domain: math phys

text:
Viet Anh Nguyen
email: viet-anh.nguyen@polytechnique.edu

Stéphane Dartois
email: stephane.dartois@lipn.univ-paris13.fr

Bertrand Eynard
email: bertrand.eynard@cea.fr

An analysis of the intermediate field theory of T 4 tensor model

Keywords: multi-matrix model, tensor model, intermediate field representation

In this paper we analyze the multi-matrix model arising from the intermediate field representation of the tensor model with all quartic melonic interactions. We derive the saddle point equation and the Schwinger-Dyson constraints. We then use them to describe the leading and next-to-leading eigenvalues distribution of the matrices.

Introduction

Tensor models have been introduced as a generalization of matrix models. They were first presented in [START_REF] Ambjorn | Three-Dimensional Simplicial Quantum Gravity And Generalized Matrix Models[END_REF][START_REF] Sasakura | Tensor model for gravity and orientability of manifold[END_REF] in order to give a description of quantum gravity in dimension D > 2 as a field theory of space-time (and not on space-time). To this aim they were really inspired by matrix models. Indeed the field theory thus obtained generated Feynman graphs that may have 1 an interpretation as a D-dimensional space (but this space was not a manifold in general). Each of these graphs therefore came with a quantum amplitude associated to the field theory Feynman rules. But unfortunately they turned out to be very difficult to handle analytically because of the lack of tools allowing to compute them and the lack of theoretical understanding of what is a tensor and how it should be understood in this context. Moreover the geometry of three and more dimensional spaces is considerably more involved than the 2-dimensional geometry. This is the source of difficulties when trying to give a combinatorial description of these spaces fitting with the field theory combinatorics.

On the other hand matrix models were well developed. In fact eigenvalues, characteristic polynomials and determinants are objects allowing to effectively compute quantities of interests and thus to gain understanding of the respective models that one introduced. Also the 1/N expansion [START_REF] Hooft | A Planar Diagram Theory for Strong Interactions[END_REF] was a crucial tool to these advances and was lacking in the tensor models framework. This expansion enabled to solve combinatorial problems (for instance [5]) in a beautiful manner. The double scaling limit provided a road to the non-perturbative definition of string theory and thus attracted activities from this area. Moreover the relationship to Liouville's theory of quantum gravity in the continuum is still a problem under consideration keeping the community busy. The integrability and geometric structures unravelled in many of these models allowed to build a rich theory of matrix models and their related geometry. It was related to interesting concepts such as Hirota's equations, orthogonal polynomials, KdV hierarchy, intersection number for moduli spaces, 2D topological field theory and Frobenius manifold. It was also the source of the so called Eynard-Orantin Topological Recursion [START_REF] Eynard | Topological expansion for the 1-Hermitian matrix model correlation functions[END_REF] that is now applied far beyond the scope of original matrix models [START_REF] Eynard | Algebraic methods in random matrices and enumerative geometry[END_REF], allowing to solve many problems of algebraic and enumerative geometry. This recursion is still lacking a complete comprehensive algebraic geometry formulation but promises to be a fruitful source of new concepts for geometry in the near future.

These remarks being made, colored tensor models have been introduced in [START_REF] Gurau | Colored Group Field Theory[END_REF]. Early work on these models showed that many difficulties of the early tensor models were solved in this setting. The most important issue solved by colored tensor models was the lack of 1/N expansion [START_REF] Gurau | The complete 1/N expansion of colored tensor models in arbitrary dimension[END_REF]. Contrary to matrix models this expansion was not topological in a naive way. Indeed the parameter governing this expansion, called the degree, is not a topological invariant of the space corresponding to the Feynman graph. The geometric interpretation of this parameter is still unclear. Fortunately it can be computed rather simply from the combinatorial description of the Feynman graph.

Moreover these new tensor models setting enabled a non-ambiguous description of the observables of the models [START_REF] Bonzom | Random tensor models in the large N limit: Uncoloring the colored tensor models[END_REF]. This allowed to make complete computation of the N → ∞ limit, as well as next-to-leading order computations [START_REF] Bonzom | Critical behavior of colored tensor models in the large N limit[END_REF][START_REF] Kaminski | Towards a double-scaling limit for tensor models: probing sub-dominant orders[END_REF]. After that came the computation of the double scaling limit of these models [START_REF] Dartois | Double Scaling in Tensor Models with a Quartic Interaction[END_REF][START_REF] Gurau | Regular colored graphs of positive degree[END_REF][START_REF] Bonzom | The double scaling limit of random tensor models[END_REF] and the coupling to matter [START_REF] Bonzom | The Ising Model on Random Lattices in Arbitrary Dimensions[END_REF][START_REF] Bonzom | Universality in p-spin glasses with correlated disorder[END_REF]. Non-perturbative results were also obtained [START_REF] Gurau | The 1/N Expansion of Tensor Models Beyond Perturbation Theory[END_REF]. From these last works one could notice that a class of simple tensor models can be formulated as (rather complicated) multi-matrix models. In this paper we are interested in analyzing these new matrix models using techniques that are classical in the context of standard matrix models. We compute the eigenvalues distribution of the matrix formulation of the simplest tensor model, the quartic melonic model. We study this distribution up to the next-to-leading order (NLO) in 1/N using saddle point equations and Schwinger-Dyson equations.

This paper is organized as follows:

• Section 2 recalls basic results about matrix models and techniques allowing to make computations in their setting.

• Section 3 introduced the general setting of colored tensor models. Then the specific tensor model under consideration is defined and its matrix formulation derived. We end this section by establishing Proposition 1, which gives a simple relation between the observables of the tensor models and the observables of the related matrix model.

• Section 4 is devoted to saddle point computations of the eigenvalues distribution at leading order and next-to-leading order.

• Section 5 describes the Schwinger-Dyson equations leading to a reformulation of the matrix model that is more suited for computation. The NLO eigenvalues distribution is computed from these equations.

Matrix Models

For pedagogical reasons we review here in the context of simple matrix models the tools we shall use in our study. Everything in this section can be found in the literature (for instance see [START_REF] Di Francesco | 2-D Gravity and random matrices[END_REF]).

2.1 Generalities on Matrix Models.

Matrix 1/N Expansion:

We recall briefly the 1/N expansion of matrix models. Consider the matrix model defined by:

Z[t 4 , N ] = dM exp -N 1 2 Tr(M 2 ) + t 4 4 Tr(M 4 ) , (1)
N being the size of the matrix. At the formal level this is a generating function for quadrangulations. The free energy F = ln Z expands as F = g≥0 N 2-2g F g (t 4 ) where the F g 's are generating functions of quadrangulations of genus g for the counting variable t 4 for quadrangles. In the limit N → ∞ only the leading order survives i.e. F 0 which counts the planar quadrangulations, hence quadrangulations of the sphere S 2 . One can compute the two point function G 2 (t 4 ) = Tr(M 2 ) in this limit and recover Tutte's result for planar rooted quadrangulations:

G 2 (t 4 , N = ∞) = n 2 3 n (n + 2)(n + 1) 2n n (-t 4 ) n . (2)
Saddle Point Method:

Let us introduce the Hermitian 1-matrix model by the partition function

Z 1M M [{t p }, N ] = dM exp(-N ( 1 2 Tr(M 2 ) + d p=0 t p Tr(M p ))). (3)
It can be rephrased using eigenvalues variables as

Z 1M M = N i=1 dλ i ∆({λ j }) 2 exp(-N ( 1 2 j λ 2 j + d p t p j λ p )), (4)
∆ being the Vandermonde determinant.

