Marie Kerjean

Valentin Maestracci

Morgan Rogers

Functorial Models of Differential Linear Logic

There are two types of duality in Linear Logic. The first one is negation, balancing positive and negative formulas. The second one is the duality between linear and non-linear proofs, made symmetrical by Differential Linear Logic. The first duality has been here since the beginning of Linear Logic and has a significance in terms of proof-search and programming operation. However, the computational content of the second is still to understand. In this paper, we reexpress models of Differential Linear Logic in terms of models of Polarized Linear Logic, hoping to get closer to the understanding of Differential Linear Logic. It formalizes Differentiation in terms of a functor on a coslice category, within the linear-non-linear adjunction models of Linear Logic. It is also a first step in studying models mixing polarization and differentiation, concrete instances of which arise in functional analysis.

Introduction

Differentiation is a mathematical operation which maps a function to its closest linear approximation. Through the Curry-Howard correspondence, it has been extended to logic [START_REF] Ehrhard | Differential interaction nets[END_REF] and λ-terms [START_REF] Ehrhard | The differential lambda-calculus[END_REF]. Categorical presentations of differentiation originate from investigation of denotational models of these systems, resulting in a variety of interrelated categorical definitions [START_REF] Blute | Differential categories revisited[END_REF]. Differentiation in such settings might be axiomatized as an external operator acting on morphisms of a category [START_REF] Blute | Cartesian differential categories[END_REF], or as a hard-coded natural transformation refining a model of linear logic [START_REF] Fiore | Differential structure in models of multiplicative biadditive intuitionistic linear logic[END_REF]. However, the axiomatization of differentiation in these last models remains highly non-functorial, a shortcoming our work seeks to correct. This novel presentation of categorical models of Differential Linear Logic is motivated by two recent research developments. The first is differentiable programming: this is a growing domain emerging from spectacular applications of machine learning, aiming to express machine learning algorithms in a functional and principled way. This led to a renewed interest for categorical axiomatizations of differentiation [START_REF] Elliott | The simple essence of automatic differentiation[END_REF]. The second is the recent trend of mixing differentiation and polarity in Linear Logic. While studying models of Differential Linear Logic using topological vector spaces [START_REF] Kerjean | A Logical Account for Linear Partial Differential Equations[END_REF], the first-named author found that polarities and categorical models supporting these were particularly relevant. Chiralities [START_REF] Melliès | A micrological study of negation[END_REF] are a categorical axiomatization of polarized multiplicative linear logic, discovered by Melliès after a study of game models of linear logic. In this paper, we argue that while chiralities model the interaction between positive and negative formulas in linear logic, a similar structure models the interaction between linear and non-linear proofs.

Main Idea Models of Linear Logic (LL henceforth) can be axiomatized as strong monoidal adjunctions between a category whose morphisms are 'linear maps' and a category whose morphisms are 'non-linear maps', or more accurately 'general maps' (smooth maps in our case). For classical LL, the situation is most naturally presented as a contravariant adjunction: pC , ˆ, Iq pL , b, 1q

E 1 U % or pC , ˆ, Iq pL op , `, 1q; E U K % (1)
where U K represents the dual of the forgetful functor from linear to smooth maps, E represents the contravariant hom-set functor and E 1 its dual. Meanwhile, models of polarized LL, so-called chiralities, decompose ˚-autonomous categories into a covariant adjunction alongside a monoidal contravariant one:

pP, b, 1q pN op , `, Kq

p´q K P p´q K N % and P N % (2)
Models of Differential Linear Logic (DiLL henceforth) add to the co-monad ! on L induced by adjunction 1 in the classical setting an ad-hoc natural transformation d : id ñ ! and non-functorial axioms on it.

In the present paper we take inspiration from models of polarized LL to redefine models of DiLL in terms of pairs of adjunctions. The idea is to fit models of DiLL into the pair of adjunction above, the left contravariant adjunction being a model of classical LL and the right covariant adjunction expressing the differential extension of LL. Mainly, we will be expressing differentiation as a functor D : pI Ó C q / / L , or more generally D : pU Ó C q / / L .

Both these functors adapt to models of classical DiLL the ˚-autonomous setting in expressing reverse differentiation:

K D : pI Ó C q op / / L or K D : pU K Ó C q op / / L .

Contribution

We formulate categorical models of DiLL with a functorial definition of differentiation (Definition 5), which we prove to be equivalent to differential storage categories under some hypotheses (Theorem 1 and Theorem 2). We get ride of the first hypotheses on D by making it act as a left-adjoint in a relative reflection on the co-slice (Proposition 1), and this way give a concise definition of models of classical DiLL. We that both models of classical DiLL and chiralities are specific cases of the same categorical structure, namely pairs of well-behaving adjunctions (Definition 7 and Propositions 3 and 2). We also give an alternative defintion of D getting ride of a well-pointedness hypothese. Outline We provide background material on differential categories and chiralitie in Section 2. The core results of our study are presented in Section 3, where we define D as a functor on the co-slice I Ó C , and demonstrate that with a few assumptions, it results in a differential category on L . In Section 4, we expand on this by placing D within a pair of adjoint functors, generalizing chiralities. Finally, in Section 5, we discuss potential future work that can be unlocked by our study.

Related work

Preliminaries

Differential Categories

In this section, we give a quick introduction to the syntax and semantics of DiLL.

For readers familiar with DiLL, we note that Definition 2 is the only one technically necessary to the rest of the paper; the rest of this section serves as motivation and historical introduction. First, Linear Logic (LL) is the result of a decomposition of Intuitionistic Logic via an involutive linear negation. Along with multiplicative and additive versions of conjunction and disjunction, it introduces the exponential connective ! and its dual ?. Some important intuition for working in LL coming from the Curry-Howard correspondence is that a proof of a sequent of the form A $ B corresponds to the construction of a linear function from A to B, while a proof of !A $ B constructs a non-linear function from A to B. When modeling LL in vector spaces, these intuitions are literally valid, in that a proof of A $ B is interpreted as a linear map and a proof of !A $ B is interpreted as (the transpose across the linear-nonlinear adjunction of) a non-linear map.

DiLL adds to LL new rules on the connector !, expressing the fact that one is able to transform a non-linear proof into a linear one. While LL features a dereliction rule (d), DiLL introduces a codereliction rule (d) which acts as differentiation at 0 in the logic:

Γ, A $ ∆ d Γ, !A $ ∆ $ Γ, A d $ Γ, !A
This points to the duality between linear and non-linear maps in DiLL. We recall also the exponential rules of LL called respectively weakening (w), contraction (c) and promotion (p). DiLL adds to these dual rules of coweakening (w) and cocontraction (c).

Γ $ ∆ w Γ, !A $ ∆ Γ, !A, !A $ ∆ c Γ, !A $ ∆ !Γ $ A p !Γ $ !A $ w $ !A $ Γ, !A $ ∆, !A c $ Γ, ∆, !A
Since the focus of this paper is on categorical models rather than the proof theory of these logics, we will not give a full presentation of the syntax of DiLL; we omit the cut-eliminiation rules and the corresponding commutative diagrams between their interpretation as these are direct translations of differential calculus rules. We refer the reader to the survey of Ehrhard [START_REF] Ehrhard | An introduction to differential linear logic: proof-nets, models and antiderivatives[END_REF] for a complete introduction. Let us now turn to the categorical models. [Bie] is a monoidal closed category pL , b, 1q with products and a comonad p!, d, νq such that ! is a monoidal functor pL , ˆ, Jq / / pL , b, 1q (where J denotes a terminal object) so we have 'Seely isomorphisms':

Definition 1. A Seely category [See89]
!A b !B » Ý Ñ !pA ˆBq and 1 » Ý Ñ !J.
Following the LL convention, we will denote by ℓ : A ⊸ B linear maps and f : A / / B for non-linear or smooth maps in the co-Kleisli category L ! . To model classical LL, one requires that LL be a ˚-autonomous category, with an involutive duality p q K » L p , 1q.

The image of the diagonal map and terminal map for the product in L under ! give each object of the form !A a canonical algebra structure:

cA : !A ⊸ !A b !A wA : !A ⊸ 1
That is, Seely categories are categorical models of intuitionnistic Linear Logic [START_REF] Melliès | Categorical semantics of linear logic[END_REF], with the above maps interpreting contraction and weakening, while dereliction is interpreted by the counit of the comonad, as suggested by the notation, and promotion is interpreted by (co)Kleisli extension. Moreover, we recover an instance of the linear-non-linear adjunction discussed in the Introduction by constructing the coKleisli category for the comonad !.

The usual definition of categorical models of DiLL refines the axiomatization of Seely categories. For instance, to interpret w and c in this case one only needs to replace products with biproducts. This is a natural choice: to reflect the addition of rules to a logic, one adds more constructors to the categories providing the logic's semantics. A whole hierachy of axiomatization of 'differential categories' coexist, and we'll make use of the strongest notion.

Definition 2. A differential category, called a 'differential storage category' in [START_REF] Blute | Differential categories revisited[END_REF], is a Seely category pL , b, 1q in which:

products coincide with coproducts, resulting in a biproduct structure1 which we now denote by p˛, 0q, and the comonad p!, d, νq is equipped with a natural transformation d : id ñ ! satisfying: ' Invariance of linear maps under differentiation: d; d " id, and ' The chain rule:

id !A bdA; cA; νA " cA b dA; id !A bcA; νA b d !A ; c !A . (3)
While d; νA would express the chain rule at 0, Equation 3 translates the differentiation of composed function at a point a: Dapg ˝f q " D f paq g ˝Daf . The codiagonal and initial map for the coproduct in L endow !A with coalgebra structure dualizing the algebra structure constructed earlier:

cA : !A b !A / / !A wA : 1 / / !A
Along with the transformation d, these complement the components of LL interpreted in a general Seely category to produce an interpretation of DiLL. In fact, the differential categories axiomatized above are denotational models of intuitionistic DiLL, and of classical DiLL when we impose the extra condition of ˚-autonomy. The exploration of less strict axiomatization have been fruitful in exploring various mathematical examples, in functional analysis and differential geometry. However, the definition above crucially does not reflect the symmetry of exponential rules in DiLL, and does not express differentiation using the traditional objects of computer science. Notably, the chain rule is at first sight quite intricate. In this paper, we attempt to simplify this. Rather than merely introducing new operations such as d, our approach requires us to introduce new categories on top of the LL setup, even beyond the expansion of Definition 1 to an adjunction with the coKleisli category of ! mentioned above. Nonetheless, the extension of LL to DiLL described in Definition 2 can be recovered from our construction.

