Leonid Pastur

Antoine Lejay

Matrices aléatoires : Statistique asymptotique des valeurs propres

Keywords: Matrice aléatoire, valeur propre, ensemble orthogonal gaussien, loi du demi-cercle Matrice aléatoire, valeur propre, ensemble orthogonal gaussien, loi du demi-cercle

Ce cours † est une brève introduction à la théorie de la distribution asymptotique des valeurs propres des matrices aléatoires symétriques réelles ou hermitiennes de grande taille. Cette théorie a connu récemment beaucoup d'évolutions motivées par diverses branches des mathématiques et de la physique. L'étude de quelques régimes asymptotiques mène à des résultats et à des techniques intéressants.

Published in Séminaire de probabilités XXXVI. vol. 1801 of Lecture Notes in Mathematics, pp. 135-164. Springer-Verlag, 2003 Archives, links & reviews:

• mr number: 1971583

• hal: inria-00102375

• doi: 10.1007/b10068

Introduction

Les matrices aléatoires sont liées aux nombreuses branches des mathématiques et de la physique mathématique. En particulier, -probabilités et statistiques ; -théorie spectrale ; -algèbres d'opérateurs ; -combinatoire ; -théorie de nombres ; -analyse ; -physique nucléaire ; -théorie quantique des champs ; -chaos quantique ; -théorie des solides ; -systèmes intégrables ; -analyse semi-classique.

Certaines propriétés caractéristiques des matrices aléatoires, en particulier, l'écart entre des valeurs propres successives, décrivent très fidèlement nombre de spectres observés depuis ceux des noyaux et des atomes jusqu'aux des zéros de la fonction zeta de Riemann. Certaines intégrales matricielles donnent des représentations assez utiles et efficaces des fonctions génératrices des caractéristiques numériques des graphes et des sous-variétés, ainsi que des quantités importantes de systèmes intégrables, etc. (voir par exemple les revues [START_REF] Girko | Random Determinants[END_REF][START_REF] Guhr | Random matrix theories in quantum physics: common concepts[END_REF][START_REF] Katz | Random Matrices, Frobenius Eigenvalues, and Monodromy[END_REF][START_REF] Mehta | Random Matrices[END_REF][START_REF] Guhr | Random matrix theories in quantum physics: common concepts[END_REF][START_REF] Pastur | Spectral and probabilistic aspects of matrix models[END_REF][START_REF] Pastur | Random matrices as paradigm[END_REF][START_REF] Tracy | Introduction to Random Matrices[END_REF][START_REF]Free Probability Theory[END_REF] et les références qu'elles contiennent).

Objets et problèmes

Du point de vue analytique, on s'intéresse généralement au comportement d'une intégrale du type En F n (M )P n ( dM )

(2.1) où -E n est un ensemble de matrices de taille n × n, par exemple -réelles, symétriques S n , -hermitiennes H n , -unitaires U n , etc. ; -F n est une application de E n dans R ou C, qui est généralement prise orthogonalement ou unitairement invariante. Par exemple, dans le cas de S n ,

F n (OM O T ) = F n (M ), ∀O ∈ O(n) ;
-P n est une mesure de probabilité sur E n . Généralement, on cherche à résoudre des problèmes asymptotiques, c'est-à-dire qu'il faut étudier le comportement de l'intégrale (2.1) lorsque la taille n tend vers l'infini.

Du point de vue probabiliste, on s'intéresse aux problèmes asymptotiques concernant des variables aléatoires F n (M ) définies sur l'espace de probabilité (E n , P n ) et possédant la propriété d'invariance ci-dessus.

Exemple 1. Pour S n , on regarde la mesure de référence

d 1 M = n j=1 dM j,j j<k n dM j,k
(2.2) qui est un analogue de la mesure de Lebesgue. Pour H n , cet analogue sera

d 2 M = n j=1
dM j,j j<k n dRe M j,k dIm M j,k .

(2.3)

On définit la loi gaussienne comme

P n,β (d β M ) = 1 Z n,β exp - n 4w 2 Tr M 2 d β M pour β = 1, 2,
(2.4) où Z n,β est une constante de normalisation. Si β = 1 (cas des matrices symétriques réelles), on parlera d'ensemble gaussien orthogonal (EGO). Lorsque β = 2 (cas des matrices hermitiennes), alors il s'agit d'ensemble gaussien unitaire (EGU).

Définition 2 (Mesure de comptage normalisée). Toute matrice M n symétrique réelle, hermitienne ou unitaire de taille n × n est diagonalisable. Notons (λ 1 , . . . , λ n ) ses n valeurs propres réelles. Si ∆ est un borélien de R, alors la mesure de comptage normalisée N n de M est définie par

N n (∆) = 1 n Card { ℓ ∈ { 1, . . . , n } λ ℓ ∈ ∆ } .
(2.5)

Si M n est une matrice aléatoire, sa mesure de comptage est aussi aléatoire, et on s'intéresse à ses propriétés asymptotiques lorsque la taille des matrices tend vers l'infini.

La mesure de comptage normalisée d'une matrice aléatoire est un cas particulier de la statistique linéaire N n (ϕ) des variables aléatoires λ 1 , . . . , λ n définie par une fonction mesurable bornée à support compact :

N n (ϕ) = 1 n n ℓ=1 ϕ(λ ℓ ) = R ϕ(λ)N n ( dλ).
(2.6)

Si nous disposons d'une loi P n sur un ensemble de matrices aléatoires E n et si E n [ . . . ] désigne l'espérance par rapport de P n , on peut bien entendu s'intéresser à :

(i) la moyenne N n (∆) = E n [N n (∆)];

(ii) la covariance

Cov[N n (∆ 1 ), N n (∆ 2 )] = E n [N n (∆ 1 )N n (∆ 2 )] -E n [N n (∆ 1 )]E n [N n (∆ 2 )]
pour des intervalles ∆ 1 et ∆ 2 de R, en particulier, la variance

Var[N n (∆)] = Cov[N n (∆), N n (∆)];
(iii) la loi de N n (∆), i.e.,

P n [N n (∆) = k/n] pour k = 0, 1, 2, . . . , n.
En particulier, la probabilité

E n (∆) = P n [N n (∆) = 0] (2.7)
est appelée la probabilité de trou (hole probability).

Parmi les types de comportements asymptotiques de ces quantités, nous allons nous intéresser d'abord au régime global. Il s'agit de l'étude de la convergence de la suite N n . Typiquement, N n converge étroitement en probabilité ou presque sûrement vers une mesure non aléatoire N . On parle alors de la densité d'état intégrée (IDS, Integrated Density of State).

Exemple 3. Soit {q j } j≥1 une suite de variable aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, de loi F . Posons

M n =     q 1 0 . . . 0 q n     .
(2.8)

Alors N n (∆) = n -1 n ℓ=1 1 ∆ (q ℓ ), où 1 ∆ est la fonction indicatrice de ∆ ⊂ R, donc N n (∆) = E[N n (∆)] = F (∆). De plus, Var[N n (∆)] = F (∆)(1 -F (∆))/n et nous constatons que Var[N n (∆)] = O(1/n) quand n est grand, et donc que N n (∆) converge en probabilité vers F (∆) pour tout intervalle ∆ ⊂ R fixé.
Considérons maintenant la probabilité de trou (2.7) pour (2.8). On a

E n (∆) = P [ N n (∆) = 0 ] = (1 -F (∆)) n .
(2.9)

Ainsi, si un intervalle ∆ est chargé par la loi F , E n (∆) décroît vers 0. Mais des résultats plus fins peuvent parfois être donnés. Supposons que F a la densité continue f . Dans ce cas N n ( dλ) = f (λ) dλ, i.e., f (λ) est la densité de la moyenne N n de la mesure de comptage normalisée (2.5). Posons

∆ n = λ 0 , λ 0 + s nf (λ 0 ) si λ 0 est tel que 0 < f (λ 0 ) < +∞.
Alors dans ces conditions, (2.9) implique que

lim n→∞ E n (∆ n ) = e -s .
(2.10)

Cet exemple nous amène à considérer une deuxième famille de résultats, classés sous la dénomination de régime local. Il s'agit, par exemple, de regarder la statistique des valeurs propres dans les intervalles du type

λ 0 , λ 0 + c nρ n (λ 0 )
pour un λ 0 tel que ρ(λ 0 ) > 0, où ρ n est la densité de la moyenne N n de la mesure de comptage, dont nous supposerons qu'elle est continue et qu'elle converge simplement vers une fonction ρ appelée densité d'état : lim

n→∞ ρ n (λ) = ρ(λ), ∀λ ∈ R. (2.11)
La limite e -s de E n dans (2.10) est la probabilité que l'intervalle [0, s] ne contiennent aucun des points d'un processus de Poisson. C'est pour cela que cette forme de la probabilité de trou est appelée statistique de Poisson dans la théorie des matrices aléatoires (voir par exemple [Mi] pour une formule similaire dans le cas d'une équation de Schrödinger avec potentiel aléatoire).

La loi du demi-cercle

Nous allons nous intéresser dans ce paragraphe à un problème de statistique des valeurs propres en régime global pour l'ensemble archétype des matrices symétriques réelles à entrées gaussiennes, i.e., l'ensemble gaussien orthogonal (abrégé en EGO). Il s'agit de montrer que les valeurs propres se répartissent lorsque la taille tend vers l'infini selon une loi ne dépendant pas de l'aléa, et connue comme la loi du demi-cercle.

L'ensemble est défini par (2.2) et (2.4), i.e., les matrices de cet ensemble sont telles que pour tout n il existe une matrice W n = { W j,k } n j,k=1 telle que

M n = 1 √ n W n , où W n = { W j,k } n j,k=1 avec W j,k = W k,j ∈ R, (3.1)
et que les entrées W j,k , 1 j < k n de la partie triangulaire supérieure de W n sont des variables aléatoires gaussiennes indépendantes centrées et de variance w 2 quand 1 j < k et 2w 2 quand j = k :

E n [W j,k ] = 0, E n [W 2 j,k ] = (1 + δ j,k )w 2 , 1 j, k n. (3.2)
Dans ce cas les matrices M n peuvent être définies pour tout n sur le même espace de probabilité (Ω, P), avec Ω = R ∞ et avec

P = 1 j k ∞ P j,k , (3.3) où P j,k (dW ) = 1 2πσ 2 j,k e -W 2 2σ 2 j,k dW et σ 2 j,k = (1 + δ j,k )w 2 n . (3.4)
Théorème 4 (La loi du demi-cercle). Soit E n l'EGO défini comme ci-dessus et soit N n sa mesure de comptage normalisée (2.5). Alors il existe une mesure de probabilité N telle que

N n étroite ----→ n→+∞ N, P-p.s., (3.5) avec N (∆) = ∆ ρ 1 (λ) dλ (3.6) où ρ 1 (λ) = 1 2πw 2    √ 4w 2 -λ 2 si |λ| 2w, 0 sinon. (3.7)
Pour démontrer ce théorème, nous allons utiliser la transformée de Stieltjes de la mesure de comptage normalisée.

