una pedagogía basada en las representaciones francesas de América

Keywords: cartographie historique, enseignement, Amérique, approche critique historical mapping, teaching, America, critical approach Resumo cartografía histórica

une pédagogie à partir des représentations françaises de l'Amérique

Mapas y poder

« Teaching social studies with historical maps allows teachers and students not only to examine a historical event or place, but to analyse the story behind the map. » Bolick, 2006 :133 Au moment où les cartes deviennent de plus en plus présentes dans notre quotidien, il serait important de bien comprendre comment se passe la « mise en carte » du monde 1 . L'expérience d'enseignement de cartographie dans les premières années de licence à l'université de Lyon (France) montre que, si l'enseignement a évolué tout au long des dix dernières années face aux nouvelles techniques disponibles, il a été aussi intéressant de renforcer une approche historique de la cartographie justement au moment où les étudiants arrivent dans l'enseignement supérieur. Il est à noter que leur formation antérieure, malgré l'association des matières histoire et géographie dans l'enseignement primaire et secondaire en France (avec une large prédominance des cours d'histoire dans leurs cursus), ne semble pas avoir proposé une telle étude avant leur arrivée à l'université 2 . Notre but dans ce texte est de faire un premier bilan de l'apport que ce regard historique proportionne pour une compréhension des cartes qui aille au-delà d'une approche purement technique d'apprentissage de leur réalisation. Dans ce contexte, l'exemple des cartes françaises sur l'Amérique constitue un atout pour parler des questions de pouvoir associées à cette forme de diffusion du savoir géographique, 1 Voir le texte de M. Noucher, I. Hirt et X. Arnaud de Sartre (2019) où la « mise en carte » est associée à la « mise en ordre » du monde. ://www.history.org.uk/primary/module/3657/primary-teaching-methods/3666/maps-and-plans), malgré l'existence d'une série de travaux faisant état de cartes pour un usage scolaire (https://cartonumerique.blogspot.com/p/cartes-et-atlasusage-scolaire-carto.html ,par exemple), nous trouvons encore peu de d'éléments dédiés aux cartes historique à proprement parler pour un public plus jeune. notamment dans une période de conquête territoriale 3 encore loin d'être intégrée à l'idée d'une « réappropriation complexe du passé colonial » 4 .

L'apport d'un regard historique des cartes en géographie

Dans l'enseignement de la géographie en France, l'analyse et réalisation des cartes a tout naturellement un rôle important et accompagne les étudiants tout au long de leur formation. Les étudiants s'attendent à maîtriser les techniques de réalisation cartographique, sans nécessairement associer une vision critique de l'objet en soi. C'est pour cette raison que nous avons décidé de proposer une approche historique au moment où nous commençons les premiers cours de « Cartographie » au premier semestre de Licence, permettant de mettre en perspective la création et l'usage des cartes. Les premières séances du cours doivent permettre de revenir sur les différentes formes de construire les représentations spatiales, en essayant de contextualiser les choix derrière chaque objet qui pourrait avoir été identifié comme une « carte ».

1.1. La carte, moyen de concevoir, d'articuler et de structurer le mondeUne première étape indispensable est de revenir même sur l'objet même d'intérêt : comment reconnaître qu'un objet est bien une carte et comment le définir ? Entre deux figures portées à la connaissance, la première une image de télédétection suivie de la représentation topographique de l'IGN d'un même endroit, les étudiants n'hésitent pas à reconnaître la deuxième option comme étant une carte, même si les deux constituent une représentation d'un espace.

A partir de différents exemples historiques facilement accessibles 5 tels que la Carte ou Cadastre de Bedolina, pétroglyphe préhistorique de la Vallée de Camonica Lombardie, Italie (3000-dans l'image du producteur des représentations : le portrait du « géographe » de Vermeer7 est emblématique et fait souvent un impact auprès des étudiants, avec ses habits raffinés et son décor somptueux. Décor qui se répète dans les images des souverains entourés de la production de globes et cartes faits par les géographes8 . On peut même dire que les régimes changent mais l'importance des cartes comme guides des gouvernants se maintient dans le temps en Europe et plus particulièrement en France.

La carte, des cartes

La période d'expansion européenne « au-delà des mers » correspond également à l'affirmation de la réalisation de cartes, souvent associées aux personnalités éminentes. L'exemple des cartes datant du début du XVIe siècle témoignent d'une part de cet élargissement de la perspective européenne au-delà du schéma initial des 3 grandes parties du monde connues et indiquées dans une vision biblique de la réalité : Europe, Afrique et Asie et du vif intérêt pour ces « nouvelles » terres.

La mise en carte de ce qui deviendra connu comme « le nouveau monde » fait état d'un parcours parfois tumultueux, comme celui de la carte dite de Cantino de 1502, mêlée à des affaires d'espionnage. L'analyse d'un exemplaire particulièrement emblématique, le planisphère qui accompagne la « Cosmographiae Introductio cum quibusdam geoetriae a astronomiae principiis ad eam rem necessariis, insuper quattuor Americi Vespucci navigationes »9 en 1507 traduit bien l'effort de concaténer les informations venues des navigations lointaines à la relecture de la géographie de Ptolémée, élaboré dans le duché de Lorraine. L'Europe est au centre de la représentation mais les marges font état des nouveaux récits … et opportunités. Une nouvelle partie du monde prend forme pour les européens et ils prendront soin de la nommer en hommage à un de ceux qui ont pris soin de diffuser l'idée de son individualité -Amérigo Vespucci. Le mot « America » justifie la grande valeur donnée au planisphère « Universalis cosmographia secundum Ptholomaei traditionem et Americi Vespucii alioru [m]que lustrationes » attribué à Martin Wadseemüller et datant de 1507. Ce toponyme bien placé au sud du continent justifie sa renommée, même si l'histoire retiendra que ce planisphère a gagné une place de prestige au nord du continent10 . 2. L'analyse des cartes historiques européennes sur l'Amérique: rappel des enjeux de pouvoir associés à la cartographie La proposition du nom "Amérique" a fait objet de nombreux débats11 , mais l'analyse des cartes ultérieures de Martin Waldseemüller témoignent toujours de la perspective européenne qui s'applique à ce continent quand on analyse les toponymes présents. Dans la carte « Tabula Terre Nove » de 151312 , l'« Océanus Occidentalis » montre bien la position de départ du cartographe (à l'est) et l'idée d'une « terre incognita » ne peut être définie en tant qu'inconnue que pour ceux qui n'y sont pas nés ou qui viennent d'ailleurs. On peut comprendre alors pourquoi ces terres sont « nouvelles » pour ceux qui prennent conscience de leur existence, mais évidemment pas pour les « autochtones ». Ainsi, on peut toujours mettre en perspective et interroger le choix de cadrages et des éléments textuels qui composent une représentation. En effet, on voit apparaître des éléments capables d'intégrer ces « découvertes » dans un schéma de coordonnées pensées dans les centres de savoir européens : les lignes de latitudes présentes dans le cadre servent de repères pour une ensemble encore mal défini à partir des côtes. Elles annoncent alors l'imposition de nouveaux partages qui sont pensés dans la deuxième moitié du XVIe siècle, présentes dans toute une série de cartes. Un exemple serait le « Roteiro de todos os sinaes conhecimtos, fundos, baixos, Alturas, e derrotas, que ha na Costa do Brasil desdo cabo de São Agostinho até o estreito de Fernão de Magalhaẽs » -carte de Luís Teixeira (c. 1574). Exemple assez connu dans l'histoire de la formation territoriale du Brésil, avec le partage de l'Amérique portugaise en capitaineries et une ligne de Tordesillas déplacée de dix degrés plus à l'ouest, pour élargir le domaine lusophone en Amérique (figure 3). L'attention aux frontières « tirées à la règle » et souvent rencontrées en Amérique, permet la mise en perspective de l'utilisation de la carte comme support d'une action de conquête, combien serait-elle encore basée sur des connaissances sommaires du terrain. Le souci d'appropriation initié par l'affectation de noms issus de traditions catholiques européennes (noms de saints) et d'autres intérêts économiques (rio da prata -la rivière de l'argent), révèle les conditions de surimposition de nouvelles logiques par rapport au contexte et dénominations locales.

Cette rapide introduction aux différentes cartes historiques nous permet d'arriver à la carte principale que nous nous proposons d'étudier plus en détail, la « Carte de l'Atlantique » de Pierre de Vaulx, 1613. Carte manuscrite enluminée sur vélin, elle est un très bel exemple de carte d'apparat ou de présentation [START_REF] Barber | Tom -Magnificent Maps: Power, Propaganda and Art[END_REF], de dimensions moyennes (68,5 x 96 cm), appartenant au riche fond des cartes et plans de la Bibliothèque nationale de France (S.H. Archives n° 6). Le soin artistique de la représentation est probablement à l'origine de sa conservation dans le temps et lui a permis de figurer dans une exposition sur l'âge d'or des cartes marines en 2012/2013 à la Bibliothèque François Mitterrand. Sans être un document aussi iconique que les cartes de Martin Wadseemüller, elle a également fait l'objet de plusieurs publications facilement accessibles aux étudiants en langue française 13 . Cette carte est souvent admirée comme un document pittoresque faisant partie des collections prestigieuses de cartes marines anciennes, les cartes-portulans, objet central de l'exposition de 2012/2013. Elle ouvre ainsi la porte à toute la richesse de documents conservés à la Bibliothèque nationale de France et qui sont désormais disponibles à partir du portail digital de l'institution (Gallica).

L'importance de la compréhension des contextes

Nous pouvons commencer par situer l'auteur, le normand Pierre de Vaulx, qui aurait fait cette carte en 1613 en tant que pilote et géographe pour le roi, au Havre. Cette information permet de situer l'importance de ce port très actif dans la conquête maritime de l'époque, et revenir sur l'originalité de l'école normande de cartographie soumise à différentes influences : d'une part elle récupère le savoir et pratiques marines ibériques avec toute sa science nautique et d'autre part elle est en contact avec le « renouveau » venu des atlas imprimés hollandais de la fin du XVIe et début du XVIIe siècle (Toulouse, 2012). Venant d'une famille de tradition maritime, les informations récoltées par Pierre de Vaulx viennent en partie de son frère, Jacques de Vaulx, connu par la réalisation d'un manuel de navigation manuscrit conçu au long de ses voyages aux Amériques (notamment avec l'exploration du fleuve Amazon en tant que pilote major entre 1585 et 1587), et par la réalisation d'une « Carte des côtes de l'Amérique du nord, de l'Amérique centrale et d'une partie de l'Amérique du sud, 1584 » -Figure 4. La carte de Jacques de Vaulx est considérée comme une « véritable carte politique du continent américain » (Lespinasse, 1910) et présente en effet plusieurs points de ressemblance avec la carte de son frère cadet, indiquant l'emplacement des colonies françaises au nord et donnant l'idée de la longueur de la rivière des Amazones 14 avec ses îles et affluents à partir d'un grand lac à l'ouest, même si elle n'est pas aussi richement décorée.

