Maria Bigoni

Mario Blazquez De Paz

Chloé Le Coq

Beyond Hawks and Doves: can inequality ease coordination? *

Keywords: Asymmetric payoff matrix, Conditional cooperation, Equilibrium selection, Experiment, Hawk-Dove game, Inequality aversion. JEL Classification: C72, C91, D63, D74

It is often argued that inequality may worsen coordination failures as it exacerbates conflicts of interests, making it difficult to achieve an efficient outcome. This paper shows that this needs not to be always the case. In a context in which two interacting populations have conflicting interests, we introduce ex-ante inequality, by making one population stronger than the other. This reduces the cost of miscoordination for the weakest population, and at the same time it makes some equilibria more equitable than others, thus more focal and attractive for inequality-averse players. Hence, both social preferences and strategic risk considerations may ease coordination. We provide experimental support for this hypothesis, by considering an extended two-population Hawk-Dove game, where ex-ante inequality, number of pure-strategy equilibria, and cost of coordination vary across treatments. We find that subjects coordinate more often on the efficient outcomes in the treatment with ex-ante inequality.

Introduction

Coordination failures (between countries, social/interest groups, or individuals) occur everywhere, often leading to conflicts that might be very costly for involved parties. [START_REF]Were the instructions you have received for today's activities clear? (1)[END_REF] The roots of coordination failures are very diverse and context-specific. This paper studies coordination failures in which a trade-off emerges between equality and efficiency, as any stable agreement allocates resources unequally among the conflicting parties. Such a framework characterizes several economically relevant situations -such as trade wars, military battles, collective bargaining, and legal disputes -of which the Hawk-Dove game is the prototypical example.

In this paper, a critical emphasis is placed on whether, before any actions, the two parties have the same means -potentially leading to symmetric agreements -or if there is an initial imbalance.

In the latter case, when the strongest party prevails, the settlement heavily favors the winner while disadvantaging the loser significantly. On the contrary, when the initially weaker party prevails, the final agreement tends to be more equitable. A typical example of such an unbalanced conflict is the 1 salary negotiation between workers and employers; another is the negotiation of peace treaties between victors and vanquished at war's end. Similar situations arise in the field of industrial organization, such as competition with product differentiation between an incumbent and a new entrant (Cabrales et al., 2000).

The recent experimental literature on the Hawk-Dove game focused on the evolutionary dynamics of inter-and intra-group interactions (Oprea et al., 2011; Benndorf et al., 2016, 2021). Typically, this literature considers the symmetric version of the game, where the two pure-strategy equilibria are ex-ante equally likely to emerge,2 and on the theoretical and empirical differences in the dynamics of behavior in one-and two-population models.

Our focus here is instead on the impact that ex-ante inequality has on coordination. Inequality is a pressing issue in the economic and political sphere. It is often argued that inequality, by being an accelerator of tensions between groups, may worsen a conflictual situation, leading to coordination failures. 3 To explore whether the presence of inequality fosters or hinders coordination, we compare a set-up in which the payoff matrix is symmetric (no ex-ante inequality) with one in which the two conflicting players have different strengths. This links our paper to the recently expanding literature that explores the impact of inequality on coordination in different game-theoretical setups (Tavoni et al., 2011; Abbink et al., 2018; Camera et al., 2020; Feldhaus et al., 2020; Isoni et al., 2020). While the results from previous papers indicate that inequality either hinders coordination on the efficient equilibrium, or -at best -does not interfere with it, in our set-up inequality actually eases coordination and promotes efficiency.

We consider an extended version of the HD game to account for the fact that people do not always fight to death or fully accommodate; rather, they choose their action between these two extreme options. Subjects can choose from a set of eleven possible values (labeled from 0 to 10). The structure of the payoff matrix is such that an equitable and efficient allocation exists, but it is not sustainable in equilibrium, so there is a trade-off between equality and efficiency. Indeed, all equilibria lead to unequal payoffs between players but the degree of inequality as well as the number of pure-strategy equilibria differ across treatments. In line with the recent literature, we consider a two-population model, which is closer to the real-world environments we would like to mimic, and also allows for coordination on the pure-strategy equilibria to emerge as an evolutionary stable outcome (Oprea et al., 2011).

Our design comprises three treatments. In the Baseline treatment, the game is perfectly symmetric and there are three pure-strategy equilibria where one player receives thrice as much as the other one, and three equilibria where the situation is reversed. In the Asymmetric treatment, players are characterized by different "strengths", and the payoff matrix is modified so that, for each combination of choices, the strongest player earns more than in the Baseline, while the weakest player earns less.

Thus, the payoff matrix becomes asymmetric. The number of pure-strategy equilibria is still six, but with a different payoffs distribution. In two of these equilibria, the strong player earns almost seven times as much as the weak one, while in the other four pure-strategy equilibria, the weak player earns almost twice as much as the strong one. The Restricted treatment is similar to Baseline but has only two pure-strategy equilibria, and has a lower cost associated to miscoordination.

The literature on outcome-based inequality aversion (Fehr and Schmidt, 1999; Bolton and Ocken-fels, 2000; Charness and Rabin, 2002) would imply that -in the Asymmetric treatment -subjects coordinate on the least unequal Nash equilibria. Furthermore, according to the focal point literature, payoff equality is a crucial factor that drives focality. This suggests that players may be more likely to coordinate towards a more equitable outcome (Isoni et al., 2014; Luhan et al., 2017). When this focal outcome aligns with an equilibrium, such as in the Asymmetric treatment, tacit coordination should be easier to achieve. By contrast, in the Baseline and Restricted treatments, although a perfectly equitable and fully efficient outcome exists, it cannot be sustained in equilibrium. Hence, payoff-focality here can impair coordination, rather than easing it. Strategic considerations can also promote coordination on the most equitable equilibrium in the Asymmetric treatment: by playing "dove" the strong players ensure a higher payoff than in the other treatments, which may induce them to prefer this option to a more hawkish but riskier strategy. Both arguments lead us to hypothesize coordination to be easier to achieve and sustain in the Asymmetric than in the Baseline treatment.

In the Restricted treatment, instead, the coordination issue may seem less severe compared to the Baseline since we have only two -instead of six -pure-strategy equilibria. On the other hand, this treatment also reduces the cost of miscoordination, because the Pareto-dominated (but perfectly equitable) outcome where both players play "hawk" here is more profitable than in the Baseline.

Subjects who are averse to outcome-based inequality, thus, might have a stronger incentive to play hawkish strategies in this treatment than in the Baseline. Strategic risk considerations also push in the same direction: by making the hawkish strategies less risky, and on average more profitable, the Restricted treatment reduces the strategic incentives to coordinate on the efficient, pure-strategy equilibria.

Thus, with our experiment we explore three questions related to coordination failure and inequality:

(i) whether coordination on the efficient equilibrium is easier to achieve when the payoff matrix is asymmetric; (ii) whether -in the Asymmetric treatment -players coordinate on the more equitable equilibrium, and (iii) whether coordination on efficient equilibrium outcomes is easier when the cost of miscoordination is higher, or when the number of pure-strategy equilibria is lower.

There are two main results. First, making the game asymmetric seems to simplify coordination: subjects in the Asymmetric treatment are able to coordinate more often on pure-strategy NE, leading to higher efficiency. In particular, they coordinate on the least inequitable among the equilibria.

To better understand the determinants of this result, we look at the individual behavior, which differs across treatments. In the Baseline and Restricted treatments, players tend to be imperfect conditional cooperators (Fischbacher et al., 2001), who play "dove" more often when they expect their opponents to do the same. In the Asymmetric treatment, instead, the players tend to best respond (play "dove" against "hawk" and vice versa), with the weak ones being more aggressive than the strong ones, overall. Thus separation between "hawks" and "doves" emerges prominently only in the Asymmetric treatment, where we observe specialization, but not in the other treatments. Our second result is that restricting the number of (pure strategy) equilibria (in absence of ex-ante inequality) does not seem to facilitate coordination. Comparing Baseline and Restricted treatments, we find no differences in terms of aggregate efficiency or individual behavior.

Our paper proceeds as follows. Section 2 describes the game and introduces our theoretical hypotheses; Section 3 presents the experimental design and methodology; Section 4 illustrates the results and Section 5 concludes.

Set-up and hypotheses

We consider a generalized version of the Hawk-Dove game, which allows for asymmetric payoffs, and for an expansion of the action set. In our setup, there are two players characterized by parameters s 1 and s 2 , where s 1 ≥ s 2 > 0, which we can interpret as their relative "strength." Each player simultaneously and independently chooses his action, a i ∈ [a, ā], i = 1, 2, where a and ā are exogenously determined and equal for both players. A player i's payoff is defined as:

π i (a; θ, s) =            a j s i if a i < a j a i s i s i + s j θ if a i = a j a i (θ -s j ) otherwise (1)
where θ ∈ [s 1 , s 1 + s 2 ] parametrizes the size of the pie to be divided between the two players, and is exogenously determined. [START_REF]Education background (1) Middle high school (2) High school (3) Bachelor degree (4) Master degree (5)[END_REF] For the sake of simplicity, in the experiment we use a discrete choice set C with a given and fixed number n of elements: C = {a, a + x, a + 2x, . . . , ā}, where x = ā-a n-1 . In what follows, we denote the choice of player i by c i ∈ C.

Parameters and treatments

Our first treatment variable is the minimum admissible action a. By discretizing the choice set, we can manipulate the minimum admissible action without changing the number of choices available to subjects. This element is crucial to maintain the same game structure across treatments. We consider two alternatives:

(i) a baseline choice set C, and (ii) a restricted choice set C ′ , where a ′ > a.

The second treatment variable is the degree of asymmetry between players. We consider two scenarios: in the symmetric case, players have the same strength s 1 = s 2 = s; in the asymmetric one s 1 > s 2 .

In total, we consider three treatments: Baseline: with baseline set of actions, and symmetric strengths; Asymmetric: with baseline set of actions, and asymmetric strengths;

Restricted: with restricted set of actions, and symmetric strengths.

Parameters. In the experiment, we set ā = 10, θ = 10, and n = 11, that is: in all treatments players can select their choice from a set C of 11 possible values. In the Baseline and Restricted treatments, s 1 = s 2 = 7.6, while in the Asymmetric treatment s 1 = 8.7 and s 2 = 6.5. In the Baseline and Asymmetric treatments, a = 1, while in the Restricted treatment a ′ = 3. In all treatments, choices c i ∈ C are labeled from 0 to 10, and payoffs are rounded to integer numbers. The resulting payoff matrices are reported in Table 1.

Testable hypotheses

The game described above has multiplicity of pure-strategy asymmetric equilibria, in which player 1 plays as a "dove" and chooses c 1 = 10 and player 2 plays more hawkishly, choosing c 2 < c 1 , or viceversa, as illustrated in the shaded cells of Table 1. All these equilibria yield the maximum possible social surplus (100).

In the Baseline treatment, we have two sets of three pure-strategy equilibria, which all yield 24 points to the "dove" player and 76 to the "hawk", hence a serious coordination issue emerges. In the Asymmetric treatment, we also have two sets of equilibria. Here, however, one set includes four equilibria in which the strong player, characterized by s 1 = 8.7, plays as a dove choosing c 1 = 10 and earning 35 while the weak player -with s 2 = 6.5 -plays as a hawk and selects a low choice c 2 ∈ [0, 3],

thus earning 65 points. The other set contains two equilibria in which the payoff imbalance is reversed:

the strong player chooses c 1 ∈ [0, 1] and earns 87, while the weak player chooses c 2 = 10 and earns 13

points. The two sets of equilibria are equally efficient, but the distribution of the surplus between the two players in the first set of equilibria is much less unequal than in the second set.

