Since J 2 n = J n , J n U n = J n u n J n b n
is also a solution of this system. Then, the uniqueness implies that J n U n = U n . Thus, U n is a solution of the following system (2.2)

                         ∂ t u n -ν∆ h u n + J n (u n • ∇u n ) -J n (b n • ∇b n ) + u n ∧ e 3 ε + µ∂ 3 b n = J n ∇∆ -1   i,j ∂ i ∂ j u i n u j n -b i n b j n + 1 ε (∂ 2 u 1 n -∂ 1 u 2 n )   ∂ t b n -ν∆ h b n -J n (b n • ∇u n ) + J n (u n • ∇b n ) + µ∂ 3 u n = 0 div u n = div b n = 0, u n| t=0 = J n u 0 ; b n| t=0 = J n b 0 .
Now, we take the L 2 product of the first equation of (2.2) with u n and of the second equation with b n . Classical algebraic properties of the non-linear terms and integrations by parts give

J n (u n • ∇u n )|u n L 2 = J n (u n • ∇b n )|b n L 2 = 0,
and

J n (b n • ∇u n )|b n L 2 + J n (b n • ∇b n )|u n L 2 = 0.
Thus, summing the two obtained equations, we have

(2.3) 1 2 d dt U n (t) 2 L 2 + ν ∇ h U n (t) 2 L 2 = 0, ∀t > 0.
Since the solution U n (t) remains bounded in L 2 -norm on its whole maximal interval of existence [0, T n [, we deduce that T n = +∞.

To be able to take the limit in the non-linear term as n → +∞, we will need more regularity for the approximate solutions. In what follows, we will estimate the norm of u n in the spaces L p ([0, t], H 0,s ) (p = 2 or p = +∞, s > 1 2 ), which are defined by

L p ([0, t], H 0,s ) = u ∈ (S ′ ) 3 u L p ([0,t],H 0,s ) def = q≥-1 2 2qs ∆ v q u 2 L p ([0,t],L 2 ) 1 2 < +∞ .
For more details of these spaces and of the frequency localisation operators ∆ v q , we send the reader to the appendix. We remark that, for any p ≥ 2, we have

L p ([0, t], H 0,s ) ֒→ L p ([0, t], H 0,s ).
By applying the operator ∆ v q to the system (2.2), taking the L 2 -inner product of the first equation of the obtained system with ∆ v q u n and of the second equation with ∆ v q b n and then summing the two obtained equations, we get (2.4) 1 2

d dt ∆ v q U n 2 L 2 + ν ∆ v q ∇ h U n 2 L 2 ≤ ∆ v q (u n • ∇u n )|∆ v q u n + ∆ v q (u n • ∇b n )|∆ v q b n + ∆ v q (b n • ∇u n )|∆ v q b n + ∆ v q (b n • ∇b n )|∆ v q u n + µ ∂ 3 ∆ v q b n |∆ v q u n + ∂ 3 ∆ v q u n |∆ v q b n . A simple integration by parts proves that (2.5) µ ∂ 3 ∆ v q b n |∆ v q u n + ∂ 3 ∆ v q u n |∆ v q b n = 0, so, by integrating (2.4) in time, we obtain ∆ v q U n 2 L ∞ ([0,t],L 2 ) + 2ν ∆ v q ∇ h U n 2 L 2 ([0,t],L 2 ) -∆ v q U n (0) 2 L 2 (2.6) ≤ 2 t 0 ∆ v q (u n • ∇u n )|∆ v q u n ds + 2 t 0 ∆ v q (u n • ∇b n )|∆ v q b n ds + 2 t 0 ∆ v q (b n • ∇u n )|∆ v q b n + ∆ v q (b n • ∇b n )|∆ v q u n ds.
Inequality (A.26) of Appendix A and Young's inequality imply that

t 0 ∆ v q (u n • ∇u n )|∆ v q u n ds ≤ Cd q 2 -2qs u n L ∞ ([0,t],H 0,s ) ∇ h u n 2 L 2 ([0,t],H 0,s ) (2.7) ≤ Cd q 2 -2qs U n L ∞ ([0,t],H 0,s ) ∇ h U n and t 0 ∆ v q (u n • ∇b n )|∆ v q b n dt (2.8) ≤ Cd q 2 -2qs ∇ h u n L 2 ([0,t],H 0,s ) b n L ∞ ([0,t],H 0,s ) ∇ h b n L 2 ([0,t],H 0,s ) + u n 1 2 L ∞ ([0,t],H 0,s ) ∇ h u n 1 2 L 2 ([0,t],H 0,s ) b n 1 2 L ∞ ([0,t],H 0,s ) ∇ h b n 3 2 L 2 ([0,t],H 0,s ) ≤ Cd q 2 -2qs U n L ∞ ([0,t],H 0,s ) ∇ h U n 2 L 2 ([0,t],H 0,s ) ,
where (d q ) is a summable sequence of positive constants of sum 1.

In the same way, Inequality (A.27) implies that

t 0 ∆ v q (b n • ∇u n )|∆ v q b n + ∆ v q (b n • ∇b n )|∆ v q u n dt (2.9) ≤ Cd q 2 -2qs ∇ h u n L 2 ([0,t],H 0,s ) b n L ∞ ([0,t],H 0,s ) ∇ h b n L 2 ([0,t],H 0,s ) + u n 1 2 L ∞ ([0,t],H 0,s ) ∇ h u n 1 2 L 2 ([0,t],H 0,s ) b n 1 2 L ∞ ([0,t],H 0,s ) ∇ h b n 3 2 L 2 ([0,t],H 0,s ) ≤ Cd q 2 -2qs U n L ∞ ([0,t],H 0,s ) ∇ h U n 2 L 2 ([0,t],H 0,s ) .
From Equations (2.5) to (2.9), we deduce that

(2.10) ∆ v q U n 2 L ∞ ([0,t],L 2 ) + 2ν ∆ v q ∇ h U n 2 L 2 ([0,t],L 2 ) ≤ ∆ v q U n (0) 2 L 2 + 2Cd q 2 -2qs U n L ∞ ([0,t],H 0,s ) ∇ h U n 2 L 2 ([0,t],H 0,s ) .
By multiplying (2.10) by 2 2qs and then summing with respect to q, we finally have

(2.11) 1 2 U n 2 L ∞ ([0,t],H 0,s ) + 2ν ∇ h U n 2 L 2 ([0,t],H 0,s ) ≤ U n (0) 2 H 0,s + 2C U n L ∞ ([0,t],H 0,s ) ∇ h U n 2 L 2 ([0,t],H 0,s ) . Let c = 1 4C and suppose that U n (0) H 0,s ≤ cν 2 . Let T * n ≥ 0 be the maximal time such that U n 2 L ∞ ([0,t],H 0,s ) ≤ (cν) 2 , for any 0 ≤ t ≤ T * n . According to Cauchy-Lipschitz theorem, U n (.) is continuous in L 2 with respect to the time variable, so is ∆ v q U n (.). As a consequence, ∆ v q U n L ∞ ([0,.],L 2 ) is continuous in time. Since sup 0<t<t 0 2 qs ∆ v q U n L ∞ ([0,t],L 2 ) = 2 qs ∆ v q U n L ∞ ([0,t 0 ],L 2 ) ,
and q≥-1

2 qs ∆ v q U n L ∞ ([0,t 0 ],L 2 ) = U n 2 L ∞ ([0,t 0 ],H 0,s ) , the application t → U n L ∞ ([0,t],H 0,s )
is continuous on [0, t 0 ] for any t 0 ≥ 0 such that U n L ∞ ([0,t 0 ],H 0,s ) < +∞. So, we have T * n > 0. Now, using the fact that U n 2 L ∞ ([0,t],H 0,s ) ≤ (cν) 2 , from Inequality (2.11), we deduce that, for any t, 0 ≤ t < T * n ,

(2.12)

U n 2 L ∞ ([0,t],H 0,s ) + ν ∇ h U n 2 L 2 ([0,t],H 0,s ) ≤ (cν) 2 4 < (cν) 2 .
So, Inequality (2.12) and the continuity of the application

t → U n 2 L ∞ ([0,t],H 0,s ) imply that T * n = +∞. The sequence of solutions (U n ) n is then bounded in L ∞ (R + , H 0,s ), and (∇ h U n ) n is bounded in L 2 (R + , H 0,s ). In particular, (U n ) n is bounded in L ∞ (R + , L 2 ) and so, (∂ t U n ) n is bounded in L ∞ loc (R + , H -N )
for N large enough (e.g. N > 2). Then, the Arzela-Ascoli theorem implies the existence of a subsequence of (U n ) n (which will also be noted by

(U n ) n ), which converges to U in L ∞ loc (R + , H -N loc ). Since (U n ) n is bounded in L ∞ (R + , L 2
), using an interpolation, we conclude that U n (t) → U (t) in H δ loc for any -N ≤ δ < 0, and for a.e. t ≥ 0. Since (U n (t)) n is also bounded in H δ ′ loc , for any δ ′ < 1 2 , the Sobolev product law implies that

U n (t) ⊗ U n (t) → U (t) ⊗ U (t) in Ḣδ+δ ′ -3
2 for any -N ≤ δ < 0, and for a.e. t ≥ 0, and in particular, that

U n (t) ⊗ U n (t) → U (t) ⊗ U (t) in D ′ .
Thus, we can deduce that U (t) verifies the system (1.3) in the sense of distributions. Next, we remark that the Banach-Alaoglu theorem implies that U n ⇀ U weakly-star in L ∞ (R + , H 0,s ) and ∇ h U n ⇀ ∇ h U weakly in L 2 (R + , H 0,s ). Then, arcording to the uniform boundedness principle, U is bounded in L ∞ (R + , H 0,s ) and

∇ h U is bounded in L 2 (R + , H 0,s ).
Finally, we prove the continuity in time of the above constructed solution. Applying the operator ∆ v q to the system (1.3), taking the L 2 -inner product of the first equation of the obtained system with ∆ v q u and of the second equation with ∆ v q b and then summing the two obtained equations, we get 1 2

d dt ∆ v q U 2 L 2 + ν ∆ v q ∇ h U 2 L 2 = -∆ v q (u • ∇u)|∆ v q u -∆ v q (u • ∇b)|∆ v q b + ∆ v q (b • ∇u)|∆ v q b n + ∆ v q (b • ∇b)|∆ v q u , which implies that 1 2 d dt ∆ v q U 2 L 2 ≤ ν ∆ v q ∇ h U 2 L 2 + ∆ v q (u • ∇u)|∆ v q u + ∆ v q (u • ∇b)|∆ v q b (2.13) + ∆ v q (b • ∇u)|∆ v q b n + ∆ v q (b • ∇b)|∆ v q u , ≤ ν ∆ v q ∇ h U 2 L 2 + Cd q 2 -2qs U H 0,s ∇ h U 2 H 0,s .
We know that, U ∈ L ∞ ([0, T ], H 0,s ) and ∇ h U ∈ L 2 ([0, T ], H 0,s ), for any T > 0 in the existence interval of U . Then, we deduce that the right-hand side of (2.13) is locally integrable in time. Thus,

d dt ∆ v q U (•) 2
L 2 is also locally integrable in time and this implies that ∆ v q U (t) L 2 is continuous. From the construction of U , we can show that ∆ v q U (•) is weakly continuous in L 2 with respect to the time variable. Indeed, for any test function φ, and for any 0 ≤ a < b, we have

sup t∈[a,b] ∆ v q (U n (t) -U (t)) φ ≤ C2 2q U n -U L ∞ (H -2 loc ) φ H 2 .
Since U n → U strongly in L ∞ (H -2 loc ), we deduce that ∆ v q U n weakly converges towards ∆ v q U , uniformly in any time interval [a, b] included in the existence interval of U . Thus, the continuity of ∆ v q U n implies the weak continuity of ∆ v q U . Since ∆ v q U (•) L 2 is continuous, we deduce that ∆ v q U (t) is continuous in L 2 with respect to the time variable. Now, the fact that U ∈ L ∞ [0, T ]; H 0,s , for all T > 0, implies that, for all ζ > 0, there exists N > 0 such that

(2.14) |q|>N 2 2qs ∆ v q U 2 L ∞ ([0,T ],L 2 ) ≤ ζ 2 4 .
Since ∆ v q U is continuous with respect to the time variable, there exists δ > 0 such that if

|t -t ′ | < δ then (2.15) |q|≤N 2 2qs ∆ v q U (t) -U (t ′ ) 2 L ∞ ([0,T ],L 2 ) ≤ ζ 2 2 .
Then, we deduce from (2.14) and (2.15) that

U (t) -U (t ′ ) H 0,s ≤ ζ if |t -t ′ | ≤ δ, which means that U is continuous. 2.2.
Local existence for large initial data. In order to prove the existence of a local strong solution for large initial data, we decompose the system (1.3) into two parts: the linear (smooth) part containing the "low Fourier frequencies" and the non-linear part containing "high Fourier frequencies". First, we write the initial data

U 0 = u 0 b 0 as (2.16) u 0 = J N u 0 + (I -J N )u 0 , b 0 = J N b 0 + (I -J N )b 0 ,
where N is large enough and will be chosen later. We consider the following linear system:

(2.17)

               ∂ t u N -ν∆ h u N + µ∂ 3 b N + 1 ε u N ∧ e 3 = -∇p N , ∂ t b N -ν∆ h b N + µ∂ 3 u N = 0, div u N = div b N = 0, u N | t=0 = J N u 0 , b N | t=0 = J N b 0 .
This system has a unique global solution

U N = u N b N
, which satisfies the following energy estimate

(2.18) U N 2 L ∞ (R + ,H 0,s ) + ν ∇ h U N 2 L 2 (R + ,H 0,s ) ≤ 2 U 0 2 H 0,s = C 0 .
It is easy to deduce from (2.18) that

(2.19)                U N (t) H 0,s ≤ C 0 , ∀ t > 0, ∇ h U N (t) H 0,s ≤ N C 0 , U N L p ([0,T ],H 0,s ) ≤ C 0 T 1 p , ∇ h U N L p ([0,T ],H 0,s ) ≤ N C 0 T 1 p .

