Bruno Poucet

Jean-François Chanet

Dominique Dessertine

Pierre Conte

Claire Andrieux

Gille Le Bégec

associations d'anciens élèves : l'exemple

Les associations d'anciens élèves -l'exemple de la ville d'Amiens

Bruno Poucet, CAREF (EA 4697), Université de Picardie Jules Verne Peu de travaux scientifiques récents ont été publiés sur les associations d'anciens élèves, à l'exception de ceux de Jean-François Chanet sur les sociétés de tir 1 : ainsi à Amiens en 1867 a été fondé le Tir amiénois ou la Vaillante en 1885 2 . Dominique Dessertine et Jean-Paul Martin mettent abordent la question des associations d'anciens élèves de l'école publique dans le cadre plus générale des associations soutenues et créées par la Ligue française de l'enseignement 3 et Stéphane Lembré souligne le rôle joué par certaines de ces associations en matière de politique d'enseignement technique 4 . André Lanfrey procède également à une première analyse des associations présentes dans l'enseignement catholique, ainsi que Sarah Teinturier lors d'un colloque 5 .

En revanche, L'histoire des élèves de François Grèzes-Rueff et Jean Leduc n'aborde pas la question 6 . Bien entendu, il existe le répertoire de la Presse d'éducation et d'enseignement 7 qui permet d'accéder à la liste de certaines associations, mais il ne concerne, par définition, que les associations qui ont publié un bulletin 8 , ce qui est loin d'être le cas de toutes, notamment pour les plus petites d'entre elles. Certes il existe une Histoire de l'Union des associations d'anciens et anciennes élèves des lycées et collèges français 1902-1984, mais elle est rédigée par ses principaux responsables : il s'agit davantage de mémoire et non d'histoire. Il en va de même des rares histoires d'association 9 . Quant à l'ouvrage collectif Associations et champs politiques 10 , il n'aborde pas la question des associations d'anciens élèves, mais celle des parents. Il en va de même dans Syndicats et Associations 11 .

Dans ce chapitre, nous essayons, autant qu'il est possible, d'examiner l'ensemble des associations, qu'elles concernent l'enseignement primaire ou l'enseignement secondaire, les établissements publics et privés. Compte tenu de leur nombre 12 , choix est fait de ne prendre en compte qu'un espace géographique déterminé, essentiellement la ville d'Amiens, dans la Somme. En effet, cette ville, haut lieu d'une politique républicaine (Jules Barni, René Goblet ont été les

élus de cette ville) voit la création de nombre de ces associations, après 1880 essentiellement dans le primaire. Ne sont pas concernées les associations d'étudiants qui ont pu rassembler ceux qui fréquentaient les structures d'enseignement supérieur de la région 13 : on en trouve à Douai, siège du rectorat ou à Amiens. Les premières ont été étudiées par Jean-François Condette, les secondes par mes soins 14 .

En circonscrivant l'analyse à la ville d'Amiens, en centrant sur la période de création et de développement entre 1849 et 1928, il sera possible de proposer une photographie plus précise de ces associations. Dresser un état des lieux des fondations, préciser leurs buts, donner des éléments sur leur organisation, s'interroger sur leur devenir à l'heure présente sera, en effet, l'objet de la présente réflexion. Celle-ci s'appuie sur les archives municipales d'Amiens métropole15 et les archives départementales de la Somme16 où se trouvent les dossiers d'autorisation de telles structures au XIX e siècle ainsi que les publications conservées. En revanche, une partie de l'activité de ces associations échappe à nos investigations car, la plupart du temps, leurs archives ont disparu.

Fondation

Nous nous proposons de dresser un état des lieux en distinguant l'ordre du secondaire de l'ordre du primaire après un bref rappel de la législation.

A. Une législation restrictive

Il faut préalablement se rappeler que le régime des associations au XIX e siècle est le régime de l'autorisation (sauf pendant la brève période des années 1848-1850). La loi de 1901 en son titre I libéralisera les procédures en opérant un contrôle a posteriori, sauf pour les congrégations, soumises, par le titre III de cette même loi, à un régime spécifique 17 .

En effet, avant 1901, dès qu'il y a plus de vingt membres actifs, une autorisation doit être demandée à la préfecture, après avis du maire de la ville concernée, de l'inspecteur d'académie ou de l'inspection des écoles primaires de la ville puisqu'il s'agit d'association éducative. C'est l'article 291 du Code pénal qui réglemente leur fonctionnement. Par ailleurs, les associations de l'enseignement public doivent indiquer dans leur statut après 1889, qu'elles sont soumises aux instructions ministérielles concernant les fonctionnaires. Si les autorisations sont accordées par la préfecture, les projets de statut sont toujours examinés avec soin et bienveillance par l'autorité compétente et font parfois l'objet de demande de rectifications ou de précisions. Les associations peuvent demander à être reconnues d'utilité publique, ce qui leur permet de recevoir dons et legs, sous réserve d'un contrôle plus étroit du ministère de l'Intérieur.

B. L'ordre du secondaire À Amiens, comme ailleurs, les premières associations se sont créées dans le secondaire. La plus ancienne l'a été en 1849, pendant la Seconde République : c'est celle du lycée de garçons d'Amiens 18 . Elle est, semble-t-il, après les associations créées à Paris, une des premières de province à avoir été fondée. Elle a été en effet précédée seulement par les associations de quelques établissements secondaires : Sainte-Barbe (1813 19 ), Reims (1819), Juilly (1830) 20 , Henri IV (1833), Louis-le-Grand (1839) [START_REF]L'association fondée en 1838 fut autorisée en 1844 et reconnue d'utilité publique en 1864[END_REF] , Sens (1842), Sorrèze (1843) 22 , Versailles (1847), Auxerre (1848). Briançon (1852), Lille (1857), Douai(1862), Charlemagne (1878) [START_REF] Buisson | Nouveau Dictionnaire de pédagogie et d'Instruction primaire[END_REF] ont suivi. L'association d'Amiens est reconnue en 1867 d'utilité publique peu après celle de Louis-Le-Grand (1864). Aux dire de ses fondateurs, elle a été créée « quand ils ont découvert la détresse dans lesquels ils voyaient ces anciens [START_REF] Aam | IR34-1 : dossier de l'association, assemblée de 1849[END_REF] . » Néanmoins, force est de souligner que dans les premiers temps de son existence, son siège social est à Paris, que les réunions ont lieu dans la capitale où nombre des anciens élèves y résident, même si des réunions d'amitié ont lieu également à Amiens, dans un café de la place Gambetta, dans la salle du Cercle républicain. Les réunions auront lieu ensuite à l'intérieur même du lycée. Cette association fait, au niveau national, partie de l'Union des associations d'anciens des lycées et collèges, fondée en 1902 [START_REF]anciennes élèves des lycées et collèges de France, à la suite de sa fusion avec l'Union des associations féminines[END_REF] .

De son côté, le lycée de jeune filles, fondé en 1883, crée quelques années plus tard sa propre association (1895) -elle est reconnue d'utilité publique en 1929. Elle adhère à l'Union des associations de lycées et de collèges de jeunes filles. À partir de 1904, elle publie un bulletin 26 . Elle tient deux assemblées générales, l'une à Amiens, l'autre à Paris… dans une pâtisserie.

Les trois autres associations amiénoises fondées les premières appartiennent à des établissements privés : la Providence (1867), l'Institution Saint-Louis (1868), et l'école secondaire Saint-Fuscien (1880), ces deux derniers établissements ayant disparu aujourd'hui. L'association de La Providence est fédérée avec la fédération mondiale des associations d'anciens élèves de collèges jésuites 27 . La concurrence qu'introduit la création de l'association des anciens de La Providence avec l'association du lycée de garçons est appréciée des autorités municipales : « c'est une émulation salutaire dans le double rapport des études et de la discipline 28 ».

On relèvera une particularité à Amiens : l'école diocésaine Saint-Martin, d'abord établissement primaire, devient un établissement secondaire et crée en 1890 son association et un bulletin. Cet établissement est dirigé par des abbés démocrates et servira d'internat au lycée de garçons : les liens entre les deux établissements seront donc constants [START_REF] Amiens | on trouve de telles associations par exemple à Abbeville (Collège Courbet, école Stanislas), à Montdidier (collège Saint-Vincent, tenu par les Lazaristes), à Doullens[END_REF] .

On compte ainsi 11 associations pour l'enseignement classique et l'enseignement technique dont 9 dans des établissements privés.

C. L'ordre du Primaire

Plus tardivement, l'enseignement primaire qui comprend aussi bien les cours complémentaires que les écoles normales et les écoles primaires supérieures avec des sections professionnelles n'a pas été en reste et a fondé des associations, timidement dans un premier temps -la premières semble avoir été fondée au Mans en 1869. Dans un second temps, le mouvement s'accélère autour de 1882 : le Nord avec 35 associations (sur 51 au niveau national) semblait particulièrement bien loti. Le ministère par une circulaire du 22 juin 1887 incite à la création de telles associations dans les écoles primaires supérieures (Amiens avait précédé d'une année pour les garçons… le ministre, René Goblet, il est vrai, était le maire de la ville). On soulignera également qu'une partie de ces créations n'est pas due à l'initiative des anciens ou anciennes élèves, mais de la direction de l'école qui occupe parfois la Présidence. Les créations atteignent leur apogée autour de 1900 lorsque la Ligue française de l'enseignement les fédère au congrès de Toulouse, en 1899 : en 1900, il y a désormais 4 784 associations 30 . Ferdinand Buisson soutient ces initiatives en créant une mission de contrôle des oeuvres postscolaires. Environ 80 000 instituteurs participent en effet à ces oeuvres au début du XX e siècle sans qu'il soit toujours possible de bien distinguer ce qui est associations d'anciens élèves, patronages, tir.

La Somme dispose entre 1849 et 1928 de 84 associations dans le primaire dont 34 d'établissements publics et 5 d'établissements privés sur Amiens, selon le tableau joint en annexe. Sur l'ensemble de ces associations amiénoises, hors les écoles normales et écoles primaires supérieures, seules 6 concernent des écoles de filles, toutes ayant été créées à partir de 1899.

Il ne faut pas se cacher que derrière la multiplication de ses créations, il y a la volonté d'affirmer la présence de l'école publique par rapport aux écoles privées. Toujours est-il que, la plus ancienne des associations est celle de l'école mutuelle d'Amiens (1868). On peut ainsi repérer trois périodes :

Avant 1880 : 2 associations sont créées. Entre 1880 et 1889 : 11 nouvelles associations apparaissent dont une dans le privé De 1890 à 1928 : 21 nouvelles créations dont 4 dans un établissement privé. L'ensemble de ces associations -qu'on appelle désormais les petites A, par opposition aux grandes A que sont les associations du secondaire -se coordonnent au niveau de la seule ville d'Amiens, puis du département. Ainsi en 1901 est créée une fédération des anciens élèves des écoles communales d'Amiens et en 1909 une Fédération des petites A de l'arrondissement d'Amiens, suivie, en 1912, de l'Union départementale des petites A laïques de la Somme. Celle-ci est rattachée à la Ligue française de l'enseignement. Cette union amiénoise de 17 associations a permis de créer une troupe théâtrale : « La jeune comédie31 ».

Ce sont donc, en primaire, à la différence du secondaire, essentiellement des associations laïques, même si quelques associations confessionnelles sont également créées : ainsi, par exemple, les anciens des écoles des frères d'Amiens s'organisent en une seule association en 1889 quelques années après la laïcisation, tandis que les anciennes de la Sainte-Famille -congrégations qui dirigeaient environ un tiers des écoles du département avant 1886 -, s'associent plus tardivement (en 1927).

II. Finalités

Toutes ces associations, qu'elles soient du primaire ou du secondaire, ont des statuts à peu près identiques, même si l'on peut repérer ici ou là quelques variations, notamment pour l'enseignement primaire. En général, les statuts sont organisés de la manière suivante : but de l'association, administration, assemblée générale, fonds social, dispositions générales. Toutes ces associations y compris celles des écoles privées indiquent, sous le régime de l'autorisation, qu'elles ne débattront ni de questions politiques, religieuses ni de questions étrangères au but de l'association.

