✸✳✷ ❉✐s❝r❡t❡

t i R i R A R B R A∪B = R A ∪ R B ✶✹ ❚♦♣♦•♦❣✐❡ ◆♦♠ e T R A R B R A ∪ R B ❈②•✳ ❉✐sq✉❡ ❉✐sq✉❡ ❋✐•• ❍♦•❡ ✵ ❉✐sq✉❡ ❉✐sq✉❡ ❈②•✳ ❈r❡❛t❡ ❈②•✐♥
X = ξ∈X dσ ξ •❛ s✉r✲ ❢❛❝❡ t♦t❛•❡ ❞❡ •❛ ré❣✐♦♥ R X = R A ∪ R B ✱ ♥ X = ξ∈X n ξ dσ ξ /s X s❛ ♥♦r♠❛•❡ ♠♦②❡♥♥❡✱ ❡t ♣ X = ξ∈X p ξ dσ ξ /s X s❛ ♣♦s✐t✐♦♥ ♠♦②❡♥♥❡✳ ▲✬❡rr❡✉r ❣é♦♠étr✐q✉❡ e G (A, B) ❛ss♦❝✐é❡ à •✬❛❣❣ré❣❛t✐♦♥ ❞❡s ré❣✐♦♥ R A ❡t R B ❞é♣❡♥❞ ❞❡ •❛ ❝•❛ss❡ t♦♣♦•♦❣✐q✉❡ e T (A, B)✱ ❡t ♦♥ •❛ ❞é✜♥✐t ❞❡ ♠❛♥✐èr❡ ❢♦r♠❡••❡ ❝♦♠♠❡ e G (A, B) = E e T (A,B) (A, B)✳ E 0 (A, B) = 1 -♥ X ✭✶✳✶✮ E 1 (A, B) = E 4 (A, B) = ♥ X ✭✶✳✷✮ E 2 (A, B) = E 3 (A, B) = i s i • ♣ i -♣ X 2 /s X ✭✶✳✸✮ ▼✐♥✐♠✐s❡r E 0 (A, B) r❡✈✐❡♥t à ❛✈♦✐r ✉♥❡ ♥♦r♠❛•❡ ♠♦②❡♥♥❡ ❛②❛♥t ✉♥❡ ♥♦r♠❡ ♣r♦❝❤❡ ❞❡ 1✱ ❝❡ q✉✐ ♥✬❡st ♣♦ss✐❜•❡ q✉❡ s✐ •❛ ré❣✐♦♥ ❡st ♣•❛♥❛✐r❡✿ E 0 s❡rt ❞♦♥❝ à ❡✛❛❝❡r •❡s ❝②•✐♥❞r❡s t♦♣♦•♦❣✐q✉❡s q✉✐ ♥✬♦♥t ♣❛s ❞❡ s❡♥s ❣é♦♠étr✐q✉❡ ✭✏r❡❜♦✉❝❤❡r •❡s tr♦✉s✑✮✳ E 1 E 4 E 1 E 0 E 2 E 3 C i u : C i → [0, 1] u = 0 u = 1 △ u = 0 |v(C i )| C i u u (u, θ) θ C i - → ▽u θ 0 2π (u, θ) : C i → [0, 1] × [0, 2π] u = û b i (û) b i (û) = 2π 0 p(û,θ)dθ 2π b i : [0, 1] → R 3 C i α 0 1 v b(v) ∈ R 3 vα ∈ R 3 ∀v : vα = α • b(v) + (1 -α) • v α α = 1 k M C M = Φ • C Φ ✷✹ •❛ ♠❛tr✐❝❡ ❞❡s ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s ❞❡ ❝❛❣❡ ❞✉ ♠♦❞è•❡✮✱ ❈❛❣❡| sé•❡❝t✐♦♥♥❡ ❞❡ ♠❛♥✐èr❡ ♦♣t✐♠❛•❡ •✬❡♥s❡♠❜•❡ ❞❡s ❝♦♥tr❛✐♥t❡s à ♣r❡♥❞r❡ ❡♥ ❝♦♠♣t❡ ♣♦✉r •❡ ♣r♦❜•è♠❡ ✐♥✈❡rs❡ ✭ét❛♥t ❞♦♥♥é❡ ✉♥❡ ❞é❢♦r♠❛t✐♦♥ ❞✉ ♠♦❞è•❡ M t ✱ tr♦✉✈❡r C t t❡••❡ q✉❡ M t ≃ Φ • C t ✮✳ ▲❡s ❝♦♦r❞♦♥♥
♦♥❞✐t✐♦♥♥❡♠❡♥t ♠✐♥✐✲ ♠❛• ❡st ❝♦♥♥✉ ❞❛♥s •❡ ♠♦♥❞❡ ❞❡ •❛ r❡❝❤❡r❝❤❡ ❡♥ ❛•❣è❜r❡ •✐♥é❛✐r❡ s♦✉s •❡ ♥♦♠ ❞✉ ♣r♦❜•è♠❡ ▼✐♥❈♦♥❞✳ ❈❡ ♣r♦❜•è♠❡ ❡st ♠❛•❤❡✉r❡✉s❡♠❡♥t ◆P✲❝♦♠♣•❡t✱ ❝♦♠♠❡ s❡s ǫ✲❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s✳ ❆ •❛ ♣•❛❝❡✱ ♦♥ ❝❤♦✐s✐t ✐❝✐ ✉♥❡ ✈❡rs✐♦♥ ♣•✉s ❢❛✐❜•❡ ❞✉ ♣r♦❜•è♠❡✱ q✉✐ ❞♦♥♥❡ s❛t✐s❢❛❝t✐♦♥ ❡♥ ♣r❛✲ t✐q✉❡ ❞❛♥s ♥♦tr❡ ❝❛s ♣❛rt✐❝✉•✐❡r ❞✬❛♥❛•②s❡ ❞❡s ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s ❞❡ ❝❛❣❡s tr❛❞✐t✐♦♥♥❡••❡s✱ ❡t q✉✐ ❝♦♥s✐st❡ à tr♦✉✈❡r •❛ s♦✉s✲♠❛tr✐❝❡ ❝❛rré❡ ❞❡ ✈♦•✉♠❡ ✭✈❛•❡✉r ❛❜s♦•✉❡ ❞✉ ❞ét❡r♠✐♥❛♥t✮ ♠❛①✲ ✐♠❛• ✕ ♣r♦❜•è♠❡ ❝♦♥♥✉ s♦✉s •❡ ♥♦♠ ❞❡ ▼❛①❱♦•✳ ▲❛ ✈❛•❡✉r ❞✉ ❞ét❡r♠✐♥❛♥t ❡st ✉♥❡ ♠❡s✉r❡ ♣•✉s ❢❛✐❜•❡ ❞❡ •❛ st❛❜✐•✐té ❞✬✉♥ s②stè♠❡✱ ♠❛✐s ♦♥ ♠♦♥tr❡ ❡♠♣✐r✐q✉❡♠❡♥t q✉❡ ♠❛①✐♠✐s❡r •❡ ✈♦•✉♠❡ ❡♥tr❛✐♥❡ ✉♥❡ ❞✐♠✐♥✉t✐♦♥ ❞✉ ❝♦♥❞✐t✐♦♥♥❡♠❡♥t ✭✈♦✐r ❝❤❛♣✐tr❡ ✽✮✳ ❈❡ ♣r♦❜•è♠❡ ❡st é❣❛•❡♠❡♥t ◆P✲❝♦♠♣•
♠❛tr✐❝❡ A✱ ❡t B •❛ ♠❛tr✐❝❡ ❝♦♥str✉✐t❡ ❝♦♠♠❡ B = A • A -1 ✳ ❯♥❡ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ s✐♠♣•❡ à ét❛❜•✐r ❡st q✉✬é❝❤❛♥❣❡r •❡s •✐❣♥❡s i ❡t j ❞❡ A✱ ♣♦✉r •❡sq✉❡••❡s B ij ❡st •✬é•é♠❡♥t ❞❡ ♥♦r♠❡ ♠❛①✐♠❛•❡ ❞❛♥s •❛ ♠❛tr✐❝❡ B ❛✉❣♠❡♥t❡ •❡ ✈♦•✉♠❡ ❞❡ A ✭s✐ |B ij | > 1✮✳ e k 1 k 0 B A B := B -(B :j -e j + e i ) • (B i: -e T j )/B ij B :j j me B B i: i me • A m A A B = A • A -1 • B B ij i > m i j B µ 1 /µ m µ k k ime µ 1 /µ k k < m 2 R 3 U ΣV T Φ Φ C t H t C t = k V k • q kt q kt = (U k ) T • H t /s k ∈ R 3 s E = λ|| k<(m-s) ∆ • V k • q kt + k≥(m-s) ∆ • V k • q kt || 2 + ||(Φ • C t ) -H t || 2 (q k , k < m -s) q kt = (U k ) T • H t /s k , ∀k < (m -s) s = 20 λ 1 (q k , k ≥ m-s) q kt , ∀k ≥ (m -s) √ λ • k≥(m-s) ∆ • V k • q kt = - √ λ • k<(m-s) ∆ • V k • q kt s k • q kt = s k • (U k ) T • H t /s k , ∀k ≥ (m -s) ≃ ≃ R n f f (v i ) = f i v i f i f (η) = i λ i (η)f i λ i (η) η v i w i (η) λ i (η) = w i (η) j w j (η) w i = Bη( ) φ i [x] |p[x] -η| dS η (x) B η ( ) η φ i [x] 1 v i 0 p i p(η) = i λ i (η)p i p i = T + R • p i T R Jf (η) = R f f (η + dη) = f (η) + - → ▽f t η • dη + o(||dη||) f (η + dη) = f (η) + - → ▽f t η • dη + 1 2 dη t • Hf η • dη + o(||dη|| 2 ) η 150×170×140 f : R 3 → R 3 P ∀v i ∈ P , f (v i ) = v i J ∀v i ∈ J, Jf (v i ) = J i H ∀v i ∈ H, Hf x (v i ) = Hf y (v i ) = Hf z (v i ) = 0 3 E = w P v i ∈P (|| j λ j (v i )c j -v i || 2 ) +w J v i ∈J (|| j c j • - → ▽λ j t (v i ) -J i || 2 ) +w H v i ∈H (|| j Hλ j (v i ) • c j (x) || 2 ) +w H v i ∈H (|| j Hλ j (v i ) • c j (y) || 2 ) +w H v i ∈H (|| j Hλ j (v i ) • c j (z) || 2 ) w P , w J , w H Jf (v i ) t • Jf (v i ) = I 3 ∀v i ∈ J ✸✹ ❉✐s❝✉ss✐♦♥ ▲❡s ❝♦♦r❞♦♥♥
(η) = ξ∈∂D λ(ξ) ∂ 1 G(ξ, η) ∂n ξ dσ ξ ✭✶✳✾✮ - ξ∈∂D G(ξ, η) ∂λ(ξ) ∂n ξ dσ ξ + ξ∈∂D △ λ(ξ) ∂ 1 g(ξ, η) ∂n ξ dσ ξ - ξ∈∂D g(ξ, η) ∂(△ λ)(ξ) ∂n ξ dσ ξ ♦ù g ❡st •❛ s♦•✉t✐♦♥ ❢♦♥❞❛♠❡♥t❛•❡ à •✬éq✉❛t✐♦♥ ❜✐❤❛r♠♦♥✐q✉❡✿ △ 1 g(x, y) =△ 2 g(x, y) = G(x, y)✱ ❡t △ 2 1 g(x, y) =△ 2 2 g(x, y) = δ 0 (||x -y||)✳ ❖♥ ♠♦♥tr❡ ❞❛♥s •❡ ❝❤❛♣✐tr❡ ✶✶ q✉✬❡♥ ❞é✜♥✐ss❛♥t •❡s ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❛✉ ❜♦r❞ ❞✬♦r❞r❡ 0 ❡t 2 ❝♦♠♠❡ ❞❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s ❝♦♥t✐♥✉❡s✱ •✐♥é❛✐r❡s ♣❛r ♠♦r❝❡❛✉① s✉r •❛ ❝❛❣❡✱ ❡t •❡s ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❛✉ ❜♦r❞ ❞✬♦r❞r❡ 1 ❡t 3 ❝♦♠♠❡ ❞❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s ❞✐s❝♦♥t✐♥✉❡s✱ ❝♦♥st❛♥t❡s s✉r ❝❤❛q✉❡ tr✐❛♥❣•❡✱ ♦♥ ♦❜t✐❡♥t ✉♥ ❡s♣❛❝❡ ❞❡ ❢♦♥❝t✐♦♥s ❜✐❤❛r♠♦♥✐q✉❡s q✉✐ ❞♦♥♥❡ ❞❡s rés✉•t❛ts s❛t✐s❢❛✐s❛♥ts ❞❛♥s •❡ ❝♦♥t❡①t❡ ❞❡ •❛ ♠❛♥✐♣✉•❛t✐♦♥ ✈❛r✐❛t✐♦♥♥❡••❡ ❞✬♦❜•❡ts ✸❉✳          ∀ξ ∈ ∂D : f (ξ) = v i Γ i (ξ) • v i ∀ξ ∈ t j ⊂ ∂D : ∂f ∂n ξ (ξ) = n(t j ) ∀ξ ∈ ∂D : △ (f )(ξ) = v i Γ i (ξ) • L V i ∀ξ ∈ t j ⊂ ∂D : ∂(△f )(ξ) ∂n ξ = l T j v i L V i n(t j ) l T j f (η) = v i φ i (η) • v i + t j ψ j (η) • n(t j ) + v i Λ V i (η) • L V i + t j λ T j (η) • l T j φ i ψ j Λ V i λ T j E rot = t j ∈T Aire(t j )((σ j 1 -1) 2 + (σ j 2 -1) 2 ) t j ∈T Aire(t j )
E sim = t j ∈T Aire(t j )(σ j 1σ j 2 ) 2 2 t j ∈T Aire(t j )

