Francois-Xavier Lépine Chargé
email: daf.oed.fct@intradef.gouv.fr

SGA/DAF/OED) • STATISTIQUES EFFECTIFS ET RÉMUNÉRATIONS DES PERSONNELS CIVILS DU MINISTÈRE DES ARMÉES EN 2019 Le ministère des Armées compte 64 500 personnels civils au 31 décembre 2020, un chiffre stable par rapport à 2019. Plus du quart des effectifs de personnels civils sont concentrés en Ile-de-France, où sont implantés les services centraux du ministère. Leur âge moyen est de 46 ans et 9 mois. Ils perçoivent en moyenne 2 611 € net par mois en équivalent temps plein annuel. Les agents de catégorie C sont sur-représentés au sein des effectifs civils du ministère en comparaison des civils de l'ensemble de la Fonction Publique d'État.

LES EFFECTIFS DES CIVILS DU MINISTÈRE DES ARMÉES RESTENT CONSTANTS EN 2020

Les personnels civils du ministère des Armées sont recrutés dans des « métiers en tension », par voie contractuelle ou de concours, des anciens militaires en reconversion ou des apprentis au terme de leur contrat d'apprentissage. Les personnels civils, qui sont aussi bien des femmes que des hommes, remplissent des missions de soutien aux forces armées et d'expertise. Ils peuvent exercer dans le domaine des ressources humaines par exemple et ainsi être aussi bien en poste dans une Base de défense sur le territoire national, qu'au sein des services centraux du Secrétariat général pour l'administration en région parisienne.

), soit un nombre très proche de celui de l'année précédente. Cette relative stabilisation (-0,1 %) fait suite à une augmentation des effectifs civils de +1,2 % survenue entre 2018 et 2019. Sur les deux dernières années, les effectifs civils du ministère des Armées ont progressé moins vite que l'ensemble des effectifs de la Fonction Publique, qu'elle soit d'État, hospitalière ou territoriale (+1,1 % contre +1,6 %). Fin 2019, hors établissements publics administratifs, les personnels civils du ministère des Armées représentent 4,0 % des effectifs civils de l'ensemble des ministères. Les autres ministères régaliens, l'Intérieur, les ministères économiques et financiers, la Justice et les Affaires étrangères (1) , représentent respectivement 11,6 %, 8,5 %, 5,5 % et 0,2 % des effectifs civils des ministères.

UN QUART DU PERSONNEL CIVIL DU MINISTÉRE DES ARMÉES EST OUVRIER D'ÉTAT

Le ministère des Armées se démarque des autres ministères par sa proportion d'agents civils non titulaires, notamment les ouvriers d'État (2) et, dans une moindre mesure, les contractuels. Fin 2019, il comprend 84 % des ouvriers d'État, agents non titulaires de droit public, de l'ensemble des ministères. ______________________________________________ (1) Du fait de sa composante internationale, le ministère de l'Europe et des Affaires étrangères (MEAE) a la plupart de ses effectifs hors du territoire national. D'après la DGAFP, ce sont près de 11 000 agents civils du MEAE qui sont en poste à l'étranger en 2019. (2) Les ouvriers d'État du ministère des Armées, agents publics n'ayant pas le statut de fonctionnaires, relèvent de nombreux textes statutaires, d'un régime de rémunération et d'un régime de retraite propres. Ils sont recrutés localement et occupent des postes d'exécution très qualifiés.

Pour l'essentiel, ces effectifs relèvent du « grand employeur (3) » état-major des armées (EMA). Il s'agit d'une catégorie de personnels civils indispensable dans certains métiers maîtrisant des compétences spécialisées à forte technicité dans le domaine industriel (mécanicien d'armement, ouvrier de pyrotechnie, optronicien, etc.). Rapportés aux effectifs civils, ils représentent un quart des personnels civils du ministère des Armées. Dans une moindre mesure, une autre spécificité du ministère est sa proportion d'agents contractuels parmi ses effectifs civils. En effet, le ministère des armées compte 16 % de contractuels dans ses effectifs civils contre en moyenne 11 % pour l'ensemble des ministères. Cette caractéristique se retrouve aussi au ministère de l'Europe et des affaires étrangères qui compte 18 % d'agents civils contractuels. A l'inverse, cette proportion est bien inférieure au ministère de l'Intérieur et de l'Outre-Mer qui en compte 9 %.

UNE RÉPARTITION PAR GRADE SPÉCIFIQUE À LA DÉFENSE

Au 31 décembre 2019, les effectifs civils du ministère des Armées sont composés de 26 % de personnels de catégorie A, 28 % de catégorie B et 46 % de catégorie C (Cf. Sources et définitions). Par rapport à l'ensemble des ministères, le ministère des armées se distingue par une sous-représentation des personnels civils de catégorie B et une surreprésentation des civils de catégorie C du fait de la typologie de ses emplois, pour certains très techniques : en effet, pour l'ensemble des civils de la fonction publique de l'Etat (FPE) hors enseignants, la proportion d'agents de catégorie B est de 36 % et celle d'agents de catégorie C de 35 % (Figure 2).

HAUSSE DE LA REPRÉSENTATION DES FEMMES EN CATÉGORIE A ET A+

Fin décembre 2019, le personnel civil du ministère des armées compte 38,8 % de femmes, un effectif en légère augmentation (+0,4 point) par rapport à 2018 (Figure 3). Ce taux est inférieur de 23,5 points au taux de féminisation des civils de la FPE, qui est, lui, de 62,3 %. Le pourcentage de femmes parmi les personnels civils du ministère des Armées est de 39,2 % dans la catégorie A (soit +2,3 points par rapport à 2018), de 29,8 % dans la catégorie B (en baisse de -1,6 points par rapport à 2018) et de 44,1 % dans la catégorie C (soit +0,7 point comparé à 2018). Au sein de la catégorie A, la catégorie A+ (encadrement supérieur et cadres dirigeants) se caractérise par un taux de féminisation de 34,9 %, soit une hausse de +4,5 points par rapport à 2018. Par rapport aux autres ministères régaliens, le taux de féminisation de la catégorie A au ministère des armées est du même ordre que celui des ministères de l'Intérieur et des Affaires étrangères (39,9 % et 40,0 % d'agents civils femmes). Le taux de féminisation dans la catégorie A est respectivement pour le ministère de la justice et pour les Ministères économiques et financiers de 66,1 % et 49,0 %.

__________________________________________________________________

(3) Il existe au sein du ministère des Armées, trois « grands employeurs » : l'EMA, la DGA et le SGA (SIGLES). Les « grands employeurs » valident les besoins en organisation et en compétence des employeurs rattachés qui relèvent de leur périmètre de responsabilité, portent l'évolution de ces besoins dans le cadre des travaux d'ajustement annuel de la programmation militaire, participent à la définition de la politique et de la réglementation générale concernant leur personnel.

UN ÂGE MOYEN SUPÉRIEUR DE 2 ANS À CELUI DES CIVILS DE LA FPE

Fin 2019, l'âge moyen des personnels civils du ministère des Armées est de 46 ans et 9 mois, soit 2 ans et 1 mois de plus que l'âge moyen pour l'ensemble des agents civils de la Fonction Publique d'État (FPE) (44 ans et 8 mois). Parmi les personnels civils du ministère des Armées, les femmes et les hommes ont, en moyenne, le même âge. A contrario au sein des civils de la FPE, ce sont les hommes qui sont plus âgés, de près de 5 mois de plus que les femmes. Ce constat est également vrai pour les civils de l'ensemble de la fonction publique, avec un écart d'âge moyen de plus de 8 mois entre hommes et femmes. La pyramide des âges pour les civils de la défense est assez symétrique entre hommes et femmes (Figure 4). Le pic des effectifs se situe à 59 ans pour les femmes et à 58 ans pour les hommes. La part des moins de 30 ans est de 9,4 % chez les civils de la défense et de 10,0 % pour l'ensemble des personnels civils de la FPE. La part des 50 ans et plus est de 46,3 % chez les civils de la défense et de 35,4 % pour les personnels civils de la FPE.

UN SALAIRE NET MENSUEL MOYEN DE 2 611 €

En 2019, les personnels civils perçoivent en moyenne 2 611€ net par mois en équivalent temps plein annuel, soit une rémunération stable par rapport à 2018 (-0,5 %). Le salaire net moyen des agents de la FPE varie entre 2 492 euros pour les agents du département ministériel et EPA rattachés, de l'Éducation nationale, de l'Enseignement supérieur, de la Recherche et de l'Innovation, qui emploie près des deux tiers des agents de la FPE en équivalent temps plein mensualisé, et 3876 euros pour les agents des services du Premier ministre (Figure 6). Parmi les civils du ministère des armées, le salaire net moyen en 2019 des agents de catégorie A est de 3 364€, celui des agents de catégorie B de 2 676 €, et celui des agents de catégorie C de 2 162 €. Parmi les agents civils du ministère des armées, le salaire net moyen des femmes est de 2 368€. en 2019.

LES PERSONNELS CIVILS DU MINISTÈRE DE LA DÉFENSE BRITANNIQUE

Au 1 er avril 2021, le ministère de la défense britannique (au sens large) comptabilise 62 000 personnels civils, soit encore près de 60 000 effectifs en ETP. Les effectifs sont en progression de +3 % entre 2020 et 2021, après +0,9% entre 2018 et 2019 (Figure 7). Sur l'exercice 2019-2020, les dépenses de personnel civils représentaient 3,9 % des dépenses du ministère et 30,5 % des effectifs civils et militaires en ETP (hors réservistes) du ministère, soit encore 1,3 Mds € de dépenses. La défense (au sens large) est le 4 ème département ministériel employeur et représente 11 % du total des personnels civils, soit encore 12,3 % des effectifs en ETP (Figure 8). La majorité des personnels civils du ministère de la défense sont localisés au Royaume-Uni (92 % des ETP), dans le Sud-Ouest et le Sud-Est du pays. 8 % des effectifs sont situés dans le reste du Monde, dont 5 % en Europe (Chypre, Allemagne, Gibraltar).

Le taux de féminisation des personnels civils du ministère de la défense britannique est de 44,1 % au 1 er avril 2021 (4) , en hausse de +2,4 points de pourcentage par rapport à 2017. L'âge moyen des personnels au 1 er avril 2021 est de 47,7 ans, soit une diminution de -0,3 années par rapport à avril 2017.

On constate dans la répartition par âge, une proportion plus élevée de personnel civil âgé de plus de 50 ans au sein de la défense (47,1 %) et du ministère de la défense (52,7 %), que dans le reste de la population des personnels civils (39,3 %) (Figure 9).

Le salaire médian annuel en avril 2021 des personnels civils du ministère de la défense (hors agences) s'établit à 33 646 €, contre 34 245 € pour l'ensemble des personnels civils. Les personnels civils féminins du ministère de la défense (hors agences) ont un salaire annuel médian inférieur de -13,3 % par rapport à leurs homologues masculins (Figure 10).

35 % des effectifs civils du ministère de la défense (hors agences) travaillent dans les professions de : sécurité, structures de projets et immobilier (Figure 11).

En 2020, 74 % des personnels civils du ministère de la défense déclaraient s'épanouir dans leur travail '(« Perma index ») (Figure 12).

Champ : « Top Level Budgetary areas (TLBs) ».

POUR ALLER PLUS LOIN

• Reforming the Civilian Workforce, Ministry of Defence, National Audit Office, mars 2019.

Figure 2 :

 2 Figure 2 : Répartition par statut et catégorie hiérarchique des effectifs civils dans la Fonction Publique d'État en 2019

  2019, plus de la moitié d'entre eux se répartit entre les régions Ile-de-France (pour 27,5 %), Provence-Alpes-Côte d'Azur et Bretagne (Figure5). Les régions où ils sont le moins présents, à moins de 300 effectifs, sont les 4 DOM historiques (Guadeloupe, Martinique, Réunion et Guyane) et la Corse.

  En équivalent temps plein mensualisé, eurosSource : Siasp, Insee. Traitement DGAFP -SDessi. Champ : France (hors Mayotte et COM), hors militaires et apprentis.