Formes et pratiques cartographiques

La carte manuscrite de Pierre de Vaulx est enluminée sur vélin (figure 5), c'est-qui permet de revenir sur les différents supports utilisés pour la création cartographique. Faite sur une peau de veau ou de mouton préparée pour l'écriture ou la peinture (on aperçoit l'idée d'un cou à droite), plus lisse et plus fine que le parchemin ordinaire, elle est considérée comme un produit de luxe avec ses nombreuses décorations ou enluminures faisant l'usage de la dorure. Destinée au roi, on voit l'importance de ce document, objet de prestige et non simple support de connaissance utilisé en navigation, raison probable qui explique sa conservation15 . Les éléments mis en valeur, les blasons royaux (équivalents en Europe, mais de différentes tailles en Amérique), le possible soleil inca placé sur le Pérou, sont autant de signes des richesses disponibles de chaque côté de l'Océan. La carte compte également avec quelques réseaux de rhumbs à trente-deux et seize lignes dans les roses de vents aussi richement décorés, mettant en valeur l'importance du savoir-faire marin. Réalisée au moment de l'union ibérique (1580-1640), la carte fait état uniquement de la couronne espagnole comme étant en possession des terres sud-américaines (neuves Espagne, le Pérou), mais le cartographe inclut aussi le blason français juste au sud du « maragnon » avec la mention d'une « France antarctique ». Or, la France Antarctique se situait bien plus au sud, dans la baie de Guanabara (actuel Rio de Janeiro), et fut le lieu de nombreuses batailles entre portugais et français entre 1555 et 1565. L'emplacement choisi sur la carte rappelle toutefois une autre tentative française de possession en Amérique du Sud, la France équinoxiale, dans la ville de Saint Louis entre 1612 et 1615. Quel que soit le nom donné, la carte montre clairement le défi français au monopole ibérique établi par le traité de Tordesillas en 1494, profitant de la révision faite en 1532 par le pape Clément VII qui permet aux autres puissances européennes de se lancer dans la conquête ultramarine.

On comprend ainsi la présence au nord de nombreuses mentions et dénominations françaises résultat des explorations de Jacques Cartier dans le golfe du Saint-Laurent (jusqu'au futur site de Montréal) et de l'impulsion de Samuel de Champlain, au début du XVIe siècle pour la colonisation française au Canada. Le toponyme « Brésil » est toutefois placé au sud de la carte, proche de la baie de Rio de Janeiro, entouré d'images parfois idylliques d'hommes et des femmes nus autour d'un arbre ou étendus dans un hamac. D'autres images de l'exploitation du bois de brésil et des récits de cannibalisme sont aussi dessinés.

Les ambitions françaises sur la conquête d'Amérique

On voit que la carte est destinée à faire état de toute une série d'informations géographiques sur les « nouvelles terres explorées », soumises à un réseau lignes de latitude : l'équateur (la ligne Aequinoctialle), les tropiques (tropicque de cancer, tropicque de capricorne), et une échelle des latitudes, verticale, graduée au nord et au sud depuis l'équateur, passe au milieu d'un océan parsemé de caravelles et sirènes. La carte a le souci d'indiquer plusieurs échelles graphiques graduées en lieues marines, parfois accompagnées d'un compas à deux pointes capable de reporter les distances pour mesurer l'espace parcouru par une embarcation 16 . Mais ce savoir est aussi mis à contribution d'un message politique : les fleurs de lys accompagnent aussi bien l'indication du nord dans les roses de vents que les possibles occupations françaises dans les terres qui peuvent être parcourues à partir de ports et rivières indiqués le long des côtes. Comme une carte-portulan, sont indiquées également l'emplacement des îles, notamment dans la région des caraïbes, où tous les noms des îles sont indiqués et préfigurent l'installation des compagnies françaises de colonisation (Compagnie des Seigneurs de Saint Christophe en 1626, Compagnie des îles d'Amérique en 1635).

Elle est l'occasion de prendre connaissance des différentes manières d'articuler le savoir géographique pour une action concrète sur le terrain, notamment dans la période d'expansion française en Amérique. Les ambitions de conquête impliquent une soumission des différents peuples autochtones et l'imposition d'une logique européenne de domination : noms, cadrages, repères, partages figurés dans l'image de la carte sont originaires d'Europe, même si d'autres peuples locaux sont aussi présents. Leur état pourrait être considéré assez « sauvage » -sans habits, dormant dans les hamacs, pratiquant le cannibalisme -mais l'image des richesses et des possibilités de commerce incitent à une présence sur place.

Permanences et évolution des pratiques

Si l'analyse peut se poursuivre vers d'autres cartes françaises publiées plus tard, nous pouvons établir un certain nombre de parallèles avec l'analyse de cette première carte normande. L'exemple de la carte de Charles de la Condemine faite à partir de son expédition en Amérique du sud au XVIIIe siècle sur l'Amazone présente certes moins d'attributs artistiques, mais se justifie au départ par une demande de l'Académie des Sciences de mesurer la longueur d'un arc de méridien à proximité de l'équateur pour faire progresser la cartographie indispensable à la navigation. L'effort de son auteur d'indiquer les différents affluents, non seulement à l'ouest, mais tout au long du fleuve, identifie également d'autres ressources : l'arbre quinquina pour extraite la quinine, l'arbre à caoutchouc et l'usage du curare, poison utilisé par les Amérindiens pour leurs flèches. Il reste ensuite dans le foyer français -nouvelle France équinoxiale ? -à Cayenne, où il multiplie les expériences avant de revenir à Paris en février 1745 en rapportant plus de deux cents objets d'histoire naturelle17 .

Si l'aura scientifique revêt la cartographie de plus en plus d'une apparente « neutralité », on peut voir que derrière ces réalisations il y a toujours des centres d'intérêt à service d'une action avec des visées économiques. Une cartographie scientifique ne veut ainsi pas dire une carte neutre -et l'analyse des contextes permet de mettre en évidence les perspectives à partir desquelles la représentation a été réalisée. Une analyse des différents acteurs qui gravitent autour de la carte rend possible une meilleure compréhension de leur contenu et aussi de tout qui peut être passé sous silence. La disparition des peuples natifs est-elle ainsi une image de progrès ?

Un premier bilan

La comparaison de cartes différentes mais caractérisées par une certaine succession dans le temps contribue à renforcer l'identification des valeurs historiques des auteurs lors de la « mise en carte » du monde. La représentation de ce qui sera connu comme « l'Amérique » par les différentes puissances européennes, et particulièrement en France, permet de revenir sur les moyens de naturaliser un certain nombre d'éléments désormais présents sur les cartes (frontières linéaires, toponymes, la superposition d'une logique extérieure d'utilisation des terres). Leur analyse renforce le besoin de contextualiser ces représentations qui ont contribué à définir les enjeux géopolitiques plus vastes que la simple description des espaces locaux. Entre les cartes de l'affirmation de la conquête coloniale, et celles ayant le souci de développer une approche « scientifique » de la production cartographique au XIXe et XXe siècles, il est nécessaire d'analyser l'apparente « neutralité » des cartes pour permettre la discussion des différentes composantes qui font état de leur ancrage politique.

Dans cette optique, analyser certaines représentations, particulièrement mises en évidence par des expositions récentes (http://expositions.bnf.fr/marine/grand/por_084.htm) permet d'approfondir la prise de conscience des étudiants au moment où ils se lancent aussi dans la réalisation cartographique. Quel savoir sera mobilisé pour montrer de quelle manière l'espace analysé ? Comment justifier les choix réalisés. ? Apprendre à connaître la multitude de représentations disponibles, la recherche de nouvelles formes de création des récits ou lectures territoriales plus à même de donner une voix à différents acteurs du territoire se révèle indispensable.

Figure 1 :

 1 Figure 1 : Le planisphère de Martin Waldseemüller de 1507 -exemple emblématique de mise en valeur d'une carte historique https://www.loc.gov/resource/g3200.ct000725

Figure 2 :

 2 Figure 2 : Tabula Terre Nove, M.Waldseemüller(1513)

Figure 3 :

 3 Figure 3 : Roteiro de todos os sinaes conhecimtos, fundos, baixos, Alturas, e derrotas, que ha na Costa do Brasil desdo cabo de São Agostinho até o estreito de Fernão de Magalhaẽs » -carte de Luís Teixeira (c. 1574) -Biblioteca da Ajuda, ms. 51-IV-38 in https://brasilhis.usal.es/es/cartografia/mapa-de-luisteixeira-roteiro-de-todos-os-sinaes

Figure 4 :

 4 Figure 4 : « Carte des côtes de l'Amérique du nord, de l'Amérique centrale et d'une partie de l'Amérique du sud] / Ceste Carte A été Faicte Par Jacques de Vaulx Pilote entretenu Pour le Roy en la Maryne au havre, 1584 » Disponible en https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b530748123/f1.item.

Figure 5 :

 5 Figure 5 : Carte de l'Océan Atlantique / Ceste carte a Esté faiste Au havre de Grace Par Pierre Devaux, Pilote Géographe Pour le Roy, l'an 1613 -disponible à https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b5906245s

  Plan 1. L'apport d'un regard historique des cartes en géographie ......................................................... 3 1.1. La carte, moyen de concevoir, d'articuler et de structurer le monde..................................... 3 1.2. La carte, prise de conscience de l 'espace … et des sociétés .................................................. 3 1.3. La carte, des cartes ................................................................................................................. 4 2. L'analyse des cartes historiques européennes sur l'Amérique: rappel des enjeux de pouvoir associés à la cartographie................................................................................................................... 5 2.1. L'importance de la compréhension des contextes ................................................................. 8 2.2. Formes et pratiques cartographiques..................................................................................... 9 2.3. Les ambitions françaises sur la conquête d'Amérique.......................................................... 10 2.4. Permanences et évolution des pratiques ............................................................................. 11

3. Un premier bilan....................................................................................................................... 12

2

  De ce point de vue, par rapport aux nombreux sites faisant référence à l'intégration de cartes historiques dans

	l'enseignement	primaire	et	secondaire	disponible	en	langue	anglaise,	aux	Etats	Unis
	(http://historymatters.gmu.edu/mse/maps/,	February	2002)	et	au	Royaume	Uni
	(https

av. J.-C.), une mappemonde médiévale avec son partage du monde en 3 grands ensembles, aux cartes de la renaissance inspirées par la géographie arabe (Copie de Fra Mauro), il est souvent question de représenter partages, déplacements et actions possibles. Si les formes d'expression changent, nous pouvons tenter de passer les représentations réalisées par certains critères d'observation : autour de quoi s'organise la carte, à partir de quel point de vue ? Quels sont les thèmes abordés, quel pourrait être son usage ? Pourquoi a-t-on pris le temps de réaliser une représentation, quels langages ont été privilégiés ? A qui pourrait-elle être destinée ? Des questions systématiques posées sur un certain nombre de représentations en groupe permettent de commencer le travail de mieux comprendre leur processus de composition 6 .1.2. La carte, prise de conscience de l 'espace … et des sociétés La discussion des différentes représentations possibles, montre leur ancrage dans les traditions historiques de leur temps : on peut alors interpréter la carte comme un indice des limites de l'espace perçu/fréquenté par les sociétés, mais elle peut aussi montrer la mise en valeur de certains éléments du quotidien par rapport à d'autres. L'importance de la représentation est perceptible aussi 3 Mettant ainsi en question également la notion de « découverte » encore largement utilisée pour parler de l'expansion européenne à partir du XVe siècle.4 Nous faisons référence ici à l'expression attribuée à I. Merle et E. Sibeud, citée dans l'article de Sophie Dulucq et Colette Zytnicki (2005) -« Penser le passé colonial français : entre perspectives historiographiques et résurgence des mémoires ». Vingtième Siècle. Revue d'histoire, no<(sup> 86), 59-69. https://doi.org/10.3917/ving.086.0059.5 Voir à ce sujet le site de la Bibliothèque nationale de France http://expositions.bnf.fr/cartes/index.htm et particulièrement la partie consacrée à représenter la terre (http://expositions.bnf.fr/globes/bornes/borne2.htm) ou encore le site de l'IGN https://www.ign.fr/reperes/30-cartes-qui-racontent-lhistoire-de-la-cartographie 6 On peut également faire mention de l'article proposé par S. Genevois lors de la reédition du livre de M. Monmonier « Comment faire mentir les cartes » disponible sur https://cartonumerique.blogspot.com/2019/04/faire-mentir-lescartes.html, capable de faire le lien entre les cartes plus « classiques » et les nouvelles constructions numériques.