Notation When f : A / / B is a differentiable functions between two vec- tor spaces, we denote by Daf : A ⊸ B the linear map corresponding to the differential of f at a point a P A.

Example 1 (The distribution model). The category of convenient spaces [START_REF] Blute | A convenient differential category[END_REF] provides a good example of a differential category. Formulas are interpreted by real topological vector spaces, endowed with a bornology, that is a well-behaving collection of bounded sets; we shall not attempt to give detailed definitions of these structures here. The exponential !A is interpreted as the completion of the vector space generated by the dirac distributions. Diracs are defined as δx : f P C pE, Rq Þ Ñ f pxq and are formally objects of the dual of the space of smooth functions C pE, Rq 1 , otherwise known as the space of distributions of compact support over E [START_REF] Schwartz | Théorie des distributions[END_REF].

!A :" ă δx ą xP A
As the dirac distributions form a linearly independent family of distributions, to define linear morphisms on !E it is enough to specify their value on diracs and then extend linearly and continuously to the completion. As such, the components of DiLL are interpreted as follows:

d : δx P !E Þ Ñ x P E d : x P E Þ Ñ D0p qpvq P !E c : δx P !E Þ Ñ δx b δx P !E b !E c : δx b δy P !E b !E Þ Ñ δx`y P !E w : δx P !E Þ Ñ 1 P R w : 1 P R Þ Ñ δ0 P !E ν : δx P !E Þ Ñ δ δx P !!E As D0p qpvq " lim tÑ0 δ tv ´δ0 t , d is well defined in !E.
Convenient spaces do not form a ˚-autonomous category, and constructing ˚autonomous smooth models of DiLL with a non-trivial duality is tricky, often requiring compromise on the interpretation of the other components of DiLL, such as [START_REF] Dabrowski | Models of Linear Logic based on the Schwartz ϵ product[END_REF] which features an ad-hoc construction to allow differentiation. One can work around this issue by constructing polarized model of DiLL.

Chiralities

This section gives an introduction to chiralities, and can be skipped if one only intends to read Section 3. Chiralities, as defined by Melliès, are models of polarized multiplicative Linear Logic. Polarization offers both a syntactic refinement to Linear Logic, which makes sense in term of proof-search, and a way to relax the ˚-autonomous requirement on categorical models of LL and DiLL. Instead of looking for an involutive equivalence on a category, one looks for a dual equivalence between two categories.

Definition 3 ([Mel17]

). A mixed chirality consists of two symmetric monoidal categories pP, b, 1q and pN , `, Kq, and two adjunctions, one being a contravariant strong monoidal adjunction and the other an ordinary covariant adjunction:

pP, b, 1q pN op , `, Kq

p´q K P p´q K N % P N , ˆ% (4)
along with a suitably natural family of bijections relaxing monoidal closedness:

χp,n,m : N pˆp, n `mq » N pˆpp b n K N q, mq. (5)
These are required to make the following associativity diagram commute: A dialogue chirality is a mixed chirality in which the monoidal adjunction is an equivalence. A negative chirality is a mixed chirality in which the two adjunctions are reflective.

N pˆppm `nq
Chiralities naturally arise in models based on game semantics, where positive and negative formulas are interpreted by players and opponent moves. Surprisingly, they also provide the right setting for expressing topological dualities in vector spaces [START_REF] Kerjean | Chiralities in topological vector spaces[END_REF]. Chiralities are at the heart of a model of polarized DiLL resembling the convenient one described in Example 1, with a refinement on formulas allowing for involutive negations. This make them sensible candidates of foundation for new models of DiLL.

Example 2. Metrizable complete spaces are an important class of topological vector spaces, comprising for example all spaces of smooth, h-differentiable or holomorphic functions C pR n , Rq. These spaces of functions are in particular Fréchet spaces, which is to say metrizable complete spaces. However, they are not stable by duality: their duals are naturally called dual Fréchet spaces or DFspaces. When we add the criterion that topologies must be nuclear [START_REF] Grothendieck | Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires[END_REF], one obtains NF-spaces and NDF spaces, respectively. These assemble into a chirality which captures the duality between spaces of functions and spaces of distributions [START_REF] Kerjean | A Logical Account for Linear Partial Differential Equations[END_REF].

pNDF, b π , Rq pNF op , bπ , Rq K p´q 1 β p´q 1 β NDF NF K p q ι (6)
in which p q denotes the completion of a locally convex topological vector space, bπ denotes the completion of the projective tensor product.

Other examples of chiralities arise naturally in functional analysis [START_REF] Kerjean | Chiralities in topological vector spaces[END_REF], and models of polarized DiLL over chiralities were explored in [START_REF] Bauer | Chiralités et exponentielles: un peu de différentiation[END_REF].

Functorial axiomatization

This section represents the heart of this paper: here we will start from a linearnon-linear adjunction and show how defining a functor from a coslice of the nonlinear category C to the linear category L makes L into a differential category. Definition 4. Let I be an object of a category C ; unless stated otherwise, we take it to be a terminal object. We recall that the coslice category under I, denoted pI Ó C q, has as objects arrows a : I / / A in C and as morphisms f : pa :

I / / Aq / / pb : I / / Bq those morphisms f : A / / B of C such that a; f " b.
Notation If f : A / / B is an arrow of C , and a : I / / A an object in pI Ó C q we denote by pa|f q the morphism in pI Ó C q from a to a; f induced by f . The coslice category comes equipped with a projection functor Π : pI Ó C q / / C which retains only the codomain of the objects and the underlying C -morphisms.

Example 3. Let C be the category whose objects are real vector spaces and whose morphisms are differentiable functions, and let I be the vector space t0u.

Then pI Ó C q is the category of pairs pV, vq, where v is an element of V .

Differentiation defines a functor from pI Ó C q to the category of vector spaces and linear maps. Denote by D the operator mapping a morphism a : I / / A to A and the arrow pa|f q to the linear map Daf : A ⊸ B. The chain rule exactly translates the functoriality of D. Indeed, morphisms pa|f q and pb|gq compose if and only if b " f paq and then we have Dpa|f ; gq " Dapg ˝f q " D f paq g ˝Daf " Dpa|f q; Dpa; f |gq.

The example above contains the essential idea of the present section. As we shall shortly see, there is no need for an explicit co-dereliction operator once we equip our category with a differential operation, since the codereliction can be recovered from D as differentiation at 0. In order to present this differential operator, we will need some further constructions. Suppose that L is a category with biproducts p˛, 0q and that we are given a functor U : L / / C (we choose the notation for consistency) sending 0 to I. Then we have an induced functor p0 Ó L q / / pI Ó C q which we shall de- note p0 Ó Uq, which simply applies U to both objects and morphisms and thus completes the square:

pI Ó C q p0 Ó L q C L Π Π U p0ÓU q (7)
Note that since 0 is initial as well as terminal, the projection Π to L is an equivalence of categories.

Notation Supposing that U preserves products, for each object A P L the subcategory of pI Ó Uq on the objects of the form a : I / / UpAq inherits a monoidal structure via the codiagonal map: for a, a 1 , we can define:

a ' a 1 : I xa,a 1 y Ý ÝÝÝ Ñ UpAq ˆUpAq -UpA ˛Aq U p∇ A q ÝÝÝÝÑ UpAq. (8)
In Example 3 we observe the special property that a ' UpuAq " a,

since Up∇q coincides with vector addition. We will show in Lemma 3 that this is true in a model of DiLL. For notational convenience, when U preserves binary products we shall work as if it does so strictly, in the sense that we suppress the isomorphism UpA ˛Bq -UpAq ˆUpBq. As a consequence, the projection map π1 : A ˛B / / A, satisfies

Upπ1q " π1 : UpAq ˆUpBq / / UpAq, and moreover (considering the case B " 0) that the U preserves the left and right unit maps for 0 on the nose.

Definition 5. A functorial model of intuitionistic DiLL consists of the following:

-A monoidal closed category pL , b, 1q, admitting a biproduct p˛, 0q.

-A cartesian monoidal category pC , ˆ, Iq.

-A linear-non-linear adjunction between L and C , which is a strong monoidal adjunction:

pC , ˆ, Iq pL , b, 1q; E 1 U % (10) -A functor D : pI Ó C q / / L such that D ˝p0 Ó Uq " Π. (11)
Note that Equation 11 implies in particular that for any object A of L we have DpUpuAq|UpAqq " A , and that for any arrow ℓ : A ⊸ B in L and any object a : I / / UpAq in pU Ó C q we have: Dpa|Upℓqq " ℓ.. It also implies that D preserves products of objects in UpL q. Most importantly, adjunction 10 also enforces I » Up0q.

Notation We denote the endofunctor on L from the contravariant adjunction 10 by ! :" E 1 ˝U, the endofunctor on C by l :" U ˝E1 , the unit by η : id C ñ l and the counit by d : ! ⊸ id L . We moreover write ν " E 1 ηU for the comultiplication of the induced comonad p!, d, νq on L . Proof. The former is from the fact that uA is the unique morphism with the required domain and codomain, the latter is by functoriality of D.

[ \

We will use techniques similar to the one used in [START_REF] Blute | Differential categories revisited[END_REF]: with additive structure, the invariance of linear maps under differentiation imply the product and constant rule of differentiation. We will then use the additive bialgebra modality structure p!, ν, d, c, w, c, wq [BCLS20, Def 3.4] recalled in Section 2 Comparing with differential categories, the only thing that L is missing now is a co-dereliction d : id ñ ! satisfying the required identities. Definition 6. For A an object of L , we define:

dA :" D `UpuAq|η U pAq ˘: A ⊸ !A.
Lemma 2. The transformation d : id L ñ! is natural.

Proof. Observe that we have a functor, which by abuse of notation we denote u : L / / pI Ó C q, sending A to UpuAq : I -Up0q / / UpAq. Now, η U p´q lifts to a natural transformation U ñ U ˝!. Indeed, by uniqueness of morphisms from 0 in L , all of the required diagrams commute. d is the whiskering of this natural transformation by D, and so is a natural transformation, as required. [ \ Thanks to equation 11, for all morphisms ℓ :!A / / B in L we have:

D ´UpuAq|ℓ # ¯" d; ℓ, (12)
where ℓ # : UpAq / / UpBq is the transpose of ℓ across the adjunction. In partic- ular, the linear rule dA; dA " idA holds for any object A of L , since the counit morphism dA transposes to the identity in (12). As a consequence, by making use of proposition [BCLS20, 6.2], we have that the product rule is satisfied:

d; c " d b w `w b d. (13)
The structure on !A allows us to show an auxiliary lemma, namely that UpuAq is the unit for the sum operation defined in (8), that will be useful below when proving Lemma 4.

