Eric Ch

Christophe Desceliers

Claudine Delcarte

Benoît Trouette

Fr Éd Éric Doumenc

B Éatrice Guerrier

SENSITIVITY OF DIFFUSIVE-CONVECTIVE TRANSITION TO THE INITIAL CONDITIONS IN A TRANSIENT B ÉNARD-MARANGONI PROBLEM

Sensitivity of a transient Bénard-Marangoni problem is studied using stochastic models to simulate the uncertainties of thermal initial conditions. Using different assumptions, three probabilistic models are developed and compared. Statistics are performed on flow velocities and temperatures. Transitions are examined with respect to the stochastic models.

INTRODUCTION

The drying of a solution involves mass, momentum and energy exchanges between the liquid film and the surrounding gas. Phase change of the volatile component modifies the thickness of the fluid layer, the different concentrations in the solution close to the free surface, and therefore the local physical properties of the fluid mixture, and also the temperature at the interface due to the vaporization latent heat. These mass and thermal imbalances are able to create convective motions driven by buoyancy and capillary forces. Numerous authors have studied buoyant and capillary flows for volatile or nonvolatile fluids, using the linear stability approach or direct numerical simulations [START_REF] Médale | Numerical simulation of Bénard-Marangoni convection in small aspect ratio container[END_REF][START_REF] Ozen | The physics of evaporative and convective instabilities in bilayer systems: linear theory[END_REF][START_REF] Moussy | Influence of evaporation on Bénard-Marangoni instability in a liquidgas bilayer with a deformable interface[END_REF]. Thus, more or less complicated numerical models have been erected but usually with the idea that steady flows would develop or by expecting quasi-steady regimes.

The key point of the drying of a solution is that the flow is transient by nature. From the fluid at rest, a transient diffusive regime takes place. During the temporal evolution, the dimensionless parameters may exceed temporarily critical values and thus perturbations can linearly grow around a transient basic state on a time interval before they decrease and disappear for long times. The notion of stability thus needs to be revisited. One way to do is to freeze successively in time the basic solution and then to compute the instantaneous growth rate of the dominant disturbance. The interpretation of frozen time results may however be problematic, specially when the growth rate of the linear perturbation is larger than the characteristic time of the basic flow. Other methods, like the non normal approach, takes into account the transient character of the problem explicitly [START_REF] Doumenc | Rayleigh-Bénard-Marangoni convection due to evaporation: a linear non-normal stability analysis[END_REF]. In this last method, the idea is to seek the initial disturbance that provides the maximum amplification of the kinetic or/and thermal energy. The critical parameter is then defined when this amplification exceeds one and reaches an arbitrary chosen value.

For experimental works or direct numerical simulations, the appearance of instabilities during the drying is also linked to the magnitude of the disturbances. Whereas the absolute control of perturbations is illusive in experimental works, it can almost be reached in numerical approaches by using very precise numerical schemes. Because such a numerical solution is in disagreement with experimental results where convection is observed, perturbations must be explicitly added in the numerical simulations in order to simulate the physical disturbances. The main question is how to reproduce these disturbances numerically, while they are usually out of control of experimentalists.

The aim of this paper is to study the sensitivity of fluid flows and transitions between diffusive and convective states as a function of initial disturbances. The paper is divided as follows. The thermal model of the drying of a solution is first introduced, then three uncertainty models for the thermal initial condition are described. The next section is devoted to the presentation of results before a conclusive section.

PHYSICAL AND NUMERICAL MODELS Thermal model of drying -Transient B énard-Marangoni problem

The simulations presented in this paper are based on drying experiments of a Polyisobutylene (PIB)/Toluene mixture. The polymer solution at the ambient temperature is poured in a dish located under an extractor hood [START_REF] Toussaint | Experimental characterization of buoyancy-and surface tension-driven convection during the drying of a polymer solution[END_REF]. The physical model under consideration corresponds to the beginning of the drying only, when the convective motions have been experimentally shown to be driven by thermal gradients [START_REF] Toussaint | Experimental characterization of buoyancy-and surface tension-driven convection during the drying of a polymer solution[END_REF]. Thus for the sake of simplicity, the polymer mass fraction is assumed frozen, equal to its initial value, and the interface velocity is neglected. The evaporation at the free surface is taken into account through a global heat transfer coefficient H th between the ambient air and the fluid interface. More details upon assumptions can be found in [START_REF] Touazi | Simulation of transient Rayleigh-Bénard-Marangoni convection induced by evaporation[END_REF]. In a first attempt and in order to reduce the computational cost, the numerical analysis is restricted to two-dimensional problems. The liquid film is located in a rectangular domain of length L and thickness e. No-slip conditions are imposed on the adiabatic lateral and bottom solid walls. The dimensionless velocity v( x,t) = u( x,t) e x + v( x,t) e y and temperature θ( x,t) fields are solutions of the Navier-Stokes and energy equations under the Boussinesq approximation:

∇. v = 0 ∂ ∂t v + ∇ • ( v ⊗ v) = -∇p + Pr ∇ 2 v + Ra Pr θ e y ∂ ∂t θ + ∇ • (θ v) = ∇ 2 θ (1)
with Pr = µ/(ρα) and Ra = ρgβ T ∆T e 3 /(µα) are the Prandtl and Rayleigh numbers. The lengths are scaled by the thickness e, e 2 /αt is the time, α/e v( x,t) the velocity, ρ(α/e) 2 p( x,t) the dynamical pressure and T 0 + ∆T θ( x,t) the temperature. The temperature scale ∆T = (L ev Φ ev (T 0 ))/H th measures the difference between the temperature at the final equilibrium (constant and uniform temperature) and the ambient temperature T 0 which is also the mean initial temperature. The boundary conditions write:

x = 0, v = 0, ∂θ ∂x = 0 x = L/e, v = 0, ∂θ ∂x = 0 y = 0, v = 0, ∂θ ∂y = 0 y = 1, ∂u ∂y = -Ma ∂θ ∂x v = 0 ∂θ ∂y = -Bi (θ + 1) (2)
where Ma = -e∆T µα ∂γ ∂T and Bi = H th e k for the Marangoni and Biot numbers.

Using the properties of the Polyisobutylene (PIB)/Toluene [START_REF] Toussaint | Experimental characterization of buoyancy-and surface tension-driven convection during the drying of a polymer solution[END_REF], we can express the dimensionless parameters as a function of two physical parameters only, that were the control parameters used in the experiments, namely the thickness of the liquid film, e, and the viscosity of the solution, µ. Notice that the viscosity can be adjusted by modifying the initial mass fraction of the polymer in the mixture. The Rayleigh, Prandtl, Marangoni and Biot numbers write respectively Ra = 451e 3 /µ, Pr = 12µ, Ma = 5850e/µ and Bi = 0.2e with [e] = mm and [µ] = mPa • s.

Uncertainty model for the thermal initial condition

As presented in Introduction, it is crucial to introduce disturbances into the numerical model in order to recover the transition between the diffusive and convective states which has been observed in experiments. Because it is very difficult, if not illusive, to reproduce the experimental disturbances, the idea is rather to consider a family of perturbations by using a stochastic approach. In this study, perturbations are imposed on the initial temperature field in the following way. The fluid is initially at rest:

v( x,t = 0) = 0 (3)
with a dimensionless temperature defined by some small probabilistic fluctuations, Θ ξ (x), around the dimensionless null ambient temperature:

θ ξ ( x,t = 0) = 0 + Θ ξ (x) (4)
For the sake of simplicity, the probabilistic fluctuation Θ ξ (x) only depends on x and is invariant in the y-direction.

The stochastic behavior of the output X is measured through the mean value < X ξ >, the standard deviation σ X ξ , and the confidence interval 90% which is defined by the vigintiles (20quantiles). We denote by V 1 and V 20 the first and last of the vigintiles. Statistical quantities are approximated by the Monte Carlo method which consists in performing many deterministic simulations, n for instance, with different random initial conditions

Θ (k) ξ (x), k = 1, • • • , n.
The specific way to construct the initial conditions is described in the next subsections and the influence of stochastic models on temperature and flow field evolutions will be studied in the result section.

Elementary approach

The simplest idea is based on the spatial discretization of the thermal initial condition Θ (k) ξ (x) in the following way. By using

N + 1 discrete x-coordinates x i = L/e × i/N, i = 0, • • • , N, {ξ i , i = 0, • • • , N}
a family of random variables defined by the uniform and centered probability law on [-

√ 3; √ 3] then Θ (k) ξ (x) = N-1 ∑ i=0 H(x -x i )H(x i+1 -x)ξ i (5)
with H(x) the Heaviside function. This approach excites independently the neighboring discrete values of the temperature along the x-direction. Thus if the mesh size goes to zero, the temperature gradient evaluated at x i tends to infinity what may affect the global convergence of the numerical scheme. Furthermore, this specific choice for the initial condition does not fit with the thermal boundary conditions at x = 0 and x = L/e where no heat flux is imposed. At last in physical problems, the disturbances are probably spatially correlated, what is not taken into account in this elementary approach.

Autocorrelation functions

In this approach, we assume that the disturbances should satisfy a specific autocorrelation function which is chosen in order to perform analytical calculations. This autocorrelation function writes:

R 1 (x, x ′ ) = R 0 exp -|x -x ′ | λ ( 6
)
where λ is the dimensionless correlation length and R 0 is a strictly positive real value characterizing the magnitude of the autocorrelation function, and as a result, it also controls the mean initial thermal energy injected by the disturbances. The associated stochastic process is defined by the Karhunen-Loève decomposition [START_REF] Rozanov | Processus alatoires[END_REF]:

Θ ξ (x) = ∞ ∑ m=0 β m ξ m φ m (x) (7)
where {φ m (x)} is a Hilbert base in L 2 ([0, L/e]), β m > 0 such that β i+1 ≤ β i and lim n→∞ β n = 0, and {ξ m } is a family of random values which are chosen as being engendered by the uniform and centered probability law on [-

√ 3; √ 3]. The functions φ m (x) are solutions of a differential equation φ ′′ m (x) + 2λR 0 -β m λ 2 β m φ m (x) = 0 (8)
Two different options are available to solve Eqn. (8), depending on whether the perturbations must fulfill the thermal boundary conditions at x = 0 and x = L/e or whether the stochastic process must exactly satisfy the autocorrelation function [START_REF] Touazi | Simulation of transient Rayleigh-Bénard-Marangoni convection induced by evaporation[END_REF].

