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Un monde ouvert ou fermé ? Parler de la création dans la culture contemporaine.

Il était proposé à chacun dans sa spécialité de dire comment il entend les questions de la culture contemporaine et comment la théologie actuelle se construit à partir d'elles. J'ai choisi d'aborder le problème à partir d'un exemple précis, tout en mentionnant, à l'occasion, la voie vers une systématisation plus globale. Le thème retenu, un "monde ouvert ou fermé", peut paraître curieux. Il veut signifier que la culture contemporaine est marquée par le changement de compréhension du monde intervenu dans les sciences. En effet l'approche scientifique est passée d'un monde considéré comme fermé à un monde conçu comme ouvert. Ce passage peut donner à mon avis une impulsion au travail théologique.

La tâche du théologien est d'abord ecclésiale et par conséquent se situe à l'intérieur de l'Eglise, même s'il lui arrive d'intervenir en dehors des lieux ecclésiaux pour présenter, voire défendre, la foi chrétienne. La théologie a pour but d'aider les croyants à expliciter leur foi, à en rendre compte dans la culture qui est la leur. D'où l'importance de se positionner dans cette culture. Deux traits de la culture contemporaine vont retenir mon attention.

Christianisme, culture contemporaine et science

Tout d'abord le christianisme, en Occident tout au moins, est devenu minoritaire. Perçu au mieux comme un élément du paysage culturel, il est souvent négligé dans les débats de société. En tout cas il n'est plus considéré comme un élément moteur. Cette position s'accompagne de la perte de pertinence de ce qu'il transmet (message, langage,

valeurs) et de ses institutions 1 . Dans cette perspective, le repositionnement du christianisme dans la société entraîne une tension entre le souci de conserver son identité et le risque de tomber dans le particularisme.

Cependant, constater le statut minoritaire du christianisme ne suffit pas. Il faut remarquer que la perte apparente de pertinence tient aussi à la manière d'être au monde sous-jacente à la culture contemporaine. Cette manière d'être pragmatique consiste à chercher une position qu'il faut en permanence inventer dans un monde sans repères stables, en dehors de ceux qui sont liés à l'économique et à la consommation. Non seulement les anciens repères disparaissent, mais la mise en place de nouveaux reste problématique. Car, le brassage, à l'échelle mondiale, des biens, des idées et des personnes tend à dissoudre les instances et les structures qui ne correspondent pas à la logique économique et à favoriser au contraire l'émergence de structures d'échanges et d'associations qui l'entretiennent. Cette manière d'être au monde rapidement évoquée concerne le champ humain, mais elle est en fait corrélative de la façon dont notre époque perçoit le monde.

En fait, les chrétiens se retrouvent minoritaires dans une société où ils ont à se situer par rapport à une conception du monde jusqu'ici inédite. Il est donc bon de s'attarder un peu sur cette conception de plus en plus courante.

C'est là le second trait que je veux développer. Il tient dans le fait que la culture contemporaine véhicule une vision de l'univers et de la vie qui provient, pour l'essentiel, de théories scientifiques dont les principales idées sont passées dans le domaine public 2 . Ainsi en est-il de l'évolution. Le monde des êtres vivants se présente comme l'héritier d'une longue histoire faite de succès, en termes biologiques, mais surtout d'échecs et pour tout dire, de morts. L'évolution est régie par une loi selon laquelle les individus ou les populations les moins bien loties dans un environnement donné sont condamnées à disparaître 3 . Peu importe ici les ajustements que la théorie darwinienne a connus depuis son fondateur. Les intuitions essentielles demeurent et constituent la seule théorie capable actuellement de rendre compte de l'histoire du 1 Les autres grandes religions, judaïsme et Islam n'échappent pas non plus à cette difficulté. Une observation attentive des changements dans la société durant ces dernières décennies révèle que le religieux n'a pas disparu pour autant, mais qu'il s'est recomposé largement en dehors des religions traditionnelles. Voir par exemple, D. Hervieu-Léger, "Croire en modernité : Aspects du fait religieux contemporain en Europe", Encyclopédie des religions, Paris, Bayard Éditions, 1997, p. 2059-2077 ; J.P. Willaime. Sociologie des religions, Paris, PUF, 1998 2 .

2 Cela ne veut pas dire qu'il n'existe pas d'autres facteurs, ni d'autres lieux où se pensent la réalité de la vie et du monde en lien avec la civilisation qui les produit et les utilise. Il s'agit simplement ici de constater que l'activité scientifique, les résultats qu'elle produit et les travaux qu'elle suscite fondent une attitude par rapport au monde.

3 Il faut faire la différence entre l'adaptation qui appartient à l'espèce et la fitness (vigueur) qui relève de l'individu. Voir par exemple A. Cockburn, An Introduction to Evolutionary Ecology, Oxford, Blackwell Publishers, 1992 (1991), p. 23. vivant4 . Selon elle, aucune espèce, aucune population n'est stable, au sens où elle aurait une durée intrinsèque garantie. Au contraire, espèces et populations sont tributaires des interactions avec leur environnement vivant, les autres populations de la même espèce ou d'espèces différentes, mais aussi avec leur environnement physique, le milieu naturel et son climat. Dans cette ligne, toute espèce a une durée d'existence limitée, comme le montre abondamment la paléontologie. Une espèce disparaît, mais le plus souvent après avoir donné naissance à des espèces "filles". Non seulement les espèces changent et disparaissent, mais aussi leurs associations et les milieux dans lesquels elles vivent. L'écologie et la paléo-écologie étudient ces phénomènes5 et manifestent que l'évolution ne peut être décrite comme une pièce de théâtre dont le décor serait le milieu naturel et les acteurs les êtres vivants. Les deux sont, si l'on peut dire, à la fois acteur et cadre et ne peuvent être séparés6 . Du coup, l'histoire de la vie sur terre relève de nombreux facteurs et ne peut être ramenées à l'un ou l'autre seulement7 .

On pourrait penser que l'histoire du vivant s'effectue sur des territoires physiques relativement stables. Il n'en est rien. Grâce à différentes techniques, il a été possible d'étudier le climat des époques antérieures à la nôtre. On a mis ainsi en évidence que le climat a connu des modifications importantes au fil du temps pour des raisons dues aux variations de la rotation de la Terre, mais surtout à la dérive des continents. La géologie, dans les dernières décennies du 20 e siècle, a découvert ce phénomène et son moteur, les flux thermiques à l'intérieur du manteau de la terre, donnant ainsi un cadre explicatif global à l'histoire de la terre : la tectonique des plaques. Ce que nous appelons continents résulte d'une histoire complexe d'accumulations et de transformations de matière. La terre est constituée d'enveloppes concentriques de nature et de densité différentes. La plus externe, appelée lithosphère, est découpée en plaques qui sont mobiles et dont certaines comprennent les continents. Ces plaques se déplacent sur l'enveloppe immédiatement inférieure, l'asthénosphère et leur mouvement est dû aux flux de chaleur qui résulte eux-mêmes pour la plus grande part de la désintégration d'éléments radioactifs 8 . Le double constat, à savoir que la réalité quotidienne dans laquelle vit l'être humain se transforme en permanence, sans plan ni orientation particulière et va vers une disparition plus ou moins lointaine, a de nombreuses implications. Celles-ci rejoignent et contribuent à fonder la manière d'être au monde qui sous-tend la culture contemporaine et qui a été brièvement présentée dans l'introduction. Difficile en effet de croire à quelque chose qui tende vers une fin autre que la mort. Difficile de vivre autrement que dans l'instant ou tout au moins dans le court terme, en essayant de s'assurer une vie qui soit la meilleure possible dans un monde changeant, ou tout au moins non assuré de durer tel quel. Les grands traits de la culture contemporaine se trouvent ainsi confirmés. Ils seraient finalement l'expression au plan des croyances, des idées et des comportements de ce que les observations révèlent et que les théories scientifiques affirment : il n'existe pas de repères stables, ni même d'orientations universelles. On voit donc que le contexte actuel de la culture est en relation avec le développement des sciences et des techniques. Tant par la compréhension qu'elles apportent que par les moyens d'action sur le réel qu'elles procurent, elles touchent en effet directement à la nature et à la vie. Autrement dit, elles concernent directement ce que nous appelons, en théologie chrétienne, la création. La perte de repères universels et de l'articulation de l'exister humain à un exister du monde et du vivant plus large favorise corrélativement un développement des particularismes. Elle encourage aussi le recours à des spiritualités qui visent à l'harmonie avec la nature, comme c'est le cas par exemple dans le New Age et l'écologie militante, à moins qu'elle ne propose la recherche d'une réalité radicalement déconnectée de l'univers matériel et phénoménal, comme dans les spiritualités de l'Inde ou issues d'elles. Quelle que soit la voie retenue, il s'agit en fait de retrouver des repères dont la particularité est de ne pouvoir être mis en cause sciences et techniques.

