Xi Chen

Explicit formula for the Benjamin-Ono equation with square integrable and real valued initial data and applications to the zero dispersion limit

Keywords: Benjamin-Ono equation, Explicit formula, Zero dispersion limit

In this paper, we extend Gérard's formula for the solution of the Benjamin-Ono equation on the line to square integrable and real valued initial data. Combined with this formula, we also extend the Gérard's formula for the zero dispersion limit of the Benjamin-Ono equation on the line to more singular initial data. In the derivation of the extension of the formula for the zero dispersion limit, we also find an interesting integral equality, which might be useful in other contexts.

1 Introduction

The Benjamin-Ono equation

The Benjamin-Ono equation is a nonlinear partial integro-differential equation which describes one-dimensional internal waves in deep water. It was introduced by Benjamin in [START_REF] Benjamin | Internal waves of permanent form in fluids of great depth[END_REF](see also Davis-Acrivos [START_REF] Davis | Solitary internal waves in deep water[END_REF], Ono [START_REF] Ono | Algebraic solitary waves in stratified fluids[END_REF]). On the line, it reads

∂ t u = ∂ x |D|u -u 2 , (t, x) ∈ R × R, u(0, x) = u 0 .
(1.1)

Here u = u(t, x) denotes a real valued function. We refer to the book by Klein and Saut [START_REF] Klein | Nonlinear dispersive equations, Inverse scattering and PDE methods[END_REF] for a recent survey of this equation. In this paper, we denote by H s r (or L p r with p = 2, ∞) the Sobolev (or Lebesgue) space of real valued functions.

The global well-posedness of (1.1) in H s r (R) with s ≥ 0 was proved in [START_REF] Ionescu | Global well-posedness of the Benjamin-Ono equation in low-regularity spaces[END_REF][14] by a synthesis of Tao's gauge transformation [START_REF] Tao | Global well-posedness of the Benjamin-Ono equation in H 1 (R)[END_REF] and X s,b techniques. Recently, R. Killip, T. Laurens and M. Vişan have proved the global well-posedness of (1.1) in H s r (R) with -1 2 < s < 0. The unconditional uniqueness in H s (R) with s > 3 -33/4 has been recently proved in [START_REF] Mosincat | Unconditional uniqueness for the Benjamin-Ono equation[END_REF]. Theorem 1.1 ( [START_REF] Ionescu | Global well-posedness of the Benjamin-Ono equation in low-regularity spaces[END_REF], [START_REF] Molinet | The Cauchy problem for the Benjamin-Ono equation in L 2 revisited[END_REF], [START_REF] Mosincat | Unconditional uniqueness for the Benjamin-Ono equation[END_REF], [START_REF] Killip | Sharp well-posedness for the Benjamin-Ono equation[END_REF]). For every u 0 ∈ H s r (R) with s > 3 -33/4, there exists a unique solution u ∈ C (R, H s r (R)) of (1.1) with u(0) = u 0 . Also, for every T > 0, the flow map u 0 ∈ H s (R) → u ∈ C ([-T, T ], H s (R)) is continuous. Moreover, this flow map u 0 ∈ H s (R) → u ∈ C ([-T, T ], H s (R)) can be continuously extended to H s (R) for any s > - 1 2 .

Our aim in this paper is to give an explicit formula of the solution u(t) in terms of any initial data u 0 in L 2 r (R). Before presenting our main results, we need to introduce the Lax pair structure for (1.1).

The Lax pair

In this paper, we denote by L 2 + (R) the Hardy space corresponding to L 2 (R) functions having a Fourier transform supported in the domain ξ ≥ 0. Recall that the space L 2 + (R) identifies to holomorphic functions on the upper-half plane C + := {z ∈ C : Im(z) > 0} such that sup y>0 R |f (x + iy)| 2 dx < +∞.

The Riesz-Szegő projector Π is the orthogonal projector from L 2 (R) onto L 2 + (R). It is given by

∀f ∈ L 2 (R), ∀z ∈ C + , Πf (z) = 1 2iπ R f (y) y -z dy.
(1.

2)

The Toeplitz operator on L 2 + (R) associated to a function b ∈ L ∞ (R) is defined by

T b f := Π(bf ), f ∈ L 2 + (R).
We notice that for b ∈ L ∞ r (R), T b is a self-adjoint operator on L 2 + (R). As shown in [2, Proposition 2.2], we also remark that

T b ∈ L L 2 + (R) if and only if b ∈ L ∞ (R). (1.3)
For u ∈ L 2 r (R), the operator L u is defined by

∀f ∈ Dom (L u ) = H 1 + := H 1 (R) ∩ L 2 + (R), L u f := Df -T u f with D := 1 i d dx .
We notice that L u is a semi-bounded selfadjoint operator on L 2 + (R).

Also, we recall the definition of G in [START_REF] Gérard | An explicit formula for the Benjamin-Ono equation[END_REF],

∀f ∈ Dom (G) := f ∈ L 2 + (R) : f ∈ H 1 (0, ∞) , Gf (ξ) := i d dξ [ f (ξ)]1 ξ>0 .
Here G is the adjoint of the operator of multiplication by x on L 2 + (R), and we notice that (Dom (G) , -iG) is maximally dissipative. We also notice that

∀f ∈ Dom (G) , f 0 + 2 = -4π Im Gf | f ≤ 4π Gf L 2 f L 2 .
Therefore, we can define

∀f ∈ Dom (G) , I + (f ) := f 0 + .
In fact, as observed in [10, Lemma 3.4], the resolvent of G is given by

∀z ∈ C + , ∀f ∈ L 2 + (R), (G -z Id) -1 f (x) = f (x) -f (z) x -z , (1.4)
and we have

∀z ∈ C + , ∀f ∈ L 2 + (R), f (z) = 1 2iπ I + (G -z Id) -1 f . (1.5)

The explicit formula

The explicit formula for the solution of (1.1) with the initial data u 0 ∈ L 2 r (R) ∩ L ∞ (R) has been introduced by P. Gérard in [START_REF] Gérard | An explicit formula for the Benjamin-Ono equation[END_REF]. In this paper, we extend the explicit formula of the solution to (1.1) to the initial data

u 0 ∈ L 2 r (R). Theorem 1.2. For u 0 ∈ L 2 r (R), let u ∈ C R, L 2 r (R)
be the corresponding solution of (1.1) in the sense of the continuous extension of the flow map as shown in Theorem 1.1. Then u(t) = Πu(t) + Πu(t), with

Πu(t, z) = 1 2iπ I + (G -2tL u 0 -zId) -1 Πu 0 , ∀z ∈ C + , (1.6)
where

(G -2tL u 0 -zId) -1 : L 2 + (R) → Dom(G) is well-defined for every z ∈ C + .
Remark 1.3. In [START_REF] Killip | Sharp well-posedness for the Benjamin-Ono equation[END_REF], R. Killip, T. Laurens and M. Vişan have obtained another explicit formula for a Hamiltonian system corresponding to (1.1)(see [START_REF] Killip | Sharp well-posedness for the Benjamin-Ono equation[END_REF]Theorem 6.1] for details). Also, from this formula, they have recovered the formula (1.6) with the initial data

u 0 ∈ L 2 r (R) ∩ L ∞ (R)
, which has been firstly obtained in [START_REF] Gérard | An explicit formula for the Benjamin-Ono equation[END_REF].

Zero dispersion limit

In [START_REF] Gérard | The zero dispersion limit for the Benjamin-Ono equation on the line[END_REF], P. Gérard considered the Benjamin-Ono equation on the line with a small dispersion ε > 0,

∂ t u = ∂ x ε|D|u -u 2 , (t, x) ∈ R × R, u ε (0, x) = u 0 (x). (1.7)
Observe that the L 2 norm of u ε (t) is independent of t, equal to the L 2 norm of u 0 , so there exists a subsequence ε j tending to 0 such that u ε j (t) has a weak limit in L 2 (R), and we want to show that all these weak limits coincide under certain initial data conditions. If all these weak limits coincide, we call this weak limit the zero dispersion limit. Combined with the explicit formula (1.6) for u 0 ∈ L 2 r (R) ∩ L ∞ (R), P. Gérard has obtained the explicit formula for the zero dispersion limit in [START_REF] Gérard | The zero dispersion limit for the Benjamin-Ono equation on the line[END_REF]. In this paper, since we have obtained the explicit formula (1.6) with u 0 ∈ L 2 r (R), we can extend the explicit formula for the zero dispersion limit to more singular initial data.

