1 De la naissance au septième jour. Rituels féminins et temps suspendu (tribu berbérophone du Sud-Est marocain) Marie-Luce Gélard

éloigné des agglomérations et ne dispose d'aucune infrastructure routière. Par conséquent, comme dans bien d'autres régions rurales marocaines, les naissances se déroulent à domicile et mobilisent l'ensemble de la famille, des proches et du voisinage. Il n'existe pas à proprement parler de sage-femme. Toute mère est potentiellement capable d'aider une autre femme à mettre son enfant au monde, les plus âgées étant bien sûr les plus compétentes puisque les plus expérimentées. L'accouchement a toujours lieu dans la maison ou la tente des parents du mari, en cohérence avec l'établissement de la résidence du couple qui a lieu sur le territoire de l'époux (virilocalité). Une fois mis au monde 7 , le nouveau-né est essuyé et enduit d'huile par une femme, pendant qu'une autre enterre le placenta (tinitine) dans un lieu connu d'elle seule. Il est indispensable pour protéger la mère et son enfant que le sang de l'accouchement (idamn n-tarwa) soit au contact direct de la terre dans laquelle il disparaît. Le placenta est souvent utilisé dans des préparations magiques considérées comme hautement néfastes. Aussi, dans l'ensemble du monde musulman, les protections contre ces pratiques sont une constante [F. Aubaile-Sallenave, 1999 : 128]. Pour protéger l'enfant, on attache à son bras une amulette (lhrz), confectionnée par le fiqh du village sur laquelle il a inscrit des versets du Coran. L'amulette qui ne doit jamais être retirée du corps de l'enfant y demeure durant plusieurs mois. Lorsqu'il devient nécessaire de la lui retirer, on prend soin que personne ne passe entre celle-ci et l'enfant sous peine d'annuler l'effet recherché ou pire d'attirer les mauvais esprits. Ces derniers sont aussi conjurés par la présence, à la tête de l'enfant, d'un morceau de miroir brisé et d'un objet tranchant destiné à « effrayer » les jnûns. Puis l'enfant est emmailloté dans un linge blanc, il s'agit d'un morceau du cheich blanc, à connotation religieuse, que portent toujours les plus anciens de la tribu, les jeunes hommes lui préfèrent le cheich noir. Le nourrisson ne portera pas de vêtements jusqu'au jour du sacrifice rituel (tasmiya) 8 . Le couple mère-enfant est tenu à l'écart, dans une pièce retirée ou dans un angle de la tente à proximité du feu (espace féminin). L'isolement de l'accouchée et de l'enfant dure sept jours durant lesquels le temps paraît suspendu. Les soins du premier jour sont généralement dispensés à l'enfant par sa grand-mère maternelle. Du henné lui est apposé sur les cheveux, sous les aisselles, sur la totalité des mains (intérieur et extérieur) et entre les jambes. Le cordon noué est plaqué sur l'abdomen et également recouvert d'une épaisse couche de henné, utilisé ici pour ses vertus cicatrisantes. Du koÌl autour des yeux et sur l'ensemble de l'arcade sourcilière, redessine les sourcils et souligne les traits de l'enfant. Ces techniques de maquillage, outre leurs propriétés prophylactiques, témoignent surtout d'une sorte d'entrée progressive de l'enfant dans le monde adulte. En effet, les traits non encore visibles de l'enfant sont forcés par les contours sombres du koÌl. Un carré de linge blanc est posé sur la tête de l'enfant et maintenu par un bandeau serré, afin, dit-on, « que la tête de l'enfant de s'ouvre pas (afad adur innarzm ighf) » 9 . De manière parfaitement symétrique, la mère, dont les mains et les pieds sont teintés de henné (lequel n'est habituellement apposé que sur la paume des mains et la plante des pieds), est maquillée de koÌl et coiffée comme l'enfant. En temps habituel, les femmes ont les cheveux nattés relevés sur le haut du crâne et recouverts d'un foulard noué sur le front, sur lequel elles ajoutent le voile noir brodé des motifs spécifiques à la tribu des Aït Khebbach. Seules les accouchées portent le bandeau frontal, mais il n'est vraisemblablement pas destiné au même usage que celui de l'enfant. Tout se passe comme si durant les sept jours qui suivent la naissance, l'enfant et sa mère n'étaient pas séparés, dissociés. Ils ne semblent former qu'une seule et même personne. Cette impression est renforcée par le fait que l'enfant ne possède pas encore de nom, celuici ne lui sera donné qu'après le rituel sacrificiel du septième jour. Il n'est donc pas possible de le nommer autrement que par des métaphores. Entre elles, pour désigner le nourrisson les femmes diront : « Félicitations à celui qui est né (Adig nbark mayd d-ilulan) » ; ou évoqueront le prénom ou le nom 10 de la mère. Les premiers soins prodigués à la mère et au nourrisson sont destinés à les protéger contre les maléfices divers encourus immédiatement après l'accouchement. En principe, seules les femmes (sage-femme, parenté proche et voisinage) peuvent approcher le couple mèreenfant sans lui être nuisible. Françoise Aubaile-Sallenave [1999 : 128] remarque : « Il faut protéger l'enfant du mauvais oeil, c'est-à-dire du contact physique avec toute autre personne que sa mère et la sage-femme, qui sont, en principe, les seules à ne pas être néfastes ». L'isolement de l'accouchée et du nourrisson, leur assimilation, sous la forme d'une fusion, par les similitudes du maquillage, de la coiffure et du henné et l'absence totale du père, rendent compte, à ce stade, de l'affiliation exclusivement maternelle du nouveau-né 11 . Au sujet de l'organisation de la filiation légitime au Maroc central, George Marcy (1941 : 208) écrivait : « Tout d'abord, le droit du père n'apparaît pas du seul fait de la naissance survenue à son foyer. Ou du moins, cet événement naturel de la naissance ne lui confère sur le nouveau-né qu'une puissance de fait. C'est seulement par la cérémonie musulmane de l'imposition du nom, célébrée le septième jour, qu'aura lieu l'entrée officielle de l'enfant dans la famille paternelle » 12 . Dans la tribu des Aït Khebbach, les représentations de la filiation du nourrisson, comme le suggère l'expression « Le lait est plus fort que le sang », vont être directement corrélées à l'allaitement. La lactation maternelle s'accompagne d'un régime alimentaire strict, destiné à l'améliorer.

Alimentation et pratiques galactogènes

La mère alitée est recouverte de plusieurs couvertures de laine, toute diminution de chaleur et tout contact avec le froid sont soigneusement évités 13 . Aussi, l'accouchée est allongée sur du sable chaud, que les femmes vont chercher dans les dunes. Celui-ci 14 est changé régulièrement afin de maintenir la température. On attribue à la chaleur un ensemble de vertus positives, alors que le froid est un état dont il convient de toujours se préserver. Le mélange chaud/froid est tout aussi néfaste puisqu'il attire les jnûns ; aussi ne doit-on jamais éteindre des braises avec de l'eau, se laver lorsqu'on est en sueur ou encore, associer deux aliments, respectivement chaud et froid. Dans certaines régions du Maroc, on prépare parfois le thé avec de l'absinthe (catégorisée comme chaude) et de la menthe (catégorisée comme froide), procédé impensable chez les Aït Khebbach. Les éléments chauds (bénéfiques) devenus froids (maléfiques) sont également à fuir ; de la sorte, il convient de ne jamais marcher sur des cendres, ni d'enjamber un animal sacrifié, ni de toucher le sol qui a reçu son sang. Anne-Marie Brisebarre [1999 : 110] a fort bien illustré cette croyance en montrant comment le sang, véhicule de la vie dans le corps, devient une humeur néfaste lorsqu'il en sort. En s'écoulant du corps de la victime, le sang passe du chaud au froid, espace des esprits mauvais. La nourriture de la mère et de l'enfant tient le plus grand compte de ces éléments. Ainsi, tous les aliments catégorisés comme « froids » sont interdits à la mère car censés diminuer voire empêcher la lactation. Les craintes féminines des formes d'hypogalactie 15 sont fréquentes et de nombreuses pratiques alimentaires tendent à les éviter. Ainsi, le lait de vache et la menthe sont formellement interdits à la mère, l'un et l'autre étant considérés comme des aliments froids 16 . Les seuls laits permis sont celui de la chamelle et celui de la chèvre, ce dernier étant le plus proche du lait maternel. Les enfants nourris au lait de chèvre, en raison du tarissement du lait maternel, sont généralement nommés : les enfants de la chèvre (ichirn n-tarrat). Le jour de la naissance, la famille prend soin d'égorger un de ses animaux afin que l'accouchée ait un régime carné abondant, la viande est en effet considéré comme l'élément le plus chaud. Après l'accouchement, la montée de lait n'est donc rendue possible que par l'effet conjugué d'une nourriture riche et chaude. Dans l'attente du lait maternel, l'enfant est nourri de thé et de jus de datte 17 (éléments chauds par excellence). À propos des nourritures données au nouveau-né, Françoise Aubaile-Sallenave [1999 : 129] décrit le rituel dit taÌnîk par lequel on frotte le palais de l'enfant avec une substance sucrée : « Le miel ou les dattes sont les substances sucrées les plus largement utilisées à la fois pour leur saveur très plaisante et ce qu'elles représentent : elles sont hautement génératives, repoussent les mauvais esprits et marquent le bon accueil ». Le taÌnîk possède tout à la fois des vertus propitiatoires (rendre la bouche de l'enfant douce, il aura ainsi toujours de bonnes paroles), et des vertus de protection contre les esprits. Le rituel permet enfin la transmission de la baraka « par un jet de salive envoyé dans la bouche de quelqu 'un » [Françoise Aubaille-Sallenave, 1999 : 129]. À Merzouga, il s'agit d'une datte, mâchée par la grand-mère paternelle, afin, dit-on, que l'enfant apprenne à devenir aussi honorable qu'est supposé l'être son ascendante. Ce procédé rituel d'agrégation symbolique du nouveau-né à la famille paternelle est toujours réalisé par une femme 18 . L'enfant est nourri de la sorte durant les premiers jours qui suivent sa naissance. La nourriture de la mère est aussi l'objet de soins attentifs : elle prend ses repas seule et les mets les plus nutritifs lui sont réservés. Elle mange des morceaux de viande mélangés à de la bouillie d'orge. L'accouchée est souvent veillée et assistée par sa propre mère, les deux femmes restant seules avec l'enfant. Comme en témoigne les différentes pratiques galactogènes, l'attente de la montée de lait est une période pendant laquelle les femmes sont très attentives car la vie de l'enfant en dépend. La mortalité infantile demeure élevée à Merzouga. Le recours à l'allaitement artificiel est quasi inexistant. Dans les représentations, seul le lait maternel permet un développement normal de l'enfant, lui seul serait à l'origine de la constitution du squelette 19 . L'allaitement est aussi primordial pour une autre raison : il établit des liens de parenté. C'est la parenté de lait « qui réintroduit, par des détours certes complexes, le rôle du féminin » [Pierre Bonte, 2000 : 139]. Elle est antérieure à l'islam qui l'a codifiée [Françoise Héritier, 1994 : 149]. Nous ne reviendrons pas ici sur les multiples déterminismes de la parenté de lait 20 et des pactes de colactation 21 , notamment dans les prescriptions matrimoniales, mais nous retiendrons le motif de l'appropriation du lait des femmes par les hommes. C'est par l'examen des fluides corporels associés, dans les représentations des individus, à la constitution du foetus que Françoise Héritier détermine l'origine masculine du lait. Si par le lait se transmettent des substances agnatiques, un enfant allaité par une nourrice reçoit des apports masculins extérieurs à la lignée agnatique dont il est issu, via l'époux de cette nourrice 22 . Aussi, l'identité agnatique du nourrisson est-elle partiellement tributaire de son allaitement 23 . De tout cela il ressort que, si la parenté de lait est une affiliation par les femmes 24 , la récupération masculine de la fonction est indispensable au regard de la primauté donnée à l'agnatisme.