(i) f est analytique sur C \ R et f (z) = f (z) ; (ii) Im f (z) • Im z > 0 quand Im z = 0 ; (iii) lim y→+∞ y|f (iy)| = 1 ;
(iv) Si (i)-(iii) sont vérifiées pour une fonction f , alors il existe une mesure de probabilité m telle que f soit sa transformée de Stieltjes (on appelle de telles fonctions des fonctions de Nevanlinna ou de Herglotz) ;

(v) Si ∆ est un intervalle de R dont les extrémités ne sont pas chargées par la mesure m, alors on a la formule

m(∆) = lim ε→0 1 π ∆ Im f (λ + iε) dλ
connue comme la formule d'inversion de Frobenius-Perron ;

(vi) La correspondance entre une mesure et sa transformée de Stieltjes est continue et d'inverse continue de l'espace des mesures de probabilité muni de la topologie de la convergence étroite dans l'espace des fonctions analytiques muni la topologie de la convergence uniforme sur tout compact de R \ C.

Démonstration. Voir [AG].

Remarquons que grâce au théorème spectral sur les matrices symétriques réelles,

R N n ( dλ) λ -z = 1 n n ℓ=1 1 λ ℓ -z = 1 n Tr(M n -z) -1 , (3.8)
où { λ ℓ } n ℓ=1 est le spectre de M n . Nous pouvons donc utiliser la résolvante G(z) = (M n -z) -1 de M n pour l'étude de N n . Avant de rappeler quelques propriétés nécessaires de la résolvante, donnons quelques résultats élémentaires sur la trace d'une matrice et de sa résolvante.

Proposition 7. Soit M n l'algèbre des matrices de taille n × n. Désignons par Tr l'opération de trace :

Tr A = n i=1 A i,i , pour tout A = { A i,j } n i,j=1 ∈ M n .
Alors

× n et G(z) = (M -z) -1 sa résolvante pour z ∈ C \ R. Alors (i) G(z) |Im z| -1 ; (ii) |G j,k (z)| |Im z| -1 pour tout j, k = 1, . . . , n ; (iii) G ′ • A = -GAG pour toute matrice A, où G ′ est la dérivée de G par rapport à M à z fixé.
Désignons par E [ . . . ] l'espérance associée à la mesure de probabilité P définie par l'EGO (voir (3.1)-(3.4)).

Proposition 9. Soit E n l'EGO et Φ une application de classe C 1 de l'espace des matrices symétriques réelles S n dans C telle que sa dérivée Φ ′ soit bornée. Alors

E [ Φ ′ (M ) • X ] = n 2w 2 E [ Φ(M ) Tr(M X) ] , ∀X ∈ S n .
(3.9)

Démonstration. Posons I = En exp - n 4w 2 Tr M 2 Φ(M ) d 1 M = Z n,1 • E [ Φ(M ) ] , où Z n ,
√ 2πσ 2 exp - M 2 2σ 2 Φ ′ (M ) dM = 1 σ 2 1 √ 2πσ 2 exp - M 2 2σ 2 Φ(M )M dM.
On peut donc regarder la proposition 9 comme un analogue matriciel de cette formule simple.

Lemme 11. Soit E n l'EGO. Posons

g n (z) = 1 n Tr G(z) pour Im z = 0 où G = (M -z) -1 est la résolvante d'une matrice M ∈ S n .
Alors les égalités suivantes sont satisfaites :

(i) si z ∈ C \ R, E [ g n (z) ] = - 1 z - w 2 z E g 2 n (z) - w 2 zn 2 E Tr G 2 (z) ; (3.11) (ii) si z 1 , z 2 ∈ C \ R, E [ g n (z 1 )g n (z 2 ) ] = - 1 z 1 E [ g n (z 2 ) ] - w 2 z 1 E g 2 n (z 1 )g n (z 2 ) - w 2 n 2 z 1 E Tr G 2 (z 1 )g n (z 2 ) - 2w 2 n 3 z 1 E Tr G 2 (z 1 )G(z 2 ) . (3.12)
Démonstration. Soient j, k deux indices compris entre 1 et n. On applique la proposition 9 à la fonction Φ(M ) = (M -z) -1 j,k = G j,k (M ) en utilisant le point (iii) de la proposition 8, ce qui implique que

E [ (GXG) j,k ] + n 2w 2 E [ G j,k Tr M X ] = 0, ∀X ∈ S n .
(3.13) Soient p et q deux indices compris entre 1 et n, et soit X (p,q) la matrice définie par

X (p,q) j,k = δ j,p δ k,q + δ j,q δ k,p .
Alors, pour ce choix de X (p,q) , on obtient de (3.13)

E [ G j,p G q,k + G j,q G p,k ] + n w 2 E [ G j,k M p,q ] = 0. (3.14)
En choisissant j = p, k = q, en sommant (3.14) sur tous les indices j, k de 1 à n et en divisant par n 2 , nous obtenons

E g 2 n (z) + 1 n 2 E Tr G 2 (z) + 1 nw 2 E [ Tr G(z)M ] = 0.
Il ne reste plus qu'à utiliser l'identité G(z)M = G(z)[(M -z) + z] = Id + zG(z) pour obtenir (3.11).

Pour le point (ii), il suffit d'appliquer le même raisonnement à G j 1 ,k 1 G j 2 ,k 2 .

Lemme 12. Soit z ∈ C tel que |Im z| 2w, alors

Var[g n (z)] = E |g n (z) -E [ g n (z) ] | 2 3 n 2 |Im z| 2 .
(3.15)

Démonstration. Notons f n (z) = E [ g n (z) ] , • g n (z) = g n (z) -f n (z). (3.16) Soient z 1 et z 2 deux points de C \ R. L'identité (3.11) du lemme 11(i) appliquée à z = z 1 multipliée par f n (z 2 ), et à laquelle on a ensuite soustrait l'identité (3.12) du lemme 11(ii) conduit à E[ g n (z 1 )g n (z 2 ) ] -E[ g n (z 1 ) ]E[ g n (z 2 ) ] = - T 1 w 2 z 1 E[ g 2 n (z 1 ) • g n (z 2 ) ] - w 2 z 1 n 2 E[ Tr G 2 (z 1 ) • g n (z 2 ) ] T 2 - 2w 2 z 1 n 3 E[ Tr G 2 (z 1 )G(z 2 ) ] T 3 . (3.17) • Pour le terme T 1 , comme g n (z 1 ) = • g n (z 1 ) + f n (z 1 ), on a E[ g n (z 1 ) 2 • g n (z 2 ) ] = E[ g n (z 1 ) • g n (z 1 ) • g n (z 2 ) ] + f n (z 1 )E[ g n (z 1 ) • g n (z 2 ) ]. (3.18) Soit z ∈ C. On pose z 1 = z, z 2 = z et η = |Im z|. On constate de plus que E[ g n (z 1 ) • g n (z 2 ) ] = E[ • g n (z 1 ) • g n (z 2 ) ]. Comme G(z) 1/|z| 1/|Im z|, et que g n (z) 1 n × n G(z) (voir les propositions 7 et 8), alors |g n (z)| 1/η. De plus, comme g(z) = g(z), nous déduisons de (3.18) que |E[ g n (z 1 ) 2 • g n (z 2 ) ]| 2 η E[ | • g n (z)| 2 ], et donc que |T 1 | est majoré par 2w 2 Var[g(z)]/η 2 .
• Pour le terme T 2 , des techniques similaires et l'inégalité de Cauchy-Schwarz permettent de prouver que

|T 2 | w 2 ηn 2 × n η 2 E[ | • g n (z)| ] w 2 nη 3 Var[g(z)],
toujours lorsque

z 1 = z et z 2 = z pour un complexe z tel que |Im z| = η. • De même, |T 3 | 2w 2 /η 4 n 2 . Lorsque z 1 = z et z 2 = z, alors le terme de gauche de l'égalité (3.17) est égal à E [ |g n (z)| 2 ] -|E [ g n (z) ] | 2 = Var[g n (z)]. Posons v 2 = Var[g(z)]. Alors les estimations précédentes conduisent à v 2 1 - 2w 2 η 2 w 2 nη 3 v + 2w 2 n 2 η 4 . (3.19) Si |Im (z)| = η 2w, alors on arrive à l'inégalité quadratique v 2 - w 2 2nη 3 v - w 2 n 2 η 4 0, d'où v 2 3/n 2 η 2 .
Démonstration du théorème 4. D'après l'équation (3.8), g n (z) = n -1 Tr G(z) est la transformée de Stieltjes de la mesure de comptage normalisée N n . Ainsi, l'identité (3.11) du lemme 11(i) s'écrit

f n (z) + 1 z + w 2 z f 2 n (z) = - w 2 z E g n (z) -E [ g n (z) ] 2 - w 2 zn 2 E Tr G 2 (z) . (3.20) où f n (z) = E[g n (z)]. Soit z un nombre complexe tel que η = |Im z| 2w. D'après le lemme 12, w 2 z E g n (z) -E [ g n (z) ] 2 3 n 2 η 2 × w 2 η 1 n 2 η , d'après la proposition 7(i) et la proposition 8(i), | Tr G 2 (z)| n G 2 n/η 2 , et donc w 2 zn 2 E Tr G 2 (z) w 2 nη 3 1 4nη .
Ces estimations et l'équation (3.20) impliquent l'inégalité

f n (z) + 1 z + w 2 z f 2 n (z) C(η) n , (3.21) où C(η) ne dépend pas de n. De plus, |f n (z)| 1/η 1/2w. Donc la suite { f n } ∞ n=1 est uniformément bornée en n sur C 2w = { z ∈ C; |Im z| > 2w }, et elle est analytique sur cet ensemble.
D'après le théorème de Montel (voir le théorème 12.8a de [He,p.563]), il existe une fonction f ainsi qu'une sous-suite { f n j } ∞ j=1 qui converge vers f uniformément sur tout compact de C 2w . De plus, f est analytique sur C \ R. D'après la propriété (iii) de la proposition 6 sur les transformée de Stieltjes,

Im f n (z) • Im z > 0 quand Im z = 0. Ainsi, en passant à la limite, Im f (z) • Im z 0.
• En passant à la limite sur l'inégalité (3.21), nous obtenons que pour tout z ∈ C 2w ,

w 2 f 2 (z) + zf (z) + 1 = 0. (3.22)
Ce qui veut dire que

f (z) = 1 2w 2 -z ± √ z 2 -4w 2 , ∀z ∈ C 2w .
D'autre part, la fonction f est analytique sur C\R, donc la fonction f est en fait égale à une constante près à z → -z ± R(z), où R(z) est une détermination de √ z 2 -4w 2 . Mais nous savons que par un passage à la limite,

∀η 2w, |f (iη)| 1 η et donc f (iη) ----→ η→+∞ 0.
Nous devons donc choisir la détermination de R(z) qui est telle que R(z

) = z + O(1) quand z → +∞. La fonction f est donc égale à f (z) = (2w 2 ) -1 (-z + R(z)) pour cette détermination de R.
Nous venons donc d'identifier la limite d'une sous-suite de { f n } ∞ n=1 , qui ne dépend pas du choix de la sous-suite. Ainsi { f n } ∞ n=1 converge uniformément sur tout compact de C 2w vers la fonction f ainsi construite.