The integrand can be rewritten as exp(-N 2 S({λ k })) by taking the logarithm of ∆({λ j }) 2 = exp(log(∆({λ j }) 2 )). The saddle point approximation is given by the value of the integrand on its extrema. Looking for such extrema leads to the equation

0 = 1 N λ ν + 1 N V (λ ν ) - 1 N 2 i =ν 1 λ ν -λ i . (5)
This equation can be solved in the N → ∞ limit by introducing the resolvent W (x) = i 1

x-λ i . In fact one has the following well known relation (re-demonstrated later in this paper):

W (x) 2 = 1 N 2 k,j|k =j 1 x -λ k - 1 x -λ j 1 λ k -λ j - 1 N W (x). (6)
But the first term of the RHS can be computed from the saddle point equation, giving2

W (x) 2 = 2 N k λ k + V (λ k ) x -λ k - 1 N W (x), (7)
and so

W (x) 2 = 2(x + V (x))W (x) - 1 N W (x) -2 + k V (λ k ) -V (x) x -λ k . ( 8
)
Actually the last term is a polynomial, called P (x), because V is a polynomial and

V (λ k ) -V (x) is a polynomial vanishing at x = λ k .
At leading order in N the second term of the RHS is irrelevant and this equation can be solved algebraically. This is what is done later in a more involved case to compute the NLO distribution of the matrix formulation of the quartic tensor model considered in this paper.

Schwinger-Dyson Constraints and Loop Equations:

Schwinger-Dyson constraints (or equations) are just relations between correlation functions coming from integration by parts. They are often derived by setting that the integration of a total derivative should be zero. That is the method we use here:

0 = dM ∂ ∂M ij (M k+1 ) ij exp(-N ( 1 2 Tr(M 2 ) + V (M ))) ⇔ 0 = 1 N k n=0 Tr(M n )Tr(M k-n ) -Tr(M k+2 ) -Tr(M k+1 V (M )) . (9)
Multiplying for each values of k by z -k-2 and summing over k:

0 = W (z, z) + W (z) 2 -(z + V (z))W (z) -P (z), (10)
P (z) being a polynomial. W (z) and W (z, z) are respectively the resolvent (introduced above) and the bi-resolvent.

Tensor Models

In this section we introduce briefly the general framework of tensor models. More details can be found in general references on the subject, for instance the necessary background is contained in [START_REF] Gurau | The complete 1/N expansion of colored tensor models in arbitrary dimension[END_REF][START_REF] Bonzom | Random tensor models in the large N limit: Uncoloring the colored tensor models[END_REF].

Tensor Invariants and Generic 1-Tensor Models

We construct tensor models in a way similar to the construction of the prototype example of matrix models i.e. the Hermitian one matrix model. The action of this model is constructed as a sum over the GL(N ) 3 invariants of the matrix, in fact one is led to such a choice in order to get a well-defined action over the matrices (and not just arrays of numbers). Consider a rank D tensor T and its complex conjugate T (i.e. a tensor with complex conjugated entries, once a particular choice of basis has been made). In fact T belongs to a space of the form V 1 ⊗ • • • ⊗ V D endowed with a Hermitian product and T belongs to the canonical dual V1 ⊗

• • • ⊗ VD . Consider their components T i 1 •••i D , Ti 1 •••i D in a basis.
Require for simplicity that dim V j = N for all j. The tensor model should be invariant under the action of

GL(V 1 ) × • • • × GL(V D )
. This action can be written explicitly on the components of the tensor T :

T j 1 •••j D = R(g 1 ) j 1 i 1 • • • R(g D ) j D i D T i 1 •••i D . (11)
In the dual vector space the action of

GL(V 1 ) × • • • × GL(V D
) is given by:

T j 1 •••j D = R(g 1 ) -1 j 1 i 1 • • • R(g D ) -1 j D i D Ti 1 •••i D . ( 12
)
Thus one can find all the polynomial invariants. They are all obtained by contracting the j th index of a T with the j th index of a T , in which case all the R and R -1 matrices cancel out 4 . So one obtains the tensor invariants as some objects T T T T • • • T T with a contraction pattern between them that respects the position. Such invariants will be called trace invariants.

They can be graphically represented by D-edge-colored bipartite graphs (hence the name colored tensor models). A D-edge-colored bipartite graph is a graph with v black vertices (standing for T ) and v white vertices (standing for T ) such that only vertices of different colors are connected by edges and exactly D edges of D different colors are attached to each vertex. The color of an edge indicates the position of the index being contracted. We draw some examples of such graphs for D = 3 in Fig. 1. In particular, the melonic quartic (i.e. with two T 's and two T 's) invariants are represented by three graphs like the second one (with permutations of colors).

For this colored graphs we need to define the jackets and the degree:

Definition 1.
A colored jacket J is an edge-colored ribbon graph associated to a Dcolored graph G with as 1-skeleton the graph G and with faces made of graph cycles of colors (τ q (0), τ q+1 (0)) for some cyclic permutation τ of D elements (the colors), modulo the orientation of the cycle (i.e. τ -1 leads to the same jacket).

As such there are (D-1)! 2 jackets for a D-colored graph. Each jacket J leads to a cellular decomposition of a surface and thus comes with a genus g J . Definition 2. The degree of a colored graph G is:

ω(G) = J (G) g J , (13)
hence the sum of the genera of the jackets associated to the graph.

For D = 3 for example the degree reduces to the genus of the only jacket associated to the graph. This allows us to define the generic tensor model:

Z[N, {t B }] = dT d T exp -N D-1 B N -2 (D-2)! ω(B) t B B(T, T ) , (14)
where B runs over the regular D-colored graphs indexing the invariants. The t B are the coupling constants, the one corresponding to the only invariant of order 2 often being fixed to 1/2. B(•, •) is the invariant of T and T indexed by the graph B. ω is the degree of the graph B.

Definition 4. A D-colored graph G is said to be melonic if and only if ω(G) = 0.
The reason of this name becomes transparent when the structure of a melonic graph is described. In [START_REF] Bonzom | Critical behavior of colored tensor models in the large N limit[END_REF][START_REF] Gurau | The complete 1/N expansion of colored tensor models in arbitrary dimension[END_REF] it is shown that all melonic graphs are obtained by recursive insertions of (D -1)-dipoles on lines of the fundamental melon (see Fig. 1).

T 4 melonic tensor models and intermediate field representation.

In this section we introduce the model we shall study and we give its representation in terms of matrix integrals.

We study the quartic or T 4 melonic tensor model in D dimension, which is the simplest. Its name indicates that we choose as interaction terms the simplest ones i.e. those that are represented by melonic D-colored graphs of the form of Fig. 2.

In order to write the model let us introduce some notations. We call C the set of colors, so to say the set on index of the components of the tensor. We then write T • T the contraction of all the indices of T with all the indices of T . Then we introduce the partial scalar product between T and T . Let Y ⊂ C be a subset of C. We denote T • Y T the contraction of indices of T which belong to Y with the indices of T which also belong to Y. Moreover we denote Ŷ the complementary of Y into C, if Y reduces to one element, we denote it by the element.

The partition function of our model is given by:

Z = (C N ) ⊗D dT d T exp -N D-1 1 2 ( T • T ) + λ 4 c ( T • ĉ T ) • c ( T • ĉ T ) . ( 15
) i i + 1 i -1 i -1 i + 1 i • • • • • • i i + 1 i -1 i -1 i + 1 i • • • • • • M (i) i i
Figure 2: On the left one of the interaction term. On the right its splitting with the intermediate matrix field of color i: M (i) .

We introduce an intermediate matrix field M (c) used to split the interaction terms ( T

• ĉ T ) • c ( T • ĉ T
). This is pictured on the right of Fig. 2. Doing this allows one to construct a matrix model that is equivalent to the tensor model under consideration. We write the interaction term as:

exp -N D-1 λ 4 ( T • ĉ T ) • c ( T • ĉ T ) = dM (c) exp(-N D-1 2 Tr((M (c) ) 2 ) -i λ/2N D-1 Tr(( T • ĉ T )M (c) ). (16)
This choice of scaling for the matrix allows to suppress the factor of N in the logarithmic potential that one is going to obtain after integrating out the tensor degrees of freedom.