Based on the literature on outcome-based inequality aversion (Fehr and Schmidt, 1999; Bolton and Ockenfels, 2000; Charness and Rabin, 2002), and on focal points (Isoni et al., 2014; Luhan et al., 2017), we expect that subjects in the Asymmetric treatment coordinate on the least unequal outcome. In other words, we hypothesize that inequality aversion and payoff-focality will work as coordination devices, preventing miscoordination and thus promoting efficiency at the social level. Coordination on the least unequal equilibrium, however, might also be driven by strategic considerations: by choosing 10 (i.e. "dove") the strong players ensure a payoff of at least 35, which may induce them to prefer this option to a more hawkish but riskier strategy. [START_REF]1 Field of studies[END_REF] Hypothesis 1 (a) Coordination on efficient equilibrium outcomes is more frequent in the Asymmetric treatment than in the Baseline treatment. (b) In the Asymmetric treatment, subjects coordinate on the least unequal pure-strategy equilibrium.

In the Restricted treatment, the coordination issue may seem less severe compared to the Baseline since we have only two -instead of six -pure-strategy equilibria, which however yield the same outcome as in the Baseline: one player sets c i = 0 and earns 76, and the other chooses c j = 10 and earns 24. On the other hand, by increasing a from 1 to 3, we also limit the cost of miscoordination, and we make the Pareto-dominated (but perfectly equitable) outcome where both players play "hawk" more profitable, as compared to the Baseline (both players earn 15, rather than 5). Being comparatively more profitable, all other symmetric outcomes also become more focal.

Subjects who are averse to outcome-based inequality, thus, might have a stronger incentive to play hawkish strategies in this treatment than in the Baseline, because they are sure to earn at least 15, if they do so. [START_REF]Have you attended courses[END_REF] Strategic risk considerations also push in the same direction: by making the hawkish strategies less risky, and on average more profitable, the Restricted treatment reduces the strategic incentives to coordinate on the efficient, pure-strategy equilibria. Our second hypothesis can thus be summarized as follows:

Hypothesis 2 Coordination on the pure-strategy equilibria is less frequent in the Restricted than in the Baseline treatment.

Experimental design

Framing. We adopt a neutral framing. Player 1 and player 2 are labeled "Red" and "Blue", respectively. In the Asymmetric treatment, the Red players are the "strong" ones, while the Blue players are the "weak" ones. Subjects have to make their choice by selecting one of the rows of the payoff matrix, which are displayed on their decision screen (Figure 1).

Note: in the bottom-right panel of the figure, the graph displays the choice made by the two players in the previous periods: it shows that the Blue player started playing "dove" in period 1, while the Red player started with "hawk," but then in the following periods the distance between their choices decreased. Feedback at the end of each period. At the end of each period, subjects receive information on the choices made by both players, and their own profit. We do not inform subjects of the other player's profit, which however can be inferred by the payoff matrix. Results from previous periods of the current cycle are always displayed on the subjects' screens by means of two graphs, presenting the choices and the profits, respectively (Figure 2). answer by at most one unit, 210 if the difference is of at most 2 units, and so forth and so on (see Instructions in Appendix A). To minimize the scope for strategic hedging (Blanco et al., 2010), we ask subjects to guess the choice of subjects who are not part of their economy. Furthermore, we randomly select one of the five cycles for the payment of the guess, and another, different cycle for the payment of the profits realized in the main game.

Procedures. We ran 3 sessions per treatment, with 24 subjects per session, between April 17 and May 3, 2016. To test the robustness of our results, we replicated the experiment running 9 more sessions between September 4 and September 13, 2023. Considering all treatments, the experiment involved 432 subjects randomly recruited via Orsee (Greiner, 2015) from a pool of more than 4000 subjects who normally participate in experiments at the BLESS laboratory in Bologna (where all sessions took place). The experiment was programmed and conducted in English with an ad-hoc web-based platform. Instructions (a copy is in Appendix A) were read aloud at the start of the experiment and left on the subjects' desks. To verify subjects' full understanding of the instructions, we administered two "understanding checks" (one in the middle of the instructions, one at the end),

asking subjects to answer a set of computerized control questions. The experimenter did not proceed to the next part of the instructions until all subjects had completed their set of questions. Control questions were incentivized: subjects earned 50 cents for each question they answered correctly. There were 10 questions in total, hence subjects could earn up to e5 for this task. 7 At the end of the session, subjects were asked to fill out a questionnaire meant to collect information on their socio-demographic characteristics, their preferences and their educational background (Appendix B). [START_REF]Have you attended courses in Game Theory[END_REF] Experimental points were translated into Euro at a rate of e1 per 50 points. Average earnings were e19,4 per subject (min = 7.5, max = 28.5), and sessions lasted on average less than two hours, including instructions and payments.

Results

In this section, we first present and discuss aggregate behavior and the main treatment effects. We then zoom in on individual behavior to get a better understanding of the determinants of the observed differences across treatments. In all treatments, subjects played the most extreme choices -0 (i.e. "hawk") and 10 (i.e. "dove")in the majority of interactions. In Baseline and Restricted the distribution of choices was approximately the same for Red and Blue players, and the modal choice was 0 (Figure 3). In Asymmetric, instead, the modal choice for the Red (i.e. "strong") players was 10. The modal choice for the Blue players was 0 as in the other treatments, but here 10 was not chosen more frequently than the other positive numbers. This suggests that coordination on one of the efficient pure-strategy equilibrium outcomes was more frequent in this treatment than in the symmetric ones. This is indeed confirmed by Figure 4, which illustrates the frequency of coordination on pure-strategy Nash-equilibrium outcomes across treatments, by period, across cycles. This frequency increases across cycles in all treatments, but 7 Subjects earned on average e4.42 for this task; 94.0% of them made at most 3 mistakes, 69,9.0% of them made at most 1. In the post-experimental questionnaire (available in the appendix), when asked whether "the instructions you have received today's activities (are) clear," almost all subjects answered positively: 70% declared that the instructions were "very clear" and 28% reported that they were "clear enough".

Aggregate behavior

8 Appendix C reports a balance check of the distribution of these characteristics across treatments.

the increase is more pronounced in Asymmetric, where a positive trend within-cycle also emerges. 9 To assess the statistical significance of this difference, we run a linear regression where the dependent variable is the frequency ϕ tkz of choices that are part of a pure-strategy Nash equilibrium, in period t of cycle k of session z. Among the regressors, we include two dummies for the Restricted and Asymmetric treatments, and their interactions with the variables P eriod and Cycle. Results are presented in Table 2 (model 1). The regression confirms that -despite being initially lower -the estimated prevalence of coordination on NE-outcomes in the Asymmetric treatment increases with experience across periods and cycles, and at the end of cycle 5 it reaches 45.8%, which is almost twice as large as in the Baseline (24.2%) and Restricted (24.5%).

The increased ability to coordinate on pure-strategy Nash Equilibrium outcomes also has an impact on the realized efficiency, which we measure as the sum of the two players' payoffs, normalized by the difference between the maximum and minimum possible joint payoff. [START_REF]too careful in dealing with people? (1) Most people can be trusted (2) Can't be too careful (3) No idea[END_REF] Figure 5 shows that efficiency tends to decrease over periods in Baseline and Restricted while it remains stable in Asymmetric,

where it also increases over the last three cycles. Results from a linear regression (Model 2 in Table 2)

provide additional support to this result, showing that efficiency tends to decrease across periods and cycles in the Baseline, while the trend is reversed in the Asymmetric treatment. The downward trend across cycles also disappears in Restricted, where the negative trend across periods still persists.

Figure 3 suggests that -in the Asymmetric treatment -subjects specialize on different behaviors depending on their strength: on average, Red (strong) players play "dove" much more often than Blue players, and also than Red players in the other treatments. To investigate this aspect more closely, we follow the approach adopted by Oprea et al. (2011) and study the evolution of the average play of the Red and Blue players across periods and cycles. We identify as "hawks" the group of four (either red or blue) players that adopt the most aggressive behavior, in each economy. We identify as "doves" the other four players. Figure 6 displays the average choice made by the hawks and the doves, in each period. It confirms that in the Asymmetric treatment the separation between hawks and doves is much stronger than in the other two treatments, and increases with experience. Our data also confirm 9 The prevalence of the equitable and efficient 10-10 outcome instead is very low and does not increase with experience. [START_REF]too careful in dealing with people? (1) Most people can be trusted (2) Can't be too careful (3) No idea[END_REF] Formally, we define efficiency as:

i π i -Π T Π-Π T
, where πi denotes the payoff of player i, T identifies the treatment, Π = 100 is the maximum surplus that can be achieved by a pair of players in a period, and Π T is the minimum surplus in a pair, which is equal to 10 in treatments Baseline and Asymmetric, and equal to 30 in Restricted. Coordination on pure-strategy Nash-equilibria does not map one-to-one to efficiency, as there are efficient outcomes that are not Nash equilibria, the most prominent being the case where both players play "dove". To dig deeper into this difference across treatments, we ran a linear regression where the dependent variable is the difference between the average choice taken by the hawks and the doves, in each period, and regressors include the treatment dummies and their interactions with the variables Cycle and Period. Results are reported in Model 3 of Table 2, and confirm that a net separation between hawks and doves emerges only in the Asymmetric treatment, where at the end of cycle 5 the average difference between the choices of hawks and doves is 4.897, which is significantly higher than in the Baseline (1.751, p-value <0.001). Hypothesis 2 instead does not find support in our data.

Result 2 Coordination occurs as frequently in the Restricted as in the Baseline treatment.

To check whether the separation of hawks from doves we observe in the Asymmetric treatment results in an increase of the level of realized inequality in payoffs, we measure the Gini coefficient at the economy-period level. Results are displayed in Figure 7, which shows that, if anything, expost inequality seems to be lower in the Asymmetric than in the Baseline. Results from a linear regression (Model 4 in Table 2) suggest that the treatment differences in terms of inequality are small: a significant increasing trend across periods and across cycles emerges in the Baseline treatment, but it is reversed both in Restricted, where inequality in payoffs is lower by design (the minimum attainable payoff is substantially higher than in the Baseline), and in Asymmetric. As a consequence, in the long run the estimated Gini coefficient becomes significantly lower in Asymmetric (32.3%) and in Restricted (31.4%) than in the Baseline treatment (39.2%).

Initial choices and expectations

The previous section reports evidence that the Asymmetric treatment induced substantial behavioral differences, as compared to the Baseline. In particular, the asymmetry in the payoff matrix affected the choices taken by subjects assigned the role of Red players, who progressively adopted a more dovish attitude, leading to better coordination and more efficient outcomes. Here, we explore whether this change in behavior is immediately induced by the different setup and appears already in the first period of play.