Transfert du lait et allaitement

Le rôle des hommes

Dans les premiers jours qui suivent la naissance de l'enfant, le père et les hommes de son entourage n'interviennent que sous un aspect négatif : le transfert du lait. De l'accouchement jusqu'au quarantième jour, les femmes veillent à ce que tout homme, père d'un enfant de moins de quarante jours également, ne mange ou ne porte à sa bouche aucun aliment lors d'une visite dans la maison de l'accouchée. L'ingestion ou le simple contact de l'aliment provoquerait immédiatement le passage de l'intégralité du lait de la mère vers la femme du visiteur. Déjà relevées par Muriel Djéribi [1988 : 39], ces « migrations étranges [du lait] des seins d'une femme à ceux d'une autre » renvoient directement à l'appropriation du lait par les hommes. L'anecdote suivante illustre parfaitement la nature de l'interdit et le rôle des hommes. Au sein du village de Merzouga, deux hommes, amis de longue date, ont eu chacun un enfant à trois jours d'intervalle. Le lendemain de la naissance de la fille d'Addi, Idir se rendit tout naturellement chez son ami. Contrairement aux habitudes, les femmes de la maison prirent soin de ne lui offrir ni à boire ni à manger. Alors qu'il discutait dans la cuisine avec la mère de son ami, il prit machinalement un morceau d'oignon cru qu'il porta à sa bouche. Constatant cette étourderie, la grand-mère de l'enfant l'enjoignit sur le champ d'apporter à sa belle-fille n'importe quelle denrée alimentaire. L'accouchée reçut le don en main propre et offrit en retour un pain de sucre pour l'épouse d'Idir. À ma connaissance, il s'agit du seul cas où il est admis qu'un homme soit au contact d'une femme venant d'accoucher, excepté son épouse. Celui-ci dut le porter immédiatement à sa femme afin que la restitution du lait soit réalisée instantanément. Un second exemple illustre un autre motif de transfert de lait, survenu brutalement sans que les intéressés en trouvent immédiatement la cause. Alors qu'une naissance venait de se produire dans une famille du village, un nomade en déplacement depuis plusieurs mois, vînt rendre visite à cette famille. L'homme ignorait alors que son épouse, restée au campement, avait accouché le jour même. Il prit tout naturellement un repas avec les hommes de la maisonnée et reprit sa route. Après quelques jours, la jeune accouchée constata l'absence de toute montée de lait et l'impossibilité de nourrir son enfant. Les femmes de son entourage en cherchèrent la cause et, passant en revue les différents individus susceptibles d'avoir causé la disparition du lait, se rappelèrent la visite du nomade. Des dattes furent alors envoyées à son épouse, demeurant à plusieurs kilomètres de piste du village. En retour, le messager, envoyé par la famille du village, reçut un pain de sucre. À peine la femme porta-t-elle le sucre à ses lèvres, qu'elle sentit des picotements dans sa poitrine, annonçant le retour du précieux liquide. Dans les cas où une nourriture est prise par mégarde, comme dans les exemples ci-dessus, les dons alimentaires en direction de l'accouchée ne sont pas toujours en mesure d'obtenir le retour du lait transféré. Ce n'est pas systématique, aussi il est préférable de se prémunir du risque accidentel d'un transfert de lait. Pour cela, il convient de réaliser ce que la tradition locale nomme « le partage des quarante jours ». Le procédé consiste à distribuer volontairement de la nourriture entre toutes les familles proches (proximité géographique immédiate) ayant un nouveau-né, réalisant ainsi une sorte de compensation réciproque préventive. Il est clair que ce qui est en jeu dans les motifs du transfert et de la restitution du lait ne concerne pas seulement la santé du nourrisson, mais, bien au-delà et surtout, les représentations locales de la filiation. Tout d'abord l'intervention masculine dans le processus de lactation renvoie à l'appropriation de la substance. Chez les Aït Khebbach, il n'existe pas d'assimilation sperme/lait. Cette assimilation est relevée dans de nombreuses autres sociétés musulmanes. Ainsi, le lait serait du sperme transformé [FrançoiseHéritier, 1994 : 158]. À propos de l'explication des prohibitions matrimoniales dérivées de l'allaitement, Édouard Conte [1991 : 81] interroge la combinaison des fluides masculins (sperme) et féminin (lait) : « Sans sperme pas de lait […]. La langue populaire fait même l'économie du "chaînon intermédiaire" que constitue la femme lorsqu'elle dit : "Le lait est de l'homme." Cette attitude "agnatique" se traduit dans la terminologie juridique par les expressions laban al-faÌl ou "le lait de l'étalon (ou reproducteur)" et liqâÌ wâlÌd "le sperme unique", impliquant une identité ou, au moins, un rapport causal entre sperme et lait ». C'est ensuite, par la relation établie entre les deux humeurs que la fonction nourricière, motif itératif des contes et légendes orales, fait apparaître la possibilité de l'allaitement d'enfants par une figure paternelle. Pierre Bonte [1995Bonte [ -1996] ] relève, à propos du mythe berbère du Sharif Bû Bazzûl, l'allaitement de son fils, à qui il fait téter le bout de ses doigts. De manière moins formelle, plusieurs versions du mythe d'origine de la tribu des Aït Khebbach évoquent le nourrissement des enfants de l'ancêtre, lequel privilégie le plus jeune de ses quatre garçons et lui « donne du lait chaque jour ». D'autre part, la tradition orale témoigne aussi de cette récupération masculine, sous la forme d'un pacte de colactation réalisé avec une tribu arabe, sans intervention féminine, pacte réalisé entre les chefs des deux tribus ayant simplement bu du lait de chamelle à la même coupe, laquelle enterrée sur le lieu même de l'accord a scellé définitivement le pacte d'alliance. L'instauration volontaire de la parenté de lait entre les tribus n'a même pas nécessité d'autres modalités rituelles comme l'échange des nourrissons entre femmes. Dans le cadre du transfert du lait et des interdits alimentaires destinés à l'éviter, seuls les hommes sont à l'origine des déplacements potentiels de la substance. Dans certains cas, on considère néanmoins qu'une femme pourrait être un vecteur potentiel, mais seulement pendant la période des sept jours suivant la naissance, or c'est un moment pendant lequel une accouchée ne peut, en principe, quitter son domicile, ce qui rend ce cas de figure difficilement réalisable. Même si la restitution se fait par le biais des deux accouchées, c'est à l'homme qu'incombe la charge de réaliser l'échange des dons alimentaires 25 . Comme cela a été souligné plus haut, le transfert du lait maternel n'a lieu qu'à l'initiative des hommes. Il reste toutefois à évoquer le rôle singulier de certains animaux dans le tarissement de la lactation.

L'intervention de l'univers animalier

La possibilité du transfert de l'intégralité du lait d'une femme à un tiers s'étend également à certains animaux comme la fourmi (tautuft), la chatte (tamachot), la chienne (tichtit) et la vache (tafunest). Si, dans la maison de l'accouchée, une vache, une chatte ou une chienne a un petit non encore sevré et que, par mégarde, l'un de ces animaux vient à ingurgiter, ne serait-ce qu'une goutte du lait de la mère, celle-ci verrait ses seins se tarir. Le contact des animaux avec le lait maternel passe généralement par les vomissements du nourrisson. Aussi, durant quarante jours, il convient d'être très attentif et le plus sûr pour empêcher tout transfert est de recourir au « partage des quarante jours ». La mère offre donc, de sa propre main, une denrée alimentaire à chacun des animaux concernés. Le don le plus important est celui fait à la vache car la mère doit pouvoir boire son lait (sous la forme de beurre). Lorsque la mère voit son lait disparaître, alors qu'à sa connaissance il n'y a pas eu de transgression des interdits, force est de supposer qu'une fourmi en est sans doute responsable. Le lait maternel étant censé s'être déplacé et se dissimuler dans la fourmilière, pour inverser le processus, la mère prend une fourmi, la dépose à l'intérieur d'une datte et la mange, unique moyen de partage possible avec l'insecte. Dans la tradition locale, si les animaux, par l'intermédiaire des femelles, sont susceptibles de causer la disparition du lait maternel, le risque les plus courant est attribué aux hommes.