If the Karhunen-Loève expansion must be compatible with the thermal boundary conditions, then (dφ m (x))/(dx) = 0 for x = 0 and L/e and we obtain:

                     φ n (x) = 2 L/e cos nπ L/e x , n ∈ N ⋆ φ 0 (x) = 1 L/e β n = 2λR 0 1 + λ 2 nπ L/e 2 (9)
In that case, the autocorrelation function ( 6) is altered. The new autocorrelation function associated to the stochastic process is noted R 2 (x, x ′ ) and writes:

R 2 (x, x ′ ) = ∞ ∑ n=0 β n φ n (x)φ n (x ′ ) (10)
with φ n (x) defined by (9). If the thermal boundary conditions are released, the solution writes:

                           φ n (x) = A n cos(ω n x + χ n ) A n = 2ω n ω n L/e + sin(ω n L/e) cos(ω n L/e + 2χ n ) β n = 2λR 0 1 + λ 2 ω 2 n χ n = - ω n L/e 2 + nπ 2 tan ω n L/e 2 - nπ 2 = 1 ω n λ (11)
Notice that the last relation of system (11) leads to a transcendental equation which must be solved numerically.

Numerical scheme

Equation ( 1) with the boundary conditions (2) are discretized by the finite volume method on staggered grids. Spatial derivatives are second order accurate. An implicit second order Euler scheme is used for time advance and the non-linear terms are approximated with a Adams Bashforth scheme. The coupling between the velocity and the pressure is achieved with a projection algorithm. Linear systems are solved with a Crout method using the red-black reordering technique. The random values used to construct the stochastic initial conditions are produced by the Mersenne Twister algorithm.

RESULTS

Simulations are based on Polyisobutylene (PIB)/Toluene experiments [START_REF] Toussaint | Experimental characterization of buoyancy-and surface tension-driven convection during the drying of a polymer solution[END_REF]. The thickness of the fluid layer is fixed to

< X ξ > [i] , V 1 [i]
, AND V 20 1 mm (Pr = 12 and Bi = 0.2) and the aspect ratio of the liquid film is equal to L/e = 20. Unless otherwise specified, results are presented using mean values associated with error bars corresponding to the confidence interval equal to 90%.

The mesh is regular and consists of 800 × control volumes. The time step is initialized equal to 10 -4 increased by 1% at each iteration until it reaches 10 -3 .

For computations, the series defined by ( 7) are split to the 200 th term and denoted by Θ {200} ξ (x); the associated autocorrelation function is noted R {200} (x, x ′ ). In that case, the lowest dimensionless wave number of the probabilistic function Θ {200} ξ (x) is equal to 0.20 and it is discretized on 8 control volumes of the mesh. Notice that the approximation errors

|R {200} (x, x ′ )| L 2 ([0;L/e] 2 ) /|R(x, x ′ )| L 2 ([0;L/e] 2 ) -1 and | < Θ {200} ξ (x) > | L 2 ([0;L/e]) /| < Θ ξ (x) > | L 2 ([0;L/e]) -1 are
respectively less than 5 • 10 -3 % and 0.5% for both models (9) and (11).

The convergence of the statistical quantity X i ( x,t), using i runs of the Monte Carlo method, is measured by the L 2 ([0; L/e] × [0; 1]; [0; T ])-norm:

X [i] = 1 T Z T 0 1 L/e Z 1 0 Z L/e 0 X i ( x,t) 2 d xdt (12) where X i ( x,t) could be either < X ξ > i ( x,t), σ i X ξ ( x,t) V 1 i ( x,t) or V 20 i ( x,t).
λ=10 [R 1 (x,x')] λ=10 [R 2 (x,x')] b. λ = 10 Figure 3. INITIAL THERMAL DISTURBANCES BASED ON R 1 (x, x ′ ) AND R 2 (x, x ′ ) AS A FUNCTION OF x FOR a. λ = 1 AND b. λ = 10.
We consider that a good approximation of the statistical quantities are achieved with 200 runs of the stochastic thermal fields.

The Karhunen-Lo ève model

Figure 2 shows the difference between the autocorrelation functions R 1 (x, x ′ ) (Eqn. (11)) and R 2 (x, x ′ ) (Eqn. (9)) for two x ′ values and two dimensionless correlation lengths λ. The two autocorrelation functions are all the more close than the correlation points are far from the boundaries and λ is small. The measure of the L 2 -norm of R 1 (x, x ′ ) and R 2 (x, x ′ ) clearly illustrates this sensitivity:

for λ = 1, |R 1 (x, x ′ )/R 0 | L 2 ([0;L/e] 2 ) = 19.5 and |R 2 (x, x ′ )/R 0 | L 2 ([0;L/e] 2 ) = 22 whereas |R 1 (x, x ′ )/R 0 | L 2 ([0;L/e] 2 ) = 150 and |R 2 (x, x ′ )/R 0 | L 2 ([0;L/e] 2 )
= 437 for λ = 10. The calculation of the mean thermal energy injected at the initial time,

| < Θ ξ (x)/ √ R 0 > | L 2 ([0;L/e])
, is noteworthy as well. Using the elementary approach or the model (11), we find 20. On the other hand by using (9) we obtain 21 (close to 20) for λ = 1 but 30 for λ = 10. Therefore with the model compatible with the thermal boundary conditions, the modification of the correlation length multiplies by 3/2 the mean injected energy. Initial thermal perturbations are drawn in Fig. 3 for the same set of 200 random numbers. The two curves are close and even superimposed in the middle region, for λ = 1. As a conclusion, statistical solutions provided by the two Monte Carlo methods (9) or (11) are really comparable for a given λ-value provided that R 0 is adjusted to get the same mean thermal energy for the initial condition.

Convective flows

The following simulations were performed for µ = 1 mPa • s (Ra = 451 and Ma = 5850) and a mean injected thermal en-t = 0.06 t = 0.08 t = 0.10 ergy equals to 2 • 10 -5 , namely a maximum intensity for the disturbance of order 10 -3 (see Fig. 3). For these Marangoni and Rayleigh numbers, the flow is driven by surface tension effects. A flow evolution is shown at three dimensionless times 0.06, 0.08 and 0.1 (0.6 s, 0.8 s and 1 s) for model (9) and λ = 1 (Fig. 4). We clearly distinguish the convection of the temperature field by the Marangoni cells and the evolution of the flow field. Figure 5a illustrates the evolution of the mean values of the differences between the average temperatures at the bottom and at the free surface, ∆θ ξ (t), for the elementary approach, the Karhunen-Loève method (9) for λ = 1 and λ = 10, and the purely diffusion problem (Ma = 0 and Ra = 0). As expected, the appearance of the convection reduces substantially the temperature gap between the top and bottom of the liquid layer because of the mixing. The departure from the diffusive solutions occurs between 0.07 and 0.09 (0.7 s and 0.9 s). From Fig. 5b, these times correspond to a Péclet number close to unit. We also note that convection becomes visible earlier with smaller correlation lengths and that the elementary approach based on uncorrelated disturbances is less effective to engender convection than the correlated case with λ = 1 because the departure from the diffusion curve occurs later (Fig. 5a).

The local velocities at the free surface for three locations, clockwise for x = 3L/(4e) (< v ξ > (x = 3L/(4e), 1,t) > 0). The center of the interface keeps a zero mean velocity. Except for very short times less than or of order 0.1, the different approaches give the same evolution for the number of cells at mid-thickness of the fluid layer (Fig. 6d). As expected, the number of cells decreases and should tend to zero when the solution converges to the final equilibrium state.

Diffusive/Convective transition

The characterization of the flow is achieved by the Péclet number. If Pe ξ (t) + σ Pe ξ (t) < 1, the solutions are considered purely diffusive. On the other hand, if Pe ξ (t) -σ Pe ξ (t) > 1, the flow is said convective. The buffer zone between the diffusive and convective states defines the transition. In the simulations presented here the layer thickness is fixed and the initial viscosity of the solution is variable. For a mean injected thermal energy equals to 2 • 10 -5 , λ = 1 and model (11), the transition occurs for 5.9 mPa • s < µ < 6.2 mPa • s (Fig. 7a). Notice that the confidence intervals are almost similar to the standard deviations (Fig. 7b). The transition region does not depend significantly on the model adopted and on the value of the correlation length λ. The most significant parameter is the value of the mean injected energy at the initial condition, < E 0 >. For the model (11) and with λ = 1, the transition zone goes from 5.9 mPa • s < µ < 6.2 mPa • s for < E 0 >= 2 • 10 -5 to 4.4 mPa • s < µ < 4.6 mPa • s for < E 0 >= 2 • 10 -13 . By considering an average viscosity value of µ = 5.3 mPa • s, the uncertainty is less than 20% whereas the energy injected was multiplied by 10 8 what corresponds to a factor 1000 between the highest and lowest magnitudes of the mean disturbances.

CONCLUSIONS

We have studied, by means of three probabilistic approaches, the sensitivity of the thermal model in a drying process, to the uncertainties of the initial thermal conditions. No significant difference has really been observed on mean values, standard deviations or vigintiles for the evolution of the Péclet number, of some local velocities and of the average temperature variation between the top and bottom of the fluid layer. We have highlighted mixing effect of the fluid flow on the temperature field and that the convection occurs for a Péclet number value of unit order. We have also shown that the transition between the conductive and convective states was finally relatively few sensitive to the mean thermal energy injected at the initial condition.

  Standard deviation of the stochastic value X ξ t Dimensionless time θ Dimensionless temperature Θ ξ (x) Probabilistic condition for the initial temperature field

Figure 1 .

 1 Figure 1. CONVERGENCE FOR THE ELEMENTARY APPROACH OF

  OF THE NUMBER OF MONTE CARLO RUNS (i) FOR a. ∆θ ξ AND b. Pe ξ .

Figure 1 Figure 2 . 1 -

 121 Figure 2. AUTOCORRELATION FUNCTIONS R 1 (x, x 1 ) AND R 2 (x, x 1 ) WITH x 1 = 0 AND 10 AS A FUNCTION OF x FOR a. λ = 1 AND b. λ = 10.

Figure 4 .Figure 5 .

 45 Figure 4. ISOTHERMS AND STREAMLINES AT 3 INSTANTS.

  x = L/(2e), x = L/(4e) and x = 3L/(4e) are drawn on Figs. 6a-6c. The mean values are small but confidence intervals are very large, what indicates an extreme sensitivity of the flow field with the initial conditions. Notice that the mean values and the medians (the 10 th values of the vigintiles) are really close. However for t > 2, the mean flow seems to organize into more robust cells, anticlockwise for x = L/(4e) (< v ξ > (x = L/(4e), 1,t) < 0) and Copyright c 2010 by ASME c. v ξ (x = 3L/(4e), 1,t)

Figure 6 .