Now we write:

(2.20)

u = u N + u N , b = b N + b N ,
where

U N = u N b N verifies the following system (2.21)                          ∂ t u N -ν∆ h u N + u N • ∇u N + u N • ∇u N + u N • ∇u N -b N • ∇b N -b N • ∇b N -b N • ∇b N + µ∂ 3 b N + 1 ε u N ∧ e 3 = -∇ p + b N • ∇b N -u N • ∇u N ∂ t b N -ν∆ h b N -b N • ∇u N -b N • ∇u N -b N • ∇u N + u N • ∇b N + u N • ∇b N + u N • ∇b N + µ∂ 3 u N = b N • ∇u N -u N • ∇b N div u N = div b N = 0 u N (0) = (I -J N )u 0 , b N (0) = (I -J N )b 0 .
So proving the existence of a local strong solution U = u b of (1.3) is equivalent to proving the existence of a local strong solution of (2.21). We point that all the estimates given below are a priori estimates, which can be justified by using the method of Friedrichs as in the previous section and then by passing to the limit.

We apply the operator ∆ v q to the system (2.21). Next, taking the L 2 -inner product of the first equation of the obtained system with ∆ v q u N and of the second equation with ∆ v q b N and summing the two obtained equations, we get (2.22) 1 2

d dt ∆ v q U N 2 L 2 + ν ∆ v q ∇ h U N 2 L 2 ≤ ∆ v q (u N • ∇u N )|∆ v q u N + ∆ v q (u N • ∇u N )|∆ v q u N + ∆ v q (u N • ∇u N )|∆ v q u N + ∆ v q (u N • ∇u N )|∆ v q u N + ∆ v q (b N • ∇b N )|∆ v q u N + ∆ v q (b N • ∇b N )|∆ v q u N + ∆ v q (b N • ∇b N )|∆ v q u N + ∆ v q (b N • ∇u N )|∆ v q b N + ∆ v q (b N • ∇u N )|∆ v q b N + ∆ v q (b N • ∇b N )|∆ v q u N + ∆ v q (u N • ∇b N )|∆ v q b N + ∆ v q (u N • ∇b N )|∆ v q b N + ∆ v q (u N • ∇b N )|∆ v q b N + ∆ v q (b N • ∇u N )|∆ v q b N + ∆ v q (b N • ∇u N )|∆ v q b N + ∆ v q (u N • ∇b N )|∆ v q b N . Lemma A.6, with s 0 = s 1 = s > 1 2
, and Young's inequality give

∆ v q (u N • ∇u N )|∆ v q u N ≤ Cd q 2 -2qs u N H 0,s ∇ h u N 2 H 0,s (2.23) ≤ Cd q 2 -2qs u N H 0,s ∇ h U N 2 H 0,s , and
∆ v q (u N • ∇b N )|∆ v q b N ≤ Cd q 2 -2qs ∇ h u N H 0,s b N H 0,s ∇ h b N H 0,s (2.24)
+ u N 1 2 H 0,s ∇ h u N 1 2 H 0,s b N 1 2 H 0,s ∇ h b N 3 2 H 0,s ≤ Cd q 2 -2qs u N H 0,s + b N H 0,s ∇ h U N 2 H 0,s .
Using Lemma A.7 and Young's inequality, we get

∆ v q (b N • ∇b N )|∆ v q u N + ∆ v q (b N • ∇u N )|∆ v q b N (2.25) ≤ Cd q 2 -2qs ∇ h u N H 0,s b N H 0,s ∇ h b N H 0,s + u N 1 2 H 0,s ∇ h u N 1 2 H 0,s b N 1 2 H 0,s ∇ h b N 3 2 H 0,s ≤ Cd q 2 -2qs u N H 0,s + b N H 0,s ∇ h U N 2 H 0,s .
Likewise, using Lemma A.7, Estimates (2.19) and Young's inequality, we obtain

∆ v q (b N • ∇b N )|∆ v q u N + ∆ v q (b N • ∇u N )|∆ v q b N (2.26) ≤ Cd q 2 -2qs ∇ h b N 1 2 H 0,s ∇ h b N 1 2 H 0,s ∇ h u N 1 2 H 0,s b N 1 2 H 0,s b N 1 2 H 0,s ∇ h u N 1 2 H 0,s + b N 1 2 H 0,s ∇ h b N 1 2 H 0,s u N 1 2 H 0,s + ∇ h b N 1 2 H 0,s b N 1 2 H 0,s u N 1 2 H 0,s ≤ d q 2 -2qs C ν 2 N 2 C 2 0 u N 2 H 0,s + b N 2 H 0,s + C ν N 2 C 0 u N H 0,s b N H 0,s + ν 16 ∇ h U N 2 H 0,s ≤ d q 2 -2qs C ν 2 N 2 C 2 0 + C ν N 2 C 0 U N 2 H 0,s + ν 16 ∇ h U N 2 H 0,s .
Using Lemma A.6, Estimates (2.19) and Young's inequality, we also obtain

∆ v q (u N • ∇u N )|∆ v q u N ≤ Cd q 2 -2qs u N 1 2 H 0,s ∇ h u N 1 2 H 0,s u N 1 2 H 0,s ∇ h u N 3 2 H 0,s (2.27)
+ ∇ h u N H 0,s u N H 0,s ∇ h u N H 0,s ≤ d q 2 -2qs C ν N 2 C 2 0 + C ν N 2 C 0 U N 2 H 0,s + ν 16 ∇ h U N 2 H 0,s .
In the same way, we have (2.28)

∆ v q (u N • ∇b N )|∆ v q b N ≤ d q 2 -2qs C ν N 2 C 2 0 + C ν N 2 C 0 U N 2 H 0,s + ν 16 ∇ h U N 2 H 0,s .
Finally, Lemma A.8, the Cauchy-Schwarz inequality and the estimates (2.19) imply that

∆ v q (u N • ∇u N )|∆ v q u N ≤ C N d q 2 -2qs C 0 u N 2 H 0,s (2.29) ∆ v q (u N • ∇u N )|∆ v q u N ≤ C N d q 2 -2qs C 0 u N H 0,s (2.30) ∆ v q (b N • ∇b N )|∆ v q u N ≤ C N d q 2 -2qs C 0 u N H 0,s b N H 0,s (2.31) ∆ v q (b N • ∇b N )|∆ v q u N ≤ C N d q 2 -2qs C 0 u N H 0,s (2.32) ∆ v q (u N • ∇b N )|∆ v q b N ≤ C N d q 2 -2qs C 0 u N H 0,s b N H 0,s (2.33) ∆ v q (u N • ∇b N )|∆ v q b N ≤ C N d q 2 -2qs C 0 b N H 0,s (2.34) ∆ v q (b N • ∇u N )|∆ v q b N ≤ C N d q 2 -2qs C 0 b N 2 H 0,s (2.35) ∆ v q (b N • ∇u N )|∆ v q b N ≤ C N d q 2 -2qs C 0 b N H 0,s . (2.36)
Taking into account the estimates (2.23) to (2.36), we deduce from (2.22), after having summed up in q, that (2.37) 1 2

d dt U N 2 H 0,s + ν 2 ∇ h U N 2 H 0,s ≤ C u N H 0,s + b N H 0,s ∇ h U N 2 H 0,s + C 1 (N, ν, C 0 ) U N 2 H 0,s + C 2 (N, C 0 ) u N H 0,s + b N H 0,s . Next, integrating (2.37) in the time variable implies that (2.38) U N (T ) 2 H 0,s + ν T 0 ∇ h U N 2 H 0,s dt ≤ U N (0) 2 H 0,s + C 1 (N, ν, C 0 ) T U N 2 L ∞ ([0,T ];H 0,s ) + C 2 (N, C 0 ) T + C u N L ∞ ([0,T ];H 0,s ) + b N L ∞ ([0,T ];H 0,s ) ∇ h U N 2 L 2 ([0,T ];H 0,s ) . Now, recall that U N (0) = (I -J N )u 0 (I -J N )b 0 . We choose N large enough such that √ 2 U N (0) H 0,s ≤ ν 2C = cν,
and T 0 > 0 small enough, depending of C 0 , N , and ν, such that

     C 1 (N, ν, C 0 ) T 0 < 1 2 C 2 (N, C 0 ) T 0 < c 2 ν 2 4 .
Let

T * = sup 0 < T < T 0 : u N L ∞ ([0,t];H 0,s ) + b N L ∞ ([0,t];H 0,s ) ≤ 2cν, ∀0 ≤ t ≤ T . For any 0 ≤ T < T * , U N 2 L ∞ ([0,T ],H 0,s ) ≤ 2 U N (0) 2 H 0,s + C 2 (N, C 0 ) T ≤ 3 2 c 2 ν 2 , so, u N L ∞ ([0,T ];H 0,s ) + b N L ∞ ([0,T ];H 0,s ) ≤ 2 U N 2 H 0,s < 2 cν.
We deduce that T * = T 0 . Arguing as in Section 2.1, by using the Friedrichs scheme of approximation and then taking the limit of the family of approximate solutions, we obtain the existence on [0, T 0 ] of a solution (u N , b N ) of (2.21) and so of a solution (u, b) of (1.3).

Finally, we remark that the continuity in the time variable of the solution can be proved in the same way as in Section 2.1.

2.3.

Uniqueness of the strong solution. This section is devoted to the proof of the uniqueness of the strong solution of (1.3) constructed in the previous sections. As remarked by D. Iftimie in [START_REF] Iftimie | A uniqueness result for the Navier-Stokes equations with vanishing vertical viscosity[END_REF], since the vertical viscosity is zero, we do not have enough regularity properties to estimate the difference of two solutions in H 0,s . The difficulty comes from terms of the form u 3 ∂ 3 v, for which we need the estimate of ∂ 3 v in H 0,s . This means that we need H 0,s+1 -regularity results, which we do not know because of the zero vertical viscosity. Here, inspired by the idea of [START_REF] Iftimie | A uniqueness result for the Navier-Stokes equations with vanishing vertical viscosity[END_REF], we will prove the uniqueness of the solution in H 0,s-1 . We remark that unlike [START_REF] Iftimie | A uniqueness result for the Navier-Stokes equations with vanishing vertical viscosity[END_REF], we will use the dyadic decomposition method as in [START_REF] Chemin | Fluids with anisotropic viscosity, Special issue for R. Temam's 60th birthday[END_REF] and [START_REF] Paicu | Équation anisotrope de Navier-Stokes dans des espaces critiques[END_REF] to prove this uniqueness result. More precisely, we prove the following theorem:

Theorem 2.1. Let s > 1 2 and T 0 > 0. Let (u 1 , b 1 ) and (u 2 , b 2 ) be two solutions of the system (1.3) in L ∞ ([0, T 0 ], H 0,s ) ∩ C([0, T 0 ], H 0,s ) 2 , corresponding to the same initial data (u 0 , b 0 ), such that (∇ h u 1 , ∇ h b 1 ) and (∇ h u 2 , ∇ h b 2 ) belong to L 2 ([0, T 0 ], H 0,s ) 2 . Let U = u b = u 1 -u 2 b 1 -b 2 .
Then, for any 0 < t ≤ T 0 , we have:

(2.39) d dt U (t) 2 H 0,s-1 ≤ Cf (t) U (t) 2 H 0,s-1
where

f (t) = 1 + u 1 2 H 0,s + u 2 2 H 0,s + b 1 2 H 0,s + b 2 2 H 0,s × 1 + ∇ h u 1 2 H 0,s + ∇ h u 2 2 H 0,s + ∇ h b 1 2 H 0,s + ∇ h b 2 2 H 0,s .
As a consequence of this theorem, by performing an integration in time and then, by using Gronwall lemma, we deduce that, for any t ∈ [0, T ], U 1 (t) = U 2 (t) in H 0,s-1 . Thus, the solution of (1.3) is unique.

