Régine Le Jan

Warren Pezé

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MONDIALE

Le temps des chroniques (ix e -xvi e siècles)

La controverse sur la prédestination est un objet historiographique dès le ix e siècle. Les annales carolingiennes ont un intérêt poussé pour la condamnation des hérésies : celle de Gottschalk en 848-849 est relatée par trois annales 1 . Pendant la suite du Moyen Âge, la connaissance de la controverse ne disparaît pas, mais aucune enquête méthodique sur les sources ne voit le jour. L'événement central de la controverse reste alors le concile de Mayence de 848 relaté par les annales de Fulda, utilisées par nombre de chroniques ultérieures.

Les annales d'Hildesheim, Quedlinburg, Wissembourg et de Lambert de Hersfeld, étroitement dépendantes les unes des autres et rédigées dans la première moitié du xi e siècle, tirent des annales perdues de Hersfeld le récit de la condamnation de Gottschalk à Mayence en 848 2 . Hermann de Reichenau (ou Hermannus Contractus, 1013-1054) a eu accès à une recension plus développée des annales de Fulda, décrivant mieux la doctrine de la double prédestination 3 . Sigebert de Gembloux ( † 1112) mentionne, dans la vaste chronique qu'il retouche jusqu'à sa mort, la condamnation de Gottschalk 4 . Mais s'il cite le texte des annales de Fulda (848) que lui ont transmis les annales allemandes, il indique l'année du concile de Quierzy (849). Il a donc eu accès aux annales de Saint-Bertin ou à une 1 Les annales de Fulda, rédigées à proximité de Mayence, ont un intérêt marqué pour les hérésies de Thiota et Gottschalk (conciles de Mayence de 847-848). Les annales de Xanten, avares en mentions de conciles, décrivent pourtant la condamnation du groupe de Gottschalk à Mayence (848). Les annales de Saint-Bertin consacrent cinq entrées à la controverse (849, 853, 855, 859, 861). -Mes plus vifs remerciements vont à Jean-Robert Armogathe et Jean-Louis Quantin pour leurs conseils et leurs critiques, ainsi qu'à Pierre Chambert-Protat et Jérémy Delmulle pour leur relecture attentive.

Chronique saxonne, qui s'interrompt en 1139 et s'inspire des annales de Fulda, de Quedlinburg et de Sigebert, peut, en confrontant les sources, rétablir l'année 848 6 . En somme, les chroniques médiévales parmi les plus lues transmettent un dogme, un nom, un concile, une date : tous les critères permettant d'identifier une hérésie passée, prenant sens dans l'histoire du peuple de Dieu 7 . Cette tradition est d'importance pour l'historiographie ultérieure. Sigebert est un auteur fréquemment cité, car il est l'une des premières sources à parler d'une hérésie « prédestinatienne » ayant agité la Gaule au v e siècle. Les érudits antijansénistes devaient bientôt chercher, à l'instar d'Hincmar, à faire basculer Gottschalk dans cette généalogie hérésiologique. Or, cette construction date du Moyen Âge central. Bernold de Constance indique dans sa chronique, à l'année 847, que le concile de Mayence réuni par Raban Maur a « réfuté l'hérésie des prédestinatiens, dont Augustin avait brisé la tête 8 »… Si l'on ignore pourquoi l'événement est situé cette année-là, Gottschalk est identifié à « l'hérésie des prédestinatiens ». Bernold préfigure l'effort moderne de construction d'une « hérésie prédestinatienne » dont Gottschalk aurait été le premier grand hérésiarque.

Ces chroniques sont le résultat d'une certaine recherche bibliographique. Elles répètent, voire mélangent les annales carolingiennes. Les traités de la controverse sont parfois lus, parfois copiés, parfois connus seulement de nom 9 . Au x e siècle, plusieurs documents de la controverse sont répertoriés par l'histoire de l'Église de Reims de Flodoard ( † 966) 10 . Deux générations plus tard, Hériger de Lobbes ( † 1007) cite le De corpore et sanguine Domini de Gottschalk dans son traité sur l'Eucharistie 11 . La Chronique de Saint-Amand, rédigée dans les Flandres de l'an mil, réalise la synthèse de plusieurs sources : elle a eu accès d'une part aux annales de Saint-Bertin, d'autre part à la sentence de condamnation de Gottschalk, qui circulait dans des collections canoniques 12 . Sigebert de Gembloux, dans le De 5 Éd. G. H. Pertz, Hannovre, 1839 (MGH SS 3), p. 172 (dans les recensions D et E de sa chronique, datant au plus tôt de 1106). 6 Ibid., p. 542. 7 B. Guenée, Histoire et culture historique dans l'Occident médiéval, Paris, 1994, p. 29-33 et 250-252. 8 MGH SS 5 (cité n. 3), p. 420. 9 Citons en exemple le ms. Paris, BNF, latin 14805, contenant le Liber de tribus quaestionibus de Loup (incomplet) dans une copie du xii e siècle. 10 M. Sot, Un historien et son église au x e siècle, Flodoard de Reims, Paris, 1993, p. 524-532 (Flodoard, III, 15-18). 11 J.-P. Bouhot, Ratramne de Corbie. Histoire littéraire et controverses doctrinales, Paris, 1976, p. 129-130. 12 « Annales Elnonenses », dans Les Annales de Saint-Pierre de Gand et de Saint-Amand, éd. P. Grierson, Bruxelles, 1937, p. 146 : Anno dcccxlviii. Godescalcus Orbacensis Monachus quaedam fidei nostrae contraria sub nomine predestinationis adstruens, ab Hymmaro perpetuo sinlentio condemnatur. La première partie de la phrase est un calque des Annales de Saint-Bertin (849), comme l'a bien vu Grierson. La seconde (perpetuo silentio) provient, en revanche, de la sentence de Gottschalk : MGH Conc. 3, p. 197 et 199. scriptoribus ecclesiasticis, cite le De praedestinatione de Ratramne et le Liber de tribus epistolis de Loup ; il évoque le « trouble » soulevé, en 849, par la prédestination et la grâce [START_REF]Pour une thèse inverse, voyant dans l'oblation un « christianisme germanisé[END_REF] . Guillaume de Malmesbury ( † vers 1143) témoigne de la vogue de l'enseignement de Jean Scot au xii e siècle 14 . Dans les Gesta pontificum anglorum (V, 4), il relate que le Periphyseon de l'Érigène fut critiqué par « un certain Florus 15 ». Guillaume a donc eu vent de l'Adversus Joannem Scotum, mais ne l'a pas lu et se méprend sur sa cible 16 . De même, la chronique d'Aubry de Trois-Fontaines ( † après 1252), après avoir recopié la notice de Sigebert de l'année 849, ajoute : « Hincmar, archevêque de Reims, a beaucoup écrit contre lui [Gottschalk] » ; il a donc eu connaissance de ses écrits 17 .

À la fin du Moyen Âge, on peut mesurer que la confrontation des sources n'a pas progressé depuis Sigebert. Johannes Trithemius, abbé de Spanheim (1462-1516) et biographe de Raban Maur, mentionne la controverse dans la Chronique de Hirsau, rédigée à partir de 1493, à la fois en 848 (condamnation par Raban Maur) et en 850 (notice sur le clerc allemand Lupus Servatus, en réalité Loup de Ferrières) 18 . Il synthétise ici des informations glanées chez Sigebert et ailleurs. Le concile de Mayence de 848 reste, au tournant du xvi e siècle, l'événement central de la controverse et Gottschalk reste une personnalité effacée. Seule l'époque moderne inaugure donc une véritable historiographie de la controverse.

Les premières éditions (xvii e siècle)

La redécouverte de la controverse est liée aux luttes confessionnelles de la Réforme. Les controverses anciennes sont vues comme les modèles de leurs avatars modernes. Les érudits catholiques et protestants y cherchent des précédents pour asséner à l'adversaire sa condamnation passée 19 . La plupart des termes savants qui s'y rapportent, et que l'on emploie encore de nos jours, en particulier « prédestinatien » et « semipélagien », sont des constructions polémiques. Dans 13 Sigebert, De scriptoribus ecclesiasticis, c. 93 et 95 (PL 160, col. 568-569). 14 Cf. É. Jeauneau, « Guillaume de Malmesbury, premier éditeur anglais du Periphyseon », dans Sapientiae doctrina. Mélanges de théologie et de littérature médiévales offerts à dom Hildebrand Bascour osb, Louvain, 1980 (Recherches de Théologie ancienne et médiévale, H. S. 1), p. 148-179. 15 PL 179, col. 1652-1653. 16 Cf. M. Cappuyns, Jean Scot Erigène. Sa vie, son oeuvre, sa pensée, Louvain, 1933, p. 245. 17 MGH SS 23, éd. G. H. Pertz, Hannovre, 1874, p. 735. 18 Cf. K. Arnold, Johannes Trithemius (1462-1516), 1991, Würzburg (Quellen und Forschungen zur Geschichte des Bistums und Hochstifts Würzburg, 23), notamment p. 144-157 ; voir Trithemius, Annales de Hirsau, éd. Saint-Gall, 1690, p. 20 (848) un premier temps, celui des guerres de religion entre catholiques et protestants, la controverse carolingienne est quasiment ignorée20 . La recherche ne s'intensifie qu'à l'occasion des querelles doctrinales qui trouvent leur origine dans l'hostilité d'une grande partie de l'Église gallicane, volontiers augustinienne, envers les jésuites, la casuistique et le molinisme, plus enclins à défendre le libre arbitre. La controverse est ponctuée par la publication de l'Augustinus de Cornelius Jansen, évêque d'Ypres, en 1640, par la condamnation papale de cinq propositions censées être extraites de l'Augustinus en 1653, par une longue politique de vexations antijansénistes de la part de Louis XIV, avant la condamnation finale par la constitution Unigenitus en 1713. Or, c'est pendant la première moitié du xvii e siècle qu'est éditée la quasi-totalité des textes de la controverse ; « vers 1600, on ignorait à peu près tout de la controverse carolingienne sur la prédestination : Gottschalk n'était guère plus qu'un nom. Cinquante ans plus tard, les connaissances avaient atteint un niveau auquel on n'a pu ensuite que peu ajouter21 ».

On ne peut que suivre, pour décrire les premières éditions (1600-1655), les travaux de Jean-Louis Quantin. Au tournant du siècle, Baronius emploie pour les Annales ecclésiastiques, monument de l'apologétique catholique, plusieurs documents inédits22 ; puis vient l'édition des textes lyonnais dans la Bibliotheca Patrum (1610) ; enfin, celle des conciles des Gaules par Sirmond (1629) [START_REF]l'oblation de 829 comme un conflit entre monachisme latin collectiviste et individualisme germanique ; Gottschalk serait ainsi l'inventeur d'un christianisme allemand[END_REF] . Vers 1630, la controverse carolingienne se compose d'un corpus de plusieurs centaines de pages. Il ne lui manque plus que son personnage central, l'hérétique ou le martyr qui va diviser l'érudition moderne : Gottschalk. La lacune est comblée en 1631 avec l'Historia Gotteschalci de l'archevêque anglican d'Armagh, James Ussher ; ses hommes de main ont obtenu de Sirmond, à qui il vole la vedette de l'editio princeps, les deux confessions du moine saxon 24 .