 6 Figure 6. MEAN VALUES AND CONFIDENCE INTERVALS FOR THREE LOCAL VELOCITIES AND THE NUMBER OF CONVECTIVE CELLS.

Figure 7 .

 7 Figure 7. Pe ξ (t) FOR µ = 5.9 mPa • s AND µ = 6.2 mPa • s.

Copyright c 2010 by ASME


domain: sde info

text:
Thomas Le Bourgeois
email: thomas.le_bourgeois@cirad.fr

Cassandra Favale

Samantha Bazan

Prabhakar Rajagopal

Thomas Vattakaven

Vincent Blanfort

Thomas Vat

Le Bourgeois

Quand la gestion des plantes envahissantes dans les pâturages tropicaux peut être facilitée par les outils numériques : l'exemple du portail WIKTROP

Keywords: Pâturages, adventices, système de connaissance et d

■ INTRODUCTION

Les terres agricoles représentent 38 % de la surface des terres émergées dont les deux tiers sont occupés par des systèmes d'élevage utilisant des surfaces pâturées ou récoltées en tant que ressources alimentaires pour les herbivores domestiques (FAO, 2020). Qu'elles soient utilisées sous forme de pâturages itinérants collectifs, de prairies naturelles ou implantées par un éleveur, les pâtures et les cultures fourragères récoltées sont soumises à différentes contraintes, parmi lesquelles les plantes envahissantes et non consommées par le bétail (les adventices) représentent l'un des principaux facteurs de perte de productivité et de durabilité des systèmes d'élevage au pâturage. Cela induit des problèmes économiques et environnementaux.

Que ce soit à l'échelle de la parcelle, de l'exploitation ou du territoire, l'élaboration de la gestion raisonnée et efficace des plantes adventices nécessite la combinaison de trois types d'informations : 1) l'identification des espèces concernées, 2) la connaissance de leur biologie et de leur écologie, et 3) la compréhension des interactions entre les pratiques d'élevage et le développement des espèces. Que les espèces envahissantes concernées soient indigènes ou exotiques, que les acteurs concernés soient producteurs, conseillers techniques ou décideurs à l'échelle territoriale, présents depuis longtemps ou nouvellement installés, la disponibilité de l'ensemble de ces trois types d'informations est rare et le plus souvent incomplète.

Plus généralement, il convient de s'interroger sur les enjeux actuels entre transition agroécologique et innovations technologiques. Il s'agit de mettre en place les moyens d'acquérir les données sur l'état du système (de la ressource au consommateur) pour pouvoir le piloter (ajuster les pratiques), en particulier pour les processus agro-écologiques. Les technologies du numérique, à la condition qu'elles soient Quand la gestion des plantes envahissantes dans les pâturages tropicaux peut être facilitée par les outils numériques : l'exemple du portail Wiktrop Thomas Le Bourgeois 1,2 * Cassandra Favale 3,4 Samantha Bazan 3,4 Prabhakar Rajagopal 5 Thomas Vattakaven 5 Vincent Blanfort 3,4

Résumé

Les prairies et pâturages représentent 25 % des terres émergées. Une exploitation efficiente et durable de ces ressources fourragères nécessite notamment une gestion adaptée des plantes envahissantes très souvent responsables de leur dégradation. Cette gestion nécessite de disposer de connaissances sur leur comportement et pour cela une bonne identification. Le portail collaboratif Wiktrop aide à identifier les adventices et facilite le partage et la diffusion des connaissances sur les adventices tropicales et leur gestion entre acteurs de terrain et scientifiques. Ces connaissances permettent d'améliorer les pratiques de contrôle des adventices dans l'ensemble des régions tropicales et méditerranéennes. La contribution des utilisateurs est un facteur important de la qualité et de l'étendue des informations mises à disposition. Ce portail évoluera prochainement avec l'intégration des plantes fourragères et des plantes de services tropicales.

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facilement accessibles constituent des leviers précieux pour la transition agroécologique des systèmes herbagers.

Le portail Wiktrop (https://portal.wiktrop.org) a été développé spécifiquement pour pallier ce manque d'information, pour faciliter le partage et la diffusion des connaissances empiriques, techniques et scientifiques sur les adventices des cultures tropicales et méditerranéennes de façon à améliorer la gestion de ces espèces. L'objectif de cette analyse est de présenter, dans le cadre des systèmes d'élevages valorisant le pâturage, les fonctionnalités d'un outil numérique comme Wiktrop. Il s'agit de montrer comment il répond aux besoins des différents acteurs pour identifier les adventices, connaître leurs caractéristiques afin de mieux les gérer à l'échelle de la parcelle, de l'exploitation et surveiller leur développement à l'échelle du territoire ou du pays. Une particularité essentielle de cet outil d'aide à la gestion est également de proposer un partage de ces connaissances à l'échelle de l'ensemble des régions tropicales, au bénéfice de tous. Afin de mieux illustrer notre propos, le cas des fermes familiales d'élevage bovin en Amazonie sera particulièrement développé.

■ IMPORTANCE DES ADVENTICES DES PATURAGES

En zone tropicale, le niveau de valorisation de la ressource au pâturage (en termes de valeur sèche et de nutrition des animaux) est globalement plus faible qu'en zone tempérée [START_REF] Poppi | Challenges of beef cattle production from tropical pastures[END_REF]. Ceci peut être dû à des sols peu fertiles, acides, à la disponibilité des ressources pour les végétaux (eau, lumière), au climat, au manque de diversité génétique du bétail et dépend beaucoup de la longueur de la saison des pluies. De plus, les pâturages cultivés ont été implantés en zone tempérée depuis plus longtemps avec une flore désormais très adaptée tandis que l'implantation de ce type de ressource est beaucoup plus récente en zone tropicale, ce qui se traduit par une flore encore peu stabilisée et souvent peu adaptée. C'est pourquoi, la dégradation du pâturage, caractérisée par un envahissement par les adventices au détriment des espèces fourragères constitue un véritable problème socio-économique et environnemental [START_REF] Knuesting | Who will win where and why? An ecophysiological dissection of the competition between a tropical pasture grass and the invasive weed Bracken over an elevation range of 1000 m in the tropical Andes[END_REF], notamment dans les zones chaudes. Les adventices des pâturages sont des espèces refusées par l'animal et considérée comme gênantes par les éleveurs. En fonction de leur agressivité et de leur non consommation par le bétail, elles peuvent en effet dégrader la ressource en exerçant une compétition vis-à-vis des espèces fourragères en termes d'eau, de lumière ou d'espace [START_REF] Ekwealor | Economic Importance of Weeds: A Review[END_REF][START_REF] Grice | Weeds in pasture ecosystems-symptom or disease?[END_REF]. Cela conduit à des degrés divers à une perte de rendement et de qualité, une réduction des surfaces productives et dans les situations extrêmes à une disparition de la ressource fourragère. Ce processus constitue donc un facteur favorisant la disparition de milieux naturels, dans l'objectif de nouvelles zones de pâturage « compensatrices », ce qui représente un des moteurs de la déforestation en zone tropicale humide et particulièrement en Amazonie. Ces espèces peuvent également constituer une menace pour la biodiversité des milieux naturels en les colonisant. Enfin, certaines espèces peuvent se révéler toxiques, entraînant un risque pour la santé animale et humaine. À l'échelle des systèmes de production (parcelle, exploitation ou d'une collectivité dans le cas des élevages pastoraux), le problème de la gestion des adventices est d'abord d'ordre économique. Il concerne la perte de productivité du pâturage qui se répercute sur les productions animales et le coût des méthodes de lutte (chimique, mécanique et agronomique) [START_REF] Ekwealor | Economic Importance of Weeds: A Review[END_REF], mais aussi d'ordre technique du fait des très grandes surfaces concernées et de la difficulté à lutter contre certaines espèces (notamment les Cyperaceae). C'est notamment le cas en Guyane française où le modèle prédominant est un système semi-extensif où le bétail (bovins à viande, bubalins et dans une moindre mesure les ovins et les caprins) séjourne longuement (de plusieurs semaines à plusieurs mois) sur de grandes parcelles, avec un apport quasiment nul en compléments alimentaires. La ration de base est donc composée essentiellement par des graminées fourragères parfois associées à des légumineuses herbacées pâturées par les animaux [START_REF] Huguenin | Préservation de la principale ressource alimentaire du bétail : l'herbe. Dispositions pour protéger les prairies contre la dégradation par des adventices (rapport d'exécution No. 01033[END_REF][START_REF] Huguenin | Gestion des prairies amazoniennes contre les adventices en Guyane française suivant les conditions biophysiques, les pratiques agricoles, et l'organisation du système de pâture[END_REF][START_REF] Huguenin | Conduite et organisation agropastorale des prairies pâturées dans les élevages guyanais. 16 es Rencontres autour des recherches sur les ruminants[END_REF][START_REF] Peret | Guide de l'élevage bovin[END_REF]. Dans la majorité des cas, ces pâturages s'avèrent peu résilients, et connaissent des dégradations parfois majeures, du fait de l'envahissement par certaines espèces telles que Mimosa pudica, Spermacoce verticillata, et différentes Cypéracées [START_REF] Huguenin | Protéger les prairies guyanaises contre la dégradation par des adventices[END_REF][START_REF] Huguenin | Gestion des prairies amazoniennes contre les adventices en Guyane française suivant les conditions biophysiques, les pratiques agricoles, et l'organisation du système de pâture[END_REF][START_REF] Favale | Caractéristiques et facteurs biogéographiques de la répartition et de l'abondance des espèces adventices des systèmes herbagers de la Guyane Française -Contribution à un portail collaboratif numérique international sur les adventices[END_REF]. En Guyane, les conséquences environnementales de l'infestation des prairies par les adventices sont indirectes. Elles concernent l'usage régulier d'herbicides ou l'abandon de la parcelle en jachère au profit d'une parcelle nouvellement mise en place issue généralement d'une nouvelle défriche de la forêt amazonienne.

Ainsi, le maintien d'un couvert herbager de qualité -de bonnes espèces fourragères maintenues à une forte densité -constitue le meilleur moyen pour assurer la résilience du pâturage contre les infestations par les adventices, et au long court, un impact environnemental minime [START_REF] Angerer | Environmental and biodiversity effects of different beef production systems[END_REF]. Une meilleure productivité de la ressource fourragère rend exceptionnel le recours aux compléments alimentaires pour le bétail et évite les surcoûts financiers dus aux traitements herbicides.