Theorem 1.4. Let u 0 ∈ L 2 r (R)∩L ∞ loc (R) with lim x→∞ |u 0 (x)| |x| = 0. Then for every t ∈ R, the corresponding solution u ε (t) to (1.7) converges weakly in L 2 (R) to ZD [u 0 ] (t), characterized by ∀x ∈ R, ZD [u 0 ] (t, x) = ΠZD [u 0 ] (t, x) + ΠZD [u 0 ] (t, x) and ∀z ∈ C + , ΠZD [u 0 ] (t, z) = 1 2iπ I + (G + 2tT u 0 -zId) -1 Πu 0 = 1 4iπt R Log 1 + 2tu 0 (y) y -z dy, (1.8)
where Log denotes the principal value of the logarithm, and

(G + 2tT u 0 -zId) -1 : L 2 + (R) → Dom(G) is well-defined for every z ∈ C + . Remark 1.5. We observe that u 0 ∈ L 2 r (R) with |u 0 (x)| ≤ C x k (k < 1)
satisfies the initial data condition in Theorem 1.4, so we can give the formula of the zero dispersion limit for every t ∈ R with such an initial datum.

Remark 1.6. In [START_REF] Gérard | The zero dispersion limit for the Benjamin-Ono equation on the line[END_REF], P. Gérard has also obtained the following description of the zero dispersion limit: Assume that the initial data u 0 ∈ L 2 r (R)∩C 1 (R) with |u 0 (x)|+|u 0 (x)| → 0, then for every t ∈ R, the set K t (u 0 ) of critical values of the function

y ∈ R → y + 2tu 0 (y)
is a compact subset of measure 0. For every connected component Ω of K t (u 0 ) c , there exists a nonnegative integer such that, for every x ∈ Ω, the equation y + 2tu 0 (y) = x has 2 + 1 simple real solutions y 0 (t, x) < y 1 (t, x) < • • • < y 2 (t, x), and the zero dispersion limit is given by

ZD [u 0 ] (t, x) = 2 k=0 (-1) k u 0 (y k (t, x)) .
(1.9)

Formula (1.9) was proved by Miller-Wetzel [START_REF] Miller | The scattering transform for the Benjamin-Ono equation in the small dispersion limit[END_REF](see also ) in the special case of a rational Klaus-Shaw initial potential, and by L. Gassot [START_REF] Gassot | Zero-dispersion limit for the Benjamin-Ono equation on the torus with single well initial data[END_REF][5] in the special case of a general bell shaped initial potential with periodic boundary conditions.

Remark 1.7. In [START_REF] Gérard | The zero dispersion limit for the Benjamin-Ono equation on the line[END_REF], P. Gérard has obtained (1.8) with the initial data u 0 ∈ L 2 r (R)∩L ∞ (R). In the derivation of the second equality in (1.8), P. Gérard first considered the rational initial data to deduce this equality, and then extend this equality to u 0 ∈ L 2 r (R) ∩ L ∞ (R). However, this proof is not a direct derivation. In this paper, we provide a direct proof of the second equality of (1.8), and this direct approach allows us to extend this equality to

u 0 ∈ L 2 r (R) ∩ L ∞ loc (R) with lim x→∞ |u 0 (x)| |x| = 0.
In the direct derivation of the second equality of (1.8), we also find an interesting integral equality (1.10), which might be useful in other contexts. We summarize this interesting equality in the following lemma.

Lemma 1.8. For f ∈ L 2 (R) ∩ L ∞ (R) and n ∈ N ≥1 , we have R n f (y 1 )f (y 2 -y 1 )...f (y n -y n-1 )f (-y n )dy 1 dy 2 ...dy n =(n + 1)
{∀1≤j≤n,y j >0} f (y 1 )f (y 2 -y 1 )...f (y n -y n-1 )f (-y n )dy 1 dy 2 ...dy n .

(1.10) With a slight modification of the proof of Theorem 1.4, we can obtain the following zero dispersion limit result for

u 0 ∈ L 2 r (R) with |u 0 (x)| ≤ C x in a short time. Corollary 1.9. Let u 0 ∈ L 2 r (R) with |u 0 (x)| ≤ C x . Then for every |t| < 1 2C , the corresponding solution u ε (t) to (1.7) converges weakly in L 2 (R) to ZD [u 0 ] (t), characterized by ∀x ∈ R, ZD [u 0 ] (t, x) = ΠZD [u 0 ] (t, x) + ΠZD [u 0 ] (t, x) and ∀z ∈ C + , ΠZD [u 0 ] (t, z) = 1 2iπ I + (G + 2tT u 0 -zId) -1 Πu 0 = 1 4iπt R Log 1 + 2tu 0 (y) y -z dy, (1.11)
where Log denotes the principal value of the logarithm, and

(G + 2tT u 0 -zId) -1 : L 2 + (R) → Dom(G) is well-defined for every z ∈ C + .
Remark 1.10. Even for u 0 ∈ L 2 r (R), we know that 2tu 0 y-z / ∈ R for all z ∈ C + and for all t ∈ R, so Log 1 + 2tu 0 (y) y-z is well defined in C + . We also notice that

1 4iπt R Log 1 + 2tu 0 (y) y -z dy = 1 2iπ R 1 0 u 0 (y) y -z + 2stu 0 (y) dsdy, since 1 y -z + 2stu 0 (y) ∈ L ∞ s (0, 1)L 2 y (R) ∩ L ∞ s (0, 1)L ∞ y (R), we can deduce that 1 4iπt R Log 1 + 2tu 0 (y) y-z
dy is well defined and holomorphic in C + . This tells us the formula for the zero dispersion limit

ΠZD [u 0 ] (t, z) = 1 4iπt R Log 1 + 2tu 0 (y) y -z dy might be extended to u 0 ∈ L 2 r (R)
for every t ∈ R, but the difficulty lies in solving the problem of switching the order of a double limit, see also Section 4 for details.

Maximally dissipative operators and the Kato-Rellich theorem

In this paper, we mainly apply the Kato-Rellich theorem to show that operators remain maximally dissipative after some perturbations. To present the Kato-Rellich theorem for maximally dissipative operators, we first need to introduce the following definition of the dissipative and maximally dissipative operators in Hilbert spaces.

Definition 1.11. Let (D(A), A) be an operator in a Hilbert space H .

1. We say that A is dissipative if for all g ∈ D(A) and all λ > 0, (λI -A)g ≥ λ g .

2.

We say that A is maximal dissipative if it is dissipative and for all h ∈ H and for all λ > 0, there exists g ∈ D(A) such that (λI -A)g = h.

Remark 1.12. In fact, an operator (D(A), A) in a Hilbert space H is dissipative if and only if for all g ∈ D(A), Ag, g ≤ 0.

Remark 1.13. Let (D(A), A) be a maximally dissipative operator in a Hilbert space H . From the definition of maximally dissipative operators, we can deduce that, for all λ > 0, we have

(λI -A) -1 L(H ) ≤ 1 λ , A(λI -A) -1 L(H ) ≤ 1. (1.12)
Since the Kato-Rellich theorem involves the related notion of the perturbation of operators, we give the following definition of the relative bound of an operator with respect to another operator (see also the definition in [START_REF] Reed | Methods of modern mathematical physics. II. Fourier analysis, self-adjointness[END_REF]). Then B is said to be A-bounded. The infimum of such a is called the relative bound of B with respect to A. If the relative bound is 0, we say that B is infinitesimally small with respect to A.

Then we state the Kato-Rellich theorem for maximally dissipative operators.

Theorem 1.15 (Kato-Rellich theorem). Let (D(A), A) be a maximally dissipative operator which is densely defined on a Hilbert space H and assume (D(B), B) to be dissipative and A-bounded with the relative bound smaller than 1. Then (D(A), A + B) is also a maximally dissipative operator.

We refer to [START_REF] Reed | Methods of modern mathematical physics. II. Fourier analysis, self-adjointness[END_REF]Theorem X.12] for the proof of the Kato-Rellich theorem for self-adjoint operators. The readers can also see the proof of Corollary 2.2.

Structure of the paper

In Section 2, for u 0 ∈ L 2 r (R), we apply the Kato-Rellich theorem 1.15 to show that (G -2tL u 0 -zId) -1 is well-defined on L 2 + (R) for every z ∈ C + , then we can extend the explicit formula (1.6) to u 0 ∈ L 2 r (R) and prove Theorem 1.2.

In Section 3, for

u 0 ∈ L 2 r (R) ∩ L ∞ loc (R) with lim x→∞ |u 0 (x)| |x|
= 0, we can still apply the Kato-Rellich theorem 1.15 to show that (G + 2tT u 0 -zId) -1 is well-defined on L 2 + (R) for every z ∈ C + . Also, we prove Lemma 1.8 and then adapt the equality (1.10) to prove the second equality of (1.8). Finally, we show that the zero dispersion limit exists and complete the proof of Theorem 1.4.