Les plus anciennes -celles du secondaire -portent dans leur titre l'appellation d'association de bienfaisance et de fait c'est un aspect fondamental que l'on retrouve chez chacune d'entre elle mais qui s'atténuera au fil des ans. Ensuite, elles s'intituleront amicales.

A. Orientations statutaires

Plusieurs buts caractérisent ces associations : il existe toujours une dimension relationnelle, mémorielle, sociale, de défense de l'institution, d'organisation d'oeuvres postscolaires, essentiellement pour le primaire :

-Maintenir des liens d'amitié entre les membres qui ont fréquenté l'institution concernée ce qui passe par des réunions, l'organisation de bals ou de sorties culturelles (voyages ou visites sur Amiens), des rencontres « pâtisserie » au lycée de jeunes filles, la publication de bulletins tissent le lien. -Garder la mémoire de l'institution : honneur aux morts, livre d'or des morts aux champs d'honneur, plaques commémoratives, annuaire des anciens, anniversaire de la fondation, rédaction d'un ouvrage ou publication de documents anciens32 . -Aider à trouver un emploi pour les membres (d'où l'importance de la publication de la liste des anciens dans le bulletin), venir en aide temporairement en cas de besoin (avec parfois l'apport de bourses), apporter des secours, protéger en début de carrière, patronner, secourir les enfants d'associés : l'obtention du prix du lycée comprend la prise en charge des frais d'un élève. Donner des informations sur l'évolution de l'établissement. Les petites A ajoutent un certain nombre d'éléments : faciliter l'accès à des écoles supérieures, « arracher les jeunes filles aux attraits pernicieux de la rue en les réunissant le dimanche et les jours de fête pour leur procurer des distractions saines et agréables », organiser des causeries sur l'hygiène ou l'économie domestique, procurer des lectures réconfortantes pour l'esprit et le coeur, d'où l'organisation de bibliothèque. -Soutenir l'institution dont les élèves sont issus : récompenses aux élèves les plus méritants, remise d'un prix ou de médailles lors de la distribution des prix, jouets de Noël, arbre de Noël de l'école, livrets de caisse d'épargne, voyages d'élèves, soutien au recrutement de l'école sont les principaux aspects. Aussi les statuts de l'école du Faubourg de Beauvais en 1896 font la synthèse de ces objectifs : « Faire de l'école un foyer bienfaisant où les anciens élèves après avoir reçu une sérieuse instruction primaire reviennent encore puiser de généreuses inspirations (article 2/10 -devise : émulation, patriotisme, bienfaisance, solidarité ». On peut relever que deux associations se réfèrent à un grand homme dans le titre même de leurs statuts : Quinet, Michelet. -Organiser des oeuvres patriotiques est souvent présent (tricots du soldat, colis, etc.).

-Organiser des oeuvres post-scolaires ou plus largement culturelles : bibliothèque, cours d'adulte, causeries, récréation, concerts, troupes de théâtre, orchestre symphonique (par exemple à l'école La Vallée) ou fanfare, cours de musique et chorales, concours de tir et récompenses (avec des armes de guerre prêtées par l'armée : fusil Jouvet et carabine Flobert), loterie pour les pauvres d'Amiens, jeux de société, jeu de ballon, jardins ouvriers (Saint-Martin, à la suite de l'abbé démocrate Lemire, député du Nord), sortie cycliste, patronage, divertissements le dimanche. Au lycée de jeunes filles, l'association organise des cours de puériculture et des conférences sur des écrivains, sur les monuments picards, sur le rôle de la femme. Nombre d'anciens élèves du lycée de garçons participent à l'Université populaire d'Amiens.

B. Orientations idéologiques

Avant 1901, les associations doivent inscrire dans leur statut qu'aucune discussion en matière de religion, de politique n'aura lieu. Lors de la fondation de l'association des anciens élèves du lycée, la question s'est posée : « ce n'est pas une association politique, contrairement à ce que souhaitait certains 33 ». Une certaine évolution est à noter ensuite dans les petites A qui inscrivent la possibilité de débat sur l'enseignement primaire et ses orientations, dans la limite de ce que l'état de fonctionnaire autorise. Ainsi, en 1899, le ministère de l'Instruction publique fait, dans le projet des statuts de l'association amicale de l'école normale de filles, supprimer la mention « soutien financier en cas de privation de traitement totale ou partielle » 34 . Après la création du syndicat national des instituteurs (SNI) en 1924, ce type de débat n'aura plus lieu d'être et videra un peu ces associations de leur contenu, dans la mesure où elles sont désormais des associations complémentaires de l'enseignement public, gardiennes de la laïcité et soutiennent des positions pacifistes. Elles défendront régulièrement le principe de laïcité jusqu'à la loi Debré. Ainsi dans le bulletin l'Éveil de l'association amicale de l'école laïque du quartier Saint-Jacques, il est précisé ceci, lors de l'Assemblée générale de 1929 : « L'amicale doit être une oeuvre d'entraide. Elle est aussi un organe de soutien de l'école. La défense de l'école laïque doit être également l'une des préoccupations de l'amicale ; elle doit veiller jalousement au respect de la laïcité scolaire 35 . » Il n'en va pas de même des associations des établissements secondaires publiques qui restent, pour l'essentiel, fidèles à la neutralité par rapport à la politique gouvernementale menée. Rien n'apparait sur les questions du pacifisme, aucune discussion n'a lieu sur les évolutions de la structure de l'école. En revanche, dans certains établissements catholiques, les évènements politiques sont un peu plus tard clairement pris en compte, notamment après 1904. Aussi peut-on lire dans le Bulletin de l'association amicale des anciens élèves des Frères : « Il s'agit de faire connaître nos écoles, de lutter contre la timidité des familles, contre les attaques perfides de nos adversaires, de soutenir ceux qui ont terminé leurs études, de créer autour de l'école cette atmosphère de sympathie agissante, au besoin combative qui a fait trop défaut au moment de la dispersion des congrégations enseignantes qui seul peut prévenir de nouveaux attentats contre la liberté. » 36 Ou encore dans le Bulletin des anciennes élèves de la Sainte-Famille : « Ce qui nous reste à faire c'est de travailler par la force de nos exemples, par la persuasion de nos paroles à la défense de l'enseignement chrétien. C'est de soutenir les écoles libres et de diriger vers elles les enfants sur lesquels nous avons quelque influence. » 37

III. Organisation

Comment sont organisées ces associations, quels sont leurs membres et comment sontelles financées ?

A. Les organes de décision

Le coeur symbolique d'une association est son assemblée générale. C'est une sorte de liturgie, un moment où se rassemble la mémoire de ses membres. Elle suit des étapes obligatoires que l'on retrouve dans chaque association avec quelques variantes, notamment dans les écoles privées :

-Début d'après-midi : accueil dans une salle de l'établissement de préférence par les autorités en place, conférence sur un sujet éventuellement par une personnalité extérieure. 33 -Mémoire des anciens auprès du monument au mort ou de la plaque commémorative pour les trois guerres, messe pour les anciens morts.

-Assemblée : rapport moral, discours du président où il fait l'éloge des décédés récents, rapport financier -Soir : Banquet et toasts (parfois précédé d'un apéritif), photo de l'assemblée -Bal, activités récréatives, soirée dansante souvent. À cela s'ajoutent parfois des spécificités : ainsi dans les associations d'écoles privées, une messe ouvre souvent la journée, suivie parfois l'après-midi par les vêpres (à la Sainte-Famille, par exemple) ; en revanche, au lycée de jeunes filles d'Amiens où l'aumônier est lui-même membre de l'association, la messe existe également, mais elle est dissociée de la journée elle-même ; il ne semble pas que cette pratique ait existé au lycée de garçons.

Bien entendu en général, lorsque l'association est structurée, un comité ou conseil d'administration élu organise sa vie quotidienne.

B. Membres

Une étude approfondie des membres des associations est possible la plupart du temps pour les associations de l'enseignement secondaire (lycées, société industrielle) mais aussi dans quelques cas d'association de l'enseignement primaire dans la mesure où des annuaires sont publiés qui donnent la liste des adhérents. Par ailleurs, les dossiers conservés par les municipalités ou la préfecture contiennent, au moment de la déclaration, la liste nominative des membres.

Quelques exemples sans prétendre à l'exhaustivité permettent d'aller plus avant. Ainsi l'association des anciens élèves de l'école mutuelle qui déclare 172 membres comporte 37 employés (du privé ou du public) et 13 personnes travaillant aux chemins de fer. 9 marchands, les autres membres étant pour l'essentiel artisans 38 . En revanche, le comité de 28 membres de l'association des anciens de La Providence qui comprend 124 membres, accueille essentiellement des professions libérales (17), des châtelains (8), des ecclésiastiques (3) et quelques fonctionnaires : aucun artisan ou ouvrier 39 . C'est aussi le cas pour l'association Saint-Victor (école privée pour les aveugles) où à côté de l'adjoint, de l'évêque, de notables, on trouve essentiellement des enseignants de l'établissement 40 .

C. Financement

Les associations fonctionnent grâce aux cotisations de leurs membres, aux activités qu'elles mènent, mais également parfois grâce à des subventions municipales, voire du Conseil général, du ministère de l'Intérieur ou de l'Instruction publique, de l'agriculture. On relève parfois une demande d'autorisation de quêtes publiques telle l'école du faubourg de Beauvais, mais parfois aussi des tombolas sont organisées. L'aide financière se fait aussi souvent en nature : prêt du préau de l'école pour l'organisation des fêtes ou de la salle des fêtes de l'hôtel de ville, installation de plantes vertes, de fleurs électriques pour la fête dans le préau de l'école. Il n'est pas rare qu'il soit fait appel pour le maintien de l'ordre public à un agent de ville ou d'octroi fourni également gratuitement par la municipalité.

Il est à souligner qu'un débat récurrent traverse des associations : comment accroître les ressources ? Dès les années 1930 la question est posée alors que la crise économique est là. Cette interrogation s'accroît alors même que le nombre d'adhérents baisse et participe assez peu aux assemblées générales : à l'association du lycée de garçons, en 1939, 30 ou 40 adhérents sont présents sur 800 cotisants. Le trésorier du lycée de garçons d'Amiens fait état, après la guerre, d'une baisse de 30 % des effectifs, soit 960 membres. Et souligne que seuls 300 à 400 anciens cotisent réellement. Comment traiter les membres qui ne règlent jamais leur cotisation, comment attirer de nouvelles recrues ? Or, répondre à cette question n'est pas simple pour les 38 AAM, PIC22416, 1R34/1 : statuts de l'association, dissoute en 1893. 39 AAM,1R34/1 : statuts de l'association, 1867. 40 AAM,1R34/1 : statuts de l'association. administrateurs de ces associations : faire la vérité des prix c'est se couper d'anciens ou d'anciennes camarades, réduire l'importance de l'association et admettre qu'elles fonctionnent parfois difficilement et rompre d'une certaine manière avec son enfance ou son adolescence.

IV. Devenir

Sans pouvoir dresser un état des lieux exhaustif des associations d'anciens aujourd'hui, on peut donner quelques indications générales afin de mieux comprend leur affaiblissement, mais également les raisons du maintien de certaines d'entre elles.

A. Un étiolement

Les nécessités économiques s'imposent : en 1998, après 130 ans de parution, le bulletin du lycée d'Amiens cesse de paraître. Seule s'est maintenu jusque dans les années 1990 la rencontre annuelle des anciens de plus de 60 ans qui regroupaient une centaine de personnes. En revanche, l'organisation d'une même rencontre, pour la génération des quarantenaires, a échoué. En 1965, sur 350 élèves sortants, seuls trois ont adhéré à l'association 41 , d'où le commentaire du président lors de l'assemblée : « Où allons-nous ? Vers la catastrophe. » Et un peu plus tard, il constate que 82 lycéens d'avant 1914 adhèrent toujours, mais aucun de l'année 1968 42 . C'est dire si la question du rajeunissement se pose avec acuité. Le nombre de participants aux assemblées générales s'étiolent d'années en années et n'est en aucune manière représentatif du nombre d'adhérents réels -parfois le nombre de personnes qui s'excusent de leur absence est beaucoup plus important que le nombre de présents. Au lycée de garçons devenu mixte en 1953, ces assemblées ont connu des influences variables -une centaine de personnes dans les années 1950, mais guère plus de 30 en 1963. Bien avant les événements de 1968, la vie de ce type d'association s'effrite.