Proof of Theorem 2.1: Since (u 1 , b 1 ) and (u 2 , b 2 ) are solutions of (1.3), (u, b) satisfies the following system

             ∂ t u -ν∆ h u + u 1 • ∇u + u • ∇u 2 -b 1 • ∇b -b • ∇b 2 + 1 ε u ∧ e 3 + µ∂ 3 b = -∇ p ∂ t b -ν∆ h b -b 1 • ∇u -b • ∇u 2 + u 1 • ∇b + u • ∇b 2 + µ∂ 3 u = 0 div u = div b = 0 u(0) = b(0) = 0.
We apply ∆ v q to the system, then we take the L 2 scalar product of the first equation with ∆ v q u and of the second equation with ∆ v q b. Summing the two obtained equations, we get

(2.40) 1 2 d dt ∆ v q U 2 L 2 + ν ∆ v q ∇ h U 2 L 2 ≤ ∆ v q (u 1 • ∇u) |∆ v q u + ∆ v q (u 1 • ∇b) |∆ v q b + ∆ v q (b 1 • ∇b) |∆ v q u + ∆ v q (b 1 • ∇u) |∆ v q b + R h + R v , where (2.41) R h = ∆ v q u h • ∇ h u 2 |∆ v q u + ∆ v q b h • ∇ h b 2 |∆ v q u + ∆ v q b h • ∇ h u 2 |∆ v q b + ∆ v q u h • ∇ h b 2 |∆ v q b , and
(2.42) R v = ∆ v q u 3 ∂ 3 u 2 |∆ v q u + ∆ v q b 3 ∂ 3 b 2 |∆ v q u + ∆ v q b 3 ∂ 3 u 2 |∆ v q b + ∆ v q u 3 ∂ 3 b 2 |∆ v q b .
Using Lemma A.9, with s 0 = s > 1 2 and s 1 = s -1, and Young's inequality, we obtain

∆ v q (u 1 • ∇u)|∆ v q u L 2 ≤ Cd q 2 -2q(s-1) ( u 1 H 0,s + ∇ h u 1 H 0,s ) u H 0,s-1 ∇ h u H 0,s-1 (2.43) ≤ d q 2 -2q(s-1) Cf (t) u 2 H 0,s-1 + ν h 16 ∇ h u 2 H 0,s-1 ,
and

∆ v q (u 1 • ∇b)|∆ v q b L 2 ≤ Cd q 2 -2q(s-1) ( u 1 H 0,s + ∇ h u 1 H 0,s ) b H 0,s-1 ∇ h b H 0,s-1 (2.44) ≤ d q 2 -2q(s-1) Cf (t) b 2 H 0,s-1 + ν h 16 ∇ h b 2 H 0,s-1 .
Using Lemma A.10, with s 0 = s > 1 2 and s 1 = s -1, and Young's inequality, we also have

∆ v q (b 1 • ∇b) |∆ v q u + ∆ v q (b 1 • ∇u) |∆ v q b
(2.45)

≤ Cd q 2 -2q(s-1) ( b 1 H 0,s + ∇ h b 1 H 0,s ) u 1 2 H 0,s-1 ∇ h u 1 2 H 0,s-1 b 1 2 H 0,s-1 ∇ h b 1 2 H 0,s-1 ≤ d q 2 -2q(s-1) Cf (t) u 2 H 0,s-1 + b 2 H 0,s-1 + ν h 16 ∇ h u 2 H 0,s-1 + ∇ h b 2 H 0,s-1 .
The estimate of the "horizontal term" R h is quite easy. Indeed, using Sobolev product law in R 2 h and Lemma A.2, we get

∆ v q (w h 1 .∇ h w 2 )|∆ v q w 3 ≤ ∆ v q (w h 1 .∇ h w 2 ) L 2 v ( Ḣ-1 2 h ) ∆ v q w 3 L 2 v ( Ḣ 1 2 h ) ≤ C ∆ v q (w h 1 .∇ h w 2 ) L 2 v ( Ḣ-1 2 h ) ∆ v q w 3 1 2 L 2 ∇ h ∆ v q w 3 1 2 L 2 ≤ Cd q 2 -2q(s-1) w h 1 .∇ h w 2 H -1 2 ,s-1 w 3 1 2 H 0,s-1 ∇ h w 3 1 2 H 0,s-1 .
Here, we use the fact that

Ḣ 1 2 (R 2 ) is an interpolant between L 2 (R 2 ) and Ḣ1 (R 2 ). Now, Theorem A.5 with σ = 1 2 , σ ′ = 0, s 0 = s > 1 2 , s 1 = s -1, yields ∆ v q (w h 1 .∇ h w 2 )|∆ v q w 3 ≤ Cd q 2 -2q(s-1) w 1 H 1 2 ,s-1 ∇ h w 2 H 0,s w 3 1 2 H 0,s-1 ∇ h w 3 1 2 H 0,s-1 ≤ Cd q 2 -2q(s-1) w 1 1 2 H 0,s-1 ∇ h w 1 1 2 H 0,s-1 ∇ h w 2 H 0,s w 3 1 2 H 0,s-1 ∇ h w 3 1 2 H 0,s-1 .
Replacing w 1 , w 2 and w 3 by the terms appearing in R h , we easily get

(2.46) R h ≤ d q 2 -2q(s-1) Cf (t) u 2 H 0,s-1 + b 2 H 0,s-1 + ν h 2 ∇ h u 2 H 0,s-1 + ∇ h b 2 H 0,s-1
.

The estimate of the "vertical term" R v is more delicate because of the lack of viscosity in the vertical direction. Let

A = ∆ v q u 3 ∂ 3 u 2 |∆ v q u , B = ∆ v q b 3 ∂ 3 b 2 |∆ v q u , C = ∆ v q b 3 ∂ 3 u 2 |∆ v q b , D = ∆ v q u 3 ∂ 3 u 2 |∆ v q b .

The Bony decomposition in paraproducts and remainders allows us to write

A ≤ A 1 + A 2 + A 3
where

A 1 = | ∆ v q |q ′ -q|≤N 0 S v q ′ -1 u 3 ∆ v q ′ (∂ 3 u 2 )|∆ v q u |, A 2 = | ∆ v q |q ′ -q|≤N 0 S v q ′ -1 (∂ 3 u 2 )∆ v q ′ u 3 |∆ v q u |, A 3 = | ∆ v q q ′ ≥q-N 0 i∈{0,±1} ∆ v q ′ -i (∂ 3 u 2 )∆ v q ′ u 3 |∆ v q u |,
where N 0 is an appropriate integer and where the operators S v q are defined by

S v q = j≤q-1 ∆ v j , ∀ q ∈ Z.
Using Bernstein lemma A.1, Cauchy-Schwarz inequality and the fact that div u = 0 and s > 1 2 , we can write

S v q ′ -1 u 3 L 2 h L ∞ v ≤ √ 2 ∆ v -1 u 3 L 2 + C q ′ -2 p=0 2 -p 2 ∆ v p ∂ 3 u 3 L 2 ≤ √ 2 ∆ v -1 u 3 L 2 + C q ′ -2 p=0 2 -p(s-1 2 ) 2 p(s-1) ∆ v p ∇ h u L 2 ≤ C ( u H 0,s-1 + ∇ h u H 0,s-1 ) .
Lemma A.2 implies the existence of square-summable sequences of positive numbers such that

∆ v q ′ u 2 L 2 ≤ c q ′ (u 2 )2 -q ′ s u 2 H 0,s ∆ v q ′ ∇ h u 2 L 2 ≤ c q ′ (∇ h u 2 )2 -qs ∇ h u 2 H 0,s ∆ v q u L 2 ≤ c q (u)2 -q(s-1) u 2 H 0,s-1 ∆ v q ∇ h u L 2 ≤ c q (∇ h u)2 -q(s-1) ∇ h u 2 H 0,s-1 .
Then, using the fact that

Ḣ 1 2 (R 2 ) ֒→ L 4 (R 2 ) and that Ḣ 1 2 (R 2
) is an interpolant between L 2 (R 2 ) and Ḣ1 (R 2 ) and the Cauchy-Schwarz inequality, we can define new squaresummable sequences of positive numbers c (1) q = c q (u)

1 2 c q (∇ h u) 1 2
and c

(2)

q ′ = c q ′ (u 2 ) 1 2 c q ′ (∇ h u 2 ) 1 2 , which satisfy ∆ v q u L 4 h L 2 v ≤ ∆ v q u Ḣ 1 2 h L 2 v ≤ ∆ v q u 1 2 L 2 ∆ v q ∇ h u 1 2 L 2 ≤ c (1) q 2 -q(s-1) u 1 2 H 0,s-1 ∇ h u 1 2 H 0,s-1 ∆ v q ′ u 2 L 4 h L 2 v ≤ ∆ v q ′ u 2 Ḣ 1 2 h L 2 v ≤ ∆ v q ′ u 2 1 2 L 2 ∆ v q ′ ∇ h u 2 1 2 L 2 ≤ c (2) q 2 -q ′ s u 2 1 2 H 0,s ∇ h u 2 1 2 H 0,s
Using Young's inequality, we deduce that

A 1 ≤ |q ′ -q|≤N 0 2 q ′ S v q ′ -1 u 3 L 2 h L ∞ v ∆ v q ′ u 2 L 4 h L 2 v ∆ v q u L 4 h L 2 v (2.47) ≤ Cd q 2 -2q(s-1) ( u H 0,s-1 + ∇ h u H 0,s-1 ) u 2 1 2 H 0,s ∇ h u 2 1 2 H 0,s u 1 2 H 0,s-1 ∇ h u 1 2 H 0,s-1 ≤ d q 2 -2q(s-1) Cf (t) u 2 H 0,s-1 + ν h 48 ∇ h u 2 H 0,s-1 , where d q = c (1) q |q ′ -q|≤N 0 2 (q-q ′ )(s-1) c (2) q ′
is a summable sequence of positive numbers.

Similarly, since s > 1 2 , using Bernstein lemma A.1, Cauchy-Schwarz inequality, we have:

S v q ′ -1 ∂ 3 u 2 L 4 h L ∞ v ≤ C2 q ′ q ′ -2 p=-1 2 p 2 ∆ v p u 2 L 4 h L 2 v ≤ C2 q ′ q ′ -2 p=-1 2 -p(s-1 2 ) 2 ps ∆ v p u 2 L 2 1 2 2 ps ∆ v p ∇ h u 2 L 2 1 2 ≤ C2 q ′ u 2 1 2 H 0,s ∇ h u 2 1 2 H 0,s , which implies that A 2 ≤ C |q ′ -q|≤N 0 S v q ′ -1 ∂ 3 u 2 L 4 h L ∞ v 2 -q ′ ∆ v q ′ ∂ 3 u 3 L 2 ∆ v q u L 4 h L 2 v (2.48) ≤ C |q ′ -q|≤N 0 u 2 1 2 H 0,s ∇ h u 2 1 2 H 0,s ∆ v q ′ ∇ h u L 2 ∆ v q u 1 2 L 2 ∆ v q ∇ h u 1 2 L 2 ≤ Cd q 2 -2q(s-1) u 2 1 2 H 0,s ∇ h u 2 1 2 H 0,s u 1 2 H 0,s-1 ∇ h u 3 2 H 0,s-1 ≤ d q 2 -2q(s-1) Cf (t) u 2 H 0,s-1 + ν h 48 ∇ h u 2 H 0,s-1
where

d q = c q (u)c q (∇ h u) |q ′ -q|≤N 0 2 (q-q ′ )(s-1) c q ′ (∇ h u).
We remark that the term A 3 can be bounded in the same way as the term A 1 and we also have

(2.49) A 3 ≤ d q 2 -2q(s-1) Cf (t) u 2 H 0,s-1 + ν h 48 ∇ h u 2 H 0,s-1 .
Thus, summing the inequalities (2.47) to (2.49), we obtain (2.50)

A ≤ d q 2 -2q(s-1) Cf (t) u 2 H 0,s-1 + ν h 16 ∇ h u 2 H 0,s-1 .
Likewise, we obtain the following estimates for the quantities B, C and D.

B ≤ d q 2 -2q(s-1) Cf (t) u 2 H 0,s-1 + b 2 H 0,s-1 + ν h 16 ∇ h u 2 H 0,s-1 + ∇ h b 2 H 0,s-1 , (2.51) C ≤ d q 2 -2q(s-1) Cf (t) b 2 H 0,s-1 + ν h 16 ∇ h b 2 H 0,s-1 ,
(2.52)

D ≤ d q 2 -2q(s-1) Cf (t) u 2 H 0,s-1 + b 2 H 0,s-1 + ν h 16 ∇ h u 2 H 0,s-1 + ∇ h b 2 H 0,s-1
.