In Section 4, we discuss the difficulties in further extensions of the explicit formula (1.6) and of the formula (1.8) for the zero dispersion limit. We also introduce briefly the results and the open problem on the zero dispersion limit for the Benjamin-Ono equation on the torus.

Proof of the extension of the explicit formula

In this section, we will show why the formula (1.6) can be extended to the initial data in L 2 r (R). In fact, P. Gérard proved directly the formula (1.6) for u 0 ∈ H 2 r (R) in [START_REF] Gérard | An explicit formula for the Benjamin-Ono equation[END_REF], and then he extended this formula to

u 0 ∈ L 2 r (R) ∩ L ∞ (R).
Let us firstly recall the sketch of proof of the generalized formula for u 0 ∈ L 2 r (R) ∩ L ∞ (R). We consider the following operator

A t := -iG + 2itD, with Dom (A t ) := f ∈ L 2 + (R) : e itξ 2 f ∈ H 1 (0, ∞) .
In fact, we observe that

A t = -iG + 2itD = e -itD 2 (-iG)e itD 2 ,
so we can easily deduce that (Dom (A t ) , A t ) is maximally disspative. Then, for u 0 ∈ L 2 r (R) ∩ L ∞ (R), we know that L 2 + (R), T u 0 is a bounded and self-adjoint operator, so by a classical perturbation theory, we can deduce that A t -2itT u 0 = -iG + 2itL u 0 is also maximally dissipative, and then by approximation, we conclude that (1.6) holds for

u 0 ∈ L 2 r (R) ∩ L ∞ (R).
However, for u 0 ∈ L 2 r (R), we cannot expect that T u 0 to remain bounded and dissipative on L 2 + (R), so we cannot adapt directly the argument in [START_REF] Gérard | An explicit formula for the Benjamin-Ono equation[END_REF] in this case.

Fortunately, we can adapt another approach to verify the formula (1.6) for u 0 ∈ L 2 r (R). In fact, we observe that for f ∈ Dom (A t ), we have

-iG + 2itL u 0 = A t f -2itT u 0 f = e -itD 2 -iG -2ite itD 2 T u 0 e -itD 2 e itD 2 f.
Then we consider the operator

G t := -iG -2ite itD 2 T u 0 e -itD 2 with Dom (G t ) = Dom (G) := f ∈ L 2 + (R) : f ∈ H 1 (0, ∞) .
We recall that (Dom (G) , -iG) is maximally dissipative. Now we are going to prove that B t u 0 := -2ite itD 2 T u 0 e -itD 2 with the domain Dom (G) is dissipative and is infinitesimally small with respect to G, and then we can apply Theorem 1.15 to show that (Dom (G) , G t ) is maximally dissipative, and so is (Dom (A t ) , -iG + 2itL u 0 ). Lemma 2.1. Given u 0 ∈ L 2 r (R), for any t ∈ R, the operator B t u 0 := -2ite itD 2 T u 0 e -itD 2 with the domain Dom (G) is dissipative and is infinitesimally small with respect to G.

Proof. Firstly, we show that Dom (G) , B t u 0 is dissipative. In fact, if we can show that ∀f ∈ Dom (G) and ∀0 < t < ∞, t

1 2 e -itD 2 f ∈ L ∞ (R). (2.1)
Then for all f ∈ Dom (G) and for all 0 < t < ∞, we have

-2ite itD 2 T u 0 e -itD 2 f, g = 2t T u 0 e -itD 2 f, e -itD 2 f = 2t e -itD 2 f, T u 0 e -itD 2 f = -e -itD 2 f, -2itT u 0 e -itD 2 f , which implies that ∀f ∈ Dom (G) and ∀0 < t < ∞, B t u 0 f, f = 0.
From Remark 1.12, we can deduce that Dom (G) , B t u 0 is dissipative. So the point is to prove (2.1).

Before proving (2.1), we define a function g ∈ L 2 + (R) by

g(ξ) := 1 ξ≥0 e -ξ
with

I + (g) = 1.
We recall that

|I + (f )| 2 = -4π Im Gf | f ≤ 4π Gf L 2 f L 2 .
Then we have

t 1 2 e -itD 2 f L ∞ ≤ |t| 1 2 e -itD 2 (f -I + (f )g) L ∞ + |t| 1 2
e -itD 2 (I + (f )g)

L ∞ := I 1 + I 2 .
By Young's convolution inequality, we have the following estimate for I 2 ,

I 2 ≤ |t| 1 2 |I + (f )| g L 1 ξ ≤ C|t| 1 2 Gf 1 2 L 2 f 1 2 L 2 .
For I 1 , from the dispersive estimate, we have

I 1 ≤ |t| 1 2 e -itD 2 (f -I + (f )g) L ∞ ≤ C f -I + (f )g L 1 ≤ C f -I + (f )g 1 2 L 2 x (f -I + (f )g) 1 2 L 2 ≤ C f -I + (f )g 1 2 L 2 G (f -I + (f )g) 1 2 L 2 .
Here,

x (f -I + (f )g) = G (f -I + (f )g) since we have 1 ξ≥0 f (ξ) -I + (f ) g(ξ) is continu- ous at ξ = 0.
Then we have

f -I + (f )g L 2 ≤ f L 2 + |I + (f )| g L 2 ≤ f L 2 + C Gf 1 2 L 2 f 1 2 L 2
and

G (f -I + (f )g) L 2 ≤ Gf L 2 + |I + (f )| Gg L 2 ≤ Gf L 2 + C Gf 1 2 L 2 f 1 2 L 2 .
From the above estimates for I 1 and I 2 , we can deduce that

t 1 2 e -itD 2 f L ∞ ≤ C|t| 1 2 Gf 1 2 L 2 f 1 2 L 2 + C Gf 1 4 L 2 f 3 4 L 2 + C Gf 3 4 L 2 f 1 4 L 2 , (2.2)
which verifies (2.1).

Then we prove that B t u 0 is infinitesimally small with respect to G. It is equivalent to show the following argument: Let 0 < t < ∞ (fixed) and u 0 ∈ L 2 r (R), for any ε > 0, we have

B t u 0 f L 2 ≤ ε Gf L 2 + C ε f L 2 , ∀f ∈ Dom (G) . (2.3)
In fact, we can combine (2.2) with the Young's inequality for products and then we can deduce (2.3). The proof of Lemma 2.1 is complete.

With Lemma 2.1, we can now adapt directly Theorem 1.15 to show that (Dom (G) , G t ) is maximally dissipative, and so is (Dom (A t ) , -iG + 2itL u 0 ). For the readers' convenience, we reproduce the proof of Theorem 1.15 in the proof of Corollary 2.2.

Corollary 2.2. Let u 0 ∈ L 2 r (R), for any t ∈ R, (Dom (G) , G t ) and (Dom (A t ) , -iG + 2itL u 0 ) are maximally dissipative.

Proof. We recall that

-iG + 2itL u 0 = A t f -2itT u 0 = e -itD 2 G t e itD 2 ,
so we only need to show that (Dom (G) , G t ) is maximally dissipative.

Since (Dom (G) , -iG) and Dom (G) , B t u 0 are dissipative, we know that (Dom (G) , G t ) is dissipative.

Then we only need to show that G t + iz Id : Dom (G) → L 2 + (R) is bijective for some z ∈ C + . We write

G t + iz Id = -iG + B t u 0 + iz Id = Id +B t u 0 (-iG + iz Id) -1 (-iG + iz Id) .
Since B t u 0 is infinitesimally small with respect to G, for z ∈ iR >0 and for any ε > 0, we have

∀f ∈ L 2 + (R), B t u 0 (-iG + iz Id) -1 f L 2 ≤ ε G(-iG + iz Id) -1 f L 2 + C ε (-iG + iz Id) -1 f L 2 ≤ ε + C ε (z) f L 2 .
The last inequality above comes from (1.12).

Then we choose ε = 1 4 and z ∈ iR >0 such that C 1 4 / (z) < 1 4 , and we have

B t u 0 (G + iz Id) -1 f L 2 < 1 2 f L 2 .
Since G is maximally dissipative, we can deduce that G t + iz Id : Dom (G) → L 2 + (R) is bijective for some z ∈ iR >0 , which provides that (Dom (G) , G t ) is maximally dissipative, so is (Dom (A t ) , -iG + 2itL u 0 ). By Corollary 2.2, we know that (Dom (A t ) , -iG + 2itL u 0 ) is maximally dissipative, thus for every z ∈ C + , the operator (G -2tL u 0 -zId) -1 is well-defined on L 2 + (R).

Now we are able to present the following proof of Theorem 1.2.