Rewriting the tensor model using this representation of the interaction term we get:

Z = (C N ) ⊗D dT d T H D N c dM (c) exp - N D-1 2 T 1 ⊗D + i λ/2 D k=1 M k T exp - 1 2 m Tr(M 2 m )) ,
where we introduced the notation

M m = 1 ⊗(m-1) ⊗M (m) ⊗1 ⊗(D-m) for any m ∈ [[1, D]].
Integrating out the T 's we obtain:

Z = (H N ) D c dM (c) det -1 1 ⊗D + i λ/2 D k=1 M k exp - 1 2 m Tr(M 2 m )) ,
this is the intermediate field representation of the T 4 melonic tensor model. There are simple relations between the observables of this matrix model and some of the observables of the related tensor model. Proposition 1. We have:

Tr(Θ p c ) = 2i √ 2 √ λ p TrH p (M (c) ) , (17)
and

Tr(M (c)p ) = TrH p ( √ λ 2i √ 2 Θ c ) , (18)
where Θ c = ( T • ĉ T ) is a matrix, and H p is the Hermite polynomial of order p.

Proof: Consider the mixed matrix-tensor representation of 17. One can write Tr(Θ p c ) as:

N D-1 λ/2 2i p Tr(Θ p c ) = 1 Z (C N ) ⊗D dT d T (H N ) D c dM (c) ∂ p ∂M (c) a 1 a 2 ∂M (c) a 2 a 3 • • • ∂M (c) apa 1 exp - N D-1 2 T 1 ⊗D + i λ/2 D k=1 M k T exp - 1 2 m Tr(M 2 m )) , (19)
with the convention that repeated indices are summed 5 . Up to integration by parts:

-iN D-1 λ/2 2 p Tr(Θ p c ) = (-1) p (C N ) ⊗D dT d T (H N ) D c dM (c) exp - N D-1 2 T 1 ⊗D + i λ/2 D k=1 M k T ∂ p ∂M (c) a 1 a 2 ∂M (c) a 2 a 3 • • • ∂M (c) apa 1 exp - 1 2 m Tr(M 2 m ) . ( 20
)
Recall the definition of Hermite polynomials H q (x) = (-1) q exp( x 2 2 ) d p dx p exp(-x 2 2 ). This leads to:

-iN D-1 λ/2 2 p Tr(Θ p c ) = N p(D-1) H p (M (c) ) . ( 21
)
For the second equation it suffices to use the Weierstrass transform. It is defined as the linear operator sending a monomial of degree n to the corresponding Hermite polynomial H n . Explicitly we have:

H n (x) = e -1 4 d 2 dx 2 x n , ∀x ∈ R. ( 22
)
Inverting the operator and using the property of Hermite polynomials d dx H n (x) = nH n-1 (x) we get:

x n = [n/2] k=0 1 4 k n! (n -2k)!k! H n-2k (x). (23)
This can be further used to obtain:

Tr(M (c)n ) = [n/2] k=0 1 4 k n! (n -2k)!k! √ λ 2i √ 2 n-2k Tr(Θ n-2k c ) , (24)
hence Tr(

M (c)n ) = Tr(H n ( √ λ 2i √ 2 Θ c )) .
4 Saddle Point Equation of the Matrix Model.

4.1 Leading Order (LO) 1/N Computation.

First we write the matrix model in eigenvalues variables:

Z = D c=1 N j=1 dλ (c) j exp - N D-1 2 c,j λ (c) j 2 N {jc=1} c=1•••D 1 1 + i λ/2 D c=1 λ (c) jc D c=1 ∆({λ (c) j } j=1•••N ) 2 , (25)
∆ being the Vandermonde determinant. This can be rewritten as:

Z = D c=1 N j=1 dλ (c) j exp(-N D S({λ (c) j } c=1•••D j=1•••N )), (26)
S being:

S({λ (c) j } c=1•••D j=1•••N ) = - 1 2N c,j λ (c) j 2 + 1 N D log D c=1 ∆({λ (c) j } j=1•••N ) 2 + 1 N D log N {jc=1} c=1•••D 1 1 + i λ/2 D c=1 λ (c) jc . (27)
The saddle point equations are given by ∂S ∂λ

(c) k = 0 for all (k, c) ∈ [[1, N ]] × [[1, D]].
Thus we obtain the following equations:

0 = ∂S ∂λ (c) k (28) = - λ (c) k N + 1 N D l =k 1 λ (c) k -λ (c) l - i λ/2 N D {j b } b =c 1 1 + i λ/2(λ (c) k + b =c λ (b) j b )
As usual we retrieve the Coulomb potential coming from the Vandermonde determinant. Also the tensor product interaction between the different matrices leads to an interaction term that tends to push all the eigenvalues towards i 2 λ . Finally the usual Gaussian term tends to attract all the eigenvalues to zero. But this has to be analyzed with care. In fact the scaling in N coming from the tensor model scaling is very different from the one of usual matrix models. Since we do not know how to solve these equations exactly we make some hypotheses. First we see that the equations are symmetric under the permutations of the color index c. This indicates that the saddle point might obey λ

0 = λ (c) k N - 2 N D l =k 1 λ (c) k -λ (c) l + i λ/2 N D {jr} r=1•••D-1 1 1 + i λ/2(λ (c) k + D-1 r=1 λ (c) jr )
.

Now taking care of the N factors, we see that if we make hypothesis that λ

(c) k = O(1)
, the first and third terms are leading whereas the second term is a sub-leading O( 1N D-2 ) term, by simple counting arguments. This motivates an Ansatz (that is checked later) for the expansion of λ

(c) k in 1/N , λ (c) k = λ (c) k,0 + λ (c) k,1 √ N (D-2) + λ (c) k,2 N (D-2) + • • • . We compute λ (c)
k,0 = α. In fact the formulation of the matrix model in terms of eigenvalues is totally symmetric with respect to the exchange of these eigenvalues. Thus it should not depend on either k or c. We can neglect the second term and we obtain:

α ± = -1 ± √ 1 + 2Dλ 2iD λ/2 . ( 30
)
We choose the + root in order to avoid singularities in the contour of integration. Hereafter it is simply denoted α. We obtain:

Proposition 2. The partition function Z at saddle point is given by exp(-N D S saddle ):

Z = (1 + 2Dλ) N D /2 exp - N D 4Dλ (1 + 2Dλ -2 √ 1 + 2Dλ) , (31)
moreover, the free energy F =log Z, is given as:

N D 1 + 2Dλ -2 √ 1 + 2Dλ + 1 - 1 2 log(1 + 2Dλ) (32)
Proof: Straightforward. We also get the 2-point function of the tensor model.

Proposition 3. The 2-point function G 2 (λ) = 1 N < T • T > is given in the N → ∞ limit by: lim N →∞ G 2 (λ) = 1 N < T •T >= 1 N < TrΘ c >= 2i √ 2 √ λ α = 2 Dλ (-1+ √ 1 + 2Dλ). ( 33
) Proof: Recall the relation of Proposition 1 < Tr(Θ p c ) >= 2i √ 2 √ λ p < Tr(H p (M (c) )) >.
In the N → ∞ limit we can compute < Tr(M (c) ) > at the saddle point approximation as j λ c j = N a, thus within this approximation we get < Tr(Θ

1 c ) >= 2i √ 2 √ λ N α. But < T • T >=< Tr(Θ c ) > for an arbitrary c ∈ [[1, D]]. Moreover H 1 (x) =
x, from which we deduce the result. Note that it is easy to compute all the Tr(Θ p c )'s in this approximation.