La publication d'Ussher est considérée comme l'événement fondateur de l'historiographie de la controverse. En 1640, la publication de l'Augustinus de Jansenius couronne ses efforts. L'évêque d'Ypres y démontre que « l'hérésie prédestinatienne » n'a jamais existé et accuse Hincmar d'avoir mis Gottschalk, dont l'augustinisme ne fait pour lui aucun doute, sous cette étiquette infamante 25 119, 2009, p. 371-402). La lettre d'Amolon est traduite en français dès l'année suivante : Lettre d'Amolo archevesque de Lyon, à Gotescalch, où il l'exhorte à la vraye creance et aux bonnes moeurs, Paris, 1650. Sirmond exhume aussi une partie des traités de Loup, bientôt édités avec sa correspondance par É. Baluze, Beati Servati Lupi presbyteri et abbatis Ferarriensis opera, Paris, 1664 : cette dernière publication met un terme à l'attribution de certaines oeuvres de la controverse à un Lupus Servatus originaire de Germanie. 27 G. Gerberon, Histoire générale du jansénisme, vol. 1, Amsterdam, 1700, p. 370-372. 1648, le traité est publié sous le pseudonyme de Donatus Candidus, par quelqu'un qui s'est procuré une copie du manuscrit de Grimbert et est heureux d'annoncer au lecteur : « S'il y a un coupable, que ce soit moi : toi, utilise ce livre28 ! » Avec la réponse janséniste à Sirmond paraît le lieu commun de l'historiographie : les Vindiciae praedestinationis et gratiae de Gilbert Mauguin, président à la cour des Monnaies et sympathisant de Port-Royal29 . Les deux volumes de Mauguin renferment à la fois l'édition de quasiment toutes les sources à notre disposition, dont certaines alors inédites, plusieurs dissertations théologiques et une mise en narration des événements30 . Hincmar est dépeint comme un manipulateur ; la victoire reste aux mains des augustiniens31 . La réponse jésuite ne tarde pas : Louis Cellot (1588-1658), utilisant les papiers de Sirmond récemment disparu, publie en 1655 sa virulente Historia Gotteschalci, arguant que la victoire est restée entre les mains d'Hincmar, auteur de l'épître synodale de Tusey32 . Les publications majeures de l'historiographie de la controverse auront donc été concomitantes des débuts de la controverse janséniste, entre l'Augustinus et sa première condamnation (1640 et 1653).

Modèles interprétatifs : « ligne Mauguin » contre « ligne Cellot »

L'historiographie de la controverse est faussée par un biais originel, qui concerne directement l'établissement des faits. L'érudition catholique, attentive à toujours discerner la position du magistère, tend à historiciser la théologie, à « transformer des questions de droit en questions de fait 33 ». Quelle a été la position des conciles et des papes dans les controverses du passé ? La doctrine des jansénistes ou des molinistes a-t-elle été déjà condamnée sous une autre étiquette ? Dès lors, autant que les arguments théologiques, les faits historiques prennent une importance considérable.

L'attention des érudits modernes se concentre sur des événements mettant en jeu l'autorité du magistère : les conciles de Mayence et Quierzy (848-849), où Gottschalk est condamné ; celui de Quierzy (853), où des canons contre la double prédestination sont adoptés ; ceux de Valence et Langres (855 et 859), qui réaffirment la double prédestination et condamnent Quierzy (853) ; le concile de Tusey (860), où est promulguée une lettre contre les accaparateurs de biens d'Église, dont le prologue évoque les rapports entre grâce et libre arbitre ; l'intervention de Nicolas I er en faveur de la double prédestination, mentionnée dans les annales de Saint-Bertin en 859. Malgré des débuts confus, l'opinion savante ne tarde pas à s'apercevoir que certains de ces conciles sont pour la double prédestination, les autres contre. Ces contradictions confrontent l'érudition catholique à l'impensable faillibilité du magistère, problème auquel une solution doit être impérativement trouvée.

La discussion historiographique se déroule alors sur deux terrains, l'un doctrinal, l'autre événementiel. D'une part, dans quel camp carolingien les érudits modernes vont-ils reconnaître l'orthodoxie : Hincmar, Gottschalk, Prudence ? La réponse est biaisée par l'aura d'Augustin dans l'Église du xvii e siècle : même un partisan moderne d'Hincmar devra se revendiquer de l'augustinisme, que l'archevêque de Reims maltraite quelque peu. D'autre part, historiquement, comment résoudre le problème des conciles qui se contredisent ?

On voit alors se dégager deux positions historiographiques. L'une, plutôt janséniste, qu'on appellera la « ligne Mauguin », distingue des augustiniens (Gottschalk, Loup, Prudence, Ratramne…) et des semipélagiens (Hincmar, Raban). Pour résoudre la contradiction des autorités, elle prétend montrer que les conciles de 848, 849 et 853 sont entachés par des irrégularités. L'autre, plutôt jésuite ou moliniste, qu'on appellera la « ligne Cellot », est embarrassée par deux points. D'une part, l'augustinisme, qui doit être respecté, au moins formellement. D'autre part, le concile de Valence de 855, qui condamne celui de Quierzy de 853 : il professe les thèses augustiniennes tout en n'offrant aucune prise aux soupçons d'irrégularité 34 . La « ligne Cellot » est alors celle du « grand malentendu ». Les WARREN PEZÉ pères de Valence, dit-il, n'ont pas erré dans leurs définitions, mais ont seulement mal compris certaines formulations de Quierzy, ce qui retire toute valeur dogmatique à la condamnation ; toute la controverse n'est qu'une querelle de mots entre des théologiens qui, au fond, sont d'accord ; la lettre synodale de Tusey de 860 consacre la victoire d 'Hincmar, dont luthérien, il n'a guère de sympathie pour la double prédestination ; il classe la vaste historiographie déjà soulevée par la question prédestinatienne par confessions : calvinistes, anglicans, arminiens, catholiques, syncrétistes 50 . Pour lui, il y a bien eu un détournement des doctrines augustiniennes de la prédestination, et Gottschalk en est un jalon important. En 1733, un étudiant danois, Laurentius Heerfodt, présente sa Dissertatio Ecclesiastico-Critica sur le prédestinatianisme au Borchs Kollegium de Copenhague ; lui aussi plaide pour l'existence de ce « poison » et compare Gottschalk à Zwingli et Calvin 51 . Johann Karl de Lith, à l'université d'Altdorf, va encore plus loin quatre ans plus tard en tenant des thèses comparables à celles de la Véritable tradition de l'Église attribuée à Jean de Launoy. Augustin lui-même a professé les thèses « prédestinatiennes » ; l'en disculper revient à « laver un nègre » (sic) 52 . Même si Sirmond a été critiqué pour ses défauts, sa thèse est juste ; Hincmar est mobilisé parmi les pièces à charge. Ces documents nous permettent de nous représenter la passion du public universitaire européen pour la question prédestinatienne.

La controverse dans les milieux savants

Les années 1640-1650, décisives à la fois pour l'historiographie de la controverse et le sort du jansénisme, sont particulièrement mouvementées dans l'université française. César Egasse du Boulay (1610-1678), maître de rhétorique et recteur de l'université de Paris en 1661-1662, cherche à montrer que l'alma mater a été fondée sous Charlemagne et exhume pour cela plusieurs témoignages sur la vie intellectuelle carolingienne. Sa thèse s'attire une censure rapide qui lui reproche notamment son traitement trop avantageux de Gottschalk, dont il doute qu'il ait été hérétique 53 : la hiérarchie de l'université de Paris semble hostile au Saxon. Cellot a dédicacé sa philippique anti-Gottschalk au doyen et aux chanoines de la cathédrale.

Ces mêmes années 1650-1655, dans le sillage de l'édition Mauguin, l'université de Reims connaît son propre tumulte. En 1652, un bachelier de la faculté de 50 F. Kohlmeier, Dissertatio historico-theologica de Praedestinatianis, Wittemberg, 1681, § 11-15. Pour Kohlmeier, le « prédestinatianisme » n'existe pas en tant que secte mais en tant qu'opinion : or, il est indéniable qu'Augustin a été mal compris dès son vivant, notamment par les moines d'Hadrumète, qui l'accusent de nier le libre-arbitre et de rendre injuste le jugement de Dieu ( § 17-18). Gottschalk théologie, l'ermite de saint Augustin Antoine Le Febvre, soutient, contemporain de Mauguin, sa propre thèse en défense de Gottschalk 54 . Dans les semaines qui suivent, un jésuite (dont le nom est tu) édite contre Le Febvre un libelle de trois pages 55 ; il critique la vogue « gottschalkienne » comme étrangère, venue d'Irlande avec Ussher et exhorte Reims à se rallier à sa gloire locale, Hincmar. L'écho local est retentissant. « On distribuoit ce libelle par toute la ville au grand prejudice de la verité & de l'honneur de la Faculté 56 ». Son but est évidemment de « soustraire les Escoliers de l'Uniuersité ». En urgence, après la messe, le Syndic de la Faculté se réunit le 17 juillet 1652 dans la « Salle Patricienne » et condamne le libelle. La censure suit la « ligne Mauguin » : les sages professeurs affirment que Mayence et Quierzy n'ont pas été des conciles. On est alors en plein rapport de force. La censure est expédiée, hors de Reims, à des adversaires notoires de l'augustinisme 57 . À Reims même, si l'on ignore le nom du jésuite auteur du libelle, celui-ci a reçu l'approbation, pour édition, du prieur de Saint-Nicaise Guillaume Marlot et du curé de Saint-Martin, Nicolas Colin, docteurs en théologie : le clergé rémois se déchire autour de Gottschalk 58 . L'année suivante, la controverse rebondit à l'occasion de la bulle d'Innocent X condamnant les cinq thèses alléguées du jansénisme ; Guillaume Marlot accuse à nouveau de jansénisme la thèse d'un ermite de saint Augustin, mais est condamné par la faculté de théologie 59 .

Ainsi, la controverse carolingienne s'est inscrite dans le paysage intellectuel à la faveur de la querelle janséniste. En 1650-1653, le théologien hollandais Vincent Lenis (1587-1653) publie plusieurs ouvrages contre le molinisme ; le corpus carolingien est sa principale autorité en faveur de l'augustinisme 60 . Un tract de deux En 1654, un vaste corpus d'autorités sur la grâce et la prédestination paraît à Bourges : on y trouve les conciles de Mayence et Quierzy ainsi qu'un résumé de la controverse, étiquetant Gottschalk comme « prédestinatien 62 ». Vers 1655, le tollé parisien provoqué par l'édition de Mauguin suscite aussi une « apologie pour l'archevesque Hincmar » restée anonyme : l'auteur pourrait en être, selon Jean Devisse, Dom Guillaume Marlot (voir ci-dessous, note 92). L'auteur, devancé par Cellot, renonce à la publier et le manuscrit finit dans la bibliothèque des mauristes (Paris, BNF, fr. 17823). La dissertation couvre Hincmar d'éloges (« un excellent esprit, subtil, pénétrant », f. 13r) et Gottschalk d'invectives (« un esprit sauvage, pointilleux, inquiet, amateur de nouveaux themes », f. 33r) ; suivant la « ligne Cellot » et le scénario du malentendu, le concile de Valence est accusé de n'avoir pas compris les canons de Quierzy de 853 (f. 62-7). Enfin, mentionnons les papiers d'un érudit du xviii e siècle conservés à la Bibliothèque Sainte-Geneviève, parmi lesquels on trouve un petit dossier sur les controverses modernes sur la grâce (Paris, BSG, 2157). Il renferme des notices biographiques sur Jansenius, William Cave, Richard Simon, Jacques Sirmond… mais aussi sur Hincmar, Gottschalk et Ratramne. L'auteur a d'évidentes sympathies augustiniennes et l'on lit, griffonné sur un billet (f. 3) : « Godescalc blamable en bien des points. mauvaise foy d'Hincmar. concile de Valence. Ratramne catholique ». Le dossier révèle l'effort de documentation des érudits modernes passionnés ou préoccupés par la question de la grâce 63 . le plus cité est Prosper d'Aquitaine (20 fois), mais viennent ensuite les auteurs de la controverse (Remi de Lyon 14 fois ; Prudence, 10 ; Loup, 4 ; Valence, Amolon et Florus 1), ce qui fait du corpus carolingien récemment édité la principale autorité favorable à l'augustinisme. 61 Antiqua veritas praedestinationis et gratiae Dei et fides patrum (sans date et sans auteur, 1650-1660). La Bibliothèque Sainte-Geneviève en a conservé quatre exemplaires. 62 Regulae fidei catholicae de gratia Dei per Iesum Christum adversus inimicos eiusdem Gratiae… Bourges, 1654, p. 146-159. Voir en particulier p. 159. L'auteur a dû avoir accès à l'ouvrage de Cellot avant sa publication l'année suivante. 63 Le dossier s'ouvre par une notice sur Jansenius et sa condamnation ; on y trouve une liste des difficultés du jansénisme (f. 2). On lit f. 3v : « predestinatiens : il n'y en a jamais eu selon les meilleurs theologiens. C'est un nom que les semipelagiens donnoient a ceux qui suivaient les opinions de st. Augustin. » Sur ce même billet, on lit la liste des théologiens sur lesquels l'auteur voulait rédiger une notice, rayés au fur et à mesure : « Amerbach, Fogginius, Cave, editions de St. Augustin, Coustant, Manessier, Jansenius, Hincmar, Quesnel, Gotescalc, Ratramne, Molina, concile de Valence, predestinatiens ». Sirmond n'est pas épargné (f. 4-5) : « les editions des differents aucteurs et peres qu'a fait le p. Sirmond sont imparfaites et partialles ». On lit une longue notice sur Gottschalk au f. 7r. Le dossier s'achève par un « discours historique et critique sur St. Augustin » (f. 11-13).