Figure

  Figure 6 : Salaires mensuels nets moyens en 2019 dans les departements ministeriels et dans leurs EPA rattachés

Figure 8 :

 8 Figure 8 : Effectifs de personnels civils au Royaume-Uni par départements et agences ministériels

Figure

  Figure 9 : Effectifs des personnels civils au Royaume-Uni par tranches d'âge en 2021

Figure 10 :

 10 Figure 10 : Salaires annuels médians des personnels civils au Royaume-Uni en 2021

Figure

  Figure 11 : Effectifs de personnels civils au Royaume-Uni par profession en 2021

Figure 12 :

 12 Figure 12 : Indicateurs de bien être des personnels civils au Royaume-Uni en 2020

■ 2 -BULLETIN DE L'OBSERVATOIRE ÉCONOMIQUE DE LA DÉFENSE #198 -NOVEMBRE 2021

	Effectifs au 31 décembre de l'année considérée, %
				2018 -	2019 -
	2018	2019	2020 (1)	2019	2020
				(%)	(%)

(1) Ensemble civils et militaires -Fonction Publique 5 567 207 5 611 260 5 656 150 0,8 0,8 Ensemble civils -Fonction Publique d'État 2 161 859 2 182 303 nd 0,9 nd Ensemble civils des ministères, dont : 1 526 133 1 618 689 nd 6,1 nd

	Armées	63 791	64 553	64 486	1,2	-0,1
	dont fonctionnaires	36 212	37 015	36 845	2,2	-0,5
	dont contractuels	9 312	10 166	11 021	9,2	8,4
	dont Ouvriers d'État	16 987	15 888	14 900	-6,5	-6,2
	dont autres (2)	1 280	1 484	1 767	15,9	19,1
	Europe et affaires étrangères	3 400	3 447	nd	1,4	nd
	Intérieur et outre-mer	187 480	188 559	nd	0,6	nd
	Justice	88 858	89 647	nd	0,9	nd
	Ministères chargés de l'enseignement	924 545	919 108	nd	-0,6	nd
	Ministères économique et financier	139 218	137 895	nd	-1,0	nd
	Ensemble des civils des EPA (3)	490 841	519 421	nd	5,8	nd
	(1) chiffres provisoires.
	(2) autres : apprentis, collaborateurs de cabinet.
	(3) EPA : Établissement Public Administratif.
	nd : non disponible.
	Source : Insee, Siasp (traitements OED).

Champ : emplois principaux, tous statuts, situés en France (métropole + DOM, hors COM et étranger), hors Mayotte. Hors bénéficiaires de contrats aidés. Figure 1 :

Évolution des effectifs physiques civils dans la Fonction Publique

	%, effectifs au 31 décembre
	Catégorie A (%)	Catégorie B (%)	Catégorie C (%)	Catégorie indéterminée (%)

Total Ministère des Armées 26,0 28,4 45,5 0,1 64 553 Autres civils des ministères Non enseignants

  La catégorie "autres catégories et statuts" recouvre principalement des ouvriers d'État dans la FPE, des assistants (2) Enseignants : professeurs des écoles, agrégés, certifiés, d'EPS et de lycée professionnel, instituteurs, professeurs Champ : emplois principaux, tous statuts, situés en France (métropole + DOM, hors COM et étranger), hors Mayotte. Hors Source : Insee, SIASP (Traitements OED).

		28,3	35,5	34,7	1,5	702 390
	dont, par statut :
	Fonctionnaires	32,0	40,6	27,2	0,1	580 502
	Contractuels	11,0	10,8	69,8	8,4	115 291
	Autres catégories et statuts (1)	5,3	18,0	76,7	0,0	6 597
	Enseignants	99,7	0,3	0,0	0,0	752 673
	dont, par statut :
	Fonctionnaires	99,8	0,2	0,0	0,0	714 029
	Contractuels	96,7	3,3	0,0	0,0	38 644
	(1)

Figure 3 : Part de femmes parmi les agents des ministères par catégorie hiérarchique au 31 décembre 2019

  Champ : emplois principaux, civils, situés en métropole et DOM (hors Mayotte), hors COM et étranger. Hors bénéficiaires de contrats aidés.

	100
	90
	80
	70	66,2	66,8					64,0	65,0	62,7	62,3
	60
							52,2
	40 50			42,4	40,9	34,5	43,4	44,1	38,8
							29,8
	30
	20
	10
	0
		Catégorie A	dont A+	Catégorie B	Catégorie C	Total
		Ensemble de la Fonction Publique	Ensemble civils Fonction Publique d'État
		Civils du ministère des Armées
	Source : SIASP, Insee, traitements DGAFP, département des études et des
	statistiques. Traitements OED.

BULLETIN DE L'OBSERVATOIRE ÉCONOMIQUE DE LA DÉFENSE -3 ■ #198 -NOVEMBRE 2021 en % % Figure 4 :

Pyramides des âges de la fonction publique d'État et des civils du ministère des Armées au 31 décembre 2019

	5%	4%	3%	2%	1%	0%	1%	2%	3%	4%	5%

Champ : emplois principaux, tous statuts, situés en métropole et DOM (hors Mayotte), hors COM et étranger. Hors bénéficiaires de contrats aidés.

Sources : SIASP, Insee, traitements DGAFP, département des études et des statistiques. Traitements OED.

Figure 7 : Effectifs des personnels civils de la défense au Royaume-Uni

	Personnes physiques et équivalents temps plein, avril 2021
	Départements et agences ministériels		Nombre	ETP
	Work and Pensions				93 530	83 840
	Justice				78 880	73 950
	HM Revenue and Customs				66 480	61 090
	Defense, dont :				57 680	55 790
	Ministry of Defence (excl. agencies)			37 700	36 430
	Defence Science and Technology Laboratory	4 380	4 220
	Defence Electronics and Components Agency	440	420
	Defence Equipment and Support			10 700	10 340
	Royal Fleet Auxiliary				1 830	1 830
	Submarine Delivery Agency			1 790	1 750
	UK Hydrographic Office				840	800
	Home Office				35 370	32 870
	Scottish Government				22 250	21 030
	Autres départements et agences			73 010	68 470
	Ensemble des personnels civils			484 880	452 830
	Source : Civil Service Statistics 2021, UK.
	Nombre de personnes physiques et en EQTP, chiffres au 1	er avril de l'année
		2019	2020	2021
	Civilian Level 1 -Total	38 168	38 121	39 506
	Top Level Budgetary areas (TLBs)	36 288	36 291	37 660
	Royal Fleet Auxiliary (RFA)	1 880	1 830	1 846
	DE&S Trading Entity*	10 346	10 913	10 857
	Trading Funds & Executive Agencies	6 810	7 547	7 871
	Locally engaged civilians (LEC)	4 390	3 675	3 805
	Civilian Level 0 -Total en nombre	59 714	60 256	62 039
	Civilian Level 0 -Total en EQTP	57 760	58 255	60 005
	* Trading Funds & Executive Agencies + Locally engaged civilians (LEC).
	** EQTP : équivalent temps plein.
	Source : Defence Statistics (Civilian), UK MOD.
	■ 6 -BULLETIN DE L'OBSERVATOIRE ÉCONOMIQUE DE LA DÉFENSE #198 -NOVEMBRE 2021			#198 -NOVEMBRE 2021

• Annual Location Statistics : 1 April 2021, UK MOD, 1 July 2021. • Civilian personnel biannual diversity dashboard report : 1 April 2021, UK MOD, 27 May 2021. • MOD biannual personnel civilian report (BCPR), 1 April 2021, UK MOD, 20 May 2021. • Annual Report and Accounts 2019-2020, For the year ended 31 March 2020, Ministry of Defence. • Civil Service statistics : 2021, National Statistics, Cabinet Office, UK, July 2021. • Civil Service People Survey : 2020 results, Cabinet Office, UK, may 2021. BULLETIN DE L'OBSERVATOIRE ÉCONOMIQUE DE LA DÉFENSE -5 ■

"

  Proxy Stress Index ". Cet indice s'aligne sur l'outil de gestion du stress du Health and Safety Executive. Il est une une mesure des conditions qui peuvent ajouter au stress plutôt que de le soulager. Un score d'indice plus élevé représente un environnement stressant. https://www.hse.gov.uk/stress/standards/downloads.htm " PERMA Index " : Cet indice mesure dans quelle mesure les employés "s'épanouissent" dans leur travail. Un score élevé pour une organisation représente une plus grande proportion d'employés d'accord avec les déclarations ci-dessous et évaluant deux questions sur le bien-être comme étant élevées. * Émotion positive : Dans l'ensemble, à quel point sont satisfaits vous avec votre vie aujourd'hui ? * Engagement : Je suis intéressé par mon travail. * Relations : Les personnes de mon équipe peuvent être sur qui j'ai confiance lorsque les choses deviennent difficiles dans mon travail * Signification : Dans l'ensemble, dans quelle mesure vous sentez-vous les choses que vous faites dans votre vie en valent la peine ? * Réalisation : Mon travail me donne un sens d'accomplissement personnel

	"Proxy Stress Index"	28% 28%
	"PERMA Index"	73% 74%
	Leadership et conduite du changement	53% 52%
	Rémunération et avantages	37% 36%
	Ressources et charge de travail	74% 72%
	Inclusion et traitement équitable	79% 79%
	Formation et développement personnel	57% 55%
	Mon équipe	83% 82%
	Mon manager	72% 69%
	Objectifs et buts de l'organisation	83% 81%
	Mon travail	77% 81%
	Indice d'engagement des employés	64% 64%
	0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
	Ministère de la défense	Ensemble des personnels civils

• LE BULLETIN DE L'OBSERVATOIRE ÉCONOMIQUE DE LA DÉFENSE

SOURCES ET DÉFINITIONS

• Le Système d'Information sur les Agents des Services Publics (SIASP) : fichier statistique conçu et produit par l'Insee à partir de l'exercice 2009 issu de plusieurs sources administratives permettant de connaître les effectifs, caractéristiques et rémunérations des agents des trois versants de la fonction publique en poste en France métropolitaine et dans les DOM hors Mayotte. Les chiffres utilisés dans cette publication sont issus de la source SIASP et ont été publiés dans l'édition 2020 du Rapport annuel sur l'état de la Fonction Publique ; les chiffres publiés dans le bilan social du ministère des Armées 2019 diffèrent de ces chiffres en raison de différences de concepts et de périmètres pris en référence.

• FPE (Fonction Publique d'État) : un des trois versants de la fonction publique avec la FPT (territoriale) et la FPH (hospitalière). Elle est composée des effectifs des ministères et ceux des Établissements Publics à caractère Administratif (EPA) nationaux comme le CNRS, le CROUS, Pôle-Emploi, etc. ou, dans le cadre du ministère des Armées, la CNMSS, le musée de l'Armée, etc. • Catégories hiérarchiques A, B et C : pour les civils, c'est la définition commune à la fonction publique qui prévaut.

• L'appellation des ministères renvoie à la nomenclature d'exécution de la loi de finance initiale de l'année. Les effectifs du budget annexe des publications officielles et de l'information administrative sont décomptés avec ceux des services du Premier ministre. Les effectifs du budget annexe de contrôle et exploitation aériens sont décomptés avec ceux du ministère de l'Écologie, du Développement durable, des Transports et du Logement.

BIBLIOGRAPHIE


Jean-Marc Dienot

Investigations of electromagnetic behavior and interaction of motion control electronics devices

Keywords: electromagnetic noise, thermal impact, radiated immunity, programmable chips, driver, PCB couplings

come   L'archive ouverte pluridisciplinaire

Introduction

The impacts of real physical environment, as temperature, humidity or reliability for conventional EMC behavior of modern hybrid electronics modules are non negligible. It is important actually to estimate the realistic impact of external temperature on emissions and susceptibility cases of electronic devices [START_REF] Weber | EMI couplings from automotive traction systems[END_REF] [START_REF] Hoad | Trends in EM susceptibility of IT equipment[END_REF]. An aggressive external quasi-static temperature, with high values as 150°-200°C, can be inherently generated in an electronic transport architecture, either by motion thermal devices or by high power chip and radiators system [START_REF]Technological Issues of future integrated power module for electrical traction[END_REF]. Elsewhere, the most thermal sensitive chips used in these power electronic modules are the control electronics devices including programmable driver technology [START_REF] Murari | Smart power Ics, Technologies and applications, 2 nd Edition[END_REF] [START_REF] Hoene | Simulating electromagnetic interactions in high power density inverters[END_REF]. With actual stateof-the art of radiated EMC characterizations, both emission and immunity investigations can be performed over PCB and integrated circuits with near-field probes sets guided by a motorized scan table and/or TEM cells [START_REF] Slattery | Near-field measurements of VLSI devices[END_REF] [START_REF]Electromagnetic Compatibility measurements procedures for radiated emission measurements, 150 kHz to 1 GHZ, TEM Cell[END_REF]. In these two cases, often dedicated PCB's are especially designed, inherently for TEM cell to comply with Standardized Cell Aperture (10cm*10cm), also to separate inside/outer electromagnetic sources and victims [START_REF] Muccioli | Investigations of the theoretical basis for using a 1 GHz TEM cell to evaluate the radiated emissions from integrated circuits[END_REF]. To accede to parametric thermal characterization, some modifications of these radiated test set-ups, with a combination of warming plate solution, up to 250°C and spatial on-board temperature measurements are presented. We start from reference behavior of gate devices and pro-grammable device at ambient temperature and with failure's criteria's representative of the device electronic activity [START_REF]Characterization of integrated circuit electromagnetic immunity[END_REF]. Then, we focus on PWM pattern characteristics in both time-domain and frequency domain, which is representative of the immunity compliance cases, with potential bad effects on motion control. Then, with combining physical and electrical modeling methodology, some electrical parameters, models and schematics are proposed, developed and refined to start global modeling approach of this characteristics and help understandings of these new real multi-physics EMC behavior at device and PCB levels.