Des parcelles trop grandes qui laissent au bétail le choix de consommer essentiellement les espèces les plus appétantes, une durée de présence du troupeau trop longue dans la même parcelle, un surpâturage, de trop fortes perturbations (trop de piétinement par les animaux) sont autant de facteurs qui, d'une part, épuisent les plantes fourragères et d'autre part, favorisent le développement des adventices. Il est donc important de mettre en oeuvre des pratiques de gestion du pâturage plus adaptées [START_REF] Schaffner | Integrated weed management in grasslands[END_REF] tel que le préconisent les recherches en cours en Guyane sur la pratique du pâturage tournant dynamique sur des parcelles à dimension réduite. Une telle gestion nécessite une bonne connaissance de la flore (pâturée et non pâturée) et des interactions animal-couvert végétal. À l'échelle globale d'une région ou d'un pays, le développement durable des systèmes d'élevage fait partie des grands enjeux du changement global actuel en termes socio-économique et environnemental. L'enjeu socio-économique autour du secteur de la production animale est important en termes de sécurité alimentaire et de politique de développement [START_REF] Upton | The Role of Livestock in Economic Development and Poverty Reduction[END_REF]. Le secteur de la production animale est une activité économique et sociale majeure dans les pays à faibles revenus, elle est une source de revenus conséquents pour une majorité de foyers, et plus d'un milliard de personnes en dépendent directement ou indirectement [START_REF] Upton | The Role of Livestock in Economic Development and Poverty Reduction[END_REF][START_REF] Herrero | The roles of livestock in developing countries[END_REF]. L'OCDE (Organisation de coopération et de développement économiques) projette pour 2031 une hausse de 15 % de la consommation mondiale en viande par rapport à 2022, liée à une augmentation démographique prévue à 11 % et l'augmentation de revenu des populations de certains pays. Ce seront les pays dits « en développement » qui seront responsables de 91 % de l'augmentation de la production en viande d'ici 2031, alors que les principaux producteurs actuels (Chine, États-Unis, Europe, Chine, Brésil et Russie) seront en déclin (OCDE, 2022).

Cependant, cette croissance alimente aussi depuis plusieurs décennies les questionnements sur le développement de l'agriculture, confrontée aux changements globaux. Le secteur de l'élevage est d'abord accusé d'émettre une partie des gaz à effet de serre (GES), notamment du méthane. Il est responsable de 14,5 % des émissions de GES anthropiques (total pour l'agriculture : 23 %). Elles sont essentiellement dues aux ruminants avec 65 % attribués aux bovins lait et viande et 6,5 % aux petits ruminants. Mais les ruminants en systèmes d'élevage à l'herbe ne seraient responsables « que » de 20 % des émissions totales de l'élevage [START_REF] Gerber | Tackling climate change through livestock -A global assessment of emissions and mitigation opportunities[END_REF] [START_REF] Grossi | Livestock and climate change: impact of livestock on climate and mitigation strategies[END_REF], 45 % de ces émissions sont associés aux mécanismes de production alimentaire (avec entre autres les changements d'usage des terres, transformation des produits, transports, utilisation d'intrants). Dans ce contexte de changement global, les changements d'usage des terres concernant le secteur agricole, notamment la déforestation, la mise en culture des terres, et l'extension des pâturages contribue à augmenter les émissions de GES, mais affectent aussi la biodiversité par réduction et modification d'habitats naturels [START_REF] Hansen | Land Use Change and Biodiversity[END_REF]. L'exemple le plus emblématique a été celui de l'Amazonie, où l'expansion des pâturages s'est réalisée jusque dans les années 2000 à grande échelle. La déforestation reste, depuis, concentrée sur des territoires spécifiques : les fronts pionniers. Qu'en est-il des autres territoires amazoniens, où les éleveurs ont stoppé toute déforestation depuis 2011 ? Actuellement la moitié de ces surfaces est soit abandonnée, soit dégradée, dont certaines sont devenues inutilisables [START_REF] Krummel | Satellite-based quantification of tree-dominated pasture degradation stages in north-eastern Pará, Brazil[END_REF][START_REF] Graesser | Cropland/pastureland dynamics and the slowdown of deforestation in Latin America[END_REF][START_REF] Vayssières | Livestock grazing systems and sustainable development in the Mediterranean and tropical areas. Recent knowledge on their strenghts and weaknesses[END_REF].

2022). D'après

Enfin, le changement climatique a aussi un effet rétroactif sur l'élevage. L'augmentation de la température et du C0 2 dans l'atmosphère aura un impact sur la qualité et la quantité de biomasse produite par les pâturages, sur la disponibilité en eau et donc aussi sur le niveau de la compétition entre les espèces des pâturages [START_REF] Rojas-Downing | Climate change and livestock: Impacts, adaptation, and mitigation[END_REF].

Ceci démontre donc l'urgence de développer des pratiques de gestion des pâturages des régions tropicales permettant à ceux-ci d'être résilients aux aléas, aux changements climatiques et aux infestations par les adventices.

■ LES OUTILS NUMERIQUES EN AIDE A LA GESTION DES PÂTURAGES TROPICAUX

La transition agroécologique des systèmes d'élevage, en s'appuyant notamment sur des processus naturels plus complexes à gérer, nécessite d'intégrer un ensemble d'informations plus vaste que dans des modes de conduite conventionnels. Par conséquent, la transition agroécologique des systèmes d'élevage requiert la mise au point de dispositifs (appareillages, plates-formes, etc.) permettant aux praticiens d'être mieux informés pour appuyer la prise de décision. Des travaux de recherches portant sur différents outils numériques en élevage [START_REF] Ménassol | Des inventions pour mieux partager les connaissances et intégrer les processus naturels dans le pilotage des élevages au pâturage[END_REF] Le portail collaboratif Wiktrop, acronyme pour « Weed identification and knowledge in the tropics » (https://portal.wiktrop.org) est l'une de ces inventions numériques, spécialement développée pour les enjeux des terrains tropicaux (Le [START_REF] Bourgeois | WIKTROP -Weed Identification and Knowledge in tropical and mediterranean areas -Web 2.0 participatory portal[END_REF]. Elle a pour objectif général de partager entre les acteurs de terrain et de la recherche des connaissances sur les adventices des cultures tropicales et méditerranéennes afin de permettre l'élaboration ou l'amélioration des modes de gestion de la flore spontanée de ces systèmes de culture (Le Bourgeois et al., 2021). À cette fin, il a trois objectifs spécifiques et complémentaires : 1) apporter une aide à l'identification des adventices, 2) faciliter le partage des connaissances sur les espèces, leur comportement et leur gestion entre tous types d'acteurs, et 3) capitaliser et rendre accessible à tous l'ensemble de ces connaissances. Initié en 2014 dans le sud-ouest de l'Océan Indien sous le nom de Wikwio, il a été étendu à partir de 2018 à l'ensemble des régions tropicales et méditerranéennes sous le nom de Wiktrop. À cette occasion, il a intégré des outils et des contenus d'informations publiés antérieurement sur les adventices tropicales, comme AdvenPac, dédié à l'identification et la gestion des adventices des pâturages de Nouvelle-Calédonie et publiés à l'époque sous forme de livre et de CD-ROM [START_REF] Blanfort | Les plantes envahissantes et à conflit d'intérêt des pâturages de Nouvelle-Calédonie : guide d'identification[END_REF][START_REF] Blanfort | AdvenPac V.1.0: Principales Adventices et plantes à conflit d'intérêt des Pâturages de Nouvelle-Calédonie[END_REF]. Il apporte ainsi à ces anciens outils une visibilité et une accessibilité internationales et une dimension collaborative.

Le portail Wiktrop est consultable intégralement par tout public sans nécessiter d'inscription, comme tout site Web. Il permet également aux utilisateurs inscrits (gratuitement) de contribuer à l'alimentation et à la vie du portail, par le partage de leurs connaissances, de leurs observations, de leurs documents, de leurs commentaires, etc. Il s'agit d'un portail Web interactif, qui évolue en temps réel au fur et à mesure des contributions des utilisateurs. Il est utilisable en ligne à partir d'un ordinateur et il est associé à deux applications mobiles pour système Android : Wiktrop qui permet la collecte d'observations de plantes sur le terrain et la consultation du portail et Wikwio IDAO qui est un outil d'aide à l'identification par portrait-robot.

Il est composé de différents modules (figure 1) :

Le module « Espèces » permet de partager et capitaliser toutes les connaissances sur une espèce donnée. Il existe actuellement 991 fiches espèces. Le module « Observations » permet à tout utilisateur de poster des observations géoréférencées d'espèces à condition qu'elles soient accompagnées de photographies. L'objectif de ces observations est soit de signaler la présence et/ou l'abondance d'une espèce connue dans un contexte agroécologique donné et éventuellement de demander de l'aide pour la gestion de cette espèce, soit de demander de l'aide pour identifier une espèce inconnue dans un contexte donné. Ces observations peuvent être réalisées à l'aide d'un appareil photo puis postées sur le portail depuis un ordinateur ou directement avec l'application mobile. Il existe actuellement plus de 12 000 observations. Le module « Cartographie » permet de gérer des couches d'information géoréférencées et de projeter les observations des espèces. Le module « Documents » met à disposition tout document consacré à la malherbologie tropicale, qu'il soit technique ou scientifique. Il s'agit notamment de rendre accessible à tous la littérature grise consacrée aux adventices et à leur gestion (guides de terrain, rapports techniques, mémoires d'étudiants, préconisations, protocoles…) et qui ne sont pas accessibles à partir des bases de données documentaires. Il existe actuellement 147 documents disponibles. Le module « IDAO » d'aide à l'identification par portrait-robot porte actuellement sur 400 espèces. Le module « Groupes » à partir duquel il est possible de créer et animer des groupes de travail et de produire des synthèses sur un sujet particulier comme la malherbologie en général, le désherbage du riz, le désherbage de la canne à sucre ou la gestion des pâturages. Le module « Utilisateurs » permet de consulter et gérer les profils des utilisateurs inscrits sur le portail. Il y a actuellement plus de 1 000 utilisateurs du portail. Le module « Taxonomie » permet de gérer la taxonomie des espèces prises en compte dans le portail.

Le portail Wiktrop est entièrement bilingue français/anglais sauf les « Groupes » dont le contenu est publié dans la langue choisie par les animateurs du groupe. Un élément important de ce portail est le respect de la propriété de l'information et sa traçabilité. Dans la mesure où Wiktrop est un portail de partage et de diffusion de connaissance, toute information, observation ou document reste la propriété de son auteur et est mis à disposition sur le portail sous licence Créative Common (Creative Commons, 2020) choisie par l'auteur. La licence Creative Commons confère à tous les utilisateurs le droit d'utiliser, de distribuer, de modifier et de redistribuer les informations, à des fins commerciales ou non, à condition que l'oeuvre ait un crédit adéquat.