(2.53)

Finally, adding the inequalities (2.43) to (2.46) and (2.50) to (2.53), we deduce from the estimate (2.40), that for any 0 < t < T 0 ,

d dt u 2 H 0,s-1 + b 2 H 0,s-1 ≤ Cf (t) u 2 H 0,s-1 + b 2 H 0,s-1 .
Theorem 2.1 is then proved.

Global existence of strong solutions when the rotation is fast

In this section, we are interested in the MHD system in the case where the rotation is very fast. The idea is that, when the rotation goes to infinity, the Coriolis force becomes a dominant factor, and strongly limits the movements of the fluid in the vertical direction (Taylor-Proudman theorem). As a consequence, the limiting behavior of the fluid is twodimensional. In the case of R 3 , the fact that the energy is finite implies that this "limit" is in fact zero. This dispersion was proved in the case of rotating fluids ( [START_REF] Chemin | Fluids with anisotropic viscosity, Special issue for R. Temam's 60th birthday[END_REF], [START_REF] Ngo | Rotating Fluids with small viscosity[END_REF]) or in the case of primitive equations ( [START_REF] Charve | Global existence for the primitive equations with small anisotropic viscosity[END_REF]) in the form of Strichartz type estimates, which allows to prove the global existence of strong solutions for large initial data when the rotation is fast enough. For the MHD system, we already know from Theorem 1.1 that there exists a unique local strong solution for any initial data in H 0,s , s > 1 2 , and that this solution is global if the initial data is small enough. The question then arises whether this solution exists globally in time, for large initial data, when the rotation is fast enough.

We remark here that the MHD system is very complex and is composed of six equations (three equations for the velocity and three equations for the magnetic field of the magma). So, in general, it is difficult to obtain Strichartz-type estimates for the linear system. In this section, we show that, in some particular cases, when the different parameters of the MHD system are well chosen, an explicit spectral study of the associated linear system is possible. As a consequence, we can prove Strichartz-type estimates for the linear system, which play a very important role in the proof of the global existence of strong solutions of fast rotating MHD system for large initial data.

3.1. Strichartz-type estimates for the linear system. Taking the Leray projection and then the Fourier transformation of the linear system (1.9), we obtain

                     ∂ t u + ε α |ξ h | 2 u + PA ε u + iξ 3 b ε = 0 ∂ t b + ε α |ξ h | 2 b + iξ 3 u ε = 0 u | t=0 = u 0 b | t=0 = b 0 .
where the matrix

A ε =   0 -1 ε 0 1 ε 0 0 0 0 0   . Let U = u b
. We can write the obtained system in the following form

∂ t U = B(ξ, ε) U where B(ξ, ε) =            -ε α |ξ h | 2 + ξ1ξ2 ε|ξ| 2 ξ 2 2 +ξ 2 3 ε|ξ| 2 0 -iξ3 ε 0 0 - ξ 2 1 +ξ 2 3 ε|ξ| 2 -ε α |ξ h | 2 -ξ1ξ2 ε|ξ| 2 0 0 -iξ3 ε 0 ξ2ξ3 ε|ξ| 2 -ξ1ξ3 ε|ξ| 2 -ε α |ξ h | 2 0 0 -iξ3 ε -iξ3 ε 0 0 -ε α |ξ h | 2 0 0 0 -iξ3 ε 0 0 -ε α |ξ h | 2 0 0 0 -iξ3 ε 0 0 -ε α |ξ h | 2            .
In what follows, we study the spectral properties of the matrix B(ξ, ε).

Eigenvalues:

By direct calculations, we find that the characteristic polynomial of

B(ξ, ε) is det (B(ξ, ε) -XId) = P X + ε α |ξ h | 2 2 ,
where Id is the identity matrix and where

P (Y ) = Y 3 + ξ 2 3 ε 2 1 |ξ| 2 + 3 Y 2 + ξ 4 3 ε 4 1 |ξ| 2 + 3 Y + ξ 6 3 ε 6 = Y + ξ 2 3 ε 2 Y 2 + 2 ξ 2 3 ε 2 1 + 1 2 |ξ| 2 Y + ξ 4 3 ε 4 .
Simple calculations show that the roots of P (Y ) are

Y = - ξ 2 3 ε 2 and Y = - ξ 2 3 ε 2 1 + 1 2 |ξ| 2 ± ξ 2 3 4 |ξ| 2 + 1 2ε 2 |ξ| 2 .
Thus, the eigenvalues of the matrix B(ξ, ε) are

λ 1,2 = -ε α |ξ h | 2 ± iξ 3 ε λ 3,4 = -ε α |ξ h | 2 ± iξ 3 ε A λ 5,6 = -ε α |ξ h | 2 ± iξ 3 ε B where (3.1) A = 1 + 4 |ξ| 2 + 1 2 |ξ| and B = -1 + 4 |ξ| 2 + 1 2 |ξ| .
Eigenvectors: Associated to the six above eigenvalues, we choose the following eigenvectors

• Associated to λ 1 = -ε α |ξ h | 2 + iξ 3 ε , W 1 =         W 1 1 W 2 1 W 3 1 W 4 1 W 5 1 W 6 1         =         0 0 1 0 0 -1         . • Associated to λ 2 = -ε α |ξ h | 2 -iξ 3 ε , W 2 =         W 1 2 W 2 2 W 3 2 W 4 2 W 5 2 W 6 2         =         0 0 1 0 0 1         . • Associated to λ 3 = -ε α |ξ h | 2 + iξ 3 A ε , W 3 =         W 1 3 W 2 3 W 3 3 W 4 3 W 5 3 W 6 3         =         iAξ 3 |ξ| + Aξ 1 ξ 2 -Aξ 2 1 -Aξ 2 3 -iAξ 1 |ξ| + Aξ 2 ξ 3 -iξ 3 |ξ| -ξ 1 ξ 2 ξ 2 1 + ξ 2 3 iξ 1 |ξ| -ξ 2 ξ 3         . • Associated to λ 4 = -ε α |ξ h | 2 -iξ 3 A ε , W 4 =         W 1 4 W 2 4 W 3 4 W 4 4 W 5 4 W 6 4         =         iAξ 3 |ξ| -Aξ 1 ξ 2 Aξ 2 1 + Aξ 2 3 -iAξ 1 |ξ| -Aξ 2 ξ 3 iξ 3 |ξ| -ξ 1 ξ 2 ξ 2 1 + ξ 2 3 -iξ 1 |ξ| -ξ 2 ξ 3         . • Associated to λ 5 = -ε α |ξ h | 2 + iξ 3 B ε , W 5 =         W 1 5 W 2 5 W 3 5 W 4 5 W 5 5 W 6 5         =         -iBξ 3 |ξ| + Bξ 1 ξ 2 -Bξ 2 1 -Bξ 2 3 iBξ 1 |ξ| + Bξ 2 ξ 3 iξ 3 |ξ| -ξ 1 ξ 2 ξ 2 1 + ξ 2 3 -iξ 1 |ξ| -ξ 2 ξ 3         . • Associated to λ 6 = -ε α |ξ h | 2 -iξ 3 B ε , W 6 =         W 1 6 W 2 6 W 3 6 W 4 6 W 5 6 W 6 6         =         -iBξ 3 |ξ| -Bξ 1 ξ 2 Bξ 2 1 + Bξ 2 3 iBξ 1 |ξ| -Bξ 2 ξ 3 -iξ 3 |ξ| -ξ 1 ξ 2 ξ 2 1 + ξ 2 3 iξ 1 |ξ| -ξ 2 ξ 3         .
It is easy to see that, in the domain C r,R (see (1.7)), W 3 , W 4 , W 5 and W 6 are orthogonal to the vectors

        ξ 1 ξ 2 ξ 3 0 0 0         and         0 0 0 ξ 1 ξ 2 ξ 3        
and W 1 and W 2 are not. Then, the divergence free property of u and b implies that

(3.2) U (t) = 6 i=3 C i e λ i t W i , with (3.3) U (0) = U 0 = C 3 W 3 + C 4 W 4 + C 5 W 5 + C 6 W 6 ,
where C i , i = 3, ..., 6 depend on ξ and U 0 = u 0 b 0 . Using the divergence free property of U 0 , we can rewrite (3.3) as:

    iAξ 3 |ξ| + Aξ 1 ξ 2 iAξ 3 |ξ| -Aξ 1 ξ 2 -iBξ 3 |ξ| + Bξ 1 ξ 2 -iBξ 3 |ξ| -Bξ 1 ξ 2 -A(ξ 2 1 + ξ 2 3 ) A(ξ 2 1 + ξ 2 3 ) -B(ξ 2 1 + ξ 2 3 ) B(ξ 2 1 + ξ 2 3 ) -iξ 3 |ξ| -ξ 1 ξ 2 iξ 3 |ξ| -ξ 1 ξ 2 iξ 3 |ξ| -ξ 1 ξ 2 -iξ 3 |ξ| -ξ 1 ξ 2 ξ 2 1 + ξ 2 3 ξ 2 1 + ξ 2 3 ξ 2 1 + ξ 2 3 ξ 2 1 + ξ 2 3         C 3 C 4 C 5 C 6     =        U 1 0 U 2 0 U 4 0 U 5 0        . Let D =     iAξ 3 |ξ| + Aξ 1 ξ 2 iAξ 3 |ξ| -Aξ 1 ξ 2 -iBξ 3 |ξ| + Bξ 1 ξ 2 -iBξ 3 |ξ| -Bξ 1 ξ 2 -A(ξ 2 1 + ξ 2 3 ) A(ξ 2 1 + ξ 2 3 ) -B(ξ 2 1 + ξ 2 3 ) B(ξ 2 1 + ξ 2 3 ) -iξ 3 |ξ| -ξ 1 ξ 2 iξ 3 |ξ| -ξ 1 ξ 2 iξ 3 |ξ| -ξ 1 ξ 2 -iξ 3 |ξ| -ξ 1 ξ 2 ξ 2 1 + ξ 2 3 ξ 2 1 + ξ 2 3 ξ 2 1 + ξ 2 3 ξ 2 1 + ξ 2 3     , D 3 =        U 1 0 iAξ 3 |ξ| -Aξ 1 ξ 2 -iBξ 3 |ξ| + Bξ 1 ξ 2 -iBξ 3 |ξ| -Bξ 1 ξ 2 U 2 0 A(ξ 2 1 + ξ 2 3 ) -B(ξ 2 1 + ξ 2 3 ) B(ξ 2 1 + ξ 2 3 ) U 4 0 iξ 3 |ξ| -ξ 1 ξ 2 iξ 3 |ξ| -ξ 1 ξ 2 -iξ 3 |ξ| -ξ 1 ξ 2 U 5 0 ξ 2 1 + ξ 2 3 ξ 2 1 + ξ 2 3 ξ 2 1 + ξ 2 3        , D 4 =        iAξ 3 |ξ| + Aξ 1 ξ 2 U 1 0 -iBξ 3 |ξ| + Bξ 1 ξ 2 -iBξ 3 |ξ| -Bξ 1 ξ 2 -A(ξ 2 1 + ξ 2 3 ) U 2 0 -B(ξ 2 1 + ξ 2 3 ) B(ξ 2 1 + ξ 2 3 ) -iξ 3 |ξ| -ξ 1 ξ 2 U 4 0 iξ 3 |ξ| -ξ 1 ξ 2 -iξ 3 |ξ| -ξ 1 ξ 2 ξ 2 1 + ξ 2 3 U 5 0 ξ 2 1 + ξ 2 3 ξ 2 1 + ξ 2 3        , D 5 =        iAξ 3 |ξ| + Aξ 1 ξ 2 iAξ 3 |ξ| -Aξ 1 ξ 2 U 1 0 -iBξ 3 |ξ| -Bξ 1 ξ 2 -A(ξ 2 1 + ξ 2 3 ) A(ξ 2 1 + ξ 2 3 ) U 2 0 B(ξ 2 1 + ξ 2 3 ) -iξ 3 |ξ| -ξ 1 ξ 2 iξ 3 |ξ| -ξ 1 ξ 2 U 4 0 -iξ 3 |ξ| -ξ 1 ξ 2 ξ 2 1 + ξ 2 3 ξ 2 1 + ξ 2 3 U 5 0 ξ 2 1 + ξ 2 3        , and
D 6 =        iAξ 3 |ξ| + Aξ 1 ξ 2 iAξ 3 |ξ| -Aξ 1 ξ 2 -iBξ 3 |ξ| + Bξ 1 ξ 2 U 1 0 -A(ξ 2 1 + ξ 2 3 ) A(ξ 2 1 + ξ 2 3 ) -B(ξ 2 1 + ξ 2 3 ) U 2 0 -iξ 3 |ξ| -ξ 1 ξ 2 iξ 3 |ξ| -ξ 1 ξ 2 iξ 3 |ξ| -ξ 1 ξ 2 U 4 0 ξ 2 1 + ξ 2 3 ξ 2 1 + ξ 2 3 ξ 2 1 + ξ 2 3 U 5 0       
.