New Thermos-EM experimental method

Electromagnetic characterizations for devices and circuits

Electrical E-Field and magnetic H-field are the two components of global electromagnetic waves and energy, representative of high-speed and high-level switching activity in integrated and hybrid actual devices. As shown in figure 1, the measurement and injections of these two components of the complete electromagnetic field can be realized over different areas of the PCB and the circuit, with a dedicated probes set like H-spires and E-dipoles associated to a scan table system [START_REF] Bolomey | Introduction to near-field techniques for EMC applications: state of the art and prospectives[END_REF]. As actual near-field electromagnetic behavior of PCB's and Integrated circuits cover a wide band of frequency, from 1 MHz to 1~3GHz, dedicated electromagnetic probes fabricated with high-frequency semi-rigid coaxial cable, represented in figure 1, are suitable and necessary to accede to the upper range of frequency spectrum. Characterization resolutions are driven by a 0.3mm diameter for H-spire, 1cm length for E-probe [START_REF] Bernard | Développement des bancs d'experimentations THERMOS EM&IMPRO[END_REF].

Complementary electromagnetic characterizations on PCB's and integrated circuits are performed with Transverse Electrical-Magnetic Mode cell, also commonly called Crawford TEM cell. It can be used from 1MHz up to 10GHz, at PCB and Integrated Circuits (IC) levels [START_REF]Electromagnetic Compatibility measurements procedures for radiated emission measurements, 150 kHz to 1 GHZ, TEM Cell[END_REF][8] [START_REF]Characterization of integrated circuit electromagnetic immunity[END_REF], as a well-suited alternative to large size experimental equipment for conventional radiated characterization. It allows also pertinent solutions for selective electromagnetic characterization of single electronic device enclosed in the shielded cell environment. For this, specific Printed Circuit Boards (PCB) have to be designed for TEM cell solution, with the dimension of the aperture cell, the completion of shielding quality of the system with a one-face metallic plane, and the choice of inside components to be coupled with TEM Cell Septum. Inside-cell electromagnetic waves, in TEM mode propagation, are collected or injected on one port of the cell with the RF generator, the other port is loaded by a 50 Ohms HF impedance.

With these two type of electromagnetic equipment, both emission and immunity cases can be alternatively performed : for emission and radiated noises, highfrequency receiver or spectrum analyzer are connected to the near-field probes outputs and the TEM cell ports; for immunity cases, replacing receivers by wide-band amplifier and versatile waveforms generators allow harmonics and transient aggression experiments.

EM set-up's completed with thermal solutions

For the interest of temperature influence on the electromagnetic disturbance effects of an active device, new experiment techniques have been developed to completed both near-field and TEM characterizations. For near-field subject, the special design of a "XYZ" Scan Table has been performed in Z direction to allow the insertion of a directive warming plate, which volume occupancy is about 22cmx30cmx12cm, below the arm fixture. Z position and reference can be adjusted and hold, in respect to the test PCB minimum distance (1.5cm) to provide efficient heating avoiding destructive burning contacts. For dealing with both thermal measurements in association with near-field measurements, a thermal contact probe, with a touch end of 0.1mm diameter and a thin body support of 8cm long, has been coupled on the same scan table moving fixture, with a slightly different Z-axis reference than EM probe. When moving and positioning the measurement point, thermal probe stays in contact with the body of the electric element as near-field probes are just over, as shown in figure 2. Electromagnetic responses are collected in frequency domain, as H or E levels in dB. Temperature responses, with a more long time constant and variation, are collected by sampling digital acquisition system and the global set-up is controlled by PC [START_REF] Bernard | Développement des bancs d'experimentations THERMOS EM&IMPRO[END_REF].

For Transverse Electrical-Magnetic mode cell configurations, some new solutions have also been developed to include the thermal experiment parameters [START_REF] Dienot | Experimental thermal impacts on EMC characteristics with new near-field measurements approach[END_REF]. The first modification proposed is to realize the placement of the PCB test fixed with the TEM cell fixture over the heat zones of the warming plate. To achieve this, the TEM cell with its test PCB has to be maintained over maximum 4 cm of the warming plate to keep efficient heating action, with a special fixture arm. The constraints are to report electrical and thermal connections very close to the PCB, and to go at the control-measurement system with a 90° angle so as to not touch the hot warming plate, as represented in figure 5. The second development concerns the real acquisition of the temperature aggression value on board. The TEM cell configuration don't comply with an external contact thermal probe solution. To overtaking this, we propose the integration of thermal resistors in Surface Mounted Device (SMD) or Thin Film technology. The four wires connection for each probe must be "electrically length" and optimized to avoid more unwanted radiated noise or parasitic couplings, even if thermal signal is a low-frequency excited one. Inside-cell probes are connected on the outer with through via-hole techniques, as visible in figure 6.

Harmonic or pulse injection

On board temperature measure

Electromagnetic aggression Thermal aggression

Warming plate

Application on control circuit boards.

Description of the control test boards

As control circuit are used to drive power converter boards designed for wellsuited motion or energy supply function [START_REF] Murari | Smart power Ics, Technologies and applications, 2 nd Edition[END_REF], we want mainly to focus on their real EMC behavior with non-ambient temperature environment. PCB prototypes have been designed for this, using programmable integrated circuits type for motion control embedded applications with mainly Pulse Width Modulation(PWM) patterns controlled by versatile cyclic rates input command. Example layout is on figure 5, including thermal scan. Signal output is delivered on internal capacitance load (500fF) in parallel to external capacitance load(1pf). Electromagnetic disturbances issued from these boards are observed or attended in the range of 1MHz-1GHz. Immunity cases can occur with a minus 10dBm of aggression levels, typical values for harmonic case and low-voltage circuits [START_REF] Chahine | Modelling of Integrated circuit susceptibility to conducted electromagnetic disturbances using neural network theory[END_REF].

Emission case results

For emission, experimental studies have covered different digital electronics architectures, from elementary digital chip [START_REF] Dienot | Characterization and simulation of digital device electromagnetic noise under non-ambient temperature conditions[END_REF] to complex integrated chips [START_REF] Bendhia | Thermal Influence on 16 bits Micro controller Emission[END_REF]. All of them show significant shifts of radiated global noise of PCB including active chips in normal activity, and different noise and energy frequency repartition than usual emission characterizations at ambient temperature. To resume the most recent results, concerning the activity of a CPLD/FPGA circuit on a PCB, H-field and Efield have been collected up to 1GHz, as a good image of radiated noise and integrity signal responses. Figure 8, with a pertinent 3D view on both frequency repartition, fields amplitude and steps of temperature values, show the realimpact of temperature aggression on emission behavior of this device. Starting from a maximum peak level at 90 MHz, then at 120MHz, 178MHz, 240MHZ, 320MHz with 5 to 25 dB lower levels, all this for the reference temperature of 20°C, main significant spectra' shifts are observed when temperature is forced from 24°C to 120°C. Finally, important conclusion is that H-field is quite twice or three times more temperature sensitive than E-field, especially over the active device package. This is due to the IC used for these studies which is mainly current switching driven. With the aid of complementary modeling work [START_REF] Dienot | Characterization and simulation of digital device electromagnetic noise under non-ambient temperature conditions[END_REF], it has been pointed out that important contributors for the explication of temperature influence are globally the active chip for 75%, the ground-supply network for 10% and EM coupling factors with antennas for 15%.

Temperature measurement points

Electromagnetic aggression points

Immunity case results

Main phenomena's observed for susceptibility aspects are generally, for digital mode device, the modifications of thresholds levels and switching times. This is due to the couplings of external parasitic signals on supply and I/O ports. For hard aggressions cases, temporary or definitive loss of function can be observed [START_REF] Bendhia | Thermal Influence on 16 bits Micro controller Emission[END_REF]. In the application example, we combine the aggression of dual thermalelectromagnetic disturbances and its impact on PWM pattern output. In figure 6, on a control driver integrated circuit based on a FPGA (MACH4 from Lattice), instable behavior among different aggressions waveforms characteristics can be observed, using initially threshold reset level as a criteria default. Then, to complete this, the wave aggression impact with temperature is performed. The observation criteria is now centered on the shifts in switching current spectrum and the PWM pattern frequency signature. A significant results is reported in figure 8 : relative global amplitude of waveform of current switching device, IVDD, is reported with significant harmonic frequency impact couplings, at ambient temperature, in the 100 MHz-800MHz zone. This variation is enforced when increasing, step by step, the external temperature and so the device package measured temperature. This indicates and confirms the modifications of switching current performances, and more significantly, an impact of high temperature as extra external energy conditions on electrical behavior of the programmable chip under electromagnetic pressure.

Command PCB with versatile PWM Pattern in FPGA IC

Conclusions

With these works, new modified EMC characterization approach is in progress, for pertinent real-case EMC investigations. New test benches and dedicated PCB have been developed, and dual Thermos-EM campaign has started, with a focus on command circuit behavior. With some applications on this type of device, some electromagnetic interactions and responses have been reviewed to explain the effect of external temperature on basic EMC characteristics, emission and susceptibility, of digital device. Most interesting conclusions concerns the link and the influence of thermal energy on high-speed and radiated behavior of the switching current of the driver circuit.

Figure 1 .

 1 Figure 1. Motorized scan table with its HF wide-band electrical and magnetical probes dedicated for near-field EMC characterization on integrated circuit and PCB's.

Figure 2 .Figure 3 .Figure 4 .

 234 Figure 2. 2D view of the experimental dual thermal-near field set-up configuration for immunity.

Figure 5 .Figure 6 .

 56 Figure 5. Example of layer upper view of control circuit PCB and configuration for dual Thermos-EM characterization in TEM cell.

Figure 7 .Figure 8 .

 78 Figure 7. Results of immunity behavior of a programmable driver in harmonic and transient modes


Despoina Stefanou

Madeleine Voga

Hélène Giraudo

Exploring morphological connexions within the mental lexicon: evidence from speakers from diverse educational backgrounds

Introduction

The role of morphology in word perception has been studied through various protoc ols and settings, among which lexical access protocols, often conducted with the masked priming technique. These studies demonstrate the existence and the role of morphological connections within the mental lexicon (e.g., [START_REF] Feldman | Early Morphological Processing is Morpho-semantic and not simply Morpho-orthographic: An exception to form-then-meaning accounts of word recognition[END_REF], while the theoretical specification of what is implied by the term "mental lexicon" is currently the subject of much debate. In what follows, we take the theoretical option of a mental lexicon in which individual words are represented and form connexions with each other based on their systematic common characteristics (form and/or meaning). The experimental evidence accumulated until now clearly shows that morphologically related words tend to facilitate processing of each other, in the same language (e.g., [START_REF] Drews | Morphological and orthographic similarity in visual word recognition[END_REF] but also through languages, i.e., in cross-linguistic priming, giving rise to language co-activation effects (e.g., [START_REF] Mulder | Effects of primary and secondary morphological family size in monolingual and bilingual word processing[END_REF]. Without going into detail here, we will admit that experimental research, despite some methodological criticisms, has the potential of enriching our understanding of how language in general, and morphology in particular, work [START_REF] Baayen | Experimental and psycholinguistic approaches[END_REF]. This is precisely why the role of some facts about language and its users should make the object of intensive research. An important issue is about the fact that, contrary to the popular opinion relative to generative linguistics "idealized speaker", all speakers are not equivalent with respect to language use, and possibly to language representation. In the case of masked priming protocols tapping into morphological processes, the variable "speaker" is not often considered, or, to put it in another way, it is a special profile of speaker which is taken into account. The participants tested in most published literature tend to be highly educated students of which the majority is female, very often attending philological curricula. However, it is widely admitted that "differences in individual language users may lead to remarkably different use of the possibilities offered by the grammar of 'the language'" (Baayen 2014: 100). These can be sex differences [START_REF] Kimura | Sex and Cognition[END_REF], for a comparison between the verbal skills of men and women), or differences related to speakers' experience with language, leading to the study of variables such as the "vocabulary size" (e.g., [START_REF] Mainz | Vocabulary Knowledge Predicts Lexical Processing: Evidence from a Group of Participants with Diverse Educational Backgrounds[END_REF] or the exposure to print. Differences between speakers can also be related to exposure to heritage language and its use.

Our study

Given the above, we sought to combine the questioning related to morphological processing and representation, to that related to speakers' background, i.e., speakers/readers with diverse educational backgrounds. This questioning arises as a result of previous findings that will be briefly presented below.