même attitude est adoptée par l'Histoire ecclesiastique de Claude Fleury (1691) ; l'auteur, de sympathie mauriste, n'est réputé ni militant, ni malveillant 81 . Il prend les mêmes précautions que Godeau (t. X, L. 48-9) : « je n'entre point dans le détail de la doctrine contenuë dans tous ces écrits ». La théologie carolingienne, pour lui, est mauvaise et sans intérêt pour les contemporains ; on y trouve « beaucoup d'expressions dures, qui se sentent de la grossiereté du temps ». On le devine circonspect devant cette longue controverse entre partisans déclarés d'un même augustinisme. Gottschalk et Hincmar sont donc renvoyés dos à dos ; le premier « poussoit trop loin sa curiosité » et avait « sa doctrine », tandis qu'Hincmar se voit reprocher sa duplicité et l'invention de « l'hérésie prédestinatienne » 82 .

On rencontre la même tendance dans la notice « Gottschalk » du dictionnaire de Moreri ( 1674), qui vide l'affaire de son caractère dogmatique pour retenir, d'une part, le caractère « insolent & brouillon » de Gottschalk, d'autre part, l'inhumanité, la « severité extraordinaire » d 'Hincmar 83 . Quelques décennies plus tard encore Amat de Graveson refuse de prendre parti et déclare se cantonner au « récit historique », à l'évidence pour se protéger : il prend fait et cause pour la doctrine du Saxon, louant l'orthodoxie des Confessiones de Gottschalk et condamnant « la superbe » et « la cruauté » d'Hincmar, évêque politique qui manipule les sources 84 . Il y a donc une esquive visible de la question théologique, dont le but est de défendre l'augustinisme en sous-main en concédant la condamnation de Gottschalk.

À cette historiographie gallicane, souvent proche de Port-Royal mais tenant le reclus d'Hautvillers à bonne distance, le calviniste Jacques Basnage de Beauval (1653-1723) décoche une critique acerbe :

Enfin les plus moderez l'abandonnent encore aujourd'hui, ceux même qu'un principe d'équité, & l'honneur de leur Ordre engagent à le soutenir, n'osent le faire, & s'ils ne peuvent condamner sa doctrine qu'ils portent peut-être dans le coeur, au moins censurent-ils sa conduite, comme s'il ne meritoit pas bien après une si longue & si cruelle persecution, apres avoir fait voir un courage si ferme & si constant pour la defense de la verité, qu'on lui pardonnât sa curiosité ou quelque faute legere, & qu'on lui fit raison sur la doctrine 85 . 81 Quantin, Le catholicisme classique (cité n. 77), p. 260-266. 82 C. Fleury, Histoire ecclésiastique, vol. 10, Paris, 1704 (1 e éd. 1691), p. 471-647 (539, 540, 471 et 473). 83 L. Moreri, Grand dictionnaire historique…, Amsterdam, 1694 (1 e éd. 1674), p. 55. 84 Amat de Graveson, Historia ecclesiastica (cité n. 49), vol. 3, p. 93-96. On voit particulièrement qu'Amat se protège p. 95 : Nec enim expedit, ut tot inter viros eruditos, qui de hoc facto historico etiamnum digladiantur, meum interponam judicium, & arbiter sedeam. Dans la lignée de l'érudition mauriste, il démonte la théorie de Sirmond d'une hérésie prédestinatienne. Il est d'autant plus probable que de Graveson ait été du milieu mauriste qu'il a fait partie de la délégation d'érudits qui se sont rendus aux archives du Vatican à la demande de dom Coustant le 15 décembre 1707 : P. Coustant, Vindiciae veterum codicum confirmatae…, Paris, 1715, p. 182. 85 J. Basnage de Beauval, Histoire de l'Église depuis Jesus-Christ jusqu'a present…, Rotterdam, 1699, p. 754.

Basnage s'indigne de la tendance à condamner Gottschalk sur la forme pour le justifier sur le fond. L'attaque contre les tièdes qui, malgré leurs sympathies jansénistes, ne sont pas montés en première ligne comme l'avait fait Antoine Arnauld est rendue encore plus explicite par une manchette : « mabillon ».

Dans le sillage de l'édition des traités de la controverse, certains textes attirent particulièrement l'attention des érudits, au point de provoquer, en parallèle, une controverse à part entière : les rumeurs et accusations de falsification d'Hincmar de Reims. Elles suscitent, au début du xviii e siècle, la querelle philologique qui oppose le jésuite Barthélémy Germon (1663-1718) au mauriste Pierre Coustant (1654-1721) sur les corruptions textuelles des hérétiques. Les accusations d'Hincmar de Reims se trouvent ici au centre d'une controverse épistémologique qui scelle l'autonomie de la discipline philologique. À travers la question des falsifications, elles touchent jusqu'à Isaac Newton, membre de l'Église unitarienne, qui n'a pas manqué de remarquer qu'Hincmar signale l'interpolation d'un verset trinitaire ( Jn 3, 6) 86 . Mais on peut ici se contenter de renvoyer aux travaux de Jean-Louis Quantin 87 . l'historiographie gallicane, dont les in-folio dorés à chaud cachent des partis-pris violents [START_REF] Weizsäcker | Das Dogma von der göttlichen Vorherbesthimmung im neunten Jahrhundert[END_REF] .

Postérité des modèles interprétatifs du xvii

Le paradigme de cette historiographie était de déterminer de quel côté penchait le magistère. Devant les contradictions entre conciles, la seule solution était, d'une part, d'éliminer ceux qui gênaient, d'autre part, de trouver un point final. La première tendance se lit chez Mauguin, qui vide de leur autorité les conciles de Mayence et Quierzy [START_REF]Mauguin avait été critiqué pour cela dès le xvii e siècle, par Alexandre[END_REF] . Par inertie bibliographique, la « ligne Mauguin » se perpétue. En 1889, Albert Freystedt affirme encore que la lettre de Raban Maur à Hincmar de 848 n'a pas le statut d'un courrier synodal légitime, mais simplement d'un avis personnel et que les procès de Gottschalk en 848-849 sont irréguliers [START_REF] Freystedt | Studien zu Gottschalks Leben und Lehre[END_REF] . Il fallut attendre la thèse de Jean Devisse pour faire justice à Hincmar de cette légende noire [START_REF] Devisse | J'ajoute sur les épreuves, à toutes fins utiles, deux références que je dois à Devisse[END_REF] .

En face, la « ligne Cellot » prospère. Gottschalk devient le fauteur de toute l'affaire. Le scénario du « dialogue de sourds » se perpétue jusqu'à nos jours. On le retrouve à la fin du xix e siècle chez Schrörs, et récemment chez Jean Devisse, tout à la réhabilitation d'Hincmar : « Nul, donc, n'est hétérodoxe en cette affaire. C'est un conflit de tendances entre orthodoxes », voire « une querelle de sourds parlant des mêmes choses à partir de formations opposées [START_REF] Schrörs | Erzbischof von Reims ; sein Leben und seine Schriften[END_REF] ». Ceux qui s'efforcent de dédouaner Hincmar en reviennent au scénario des polémistes jésuites.

Aux érudits catholiques en quête de magistère, il fallait un point final : ce fut le concile de Tusey de 860. On jugera de la confusion du sujet et de son poids polémique en remarquant que Mauguin et Cellot y ont chacun vu une victoire de son camp. Pour le premier, la lettre synodale de Tusey consacre la victoire de l'augustinisme [START_REF] Mauguin | leur la Réforme 100 . La thèse selon laquelle la controverse elle-même (et non plus seulement Tusey) incarne un tournant semipélagien sur le long terme est défendue aujourd'hui[END_REF] Cambridge, 1995, p. 758-785 (772-773). mais la prégnance des formulations augustiniennes dans le discours, note-t-il, rend les choses confuses. Il élabore alors une critique du discours, distinguant écrits publics (tendant au nivellement augustinien) et privés (tendant, à l'inverse, à la différenciation) 120 . Au terme de l'article, Weizsäcker donne la victoire à ce qu'il appelle un « augustinisme mitigé » : c'est ce qu'a retenu une historiographie qui s'essouffle vite 121 . Mais en quoi consiste cet « augustinisme mitigé » ? C'est là que réside l'intuition capitale de Weizsäcker. À la prédestination d'Hincmar où le Christ répand son sang pour tous, le parti augustinien substitue non pas exactement une prédestination augustinienne où le Christ répand son sang pour les seuls élus, mais une prédestination ecclésiologique où il répand son sang pour les fidèles et les croyants. Nous voyons enfin à l'oeuvre la cheville qui fait tenir ensemble l'ecclésiologie carolingienne et la sotériologie augustinienne : « l'élargissement du particularisme augustinien strict à tous les croyants baptisés, c'est-à-dire à tous les membres de l'Église, par le fait que la volonté de salut de Dieu et l'efficacité du sang du Christ ne se restreignait pas seulement au nombre des élus 122 ». Grâce à cette prédestination d'Église, à cette institutionnalisation de la grâce, la tension polémique est tombée d'elle-même sans qu'il y ait besoin de formule de concorde : la doctrine de la double prédestination ne remettait pas en cause l'institution, ce dont les controversistes se sont rendu compte. Weizsäcker venait de trouver pourquoi la controverse avait pu se passer d'un concile d'Orange carolingien. (1 e éd. 1862). Noorden a été pris de court par la publication de Dümmler, qu'il avoue infiniment supérieure (p. viii). Pour Noorden, qui critique la conclusion de Weizsäcker, c'est bien Hincmar et sa doctrine qui restent maîtres du terrain (p. 97). Dümmler, de son côté, délivre un récit de la controverse avec une maîtrise des sources inégalée (p. 326-402). La biographie de Victor Borrasch, prêtre du diocèse de Culm, quoiqu'érudite, est une histoire événementielle à mi-chemin entre la « ligne Cellot » et la « ligne Mabillon » : Gottschalk est condamné à la fois pour ses moeurs et sa doctrine (il a repéré les fragments de Mayence, qui vont au-delà de l'augustinisme, p. 79), et Hincmar est critiqué pour ses falsifications (p. 95).

