Renaud Marty

Multifractional processes and nonlinear functionals of Gaussian random fields

Keywords: Limit theorems, multifractional processes, Gaussian random fields

In this paper we consider sequences of nonlinear functionals of Gaussian random fields. We prove their convergence to multifractional processes which generalize Hermite processes.

Introduction

This paper deals with sequences of processes defined from functionals of Gaussian random fields. Many works state that such sequences converge to various types of limits which depend on the form of the functionals and on statistical properties of the random fields. Consider for instance a stationary and Gaussian sequence (X n ) n∈N of random variables with mean zero and variance 1. We assume that there exist m ∈ N * , C > 0, and α ∈ (0, 1 m ) such that

E(X 0 X n ) ∼ C n α (1)
as n → ∞. For all N ∈ N we define the process S N φ,H by

(S N φ,H (t)) t≥0 =   1 N H N t n=1 φ(X n )   t≥0 (2)
where H ∈ ( 1 2 , 1) and φ : R → R is a function such that R (φ(x)) 2 e -x 2 /2 dx < ∞ and R φ(x)e -x 2 /2 dx = 0.

Assume that α = 2-2H m and that the Hermite rank of φ is equal to m. By [START_REF] Dobrushin | Non-central limit theorems for non-linear functionals of Gaussian fields[END_REF] and [START_REF] Taqqu | Convergence of integrated processes of arbitrary Hermite rank[END_REF], as N → ∞, S N φ,H converges in distribution to a Hermite process B m,H defined by

(B m,H (t)) t≥0 = c(m, H) Dm dW x 1 • • • dW xm t 0 m k=1 (θ -x k ) H-3/2 + dθ t≥0
(3) * Université de Lorraine, CNRS, IECL, F-54000 Nancy, France

1
where andc(m, H) is a constant. The process B m,H can also be written as

H = 1 + H-1 m , D m = {x 1 < x 2 < • • • < x m }, W is a Brownian motion,
(B m,H (t)) t≥0 = c(m, H) R m d W ξ 1 • • • d W ξm exp(it(ξ 1 + • • • + ξ m )) -1 i|ξ 1 • • • ξ m | H-1/2 (ξ 1 + • • • + ξ m ) t≥0 (4)
where W is the Fourier transform of a Gaussian measure and c(m, H) is a constant. It is a self-similar process with index H and its local Hölder exponent is H at every point. Moreover it is not Gaussian when m > 1, and B 1,H is a fractional Brownian motion with Hurst index H. The above result is extended in a multifractional framework in [START_REF] Cohen | Invariance principle, multifractional Gaussian processes and long-range dependence[END_REF] and [START_REF] Marty | From Hermite polynomials to multifractional processes[END_REF]. Let (X n (H)) (n,H)∈N×(1/2,1) be a Gaussian sequence of random fields with mean zero. We assume that for all (H 1 , H

2 ) ∈ ( 1 2 , 1) 2 there exists R(H 1 , H 2 ) > 0 such that E(X 0 (H 1 )X n (H 2 )) ∼ R(H 1 , H 2 ) n 2-H 1 -H 2 (5) as n → ∞. Notice that if H 1 = H 2 , then (5)
is similar to [START_REF] Benassi | Elliptic Gaussian random processes[END_REF]. We consider a continuous function h : R + → ( 1 2 , 1) and, for all N ∈ N, we define the process S N h by

(S N h (t)) t≥0 =   N t n=1 X n (h(n/N )) N h(n/N )   t≥0 (6)
By [START_REF] Cohen | Invariance principle, multifractional Gaussian processes and long-range dependence[END_REF] and under additional assumptions, as N → ∞ the finite-dimensional distributions of S N h converge to those of a Gaussian process S h with mean zero and such that for all t 1 and t 2 ,

E(S h (t 1 )S h (t 2 )) = t 1 0 t 2 0 R(h(max{θ, σ}), h(min{θ, σ})) |θ -σ| 2-h(θ)-h(σ) dθdσ.
This is a multifractional extension of the result of [START_REF] Dobrushin | Non-central limit theorems for non-linear functionals of Gaussian fields[END_REF] and [START_REF] Taqqu | Convergence of integrated processes of arbitrary Hermite rank[END_REF] in the special case where φ(x) = x for all x ∈ R. If h is constant, then S h is a fractional Brownian motion, namely a Hermite process with m = 1. If h is non-constant, then S h is multifractional like, for instance, the multifractional Brownian motions (defined in [START_REF] Benassi | Elliptic Gaussian random processes[END_REF][START_REF] Peltier | Multifractional Brownian motion: definition and preliminary results[END_REF]). Now consider for all N ∈ N * the process S N φ,h defined by

(S N φ,h (t)) t≥0 =   N t n=1 φ X n h(n/N ) N h(n/N )   t≥0 (7)
where

h = 1 + h -1 m .
We assume that there exist a function g : (H, ξ) → g(H, ξ) and a symmetric compact set K ⊂ R such that the field X = (X n (H)) (n,H)∈N×(1/2,1) of ( 7) is

X n (H) = K e inξ g(H, ξ) |ξ| H-1/2 d W (ξ). ( 8
)
Under additional assumptions on g, X satisfies [START_REF] Itô | Multiple Wiener integral[END_REF] with

R(H 1 , H 2 ) = g(H 1 , 0)g(H 2 , 0) R e iξ |ξ| H 1 +H 2 -1 dξ Notice that in this case, R(H 1 , H 2 ) = R(H 2 , H 1 ). ( 9
)
The main result of [START_REF] Marty | From Hermite polynomials to multifractional processes[END_REF] states that, as N → ∞, the process S N φ,h converges in distribution to a multifractional process S m,h defined by

(S m,h (t)) t≥0 = R m d W ξ 1 • • • d W ξm t 0 g(θ) exp(iθ(ξ 1 + • • • + ξ m )) |ξ 1 • • • ξ m | h(θ)-1/2 dθ t≥0 ( 10
)
where g is a deterministic function. This is an extension in a non-Gaussian setting of the result of [START_REF] Cohen | Invariance principle, multifractional Gaussian processes and long-range dependence[END_REF]. Moreover, the process S m,h generalizes B m,H , namely, if there exists H ∈ ( 1 2 , 1) such that h(x) = H for all x, then S m,h = B m,H . In this paper we extend the results mentioned above. We consider fields X such that for all

H 1 = H 2 , R(H 1 , H 2 ) = R(H 2 , H 1 ),
in contrast with [START_REF] Taqqu | Convergence of integrated processes of arbitrary Hermite rank[END_REF] and [START_REF] Marty | From Hermite polynomials to multifractional processes[END_REF]. With such fields X, we prove the convergence of sequences defined as in [START_REF] Nelson | The free Markoff field[END_REF] to a process of the form

Dm dW x 1 • • • dW xm t 0 f (θ) m k=1 (θ -x k ) h(θ)-3/2 + dθ t≥0 (11)
where f is a deterministic function. The limit is multifractional and generalizes Hermite processes, even though it generally differs from S m,h defined by (10) and studied in [START_REF] Marty | From Hermite polynomials to multifractional processes[END_REF]. In addition, we prove the convergence when

N → ∞ of   N t n=1 φ X n h n/N β N h(n/N β )   t≥0 (12)
for all β ∈ R\{1}. In this case, the limit is a Hermite process with Hurst index depending on the sign of β -1.

The paper is organized as follows. In Section 2 we present the setting and state the main result of the paper. In Section 3 we analyze a multifractional process of the form (11). Section 4 is devoted to the proof of the main result.

Setting and main result

Our main result is the convergence of a sequence defined from a functional of a Gaussian field with long-range dependence. This random field is presented in Section 2.1 and two examples are given in Section 2.2. The main result is stated in Section 2.3.

Gaussian fields with long-range dependence

We consider a random field

X = {X(t, H)} (t,H)∈R + ×( 1 2 ,1) such that for all (t, H) ∈ R + × ( 1 2 , 1), X(t, H) = t -∞ a(t -x, H)dW x ( 13
)
where W is a Brownian motion and a : R

+ × ( 1 2 , 1) → R * + is a continuous function such that ∞ 0 a(x, H) 2 dx = 1
for all H. As a consequence, X is a Gaussian field with mean zero and covariance function r which can be written as

r(t 1 , H 1 , t 2 , H 2 ) = E(X(t 1 , H 1 )X(t 2 , H 2 )) = min{t 1 ,t 2 } -∞ a(t 1 -x, H 1 )a(t 2 -x, H 2 )dx (14) for all (t 1 , H 1 , t 2 , H 2 ) ∈ (R + ×( 1 2 , 1)) 2
, and which satisfies r(t, H, t, H) = E(X(t, H) 2 ) = 1 for all (t, H). Moreover, we assume that there exists a continuous function A :

( 1 2 , 1) → R * + such that for all compact set K ⊂ ( 1 2 , 1), lim t→∞ sup H∈K |t 3 2 -H a(t, H) -A(H)| = 0. ( 15
)
We deduce the following property of the covariance which implies that X satisfies the assumptions considered in [START_REF] Cohen | Invariance principle, multifractional Gaussian processes and long-range dependence[END_REF].

Lemma 1. For all compact set K ⊂ ( 1 2 , 1) 2 , lim |t 1 -t 2 |→∞ sup (H 1 ,H 2 )∈K ||t 1 -t 2 | 2-H 1 -H 2 r(t 1 , H 1 , t 2 , H 2 ) -R(t 1 , H 1 , t 2 , H 2 )| = 0. ( 16
)
where

R : (R + ×( 1 2 , 1)) 2 → R * + is a continuous function such that for all (t 1 , H 1 , t 2 , H 2 ) ∈ (R + × ( 1 2 , 1)) 2 , R(t 1 , H 1 , t 2 , H 2 ) =1 t 1 ≥t 2 A(H 1 )A(H 2 ) ∞ 0 (1 + x) H 1 -3 2 x H 2 -3 2 dx + 1 t 1 <t 2 A(H 1 )A(H 2 ) ∞ 0 (1 + x) H 2 -3 2 x H 1 -3 2 dx. (17)
Notice that if we set for all (H 1 , H 2 ),

C(H 1 , H 2 ) = A(H 1 )A(H 2 ) ∞ 0 (1 + x) H 1 -3 2 x H 2 -3 2 dx then C(H 1 , H 2 ) = C(H 2 , H 1 )
when

H 1 = H 2 . Indeed, if we assume that H 1 > H 2 , then ∞ 0 (1 + x) H 1 -3/2 x H 2 -3/2 dx = ∞ 0 1 + 1 x H 1 -3/2 x H 1 +H 2 -3 dx > ∞ 0 1 + 1 x H 2 -3/2 x H 1 +H 2 -3 dx = ∞ 0 (1 + x) H 2 -3/2 x H 1 -3/2 dx. (18)
Hence, the framework of this paper is different from that of [START_REF] Marty | From Hermite polynomials to multifractional processes[END_REF].