If payoff-focality (Luhan et al., 2017) drives subjects' initial choices, the choice of 10 in the very first period should be more frequent in Baseline and Restricted than in Asymmetric, where the highly-focal 10-10 outcome is removed. In line with this intuition, we observe that the percentage of subjects choosing 10 in the first period of the first cycle is higher in the Baseline and Restricted treatments than under Asymmetric, but this difference is only driven by the subjects in the role of Blue players (Table 3). In the Asymmetric treatment, the fraction of players choosing 10 is 29.2% among the Red players, and it drops to 13.9% among the Blue players (p-value: 0.0257, Chisquared test, N 1 =N 2 =72). The fraction of Blue players choosing 10 is also significantly lower than in the Baseline (p-value: 0.0675, Chi-squared test, N 1 =N 2 =72) and in Restricted (p-value: 0.0921,

Chi-squared test, N 1 =N 2 =72).
Table 3 also indicates that, in Baseline and Restricted, subjects choosing 10 are more inclined to believe that participants in the opposite role would opt for a high number, as compared to subjects who chose lower numbers as their initial action. This, however, does not hold in the Asymmetric treatment. More in general, we observe that the correlation between expectations and actions in period 1 is positive and significant in all treatments but Asymmetric. Taken together, these results indicate that in Baseline and Restricted the 10-10 outcome, which is at the same time maximally efficient and equitable, initially represents an important attractor: between 1/3 and 1/4 of the subjects chose 10, and most of them believed the opponent would also choose a large number. This is in line with the theories of team reasoning, usually deployed to explain focal points, which may suggest that players would try to achieve this solution when first faced with the game (Bardsley et al., 2010). However, since in these two games the payoff-focal outcome is not an equilibrium, coordination on 10-10 is hard to achieve and sustain, and subjects progressively become more aggressive (Figure 6) and efficiency decreases (Figure 5). By contrast, in the Asymmetric treatment payoff-equality can make one of the two sets of purestrategy equilibria more focal than the other. Here, we observe that even before having any experience with the game, this outcome becomes an attractor, at least for the Blue players. Subjects in the role of Blue adopt a more aggressive behavior, as compared to the other two treatments: while in Baseline and Restricted players display a conditionally cooperative attitude -that is, they play more dovishly when they expect the opponent to do the same in an attempt to coordinate on a mutually beneficial and equitable outcome -in the Asymmetric treatment the weak (Blue) players tend to best respond, and become more aggressive the less aggressive the Red players are. Coordination on the least inequitable equilibrium increases with experience (Figure 6), as it takes time for subjects in the role of Red players to adjust their behavior. To conclude, our results suggest that coordination becomes more challenging in contexts characterized by high payoff-asymmetries, particularly if a conflict emerges between payoff-focality and equilibrium considerations. This is, to some extent, in line with previous findings by Crawford et al. (2008), Isoni et al. (2014), and Rojo Arjona et al. (2022), albeit in a markedly different set-up.

Red

Conclusions

This paper presents an experiment on a two-population Hawk-Dove game, in which we vary the degree of asymmetry between players, the number of pure-strategy equilibria, and the cost of miscoordination.

Our study contributes to two main strands of literature: first, we relate to the literature on inequality and coordination in experimental games, which so far has never explored this issue within the context of the Hawk-Dove game. This is a framework in which agents face a coordination game with a strong conflict of interest, and captures the strategic incentives characterizing many economically relevant relations. As such, it is quite different from other frameworks already analyzed within this line of research, such as the threshold public good game, the minimum effort game and the indefinitely repeated helping game, which all allow for efficient and equitable cooperative equilibrium outcomes.

Second, we expand the literature on the Hawk-Dove game, as -to our knowledge -we are the first to experimentally study the impact on coordination of introducing asymmetry in the payoff matrix. We also consider an expanded payoff matrix, which clearly complicates the game-theoretical analysis, but also makes the game more realistic, as in many situations people do not simply face a binary choice between fighting to death and accommodating completely, but also have more nuanced options. This expansion also allows us to study whether coordination becomes more difficult to achieve when we vary the number of pure-strategy equilibria, and the cost of miscoordination.

Our results indicate that making the game asymmetric seems to simplify coordination: populations characterized by ex-ante unequal strengths coordinate more often on the least inequitable pure-strategy Nash equilibria, leading to higher efficiency. Instead, with a symmetric payoff matrix, we observe no differences in terms of efficiency or individual strategies when we vary the number of pure-strategy equilibria and the cost of miscoordination.

Our main result on inequality and coordination suggests that, if one of the two conflicting populations is ex-ante disadvantaged to the point that for them the cost of miscoordination is much lower relative to the other population, members of this population can afford to be more aggressive forcing the others to accommodate. This eventually drives society to coordinate on the least unequal equilibrium outcome, which increases overall efficiency. While of course our result is limited to the artificially simple set-up implemented in our experiment, it would be interesting to study whether the same dynamics would emerge in other, more realistic, frameworks. We leave this for future research.

In each period of the cycle you will be paired with someone in your group to interact with him or her. We will call this person your "match". Your match is a random person from your group.

In each pair, one person will be red and the other blue. If you are red, your match will be blue and vice versa. Your match will always remain anonymous. Hence, you will not know if you repeatedly interact with the same participant.

Groups change in each cycle so that you cannot interact with anyone for more than one cycle.

Understanding check 1

Before we proceed, please answer the questions that will appear now on your screen. Remember that you earn e0.50 for each question you answer correctly.

How you earn points in a period

You will earn points that depend on your choices and the choices of your match. Points will be converted into euros at the end of the session in a manner that we explain later. Both you and your match will have to choose an integer number between 0 and 10. These choices determine your profit and the profit of your match, as displayed in the following table.

In the table, the numbers in red represent the profits of the red person, and the numbers in blue represent the profits of the blue person. To read the profits corresponding to a specific pair of choices, you should find the row in the table that corresponds to the choice of the red person; move to the right until you find the cell where this row crosses the column corresponding to the choice of the blue person.

Consider the following examples. If you are red and you choose 6, while your blue match chooses 3 your profit is 15;

the profit of your blue match is 49.

If instead you are blue and you choose 8, while your red match chooses 4 the profit of your red match is 62; your profit is 20.

Understanding check 2

Before we proceed, please answer the questions that will appear now on your screen. Remember that you earn e0.50 for each question you answer correctly.

Timeline of a period

Each period has the following timeline:

Step 1: You are randomly paired with another participant in your group.

In each period, half of the members of your group are red and the others blue.

Your match has always a color different than yours. Your match changes from period to period with a probability equal to 3 out of 4 (75%) because your match can be any of the 4 members of your group who have a color different than yours. You will never know whom you meet, and your match will not be able to identify you, either.

Step 2: You and your match choose a number between 0 and 10.

To make a choice, click on the row corresponding to your preferred option. The line of the table corresponding to your choice will be highlighted in yellow (see the figure below). To submit your choice, click the "Confirm" button.

You cannot observe the number chosen by your match before making your choice. Similarly, your match cannot observe the number you chose, before making his choice.

You can review results of past periods of the cycle in the two graphs in the right-hand part of the screen. The graph at the top displays your profits in the past periods, while the graph at the bottom represents your choices, and the choices of your match. At the top of the graphs, you can also read your accumulated profit in the current cycle.

you will see your color;

you will be asked to guess the average number that the other groups' members, who have a color different than yours, will choose in the first period of the cycle which is about to start.

-If you are red, you will have to guess the average number chosen by the participants who are blue, and who do not belong to your group.

-If you are blue, you will have to guess the average number chosen by the participants who are red, and who do not belong to your group.

Payments

At the end of today's study, one of the five cycles will be randomly selected to determine your payment.

The accumulated profit you have earned in that Cycle will be converted into Euros: 1 point is worth 2 cents (e0.02).

A second cycle will be selected, among the remaining four, to reward your guess on the others' choices. Your earnings (in points) for this Cycle will depend on the guess you made on the other participants' choice, at the beginning of that Cycle. The closer is your guess to the actual value of the average number chosen by the other participants, the higher your earnings, as displayed in the following table.

Difference between your guess and the actual average Your earnings in points

No difference (exact guess) 250

The difference is larger than 0 and at most 1 240

The difference is larger than 1 and at most 2 210

The difference is larger than 2 and at most 3 160

The difference is larger than 3 and at most 4 90

The difference is larger than 4 0

Final reminders

The session is divided into 5 cycles; each cycle has 15 periods.

In each period -you meet an anonymous match, who changes from period to period with 75% probability;

-you must choose an integer number between 0 and 10;

-you earn points depending on your choice and on the choice of your match, as displayed in the profit table.

You cannot interact with anyone for more than one cycle.

At the beginning of each cycle, you will be asked to guess the average number that the other groups' members, who have a color different than yours, will choose in the first period of the cycle which is about to start.

At the end of the study, -one cycle will be randomly selected to determine your payment;

-another cycle will be randomly selected to reward your guess on the others' choices.

Understanding check 3

Before we start, please answer the questions that will appear now on your screen. Remember that you earn e0.50 for each question you answer correctly.

Appendix C Balance check

Figure 1 :

 1 Figure 1: Screenshot of the decision screen of a Red player, for the Baseline treatment.

Figure 2 :

 2 Figure 2: Feedback screen at the end of each period (for a Red player).

Figure 3 :

 3 Figure 3: Frequency distribution of choices, by role.

Figure 4 :

 4 Figure 4: Frequency of coordination on pure-strategy NE outcomes.

Figure 6 :

 6 Figure 6: Average choice played by the most ("H") and by the least ("D") hawkish group of each economy.

Figure 7 :

 7 Figure 7: Average Gini coefficient.

Table 1 :

 1 Payoff tables

		0 (hawk)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10 (dove)
	0 (hawk)	5; 5	14; 5	21; 7	28; 9 35; 11 42; 13 49; 15 55; 18 62; 20 69; 22	76; 24
	1	5; 14	10; 10	21; 7	28; 9 35; 11 42; 13 49; 15 55; 18 62; 20 69; 22	76; 24
	2	7; 21	7; 21	14; 14	28; 9 35; 11 42; 13 49; 15 55; 18 62; 20 69; 22	76; 24
	3	9; 28	9; 28	9; 28	19; 19 35; 11 42; 13 49; 15 55; 18 62; 20 69; 22	76; 24
	4	11; 35	11; 35	11; 35	11; 35 23; 23 42; 13 49; 15 55; 18 62; 20 69; 22	76; 24
	5	13; 42	13; 42	13; 42	13; 42 13; 42 28; 28 49; 15 55; 18 62; 20 69; 22	76; 24
	6	15; 49	15; 49	15; 49	15; 49 15; 49 15; 49 32; 32 55; 18 62; 20 69; 22	76; 24
	7	18; 55	18; 55	18; 55	18; 55 18; 55 18; 55 18; 55 37; 37 62; 20 69; 22	76; 24
	8	20; 62	20; 62	20; 62	20; 62 20; 62 20; 62 20; 62 20; 62 41; 41 69; 22	76; 24
	9	22; 69	22; 69	22; 69	22; 69 22; 69 22; 69 22; 69 22; 69 22; 69 46; 46	76; 24
	10 (dove)	24; 76	24; 76	24; 76 24; 76 24; 76 24; 76 24; 76 24; 76 24; 76 24; 76	50; 50
					(a) Baseline
		0 (hawk)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10 (dove)
	0 (hawk)	15; 15	28; 9 33; 11 39; 12 44; 14 49; 16 55; 17 60; 19 65; 21 71; 22	76; 24
	1	9; 28	19; 19 33; 11 39; 12 44; 14 49; 16 55; 17 60; 19 65; 21 71; 22	76; 24
	2	11; 33	11; 33 22; 22 39; 12 44; 14 49; 16 55; 17 60; 19 65; 21 71; 22	76; 24
	3	12; 39	12; 39 12; 39 26; 26 44; 14 49; 16 55; 17 60; 19 65; 21 71; 22	76; 24
	4	14; 44	14; 44 14; 44 14; 44 29; 29 49; 16 55; 17 60; 19 65; 21 71; 22	76; 24
	5	16; 49	16; 49 16; 49 16; 49 16; 49 33; 33 55; 17 60; 19 65; 21 71; 22	76; 24
	6	17; 55	17; 55 17; 55 17; 55 17; 55 17; 55 36; 36 60; 19 65; 21 71; 22	76; 24
	7	19; 60	19; 60 19; 60 19; 60 19; 60 19; 60 19; 60 40; 40 65; 21 71; 22	76; 24
	8	21; 65	21; 65 21; 65 21; 65 21; 65 21; 65 21; 65 21; 65 43; 43 71; 22	76; 24
	9	22; 71	22; 71 22; 71 22; 71 22; 71 22; 71 22; 71 22; 71 22; 71 47; 47	76; 24
	10 (dove)	24; 76	24; 76 24; 76 24; 76 24; 76 24; 76 24; 76 24; 76 24; 76 24; 76	50; 50
					(b) Restricted
		0 (hawk)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10 (dove)
	0 (hawk)	6; 4	17; 2	24; 4	32; 5	40; 6	48; 7	56; 8	64; 9 71; 11 79; 12	87; 13
	1	7; 12	11; 8	24; 4	32; 5	40; 6	48; 7	56; 8	64; 9 71; 11 79; 12	87; 13
	2	10; 18	10; 18	16; 12	32; 5	40; 6	48; 7	56; 8	64; 9 71; 11 79; 12	87; 13
	3	13; 24	13; 24	13; 24	21; 16	40; 6	48; 7	56; 8	64; 9 71; 11 79; 12	87; 13
	4	16; 30	16; 30	16; 30	16; 30	26; 20 48; 7	56; 8	64; 9 71; 11 79; 12	87; 13
	5	19; 36	19; 36	19; 36	19; 36	19; 36 31; 24 56; 8	64; 9 71; 11 79; 12	87; 13
	6	22; 42	22; 42	22; 42	22; 42	22; 42 22; 42 37; 27 64; 9 71; 11 79; 12	87; 13
	7	26; 47	26; 47	26; 47	26; 47	26; 47 26; 47 26; 47 42; 31 71; 11 79; 12	87; 13
	8	29; 53	29; 53	29; 53	29; 53	29; 53 29; 53 29; 53 29; 53 47; 35 79; 12	87; 13
	9	32; 59	32; 59	32; 59	32; 59	32; 59 32; 59 32; 59 32; 59 32; 59 52; 39	87; 13
	10 (dove)	35; 65	35; 65	35; 65	35; 65 35; 65 35; 65 35; 65 35; 65 35; 65 35; 65	57; 43
					(c) Asymmetric