Lemma 3. For every pointed object a : I / / UpAq, we have a " a ' UpuAq

Proof. Consider a ' UpuAq : I -pI ˆIq / / UpA ˛Aq / / UpAq. The trans- pose of this morphism is E 1 pa ˆUpuAqq; E 1 pUp∇Aqq; dA " E 1 paq b wA; cA; dA by monoidality of E 1 . The bialgebra laws over !A, as described for example in [BCLS20, Section 7] give us idA bwA; cA " idA and as such E 1 paq b wA; cA; dA " E 1 paq; dA, the transpose of a, so a " a ' UpuAq as required.

The following is a partial reinterpretation of Equation 13 with the functor D.

Lemma 4. The functor D can internalize translations, meaning for any object a : I / / UpAq and morphism pa|gq in pI Ó C q, we have:

Dpa|gq " DpUpuAq|UpiAq; pid U pAq ˆaq; Up∇q; gq, where iA is the isomorphism A / / A ˛0 inverse to the projection π1.

Proof. Consider the diagram in pI Ó Cq:

I UpAq UpAq ˆI UpAq ˆUpAq UpAq B U p∇ A q U pu A q xU pu A q,ay a U pi A q U pid A qˆa xU pu A q,id I y a;g g
Which wish to show that the image under D of this composite morphism is equal to Dpa|gq. By compositionality, we may without loss of generality assume g " id U pAq and show that the remaining composite is mapped to the identity. Indeed, the image under D is:

A A ˆ1 A ˆA A id A ˆuA ∇ A i
We know the image of the left-hand and right-hand morphisms by the assumption that D cancels U, and the middle morphism by the further assumption that D preserves products on images of U and DpidI | aq " uA by Lemma 1. Thus by the left unit law for i and ∇, the composite is the identity, as required.

[ \ A further useful identity is the following.

Lemma 5. For a : I / / UpAq, we have:

Dpa|η U pAq q " jA; dA b E 1 paq; cA, ( 14
)
where jA : A ⊸ A b 1 is the right unit map for b.

Proof. By direct calculation:

Dpa|η U pAq q " DpUpuAq|UpiAq; pid U pAq ˆaq; Up∇q; η U pAq q by Lemma 4

" DpUpuAq| `!iA; E 1 pid U pAq ˆaq; !∇ ˘#q by naturality of η " dA; !iA; E 1 pid U pAq ˆaq; !∇ by ( 12)

" dA; !iA; id !A b E 1 paq; cA by monoidality of E 1 and definition of c

" jA; d b E 1 paq; cA by naturality of the right unit for b, noting that ! being strong monoidal implies !iA " jA up to the supressed isomorphism.

[ \

This identity enables us to generalize (12).

Lemma 6. For a morphism ℓ : !A ⊸ B in L and a : I / / UpAq, Dpa|ℓ # q " jA; dA b E 1 paq; cA; ℓ.

Proof. As for equation ( 12), we have:

Dpa|ℓ # q " Dpa|η U pAq ; Upℓqq
I UpAq Up!Aq Up1q Up!Aq Up!!Aq η U pAq U ν A η U pAq U pu A q η U p!Aq η I U p!u A q
which is obtained by pasting together naturality squares for η, recalling that ν " E 1 η U pAq . The left-hand dashed arrow is p!uAq # and the right-hand dashed arrow is ν # . Applying D to the upper and lower paths and applying (12), we conclude:

dA; νA " dA; D ´p!uAq # | η U p!Aq ¯.
Applying Lemma 5, we have:

D ´p!uAq # | η U p!Aq ¯" j !A ; d !A b E 1 pp!uAq # q; c !A ,
but E 1 pp!uAq # q simplifies to !uA; νA. Putting this together, we conclude dA; νA " dA; j !A ; `d!A b p!uA; νAq ˘; c !A , which can be manipulated into to the stated expression by exploiting naturality of j and rearranging parallel tensored terms.

[ \ For this codereliction to fully interpret DiLL, one needs the commutation of d with promotion within a context, or stated otherwise one need the validity of the chain rule at any point.

Lemma 8. If C is well-pointed with respect to I, then the co-dereliction dA agrees with the generalized chain rule (Equation 3):

dA b id !A ; cA; νA " dA b cA; cA b id !A ; d !A b νA; c !A .
Proof. Using the isomorphism of the adjunction and the hypothesis that C is wellpointed,for morphisms f, g : A / / B we have f " g if and only if for all a : I / / UpAq, E 1 paq; f " E 1 paq; g. So we just need to prove: idA bE 1 paq; dA bid !A ; cA; νA " idA bE 1 paq; dA bcA; cA bid !A ; d !A bνA; c !A .

By Lemma 6,

Dpa|ν # A q " jA; dA b E 1 paq; cA; νA. " jA; idA bE 1 paq; dA b id !A ; cA; νA.
which corresponds to the left-side of our equation. On the other hand, generalizing the proof of Lemma 7, consider the diagram,

I UpAq Up!Aq Up!Aq Up!!Aq, η U pAq U ν A η U pAq a η U p!Aq
we see that Dpa|ν # q " Dpa|η U pAq q; Dpa; η U pAq |η U p!Aq q, which expands via two applications of Lemma 5 to conclude:

Dpa|ν # q " jA; dA b E 1 paq; cA; j !A ; d !A b E 1 pa; η U pAq q; c !A " jA; dA b E 1 paq; cA; j !A ; d !A b pE 1 paq; νAq; c !A " jA; dA b E 1 paq b E 1 paq; cA b id; d !A b νA; c !A " jA; idA b E 1 paq; dA b cA; cA b id; d !A b νA; c !A
The third line is by associativity of b and neutrality of I while the last one holds as

E 1 paq; cA " E 1 paq b E 1 paq. [ \
We just proved the following theorem, and then prove its converse.

Theorem 1. A functorial model of Intuitionnistic DiLL in which L is wellpointed results in a differential category (Definition 2).

Theorem 2. Any differential category is a functorial model of Intuitionnistic DiLL, as axiomatized by definition 5.

Proof. Consider L a differential category, with notations as in Definition 2. Let us note C " L ! the co-Kleisli, ˆthe product on L ! inherited by ˛. Then define the functor D : 0 Ó C / / L by: D preserves product by definition, and property 9 is straightforward.

D # pa : !0 / / Aq Þ Ñ A pa|f q Þ Ñ !
[ \

Generalizing chiralities

In this section, we define categorical models of classical DiLL in terms of pairs of adjunctions. Definition 5 asked that D should be a (Π-relative) left inverse to the functor p0 Ó Uq. A sufficient condition for this is that D might be a Π-relative reflection or coreflection. We now make this intuition more formal, by making it fit into a framework that generalizes chiralities, as introduced in Section 2.2. Alternatively, the following definitions can be seen as a way to incorporate ˚autonomy into functorial models of DiLL, and as such define models of classical DiLL. We first give a definition in the well-pointed case, generalizing it afterwards to eliminate that hypothesis.

D as an adjoint functor in the well-pointed case

If L is ˚-autonomous, then the linear-non-linear adjunction 10 at the heart of Linear Logic can be reformulated as follows:

pC , ˆ, Iq pL op , b, 1q; E U K % ( 15
)
where U K is the composition of U with the interpretation of p q K , and E is thought of as the contravariant hom-set of non-linear scalar maps EpAq " CpA, Kq. Likewise, we can either express D as a functor from pUp0q Ó C q to L or as a backward differentiation functor K D : pUp0q Ó C q op / / L , intuitively mapping pa|f q to pDaf q 1 , the dual of the linear map pDaf q.

Recall the adjunctions involved in a chirality (Definition 3):

p q K P : P / / N op % p q K N : N op / / P ˆ: P / / N % ´: N / / P
Beware of the notational coincidence: the functor ´has nothing to do with slice categories. If pE % U K q is to be compared with pp q K P % p q K N q, we would like to relate D : pI Ó C q / / L to ˆby showing that D acts on E and U K analagously to how ˆacts on p´q K P and p´q K L . We can reconcile the evident difference of typing of functors between differentiation and polarities by noticing that in an additive setting p0 K Ó Pq » P and as such one can present ˆas a functor p0 K Ó Pq / / N . To recover an adjunction involving D, we need to consider a contravariant functor modelling reverse differentiation:

K D : pUp0q Ó C q op / / L .
With this goal in mind, we define the structure below and show that it generalizes chiralities (Proposition 2) and gives our model of DiLL (Proposition 1).

Definition 7. A generalized chirality consists of two monoidal categories pA , q and pB, q, where B has terminal object 0, and four functors:

-X : A / / B op and Y : B op / / A , -F : pGp0q Ó A q α / / B and G : B / / A α ,
where α is either empty or op, so that F and G might be covariant or contravariant functors. We ask these four functors to form a pair of adjunctions, with the first being strong monoidal, pA , q pB op , q

X Y % pGp0q Ó A q p0 Ó Bq A α B Π A F p0ÓGq Π B ö G (16)
where on the right-hand side we require that there are natural isomorphisms,

A pΠ A p q, Gp qq » BpFp q, Y ˝X p qq (17)
and

F ˝p0 Ó Gq -ΠB. ( 18
)
Proposition 1. Consider the case when B is a well-pointed ˚-autonomous additive category, pA , , Iq is cartesian monoidal with terminal object I, and α " op. Then a generalized chirality such that Y " G K makes B a differential category, and as such a categorical model of classical DiLL.

Proof. We will simply show that we fit in the setting of Definition 5 and let Theorem 1 conclude. We adapt the notation of Definition 5 to place ourselves in the following situation:

pC , ˆq pL op , `q

E U K % pI Ó C op q p0 Ó L q C op L Π C K D 0ÓU K Π L ö U K
Let us reproduce equation 17:

C op pU K p q, Π C p qq » L pE ˝Up K q, K Dp qq
By definition and ˚-autonomy of L we have K D " p q K ˝D. As K D ˝pI Ó U K q " Π by definition (equation 18), we recover D ˝pI Ó Uq " Π.

[ \ Proposition 2. A generalized chirality leads to a negative chirality under these hypotheses:

1. α " id, meaning F and G are covariant functors, 2. 0 is initial in B and Gp0q is initial in A , 3. X and Y form a reflection, 4. Equation 3 and the commutativity diagram of definition 3 hold. In particular, if A is additive then a generalized chirality on A is precisely a chirality.