Previous findings on the -isme/-iste and -isme/-ique connexion

The protocol and results we briefly describe in this section were part of a study [START_REF] Voga | Connecting lexica in bilingual cross-script morphological processing: base and series effects in language co -activation[END_REF] designed to compare bilingual and monolingual processing, in which bilingual participants (Exp. 1a) were the "prototypical student group", whereas monolinguals (Exp. 1b) were students in the public technical school of Thessaloniki. The experiment was designed to be "transposable" from a bilingual to a mono lingual group. All the experiments presented here ( §2.1 and §2.2) used the masked priming technique with a 48ms SOA (Stimulus Onset Asynchrony), which is a prime duration that prevents the participant from consciously processing the prime, and which generally leads to morphological priming effects (and identity ones1 ). The task was lexical decision (LD, YES, it is a word/NO, it is not). The stimuli tested in these experiments were selected to activate the morphological connexion between -isme and -iste (cf. table 1, a and b), two related morphemes that exist in Greek as well as in French, and to compare it with the -isme/-ique connexion (cf. The pattern of results found for the bilingual group (i.e., university students having Greek as L1 and having spent some years in France) and for the technical school group were quite different. The bilingual group (N=29) exhibited translation and morphological priming effects (83ms and 49ms respectively) which occurred simultaneously for cognates Greekbase. This result extends the cognate effect to complex primes and targets and demonstrate s that there is a cross-language connexion between -isme and -ique. Our bilingual speakers showed no effect for non-cognates, which is not surprising, given that in most cases the morphological effect is concomitant to the cognate (translation) effect. As for c ondition a), i.e., the 0-base cognates (in the L1 of our subjects, since plural-is not a stem in Greek), it induces morphological priming (85ms) but no translation priming. This result highlights two facts: i) that the contact with a whole word (lexical) entry is necessary to trigger translation effects: morphological segments such as πλουραλ-/plural-/ do not constitute entry units f or the L1 lexicon of our subjects, and as such they cannot contact the corresponding lexical entry (Corbin, 1987: 457-459, 'ils ne sont les produits d'aucune Règle de Construction de Mot'). Psycho-linguistically speaking, 0-base cognates should have an intermediate status between the constructed and the non-constructed word; ii) that overlapping (phonologic al) form between prime and target does not suffice to induce cross-language effects, confirming that masked priming cross-language effects are not simply form priming effects. The (unpublished) results of Exp. 1b (27 participants studying in the public technical school, age: 18-23) did not show any significant morphological priming, which is surprising, given that both primes and targets were in their L1. Only one condition, the identity condition of Cognates Greek-base -ique (Table 1, c) managed to yield a 52ms significant effect. Many questions arise from this finding: is it because our monolingual participants do not know these words, for instance the Cognates 0-base -iste words, which are not very frequent and cannot be connected to any morphological family of Greek words? Or would it be because they simply did not have the time to read the prime words, which were all quite lengthy (appr. 10 letters long)? If this were the case, how can we explain the fact that no priming effect is found for the morphological condition of Cognates Greek-base, despite the robust identity effect found for this type of word? In sum, while L2 speakers exhibit priming effects in most of cross-language conditions (Exp. 1a), monolingual speakers do not perceive morphological relations in their own L1, a fact that could imply qualitative differences within the processing system, depending on the type of speaker. Such an account recalls that claiming the inability of L2 learners to rely on the computational component (e.g., Clahs en, Felser, Neubauer, Sato & Silva, 2010) and their inclination to list forms in the lexicon rather than creating them with stems and affixes, as native speakers do.

Evidence from groups of speakers from diverse educational backgrounds

Given the above, it seemed crucial to us to repeat the experiment 1a with speakers of another language, we therefore ran the experiment with participants who are students in a "Second chance school" (age: 17-24) and have French as their "school and everyday language". To do so, we had to make the necessary adjustments, mainly the suppression of condition b (Table 1), given that these words (generally) do not exist in French. Another difference was that the morphological prime for the c) condition was the base, ex. monarchie for the target monarchique. Excepted these two differences, exp.2 was identical to Exp. 1a ( §2.1), in its monolingual French version, i.e., both primes and targets were in French. Mos t of our participants in this experiment had French as their 'school language', but in most cases, French was not the "home language". We do not have the space here to provide a detailed description of this population, we wish however to underline that most participants had a "terminale" class level (i.e., the high school degree/ A level year), with some of them declaring a level equivalent to that of "seconde" (i.e., 11/10th grade, before integrating the school). Two groups were created, based on a double assessment of participants linguistic competence: her/his score in a French vocabulary test and the proportion of errors in the lexical decision protocol. Table 2 summarizes the results of the group that performed better (less than 22% error rate in the LD task). What our results show is that these participants do not process the -ique and the -iste derivations (targets) in the same way. In Exp. 2, the -isme/-iste induces no priming, whereas for -ique conditions, robust identity and morphological (base) priming are found, showing the strength of the connexion between the base and its derivation. In the discussion, these results will be compared to those of Exp. 1a and 1b, underlining the influence of the variable "type of speaker", as well as its effect in terms of strength of the connexions between words (and their parts). Our results will be interpreted with respect to what [START_REF] Mulder | Effects of primary and secondary morphological family size in monolingual and bilingual word processing[END_REF] call the "larger chain of morphological relations", including series effects [START_REF] Dal Maso | On the interplay between family and series effects in morphological masked priming[END_REF]. With respect to the discussion related to multilingualism, they fit well the view of the mental lexicon as a unified lexico-semantic architecture [START_REF] Schoonbaert | Semantic and translation priming from a first language to a second and back: Making sense of the findings[END_REF][START_REF] Voga | Lexical co-activation with prefixed cognates and non-cognates: evidence from cross-script masked priming[END_REF].

  table 1, c).

	Targets a) Cognates 0-base -iste b) Noncognates Greek-base -iste c) Cognates Greek-base -ique	pluraliste 10.3 lett. 1.81 occ./m. individualiste 10.22 lett. 2.06 occ./m. monarchique 10.4 lett. 4.5 occ./m.	Primes Translation/ Identity πλουραλιστής /pluralistί s/ 'pluralist' ατομικιστής /atomikistί s/ 'atomist' μοναρχικός /monarhikόs/ 'monarchist'	Phon ovrl. 95% πλουραλισμός Morphological /pluralismόs/ (75%) -ατομικισμός /atomikismόs/ (-) 85% μοναρχισμός /monarhismόs/ (55%)	Unrelated ξεχείλισμα 'overflowing' αστεροσκοπείο 'observatory' αφαίρεση 'substraction'

Table

1

. Stimuli sample (number of letters and lexical frequency) and phonological overlap for the nine experimental conditions (3 priming conditions: translation, morphological, unrelated x three types of target).

Table 2 .

 2 Reaction times (in milliseconds) and percentages of errors for the lexical decisions to the two types of targets in the three priming conditions (identity, morphological and unrelated). Net priming effects are given relative to the unrelated condition and statistically significant priming effects (identity and morphological) are marked with an asterisk.

	Words Targets -iste, ex. pluraliste -ique,ex. monarchique	Primes Identity (Id.) RT Err. 1060 14,7 993 6,9	Morph. (M) RT Err. 1060 13,1 1023 9,7	Unrel. (U) RT Err. 1056 14,4 1059 6,6	Net prim. effect U-Id. U -Μ 0 -4 66* 36*

Please note that the identity effect under monolingual conditions corresponds to a translation effect under bilingual conditions, given that it is the same word which is tested; in Exp. 1a the priming direction is from L1 to L2 (cross-language cross-script priming, given that Greek a nd French have different alphabets), and in Exp. 1b the priming direction is from L1 to L1.


Jean-Yves Welschinger

profonds sur les surfaces r egl ees.

Introduction

Soit (X; J) une vari et e presque-complexe de classe C 1 de dimension r eelle 4. Une structure r eelle sur (X; J) est une involution c X de classe C 1 dont la di erentielle anti-commute avec J. L'ensemble des points xes de c X est alors une sous-vari et e de dimension deux de X not ee RX, et appel ee partie r eelle de X (cette terminologie provient de la g eom etrie alg ebrique r eelle).

Une J-courbe r eelle de X est un plongement dans X d'une surface de Riemann S munie d'une structure r eelle c S , o u d'une part le plongement commute avec les involutions c X et c S , et d'autre part sa di erentielle commute avec les structures presque-complexes de S et X. Dans ce cas, le plongement restreint a RS est a image dans RX et un th eor eme de Harnack (v. 15] par exemple) a rme que le nombre de composantes connexes de RS ne peut pas être sup erieur a g + o u g est le genre de S, et le nombre de composantes connexes de S. La J-courbe r eelle S est alors dite maximale, ou M-courbe (resp. (M r)-courbe), si le nombre de composantes connexes de RS co ncide avec g + (resp. vaut g + r).

Par ailleurs, la J-courbe r eelle S est dite s eparante s'il existe une partie S + de S, bord ee par RS, telle que S + c S (S + ) = S et S + \c S (S + ) = RS. Une telle partie S + (qui est canoniquement orient ee, l'orientation provenant de la structure presque-complexe de S) induit une orientation sur RS appel ee orientation complexe. Lorsque S est connexe, sa partie r eelle RS poss ede exactement deux orientations complexes qui sont oppos ees. Notons que les surfaces de Riemann r eelles maximales sont toujours s eparantes.

Lorsque S est une J-courbe r eelle s eparante, la topologie du couple (RX , RS) est soumise a des restrictions. Les premi eres restrictions ont et e donn ees par une congruence d'Arnol'd 1] et une formule de Rokhlin 10], ces restrictions s'appliquent aux courbes alg ebriques r eelles s eparantes non-singuli eres de degr es pairs de C P 2 . Depuis, plusieurs r esultats sont apparus pour les courbes de C P 2 , de l'hyperbolo de ou de surfaces plus g en erales (v. 8], 16], 6], 7], 14]) et notament, S.

Yu. Orevkov 9] a obtenu r ecement une nouvelle formule d'orientations complexes pour les courbes s eparantes a nids profonds de C P 2 .

Dans cet article sont pr esent ees une g en eralisation de la formule d'Orevkov aux courbes a nids profonds sur les surfaces r egl ees, ainsi que des in egalit es apportant des restrictions sur la position de ces courbes dans le br e. Le x1 contient des d e nitions pr eliminaires, en particulier celles des surfaces r egl ees en question et des courbes a nids profonds. Dans le x2 sont expos es les r esultats li es a la formule d'Orevkov, ainsi que des applications de celle-ci, par exemple pour des courbes a deux nids de C P 2 . En n, le x3 contient les enonc es et d emonstrations des in egalit es, ainsi qu'une application de celles-ci.

Remerciement :

Ce travail a et e e ectu e sous la direction de V. Kharlamov. Je lui en suis vivement reconnaissant.

Notations : jAj: cardinal de l'ensemble A. b i (T ) : i eme nombre de Betti de la vari et e T .

1 D e nitions pr eliminaires.

1.1 Les surfaces r egl ees.

Soient X une vari et e presque-complexe connexe de dimension r eelle 4 et B une surface de Riemann r eelle s eparante. Supposons qu'il existe une application J-holomorphe p : X ! B de classe C 1 , ainsi qu'une structure r eelle c X sur X telles que c X = c B . Supposons de plus que les bres correspondant aux valeurs r eguli eres de p sont des sph eres J-holomorphes, que les valeurs singuli eres de p sont r eelles (c'est-a-dire appartiennent a RB), et que les bres singuli eres associ ees sont constitu ees de deux sph eres J-holomorphes r eelles s'intersectant transversalement en un point. La vari et e X est alors appel ee surface r egl ee de base B, et dans toute la suite de cet article, X sera suppos e être une surface r egl ee qui poss ede une J-section r eelle e, c'est-a-dire une section J-holomorphe invariante par c X (cette hypoth ese suppl ementaire n'est pas automatique, comme le montre l'exemple donn e en annexe B).

Munissons RB d'une orientation complexe et e R de l'orientation induite. Si C est une courbe orient ee dans une composante connexe de RX situ ee au-dessus d'une composante B 0 de RB, alors le degr e de la projection pj C : C ! B 0 est appel e nombre d'enroulement de C et not e n(C).

Notons n le nombre de valeurs singuli eres de p, et v i (i 2 f1; : : :; ng) les composantes des bres singuli eres qui sont disjointes de e (l'intersection de e avec chaque bre est r eduite a un point qui est distinct de l' eventuel point singulier, ce qui justi e l'existence de v i ). La famille ( v]; e]; v 1 ]; : : :; v n ]), o u v est une bre non-singuli ere de X, forme une base du r eseau H 2 (X; Z ) que nous xons, de sorte que les el ements de H 2 (X; Z ) seront identi es a des el ements de Z 2+n .