La connaissance d'acteur : lorsque l'auteur d'une observation connaît ou pense connaître l'espèce observée, il peut renseigner le nom commun ou le nom scientifique de l'espèce et à partir de ce nom accéder à la fiche descriptive de l'espèce pour y vérifier que la plante observée possède bien les caractères botaniques spécifiques de l'espèce.

L'identification par la communauté d'experts : lorsque l'auteur d'une observation ne connaît pas l'espèce observée, il peut solliciter l'aide de la communauté d'experts du portail, pour suggérer une identification à partir des photographies de l'observation. Différents experts peuvent proposer des identifications différentes ou confirmer une identification déjà proposée. Il est recommandé de mentionner les critères observés sur les photographies qui ont permis d'aboutir à l'identification ou d'inciter l'auteur de l'observation à vérifier des critères qui ne sont pas observables sur les photographies. Ainsi cette approche, au-delà de la seule identification, est également une démarche de formation à la reconnaissance botanique par les utilisateurs en leur explicitant les critères caractéristiques des espèces.

L'identification par portrait-robot : cette identification est possible à partir du module IDAO du portail ou de l'application mobile dédiée Wikwio-IDAO (Le [START_REF] Bourgeois | A new process to identify the weeds of La Réunion Island: the AdvenRun system[END_REF][START_REF] Bourgeois | WIKWIO IDAO -Mobile app for Android system[END_REF]. Elle est utilisable par tout acteur même sans expérience en botanique. Elle utilise le principe de construction du portrait-robot de la plante recherchée à partir de dessins correspondant aux différents caractères morphologiques de la plante, et plus particulièrement les caractères végétatifs (Le [START_REF] Bourgeois | A new process to identify the weeds of La Réunion Island: the AdvenRun system[END_REF][START_REF] Bourgeois | WIKWIO IDAO -Mobile app for Android system[END_REF]. Pour toute combinaison de caractères renseignés sur le Chaque licence permet aux créateurs de conserver le droit d'auteur tout en permettant à d'autres de copier, distribuer et faire certaines utilisations de leur travail. Chaque licence Creative Commons garantit également au contributeur le crédit qu'il mérite pour son travail (Le [START_REF] Bourgeois | Enjeux et contraintes du partage et de la diffusion des connaissances en malherbologie tropicale pour une meilleure gestion des enherbements, exemple du portail collaboratif Wiktrop[END_REF].

Pourquoi identifier une adventice ?

L'élaboration d'une démarche de gestion de la flore adventice d'une parcelle cultivée ou d'un pâturage dépend de la culture ou de la rotation culturale de la parcelle, de la gestion du bétail et de la composition de la flore. En effet, l'efficacité des méthodes de contrôle est fonction de l'appartenance taxonomique des espèces majeures, de leur mode de reproduction, et de leur stratégie de développement dans un milieu donné. Pour accéder à ces différents types d'informations, il est indispensable de pouvoir identifier les différentes espèces adventices présentes par un nom, à partir duquel il devient alors possible de rechercher des informations.

Différentes méthodes d'identification

Si la méthode la plus classique, et qui demeure la plus fiable pour identifier une plante, reste la clé dichotomique, que l'on retrouve dans la plupart des flores, cette méthode est peu appropriée à l'identification des adventices que l'on doit reconnaître à un stade jeune de développement, sans fleur ni fruit et en ne disposant généralement que d'un morceau de tige et de quelques feuilles. Le portail Wiktrop propose différentes approches pour cette identification :

Le système de culture et l'aide à la décision

La grande majorité des modules du portail est espèce-centré. Cependant, en fonction du contexte agroécologique et de l'espèce adventice considérée, l'agriculteur, l'éleveur peut raisonner la lutte en fonction de l'espèce ciblée ou du système de culture. C'est pourquoi certains groupes de travail sont culture-centré pour apporter une aide à la décision à l'échelle de la culture. C'est notamment le cas du groupe de travail dédié à la gestion des prairies, qui propose une synthèse des recommandations de gestion des pâturages à partir de la situation et de l'expérience néo-calédonienne.

L'utilisation par les différents acteurs

Le portail Wiktrop peut être utilisé de différentes façons en fonction des besoins et objectifs des acteurs. Dans le cadre de l'étude particulière d'une espèce, les observations géoréférencées et datées mettent à disposition des photographies à partir desquelles il est possible de déterminer le stade phénologique de la plante. Ceci apporte des éléments très intéressants de comparaison de situations. De même, les informations sur l'écologie et la nuisibilité de l'espèce en fonction des pays et des systèmes de cultures permettent de comparer le comportement de l'espèce dans différents contextes. D'un point de vue technique et agronomique, les informations sur le mode de multiplication et de dispersion, le cycle de vie, l'écologie et la nuisibilité permettent d'élaborer des méthodes de lutte adaptées à la stratégie de développement de l'espèce. Enfin, le portail, sa démarche de partage de connaissance et les différents outils d'aide à l'identification botanique représentent un ensemble d'outils pédagogiques très utile pour l'enseignement de l'agronomie tropicale en général et de la malherbologie tropicale en particulier. C'est également un outil de travail pour les étudiants amenés à étudier les adventices tropicales.

On a vu que la valeur et l'exhaustivité de ce portail dépendent en grande partie de la démarche de partage de connaissance des utilisateurs et de leurs contributions. Les statistiques d'utilisation du portail mettent en évidence que plus de 20 000 visiteurs de toutes origines géographiques consultent le portail chaque année, comme un site Web. 1 100 personnes sont enregistrées comme utilisateurs, dont environ 8 % ont contribué plusieurs fois et seulement 3 % sont des contributeurs majeurs ayant posté plus d'une centaine de contributions (Le [START_REF] Bourgeois | Enjeux et contraintes du partage et de la diffusion des connaissances en malherbologie tropicale pour une meilleure gestion des enherbements, exemple du portail collaboratif Wiktrop[END_REF]. Si on compare le taux de contribution au portail Wiktrop à celui du portail sur la biodiversité indienne (https://indiabiodiversity.org/) [START_REF] Vattakaven | India Biodiversity Portal: An integrated, interactive and participatory biodiversity informatics platform[END_REF] qui concerne un bien plus grand nombre d'acteurs, il en ressort que malgré un nombre de 15 358 membres inscrits, le pourcentage de contributeurs réguliers est également de 8 % et le pourcentage de contributeurs majeurs n'est que de 2 %. Ce taux de 8 à 10 % de contributeurs réguliers est finalement assez courant pour des portails de science participative. Des enquêtes réalisées auprès de différents groupes d'utilisateurs du portail Wiktrop, ont mis en évidence certaines contraintes à l'utilisation du portail en tant que contributeur. La démarche de partage de données, d'informations ou de connaissances au bénéfice de tous est encore mal perçue et refusée par certaines personnes, plus particulièrement chez les acteurs scientifiques et/ou techniques. Face à une quantité d'informations déjà importante sur le portail, un certain nombre d'utilisateurs pensent que leurs connaissances issues de leur expérience de terrain n'ont que peu ou pas de valeur par rapport à celles déjà disponibles. Aussi, ils ne considèrent pas utile de les partager. Enfin, nous avons clairement constaté que même des utilisateurs ayant été formés à l'utilisation du portail et des outils mobiles associés ont du mal à l'utiliser pour apporter une contribution, s'ils ne le pratiquent pas régulièrement. Finalement, ils se contentent de l'utiliser uniquement en mode consultation. Ce constat nous amène à réfléchir, d'une part, à améliorer l'ergonomie du portail et à mettre à disposition une aide en ligne pour rendre son utilisation encore plus portrait-robot, l'application calcule des probabilités de vraisemblance avec les espèces présentes dans sa base de référence (actuellement 400 espèces).

L'identification par analyse d'image : c'est une fonctionnalité implémentée fin 2022. Elle utilise l'API Pl@ntNet de reconnaissance de plante par images [START_REF] Joly | A look inside the Pl@ntNet experience: The good, the bias and the hope[END_REF]. Celle-ci soumet au moteur d'identification Pl@ntNet jusqu'à 5 photographies présentes dans l'observation, puis elle propose en retour une liste de taxons triés par ordre de probabilité de similitude aux photographies soumises. L'utilisateur garde la responsabilité d'analyser les différentes prédictions faites et de valider celle qui lui semble la plus pertinente, en vérifiant les caractères descriptifs à partir des fiches de Wiktrop ou d'autres sources d'information.

Ces différentes possibilités d'identification d'une espèce observée sont complémentaires. Elles peuvent être combinées et faire l'objet de commentaires ou de discussions entre utilisateurs à partir de la page de l'observation, jusqu'à ce que l'identification soit définitivement validée par l'un des administrateurs du portail, lorsqu'il considère qu'il n'y a plus de doute sur l'identité de l'espèce observée.

Partage et synthèse des connaissances sur les espèces, leur comportement et leur gestion

Les fiches descriptives du module « Espèces » correspondent à un assemblage de connaissances sur chacune des espèces, issues de l'expérience des différents acteurs (agriculteurs, techniciens, agronomes, scientifiques), d'informations collectées à partir des observations postées sur le portail et de la bibliographie. Elles portent sur une grande diversité de thématiques depuis la taxonomie, la botanique, la physiologie, la reproduction, l'écologie, l'agronomie, la nuisibilité et les méthodes de lutte pratiquées ou recommandées, ainsi qu'une liste de références bibliographiques et de liens hypertextes avec d'autres bases de données. Malgré la volonté de réaliser une synthèse, il n'est pas toujours utile de répéter ce qui est déjà dit ailleurs. Par exemple, pour les espèces présentes dans les pâturages tropicaux, un lien hypertexte est proposé avec la page espèce correspondante sur le site Feedipedia (Animal feed resources information system) (https://www.feedipedia.org/node) pour accéder à toutes les informations sur la valeur nutritionnelle de la plante. La richesse, la diversité et la valeur de ces connaissances tiennent à cet assemblage entre connaissances empiriques des acteurs de terrain et connaissances scientifiques issues de la recherche et de la bibliographie. Elles dépendent de l'importance des contributions des utilisateurs du portail. Beaucoup d'informations sont caractérisées en fonction du pays et du système de culture, ce qui permet de comparer des situations ou des comportements différents d'un pays à l'autre ou d'une culture à l'autre. Ces fiches espèces sont élaborées par des utilisateurs dont la compétence dans le domaine est reconnue et à qui on accorde des droits d'édition. Ils peuvent ainsi compléter toute fiche. Cependant, tout utilisateur classique du portail, n'ayant pas de droits d'édition, peut également poster des commentaires sur toute page du portail, que ce soit pour signaler une erreur ou pour apporter une information ou une connaissance complémentaire, qui sera alors vérifiée et intégrée dans la fiche par un administrateur.