La présidente de l'association du lycée mixte d'Amiens s'interroge sur le sens de cette vie associative : « quel centre d'intérêt pour les associations ? La camaraderie n'est plus suffisante ». Finalement, les membres du comité se résolvent à publier un livre « sur le bon vieux temps », qui ne rencontrera pas son public 43 .

Beaucoup de ces associations ont disparu ou sont en très mauvais posture 44 -les principales qui subsistent sont dans l'enseignement secondaire et elles disposent toujours de relais nationaux aussi bien pour les anciens du public que du privé ; celles du primaire sont devenues des associations autonomes dont les liens sont plus ou moins grands avec l'école et sont devenues souvent des associations sportives de la Ligue de l'enseignement. Les municipalités ont créé des centres de loisirs, des centres aérés, des colonies de vacances, soutenu des auberges de jeunesse, des classes vertes, de neige, de pleine nature. Des classes musique ont été aménagées, il en va de même pour le théâtre, les bibliothèques. Les moyens de communication font que l'on peut plus facilement rencontrer telle ou telle personne par choix -car la sociabilité lycéenne existe, des amitiés ou des amours se nouent, mais qui échappent à l'association. Les réseaux sociaux tels que Linkedin font office de bourses d'emploi nettement plus réactives ou de réseau de sociabilité.

Une rupture de la mémoire, ensuite est à souligner : à Amiens, le lycée de garçons a été, comme l'essentiel du centre de la ville, détruit lors de l'attaque allemande du 13 mai 1940 45 et les anciens peinent à se retrouver dans les nouveaux locaux qui n'ouvriront que 13 ans plus tard… sous la direction d'un architecte, ancien élève ! Signe de cette difficulté : la première pierre posée est issue du lycée détruit, afin de restaurer au moins une continuité qui n'est plus que symbolique. 41 Bulletin 1965/2. 42 Bulletin 1990. 43 Bulletin 1978 : 400 exemplaires resteront ! 44 La plupart des patronages laïques existant encore ont cessé leur existence à la fin des années 1960. Même dans l'enseignement supérieur qui n'était pas l'objet de cette étude, les associations peinent à recruter, cf. Le Monde du 20 juin 2018 : « Linkedin siphonne les réseaux d'anciens élèves ». 45 Amiens, 1803-1980, histoire d'un lycée, Amiens, CRDP, 1981.

Le parloir est conçu comme étant la salle des souvenirs des anciens : c'est dans cette salle qu'a lieu l'assemblée générale. Une colonne de l'ancienne abbaye abritant le lycée est érigée sur laquelle une plaque est scellée rappelant le rôle de l'association. Le monument aux morts, un temps déposé au collège privé Saint-Martin, est rapporté. Il est l'objet régulièrement de commémorations, mais essentiellement de la part du lycée lui-même et non de l'association. Ainsi lorsqu'en 2013, le lycée Thuillier d'Amiens (héritier du lycée de garçon) a 60 ans, ce n'est pas l'association des anciens qui prendra l'initiative d'en fêter l'anniversaire, mais un groupe de professeurs 46 .

La rupture est d'autant plus réelle que le nombre de lycéens (et lycéennes) s'accroît vertigineusement : de 1 000 élèves on passe à 7 000 en 1990, alors même que le premier cycle disparait. Les élèves ont changé, la massification n'y est pas pour rien. L'association a du mal à s'adapter aux évolutions. Et lorsque l'on atteint la période des événements de 1968, l'association des anciens du lycée désormais mixte n'en parle pas, sauf pour la gêne occasionnée et signaler que l'Assemblée générale du 11 mai a lieu « au bahut » -la partie restaurée sert en effet de collège littéraire universitaire, alors que le mouvement de contestation commence à Amiens. Il faut que ce soit le proviseur qui fasse un état des lieux lors de l'assemblée générale à laquelle il est invité et souligne les transformations en cours : ainsi il parle des difficultés qu'il a dû affronter avec le Secours Rouge en 1970 (revendication sur la qualité des repas), il s'inquiète de l'attitude des élèves peu enclins à l'effort : « on s'affale sur les pelouses, on entend sortir librement à l'extérieur, on refuse de nettoyer le foyer. » Mais il estime qu'il faut « pratiquer le contact et proposer de nouvelles activités aux élèves, une ouverture au tiers monde, aux activités sociales telle que l'alphabétisation des immigrés. » Au lycée de jeunes filles, l'intérêt est plus grand sur ce qui s'est passé, sans réellement comprendre la signification des événements : « Les jeunes filles voudraient sortir du programme scolaire, se poser des sujets de réflexion, elles souhaitent une ouverture sur ce qui se passe ailleurs qu'entre les murs d'une classe. Beaucoup de jeunes filles ont souhaité une série de débats et de conférences sur l'éducation sexuelle. […] Il y a loin entre les désirs des adolescentes et les nôtres. Nous n'avions pas tant d'ambition, nos cours nous suffisaient. Une petite fête de temps à autre, étions-nous moins heureuses ? Je ne le crois pas. »

B. Essai d'adaptation

Cela étant, certaines de ces associations essaient de s'adapter : ainsi quelques-unes reprennent une des fonctions traditionnelle, l'aide à l'emploi, en la réinventant. Des forums des professions sont organisés, par exemple ou des prix de stages pour les élèves de l'établissement. Cette proposition a permis de recréer l'association dissoute dans l'ancien lycée de jeunes filles, devenu mixte : elle a sa place sur le site de l'établissement. En revanche, en 1963, l'association du lycée d'Amiens a même tenté, en vain, de créer un lycée de post-formation d'adulte ou dans les années 1990, de se rapprocher des élèves des classes préparatoires en organisant une journée d'intégration, une soirée galette des rois, a fait imprimer des T shirts.

Dans les écoles privées certains anciens jouent un rôle non négligeable dans le fonctionnement des établissements (association de gestion, parents d'élèves, recrutement). Par ailleurs, dans ces établissements, les anciens ont pu aussi retrouver une fonction politique, présente dans le passé. Ainsi, lorsque Alain Savary proposa la création d'un service public unifié et laïc de l'enseignement, l'association des anciens de La Providence prit position pour s'y opposer. Les motions des associations jésuites d'anciens élèves ont été relayées dans le Bulletin47 ; en 1984, une banderole marquée « les anciens élèves de la Providence » est présente dans le cortège des manifestations. Cela provoque des débats internes, certains anciens situés politiquement à gauche démissionnant avec fracas de l'association.

Conclusion

Les associations d'anciens élèves ont donc joué un rôle non négligeable tant que la massification de l'école n'a pas eu lieu. Associations de notables, dans le secondaire, associations de soutien à l'école publique dans le primaire, elles sont allées bien au-delà du simple maintien de liens entre des anciens membres d'une même institution.

Ces associations ont joué un rôle différent selon que l'on était en primaire ou en secondaire -les premières étaient de véritables petits centres culturels, avec leur bibliothèque, leur troupe de théâtre, leur musique, leur cours de gymnastique, les sorties organisées. D'autres structures ont depuis pris le relais. Les associations du secondaire, outre leur rôle en matière de bienfaisance, repris désormais par d'autres structures, sont des lieux de mémoire. Or, un conflit de mémoire s'est joué entre ce petit nombre d'élèves sélectionnés, socialement homogène, et le grand nombre d'élèves de maintenant qui peut garder le lien pour celles et ceux qui le souhaitent par d'autres moyens plus rapides et efficaces, notamment sur les réseaux sociaux.

Mais, elles ont vu peu à peu leur champ d'intervention se réduire et le public des anciens disparaître ou ne pas se renouveler. Là aussi, contrairement à une idée reçue, 1968 n'a pas tué les associations : elles étaient très largement en état de survie dès les années 1950. Lorsqu'elles subsistent, leur rôle est désormais assez marginal.

Annexe

  AAM, PIC 1764 : Assemblée générale du 16 décembre 1850. 34 AD80, 4M494 : projet de statut. 35 AD80, 408PER L'Éveil, n° 8,1930. Le premier numéro est paru en 1928. 36 AD80, 15PER1, Bulletin des anciens élèves des Frères, 1913, p. 2. 37 AD80, 458 PER1, Bulletin des anciennes élèves, 1930, p. 25.

  Répartition des associations existantes à Amiens entre 1849 et 1928 par ordre chronologique de création 48