Remarquons que les courbes v i satisfont v i v i = 1. La surface obtenue apr es contraction de ces courbes est une surface r egl ee sans bre singuli ere, et les composantes connexes de sa partie r eelle sont alors des tores ou des bouteilles de Klein. Remarquons egalement qu'au-dessus de chaque composante de RB est situ ee une et une seule composante de RX. (Ceci signi e que le nombre de composantes connexes de RX est maximal : certaines surfaces r egl ees ont une partie r eelle poss edant moins de composantes connexes que RB, mais ces surfaces ne poss edent alors pas de J-section r eelles, comme c'est le cas dans l'exemple donn e en annexe B).

Les termes et

Une J-courbe r eelle A de X, de classe (a; b; a 1 ; : : :; a n ) dans H 2 (X; Z ) (muni de la base d e nie au x1.1), est dite a nids profonds si toute bre r eelle intersecte RA en au moins b 2 points. Les composantes de RA qui sont bord ees par des disques de RX sont appel ees ovales. La J-courbe r eelle a nids profonds A est dite standard si pour chaque composante de RX sur laquelle RA n'a pas d'ovale, les bres r eelles associ ees interectent RA en exactement b points. (Cette hypoth ese suppl ementaire va permettre de simpli er les enonc es et d emonstrations qui suivent.)

Soit donc A une J-courbe r eelle s eparante connexe a nids profonds standard de X, de classe (a; b; a 1 ; : : :; a n ). Munissons RA d'une orientation complexe provenant d'une partie A + de A n RA.

Remarquons que si n = 0, quitte a e ectuer une chirurgie sur la courbe A et a modi er la structure presque-complexe de X (de la même fa con que dans 9], proposition 3:5:1), on peut supposer que chaque ovale de RA n'est tangent aux bres qu'en deux points, et que les autres composantes de RA sont transverses aux bres. De plus, quitte a e ectuer une isotopie le long des bres de X, on peut supposer que les ovales de RA sont disjoints de e R . La forme de la courbe RA ainsi obtenue est une forme normale pour les J-courbes r eelles a nids profonds de X.

Notons R l'ensemble des points en lesquels RA est tangente aux bres de En chaque point d'intersection x de RA avec ce segment s t , l'espace tangent T x RX priv e de T x s t est constitu e de deux demi-plans. Posons (x) = +1 si (x) et un vecteur tangent de RA en x sont situ es dans un même demi-plan, et (x) = 1 sinon. Notons alors = P x (x), la somme etant prise sur l'ensemble des points x 2 RA \ t s t . En outre, le nombre de tels points x de RA + de signe positif (resp. n egatif) est not e + + (resp. + ), et de même, le nombre de tels points x de RA de signe positif (resp. n egatif) est not e (resp. + ), de sorte que + = + + + et = + .

Remarque : Tous ces termes ne d ependent clairement que du triplet (RX; RA; e R ) a isotopie \ br ee" de RX pr es, c'est-a-dire a isotopie de RX qui commute avec la projection sur la base B.

Les derniers termes + + ; + ; et + n'interviendront que dans la seconde partie de cet article (au x3). Pour ce qui est des termes + et , on etudie en annexe A leur invariance par isotopie de RX quelconque, pr eservant e R .

1.3 Les cycles A .

L'intersection de A avec la restriction du br e X au-dessus de RB est constitu ee de RA, ainsi que d'une r eunion de cercles O t (1 t T) invariants par c X , qui seront appel es ovales imaginaires. Chacun de ces ovales est stable par c X et intersecte RX en deux points \cons ecutifs" de l'ensemble R, reli es par le segment s t (d e ni au x1.2, on utilise ici le fait que A est standard). Notons A + + (resp. A + ) la partie de A + qui se projette sur B + (resp. sur B = c B (B + )). Le bord des surfaces A + + c(A + + ), A + c(A + ) est la r eunion des ovales O t .

On peut supposer que les ovales O t ne rencontrent pas e. Pour chacun de ces ovales, il existe un disque D t de X au-dessus de p(O t ), bord e par cet ovale, disjoint de e et qui intersecte RX en le segment s t . De plus, ce disque peut être choisi en sorte qu'il n'a aucun espace tangent stable par J (c'est un disque totalement r eel).

Notons A + (resp. A ) la somme de A + + c(A + + ) (resp. A + c(A + )) et de ces disques (resp. de leurs oppos es), en les munissant d'orientations telles que A + et A soient des 2-cycles entiers de X.

+ n a = 1 2 b ( (B) n ) + g + 1 2 n X i=1 a i (a i 1)
Ce th eor eme admet les corollaires suivants :

Corollaire 2.2 Sous les hypoth eses et notations du th eor eme 2.1, on a les encadrements :

n je R \ RA j 1 2 n X i=1 a i (a i 1) + 1 2 b ( (B) + n ) + g n (a + b je R \ RA j) En particulier, si e A = 0, = 1 2 b ( (B) + n ) + g + 1 2 n X i=1
a i (a i 1):

Le th eor eme 2.1 et le corollaire 2.2 tiennent compte de la position relative de la courbe RA avec la section e R , voire de la position par rapport aux bres (v. annexe A). Si B est de genre nul, = 1, et A est une courbe obtenue a partir d'une courbe alg ebrique r eelle s eparante non-singuli ere de C P 2 telle que RA poss ede un nid profond (apr es eclatement d'un point r eel au centre du nid), alors e A = 0 et les formules donn ees par le corollaire 2.2 sont les formules d'Orevkov [START_REF] Mishachev | Complex orientations of plane M-curves of odd degree[END_REF], th eor eme 1.5A).

Les corollaires suivants sont des r esultats topologiques : ils ne tiennent compte que de a, b, a i et de la courbe RA a isotopie de RX pr es: Corollaire 2.3 Sous les hypoth eses et notations du th eor eme 2.1, on a :

n ( + g + + + ) + n + ( g + ) = 1 2 n + n (2 (B) 2a b) 1 2 (B)(b 2) + 1 2 n X i=1 n + a i (a i 1) + n a + i (a + i 1) = 1 2 b ( (B) + n ) + g n e R ] RA ] + 1 2 n X i=1 a i (a i 1) mod (2n )
Corollaire 2.4 Sous les hypoth eses et notations du th eor eme 2.1, on a la congruence :

T + + + = b (a + b ) n X i=1 a + i a i + n(RA) e R

D emonstration du corollaire 2.4 :

En sommant les egalit es donn ees par le th eor eme 2.1, on obtient :

+ + = 1 2 (B)b 1 2 n + b+ 1 2 n(RA)b + 1 2 n X i=1 a + i (a + i 1)+a i (a i 1) +g(A) 1 T n + a+n(RA)a Or g(A) = (a + 2 b)(b 1) 1 2 (B)b + 1 P n
i=1 a i (a i 1). L' egalit e se r e ecrit donc :

T + + + = (a + 2 b)(b 1) 1 2 n + b 1 2 b n(RA) n + a n X i=1 a i (a i 1) + 1 2 n X i=1 a + i (a + i 1) + a i (a i 1) + n(RA) a + b = (a + 2 b)b 1 2 b n(RA) n X i=1 a + i a i + n(RA) a + b = (a + b )b n X i=1 a + i a i + n(RA) e R ] RA ] mod (2n(RA)):
2.2 D emonstration du th eor eme 2.1

Le th eor eme 2.1 repose sur le lemme suivant :

Lemme 2.5 Les cycles A + , A satisfont la formule d'adjonction :

A ] A ] = c 1 (X) A ] (A ) 2
Une formule analogue est d ej a apparue dans 5], 2]. Nous pr esentons toutefois ici une d emonstration :

D emonstration :

Choisissons un champ de vecteurs non nuls tangents aux ovales O t , et un champ normal a ces ovales et tangent aux disques D t . Ces champs sont prolong es aux cycles A + , A , de sorte qu'ils soient tangents aux disques D t , que soit tangent aux J-courbes et normal a ces J-courbes. Ce prolongement est choisi de sorte que les champs n'aient pas de z eros communs et soient lin eairement ind ependants sur C en dehors de leurs z eros. Le produit exterieur ^J( ) forme une section du br e vectoriel V 2 TX au-dessus des cycles A + , A , qui s'annule en les points o u un des champs s'annule. Or l'indice d'intersection de cette section avec la section nulle vaut par d e nition c 1 (X) A ]. Cet indice est la somme des contributions des z eros du champs et du champ J( ). Comme l'orientation des cycles sur les J-courbes co ncide avec l'orientation canonique de celles-ci, et que les disques D t sont totalement r eels, on s'aper coit que la contribution du champ est (A ), et celle du champ centre du nid N 1 , on pose i = +1 (resp. + i = +1) si l'ovale x i est homologue (dans le premier groupe d'homologie de C P 2 priv e du centre de cet ovale) a l'ovale ext erieur (resp. a son oppos e), et i = 0 (resp. + i = 0) sinon. En n, notons E (resp. E + ) le nombre d'ovales vides homologues a l'ovale ext erieur du nid N 1 dans le faisceau de droite centr e en x 1 , a l'exterieur du nid N 2 et strictement entre les ovales x 2 et x 4 , et supposons que les ovales sont positionn es comme sur la gure suivante :

J( ) est le nombre normal d'Euler

(A ) = A ] A ] + 2 . La classe de Chern c 1 (X) est duale a ( (B) ) v] + 2 e] P i v i ], et (A ) = 2 2g . D'apr es 2.5, 2a b + (b ) 2 X i (a i ) 2 = ( (B) )b + 2a + 2 b X i a i 2 + 2g 2 ; ce qui se r e ecrit: n a = 1 2 b ( (B) n ) + g + 1 2 P n i=1 a i (
x 1 x 3 x 2 x 4 nid N 1 nid N 2
On a :

2( + + + ) N 1 + ( + ) N 2 + (E E + ) = 2k + 1 (k + 1 + 1) + + 2 + + 4 2r + 2( + ) N 1 + ( + ) N 2 + (E + E ) = 2k 1 (k 1 + 1) + 2 + 4 2r O u 0 r + ; r r et r + + r = r.

D emonstration :

Consid erons le faisceau de coniques centr e en les quatre points x 1 ; : : :x 4 , et eclatons ces quatre points. La surface obtenue est une surface r egl ee X poss edant trois bres singuli eres et dont la base est C P 1 . Attribuons a la base RP 1 du br e RX l'orientation oppos ee de celle induite par l'ovale ext erieur au nid N 1 . Notons + i = +1 (resp. i = +1) si l'ovale x i (i 2 f1; 2; 3; 4g) a un nombre d'enroulement +2 (resp. 2), et + i = 0 (resp. i = 0) sinon (cette d e nition prolonge celle donn ee dans l' enonc e). Choisissons comme section e du br e le diviseur exceptionnel se situant au dessus de x 1 (en particulier = 1), et appliquons le cas d' egalit e du corollaire 2.2. Pour calculer le membre de droite, on s'aper coit que n = 4k 1 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 1, que (S) = 2, que g = k 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 2r avec r + + r = r (r + ; r 0), et en n que fa i j i 2 f1; 2; 3gg = f2k 1 + 2 2 + 2 3 + 1( 1); 2k 1 + 2 2 + 2 4 + 1; 2k 1 + 2 3 + 2 4 + 1( 1)g (ces valeurs d ependent en fait de la position de l'ovale ext erieur au nid N 2 par rapport au faisceau, ce qui explique les termes entre parenth eses). Le membre de gauche se calcule directement, et vaut 2(

) N 1 4k 1 (2 1 1) + 4 2 ( 2 1 ) + 4 3 ( 3 1 ) + 4 4 ( 4 1 ) + (E E ) + ( + ) N 2 + ( 2 + 4 2 1
) (ce qui s'obtient en faisant intervenir les faisceaux de droites centr es en

x 3 et x 4 ).

Corollaire 2.9 Si le sch ema r eel d'une courbe alg ebrique r eelle non-singuli ere maximale de degr e 8 de C P 2 est < 1 t 1 < > t1 < >>, o u est pair et impair, alors son sch ema complexe est : < 1 t 1 < ( 2 + 1) + t ( 2 1) > t1 < ( +1 2 ) + t ( 1 2 ) >> D emonstration : Lemme 2.10 Une courbe satisfaisant les hypoth eses du corollaire 2.9 mais n'ayant pas le sch ema complexe < 1 t 1 < ( 2 + 1) + t ( 2 1) > t1 < ( +1 2 ) + t ( 12 ) >> poss ede n ec essairement quatre ovales dispos es comme sur la gure suivante :

x 1 x 3 x 2 x 4
De plus, les points x 2 et x 4 sont de type , ils s eparent le faisceau de droite centr e en x 1 en deux parties, et l'ovale exterieur ne se situe pas dans la même partie que x 3 .