Proof of Theorem 1.2. For u 0 ∈ L 2 r (R), we can take u n 0 ∈ L 2 r (R) ∩ L ∞ (R) which tends to u 0 in L 2 (R), then we can easily deduce that Πu n 0 tends to Πu 0 in L 2 + (R). We denote the solutions of (1.1) by u n (t) and u(t) corresponding to u n 0 and u 0 . By the continuity of the flow map, we can deduce that u n (t) tends to u(t) in L 2 (R). Then for z ∈ C + , we have

|Πu n (t, z) -Πu(t, z)| ≤ ∞ 0 e -ξ (z) | u n (t, ξ) -u(t, ξ)|dξ ≤ C u n (t) -u(t) L 2 (R) → 0,
which implies the pointwise convergence of Πu n (t, z) to Πu(t, z) for all z ∈ C + . Moreover, by Lemma 2.1 and Corollary 2.2, we can easily deduce that

B t u n 0 (G -zId) -1 → B t u 0 (G -zId) -1 in L L 2 + (R) , ∀z ∈ C + , which implies that G -2tL u n 0 -zId -1 → (G -2tL u 0 -zId) -1 in L L 2 + (R) , ∀z ∈ C + .
Then we recall the following explicit formula of Π(u n (t, z)),

Π(u n (t, z)) = 1 2iπ I + G -2tL u n 0 -zId -1 Πu n 0 , ∀z ∈ C + . (2.4)
From the previous arguments, we can conclude that the formula (2.4) converges pointwisely in

C + to Π(u(t, z)) = 1 2iπ I + (G -2tL u 0 -zId) -1 Πu 0 , ∀z ∈ C + .
The proof is complete.

3 Proof of the extension of the formula for the zero dispersion limit

In this section, we will show why the formula (1.8) can be extended to the initial data We consider the equation (1.7) with u 0 ∈ L 2 r (R). By an elementary scaling argument, the solution u ε of (1.7) is given by

u 0 ∈ L 2 r (R) ∩ L ∞ loc (R)
u ε (t, x) = εv ε (εt, x),
where v ε is the solution of the Benjamin-Ono equation (1.1) with the initial data

v ε (0, x) = 1 ε u 0 (x).
By applying the explicit formula (1.6) to v ε , we infer, for every

z ∈ C + , Πu ε (t, z) = 1 2iπ I + G + 2te -iεt∂ 2 x T u 0 e iεt∂ 2 x -zId -1 e -iεt∂ 2 x Πu 0 . (3.1)
In fact, we have

G + 2te -iεt∂ 2 x T u 0 e iεt∂ 2 x -zId = Id + 2te -iεt∂ 2 x T u 0 e iεt∂ 2 x (G -zId) -1 (G -zId) .
We observe that, for any z ∈ C + ,

as ε → 0, 2te -iεt∂ 2 x T u 0 e iεt∂ 2 x (G -zId) -1 has a limit in L L 2 + (R) if and only if ∀f ∈ L 2 + (R), T u 0 (G -zId) -1 f ∈ L 2 + (R). (3.2)
We recall the formula (1.4),

∀f ∈ L 2 + (R), (G -zId) -1 f (x) = f (x) -f (z) x -z , In fact, for any z ∈ C + , f (z) x-z ∈ L ∞ x (R), so we already have T u 0 f (z) •-z ∈ L 2 + (R). Then we can deduce that (3.2) is equivalent to ∀z ∈ C + , ∀f ∈ L 2 + (R), T u 0 f (•) • -z ∈ L 2 + (R). (3.3) Since (3.3) holds for all f ∈ L 2 + (R), from (1.
3), we know that (3.3) is equivalent to

∀z ∈ C + , u 0 (x) x -z ∈ L ∞ x (R). (3.4)
We can also observe that (3.4) is equivalent to

|u 0 (x)| ≤ C x with x := (1 + x 2 ) 1 2 . (3.5)
From the previous arguments, we can deduce that (3.5) is a necessary condition for G + 2te -iεt∂ 2 x T u 0 e iεt∂ 2 x -zId to have a limit in L Dom (G) , L 2 + (R) as ε → 0. So we may only expect (1.8) to hold for initial data in L 2 r (R) which satisfies at least the condition (3.5). So far, for u 0 ∈ L 2 r (R) with |u 0 (x)| ≤ C x , we cannot show that the zero dispersion limit exists and obtain the formula (1.8) for every t ∈ R, but we can still show that this argument holds for |t| < 1 2C . Moreover, with

u 0 ∈ L 2 r (R) ∩ L ∞ loc (R) satisfying lim x→∞ |u 0 (x)| |x|
= 0, which is a slightly stronger condition than (3.5), we can deduce that the zero dispersion limit exists and obtain the formula (1.8) for every t ∈ R. Now we deal with the proof of Theorem 1.4. To prove Theorem 1.4, first we show that (Dom(G), -iG -2itT u 0 ) is maximally dissipative.

Lemma 3.1. For u 0 ∈ L 2 r (R) ∩ L ∞ loc (R) with lim x→∞ |u 0 (x)| |x| = 0, (Dom(G), -iG -2itT u 0 ) is maximally dissipative.
Proof. Since (Dom(G), -iG) is maximally dissipative, it suffices to prove that, for 0 < t < ∞ fixed, -2itT u 0 is infinitesimally small with respect to G. It is equivalent to show that, for any ε > 0, we have

T u 0 f L 2 ≤ ε Gf L 2 + C ε f L 2 , ∀f ∈ Dom(G). (3.6)
We follow an approach which we used in the proof of Lemma 2.1. We recall the definition of g, g(ξ) := 1 ξ≥0 e -ξ .

Since u 0 satisfies lim x→∞ |u 0 (x)| |x| = 0, then for any ε > 0, there exists R ε > 0 such that

|u 0 (x)| |x| < ε for all |x| ≥ R ε . Also, since u 0 ∈ L ∞ loc (R), there exists M ε > 0 such that u 0 L ∞ (|x|<Rε) ≤ M ε .
Then for f ∈ Dom(G), we have

T u 0 f L 2 (R) ≤ T u 0 (f -I + (f )g) L 2 (R) + T u 0 (I + (f )g) L 2 (R) ≤ T u 0 (f -I + (f )g) L 2 (|x|<Rε) + T u 0 (f -I + (f )g) L 2 (|x|≥Rε) + T u 0 (I + (f )g) L 2 (R) ≤ M ε f -I + (f )g L 2 (R) + ε x (f -I + (f )g) L 2 (R) + T u 0 (I + (f )g) L 2 (R) .
Since

1 ξ≥0 f (ξ) -I + (f ) g(ξ) is continuous at ξ = 0, we have x(f -I + (f )g) L 2 (R) = G(f -I + (f )g) L 2 (R) .
Then we have

f -I + (f )g L 2 (R) ≤ f L 2 (R) + |I + (f )| g L 2 (R) ≤ f L 2 (R) + C Gf 1 2 L 2 f 1 2 L 2 (R) , G(f -I + (f )g) L 2 (R) ≤ Gf L 2 (R) + |I + (f )| Gg L 2 (R) ≤ Gf L 2 (R) + C Gf 1 2 L 2 (R) f 1 2 L 2 (R)
and

T u 0 (I + (f )g) L 2 (R) ≤ |I + (f )| u 0 L 2 (R) ĝ L 1 ξ (R) ≤ C Gf 1 2 L 2 (R) f 1 2 L 2 (R) .
Combined with the Young's inequality, we can verify (3.6), which implies that -2itT u 0 is infinitesimally small with respect to G. Then from the Kato-Rellich theorem 1.15, we can deduce that (Dom(G), -iG -2itT u 0 ) is maximally dissipative, the proof is complete.

Remark 3.2. Since (Dom(G), -iG -2itT u 0 ) is a maximally dissipative operator, we know that (G + 2tT u 0 -zId) -1 is well-defined for every z ∈ C + . By applying (1.5), we can deduce that

1 2iπ I + (G + 2tT u 0 -zId) -1 Πu 0 = 1 2iπ I + (G -zId) -1 Id + 2tT u 0 (G -zId) -1 -1 Πu 0 = Id + 2tT u 0 (G -zId) -1 -1 Πu 0 (z)
is well-defined and holomorphic in C + .

In Theorem 1.4, the point is to prove the existence of the zero dispersion limit and show the formula (1.8) of this zero dispersion limit. In the following derivation, we first prove the the second equality of (1.8), and then show the existence of the zero dispersion limit.

To show the second equality of (1.8), we need the following integral equality, which has also been introduced in Lemma 1.8.

Lemma 3.3. For f ∈ L 2 (R) ∩ L ∞ (R) and n ∈ N ≥1 , we have R n f (y 1 )f (y 2 -y 1 )...f (y n -y n-1 )f (-y n )dy 1 dy 2 ...dy n =(n + 1)
{∀1≤j≤n,y j >0} f (y 1 )f (y 2 -y 1 )...f (y n -y n-1 )f (-y n )dy 1 dy 2 ...dy n .