Proof. (Lemma 1) We assume t 1 > t 2 . We have

r(t 1 , H 1 , t 2 , H 2 ) (19) = t 2 -∞ (a(t 1 -x, H 1 ) -(t 1 -x) H 1 -3 2 A(H 1 ))(a(t 2 -x, H 2 ) -(t 2 -x) H 2 -3 2 A(H 2 ))dx + t 2 -∞ (a(t 1 -x, H 1 ) -(t 1 -x) H 1 -3 2 A(H 1 ))(t 2 -x) H 2 -3 2 A(H 2 )dx + t 2 -∞ (t 1 -x) H 1 -3 2 A(H 1 )(a(t 2 -x, H 2 ) -(t 2 -x) H 2 -3 2 A(H 2 ))dx + t 2 -∞ (t 1 -x) H 1 -3 2 A(H 1 )(t 2 -x) H 2 -3 2 A(H 2 )dx (20)
We set δ = t 1 -t 2 . We have

r(t 1 , H 1 , t 2 , H 2 ) = ∞ 0 (a(δ + x, H 1 ) -(δ + x) H 1 -3 2 A(H 1 ))(a(x, H 2 ) -x H 2 -3 2 A(H 2 ))dx + ∞ 0 (a(δ + x, H 1 ) -(δ + x) H 1 -3 2 A(H 1 ))x H 2 -3 2 A(H 2 )dx + ∞ 0 (δ + x) H 1 -3 2 A(H 1 )(a(x, H 2 ) -x H 2 -3 2 A(H 2 ))dx + ∞ 0 (δ + x) H 1 -3 2 A(H 1 )x H 2 -3 2 A(H 2 )dx (21)
As a consequence, by the change of variable x → δx,

δ 2-H 1 -H 2 r(t 1 , H 1 , t 2 , H 2 ) -A(H 1 )A(H 2 ) ∞ 0 (1 + x) H 1 -3 2 x H 2 -3 2 dx =R 1 (δ, H 1 , H 2 ) + R 2 (δ, H 1 , H 2 ) + R 3 (δ, H 1 , H 2 ) ( 22
)
where

R 1 (δ, H 1 , H 2 ) = δ 3-H 1 -H 2 ∞ 0 (a(δ + δx, H 1 ) -(δ + δx) H 1 -3 2 A(H 1 )) × (a(δx, H 2 ) -(δx) H 2 -3 2 A(H 2 ))dx, R 2 (δ, H 1 , H 2 ) = δ 3/2-H 1 A(H 2 ) ∞ 0 (a(δ + δx, H 1 ) -(δ + δx) H 1 -3 2 A(H 1 ))x H 2 -3 2 dx and R 3 (δ, H 1 , H 2 ) = δ 3/2-H 2 A(H 1 ) ∞ 0 (1 + x) H 1 -3 2 (a(δx, H 2 ) -(δx) H 2 -3 2 A(H 2 ))dx
We have

R 3 (δ, H 1 , H 2 ) = A(H 1 ) ∞ 0 (1 + x) H 1 -3 2 x H 2 -3 2 ((δx) 3/2-H 2 a(δx, H 2 ) -A(H 2 ))dx (23)
Let K be a compact set. Because of (15), for all ν > 0 there exist two positive constants µ and c such that sup

(H 1 ,H 2 )∈K |R 3 (δ, H 1 , H 2 )| ≤ν sup (H 1 ,H 2 ) |A(H 1 ) ∞ µ/δ (1 + x) H 1 -3 2 x H 2 -3 2 dx| + c sup (H 1 ,H 2 )
|A(H 1 )

µ/δ 0 (1 + x) H 1 -3 2 x H 2 -3 2 dx| (24) so that lim δ→∞ sup (H 1 ,H 2 )∈K |R 3 (δ, H 1 , H 2 )| = 0 (25)
Similarly, we prove that

lim δ→∞ sup (H 1 ,H 2 )∈K |R 1 (δ, H 1 , H 2 )| = lim δ→∞ sup (H 1 ,H 2 )∈K |R 2 (δ, H 1 , H 2 )| = 0. ( 26
)
This completes the proof.

Examples

We give two examples of fields satisfying the assumption presented in Section 2.1.

Consider that X 1 is defined for all t and H by

X 1 (t, H) = 1 C 1 (H) t -∞ (t -x) H-1/2 + -(t -1 -x) H-1/2 + dW x (27)
where

C 1 (H) = ∞ 0 (x) H-1/2 + -(x -1) H-1/2 + 2 dx.
For all H, X 1 (•, H) : t → X 1 (t, H) is the fractional Gaussian noise (see [START_REF] Taqqu | Convergence of integrated processes of arbitrary Hermite rank[END_REF] for instance), namely the process of the increments

B H (•) -B H (• -1) of the fractional Brownian motion B H such that for all t, B H (t) = 1 C 1 (H) t -∞ (t -x) H-1/2 + -(-x) H-1/2 + dW x . ( 28
)
Then for all (t, H),

X 1 (t, H) = t -∞ a 1 (t -x, H)dW x
where for all x ≥ 0,

a 1 (x, H) = 1 C 1 (H) (x) H-1/2 + -(x -1)
H-1/2 + so that for all x > 1,

a 1 (x, H) = x H-3/2 (H -1/2) C 1 (H) + ρ 1 (x, H) with |ρ 1 (x, H)| ≤ (H -1/2)(3/2 -H) C 1 (H)x 5/2-H + .
Hence, the field defined X 1 by ( 27) satisfies (15) with the function A(H) = (H -1/2)/C 1 (H). We give a second example. Consider the field X 2 defined for all t and H by

X 2 (t, H) = 1 C 2 (H) t -∞ (t -x) H-1/2 + -e -(t-x) t-x 0 e ξ ξ H-1/2 dξ dW x ( 29
)
where

C 2 (H) = ∞ 0 x H-1/2 + -e -x x 0 e ξ ξ H-1/2 dξ 2 dx. (30)
For all H, t → X 2 (t, H) is the stationary fractional Ornstein-Uhlenbeck process (see [START_REF] Cheridito | Fractional Ornstein-Uhlenbeck processes[END_REF] for instance) such that

X 2 (t, H) = B H (t) -e -t t -∞ e θ B H (θ)dθ
where B H is the fractional Brownian motion defined by (28) with the constant C 2 (H) instead of C 1 (H). In this case, for all (t, H),

X 2 (t, H) = t -∞ a 2 (t -x, H)dW x
where for all x ≥ 0,

a 2 (x, H) = 1 C 2 (H) x H-1/2 + -e -x x 0 e ξ ξ H-1/2 dξ = (H -1/2) C 2 (H)x 3/2-H + e -x x 0 e ξ ξ H-1/2 dξ = (H -1/2) C 2 (H)x 3/2-H + -ρ 2 (x, H) with ρ 2 (x, H) = (H -1/2)e -x C 2 (H) x H-3/2 + + (H -3/2)
x 0 (e ξ -1)ξ H-5/2 dξ , which satisfies

|ρ 2 (x, H)| ≤ (H -1/2) C 2 (H) e -x x H-3/2 + + (3/2 -H) e 2 x H-3/2 + + e -x 2 0 e ξ -1 ξ 5/2-H dξ .
Then we deduce that the field X 2 defined by (29) satisfies (15).

Main result

Let Φ ∈ L 2 (R, e -x 2 /2 dx) be a function with Hermite rank m ∈ N * , which means that

Φ = ∞ k=m φ k k! P k (31)
where the convergence of ∞ k=m is defined from the norm • L 2 (R,e -x 2 /2 dx) and for all k, P k is the Hermite polynomial of degree k, namely

P k : x → P k (x) = (-1) k e x 2 /2 d k dx k e -x 2 /2
and

φ k = Φ, P k L 2 (R,e -x 2 /2 dx) = 1 √ 2π R Φ(x)P k (x)e -x 2 /2 dx.
Let h : R + → ( 1 2 , 1) be a continuous function and for all θ ∈ R + ,

h(θ) = 1 + h(θ) -1 m ∈ 1 - 1 2m , 1 . (32)
We set h -= min h and h + = max h, and assume that [h -, h + ] ⊂ ( 1 2 , 1). Let X be a Gaussian field defined as in Section 2.1. For all N ∈ N * and t ∈ R * + , we consider

Σ N Φ,h (t) = N t n=1 Φ(X(n, h(n/N β ))) N h(n/N β ) (33)
where β ∈ R. Moreover, in the case β < 1, we assume that lim θ→∞ h(θ) exists and belongs to ( 1 2 , 1). We denote this limit by h(∞). The main result states the convergence of the process Σ N Φ,h as N → ∞. The proof is postponed to Section 4.

Theorem 1. As N → ∞, the process Σ N Φ,h converges in distribution in D([0, ∞), R) to the process Σ m,h defined by (Σ m,h (t)) t≥0 = Dm dW x 1 • • • dW xm t 0 G(θ, x 1 , • • • , x m )dθ t≥0 (34)
where

D m = {x 1 < x 2 < • • • < x m }, W is a Brownian motion, and for all (θ, x 1 , • • • , x m ) ∈ R + × D m , G(θ, x 1 , • • • , x m ) =                              φ m A h(0) m m k=1 (θ -x k ) h(0)-3 2 + if β > 1, φ m A h(θ) m m k=1 (θ -x k ) h(θ)-3 2 + if β = 1, φ m A h(∞) m m k=1 (θ -x k ) h(∞)-3 2 + if β < 1. ( 35
)
If β = 1, then the limit Σ m,h is a Hermite process as defined in [START_REF] Dobrushin | Non-central limit theorems for non-linear functionals of Gaussian fields[END_REF][START_REF] Taqqu | Convergence of integrated processes of arbitrary Hermite rank[END_REF] with Hurst index equal to h(0) or h(∞) depending on the sign of β -1.

If β = 1 and h is a non-constant function, then the limit Σ m,h is a multifractional process as those we analyze in Section 3.

We conclude this section with a continuous version of Theorem 1. For all ε > 0 we define the process Σ ε Φ,h by

Σ ε Φ,h (t) = t 0 ε h(ε β-1 θ)-1 Φ(X(ε -1 θ, h(ε β-1 θ)))dθ = t/ε 0 ε h(ε β θ) Φ(X(θ, h(ε β θ)))dθ.
The following theorem states the convergence of Σ ε Φ,h as ε → 0.

Theorem 2. As ε → 0, the process Σ ε Φ,h converges in distribution in C([0, ∞), R) to the process Σ m,h defined as in Theorem 1.

The proof of Theorem 2 is omitted because it is similar to that of Theorem 1 in a continuous setting.

A multifractional process

In this section we analyze a stochastic process which has the form of Σ m,h (see Theorem 1). In particular we prove that it satisfies multifractional properties.

We fix m ∈ N * and for all t ≥ 0 we define

Y (t) = Dm dW x 1 • • • dW xm t 0 f (θ) m k=1 (θ -x k ) ϕ(θ)-3/2 + dθ (36)
where

D m = {x 1 < x 2 < • • • < x m },
W is a Brownian motion (see [START_REF] Itô | Multiple Wiener integral[END_REF] for the definition of the multiple Wiener integrals), and f : R + → R * + and ϕ : R + → (1 -1 2m , 1) are continuous functions. The process Y is well defined by Lemma 2 which is stated below and is used throughout the paper.

Lemma 2. For every (t, γ 1 , • • • , γ m ) ∈ R + × (1 -1 2m , 1) m , R m dx 1 • • • dx m t 0 m k=1 (θ -x k ) γ k -3/2 + dθ 2 < ∞. (37)
Proof. By the Fubini theorem and changes of variables,

R m dx 1 • • • dx m t 0 (θ -x k ) γ k -3/2 + dθ 2 = t 0 t 0 dθdσ R m dx 1 • • • dx m m k=1 ((θ -x k ) + (σ -x k ) + ) γ k -3/2 ≤ t 0 t 0 dθdσ|θ -σ| 2 j γ j -2 m k=1 ∞ 0 dx((1 + x)x) γ k -3/2 . ( 38
)
Since γ k ∈ (1 -1 2m , 1) for all k, the upper bound of (38) is finite.

The following lemma states the continuity of Y .

Lemma 3. The sample paths of Y are continuous almost surely.

Proof. For all s < t such that |t -s| is small enough,

E((Y (t) -Y (s)) 2 ) = Dm dx 1 • • • dx m t s f (θ) m k=1 (θ -x k ) ϕ(θ)-3/2 + dθ 2 ≤ t s dθ t s dσ R m dx 1 • • • dx m f (θ)f (σ) m k=1 (θ -x k ) ϕ(θ)-3/2 + (σ -x k ) ϕ(σ)-3/2 +
By changes of variables,

E((Y (t) -Y (s)) 2 ) ≤ sup [s,t] |f | 2 1 0 dθ 1 0 dσ(t -s) 2+m(ϕ((t-s)θ+s)+ϕ((t-s)σ+s)-2)
× |θ -σ| m(ϕ((t-s)θ+s)+ϕ((t-s)σ+s)-2)

× ∞ 0 dx(1 + x) ϕ((t-s)θ+s)-3/2 x ϕ((t-s)σ+s)-3/2 m (39)
We deduce that there exists a constant C > 0 independent of (s, t) such that

E((Y (t) -Y (s)) 2 ) ≤ C sup [s,t] |f | 2 (t -s) 2(1+m(inf [s,t] ϕ-1)) . (40)
Remark that 2(1 + m(inf [s,t] ϕ -1)) > 1. By the Kolmogorov lemma, we deduce that Y has a modification with almost surely continuous sample paths.