Ainsi, leur apparition durant les six semaines suivant une naissance semble éminemment négative 26 . Le danger que l'homme fait peser sur la vie de l'enfant interroge. C'est sous la menace d'un transfert du lait que les hommes pénètrent dans un univers jusqu'alors exclusivement féminin. Cette maîtrise des hommes sur le lait leur permet d'éviter que la naissance ne reste qu'une affaire de femmes, ce qui risquerait de remettre en cause leur pouvoir agnatique. Si l'on admet que le lait est « une substance bisexuée », les hommes en sont alors à l'origine, même si les femmes le produisent et le transmettent [Édouard Conte, 1994] : il est donc indispensable qu'au cours des rituels féminins de la naissance le rôle des hommes réapparaisse, importe que cela soit de manière transgressive.

Maternité et paternité, de l'hommage à la consécration

Naissance et allégorie de la féminité

Dès le deuxième jour débutent les visites des femmes à la nouvelle accouchée. Elles sont nombreuses et apportent à la mère soit quelques dirhams, soit du thé, du sucre ou des oeufs. Quel que soit le don, il provient exclusivement du patrimoine féminin. Le travail rémunéré des femmes n'existe pas à Merzouga, seule la vente des oeufs leur permet d'accumuler de petites ressources financières. Les volailles leurs appartiennent ainsi que certaines têtes de bétail, essentiellement les chèvres. Si la gestion financière de l'argent du foyer leur revient, elles ne l'utilise pas lors du don coutumier, à caractère obligatoire, de la naissance. Les pains de sucre et le thé sont achetés avec leurs économies. Par conséquent, l'intervention masculine est, ici encore, absente. L'enfant n'est pas l'objet d'une attention particulière, ce qui semble confirmer sa fusion physique avec sa mère, entourée, saluée et félicitée par les visiteuses qui remercient Dieu de la naissance 27 . La mère offre à chacune des femmes présentes un morceau d'écorce de noyer (lmsuach) destiné à rougir les gencives, du koÌl et du parfum qui sont les trois auxiliaires essentiels de la beauté des femmes. Un kanûn rempli de braises est placé près de la mère et de son enfant dans lequel est jeté l'encens (lbkhogh) à chaque arrivée d'une nouvelle visiteuse. Celle-ci enjambe le foyer, s'y accroupit en relevant sa robe afin que la fumée parfumée pénètre ses vêtements. La mère de l'accouchée prépare le thé (sans menthe) et l'offre à chacune des femmes. Certaines entonnent des chants de louanges pour la mère, et poussent des you-you qui expriment la joie. Les hommes sont absents de toutes ces festivités 28 . La semaine qui suit le jour de la naissance se caractérise surtout pas son aspect éminemment féminin. Hayat Zirari ([1999 : 169-170] a décrit les sacrifices de volaille consacrée par les femmes à l'occasion du premier et du troisième jour. Un poulet est sacrifié le jour de la naissance et consommé par la mère. Un autre repas est préparé, le troisième jour à « l'intention des femmes qui auront rendu visite à l'accouchée pour la féliciter. Cette consommation se déroule dans un cadre cérémoniel assez élaboré au cours duquel les femmes vont fêter la naissance en l'absence des hommes ». À Merzouga, il s'agit d'un mouton sacrifié par le père de l'enfant pour satisfaire les besoins en viande de l'accouchée. La maisonnée entière bénéficie des repas carnés ; toutefois les meilleurs morceaux sont réservés à la mère de l'enfant. La cuisine du sacrifice est confectionnée uniquement par des femmes 29 . L'omniprésence féminine s'illustre, le jour même de l'accouchement, par la présence des grands-mères paternelle et maternelle, puis par celles de toutes les femmes de l'entourage. Tous les rituels dépendent étroitement des savoir-faire féminins. Durant toute la semaine, la mère demeure alitée près de son enfant et, en principe, ne quitte la tente ou la maison que le matin du septième jour. Elle baigne son enfant et procède à sa propre toilette, avant d'assister au sacrifice rituel : la tasmiya.

Le retour des hommes : rituel sacrificiel (tasmiya) et nomination de l'enfant

Dans la religion musulmane, le sacrifice ne fait pas partie des « piliers de l'islam », mais relève de la tradition (sunna) [P. Bonte, 1999 : 10]. Celui réalisé pour la naissance d'un enfant est donc une recommandation religieuse et non une obligation. L'intervention des hommes ne débute qu'à l'occasion de ce sacrifice, lorsque la famille proclame : « Nous lui avons donné un nom » (nga yas ism). Le matin après la prière, le père de l'enfant égorge un mouton en présence de toutes les femmes de la maisonnée, de la mère et de son nourrisson. À l'exception également de la matinée qui suit la nuit de noce lors des cérémonies du mariage, où un mouton est égorgé devant la jeune mariée, les rituels sacrificiels se réalisent habituellement entre hommes, les femmes restant plutôt à l'intérieur des habitations, préparant les ustensiles et les aliments nécessaires aux repas. Dans tous les cas qu'il m'a été donné d'observer, lorsque le père pose le couteau sur la gorge de l'animal, c'est la grand-mère paternelle ou un enfant qui prononce le prénom du nourrisson pour la première fois 30 . Le père le répète et l'associe au nom de la famille, par exemple : « Mama n-aït Bourk ». Toute la journée, parents et amis sont conviés à la fête et au repas. La mère et l'enfant sont entourés des femmes qui chantent et dansent sans discontinuer. Les hommes mangent ensemble et félicitent le père. Dès lors, l'agrégation de l'enfant à sa famille paternelle est réalisée. Aussi, la similitude mère-enfant établie par le maquillage et la coiffure disparaît ; seul l'enfant porte encore le bandeau, alors que la mère a retiré le sien après le sacrifice. C'est bien le rituel sacrificiel associé au repas pris en commun qui marque l'entrée de l'enfant dans le groupe paternel : « […] C'est à ce moment-là seulement que l'enfant naît à la famille, à la société (même s'il a déjà un nom), car jusque-là il était "inexistant" » [F. Aubaile-Sallenave, 1999 : 160.

L'attachement aux valeurs utérines

Durant la première semaine de la naissance, l'ensemble des rituels sont pratiqués au sein d'un univers féminin (soin du nourrisson et de sa mère, pratiques galactogènes, visites, repas et chants). La filiation de l'enfant n'est établie qu'en ligne utérine. Et, l'apparition « menaçante » des hommes aboutit, moins à un questionnement sur la nature précise des rôles masculins et féminins dans la constitution et la transmission de la substance lactée, qu'à une appropriation par les hommes du pouvoir féminin manifesté par l'établissement d'un lien de parenté via le lait. C'est pourquoi la fonction réelle des femmes dans la production d'un tel lien n'est pas sans conséquences sur l'ensemble du système de parenté et plus particulièrement au regard de l'agnatisme. Édouard Conte [1991 : 73], notait déjà le rôle primordial des femmes : « Le contrôle exercé à quelque degré par les femmes sur l'établissement de la parenté de lait constitue en tout état de cause un enjeu crucial ». Le Coran ne fera qu'entériner une pratique (parenté de lait et colactation) antérieure à l'avènement de l'islam 31 . On sait que, d'une manière générale, la parenté de lait s'assortit de prohibitions matrimoniales. Ainsi, les Aït Khebbach sont soumis à une interdiction d'alliance contractée avec certaines fractions allogènes 32 . Et, précisément, l'interdit est corrélé au procédé même d'intégration de la dite fraction, lequel a consisté en un pacte de colactation. La tradition orale raconte qu'au cours du pacte, le lait de quarante femmes de la tribu des Aït Khebbach a été mélangé à celui de quarante autres femmes de la fraction étrangère, et donné à l'ensemble des nourrissons. Depuis, les deux fractions sont soumises à un strict interdit matrimonial 33 . L'influence de la parenté utérine demeure une dimension majeure dans l'appréhension des représentations de la parenté, telles qu'elles sont développées par les Aït Khebbach 34 . Ainsi, si on admet que « le lait est plus fort que le sang », on comprend mieux, au regard de l'appréciation agnatique, l'enjeu masculin d'une maîtrise de la substance lactée. . [START_REF] Roberto | Le lait du père[END_REF] note la fréquence de ces angoisses maternelles alimentaires relevées dans les traditions orales italiennes à propos d'un personnage singulier : saint Mamant, très populaire dans l'Orient byzantin, qui est le protecteur de l'allaitement, auquel de nombreuses fontaines galactogènes sont consacrées.

Notes

16

. À propos du Maroc, Hayat Zirari [1999 : 161-162] note l'importance d'une alimentation nutritive et réchauffante pour l'accouchée afin qu'elle élimine rapidement le sang de l'accouchement et prenne du poids. 17 . À Merzouga, la majorité des habitants vivent de la culture oasienne et des récoltes de dattes. Le jus de datte s'obtient par un procédé long et complexe. À ce titre il est un aliment noble et recherché. Les dattes sont tout d'abord emmagasinées dans des sacs de jute, tassées et compressées. Il convient de les laisser plusieurs années afin qu'elles fermentent et sèchent. Ensuite, elles seront cuites durant plus de douze avant d'être pressées et filtrées. Afin de savoir si la cuisson est bonne, une goutte est prélevée et posée sur la terre, si elle n'est pas absorbée le jus de datte est terminé.