(3.7)

Proof. For j ∈ N ≥0 and 0 ≤ j ≤ n, we define A j := {(y 1 , y 2 , ..., y n ) ∈ R n | there are j negative elements in (y 1 , y 2 , ..., y n )}.

We claim that, for 1 ≤ j ≤ n, we have

A 0 f (y 1 )f (y 2 -y 1 )...f (y n -y n-1 )f (-y n )dy 1 dy 2 ...dy n = A j
f (y 1 )f (y 2 -y 1 )...f (y n -y n-1 )f (-y n )dy 1 dy 2 ...dy n .

(3.8)

We notice that, if we obtain (3.8), since the integral on the null set is always equal to 0, we have R n f (y 1 )f (y 2 -y 1 )...f (y n -y n-1 )f (-y n )dy 1 dy 2 ...dy n = n j=0 A j f (y 1 )f (y 2 -y 1 )...f (y n -y n-1 )f (-y n )dy 1 dy 2 ...dy n

=(n + 1)

A 0 f (y 1 )f (y 2 -y 1 )...f (y n -y n-1 )f (-y n )dy 1 dy 2 ...dy n , which implies (3.7). So the point is to prove (3.8). Now we prove (3.8). For 1 ≤ i, j ≤ n and 0 ≤ k ≤ n, we define B k,i,j := {(y 1 , y 2 , ..., y n ) ∈ A k |y i is the j-th smallest element}.

Lemma 3.5. For u 0 ∈ L 2 r (R) ∩ L ∞ loc (R) with lim x→∞ |u 0 (x)| |x| = 0, we have ∀z ∈ C + , 1 2iπ I + (G + 2tT u 0 -zId) -1 Πu 0 = 1 4iπt R Log 1 + 2tu 0 (y) y -z dy, (3.9)
where Log denotes the principal value of the logarithm.

Proof. By applying (1.5), for any z ∈ C + , we have

1 2iπ I + (G + 2tT u 0 -zId) -1 Πu 0 = 1 2iπ I + (G -zId) -1 Id + 2tT u 0 (G -zId) -1 -1 Πu 0 = Id + 2tT u 0 (G -zId) -1 -1 Πu 0 (z).
(3.10) Then we only need to show that

∀z ∈ C + , Id + 2tT u 0 (G -zId) -1 -1 Πu 0 (z) = 1 4iπt R Log 1 + 2tu 0 (y) y -z dy.
(3.11) Since -2itT u 0 is infinitesimally small with respect to G, we have

2tT u 0 (G -zId) -1 L (L 2 + ) ≤ ε G(G -zId) -1 L (L 2 + ) + C ε (G -zId) -1 L (L 2 + ) ≤ ε + C ε (z) .
The last inequality above comes from (1.12).

Then we choose ε = 1 4 and z ∈ iR >0 such that C 1 4 / (z) < 1 4 , and we have

2tT u 0 (G -zId) -1 L (L 2 + ) < 1 2 .
Thus, we can develop Id + 2tT u 0 (G -zId) -1 -1 into the series with such these z. We have

Id + 2tT u 0 (G -zId) -1 -1 Πu 0 (z) = ∞ n=1 (-2t) n-1 T u 0 (G -zId) -1 n-1 Πu 0 (z).
(3.12) We recall the formula (1.2) for Πu 0 (z),

Πu 0 (z) = 1 2iπ R u 0 (y) y -z dy, (3.13)
is ω t , hence w t = Πw t + Πw t on the real line. In Lemma 3.5, we have already shown the second equality in (1.8), we are therefore reduced to proving the identity

∀z ∈ C + , Πw t (z) = 1 2iπ I + (G + 2tT u 0 -zId) -1 Πu 0 , (3.18)
since this identity clearly characterises ω t .

We then recall the formula (3.1) for Πu ε (t, z),

Πu ε (t, z) = 1 2iπ I + G + 2te -iεt∂ 2 x T u 0 e iεt∂ 2 x -zId -1 e -iεt∂ 2 x Πu 0 . (3.19) Since e ±iεt∂ 2
x is convergent to Id in L L 2 + (R) and since (Dom(G), -iG -2itT u 0 ) is maximally dissipative, then for z ∈ C + , the function

g ε z := G + 2te -iεt∂ 2 x T u 0 e iεt∂ 2 x -zId -1 e -iεt∂ 2 x Πu 0 is strongly convergent to g 0 z := (G + 2tT u 0 -zId) -1 Πu 0 in L 2 + (R), and therefore I + (g ε z ) converges to I + g 0 z pointwisely in C + .
Also, from the weak convergence of u ε (t) to ω t in L 2 (R), we have

∀z ∈ C + , Πu ε (t, z) -Πω t (z) = ∞ 0 e izξ u ε (t, ξ) -ω t (ξ) dξ → 0,
and thus (3.18) follows. The proof is complete.

Remark 3.7. In fact, for u 0 ∈ L 2 r (R) with |u 0 (x)| ≤ C x and for |t| < 1 2C , by applying the method in the proof of Lemma 3.1, we can deduce that -2itT u 0 is G-bounded with the relative bound smaller than 1. Then by the Kato-Rellich theorem 1.15, we can conclude that (Dom(G), -iG -2itT u 0 ) is maximally dissipative. With a slight modification of the proof of Lemma 3.5, we can also show (3.9) for u 0 ∈ L 2 r (R) with |u 0 (x)| ≤ C x in a short time range |t| < 1 2C . Finally, by following the same approach used in the proof of Theorem 1.4, we can deduce Corollary 1.9.

Final comments and open problems

Let us briefly give some comments related to the previous sections.

1. Recently, R. Killip, T. Laurens and M. Vişan have extended continuously the flow map of (1.1) to u 0 ∈ H s r (R) with -1 2 < s < 0 [START_REF] Killip | Sharp well-posedness for the Benjamin-Ono equation[END_REF]. However, so far we have not been able to extend the explicit formula (1.6) to u 0 ∈ H s r (R) with -1 2 < s < 0. In fact, we cannot apply directly the perturbation argument used in Section 2 to this case, and we do not know if (G -2tL u 0 -zId) -1 exists on H s + (R) with -1 2 < s < 0. So far no other suitable approach has been found to give an explicit formula for the solution of (1.1) in this case. We remark that we have also the global well-posedness of the Benjamin-Ono equation on the torus in H s r (T) with -1 2 < s < 0 [START_REF] Gérard | Sharp wellposedness results of the Benjamin-Ono equation on H s (T, R) and qualitative properties of its solutions[END_REF][10], and the explicit formula for the Benjamin-Ono equation on the torus has been successfully extended to u 0 ∈ H s r (T) with -1 2 < s < 0 [START_REF] Gérard | An explicit formula for the Benjamin-Ono equation[END_REF].

2. As explained in Remark 1.10, we know that the expression 1 4iπt R Log 1 + 2tu 0 (y) y -z dy makes sense if u 0 ∈ L 2 r (R). Nevertheless, this does not imply that the zero dispersion limit exists in this case. For u 0 ∈ L 2 r (R), let u ε be the corresponding solution to (1.7) with the initial data u 0 , and we take a sequence u n 0 ∈ L 2 r (R) ∩ L ∞ (R) which converges to u 0 in L 2 (R). In fact, from (1.8) where u ε n denotes the corresponding solution to (1.7) with the initial data u n 0 .

To show the existence of the zero dispersion limit with the initial data u 0 ∈ L 2 r (R), we only need to show that lim ε→0 lim n→∞ Πu ε n (t, z) exists. A natural idea is to show that these two limits can be exchanged in order, which would then imply that However, we lack certain uniform conditions for this double limit to prove the order exchangeability, so the existence for the zero dispersion limit with the initial data u 0 ∈ L 2 r (R) is still unknown even in a short time. Also, as observed in (3.5), the condition

u 0 ∈ L 2 r (R) with |u 0 (x)| ≤ C x
is a necessary condition for G + 2te iεt∂ 2 x T u 0 e -iεt∂ 2

x -zId to have a limit in L Dom(G), L 2 + (R) as ε → 0. With this condition we can only deduce the existence of the zero dispersion limit in a short time, and the existence of the zero dispersion limit in a long time is still unknown for the same reason explained in the previous paragraph. A natural idea to solve this difficulty is to apply the Kato-Rellich theorem to show that (G + 2tT u 0 -zId) -1 exists on L 2 + (R) for every z ∈ C + , but the perturbation argument fails in a long time range since we cannot deduce that the relative bound of -2itT u 0 with respect to G is smaller than 1 for every t ∈ R.