Comment se sont situées philosophie et théologie dans un tel contexte ? D'une certaine manière l'histoire de la philosophie occidentale depuis le 18 e siècle a suivi un parcours de mise à distance par rapport à la science., soit en cherchant à délimiter domaine et méthode de chacune, soit en positionnant la philosophie comme instrument critique du langage et de la logique 9 .

Avec la modernité, la théologie spéculative a suivi deux voies différentes. Selon la première, elle a continué dans une ligne pré-moderne à partir de la métaphysique traditionnelle. Elle s'est dès lors détachée de la culture. Selon la seconde voie, elle a d'une conception dynamique, voir B. Bonin, R. Dubois, G. Gohau, Le métamorphisme et la formation des granites. Evolution des idées et concepts actuels, Paris, Nathan, 1997, p. 11-58. Sur l'histoire géologique de la terre, consulter S. Elmi, C. Babin, Histoire de la Terre, Paris, Dunod, 2002. 9 Pour une première présentation de cette histoire, voir P. Wagner (dir.), Les philosophes et la science, coll. Folio, Paris, Gallimard, 2002, p. 9-62.

innové en s'appuyant sur la philosophie moderne. Dans les deux cas de figure, la théologie est apparue comme à la traîne et plutôt dans une situation défensive, même si une certaine apologétique tentait de réaffirmer la foi dans un monde marqué par les sciences et les techniques. D'ailleurs, le centre d'intérêt de la théologie, notamment au 20 e siècle a été les affaires humaines. Elle a peu touché au monde en tant que tel. Mais, tout comme la philosophie, la réflexion théologique se trouve dorénavant en prise avec les conceptions scientifiques du monde et de la vie en général, et de l'humain en particulier. Puisqu'il y a corrélation entre ces conceptions et les croyances et idées véhiculées dans la culture, la réflexion demande d'être située dans un cadre interprétatif, qui dans une perspective croyante est la théologie. Car, les chrétiens sont solidaires du monde dans lequel ils vivent. Certes, ils ne le contrôlent plus comme avant. Mais, cela n'empêche nullement le christianisme de continuer. Seulement il ne peut le faire que dans une mise en rapport avec une culture déchristianisée où, comme on vient de le voir, sciences et techniques fournissent la compréhension du monde dans lequel ils vivent. Ce fait ne justifie pas à lui seul de parler de la nature et de la vie. Mais il engage aux yeux du chrétien la crédibilité du propos théologique dans la culture contemporaine. Qui plus est, sa pertinence, tout particulièrement par la conception du monde comme création.

Réaffirmer le monde comme création

Revenons sur les deux points retenus concernant le christianisme et la culture actuelle : une situation minoritaire pour le premier et le renouvellement de la compréhension du monde pour la seconde. La situation du christianisme nous invite à un détour par la tradition théologique afin de contribuer à mettre en situation la théologie dans la culture. A ce titre, un christianisme minoritaire, qui n'est plus la référence dans la société, c'est-à-dire comme élément porteur, invite à reconsidérer les premiers siècles pour voir comment les Pères ont explicité la foi chrétienne dans une culture qui lui était étrangère. Cette opération doit être menée en étant attentif à la différence entre l'Antiquité et la civilisation occidentale d'aujourd'hui. Le christianisme est en effet au principe de la culture occidentale 10 , qui lui est devenue comme étrangère. Il est au principe, notamment dans la perspective qui nous intéresse, de l'émergence des sciences et des techniques du monde moderne 11 . Il y aura lieu par conséquent 10 Sur le lien entre modernité et christianisme, voir par exemple C. Gunton, The One , the Three and the Many. God, Creation and the Culture of Modernity, Cambridge, Cambridge U. P., 1993, 123-124. 11 Pour expliciter la foi chrétienne de manière cohérente aux chrétiens et la présenter au monde païen, les Pères vont dans ces deux directions affirmer Dieu comme Créateur du monde et Père du Christ Jésus. Pour cela, ils vont développer une théologie de la création en l'articulant avec la conception chrétienne du Dieu Trinité, la christologie et la sotériologie 12 . Une telle théologie de la création apparaît au 2 e siècle avec Théophile d'Antioche et Irénée. Chez ce dernier elle occupe une place centrale dans son élaboration théologique dans la mesure où, à partir de la distinction fondamentale entre incréé et créé, le salut est présenté comme participation du créé à l'incréé 13 . Dans une ligne similaire, les fondateurs des traditions théologiques grecque et latine, Origène et Tertullien, vont reprendre la théologie de la création comme base de l'annonce de la foi chrétienne. Remarquons enfin que les premières formules de foi, dont l'élaboration a commencé à partir de la fin du 2 e siècle et s'est poursuivie jusqu'aux symboles des conciles oecuméniques, commencent toutes par l'affirmation du Dieu Créateur14 .

D'un monde fermé à un monde ouvert : conséquences pour la théologie

La leçon que nous pouvons tirer des Pères consiste donc à fonder le propos théologique sur le Dieu Créateur et Père du Christ Jésus, mort et ressuscité. Création, incarnation et résurrection sont liées 15 . Cependant, reprendre ce donné doit être fait dans la situation contemporaine. Considérer à nouveau la théologie à partir de la doctrine de la création ne signifie pas pour autant de le faire en opposition à la société comme ce fut le cas au concile de Vatican 1 16 . Le contexte n'est plus le même. Il s'agit certes de rappeler la doctrine chrétienne de la création. Partant de cette base théologique acquise, il s'agit aussi d'innover en développant le lien entre création et résurrection, ce qui n'a pas été fait au temps des Pères et qui d'ailleurs ne pouvait pas l'être, car cela suppose une connaissance nouvelle du monde qu'on n'avait pas à cette époque, travail de renouvellement qui a été effectué par les sciences. Voilà le point nouveau qui permet d'accrocher la compréhension du monde comme création dans le contexte contemporain.

On est passé d'un monde fermé à un monde compris comme ouvert.

Il ne s'agit pas d'aligner la théologie sur la science, mais de faire que celle-là soit stimulée par celle-ci dans ses problématiques comme dans ses concepts. Remarquons à ce propos que la théologie chrétienne s'est toujours construite ainsi, dans un rapport à la culture. La reprise dans une vision de foi de la philosophie grecque, de ses concepts, par exemple nature et substance, et de sa problématique d'ensemble, la recherche des principes, a contribué largement à l'implantation du christianisme dans le monde grécolatin. La raison théologique doit de la même manière prendre en compte la raison scientifique sans pour autant chercher à se justifier par rapport à elle. Il s'agit plutôt dans la culture contemporaine d'asseoir la perspective chrétienne dans son originalité. Le discours théologique s'adresse d'abord aux chrétiens en vue d'expliciter leur foi et, par conséquent, il doit être crédible par rapport à la culture et ce faisant accessible aux non chrétiens. Pour le dire une nouvelle fois, il serait inutile et dangereux de construire un propos théologique qui ignorerait la culture dans lequel le croyant se trouve, car la théologie ne peut aller contre des connaissances profanes éprouvées par ailleurs17 . Dans cette ligne, la théologie se doit d'accueillir le passage d'une conception du monde pensé comme fermé à un monde considéré comme ouvert.

La conception ancienne du monde, en effet, est plutôt statique. Je veux dire par là que mouvements et processus à l'oeuvre dans le monde étaient perçus comme conduisant à un état stationnaire. C'était le cas du système géocentrique du monde qui a fonctionné jusqu'au 17 e siècle. Avec le système héliocentrique de Copernic, la physique classique conserve cette perspective, tout en opérant une première unification en considérant le ciel et la terre comme soumis aux mêmes déterminations. Le monde constitue alors un système fermé.