18

. Dans de nombreuses sociétés, la succion (et au-delà la salive), est corrélée à l'apprentissage [R. Lionetti, 1988 : 103]. Des principales humeurs corporelles : sueur, sang, lait, sperme et salive, seuls le lait (agho) et la salive (aldduiy) sont licites.

19

. D'après les habitants de Merzouga, les enfants nourris artificiellement souffrent de multiples déficiences. On explique, à propos d'un petit garçon de 18 mois : « Il ne marche pas encore car il n'a pas bu le lait de sa mère ». Il convient d'ajouter que les causes d'hypogalactie sont rarement imputées aux mères.

20

. Voir les développements proposés par : P. [START_REF] Copet-Rougier | [END_REF]Bonte [ , 1995Bonte [ -96,1999Bonte [ , 2000] ] ; R. Brunschvig [1957-58) ;H. Claudot et M. Hawad [1987] ; E. Conte [1991Conte [ , 1994Conte [ , 2000] ] ; F. Héritier [1978Héritier [ , 1981Héritier [ , 1994Héritier [ , 1996] ] ; G. Marcy [1936,1941] ; J.-P. [START_REF]Le lait et le sein dans les traditions Turques[END_REF] ; G. Surdon [1936]. . D'une manière générale, les prescriptions matrimoniales dérivées de l'allaitement concourent « à ne pas consolider la trace étrangère dans la descendance d 'un individu » [F. Héritier, 1994 : 161], puisque l'identité du mari de la nourrice transite par son lait. L'enfant porte alors en lui deux identités agnatiques, celle de son père biologique et celle de l'époux de sa nourrice.

23

. En effet, si l'accouchée ne peut nourrir son enfant, ce dernier sera mis en nourrice chez une femme non apparentée, mais originaire de la même fraction (ighs en berbère, littéralement, l'os, le noyau) que celle du père de l'enfant. Le co-nourrissement, créateur d'un lien de parenté, est évité dans le cadre de la famille proche pour ne pas gommer les relations de germanité (relation entre l'ensemble des frères et soeurs). L'enfant mis en nourrice chez sa tante paternelle (cas le moins fréquent mais néanmoins permis) crée un redoublement notoire de germanité au sein de la fratrie, puisque deux cousins germains deviennent, par le procédé de la colactation, en plus, des « frères de lait ».

24

. Comme l'atteste notamment les pactes de colactation, pratique attestée chez les Aït Khebbach, et où deux groupes sont affiliés par l'intermédiaire des femmes. Évoquant l'un de ces pactes chez les Aït Atta du Tafilalt (groupement Aït Khebbach), George Marcy [1941Marcy [ : 1999] ] écrit : « Les femmes des deux parties en présence qui avaient un enfant au sein, échangeaient momentanément entre elles leurs nourrissons. Le pacte conclu par ce dernier procédé s'appelait tafergant, c'est-à-dire "l'interdiction" ». Sur la signification et les implications contemporaines du terme tafergant voir M.-L. Gélard [2000 : 347-350 et 520-544].

25 . Roberto Lionetti [1988 : 29-30] relève un procédé identique en Lucanie, mais où il s'agit d'un homme frappé de gynécomastie (augmentation des glandes mammaires chez l'homme, donnant la possibilité d'une sécrétion lactée) consécutive à « l'envie d'une femme allaitant son enfant ». Afin que soit restituer le lait à la mère, l'homme dut réaliser le rituel prévu par la tradition « Il commença par réciter la formule prescrite : "J'ai ton lait. Donne-moi une tranche de pain, moi j'en mords un bout, tu me l'arraches en disant : donnemoi mon pain" […]. La cérémonie accomplie, ils se séparèrent sans ajouter d'autres paroles et le moissonneur retourna à Potenza, la poitrine délivrée du lait tandis que les seins de la femme redevenaient turgides ».

26

. Exception faite du matin de la cérémonie de la tasmiya.

27

. Les louanges ne tiennent pas compte du sexe de l'enfant.

28

. Si le père n'habite pas dans la maison ou sous la tente paternelle, son propre père lui rend parfois visite, mais s'abstient de tous propos relatifs à la naissance. Les relations conventionnelles entre le père et son fils les contraignent à ne jamais faire allusion aux relations impliquant des femmes, à plus forte raison des épouses. À propos de la situation affective des hommes au sein de la structure familiale des Aït Khebbach, voir M.-L., Gélard [2000 : 434-479].

29

. Alors qu'habituellement, les hommes sont chargés de la réalisation des brochettes de foie et de la cuisson « rôtie » de la viande. Lors du sacrifice du premier jour, les femmes n'utilisent pas ce mode de cuisson masculin : « Le rôti n'étant présent qu'à titre d'interdit, la place occupée par le masculin semble ainsi très faible, sinon absente des pratiques rituelles liées à l 'enfantement » [H. Zirari, 1999 : 175].

30

. Hayat Zirari indique qu'il arrive parfois que le père, à l'occasion du premier sacrifice (le jour de la naissance), prononce le prénom du bébé « souvent à l 'incitation d'une femme » [1999 : 165].

31

. « Les ambiguïtés et contradictions que révèlent aux premiers siècles de l'islam les édits des juristes relatifs aux fondements de la ridâ'a et aux degrés d'interdiction matrimoniale qu'elle implique vis-à-vis des parents du mari de la mère nourricière soulignent un bouleversement du rôle des ascendances féminines ainsi que de la parenté élective » [É. Conte, 1991 : 74].

32

. Il s'agit des fractions « étrangères », agrégées à la tribu au gré des circonstances historiques.

33

. Il convient de noter que si la colactation peut n'être que symbolique, dans ce cas elle n'implique nullement l'intervention féminine, il n'existe pas d'interdit matrimonial dérivé cette forme de parenté par le lait.

34

. Les descriptions des rituels de la naissance n'ont semblent-il jamais souligné la dimension utérine des pratiques.

  15

21.

  Les pactes au sein de la tribu des Aït Khebbach, sont traités ailleurs, voir M.-L. Gélard, Protection par le sang et accord par le lait. Pacte d'alliance et de colactation dans une tribu berbérophone du Sud-est marocain (Aït Khebbach) [à paraître].

  22

  Références bibliographiques AUBAILE-SALLENAVE Françoise, 1999, « Les rituels de la naissance dans le monde musulman », in Pierre Bonte, Anne-Marie Brisebarre, Altan Gokalp [sous la dir.], Sacrifices en islam. Espaces et temps d'un rituel, Paris, CNRS : 125-160. BRISEBARRE Anne-Marie, 1999, « La "fête du sacrifice". Le rituel ibrâhîmien dans l'islam contemporain », in Pierre Bonte, Anne-Marie Brisebarre, Altan Gokalp [sous la dir.], Sacrifices en islam. Espaces et temps d'un rituel, Paris, CNRS : 93-124. BONTE Pierre, [sous la dir.], 1994, Épouser au plus proche. Inceste, prohibitions et stratégies matrimoniales autour de la Méditerranée, Paris, éd. de l'EHESS. -, 1995-1996, « Hommage à Nicole Échard. Le mythe du Sharif Bû Bazzul. Notes sur la possession féminine dans la société berbère », Journal des anthropologues [63] : 49-60. -, 1999, Sacrifices en islam. Espaces et temps d'un rituel, Paris, CNRS. -, 2000, « Les lois du genre. Approche comparative des systèmes de parenté arabe et touareg » in Jean-Luc Jamard, Emmanuel Terray et Margarita Xanthakou [sous la dir.], En substances. Textes pour Françoise Héritier, Paris, Fayard : 135-156. BRUNSCHVIG Robert, 1957-1958, « De la filiation maternelle en droit musulman », Studia Islamica [IX] : 49-59. CLAUDOT Hélène et HAWAD, 1987, « Le lait nourricier de la société ou la prolongation de soi chez les Touaregs » in Marceau Gast [sous la dir.], Hériter en Pays Musulman. Ìabus, Lait vivant, Manyahuli, Paris, CNRS : 129-155. CONTE Édouard., 1991, « Entrer dans le sang. Perceptions arabes des origines », in Pierre Bonte, Édouard Conte , Constant Hamès & Abdel Wedoud Ould Cheikh , Al-Ansâb. La quête des origines. Anthropologie historique de la société tribale arabe, éd. de la MSH : 55-100. -, 1994, « Choisir ses parents dans la société arabe. La situation à l'avènement de l'islam », in Pierre Bonte [sous la dir.], Épouser au plus proche. Inceste, prohibitions et stratégies matrimoniales autour de la Méditerranée, Paris, EHESS : 165-187. -, 2000a, « Énigmes persanes, traditions arabes. Les interdictions matrimoniales dérivées de l'allaitement selon l'Ayatollah Khomeyni » in Jean-Luc Jamard, Emmanuel Terray et Margarita Xanthakou [sous la dir.], En substances. Textes pour Françoise Héritier, Paris, Fayard : 157-181. -, 2000b, « Mariages arabes. La part du féminin », L'Homme, [154-155] : 279-308. DJERIBI Muriel, 1988, « Le mauvais oeil et le lait », L'Homme, [105] : 35-47. GAST Marceau, 1987 [sous la dir.], Hériter en pays musulman, Ìabus, lait vivant, Manyahuli, Paris, CNRS.