D emonstration du lemme 2.10 :

Si + est strictement sup erieur a deux, on consid ere le faisceau de droite centr e en un point int erieur a un ovale de type . D'apr es la propri et e d'alternance, les orientations complexes des ovales dans ce faisceau sont altern ees et dans le nid contenant les ovales de type , ce faisceau e ectue forc ement a deux reprises un saut entre deux ovales positifs. Comme il n'y a qu'un ovale exterieur, un de ces deux sauts est de la forme recherch ee. De même, si + est strictement inf erieur a deux, alors d'apr es la formule de Rokhlin [START_REF] Yu | Link theory and oval arrangements of real algebraic curves[END_REF]) + est sup erieur ou egal a trois et en consid erant le faisceau de droite centr e en un point int erieur a un ovale de type , on conclut de la même fa con.

Pour d emontrer la seconde partie du lemme, consid erons le faisceau de coniques centr e en les quatre points x 1 ; : : :; x 4 . D'apr es le th eor eme de Bezout, chaque conique coupe la courbe r eelle en au plus seize points. Par cons equent, les ovales vides autres que x 1 ; : : :; x 4 se situent n ecessairement dans la partie hachur ee :

x 1 x 4 x 2 x 3
En particulier, le faisceau de droites centr e en x 1 rencontre tous les ovales de même type que x 1 entre x 2 et x 4 . Ce nombre d'ovales est donc n ecessairement impair, d'o u le r esultat.

En appliquant a pr esent la proposition 2.8, on en d eduit que si le sch ema complexe de la courbe donn ee par le corollaire 2.9 n'est pas < 1 t 1 < ( 2 + 1) + t ( 2 1) > t1

Construction d'un revêtement double rami e en e A

Notons N + (resp. N ) le nombre de points doubles positifs (resp. n egatifs) de A, et N = N + +N le nombre total de points doubles. Remarquons que si A = A + (resp. A = A ), alors avec les notations du x1.2, N + = + + (resp. N + = ) et N = + (resp. N = + ). Soit e X l' eclatement de X en les N points doubles de A. Supposons a pr esent que les disques D t construits au x1.3 ont et e choisis de sorte qu'ils soient tangents aux bres en chaque point double.

De cette fa con, la transform ee stricte e A de A est une surface de e X ayant pour seules singularit es des plis. La structure presque-complexe J et l'involution c X se rel event en une structure presque-

D emonstration :

On peut supposer que e X n'a pas de bre singuli ere. En e et, en contractant des diviseurs exceptionnels, chaque surface r egl ee se ram ene a une surface sans bre singuli ere. Si le r esultat est d emontr e pour ce type de surfaces, il l'est dans les surfaces r egl ees quelconques pour les cycles e A n'intersectant pas les diviseurs exceptionnels (en relevant les homologies construites). Or, on peut toujours se ramener a ce cas : chaque 2-cycle qui intersecte un diviseur exceptionnel (ici n ec essairement en un nombre pair de points), est homologue a un 2-cycle n'intersectant pas le diviseur exceptionnel moins un multiple (n ec essairement pair ici) du diviseur exceptionnel, l'homologie pouvant être choisie invariante par c e X . En e et, ceci se v eri e localement et provient du fait que c'est le cas dans C P 2 priv e d'un point.

Supposons donc que e

X n'a pas de bre singuli ere, et xons un di eomorphisme entre ( e Xne; c e X ), et un br e vectoriel de rang 2 sur R au-dessus de B, muni d'un endomorphisme involutif c. En particulier, la section nulle de ce br e correspond a une section di erentiable ẽ de e X, stable par c e X , et satisfaisant ẽ e = 0.

Notons alors e H = ftx j t 2 0; 1]; x 2 e Ag, qui est compact si l'on convient que lorsque x 2 e A\e, l'ensemble ftx j t 2 0; 1]g est toute la bre associ ee, compt ee avec multiplicit e. Ce complexe e H est de dimension 3, stable par c, et son bord est constitu e de e A moins un multiple pair de ẽ et la somme des bres passant par les points d'intersection de e avec e A (compt ees avec multiplicit es). Or dans chaque composante de R e X est contenu un nombre pair de telles bres, puisque par hypoth ese

= 2 (B) (A) 2 (R e X ) , et 2 = 2 (R e X ) 1
2 A A. Proposition 3.3 Soit A une J-courbe r eelle s eparante connexe a nids profonds standard de la surface r egl ee X, telle que e A] = 0 2 H 2 ( e X), et R e A] = 0 2 H 1 (R e X). Soit Y le revêtement double construit au x3.1, et 1 E 1 les huit sous-espaces orthogonaux d e nis ci-dessus. Les dimensions de ces sous-espaces sont : Les autres formules d ecoulent des relations suivantes : X nR e S, telles que les adh erences des surfaces p 1 (D i ) de Y associ ees soient orientables. Ici, e S d esigne la r eunion des diviseurs exceptionnels situ es au-dessus des points doubles de A, et notons S = p 1 ( e S). Les adh erences des surfaces p 1 (D i ) seront not ees D i , leurs bords sont des r eunions de cercles, chacun plong e dans une sph ere de S, qui s epare donc cette sph ere en deux demi-sph eres canoniquement orient ees (comme revêtements doubles des diviseurs exceptionnels de e X rami es en deux points).

dim( +1 E + +1 ) = dim( +1 E +1 ) = 0 ; dim( 1 E + 1 ) = 1 ; dim( 1 E 1 ) = N + n + 1; dim( 1 E + +1 ) =
dim( 1 E + +1 ) + dim( 1 E +1 ) + dim( +1 E + 1 ) + dim( +1 E 1 ) + N + n + 2 = b 2 (Y ) dim( 1 E + +1 ) dim( 1 E +1 ) + dim( +1 E + 1 ) dim( +1 E 1 ) N n = (Y ) dim( 1 E + +1 ) dim( 1 E +1 ) dim( +1 E + 1 ) + dim( +1 E 1 ) + N + n = c+ (Y ) dim( 1 E + +1 )+dim( 1 E +1 ) dim( +1 E + 1 ) dim( +1 E 1 ) N n 2 = (Y + ) 2+tr(c + jH 1 (Y ; R) H 3 (Y ; R)) (la
Munissons D i d'une orientation quelconque, et recollons a son bord la r eunion des demi-sph eres (munies de leur orientation canonique) induisant une orientation oppos ee de celle du bord, de fa con a former un cycle entier, dont la classe d'homologie dans H 2 (Y ; R) est not ee i . Le projet e de i sur le sous-espace propre de c associ e a la valeur propre +1 est alors not e i , de sorte que i = 1 2 ( i + c ( i )). Nous allons d e nir une forme quadratique f sur R m , et montrer dans le lemme 3.7 qu'elle correspond a la forme quadratique de Poincar e de H 2 (Y ; R) dans la famille i . Soit s un point double du cycle A et supposons que s joint les composantes D i et D j de R e X , o u 1 i; j m ( eventuelement i = j). Posons s = +1 (resp. s = 1) si les surfaces orient ees D i , D j associ ees induisent une orientation oppos ee (resp. la même orientation) sur le cercle situ e au-dessus de s, bordant D i et D j . D e nissons alors la forme quadratique f s sur R m par f s (x 1 ; : : :; x m ) = 1 2 (x2 i + x 2 j ) + s x i x j . Dans le cas o u le point double s ne borde pas deux composantes D i et D j , mais une composante D i et une composante de R e X n R e S, n'appartenant pas a j D j , on pose f s (x 1 ; : : :; x m ) = 1 2 x 2 i .

En n, remarquons que le champ d e ni au x3.2 s' etend a tout le bord des parties D i , en imposant que sur la partie commune avec R e S, le champ est normal a cette partie et tangent a R e X . On note alors (D i ) la somme des indices des z eros d'un prolongement de a D i tout entier, et la forme quadratique f est d e nie comme la somme des f s o u s d ecrit l'ensemble des points doubles de A, et de la forme diagonale 2 P m i=1 (D i )x 2 i , c'est-a-dire :

f = X s f s 2 m X i=1 (D i )x 2 i
Notons + (f ) (resp. (f )) la dimension maximale d'un sous-espace de R m sur lequel la forme quadratique f associ ee ( = 1) se restreint en une forme d e nie positive (resp. d e nie n egative), et notons 0 (f ) la dimension du noyau de cette forme.

Lemme 3.7 La forme d'intersection de Poincar e de Y dans la famille ( i ) 1 i m est la forme f .

D emonstration :

Rappelons que i = 1 peut se calculer g eom etriquement: le champ J( ) ( est le champ d e ni au x3.3) se rel eve en un champ normal a D i , qui s' etend en un champ normal a i , dont l'indice des z eros vaut 1 sur chaque demi-sph ere, et vaut 2 (D i ) sur D i . En d ecalant ce cycle a l'aide d'un ot associ e a ce champ de vecteurs, on obtient alors un cycle transverse a c ( i ), et dont l'indice d'intersection avec c ( i ) vaut 2 (D i ) auquel s'ajoute deux fois le nombre de points doubles s bordant D i de part et d'autre et pour lesquels s = +1. En sommant ces contributions, on s'aper coit donc que ( i ) 2 vaut exactement f (e i ), o u e i est le i eme vecteur coordonn ee de R m .

Pour e ectuer un calcul g eom etrique de i j avec i 6 = j, on d ecale le cycle i comme pr ec edement, de fa con a le rendre transverse a j . Ainsi, les seuls points d'intersections entre ces deux cycles sont situ es sur les diviseurs de carr e 2 et la somme des indices est exactement la somme des s o u s d ecrit l'ensemble des points doubles bordant D i et D j , ce qui co ncide avec f (e i ; e j ).

R esultat principal.

Th eor eme 3.8 Soit A une J-courbe r eelle s eparante connexe a nids profonds standard de la surface r egl ee X. On a, en conservant les notations de la proposition 3.3, pour 2 f g :

max(0; ~ 0 (f )) + + (f ) 1 4 2N + + 1 + 2 + 2h ( e X; e A) ; max(0; ~ 0 (f )) + (f ) 1 4 1 2 + 2h ( e X; e A) 2N + ; o u ~ 0 (f ) = 0 (f ) 2 dim(H 1 ( e X; e A)) 4g(B) 1
Remarque : Rappelons que N + = + + (resp. N + = ) si A = A + (resp. A = A ). Par ailleurs, lorsque la r eunion des D i n'est pas toute la surface R e

X nR e S, le terme 1 peut être enlev e dans la d e nition de ~ 0 (f ) ; et lorsque la base B est une sph ere, les termes g(B) et dim(H 1 ( e X; e A)) sont nuls.

Pour d emontrer ce th eor eme, nous allons calculer la dimension du sous-espace de H 2 (Y ; R) engendr e par les cycles i , calcul e ectu e dans le lemme 3.10, puis utiliser le lemme 3.7, pour en n conclure.

Commen cons donc par donner deux lemmes pr eliminaires. Rappelons que S = p 1 e S o u e S est la r eunion des diviseurs exceptionnels de e X situ es au-dessus des points doubles de A. L'image des cycles i dans le groupe H 2 (Y; S; R), est r ealis ee par les surfaces D i (i 2 f1; : : :; mg), elle peut donc être consid er ee dans H 2 (Y; S; Z ) et H 2 (Y; S). Lemme

(f )) + + (f ) dim( 1 E + +1 ) max(0; ~ 0 (f )) + (f ) dim( 1 E +1 )
Le th eor eme 3.8 provient alors de la proposition 3.3.

Une application.

Th eor eme 3.11 Soit A une courbe alg ebrique r eelle maximale a nids profonds de classe 8k v]+ holomorphe de carr e n egatif 2k). Supposons que RA poss ede deux composantes homologues a e R . Ces deux composantes s eparent le tore RX en deux cylindres, dont un est divis e en deux moiti es par e R . Supposons que les ovales de RA se situant dans ce dernier cylindre se situent en fait dans une même moiti e.

Alors RA] = 0 2 H 1 (RX; Z ), et en orientant la base de sorte que la composante s eparant les ovales soit de nombre d'enroulement +1, on a : + + 2k + 2 Remarque : Il est facile de voir que d es que k > 1, ce th eor eme fournit des restrictions sur les courbes qui ne sont pas donn ees par les th eor emes pr ec edents. Par exemple, la courbe suivante, bien que satisfaisant au corollaire 2.2, n'existe pas sur X 6 : eR D emonstration du th eor eme 3.11 : Le fait que RA] = 0 2 H 1 (RX; Z ) provient de la proposition 4:1 de 14] (c'est ici qu'on utilise le fait que k est impair).

Appliquons ensuite le th eor eme 3.8 au cycle A + . Notons RX + la moiti e de RX form ee de N disques, o u N est le nombre de points doubles de A + . La courbe poss ede 12k 4 ovales, A + ] = 4k v] + 2 e], 1 = 4 + 2N et 2 = 2N 4k. D'apr es le th eor eme 3.8, on a donc :

(f + ) N + k + 1 1 2 + +
Or la matrice de f + dans la famille associ ee aux N disques est de la forme (a ij ) avec a ii = 1, a ij = 1 2 si ji jj = 1 et a ij = 0 sinon (on utilise ici le fait que la classe caract eristique du revêtement Y au-dessus de R e X est RE] o u E = 2kv + e est donn e par le lemme 3.2). Cette forme est donc d e nie n egative, de sorte que (f + ) = N. D'o u le r esultat.