Cependant, la découverte progressive aux 17 e et 18 e siècles de l'historicité des choses au plan des affaires humaines et par là de la différence entre les cultures va gagner d'autres domaines en deux étapes majeures. La première consiste dans l'apparition des théories transformistes, corrélativement en géologie et biologie, la seconde tient dans la cosmologie scientifique construite à partir de la découverte des galaxies par Hubble dans le cadre théorique fourni par la physique relativiste d'Einstein. Du coup, l'histoire fait son entrée non seulement dans l'existence des vivants, mais aussi dans celle de la terre et de l'ensemble de l'univers. Le monde est dorénavant conçu comme un système ouvert, au sens où il ne consiste ni dans la reproduction d'un schéma organisationnel donné, ni dans une agitation chaotique. Ni hasard, ni nécessité, il se situe dans un entre-deux. Son devenir n'est pas inscrit en lui tel quel, car il est contingent. Cela veut dire que, laissé à lui-même, son futur est imprévisible18 , mais en même temps il est compris comme émergeant à partir de ce qui existe avec ses contraintes. Le futur ne peut être expliqué qu'après coup. L'idée théologique nouvelle consiste à reprendre la doctrine de la création dans le cadre de cette conception dynamique du monde. Cela revient à expliciter ce que la révélation chrétienne dit du lien entre la création, la résurrection du Christ Jésus et l'eschatologie. La résurrection dans cette perspective devient le principe de transformation du monde et par conséquent de son devenir.

L'idée proposée ici consiste à reprendre la réflexion théologique sur la création en montrant l'impact de la résurrection de Jésus sur celle-ci. Pour reprendre Rm 8,22 la création est en gestation d'un monde nouveau, le monde ancien est en train de passer à la création nouvelle inaugurée par la résurrection de Jésus. Affirmer l'universalité de l'action de la résurrection du Christ Jésus sur le créé met le théologien dans une position délicate, mais c'est le cas depuis le début, dès le Nouveau Testament luimême. Dire que le monde est en cours de changement, alors que rien apparemment ne change ou n'a changé, demeure la difficulté majeure de la théologie chrétienne. Or, le rapport à la culture contemporaine, notamment par la compréhension du monde provenant des sciences qu'elle véhicule, provoque le discours théologique à étudier à nouveaux frais la théologie de la création dans son rapport à la résurrection.

Le devenir d'un monde ouvert : création et résurrection

Passer à une compréhension du monde comme ouvert, où aléa et déterminisme jouent ensemble, rend la lecture théologique du monde et de son devenir plus accessible que dans l'ancienne conception. Affirmer l'emprise de la résurrection sur le créé implique que le monde aille vers un but, le Christ, et qu'il soit transformé maintenant à cet effet par la résurrection. Pourtant, la lecture scientifique du devenir du monde n'implique pas de finalité cosmique. Pour la lecture croyante, il y en a une, on vient de le rappeler. Ces deux discours, scientifique et théologique, ne sont pourtant pas incompatibles. Car, ils représentent deux lectures différentes. Mais, et c'est l'élément nouveau, le changement de compréhension opéré en science fait que ces deux lectures reposent maintenant toutes les deux, ce qui n'était pas le cas auparavant, sur une conception commune du devenir. Dans un monde conçu comme ouvert, le devenir n'est pas inscrit dans le monde, il ne consiste pas en un déploiement, mais il se montre comme une construction, à la fois en continuité et en rupture. Dans cette perspective, la science comprend ce devenir sans y voir de finalité alors que la théologie en voit une.

Que le devenir du créé soit de ce type, rejoint, pour le théologien, la manière dont la révélation de Dieu et de son dessein s'est effectuée dans l'histoire d'Israël et de l'Eglise. La révélation a eu lieu dans l'histoire d'Israël avant notre ère et, pour les chrétiens, elle culmine dans la personne de Jésus de Nazareth et son histoire. Pour les chrétiens, Jésus accomplit le dessein de Dieu. Il ne s'agit plus d'en attendre la réalisation, mais de participer à son accomplissement. Le devenir de l'être humain et du monde se révèle maintenant dans une histoire dont l'être humain est partie prenante. C'est en effet une tâche essentielle des croyants que de susciter et de rendre manifeste le changement dans le monde.

Cependant, présenter le devenir du monde orienté par le Christ et vers lui peut donner prise à une objection théologique que développe Ch. Duquoc19 . Si, par sa résurrection, le Christ Jésus oriente le devenir du monde, c'est que, explique-t-il, la résurrection est l'aboutissement de l'acte créateur. Or, tel n'est pas le cas quand on envisage les textes du Nouveau Testament 20 . Du coup, selon Ch. Duquoc, il n'y a pas de "sens christique" au devenir cosmique 21 . En revanche, il y a une orientation de la vie humaine par la résurrection du Christ Jésus. Cette compréhension de la révélation honore la différence d'impact de la résurrection entre l'humain et le reste du créé. Mais, elle le fait en introduisant une séparation entre l'humain et le cosmique, pour reprendre les catégories de Duquoc, c'est-à-dire entre l'histoire et le cosmos. Les hommes maîtrisent leur histoire, plus ou moins, mais ils sont sous la dépendance de la nécessité dans la marche de l'univers (p. 183). Cette démarche, qui ne nie pas le salut du cosmos, pose tout de même une séparation entre l'historique qui ne concerne que les affaires humaines et le cosmique. Mais, à la lumière des analyses précédentes, on peut remarquer que, dans la perspective de Duquoc, le rapport entre humain et cosmique est mal posé. Le devenir de l'univers, en effet, n'est pas sous le coup de la nécessité seulement, puisqu'il est ouvert. Un monde ouvert est engagé dans un devenir qui n'est pas la seule continuation de son état présent.

Le réel observé peut être signe de la résurrection à l'oeuvre Un autre impact de la notion de monde ouvert sur la création en lien avec la résurrection porte sur la notion de signe. Dans un système fermé tout signe reçoit son sens et sa référence de l'intérieur du système. Il n'existe ni signification, ni référence externes. Dans un système ouvert, en revanche, c'est possible. Signification ou référence, ou les deux, peuvent être externes.

Illustrons cela en appliquant la notion de signe au rapport entre l'effet (signification) et la cause (référence) à partir de deux exemples. Le premier concerne le phénomène de la gravitation, effet et signe de ce qui en est la cause. Dans la formulation newtonienne, la gravitation est l'action subie par un corps de la part de tous les autres corps de l'univers. La référence est ici la masse des corps qui exercent l'attraction, la signification consiste dans l'effet qu'est la gravitation. La compréhension du phénomène est locale au sens où il y a correspondance terme à terme, à chaque corps correspond une masse qui exerce une attraction sur les autres corps, et où la gravitation subie par l'un est la somme des actions exercées, indépendamment les unes des autres, par les autres corps sur le corps étudié. Le concept de gravitation forgée par la mécanique newtonienne est entièrement tributaire d'un monde considéré comme un système fermé. Les éléments constitutifs du monde, les corps et leurs propriétés, suffisent à rendre compte de la gravitation 22 .

Très différente est la théorie relativiste de la gravitation. L'univers, on le sait, est présenté comme une distribution de matière-énergie23 constituant la réalité géométrique qu'est l'espace-temps. La gravitation exprime justement la relation entre la distribution de matière-énergie et la structure de l'espace-temps. C'est le principe d'équivalence avancé par Einstein24 . Mais, et c'est la grande différence avec la théorie newtonienne, la distribution et la structure géométrique, sans être dans un rapport d'identité, sont liées l'une à l'autre. Elles renvoient en effet l'une à l'autre, mais elles restent en situation d'extériorité l'une par rapport à l'autre tout en étant inséparables. On ne peut pas penser l'une sans l'autre, mais elles ne sont pas identiques. En ce sens, l'univers est vu comme un système ouvert où n'existe pas de correspondance simple, c'est-à-dire terme à terme, entre des éléments et des actions qu'ils exerceraient les uns sur les autres. L'action est ici médiate par le moyen d'un système, la distribution de matièreénergie, sur un autre système, la structure géométrique de l'espace-temps. Ainsi, la gravitation renvoie à, et donc est signe de, la distribution de matière-énergie qui en est la cause et, en même temps la gravitation renvoie à, et donc est signe, de la structure géométrique de l'espace-temps qui en est l'effet.