3. The zero dispersion limit for the Benjamin-Ono equation on the torus was studied by L. Gassot in [START_REF] Gassot | Zero-dispersion limit for the Benjamin-Ono equation on the torus with single well initial data[END_REF] [START_REF] Gassot | Lax eigenvalues in the zero-dispersion limit for the Benjamin-Ono equation on the torus[END_REF]. In [START_REF] Gassot | Lax eigenvalues in the zero-dispersion limit for the Benjamin-Ono equation on the torus[END_REF], the explicit formula for the Benjamin-Ono equation on the torus established in [START_REF] Gérard | An explicit formula for the Benjamin-Ono equation[END_REF] was used to prove the existence of the zero dispersion limit for every initial datum in L ∞ (T). The existence of the zero-dispersion limit for more singular initial data is still an open problem. As introduced in Remark 1.6, L. Gassot has also obtained the formula (1.9) in the special case of a general bell shaped initial datum in [START_REF] Gassot | Zero-dispersion limit for the Benjamin-Ono equation on the torus with single well initial data[END_REF] [START_REF] Gassot | Lax eigenvalues in the zero-dispersion limit for the Benjamin-Ono equation on the torus[END_REF].

Definition 1 . 14 .

 114 Let (D(A), A) and (D(B), B) be densely defined linear operators on a Hilbert space H . Suppose that: (i) D(A) ⊂ D(B); (ii) For some a and b in R and all ϕ ∈ D(A), Bϕ ≤ a Aϕ + b ϕ .

  with lim x→∞ |u 0 (x)| |x| = 0. Before proving Theorem 1.4, let us first give an important observation.

  and Remark 1.10, we know that lim

	n→∞	lim ε→0	Πu ε n (t, z) = lim n→∞	1 4iπt R	Log 1 +	2tu n 0 (y) y -z	dy =	1 4iπt R	Log 1 +	2tu 0 (y) y -z	dy,

For (y 1 , y 2 , ..., y n ) ∈ B 0,i,j , we make the following change of variables:

We notice that (z 1 , z 2 , ..., z n ) ∈ B j,n+1-i,1 , so this linear transformation is from B 0,i,j to B j,n+1-i,1 , and the absolute value of the determinant of this linear transformation is 1. We also observe that the inverse of this transformation

is from B j,n+1-i,1 to B 0,i,j , so this transformation is bijective from B 0,i,j to B j,n+1-i,1 . Then we have

Combining the above equality, we can deduce that

which implies (3.8). The proof of (3.7) is complete. Remark 3.4. We notice that the left hand side of (3.7) represents the value of the convolution of (n + 1)-functions f ∈ L 2 (R) ∩ L ∞ (R) at the point 0, and the right hand side of (3.7) represents the value of the convolution of these (n + 1)-f restricted in the support of positive half-line at the point 0. As observed in the proof of Lemma 3.3, (3.7) is derived from (3.8), and (3.8) is also interesting since it gives the equality between two convolutions at the point 0 with different supports of these f . Now we are able to prove the second equality of (1.8). which is the case of n = 1.

When n ≥ 2, we are going to prove

We now adapt the mathematical induction to deduce (3.14). When n = 2, by applying (1.2) and (1.4), we have

Thus we have Then we suppose that (3.14) holds for n = k(k ≥ 2). For n = k + 1, we have

We note

by the assumption, we have

Then we have

Thus we have

which yields (3.14) with n = k + 1. By the induction, we complete the proof of (3.14).

In fact, we can easily observe that

For t ∈ R fixed, since u 0 satisfies lim x→∞

20

We fix ε = 1 4 , and take z ∈ iR >0 such that (z) > 4M 1 4

, and then we have

Thus, for z ∈ iR >0 with (z) large enough, combining (3.12), (3.13), (3.14), (3.15) and (3.16), we can deduce that

which implies (3.9) for z ∈ iR >0 with (z) large enough. By Remark 1.10 and Remark 3.2, we know that the functions (with respect to z) on both sides of (3.9) are holomorphic in C + , then from the isolated zeros theorem, we can deduce (3.9) on the whole upper half-plane C + . The proof is complete.

Consequently, the family u ε (t) has weak limits in L 2 (R) as ε → 0. Our task therefore consists in proving that there is only one such weak limit ω t . Since u ε is real valued, so


Clara Laborie

Nathalie Bernard

BIEN-ÊTRE EN TÉLÉTRAVAIL : A-T-ON VRAIMENT BESOIN D'UN MANAGER ?

Introduction

A l'occasion de la crise sanitaire, en moyenne 26% des actifs français se sont retrouvés à devoir mener leur activité depuis leur domicile [START_REF] Dares | Activité et conditions d'emploi de la main-d'oeuvre pendant la crise sanitaire Covid-19[END_REF]. La pratique du télétravail, qui était jusqu'alors très minoritaire et réservée aux salariés à haut niveau de compétences et d'autonomie, s'est généralisée. Et, la crise durant, ce qui a été expérimenté sous la contrainte est devenu une modalité de travail comme les autres. Certains salariés ne sont retrouvés en télétravail permanent, d'autres ont alterné avec une ou deux journées sur site, pendant qu'une moindre proportion est restée entièrement sur site.

Et pourtant, malgré un ensemble de constats manifestant l'efficacité du travail à distance [START_REF] Tremblay | Le télétravail à domicile : Meilleure conciliation emploi-famille ou source d'envahissement de la vie privée ?[END_REF][START_REF] Bentley | The role of organizational support in teleworker wellbeing: A socio-technical systems approach[END_REF], les organisations semblent encore septiques. Pour les dirigeants, le télétravail provoque bien souvent un délitement de la relation à l'organisation (Taskin et Tremblay, 2010 ;[START_REF] Richer | Comment travaillerons-nous demain ? Cinq tendances lourdes d'évolution du travail[END_REF], une situation où le salarié est abandonné à lui-même, isolé de ses collègues et hors de la vue de son manager [START_REF] Haddon | The experience of teleworking: an annotated review international[END_REF][START_REF] Taskin | Gestion par les compétences et nouvelles formes d'organisation du temps et de l'espace[END_REF][START_REF] Ruiller | Comment maintenir le sentiment de proximité à distance ? Le cas des équipes dispersées par le télétravail[END_REF]. S'ajoute à cela une forme de lassitude face à une période de restrictions qui perdure tel un jour sans fin et sans horizon. Dans ce contexte, le maintien des conditions favorables au bien-être au travail apparait comme une priorité.

L'étude de la littérature permet de faire la synthèse d'une série de pratiques destinées à endiguer de manière ciblée les risques du travail à domicile. Cependant, les études antérieures ne permettent pas d'identifier si la situation de travail (télétravail permanent, travail exclusif sur site, ou alternance entre les deux) impose aux managers d'adopter des modalités d'encadrement différentes pour favoriser le bien-être.

Les styles de management vertueux pour le bien-être au travail sont-ils différents que l'on soit en télétravail ou pas ? Autrement dit, le management doit-il être différent pour favoriser le bienêtre en télétravail, en comparaison du travail exclusif sur site, ou de l'alternance entre les deux ?

Pour évaluer cela, nous avons réalisé entre le printemps et l'automne 2020, une étude sur le travail à distance qui a permis d'analyser les situations de travail de salariés et d'encadrants, ainsi que leurs nouvelles contraintes. Cette étude nous permet non seulement d'identifier les éléments managériaux susceptibles de favoriser le bien-être en situation de télétravail permanent, mais aussi de les comparer à ceux attendus en situation d'alternance (entre télétravail et travail sur site) ou de travail exclusif sur site.

Le management : un acteur majeur du bien-être en situation de télétravail

Le contexte de crise sanitaire nous a poussé à nous demander si les travailleurs ont des besoins différents en termes de management pour favoriser leur bien-être au travail, en fonction de leur situation de travail (télétravail permanent, travail exclusif sur site, ou alternance entre les deux).

Après avoir examiné en quoi le télétravail modifie l'équilibre relatif au bien-être (1), nous verrons que les transformations organisationnelles de ces dernières décennies ont dégradé le bien-être au travail. Face à ce phénomène, les recherches antérieurs ont montré la centralité du rôle du manager et l'intérêt de repenser la relation manager-managés (2). Cela permettra d'examiner les pratiques d'encadrement qui semblent vertueuses à distance pour manager le bien-être, dans un contexte de crise qui fait du télétravail, une modalité d'organisation incontournable (3).