Disponible à partir de https://sammlung.staedelmuseum.de/de/werk/der-geograf#gac

Entre les exemples possibles se trouvent le tableau « Louis XVI donnant ses instructions à La Pérouse, 26 juin 1785 » de Nicolas André MONSIAU présenté au musée national du château de Versailles (https://histoire-image.org/etudes/expeditionperouse), les nombreuses images de Napoléon Ier avec les cartes (https://cartonumerique.blogspot.com/2021/05/Napoleonet-les-cartes.html) -des exemples qui peuvent souvent être trouvés dans d'autres pays (l'empereur Pedro II du Brésil a souvent été mis en scène avec des globes et cartes(De Biaggi, 2015), de même que d'autres personnages importants, tels que « Les Ambassadeurs » de Hans Holbein le Jeune, présenté à la National Gallery de Londres et analysé sur https://www.histogames.com/HTML/chronique/analyse-tableau/les-ambassadeurs-d-holbein.php

). 9 Disponible en https://www.loc.gov/resource/g3200.ct000725?r=-0.036,0.006,1.1,0.

514,0 10 Le livrede Toby Lester(2012) étudie en détail les conditions permettant « l'acte de naissance de l'Amérique ».

On suggère aux étudiants la lecture du livre de S. Zweig, Amerigo, publié en 1941 mais toujours intéressant et accessible en livre de poche.

Le titre complet de la carte serait Charta autem Marina, quam Hydrographiam vocant, per Admiralem quondam serenissimi Portugaliae regis Ferdinandi, caeteros denique lustratores verissimis peragrationibus lustrata: ministerio Renati dum vixit, nunc pie mortui Ducis illustrissimi Lotharingiae liberus praelographationi tradita est (Carte marine, également appelée hydrographie, rectifiée par de très exactes navigations faites par un ancien amiral du sérénissime roi du Portugal Ferdinand, puis par d'autres explorateurs : élaborée sous le patronage de René, très illustre duc de Lorraine, aujourd'hui décédé) -voir .

http://expositions.bnf.fr/marine/grand/por_084.htm ou encore http://geoconfluences.ens-lyon.fr/informationsscientifiques/a-la-une/carte-a-la-une/carte-marine-de-locean-atlantique-par-pierre-de-vaulx-1613 et https://images.cnrs.fr/video/6871

La carte est décrite comme étant « éclatante d'or et de couleurs, cette carte de l'Atlantique reflète les ambitions françaises en Amérique. Les fleurs de lys apparaissent en Nouvelle-France, où les toponymes français et la précision des tracés attestent une présence ancienne et renouvelée, mais aussi au Brésil, où la carte n'est plus que le souvenir de l'expédition de Villegagnon (1555) et d'autres tentatives avortées. Près de Lima, une rose des vents d'un bleu profond rehaussé d'or pourrait bien symboliser le soleil des Incas. » inhttp://expositions.bnf.fr/marine/grand/por_084.htm

E. Vagnon mentionne aussi « Au début du XVIIe siècle, on sait depuis longtemps calculer la latitude à bord grâce à l'astrolabe de mer [1], l'arballestrille [2] et le quadrant[3] ; quant à la longitude, elle n'est déterminée de manière fiable en mer qu'à partir du XVIIIe siècle, et les mesures données par la carte sont fondées sur une estimation empirique » in http://geoconfluences.ens-lyon.fr/informations-scientifiques/a-la-une/carte-a-la-une/carte-marine-de-locean-atlantiquepar-pierre-de-vaulx-1613

 17 Voir à ce sujet le textede Neil Safier (2011).

D'une manière globale, l'enseignement de la cartographie laisse peut de place à une approche historique, préoccupé par la maîtrise technique de plus en plus liée aux moyens numériques. L'usage de plus en plus prenante de la « géomatique » fait même oublier un passage par la critique des différentes formes de cultures géographiques anciennes qui s'appliquent encore aujourd'hui sans qu'elles soient mises en question. Loin de vouloir entrer dans une approche « hyper-critique », où toute réalisation cartographique serait uniquement définie par le soupçon des enjeux de pouvoir, nous pensons qu'il faut intégrer, tant que possible, la prise de conscience et la mise en contexte dans l'analyse et l'apprentissage cartographique.


Charge density wave and superconductivity: localized bipolarons versus extended Cooper pairs?

Serge Aubry, Gilles Abramovici, Denis Feinberg, Pascal Quémerais, Jean-Luc

Raimbault

To cite this version:

Serge Aubry, Gilles Abramovici, Denis Feinberg, Pascal Quémerais, Jean-Luc Raimbault. Charge density wave and superconductivity: localized bipolarons versus extended Cooper pairs?. Lecture Notes in Physics, 1990, 353, pp.103. 10.1007/BFb0033622. hal-04409944


Devenir des hydrochlordécones, du mirex et d'autres analogues en condition de (bio)dégradation réductive

Della-Negra Oriane (1), Chevallier Marion (2), Chaussonnerie Sébastien (3), Barbance Agnès (3), Muselet Delphine (3), Elisée Eddy (3), Le Paslier Denis (3), Frison Gilles (4), Saaidi Pierre-Loïc (3)

(1) Aix Marseille Univ., CNRS, Centrale Marseille, iSm2, Marseille, Franceoriane.della-negra@centralemarseille.fr.

(2) Univ. Grenoble Alpes, CEA, Liten, DTNM, 38000 Grenoble, France -marion.chevallier@cea.fr

(3) UMR 8030 Génomique métabolique/CEA/Institut de Biologie François Jacob/Genoscope/Université d'Evry Val d'Essonne/Université Paris-Saclay, Franceplsaaidi@genoscope.cns.fr (4) Sorbonne Université, CNRS, Laboratoire de Chimie Théorique, Paris, France -gilles.frison@cnrs.fr

Résumé étendu :

Parmi les Polluants Organiques Persistants répertoriés dans la Convention de Stockholm, le mirex et la chlordécone partagent tous deux la même structure particulière en forme de cage bishomocubane. Le mirex, de formule brute C10Cl12, a été utilisé mondialement aux Etats-Unis, au Canada, en Chine, Amérique du Sud et en Afrique comme pesticide ou retardateur de feu [START_REF] Bell | Reviews of the environmental effects of pollutants. I. Mirex and Kepone[END_REF]. Il est aujourd'hui responsable d'une pollution à long terme, notamment dans la région des Grands Lacs au Canada [START_REF] Gandhi | Is mirex still a contaminant of concern for the North American Great Lakes?[END_REF][START_REF] Jia | Concentration and Bioaccumulation of Dechlorane Compounds in Coastal Environment of Northern China[END_REF]. Jusqu'à présent très peu d'études font état d'une biodégradation du mirex et seul le 10-monohydromirex a pu être identifié comme produit de transformation (PT) [START_REF] Andrade | Identification of a Mirex metabolite[END_REF]. La chlordécone, de formule brute C10Cl10O2H2, a quant à elle été majoritairement utilisée aux Antilles Françaises comme pesticide pour lutter contre le charançon du bananier (Le [START_REF] Déaut | Impacts de l'utilisation de la chlordécone et des pesticides aux Antilles : Bilan et perspectives d'évolution[END_REF]. Du fait de sa toxicité chronique et de sa persistance, elle est aussi responsable d'une pollution à long terme de ces territoires, ainsi que de problèmes de santé publique et socio-économiques [START_REF] Lesueur-Jannoyer | Crisis Management of Chronic Pollution: Contaminated Soil and Human Health[END_REF]. Plusieurs équipes ont pu mettre en évidence sa dégradabilité par voie chimique, microbiologique ou encore directement dans les sols [START_REF] Chevallier | Natural Chlordecone Degradation Revealed by Numerous Transformation Products Characterized in Key French West Indies Environmental Compartments[END_REF][START_REF] Della-Negra | Transformation of the recalcitrant pesticide chlordecone by Desulfovibrio sp.86 with a switch from ring-opening dechlorination to reductive sulfidation activity[END_REF][START_REF] Lomheim | Evidence for extensive anaerobic dechlorination and transformation of the pesticide chlordecone (C10Cl10O) by indigenous microbes in microcosms from Guadeloupe soil[END_REF][START_REF] Lomheim | Identification of a Fully Dechlorinated Product of Chlordecone in Soil Microcosms and Enrichment Cultures[END_REF]. Plus spécifiquement, des bactéries ont été identifiées comme transformant cette molécule en hydrochlordécones, polychloroindènes, acides polychloroindènecarboxyliques ou encore chlordecthiol ; PTs qui ont été retrouvés dans l'environnement en plus de ceux présents comme impureté des formulations commerciales de la chlordécone ou provenant de sa dégradation par voie photochimique : le chlordécol, la 8monohydrochlordécone [START_REF] Cattan | A conceptual model of organochlorine fate from a combined analysis of spatial and mid-to long-term trends of surface and ground water contamination in tropical areas (FWI)[END_REF][START_REF] Devault | Natural transformation of chlordecone into 5b-hydrochlordecone in French West Indies soils: Statistical evidence for investigating long-term persistence of organic pollutants[END_REF]. Dans ce contexte, nous nous sommes intéressés ici à la dégradabilité des contaminants comportant cette même structure de cage bishomocubane polychlorée.

Par différentes stratégies de synthèse chimique, nous avons tout d'abord obtenu cinq hydrochlordécones comportant entre 9 et 5 atomes d'hydrogène : deux monohydrochlordécones, deux dihydrochlordécones, une pentahydrochlordécone. Nous avons ensuite suivi leur biodégradation en les plaçant en présence de la bactérie anaérobie facultative Citrobacter sp.86, connue pour dégrader la chlordécone en condition réductrice [START_REF] Chaussonnerie | Microbial Degradation of a Recalcitrant Pesticide: Chlordecone[END_REF]. Des réactions de dégradations chimiques biomimétiques en présence de vitamine B12 réduite ont également été réalisées afin de confirmer les tendances observées lors des dégradations microbiologiques et d'obtenir des résultats plus rapidement (quelques heures par rapport à plusieurs mois pour les expériences microbiologiques). Cela a aussi facilité l'identification et la caractérisation des produits formés. La similitude générale entre dégradations chimiques et microbiologiques semble indiquer que les caractéristiques intrinsèques des molécules étudiées dictent en premier lieu leur biodégradabilité.

Nous avons pu mettre en évidence que les hydrochlordécones A2 et A3 (8monohydrochlordécone et 2,8-dihydrochlordécone respectivement), se transformaient de façon similaire à la chlordécone et conduisaient à la formation d'autres hydrochlordécones, de polychloroindènes et d'acides polychloroindènecarboxyliques (Figure 1). De plus d'après les résultats obtenus, nous avons observé que la présence d'atomes d'hydrogène en position 2 et 8 orientait la dégradation vers les acides polychloroindènecarboxyliques uniquement.

Par contre pour les hydrochlordécones A1, A4 et A5 (la 10-monohydrochlordécone, la 8,10dihydrochlordécone et la 2,3,6,7,10-pentahydrochlordécone respectivement) aucune dégradation microbiologique n'a pu être observée : la présence d'un atome d'hydrogène en position 10 bloquant manifestement l'ouverture de la cage bishomocubane.

Ce résultat est d'importance car le composé A1 issu de la dégradation microbiologique est déjà présent dans l'environnement [START_REF] Chevallier | Natural Chlordecone Degradation Revealed by Numerous Transformation Products Characterized in Key French West Indies Environmental Compartments[END_REF] et est largement produit lors de la dégradation de la chlordécone par le procédé chimique « In Situ Chemical Reduction » [START_REF] Mouvet | Remediation by chemical reduction in laboratory mesocosms of three chlordecone-contaminated tropical soils[END_REF]. Ce procédé actuellement à l'étude a montré une certaine efficacité sur les sols antillais pour dégrader la chlordécone et semble générer des hydrochlordécones ayant majoritairement un atome d'hydrogène sur la position 10 [START_REF] Belghit | Liquid chromatography-high-resolution mass spectrometry for identifying aqueous chlordecone hydrate dechlorinated transformation products formed by reaction with zero-valent iron[END_REF]. Même s'ils possèdent moins d'atomes de chlore que la chlordécone, les produits issus du procédé ISCR apparaitraient donc plus réfractaires à une dégradation microbiologique naturelle.