Proof. Let's adopt the notation from definition 3, with A " P and B " N . pP, bq pN op , `q

p q K P p q K N % pI Ó Pq p0 Ó N q P N Π P p0Ó´q Π B
ö Ás I and 0 are initial in P and N respectively, one has p0 Ó ´q -´up to the equivalences Π, so the right diagram amounts to:

pI Ó Pq p0 Ó N q P N » p´q » ö Équation
17 combined with the fact that p q K N ˝p q K P " id gives us that ˆis left adjoint to ´. Equation 18 gives us that they form a reflection.

[ \ Proposition 3. Any ˚-autonomous differential category results in a generalized chirality.

Proof. Let us borrow the notations from Theorem 2, and define B " A op " L , A " L ! , X " p!q K . Y is the contravariant forgetful functor from L to L ! defined by YpAq " A K and Ypℓq " d; ℓ K , and G " Y K . We just need to show that, when L is ˚-autonomous with duality p q K , the functor K D : 0 Ó C / / L op verifies indeed equation 17. This equation translates as :

L op ! pA, B K q » L p K DpAq, !pB K q K q L p!B K , Aq » L pA K , !pB K q K q which holds as L is ˚-autonomous. [ \

Avoiding well-pointedness

Definition 5 included a well-pointedness hypotheses on the linear category L exclusively for the purpose of proving Proposition 1. This is not an inherent problem, since our motivating example of the functor D is most readily specified on elements of pI Ó C q, which is to say pointed objects of C . In this section, we examine how the hypothesis of well-pointedness of the linear category L or C may be dropped. The simplest option is to simply drop the version of the chain rule in Definition 2. Alternatively, one can generalize by taking the domain of D to be a broader category, such as:

D : pU Ó C q / / L .
Objects of pU Ó C q are triples pE, A, f q with E P L , A P C and f P C pUpEq, Aq, and morphisms in U Ó C are pairs of a morphism ℓ P L pE1, E2q and g P C pA1, A2q making the following commute:

UpE1q A1 UpE2q A2 f 1 U pℓq g f 2
We choose this example because it extends D when C and L have real vectors spaces objects and respectively smooth maps and linear maps as morphisms, by taking:

D # pE, A, f q Þ Ñ A pℓ, gq Þ Ñ D f p0q g
This example is not really more general, since it is obtained by composing our original definition with the coreflection pU Ó C q / / pI Ó C q. We do not have any non-well-pointed examples to hand which might provide strong intuition for what differentiation might mean outside of this example. This is why we chose to present the simpler well-pointed version, but in case it should be desired, the above extends to the definition below.

Theorem 3. The following structure restricts to the data of a differential category:

-A monoidal closed category pL , b, 1q, admitting a biproduct ˛with neutral object 0, which is well-pointed. -A cartesian monoidal category pC , ˆ, Iq.

-A linear-non-linear adjunction between L and C , which is a strong monoidal adjunction:

pC , ˆ, Iq pL , b, 1q; E 1 U % (19) -A functor D : pU Ó C q / / L such that D ˝pU Ó Uq " Π.
Conversely, any differential category verifies the hypotheses of Theorem 3.

Proof. In the forward direction, a functor D : pU Ó C q / / L induces a functor D : pI Ó C q / / L by composition with the properties required for Lemmas 1,4, 6 and7. Conversely, adapting Theorem 2, consider a differential category L with the notations of Definition 2. Define C " L ! , U the forgetful functor form L to L ! and D : U Ó C / / L via:

D # pE, A, f q Þ Ñ A ppℓ, gq : pE1, A1, f1q / / pE2, A2, f2qq Þ Ñ d b p!uA; f1q; d; g (20)
One checks easily that D is functorial and preserves products, and is such that Dppℓ, Upℓ 1 qq " ℓ 1 q.

[ \ Beware that Lemma 1 relied on the fact that there is a unique morphism 0 / / A in L , which affects Lemma 6, since the identity UpidAq ' a " a would need to be substituted for another identity, possibly imposing the need for additive structure on morphisms in L . Assuming this is possible, Lemma 8 should work likewise without the well-pointed hypothesis at the beginning by computing DpidA, ν # A q instead of Dpa|ν # A q. We leave the details of these computations to future work. The definition of chiralities can also be generalized, to make D a relative rightadjoint in a relative reflection, and Proposition 1 straightforwardly generalizes. Definition 8. In the non well-pointed setting, Definition 7 generalized to the following diagram pA , q pB op , q

X Y % pG Ó A q α p0 Ó Bq A α B Π A F p0ÓGq Π B ö G (21)
with equations

A pΠ A p q, Gp qq » BpFp q, Y ˝X p qq F ˝0 Ó G " ΠB Proposition 4. A generalized chirality in the sense of Definition 8 gives a differential category when B is a ˚-autonomous additive category, α " op and pA , , Iq a category with product and terminal object I Proposition 2 also generalizes as one would expect, as does Proposition 3; we invite the interested reader to compute the details.

Conclusion

In this paper, we gave a categorical definition of models of intuitionistic DiLL, by proving it equivalent to differential categories. This gives a functorial and concise axiomatization of differentiation in the setting of a linear-non-linear adjunction.

We also generalized the first definition to model classical DiLL, making it fit into the framework of chiralities, that is into a pair of adjunctions. We give all definitions in the well-pointed and not necessarily well-pointed setting. There are several perspectives opened by this work, which we detail now.

Additives Models of DiLL ask for an additive category of linear maps, and generalized chiralites as defined in Definition 7 and 8 restrict to models of polarized multiplicative LL in particular when they are additive. More generally, when generalized chiralities model multiplicative and exponential connectives of DiLL, the role of additive connectives ' and b is not well understood; neither are their categorical interpretations in models of polarized Multiplicative and Additive LL. In [START_REF] Bauer | Chiralités et exponentielles: un peu de différentiation[END_REF], the authors asked for a coproduct over P and N . Can this be refined to shed light on the interaction between polarity and differentiation?

Polaritiy and Differentiation Once this work stabilizes, we would like to express more precisely what polarized models of DiLL should be, and refine diagram 1 when L is not ˚-autonomous but decomposed in a polarized chirality as in diagram 4. Combined with a study of additive within our setting, this might ameliorate Definition 7, unifying the covariant and contravariant case.

Integration One can also notive that when L is a calculus category [START_REF] Cockett | Integral Categories and Calculus Categories[END_REF],

that is a category with both differentiation and integration, then we have an !bidrelative adjunction between pI Ó C q and L , where the fundamental theorem of calculus is expressed exactly as a relative ! b id adjunction between D and an extension of U: Co-digging While our setting expresses the chain rule, it's also fun to see what happens in a dual setting with the "co-chain" rule of exponential maps [START_REF] Kerjean | Taylor Expansion as a Monad in Models of DiLL[END_REF].

In that situation, ! is a monad and an object of a slice of its Kleisli category are morphisms a 1 : A ⊸ K, that is elements of the dual of A. The co-chain rule is expressed in a generalized exponential map E : L ! Ó I / / L and one might explore models of DiLL with co-digging in our framework.

  Following linear logic conventions, we denote an arrow f P C pA, Bq by f : A / / B and an arrow ℓ P L pA, Bq by ℓ : A ⊸ B. In both C and L we denote the composite of f and g by f ; g. We denote by idA the identity morphism in A P C or A P L , the category being clear from the context. The chain rule arises from the functoriality of D: Lemma 1. Let a : I / / UpAq, b : I / / B, f : B / / C, g : C / / D be morphisms in C . Then we have: DpidI |aq " uA and Dpa|f ; gq " Dpa|f q; Dpa; f |gq

""

  Dpa|η U pAq q; Dpa; η U pAq |Upℓqq thanks to Lemma 1 Dpa|η U pAq q; ℓ by (11) " jA; dA b E 1 paq; cA; ℓ by Lemma 5.[ \ Lemma 7. The co-dereliction dA satisfies the chain rule without a context (alternate chain rule rdC.4 1 s in [BCLS20]): dA; νA " jA; pdA b !uAq; pd !A b νAq; c !A Proof. Consider the following diagram in pI Ó C q,

  a b d; c; f The image of D on function is the exact categorical translation of Daf , given the intuitions given in Example 1. Then D is functorial. On one hand we have by definition and by the chain rule of Definition 2: Dppa|f qpf paq; gqq " Dppa|ν; !f ; gqq " !a b d; c; ν; !f ; g " p!a b idq; id !A b d; c; ν; !f ; g " p!a b idq; c b d; 1 b c; ν b d ! ; c; !f ; g On the other hand we have Dppa|f qqDppf paq; gqq " !a b d; c; f ; !pa; f q b d; c; g " !a b d; c; !a b d; c; !f ; g by naturality " p!a b idq; c b d; 1 b c; ν b d ! ; c; !f ; g hence the result The fact that Dpa|pd; ℓqq " ℓ follows directly from d; d " id, as Dpa|pd; ℓq " !a b d; c; d; ℓ " p!a; dq b id; c; ℓ " !uA b id; c; ℓ.

  qpuA, pb, Bqq » L p!A b A, Bq Indeed, this theorem states that given the derivative of a function at every point Df : a Þ Ñ v Þ Ñ Dapf qpvq, there is a unique function f P C pA, Bq such that f p0q " b. Reformulated within the setting of a linear-non-linear ajdunction, this gives C ppuA, Aq, pb, Bqq » C pA, L pA, Bqq » L p!A b A, Bq as L is monoidal closed. It would be worthwhile to try and make calculus categories fit into the framework of generalized chiralities.

  In differentiable programming, differentiation is usually made functorial by making differential act on pairs[START_REF] Elliott | The simple essence of automatic differentiation[END_REF]. The only usage of slice constructions we have encountered is in reverse cartesian differential categories, where partial differential are defined on slice objects [CCG `]. Work on differential categories[START_REF] Blute | Differential categories[END_REF], cartesian differential categories[START_REF] Blute | Cartesian differential categories[END_REF] and tangent categories[START_REF] Cockett | Differential Structure, Tangent Structure, and SDG[END_REF] have been successful in categoryfing differentiation from a mathematical perspective, but place models of DiLL as the strictest in the hierarchy of categorical definitions.Potential applications What makes this new functorial axiomatization of DiLLinteresting to our eyes are its potential applications. The study of differential categories has led to the introduction of new structures including tangent categories[START_REF] Cockett | Differential Structure, Tangent Structure, and SDG[END_REF] and calculus categories[START_REF] Cockett | Integral Categories and Calculus Categories[END_REF] with relevance beyond proof theory. Analogously, a functorial presentation of models of DiLL should trigger new development in Linear Logic or in type theory. One can replace differentiation DiLL by linear partial differential operators with constant coefficients[START_REF] Kerjean | A Logical Account for Linear Partial Differential Equations[END_REF].