Une autre illustration de la différence entre un monde fermé et un monde ouvert tient dans la compréhension de la notion d'événement et de ce qui en est la cause. Si les événements se produisent dans un monde considéré comme fermé, alors ils tirent leur sens et leur origine d'enchaînements causaux antérieurs. Tout événement est déterminable du fait de ces enchaînements, que cela soit connaissable ou non n'a pas d'importance ici. La notion de fiabilité d'un élément ou d'un système, si utilisée en technologie, renvoie à un monde fermé du fait du déterminisme impliqué par la fermeture 25 . Dans un monde considéré comme ouvert, il peut apparaître une rupture entre un enchaînement causal et un autre. Cela veut dire que des circonstances font qu'un enchaînement peut donner naissance à plusieurs scénarios possibles. Mais, si on peut prévoir ces scénarios, on ne peut déterminer lequel sera effectivement réalisé. C'est la notion de bifurcation26 . Dans cette perspective, la conception d'un monde considéré comme fermé ou comme ouvert a une implication directe sur celle de l'histoire. Dans le premier cas, les « lois » de l'histoire tendent à faire que le présent reproduit le passé. Les éléments du passé, événements et situations, rendent comptent du présent. La compréhension est locale : ce qui se produit est le résultat de l'action de tous les éléments du système que constitue le passé. Dans le second cas, il y a possibilité d'apparition de situations nouvelles. La compréhension suppose de faire intervenir des éléments contingents non déterminés d'avance, ouvrant ainsi à une pluralité d'interprétations. L'événement peut être perçu comme le signe des éléments contingents qui l'ont fait advenir. Ce n'est pas le lieu de développer davantage cet aspect, mais d'indiquer qu'on peut l'appliquer en théologie en montrant la possibilité de comprendre l'action de la résurrection dans le créé comme repérable par des signes accessibles au croyant.

Les signes de la création nouvelle

Je prends l'exemple de la multiplication des pains dans l'évangile de Jean. La foule ne comprend pas (et les disciples pas davantage) que ce prodige est un signe, comme l'interpellation de Jésus le fait remarquer : Ce n'est pas parce que vous avez vu des signes que vous me cherchez, mais parce que vous avez mangé des pains à satiété (Jn 6,26). Les interlocuteurs de Jésus s'en tiennent à ce qu'ils ont vu, c'est-à-dire du pain. Or, le signe est une réalité visible, c'est-à-dire accessible aux sens, qui ait accéder à une réalité qui ne se voit pas, c'est-à-dire qui n'est pas telle quelle accessible aux sens. Il s'agit en fait de la même réalité mais considérée dans la totalité qu'elle constitue du fait de l'action de la résurrection sur elle. Le pain dans ce passage de Jean renvoie à l'eucharistie27 . L'élément créé qui est touché par la résurrection, c'est-à-dire par l'action de l'Esprit, c'est le pain qui n'est plus du pain ordinaire, mais le Pain de la Vie éternelle (Jn 6,35 et 51), c'est-à-dire le Christ Jésus lui-même. Le pain que l'on voit et mange est à la fois ce qu'on voit et ce qu'on ne voit pas. Il est à la fois signe de la vie éternelle et cette vie même. Pour entrer dans cette compréhension, et par conséquent pour savoir qu'il y a un signe, il faut "croire". Alors la réalité dans son appréhension première devient signe de la réalité dans sa dimension nouvelle, due à l'action de la résurrection de Jésus.

Si on considère le monde comme fermé, le voir et le croire constituent deux systèmes qui se superposent sans communication possible. Le pain reste du pain et la Vie reste à part. Si le monde est perçu comme ouvert, alors ces deux systèmes peuvent communiquer. Le pain est en fait le pain de Vie, c'est-à-dire le Pain qui est devenu la Vie.

On remarquera au passage que création et résurrection sont liées par l'incarnation : le Pain de Vie, c'est Jésus qui est descendu du ciel, d'auprès du Père, pour donner la Vie éternelle, c'est-à-dire la Vie de Dieu, au monde (Jn 6, 33 et 51).

Développer la notion de réalité comme signe de la création nouvelle n'est pas l'objet de cette communication. Celle-ci veut simplement montrer que croire en la résurrection de Jésus conduit à voir le créé selon une double perspective. Dans un cas, le monde, tel que nous le connaissons, le monde selon la perspective scientifique, est ouvert et dans l'autre cas, selon la perspective croyante de la théologie, il est ouvert sur un but, la création nouvelle déjà commencée et accessible sous forme de signes par ceux qui se situent dans cette perspective propre à la foi chrétienne.

  Science and Religion. Some historical Perspectives , "The Cambridge History of Science Series", Cambridge, Cambridge U.P., 1991 ; C.B. Kaiser, Creation and the History of Science (The History of Christian Theology, 3), London/Grand-Rapids, Marshall Pickering/ W.B. Eerdmans Publishing Co., 1991. d'actualiser les leçons que l'on peut tirer des Pères. Auparavant il nous faut préciser la période patristique intéressante pour notre sujet. Elle se situe entre la fin du judaïsme du second Temple, dont la Synagogue et l'Eglise sont issues, et l'avènement au 4 ème siècle d'un christianisme majoritaire, puis religion d'état. Il s'agit donc de reconsidérer les Pères des trois premiers siècles pour examiner leur manière d'énoncer la révélation chrétienne.

Sur l'histoire des relations entre science et théologie et plus généralement entre science et christianisme, voir J. H. Brooke,

Voir M. Delsol, J.-M. Exbrayat (éd.), L'évolution biologique -Faits -Théories -Épistémologie -Philosophie, Paris, Vrin, 2002. Que ce soit une théorie et pas seulement une hypothèse, c'est ce que Jean Paul II retient dans son discours à l'Académie Pontificale des Sciences, le 22 octobre1996, Documentation Catholique n° 2148, 1996. Analyse de ce discours chez R. Bergeret, A l'écoute de la science, le pape Jean-Paul II, Saint Etienne, Aubin Editeur, 2001, p. 96.

5 Voir l'ouvrage cité de Cockburn et A. Behrensmeyer et al. (ed), Terrestrial Ecosystems through Time. Evolutionary Paleoecology of Terrestrial Plants and Animals, Chicago, The University of Chicago Press, 1992

.6 Voir Behrensmeyer, p.

11. 7 Voir Cockburn, p. 258

-284.8 Voir P. Nougier, Structure et évolution du globe terrestre, Paris,Ellipse, 1993, P; 20-24 et surtout p. 60-93 ; P. Kearey, F.J. Vine, Global Tectonics, Oxford, Blackwell Publishers, 1999 (1996), chap. 2-5 et 11 ; L. Jolivet, H.-C. Nataf, Géodynamique, Paris, Dunod, 1998, chap. 1 et 4. Il faut remarquer que la chaleur interne terrestre diminuant, la tectonique va elle aussi en ralentissant. Elle se trouve moins active qu'il y a un ou deux milliards d'années et tend vers un arrêt définitif. Sur l'histoire de la mise en place

Voir A. McGrath, A Scientific Theology, 1, Nature, Edinburgh/New York, T&T Clarck, 2001, p. 155-191.

Voir J. Fantino, La théologie d'Irénée, Paris, Cerf, 1994, p. 266-338.

Voir J.N.D.Kelly, Early Christian Creeds, Harlow, Longman, 1986. Le premier article de la confession de foi concerne entièrement le Dieu Créateur (p. 131-139) indépendamment des différences entre les symboles occidentaux et orientaux(p. 181-195).

Par exemple, pour Irénée, voir Fantino, p. 220-264, pour Tertullien, voir Tertullien, Contre Hermogène, éd. de F. Chapot, coll. Sources Chrétiennes, 439, Paris, Cerf, 1999, p. 23-25.

Sur l'intérêt et les limites de la problématique de Vatican I, voir C. Theobald, "La théologie de la création en question. Un état des lieux", RSR 81, 1993, p. 613-641.

Voir à ce sujet les remarques d'Augustin dans La Genèse au sens littéral, 1,39.

Tel est le cas par exemple du système solaire. La théorie des systèmes dynamiques montre qu'il est impossible de connaître la configuration du système solaire au delà (ou en deçà) de quelques dizaines de millions d'années ; voir F. Lurçat, Le chaos, Paris, PUF,

1999, p. 61-70. A titre de comparaison, rappelons que l'âge de la terre est de 4,55 milliards d'années.

Ch. Duquoc, L'unique Christ. La symphonie différée, Paris, Cerf,

 20 Voir par exemple 1Co 15 20-28/Rm 8, 19-23 / Ap 21,1.21 Voir p. 185.

Dans la physique newtonienne, ils rendent compte d'ailleurs de tous les phénomènes.