Concernant le chlordécol également présent aux Antilles, une biodégradation partielle a également été observée au bout d'un temps d'incubation nettement plus long que pour la chlordécone. Des produits partiellement déchlorés et possédant une structure « ouverte » ont notamment été identifiés. Le chlordecthiol a conduit à l'obtention d'hydrochlordecthiols et de composés encore indéterminés. Finalement, à l'issu de 35 semaines, des traces d'une biodégradation du mirex a pu être constatée, aboutissant à la présence de plusieurs hydromirex et de plusieurs composés inconnus. De manière inattendue, le PT B1 (le 2,4,5,6,7pentachloroindène) connu pour être l'un des PT principaux observés lors de la dégradation microbiologique de la chlordécone a également été formé au cours de la biodégradation du mirex. La formation possible de B1 dans l'environnement peut donc être également issu de la dégradation du mirex ce qui accentue la nécessité de développer des méthodes de monitoring adaptées à ce composé. Enfin, des calculs de chimie quantique DFT ont permis de rationaliser les observations expérimentales et de proposer un mécanisme pour la dégradation réductive de la chlordécone. Plus précisément, les modélisations ont permis de mettre en évidence que la première étape menant à l'ouverture de la cage bishomocubane était thermodynamiquement défavorisée par la présence d'un atome d'hydrogène en position 10, ce qui expliquerait la différence de réactivité observée entre la chlordécone et A1. Ces calculs ont également pu mettre en évidence plusieurs intermédiaires clés orientant l'ouverture de la cage et l'éventuelle perte de fragments carbonés. Les résultats indiquent que la présence d'atomes d'hydrogène sur certaines positions influence la sélectivité des familles de produits de transformation observées (familles B et C).

Un mécanisme général de dégradation de toutes les cages bishomocubanes chlorés (chlordécone, hydrochlordécones, mirex, chlordécol et chlordecthiol) est actuellement à l'étude. Il permettra de prédire les structures des PTs pouvant être formés et contribuera à améliorer la compréhension du devenir de ce type de polluants organiques persistants dans l'environnement.

Figure 1 :

 1 Figure 1 : Résumé des PTs majoritairement formés lors de la dégradation de la chlordécone et des hydrochlordécones en présence de Citrobacter sp.86, en condition réductrice (symbole bactérie), en condition chimique à l'aide de vitamine B12 réduite (symbole erlenmeyer). Des résultats similaires ont été observés dans ces deux conditions sauf avec A1, A4 et A5 où aucune dégradation microbiologique n'a été constatée.


Sandro Heuke
email: sandro.heuke@fresnel.fr&herve.rigneault@fresnel.fr

Xavier Audier

Hervé Rigneault

Double-modulation stimulated Raman scattering (DM-SRS): how to image up to 16-fold faster

Double-modulation stimulated Raman scattering: how to image up to 16-fold faster

Sandro Heuke, Xavier Audier, Hervé

http://dx.doi.org/10.1364/ao.XX.XXXXXX Laser scanning stimulated Raman scattering (SRS) is a nonlinear microscopy technique targeting specific molecular vibrations [1][2][3]. Among the numerous applications discovered, the preresonant SRS imaging of alkine [4], and C-D labeled dyes [5] as well as stimulated Raman histopatholgy (SRH) [6,7] hold the greatest potential to leave optical labs and enter hospitals or biolabs with game-changing consequences, e.g. for diagnosing and staging of various diseases. Imaging of low concentrated dyes demands for the highest sensitivity whereas SRH requires high sample throughputs at best image acquisition rates. For a given pulse width and spectral resolution, the sensitivity and imaging speed of SRS is fundamentally limited by the damage threshold of the sample and the noise characteristics of the laser source.

At best, the latter is shot-noise limited and possesses the smallest possible repetition rate due to its inverse quadratic relation to the signal-to-noise (SNR) for a constant average power. Today, state-of-the-art light sources used for SRS imaging can be grouped into: high-noise fiber laser with customized repetition rates [8][9][10] and shot-noise limited solid-state lasers working around 80 MHz [1,3].

To the best of our knowledge, only one shot-noise limited fiber laser was reported in the context SRS imaging [11]. As a second strategy to reduce the impact of excess noise, balanced detection allows to approach the shot-noise limit up to a distance of 3dB [9]. Nevertheless, auto-balanced photo-diodes [8] for the range of 800-1100 nm and high reverse voltages bias are not yet commercially available.

As the major competitor of fiber laser, shot-noise limited solid-state laser with nearly transform limited pulses are commercially available within a wide spectral and temporal pulse-width range. As the limiting factor, their repetition rate is frequently fixed around 80 MHz. Its rep rate reduction would require an inverse proportional extension of the laser cavity leading to, e.g. a 8 m sized ring resonator cavity to obtain a 40 MHz oscillator, with increasing noise problems arising from mechanical instabilities and air convection within the cavity. From a practical point of view, best sensitivities in SRS-imaging can be expected, therefore, either from a shot-noise

Standard SRS DM-SRS Pulse-Picked SRS f m < f r /2 = f r /2 < f r /4 = f r /4 f m = f r /4 M st (t) 1 + cos(2π f m t) 1 + cos(2π f m t) (1 + cos(2π f m t))(1 + cos(4π f m t))
M pu (t) limited solid state laser at 80 MHz that will be outperformed only by perfectly auto-balanced fiber laser featuring the same pulse characteristics and repetition rates f r ≤ 40 MHz to compensate for the sensitivity loss of the balanced detection. If position-multiplexing, such as dual-or multi-focus approaches [12], is already installed or not useful to be implemented only few options for a significant SNR improvement remain. The perhaps most intriguing approach was highlighted by Ozeki et al. by exploiting an aliasing effect while modulating the laser at exactly half the laser's repetition rate (38 MHz) to gain a factor 2 in shot-noise limited SNR [13]. For solid-state laser systems the detection and demodulation at half the laser's repetition rate is electronically demanding and favors photodiodes with unpractical small photo-active areas. Here, we present a second route to exploit an aliasing effect by modulating both the pump and the Stokes laser at f 1 =f m and f 2 =2f m . By introducing a modulation of one laser at twice the lock-in frequency (≤ 20 MHz) we can benefit from a sub-harmonic enhancement similar to what Ozeki and coworkers reported [13]. Furthermore, if the pump beam is modulated at both f 1 =f r /4 and f 2 =f r /2, the beam is effectively pulse-picked and an SNR improvement of a factor of up to 16 can be expected if the average power at the sample is kept constant.

For the derivation of the aliasing effect we follow the notation introduced in a previous noise tutorial [14]. The photo-diode returns the voltage of the SRS-signal at a strength of:

U SRS = +∞ ∑ k=-∞ X k h(t -t k ) + ϵ(t) × g √ 2R cos(2π f m t) (1)
Where the term in large brackets is I SRS (t), the photocurrent output of the detector. G(t) = g √ 2R cos(2π f m t) represents the lock-in amplification with load R and gain g. ϵ(t) is the electronic noise in the detection, modeled by a random noise of zero average mean and power spectral density S ϵ ( f ). h(t) is the response function of the detector to a single photon arrival, which can be approximated by qδ(t) for all practical purposes with q being the electric charge of a single photo-electron. X k denotes the random variable that describes the number of photons detected on the probe pulse arriving at t k = k/ f r . The statistics of X k is related to: (1) The time-average number of photons on the pump and Stokes lasers, N pu and N st . They are kept constant across all measurement schemes to compare SNR levels at a fixed average optical power. ( 2) The time modulation applied on the pump and Stokes lasers, M pu (t) and M st (t). (3) The modulation transfer β due to the SRS process. (4) The excess laser noise, in the form of a random variable α of unit mean and power spectral density S α ( f ). The (ensemble) average value and variance of X k can be described as:

⟨X k ⟩ = N(t k ) = N pu M pu (t k )[1 + βN st M st (t k )] (2)
⟨X k X l ⟩ = N(t k )N(t l )⟨α(t k )α(t l )⟩ + δ k,l N(t k ) (3)
With these definitions we can calculate the signal power P DC , associated with the DC power of the lock-in output, and the noise power P N , associated with the power spectral density of the lock-in output within its bandwidth where f ≈ 0.

P N = 1 R S U ( f ) = 1 R lim T→+∞ 1 T ⟨ ÛT ( f ) 2 ⟩ ( 4
)
P DC = P SRS = 1 R lim T→+∞ 1 T ⟨ ÛT (0)⟩ 2 (5)
with the finite-time Fourier transform

F [U] T ( f ) = ÛT ( f ) = T/2
t=-T/2 U SRS (t)e 2iπ f t dt. Equation 1 can be injected into Eqs 4 and 5, then computed using 2 and 3. The following simplifications make the computation easier: the impact of the second laser is neglected for the noise calculation P N . The ensemble average values of ϵ and α are zero and one. We call δ the Dirac distribution, and

X T r = ∑ +∞ k=-∞ δ(t -kT r
) the Dirac train of period T r . We simplify and express them using the convolution operator ⊗. The noise power is separated into three components :

P SRS = qβN pu N st R lim T→+∞ 1 T F T [X T r M st M pu G](0) 2 (6)
P N = P Excess + P Shot + P Elec (7)

P Excess = q 2 N 2 pu R lim T→+∞ 1 T ⟨ F T [X T r M pu αG]( f ) 2 ⟩ ( 8
)
P Shot = q 2 N pu R lim T→+∞ 1 T F T [X T r M pu G 2 ]( f ) (9)
P Elec = 1 R lim T→+∞ 1 T ⟨ F T [ϵG]( f ) 2 ⟩ ( 10
)
While those expressions are simplified they still require computation for the different modulation schemes. The only assumptions are that the laser excess noise S α ( f ) decreases quickly with f and has no expected correlations between frequencies. Briefly, the product in time domain, or equivalently the convolution in spectral domain, between the different functions will generate an aliasing effect effectively increasing the signal and noise values. We decide to illustrate the computation in the case of shot-noise power for the DM-SRS case, as it shows in a concise way the ideal use case for this implementation: with

P Shot = q 2 N pu R lim T→+∞ A T ( f ) (11)
A T ( f ) = 1 T F T [X T r ] ⊗ Mpu ⊗ Ĝ ⊗ Ĝ ( f ) (12)
= 2g 2 R 2 T ∑ k|kT r ∈[0,T] e i2πk f fr ⊗ δ( f ) + 1 2 δ( f ± 2 f m ) ⊗ 1 2 δ( f ± f m ) ⊗ 1 2 δ( f ± f m ) ( f ) (13) = f →0 2g 2 R 2 T ∑ k|kT r ∈[0,T] 1 8 6 + 4e ±i2πk 2 fm fr + e ±i2πk 4 fm fr ( 14
)
We care about the noise at f ≈ 0 as this will be the frequency band where our signal is detected at the output of the lock-in. The exponential terms in bracket in Eq. 14 will average out to 0 when T → ∞ unless f m = f r /2 or f r /4. The first case is equivalent to standard single modulation (SM)-SRS with half repetition rate modulation. The case f m = f r /4 give a total sum of 1 as opposed to 3/4 for all other cases. Since the conventional SRS implementation (SM-SRS, f m < f r /2) without modulation gives a factor of 1/2, the increase in shot-noise power is 3/2 and 2 for f m < f r /4 and f m = f r /4, respectively.