Notes: The pure-strategy equilibrium outcomes are reported in bold, in the shaded cells. Player 1 is the row player, and Player 2 is the column player.

  Predicted values at t=15 and k=5, and Wald tests on their differences.

		Model 1	Model 2	Model 3	Model 4
		Coordination on NE Efficiency Separation Inequality
	Period	0.002	-0.006***	0.027	0.003***
		(0.002)	(0.002)	(0.023)	(0.001)
	Cycle	0.017***	-0.012**	0.130**	0.006**
		(0.004)	(0.004)	(0.056)	(0.002)
	Restricted	-0.011	-0.096**	0.416	-0.010
		(0.033)	(0.035)	(0.449)	(0.014)
	Restricted × Period	0.001 (0.002)	-0.001 (0.002)	-0.039 (0.027)	-0.002** (0.001)
	Restricted × Cycle	0.001 (0.006)	0.022** (0.009)	-0.033 (0.075)	-0.008** (0.003)
	Asymmetric	-0.101**	-0.136***	0.285	0.036
		(0.040)	(0.039)	(0.589)	(0.022)
	Asymmetric × Period	0.009** (0.004)	0.007** (0.003)	0.022 (0.034)	-0.003** (0.001)
	Asymmetric × Cycle	0.038*** (0.007)	0.026*** (0.008)	0.505*** (0.097)	-0.013** (0.005)
	Constant	0.131***	0.769***	0.689	0.318***
		(0.030)	(0.023)	(0.404)	(0.012)
	N	1350	1350	1350	1350
	R-squared	0.237	0.083	0.353	0.207
	Baseline	0.242	0.615	1.751	0.392
	Restricted	0.245	0.615	1.414	0.314
	Asymmetric	0.458	0.723	4.897	0.323
	p-value Base. vs. Restr.	0.921	0.995	0.358	0.000
	p-value Base. vs. Asym.	0.000	0.013	0.000	0.000

Notes: outcomes averaged at the session/period level. Standard errors clustered at the session level.

Table 2 :

 2 in the Asymmetric treatment, the Red (strong) players take the role of doves in 96.7% of the supergames, while this percentage drops to 47.8% in the Baseline and 42.9% in the Restricted treatment. 11

Linear regressions on treatment effects. Symbols ***, **, and * indicate significance at the 1%, 5% and 10% level, respectively.

Figure 5: Average realized efficiency.

that

  The table reports the average expectation of participants in period 1 of cycle 1 and cycle 5, conditional on their role. It compares the average expectation of the subjects who chose 10 with those who chose a lower number. In parentheses, it reports the fraction over the total number of subjects by role and treatment. Symbols < * * * and < * * indicate significance at the 1% and 5%, respectively, according to pairwise Mann-Whitney-Wilcoxon tests with a total of 72 observations, per role, per treatment. In italics, we report the correlation between actions and expectations in period 1, by role. Symbols *** and ** indicate significance at the 1% and 5% level, respectively.

						Blue
		< 10		10	< 10		10
	Restricted
	expectation	5.1	< * *	6.0	5.4	< * * *	7.5
		(73.6%)		(26.4%) (75.0%)		(25.0%)
	corr.		0.279 * *			0.560 * * *
	Baseline
	expectation	5.8	< * * *	7.5	5.4	< * *	6.5
		(69.4%)		(30.6%) (73.6%)		(26.4%)
	corr.		0.398 * * *			0.327 * * *
	Asymmetric
	expectation	5.1 (70.8%)	≈	5.5 (29.2%) (86.1%) 6.3	≈	5.9 (13.9%)
	corr.		0.115			0.070

Notes:

Table 3 :

 3 Average expectations in period 1.

Table C .

 C 1: Balancing of individual characteristics across treatments.

		(1)	(2)	(3)	(1)-(2) (1)-(3) (2)-(3)
		Restricted	Baseline	Asymmetric		Pairwise t-test
	Variable	Mean/(SE) Mean/(SE) Mean/(SE) P-value P-value P-value
	Female (d)	0.611	0.535	0.521	0.254	0.169	0.835
		(0.046)	(0.048)	(0.046)
	Age	24.243	24.319	24.146	0.872	0.828	0.736
		(0.283)	(0.382)	(0.346)
	Education	1.944	2.035	1.944	0.396	1.000	0.398
		(0.067)	(0.083)	(0.067)
	Has taken courses in:
	economics (d)	0.500	0.514	0.528	0.814	0.639	0.814
		(0.042)	(0.042)	(0.042)
	statistics (d)	0.444	0.417	0.444	0.635	1.000	0.635
		(0.042)	(0.041)	(0.042)
	game theory (d)	0.299	0.243	0.306	0.290	0.898	0.236
		(0.038)	(0.036)	(0.039)
	Importance of helping others	7.306	7.111	7.021	0.315	0.157	0.660
		(0.133)	(0.140)	(0.150)
	Attitudes towards risk	4.861	4.903	4.938	0.857	0.745	0.885
		(0.160)	(0.167)	(0.172)
	CRT	0.986	1.076	1.007	0.413	0.853	0.562
		(0.072)	(0.083)	(0.086)
	IQ	1.951	1.847	1.722	0.579	0.234	0.509
		(0.135)	(0.130)	(0.137)

The one exception we are aware of is the recent theoretical paper by[START_REF] Bilancini | Memory Retrieval and Harshness of Conflict in the Hawk-Dove Game[END_REF] which also considers the case of asymmetric payoff matrices.

One of the reasons often mentioned is that some individuals have some strong preferences for fairness and may not accept to coordinate on an outcome considered as "unfair"[START_REF] Bolton | ERC: A theory of equity, reciprocity, and competition[END_REF][START_REF] Fehr | A Theory of Fairness, Competition, and Cooperation[END_REF][START_REF] Charness | Understanding Social Preferences with Simple Tests[END_REF].

In our experiment, θ does not change across treatments.

This intuition is supported by a more formal analysis, carried out by[START_REF] Blázquez | Equilibrium selection in hawk-dove games[END_REF], who analyze this game through the lenses of the concepts of risk-dominance proposed by[START_REF] Harsanyi | A general theory of equilibrium selection in games[END_REF], the robustness to strategic uncertainty proposed by[START_REF] Andersson | Robustness to strategic uncertainty[END_REF], and the quantal response equilibrium proposed by[START_REF] Mckelvey | Quantal Response Equilibria for Normal Form Games[END_REF], to investigate whether these approaches provide a solution to the issue of equilibrium selection.[START_REF] Blázquez | Equilibrium selection in hawk-dove games[END_REF]'s results indicate that both the tracing procedure and QRE predict convergence to the least unequal equilibrium outcome.

The difference between our Baseline and Restricted treatments resembles in some sense the difference between the two dynamic games with complete information discussed by[START_REF] Goeree | Ten Little Treasures of Game Theory and Ten Intuitive Contradictions[END_REF], who show that a threat is more likely to be implemented when it is less costly.

Note that there is a "restart effect" in all treatments, where subjects consistently opt for higher numbers at the beginning of a cycle. The only exception is represented by the "Hawks" in the Asymmetric treatment, who consistently choose lower numbers at the beginning of a new cycle, when they are grouped with a new set of opponents.

the University of Bologna, and at the 2017 SAET conference in Faro. Financial support from Torsten Söderberg Foundation (Grant E37/13) and from the Italian Ministry of Research (SIR grant no. RBSI14I7C8) is gratefully acknowledged.

1

Appendix A Experimental Instructions

Note: this section reports the instructions for the Baseline treatment. Instructions for the other treatments only differ in terms of the payoff matrix and the numbers reported in the examples.

Instructions

Welcome to this study on economic decision-making.

These instructions are a detailed description of the procedures we will follow. In this study, you will earn an amount of money, which depends on how well you understand these instructions, and on the choices you and the other participants will take.

During the experiment you are not allowed to communicate with the other participants. We also ask you to switch off your mobile phone now. If you have a question at any time, please raise your hand and remain seated: someone will come to your desk to answer it.

As we proceed with the instructions, you will be asked to answer ten questions designed to verify your understanding of the instructions. You will receive e0.50 for each question you answer correctly. So you can earn up to e5 if you answer all questions correctly.

Overview of the experiment

The study is divided into 5 cycles. Each cycle will last exactly for 15 periods.

There are 24 participants. At the start of each cycle, a computer program will form groups of 8 participants. In each group, 4 participants will be red, and 4 will be blue. In the first period of cycle 1 you will be randomly assigned a color, either red or blue. Then your color remains the same for the whole cycle. Afterwards, your color may change from cycle to cycle, but will always remain the same within a cycle. If in period 1 of Cycle 1 you are blue, then you will be blue in all periods of Cycle 1. At the beginning of Cycle 2, you will be assigned a new color, which may be either blue or red; then you will keep the same color in all periods of Cycle 2. And so forth and so on. So, for example, you could be blue in all periods of Cycle 1, red in all periods of Cycles 2 and 3, and blue again in all periods of Cycles 4 and 5.

Step 3: You observe the outcome.

The outcome in your pair for the period will be displayed after you and your match make a choice. You will see your choice, the choice of your match and your profit in points (see the figure below).

Results from past periods will again be visible on the right of the screen.

End of the cycle and beginning of a new cycle

Each cycle lasts for 15 periods. Then a new cycle begins, until the end of cycle 5.