4.2 Next-to-Leading Order (NLO) Computation.

In this section we want to compute λ c j,1 . In particular we see that it has interesting statistical distribution properties. Taylor expanding the saddle point equations 29 in 1/N , we obtain the following equation for λ

(c) j,1 : 0 = (1 -α 2 )λ (c) k,1 - 2 N l =k 1 λ (c) k,1 -λ (c) l,1 . (34)
In fact we have λ

(c) k = α + λ (c) k,1 √ N D-2 + O( 1 N D-2
). Inserting this in eq. 29 we get:

0 = α N + λ (c) k,1 √ N D - 2 √ N D+2 k =l 1 λ (c) k,1 -λ (c) l,1 (35)
+ i λ/2 N D {jr} i λ/2 1 + i λ/2Dα + i √ λ/2 √ N D-2 (λ (c) k,1 + r λ (c) jr,1 + O(1/N D-2 ))
.

Keeping the relevant terms in 1/N and factoring some of them out leads to

0 = λ (c) k,1 (1 -α 2 ) - 2 N l =k 1 λ (c) k,1 -λ (c) l,1 - α 2 N D-1 {jr} (D -1)λ (c) j 1 ,1 . (36)
Summing over k simplifies this equation. By antisymmetry of the Vandermonde factor:

0 = (1 -D)α 2 k λ (c) k,1 ⇒ k λ (c) k,1 = 0. ( 37
)
Plugging this into eq. 36 we further obtain:

(1 -α 2 )λ (c) k,1 - 2 N l =k 1 λ (c) k,1 -λ (c) l,1 = 0, (38)
which is the well known equation of the Wigner's semi-circle law. In order to solve it we introduce the (colored) resolvent for the NLO eigenvalues

W c (x) = 1 N k 1 x-λ (c) k,1 .
Moreover we note that:

k,j|k =j 1 x -λ (c) k,1 - 1 x -λ (c) j,1 1
λ (c) k,1 -λ (c) j,1 = k,j|k =j 1 (x -λ (c) k,1 )(x -λ (c) j,1 ) = N 2 W c (x) 2 + N W c (x) (39) and k,j|k =j 1 x -λ (c) k,1 - 1 x -λ (c) j,1 1 λ (c) k,1 -λ (c) j,1 = 2 k,j|k =j 1 x -λ (c) k,1 1 λ (c) k,1 -λ (c) j,1 . (40)
The sum over j can be computed from the NLO saddle point equation eq. 38,

k,j|k =j 1 x -λ (c) k,1 - 1 x -λ (c) j,1 1
λ (c) k,1 -λ (c) j,1 = 1 2 k (1 -α 2 )λ k,1 x -λ k,1 . (41)
Thus

W c (x) 2 = 1 N k (1 -α 2 )λ k,1 x -λ k,1 - 1 N W (x). ( 42
)
Since we only consider the N → ∞ limit, the second term is subleading

W c (x) 2 = (1 -α 2 ) N k x -(x -λ k,1 ) x -λ k,1 = (1 -α 2 )(xW c (x) -1). ( 43
)
Hence

W c,± (x) = (1 -α 2 ) x ± x 2 - 1 (1 -α 2 ) . (44)
One notices that the NLO term for the 2-point function vanishes in this context. Indeed the resolvent is the generating function of the traces of the matrix and the term in front of 1/x 2 is vanishing in the expansion of W c,-. From these two last sections we get the following result:

Proposition 4. The total resolvent W(x) of a matrix of any color c ∈ [ [1, D]] expands, up to next-to-leading order, as:

W(x) = 1 x -α + 1 √ N D-2 (1 -α 2 ) x ± x 2 - 1 (1 -α 2 ) . ( 45
)
5 Schwinger-Dyson Equations.

In this part we construct the Loop equations for the model and then use them to derive again the results obtained above. As suggested by the above study, we will consider the loop equations in terms of new variables M (c) defined by M (c) = α1 + M (c) √ N D-2 . In fact the previous study showed that in the N → ∞ all the eigenvalues collapse to a point context. We have been able to compute the 2-point function in the N → ∞ and the result agrees with what have been known from earlier tensor models computation. Moreover we have been able to determine an Ansatz for the 1/N expansion of the eigenvalues leading to the calculation of their distribution at LO and NLO. As a result we discovered a collapsing of all eigenvalues at LO and the NLO is governed by a Wigner law's of width 1

(1-α 2 ) . This can be, in principle, continued further and should permit to obtain all the subsequent orders. We conclude by a few questions. Can we determine more general relationships between observables of the tensor model and the one of its matrix model? Does the relation of the Proposition 1 have a combinatorial interpretation? Can we relate the results analytically obtained here to combinatorics of the corresponding graphs of tensors? Can we use the matrix model written as in eq. 47 to investigate multiple scaling limits? Is there any integrability property of this model (see [START_REF] Dartois | A Givental-like Formula and Bilinear Identities for Tensor Models[END_REF])? Does the Topological Recursion applies to this model?

Figure 1 :

 1 Figure 1: On the left the 4-colored fundamental melon, the set of colors C = {1, 2, 3, 4}. On the right, an example of a 3-colored melonic graph, here C = {1, 2, 3}.

k

  for any c, d = 1 • • • D. So we postulate this property. With this in mind the equations rewrite:

Defining V (x) = d p=0 t p x p .

acting in an natural way.

Actually this is the only meaningful thing to do in the mathematical setting given here, although it can be easily extended to support contraction of index which are not in the same position.

The factor 1/Z is generally omitted in the next computation since it is not relevant.

Acknowledgements

Thanks are due to Vincent Rivasseau for proposing this work and following closely its progress. S. Dartois also acknowledges Valentin Bonzom for numerous discussions on matrix models and the matrix formulations of some tensor models. S. Dartois is partially supported by the ANR JCJC CombPhysMat2Tens grant. Bertrand Eynard thanks Centre de Recherches Mathématiques de Montréal, the FQRNT grant from the Québec government, Piotr Sulkowski and the ERC starting grant Fields-Knots. All authors are grateful to Laboratoire de Physique Théorique d'Orsay for being an excellent working place.

α and the NLO term follows a distribution which is more regular for a matrix model. Coming back to the expression of Z we have:

After the change of variables we obtain:

with the obvious extension of the previous notation: -c) . We are now ready to compute the Schwinger-Dyson equations of this model in term of the M 's matrices,

from which we obtain:

the third term canceling with the p = 0 term of the last sum:

In the last sum of this equation the only leading term at N → ∞ limit is the p = 1 term. In this regime the relevant equation writes:

At the N → ∞ limit the mean values factorize. In fact looking at the Feynman rules for the model of eq.47 we obtain the following prescription:

The contribution of the vertices of the graph is more involved. Expanding the potential we notice that the linear term of the expansion vanishes with the term αN pc+(D-k) (where D ≥ 3). Since we are interested in the N → ∞ limit we focus on graphs that are made out of 'leading vertices'. These are the ones for which k = 1 and p := p c = 2 for a given c. The factor coming with these vertices is N , it is the usual scaling for matrix models. One can extend the argument for p ≥ 2 and find the scaling for such graphs G with E edges, F faces and

, with χ(G) the Euler characteristic of G. The leading graphs are thus the ones for which (E -V ) vanishes and χ is maximum. Finally this scaling favors at leading order disconnected contributions maximizing χ(G). Thus the observables factorize:

Because of the symmetry we assume Tr( M (c) ) = 0. This leads to:

) and summing eq.53 over k weighted with a counting variable z at the leading order in 1/N :

(54)

Conclusion

In this paper we started the analysis of the T 4 melonic tensor model in any dimension D > 2 using its matrix formulation and standard techniques used in the matrix models


INTRODUCTION

L'évaluation environnementale des plans de déplacements urbains (PDU) nécessite l'utilisation de données multi-sources (statistiques de l'INSEE, données géographiques localisant les axes de transports), multi-formes (images, géométries en 2 et 3 dimension) ou encore multi-échelles (données géographiques représentant les îlots statistiques de l'INSEE, données de trafic pour une date et une période spécifique...). Cette forte diversité est liée aux nombreuses questions qui doivent être abordées lorsque l'on s'intéresse à un PDU, notamment son « empreinte » territoriale : qualité de l'air, niveaux sonores, prix de l'immobilier... Naît alors une grande disparité dans les usages de l'information géographique, qu'il s'agisse des données (stockage, modélisation), des outils utilisés pour leur exploitation ou encore des chaînes de traitements mises en oeuvre.