Then, we have

|det(D)| = 4ξ 2 3 ξ 2 1 + ξ 2 3 2 4 |ξ| 2 + 1 ,
which is strictly positive in the domain C r 2 ,2R , and Cramer's rule gives

C i = det(D i ) det(D)
, for any i = 3, 4, 5, 6.

Replacing A and B by their values (see (3.1)), we easily get the following estimates

|det(D i )| ≤ C| U 0 (ξ)| ξ 2 1 + ξ 2 3 |ξ| 4 . Thus, (3.4) |C i | = det(D i ) det(D) ≤ C| U 0 (ξ)| |ξ| 4 ξ 2 3 ξ 2 1 + ξ 2 3 4 |ξ| 2 + 1 ≤ C| U 0 (ξ)| |ξ| 2 4ξ 2 3 ξ 2 1 + ξ 2 3 ,
where C is a generic positive constant which can change from line to line. By the definition of C i , it is also easy to prove that

C i = 0 if ξ ∈ C r 2 ,2R (since the support of U 0 is included in C r 2 ,2R ).
Next, for i ∈ {3, 4, 5, 6}, we estimate C i e λ i t W i , using the method of duality as in [START_REF] Chemin | Fluids with anisotropic viscosity, Special issue for R. Temam's 60th birthday[END_REF] and [START_REF] Ngo | Rotating Fluids with small viscosity[END_REF]. To this end, let Γ A (ξ) = Aξ 3 and Γ B (ξ) = Bξ 3 , with A and B given by (3.1). Then, we can easily calculate the derivatives of Γ A and Γ B with respect to ξ 2 and we set

γ A (ξ) = -∂ ξ 2 Γ A (ξ) = ξ 2 ξ 3 1 + 4 |ξ| 2 + 1 2 |ξ| 3 4 |ξ| 2 + 1 , and
γ B (ξ) = -∂ ξ 2 Γ B (ξ) = ξ 2 ξ 3 1 -4 |ξ| 2 + 1 2 |ξ| 3 4 |ξ| 2 + 1 .
In the domain C r 2 ,2R , with r = R -β , β ≥ 1 and R ≫ 1, it is easy to prove that there exists a constant C β > 0 such that

(3.5) C -1 β R -3-β |ξ 2 | ≤ |γ A (ξ)| ≤ C β R β , and (3.6) C -1 β R -3-β |ξ 2 | ≤ |γ B (ξ)| ≤ C β R β . Similarly, since ∂ ξ 2 γ A (ξ) = γ A (ξ) ξ 2 -ξ 2 2 ξ 3    16 |ξ| 2 + 3 2 |ξ| 5 4 |ξ| 2 + 1 3 2 + 3 2 |ξ| 5    , and
∂ ξ 2 γ B (ξ) = γ B (ξ) ξ 2 -ξ 2 2 ξ 3    16 |ξ| 2 + 3 2 |ξ| 5 4 |ξ| 2 + 1 3 2 - 3 2 |ξ| 5    , we can choose C β such that (3.7) |∂ ξ 2 γ A (ξ)| ≤ C β R 2β , and
(3.8) |∂ ξ 2 γ B (ξ)| ≤ C β R 2β .
For any (θ, τ, z h , ξ 3 ) ∈ R 4 , we introduce the following functions

K A ± (θ, τ, z h , ξ 3 ) = R 2 ξ h Ψ(ξ)e ∓iθΓ A (ξ)+iz h .ξ h -τ |ξ h | 2 dξ h , and
K B ± (θ, τ, z h , ξ 3 ) = R 2 ξ h Ψ(ξ)e ∓iθΓ B (ξ)+iz h .ξ h -τ |ξ h | 2 dξ h ,
where Ψ is defined by (1.8). Let

L A = 1 1 + θγ 2 A (1 + iγ A ∂ ξ 2 ) ,
and

L B = 1 1 + θγ 2 B (1 + iγ B ∂ ξ 2 ) ,
which are operators acting on the ξ 2 variable. We remark that the invariance by rotation in (ξ 1 , ξ 2 ) allows us to suppose that z 2 = 0. So, L A and L B satisfy

L A (e ±iθΓ A ) = e ±iθΓ A and L B (e ±iθΓ B ) = e ±iθΓ B .
Then, we can write

K A ± (θ, τ, z h , ξ 3 ) = R 2 ξ h e ∓iθΓ A (ξ)+iz 1 .ξ 1 t L A Ψ(ξ)e -τ |ξ h | 2 dξ h , and
K B ± (θ, τ, z h , ξ 3 ) = R 2 ξ h e ∓iθΓ B (ξ)+iz 1 .ξ 1 t L B Ψ(ξ)e -τ |ξ h | 2 dξ h .
By simple calculations, we obtain

t L A = 1 1 + θγ 2 A -i(∂ ξ 2 γ A ) 1 -θγ 2 A (1 + θγ 2 A ) 2 - iγ A 1 + θγ 2 A ∂ ξ 2 ,
and t L B = 1 1 + θγ 2 B -i(∂ ξ 2 γ B ) 1 -θγ 2 B (1 + θγ 2 B ) 2 - iγ B 1 + θγ 2 B ∂ ξ 2 .
Thus, Estimates (3.5) to (3.8) lead to

K A ± (θ, τ, ., .) L ∞ x h L ∞ ξ 3 ≤ CR 4+3β e -1 2 r 2 τ R dξ 2 1 + θξ 2 2 ,
and

K B ± (θ, τ, ., .) L ∞ x h L ∞ ξ 3 ≤ CR 4+3β e -1 2 r 2 τ R dξ 2 1 + θξ 2 2 ,
and we can prove the following lemma:

Lemma 3.1. Let R be large enough, r = R -β , β ≥ 1 and p ≥ 1. Then, (3.9) K A ± (θ, τ, ., .) L ∞ x h L ∞ ξ 3 ≤ CR 4+3β θ -1 2 e -1 2 r 2 τ , and
(3.10) K B ± (θ, τ, ., .) L ∞ x h L ∞ ξ 3 ≤ CR 4+3β θ -1 2 e -1 2 r 2 τ .

Now, we consider the following operators

G A,ε ± (t)f (x) = F -1 e -t(ε α |ξ h | 2 ±i Aξ 3 ε ) f (ξ) (x) = R 2 y h F -1 ξ 3 R 2 ξ h e -t(ε α |ξ h | 2 ±i Aξ 3 ε )+i(x h -y h )ξ h F x 3 (f )(y h , ξ 3 )dξ h dy h , and
G B,ε ± (t)f (x) = F -1 e -t(ε α |ξ h | 2 ±i Bξ 3 ε ) f (ξ) (x) = R 2 y h F -1 ξ 3 R 2 ξ h e -t(ε α |ξ h | 2 ±i Bξ 3 ε )+i(x h -y h )ξ h F x 3 (f )(y h , ξ 3 )dξ h dy h ,
where f is a tempered distribution. Then, we have

Ψ(D)G A,ε ± (t)f (x) = R 2 y h F -1 ξ 3 K A ± t ε , tε α , x h -y h , ξ 3 F x 3 (f )(y h , ξ 3 )dξ h dy h , and
Ψ(D)G B,ε ± (t)f (x) = R 2 y h F -1 ξ 3 K B ± t ε , tε α , x h -y h , ξ 3 F x 3 (f )(y h , ξ 3 )dξ h dy h .
The main result of this section consists in the following theorem, the proof of which is based on the duality argument, called the T T * method. Although the proof of this theorem is close to those of [START_REF] Chemin | Anisotropy and dispersion in rotating fluids, Nonlinear Partial Differential Equations and their application[END_REF]Theorem 3], [START_REF] Chemin | Fluids with anisotropic viscosity, Special issue for R. Temam's 60th birthday[END_REF]Theorem 5], or [29, Theorem 3.1], we still will provide the main lines of it for the convenience of the reader.

Theorem 3.2. Let R be large enough, r = R -β , β ≥ 1, p ≥ 1.
For any f ∈ L 2 (R 3 ), we have

(3.11) Ψ(D)G A,ε ± (t)f L p (R + ,L ∞ h L 2 v ) ≤ CR 1+p+3β p ε 1-3α 4p f L 2 .
and

(3.12) Ψ(D)G B,ε ± (t)f L p (R + ,L ∞ h L 2 v ) ≤ CR 1+p+3β p ε 1-3α 4p f L 2 .

Proof

In what follows, we only consider Ψ(D)G A,ε ± (t)f . The study of Ψ(D)G B,ε ± (t)f can be done in exactly the same way. First of all, Hölder inequality in vertical direction, Young inequality in horizontal direction and Lemma 3.1 yield

Ψ(D)G A,ε ± (t)f L ∞ h L 2 v (3.13) ≤ R 2 y h F -1 ξ 3 K A ± t ε , tε α , x h -y h , ξ 3 F x 3 (f )(y h , ξ 3 )dξ h L 2 x 3 dy h L ∞ x h ≤ K A ± t ε , tε α , •, • L ∞ ξ 3 * h F x 3 (f ) L 2 ξ 3 L ∞ x h ≤ K A ± t ε , tε α , •, • L ∞ x h L ∞ ξ 3 f L 1 x h L 2 ξ 3 ≤ CR 4+3β t ε -1 2 e -1 2 r 2 tε α f L 1 h L 2 v .

Now, let

B = ϕ ∈ D R + × R 3 : ϕ L ∞ (R+,L 1 h L 2 v ) ≤ 1 ,
and we set Φ = Ψ(D)ϕ = F -1 (Ψ(ξ) ϕ(ξ)). Then,

Ψ(D)G A,ε ± (t)f L 1 (R+,L ∞ h L 2 v ) = sup ϕ∈B R + Ψ(D)G A,ε ± (t)f , ϕ dt (3.14) = (2π) -3 sup ϕ∈B R + ×R 3 ξ f (t, ξ) Φ (t, ξ) e -tε α |ξ h | 2 ∓ itAξ 3 ε dtdξ ≤ (2π) -3 f L 2 sup ϕ∈B R + Φ (t, ξ) e -tε α |ξ h | 2 ∓ itAξ 3 ε dt L 2 .
All we need to do is to estimate

I A,∓ = R + Φ (t, ξ) e -tε α |ξ h | 2 ∓ itAξ 3 ε dt L 2 .
Plancherel theorem, Hölder inequality and Estimate (3.13) imply

I 2 A,∓ = R + Φ(t, ξ) e -tε α |ξ h | 2 ∓ itAξ 3 ε dt, R + Φ(s, ξ) e -sε α |ξ h | 2 ∓ isAξ 3 ε ds L 2 (3.15) = R 3 ξ (R + ) 2 Φ(s, ξ) Φ(t, ξ) e -(t+s)ε α |ξ h | 2 ∓ i(t-s)Aξ 3 ε dtdsdξ = (R + ) 2 R 3 x (Ψ(D)ϕ(s, -x)) Ψ(D)G A,ε ± (t -s)ϕ(t, x) dxdtds ≤ (R + ) 2 CR 4+3β ϕ 2 L ∞ (R + ,L 1 h L 2 v ) ε 1 2 |t -s| 1 2 e -1 2 ε α t+s R 2β dtds.
By the change of variables (s ′ , t ′ ) = ε α R -2β (t, s), Estimate (3.15) becomes (3.16)

I 2 A,∓ ≤ CR 4+3β ε 1-3α 2 (R + ) 2 e -t ′ +s ′ 2 |t ′ -s ′ | 1 2 dt ′ ds ′ ,
which, combining with (3.14), finally gives

Ψ(D)G A,ε ± (t)f L 1 (R+,L ∞ h L 2 v ) ≤ CR 2+3β ε 1-3α 4 f L 2 .
We remark that, using Bernstein lemma A.1, we can also write

Ψ(D)G A,ε ± (t)f L ∞ (R+,L ∞ h L 2 v ) ≤ CR f L 2 .
Thus, it remains to interpolate between L 1 t and L ∞ t to obtain Estimate (3.11). Theorem 3.2 is proved.

As a corollary of Theorem 3.2, we have the following Strichartz-type estimates for the solution of the linear system. Theorem 3.3. We keep R, r, and β as given in Theorem 3.2. Let U be the (global) solution of (1.9). Then, for any p ≥ 1, (3.17)

U L p (R + ,L ∞ h L 2 v ) ≤ CR 1+5p+(3+5p)β p ε 1-3α 4p U 0 L 2 .