The multifractional properties of Y are stated in the following two theorems. The first one establishes that Y is locally self-similar. Theorem 3. Let t ≥ 0. If ϕ is Hölder-continuous then, as ε → 0, the process

Y (t + εu) -Y (t) ε 1+m(ϕ(t)-1) u≥0 ( 41
)
converges in distribution to

f (t) Dm dW x 1 • • • dW xm u 0 m k=1 (θ -x k ) ϕ(t)-3 2 + dθ u≥0 (42) in C([0, ∞), R).
Proof. For all t and u,

Y (t + εu) -Y (t) ε 1+m(ϕ(t)-1) = ε -1-m(ϕ(t)-1) Dm dW x 1 • • • dW xm t+εu t f (θ) m k=1 (θ -x k ) ϕ(θ)-3 2 + dθ = ε -m(ϕ(t)-1) Dm dW x 1 • • • dW xm u 0 f (εθ + t) m k=1 (εθ + t -x k ) ϕ(εθ+t)-3 2 + dθ.
Then, by a change of variable in the stochastic integral, for all t the process defined by ( 41) is equal in distribution to

Dm dW x 1 • • • dW xm u 0 ψ ε (t, x, θ)dθ u≥0 (43)
where

ψ ε (t, x, θ) = ε m(ϕ(εθ+t)-ϕ(t)) f (εθ + t) m k=1 (θ -x k ) ϕ(εθ+t)-3 2 + (44)
To prove the convergence of the finite-dimensional distributions, it suffices to show lim ε→0 Dm

dx 1 • • • dx m u 0 dθ ψ ε (t, x, θ) -f (t) m k=1 (θ -x k ) ϕ(t)-3 2 + 2 (45)
For all (t, x, θ), by the continuity of f and ϕ,

lim ε→0 ψ ε (t, x, θ) -f (t) m k=1 (θ -x k ) ϕ(t)-3 2 + = 0.
Moreover, there exists a constant C > 0 such that for all (t, x, θ),

ψ ε (t, x, θ) -f (t) m k=1 (θ -x k ) ϕ(t)-3 2 + ≤ C m k=1 (θ -x k ) min ϕ-3 2 + -(θ -x k ) max ϕ-3 2 +
Hence, by the bounded convergence theorem and Lemma 2, we obtain (45). It remains to prove the tightness of the family of processes defined by (41). For all u and v,

E Y (t + εu) -Y (t) ε 1+m(ϕ(t)-1) - Y (t + εv) -Y (t) ε 1+m(ϕ(t)-1) 2 = ε -2-2m(ϕ(t)-1) Dm dx 1 • • • dx m t+εu t+εv f (θ) m k=1 (θ -x k ) ϕ(θ)-3 2 + dθ 2 = Dm dx 1 • • • dx m u v ψ ε (t, x, θ)dθ 2 ≤ f 2 ∞ Dm dx 1 • • • dx m u v dθ m k=1 (θ -x k ) min ϕ-3 2 + + (θ -x k ) max ϕ-3 2 + 2 .
Then there exists a constant C > 0 independent of (s, t) such that

E Y (t + εu) -Y (t) ε 1+m(ϕ(t)-1) - Y (t + εv) -Y (t) ε 1+m(ϕ(t)-1) 2 ≤ C|u -v| 2(1+m(inf ϕ-1)) .
The tightness is proved, then Y is locally self-similar.

The following results gives the local Hölder exponent.

Theorem 4. Let t ≥ 0 and assume that f (t) = 0. The local Hölder exponent of Y at t is 1 + m(ϕ(t) -1).

Proof. Since Theorem 3 and by similar arguments to those of the proof of Proposition 10 of [START_REF] Peltier | Multifractional Brownian motion: definition and preliminary results[END_REF], it suffices to show that for all p ∈ N * there exists C p > 0 such that for all s ≤ t in a neighborhood of t 0 ,

E((Y (t) -Y (s)) 2p ) ≤ C p (t -s) 2p inf [s,t] (1+m(ϕ-1)) . (46)
This is obtained from (40) and [START_REF] Nelson | The free Markoff field[END_REF].

We conclude this analysis of Y with an important remark. Assume that f = α • ϕ where α is a strictly positive function, so that

Y (t) = Dm dW x 1 • • • dW xm t 0 α(ϕ(θ)) m k=1 (θ -x k ) ϕ(θ)-3/2 + dθ (47)
which is the form of the limit Σ m,h of Theorem 1 (Section 2.3). For non-constant functions ϕ, the processes defined by (47) are generally different from those of [START_REF] Marty | From Hermite polynomials to multifractional processes[END_REF]. This can be shown as follows. As in the proof of Theorem 3 (see also the proof of Proposition 1 of [START_REF] Cohen | Invariance principle, multifractional Gaussian processes and long-range dependence[END_REF]), we can establish that for all s = t,

lim ε→0 ε -2 E((Y (t + ε) -Y (t))(Y (s + ε) -Y (s))) = |t -s| ϕ(t)+ϕ(s)-2 α(ϕ(s))α(ϕ(t))R Y (ϕ(max{s, t}), ϕ(min{s, t})) with for all (H 1 , H 2 ), R Y (H 1 , H 2 ) = 1 m! ∞ 0 (1 + x) H 1 -3/2 x H 2 -3/2 dx m .
Notice that R Y (H 1 , H 2 ) = R Y (H 2 , H 1 ) if H 1 = H 2 (see Section 2.1). Now consider the process such that for all t,

Z(t) = R m d W ξ 1 • • • d W ξm t 0 β(ϕ(θ)) exp(iθ(ξ 1 + • • • + ξ m )) |ξ 1 • • • ξ m | ϕ(θ)-1/2 dθ ( 48
)
where β is a continuous function and W the Fourier transform of W . This is the form of the processes studied in [START_REF] Marty | From Hermite polynomials to multifractional processes[END_REF]. We can prove that for all s = t, lim ε→0 ε -2 E((Z(t + ε) -Z(t))(Z(s + ε) -Z(s)))

= |t -s| ϕ(t)+ϕ(s)-2 β(ϕ(s))β(ϕ(t))R Z (ϕ(max{s, t}), ϕ(min{s, t}))

with for all (H 1 , H 2 ),

R Z (H 1 , H 2 ) = ∞ -∞ exp(iξ)|ξ| 1-H 1 -H 2 dξ m .
The function R Z is symmetric, in contrast with R Y . Consider three points t 1 , t 2 and t 3 ∈ R + such that t 1 < t 2 < t 3 , and a function ϕ such that ϕ(t 1 ) = ϕ(t 3 ) > ϕ(t 2 ). Since R Z is symmetric, R Z (ϕ(max{t 1 , t 2 }), ϕ(min{t 1 , t 2 })) = R Z (ϕ(max{t 3 , t 2 }), ϕ(min{t 3 , t 2 })).

(49)

As a consequence of (18), R Y (ϕ(max{t 1 , t 2 }), ϕ(min{t 1 , t 2 })) = R Y (ϕ(t 2 ), ϕ(t 1 )))

< R Y (ϕ(t 1 ), ϕ(t 2 )))

= R Y (ϕ(t 3 ), ϕ(t 2 )))

= R Y (ϕ(max{t 3 , t 2 }), ϕ(min{t 3 , t 2 })), which differs from (49). Finally, this proves the following result.

Theorem 5. There exist functions ϕ ∈ C(R + , ( 1 2 , 1)) such that for all α ∈ C(( 1 2 , 1), R * + ) and β ∈ C(( 12 , 1), R) the processes Y and Z defined by (47) and (48) have different distributions.

Hence, the processes given by (47) are generally different from those studied in [START_REF] Marty | From Hermite polynomials to multifractional processes[END_REF].

Proof of Theorem 1

In this section we prove Theorem 1. It is a consequence of the tightness (Section 4.1) and of the convergence of the finite-dimensional distributions of Σ N Φ,h as N → ∞ (Section 4.2). Technical lemmas are postponed to Section 4.3.

Tightness

The following lemma establishes the tightness of (Σ N Φ,h ) N in D([0, ∞), R).

Lemma 4. The sequence of processes (Σ N Φ,h ) N is tight in D([0, ∞), R).

Proof. Proceeding as in Section 4.4 of [START_REF] Marty | From Hermite polynomials to multifractional processes[END_REF] and by Lemma 1, we prove the tightness of (Σ N Φ,h ) N in D([0, ∞), R).

Convergence of the finite-dimensional distributions

In this subsection we prove the convergence of the finite-dimentional distributions of Σ N Φ,h as N → ∞. For all n and N we set

Proof. Following Lemma 6, it suffices to prove the convergence of the finite-dimensional distributions of the process Θ N 1 defined for all t ≥ 0 by

Since P m is the Hermite polynomial of degree m and E(X(t, H) 2 ) = 1 for all (t, H),

where

As a consequence,

By a change of variable in the stochastic integral and the self-similarity property of W , Θ N 1 is equal in distribution to Θ N 2 defined for all t by

Because of Lemma 10, the convergence of the finite-dimensional distributions of Θ N 2 is equivalent to the convergence of those of Θ N 3 which is defined for all t by

where • is the ceiling function. Finally, by Lemma 11, the proof is completed.

Technical lemmas

In this section we prove Lemmas 6, 10, and 11 which are used in the proof of the convergence of the finite-dimensional distributions of Σ N Φ,h (Lemma 5). The norm

Proof. As a consequence of ( 16), the proof is similar to that of Lemma 4.5 of [START_REF] Marty | From Hermite polynomials to multifractional processes[END_REF].

Lemmas 7, 8, and 9 which follow are used in the proof of Lemma 10.

Lemma 7. For all η > 0 there exist two positive constants C(η) > 0 and K(η) > 0 such that for all t > K(η) and

with

Proof. Since (15), for all η > 0 there exists K(η) > 0 such that for all t > K(η) and

Moreover, for all t ∈ [0, K(η)],

with

From ( 57) and (58) we deduce that for all t ≥ 0 and

Hence, for all (t 1 , • • • , t m , H),

which completes the proof.

Moreover, for all (N, θ, x)

Proof. For all θ and N ,

Then (60) follows from the continuity of h. Moreover, for all x,

and then we get (61).

Lemma 9. Let t ≥ 0 and F t be the function such that for all (θ,

We have

Proof. It is a consequence of Lemma 2.

Lemma 10. For all t, lim

By Lemmas 8 and 9 and the bounded convergence theorem, for all η > 0, lim sup

This completes the proof.

Lemma 11. For all t, lim N →∞ Θ N 3 (t) -Σ m,h (t) = 0.

Proof. For all t,

where F t is defined by (62). Because of Lemma 9, by the bounded convergence theorem, we deduce that lim

which completes the proof with (64).


MD Jean-Marc Marc Foletti
email: jean-marc.foletti@ap-hm.fr

Valentine Martinez
email: valentine.martinez4@gmail.com

MD, MSc Fellow surgeon Nicolas Graillon
email: nicolas.graillon@ap-hm.fr

Yves Godio-Raboutet

MD Lionel Thollon
email: lionel.thollon@ifsttar.fr

MD Laurent Guyot
email: laurent.guyot@ap-hm.fr

Foletti Jm

Yves Godio
email: yves.godio@ifsttar.fr

Development and validation of an optimized finite element model of the human orbit

Keywords: finite element analysis, maxillofacial, trauma, orbit, biomechanics

come

Introduction

Fractures of the orbital floor and / or the medial wall of the orbit are common in maxillofacial traumas. Functional recovery requires precise anatomical reconstruction of the orbit and volume restoration. Open reduction with internal fixation tends to become the gold standard. Studying the behavior of these fractures may help to minimize iatrogenic morbidity. The use of a numerical model of the orbit that may be submitted to a wide range of traumas and reconstructions is of special interest because experiments can be carried out quickly and with no limitations regarding repetitions. Advances in software and computational capabilities have nowadays allowed for the development of very realistic finite element models (FEM).

Our main purpose was to develop a detailed FEM of the human orbit; our secondary objective was to analyze its behavior under the stress of different kinds of blunt traumas, so as to validate its reliability.