A first step in understanding and generalizing such operators would be to understand how they arise in categorical models, and we believe that our presentation has more chance of successfully incorporating differential operators. Another interesting novelty is the use of coslice categories, given that the dual construction is extensively used in modeling dependent type theory. We hope this work can initiate research studying differentiation from a Curry-Howard perspective with respect to dependent types.

Recall that the existence of biproducts (products coinciding with coproducts) and a zero object endows each homset of a category with the structure of a commutative monoid.

Acknowledgments The authors are grateful to Zeinab Galal for suggesting working with pU Ó C q to avoid well-pointedness, and to Jean-Simon Pacaud Lemay for enlightening discussions on differential categories.


Isabelle Bore

FATUM, FORTUNA ET PROVIDENCE DIVINE : LES CROYANCES PAÏENNES A L'EPREUVE DE LA FOI CHRETIENNE

Keywords:

et intitulée « Vérité

Dans cette strophe intitulée « Le Poète », l'auteur énonce clairement ce qu'il avait laissé entendre dans les strophes précédentes, c'est-à-dire que le monde qui nous entoure n'est formé que d'une série d'illusions trompeuses. Le responsable de ces illusions n'est pas encore clairement identifié, mais on perçoit déjà la future mise en accusation de Dame Fortune et de sa légendaire rouerie. Pour l'instant, Thomas More s'en tient à son constat de départ : l'homme est soumis à une force qu'il ne maîtrise pas, son destin, le Fatum des Latins. Quant aux pouvoirs que lui confèrent les différents âges de la vie, ils sont aussi éphémères qu'illusoires, d'autant plus que la liberté d'agir que revendiquent les âges de la vie est, elle aussi, une apparence. Il ajoute cependant qu'il n'existe qu'une seule chose vraie sur laquelle on puisse compter : c'est l'amour de Dieu, en qui l'homme peut avoir une totale confiance. Puisque le monde est illusion, c'est vers Dieu que l'homme doit tourner son regard. Car, aux yeux de More, Dieu est le seul à porter sur l'humanité un regard bienveillant. Ces quelques lignes ont une importance majeure car elles laissent entrevoir deux visions de la condition humaine, l'une païenne, où l'homme serait condamné à subir sa destinée de mortel, l'autre chrétienne où il trouverait en Dieu le salut et la liberté.

Les « Pageant Verses » sont l'amorce d'une réflexion qu'il poursuit quelques années plus tard, dans les « Fortune Verses ». Ce poème, le plus long de Thomas More, est en fait la préface à un Livre de Fortune, impossible à identifier à ce jour, mais dont on peut imaginer qu'il s'inscrit dans la lignée des livres de Fortune médiévaux qui traitaient de l'utilisation des jeux de dés pour prédire l'avenir. Ce poème, qu'Anthony S. G. Edwards estime antérieur à 1505 15 , est composé de trois parties. Les six premières strophes sont un « Discours de Fortune » 16 . Les vingt-quatre suivantes s'adressent « à ceux 14 -« Has fictas quemcunque iuuat spectare figuras, Sed mira veros quas putat arte homines, Ille potest veris, animum sic pascere rebus, Vt pictis oculos pascit imaginibus. Namque videbit vti fragilis bona lubrica mundi, Tam cito non veniunt, quam cito pretereunt. Gaudia laus & honor, celeri pede omnia cedunt, Qui manet excepto semper amore dei. Ergo homines, leuibus iamiam diffidite rebus, Nulla recessuro spes adhibenda bono. Qui dabit eternam nobis pro munere vitam, In permansuro ponite vota deo. », CW 1, 6 / 108-120. 15 -CW 1, xxx. 16 -« The wordes of Fortune to the people. », Thomas More, Poèmes anglais, trad. André Crépin, Angers : Editions Moreanum, 2004, p. 108-9 (CW 1, 32 / 52).

qui mettent leur confiance en Fortune » [START_REF]Thomas More to them that trust in fortune[END_REF] . Quant aux sept dernières, elles sont destinées « à ceux qui cherchent Fortune » [START_REF]Thomas More to them that seke fortune[END_REF] . Contrairement au poème précédent où les forces antagonistes n'étaient pas clairement identifiées, ici, elle est désignée nommément : il s'agit de la déesse Fortuna. Mais force est de constater qu'entre le Fatum du poème précédent et la Fortuna de celui-ci, grandes sont les ressemblances. Comme dans les « Pageant Verses », Fortuna est une force dominatrice sur laquelle l'homme n'a aucune emprise. Elle le dit elle-même : « J'ai titre et puissance et autorité » [START_REF]Mine high estate power and auctoritie[END_REF] . Plus loin, le poète affirme qu'« elle domine fièrement, en impératrice » 20 , qu'elle « est hautaine, orgueilleuse, [et] / Ne donne richesse que pour être servie » [START_REF]Fortune is stately, solemne, prowde, and hye, / And rychesse geveth to have servyce therefore[END_REF] . Comme dans les « Pageant Verses », Thomas More reprend le thème du changement et de l'instabilité de la condition humaine. Le thème revient d'ailleurs comme une ritournelle tout au long du poème. Il prend son lecteur à témoin : « Vois comment la chance / Se joue des humains en changeant sans cesse » [START_REF]loke how slipper chaunce, / Illudeth her men with chaunge and varyaunce[END_REF] . Il prévient que « ses dons fragiles ne durent guère » 23 et qu' « on ne saurait stabiliser Fortune / Qui par nature ne cesse de changer » [START_REF]As her to make by craft or engine stable, / That of her nature is ever variable[END_REF] . Il met en exergue le fonctionnement aléatoire de Fortune qui « […] volette de-ci de là […] / Et laisse tomber ses présents au hasard » 25 et il dresse le portrait d'une déesse particulièrement capricieuse puisqu'elle n'hésite pas à faire volte-face, à récupérer ses présents « pour les donner à un autre en passant ». [START_REF]She whirleth about and plucketh away as fast, / And geveth them to an other by and by[END_REF] Mais, contrairement aux « Pageant Verses » où il recommande de se fier à l'amour divin, dans les « Fortune Verses », More ne fait aucune allusion à Dieu. Comme le suggère André Crépin, une telle allusion n'aurait pu que faire rire les clients de Fortuna auxquels s'adresse le livre. Après avoir dénoncé les penchants tyranniques d'une déesse qui « garde en réserve / De tous ces gens une partie de leur âme, / Qui reste à jamais à sa dévotion », [START_REF]kepth ever in store / From every manne some parcell of his wyll[END_REF] il propose, cependant, une morale fondée sur le bon sens : « Aime sagesse et vertu » 28 et prodigue des conseils : « Si tu as à voir avec ses richesses, / Ne les thésaurise pas, distribue-les. / Evite l'orgueil, évite la démesure. / Ne bâtis pas jusqu'à toucher le ciel » 29 et il rappelle aux hommes qu'il dépend entièrement d'eux de « Tomber en esclavage ou vivre libre » 30 . En fait, il faut attendre les tout derniers écrits de More pour voir les deux visions de la condition humaine s'affronter dans un seul poème comme s'il avait fallu tout ce temps -toute une vie et surtout toute une oeuvre -pour permettre à More de comprendre en quoi Dieu est différent du Fatum ou de la Fortuna des poèmes de jeunesse. Cette confrontation arrive dans les écrits de prison, en particulier dans un poème intitulé « Lewes y e loste lover » 31 rédigé à la Tour de Londres entre le 17 avril 1534 et le 6 juillet 1535. Écrit, selon Roper, après l'exécution du Dr Richard Reynolds 32 et à la suite d'une visite de Thomas Cromwell à Thomas More, ce poème a une origine autobiographique plus nette que les « Pageant Verses ». Dans ce texte, bien plus bref que les « Pageant Verses », en raison peut-être de la situation d'urgence dans laquelle il était placé, Thomas More aborde cependant les mêmes questions. Les trois premiers vers sont consacrés à la fortune, à son hypocrisie, à sa rouerie. Elle est flatteuse, belle, plaisante, souriante mais elle n'a qu'un seul but : tromper et piéger More. Les trois vers suivants montrent que More ne se laissera pas duper car c'est en Dieu qu'il place sa confiance. Alors que le dernier vers revient sur la rouerie de la fortune, qui, après le moindre de ses répits provoque toujours une tempête, More sans aucune illusion sur son sort, vante la stabilité et la fidélité de Dieu, seul susceptible d'apaiser la tempête que ne va pas manquer de déclencher la fortune. La brièveté du poème et son style particulièrement ramassé laissent percevoir que la victoire du Dieu des chrétiens sur ce que More devait considérer comme des idoles païennes ne fait aucun doute. En revanche, ils ne permettent pas de dévoiler l'essence de ce Dieu en qui l'homme peut placer toute sa confiance. C'est ce à quoi nous allons nous attacher maintenant.

***

L'étude des livres de controverse, tout spécialement le Dialogue concerning Heresies d'où nous tirons nos principaux arguments, nous montre que loin d'être une force capricieuse et instable qui soumettrait les hommes à des changements brutaux et leur imposerait des ruptures incompréhensibles, Dieu a pour unique objectif de « conduire ses créatures vers l'ultime perfection à laquelle il les a appelées ». [START_REF]Définition de la Providence divine dans le Catéchisme de l'Eglise catholique abrégé[END_REF] Dans cette optique, Thomas More propose une lecture suivie de l'histoire du salut où, au lieu d'insister sur les ruptures entre Ancien et Nouveau Testament, il met l'accent sur la continuité entre ces deux livres fondateurs du christianisme. L'Ancien Testament permet ainsi à More de justifier les pratiques mises en oeuvre par l'Église catholique et de les placer dans la perspective d'une histoire continue du salut, marquée du sceau de la providence divine. Le premier exemple arrive dans la discussion sur la question des miracles et pèlerinages, coutumes qui jouent un grand rôle dans la vie chrétienne de l'époque. Or, pour expliquer ces pratiques et leur donner un fondement théologique, More rappelle que « les Juifs dans leurs synagogues avant les jours du Christ honoraient les saints comme les patriarches et les prophètes et ils révéraient leurs corps et leurs reliques » [START_REF]The Iewes in theyr synagoge before Crystys days / and yet sayntes they had in honour as patryarches and prophetys and theyr bodyes and relyques in reuerence[END_REF] . Après avoir cité les exemples de Jacob, de Joseph et du prophète Élisée, More termine son analyse quelques chapitres plus loin en montrant que Dieu n'a pas changé d'attitude et que ce qu'il faisait autrefois chez les Juifs, il le fait aujourd'hui chez les chrétiens. Enflammé par la résistance du Messager qui n'admet guère l'intrusion du surnaturel dans la vie humaine, il finit par s'exclamer : que c'était un moyen pour Dieu de manifester sa présence auprès de son peuple.