Remarque nale.

Les r esultats de cet article s'appliquent egalement aux J-courbes a nids profonds poss edant des points r eels multiples ordinaires en dehors des bres singuli eres, puisqu'un eclatement en ces points rend la courbe non-singuli ere et que la surface reste r egl ee. Mieux, nous aurions pu e ectuer des hypoth eses moins fortes sur les surfaces r egl ees, et admettre que les bres singuli eres soient des arbres quelconques de J-sph eres (les enonc es des r esultats auraient alors et e encore plus longs). Il en d ecoule donc que les r esultats s'appliquent egalement a toutes les J-courbes a nids profonds dont les singularit es sont r eelles. Remarquons toutefois que le fait d'être a nids profonds impose de fortes conditions sur la nature de ces singularit es.

Annexes.

A D ependance des termes + et . Soit L une courbe orient ee sur un tore ou une bouteille de Klein muni de sa structure de br e en cercle sur S 1 . On suppose que les composantes non-contractiles de L sont transverses aux bres, que les ovales ne sont tangents aux bres qu'en deux points et que chaque bre ne rencontre au plus qu'un seul ovale, et en n que ces ovales n'intersectent pas la section e R et satisfont la propri et e d'alternance. Pour une telle courbe, on d e nit de la même fa con que dans 1.2 un entier . Cette d e nition utilise la structure de br e de la surface, et le probl eme est de savoir si pour deux courbes L 1 et L 2 isotopes par une isotopie de la surface pr eservant e R , les termes 1 et 2 associ es sont egaux. Pour r epondre a cette question, nous allons distinguer le cas du tore de celui de la bouteille de Klein, et interpr eter le terme comme une int egrale sur un ensemble ni mesur e K. L'invariance de en d ecoulera imm ediatement. Toutefois, dans le cas du tore, une telle construction ne sera valable que si e R L = 0, et dans le cas contraire il s'av ere que n'est pas invariant. Par soucis de concision, aucune d emonstration ne sera donn ee (elles sont directes).

A.1 Cas du tore.

Dans ce cas, on munit le tore d'une orientation quelconque, et le compl ementaire de e R est un cylindre qui lui aussi est orient e. La courbe L priv ee de ses ovales est une courbe a bord dans ce cylindre, et on note fC k j k 2 Kg l'ensemble des composantes connexes de son compl ementaire. B Une surface r egl ee sans J-section r eelle.

Soit X = T 2 C P 1 o u T 2 est un tore, et p la projection X ! T 2 . Notons U 1 le groupe des nombres complexes de module un, et (x; y) les coordonn ees sur T 2 = U 1 U 1 . On munit alors T 2 de la structure r eelle c T : (x; y) 7 ! (x; y), et on d e nit : c X : X ! X (x; y; z) 7 ! x; y; (1 + x)z + i(1 x)

(1 x)z + i(1 + x) i Proposition B.1 L'involution c X est une structure r eelle sur la surface r egl ee X ! T 2 . La partie r eelle RT a deux composantes connexes, alors que RX est connexe.

Une cons equence imm ediate de cette proposition est que X ne poss ede pas de section continue invariante par c X .

Institut de Recherche Math ematique Avanc ee Universit e Louis Pasteur 7, rue Ren e Descartes 67084 Strasbourg C edex, France e-mail : welsch@math.u-strasbg.fr

(

  A), (A) : caract eristique d'Euler, nombre de composantes connexes de la surface A. g(A): genre de la surface A. A]: classe d'homologie du cycle A. x y : forme bilin eaire d'intersection de Poincar e.

3

  In egalit es suppl ementairesDans cette partie, nous construisons des revêtements doubles rami es en les cycles A d e nis au x1.3 (apr es quelques eclatements de ces cycles), et obtenons des in egalit es en etudiant le second groupe d'homologie r eelle de ces revêtements. Pour all eger les notations, xons un signe 2 f g, et notons A le cycle A . De même, lorsque les groupes d'homologies seront a coe cients dans Z=2Z , nous omettrons de mentionner ce groupe de coe cients.Les r edactions des x3:2, 3:3 et 3:4 sont inspir ees de 15], 4] et 17] respectivement. Par ailleurs, la m ethode que nous utilisons ici est analogue a celle d ej a utilis ee parRokhlin 11], Arnol'd 1] (voir aussi le survey 15]), etViro 13].

  0. Ces bres sont donc homologues a un multiple pair d'une bre r eelle, l'homologie pouvant être choisie invariante par c. De même, les bres imaginaires sont coupl ees par deux avec c, et sont donc homologues a un multiple pair d'une bre r eelle, l'homologie pouvant egalement être choisie invariante par c. L'homologie totale H construite convient, le cycle E etant constitu e de la demisomme des bres r eelles, et d'un multiple de ẽ.

3

 3 derni ere relation est la formule des points xes de Lefschetz appliqu ee a l'involution c + ). Remarquons que, puisque c + pr eserve la forme d'intersection et que celle-ci est non-d eg en er ee, tr(c + jH 1 (Y ; R)) = tr(c + jH 3 (Y ; R)). Par ailleurs, les membres de droite des quatre relations pr ec edentes ont et e calcul es dans le lemme 3.5. Pour terminer la d emonstration de la proposition 3.3, il su t donc de r esoudre le syst eme d' equations pr ec edent, et d'utiliser les estimations donn ees par le lemme 3.6. En e et, d'apr es ce lemme, b 1 (Y ) tr(c + jH 1 (Y ; R)) = 2g(B) + h ( e dim(H 1 (Y ; R)) tr(c + jH 1 (Y ; R)); et ces quantit es sont positives et satisfont l'in egalit e : Les formes quadratiques f . Notons D 1 , : : :, D m les composantes connexes de R e

  Lemme A.1 Si L e R = 0, il existe une mesure sur l'ensemble K poss edant la propri et e suivante : si C 1 et C 2 sont deux composantes voisines, et un chemin orient e in nit esimal transverse a L reliant C 1 a C 2 , alors (C 2 ) = (C 1 ) + 2L . De plus, deux telles mesures di erent d'une constante. Chaque ovale de L borde un disque orient e, et cet ovale est dit positif (resp. n egatif) si l'orientation de ce disque co ncide (resp. ne co ncide pas) avec l'orientation du tore. On d e nit alors la fonction g sur K en posant g(k) egal au nombre alg ebrique d'ovales situ es dans C k . Il d ecoule de la propri et e d'alternance que P k g(k) = 0, ce qui peut se r einterpr eter comme le fait que l'int egrale de g sur K muni d'une mesure constante est nulle. Lemme A.2 Si L e R = 0, et que est une mesure donn ee par le lemme A.1, alors R K gd est ind ependante du choix de et : = Z K g d : Par contre, si L e R 6 = 0, le terme n'est pas invariant comme le montre l'exemple suivant de deux courbes isotopes sur le tore, pour lesquelles vaut 1 : Cas d'une bouteille de Klein.Dans ce cas, le compl ementaire de e R est un ruban de M bius, et on introduit le même ensemble fC k j k 2 Kg. Trois cas sont a distinguer : le cas o u une composante C k n'est pas orientable, le cas o u toutes les composantes C k sont orientables du fait de la pr esence d'une composante l de L homologue a l'âme du ruban de M bius, et le cas o u toutes les composantes C k sont orientables du fait de la pr esence d'une composante l a bord de L ne R , de classe d'homologie non nulle. Fixons dans le premier cas une orientation du compl ementaire de la composante non orientable, et dans les deux autres cas l'orientation du compl ementaire de l qui induit sur l la multiplicit e +2l (l est orient ee comme incluse dans L qui est orient ee). A pr esent, d e nissons dans les deux premiers cas une mesure sur l'ensemble K, qui poss ede la propri et e enonc ee dans le lemme A.1 et qui valle 0 sur la composante non orientable dans le premier cas, et 1 sur la composante voisine de l dans le second. Remarquons qu'ici, L est egalement bien d e ni, puisque seule une composante peut être non-orientable, et que le compl ementaire de cette composante est orient e. Dans le troisi eme cas, on d e nit dans un premier temps une mesure 0 sur K qui poss ede la propri et e enonc ee dans le lemme A.1 et qui valle 0 sur la composante situ ee d'un cot e de l. Dans ce cas, la mesure 0 de la composante situ ee de l'autre cot e de l est de la forme 2m (m 2 Z), et on d e nit comme la somme de 0 et de la mesure constante 1 m, de fa con que valle 1 m et 1 + m de part et d'autre de l. En n, de la même fa con que dans le paragraphe pr ec edent, chaque ovale de L situ e dans une composante orientable a un signe, et on d e nit la fonction g sur K comme etant nulle sur l' eventuelle composante non orientable, et comme valant le nombre alg ebrique d'ovales sur les autres composantes. Lemme A.3 Dans tous les cas d ecrits ci-dessus, et pour les mesures et fonctions g d e nies,

  Ces cycles A sont stables par c X et contiennent pour seules singularit es des \plis" et des Soit X une surface r egl ee de base B poss edant une J-section r eelle e, et A une (M 2r) J-courbe r eelle s eparante connexe a nids profonds standard de classe (a; b; a 1 ; : : :; a n ) dans H 2 (X; Z ). Soient , a i , n les termes d e nis aux xx1.2, 1.3, et = e e. Alors :

	2 Formules d'orientations complexes.
	2.1 Enonc es des r esultats
	Th eor eme 2.1
	points doubles. On note (A ) la caract eristique d'Euler de A auquel on ajoute le nombre de points doubles de A , c'est-a-dire la caract eristique d'Euler de la normalisation de A . On note egalement le nombre de composantes connexes, et g le genre de cette normalisation, de sorte que (A ) = 2 2g . En n, notons a ; b ; a i les entiers tels que A ] = a v]+b e] P i a i v i ] 2 H 2 (X; Z ), et b = n + 1.
	Remarque : Il est facile de voir que : a + + a = a, a + b = e R ] RA ] mod (2) et je R \ RA j a + b a + b je R \ RA j, o u = e e.
	Lemme 1.1 Supposons que n = 0 et que RA est sous forme normale. Alors, le genre g est minor e par le nombre c de composantes de RA autres que les ovales, et satisfait g + + g c + + c + (RX)+ 2r 1 si A est une (M 2r)-courbe. De plus, les nombres satisfont les in egalit es 1 (RX) et + + (RX) + 1.
	(le nombre d'enroulement est d e ni au x1.1.)
	D emonstration : S'il n'y a pas d'ovale imaginaire O t , un des cycles A est vide, alors que l'autre co ncide avec A. L'in egalit e g + + g c + + c + (RX) + 2r 1 est donc satisfaite. Sinon, chaque point de A peut être reli e par un arc de A a un ovale imaginaire O t , et donc a un segment s t . Ainsi, le nombre est major e par le nombre de composantes de RA contenant des segments s t , et donc major e par (RX). En e et, remarquons que chaque ovale priv e de ses deux points de tangence avec les bres r eelles, est constitu e de deux segments transverses aux bres dont un a une orientation compatible avec celle de la base, et l'autre l'orientation oppos ee. Dans chaque composante X 1 de RX, la courbe RA + \ X 1 (resp. RA \ X 1 ) poss ede une composante form ee de ces segments dont l'orientation est compatible avec (resp. oppos ee a) celle de la base, et des segments s t de X 1 , et ses autres composantes sont les composantes de RA \ X 1 de nombre d'enroulement strictement positif (resp. n egatif). Ceci justi e en particulier que (RX). La minoration de g provient alors du fait que pour la normalisation e A de A, et d'apr es le th eor eme de Harnack, (R e A ) g + .

  ] RA ] mod (2n(RA)): Rappelons que si A est sous forme normale, T correspond au nombre d'ovales de RA. La congruence donn ee par ce dernier corollaire implique dans ce cas le corollaire 2.6 de 14]. Les corollaires 2.2 et 2.3 d ecoulent du th eor eme 2.1 et de la remarque faite au x1.3. Nous ne donnons ici qu'une d emonstration du corollaire 2.4.

  a i 1): 2.3 Applications 2.3.1 Courbes sur les surfaces r egl ees Proposition 2.6 Soit X une surface r egl ee de base B sans bre singuli ere, poss edant une Jsection r eelle e et telle que RX est un tore. Soit A une J-courbe r eelle maximale de X telle que e A = 0, v A = 4 o u v est une bre, et telle que RA contienne une composante de nombre d'enroulement +1 et une composante de nombre d'enroulement 1. Chaque ovale se situant dans le cylindre de RX bord e par e R et la composante de nombre d'enroulement positif, s epare ce cylindre en un disque et un cylindre trou e. Notons + (resp. ) le nombre d'ovales pour lesquels il existe (resp. n'existe pas) une orientation du cylindre trou e qui induit sur son bord l'orientation de l'ovale et de la composante de nombre d'enroulement positif. Alors, on a + = 1 2 ( (B) + ). Pour les surfaces pour lesquelles la partie r eelle est une bouteille de Klein, on peut enoncer la proposition suivante :Proposition 2.7 Soit X une surface r egl ee de base S sans bre singuli eres, poss edant une J-section r eelle e et telle que RX est une bouteille de Klein. Soit A une J-courbe r eelle maximale de X telle que e A = 0, v A = 6 o u v est une bre, et telle que RA contienne une composante de nombre d'enroulement +2 et une composante de nombre d'enroulement 2. Alors son sch ema complexe est < t 1 < + t t 1 + < + t >>>, avec +

	= 1 2 (3 + 3 3g(B)) et

+ = 3 3 + 3g(B).