	d'Amiens communale faubourg de		1896	Demonyencou
	Noyon					rt
	Amicale et fraternelle des Anciennes élèves de l'école	1889 1899	24-45 en 1896 Oscar Follet, 95 Vimeux,	Rue des Capucines, Tir -distribution des Ecole -continuer l'éducation
	anciens normale de jeunes filles de la élèves école			employé directrice	de de	prix -tombola-arbre de Noël, caisse professionnelle -aide matérielle
	communale laïque St-Jacques Somme			commerce l'école	St-	solidarité, concerts, patronage, campagne
						Pierre	anti-diphtérie bulletin
	E. Amicale des anciennes élèves Quinet, association	1889 1899	50-62 en 1896 Aubert, puis 25	5 rue Dupuis, tir école
	amicale des anciennes élèves de l'école de filles du			Setiau
	de l'Ecole communale du faubourg de Hem
	quartier Notre-Dame Anciens élèves du Pensionnat	1899	21		Choix de carrière -soutien matériel
	Ecole Saint-Roch Saint-Joseph		1889	45-89	André	Ecole -Tir -bibliothèque
	Ecole Saint-Pierre Amicale des anciennes élèves	1889 1899	71 -72 24	Narcisse David Ecole -Tir-cérémonie patriotique de Roche, école
	de l'école de Renancourt				directrice école	Dury, étrennes aux soldats sous les
	Société	post-scolaire,	1900		G.	Mertin,	drapeaux, concert, jeux, distraction école
	A Michelet St Maurice association amicale de l'école	1889	19 -53	Decamps directrice	Ecole -Tir cours adulte, biblio,
	primaire supérieure de jeunes				conférences populaires avec projections,
	filles d'Amiens						voyages,	instruction	civique,
	Anciens élèves de l'école libre	1900	19	Désiré Looren,	antialcoolisme, Ecole, bibliothèque, emploi, cours éducation sociale,
	Sainte-Anne					directeur	mutualité sociale, caisse des écoles, jardins d'adultes
	Association	pour	le	1900		Michaux,	ouvriers -Bulletin. Hospice pour aveugles
	Saint-Germain patronage des anciens élèves	1889	40-25	Dupont Victor Ecole -Tir-sorties cyclistes-courses à pieds adjoint au
	de l'hospice Saint-Victor				maire	-culture physique
	Saint-Leu Anciens élèves des écoles	1889 1900	46	Pruvot	Ecole -Tir-gymnastique-soutien aux école
	normales et de tous les				ouvriers-esprit nettement laïque-orchestre
	Renancourt membres de l'enseignement	1890	148	Leraillé	Ecole -Tir-fanfare-concert-concours
	public de la Somme					ballon
	Montières Association des anciennes	1890 1900	77	Rambure Laquerrière	Ecole -Tir-cours culture physique Rue Legrand d'Aussy
	Anciens élèves de l'école libre élèves de l'école de jeunes	1890		Fernand	Ecole -Bulletin
	St-Martin filles de la Vallée				Dautry
	Anciens élèves de l'école de Amicale des anciens élèves de	1890 1901	15-22 96	Boidin Lenglet,	Ecole de garçons, Tir en 1902 école
	garçons de Longpré l'école communale	du			directrice
	Amicale des anciens élèves de faubourg Saint-Maurice	1890	49-72	Boucher	Ecole
	Nom l'école de la Vallée Amicale et fraternelle des	Dates 1901	Membres à 36	président Tarlier,	Siège social et activités Ecole
	Anciens élèves de l'école du anciennes élèves de l'école Association de bienfaisance des anciens élèves du lycée Amiens Faubourg de Hem publique de Montières Association des anciens Association des filles du élèves de l'école pratique Sacré-Coeur Association de bienfaisance des anciens élèves de la Providence d'agriculture du Paraclet Association des anciens Petit-Saint-Jean élèves de Renancourt Anciens élèves de l'école Anciens élèves de l'école mutuelle Bapaume Anciens élèves de l'école Fédération des petites A Anciens élèves de l'institution d'apprentissage de la Société laïques arrondissement industrielle Amiens Saint-Louis Anciens élèves de l'annexe de l'école normale de garçons Lycée de Jeunes filles Association amicale des anciens élèves de l'école Union fraternelle des Saint-Martin d'Amiens Anciens élèves de l'école libre associations des anciens des Union départementale des élèves des écoles d'Amiens petites A laïques de la Saint-Fuscien Anciens élèves de La Neuville Pas fondée remplacée par Somme Fédération des anciens élèves Association amicale des des écoles communales anciennes élèves de la Sainte-d'Amiens Famille Ecole communale du Association amicale des Amicale de l'école primaire Ecole faubourg de Noyon Anciens élèves des Frères 1889 1890 1849 1891-1894 1902 1867 1903 1892 1908 1868-1893 1894 1909 1868 1878 1894 1910 1894 1880 1912 1884 1901 1927 Dissolution en 1999 1896 1927 1886 Société fraternelle amiénoise 1897 supérieure de garçons 1886 Ursulines faubourg de Beauvais anciennes élèves des	35-24 la création 20 -300 en 1865 ? 124 34-36 172 79 232 tireurs Flobert, 181 Jouvet 65 -180 en 1896 89-92 100 19 85 75 Entre 206 et 1 000 membres 112 70-110 200 -450 en Ernest Maillard directrice Mallet, banquier Paris (en 1865) Renouart Adolphe Dubos Ernest Mouret Ecole rue des 2 ponts Ecole de garçons bal Tir et gymn-jardins ouvriers Paris ou Amiens chez le président annuel café Périgord place Gambetta à Amiens -Rencontres amicales, bienfaisance -camaraderie -bulletin Bulletin Ecole -Ecole Rencontres amicales, bienfaisance -Tir-conférences littéraires et scientifiques-Ecole. Musique, tir, sports, théâtre Bulletin Louis Bazille, rentier prix-fanfare (1912) Ecole ; rencontres amicales, bienfaisance, Armand Ecole -distribution des prix, tombola, Fernand emplois et récompenses Boucher exposition de travaux d'élèves Desachy Ecole rue Laurendeau -disparue depuis Minotte Camaraderie, bienfaisance, voyages, Amitiés -Jardin ouvrier -défense école Ecole -Disparue depuis 1991 (création des bulletin privée IUFM) -bulletin Laruelle Développer goût du tir, former de bons Cordier Georges tireurs, d'encourager l'instruction Domicile du président -école disparue. Coordonner et fortifier l'action commune des associations tt en laissant à chaque Ecole -Jeux de quille-Concert-Tir-foot-Hugot, EPS groupe son autonomie propre et sa Amitiés -défense enseignement chrétien -course à pieds-bibliothèque-exposition complète indépendance Bulletin scolaire, hommage guerre 1870, oeuvre de la bouchée de pain, caisse des victimes du Bonnemain 2 Route de Paris Conférences spirituelles, broderie, retraite, devoir, conférences, promenade Dollé Gouverneur anciens élèves des écoles communales rue Lavallard -bulletin Léon Etendre les relations existant entre les Ecole rue Vascosan-tir-soirée dansante exposition ouvrière-conférences 220 membres Hugot bal-gymnastique (dissoute 1908)-théâtre-école Tir-fanfare (1900 -55 concerts en 1905)-pèlerinage à Rome
							d'Amiens -aide aux associations amicales
	Anciennes élèves de l'école 1898		Mallet A	école

AD80, 4M471 et 4M494 : cercle des étudiants en médecine et pharmacie de l'école d'Amiens (1885).

Bruno Poucet (dir.), Histoire de l'enseignement supérieur en Picardie (1804-1970), Amiens, Encrage, 2015.

Archives d'Amiens métropole (désormais AAM), IR34-1 et 2 ; 1R34.

AD80, 4M410 : associations laïques de bienfaisance ; 4M494 : amicales d'anciens élèves.

JORF du 2 juillet 1901, loi relative au contrat d'association : « Les associations de personne pourront se former librement sans autorisation ni déclaration préalable (article 2) ; aucune congrégation religieuse ne peut se former sans une autorisation donnée par une loi qui déterminera les conditions de son fonctionnement (article 13) ».

AAM, PIC, 1764, association de bienfaisance des anciens élèves du collège d'Amiens (1849-1856), documents recueillis par M. Garet.

L'association publie à partir de 1813 Fêtes annuelles des anciens élèves de Sainte-Barbe qui devient en 1857 l'Annuaire de l'association amicale des anciens barbistes.

L'association publie à partir de 1830 le Banquet annuel des anciens élèves du Collège de Juilly.

Jean-Paul Martin, La Ligue de l'enseignement, une histoire politique, op. cit., p. 117-119.

Ferdinand Buisson, Nouveau Dictionnaire de pédagogie et d'instruction publique, op. cit. p. 542 « « élèves ». AD80, 4M444 : sociétés théâtrales.

L'association du lycée d'Amiens publie en 1949 un annuaire du centenaire rédigé en partie par René Normand et un ouvrage en 2003 pour le bicentenaire du lycée. Mais, ces ouvrages se vendront peu.

60 ans, DVD, Les docs militants, 2013.

Elles sont fédérées dans la COFAEC, (Confédération des amicales des écoles catholiques), héritière de la Fédération des amicales fondée en 1904.

AMA, 1R34/1-2 ; AD80, 4M494 : amicales d'anciens élèves.


Manon Costa
email: manon.costa@math.univ-toulouse.fr

Pascal Maillard
email: pascal.maillard@math.univ-toulouse.fr

Anthony Muraro
email: anthony.muraro@math.univ-toulouse.fr

COMPLETE CHARACTERIZATION OF STABILITY OF A DISCRETE-TIME HAWKES PROCESS WITH INHIBITION AND MEMORY OF LENGTH TWO

Keywords: Hawkes process, Inhibition, Markov chain, Autoregressive process, Ergodicity, Lyapunov functions. MSC2020 Classification: 60J20, 62M10, 39A30

Introduction

The motivation of this paper is to pave the way for obtaining sufficient and necessary conditions for the stability of non-linear Hawkes processes with inhibition. Hawkes processes are a class of point processes used to model events that have mutual influence over time. They were initially introduced by Hawkes (1971) ( [START_REF] Hawkes | Spectra of Some Self-Exciting and Mutually Exciting Point Processes[END_REF], [START_REF] Hawkes | A Cluster Process Representation of a Self-Exciting Process[END_REF]) and are now used in a variety of fields such as finance, biology, and neuroscience.

More precisely, a Hawkes process (N h t ) t∈R = N h ([0, t] ) t∈R is defined by its initial condition on (-∞, 0] and its stochastic conditional intensity denoted by Λ, characterized by :

Λ(t) = ϕ λ + t -∞ h(t -s)N h (ds) , (1)
where λ > 0, h : R + → R and ϕ : R → R + are measurable, deterministic functions (see [START_REF] Daley | An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume I: Elementary Theory and Methods[END_REF] for further details). The function h is called the reproduction function, and contains the 1 information of the behaviour of the process throughout time. In the case where ϕ is nondecreasing, the sign of the function h encodes for the type of time dependence: when h is non-negative, the process is said to be self-exciting; when h is signed : the negative values of h can then be seen as self-inhibition (see [START_REF] Cattiaux | Limit theorems for hawkes processes including inhibition[END_REF] and [START_REF] Costa | Renewal in Hawkes processes with self-excitation and inhibition[END_REF]). The case where h ≥ 0 and ϕ = id is called the linear case. Considering signed functions h requires to add non-linearity by the mean of a function ϕ which ensures that the intensity remains positive. In this paper, we will focus on the particular case where ϕ = (•) + is the ReLU function defined on R by (x) + = max(0, x).

Several authors have established sufficient conditions on h ensuring the existence of a stable version of this process. For signed h, Brémaud and Massoulié [START_REF] Bremaud | Stability of Nonlinear Hawkes Processes[END_REF] proved that a stable version of the process exists if ∥h∥ 1 < 1. In [START_REF] Costa | Renewal in Hawkes processes with self-excitation and inhibition[END_REF], Costa et al. proved that it is sufficient to have ∥h + ∥ 1 < 1, where h + (x) = max(h(x), 0) using a coupling argument. Unfortunately, this sufficient criterion does not take into account the effect of inhibition, captured by the negative part of h. Going further is difficult because non-linearity breaks the direct link between the function h and the probabilistic structure of the Hawkes process. Recent results have been obtained by [START_REF] Bonde | Stability for Hawkes processes with inhibition[END_REF] for a two dimensional non-linear Hawkes process with weighted exponential kernel, modeling the case of two populations of interacting neurons including both inhibition and excitation. The author provide a criterion on the weight function matrix for stability exploiting the Markovian structure of the Hawkes process in that case. It is noteworthy that the stability condition [14, Assumption 1.2] is similar to the case R 2 of this paper, by reinterpreting the meaning of our parameters to correspond to those of the model described in [START_REF] Bonde | Stability for Hawkes processes with inhibition[END_REF]. Our work focuses on a simpler process due to its discrete-time nature, yet the significance of our study lies in providing an almost complete classification of its asymptotic behaviour without requiring assumptions on the parameter values of the model.

In order to get an intuition on the results that one might obtain on Hawkes processes, we choose to consider a simplified, discrete analog of those processes. Namely we will study an autoregressive process ( Xn ) n≥1 with initial condition ( X0 , . . . , X-p+1 ) where p ∈ {1, 2, . . . }, and such that:

∀n ≥ 1, Xn ∼ P ϕ a 1 Xn-1 + • • • + a p Xn-p + λ , (2)
where P(ρ) denotes the Poisson distribution with parameter ρ, and a 1 , . . . , a p are real numbers.

In the linear case (a 1 , . . . , a p non-negative, and ϕ(x) = x) these integer-valued processes are called INGARCH processes, and have already been studied in ( [START_REF] Ferland | Integer-Valued GARCH Process[END_REF], [START_REF] Fokianos | Interventions in INGARCH processes[END_REF]), where a necessary condition for existence and stability of this class of processes has been derived and can be written p i=1 a i < 1. Furthermore, the link between Hawkes processes and autoregressive Poisson processes has already been made for the linear case : M. Kirchner proved that the discretized autoregressive process (with p = +∞) converges weakly to the associated Hawkes process (see [START_REF] Kirchner | Hawkes and inar (∞) processes[END_REF] for details). Although this convergence has only been demonstrated in the linear case, i.e., with positive a i , it seemed valuable to us to understand the modifications induced by the presence of inhibition on the asymptotic behavior of these processes. An analogous discrete process has been proposed by Seol [START_REF] Seol | Limit theorems for discrete hawkes processes[END_REF] using an autoregressive structure based on Bernouilli random variables.

In order to explore the effect of inhibition, we consider signed values for the parameters a 1 , . . . , a p . In this article, we focus on the specific case of p = 2, so that our model of interest can be written as :

∀n ≥ 2, Xn ∼ P a Xn-1 + b Xn-2 + λ + , (3)
with a, b ∈ R and X0 , X1 ∈ N. (In this paper we will use the convention 0 ∈ N).

In this paper, the most important result is the classification of the process defined in (3). Note that the complete characterization of the behavior of this simple process is difficult due to the variety of behaviors observed. We will prove that the introduction of non-linearity through the ReLU function makes the process more stable relatively to its linear counterpart, in the sense that the parameter space (a, b) ∈ R 2 for which the linear process y n+1 = ay n + by n-1 + λ admits a stationary version is strictly a subset of the parameter space for which the nonlinear process admits a stationary version ( see Appendix A.). Our results also enlighten the complex role of inhibition and in particular the asymmetric role of a and b associated with the range at which inhibition occurs. Our work suggests the existence of complex algebraic and geometric structures that are likely to play an important role in the more general case of a memory of order p. In order to obtain our results, we used a wide range of probabilistic tools, corresponding to the variety of the behaviours of the trajectories of the process, depending on the parameters of the model.