Le télétravail : un mode d'organisation qui modifie l'équilibre du bien-être au travail

Face au défi de l'organisation du travail en contexte de crise, le télétravail s'est imposé comme une réponse adaptée, en complément ou en remplacement du travail sur site. Cette forme d'organisation correspond à l'activité de travail effectuée en dehors des locaux de l'organisation (domicile ou tiers lieu) par le biais des TIC (Technologies de l'Information et de la Communication), de façon occasionnelle, régulière ou permanente, dans le cadre d'un accord avec son employeur [START_REF] Taskin | Les enjeux du télétravail pour l'organisation[END_REF][START_REF] Craipeau | Télétravail : le travail fluide[END_REF][START_REF] Dumas | Le télétravail : les risques d'un outil de gestion des frontières entre vie personnelle et vie professionnelle ?[END_REF]Aguilera et al., 2016). Mais alors que le télétravail régulier ne concernait que 3% des actifs français avant la crise sanitaire (DARES, 2019), il est aujourd'hui pratiqué régulièrement, voire constamment, par 24% d'entre eux [START_REF] Dares | Activité et conditions d'emploi de la main-d'oeuvre pendant la crise sanitaire Covid-19[END_REF]. Le télétravail n'est donc pas nouveau. Il s'est développé progressivement depuis les années 1990, en suivant les progrès de performance des TIC. Cependant, le travail à domicile sur des horaires de bureau classiques a connu un certain retard d'expansion en France [START_REF] Largier | Le télétravail : Trois projets pour un même objet[END_REF][START_REF] Fernandez | Télétravail et "travail à distance équipé" : Quelles compétences, tactiques et pratique professionnelles ?[END_REF]. Il a d'abord été une pratique peu formalisée par l'employeur [START_REF] Head | Telecommuting: Panacea or Pandora's Box ?[END_REF][START_REF] Taskin | Les enjeux du télétravail pour l'organisation[END_REF] et s'est développé sans véritable cadre juridique [START_REF] Craipeau | Télétravail : le travail fluide[END_REF]Aguilera et al., 2016). Le télétravail était davantage pratiqué par les cadres ou les professions intellectuelles supérieures, sous forme mobile dans les transports, dans des bureaux « satellites », et souvent en soirée, les week-ends ou durant les périodes de congés [START_REF] Craipeau | Télétravail : le travail fluide[END_REF]. Ce « retard français » a finalement été comblé en seulement quelques semaines durant le premier confinement national de mars-avril 2020 et a permis de démocratiser cette pratique à des professions moins qualifiées, qui l'avaient très peu expérimentée jusqu'alors. [START_REF] Haddon | The experience of teleworking: an annotated review international[END_REF][START_REF] Taskin | Les enjeux du télétravail pour l'organisation[END_REF][START_REF] Scaillerez | Le télétravail, comme nouveau mode de régulation de la flexibilisation et de l'organisation du travail : analyse et impacte du cadre légal européen et nord-américain[END_REF], d'être moins fatigué (Tremblay, 2001 ;[START_REF] Vayre | Les incidents du télétravail sur le travailleur dans les domaines professionnel, familial et social[END_REF], de travailler dans un contexte moins stressant [START_REF] Mann | The psychological impact of teleworking: Stress, emotions and health[END_REF][START_REF] Dumas | Le télétravail : les risques d'un outil de gestion des frontières entre vie personnelle et vie professionnelle ?[END_REF], plus calme, et finalement d'être plus concentré et moins interrompu par ses collègues [START_REF] Taskin | Les enjeux du télétravail pour l'organisation[END_REF][START_REF] Fernandez | Télétravail et "travail à distance équipé" : Quelles compétences, tactiques et pratique professionnelles ?[END_REF]. Ainsi, le télétravail offre une meilleure conciliation des temps sociaux, avec un équilibre entre vie privée et vie professionnelle [START_REF] Haddon | The experience of teleworking: an annotated review international[END_REF]Aguilera et al., 2016), une plus grande satisfaction vis-à-vis de son emploi [START_REF] Hill | Does it matter where you work? A comparison of how three work venues (traditional office, virtual office, and home office) influence aspects of work and personal/family life[END_REF][START_REF] Brunelle | E-Leadership : L'art de gérer les distances psychologiques[END_REF][START_REF] Brunelle | Télétravail et leadership : déterminants des pratiques efficaces de direction[END_REF][START_REF] Müller | Self-leadership in the context of part-time teleworking[END_REF] et une augmentation de sa motivation au travail (Kurland et Bailley, 1999 ;[START_REF] Pontier | Télétravail indépendant ou télétravail salarié : quelles modalités de contrôle et quel degré d'autonomie[END_REF].

Néanmoins, d'autres recherches pointent du doigt les risques de dérives liés à cette pratique, au premier rang desquels un sentiment de travailler sans fin, sans limites de temps, prisonniers d'une forme de « télé-disponibilité permanente » [START_REF] Tremblay | Le télétravail à domicile : Meilleure conciliation emploi-famille ou source d'envahissement de la vie privée ?[END_REF][START_REF] Pereira | Mutation du rapport de subordination : le salarié "autonome" ou l'indépendant "subordonné" en France[END_REF]. Cette tension engendre souvent un brouillage des frontières de la sphère professionnelle qui semble envahir la vie privée, surtout dans le cas du travail à domicile [START_REF] Mann | The psychological impact of teleworking: Stress, emotions and health[END_REF]Aguilera et al., 2016). À cela s'ajoute un contrôle électronique plus formalisé par les managers qui donne l'impression d'une hausse du contrôle [START_REF] Taskin | Télétravail : les enjeux de la déspatialisation pour le management humain[END_REF][START_REF] Groen | Managing flexible work arrangements: Teleworking and output controls[END_REF] et renforce la pression ressentie par les télétravailleurs (Richardson et MacKenna, 2014), ainsi que leur charge mentale [START_REF] Taskin | Gestion par les compétences et nouvelles formes d'organisation du temps et de l'espace[END_REF]. Le télétravail peut donc engendrer un sentiment d'insatisfaction professionnelle [START_REF] Haddon | The experience of teleworking: an annotated review international[END_REF][START_REF] Bentley | The role of organizational support in teleworker wellbeing: A socio-technical systems approach[END_REF] ou des difficultés à se motiver soi-même et à se discipliner dans l'exercice de son travail [START_REF] Tremblay | Le télétravail à domicile : Meilleure conciliation emploi-famille ou source d'envahissement de la vie privée ?[END_REF][START_REF] Vayre | Les incidents du télétravail sur le travailleur dans les domaines professionnel, familial et social[END_REF]. Plus récemment, des études ont aussi montré que l'usage intensif des outils de visioconférence provoque une fatigue cognitive, nerveuse et visuelle (Fosslien et Duty, 2020), des troubles musculo-squelettiques, ou encore un stress lié à l'hyper-connexion et au sentiment d'isolement (INRS, 2020).

Les études antérieures nous présentent donc le télétravail comme une pratique très ambivalente, pouvant aussi bien favoriser le bien-être de ses pratiquants, que l'amoindrir. Au regard de ce tableau contrasté, le rôle du management semble particulièrement important dans la mise en place, le développement et la gestion quotidienne du télétravail [START_REF] Brunelle | E-Leadership : L'art de gérer les distances psychologiques[END_REF][START_REF] Brunelle | Télétravail et leadership : déterminants des pratiques efficaces de direction[END_REF]. Un ensemble de leviers et de bonnes pratiques ont été envisagées pour endiguer les risques du télétravail tout en profitant de ses avantages.

Le management à l'épreuve d'un bien-être détérioré par des décennies de transformations organisationnelles

La santé au travail est devenue une préoccupation majeure du débat public et des enjeux des organisations. Contrairement aux idées reçues, les pénibilités physiques du travail demeurent, et les pathologies psycho-sociales se développent en parallèle de manière toujours plus importante [START_REF] Detchessahar | Santé au travail -Quand le management n'est pas le problème, mais la solution…[END_REF]. Cette dégradation de la santé au travail est communément associée à de multiples transformations organisationnelles (décentralisation, digitalisation, culture de l'urgence, intensification des exigences de délai, renforcement des procédures, etc.) Le XXI ème siècle est ainsi caractérisé par le maintien de la contrainte de productivité, doublé d'une intensification du travail, à la fois physique, cognitive et subjective. Ce cumul de contraintes expose les salariés à des injonctions contradictoires, qui nuisent durablement à leur bien-être au travail [START_REF] Detchessahar | Santé au travail -Quand le management n'est pas le problème, mais la solution…[END_REF]. Dans ce contexte, les recherches antérieures ont montré que les pratiques actuelles de management ne permettent pas toujours d'outiller les salariés et de mettre à leur disposition les ressources nécessaires pour faire face aux exigences de leur travail. Les organisations manquent d'espaces de régulation et de discussion entre les salariés et l'encadrement [START_REF] Conjard | Ouvrir des espaces de discussion pour manager le travail[END_REF], alors même que le management est un des principaux acteurs de la santé de ses subordonnées. D'après [START_REF] Arnold | Transformational Leadership and Employee Psychological Well-Being: A Review and Directions for Future Research[END_REF] en effet, le manager peut influencer positivement leur bien-être au travers un ensemble de médiateurs et de modérateurs, comme la qualité de vie au travail (QVT), la latitude décisionnelle, la confiance réciproque, la clarté des rôles, le soutien social, ou encore le sens et le caractère stimulant du travail.