Heurs et malheurs de l'historiographie contemporaine

La vogue nationaliste du cas Gottschalk est une impasse historiographique. Mais de manière concomitante, la connaissance factuelle de la controverse a fait des progrès considérables, en particulier grâce à l'érudition bénédictine : on dispose maintenant d'un volume entier d'écrits de Gottschalk, donnant l'opportunité de confronter les discours de « l'hérétique » et de ses juges. Puis s'opère la révolution florienne : les textes de controverse lyonnais, que l'on croyait jusqu'alors sortis en majorité de la plume de l'archevêque Remi de Lyon, sont en réalité l'oeuvre du diacre Florus, comme le montrent les notes de ses manuscrits personnels, étudiées par dom Célestin Charlier 135 . Les progrès importants de la philologie permettent à une nouvelle méthodologie de voir le jour : les manuscrits entrent dans le paysage historiographique comme objets à part entière et non plus seulement comme réservoirs de textes 136 . En somme, le champ de recherche a été puissamment dopé par des découvertes factuelles ouvrant la possibilité de nouvelles interprétations.

Conclusion

L'historiographie récente et les perspectives de recherche ont déjà été présentées en introduction de ce volume. Ce survol de la bibliographie ancienne aura permis, on l'espère, de prendre la mesure de l'inertie historiographique qui caractérise la controverse sur la double prédestination : les schémas interprétatifs du xvii e siècle, qu'il s'agisse des lignes « Mauguin », « Cellot » et « Mabillon », ou des scénarios du « grand malentendu », des « conséquences cachées » et du « point final », ont tous trouvé une descendance jusqu'au xx e siècle. À l'inverse, la controverse Gfrörer-Wenck et l'article de Julius Weizsäcker sont tombés dans l'oubli, malgré des intuitions d'une grande modernité. L'acquisition d'une certaine conscience historiographique est, à n'en pas douter, l'un des défis posés à l'étude de querelles dogmatiques qui étaient toujours sujettes à controverse lorsque l'érudition moderne en a défini les contours. Avec ce recul, on peut espérer aussi bien se défaire des biais d'une histoire parfois militante, que redécouvrir les résultats de savants dont, en bien des points, l'érudition dépassait la nôtre. Bulst, Heidelberg, 1960, p. 61-68 (Mittelalterliche Studien 2, Stuttgart, 1967, p. 26-34).

  Actes du colloque international de Paris des 11 et 12 octobre 2013 édités par Pierre Chambert-Protat, Jérémy Delmulle, Warren Pezé et Jeremy C. Thompson Introduction Pour une approche archivistique des controverses médiévales Pierre Chambert-Protat, Jérémy Delmulle, Warren Pezé, source perdue. La notice de Sigebert est reprise par son émule Ekkehard (abbé d'Aura en 1113, mort après 1125), avec un nouveau décalage à l'année 850 5 . La

34

  Même le jésuite D. Petau l'a reconnu : De theologicis dogmatibus I (De Deo uno Deique proprietatibus), Venise, 1745 (1 e éd. 1644-1650), livre 9, c. 1, n o 5, p. 342 (citant en revanche la mauvaise année : 853). Petau cite les sources lyonnaises qu'il tire de la Bibliotheca Patrum. On trouve un récit plus complet au c. 16, p. 383 ; très narrativement, il relate la condamnation de Gottschalk (se fondant surtout sur l'édition de Sirmond), les quatre canons du concile de Quierzy et leur contresens sur la doctrine de Gottschalk (à savoir, la condamnation d'une prédestination au péché au lieu d'une prédestination au châtiment), puis la condamnation de Quierzy par Valence, concile qui a le beau rôle : ibidem vero neque salvos omnes esse velle Deum, neque pro omnibus passum asserit Christum, idque SS. Patrum testimonio confirmat.

54

  Vindiciae novae Gothescalci (je n'en ai pas trouvé le manuscrit). 55 Gothescalci vindiciae novae veterum Patrum oppressae, Reims, 1652. 56 La censure de la faculté de Theologie de Reims…, 1652, p. 3. 57 La version que je cite, qui est la traduction française du document original (Censura sacrae facultatis theologiae Remensis lata in librum cui titulus est : Vindiciae novae Gothescalci veterum decretis oppressae, Reims, 24 juillet 1652), a été expédiée par un ecclésiastique de Reims à un certain Dom Pierre de S. Joseph, qu'il accuse d'anti-Gottschalkisme et exhorte à la conversion. 58 Voir la dernière page de Gothescalci vindiciae novae Veterum Patrum Decretis oppressae, Reims, Veuve Bernard, 1652. 59 Conclusio sacrae facultatis theologiae Remensis, Reims, 28 août 1653. Ce jour-là (fête de saint Augustin), l'assemblée de la faculté de théologie se réunit à Saint-Patrice après la messe et, sous la présidence du vicaire général du diocèse, enregistre la bulle d'Innocent X. Jean Lallemant, syndic de la faculté, soumet alors à la faculté le « scandale » et les « rumeurs » soulevés par la thèse d'un chanoine régulier de saint Augustin, soutenue le 13 août. Guillaume Marlot, suspect d'avoir porté plainte auprès de l'officialité, est entendu, ainsi que le syndic lui-même, qui partageait son avis. Les deux hommes sont mis en minorité par l'assemblée, qui confirme que la thèse du chanoine n'est pas contraire à la bulle. 60 [V. Lenis], Pontificum conciliorum sanctorum patrum et illustrium scriptorum elogia quibus doctrina et auctoritas sancti Augustini de gratia potissimum libero arbitrio et praedestinatione approbatur et commendatur, 1650-1653. Il s'agit d'une annexe de ses traités contre Petau, constituant une collection de témoignages patristiques. En deux colonnes, l'auteur confronte d'une part des propositions molinistes et d'autre part des citations favorables à l'augustinisme allant du v e au xvii e siècle (avec notamment Bellarmin). L'auteur pages, contemporain de la querelle janséniste et composé par un « thomiste anonyme », cite parmi ses autorités le concile de Valence et Prudence de Troyes 61 .

  e siècle L'impact de ce premier essor historiographique est considérable. Les catégories de « prédestinatien » ou « semipélagien » imprègnent le champ de recherche au point que, jusqu'au tournant hérésiologique des années 1980, elles conditionnent le regard des historiens 88 . Les schémas interprétatifs de Mauguin, Cellot et Mabillon se perpétuent. En 1859, Julius Weizsäcker, dont nous parlerons bientôt, explique que l'historiographie est, jusqu'à lui, partagée entre ceux pour qui la controverse oppose semipélagiens et augustiniens (« ligne Mauguin ») et ceux qui y voient un Wortgefecht, une querelle de mots dont Gottschalk est le seul hérétique (« ligne Cellot »). Il a un regard critique sur le caractère polémique de 86 I. Newton, « Two Notable Corruptions of Scripture », in Oxford, New College Library, Ms. 361 (4), f. 70-83 ; édité en ligne en décembre 2007 : http://www.newtonproject.sussex.ac.uk/view/texts/ normalized/THEM00263. 87 J.-L. Quantin, « La philologie patristique et ses ennemis : Barthélémy Germon, s. j., et la tentation pyrrhoniste chez les anti-jansénistes », dans R. Häfner (éd.), Philologie und Erkenntnis. Beiträge zu Begriff und Problem frühneuzeitlicher « Philologie », Tübingen, 2001, p. 305-332. Voir aussi W. Pezé, « Un faussaire à la cour : hérésie et falsification pendant la controverse adoptianiste », dans W. Grosse (éd.), Charlemagne. Le temps, les espaces, les hommes. Construction et déconstruction d'un règne, Actes du colloque du DHIP des 26-28 mars 2014, à paraître dans la collection Haut Moyen Âge (Turnhout, Brepols). 88 Même S. Epperlein, historien marxiste, voit la controverse carolingienne à travers ce prisme : Herrschaft und Volk im karolingischen Imperium. Studien über soziale Konflikte und dogmatisch-politische Kontroversen im fränkischen Reich, Berlin, 1969 (Forschungen zur mittelalterlichen Geschichte), p. 207-208.

  . Pour le second, la même lettre synodale est le pur reflet des capi-tula de Quierzy et signale le triomphe d'Hincmar 95 . À tout prendre, la position de Cellot est plus proche de la réalité que celle de Mauguin ; aussi s'impose-t-elle. Tusey devient le concile d'Orange carolingien. Le jésuite J.-B. Du Chesne en donne une description particulièrement fantaisiste :On discuta les questions en elles-mêmes, & après les déliberations ordinaires en pareil cas, le Concile donna sa décision […] Tous les Evêques de France s'en tinrent à ce Jugement ; par là l'unanimité des sentimens fut si bien rétablie, que les disputes tomberent absolument 96 … Du Chesne va jusqu'à reproduire la lettre synodale découpée en sections numérotées, comme s'il s'agissait de canons synodaux 97 … Il n'y avait guère, au xvii e siècle, que Jacques Basnage, indifférent par sa confession même au problème de la faillibilité du magistère, pour dépeindre le dogme comme le fruit d'un rapport de force et dénoncer les synodes carolingiens comme contradictoires 98 .Ainsi s'ancre dans l'historiographie, malgré la lucidité de rares voix discordantes, la thèse du concile conclusif, qu'on trouve souvent au xx e siècle 99 . Tusey prend même une importance inquiétante. Pour certains auteurs, comme Noorden ou Harnack, cette victoire d'Hincmar marque un tournant semipélagien de l'Église catholique qui avait professé l'augustinisme à Orange, en 529 : un tournant dont les conséquences, bien sûr incalculables, se font ressentir jusqu'à compte par les jansénistes. 95 Cellot, Historia (cité n. 32), p. 332-334. 96 Du Chesne, Le predestinatianisme (cité n. 43), p. 167-171. 97 Le livre de Du Chesne est parfois surprenant. S'efforçant de décrire les causes des hérésiarques prédestinatiens, il rappelle que Gottschalk est accusé de saleté physique par Hincmar. Il explique alors (op. cit., p. 178) : « Une seconde raison, pourquoi la Secte de Gottescalc eut alors si peu de cours ; c'est qu'il n'eut point le talent de s'insinuer dans l'esprit des Dames : il étoit crasseux en sa personne, mal propre dans ses habits, grossier dans ses maniéres, il n'étoit ni dévot ni hypocrite : ce n'étoit pas là des lettres de recommendation auprès des Dames polies ou devotes. Un Directeur de cette trempe est peu propre à briller dans les cercles ; aussi n'y fit-il pas fortune. L'experience apprend que s'il faut des hommes pour inventer un systême d'hérésies, il faut des amazones pour la soutenir, l'étendre & l'accrediter. Ce Sexe également facile à recevoir les impressions de la nouveauté, & zélé à les communiquer, n'épargne ni adresse, ni argent pour les mettre en vogue. » Cela étant, on trouve, dans la conclusion du livre de Du Chesne, d'intéressants développements sur l'impact social de la prédication de Gottschalk (p. 471-477) : son but, toujours polémique, est alors de savoir si le prédestinatianisme a bien été une secte. 98 Le souci polémique de Basnage, Histoire de l'Église (cité n. 85), est évident ; pour lui, les jésuites sont les dignes successeurs d'Hincmar, tant pour sa doctrine que ses méthodes crapuleuses : p. 755. Pour lui, le dogme est le jouet du pouvoir : cf. p. 753-754, 759, 766 et 773. 99 É. Amann, L'Église carolingienne, Paris, 1937 (A. Fliche et V. Martin [dir.], Histoire de l'Église depuis les origines jusqu'à nos jours), p. 342 ; Devisse, Hincmar (cité n. 92), p. 273 ; D. Ganz, « Theology and the organisation of thought », dans R. McKitterick (dir.), New Cambridge Medieval History, vol. 2,