Notations, definitions and results

2.1. Definition and main result. Let a, b ∈ R and λ > 0. We consider a discrete time process ( Xn ) n≥1 with initial condition ( X0 , X-1 ) such that the following holds for all n ≥ 1:

conditioned on X-1 , . . . , Xn-1 : Xn ∼ P a Xn-1 + b Xn-2 + λ + ,
where (•) + is the ReLU function defined on R by (x) + := max(0, x).

As we said previously, some papers have already been dealing with the linear version of this process : if a and b are non-negative, the parameter of the Poisson random variable in (3) is also non-negative, and the ReLU function vanishes. In this case, Proposition 1 in [START_REF] Ferland | Integer-Valued GARCH Process[END_REF] states that the process is a second-order stationary process if a + b < 1. This weak stationarity ensures that the mean, variance and autocovariance are constant with time.

Let us define the function

b c (a) =      1 a ≤ 0 1 -a a ∈ (0, 2) -a 2 4
a ≥ 2 and define the following sets (see Figure 1):

R = (a, b) ∈ R 2 : b < b c (a) (4)
T = (a, b) ∈ R 2 : b > b c (a) . (5)
Our main result is the following Theorem 1.

• If (a, b) ∈ R, then the sequence ( Xn ) n≥0 converges in law as n → ∞.

• if (a, b) ∈ T , then the sequence ( Xn ) n≥0 satisfies that almost surely Xn + Xn+1 -→ n→∞ +∞ .

This result derives from the study of the natural Markov chain associated with Xn that is defined by: X n := ( Xn , Xn-1 ), n ≥ 0 . (6) Before giving more details about the behaviour of (X n ) n≥0 , let us comment on Theorem 1. In particular, we stress that the condition for convergence in law is not symmetrical in a and b. More precisely, for any a ∈ R, the sequence ( Xn ) can be tight provided that b is chosen small enough, but the converse is not true as soon as b > 1. This induces that inhibition has a stronger regulating effect when occurs after an excitation, rather than before.

The question of the critical behavior of the process on the boundary {b = b c (a)} remains open and presents us a difficult question for further work.

2.2. The associated Markov chain. As mentioned above, the main part of the article is devoted to the study of a Markov chain (X n ) which encodes the time dependency of ( Xn ). We will rely on the recent treatment by Douc, Moulines, Priouret and Soulier [START_REF] Douc | Markov chains[END_REF] for results about Markov chains. In particular, we use their notion of irreducibility, which is weaker than the usual notion of irreducibility typically found in textbooks on Markov chains (on discrete state space). Thus, a Markov chain is called irreducible if there exists an accessible state, i.e., a state that can be reached with positive probability from any other state. Following Douc, Moulines, Priouret and Soulier [START_REF] Douc | Markov chains[END_REF], we refer to the usual notion of irreducibility (i.e., every state is accessible) as strong irreducibility.

The transition matrix of the Markov chain (X n ) n≥0 defined in ( 6) is thus given for (i, j, k, l) ∈ N 4 by:

P ((i, j), (k, ℓ)) = δ iℓ e -s ij s k ij k! , (7)
where :

s ij := (ai + bj + λ) + and δ ij := 1 if i = j 0 else .
In other words, starting from a state (i, j), the next step of the Markov chain will be (k, i) where k ∈ N is the realization of a Poisson random variable with parameter s ij . In particular, if s ij = 0, then the next step of the Markov chain is (0, i).

Since the probability that a Poisson random variable is zero is strictly positive, it is possible to reach the state (0, 0) with positive probability from any state in two steps. In particular, the state (0, 0) is accessible and the Markov chain is irreducible. Furthermore, the Markov chain is aperiodic [5, Section 7.4], since P ((0, 0), (0, 0)) = e -λ > 0. Note that strong irreducibility may not hold (see Proposition 2 in the appendix).

Recall the definition of the sets R and T in (4) and (5).

Theorem 2.

• Let (a, b) ∈ R. Then the Markov chain (X n ) n≥0 is geometrically ergodic, i.e., it admits an invariant probability measure π and there exists β > 1, such that for every initial state,

β n d T V (Law(X n ), π) → 0, n → ∞
, where d T V denotes total variation distance.

• Let (a, b) ∈ T . Then the Markov chain is transient, i.e., every state is visited a finite number of times almost surely, for every initial state. Theorem 1 is a simple consequence of this result. Indeed, in the case of (a, b) ∈ R, the convergence in law of Xn simply derives from the convergence in law of X n since Xn is the first coordinate of X n . In the transient case, (a, b) ∈ T the result in Theorem 1 simply derives from the fact that

||X n || 1 → n→∞ ∞ almost surely.
The rest of the article is devoted to the proof of Theorem 2. We first focus on the recurrent case in Section 3, then on the transient case in Section 4. Throughout this paper, we will provide typical trajectories of the considered cases. For the sake of clarity, we have plotted the realizations of (X n ) n=0,...,N by connecting its successive realizations. Unless otherwise stated for coherence purpose, we always set X 0 = (0, 0) and λ = 1 for our plots.

Proof of Theorem 2: recurrence

In this section, we prove the recurrence part of Theorem 2. The proof goes by exhibiting three functions satisfying Foster-Lyapounov drift conditions for different ranges of the parameters (a, b) covering the whole recurrent regime R.

3.1.

Foster-Lyapounov drift criteria. Drift criteria are powerful tools that have been introduced by Foster [START_REF] Foster | On the Stochastic Matrices Associated with Certain Queuing Processes[END_REF], and deeply studied, and popularized, by Meyn and Tweedie [START_REF] Meyn | Markov Chains and Stochastic Stability. Communications and control engineering series[END_REF], among others. These drift criteria allow to prove convergence to the invariant measure of Markov chains and yield explicit rates of convergence. We use here the treatment from Douc, Moulines, Priouret and Soulier [START_REF] Douc | Markov chains[END_REF], which is influenced by Meyn and Tweedie [START_REF] Meyn | Markov Chains and Stochastic Stability. Communications and control engineering series[END_REF], but is more suitable for Markov chains which are irreducible but not strongly irreducible.

A set of states C ⊂ N 2 is called petite [5, Definition 9.4.1], if there exists a state x 0 ∈ N 2 and a probability distribution (p n ) n∈N on N such that inf x∈C n∈N

p n P n (x, x 0 ) > 0,
where we recall that P n (x, x 0 ) is the n-step transition probability from x to x 0 . Since the Markov chain (X n ) n≥0 is irreducible, any finite set is petite (take x 0 to be the accessible state) and any finite union of petite sets is petite [START_REF] Douc | Markov chains[END_REF]Proposition 9.4.5].

Let V : N 2 → [1, ∞) be a function, ε ∈ (0, 1], K < ∞ and C ⊂ N 2 a set of states. We say that the drift condition D(V, ε, K, C) is satisfied if ∆V (x) := E x [V (X 1 ) -V (X 0 )] ≤ -εV (x) + K1 C , where E x [ • ] = E[ • | X 0 = x]. It is easy to see that this condition implies condition D g (V, λ, b, C) from [5, Definition 14.1.5], with λ = 1 -ε and b = K. Proposition 1. Assume that the drift condition D(V, ε, K, C
) is verified for some V , ε, K and C as above and assume that C is petite. Then there exists β > 1 and a probability measure π on N 2 , such that, for every initial state x ∈ N 2 ,

β n × y∈N 2 V (y)|P x (X n = y) -π(y)| → 0, n → ∞.
In particular, for every initial state x ∈ N 2 ,

β n d T V (Law(X n ), π) → 0, n → ∞
and π is an invariant probability measure for the Markov chain (X n ) n≥0 .

Proof. As mentioned in Section 2.2, the Markov chain is irreducible and aperiodic. The first statement then follows by combining parts (ii) and (a) of Theorem 15.1.3 in [START_REF] Douc | Markov chains[END_REF] with the remark preceding Corollary 14.1.6 in [START_REF] Douc | Markov chains[END_REF]. The second statement immediately follows, noting that V ≥ 1. □

We will consider separately the following ranges of the parameters:

R 1 = {(a, b) ∈ R 2 : a, b < 1 and a + b < 1} , R 2 = {a > 0 and a 2 + 4b < 0} , R 3 = {1 ≤ a < 2 and -1 < b < 1 -a} .
We then have

R = R 1 ∪ R 2 ∪ R 3 , see Figure 2. a b 1 -1 1 b = -a 2 4 b = 1 -a R 1 R 2 R 3 Figure 2.
Illustration of the three zones of parameters on which the proof of ergodicity will be carried.

3.2.

Case R 1 . This case is the natural extension of the results that have been already proved for the linear process (see Proposition 1 in [START_REF] Ferland | Integer-Valued GARCH Process[END_REF]). Let V : N 2 → R + be the function defined by

V (i, j) := αi + βj + 1,
where α, β > 0 are parameters to be chosen later.

We then have that V (i, j) ≥ 1 for all (i, j) ∈ N 2 . We look for ε > 0 such that ∆V (x) + εV (x) ≤ 0 except for a finite number of x ∈ N 2 .

Let ε > 0 to be properly chosen later. Then,

∆V (i, j) + εV (i, j) = k∈N e -s ij s k ij k! (αk + βi + 1) -(αi + βj + 1) + ε(αi + βj + 1) = αs ij + i(β -α + αε) + j(βε -β) + ε ,
Note that s ij = 0 or s ij = ai + bj + λ > 0. In both cases, ∆V + εV is a linear function of (i, j) ∈ N 2 . We will thus choose α, β such that the coefficients of ∆V + εV are negative, so there will be only a finite number of (i, j) that satisfies ∆V (i, j) + εV (i, j) ≥ 0.

Let us first consider couples (i, j) such that s ij = 0. According to the above, it is sufficient to have :

β -α + αε < 0 βε -β < 0 ⇐⇒ β < α(1 -ε) ε < 1 .
In the sequel, we impose ε < 1.

If

s ij = ai + bj + λ > 0, then : ∆V (i, j) + εV (i, j) = i(αa -α + β + αε) + j(αb + βε -β) + λα + ε.
For the same reasons as before, it is sufficient to have α, β > 0 such that :

αa -α + β + αε < 0 αb + βε -β < 0 ⇐⇒ β < α(1 -a -ε) β > αb 1 -ε (since ε < 1)
.

Let α := 1. With the above statements we thus want to choose β, ε > 0 such that :

b 1 -ε < β < 1 -a -ε β < 1 -ε i.e., b 1 -ε < β < min{1 -a -ε, 1 -ε}.
Recall that a + b < 1, so it is possible to find ε 0 ∈ (0, 1) small enough so that :

∀ε ≤ ε 0 , b 1 - ε < 1 -a -ε. -If a ≥ 0, then min{1 -a -ε, 1 -ε} = 1 -a -ε and since a < 1, we can choose ε ≤ ε 0 so small that b 1 -ε < β < min{1 -a -ε, 1 -ε} on one hand, and 1 -a -ε > 0 on the other hand. It is thus possible to choose β > 0 such that : b 1 -ε < β < min{1 -a -ε, 1 -ε}. -If a < 0, then min{1 -a -ε, 1 -ε} = 1 -ε. Since b < 1, it is possible to set ε ≤ ε 0 so small that b < (1 -ε) 2 . Hence we have b 1 -ε < 1 -ε,
so that it is possible to choose β > 0 that satisfies our constrains. Note that ∆V (0, 0) = λ > 0. Hence, with α, β, ε > 0 chosen as above, we have that :

∆V (i, j) ≤ -εV (i, j) except for a finite number of states (i, j) ∈ N 2 .
This proves that a drift condition D(V, ε, C) holds for finite set C, which yields the result.