Valentina Borghesani
email: valentinaborghesani@gmail.com

Maria Dolores De Hevia

Arnaud Viarouge

Pedro Pinheiro-Chagas

Evelyn Eger

Pedro Pinheiro Chagas

Manuela Piazza

Processing number and length in the parietal cortex: sharing resources, not a common code

Keywords: fMRI, representational similarity analysis, numerosity, length, magnitudes

Introduction

Number and spatial extent are two quantitative dimensions that are strongly correlated in the environment. Since the seminal work of Piaget on 'number conservation', demonstrating that preschool children overestimate longer arrays of elements as being more numerous [START_REF] Piaget | La genèse du nombre chez l'enfant[END_REF], several studies have presented evidence supporting the hypothesis that the representations of number and spatial extent are tightly related in the human brain (see for reviews [START_REF] Hubbard | Interactions between number and space in parietal cortex[END_REF][START_REF] Lourenco | Origins and development of generalized magnitude representation. Space, time, and number in the brain: Searching for the foundations of mathematical thought[END_REF]. For instance, human infants expect that an increase (or decrease) in the number of objects is accompanied by an equivalent increase (or decrease) in object's size [START_REF] De Hevia | Representations of space, time, and number in neonates[END_REF][START_REF] De Hevia | Number-space mapping in human infants[END_REF][START_REF] Lourenco | General magnitude representation in human infants[END_REF]. Other studies have shown that irrelevant numerical information interferes with line bisection accuracy in both adults and children, by biasing the subjective center of the line towards the larger number (de Hevia, [START_REF] De Hevia | Numbers and space: a cognitive illusion?[END_REF][START_REF] De Hevia | Spontaneous mapping of number and space in adults and young children[END_REF]. Number has also been found to interfere in line length comparison tasks, causing subjects to judge horizontal arrays that contain more elements as longer [START_REF] Dormal | Numerosity-length interference: A Stroop experiment[END_REF]. Furthermore, studies using Stroop-like paradigms have shown that the physical and numerical size of Arabic digits influence each other in both children (Girelli, Lucangeli, & Butterworth, 1999;[START_REF] Rousselle | The development of automatic numerosity processing in preschoolers: evidence for numerosity-perceptual interference[END_REF] and adults [START_REF] Henik | Is three greater than five: The relation between physical and semantic size in comparison tasks[END_REF]. Finally, a group of studies demonstrated that numerosity estimation and comparison are influenced by individual item size or the space occupied by arrays of dots, producing incongruency effects: performance is generally lower when numerical and size dimensions are incongruent (e.g., when the most numerous array also contains the smallest items) [START_REF] Hurewitz | Sometimes area counts more than number[END_REF][START_REF] Nys | Judgement of discrete and continuous quantity in adults: Number counts![END_REF][START_REF] Sophian | How do people apprehend large numerosities?[END_REF]; for reviews see [START_REF] Bonn | The origins and structure of quantitative concepts[END_REF]Leibovich, Katzin, Harel, & Henik, 2016; but see Gebuis, Cohen Kadosh, & Gevers, 2016 for opposite findings, i.e., number overestimation associated with smaller items).

At the brain level, some evidence suggests that the processing of number and spatial extent share a common neural substrate in the intra-parietal cortex (e.g., Cohen [START_REF] Cohen Kadosh | Are numbers special?: the comparison systems of the human brain investigated by fMRI[END_REF][START_REF] Dormal | Common and specific contributions of the intraparietal sulci to numerosity and length processing[END_REF][START_REF] Fias | Parietal representation of symbolic and nonsymbolic magnitude[END_REF][START_REF] Fink | Line bisection judgments implicate right parietal cortex and cerebellum as assessed by fMRI[END_REF][START_REF] Holloway | Developmental specialization in the right intraparietal sulcus for the abstract representation of numerical magnitude[END_REF]. For example, using fMRI Pinel and colleagues (2004) investigated the brain regions engaged when subjects are asked to compare pairs of stimuli on the basis of number, size and luminance. They found a significant overlapping activation in the parietal cortex elicited by number and size comparisons, which reflected their reciprocal behavioral interference observed in a Stroop paradigm. Crucially, performance on both numerical and length judgment tasks can be disrupted by stimulating the right IPS with repetitive transcranial magnetic stimulation [START_REF] Dormal | Contribution of the right intraparietal sulcus to numerosity and length processing: an fMRI-guided TMS study[END_REF]. At a finer scale, electrophysiological work in monkeys has identified neurons in the IPS that selectively respond to either numerosity or length, as well as neurons that are tuned to both dimensions [START_REF] Tudusciuc | Neuronal population coding of continuous and discrete quantity in the primate posterior parietal cortex[END_REF].

Behavioral and neural evidence for a close link between different dimensions of magnitude, in particular number and length, has led to hypothesize the existence of a unique, abstract magnitude system representing different levels of magnitude irrespectively of the specific type of dimension considered (see ATOM theory originally described in [START_REF] Walsh | A theory of magnitude: Common cortical metrics of time, space and quantity[END_REF]. According to this view, different types of magnitudes are represented in a common neural structure by a dimension invariant code, regardless of whether they are discrete (as numerosity) or continuous (as spatial extent or time) dimensions. While the literature is compatible with such a view, especially behavioral interference and mapping effects, recent brain imaging studies cast doubt on the existence of a unique representational system for magnitude, and are suggestive of the existence of domain-specific magnitude representations. For example, recent human highresolution fMRI studies using a population receptive field mapping approach have revealed that human parietal cortex hosts overlapping, topographically organized maps for both numerosity and size [START_REF] Harvey | Topographic representations of object size and relationships with numerosity reveal generalized quantity processing in human parietal cortex[END_REF][START_REF] Harvey | Topographic representation of numerosity in the human parietal cortex[END_REF]. Crucially, however, even if positive correlations between numerosity and size preferences were found, and particularly so in the right IPS, indicating a partial alignment across the two representations, the tuning functions describing responses to number and size, as well the precise cortical organization of their respective maps displayed important differences. These results support the conclusion that, while recruiting partially overlapping neuronal populations, thus sharing neural resources, these two quantitative dimensions do not share the exact same neural/representational code.

In the present study, we used fMRI to test the hypothesis of a generalized magnitude code which commonly represents number and size. We collected high-resolution whole-brain fMRI data while subjects were either evaluating the number of objects in a set or the length of a single segment, and investigated the neural representational similarity across different levels of magnitude of number and length using a MVPA approach, the state-of-the-art tool for investigating neural representational spaces and the unique way to isolate segregated representations if they occur at the level of finer-scale activation patterns within regions [START_REF] Kriegeskorte | Representational similarity analysis-connecting the branches of systems neuroscience[END_REF]. This method has previously been used to demonstrate that numerosity is represented according to a magnitude metric in parietal cortex [START_REF] Eger | Deciphering cortical number coding from human brain activity patterns[END_REF][START_REF] Knops | A shared, flexible neural map architecture reflects capacity limits in both visual short-term memory and enumeration[END_REF]: the distributed patterns of activation evoked by sets of similar numerosities (e.g., 5 vs. 6 dots) are more similar (confusable) compared to those evoked by numerosities that are further apart (e.g., 5 vs. 10 dots). No previous studies used this method to address the question of whether length is also similarly represented according to a magnitude code, nor, crucially, whether numerosity and length are represented by a common magnitude code.

In our study, participants were asked to compare two consecutively presented numerosities (arrays of a varying number of objects) or line lengths (horizontal lines of varying length). For each trial, we considered in our analyses only the brain responses evoked during the presentation of the first magnitude, on which no active comparison task was being performed, to ensure that a potential neural overlap in the processing of these dimensions would not be related to the comparison/response selection process itself.

We first asked whether perceiving and holding in mind number and length information (with no concurrent active comparison and no active number to line mapping processes involved) yields overlapping evoked activity in the brain. To this end, we analyzed the brain responses with a massunivariate approach, and compared the relative amplitude of the BOLD signal across the blocks where subjects were processing number and length vs. their respective fixation baselines. This allowed us to isolate voxels that are activated both during number and length processing, and to select in an unbiased fashion the ROIs within which to investigate, using representational similarity analysis (RSA), the following questions. First, we asked whether in the commonly activated brain regions number and length are both represented according to a magnitude code (to this end, we searched for a "distance effect" in the distributed pattern of fMRI activation). Second, we asked whether this code generalized across dimensions (searching for a "dimension invariant distance effect").

Materials and Methods

Subjects

We recruited 18 healthy adult volunteers (average age 24.5 years, 8 males), right-handed and with normal or corrected-to-normal vision. Data from 2 participants were discarded due to excessive movement in the scanner (n=1) or to a technical failure (n=1). All participants provided signed informed consent and received a monetary compensation for their participation. Experimental procedures were approved by the local ethical committee.