♦♥s ♣r♦♣♦sé ✉♥ ♠♦❞è•❡ ❛♥❛•②t✐q✉❡ ♣♦✉r •❡s sq✉❡•❡tt❡s ✉♥✐✲ ❞✐♠❡♥s✐♦♥♥❡•s✱ ❛✐♥s✐ q✉✬✉♥ ❛•❣♦r✐t❤♠❡ ♣♦✉r tr♦✉✈❡r ✉♥❡ s❡❣♠❡♥t❛t✐♦♥ ❞✬✉♥ ♠❛✐••❛❣❡ ❡♥ ❞✐sq✉❡s ❡t ❝②•✐♥❞r❡s t♦♣♦•♦❣✐q✉❡s à ♣❛rt✐r ❞❡ •❛q✉❡••❡ •❛ ❣é♦♠étr✐❡ ❞✉ sq✉❡•❡tt❡ ♣❡✉t êtr❡ ❝❛•❝✉•é❡✳ ▲❛ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ❞❡ ❝❡tt❡ s❡❣♠❡♥t❛t✐♦♥ ❡st ❜❛sé❡ s✉r ✉♥ ❛•❣♦r✐t❤♠❡ ❞❡ ré❞✉❝t✐♦♥ ❞❡ ❣r❛♣❤❡✱ q✉✐ ✉t✐•✐s❡ ✉♥ t❡r♠❡ ❞❡ ❝♦ût ❞❡ ❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ♣r❡♥❛♥t ❡♥ ❝♦♠♣t❡ •❛ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ t♦♣♦•♦❣✐q✉❡ ✐♥❞✉✐t❡ ♣❛r •✬♦♣ér❛t✐♦♥ ♣♦✉r ❞é✜♥✐r •❛ ♣r✐♦r✐té ❞❡s ♦♣ér❛t✐♦♥s ❛✐♥s✐ q✉❡ •✬❡rr❡✉r ❣é♦♠étr✐q✉❡ s♣é❝✐❛•✐sé❡ ♣♦✉r •❛ ❝•❛ss❡ t♦♣♦•♦❣✐q✉❡ ❝♦♥s✐❞éré❡✳ ❆ ♥♦tr❡ ❝♦♥♥❛✐ss❛♥❝❡✱ ❝❡ ♣r♦❜•è♠❡ ❞❡ s❡❣♠❡♥t❛t✐♦♥ ❞❡
♥✜♥✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s tr❛✈❛✐••é s✉r •❛ ❞é✜♥✐t✐♦♥ ♠❛t❤é♠❛t✐q✉❡ ❞❡ ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s s♣❛t✐❛•❡s✱ ❡t ♥♦✉s ❛✈♦♥s ♦❜t❡♥✉ ❞❡s rés✉•t❛ts q✉✐ s♦♥t ❞❡ ✈❛•❡✉r ♣r❛t✐q✉❡ ❛✉ss✐ ❜✐❡♥ q✉❡ t❤é♦r✐q✉❡✳ ◆♦✉s ❛✈♦♥s ♦❜t❡♥✉ ✉♥❡ ❢♦r♠✉•❡ ❛♥❛•②t✐q✉❡ ♣♦✉r •❡s ❞ér✐✈é❡s ❞❡s ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s ❛✉① ✈❛•❡✉rs ♠♦②❡♥♥❡s✱ ❡♥ ✷❉ ❡t ❡♥ ✸❉✱ ❡t ❞é♠♦♥tré •❡✉r ✉t✐•✐té ♣♦✉r •❡s ❛♣♣•✐❝❛t✐♦♥s t②♣✐q✉❡s ❞❡ ❝❡s ❝♦♦r❞♦♥♥é❡s✳ ◆♦✉s ❛✈♦♥s é❣❛•❡♠❡♥t ♦❜t❡♥✉ ✉♥❡ s♦•✉t✐♦♥ ❛♥❛•②t✐q✉❡ ♣♦✉r •❛ ♠♦❞é•✐s❛t✐♦♥ ❞❡ ❢♦♥❝t✐♦♥s ❞❡ ❞é❢♦r♠❛t✐♦♥s ❜✐❤❛r♠♦♥✐q✉❡s ❡♥ ✸❉✱ ❡t ❞é♠♦♥tré •❡✉r ♣♦✉✈♦✐r ❞✬❡①♣r❡ss✐♦♥ ❞❛♥s ❝❡ ❝♦♥t❡①t❡ ♣❛rt✐❝✉•✐❡r✳ P❛rt ■ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❈❤❛♣t❡r ✷ •❡♦♠❡tr② ✐♥ ❈♦♠♣✉t❡r •r❛♣❤✐❝s✬ ❛♣♣•✐❝❛t✐♦♥s ✷✳✶ ■♥t❡r❛❝t✐✈❡ s❤❛♣❡ ❡❞✐t✐♥❣ ❱❛r✐♦✉s r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ ❢♦r ✸❉ s❤❛♣❡s ✐♥ ❈♦♠♣✉t❡r •r❛♣❤✐❝s✳ P♦•②❣♦♥❛• ♠❡s❤❡s ❛r❡ t❤❡ ♠♦st ♣♦♣✉•❛r ♦♥❡ ❛s t❤❡② ❛r❡ ❛ ♥❛t✉r❛• •♦✇✲r❡s♦•✉t✐♦♥ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ t❤❛t ❝❛♥ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ t❤❡ s❤❛♣❡ ✇✐t❤ ❛ ❝♦♥tr♦•❛❜•❡ ❡rr♦r✳ P❤②s✐❝❛• s✐♠✉•❛t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ r✉♥ ♦♥ t❤❡s❡ ♠❡s❤❡s ✉s✐♥❣ ❋✐♥✐t❡ ❊•❡♠❡♥ts ♠❡t❤♦❞s ❛♥❞ ♦♥✲t❤❡✲✢② ❡♥r✐❝❤♠❡♥t ♦❢ t❤❡s❡ ❝❛♥ ❜❡ ♣❡r❢♦r♠❡❞ ✈❡r② ❡✣❝✐❡♥t•② ❜② ❛♣♣•②✐♥❣ ♣♦♣✉•❛r s✉❜❞✐✈✐s✐♦♥ s❝❤❡♠❡s t♦ t❤❡♠✳ ❚❤❡② ❛•s♦ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ ❛ •♦t ♦❢ ✸❉ ♦❜•❡❝ts t❤❛t ❝♦♠♣♦s❡ ♦✉r ❡✈❡r②❞❛②✲✇♦r•❞ ✐♥ t❤❡ ♠♦st ❡✣❝✐❡♥t ✇❛②✱ s✉❝❤ ❛s ❜✉✐•❞✐♥❣s ❢♦r ❡①❛♠♣•❡✳ ✷✳✶✳✶ ❈r❡❛t✐♦♥ ❚❤❡ ❝r❡❛t✐♦♥ ❢r♦♠ s❝r❛t❝❤ ♦❢ ❛ ✸❉ s❤❛♣❡ ✐s ✉s✉❛••② s❡♣❛r❛t❡❞ ✐♥t♦ s❡✈❡r❛• st❡♣s✱ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ ❡①❡❝✉t❡❞ ❜② ❞✐✛❡r❡♥t ❛rt✐sts✿ • ❝r❡❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✐♥✐t✐❛• ❣❡♦♠❡tr② • r❡♠❡s❤✐♥❣ ♦❢ t❤✐s ❣❡♦♠❡tr② ❢♦r t❡①t✉r✐♥❣ • ❞❡t❛✐• ❛❞❞✐t✐♦♥ ✭❞✐s♣•❛❝❡♠❡♥t ♠❛♣s✱ ❜✉♠♣ ♠❛♣s✱✳✳✳✮ • t❡①t✉r✐♥❣ ❚❤❡s❡ ♣r♦❝❡ss❡s ❛r❡ ✉s✉❛••② ♣❡r❢♦r♠❡❞ ❛t ❞✐✛❡r❡♥t s❝❛•❡s✱ t♦ ❛••♦✇ t❤❡ s❤❛♣❡ t♦ ❜❡ r❡♣✲ r❡s❡♥t❡❞ ❛t ❞✐✛❡r❡♥t •❡✈❡•s ♦❢ ❞❡t❛✐•✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉•❛r✱ ❛✉t♦♠❛t✐❝ ❞❡❝✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ✸❉ ♦❜•❡❝ts ❢r♦♠ ❛ ❞❡t❛✐•❡❞ ✈❡rs✐♦♥ ✐s ❛ ✈❡r② ❛❝t✐✈❡ ✜❡•❞ ♦❢ r❡s❡❛r❝❤ ❛♥❞ ❤❛s ♣r♦❞✉❝❡❞ s❡✈❡r❛• ❝♦r❡ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥s ✐♥ ❈♦♠♣✉t❡r •r❛♣❤✐❝s ♦✈❡r t❤❡ ♣❛st ②❡❛rs✳ ❙✐♠✐•❛r•②✱ ❤✐❣❤ •❡✈❡• ♦❢ ❞❡t❛✐•s ❝❛♥ ❜❡ ❣❡♥❡r❛t❡❞ ✉s✐♥❣ s✉❜❞✐✈✐s✐♦♥ ♠❡❝❤❛♥✐s♠s✱ t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ ❞✐s♣•❛❝❡♠❡♥t ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ✹✶ ✹✷ ❚❤❡ ❝r❡❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✐♥✐t✐❛• ❣❡♦♠❡tr② ❝❛♥ ❜❡ ❛s s✐♠♣•❡ ❛s ✉s✐♥❣ ❛ 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✮✳ ❆ s✐♠♣•❡ s②st❡♠ ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥s ♥❡❡❞s t♦ ❜❡ ✐♥✈❡rt❡❞ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ✜♥❞ II✳ ✷✳ ❖♥❝❡ II ✐s ❢♦✉♥❞ ♦♥ ❡❛❝❤ tr✐❛♥❣•❡ ♦❢ t❤❡ ♠❡s❤✱ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ♦♥ ❡❛❝❤ ✈❡rt❡① ♦❢ t❤❡ ♠❡s❤ ❜② ❛✈❡r❛❣✐♥❣ t❤❡ t❡♥s♦rs ♦♥ ✐ts ❛❞•❛❝❡♥t tr✐❛♥❣•❡s ✭✇❡✐❣❤t✐♥❣ t❤❡♠ ❜② t❤❡✐r ❛r❡❛✮✳ ■t ✐s r❡q✉✐r❡❞ ❤❡r❡ t♦ r♦t❛t❡ t❤❡ •♦❝❛• ❢r❛♠❡ ♦❢ t❤❡ tr✐❛♥❣•❡ ✐♥ ♦r❞❡r ❛•✐❣♥ ❜❡st t♦ t❤❡ •♦❝❛• ❢r❛♠❡ ♦❢ t❤❡ ✈❡rt❡①✱ s♦ t❤❛t ❛•• t❡♥s♦rs ❛r❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ✇✳r✳t✳ t❤✐s •♦❝❛• ❢r❛♠❡ ❜❡❢♦r❡ ❜❡✐♥❣ ❛✈❡r❛❣❡❞✳ ✸✳ ❖♥❝❡ II ✐s ❢♦✉♥❞ ♦♥ ❡❛❝❤ ✈❡rt❡①✱ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ❞✐❛❣♦♥❛•✐③❡❞✱ ❛♥❞ ❛•• ❝✉r✈❛t✉r❡ ✐♥❢♦r♠❛✲ t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❞❡r✐✈❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥s ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ♣❛r❛❣r❛♣❤s ✭s❡❡ s❡❝t✐♦♥ ✸✳✷✳✷✮✳ ◆♦t❡✱ t❤❛t t❤✐s ❛♣♣r♦❛❝❤ ❛••♦✇s t♦ ❝♦♠♣✉t❡ ❤✐❣❤❡r ♦r❞❡r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s✱ t♦♦✳ ✸✳✷✳✸ ▲❛♣•❛❝❡✲❇❡•tr❛♠✐ ♦♣❡r❛t♦r ❚❤❡ ▲❛♣•❛❝✐❛♥ ♦♣❡r❛t♦r △✱ t❤❛t ✐s ❛ •✐♥❡❛r ♦♣❡r❛t♦r ❛❝t✐♥❣ ♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ✐s ♣❛rt✐❝✉•❛r•② ✐♠♣♦rt❛♥t ✐♥ ❣❡♦♠❡tr② ❛♥❞ ✐♥ ❈♦♠♣✉t❡r •r❛♣❤✐❝s✳ ■♥ t❤❡ ❊✉❝•✐❞❡❛♥ s♣❛❝❡ R d ✱ ✐t t❛❦❡s t❤❡ ❢♦r♠ △ f = i=1..d ∂ 2 f ∂x 2 i ✳ ❖♥ n✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛• s✉r❢❛❝❡s ❡♠❜❡❞❞❡❞ ✐♥ R d ❤♦✇❡✈❡r✱ ✐t ✐s ♠♦r❡ ❝❤❛••❡♥❣✐♥❣ t♦ ❞❡✜♥❡✳ ❖♥❡ ❦❡② ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ t❤✐s ♦♣❡r❛t♦r ♦♥ s✉r❢❛❝❡s ✭❛♥❞ ♦♥ tr✐❛♥❣•❡ ♠❡s❤❡s ✐♥ ♣❛rt✐❝✉•❛r✮✱ ✐s t❤❛t ✐t ❝❛♥ ❜❡ ❞❡❝♦♠♣♦s❡❞ ❛s ❛ ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❞✐✈❡r❣❡♥❝❡ ♦♣❡r❛t♦r divf = i=1..d ∂f i ∂x i ❛♥❞ ❣r❛❞✐❡♥t ♦♣❡r❛t♦r - → ▽f = { ∂f ∂x 1 , • • • , ∂f ∂x d }✳ ■♥❞❡❡❞✱ ✐t ✐s str❛✐❣❤t❢♦r✲ ✇❛r❞ t♦ s❡❡ t❤❛t △ f = div( - → ▽(f ))✳ ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▲❛♣•❛❝❡✲❇❡•tr❛♠✐ ♦♣❡r❛t♦r ♦♥ tr✐❛♥❣•❡ s✉r❢❛❝❡s ❚❤❡ ❞✐✈❡r✲ ❣❡♥❝❡ ♦♣❡r❛t♦r ❛♥❞ t❤❡ ❣r❛❞✐❡♥t ♦♣❡r❛t♦r ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ❞✐s❝r❡t✐③❡❞ ♦♥ tr✐❛♥❣•❡ s✉r❢❛❝❡s✱ ❛♥❞ ❜② ✉s✐♥❣ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❡q✉❛t✐♦♥✱ ❛ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▲❛♣•❛❝✐❛♥ ♦♣❡r❛t♦r ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ♦♥ tr✐❛♥❣•❡ s✉r❢❛❝❡s ❛s ✇❡••✳ ◆♦t❡✱ t❤❛t ✇❤❡♥ ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣ t❤✐s ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ▲❛♣•❛❝✐❛♥ ♦♣❡r❛t♦r✱ ✐t r❡❢❡rs t♦ t❤❡ ✏▲❛♣•❛❝❡✲❇❡•tr❛♠✐✑ ♦♣❡r❛t♦r ♦♥ s✉r❢❛❝❡s✳ ✺✹ ◆♦t❡✱ t❤❛t ✐t ✐s ❝•♦s❡•② r❡•❛t❡❞ t♦ t❤❡ ✜❡•❞ ♦❢ ❉✐s❝r❡t❡ ❊①t❡r✐♦r ❈❛•❝✉•✉s✳ ❋♦r ❢✉rt❤❡r r❡❢❡r❡♥❝❡✱ ♣•❡❛s❡ s❡❡ ❬✷✺(✳ △ (f )(v i ) = 1 2A V or (v i ) v j ∈V w ij f j ✭✸✳✹✮ ✇✐t❤ w ij ❜❡✐♥❣ ❝❛••❡❞ t❤❡ ❝♦t❛♥❣❡♥t ✇❡✐❣❤t ♦❢ t❤❡ ❡❞❣❡ e ij ✐♥ ❝❛s❡ v j ✐s ❛ ♥❡✐❣❤❜♦r ♦❢ v i ✿      w ij = cot(α ij )+cot(β ij ) 2 ∀v j ∈ V 1 (v i ) w ij = 0 ∀v j / ∈ V 1 (v i ), j = i w ii = -j =i w ij ✭✸✳✺✮ ❚❤❡ ❱♦r♦♥♦ï s❡t ♦❢ ❛ ♣♦✐♥t x i ❛♠♦♥❣ ❛ ❝♦••❡❝t✐♦♥ ♦❢ ♣♦✐♥ts X I = {x i } i∈I ✐♥ ❛ s♣❛❝❡ M ✐s t❤❡ s❡t ♦❢ ♣♦✐♥ts ✐♥ M t❤❛t ❛r❡ ❝•♦s❡r t♦ x i t❤❛♥ t♦ ❛♥② ♦t❤❡r ♣♦✐♥t ✐♥ X I ✳ ❚❤✐s ♥♦t✐♦♥ ✐s ❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ t❤❛t ✐s ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ♦♥ t❤❡ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ s♣❛❝❡ M ✳ A V or (v i ) = 1 4 v j ∈V 1 (v i ) w ij ||v i -v j || 2 ❞❡♥♦t❡s t❤❡ ❱♦r♦♥♦ï ❛r❡❛ ♦❢ t❤❡ ✈❡rt❡① v i ✭s❡❡ ❋✐❣✳ ✸✳✹✮❀ t❤❡ s♣❛❝❡ t❤❛t ✐s ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❤❡r❡ ✐s t❤❡ s✉r❢❛❝❡ ♠❛♥✐❢♦•❞✱ ❛♥❞ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ✐s t❤❡ ❣❡♦❞❡s✐❝ ❞✐st❛♥❝❡ ♦♥ t❤❡ s✉r❢❛❝❡✳ ▲✐♥❦ t♦ ❝✉r✈❛t✉r❡ ■t ✐s ♣❡rt✐♥❡♥t t♦ ♥♦t❡ t❤❛t✱ ✇❤❡♥ ❛♣♣•②✐♥❣ t❤❡ ▲❛♣•❛❝✐❛♥ ♦♣❡r❛t♦r t♦ t❤❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ❢✉♥❝t✐♦♥ x✭t❤❡ ❣❡♦♠❡tr② ♦❢ t❤❡ s✉r❢❛❝❡✮✱ t❤❡ ♠❡❛♥ ❝✉r✈❛t✉r❡ ❝♦♠❡s ❛s ❛ r❡s✉•t✿ △ x = 2Hn ✭✸✳✻✮ ❚❤✐s ❡q✉❛•✐t② ❤❛s ♠♦t✐✈❛t❡❞ ♣r❡✈✐♦✉s ✇♦r❦ r❡❣❛r❞✐♥❣ t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠❡❛♥ ❝✉r✈❛✲ t✉r❡ ♦♥ tr✐❛♥❣•❡ s✉r❢❛❝❡s✱ ❜② ✜rst ❝♦♠♣✉t✐♥❣ ✈❡rt❡① ♥♦r♠❛•s ♦♥ ❛ ♠❡s❤✱ t❤❡♥ ❝♦♠♣✉t✐♥❣ t❤❡ ▲❛♣•❛❝✐❛♥ ♦❢ t❤❡ ♠❡s❤ ✈❡rt❡① ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ❛♥❞ ❞❡r✐✈✐♥❣ t❤❡ ♠❡❛♥ ❝✉r✈❛t✉r❡ ♣❡r ✈❡rt❡① ❛s ❤❛•❢ ♦❢ t❤❡ ♠❛❣♥✐t✉❞❡ ♦❢ t❤❡ r❡s✉•t ✭❜② ❝❤❡❝❦✐♥❣ ❢♦r t❤❡ ♦r✐❡♥t❛t✐♦♥ ✇✳r✳t✳ t❤❡ ✈❡rt❡① ♥♦r♠❛• t♦ s❡t t❤❡ s✐❣♥ ♦❢ t❤❡ ♠❡❛♥ ❝✉r✈❛t✉r❡✮✳ ✸✳✷✳✹ ❚♦♣♦•♦❣✐❝❛• ✐♥✈❛r✐❛♥ts ❆♥ ✐♠♣♦rt❛♥t t❤❡♦r❡♠ ❢r♦♠ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛• ❣❡♦♠❡tr② r❡•❛t❡s t❤❡ ❣❡♦♠❡tr② ♦❢ t❤❡ s✉r❢❛❝❡ ✭t❤r♦✉❣❤ •❛✉ss✐❛♥ ❝✉r✈❛t✉r❡✮ t♦ ✐ts t♦♣♦•♦❣② ✭t❤r♦✉❣❤ ✐ts ❣❡♥✉s✮✿ •❛✉ss✲❇♦♥♥❡t ❋♦r ❛♥② s♠♦♦t❤ ❝•♦s❡ s✉r❢❛❝❡ ▼ ξ∈▼ Gdσ ξ = 2πχ(▼) ✭✸✳✼✮ ✇✐t❤ χ(▼) t❤❡ ❊✉•❡r ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝ ♦❢ t❤❡ s✉r❢❛❝❡ ▼✳ ❚❤❡ ❊✉•❡r ❝❤❛r❛❝t❡r✐st✐❝ ✐s •✐♥❦❡❞ t♦ t❤❡ ❣❡♥✉s ♦❢ t❤❡ s❤❛♣❡ g(▼) ❜② t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ❢♦r♠✉•❛✿ χ(▼) = 2 -2g(▼) ✭✸✳✽✮ χ( ) = #V -#E + #T ✺✻ ▲✐♥❡❛r r♦t❛t✐♦♥ ✐♥✈❛r✐❛♥t ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ❚❤❡ ▲|■ ♠❡t❤♦❞ ✐s ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛• ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ♦♥ t❤❡ ♠❡s❤✿ • ❆ •♦❝❛• ❢r❛♠❡ B i ✐s ❛tt❛❝❤❡❞ t♦ ❡❛❝❤ ✈❡rt❡① v i ✭❛ 3 × 3✲♠❛tr✐① ✇✐t❤ n(v i ) ❜❡✐♥❣ t❤❡ ✜rst r♦✇✱ ❛♥❞ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❛♥❞ t❤✐r❞ r♦✇s ❜❡✐♥❣ t✇♦ ♦rt❤♦❣♦♥❛• ✈❡❝t♦rs s♣❛♥♥✐♥❣ t❤❡ t❛♥❣❡♥t ♣•❛♥❡ ♦❢ t❤❡ ✈❡rt❡①✮✳ • ❖♥ ❡❛❝❤ ❡❞❣❡ e ij ❛ 3 × 3✲♠❛tr✐① T ij ✐s ❛tt❛❝❤❡❞✱ ❞❡s❝r✐❜✐♥❣ t❤❡ ❝❤❛♥❣❡ ♦❢ t❤❡ •♦❝❛• ❢r❛♠❡s ❡①♣r❡ss❡❞ ✐♥ t❤❡ •♦❝❛• ❢r❛♠❡ B i ✿ T ij = (B j -B i ) • B t i ✳ ❚❤✐s ♠❛tr✐① ❡♥❝♦❞❡s t❤❡ ✜rst ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛• ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ♦❢ t❤❡ ▲|■✳ • ❊❛❝❤ ❡❞❣❡ e ij ✐s ❡①♣r❡ss❡❞ ✐♥ t❤❡ •♦❝❛• ❢r❛♠❡ B i ✿ d ij = B i • (v j -v i )✳ ❚❤✐s ❡♥❝♦❞❡s t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛• ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ♦❢ t❤❡ ▲|■✳ ❚♦ ❞❡❢♦r♠ t❤❡ ♠♦❞❡•✱ t❤❡ ✉s❡r ❣r❛❜s t❤❡ ❤❛♥❞•❡✱ ❛♥❞ ❛♣♣•✐❡s s♦♠❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ t♦ ✐t ✭✉s✉❛••②✱ ❛ s✐♠♣•❡ ♠❛♥✐♣✉•❛t♦r ✇✐❞❣❡t ❛••♦✇s t♦ s♣❡❝✐❢② ❛ r✐❣✐❞ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ t♦ t❤❡ ✇❤♦•❡ ❤❛♥❞•❡✱ ✐♥❝•✉❞✐♥❣ ❛ tr❛♥s•❛t✐♦♥✱ ❛ r♦t❛t✐♦♥✱ ❛♥❞ 3 s❝❛•❡s t❤❛t ❛r❡ ❡✈❡♥t✉❛••② ❡q✉❛•✮✳ ❚❤❡ ❛•❣♦r✐t❤♠ ✜rst ♣r♦♣❛❣❛t❡s t❤❡ r♦t❛t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ s❝❛•❡s t♦ t❤❡ ❡♥t✐r❡ ♠❡s❤✱ t❤✉s ♠♦❞✐❢②✐♥❣ t❤❡ •♦❝❛• ❢r❛♠❡ ♦❢ t❤❡ ✈❡rt✐❝❡s✳ ■♥ ❛ s❡❝♦♥❞ st❡♣✱ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✈❡rt✐❝❡s ❛r❡ r❡❝♦✈❡r❡❞ ❜② ✜tt✐♥❣ ❜❡st t❤❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ❤❛♥❞•❡ ❛♥❞ t❤❡ ✜①❡❞ ♣❛rt✱ ❛♥❞ ❛••♦✇s t❤❡ r❡st ♦❢ t❤❡ ♠❡s❤ t♦ ❜❡ ♦♣t✐♠✐③❡❞ t♦ ✜t ❜❡st t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛• ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ✇✳r✳t✳ t❤❡ ♥❡✇ ❢r❛♠❡s✳ ❚❤✐s r❡q✉✐r❡s s♦•✈✐♥❣ t✇♦ •✐♥❡❛r s②st❡♠s✿ ✶✳ ▲♦❝❛• ❢r❛♠❡s✿ ❋✐♥❞ B i ∀v i ∈ V✱ s✉❝❤ t❤❛t (T ij + I 3 ) • B i -B j = 0 3 ∀e ij ∈ E✱ t❤❡ •♦❝❛• ❢r❛♠❡s ❜❡✐♥❣ ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ✐♥ t❤❡ ✜①❡❞ ♣❛rt ❛♥❞ t❤❡ ❤❛♥❞•❡❀ ✷✳ ❱❡rt❡① ♣♦s✐t✐♦♥s✿ ❋✐♥❞ v i ∀v i ∈ V✱ s✉❝❤ t❤❛t (v j -v i ) = B t i • d ij ∀e ij ∈ E✱ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✈❡rt✐❝❡s ❜❡✐♥❣ ❝♦♥str❛✐♥❡❞ ✐♥ t❤❡ ✜①❡❞ ♣❛rt ❛♥❞ t❤❡ ❤❛♥❞•❡✳ ■♥ ♦✉r ✐♠♣•❡♠❡♥t❛t✐♦♥✱ ✇❡ ❡①♣r❡ss t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛• ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ♦♥ ❡❛❝❤ ❡❞❣❡ e ij t✇✐❝❡✱ t❤❡ ✜rst t✐♠❡ ✇✳r✳t✳ t❤❡ ✈❡rt❡① v i ✱ t❤❡ s❡❝♦♥❞ t✐♠❡ ✇✳r✳t✳ t❤❡ ✈❡rt❡① v j ✳ ❲❡ ♥♦t✐❝❡❞ t❤❛t✱ ❡✈❡♥ t❤♦✉❣❤ t❤❡ s②st❡♠s ❛r❡ ❤❡❛✈✐❡r✱ t❤❡ r❡s✉•ts ✇❡r❡ s✐❣♥✐✜❝❛♥t•② ✐♠♣r♦✈❡❞ ✇❤❡♥ s②♠♠❡tr✐③✐♥❣ t❤❡ ❡♥❡r❣✐❡s✳ ❚❤❡ r❡s✉•t✐♥❣ ❢r❛♠❡s {B i } i t❤❛t ❛r❡ s♦•✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✜rst •✐♥❡❛r s②st❡♠ ❛r❡ ♥♦t r♦t❛t✐♦♥ ♠❛tr✐❝❡s ✭B t i • B i = I 3 ✐♥ ❣❡♥❡r❛•✮✱ ❛s t❤✐s ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✐s ♥♦t ❡♥❢♦r❝❡❞✳ ❆❢t❡r s♦•✈✐♥❣ t❤❡ ✜rst •✐♥❡❛r s②st❡♠✱ ✇❡ ♣r♦•❡❝t ❡❛❝❤ ♠❛tr✐① B i ♦♥ t❤❡ s♣❛❝❡ ♦❢ r♦t❛t✐♦♥ ♠❛tr✐❝❡s ✭✉s✐♥❣ ❙❱❉✮ ❜❡❢♦r❡ s♦•✈✐♥❣ t❤❡ s❡❝♦♥❞ •✐♥❡❛r s②st❡♠✳ ❲❡ ❛•s♦ ✇❡✐❣❤ ❡❛❝❤ ❡q✉❛t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ •✐♥❡❛r s②st❡♠s ❜② t❤❡ ❝♦t❛♥❣❡♥t ✇❡✐❣❤t ♦❢ t❤❡ ❡❞❣❡ t❤❛t ✐s ❝♦♥s✐❞❡r❡❞✳ ✸✳✸✳✷ ❙♣❛❝❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❆•t❤♦✉❣❤ ✇❡ ❛r❡ ♠❛✐♥•② ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ ❞❡❢♦r♠✐♥❣ s✉r❢❛❝❡s✱ ✐t ❝❛♥ ❤❛♣♣❡♥ t❤❛t ✇❡ ✉s❡ ❙♣❛❝❡ ❚r❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ t❡❝❤♥✐q✉❡s t❤❛t ❛✐♠ ❛t ❞❡❢♦r♠✐♥❣ t❤❡ ❡♥t✐r❡ ✸❉ s♣❛❝❡ ✭♦r ❛ ♣♦rt✐♦♥ t❤❛t ✐s ❜♦✉♥❞❡❞ ❜② ❛ ❝•♦s❡❞ s✉r❢❛❝❡✮ ❜② t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ f : R d → R d ✱ ❛♥❞ ❞❡❢♦r♠ t❤❡ s✉r❢❛❝❡ ♠❛♥✐❢♦•❞ M ❜② ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣ ✐ts r❡str✐❝t✐♦♥ t♦ ✐t✳ P♦♣✉•❛r ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ t♦♦•s s✉❝❤ 3 64 ξ M Γ i (ξ) 1 v i 0 dσ ξ ξ B η (M ) M η dS η (ξ) ✺✽ ❋✐❣✉r❡ ✸✳✼✿ ❍❛r♠♦♥✐❝ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡s ❛r❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ❜② ❞✐✛✉s✐♥❣ ❡❛❝❤ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦♥ ❛ ❣r✐❞ ✭s❡❝♦♥❞✮✳ ❆s ❛ r❡s✉•t✱ t❤❡② ❛r❡ ♣♦s✐t✐✈❡✳ ❚❤✐r❞ ❛♥❞ ❢♦✉rt❤ ✐♠❛❣❡s s❤♦✇ ❛ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ✇✐t❤ ▼❱❈✳ ▼❡❛♥ ❱❛•✉❡ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡s ▼❡❛♥ ❱❛•✉❡ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡s ✭▼❱❈✮ ❬✹✼( ❞❡✜♥❡ ❛♥ ✐♥t❡r♣♦•❛♥t ♦❢ ❛ ♣✐❡❝❡✇✐s❡ •✐♥❡❛r ❢✉♥❝t✐♦♥ ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ t❤❡ ❝❛❣❡ t♦ t❤❡ ❡♥t✐r❡ ✸❉ s♣❛❝❡ ✭♦✉ts✐❞❡ t❤❡ ❝❛❣❡ ❛s ✇❡••✮✳ ❚❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ t❤✐s ✐♥t❡r♣♦•❛♥t r❡•✐❡s ♦♥ ❛♥ ❛•t❡r♥❛t❡ ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▼❡❛♥ ❱❛•✉❡ ❚❤❡♦r❡♠ ✭t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❡q✉❛•s ❛t ♣♦✐♥t η t♦ ✐ts ❛✈❡r❛❣✐♥❣ ♦✈❡r t❤❡ s♣❤❡r❡ ❝❡♥t❡r❡❞ ✐♥ η✱ ❛s ✇❡•• ❛s ♦✈❡r t❤❡ ❜❛••✱ ❢♦r ❛♥② r❛❞✐✉s s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ s♣❤❡r❡ ✐s ❝♦♥t❛✐♥❡❞ ✐♥ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥✮ t❤❛t ❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✈❡r✐❢②✳ ❋♦r ❛ ❣✐✈❡♥ ♣♦✐♥t η ✐♥ s♣❛❝❡✱ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s f M V C (η) = Bη(M ) f (ξ) |ξ-η| dS η (ξ) Bη(M ) 1 |ξ-η| dS η (ξ) ❙✐♥❝❡ ✇❡ ❝❛♥ ❞❡❝♦♠♣♦s❡ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ f ♦♥ t❤❡ ♠❛♥✐❢♦•❞ M ✉s✐♥❣ ✐ts ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ♣✐❡❝❡✇✐s❡ •✐♥❡❛r ❜❛s✐s ❢✉♥❝t✐♦♥s ✕ f (ξ) = v i Γ i (ξ)f i ✱ f i ❜❡✐♥❣ t❤❡ ✈❛•✉❡ ❛t t❤❡ ✈❡rt❡① v i ✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❛t f M V C (η) = v i λ M V C i (η)f i ✭✸✳✶✵✮ ✇✐t❤ λ M V C i (η) = Bη (M ) Γ i (ξ)
|ξ-η| dSη(ξ)