• D'après l'inégalité de Tchebychev et le lemme 12, on a pour tout ε > 0,

P [ |f n (z) -g n (z)| > ε ] 1 ε 2 Var[g n (z)] 1 ε 2 η 2 n 2 . Ainsi la série ∞ n=1 P [ |f n (z) -g n (z)| > ε ] est convergente. Le lemme de Borel-Cantelli implique donc que pour tout z ∈ C 2w , f n (z) -g n (z) ----→ n→+∞ 0, P-p.s. et donc g n (z) ----→ n→+∞ f (z), P-p.s..
• En utilisant la proposition 6(iv), on conclut qu'il existe une mesure de probabilité N telle que f soit sa transformée de Stieltjes. Si g n converge uniformément sur tout compact de C 2w , alors la proposition 6(v) permet d'affirmer que

N n étroite ----→ n→+∞ N, P-p.s..
Il faut donc démontrer la convergence uniforme de g n vers f . Soit z 0 un point de C 2w . Alors il existe un ensemble Ω(z 0 ) de mesure pleine pour P tel que g n (z 0 ) converge vers f (z 0 ) pour tout point de Ω(z 0 ). Recommençons pour des points z 1 , z 2 , . . . de C 2w tels que cette suite { z j } ∞ j=0 ait au moins un point d'accumulation dans C 2w . Parallèlement à cela, il existe une suite de sous-ensembles (Ω(z j )) j=0,1,... de mesure pleine pour P tels que g n (z j ) converge vers f (z j ) pour tout point de Ω(z j ). Le théorème de Vitali (voir le théorème 12.8d de [He,p. 565]) permet donc d'affirmer que g n converge vers f uniformément sur tout compact de C 2w pour toute réalisation appartenant à Ω * = ∩ j 0 Ω(z j ), qui est de mesure pleine.

• Il ne nous reste plus qu'à identifier cette mesure N . D'après la formule d'inversion de Perron-Frobenius (proposition 6(v)), pour tout intervalle ∆,

N (∆) = lim ε→0 1 π ∆ Im f (λ + iε) dλ. Or Im f (λ + iε) converge vers (2w 2 ) -1 (4w 2 -λ 2 ) 1/2 + uniformément en λ quand ε → 0, où x + désigne max(x, 0). Ainsi, N (∆) = 1 2πw 2 ∆∩[-2w,2w] (4w 2 -λ 2 ) 1/2 + dλ,
ce qui est bien la loi du demi-cercle pour l'EGO.

Remarque 13. En utilisant les mêmes idées on peut aussi montrer les assertions suivantes :

(i) La loi du demi-cercle pour l'EGU avec la densité (cf (3.5) et (3.6))

ρ 2 (λ) = 1 4πw 2 (8w 2 -λ 2 ) 1/2 + .
(3.23)

On peut donc écrire les densités de l'EGO (β = 1) et l'EGU (β = 2) comme [KKP] pour un cas plus général).

ρ β (λ) = 2 πa 2 β (a 2 β -λ 2 ) 1/2 + , (3.24) où a 2 β = 4βw 2 . (ii) Les formes asymptotiques de la covariance de g n (z 1 ) et g n (z 2 ) pour Im z 1,2 ≥ 2w : Cov β [g n (z 1 ), g n (z 2 )] = - 1 βn 2 (z 1 -z 2 ) 2 ×   1 - z 1 z 2 -a 2 β (z 2 1 -a 2 β )(z 2 2 -a 2 β )   + O(n -4 ), n → ∞, (3.25) où a 2 β = 4βw 2 et β = 1, 2 (voir

Quelques généralisations

Donnons maintenant quelques généralisations du théorème (de la loi du demicercle). Leurs preuves reposent sur les mêmes idées ( voir [START_REF] Khorunzhy | Random matrices with independant entries: asymptotic property of the Green function[END_REF][START_REF] Pastur | On a simple approach to global regime of random matrix theory[END_REF][START_REF] Pastur | On the law of addition of random matrices[END_REF]).

Ensemble de Wishart

Soit A (m,n) = (A µ,k ) µ=1,...,m;k=1,...,n une matrice de taille m × n dont toutes les entrées A µ,k sont des variables aléatoires gaussiennes indépendantes et identiquement distribuées. Nous supposerons de plus que

E[ A µ,k ] = 0 et E[ (A µ,k ) 2 ] = a 2 pour µ = 1, . . . , m et k = 1, . . . , n. Posons M n = 1 n (A (m,n) ) T A (m,n) =    1 n m µ=1 A µ,j A µ,k    n j,k=1
.

Maintenant, si le nombre de lignes m est choisi en fonction de n de telle sorte que m(n)/n converge vers une constante c strictement positive lorsque n tend vers l'infini, alors la mesure de comptage normalisée des valeurs propres N n de M n converge presque sûrement vers la mesure de probabilité N dont la transformée de Stieltjes est encore une solution de l'équation quadratique (cf (3.22))

f (z) = - 1 z + c z a 2 f (z) 1 + a 2 f (z)
.

La densité ρ(λ) de cette mesure N est donnée par (cf (3.7)) [START_REF] Marchenko | The eigenvalue distribution in some ensembles of random matrices[END_REF][START_REF] Girko | Random Determinants[END_REF][START_REF] Pastur | On a simple approach to global regime of random matrix theory[END_REF]).

ρ(λ) = (1 -c) + δ(λ) + 1 2πa 2 λ ((λ -λ -)(λ + -λ)) 1/2 + , où λ ± = a 2 (1 ± √ c) 2 et x + = max{0, x} (voir

La loi déformée du demi-cercle

Considérons l'ensemble de matrices aléatoires

M (0) n + M n (4.1)
plus général que l'ensemble gaussien orthogonal -on parlera alors de l'EGO déformé -où M n est l'EGO et { M (0) n } n≥1 est une suite de matrices déterministes dont la suite des mesures de comptage associées { N (0) n } ∞ n=1 converge vers une mesure de probabilité N (0) . De façon plus générale, on peut aussi supposer que { M (0) n } ∞ n=1 est une suite de matrices aléatoires indépendantes de M n et dont la suite des mesures de comptage associée converge vers N (0) presque sûrement. Soit f (0) la transformée de Stieltjes de N (0) . Alors la mesure de comptage de M (0) n + M n converge presque sûrement vers la mesure de comptage non aléatoire N dont la transformée de Stieltjes f est solution de l'équation fonctionnelle [P1]

f (z) = f (0) (z + w 2 f (z)). Si N (0) n = 0, alors f 0 (z) = -1/z et nous retrouvons bien que f (z) = - 1 z + w 2 f (z) ,
qui est l'équation quadratique (3.22).

Ensemble de Wigner

Soit

M n = n -1/2 W (n) , où W (n) = { W (n) j,k } n j,k=1 avec W (n) j,k = W (n)
k,j pour tous les indices j, k = 1, . . . , n. Nous supposerons de plus que les variables aléatoires W

(n) j,k pour n = 1, 2, . . . et 1 j < k n sont indépendantes, et que (cf (3.2)) E n [W (n) j,k ] = 0, E n [(W (n) j,k ) 2 ] = (1 + δ j,k ) n w 2 > 0.
Si les matrices

W (n) n vérifie la condition lim n→+∞ 1 n 2 n j,k=1 1 { |W | τ √ n } W 2 P n [W (n) j,k ∈ dW ] = 0, ∀τ > 0, (4.2)
alors la mesure de comptage N n converge en probabilité vers la loi du demi-cercle [START_REF] Pastur | On the spectrum of random matrices[END_REF][START_REF] Girko | Random Determinants[END_REF]. La réciproque est aussi vraie [Gi]. La condition (4.2) est l'analogue matriciel de la condition de Lindeberg pour le théorème de la limite centrale des probabilités.

Pour ce résultat et pour d'autres concernant l'ensemble de Wigner, voir [Gi, KKP].

Somme de matrices

Soient A n et B n deux matrices hermitiennes et U n une matrice unitaire. Ces matrices sont toutes de taille n × n. Supposons que les mesures de comptage normalisées de A n et de B n tendent lorsque n tend vers l'infini vers deux mesures

N A et N B .
Nous pouvons nous poser la question suivante : quelle est à la limite la mesure de comptage A n + U n B n U * n sous la condition que U n est aléatoire et uniformément distribuée sur U n muni de la mesure de Haar de U (n) ? Les matrices A n et B n ne sont pas aléatoires (ou sont aléatoires et indépendantes de U n ).

Les résultats qui suivent sont détaillés dans [PV].