La surveillance des espèces

Par la combinaison des fonctionnalités des modules « Observations » et « Cartographie » et à condition de bénéficier d'observations régulières dans une région et sur un système de culture donnés, il est possible de surveiller la dispersion spatiale d'une espèce ou l'évolution de son abondance et donc de la contrainte qu'elle représente pour le système de culture concerné. Il est ainsi possible de travailler à différentes échelles, de la parcelle au territoire.

en garantissant une certaine sécurité dans le fonctionnement et une grande qualité de contenu. Toute erreur mise en évidence peut être immédiatement corrigée et le fait de travailler en temps réel en multiutilisateurs permet au portail de diffuser en permanence le dernier état de mise à jour. Les évolutions à venir pourraient viser une appropriation plus significative des acteurs concernés par la mise en place de groupes d'animation locaux en charge de favoriser les utilisations de l'outil dans des contextes variés accompagnés de formations.

Le portail Wiktrop propose des liens vers d'autres bases de données et site Web de façon à proposer des compléments d'information sur les espèces, mais il contribue également à certaines bases de données de biodiversité. Une passerelle de transfert de données a été établie entre Wiktrop et GBIF (Global Biodiversity Information Facility) pour mettre à disposition les données des observations validées (Le Bourgeois et al., 2021).

Les prochaines évolutions majeures du portail porteront sur l'intégration des plantes de services et des plantes fourragères tropicales, et de nouveaux champs d'informations liés à ces espèces, notamment sur les traits fonctionnels. Dans la mesure où certaines espèces peuvent passer du statut d'adventice, à celui de plante de service ou de fourrage en fonction du contexte et des objectifs de l'agriculteur, il est apparu important de pouvoir gérer ces espèces dans un même espace tout en distinguant les informations liées à ces différents statuts. Il est à souligner que l'identification des graminées fourragères, qui est en général difficile pour les non-botanistes, sera grandement facilitée par cet outil. Une nouvelle organisation de l'information sera mise en oeuvre pour que chaque objet (information, observation, document…) géré dans le portail puisse être filtré selon qu'il concerne le statut d'adventice, de plante de service ou de plante fourragère et en fonction de l'intérêt défini par l'utilisateur dans son profil. Dans un deuxième temps, il sera intéressant de faire évoluer les fonctionnements du portal pour qu'un utilisateur puisse l'utiliser indifféremment par rapport à une espèce ou par rapport à un système de culture en faisant interagir espèces et systèmes de culture.

■ CONCLUSION

Le portail collaboratif Wiktrop est un outil multi-usage que ce soit pour le terrain, l'aide à la décision, la capitalisation de connaissances, la surveillance et le suivi d'espèces ou la recherche. C'est également une passerelle d'accès à d'autres bases d'informations. La facilité d'emploi et l'accompagnement des acteurs vers l'utilisation courante de ce type d'outil participatif apparaissent comme des facteurs importants de son appropriation par le plus grand nombre. Si 1 000 personnes mettent chacune à disposition une connaissance, chacune d'entre elles accède à 1 000 connaissances disponibles. Le portail Wiktrop représente actuellement une base de connaissances empiriques et scientifiques sur près d'un millier d'espèces adventices tropicales et méditerranéennes et rassemble plus de 12 000 observations de terrain et 150 documents techniques ou scientifiques. Il évolue de façon continue tant d'un point de vue technologique, en réponse aux besoins des utilisateurs et des innovations apportées sur les autres portails du groupe, que du point de vue de son contenu en fonction des contributions des utilisateurs. L'intégration prochaine des plantes fourragères et des plantes de service tropicales complétera son ouverture vers de nouvelles thématiques et une utilisation élargie. Sa qualité et son efficacité pour aider les acteurs à mieux gérer les adventices, les plantes de services et les fourrages progresseront en fonction des contributions de chacun au bénéfice de tous.

De façon globale, le portail collaboratif Wiktrop constitue à la fois une innovation et une contribution des systèmes d'élevage au pâturage à la transition agroécologique. [START_REF] Blanchard | Inventions and innovations to promote the contribution of livestock grazing systems to the agroecological transition of agriculture[END_REF] précisent que les innovations se positionnent sur des valeurs de l'agroécologie facile, et d'autre part, à mettre en oeuvre une démarche de suivi et d'accompagnement plus régulier des utilisateurs pour les aider à maîtriser l'utilisation du portail dans toutes ses dimensions [START_REF] Gaungoo | An assessment of the acceptance and application of the online WIKWIO portal for the management of weeds in Mauritius. 10th African Farm Management Association (AFMA)[END_REF][START_REF] Bourgeois | Enjeux et contraintes du partage et de la diffusion des connaissances en malherbologie tropicale pour une meilleure gestion des enherbements, exemple du portail collaboratif Wiktrop[END_REF].

Un développement open source, collaboratif et une évolution continue

Le développement du portail Wiktrop est réalisé en collaboration avec un partenaire technologique en Inde (Strand Life Science) qui assure également le déploiement d'autres portails dédiés à la biodiversité dans le cadre du groupe Biodiversity Informatics Platform [START_REF] Vattakaven | India Biodiversity Portal: An integrated, interactive and participatory biodiversity informatics platform[END_REF]. Ce travail est effectué dans une démarche de développement collaboratif et de codes sources libres. Ainsi, toute évolution et/ou fonctionnalité nouvelle mise en oeuvre sur un portail devient disponible pour les autres portails du groupe. Le développement est assuré de la façon la plus générique possible pour être facilement généralisable et adaptable à tous les portails. Au cours des dernières années, différentes évolutions majeures du portail Wiktrop ont vu le jour. Elles concernent différents domaines : 1) l'architecture du portail, 2) les fonctionnalités de filtre et de sélection de l'information, 3) l'ergonomie d'utilisation et 4) un nouveau système d'aide à l'identification.

En 2020, toute l'architecture du portail a été restructurée en microservices. Cette architecture est une approche qui consiste à diviser les grandes applications en unités fonctionnelles plus petites, capables de fonctionner et de communiquer de manière indépendante. Avec ces microservices, chaque module du portail est déployé indépendamment, mais peut communiquer avec les autres. Cette approche permet une évolutivité, une simplicité et une flexibilité tant dans le développement que dans la maintenance du portail.

Dans chaque module, des systèmes de sélection et de filtre de l'information ont été mis en oeuvre pour faciliter l'accès à l'information. Ils peuvent fonctionner sur un seul critère ou par combinaison de plusieurs critères qu'ils soient taxonomiques, descriptifs, géographiques, liés à l'utilisateur, à un mot ou une expression, à une précision d'identification, etc.). Ces filtres facilitent grandement la recherche dans les différents modules du portail.

Une grande amélioration ergonomique a porté sur l'interface permettant de poster les observations sur le portail. Il est ainsi très facile de poster une ou plusieurs observations simultanément, de gérer les images et les informations associées par regroupement ou dissociation de celles-ci en fonction des besoins. L'aide à l'identification a également été améliorée en intégrant dans le module « Observations » un accès à l'API Pl@ntNet d'identification par reconnaissance image.

■ DISCUSSION

Le portail Wiktrop a pour vocation de faciliter le partage et la diffusion de connaissances sur les adventices et leur gestion à l'échelle de l'ensemble des régions tropicales et méditerranéennes, pour tous les systèmes de cultures et entre une grande variété d'acteurs qu'ils soient producteurs, techniciens, scientifiques, étudiants ou enseignants pour une gestion durable de la flore adventice [START_REF] Marnotte | Chapitre 17 -Gestion durable de la flore adventice en cultures tropicales[END_REF]. Dans le cas particulier de la gestion raisonnée des pâturages tropicaux, Wiktrop fait partie d'un ensemble d'outils numériques d'aide à la décision [START_REF] Ménassol | Des inventions pour mieux partager les connaissances et intégrer les processus naturels dans le pilotage des élevages au pâturage[END_REF]. Le partage de connaissances et la contribution des utilisateurs sont des éléments clés du fonctionnement de ce portail, de la qualité et de la quantité de son contenu. C'est pourquoi les différents niveaux de contribution des utilisateurs (droits d'administrateur, d'éditeur, commentaires) doivent continuer d'apporter une grande souplesse dans les modes de contribution tout telles que le partage et la cocréation des savoirs. L'efficience s'incarne dans des objets alliant les savoirs et savoir-faire des acteurs de terrain aux dernières avancées du numérique pour une meilleure gestion des ressources pastorales.

Cet outil participe également à la neutralité en matière de dégradation des terres (NDT). Selon le secrétariat de la Convention des Nations Unies sur la lutte contre la désertification (CNULCD), cela correspond à « un état où la quantité et la qualité des ressources terrestres nécessaires au soutien des fonctions et services écosystémiques et au renforcement de la sécurité alimentaire restent stables ou augmentent au sein d'un écosystème et d'échelles spatio-temporelles spécifiques ». Autrement dit, s'il est impossible d'atteindre une situation d'arrêt total de la dégradation des terres, une situation de neutralité combinant une réduction du taux de dégradation des terres et une restauration des terres dégradées peut être recherchée. Cette NDT doit permettre d'accroître la sécurité alimentaire en préservant et restaurant les services rendus par les écosystèmes.

Meadows and pastures account for 25 % of land area. To make the best use of these pastures, farmers need to manage the invasive plants that are the main cause of their degradation. Such management requires knowledge of their behavior and, to that end, proper identification. The Wiktrop collaborative portal helps in weed identification and facilitates the sharing and dissemination of knowledge about tropical weeds and their management between field workers and scientists. This helps improve weed control practices throughout the tropics and Mediterranean regions. The contribution of users is an important factor in the quality and scope of the information made available. The portal will soon be expanded to include tropical forage and service plants.