En relativité la masse est en effet une forme de l'énergie et la formule d'Einstien donnant l'énergie en fonction de la masse est célèbre : E = mc 2 .

Voir L. Landau, E. Lifchitz, Physique théorique, 2, Théorie des champs, Moscou, Ed. Mir, 1989 4 , p. 462-501.

C'est pourquoi la fiabilité se joue sur une durée limitée, la fermeture ne pouvant être garantie pour un temps indéterminé.

Voir "Devenir et irréversibilité", Encyclopédie Philsophique Universelle, vol. 1, L'univers philosophique, Paris, P.U.F., 1991 2 , p. 362-365 ; "Catastrophes", Dictionnaire des Sciences,Paris, Flammarion, 1997, 129-130.

Voir R.A. Brown, J.A. Fitzmyer, R.E. Murphy (ed.), The New Jerome Biblical Commentary, London, Geoffrey Chapman, 1993, p. 960-963.


P Bettiol

B Bonnard

A Nolot

J Rouot

Optimal control theory and the efficiency of the swimming mechanism of the Copepod Zooplankton

Keywords: Low Reynolds number, Copepod swimmer, SR-geometry, Periodic optimal control, Transversality conditions

In this article, the model of swimming at low Reynolds number introduced by D. Takagi (2015) to analyze the displacement of an abundant variety of zooplankton is used as a testbed to analyze the motion of symmetric microswimmers in the framework of optimal control theory assuming that the motion occurs minimizing the energy dissipated by the fluid drag forces in relation with the concept of efficiency of a stroke. The maximum principle is used to compute periodic controls candidates as minimizing controls and is a decisive tool combined with appropriate numerical simulations using indirect optimal control schemes to determine the most efficient stroke compared with standard computations using Stokes theorem and curvature control. Also the concept of graded approximations in SR-geometry is used to evaluate strokes with small amplitudes providing a fixed displacement and minimizing the dissipated energy.

INTRODUCTION

This article is entirely devoted to the analysis combining optimal control theory and sub-Riemannian (SR-) geometry of the swimming process of a variety of zooplankton observed by Takagi (2015) and modeled in the framework of swimming at low Reynolds number. See Fig. 1 for the picture of the copepod (left) and the 2-link symmetric micro-robot swimmer to mimic the animal mechanism. In micro-robot modeling, to produce the displacement along the line Ox 0 , we use a pair of two symmetric links, with equal length normalized to l = 1, θ 1 , θ 2 are the respective angles of the two links, and they satisfy the constraint 0 ≤ θ 1 ≤ θ 2 ≤ π.

Using the swimming model at low Reynolds number, we relate the speed of the displacement to the speed of the shape variable θ by the equation ẋ0 = 2 i=1 θi sin(θ i ) 2 i=1 (1 + sin 2 (θ i ))

.

(1)

To parameterize the motion as a control system, one introduces the dynamics: θ1 = u 1 , θ2 = u 2 .

It provides a control system written as q = 2 i=1 u i F i (q) with q = (x 0 , θ), θ = (θ 1 , θ 2 ). Moreover we have state constraints given by a triangle T in the shape variables: θ i ∈ [0, π], i = 1, 2, and θ 1 ≤ θ 2 . u 1 , u 2 are periodic controls producing strokes, which are closed curves in the θ-plane, and the reference problem can be analyzed in the framework of optimal control theory introducing a cost function. A choice of particular interest for the cost to minimize, in particular in relation with the concept of efficiency defined by Lightwill (1960), is the mechanical energy dissipated by the drag forces:

E = T 0 ( q M (θ) q)dt
where M is the matrix

M =   2 -1/2(cos 2 θ 1 + cos 2 θ 2 ) -1/2 sin θ 1 -1/2 sin θ 2 -1/2 sin θ 1 1/3 0 -1/2 sin θ 2 0 1/3  
Using (1) this amounts to minimize the quadratic form

E = T 0 (a ( θ)u 2 1 + 2b(θ)u 1 u 2 + c(θ)u 2 2 )dt with a = 1 3 - sin 2 θ 1 2(2 + sin 2 θ 1 + sin 2 θ 2 ) , b = - sin θ 1 sin θ 2 2(2 + sin 2 θ 1 + sin 2 θ 2 ) , c = 1 3 - sin 2 θ 2 2(2 + sin 2 θ 1 + sin 2 θ 2 )
.

Denoting g the associated Riemannian metric in the θspace, the optimal control problem can be rewritten as a sub-Riemannian problem

q = 2 i=1 u i F i (q), min u(.) T 0 g(θ, θ)dt
with appropriate boundary conditions associated with periodic control θ(0) = θ(T ), and with the triangle inequality constraints 0 ≤ θ 1 ≤ θ 2 ≤ π. x 0 (T ) -x 0 (0) represents the displacement of a stroke and one can set x 0 (0) = 0. According to Maupertuis principle, this is equivalent to minimize the length L = T 0 g(θ, θ) 1/2 dt and using the energy minimization point of view, the period T of a stroke can be fixed to T = 2π. We emphasize that the problem is equivalent to a minimal-time control by fixing the energy level g = 1 of the strokes.

From this point of view, the optimal control problem consists in computing the points of the sub-Riemannian sphere S q0 (r) formed by extremities of the minimizers starting from q 0 and with fixed length, and requiring that the optimal control is periodic. This is equivalent to fix the displacement x 0 (2π) -x 0 (0) and to compute strokes minimizing the length.

The concept of geometric efficiency differs has a clear meaning in the SR-geometry context. Assuming x 0 (0) = 0, the geometric efficiency is the ratio

E = x 0 (T )/L
(2) where L is the length of the stroke producing the displacement x 0 (T ), which is proportional, for a fixed g, to E = x 2 0 (T )/E, which is introduced by Takagi (2015). A further concept of efficiency can be similarly used, see for instance Chambrion et al (2014). It takes the ratio between the energy used to move the swimmer at constant speed v to produce the displacement x 0 (T ) and the mechanical energy where the shape variables are hold on at θ(0), that is

Ef f = |v| 2 M 11 (θ(0)) 1/T E , M = (M ij ), v = 1 T T 0 ẋ0 dt. (3)
We have (taking x 0 (0) = 0)

Ef f ∼ x 2 0 (T ) E M 11 (θ(0))
If the concept of geometric efficiency is related to SRgeometry, the problem of maximizing the efficiency can be studied employing also techniques of optimal control. This will be the main achievement of this article.

The paper will be organized in two sections. The first section represents a geometric analysis, in relation with SR-geometry, and is devoted to the problem of computing optimal strokes with small amplitudes. The second section is a direct application of the maximum principle in the frame of periodic optimal control supplemented by second order optimality conditions and numerical simulations to compute strokes for the problem of maximizing different efficiencies.

A GEOMETRIC ANALYSIS OF THE PROBLEM IN THE FRAME OF SR-GEOMETRY

Geodesic computation

Consider the energy minimization problem

q = 2 i=1 u i F i (q), min u(.) T 0 (a(q)u 2 1 + 2b(q)u 1 u 2 + c(q)u 2 2 )dt
where the set of admissible controls U is the set of bounded measurable mapping valued in R 2 . We introduce the pseudo-Hamiltonian H(q, p, u) = p q + p 0 (a(q)u 2 1 + 2b(q)u 1 u 2 + c(q)u 2 2 ). According to the maximum principle (cf Vinter (2000)), minimizers are found among extremals curves, which are solutions of the following equations

q = ∂H ∂p , ṗ = - ∂H ∂q , ∂H ∂u = 0.
This leads to consider the following cases.