Bη (M ) 1 |ξ-η| dSη(ξ) ✳ ▼❱❈ ❞❡✜♥❡ ❛♥ ✐♥t❡r♣♦•❛♥t ♦❢ ❛♥② ❦✐♥❞ ♦❢ ♠✉•t✐❞✐♠❡♥s✐♦♥❛• ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ❜✉t ✐❢ ✇❡ s❡t t❤❡ ✈❛•✉❡ f i t♦ ❜❡ ♥❡✇ ✸❉ ♣♦s✐t✐♦♥s ❢♦r t❤❡ ❝❛❣❡ ✈❡rt✐❝❡s✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥s ✐♥❞✉❝❡❞ ❜② ▼❱❈✳ ❍❛r♠♦♥✐❝ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡s ❆•t❤♦✉❣❤ ▼❱❈ ❛••♦✇ t❤❡ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ ❛r❜✐tr❛r② ❢✉♥❝t✐♦♥s t♦ t❤❡ ❡♥t✐r❡ s♣❛❝❡✱ t❤❡② ❤❛✈❡ s❡✈❡r❛• ❞r❛✇❜❛❝❦s t❤❛t ♠❛❦❡ t❤❡♠ ❞✐✣❝✉•t t♦ ✉s❡✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉•❛r✱ t❤❡② ❛r❡ ♥♦t ♣♦s✐t✐✈❡ ❡✈❡r②✇❤❡r❡✱ ❛♥❞ t❤❡② ❛r❡ ♥♦t •♦❝❛•✳ ❍❛r♠♦♥✐❝ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡s ✭❍❈✮ ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❜② ❉❡|♦s❡ ❡t ❛•✳ ❬✹✻( ✐♥ ✷✵✵✻✳ ❚❤❡② ❛r❡ t❤❡ ♦♥•② ❤❛r♠♦♥✐❝ ✐♥t❡r♣♦•❛♥t ♦❢ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ M ✱ ❛♥❞ ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❡✈❡r②✇❤❡r❡ ❛s t❤❡ s♦•✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ s②st❡♠✿ ✸✳✸✳ ✸❉ ❚|❆◆❙❋❖|▼❆❚■❖◆❙ ❖❋ ❙❯|❋❆❈❊❙ ✺✾ ❋✐❣✉r❡ ✸✳✽✿ P♦s✐t✐✈❡ ▼❡❛♥ ❱❛•✉❡ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡s ✭P▼❱❈✱ t❤✐r❞✮ ❛❝❤✐❡✈❡ s✐♠✐•❛r r❡s✉•ts ❛s ❍❛r♠♦♥✐❝ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡s ✭❍❈✱ ❢♦✉rt❤✮ ❛t r❡❛s♦♥❛❜•❡ r❛t❡s✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉•❛r✱ ✐♥ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ✇✐t❤ ▼❡❛♥ ❱❛•✉❡ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡s ✭▼❱❈✱ s❡❝♦♥❞✮✱ P▼❱❈ ❛r❡ ♣♦s✐t✐✈❡✳ ∀ξ ∈ ∂D(M ) : λ HC i (ξ) = Γ i (ξ) ∀η ∈ D : △ λ HC i (η) = 0 ✭✸✳✶✶✮ ❙✐♥❝❡ ♥♦ ❝•♦s❡ ❢♦r♠✉•❛ ✐s ❦♥♦✇♥ ❢♦r ❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❉✐r✐❝❤•❡t ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥✱ t❤❡② ❛r❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡❞ ❜② s♦•✈✐♥❣ t❤✐s s②st❡♠ ♦❢ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦♥ ❛ r❡❣✉•❛r ❣r✐❞ ✭s❡❡ ❋✐❣✳ ✸✳✼✮✳ ❆s ❛ r❡s✉•t✱ t❤❡s❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ❛r❡ ♣♦s✐t✐✈❡ ❡✈❡r②✇❤❡r❡✱ s♠♦♦t❤✱ ❛♥❞ •♦❝❛•✳ ❚❤❡ ♠❛✐♥ ❞r❛✇✲ ❜❛❝❦ ✐s t❤❡✐r ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ❝♦st✱ ❛♥❞ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t t❤❡② ❞♦♥✬t ❤❛✈❡ ❛ ❝•♦s❡ ❢♦r♠✉•❛ ♠❛❦❡ t❤❡♠ s✉✐t❡❞ ❢♦r ❝❤❛r❛❝t❡r ❛♥✐♠❛t✐♦♥ ♦♥•② ✭t❤❡② ❞♦♥✬t ♣❛ss t❤❡ ❢❛♠♦✉s ✏t❡❛♣♦t ✐♥ ❛ st❛❞✐✉♠✑ ♣r♦❜•❡♠✮✳ P♦s✐t✐✈❡ ▼❡❛♥ ❱❛•✉❡ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡s P♦s✐t✐✈❡ ▼❡❛♥ ❱❛•✉❡ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡s ✭P▼❱❈✮ ✇❡r❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❜② ▲✐♣♠❛♥ ❡t ❛•✳ ❬✻✵( ✐♥ ✷✵✵✼✳ ❚❤❡s❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ s❛♠❡ ♣r♦❝❡ss ❛s ❢♦r ▼❱❈✱ ❜✉t t❤❡ ❛✈❡r❛❣✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ♣❡r❢♦r♠❡❞ ♦♥ t❤❡ ♣r♦•❡❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✈✐s✐❜•❡ ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ♦♥•② ♦♥ t❤❡ ✉♥✐t s♣❤❡r❡✱ ✐♥st❡❛❞ ♦❢ t❤❡ ✇❤♦•❡ ❞♦♠❛✐♥✳ ❇② ♥♦t✐♥❣ V IS η (M ) t❤❡ ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ M t❤❛t ✐s ✈✐s✐❜•❡ ❢r♦♠ t❤❡ ♣♦✐♥t η✱ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿ f P M V C (η) = Bη(V ISη(M )) f (ξ) |ξ-η| dS η (ξ) Bη(V ISη(M )) 1 |ξ-η| dS η (ξ) ■♥ ♣r❛❝t✐❝❡✱ t❤❡ ❡✈❛•✉❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✈✐s✐❜✐•✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ V IS ✐s ♥♦t str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞✱ ❛♥❞ ❝•♦s❡ ❢♦r♠✉•❛ ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❞❡r✐✈❡❞ ❢♦r t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ P▼❱❈✳ ■♥st❡❛❞✱ t❤❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❛✈❡r❛❣✐♥❣ ✐s ♣❡r❢♦r♠❡❞ ♦♥ t❤❡ •P❯✱ ❜② ❞r❛✇✐♥❣ ❜❛s✐s ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦♥ •♦✇ r❡s♦•✉t✐♦♥ ❝✉❜❡ ♠❛♣s ❝❡♥t❡r❡❞ ✐♥ ❡❛❝❤ ♣♦✐♥t η ♦❢ t❤❡ ♠♦❞❡•✳ η f (η) = v i λ i (η) • v i v i - → t v i := v i + s i • - → t f D f (η) = ξ∈∂D f (ξ) ∂ ξ G(ξ, η) ∂n ξ dσ ξ - ξ∈∂D G(ξ, η) ∂f (ξ) ∂n ξ dσ ξ G △ x G(x, y) =△ y G(x, y) = δ 0 (||x -y||) f ∂f ∂n ξ ∀ξ ∈ ∂D : f (ξ) = v i Γ i (ξ) • v i ∀ξ ∈ t j ⊂ ∂D : ∂f ∂n ξ (ξ) = s t j • n(t j ) t j j th n(t j ) s t j f (η) = v i φ i (η) • v i + t j ψ j (η)s t j • n(t j ) φ i (η) = ξ∈∂D Γ i (ξ) ∂ ξ G(ξ,η) ∂n ξ dσ ξ ψ j (η) = -ξ∈∂D G(ξ, η)dσ ξ ✸✳✸✳ ✸❉ ❚|❆◆❙❋❖|▼❆❚■❖◆❙ ❖❋ ❙❯|❋❆❈❊❙ ✻✶ ◆♦t❡✱ t❤❛t ♥♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✐s ✜t ✭❛ ▲❛♣•❛❝❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✐s ✉♥✐q✉❡•② ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② ❛ ❉✐r✐❝❤•❡t ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ♦r ❛ ◆❡✉♠❛♥♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥✮✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉•❛r✱ ✐❢ t❤❡ ❉✐r✐❝❤•❡t ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✇❛s ✜t✱ t❤❡ r❡s✉•t ✇♦✉•❞ ❜❡ t❤❡ s❛♠❡ ❛s t❤❡ ❍❛r♠♦♥✐❝ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡s✳ ◆♦t❡ ❛•s♦✱ t❤❛t t❤❡ ♣❛rt✐❝✉•❛r ❝❤♦✐❝❡ ❢♦r t❤✐s ◆❡✉♠❛♥♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ s❡tt✐♥❣ t❤❡ ❏❛❝♦❜✐❛♥ ♦❢ t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ t♦ ❜❡ ❛s ❝•♦s❡ ❛s ♣♦ss✐❜•❡ t♦ ❛ s✐♠✐•❛r✐t② ♦♥ ❡❛❝❤ tr✐❛♥❣•❡ ♦❢ t❤❡ ❝❛❣❡ ✭t❤❡ ❏❛❝♦❜✐❛♥ ❜❡✐♥❣ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ♦♥•② ✐♥ t❤❡ t✇♦ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛• ♣•❛♥❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ t❤❡ tr✐❛♥❣•❡ ✇❤❡r❡ ✐t✬s ❝♦♥s✐❞❡r❡❞✮✳ ❆ ❣♦♦❞ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛• ♣r♦♣❡rt② ♦❢ t❤❡s❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ✐s t❤❛t t❤❡ r❡s✉•t✐♥❣ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♣✲ ♣❡❛rs t♦ ❜❡ ❝♦♥❢♦r♠❛• ✐♥ ✷❉ ❛♥❞ q✉❛s✐✲❝♦♥❢♦r♠❛• ✐♥ ✸❉ ✭s❡❡ s❡❝t✐♦♥ ✸✳✸✳✸ ❢♦r ✐♥s✐❣❤ts ♦♥ ❝♦♥❢♦r♠❛•✐t② ❛♥❞ q✉❛s✐✲❝♦♥❢♦r♠❛•✐t②✮✳ ✸✳✸✳✸ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ❛♥❞ •✐♠✐t❛t✐♦♥s ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ ❞✐s❝✉ss t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡s ❜❡t✇❡❡♥ s✉r❢❛❝❡ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥s ✭s❡❡ s❡❝t✐♦♥ ✸✳✸✳✶✮ ❛♥❞ s♣❛❝❡ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥s ✭s❡❡ s❡❝t✐♦♥ ✸✳✸✳✷✮ ❛♥❞ ♣r❡s❡♥t t❤❡✐r r❡s♣❡❝t✐✈❡ •✐♠✐t❛t✐♦♥s✳ ❚❤❡ ♥♦t✐♦♥s t❤❛t ❛r❡ ❣♦✐♥❣ t♦ ❜❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ❛r❡ •✐♥❦❡❞ t♦ t❤❡ ✜❡•❞ ♦❢ ♣❛r❛♠❡t❡r✐③❛t✐♦♥✱ •✐❦❡ ❝♦♥❢♦r♠❛•✐t② ❛♥❞ q✉❛s✐✲❝♦♥❢♦r♠❛•✐t②✱ t❤❛t ♠❡❛s✉r❡ t❤❡ •♦❝❛• ❛♥✐str♦♣② ♦❢ t❤❡ ✏str❡t❝❤✑ ✭❞✐r❡❝t✐♦♥❛• s❝❛•✐♥❣✮ ♦❢ t❤❡ ❞❡❢♦r♠❡❞ 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/s X ✳ ❚❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥s ♦❢ p X ❛♥❞ n X ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦ t❤❡ ♥❛t✉r❛• ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❛✈❡r❛❣✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s p ❛♥❞ n ❞❡✜♥❡❞ ❜② s✉r❢❛❝✐❝ ✐♥t❡❣r❛t✐♦♥ ♦♥ X✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ✐❢ R X = i R i ✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ P X ❜② ❛❞❞✐t✐✈✐t② ♦♥ {P i }✳ ▲❡t •|• ✭r❡s♣✳ • • ✮ ❜❡ t❤❡ ❞♦t ✭r❡s♣✳ ❝r♦ss✮ ♣r♦❞✉❝t ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ✈❡❝t♦rs✳ ❋♦r ❡❛❝❤ t♦♣♦•♦❣✐❝❛• ♣r✐♦r✐t② t❡r♠ k✱ ✇❡ ❞❡✜♥❡ ❛ s♣❡❝✐✜❝ ❣❡♦♠❡tr✐❝ ❝♦st ❢✉♥❝t✐♦♥ E k ♦r❞❡r✐♥❣ ❝❛♥✲ ❞✐❞❛t❡ ❝♦••❛♣s❡s ✇❤✐❝❤ ❛r❡ t♦♣♦•♦❣✐❝❛••② ❡q✉✐✈❛•❡♥t ❛♥❞ ❛✛❡❝t e G (A, B) = E e T (A,B) (A, B)✳ ▲❡t R X = R A ∪ R B ✳ ❚❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ E 0 ♠✉st ❢❛✈♦r ❤♦•❡ ✜••✐♥❣ ✇❤✐•❡ ♣❡♥❛•✐③✐♥❣ ❡♠❡r❣✐♥❣ ✢❛t ✏❝❛♣s✑ ❛t ❝②•✐♥❞❡r✬s ❡①tr❡♠✐t✐❡s✿ E 0 (A, B) = 1 -♥ X ✭✹✳✶✮ E 1 ♠✉st ❢❛✈♦r t❤❡ ❝r❡❛t✐♦♥ ♦❢ ❝②•✐♥❞❡rs ✇❤✐•❡ E 4 s❤♦✉•❞ ❞❡t❡❝t t❤❡ ♣♦ss✐❜•❡ ✉♥✐♦♥ ♦❢ ❝②•✐♥✲ ❞❡rs •❡❛❞✐♥❣ t♦ ✈❛•✐❞ ♦♥❡s✱ ✇❡ ♠♦❞❡• ❜♦t❤ ❡rr♦rs ✉s✐♥❣ ❛ •♦✇ ♠❡❛♥ ♥♦r♠❛•✿ E 1 (A, B) = E 4 (A, B) = ♥ X ✭✹✳✷✮ ❆t t❤✐s ♣♦✐♥t✱ ✇❡ ❞♦ ♥♦t ❛✐♠ ❛t ❞❡✜♥✐♥❣ ❛♥ ♦r✐❡♥t❛t✐♦♥ ❢♦r ❝②•✐♥❞r✐❝❛• r❡❣✐♦♥s✳ ■♥st❡❛❞ ✇❡ ♦♥•② ❡①♣•♦✐t t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t ❢♦r ✐❞❡❛• ❝②•✐♥❞❡rs✱ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡ ♦❢ ❛•• ♥♦r♠❛•s ✐s t❤❡ ♥✉•• ✈❡❝t♦r ✭✇❤✐❝❤ ✐s ❡q✉✐✈❛•❡♥t t♦ ♠✐♥✐♠✐③✐♥❣ E 1 ✮✳ •❡♦♠❡tr✐❝ ❡rr♦rs E 2 ✭▼❡r❣❡ ❉✐s❦s✮ ❛♥❞ E 3 ✭•r♦✇ ❈②•✐♥❞❡r ✮ ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❛s r❡❣✐♦♥s✬ st❛♥✲ ❞❛r❞ ❞❡✈✐❛t✐♦♥ ♦❢ ✇❤✐❝❤ t❤❡ ♠✐♥✐♠✉♠ ❢❛✈♦rs s♣❤❡r❡✲•✐❦❡ s❤❛♣❡s✿ E 2 (A, B) = E 3 (A, B) = i s i • ♣ i -♣ X 2 /s X ✭✹✳✸✮ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✇✐t❤♦✉t ♥♦r♠❛•s✱ t❤✐s ❡rr♦r ✐s ❜•✐♥❞ t♦ ♦r✐❡♥t❛t✐♦♥ ❛♥❞ tr❛❞❡s ❝♦♥❝❛✈✐t② ❢♦r ❝♦♥✈❡①✲ ✐t②✳ ❆s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡✱ ✐t ❝❛♥♥♦t ❜❡ ✉s❡❞ ❛•♦♥❡ t♦ ❞r✐✈❡ t❤❡ ❛•❣♦r✐t❤♠✱ ❜✉t ❣✐✈❡s s❛t✐s❢②✐♥❣ ❚♦♣♦•♦❣② ◆❛♠❡ e T R A R B R A ∪ R B ❈②•✳ ❉✐s❦ ❉✐s❦ ❋✐•• ❍♦•❡ ✵ ❉✐s❦ ❉✐s❦ ❈②•✳ ❈r❡❛t❡ ❈②•✐♥❞❡r ✶ ❉✐s❦ ❉✐s❦ ❉✐s❦ ▼❡r❣❡ ❉✐s❦s ✷ ❈②•✳ ❉✐s❦ ❈②•✳ •r♦✇ ❈②•✐♥❞❡r ✸ ❈②•✳ ❈②•✳ ❈②•✳ ▼❡r❣❡ ❈②•✐♥❞❡rs ✹ ❖t❤❡r ❝❛s❡s ❙❦✐♣ ∞ ❚❛❜•❡ ✹✳✶✿ ❚♦♣♦•♦❣✐❝❛• ♣r✐♦r✐t② t❡r♠ ❛s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ t♦♣♦•♦❣✐❝❛• ❝❤❛♥❣❡✳ ❈❛♥❞✐❞❛t❡ ❡❞❣❡ ❝♦••❛♣s❡s ❛r❡ ♦r❞❡r❡❞ ✐♥ t❤❡ ♣r✐♦r✐t② q✉❡✉❡ ❜② ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ t♦♣♦•♦❣✐❝❛• ♣r✐♦r✐t② t❡r♠✳ ✼✹ r❡s✉•ts ✐♥ ❝♦♥•✉♥❝t✐♦♥ ✇✐t❤ t❤❡ ✈❛•✐❞✐t② ♣r❡❞✐❝❛t❡✱ ✐♥ ♣❛rt✐❝✉•❛r t❤❡ ◗✉❛s✐✲❙t❛r ❡st✐♠❛t♦r ✭s❡❡ ❜❡•♦✇✮✳ ✹✳✸✳✹ ❱❛•✐❞✐t② ♣r❡❞✐❝❛t❡ ❲❤❡♥ ❛♥ ❡❞❣❡ ✐s ❝♦••❛♣s❡❞✱ t✇♦ r❡❣✐♦♥s ♠❡r❣❡ ❛♥❞ ♥❡✇ ♣♦t❡♥t✐❛• ❝♦••❛♣s❡s ♦❝❝✉r✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❛ •❛r❣❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t❤❡♠ •❡❛❞ t♦ ✇♦rs❡ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥s ✇✐t❤ ❝♦♠♣•✐❝❛t❡❞ t♦♣♦•♦❣② ❛♥❞✴♦r ❜❛❞ ❣❡♦♠❡tr②✳ ❲❡ ♣r❡✈❡♥t s✉❝❤ ❞❡❣❡♥❡r❛t✐♦♥ ✉s✐♥❣ ❛ ❱❛•✐❞✐t② Pr❡❞✐❝❛t❡ V ✐♥❞✐❝❛t✐♥❣ ✐❢ ❛♥ ❡❞❣❡ {A, B} ❝❛♥ ❜❡ ✐♥s❡rt❡❞ ✐♥ t❤❡ ♣r✐♦r✐t② q✉❡✉❡✳ ❚❤❡ t♦♣♦•♦❣✐❝❛• ♣❛rt ♦❢ t❤✐s ♣r❡❞✐❝❛t❡ ❤❛s ❜❡❡♥ ♠❡♥t✐♦♥❡❞ ❜❡❢♦r❡ ✭s❡❡ ❚❛❜•❡ ✹✳✶✮✿ ❛♥② ❡❞❣❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ❛ ❝♦••❛♣s❡ ✇✐t❤ ❛♥ ✐♥✜♥✐t❡ t♦♣♦•♦❣✐❝❛• ❡rr♦r e T ✐s ✐❣♥♦r❡❞✳ (i) e T (A, B) ∈ [0, 4] ⇒ V(A, B) = f alse ✭✹✳✹✮ ❚❤❡ ❣❡♦♠❡tr✐❝❛• ♣❛rt ♦❢ V ❝❤❡❝❦s e G t♦ ♣r❡✈❡♥t s❡❣♠❡♥t❛t✐♦♥ ❞✐s❝r❡♣❛♥❝②✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉•❛r✱ ✏✐❞❡❛• ❝❛♣s✑ s❤♦✉•❞ ❜❡ ♣r❡s❡r✈❡❞ ❛t ❝②•✐♥❞❡rs✬ ❡①tr❡♠✐t②✳ ❚❤❡s❡ ❝❛s❡s ❜❡✐♥❣ ❡q✉✐✈❛•❡♥t t♦ ❛ s❡♠✐✲s♣❤❡r❡ ✐♥ R 3 ✱ t❤❡ ♠❡❛♥ ♥♦r♠❛• ♦✈❡r t❤❡♠ s❤♦✉•❞ ❡q✉❛• 1/2 ✇❤❡♥ ❛ ✏❋✐•• ❍♦•❡✑ ❡❞❣❡✲❝♦••❛♣s❡ ✐s ❝♦♥s✐❞❡r❡❞✿ (ii) e T (A, B) = 0 E 0 (A, B) < 1/2 ⇒ V(A, B) = f alse ✭✹✳✺✮ ◆♦t❡ t❤❛t 1/2 ✐s ❡①❛❝t•② t❤❡ •❡♥❣t❤ ♦❢ t❤❡ ❛✈❡r❛❣❡❞ ♦✉t✇❛r❞ ♥♦r♠❛• ♦❢ ❛♥② s❡♠✐✲s♣❤❡r❡ ✭✐✳❡✳ ❛♥② ♣♦s✐t✐✈❡ r❛❞✐✉s✮✳ ❈•❛ss✐❝❛• ♠❡❛♥✐♥❣❢✉• ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♠❡tr✐❝s ❬✺✺( ❛r❡ t♦♦ r❡str✐❝t✐✈❡ ❢♦r ❣❡♥❡r❛•✐③❡❞ ❝②•✐♥❞❡rs✱ ✇❤✐❝❤ ♠❛② ♥♦t ❜❡ ❝♦♥✈❡①✳ ■♥st❡❛❞✱ ✇❡ t❛❦❡ ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t ♦r✐❡♥t❛t✐♦♥ ❛♥❞ ♣❡♥❛•✐③❡ t✉♥♥❡•s t♦ ❜❡ ✐♥t❡r♣r❡t❡❞ ❛s ❝②•✐♥❞❡rs ❜② ❞❡✜♥✐♥❣ ❛ ◗✉❛s✐✲❙t❛r ❡st✐♠❛t♦r Q ♦♥ t❤❡ ✉♥✐♦♥ ♦❢ t✇♦ r❡❣✐♦♥s✿ Q(R X ) = i s i • ♣ i -♣ X |♥ i ✭✹✳✻✮ ❛♥❞ ❛❞❞ ❛ t❤✐r❞ t❡st t♦ ♦✉r ♣r❡❞✐❝❛t❡ ✿ (iii) e T (A, B) / ∈ {3, 4} Q(R A ∪ R B ) < 0 ⇒ V(A, B) = f alse ✭✹✳✼✮ ❙✐♥❝❡ ✇❡ s❡❡❦ ❢♦r ❣❡♥❡r❛•✐③❡❞ ❝②•✐♥❞❡rs✱ ✇❡ ❞♦ ♥♦t ✉s❡ t❤❡ ◗✉❛s✐✲❙t❛r ❡st✐♠❛t♦r ✇❤❡♥ ❛ ✏•r♦✇ ❈②•✐♥❞❡r✑ ♦r ❛ ✏▼❡r❣❡ ❈②•✐♥❞❡rs✑ ❡❞❣❡✲❝♦••❛♣s❡ ♦❝❝✉rs✳ ■❢ t❤❡ t❤r❡❡ t❡sts ❢❛✐•✱ t❤❡♥ V ✐s tr✉❡ ❛♥❞ {A, B} ✐s ✐♥s❡rt❡❞ ✐♥t♦ t❤❡ ♣r✐♦r✐t② q✉❡✉❡✳ ✹✳✸✳✺ ❙❡❣♠❡♥t❛t✐♦♥ r❡s✉•ts ■♥ ♣r❛❝t✐❝❡ t❤❡ ❡♥t✐r❡ ♣r♦❝❡ss ❝❛♥ ❜❡ s♣❡❞ ✉♣ ✇❤❡♥ st❛rt✐♥❣ ❢r♦♠ ❛ ❝♦❛rs❡ ✐♥✐t✐❛• s❡❣♠❡♥t❛✲ t✐♦♥ ✭❡✳❣✳✱ ♦❝tr❡❡ ♣❛rt✐t✐♦♥✮✳ ❋✐❣✳ ✹✳✺ s❤♦✇s s❡✈❡r❛• ❡①❛♠♣•❡s ♦❢ s✉r❢❛❝❡ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ✇✐t❤ ♦✉r ❛•❣♦r✐t❤♠✳ △ (u, θ) u    u(v) = 0 ∀v ∈ U 0 u(v) = 1 ∀v ∈ U 1 △u(v) = 0 ∀v / ∈ U 0 ∪ U 1 θ - → ∇u    θ(v) = 0 ∀v ∈ θ 0 θ(v) = 2π ∀v ∈ θ 2π △θ(v) = 0 ∀v / ∈ θ 0 ∪ θ 2π θ θ u u - → ∇ 1 u = - → ∇u/ - → ∇u c( ) = - → ∇ 1 u(v 0 ) + - → ∇ 1 u(v 1 ) - → v 0 v 1 (u, v) B θ B (u, v)        u(v) = cos(θ(v)) ∀v ∈ B v(v) = sin(θ(v)) ∀v ∈ B △u(v) = 0 ∀v / ∈ B △v(v) = 0 ∀v / ∈ B b : [0; 1] → R 3 u u b b(u) = 2π 0 p(u, θ)dθ 2π µ M M R 2 M µ |U • µ -1 |V U ∩ V ⊂ R 2 R 2 U V U ∩ V = ∅ M f µ f f = f • µ f f b (u, θ) b (u, θ) p = p • λ-1 b(u) ∼ 2π θ=0 p(u, θ)dθ (u, θ) AG U 0 U 1 f f p M λ (u, θ) M ✹✳✻✳ |❊❙❯▲❚❙ ❆◆❉ ❉■❙❈❯❙❙■❖◆ ✼✾ ✹✳✺✳✷ P❛r❛♠❡tr✐❝ s❦❡•❡t❛• ❱♦r♦♥♦ï ❞✐❛❣r❛♠ ❚♦ ❣✉❛r❛♥t❡❡ ❛ ✈❛•✐❞ s❡❣♠❡♥t❛t✐♦♥ ❢r♦♠ t❤❡ ❙|❙❱❉✱ ✇❡ ♣❛r❛♠❡t❡r✐③❡ t❤❡ ♣r♦•❡❝t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss ❛♥❞ ❝♦♥s✐❞❡r ❝②•✐♥❞❡rs✴❜♦♥❡s ❛t ♣r❡✈✐♦✉s st❡♣✳ ▼♦r❡ ♣r❡❝✐s❡•②✱ ✇❡ ✐♥t❡rs❡❝t t❤❡ ❙❦❡•❡t❛• ❱♦r♦♥♦ï ❉✐❛❣r❛♠ ✇✐t❤ t❤❡ ♠♦❞❡•✬s s✉r❢❛❝❡ ♣❛r❛♠❡t❡r✐③❡❞ ❜② s•✐❞✐♥❣ t❤❡ s✉r❢❛❝❡ t♦✇❛r❞s ✐ts ♣r♦•❡❝t✐♦♥ ♦♥t♦ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s•② ❞❡✜♥❡❞ ❜♦♥❡✿ ∀v : vα = α • b(v) + (1 -α) • v✳ ❇② t❛❦✐♥❣ α ∈]0, 1[✱ t❤❡ ♣r♦❝❡ss ♦❢ s♠♦♦t❤✐♥❣ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r✐❡s ✐s s•♦✇❡r✱ ❜✉t ✇❡ ❤❛✈❡ ❣✉❛r❛♥t❡❡s ♦✈❡r t❤❡ 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♦❜t❛✐♥ b(u) = 2π 0 W 1 (v(u,θ))•p(u,θ)dθ 2π 0 W 1 (v(u,θ))dθ ✱ ❛✛❡❝t✐♥❣ s♠♦♦t❤•② t❤❡ s❦❡•❡t♦♥✬s ❣❡♦♠❡tr②✳ ❯s❡r✲s✉♣❡r✈✐s❡❞ ✇❡✐❣❤t✐♥❣ ❝❛♥ ❛•s♦ ❜❡ ✐♥t❡❣r❛t❡❞ ✐♥ ❊q✳ ✺✳✶ t♦ ♦❜t❛✐♥ IS t (v) = (1 - Spl(v)(α)) • ♣ v + Spl(v)(t) • b(ũ(v)) ❛♥❞ •♦❝❛••② ❞❡❢♦r♠ t❤❡ ✐♥s❡t s✉r❢❛❝❡ ❜② ❡❞✐t✐♥❣ ✐ts •♦❝❛• ❞❡♣t❤✳ ❚❤❡ ✇❡✐❣❤t✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s t❤❡♥ ✐♥ t❤❡ ❢♦r♠ Spl : M ⇒ {F n : [0; 1] → [0; 1]}✱ F n ❜❡✐♥❣ ❛ ❜✐•❡❝t✐✈❡ ❝✉❜✐❝ s♣•✐♥❡ ♦❢ ♦r❞❡r n✳ ❆s ❛♥ ❛♣♣•✐❝❛t✐♦♥✱ ✇❡ ♣r♦♣♦s❡ ❛♥ ✐♥t❡r❛❝t✐✈❡ ❙❤❡•• ▼❛♣♣✐♥❣ ❬✼✶( t♦♦•✱ ✇✐t❤ ✇❤✐❝❤ t❤❡ ✉s❡r ❝❛♥ ✏♣❡❛•✑ s✉r❢❛❝❡s ✉s✐♥❣ ♦♥❡ ♦❢ ✐ts s♣❡❝✐✜❝ ✐♥s❡t s✉r❢❛❝❡s ❛♥❞ t❤❡♥ ♠❛♣ ❛r❜✐tr❛r② ❣❡♦♠❡tr② t♦ t❤❡ s♦✲❞❡✜♥❡❞ ✐♥✲❜❡t✇❡❡♥ s❤❡•• s♣❛❝❡ ✭s❡❡ ❋✐❣✳ ✺✳✷ ❜♦tt♦♠✮✳ BL( v ) = ∈N (v) Π u ( v )ω s (|| u -v ||)ω r (||Π u ( v ) -v ||)a u ∈N (v) ω s (|| u -v ||)ω r (||Π u ( v ) -v ||)a u a u ω Π u ( x ) = x -x -u | u u Ψ(v) = b(u(v)) v r Ψ(v) -v Ψ -1 SBL( v ) = ∈N (v) Π u ( v )ω s (|| u -v ||)ω r (|r( ) -r(v)|)a u ∈N (v) ω s (|| u -v ||)ω r (|r( ) -r(v)|)a u ✽✽ ❋✐❣✉r❡ ✺✳✸✿ ❙✉r❢❛❝❡ ✜•t❡r✐♥❣ 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P N C R P R Φ P R C R H R ⊂ P R P t H t H R t P R C R p i ∈ R 3 P R c j ∈ R 3 n j C R p i = j φ j (i) • c j P R = Φ • C R P R (n × 3) Φ (n × m) C R (m × 3) P t C t Φ • C t ≃ P t L 2 P t P t = Φ • Φ † P t Φ † Φ Φ Φ † m × n (Φ T • Φ) † (m × m) C t = (Φ T • Φ) † Φ T P t m C t n P R U ΣV T (Φ T • Φ) c jt = k V jk • (U k ) T • Φ T • P t • 1 s k s k k th δ Pt P t (m × m) Φ Φ ǫ Φ Bij A A A (n×m) m < n m A (m × m) A A m A B = A • A -1 i > m j A B ij A |B ij | > 1 e j 1 j 0 i j A B B := B -(B :j -e j + e i ) • (B i: -e T j )/B ij B :j j th B B i: i th • A A B = A • A -1 • B ij i > m i j B ✶✶✽ ❚❤❡ ✐t❡r❛t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ st♦♣♣❡❞ ♦♥ ❞❡♠❛♥❞ ♦r ✇❤❡♥ t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ B ij ❣❡ts s♠❛••❡r t❤❛♥ ♦♥❡✳ ■♥ t❡r♠s ♦❢ ❝♦♠♣•❡①✐t②✱ t❤❡ ✐♥✐t✐❛•✐③❛t✐♦♥ st❛❣❡ t❛❦❡s O(m 2 × n) ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❡❛❝❤ ✐t❡r❛t✐♦♥ t❛❦❡s O(m × n) st❡♣s✳ ✽✳✹✳✸ ❈❛❣❡ ✐♥✈❡rs✐♦♥ ❜❛s❡❞ ♦♥ ♠❛①✈♦• r❡•❛①❛t✐♦♥ ❆♣♣•②✐♥❣ t❤❡ ♠❛①✈♦• ❛•❣♦r✐t❤♠ t♦ ♦✉r s❡tt✐♥❣ ✐s str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞✱ t❤❡ ✐♥♣✉t ❜❡✐♥❣ Φ ❛♥❞ t❤❡ ♦✉t♣✉t ❜❡✐♥❣ Φ ✳ ■♥ ♣r❛❝t✐❝❡✱ ✇❡ ♦❜s❡r✈❡❞ t❤❛t ❛❜♦✉t 2 × m ✐t❡r❛t✐♦♥s ❛r❡ r❡q✉✐r❡❞ ✉♥t✐• ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡✳ ❋✐❣✳ ✽✳✺✭❛✮ ✐••✉str❛t❡s ❛ ❢❡✇ ✐t❡r❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❛•❣♦r✐t❤♠✳ ❇♦t❤ t❤❡ ✈♦•✉♠❡ ❛♥❞ t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ♥✉♠❜❡r ♦❢ Φ r❡s♣❡❝t✐✈❡•② ✐♥❝r❡❛s❡s✴❞❡❝r❡❛s❡s ❛t ❡❛❝❤ ✐t❡r❛t✐♦♥ ✭r❡s✉•ts ❛r❡ s❤♦✇♥ ✐♥ •♦❣ s❝❛•❡✮✱ ❛ss❡ss✐♥❣ t❤❡ ✐♥✈❡rt✐❜✐•✐t② q✉❛•✐t② ♦❢ Φ ✳ ❈❛❣❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ ✐♥✈❡rs✐♦♥ ❋♦r ❡❛❝❤ ❢r❛♠❡ P t ✱ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❝❛❣❡ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ C t ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ✭✇❤❡r❡ H t ✐s t❤❡ s✉❜✲♠❛tr✐① ♦❢ t❤❡ t♦♣ m r♦✇s ♦❢ P t ✮✿ C t := Φ † H t ✭✽✳✹✮ ❚❤❡ ♣s❡✉❞♦✲✐♥✈❡rs❡ Φ † ✐s ❝♦♠♣✉t❡❞ t❤r♦✉❣❤ ❙❱❉✱ ❛s ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ (Φ T • Φ) † ✐♥ ❊q✳ ✽✳✷ ✭Φ T • P t ♥❡❡❞s t♦ ❜❡ ❡①❝❤❛♥❣❡❞ ✇✐t❤ H t ✮✳ ◆♦t✐❝❡ t❤❛t ❢♦r ❡❛❝❤ ❢r❛♠❡✱ t❤❡ r♦✇s ♦❢ C t ❛♥❞ P t ❛•s♦ ♥❡❡❞ t♦ ❜❡ s✇❛♣♣❡❞ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ s✇❛♣s ♣❡r❢♦r♠❡❞ ✐♥ Φ ❜② ♠❛①✈♦•✳ ❋✐❣✳ ✽✳✶✵ ♣r♦✈✐❞❡s ❛ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ t❤❡ r❡♣❛rt✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s✐♥❣✉•❛r ✈❛•✉❡s ②✐❡•❞✐♥❣ ❢r♦♠ t❤❡ ❙❱❉✱ ❜❡t✇❡❡♥ ♦✉r t❡❝❤♥✐q✉❡ ✭Φ ✮ ❛♥❞ t❤❡ ❝•❛ss✐❝❛• ♦✈❡r✲❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s ✭Φ ❛♥❞ Φ T • Φ✮✳ ◆♦t✐❝❡ t❤❛t Φ ❡①❤✐❜✐ts ❛ ♠♦r❡ ❝♦♥✈❡① s♣❡❝tr✉♠✳ ❆•s♦✱ ❛s ❞✐s❝✉ss❡❞ ✇✐t❤ ❊q✳ ✽✳✷✱ ✐♠♣♦rt❛♥t 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√ λ • k≥(m-s) ∆ • V k • q kt = - √ λ • k<(m-s) ∆ • V k • q kt s k • q kt = s k • (U k ) T • H t /s k , ∀k ≥ (m -s) ∆ Φ s = 20 λ 1 λ = 1 s = 20 50 th P R C R H R t P t L 2 L ∞ 0.3 × 10 -2 L ∞ 0.36 × 10 -2 s = 50 s = 50 L ∞ 0.73 × 10 -2 1.39 × 10 -2 L 2 0.24 × 10 -2 0.14 × 10 -2 λ = 1 1 st 2 nd 3 rd 4 th 4 th
L 2 0.12 10 -2 0.19 10 -2 0.47 10 -2 0.56 10 -2

