Arpad Török

Stoian Petrescu

Michel Feidt

U R A C N R S 7563

APPLICATIVE PROPERTIES OF SINUSOIDAL FOURIER SERIES EXPANSIONS OF MULTI-VARIABLE FUNCTIONS

Keywords: periodic sinusoidal Fourier series, non-sinusoidal series, linear differential equations, differential equations with partial derivatives

In our previous research [1, 2], we have developed a method of solving differential equations by determining the coefficients of the expansion of unknown functions in sinusoidal (or non-sinusoidal) series. This has proven to be an extremely powerful method, applicable to all types of differential (ODEs) and integrodifferential equations, linear and nonlinear, to systems of such equations, valid over a closed interval, regardless of their order and regardless of the complexity of their coefficients. The conditions required for the application of this method are not very restrictive and are easy to fulfill, in particular for the situations encountered in physics and in engineering.

To apply this method also in the case of equations and systems of partial differential equations (for functions of several variables), it is necessary to generalize the applicatives formulas which describe the properties of monovariable functions (used in the case of ODEs) for functions depending on several variables (subject to partial differential equations PDEs), valid in a closed domain. As in the case of ODEs, the differentiation and the integration operations performed on the expansions in Fourier sinusoidal series (SFS) will turn into algebraic operations performed on the coefficients of the expansion. Therefore, solving PDEs will turn into solving some algebraic equations.

Introduction

Research initiated by Fourier from the study of the diffusion of heat [3] and continued by a large number of mathematicians, showed that any real function, with real argument f(x) : R → R, T-periodic over the interval (x1, x2), where T= x2-x1, continuous and piecewise differentiable, or square integrable over the interval T, i.e.: 

              1 0 sin cos 2 1 n n n n n x b x a a x f  
where, for nN, we will define

T n n   2  (1)
The coefficients of this expansion can be calculated using Euler's formulas:

      2 1 cos 2 x x n n dx x x f T a  n=0, 1, 2, 3,... ( 2
)       2 1 sin 2 x x n n dx x x f T b  n=1, 2, 3,...
This assertion has been extended to real functions with several variables [4][5][6][7]. Using vector notations, the function f(x) : R d → R, is periodic, with period T = (T1, T2, ..., Td) if, for all d-tuple of integers nZ d , n = (n1, n2, ..., nd), we have: f(x+n•T) = f(x). Here, n•T is a dot product, and the set of points n of R d which contains only integers is called the d-dimensional integer lattice Z d .

If we denote Li = Ti /2 , i = 1, 2, ..., d, by appropriate changes of variables, we can arrive at a periodic function f(x) on the prism

      d i i i d L L 1 ,

L

. If this function is piecewise continuous and derivable with respect to any one of the variables xi and if it is a square integrable on the prism L d , that is:

x x d f d L  2 ) (
<+∞ (it belongs to the space L 2 ([L d ]), the formulas and the theorems valid in the space L 2 ([-L1, L1]) for the monovariable functions, are practically identical. The "bricks" for the Fourier series expansion of multivariables periodic functions will be (as in the case of monovariable ones) the one-dimensional complex exponentials: As in the one-dimensional case [2,5], once we know the coefficients of the Fourier series expansion of a multivariable function, we can find computational formulas for the Fourier series expansion of the product f(x)•g(x) of two functions of several variables (for f(x)=g(x), for the square of such a function). By successively and repeatedly applying these formulas, the Fourier coefficients of more complicated analytical expressions can be calculated.

In addition, under certain conditions, relation (3) can be integrated, or derived repeatedly, term by term. Both the differentiation and the integration with respect to a single variable (partial differentiation and, by extension, first-order "partial integration") are identical to the differentiation, respectively the integration of a monovariable function (keeping the other variables at a constant value). Consequently, the results obtained in the case of the development in SFS for the monovariable functions [2] remain valid also in the case of the partial derivatives and the partial integrals of first order, and by repetition, also on those of a higher order.

Let the function z= f(x), be defined on the (d+1)-dimensional domain R×L d . In this domain, f(x) are hypersurfaces. For the differentiation with respect to one of the variables xi (the partial derivative ∂f/∂xi, or fxi), first, we will define the function xi-monovariable f(C, xi)=f(C1,..., xi, ...Cd), where Cj, j=1, 2, ..., d, j≠i, are real constants that do not change during differentiation. For each combination C0 of d-1 variables other than xi, we obtain an xi-monovariable curve on the hypersurface f(x), and for each value xi=x0, we obtain the intersection of this hypersurface with the plane xi=x0.

For the differentiation of the xi-monovariable function f(C, xi), we will consider that the existence of finites discontinuities of this function (frequent in particular on the lateral surfaces of the d-dimensional prism L d ) introduced by this variable, leads to the modification of the coefficients of the odd components of its series expansion, as well as a change in the mean value of the derivative [1,2]. For all xj-monovariable functions, the values of these changes depend on the imprint of the intersection of the function f(x) with the hypersurface bordering the domain of definition. For each higher order derivative, it is necessary to know this imprint of the lower order derivative function. In the case of periodic PDEs, these imprints are the boundary conditions of the equation (at the boundary of the domain L d ).

For the integration with respect to one of the variables xi (the partial integral ∂ -1 f/∂xi, or f -1 xi, is the antiderivative of the xi-monovariabile function f(C, xi)) we will proceed from the same as in the case of functions of a single variable. In the formula of the development in SFS of a multivariable function with real variables (resulting from the formula (3)), the "partial integration" (with respect to xi) of the even component (with respect to xi) of the ximonovariable function f(C, xi) generates an odd component (relative to this variable) of the integral, and the "partial integration" of an odd component (with respect to xi) generates an even component (with respect to this variable) and supplementary, a constant component (the value of which becomes the mean value of the "primitive" of the xi-monovariable function). The partial integration (with respect to one of the variables) of the mean value of the ximonovariable function generates (with respect to xi) a ramp function, whose expansion in Fourier series leads to the change of the coefficients of the odd component of the expansion of the primitive.

With the obtained formulas and with those resulting from their combinations, we have the necessary tools to transform, similarly with the case of ODEs [2], a partial differential equation (PDE), for which we know enough of the boundary conditions, into a system of algebraic equations, in which the unknown values are the coefficients of the sinusoidal series expansion of the unknown periodic multivariable function f(x). In the following sections, we will analyze their formation and we will establish calculation formulas for the expressions of the coefficients of the expansion in SFS of the integrals and of the derivatives of multivariables functions and of the product of two such functions, with exemplification in the case of the functions y(x1, x2) of two variables, defined on the space

L 2 = [-L1, L1]×[-L2, L2].
The development in SFS of this function is [5]: , where:

                                SFS OO OE EO EE O E O E SFS x x y x x y x x y x x y x y x y x y x y y x x y                                           1
  2 1 2 1 2 1 00 1 1 2 2 , 4 1 dx dx x x y L L Y L L L L        2 1 1 1 2 1 2 1 0 0 cos , 2 1 1 1 2 2 dx dx x x x y L L Y m L L L L E m         2 1 1 1 2 1 2 1 0 0 sin , 2 1 1 1 2 2 dx dx x x x y L L Y m L L L L O m         2 1 2 2 2 1 2 1 0 0 cos , 2 1 1 1 2 2 dx dx x x x y L L Y n L L L L E n         2 1 2 2 2 1 2 1 0 0 sin , 2 1 1 1 2 2 dx dx x x x y L L Y n L L L L O n         2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 cos cos , 1 1 1 2 2 dx dx x x x x y L L Y n m L L L L EE mn        (4a)   2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 sin cos , 1 1 1 2 2 dx dx x x x x y L L Y n m L L L L EO mn          2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 cos sin , 1 1 1 2 2 dx dx x x x x y L L Y n m L L L L OE mn          2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 sin sin , 1 1 1 2 2 dx dx x x x x y L L Y n m L L L L OO mn        1 1 1 L m m m      , 2 2 2 L n n n     
, where m,nN + Note that, in what follows, we will always consider that the odd components yO, and the odd components yE also, have the mean value equal to zero.

The expansion in SFS of the partial derivatives and partial integrals of multivariables functions

If in the SFS expansion of the function

f(x) →       d i i i d L L 1 ,

L

, we separate the terms which contain the functions (5)

    C i O C i E C i i mi m O C i m i mi m E C i m C i SFS i F F F x F x F F x C f . . . 0 1 . . 1 . . 0 . . 0 sin cos ,               , m = 1, 2, ..., ∞
where

C i O C i E C i F F F . . . 0 , ,
are the 3 components of the function (the mean value, the even component and the odd one, with respect to the variable xi), and the coefficients 0 . . 0

C i F , E C i m F . . and O C i m F .
. , are functions dependent on the others d-1 variables. Obviously:

    i C i E i C i E L F L F   . . and     i C i O i C i O L F L F   
. . (6) Any function f(x), piecewise continuous, square integrable, defined on d-dimensional

prism f(x)→       d i i i d L L 1 ,

L

, can be extended over the entire space R d , by extending each monovariable function f(C, xi) over the entire R axis, the result being a 2Li-periodic function with respect to each variable xi [1]. If the function f(x) is continuous inside the prism with respect to each of the variables xi and if f(C, -Li)=f(C, Li), i=1,2, ..., d, the function f(x) is continuous over the entire space R d . Considering that the first order partial derivative, with respect to the variable xi, of a multivariable function f(x) has the same properties as any first order derivative of a monovariable function f(C, xi), we can extend over this type of functions the results obtained for the monovariable functions and for their SFS expansions. Therefore, we can to affirm [5]:

Theorem 1. For any continuous function f(x)→ d R , 2Li-periodic with respect to each of the variables xi, having all the partial derivatives absolutely integrable functions (but which can be undefined at a finite number of points), the Fourier series of its partial derivatives ∂f/∂xi is obtained from the Fourier series of the function f(x) by term-by-term differentiation, with respect to the variable xi.

For     i mi m O C i m i mi m E C i m C i SFS i x F x F F x C f   sin cos , 1 . . 1 . . 0 . . 0         
, we obtain: Since the function ∂f/∂xi satisfies all the conditions imposed by Theorem 1, it can be differentiated again, in the same way, with respect to one of the other variables. Regarding the repeated differentiation with respect to the same variable, can be applied the Theorem 2. For any continuous function f(x)→ d R , 2Li-periodic with respect to each of the variables xi, and which, with respect to the variables xi has n-1 continuous derivatives and the derivative of order n absolutely integrable (this derivative can be undefined in a finite number of points), the Fourier series of the partial derivatives of order r, ∂ r f/∂xi r , r<n are obtained from the Fourier series of the function f(x) by differentiating it r times, term by term, with respect to the variable xi. All the series obtained by these differentiations, with the possible exception of the derivative of order n, converge uniformly towards the corresponding derivative.

                   1 . . . . sin cos , / m i mi E C i m i mi O C i m mi SFS i SFS i x F x F x C f x f    x ( 6
The Fourier coefficients of the function f(x) satisfy the relation:

0 lim lim . . . .       O C i m n m E C i m n m F m F m
And the partial derivative of order r, ∂ r f/∂xi r can be differentiated once with respect to the other variables, if f(x) satisfies, with respect to this variable, the conditions of the Theorem 1, or of a repeated number of times, if it satisfies the conditions of the Theorem 2.

The extension of the discontinuous function fd(x), for which f(C,-Li) ≠ f(C, Li), for at least one of the variables xi, poses the problem of the value of the function f(C, xi) at points xi=-Li and xi=Li. There is a class of functions fr(xi), "almost everywhere equal" [1], which fulfill the conditions to have an convergent SFS expansion, and which in the interval

  i i L L , 
are equal to f(C, xi), but at its ends (or/and at other points of discontinuity xi.s) can, each of them, take different finite values. All these functions have the same SFS expansion and satisfy the equalities:

                       ) ( lim ) ( lim 2 1 i L x i L x i r i r x f x f L f L f i i i i and               ) ( lim ) ( lim 2 1 . . . x f x f x f s i i s i i x x x x s i r .
The behavior of this whole class of functions fr(xi), can be described by a Fourier function fF (xi), which belongs to this class and which satisfies the condition

    i F i F x f x f  .
In the following, we will consider all the functions f(C, xi) which satisfy the conditions to have an convergent SFS expansion, as Fourier functions, and for which within the interval  

i i L L ,  :   ) ( lim 0 h L f L f i h i      , et   ) ( lim 0 h L f L f i h i    . Theorem 3. If the fonction f(x)→       d i i i d L L 1 ,

L

, for which f(C, -Li) ≠ f(C, Li), has the partial derivative with respect to the variable xi absolutely integrable (but which can be undefined at a finite number of points), it admits the development in SFS:

                                  1 . . . . . . sin cos , 1 2 , , m i mi E C i m mi i mi i i O n O C i m mi i i O SFS i SFS i x F x L C f F L C f x C f x f     x (7) where:             1 . . . . 0 . . 0 sin cos , m i mi O C i m i mi E C i m C i SFS i x F x F F x C f  
, and

        i i i i i O L C f L C f L L C f    , , 2 1 ,
. Theorem 3 is a consequence of the similar theorem applied to monovariable functions: before the differentiation, in the domain d L , we have decomposed the function (these jumps are the only cause of the generation of Gibbs-type phenomena).

Remark 1: If f(x) is a Fourier function over the whole domain of definition d R , this property also belongs to the function fO.i.c(x) and to its SFS expansion as well. Moreover, the SFS expansion of the function  

i O L C f ,
•xi is a Fourier function. Therefore, their sum enjoys the same properties. As in the case of monovariable functions, in natural phenomena, with limited energy, this type of function is more plausible than that of "hyper-ramp" functions.

Remark 2: for    

i i L C f L C f   , ,    i i O L C f , .
=0 and ( 7) becomes (6).

Remark 3: As for the monovariable functions:

    O C i m m m i i O mF L C f . . 1 . 1 2 lim ,      .
Here

  i i O L C f , .
(and also 0 . . 0

C i F , O C i m F .
. and

E C i m F .
. , mN + ), is a function of d-1 variables. Remark 4: This theorem applies in the same way to the partial derivatives of the function f(x) with respect to the same or to another variable. In this case, the ridge-curves

  i Oi L C f
, are derived accordingly. The differentiation is performed in the same way if the discontinuities with respect to any of the variables occur within the interval of definition. If the function fd(x)→ d L is discontinuous with respect to the variable xi, at a finite number of points, the function fO.i(x), odd with respect to the variable xi, can be written as the sum of a continuous function fO.i.c(x), obtained by translating along the 0z axis the continuous pieces of the respective hypersurfaces, so that their ends coincide (and for the differentiation of which applies theorem 3) and a discontinuous function fO.i.H(x), which contains plane jumps between interior ridge-curves (and whose derivative is a sum of Dirac's "hyper-combs").

Theorem 4. For any absolutely integrable function f(x)→ d R , 2Li-periodic with respect to each of the variables xi, the definite partial integral, with respect to the variable xi, is obtained from the Fourier series of the function f(x) by integrating it term by term, in relation to the variable xi, between all integration limits, indifferent if the series is convergent or not. For    

i mi m O C i C i mi m E C i C C i C SFS i x F x F F x C f   sin cos , 1 . . 1 . . 0 . .         
, we obtain:

                         1 . . . . 0 . . 1 sin sin cos cos , m mi mi mi E C i C mi mi O C i C C i C i b a i b a i b b F a b F a b F dx x C f f x     
x Theorem 5. For any function f(x)→ d R , 2Li-periodic with respect to each of the variables xi, having all the partial derivatives absolutely integrable functions, the Fourier series of the partial integral ∂f -1 /∂xi is obtained by starting from the Fourier series of the function f(x) by integrating it term by term with respect to the variable xi, regardless of whether the series is convergent or not.

For     i mi m O C i C i mi m E C i C C i C SFS i x F x F F x C f   sin cos , 1 . . 1 . . 0 . .         
, we obtain: (8)

                                  1 0 . . 1 . . . . 1 . . 0 1 sin 1 2 cos , m mi i mi C i C m E C i C i mi O C i C m mi O C i C SFS i x i SFS i x F F x F F dx x C f x f    
x Since the function ∂ -1 f/∂xi satisfies all the conditions imposed by the theorem 4, it can be partially integrated, in the same way, in relation to any of the other variables.

The coefficients of the SFS expansions of the derivatives and of the first order partial integrals of the two-variable functions

With the signification of the relations (4a), the SFS expansion of the two variables function   2 1 , x x y is:

                                              1 2 2 0 0 1 2 2 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 00 2 1 sin cos sin cos , n n O n n n E n m m O m m m E m SFS x Y x Y x Y x Y Y x x y                              1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 sin cos cos cos m n n m EO mn m n n m EE mn x x Y x x Y     (4)                         1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 sin sin cos sin m n n m OO mn m n n m OE mn x x Y x x Y    
The SFS expansions SFS of the two x1-monovariable and x2-monovariable functions are:

                    1 1 1 2 . 1 . 1 1 2 1 . 1 . 2 0 . 1 . 1 sin cos , x x Y x x Y x Y x C y m m O C m m m E C m C C SFS   (4.1)                                                     1 1 1 1 2 2 1 2 2 0 0 1 1 1 1 2 2 1
E m n n O n n n E n x x Y x Y Y x x Y x Y Y x Y x Y Y                             2 2 1 1 . 2 . 2 2 1 1 . 2 . 1 0 . 2 . 2 sin cos , x x Y x x Y x Y x C y n n O C n n n E C n C C SFS   (4.2)
                                                           
If, over the entire interval L 2 = [-L1, L1]×[-L2, L2], the real, two variables periodic function y(x1, x2) is continuous with respect to both variables, if it a the two first order partial derivatives piecewise smooth and if take place the equalities y(-L1,x2)=y(L1, x2), for x2[-L2, L2] and y(x1, -L2)=y(x1, L2), for x1[-L1, L1], the Fourier sinusoidal expansion of both partial derivatives can be obtained by differentiating term by term, with respect to the respective variable the SFS expansion of the function y(x1, x2). The series obtained converges uniformly towards ∂f/∂xi, for i=1, 2, ..., at all points of the domain.

With the notations of (4), we can write:

                   1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 sin cos m m E m m m m O m m SFS x Y x Y x y                  1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 sin cos cos cos m n n m OO mn m m n n m OE mn m x x Y x x Y       (9)             1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 sin sin cos sin m n n m EO mn m m n n m EE mn m x x Y x x Y                          1 2 2 0 0 2 1 2 2 0 0 2 2 sin cos n n E n n n n O n n SFS x Y x Y x y                  1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 sin cos cos cos m n n m EE mn n m n n m EO mn n x x Y x x Y       (10)             1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 sin sin cos sin m n n m OE mn n m n n m OO mn n x x Y x x Y      
The case where y(-L1, x2)≠y(L1, x2) and/or y(x1, -L2)≠y(x1, L2) is a special case of multivariables functions described in the previous section, that of monovariables curves y(C,x2), respectively y(x1, C), for which C takes the particular values C=x1 and C0=-L1, C0=L1, respectively C=x2 and C0=-L2, C0=L2. In the case of the function y(C, x2), for each value x1=Ck, the monovariable function y(Ck, x2) located in the plane x1=Ck is associated with the line segment which unites the points y(Ck, -L2) and y(Ck, L2). All these segments (for all values of k) constitute the surface yO.1•x1. For the computation of the first order partial derivatives, we will first determine the expression of these ridge-curves: y(-L1, x2), y(L1, x2), y(x1, -L2) and y(x1, L2) resulting from the intersection of the surface y(x1, x2) with each of the planes x1=-L1, x1=L1, x2=-L2 and x2=L2 which border the prism of the domain.

The differences between the values taken, at the limit, by the function yF(x1, x2) in the vicinity of the boundaries (before and after the separation plane) generate between the boundary curves (the ridge-curves) the "stair riser" for each discontinuity of the function. The infinite jumps that occurs due to the differentiation of this discontinuitys can be avoided by the introduction of a "stair riser" of reverse effect, generated by the ramp-surface yO.i•xi .