At the beginning of each cycle:

new groups of eight participants are formed, so that you will never interact with the same participant for more than one cycle;

Appendix B Post-experimental questionnaire

We kindly ask you to complete this questionnaire. The answers you give will not affect in any way your earnings. Some of these questions refer to personal information, which will help us in this study. Your identity will not be revealed under any circumstances in the presentation of the results.

Please answer carefully. Once an answer is given, you can no longer change it. Press OK to begin. Thank you.


Jérôme Hérisset

Laurent Le Berre

Matthieu Prod'homme ‡

Frédérique Plantevin

Le Ledenez de Molène : un projet interdisciplinaire concret et problématisé au collège

Introduction

Le groupe Interaction de l'IREM de Brest a été créé en 2011. Il avait pour but initial de lier les progressions entre les mathématiques et la physique-chimie au collège afin de produire des activités qui peuvent être traitées en commun. Une brochure IREM, relatant le travail entre 2011 et 2015, est publiée cette année. Elle permet de se familiariser avec la manière de travailler du groupe. En 2015, le groupe s'est ouvert à la technologie et a ainsi évolué vers des activités de projets annuels qui ont été menées entre 2015 et 2019. Ces projets influent sur la manière de traiter les programmes avec les élèves durant l'année en physique-chimie et en partie aussi en mathématiques. Nos projets sont issus d'articles relayés dans la presse locale (le Télégramme du Finistère bien souvent), les questionnements relatifs à l'article de départ orientent les futurs travaux. Ce point de départ nous amène à faire participer nos élèves à la réflexion sur les questions actuelles autour du respect de l'environnement, d'une façon concrète et critique par rapport aux sources, en allant jusqu'à mesurer sur le terrain si c'est nécessaire.

Cependant, nous cherchons à articuler nos travaux de manière à traiter ou réinvestir le programme de nos enseignements respectifs et à respecter la progression des apprentissages disciplinaires. Ce n'est pas facile de concilier les objectifs de chaque discipline ni les façons d'enseigner de chacun. Cela demande une bonne connaissance mutuelle non seulement des programmes et attendus, mais aussi des personnes. La confiance et le respect sont indispensables pour y parvenir ; d'un point de vue individuel, ils sont également une des récompenses de l'investissement demandé.

Dans cet article, nous présentons un de ces projets, mené avec les quatre classes de troisième du collège (commun à l'époque). Deux activités en ont été extraites pour être décrites précisément : énoncés, déroulé et mise en oeuvre, productions d'élèves et aussi le travail de préparation en amont entre professeurs. Molène est une île proche de celle d'Ouessant, située au large du Finistère. Daniel Masson, alors maire de Molène, est interrogé par un journaliste du Télégramme (voir l'interview 1 ) pour expliquer le projet d'aménagement du Ledenez (littéralement "Île d'en face" en breton), un îlot appartenant à Molène et accessible à pied à marée basse. Lors de son interview, monsieur le Maire dévoile son plan quant à l'aménagement du Ledenez et à la rénovation de son habitat qui comporte 3 à 4 bâtisses en ruine. La municipalité désire réaliser des travaux dans les bâtiments, utiliser des sources d'énergies renouvelables de manière à être auto-suffisant et accueillir des touristes pendant quelques nuits. L'îlot étant très petit, le Maire ne cache pas que les activités sont restreintes sur l'ilôt, il envisage un tourisme d'amateurs de la nature, par exemple des kayakistes souhaitant faire une escale ou des touristes restant un week-end. L'idée de partir à pied au restaurant à Molène est une possibilité, mais la contrainte de la marée doit être prise en compte, Daniel Masson précise qu'à marée basse, on ne peut pas traverser sans bottes lorsque le coefficient de marée est inférieur à 70 [START_REF]le traitement des données (hypothèse de proportionnalité[END_REF] .

Cet interview donne un fil conducteur à notre travail : nous allons nous emparer des idées évoquées par le maire et élaborer un plan afin de proposer des solutions à la mairie de Molène. Le projet est traité sur plusieurs mois avec les élèves et couvre une partie du programme de chaque discipline. Tout le travail est ensuite présenté par une délégation d'élèves des classes concernées au Forum scientifique de la Faculté des Sciences et Techniques de Brest, "Faites de la science !". Pour proposer des activités aux visiteurs de l'ilôt, l'équipe de professeurs a l'idée d'installer un réseau wifi local avec une Piratebox3 qui contiendrait une base documentaire sur l'île (faune, flore...). Les élèves proposent d'y ajouter une carte afin que les touristes se repèrent aisément sur le Ledenez.

Les activités abordées sont les suivantes : élaborer une carte du Ledenez, déterminer les conditions d'utilisation de panneaux solaires pour atteindre l'autonomie énergétique des maisons, planifier leur rénovation, développer un réseau wifi local pour donner des informations aux visiteurs, concevoir des contenus pour ce réseau, mettre au point une balise qui permette de savoir si la traversée à pied jusqu'à Molène est envisageable sans se déplacer jusqu'au gué, réaliser des panneaux de présentation des travaux et enfin, puisque le projet se conclut par un déplacement au Ledenez, organiser le déplacement.

Nous présentons ici, d'une part, comment les élèves ont été amenés à réaliser une carte du Ledenez afin que les touristes puissent se repérer sur l'île et d'autre part, comment ils ont réalisé la balise. Dans la partie genèse de l'activité, nous exposerons le travail de préparation entre enseignants. Dans la salle de technologie est exposée une maquette à l'échelle 1 6000 de l'île d'Ouessant voisine. Cette maquette est issue des travaux du projet de l'année précédente (présentés aux journées de la CII5 Collège 2018 à Lyon6 et avec la classe pour la finale nationale du concours "Faites de la Science !" à Corte ). Elle mesure environ 1m × 50 cm et il semble donc naturel et intéressant de reproduire l'île du Ledenez à la même échelle pour pouvoir les comparer.7 L'enseignant de technologie demande donc aux élèves de réaliser une maquette du Ledenez à l'échelle 1 6000 . Mais la maquette à cette échelle est trop petite (moins de 10 cm 2 ) pour en tirer une carte de l'île : on ne pourrait pas y placer utilement les maisons ou les différents repères. Il faut donc l'agrandir pour qu'elle atteigne une taille comparable à un format de papier A3. Cela va se faire en mathématiques où chaque élève arrive avec sa maquette personnelle. Les élèves ont donc effectué une réduction de l'îlot en technologie, puis un agrandissement en mathématiques avec des outils et des techniques très différents : ce changement de cadre pour l'étude d'une même notion est potentiellement très riche, bien qu'il ne soit pas exploité ici.

Différentes activités autour de la cartographie sont menées ensuite dans le prolongement de ces deux premières, elles sont rapidement décrites plus loin. En réalisant judicieusement des copier/coller, les élèves réussissent à quadriller l'intégralité de l'îlot.

Travail en Technologie

Ce que l'on attend des élèves

En classe de cinquième, les élèves ont abordé la modélisation en 3D au moment d'un travail sur l'architecture 9 . Ils réinvestissent ces compétences lors de cette activité. Ils calculent la taille des carrés de référence pour Sketchup afin que leur maquette soit 6000 fois plus petite que la réalité. Ils dessinent un premier carré de 1,67 cm de côté et, par copier/coller judicieux, le reproduisent autant de fois que nécessaire. C'est donc le choix du quadrillage qui fait le changement d'échelle. Les élèves utilisent le modèle quadrillé de la figure 3 pour reproduire le contour de l'îlot dans leur quadrillage à l'échelle voulue sous Sketchup.

8. les consignes de la séance sont téléchargeables à partir de la fiche Publimath de l'article 9. saisie de cotations, création de volumes, modification de textures, etc. dans Sketchup. Le contour de l'île étant terminé, les quadrillages sont effacés, laissant place à la reproduction à l'échelle 1 6000 . Un plugin, ajouté au logiciel Sketchup, permet d'exporter le fichier au format .dxf, format de transport utilisable par la machine à commande numérique 10 (Charlyrobot) de la salle de technologie.

Production d'élèves

Les maquettes diffèrent selon la découpe réalisée. Les limites de l'île sont parfois différentes selon l'appréciation des élèves, leur degré de compréhension de la situation et leur lecture attentive ou non de la consigne.

Il n'y a cependant pas vraiment de bonne ou de mauvaise réponse, car une part de jugement personnel est sciemment laissé à l'élève, comme on le voit dans la figure 7 ; chacun des traits de côte rouge et bleu peut être considéré comme valable bien qu'ils soient différents.

10. https ://www.guitar-list.com/download-software/convert-sketchup-skp-files-dxf-or-stl La comparaison avec la maquette d'Ouessant est maintenant possible. La figure 9 permet de visualiser les deux maquettes l'une à côté de l'autre et de percevoir de manière tangible la différence de taille entre ces deux îles, mieux que ne le ferait la comparaison de leurs dimensions ou de leur aire par exemple (voir figure 9). Cette confrontation suscite d'ailleurs l'étonnement des élèves.

Travail en Mathématiques

En mathématiques, nous avons donc plusieurs maquettes différentes du Ledenez qui ont été réalisées par les élèves. Ces Ledenez ne sont pas tous identiques, cela dépend, comme on l'a vu, de la précision et de la manière de tracer de chacun. Cependant, chaque îlot reste à l'échelle 1 6000 .

Consigne

On fournit à chaque élève une feuille A3 contenant la consigne et répondant aux caractéristiques attendues du rendu 11 , la consigne est :

Vous disposez d'une maquette du Ledenez à l'échelle 1 6000 réalisée à la machine à commande numérique. Sur cette feuille A3, dessinez le plan à l'échelle 1 6000 et réalisez un plan de coupe horizontal de l'île à une échelle adaptée pour cette feuille.

Le but est d'obtenir un agrandissement de la maquette fabriquée en technologie à l'échelle la plus grande possible sur le document A3 fourni. On s'attend à une multitude de réponses différentes, en revanche, plusieurs méthodes similaires devraient apparaître. Ces différences et similitudes permettront ensuite une mise en commun riche.

Le travail rendu doit répondre aux exigences d'un plan de coupe ; cette pratique spécifique de la technologie a été adoptée par l'enseignant de mathématiques pour de nombreux travaux de sa classe :

Contraintes du plan de coupe : Dans un cartouche en bas à droite doit se trouver : 11. le document est téléchargeable à partir de la fiche Publimath de l'article -Le nom et le prénom du dessinateur -L'échelle -La date de réalisation -Les mesures en vraie grandeur -Le titre de la réalisation Une fois l'agrandissement réalisé, chaque élève doit calculer l'échelle de sa réalisation, cette dernière peut varier selon l'agrandissement proposé. De ce fait, il n'y a ni réponse unique, ni solution attendue. Comme déjà souligné, la variété des réponses permet d'avoir des débats intéressants lorsque les différentes solutions sont discutées en classe. Le but de cette étape est de sélectionner les cartes qui répondent le mieux au problème posé.