Stimuli

Numerical stimuli consisted in arrays of randomly oriented, non-overlapping lines with constant thickness and varying lengths. Length stimuli consisted in single horizontal lines of varying length and thickness. Each dimension varied along 3 levels of magnitude (small/medium/large) in one set of the stimuli (first appearing magnitude -Mag1-) and along 5 levels (extra small/small/medium/large/extra large) in a second set of the stimuli (second appearing magnitude -Mag2-). Examples of stimuli are shown in Figure 1. The ratio between the two values to be compared across the Number and Length conditions was the same across trials; therefore, the values in Mag2 were the next smallest or the next largest values for each given Mag1. The numerical ratios between two exemplars of consecutive magnitudes (e.g., small number/medium number) for Number ranged between 0.44 and 0.5; for Length, they ranged between 0.56 and 0.6 (e.g., short length/medium length). These ratios, corresponding to an equivalent high level of discriminability for Number and Length, were derived from data collected in 28 adult subjects in a preceding pilot comparative judgement task using similar stimuli, where ratios close to the ones used here led to an accuracy level that was superior to 95% for both Number and Length (Weber fraction w = .174 for Number, and w = .13 for Length). Two sets of stimuli were generated for each dimension, corresponding to two control conditions. For one set, the total surface area co-varied with magnitude: i.e., more numerous/longer stimuli occupied larger total surface areas on the screen. As in this set the area/thickness of single elements is constant, we refer to it as the set controlled for element size. For the other set, the total surface area was maintained constant across magnitudes and identical across the two dimensions: i.e., the area of individual elements was inversely related to number magnitude, and the line thickness was inversely related to their length. We refer to this second set as controlled for total surface area. The total surface area used for the second set closely matched the one used for the medium level of magnitudes in the first set of stimuli. In all the stimuli, the items could occupy random locations within a disc with a diameter corresponding to a visual angle of 30 degrees. Numbers ranged between 5 and 98. In the number stimuli, the individual items had a constant thickness occupying a visual angle of 0.5 degrees, and a length varying between 0.12 and 2.33 degrees, depending on the control condition. In the length stimuli, the lines' lengths ranged between corresponding visual angles of 2.89 and 26.13 degrees. The lines' thickness occupied a constant visual angle of 0.7 degrees in the first control condition, and ranged between 0.13 and 2.1 degrees in the second control condition. Stimuli were generated using Matlab software (https://www.mathworks.com/products/matlab.html).

fMRI task

During the fMRI scans, subjects had to compare the relative magnitude of sequentially presented pairs of stimuli (Fig. 1). Each trial began with the presentation of one magnitude (Mag1), followed by the presentation of the comparison rule to be applied (hereafter Rule). Then, the second magnitude (Mag2) appeared, and the subjects were asked to provide the answer. Mag1 and Mag2 always belonged to the same dimension, i.e. both either Number or Length. We introduced the extra small and extra large levels of magnitudes in Mag2 so that each level of magnitude in Mag1 could be either small or large with respect to the level of magnitude in Mag2. The Rule could be symbolic (i.e., < or >) or lexical, with the appropriate wording for each dimension: i.e. "longer?" or "shorter?" for Length trials, "smaller?" or "larger?" for Number trials.

Each magnitude presentation consisted of three images (each with a different spatial configuration) flashed for 300 ms, with a 500 ms blank in between. This manipulation was introduced for two reasons: first, in order to increase the brain response to the stimulus, and second, it allowed subjects to better encode the magnitude independently of the items' spatial locations. The inter-stimulus interval preceding the presentation of the Rule was jittered by ±2 s around the mean value of 4.1 s, while the Rule was presented for 1 s. Finally, the question mark signaling participants to respond remained on the screen for 2 s. A fixation cross remained on the screen throughout the entire trial to help subjects avoiding eye movements. The task was designed in a way such that the ratio between the two values to be compared across the Number and Length conditions was constant: the values in Mag2 were the next smallest or the next largest values for each given Mag1. Therefore, no behavioral distance effects could be measured in the scanner.

Subjects underwent 6 experimental runs of 32 trials each, with dimensions (i.e., Number and Length) and magnitudes (i.e., small, medium, and large) being pseudo randomized. The only constraint was a minimum of five trials for each level of magnitude in Mag1 in each dimension (5*3*2 = 30 trials). Two additional trials were randomly picked from all dimensions and levels of magnitude. Stimuli were presented with Matlab Psychophysics toolbox (http://psychtoolbox.org/).

MRI and fMRI protocols

Data were collected at NeuroSpin (CEA-Inserm, Saclay, France) on a 3 Tesla Siemens Magnetom TrioTim scanner using a 32-channel head coil. Each subject underwent one session including an anatomical acquisition (7 minutes long) and 6 functional runs (each 8.5 minutes long on average). Anatomical images were acquired using a T1-weighted Mprage sagittal scan (voxels size 1x1x1 mm, 160 slices). Functional images were acquired using high-resolution multiband imaging sequences (multi-band acceleration factor = 2; iPAT factor = 2; 64 interleaved axial slices; voxel size = 1.5x1.5x1.5 mm; repetition time (TR) = 2.300 ms; echo time (TE) = 32 ms; field of view = 192 mm). and 2 for left and right button press responses. The 18 events corresponding to the 12 regressors defining the first magnitudes and the 6 regressors defining the second magnitudes were coded as having a duration of 1900 ms in order to account for the presentation parameters, while the others were modelled as single impulse functions. Additionally, the 6 motion parameters estimated during the preprocessing, and 18 regressors accounting for the run effect (6 runs * 1 linear, 1 quadratic, 1 constant effect), were added as regressors of no-interest. The fixation baseline was modelled implicitly. In the present work, we focused on the 12 beta maps estimated for the first magnitude (Mag1) of both Number and Length. These are the conditions for which brain activation is most likely devoid of confounds due to response selection/execution, as during the time where the response is measured (lasting 5 to 8 seconds across trials) subjects were encoding the first stimulus and could not guess the response that they would have to produce in the final step of the trial.

fMRI data pre-processing and first level model

Univariate Analyses

For the univariate analyses only, individual subjects' contrast maps were further smoothed (Gaussian kernel of FWHM 6 mm), in order to better account for inter-subject anatomical variability. Then, in order to define regions commonly activated by the stimuli and independently from the dimension type (Number or Length) we performed two random-effects analyses. The first one, more stringent, consisted in exclusively masking the average effect of stimulus presentation (all Number and all Length trials vs. implicit baseline; hereafter: overall activity) with the main effect of dimension type (Number vs. Length; hereafter: activation difference between dimensions). Both conditions were thresholded at p<0.001 uncorrected, cluster extent threshold of 200 voxels. This analysis highlights the voxels in which positive activation is present for all magnitudes and does not significantly vary across dimensions (i.e., Number and Length). We then complemented this analysis with a second less strict definition of activation overlap that consisted in simply masking inclusively the main effect of Length (vs. its implicit baseline, thresholded at p<0.001 uncorrected, cluster extent threshold of 200 voxels) with the main effect of Number (vs. implicit baseline, thresholded at p<0.001 uncorrected, cluster extent threshold of 200 voxels). The inclusive masking of a given contrast A with another contrast B will keep all voxels reaching significance in A that also reach significance in B. Hence, this analysis does not impose constraints on the relative magnitude of the activation across dimensions. It should be noted that the order in which the contrasts are entered in the masking changes only the T/p values of the selected voxels, but it does not affect the spatial extent of the ROI.

All univariate analyses were implemented in SPM12

(http://www.fil.ion.ucl.ac.uk/spm/software/spm12).

Multivariate Analyses

We then performed MVPA in the clusters of voxels that were commonly activated for Number and Length, as emerged from the two activation overlap analyses described above. First, in order to test whether length is encoded fith a similar quantity code in the commonly activated regions, we explored the existence of a graded distance effect (i.e., the closer the magnitudes, the more similar the activation patterns) for Number and Length separately. Then, in order to test for the presence of a common, dimension invariant, neural representational metric, we tested whether a graded distance effect existed crucially across dimensions, asking whether the representational codes for close magnitudes of different types [small number/short line vs. large number/long line] are more similar to that of far magnitudes [small number/long line vs. large number/short line).

The representational similarity analysis consisted of three steps. First, we averaged the beta maps of all the trials in each dimension (Number and Length) and in each of the 3 magnitude levels (small/medium/large) and control types, thus obtaining 6 maps (2 dimensions x 3 magnitudes) per subject.

Second, we calculated the Pearson correlation between these maps in order to construct a neural similarity matrix that describes the similarity of the distributed patterns of activation for the different magnitudes and dimensions. Third, both within and across dimensions, we Fisher r-to-z transformed the correlations' scores and computed the distance effect as the difference between close (small vs. medium, and medium vs. large magnitude, which should result in high correlation) and far distances (small vs. large magnitude, which should result in low correlation), and tested it against zero with a one-tailed T-test (given a strong prediction as for the direction of the distance effect: high similarity for close compared to far distances).

Finally, in order to make sure that we were not missing important cortical areas where multivariate analyses could highlight the presence of a dimension invariant magnitude code we followed the same steps described above, but using a searchlight approach. Because previous work on visual magnitude representations highlighted a key role of occipital and parietal areas, and in order to increase the statistical power of the analyses, we restricted our searchlight within the occipital and parietal lobes (defined using SPM Pick Atlas). Thus, a sphere of radius 5 mm was centered on every voxel within a subject-specific mask restricted to the bilateral occipital and parietal cortices. For each subject, we obtained 3 maps depicting, respectively: distance effect for Number, distance effect for Length, and distance effect across dimensions.

These maps were smoothed (Gaussian kernel of FWHM 6 mm) and then entered into three separate group-level random effects models in SPM. Given the exploratory nature of this analysis, the results were explored thresholded at p<0.001 uncorrected, with a cluster extent threshold of 10 voxels.

All multivariate analyses were implemented with custom Python scripts relying on Nilearn (http://nilearn.github.io/), Numpy (http://www.numpy.org/), and Scipy (http://www.scipy.org/scipylib).

Results

Behavioral performance

Despite the fact that, in the scanner, the judgments on length were slightly faster compared to the judgments on number (RTs: Number: 781.4 ms vs. Length: 733.9 ms; t(16) = 3.95, p < .01), accuracy analyses confirmed that we had correctly chosen the stimuli magnitudes that were equally highly discriminable in the two tasks (accuracy: Number: 91.2% vs. Length: 92.3%; t(16) < 1, n.s.).

Univariate results

Processing both dimensions, Number and Length, activated a similar, bilateral network including regions in the occipital and parietal cortices (see Figure 2 and Table 1). Clusters in which activation was equally different from baseline in the two dimensions were found in the bilateral occipital cortex and in the right parietal cortex (two separate clusters, one more anterior and one more dorsal in the vicinity of the occipito-parietal sulcus). The occipital clusters emerging from this analysis were superimposed on 3 cytoarchitectonic probabilistic maps in the occipital lobe (as defined with SPM Anatomy toolbox) of BA17, 18, and 19, and appeared to equally overlap with all those three early visual regions. The second less stringent form of activation overlap analysis (where the two simple main effects of Number and Length were inclusively masked), revealed more lateral bilateral occipital, right parietal, as well as a cluster in the left parietal cortex (see Table 1).