Materials and methods

-Model description

A 3D FEM of a human head, which had previously been developed and validated by our team to study impacts on the mandible [START_REF] Tuchtan | Forces transmission to the skull in case of mandibular impact[END_REF], was used as a basis and modified at the level of the orbits. dicom data from a 1mm-slice thickness CT scan of the head were computed with MICMICS 12.3® software (Materialise®, Louvain, Belgium) to re-create the skull's geometry. The meshing was then produced using Hypermesh® software (Altair Engineering, Inc., Detroit, MI, USA). The model's properties were achieved with Radioss® (Altair Engineering, Inc., Detroit, MI, USA). The average element size was fixed at 3 mm; the orbital floor and the medial orbital wall were meshed with 1.5mm shell elements using three nodes. The skull was composed of three layers in order to distinguish the trabecular and cortical bones. The cortical bone mesh used shell elements with three nodes; the trabecular bone used tetrahedral elements. The facial bones were modeled separately to specify their measurements and the cortical bone's thickness. The subarachnoid space, the cerebrospinal fluid and the brain were added during the meshing process, using tetrahedral elements. To make our FEM lighter, the scalp and the mandible have been neglected. All mechanical properties were taken from literature data [START_REF] Tuchtan | Forces transmission to the skull in case of mandibular impact[END_REF][START_REF] Armentani | FEM sensitivity analyses on the stress levels in a human mandible with a varying ATM modelling complexity[END_REF][START_REF] Versluis | Residual shrinkage stress distributions in molars after composite restoration[END_REF][START_REF] Wang | Strain-structure relations in human teeth using Moiré fringes[END_REF][START_REF] Willinger | Three-dimensional human head finite-element model validation against two experimental impacts[END_REF][START_REF] Wong | Review of biomechanical models used in studying the biomechanics of reconstructed mandibles[END_REF][START_REF] Joseph | True density of normal and enzymatically treated bovine articular cartilage[END_REF][START_REF] Raul | Finite-element models of the human head and their applications in forensic practice[END_REF].

-Blunt trauma simulations

Numerous simulations of blunt traumas of the orbit were run on Hypercrash12.0® (Altair Engineering, Inc., Detroit, MI, USA) first by using a FEM of a metallic cylinder impactor (m=300-400g) and then a FEM of a closed fist, reproducing a straight punch [START_REF] Whiting | Kinematic analysis of human upper extremity movements in boxing[END_REF]. Both of these impactors were computed in order to hit the inferior rim of the orbit (acceleration =6-7m.s -1 )

The tests were conducted with several variations of the FEM. For each test, the weight and acceleration of the impactors were modulated. The impacts successively affected an empty orbit, and then an orbit filled with fat and an eyeball. Most of the impacts were located on the inferior orbital rim. For 3 of the tests conducted with the metallic cylinder, the impact point was located on the eyeball. A preliminary series of tests had been performed to correct the failures of the FEM and to determine precisely the best impact points. These tests are not reported here. In total27 tests were simulated and included in our study. Their characteristics are summarized in table 1 Results

-Model description (figure 1)

Our FEM of the head and orbit consisted of around 600 000 volumetric elements (tetrahedral and brick elements) and 40 000 shell elements (from 3 to 4 nodes).

-Blunt trauma simulations

A total of 27 tests were simulated. 15 tests were realized with a metallic cylinder impactor; 12 tests simulated a hit by a closed fist (figure 2).

In all the tests conducted (27/27), the orbital floor fractured. In 77,8% (21/27) an additional fracture of the zygomatic bone was associated. Moreover, in 74% (20/27) the anterior wall of the maxillary sinus was fractured. An associated fracture of the lamina papyracea was encountered in 22,3 % (6/27) of the tests.

Finally our series of hits distinguished two major scenarios: Bone impacts resulted in anterior fractures of the orbital floor, with associated fractures of the inferior orbital rim and the anterior wall of the maxillary sinus (figure 3). Impacts located on the eyeball induced isolated fractures of the orbital floor and fractures of the area located between the orbital floor and the medial wall (lamina papyracea). Characteristics of the hits performed are summarized in table 1.

Discussion

We designed a FEM of the human orbit optimized to be as realistic as possible and consistent with current literature data. Furthermore, our FEM underwent a series of blunt traumas reproducing realistic fractures of the floor of the orbit, which we consider sufficient to validate our model.

Additions to Tuchtan's model [START_REF] Tuchtan | Forces transmission to the skull in case of mandibular impact[END_REF] took into account the results found by Weaver et al [START_REF] Weaver | Biomechanical modeling of eye trauma for different orbit anthropometries[END_REF] regarding the dimensions and the positioning of the eyeball, and those achieved by Karimi et al [START_REF] Karimi | Computing the stresses and deformations of the human eye components due to a high explosive detonation using fluid-structure interaction model[END_REF] as for the properties of intra-and extraconal fat.

In 2006, Al-Sukhun et al [START_REF] Al-Sukhun | Orbital stress analysis--Part I: Simulation of orbital deformation following blunt injury by finite element analysis method[END_REF][START_REF] Al-Sukhun | Modelling of orbital deformation using finite-element analysis[END_REF] emphasized the advantages of finite element analysis in order to study the phenomenon of orbital deformation but insisted on the oversimplification of the FEM models available at that time. First they devised a model including the eyeball and the bony orbit, taking into account the oculomotor muscles' movements, and based on an experimental determination of the mechanical properties and the different components. The validation of their model was based on the comparison between the orbital floor and medial wall fracture patterns and those observed in clinical practice. However, Al-Sukhun's FEM design was limited by computational capabilities and was characterized by a low degree of precision (only 6400 brick elements). In 2012, Schaller et al [START_REF] Schaller | Transient finite element analysis of a traumatic fracture of the zygomatic bone caused by a head collision[END_REF] designed a precise model of the skull including the orbit, consisting of 736,934 elements, highlighting the gain in precision allowed in trauma simulations. Their model also allowed for the attribution of different mechanical properties to the anatomical structures. The authors pointed out the absence of soft tissues as the main limit of their model. In 2013, Schaller added to his pure bony orbital model a schematic eyeball and periorbital soft tissues, including intraorbital fat and oculomotor muscles [18]. Using the same model, Rossi et al [START_REF] Rossi | Primary blast injury to the eye and orbit: finite element modeling[END_REF] and Esposito et al [START_REF] Esposito | Modelling human eye under blast loading[END_REF] focused on 3D geometry of the orbit in case of blast traumas. They concluded that the pyramid-like shape of the orbit as well as the interface between fluid content and anterior air-tissue interface result in a pressure wave reflection and amplification, accounting for macular and optic nerve damage in case of ocular blast injury.

Our model is meant to achieve the sum of these successive improvements. We have avoided oversimplification and achieved a precise anatomical 3D modeling of the human skull. We have distinguished between the cortical and cancellous bones and taken into account the average bone thickness of each area. . Special attention has been paid to the meshing of the most fragile parts, the orbital floor and the medial wall. 17 of the tests were performed after an improvement of these areas consisting into meshing in smaller elements. This allowed for more realistic fracture simulations.

Soft tissues have also been gradually included in our FEM. Schutte made a distinction between intraand extraconal fat [START_REF] Schutte | A finite-element analysis model of orbital biomechanics[END_REF], which demonstrated that the supporting action of the orbital fat plays an important role in the suspension of the eye in the orbit and in the stabilization of rectus muscle paths. Likewise, Schoemaker [START_REF] Schoemaker | Elasticity, viscosity, and deformation of orbital fat[END_REF] established that although the stiffness of orbital fat is low, its support is crucial to stabilize the oculomotor muscles. Our results gained in precision with the filled orbit simulations compare to the empty orbit tests.

All fracture patterns resulting from our simulations occur regularly in trauma patients. We considered this good correlation between our numerical results and real clinical situations as an argument in favor of the validity of our model. However, an anatomic validation of our model should be planned.

The series of hits with a metallic impactor allowed for studying different points of impact: Bone impacts resulted in anterior fractures of the orbital floor associated with orbital rim fractures (figure 3), whereas impacts located on the eyeball induced isolated fractures of the orbital floor and of the medial wall (cf supra). These findings were consistent with the buckling versus hydraulic theory [START_REF] Ahmad | Buckling and hydraulic mechanisms in orbital blowout fractures: fact or fiction?[END_REF] of orbital floor blowout fractures. In all cases, the kinetic energy developed in our experimentations (5,4 to 12,25 J) was significantly higher than the average energy theoretically required to induce orbital floor fractures (1,2 to 1,5 J) [START_REF] Ahmad | Buckling and hydraulic mechanisms in orbital blowout fractures: fact or fiction?[END_REF] (figure 4).

The series of hits with a closed fist was performed to add even more realism to our model. Compare to the metallic cylinder, the hit by a closed fist was distributed over the entire anterior orbital rim.

Mass and speed of the fist were modulated to reproduce an average direct punch to the face [START_REF] Whiting | Kinematic analysis of human upper extremity movements in boxing[END_REF].

According to Schaller et al [18], the use of a transient dynamic simulation was considered as a much more realistic loading scenario than a static analysis with calculated impact forces to simulate the hit of the orbital rim by a closed fist.

The absence of detailed anatomy of the ethmoid is a limit of our model. Ramesh et al [START_REF] Ramesh | Medial Buttressing in Orbital Blowout Fractures[END_REF] proved that ethmoidectomy on post mortem human subject reduces the impact energy necessary to induce orbital fractures and increases the prevalence of the medial wall's involvement.

We favored traumas targeting the inferior orbital rim, and then obtained fractures consistent with the buckling theory of orbital fractures, with an anterior location, frequently associated fractures of the inferior orbital rim, and without any extension to the medial wall of the orbit (figure 3).

The contribution of anatomical experiments to the validation of numerical experiments has already

proved its value both in traumatology and in general surgery FEM [START_REF] Bège | Biomechanical analysis of traumatic mesenteric avulsion[END_REF][START_REF] Behr | A human model for road safety: from geometrical acquisition to model validation with radioss[END_REF][START_REF] Arnoux | Pedestrian lower limb injury criteria evaluation: a finite element approach[END_REF]. The reliability of our model could be further improved and validated by the completion of a study on anatomical subjects.

Finally, FEM has proved to be a valuable tool to determine the most adapted way to repair fractures [13; 19]. Further studies using our model are planned to assess the behavior of titanium mesh implants (TMIs) used for orbital floor reconstruction. TMIs provide a reliable support for the orbital contents but their relative stiffness may also become a potential disadvantage in case of recurrent injuries as the implant may become distorted and behave as a penetrating foreign body able to threaten the intra-orbital content (eyeball, nerves vessels) [START_REF] Foletti | Severe distortion of an orbital titanium mesh implant after recurrent facial trauma: a potential threat to the orbital contents?[END_REF]. Finite element analysis could confirm this potential threat, and help to improve the design of TMIs. [START_REF] Tuchtan | Forces transmission to the skull in case of mandibular impact[END_REF] proved to be too large, and unsuited for our needs (A). We successively performed impacts with a metallic cylinder (B) and with a closed fist FEM (C), varying the weight and acceleration of these impactors for each test.