Travail en classe

Les élèves travaillent en groupes de 3 ou 4. Bien que chaque élève réalise son propre agrandissement, le groupe sert à favoriser les échanges et à faire émerger des idées qui peuvent être reprises par d'autres. Aucune méthode n'est imposée ou suggérée par l'enseignant. Chacun doit donc réfléchir à une méthode qui va permettre de reproduire manuellement la carte en l'agrandissant au maximum sur cette feuille A3. Plusieurs procédures sont envisagées. Bien évidemment, l'espoir de voir les homothéties intervenir est grand. Le chapitre a été traité deux mois avant afin de pouvoir être réinvesti ici. Les élèves mettent en place des stratégies différentes pour agrandir cette maquette. Il est intéressant de relever des méthodes que nous n'avons pas anticipées (comme la représentation d'un repère, voir la figure 10 ci-dessous). Une fois le plan réalisé, il reste à calculer l'échelle. Les élèves devant réaliser un agrandissement le plus grand possible, les échelles peuvent varier selon les positionnements de l'îlot à l'échelle 1 6000 et les choix de chacun (centre d'homothétie, rapport). Un compte rendu est demandé en travail maison. La consigne, utilisée de manière régulière pour l'organisation des comptes rendus de tâches complexes en mathématiques, est la suivante : Consigne de compte rendu :

-Reformuler le problème -Expliquer la démarche et justifier les calculs

Analyse de quelques productions d'élèves

Les travaux sont réunis dans un fichier téléchargeable à partir de la fiche Publimath de l'article. Seuls quelques-uns sont placés en annexe et ci-dessous pour illustrer les points soulignés dans le commentaire.

La consigne a été respectée dans l'ensemble, elle impliquait d'exposer son raisonnement. Quelques élèves ont pris le temps de rédiger proprement et ont rendu des travaux très complets. Dans la figure 14, l'élève tente une homothétie de rapport négatif qui s'avère peu concluante pour le respect de la consigne.

Compte rendu -Transcription d'un travail peu lisible

Il faut dessiner, en gardant les proportions, le Lédènez, sur la feuille A3, en prenant le plus de place possible.

1) Calculer l'échelle : D'abord, on a voulu savoir combien de fois on allez pouvoir agrandir le Lédènez. On a "rentré" le Lédènez (la maquette) dans un rectangle pour pouvoir comparer les mesures du rectangle à celle de la feuille. Cette méthode, de quadrillage orienté combiné avec une homothétie, est appréciée des élèves lors de la mise en commun. On peut aussi apprécier ce travail pour sa recherche du meilleur agrandissement. L'élève a décidé d'encadrer l'îlot dans un rectangle le plus petit possible afin de pouvoir effectuer l'agrandissement maximal. L'ensemble de la démarche et des calculs est exposé. Tous les comptes rendus ne sont pas aussi détaillés.

Nous avons donc comparé les mesures : En collant

Bilan en classe : Avantages/inconvénients des différentes méthodes

Quelques travaux réalisés par les élèves sont présentés à la classe pour la séance de bilan ; l'idée est de critiquer chaque méthode afin de déduire celle qui paraît la plus efficace. On a le résumé suivant : 13. Expression des élèves pour dire que l'imprécision de l'interpolation entre deux points est systématique.

3.4 Deux exploitations des cartes en technologie et en mathématiques Dans ce dernier travail, l'élève utilise un quadrillage qui est plus précis que celui utilisé en technologie. On peut remarquer les segments sécants, qui se croisent en un point remarquable de certains bâtiments (sommet de l'angle formé par deux murs). Les extrémités de ces segments sont choisies à des endroits du trait de côte facilement identifiables. Le bâtiment est ainsi placé de manière assez précise, en respectant les proportions. Les mesures de la figure 20 dont ils disposent sont calculées en vraie grandeur puis remises à l'échelle 1 1277 . On peut également les vérifier sur le site Géoportail. On peut éventuellement envisager le calcul des dimensions à l'aide d'un changement d'échelle entre l'échelle 1 4264 de la photo et l'échelle 1 1277 de la carte.

La balise doit pouvoir :

-flotter, avec une ligne de flottaison déterminée ; -détecter la présence d'eau de mer ; -rester dans une zone restreinte du passage vers le Ledenez sans être déportée par le courant ; -abriter un dispositif d'émission d'informations protégé des projections d'eau de mer ; -abriter un dispositif qui permettra d'alerter de manière visuelle s'il y a de l'eau de mer ou pas. Dans cet article, nous présentons comment les deux premiers objectifs ont été atteints.

Travail en technologie

Les objectifs de ces séances sont de :

-concevoir un support pour le dispositif électronique de la balise ; -manipuler un logiciel de conception 3D ; -tester l'importance d'un lest et de la prévision en amont de la ligne de flottaison. Le cahier des charges suivant est proposé aux élèves :

-la balise comprend des électrodes qui doivent toucher l'eau à marée haute, mais pas à marée basse ; -il doit y avoir un ou des flotteurs ; -un système doit protéger l'électronique de l'eau de mer ; -une unité de production d'électricité doit être implantée sur la balise.

La maquette de balise présentée aux élèves pour démarrer le travail en classe est composée de deux flotteurs de polystyrène, sur lesquels une boîte en plastique abritant l'électronique est collée. Sous la boîte en plastique, il y a deux vis qui jouent le rôle d'électrode et un lest permettant à la balise de s'enfoncer suffisamment dans l'eau pour que les électrodes touchent l'eau quand la balise flotte. Avant de lancer ses élèves dans la réalisation concrète de la balise, le professeur organise une séance de discussion qui permet de fixer les contraintes nécessaires pour compléter le cahier des charges de l'objet.

Lors de cette discussion, le professeur impose le matériau (une plaque de polystyrène expansé type Styrodur d'épaisseur 6 cm) qui a la propriété de flotter et ne se gorge pas d'eau. Les dimensions des vis (électrodes) et l'évaluation du niveau de la ligne de flottaison de la balise sont déterminées collégialement à cette occasion après avoir identifié et retenu les contraintes suivantes :

-Les vis doivent dépasser de 4 cm sous le socle en PVC supportant l'électronique embarquée ; -La ligne de flottaison se situe à 4 cm au-dessus de bas du flotteur.

La balise doit donc « couler » de 4 cm. L'énoncé17 de l'activité permet de préciser le vocabulaire et les différents paramètres du problème posé.

Les élèves modélisent leurs propositions sous Sketchup puis construisent leur balise à l'aide des matériaux disponibles (polystyrène expansé, vis de différents métaux...) et font des essais dans un aquarium. Bien qu'influencés par l'exemple présenté par le professeur (catamaran), certains élèves désirent s'orienter vers d'autres formes, comme des couronnes de base circulaire ou rectangulaire (voir figure 26).

Aucune des balises proposées ne coule suffisamment. Il faut donc la lester pour que les électrodes trempent dans l'eau. Pour simplifier le travail de recherche qui va suivre, le professeur de technologie choisit l'un des modèles de balises proposés par ses élèves. Les critères du choix (stabilité, simplicité de construction des flotteurs, éviter un effet de cloche qui empêche l'eau de rentrer en contact avec les vis...) et les dimensions qui permettront de problématiser la situation sont réunis dans les deux figures qui suivent (extraites en partie de l'énoncé).

Cadre théorique de la flottaison

Nous allons utiliser les principes de la mécanique de Newton pour étudier l'équilibre que constitue la flottaison de la balise.

Notre système d'étude est la balise constituée de deux flotteurs en polystyrène, d'une "quille" formée de masselottes en laiton ; sur les flotteurs, on trouve la partie "électronique" et les cellules solaires.

Sur notre balise qui flotte s'exercent plusieurs forces :

-Le poids issu de la gravité que l'on note -→ P -La poussée d'Archimède, c'est-à-dire l'action de l'eau déplacée sur le flotteur et sur la quille que l'on note

-→ P A - → P -→ P A Figure 28 -Schéma de la situation
La balise flotte si la force de gravité qui la fait couler est opposée en quantité, sens et direction à ce que les physiciens appellent la poussée d'Archimède. C'est-à-dire une force du bas vers le haut qui modélise l'action d'un volume de liquide déplacé sur le solide qui déplace ce volume.

Quand la balise flotte, on peut écrire :

- → P + -→ P A = - → 0
On note b la balise, q la quille et b i la partie immergée de la balise. On peut maintenant exprimer les forces du poids et de la poussée d'Archimède grâce aux relations suivantes :

-Le poids est égal au produit de la masse totale de la balise et de la pesanteur g soit

- → P = (m b + m q ) × - → g
-La poussée d'Archimède est égale à l'opposé du produit de la masse du volume de fluide déplacé par la pesanteur.

-→ P A = -m volume d'eau déplacé × - → g
Afin de prévoir l'enfoncement souhaité, on doit donc résoudre l'équation d'inconnue m q :

m b + m q = m volume d'eau déplacé
En troisième, le programme de physique-chimie incite à l'étude d'exemples d'équilibre statique. C'est une très bonne occasion de montrer aux élèves qu'une situation d'équilibre n'est pas provoquée par une absence de forces, comme les élèves l'interprètent souvent, mais par une compensation des forces. La notion de vecteurs n'est pas au programme de troisième, mais les deux points suivants apparaissent dans le programme de physique-chimie :

-Expérimenter les situations d'équilibre.

-Modéliser une action exercée sur un objet par une force caractérisée par une direction, un sens et une valeur.

L'égalité suivante poids de la balise = poussée d'Archimède.

est donc établie avec les élèves par une étude documentaire et des expérimentations avec le dynamomètre (voir section 4.4 ).

Les obstacles que les élèves rencontrent dans la mise au point de l'objet technique "balise" les amènent à solliciter leurs connaissances et leurs compétences en physique-chimie, en mathématiques autant qu'en technologie ; chaque discipline contribue à la réalisation du projet commun dans une sorte de relais qui permet de traiter une partie plus ou moins importante de son programme du niveau troisième.

Éléments des programmes disciplinaires :

Physique-chimie :

- 4.4 étude de la poussée d'Archimède en physique-chimie

Les objectifs de ces séances sont de se familiariser avec la notion de force et de poussée d'Archimède et de comprendre que la poussée d'Archimède dépend de la nature et du volume de liquide déplacé.

Nous allons maintenant nous appuyer sur le cadre théorique posé précédemment pour proposer une séquence adaptée à des élèves de troisième.

Consignes en physique-chimie

On propose aux élèves de comparer le poids d'un objet et le poids du même objet plongé dans un liquide avec un dynamomètre. Ils constatent une différence. On définit avec eux cette différence comme étant la poussée d'Archimède. Au cours d'une discussion, les paramètres qui peuvent influencer la poussée d'Archimède sont identifiés :

-le volume de l'objet plongé dans le liquide ; -la masse de l'objet plongé dans le liquide ; -la masse volumique du liquide. On demande aux élèves de comparer les valeurs de la poussée d'Archimède en ne faisant varier qu'un seul des paramètres, les deux autres étant fixés. La séance se déroule en salle de physique-chimie par groupe de 4 avec seulement 12 ou 13 élèves. Une fois la première partie de la fiche de consigne remplie, les élèves manipulent par groupe dans un temps contraint. Le professeur circule alors pour réexpliquer certaines consignes, prévenir certaines erreurs de manipulation... Une fois le temps imparti écoulé, les résultats expérimentaux sont discutés pour déboucher sur la relation qui permet de calculer la poussée d'Archimède. Puis dans le cours, nous notons la relation qui permet de calculer la poussée d'Archimède19 :

P A = m volume d'eau déplacé × g.
Voici un exemple de calcul d'application pour familiariser les élèves avec l'utilisation de cette relation :

Exercice : Coule ou flotte ? Une balle de baseball a une masse de 150 g et a un volume de 0.2 L. On décide de la placer dans l'eau.

1. Calculer le poids de la balle de baseball.

2. Calculer la poussée d'Archimède si la balle est entièrement plongée dans l'eau.

3. Comparer le poids et la poussée d'Archimède et en déduire si la balle flotte ou coule.

Données :

-Quand un objet coule, c'est que le poids est plus important que la poussée d'Archimède.