Soient

                 f (z) = f A z - ∆ 2 (z) f (z) , f (z) = f B z - ∆ 1 (z) f (z) , ∆ 1 (z) + ∆ 2 (z) -zf (z) = 1, (4.3) où les fonctions f , ∆ 1 et ∆ 2 sont analytiques et vérifient de plus Im f (z) • Im z > 0, ∀z ∈ C \ R et lim y→+∞ yf (iy) = 1, ∆ 1 (z) ----→ z→+∞ 0 et ∆ 2 (z) ----→ z→+∞ 0. En fait, ∆ 1 (z) = lim n→+∞ E n 1 n Tr(A n G(z)) et ∆ 2 (z) = lim n→+∞ E n 1 n Tr(B n G(z)) , où G est la résolvante de A n + U n B n U * n .
Nous avons vu dans la démonstration de la loi du demi-cercle (théorème 4), que la spécificité de l'ensemble gaussien orthogonal n'intervenait que dans la proposition 9, qui donne un résultat de différentiation. Pour démontrer que f est solution de (4.3), il faut alors utiliser à la place de l'équation (3.9) de la proposition 9 la formule de différentiation

Un Φ ′ (U AU * )U (XA -AX)U * dU = 0, ∀A, X ∈ H n ,
pour toute fonction Φ de l'espace des matrices hermitiennes de taille n × n à valeurs dans l'espace C qui soit bornée et différentiable. Pour démontrer cette formule, il suffit de remplacer U par U e iεX et de différencier par rapport à ε.

Le système (4.3) peut aussi s'interpréter de la façon suivante. Soit N une mesure de probabilités à support compact et f sa transformée de Stieltjes. Cette fonction f peut s'écrire

f (z) = - 1 z + Σ(z) . ( 4
A n + U n B n U * n , alors R A+B (f ) = R A (f ) + R B (f ). (4.5)
Si nous pensons à deux variables aléatoires ξ 1 et ξ 2 indépendantes, alors la loi de leur somme est donnée par la convolutions des lois de ces variables aléatoires. Maintenant, si χ k (λ) = E e iλξ k sont les fonctions caractéristiques de

ξ k pour k = 1, 2, la fonction caractéristique χ 1+2 de ξ 1 + ξ 2 vérifie χ 1+2 = χ 1 χ 2 , et donc log χ 1+2 = log χ 1 + log χ 2 .
Nous pouvons donc voir la relation (4.5) comme un équivalent noncommutatif de cette dernière relation.

On peut ainsi travailler sur la somme d'un nombre arbitraire de matrices aléatoires. Ce qui amène à se poser les questions suivantes : il y a-t-il un équivalent -du théorème de la limite centrale ? -de la formule de Lévy-Khintchine ? etc. Ces questions sont les objets de la théorie des probabilités libres. Il s'agit d'une généralisation non-commutative de la théorie conventionnelle des probabilités liée à plusieurs problèmes intéressants de la théorie des algèbres d'opérateurs, de combinatoire, d'analyse harmonique (voir [VDN, Vo]).

Ensembles invariants

Les ensembles invariants sont tels que la loi correspondante est invariante par rapport à l'application M n → U * n M n U n , où U n est unitaire (β = 2) ou orthogonale (β = 1). Ainsi, la loi d'un ensemble invariant ne dépend en fait que des valeurs propres {λ 1 , . . . , λ n } des matrices. Ainsi, si P n,β est une telle loi sur les matrices de taille n × n ayant une densité qn,β :

P n,β (d β M ) = qn,β (M ) d β M et d β M pour β =
V (λ) = λ 2
4w 2 , qui correspond à l'ensemble gaussien orthogonal (EGO) ou unitaire (EGU) (voir (2.4)).

Un deuxième cas, qui conduit à des résultats différents est donné par

V (λ) = λ 4 4 + a λ 2 2 , a ∈ R.
Théorème 14. Soit E n un ensemble orthogonalement ou unitairement invariant de la forme (5.1) pour un polynôme V . Soit Λ = (λ 1 , . . . , λ n ) les valeurs propres d'une matrice M rangées par ordre croissant :

-∞ < λ 1 λ 2 • • • λ n < +∞.
Alors la densité de la loi jointe de Λ est

q n,β (Λ) dΛ = 1 Q n,β exp -n n ℓ=1 V (λ ℓ ) × |∆(Λ)| β dΛ, où ∆(Λ) = j<k (λ j -λ k ),
avec β = 1 dans le cas d'un ensemble orthogonalement invariant, β = 2 pour un ensemble unitairement invariant et dΛ = (dλ 1 , . . . , dλ n ).

Démonstration. Travaillons tout d'abord sur un ensemble orthogonalement invariant (β = 1). D'après le théorème spectral pour les matrices symétriques réelles,

M j,k = n ℓ=1 λ ℓ ψ ℓ,j ψ ℓ,k , (5.2)
où, pour ℓ = 1, . . . , n, ψ ℓ = { ψ ℓ,k } n k=1 sont les vecteurs propres de M . Il est par ailleurs possible de choisir ces vecteurs propres de façon à ce que leurs premières composantes non nulles soient positives.

La matrice Ψ = { ψ ℓ,k } n ℓ,k=1 est orthogonale, et Ψ -1 M Ψ est une matrice diagonale Λ, que l'on peut, à un arrangement près des colonnes de Ψ, choisir égale à Diag(λ 1 , . . . , λ n ).

Si nous notons dΨ la mesure de Haar sur le groupe des matrices orthogonales, alors nous pouvons écrire Pour un ensemble gaussien unitairement invariant (β = 2), l'idée de la démonstration reste la même (voir [Me, Mu, TW]).

1 Z n,1 e -n Tr V (M ) d 1 M = 1 Z n,1 e -n n ℓ=1 V (λ ℓ ) Jac ∂M ∂Λ∂Ψ
À partir de maintenant, nous travaillerons avec l'EGU, l'ensemble gaussien unitairement invariant.

Rappels (Polynômes orthogonaux (voir [Sz])). Soit w : R → R + une fonction positive et telle que R |λ| k w(λ) dλ < +∞ pour tout k = 0, 1, 2, . . . . Une telle fonction s'appelle le poids du produit scalaire R f (x)g(x)w(x) dx. Le procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt sur l'espace L 2 (R, w(x)dx) appliqué aux fonctions λ → λ k , k = 0, 1, 2, . . . donne une famille de polynômes { P ℓ (λ) } ∞ k=0 tels que (i) P ℓ (λ) est un polynômes de degré ℓ :

P ℓ (λ) = γ ℓ λ ℓ + • • • avec γ ℓ > 0 ;
(ii) R P ℓ (λ)P k (λ)w(λ) dλ = δ j,k pour j, k = 0, 1, 2, . . . .

Ces polynômes orthonormés vérifient la relation de récurrence

λP ℓ (λ) = r ℓ P ℓ+1 (λ) + s ℓ P ℓ (λ) + r ℓ-1 P ℓ-1 (λ) (5.3) pour ℓ = 0, 1, . . . et avec r -1 = 0. Posons ψ ℓ (λ) = w(λ)P ℓ (λ) de sorte que R ψ ℓ (λ)ψ k (λ) dλ = δ i,j .
La fonction

K n (λ, µ) = n-1 ℓ=0 ψ ℓ (λ)ψ ℓ (µ) (5.4) est le noyau reproduisant du système { ψ ℓ } ∞ ℓ=0 .
Il vérifie les relations :

(i) R K n (λ, λ) dλ = n ; (ii) R K n (λ, µ)K n (µ, ν) dµ = K n (λ, ν) pour tout λ, ν ∈ R ; (iii) pour tout λ, µ ∈ R, λ = µ, K n (λ, µ) = r n-1 ψ n (λ)ψ n-1 (µ) -ψ n-1 (λ)ψ n (µ) (λ -µ) .
(5.5)

Cette formule (5.5) est la formule de Christoffel-Darboux.

Théorème 15. Soit H n l'ensemble unitairement invariant défini par un polynôme V (cf (5.1)), et { P

(n) ℓ
} ∞ ℓ=0 le système de polynômes orthonormaux définis par rapport au poids w n (λ) = exp(-nV (λ)). Alors (i) La densité p n,2 de la loi jointe des valeurs propres restreinte aux fonctions symétriques de (λ 1 , . . . , λ n ) est (5.6) i.e., si f : R → C est une fonction symétrique sur R n , alors

p n,2 (λ 1 , . . . , λ n ) = 1 n! det{ ψ (n) j-1 (λ k ) } n j,k=1 2 , où ψ (n) l (λ) = w n (λ)P (n) ℓ (λ),
E n [ f (λ 1 , . . . , λ n ) ] = R N f (λ 1 , . . . , λ n )p n,2 (λ 1 , . . . , λ n ) dλ 1 • • • dλ n ;
(ii) Si N n est la mesure de comptage normalisée d'ensemble (voir définition 2), alors

N n (∆) = E n [ N n (∆) ] = ∆ ρ n (λ) dλ (5.7) avec ρ n (λ) = 1 n K n (λ, λ) = 1 n n-1 ℓ=0 (ψ (n) ℓ (λ)) 2 , (5.8) où ρ n (λ) = r (n) n-1 ψ (n) n (λ) ′ ψ (n) n-1 (λ) -ψ (n) n (λ)ψ (n) n-1 (λ) ′ ;
(5.9) (iii) Soit ℓ un entier compris entre 1 et n. Notons la loi marginale de (λ 1 , . . . , λ ℓ ) par

p n,ℓ (λ 1 , . . . , λ ℓ ) = R n-ℓ p n (λ 1 , . . . , λ ℓ , λ ℓ+1 , . . . , λ n ) dλ ℓ+1 • • • dλ n , (5.10) et posons R n,ℓ = n! (n -ℓ)!
p n,ℓ (λ 1 , . . . , λ ℓ ).

(5.11)

Cette fonction R n,ℓ s'appelle la fonction de corrélation. Alors

R n,ℓ (λ 1 , . . . , λ ℓ ) = det{ K n (λ j , λ k ) } ℓ j,k=1 ;
(5.12) (iv) La variance d'une statistique linéaire définie par (2.6) vérifie

Var[N n (ϕ)] = 1 2n 2 R 2 (ϕ(λ) -ϕ(µ)) 2 K 2 n (λ, µ) dλ dµ.
(5.13) Rappels (Déterminant de Fredholm). Soit Q un opérateur intégral de noyau continu q défini sur D × D, i.e., Qf (λ) = D q(λ, µ)f (µ) dµ, où D est un compact de R. Alors le déterminant de Fredholm de Q, noté det(I -Q) est défini par

det(I -Q) = 1 + ∞ m=1 (-1) m m! D m q(λ 1 , λ 1 ) • • • q(λ 1 , λ m ) . . . . . . q(λ m , λ 1 ) • • • q(λ m , λ m ) dλ 1 • • • dλ m . (5.14) Théorème 16. Soit E (2) n (∆) = P n [ N n (∆) = 0 ] la probabilité de trou pour l'ensemble (5.1) avec β = 2. Alors E (2) n (∆) = det(I -K n (∆)),
(5.15) où K n (∆) est l'opérateur intégral sur ∆ défini par le noyau K n (λ, µ), i.e.,

(K n (∆)f )(λ) = ∆ K n (λ, µ)f (µ) dµ, λ ∈ ∆.
Ces deux théorèmes sont vrais pour les ensembles unitairement invariants. Pour les ensembles orthogonalement invariants, les résultats sont moins bons (voir [START_REF] Muirhead | Aspects of Multivariate Analysis[END_REF][START_REF] Mehta | Random Matrices[END_REF][START_REF] Pastur | Random matrices as paradigm[END_REF]).