Proof

Let us go back to (3.3). Using Theorem 3.2, Plancherel's theorem and the Hölder inequality and the fact that C i = 0 outside the domain C r 2 ,2R , for any i ∈ {3, 4, 5, 6}, we get

U L p (R + ,L ∞ h L 2 v ) ≤ 6 i=3 F -1 C i e λ i t W i L p (R + ,L ∞ h L 2 v ) (3.18)
≤ CR 1+p+3β p ε 1-3α 4p 6 i=3 C i W i L 2 (C r 2 ,2R ) ≤ CR 1+p+3β p ε 1-3α 4p 6 i=3 C i L 2 (C r 2 ,2R ) W i L ∞ (C r 2 ,2R ) . Now, we remark that in the domain C r 2 ,2R , with r = R -β , β ≥ 1, R ≫ 1, it is easy to prove that A, B ≤ C β R β . So, W i L ∞ (C r 2 ,2R
) ≤ CR 2+β . Using (3.4) and Hölder inequality, we deduce from Inequality (3.18) that

U L p (R + ,L ∞ h L 2 v ) ≤ CR 1+p+3β p ε 1-3α 4p U 0 L 2 |ξ| 2 ξ 2 3 ξ 2 1 + ξ 2 3 L ∞ (C r 2 ,2R ) W i L ∞ (C r 2 ,2R ) ≤ CR 1+p+3β p ε 1-3α 4p U 0 L 2 R 4+5β ≤ CR 1+5p+(3+5p)β p ε 1-3α 4p U 0 L 2 ,
where C is a generic positive constant which can change from line to line. Theorem 3.3 is then proved.

3.2.

Proof of the existence of a unique global strong solution. The goal of this paragraph is to prove Theorem 1.2. To this end, we will show that, when ε is small enough, with an appropriated cut-off in frequencies, the nonlinear system (1.10) becomes a 3D Navier-Stokes-like system with small initial data. As a consequence, we obtain a global strong solution for the nonlinear system, and so, for the system (1.5).

Recall that the initial data U 0 = u 0 b 0 are decomposed in the following way:

         U 0 = U 0 + U 0 , U 0 = F -1 Ψ(ξ) U 0 (ξ) , U 0 = U 0 -U 0 ,
where the function Ψ is defined in (1.8). We recall that, for s > 1 2 and η > 0, the spaces Y s,η are defined as in (1.6). Then, we can easily control U 0 as follows.

Lemma 3.4. Let s > 1 2 , η > 0 and U 0 ∈ Y s,η . We keep the quantities r, R, β as given in Theorem 3.2. Then, there exists a positive constant C such that

(3.19) U 0 H 0,s ≤ C U 0 Ys,η R -βη .
In what follows, we set C 0 = C U 0 Ys,η .

We now come back to the nonlinear system (1.10

)                              ∂ t ũ -ε α ∆ h ũ + ũ • ∇ũ + ũ • ∇u + u • ∇ũ -b • ∇ b -b • ∇b -b • ∇ b + ∂ 3 b ε + ũ ∧ e 3 ε = -∇ p + b • ∇b -u • ∇u ∂ t b -ε α ∆ h b -b • ∇ũ -b • ∇u -b • ∇ũ + ũ • ∇ b + ũ • ∇b + u • ∇ b + ∂ 3 ũ ε = b • ∇u -u • ∇b div ũ = div b = 0 ũ| t=0 = ũ0 = u 0 -u 0 , b| t=0 = b0 = b 0 -b 0 .
Theorem 1.1 implies that there exists a unique strong solution U of (1.5) on a time interval [0, T (ε)[, so U = ũ b also exists on the interval [0, T (ε)[. It remains to prove that if ε is small enough, we have T = T (ε) = +∞.

We apply the operator ∆ v q to the above system. Next, taking the L 2 scalar product of the first equation of the obtained system with ∆ v q ũ and of the second equation with ∆ v q b and then summing the two obtained quantities, we obtain

1 2 ∆ v q U (T ) 2 L 2 + ε α T 0 ∆ v q ∇ h U 2 L 2 dt - 1 2 ∆ v q U 0 2 L 2 (3.20) ≤ T 0 ∆ v q (ũ • ∇ũ)|∆ v q ũ dt + T 0 ∆ v q (u • ∇ũ)|∆ v q ũ dt + T 0 ∆ v q (ũ • ∇u)|∆ v q ũ dt + T 0 ∆ v q (u • ∇u)|∆ v q ũ dt + T 0 ∆ v q ( b • ∇b)|∆ v q ũ dt + T 0 ∆ v q (b • ∇b)|∆ v q ũ dt + T 0 ∆ v q (b • ∇ b)|∆ v q ũ + ∆ v q (b • ∇ũ)|∆ v q b dt + T 0 ∆ v q ( b • ∇ũ)|∆ v q b + ∆ v q ( b • ∇ b)|∆ v q ũ dt + T 0 ∆ v q (ũ • ∇ b)|∆ v q b dt + T 0 ∆ v q (u • ∇ b)|∆ v q b dt + T 0 ∆ v q (ũ • ∇b)|∆ v q b dt + T 0 ∆ v q ( b • ∇u)|∆ v q b dt + T 0 ∆ v q (b • ∇u)|∆ v q b dt + T 0 ∆ v q (u • ∇b)|∆ v q b dt.
In order to estimate the terms on the right-hand side of (3.20), we use the following inequalities.

Lemma 3.5. Let s > 1 2 and U be the solution of (1.9). Then, for any divergence-free vector fields V and W , belonging to L ∞ ([0, T ], H 0,s ), the horizontal gradients of which belong to L 2 ([0, T ], H 0,s ), there exists a positive constant C and a summable sequence of positive numbers d q such that (3.21)

T 0 ∆ v q (W • ∇U)|∆ v q V dt ≤ Cd q 2 -2qs R 7+8β+s ε 1-3α 4 V L ∞ ([0,T ],H 0,s ) W L ∞ ([0,T ],H 0,s )
and

(3.22) T 0 ∆ v q (U • ∇V )|∆ v q V dt ≤ d q 2 -2qs CR 11+13β+2s ε 1-7α 4 V 2 L ∞ ([0,T ],H 0,s ) + ε α 16 ∇ h V 2 L 2 ([0,T ],H 0,s ) + CR 7+8β+s ε 1-3α 4 V 2 L ∞ ([0,T ],H 0,s ) .
To prove this lemma, we use the dyadic decomposition and the Strichartz estimates proven in Theorem 3.3 and follow the lines of the proofs of Lemmas 4.4 and 4.5 of [START_REF] Ngo | Rotating Fluids with small viscosity[END_REF]. We also need the following general form of Inequality (3.22).

Lemma 3.6. Let s > 1 2 and let U be the solution of (1.9). For any divergence-free vector fields V and W belonging to L ∞ ([0, T ], H 0,s ), the horizontal gradients of which belong to L 2 ([0, T ], H 0,s ), there exists a positive constant C and a summable sequence of positive numbers d q such that (3.23)

T 0 ∆ v q (U • ∇V )|∆ v q W + ∆ v q (U • ∇W )|∆ v q V dt ≤ d q 2 -2qs C R 11+13β+2s ε 1-7α 4 + R 7+8β+s ε 1-3α 4 V 2 L ∞ ([0,T ],H 0,s ) + W 2 L ∞ ([0,T ],H 0,s ) + ε α 16 ∇ h V 2 L 2 ([0,T ],H 0,s ) + ∇ h W 2 L 2 ([0,T ],H 0,s )
.

We remark that by taking V = W in Lemma 3.6, we will obtain Inequality (3.22). The proof of Lemma 3.6 can be derived from the proof of Lemma 3.5, using the same method as in the proof of Lemma A.10 in the appendix. We send the reader to [START_REF] Ngo | Effet dispersif pour les fluides anisotropes avec viscosité évanescente en rotation rapide[END_REF]Appendix A.4] for more details. Now, using Lemmas 3.5, 3.6, and Lemmas A.13 and A.14 of Appendix A, we obtain

(3.24) U 2 L ∞ ([0,T ],H 0,s ) + ε α ∇ h U 2 L 2 ([0,T ],H 0,s ) ≤ U 0 2 H 0,s + C U L ∞ ([0,T ],H 0,s ) ∇ h U 2 L 2 ([0,T ],H 0,s ) + Φ(ε) U 2 L ∞ ([0,T ],H 0,s ) + CR 7+8β+s ε 1-3α 4 ,
where Φ(ε) = CR 7+8β+s ε 1-3α 4

+ CR 11+13β+2s ε 1-7α 4 .

From now on, we will take

R = (8CC 0 ) 1 βη ε -α
βη , where C 0 has been defined in Lemma 3. Let

T * = sup T > 0 : U L ∞ ([0,t];H 0,s ) ≤ ε α 2C , ∀t < T .
From the continuity of U with respect to the time variable and Inequality (3.25), it is clear that T * > 0.

For instance, we choose α 0 = βη 11βη + 44 + 52β + 8s .

For any α ∈]0, α 0 ], we have Then, there exists ε 2 > 0 such that, for any 0

(3.
< ε ≤ ε 2 , 2C(8CC 0 ) 7+8β+s βη ε 1 4 -α 3 4 + 7+8β+s βη ≤ ε 2α 32C 2 .
Finally, for any 0 < ε ≤ ε 0 = min {ε 1 , ε 2 }, we deduce from (3.27) that

U L ∞ ([0,T * ),H 0,s ) ≤ ε α 4C < ε α 2C ,
which implies that T * = +∞ and Theorem 1.2 is proved.

Appendix A. Dyadic decomposition and anisotropic Sobolev spaces

For the reader's convenience, we will briefly recall the Littlewood-Paley theory and the dyadic decomposition in frequencies needed for our proofs. For any σ 1 , σ 2 ∈ R, we will define the anisotropic Sobolev spaces H σ 1 ,σ 2 (R 3 ) using the dyadic decomposition and state the Bernstein inequalities. Finally, we give important energy-type estimates, which are widely used in this paper.

Lemma A.2. For any u ∈ H σ 1 ,σ 2 (R 3 ), there exists a square-summable sequence of positive numbers {c q (u, σ 1 , σ 2 )} with q c q (u, σ 1 , σ 2 ) 2 = 1 such that

∆ v q u L 2 v (H σ 1 h ) ≤ c q (u, σ 1 , σ 2 )2 -qσ 2 u H σ 1 ,σ 2 .
In the case where σ 1 = 0 and σ 2 = s, the above inequality is simply written as ∆ v q u L 2 ≤ c q (u, s)2 -qs u H 0,s . In the case where there is no possible confusion, we will write c q (u) or c q instead of c q (u, σ, s).

A.2. Algebraic properties of anisotropic Sobolev spaces. In this paragraph, we recall the algebraic properties of anisotropic Sobolev spaces H σ 1 ,σ 2 (R 3 ), σ 1 , σ 2 ∈ R. All the main results are contained in [START_REF] Rauch | Nonlinear microlocal analysis of semilinear hyperbolic systems in one space dimension[END_REF], [START_REF] Sablé-Tougeron | Régularité microlocale pour des problèmes aux limites non linéaires[END_REF] or [START_REF] Iftimie | The resolution of the Navier-Stokes equations in anisotropic spaces[END_REF]. We first recall the classical product rule, valid in the case of isotropic Sobolev spaces on R d , d ≥ 1.

Theorem A.3. Let s, t < d 2 such that s + t > 0. Then, there exists a constant C > 0 such that, for any u ∈ H s (R d ) and for any v ∈ H t (R d ), we have uv ∈ H s+t-d 2 (R d ) and (A. [START_REF] Benameur | Study of anisotropic MHD system in anisotropic Sobolev spaces[END_REF]) uv

H s+t-d 2 (R d ) ≤ C u H s (R d ) v H t (R d ) .
The following anisotropic version in R 3 of this product rule was proved in [START_REF] Iftimie | The resolution of the Navier-Stokes equations in anisotropic spaces[END_REF].

Theorem A.4. Let s, t < 1 such that s + t > 0, s ′ , t ′ < 1 2 such that s ′ + t ′ > 0. Then, there exists a constant C > 0 such that, for any u ∈ H s,s ′ (R 3 ) and for any v ∈ H t,t ′ (R 3 ), we have uv ∈ H s+t-1,s ′ +t ′ -1 2 (R 3 ) and (A. [START_REF] Bony | Calcul symbolique et propagation des singularités pour les équations aux dérivées partielles non linéaires[END_REF]) uv

H s+t-1,s ′ +t ′ -1 2 (R 3 ) ≤ C u H s,s ′ (R 3 ) v H t,t ′ (R 3 ) .
In Section 2.3, we need more regularity in the vertical direction. For this reason, we use the following theorem, which is a different version, slightly more general, of Theorem 1.4 of [START_REF] Iftimie | A uniqueness result for the Navier-Stokes equations with vanishing vertical viscosity[END_REF] (see also Remark 3 of [START_REF] Iftimie | A uniqueness result for the Navier-Stokes equations with vanishing vertical viscosity[END_REF]). Unlike the result in [START_REF] Iftimie | A uniqueness result for the Navier-Stokes equations with vanishing vertical viscosity[END_REF], here we use dyadic decompositions to prove this theorem (one can also find a detailed proof of this theorem in [START_REF] Ngo | Effet dispersif pour les fluides anisotropes avec viscosité évanescente en rotation rapide[END_REF]Appendix A.3]).