Figure captions Figure 1 -

 captions1 Figure captions

Figure 2 -

 2 Figure 2 -Different impactors were used in our study: The simplified boxing glove previously

Figure 3 -

 3 Figure 3 -Left inferior orbital rim shock with a 300g metallic cylinder impactor at 7m/s (A), resulting

Figure 4 -

 4 Figure 4 -Von Mises stress distribution after a 7m/s impact located on the left inferior orbital rim

Table 1 -

 1 The fracture pattern obtained is concordant with the buckling theory of orbital floor fractures. Summary of the characteristics and results of the 41 simulations of blunt trauma performed on a 3D finite element model of the human orbit. The orbit status (empty EO versus filled with fat and the eyeball FO), , the type of impactor, its speed and mass are precised for each of the 41 tests.

	test	orbit status	Orbital floor status	impactor	acceleration (m/s)	weight (g)	results
	1	EO	intact	metallic cylinder	6	300	anterior fracture of the orbital floor; zyogma is fractured at the inferior orbital rim and the anterior wall of maxillary sinus
	2	EO	intact	metallic cylinder	7	300	anterior fracture of the orbital floor; zyogma is fractured at the inferior orbital rim and the anterior wall of maxillary sinus
	3	EO	intact	metallic cylinder	6	400	anterior fracture of the orbital floor; zyogma is fractured at the inferior orbital rim and the anterior wall of maxillary sinus
	4	EO	intact	metallic cylinder	7	400	anterior fracture of the orbital floor; zyogma is fractured at the inferior orbital rim and the anterior wall of maxillary sinus
	5	EO	intact	metallic cylinder	6	500	important fracture of the orbital floor; zyogma is fractured at the inferior orbital rim and the anterior wall of maxillary sinus
	6	EO	intact	metallic cylinder	7	500	important fracture of the orbital floor; zyogma is fractured at the inferior orbital rim and the anterior wall of maxillary sinus
			intact / meshing
	7	EO	detailed in smaller	metallic cylinder	6	300	anterior fracture of the orbital floor
			elements
			intact / meshing
	8	EO	detailed in smaller	metallic cylinder	7	300	anterior fracture of the orbital floor
			elements
			intact / meshing
	9	EO	detailed in smaller	metallic cylinder	6	400	important fracture of the orbital floor
			elements
	10	EO	intact / meshing detailed in smaller elements	metallic cylinder	7	400	important fracture of the orbital floor; zyogma is fractured at the inferior orbital rim and the anterior wall of maxillary sinus
			intact / meshing				important fracture of the orbital floor; zyogma is fractured at the inferior
	11	EO	detailed in smaller	metallic cylinder	6	500	orbital rim and the anterior wall of maxillary sinus; lamina papyracea is
			elements				fractured
	12	EO	intact / meshing detailed in smaller elements	metallic cylinder	7	500	important fracture of the orbital floor; zyogma is fractured at the inferior orbital rim and the anterior wall of maxillary sinus
	13	FO fat eyeball	intact / meshing detailed in smaller elements	metallic cylinder / impact on the eyeball	6	300	posterior and internal fracture of the orbital floor; lamina papyracea is fractured
	14	FO fat eyeball	intact / meshing elements detailed in smaller	metallic cylinder / eyeball impact on the	6	500	important fracture of the orbital floor; lamina papyracea is fractured


Meryem Mojtahid

Erica Bicchi

Gérald Duchemin

Frans Jorissen

Josiane Durrieu

François Galgani

Roger Camps

Laurent Cazes

Benthic foraminifera as bio-indicators of drill cuttings disposal

à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d'enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.


Sandrine Maufroy
email: sandrine.maufroy@sorbonne-universite.fr

Entre Hélène

Prométhée

Cornelie Noordwal

Anna De

Savornin Lohman

Top Naeff

Ina Boudier

Sollicitée Par

Helene Van Meekren

la majorité des suffrages, devant

In 1916-1917, Carry van Bruggen (1881-1932) contributed stories, articles of current interest, literary criticism and essays in the domain of literary and cultural history to De Amsterdamsche Dameskroniek. She developed a socio-historical approach based on the idea that literary works reflect the "spirit" of their time, foreshadowing Prometheus (1919), her grand treatise on the "development of individualism in literature". Literary history and criticism contribute to a reflection on the position of women in western society and their role in the "process of liberation" of the individual.

_________________

In 1916 en 1917 publiceerde Carry van Bruggen (1881-1932) in De Amsterdamsche Dameskroniek verhalen, actualiteitsartikelen, letterkundige kritieken en literair-en cultuurhistorische essays. Zij ontwikkelde een historisch-sociologische benadering op basis van het idee dat literaire werken de 'tijdgeest' weerspiegelen, vooruitlopend op Prometheus (1919), haar grote verhandeling over de 'ontwikkeling van het individualisme in de litteratuur'. Literatuurgeschiedenis en literaire kritiek dragen bij aan een bespiegeling over de positie van vrouwen in de westerse maatschappij en hun rol in het 'vrijmakingsproces' van het individu.

Carry Van Bruggen, rédactrice littéraire de l'Amsterdamsche Dameskroniek (1916-1917) Carry Van Bruggen entra à la rédaction de l'Amsterdamsche Dameskroniek (« La chronique des dames d'Amsterdam ») à la suite d'une enquête auprès des lectrices de cette revue, dont le résultat relève de ce qu'on pourrait appeler le degré zéro de la critique littéraire : interrogées sur la popularité et l'importance de personnalités du monde politique, culturel et artistique, les lectrices de l'Amsterdamsche Dameskroniek avaient eu notamment à nommer leur « femme écrivain préférée » et leur « livre préféré ». C'est Carry Van Bruggen, pour ses romans De Verlatene (« Abandonné »), Een coquette vrouw (« Une coquette ») et Heleen, qui avait remporté

Zuikerberg, rédactrices de l'Amsterdamsche Dameskroniek, Carry Van Bruggen accepta d'assumer la responsabilité de « directrice littéraire » (« letterkundig leidster ») de la revue, ce qui fut annoncé avec fierté et satisfaction le 8 janvier 1916 et mentionné à partir de cette date dans l'intitulé du périodique. 2 Carry Van Bruggen commença dès janvier 1916 ses activités pour l'Amsterdamsche Dameskroniek, dont elle resta rédactrice en chef pendant deux ans, jusqu'à ce que la rédaction soit réorganisée et répartie entre un plus grand nombre de personnes. 3 L'arrivée de Carry Van Bruggen à la rédaction de l'Amsterdamsche Dameskroniek coïncide avec une modification du style, du contenu et du nombre de pages de la revue. Fondé en 1915, cet hebdomadaire paraissant le samedi, qui avait son équivalent à Rotterdam et à La Haye, était au départ un périodique assez mince traitant de sujets généralement considérés comme typiquement féminins, comme la mode et l'habillement, la cuisine ou les enfants. En 1916, la revue s'étoffe ; elle devient plus sérieuse et d'intérêt plus général, conformément aux motivations qui avaient décidé Carry Van Bruggen à participer à sa rédaction : répondre aux aspirations d'une catégorie de femmes cultivées « qui ne se satisfont plus de s'occuper uniquement des courses, de thés entre amies et d'autres activités de ce genre » et dont les besoins intellectuels et esthétiques ne peuvent pas être comblés par la seule propagande pour le droit de vote des femmes. 4 Les articles qui constituent la matière de l'Amsterdamsche Dameskroniek à partir de 1916 correspondent bien à cette position de principe et à l'ambition de couvrir les trois domaines évoqués : questions relevant de la vie quotidienne (d'une femme de la bourgeoisie cultivée) ; engagement social, notamment en faveur de l'émancipation des femmes ; aspirations esthétiques et intellectuelles. Parmi les rubriques régulières ou ponctuelles, on peut citer celle qui traite d'art culinaire, des causeries épistolaires sur des sujets variés, la série « Ceux qui font parler d'eux » (« Wie van zich doen spreken », principalement consacrée au monde du théâtre), des critiques musicales, des portraits d'artistes, de musiciens et d'hommes et de femmes de lettres, mais aussi une série d'articles sur les femmes au travail dans différentes branches professionnelles (Ro Leerink, « De werkende vrouw »), un ensemble de contributions destinées à sensibiliser le public à la condition des aveugles (Truus V-S., « Een Blinde over Blinden »), des prises de position sur le droit de vote et l'émancipation des femmes ou encore des considérations sur la guerre et la paix, dues notamment à Carry Van Bruggen qui souligne le chauvinisme des partis en présence. 5 Un même sujet donne souvent lieu à différentes approches. Ainsi, l'intérêt pour les animaux se manifeste par une série de photos d'animaux de compagnie envoyées par les lectrices à la demande de la rédaction, mais aussi par des articles divers sur l'intelligence, les sentiments, les actes de compassion des animaux, par un hommage rendu aux chevaux de 1 e année, n°8, 20 novembre 1915, p. 1-2). Dans les notes suivantes, nous utiliserons le sigle DAD pour abréger le titre de ce périodique.

2 Anna E. Zuikerberg : « Onze letterkundige medewerkster » (« Notre collaboratrice littéraire »), dans : DAD, 1 e année, n°15, 8 janvier 1916, p. 1. 3 Carry Van Bruggen : « Verlos ons... » (« Délivre-nous... »), dans : DAD, 3 e année, n°15, 29 décembre 1917, p. 1-2. À partir du 5 janvier 1918 (DAD, 3 e année, n°16), l'intitulé de la revue indique : « Met medewerking o.a. van : Carry van Bruggen, C.J.A. van Bruggen, Anna van Gogh-Kaulbach, Nine Minnema, Is. Querido, Herman Rutters, Cornelis Veth. ». 4 Anna E. Zuikerberg (note 2), p. 1 : « Er zijn zoovele vrouwen, vrouwen uit beschaafde, ontwikkelde kringen, die niet meer tevreden zijn met boodschappen doen en tea's en dergelijke alleen ; die wel schijnen naar iets te zoeken, iets, dat een zeker onuitgesproken verlangen zou kunnen bevredigen, -zonder dat zij de bevrediging vinden bij propaganda voor vrouwenkiesrecht alléén ». 5 Carry Van Bruggen : « De Eeuwige Idylle » (« L'éternelle idylle »), dans : DAD, 1 e année, n°17, 22 janvier 1916, p. 7. guerre, [START_REF]Son caractère et son destins sont-ils représentatifs de son genre (féminin ou masculin) ou de son statut d'être humain ? 46 Comment faut-il comprendre la relation spéculaire entre fiction et réalité ? 47 Pour quels types de personnages l'auteur cherchet-il à susciter la sympathie des lecteurs ? La réponse à cette dernière question apparaît cruciale dans les analyses de Carry Van Bruggen : elle lui permet, par la comparaison entre les littératures de différents pays et de différentes époques, de déterminer le degré d'avancement et les progrès successifs d'une société dans le développement de l[END_REF] et par de nombreuses contributions au débat sur le végétarisme : publicités pour des restaurants végétariens, lettres de lectrices sur la question de l'alimentation la plus saine possible, problèmes d'éthique animale -question sur laquelle Carry Van Bruggen prend d'ailleurs position, de manière très libérale, en respectant les différents points de vue individuels, dans le cadre d'un article sur l'incohérence de la pédagogie et de la littérature pour la jeunesse. 7 La place importante occupée par la mode et l'habillement contribue grandement au charme visuel de la revue et correspond à une préoccupation presque obligée de son public. Mais ces thèmes font aussi l'objet d'une réflexion relativement approfondie, de type historique et sociologique : dans la série d'articles « Mode en Mensch » (« La Mode et l'Être humain »), publiée du 23 décembre 1916 au 24 mars 1917, Carry Van Bruggen propose de considérer la mode comme un reflet de la société et de ses évolutions (rapports entre individus, structure sociale, relation entre l'individu et le groupe), en adoptant une démarche analogue à celle qu'elle avait suivie dans ses articles sur la « littérature moderne ».

De même, la fonction maternelle et l'intérêt pour les enfants se manifestent de multiples façons : rubrique de mots d'enfants, conseils pratiques d'hygiène et d'alimentation, articles consacrés aux divertissements (jeux, fêtes) et à leur dimension éducative, contributions sur la mode enfantine. Institutrice de formation, fortement attachée à sa propre enfance qu'elle considérait comme la période fondamentale de son évolution personnelle,8 mère de deux enfants dont l'éducation lui inspirait récits et réflexions approfondies, Carry Van Bruggen consacra quelques articles à la question d'actualité des méthodes et systèmes d'enseignement, en évoquant notamment les expériences étrangères.9 Lorsqu'en 1917, un supplément consacré à l'éducation des enfants fut créé pour répondre aux nombreuses questions adressées par les lectrices à la rédaction, c'est elle qui se chargea de les recevoir et de les regrouper par thèmes afin de pouvoir les traiter ensuite catégorie par catégorie.10

Les premières contributions littéraires de Carry Van Bruggen à l'Amsterdamsche Dameskroniek