Démonstration du théorème 15. D'après le théorème 14,

p n,2 (λ 1 , . . . , λ n ) = 1 Q n,2 n! exp -n Tr n ℓ=1 V (λ ℓ ) 1 j k n (λ j -λ k ) 2 . Mais ∆(Λ) = 1 j k n (λ j -λ k ) = 1 . . . 1 λ 1 . . . λ n . . . . . . . . . λ n-1 1 . . . λ n-1 n = 1 n-1 ℓ=0 γ ℓ det{ P (n) j-1 (λ k ) } n j,k=1 , où γ (n) ℓ
est le coefficient du terme de plus haut degré du polynôme

P (n) ℓ . Ainsi, p n,2 (λ 1 , . . . , λ n ) = 1 Q n,2 n! n-1 ℓ=0 γ (n) ℓ 2 det{ ψ (n) j-1 (λ k ) } n j,k=1 2 .
Il reste maintenant à calculer la constante de normalisation. Nous allons utiliser le résultat suivant. Soit { f ℓ } n ℓ=1 et { g ℓ } n ℓ=1 deux ensembles de fonctions continues et intégrables sur R n . Alors

R n det { f ℓ (λ m ) } n ℓ,m=1 det { g ℓ (λ m ) } n ℓ,m=1 dλ 1 • • • dλ n = n! det { (f ℓ , g m ) } n ℓ,m=1 , (5.16) où (f, g) désigne le produit scalaire (f, g) = R f (λ)g(λ) dλ.
Ce résultat, connu comme le théorème de Gram, découle du procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt [CH]. En prenant

f ℓ = g ℓ = ψ (n) ℓ , on obtient bien que Q n n-1 ℓ=0 γ ℓ 2 = 1, et le point (i) est démontré.
Maintenant, par symétrie,

E n [ N n (∆) ] = 1 n n ℓ=1 E n [ 1 ∆ (λ n ) ] = E n [ 1 ∆ (λ 1 ) ] = ∆ dλ 1 R n-1 p n,2 (λ 1 , . . . , λ n ) dλ 2 • • • dλ n = 1 n! ∆ dλ 1 R n-1 det{ ψ (n) j-1 (λ k ) } n j,k=1 2 dλ 2 • • • dλ n . Mais det{ ψ (n) j-1 (λ k ) } n j,k=1 = n-1 j=1 (-1) j+1 ψ (n) j (λ 1 )Ψ (n) j (λ 2 , . . . , λ n ), (5.17) où Ψ (n) j (λ 2 , . . . , λ n ) = det{ ψ (n)
k (λ m ) } k=1,...,n;k =j;m=2,...,n . En utilisant encore le théorème de Gram (5.16), nous vérifions que

R n-1 Ψ (n) j 1 (λ 2 , . . . , λ n )Ψ (n) j 2 (λ 2 , . . . , λ n ) dλ 2 • • • dλ n = δ j 1 ,j 2 (n -1)!. Donc E n [ N n (∆) ] = ∆ n -1 n-1 ℓ=0 (ψ (n) ℓ (λ)) 2 dλ,
ce qui achève la démonstration de (5.8).

La démonstration de (5.9) utilise (5.8) et la formule de Christoffel-Darboux (5.5) pour λ = µ.

Pour démontrer (iii) pour ℓ > 1, on utilise la même idée et le théorème de Laplace au lieu de (5.17) pour développer det{ ψ (n) j-1 (λ k ) } n j,k=1 (voir aussi [Me]). Pour (iv), on remarque d'abord que

E n [ N n (ϕ) ] = 1 n R ϕ(λ 1 )K n (λ 1 , λ 1 ) dλ 1 ,
(cf (5.7) et (5.8)), et que, d'après (5.10) et (5.12), on a

E n N 2 n (ϕ) = 1 n E n ϕ 2 (λ 1 ) + n(n -1) n 2 E n [ ϕ(λ 1 )ϕ(λ 2 ) ] = 1 n R ϕ 2 (λ 1 )K n (λ 1 , λ 1 ) dλ 1 + 1 n 2 R 2 ϕ(λ 1 )ϕ(λ 2 )K 2 n (λ 1 , λ 2 ) dλ 1 dλ 2 . Comme Var[N n (ϕ)] = E n [ N 2 n (ϕ) ] -E n [ N n (ϕ)
] 2 , la formule (5.13) est vérifiée. Démonstration du théorème 16. Utilisons le théorème 15(iii) :

E (2) n (∆) =P n [ λ ℓ ∈ ∆pour ℓ = 1, . . . , n ] = E n ℓ=1 (1 -1 ∆ (λ ℓ )) par symétrie = n ℓ=0 n! ℓ!(n -ℓ!) × ∆ ℓ dλ 1 • • • dλ ℓ R n-ℓ p n (λ 1 , . . . , λ ℓ , λ ℓ+1 , . . . , λ n )dλ ℓ+1 • • • dλ n = n ℓ=0 (-1) ℓ ℓ! ∆ ℓ R n,ℓ (λ 1 , . . . , λ ℓ ) dλ 1 • • • dλ ℓ = n ℓ=0 (-1) ℓ ℓ! ∆ ℓ det { K n (λ j , λ k ) } ℓ j,k=1 dλ 1 • • • dλ ℓ .
D'après (5.14) c'est le déterminant de Fredholm de (I -K n (∆)). Le théorème 16 est ainsi démontré.

L'usage efficace de ce formalisme a besoin de formules asymptotiques pour les polynômes orthogonaux P n l pour ℓ ∼ n (voir e.g., [DK + ]). Mais certains résultats peuvent être déduits des formules elles-mêmes, comme le montre le théorème suivant.

Théorème 17. Soit N n (ϕ) une statistique linéaire (2.6) pour une fonction ϕ bornée. Alors

(i) Var[N n (ϕ)] 2 n ess sup λ∈R |ϕ(λ)| 2 ;
(ii) Si ϕ est lipschitzienne de constante C, alors

Var[N n (ϕ)] C 2 n 2 (r (n) n-1 ) 2 , où r (n) n-1 est le coefficient du polynôme P (n)
n-1 dans la relation de récurrence

P n ℓ (λ) = r n ℓ P n ℓ+1 (λ) + s n ℓ P n ℓ (λ) + r n ℓ-1 P n ℓ-1 (λ) (5.18) pour ℓ = n (cf (5.3)).
Démonstration. D'après le théorème 15(iv) et la propriété d'orthogonalité (ii) des noyaux reproduisants, on a

Var[N n (ϕ)] = 1 2n 2 R 2 (ϕ(λ) -ϕ(µ)) 2 K 2 n (λ, µ) dλ dµ (2 ϕ ∞ ) 2 2n 2 R 2 K 2 n (λ, µ) dλ dµ = 2 ϕ 2 ∞ n 2 R K n (λ, λ) dλ = 2 ϕ 2 ∞ n 2 n = 2 ϕ 2 ∞ n ,
ce qui démontre (i). Pour l'assertion (ii), la formule de Christoffel-Darboux (5.5) et le caractère orthonormé des fonctions ψ

(n) ℓ impliquent que Var[N n (ϕ)] C 2 2n 2 R 2 (λ -µ) 2 K 2 n (λ, µ) dλ dµ = C 2 (r (n-1) n ) 2 2n 2 R 2 (ψ (n) n (λ)ψ (n) n-1 (µ) -ψ (n) n-1 (λ)ψ (n) n (µ)) 2 dλ dµ = C 2 (r (n) n-1 ) 2 n 2 , (5.19)
ce qui conclut la démonstration du théorème.

Les coefficients r (n)

n-1 sont généralement bornés en n (voir [PS]) et on obtient donc une majoration en 1/n 2 de la variance Var[N n (ϕ)] (cf le lemme 12).

Proposition 18. Si E n est l'EGU, alors les polynômes orthogonaux

P (n) ℓ se déduisent des polynômes d'Hermite { h ℓ } ∞
ℓ=1 -qui forment une base orthonormale pour le produit scalaire R f (x)g(x)e -x 2 dx -par la relation

P (n) ℓ (λ) = n 1/4 √ 2w h ℓ √ n 2w λ .
(5.20)

En particulier, le coefficient du polynôme P

l-1 dans la relation de récurrence (5.18) est r

ℓ-1 = w 2ℓ/n.

(5.21) 'où (5.20). De plus, on déduit de la relation (voir [Sz])

Démonstration. Comme R e -x 2 h ℓ (x)h m (x) dx = δ ℓ,m , (5.22) le changement de variable x = √ nλ/2w implique que R e -nλ 2 4w 2 h ℓ √ n 2w λ h m √ n 2w λ √ n 2w dλ = δ ℓ,m , (5.23) d
ℓ + 1 2 h ℓ+1 (x) + ℓ 2 h ℓ-1 (x) = xh ℓ (x) que r (n) ℓ -1 = w 2ℓ/n. Corollaire 19. Pour l'EGU , on obtient l'inégalité Var[N n (ϕ)] 2w 2 n 2 |Im z| 4 , pour ϕ(λ) = (λ -z) -1 , Im z = 0. Remarque 20. Comme N n ((• -z) -1 ) = n -1 Tr(M -z) -1 = g n (z)
, on a ainsi obtenu une nouvelle démonstration de l'estimation de la variance de g n (z) du type (3.15), maintenant pour tout z tel que Im z = 0.

Démonstration. D'après le théorème 17 et (5.21),

Var[N n (ϕ)] C 2 n 2 (r (n) n-1 ) 2 2w 2 2w 2 n 2 C 2 ,
où C est la constante de Lipschitz de ϕ, qui est égale à |Im z| -2 pour ϕ = (λ-z) -1 .