The modulation of the pump and Stokes beams for the schemes discussed in this paper, as well as the computed signal and noise powers, are summarized in Table 1. We observe that the power of the SRS signal increase by 2.25 up to 16-fold in dependence of the type of modulation scheme. A more visual explanation for the signal improvement in DM-SRS is provided in Figure 1. In time domain, our modulation schemes try to increase the maximum SRS signal amplitude. The maximum SRS amplitude transfer will arise when both pump and Stokes pulses achieve their maximum peak power. Any set of pulse where the pump or Stokes beams are at an intermediate power level do not contribute as much to the SRS signal, which is measured as the difference between the maximum on and off state. Thus, the pulse energy of intermediate pulses is exploited better if added to those pulses in full "on" state. As a result, one can suppress the pump beam during the time it takes for the Stokes beam to go from it's minimum to maximum value. In the frequency domain one can interpret the results as the aliasing of high frequencies which add to the overall signal strength -see the right column of Fig. 1. Nevertheless, the additional modulation in DM-SRS also introduces noise in dependence of the modulation scheme, even if the modulation itself is perfectly clean. Since the electric noise P Elec does not depend on the modulation scheme, the best improvement in SNR will appear for systems that are limited by their electronic noise. While it would always be beneficial to reduce the electronic noise, the constraints on a SRS system can be such that the measurement is limited by its electronics, e.g. for Epi-SRS featuring weak optical power levels at the detector.

On the contrary, for a SRS system limited by its laser excess noise, the modulation scheme applied to the pump beam will not improve the measurement SNR [15], and a balanced detection or an additional modulation of the Stokes beam will be necessary to further improve the system's SNR. As a less intuitive result, DM-SRS also enhances the shot-noise though the average power and, therefore, the overall number of photons detected is kept constant. This phenomenon can be understood from the impact of the lock-in amplification G(t). In SM-SRS, the SRS signal is multiplied by a cosine at values between -1 and 1. The average absolute value of the modulation is, therefore, 0.5. When laser pulses arrive at the detector in DM-SRS, however, this amplifications is always either 1 or -1 yielding a gain of absolute value 1. Thus, DM-SRS is not only amplifying better the SRS signal but also the shot-noise on top of the laser.

As a limitation of our model, we assume that the Stokes laser (not detected) has no noise. In most case, the noise of the modulated laser is not considered to have dominant impact, since the modulation transfer β is on the order of 10 -4 -10 -6 . For high SNR measurements, however, we can expect that this laser will introduce additional noise that can overpower the noise-level of the detected laser. Second , we assume that the modulation imprinted on both lasers has pure frequency components. While some devices like resonant EOMs may not affect the noise below their resonant frequency, acousto-optic modulators (AOM) can introduces considerable amounts of noise reducing the SNR.

In the following, DM-SRS' predicted signal improvements are demonstrated experimentally for the cases f m = f r /4 with and without pulse picking (i.e. double modulation of a single beam). Figure 2 displays our experimental implementation and modulation scheme. The basic setup was described elsewhere [16]. Briefly, an 80 MHz Yb-fiber laser (APE Emerald engine) is used to pump two optical parametric oscillators (OPO, APE Emerald). OPO1 provides the pump beam and is modulated at

f 1 = f r /2 =

Fig. 1 .

 1 Fig. 1. Double modulation(DM-) SRS scheme: the left and right column show the pump and Stokes beam intensity over time and in Fourier-space, respectively, for different modulation configurations. The pump and Stokes are marked in green and red, respectively. Outlined in black, the SRS-signal is measured as Stimulated Raman Loss (SRL) with I SRS ∝ I p I S and F [I SRS ] ∝ F [I p ] ⊗ F [I S ]. f r and f m are the laser repetition rate and modulation frequency, respectively.

  40 MHz using a resonant EOM (APE, EOM 900) for DM-SRS. For the pulse-picked DM-SRS, the EOM was placed closer to the microscope to allow for modulation of both beams at 40 MHz. The Stokes beam is generated by OPO2 and modulated by an AOM (AA, MT200-B100A0,5-800) at f 2 = f r /4 = 20 MHz. If the Stokes beam is modulated in addition by the EOM a pulsing-picking scenario is created cropping one out of 4 pulses. The light is focused via a 40× objective onto the sample, collected by a condenser lens and detected by a photo-diode (PD, APE SRS photodiode). The latter is coupled to a electrical band pass-filter (Mini-Circuits, BBP-21.4+), to remove the 40 MHz modulation, and connected to a lock-in amplifier (Zurich Instruments, HF2LI) that demodulates the SRS signal at 20 MHz. The pump and Stokes beam were tuned to 2930 cm -1 and focused into olive oil with an average power below 20 mW for both colors combined.

Figure 2 a

 2 Figure2a displays the SRS-signal over 3 s for DM-and SM-SRS for a dwell time of 40 µs. The average power entering the microscope was kept constant for both modulation schemes and colors. Comparing DM-and SM-SRS, it is observed that the signal amplitude is increased by a factor of 1.9 while the average SNR was increased by a factor of 3.4. The SNR improvement close to 4 indicates that the measurement is limited by electrical noise for this particular input power. The difference to the theoretical values of 2 for the signal and 4 for the SNR can be explained by an insufficient modulation of the EOM which may not have achieved a 100 % suppression of every second pulse. To demonstrate the benefit of DM-SRS in application to histopathology samples, we imaged a 10 µm thick human colon section. The corresponding raw images are presented in Fig.2c and 2 e. In contrast to SM-SRS, the improved image quality of DM-SRS allows to distinguish colon crypts as well as the profile of nuclei which is a fundamental requirement for stimulated Raman histopathology applications. For the pulse-picked DM-SRS, we measured as well the signal and noise levels for an oil-sample as highlighted in Fig.2 b. It is found that the signal level increased by a factor of 3.8 while the SNR gained a factor of 15, which is in reasonable agreement with the expected improvement of 4 and 16. To highlight the impact of such an enhancement of SNR, we imaged a human breast tissue section of 20 µm thickness at the Raman resonance of 2930 cm -1 as shown in Fig.2 d and f. While the lipid droplets are clearly visible for both the pulse-picked DM-and SM-SRS images, the structure of the surrounding connective tissue is hardly perceptible in SM-SRS. Thus, pulse-picked DM-SRS significantly increases the image SNR and quality allowing to extract morphological details which would be unrecognizable otherwise. Clearly, this SNR enhancement is readily translated into an improvement of the detection limit of a certain Raman-active molecular group or empowers the user to accelerate the image acquisition.

Fig. 2 .

 2 Fig. 2. Experimental setup and results: The position of the EOM is moved from the OPO1 beam path for DM-SRS into the combined beam path to enable pulse-picked DM-SRS. a) and b) the green and the red lines represent DM-SRS (or pulse picked DM-SRS) and SM-SRS signal, respectively. The photo-diode's dark current is outlined in black. The dash-dotted and dashed black curves are the SNR of DM-and SM-SRS, respectively. e) and f) show the DM-SRS and pulse picked DM-SRS images of a human colon tissue and human breast tissue section, respectively. c) and d) display the corresponding images using SM-SRS for the same average power. Scale bars 20 µm. Pixel dwell time 40 µs.

Table 1 .

 1 Overview about the modulations schemes and theoretical power alterations of the SRS signal, noise contributions and resulting SNR = P SRS /P noise considering a dominant noise source (laser excess, shot-or electrical noise).

		1		1 + cos(4π f m t)	1 + cos(4π f m t)
	P SRS / P Excess / P Shot	1/1/1	2 2 /2 2 /2 1.5 2 /1.5 2 /1.5 2 2 /2 2 /2	4 2 /2 2 /2
	SNR ex / SNR shot / SNR el	1/1/1	1/2/4	1/1.5/2.25	1/2/4	4/8/16

DISCLOSURE

The authors declare no conflict of interest.


Stoimen Stoimenov

Malte Henkel

Meta-Schrödinger and meta-conformal symmetries in the non-equilibrium dynamics of the directed spherical model

New scaling regimes exist, for large distances and sufficiently long-ranged initial conditions, in the kinetics of directed spin models. The spatial length scales are larger than those found in spatially isotropic dynamic scaling. Their dynamical symmetries are given by the meta-conformal and the meta-Schrödinger algebras. These facts are illustrated through the exact solution of the directed spherical model at T ≤ T c and compared with the 1D directed Glauber-Ising model at T = 0.

.

Introduction

Physical ageing in many-body systems can arise after a quenching from some initial (disordered) state, either onto a critical point or else into a two-phase coexistence regime [START_REF] Struik | Physical ageing in amorphous polymers and other materials[END_REF]9,[START_REF] Cugliandolo | Slow relaxations and non-equilibrium dynamics in condensed matter[END_REF][START_REF] Henkel | Non-equilibrium phase transitions vol. 2: ageing and dynamical scaling far from equilibrium[END_REF][START_REF] Täuber | Critical dynamics[END_REF]. This leads to slow relaxation processes, with formally infinite relaxation times. In addition, ageing is characterised in the macroscopic observables by dynamical scaling and by the breaking of time-translation invariance. A central quantity is the time-dependent length scale L = L(t), which for the systems of interest here grows for large times algebraically, according to L(t) ∼ t 1/z where z is the dynamic exponent. Relevant physical observables include two-time correlators C and two-time responses R. In the limit of large times t, s ≫ τ micro (with a microscopic reference time τ micro ) such that t/s > 1, these are constructed from the time-space-dependent order-parameter ϕ (t, r r r) and the conju- gate symmetry-breaking external field h(s, r r r) and are expected to admit dynamical scaling forms C(t, s; r r r) := ⟨ϕ (t, r r r)ϕ (s, 0 0 0

)⟩ = s -b F C ( t s , |r r r| z t + s ) (1a) R(t, s; r r r) := δ ⟨ ϕ (t, r r r) ⟩ δ h(s, 0 0 0) h=0 = s -1-a F R ( t s , |r r r| z t -s ) (1b)
where a, b are system-dependent, but universal, ageing exponents. The time t is called the observation time and s is the waiting time. In almost all cases, one finds an asymptotic algebraic behaviour of the form F C (y, 0) ∼ y -λ C /z and F R (y, 0) ∼ y -λ R /z for y = t/s ≫ 1 and where λ C and λ R are the (universal) auto-correlation and auto- response exponents, respectively. Almost always λ C = λ R = λ are identical. However, further dynamical symmetries are required in order to fix the form of scaling functions F C and F R in [START_REF] Abramowitz | Handbook of Mathematical Functions[END_REF]. These and other generic properties of the scaling functions follow from a new interpretation of broken time-translation-invariance [START_REF] Henkel | Generalised time-translation-invariance in simple ageing[END_REF].

In the scaling forms (1), spatial isotropy and spatial rotation-invariance are implicit. However, one may ask what occurs if in addition to the usual diffusive and spatially isotropic transport, an extra ballistic transport in a preferred direction arises. For simplicity of terminology, we shall restrict to the case of simple diffusive dynamics where the dynamic exponent z = 2. 1 Figure 1 outlines the generic scenario. First, for relatively short spatial distances and times, with r 2 /t = cste. being kept fixed and z = 2, the ballistic anisotropy is not relevant and the scaling form (1) are the well-known one of diffusive scaling. The underlying dynamical symmetry is the one of the Schrödinger group. On the other hand, for larger spatial separations one must distinguish spatial coordinates r ∥ and r r r ⊥ parallel and perpendicular to the preferred direction of ballistic transport. Indeed, if the scaling limit is taken in such a way that

r ∥ /t = cste, r r r ⊥ /t = cste, (2)
the scaling behaviour remains spatially isotropic with a dynamic exponent z = 1 in all directions. It turns out this in this case one has a new dynamical symmetry, the so-called meta-conformal symmetry [START_REF] Henkel | [END_REF]40]. Alternatively, one may take the scaling limit also in a spatially anisotropic way such that

r ∥ /t = cste, r r r ⊥ 2 /t = cste. ( 3
)
which implies a spatially anisotropic dynamic exponent, namely z ∥ = 1 in the preferred direction whereas z ⊥ = 2 in the transverse directions. The dynamical symmetry is the meta-Schrödinger symmetry [54].