La collaboration de Carry Van Bruggen à l'Amsterdamsche Dameskroniek se caractérise par sa diversité et sa richesse. Durant toute la période, elle publie, le plus souvent en plusieurs livraisons successives, des récits fictifs ou autobiographiques, comme par exemple « Een Indisch Huwelijk » (« Un Mariage aux Indes »), « De Boete » (« La Pénitence ») ou encore « Vacantie op Ameland » (« Vacances dans l'île d'Ameland »). En ce qui concerne ses textes théoriques, critiques ou réflexifs, on peut distinguer trois grandes phases. Après avoir présenté, de janvier à mai 1916, des articles isolés portant sur des questions générales d'histoire et de critique littéraire ou sur des oeuvres particulières, Carry Van Bruggen consacre deux grandes séries d'articles à la « littérature moderne » (vingt-six articles, du 20 mai au 25 novembre 1916) 11 et à « la mode et l'être humain » (quatorze articles, du 23 décembre 1916 au 23 mars 1917), avant de publier, du 31 mars au 29 décembre 1917, des textes plus brefs et de circonstance. Une constante dans son approche de la littérature réside dans sa volonté de traiter les questions littéraires en lien avec d'autres phénomènes culturels, sociaux et politiques, et de les replacer dans le cadre plus vaste des structures sociales, des tendances psychologiques de l'être humain et de leur évolution historique. Sa première contribution personnelle, publiée le 15 janvier 1916, est un article intitulé « Réalisme et Romantisme » (« Realisme en Romantiek »), qui présente d'entrée de jeu la perspective dans laquelle s'inscriront tous ses textes théoriques d'histoire et de critique littéraires. 12 Dans les phrases d'introduction, Carry Van Bruggen exprime l'idée, ou plutôt le constat, qui l'a décidée à entrer à la rédaction et qui fonde sa capacité et sa prétention à proposer quelque chose d'original, de différent des revues féminines habituelles. Son article, explique-t-elle, restitue le contenu d'une des quinze conférences qu'elle a prononcées à l'intention des membres de l'association « Kunst aan het Volk » (« L'Art au Peuple »). L'attention accordée par ce public majoritairement féminin à des questions générales de littérature, d'histoire et d'éthique permet selon elle de conclure que les femmes s'intéressent non seulement aux thèmes ayant spécifiquement trait à leur propre situation sociale et morale, mais également à des sujets qui les concernent purement et simplement en tant qu'êtres humains. De cette exigence de ne pas réduire la femme à son sexe ou à son genre découle la perspective adoptée par l'ensemble des rédactrices de la revue, qui partagent selon elle l'ambition de proposer aux lectrices des articles susceptibles de satisfaire à la fois leurs curiosités spécifiquement féminines et leur intérêt pour des sujets plus généraux. 13 Une fois présentée cette perspective générale, Carry Van Bruggen présente les idées directrices de sa propre approche de la littérature. Son article s'ouvre en effet sur la phrase suivante :

Le réalisme et le romantisme sont deux formes d'art littéraire, et en tant que tels, ils sont en quelque sorte les phénomènes accompagnateurs de deux formes de sensibilité et de volonté, de pensée, de rêve et de désir humains. 14 Il est donc question d'« art littéraire », d'un art à part entière et parmi d'autres, dont les créations sont à étudier dans un cadre plus vaste. Les formes esthétiques apparaissent étroitement liées à des manières de penser et de sentir qui se révèlent chaque fois ancrées dans une période donnée (de Tijdgeest, l'« esprit du temps ») et dans les aspirations et facultés profondes et éternelles de l'être humain : il s'agit de manifestations historiques des tendances profondes de l'humanité. Appliqué au réalisme et au romantisme, cela signifie que ces deux formes d'art correspondent à deux aspirations de l'être humain qui se succèdent alternativement dans l'histoire : aspiration au savoir et intérêt pour une multitude de faits et de vérités particulières du côté du réalisme, aspiration à la compréhension et à l'unité du côté du romantisme. Le réalisme apparaît ainsi « de nature scientifique » et « objectif », tandis que le romantisme est « plutôt de nature morale, religieuse et philosophique », et subjectif : alors que le réaliste cherche « de nombreuses vérités à l'extérieur de lui-même », le romantique veut atteindre « une vérité unique en lui-même ». 15 D'après Carry Van Bruggen, la vie artistique et culturelle est marquée par l'alternance entre des périodes plutôt réalistes et des périodes plutôt 12 Carry Van Bruggen : « Realisme en Romantiek », dans : DAD, 1 e année, n°16, 15 janvier 1916, p. 1-2. 13 Ibid. p. 1. 14 Ibid. p. 1 : « Realisme en romantiek zijn twee vormen van letterkundige kunst en als zoodanig zijn ze als het ware de begeleidingsverschijnselen van twee vormen van menschelijk voelen en willen, denken, droomen en begeeren. » 15 Ibid. p. 2 : « Het realisme is wetenschappelijk van aard. [...] Daar de realist 'vele waarheden buiten zichzelf' zoekt, zoo blijft in realistische kunst de persoon van den auteur op den achtergrond -realisme is objectief. / De romantiek is min of meer moreel, religieus of filosofisch van aard [...] daar de romanticus 'één waarheid in zichzelf' zoekt, zoo treedt in romantische kunst de persoon van den auteur meer op den voorgrond -, romantiek is subjectief. » romantiques -l'époque à laquelle elle écrit relevant de cette seconde catégorie -de même que, plus généralement, la vie des individus et des groupes humains se caractérise par un mouvement de balancier incessant entre des tendances opposées et contradictoires. 16 Chaque génération croit suivre sa propre volonté, ses propres désirs, alors qu'en réalité elle paie son tribut à « la grande Nécessité », qui est « approuvée et comprise dans une Volonté plus haute que la volonté humaine ». 17 C'est sous le signe de ces réflexions historiques et philosophiques que se place l'ensemble des contributions de Carry Van Bruggen, et en particulier ses deux grandes séries d'articles sur la littérature moderne et sur la mode.

La deuxième prise de parole de Carry Van Bruggen dans l'Amsterdamsche Dameskroniek revêt également une fonction de maxime générale valable pour tous ses articles et situant ses écrits dans le contexte de la terrible actualité. Le journal anglais Daily Mail avait en effet exprimé sa satisfaction que les inondations qui ravageaient alors les Pays-Bas mettraient au moins un frein aux activités de contrebande entre la Hollande et l'Allemagne, ce qui conduisit Carry Van Bruggen à dresser un constat très sombre : « À la guerre comme à la guerre, dit-on en période de guerre ; les affaires sont les affaires, dit-on en période de paix, et les deux formules signifient exactement la même chose. C'est toujours la guerre. » 18 Ce qui lui inspire un plaidoyer en faveur de l'effort pour se libérer de ses illusions et regarder la réalité en face : « Seule la vérité pourra nous libérer, seule cette amère boisson pourra nous apporter la guérison. » 19 Appliqué à la création et à la critique littéraires, cet effort pour se débarrasser de ses illusions et aider autrui à faire de même conduit à des questions fondamentales, à des remises en question radicales évoquées dès ses premiers articles, avant même la publication de sa grande série sur la « littérature moderne ». Une question cruciale, centrale dans l'oeuvre de Carry Van Bruggen, en particulier en lien avec celle des rapports entre hommes et femmes, est posée dans le cadre d'un article consacré à Lady Victoria Welby, dont le concept de significa occupe un rôle important dans la thèse de droit de Jacob Isräel de Haan, frère de Carry Van Bruggen : « La question peut être posée : 'la pensée est-elle un métier ?' -ou bien est-elle une aspiration naturelle chez tout être humain éveillé, -la pensée se trouve-t-elle sous le signe de la 'vocation' ou de la 'compétence' ? » 20 La question du droit à penser, à ressentir et à juger par soi-même en matière de réflexion philosophique et de jugement esthétique serait développée quelques années plus tard avec une acuité particulière dans le roman Uit het leven van een denkende vrouw (« Scènes de la vie d'une femme qui pense »), 21 publié par Carry Van Bruggen sous le pseudonyme de Justine van Abbing, expression douloureuse et indignée des difficultés rencontrées par son auteur pour se 16 Une dizaine d'années plus tard, Carry Van Bruggen donna une expression littéraire à cette idée dans son roman Eva, selon elle l'aboutissement de son évolution intellectuelle et artistique. Pour une traduction française de ce roman paru en 1927 et 1928, voir : Carry Van Bruggen, Eva (traduit du néerlandais, commenté et annoté par Sandrine Maufroy), Paris : Éditions Rue d'Ulm, 2016. Sur le motif du mouvement de balancier, on peut lire : Rob Wolfs : De slingerslag in Eva : dichten en denken van Carry van Bruggen, Leiden : Dimensie, 1989. 17 Carry Van Bruggen (note 12), p. 2 : « En zoo, afwisselend, neemt de kunst, in overeenstemming met den geest des tijds, een overheerschende realistisch of een overheerschend romantisch karakter aan, vaart de boot der kunst beurtelings onder de vlag van het redelijke 'kennen en aanschouwen' (woorden van Goethe) en het intuïtieve 'vermoeden', -en elk geslacht meent hierin eigen wil te vervullen, eigen zin te volgen, in waarheid slechts zijn aandeel volbrengend in de groote Noodzakelijkheid, welke in een hoogeren Wil dan menschenwil wordt 'goedgevonden en verstaan...' » 18 Carry Van Bruggen (note 5), p. 7 : « À la guerre comme à la guerre, zoo zegt men in oorlogstijd ; les affaires sont les affaires, zoo zegt men in vredestijd, en het is allebei precies eender. Er is altijd oorlog. » 19 Ibid. p. 7 : « De waarheid-alleen kan ons vrijmaken, niets dan die bittere drank kan ons genezing brengen. » 20 Carry Van Bruggen : « Een merkwaardige vrouw » (« Une femme remarquable »), dans : DAD, 1 e année, n°19, 5 février 1916, p. 1 : « De vraag mag worden gesteld : 'is het denken een vak' ? -of is het de natuurlijke begeerte in elken ontwaakten mensch, -geldt in het denken 'geroepenheid' of wel 'bevoegdheid' ? » 21 Justine Abbing [pseudonyme de Carry Van Bruggen] : Uit het leven van een denkende vrouw, Rotterdam : Nijgh & Van Ditmar, 1920.

faire écouter et prendre au sérieux, pour la seule raison qu'elle était une femme et qu'elle n'avait (de ce fait même) reçu qu'une formation d'institutrice.

Dans l'Amsterdamsche Dameskroniek, Carry Van Bruggen aborde un aspect particulier de la question, le problème de la compétence en matière de critique littéraire. Le roman Jordaan II de Querido ayant donné lieu à des jugements totalement opposés de la part des écrivains Frans Coenen et M.H. van Campen, le critique Gerard van Hulzen s'était plaint, dans les colonnes de l'Amsterdammer, des fréquentes divergences d'opinion en matière de jugement littéraire et avait formulé le voeu de pouvoir en appeler à une autorité compétente qui saurait juger en dernière instance et trancher les différends. Carry Van Bruggen réagit alors fermement : selon elle, il faut se débarrasser de l'illusion selon laquelle il pourrait exister des autorités compétentes en matière de jugement esthétique. Celui-ci découlant toujours de nos appréciations morales, il est en réalité aussi impossible de trancher ce genre de questions de critique littéraire que de dire qui, du catholique ou du franc-maçon, du calviniste ou du socialdémocrate, a raison. Cette croyance, ce malentendu à lever prend d'après elle sa source dans la tradition de critique littéraire issue du Mouvement de 1880 et de la revue De Nieuwe Gids : [START_REF] Van Bruggen | -aesthetische, haast technische kritiek, die zich voornamelijk toelegde op het contrôleeren, of de nieuwe methode, die de nieuwe richting voorschreef[END_REF] « une sorte de critique étroitement esthétique, presque technique, qui se donnait pour tâche principale de contrôler si la nouvelle méthode, prescrite par la nouvelle orientation, avait été suffisamment appliquée et comprise ». 23 Les lecteurs de la génération suivante croient encore qu'une telle critique purement esthétique puisse avoir cours, bien que leur manière de penser ait évolué : « [...] le domaine de la critique littéraire s'est déplacé et, surtout, renouvelé. Nous ne demandons plus en premier lieu « comment un livre est écrit », mais ce qu'il nous apporte et nous révèle. 24 » Ces nouvelles questions et cette nouvelle manière de considérer la littérature expliquent des différences de jugement qui sont de nature principalement morale, mais que l'on croit purement esthétiques : ceux qui apprécient un sujet sont portés à ne pas voir les défauts d'un livre, et ceux qui ne l'apprécient pas, à ne pas en voir les qualités, et c'est ainsi que la différence radicale de jugement entre Frans Coenen et M.H. van Campen à propos du livre de Querido reflète simplement le fait qu'ils sont deux êtres humains, différents l'un de l'autre.