D

  'autres publications de langue allemande ponctuent le xix e siècle : la biographie d'Hincmar par Carl von Noorden, celle de Gottschalk par Victor Borrasch, l'Histoire de la Francie orientale d'Ernst Dümmler 123 … Parmi les historiens de la théologie, Wiggers et Harnack soutiennent que la controverse sur la prédestination est représentative du tournant « semipélagien » de l'Église, on l'a vu. Bientôt émerge la bibliographie citée au xx e siècle. Les principales publications 120 Ibid., p. 531. 121 Noorden, Hinkmar, cité n. 100, p. vi-vii et 95. 122 Weizsäcker, « Das Dogma » (cité n. 89), p. 575-576. 123 Noorden, Hinkmar, cité n. 100 ; Borrasch, Der Mönch Gottschalk, cité n. 76 ; E. Dümmler, Geschichte des ostfränkischen Reiches, I. Ludwig der Deutsche bis zum Frieden von Koblenz 860, Hildesheim, 1960

  p. 169-185 ; V. von Büren, « Une édition critique de Solin au ix e siècle », dans Scriptorium, 50/1, 1996, p. 22-87, p. 83 et 86-87. 135 C. Charlier, « Les manuscrits personnels de Florus de Lyon et son activité littéraire », dans Mélanges Podechard, Lyon, 1945, p. 71-85 ; Idem, Floriana de gratia, notes de dom C. Charlier, dossier manuscrit non paginé (conservé à l'abbaye de Maredsous et transmis à Anne-Marie Turcan-Verkerk par Paul-Irénée Fransen en juin 2012). 136 Ils occupent une place importante dans la biographie d'Hincmar par Jean Devisse. La figure la plus importante de ce mouvement est naturellement B. Bischoff, notamment avec « Gottschalks Lied für den reichenauer Freund », dans H. R. Jauss et D. Schaller (dir.), Medium Aevum Vivum : Festschrift für Walther

le 15 mars 1629 et le 10 décembre 1630, dans The Whole Works of the Most Rev. James Ussher, D. D., Lord Archbishop of Armagh and Primate of All ireland, éd

	.
	La querelle s'intensifie alors autour de la controverse carolingienne. La réplique
	vient d'abord, côté jésuite, d'un Jacques Sirmond désormais octogénaire. Il édite
	le Praedestinatus d'Arnobe le Jeune (1643), les Opera omnia d'Hincmar (1645),
	trois lettres de Raban contre Gottschalk (1647), avant de renouer, dans l'Historia
	praedestinatiana (1648), le fil du temps entre les prédestinatiens du v e et du ix e
	siècles 26 .
	La polémique pèse de tout son poids dans ces éditions. Pour les sympathisants
	de Port-Royal, Sirmond, « plus heureux à chercher quelques vieux Manuscrits,
	qu'à traiter des matieres de Theologie », ne fait que révéler son pélagianisme 27 .
	L'editio princeps du Liber de tribus quaestionibus de Loup permet de mesurer ces
	tensions. Le manuscrit avait été repéré dans la bibliothèque de Saint-Amand dès
	1602 par Antoine Grimbert, qui en prépare aussitôt l'édition et obtient le privi-
	lège royal. Mais la publication est retardée par l'abbé Nicolas Du Bois ( † 1673),
	qui s'est fait des ennemis et craint d'être accusé de jansénisme. Finalement, en
	24 J. Ussher, Gotteschalci et praedestinatianae controversiae ab eo motae cum duplice eiusdem Confessione,
	nunc primum in lucem edita, Dublin, 1631, p. 213-237. Cf. OEuvres théologiques et grammaticales de
	Godescalc d'Orbais, éd. C. Lambot, Louvain, 1945 (Spicilegium sacrum Lovaniense, 20), p. xx. Ussher
	obtient d'abord de Sirmond un exemplaire de la confessio prolixior, puis un second de Corbie. Voir les
	lettres à son facteur S. Ward, . C. Richard, Erlington,
	1847-1864, t. 15, p. 481 et 541 ; voir aussi, pour ses liens avec Jacques Sirmond, t. 16, p. 524-525 (lettre à
	Johann Jakob Frey du 25 juin 1635). Le livre d'Ussher se veut une réplique à l'Historia pelagiana de Vossius
	(1618), auteur arminien accusant Gottschalk de prédestinatianisme ; cf. Quantin, « Histoires de la grâce »
	(cité n. 20), p. 339.
	25 C. Jansen, Augustinus, Louvain, 1640 ; tome I, l. VIII, c. 23, col. 546-549. Jansenius mentionne les ef-
	forts d'Hincmar, dans le De praedestinatione, pour démontrer l'existence d'une hérésie prédestinatienne ;
	il tient ces informations d'Ussher (cf. Quantin, « Histoires de la grâce », p. 340, n. 57). Il cite aussi les
	textes lyonnais qu'il a lus dans la Bibliotheca patrum.
	26 Ajoutons la publication de la lettre d'Amolon à Gottschalk, du Sermo Flori et des Sententiae
	Augustini, que Sirmond a exhumées du ms. Gand, Univesiteisbobliotheek, 249 : Amolonis archiepiscopi
	Lugdunensis ad Gothescalcum Epistola…, éd. J. Sirmond, Paris, 1649 (cf. J.-P. Bouhot, « Le Sermo Flori sur
	la prédestination », Revue bénédictine,

  l'orthodoxie est donc hors de doute. Pour la « ligne Cellot », seul Gottschalk est hérétique. En englobant Prudence, Loup, Florus et Hincmar dans une même orthodoxie augustinienne, Cellot rejette la seule doctrine du Saxon, à savoir le prédestinatianisme reconstruit par Sirmond. Cette « ligne Cellot » n'est pas une pure fabrication. Elle peut s'appuyer sur une source, bien vue par le dominicain Noël Alexandre en 168135 . Gallican, augustinien mais antijanséniste, Alexandre suit la « ligne Cellot » : il juge orthodoxe la doctrine de Loup, Prudence, Ratramne, Florus. Sur le fond, il estime que c'est une question bien compliquée (difficillima et tunc temporis valde obscura) et que malgré une querelle de mots, tous ces prélats sont fondamentalement d'accord36 . Mais il a remarqué que les fragments de Gottschalk antérieurs à Mayence parlent de prédestination au péché, et non au châtiment 37 . Dès lors, pour les adversaires du jansénisme, le Saxon devient un précurseur intéressant de l'évêque d'Ypres : il devient possible de les loger dans la même généalogie infamante.La perspective jésuite et moliniste est contrainte de condamner les thèses augustiniennes et jansénistes tout en respectant l'autorité d'Augustin. Pour cela, Mais la publication du Praedestinatus d'Arnobe le Jeune par Sirmond, puis son Historia praedestinatiana (1643 et 1648) semblent apporter de nouveaux éléments en faveur de la généalogie antique du jansénisme. Pour les partisans du jésuite, Gottschalk est à nouveau un précurseur de Jansenius. En 1648, l'ancien jésuite François Veron (1575-1649), curé de Charenton (place de sûreté des Réformés parisiens) et polémiste réputé, adresse à la régente Anne d'Autriche un bref mémoire contre Jansenius 39 . L'évêque d'Ypres, qu'il appelle « un Gothescalcus deterré », a intitulé son oeuvre Iansenii Augustinus ; Veron renverse l'appropriation et intitule son mémoire Iansenii Gothescalcus haereticus. Jansenius a déjà été condamné, peut-il affirmer, éditions conciliaires de Sirmond à l'appui, par « cinq conciles gaulois », en la personne des anciens prédestinatiens 40 . La démonstration de l'inanité du prédestinatianisme est rendue caduque, finit-il, par les dernières publications de Sirmond. Il loue les efforts de la reine pour imiter son lointain prédécesseur, Charles le Chauve, en empêchant « que ces Iansenistes ne preschent ces doctrines blasphématoires 41 ». Peu de temps après, un autre jésuite, Philippe Labbe (1607-1667), demande que les jansénistes soient fouettés et emprisonnés comme l'avait été Gottschalk 42 .De ce débat qui atteint la mère de Louis XIV, l'enjeu social et politique est considérable. L'opinion savante se passionne durablement pour le prédestinatianisme. Côté catholique, l'érudition jésuite fait tout pour préserver l'appellation. En 1724, Jean-Baptiste DuChesne (1682-1755), provincial de Champagne de la compagnie de Jésus et précepteur des enfants d'Espagne, peut publier une histoire complète du prédestinatianisme (ou « Gothescalcisme »), de l'Antiquité aux Temps modernes. Il balaie les objections d'Ussher, Jansenius et Mauguin (« il n'étoit pas connoisseur aussi eclairé sur les hérésies, que sur les monnoyes », insinue-t-il contre ce dernier), arguant qu'à les suivre, l'Église aurait « couru après des phantômes » ; son but est de « rendre cette hérésie palpable 43 ». Il en retrace la généalogie : « Lucide, Gothescalc, Bradwardin, Wiclef, Jean Hus, Luther, Calvin, 39 F. Veron, La condemnation de la doctrine des Iansenistes par cinq conciles françois, selon les Methodes de S.Augustin, ou, Iansenii Goteschalcus, haereticus, et le ballon des iansenistes, 1648. 40 Les cinq conciles sont Mayence (848), Quierzy (« Rheims in carisiaco, qui semble estre Crecy diocese d'Amiens »), Valence (il s'appuie sur Baronius, qui croyait le concile réuni contre Gottschalk), Tusey (« Toul ») et le concile d'Arles de 475. 41 Ibid., p. 2 : « Vous imitez, MADAME, cette pieté & zele de nos Roys, & empeschez que ces Iansenistes ne preschent ces doctrines blapshematoires, sur ce que cette nouueauté pourroit causer du trouble en l'Estat, comme d'autres troublent tant l'Angleterre, & que ce venin ne s'épande dans la France, soubs vostre Regense ». 42 Cité par Quantin, « Histoires de la grâce » (cité n. 20), p. 347. 43 J.-B. Du Chesne, Le predestinatianisme ou les heresies sur la predestination et la reprobation, Traité historique et theologique…, Paris, 1724, p. 8-9. L'auteur se pense le premier à entreprendre « un corps d'histoire complet », p. 2. La pique contre Mauguin se trouve p. 6.

	Gottschalk et le « prédestinatianisme »

  est abordé aux § 22-23. 51 L. Heerfordt, Dissertatio Ecclesiastico-Critica de Haeresi praedestinatiana ab Augustino praeter opinionem invecta, Copenhague, 1733, p. 18-19. 52 J. K. de Lith, Praedestinatianos quinto fuisse saeculo, Altdorf, 1737, p. 13 : satis euidenter patet, Aethiopem illos lauare, qui Augustinum, ab hoc errore immunem reddere uolunt. 53 C. E. du Boulay, Historia universitatis Parisiensis, ipsius fundationem, nationes, facultates, magistratu, decreta, etc., vol. 1, Paris, 1665, p. 179 et 233 : Censura sacrae facultatis theologiae Parisiensis lata in opus quod inscribitur Historia universitatis parisiensis… authore M. Caesare Egassio Bullaeo, Paris, 1667, p. 1. Voir aussi p. 32 et 44. Je remercie vivement Frédéric Gabriel pour cette référence.

Voir J.-L. Quantin, « Histoires de la grâce : "semi-pélagiens" et "prédestinatiens" dans l'érudition ecclésiastique du xvii e siècle », dans T. Walling, T. Stockinger, I. Peper et P. Fiska (dir.), Europäische Geschichtskulturen um 1700 zwischen Gelehrsamkeit, Politik und Konfession, Berlin, 2012, p. 327-332. Les Centuriateurs de Magdebourg ont pris connaissance de la lettre de Raban à Evrard de Frioul : voir Nona centuria ecclesiasticae historiae (1565), p. 224. Matthias Flacius Illyricus, dans le Catalogus testium veterum (Strasbourg, 1597 ; 1 e éd. 1556), mentionne le livre d'Hincmar sur la prédestination (t. II, p. 60) et cite un extrait de la lettre de Loup à Gottschalk (n o 30). Citons aussi le jésuite Maldonat, qui a lu le De tribus epistolis : J. Maldonado, Commentarii in quattuor evangelistas nunc primum in lucem editi, 1-2, Pont-à-Mousson, 1596, vol. 1, col. 481 et vol. 2, col. 1080 : cité par Quantin, p. 336, n. 38.