More se sert à nouveau de l'Ancien Testament comme moyen de justification dans le débat qui met aux prises les réformateurs, partisans de l'Écriture seule et les catholiques, adeptes de la tradition. Pour s'opposer aux réformateurs qui accordent toute leur attention à l'Écriture et veulent que la promesse du Sauveur d'être toujours présent dans son Église désigne sa présence dans les livres inspirés, More met en avant l'idée que la Révélation ne se limite pas à l'Écriture et cite en exemple les Hébreux qui ont repris à leur compte la sagesse léguée par les Égyptiens. En effet, « comme les Hébreux autrefois dépouillèrent les Égyptiens, les lettrés du Christ doivent ravir aux écrivains païens les richesses de leur pensée, le savoir et la sagesse que Dieu leur avait donnés. » 36 Pour More, le dépôt complet de la Révélation est plus ample que l'Écriture. Il comprend la tradition des Anciens. Ces deux exemples nous montrent que More, qui a une vaste connaissance des Écritures Saintes, n'hésite pas à puiser dans l'Ancien Testament pour justifier les positions adoptées par les catholiques et mises à mal par les réformateurs pour les enraciner dans une histoire. Loin d'être un simple alibi utilisé dans le cadre d'une apologétique, il s'agit ici d'un principe théologique auquel More est très attaché, qui veut que le Nouveau Testament ne remplace pas l'Ancien mais qu'il en soit la continuation et l'accomplissement. En d'autres termes, More montre comment l'histoire du salut peut s'interpréter comme l'histoire de la révélation progressive de la vérité.

La démarche de More qui, à l'image de la liturgie catholique, marie les textes de l'Ancien et du Nouveau Testament et les fait dialoguer ensemble est importante. C'est la fécondité de ce dialogue que souligne More. Dès le premier livre, il met en parallèle le voyage terrestre des Hébreux et le voyage spirituel des chrétiens et suggère que la présence de Dieu dans la nuée anticipe sa présence dans le saint sacrement. Reprochant au Messager son aveuglement, More lui demande en effet :

À quoi cela aurait-il servi de te faire garder en mémoire l'aide de Dieu aux enfants d'Israël lorsqu'il marche avec eux dans la nuée le jour, dans la colonne de feu la nuit et donc de t'avoir prouvé l'aide bien plus spéciale de Dieu à son église chrétienne dans son voyage spirituel où sa bonté spéciale révèle bien son tendre empressement en ce qu'il veut nous aider et nous réconforter par la présence continuelle de son corps précieux dans le saint sacrement ? 37

Cette démarche qui témoigne de la compréhension qu'a More de l'histoire du salut, montre que la Bible chrétienne ne comprend pas un « Testament » unique, mais deux « Testaments », l'Ancien et le Nouveau, qui entretiennent l'un avec l'autre des rapports. S'opposant à l'idée fréquemment répandue chez les croyants que le nom « Ancien Testament » suggère que les Écritures du peuple juif sont périmées et qu'on peut désormais s'en passer, More soutient qu'Ancien et Nouveau Testament sont indissociables. Pour ce faire, il s'intéresse à l'origine du nom de « Nouveau Testament » dont il rappelle qu'il provient d'un oracle du Livre de Jérémie qui annonçait une « nouvelle alliance » et établit que le Nouveau Testament était en germe dans l'Ancien. Or, cette promesse de Dieu d'écrire sa « nouvelle loi » dans le coeur des hommes, exprimée par le prophète Jérémie et reprise par l'épître aux Hébreux occupe une large place non seulement dans The Dialogue concerning Heresies, mais aussi dans les autres oeuvres de More. Elle apparaît dans la Responsio ad Lutherum où le thème est repris pas moins de six fois ainsi que dans The Confutation of Tyndale's Answer. Dans la lignée des Pères de l'Église, More s'inscrit donc dans une théologie chrétienne de l'histoire où Dieu intervient dans la durée historique. Il affirme que le christianisme est une religion historique professant une intervention de Dieu dans l'histoire humaine, qu'il inscrit son dogme dans une séquence d'événements bien définis, ordonnée de part et d'autre de la date essentielle de l'Incarnation. La vérité s'épanouit donc progressivement, la révélation 36 -« As […] The Ebrues well dyspoyle the Egypcyens / […] Crystes lerned men take out of the pagane wryters the ryches and lernynge & wysdome that god gaue vnto them. », CW 6, 132 / 21-24.

37 -« what wolde it haue profyted to haue put you in y e remembraunce fo the assystence of god with the chyldren of Israell / walkyng wyth them in the cloude by day / and in the pyler of fyre by nyght in theyr erthly vyage / and therby to haue prouyd you the moche more specyall assystence of god with hys crysten chyrche in theyr spyrytuall vyage / wherein hys especyall goodnes well declaryth his tender dylygence / by that he doth vouchesafe to assyste and comforte vs with the contynuall presence of his precyouse body in the holy sacramente ? », CW 6, 182 / 16-25.

étant préparée par un long et lent processus de maturation. En insérant le christianisme dans la perspective d'une histoire du salut qui a commencé par la première alliance de Dieu avec le peuple juif, Thomas More rappelle donc que l'histoire du salut n'a rien d'un processus aléatoire mais qu'elle s'inscrit dans le plan de Dieu qui tend à conduire l'homme à son ultime perfection. « La création […] n'est pas sortie tout achevée des mains du Créateur. Elle est créée dans un état de cheminement (« in statu viae ») vers une perfection ultime encore à atteindre, à laquelle Dieu l'a destinée. » 38 Ce qui est valable pour l'histoire du salut l'est aussi pour l'histoire des peuples, car la providence divine imprègne tout, la grande histoire de l'Alliance de Dieu avec les hommes comme la petite histoire des événements du monde. La lecture de Utopia est, de ce point de vue, particulièrement révélatrice. Même si Hythlodée ne consacre pas un chapitre particulier à l'histoire de l'île, grâce aux informations distillées tout au long du récit, il n'est pas difficile de la reconstituer. Les Utopiens sont très attentifs à cette histoire et par Hythlodée nous savons que « leurs annales, transcrites avec un soin religieux, relatent une histoire qui, depuis la conquête de l'île embrasse une période de mille sept cent soixante années ». 39 Dans son commentaire, André Prévost calcule que l'histoire d'Utopie commencerait vers 245 avant Jésus-Christ, date à laquelle à Sparte, Agis IV essaie de remettre en vigueur la constitution de Lycurgue en proposant la remise de toutes les dettes et un nouveau partage des terres, ce qui ferait d'Utopus « un émule heureux d'Agis […] qui réussit à ressusciter dans un pays lointain l'idéal communautaire de Sparte ». 40 Cette thèse est tout à fait plausible dans la mesure où ce sont des navigateurs grecs qui ont apporté l'héritage grec, -langue, coutumes, philosophie -aux habitants d'Abraxa et ont permis le développement de la culture dont Hythlodée est le témoin. Il pense en effet que « cette nation tire son origine des Grecs, car sa langue, pour le reste proche du persan, conserve une quantité non négligeable de vestiges de la langue grecque dans les noms de ville et de fonctions publiques. » 41 Mais peu importe finalement la date précise de ce début d'histoire. Ce qui compte, c'est la façon dont a commencé cette histoire. Hythlodée nous apprend que l'île d'Utopie est née d'une conquête.

Une tradition, d'ailleurs confirmée par la configuration du terrain, indique clairement qu'autrefois ce pays n'était pas entouré par la mer de tous côtés. Mais Utopus, qui par sa victoire donna son nom à l'île -antérieurement elle s'appelait Abraxa -et qui éleva une horde grossière et sauvage à ce degré de civilisation et de culture qui la place aujourd'hui au-dessus de presque tous les autres peuples, ayant remporté la victoire à la première attaque, fit creuser les quinze milles d'un isthme qui reliait leur pays au continent et amena la mer tout autour du territoire. 42 Il s'agit d'une fondation assimilable à une révélation puisqu'Utopus donne à l'île son régime politique, économique et religieux, ainsi que sa réalité géographique d'île. Mais, étant donné qu'Utopus coupe le cordon ombilical qui relie cette terre au continent, cette révélation est encore assimilable à une naissance. Par conséquent, l'histoire de l'île n'est pas figée par la révélation qu'apporte Utopus, ce dont témoigne le progrès sur lequel le fondateur lui-même comptait. « C'est en effet Utopus lui-même, diton, qui, dès la fondation de la ville, en a tracé tout le plan. Seulement, prévoyant qu'une vie d'homme 40 -Ibid., note 2, p. 677. 41 -« Suspicor enim eam gentem a graecis originem duxisse : propterea quod sermo illorum caetera fere Persicus, non nulla graeci sermonis uestigia seruet in urbium ac magistratuum uocabulis. », ibid., p. 116 / 14-18. (CW 4, 180 / 22-5).

42 -« Caeterum uti fertur, utique ipsa loci facies prae se fert, ea tellus olim non ambiebatur mari. Sed Vtopus cuius utpote uictoris nomen refert insula, Nam ante id temporis Abraxa dicebatur, quique rudem atque agrestem turbam ad id quo nunc caeteros prope mortales antecellit cultus, humanitatisque perduxit, primo protinus appulsu uictoria potitus, passuum milia quindecim, qua parte tellus continenti adhaesit, exscindendum curauit, ac mare circum terram duxit. », ibid., p. 71 / 11-20. (CW 4, 110 / 29 -111 / 9).

tout entière ne suffirait pas à la réaliser, il laissa à ses successeurs le soin de l'orner et de l'embellir. » [START_REF]Nam totam hanc urbis figuram, iam inde ab initio descriptam ab ipso Vtopo ferunt. Sed ornatum, caeterumque cultum, quibus unius aetatem hominis haud suffecturam uidit, posteris adijciendum reliquit[END_REF] Ce progrès en germe dans la constitution qu'Utopus laisse à son île va se concrétiser grâce au contact que les Utopiens vont, à deux reprises, nouer avec des étrangers. La première fois, il s'agit d'Égyptiens et de Romains. Leurs annales où ils rapportent sans interruption les faits importants de leur histoire mentionnent « qu'il y a douze cents ans, un certain navire poussé par la tempête fit naufrage sur les côtes d'Utopie. Les flots jetèrent sur le rivage quelques hommes, des Romains et des Égyptiens, qui ne quittèrent jamais plus le pays. » [START_REF]olim annis ab hinc ducentis supra mille, nauis quaedam apud insulam Vtopiam naufragio perijt, quam tempestas eo detulerat. Eiecti sunt in littus Romani quidam, atque aegyptij, qui postea nunquam inde discessere[END_REF] Or, les Utopiens ne se sont pas contentés d'accueillir ces naufragés et de les intégrer à leur civilisation, ils ont retiré de grands avantages des connaissances que ces derniers avaient apportées avec eux. Le commentaire d'Hythlodée est très explicite.