La démarche adoptée dans cet article, qui consiste à exposer un cas particulier (oeuvre littéraire, sujet de discussion, question d'actualité) pour prendre ensuite position sur la question soulevée et déboucher sur des considérations générales et théoriques susceptibles de servir ensuite de principes directeurs (toujours à remettre en question) pour la réflexion ou l'action, se retrouve dans les autres contributions de Carry Van Bruggen. Il en est ainsi des trois autres articles publiés avant le début de sa série sur la « littérature moderne », qui sont autant de manifestations de son effort incessant pour démasquer les préjugés et dissiper les illusions. Deux d'entre eux touchent de plus ou moins près le domaine de la critique littéraire : « Idealisme in de Opvoeding», qui souligne des contradictions courantes dans la littérature pour la jeunesse, 25 et surtout « Een coquette vrouw ». [START_REF] Van Bruggen | Een coquette vrouw[END_REF] Carry Van Bruggen y répond aux critiques qui, sans comprendre l'ironie présente dans le titre de son roman éponyme, lui ont reproché de ne pas savoir ce qu'est une coquette. Mais, explique-t-elle, c'est seulement après avoir conçu son personnage qu'elle a pris conscience qu'une telle femme, jugée uniquement d'après ses actes et non d'après les motifs profonds qui les ont suscités, est ce qu'on appelle une coquette. D'où le choix, ironique, du titre. Mais l'héroïne du livre n'a en effet ni la brutalité, ni la cruauté que l'on attribue aux coquettes ; elle est seulement habitée par une soif d'amour et de compréhension mutuelle si impérieuse qu'elle va finit par lui sacrifier sentiment du devoir, compassion et respectabilité. Carry Van Bruggen va alors jusqu'à se demander si ce type de femme, cruelle dans la séduction, jouant avec ses proies masculines comme le chat avec la souris, n'est pas une construction illusoire (« Existent-elles vraiment, les coquettes ? »), revendiquant ainsi implicitement pour son roman une plus grande adéquation au réel que les représentations communes, et la fonction d'ouvrir les yeux du lecteur.

Ainsi, c'est dans un même mouvement que Carry Van Bruggen s'attache à lever les concernant l'interprétation d'oeuvres littéraires, à combattre les préjugés et à dissiper les illusions qui faussent notre vision de la vie intérieure des individus et des rapports entre êtres humains. Cette démarche se confirme dans son article consacré à l'un de ses auteurs de prédilection, John Galsworthy,27 dont elle traduira peu de temps après le roman The Freelands. 28 Contre l'impression de légèreté que peuvent donner les oeuvres de l'écrivain britannique, Carry Van Bruggen montre que celles-ci dévoilent, bien au contraire, le fonctionnement fondamental, et douloureux, de la société humaine. Elle tire de leur lecture l'idée d'une opposition entre l'idéalisme, qui conduit en dernier ressort vers la mort, et l'instinct social (« The Sense of Property »), qui est à la fois force de vie et d'illusion. Cette conception nourrit substantiellement sa propre vision de la vie individuelle et des rapports humains, développée principalement dans son essai Prometheus et dans son roman Eva, qui accorde un rôle fondamental à l'opposition et à l'alternance, chez l'individu comme dans la société, entre tendance à l'unité, à la vérité et à la mort d'une part, et tendance à la distinction, à l'illusion et à la vie d'autre part.

Les premières contributions de Carry Van Bruggen à l'Amsterdamsche Dameskroniek éclairent donc la manière dont elle envisage la critique littéraire : marquant sa prédilection pour des oeuvres qui dévoilent le fonctionnement psychologique et social de l'être humain, s'appliquant elle-même à le faire dans sa création, Carry Van Bruggen prend explicitement position en faveur d'une forme de critique littéraire qui ne soit pas purement esthétique, mais souligne le lien entre littérature et société, entre jugement esthétique, attitude morale et préférences individuelles. Considérant l'art littéraire dans une perspective résolument historique et sociologique, elle souligne également la relativité des points de vue individuels, dont le sien propre. Cette attitude la conduit, d'une part, à tourner le dos à une tradition de critique exclusivement « technique » et esthétique qu'elle considère comme dépassée, et, d'autre part, à taxer d'illusoire l'ambition de parvenir à un jugement définitif sur les oeuvres, proclamé par des autorités compétentes et exclusif d'autres points de vue. Ce type de critique dogmatique apparaît sous sa plume comme typiquement masculin, comme le suggèrent les termes (« mannen », « bevoegde mannen ») qu'elle emploie dans son article « Sur les autorités compétentes ». 29 Cette perception des choses apparaît confirmée par un article de 1917 : la seule femme du Parlement américain s'étant déclarée incapable de se prononcer pour ou contre l'entrée en guerre des États-Unis et ayant fondu en larmes, Carry Van Bruggen concède que, comme ne manquent pas de le souligner certains commentateurs masculins, cette attitude manque certainement d'une certaine maturité politique. Cependant, poursuit-elle, le « je ne sais pas » du philosophe grec est certainement préférable au genre de maturité politique exigé ; et le fait de le reconnaître conduit alors à accepter le doute non comme une faiblesse féminine, mais comme une vertu. 30 Mais loin d'opposer hommes et femmes, Carry Van Bruggen s'efforce d'étudier les questions qui se rapportent à la situation des femmes dans la société, et plus particulièrement dans le champ littéraire, comme des questions qui intéressent l'humanité en général et concernent l'ensemble de la société. Sa série d'articles sur la « littérature moderne » affine cette démarche et en précise les résultats.

« Littérature moderne »

Le 20 mai 1916, Carry Van Bruggen ouvre sa série « Moderne litteratuur » (« Littérature moderne »), qui se poursuivra jusqu'au 25 novembre de la même année, sur une question : « Qu'est-ce que la littérature moderne ? ». Soulignant le flou habituel de la notion, et ne trouvant pas dans les remarques de forme et les considérations purement esthétiques un critère suffisant pour la définir, Carry Van Bruggen détermine le principe qui servira de fil directeur à son approche de la littérature :