Multivariate Analyses

We then used the Representational Similarity Analysis method (RSA) to investigate whether the areas commonly activated for the Number and Length tasks encode the information of number and length in a way that reflects a similar code for magnitude (Figure 3a).

Our first main regions of interest were those detected by exclusively masking the overall activity by the activation difference between dimensions: left occipital lobe (average number of voxels: 321), right occipital lobe (average # voxels: 471), right superior parietal lobule (average # voxels: 430), and right dorsal posterior parietal lobe (average # voxels: 291) (Figure 3b).

The analyses revealed a significant distance effect for Number in bilateral occipital (left: t(15)=9.44, p<10 -4 , right: t(15)=5.47, p<10 -4 ) and right superior parietal ROIs (t(15)=2.78, p=0.007), indicating significantly greater similarity between patterns of activation evoked by close numerosities (i.e., small vs.

medium and medium vs. large) than between far ones (i.e., small vs. large). There was no significant distance effect for Number in the right dorsal posterior parietal ROI (t(15)=1.14, p=0.135).

A significant (although weak) distance effect for Length was also found but only in the right superior With a searchlight approach, we also explored whether these within and across-dimensions distance effects could be detected in other regions within the occipital and parietal lobes. SPM random effect models revealed 2 clusters of significant distance effect for Number in occipital cortex bilaterally (left [18 -

91 1] and right [-20 -91 7], overlapping with our occipital ROIs). No clusters survived for Length and no significant cross-dimensional distance effect was detected in any of those areas.

Discussion

Recent years have seen an accumulation of evidence from neuroimaging studies showing that the processing of number and spatial extent elicit activations in overlapping brain areas, in particular within the parietal lobe (e.g., [START_REF] Dormal | Common and specific contributions of the intraparietal sulci to numerosity and length processing[END_REF][START_REF] Harvey | Topographic representations of object size and relationships with numerosity reveal generalized quantity processing in human parietal cortex[END_REF][START_REF] Pinel | Distributed and overlapping cerebral representations of number, size, and luminance during comparative judgments[END_REF]. These results have been taken by some as evidence that different kinds of quantities are processed by a generalized magnitude system (e.g., [START_REF] Bueti | The parietal cortex and the representation of time, space, number and other magnitudes[END_REF]Leibovich et al., 2016;[START_REF] Sokolowski | Are numbers grounded in a general magnitude processing system? A functional neuroimaging meta-analysis[END_REF]. In the current study, we aimed at directly investigating this hypothesis capitalizing on multivariate analyses of high resolution fMRI data, which are the state-of-the-art tool for investigating neural representational spaces and the unique way to isolate segregated representations if they occur at the level of finer-scale activation patterns within regions.

Overlapping neuronal resources in the extraction of magnitude information

The first main finding of this study, in line with previous literature, is that the processing of number and size recruits a common set of areas in the bilateral parietal and occipital cortices. Contrary to most previous studies, we used a relatively slow and jittered sequential paradigm aiming at disentangling the stage of perceptual extraction of magnitude and its maintenance in short-term memory, from the stage involving task-related decision making and response execution. Indeed, while we asked participants to perform a comparison task in order to ensure full engagement with magnitude processing, we presented magnitudes in a slow temporal sequence and restricted our analyses to the activations elicited by the first presented stimulus (i.e. before the comparison rule or the second stimulus were shown), thus probing the existence of a commonly activated set of areas before an active comparison/response preparation takes place, thus likely reflecting quantity extraction of both Number and Length, and not a common comparison/decision making stage.

The fact that the processing of number and other non-numerical dimensions elicits activation in overlapping brain regions, especially in the parietal lobe, was also recently confirmed by a meta-analysis of fMRI data based on activation likelihood estimation (ALE) [START_REF] Sokolowski | Are numbers grounded in a general magnitude processing system? A functional neuroimaging meta-analysis[END_REF]. This meta-analysis pointed to the right parietal lobule as the localization of a "generalized magnitude processing system", as tasks related to both numerical and non-numerical magnitudes commonly activate this area. However, due to the limited resolution of the fMRI technique, and our limited insights into the organization of the neural code underlying magnitude representations, the fact that the same macroscopic brain region is overall commonly activated during processing of different types of quantities does not guarantee that neurons in this region encode the magnitude aspect of the stimuli, nor that it does so in a way that is invariant from the quantitative dimension carried by different stimuli and attended to by the subject . Indeed, even if a region represented magnitude within one or more quantitative dimensions (e.g., Number and Length), it is still plausible that at a finer scale those dimensions might be encoded by intermingled, yet separate, neural populations. This question clearly calls for a deeper investigation.

Separate representational codes for number and length

We further qualified the regional activation overlap by means of RSA, searching for evidence of a common magnitude-dependent representational code across the two dimensions, Number and Length.

We avoided circularity by performing our analysis either in regions of interest selected on the basis of overall activity (and not on the basis of parametric effects of magnitude, which would have been entirely circular), and by means of a searchlight approach.

Proceeding this way, we detected a significant distance effect for Number in three of the four regions conjointly activated in the two conditions: the right superior parietal and bilateral occipital areas. In these regions, the distributed activation pattern evoked by the numbers of elements was more similar between close numbers than between far numbers, indicating that number is represented according to a magnitude metric. For Length, a similar distance effect was also observed but only in the right superior parietal cluster. This indicates that, similarly to number, the right parietal cortex represents line length according to a magnitude metric. Crucially, however, we could not detect any hint of distance effect across the two quantitative dimensions, neither in the right parietal clusters nor in any other ROI. Taken together, these findings suggest that even if the dimensions of number and length are both encoded in overlapping areas in the right parietal cortex, and even if both are encoded with a similar magnitude-dependent metric, the relative magnitude codes are domain specific, and thus not shared across these two quantitative continua.

This result is in line with a recent study by Harvey and colleagues (2015), the only one to date who investigate fine grained cortical representations of both number and size, showing that the neural representations of both number and size are similarly organized in overlapping topographical maps in the right parietal cortex. In this study, such overlap appeared to be centered at mean (std) MNI x,y,z coordinates 23 (3), -60 ( 7), 59 (6), strikingly close to the superior parietal area (peak of ROI: 35, -54, 55)

where we found a distance effect for both number and length. It should be noted that this study is the also only one showing similarity in magnitudes representations in the two dimensions (as opposed to simply reporting common parietal recruitment during a comparison tasks, e.g., [START_REF] Fias | Parietal representation of symbolic and nonsymbolic magnitude[END_REF] and thus not confounded with response selection/task difficulty (e.g., [START_REF] Pinel | Distributed and overlapping cerebral representations of number, size, and luminance during comparative judgments[END_REF]. Crucially, Harvey's study highlighted important differences in the tuning functions underlying number and size, with linear Gaussian functions explaining more response variance for the size dimension, while logarithmic Gaussian functions explained more variance for number. Thus, while replicating the previously described overlap in the brain responses elicited by both dimensions, these results also indicate that, although tightly co-localized, the dimensions of number and size elicit distinctive neural responses and therefore do not share a unique, common representational code.

The findings from the present study accord with this interpretation. On the one hand, through univariate analyses, we find a similar bilateral network in parietal and occipital lobes underlying processing of numerosities and spatial extents. On the other hand, the results of the multivariate analyses indicate distinct finer-scale activation patterns organized according to a similar quantity metric for each dimension.

Critical was the addition of RSA, which allowed us to directly approach the question of the neural representational code through the analysis of the distance effect, a signature of quantitative processing. A significant distance effect was indeed found for both number and length in the right parietal cortex.

However, neither in this region nor in other ROIs the distance effect generalized across dimensions. These indicate that even if the right parietal cortex encodes number and line length according to a similar magnitude metric, such representations are dimension specific, and not invariant to the type of quantity presented. Evidence for dimension invariant magnitude metric was not found in any of our other ROIs even when using a searchlight approach within the occipital and temporal lobes.

The strongest and most significant neuronal distance effects in our study were observed in occipital cortex, but for number stimuli only. These effects may be related at least partially to other factors than numerosity per se. Indeed, the way our stimuli were generated was such that for half of the trials stimuli were controlled for dot size and for the other half for the total number of pixels across numerosities.

While this strategy is commonly used in studies on numerosity perception, it does not control for differences in the total amount and distribution of contrast energy across numerosities, which is likely to affect early visual responses. This factor may indeed likely account for the early visual cortex activation results in this and other studies, also potentially suggested by a previous fMRI study on numerosity perception, which, after equating the contrast energy of the stimuli, could successfully decode numerosity in parietal but not early visual cortex [START_REF] Castaldi | Effects of adaptation on numerosity decoding in the human brain[END_REF].

Limitations and future directions

One potentially surprising effect in the current study was that of a stronger multivariate distance effect for Number than for Length. One potential speculative reason for this finding is that our stimuli varying in length also inevitably varied more strongly in terms of spatial position on the screen. Posterior parietal cortices are also implicated in eye and spatial attentional movements, thus it is possible that the sizerelated hemodynamic signal of our interest may be at least partially contaminated by other kinds of signals coming from the same (or largely overlapping) brain areas.

Finally, our exploration leaves open two critical aspects that should be the focus of forthcoming studies.

First, it is possible that a common, dimension invariant magnitude code exists, but is recruited only during the stage where an active quantity comparison is performed. In this case, the hypothesized shared neural code could be appreciated by the detection of a distance effect across dimensions only once all information (the two magnitudes to be compared and the rule to be applied) is available in working memory. However, typically at this point in time during the trial, the motor response is planned and/or initiated, and representational similarity analyses are known to be particularly vulnerable to this kind of confounds (see for instance [START_REF] Todd | Confounds in multivariate pattern analysis: theory and rule representation case study[END_REF]. Thus, in order to test this hypothesis, future empirical efforts should be put into the development of paradigms allowing the application of RSA (and/or other multivariate techniques) during comparison, while concurrently accounting for motor planning/execution stages.