Proposition 21 (Formules asymptotiques de Plancherel-Rotah). Soit

ψ ℓ (x) = e -x 2 2 h ℓ (x). Alors (i) Si x = √ 2ℓ + 1 cos θ, on a uniformément en 0 < ε |θ| π -ε, ψ ℓ (x) = 2 ℓ 1/4 1 √ π sin θ cos 2ℓ + 1 4 (sin 2θ -2θ) + π 4 + O 1 ℓ , ℓ → ∞; (ii) Si x = ± √ 2ℓ + 1 ch θ, on a uniformément en 0 < ε θ 1/ε, ψ ℓ (x) = 1 (2ℓ) 1/4 √ π sh θ exp - 2ℓ + 1 4 (sh 2θ -2θ) 1 + O 1 ℓ , ℓ → ∞; (iii) Si x = ± √ 2ℓ + 1 ± 2 -1/2 ℓ -1/6
s, on a uniformément en s dans un compact de C, Démonstration. Voir [Sz], théorème 8.22.9.

ψ ℓ (x) = 2 1/4 ℓ -1/12 (Ai (s) + O(ℓ -3/4 )), ℓ → ∞,
Le théorème suivant se démontre en utilisant ces formules.

ρ(λ) = 1 4πw 2 (8w 2 -λ 2 ) 1/2 + uniformément sur R \ {-2 √ 2w, 2 √ 2w} ; (ii) Pour toute fonction ϕ bornée et de classe C 2 , lim n→∞ n 2 Var[N n (ϕ)] = 1 4π 2 2 √ 2w 2 -2 √ 2w 2 dλ 2 √ 2w 2 2 √ 2w 2 ϕ(λ) -ϕ(µ) λ -µ 2 8w 2 -λµ √ 8w 2 -λ 2 √ 8w 2 -µ 2 dµ (5.24) = 1 4π 2 2 √ 2w 2 -2 √ 2w 2 ϕ(λ) dλ √ 8w 2 -λ 2 (iii) Soit λ 0 tel que ρ(λ 0 ) = 0. Alors 1 (nρ n (λ 0 )) ℓ R n,ℓ λ 0 + ξ 1 nρ n (λ 0 ) , . . . , λ 0 + ξ ℓ nρ n (λ 0 ) ----→ n→+∞ det   sin π(ξ j -ξ k ) π(ξ j -ξ k ) ℓ j,k=1
  uniformément en (ξ 1 , . . . , ξ ℓ ) sur tous les compacts de R ℓ ;

(iv) La probabilité de trou E (2) n λ 0 , λ 0 + s sρ n (λ 0 ) où E (2) est donné par (5.15) converge uniformément en s sur tous les compacts de R vers det(I -

Q (2) s ) = E (2) (s), où Q (2)
s est un opérateur intégral défini sur [0, s] par la formule

(Q (2) s f )(ξ) = s 0 sin(π -η) π(ξ -η) f (η) dη, ξ ∈ [0, s];
(v) Uniformément en s sur tout compact de R,

2 1/2 wn 1/3 ρ n 2 √ 2w + √ 2wn -2/3 s ----→ n→+∞ r(s) déf = -s(Ai ′ (s)) 2 + (Ai (s)) 2 , avec r(s) =            |s| π - cos(4|s| 3/2 ) 4πs + O(s -3/2 ), s → -∞, 17 96π
√ s e -4s 3/2 3

(1 + o(1)), s → +∞.

Remarque 23. La convergence dans (i) est plus forte que la loi du demi-cercle du théorème 4, où l'on avait seulement la convergence étroite de N n vers N .

Esquisse de la démonstration. On sait que les fonctions ψ

ρ n (λ) = 1 n n-1 ℓ=0 ψ (n) ℓ (λ) 2 (5.26) = 1 n ℓ<εn ψ (n) ℓ (λ) 2 + ℓ>(1-ε)n ψ (n) ℓ (λ) 2 + (1-ε)n ℓ=εn ψ (n) ℓ (λ) 2 = O(ε) + 1 n (1-ε)n ℓ=εn 1 πw n 2ℓ cos 2 (ℓΓ(θ n,ℓ ) + γ(θ n,ℓ )) 1 sin θ n,ℓ + O 1 n , n → ∞, avec Γ(θ) = sin 2θ/2 -θ, γ(θ) = 1 2 Γ(θ) + π 4 , et √ nλ/2w = √ 2ℓ + 1 cos θ n,ℓ .
Comme cos θ n,ℓ ≃ (2 √ 2w) -1 n/ℓ, on en déduit donc que on peut remplacer dans (5.26) cos 2 (ℓΓ(θ n,ℓ ) + γ(θ n,ℓ )) par 1/2, d'où

ρ n (λ) ≃ O(ε) + O 1 n + 1 2 √ 2w 1 λ 2 8w 2 dt t -λ 2 8w 2 .
L'intégrale dans la dernière équivalence est une approximation de la somme dans l'expression (5.26) de ρ n . D'où la loi du demi-cercle (i

) pour |λ| < 2 √ 2w. Si |λ| > 2 √
2w, on déduit de la proposition 21(ii) que lim n→∞ ρ n (λ) = 0.

Pour montrer (ii) on écrit, d'après le théorème 15(iv) et la formule de Christoffel-Darboux (5.5),

Var[N n (ϕ)] = (r (n) n-1 ) 2 n 2 R R Φ 2 (λ, µ) × (ψ (n) n (λ)) 2 (ψ (n) n-1 (µ)) 2 -ψ (n) n (λ)ψ (n) n-1 (λ)ψ (n) n (µ)ψ (n) n-1 (µ)
(ψ (n) n (λ)) 2 = 1 √ 2w 2 π sin θ n,n cos 2 (nΓ(θ n,n ) + γ(θ n,n )) + O(1/n) (5.28) = d(λ) (1 + cos(2nΓ(θ n,n ) + 2γ(θ n,n ))) + O(1/n), où d(λ) = π √ 8w 2 -λ 2 -1 , et la formule correspondante pour (ψ (n)
n-1 (µ)) 2 . Comme Φ(λ, µ) est continue, les contributions dans (5.27) des termes de (5.28) contenant cos (2nΓ(θ n,n ) + 2γ(θ n,n )) et cos (2(n -1)Γ(θ n,n-1 ) + 2γ(θ n,n-1 )) tendent vers zéro lorsque n → ∞. On peut donc remplacer (ψ (n) n (λ)) 2 et (ψ

(n)
n-1 (µ)) 2 dans (5.27) par d(λ) et d(µ). De même, d'après la proposition 21(i),

ψ (n) n (λ)ψ (n) n-1 (λ) = d(λ) cos(n(Γ(θ n,n ) -Γ(θ n,n-1 )) + Γ(θ n,n-1 ) + γ(θ n,n ) -γ(θ n,n-1 )) + cos(n(Γ(θ n,n ) + Γ(θ n,n-1 )) -Γ(θ n,n-1 ) + γ(θ n,n ) + γ(θ n,n-1 )) + O(1/n), n → ∞.
À nouveau, les contributions dans (5.27) des termes contenant

cos (n(Γ(θ n,n ) + Γ(θ n,n-1 )) -Γ(θ n,n-1 ) + γ(θ n,n ) + γ(θ n,n-1 )) tendent vers zéro lorsque n → ∞, parce que Φ(λ, µ) est continue. De plus, en posant λ = 2 √ 2w cos ϕ, on obtient pour n → ∞ n(Γ(θ n,n ) -Γ(θ n,n-1 )) = -sin 2θ/2 + o(1), Γ(θ n,n-1 ) = sin 2θ/2 -θ + o(1), γ(θ n,n ) -γ(θ n,n-1 ) = o(1). On en déduit que cos (n(Γ(θ n,n ) -Γ(θ n,n-1 )) + Γ(θ n,n-1 ) + γ(θ n,n ) -γ(θ n,n-1 )) = cos θ + o(1) = λ/2 √ 2w + o(1), n → ∞. Donc on peut remplacer le terme ψ (n) n (λ)ψ (n) n-1 (λ)ψ (n) n (µ)ψ (n)
n-1 (µ) dans (5.27) par le terme d(λ)d(µ)λµ/8w 2 .

Pour obtenir (5.25) on utilise l'identité

1 (λ -µ) 2 √ 8w 2 -λ 2 √ 8w 2 -µ 2 = 1 √ 8w 2 -λ 2 ∂ ∂µ √ 8w 2 -µ 2 λ -µ .
Un cas plus général est traité dans [Jo].

Pour (iii), similairement, si λ 0 ∈ (-2 √ 2w, 2 √ 2w) et ξ et η sont dans un compact de R, 1 nρ n (λ 0 ) K n λ 0 + ξ nρ n (λ 0 ) , λ 0 + η nρ n (λ 0 ) = O(ε) + O 1 n + 1 2 √ 2wρ n (λ 0 ) 1 λ 2 /8w 2 cos   ξ -η ρ n (λ 0 ) √ 2w t - λ 2 8w 2   dt t -λ 2 /8w 2 ---→ n→∞ sin(π(ξ -η)) π(ξ -η)
uniformément en (ξ, η) sur tous les compacts de R 2 . Or d'après le théorème 15(iii), R n,ℓ (λ 1 , . . . , λ ℓ ) = det { K n (λ j , λ m ) } l j,m=1 , d'où (iii). Grâce au théorème 16,

E (2) n (∆) = 1 + n ℓ=1 (-1) ℓ ℓ! ∆ ℓ R n,ℓ (λ 1 , . . . , λ ℓ ) dλ 1 • • • dλ ℓ .
Il suffit alors d'utiliser l'assertion (iii) pour démontrer (iv).

Pour montrer l'assertion (v), on utilise le théorème 15(ii) et la formule asymptotique (iii) de la proposition 21 (voir [Fo]).