The SFS expansion coefficients of the ridge-curves are involved in the calculation of the series expansion coefficients of the partial derivatives (we will assign, by extension, the index O, by analogy with the constants fO(L) from the analysis of the monovariable functions, although the yO.i function can have all three components):

      1 2 1 2 1 2 1 1 . 2 , , , L x L y x L y x L y O    =         1 2 2 0 . 1 0 1 2 2 0 . 1 0 . 1 00 sin cos n n O n n n E n x Y x Y Y   (11)       2 2 1 2 1 2 1 2 . 2 , , , L L x y L x y L x y O    =         1 1 1 0 . 2 0 1 1 1 0 . 2 0 . 2 00 sin cos m m O m m m E m x Y x Y Y  
By applying formula (7) to the relations (4.1), respectively (4.2), we obtain:

                                         1 1 1 2 1 1 . 1 2 2 1 2 2 0 0 1 1 cos , 1 2 sin cos m m O m n n OO mn n n OE mn O m m SFS x x L y x Y x Y Y x y                           2 1 1 . 1 1 1 1 2 2 1 2 2 0 0 1 , sin sin cos x L y x x Y x Y Y O m m n n EO mn n n EE mn E m m                             1 2 2 0 . 1 0 1 2 2 0 . 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 . 1 00 0 0 1 . 1 00 sin cos sin cos 1 2 n n O n n n E n m m E m m m m m O m m x Y x Y x Y x Y Y Y                                1 1 1 1 2 2 1 1 0 . 1 0 1 2 2 1 1 0 . 1 0 1 sin cos 1 2 cos cos 1 2 m n m n n m O n m OO mn m n m E n m OE mn m x x Y Y x x Y Y                   1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 sin sin cos sin m n n m EO mn m m n n m EE mn m x x Y x x Y       (12)                                          1 2 2 1 2 2 . 1 1 1 1 1 1 0 0 2 2 cos , 1 2 sin cos n n O n m m OO mn m m EO mn O n n SFS x x L y x Y x Y Y x y                           1 2 2 . 1 2 2 1 1 1 1 1 1 0 0 2 , sin sin cos x L y x x Y x Y Y O n n m m OE mn m m EE mn E n n                             1 2 2 0 0 2 1 2 2 . 2 00 0 0 2 1 1 1 0 . 2 0 1 1 1 0 . 2 0 . 2 00 sin cos 1 2 sin cos n n E n n n n n O n n m m O m m m E m x Y x Y Y x Y x Y Y                          1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 0 . 2 0 2 sin cos cos cos 1 2 m n m n n m EE mn n n m E m n EO mn n x x Y x x Y Y                         1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 0 . 2 0 2 sin sin cos sin 1 2 m n n m OE mn n m n n m O m n OO mn n x x Y x x Y Y       (13) Remark 1: for     2 1 2 1 , , x L y x L y       2 1 . x y O
=0 and (12) becomes (9). Remark 2: As for the monovariable functions:

                       1 2 2 1 2 2 0 0 1 1 2 1 . sin cos 1 2 lim n n OO mn n n OE mn O m m m m O x Y x Y Y x y    (11.1)
Remark 3: The ridge-curves of the fonction y(x1, x2) are special cases of the monovariable functions y(C, xi), which are obtained when C takes the particular values C=±Li.

The ends of each of these ridge-curves coincide with one end of the ridge-curve corresponding to the other variable:

       1 1 2 , 1 , L x L C x C y   2 2 1 , 2 , L x L C x C y     ,       1 1 2 , 1 , L x L C x C y   2 2 1 , 2 , L x L C x C y    , etc
This observation is also valid for the curves resulting from the differentiation, whatever the number of differentiations and the the number of variables with respect to which the differentiation is made.

It is easy to observe that both derivations can be made by term-by-term differentiation of expression ( 4), but by compensating the jump of the function at the periphery of the prism, each time we differentiatied an odd term with respect to the differentiation variable. With the same initial data, by applying formula (8) to the same xi-monovariable functions, we obtain the series expansions of the first order partial integrals of the function y:

                                1 1 1 1 0 . 1 . 1 . 1 . 1 1 . 1 . 1 1 . 1 . 1 0 1 1 1 sin 1 2 cos , 1 m m m C C m E C C m O C C m m O C C SFS x SFS x Y Y x Y Y dx x C y x y                              1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 0 0 1 1 1 2 2 1 2 2 0 0 cos sin cos sin cos x x Y x Y Y x Y x Y Y m m m n n OO mn n n OE mn O m m m n n OO mn n n OE mn O m                                      1 1 1 1 1 2 2 0 0 1 2 2 0 0 00 1 2 2 1 2 2 0 0 sin sin cos 1 2 sin cos m m m n n O n n n E n n m n EO mn n n EE mn E m x x Y x Y Y x Y x Y Y                                                               2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 00 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 sin cos sin 1 2 cos x Y x Y x Y Y x Y Y x y n m n m OO mn n m n m OE mn m m m m E m m m m O m m m O m SFS                       1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 sin cos cos cos m n n m m OO mn m n n m m OE mn x x Y x x Y       (14)                     1 1 2 2 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 1 0 0 sin sin 1 2 cos sin 1 2 m n n m m O n m EO mn m n n m m E n m EE mn x x Y Y x x Y Y                                       1 2 2 2 0 . 2 . 1 . 2 . 2 2 . 2 . 1 2 . 2 . 2 0 2 2 1 sin 1 2 cos , 2 n n n C C n E C C n O C C n n O C C SFS x SFS x Y Y x Y Y dx x C y x y                              2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 0 0 1 2 1 1 1 1 1 1 0 0 cos sin cos sin cos x x Y x Y Y x Y x Y Y n n n m m OO mn m m EO mn O n n n m m OO mn m m EO mn O n                                      1 2 2 2 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 00 1 1 1 1 1 1 0 0 sin sin cos 1 2 sin cos n n n m m O m m m E m m n m EO mn m m EE mn E n x x Y x Y Y x Y x Y Y                                                               2 2 1 2 00 0 0 2 2 1 2 0 0 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 0 0 2 1 sin 1 2 cos sin cos x Y Y x Y x Y x Y Y x y n n n n E n n n n O n m m n n OO mn m m n n EO mn n n O n SFS                           1 1 2 2 1 1 2 0 0 1 1 2 2 1 1 2 sin cos 1 2 cos cos m n n m n E n n EE mn m n n m n EO mn x x Y Y x x Y       (15)                 1 1 2 2 1 1 2 0 0 1 1 2 2 1 1 2 sin sin 1 2 cos sin m n n m n O m n EO mn m n n m n OO mn x x Y Y x x Y      

The coefficients of the SFS expansion of the partial derivatives and integrals of a higher order for the functions with two variables

The SFS expansions of the derivatives and of the higher-order partial integrals of the multivariable function y(x), with respect to the variable xi, are obtained by applying the formula (7), respectively (8) (the differentiation, respectively the integration, with respect to the variable xi), to the xi-monovariable functions resulting from the differentiation, respectively from the partial integration of a lower order of the function y(x). For example, second order derivatives and second order partial integrals are obtained from the ximonovariable functions starting from the expressions (12), (13), respectively ( 14), (15).

The calculation of the partial derivatives (with respect to the variable xi) requires the determination of the new conditions at the boundaries of the domain: if the function y(x) has been derived with respect to the variable xi, the expressions of the ridge-curves ( generated by the intersection of the hypersurfaces y(C,xi) with each of the planes xi=-Li and xi=Li), are also derived with respect to this variable; the new ridge-curves are generated by the function ∂Y/∂xi (where Y can be one of the derivatives calculated previously, with respect to other variables and has known boundary conditions). For the function y(x1,x2), the new ridge curves, which border the "stair riser" of the discontinuity of the function ∂y/∂xi and for the coefficients of their SFS expansions we will obtain:

                                        1 2 2 0 . 1 0 1 2 2 0 . 1 0 . 1 00 2 2 2 1 2 2 1 1 1 . sin cos , , 2
1 1 1 1 1 n n O n n n E n L x L x O x Y x Y Y x x x x y x x x y L y                  1 2 2 0 . 1 0 2 1 2 2 . 1 00 0 . 1 0 2 . 1 00 sin cos ) 1 ( 2 n n E n n n n n O n n x Y x Y Y Y     (16)                                           1 1 1 0 . 2 0 1 1 1 0 . 2 0 . 2 00 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 . sin cos , , 2 1 , 2 2 2 2 m m O m m m E m L x L x O x Y x Y Y x x x x y x x x y L L x y                  1 1 1 0 . 2 0 1 1 1 1 . 2 00 0 . 2 0 1 . 2 00 sin cos ) 1 ( 2 m m E m m m m m O m m x Y x Y Y Y     (17)
We observe that:

          2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 . 2 2 . 1 00 4 , , , , , 2
1 2 2 L L L L y L L y L L y L L y dx x L y x L Y L L O               and           2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 . 1 1 2 00 4 , , , , , 2
1 1 1 LL L L y L L y L L y L L y dx L x y x L Y L L O               So, . 2 00 . 1 00 Y Y   
(18) Each of these two first-order partial derivatives can be written in two ways as a function xi-monovariable:

                            1 2 2 0 . 1 0 1 2 2 0 . 1 0 . 1 00 1 1 sin cos , n n O n n n E n SFS x Y x Y Y x C x y                                        1 1 1 1 2 2 0 . 1 0 1 1 2 2 0 . 1 0 1 . 1 00 0 0 1 cos sin 1 2 cos 1 2 1 2 m m n n O n m OO mn m n n E n m OE mn m m O m m x x Y Y x Y Y Y Y                         1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 0 0 1 sin sin cos m m n n EO mn m n n EE mn m E m m x x Y x Y Y       (12.1)                                   1 1 1 0 0 1 1 1 1 . 1 00 0 0 1 . 1 00 2 1 sin cos 1 2 , m m E m m m m m O m m SFS x Y x Y Y Y x C x y     (12.2)     2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 . 1 0 1 0 . 1 0 cos sin cos 1 2 x x Y x Y Y Y n n m m EE mn m m m E n m OE mn m E n                              2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 . 1 0 1 0 . 1 0 sin sin cos 1 2 x x Y x Y Y Y n n m m EO mn m m m O n m OO mn m O n                                                            1 2 2 0 0 2 1 2 2 . 2 00 0 0 2 . 2 00 1 2 sin cos 1 2 , n n E n n n n n O n n SFS x Y x Y Y Y x C x y         1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 0 . 2 0 2 0 . 2 0 cos sin cos 1 2 x x Y x Y Y Y m m n n EE mn n n n E m n EO mn n E m                              1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 0 . 2 0 2 0 . 2 0 sin sin cos 1 2 x x Y x Y Y Y m m n n OE mn n n n O m n OO mn n O m                          (13.1)                             1 1 1 0 . 2 0 1 1 1 0 . 2 0 . 2 00 2 2 sin cos , m m O m m m E m SFS x Y x Y Y x C x y                                       1 2 2 1 1 1 0 . 2 0 2 1 1 1 0 . 2 0 2 . 2 00 0 0 2 cos cos 1 2 sin 1 2 1 2 n n m m E m n EO mn n m m O m n OO mn n n O n n x x Y Y x Y Y Y Y                         1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 0 0 2 sin sin cos n n m m OE mn n m m EE mn n E n n x x Y x Y Y       (13.2)
With the boundary conditions (16), by applying formula (7) to these xi-monovariable functions, we obtain the series expansions for the partial derivatives of the second order:

                                       1 2 2 0 . 1 0 2 1 2 2 . 1 00 0 . 1 0 2 . 1 00 1 1 1 2 1 2 sin cos ) 1 ( 2 , n n E n n n n n O n n SFS SFS x Y x Y Y Y x C x y x x y                              1 1 1 1 2 2 1 2 2 0 0 2 1 cos sin cos m m n n EO mn n n EE mn E m m x x Y x Y Y                                 1 1 1 1 2 2 0 . 1 0 2 1 2 2 . 1 00 0 . 1 0 2 . 1 00 cos sin cos ) 1 ( 2 1 2 x x Y x Y Y Y m m n n E n n n n n O n n m                         1 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 2 1 sin sin cos m m n n n OO mn n OE mn O m m x x Y x Y Y                           1 1 1 1 2 2 0 . 1 0 1 2 2 0 . 1 0 . 1 00 1 sin sin cos 1 2 m m n n O n n n E n m m x x Y x Y Y                             1 1 1 . 1 00 1 0 0 2 1 1 1 1 . 1 00 0 0 2 1 . 1 00 sin 1 2 cos 1 2 m m m m O m m m m m E m m x Y Y x Y Y Y                    1 2 2 0 . 1 0 2 1 2 2 . 1 00 0 . 1 0 2 sin cos ) 1 ( 2 n n E n n n n n O n n x Y x Y Y                      2 2 1 1 1 1 . 1 00 0 . 1 0 2 2 1 cos cos ) 1 ( 4 1 2 x x Y Y Y n m m n n m O n n m EE mn m                              1 1 2 2 1 1 0 . 1 0 1 2 1 2 2 1 1 1 1 0 . 1 0 2 2 1 cos sin 1 2 sin cos 1 2 m n n m E n m m OE mn m n m m n E n n m EO mn m x x Y Y x x Y Y                             1 1 2 2 1 1 1 0 . 1 0 1 2 1 sin sin 1 2 m n n m n O n m m OO mn m x x Y Y     (19)                 1 1 1 1 . 1 2 . 1 . 2 1 1 1 1 2 1 1 . 2 . 1 . 2 1 2 1 1 . sin 1 2 cos , 1 2 , x y x Y x x L y x Y x L y m m O m m O C m m m m O m E C m m O                                            SFS SFS x C x y x x y 2 2 2 2 2 2 ,                1 1 1 0 . 2 0 1 1 1 1 . 2 00 0 . 2 0 1 . 2 00 sin cos ) 1 ( 2 m m E m m m m m O m m x Y x Y Y Y                        1 2 2 1 1 1 1 1 1 0 0 2 2 cos sin cos n n m m OE mn m m EE mn E n n x x Y x Y Y                               2 2 1 1 1 0 . 2 0 1 1 1 1 . 2 00 0 . 2 0 1 . 2 00 1 cos sin cos ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 x x Y x Y Y Y n m m E m m m m m O m m n n                        1 2 2 1 1 1 1 1 0 0 2 2 sin cos sin n n m m EO mn m OO mn O n n x x Y x Y Y                          1 2 2 1 1 1 0 . 2 0 1 1 0 . 2 0 . 2 00 2 sin cos sin 1 2 n n m m E m m O m n n x x Y x Y Y                    1 1 1 0 . 2 0 1 1 1 1 . 2 00 0 . 2 0 1 . 2 00 sin cos ) 1 ( 2 m m E m m m m m O m m x Y x Y Y Y              1 2 2 . 2 00 0 0 2 2 cos ) 1 ( 2 n n n E n n x Y Y           1 2 2 . 2 00 2 0 0 2 2 sin ) 1 ( 2 n n n n O n n x Y Y                   1 2 2 1 1 1 . 2 00 0 . 2 0 1 2 2 cos cos ) 1 ( 4 ) 1 ( 2 m n m n n m O m m n EE mn n x x Y Y Y                1 2 2 1 1 1 0 . 2 0 1 2 2 cos sin ) 1 ( 2 m n m n E m m n OE mn n x x Y Y     (20)              1 2 2 1 1 1 0 . 2 0 2 2 2 sin cos 1 2 n n m m E m n n EO mn n x x Y Y                   1 2 2 1 1 1 0 . 2 0 2 2 2 sin sin 1 2 n n m m O m n n OO mn n x x Y Y                     2 2 1 2 . 2 1 . 2 . 2 2 2 2 1 2 1 2 . 1 . 2 . 2 2 2 1 2 . sin 1 2 cos , 1 2 , x y x Y x L x y x Y L x y n n O n m O C n n n n O n E C n n O                     

I

In all the two relations,

O C i C E C i C C i C F F F . . . . 0 . . , ,
, i=1, 2 have the meaning from the expression (8). We notice once again that the two differentiations can be made by term-by-term differentiation of expression (4), with the compensation of the discontinuitys of the boundary, when the derived term is odd with respect to the differentiation variable. Therefore, the formula previously deduced for the functions of a single variable can be applied directly [2]:

For   x B x A y x y n n n n n n   sin cos 1 1 0          ,         x y x y x y O     2 / 1           L L y x L L y B x L L y A y O n n O n n n n n O n n n                                 1 2 2 sin 1 2 cos 1 2     
For the partial derivatives with respect to all the two variables:

                 SFS x C x y x x x y 1 2 1 2 1 2 ,                1 2 2 0 . 1 0 2 1 2 2 . 1 00 0 . 1 0 2 . 1 00 sin cos ) 1 ( 2 n n E n n n n n O n n x Y x Y Y Y                              1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 0 . 2 0 2 0 . 2 0 1 cos sin cos 1 2 x x Y x Y Y Y m m n n OE mn n n n O m n OO mn n O m m                                x x Y x Y Y Y m n n E n n n n n O n n m 1 1 2 2 0 . 1 0 2 1 2 2 . 1 00 0 . 1 0 2 . 1 00 cos sin cos ) 1 ( 2 1 2                               1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 0 . 2 0 2 0 . 2 0 1 sin sin cos 1 2 x x Y x Y Y Y m m n n EE mn n n n E m n EO mn n E m m                         1 1 1 0 . 2 0 1 1 1 1 . 1 00 0 . 2 0 1 . 1 00 sin cos 1 2 m m E m m m m m O m m x Y x Y Y Y                     1 2 2 0 . 1 0 2 1 2 2 . 1 00 0 . 1 0 2 sin cos 1 2 n n E n n n n n O n n x Y x Y Y                          1 1 2 2 1 1 . 1 00 0 . 1 0 2 0 . 2 0 1 2 1 cos cos ) 1 ( 4 1 2 1 2 m n n m n m O n n m O m m n OO mn n m x x Y Y Y Y                    2 2 1 1 1 1 0 . 2 0 1 2 1 cos sin 1 2 x x Y Y n m n m E m m n EO mn n m      (21)                    
                                SFS SFS x C x y x x x y 2 1 2 1 2 2 ,                1 1 1 0 . 2 0 1 1 1 1 . 2 00 0 . 2 0 1 . 2 00 sin cos ) 1 ( 2 m m E m m m m m O m m x Y x Y Y Y                              2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 0 . 1 0 1 2 0 . 1 0 2 cos sin cos 1 2 x x Y x Y Y Y n n m m EO mn m n m m O n m OO mn m n O n n                                     2 2 1 1 1 1 0 . 2 0 1 1 1 1 . 2 00 0 . 2 0 1 . 2 00 cos sin cos ) 1 ( 2 1 2 x x Y x Y Y Y n n m m E m m m m m O m m n                               2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 0 . 1 0 1 2 0 . 1 0 2 sin sin cos 1 2 x x Y x Y Y Y n n m m EE mn m n m m E n m OE mn m n E n n                         1 1 1 0 . 2 0 1 1 1 1 . 2 00 0 . 2 0 1 . 2 00 sin cos ) 1 ( 2 m m E m m m m m O m m x Y x Y Y Y                     1 2 2 0 . 1 0 2 1 2 2 . 2 00 0 . 1 0 2 sin cos 1 2 n n E n n n n n O n n x Y x Y Y                          1 1 2 2 1 1 . 2 0 0 . 2 0 1 0 . 1 0 2 2 1 cos cos 1 4 ) 1 ( 2 1 2 m n n m m n m O m m n O n n m OO mn n m x x Y Y Y Y                    2 2 1 1 1 1 0 . 2 0 1 2 1 cos sin 1 2 x x Y Y n m n m E m m n EO mn n m      (22)                     1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 0 . 1 0 2 2 1 sin sin sin cos 1 2 n m n m EE mn n m n m n m E n n m OE mn n m x x Y x x Y Y         
and because, according to (18),

Y Y   
, the two expansions are equal. Higher-order partial integrals are calculated starting from relations (14) and (15) and applying formula (8):

                   SFS x x SFS dx dx x C y x y 1 0 1 0 1 2 1 2 1 1 ,                                1 2 1 1 2 0 0 1 2 2 0 0 00 1 2 2 1 2 2 0 0 sin cos 1 2 sin cos m m n n O n n n E n n m n EO mn n n EE mn E m x Y x Y Y x Y x Y Y                                     1 1 2 1 1 2 2 0 0 1 2 2 0 0 00 1 2 2 1 2 2 0 0 cos sin cos 1 2 sin cos m m m n n O n n n E n n m n EO mn n n EE mn E m x Y x Y Y x Y x Y Y           1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 0 0 sin sin cos 1 2 1 x x Y x Y Y m m m n n OO mn n n OE mn O m m                                                             1 1 1 2 1 0 0 1 1 1 2 1 00 0 0 1 2 1 00 0 0 2 1 2 sin 1 2 1 cos 1 2 1 2 x Y x Y Y Y Y x y m m m O m m m m m m E m m m m E m SFS                               1 1 2 2 2 1 0 0 2 2 1 1 2 1 0 0 sin 1 2 cos 1 2 m n n m O n m EO mn n m n m E n m EE mn x Y Y x Y Y                         1 1 2 2 1 2 1 0 0 1 1 2 2 1 2 1 0 0 sin cos 1 2 cos cos 1 2 m n n m m O n m EO mn m n n m m E n m EE mn x Y Y x Y Y               2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 sin sin 1 2 1 cos sin 1 2 1 x x Y x x Y n m m OO mn m n m n m m OE mn m n m                             SFS x x SFS dx dx x C f x x y 1 0 2 0 2 2 1 2 1 2 ,                                            2 2 2 1 00 0 0 2 2 1 0 0 1 0 0 1 2 1 1 sin 1 2 cos , n n n n E n n n O n n O n SFS x Y Y x Y Y x C x y                             1 1 2 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 cos sin 1 2 cos x x Y Y x Y Y m n m n n E m n EE mn m n n EO mn m n EO mn         1 1 2 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 sin sin 1 2 cos x x Y Y x Y Y m n m n n O m n EO mn m n n OO mn m n OO mn                                                            2 1 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 2 1 2 sin 1 2 cos n m m n n O m n EO mn m n n OO mn m n OO mn SFS x Y Y x Y Y x x y                              1 1 2 1 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 cos sin 1 2 cos x x Y Y x Y Y m n m m n n O m n EO mn m n n OO mn m n OO mn                               1 1 2 1 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 sin sin 1 2 cos x x Y Y x Y Y m n m m n n E m n EE mn m n n EO mn m n EO mn                               1 1 2 1 2 2 1 00 0 0 2 2 1 0 0 1 0 0 1 sin sin 1 2 cos 1 2 x x Y Y x Y Y m n m n n n E n n n O n n O n m m                             1 1 1 1 2 1 0 0 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 sin 1 2 cos x Y Y x Y Y m m n n m O n m EO mn m m n n m OO mn m n n m OO mn                                1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 0 0 2 2 1 1 2 1 cos cos sin 1 2 cos m n n m n m OO mn m n n n m O m n EO mn n m n n m OO mn x Y x Y Y x Y                                2 2 1 1 1 1 2 1 0 0 1 1 2 2 1 2 1 0 0 cos sin 1 2 sin cos 1 2 x x Y Y x Y Y n m m n n m O n m EO mn m n n m n m O m n EO mn                 2 2 1 1 1 1 2 1 00 0 0 0 0 sin sin 1 4 1 2 1 2 x x Y Y Y Y n m m n n m n m E n m E m n EE mn                 
By repeatedly applying this procedure, the derivatives and the partial integrals of any order of two-variable functions are obtained. For functions with several variables, the procedure is identical, but the number of coefficients to be calculated is higher, being equal to N 3 , where N is the number of the variables of the function.