Keywords: Pastures, weeds, knowledge and information systems, collaborative platform, tropical zones Resumen Le Bourgeois T., Favale C., Bazan S., Rajagopal P., Vattakaven T., Blanfort V. Cuando la gestión de plantas invasoras en pastos tropicales puede facilitarse mediante herramientas digitales: el ejemplo del portal Wiktrop Los prados y pastos representan el 25 % de las tierras emergentes. Una explotación eficiente y sostenible de estos recursos forrajeros exige una gestión especialmente adaptada de las plantas invasoras, muy a menudo responsables de su degradación. Esta gestión requiere conocimientos sobre su comportamiento, y para ello se necesita una correcta identificación. El portal colaborativo Wiktrop ayuda a identificar las adventicias y facilita que los conocimientos sobre las adventicias tropicales y su gestión se compartan y difundan entre los actores de terreno y los científicos. Estos conocimientos permiten mejorar las prácticas de control de las adventicias en el conjunto de regiones tropicales y mediterráneas. La contribución de los usuarios es un factor importante para la calidad y el alcance de la información puesta a disposición. Este portal evolucionará próximamente con la integración de las plantas forrajeras y las plantas de servicios tropicales.

Palabras clave: Pastizales, malezas, sistemas de conocimiento e información, plataforma colaborativa, zona tropical

  soulignent les spécificités des inventions pour contribuer à la transition agroécologique des systèmes d'élevage agropastoraux méditerranéens et tropicaux. Ils ont pour objectifs : a) de gérer les systèmes d'élevage avec moins d'intrants de synthèse, b) d'obtenir régulièrement et rapidement des informations nécessaires à la gestion de ces systèmes, et c) de mieux utiliser et gérer les ressources fourragères disponibles et les couverts herbagers. Ces inventions contribuent à l'émergence de systèmes d'élevage plus efficients avec des outils innovants favorisant l'accès et le partage de connaissances.

Figure 1 :

 1 Figure 1 : Structure et fonctionnement du portail Wiktrop /// How the Wiktrop portal works

  in Blanfort et al., Revue d'élevage et de médecine vétérinaire des pays tropicaux, 2023, 76 : 37266

Remerciements

Les auteurs tiennent à remercier tous les partenaires des projets Wikwio, Wiktrop, AdvenAlg, Guyapatur, qui au cours du temps et de l'évolution du portail ont apporté leur contribution tant sur la mise au point du portail, le choix des fonctionnalités que sur la capitalisation des connaissances sur les adventices. Ils remercient également tous les utilisateurs qui ont apporté leur contribution au travers d'informations sur les espèces et leur gestion, en postant des observations, en partageant des documents et en participant à la vie et aux discussions sur le portail, pour une identification ou une méthode de lutte. Leur contribution est essentielle au bon fonctionnement de ce portail. Ils remercient enfin l'Union européenne et notamment le secrétariat ACP (projet ACP Sciences et Technologie), le FEADER (projet Guyapatur) qui ont contribué au financement du développement et de l'évolution de ce portail.

Digital tools and invasive plants in pastures

Revue d'élevage et de médecine vétérinaire des pays tropicaux, 2023, 76 : 37266

Conflits d'intérêts

L'étude et le développement du portail collaboratif ont été réalisés sans conflit d'intérêts.

Déclaration des contributions des auteurs

TLB, coordinateur des projets Wikwio et Wiktrop, membre du projet Guyapatur, est également en charge de l'administration et contributeur majeur du portail Wiktrop et responsable de la rédaction principale du manuscrit. CF, outre ses contributions au portail Wiktrop, a rédigé la partie contextuelle. SB, co-administrateur du portail Wiktrop, et VB ont effectué la révision critique du manuscrit. PR et TV ont réalisé la conception et la coordination du développement des portails de biodiversité dont Wiktrop. VB, co-coordinateur du projet Guyapatur, a contribué au portail Wiktrop pour les adventices des pâturages tropicaux, a rédigé les parties contextuelles sur élevage et sur les outils numériques utiles à la gestion des pâturages.


Pablo Alvarez

Stéphane Cotin

DEFORMABLE IMAGE REGISTRATION WITH STOCHASTICALLY REGULARIZED BIOMECHANICAL EQUILIBRIUM

Keywords: Image registration, physically inspired regularization, hyperelasticity

Numerous regularization methods for deformable image registration aim at enforcing smooth transformations, but are difficult to tune-in a priori and lack a clear physical basis. Physically inspired strategies have emerged, offering a sound theoretical basis, but still necessitate complex discretization and resolution schemes. This study introduces a regularization strategy that does not require discretization, making it compatible with current registration frameworks, while retaining the benefits of physically motivated regularization for medical image registration. The proposed method performs favorably in both synthetic and real datasets, exhibiting an accuracy comparable to current state-of-the-art methods.

INTRODUCTION

Deformable image registration (DIR) of medical images has been a subject of research for decades, given its great potential for clinical applications such as disease diagnosis [START_REF] Khalil | An overview on image registration techniques for cardiac diagnosis and treatment[END_REF] and interventional guidance [START_REF] Alvarez | A hybrid, image-based and biomechanics-based registration approach to markerless intraoperative nodule localization during video-assisted thoracoscopic surgery[END_REF], to name a few. Despite the important progress made in recent years, DIR methods still lack efficiency and robustness, which limits their transferability into clinical practice. This stems from the fact that DIR is an illposed problem, partly because of the characteristics of medical images (e.g. low contrast and noise), but also because the underlying organs may deform considerably. To address this issue, multiple regularization strategies have been proposed [START_REF] Sotiras | Deformable medical image registration: A survey[END_REF], many of which were designed specifically to strengthen transformation smoothness. Although this is a desirable property, overly-smooth transformations can reduce registration accuracy, and properly adjusting regularization strength may become an important issue. Furthermore, it is difficult to provide a physical justification for some of these commonly used regularization strategies [START_REF] Burger | A hyperelastic regularization energy for image registration[END_REF].

In response, physically motivated regularization has been introduced. These methods consider the organs in medical images as hyperelastic bodies, and exploit the theory of Corresponding author: pablo.alvarez@inria.fr continuum mechanics for the design of regularization strategies [START_REF] Burger | A hyperelastic regularization energy for image registration[END_REF][START_REF] Genet | Equilibrated warping: Finite element image registration with finite strain equilibrium gap regularization[END_REF]. In addition to their strong physical basis, they also inherently strengthen desirable properties such as transformation smoothness and invertibility. However, to date, they still require complex domain discretization and resolution schemes. In this work, we extend on these ideas to propose a physically-derived regularization strategy that can be computed locally (pointwise) and does not require any discretization. As such, it facilitates integration with existing DIR frameworks and optimizers, while maintaining the desirable properties of physically motivated regularization.

The ill-posed optimization problem

Let F, M be the d-dimensional fixed and moving images, defined in domains Ω 0 and Ω, respectively. The registration problem consists in finding a displacement field u, or equivalently, a transformation φ : x ∈ Ω 0 → x + u(x), that aligns structures in Ω 0 to homologous structures in Ω, i.e. F(x) and M(φ(x)) are close under some similarity criterion. This is typically formulated as an optimization problem:

φ = arg min φ (1 -β) L sim (φ; F, M) + β L reg (φ) (1)
where L sim is a metric measuring the similarity between the images, L reg is a regularization term and β is a normalized weighting coefficient.

In general, DIR is ill-posed, and many similarity and regularization terms have been proposed in an effort to overcome this problem [START_REF] Sotiras | Deformable medical image registration: A survey[END_REF]. In this work, we focus our attention on the regularization term L reg , which is of great importance for high quality and physically plausible registration results.

Regularization

In medical image registration, it is important that the estimated transformation φ is diffeomorphic, since it is the minimum requirement for physical plausibility. In practice, this implies that φ is both smooth and invertible. Various regularization strategies have been proposed to directly reinforce these properties. For instance, the diffusion [START_REF] Fischer | Fast diffusion registration[END_REF], curvature [START_REF] Fischer | Curvature based image registration[END_REF] and bending energy [START_REF] Rueckert | Nonrigid registration using free-form deformations: application to breast MR images[END_REF] regularizers were designed to strengthen smoothness. However, in the context of deforming organs, their rather topological motivation is difficult to justify in physical terms. An alternative approach is to consider the underlying deforming objects as elastic bodies, and directly use their strain energy to regularize the transformation φ, on linearly-elastic or hyperelastic settings [START_REF] Burger | A hyperelastic regularization energy for image registration[END_REF]. However, using strain energy as regularization penalizes deformation, since only rigid body motion yields zero strain energy. A more recent idea is to consider DIR as an elastostatic problem, and penalize any deviation from the solution of a hyperelastic body in equilibrium with arbitrary boundary tractions, but without body forces [START_REF] Genet | Equilibrated warping: Finite element image registration with finite strain equilibrium gap regularization[END_REF]. This equilibrium gap regularization principle, allows for large deformations, provided that they are compatible with the conservation of linear momentum of the above-mentioned elastostatic problem:

∇ • ∂Ψ ∂F = ∇ • P = 0, (2)
with Ψ the strain energy density function, F = ∇φ the deformation gradient tensor and P the first Piola-Kirchhoff stress tensor. As such, regularization with the equilibrium gap principle is achieved by defining

L reg = ∇ • P 2 . (3)
To the best of our knowledge, only Finite Element (FE) formulations of this regularization approach exist to date [START_REF] Genet | Equilibrated warping: Finite element image registration with finite strain equilibrium gap regularization[END_REF][START_REF] Chuan | Validation of equilibrated warping-image registration with mechanical regularization-on 3d ultrasound images[END_REF]. As with the FE method in general, the accuracy depends on the quality and level of discretization, and (3) can only be enforced weakly. In this work, we propose a local (pointwise) implementation of the equilibrium gap regularization in (3) that does not require any FE discretization and can thus be enforced strongly.

MATERIALS AND METHODS

Analytically regularizing the equilibrium gap

Let Ψ be the strain energy density function of an isotropic, homogeneous, compressible Neohookean material:

Ψ = λ 4 (J 2 -1 -2 ln(J)) + µ 2 (I C -3 -2 ln(J)), (4)
with I C = tr(C) the first invariant of the right Cauchy-Green deformation tensor C = F T F, J = det(F), and µ and λ the so-called Lamé parameters.

From the constitutive equation ( 4), we first derive an expression for the stress of the material,

P = ∂Ψ ∂F = λ 2 (J 2 -1)F -T + µ(F -F -T ), (5)
and then take its divergence to rewrite (2) as: It should be noted that the computation of ( 6) at a material point necessitates the first-and second-order derivatives of the displacement field u. In a FE formulation, this is possible through the so-called shape functions of the FE spaces. Here, we suppose that analytical expressions for such derivatives are available, and therefore the computation of the equilibrium gap (3) can be performed directly. This is the case, for instance, for deformable image registration methods based on parametric transformations [START_REF] Rueckert | Diffeomorphic registration using b-splines[END_REF]. In this work, we exploit the recently developed Implicit Neural Representations for deformable image registration (IDIR) for our implementation.