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❚❤❡r❡❢♦r❡✿

m E = R π 2 ( η -p e 0 |η -p e 0 | - η -p e 1 |η -p e 1 | ) ✭✶✵✳✻✮ ❙✐♥❝❡ (p e j -η) t • N E j = 0 ✭❋✐❣✳✶✵✳✷✮✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ w E i ✇✐t❤✿ w E e i = m E t • N E i+1 (p e i -η) t • N E i+1 ✶✵✳✸ ❉❡r✐✈❛t✐♦♥ ❖✈❡r✈✐❡✇ ■♥ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣✱ ✇❡ ♣r❡s❡♥t ♦✉r ♠❛✐♥ ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥✿ t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❏❛❝♦❜✐❛♥s ❛♥❞ t❤❡ ❍❡ss✐❛♥s ♦❢ ▼❡❛♥ ❱❛•✉❡ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡s✳ ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ ❜r✐❡✢② ❣✐✈❡ ❛♥ ♦✈❡r✈✐❡✇ ♦❢ t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥✳ ▲❡t f : ▼ → R n ❜❡ ❛ ♣✐❡❝❡✇✐s❡ •✐♥❡❛r ✜❡•❞ ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ ▼ ✭✐♥ ✷❉✱ ▼ ✐s ❛ ❝•♦s❡❞ ♣♦•②❣♦♥✱ ✐♥ ✸❉✱ ▼ ✐s ❛ ❝•♦s❡❞ tr✐❛♥❣✉•❛r ♠❡s❤✮✳ ❆s r❡✈✐❡✇❡❞ ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥✱ f ❝❛♥ ❜❡ s♠♦♦t❤•② ✐♥t❡r♣♦•❛t❡❞ ✇✐t❤ ▼❡❛♥ ❱❛•✉❡ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡s ❢♦r ❛♥② ♣♦✐♥t η ♦❢ t❤❡ ❊✉❝•✐❞❡❛♥ s♣❛❝❡✿ f (η) = i λ i • f (p i ) ❚❤❡♥✱ t❤❡ ❏❛❝♦❜✐❛♥ ❛♥❞ t❤❡ ❍❡ss✐❛♥ ♦❢ f ✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡•② ♥♦t❡❞ Jf ❛♥❞ Hf ✱ ❛r❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s t❤❡ •✐♥❡❛r t❡♥s♦r ♣r♦❞✉❝t ♦❢ t❤❡ ✈❛•✉❡s f (p i ) ✇✐t❤ t❤❡ ❣r❛❞✐❡♥t - → ▽λ i ❛♥❞ t❤❡ ❍❡ss✐❛♥ Hλ i ♦❢ t❤❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s r❡s♣❡❝t✐✈❡•②✿ Jf = i f (p i ) • - → ▽λ i t Hf = i f (p i ) • Hλ i ✶✵✳✸✳ ❉❊|■❱❆❚■❖◆ ❖❱❊|❱■❊❲ ✶✹✺ ◆♦t❡✱ t❤❛t ❝❛r❡ ♠✉st ❜❡ t❛❦❡♥ ✇❤❡♥ ✇r✐t✐♥❣ Hf = i f (p i ) • Hλ i ✱ ❛s ✐t ✐s ❝♦rr❡❝t ❢♦r ❛ s❝❛•❛r ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ❜✉t ✐t ✐s ❛♠❜✐❣✉♦✉s ❢♦r ❛ ♠✉•t✐✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛• ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❚♦ ❜❡ ❝♦rr❡❝t✱ t❤❡ ❍❡ss✐❛♥ ♦❢ ❡❛❝❤ k th ❝♦♦r❞✐♥❛t❡ f k ♦❢ f ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② Hf k (η) = i f k (p i ) • Hλ i (η)✳ ❙✐♥❝❡ λ i = w i j w j ✱ - → ▽λ i = - → ▽w i j w j - w i • j - → ▽w j ( j w j ) 2 ✭✶✵✳✼✮ ❚❤❡♥✱ t❤❡ ❍❡ss✐❛♥ ❝❛♥ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥s Hλ i = Hw i j w j - w i j Hw j ( j w j ) 2 - - → ▽w i • j - → ▽(w j ) t + j - → ▽(w j ) • - → ▽w i t ( j w j ) 2 + 2w i ( j - → ▽w j ) • ( j - → ▽w j ) t ( j w j ) 3 ✭✶✵✳✽✮ ❚❤❡ ❛❜♦✈❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥s ❛r❡ ❣❡♥❡r❛• ❛♥❞ ✈❛•✐❞ ❢♦r t❤❡ ✷❉ ❛♥❞ ✸❉ ❝❛s❡s✳ ❚❤✉s✱ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ❞❡r✐✈❡ ❛ ❝•♦s❡❞✲❢♦r♠ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❣r❛❞✐❡♥t ❛♥❞ t❤❡ ❍❡ss✐❛♥ ♦❢ t❤❡ ▼❡❛♥ ❱❛•✉❡ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡s λ i ✱ ♦♥❡ ♥❡❡❞s t♦ ❞❡r✐✈❡ t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥s ♦❢ - → ▽w i ✭❊q✳ ✶✵✳✼✮ ❛♥❞ Hw i ✭❊q✳ ✶✵✳✽✮✳ ❚❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥s ♦❢ t❤❡s❡ t❡r♠s ❛r❡ ❞❡r✐✈❡❞ ✐♥ s❡❝t✐♦♥ ✶✵✳✹✳✶ ❛♥❞ s❡❝t✐♦♥ ✶✵✳✹✳✷ r❡s♣❡❝t✐✈❡•② ❢♦r t❤❡ ✷❉ ❝❛s❡ ❛♥❞ ✐♥ s❡❝t✐♦♥ ✶✵✳✺✳✶ ❛♥❞ s❡❝t✐♦♥ ✶✵✳✺✳✷ ❢♦r t❤❡ ✸❉ ❝❛s❡✳ Pr♦♣❡rt✐❡s ❋✉♥❝t✐♦♥s ✐♥t❡r♣♦•❛t❡❞ ❜② ♠❡❛♥s ♦❢ ▼❡❛♥ ❱❛•✉❡ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡s ❛s ♣r❡✈✐♦✉s•② ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ♣r♦♣❡rt✐❡s✿ ✶✳ t❤❡② ❛r❡ ✐♥t❡r♣♦•❛♥t ♦♥ ▼ ✷✳ t❤❡② ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ❡✈❡r②✇❤❡r❡ ✐♥ R n ✸✳ t❤❡② ❛r❡ C ∞ ❡✈❡r②✇❤❡r❡ ♥♦t ♦♥ ▼ ✹✳ t❤❡② ❛r❡ C 0 ♦♥ t❤❡ ❡❞❣❡s ✭r❡s♣✳ ✈❡rt✐❝❡s✮ ♦❢ ▼ ✐♥ ✸❉ ✭r❡s♣✳ ✐♥ ✷❉✮ ❙✐♥❝❡ t❤❡s❡ ❛r❡ ✐♥t❡r♣♦•❛♥t ♦❢ ♣✐❡❝❡✇✐s❡ •✐♥❡❛r ❢✉♥❝t✐♦♥s ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ ❛ ♣✐❡❝❡✇✐s❡ •✐♥❡❛r ❞♦✲ ♠❛✐♥✱ t❤❡② ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜•❡ ♦♥ t❤❡ ❡❞❣❡s ♦❢ t❤❡ tr✐❛♥❣•❡s ✭r❡s♣✳ t❤❡ ✈❡rt✐❝❡s ♦❢ t❤❡ ❡❞❣❡s✮ ♦❢ t❤❡ ❝❛❣❡ ✐♥ ✸❉ ✭r❡s♣✳ ✐♥ ✷❉✮✳ ❆•t❤♦✉❣❤✱ ❛s t❤❡② ❛r❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❡✈❡r②✇❤❡r❡✱ t❤❡② ♠❛② ❛❞♠✐t ✐♥ t❤❡s❡ ❝❛s❡s ❞✐r❡❝t✐♦♥❛• ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s •✐❦❡ ❢♦r ❛•♠♦st ❛•• ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ❜✉t ❛s t❤❡② ❛r❡ ♦❢ ♥♦ ✉s❡ ❛t ❛•• ✐♥ ❣❡♥❡r❛•✱ ✇❡ ✇♦♥✬t ♣r❡s❡♥t t❤❡s❡ q✉❛♥t✐t✐❡s✳ |❡❝❛•• t❤❛t t❤❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥❛• ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ✐s t❤❡ ✈❛•✉❡ ∂f u (η) = lim ǫ→0 + f (η+ǫ•u)-f (η) ǫ ✱ ✇✐t❤ u ∈ R 3 , ||u|| = 1, ǫ ∈ R✱ ✇❤✐❝❤ str♦♥❣•② ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ♦r✐❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✈❡❝t♦r u ✶✹✻ ✇❤❡r❡ t❤❡ •✐♠✐t ✐s ❝♦♥s✐❞❡r❡❞✳ ❚❤❡s❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ❝❛♥♥♦t ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ❡✈❛•✉❛t❡ t❤❡ ♥❡✐❣❤✲ ❜♦r❤♦♦❞ ♦❢ ❛ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛r♦✉♥❞ t❤❡ ♣♦✐♥t ✐♥ ❣❡♥❡r❛• ✇✐t❤ ❛ s✐♥❣•❡ ❣r❛❞✐❡♥t ✭♦r ❏❛❝♦❜✐❛♥ ✐❢ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ♠✉•t✐✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛•✮✳ ■♥ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣✱ ✇❡ ♣r♦✈✐❞❡ ❢♦r♠✉•❛❡ ❢♦r t❤❡ 1 st ❛♥❞ 2 nd ♦r❞❡r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ♦❢ t❤❡ ▼❡❛♥ ❱❛•✉❡ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡s ❡✈❡r②✇❤❡r❡ ✐♥ s♣❛❝❡ ❜✉t ♦♥ t❤❡ ❝❛❣❡✳ ✶✵✳✹ ▼❱✲•r❛❞✐❡♥ts ❛♥❞ ❍❡ss✐❛♥s ✐♥ ✷❉ ✶✵✳✹✳✶ ❊①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▼❱✲❣r❛❞✐❡♥ts ❇② ❞❡r✐✈✐♥❣ ❊q✳ ✶✵✳✺✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥✿ j (p e j -η) • - → ▽w E e j t = Jm E + j w E e j I 2 = B E (η) ✭✶✵✳✾✮ Jm E ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ❞❡r✐✈✐♥❣ ❊q✳ ✶✵✳✻✿ Jm E = R π 2 ( I 2 |η -p e 0 | - I 2 |η -p e 1 | - (η -p e 0 ) • (η -p e 0 ) t |η -p e 0 | 3 + (η -p e 1 ) • (η -p e 1 ) t |η -p e 1 | 3 ) ✭✶✵✳✶✵✮ ❚❤❡♥✱ ✐♥ t❤❡ ❣❡♥❡r❛• ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ (p e i -η) t • N E i+1 = 0✱ t❤❡ ❣r❛❞✐❡♥t ♦❢ t❤❡ ✇❡✐❣❤ts ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ❡①♣r❡ss✐♦♥✿ - → ▽w E e i = B E t • N E i+1 (p e i -η) t • N E i+1 ✭✶✵✳✶✶✮ ❙♣❡❝✐❛• ❝❛s❡✿ η ∈ (e 0 e 1 ), / ∈ [e 0 e 1 ] ❚❤❡ s♣❡❝✐❛• ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ (p e i -η) t • N E i+1 = 0 ♦♥•② ♦❝❝✉rs ✇❤❡♥ η •✐❡s ♦♥ t❤❡ s❛♠❡ •✐♥❡ ❛s t❤❡ ❡❞❣❡ E ✭η •✐❡s ♦♥ t❤❡ s✉♣♣♦rt ♦❢ t❤❡ ❡❞❣❡ E✱ ♥♦t❡❞ Support(E)✮✳ ❆s ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ s❡❝t✐♦♥ ✶✵✳✸✱ ✇❡ ♦♠✐t t❤❡ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ η ∈ [e 0 e 1 ]✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ •❡♥❣t❤ ♦❢ ✠ ❊ ✐s ③❡r♦ ✭s❡❡ ❋✐❣✳ ✶✵✳✷✮✱ ❢♦r ❛•• η ∈ (e 0 e 1 ), / ∈ [e 0 e 1 ]✱ w E e i (η) = 0 ∀i = 0, 1✳ ❙✐♠✐•❛r•②✱ - → ▽w E e i ❛♥❞ n E ❛r❡ ❝♦••✐♥❡❛r✱ t❤❡♥✿ - → ▽w E e i = ∂(w E e i (η + ǫn E )) ∂ǫ |ǫ→0 n E ❆ ❝•♦s❡❞✲❢♦r♠ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❞❡r✐✈❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ❚❛②•♦r ❡①♣❛♥s✐♦♥s✳ ❋♦r ❝♦♥❝✐s❡♥❡ss✱ t❤❡ ❞❡t❛✐•s ♦❢ t❤✐s ❞❡r✐✈❛t✐♦♥ ❛r❡ ❣✐✈❡♥ ✐♥ ❆♣♣❡♥❞✐① ❈ ✭s❡❡ s❡❝t✐♦♥ ✶✸✳✸✮ ❛♥❞ ♦♥•② t❤❡ ✜♥❛• ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✐s ❣✐✈❡♥ ❤❡r❡✿ ✶✵✳✹✳ ▼❱✲•|❆❉■❊◆❚❙ ❆◆❉ ❍❊❙❙■❆◆❙ ■◆ ✷❉ ✶✹✼ ✛ ✚ ✘ ✙ - → ▽w E e i = ( j N E j t • N E i+1 2|E||N E j | 3 + (-1) i+j |E||N E j | )n E ✭✶✵✳✶✷✮ ∀η ∈ (e 0 e 1 ), / ∈ [e 0 e 1 ] ✶✵✳✹✳✷ ❊①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▼❱✲❍❡ss✐❛♥s ❇② ❞❡r✐✈✐♥❣ ❊q✳ ✶✵✳✾ s✉❝❝❡ss✐✈❡•② ✇✐t❤ r❡❣❛r❞s t♦ c = {x, y}✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥✿ i ∂ c (p e i -η) • - → ▽w E e i t + i (p e i -η) • ∂ c ( - → ▽w E e i t ) = ∂ c (Jm E ) + i ∂ c (w E e i ) • I 2 i (p e i -η) • ∂ x ( - → ▽w E e i t ) = C E x i (p e i -η) • ∂ y ( - → ▽w E e i t ) = C E y ✭✶✵✳✶✸✮ ✇✐t❤        C E x = i 1 0 • - → ▽w E e i t + ∂ x (Jm E ) + i ∂ x (w E e i ) • I 2 C E y = i 0 1 • - → ▽w E e i t + ∂ y (Jm E ) + i ∂ y (w E e i ) • I 2 ❊①♣r❡ss✐♦♥s ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ♣r♦✈✐❞❡❞ ❢♦r ❛•• ♦❢ t❤❡ t❡r♠s ❛♣♣❡❛r✐♥❣ ✐♥ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥s✱ ❡①❝❡♣t ❢♦r t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ♦❢ Jm E ✳ ❊①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ ∂ c (Jm E ) ❇② ❞❡r✐✈✐♥❣ ❊q✳ ✶✵✳✶✵✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥✿ ∂ c (Jm E ) =R π 2 • (η -p e 1 ) (c) I 2 |η -p e 1 | 3 - (η -p e 0 ) (c) I 2 |η -p e 0 | 3 - δ c • (η -p e 0 ) t + (η -p e 0 ) • δ c t |η -p e 0 | 3 + 3(η -p e 0 ) (c) (η -p e 0 ) • (η -p e 0 ) t |η -p e 0 | 5 + δ c • (η -p e 1 ) t + (η -p e 1 ) • δ c t |η -p e 1 | 3 - 3(η -p e 1 ) (c) (η -p e 1 ) • (η -p e 1 ) t |η -p e 1 | 5 ✇✐t❤ δ x = 1 0 ❛♥❞ δ y = 0 1 ✳ ✶✹✽ ❋✐♥❛• ❡①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ Hw E e i ❋r♦♠ ❊q✳ ✶✵✳✶✸✱ ✭(p e i -η) t • N E i = 0✱ s❡❡ ❋✐❣✳ ✶✵✳✷✮ ✇❡ ♦❜t❛✐♥✿      ∂ x ( - → ▽w E e i ) = C E x t •N E i+1 (pe i -η) t •N E i+1 ∂ y ( - → ▽w E e i ) = C E y t •N E i+1 (pe i -η) t •N E i+1      ∀η / ∈ (p e 0 p e 1 ).

❋✐♥❛••②✿

Hw E e i = ∂ x ( - → ▽w E e i ) t ∂ y ( - → ▽w E e i ) t ✭✶✵✳✶✹✮ ❙♣❡❝✐❛• ❝❛s❡✿ η ∈ (e 0 e 1 ), / ∈ [e 0 e 1 ] ❲❤❡♥ η •✐❡s ♦♥ t❤❡ s✉♣♣♦rt ♦❢ t❤❡ ❡❞❣❡ E✱ - → ▽w E e i (η) = dw E e i n E ✱ ✇❤❡r❡ dw E e i = ∂(w E e i (η+ǫn E )) ∂ǫ |ǫ→0 ✐s ❛ s❝❛•❛r t❡r♠ ♦❜t❛✐♥❡❞ ✐♥ t❤❡ s♣❡❝✐❛• ❝❛s❡ ♦❢ s❡❝t✐♦♥ ✶✵✳✹✳✶ ✭❆♣♣❡♥❞✐① ❈✱ s❡❡ s❡❝t✐♦♥ ✶✸✳✸✮✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡ ∀η ∈ (e 0 e 1 ), / ∈ [e 0 e 1 ]✿ Hw E e i = - → ▽(dw E e i ) • n t E - → ▽(dw E e i ) = j JN E i+1 t • N E j + JN E j t • N E i+1 2|E||N E j | 3 - j 3(N E j t • N E i+1 )JN E j t • N E j 2|E||N E j | 5 + j (-1) i+j+1 JN j j E t • N E j |E||N E j | 3 - → ▽(dw E e i ) =R π 2 • j 3(-1) i+1 N E j + (-1) j N E i+1 2|E||N E j | 3 + R π 2 • j 3(-1) j+1 (N E j t • N E i+1 )N E j 2|E||N E j | 5 ❋✐♥❛••②✿ ✶✵✳✺✳ ▼❱✲•|❆❉■❊◆❚❙ ❆◆❉ ❍❊❙❙■❆◆❙ ■◆ ✸❉ ✶✹✾ ✬ ✫ ✩ ✪ Hw E e i = R π 2 • j 3(-1) i+1 N E j + (-1) j N E i+1 2|E||N E j | 3 • n E t ✭✶✵✳✶✺✮ +R π 2 • j 3(-1) j+1 (N E j t • N E i+1 )N E j 2|E||N E j | 5 • n E t ∀η ∈ (e 0 e 1 ), / ∈ [e 0 e 1 ] ✶✵✳✺ ▼❱✲•r❛❞✐❡♥ts ❛♥❞ ❍❡ss✐❛♥s ✐♥ ✸❉ ✶✵✳✺✳✶ ❊①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▼❱✲•r❛❞✐❡♥ts ■♥st❡❛❞ ♦❢ ❞❡r✐✈✐♥❣ ❊q✳ ✶✵✳✷ ✭✇❤✐❝❤ ✐♥✈♦•✈❡s t❤❡ ❝❛•❝✉•✉s ♦❢ ❛♥ ✐♥t❡❣r❛•✮✱ ✇❡ ❞❡r✐✈❡ t❤❡ ❏❛❝♦❜✐❛♥ ❢r♦♠ ❊q✳ ✶✵✳✸ ✭❜② ♥♦t✐♥❣ B T Jm T + j w T t j • I 3 ✮✿ j (p t j -η) • - → ▽w T t j t = B T ✭✶✵✳✶✻✮ ❋r♦♠ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥✿ ✭❛❣❛✐♥✱ N T i t • (p t j -η) = 0 ∀j = i✱ s❡❡ ❋✐❣✳ ✶✵✳✷✮ - → ▽w T t i = B T t • N T i det(A T ) ✭✶✵✳✶✼✮ ∀η / ∈ Support(T ) ❆t t❤✐s ♣♦✐♥t✱ t❤❡ ❏❛❝♦❜✐❛♥ ♦❢ t❤❡ ✈❡❝t♦r m T ✐s r❡q✉✐r❡❞ ❢♦r t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ B T ✳ ❊①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ Jm T ❋r♦♠ ❊q✳ ✶✵✳✹✱ ✇❡ ❤❛✈❡✿ m T = j θ T j n T j 2 = j θ T j N T j 2|N T j | ❚❤❡♥✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥✿ Jm T = j N T j • - → ▽θ T j t 2|N T j | + j θ T j JN T j 2|N T j | - j θ T j N T j • (JN T j t • N T j ) t 2|N T j | 3 ✭✶✵✳✶✽✮ ✶✺✵ ❉❡r✐✈❛t✐✈❡s ♦❢ N T j ❋r♦♠ t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ N T j ✭s❡❝t✐♦♥ ✶✵✳✷✳✶✮✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥✿ N T j (η + dη) =(p t j+1 -η -dη) × (p t j+2 -η -dη) =(p t j+1 -η) × (p t j+2 -η) + (p t j+2 -p t j+1 ) × dη. ❚❤❡r❡❢♦r❡ JN T j = (p t j+2 -p t j+1 ) [∧] ✇❤❡r❡ k [∧] ✐s t❤❡ s❦❡✇ 3 × 3 ♠❛tr✐① ✭✐✳❡✳ k [∧] t = -k [∧] ✮ s✉❝❤ t❤❛t k [∧] • u = k × u ∀k, u ∈ R 3 ✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉•❛r✱ ✇❡ s❡❡ ❢r♦♠ ❊q✳ ✶✵✳✶✾ t❤❛t N T j ❛❞♠✐ts ❛ ♥✉•• s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡✳ ❊①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ - → ▽θ T j ❚❤❡ t❡r♠ - → ▽θ T j ❝❛♥ ❜❡ ❞❡r✐✈❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ❡①♣r❡ss✐♦♥s✿ sin(θ T j ) = S T j , S T j |(pt j+2 -η)×(pt j+1 -η)| |pt j+2 -η|•|pt j+1 -η| = |N T j | |pt j+2 -η|•|pt j+1 -η| cos(θ T j ) = C T j , C T j (pt j+2 -η) t •(pt j+1 -η) |pt j+2 -η|•|pt j+1 -η| cos(θ T j ) • - → ▽θ T j = - → ▽S T j ✭✶✵✳✶✾✮ -sin(θ T j ) • - → ▽θ T j = - → ▽C T j ✭✶✵✳✷✵✮ - → ▽θ T j ❝❛♥ ❜❡ ❡✈❛•✉❛t❡❞ ✇✐t❤ ❊q✳ ✶✵✳✶✾ ✇❤❡♥ θ T j = π/2✱ ❛♥❞ ✇✐t❤ ❊q✳ ✶✵✳✷✵ ✇❤❡♥ θ T j = 0, π✳ - → ▽S T j ❛♥❞ - → ▽C T j ❛r❡ ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ❡①♣r❡ss✐♦♥s✿ - → ▽S T j = JN T j t • N T j |N T j | • |p t j+2 -η| • |p t j+1 -η| - |N T j | • (η -p t j+2 ) |p t j+2 -η| 3 • |p t j+1 -η| - |N T j | • (η -p t j+1 ) |p t j+2 -η| • |p t j+1 -η| 3 - → ▽S T j = JN T j t • N T j |N T j | • |p t j+2 -η| • |p t j+1 -η| - (η -p t j+2 ) • sin(θ T j ) |p t j+2 -η| 2 - (η -p t j+1 ) • sin(θ T j ) |p t j+1 -η| 2 ✭✶✵✳✷✶✮ - → ▽C T j = 2η -p t j+1 -p t j+2 |p t j+2 -η| • |p t j+1 -η| - (η -p t j+2 ) • (p t j+2 -η) t • (p t j+1 -η) |p t j+2 -η| 3 • |p t j+1 -η| - (η -p t j+1 ) • (p t j+2 -η) t • (p t j+1 -η) |p t j+2 -η| • |p t j+1 -η| 3 ✶✵✳✺✳ ▼❱✲•|❆❉■❊◆❚❙ ❆◆❉ ❍❊❙❙■❆◆❙ ■◆ ✸❉ ✶✺✶ - → ▽C T j = 2η -p t j+1 -p t j+2 |p t j+2 -η| • |p t j+1 -η| - (η -p t j+2 ) • cos(θ T j ) |p t j+2 -η| 2 - (η -p t j+1 ) • cos(θ T j ) |p t j+1 -η| 2 ✭✶✵✳✷✷✮ ❋r♦♠ ❊q✳ ✶✵✳✶✾ ❛♥❞ ✶✵✳✷✵✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥✿ cos(θ T j ) - → ▽S T j -sin(θ T j ) - → ▽C T j = cos(θ T j ) 2 - → ▽θ T j + sin(θ T j ) 2 - → ▽θ T j = - → ▽θ T j ❆♥❞ ❜② r❡♣•❛❝✐♥❣ t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥s ♦❢ - → ▽S T j ❛♥❞ - → ▽C T j ♦♥ t❤❡ •❡❢t s✐❞❡ ♦❢ t❤❡ ❡q✉❛•✐t② ❜② t❤♦s❡ ♦❢ ❊q✳ ✶✵✳✷✶ ❛♥❞ ✶✵✳✷✷✿ - → ▽θ T j = cos(θ T j )JN T j t • N T j |p t j+2 -η||p t j+1 -η||N T j | - sin(θ T j )(2η -p t j+2 -p t j+1 ) |p t j+2 -η||p t j+1 -η| = cos(θ T j ) sin(θ T j )JN T j t • N T j |N T j | 2 - sin(θ T j ) 2 (2η -p t j+2 -p t j+1 ) |N T j | - → ▽θ T j = cos(θ T j ) sin(θ T j )JN T j t • N T j |N T j | 2 - sin(θ T j ) 2 (2η -p t j+2 -p t j+1 ) |N T j | ✭✶✵✳✷✸✮ ❆t t❤✐s ♣♦✐♥t✱ ❛♥ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❢♦r - → ▽θ T j ❤❛s ❜❡❡♥ ♣r♦✈✐❞❡❞✳ ❚♦ ❝♦♠♣•❡t❡ t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ Jm T ✱ ❊q✳ ✶✵✳✷✸ ❛♥❞ ✶✵✳✶✽ ♥❡❡❞ t♦ ❜❡ ❝♦♠❜✐♥❡❞✿ Jm T = j cos(θ T j ) sin(θ T j )N T j • (JN T j t • N T j ) t 2|N T j | 3 - j sin(θ T j ) 2 N T j • (2η -p t j+2 -p t j+1 ) t 2|N T j | 2 + j θ T j JN T j 2|N T j | - j θ T j N T j • (JN T j t • N T j ) t 2|N T j | 3 ❋✐♥❛• ❡①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ Jm T ❲❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ✜♥❛• ❡①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ Jm T (η) ❛s✿ Jm T = j e 1 (θ T j )N T j • N T j t • JN T j 2(|p t j+2 -η||p t j+1 -η|) 3 - j N T j • (2η -p t j+1 -p t j+2 ) t 2(|p t j+2 -η||p t j+1 -η|) 2 + j e 2 (θ T j )JN T j 2|p t j+2 -η||p t j+1 -η| ✶✺✷ ✇❤❡r❡ e 1 = cos(x) sin(x)-x sin(x) 3 ❛♥❞ e 2 (x) = x sin(x) ❛r❡ t✇♦ ✇❡••✲❞❡✜♥❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦♥ ]0, π[ ✇❤✐❝❤ ❛❞♠✐t ✇❡••✲❝♦♥tr♦••❡❞ ❚❛②•♦r ❡①♣❛♥s✐♦♥s ❛r♦✉♥❞ 0✳ •✐✈❡♥ t❤❡ ✜♥❛• ❡①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ Jm T ✭❊q✳ ✶✵✳✷✹✮✱ ✇❡ r❡❝❛•• t❤❛t - → ▽w t i ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣✉t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ❡①♣r❡ss✐♦♥✿ - → ▽w T t i = B T t •N T i det(A T ) ✭✇✐t❤ B T = Jm T + j w T t j • I 3 ✮✳ ❙♣❡❝✐❛• ❝❛s❡✿ η ∈ Support(T ), / ∈ T ❚❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥s ♣r♦✈✐❞❡❞ s♦ ❢❛r ❛❞♠✐t ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❝❛s❡s ✇❤❡♥ det(A T ) = 0 ✭❊q✳ ✶✵✳✶✼✮✳ ❙✐♠✐•❛r•② t♦ t❤❡ ✷❉ s❡tt✐♥❣✱ t❤❡s❡ ❝❛s❡s ♦♥•② ♦❝❝✉r ✇❤❡♥ η ✐s •②✐♥❣ ♦♥ t❤❡ s✉♣♣♦rt ♣•❛♥❡ ♦❢ T ✱ ♥♦t❡❞ Support(T )✳ ❋♦r η ∈ Support(T ), / ∈ T ✱ ❛s ❞✐s❝✉ss❡❞ ❛❜♦✈❡✱ ❣✐✈❡♥ s♠❛•• st❡♣s ✐♥ t❤❡ s✉♣♣♦rt ♦❢ T ✱ t❤❡ ✇❡✐❣❤ts ❛r❡ s❡t t♦ 0✿ ∀(η + dη) ∈ Support(T ), / ∈ T ✱ w T t i (η + dη) = 0✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❡ ✇❡✐❣❤ts ♦♥•② ❡✈♦•✈❡ ✐♥ t❤❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♥♦r♠❛• ♦❢ T ✿ ∀η ∈ Support(T ), / ∈ T : - → ▽w T t i = ∂w T t i (η + ǫn T ) ∂ǫ |ǫ→0 • n T ❚♦ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥✱ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❚❛②•♦r ❡①♣❛♥s✐♦♥ ♦❢ w T t i (η + ǫn T ) = N T i (η+ǫn T ) t •m T (η+ǫn T ) det(A T (η+ǫn T )) ✇✐t❤ r❡❣❛r❞s t♦ ǫ✳ ❚❤❡ ❞❡t❛✐•s ♦❢ t❤✐s ❡①♣❛♥s✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ✐♥ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆ ✭s❡❡ s❡❝t✐♦♥ ✶✸✳✶✮✳ ❚❤❡ ✜♥❛• r❡s✉•t ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿ ✬ ✫ ✩ ✪ - → ▽w T i = - j e 2 (θ T j )(p t i+2 -p t i+1 ) t • (p t j+2 -p t j+1 ) 4|T ||p t j+2 -η||p t j+1 -η| n T - j e 1 (θ T j )|p t j+2 -p t j+1 | 2 N T i t • N T j 8|T |(|p t j+2 -η||p t j+1 -η|) 3 n T - j cos(θ T j )e 3 (θ T j )N T i t • N T j 4|T |(|p t j+2 -η||p t j+1 -η|) 2 n T ∀η ∈ Support(T ), / ∈ T ✇✐t❤ e 2 (x) = x sin(x) , e 1 (x) = cos(x) sin(x)-x sin(x) 3 , ❛♥❞ e 3 (x) = cos(x)-1 sin(x) 2 ❜❡✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✇❡•• ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ ]0, π[ ❛♥❞ ✇❤✐❝❤ ❛❞♠✐t ❝♦♥tr♦••❛❜•❡ ❚❛②•♦r ❡①♣❛♥s✐♦♥ ❛r♦✉♥❞ 0✳ ✶✵✳✺✳✷ ❊①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▼❱✲❍❡ss✐❛♥s ❲❡ ♥♦t❡ δ x =   1 0 0   , δ y =   0 1 0   , δ z =   0 0 1   ✳ ✶✵✳✺✳ ▼❱✲•|❆❉■❊◆❚❙ ❆◆❉ ❍❊❙❙■❆◆❙ ■◆ ✸❉ ✶✺✸ ❉❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦❢ Hw T i ❇② ❞❡r✐✈✐♥❣ ❊q✳ ✶✵✳✶✻ s✉❝❝❡ss✐✈❡•② ❜② c = x, y, ❛♥❞ z✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥✿ i ∂ c (p t i -η) • - → ▽w T i t + i (p t i -η) • ∂ c ( - → ▽w T i t ) = ∂ c (Jm T ) + i ∂ c (w T i ) • I 3 j (p t j -η) • ∂ c ( - → ▽w T t j t ) = C T c ✭✶✵✳✷✹✮ ✇✐t❤ C T c δ c • j - → ▽w T t j t + ∂ c (Jm T ) + j ∂ c (w T t j ) • I 3 ✳ ❆•• t❤❡s❡ t❡r♠s ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ❡①♣r❡ss❡❞ ♣r❡✈✐♦✉s•②✱ ❡①❝❡♣t ❢♦r t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ♦❢ Jm T ✳ ❊①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ♦❢ Jm T •✐✈❡♥ ❛ ✈❡❝t♦r k ∈ R 3 ✱ ✇❡ ♥♦t❡ (k) (x) , (k) (y) , (k) (z) ✐ts ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ✐♥ x, y, ❛♥❞ z✳ ❇② ❞❡r✐✈✐♥❣ ❊q✳ ✶✵✳✷✹ t❡r♠ ❜② t❡r♠✱ ❛♥❞ ✉s✐♥❣ ❊q✳ ✶✵✳✷✸ ❢♦r - → ▽θ T j ✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ✜♥❛• ❡①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ ∂ c (Jm T ) ✶✺✹ ∂ c (Jm T ) = j e 6 (θ T j )(JN T j t • N T j ) (c) N T j • N T j t • JN T j 2(|p t j+2 -η||p t j+1 -η|) 5 - j e 7 (θ T j )(2η -p t j+1 -p t j+2 ) (c) N T j • N T j t • JN T j 2(|p t j+2 -η||p t j+1 -η|) 4 + j e 1 (θ T j )∂ c (N T j ) • N T j t • JN T j 2(|p t j+2 -η||p t j+1 -η|) 3 + j e 1 (θ T j )N T j • ∂ c (N T j ) t • JN T j 2(|p t j+2 -η||p t j+1 -η|) 3 - j 3e 1 (θ T j )(η -p t j+1 ) (c) N T j • N T j t • JN T j 2|p t j+2 -η| 3 |p t j+1 -η| 5 - j 3e 1 (θ T j )(η -p t j+2 ) (c) N T j • N T j t • JN T j 2|p t j+2 -η| 5 |p t j+1 -η| 3 - j ∂ c (N T j ) • (2η -p t j+1 -p t j+2 ) t 2(|p t j+2 -η||p t j+1 -η|) 2 + j (η -p t j+1 ) (c) N T j • (2η -p t j+1 -p t j+2 ) t |p t j+2 -η| 2 |p t j+1 -η| 4 + j (η -p t j+2 ) (c) N T j • (2η -p t j+1 -p t j+2 ) t |p t j+2 -η| 4 |p t j+1 -η| 2 + j e 8 (θ T j )(JN T j t • N T j ) (c) JN T j 2(|p t j+2 -η||p t j+1 -η|) 3 - j e 9 (θ T j )(2η -p t j+1 -p t j+2 ) (c) JN T j 2(|p t j+2 -η||p t j+1 -η|) 2 - j (η -p t j+1 ) (c) e 2 (θ T j )JN T j 2|p t j+2 -η||p t j+1 -η| 3 - j (η -p t j+2 ) (c) e 2 (θ T j )JN T j 2|p t j+2 -η| 3 |p t j+1 -η| - j N T j • δ ct |p t j+2 -η| 2 |p t j+1 -η| 2 ✇✐t❤ e 6 (x) = e ′ 1 (x)cos(x)/sin(x), e 7 (x) = e ′ 1 (x)sin(x), e 8 (x) = e ′ 2 (x)cos(x)/sin(x)✱ ❛♥❞ e 9 (x) = e ′ 2 (x)sin(x)✳ ❆s ♣r❡✈✐♦✉s•② ❞✐s❝✉ss❡❞✱ |N T j | ❝❛♥ ❜❡❝♦♠❡ ❝•♦s❡ t♦ 0 ♦♥•② ✐❢ θ T j t❡♥❞s t♦ 0 ♦r π✳ ❚❤❡ s❡❝♦♥❞ ❝❛s❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ η •②✐♥❣ ♦♥ ♦♥❡ ❡❞❣❡ p t j+1 p t j+2 ♦❢ t❤❡ tr✐❛♥❣•❡ T ✳ ❆s ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ s❡❝t✐♦♥ ✶✵✳✸✱ ✇❡ ❞♦ ♥♦t ♣r♦✈✐❞❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ✐♥ t❤❛t ❝❛s❡ ✭❢♦r ♣♦✐♥ts •②✐♥❣ ♦♥ T ✮✳ ❚❤❡ ✜rst ❝❛s❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ η •②✐♥❣ ♦♥ t❤❡ s❛♠❡ •✐♥❡ ❛s ♦♥❡ ❡❞❣❡ ♦❢ t❤❡ tr✐❛♥❣•❡✳ ❆•• t❤❡ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐♥ t❤✐s ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❛❞♠✐t ✇❡••✲❞❡✜♥❡❞ ❚❛②•♦r ❡①♣❛♥s✐♦♥s✳ ❆s t❤❡s❡ ❡①✲ ♣r❡ss✐♦♥s ❛r❡ s❤♦✇♥ t♦ ❝♦♥✈❡r❣❡✱ t❤❡② ♣r♦✈✐❞❡ ❛ ♣r❛❝t✐❝❛• ✇❛② t♦ r♦❜✉st•② ❡✈❛•✉❛t❡ ∂ c (Jm T ) ♥❡❛r t❤❡ s✉♣♣♦rt •✐♥❡s ♦❢ t❤❡ ❡❞❣❡s ♦❢ t❤❡ ❝❛❣❡ tr✐❛♥❣•❡s✳ ❲❤❡♥ η •✐❡s ❡①❛❝t•② ♦♥t♦ t❤❡ s✉♣♣♦rt ♣•❛♥❡ ♦❢ ❛ tr✐❛♥❣•❡ T ✱ ✇❡ ❝❛♥♥♦t ✉s❡ t❤❡ s❛♠❡ str❛t❡❣② t♦ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❍❡ss✐❛♥s✳ ❚❤❡s❡ s♣❡❝✐❛• ❝❛s❡s ✇✐•• ❜❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ t❤❡ ♥❡①t ♣❛r❛❣r❛♣❤✳ ✶✵✳✺✳ ▼❱✲•|❆❉■❊◆❚❙ ❆◆❉ ❍❊❙❙■❆◆❙ ■◆ ✸❉ ✶✺✺ ❋✐♥❛• ❡①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ Hw T i ❋r♦♠ ❊q✳ ✶✵✳✷✹✱ ♦♥❝❡ ❛❣❛✐♥ ✇❡ ♦❜t❛✐♥          ∂ x ( - → ▽w T t i ) = C T x t •N T i det(A T ) ∂ y ( - → ▽w T t i ) = C T y t •N T i det(A T ) ∂ z ( - → ▽w T t i ) = C T z t •N T i det(A T )          ∀η / ∈ Support(T ).