Il n'est aucun art pratiqué alors dans l'empire romain, et dont ils pouvaient tirer quelque avantage, qu'ils n'aient appris grâce aux explications de leurs visiteurs, ou qu'ils n'aient réinventé après en avoir reçu les premiers éléments. Tel fut le bénéfice considérable qu'ils surent tirer d'un seul et unique passage chez eux de quelques individus de notre monde. [START_REF]Nihil artis erat intra Romanum imperium, unde possit aliquis esse usus, quod non illi aut ab expositis hospitibus didicerint, aut acceptis quaerendi seminibus adinuenerint. tanto bono fuit illis aliquos hinc semel illuc esse delatos[END_REF] Le deuxième contact est établi par Hythlodée et les marins qui l'accompagnent. Outre l'imprimerie et la fabrication du papier, les Européens ont apporté aux Utopiens le christianisme, accueilli très favorablement.

Après qu'ils eurent appris de nous le nom du Christ, sa doctrine, sa vie, ses miracles et la constance non moins admirable de si nombreux martyrs dont le sang répandu spontanément avait amené à leur secte, de loin et de partout, tant de nations, vous ne pouvez imaginer avec quel élan et quelles dispositions, à leur tour, ils se portèrent vers elle, soit que, d'une manière assez mystérieuse, l'inspiration de Dieu les y engageât, soit qu'elle leur apparût toute proche de la croyance qui est la plus importante chez eux. [START_REF]At posteaquam acceperunt a nobis CHRISTI nomen, doctrinam, mores, miracula, nec minus mirandam tot martyrum constantiam, quorum sponte fusus sanguis, tam numerosas gentes in suam sectam longe lateque traduxit, non credas quam pronis in eam affectibus etiam ipsi concesserint, siue hoc secretius inspirante deo, siue quod eadem ei uisa est haeresi proxima[END_REF] Ils débattent même entre eux avec une attention particulière la question de savoir si quelqu'un des leurs, élu prêtre, acquerrait, sans qu'on leur ait envoyé un évêque chrétien, le caractère sacerdotal. Ils paraissaient assez disposés à procéder à une élection, mais, lorsque je les quittai, l'élection n'avait pas encore eu lieu. [START_REF]Quin hoc quoque sedulo iam inter se disputant an sine Christiani pontificis missu quisquam e suo numero delectus sacerdotij consequatur characterem. & electuri, sane uidebantur. uerum quum ego discederem, nondum elegerant[END_REF] Contrairement au Fatum et à la Fortuna qui ne peuvent proposer aux hommes qu'une lecture limitée, fermée de leur destinée et qui se caractérisent par leur comportement capricieux et irrationnel, la providence divine inscrit l'humanité dans une perspective ouverte où l'histoire du salut et l'histoire du projet de Dieu pour les hommes se déploient dans le temps, et intervient avec douceur, par petites touches successives, pour réaliser le dessein de Dieu et conduire les hommes jusqu'à leur ultime perfection.

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Si sacré et profane sont superposables, l'histoire des peuples suivant le même cheminement que l'histoire du salut et s'inscrivant dans une vision de la société où Dieu est vraiment l'alpha et l'omega, l'origine et le but vers lequel se tournent tous les regards, cela ne veut pas dire que Dieu se comporte en tyran, qu'il écrase l'homme en cherchant à lui imposer son projet de manière unilatérale. Comme le rappelle le Catéchisme de l'Eglise catholique dans l'article consacré à « la providence et les causes secondes » 49 , « Dieu est le Maître et souverain de son dessein. Mais pour sa réalisation, Il se sert aussi du concours des créatures. » De ce point de vue, l'oeuvre de Thomas More est particulièrement révélatrice dans la mesure où elle est à la fois reflet du travail de la providence divine et contribution à ce travail.

Lorsque nous passons en revue les différentes oeuvres de More, nous ne pouvons qu'être frappés par l'existence parmi elles d'un certain nombre de textes inachevés. Nous pensons, par exemple, à The History of King Richard III, The Last Things et le De Tristitia Christi. Ces textes sont de nature différente et ont un degré d'achèvement variable. Le premier, The History of King Richard III, de nature historique, est déjà bien élaboré. Le deuxième, The Last Things, aux accents moraux, est à peine ébauché. Quant au troisième, le De Tristitia Christi, d'ordre théologique, il est pratiquement achevé. Pour chacun de ces textes, il existe également des raisons propres qui ont conduit leur auteur à en abandonner la rédaction.

Le fait que More ait laissé The History of King Richard III inachevé peut s'expliquer par des considérations politiques bien mises en lumière par Richard S. Sylvester 50 . Il explique, en effet, qu'en renonçant à finir et à publier son oeuvre, More évite le dilemme qui a tourmenté les historiens humanistes de la Renaissance italienne [START_REF]qui compose des Rerum venetorum ab urbe condita, libri XXXIII qui chantent la gloire de la ville jusqu'en l'an 1487, ou encore Marin Sanudo (1466-1536) qui espère, grâce aux notes accumulées dans ses Diarii, accéder au titre d'Historiographe officiel de la Sérénissime République de Venise[END_REF] . Ils avaient en effet essayé à la fois d'établir la vérité historique et d'amadouer leurs protecteurs en leur composant un récit favorable de leurs ancêtres glorieux. Or, si More ne voyait pas d'objection à ce que son History of King Richard III soit perçue comme un pamphlet contre la tyrannie, en revanche, il ne voulait à aucun prix qu'elle soit considérée par le pouvoir comme une charte qui ferait des Tudors les vainqueurs légitimes du pire tyran de l'histoire d'Angleterre et qu'elle soit utilisée comme moyen de propagande par le régime. L'inachèvement de The History of King Richard III est donc essentiellement dû à un choix de More de ne pas terminer une oeuvre dont il percevait les dangers.

Le cas de The Last Things est quelque peu différent. More voulait écrire un traité qui articule les sept péchés capitaux avec les quatre fins dernières. Ainsi le projet est-il de passer en revue ces péchés et de les soumettre, un à un, à l'épreuve de la méditation de chacune des quatre fins dernières. Mais son oeuvre reste inachevée. Contrairement au texte précédent dont l'inachèvement pouvait s'expliquer par des considérations d'ordre politique, l'inachèvement de The Last Things tient plus à des difficultés inhérentes à l'exécution d'un projet trop vaste qu'à des raisons personnelles. En intégrant les sept péchés capitaux dans la structure des quatre fins dernières, More choisit un plan relativement compliqué qui peut expliquer que l'auteur ne soit pas allé au terme de son projet. Il est en effet bien difficile d'imaginer sous quel nouvel aspect et sous quelle forme More aurait repris les péchés capitaux, trois ou quatre fois encore, pour les regarder à la lumière des autres fins dernières.

Le dernier texte que nous étudierons ici, le De Tristitia Christi, est encore différent. Dans ce dernier exemple, nous allons voir en effet que l'inachèvement de l'oeuvre tient plus aux circonstances extérieures qu'à un choix personnel de l'auteur ou à des contraintes formelles. Dans ce traité qui date de 1535, Thomas More médite sur l'agonie du Christ, « la tristesse, la peur, le dégoût » 52 qui ont inondé l'âme de Jésus au Jardin des Oliviers. Or le texte s'interrompt brusquement après une longue citation tirée du Monotessaron (Quatre Évangiles en un seul) 53 de Gerson, dont seule la première phrase est commentée, alors qu'il reste quatorze pages blanches. Il est donc légitime de se demander pourquoi More aurait fait une citation aussi longue s'il avait eu l'intention de conclure trois pages plus loin sans avoir pris le temps de développer son analyse. Une réponse nous est fournie par le post-scriptum à l'édition de 1565 54 qui donne l'explication suivante :

Thomas More n'alla pas plus loin dans cette étude car, parvenu à ce point, il se vit confisquer tout ce qu'il fallait pour écrire, et sa détention fut beaucoup plus sévère qu'auparavant. Et ainsi, peu après, non loin de la Tour de Londres, à l'endroit habituel, il reçut le coup de hache, le 6 juillet, en l'an du Seigneur mille cinq cent trente-cinq, et le vingtseptième du roi Henri VIII. 55 Cette note permet de connaître avec précision la date de l'interruption de l'ouvrage, sans doute le 12 juin 1535 lorsque More fut privé de ses livres et de ses papiers.

Derrière ce faisceau de raisons objectives qui permettent d'expliquer l'inachèvement de ces oeuvres, il semble qu'on puisse faire émerger un élément fédérateur susceptible de donner un sens à ce que nous pourrions appeler chez More, une esthétique de l'inachèvement. De fait, ces oeuvres inachevées sont des empreintes des événements et des témoignages littéraires. Elles retracent l'histoire et la vie personnelle de leur auteur. Ce sont des images qui, encore une fois, identifient More à l'archéologue conscient de retenir seulement les bribes, les traces des discours des hommes. Or, si nous situons cette esthétique dans le cadre qui nous a occupé jusqu'à maintenant, nous remarquons que cette perspective qui place l'oeuvre sous le signe de la fragmentation assimile le processus d'écriture au non fini. Plusieurs interprétations sont dès lors possibles. Refuser de mettre le mot « fin » sur un texte peut être perçu comme une tentative pour conjurer les sorts lancés par Fatum ou Fortuna qui n'ont de cesse d'emprisonner les hommes dans les limites de leur bon vouloir. Plus sérieusement, nous pensons que si, en dehors des raisons objectives évoquées précédemment, Thomas More laisse en suspens trois de ses oeuvres, c'est qu'il a un double objectif. D'une part, il suggère que « l'homme est fait pour la recherche de la vérité et non pour sa possession » 56 , l'inachèvement des textes servant métaphoriquement à montrer que l'achèvement synonyme de perfection n'est pas de ce monde, qu'il est toujours à venir. D'autre part, c'est une façon de rappeler que, contrairement au Fatum et à la Fortuna qui font du temps une limite stérile condamnant l'homme à une mort certaine, la providence divine ne peut s'envisager que dans un temps dont la fécondité permet à l'homme de coopérer, par son travail, à l'oeuvre du Créateur.