21 Quantin, « Histoires de la grâce » (cité n. 20), p.

356. 22 C. Baronio, Annales ecclesiastici, Rome, 1602, t. 10, 118 et 170-180 ; cité par Quantin, « Histoires de la grâce » (cité n. 20), p. 332, n. 16-18 et p. 333, n. 19. Baronio connaît Flodoard (dont il a le manuscrit original), les actes de Valence (par l'édition de Surius de 1567) et de Savonnières (dont il a aussi le

manuscrit). 23 Auctarii Bibliothecae patrum et auctorum ecclesiasticorum tomus secundus, Paris, 1610, col. 1063-1254 ; là sont publiés tous les traités lyonnais contenus dans le

ms. BNF, latin 2419, copie par Nicolas Lefèvre de l'exemplaire lyonnais du ix e siècle, le latin 2859(CCCM 260, p. xxiii). Concilia antiqua Galliae, éd. J. Sirmond, Paris, 1629, t. 3, p. 65 sqq. ; ce dernier ajoute aux sources connues la lettre de Raban à Hincmar sur la condamnation de Gottschalk (PL 125, col. 84), la sentence de condamnation du concile de Quierzy de 849(MGH Conc. 3, et les canons du concile de Quierzy de 853, mais tous datés de 848 -on voit que la confusion chronologique de Sigebert de Gembloux se perpétue.

WARREN PEZÉ

Antiquissimi scriptoris Lupi Servati…, [éd. A. Grimbert], 1648, préface. Cf. l'Histoire littéraire de la France, t. V, p. 260, qui ne fait que la traduire.

G. Mauguin, Vindiciae praedestinationis et gratiae. Veterum auctorum qui IX saeculo de praedestinatione et gratia scripserunt opera et fragmenta et Vindiciarum Praedestinationis et Gratiae tomus posterior, 2 t. (I,1 et I,2-II), Paris, 1650. Sur cette figure effacée, voir P. Petitmengin, « D'Augustin à Prudence de Troyes, les citations augustiniennes dans un manuscrit d'auteur », dans De Tertullien aux Mozarabes, vol. 2 : Haut Moyen Âge (VI e -IX e siècles). Mélanges offerts à Jacques Fontaine à l'occasion de son 70 e anniversaire, L. Holtz et J. C. Fredouille (éd.), Paris, 1992 (Collection des Études augustiniennes, Moyen Âge et temps modernes 26), p. 229-251, spec. p. 232, et Quantin, « Histoires de la grâce », p. 344, n. 76 : venu d'une famille de notables de Clermont-Ferrand, Gilbert Mauguin (1595-1674) est président à la cour des monnaies de Paris jusqu'en 1659.

30 Mauguin, à l'aide de l'édition des Annales de Saint-Bertin (A. et F. Duchesne, Historiae Francorum scriptores, t. 3, Paris, 1641), peut distinguer les conciles de Mayence de 848 et de Quierzy de 849 et 853 confondus par

Sirmond. 31 Mauguin décrit le concile de Quierzy de 853 comme une assemblée occulte (pseudo-synodus) manipulée par Hincmar : voir aussi Quantin, « Histoires de la

grâce », p. 345. 32 L. Cellot, Historia Gotteschalci praedestinatiani, Paris, 1655. Grâce aux papiers de Sirmond, Cellot publie de nouveaux inédits : la lettre de Gottschalk à Ratramne et la lettre de Prudence à

Hincmar et Pardoul. 33 Quantin, « Histoires de la grâce » (cité n. 20), p. 327.

il faut prouver l'existence d'une hérésie prédestinatienne englobant les thèses les plus extrêmes de l'évêque d'Hippone et de ses émules. Les polémistes s'efforcent de montrer que le « prédestinatianisme » naît au v e siècle et connaît son principal hérésiarque en Gottschalk. Le premier visé, Jansenius, a vite semblé montrer dans l'Augustinus (1640) que ce « prédestinatianisme » n'était qu'une construction hérésiologique imputable à Gennade, et reprise sans discernement par Sigebert de Gembloux qui, comme tous les historiens (écrit-il), n'a pas enquêté en profondeur 38 . 35 N. Alexandre, Selectae historiae ecclesasticae capita, vol. 16, Paris, 1681, sec. IX et X pars secunda, 5a dissertatio : de causa Gottescalchi, eiusque erroribus, ac damnatione, impugnatoribus, ac patronis, p. 264-363. 36 Ibid., p. 336-337. Alexandre s'acharne à montrer que les canons de Valence de 855 ne contredisent pas ceux de Quierzy de 853 (p. 347-356). Cela l'oblige à certaines acrobaties : Hincmar a eu tort, en 860, d'attaquer le concile de Valence de 855 dans son De praedestinatione, puisque, finalement, ce concile était d'accord avec celui de Quierzy (p. 357)… 37 Ibid., p. 281-282. Voir Lambot, OEuvres théologiques… (cité n. 24), fragment 2, p. 14 : nemo nisi alterius [sc. praedestinationis] necessitate fati nec in meritum impietatis, nec in eius terminum aeternum quidem supplicium compellatur cadere. 38 Jansen, Augustinus (cité n. 25), col. 546.


Aurel Page

Damien Robert

Introducing Clapoti(s): Evaluating the isogeny class group action in polynomial time

) ) operations to compute the class group action 𝐸 ↦ 𝐸 𝔞 ≃ 𝐸/𝐸 [𝔞].

Introduction

Let 𝐸/𝔽 𝑞 , 𝑞 = 𝑝 𝑒 , be an elliptic curve with an effective primitive orientation by a quadratic imaginary order 𝑅 ⊂ End(𝐸), and 𝔞 be an invertible ideal in 𝑅. In this short note, we explain how to compute the class group action by 𝔞 in polynomial time.

Although specific instantiations of the full class group action (rather than a restricted action) are known [BKV19; FFK+23; CL23], as explained by Lorenz Panny in https://yx7.cc/blah/2023-04-14.html none of them is asymptotically polynomial. By contrast, Clapoti is a polynomial time algorithm that applies to any orientation.

We use the now standard trick of going to higher dimension, initially introduced in the SIDH attacks [CD23; [START_REF] Maino | A direct key recovery attack on SIDH[END_REF][START_REF] Robert | Breaking SIDH in polynomial time[END_REF]. For this, we need to extend the class group action Cl(𝑅) on 𝐸 to higher dimension. In [START_REF] Page | Clapotis: Evaluating the isogeny class group action in polynomial time[END_REF], we build an anti-equivalence of categories between unimodular hermitian torsion free 𝑅-modules and 𝑁-similitudes on one hand, and principally polarised 𝑅-oriented (not necessarily primitively) abelian varieties 𝐴 isogeneous to 𝐸 𝑛 and oriented 𝑁-isogenies on the other hand (with the restriction that the 𝑅-action on differentials 𝜌 𝐴 on 𝐴 has to be equivalent to 𝜌 𝑛 𝐸 when 𝑝 is inert in 𝑅, owing to the fact that in this case the Frobenius map 𝜋 𝑝 ∶ 𝐸 → 𝐸 (𝑝) is not represented by an ideal). This equivalence of categories is an extension to the oriented setting of an equivalence of categories proved in the non oriented setting in [START_REF] Jordan | Abelian varieties isogenous to a power of an elliptic curve[END_REF][START_REF] Kirschmer | Spanning the isogeny class of a power of an elliptic curve[END_REF]. The isogeny 𝜙 𝔞 ∶ 𝐸 → 𝐸 𝔞 of kernel 𝐸[𝔞] corresponds under this equivalence to the module map (𝔞, 𝒩(⋅)/ 𝒩(𝔞)) → (𝑅, 𝒩(⋅)), with 𝒩(⋅) the norm form. This representation does not requires 𝔞 to be invertible, and can therefore also be used to represent going up isogenies (by taking 𝔞 to be the conductor ideal); hence even in dimension 1 it is more general than the class group action.

We then build an 𝑁-similitude (𝔞, 𝒩(⋅)/ 𝒩(𝔞)) ⊕ (𝔞, 𝒩(⋅)/ 𝒩(𝔞)) → (𝑅, 𝒩(⋅)) ⊕ (𝑅, 𝒩(⋅)) for a "nice" 𝑁 (e.g. smooth), which we translate back to a 𝑁-isogeny 𝐸 × 𝐸 → 𝐸 𝔞 × 𝐸 𝔞 . By the converse of Kani's lemma [START_REF] Kani | The number of curves of genus two with elliptic differentials[END_REF], such an isogeny also comes from an isogeny diamond in dimension 1. This allows us to give a simplified (but potentially slower) version Clapoti (CLass group Action in POlynomial TIme) of Clapotis (CLass group Action in POlynomial TIme via Sesquilinear forms), bypassing the equivalence of categories (see Proposition 2.1).

The algorithm

Let 𝐸/𝑘, 𝑘 = 𝔽 𝑞 , be an elliptic curve, and 𝑅 ⊂ End 𝑘 (𝐸) be a primitive orientation on 𝐸 by a quadratic imaginary order of discriminant Δ 𝑅 . We will assume that the orientation is effective, meaning that we can evaluate an explicit non trivial endomorphism 𝛿 (of polynomial norm) of 𝑅 on 𝐸 in polynomial time; such an efficient isogeny representation always exist by [START_REF] Robert | Evaluating isogenies in polylogarithmic time[END_REF]. (By polynomial time, we always mean in term of log Δ 𝑅 and log 𝑞, and by polynomial norm we always mean in term of Δ 𝑅 .) All other endomorphisms are of the form 𝑎+𝑏𝛿 𝑓 and can be evaluated in polynomial time too (if they have polynomial norm) by the division algorithm of [START_REF] Robert | Some applications of higher dimensional isogenies to elliptic curves (overview of results)[END_REF].

Let 𝐾 = Frac 𝑅, and let 𝔞 be an integral invertible ideal in 𝑅 (of polynomial norm, which we can always assume by reducing 𝔞 first if necessary). The ideal class group action gives an isogeny 𝜙 𝔞 ∶ 𝐸 → 𝐸 𝔞 of kernel 𝐸[𝔞]. We say that the 𝑁-torsion of 𝐸 is accessible if the primary parts of 𝐸[𝑁] lie in small extensions, i.e., extensions of polynomial degree in 𝑂(log 𝑞).

Proposition 2.1. Let 𝔟, 𝔠 be two explicit integral ideals equivalent to 𝔞 of polynomial norm such that 𝒩(𝔟) + 𝒩(𝔠) = 𝑁. Then there is a 𝑁-isogeny 𝐹 ∶ 𝐸 × 𝐸 → 𝐸 𝔞 × 𝐸 𝔞 , whose kernel can be efficiently computed provided that 𝒩(𝔟) is coprime to 𝒩(𝔠) and the 𝑁-torsion is accessible.

Proof. Since 𝔟 is equivalent to 𝔞, there exists 𝛽 ∈ 𝐾 * such that 𝔟 = 𝛽𝔞; since 𝔟 is integral and 𝔞𝔞 = 𝒩(𝔞), we have 𝛽 = 𝛾 𝑏 / 𝒩(𝔞) for some 𝛾 𝑏 ∈ 𝔞 of norm 𝒩(𝛾 𝑏 ) = 𝒩(𝔟) 𝒩(𝔞). Conversely, given 𝛾 𝑏 ∈ 𝔞, the ideal 𝔟 = 𝛾 𝑏 / 𝒩(𝔞) ⋅ 𝔞 is an integral ideal equivalent to 𝔞 of norm 𝒩(𝛾 𝑏 )/ 𝒩(𝔞). Furthermore, since 𝔟𝔞 = (𝛾 𝑏 ), the element 𝛾 𝑏 can be efficiently computed as the smallest element the lattice 𝔟𝔞. Likewise, fix a 𝛾 𝑐 ∈ 𝔞 inducing the equivalent ideal 𝔠.