What are the physical conditions to be satisfied that these new scaling regimes with their as yet largely unexplored dynamical symmetries are realised ? Here, we shall review recent work in exactly solvable models which illustrate the physical conditions required. This might serve as a guide in future simulational studies.

Extended dynamical scaling is common for equilibrium phase transitions. Indeed, extensions to conformal invariance, especially for two-dimensional systems, leads to spectacular results [5,[START_REF] Di Francesco | Conformal field theory[END_REF][START_REF] Henkel | Conformal invariance and critical phenomena[END_REF][START_REF] Henkel | Conformal Invariance: an Introduction to Loops, Interfaces and Stochastic Loewner Evolution[END_REF][START_REF] Rychkov | EPFL lectures on conformal field theory in D ≥ 3 dimensions[END_REF]. Out of equilibrium, systems undergoing ageing are ideal candidates for analogous extensions, because of their natural dynamical scaling [START_REF] Struik | Physical ageing in amorphous polymers and other materials[END_REF]. For example, in the case of phase-ordering kinetics at T < T c and a microscopic dynamics without any conservation laws ('model A'), one has z = 2 and the Schrödinger algebra [START_REF] Jacobi | Vorlesungen über Dynamik[END_REF][START_REF] Lie | [END_REF] is a good candidate for a dynamical symmetry algebra [27]. It is the maximal finite-dimensional Lie sub-algebra of the infinite-dimensional Schrödinger-Virasoro Lie algebra [30,[START_REF] Unterberger | The Schrödinger-Virasoro algebra: mathematical structure and dynamical Schrödinger symmetries[END_REF]. Schrödingerinvariance furnishes the best known description of recent experiments on the phaseordering kinetics in liquid crystals [START_REF] Almeida | [END_REF], see [START_REF] Henkel | Non-equilibrium phase transitions vol. 2: ageing and dynamical scaling far from equilibrium[END_REF]39] for reviews.

Other possibilities exist for non-trivial dynamical symmetries, see [16,42]. These include dynamical scaling, with either z = 1 (for ortho- [5] and meta-conformal [START_REF] Stoimenov | [END_REF]40,[START_REF] Stoimenov | Lie theory and its applications in physics XIII[END_REF] or conformal-galilean algebras [26,4,3]) or else z = 2 (for the Schrödingerrelated algebras). Dualisation techniques of string theory clarify the nature of npoint functions as either correlators or response functions [30,[START_REF]Algebra, Geometry and Mathematical Physics[END_REF]35,38,41]. Here, we are interested in systems with directed dynamics [START_REF] Schmittmann | Phase transitions and critical phenomena[END_REF][START_REF] Marro | Nonequilibrium phase transitions in lattice models[END_REF]. Their non-equilibrium dynamics has been studied intensively, notably in the directed Ising [20,22,23,24] and the directed spherical models [21]. As we shall see, long-ranged spatial initial correlations are essential for the physical realisation of meta-conformal or meta-Schrödinger symmetries [40,42].

This work is organised as follows. Section 2 recalls the exact solution of the directed spherical model from which section 3 finds the two-time correlators and responses, with long-range initial correlations. Section 4 lists the meta-conformal and meta-Schrödinger generators in Fourier space, used in section 5 to predict the co-variant two-point correlation/response functions and compare them with the directed spherical model, and the 1D Glauber-Ising model. We conclude in section 6.

Directed spherical model

The directed spherical model will serve as illustration for the realisation of dynamical symmetries in directed spin models, at temperatures T ≤ T c . We begin by recalling the main lines of the computation of two-time correlators and responses [21].

Consider continuous spin variables S n n n (t) ∈ R on the sites n n n of a lattice, subject to the spherical constraint ∑ n n n∈Λ ⟨ S n n n (t) 2 ⟩ = |Λ |, the number of sites of the hyper-cubic lattice Λ ⊂ Z d . In the |Λ | → ∞ limit, these become S = S(t, r r r) ∈ R and obey the equations of motion (with nearest-neighbour interactions and the habitual scalings) ] +z(t)S(t, r r r)+η(t, r r r) (4) with the centred white noise η = η(t, r r r) and the Lagrange multiplier z(t) to enforce the spherical constraint. The directional bias is given by v v v and e e e a is the unit vector in direction a = 1, . . . , d. From now on, one rotates axes such that v v v = ve e e 1 .

∂ t S(t, r r r) = d ∑ a=1 [ ( 1+v
The formal solution is in Fourier space, generalising the non-biased case [13,[START_REF] Godrèche | [END_REF] S(t, q q q) = e -Ω (q q q)t-Z(t) ( S(0, q q q) + ∫ t 0 dτ e Ω (q q q)τ+Z(τ) η(τ, q q q) ) (5a)

Ω (q q q) = ω(q q q) + 2iv sin

q 1 = 2 d ∑ a=1 ( 1 -cos q a ) + 2iv sin q 1 , (5b)
with q q q = (q 1 , q q q ⊥ ) ∈ R ⊗ R d-1 . The two-time correlator C(t,t ′ ; q q q) is found from ⟨ S(t, q q q) S(t ′ , q q q ′ ) ⟩ = (2π) d δ (q q q + q q q ′ ) C(t,t ′ ; q q q) (6a) ⟨ η(t, q q q) η(t ′ , q q q ′ ) ⟩ = 2T (2π) d δ (tt ′ )δ (q q q + q q q ′ ) (6b) along with ⟨ η(t, q q q)⟩ = 0. Let ln g(t) = 2 ∫ t 0 dτ z(τ) to find the single-time correlator C(t, q q q) := C(t,t, q q q) = e -2ω(q q q)t g(t) ( C(0, q q q) + 2T ∫ t 0 dτ e 2ω(q q q)τ g(τ)

)

The spherical constraint reads 1 (2π) d ∫ B dq q q C(t, q q q) = 1 with the Brillouin zone B = [-π, π] d . It turns into a Volterra integral equation for g(t), together with [START_REF] Picone | [END_REF]

g(t) = A(t) + 2T ∫ t 0 dτ f (t -τ)g(τ) (8a) f (t) = 1 ( 2π ) d ∫ B dq q q e -2ω(q q q)t , A(t) = 1 ( 2π ) d ∫ B
dq q q C(0, q q q) e -2ω(q q q)t (8b)

From this, the critical temperature is readily found to be bias-independent

conditions 𝟋 T = T c 2 < d < 2 -α -1 -α/2 T = T c 2 -α < d < 4 d/2 -2 T = T c 4 < d 0 T < T c 2 < d -(d + α)/2
Table 1 Exponent 𝟋 in the directed spherical model, for temperatures T ≤ T c .

T c = T c (d) = 2 / ∫ ∞ 0 du ( e -4u I 0 (4u) ) d ( 9
)
such that T c (d) > 0 for d > 2 [START_REF] Godrèche | [END_REF]21], where I 0 (u) is a modified Bessel function [START_REF] Abramowitz | Handbook of Mathematical Functions[END_REF].

The new ingredient [42] are long-range initial correlations, in the auxiliary function A(t). We admit a disordered initial state in the transverse directions but longrange initial correlations in the preferred direction, such that for small momenta

C(0, q q q) = C(0, q 1 , q q q ⊥ ) = c α q 1 α , -1 < α < 0 ( 10
)
with a positive constant c α > 0. This goes beyond the case α = 0 studied before where

A(t) = f (t) = ( e -4t I 0 (4t)
) d [21]. An asymptotic analysis for the constraint (8a) shows that for T ≤ T c one has the long-time behaviour g(t) ∼ t 𝟋 , where the values of 𝟋 are given in table 1 [42]. It is independent of the bias v v v [21], but depends through α on the initial correlations (10). Then the Lagrange multiplier z(t) ≃ 𝟋 2 1 t . Then the leading scaling behaviour of eq. ( 4) can be derived from the equation

∂ t S(t, r r r) = ∆ r r r S(t, r r r) -2v v v • ∇ ∇ ∇ r r r S(t, r r r) + 𝟋 2t S(t, r r r) + η(t, r r r). ( 11
)
We shall investigate below its dynamical symmetries.

Observables are now immediately found. The two-time correlator is [21] C(t, s; q q q) = exp (-Ω (q q q)t -Ω (-q q q)s) √ g(t)g(s) ( C(0; q q q) + 2T ∫ s 0 dτ e 2ω(q q q)τ g(τ)

)

in Fourier space. The response function is found by adding a magnetic perturbation δ H = ∑ r r r h(t, r r r)S(t, r r r) to the hamiltonian which amounts to replacing η → η + h in (4). Adapting (5a), this gives [START_REF] Godrèche | [END_REF]21,[START_REF] Picone | [END_REF][START_REF] Hase | Dynamics of a mean spherical model with competing interactions[END_REF]37,42] R(t, s, q q q) = δ ⟨ S(t, q q q) ⟩ δ h(s, q q q) h=0 = e -Ω (q q q)(t-s) √ g(s) g(t) (13) which depends on the initial conditions (10) only indirectly through the value of α.

Time-space responses and correlators

Working out observables in the scaling limits (2,3) is rendered more simple in Fourier space. The dispersion relation (5b) is in the limit of low momenta

Ω (q q q) = 2 d ∑ a=1 ( 1 -cos q a ) + 2iv sin q 1 ≃ ( q 2 1 + q q q 2 ⊥ ) + 2ivq 1 ( 14
)
and we decompose q q q = ( q 1 , q q q ⊥ ) ∈ R d into preferred and transverse components.2 First, consider the two-time response function. We study the scaling limits: (A) The meta-conformal scaling limit (2) when τ = ts → ∞ and q a → 0 such that (t -s)q a is kept fixed in all spatial directions a = 1, 2, . . . , d. Then Ω (q q q) ( t -s

) ≃ 2ivq 1 ( t -s ) + .
. ., up to corrections to scaling, and we find R(t, s; q q q) = e -2ivq 1 (t-s) ( s t

) 𝟋/2 (15a) R(t, s; r r r) = 1 2v ( t -s ) -d ( t s ) -𝟋/2 δ ( r 1 2v(t -s) -1 ) δ (d-1) ( r r r ⊥ t -s ) (15b)
where δ denotes the Dirac distribution [START_REF] Gelfand | Generalised functions[END_REF]. The cases T < T c (d) and the different regimes at T = T c (d) are merely distinguished by the value of 𝟋, see table 1.

(B) The meta-Schrödinger scaling limit (3) when τ = ts → ∞ and q a → 0 such that (ts)q 1 as well as (ts)q 2 a are kept fixed for a = 2, . . . , d. Then Ω (q q q)

( t -s ) ≃ 2ivq 1 ( t -s ) + q q q 2 ⊥ (t -s) + .
. ., up to corrections to scaling. The two-time response is R(t, s; q q q) = e -2ivq 1 (t-s)-q q q 2 ⊥ (t-s)

( s t ) 𝟋/2 (16a) R(t, s; r r r) = π 1/2 v R [ms] (t, s) δ ( 1 2v
r 1 t -s -1
) exp

[ - r r r 2 ⊥ 4(t -s) ] (16b) with the autoresponse R [ms] (t, s) = ( 4πs ) -(d+1)/2 ( t s -1 ) -(d+1)/2 ( t s
) -𝟋/2 which is of the same form as for un-biased case [START_REF] Godrèche | [END_REF][START_REF] Picone | [END_REF], but with different scaling dimensions. Again, the different cases of T ≤ T c (d) are distinguished by the value of 𝟋.