3.3. Case R 2 . In this section, we assume that a > 0 and a 2 + 4b < 0. The Lyapounov function we will consider is the following one:

∀(i, j) ∈ N 2 , V (i, j) = i j + 1 + 1.
Before getting into the details, a remark about this function. While we initially discovered it by trial and error, it has an interesting geometric interpretation. As seen in Figure 3, in case R 2 , the macroscopic trajectories of the Markov chain tend to turn counterclockwise until they hit the j-axis and eventually get pulled back to (0, 0). This provides a heuristic understanding of why V should be a Lyapounov function. Indeed, it is an increasing function of the angle between the vector (i, j) and the j-axis, and therefore V (X n ) should have a tendency to decrease whenever X n is far away from the j-axis.

We now turn to the details. We will need to distinguish the region A of the states (i, j) where s ij = 0 (shown in red in Figure 3):

A := (i, j) ∈ N 2 : s ij = 0 = (i, j) ∈ N 2 : ai + bj + λ ≤ 0 . ( 8
)
We have the following lemma:

Lemma 1. The set A is petite.
Proof. By definition of A, we have s ij = 0 for all (i, j) ∈ A, hence P ((i, j), (0, i)) = 1. Furthermore, for every i ∈ N, since b < -a 2 /4 < 0, we have

P ((0, i), (0, 0)) = e -s 0i = e -(λ+bi) + ≥ e -λ .

It follows that inf

(i,j)∈A P 2 ((i, j), (0, 0)) ≥ e -λ > 0, which shows that A is petite. □ Lemma 2. There exists a finite set C ⊂ N 2 and ε ∈ (0, 1), such that the drift condition D(V, ε, K, A ∪ C) is satisfied for some K < ∞.

Proof. Since a 2 4 + b < 0, there exists ε ∈ (0, 1) small enough such that (a+ε)

2 4 + b(1 -ε) < 0.
Consider (i, j) ̸ ∈ A, and compute :

∆V (i, j) + εV (i, j) = (ε -1)i 2 + bj 2 + (a + ε)ij + L 1 (i, j) (i + 1)(j + 1) ,
where L 1 (i, j) is a polynomial of degree 1.

On the numerator we recognize a quadratic form, and as (a+ε) 2

4

+ b(1ε) < 0, we have that this quadratic form is negative-definite. Thus, there is only a finite number of (i, j) ̸ ∈ A such that ∆V (i, j) + εV (i, j) > 0. We define C ⊂ N 2 \ A to be the finite set of such (i, j).

Note that for every (i, j) ∈ A, we have ), the finiteness of K following from the fact that C is finite, we have that the drift condition D(V, ε, K, A ∪ C) is satisfied. Figure 4 illustrates the cutting of the state space that we just described. □

∆V (i, j) + εV (i, j) ≤ E (i,j) [V (X 1 )] = V (0, i) = 1. Hence, setting K = 1 ∨ max x∈C E x [V (X 1 )] ∈ [1, ∞
In the case R 2 , by Lemma 1 and Lemma 2, we can now apply Proposition 1. Note that A ∪ C is petite because A is petite (Lemma 1), C is finite, hence petite, and the union of two petite sets is again petite. This yields the proof of the case R2 of Theorem 2. 4 < b < 1a. However, for the sake of conciseness, we will prove the ergodicity of the Markov chain on a larger space, namely R 3 . As a consequence, this case will cover some parameters sets which have already been considered in case R 2 . Note that this does not represent any issue in our strategy of proof. The choice of R 3 will become clearer later on.

We will thus assume here that 1 ≤ a < 2 and -1 < b < 1a. Let us denote by V the following function :

∀(i, j) ∈ N 2 , V (i, j) := 1 + i 2 -aij + b 2 + 1 2 j 2 1 A c (i, j).
First notice that the quadratic form in V is positive-definite. Indeed, if 1 ≤ a < 2, then b 2 > (1a) 2 and :

4 × b 2 + 1 2 -a 2 > 2(1 -a) 2 + 2 -a 2 = (a -2) 2 > 0.
Thus, the function V satisfies V ≥ 1.

Compute, for (i, j) ̸ ∈ A and ε ∈ (0, 1) to be properly chosen later :

∆V (i, j) + εV (i, j) = ∞ k=0 e -s ij s k ij k! V (k, i) + (ε -1)V (i, j) ≤ ∞ k=0 e -s ij s k ij k! 1 + k 2 -aki + b 2 + 1 2 i 2 + (ε -1)V (i, j) = s ij (s ij + 1) -ais ij + b 2 + 1 2 i 2 + (ε -1)V (i, j) + 1 = b 2 -1 2 + ε i 2 + a(b + 1 -ε)ij + b 2 (1 + ε) + ε -1 2 j 2 + L 2 (i, j),
where L 2 (i, j) is a polynomial of degree 1.

We want to choose ε ∈ (0, 1) such that the above quadratic form is negative-definite, that is, such that :

b 2 -1 2 + ε < 0, and b 2 -1 2 + ε b 2 (1 + ε) + ε -1 2 - a 2 4 (b + 1 -ε) 2 > 0. (9)
On the one hand, we have b 2 -1 < 0. On the other hand, the second inequality in ( 9) can be written as follows :

(b 2 -1) 2 -a 2 (b + 1) 2 + k ε,a,b > 0, where k ε,a,b ∈ R satisfies k ε,a,b -→ ε→0 0.
In addition, note that :

(a, b) ∈ R 3 =⇒ (b 2 -1) 2 -a 2 (b + 1) 2 > 0.
From the foregoing, we deduce that there exists ε ∈ (0, 1) small enough such that both conditions of (9) are satisfied. Thus, there is only a finite number of (i, j) ̸ ∈ A such that ∆V (i, j) + εV (i, j) > 0. We define C ⊂ N 2 \ A to be the finite set of such (i, j).

Finally, similarly as in Lemma 1, the set A is petite, because b < 1a ≤ 0. Furthermore similarly as in the case R 2 , for all (i, j) ∈ A, E (i,j) (V (X 1 )) = V (0, i) is bounded, since (0, i) ∈ A except for a finite number of i. Since the set C is finite, we have that A ∪ C is a petite set and up to an adequate choice of K the drift condition D(V, ε, K, A ∪ C) is satisfied.

Proof of Theorem 2: transience

In this section, we show that the Markov chain (X n ) n≥0 is transient in the regime T of the parameters. We will distinguish between the following two cases:

• Case T1 : a < 0, b > 1 (section 4.1).

• Case T2 : 0 ≤ a < 2 and a + b > 1 or a ≥ 2 and a 2 + 4b > 0 (section 4.2). In both cases, we will apply the following lemma: Lemma 3. Let S 1 , S 2 , . . . be a sequence of subsets of N 2 and 0 < m 1 < m 2 < . . . an increasing sequence of integers. Suppose that (1) On the event n≥1 {X mn ∈ S n }, we have X n ̸ = (0, 0) for all n ≥ 1, (2) P (0,0) (X m 1 ∈ S 1 ) > 0 and for all n ≥ 1 and every x ∈ S n , we have P x (X m n+1 -mn ∈ S n+1 ) > 0.

(3) There exist (p n ) n≥1 taking values in [0, 1] and such that n≥1 (1

-p n ) < ∞, such that ∀n ≥ 1 : ∀x ∈ S n : P x (X m n+1 -mn ∈ S n+1 ) ≥ p n .
Then the Markov chain (X n ) n≥0 is transient.

Proof. Since (0, 0) is an accessible state, it is enough to show that

P (0,0) (X n ̸ = (0, 0) , ∀n ≥ 1) > 0.
Using assumption 1, it is sufficient to prove that

P (0,0) (X mn ∈ S n , ∀n ≥ 1) > 0. ( 10
)
By assumption 3, there exists n 0 ≥ 1 such that n≥n 0 p n > 0. It follows that for every x ∈ S n 0 ,

P x (X mn-mn 0 ∈ S n , ∀n > n 0 ) ≥ n≥n 0 p n > 0.
Furthermore, by assumption 2, we have that P (0,0) (∀n ≤ n 0 , X mn ∈ S n ) > 0. Combining the last two inequalities yields [START_REF] Hawkes | Spectra of Some Self-Exciting and Mutually Exciting Point Processes[END_REF] and finishes the proof. □ 4.1. Case T1. In this region of parameters, the Markov chain eventually reaches the i and j axes. Indeed, since a < 0, if (X n ) hits a state (i, 0) with i ≥ -λ a , as s i0 = (ai + λ) + = 0, the next step of the Markov chain will be (0, i). Afterwards, the Markov chain will hit the state (P(bi + λ), 0), with bi + λ > i. Consequently, to follow the example, if we focus on the i axe, starting from (k, 0) with k big enough, the Markov chain will return in two steps to a state (k ′ , 0) belonging to the i-axe, satisfying k ′ > k with high probability. In order to formalize these observations, it is very natural to consider the Markov chain induced by the transition matrix P 2 , namely (X 2n+1 ) n≥0 . For i ≥ -λ a , s i0 = 0 and thus :

P X 2n+1 = (k, 0) X 2n-1 = (i, 0), i ≥ -λ a = e -s 0i s k 0i k! = e -(bi+λ) (bi + λ) k k! . ( 11
)
Note that if a ≤ -λ, this results holds for i ∈ N. Equation [START_REF] Hawkes | A Cluster Process Representation of a Self-Exciting Process[END_REF] means that if X2n-1 ≥ -λ a , and X2n-2 = 0, then X2n = 0, and X2n+1 is a Poisson random variable with parameter b X2n-1 + λ.

Let us now prove our statement.

Proof of the transience of (X n ) when a < 0 and b > 1. Fix r ∈ (1, b). We wish to apply Lemma 3 with

m n = 2n -1, n ≥ 1 and S n = {(i, 0) ∈ N : i ≥ r n }.
We verify that the assumptions ( 1)-( 3) from Lemma 3 hold. For the first assumption, note that if X 2n-1 = (i, 0) ∈ S n , then X 2n = (j, i) for some j, hence X 2n-1 ̸ = (0, 0) and X 2n ̸ = (0, 0) since i ≥ 1. In particular, assumption (1) holds. We now verify that the second assumption holds. For states x, y ∈ N 2 , write x → 1 y if P x (X 1 = y) > 0. Furthermore, for S ⊂ N 2 , write x → 1 S if x → 1 y for some y ∈ S. Note that (0, 0) → 1 (i, 0) for every i ∈ N, so that (0, 0) → 1 S 1 . Now, for every i ∈ N, we have (i, 0) → 1 (0, i), and then, because b > 0, (0, i) → 1 (j, 0) for every j ∈ N. In particular, from every x ∈ S n , we can indeed reach S n+1 in two steps. Hence, the second assumption is verified as well.

We now prove the third assumption. We claim that there exists n 0 ∈ N, such that the following holds:

∀n ≥ n 0 , ∀x ∈ S n : P x (X 2 ∈ S n+1 ) ≥ 1 - b (b -r) 2 r n . ( 12
)
To prove [START_REF] Kirchner | Hawkes and inar (∞) processes[END_REF], first note that according to the earlier remark on [START_REF] Hawkes | A Cluster Process Representation of a Self-Exciting Process[END_REF], if n 0 is chosen such that r n 0 ≥ -λ/a, then starting from a state (i, 0) with i ≥ r n 0 , we have X1 = 0 almost surely and X2 ∼ P(bi + λ). Therefore, if n ≥ n 0 and i ≥ r n ≥ r n 0 ,

1 -P (i,0) ( X2 ≥ r n+1 , X1 = 0) = P (i,0) ( X2 < r n+1 ) ≤ P P(bi + λ) < r n+1 ≤ P P(br n ) < r n+1 = P (P(br n ) -br n < r n (r -b)) ≤ P (|P(br n ) -br n | > r n (b -r)) ≤ b (b -r) 2 r n ,
by the Bienaymé-Chebychev inequality. This proves [START_REF] Kirchner | Hawkes and inar (∞) processes[END_REF]. Now, (12) implies,

∀x ∈ S n : P x (X 2 ∈ S n+1 ) ≥ p n := 1 - b (b -r) 2 r n + , and n≥1 (1 -p n ) ≤ n≥1 b (b -r) 2 r n < ∞.
This proves that the third assumption of Lemma 3 holds. The lemma then shows that the Markov chain is transient. □

4.2.