Pour palier ces difficultés, le domaine des sciences géographiques mène depuis le début des années 2000 des travaux autour de la normalisation des méthodes et formes de collectes, de stockage et d'échange des données dites géoréférencées. Bonnes pratiques et standards ont ainsi été mis à disposition de la communauté notamment via l'organisme Open Geospatial Consortium (OGC) 1 . En Europe, ces standards et normes fixent les règles pour « établir l'infrastructure d'information géographique dans la Communauté Européenne, aux fins des politiques environnementales communautaires et des politiques ou activités de la Communauté susceptibles d'avoir une incidence sur l'environnement. » (Inspire, 2007).

Le travail que nous présentons s'inscrit dans cette démarche. Pour faciliter les échanges de données géographiques ainsi que leur manipulation nous avons construit une Infrastructure de Données Spatiales (IDS). Cette IDS nommée CartoPOLIS 2 est un système d'information composé de 5 modules interdépendants :

1 http://www.opengeospatial.org/ consulté le 14/06/2012 2 http://www.cartopolis.org consulté le 14/06/2012

• une base de données unique agrégeant l'ensemble des données collectées ou produites,

• un serveur de flux de données appelé aussi Géoservice. Cette application permet de mettre à disposition les données géographiques de la base de données via l'Internet en utilisant la norme WMS : Web Map Services3 .

• un outil pour cataloguer les données (Géocatalogue) qui consiste en un ensemble de fiches de metadonnées. Il s'agit de données sur la donnée, structurées selon la norme ISO 19115 et contenant des informations telles que l'étendue temporelle du jeu de données, son emprise spatiale, son origine, sa qualité sémantique et spatiale...

• un portail internet cartographique disposant d'interfaces graphiques pour questionner le géocatalogue. L'utilisateur peut y saisir un mot pour rechercher une donnée ou encore rechercher des données selon une étendue temporelle.

• un Système d'Information Géographique (SIG) communautaire dénommé OrbisGIS4 .

Une attention particulière a été apportée à ce dernier module. Pièce maîtresse du système CartoPOLIS car il permet de récupérer les données dans la base de données unique, OrbisGIS a subit d'importants développements méthodologiques et techniques afin :

• de faciliter l'intégration d'une approche simplifiée pour la production de cartes de bruit,

• d'améliorer la construction des cadastres de qualité de l'air,

• de proposer des analyses spatiales pour synthétiser à plusieurs échelles l'impact du PDU.

INFRASTRUCTURE DE DONNÉES SPATIALES

ETAT DE L'ART DU SIG À L'IDS La géographie dans la deuxième moitié du 20 ème siècle à produit un important corpus de connaissances pour fournir une lecture spatiale et quantitative des territoires. Les diagnostics géographiques, l'analyse des dynamiques et des interactions spatiales en sont des exemples. Favorisé par le développement des Systèmes d'Information Géographique (SIG), de nouvelles capacités analytiques fondées sur les méthodes de l'analyse spatiale et de la cartographie ont été introduites (Laurini et Thompson, 1992 ;[START_REF] Joliveau | De la gestion à l'analyse des villes : un panorama des systèmes d'information géographique urbains[END_REF]. Outre le stockage et la représentation, l'analyse spatiale est la caractéristique fondamentale des SIG.

Elle combine, entre autres, les analyses topologiques et métriques, les techniques de superposition d'objets géométriques, les analyses statistiques, les calculs d'optimisation, permettant ainsi de produire des connaissances sur un territoire ou pour une thématique donnée (Clarke, 1990).

Si jusque dans les années 80 les SIG sont utilisés pour des démarches de planification sectorielle du territoire : agriculture, transports, équipements, à partir des années 90 de nouvelles préoccupations émergent : celle de la gestion territoriale et celle de l'aide à la décision [START_REF] Joliveau | De la gestion à l'analyse des villes : un panorama des systèmes d'information géographique urbains[END_REF][START_REF] Pornon | Bilan et perspectives de 20 années de Géomatique[END_REF]. Les SIG apparaissent comme des outils incontournables pour répondre au renouvellement des questionnements liés à la planification territoriale, confrontée à des thématiques nouvelles: environnement, risque, patrimoine, Apparu en 1994 aux USA [START_REF] Clinton | Executive Order 12906 : Coordinating geographic data acquisition and access : The National Spatial Data Infrastructure[END_REF]Douglas et al, 2004) Une IDS est un système d'information qui permet, à travers différents outils logiciels, de stocker, cataloguer et diffuser de l'information géographique. Basée sur des standards de l'OGC ou des normes ISO, une IDS délivre des flux (de données ou de métadonnées). La figure 1 schématise les composants d'une IDS.

Dans une IDS les données sont stockées dans un ou plusieurs entrepôts. Le SIG ou l'application cartographique en ligne qui souhaite consulter les données de l'IDS interroge, via le protocole http://, un service géographique qui se charge de transformer la donnée de l'entrepôt en un flux. Plusieurs types de flux existent : • une boîte à outils pour la production d'indicateurs géographiques (fonctions d'analyse spatiale, fouille de données, statistiques).

• les outils de géoréférencement des données à l'adresse.

• les outils pour interpoler les données d'émission de polluants.

MISE EN OEUVRE DE CARTOPOLIS

CartoPOLIS a été déployé sur un serveur installé dans les locaux de l'IRSTV. Ce serveur est dédié uniquement à l'IDS mise en oeuvre dans le cadre du projet Eval-PDU. Il fonctionne avec un système d'exploitation Linux Debian squeeze 19 .

La mise en production de la plate-forme CartoPOLIS s'est effectuée en 5 étapes :

• Étape 1 : Installation du SGBD et des modules de services.

• Parmi les plus courantes, on retrouve les opérateurs et prédicats spatiaux de la spécification SFS (ST_Intersects, ST_Difference, ST_Buffer, ST_Contains, ST_Touches...) mais également des fonctions avancées :

• ST_D8Direction, ST_D8Accumulation, ST_Watershed pour l'hydrologie,

• ST_CreateGrid, ST_Compacity pour l'analyse morphologique. Les données sur les transactions proviennent de la base de données Perval21 . Chaque enregistrement de cette base contient une centaine de caractéristiques, dont le nom de la rue, le code postal, le nom de la commune ainsi que le code de la section cadastrale et le code de la parcelle (DGI). Néanmoins, dans près de 85% des cas le code « parcelle » n'est pas connu.

Il n'est donc pas possible de réaliser de manière directe un rapprochement entre la transaction et sa localisation.