The Fourier series expansion of the product of two periodic functions depending on two variables

As in the case of monovariable functions, in the domain [-L1, L1]×[-L2, L2], the product p(x1, x2)=a(x1, x2)•y(x1, x2) between two functions of two variables, squareintegrables, it is also an integrable square-function [5]. The calculation of the coefficients of SFS expansion of the product can be done with the calculation formulas (4), by calculating the definite integrals of the type

    2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 sin , sin , cos , cos , 1 1 1 2 2 dx dx x x x x f x x p f n m n m L L L L        
, for each positive or zero integer numbers m and n, (=0. 1, 2, ..., ∞).

As with monovariable functions, if the Fourier coefficients of the series expansion of each of the terms of the product are known, algebraic formulas for calculating the Fourier coefficients of the series expansion of the product can be found and used. These formulas are essential if we want to transform the PDEs into algebraic equations, or if we want to calculate the dependency relations between the coefficients of the product of these two multivariable functions (in the case of the square, the two functions are identical) and the coefficients of each of its terms.

In either of the two variants, if some degree of approximation is allowed, the computation can also be performed by numerical methods.

Let be the two functions with two variables  

2 1 , x x y and   2 1 , x x a
, defined on the domain [-L1, L1]×[-L2, L2], periodic, square-integrable , which can be expanded in SFS:

                        2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 0 1 0 1 0
E O E                                  1 2 2 0 0 2 2 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 00 2 1 sin cos sin cos , n n O n n E n m m O m m E m SFS x Y x Y x Y x Y Y x x y                1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 sin sin cos sin sin cos cos cos m n n m OO mn n m OE mn n m EO mn n m EE mn x x Y x x Y x x Y x x Y                                 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 0 1 0 1 0 00 2 1 11 2 01 1 10 00 2 1 , , , , , , x x a x x a x x a x x a x a x a x a x a a x x a x a x a a x x a OO OE EO EE O E O E                                  1 2 2 0 0 2 2 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 00 2 1 sin cos sin cos , n n O n n E n m m O m m E m SFS x A x A x A x A A x x a                1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 sin sin cos sin sin cos cos cos m n n m OO mn n m OE mn n m EO mn n m EE mn x x A x x A x x A x x A        
All the components of these expansions except y00 and a00 have mean values equal with zero. Therefore, the SFS expansion of the product will take the form:

                                               1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 0 0 2 2 0 0 1 1 1 0 0 1
           
The terms of the expansion in basic functions of the product are:

                      O O E O O E E E O O E O O E E E O O E E O O E E a y a
                     O O O O OO OO E O E O OE OE O E O E EO EO E E E E EE
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                      O OO E
                
Therefore, the SFS expansion of the product will be the sum of SFS expansions of these 81 elementary functions:

                 1 1 1 0 0 00 0 0 00 1 1 0 0 00 0 0 00 00 00 2 1 sin cos , m m O m O m m E m E m SFS x Y A A Y x Y A A Y A Y x x P               1 2 2 0 0 00 0 0 00 2 2 0 0 00 0 0 00 sin cos n n O n O n n E n E n x Y A A Y x Y A A Y                                                                                                                                                              1 2 2 0 0 1 2 2 0 0 1 2 2 0 0 1 2 2 0 0 1 2 2 0 0 1 2 2 0 0 1 2 2 0 0 1 2 2 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 sin sin cos sin sin cos cos cos sin sin cos sin sin cos cos cos n n O n n n O n n n E n n n O n n n O n n n E n n n E n n n E n m m O m m m O m m m E m m m O m m m O m m m E m m m E m m m E m x A x Y x A x Y x A x Y x A x Y x A x Y x A x Y x A x Y x A x Y                                         2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 sin cos cos cos x x Y A A Y Y A A Y x x Y A A Y Y A A Y n m m n O n E m O n E m EO mn EO mn n m m n E n E m E n E m EE mn EE mn                             2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 sin sin cos sin x x Y A A Y Y A A Y x x Y A A Y Y A A Y n m m n O n O m O n O m OO mn OO mn n m m n E n O m E n O m OE mn OE mn                                                                                           1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 sin sin cos cos sin cos sin cos cos cos cos cos m m O m m n n m EO mn m m E m m n n m EO mn m m O m m n n m EE mn m m E m m n n m EE mn x A x x Y x A x x Y x A x x Y x A x x Y                                                                                                   1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 sin sin sin cos sin sin sin cos sin cos cos sin m m O m m n n m OO mn m m E m m n n m OO mn m m O m m n n m OE mn m m E m m n n m OE mn x A x x Y x A x x Y x A x x Y x A x x Y                                                                                                   1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2
x A x x Y x A x x Y x A x x Y x A x x Y                                                                                                   1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2
x A x x Y x A x x Y x A x x Y x A x x Y                                                        1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 sin cos cos cos cos cos m m O m m n n m EE mn m m E m m n n m EE mn x Y x x A x Y x x A                                                  1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 sin sin cos cos sin cos m m O m m n n m EO mn m m E m m n n m EO mn x Y x x A x Y x x A                                                  1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 sin cos sin cos cos sin m m O m m n n m OE mn m m E m m n n m OE mn x Y x x A x Y x x A                                                  1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 sin sin sin cos sin sin m m O m m n n m OO mn m m E m m n n m OO mn x Y x x A x Y x x A                                                                                             1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2
x Y x x A x Y x x A x Y x x A x Y x x A                                                                                                   1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 sin sin sin cos sin sin sin cos sin cos cos sin n n O n m n n m OO mn n n E n m n n m OO mn n n O n m n n m OE mn n n E n m n n m OE mn x Y x x A x Y x x A x Y x x A x Y x x A                                                                                                           1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 sin cos sin cos cos cos sin cos sin cos cos cos cos cos cos cos m n n m EO mn m n n m EO mn m n n m EE mn m n n m EO mn m n n m EO mn m n n m EE mn m n n m EE mn m n n m EE mn x x A x x Y x x A x x Y x x A x x Y x x A x x Y                                                                                                               1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1
x x A x x Y x x A x x Y x x A x x Y x x A x x Y                                                                                                               1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 sin cos sin cos cos cos sin cos sin cos cos cos cos cos cos cos m n n m OO mn m n n m EO mn m n n m OE mn m n n m EO mn m n n m OO mn m n n m EE mn m n n m OE mn m n n m EE mn x x A x x Y x x A x x Y x x A x x Y x x A x x Y                                                                                                              1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 sin cos sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos sin m n n m EO mn m n n m OO mn m n n m EE mn m n n m OO mn m n n m EO mn m n n m OE mn m n n m EE mn m n n m OE mn x x A x x Y x x A x x Y x x A x x Y x x A x x Y                
Several types of components appear in these developments: simple functions, products between two monovariable functions of the same variable, products between two monovariable functions with different variables, products between a monovariable function and another with two variables, products between two functions with two variables. The products between two monovariable functions of the same variable have been discussed in a previous article [2]. Using this methodology, applied to some elementary functions initially considered as monovariables, formulas can be deduced for all types of function products. Detailed calculations can be followed in the appendix (last section). Adequate to these calculations, we obtain:

    SFS x x P 2 1 ,              1 1 1 0 0 00 0 0 00 1 1 0 0 00 0 0 00 00 00 sin cos m m O m O m m E m E m x Y A A Y x Y A A Y A Y               1 2 2 0 0 00 0 0 00 2 2 0 0 00 0 0 00 sin cos n n O n O n n E n E n x Y A A Y x Y A A Y                                                                                           1 1 1 1 0 0 . 0 0 . 0 0 . 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 . 0 0 . 0 0 . 1 1 1 1 0 0 . 0 0 . 0 0 . 1 1 1 1 0 0 . 0 0 . 0 0 . 1 0 0 0 0 cos sgn 2 1 2 1 sin 2 1 sin sgn 2 1 cos 2 1 2 1 m m l O m l O m l O l m O m O m m m l E m l E m l O l m m l O m l O m l E l m m l E m l E m l E l m E m E m x A m l A Y A Y x A A Y x A m l A Y x A A Y A Y                                                                                             1 2 2 1 0 . 0 0 . 0 0 . 0 1 0 . 0 0 . 0 1 2 2 1 0 . 0 0 . 0 0 . 0 1 2 2 1 0 . 0 0 . 0 0 . 0 1 2 2 1 0 . 0 0 . 0 0 . 0 1 0 0 0 0 cos sgn 2 1 2 1 sin 2 1 sin sgn 2 1 cos 2 1 2 1 n n l O n l O n l O l n O n O n n n l E n l E n l O l n n l O n l O n l E l n n l E n l E n l E l n E n E n x A n l A Y A Y x A A Y x A n l A Y x A A Y A Y                 2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 sin cos x x Y A A Y Y A A Y n m m n O n E m O n E m EO mn EO mn               2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 cos cos x x Y A A Y Y A A Y n m m n E n E m E n E m EE mn EE mn               2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 sin sin x x Y A A Y Y A A Y n m m n O n O m O n O m OO mn OO mn               2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 cos sin x x Y A A Y Y A A Y n m m n E n O m E n O m OE mn OE mn                                      2 2 1 1 1 1 0 0 . 0 0 . 1 . 2 2 1 1 0 0 cos cos 2 1 cos 2 1 x x A A Y x A Y n n m m E m l E m l l EE n l n n m E m EE mn                            2 2 1 1 1 1 1 0 0 . 0 0 . . cos sin sgn 2 1 x x A m l A Y n n m m l O m l O m l EE n l                                      2 2 1 1 1 1 0 0 . 0 0 . 1 . 2 2 1 1 0 0 sin cos 2 1 sin 2 1 x x A A Y x A Y n n m m E m l E m l l EO n l n n m E m EO mn                             1 2 2 1 1 1 0 0 . 0 0 . 1 . sin sin sgn 2 1 n n m m O m l O m l l EO n l x x A m l A Y                         2 2 1 1 1 1 1 0 0 . 0 0 . . cos sin 2 1 x x A A Y n n m m l E m l E m l OE n l                                         2 2 1 1 1 1 0 0 . 0 0 . 1 . 2 2 1 1 0 0 cos cos sgn 2 1 cos 2 1 x x A m l A Y x A Y n n m m O m l O m l l OE n l n n m O m OE mn                          2 2 1 1 1 1 1 0 0 . 0 0 . . sin sin 2 1 x x A A Y n n m m l E m l E m l OO n l                                         2 2 1 1 1 1 0 0 . 0 0 . 1 . 2 2 1 1 0 0 sin cos sgn 2 1 sin 2 1 x x A m l A Y x A Y n n m m O m l O m l l OO n l n n m O m OO mn                                       2 2 1 1 1 1 1 1 0 . 0 0 . 0 . 1 1 1 0 0 cos cos 2 1 cos 2 1 x x A A Y x A Y n m n m m l E n l E n l EE l m m n E n EE mn                          2 2 1 1 1 1 1 0 . 0 0 . 0 . sin cos 2 1 x x A A Y n n m m l O n l O n l EE l m                         2 2 1 1 1 1 1 0 . 0 0 . 0 . sin cos 2 1 x x A A Y n n m m l E n l E n l EO l m                                         1 1 1 2 2 1 1 1 0 . 0 0 . 0 . 1 1 1 0 0 cos cos sgn 2 1 cos 2 1 m n m n m l O n l O n l EO l m m n O n EO mn x x A n l A Y x A Y                                       1 1 1 2 2 1 1 1 0 . 0 0 . 0 . 1 1 1 0 0 cos sin 2 1 sin m n m n m l E n l E n l OE l m m n E n OE mn x x A A Y x A Y                          2 2 1 1 1 1 1 0 . 0 0 . 0 . sin sin x x A A Y n m n m l O n l O n l OE l m                         1 1 2 2 1 1 1 0 . 0 0 . 0 . sin sin n m n m l E n l E n l OO l m x x A A Y                                          1 1 1 2 2 1 1 1 0 . 0 0 . 0 0 . 0 . 1 1 1 0 0 cos sin sgn 2 1 sin m n m n m l O n l O n l O n l OO l m m n O n OO mn x x A A n l A Y x A Y                                       2 2 1 1 1 1 1 1 . . 0 0 . 2 2 1 0 0 cos cos 2 1 cos x x A A Y x A Y n m m n m l EE n m l EE n m l E l n n EE mn E m      2 2 1 1 1 1 1 . . 0 0 . cos sin x x A A Y n n m m l EE n m l EE n m l O l                                                               2 2 1 1 1 1 1 1 . . 0 0 . 2 2 1 0 0 sin cos 2 1 sin x x A A Y x A Y n m n n m l EO n m l EO n m l E l n m EO mn E m                                2 2 1 1 1 1 1 . . 0 0 . cos sin x x A A Y n n m m l EO n m l EO n m l O l                            2 2 1 1 1 1 1 . . 0 0 . cos sin sgn x x A m l A Y n n m m l OE n m l OE n m l E l                                         1 1 1 2 2 1 1 1 . . 0 0 . 2 2 1 0 0 cos sin sgn 2 1 cos n n m n m l OE n m l OE n m l O l n m OE mn O m x x A m l A Y x A Y                                   2 2 1 1 1 1 1 . . 0 0 . sin sin sgn x x A m l A Y n n m m l OO n m l OO n m l E l                                               2 2 1 1 1 1 . . 1 0 0 . 2 2 1 1 0 0 sin cos sgn 2 1 sin x x A m l A Y x A Y n n m m OO n m l OO n m l l O l n n m OO mn O m                                      2 2 1 1 1 1 1 1 . . 0 . 0 1 1 1 0 0 cos cos 2 1 cos x x A A Y x A Y n m m m n l EE n l m EE n l m E l m n EE mn E n      2 2 1 1 1 1 1 . . 0 . 0 sin cos x x A A Y n m m n l EE n l m EE n l m O l                                             1 1 2 2 1 1 1 . . 0 . 0 sin cos sgn m n n m l EO n l m EO n l m E l x x A n l A Y                                        1 1 1 2 2 1 1 1 . 0 . 0 . 0 1 1 1 0 0 cos cos sgn 2 1 cos m m n n m l EO n l EO n l m O l m EO mn n O n x x Am n l A Y x A Y                                      2 2 1 1 1 1 1 1 . . 0 . 0 1 1 1 0 0 cos sin 2 1 sin x x A A Y x A Y n m m m n l OE n l m OE n l m E l m n OE mn E n                         2 2 1 1 1 1 1 . . 0 . 0 sin sin x x A A Y n m n m l OE n l m OE n l m O l                           2 2 1 1 1 1 1 . . 0 . 0 sin sin sgn x x A n l A Y n m n m l OO n l m OO n l m E l                                        1 1 1 2 2 1 1 1 . . 0 . 0 1 1 1 0 0 cos sin sgn 2 1 sin m m n n m l OO n l m OO n l m O l m OO mn n O n x x A n l A Y x A Y                                                                               2 2 1 1 1 1 . . 1 1 . . 2 2 1 1 1 . . . 1 1 1 1 1 . . . 1 1 . . cos cos cos 4 1 cos 4 1 x x A A Y Y x A A Y x A A Y A Y n n m m EE n l r EE n l r l r EE l m r EE l m r n n m l EE m l m EE n l m EE l m m m n l EE n m l EE n m l EE n l n m EE n m EE n m                                                             2 2 1 1 1 1 . . 1 1 . . 2 1 1 . . 1 . sin cos sgn 4 1 sin sgn 4 1 x x A n l A Y Y x A n l A Y n n m m EO n l r EO n l r l r EE l m r EE l m r n n m EO n l m EO n l m l EE l m                                                     2 2 1 1 1 1 . . 1 1 . . 2 1 1 1 . . . sin cos 4 1 sin 4 1 x x A A Y Y x A A Y n n m m EE n l r EE n l r l r EO l m r EO l m r n n m l EE n l m EE n l m EO l m                                                                                              1 1 . . 2 2 1 1 1 1 1 1 . . . . 2 2 1 1 1 . . . 1 1 1 1 1 . . . 1 1 . . 4 1 cos cos sgn cos sgn 4 1 cos 4 1 n m OE n m OE n m n n m m l r EO n l r EO n l r EO l m r EO l m r n n m l EO n l m EO n l m EO l m m m n l EO n m l EO n m l EO n l n m EO n m EO n m A Y x x A n l A Y Y x A n l A Y x A A Y A Y                                                                                2 2 1 1 1 1 1 . . 1 . . 2 2 1 1 1 . . . 1 1 1 1 1 . . . cos cos sgn cos 4 1 cos sgn x x A A Y m r Y x A A Y x A m l A Y n n m m l OE n l r OE n l r r OE l m r OE l m r n n m l OE n l m OE n l m OE l m m m n l OE n m l OE n m l OE n l                                                                2 2 1 1 1 1 . . 1 1 . 2 2 1 1 . . 1 . sin cos sgn sgn sin sgn x x A n l A Y m r Y x A n l A Y n n m m OO n l r OO n l r l r OE l m r OE l m r n n m OO n l m OO n l m l OE l m                                                               1 1 . . 2 2 1 1 1 1 . . 1 1 . 2 2 1 1 . . 1 . 4 1 sin cos sgn 4 sin 4 n m OO n m OO n m n n m m OE n l r OE n l r l r OO l m r OO l m r n n m OE n l m OE n l m l OO l m A Y x x A A Y m r Y x A A Y                                                                                      2 2 1 1 1 1 1 1 . . . . 2 2 1 1 1 . . . 1 1 1 1 1 . . .
                                                        2 2 1 1 1 1 1 1 . . . . 1 1 1 1 1 . . . cos sin 4 1 sin sgn 4 1 x x A A Y Y x A n l A Y n n m m l r OE n l r OE n l r EE l m r EE l m r m n m l OE n l m OE n l m EE l m                                    2 2 1 1 1 1 1 . . 1 . . sin sin sgn 4 1 x x A n l A Y Y n n m m l OO n l r OO n l r r EE l m r EE l m r                               2 2 1 1 1 1 1 . . 1 . . sin sin 4 1 x x A A Y Y n n m m l OE n l r OE n l r r EO l m r EO l m r                                                           2 2 1 1 1 1 1 1 . . . . 1 1 1 1 1 . . . cos sin sgn sin sgn x x A n l A Y Y x A m l A Y n n m m l r OO n l r OO n l r EO l m r EO l m r m m n l OO n m l OO n m l EO n l                                                         2 2 1 1 1 1 1 . . 1 . . 1 1 1 1 1 . . . cos sin sgn sin x x A A Y m r Y x A A Y n n m l m EE n l r EE n l r r OE l m r OE l m r n m m l EE n m l EE n m l OE n l                                       2 2 1 1 1 1 1 . . 1 . sin sin sgn sgn x x A n l A Y m r Y n n m m l EO n l r EO n l r r OE l m r OE l m r                                  2 2 1 1 1 1 . . 1 1 . sin sin sgn x x A A Y m r Y n n m m EE n l r EE n l r l r OO l m r OO l m r                                                            2 2 1 1 1 1 1 1 . . . . 1 1 1 1 1 . . . cos sin sgn sgn sin x x A n l A Y m r Y x A A Y n n m m l r EO n l r EO n l r OO l m r OO l m r n m m l EO n m l EO n m l OO n l   
After reorganizing and grouping the terms of the same type, we find the expressions of the coefficients of the serie expansion of the product:

00 P =  00 00 A Y    1 0 0 0 0 2 1 m E m E m A Y    1 0 0 0 0 2 1 m O m O m A Y    1 0 0 0 0 2 1 n E n E n A Y    1 0 . 0 0 . 0 2 1 n O n O n A Y        1 1 . . n m EE n m EE n m A Y         1 1 . . 4 1 n m OO n m OO n m A Y       1 1 . . 4 1 n m EO n m EO n m A Y        1 1 . . 4 1 n m OE n m OE n m A Y   00 00 A Y E0 m.0 P     0 0 00 0 0 00 E m E m Y A A Y                            1 0 0 . 0 0 . 0 0 . 1 0 0 . 0 0 . 0 0 . sgn 2 1 l O m l O m l O l l E m l E m l E l A m l A Y A A Y                        EO mn n O n n EE mn E n n O n EO mn n E n EE mn A Y A Y A Y A Y 1 0 0 1 0 . 0 1 0 0 1 0 0                  1 1 . . . 4 1 n l EE n m l EE n m l EE n l A A Y                                              1 1 . . . 1 1 . . . 1 1 . . . sgn sgn 4 1 n l OO n m l OO n m l OO n l n l OE n m l OE n m l OE n l n l EO n m l EO n m l EO n l A m l A Y A m l A Y A A Y 0E 0.n P                                 1 0 . 0 0 . 0 0 . 0 1 0 . 0 0 . 0 0 . 0 0 0 00 0 0 00 sgn 2 1 l O n l O n l O l l E n l E n l E l E n E n A n l A Y A A Y Y A A Y                                                                                     1 1 . . . 1 1 . . . 1 1 . . . 1 1 . . . 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 sgn sgn 4 1 2 1 m l OO n l m OO n l m OO l m m l OE n l m OE n l m OE l m m l EO n l m EO n l m EO l m m l EE m l m EE n l m EE l m m OE mn O m m EE mn E m m O m OE mn m E m EE mn A n l A Y A A Y A n l A Y A A Y A Y A Y A Y A Y O0 m.0 P                                 1 0 0 . 0 0 . 0 0 . 1 0 0 . 0 0 . 0 0 . 0 0 00 0 0 00 sgn 2 1 l E m l E m l O l l O m l O m l E l O m O m A A Y A m l A Y Y A A Y                                                                                      1 1 . . . 1 1 . . . 1 1 . . . 1 1 . . . 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 sgn sgn 4 1 n l EO n m l EO n m l OO n l n l EE n m l EE n m l OE n l n l OO n m l OO n m l EO n l n l OE n l m OE n l m EE l m OO mn n O n n OE mn E n n O n OO mn n E n OE mn A A Y A A Y A m l A Y A n l A Y A Y A Y A Y A Y 0O 0.n P                                 1 0 . 0 0 . 0 0 . 0 1 0 . 0 0 . 0 0 . 0 0 0 00 0 0 00 sgn 2 1 l E n l E n l O l l O n l O n l E l O n O n A A Y A n l A Y Y A A Y                                                                                      1 . . 1 . 1 . . 1 . 1 . . 1 . 1 1 . . . 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 sgn sgn 4 1 4 1 2 1 m OE n l m OE n l m l OO l m m OO n l m OO n l m l OE l m m EO n l m EO n l m l EE l m m l EE n l m EE n l m EO l m m EO mn E m m OO mn O m m O m OO mn m E m EO mn A A Y A n l 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OE mn P                                   1 0 0 . 0 0 . . 1 0 0 . 0 0 . . 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 sgn 2 1 l E m l E m l OE n l l O m l O m l EE n l E n O m E n O m OE mn OE mn A A Y A m l A Y Y A A Y Y A A Y                                                                              
1 l OE n l OE n l E l m l OO n l OO n l O l m l OE n m l OE n m l E l l EE n m l EE n m l O l l O n l O n l O n l OO l m l E n l E n l OE l m A A Y A n l A Y A m l A Y A A Y A A n l A Y A A Y                                                                                         1 1 . . . . 1 . . 1 . . 1 1 . . . . 1 1 . . . . sgn sgn sgn 4 1 sgn 4 1 l r EO n l r EO n l r OO l m r OO l m r l EE n l r EE n l r r OE l m r OE l m r l r OO n l r OO n l r EO l m r EO l m r l r OE n l r OE n l r EE l m r EE l m r A n l A Y m r Y A A Y m r Y A n l A Y Y A A Y Y OO mn P                                   1 0 0 . 0 0 . . 0 0 . 0 0 . 1 . 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 sgn 2 1 l E m l E m l OO n l O m l O m l l EO n l O n O m O n O m OO mn OO mn A A Y A m l A Y Y A A Y Y A A Y                                                                                                                                                                   1
l r EO n l r EO n l r OO l m r OO l m r l EE n l r EE n l r r OE l m r OE l m r l OE n l r OE n l r r EO l m r EO l m r l OO n l r OO n l r r EE l m r EE l m r l OO n l OO n l E l m l OE n l OE n l O l m l OO n m l OO n m l E l l EO n m l EO n m l O l l E n l E n l OO l m l O n l O n l OE l m A n l A Y m r Y A A Y m r Y A A Y Y A n l A Y Y A n l A Y A A Y A m l A Y A A Y A A Y A A Y
The coefficients mn P (where m, n=0, 1, 2, ..., ∞) of the serie expansion of the product of the two functions, each contain expressions of one or more infinite numerical series. If the coefficients of the expansion of each of the terms of the product are known, in some particular cases the limit of these series can be determined exactly. In other cases, the limit is calculated with an approximation based on the number of terms calculated for the partial sums. Given the fairly large number of coefficients and series that appear in their expressions (especially in the case of functions with a large number of variables), a large volume of calculations is required, which requires the use of modern computing technology. .

In addition to their usefulness in solving PDEs, the previously determined formulas may be useful in the study of numerical series and function series. If the expression of a coefficient mn P of the series expansion of certain functions, calculated by applying the formulas (4.a) (or those corresponding to a greater number of variables) is compared with the expression of the same coefficient determined based on the formulas deduced in this section, a relationship of equality can be established between the integral provided by (4.a) and the corresponding serie. In addition, we found that the same coefficient can be expressed in several ways, depending on the order in which its components are added together. These equations are also valid when all of these variables acquire certain particular values.

In the case of a function of N=3 variables, the number of types of coefficients of the series expansion SFS is 27 (N 3 ), and the product of their series expansions is composed of 729 (N 6 ) elementary functions, therefore the mathematical expressions of the coefficients can contain a considerable number of the numerical series. However, in the presence of a properly designed calculation algorithm, these problems are easily overcome by a computer with usual performance.

Conclusions

A PDEs equation consists of a series of terms of the form y(x), y n (x), ∂y(x)/∂xi, ∂ 2 y(x)/∂xi∂xj, ∂ n y(x)/∂xi...∂xj, ∂ -n y(x)/∂xi...∂xj, y n (x)∂ n y(x)/∂xi...∂xj, and their products with other multivariable functions p(x), q(x), ..., where x is a d-tuple, and xi, xj, are its variables. The replacement of these terms, when they appear in a differential equation, by their SFS expansion, or by their Fourier sums SN , which approximate them (the expansion containing unknown Fourier coefficients of the function y(x)), leads to a system with 2N+1 (N→∞) algebraic equations. By solving it, we can find the coefficients mn P , and in this way, the unknown function (or functions, if it is a system of equations).

As for the integer series expansion method, the differentiation and the integration operations performed on the series expansions, as well as the product between the multivariable functions are transformed into algebraic operations performed on the expansion coefficients. Therefore, solving PDEs turns into solving algebraic equations. From this point of view, the method of solving by determining the coefficients of development in sinusoidal series is more advantageous, due to the ease with which the coefficients of the development can be calculated and because of the high speed of convergence (which makes them ideal for numerical approximation methods).

This method of solving ordinary differential equations and equations with partial derivatives, by determining the coefficients of the development in sinusoidal series of the unknown functions can become an extremely efficient method, applicable to all types of differential and integro-differential, linear equations. and nonlinear, to linear and nonlinear partial differential equations, to systems of such equations, whatever their order and the complexity of their coefficients, in particular for situations encountered in physics and engineering. It follows that this method will be studied continuously, in terms of application conditions and conditionalities that must satisfy the functions involved at the limits of the domain. In addition, the implications that emerge by comparing it with other PDE resolution methods need to be investigated. This research did not receive any specific grant from funding agencies in the public, commercial, or not-for-profit sectors. Les conditions requises pour l'application de la méthode ne sont pas très contraignantes et sont faciles à remplir, notamment pour les situations rencontrées en physique et en ingénierie. Pour appliquer cette méthode aussi dans le cas des équations et des systèmes d'équations aux dérivées partielles (pour des fonctions de plusieurs variables), il est nécessaire de généraliser les formules applicatives lesquels décrivent les propriétés des fonctions monovariables, utilisées dans le cas des ODEs, pour les fonctions dépendant de plusieurs variables, sujet d'équations aux dérivées partielles (PDEs), valables dans un domaine fermé. Comme dans le cas des ODEs, les opérations de dérivation et d'intégration effectuées sur les développements en séries sinusoïdales de Fourier (SFS) se transformeront en opérations algébriques effectuées sur les coefficients du développement. Par conséquent, la résolution des PDEs se transformera en la résolution de certaines équations algébriques.

PROPRIÉTÉS APPLICATIVES DES DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES DE FOURIER SINUSOÏDALES DES FONCTIONS À PLUSIEURS VARIABLES

Mots clés: séries de Fourier sinusoïdales périodiques, séries non sinusoïdales, équations différentielles linéaires, équations différentielles avec dérivées partielles

Introduction

Des recherches initiées par Fourier à partir de l'étude de la diffusion de la chaleur [3] et poursuivies par un grand nombre de mathématiciens, ont montré que toute fonction réelle, d'argument réel, f(x) : R → R, T-périodique sur l'intervalle (x1, x2), où T = x2-x1, continue et dérivable par morceaux, ou de carré intégrable sur l'intervalle T, c'est à dire: 

              1 0 sin cos 2 1 n n n n n x b x a a x f   , où pour nN, nous définirons T n n   2  (1)
Les coefficients de ce développement peuvent être calculés à l'aide des formules d'Euler: [4][5][6][7]. En utilisant les notations vectorielles, la fonction f(x) : R d → R, est périodique, de période T = (T1, T2, ..., Td) si, pour tous d-uplet d'entiers nZ d , n = (n1, n2, ..., nd), nous avons:

      2 1 cos 2 x x n n dx x x f T a  n=0, 1, 2, 3,... (2)       2 1 sin 2 x x n n dx x x f T b  n=1, 2, 3,...

Cette assertion a été étendue aux fonctions réelles avec plusieurs variables

f(x+n•T) = f(x). Ici,
  d d x i x i L L x i L L L L d i i n n n dx dx dx x x x f e e e T c d d n n d d n d ... ,... , ... ... 1 2 1 2 1 1 ... 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1               
Avec les notations vectorielles, on peut écrire:

(3)

       d Z c f n n n x ω x exp , où   d n n n    ,..., , 2 1  n ω , et   x x n n ω n d f e L c d L x i d i i d             1 1 2
Comme dans le cas unidimensionnel [2,5], une fois que l'on connaît les coefficients de développement en SFS d'une fonction multivariable, on peut trouver des formules de calcul pour les coefficients de développement en SFS du produit f(x)•g(x) de deux fonctions de plusieurs variables, et pour f(x)=g(x), ces du carré d'une telle fonction. En appliquant successivement, à plusieurs reprises, cettes formules, les coefficients de Fourier d'expressions analytiques plus compliqués peuvent être calculés.

De plus, dans certaines conditions, la relation (3) peut être intégrée, ou dérivée de façon répétée, terme par terme. Tant la dérivation que l'intégration par rapport à une seule variable (dérivation partielle et, par extension, "intégration partielle" de premier ordre) sont identiques à la dérivation, respectivement l'intégration d'une fonction monovariable (en gardant les autres variables à une valeur constante). En conséquence, les résultats obtenus dans le cas du développement en SFS pour les fonctions monovariables [2] Pour la dérivation de la fonction xi-monovariable f(C, xi), nous envisagerons que l'existence des discontinuités finies de cette fonction (fréquentes notamment sur les surfaces latérales du prisme L d , d-dimensionale) introduites par cette variable, conduit à la modification des coefficients des composantes impaires de son développement en série, ainsi qu'à un changement de la valeur moyenne du dérivé [1,2]. Pour toutes les fonctions xj-monovariables, les valeurs de ces changements dépendent de l'empreinte de l'intersection de la fonction f(x) avec l'hypersurface bordant le domaine de définition. Pour chaque dérivé d'ordre supérieur, il est nécessaire de connaître cette empreinte de la fonction dérivé d'ordre inférieur. Dans le cas des PDEs périodiques, ces empreintes sont les conditions aux limites de l'équation (à la limite du domaine de définition L d ).

Pour l'intégration par rapport à l'une des variables xi (l'intégralle partielle ∂ -1 f/∂xi, ou f -1 xi, est la primitive de la fonction xi-monovariabile f(C, xi)) on procédera de la même manière que dans le cas des fonctions d'une seule variable. Dans la relation du développement en SFS d'une fonction multivariable à variables réelles (résultant de la relation (3)), «l'intégration partielle» (par rapport à xi) de la composante paire (par rapport à xi) de la fonction xi-monovariable f(C, xi) génère une composante impaire (relative à cette variable) de l'intégrale, et «l'intégration partielle» d'une composante impaire (par rapport à xi) génère une composante paire (par rapport à cette variable) et une composante constante (dont la valeur devient la valeur moyenne du «primitif» de la fonction xi-monovariable). L'intégration partielle (par rapport à l'une des variables) de la valeur moyenne de la fonction xi-monovariable génère (par rapport à xi) une fonction rampe, dont le développement en série de Fourier conduit au changement des coefficients de la composante impaire du développement de la primitive.

Avec les formules obtenues et celles résultant de leur combinaison, nous avons les outils nécessaires pour transformer, pareil avec le cas des ODEs [2], une équation aux dérivées partielles (PDE), pour laquelle nous connaissons assez des conditions aux limites, en un système d'équations algébriques, dans lesquelles les valeurs inconnues sont les coefficients du développement en série sinusoïdale de la fonction multivariable périodique inconnue f(x). Dans les sections suivantes, nous analyserons leur formation et déterminerons des formules de calcul pour les expressions des coefficients du développement en SFS des intégrales, des dérivées des fonctions multivariables et du produit de deux tels fonctions, avec exemplification dans le cas des fonctions y(x1, x2) de deux variables, définies sur l'espace

L 2 = [-L1, L1]×[-L2, L2].
Le développement en SFS de cette fonction est [5]:

                                SFS OO OE EO EE O E O E SFS x x y x x y x x y x x y x y x y x y x y y x x y 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 0 1 0 1 0 00 2 1 , , , , ,                                           1 2 2 0 0 1 2 2 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 00 sin cos sin cos n n O n n n E n m m O m m m E m x Y x Y x Y x Y Y                              1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 sin cos cos cos m n n m EO mn m n n m EE mn x x Y x x Y     (4)                         1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 sin sin cos sin m n n m OO mn m n n m OE mn x x Y x x Y     , où:   2 1 2 1 2 1 00 1 1 2 2 , 4 1 dx dx x x y L L Y L L L L        2 1 1 1 2 1 2 1 0 0 cos , 2 1 1 1 2 2 dx dx x x x y L L Y m L L L L E m         2 1 1 1 2 1 2 1 0 0 sin , 2 1 1 1 2 2 dx dx x x x y L L Y m L L L L O m         2 1 2 2 2 1 2 1 0 0 cos , 2 1 1 1 2 2 dx dx x x x y L L Y n L L L L E n         2 1 2 2 2 1 2 1 0 0 sin , 2 1 1 1 2 2 dx dx x x x y L L Y n L L L L O n         2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 cos cos , 1 1 1 2 2 dx dx x x x x y L L Y n m L L L L EE mn        (4a)   2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 sin cos , 1 1 1 2 2 dx dx x x x x y L L Y n m L L L L EO mn          2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 cos sin , 1 1 1 2 2 dx dx x x x x y L L Y n m L L L L OE mn          2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 sin sin , 1 1 1 2 2 dx dx x x x x y L L Y n m L L L L OO mn        1 1 1 L m m m      , 2 2 2 L n n n     
, ou m,nN + Notons que, dans ce que suit, nous considérerons toujours que les composantes impaires yO, et les composantes impaires yE aussi, ont la valeur moyenne égale à zéro.

Le développement en SFS des dérivées et des intégrales partielles des fonctions multivariables

Si dans le développement en SFS de la fonction

f(x) →       d i i i d L L 1 ,

L

, on sépare les termes lesquels contiennent les fonctions (5)

    C i O C i E C i i mi m O C i m i mi m E C i m C i SFS i F F F x F x F F x C f . . . 0 1 . . 1 . . 0 . . 0 sin cos ,               , m = 1, 2, ..., ∞ ou C i O C i E C i F F F . . . 0 , ,
sont les 3 composantes de la fonction (la valeur moyenne, la composante paire et celle impaire, par rapport à la variable xi) et les coefficients

0 . . 0 C i F , E C i m F . . et O C i m F .
. , sont des fonctions dépendant des autres d-1 variables. Évidemment: chacune des variables xi, ayant toutes les dérivées partielles des fonctions absolument intégrables (mais lesquels peuvent être indéfinies en un nombre fini de points), la série de Fourier de ses dérivées partielles ∂f/∂xi est obtenue à partir de la série de Fourier de la fonction f(x) par dérivation terme par terme, par rapport à la variable xi.

    i C i E i C i E L F L F   . . et     i C i O i C i O L F L F    . . ( 6
Pour     i mi m O C i m i mi m E C i m C i SFS i x F x F F x C f   sin cos , 1 . . 1 . . 0 . . 0         
, on obtient:

                   1 . . . . sin cos , / m i mi E C i m i mi O C i m mi SFS i SFS i x F x F x C f x f    x (6)
Puisque la fonction f(C, xi) est absolument intégrable, on peut écrire:

0 lim lim . . . .       O C i m m E C i m m mF mF , ce que signifie que pour   m
, les suites de fonctions

E C i m F . . et O C i m F .
. convergent vers 0 plus rapidement que la suite 1/m.

Puisque la fonction ∂f/∂xi satisfait toutes les conditions imposées par le théorème 1, elle peut être dérivée à nouveau, de la même manière, par rapport à l'un des autres variables. En ce que concerne la dérivation répétée par rapport à la même variable, peut être appliqué le Théorème 2. Pour toute fonction continue f(x)→ d R , 2Li-périodique par rapport à chacune des variables xi, laquelle par rapport à la variable xi a n-1 dérivées continues et la dérivée d'ordre n absolument intégrable (cette dérivée peut être indéfinie en un nombre fini de points), les séries de Fourier des dérivées partielles d'ordre r, ∂ r f/∂xi r , r<n sont obtenues à partir de la série de Fourier de la fonction f(x) en la dérivant r fois, terme par terme, par rapport à la variable xi. Toutes les séries obtenues par ces dérivations, à l'exception possible de la dérivée d'ordre n, convergent uniformément vers la dérivée correspondante.

Les coefficients de Fourier de la fonction f(x) satisfont la relation:

0 lim lim . . . .       O C i m n m E C i m n m F m F m
Et la dérivée partielle d'ordre r, ∂ r f/∂xi r peut être dérivée une fois par rapport aux autres variables, si f(x) satisfait, par rapport à cette variable, les conditions du théorème 1, ou d'un nombre répété de fois, si elle satisfait les conditions du théorème 2.

L'extension de la fonction discontinue fd(x), pour laquelle f(C,-Li) ≠ f(C, Li), pour au moins une des variables xi, pose le problème de la valeur de la fonction f(C, xi) en les points xi=-Li et xi=Li. Il y a une classe des fonctions fr(xi), "égales presque partout" [1], lesquelles remplissent les conditions pour avoir un développement en SFS convergent, et lesquelles

dans l'intervalle   i i L L , 
sont égales à f(C, xi), mais à ses extrémités (ou/et à en autres points de discontinuité xi.s), peuvent chacun prendre des valeurs finies différentes. Toutes ces fonctions ont le même développement en série de Fourier, et satisfont les égalités:

                       ) ( lim ) ( lim 2 1 i L x i L x i r i r x f x f L f L f i i i i et               ) ( lim ) ( lim 2 1 . . . x f x f x f s i i s i i x x x x s i r .
Le comportement de toute cette classe de fonctions fr(xi), peut être décrit par une fonction de Fourier fF(xi), laquelle appartient à cette classe et laquelle satisfait la condition

    i F i F x f x f 
. Dans ce que suit, nous considérerons toutes les fonctions f(C, xi) lesquelles satisfont aux conditions d'avoir le développement en SFS convergent, comme fonctions de Fourier, et pour lesquelles à l'intérieur de l'intervalle  

i i L L ,  :   ) ( lim 0 h L f L f i h i      , et   ) ( lim 0 h L f L f i h i    . Théorème 3. Si la fonction f(x)→       d i i i d L L 1 , L , pour laquelle f(C, -Li) ≠ f(C, Li),
a la dérivée partielle par rapport à la variable xi absolument intégrable (mais laquelle peut être indéfinie en un nombre fini de points), elle admet le développement en SFS:

                                  1 . . . . . . sin cos , 1 2 , , m i mi E C i m mi i mi i i O n O C i m mi i i O SFS i SFS i x F x L C f F L C f x C f x f     x (7) où:             1 . . . . 0 . . 0 sin cos , m i mi O C i m i mi E C i m C i SFS i x F x F F x C f   , et         i i i i i O L C f L C f L L C f    , , 2 1 , .
Le théorème 3 est une conséquence du théorème similaire appliqué aux fonctions monovariables: avant la dérivation, dans le domaine d L , nous avons décomposé la fonction C i O F . (la composante impaire par rapport à la variable xi de la fonction f(x)), en la somme de la fonction fO.

i.c(x)= C i O F . -  i O L C f , •xi , continue sur d R , et la fonction fO.i(x)=   i O L C f ,
•xi, laquelle contient un "hyper-saut Heaviside" dans le plan xi=Li, entre les courbes-"crête"

  i O L C f , et   i O L C f  ,
(ces sauts sont la seule cause de la génération de phénomènes de type Gibbs).