Case T2: 0 ≤ a < 2 and a + b > 1 or a ≥ 2 and a 2 + 4b > 0. For this case, we will take benefit of the comparison between the stochastic process ( Xn ) and its linear deterministic version. Namely, let us consider the linear recurrence relation defined by y 0 , y 1 ∈ N and : A. for more details). An easy calculation shows that in case T2, we have a 2 + 4b > 0, hence the eigenvalues are simple and real-valued. We denote the largest eigenvalue by:

∀n ≥ 0, y n+2 = ay n+1 + by n + λ. ( 13
)
θ := a + √ a 2 + 4b 2 .
The following holds in case T2, as can be easily verified:

θ > 1 ( 14
)
θ 2 + b > 0. ( 15
)
In fact, one can check that case T2 exactly corresponds to the region in the space of parameters a, b where θ > 1, meaning that the sequence (y n+1 , y n ) n≥0 , with (y n ) n≥0 the solution to [START_REF] Meyn | Markov Chains and Stochastic Stability. Communications and control engineering series[END_REF], grows exponentially inside the positive quadrant, along the direction of the eigenvector (θ, 1).

In what follows, we fix 1 < r < θ, such that

r 2 -ar -b < 0, ( 16
)
where we use the fact that θ > 1 is the largest root of the polynomial X 2 -aXb.

We split our study into two different sub-cases depending on the sign of b.

4.2.1. Subcase T2a : b ≥ 0. In this case, we have a Xn + b Xn-1 + λ > 0 for all n ∈ N, and so Xn+1 ∼ P(a Xn + b Xn-1 + λ), i.e., no truncation is necessary. It is classical that in this case, Xn grows exponentially in n almost surely, but we provide a simple proof for completeness. We therefore apply Lemma 3 with the sequence m n = n and

S n = {(i, j) ∈ N 2 , i ≥ r n , j ≥ r n-1 }.
With these notations, assumption 1 is automatically satisfied. Assumption 2 is also satisfied, because (i, j) → 1 (k, i) for every i, j, k ∈ N, since ai + bj + λ > 0 for every i, j ∈ N as explained above.

In order to prove assumption 3, let us consider n ∈ N and let (i, j) ∈ S n . By definition, starting from (i, j), X1 ∼ P(ai + bj + λ). Thus, P (i,j) ( X1 < r n+1 ) = P P(ai + bj + λ) < r n+1 ≤ P P(ar n + br n-1 ) < r n+1

= P P(ar n + br n-1 ) -(ar n + br n-1 ) < r n-1 (r 2arb) .

Recall that r 2arb < 0 by (16), which implies :

P (i,j) ( X1 < r n+1 ) ≤ P P(ar n + br n-1 ) -(ar n + br n-1 ) > -r n-1 (r 2 -ar -b) ≤ (a + b)r 2 r n (r 2 -ar -b) 2 ,
where we used again the Bienaymé-Chebychev inequality. Thus

P (i,j) (X 1 ∈ S n+1 ) ≥ 1 - (a + b)r 2 r n (r 2 -ar -b) 2 + =: p n .
This allows to conclude the proof with Lemma 3, as in the previous case. 4.2.2. Subcase T2b : b < 0. In this case, because of the negativity of b it is more difficult to find an adequate lower-bound of a Xn + b Xn-1 . We will thus prove a stronger result, which is illustrated on Figure 6 : asymptotically, the process ( Xn ) grows exponentially and the ratio Xn+1 / Xn is close to θ.

From ( 16) and ( 15), we can choose ε > 0 small enough such that :

r 2 -a(r -ε) -b < 0 (17) θ 2 -θε + b > 0. (18)
We will use Lemma 3 using m n = n and for n ∈ N * :

S n = (i, j) ∈ N 2 , i ≥ r n , j ≥ r n-1 , i j -θ ≤ ε .
Note that Assumption 1 from Lemma 3 is again automatically verified. Assumption 2 is also verified, since for (i, j) ∈ S n , we have

ai + bj + λ > a(θ -ε) + b j ≥ a(r -ε) + b j > 0, (19)
by (17), and so (i, j) → 1 (k, i) for every k ∈ N.

We now show that Assumption 3 from Lemma 3 is verified. Let n ∈ N and (i, j) ∈ S n . Then :

P (i,j) (X 1 / ∈ S n+1 ) ≤ P (i,j) X1 < r n+1 + P (i,j) X1 i -θ > ε . (20)
We first bound the first term on the right-hand side of (20). By (19), we have

P (i,j) X1 < r n+1 = P P(ai + bj + λ) < r n+1 ≤ P P a(r -ε) + b r n-1 < r n+1 = P P a(r -ε) + b r n-1 -a(r -ε) + b r n-1 < r n-1 r 2 -a(r -ε) -b .
Furthermore, using (17) and applying the Bienaymé-Chebychev inequality we obtain :

P (i,j) X1 < r n+1 ≤ P P a(r -ε) + b r n-1 -a(r -ε) + b r n-1 > -r n-1 r 2 -a(r -ε) -b ≤ a(r -ε) + b r n-1 r n-1 r 2 -a(r -ε) -b 2 = a(r -ε) + b r r n r 2 -a(r -ε) -b 2 = C 1 r n , (21)
where C 1 is a constant that does not depend on n.

We now bound the second term on the right-hand side of (20). Let us write :

X1 i -θ = X1 -E (i,j) [ X1 ] i + E (i,j) [ X1 ] i -θ
First notice that, for any (i, j) ∈ S n :

E (i,j) X1 i -θ = ai + bj + λ i -θ = a + b j i + λ i -θ ≤ a + b θ -θ =0 +|b| j i - 1 θ + λ i < |b| θ(θ -ε) ε + λ i , (22)
where we used that if |x -θ| < ε and ε < θ, then

1 x - 1 θ = |θ -x| xθ < ε θ(θ -ε) .
To prove that

P (i,j) X1 i -θ > ε ≤ C 2 r n
, where C 2 is a constant that does not depend on n, we deduce from (22) that it is sufficient to show that :

P (i,j)   X1 -E (i,j) [ X1 ] + λ i > δε   ≤ C 2 r n ,
where, by (18), we have

δ := 1 - |b| θ(θ -ε) > 0.
Furthermore, since b < 0 and (i, j) ∈ S n , we have that

ai + bj + λ ≤ ai + λ ≤ (a + λ)i.
We finally have, using the Bienaymé-Chebyshev inequality :

P (i,j)   X1 -E (i,j) [ X1 ] + λ i > δε   = P (i,j) X1 -E (i,j) [ X1 ] > δεi -λ ≤ (a + λ)i (δεi -λ) 2 = a + λ δε √ i -λ/ √ i 2 ≤ a + λ δεr n/2 -λr -n/2 2
Last inequality holds for a sufficiently large n. Indeed, since i ≥ r n , we always have

δε √ i -λ/ √ i > δεr n/2 -λr -n/2 ,
and for n large enough we have

δε √ i - λ √ i > 0.
This yields, for some constant C 2 < ∞,

P (i,j)   X1 -E (i,j) [ X1 ] + λ i > 1 - |b| θ(θ -ε) ε   ≤ C 2 r n . (23)
Combining ( 21) and (23) we have that :

P (i,j) (X 1 ∈ S n+1 ) ≥ 1 - C 1 + C 2 r n + =: p n .
Which will finally lead us to the result, by using Lemma 3 as before.

Perspectives and open problems

Critical behavior. In the case of linear Hawkes processes, it is well known that, at criticality, the process achieves fractal-like, i.e., heavy-tail behavior, related to critical branching processes. It is tempting to believe that this should remain true on the whole boundary between the phases R and T , but the fractal exponents might differ.

For the sake of completeness, we offer a numerical study of the various critical cases of the considered model, which indicates different behaviour depending whether a < 2 or a > 2. We present realizations of the process ( Xn ), as we believe it is simpler to visualize the behavioral differences compared to showing realizations of the Markov chain in N 2 . Given the diversity of the process behaviours, we anticipate the need for various probabilistic tools to describe the process evolution over long time spans. We consider the same setting as for the previous figures: an initial condition X-1 , X0 = 0 and λ = 1. The number N describes the number of simulated steps. On Figure 7, we observe a linear growth of the discrete time process X n , with oscillations to 0 when a < 0 and b = 1 (left panel) and without oscillations in the case a + b = 1. The situation seems to be different for a ≥ 2 and b = -a 2 /4. When a > 2 we observe an exponential growth (Fig. 8 (left)) similarly to the transient regime, while the case a = 2 presents large excursions away from 0 but deciphering transient or recurrent behavior is difficult. These simulations show that the study of these critical cases is an interesting research topic for the future.

Generalization of the model. As explained at the beginning of the article, the results obtained here should be seen as a starting point for the search for necessary and sufficient conditions for the stability of Hawkes processes with inhibition, in discrete or continuous time.

We believe that obtaining a similar classification in the cases p > 2 or p = ∞ is a very difficult problem. It should be closely related to the study of the asymptotic behavior of certain deterministic equations, such as the non-linear recurrence equation

x n = (a 1 x n-1 + • • • + a p x n-p ) + .
It seems that the algebraic structures underlying these equations are intricate and, to this date, unknown. The understanding of these structures seem crucial for the study of the asymptotic behavior of the solutions to these equations. In a work in progress, we achieve partial results in this direction.

Appendix A. Linear recurrence equations

Let α ∈ R, p ∈ N and a 1 , . . . , a p ∈ R. Consider the linear recurrence equation

x n = a 1 x n-1 + • • • + a p x n-p + α, n ≥ 1,
with given initial data x 0 , . . . , x -p+1 ∈ R. Define the matrix Recall that the spectral radius ρ(A) of the matrix A is the defined by

A =      a 1 • • • a p-1 a p 1 . . .
ρ(A) = max(|θ 1 |, . . . , |θ p |),
where θ 1 , . . . , θ p ∈ C are the complex eigenvalues of A, counted with algebraic multiplicity. Equivalently, θ 1 , . . . , θ p are the roots, counted with multiplicity, of the characteristic polynomial

P (z) = det(zI -A) = z p -a 1 z p-1 -• • • -a p .
We recall the following classical fact: Theorem 3 ([9] Chapter 9, Thm 9.1). The following are equivalent:

(1) xn converges as n → ∞, for every initial data x 0 , . . . , x -p+1 (2) ρ(A) < 1

In the case p = 2, setting a = a 1 and b = a 2 , we have P(z) = z 2azb. Its roots are

θ ± = a 2 ± a 2 4 + b.
In particular,

ρ(A) = |a| 2 + a 2 4 + b, if a 2 4 + b ≥ 0 √ -b, if a 2 4 + b < 0. A quick calculation shows that ρ(A) < 1 ⇐⇒ |a| + b < 1 and b > -1. (24)
This corresponds to the triangular dashed region of parameters in Figure 1 of section 2.

Appendix B. Criteria for strong irreducibility

The Markov chain considered in this article is irreducible in the (weak) sense of Douc, Moulines, Priouret and Soulier [START_REF] Douc | Markov chains[END_REF], but not necessarily strongly irreducible, i.e., irreducible in the classical sense. In this section, we study the decomposition of the state space into communicating classes. We recall the basic definitions. Let x, y ∈ N 2 . We say that x leads to y, or, in symbols, x → y, if there exists n ≥ 0 such that P(X n = y | X 0 = x) > 0. We say that x communicates with y if x → y and y → x. This is an equivalence relation which partitions the state space N 2 into classes called communicating classes.

Recall that the Markov chain is called strongly irreducible if all states are accessible, equivalently, if N 2 is a communicating class. A communicating class C ⊂ N 2 is called closed if there does not exist x ∈ C and y ∈ C c , such that x → y. Proposition 2.

• The Markov chain (X n ) is strongly irreducible on N 2 if and only if a ≥ 0, or if a > -λ and a + b ≥ 0. • The communicating class of (0, 0) contains

S = {(0, 0)} ∪ {(0, k), k ∈ N * } ∪ {(k, 0), k ∈ N * } . ( 25
)
and is actually equal to S iff a ≤ -λ.