Normal case. Assume p 0 = 0 and it can be normalized to p 0 = -1/2. Corresponding controls are given by

u 1 = cH 1 -bH 2 ab -b 2 , u 2 = aH 2 -bH 1 ab -b 2 .
where H 1 , H 2 are the Hamiltonian lifts of the vector fields F 1 , F 2 and plugging such controls in H yields the normal Hamiltonian

H n = 1 2(ac -b 2 ) (aH 2 2 -2bH 1 H 2 + cH 2 1 ). ( 4
)
The corresponding solution z = (q, p) are called normal extremals. Abnormal case. If p 0 = 0, additional extremals z = (q, p) appear and they are called abnormal. They are solutions of the implicit equations

H 1 = H 2 = 0.
(5) If F, G are two smooth vector fields, the Lie bracket is computed as

[F, G](q) = ∂F ∂q (q)G(q) - ∂G ∂q (q)F (q)
and if

H F = p • F (q), H G = p • G(q), the Poisson bracket is: {H F , H G }(z) = dH F ( -→ H G ) = p • [F, G](q).
Differentiating twice (5) with respect to time, abnormal controls are given by

H 1 = H 2 = {H 1 , H 2 } = 0, u 1 {{H 1 , H 2 }, H 1 } + u 2 {{H 1 , H 2 }, H 2 } = 0 (6)
and can be (generically) computed solving (6) provided one Poisson bracket {{H 1 , H 2 }, H i }, i = 1, 2 is non zero. Definition 1. The exponential mapping is, for fixed q 0 the map: exp q0 : (t, p(0)) → Π(exp t -→ H n (z(0))) where Π is the standard projection: Π : (q, p) → q. A projection of an extremal is called a geodesic. It is called strictly normal if it is the projection of a normal extremal but not an abnormal one. A time t c is a conjugate time if the exponential mapping is not of full rank at t c and t 1c denotes the first conjugate time and q(t 1c ) is called the first conjugate point along the reference geodesic t → q(t). Definition 2. Fixing q 0 , the wave front W (q 0 , r) is the set of extremities of geodesics (normal or abnormal) with length r and the sphere S(q 0 , r) is the set of extremities of minimizing geodesics. The conjugate locus C(q 0 ) is the set of first conjugate points of normal geodesics starting from q 0 and the cut locus C cut (q 0 ) is the set of points where geodesics cease to be optimal. Definition 3. According to the previous definitions, a stroke is called (strictly) normal if it is a (strictly) normal geodesic with periodic control while an abnormal stroke is a piecewise abnormal geodesic with periodic control.

Computation in the copepod case

One has:

F i = sin(θ i ) ∆ ∂ ∂x 0 + u i ∂ ∂θ i , i = 1, 2. with ∆ = 2 i=1 (1 + sin 2 (θ i )). We get [F 1 , F 2 ](q) = f (θ 1 , θ 2 ) ∂ ∂x 0 with f (θ 1 , θ 2 ) = 2 sin(θ 1 ) sin(θ 2 )(cos(θ 1 ) -cos(θ 2 )) ∆ 2 . Furthermore, [[F 1 , F 2 ], F i ] = ∂ f ∂θ i ∂ ∂x 0 , i = 1, 2
and we have simple formulas to generate all Lie brackets. Definition

4. A point q 0 is called a Darboux or contact point if at q 0 , F 1 , F 2 and [F 1 , F 2 ] are linearly independent and a Martinet point if F 1 , F 2 and [F 1 , F 2 ] are coplanar but at least one i = 1, 2, [[F 1 , F 2 ], F i ] / ∈ span{F 1 , F 2 }.
According to this terminology and Lie brackets computations, we have Proposition 5. 1) All interior points of the triangle T : 0 ≤ θ 1 ≤ θ 2 ≤ π are contact points.

2) The sides of the triangle (vertices excluded) are Martinet points and the triangle is a (piecewise smooth) abnormal stroke.

Geometric comments. Hence the observed stroke by Takagi (2015) corresponds to the policy:

θ 2 : 0 → π, θ 1 : 0 → π, θ i : π → 0, i = 1, 2 with θ 1 = θ 2 .
where the copepod swimmer follows the triangle boundary of the physical domain corresponding to the unique abnormal stroke.

Moreover it has a nice geometric interpretation using Stokes' theorem and curvature control methods. Lemma 6. One has:

1)

2 i=1 sin(θ i ) ∆ dθ i = ∂ ∂θ 2 sin(θ 1 ) ∆ - ∂ ∂θ 1 sin(θ 2 ) ∆ dθ 1 ∧ θ 2 = dω.
2) The points where dω = 0 are precisely the abnormal triangle, and dω < 0 in the interior domain and dω > 0 in the exterior.

2.3 SR-classification in dimension 3 and strokes with small amplitude for the copepod swimmer

The contact case. The crucial results applicable to our model come from Alaoui et al. (1996). Consider a standard SR-problem (D, g), where ∆ is a distribution and g is a SR-metric, near a point q 0 ∈ R 3 identified with 0, one has:

• Heisenberg-Brockett nilpotent model. The nilpotent model (of order -1) is the so-called Heisenberg-Brockett model where (D, g) is defined by the orthonormal frame:

D = span{ F , Ĝ} F = ∂ ∂x + y ∂ ∂z , Ĝ = ∂ ∂y -x ∂ ∂z with q = (
x, y, z) and the graduation 1 for x, y and 2 for z, forming a set of privileged coordinates.

Using this gradation, the normal form of order 0 is similar and the generic model is given by the normal form of order 1

F = F + yQ(w) ∂ ∂z , G = Ĝ -xQ(w) ∂ ∂z , w = (x, y) and Q is quadratic in w, Q = αx 2 +2βxy + γy 2
, where α, β, γ are parameters.

We introduce Q(w) = (1 + Q(w)) and one can write

F = ∂ ∂x + y Q ∂ ∂z , G = ∂ ∂y -x Q ∂ ∂z .
Computing, one has

[F, G] = (2 Q + x ∂Q ∂x + y ∂Q ∂y ) ∂ ∂z and using Euler formula [F, G] = 2(1 + 2Q) ∂ ∂z = f (w) ∂ ∂z .
Geodesics equations. We use Poincaré coordinates associated with the frame (F, G, ∂ ∂z ):

H 1 = p • F, H 2 = p • G, H 1 = p • ∂ ∂z and the normal Hamiltonian is H n = 1 2 (H 2 1 + H 2 2 ). One has Ḣ1 = dH 1 ( -→ H n ) = {H 1 , H 2 }H 2 = (p • [F, G])H 2 = p z f (w)H 2 with p z = H 3 is constant. Ḣ2 = dH 2 ( -→ H n ) = -{H 1 , H 2 }H 1 = -p z f (w)H 1 . Since f (w) = 2 + O(|w| 2
) and for p z non zero, one can introduce the parametrization ds = p z f (w)dt.

(7) Denoting by the derivative with respect to s, we get

H 1 = H 2 , H 2 = -H 1 .
Hence we deduce Lemma 7. In the s-parameter, the normal controls are solutions of the linear pendulum equation H 1 + H 1 = 0 and are trigonometric functions.

A more precise analysis requires higher order Lie brackets computations. Note that, in particular, the relations

[[F, G], F ] = ∂f ∂x ∂ ∂z , [[F, G], G] = ∂f ∂y ∂ ∂z .
The remaining equations to be integrated using ( 7) are

x = H 1 p z f (w) , y = H 2 p z f (w) , z = (H 1 y -H 2 x) Q p z f (w) .
(8) The solution can be estimated using the following expansion, associated with the gradation, setting

x = εX, y = εY, z = ε 2 Z, p x = p X , p y = p Y , p z = p Z /ε. so that the Darboux form is homogeneous.

Denoting Q = (X, Y, Z), P = (P X , P Y , P Z ) the solution can be obtained in the expansion

X(t) = X 0 (t) + εX 1 (t) + o(ε), Y (t) = Y 0 (t) + εY 1 (t) + o(ε), Z(t) = Z 0 (t) + εZ 1 (t) + o(ε). (9)
Clearly by identification one gets that t → (X 0 (t), Y 0 (t), Z 0 (t)) is the solution obtained by the (nilpotent) Heisenberg-Brockett model and similarly for the higher order expansions.

The Martinet case. The analysis at a Martinet point q 0 belonging to the vertices of the triangle is more intricate and can be analyzed using the results of Bonnard et al. (2003).

Generic model at a Martinet point q 0 identified with 0. There exist local coordinates q = (x, y, z) such that the SR-geometry is given by (D, g) with

• D = span{F, G} and F = ∂ ∂x + y 2 2 ∂ ∂z , G = ∂
∂y where q = (x, y, z) are graded coordinates with respective weights (1, 1, 3).

• The metric q is of the form a(q)dx 2 + c(q)dy 2 and we have

• Nilpotent model (flat Martinet case): a = c = 1. • Generic model: a = (1 + αy) 2 ∼ 1 + 2αy (order zero) c = (1 + βx + γy) 2 ∼ 1 + 2βx + 2γy (order zero)
where α, β, γ are parameters.