Next, we analyse the two-time correlator, which in Fourier space is given by ( 12) with its contributions of the initial noise and thermal noise, respectively. Using the low-energy dispersion [START_REF] Cugliandolo | Slow relaxations and non-equilibrium dynamics in condensed matter[END_REF] and and the initial condition (10) we find

C(t, s; q q q) = exp [ -2ivq 1 (t -s) -q q q 2 ⊥ (t + s) ] g ∞ ( ts ) 𝟋/2 ( c α q 1 α + 2T ∫ s 0 dτ e 2q q q 2 ⊥ τ ( A 0 M 2 δ (τ) + g ∞ τ 𝟋 )) = exp [ -2ivq 1 (t -s) -q q q 2 ⊥ (t + s) ] ( ts
) 𝟋/2 ( c α g ∞ q 1 α + 2T 1 + 𝟋 s 1+𝟋 1 F 1 ( 1 + 𝟋, 2 + 𝟋; 2q q q 2 ⊥ s ) ) (17)
where 1 F 1 is a Kummer function [START_REF] Abramowitz | Handbook of Mathematical Functions[END_REF]. In the first line, we recognise that the singular term ∼ A 0 δ (τ) produces for α < 0 merely a correction to scaling. As to the two scaling limits, in the meta-conformal limit, we have q q q 2 ⊥ s → 0 and in the meta-Schrödinger limit, q q q 2 ⊥ s is finite. In [START_REF] Di Francesco | Conformal field theory[END_REF], the initial correlator is more relevant, if

α ! < -1 -𝟋 (18)
Using table 1, we can distinguish the following situations for T ≤ T c (d) [42]:

1. For T < T c (d), we should have α ! < d -2.
Since d > 2 is needed to have a nonvanishing T c (d), and α < 0 that condition is automatically satisfied and thermal noise is irrelevant in the entire ordered phase. This leads to the following scaling forms of the two-time correlator:

1. First, if the initial noise is relevant, the momentum-space two-point correlator is

C(t, s; q q q) = c α g ∞ exp[-2ivq 1 (t -s) -q q q 2 ⊥ (t + s)] (ts) 𝟋/2 q 1 α ( 19
)
but the form in direct space does depend on the scaling limit to be taken.

(A) In the meta-conformal limit (2), the term q q q 2 ⊥ (t + s) → 0, so that the scaling form in time-space of the two-point correlator is

C(t, s; r r r) = 1 (2π) d ∫ R d dq q q e iq q q•r r r c α g ∞ exp[-2ivq 1 (t -s)] (ts) 𝟋/2 q 1 α = C (0) ( ts ) -𝟋/2 r 1 -2v(t -s) -α-1 δ (d-1) (r r r ⊥ ) (20)
with the constant

C (0) := c α 2πg ∞ ∫
R dq 1 e iq 1 q 1 α (this is a distribution [START_REF] Gelfand | Generalised functions[END_REF]).

(B) In the meta-Schrödinger limit (3), we rather have

C(t, s; r r r) = 1 (2π) d ∫ R d dq q q e iq q q•r r r c α g ∞ exp[-2ivq 1 (t -s) -q q q 2 ⊥ (t + s)] (ts) 𝟋/2 q 1 α (21) = C [0] ( ts
) -𝟋/2 r 1 -2v(t -s) -α-1 ( t + s ) -(d-1)/2 exp [ - 1 4 r r r 2 ⊥ t + s ]
with a constant C [0] which we do not specify.

Relevant initial noise occurs (i) either if

T < T c (d), or else (ii) if T = T c (d) if either d < 2 -α or else for 2 -α < d < 4 if α < 1 -d/2. 2.
Second, if the thermal noise is relevant, we rather find

C(t, s; q q q) = exp [ -2ivq 1 (t -s) -q q q 2 ⊥ (t + s) ] ( ts
) 𝟋/2 2T c (d) ∫ s 0 dτ e 2q q q 2 ⊥ τ τ 𝟋 = 2T c (d) 1 + 𝟋 s ( s t
) 𝟋/2 e -2ivq 1 (t-s)-q q q 2 ⊥ (t+s)

1 F 1 ( 1 + 𝟋, 2 + 𝟋; 2q q q 2 ⊥ s ) (22)
reduces to the un-biased correlator, up to a small damping term. This is the situation which has been discussed in detail in the littérature [21]. This occurs at criticality if either d > 4 or else for 2

-α < d < 4 if α > 1 -d/2
and notably for all dimensions d > 2 for short-ranged initial correlations where α = 0.

Proposition 1: [42] In the directed spherical model at T ≤ T c , with long-ranged initial correlations (10) in the preferred direction, there exists a ballistic scaling regime, for distances larger than for diffusive scaling. The dynamic exponent is isotropically z = 1 for a meta-conformal scaling limit [START_REF] Almeida | [END_REF] or z ∥ = 1 and z ⊥ = 2 in the preferred/transverse directions for a meta-Schrödinger scaling limit (3).

Representations in Fourier space

We need the representations of meta-conformal [40] and meta-Schrödinger algebras [54] in Fourier space. For notational simplicity, we use one 'parallel' or preferred direction x → q ∥ =: q and one 'perpendicular' or transverse direction y → q ⊥ =: p in Fourier space. For the meta-Schrödinger algebra, scaling operators transform as

Φ(t, x, y) = 1 4π 2 ∫ R 2 dqdpe i(xq+yp) Φ(t, q, p) , Φ(t, q, p) = ∫ R 2
dxdye -i(xq+yp) Φ(t, q, p) (23) and from this follows the correspondence between differential operations3

∂ x → iq, x → i∂ q , x 2 → -∂ 2 q , ∂ 2 x → -q 2 , x∂ x → -q∂ q -1
Furthermore, for application to non-equilibrium dynamics, it turns out that a further change of representation is necessary [54,42,[START_REF] Henkel | Generalised time-translation-invariance in simple ageing[END_REF] X n → e ξ lnt X n e -ξ lnt , Y n → e ξ lnt Y n e -ξ lnt (24) which also implies a corresponding change in the Schrödinger operator

S → e ξ lnt S e -ξ t = S -ξ /t ( 25
)
since S is a first-order differential operator in t. In the spherical model, with the effective long-time equation of motion (11), we can identify ξ = 𝟋/2. Now we are able to write the generators of meta-conformal and meta-Schrödinger algebra 4 , in Fourier space, that is acting on Φ defined in (24).

The meta-conformal algebra in Fourier space

In order to find the n-point functions of quasi-primary scaling operators, the generators of the finite-dimensional algebras are required. We have using (24) [54, 42]

X -1 = -∂ t + ξ /t, X 0 = -t∂ t + q∂ q -δ + ξ + 1 X 1 = -t 2 ∂ t + iβ q∂ 2 q + 2tq∂ q -2i(γ -β )∂ q -(2δ -ξ -2)t Y -1 = -iq, Y 0 = -itq + β q∂ q -(γ -β ) Y 1 = -it 2 q + 2βtq∂ q -2iβ (γ -β )∂ q + iβ 2 q∂ 2 q -2t(γ -β ) ( 26
)
where we set d ⊥ = 1 for simplicity. Meta-conformal generators do not contain the transverse momentum p. The scaling operators on which these generators act are each characterised by the scaling dimensions δ , ξ and the rapidity γ. The equilibrium ('standard') representation is recovered by setting ξ = 0.

The meta-Schrödinger algebra in Fourier space

For quasi-primary scaling operators in Fourier space, we have for d ⊥ = 1 [54]:

X -1 = -∂ t + ξ /t, X 0 = -t∂ t + q∂ q + p 2 ∂ p -δ + ξ + 3 2 X 1 = -t 2 ∂ t + iβ q∂ 2 q + 2tq∂ q -2i(γ -β )∂ q + t p∂ p + M 2 ∂ 2 p -(2δ -ξ -3)t Y (∥) -1 = -iq, Y (∥) 0 = -itq + β q∂ q -(γ -β ) Y (∥) 1 = -it 2 q + 2βtq∂ q -2iβ (γ -β )∂ q + iβ 2 q∂ 2 q -2t(γ -β ) Y (⊥) -1 2 = -ip, Y (⊥) 1 2 = -it p -iM ∂ p , M 0 = -M (27)
Spatial rotation-invariance allows a trivial generalisation to d ⊥ ≥ 1 transverse dimensions. Notice that the transverse momentum p not only appears in the generators X n but also leads to the appearance of the additional generators

Y (⊥) ± 1 2
and M 0 .

The equilibrium ('standard') representation is recovered by setting ξ = 0.

Two-point functions and comparison with the spherical model

In Fourier space one has for the covariant two-point functions F = F [2] (t a ,t b , q a , q b , p a , p b ) = ⟨ Φ(t a , q a , p a ) Φ(t b , q b , p b ) ⟩

where the scaling operators Φ are quasi-primary, i.e. transform covariantly with respect to the maximal finite-dimensional subalgebra of the meta-conformal algebra (26) or of the meta-Schrödinger algebra (27). The Ward identities readily follow since the transformation terms are already included in the generators.

Meta-conformal covariant two-point functions

We first look for the form of two-point function covariant under representation ( 26) of meta-conformal algebra. Here time-translation-invariance is explicitly broken via the time-dependence of the generator X -1 = e ξ lnt ( -∂ t ) e -ξ lnt = -∂ t + ξ /t, obtained from the standard time-translations -∂ t . The co-variance under X -1 leads to the following equation for the two-point function F = F(τ, u, q a , q b ), after a change of variables τ = t at b and u

= t a /t b ( (u -1)u∂ u + ξ a + uξ b ) F(τ, u, q a , q b ) = 0 (29)
Integrating ( 29), the u-dependence is determined

F(τ, u, q a , q b ) = u ξ a (u -1) -ξ a -ξ b δ (q a + q b ) f (τ, q a ) (30)
where spatial translation-invariance is also taken into account. Herein, the function f (τ, q a ) satisfy the system of covariance conditions under X 0 and Y 0 ;

(τ∂ τ -q a ∂ q a + δ a + δ b -1 -ξ a -ξ b -1) f (τ, q a ) = 0 (31a) (iτq a -β a q a ∂ q a + γ a + γ b -β b ) f (τ, q a ) = 0 (31b)
together with β = β a = β b . The solution of the above system is

f (τ, q a ) = F 0 τ -δ a -δ b +(γ a +γ b )/β q (γ a +γ b )/β -1 a exp ( i β τq a ) (32)
Finally, the covariance under X 1 and Y 1 merely gives the constraints

δ a = δ b = δ , γ a = γ b = γ. ( 33
)
and the final result for the two-point function covariant under representation (26) of meta-conformal algebra is (F 0 is an undetermined normalisation constant)

F [2] (t a ,t b , q a , q b ) = F 0 δ (q a +q b )t ξ a a t ξ b b ( t a -t b ) -δ a -δ b +2γ/β q 2γ/β -1 a exp ( iq a β (t a -t b )
) .

(34) The analogous result of equilibrium dynamics is recovered by setting ξ a = ξ b = 0.