We will use the following :

Lemma 4. Let i, j, k, ℓ ∈ N. The transition matrix P of the Markov chain (X k ) satisfies :

P 2 ((i, j), (k, ℓ)) = e -(s ij +s ℓi ) s ℓ ij s k ℓi ℓ! k! ,
and for all n ≥ 3,

P n ((i, j), (k, ℓ)) = m 1 ,...,m n-2 ∈N exp    - n q=1 s σ n q+1 σ n q+2    n q=1 s σ n q σ n q+1 σ n q+2 m 1 ! . . . m n-2 ! k! ℓ! , (26)
with σ n := (σ n 1 , σ n 2 , . . . , σ n n+2 ) = (k, ℓ, m n-2 , . . . , m 1 , i, j).

Proof of proposition 2. As mentioned above:

(i, j) → (0, i) → (0, 0), for any (i, j) ∈ N 2 since it only requires that 2 successive 0 are drawn from the Poisson random variable. Therefore, to prove strong irreducibility, it is thus sufficient to prove that (0, 0) ⇝ (i, j), for all (i, j) ∈ N 2 . Let us consider different cases, depending on the values of the parameters a and b.

-If a ≥ 0 :. Since λ > 0, s 00 > 0 thus (j, 0) is accessible from (0, 0), for all j ∈ N. Moreover, when a ≥ 0, s j0 = (aj + λ) + > 0 and then (j, 0) → (i, j), yielding the result.

-If -λ < a < 0 and a + b ≥ 0 :. Let k ∈ N. Since a + b ≥ 0 and a + λ > 0, we have : s k+1,k = (a(k + 1) + bk + λ) + = ((a + b)k + a + λ) + > 0, Let (i, j) ∈ N 2 . Since s k+1,k > 0 for all k, we deduce that any (ℓ, k + 1) is accessible from (k + 1, k). Thus, in order to reach (i, j) from (0, 0), we move from small steps to (j, j -1), and then reach (i, j) : (0, 0) → (1, 0) → (2, 1) → • • • → (j, j -1) → (i, j).

which concludes the proof of this case.

-If a ≤ -λ:. We will prove that the communicating class of (0, 0) is given by (25). Let k ∈ N * , then as previously, we have that (0, 0) → (k, 0) since s 00 > 0, however since a ≤ -λ, s k0 = (ak + λ) + = 0, and the next step of the Markov chain will be (0, k). Depending on the value of the parameter b, the next step of the Markov chain will either be (0, 0) if s 0k = 0, or (k ′ , 0) with k ′ ≥ 0 if s 0k > 0 and so on. This proves that the class cl(0, 0) is closed and given by ( 25).

-If -λ < a < 0 and a + b < 0. In this case we can only prove that the Markov chain is not strongly irreducible on N 2 but we do not identify the communicating class of (0, 0).

• Case 1 : b ≤ 0. Since a < 0, we can choose k ⋆ such that ak ⋆ + λ ≤ 0.

We will show that it is not possible to reach the state (1, k ⋆ ). Assuming the opposite leads to the existence of ℓ ∈ N such that (k ⋆ , ℓ) → (1, k ⋆ ) which implies that s k⋆,ℓ > 0. If b < 0, we deduce that necessarly ak ⋆ + bℓ + λ > 0 =⇒ ℓ < -ak ⋆λ b ≤ 0, so ℓ < 0 which is contradictory. We then deduce that the Markov chain is reducible. If b = 0, s k⋆,ℓ > 0 would imply that ak ⋆ + λ > 0 which contradicts the definition of k ⋆ .

• Case 2 : b > 0.

Since a + b < 0, it is possible to choose k ⋆ ∈ N large enough so that :

(a + b)k ⋆ + λ ≤ 0.

In particular, 0 ≥ ak ⋆ + bk ⋆ + λ ≥ ak ⋆ + λ, so that :

-ak ⋆ -λ b ≥ k ⋆ ≥ -λ a .
Notice that k ⋆ ≥ 2 since k ⋆ ≥ -λ a > 1.

We will show that it is not possible to reach (1, k ⋆ ) starting from (0, 0). Assuming the opposite leads us to the existence of n ∈ N such that P n ((0, 0), (1, k ⋆ )) > 0.

Using (26) in the Lemma 4 implies that it exists m 1 , . . . , m n-2 ∈ N such that :

              
s k⋆,m n-2 > 0 s k⋆ m n-2 m n-3 > 0 . . . s m 3 m 2 m 1 > 0 s m 2 m 1 0 > 0 First, we thus have that :

ak ⋆ + bm n-2 + λ > 0 =⇒ m n-2 > -ak ⋆ -λ b ≥ k ⋆ ,
then, since k ⋆ > 0, we necessarily have s m n-2 m n-3 > 0. It yields :

am n-2 + bm n-3 + λ > 0 =⇒ m n-3 > -am n-2 -λ b ≥ -ak ⋆ -λ b ≥ k ⋆ .
We thus have by immediate induction that :

∀i ∈ {1, . . . , n -2}, m i ≥ k ⋆ ≥ -λ a .

Finally, s m 1 ,0 > 0 implies am 1 + λ > 0, which is contradictory. We conclude that there is no finite path between (0, 0) and (1, k ⋆ ), so the Markov chain (X k ) k≥0 is reducible on N 2 . □

Figure 1 .

 1 Figure1. The partition of the parameter space described in Theorem 2. The green region corresponds to R, while the red region corresponds to T . The smaller figures are typical trajectories of the Markov chain (X n ) n≥0 for each region of the parameter space. In the all the simulations, we chose λ = 1. The region delineated by a dashed triangular line corresponds to the region of parameter space for which the linear recurrence equation y n = ay n-1 +by n-2 +λ is bounded for all n ∈ N, for any given y 0 , y 1 ∈ R. See Appendix A for more details.

Figure 3 .

 3 Figure 3. An illustration of Case R 2 . Here, the parameters are a = 3, b = -2.5 and N = 1000. In red, the set A of couples (i, j) such that s ij = s 0i = 0.

Figure 4 .

 4 Figure 4. Graphical representation of the sets A, C described above.

Figure 5 .

 5 Figure 5. Log-log plot of a typical trajectory of (X n ), to make the erratic behaviour of the first points of the Markov chain more visible. Here, the parameters are a = -0.3, b = 1.2 and N = 100.

Figure 6 .

 6 Figure 6. Log-log plot of a typical trajectory of (X n ), with a = 1.5, b = -0.3 and N = 100

Figure 7 .

 7 Figure 7. Trajectories of ( X n ) 0≤n≤1000 for critical parameters (a, b) = (-1, 1) on the left and (a, b) = (0.5, 0.5) on the right. We observe a linear growth of the process as it could be expected in critical cases.

Figure 8 .

 8 Figure 8. Trajectories of ( X n ) 0≤n≤1000 for critical parameters (a, b) = (4, -4) on the left and (a, b) = (2, -1) on the right.

,

  the sequence (x n ) n≥1 solves the system of linear recurrences xn = Ax n-1 + ᾱ, n ≥ 1.

Acknowledgements

We thank two anonymous reviewers for their valuable suggestions, which helped to improve the presentation of the paper. M.C. has been supported by the Chair "Modélisation Mathématique et Biodiversité" of Veolia Environnement-École Polytechnique-Muséum national d'Histoire naturelle-Fondation X and by ANR project HAPPY (ANR-23-CE40-0007) and DEEV (ANR-20-CE40-0011-01). P.M. acknowledges partial support from ANR grant ANR-20-CE92-0010-01 and from Institut Universitaire de France.


ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt

DraMS-like molecular extraction and analysis of Titan analog materials exposed to gamma and proton irradiations

LGPM, CentraleSupélec, University Paris-Saclay, 8-10 rue Joliot-Curie, 91190, Gif-sur-Yvette, France (david.boulesteix@centralesupelec.fr).

2 LATMOS/IPSL, UVSQ University Paris-Saclay, Sorbonne University, CNRS, 11 Bd d'Alembert, 78280, Guyancourt, France. 3 Department of Earth and Planetary Sciences, The Johns Hopkins University, Baltimore, Maryland, USA. 4 School of Earth and Space Sciences, University of Science and Technology of China, Hefei, China. 5 Space Science Exploration Division (Code 690), NASA, Goddard Space Flight Center, Greenbelt, MD, USA.

Dragonfly is a NASA New Frontiers mission to Titan (Saturn's largest natural satellite [1]), scheduled to arrive in the mid-2030s [2,3]. The main objectives of the Dragonfly rotorcraft and the onboard DraMS instrument (dual mode Laser Desorption and Gas Chromatography Mass Spectrometer, or LD/GC-MS) are to identify the organic matter produced on Titan's surface, and to understand the prebiotic chemistry that arises from the high productivity of organic aerosols in the atmosphere and their interaction with gamma/cosmic-rays and energetic particles on the surface [4][5][6]. DraMS-GC will analyze organic compounds present in Titan's surface materials. Processing within the sample cups in the DraMS oven will be used prior to GC-MS analysis to volatilize and analyze polar or refractory compounds. Three different treatments are planned: pyrolysis, derivatization using dimethylformamide dimethyl acetal (DMF-DMA) reagent [7,8] and thermochemolysis using tetramethylammonium hydroxide (TMAH) [9,10].

We simulated the radiative conditions (γ-rays at 1-300 krad equivalent to 6 months-1000 Titan years' simulation or protons at 200 MeV or a few Titan months) and chemical environment that tropospheric aerosols or surface deposits may undergo on Titan. With this aim, we conducted DraMS-like extraction and analysis on 3 sets of samples: i) non-irradiated dry tholins and shales; ii) 20 mg irradiated tholins or natural shale samples in a dry or 5% NH3 aqueous environment; and iii) irradiated standard bioindicators and biosignatures. The two first sets of samples are dedicated to help understand the prebiotic chemistry that could be happening on Titan and how efficiently DraMS will be able to extract, derivatize, and analyze compounds from these organic materials. The last set of samples are standard molecules (L-alanine, lignoceric acid, and uracil) and the objective of the experiment was to measure the kinetics of transformation/degradation of building blocks of life on Titan (and might refer to other ocean worlds as well).

Pyrolysis (at 600 °C for a few seconds) enabled the most effective detection and identification of compounds from the pure tholin or shales' samples. However, derivatization with DMF-DMA and thermochemolysis with TMAH/TMSH were efficient for prebiotic organic molecules detection and quantification. DMF-DMA was much more efficient to detect amines and amino acids while TMAH and TMSH were primordial to detect carboxylic acids and alcohols. This study helps to validate DraMS processing and parameters and to establish analysis strategies for different samples on Titan. Further, the molecular analysis highlights the transformation of organic matter composing tholins, from a primary composition of mostly amine and nitrile molecules to an enrichment in O-bearing and aromatic compounds because tholins interacted with the atmospheric or liquid water only during radiations. No amino acids were detected in irradiated tholins. Indeed, the kinetics' study conducted on standards confirmed the complete degradation of L-alanine over 50 krad by γ-rays, for instance. The overall results helped to begin a list of organic molecules/bioindicators/biosignatures and the mechanistic pathways between some of them due to aqueous/ammonia/gamma/proton alterations (Figure 1).

2136.pdf 55th LPSC (2024)

D

  Boulesteix, A Buch, Cyril Szopa, Caroline Freissinet, S M Hörst, C He, J C Stern, M G Trainer To cite this version: D Boulesteix, A Buch, Cyril Szopa, Caroline Freissinet, S M Hörst, et al.. DraMS-like molecular extraction and analysis of Titan analog materials exposed to gamma and proton irradiations. 55th Lunar and Planetary Science Conference 2024, Mar 2024, The Woodlands, United States. pp.LPI 2136. insu-04465127 DraMS-like molecular extraction and analysis of Titan analog materials exposed to gamma and proton irradiations D. Boulesteix 1 , A. Buch 1 , C. Szopa 2 , C. Freissinet 2 , S.M. Hörst 3 , C. He 4 , J.C. Stern 5 , M.G. Trainer 5 1

Figure 1 .

 1 Figure 1. Some of the molecules detected and quantified with DraMS-like devices in Titan analog samples partially solubilized in a 5% NH3 solution after γ-ray irradiations (at the GSFC-NASA radiation facility).