Geodesic equations. We introduce the orthonormal frame

F 1 = F √ a , F 2 = G √ c , F 3 = ∂ ∂z and denoting H i = p • F i , the normal Hamiltonian is given by H n := 1/2(H 2 1 + H 2 2
). We parameterize by arc-length: H 2 1 + H 2 2 = 1, H 1 = cos χ, H 2 = sin χ and H 3 = p z = λ constant, assuming λ = 0. Hence the geodesic equations become

ẋ = cos χ √ a , ẏ = sin χ √ b , ż = y 2 cos χ 2 √ a , χ = 1 √ ac (yλ -α cos χ -β sin χ) (10)
We introduce the new parameterization

√ ac d dt = d ds ( 11
)
and denoting by φ the derivative of a function φ with respect to s, we get the equations y = sin χ(1 + αy), χ = (yλα cos χβ sin χ) and the second order differential equation χ + λ sin χ + α 2 sin χ cos χαβ sin 2 χ + βχ cos χ = 0.

(12) As a consequence, we obtain the following result. Proposition 8. The generic case projects, up to a time reparameterization, onto a two dimensional equation ( 12), associated with a generalized dissipative pendulum depending on the parameters α, β only.

Geometric application.

• The flat case is α = β = γ = 0 and corresponds to the standard pendulum. • In the generic case we have two subcases

• β = 0 and ( 12) is integrable using elliptic functions. • β = 0, due to dissipation, we are in the nonintegrable case.

Application to the copepod. In the integrable case: β = 0 models of periodic strokes with elliptic functions with modulus k are

• k = 0: circles • k 0.65: eight shape (Bernoulli lemniscates). Note that β = 0 is not a stable case, moreover the triangle constraint 0 ≤ θ 1 ≤ θ 2 ≤ π is not taken into account.

A POWERFUL APPROACH USING OPTIMAL CONTROL THEORY AND NUMERICAL SIMULATIONS

In this section, the problem is analyzed using the maximum principle applied for optimal control with periodic controls (cf Vinter (2000)) and complemented by necessary second order optimality conditions corresponding to the concept of conjugate point.

The maximum principle with periodic controls

The crucial point is the existence of a maximum principle suitable to analyze the problem of maximizing different concept of efficiencies. The system and the energy are written in the extended state space with q = (q, q 0 ) and the corresponding dynamic

q = 2 i=1 u i F i (q) = F (q, u), u ∈ R 2 q0 = 2 i=1 u 2 i , q 0 (0) = 0.
and the problem is to minimize a cost of the form min u(.)

h(q(0), q(2π))

where the end-point conditions are of the form (q(0), q(2π)) ∈ C, where C ⊂ R 3 × R 3 is a given closed set.

We denote p = (p, p 0 ) the extended adjoint vector. The pseudo-Hamiltonian takes the form

H(q, p, u) = 2 i=1 u i H i + p 0 (u 2 1 + u 2 2 )
and

H i = p • F i (q).
From the maximum principle (cf Vinter ( 2000)), an optimal control pair (q, u) satisfies the following necessary conditions that we split into two distinct parts

Standard conditions. q = ∂H ∂ p , ṗ = - ∂H ∂ q , ∂H ∂u = 0.
Transversality conditions.

(p(0), -p(2π)) ∈ λ∇h(q(0), q(2π))+N C (q(0), q(2π)) ( 13) where N C is the (limiting) normal cone to the (closed) set C, (p, λ) = 0, λ ≥ 0.

Application. q = (x 0 , θ 1 , θ 2 )

• Maximizing the geometric efficiency with periodic condition

θ(0) = θ(2π), h = - x 2 0 (2π) E where E is the mechanical energy E = 2π 0 (u 2 1 + u 2 2 )dt.
In this case we deduce the periodicity condition on p θ = (p θ1 , p θ2 ) dual to θ: p θ (0) = p θ (2π), ( 14) to produce a smooth stroke in the normal case p 0 = 0.

Moreover (p x , p 0 ) at the final point have to be collinear to the gradient of the set h(x 0 , x 0 ) = c where

x 0 = u 2 1 + u 2 2 .
• Maximizing an efficiency depending on θ(0), with periodic conditions:

θ(0) = θ(2π), h = - m(θ(0))x 2 0 (2π) E
where m is a chosen smooth function. In this case, (14) becomes:

p θ (0) -p θ (2π) = λ ∂h ∂θ(0) (15)
hence producing a jump of the adjoint vector.

Second-order necessary optimality condition

It is the standard necessary optimality condition related to existence of conjugate point (cf Bonnard et al. (2003)). Proposition 9. Let (x 0 (t), θ(t)), t ∈ [0, 2π] be a strictly normal stroke. Then a necessary optimality condition is the non existence of conjugate time t c ∈]0, 2π[.

It can be checked numerically using the HamPath code.

Applications: numerical simulations

We present a sequence of simulations using the HamPath software. These are based on our computations for the 2π 0 (u 2 1 + u 2 2 )dt cost. • Fig. 2: Different kind of normal strokes: simple loop, limaçon and eight and computation of conjugate points. Only the simple loops are candidates to be optimal strokes. • There is a one-parameter family of simple strokes, each of them associated with a different energy. The corresponding efficiency is represented in Table 1 and compared with the efficiency of the abnormal stroke, producing the maximum efficiency value. We have numerically checked that it corresponds to the stroke with the transversality condition provided by the maximum principle (13), cf Fig. 6. • As in Chambrion et al ( 2014), we consider a cost depending upon θ(0), namely h = -x 2 0 (2π)m(θ( 0)) E where m(θ 1 (0)) = 2 -cos 2 (θ 1 (0)). In Fig. 7 is illustrated the corresponding optimal solution satisfying the transversality conditions (13), it is a non smooth stroke and it can be compared to the previous smooth solution of Fig. 6.

  FIG. 1. Sketch of the upper half of a swimmer paddling along the x axis, the line of symmetry.I. INTRODUCTION

Fig. 1 .

 1 Fig. 1. (left) Observation of a zooplankton. (right) Sketch of the 2-link symmetric swimmer.

Fig. 2 .

 2 Fig. 2. One parameter family of simple loops, limaçons and Bernoulli lemniscates normal strokes

Fig. 3 .Fig. 4 .Fig. 5 .Fig. 6 .

 3456 Fig. 3. Normal stroke of the Copepod swimmer with limaçon shape. The first conjugate point is computed (indicated by the cross)

Fig. 7 .

 7 Fig. 7. Normal stroke of the Copepod swimmer for the efficiency depending upon the initial angle θ(0), obtained by the transversality conditions of the maximum principle (13) P.H. Lenz, D. Takagi, D.K. Hartline. Choreographed swimming of copepod nauplii. Journal of The Royal Society Interface 12, no 112 (2015) M.J. Lighthill. Note on the swimming of slender fish. J. Fluid Mech. 9, 305-317 (1960) J. Lohéac, J.-F. Scheid. Time optimal swimmers and Brockett integrator. (2015) hal-01164561 D. Takagi. Swimming with stiff legs at low Reynolds number. Phys. Rev. E 92. (2015) R.B. Vinter, Optimal control. Systems & Control: Foundations & Applications (2000) xviii-507.

ACKNOWLEDGEMENTS

J. Rouot is supported by the French Space Agency CNES, R&T action R-S13/BS-005-012 and by the région Provence-Alpes-Côte d'Azur.


Adam Wyner

Johan Bos

Valerio Basile

Paulo Quaresma

An Empirical Approach to the Semantic Representation of Laws

Keywords: . Legislation, Parsing, Semantic Representation

To make legal texts machine processable, the texts may be represented as linked documents, semantically tagged text, or translated to formal representations that can be automatically reasoned with. The paper considers the latter, which is key to testing consistency of laws, drawing inferences, and providing explanations relative to input. To translate laws to a form that can be reasoned with by a computer, sentences must be parsed and formally represented. The paper presents the state-of-the-art in automatic translation of law to a machine readable formal representation, provides corpora, outlines some key problems, and proposes tasks to address the problems.

Introduction

To automatically process laws that are expressed in natural language, they must be made machine-readable. There are several approaches to making legal texts machine-readable, depending on the goals and purposes to be served by the processed text. Among the approaches, legal texts may be processed to link documents, to annotate for information extraction, and to translate them to a formal representation. In this paper, we focus on the last approach, rendering text into a machine-processable formal representation, e.g. Firstorder Logic (FOL) formulas, that can directly be fed into existing automated deduction engines to check for consistency and redundancy as well as to draw inferences.