Since 𝔞 lies in the class -1 of the class group, we have that 𝔠𝔟 is a principal ideal, and in fact 𝔠𝔟 = (𝛾 𝑐 𝛾 𝑏 / 𝒩(𝔞)). We remark that 𝛾 𝑐 𝛾 𝑏 is in 𝔞𝔞 = (𝒩(𝔞)), so 𝛾 ≔ 𝛾 𝑐 𝛾 𝑏 / 𝒩(𝔞) is a well defined endomorphism on 𝐸.

Now consider the following isogeny diamond:

𝐸 𝐸 𝔞 𝐸 𝔞 𝐸 𝜙 𝔟 𝜙 𝔠 𝜙 𝔠 𝜙 𝔟
which is commutative because 𝜙 𝔠 ∘ 𝜙 𝔟 = 𝜙 𝔟 ∘ 𝜙 𝔠 = 𝛾 = 𝛾 𝑐 𝛾 𝑏 / 𝒩(𝔞). Kani's lemma then gives an 𝑁-isogeny

𝐹 ∶ 𝐸 × 𝐸 → 𝐸 𝔞 × 𝐸 𝔞 , 𝐹 = ( 𝜙 𝔟 φ 𝔠 -𝜙 𝔠 φ𝔟 ) . If 𝒩(𝔟) is coprime to 𝒩(𝔠), the kernel of 𝐹 is given by {(𝒩(𝔟)𝑃, 𝛾𝑃) | 𝑃 ∈ 𝐸[𝑁]}.
Corollary 2.2. Let 𝔟, 𝔠 be two integral ideals equivalent to 𝔞 of coprime norms such that 𝒩(𝔟) + 𝒩(𝔠) = 𝑁 is smooth and the 𝑁-torsion is accessible. Then 𝐸 𝔞 can be recovered in polynomial time.

Proof. By Proposition 2.1, we have an explicit 𝑁-isogeny 𝐹 ∶ 𝐸 × 𝐸 → 𝐸 𝔞 × 𝐸 𝔞 , which can be computed in polynomial time.

We now need to distinguish between 𝐸 𝔞 and 𝐸 𝔞 . The first copy of 𝐸 has an isogeny of degree 𝒩(𝔟) to 𝐸 𝔞 and an isogeny of degree 𝒩(𝔠) to 𝐸 𝔞 , and this relationship is reversed for the second copy of 𝐸. Taking a small ℓ such that these norms are different modulo ℓ, we can use the Weil pairing on the ℓ-torsion to distinguish the two isogenies.

Remark 2.3. When 𝒩(𝔟) is not coprime to 𝒩(𝔠), we still have an isogeny diamond. The description of the kernel of a general isogeny diamond is given in [Kan97, Corollary 2.11], but it is a priori not obvious how we might recover the kernel of 𝐹 without knowing the action of 𝜙 𝔟 , 𝜙 𝔠 on 𝐸[𝑁] first. However, in Proposition 2.1, 𝐹 comes from a module map, and in [START_REF] Page | Clapotis: Evaluating the isogeny class group action in polynomial time[END_REF], we explain how to recover the kernel associated with an arbitrary module map, so in that case we can recover the kernel of 𝐹 even if the coprimality condition of Proposition 2.1 and Corollary 2.2 is not satisfied.

Let us explain the case of the specific isogeny 𝐹 to illustrate the usefulness of the module representation. We have 𝔟 = 𝛾 𝑏 𝒩(𝔞) 𝔞, so the multiplication map 𝛾 𝑏 / 𝒩(𝔞) ∶ (𝔞, 𝒩(⋅)/ 𝒩(𝔞)) → (𝔟, 𝒩(⋅)/ 𝒩(𝔟)) is an isomorphism 𝛼 𝑏 of unimodular Hermitian modules. The isogeny 𝜙 𝔟 ∶ 𝐸 → 𝐸 𝔞 corresponds from the module point of view to the post-composition of 𝛼 𝑏 with the natural 𝒩(𝔟)-similitude given by the inclusion (𝔟, 𝒩(⋅)/ 𝒩(𝔟)) → (𝑅, 𝒩(⋅)).

Likewise, the isogeny 𝐹 from Proposition 2.1 corresponds to a 𝑁-similitude 𝜓 ∶ (𝔞, 𝒩(⋅)/ 𝒩(𝔞))⊕(𝔞, 𝒩(⋅)/ 𝒩(𝔞)) → (𝑅, 𝒩(⋅)) ⊕ (𝑅, 𝒩(⋅)).

The anti-equivalence of categories is exact, so the kernel of 𝐹 corresponds to the cokernel of 𝜓. Fix two generators of 𝔞, these generators induce surjective maps 𝑅 2 ↠ 𝔞, 𝑅 2 ↠ 𝔞. Pre-composing 𝜓 with these epimorphisms, we get a module map ψ ∶ 𝑅 4 → 𝑅 2 , whose cokernel is exactly the cokernel of 𝜓. The map ψ is given by a 4 × 2 matrix of elements of 𝑅, hence of endomorphisms on 𝐸, and corresponds on the abelian variety side to a morphism Φ ∶ 𝐸 2 → 𝐸 4 . By exactness, the cokernel coker ψ = coker 𝜓, which as we have seen corresponds to Ker 𝐹, is given by Ker Φ which we can explicitly compute since the orientation by 𝑅 is effective on 𝐸.

Remark 2.4. Using 𝜙 𝔟 , we can transfer the effective orientation on 𝐸 to an effective orientation on 𝐸 𝔞 by using the division algorithm of [START_REF] Robert | Some applications of higher dimensional isogenies to elliptic curves (overview of results)[END_REF], as explained in [START_REF] Merdy | The supersingular endomorphism ring problem given one endomorphism[END_REF]Lemma 6.11].

It remains to find ideals 𝔟, 𝔠 satisfying the conditions of Corollary 2.2. First we handle the coprimality condition.

Lemma 2.5. Given 𝔞 ⊂ 𝑅 an invertible ideal, it is possible to find in randomized polynomial time two equivalent integral ideals 𝔟, 𝔠 whose norms are polynomial in Δ 𝑅 and coprime to each other.

Proof. Let 𝔥 be an integral ideal of polynomial norm, we explain how to find in polynomial an ideal equivalent to 𝔞 and coprime to 𝔥.

Given an element 𝑎 in 𝔞 -1 , then 𝑎𝔞 is integral, and it is coprime to 𝔥 iff for each of the finitely many prime ideals 𝔥 ⊂ 𝔭 𝑖 ⊂ 𝑅 containing 𝔥, 𝑎 ∉ 𝔭 𝑖 𝔞 -1 . By the CRT, 𝜋 ∶ 𝔞 -1 → ∏ 𝔞 -1 /𝔭 𝑖 𝔞 -1 is surjective, and any 𝑎 ∈ 𝔞 -1 such that 𝜋 𝑖 (𝑎) ≠ 0 for all 𝑖 gives an ideal 𝑎𝔞 coprime to 𝔥. If the primes above 𝔥 are known, we can find a suitable 𝜋(𝑎) in the codomain by linear algebra, and then lift it to 𝔞 -1 .

Otherwise, we turn to a randomized algorithm. Fix a bound 𝐵 large enough (but still polynomial) so that the image of 𝜋 restricted to the ball of radius 𝐵 is close to uniform, and sample uniformly in 𝔞 -1 with bound 𝐵 (e.g. using [DLRW23, Lemma 4.2.1]) to obtain our required 𝑎 in random average polynomial time. (As an optimisation: failed random samples, i.e. samples 𝑎 ∈ 𝔞 -1 such that 𝑎𝔞 is not coprime to 𝔥 give informations on the primes above 𝔥, which we can use to refine the sampling.)

We apply this algorithm to 𝔥 = 𝒩(𝔞), and take 𝔟 = 𝔞, 𝔠 = 𝑎𝔞.

Remark 2.6. In Lemma 2.5, we need 𝔞 to be invertible. If 𝔣 = 𝔣 is the conductor ideal, all elements in 𝔣 have norm divisible by 𝒩(𝔣) 2 , so using Proposition 2.1 with 𝔞 = 𝔣, we can only build 𝑁-isogenies with 𝒩(𝔣) | 𝑁.

We now need to adjust 𝔟, 𝔠 so that 𝒩(𝔟) + 𝒩(𝔠) is nice. In this note, we are not looking for an efficient algorithm, just a provably polynomial time one, so we sidestep this problem by going to dimension 8 as in [START_REF] Robert | Breaking SIDH in polynomial time[END_REF].

Proposition 2.7. Let 𝔟, 𝔠 two integral ideals equivalent to 𝔞 of norm coprime to each other. Let 𝑁 be any integer 𝑁 ≥ 𝒩(𝔟) 𝒩(𝔠). Then, possibly replacing 𝑁 by 4𝑁, there exists an 𝑁-isogeny 𝐹 ∶ 𝐸 8 → 𝐸 4 𝔞 × 𝐸 4 𝔞 . Proof. Since 𝒩(𝔟) is coprime to 𝒩(𝔠), every integer 𝑁 is an integral linear combination 𝑁 = 𝑢 𝒩(𝔟) + 𝑣 𝒩(𝔠). If 𝑁 ≥ 𝒩(𝔟) 𝒩(𝔠), we may find 𝑢, 𝑣 positive by the pigeonhole principle. Let 𝑥 be an element of the Lipschitz quaternion order whose norm is 𝑢 and 𝑦 an element whose norm is 𝑣. (By [START_REF] Pollack | Finding the Four Squares in Lagrange's Theorem[END_REF], 𝑥 and 𝑦 can be found by a randomized polynomial time algorithm.) We identify 𝑥, 𝑦 with their 4 × 4 integral matrix, hence with endomorphisms of 𝐸 4 that commute with 𝜙 𝔟 and 𝜙 𝔠 .

Let 𝑧 = 𝑦𝑥, by metacommutation we can write 𝑧 = 𝑥 ′ 𝑦 ′ where 𝒩(𝑥 ′ ) = 𝒩(𝑥), 𝒩(𝑦 ′ ) = 𝒩(𝑦), but 𝑥 ′ , 𝑦 ′ may live in the Hurwitz quaternionic order. The Hurwitz order has an Euclidean division (for both sides), so all ideals are principals and finding a generator can be done efficiently by the Euclidean algorithm. If 𝑢 = 𝒩(𝑥), 𝑣 = 𝒩(𝑦) are coprime, we can compute 𝑥 ′ as the left gcd of 𝑧 and 𝒩(𝑥) and set 𝑦 ′ = 𝑥 ′-1 𝑧; the coprimality condition ensures that 𝒩(𝑥 ′ ) = 𝒩(𝑥),

Since the Liptschitz order is of index 2 inside the maximal Hurwitz order, replacing 𝑥 ′ , 𝑦 ′ by 2𝑥 ′ , 2𝑦 ′ if necessary (hence also multiplying 𝑥, 𝑦 by 2 and 𝑢, 𝑣, 𝑁 by 4), we can assume that 𝑥 ′ , 𝑦 ′ are also given by integral coefficients, i.e. live in the Lipschitz order.

Consider the isogeny diamond:

𝐸 4 𝐸 4 𝔞 𝐸 4 𝔞 𝐸 4 𝑥𝜙 𝔟 𝑦 ′ 𝜙 𝔠 𝑦𝜙 𝔠 𝑥 ′ 𝜙 𝔟
From the diamond in Proposition 2.1 and the construction of 𝑥, 𝑦, 𝑥 ′ , 𝑦 ′ , we do have commutativity, hence Kani's lemma yields a 𝑁-isogeny.