Théorème 24. Soit H n l'EGU , et λ (n) max = M n la valeur propre de module maximal de M n . Alors λ

(n) max p.s. ----→ n→+∞ 2 √ 2w.
Démonstration. Comme N n (∆) converge presque sûrement vers (5.29) et puis d'appliquer le lemme de Borel-Cantelli. En utilisant l'inégalité de Tchebychev on obtient que

N (∆) = 1 4πw 2 ∆∩[-2 √ 2w,2 √ 2w] √ 8w 2 -λ 2 dλ, qui est strictement positif sur tout intervalle ∆ non vide contenu dans (-2 √ 2w, 2 √ 2w), lim inf n→∞ λ (n) max 2 √ 2w. Pour montrer que lim sup n→∞ λ (n) max 2 √ 2w, il suffit d'établir que pour tout ε > 0 ∞ n=1 P[ λ (n) max 2 √ 2w + √ 2wε ] < ∞,
P λ (n) max 2 √ 2w + √ 2wε = P nN n (2 √ 2w + √ 2wε, ∞) 1 E nN n (2 √ 2w + √ 2wε, ∞) .
(5.30) D'après (5.9) et l'inégalité de Cauchy-Schwarz, [Sz]), on trouve en faisant une intégration par partie que

E nN n (2 √ 2w + √ 2wε, ∞) 2r (n) n-1   ∞ -∞ d dλ ψ (n) n-1 (λ) 2 dλ   1/2 ∞ 2 √ 2w+ √ 2wε ψ (n) n (λ) 2 dλ 1/2 . (5.31) On remplace ψ (n) ℓ (λ) pour l = n-1, n par ψ ℓ (x), l = n-1, n en utilisant la proposition 18. Comme -ψ ′′ ℓ (x) + x 2 ψ ℓ (x) = (2ℓ + 1)ψ ℓ (x) (voir
∞ -∞ d dλ ψ (n) n-1 (λ) 2 dλ = n 4w 2 ∞ -∞ d dx ψ n-1 (x) 2 dx n 4w 2 ∞ -∞ - d 2 dx 2 ψ n-1 (x) + x 2 ψ n-1 (x) ψ n-1 (x) dx = (2n -1)n 4w 2 (5.32) De plus, la proposition 21(ii) implique que pour n → ∞ ∞ 2 √ 2w+ √ 2wε ψ (n) n (λ) 2 dλ = ∞ √ 2n+ √ n/2ε ψ 2 n (x) dx (5.33) = O n -1/4 ∞ √ ε dθ sinh θ exp -(2n -1) θ 0 sinh 2 t dt = O n -1/4 ∞ √ ε dθ θ exp -(2n -1)θ 3 /3 = O n 7/4 ε -1/2 exp - 2n 3 ε 3/2 .

D'après la proposition 18 r (n)

n-1 = √ 2w et on obtient de (5.30) -(5.33) que

P λ (n) max 2 √ 2w + √ 2wε = O n 7/4 ε -1/2 exp - 2n 3 ε 3/2 , n → ∞, (5.34)
d'où (5.29). Ainsi, la plus grande des valeurs propres converge bien vers 2 √ 2w.

Remarque 25. On peut aussi montrer (5.29) en utilisant l'égalité

∞ -∞ ψ 2 ℓ (t)e tx dt = e x 2 /2 ℓ j=1 ℓ(ℓ -1) • • • (ℓ -j + 1) (j!) 2
x 2 2 j (voir [AS], formule (22.13.20)) qui implique l'estimation

P λ (n) max 2 √ 2w + √ 2wε = O exp -nε 1/2 .
Cette estimation est moins précise que (5.34), qui donne l'ordre de magnitude ε n -2/3 , coïncidant pratiquement avec celui du théorème 22(iv).

Quelques remarques. (i) On peut montrer que la probabilité conditionnelle π (2) n (b-a|a) db d'avoir une valeur propre dans un voisinage (b, b + db) de b ∈ R sachant qu'il existe une valeur propre en a < b et que l'intervalle (a, b) ne contienne pas de valeur propre est

π (2) n (b -a|a) db = - ∂ 2 E (2) n ((a, b)) ∂a∂b db.
Une dérivation heuristique est donnée dans [Me], et [KS, DK + ] contient une dérivation rigoureuse. On appelle π (2) n (t|a) la densité de la loi des écarts entre des valeurs propres successives.

En posant a = λ 0 et b = λ 0 + s/nρ n (λ 0 ) on peut déduire du théorème 22(iii) que

π (2) (s) = lim n→∞ π (2) n s nρ(λ 0 ) λ 0 = d 2
ds 2 E (2) (s), où E (2) (s) est le déterminant de Fredholm de l'opérateur intégral Q (2) s défini au théorème 22(iv). En particulier, en utilisant la série (5.14

) pour Q = Q (2)
s , on peut montrer que π (2) (0) = 0.

Cette propriété est appelée propriété de répulsion des valeurs propres (voir [Me]). De plus, on a dans ce cas (iii) Soient Λ (n) max défini par λ

(n) max = 2 √ 2w+ √ 2wn -2/3 Λ (n) max et λ = 2 √ 2w+ √ 2wn -2/3 s, alors P λ (n) max λ = P Λ (n) max < s ---→ n→∞ det(1 -Q (2) Ai ) déf = F 2 (s), où Q (2)
Ai est un opérateur intégral sur [0, +∞[ défini par le noyau

Q (2) Ai (ζ, η) = Ai (ξ)Ai ′ (η) -Ai (η)Ai ′ (ξ) ξ -η .
De plus, on a dans ce cas, F 2 (s) = exp -∞ s (s -x)q 2 (x) dx où q ′′ (x) = xq(x) + q 3 (x) et q(x) = Ai (x)(1 + o(1)) quand x → +∞. La fonction q est solution de l'équation de Painlevé II (voir [TW]).

(iv) Tous les résultats ci-dessus concernent les ensembles unitairement invariants, en particulier l'EGU. Les ensembles orthogonalement invariants sont plus difficiles à analyser. Voici un résultats pour l'EGO (voir [Me]).

Pour le régime local, la probabilité de trou -1 f (x)g(x)( √ 1 -x 2 ) -1 dx, et T ℓ (λ) = 2/π cos(ℓθ) pour λ = cos(θ). On peut considérer formellement ces polynômes comme ceux correspondant à l'ensemble unitairement invariant défini par la fonction

E (1)
V (λ) =    +∞, si |λ| 1; -n -1 log( √ 1 -x 2 ), si |λ| < 1.
Alors, d'après le théorème 15(ii) on a pour tout λ, |λ| < 1

ρ n (λ) = 1 n 1 √ 1 -λ 2 2 π n-1 ℓ=0 cos 2 (θℓ) = 2 π √ 1 -λ 2 1 2 + 1 2n n-1 ℓ=0 cos(2θℓ) ----→ n→+∞ 1 π √ 1 -λ 2 .
On voit que la densité d'état de cet ensemble est différente de celle de l'EGU, i.e., de la loi du demi-cercle. On n'a donc pas d'universalité de ρ. D'autre part, on a pour tout λ 0 tel que |λ 0 | < 1, 1 nρ n (λ 0 )

K n λ 0 + ξ 1 nρ n (λ 0 )

, λ 0 + ξ 2 nρ n (λ 0 ) = (2nρ n (λ)) -1 (1 -λ 1 ) -1/4 (1 -λ 2 ) -1/4 n-1 ℓ=0 cos ℓ(θ 1 -θ 2 ) + o(1), n → ∞, où λ 1,2 = λ 0 + ξ 1,2 /nρ n (λ 0 ) et cos θ 0,1,2 = λ 0,1,2 . Comme

θ 1 -θ 2 = - ξ 1 -ξ 2 sin θ 0 nρ n (λ 0 ) (1 + o(1)), qn → ∞ et n-1 ℓ=0 cos ℓ(θ 1 -θ 2 ) = cos n-1 2 (θ 1 -θ 2 ) • sin n 2 (θ 1 -θ 2 ) sin 1 2 (θ 1 -θ 2 )
, on obtient la relation (5.37) uniformément en ξ 1 et ξ 2 sur tous les compacts de R 2 . On voit que pour l'ensemble de Tchebychev , cette limite coïncide avec celle de l'EGU.

Définition 5 (

 5 Transformée de Stieltjes). Soit m une mesure de probabilité sur R. La fonction f (z) = R m(dλ) λ -z définie pour z ∈ C tel que Im z = 0, s'appelle la transformée de Stieltjes de m. Proposition 6. Soit f la transformée de Stieltjes d'une mesure de probabilité m. Alors

  .4) Dans ce cas, Σ(z) est aussi une fonction de Nevannlina dont la mesure associé a pour masse totale R λ 2 N ( dλ). Comme f (z) = -z -1 (1 + O(1/z)) quand z → +∞, f est alors inversible au voisinage de l'infini. Soit z(f ) cette inverse, qui est analytique au voisinage de 0, et R(f ) = Σ(z(f )). Cette fonction R est appelée R-transformée de la mesure N[VDN].Revenons au cas A n + U n B n U * n . Le système (4.3) et la formule (4.4) impliquent que si R A et R B sont les R-transformées des mesures de comptage N A et N B et si R A+B est la R-transformée de la limite de la mesure de comptage normalisée associée à

où

  Ai est la fonction d'Airy, c'est-à-dire la solution de l'équation différentielle y ′′ -xy = 0 telle que y(x) ----→ x→+∞ 0.

  sont bornées indépendamment de x et ℓ. Donc, d'après la proposition 21(i) on a pour |λ| < 2 √ 2w et pour tout ε > 0,

π ( 2 )

 2 (s) = C 2 s 2 + O(s 3 ) quand s → 0un résultat du régime global. Le point suivant donne le résultat correspondant pour le régime local.

  théorème 22 (iii)). Dans ce cas, la densité de la loi des écarts vérifieπ (1) (s) = d 2 E (1) (s) ds 2 = C 1 s + O(s 2 ), s → 0,alors que dans le cas de l'EGU, elle était C 2 s 2 + O(s 3 ) quand s → 0 (cf (5.35)). On conclut que la propriété de répulsion des valeurs propres est plus faible pour l'EGO que pour l'EGU.(v) Une idée des plus importantes de la théorie est celle d'universalité. L'idée -en fait une conjecture -est que les propriétés statistiques des valeurs propres des matrices aléatoires dans un voisinage de l'ordre de 1/nρ n (λ 0 ) pour un λ 0 tel que ρ(λ 0 ) = 0 ne dépend pas de l'ensemble. En particulier, toutes les fonctions de corrélation R n,ℓ d'un ensemble (voir leurs définitions dans le théorème 15(iii)) doivent vérifier la relation asymptotique du théorème 22 (iii). La démonstration de ces faits est déjà compliquée dans le cas le plus simple des ensembles unitairement invariants (voir [PS, DK + ]) où le problème est réduit à l'étude de polynômes orthogonaux (voir théorèmes 15 et 16).Il s'agit de la relation asymptotique1 nρ n (λ 0 ) K n λ 0 + ξ 1 nρ n (λ 0 ) , λ 0 + ξ 2 nρ n (λ 0 ) ---→ n→∞ sin π(ξ 1 -ξ 2 ) π(ξ 1 -ξ 2 ) (5.37) du noyau reproduisant du système des polynômes orthogonaux correspondants {P (n) ℓ } ℓ≥0 . En voici une illustration. Considérons, dans le cas où β = 2, les polynômes les plus simples, ceux de Tchebychev { T ℓ } ∞ ℓ=1 . Ils sont définis sur [-1, 1] et sont orthogonaux pour le produit scalaire 1

  Ce cours a été donné durant les mois de février et de mars 2000 au cmi à l'Université de Provence, dans le cadre de l' École Doctorale.