In this paper, we outline a work in progress, providing new preprocessed corpora, reporting novel observations on automated parsing and semantic representation of legal text, and identifying research targets for ongoing work to improve current parsers and semantic representations. Thus, the paper takes an empirical approach to linguistic phenomena and tool development. In the following, we first discuss some of the approaches and issues in Section 1, pointing out the limitations of current analyses and tools. In Section 2, we outline our method and tools along with the corpora. Observations are reported in Section 3. In Section 4, we discuss the research and outline future steps.

Background

One of the early ambitions of artificial intelligence and law was to develop expert systems and executable representations of legal knowledge. Several large scale projects were carried out e.g. [START_REF] Sergot | The British Nationality Act as a logic program[END_REF][START_REF] Bench-Capon | Argument based explanation of the british nationality act as a logic program[END_REF], where relevant textual portions were manually identified, decomposed, paraphrased, then formalised in Prolog. In addition to the labour of analysis, these approaches had no methodology or linguistic framework. Since this early work, some commerical products have become available [START_REF] Dayal | A web-based revolution in Australian public administration[END_REF]; the tools can parse selected, preprocessed sentences with limited semantic expressivity. However, as the system can be served on the Internet, they are widely deployed for calculation of benefits or taxes.

There have been recent efforts to apply natural language processing tools to legal text, with limited success. One approach uses machine learning to classify documents or sentences rather than fully parse and semantically represent text, e.g. [START_REF] Francesconi | Legal rules learning based on a semantic model for legislation[END_REF] for Italian. Other approaches use linguistically oriented parsing, though are of limited scope [START_REF] Mccarty | Deep semantic interpretations of legal texts[END_REF], are not successful with legal text [START_REF] Wyner | On rule extraction from regulations[END_REF], or are not available for English [START_REF] De | Suggesting model fragments for sentences in dutch laws[END_REF].

Previous efforts have not succeeded on a wide scale. Statistical models can deal with the combinatorial explosion problem caused by ambiguities in natural language; and fast and robust processing tools have been produced based on such models [START_REF] Bos | Wide-coverage semantic analysis with boxer[END_REF]. Yet, large, richly annotated, open-source gold standard corpora are needed on which to build the statistical models. While such gold standards exist for other classes of text, e.g. newswire articles, no such corpora exist for legal texts; consequently, statistical models sufficient to accurately process legal text cannot be built. Thus, to make further progress, it is essential to develop a gold standard corpora. As part of this endeavour, the capabilities of current processing tools must be closely evaluated and modified as relevant.

Method

In this section, we briefly describe the tool and materials that we use in our study. We use C&C/Boxer [START_REF] Bos | Wide-coverage semantic analysis with boxer[END_REF], a tool that parses and semantically represents text. We have used this in the context of the Groningen Meaning Bank (GMB) [START_REF] Valerio Basile | A platform for collaborative semantic annotation[END_REF], which is a freely available, online corpus of English texts that have been automatically parsed and given a semantic representation using the C&C/Boxer tool. GMB comprises thousands of public domain documents. In addition, GMB supports an open approach to curating a gold standard corpus of syntactic and semantic representations, for the texts and their preprocessed analyses are available to users to comment upon and to revise.

C&C/Boxer consists of a combinatory categorial grammar (CCG) parser [START_REF] Bos | Wide-coverage semantic analysis with boxer[END_REF] and Boxer, a tool that provides semantic representations in Discourse Representation Structures (DRSs) of Discourse Representation Theory (DRT) [START_REF] Kamp | From Discourse to Logic: Introduction to Model-theoretic Semantics of Natural Language: Formal Logic and Discourse Representation Theory[END_REF] . A categorial grammar specifies typed categories of lexical items along with their mode of combination: for example, a verb such as runs has the category of NP/S, and a noun such as Bill has a category of NP; combining something of NP category on the left of something of NP\S category on the right yields a category of type S, which is a sentence. Along with the syntactic parse, a formal semantic translation expressed in the λ -calculus is provided, where the semantic derivation follows the structure of the syntactic parse. DRT was developed to provide semantic representations for discourses, including pronominal anaphora and discourse relations. The semantic representations are, by and large, FOL expressions that are suitable for FOL theorem provers and model builders; some sentential operators (e.g. possibility and necessity) are also represented. Syntactic and semantic derivations can be given for long, complex sentences and discourse continuations, and we discuss one sample below. However, sentences and discourses must be carefully checked that the derivation is correct and, more importantly, that the semantic output corresponds to semantic intuitions for an interpretation of the meanings of the sentences. Thus, we use the tools to analyse, curate, and then commit statements to a gold standard corpus, while also improving the tool.

Turning to discuss the materials, we have created a new, automatically parsed and semantically represented (using C&C/Boxer) corpus of legal text; the output must be carefully checked and modified in order to form the basis of a gold standard corpus. Currently, this corpus contains British Nationality Act 1981, Part I (BNA1), where irrelevant or ideosyncratic aspects have been removed (e.g. HTML and layouts). Comparing a corpus of Voice of America texts (VOA) to BNA1, we find that: BNA1 has more tokens on average per sentence than VOA (77.9 vs. 21.4); and BNA1 has greater average complexity than VOA (4.39 vs. 3.09), measured as the average recursion level of a DRS.

Observations

In this section, we comment on the parse and semantic representation of one example:

If an application is made to register as a British citizen a person who is a British overseas territories citizen, the Secretary of State may, if he thinks fit, cause the person to be so registered.

By and large, C&C/Boxer correctly parses and semantically represents this sentence: it identifies the conditional structures, scopes the modal "may" over the lowest consequent clause, identifies predicate-argument structures, and locates antecedents for pronouns (e.g. "he" is the Secretary of State) amongst other aspects.

However, there are issues, which we give along with proposed solutions.

• An abstract noun "application" is given as the agent of the action of "registering", rather than an individual. Abstract nouns should be analysed in terms of a verb. • The phrase "he thinks fit" is misanalysed to represent that by thinking, one is fit.

Verbs with sentential complements should be weighted in the parser. • The agentive interpretation of "cause" is not semantically represented; that is, the Secretary of State is not given as the agent who causes the registration. Causal verbs ought to impose their thematic structure. • The ellipsis introduced by "so" does not refer to "as a British citizen", as it should.

Ellipsis could be resolved in terms of syntactic anaphora.

These problematic constructions do not seem to appear in newswire texts, which explains why a parser trained on them performs poorly on them. Having identified difficult linguistic features, we can develop strategies for better parsing and semantic representation.

Discussion and Conclusion

In this section, we point out a range of additional topics for future work. First, while C&C/Boxer successfully parses and semantic represents complex sentences with FOL, there are constructions that are understood to go beyond FOL, e.g. generalised quantifiers, genericity, and intensional operators, among others. Initially, we could provide a semantic representation for these, leaving the full logical and model-theoretic aspects underspecified. Second, there are well-known issues about references to sections or in-dividuals across a legal text, e.g. the following conditions [START_REF] Sergot | The British Nationality Act as a logic program[END_REF]. This requires an augmentation of the tools that resolve anaphora. Third, we have not discussed inference or contradiction. We would take the approach of Recognising Textual Entailment tasks (RTE) [START_REF] Dagan | Recognizing textual entailment: Rational, evaluation and approaches[END_REF], using the Nutcracker inference engine provided by C&C/Boxer. For this, we must first develop a gold standard corpus of statements in legal language where entailment and contradiction relations hold between textual portions. Finally, it is widely acknowledged that defeasibility, where an inference may not hold in some particular circumstance, is essential to legal reasoning [START_REF] Hage | Law and defeasibility[END_REF]. In our sample sentence, this appears in the phrase "if he thinks fit". Currently, C&C/Boxer relies on notions of FOL strict inference. A task for defeasible textual entailment may be a useful approach.

While there are all these significant issues, we can make useful, systematic, incremental progress on the analysis of the expressions. Broadly, the advantage of our empirical approach is that we have a transparent, systematic, and grounded means to curate the corpus and modify the tool. In this paper, we have provided an automatically parsed and semantically represented corpus of legal text; the corpus provides the opportunity to develop a rich, articulated gold standard, which can then be used to train and thereby improve statistical parsers. In addition, the analysis indicates ways in which the parser and semantic interpreter can be revised to improve performance.

Acknowledgments

The first author was supported by the FP7-ICT-2009-4 Programme, IMPACT Project, Grant Agreement Number 247228. The views expressed are those of the authors.