Theorem A.5. Let σ, σ ′ < 1 such that σ + σ ′ > 0 and let s 0 > 1 2 , s 1 ≤ s 0 such that s 0 + s 1 > 0. Then, there exists a constant C > 0 such that, for any u ∈ H σ,s 0 (R 3 ) and for any v ∈ H σ ′ ,s 1 (R 3 ), we have uv ∈ H σ+σ ′ -1,s 1 (R 3 ) and

(A.6) uv H σ+σ ′ -1,s 1 (R 3 ) ≤ C u H σ,s 0 (R 3 ) v H σ ′ ,s 1 (R 3 ) .

Proof

First of all, for any σ ∈ R and q ≥ 0, using Bernstein lemma A.1, we have

S v q u L ∞ v (H σ h ) ≤ p≤q-1 2 p 2 ∆ v q u L 2 v H σ h ≤ p≤q-1 2 p( 1 2 -s) 2 ps ∆ v q u L 2 v H σ h .
Thus, Cauchy-Schwarz inequality implies that (A.7)

S v q u L ∞ v (H σ h ) ≤            C u H σ,s if s > 1 2 , C √ q u H σ, 1 2 C2 -q(s-1 2 ) u H σ,s if s < 1 2 .
Next, using the Bony decomposition, we can write

(A.8) ∆ v q (uv) = T (u, v) + T (v, u) + R(u, v), where T (u, v) = ∆ v q |q ′ -q|≤N 0 S v q ′ -1 u∆ v q ′ v T (v, u) = ∆ v q |q ′ -q|≤N 0 S v q ′ -1 v∆ v q ′ u R(u, v) = ∆ v q q ′ ≥q-N 0 1 i=-1 ∆ v q ′ -i u∆ v q ′ v.
To estimate the term T (u, v), using Estimate (A.7), remarking that s 0 > 1 2 , we have

S v q ′ -1 u L ∞ v (H σ h ) ≤ C u H σ,s 0 . Hence, Lemma A.2 implies that T (u, v) L 2 v H σ+σ ′ -1 h ≤ |q ′ -q|≤N 0 S v q ′ -1 u L ∞ v (H σ h ) ∆ v q ′ v L 2 v (H σ ′ h ) (A.9) ≤ Cc q 2 -qs 1 u H σ,s 0 v H σ ′ ,s 1 , where c q = |q ′ -q|≤N 0 c q ′ (v)2 -(q ′ -q)s 1
is a square-summable sequence of positive numbers.

For T (v, u), according to Estimate (A.7), we study three different cases 1. If s 1 > 1 2 . Using Lemma A.2 and the fact that s 1 ≤ s 0 , we have

S v q ′ -1 v L ∞ v (H σ ′ h ) ∆ v q ′ u L 2 v (H σ h ) ≤ Cc q ′ (u)2 -q ′ s 0 u H σ,s 0 v H σ ′ ,s 1 ≤ Cc q ′ (u)2 -q ′ s 1 u H σ,s 0 v H σ ′ ,s 1 . 2. If s 1 < 1 2 . Since s 0 > 1 2 , we have S v q ′ -1 v L ∞ v (H σ ′ h ) ∆ v q ′ u L 2 v (H σ h ) ≤ Cc q ′ (u)2 -q ′ (s 1 +s 0 -1 2 ) u H σ,s 0 v H σ ′ ,s 1 ≤ Cc q ′ (u)2 -q ′ s 1 u H σ,s 0 v H σ ′ ,s 1 . 3. If s 1 = 1 2 . Estimate (A.7), Lemma A.2 and the fact that s 0 > 1 2 imply S v q ′ -1 v L ∞ v (H σ ′ h ) ∆ v q ′ u L 2 v (H σ h ) ≤ Cc q ′ (u)2 -q ′ 2 2 -q ′ (s 0 -1 2 ) q ′ u H σ,s 0 v H σ ′ ,s 1 ≤ Cc q ′ (u)2 -q ′ s 1 u H σ,s 0 v H σ ′ ,s 1 .
So, for any s 1 ≤ s 0 , using Theorem A.3 in the horizontal direction and Hölder inequality in the vertical direction, we have

T (v, u) L 2 v H σ+σ ′ -1 h ≤ |q ′ -q|≤N 0 S v q ′ -1 v L ∞ v (H σ ′ h ) ∆ v q ′ u L 2 v (H σ h ) (A.10) ≤ Cc q 2 -qs 1 u H σ,s 0 v H σ ′ ,s 1 ,
where

c q = |q ′ -q|≤N 0 c q ′ (u)2 -(q ′ -q)s 1
is a square-summable sequence of positive numbers. Now, for the remainder term R(u, v), using Bernstein lemma A.1, Theorem A.3 in the horizontal direction, Hölder inequality in the vertical direction, Lemma A.2 and the hypothesis s 0 > 1 2 , we obtain

R(u, v) L 2 v H σ+σ ′ -1 h ≤ C2 q 2 ∆ v q q ′ ≥q-N 0 1 i=-1 ∆ v q ′ -i u∆ v q ′ v L 1 v H σ+σ ′ -1 h (A.11) ≤ C2 q 2 q ′ ≥q-N 0 1 i=-1 ∆ v q ′ -i u L 2 v H σ h ∆ v q ′ v L 2 v H σ ′ h ≤ Cc q 2 -q(s 0 +s 1 -1 2 ) u H σ,s 0 v H σ ′ ,s 1 ≤ Cc q 2 -qs 1 u H σ,s 0 v H σ ′ ,s 1 , where c q = q ′ ≥q-N 0 1 i=-1 c q ′ -i (u)c q ′ (v)2 -(q ′ -q)(s 0 +s 1 )
is a sequence of positive numbers, which is square-summable because s 0 + s 1 > 0.

Putting together Estimates (A.9) to (A.11), we finally have

∆ v q (uv) L 2 v H σ+σ ′ -1 h ≤ Cc q 2 -qs 1 u H σ,s 0 v H σ ′ ,s 1
which implies Estimate (A.6), according to the definition given in (A.3).

A.3. Anisotropic energy-type estimates. We first recall the following result, the proof of it is given in J.-Y. Chemin, B. Desjardins, I. Gallagher, E. Grenier [START_REF] Chemin | Fluids with anisotropic viscosity, Special issue for R. Temam's 60th birthday[END_REF].

Lemma A.6. For any s 0 > 1 2 and s 1 ≥ s 0 , there exists a constant C > 0 such that, for any divergence-free vector fields u ∈ H 0,s 0 (R 3 ) and v ∈ H 0,s 1 (R 3 ), the horizontal gradients of which belong to H 0,s 0 (R 3 ) and H 0,s 1 (R 3 ) respectively and for any q ∈ Z, q ≥ -1, we have

(A.12) ∆ v q (u • ∇v)|∆ v q v L 2 ≤ Cd q 2 -2qs 1 ∇ h u H 0,s 0 v H 0,s 1 ∇ h v H 0,s 1 + u 1 2 H 0,s 0 ∇ h u 1 2 H 0,s 0 v 1 2 H 0,s 1 ∇ h v 3 2 H 0,s 1 ,
where (d q ) is a summable sequence of positive constants.

In the case of MHD systems, by simple modifications of the proof of Lemma A.6 given in [START_REF] Chemin | Fluids with anisotropic viscosity, Special issue for R. Temam's 60th birthday[END_REF], we can deduce the following Lemma A.7. For any s 0 > 1 2 and s 1 ≥ s 0 , there exists a constant C > 0 such that, for any divergence-free vector fields u ∈ H 0,s 0 (R 3 ), v, w ∈ H 0,s 1 (R 3 ), with ∇ h u ∈ H 0,s 0 (R 3 ) and ∇ h v, ∇ h w ∈ H 0,s 1 (R 3 ) and for any q ∈ Z, q ≥ -1, we have

(A.13) ∆ v q (u • ∇v) |∆ v q w L 2 + ∆ v q (u • ∇w) |∆ v q v L 2 ≤ Cd q 2 -2qs 1 ∇ h u 1 2 H 0,s 0 ∇ h v 1 2 H 0,s 1 ∇ h w 1 2 H 0,s 1 u 1 2 H 0,s 0 v 1 2 H 0,s 1 ∇ h w 1 2 H 0,s 1 + + u 1 2 H 0,s 0 ∇ h v 1 2 H 0,s 1 w 1 2 H 0,s 1 + ∇ h u 1 2 H 0,s 0 v 1 2 H 0,s 1 w 1 2 H 0,s 1 ,
where (d q ) is a summable sequence of positive constants.

We also need the following lemma, which is weaker than Lemmas A.6 and A.7.

Lemma A.8. Let s > 1 2 . For any R > 0, there exists a constant C(R) > 0 such that, for any divergence-free vector fields u and v in H 0,s (R 3 ), with supp( v) ⊂ B(0, R) and for any q ∈ Z, q ≥ -1, we have

(A.14) ∆ v q (u • ∇v) L 2 ≤ C(R)c q 2 -qs u H 0,s v H 0,s
, where (c q ) is a square-summable sequence of positive constants.

In our proof of the uniqueness in Section 2.3, however, we need to take s 1 = s 0 -1, and thus we cannot use Lemmas A.6 and A.7. We need the following estimates, in the case where s 1 < s 0 . Lemma A.9. Let s 0 > 1 2 and s 1 < s 0 such that s 0 + s 1 > 0. There exists a constant C > 0 such that, for any divergence-free vector fields u ∈ H 0,s 0 (R 3 ) and v ∈ H 0,s 1 (R 3 ), the horizontal gradients of which belong to H 0,s 0 (R 3 ) and H 0,s 1 (R 3 ) respectively and for any q ∈ Z, q ≥ -1, we have

(A.15) ∆ v q (u • ∇v)|∆ v q v L 2 ≤ Cd q 2 -2qs 1 ( u H 0,s 0 + ∇ h u H 0,s 0 ) v H 0,s 1 ∇ h v H 0,s 1 ,
where (d q ) is a summable sequence of positive constants.

In the case of MHD system, we need the following symmetric form Lemma A.10. Let s 0 > 1 2 and s 1 < s 0 such that s 0 + s 1 > 0. There exists a constant C > 0 such that, for any divergence-free vector fields u ∈ H 0,s 0 (R 3 ), v, w ∈ H 0,s 1 (R 3 ), with ∇ h u ∈ H 0,s 0 (R 3 ) and ∇ h v, ∇ h w ∈ H 0,s 1 (R 3 ) and for any q ∈ Z, q ≥ -1, we have

(A.16) ∆ v q (u • ∇v) |∆ v q w L 2 + ∆ v q (u • ∇w) |∆ v q v L 2 ≤ Cd q 2 -2qs 1 ( u H 0,s 0 + ∇ h u H 0,s 0 ) v 1 2 H 0,s 1 ∇ h v 1 2 H 0,s 1 w 1 2 H 0,s 1 ∇ h w 1 2
H 0,s 1 , where (d q ) is a summable sequence of positive constants.