Theorem 2.8. The isogeny 𝜙 𝔞 ∶ 𝐸 → 𝐸 𝔞 can be computed in randomized polynomial time.

Proof. Use Lemma 2.5 to sample 𝔟, 𝔠 of coprime norms. Take 𝑁 > 𝒩(𝔟) 𝒩(𝔠) coprime to each and such that 𝑁 is smooth and the 𝑁-torsion is accessible (e.g. take 𝑁 powersmooth).

Replacing 𝑁 by a divisor of it if necessary, we can assume that the 𝑢, 𝑣 of the proof of Proposition 2.7 are coprime to each other, and so also to 𝑁, hence in particular that 𝑢 𝒩(𝔟) is coprime to 𝑣 𝒩(𝔠).

Assume first that we do not need to change 𝑁 by 4𝑁 in Proposition 2.7. With the notations of Propositions 2.1 and 2.7, the composition 𝑦𝜙 𝔠 ∘ 𝑥𝜙 𝔟 = 𝑦𝑥 diag(𝛾) in the isogeny diamond is explicit. Thus we can recover the kernel of 𝐹 as in the proof of Proposition 2.1, evaluate 𝐹 and recover 𝐸 𝔞 , 𝐸 𝔞 , and distinguish the two by using pairings as in Corollary 2.2.

Since we know how to evaluate 𝐹 and F , we know how to evaluate 𝑥𝜙 𝔟 , 𝑦 ′ 𝜙 𝔠 and their duals, hence some explicit integer multiple of 𝜙 𝔟 , 𝜙 𝔠 and their duals, hence the isogenies 𝜙 𝔟 , 𝜙 𝔠 and their duals by the division algorithm of [START_REF] Robert | Some applications of higher dimensional isogenies to elliptic curves (overview of results)[END_REF]. The isogeny 𝜙 𝔞 differ from 𝜙 𝔟 by the non integral endomorphism 𝛾 𝑏 / 𝒩(𝔞) ∈ 𝐾, so we can also evaluate 𝜙 𝔞 on suitable torsion points, hence recover 𝜙 𝔞 by [START_REF] Robert | Evaluating isogenies in polylogarithmic time[END_REF]. Now in the case where we need to change 𝑁 by 4𝑁 in Proposition 2.7, in the isogeny diamonds we have isogenies of degrees whose gcd is 4. Assume for simplicity that our original 𝑁 was odd, then we can still recover the odd part of the kernel Ker 𝐹, and we only miss Ker 𝐹 [4].

By Remark 2.3, using our module description of 𝐹 we can still recover its full kernel. In our current simplified description, a solution is to simply try all 𝑂(1) possible kernels Ker 𝐹[4] until a splitting isogeny is found. We then verify that the splitting is correct as follows (heuristically there will be only one splitting among all our choices anyway). By the above reasoning, we know how to evaluate 𝜙 𝔠 and 𝜙 𝔟 . The decomposition is correct if and only if the composition 𝜙 𝔠 ∘ 𝜙 𝔟 gives the endomorphism 𝛾 defined in the proof of Proposition 2.1. Remark 2.9 (An heuristic algorithm in dimension 4). Assume that 𝔟, 𝔠 are of coprime norm.

We can work in dimension 4 in Proposition 2.7 whenever we can find positive 𝑢, 𝑣 such that 𝑁 = 𝑢 𝒩(𝔟)+𝑣 𝒩(𝔠) and 𝑢, 𝑣 are sums of two squares. In this case we can find 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ[𝑖] (the Gaussian integers) of norm 𝒩(𝔟), 𝒩(𝔠) (efficiently if these norms are prime) and represent them by 2 × 2-integral matrices (that commute with each other). Taking 𝑁 to be coprime to 𝒩(𝔟) and 𝒩(𝔠), we can assume as in Theorem 2.8 the degrees 𝑢 𝒩(𝔟) and 𝑣 𝒩(𝔠) to be coprime, so the kernel of the isogeny 𝐹 associated with the corresponding diamond is easy to describe via the endomorphism 𝑦𝑥 diag(𝛾). (Like in Remark 2.3, we could also relax the coprimality condition by using the module representation.)

Heuristically, we expect 𝑢 to be a prime congruent to 1 modulo 4 with probability Ω(1/ log 𝑁), and both 𝑢, 𝑣 to satisfy these conditions with probability Ω(1/ log 2 𝑁). There are at least 𝑁 𝒩(𝔟) 𝒩(𝔠) possible couples (𝑢, 𝑣), so we expect heuristically to find a solution as soon as 𝑁 = Ω(𝒩(𝔟) 𝒩(𝔠) log 2 (𝒩(𝔟) 𝒩(𝔠))).

If we cannot find suitable 𝑢, 𝑣 for given 𝑁, 𝔟, 𝔠, we can simply tweak 𝑁 or (if we want to find 𝑁 as small as possible) rerandomize 𝔟, 𝔠 until a suitable solution is found. By Minkowski's bound, we know that there exists two linearly independent elements 𝑤 1 , 𝑤 2 in 𝔞 such that ‖𝑤 1 ‖‖𝑤 2 ‖ ≤ 𝒩(𝔞)Δ 1/2 𝑅 . Taking ‖𝑤 1 ‖ ≤ ‖𝑤 2 ‖, and using the fact that 𝒩(𝑥) = ‖𝑥‖ 2 and that if 𝑥 ∈ 𝔞, 𝒩(𝑥) ≥ 𝒩(𝔞), we find that ‖𝑤 1 ‖ ≤ 𝒩(𝔞) 1/2 Δ 1/4 𝑅 and ‖𝑤 2 ‖ ≤ 𝒩(𝔞) 1/2 Δ 1/2 𝑅 . So the reduced (i.e. the minimal) ideal equivalent to 𝔞 is of norm ≤ Δ 1/2 𝑅 . And there are many equivalent ideals of norm 𝑂(Δ 𝑅 ), so we can expect to find 𝔟, 𝔠 of coprime norm such that 𝒩(𝔟) 𝒩(𝔠) = 𝑂(Δ 3/2 𝑅 ), hence embed the isogeny 𝐸 → 𝐸 𝔞 into a dimension 4 𝑁-isogeny whenever 𝑁 ≈ Δ 3/2 𝑅 log 2 Δ 𝑅 . If the lattice 𝔞 is not too skewed (so that ‖𝑤 2 ‖ ≈ ‖𝑤 1 ‖), we can even expect to find two ideals 𝔟, 𝔠 of coprime norm ≈ Δ 1/2 𝑅 , which lowers 𝑁 to 𝑁 ≈ Δ 𝑅 log 2 Δ 𝑅 . Remark 2.10. A similar strategy as in Theorem 2.8 applies whenever we can find two isogenies 𝑓 , 𝑔 ∶ 𝐸 1 → 𝐸 2 of coprime degrees 𝑁 1 , 𝑁 2 such that the endomorphism 𝛾 = g ∘ 𝑓 on 𝐸 1 is known. As in Proposition 2.1, we use the isogeny diamond associated with the pushforward square

𝐸 𝐸 2 𝐸 ′ 2 𝐸 𝑓 𝑔 ′ g f ′ where 𝑔 ′ ∶ 𝐸 → 𝐸 ′
2 is the isogeny with kernel 𝑓 -1 (Ker g ), and Ker f ′ = 𝑔 ′ (Ker g ∘ 𝑓 ). Then for any 𝑁 > 𝑁 1 𝑁 2 , we can embed 𝑓 , 𝑔 into an 𝑁 or 4𝑁-isogeny 𝐹 in dimension 8 as in Proposition 2.7 (or possibly dimension 4 as in Remark 2.9), whose kernel 𝐾 can be recovered (or at least a subgroup 𝐾 ′ ⊂ 𝐾 such that 𝐾/𝐾 ′ is of exponent 4) from the action of 𝛾 on 𝐸 [𝑁].

A situation where this might be useful is, as a variant to the KLPT algorithm, to compute the Deuring correspondence from an ideal 𝐼 to an isogeny 𝜙 𝐼 ∶ 𝐸 1 → 𝐸 2 between two supersingular curves over 𝔽 𝑝 2 , when we have an effective representation of End 𝔽 𝑝 2 (𝐸 1 ). We sample two ideals 𝐽 1 , 𝐽 2 equivalent to 𝐼 of coprime reduced norms as in Lemma 2.5 and embed 𝜙 𝐼 into a 𝑁-isogeny 𝐹 of dimension 8 via the isogeny diamond associated with the decomposition 𝐽 2 𝐽 1 = 𝐽 ′ 1 𝐽 ′ 2 for some ideals 𝐽 ′ 1 , 𝐽 ′ 2 of reduced norm 𝒩(𝐽 1 ), 𝒩(𝐽 2 ) respectively. Compared to [START_REF] Wesolowski | The supersingular isogeny path and endomorphism ring problems are equivalent[END_REF], this gives a proven polynomial time version of an IdealToIsogeny algorithm without GRH (at the cost of going to dimension 8 instead of staying in dimension 1).

Heuristically, we can expect to find 𝐽 1 , 𝐽 2 of norm 𝑁 1 , 𝑁 2 ≈ √𝑝, and compute 𝜙 𝐼 via a 𝑁-isogeny in dimension 8 with 𝑁 ≈ 𝑝 (resp. of dimension 4 with 𝑁 ≈ 𝑝 log 2 𝑝).

(As in the 𝑅-oriented case, the isogeny 𝐹 is represented by an explicit module map, so we can compute its full kernel 𝐾 even in the non coprime degrees case. Thus we can relax the coprimality condition on 𝐽 1 , 𝐽 2 at the expense that 𝑁 will need to be divisible by the gcd of the reduced norms of 𝐽 1 , 𝐽 2 .)

The full algorithm

The algorithm presented in these notes (at least the dimension 8 version) is impractical. The full Clapotis algorithm several improvements.

First, there is no real need to go to dimension 8 as in Proposition 2.7; the endomorphism order 𝑅 in End(𝐸) is of rank 2 (which we do not even exploit in Proposition 2.7), which is already large enough to devise an algorithm to find suitable ideals 𝔟, 𝔠 for Corollary 2.2 encoding a 𝑁-isogeny (for 𝑁 large enough). This allows us to work in dimension 2. For instance, for CSIDH-1024 [START_REF] Castryck | CSIDH: an efficient post-quantum commutative group action[END_REF], taking a random prime 𝑝 ≡ 3 mod 4 of 1024 bits and a random prime ideal 𝔞 of 512 bits, our algorithm implemented in Pari/GP finds a 𝐵-powersmooth isogeny in dimension 2 computing the action of 𝔞 with 𝐵 = 2591.

Still, a 2591-isogeny in dimension 2 is of very large degree 6713281. So for practical specific instantiations of Clapotis, it would be convenient to be able to choose 𝑁 = 2 𝑚 a large power of 2, and a CSIDH-prime 𝑝 with some accessible 2 𝑡 torsion (and extra accessible smooth torsion), and decompose the isogeny 𝐹 into blocks of 2 𝑡 -isogenies a la SQISign [DKLPW20; DLW22]. As a first step for this decomposition, we need a way to describe the intermediate abelian surfaces; this is where we can leverage our equivalence of categories described in Section 1. Indeed, we can describe the intermediate principally polarised abelian surfaces as explicit submodules of rank 2 inside the Hermitian module (𝑅, 𝒩(⋅)) ⊕ (𝑅, 𝒩(⋅)).

Acknowledgment

The second author gives special thanks to Antonio Sanso, who spurred this project by asking if we could apply the methods of QFesta [START_REF] Nakagawa | QFESTA: Efficient Algorithms and Parameters for FESTA using Quaternion Algebras[END_REF] to CSIDH. We remark also that [CL23, Proposition 10] is essentially Proposition 2.1 applied to 𝔞 = 𝑅, so this Proposition can be seen as an extension of the ideas of SCALLOP-HD from 𝑅 to an arbitrary ideal.

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