Cette coopération laisse à l'homme des espaces de liberté, ce dont témoigne encore l'oeuvre de Thomas More. En effet, à l'esthétique de l'inachèvement se superpose une pratique contraire qui consiste à proposer deux versions d'un même texte, autre témoignage des efforts de recherche que les hommes doivent consentir pour s'approcher de la perfection à laquelle Dieu aspire à les voir parvenir. Pour cette analyse, nous nous intéresserons à deux textes : The History of King Richard III et la Responsio ad Lutherum. Nous comparerons les deux versions qui existent pour chacun de ces textes afin d'en saisir les similitudes mais surtout les différences, ce qui nous amènera à nous interroger sur la signification d'une telle pratique.

Le premier de ces textes, The History of King Richard III a été écrit simultanément dans deux langues, l'anglais et le latin. Cette décision de composer The History of King Richard III en deux langues fait preuve d'une grande originalité de la part de Thomas More. En effet, personne avant lui n'avait eu l'idée de composer un double récit de ce genre et personne après lui ne l'a imité. Il s'agit bien de double récit car, comme nous allons le voir maintenant, la version latine ne peut en aucun cas être considérée comme une traduction de la version anglaise et vice versa. Si nous comparons les deux versions, nous constatons que la structure des discours est parfois modifiée, avec en particulier des déplacements de phrases. C'est par exemple le cas lors de la dispute d'Édouard IV et de sa mère au sujet de son mariage avec Elisabeth Woodville 57 . Nous remarquons également que la version latine n'est pas aussi détaillée que la version anglaise. Souvent, elle omet des noms et des dates. Soit la phrase entière est omise 58 , soit elle est radicalement simplifiée, une expression telle que « peu après » se substituant à une indication précise de jour par exemple 59 . Souvent aussi elle élague les détails qui n'auraient d'intérêt que pour un public anglais. Nous pensons en particulier à la description de Jane Shore 60 que la version latine raccourcit considérablement 61 . Nous trouvons aussi la méthode inverse qui consiste à développer la version anglaise pour expliquer au lecteur des habitudes ou des lieux. Ainsi le « Guildhall » 62 qui est seulement cité dans la version anglaise devient une « curie […] un lieu à la fois raffiné et susceptible de contenir une très grande foule » dans la version latine. [START_REF]curiam … locum et elegantem et maxime turbae capacem[END_REF] De même, « l'adjoint, qui est la bouche de la cité » 64 est défini très précisément en latin. C'est un personnage officiel qui « en tant qu'assistant du maire, connaît les lois de son pays pour éviter que la justice ne soit mal rendue par ignorance de la loi ». [START_REF]qui praefecti assessor est eruditus partijs legibus, ne quid in reddendus iuducujs, imperitia peccetur[END_REF] Nous constatons que si les textes se suivent de très près en raison de leur rédaction simultanée, il existe des reformulations, des additions ou des omissions de détail suggérant en fait que les versions latine et anglaise ne sont pas destinées au même public. L'une, la version anglaise s'adresse vraisemblablement à un public insulaire, tandis que l'autre, la version latine, est destinée à un public international.

Le problème soulevé par le deuxième texte, la Responsio ad Lutherum, est de nature différente, d'une part, parce que les deux versions de ce texte ont été écrites dans une seule et même langue et d'autre part, parce que leur rédaction n'est pas simultanée comme dans The History of King Richard III mais successive. Dans la première version, More prend le déguisement d'un théologien espagnol, Ferdinando Baravellus. Celui-ci, le 11 février 1523, dédie son ouvrage au jeune Francisco Lucellus. La lettre préface qui ouvre l'ouvrage est importante. En effet, non seulement elle donne la date à laquelle l'oeuvre a été commencée mais elle distille aussi des éléments importants quant au cadre du récit. Nous apprenons que la scène se situe en Espagne, ce qui n'est pas indifférent à l'époque. En effet, c'est le pays où l'empereur était récemment allé et c'est aussi le pays d'où venait le nouveau pape Adrien. De plus, l'Espagne était en train de devenir l'alliée de l'Angleterre. Sur un plan plus personnel, c'est aussi l'endroit où Wolsey souhaitait envoyer More, trouvant que ce dernier commençait à lui faire ombrage. Les circonstances du récit sont, elles aussi, précises. Baravellus qui a été piégé par son hôte est contraint d'écrire le livre, ce qui ne l'empêche de faire part des réticences qu'il a pu avoir l'égard d'une telle tâche. More profite aussi de cette préface pour exposer les objectifs de son ouvrage. Il révèle l'intérêt que suscite Luther et insiste sur la nécessité qu'existe un livre qui juxtapose les arguments des deux protagonistes de sorte que la vérité des arguments du roi éclate aux yeux de tous.

Dans la deuxième version, More modifie la préface. Il fournit de nouvelles lettres, utilise un nouveau pseudonyme, Guilielmus Rosseus, qui n'est plus espagnol mais anglais et change de cadre. La lettre préface ne nous conduit plus en Espagne mais en Italie et plus précisément à Venise. Elle est signée de Rome le 12 août, et adressée au Londonien Joannes Carcellius. Tout en donnant les raisons qui ont conduit à la révision du texte, cette nouvelle préface confère une perspective et une direction différentes à l'ensemble de l'oeuvre. En insistant sur le fait que Rosseus recherche un imprimeur anglais pour son ouvrage, More apporte des indications précises quant à la nature et aux intentions de cette nouvelle version. En effet, alors que la première version pouvait avoir quelque chose de fantaisiste en raison de son cadre espagnol, la deuxième version est résolument tournée vers l'Angleterre. Dès les premières phrases de la lettre à Carcellius, nous apprenons que l'hôte romain de Rosseus est d'origine anglaise et qu'il tient le peuple anglais en haute estime. 66 De même, la personne à qui est confiée le manuscrit, Herman de Prague, a beaucoup d'admiration pour l'Angleterre et les Anglais. 67 Cette réorientation du récit est sans doute le fruit de la réflexion de More qui semble désormais penser que la défense d'un roi anglais ne peut être menée à bien que par un Anglais et elle va lui permettre aussi de redéfinir son projet. Alors que dans la première version, More se contentait d'aller sur les terres de Luther en réfutant point par point le Contra Henricum regem Anglorum, dans la deuxième version, il reste sur son terrain à lui, en abordant la question de la nature de l'Église qu'il introduit dans le premier livre. Cette innovation constitue une déviation par rapport au projet initial qui était de suivre mot à mot l'argumentation de Luther et témoigne chez More de l'existence d'un véritable processus de réécriture sur lequel il nous faut maintenant nous attarder quelques instants.

The History of King Richard III et la Responsio ad Lutherum attirent l'attention sur le fait qu'il arrive à More de fournir plusieurs versions d'un même document, de donner à une même oeuvre divers aspects. Dans le premier cas, il s'agit d'écrire un texte dans deux langues différentes tandis que dans le second il s'agit de refaire le livre en modifiant le statut de la première version traitée comme un état préparatoire. Certains penseront peut-être que ces versions doubles révèlent les hésitations d'un auteur qui se lance dans des projets avant d'avoir réfléchi au meilleur moyen de les mener à bien. Personnellement, nous pensons que cette attitude doit plutôt nous servir comme moyen d'interprétation de l'oeuvre. Éprouver le besoin d'écrire deux versions d'un même texte ou de proposer une variante d'un texte peut en effet être interprété de deux manières différentes si nous replaçons la question dans le cadre bien défini de notre réflexion. Ainsi pouvons-nous considérer soit que cette attitude est révélatrice du travail qu'il faut accomplir avant d'atteindre la perfection à laquelle Dieu nous destine, soit qu'elle illustre au contraire le travail de la providence divine qui s'adapte au cheminement plus ou moins rapide des hommes et de fait emprunte parfois avec eux des chemins détournés sans toutefois jamais perdre de vue le plan de Dieu.

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Quelle que soit l'interprétation qu'on préfère, il se dégage de la lecture des textes de More une image de la providence divine diamétralement opposée au portrait qu'il dresse du Fatum et de la Fortuna. Alors que Fatum et Fortuna se montrent tyranniques et impitoyables, et réduisent les hommes à l'état de marionnettes dont la manipulation leur procure une jouissance morbide, la providence divine se montre bienveillante et patiente à l'égard des hommes qu'elle accompagne sur le chemin qui les conduira à l'étape ultime de la perfection. Loin d'être une puissance déshumanisante comme peuvent l'être le Fatum et la Fortuna qui broient l'humanité et la prive de liberté, la providence divine inscrit, certes, le destin de l'homme dans une histoire, l'histoire du salut et l'histoire du projet de Dieu pour les hommes, mais elle permet à l'homme de donner la pleine mesure de son être grâce à la liberté qu'elle lui accorde d'emprunter les chemins détournés et même de coopérer ou non à l'oeuvre du Créateur.

38-

  Catéchisme de l'Église catholique, Paris : Pocket, 1998, p. 85 § 302. 39 -« Itaque scriptum in annalibus habent, quos ab capta usque insula, mille septingentorum, ac sexaginta annorum complectentes historiam, diligenter & religiose perscriptos », André Prévost, L'Utopie de Thomas More, Paris : Mame, 1978, p. 77 / 6-9. (CW 4, 120 / 26-8).

  66 -Thomas More, Responsio ad Lutherum, -CW 5, 14 / 9-11. 67 -CW 5, 22 / 16-21.

Nous nous rendons compte qu'il y a donc un cheminement progressif des Utopiens vers la vérité qui peut se résumer en trois étapes : discipline, culture et religion. En effet, à l'origine de la constitution élaborée par Utopus nous pouvons voir un goût pour la rigueur qui rappelle la discipline des Spartiates. Ensuite, les Égyptiens et les Romains ont transporté en Utopie leur héritage culturel. L'arrivée d'Hythlodée et de ses compagnons constitue un point d'orgue avec l'apport de la religion et de la culture judéo-chrétienne. Mais il est remarquable de constater que ces trois étapes n'ont jamais été synonymes de rupture. Leur culture s'est enrichie successivement de l'héritage de la Grèce, de l'Égypte et de Rome avant de recueillir la pensée judéo-chrétienne suggérant que le futur s'enracine dans le passé, que le progrès naît de la fidélité ancrée dans la continuité. Il semble que cette continuité soit l'un des traits fondamentaux de la sagesse des Utopiens, ce qui permet à André Prévost de conclure que « la discipline spartiate et l'hédonisme des Anciens se sont fondus dans la sagesse des Utopiens ; celle-ci atteint, au contact des valeurs religieuses, un haut degré d'élaboration [qui lui permet] dans le sens d'une harmonie préétablie, d'épouser le christianisme ». 47 Cependant, même sur la question du christianisme, tous les problèmes ne sont pas résolus lorsque Raphaël quitte l'île.