	1 Current address: Université Paris 7
	UFR de Mathématiques
	case 7012, 2, place Jussieu -75251 Paris, Cedex 5 -France
	E-mail:	m a @ r s u t t h. j u i e s s u . r f pa
	2 Current address: Projet OMEGA, INRIA
	IECN, Campus scientifique -BP 239 -54506 Vandoeuvre-lès-Nancy Cedex -France
	E-mail:	@ e y i c n .u -n a n c y . f r a j e L . e n i o t n A
	†

  pour tout A, B appartenant à M n , Proposition 8. Soit M une matrice symétrique réelle de taille n

(i) | Tr A| n A où A est la norme A = sup x∈R n \{ 0 } |Ax|/|x| ; (ii) Tr AB = Tr BA ; (iii) | Tr AB| 2 Tr AA * Tr BB * .

N

  An et N Bn les mesures de comptage normalisées de A n et de B n . Supposons que sup Notons f A et f B les transformées de Stieltjes des mesures de comptages normalisées N A et N B . Alors la transformée de Stieltjes de la mesure de comptage normalisée de A n + U n B n U * n converge en probabilité vers une fonction de Nevannlina f (voir la proposition 6), vérifiant le système suivant :

n |λ|N An (dλ) < ∞, sup n |λ|N Bn (dλ) < ∞.

  Théorème 22. Soit H n l'EGU, N n sa mesure de comptage normalisée et ρ n la densité de la mesure E [ N n ]. Alors (i) Pour tout λ ∈ R la fonction ρ n (λ) tend vers la densité de la loi du demi-cercle (3.23) de l'EGU

This version may be slightly different from the published version

√ 2w 2 2 2 √ 2w 2 ϕ ′ (µ) √ 8w 2 -µ 2 µ -λ dµ,(5.25)(cf (3.25)) ;


Keywords: ByteString class»findFirstInString, inSet, startingAt, ByteString class»stringHash, initialHash, ByteString»at, put, ByteString»at, ByteString»isByteString ByteTextConverter class»unicodeToByteTable ByteTextConverter startingAt, Standard FileStream»nextPut, Standard Array class»new, Array»isSelfEvaluating Array»printOn, Array»replaceFrom, to, with, startingAt, Array»shouldBePrintedAsLiteral ArrayedCollection class»new, withAll, ArrayedCollection class»new ArrayedCollection class» CompiledMethod»primitive CompoundTextConverter class»encodingNames ContextPart class»contextEnsure, ContextPart class»contextOn, do, ContextPart class»newForMethod, ContextPart class»theReturnMethod ContextPart»activateMethod, withArgs, receiver, class, ContextPart»activateReturn, value, ContextPart»at, put, ContextPart»at, ContextPart»bottomContext

Producing a small deployment version of an application is a challenge because static abstractions such as packages cannot anticipate the use of their parts. As such, an application often occupies more memory than actually needed. To solve this problem we propose Tornado, a technique to dynamically tailor applications to only embed code (classes and methods) they use. Tornado uses a run-fail-grow approach to prepare an application for deployment. It launches minimal version of an application and installs a minimal set of statements that will start the user's application. This application is run and these statements are executed. When the application fails because there are classes or methods missing, the necessary code is installed. The application is executed until it reaches a stable point, allowing possibly human interaction for applications with UIs. Thus, Tornado creates minimal memory footprint versions of applications by tailoring the whole application's code, including run-time and third party libraries.

In this report, we present the results we obtained from using Tornado to tailor two different applications. We succeeded to tailor a hello world application to occupy 1% of its original size. We also experimented with a Seaside web application tailoring in one case only the application's and framework's code and the whole application's code in the other case. In this latter example, we reached memory savings of about 97%. In this report we present an overview on Tornado, and we give details of the results we obtained.

Used Methodology

We tested our Tornado implementation by tailoring two different Pharo applications: a hello world application and a simple but yet interactive web application based on the Seaside framework [START_REF] Bergel | Seaside -advanced composition and control flow for dynamic web applications[END_REF]. Our methodology consisted in: setting up a seed for the application, preparing the application entry points and executing the application. In the case of the interactive web application, we interacted with it through a web browser. Once we finished the process, we extracted the resulting application by making a snapshot of it in a Pharo image file. We tested the generated snapshots to verify they work properly (under the assumption that only the previously used features of the application should work).

Finally, to present our results we measured the size of the generated snapshots files and compared them with the snapshots of the full applications under Pharo's production option 1 . The results prove the soundness of our solution.

Hello World Application

We used Tornado to tailor a hello world application writing 10 times the 'hello world' string to the standard output (stdout). In this case study we used an empty seed to grow both base libraries and the application's code. Figure 1 shows the installed entry point to tailor this application. Table 1 shows our results for this case. We succeed to reduce the application's size to 1% of its original counterpart.

Seaside Web Application

We also used Tornado to tailor a simple web application consisting in a webpage with a counter containing two buttons. These two buttons perform requests to the web server to increase and decrease the counter. The Seaside application framework was configured with its default values, without making any customizations.

In this case, we used two different seeds for tailoring: a seed containing all Pharo base libraries and an empty seed. Appendix B presents the entry points for these both seeds. The tailoring was done by starting the application and exercising it by generating requests through a web browser, clicking on its decrease and increase buttons. Table 2: Results of second case study. Results of tailoring a web application with two different seeds. On the left, the total sizes of the original application deployment components (base libraries, application framework and counter application). On the right, our results when applying after tailoring. The first two results rows are compared against the total of the reference application. The third row presents the comparison without including base libraries, already inside the seed.

Table 2 shows the results obtained when tailoring this application with each of these two seeds. Figure 2 presents a tailoring map illustrating how Tornado selects the code units from a reference application given a seeds. This figure also presents the notation we use in Table 2: P is the Pharo base libraries, S is the Seaside Framework and C is the Counter application code units present in the reference application. P', S' and C' are their counterparts selected by Tornado when using an empty seed. P", S" and C" are their counterparts, as selected by Tornado when using a seed with all base libraries. In the latter, we can note that P=P". Entry points as used to tailor the Seaside web application with a full Pharo seed and an empty seed. The first one (Figure 3) only consists in starting the web server as the base libraries are initialized and available in the seed. The latter one (Figure 4) includes the initialization of the minimal runtime needed to do networking.

Acknowledgements.

ZnZincServerAdaptor startOn: 8888. C Appendix: Method List of Seaside Counter Application with Full Pharo Seed

List of methods extracted from the nurtured Web application when using a seed containing all base libraries from Pharo. This list includes all methods installed from Seaside framework and the counter application. The list of methods part of the base library are excluded as it is the same list of the methods found in Pharo base library.

D Appendix: Method List of Seaside Counter Application with Empty Seed

List of methods extracted from the nurtured Web application when using an empty seed. This list includes all methods installed from Seaside framework, the Counter application and the base library of Pharo.

1

  FileStream startUp: true. 2 1 to: 10 do: [ :i | FileStream stdout nextPutAll: 'hello'; crlf ].

Figure 1 :

 1 Figure 1: Entry point of the Hello World application with an empty seed.

Figure 2 :

 2 Figure 2: Tailoring Map. Tailoring map describing the Seaside application generated with the empty seed (left) and the full Pharo seed (right).

Figure 3 :

 3 Figure 3: Entry point of the Seaside application with a full Pharo seed.

Figure 4 :

 4 Figure 4: Entry point of the Seaside application with an empty seed.

Table 1 :

 1 Results of the tailored Hello World application.

  This work was supported by Ministry of Higher Education and Research, Nord-Pas de Calais Regional Council, FEDER via the 'Contrat de Projets Etat Region A Appendix: Method List of a Nurtured Hello World ApplicationList of methods extracted from the nurtured Hello World application. This list includes all methods installed from the Pharo base libraries and the simple Hello World application.

	LookupKey»key: B Appendix: Entry Points to Tailor the Seaside Web Semaphore»critical:
	LookupKey»key Magnitude»max: Application	SequenceableCollection»copyFrom:to: SequenceableCollection»copyUpTo:
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	RussianEnvironment class»supportedLanguages

Pharo allows to prepare a snapshot for production. This option cleans some caches and removes some well known objects from the system, thus, freeing space.

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(CPER) 2007-2013', the Cutter ANR project, ANR-10-BLAN-0219. Heap»do: Heap»downHeapSingle: Heap»growHeap»reSort Heap»growSize Heap»growTo: Heap»isEmpty Heap»privateRemoveAt: Heap»remove:ifAbsent: Heap»removeFirst Heap»setCollection:tally: Heap»size Heap»sortBlock: Heap»sorts:before: Heap»upHeap: Heap»updateObjectIndex: ISO885915TextConverter class»encodingNames ISO88592TextConverter class»encodingNames IdentitySet»scanFor: InstructionStream»interpretExtension:in:for: InstructionStream»interpretNextInstructionFor: Integer class»readFrom:base: Integer class»readFrom: Integer»* Integer»+ Integer»< Integer»= Integer»» Integer»asCharacter Integer»asInteger Integer»copyto: Integer»denominator Integer»digitCompare: Integer»digitDiv:neg: Integer»digitMultiply:neg: Integer»digitSubtract: Month class»indexOfMonth: Month class»nameOfMonth: Mutex»critical: Mutex»initialize NetNameResolver class»initializeNetwork NetNameResolver class»initialize NetNameResolver class»primNameResolverStatus NetNameResolver class»resolverStatus Number class»one Number class»readFrom: Number»// Number»% Number»\\ Number»abs Number»asDuration Number»floor Number»fractionPart Number»integerPart Number»isNumber Number»isZero Number»negated Number»negative Number»quo: Number»raisedToInteger: Number»rem: Number»strictlyPositive Number»to: NumberParser class»on: NumberParser»nextElementaryLargeIntegerBase: NumberParser»nextIntegerBase: NumberParser»nextUnsignedIntegerBase: NumberParser»nextUnsignedIntegerOrNilBase: NumberParser»on: NumberParser»peekSignIsMinus NumberParser»readExponent

FileStream class»stdioHandles FileStream