Second, it is possible that a common code is localized in other brain areas and/or at a spatial scale that could not be appreciated through the methods we adopted. In our main analyses, we focused on bilateral occipital and parietal cortices, in line with our own univariate results, both using ROI and a searchlight approach, and these did not yield positive results. Thus, we are quite confident that, given our methods, our negative finding (no evidence for a cross-dimension distance effect) is solid. As for the spatial scale at which we have operated in this study, it should be noted that contrary to most previous fMRI studies conducted at 3 Tesla, which typically use a resolution of 3 mm, here we have implemented a highresolution multiband imaging sequence allowing us to use very small 1.5 mm isotropic voxels. It remains possible that the spatial scale at which number and length converge onto a common magnitude code is even smaller compared to the spatial scale used here, in which case more powerful imaging systems or direct neural recording should be used. However, even for the very precise spatial scale accessed by neurophysiological recordings in monkeys, it has been shown that while neurons tuned to numerosity and/or line length were found within the same subregions of parietal cortex, their relative preferences (for "small" vs "large" stimuli) were not aligned across dimensions [START_REF] Tudusciuc | Neuronal population coding of continuous and discrete quantity in the primate posterior parietal cortex[END_REF], speaking against a completely generalized magnitude code at that level of the brain, consistent with the findings reported here.

Conclusion

Processing the number of elements in a set and the length of a segment recruits overlapping bilateral occipital and parietal regions. Among those commonly activated regions, we found evidence that only the right parietal cortex represents both number and length according to a magnitude code, whereby close numerosities, as well as close lengths, elicit patterns of activation that are more similar compared to magnitudes that are far apart, within the same dimension. However, despite number and length being encoded with a similar distance-dependent metric, we found no evidence of a cross-dimensional distance effect: small, medium and large numbers elicit patterns of activation that are uncorrelated with the ones elicited by short, medium and long lengths. These results suggest that the right parietal cortex contains separate, albeit similar in nature, representations of number and line length. b) The two magnitudes to be compared (Magnitude 1 and Magnitude 2) were presented three times in a row (300 ms each) with a fixation period of 500 ms in between. Rest periods were jittered by ±2 s.

Figures Legend

  Pre-processing of the raw functional images was conducted with the Statistical Parameter Mapping toolbox (SPM12, http://www.fil.ion.ucl.ac.uk/spm/software/spm12/). It included realignment of each scan to the first of each given run, co-registration of anatomical and functional images, normalization to MNI space using the parameters derived from segmentation-based normalization of the anatomical scan, highpass filtering (128s), and spatial smoothing (Gaussian kernel of FWHM 3 mm). Functional images were then analyzed with a general linear model (GLM) including 12 regressors convolved with the standard hemodynamic response function to account for the effects of the different Mag1 trial types (3 magnitudes [small, medium and large] * 2 dimensions [Length and Number] * 2 controls [constant total surface and constant element size]), 6 regressors for the different Mag2 instances (3 magnitudes [extra small/small, medium and large/extra large] * 2 dimensions [Length and Number]), 6 regressors for the different rules,

Fig. 1

 1 Fig. 1 Examples of the stimuli and schematic representation of the fMRI task. a) Subjects performed a comparison task on the numerosity of sets of non-overlapping lines (Number) or the length of single horizontal lines (Length). Each dimension had two different low-level visual controls (see text for details).

Fig. 2

 2 Fig. 2 Univariate Results. Whole brain results of the group level random effect analyses of the main effect of dimension (Length and Number) and analyses of their overlap. a) Color coded clusters show significant activation during the presentation of Magnitude 1, separately for Number (blue), and Length (red) [thresholded at p<0.001 uncorrected, cluster extent threshold of 200 voxels]. b) Results of the overlap analyses illustrating common and equally strong activity for Number and Length in occipital and parietal cortices. Average effect of stimulus presentation (overall activity) masked by the average difference between types of dimensions (upper: green, thresholded at p<0.001 uncorrected, cluster extent threshold of 200 voxels) and inclusive masking the two main effects (lower: yellow, thresholded at p<0.001 uncorrected, cluster extent threshold of 200 voxels).

Fig. 3

 3 Fig. 3 Multivariate ROIs Analyses. a) Example of the similarity matrices computed in the commonly activated ROIs -here shown: right parietal cluster. Correlation scores are then Fisher r-to-z transformed, and the average distance effect is computed both within and across dimensions. b) Results in our four main ROIs identified with the activation overlap analyses (i.e., overall activity masked by activation difference between dimensions) [**= p<10 -4 , * = p<0.05, error bars represent the standard error of the mean].

  Similar results were found in the 4 clusters defined by the less strict inclusive masking of the two main effects of Number and Length (vs. their implicit baseline): left occipital lobe (average number of voxels:

	1491, Number t(15)=3.93, p<10-4; Length t(15)=1.39, p=0.092; Across dimensions t(15)=-1.43, p=0.91),
	right occipital lobe (average # voxels: 3636, Number t(15)=4.2, p<10-4; Length t(15)=1.33, p=0.102; Across
	dimensions t(15)=-3.68, p=0.99), left parietal lobe (average # voxels: 461, Number t(15)=2.00, p=0.032;
	Length t(15)=0.68, p=0.253; Across t(15)=1.30, p=0.106), and right parietal lobe (average # voxels: 645,
	Number t(15)=2.99, p=0.004; Length t(15)=-0.04, p=0.51; Across t(15)=-0.83, p=0.79).
	parietal ROI (right superior parietal t(15)=1.78, p=0.047; right dorsal posterior parietal: t(15)=1.65, p=0.06;
	left occipital: t(15)=1.36, p=0.096; right occipital: t(15)=1.29, p=0.107; ).
	Crucially, no significant cross-dimensional distance effect was detected in any of the ROIs (left occipital:
	t(15)=-0.71, p=0.75; right occipital: t(15)=-4.16, p=0.99; right superior parietal: t(15)=-0.64, p=0.73; right
	dorsal posterior parietal: t(15)=-0.27, p=0.60).

Table 1 . Results of Univariate Random Effects Group Analysis

 1

	Stereotactic MNI Coordinates
	x	y	z	t/F score	p	KE

overall activity masked by activation difference between dimensions

	Right Occipital Cortex	20	-97	10	285.37	<10 -4	480
	Left Occipital Cortex	-24	-97	7	185.83	<10 -4	325
	Right Superior Parietal Cortex	35	-54	55	56.02	<10 -4	430
	Right Dorsal Parietal Cortex	30	-75	30	51.99	<10 -4	291
	Whole Brain -inclusive masking of main effects
	Right Occipital Cortex	51	-63	4	8.80	<10 -4	4239
	Left Occipital Cortex	-45	-66	-4	10.38	<10 -4	1609
	Right Parietal Cortex	35	-49	49	7.14	<10 -4	674
	Left Parietal Cortex	-32	-52	58	7.03	<10 -4	529

KE: cluster size (number of voxels)

ACKNOWLEDGEMENTS

This research was supported by a Marie Curie Intra European Fellowship for Career Development (SpaNum 272633) to M.D.d.H.


Sofya Dymchenko

Bruno Raffin

Loss-driven sampling for online NN training with large scale simulations

We want to advance applications of DL to sciences by improving online training techniques. DataMove team contributed with DeepMelissa framework for large-scale deep surrogate training on supercomputers. Motivation ★ Avoidance of I/O bottleneck: with file-free processing high-dimensional data is given "on-the-fly". ★ Infinite data stream: no limitations for generalization. ✩ Ability to control data stream: choice of data to sample can be explicit rather than random. Training can be more data-efficient. But how to choose? Problem statement Simulation: program that returns outputs by given inputs, e.g. initial state of water flow in tube and t-state. Neural network: any NN that uses data from simulation, e.g. a surrogate that imitates simulation. Sampler: takes inputs from defined prior distribution, e.g. uniform distribution. Can we do better?

Method Hypothesis

High loss =⇒ difficult sample to learn =⇒ region * needs to be fed to neural network

Adaptive sampling

First batch is sampled uniformly. Loop-process:

L 1 = 2.47 p 1 = 0.2 L 2 = 1.24 p 2 = 0.1 L 3 = 1.24 p 3 = 0.1 R = 0.4 previous non-uniform next p i = 0 uniform next

R-value

The value R is a ratio

Experiments

The simulation gives closest minima by running gradient descent on the fixed surface. Current fixed surface is two imbalanced pits.

Input (x, y )     NN sim
Output (x * , y * ) * We assume roughly that region of inputs is close to region of outputs.

Formalization:

Let f be a simulation program.

f (θ) = y θ
where θ = {θ (0) , . . . , θ (d i n -1) } ∈ R m is a set of simulation input parameters coming from prior, and y θ = {y (0) , . . . , y (t) } ∈ R d out ×t is a simulation output sample, and t ∈ [0, T ], T ∈ R + . Roughly, in toy example θ = y (0) and f (θ) = y (1) . Surrogate f w is a neural network which learns data generated by f .

f w (θ) = ŷθ
The goal is:

dist(f w (θ), f (θ)) → w 0 Probability distributions: Prior p(θ) Likelihood p(y |θ)
Posterior p(θ|y ) Main struggle with simulationsthey are not probabilistic and there is no direct access to its outputs.

Results

Uniform Linear + Constant (0.15, 0.7, 0.4) Linear + Constant (0.15, 0.7, 0.1)

  1) NN provides loss values statistic per batch-point 2) Select points w.r.t. distribution calculated as normalised loss 3) Next batch is sampled from their Gaussian neighbourhoods