L'approche que nous avons proposée est déclinée en 2 grandes étapes : une étape de géocodage puis une étape de redressement géographique. Elle a été décrite dans l'ouvrage « Développements logiciels en géomatique : Innovations et mutualisation » [START_REF] Bocher | OrbisGIS : Un Système d'Information Géographique construit par et pour la recherche[END_REF]. 8). Exposée sous la forme de fonction dans le langage de traitements des données d'OrbisGIS, elle permet de :

• construire un graphe en intégrant les types de route et les sens de circulation,

• calculer le plus court chemin entre un point de départ et un point d'arrivée,

• calculer une matrice de distances d'un point de départ vers une liste de points d'arrivée selon le plus court chemin. En effet, si l'on considère le standard Symbology Encoding (SE) pour un usage cartographique, la description d'une carte y est laborieuse. L'utilisateur doit composer avec des balises XML qui ne permettent pas de décrire l'ensemble des représentations types [START_REF] Bocher | Cartographie et standard : du modèle à l'utilisateur[END_REF]. De plus, les métadonnées qui permettraient de comprendre la distribution des intervalles ou le type de carte auquel l'utilisateur peut avoir à faire (carte par symboles proportionnels, bivariés, carte par largeurs proportionnelles) sont absentes. Ces informations sont pourtant indispensables pour permettre aux outils d'alimenter correctement les interfaces cartographiques [START_REF] Bocher | Cartographie et standard : du modèle à l'utilisateur[END_REF].

Ce nouveau moteur a été exploité pour développer OrbisServer qui délivre à partir de l'IDS des cartographies des données stockées dans la base de données unique. Ce travail a été présenté lors de la conférence internationale de cartographie qui a eu lieu à Paris en juillet 2011 [START_REF] Bocher | Cartographie et standard : du modèle à l'utilisateur[END_REF] • Méthode de triangulation (figure 10)

La méthode de triangulation consiste à relier tous les points d'émissions entre eux en utilisation l'algorithme de Delaunay. Nous passons d'une représentation ponctuelle à une représentation continue sous la forme de triangles.

• Méthode de triangulation avec rasterisation (figure 11)

Cette méthode est identique à la première mais avec une étape supplémentaire. Elle consiste à transformer l'ensemble des triangles en une grille régulière de carrés (raster). Pour chaque cellule de la grille une valeur de polluant est interpolée en projetant le centre de chaque carré sur un triangle. La valeur du centre du carré (pixel) est ensuite calculée par interpolation linéaire sur le plan du triangle.

Ces deux méthodes ont été exploitées par les partenaires de la tâche 3.

26 • la validation par l'organisme de normalisation des travaux engagés sur la représentation cartographique ainsi que sur le partage de chaînes de traitements (WPS). Ce point est indispensable dans la perspective de faire de CartoPOLIS une solution interopérable pour la communauté scientifique mais qui puisse également dialoguer avec les outils d'autres partenaires.

  paysage. Les utilisations des SIG et le développement d'applications métiers se multiplient (SIG pour la gestion des ressources naturelles, SIG pour les transports...). Cependant malgré cette prolifération, il faut attendre le début des années 2000 pour que les SIG intègrent des contextes interdisciplinaires et multisectoriels. Comme le souligne Pornon (2007), le monde des SIG est « passé de préoccupations très techniques liées aux outils et aux données à des préoccupations d'ordre cognitif et collaboratif, plus centrées sur l'usage des SIG et sur leur contribution à la compréhension du territoire et à l'amélioration de la transversalité dans les organisations ». En effet, avec la modernisation des techniques de communication les systèmes d'information traditionnels ont saisi l'opportunité pour mettre en cohérence et interconnecter au sein de réseaux des applications conçues de manière sectorielle et dans des logiques de filières : Le cadre institutionnel européen en sera un facilitateur (Masser, 2008) . Entrée en vigueur le 15 mai 2007, la Directive Européenne Inspire fixe les règles pour « établir l'infrastructure d'information géographique dans la Communauté européenne, aux fins des politiques environnementales communautaires et des politiques ou activités de la Communauté susceptibles d'avoir une incidence sur l'environnement. » (Inspire, 2007). Par ce texte, l'Union Européenne définit un cadre pour que les données géographiques puissent être décrites et partagées en utilisant des normes et standards internationaux (ISO et OGC). Le concept d'une Infrastructure de Données Spatiales (IDS) qui y est décrit est rapidement capté par l'ensemble des acteurs de l'information géographique qui y trouve là non seulement les arguments mais également les méthodes pour faire converger autour d'un même système toutes les connaissances sur un territoire.

  Étape 2 : Collecte des données auprès des partenaires du projet puis alimentation de la base de données commune. Cette étape a été conduite tout au long du projet et s'est avérée très chronophage du fait de la diversité des partenaires et des données utilisées. Les données ont été uniformisées sémantiquement pour éviter la redondance des descriptions, assurer l'utilisation de terme qui peuvent être partagés par tous. Elles ont également été corrigées géométriquement (détection des doublons, des superpositions d'objets) et redressées dans le système de projection français RGF93. Au total, la base de données stocke plus de 250 couches géographiques ce qui correspond à plusieurs millions d'objets (soit plus de 2 millions). • Étape 3 : Déclaration et publication des flux de données Dans cette étape les données de la base de données sont publiées sous la forme de flux WMS. Un flux est constitué d'une ou plusieurs couches. Une couche est une donnée avec un style qui permet de la représenter. Actuellement les géoservices de CartoPOLIS fournissent 60 flux de données et autant de styles cartographiques. • Étape 4 : Rédaction des fiches de métadonnées La rédaction des fiches de métadonnées est réalisée à partir de l'éditeur fourni par la plate-forme Geonetwork. 60 fiches ont été produites pour le projet Eval-PDU. Chaque fiche dispose d'un lien vers un flux WMS. • Étape 5 : Mise en place des services de traitements Toutes les fonctions d'analyse spatiale disponibles dans le SIG OrbisGIS ou développées pour le projet sont exposées sous la forme de flux WPS. Au total cela représente plus de 200 traitements. Néanmoins pour des questions de charge et de capacité du serveur dedié les services de traitement sont ouverts uniquement à la demande.Le lecteur peut consulter les données de l'IDS CartoPOLIS à l'adresse : http://www.cartopolis.org.

19 Figure 4 :

 194 Figure 4: Les principales fonctions d'analyse spatiale d'OrbisGIS

Figure 6 :Figure 7 :

 67 Figure 6: Interface de connexion à la base de données commune

Figure 8 :

 8 Figure 8: Calcul des itinéraires de déplacement selon différents scénarios de mobilité

Figure 9 :

 9 Figure 9: Extrait de la distribution des dispersions de polluants

le lecteur pourra consulter l'Observatoire socio-économique des Pyrénées 5 ou encore la plate-forme régionale GEOPAL 6 .

	PRINCIPES D'UNE IDS
	, le concept d'IDS trouve
	donc un terreau favorable en Europe. Les plate-formes se multiplient et occupent tous les
	échelons décisionnels : IDS européenne, nationale, régionale, voire dans les groupements
	institutionnels, services opérationnels des États et laboratoires scientifiques et techniques.
	S'interfaçant avec des portails internet, elles fournissent des données brutes et des données
	mises en forme constituant le coeur des nouveaux observatoires des territoires. A titre
	d'exemple, 5 http://www.sig-pyrenees.net/ consulté le 05/07/2012
	6 http://www.geopal.org/accueil consulté le 05/07/2012
	6