❙✐♥❝❡

Hw T i =    ∂ x ( - → ▽w T t i ) t ∂ y ( - → ▽w T t i ) t ∂ z ( - → ▽w T t i ) t    ✜♥❛••② ✇❡ ♦❜t❛✐♥ Hw T i = 1 det(A T )    N T i t • ∂ x (Jm T ) N T i t • ∂ y (Jm T ) N T i t • ∂ z (Jm T )    ✭✶✵✳✷✺✮ + 1 det(A T ) (N T i • ( j - → ▽w T j ) t + j - → ▽w T j • N T i t ) ❙♣❡❝✐❛• ❝❛s❡✿ η ∈ Support(T ), / ∈ T ❋♦r ❛•• η ∈ Support(T ), / ∈ T ✱ ❊q✳ ✶✵✳✷✺ ❞♦❡s ♥♦t ❤♦•❞ ❛♥②♠♦r❡✱ ❛s A T ✐s ❛ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ❜❛s✐s✳ ❯s✐♥❣ - → ▽w T i = dw T i n T ✇✐t❤ dw T i (η) = ∂(w T i (η+ǫn T )) ∂ǫ |ǫ→0 ✭♣r❡✈✐♦✉s•② ❡①♣r❡ss❡❞ ✐♥ s❡❝✲ t✐♦♥ ✶✵✳✺✳✶✮✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥✿ ✞ ✝ ☎ ✆ Hw T i = - → ▽dw T i • n t T , ∀η ∈ Support(T ), / ∈ T ✭✶✵✳✷✻✮ ❚❤❡ ❞❡t❛✐•s ♦❢ t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦❢ - → ▽dw T i ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ✐♥ ❆♣♣❡♥❞✐① ❇ ✭s❡❡ s❡❝t✐♦♥ ✶✸✳✷✮✳ ❚❤❡ ✜♥❛• ❡①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ - → ▽dw T i ✐s ❣✐✈❡♥ ❜②✿ ✶✺✻ -2|T | - → ▽dw T i = - j ((p t i+2 -p t i+1 ) t • (p t j+2 -p t j+1 ))(2η -p t j+2 -p t j+1 ) (|p t j+2 -η||p t j+1 -η|) 2 + j e 1 (θ T j )((p t i+2 -p t i+1 ) t • (p t j+2 -p t j+1 ))JN T j t • N T j 2(|p t j+2 -η||p t j+1 -η|) 3 + j |p t j+2 -p t j+1 | 2 (N T i t • N T j )(2η -p t j+2 -p t j+1 ) 2(|p t j+2 -η||p t j+1 -η|) 4 + j e 1 (θ T j )|p t j+2 -p t j+1 | 2 (JN T j t • N T i + JN T i t • N T j ) 4(|p t j+2 -η||p t j+1 -η|) 3 - j e 4 (θ T j )|p t j+2 -p t j+1 | 2 (N T i t • N T j )JN T j t • N T j 2(|p t j+2 -η||p t j+1 -η|) 5 + j cos(θ T j )e 3 (θ T j )(JN T j t • N T i + JN T i t • N T j ) 2(|p t j+2 -η||p t j+1 -η|) 2 - j (1 -2 cos(θ T j ))(N T i t • N T j )(2η -p t j+2 -p t j+1 ) 2(|p t j+2 -η||p t j+1 -η|) 3 + j e 5 (θ T j )(N T i t • N T j )JN T j t • N T j 2(|p t j+2 -η||p t j+1 -η|) 4 ✇❤❡r❡ e 1 (x) = cos(x) sin(x)-x sin(x) 3 , e 4 (x) = 2 cos(x) sin(x) 3 +3(sin(x) cos(x)-x) sin(x) 5 , e 3 (x) = cos(x)-1 sin(x) 2 , ❛♥❞ e 5 (x) = cos(x) sin(x) 2 (1-2 cos(x))-2 cos(x) 2 +2 cos(x) sin(x) 4 ❛r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✇❡•• ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ ]0, π[ ❛♥❞ t❤❛t ❛❞♠✐t ❝♦♥tr♦••❛❜•❡ ❚❛②•♦r ❡①♣❛♥s✐♦♥ ❢♦r♠✉•❛ ❛r♦✉♥❞ 0✳ ✶✵✳✻ ❈♦♥t✐♥✉✐t② ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❣❡♥❡r❛• ❝❛s❡ ❛♥❞ t❤❡ s♣❡❝✐❛• ❝❛s❡ ❲❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ t❤❡ ❢♦r♠✉•❛❡ ❢♦r t❤❡ ❣r❛❞✐❡♥t ❛♥❞ t❤❡ ❍❡ss✐❛♥ ♦❢ w T i (η) ✐♥ t❤❡ ❣❡♥❡r❛• ❝❛s❡✱ ✇❤❡♥ t❤❡ ♣♦✐♥t ♦❢ ✐♥t❡r❡st η ❞♦❡s ♥♦t •✐❡ ♦♥ t❤❡ tr✐❛♥❣•❡ T ✱ ❛♥❞ ✐♥ t❤❡ s♣❡❝✐❛• ❝❛s❡ ✇❤❡♥ η •✐❡s ♦♥ ✐t✳ ❆s ▼❱❈ ❛r❡ C ∞ ❡✈❡r②✇❤❡r❡ ♥♦t ♦♥ ▼✱ t❤❡s❡ ❢♦r♠✉•❛❡ ❛r❡ ❣✉❛r❛♥t❡❡❞ t♦ ❝♦♥✈❡r❣❡✱ s✐♥❝❡ ✐♥ ♣❛rt✐❝✉•❛r✱ t❤❡ ❣r❛❞✐❡♥t ❛♥❞ t❤❡ ❍❡ss✐❛♥ ❛r❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥s ❡✈❡r②✇❤❡r❡ ♥♦t ♦♥ ▼✳ ❚❤❡ s❛♠❡ ❤♦•❞s ✐♥ ✷❉ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❞✐st✐♥❝t✐♦♥ ✐s ♠❛❞❡ ❢♦r t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ w E i (η) ✇❤❡t❤❡r η •✐❡s ♦♥ t❤❡ •✐♥❡ s✉♣♣♦rt❡❞ ❜② t❤❡ ❡❞❣❡ E ♦r ♥♦t✳ ✶✵✳✼✳ ❊❳P❊|■▼❊◆❚❆▲ ❆◆❆▲(❙■❙ ✶✺✼ ✶✵✳✼ ❊①♣❡r✐♠❡♥t❛• ❆♥❛•②s✐s ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ ♣r❡s❡♥t ❡①♣❡r✐♠❡♥t❛• ❡✈✐❞❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ♥✉♠❡r✐❝❛• ❛❝❝✉r❛❝② ♦❢ ♦✉r ❞❡r✐✈❛✲ t✐♦♥ ❛♥❞ ♣r♦✈✐❞❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ t✐♠✐♥❣s✳ ✶✵✳✼✳✶ ❈♦♠♣•❡①✐t② ❋♦r ❡❛❝❤ ♣♦✐♥t η✱ ❝♦♠♣✉t✐♥❣ t❤❡ ▼❱❈✱ t❤❡ ▼❱❈ ❣r❛❞✐❡♥ts ❛♥❞ t❤❡ ▼❱❈ ❍❡ss✐❛♥s ✐s •✐♥❡❛r ✐♥ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ✈❡rt✐❝❡s ❛♥❞ ❡❞❣❡s ✭❢❛❝❡s ✐♥ ✸❉✮ ♦❢ t❤❡ ❝❛❣❡✳ ✶✵✳✼✳✷ ■♠♣•❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ■♥ t❤✐s ❝❤❛♣t❡r✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ s❡✈❡r❛• ❢✉♥❝t✐♦♥s t❤❛t ✇❡r❡ ♥♦t❡❞ e k (x)✳ ❚❤❡s❡ ❢✉♥❝✲ t✐♦♥s ❛r❡ ✉♥st❛❜•❡ ♥❡❛r 0✱ ❜✉t ❛•• ❤❛✈❡ ❝•❡❛♥ ❚❛②•♦r ❡①♣❛♥s✐♦♥s ❛r♦✉♥❞ 0 ✭t❤❡✐r ❡①❛❝t ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❛r❡ ♦❢ ♥♦ s❝✐❡♥t✐✜❝ ✈❛•✉❡✱ ❜✉t t❤❡② ❝❛♥ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ✉s✐♥❣ st❛♥❞❛r❞ ♥✉♠❡r✐❝❛• ❝♦♠♣✉t✐♥❣ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥ts✱ ❡✳ ❣✳ ▼❛t•❛❜✮✳ ■♥ ♦✉r ✐♠♣•❡♠❡♥t❛t✐♦♥✱ ✇❡ r❡•② ♦♥ t❤❡s❡ ❚❛②•♦r ❡①♣❛♥s✐♦♥s ✉♣ t♦ t❤❡ ♦r❞❡r 15 ❢♦r t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ e k (x) ❢♦r ❛•• ✈❛•✉❡s ♦❢ ① s♠❛••❡r t❤❛♥ 0.1✱ ❛♥❞ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ tr✉❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦t❤❡r✇✐s❡✳ ❚❤✐s str❛t❡❣② ♣r♦♦✈❡❞ t♦ ❜❡ ❡✣❝✐❡♥t ❢♦r t❤❡✐r ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡② ❝❛♥ ❜❡ ❛♣✲ ♣r♦①✐♠❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛♥② ♣r❡❝✐s✐♦♥ ✉s✐♥❣ •♦♦❦✲✉♣ t❛❜•❡s✱ t❤❡♠s❡•✈❡s ❝♦♠♣✉t❡❞ ✉s✐♥❣ ❛♥ ✐♥✜♥✐t❡ ♣r❡❝✐s✐♦♥ •✐❜r❛r② ✶ ✳ ✶✵✳✼✳✸ ••♦❜❛• ✈❛•✐❞❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ❛ ♠❛♥✉❢❛❝t✉r❡❞ s♦•✉t✐♦♥ ❲❡ ✜rst ✐♥s♣❡❝t t❤❡ ♥✉♠❡r✐❝❛• ❛❝❝✉r❛❝② ♦❢ ♦✉r ❞❡r✐✈❛t✐♦♥ t❤r♦✉❣❤ t❤❡ ▼❡t❤♦❞ ♦❢ ▼❛♥✲ ✉❢❛❝t✉r❡❞ ❙♦•✉t✐♦♥ ✭▼▼❙✮✱ ❛ ♣♦♣✉•❛r t❡❝❤♥✐q✉❡ ✐♥ ❝♦❞❡ ✈❡r✐✜❝❛t✐♦♥ ❬✺✱ ✸✷✱ ✸✸(✳ ❙✉❝❤ ❛ ✈❡r✐✜❝❛t✐♦♥ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❝♦♥s✐sts ♦❢ ❞❡s✐❣♥✐♥❣ ❛♥ ✐♥♣✉t ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ r❡s✉•t✐♥❣ s♦•✉t✐♦♥ ✐s ❦♥♦✇♥ ❛ ♣r✐♦r✐✳ ❚❤❡♥ t❤❡ ❛❝t✉❛• ✈❡r✐✜❝❛t✐♦♥ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ❛✐♠s ❛t ❛ss❡ss✐♥❣ t❤❛t t❤❡ s♦•✉t✐♦♥ ♣r♦✈✐❞❡❞ ❜② t❤❡ ♣r♦❣r❛♠ ❝♦♥❢♦r♠s t♦ t❤❡ ♠❛♥✉❢❛❝t✉r❡❞ s♦•✉t✐♦♥✳ ■♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s✱ ▼▼❙ ✈❡r✐✜❝❛t✐♦♥ ❝♦♥s✐sts ♦❢ t❤❡ ❞❡s✐❣♥ ♦❢ ❡①❛❝t ❣r♦✉♥❞✲tr✉t❤s ❢♦r ❛❝❝✉r❛❝② ♠❡❛s✉r❡♠❡♥t✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ♥♦t❡ t❤❛t t❤✐s ✈❡r✐✜❝❛t✐♦♥ ✐s ♥♦t ❣❡♥❡r❛•✱ ❛s ✐t ♦♥•② ❛ss❡ss❡s ❝♦rr❡❝t♥❡ss ❢♦r t❤❡ s❡t ♦❢ ♠❛♥✉❢❛❝t✉r❡❞ s♦•✉t✐♦♥s✳ ▼❛♥✉❢❛❝t✉r❡❞ s♦•✉t✐♦♥✿ ❆s ▼❡❛♥ ❱❛•✉❡ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡s ♣r♦✈✐❞❡ s♠♦♦t❤ ✐♥t❡r♣♦•❛t✐♦♥s✱ ❛ ❣•♦❜❛• r✐❣✐❞ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝❛❣❡ p i = T +R•p i s❤♦✉•❞ ✐♥❢❡r ❛ ❣•♦❜❛• r✐❣✐❞ tr❛♥s❢♦r♠❛✲ t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡♥t✐r❡ ❊✉❝•✐❞❡❛♥ s♣❛❝❡✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉•❛r✱ t❤❡ ❏❛❝♦❜✐❛♥s ♦❢ t❤❡ ❡♠❜❡❞❞✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥ f ♦❢ t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠❡❞ ❝❛❣❡ ✭f : R 3 → R 3 ✱ f (p i ) = p i ✮ s❤♦✉•❞ ❜❡ ❡q✉❛• t♦ R ❡✈❡r②✇❤❡r❡✱ ❛♥❞ ✐ts ❍❡ss✐❛♥ s❤♦✉•❞ ❜❡ ❡①❛❝t•② 0✳ ❚❤❡♥ ♦✉r ♠❛♥✉❢❛❝t✉r❡❞ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ ✐s t❤❡ s♣❛❝❡ ♦❢ ❣•♦❜❛• r✐❣✐❞ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ❛♥❞ ♦✉r ♠❛♥✉❢❛❝t✉r❡❞ s♦•✉t✐♦♥ ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② Jf = R ❛♥❞ Hf = 0✳ ✶ ❋♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ s❡❡ t❤❡ •◆❯ ▼✉•t✐♣•❡ Pr❡❝✐s✐♦♥ ❆r✐t❤♠❡t✐❝ ▲✐❜r❛r②✱ ❤tt♣✿✴✴❣♠♣•✐❜✳♦r❣✴ 10 -5 10 -14 ∼ 100 3 ∼ Jf = i f (p i ) • - → ▽λ i t = R • i p i • - → ▽λ i t + T • i - → ▽λ i t Jf = R i - → ▽λ i t = (0, 0, 0) i p i • - → ▽λ i t = I 3 Hf c = i f c (p i )Hλ i = ∀d∈{x,y,z} R cd • i p i(d) Hλ i + T c i Hλ i ∀c = {x, y, z} T x , T y T z T R cd ✶✵✳✼✳ ❊❳P❊|■▼❊◆❚❆▲ ❆◆❆▲(❙■❙ ✶✺✾ ❚❤✉s✱ t♦ ❝♦♥❢♦r♠ t♦ t❤❡ ♠❛♥✉❢❛❝t✉r❡❞ s♦•✉t✐♦♥ Hf = 0✱ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥s s❤♦✉•❞ ❜❡ s❛t✐s✜❡❞✿        i Hλ i = 0 3 i p i(x) Hλ i = 0 3 i p i(y) Hλ i = 0 3 i p i(z) Hλ i = 0 3 ✭✶✵✳✷✽✮ ◆♦t❡ t❤❛t ❜♦t❤ t❤❡ ❏❛❝♦❜✐❛♥ ❛♥❞ ❍❡ss✐❛♥ ❝♦rr❡❝t♥❡ss ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✭❊q✳ ✶✵✳✷✼ ❛♥❞ ✶✵✳✷✽✮ ❛r❡ ♥♦t ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ r✐❣✐❞ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ♣❛r❛♠❡t❡rs✳ ❚❤❡s❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s r❡♠❛✐♥ ✈❛•✐❞ ❢♦r ❛r✲ ❜✐tr❛r② tr❛♥s•❛t✐♦♥s ❛♥❞ r♦t❛t✐♦♥s ❛♥❞ t❤✉s ❝♦✈❡r t❤❡ ❡♥t✐r❡ ❣r♦✉♣ ♦❢ r✐❣✐❞ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s✳ ❋✐❣✳ ✶✵✳✸✭❛✮ s❤♦✇s ♥✉♠❡r✐❝❛• ❡✈❛•✉❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡s❡ ❝♦rr❡❝t♥❡ss ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r ❞✐✛❡r❡♥t ❝❛❣❡s✱ ❛t r❛♥❞♦♠ ♣♦✐♥ts ✭✐♥ ❣r❡②✮ ♦❢ ❛ ✷❉ ❞♦♠❛✐♥✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉•❛r✱ t❤❡ ❤✐st♦❣r❛♠s ♣•♦t t❤❡ ❡♥tr✐❡s ♦❢ t❤❡ •❡❢t✲❤❛♥❞ t❡r♠ ✭❛ ✈❡❝t♦r ♦r ❛ ♠❛tr✐①✮ ♦❢ ❡❛❝❤ ♦❢ t❤❡s❡ ❡q✉❛t✐♦♥s✱ ✇❤✐❝❤ s❤♦✉•❞ ❛•• ❜❡ ③❡r♦ ✭❢♦r t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❏❛❝♦❜✐❛♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥✱ t❤❡ ❡♥tr✐❡s ♦❢ t❤❡ ♠❛tr✐① i p i • - → ▽λ i t -I 2 ❛r❡ s❤♦✇♥✮✳ ❆s s❤♦✇♥ ✐♥ t❤✐s ❡①♣❡r✐♠❡♥t✱ t❤❡ ❡rr♦r ✐♥❞✉❝❡❞ ❜② t❤❡ ✈✐♦•❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦rr❡❝t♥❡ss ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✐s ❝•♦s❡ t♦ t❤❡ ❛❝t✉❛• ♣r❡❝✐s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❞❛t❛ str✉❝t✉r❡ ❡♠♣•♦②❡❞ ❢♦r r❡❛• ♥✉♠❜❡rs ✭✢♦❛t ♦r ❞♦✉❜•❡✮✳ ❆•s♦✱ t❤❡ ❡rr♦r s•✐❣❤t•② ✐♥❝r❡❛s❡s ✇❤❡♥ t❤❡ ❝❛❣❡ ✐s ❞❡♥s❡r✳ ■♥❞❡❡❞✱ ✇✐t❤ ❞❡♥s❡ ❝❛❣❡s✱ ✐t ✐s ♠♦r❡ •✐❦❡•② t❤❛t t❤❡ r❛♥❞♦♠•② s❡•❡❝t❡❞ s❛♠♣•❡s •✐❡ ✐♥ t❤❡ ✈✐❝✐♥✐t② ♦❢ t❤❡ s✉♣♣♦rt ♦❢ t❤❡ ❝❛❣❡ ❡❞❣❡s✳ ❚❤❡s❡ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥s ❝♦rr❡s♣♦♥❞ t♦ t❤❡ s♣❡❝✐❛• ❝❛s❡s ❞✐s❝✉ss❡❞ ❡❛r•✐❡r ❛♥❞ ❢♦r ✇❤✐❝❤ ❚❛②•♦r ❡①♣❛♥s✐♦♥s ❛r❡ ❡♠♣•♦②❡❞✳ ❋✐❣✳ ✶✵✳✸✭❜✮ s❤♦✇s ❛ s✐♠✐•❛r ❡①♣❡r✐♠❡♥t ✐♥ ✸❉✱ ✇✐t❤ ❛ ❝♦❛rs❡ ❝❛❣❡ ✭❜•❛❝❦ •✐♥❡s✮✳ ❙✐♠✐•❛r•②✱ ♠♦st ♦❢ t❤❡ ❡rr♦rs ❛r❡ •♦❝❛t❡❞ ♦♥ t❤❡ t❛♥❣❡♥t ♣•❛♥❡s ♦❢ t❤❡ tr✐❛♥❣•❡s ✭s♣❡❝✐❛• ❝❛s❡s✮✳ ◆♦t❡✱ t❤❛t ❛♥ ✐♠♣♦rt❛♥t ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ❡rr♦r ②✐❡•❞s ❢r♦♠ t❤❡ s❛♠♣•❡s ✇❤✐❝❤ ❛r❡ •♦❝❛t❡❞ ✐♥ t❤❡ ✈✐❝✐♥✐t② ♦❢ t❤❡ ❝❛❣❡ tr✐❛♥❣•❡✱ ❛ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ ❢♦r ✇❤✐❝❤ ✇❡ ❞♦ ♥♦t ♣r♦✈✐❞❡ ❛ ❝•♦s❡❞✲❢♦r♠ ❡①♣r❡ss✐♦♥✱ ❛s ❞✐s❝✉ss❡❞ ✐♥ s❡❝t✐♦♥ ✶✵✳✸✳ ■♥t❡r❡st✐♥❣•②✱ t❤❡ ❡rr♦rs ♦♥ t❤❡ ❝♦rr❡❝t♥❡ss ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r t❤❡ ❏❛❝♦❜✐❛♥ ❛♥❞ t❤❡ ❍❡ss✐❛♥ ❛r❡ ❝♦♠♣❛r❛❜•❡ t♦ t❤❡ ❡rr♦rs ✐♥❞✉❝❡❞ ❜② t❤❡ ❛❝t✉❛• ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▼❡❛♥ ❱❛•✉❡ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡s λ i ✳ ■♥ t❤❡ ❡①❛♠♣•❡ s❤♦✇♥ ✐♥ ❋✐❣✳ ✶✵✳✸✭❜✮✱ t❤❡ ❡rr♦r r❛♥❣❡ ♦❢ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥❛• r❡❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ ❣r✐❞ ✭✐✳ ❡✳ t❤❡ ✈✐♦•❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ •✐♥❡❛r ♣r❡❝✐s✐♦♥ ♣r♦♣❡rt② ♦❢ t❤❡ ▼❱❈✮ ✐s [0, 1.08 10 -5 ]✱ ✇❤✐❝❤ ✐s •❛r❣❡r t❤❛♥ t❤❡ ❡rr♦r r❛♥❣❡s ♦❜s❡r✈❡❞ ✐♥ t✇♦ ♦❢ t❤❡ s✐① ❝♦rr❡❝t♥❡ss ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❡✈❛•✉❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s✳ ✶✵✳✼✳✹ ❚❛②•♦r ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s ❜❡❤❛✈✐♦r ❱❛•✐❞❛t✐♦♥ ❜❛s❡❞ ♦♥ ♠❛♥✉❢❛❝t✉r❡❞ s♦•✉t✐♦♥s ❡♥❛❜•❡s ❛ss❡ss✐♥❣ t❤❡ ❛❝❝✉r❛❝② ♦❢ ❛ ♥✉♠❡r✐❝❛• ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦♥ ❛ s✉❜✲s❡t ♦❢ ♣r❡✲❞❡✜♥❡❞ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥s✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ✐♥ ♦✉r s❡tt✐♥❣✱ ❞❡s✐❣♥✐♥❣ ♠❛♥✉❢❛❝t✉r❡❞ s♦•✉t✐♦♥s ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ t♦ ♦t❤❡r ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥s t❤❛♥ r✐❣✐❞ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥s ✐s ❤✐❣❤•② ✐♥✈♦•✈❡❞✳ ❚❤✉s✱ t♦ ❡①t❡♥❞ ♦✉r ❛♥❛•②s✐s t♦ ❛r❜✐tr❛r② ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥s✱ ✇❡ ♣r❡s❡♥t ✐♥ t❤✐s ♣❛r❛❣r❛♣❤ ❛♥ ❛♥❛•②s✐s ♦❢ t❤❡ ❚❛②•♦r ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s ♦❢ ▼❱❈✲❢✉♥❝t✐♦♥s ❜❛s❡❞ ♦♥ ♦✉r ❞❡r✐✈❛t✐♦♥✳ ■♥ ❝♦♥tr❛st t♦ ♠❛♥✉❢❛❝t✉r❡❞ s♦•✉t✐♦♥s✱ t❤✐s ❛♥❛•②s✐s ✐s ♥♦t ♠❡❛♥t t♦ ✈❛•✐❞❛t❡ ♦✉r r❡s✉•ts✱ ❜✉t s✐♠♣•② ❛♥❛•②s❡ ❤♦✇ ❢✉♥❝t✐♦♥s ❡①♣r❡ss❡❞ ❜② ▼❱❈ ❜❡❤❛✈❡ ✐♥ t❤❡ •♦❝❛• ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞ ♦❢ ❛ ♣♦✐♥t✳ r r ∈ [0, 1] η #0, #1, #2, #3, #4, #5 0 - → ▽λ err (r) = i || - → ▽λ i - - → ▽λ i F D(r) || 2 Hλ err (r) = i ||Hλ i -Hλ i F D(r) || 2 f (η + dη) = f (η) + - → ▽f t η • dη + o(||dη||) f (η + dη) = f (η) + - → ▽f t η • dη + 1 2 dη t • Hf η • dη + o(||dη|| 2 ) E 1 = ||f (η + dη) -f (η) - - → ▽f t η • dη|| E 2 = ||f (η + dη) -f (η) - - → ▽f t η • dη - 1 2 dη t • Hf η • dη|| ✶✵✳✼✳ ❊❳P❊|■▼❊◆❚❆▲ ❆◆❆▲(❙■❙ ✶✻✶ ■♥♣✉t ❈❛❣❡ ▼♦❞❡• ❈♦♦r❞✳ ❖♥•② ❈♦♦r❞✳ ✰ ❉❡r✐✈✳ ❈♦♦r❞✳ ✰ ❉❡r✐✈✳ ❈♦♦r❞✳ ✰ ❉❡r✐✈✳ ✭★❱ ✴ ★❚✮ ✭♠s✮ ❬❆♥❛•②t✐❝( ✭♠s✮ ❬❋❉( ✭♠s✮ ❬❚r✐❈( ✭♠s✮ ❇❡❡t•❡ ✭✸✷ ✴ ✻✵✮ ✵✳✵✻✵ ✵✳✼✽✶ ✶✳✶✺✼ ✹✳✶✾✻ ❇❡❡t•❡ ✭✶✸✵ ✴ ✷✺✻✮ ✵✳✷✺✻ ✸✳✷✻✶ ✹✳✽✽✶ ✶✼✳✻✷✺ ❇❡❡t•❡ ✭✺✶✹ ✴ ✶✵✷✹✮ ✶✳✵✷✼ ✶✸✳✶✼✶ ✶✾✳✻✷✵ ✼✵✳✼✻✽ ❆r♠❛❞✐••♦ ✭✶✻✹ ✴ ✸✷✹✮ ✵✳✸✷✹ ✹✳✶✸✵ ✻✳✶✼✹ ✷✷✳✹✷✽ ▼♦♥st❡r ✭✶✷✽ ✴ ✷✺✷✮ ✵✳✷✺✷ ✸✳✷✶✷ ✹✳✽✵✾ ✶✼✳✺✵✸ ▼♦♥st❡r ✭✺✵✻ ✴ ✶✵✵✽✮ ✶✳✵✶✸ ✶✷✳✽✻✵ ✶✾✳✸✽✾ ✻✾✳✾✵✵ ❚❛❜•❡ ✶✵✳✶✿ P❡r❢♦r♠❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✸❉ ▼❡❛♥ ❱❛•✉❡ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ❛t ❛ s✐♥❣•❡ ♣♦✐♥t✳ ❚❡sts ✇❡r❡ ♣❡r❢♦r♠❡❞ ♦♥ ✶✵✵✵ ♣♦✐♥ts ❛♥❞ ❛✈❡r❛❣❡ t✐♠✐♥❣s ❛r❡ ♣r❡s❡♥t❡❞✳ ❲❡ ❝♦♠♣❛r❡ ♦✉r ❢♦r♠✉•❛❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ t✐♠❡ ✇✐t❤ ❋✐♥✐t❡ ❉✐✛❡r❡♥❝❡s ✭❋❉✮ ♠❡t❤♦❞s t❤❛t r❡q✉✐r❡ 27 ❡✈❛•✉❛t✐♦♥s ✐♥ t♦t❛•✱ ❛♥❞ ✇✐t❤ tr✐❝✉❜✐❝ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s ✭❚r✐❈✮ t❤❛t r❡q✉✐r❡ ✻✺ ❡✈❛•✉❛t✐♦♥s ✐♥ t♦t❛•✳ ❲✐t❤♦✉t ❛♥② r❡❣❛r❞s t♦ t❤❡ q✉❛•✐t② ♦❢ s✉❝❤ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s✱ ✐t ✐s st✐•• ❢❛st❡r t♦ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ tr✉❡ ✈❛•✉❡ ♦❢ t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ✉s✐♥❣ ♦✉r ❢♦r♠✉•❛❡ t❤❛♥ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♥❣ t❤❡♠ ✉s✐♥❣ ❛♥② ❋✐♥✐t❡ ❉✐✛❡r❡♥❝❡s s❝❤❡♠❡✳ • ❖♥ r❡❣✉•❛r ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ♦❢ t❤❡ ▼❱❈ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡ t❤❡ ✐♥t❡r♣♦•❛t❡❞ ❢✉♥❝✲ t✐♦♥ ❝♦rr❡❝t•②✿ t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ ❡rr♦r ✐s 7. 10 -3 ✭❢♦r ❛ ❜♦✉♥❞✐♥❣ ❞✐❛❣♦♥❛• ♦❢ 316✮✳ ◆♦t❡✱ t❤❛t t❤❡ r❛❞✐✉s r ∈ [0, 1] ♦❢ t❤❡ ❡✈❛•✉❛t✐♦♥ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞ ✇❤❡r❡ t❤❡② ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐s ♥♦t t♦♦ s♠❛••✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ♦✉r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ❢♦r♠✉•❛t✐♦♥ ♣r♦✲ ✈✐❞❡s ❡♥♦✉❣❤ ❛❝❝✉r❛❝② t♦ ❡♥❢♦r❝❡ s♣❛rs❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ♦♥ •♦❝❛• ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞s s✉❝❤ ❛s t❤♦s❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ✐♥ t❤❡ ❛♣♣•✐❝❛t✐♦♥s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✐♥ s❡❝t✐♦♥ ✶✵✳✽✳ • ❚❤❡ •✐♥❡❛r ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❝❛♥ s♦♠❡t✐♠❡s ♣r♦❞✉❝❡ ♠♦r❡ ❛❝❝✉r❛t❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s ✐♥ ❛✈❡r❛❣❡ t❤❛♥ t❤❡ q✉❛❞r❛t✐❝ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦♥ ❛ •❛r❣❡ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞✱ ✇❤✐•❡ t❤❡ q✉❛❞r❛t✐❝ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♣r♦✈✐❞❡s r❡s✉•ts ✇❤✐❝❤ ❛r❡ •❡ss ❞✐r❡❝t✐♦♥✲❞❡♣❡♥❞❛♥t✳ • ❚❤❡ ✐♥❞✉❝❡❞ ❡rr♦rs ✐♥❞❡❡❞ t❡♥❞ t♦ ③❡r♦ ✇❤❡♥ t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞ s❤r✐♥❦s t♦ ❛ ♣♦✐♥t ❛♥❞ t❤❡ t❛♥❣❡♥t ♦❢ t❤❡ ❝✉r✈❡s ✐♥ •♦❣❛r✐t❤♠✐❝ s❝❛•❡ ✐••✉str❛t❡s t❤❛t t❤❡ ❡rr♦r ❝♦♥❢♦r♠s t♦ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ ❢♦r♠ ✭O(||dη|| 2 ) ❢♦r t❤❡ •✐♥❡❛r ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥✱O(||dη|| 3 ) ❢♦r t❤❡ q✉❛❞r❛t✐❝ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥✮✳ ■♥❞❡❡❞✱ r❡♠❡♠❜❡r✱ t❤❛t ✐❢ y = λ•x n ✱ t❤❡♥ log(y) = log(λ)+n•log(x)✳ ✶✵✳✼✳✺ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ✇✐t❤ ❋✐♥✐t❡ ❉✐✛❡r❡♥❝❡ s❝❤❡♠❡s ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ✉s❡ ❋✐♥✐t❡ ❉✐✛❡r❡♥❝❡s s❝❤❡♠❡s t♦ ❞❡r✐✈❡ t❤❡ ❣r❛❞✐❡♥t ❛♥❞ t❤❡ ❍❡ss✐❛♥ ♦❢ t❤❡ ▼❱❈✱ t♦ ❝♦♠♣❛r❡ ✇✐t❤ t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥s ✇❡ ♦❜t❛✐♥❡❞✳ ❆ ❝♦♥✈❡♥t✐♦♥❛• s❝❤❡♠❡ ❢♦r ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s ♦❢ ✜rst ❛♥❞ s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ✐s t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣✿ f x (x, y, z) ≃ f (x+h,y,z)-f (x-h,y,z) 2h f xx (x, y, z) ≃ f (x+h,y,z)-2f (x,y,z)+f (x-h,y,z) h 2 f xy (x, y, z) ≃ f (x+h,y+h,z)-f (x+h,y-h,z)-f (x-h,y+h,z)+f (x-h,y-h,z) 4h 2 . . . ❚❤✐s s❝❤❡♠❡ r❡q✉✐r❡s 27 ❡✈❛•✉❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ t♦t❛•✳ |❡s✉•ts ♦❢ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ ❋✐♥✐t❡ ❉✐✛❡r❡♥❝❡s ✭❋❉✮ ♦❢ t❤❡ ▼❡❛♥ ❱❛•✉❡ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡s ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ✉s✐♥❣ t❤✐s s❝❤❡♠❡ ❛r❡ ✶✻✷ ♣r❡s❡♥t❡❞ ♦♥ ❛♥ ❡①❛♠♣•❡ ♦♥ ❋✐❣✳ ✶✵✳✹✭❜✮✱ ✉s✐♥❣ ❞♦✉❜•❡ ♣r❡❝✐s✐♦♥ ❛♥❞ 256 ❜✐ts ♣r❡❝✐s✐♦♥ ✭✉s✐♥❣ ♠♣❢r❝✰✰✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ ❝✰✰ ✇r❛♣♣❡r ♦❢ t❤❡ •◆❯ ♠✉•t✐♣•❡ ♣r❡❝✐s✐♦♥ ✢♦❛t✐♥❣ ♣♦✐♥t •✐❜r❛r② ✭♠♣❢r✮✮✳ ❚❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ✐s t❤❡ s❛♠❡ ❛s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ♣r❡✈✐♦✉s•② ✐♥ ❋✐❣✳ ✶✵✳✹✭❛✮✱ ❛♥❞ t❤❡ ♣•♦ts ❝♦rr❡s♣♦♥❞ ❤❡r❡ t♦ t❤❡ ❡✈❛•✉❛t✐♦♥ ♠❛❞❡ ✐♥ ♣♦✐♥t 0✳ ❚❤❡ ❡rr♦r ❢✉♥❝t✐♦♥s t❤❛t ❛r❡ ♣•♦t✲ t❡❞ ❛r❡ - → ▽λ err (r) = i || - → ▽λ i - - → ▽λ i F D(r) || 2 ❛♥❞ Hλ err (r) = i ||Hλ i -Hλ i F D(r) || 2 ✳ ◆♦t❡✱ t❤❛t t❤❡s❡ ♣•♦ts ❛r❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐✈❡ ♦❢ ❛•• t❤❡ ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ✇❡ ♠❛❞❡ ✭✐✳ ❡✳ ✇✐t❤ ♦t❤❡r ❝❛❣❡s✱ ❛t ♦t❤❡r •♦❝❛t✐♦♥s✱ ❡t❝✳ ✮✳ ❚❤❡s❡ r❡s✉•ts ✈❛•✐❞❛t❡ ❡♠♣✐r✐❝❛••② ♦✉r ❢♦r♠✉•❛❡✱ ❛s t❤❡ ❋✐♥✐t❡ ❉✐✛❡r❡♥❝❡s s❝❤❡♠❡ ❝♦♥✈❡r❣❡s t♦ ♦✉r ❢♦r♠✉•❛❡ ✇❤❡♥ t❤❡ s✐③❡ ♦❢ t❤❡ st❡♥❝✐• t❡♥❞s t♦ 0 ✭❋✐❣✳ ✶✵✳✹✭❜✮✱ ✉s✐♥❣ 256 ❜✐ts ♣r❡✲ ❝✐s✐♦♥✮✳ ■t ❛•s♦ ✐♥❞✐❝❛t❡s t❤❛t ❋✐♥✐t❡ ❉✐✛❡r❡♥❝❡s s❝❤❡♠❡s ❛r❡ ♥♦t s✉✐t❡❞ t♦ ❡✈❛•✉❛t❡ ▼❱❈ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ✐♥ r❡❛• •✐❢❡ ❛♣♣•✐❝❛t✐♦♥s ✭s❡❡ ❋✐❣✳ ✶✵✳✽ ❢♦r ❡①❛♠♣•❡✮✱ ❛s t❤❡s❡ s❝❤❡♠❡s ❞✐✈❡r❣❡ ♥❡❛r 0 ✇❤❡♥ ✉s✐♥❣ ❞♦✉❜•❡ ♣r❡❝✐s✐♦♥ ♦♥•② ✭❋✐❣✳ ✶✵✳✹✭❜✮ ❜•✉❡ ❛♥❞ r❡❞ ❝✉r✈❡s✮✳ ◆♦t❡ ❛•s♦✱ t❤❛t ✇❡ ✉s❡❞ ❞✐✛❡r❡♥t s❝❤❡♠❡s t♦ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ✉s✐♥❣ ❋✐♥✐t❡ ❉✐✛❡r❡♥❝❡s ♠❡t❤♦❞s ✭✾ ♣♦✐♥ts ❡✈❛•✉❛t✐♦♥ ✰ •✐♥❡❛r s②st❡♠ ✐♥✈❡rs✐♦♥✱ ✷✼ ♣♦✐♥ts ❡✈❛•✉❛t✐♦♥ ♦♥ ❛ 3 × 3 × 3✲st❡♥❝✐•✱ tr✐❝✉❜✐❝ ✐♥t❡r♣♦•❛t✐♦♥ ♦♥ ❛ 4 × 4 × 4✲st❡♥❝✐•✮✱ ❛♥❞ t❤❛t t❤❡② ❛•• ❞✐✈❡r❣❡ ✐♥ t❤❡ s❛♠❡ ♠❛♥♥❡r ✇❤❡♥ ✉s✐♥❣ ❞♦✉❜•❡ ♣r❡❝✐s✐♦♥✳ ❚❤❡ ❡rr♦r ❝✉r✈❡s ❛r❡ ❛•s♦ s✐♠✐•❛r ✇❤❡♥ •♦♦❦✐♥❣ ❛t t❤❡ ❞❡✈✐❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❣r❛❞✐❡♥ts ❛♥❞ ❍❡ss✐❛♥s ♦❢ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐ts❡•❢ t❤❛t ✐s ✐♥t❡r♣♦•❛t❡❞ ✭❡✳ ❣✳ t❤❡ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ ❋✐❣✳ ✶✵✳✹✭❛✮✮✱ ✐♥st❡❛❞ ♦❢ t❤❡ ❣r❛❞✐❡♥ts ❛♥❞ ❍❡ss✐❛♥s ♦❢ t❤❡ ✇❡✐❣❤ts t❤❡♠s❡•✈❡s✳ ✶✵✳✼✳✻ ❚✐♠✐♥❣s ❚❛❜•❡ ✶✵✳✶ s❤♦✇s ❛✈❡r❛❣❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ t✐♠❡s ♦❢ t❤❡ ❡✈❛•✉❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ▼❡❛♥ ❱❛•✉❡ ❈♦♦r❞✐✲ ♥❛t❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ❢♦r s❡✈❡r❛• ✐♥♣✉t ❝❛❣❡s✳ ❆s t❤❡ ❝♦st ♦❢ 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|| j λ j (v i )f j -f i || 2 + v i ∈ || △ f i || 2 + v i ∈G w G i || j - → ▽λ j (v i ) • f j -g i || 2 V △ f i c i G ✶✵✳✽✳ ❆PP▲■❈❆❚■❖◆❙ ✶✻✺ ❝♦♥str❛✐♥ts ✭❜② ♠✐♥✐♠✐③✐♥❣ t❤❡ ♥♦r♠ ♦❢ t❤❡ ❍❡ss✐❛♥✮ ♦r r♦t❛t✐♦♥❛• ❝♦♥str❛✐♥ts ✭❜② s❡tt✐♥❣ t❤❡ ❏❛❝♦❜✐❛♥ t♦ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ✈❛•✉❡✮✳ ❚❤❡ s♦•✉t✐♦♥ t♦ t❤✐s ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜•❡♠ ✐s ❛ ✸❉ ✜❡•❞ f : R 3 → R 3 ✱ ❞❡✜♥❡❞ ❡✈❡r②✇❤❡r❡ ✐♥ s♣❛❝❡ ✉s✐♥❣ ▼❱❈✱ ✇❤✐❝❤ ✐♥t❡r♣♦•❛t❡s t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝❛❣❡ ✈❡rt✐❝❡s✳ ❲❡ ♥♦t❡ P t❤❡ s❡t ♦❢ ♣♦s✐t✐♦♥❛• ❝♦♥str❛✐♥ts ♦❢ t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ✭∀v i ∈ P , f (v i ) = v i ✮✱ J t❤❡ s❡t ♦❢ ❏❛❝♦❜✐❛♥ ❝♦♥str❛✐♥ts ✭∀v i ∈ J, Jf (v i ) = J i ✮✱ ❛♥❞ H t❤❡ s❡t ♦❢ ❍❡ss✐❛♥ ❝♦♥str❛✐♥ts ✭∀v i ∈ H, Hf x (v i ) = Hf y (v i ) = Hf z (v i ) = 0 3 ✮✳ ❚❤❡ s♦•✉t✐♦♥ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ♠✐♥✐♠✐③✐♥❣ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ❡♥❡r❣②✿ E = v i ∈P (w P i || j λ j (v i )c j -v i || 2 ) + v i ∈J (w J i || j c j • - → ▽λ j t (v i ) -J i || 2 ) + v i ∈H (w H i || j Hλ j (v i ) • c j (x) || 2 ) + v i ∈H (w H i || j Hλ j (v i ) • c j (y) || 2 ) + v i ∈H (w H i || j Hλ j (v i ) • c j (z) || 2 ) ✇❤❡r❡ w P , w J , ❛♥❞ w H ❛r❡ ✇❡✐❣❤ts ❢♦r t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥❛•✱ ❏❛❝♦❜✐❛♥✱ ❛♥❞ ❍❡ss✐❛♥ ❝♦♥str❛✐♥ts r❡s♣❡❝t✐✈❡•②✳ ❙✐♠✐•❛r•② t♦ ❬✽(✱ t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥str❛✐♥❡❞ •♦❝❛••② t♦ ❜❡ ❛ ♣✉r❡ r♦t❛t✐♦♥✳ ❚❤❡♥✱ ✐♥ ♣r❡s❝r✐❜❡❞ •♦❝❛t✐♦♥s✱ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ♣r♦♣❡rt② s❤♦✉•❞ ❤♦•❞✿ Jf (v i ) t • Jf (v i ) = I 3 ∀v i ∈ J ◆♦t❡✱ t❤❛t t❤❡ ❛❝t✉❛• ✈❛•✉❡s ♦❢ t❤❡s❡ ❏❛❝♦❜✐❛♥ ❝♦♥str❛✐♥ts ❛r❡ ♥♦✇ ✉♥❦♥♦✇♥s ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ t❤r♦✉❣❤ ❛♥ ✐t❡r❛t✐✈❡ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥✱ ❛s ❞❡s❝r✐❜❡❞ ✐♥ ❬✽(✳ ❉✉❡ t♦ t❤❡ ♥♦♥✲•♦❝❛• ♥❛t✉r❡ ♦❢ ▼❡❛♥ ❱❛•✉❡ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡s ✭✐♥ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ t♦ •r❡❡♥ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡s✮✱ ✇❡ ❝♦♥str❛✐♥ ♣✉r❡ r♦t❛t✐♦♥s t♦ ❛ s✉❜s❡t ♦❢ t❤❡ ❡♥❝•♦s❡❞ s✉r❢❛❝❡ ✈❡rt✐❝❡s ✭❜•✉❡ s♣❤❡r❡s ✐♥ ❋✐❣✳ ✶✵✳✶ ❛♥❞ ✶✵✳✼✮ ✐♥st❡❛❞ ♦❢ ❝♦♥str❛✐♥✐♥❣ t❤❡♠ t♦ t❤❡ ♠❡❞✐❛• ❛①✐s✳ ❋✐❣✳ ✶✵✳✶ ✐••✉str❛t❡s t❤❡ ❛•❣♦r✐t❤♠✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ✐♥♣✉t s✉r❢❛❝❡ ✐s s❤♦✇♥ ♦♥ t❤❡ •❡❢t ✐♥ ✐ts ❡♥❝•♦s✐♥❣ ❝❛❣❡✳ ■♥ t❤✐s ❡①❛♠♣•❡✱ r♦t❛t✐♦♥❛• ❝♦♥str❛✐♥ts ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ❞✐str✐❜✉t❡❞ ❡✈❡♥•② ♦♥ t❤❡ s✉r❢❛❝❡ ✭❜•✉❡ ♣♦✐♥ts✮ ❛♥❞ ♦♥•② ✶✹ ♣♦s✐t✐♦♥❛• ❝♦♥str❛✐♥ts ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ s♣❡❝✐✜❡❞ ❛♥❞ ❡❞✐t❡❞ ❜② t❤❡ ✉s❡r✳ ❚❤❡ 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❢✉♥❞❛♠❡♥t❛• s♦•✉t✐♦♥ t♦ t❤❡ ▲❛♣•❛❝❡ ❡q✉❛t✐♦♥✱ ✐✳ ❡✳ △ 1 G(x, y) =△ 2 G(x, y) = δ 0 (||x -y||)✳ ◆♦t❡ t❤❛t G ✐s ❣✐✈❡♥ ✐♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ d ❜② G(x, y) = 1 (2-d)|S d | ||x -y|| 2-d d ≥ 3 1 2π log(||x -y||) d = 2 ✇❤❡r❡ |S d | ❞❡♥♦t❡s t❤❡ ✈♦•✉♠❡ ♦❢ t❤❡ ✉♥✐t s♣❤❡r❡ ✐♥ R d ✳ ■♥ t❤❡ s❛♠❡ ✇❛②✱ ❛♥② ❜✐❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥ λ ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ❛s λ(η) = ξ∈∂D λ(ξ) ∂ 1 G(ξ, η) ∂n ξ dσ ξ ✭✶✶✳✷✮ - ξ∈∂D G(ξ, η) ∂λ(ξ) ∂n ξ dσ ξ + ξ∈∂D △ λ(ξ) ∂ 1 g(ξ, η) ∂n ξ dσ ξ - ξ∈∂D g(ξ, η) ∂(△ λ)(ξ) ∂n ξ dσ ξ ✶✶✳✶✳ ▼❆❚❍❊▼❆❚■❈❆▲ ❇❆❈❑•|❖❯◆❉ ✶✼✶ ✇❤❡r❡ g ✐s t❤❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛• s♦•✉t✐♦♥ t♦ t❤❡ ❜✐❤❛r♠♦♥✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥✱ ✐✳ ❡✳ △ 1 g(x, y) =△ 2 g(x, y) = G(x, y)✱ ❛♥❞ △ 2 1 g(x, y) =△ 2 2 g(x, y) = δ 0 (||x -y||)✳ ❆ s✐♠♣•❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ❊q✳ ✶✶✳✷ ❝❛♥ ❜❡ ❢♦✉♥❞ ✐♥ ❆♣♣❡♥❞✐① ❉ ♦❢ t❤✐s t❤❡s✐s ✭s❡❡ s❡❝t✐♦♥ ✶✸✳✹✮✳ ✶✶✳✶✳✷ •r❡❡♥ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ■♥ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣✱ ✇❡ ❝❛•• ❝❛❣❡ ❛ ❝•♦s❡❞ tr✐❛♥❣✉•❛r ♠❡s❤ t❤❛t ❛❝ts ❛s ❛ ❝♦♥tr♦• str✉❝t✉r❡ ❢♦r s❤❛♣❡ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥✳ ■ts ✈❡rt✐❝❡s ❛♥❞ t❤❡✐r ♣♦s✐t✐♦♥s ❛r❡ s✐♠✐•❛r•② ♥♦t❡❞ v i ✱ i ❜❡✐♥❣ ❛♥ ✐♥t❡❣❡r ✐♥❞❡①✱ ❛♥❞ ✐ts tr✐❛♥❣•❡s ❛r❡ 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❉✐r✐❝❤•❡t ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥str❛✐♥t ✇❛s r❡s♣❡❝t❡❞✱ t❤❡ r❡s✉•t✐♥❣ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ✇♦✉•❞ ❜❡ t❤❡ ♦♥❡ ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ❍❛r♠♦♥✐❝ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡s ❬✹✻(✳ ■♥ t❤❡ s❛♠❡ ✇❛②✱ ❛ ❜✐❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥ s❤♦✉•❞ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ♣r❡s❝r✐❜✐♥❣ t❤❡ ❉✐r✐❝❤•❡t ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❛♥❞ ❛ ◆❡✉♠❛♥♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥✱ ❛♥❞ ♥♦ ♠♦r❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥✳ ❚❤❡ r❡s✉•t ♦❢ ♦✉r ❢♦r♠✉•❛t✐♦♥✱ ❛s ❢♦r t❤❡ •r❡❡♥ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡s✱ ✐s t❤❡ r❡s✉•t ♦❢ ❛ ♠✐①t✉r❡ ♦❢ t❤❡s❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✳ ✶✶✳✷ •r❡❡♥ ❇✐❍❛r♠♦♥✐❝ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s✿ ❆♥❛•②t✐❝ ❜✐❤❛r♠♦♥✐❝ ❝❛❣❡✲❜❛s❡❞ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥s ❙❡tt✐♥❣ △ (f ) t♦ ❜❡ ❝♦♥st❛♥t ♦♥ ❡❛❝❤ tr✐❛♥❣•❡ ❣✐✈❡s ❜✐❤❛r♠♦♥✐❝ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ✇✐t❤ ❛ ✈❡r② s✐♠♣•❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥✳ ❯♥❢♦rt✉♥❛t❡•②✱ ✇❡ ❡✈❡♥t✉❛••② ❢♦✉♥❞ ♦✉t t❤❛t t❤❡ ❜❡❤❛✈✐♦✉r ✐♥❞✉❝❡❞ ❜② t❤✐s s❡t ♦❢ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ✇❛s •❡❛❞✐♥❣ t♦ s❡✈❡r❡ ❞✐st♦rt✐♦♥ ✐♥ t❤❡ s♣❛❝❡ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥✱ ♠❛❦✐♥❣ ✉♥✉s❛❜•❡ t❤❡s❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s✳ ❇② s❡tt✐♥❣ △ (f ) t♦ ❜❡ •✐♥❡❛r ♦♥ ❡❛❝❤ tr✐❛♥❣•❡ ♦❢ t❤❡ ❝❛❣❡ ❛♥❞ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♦♥ t❤❡ ❝❛❣❡✱ ❛♥❞ ∂(△f )(ξ) ∂n ξ t♦ ❜❡ ❝♦♥st❛♥t ♦♥ ❡❛❝❤ tr✐❛♥❣•❡✱ ✐✳ ❡✳ ∀ξ ∈ ∂D : △ (f )(ξ) = v i Γ i (ξ) • L V i ∀ξ ∈ t j ⊂ ∂D : ∂(△f )(ξ) ∂n ξ = l T j ✭✶✶✳✻✮ ✇✐t❤ L V i , l T j ∈ R 3 ✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ ❛❞❞✐t✐♦♥❛• ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ✇✳r✳t✳ t❤❡ ❝❛❣❡✳ ❋✐♥❛••②✱ ❜② ♥♦t✐♥❣ Λ V i (η) = ξ∈{t∈T 1 (v i )} Γ i (ξ) ∂ 1 g(ξ,η) ∂n ξ dσ ξ ❛♥❞ λ T j (η) = -ξ∈t j g(ξ, η)dσ ξ ✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❛t t❤❡ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ f ✐s ❡①♣r❡ss❡❞ ❡✈❡r②✇❤❡r❡ ❛s ✶✶✳✷✳ •|❊❊◆ ❇■❍❆|▼❖◆■❈ ❈❖❖|❉■◆❆❚❊❙✿ ❆◆❆▲(❚■❈ ❇■❍❆|▼❖◆■❈ ❈❆•❊✲❇❆❙❊❉ ❉❊❋❖|▼❆❚■❖◆❙ ✶✼✸ f (η) = v i φ i (η) • v i ✭✶✶✳✼✮ + t j ψ j (η) • n(t j ) + v i Λ V i (η) • L V i + t j λ T j (η) • l T j ❚❤❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s φ i ❛♥❞ ψ j ❛r❡ ❤❛r♠♦♥✐❝ ❬✻✶(✱ ❛♥❞ t❤❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s Λ V i ❛♥❞ λ T j ❛r❡ ❜✐❤❛r✲ ♠♦♥✐❝✳ ❚❤❡ r❡s✉•t✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥ f ✐s ❜✐❤❛r♠♦♥✐❝ ❛s ✇❡••✱ ❛♥❞ △ (f )(η) = v i △ (Λ V i )(η) • L V i + t j △ (λ T j )(η) • l T j = v i φ i (η) • L V i + t j ψ j (η) • l T j ✭✶✶✳✽✮ △ 2 (f )(η) = 0 ✭✶✶✳✾✮ ❚❤❡ s♣❛❝❡ ♦❢ ♦✉r ❜✐❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐s ❛ ✈❡❝t♦r✐❛• s♣❛❝❡ ♦❢ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ d BH (▼) = 2(#V + #T )✳ ▼♦t✐✈❛t✐♦♥s ❜❡❤✐♥❞ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥str❛✐♥ts ❲❡ ❝❤♦s❡ t♦ s❡t △ (f ) t♦ ❜❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♦♥ t❤❡ ❝❛❣❡✱ ❛s t❤❡ ▲❛♣•❛❝✐❛♥ ♦❢ ❛ ❜✐❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥ s❤♦✉•❞ ❜❡ C ∞ ❡✈❡r②✇❤❡r❡ ✐♥s✐❞❡ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥✱ ❛♥❞ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r ✐ts r❡str✐❝t✐♦♥ ♦♥ ❛ ✷✲♠❛♥✐❢♦•❞ ♦❢ ♦r❞❡r ♦❢ r❡❣✉•❛r✐t② C 0 ✳ ❲❡ s❡t ✐t t♦ ❜❡ •✐♥❡❛r ♦♥ ❡❛❝❤ tr✐❛♥❣•❡ ❛s ❛ ❞❡❢❛✉•t ❝❤♦✐❝❡✿ ✐t ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ t❤❡ s✐♠♣•❡st ❜❛s✐s ❢✉♥❝t✐♦♥ ❢♦r ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦♥ tr✐❛♥❣✉•❛r ♠❡s❤❡s✳ ❙❡tt✐♥❣ ∂(△f )(ξ) ∂n ξ t♦ ❜❡ ❞✐s❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❛❝r♦ss t❤❡ ❝❛❣❡ ❡❞❣❡s ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ t❤❡ ❞✐s❝♦♥t✐♥✉✐t✐❡s ♦❢ t❤❡ ♥♦r♠❛• ♦♥ t❤❡ ❝❛❣❡ ✭t❤❡ ♥♦r♠❛• ✐s ❝♦♥st❛♥t ♦♥ ❡❛❝❤ tr✐❛♥❣•❡✱ ❛♥❞ ∂(△f )(ξ) ∂n ξ - → ▽△ f (ξ)• n ξ ✮✳ ❲❡ ❝♦✉•❞ ❤❛✈❡ s❡t t❤✐s ❝♦♥str❛✐♥t t♦ ❜❡ •✐♥❡❛r ♦♥ ❡❛❝❤ tr✐❛♥❣•❡ t♦ ❡♥r✐❝❤ t❤❡ s♣❛❝❡ ✭♣r♦✈✐❞✐♥❣ ❡❛❝❤ tr✐❛♥❣•❡ ✇✐t❤ t❤r❡❡ ✈❛•✉❡s ✐♥ R 3 ❛s ❛ s♣❛❝❡ t♦ ❞❡✜♥❡ ✐t✮✱ ❜✉t ♦✉r ❡①♣❡r✐♠❡♥ts ❤❛✈❡ s❤♦✇♥ t❤❛t t❤❡ ❜❡❤❛✈✐♦r ♦❢ t❤✐s s❡t ♦❢ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ✇❛s ✐♥tr♦❞✉❝✐♥❣ ✐♥st❛❜✐•✐t✐❡s ✐♥ t❤❡ ❝♦♥t❡①t ♦❢ ✐♠♣•✐❝✐t ❝❛❣❡✲❜❛s❡❞ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥s ✭s❡❡ s❡❝t✐♦♥ ✶✶✳✸✮✳ ❋♦r ❝♦♠♣•❡t❡♥❡ss✱ ✇❡ ♣r♦✈✐❞❡ t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ Λ T j,k (η) = ξ∈{t j } Γ t k j (ξ) ∂ 1 g(ξ,η) ∂n ξ dσ ξ ❛♥❞ λ T j,k (η) = ξ∈{t j } Γ t k j (ξ)g(ξ, η)dσ ξ ✳ ❖♥❝❡ t❤❡s❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥s ❛r❡ ❢♦✉♥❞✱ ✇❡ ❝❛♥ ♦❜t❛✐♥ Λ V i (η) ❛♥❞ λ T j (η) ❛s Λ V i (η) = j,k|t k j =i Λ T j,k (η) λ T j (η) = k λ T j,k (η) ✭✶✶✳✶✵✮ ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ◆♦t❡✱ t❤❛t ❜② s✉❜❞✐✈✐❞✐♥❣ ▼✱ ❛♥② ❢✉♥❝t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡❞ ✉s✐♥❣ t❤✐s ❜❛s✐s ❢♦r t❤❡ ❝♦♥str❛✐♥ts✳ ❚❤✐s s❡t ♦❢ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐s t❤❡r❡❢♦r❡ ❛ ❣♦♦❞ ❝❛♥❞✐❞❛t❡ ❢♦r ❛ ❜❛s✐s ♦❢ ❜✐❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ✇❤❡♥ ✉s✐♥❣ ❋✐♥✐t❡ ❊•❡♠❡♥ts ♠❡t❤♦❞s✳ ✶✼✹ ✶✶✳✷✳✶ ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ Λ T j,k (η) ❙✐♥❝❡ g(ξ, η) = ||ξ-η|| 8π ✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t - → ▽ ξ g(ξ, η) = (ξ-η) 8π||ξ-η|| ✱ ❛♥❞ t❤❡r❡❢♦r❡✱ ∂ 1 g(ξ,η) ∂n ξ = (ξ-η) t •n ξ 8π||ξ-η|| = (ξ-η) t •n(t j ) 8π||ξ-η|| ∀ξ ∈ t j ✳ ❙✐♥❝❡ ∀ξ ∈ t j , ∂ 1 g(ξ,η) ∂n ξ = (ξ-v t 0 j ) t •n(t j ) 8π||ξ-η|| + (v t 0 j -η) t •n(t j ) 8π||ξ-η|| ✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ✜♥❛••②✱ t❤❛t ∀ξ ∈ t j , ∂ 1 g(ξ, η) ∂n ξ = d(η, t j ) 2 G(ξ, η) ✭✶✶✳✶✶✮ ✱ ✇❤❡r❡ d(η, t j ) ❞❡♥♦t❡s t❤❡ s✐❣♥❡❞ ❞✐st❛♥❝❡ ♦❢ η t♦ t❤❡ tr✐❛♥❣•❡ t j ✭✐✳ ❡✳ d(η, t j ) (η -v t 0 j ) t • n(t j )✮✳ ❯s✐♥❣ ❊q✳ ✶✶✳✶✶✱ ✇❡ ❤❛✈❡ Λ T j,k (η) = ξ∈t j Γ t k j (ξ) ∂ 1 g(ξ,η) ∂n ξ dσ ξ = d(η,t j ) 2 ξ∈t j Γ t k j (ξ)G(ξ, η)dσ ξ = d(η,t j ) 2 µ j,k (η) ✇❤❡r❡ µ j,k (η) = ξ∈t j Γ t k j (ξ)G(ξ, η)dσ ξ ✳ ❊①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ µ j,k (η) ∀ξ ∈ t j , Γ t k j (ξ) = (ξ-v t k+1 j )•n k j (v t k j -v t k+1 j )•n k j ✳ µ j,k (η) = ξ∈t j (ξ-η)•G(ξ,η)dσ ξ + ξ∈t j (η-v t k+1 j )•G(ξ,η)dσ ξ ∆ j • n k j ✇✐t❤ ∆ j = (v t k j -v t k+1 j ) • n k j = 2Area(t j )∀k✳ µ j,k (η) = ξ∈t j (ξ-η)•n k j •G(ξ,η)dσ ξ ∆ j + (η-v t k+1 j )•n k j ξ∈t j G(ξ,η)dσ ξ ∆ j = ξ∈t j (ξ-η)•n k j •G(ξ,η)dσ ξ ∆ j + (η-v t k+1 j )•n k j ψ j (η) ∆ j ❚❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ (η-v t k+1 j )•n k j ∆ j ✐s t❤❡ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❜❛s✐s ❢✉♥❝t✐♦♥ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ✈❡rt❡① t k j ♦❢ t❤❡ ❝❛❣❡ Γ t k j ✱ ❢r♦♠ t❤❡ tr✐❛♥❣•❡ t j t♦ t❤❡ ❡♥t✐r❡ ✸❉ s♣❛❝❡✳ ❲❡ ♥♦t❡ t❤❡s❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s Γt j ,k (η)✱ ❛♥❞ t❤❡② ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ♣r♦♣❡rt✐❡s✿ 2 k=0 Γt j ,k (η) = 1 ∀η ∈ R 3 ∀t j - → ▽ Γt j ,k (η) = n k j ∆ j ∀η ∈ R 3 ∀t j , k ✭✶✶✳✶✷✮ ❆•• t❤❛t r❡♠❛✐♥s ✐s t♦ ✜♥❞ t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ t❤✐s •❛st ✐♥t❡❣r❛•✳ ❲❡ s❡❡ t❤❛t ∀η , ξ∈t j (ξ -η) • n k j • G(ξ, η)dσ ξ = -1 4π • ξ∈t j (ξ-η)•n k j ||ξ-η|| dσ ξ ✳ ❲❡ ♦❜t❛✐♥ µ j,k (η) = -1 4π∆ j • tf t j ,k (η) + Γt j ,k (η)ψ j (η) tj = Tj0 -Tj1 + Tj2 tf t j ,k (η) (u, v, w) = R • (ξ -v t 0 j ) R [ v t 1 j -v t 0 j ||v t 1 j -v t 0 j || , n(t j ) × v t 1 j -v t 0 j ||v t 1 j -v t 0 j || , n(t j )] tf t j ,k (η) = ξ∈t j < (ξ -η)|n k j > ||ξ -η|| dσ ξ = (u,v)∈R(t j -v t 0 j ) < ((u, v, 0) -(a, b, c))|R • n k j > ||(u, v, 0) -(a, b, c)|| dudv (u i , v i ) v t i j u 0 = v 0 = v 1 = 0 n k j u v R • n k j = (-(v k+2 -v k+1 ), (u k+2 -u k+1 ), 0) tf u t j (η) = (u,v)∈R(t j -v t 0 j ) (u -a) ||(u, v, 0) -(a, b, c)|| dudv = v 2 v=0 u 2 -u 1 v 2 v+u 1 u= u 2 v 2 v (u -a) (u -a) 2 + (v -b) 2 + c 2 dudv = v 2 v=0 (u -a) 2 + (v -b) 2 + c 2 u 2 -u 1 v 2 v+u 1 u= u 2 v 2 v dv ✶✶✳✷✳✷ ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ λ T j,k (η) ❋♦••♦✇✐♥❣ t❤❡ s❛♠❡ str❛t❡❣② ❛s ❡❛r•✐❡r✱ λ T j,k (η) = -ξ∈t j Γ t k j (ξ)g(ξ, η)dσ ξ ✶✶✳✷✳ •|❊❊◆ ❇■❍❆|▼❖◆■❈ ❈❖❖|❉■◆❆❚❊❙✿ ❆◆❆▲(❚■❈ ❇■❍❆|▼❖◆■❈ ❈❆•❊✲❇❆❙❊❉ ❉❊❋❖|▼❆❚■❖◆❙ ✶✼✼ = -ξ∈t j (ξ-η)•n k j ||ξ-η|| 8π∆ j - Γt j ,k (η) 8π ξ∈t j ||ξ -η||dσ ξ = -ξ∈t j (ξ-η)•n k j ||ξ-η|| 8π∆ j + Γt j ,k (η)λ T j (η) ◆♦t❡✱ t❤❛t t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ λ T j (η) ✐s r❡q✉✐r❡❞ ❢♦r t❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ λ T j,k (η)✱ ❛♥❞ ♥♦t t❤❡ ♦t❤❡r ✇❛② ❛r♦✉♥❞ ✭r❡❝❛•• t❤❛t λ T j (η) = k λ T j,k (η)✮✳ ❲❡ st✐•• ♣r♦✈✐❞❡ t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ λ T j,k (η) ❢♦r ❝♦♠♣•❡t❡♥❡ss✱ ❜✉t t❤❡② ❛r❡ ♥♦t ♦✉r ♣r✐♠❛r② ❣♦❛•✳ ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ -ξ∈t j (ξ -η) • n k j ||ξ -η|| ❚❤✐s ✐♥t❡❣r❛• ✐s ❡q✉❛• t♦ (v k+2 -v k+1 )T F U t j (η)- (u k+2 -u k+1 )T F V t j (η)✱ ✇✐t❤ T F U t j (η) ❛♥❞ T F V t j (η) t❤❡ s❛♠❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥s ❛s tf u t j (η) ❛♥❞ tf v t j (η)✱ s✐♠♣•② ❜② r❡♣•❛❝✐♥❣ q(•, •) ✐♥ t❤❡✐r ❡①♣r❡ss✐♦♥s ❜② q 2 (•, •) ❞❡✜♥❡❞ ❛s✿ q 2 (β, T ) T (t 2 +β) 3 2 3 dt = T 12 (T 2 + β) 3 2 + βT 8 T 2 + β + β 2 8 asinh( T √ β ) ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ξ∈t j ||ξ -η||dσ ξ ❚❤❡ s❡❝♦♥❞ ✐♥t❡❣r❛• ✐s q✉✐t❡ ♠♦r❡ ❝❤❛••❡♥❣✐♥❣ t♦ ❝♦♠✲ ♣✉t❡✳ ❲❡ ❝❛♥♥♦t ✉s❡ t❤❡ s❛♠❡ ❝❤❛♥❣❡ ♦❢ ✈❛r✐❛❜•❡s ❛s ❜❡❢♦r❡✱ ❛s ✐t •❡❛❞s t♦ ♦✈❡r✲❝♦♠♣•✐❝❛t❡❞ ❡①♣r❡ss✐♦♥s t❤❛t s❡❡♠ ✐♠♣♦ss✐❜•❡ t♦ ✐♥t❡❣r❛t❡✳ ■♥st❡❛❞✱ ✇❡ ♣r♦♣♦s❡ t♦ ✉s❡ t❤❡ s❛♠❡ ❝❤❛♥❣❡ ♦❢ ✈❛r✐❛❜•❡s ❛s ▲✐♣♠❛♥✱ ✐♥ ✐ts ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ •❈ ❬✻✶(✭s❡❡ ❋✐❣✳ ✶✶✳✶✭❜✮✮✳ ❲❡ ♥♦t❡ p t❤❡ ♣r♦•❡❝t✐♦♥ ♦❢ η ♦♥ t❤❡ tr✐❛♥❣•❡ t j ✱ ❛♥❞ T jk = {p, v t k+1 j , v t k+2 j } ✭t❤❡ s✉♣❡r ✐♥❞✐❝❡s ❜❡✐♥❣ ♠♦❞✉•♦ ✷✮✳ ■t ✐s ❡❛s② t♦ s❡❡ t❤❛t t❤❡ ✐♥t❡❣r❛• ♦❢ ❛♥② ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦♥ t❤❡ tr✐❛♥❣•❡ t j ❝❛♥ ❜❡ ❞❡❝♦♠♣♦s❡❞ ♦♥ t❤❡ t❤r❡❡ tr✐❛♥❣•❡s T j0 , T j1 , T j2 ✉s✐♥❣ t❤❡ ❢♦r♠✉•❛✿ ξ∈t j f (ξ)dσ ξ = 2 k=0 sign(T jk ) ξ∈T jk f (ξ)dσ ξ ✭✶✶✳✶✸✮ ✇❤❡r❡ sign(T jk ) ❞❡♥♦t❡s t❤❡ ♦r✐❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ tr✐♣•❡t ♦❢ T jk ✭ sign(T jk ) sign(det([v t k+1 j - p, v t k+2 j -p, n(t j )])) ✮✳ ❆•• ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ❞♦ ✐s ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ✐♥t❡❣r❛• ♦❢ ||ξ -η|| ♦✈❡r t❤❡ tr✐❛♥❣•❡s T jk ✳ ❲❡ ♥♦t❡ c ||η -p|| 2 , α k ∡(pv t k+1 j v t k+2 j ), β k ∡(v t k+2 j pv t k+1 j ), ζ k ||v t k+1 j -p|| 2 sin 2 (α k ) ❛♥❞ δ k π -α k ✳ ❋♦r ❝♦♥✈❡♥✐❡♥❝❡✱ ✐♥ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣✱ ✇❡ ❞r♦♣ t❤❡ ✐♥❞❡① k ✐♥ t❤❡ ♥♦t❛t✐♦♥s✳ ξ∈T jk ||ξ -η||dσ ξ = ξ∈T jk c + ||p -ξ|| 2 dσ ξ = β θ=0 R(θ) r=0 √ c + r 2 rdrdθ = β θ=0 (c+R(θ) 2 ) 3 2 3 dθ- βc 3 2 3 ✇✐t❤ R(θ) = ||v t k+1 j -p|| sin(α) sin(π-α-θ) ✳ β θ=0 (c + R(θ) 2 ) 3 2 dθ = δ θ=δ-β (c + ζ sin 2 (θ) ) ✶✼✽ ❇② s❡tt✐♥❣ x = tan(θ) ✇❡ s❡❡ t❤❛t t❤❡ r❡•❡✈❛♥t ❛♥t✐❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ✐s Θ (c + ζ sin 2 (θ) ) 3 2 dθ = tan(Θ) (c + ζ(1+x 2 ) x 2 ) 3 2 dx 1+x 2 = Q(ζ, c, tan(Θ)) ✇❤❡r❡ Q(ζ, c, x) = -sign(x) 2 [(3 √ ζc + ζ 3 2 ) ln 2 ζ+ √ ζ √ cx 2 +ζ(1+x 2 ) |x| + √ cx 2 +ζ(1+x 2 )ζ x 2 -2c 3 2 arctan √ cx 2 +ζ(1+x 2 ) √ c ] ❇② ♠❛❦✐♥❣ t❤❡ r❡♠❛r❦ t❤❛t ζ ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ α ✭ζ k = ||v t k+1 j -p|| 2 sin 2 (α k )✮✱ ✇❡ ❝❛♥ ♣r♦✈❡ t❤❛t t❤❡s❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥s ❛r❡ ✇❡•• ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ❝❛s❡ tan(θ) → 0 ❢♦r θ = δ ♦r δ -β✳ ■♥ t❤❛t ❝❛s❡✱ t❤✐s ✐♥t❡❣r❛• t❡♥❞s t♦ 0 ✭✐♥❞❡❡❞✱ ✐t ❝♦rr❡s♣♦♥❞s t♦ ❛ tr✐❛♥❣•❡ ✇✐t❤ ♦♥❡ ♦❢ ✐ts ❛♥❣•❡s ❜❡✐♥❣ ❡q✉❛• t♦ π✱ t❤❡r❡❢♦r❡ ✇✐t❤ ❛ ♥✉•• ❛r❡❛✮✳ ❆t t❤✐s ♣♦✐♥t✱ ✇❡ ❦♥♦✇ ❤♦✇ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ ξ∈T jk ||ξ -η||dσ ξ ✱ ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♠♣✉t❡ ξ∈t j ||ξ -η||dσ ξ ❜② ✉s✐♥❣ ❊q✳ ✶✶✳✶✸✱ ❛♥❞ ✜♥❛••② λ T j (η) = -1 8π ξ∈t j ||ξ -η||dσ ξ ✳ ✶✶✳✸ ❱❛r✐❛t✐♦♥❛• ❇✐❍❛r♠♦♥✐❝ ▼❛♣s ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ ♣r❡s❡♥t ❛ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ♦❢ •r❡❡♥ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡s ❛♥❞ •r❡❡♥ ❇✐❍❛r♠♦♥✐❝ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡s✱ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❛♥ ✐♠♣•✐❝✐t ❝❛❣❡ ♠❛♥✐♣✉•❛t✐♦♥ ❢r❛♠❡✇♦r❦✱ ❛s ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ❬✽(✳ ❚❤❡ ✐❞❡❛ ✐s s✐♠♣•❡✿ ✇❡ ❛r❡ ❣♦✐♥❣ t♦ s❡t ✈❛•✉❡s ❢♦r ❝❛❣❡ ✈❡rt❡① ♣♦s✐t✐♦♥s✱ ❝❛❣❡ tr✐❛♥❣•❡ ♥♦r✲ ♠❛•s✱ ❛♥❞ ❡✈❡♥t✉❛••② ❝❛❣❡ ▲❛♣•❛❝✐❛♥s ❛s s♦•✉t✐♦♥ ♦❢ ❛ •❡❛st✲sq✉❛r❡s s②st❡♠✱ ✇❤✐❝❤ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ❡♥❡r❣② ♠♦❞❡•s ♣♦s✐t✐♦♥❛• ❝♦♥str❛✐♥ts✱ ❏❛❝♦❜✐❛♥ ❝♦♥str❛✐♥ts✱ ❛♥❞ r✐❣✐❞✐t② ❝♦♥str❛✐♥ts✳ ❚❤✐s t②♣❡ ♦❢ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❤❛s ❛•r❡❛❞② ❜❡❡♥ ♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ ❞❡t❛✐•s ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❝❤❛♣t❡r ✭s❡❡ s❡❝t✐♦♥ ✶✵✳✽✳✸✮ t♦ ❝♦♠♣❛r❡ ♦✉r ❱❛r✐❛t✐♦♥❛• ▼❡❛♥ ❱❛•✉❡ ❈♦♦r❞✐♥❛t❡s t♦ ❱❍▼ ❬✽(✳ ❲❡ ❝❛•• ♦✉r ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❱❛r✐❛t✐♦♥❛• ❇✐❍❛r♠♦♥✐❝ ▼❛♣s✳ ❚♦ ❡✈❛•✉❛t❡ t❤❡ q✉❛•✐t② ♦❢ t❤❡ ✉♥❞❡r•②✐♥❣ ❝❛❣❡ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s s②st❡♠✱ ✇❡ ♣•♦t t❤❡ ❝♦♥❢♦r♠❛•✐t② ❢❛❝t♦r ♦❢ t❤❡ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥✱ ❛s ❞♦♥❡ ✐♥ ❬✽(✳ ❲❡ ❝♦♠♣❛r❡ ♦✉r ❢r❛♠❡✇♦r❦ t♦ ❱❍▼ ✉s✐♥❣ t❤✐s s❡t ♦❢ st❛t✐st✐❝s✳ ❲❡ ✉s❡ ✜♥✐t❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ s❝❤❡♠❡s t♦ ❛♣♣r♦①✐♠❛t❡ t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ♦❢ ♦✉r ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s✱ ❛♥❞ ✉s❡ t❤❡♠ ✐♥ ♦✉r ✐♠♣•❡♠❡♥t❛t✐♦♥✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❝•♦s❡❞ ❢♦r♠✉•❛❡ ❝♦✉•❞ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❜② ❞✐r❡❝t ❞❡r✐✈❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♣r❡s❡♥t❡❞ ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ❈♦♠♣❛r✐s♦♥ ✇✐t❤ ❱❍▼ ❛♥❞ ❱▼❱❈ ■♥ ❡❛❝❤ ❡①❛♠♣•❡ ✐♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥✱ r❡❞ s♣❤❡r❡s ✐♥❞✐❝❛t❡ ♣♦s✐t✐♦♥❛• ❝♦♥str❛✐♥ts ❛♥❞ 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T i + JN T i t • N T j ) 4|N T j | 3 - j 3(sin(θ T j ) cos(θ T j ) -θ T j )|p t j+2 -p t j+1 | 2 (N T i t • N T j )JN T j t • N T j 4|N T j | 5 + j sin(θ T j )(1 -2 cos(θ T j ))(N T i t • N T j ) - → ▽θ T j 2|N T j | 2 + j cos(θ T j )(cos(θ T j ) -1)(JN T j t • N T i + JN T i t • N T j ) 2|N T j | 2 - j cos(θ T j )(cos(θ T j ) -1)(N T i t • N T j )JN
E i (η + ǫn E ) = m E (η + ǫn E ) t • N E i+1 (η + ǫn E ) (p e i -η -ǫn E ) t • N E i+1 (η + ǫn E ) ✭✶✸✳✾✮ ❚❤❡ ❞❡♥♦♠✐♥❛t♦r ♦❢ t❤❡ •❛tt❡r ❢r❛❝t✐♦♥ ✐s ❡q✉❛• t♦✿ (p e i -η -ǫn E ) t • N E i+1 (η + ǫn E ) = (p e i -η -ǫn E ) t • R π 2 • (p e i+1 -η -ǫn E ) • (-1) i =(p e i -η) t • R π 2 • (p e i+1 -η) • (-1) i -ǫn t E • R π 2 • (p e i+1 -η) • (-1) i -ǫ(p e i -η) t • R π 2 • n E • (-1) i + ǫ 2 n t E R π 2 n E • (-1) i =ǫn t E • R π 2 • (p e i -p e i+1 ) • (-1) i = -ǫ|E| ❚❤❡ ♥✉♠❡r❛t♦r ✐s ❡q✉❛• t♦✿ m E (η + ǫn E ) t • N E i+1 (η + ǫn E ) = j N E j (η + ǫn E ) t • N E i+1 (η + ǫn E ) |N E j (η + ǫn E )| ❲❡ ❞❡✈❡•♦♣ N E j (η + ǫn E ) t • N E i+1 (η + ǫn E ) t♦ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r✿ N E j (η + ǫn E ) t • N E i+1 (η + ǫn E ) = (N E j (η) + ǫ(-1) j+1 R π 2 • n E ) t • (N E i+1 (η) + ǫ(-1) i R π 2 • n E ) =N E j (η) t • N i+1 (η) + ǫ(-1) j+1 n t E • N E i+1 (η) + ǫ(-1) i N E j (η) t • R π 2 • n E + ǫ 2 (-1) i+j+1 (R π 2 • n E ) t • (R π 2 • n E ) =N E j (η) t • N i+1 (η) + ǫ 2 (-1) i+j+1
❲❡ ❞❡✈❡•♦♣