-Quand un objet remonte à la surface, c'est que le poids est inférieur à la poussée d'Archimède. -Sur Terre, on prendra g = 10 N/kg Corrigé :

1. P = m × g = 0.15 kg × 10 N/kg = 1.5 N 2. P A = m volume eau déplacé × g = 0.2 × 10 = 2 N
3. La poussée d'Archimède étant plus importante que le poids, la balle de baseball ne peut pas rester immergée sous la surface de l'eau. Elle va flotter.

Ce qu'on attend des élèves et leurs difficultés

Les élèves connaissent le concept de poids et il a déjà été défini dans le cours. En constatant que la valeur du poids d'un objet est diminuée lorsqu'il est plongé dans un liquide, la mise en évidence de la poussée d'Archimède est facilitée. Par contre, cerner les paramètres dont elle dépend est plus difficile pour les élèves. L'expérimentation pour mesurer chaque paramètre à tour de rôle en bloquant les deux autres est une démarche qui a déjà été utilisée pour d'autres études (comme le refroidissement d'un liquide en début de l'année). On peut supposer que les élèves vont suivre le raisonnement, mais il va falloir être précis dans les mesures et dans le choix du matériel de mesure. Le professeur est donc très présent et circule beaucoup dans les groupes pour ajuster les manipulations des élèves. Le concept de masse volumique d'un liquide est difficile à maîtriser pour les élèves, bien qu'il soit abordé dès l'année de quatrième. Nous avons d'ailleurs choisi de le réinvestir dans une autre séquence présentée dans cet article section 4.6.

Résolution de l'équation d'équilibre en mathématiques et tests en technologie

Consignes en mathématiques

On projette la photographie de la balise fournie en technologie (figure 29). Le problème est donc posé en mathématiques en ces termes : La balise doit s'enfoncer dans l'eau à hauteur de 4 cm ; quelle masse immergée doit-on attacher sous la balise afin de le permettre ?

4.5.2 Quelle mise en oeuvre ?

Le problème est d'une difficulté importante. Les élèves sont placés par groupe de 3 ou 4, l'idée est de guider les groupes vers la résolution du problème en leur posant une succession de questions progressives. La séance s'articule autour de phases de recherche et de bilans intermédiaires ponctués d'interventions du professeur afin d'orienter les élèves vers la solution.

Ce qu'on attend des élèves et leurs difficultés

Les élèves ont appris en physique-chimie que pour que la balise flotte, les forces qui s'appliquent sur elle doivent vérifier l'égalité P = P A , où P représente le poids de la balise et P A la poussée d'Archimède. En mathématiques, ils ont déjà résolu des équations linéaires à une inconnue. Cette équation possède en apparence deux inconnues, la masse de la quille et la masse du volume d'eau déplacé. L'objectif est donc que les élèves, après avoir reconnu une équation, réussissent à la transformer en une équation linéaire à une seule inconnue afin d'être en mesure de la résoudre. On cherche à réduire le nombre d'inconnues à la seule masse de la quille en laiton m q . La masse de la balise est connue, elle est donnée sur le document fourni en technologie.

On cherche si on peut déterminer m v à partir des données du problème. La balise est constituée de deux flotteurs et d'une quille entièrement immergée, on attend des élèves qu'ils écrivent l'égalité :

m v = m V b i + m Vq
où V b i est le volume de la partie immergée de la balise et V q est le volume de la quille.

On peut le calculer grâce à la masse volumique ; d'après le cours de physique-chimie,

m V b i = ρ eau V b i
ce qui donne en rempla çant par les valeurs :

V b i = 10 cm × 20 cm × 4 cm × 2 = 1600 cm 3 et ρ eau = 1 g/cm 3
Ainsi, m V b i = 1600g. On demande de réécrire l'équation en rempla çant par les inconnues trouvées :

748 + m q = 1600 + m Vq .

L'équation reste donc à deux inconnues. On propose alors aux élèves d'utiliser l'égalité m = ρV pour chaque masse inconnue restante dans l'équation. Cela mène les élèves à réécrire cette équation en considérant l'inconnue V q . Les élèves doivent donc écrire :

748 + ρ laiton V q = 1600 + ρ eau V q .

On attend alors des élèves qu'ils remplacent les masses volumiques du laiton et de l'eau de mer par leur valeur afin d'écrire :

748 + 8, 3V q = 1600 + 1V q .

Ainsi, on a écrit une équation linéaire à une inconnue qui n'est plus la masse de la quille, mais son volume. Les élèves résolvent l'équation pour arriver à : Les élèves choisissent de regrouper les mesures dans un tableau à double entrée, le volume d'eau de mer (en mL) et la masse qui y correspond (en g). Les mesures seront ensuite exploitées en mathématiques.

4.6.4 Ce qu'on attend des élèves, leurs difficultés ?

Ils vont rédiger un compte rendu de leur expérimentation qui reprend les étapes suivantes :

-Expérience : avec la liste du matériel nécessaire et le protocole expérimental.

-Observation : avec les mesures consignées dans un tableau.

-Conclusion : avec la réponse à la problématique. De nombreuses compétences expérimentales évaluables en physique-chimie sont mis en jeu par cette activité (Mesurer des grandeurs physiques de manière directe ou indirecte, Concevoir et réaliser un dispositif de mesure ou d'observation, Planifier une tâche expérimentale, organiser son espace de travail, garder des traces des étapes suivies et des résultats obtenus).

Séance en mathématique :

Les comptes rendus de physique-chimie sont donnés au professeur de mathématiques. Les groupes ont rangé leurs résultats dans un tableau. Le professeur de mathématiques réalise un montage A4 regroupant l'ensemble des tableaux de mesures réalisées dans la classe. Ce document de synthèse est photocopié et remis aux élèves individuellement pour la séance suivante en mathématiques (cf l'annexe 2 page 39).

En salle informatique, chaque binôme rentre les données de la classe et les élèves sont chargés d'exploiter ces données pour déterminer la masse volumique de l'eau de mer. L'idée est d'aboutir à une représentation graphique mettant en évidence la proportionnalité de la masse et du volume. L'enseignant suggère donc la représentation graphique mais la séance ne se passe pas comme prévu. Les élèves venant d'étudier un chapitre sur les statistiques en mathématiques, préfèrent utiliser la fonction MOYENNE du tableur afin de déterminer la masse volumique cherchée.

Le document suivant regroupe les mesures réalisées par les classes : Cependant, on a donné une approximation de la masse volumique de l'eau de mer(vérifiée ensuite en physique-chimie 1,025 g/mL pour la valeur théorique contre 1,1 g/mL trouvée en classe).

Synthèse

On reprend le travail sur le calcul de la masse de la quille. La résolution de l'équation de "flottaison de la balise" est reprise en mathématiques avec la masse volumique de l'eau de mer calculée en classe. Un compte rendu est demandé aux élèves selon la consigne habituelle déjà mentionnée. Un exemple de compte rendu est donné en annexe 1 (voir page 36).

Le travail s'est donc déroulé en trois temps :

-les élèves ont travaillé sur la résolution de l'équation décrite puis constaté que la masse calculée n'était pas suffisante ; -un travail a été mené avec la physique-chimie afin de déterminer la densité de l'eau de mer ; -la résolution de l'équation a été reprise avec la valeur estimée de la densité de l'eau de mer. Cela permet de retravailler la résolution de l'équation. C'est un moment essentiel et apprécié par les élèves. En effet, le fait de retravailler cette résolution leur permet une bonne appropriation du problème. La consigne proposée et déjà pratiquée lors d'autres travaux a pour but d'organiser le compte rendu.

Ce qui permet une vérification en technologie et, pour le grand plaisir des élèves (et des enseignants), d'observer que la ligne de flottaison est à 4 cm comme prévu ! 5 Aboutissements du projet Cet article reprend une petite partie de travail accompli dans le cadre de notre projet, mais presque toutes les activités ont été présentées à diverses occasions : au Forum local (régional) et à la finale nationale du concours scientifique "Faites de la science !" (voir section 2), au maire de Molène, aux parents des élèves, aux personnels du collège et même lors d'une assemblée publique organisée par la municipalité de Lanildut (commune située face à Molène).

Le forum local du concours annuel "Faites de la science !" est organisé par l'UFR Sciences et Techniques de l'UBO 20 à Brest. C'est un moment très particulier dans l'année, pour les élèves et les enseignants, l'aboutissement et l'apogée du travail engagé. Dans chacune des quatre classes de troisième, nous avons fait élire deux représentants pour représenter les élèves du collège. Lors de ce concours, les élèves disposent d'une dizaine de minutes pour présenter à un jury le travail réalisé en classe tout au long de l'année. Nous avons réuni à plusieurs reprises le groupe des élèves élus pour préparer ce passage. Lors de ces réunions, nous leur avons confié la préparation de panneaux de présentation, la répartition de la prise de parole, les rôles de chacun lors des présentations d'expériences et des réalisations techniques. Cette partie du projet, bien que gérée en dehors du temps scolaire, a permis à ce groupe de travailler les compétences transversales de communication d'une façon sérieuse et motivante. Certains des élèves ont d'ailleurs choisi de présenter les supports réalisés à cette occasion lors de l'épreuve orale du Brevet des collèges sous l'intitulé EPI sciences et techniques.

Les élèves du collège ont remporté le premier prix régional et ont donc été invités à représenter la région à l'occasion de la finale nationale qui était organisée par l'université Pascal Paoli de Corte 21 .

Pour l'ensemble des élèves du collège, le projet annuel s'est conclu par une sortie sur le terrain dont l'organisation pratique a également été l'une des activités liées au projet commun (menée en classe de mathématiques et non présentée dans cet article). Afin de pouvoir accéder au Ledenez, l'étude des courbes de marée 22 , combinée aux horaires des navettes qui desservent Molène, ont permis de programmer le meilleur jour pour la sortie. Il était nécessaire de laisser le temps d'aller et revenir tout en passant plus d'une heure sur l'îlot. Les élèves ont également chiffré le coût de cette sortie pour les 117 élèves accompagnés de 8 professeurs. Plusieurs activités étaient organisées sur Molène et sur le Ledenez, certaines pour tester les travaux menés en classe, d'autres spécifiques à l'environnement et aux possibilités offertes par l'observation de terrain. Les enseignants ayant pris part au projet ont reçu le renfort d'autres enseignants accompagnateurs afin de gérer la centaine d'élèves débarquant sur ce tout petit bout de terre perdu au milieu de la mer d'Iroise.

Comme la visite sur l'île de Molène avait lieu après le forum local de "Faites de la science ! ", la présentation du projet était prête ; les élèves délégués ont pu l'exposer à nouveau à l'équipe municipale de Molène. Le bon accueil qui leur a été réservé et l'intérêt manifesté ont contribué à valoriser le travail fourni par les élèves et les enseignants, tout autant que les bons résultats au concours "Faites de la science !".

Ce travail nous a permis de couvrir une partie de nos programmes de manière différente. En mathématiques, nous avons travaillé sur les homothéties, la notion d'échelle et de changement d'échelle ; plus généralement, nous avons traité de manière experte des situations concrètes de proportionnalité. Nous avons également eu recours à la mise en équation d'un problème complexe et à la résolution d'équation ; 20. Université de Bretagne occidentale 21. Ils ont été placés en deuxième position 22. courbes de prévision des hauteurs de mer en fonction du temps pour différents lieux de la cote fournie par le Service hydrographique et océanique de la Marine séquences d'une manière différente. Le décloisonnement disciplinaire transforme nos processus individuels de création de séquences. Il transforme nos façons de pratiquer notre métier.