•

  WMS 7 pour Web Map Service fournit une image aux formats png, jpg, tiff. La maturité des outils et l'adéquation des standards de flux de données L'usage de flux de données standardisés est un sujet récent tant d'un point de vue scientifique qu'industriel. Les outils qui permettent de produire ces flux sont jeunes, souvent incomplets. Les standards sont partiellement implémentés ou souffrent d'un manque d'adéquation par rapport aux usages ou besoins de la communauté. Pour répondre aux objectifs des tâches 2.1 et 2.2, une plate-forme intégrée composée d'outils de stockage, de mise à disposition et de traitement des données utilisant les standards et normes internationales conseillés par la Directive Européenne Inspire et l'Open Geospatial Consortium a été mise en oeuvre. Cette plate-forme appelée CartoPOLIS 13 est une solution ntiers composée de services, d'une base de données relationnelle, d'un client SIG, de modules de traitements des données et d'un portail internet. L'architecture de la plate-forme est présentée ci-dessous. Ce système d'information est basé sur des composants open-source. Il peut être réutilisé par la communauté scientifique sans contrainte de licence. Le fonctionnement de CartoPOLIS repose sur 5 modules. GÉOCATALOGUE Le service Géocatalogue fournit une description complète et normalisée des données disponibles dans la base de données de l'IDS. Les descriptions sont accessibles via des fiches de métadonnées formatées avec les normes (ISO19115/ISO19119/ISO19110 -ISO19139, FGDC et Dublin Core). Une métadonnée est une donnée sur la donnée contenant des informations telles que l'étendue temporelle du jeu de données, son emprise spatiale, son origine, sa qualité sémantique et spatiale. L'ensemble des ressources que le gestionnaire du catalogue souhaite référencer sont interrogeables à distance par internet en utilisant le standard CSW (Catalogue Service for the web).OrbisServer est une application de géoservice dérivée du SIG OrbisGIS. Cette application s'appuie sur les travaux de recherche qui ont permis de mettre au point un nouveau format unique d'échange de représentations cartographiques[START_REF] Ertz | STANDARD-CENTRIC AUTHORING AND PUBLICATION FOR CARTOGRAPHIC CONTENT[END_REF], Bocher et al 2011). Ces travaux initiés dans la cadre du projet Eval-PDU pour répondre à la

	• WFS 8 pour Web Feature Service fournit des données géométriques (POINT, LIGNE, couplage pour construire des interfaces ergonomiques et génériques qui doivent s'adapter aux LA PLATE-FORME CARTOPOLIS
	POLYGON) avec leurs attributs. Les données sont transmises dans un format XML, le évolutions des standards.
	Geographic Markup Language. • L'articulation avec les modèles et/ou simulateurs
	• Le WCS pour Web Coverage Service fournit un raster, une image numérique L'articulation entre les flux de données et les outils de traitement de celles-ci (modèle, problématique du partage des représentations cartographiques ont amené à la mise en place représentant des phénomènes variant dans l'espace et le temps (Modèle Numérique de simulateur) est un sujet très récent dans le domaine des IDS. Il a fait l'objet de la mise en place d'un groupe de travail à l'OGC. E Bocher (IRSTV) co-préside ce groupe avec O ERTZ Terrain, images satellites...). En effet, s'il est aujourd'hui commun d'associer un « géotag » à ses photographies d'un standard, le Web Processing Service. Le WPS 11 est un standard de l'OGC qui permet de professeur de la Haute École d'Ingénierie et de Gestion du Canton de Vaud. Les propositions
	Pour construire un flux, une requête htpp est envoyée au service géographique. Le numériques pour reconstruire l'itinéraire de ses vacances via l'utilisation d'interfaces décrire un traitement à l'aide de paramètres : données d'entrée, données de sortie, description. d'amélioration du standard de symbologie devraient être soumis pour vote à l'OGC fin
	tableau 1 donne des exemples de paramètres nécessaires pour interroger un service. cartographiques sur le web, les représentations cartographiques restent sous-exploitées. Cette Le traitement est exécuté à la demande dans l'IDS soit en consommant les données qu'elle décembre 2012.
	situation peut s'expliquer en partie par l'inadéquation du standard de description utilisé par les contient soit en déposant des données au moment de l'interrogation du service. Cette seconde
	Service flux WMS qui n'est pas assez riche pour construire des représentations travaillées comme des Requête utilisation suppose que le client qui consomme le flux WPS puisse déposer des données dans
	un espace de l'IDS.
	WMS (1.3)	h t t p : / / c a r t o . g e o p a l . o r g / c g i -b i n / m a p s e r v ?
		SERVICE=WMS&VERSION=1.1.1&REQUEST=GetMap&&FORMAT=image/png&WIDT
		H=750&HEIGHT=500&SRS=EPSG:2154&BBOX=281690,6583150,546343,6834460&LA
	Figure 1: Organisation d'une IDS (Steiniger et Hunter, 2009)
	Geoserver 18 est une application open-source opérationnelle mais qui ne permet pas de
	développement d'une IDS communautaire, s'il est indispensable d'avoir un haut niveau faire des cartographies avancées.
	d'interopérabilité entre les flux de données, il est également nécessaire de fournir des
	méthodes et des outils de développement qui doivent faciliter la manipulation de ces flux par 11 OpenGIS Web Processing Service, v1.0.0, OGC Standard 05-007r7, 2007 consulté le 05/07/2012. 16 http://www.postgresql.org/ consulté le 19/05/2012
	les utilisateurs. Ce travail passe par la mise au point de langages de descriptions et de
	7 OpenGIS Web Map Service (WMS) Implementation Specification, v1.3.0, OGC Standard 06-042, 2006
	consulté le 05/06/2012. 12 http://52north.org/communities/geoprocessing/wps/ consulté le 05/07/2012
		7

YERS=BDCARTOHabillageOccupationdusol&STYLE=default WFS (1.1) h t t p : / / b r e h a t 0 2 . e c -n a n t e s . f r : 8 0 / g e o s e r v e r / w f s ? REQUEST=GetFeature&SERVICE=WFS&TYPENAME=irstv_projets:CETE_reseau_ref_ 2008_polyline_L93&NAMESPACE=xmlns(irstv_projets=irstv_projets)&VERSION=1.1.0& EXCEPTIONS=XML&MAXFEATURES=100 WCS (1.1) h t t p : / / i n s p i r e . c o p . g v a . e s / m a p s e r v e r / w c s ? service=WCS&version=1.0.0&request=GetCoverage&&COVERAGE=MDT&CRS=EPSG: 23030&FORMAT=TIF_FLOAT32&HEIGHT=867&WIDTH=557&BBOX=598055.0,418859 5.0,814628.9607390299,4526495.0&bands=1&EXCEPTIONS=XML Tableau 1: Exemples de requêtes sur des flux de données En dehors de ces flux de données, une IDS doit fournir un catalogue qui liste les métadonnées disponibles pour chaque donnée disponible. Les métadonnées sont structurées selon la norme ISO 19115. Diffusées dans un fichier XML, elles donnent accès à des informations telles que le nom du producteur, l'emprise spatiale du jeu de données, le système de projection, un résumé...