Remarque 1: Si f(x) est une fonction Fourier sur tout le domaine de définition d R , cette propriété appartient également à la fonction fO.i.c(x) et à son développement en SFS aussi. De plus, le développement dans le SFS de la fonction

  i O L C f , •xi
    i i L C f L C f   , ,    i i O L C f , .
=0 et la relation ( 7) devient ( 6). Remarque 3: Comme pour les fonctions monovariables:

    O C i m m m i i O mF L C f . . 1 . 1 2 lim ,      . Ici   i i O L C f , . (et aussi 0 . . 0 C i F , O C i m F . . și E C i m F .
. , mN +) , est une fonction de d -1 variables.

Remarque 4: Ce théorème s'applique de la même manière aux dérivées partielles de la fonction f(x) par rapport à la même, ou à une autre variable. Dans ce cas, les courbes-crête

  i Oi L C f
, sont dérivées en conséquence. La dérivation est effectuée de la même manière si les discontinuités par rapport à l'une des variables se produisent dans l'intervalle de définition. Si la fonction fd(x)→ d L est discontinue par rapport à la variable xi, en un nombre fini de points, la fonction fO.i(x), impaire par rapport à la variable xi, peut s'écrire comme la somme d'une fonction continue fO.i.c(x), obtenu en translatant le long de l'axe 0z les portions continues des hypersurfaces respectives, de sorte que leurs extrémités coïncident (et pour la dérivation de laquelle s'applique le théorème 3) et une fonction discontinue fO.i.H(x), laquelle contient de sauts plans entre les courbes-crête intérieurs (et dont la dérivée est une somme des "hyper-peigne" de Dirac). Théorème 4. Pour toute fonction absolument intégrable f(x)→ d R , 2Li-périodique par rapport à chacune des variables xi, l'intégrale partielle définie, par rapport à la variable xi, est obtenue à partir de la série de Fourier de la fonction f(x) en l'intégrant terme par terme, en relation à la variable xi, entre toutes limites d'intégration, indifférent si la série est convergente ou non.

Pour     i mi m O C i C i mi m E C i C C i C SFS i x F x F F x C f   sin cos , 1 . . 1 . . 0 . .         
, on obtient:

                         1 . . . . 0 . . 1 sin sin cos cos , m mi mi mi E C i C mi mi O C i C C i C i b a i b a i b b F a b F a b F dx x C f f x      x Théorème 5. Pour toute fonction f(x)→ d
R , 2Li-périodique par rapport à chacune des variables xi, ayant toutes les dérivées partielles des fonctions absolument intégrables, la série de Fourier de l'intégrale partielle ∂f -1 /∂xi s'obtient à partir de la série de Fourier de la fonction f(x) en intégrant terme par terme par rapport à la variable xi, indifférent si la série est convergente ou non.

Pour     i mi m O C i C i mi m E C i C C i C SFS i x F x F F x C f   sin cos , 1 . . 1 . . 0 . .          , on obtient: (8)                                   1 0 . . 1 . . . . 1 . . 0 1 sin 1 2 cos , m mi i mi C i C m E C i C i mi O C i C m mi O C i C SFS i x i SFS i x F F x F F dx x C f x f    
x Puisque la fonction ∂ -1 f/∂xi satisfait toutes les conditions imposées par le théorème 4, elle peut être partiellement integrée, de la même manière, en relation avec l'une quelconque des autres variables.

Les coefficients des développements en SFS des dérivées et des intégrales partielles du premier ordre des fonctions à deux variables

Avec les significations de (4a), le développement en SFS de la fonction de deux

variables   2 1 , x x y est:                                               1 2 2 0 0 1 2 2 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 00 2 1 sin cos sin cos , n n O n n n E n m m O m m m E m SFS x Y x Y x Y x Y Y x x y                              1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 sin cos cos cos m n n m EO mn m n n m EE mn x x Y x x Y     (4)                         1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 sin sin cos sin m n n m OO mn m n n m OE mn x x Y x x Y     Les développements en SFS des deux fonctions x1-monovariable et x2-monovariable sont:                     1 1 1 2 . 1 . 1 1 2 1 . 1 . 2 0 . 1 . 1 sin cos , x x Y x x Y x Y x C y m m O C m m m E C m C C SFS   (4.1)                                                     1 1 1 1 2 2 1 2 2 0 0 1 1 1 1 2 2 1
E m n n O n n n E n x x Y x Y Y x x Y x Y Y x Y x Y Y                             2 2 1 1 . 2 . 2 2 1 1 . 2 . 1 0 . 2 . 2 sin cos , x x Y x x Y x Y x C y n n O C n n n E C n C C SFS   (4.2) 2 2 1 1 1 1 1 1 1 0 0 2 2 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 00 sin sin cos cos sin cos sin cos x x Y x Y Y x x Y x Y Y x Y x Y Y n n m m OO mn m m EO mn O n n n m m OE mn m m EE mn E n m m O m m m E m                                                             Si, sur tout l'intervalle de définition L 2 = [-L1, L1]×[-L2, L2
], la fonction réelle, périodique de deux variables y(x1, x2) est continue par rapport à tout les deux variables, si elle a les deux dérivées partielles de premier ordre lisses par morceaux et si ont lieu les égalités y(-L1,x2)=y(L1, x2), pour x2[-L2, L2] et y(x1, -L2)=y(x1, L2), pour x1[-L1, L1], le développement en série de Fourier sinusoïdale de tous les deux dérivées partielles peut être obtenu en dérivant terme par terme, par rapport à la variable respective, le développement de Fourier de la fonction y(x1, x2). La série obtenue converge uniformément vers ∂f/∂xi, pour i=1, 2, ..., en tous les points de l'intervalle de définition.

Avec les notations de (4), on peut écrire: Les différences entre les valeurs prises, à la limite, par la fonction yF(x1, x2) au voisinage des frontières (avant et après le plan de séparation) génèrent entre les courbes de la frontières ("courbes-crête"), des "surfaces-contremarche" pour chaque discontinuité de la fonction. Le saut infini qui se produit en raison de la dérivation de ce discontinuité peut être evité par l'introduction d'une «surface contremarche» d'effet inverse, générée par une surfacerampe yO.i•xi.

                   1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 sin cos m m E m m m m O m m SFS x Y x Y x y                  1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 sin cos cos cos m n n m OO mn m m n n m OE mn m x x Y x x Y       (9)             1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 sin sin cos sin m n n m EO mn m m n n m EE mn m x x Y x x Y                          1 2 2 0 0 2 1 2 2 0 0 2 2 sin cos n n E n n n n O n n SFS x Y x Y x y                  1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 sin cos cos cos m n n m EE mn n m n n m EO mn n x x Y x x Y       (10)             1 1 2 2 1 1 2 1 1
Les coefficients du développement en SFS des courbes-crête interviennent dans le calcul des coefficients du développement en série des dérivées partielles (nous attribuerons, par extension, l'indice O, par analogie avec les constantes fO(L) issues de l'analyse des fonctions monovariables, bien que la fonction yO.i peut avoir tous les trois composants):

      1 2 1 2 1 2 1 1 . 2 , , , L x L y x L y x L y O    =         1 2 2 0 . 1 0 1 2 2 0 . 1 0 . 1 00 sin cos n n O n n n E n x Y x Y Y   (11)       2 2 1 2 1 2 1 2 . 2 , , , L L x y L x y L x y O    =         1 1 1 0 . 2 0 1 1 1 0 . 2 0 . 2 00 sin cos m m O m m m E m x Y x Y Y  
En appliquant la formule (7) sur les relations (4.1), respectivement (4.2), on obtient:

                                         1 1 1 2 1 1 . 1 2 2 1 2 2 0 0 1 1 cos , 1 2 sin cos m m O m n n OO mn n n OE mn O m m SFS x x L y x Y x Y Y x y                           2 1 1 . 1 1 1 1 2 2 1 2 2 0 0 1 , sin sin cos x L y x x Y x Y Y O m m n n EO mn n n EE mn E m m                             1 2 2 0 . 1 0 1 2 2 0 . 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 . 1 00 0 0 1 . 1 00 sin cos sin cos 1 2 n n O n n n E n m m E m m m m m O m m x Y x Y x Y x Y Y Y                                1 1 1 1 2 2 1 1 0 . 1 0 1 2 2 1 1 0 . 1 0 1 sin cos 1 2 cos cos 1 2 m n m n n m O n m OO mn m n m E n m OE mn m x x Y Y x x Y Y                   1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 sin sin cos sin m n n m EO mn m m n n m EE mn m x x Y x x Y       (12)                                          1 2 2 1 2 2 . 1 1 1 1 1 1 0 0 2 2 cos , 1 2 sin cos n n O n m m OO mn m m EO mn O n n SFS x x L y x Y x Y Y x y                           1 2 2 . 1 2 2 1 1 1 1 1 1 0 0 2 , sin sin cos x L y x x Y x Y Y O n n m m OE mn m m EE mn E n n                             1 2 2 0 0 2 1 2 2 . 2 00 0 0 2 1 1 1 0 . 2 0 1 1 1 0 . 2 0 . 2 00 sin cos 1 2 sin cos n n E n n n n n O n n m m O m m m E m x Y x Y Y x Y x Y Y                          1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 0 . 2 0 2 sin cos cos cos 1 2 m n m n n m EE mn n n m E m n EO mn n x x Y x x Y Y                         1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 0 . 2 0 2 sin sin cos sin 1 2 m n n m OE mn n m n n m O m n OO mn n x x Y x x Y Y       (13) Remarque 1: pour     2 1 2 1 , , x L y x L y       2
                       1 2 2 1 2 2 0 0 1 1 2 1 . sin cos 1 2 lim n n OO mn n n OE mn O m m m m O x Y x Y Y x y    (11.1)
Remarque 3: Les courbes-crête de la fonction y(x1, x2) sont des cas particuliers des fonctions monovariables y(C, xi), qui sont obtenues lorsque C prend les valeurs particulières C=±Li. Les extrémités de chacune de ces courbes-crête coïncident avec une extrémité des courbescrête correspondant à l'autre variable:

       1 1 2 , 1 , L x L C x C y   2 2 1 , 2 , L x L C x C y     ,       1 1 2 , 1 , L x L C x C y   2 2 1 , 2 , L x L C x C y    , etc
Cette observation est également valable pour les courbes issues de la dérivation, quel que soit le nombre de dérivations et la variable par rapport à laquelle la dérivation est faite.

Il est facile d'observer que tous les deux dérivations peuvent être faites par dérivation terme par terme de l'expression (4), mais en compensant le saut de la périphérie du prisme, chaque fois qu'on dérive un terme impair par rapport à la variable de dérivation.

Avec les mêmes données initiales, en appliquant la formule (8) vers les mêmes fonctions xi-monovariables, on obtient les développements en série des intégrales partielles du premier ordre de la fonction y:

                                1 1 1 1 0 . 1 . 1 . 1 . 1 1 . 1 . 1 1 . 1 . 1 0 1 1 1 sin 1 2 cos , 1 m m m C C m E C C m O C C m m O C C SFS x SFS x Y Y x Y Y dx x C y x y                              1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 0 0 1 1 1 2 2 1 2 2 0 0 cos sin cos sin cos x x Y x Y Y x Y x Y Y m m m n n OO mn n n OE mn O m m m n n OO mn n n OE mn O m                                      1 1 1 1 1 2 2 0 0 1 2 2 0 0 00 1 2 2 1 2 2 0 0 sin sin cos 1 2 sin cos m m m n n O n n n E n n m n EO mn n n EE mn E m x x Y x Y Y x Y x Y Y                                                               2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 00 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 sin cos sin 1 2 cos x Y x Y x Y Y x Y Y x y n m n m OO mn n m n m OE mn m m m m E m m m m O m m m O m SFS                       1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 sin cos cos cos m n n m m OO mn m n n m m OE mn x x Y x x Y       (14)                     1 1 2 2 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 1 0 0 sin sin 1 2 cos sin 1 2 m n n m m O n m EO mn m n n m m E n m EE mn x x Y Y x x Y Y                                       1 2 2 2 0 . 2 . 1 . 2 . 2 2 . 2 . 1 2 . 2 . 2 0 2 2 1 sin 1 2 cos , 2 n n n C C n E C C n O C C n n O C C SFS x SFS x Y Y x Y Y dx x C y x y                              2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 0 0 1 2 1 1 1 1 1 1 0 0 cos sin cos sin cos x x Y x Y Y x Y x Y Y n n n m m OO mn m m EO mn O n n n m m OO mn m m EO mn O n                                      1 2 2 2 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 00 1 1 1 1 1 1 0 0 sin sin cos 1 2 sin cos n n n m m O m m m E m m n m EO mn m m EE mn E n x x Y x Y Y x Y x Y Y                                                               2 2 1 2 00 0 0 2 2 1 2 0 0 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 0 0 2 1 sin 1 2 cos sin cos x Y Y x Y x Y x Y Y x y n n n n E n n n n O n m m n n OO mn m m n n EO mn n n O n SFS                           1 1 2 2 1 1 2 0 0 1 1 2 2 1 1 2 sin cos 1 2 cos cos m n n m n E n n EE mn m n n m n EO mn x x Y Y x x Y       (15)                 1 1 2 2 1 1 2 0 0 1 1 2 2 1 1 2 sin sin 1 2 cos sin m n n m n O m n EO mn m n n m n OO mn x x Y Y x x Y      

Les coefficients des développements en SFS des dérivées et des intégrales partielles d'un ordre supérieur pour les fonctions à deux variables

Les développements en SFS des dérivées et des intégrales partielles d'ordre supérieur de la fonction multivariable y(x), par raport à la variable xi, sont obtenus en appliquant les formules (7), respectivement (8) (la dérivation, respectivement l'intégration, par rapport à la variable xi) , aux fonctions xi-monovariables résultant de la dérivation, respectivement de l'intégration partielle d'un ordre inférieur de la fonction y(x).

Par exemple, des dérivées du second ordre et des intégrales partielles du second ordre sont obtenues à partir des fonctions xi-monovariables à partir des expressions (12) et (13), respectivement ( 14) et (15).

Le calcul des dérivées partielles (par rapport à la variable xi) nécessite la détermination des nouvelles conditions aux frontières du domaine de définition: si la fonction y(x) a été dérivée par rapport à la variable xi, les expressions des courbes-crête (générées par l'intersection des hypersurfaces y(C,xi) avec chacun des plans xi=-Li et xi=Li), sont également dérivées par rapport à cette variable; les nouvelles courbes-crête sont générées par la fonction ∂Y/∂xi (où Y peut être l'une des dérivées calculées précédemment, par rapport à d'autres variables et a des conditions aux limites connues). Pour la fonction y(x1,x2), les nouvelles courbes-crête, qui bordent les "surfaces-contremarche" de la discontinuité de la fonction ∂y/∂xi et pour les coefficients de leurs développements en SFS nous allons obtenir:

                                        1 2 2 0 . 1 0 1 2 2 0 . 1 0 . 1 00 2 2 2 1 2 2 1 1 1 . sin cos , , 2
1 1 1 1 1 n n O n n n E n L x L x O x Y x Y Y x x x x y x x x y L y                  1 2 2 0 . 1 0 2 1 2 2 . 1 00 0 . 1 0 2 . 1 00 sin cos ) 1 ( 2 n n E n n n n n O n n x Y x Y Y Y     (16)                                           1 1 1 0 . 2 0 1 1 1 0 . 2 0 . 2 00 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 . sin cos , , 2 1 , 2 2 2 2 m m O m m m E m L x L x O x Y x Y Y x x x x y x x x y L L x y                  1 1 1 0 . 2 0 1 1 1 1 . 2 00 0 . 2 0 1 . 2 00 sin cos ) 1 ( 2 m m E m m m m m O m m x Y x Y Y Y     (17)
On observe que:

          2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 . 2 2 . 1 00 4 , , , , , 2
1 2 2 L L L L y L L y L L y L L y dx x L y x L Y L L O               et           2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 . 1 1 2 00 4 , , , , , 2 1 1 1 LL L L y L L y L L y L L y dx L x y x L Y L L O               Donc, . 2 00 . 1 00 Y Y   
(18) Chacune des ces deux dérivées partielles de premier ordre peut être écrite de deux manières sous la forme d'une fonction xi-monovariable:

                            1 2 2 0 . 1 0 1 2 2 0 . 1 0 . 1 00 1 1 sin cos , n n O n n n E n SFS x Y x Y Y x C x y                                        1 1 1 1 2 2 0 . 1 0 1 1 2 2 0 . 1 0 1 . 1 00 0 0 1 cos sin 1 2 cos 1 2 1 2 m m n n O n m OO mn m n n E n m OE mn m m O m m x x Y Y x Y Y Y Y                         1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 0 0 1 sin sin cos m m n n EO mn m n n EE mn m E m m x x Y x Y Y       (12.1)                                   1 1 1 0 0 1 1 1 1 . 1 00 0 0 1 . 1 00 2 1 sin cos 1 2 , m m E m m m m m O m m SFS x Y x Y Y Y x C x y     (12.2)     2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 . 1 0 1 0 . 1 0 cos sin cos 1 2 x x Y x Y Y Y n n m m EE mn m m m E n m OE mn m E n                              2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 . 1 0 1 0 . 1 0 sin sin cos 1 2 x x Y x Y Y Y n n m m EO mn m m m O n m OO mn m O n                                                            1 2 2 0 0 2 1 2 2 . 2 00 0 0 2 . 2 00 1 2 sin cos 1 2 , n n E n n n n n O n n SFS x Y x Y Y Y x C x y         1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 0 . 2 0 2 0 . 2 0 cos sin cos 1 2 x x Y x Y Y Y m m n n EE mn n n n E m n EO mn n E m                              1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 0 . 2 0 2 0 . 2 0 sin sin cos 1 2 x x Y x Y Y Y m m n n OE mn n n n O m n OO mn n O m                          (13.1)                             1 1 1 0 . 2 0 1 1 1 0 . 2 0 . 2 00 2 2 sin cos , m m O m m m E m SFS x Y x Y Y x C x y                                       1 2 2 1 1 1 0 . 2 0 2 1 1 1 0 . 2 0 2 . 2 00 0 0 2 cos cos 1 2 sin 1 2 1 2 n n m m E m n EO mn n m m O m n OO mn n n O n n x x Y Y x Y Y Y Y                         1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 0 0 2 sin sin cos n n m m OE mn n m m EE mn n E n n x x Y x Y Y       (13.2)
Avec les conditions aux limites (16), en appliquant la formule (7) sur ces fonctions ximonovariables, on obtient les développements en série pour les dérivées partielles du second ordre:

                                       1 2 2 0 . 1 0 2 1 2 2 . 1 00 0 . 1 0 2 . 1 00 1 1 1 2 1 2 sin cos ) 1 ( 2 , n n E n n n n n O n n SFS SFS x Y x Y Y Y x C x y x x y                              1 1 1 1 2 2 1 2 2 0 0 2 1 cos sin cos m m n n EO mn n n EE mn E m m x x Y x Y Y                                 1 1 1 1 2 2 0 . 1 0 2 1 2 2 . 1 00 0 . 1 0 2 . 1 00 cos sin cos ) 1 ( 2 1 2 x x Y x Y Y Y m m n n E n n n n n O n n m                         1 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 2 1 sin sin cos m m n n n OO mn n OE mn O m m x x Y x Y Y                           1 1 1 1 2 2 0 . 1 0 1 2 2 0 . 1 0 . 1 00 1 sin sin cos 1 2 m m n n O n n n E n m m x x Y x Y Y                             1 1 1 . 1 00 1 0 0 2 1 1 1 1 . 1 00 0 0 2 1 . 1 00 sin 1 2 cos 1 2 m m m m O m m m m m E m m x Y Y x Y Y Y                    1 2 2 0 . 1 0 2 1 2 2 . 1 00 0 . 1 0 2 sin cos ) 1 ( 2 n n E n n n n n O n n x Y x Y Y                      2 2 1 1 1 1 . 1 00 0 . 1 0 2 2 1 cos cos ) 1 ( 4 1 2 x x Y Y Y n m m n n m O n n m EE mn m                              1 1 2 2 1 1 0 . 1 0 1 2 1 2 2 1 1 1 1 0 . 1 0 2 2 1 cos sin 1 2 sin cos 1 2 m n n m E n m m OE mn m n m m n E n n m EO mn m x x Y Y x x Y Y                             1 1 2 2 1 1 1 0 . 1 0 1 2 1 sin sin 1 2 m n n m n O n m m OO mn m x x Y Y     (19)                
                                           SFS SFS x C x y x x y 2 2 2 2 2 2 ,                1 1 1 0 . 2 0 1 1 1 1 . 2 00 0 . 2 0 1 . 2 00 sin cos ) 1 ( 2 m m E m m m m m O m m x Y x Y Y Y                        1 2 2 1 1 1 1 1 1 0 0 2 2 cos sin cos n n m m OE mn m m EE mn E n n x x Y x Y Y                               2 2 1 1 1 0 . 2 0 1 1 1 1 . 2 00 0 . 2 0 1 . 2 00 1 cos sin cos ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 x x Y x Y Y Y n m m E m m m m m O m m n n                        1 2 2 1 1 1 1 1 0 0 2 2 sin cos sin n n m m EO mn m OO mn O n n x x Y x Y Y                          1 2 2 1 1 1 0 . 2 0 1 1 0 . 2 0 . 2 00 2 sin cos sin 1 2 n n m m E m m O m n n x x Y x Y Y                    1 1 1 0 . 2 0 1 1 1 1 . 2 00 0 . 2 0 1 . 2 00 sin cos ) 1 ( 2 m m E m m m m m O m m x Y x Y Y Y              1 2 2 . 2 00 0 0 2 2 cos ) 1 ( 2 n n n E n n x Y Y           1 2 2 . 2 00 2 0 0 2 2 sin ) 1 ( 2 n n n n O n n x Y Y                   1 2 2 1 1 1 . 2 00 0 . 2 0 1 2 2 cos cos ) 1 ( 4 ) 1 ( 2 m n m n n m O m m n EE mn n x x Y Y Y                1 2 2 1 1 1 0 . 2 0 1 2 2 cos sin ) 1 ( 2 m n m n E m m n OE mn n x x Y Y     (20)              1 2 2 1 1 1 0 . 2 0 2 2 2 sin cos 1 2 n n m m E m n n EO mn n x x Y Y                   1 2 2 1 1 1 0 . 2 0 2 2 2 sin sin 1 2 n n m m O m n n OO mn n x x Y Y                     2 2 1 2 . 2 1 . 2 . 2 2 2 2 1 2 1 2 . 1 . 2 . 2 2 2 1 2 . sin 1 2 cos , 1 2 , x y x Y x L x y x Y L x y n n O n m O C n n n n O n E C n n O                     

Dans tout les deux relations,

O C i C E C i C C i C F F F . . . . 0 . . , ,
, i=1, 2 ont le sens de l'expression (8). Nous remarquons encore une fois que les deux dérivations peuvent être faites par dérivation terme par terme de l'expression (4), avec la compensation de la discontinuité de la frontière, lorsque le terme dérivé est impair par rapport à la variable de dérivation. Par conséquent, la formule précédemment déduite pour les fonctions d'une seule variable peut être appliquée directement [2]:

Pour   x B x A y x y n n n n n n   sin cos 1 1 0          ,         x y x y x y O     2 / 1           L L y x L L y B x L L y A y O n n O n n n n n O n n n                                 1 2 2 sin 1 2 cos 1 2     
Pour les dérivées partielles par rapport à tout les deux variables:

                 SFS x C x y x x x y 1 2 1 2 1 2 ,                1 2 2 0 . 1 0 2 1 2 2 . 1 00 0 . 1 0 2 . 1 00 sin cos ) 1 ( 2 n n E n n n n n O n n x Y x Y Y Y                              1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 0 . 2 0 2 0 . 2 0 1 cos sin cos 1 2 x x Y x Y Y Y m m n n OE mn n n n O m n OO mn n O m m                                x x Y x Y Y Y m n n E n n n n n O n n m 1 1 2 2 0 . 1 0 2 1 2 2 . 1 00 0 . 1 0 2 . 1 00 cos sin cos ) 1 ( 2 1 2                               1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 0 . 2 0 2 0 . 2 0 1 sin sin cos 1 2 x x Y x Y Y Y m m n n EE mn n n n E m n EO mn n E m m                         1 1 1 0 . 2 0 1 1 1 1 . 1 00 0 . 2 0 1 . 1 00 sin cos 1 2 m m E m m m m m O m m x Y x Y Y Y                     1 2 2 0 . 1 0 2 1 2 2 . 1 00 0 . 1 0 2 sin cos 1 2 n n E n n n n n O n n x Y x Y Y                          1 1 2 2 1 1 . 1 00 0 . 1 0 2 0 . 2 0 1 2 1 cos cos ) 1 ( 4 1 2 1 2 m n n m n m O n n m O m m n OO mn n m x x Y Y Y Y                    2 2 1 1 1 1 0 . 2 0 1 2 1 cos sin 1 2 x x Y Y n m n m E m m n EO mn n m      (21)                     1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 0 . 1 0 2 2 1 sin sin sin cos 1 2 n m n m EE mn n m n m n m E n n m OE mn n m x x Y x x Y Y                                 SFS SFS x C x y x x x y 2 1 2 1 2 2 ,                1 1 1 0 . 2 0 1 1 1 1 . 2 00 0 . 2 0 1 . 2 00 sin cos ) 1 ( 2 m m E m m m m m O m m x Y x Y Y Y                              2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 0 . 1 0 1 2 0 . 1 0 2 cos sin cos 1 2 x x Y x Y Y Y n n m m EO mn m n m m O n m OO mn m n O n n                                     2 2 1 1 1 1 0 . 2 0 1 1 1 1 . 2 00 0 . 2 0 1 . 2 00 cos sin cos ) 1 ( 2 1 2 x x Y x Y Y Y n n m m E m m m m m O m m n                               2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 0 . 1 0 1 2 0 . 1 0 2 sin sin cos 1 2 x x Y x Y Y Y n n m m EE mn m n m m E n m OE mn m n E n n                         1 1 1 0 . 2 0 1 1 1 1 . 2 00 0 . 2 0 1 . 2 00 sin cos ) 1 ( 2 m m E m m m m m O m m x Y x Y Y Y                     1 2 2 0 . 1 0 2 1 2 2 . 2 00 0 . 1 0 2 sin cos 1 2 n n E n n n n n O n n x Y x Y Y                          1 1 2 2 1 1 . 2 0 0 . 2 0 1 0 . 1 0 2 2 1 cos cos 1 4 ) 1 ( 2 1 2 m n n m m n m O m m n O n n m OO mn n m x x Y Y Y Y                    2 2 1 1 1 1 0 . 2 0 1 2 1 cos sin 1 2 x x Y Y n m n m E m m n EO mn n m      (22)                     1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 0 . 1 0 2 2 1 sin sin sin cos 1 2 n m n m EE mn n m n m n m E n n m OE mn n m x x Y x x Y Y          et parce que, selon (18), . 2 00 . 1 00 Y Y   
, les deux développements sont égaux. Les intégrales partielles d'ordre supérieur sont calculées à partir des relations (14) et (15) et en appliquant la formule (8):

                   SFS x x SFS dx dx x C y x y 1 0 1 0 1 2 1 2 1 1 ,                                1 2 1 1 2 2 0 0 1 2 2 0 0 00 1 2 2 1 2 2 0 0 sin cos 1 2 sin cos m m n n O n n n E n n m n EO mn n n EE mn E m x Y x Y Y x Y x Y Y                                     1 1 2 1 1 2 2 0 0 1 2 2 0 0 00 1 2 2 1 2 2 0 0 cos sin cos 1 2 sin cos m m m n n O n n n E n n m n EO mn n n EE mn E m x Y x Y Y x Y x Y Y           1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 0 0 sin sin cos 1 2 1 x x Y x Y Y m m m n n OO mn n n OE mn O m m                                                             1 1 1 2 1 0 0 1 1 1 2 1 00 0 0 1 2 1 00 0 0 2 1 2 sin 1 2 1 cos 1 2 1 2 x Y x Y Y Y Y x y m m m O m m m m m m E m m m m E m SFS                               1 1 2 2 2 1 0 0 2 2 1 1 2 1 0 0 sin 1 2 cos 1 2 m n n m O n m EO mn n m n m E n m EE mn x Y Y x Y Y                         1 1 2 2 1 2 1 0 0 1 1 2 2 1 2 1 0 0 sin cos 1 2 cos cos 1 2 m n n m m O n m EO mn m n n m m E n m EE mn x Y Y x Y Y               2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 sin sin 1 2 1 cos sin 1 2 1 x x Y x x Y n m m OO mn m n m n m m OE mn m n m                             SFS x x SFS dx dx x C f x x y 1 0 2 0 2 2 1 2 1 2 ,                                            2 2 2 1 00 0 0 2 2 1 0 0 1 0 0 1 2 1 1 sin 1 2 cos , n n n n E n n n O n n O n SFS x Y Y x Y Y x C x y                             1 1 2 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 cos sin 1 2 cos x x Y Y x Y Y m n m n n E m n EE mn m n n EO mn m n EO mn         1 1 2 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 sin sin 1 2 cos x x Y Y x Y Y m n m n n O m n EO mn m n n OO mn m n OO mn                                                            2 1 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 2 1 2 sin 1 2 cos n m m n n O m n EO mn m n n OO mn m n OO mn SFS x Y Y x Y Y x x y                              1 1 2 1 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 cos sin 1 2 cos x x Y Y x Y Y m n m m n n O m n EO mn m n n OO mn m n OO mn                               1 1 2 1 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 sin sin 1 2 cos x x Y Y x Y Y m n m m n n E m n EE mn m n n EO mn m n EO mn                               1 1 2 1 2 2 1 00 0 0 2 2 1 0 0 1 0 0 1 sin sin 1 2 cos 1 2 x x Y Y x Y Y m n m n n n E n n n O n n O n m m                             1 1 1 1 2 1 0 0 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 sin 1 2 cos x Y Y x Y Y m m n n m O n m EO mn m m n n m OO mn m n n m OO mn                                1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 0 0 2 2 1 1 2 1 cos cos sin 1 2 cos m n n m n m OO mn m n n n m O m n EO mn n m n n m OO mn x Y x Y Y x Y                                2 2 1 1 1 1 2 1 0 0 1 1 2 2 1 2 1 0 0 cos sin 1 2 sin cos 1 2 x x Y Y x Y Y n m m n n m O n m EO mn m n n m n m O m n EO mn                 2 2 1 1 1 1 2 1 00 0 0 0 0 sin sin 1 4 1 2 1 2 x x Y Y Y Y n m m n n m n m E n m E m n EE mn                 
En appliquant à plusieurs reprises cette procédure, sont obtenues les dérivées et les intégrales partielles de tout ordre de fonctions à deux variables. Pour les fonctions à plusieurs variables, la procédure est identique, mais le nombre de coefficients à calculer est plus élevé, étant égal à N 3

, où N est le nombre de variables de la fonction.

Le développement en série de Fourier du produit de deux fonctions périodiques dépendant de deux variables

Comme dans le cas des fonctions monovariables, dans le domaine [-L1, L1]×[-L2, L2], le produit p(x1, x2)=a(x1, x2)•y(x1, x2

) entre deux fonctions de deux variables, de carré intégrables, c'est aussi une fonction de carré intégrables [5]. Le calcul des coefficients du développement en SFS du produit peut être fait avec les formules de calcul (4), en calculant les intégrales définies de type

    2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 sin , sin , cos , cos , 1 1 1 2 2 dx dx x x x x f x x p f n m n m L L L L        
, pour chaque nombre entier positif ou nul m et n, (=0. 1, 2, ..., ∞).

Comme pour les fonctions monovariables, si les coefficients de Fourier du développement en série de chacun des termes du produit sont connus, des formules algébriques pour calculer les coefficients de Fourier du développement en série du produit peuvent être trouvées et utilisées. Ces formules sont indispensables si l'on veut transformer les PDEs en équations algébriques, ou si l'on veut calculer les relations de dépendance entre les coefficients du produit de ces deux fonctions multivariables (dans le cas du carré, les deux fonctions sont identiques) et les coefficients de chacun de ses termes. Dans tout les deux variantes, si un certain degré d'approximation est permis, le calcul peut également être effectué par des méthodes numériques.

Soit les deux fonctions à deux variables

  2 1 , x x y et   2 1 , x x a
, définis sur le domaine [-L1, L1]×[-L2, L2], périodiques, de carrés intégrables, qui peuvent être développés en SFS

                        2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 0 1 0 1 0 00 2 1 11 2 01 1 10 00 2 1 , , , , , , x x y x x y x x y x x y x y x y x y x y y x x y x y x y y x x y OO OE EO EE O E O E                                  1 2 2 0 0 2 2 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 00 2 1 sin cos sin cos , n n O n n E n m m O m m E m SFS x Y x Y x Y x Y Y x x y                1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 sin sin cos sin sin cos cos cos m n n m OO mn n m OE mn n m EO mn n m EE mn x x Y x x Y x x Y x x Y                                 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 0 1 0 1 0 00 2 1 11 2 01 1 10 00 2 1 , , , , , , x x a x x a x x a x x a x a x a x a x a a x x a x a x a a x x a OO OE EO EE O E O E                                  1 2 2 0 0 2 2 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 00 2 1 sin cos sin cos , n n O n n E n m m O m m E m SFS x A x A x A x A A x x a                1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 sin sin cos sin sin cos cos cos m n n m OO mn n m OE mn n m EO mn n m EE mn x x A x x A x x A x x A        
Tous les composants de ces développements, sauf y00 et a00 ont des valeurs moyennes nulles.

Par conséquent, le développement en SFS du produit prendra la forme:

                                               1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 0 0 2 2 0 0 1 1 1 0 0 1
           
Les termes du développement en des fonctions élémentaires du produit sont:

                             OO OE EO EE O E O E OO OE EO EE O E O E a a a a a a a a a y y y y y y y y y x x a x x y 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 2 1 2 1 , ,                       O O E O O E E E O O E O O E E E O O E E O O E E a y a
                     O O O O OO OO E O E O OE OE O E O E EO EO E E E E EE
                     O OO E OO O OE E OE O EO E EO O EE E EE O OO E OO O OE E OE O EO E EO O EE E
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                      O OO E OO O OE E OE O EO E EO O EE E EE O OO E OO O OE E OE O EO E EO O EE
                
Par conséquent, le développement en SFS du produit sera la somme des développements de ces 81 fonctions élémentaires:

                 1 1 1 0 0 00 0 0 00 1 1 0 0 00 0 0 00 00 00 2 1 sin cos , m m O m O m m E m E m SFS x Y A A Y x Y A A Y A Y x x P               1 2 2 0 0 00 0 0 00 2 2 0 0 00 0 0 00 sin cos n n O n O n n E n E n x Y A A Y x Y A A Y                                                                                                                                                              1 2 2 0 0 1 2 2 0 0 1 2 2 0 0 1 2 2 0 0 1 2 2 0 0 1 2 2 0 0 1 2 2 0 0 1 2 2 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 sin sin cos sin sin cos cos cos sin sin cos sin sin cos cos cos n n O n n n O n n n E n n n O n n n O n n n E n n n E n n n E n m m O m m m O m m m E m m m O m m m O m m m E m m m E m m m E m x A x Y x A x Y x A x Y x A x Y x A x Y x A x Y x A x Y x A x Y                                         2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 sin cos cos cos x x Y A A Y Y A A Y x x Y A A Y Y A A Y n m m n O n E m O n E m EO mn EO mn n m m n E n E m E n E m EE mn EE mn                             2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 sin sin cos sin x x Y A A Y Y A A Y x x Y A A Y Y A A Y n m m n O n O m O n O m OO mn OO mn n m m n E n O m E n O m OE mn OE mn                                                                                           1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 sin sin cos cos sin cos sin cos cos cos cos cos m m O m m n n m EO mn m m E m m n n m EO mn m m O m m n n m EE mn m m E m m n n m EE mn x A x x Y x A x x Y x A x x Y x A x x Y                                                                                                   1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 1 1 1 0 0 1 1
x A x x Y x A x x Y x A x x Y x A x x Y                                                                                                   1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 sin sin cos cos sin cos sin cos cos cos cos cos n n O n m n n m EO mn n n E n m n n m EO mn n n O n m n n m EE mn n n E n m n n m EE mn x A x x Y x A x x Y x A x x Y x A x x Y                                                                                                   1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 sin sin sin cos sin sin sin cos sin cos cos sin n n O n m n n m OO mn n n E n m n n m OO mn n n O n m n n m OE mn n n E n m n n m OE mn x A x x Y x A x x Y x A x x Y x A x x Y                                                                                                   1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 sin sin cos cos sin cos sin cos cos cos cos cos m m O m m n n m EO mn m m E m m n n m EO mn m m O m m n n m EE mn m m E m m n n m EE mn x Y x x A x Y x x A x Y x x A x Y x x A                                                        1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 sin cos sin cos cos sin m m O m m n n m OE mn m m E m m n n m OE mn x Y x x A x Y x x A                                                  1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 sin sin sin cos sin sin m m O m m n n m OO mn m m E m m n n m OO mn x Y x x A x Y x x A                                                                                             1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2
x Y x x A x Y x x A x Y x x A x Y x x A                                                                                                   1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 sin sin sin cos sin sin sin cos sin cos cos sin n n O n m n n m OO mn n n E n m n n m OO mn n n O n m n n m OE mn n n E n m n n m OE mn x Y x x A x Y x x A x Y x x A x Y x x A                                                                                                           1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2
x x A x x Y x x A x x Y x x A x x Y x x A x x Y                                                                                                               1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1
x x A x x Y x x A x x Y x x A x x Y x x A x x Y                                                                                                               1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2
x x A x x Y x x A x x Y x x A x x Y x x A x x Y                                                                                                              1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2
x x A x x Y x x A x x Y x x A x x Y x x A x x Y                
Dans ces développements apparaissent plusieurs types de composants: fonctions simples, produits entre deux fonctions monovariables d'une même variable, produits entre deux fonctions monovariables à différentes variables, produits entre une fonction monovariable et une autre à deux variables, produits entre deux fonctions à deux variables. Les produits entre les fonctions monovariables d'une même variable ont été traités dans un article précédent [2]. En utilisant cette méthodologie, appliquée à certaines fonctions élémentaires initialement considérées comme monovariables, peuvent être déduites des formules pour tous les types de produits de fonctions. Les calculs détaillés peuvent être suivis dans l'annexe (dernière section). Adequate à ces calculs, on obtient:

    SFS x x P 2 1 ,              1 1 1 0 0 00 0 0 00 1 1 0 0 00 0 0 00 00 00 sin cos m m O m O m m E m E m x Y A A Y x Y A A Y A Y               1 2 2 0 0 00 0 0 00 2 2 0 0 00 0 0 00 sin cos n n O n O n n E n E n x Y A A Y x Y A A Y                                                                                           1 1 1 1 0 0 . 0 0 . 0 0 . 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 . 0 0 . 0 0 . 1 1 1 1 0 0 . 0 0 . 0 0 . 1 1 1 1 0 0 . 0 0 . 0 0 . 1 0 0 0 0 cos sgn 2 1 2 1 sin 2 1 sin sgn 2 1 cos 2 1 2 1 m m l O m l O m l O l m O m O m m m l E m l E m l O l m m l O m l O m l E l m m l E m l E m l E l m E m E m x A m l A Y A Y x A A Y x A m l A Y x A A Y A Y                                                                                             1 2 2 1 0 . 0 0 . 0 0 . 0 1 0 . 0 0 . 0 1 2 2 1 0 . 0 0 . 0 0 . 0 1 2 2 1 0 . 0 0 . 0 0 . 0 1 2 2 1 0 . 0 0 . 0 0 . 0 1 0 0 0 0 cos sgn 2 1 2 1 sin 2 1 sin sgn 2 1 cos 2 1 2 1 n n l O n l O n l O l n O n O n n n l E n l E n l O l n n l O n l O n l E l n n l E n l E n l E l n E n E n x A n l A Y A Y x A A Y x A n l A Y x A A Y A Y                 2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 sin cos x x Y A A Y Y A A Y n m m n O n E m O n E m EO mn EO mn               2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 cos cos x x Y A A Y Y A A Y n m m n E n E m E n E m EE mn EE mn               2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 sin sin x x Y A A Y Y A A Y n m m n O n O m O n O m OO mn OO mn               2 2 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 cos sin x x Y A A Y Y A A Y n m m n E n O m E n O m OE mn OE mn                                      2 2 1 1 1 1 0 0 . 0 0 . 1 . 2 2 1 1 0 0 cos cos 2 1 cos 2 1 x x A A Y x A Y n n m m E m l E m l l EE n l n n m E m EE mn                            2 2 1 1 1 1 1 0 0 . 0 0 . . cos sin sgn 2 1 x x A m l A Y n n m m l O m l O m l EE n l                                      2 2 1 1 1 1 0 0 . 0 0 . 1 . 2 2 1 1 0 0 sin cos 2 1 sin 2 1 x x A A Y x A Y n n m m E m l E m l l EO n l n n m E m EO mn                             1 2 2 1 1 1 0 0 . 0 0 . 1 . sin sin sgn 2 1 n n m m O m l O m l l EO n l x x A m l A Y                         2 2 1 1 1 1 1 0 0 . 0 0 . . cos sin 2 1 x x A A Y n n m m l E m l E m l OE n l                                         2 2 1 1 1 1 0 0 . 0 0 . 1 . 2 2 1 1 0 0 cos cos sgn 2 1 cos x x A m l A Y x A Y n n m m O m l O m l l OE n l n n m O m OE mn                          2 2 1 1 1 1 1 0 0 . 0 0 . . sin sin x x A A Y n n m m l E m l E m l OO n l                                         2 2 1 1 1 1 0 0 . 0 0 . 1 . 2 2 1 1 0 0 sin cos sgn 2 1 sin x x A m l A Y x A Y n n m m O m l O m l l OO n l n n m O m OO mn                                       2 2 1 1 1 1 1 1 0 . 0 0 . 0 . 1 1 1 0 0 cos cos 2 1 cos x x A A Y x A Y n m n m m l E n l E n l EE l m m n E n EE mn                          2 2 1 1 1 1 1 0 . 0 0 . 0 . sin cos x x A A Y n n m m l O n l O n l EE l m                         2 2 1 1 1 1 1 0 . 0 0 . 0 . sin cos x x A A Y n n m m l E n l E n l EO l m                                         1 1 1 2 2 1 1 1 0 . 0 0 . 0 . 1 1 1 0 0 cos cos sgn 2 1 cos m n m n m l O n l O n l EO l m m n O n EO mn x x A n l A Y x A Y                                       1 1 1 2 2 1 1 1 0 . 0 0 . 0 . 1 1 1 0 0 cos sin 2 1 sin m n m n m l E n l E n l OE l m m n E n OE mn x x A A Y x A Y                          2 2 1 1 1 1 1 0 . 0 0 . 0 . sin sin x x A A Y n m n m l O n l O n l OE l m                         1 1 2 2 1 1 1 0 . 0 0 . 0 . sin sin n m n m l E n l E n l OO l m x x A A Y                                          1 1 1 2 2 1 1 1 0 . 0 0 . 0 0 . 0 . 1 1 1 0 0 cos sin sgn 2 1 sin m n m n m l O n l O n l O n l OO l m m n O n OO mn x x A A n l A Y x A Y                                       2 2 1 1 1 1 1 1 . . 0 0 . 2 2 1 0 0 cos cos 2 1 cos x x A A Y x A Y n m m n m l EE n m l EE n m l E l n n EE mn E m      2 2 1 1 1 1 1 . . 0 0 . cos sin x x A A Y n n m m l EE n m l EE n m l O l                                                               2 2 1 1 1 1 1 1 . . 0 0 . 2 2 1 0 0 sin cos 2 1 sin x x A A Y x A Y n m n n m l EO n m l EO n m l E l n m EO mn E m                                2 2 1 1 1 1 1 . . 0 0 . cos sin x x A A Y n n m m l EO n m l EO n m l O l                            2 2 1 1 1 1 1 . . 0 0 . cos sin sgn x x A m l A Y n n m m l OE n m l OE n m l E l                                         1 1 1 2 2 1 1 1 . . 0 0 . 2 2 1 0 0 cos sin sgn 2 1 cos n n m n m l OE n m l OE n m l O l n m OE mn O m x x A m l A Y x A Y                                   2 2 1 1 1 1 1 . . 0 0 . sin sin sgn x x A m l A Y n n m m l OO n m l OO n m l E l                                               2 2 1 1 1 1 . . 1 0 0 . 2 2 1 1 0 0 sin cos sgn 2 1 sin x x A m l A Y x A Y n n m m OO n m l OO n m l l O l n n m OO mn O m                                      2 2 1 1 1 1 1 1 . . 0 . 0 1 1 1 0 0 cos cos 2 1 cos x x A A Y x A Y n m m m n l EE n l m EE n l m E l m n EE mn E n      2 2 1 1 1 1 1 . . 0 . 0 sin cos x x A A Y n m m n l EE n l m EE n l m O l                                             1 1 2 2 1 1 1 . . 0 . 0 sin cos sgn m n n m l EO n l m EO n l m E l x x A n l A Y                                        1 1 1 2 2 1 1 1 . 0 . 0 . 0 1 1 1 0 0 cos cos sgn 2 1 cos m m n n m l EO n l EO n l m O l m EO mn n O n x x Am n l A Y x A Y                                      2 2 1 1 1 1 1 1 . . 0 . 0 1 1 1 0 0 cos sin 2 1 sin x x A A Y x A Y n m m m n l OE n l m OE n l m E l m n OE mn E n                         2 2 1 1 1 1 1 . . 0 . 0 sin sin x x A A Y n m n m l OE n l m OE n l m O l                           2 2 1 1 1 1 1 . . 0 . 0 sin sin sgn x x A n l A Y n m n m l OO n l m OO n l m E l                                        1 1 1 2 2 1 1 1 . . 0 . 0 1 1 1 0 0 cos sin sgn 2 1 sin m m n n m l OO n l m OO n l m O l m OO mn n O n x x A n l A Y x A Y                                                                               2 2 1 1 1 1 . . 1 1 . . 2 2 1 1 1 . . . 1 1 1 1 1 . . . 1 1 . . cos cos cos 4 1 cos 4 1 x x A A Y Y x A A Y x A A Y A Y n n m m EE n l r EE n l r l r EE l m r EE l m r n n m l EE m l m EE n l m EE l m m m n l EE n m l EE n m l EE n l n m EE n m EE n m                                                             2 2 1 1 1 1 . . 1 1 . . 2 1 1 . . 1 .
sin cos sgn sin sgn

x x A n l A Y Y x A n l A Y n n m m EO n l r EO n l r l r EE l m r EE l m r n n m EO n l m EO n l m l EE l m                                                     2 2 1 1 1 1 . . 1 1 . . 2 1 1 1 . . . sin cos sin x x A A Y Y x A A Y n n m m EE n l r EE n l r l r EO l m r EO l m r n n m l EE n l m EE n l m EO l m                                                                                              1 1 . . 2 2 1 1 1 1 1 1 . . . . 2 2 1 1 1 . . . 1 1 1 1 1 . . . 1 1 . . 4 1 cos cos sgn 4 1 cos sgn 4 1 cos 4 1 4 1 n m OE n m OE n m n n m m l r EO n l r EO n l r EO l m r EO l m r n n m l EO n l m EO n l m EO l m m m n l EO n m l EO n m l EO n l n m EO n m EO n m A Y x x A n l A Y Y x A n l A Y x A A Y A Y                                                                                2 2 1 1 1 1 1 . . 1 . . 2 2 1 1 1 . . . 1 1 1 1 1 . . . cos cos sgn cos 4 1 cos sgn x x A A Y m r Y x A A Y x A m l A Y n n m m l OE n l r OE n l r r OE l m r OE l m r n n m l OE n l m OE n l m OE l m m m n l OE n m l OE n m l OE n l                                                                2 2 1 1 1 1 . .
                                                              1 1 . . 2 2 1 1 1 1 . . 1 1 . 2 2 1 1 . . 1 . 4 1 sin cos sgn sin n m OO n m OO n m n n m m OE n l r OE n l r l r OO l m r OO l m r n n m OE n l m OE n l m l OO l m A Y x x A A Y m r Y x A A Y                                                                                      2 2 1 1 1 1 1 1 . . . . 2 2 1 1 1 . . . 1 1 1 1 1 . . . cos cos sgn sgn 4 1 cos sgn 4 1 cos sgn 4 1 x x A n l A Y m r Y x A n l A Y x A m l A Y n n m m l r OO n l r OO n l r OO l m r OO l m r n n m l OO n l m OO n l m OO l m m m n l OO n m l OO n m l OO n l                                                         2 2 1 1 1 1 1 1 . . . . 1 1 1 1 1 . . . cos sin sin sgn x x A A Y Y x A n l A Y n n m m l r OE n l r OE n l r EE l m r EE l m r m n m l OE n l m OE n l m EE l m                                    2 2 1 1 1 1 1 . . 1 . . sin sin sgn x x A n l A Y Y n n m m l OO n l r OO n l r r EE l m r EE l m r                               2 2 1 1 1 1 1 . . 1 . . sin sin x x A A Y Y n n m m l OE n l r OE n l r r EO l m r EO l m r                                                           2 2 1 1 1 1 1 1 . . . . 1 1 1 1 1 . . . cos sin sgn sin sgn x x A n l A Y Y x A m l A Y n n m m l r OO n l r OO n l r EO l m r EO l m r m m n l OO n m l OO n m l EO n l                                                         2 2 1 1 1 1 1 . . 1 . . 1 1 1 1 1 .
. . cos sin sgn sin x x A A Y m r Y x A A Y n n m l m EE n l r EE n l r r OE l m r OE l m r n m m l EE n m l EE n m l OE n l                                       2 2 1 1 1 1 1 . . 1 . sin sin sgn sgn x x A n l A Y m r Y n n m m l EO n l r EO n l r r OE l m r OE l m r                                  2 2 1 1 1 1 . . 1 1 . sin sin sgn x x A A Y m r Y n n m m EE n l r EE n l r l r OO l m r OO l m r                                                            2 2 1 1 1 1 1 1 . . . . 1 1 1 1 1 . . . cos sin sgn sgn sin x x A n l A Y m r Y x A A Y n n m m l r EO n l r EO n l r OO l m r OO l m r n m m l EO n m l EO n m l OO n l   
Après avoir réorganisé et regroupé les termes d'un même type, on retrouve les expressions des coefficients du développement en série du produit:

00 P =  00 00 A Y    1 0 0 0 0 2 1 m E m E m A Y    1 0 0 0 0 2 1 m O m O m A Y    1 0 0 0 0 2 1 n E n E n A Y    1 0 . 0 0 . 0 2 1 n O n O n A Y        1 1 . . n m EE n m EE n m A Y         1 1 . . 4 1 n m OO n m OO n m A Y       1 1 . . 4 1 n m EO n m EO n m A Y        1 1 . . 4 1 n m OE n m OE n m A Y   00 00 A Y E0 m.0 P     0 0 00 0 0 00 E m E m Y A A Y                            1 0 0 . 0 0 . 0 0 . 1 0 0 . 0 0 . 0 0 . sgn 2 1 l O m l O m l O l l E m l E m l E l A m l A Y A A Y                        EO mn n O n n EE mn E n n O n EO mn n E n EE mn A Y A Y A Y A Y 1 0 0 1 0 . 0 1 0 0 1 0 0                  1 1 . . . 4 1 n l EE n m l EE n m l EE n l A A Y                                              1 1 . . . 1 1 . . . 1 1 . . . sgn sgn 4 1 n l OO n m l OO n m l OO n l n l OE n m l OE n m l OE n l n l EO n m l EO n m l EO n l A m l A Y A m l A Y A A Y 0E 0.n P                                 1 0 . 0 0 . 0 0 . 0 1 0 . 0 0 . 0 0 . 0 0 0 00 0 0 00 sgn 2 1 l O n l O n l O l l E n l E n l E l E n E n A n l A Y A A Y Y A A Y                                                                                     1 1 . . . 1 1 . . . 1 1 . . . 1 1 . . . 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 sgn sgn 4 1 4 1 2 1 m l OO n l m OO n l m OO l m m l OE n l m OE n l m OE l m m l EO n l m EO n l m EO l m m l EE m l m EE n l m EE l m m OE mn O m m EE mn E m m O m OE mn m E m EE mn A n l A Y A A Y A n l A Y A A Y A Y A Y A Y A Y O0 m.0 P                                 1 0 0 . 0 0 . 0 0 . 1 0 0 . 0 0 . 0 0 . 0 0 00 0 0 00 sgn 2 1 l E m l E m l O l l O m l O m l E l O m O m A A Y A m l A Y Y A A Y                                                                                      1 1 . . . 1 1 . . . 1 1 . . . 1 1 . . . 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 sgn 4 1 sgn 4 1 2 1 n l EO n m l EO n m l OO n l n l EE n m l EE n m l OE n l n l OO n m l OO n m l EO n l n l OE n l m OE n l m EE l m OO mn n O n n OE mn E n n O n OO mn n E n OE mn A A Y A A Y A m l A Y A n l A Y A Y A Y A Y A Y 0O 0.n P                                 1 0 . 0 0 . 0 0 . 0 1 0 . 0 0 . 0 0 . 0 0 0 00 0 0 00 sgn 2 1 l E n l E n l O l l O n l O n l E l O n O n A A Y A n l A Y Y A A Y                                                                                      1 . . 1 . 1 . . 1 . 1 . . 1 . 1 1 .
. . 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 sgn sgn 4 1 4 1 2 1 m OE n l m OE n l m l OO l m m OO n l m OO n l m l OE l m m EO n l m EO n l m l EE l m m l EE n l m EE n l m EO l m m EO mn E m m OO mn O m m O m OO mn m E m EO mn A A Y A n l A Y A n l A Y A A Y A Y A Y A Y A Y EE mn P                                   0 0 . 0 0 . 1 . 0 0 . 0 0 . 1 . 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 sgn 2 1 O m l O m l l OE n l E m l E m l l EE n l E n E m E n E m EE mn EE mn A m l A Y A A Y Y A A Y Y A A Y                                      1 . . 0 0 . 1 0 . 0 0 . 0 . 1 0 . 0 0 . 0 . sgn 2 1 l EE n m l EE n m l E l l O n l O n l EO l m l E n l E n l EE l m A A Y A n l A Y A A Y                                                                                  1 1 . . . . . . 1 1 .
O l m l EE n l m EE n l m E l l OE n m l OE n m l O l A n l A Y Y A A Y Y A n l A Y A A Y A m l A Y                                               1 1 . . . . 1 . . 1 . . sgn sgn sgn 4 1 l r OO n l r OO n l r OO l m r OO l m r l OE n l r OE n l r r OE l m r OE l m r A n l A Y m r Y A A Y m r Y EO mn P                                   0 0 . 0 0 . 1 . 0 0 . 0 0 . 1 . 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 sgn 2 1 O m l O m l l OO n l E m l E m l l EO n l O n E m O n E m EO mn EO mn A m l A Y A A Y Y A A Y Y A A Y                                                                                                                                                                  OE n l r OE n l r l r OO l m r OO l m r OO n l r OO n l r l r OE l m r OE l m r EE n l r EE n l r l r EO l m r EO l m r EO n l r EO n l r l r EE l m r EE l m r l EO n l m EO n l m E l l EE n l m EE n l m O l OO n m l OO n m l l O l l EO n m l EO n m l E l l E n l E n l EO l m l O n l O n l EE l m A A Y m r Y A n l A Y m r Y A A Y Y A n l A Y Y A n l A Y A A Y A m l A Y A A Y A A Y A A Y . .
                                  1 0 0 . 0 0 . . 1 0 0 . 0 0 . . 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 sgn 2 1 l E m l E m l OE n l l O m l O m l EE n l E n O m E n O m OE mn OE mn A A Y A m l A Y Y A A Y Y A A Y                                                                              
1 l OE n l OE n l E l m l OO n l OO n l O l m l OE n m l OE n m l E l l EE n m l EE n m l O l l O n l O n l O n l OO l m l E n l E n l OE l m A A Y A n l A Y A m l A Y A A Y A A n l A Y A A Y                                                                                        
A n l A Y m r Y A A Y m r Y A n l A Y Y A A Y Y OO mn P                                   1 0 0 . 0 0 . . 0 0 . 0 0 . 1 . 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 sgn 2 1 l E m l E m l OO n l O m l O m l l EO n l O n O m O n O m OO mn OO mn A A Y A m l A Y Y A A Y Y A A Y                                                                                                                                                                   1
O l l E n l E n l OO l m l O n l O n l OE l m A n l A Y m r Y A A Y m r Y A A Y Y A n l A Y Y A n l A Y A A Y A m l A Y A A Y A A Y A A Y
Les coefficients mn P (où m, n=0, 1, 2, ..., ∞) du développement en série du produit des deux fonctions contiennent chacun, des expressions d'une ou plusieurs séries numériques infinies. Si les coefficients du développement de chacun des termes du produit sont connus, dans certains cas particuliers la limite de ces séries peut être déterminée exactement. Dans les autres cas, la limite est calculée avec une approximation en fonction du nombre de termes calculés pour les sommes partiels. Compte tenu du nombre assez important des coefficients et des séries qui apparaissent dans leurs expressions (notamment dans le cas des fonctions à grand nombre de variables), un volume important de calculs est nécessaire, ce qui nécessite l'utilisation de la technologie de calcul moderne.

Outre leur utilité pour résoudre les PDE, les formules précédemment déterminées peuvent être utiles dans l'étude des séries numériques et des séries de fonctions. Si l'expression d'un coefficient mn P du développement en série des certaines fonctions, calculées en appliquant les formules (4.a) (ou celles correspondant à un plus grand nombre des variables) est comparée à l'expression du même coefficient déterminé sur la base des formules déduites dans cette section, peut être établi une relation d'égalité entre l'intégrale fourni par (4.a) et la série correspondante. De plus, nous avons constaté que le même coefficient peut être exprimé de plusieurs façons, selon l'ordre dans lequel ses composantes sont additionnées. Ces équations sont également valides lorsque l'ensemble de ces variables acquiert certaines valeurs particulières.

Dans le cas d'une fonction de N=3 variables, le nombre de types de coefficients du développement en série SFS est de 27 (N 3

), et le produit de leurs développements en série est composé de 729 (N 6

) fonctions élémentaires, donc les expressions mathématiques des coefficients peuvent contenir un nombre considérable des séries numériques. Toutefois, en présence d'un algorithme de calcul correctement conçu, ces problèmes sont facilement surmontés par un ordinateur aux performances habituelles.

Conclusions

Une équation PDEs est constituée d'une série de termes de la forme y(x), y n (x), ∂y(x)/∂xi, ∂ 2 y(x)/∂xi∂xj, ∂ n y(x)/∂xi...∂xj, ∂ -n y(x)/∂xi...∂xj, y n (x)∂ n y(x)/∂xi...∂xj, et de leurs produits avec d'autres fonctions multivariables p(x), q(x), ..., où x est une d-uplet, et xi, xj, sont ses variables. Le remplacement de ces termes, lorsqu'ils apparaissent dans une équation différentielle, par leur développement en série de Fourier, ou par leurs sommes de Fourier SN lesquelles les approximent (développement contenant des coefficients de Fourier mn P inconnus de la fonction y(x)), conduit à un système avec 2N+1 (N→∞) équations algébriques. En le résolvant, nous pouvons trouvés les coefficients mn P , et de cette manière, la fonction inconnue (ou des fonctions, s'il s'agit d'un système d'équations).

Comme pour la méthode de développement en séries entières, les opérations de dérivation et d'intégration effectuées sur les développements en série, ainsi que le produit entre les fonctions multivariables sont transformés en opérations algébriques effectuées sur les coefficients du développement. Par conséquent, la résolution des PDE se transforme en résolution d'équations algébriques. De ce point de vue, la méthode de résolution par détermination des coefficients de développement en série sinusoïdale est plus avantageuse, en raison de la facilité avec laquelle les coefficients du développement peuvent être calculés et en raison de la vitesse de convergence élevée (ce qui les rend idéales pour les méthodes d'approximation numérique).

Cette méthode de résolution d'équations différentielles ordinaires, ou avec des dérivées partielles, en déterminant les coefficients du développement en séries sinusoïdales des fonctions inconnues peut devenir une méthode extrêmement efficace, applicable à tous les types d'équations différentielles et intégro-différentielles, linéaires et non linéaires, aux équations aux dérivées partielles linéaires et non linéaires, aux systèmes de telles équations, quels que soient leur ordre et la complexité des leurs coefficients, en particulier pour les situations rencontrées en physique et en génie. Il s'ensuit que cette méthode sera étudiée en continuation, en termes de conditions d'application et de conditionnalités que doivent satisfaire les fonctions impliquées aux limites du domaine de définition. En outre, les implications qui apparaissent en le comparant avec d'autres méthodes de résolution des PDE doivent être étudiées.