In order to prove these lemmas, we will need the following result, the proof of which can be found in [START_REF] Paicu | Équation périodique de Navier-Stokes sans viscosité dans une direction[END_REF] Lemma A.11. For any p, r, t ≥ 1 satisfying 1 p = 1 r + 1 t , there exists a constant C > 0 such that,

(A.17) ∆ v q ; u v L 2 v L p h ≤ C2 -q ∂ 3 u L ∞ v L r h v L 2 v L t h .
Proof of Lemmas A.9 and A.10. One can find a proof of these lemmas in [START_REF] Ngo | Effet dispersif pour les fluides anisotropes avec viscosité évanescente en rotation rapide[END_REF]Appendix A.4]. However, for the convenience of the reader, we will recall the proof here. The proof of these two lemmas relies on the estimates of the three following terms

P(u, v, w) = ∆ v q (u h • ∇ h v)|∆ v q w Q(u, v, w) = ∆ v q q ′ ≥q-N 0 S v q ′ +2 (∂ 3 v)∆ v q ′ u 3 |∆ v q w R(u, v, w) = ∆ v q |q ′ -q|≤N 0 S v q ′ -1 u 3 ∂ 3 ∆ v q ′ v|∆ v q w .
The first term P(u, v, w) is the most easy to control. Using the duality between Ḣ 1 2 h and Ḣ-1 2 h , the fact that Ḣ 1 2 (R 2 ) is an interpolant between L 2 and Ḣ1 , and Lemma A.2, we have

|P(u, v, w)| ≤ ∆ v q (u h • ∇ h v) L 2 v ( Ḣ-1 2 h ) ∆ v q w L 2 v ( Ḣ 1 2 h ) ≤ ∆ v q (u h • ∇ h v) L 2 v ( Ḣ-1 2 h ) ∆ v q w 1 2 L 2 ∆ v q ∇ h w 1 2 L 2 ≤ Cd q 2 -2qs 1 u h • ∇ h v H -1 2 ,s 1 w 1 2 H 0,s 1 ∇ h w 1 2
H 0,s 1 , where d q = c q (u h • ∇ h v) c q (w)c q (∇ h w). Now, using Theorem A.5, with σ = 1 2 , σ ′ = 0, we obtain |P(u, v, w)| ≤ Cd q 2 -2qs Similar to the term P(u, v, w), to estimate the second term Q(u, v, w), we first have

|Q(u, v, w)| ≤ ∆ v q q ′ ≥q-N 0 S v q ′ +2 (∂ 3 v)∆ v q ′ u 3 L 2 v Ḣ-1 2 h ∆ v q w L 2 v Ḣ 1 2 h ≤ Cc q 2 -qs 1 ∆ v q q ′ ≥q-N 0 S v q ′ +2 (∂ 3 v)∆ v q ′ u 3 L 2 v Ḣ-1 2 h w 1 2 H 0,s 1 ∇ h w 1 2 H 0,s 1 .
Bernstein lemma A.1 and the 2D Sobolev product law imply

∆ v q q ′ ≥q-N 0 S v q ′ +2 (∂ 3 v)∆ v q ′ u 3 L 2 v Ḣ-1 2 h ≤ C2 q 2 q ′ ≥q-N 0 S v q ′ +2 (∂ 3 v)∆ v q ′ u 3 L 1 v Ḣ-1 2 h ≤ C2 q 2 q ′ ≥q-N 0 S v q ′ +2 (∂ 3 v) Ḣ 1 2 h ∆ v q ′ u 3 L 2 h L 1 v ≤ C2 q 2 q ′ ≥q-N 0 S v q ′ +2 (∂ 3 v) L 2 v Ḣ 1 2 h ∆ v q ′ u 3 L 2
Using Bernstein lemma A.1 and Cauchy-Schwarz inequality, we can write

S v q ′ +2 (∂ 3 v) L 2 v Ḣ 1 2 h ≤ p≤q ′ +1 2 p ∆ v p v L 2 v Ḣ 1 2 h = p≤q ′ +1 2 p(1-s 1 ) 2 ps 1 ∆ v p v L 2 v Ḣ 1 2 h ≤ C2 q ′ (1-s 1 ) v 1 2 H 0,s 1 ∇ h v 1 2
H 0,s 1 . For any q ′ ≥ 0, we have,

∆ v q ′ u 3 L 2 ≤ C2 -q ′ ∆ v q ′ ∂ 3 u 3 L 2 ≤ C2 -q ′ ∆ v q ′ div h u h L 2 ≤ Cc q ′ (
∇ h u)2 -q ′ (1+s 0 ) ∇ h u H 0,s 0 and so, ∆ v q q ′ ≥q-N 0

S v q ′ +2 (∂ 3 v)∆ v q ′ u 3 L 2 v Ḣ-1 2 h ≤ C2 -q 2
q ′ ≥q-N 0 c q ′ (∇ h u)2 -q ′ (s 0 +s 1 ) ( u H 0,s 0 + ∇ h u H 0,s 0 ) v

1 2 H 0,s 1 ∇ h v 1 2 H 0,s 1 .
Since s 0 > 1 2 , we finally obtain

(A.19) |Q(u, v, w)| ≤ Cd q 2 -2qs 1 ( u H 0,s 0 + ∇ h u H 0,s 0 ) v 1 2 H 0,s 1 ∇ h v 1 2 H 0,s 1 w 1 2 H 0,s 1 ∇ h w 1 2
H 0,s 1 , where d q = c q q ′ ≥q-N 0 c q ′ (∇ h u)2 -(q ′ -q)(s 0 +s 1 ) . Now, for R(u, v, w), Bernstein lemma A.1 does not allow to "absorb" the ∂ 3 derivative in ∂ 3 ∆ v q ′ v by using S v q ′ -1 u 3 . That is the reason why we can only control the sum R(u, v, w) + R(u, w, v), but not R(u, v, w), using a sort of integration by parts. As in [START_REF] Chemin | Flot de champs de vecteurs non Lipschitziens et équations de Navier-Stokes[END_REF] and [START_REF] Chemin | Fluids with anisotropic viscosity, Special issue for R. Temam's 60th birthday[END_REF], we decompose (A.20) R(u, v, w) + R(u, w, v) ≤ R 0 (u, v, w) + R 1 (u, v, w) + R 1 (u, w, v) + R 2 (u, v, w) + R 2 (u, w, v),

where                R 0 (u, v, w) = S v q (u 3 )∂ 3 ∆ v q v|∆ v q w + S v q (u 3 )∂ 3 ∆ v q w|∆ v q v R 1 (u, v, w) = |q ′ -q|≤N 0 ∆ v q , S v q ′ -1 u 3 ∂ 3 ∆ v q ′ v|∆ v q w R 2 (u, v, w) = |q ′ -q|≤N 0 S v q -S v q ′ -1 u 3 ∂ 3 ∆ v q ′ v|∆ v q w .
An integration by parts yields R 0 (u, v, w) = -

R 3 ∂ 3 S v q u 3 ∆ v q v∆ v q w dx = - R 3
S v q div h u h ∆ v q v∆ v q w dx.

Using Bernstein lemma A.1, Sobolev product law on R 2 h , the hypothesis s 0 > 1 2 and the following estimate

S v q div h u h L 2 ≤ C ∇ h u H 0,s 0 , we obtain |R 0 (u, v, w)| ≤ S v q div h u h ∆ v q v L 2 v Ḣ-1 2 h ∆ v q w L 2 v Ḣ 1 2 h (A.21) ≤ C S v q div h u h L 2 ∆ v q v L 2 v Ḣ 1 2 h ∆ v q w 1 2 L 2 ∆ v q ∇ h w 1 2 L 2 ≤ Cd q 2 -2qs 1 ∇ h u H 0,s 0 v 1 2 H 0,s 1 ∇ h v 1 2 H 0,s 1 w 1 2 H 0,s 1 ∇ h w 1 2
H 0,s 1 . We remark that the term S v q -S v q ′ -1 u 3 does not contain low Fourier frequencies. Then, we can bound R 2 (u, v, w) in the same way as we bounded Q(u, v, w). We have

(A.22)    |R 2 (u, v, w)| = Cd q 2 -2qs 1 ∇ h u H 0,s 0 v 1 2 H 0,s 1 ∇ h v 1 2 H 0,s 1 w 1 2 H 0,s 1 ∇ h w 1 2 H 0,s 1 , |R 2 (u, w, v)| = Cd q 2 -2qs 1 ∇ h u H 0,s 0 v 1 2 H 0,s 1 ∇ h v 1 2 H 0,s 1 w 1 2 H 0,s 1 ∇ h w 1 2 H 0,s 1 .
Finally, to control R 1 (u, v, w), we will apply Hölder inequality, Bernstein lemma A.1, Lemma A.11, with a = S v q ′ -1 u 3 , b = ∂ 3 ∆ v q ′ v and p = 4 3 , r = 2, t = 4, the Sobolev embedding

L 2 v Ḣ 1 2 h ֒→ L 2 v L 4 h , the fact that L 2 v Ḣ 1 2
h is an interpolant between L 2 and L 2 v H 1 h , and the estimate

S v q ′ -1 ∂ 3 u 3 L ∞ v L 2 h ≤ ∇ h u H 0,s 0 .
We get

|R 1 (u, v, w)| ≤ |q ′ -q|≤N 0 ∆ v q , S v q ′ -1 u 3 ∂ 3 ∆ v q ′ v L 2 v L 4 3 h ∆ v q w L 2 v L 4 h (A.23) ≤ |q ′ -q|≤N 0 C2 -q S v q ′ -1 ∂ 3 u 3 L ∞ v L 2 h ∂ 3 ∆ v q ′ v L 2 v L 4 h ∆ v q w L 2 v L 4 h ≤ Cd q 2 -2qs 1 ∇ h u H 0,s 0 v 1 2 H 0,s 1 ∇ h v
≤ Cd q 2 -2qs 1 ∇ h u H 0,s 0 v 1 2 H 0,s 1 ∇ h v 1 2 H 0,s 1 w 1 2 H 0,s 1 ∇ h w 1 2 H 0,s 1 .
We remark that Finally, in order to prove the continuity in time of the strong solution and to perform the bootstrap argument in Section 3, we introduce the following spaces.

∆ v q (u • ∇v)|∆ v q v L 2 ≤ |P(u, v, v)| + |Q(u, v, v)| + |R(u, v, v)| and ∆ v q (u • ∇v) |∆ v q w + ∆ v q (u • ∇w) |∆ v q v ≤ |P(u,

  4. Then Φ(ε) = C(8CC 0 )

24 ) 2 H 0 ,s 1 ∇ h v 1 2 H 0 ,s 1 w 1 2 H 0 ,s 1 ∇ h w 1 2 H 0 ,s 1 .

 24202020201 |R 1 (u, w, v)| ≤ Cd q 2 -2qs 1 ∇ h u H 0,s 0 v 1 Now,combining Inequalites (A.20), (A.21), (A.22), (A.23) and (A.24) imply (A.25) |R(u, v, w) + R(u, w, v)|

  v, w)| + |P(u, w, v)| + |Q(u, v, w)| + |Q(u, w, v)| + |R(u, v, w) + R(u, w, v)|then, Estimates (A.18), (A.[START_REF] Ginibre | Generalised Strichartz inequalities for wave equation[END_REF]) and (A.25) immediately imply Estimates (A.15) and (A.16) of Lemmas A.9 and A.10.

E-mail address: van-sang.ngo@univ-rouen.fr

A.1. Dyadic decomposition. For any d ∈ N * , 0 < r 1 < r 2 and R > 0, let

When the space dimension is known and there is no possible confusion, we will drop the index d. We first recall the important Bernstein inequalities given in the following lemma (for a proof of it, see [START_REF] Chemin | Fluides parfaits incompressibles[END_REF]Lemma 2.1.1].

There exists a constant C > 0 such that, for any p, q ∈ R, 1 ≤ p ≤ q ≤ +∞, for any λ > 0 and for any u ∈ L p (R d ), we have

Let ψ be an even, smooth function in C ∞ 0 (R) such that ψ is equal to 1 on a neighborhood of B 1 (0, 3 4 ) and that its support is contained in B 1 (0, 4 3 ). For any z ∈ R, let

Then, the support of ϕ is contained in R 1 3 4 , 8 3 , and ϕ is identically equal to 1 in R 1 4 3 , 3 2 . For any q ∈ Z, q ≥ -1 and for any tempered distribution u ∈ S ′ (R 3 ) we introduce the following frequency cut-off operators

We refer to [START_REF] Bony | Calcul symbolique et propagation des singularités pour les équations aux dérivées partielles non linéaires[END_REF] and [START_REF] Chemin | Fluides parfaits incompressibles[END_REF] for more details. In terms of these operators, we can write any tempered distribution in the following form

For any σ 1 , σ 2 ∈ R, the Bernstein inequalities allow us to rewrite the norm of the anisotropic Sobolev spaces H σ 1 ,σ 2 (R 3 ) in the following equivalent way (see [START_REF] Iftimie | The resolution of the Navier-Stokes equations in anisotropic spaces[END_REF] or [START_REF] Chemin | Fluids with anisotropic viscosity, Special issue for R. Temam's 60th birthday[END_REF])

.

In this paper, we also need the relation between the vertical dyadic blocks and the Sobolev norm as expressed in the following lemma (see [START_REF] Iftimie | The resolution of the Navier-Stokes equations in anisotropic spaces[END_REF] or [START_REF] Chemin | Fluids with anisotropic viscosity, Special issue for R. Temam's 60th birthday[END_REF] for a proof).

Definition A.12. Let p ≥ 2 and I ∈ R + be a time interval. The spaces L p (I, H 0,s (R 3 )) are defined as the closure of the set of smooth vector fields with respect to the (semi-) norm

.

With these spaces, we get the following integral version of Lemmas A.6 and A.7.

Lemma A.13. For any s 0 > 1 2 and s 1 ≥ s 0 , there exists a constant C > 0 such that, for any divergence-free vector fields u and

respectively and for any q ∈ Z, q ≥ -1, we have

, where (d q ) is a summable sequence of positive constants.

Lemma A.14. For any s 0 > 1 2 and s 1 ≥ s 0 , there exists a constant C > 0 such that, for any divergence-free vector fields

)) and for any q ∈ Z, q ≥ -1, we have

L ∞ ([0,T ],H 0,s 1 )

L 2 ([0,T ],H 0,s 1 )

L ∞ ([0,T ],H 0,s 0 )

L 2 ([0,T ],H 0,s 1 ) w 1 2

L ∞ ([0,T ],H 0,s 1 )

L ∞ ([0,T ],H 0,s 1 )

L ∞ ([0,T ],H 0,s 1 )

, where (d q ) is a summable sequence of positive constants.