LES VERROUS SCIENTIFIQUES ET TECHNIQUES

La mise en oeuvre d'une plate-forme communautaire pour faciliter la gestion et le partage des flux de données géographiques au sein du projet ANR Eval-PDU a soulevé des questions méthodologiques et techniques. • Le stockage des données La problématique du stockage des données géographiques a été largement étudiée depuis les années 2000. Dans le domaine des Systèmes de Gestion de Bases (SGBD) sont apparues des extensions dite "spatiales". Ces extensions enrichissent le SGBD d'un nouveau type GEOMETRIE décrivant sous la forme d'une représentation binaire des primitives POINT, LINE, POLYGON. Elles offrent également des opérateurs et prédicats spatiaux de base pour réaliser des intersections, des zones tampons... L'utilisateur a ainsi la possibilité avec le langage SQL de réaliser des chaînes de traitements qu'il construisait auparavant dans son logiciel SIG. L'implémentation de ces fonctions spatiales sont décrites dans le standard Simple Feature SQL 9 10 . Le SGBD PostgreSQL et son cartouche spatial PostGIS en sont un exemple. Néanmoins ces outils ne traitent que des données vectorielles et n'offrent pas aujourd'hui la possibilité de conserver ni d'interroger des données raster tels que les Modèles Numériques de Terrain (MNT), du moins en respectant une description standardisée. Il n'est d'ailleurs pas possible de combiner dans une même requête SQL une opération qui exploiterait un MNT et des données vectorielles représentant l'axe des routes. Ce type d'analyse est néanmoins indispensable pour, par exemple, calculer la pente des routes, variable influant sur la vitesse d'un véhicule (Bocher et al, 2009, Bocher et Petit, 2012). • cartes avec des symboles proportionnels, avec des diagrammes ou des cartes de flux. Or, si la carte est un objet de communication, elle est aussi destinée à soutenir un raisonnement et à faciliter la prise de décision. Par conséquent, l'élaboration d'une carte doit suivre des règles bien précises et contenir les informations nécessaires à sa compréhension (Bocher et al, 2011). • L'utilisation et l'exploitation des flux et des données La diffusion des données géographiques sous la forme de flux, qu'il s'agisse de données ou encore de métadonnées, nécessite de disposer d'interface graphique permettant à l'utilisateur de naviguer dans une IDS sans avoir besoin d'écrire lui même les requêtes http. Depuis la publication du standard WMS de nombreuses applications en ligne ou dans les logiciels SIG ont fait leur apparition. Néanmoins leur utilisation reste difficile car ces interfaces hommes machines répondent à des besoins spécifiques (interroger tel ou tel flux). Elles ne sont souvent pas développées dans un soucis de généricité ou de portabilité. Leur enrichissement pour lire plusieurs types de flux conjointement ou bien leur couplage avec d'autres systèmes logiciels sont un véritable casse-tête. Or dans la perspective de Le WPS est un sujet prometteur pour faciliter le couplage entre différents outils. Néanmoins, il n'existe que très peu d'outils opérationnels qui permettent de mettre en oeuvre ce standard. Les travaux les plus avancés sont réalisés par l'entreprise 52 North 12 . Cette dernière propose une plate-forme open-source pour mettre en place un service WPS. Cependant comme beaucoup d'entreprises qui ont travaillé sur le domaine cette plateforme nécessite l'écriture de code spécifique à chaque création d'un service WPS. Or l'enjeu du WPS est de pouvoir partager des analyses spatiales du SIG vers l'IDS à l'exemple de ce qui est fait avec les données. A ce sujet, une des pistes de recherche est de mettre au point des connexions entre les langages d'analyse spatiale et les paramètres nécessaires pour décrire un flux WPS (Gourlay et Bocher, 2011). 13 http://www.cartopolis.org/ consulté le 05/07/2012 12 Figure 2 : Architecture et composants de l'IDS CartoPOLIS Le géocatalogue de CartoPOLIS utilise une version personnalisée du logiciel opensource Géonetwork 14 . Ce logiciel est également le noyau de l'application Géocatalogue du Géoportail de l'IGN 15 . Avec Geonetwork l'utilisateur dispose d'une application internet pour interroger le catalogue de métadonnées, les visualiser ou encore représenter les flux de données lorsque ceux-ci sont mis à disposition avec la fiche (figure 3). Une interface d'administration du site et des fiches est également fournie. 14 http://geonetwork-opensource.org/ consulté le 19/05/2012 15 http://www.geoportail.fr/ consulté le 19/05/2012 GÉOSERVICES Il s'agit d'un serveur de flux de données standardisés qui met à disposition des données géographiques. Dans le cadre du projet, les données sont stockées dans une base de données relationnelle. Nous utilisons le SGBD PostgreSQL 16 étendu de son cartouche spatial PostGIS 17 . Deux flux WMS et WFS sont délivrés par le géoservice. Interrogés dynamiquement par un protocole unique en http, ils sont mis à jour à chaque changement dans le SGBD. L'application Géoservices utilise deux logiciels. 17 http://postgis.refractions.net/ consulté le 22/05/2012 14 Figure 3 : Copie d'écran de l'application internet Geonetwork GÉOPROCESSING L'application «services de traitements » est une interface donnant accès à une bibliothèque de calculs intégrés dans l'IDS. L'interfaçage est réalisé par le standard Web Processing Service (WPS). Celui-ci fournit des méthodes pour déclarer les entrées et sorties attendues un traitement ainsi qu'une description. L'avantage de ce service est de pouvoir accéder génériquement à un traitement qui est exécuté dans un autre logiciel sur le serveur. Ce standard sera utilisé pour constituer un point d'entrée unique dans le catalogue de traitements. Tout client SIG ou application internet qui supportent cette norme pourra accéder et faire exécuter un traitement, sous réserve de disposer des droits nécessaires. Dans le cadre du projet Eval-PDU, l'IRSTV a construit un prototype pour réaliser une liaison entre les fonctions disponibles dans son SIG open source sous la forme de flux WPS (Gourlay et Bocher, 2011). Le catalogue de traitements propose notamment :

  . Le lecteur peut visualiser l'ensemble des cartes produites directement dans la plate-forme CartoPOLIS. équipe de la Tâche 4 qui a réalisé le travail. En effet, la production d'une carte de bruit à l'échelle d'un territoire comme Nantes Métropole impose d'utiliser un volume de données conséquent (plusieurs millions de sources). Les calculs sont lourds en mémoire et en temps d'exécution et les SIG ne sont pas adaptés à de telles contraintes. Pour s'affranchir de ces problèmes la librairie GDMS d'OrbisGIS a été complètement réécrite. Son architecture a été repensée et ses algorithmes optimisés pour autoriser par exemple l'écriture de fichiers de données de plusieurs gigaoctets. Les temps d'exécution et les appels des fonctions de traitements ont été réorganisés pour supporter des calculs parallèles. Parallèlement à ces travaux, une librairie de triangulation dont les bases avaient été développées dans le cadre d'un autre projet ANR a été améliorée. Cette librairie JDelaunay a été utilisée dans le cadre du module de bruit pour réaliser les tests de réfraction et de diffraction sonore entre les bâtiments. Nous invitons le lecteur a se référer au Rapport final de la Tâche 4 et au livrable L4.3.

	avec l'
	COUPLAGE DU SIG AVEC LES MODÈLES
	L'INTÉGRATION DES OUTILS DE CALCUL DU BRUIT
	L'intégration d'une méthodologie simplifiée pour la production de cartes de bruit a
	constitué l'un des points forts de l'utilisation du SIG commun OrbisGIS. Cette intégration a
	nécessité des développements importants dans la plate-forme et de nombreuses itérations

LE COUPLAGE AVEC LES CADASTRES D'ÉMISSIONS ATMOSPHÉRIQUES

Les modèles de dispersion de polluants atmosphériques ne pouvant être intégrés à la plate-forme OrbisGIS nous avons, avec les partenaires de la Tâche 3, réalisé un couplage au niveau des données. Ce couplage s'est fait principalement en sortie des modèles. Le modèle ADMS-Urban ne fournissant une représentation ponctuelle des dispersions (figure

9

) nous avons proposé deux méthodes d'interpolation dont l'objectif était de produire une cartographie continue sur le territoire nantais. Ces deux méthodes sont basées sur une triangulation de Delaunay.

http://www.opengeospatial.org/standards/wms consulté le 14/06/2012

http://www.orbisgis.org consulté le 14/06/2012

OpenGIS Web Feature Service 2.0 Interface Standard, v2.0, OGC Standard 09-025r1 also ISO/DIS 19142, 2010 consulté le 05/06/2012.

OpenGIS Implementation Standard for Geographic information -Simple feature access -Part 1: Common architecture, OGC Standard 06-103r4, 2006 consulté le 05/06/2012.

OpenGIS Implementation Specification for Geographic Information -Simple feature access -Part 2: SQL option, v1.2.1, OGC Standard 06-104r4, 2006 consulté le 05/06/2012.

http://geoserver.org/ consulté le 22/05/2012

http://www.debian.org/ consulté le 5/02/2012

http://doc.orbisgis.org/ consulté le 05/07/2012

http://www.perval.fr/ consulté le 05/12/2012