∇ • P = λ 2 2JF -T ∇J + (J 2 -1)∇ • F -T + µ ∇ • F -∇ • F -T = 0. (6)

Images and validation data

Synthetic hyperelasticity dataset

This dataset consists of three 2-dimensional deformation scenarios of a hyperelastic unit square constrained at its boundary with randomly generated, smooth displacements. The variational formulation of the elastostatic problem (under plane strain assumptions) described by ( 2) and ( 4) was implemented in FeniCs [START_REF] Logg | Automated Solution of Differential Equations by the Finite Element Method[END_REF]. The displacement fields for the Dirichlet boundary conditions were generated from the sum of 12 randomly parameterized Gaussian radial basis functions with experimentally defined parameter bounds. The simulations were performed with a FE 40 × 40 grid mesh of quadratic quad elements, containing a total of 1600 elements and 14641 mesh nodes. We considered a highly compressible material with a unit Young's modulus and a Poisson ratio of 0.3, yielding approximately to µ = 0.577 and λ = 0.385. For each deformation scenario, fixed and moving binary images were generated from the solution of the elastostatic problem as illustrated in Fig. 1. Note that similar 2D binary datasets have been used in the past for validating image registration methods, e.g. [START_REF] Burger | A hyperelastic regularization energy for image registration[END_REF]. Our dataset, however, differs from these works in two key aspects: (i) the object is considered hyperelastic, which entails some constraints in the resulting deformation fields; and (ii) the ground truth displacement is known at each mesh node, which facilitates quantitative evaluation of registration performance.

DIRLab 4DCT dataset

The DIRLab 4DCT dataset [START_REF] Castillo | A framework for evaluation of deformable image registration spatial accuracy using large landmark point sets[END_REF] contains ten cases of lung CT images taken at various phases of a respiratory cycle, with varying image resolutions ranging from 256 × 256 to 512 × 512 for the in-plane resolution and 256 or 512 for the number of slices. As in previous works, we evaluated registration performance only using the end-inhalation (fixed) and end-exhalation (moving) images, for which a set of 300 paired anatomical landmarks is available. In addition, we extracted lung masks from each image using an automatic method [START_REF] Hofmanninger | Automatic lung segmentation in routine imaging is primarily a data diversity problem, not a methodology problem[END_REF] in order to define regions of interest for transformation optimization, as is common practice in the literature [START_REF] Ruhaak | Estimation of Large Motion in Lung CT by Integrating Regularized Keypoint Correspondences into Dense Deformable Registration[END_REF][START_REF] Jelmer | Implicit neural representations for deformable image registration[END_REF].

Implementation within the IDIR framework

Recently, implicit neural representations for deformable image registration (IDIR) have been proposed [START_REF] Jelmer | Implicit neural representations for deformable image registration[END_REF][START_REF] Van Harten | Robust deformable image registration using cycleconsistent implicit representations[END_REF]. These learning techniques implicitly represent the transformation φ through neural networks, using as input spatial coordinates x, and as output the corresponding displacements u. When combined with periodic activation functions, these networks allow the computation of high-order spatial derivatives of the displacement field u, therefore providing a framework for the implementation of complex regularization schemes as the proposed analytical equilibrium gap regularizer. We implemented the IDIR framework in PyTorch following [START_REF] Jelmer | Implicit neural representations for deformable image registration[END_REF]. Given the invariance of IDIR to image resolution, we used the same architecture for all registration problems: 3 hidden layers of 256 sine-activated units and d-dimensional input/output layers, accordingly. The network weights were initialized following [START_REF] Vincent Sitzmann | Implicit neural representations with periodic activation functions[END_REF]. For each registration task, the optimization problem (1) was solved stochastically using the Adam optimizer and 10000 randomly sampled points, pooled from the whole fixed domain for the synthetic dataset, and from the lung masks for the DIRLab 4DCT dataset.

The mean squared error and normalized cross-correlation were used as L sim for the synthetic and DIRLab 4DCT datasets, respectively. For the regularization L reg , the bending energy [START_REF] Rueckert | Nonrigid registration using free-form deformations: application to breast MR images[END_REF] and our proposed analytical equilibrium gap regularizer were implemented. For the latter, we chose a unit Young's modulus and zero Poisson's ratio, yielding µ = 1 2 , λ = 0. This choice reduces the registration bias for the synthetic dataset (same hyperelastic model but different parameters), and also avoids over-penalization of volume changes that are expected in the DIRLab 4DCT dataset.

RESULTS

Synthetic hyperelasticity dataset

Considering that the functional of the optimization problem (1) is a convex combination of the similarity L sim and regularization L reg terms, the regularization weight β affects both. Therefore, we chose values spanning the unit interval to evaluate the influence of the regularization weight in registration accuracy, namely β ∈ {0.0, 0.001, 0.01, 0.1, 0.5, 0.9}. In Fig. 2, the distribution of percent error across all deformation scenarios is presented; and, to further illustrate such influence, Fig. 3 depicts the result of forward-warping a uniform grid with the estimated transformations for one of the three deformation scenarios.

DIRLab 4DCT dataset

We evaluated registration accuracy in the DIRLab dataset using snap-to-voxel target registration errors (TRE) for the 300 landmarks available per case, for both bending energy and our proposed analytical equilibrium gap regularization strategies. The results of this quantitative evaluation are presented in Table 1, along with those for the current state-of-the-art method in the DIRLab dataset [START_REF] Vishnevskiy | Isotropic total variation regularization of displacements in parametric image registration[END_REF] for comparison. The regularization weight for this evaluation was set to β = 0.001, which was found to provide optimal results across cases.

Table 1. Mean (standard deviation) snap-to-voxel TRE (mm) with bending energy (Bending) and the proposed analytical equilibrium gap (Physics) regularizers, along with the stateof-the-art method for the 4DCT DIRLab dataset. The effect of regularization weight β was also evaluated for the DIRLab dataset, but in terms of cumulative TRE, as in previous works [START_REF] Ruhaak | Estimation of Large Motion in Lung CT by Integrating Regularized Keypoint Correspondences into Dense Deformable Registration[END_REF][START_REF] Jelmer | Implicit neural representations for deformable image registration[END_REF]. These results are depicted in Fig. 4.

Scan

DISCUSSION AND CONCLUSION

The proposed analytical equilibrium gap regularization strategy resulted in comparable or even improved registration accuracy than bending energy regularization, for our experiments with synthetic and DIRLab 4DCT datasets. Both regularization strategies performed well in the evaluated datasets, but the proposed regularization was more robust to changes in regularization weight β. This is clearly illustrated in Figs. 2 and4, where the registration accuracy was still acceptable with the proposed regularization strategy even for very high values of regularization weight (β ∈ {0.5, 0.9}), while being comparable with the state-of-the art in the DIRLab 4DCT dataset for an optimal weight (β = 0.001, see Table 1). In practice, it is impossible to choose a priori a value for β yielding optimal accuracy, and therefore, the lesser its influence in registration accuracy, the better. We want to emphasize that the bending energy regularization, as well as other nonphysically motivated regularization strategies, may, by construction, over-regularize the transformation φ in a large deformation setting. This can be seen in Fig. 3, where a decrease in deformation with increasing β is observed for bending energy regularization, effect that is significantly lower for our proposed physically motivated regularization. In fact, with high regularization weight, the estimated transformation approaches an affine transformation, which is not penalized by this type of regularization.

There are, however, some limitations that should be addressed in future work. A first limitation concerns our current implementation, which depends on the IDIR framework. Although we tried to limit the impact of the network hyperparameters by reutilizing those proposed in a previous study [START_REF] Jelmer | Implicit neural representations for deformable image registration[END_REF], these may affect registration accuracy and a sensibility study is therefore welcomed. We recall, however, that the IDIR framework was used herein only as a proxy for studying the performance of our proposed regularization strategy, and other registration approaches could be used, provided that the first and second derivatives of the displacement field are available. For instance, we plan an implementation in the parametric image registration framework Elastix in the future. A second limitation is the comparison to bending energy regularization only. Nonetheless, as mentioned above, other nonphysically inspired regularization strategies will most likely fail in large deformation settings (with high regularization weight) as they inherently penalize deformation. A more informative comparison would be to the equilibrated warping approach [START_REF] Genet | Equilibrated warping: Finite element image registration with finite strain equilibrium gap regularization[END_REF][START_REF] Chuan | Validation of equilibrated warping-image registration with mechanical regularization-on 3d ultrasound images[END_REF], since it uses the same mechanical quantity for regularization as in this work. The difference is that we propose a local (pointwise) form in (6) optimized stochastically, as opposed to a variational form weakly optimized globally in [START_REF] Genet | Equilibrated warping: Finite element image registration with finite strain equilibrium gap regularization[END_REF]. Although we do not require any discretization, it is unclear whether both strategies would yield the same solution, with the same efficiency and precision. We plan to investigate these considerations in future work.

Finally, extensions to the proposed regularization strategy are possible. For instance, other hyperelastic constitutive laws such as the Money-Rivlin or Yeoh models may be implemented similarly. Also, the tissue parameters in (6) can be tuned in for specific applications, to enforce quasiincompressibility, for example. We are confident that physically motivated regularization can lead to more meaningful registration methods for the solution of a variety of problems.

Fig. 1 .

 1 Fig. 1. Synthetic dataset generation. FE meshes in undeformed (a) and deformed (b) configurations for a hyperelastic unit square with random Dirichlet boundary conditions. The generated fixed (c) and moving (d) binary images.

Fig. 2 .

 2 Fig. 2. Registration accuracy on synthetic dataset for bending energy regularization (Bending) and the proposed analytical equilibrium gap regularization (Physics) with varying β, across deformation scenarios. Mean (solid line), first quantile (lower bound) and third quantile (upper bound) of registration error as percentage of unit length.

Fig. 3 .

 3 Fig. 3. Qualitative registration results on synthetic dataset for bending energy regularization (solid blue) and the proposed analytical equilibrium gap regularization (dashed orange) with varying β, on top of the ground truth deformed geometry (solid black).

Fig. 4 .

 4 Fig. 4. Cumulative distribution of TRE with bending energy regularization (Bending) and the proposed analytical equilibrium gap regularization (Physics) with varying β for the DIRLab 4DCT dataset.

COMPLIANCE WITH ETHICAL STANDARDS

This research study uses human data from the 10-years old DIRLab 4DCT dataset made available in open access [12]. The dataset contains retrospective data acquired with the approval of the local review board (RCR 03-0800).