Dans la proposition 2.7, les d e nitions et notations de sch emas complexes sont celles

de 12]

, apr es avoir contract e la section e R de la bouteille de Klein. Ces deux propositionss d ecoulent du corollaire 2.2.

2.3.2 Courbes planes projectives

Proposition 2.8 Soit A une (M 2r)-courbe alg ebrique r eelle non-singuli ere de degr e d = 2k

de C P 2 , telle que la partie r eelle RA poss ede deux nids dont un, not e N 1 , est de profondeur k 2 et l'autre, not e N 2 , est de profondeur 2. Notons k 1 (resp. k + 1 ) le nombre d'ovales non-vides du nid N 1 homologues (dans le premier groupe d'homologie de RP 2 priv e du centre du nid) a l'ovale ext erieur (resp. a son oppos e, de sorte que k + 1 + k 1 = k 3). Supposons de plus qu'au centre de chacun de ces nids se situent deux ovales, et pour chacun des deux ovales x i (i 2 f2; 4g) situ es au

  se rel eve. Un tel revêtement n'existe que sous des hypoth eses suppl ementaires, comme l'indique la proposition suivante : Proposition 3.1 S'il existe un revêtement double de e

	complexe sur e X et une structure r eelle c e X pour laquelle e A est invariant. L'objet de ce paragraphe est de construire un revêtement double Y de e X rami e en e A sur lequel c e
	X rami e en e A sur lequel c e X se rel eve, A sont nulles dans H 2 ( e A et R e alors les classes d'homologies de e X) et H 1 (R e X) respectivement. R eciproquement, si ces deux classes d'homologies sont nulles, un tel revêtement double existe.
	D emonstration : L'existence d'un tel revêtement Y equivaut a l'existence d'un el ement de H 3 ( e X; e A) invariant par X et dont le bord est e c e A] 2 H 2 ( e X), ce qui justi e que la condition e A] = 0 2 H 2 ( e X) est n ec essaire. Par ailleurs, l'involution c e X se rel eve en deux involutions c + , c qui di erent l'une de l'autre par l'automorphisme du revêtement. Les ensembles des points xes de ces involutions sont not es Y + et Y respectivement, ils sont stables par l'automorphisme du revêtement et leur projection dans R e X a pour bord R e A, ce qui justi e que la seconde condition est egalement n ec essaire. Le fait que dans le cas des surfaces r egl ees, ces conditions sont su santes, est donn e par le lemme 3.2.
	Lemme 3.2 Soit e A un 2-cycle entier dans une surface r egl ee ( e X; c e X ) qui poss ede une J-section r eelle e. On suppose que e A est stable par c e X , et que les classes d'homologies de e A et R e A sont nulles dans H 2 ( e X) et H 1 (R e X) respectivement. Alors il existe un 2-cycle entier E, ainsi qu'une 3-cha^ ne enti ere H dans e X, tous deux stables par c e X , tels que @H = e A 2E.

X

  3.2 Calculs de dimensions. se rel eve en deux involutions c + et c sur Y qui commutent. Ces involutions pr eservent l'orientation de Y et induisent donc une d ecomposition de H 2 (Y ; R) en huit sous-espaces deux a deux orthogonaux 1 E 1 , not es de fa con que, par exemple, l'espace 1 E + 1 est un sous-espace maximal de H 2 (Y ; R) sur lequel la forme d'intersection se restreint en une forme d e nie positive, l'involution c + agit comme l'identit e, et l'involution c comme moins l'identit e.L'objet de ce paragraphe est de calculer les dimensions de ces sous-espaces. Notons Y + , Y les ensembles des points xes de c + et c respectivement. Ces parties sont stables par l'involution

	Supposons a pr esent que e A] = 0 2 H 2 ( e X), et que R e A] = 0 2 H 1 (R e X), et notons Y le revêtement double de e X rami e en e A construit au x3.1. Par construction, c e
	du revêtement, leurs projections dans e X, not ees R e X + et R e X ont pour r eunion R e X, et pour intersection R e A. Soit le champ de vecteurs non nuls d e ni sur R e A de sorte qu'en dehors de t s t , est tangent a R e A et compatible avec son orientation, et sur t s t , le champ est prolong e en un champ tangent aux bres r eelles (le fait que le champ se recolle est la propri et e d'alternance, v. x1.2). Notons alors (R e X + ) (resp. (R e X )) la somme des indices des z eros du champ prolong e a R e X + (resp. R e X ). Notons egalement 1

X

  3.9 Le rang de la famille ( i ) 1 i m dans H 2 (Y; S) est sup erieur ou egal a m ( e Les composantes S i de S engendrent un sous-espace de H 2 (Y ; Z)=T orsH 2 (Y ; Z ) Z=2Zde dimension sup erieure ou egale a N 2g(B). En e et, il su t de voir qu'ils engendrent un sous-espace de dimension sup erieure ou egale a N 2g(B) dans H 2 (Y ) puisque l'intersection de ce sous-espace Le noyau de 2 , qui est egal a l'image de , est donc de dimension inf erieure ou egale a 2g(B).

	Les diviseurs exceptionnels e S i sont lin eairement ind ependants dans H 2 ( e X; e A), il su t donc de voir que dim H 2 ( e X; e A) \ Ker( ) 2g(B), ce qui se d emontre de fa con analogue a ce qui a et e fait au lemme 3.9: = 1 2 o u 2 etant le morphisme de bord associ e a la paire ( e X; e A), et la suite exacte associ ee est :
	0 ! H 3 ( e X) ! H 3 ( e X; e A) 2 ! H 2 ( e A) ! : : :
	A) S i lin eairement ind ependants dans H 2 (Y ), on s'aper coit S) ! H 2 ( e Consid erons la suite exacte de Smith : 2g(B). D emonstration : ! H 3 ( e X; e A e X; e A e S) H 2 ( e A; e A \ e En choisissant une famille d' el ements e que cette famille engendre un facteur direct dans H 2 (Y ; Z )=TorsH 2 (Y ; Z). En e et, supposons le contraire et choisissons x 2 H 2 (Y ; Z ) et k; l 1 ; : : :; l n des entiers premiers entre eux tels que kx = P i l i S i avec k 6 = 1. En intersectant avec les S i , on s'aper coit que k divise 2l i quel que soit i, donc que k peut être suppos e pair. On en d eduit que 0 = P i l i S i 2 H 2 (Y ; Z) Z=2Z , et puisque les el ements e S i sont lin eairement ind ependants dans H 2 (Y ), que les entiers l i sont pairs, ce qui est une contradiction. Comme une telle famille d' el ements e S i peut être choisie de rang au moins N 2g(B), on en d eduit que dim(Tors(H 2 (Y; S; Z )) Z =2Z) dim(TorsH 2 (Y ; Z ) Z =2Z) + 2g(B), en consid erant la suite exacte ! H 2 (S; Z ) ! H 2 (Y ; Z ) ! H 2 (Y; S; Z ) ! 0 et le fait que Im( ) \ TorsH 2 (Y ; Z) = f0g. Par ailleurs, d'apr es la formule des coe cients universels, S) ! H 2 (Y; S) ! : : : Le rang des el ements ~ i de H 2 ( e X; e A e S) r ealis es par les parties D i de R e X est au moins m ( e TorsH 2 (Y ; Z) = TorsH 1 (Y ; Z ); A). En e et, l'image de ces el ements par le morphisme de bord est de rang m dans H 1 (R e A R e S), et en composant par le morphisme d'inclusion H 1 (R e A R e S) ! H 1 ( e A e S), il ne peut apparaitre qu'un noyau de dimension inf erieure a ( e A) (et de dimension exactement ( e et d'apr es la remarque qui suit le lemme 3.6, dim TorsH 1 (Y ; Z ) Z =2Z 2 dim(H 1 ( e X; e A)) ( e A)+ 1. Ainsi, on a d emontr e l'in egalit e : A) seulement dans le cas o u la r eunion des parties D i est toute la surface R e X n R e S). X; e A)) ( e A) + 1; dim(Tors(H 2 (Y; S; Z )) Z=2Z ) 2g(B) + 2 dim(H 1 ( e Le r esultat d ecoule alors de l'in egalit e suivante : dim H 2 ( e X; e A e S) \ Ker( ) 2g(B): et il suit du lemme 3.9 que le rang de la famille ( i ) 1 i m dans H 2 (Y; S; Z ) R est au moins m 1 4g(B) 2 dim(H 1 ( e X; e A)). Le r esultat en d ecoule.
	Pour d emontrer cette in egalit e, ecrivons = 1 2 , 2 etant le morphisme de bord associ e a la triade ( e X; e A e S; e A \ e S). La suite exacte associ ee a cette triade est : 0 ! H 3 ( e X; e A \ e S) ! H 3 ( e X; e A e S) 2 ! H 2 ( e A e S; e A \ e S) ! : : : Donc le noyau de 2 est form e des el ements de H 3 ( e X; e A\ e S) = H 3 ( e X), et est de dimension inf erieure ou egale a 2g(B). Lemme 3.10 Le rang de la famille ( i ) 1 i m dans H 2 (Y ; R) est sup erieur ou egal a m 1 4g(B) 2 dim(H 1 ( e X; e D emonstration du th eor eme 3.8 : Le sous-espace de H 2 (Y ; R) engendr e par la famille ( i ) 1 i m , isomorphe a R avec m 1 4g(B) 2 dim(H 1 ( e X; e A)) d'apr es le lemme 3.10, est inclus dans le sous-espace propre 1 E + +1 1 E +1 de c associ e a la valeur propre +1. Par cons equent, le noyau de la projection orthogonale de R sur 1 E + +1 (resp. 1 E +1 ) est inclus dans 1 E +1 (resp. 1 E + +1 ), et d'apr es le lemme 3.7, la forme f est d e nie n egative (resp. d e nie positive) sur ce noyau. Il en d ecoule que la dimension de l'image de cette projection est au moins max 0; 0 (f ) 2 dim(H 1 ( e X; e A)) 4g(B) 1 + + (f ) (resp. max 0; 0 (f ) 2 dim(H 1 ( e X; e A)) 4g(B) 1 + (f )), et par suite que : A)). D emonstration : max(0; ~ 0
	avec TorsH 2 (Y ; Z) Z=2Zest r eduite a f0g. La suite exacte de Smith appliqu ee a l'involution du revêtement donne :
	! H 3 ( e X; e A) ! H 2 ( e X; e A) H 2 ( e A) ! H 2 (Y ) ! : : :

En n, enlevons a A les ovales O t . Chaque ovale enlev e a pour e et soit de disconnecter la courbe, soit de faire diminuer son genre de un. Or on remarque que si les ovales O t sont associ es a une même composante de RX, seul le dernier peut disconnecter la surface, de sorte que + + (RX)+1, et g + + g c + + c + (RX) + 2r 1.

( i + c ( i )), de sorte que ( i ) 2 = 1 4 ( i c ( i )) 2 + i c ( i ). Le terme i c ( i ) est la somme des diviseurs de carr e 2 se situant au-dessus des points doubles s bordant D i , le diviseur etant compt e deux fois si D i se situe de part et d'autre de s. Le terme i c ( i )

e] sur la surface r egl ee X 2k de base C P 1 , avec k impair (v est une bre, et e est la section

Les deux derni eres relations sont donn ees par la formule d'Atiyah-Singer-Hirzebruch appliqu ee a l'automorphisme du revêtement et c + respectivement. En e et, cette formule fournit les relations :

En n, Y + Y + = 2 (R e X + ), ce qui peut se v eri er en e ectuant un calcul g eom etrique de ce nombre d'intersection : prolongeons le champ en un champ de classe C 1 tangent a R e X + . Le champ J( ) se rel eve en un champ normal a la surface Y + . L'indice Y + Y + vaut alors l'indice des z eros de ce champ de vecteurs (vu comme section du br e normal de Y + dans Y ), c'est-a-dire deux fois l'indice des z eros du champ J( ) sur R e X + (vu comme section du br e normal de R e X + dans e X).