La littérature reflète la vie de l'esprit de l'être humain et de l'humanité. Les meilleurs porte-paroles de l'humanité -les grands poètes, penseurs et écrivains -y ont exprimé tout l'espoir et toutes les terreurs, toutes les passions, tous les sentiments et pressentiments de leurs contemporains, donc de leur époque, dans de belles pensées et de belles formes. Pour connaître pleinement l'esprit d'une époque, étudions sa littérature. 31 À partir de cette idée, dont découle une approche de la littérature en termes sociologiques, ou plutôt de psychologie sociale, Carry Van Bruggen distingue deux grandes époques dans l'histoire de l'Europe occidentale : après une longue période « sans critique », où chacun acceptait sans remise en question la situation sociale dans laquelle il était né et toutes ses conséquences (relations avec ses parents, sa famille, sa patrie, sa croyance, principes régissant le mariage, métier, etc.) et où la valeur de l'individu découlait de sa place dans la société, le milieu du XVIII e siècle vit s'élever une génération de jeunes gens qui, armés de la question « pourquoi ? », ouvrirent la voie à la naissance de l'« individu ». Aux héros de Corneille et de Racine, dont le coeur tiraillé entre le désir et le devoir finit nécessairement par choisir le second, gagnant ainsi la sympathie du spectateur, succèdent les héros révoltés de Goethe et de Schiller, qui veulent être leur propre juge et vivre selon leurs propres lois, et pour qui Rousseau est « un frère et un maître ». C'est dans cette nouvelle conception de la vertu -qui consiste non plus dans la soumission, mais dans la révolte -et de la valeur individuelle, porteuse d'un nouvel idéal de liberté et de bonheur, que Carry Van Bruggen découvre l'élément « moderne », qui, en littérature, apparaît selon elle plus tôt en France, en Angleterre et en Allemagne qu'aux Pays-Bas. 32 Ainsi est posée la question générale, annonciatrice de son essai Prométhée, 33 que Carry Van Bruggen se propose d'étudier dans les colonnes de l'Amsterdamsche Dameskroniek : l'étude du « développement de l'individualisme dans la littérature ». 34 Mais conformément à la 31 Carry Van Bruggen : « Moderne litteratuur. I », dans : DAD, 1 e année, n°34, 20 mai 1916, p. 1 : « De letterkundige [sic] is een afspiegeling van het geestelijk leven van den mensch en van de menschheid. Daarin hebben de beste woordvoerders der menschheid -de groote dichters, denkers en schrijvers -alle hoop en vreezen, alle hartstocht, alle vermoedens en gevoelens van hun tijdgenooten, dus van hun tijd, in schoone gedachten en schoone vormen uitgesproken. Wie den geest van een tijd ten volle wil kennen, die bestudeere de letterkunde van dien tijd. ». 32 Ibid. p. 2. 33 Cette oeuvre majeure de Carry Van Bruggen, publiée d'abord en feuilleton dans la revue littéraire Groot Nederland, parut peu de temps après sous le titre Prometheus. Een bijdrage tot het begrip der ontwikkeling van het individualisme in de litteratuur, Rotterdam : Nijgh & Van Ditmar, 1919. 34 Dans les article IX et X de la série, consacrés principalement à Shelley et Byron, Carry Van Bruggen présente l'essentiel de son interprétation du mythe de Prométhée, « le personnage moderne par excellence », « l'image de l'homme moderne ». Elle voit dans Zeus le symbole du pouvoir, qui est aussi le principe du Mal, car les détenteurs du pouvoir deviennent toujours des tyrans, et dans Prométhée le symbole de l'opposition, qui est toujours bon, et condamné à souffrir : la lutte de Prométhée contre Zeus est ainsi, finalement, celle du Droit contre le Pouvoir. Carry ligne directrice qui régit l'ensemble de ses contributions à cette revue, Carry Van Bruggen aborde la question non seulement d'un point de vue général, mais en se concentrant plus particulièrement sur la situation et le rôle des femmes, les deux perspectives se complétant mutuellement, comme elle le formule explicitement dans les premières phrases d'un article consacré aux personnages féminins dans la littérature anglaise du XVIII e siècle : En décrivant les expressions littéraires des nouvelles idées en Angleterre, nous avons en apparence perdu de vue ce qui est réellement notre but principal, l'étude de la femme dans la littérature moderne. Seulement en apparence, mais pas en réalité, puisqu'il se révèlera toujours nécessaire, pour bien comprendre l'évolution de la femme, de considérer aussi l'évolution de l'homme, l'évolution humaine en général. Ces phénomènes sont interdépendants, de même que tout est interdépendant. La vie et les aspirations d'une femme comme George Sand ne peuvent pas être comprises sans la connaissance de la vie et des aspirations d'un homme comme Rousseau, -l'homme et la femme agissent l'un sur l'autre, tels des courants alternatifs de l'esprit, ce que nous venons de faire n'était donc pas superflu. 35 Posée ainsi, la question implique d'étudier d'une part « la vie et les aspirations » de femmes écrivains qui ont exprimé les problèmes de leur époque, et d'autre part d'analyser le caractère et le comportement social des personnages féminins mis en scène dans des oeuvres littéraires, en les comparant notamment aux personnages masculins. Pour chacun de ces deux aspects, Carry Van Bruggen s'efforce de présenter des cas représentatifs. Force est de constater que parmi les écrivains évoqués dans ses articles, les femmes sont bien moins nombreuses que les hommes. Mais elles occupent aussi une place de choix. Julie von Krüdener, qui exprime son amour d'elle-même dans son roman Valérie, représente « l'image vivante de son époque », abhorrant la réalité et passant de l'exaltation d'une vie débridée à la passion religieuse aux allures prophétiques. 36 George Sand, en adoptant un nom et des vêtements d'homme, offre un symbole de la domination masculine ; 37 en prônant l'amour libre, elle tire les conséquences des écrits de Madame de Staël qui favorisent l'acceptation du divorce -la réaction du public d'alors révélant l'inconséquence et l'hypocrisie des personnes prétendument éclairées qui acceptent le principe de la possibilité du divorce, mais refusent de voir qu'il mine en dernier ressort l'institution du mariage tout entière. 38 Mais la place d'honneur revient à Madame de Staël, que Carry Van Bruggen évoque dès son premier article, avant de lui consacrer des développements approfondis dans plusieurs contributions. Soulignant l'actualité des questions Van Bruggen souligne qu'entre 1780 et 1850, la littérature regorge de ces « nobles révoltés » qui représentent tous la « résistance de la minorité opprimée contre la majorité puissante », et signifient que « le véritable idéalisme est dans l'opposition ». Voir Carry Van Bruggen : « Moderne litteratuur. IX », dans : DAD, 1 e année, n°42, 15 juillet 1916, p. 1-2, et « Moderne litteratuur. X », dans : DAD, 1 e année, n°43, 22 juillet 1916, p. 1-2. 35 Carry Van Bruggen : « Moderne litteratuur. XI », dans : DAD, 1 e année, n°44, 29 juillet 1916, p. 1 : « « Met het beschrijven van de letterkundige uitingen der nieuwe gedachte in Engeland hebben we ons eigenlijk hoofddoel, de beschouwing van de vrouw in de moderne litteratuur schijnbaar uit het oog verloren. Schijnbaar slechts, in werkelijkheid niet, immers het zal altijd noodig blijken voor een goed begrip van de ontwikkeling der vrouw, ook de ontwikkeling des mans, de menschelijke ontwikkeling in het algemeen in het oog te houden. Deze dingen toch hangen tezamen, zooals alles tezamen hangt. Leven en streven van een vrouw als George Sand zullen niet te begrijpen zijn zonder leven en streven van een man als Rousseau te kennen, -man en vrouw werken op elkaar in, als geestelijke wisselstroomen, wat wij deden was derhalve niet overbodig. » 36 Carry Van Bruggen : « Moderne litteratuur. VI », dans : DAD, 1 e année, n°39, 24 juin 1916, p. 1-2 et « Moderne litteratuur. VII », dans : DAD, 1 e année, n°40, 1 er juillet 1916, p. 1-2. 37 Carry Van Bruggen : « Moderne litteratuur. XXII », dans : DAD, 2 e année, n°4, 14 octobre 1916, p. 1-2. 38 Carry Van Bruggen : « Moderne litteratuur. XIX », dans : DAD, 2 e année, n°1, 23 septembre 1916, p. 1-2 et « Moderne litteratuur. XX », dans : DAD, 2 e année, n°2, 30 septembre 1916, p. 1-2. soulevées dans ses romans Delphine et Corinne,39 insistant sur l'importance de De l'Allemagne pour la prise de connaissance par les Français de la littérature allemande,40 rendant hommage à sa personnalité sensible et passionnée, à la finesse de son intelligence et à sa détermination dans l'adversité et dans la résistance à Napoléon, elle lui reconnaît « une digne place, et même la première place » « parmi les individualistes masculins de son époque ». 41 Et bien que Carry Van Bruggen s'abstienne d'évoquer De la littérature considérée dans ses rapports avec les institutions sociales (1799), on peut considérer sa propre approche de la littérature comme une continuation de cet ouvrage célèbre. Madame de Staël apparaît donc comme une véritable figure tutélaire. Quelques autres écrivains -des hommes cette fois -cités à plusieurs reprises à l'appui de son argumentation, se révèlent comme des inspirateurs et des maîtres à penser : Heinrich Heine, en qui elle reconnaît « la grande figure du romantisme révolutionnaire », et dont elle souligne -par une analogie frappante avec la manière dont elle se percevait ellemême -l'origine juive, la situation à la charnière de deux époques (romantique et réaliste) et le statut de poète reconnu mais de penseur méconnu ;42 John Galsworthy, dont les romans ont fortement contribué à structurer sa propre pensée ;43 Anatole France, dont elle évoque et analyse les oeuvres à des moments cruciaux de sa réflexion. 44 Delphine et Corinne, héroïnes éponymes des romans de Madame de Staël, sont les premières d'une suite de personnages féminins dont l'analyse alterne avec des considérations plus générales sur l'évolution intellectuelle et littéraire des pays d'Europe occidentalereprésentés exclusivement, sans doute en grande partie pour des raisons de compétences linguistiques personnelles, par la France, l'Allemagne et l'Angleterre -de 1780 à 1850. Quelques constantes caractérisent la démarche adoptée par Carry Van Bruggen dans l'analyse des oeuvres. Son choix d'étudier l'avènement de l'individu en littérature l'amène à se concentrer sur l'analyse des personnages : traits de caractère, appartenance à un type donné, relations avec les autres personnages, évolution au cours de l'intrigue. Pour mieux comprendre la situation des femmes et leur rôle dans le développement de la « pensée moderne », elle compare les personnages féminins et masculins créés par un même auteur, en gardant constamment pour fil directeur l'idée que la littérature est un miroir de la réalité, et en cherchant donc à préciser la nature de ce rapport spéculaire. Le troisième article de la série est bien représentatif de cette méthode. 45 Confrontant Faust et Egmont à Gretchen et Klärchen, Carry Van Bruggen constate que, dans l'oeuvre de Goethe, les personnages « éveillés » et « conscients d'eux-mêmes » sont tous masculins, alors que les personnages féminins ne sont jamais présents qu'en qualité de femmes, comme représentantes de la « femme aimante ». Mais, nuance-t-elle, Gretchen s'élève malgré tout inconsciemment au-dessus des conventions. En un certain sens, ce personnage a donc été conçu dans une perspective « individualiste » : si Gretchen n'est certes pas la première « fille déchue » de la littérature, elle est sans doute la première pour qui l'auteur ait réclamé la sympathie du lecteur alors même qu'elle avait commis un crime (le meurtre de son enfant, accompli par désespoir). Ces réflexions sur le personnage de Gretchen répondent à des questions qui sous-tendent l'ensemble des analyses proposées par Carry Van Bruggen : le personnage agit-il conformément aux « conventions » (sociales) ou à la point de vue particulier où il est placé, elle-même y découvre « un processus de libération » (« vrijmakingsproces »). 52 De fait, les notions de progrès et d'esprit du temps sous-tendent l'ensemble de ses développements, comme le montrent ses remarques récurrentes sur la différence entre les réactions du public de son époque et celles des contemporains d'une oeuvre donnée. [START_REF]On trouve à plusieurs reprises des phrases comme « Pour nous, tout cela est assez simple, à l'époque c'étaient des choses nouvelles[END_REF] Dans son effort pour retracer les étapes d'une émancipation, Carry Van Bruggen s'attache à en déceler les fondements et les facteurs favorables, accordant une place de choix aux Lumières françaises, aux oeuvres des poètes du Sturm und Drang et, dans le domaine politique, à la Révolution française. Elle s'attache également à dévoiler les facteurs qui ont pu faire obstacle à ce processus de libération, et en particulier à l'émancipation des femmes : la conception chrétienne du péché de chair et de la femme comme tentatrice, 54 mais aussi l'idéalisation de la femme par l'homme, particulièrement asservissante car difficile à contrer directement, qu'elle interprète comme le résultat de la déception des hommes face à leur propre imperfection morale et de leur besoin de trouver sur terre une concrétisation de leurs idéaux. [START_REF] Van Bruggen | Moderne litteratuur[END_REF] Fidèle à son idée d'une alternance entre « romantisme » et « réalisme » dans l'histoire intellectuelle et spirituelle, Carry Van Bruggen place son étude sous le signe de deux révolutions, qui en tracent les limites chronologiques : interprétant celle de 1789 comme une révolution « scientifique », issue de l'esprit des Lumières et de l'Aufklärung, elle comprend la période romantique comme une réaction aux excès d'un rationalisme trop exclusif. Cette réaction, elle-même excessive dans ses débordements impulsifs de sentiment et de religiosité, débouche sur la révolution « romantique » de 1848 qui signe en même temps la fin du romantisme et le début d'une période réaliste moins attentive à la vie intérieure et aux progrès du moi individuel. [START_REF] Van Bruggen | Moderne litteratuur[END_REF] Les articles publiés en 1916 et 1917 par Carry Van Bruggen dans l'Amsterdamsche Dameskroniek correspondent ainsi parfaitement à son ambition d'offrir aux femmes cultivées une nourriture intellectuelle susceptible d'alimenter leur réflexion sur des questions littéraires, historiques et éthiques de portée générale tout en éclairant leur point de vue sur leur propre situation dans la société. Se refusant à réduire la critique littéraire à une analyse purement technique et esthétique, elle développe une approche historique et sociologique de la littérature fondée sur l'idée que les oeuvres reflètent « l'esprit » de leur époque. L'opposition entre réalisme et romantisme, définis comme deux tendances fondamentales de la sensibilité et de l'esprit humains qui alternent au cours du temps, fournit un cadre d'interprétation pour l'étude de l'histoire littéraire et culturelle en générale. Cherchant à comprendre le développement de l'individualisme dans la littérature et la société d'Europe occidentale, elle choisit donc de consacrer sa série d'articles intitulée « Littérature moderne » à l'époque romantique par excellence qui s'étend de 1780 à 1850 et où elle distingue un « processus de libération » des individus. Posant plus particulièrement la question de la situation des femmes dans la société, elle constate que cette émancipation progressive les concerne aussi, mais avec retard et au prix d'une lutte contre des obstacles fortifiant la domination masculine. Critique littéraire et histoire de la littérature revêtent ainsi, chez Carry Van Bruggen, une fonction libératrice : par ses analyses, elle s'efforce de dissiper illusions et préjugés, de contribuer à des prises de conscience, et de féconder la réflexion et l'action pour une émancipation réelle des femmes et, surtout, de tous les êtres humains.

A.v.G. : « Paarden-leed » (« La souffrance des chevaux »), dans : DAD, 1 e année, n°18, 29 janvier 1916, p. 6. L'auteur cite notamment en exemple le monument érigé à Port-Elisabeth, en Afrique du Sud, en l'honneur des chevaux combattants de la guerre des Boers.

Carry Van Bruggen : « Idealisme in de Opvoeding » (« L'Idéalisme dans l'éducation »), dans : DAD, 1 e année, n°32, 6 mai 1916, p. 1.

Voir l'article publié dans De Courant du 12 avril 1920, dont un extrait est reproduit dans : Jan Fontijn et Diny Schouten (éd.) : Carry van Bruggen. Een documentatie, Den Haag : Nijgh & Van Ditmar, 1985, p. 26-27.

Voir en particulier Carry Van Bruggen : « Een eenheids-school » (« Une école pour tous »), dans : DAD, 2 e année, n°36, 26 mai 1917, p. 6, et « Halve dagen vrij » (« Demi-journées libres »), dans : DAD, 2 e année, n°49, 25 août 1917, p. 1.

Annonce sans titre, dans : DAD, 1 e année, n°40, 1 er juillet 1916, p. 8.

Ces articles sont numérotés de 1 à 27, mais il manque le n°18 (on passe directement du n°17 au n°19). Par ailleurs, deux articles portent le n°12, mais aucun ne porte le n°13.

Carry Van Bruggen : « John Galsworthy », dans : DAD, 1 e année, n°22, 26 février 1916, p. 1-2.

John Galsworthy : De Freelands (trad. Carry Van Bruggen), Amsterdam : Maatschappij tot Verspreiding van Goede en GoedkoopeLectuur, 1920.

Carry Van Bruggen (note 22), p. 1 : « hommes [masculins] » ; « hommes compétents ».

Carry Van Bruggen : « De Eene Vrouw » (« La seule femme »), dans : DAD, 2 e année, n°31, 21 avril 1917, p. 1-2.

Carry Van Bruggen (note 31), p. 1. Voir aussi, principalement, « Moderne litteratuur. III », dans : DAD, 1 e année, n°36, 3 juin 1916, p. 2 et « Moderne litteratuur. IV », dans : DAD, 1 e année, n°37, 10 juin 1916, p. 1-2.

Carry Van Bruggen : « Moderne litteratuur. II », dans : DAD, 1 e année, n°35, 27 mai 1916, p. 2.

Ibid. p. 1 : « Te midden van de mannelijke individualisten van haar tijd, neemt Madame de Stael dan, zagen we, een waardige, ja een allereerste plaats in. »

Carry Van Bruggen : « Moderne litteratuur. XVII », dans : DAD, 1 e année, n°50, 9 septembre 1916, p. 2 et « Moderne litteratuur. XXI », dans : DAD, 2 e année, n°3, 7 octobre 1916, p. 1-2.

La série « Moderne litteratuur » renferme plusieurs références ponctuelles à Galsworthy, mais c'est surtout l'article cité plus haut qui est éclairant : Carry Van Bruggen (note 27).

Voir notamment Carry Van Bruggen : « Moderne litteratuur. IV » (note 39), p. 1 sur Les dieux ont soif (1912) et « Moderne litteratuur. X » (note 34), p. 2, sur La révolte des anges (1914). Anatole France est évoqué plus brièvement dans d'autres articles de la série.

Carry Van Bruggen : « Moderne litteratuur. III » (note 39), p. 1-2.