Une fois nos problèmes résolus, la faisabilité de nos idées établie, nous commençons à penser aux activités de nos élèves. Nous tentons de transposer l'expérience de notre phase de recherche pour transmettre à la fois des connaissances et l'excitation de la recherche et de la découverte : pour cela, nous devons élaborer des contenus adaptés aux connaissances et aux compétences d'élèves de troisième.

Une vision commune de l'interdisciplinarité.

Le temps de travail en équipe manque toujours au sein des établissements. Nous profitons donc de tous les petits moments informels (café aux inter-cours, temps du midi après la cantine) ou plus formels (les vendredis après-midi à l'IREM de Brest) pour inventer, discuter, tester, se répartir des tâches... Le travail de réflexion se poursuit pour chacun entre ces moments et les échanges par courrier électronique complètent le tout.

Notre objectif, en travaillant de cette façon, est avant tout de produire des activités intéressantes pour nos élèves, mais cela va finalement au-delà. Nous avons en commun le goût des sciences et du questionnement ; nous aimons tout autant la phase de réflexion provoquée par un problème technique que la satisfaction de sa résolution. Nous éprouvons un plaisir à chaque fois renouvelé, à découvrir, à comprendre, à progresser, à apprendre dans nos disciplines respectives et dans celles des autres. C'est le « carburant » de notre façon de travailler, même si toutes nos réflexions n'aboutissent pas à des séquences exploitables.

Cette façon de travailler peut paraître inconfortable en ce sens qu'elle laisse une part importante à la découverte, à la surprise et à des changements de dernière minute, mais ce fonctionnement entre nous et avec nos élèves nous est devenu naturel. Qu'il ait obtenu une certaine reconnaissance -même au-delà de nos espérances en fait-lors des participations de nos élèves aux concours "Faîtes de la science !" nous conforte dans cette voie.

Annexes

Annexe 1 : Exemple de compte rendu de synthèse.

2

  Description du projetDurant l'année scolaire 2017-2018, nous avons proposé aux élèves le projet intitulé "Rendre les cabanes du Ledenez

Figure 1 -

 1 Figure 1 -Molène et ses Ledenez vraz et vihan.

Figure 2 -

 2 Figure 2 -Ouessant au 1 6000 dans la salle de technologie et à Corte

3. 2 . 1

 21 Consigne et mise en oeuvre Le professeur demande de suivre des consignes très précises 8 . Chaque élève doit concevoir et réaliser sa propre maquette du Ledenez. Les élèves travaillent en binômes sur les ordinateurs de la salle de technologie. Ils disposent du logiciel Sketchup, de la suite Libre office et du logiciel de retouche d'images Photofiltre à partir du site internet gouvernemental

Figure 3 -

 3 Figure 3 -Quadrillage du Ledenez.

Figure 4 -

 4 Figure 4 -Quadrillage réalisé sous Sketchup

Figure 5 -

 5 Figure 5 -Étapes de construction de la maquette

Figure 6 -

 6 Figure 6 -Charlyrobot.

Figure 7 -

 7 Figure 7 -Visualisation de la différence entre les tracés

Figure 8 -

 8 Figure 8 -Deux maquettes d'élèves

Figure 9 -

 9 Figure 9 -Comparaison des deux maquettes à l'échelle 1 6000

Figure 10 -

 10 Figure 10 -Production d'élèves -Utilisation d'un repère.

  Les homothéties apparaissent dans la plupart des travaux, mais s'avèrent d'une efficacité relative. Certains élèves y pensent et beaucoup d'autres le font par imitation, mais dans tous les cas cela permet de retravailler la notion. Dans la figure 11 (et dans plusieurs autres productions), on peut voir que l'élève a placé le Ledenez dans le coin gauche de la feuille et cherché un centre adapté pour agrandir la figure. Certains dessinent le contour et d'autres relient les points à la règle. L'agrandissement n'est pas toujours optimal et le nombre de points doit être important pour envisager un agrandissement réussi.

Figure 11 -

 11 Figure 11 -Production d'élèves -Homothétie de centre extérieur à la figure et de rapport positif

Figure 12 -

 12 Figure 12 -Production d'élève -Homothétie de centre intérieur à la figure et de rapport positif

Figure 14 -

 14 Figure 14 -Production d'élève -Homothétie de centre extérieur à la figure et de rapport négatif

4 )

 4 Faire les homotéthies : Le cadrillage est grand, donc pour être plus précise j'ai fait des homotéthies. J'ai placé la maquette de sorte que un croisement du grand cadrillage se superpose avec celui du petit quadrillage. Ensuite, j'ai tracé le contour de la maquette et j'ai placé des points. Puis j'ai fait des homotéthies de centre A (le croisement) et de rapport 4,7. Une fois que j'ai placé tous ces points, j'ai tracé le plan en m'aidant du cadrillage et en passant par ces points. Malheureusement, certains points ne passent pas sur la feuille, mais je n'ai plus de feuille pour recommencer.5) Calculer la vraie échelle :Pour finir, j'ai calculé l'échelle du plan par rapport à l'île. Voilà comment j'ai fait : m=maquette 1cm -m → 6000cm dans la réalité. 1cm -m → 4, 7cm sur la feuille. 4, 7cm -mf euil → 6000ccm réalité 1cm -m → 6000cm : 4, 7 ≈ 1277 Donc l'échelle est égale à 1 1277 environ.

Figure 15 -

 15 Figure 15 -Construction finale de l'élève

3. 4 . 1

 41 En technologieLa première étape du projet de réhabilitation d'habitations comme celles des goémoniers est d'en établir un plan de masse 14 . Cela permet non seulement de déterminer les matériaux nécessaires et d'organiser leur acheminement, mais également de déterminer quelles maisons et, plus précisément, quelle partie de leur toit sont les plus judicieuses pour placer des panneaux solaires photo-voltaïques. L'emplacement et les cotes des habitations sont relevés sur Géoportail (figure17) ; sur une capture mise à la bonne échelle 15 et orientée, de l'image du Ledenez sur Géoportail et importée dans Sketchup, les élèves réalisent les modèles 3D des habitations (figure18) à partir des cotes relevées et de photos orientées (figure16) qui permettent d'avoir des indications sur la forme des toits, des ouvertures, etc. Une fonctionnalité de Sketchup permet de simuler leurs ombres portées à toute date et heure choisies (figures 19). Les élèves peuvent ainsi "observer" l'importance de l'emplacement des panneaux solaires pour maximiser leur ensoleillement et donc optimiser le rendement de l'installation.

Figure 16 -Figure 19 -

 1619 Figure 16à gauche : vue depuis le Sud | à droite : vue depuis l'Est

Figure 20 -

 20 Figure 20 -Photo quadrillée du Ledenez exportée de Géoportail

Figure 21 -

 21 Figure 21 -Utilisation de lignes particulières pour repérer les bâtiments.

Figure 22 -

 22 Figure 22 -Utilisation d'une grande ligne et de perpendiculaires pour repérer les bâtiments.

Figure 23 -

 23 Figure 23 -Utilisation d'un quadrillage et de lignes.

Figure 24 -

 24 Figure 24 -Capture d'écran Géoportail

Figure 25 -

 25 Figure 25 -Le gué entre le Ledenez vraz et Molène.

Figure 26 -

 26 Figure 26 -Deux modèles de balise : à gauche, le type catamaran, à droite une version en « couronne »

Figure 27 -

 27 Figure 27 -La balise et ses caractéristiques et paramètres L(longueur), l (largeur), x (partie immergée), H(hauteur totale)

  18

4. 4 . 2

 42 Quelle mise en oeuvre ?

Figure 29 -

 29 Figure 29 -Pesée du prototype de balise conçu en technologie

4.5. 4

 4 Déroulement du travail en classe.On pose l'égalité P = P A avec les élèves. On rappelle que l'on cherche la masse de la quille. Cette inconnue doit apparaître ; on attend donc des élèves qu'ils passent des expressionsP = (m b + m q ) × 10 et P A = m volume d'eau déplacé × 10 à l'équation : m b + m q = m ven notant m v la masse du volume d'eau déplacé par la balise.

Figure 30 -

 30 Figure 30 -Protocole et liste de matériel, document élaboré en classe.

Figure 31 -

 31 Figure 31 -Regroupement des mesures dans un tableur

  AB à A'B', BC à B'C' ... Si Si

	Les longueurs :
	42 9	≈ 4, 7
	Les largeurs :
	30 6	= 5
	42 12, 5		= 3, 36
	Les largeurs :
	30 5	= 6
			42 9 .
	2) Calculer la taille du cadrillage :
	Pour tracer notre plan, nous avons décider d'utiliser notre cadrillage. Nous avons donc multiplier
	par 4,7 les côtés des carreaux du cadrillage de la maquette pour trouver les tailles des cadrillages
	du plan :
	4, 7 × 1, 6 = 7, 52 cm.
	. Un carreau égal 1, 6 × 1, 6.
	3) Tracer le cadrillage :
	Au départ j'ai tracé directement le cadrillage, mais sur la maquette il est incliné. J'ai donc tracé le

l'on choisit cette solution, on agrandira le Lédènes 4,7 fois. En "collant" BD à A'B', EC à B'C' ... Les longueurs : l'on choisit cette solution, on agrandira le Lédènez 3,36 fois. Il vaut mieux donc coller AB à A'B'. L'échelle du plan par rapport à la maquette sera don cadrillage dans le rectangle sur lequel nous avions mis le Lédènez, puis mesurer la longueur entre un croisement du cadrillage et le coin du rectangle. Ensuite, j'ai multiplié la longueur par 4,7, puis j'ai tracé ce croisement sur une feuille.

  Identifier les interactions mises en jeu (de contact ou à distance) et les modéliser par des forces.-Proposer et mettre en oeuvre un protocole expérimental pour déterminer une masse volumique d'un liquide ou d'un solide et exploiter des mesures de masse volumique pour différencier des espèces chimiques.

	Technologie :
	-Concevoir un objet technique simple (capteur de détection d'eau de mer)
	-Réalisation de plans et dessin sur logiciel de CAO (sketchup)
	-Programmation d'une carte électronique (Arduino Uno)
	-Connaître les standards de la communication sans fil. (Bluetooth, Wi-Fi...)
	Mathématiques :
	-Compétences principalement travaillées
	Chercher ;
	Modéliser ;
	Calculer ;
	Communiquer ;
	-Capacités mises en oeuvre
	écrire une équation ;
	Développer, factoriser des expressions littérales ;
	Calculer avec des expressions littérales ;
	Résoudre une équation ;

Car le marnage est faible, c'est-à-dire que la mer se "retire" moins.

une PirateBox est un dispositif électronique, souvent composé d'un routeur et d'un dispositif de stockage d'information, créant un réseau sans fil qui permet aux utilisateurs connectés d'échanger des fichiers anonymement et de manière locale. Par définition, ce dispositif qui est souvent portable, est déconnecté d'Internet (source wikipédia).

source : http ://mabretagne.com/lile-de-sein-va-devoir-rentrer-en-resistance-fiscale

Commission inter IREM

http://math.univ-lyon1.fr/irem/spip.php?article894

Le travail autour du mix énergétique d'Ouessant nous a amenés à avoir besoin d'une maquette suffisamment grande et épaisse afin de pouvoir y fixer des objets (mini-éolienne, panneau photo-voltaïque).

téléchargeable à partir de la fiche Publimath de l'article

Voir Fiche de Travaux Pratiques : "De quoi dépend la poussée Archimède ?", téléchargeable à partir de la fiche Publimath de l'article.

La dépendance de la poussée d'Archimède avec l'intensité de pesanteur (g) est admise