)| = 1 |N E j | -ǫ (JN E j t • N E j ) t • n E |N E j | 3 - ǫ 2 2 n t E • (JN E j t • JN E j ) • n E |N E j | 3 + 3 ǫ 2 2 n t E • (JN E j t • N E j • N E j t • JN E j ) • n E |N E j | 5 = 1 |N E j | -ǫ 2 1 2|N E j | 3 ❲❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❚❛②•♦r ❡①♣❛♥s✐♦♥ ♦❢ m E (η + ǫn E ) t • N E i+1 (η + ǫn E ) ❛s✿ m E (η + ǫn E ) t •N E i+1 (η + ǫn E ) = j (N E j (η) t • N i+1 (η) + ǫ 2 (-1) i+j+1 )( 1 |N E j | -ǫ 2 1 2|N E j | 3 ) + o(ǫ 2 ) =m E (η) t • N E i+1 (η) -ǫ 2 j N E j (η) t • N E i+1 (η) 2|N E j (η)| 3 + (-1) i+j |N E j (η)| + o(ǫ 2 ) = -ǫ 2 j N E j (η) t • N E i+1 (
        div( - → ▽(△ λ)g) =△ 2 (λ)g + - → ▽(△ (λ)) • - → ▽(g) (a) div(△ λ - → ▽g) = - → ▽(△ (λ)) • - → ▽(g)+ △ (λ) △ (g) (b) div( - → ▽λ △ g) =△ (λ) △ (g) + - → ▽(λ) • - → ▽(△ (g)) (c) div(λ - → ▽(△ g)) = - → ▽(λ) • - → ▽(△ (g)) + λ △ 2 (g) (d) ❚❤❡s❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥✿ ❢♦r ❛♥② n✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛• ❢✉♥❝t✐♦♥ - → U ✱ ❢♦r ❛♥② s❝❛•❛r ❢✉♥❝t✐♦♥ v✱ div( - → U v) = x i ∂ x i (U i v) = x i ∂ x i (U i )v + x i U i ∂ x i (v) = div( - → U )v + - → U • - → ▽v✳