Correlators and meta-conformal invariance

Meta-conformal invariance predicts the form of the two-point correlator C = ⟨ ΦΦ ⟩ [START_REF]Algebra, Geometry and Mathematical Physics[END_REF]35,[START_REF] Henkel | Lie Theory and its Applications in Physics X[END_REF]38,41,[START_REF] Stoimenov | Lie theory and its applications in physics XIII[END_REF] of quasi-primary scaling operators Φ. Therefore, we compare the explicit spherical model correlator [START_REF] Di Francesco | Conformal field theory[END_REF] with the prediction (34) of metaconformal invariance. Since the spherical model result [START_REF] Di Francesco | Conformal field theory[END_REF] has two contributions, one from the initial noise and one from the thermal noise, two cases must be distinguished, depending on the relevance of both terms, according to the criterion [START_REF] Gelfand | Generalised functions[END_REF]. In the first case, when the initial noise is relevant, it is enough to compare [START_REF] Godrèche | [END_REF] with the meta-conformal prediction [START_REF]Algebra, Geometry and Mathematical Physics[END_REF]. From the exponential factors and the momentum-dependence, we read off

1 β = -2v , 2γ 1 β = 1 + α (35)
and comparison of the exponents of the time-dependent factors leads to

ξ 1 = ξ 2 = - 𝟋 2 , δ 1 + δ 2 - 2γ 1 β = 0 (36)
which gives for the scaling dimension and the rapidity

δ 1 = δ 2 = 1 + α 2 > 0 , γ 1 β = γ 2 β = 1 + α 2 (37)
It is satisfying that the scaling dimensions δ 1 = δ 2 come out to be positive. We also find that the second scaling dimension ξ 1 = ξ 2 = -𝟋/2 > 0 does not vanish. Its value depends in general on the initial correlator through α, with the only exception at T = T c (d) and 2 -α < d. Proposition 2: In the directed spherical model with relevant long-ranged initial conditions (10), a meta-conformal scaling regime ( 2) exists (i) either for quenches to T < T c (d) for all α < 0 (ii) or else for quenches to

T = T c (d) where d < 2 -α and -1 < α < 0 or for 2 -α < d < 4 and -1 < α < 1 -d/2.
In the second case, the thermal noise is relevant and we now compare (22) with the prediction [START_REF]Algebra, Geometry and Mathematical Physics[END_REF], where we take into account that q q q 2 ⊥ s → 0 in the meta-conformal scaling limit. As before, comparison of the exponential factors and the momentumdependence would lead to 1/β = -2v and 2γ 1 /β = 1. Then, identifying the powerlaw terms in t and s, we would read off ξ 1 = -𝟋 2 and 2δ = 1. If true, this would imply δ 1 = δ 2 = 1 2 and ξ 2 = 1 -ξ 1 = 1 + 𝟋/2. The finding ξ 1 ̸ = ξ 2 is incompatible with a correlator of two identical scaling operators. Proposition 3: In the directed spherical model with relevant thermal noise, a metaconformal scaling regime does not exist.

Meta-Schrödinger covariant two-point functions

For simplicity, consider first the equilibrium case ξ a = ξ b = 0. Write the Ward identities for the two-point function F [2] (t a ,t b , q a , q b , p a , p b ) = ⟨ Φ(t a , q a , p a ) Φ(t b , q b , p b ) ⟩

Co-variance under

X -1 , M 0 ,Y (∥) -1 ,Y (⊥) -1 2
gives (again with τ = t at b )

F [2] (t a ,t b , q a , q b , p a , p b ) = δ (M a + M b )δ 1 (q a + q b )δ (p a + p b ) f (τ, q a , p a ) (39)
Next, co-variance under the generators X 0 ,Y

(∥) 0 ,Y (⊥) 1 2
produces the system

( τ∂ τ -q a ∂ q a - p a 2 ∂ p a + δ a + δ b + 3 2
)

f (τ, q a , p a ) = 0 (40a) ( iτq a -β a q a ∂ q a + γ a + γ b -β b ) f (τ, q a , p a ) = 0 (40b) ( τ p a + M a ∂ p a ) f (τ, q a , p a ) = 0. ( 40c
)
where β = β a = β b and which has the solution, unique up to a factor F 0 :

f (τ, q a , p a ) = F 0 τ -δ a -δ b +(γ a +γ b )/β + 1 2 q (γ a +γ b )/β -1 a exp ( i β τq a - p 2 a 2M a τ ) (41)
Finally the covariance under X 1 and Y (∥)

1 reproduces [START_REF] Henkel | Conformal Invariance: an Introduction to Loops, Interfaces and Stochastic Loewner Evolution[END_REF]. Going via [START_REF] Hase | Dynamics of a mean spherical model with competing interactions[END_REF] to the non-equilibrium representation with ξ a , ξ b ̸ = 0, we find [42] F [START_REF] Almeida | [END_REF] (t a ,t b , q a , q b , p a ,

p b ) = F 0 δ (M a + M b )δ (q a + q b )δ (p a + p b )× (42) ×t ξ a a t ξ b b ( t a -t b ) -δ a -δ b +2γ/β +d ⊥ /2 q 2γ/β -1 a exp ( iq a β (t a -t b ) - p 2 a 2M a (t a -t b )
)

with the constraint [START_REF] Henkel | Conformal Invariance: an Introduction to Loops, Interfaces and Stochastic Loewner Evolution[END_REF]. Assuming rotation-invariance in the transverse directions, we have also restored an arbitrary transverse dimension d ⊥ = d -1 ≥ 1.

Responses and meta-Schrödinger invariance

Meta-Schrödinger invariance predicts the form of the two-point response [54], written as a correlator of the order parameter Φ with a response operator Φ, and both assumed quasi-primary, such that R = ⟨ Φ Φ ⟩ . The comparison must be done between the explicit spherical model result (16a) and the prediction (42) of meta-Schrödinger invariance. Comparing the exponential factors, we identify

1 β = -2v , M 1 = 1 2 (43)
and comparison of the algebraic prefactors further leads to, using also ( 33)

ξ 1 = -ξ 2 = 𝟋 2 , δ 1 = δ 2 = 1 2 + d ⊥ 4 = d + 1 4 , γ 1 β = γ 2 β = 1 2 (44)
and using the values of 𝟋, listed in table 1. We finally have the scaling dimensions δ = δ 1 of the order parameter, δ = δ 2 of the response operator, the second scaling dimensions ξ = -ξ = ξ 1 (in agreement with eq. ( 11)) and the rapidities γ/β = γ/β = 1 2 . These identifications hold for all temperatures T ≤ T c (d) and all dimensions d > 2 and it is satisfying that always δ > 0 and δ > 0. The identity δ = δ is expected from local scale-invariance [START_REF] Henkel | [END_REF][START_REF] Henkel | Generalised time-translation-invariance in simple ageing[END_REF]. Proposition 4: In the directed spherical model, in the meta-Schrödinger scaling limit (3), the scaling two-response function perfectly reproduces for all initial conditions (10) the prediction of meta-Schrödinger invariance.

Conclusions

We have been investigating the existence of new scaling regimes in the relaxational dynamics of spin models with a directional bias in the interactions. At the time of writing, information on this question only exists from two exactly solvable models, namely the d > 2 directed spherical model [21,42] (studied here) and the directed 1D Glauber-Ising model quenched to the temperature T = T c = 0 [20,22,40]. The admissible reaction rates in the latter model are illustrated in figure 2 and are symmetric under a global reversal of all spins. Without a bias, these models always have z = 2, with the Schrödinger group (and the representations ( 24)) as dynamical symmetry [START_REF] Henkel | Non-equilibrium phase transitions vol. 2: ageing and dynamical scaling far from equilibrium[END_REF]. This is realised in the isotropic scaling regime where t → ∞, r r r → ∞ and where r r r 2 /t is kept fixed. In the presence of a directional bias either a meta-conformal or else a meta-Schrödinger Lie algebra are candidates for a new dynamical symmetry, which however can only be realised in one of the scaling limits (2) or (3), respectively, as is illustrated in figure 1.

The supplementary condition required for either meta-conformal or meta-Schrödinger-invariance is the presence of long-ranged initial correlations (10) in the pre-

(1 -v) (1+ v) 2 2 1 1 - - (a) γ γ (1 -) (1+ ) 2 1 2 - - 1 (b) γ γ
Fig. 2 Reaction rates in the biased 1D Glauber-Ising model, with γ = tanh 2 T and the bias 0 ≤ v ≤ 1. The flip rates of the central spin (in red) only depend on its two nearest neighbours (in green). ferred direction, of the form C ( 0; r ∥ , r r r ⊥ ) ∼ r ∥ -ℵ , with 0 < ℵ = 1 +α < 1 [40,42].

If the initial correlations are more relevant than thermal noise, then meta-conformal invariance arises for sufficiently long-ranged initial correlations, otherwise the dynamical symmetry is given by the meta-Schrödinger algebra. From the available evidence, we arrive at the following scenario: Meta-conformal invariance occurs 1. at T < T c (d) for any kind of initial correlations. The spherical model orderparameter scaling operator Φ is characterised by

δ = 1 + ℵ 4 > 0 , γ β = ℵ 2 , ξ = d -1 + ℵ 4 ( 45
)
2. at T = T c (d) for relevant initial correlations. In the spherical model, when

if 2 < d < 3 -ℵ : δ = ℵ 2 = γ β > 0 , ξ = 1 + ℵ 4 (46a) if 3 -ℵ < d < 4 -2ℵ : δ = ℵ 2 = γ β > 0 , ξ = 1 - d 4 (46b)
but in the 1D Glauber-Ising model at T = 0, we rather find

if 0 < ℵ < 1 2 : δ = ℵ 2 = γ β > 0 , ξ = 0 (46c)
with a similar result for δ in all known cases [START_REF] Malvania | [END_REF].

There is no meta-conformal invariance in these directed spin models if the above conditions on the initial correlations are not met. In that case, at very large distances meta-Schrödinger-invariance (3) will hold instead, which predicts the two-time response functions R = ⟨ Φ Φ ⟩ for all T ≤ T c . In the spherical model

δ = δ = d + 1 4 > 0 , γ β = γ β = 1 2 , ξ = -ξ = - 𝟋 2 (47)
Figure 1 gives a schematic view of these new regimes of dynamical scaling. It illustrates the scaling limits to be taken in either the preferred spatial direction (r ∥ ) or else the transverse spatial direction (r ⊥ ) as compared to the characteristic times scales τ, see eqs. [START_REF] Almeida | [END_REF]3). If both r ∥ ∼ r ⊥ ∼ τ 1/2 are relatively small, then the re- laxation dynamics of the spherical model is described by Schrödinger-invariance.

If larger distances are considered such that anisotropically r ∥ ∼ τ but r ⊥ ∼ τ 1/2 , the dynamical symmetry become meta-Schrödinger-invariance. Finally, if both distances become isotropically large r ∥ ∼ r ⊥ ∼ τ, together with sufficiently long-ranged initial correlation in the preferred direction, then the dynamical symmetry is metaconformal invariance.

This physical picture should give indications where to look for these new scaling regimes in further spin models, notably in the two-dimensional directed Ising model [23,24], and beyond those relatively rare cases where exactly solutions are readily available. Since the dynamic exponent z = 1 also arises in the non-equilibrium dynamics of quantum systems [10,11,[START_REF] Delfino | [END_REF] or emergent hydrodynamics [12,49,[START_REF] Malvania | [END_REF]6] it would be interesting to see if in such systems evidence for meta-conformal or meta-Schrödinger invariance could be found.

Fig. 1

 1 Fig.1Scaling regimes in the directed spherical model for spatial distances r ∥ and r ⊥ as compared to the characteristic length scales τ 1/2 and τ. Conveniently long-ranged initial correlations in the preferred direction are necessary for the existence of the meta-conformal scaling regime.

  a )S(t, r r r -e e e a )+(1-v a )S(t, r r r +e e e a )-2S(t, r r r)

2 .

 2 For T = T c (d) and 2 < d < 2 -α, the condition[START_REF] Gelfand | Generalised functions[END_REF] leads to α ! < α/2 < 0. Hence at criticality with 2 < d < 2 -α thermal noise is always irrelevant.3. ForT = T c (d) and 2 -α < d < 4, we find from (18) that α ! < 1d/2.Only for these values of α, with an initial spatial correlator decaying more slowly than C n (0) ∼ |n| -(2-d/2) , the initial noise is relevant and the thermal noise generates a correction to scaling. But if 0 > α > 1d/2, the thermal noise is relevant.4. For T = T c (d) and d > 4, we have 𝟋 = 0, hence α ! < -1. This is impossible. Hence thermal noise is always relevant: the usual mean-field behaviour.

Formally un-bounded two-point functions in direct space in the meta-conformal and meta-Schrödinger cases are regularised by dualising the generators, see[38,41,42] for details.

Similarly for y. This also implies rules such as r r r 2 ∂ r r r = r r r • (r r r∂ r r r ) → i∂ q q q • (-q q q∂ q q q -d), where d is the number of the space dimensions.

Technically, we restrict to case α = 0 for both algebras, see[40,

54] for details.

Acknowledgements: We thank the PHC Rila for financial support (51305UC).