ANNEX. Summary of calculation 1. The coefficients of the product of two monovariable functions y(x)a(x)

Consider the functions y(x) and a(x) with the following SFS expansions:

  L x n B L x n A y y y y x y n n n n O E   sin cos 1 1 0 0             and   L x n D L x n C a a a a x a n n n n O E   sin cos 1 1 0 0             ,
where the mean values yE0 and aE0 are zero. The coefficients of the SFS expansion of the product ya are:

    L x n Q L x n P P a y a y y a a y p y a y y a a y a y ya n n n n SFS E O O E O O O O E E E E SFS   sin cos ) ( ) ( 1 1 0 0 0 0 0 0 0                    Here:                                                          L L m m l l L L m m l l L L O O L L E E L L SFS dx L x m D L x l B L dx L x m C L x l A L a y dx a y L dx a y L a y dx ya L P 1 1 1 1 0 0 0 0 0 sin sin 2 1 cos cos 2 1 2 1 2 1 2 1                                         1 1 0 0 1 2 1 2 0 0 2 1 sin 2 1 cos 2 1 l l l l l l l l l l l l D B C A a y L x l D B L L x l C A L a y   .                                                                             L L m m l l L L m m l l L L l l L L m m L L O O E E E E n dx L x n L x m D L x l B L dx L x n L x m C L x l A L dx L x n L x l A L a dx L x n L x m C L y dx L x n a y a y y a a y L P            cos sin sin 1 cos cos cos 1 cos cos cos cos cos 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 →                        1 1 0 0 sgn 2 1 2 1 l n l n l l l n l n l l n n n D n l D B C C A A a C y P dx L x n L x m C L x l B L dx L x n L x m D L x l A L dx L x n L x l B L a dx L x n L x m D L y dx L x n a y a y y a a y L Q L L n m l l L L n m l l L L l l L L m m L L e o o e o o n            sin cos sin 1 sin sin cos 1 sin sin sin sin sin ) ( 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0                                                                           →                        1 1 0 0 2 1 sgn 2 1 l n l n l l l n l n l l n n n C C B D n l D A B a D y Q
where: A0= B0= C0= D0=0. Therefore:

                    1 1 0 0 0 2 1 2 1 l l l l l l L L SFS D B C A p y dx yp L P                        1 1 0 0 sgn 2 1 2 1 l l n l n l l l n l n l n n n D n l D B C C A A p C y P                        1 1 0 0 2 1 sgn 2 1 l l n l n l l l n l n l n n n C C B D n l D A B p D y Q
We used the following intermediate calculations:

                                                                                                                         1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 cos 2
C C A L C A C A C A L dx L x n m C L x n m C C L x n m C L x l A dx L x n m L x n m C L x l A dx L x n L x m C L x l A          
where Cn-l=0=0. Obviously:

                 1 1 l n l n l l l n l n l l A A C C C A                                                                                                                             1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 sgn 2 2
D n l D B L D B D B D B L L x n m D L x n m D D L x n m D L x l B dx L x n m L x n m D L x l B dx L x n L x m D L x l B          
where Dn-l=0=0. In the same way:

                       1 1 sgn sgn l n l n l l l n l n l l B n l B D D n l D B                                                                                                                             1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 sgn 2 2
D A D A D A L L x n m D L x n m D D L x m n D L x l A dx L x n m L x n m D L x l A dx L x n L x m D L x l A          
where Dn-l=0=0. In the same way:

                     1 1 sgn l n l n l l l n l n l l A A D D n l D A                                                                                                                         1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
C C B L C B C B C B L L x n m C L x m n C C L x m n C L x l B dx L x m n L x m n C L x l B dx L x n L x m C L x l B          
where Cn-l=0=0. In the same way:

                     1 1 sgn l n l n l l l n l n l l B n l B C C C B

The product of two monovariable functions depending on the same variable: y(x1)a(x1)

Consider the functions   with the following SFS expansions:

                   1 2 2 0 0 2 2 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 00 2 1 sin cos sin cos , n n O n n E n m m O m m E m SFS x Y x Y x Y x Y Y x x y                1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2
x x Y x x Y x x Y x x Y                            1 2 2 0 0 2 2 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 00 2 1 sin cos sin cos , n n O n n E n m m O m m E m SFS x A x A x A x A A x x a                1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2
x x A x x A x x A x x A        
Among the elementary functions which are the terms of the product of these two expressions, there are also products between two monovariable functions depending on the same variable, of the form y(x1)a(x1), analyzed in the previous paragraph:

                                        1 1 1 1 0 0 . 0 0 . 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 cos 2 1 2 1 cos cos m m l E m l E m l E l m E m E m m m E m m m E m x A A Y A Y x A x Y                                           1 1 1 1 0 0 . 0 0 . 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 sin sgn 2 1 sin cos m m l O m l O m l E l m m O m m m E m x A m l A Y x A x Y                                         1 1 1 1 0 0 . 0 0 . 0 0 . 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 sin 2 1 cos sin m m l E m l E m l O l m m E m m m O m x A A Y x A x Y                                               1 1 1 1 0 0 . 0 0 . 0 0 . 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 cos sgn 2 1 2 1 sin sin m m l O m l O m l O l m O m O m m m O m m m O m x A m l A Y A Y x A x Y                                            1 2 2 1 0 . 0 0 . 0 0 . 0 1 0 0 0 0 1 2 2 0 0 1 2 2 0 0 cos 2 1 2 1 cos cos n n l E n l E n l E l n E n E n n n E n n n E n x A A Y A Y x A x Y                                           1 2 2 1 0 . 0 0 . 0 0 . 0 1 2 2 0 0 1 2 2 0 0 sin sgn 2 1 sin cos n n l O n l O n l E l n n O n n n E n x A n l A Y x A x Y                                         1 2 2 1 0 . 0 0 . 0 0 . 0 1 2 2 0 0 1 2 2 0 0 sin 2 1 cos sin n n l E n l E n l O l n n E n n n O n x A A Y x A x Y                                              
x A n l A Y A Y x A x Y   

The product of a monovariable function with a two-variable function: y(x1, x2)a(x1)

If we treat the function y(x1, x2) as an x1-monovariable function y(x1,C), we can again apply the deduced formulas for the product of the monovariable functions:

                                                                        2 2 1 1 1 1 0 0 . 0 0 . 1 . 0 0 2 2 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 cos cos 2 1 2 1 cos cos cos cos cos cos x x A A Y A Y x x A x Y x A x x Y n n m m E m l E m l l EE n l E m EE mn n n m m E m m m EE mn m m E m m n n m EE mn           2 2 1 1 1 1 0 0 . 0 0 . 1 . 2 2 1 1 0 0 cos cos 2 1 cos 2 1 x x A A Y x A Y n n m m E m l E m l l EE n l n n m E m EE mn                                             2 2 1 1 1 1 1 0 0 . 0 0 . . 2 2 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 cos sin sgn 2 1 cos sin cos sin cos cos x x A m l A Y x x A x Y x A x x Y n n m m l O m l O m l EE n l n n m m O m m m EE mn m m O m m n n m EE mn                                                                                                                                                            2 2 1 1 1 1 0 0 . 0 0 . 1 . 0 0 2 2 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 sin cos 2 1 2 1 sin cos cos cos sin cos x x A A Y A Y x x A x Y x A x x Y n n m m E m l E m l l EO n l E m EO mn n n m m E m m m EO mn m m E m m n n m EO mn           2 2 1 1 1 1 0 0 . 0 0 . 1 . 2 2 1 1 0 0 sin cos 2 1 sin 2 1 x x A A Y x A Y n n m m E m l E m l l EO n l n n m E m EO mn                                                                                                                   1 2 2 1 1 1 0 0 . 0 0 . 1 . 1 2 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 sin sin sgn 2 1 sin sin cos sin sin cos n n m m O m l O m l l EO n l n n m m O m m m EO mn m m O m m n n m EO mn x x A m l A Y x x A x Y x A x x Y           2 2 1 1 1 1 1 0 0 . 0 0 . . 2 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 cos sin 2 1 cos cos sin cos cos sin x x A A Y x x A x Y x A x x Y n n m m l E m l E m l OE n l n n m m E m m m OE mn m m E m m n n m OE mn                                                                                                                                                                        2 2 1 1 1 1 1 0 0 . 0 0 . . 1 0 0 2 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 cos cos sgn 2 1 2 1 cos sin sin sin cos sin x x A m l A Y A Y x x A x Y x A x x Y n n m m l O m l O m l OE n l m O m OE mn n n m m O m m m OE mn m m O m m n n m OE mn             2 2 1 1 1 1 0 0 . 0 0 . 1 . 2 2 1 1 0 0 cos cos sgn 2 1 cos 2 1 x x A m l A Y x A Y n n m m O m l O m l l OE n l n n m O m OE mn                                          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x x A n l A Y x A Y x x A n l A Y A Y x x A x Y x A x x Y                2
x A A Y x A Y x x Y Y A Y A x x Y x A x Y x x A n m n n m l EE n m l EE n m l E l n m EE mn E m n n m m l E m l E m l EE n l m E m EE mn n n m m E m m m EE mn m m E m m n n m EE mn                                                                                                                                
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mn E m                                          2 2 1 1 1 1 1 . . 0 0 . 2 2 1 1 1 1 1 0 0 . 0 0 . . 2 2 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 sin sin 2 1 sin sin sgn 2 1 sin sin cos sin sin cos x x A A Y x x Y m l Y A x x Y x A x Y x x A n n m m l EO n m l EO n m l O l n n m m l O m l O m l EO n l n n m m O m m m EO mn m m O m m n n m EO mn                                                                                                                       2 2 1 1 1 1 1 . . 0 0 . 2 2 1 1 1 1 1 0 0 . 0 0 . . 2 2 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 cos sin sgn 2 1 cos sin 2 1 cos cos sin cos cos sin x x A m l A Y x x Y Y A x x Y x A x Y x x A n n m m l OE n m l OE n m l E l n n m m l E m l E m l OE n l n m n m E m n m OE mn n m E n m n n m OE mn                                                                                                                                                                                                                                          1 1 1 2 2 1 1 1 . . 0 0 . 2 2 1 0 0 1 2 2 1 1 1 1 1 0 0 . 0 0 . . 1 0 0 2 2 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 cos cos sgn 2 1 cos 2 1 cos cos sgn 2 1 2 1 cos sin sin sin cos sin n n m n m l OE n m l OE n m l O l n m OE mn O m n n m m l O m l O m l OE l n m O m OE mn n n m m O m m m OE mn m m O m m n n m OE mn x x A m l A Y x A Y x x Y m l Y A Y A x x Y x A x Y x x A                  2 2 1 1 1 1 1 . . 0 0 . 2 2 1 1 1 1 1 0 0 . 0 0 . . 2 2 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 sin sin sgn 2 1 sin sin 2 1 sin cos sin cos sin sin x x A m l A Y x x Y Y A x x Y x A x Y x x A n n m m l OO n m l OO n m l E l n n m m l E m l E m l OO n l n n m m E m m m OO mn m m E m m n n m OO mn                                                                                                                         2 2 1 1 1 1 . . 1 0 0 . 2 2 1 1 0 0 2 2 1 1 1 1 1 0 0 . 0 0 . . 1 0 0 2 2 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 sin cos sgn 2 1 sin 2 1 sin cos sgn 2 1 2 1 sin sin sin sin sin sin x x A m l A Y x A Y x x Y m l Y A Y A x x Y x A x Y x x A n n m m OO n m l OO n m l l O l n n m OO mn O m n n m m l O m l O m l OO n l m O m OO mn n n m m O m m m OO mn m m O m m n n m OO mn                                                                                                                                       2 2 1 1 1 1 1 1 . . 0 . 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 2 2 1 0 . 0 0 . 0 . 1 0 0 1 1 1 1 2 2 0 0 1 2 2 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 cos cos 2 1 cos 2 1 cos cos 2 1 2 1 cos cos cos cos cos cos x x A A Y x A Y x x Y Y A Y A x x Y x A x Y x x A n m m m n l EE n l m EE n l m E l m n EE mn E n m m n n l E n l E n l EE l m n E n EE mn m m n n E n n n EE mn n n E n m n n m EE mn                                                                                                                                                                                                   2 2 1 1 1 1 1 0 . 0 0 . 0 . 1 1 1 1 2 2 0 0 1 2 2 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 sin cos sgn 2 1 cos sin cos sin cos cos x x Y n l Y A x x Y x A x Y x x A n m m n l O n l O n l EE l m m m n n O n n n EE mn n n O n m n n m EE mn           2 2 1 1 1 1 1 . . 0 . 0 sin cos 2 1 x x A A Y n m m n l EE n l m EE n l m O l                                                                                             1 1 2 2 1 1 1 0 . 0 0 . 0 . 1 1 1 1 2 0 0 1 2 2 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 sin cos 2 1 cos cos sin cos sin cos m n n m l E n l E n l EO l m m m n n E n n n EO mn n n E n m n n m EO mn x x Y Y A x x Y x A x Y x x A                                1 1 2 2 1 1 1 . . 0 . 0 sin cos sgn 2 1 m n n m l EO n l m EO n l m E l x x A n l A Y                                                                                                                           1 1 1 2 2 1 1 1 . . 0 . 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 2 2 1 0 . 0 0 . 0 . 1 0 . 0 1 1 1 1 2 0 0 1 2 2 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 cos cos sgn 2 1 cos 2 1 cos cos sgn 2 1 2 1 cos sin sin sin sin cos m m n n m l EO n l m EO n l m O l m n EO mn O n m m n n l O n l O n l EO l m n O n EO mn m m n n O n n n EO mn n n O n m n n m EO mn x x A n l A Y x A Y x x Y n l Y A Y A x x Y x A x Y x x A                2 2 1 1 1 1 1 1 . . 0 . 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 2 2 1 0 . 0 0 . 0 . 1 0 0 1 1 1 1 2 2 0 0 1 2 2 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 cos sin 2 1 sin 2 1 sin cos 2 1 2 1 sin cos cos cos cos sin x x A A Y x A Y x x Y Y A Y A x x Y x A x Y x x A n m m m n l OE n l m OE n l m E l m n OE mn E n m m n n l E n l E n l OE l m n E n OE mn m m n n E m n n OE mn n n E n m n n m OE mn                                                                                                                                2 2 1 1 1 1 1 . . 0 . 0 1 1 1 1 2 2 1 0 . 0 0 . 0 . 1 1 1 1 2 0 0 1 2 2 1 2 2 0 0 1 1 2 2 1 1 sin sin 2 1 sin sin sgn 2 1 sin sin cos sin cos sin x x A A Y x x Y n l Y A x x Y x A x Y x x A n m n m l OE n l m OE n l m O l m m n n l O n l O n l OE l m m m n n O n n n OE mn n n O n m n n m OE mn                                                                                                                      
                                                                                                                                                                                      
x A n l A Y x A Y x x Y n l Y A Y A x x Y x A x Y x x A          

The product of two functions of two variables: y(x1, x2)a(x1, x2):

This problem (as well as those in which the given functions have a larger number of variables) can also be treated, started from the product of the x1-monovariable functions y(x1,C) and a(x1,C), a product of which the SFS expansion has coefficients in the form of a product between two functions, both dependent on the variable x2.

x A x Y x A A Y A Y x A x Y x x A x x Y E n E n                                  
                                                                                     
                                                                      
                                                                                                                                         
A Y x x A n l A x Y x A x Y x x A x x Y                      2 2 1 1 1 1 1 1 . . . .
                                                                                                              
                                                         
                                                                                         2 2 1 1 1 1 1 1 . . . .
                                                                                                                                                                       
                                                                                                               2 2 1 1 1 1 . . 1 1 1 .
                                                                                                                                  
                                                                                                             2 2 1 1 1 1 . . 1 1 1 1 .
                                                                             
                                                                                  
As we have already noticed at the coefficients of the product of the two monovariable functions, the expressions of these coefficients can have different forms, depending on the order in which the summation of the coefficients of the secondary harmonics is carried out. Here are some conclusive examples:

                                                                                                                                            1 1 . . 1 . . 1 1 . . .

  can be represented by a weighted sum of simple trigonometric functions:

  The coefficients of this development are calculated using Euler's formulas:

  the expansion in SFS of the xi-monovariable function f(C, xi):

)

  Since the function f(C, xi) is absolutely integrable, we can write: than the serie 1/m.

F

  .(the odd component with respect to the variable xi of the function f(x)), into the sum of the functionfO.i.c(x)= C i O F . -  i O L C f, •xi , continues on d R , and the function fO.i(x)=   , which contains a "Heaviside hyper-jump" in the plane xi=Li, between the "ridge-curves"

  être représenté par une somme pondérée de fonctions trigonométriques simples:

  le développement en SFS de la fonction xi-monovariable f(C, xi):

1 .

 1 ) Toute fonction f(x), continue par morceaux, de carré intégrable, définie sur un prisme d-dimensionnel f(x)→ prolongé sur tout l'espace R d , en prolongeant chaque fonction monovariable f(C, xi) sur tout l'axe R , le résultat étant une fonction 2Li-périodique par rapport à chaque variable xi [1]. Si la fonction f(x) est continue à l'intérieur du prisme par rapport à chacune des variables xi et si f(C, -Li)=f(C, Li), i=1,2, ..., d, la fonction f(x) est continue sur tout l'espace R d . Considérant que la dérivée partielle du premier ordre, par rapport à la variable xi, d'une fonction multivariable a les mêmes propriétés que toute dérivée du premier ordre d'une fonction monovariable f(C, xi), on peut prolongé sur ce type des fonctions les résultats obtenus pour les fonctions monovariables et pour leurs développements en SFS. Par conséquent, nous pouvons affirmer [5, ch.5]: Théorème Pour toute fonction continue f(x)→ d R , 2Li-périodique par rapport à

  Le cas où y(-L1, x2)≠y(L1, x2) et/ou y(x1, -L2)≠y(x1, L2) est un cas particulier des fonctions multivariables décrit dans la section précédente, celle des courbes monovariables y(C, x2), respectivement y(x1, C), pour lesquelles C prend les valeurs particulières C=x1 et C0=-L1, C0=L1, respectivement C=x2 et C0=-L2, C0=L2. Dans le cas de la fonction y(C, x2), pour chaque valeur x1=Ck, la fonction monovariable y(Ck, x2) situé dans le plan x1=Ck est associée au segment de droite lequel unit les points y(Ck, -L2) et y(Ck, L2), et tous ces segments (pour tous les valeurs de k) constituent la surface yO.1•x1. Pour le calcul des dérivées partielles de premier ordre, nous allons d'abord déterminer l'expression de ces courbes-crête: y(-L1, x2), y(L1, x2), y(x1, -L2) et y(x1, L2) résultant de l'intersection de la surface y(x1, x2) avec chacun des plans x1=-L1, x1=L1, x2=-L2 et x2=L2 lesquelles bordent le prisme de définition.

  Arpad Török 1 , Stoian Petrescu 2 , Michel Feidt 3 1 PhD student, The Polytechnic University of Bucharest, Department of Engineering Thermodynamics, 313, Splaiul Independentei, 060042 Bucharest, Romania, e-mail: arpi_torok@yahoo.com 2 Prof. Dr. Eng., Polytechnic University of Bucharest, Department of Engineering Thermodynamics, România 3 Prof. Dr. Eng., L.E.M.T.A., U.R.A. C.N.R.S. 7563, Université de Loraine Nancy 12, avenue de la Foret de Haye, 54516 Vandoeuvre-lès-Nancy, France Résumé: Dans nos recherches précédentes [1, 2], nous avons développé une méthode de résolution d'équations différentielles en déterminant les coefficients du développement en séries sinusoïdales (ou non sinusoïdales) des fonctions inconnues. Cela s'est avéré être une méthode extrêmement puissante, applicable à tous les types d'équations différentielles (ODEs) et intégro-différentielles, linéaires et non linéaires, des systèmes de telles équations, valables sur un intervalle fermé, quels que soient leur ordre et la complexité des leurs coefficients.

  n•T est un produit scalaire, et l'ensemble des points n de R d lequel contient seulement des entiers est appelé le trellis entier d-dimensionnel Z d . Si nous notons Li = Ti /2 , i = 1, 2, ..., d , par des changements de variables appropriés, on peut arriver à une fonction périodique f(x) sur le prisme Les coefficients de ce développement sont calculés à l'aide des formules d'Euler:

																													d L		 d	 	i L	,	i L		. Si cette fonction
																															i	 1
	est continue et dérivable par portions par rapport à l'une quelconque des variables xi et si elle
	est de carré intégrable sur le prisme L d , c'est-à-dire:	d L 	f	(	x x d 2 )	< +∞ (elle appartient à
	l'espace L 2 ([L d ]), les formules et les théorèmes valides dans l'espace L 2 ([-L1, L1]) pour les
	fonctions monovariables, sont pratiquement identiques. Les «briques» pour le développement
	en série de Fourier de fonctions périodiques multivariables seront (comme dans le cas de
	celles à une seule variable) les exponentielles complexes unidimensionnelles:
		f		x 1	,	x 2	,...,	d x	  SFS		n 1	,	 n ,..., n d n c 2 1 n 2	d n ...	e	n 1  i	x 1	e	n  i	2	x	2	e ...	n  i	d	d x	, où pour niZ d , on définit	n i  	i n	i L 

  restent valables aussi dans le cas des dérivées partielles et des intégrales partielles de premier ordre, et par répétition, également sur ceux d'un ordre supérieur. Soit la fonction z= f(x), définie sur le domaine (d+1)-dimensionnel R×L d . Dans ce domaine, f(x) sont des hypersurfaces. Pour la dérivation par rapport à l'une des variables xi (la dérivée partielle ∂f/∂xi, ou fxi), nous définirons d'abord la fonction xi-monovariable f(C, xi)=f(C1,..., xi, ...Cd), ou Cj, j=1, 2, ..., d, j≠i, sont des constantes réelles que ne changent pas lors de la dérivation. Pour chaque combinaison C0 de variables autres que xi, on obtient une courbe xi-monovariable sur l'hypersurface f(x), et pour chaque valeur xi=x0, on obtient l'intersection de cette hypersurface avec le plan xi=x0.

  Comme dans le cas des fonctions monovariables, dans les phénomènes naturels, à énergie limitée, ce type de fonctions est plus plausible que celui des fonctions «hyper-rampe».

	est une fonction de
	Fourier. Par conséquent, leur somme   x f bénéficie des mêmes propriétés. Remarque 2: pour   x F f 