  ✶✳✶✿ ❚❡r♠❡ ❞❡ ♣r✐♦r✐té t♦♣♦•♦❣✐q✉❡✳ ❚r❛❞✐t✐♦♥♥❡••❡♠❡♥t✱ ❝❡ ❣❡♥r❡ ❞✬❛•❣♦r✐t❤♠❡ ❛ été ✉t✐•✐sé ♣♦✉r •❛ s✐♠♣•✐✜❝❛t✐♦♥ ❞❡ ♠❛✐•✲ •❛❣❡s ❬✸✼(✱ ♦ù ✉♥✐q✉❡♠❡♥t •❛ ❣é♦♠étr✐❡ ❞❡s ré❣✐♦♥s ❞ét❡r♠✐♥❡ •✬♦r❞♦♥♥❛♥❝❡♠❡♥t ❞❡s ré❞✉❝✲ t✐♦♥s s✉❝❝❡ss✐✈❡s✳ ▲❛ ♥♦✉✈❡❛✉té t❡❝❤♥✐q✉❡ q✉❡ ♥♦✉s ✐♥tr♦❞✉✐s♦♥s ✐❝✐ ❡st •❡ t❡r♠❡ ❞✬❡rr❡✉r ❛ss♦❝✐é à •✬ét❛♣❡ ❞❡ ré❞✉❝t✐♦♥ R A∪B = R A ∪ R B ✱ ♣♦✉r •❡q✉❡• •❛ t♦♣♦•♦❣✐❡ ❞❡s tr♦✐s ré❣✐♦♥s ❡st ❞✐s❝r✐♠✐♥❛♥t❡ ✭✈♦✐r ❚❛❜•❡ ✶✳✶✮✳ ▲❡s ❛❣❣ré❣❛t✐♦♥s ❞❡ ré❣✐♦♥s s♦♥t ♦r❞♦♥♥é❡s ♣r❡♠✐èr❡♠❡♥t ♣❛r ♦r❞r❡ ❝r♦✐ss❛♥t ❞❡ ❝♦ût t♦♣♦•♦❣✐q✉❡ e T ✱ ♣✉✐s ♣❛r ♦r❞r❡ ❝r♦✐ss❛♥t ❞❡ ❝♦ût ❣é♦♠étr✐q✉❡ e G ❛✉ s❡✐♥ ❞✬✉♥❡ ♠ê♠❡ ❝•❛ss❡ t♦♣♦•♦❣✐q✉❡✳ ▲❛ t♦♣♦•♦❣✐❡ ❞❡s ❞✐✛ér❡♥t❡s ré❣✐♦♥s ♣❡✉t êtr❡ ❝♦♥trô•é❡ à •✬❛✐❞❡ ❞❡ •❛ ❝❛r✲ ❛❝tér✐st✐q✉❡ ❞✬❊✉•❡r χ ✭♥♦♠❜r❡ ❞❡ s♦♠♠❡ts ♠♦✐♥s •❡ ♥♦♠❜r❡ ❞✬❛rêt❡s✱ ♣•✉s •❡ ♥♦♠❜r❡ ❞❡ tr✐❛♥❣•❡s✮✱ q✉✐ ✈❛✉t 1 ♣♦✉r ✉♥ ❞✐sq✉❡ t♦♣♦•♦❣✐q✉❡ ❡t 0 ♣♦✉r ✉♥ ❝②•✐♥❞r❡ t♦♣♦•♦❣✐q✉❡✳ P♦✉r ré❛•✐s❡r ❝❡s t❡sts ❞❡ ♠❛♥✐èr❡ ❡✣❝❛❝❡✱ ✉♥❡ str✉❝t✉r❡ ❞❡ ✏♠ét❛✑✲♠❛✐••❛❣❡s ✭❝♦♠♣♦sés ❞❡ s♦♠♠❡ts✱ ❝♦✉r❜❡s✱ ❡t ré❣✐♦♥s✱ ❡♥ •✐❡✉ ❡t ♣•❛❝❡ ❞✬❛rêt❡s ❡t ❞❡ tr✐❛♥❣•❡s✮ ♣❡✉t êtr❡ ✉t✐•✐sé❡✱ ❝❛r •❛ ❝❛r❛❝tér✐st✐q✉❡ ❞✬❊✉•❡r ❡st ✉♥ ✐♥✈❛r✐❛♥t t♦♣♦•♦❣✐q✉❡✱ ❡t ♥❡ ❞é♣❡♥❞ ❞♦♥❝ ♣❛s ❞❡ •❛ r❡♣rés❡♥t❛t✐♦♥ ♣❛rt✐❝✉•✐èr❡ ❞❡s s✉r❢❛❝❡s ❝♦♥s✐❞éré❡s✳ ❚❡r♠❡ ❣é♦♠étr✐q✉❡ ▲❡s t❡r♠❡s ❣é♦♠étr✐q✉❡s q✉❡ ♥♦✉s ❝♦♥s✐❞ér♦♥s ♣❡r♠❡tt❡♥t ❞❡ ❢❛✲ ✈♦r✐s❡r •✬❡①♣❛♥s✐♦♥ ❞❡s ré❣✐♦♥s ❝♦♥✈❡①❡s✳ ❉❛♥s •❛ s✉✐t❡✱ ♦♥ ♥♦t❡ s

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  t j+2 -η||p t j+1 -η|) 2 n T ✇✐t❤ e 1 , e 2 , ❛♥❞ e 3 ❜❡✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✇❡•• ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ ]0, π[ ❛♥❞ t❤❛t ❛❞♠✐t ❝♦♥tr♦••❛❜•❡ ❚❛②•♦r ❡①♣❛♥s✐♦♥ ❛r♦✉♥❞ 0✳ ✶✸✳✷✳ ❆PP❊◆❉■❳ ❇✿ ❊❳P|❊❙❙■❖◆ ❖❋ ❚❍❊ ❍❊❙❙■❆◆ ■◆ ✸❉✱ ■◆ ❚❍❊ ❈❆❙❊ ❖❋ ❆▲■•◆▼❊◆❚ ❲■❚❍ ❚❍❊ ❚|■❆◆•▲❊ T ✷✵✺ ✶✸✳✷ ❆♣♣❡♥❞✐① ❇✿ ❊①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❍❡ss✐❛♥ ✐♥ ✸❉✱ ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❛•✐❣♥♠❡♥t ✇✐t❤ t❤❡ tr✐❛♥❣•❡ T ❲❡ ❤❛✈❡ s❡❡♥ t❤❛t ✐❢ η ∈ Support(T ), / ∈ T ✱ t❤❡ ❣r❛❞✐❡♥t ♦❢ t❤❡ ✉♥♥♦r♠❛•✐③❡❞ ✇❡✐❣❤t ✇✐t❤ r❡❣❛r❞ t♦ T ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② - → ▽w T i (η) = dw T i (η)n T ✱ ✇✐t❤ dw T i (η) ❛ s❝❛•❛r ❢✉♥❝t✐♦♥ ✇❤♦s❡ ❢♦r♠ ✇❛s ♣r❡s❡♥t❡❞ ♣r❡✈✐♦✉s•②✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❣❡t t❤❡ ❍❡ss✐❛♥ ♦❢ t❤❡ ✉♥♥♦r♠❛•✐③❡❞ ✇❡✐❣❤t ✇✐t❤ r❡❣❛r❞s t♦ T ✱ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ❞❡r✐✈❛t❡ dw T i s✐♥❝❡ Hw T i (η) = n T ❣ t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ ∂(w T i (η+ǫn T )) ∂ǫ |ǫ→0 t❤❛t ✇❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ♣r❡✈✐♦✉s•②✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t

  t j+2 -η||p t j+1 -η|) 4 ✇❤❡r❡ e 1 (x) = cos(x) sin(x)x sin(x) 3 ✭✶✸✳✺✮ e 4 (x) = 2 cos(x) sin(x) 3 + 3(sin(x) cos(x)x) sin(x) 5 ✭✶✸✳✻✮ e 3 (x) = cos(x) -1 sin(x) 2 ✭✶✸✳✼✮ e 5 (x) = cos(x) sin(x) 2 (1 -2 cos(x)) -2 cos(x) 2 + 2 cos(x) sin(x) 4 ✭✶✸✳✽✮ ❛r❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✇❡•• ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ ]0, π[ ❛♥❞ t❤❛t ❛❞♠✐t ❝♦♥tr♦••❛❜•❡ ❚❛②•♦r ❡①♣❛♥s✐♦♥s ❛r♦✉♥❞ 0✳ ✷✵✽ ✶✸✳✸ ❆♣♣❡♥❞✐① ❈✿ ❉❡t❛✐•s ♦❢ ❚❛②•♦r ❡①♣❛♥s✐♦♥ ♦❢ w E i (η + ǫn E ) ✐♥ t❤❡ ✷❉ ❝❛s❡ ❊①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ ∂(w E i (η+ǫn E )) ∂ǫ |ǫ→0 ❚♦ ♦❜t❛✐♥ ❛ ❝•♦s❡❞✲❢♦r♠ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ ∂(w E i (η+ǫn E )) ∂ǫ |ǫ→0 ✱ ✇❡ ❞❡r✐✈❡ t❤❡ ❚❛②•♦r ❡①♣❛♥s✐♦♥ ♦❢ w Ei (η + ǫn E ) ✇✐t❤ r❡❣❛r❞s t♦ ǫ✳ w

  ♥ t❤❛t✱ ❢♦r ❛•• η ∈ (e 0 e 1 ), / ∈ [e 0 e 1 ]✿ ♣❡♥❞✐① ❉✿ Pr♦♦❢ ♦❢ ❊q✳ ✶✶✳✷✿ ✭•r❡❡♥ ❜✐❤❛r♠♦♥✐❝ t❤❡♦r❡♠✮ ❋r♦♠ ❙t♦❦❡s✬ t❤❡♦r❡♠✱ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t ξ∈D div ξ ( -→ F )(ξ)dρ ξ = ξ∈∂D -→ F (ξ) • n ξ dσ ξ ✭✇❤❡r❡ dρ ξ ✐s t❤❡ ✈♦•✉♠✐❝ ❡•❡♠❡♥t✱ dσ ξ ✐s t❤❡ s✉r❢❛❝✐❝ ❡•❡♠❡♥t✱ ❛♥❞ n ξ ✐s t❤❡ ♦✉t✇❛r❞ ✉♥✐t ♥♦r♠❛• ♦♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ♦❢ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥✮✳ ❈♦♥s✐❞❡r✐♥❣ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥s ✭✇✐t❤ λ λ(ξ), g g(ξ, η) ❛♥❞ ❛•• ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ❜❡✐♥❣ ❡①♣r❡ss❡❞ ✇✳r✳t✳ ξ✮✿ 

  ❇② ✇r✐t✐♥❣ (d) -(c) + (b) -(a)✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t λ △ 2 (g)-△ 2 (λ)g = div(♠❛❦✐♥❣ t❤❡ r❡♠❛r❦ t❤❛t λ ✐s ✇r✐t❡♥ t♦ ❜❡ ❜✐❤❛r♠♦♥✐❝ ✭△ 2 (λ) = 0✮✱ ❛♥❞ t❤❛t g ✐s t❤❡ ❜✐❤❛r♠♦♥✐❝ •r❡❡♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✭△ (g) = G ❛♥❞ △ 2 (g) ✐s t❤❡ ❉✐r❛❝ ♦♣❡r❛t♦r δ 0 ✮✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t λ(η) = ξ∈D λ(ξ)δ 0 (||ξ -η||)dρ ξ △ ξ λ)(ξ)g(ξ, η))dρ ξ ❆♣♣•②✐♥❣ ❙t♦❦❡s✬ t❤❡♦r❡♠ t♦ t❤❡ r✐❣❤t ❤❛♥❞ t❡r♠ ♦❢ t❤✐s •❛st ❡q✉❛t✐♦♥ ❝♦♠♣•❡t❡s t❤❡ ♣r♦♦❢✳ ◆♦t❡✱ t❤❛t t❤❡ ✇r✐t✐♥❣ ♦❢ t❤✐s ♣r♦♦❢ ✐s ❝♦rr❡❝t ❢♦r ❛♥② s❝❛•❛r ❢✉♥❝t✐♦♥ λ✳ ❲r✐t✐♥❣ ✐t ♣❡r ❝♦♠♣♦♥❡♥t ❡①t❡♥❞s ✐t ❞✐r❡❝t•② t♦ ❛♥② ♠✉•t✐✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛• ❜✐❤❛r♠♦♥✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥✳

  t j+1p t j+2 |p t j+2 -η| • |p t j+1 -η| -< p t j+1 -η|p t j+2η > (ηp t j+2 ) |p t j+2 -η| 3 |p t j+1 -η| -< p t j+1 -η|p t j+2η > (ηp t j+1 ) |p t j+1 -η| 3 |p t j+2 -η| |pt j+2 -η| • |p t j+1 -η| -(2ηp t j+1p t j+2 ) • (ηp t j+1 ) t |p t j+2 -η| • |p t j+1 -η| 3 -(2ηp t j+1p t j+2 ) • (ηp t j+2 ) t |p t j+2 -η| 3 • |p t j+1 -η| -I 3 < p t j+1 -η|p t j+2η > |p t j+2 -η| 3 |p t j+1 -η| -(ηp t j+2 ) • (2ηp t j+1p t j+2 ) t |p t j+2 -η| 3 |p t j+1 -η| + < p t j+1 -η|p t j+2η > (ηp t j+2 ) • (ηp t j+1 ) t |p t j+2 -η| 3 |p t j+1 -η| 3 + 3 < p t j+1 -η|p t j+2η > (ηp t j+2 ) • (ηp t j+2 ) t |p t j+2 -η| 5 |p t j+1 -η| -I 3 < p t j+1 -η|p t j+2η > |p t j+1 -η| 3 |p t j+2 -η| -(ηp t j+1 ) • (2ηp t j+1p t j+2 ) t |p t j+1 -η| 3 |p t j+2 -η| + < p t j+1 -η|p t j+2η > (ηp t j+1 ) • (ηp t j+2 ) t |p t j+1 -η| 3 |p t j+2 -η| 3 + 3 < p t j+1 -η|p t j+2η > (ηp t j+1 ) • (ηp t j+1 ) t |p t j+1 -η| 5 |p t j+2 -η| ✭✶✸✳✸✮ ✷✵✹ ❙✐♥❝❡ (p t kη) t • n T = 0 ∀k, ∀η ∈ Support(T )✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t )|p t j+2 -η||p t j+1 -η| ✭✶✸✳✹✮ ❲❡ ♥♦✇ ❢♦❝✉s ♦♥ t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ |N T j | 2 n T t • Hθ T j • n Tθ T j |p t j+2p t j+1 | 2 ✿ |N T j | 2 n T t • Hθ T j • n Tθ T j |p t j+2p t j+1 | 2 = |N T j | 2 sin(θ T j )(cos(θ T j )(|p t j+2 -η| 2 + |p t j+2 -η| 2 ) -2|p t j+2 -η||p t j+1 -η|) sin(θ T j ) 2 |p t j+2 -η| 2 |p t j+1 -η| 2 θ T j |p t j+2p t j+1 | 2 = sin(θ T j )(cos(θ T j )(|p t j+2 -η| 2 + |p t j+2 -η| 2 ) -2|p t j+2 -η||p t j+1 -η|) θ T j |p t j+2p t j+1 | 2 ❙✐♥❝❡ |p t j+2p t j+1 | 2 = |p t j+2 -η| 2 + |p t j+1 -η| 2 -2 cos(θ T j )|p t j+2 -η||p t j+1 -η|✱ |N T j | 2 n T t • Hθ T j • n Tθ T j |p t j+2p t j+1 | 2 = sin(θ T j ) cos(θ T j )(|p t j+2p t j+1 | 2 + 2 cos(θ T j )|p t j+2 -η||p t j+1 -η| -2|p t j+2 -η||p t j+1 -η|) θ T j |p t j+2p t j+1 | 2 = (sin(θ T j ) cos(θ T j )θ T j )|p t j+2p t j+1 | 2 + 2 cos(θ T 0✱ ✇❤✐❝❤ ♣r♦✈❡s t❤❛t t❤❡ ♣r♦❜•❡♠❛t✐❝ t❡r♠ ✉♥❞❡r t❤❡ s❡❝♦♥❞ s✉♠ ✐♥ t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ N T i (η + ǫn T )t • m T (η + ǫn T ) t❡♥❞s t♦ 0✱ ❛♥❞ ❝❛♥ ❜❡ ♥❡❣•❡❝t❡❞ ✐♥ t❤❡ ❝❛•❝✉•✉s ♦❢ T j )(p t i+2p t i+1 ) t • (p t j+2p t j+1 ) 2|p t j+2 -η||p t j+1 -η| n T

					-→ ▽θ T j	t • n T = 0 ❛♥❞ ✇❡ ♦❜t❛✐♥✿
	n T	t • Hθ T j • n T =	-n T	t • HC T j • n T sin(θ T j )
	-→ ▽C T j = = sin(θ T cos(θ T 2η -p ✭✶✸✳✷✮ j ) j )|p t j+2 -η| 2 + cos(θ T j ) sin(θ T 2 j )|p t j+1 -η| 2 -sin(θ T j -→ ▽w T i ✐♥ t❤❡ s♣❡❝✐❛• ❝❛s❡ ♦❢ η ∈ Support(T ), / ∈ T ✳ 2I 3 ❋✐♥❛••②✱ ∀η ∈ Support(T ), / ❛♥❞ HC T j = ∈ T ✿
		-2|T |	-→ ▽w T i =
					+	j	e 1 (θ T j )|p t j+2 -p t j+1 | 2 N T i 4(|p t j+2 -η||p t j+1 -η|) 3 t • N T j	n T

j )(cos(θ T j ) -1)|N T j | ❚❤✐s ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✐s ❛♥ ❡q✉✐✈❛•❡♥t ♦❢ θ T j 3 ❛r♦✉♥❞ j e 2 (θ

  t i+2p t i+1 ) t • (p t j+2p t j+1 )) ((p t i+2p t i+1 ) t • (p t j+2p t j+1 ))JN T

	-2|T |	-→ ▽dw T i =		2|N T j |	-→ ▽θ T j
		--	j j	θ T j j 2|N T j | 3 sin(θ T j ) 2 |p t j+2 -p t j+1 | 2 (N T i t • N T j ) -→ j ▽θ T 2|N T j | 3	j t • N T
		+		(sin(θ T j ) cos(θ T j ) -θ T
			j

j ((p j )|p t j+2p t j+1 | 2 (JN T j t • N

  T j ) 2 ((p t i+2p t i+1 ) t • (p t j+2p t j+1 ))(2ηp t j+2p t j+1 ) )((p t i+2p t i+1 ) t • (p t j+2p t j+1 ))JN T ((p t i+2p t i+1 ) t • (p t j+2p t j+1 ))JN T ✶✸✳✷✳ ❆PP❊◆❉■❳ ❇✿ ❊❳P|❊❙❙■❖◆ ❖❋ ❚❍❊ ❍❊❙❙■❆◆ ■◆ ✸❉✱ ■◆ ❚❍❊ ❈❆❙❊ ❖❋ ❆▲■•◆▼❊◆❚ ❲■❚❍ ❚❍❊ ❚|■❆◆•▲❊ T t i+2p t i+1 ) t • (p t j+2p t j+1 ))(2ηp t j+2p t j+1 ) 2(|p t j+2 -η||p t j+1 -η|) 2 )((p t i+2p t i+1 ) t • (p t j+2p t j+1 ))JN T j t • N T j 2(|p t j+2 -η||p t j+1 -η|) 3 + j |p t j+2p t j+1 | 2 (N T i t • N T j )(2ηp t j+2p t j+1 ) 2(|p t j+2 -η||p t j+1 -η|) 4 t j+2 -η||p t j+1 -η|) 3 j e 4 (θ T j )|p t j+2p t j+1 | 2 (N T t j+2 -η||p t j+1 -η|) 2 T j )(2ηp t j+2p t j+1 ) 2(|p t j+2 -η||p t j+1 -η|) 3

	✷✵✻					✷✵✼
		-2|T |	-→ ▽dw T i = -
	-2|T |	-→ ▽dw T i = -+ -	j j	+ j + j e 1 (θ T j e 1 (θ T j )|p t j+2 -p t j+1 | 2 (JN T j 4(|p i t • N T t • N T i + JN T i j )JN T j t • N T t • N T j ) j 4(|p t j+2 -η||p t j+1 -η|) 5 2|N T j | 2 cos(θ T j ) sin(θ T j j t • N T j 2|N T θ T j j j 2|N T j | 3 t • N T j j | 3 + j cos(θ T j )e 3 (θ T j )(JN T j t • N T i + JN T i j ) t • N T 2(|p + (1 -2 cos(θ T j ))(N T i t • N
		+	j	sin(θ T j ) 4 |p t j+2 -p t j+1 | 2 (N T i 2|N T t • N T j )(2η -p t j+2 -p t j+1 ) j | 4
		+	j	(sin(θ T j ) cos(θ T j ) -θ T j )|p t j+2 -p t j+1 | 2 (JN T j 4|N T j | 3	t • N T i + JN T i	j ) t • N T
		-	j	cos(θ T j ) sin(θ T j ) 3 |p t j+2 -p t j+1 | 2 (N T i 2|N T j | 5	t • N T j )JN T j	j t • N T
		-	j	3(sin(θ T j ) cos(θ T j ) -θ T j )|p t j+2 -p t j+1 | 2 (N T i 4|N T j | 5	t • N T j )JN T j	j t • N T
		+	j	cos(θ T j )(cos(θ T j ) -1)(JN T j 2|N T j | 2 t • N T i + JN T i	j ) t • N T
		+ +	j j	T j j )(2η -p t j+2 -p t j+1 ) j t • N T 2|N T j ))(N T j ) 3 (1 -2 cos(θ T sin(θ T i j | 3 t • N T |N T j | 4 cos(θ T j ) sin(θ T j ) 2 (1 -2 cos(θ T j ))(N T i t • N T j )JN T j j t • N T 2|N T j | 4
	❇② r❡♣•❛❝✐♥❣ -→ ▽θ T -j	cos(θ T j )(cos(θ T j ) -1)(N T i |N T j | 4	t • N T j )JN T j	j t • N T

j ❜② t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❢♦✉♥❞ ❛t t❤❡ ❊q✳ ✶✵✳✷✸✱ ✇❡ ❤❛✈❡ j sin(θ j ((p

  (η+ǫn E )| t♦ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♦r❞❡r✿ ✶✸✳✸✳ ❆PP❊◆❉■❳ ❈✿ ❉❊❚❆■▲❙ ❖❋ ❚❆(▲❖| ❊❳P❆◆❙■❖◆ ❖❋ W E I (η + ǫNE) ■◆ ❚❍❊ ✷❉ ❈❆❙❊

	✷✵✾
	1
	|N E j (η + ǫn E
	1
	|N E

j

••♦✇ tt❛s❦s t❤❛t ❛r❡ t❛r❣❡tt❡❞ ❜② t❤❡ ✉s❡r✳ ❚❤✐s t❤❡s✐s ♣r❡s❡♥ts r❡s✉•ts ♦♥ str✉❝t✉r❡s ♥ à •♥s à