Dans cette optique, plusieurs recherches ont identifié les espaces de discussions comme des outils capables de favoriser durablement le bien-être au travail [START_REF] Detchessahar | Santé au travail -Quand le management n'est pas le problème, mais la solution…[END_REF][START_REF] Detchessahar | Faire face aux risques psycho-sociaux : quelques éléments d'un management par la discussion[END_REF]

Le management à distance : un levier central du bien-être des télétravailleurs

Face aux défis que le télétravail impose aux managers pour favoriser et maintenir le bien-être au travail, les recherches antérieures ont proposé plusieurs pistes. Elles ont montré l'importance pour un manager de veiller à l'équilibre entre la vie privée et la vie professionnelle de ses subordonnés, en réduisant le sentiment d'intrusion du travail dans leur vie familiale. Le manager peut notamment mettre en place un accompagnement au télétravail, avec des conseils sur la façon de gérer le stress, les limites et les conflits entre le travail et la famille [START_REF] Mann | The psychological impact of teleworking: Stress, emotions and health[END_REF]. Il peut également réduire le sentiment d'isolement, de par son rôle d'animateur du collectif, en offrant des possibilités d'interaction variées et novatrices, ou en organisant des rencontres de socialisation [START_REF] Brunelle | E-Leadership : L'art de gérer les distances psychologiques[END_REF][START_REF] Brunelle | Télétravail et leadership : déterminants des pratiques efficaces de direction[END_REF]. Il se doit aussi de parler d'avenir professionnel avec chacun de ses collaborateurs, en se préoccupant de leurs attentes individuelles, ce qui est souvent très motivant, appréciable et satisfaisant pour le salarié [START_REF] Brunelle | E-Leadership : L'art de gérer les distances psychologiques[END_REF][START_REF] Brunelle | Télétravail et leadership : déterminants des pratiques efficaces de direction[END_REF]. Pour [START_REF] Ruiller | Comment maintenir le sentiment de proximité à distance ? Le cas des équipes dispersées par le télétravail[END_REF], la QVT doit être une priorité en situation de télétravail pour maintenir un sentiment de proximité sociale, malgré la distance physique [START_REF] Wilson | Perceived proximity in virtual work: Explaining the paradox of far-but-close[END_REF]. Ainsi, le travail collectif à distance doit être basé sur une confiance réciproque, et nourri par des échanges délibératifs, qui permettent la participation de tous, et comble aussi bien le besoin d'autonomie que de proximité sociale des individus [START_REF] Deci | Handbook of Self-Determination Research[END_REF].

À la lecture de ces travaux, une posture managériale vertueuse pour le bien-être au travail, quelle que soit la distance physique avec ses collaborateurs, semble s'articuler autour de quatre dimensions : le soutien social [START_REF] Karasek | The psychosocial work environment[END_REF][START_REF] Mann | The psychological impact of teleworking: Stress, emotions and health[END_REF][START_REF] Bentley | The role of organizational support in teleworker wellbeing: A socio-technical systems approach[END_REF], la participation aux décisions [START_REF] Brunelle | E-Leadership : L'art de gérer les distances psychologiques[END_REF][START_REF] Brunelle | Télétravail et leadership : déterminants des pratiques efficaces de direction[END_REF][START_REF] Ruiller | Comment maintenir le sentiment de proximité à distance ? Le cas des équipes dispersées par le télétravail[END_REF], l'effort d'empathie, de bienveillance [START_REF] Bachelard | Optimiser le bien-être au travail et la performance globale : enjeux et perspectives[END_REF]

Étude empirique

Pour répondre à cette problématique, nous avons mené une enquête auprès d'un échantillon de 2968 salariés d'une grande organisation de la Sécurité Sociale au cours des mois de novembre et décembre 2020. Cette organisation propose un ensemble de services et de prestations à des allocataires sur l'ensemble du territoire national. Les répondants à notre enquête sont issus de 45 caisses de 45 départements différents.

Collecte de données

Échantillon

Le profil de notre échantillon tel que présenté ci-après reprend les variables de contrôle incluse dans le modèle.

Tableau 1 -Présentation de l'échantillon Cette structure est représentative de l'ensemble de la population de ces organisations.

Outils de mesure

Pour mesurer le bien-être au travail, nous avons opté pour une mesure intégrative issue du modèle SLAC (Abord de Chatillon et Richard, 2015 ; Abord de Chatillon, Lacroux et Richard, 2020) en 24 items.

Pour mesurer la qualité du management, nous nous sommes appuyés sur une traduction de l'échelle de l'empowering leadership [START_REF] Arnold | The empowering leadership questionnaire: The construction and validation of a new scale for measuring leader behaviors[END_REF], reprise et adaptée par [START_REF] Srivastava | Empowering leadership in management teams: effects on knowledge sharing, efficacy, and performance[END_REF], qui distingue trois composantes du leadership : management exemplaire, management participatif et management empathique, au travers de 9 items.

Pour mesurer le soutien social du manager hiérarchique, nous nous sommes appuyés sur l'échelle développée par [START_REF] Pinneau | Effects of social support on occupational stresses and strains[END_REF] La fiabilité des échelles de mesure obtenue lors d'une analyse factorielle exploratoire par la méthode du maximum de vraisemblance sur notre échantillon est très satisfaisante.

Toutes nos variables répondent aux normes de validité statistique, à savoir un KMO supérieur à 0.5 et un alpha de Cronbach supérieur à 0.6.

Nous avons ensuite réalisé trois régressions hiérarchiques sur le bien-être au travail pour chacun des trois contextes suivants : situation de télétravail à 100%, situation d'alternance entre télétravail et présentiel, situation de travail en présentiel à 100%, et avec toutes les variables indépendantes (management exemplaire, management empathique, management participatif, soutien social du manager). Nous avons inclus les variables de contrôle présentées précédemment (Age, Genre, Situation parentale, Situation conjugale, Situation télétravail, Situation d'encadrement, Temps de travail).

La qualité des modèles de régression et l'indépendance des erreurs ont ensuite été évalués. Ceci permettant de s'assurer de la qualité des données et du modèle retenu.

Résultats

Nos résultats montrent que le bien-être au travail des salariés dépend de facteurs différents selon que ceux-ci se trouvent en situation de télétravail à 100%, en alternance entre télétravail et présentiel, et en présentiel à 100%.

Situation de travail en présentiel à 100%

En ce qui concerne la situation des salariés en présentiel, le niveau de bien-être sera influencé par le soutien social de leur responsable hiérarchique. Ce constat touche toutes les dimensions du bien-être au travail, à savoir, le sens au travail, le lien avec les collègues, l'activité de travail et le niveau de confort.

Il est également à noter que le niveau d'encadrement, est la seule variable de contrôle ayant un impact sur le bien-être au travail : les salariés en situation d'encadrement de plus de 2 personnes ont un niveau de bien-être supérieur à ceux qui encadrent une seule personne, eux-mêmes ressentant plus de bien-être au travail que ceux n'étant pas en situation de management hiérarchique. Ce constat se retrouve pour les dimensions sens au travail, activité de travail et confort au travail. En revanche, en ce qui concerne les liens au travail, plus le salarié est âgé, moins il se satisfait de la qualité des relations au travail.

Tableau 4 -Résultats du modèle de bien-être au travail en situation de présence sur site

Situation d'alternance entre télétravail et présentiel

En ce qui concerne la situation des salariés alternant présence dans l'entreprise et télétravail, le niveau de bien-être sera influencé par le soutien social de leur responsable hiérarchique mais également par un management participatif. Ce constat touche en particulier les dimensions du sens au travail, de l'activité de travail et du confort au travail.

De même que pour la situation de travail avec présence au bureau, les salariés alternant présence dans l'entreprise et télétravail, et qui ont un niveau d'encadrement hiérarchique, témoignent d'un niveau de bien-être au travail supérieur. Il est intéressant de noter que cette variable n'a pas d'impact sur la dimension du lien au travail, ce qui pourrait signifier que, dans cette situation d'alternance entre présentiel et télétravail, les managers comme les collaborateurs sont à même pied d'égalité quand il s'agit de la qualité des relations sociales au travail.

Tableau 5 -Résultats du modèle de bien-être au travail en situation d'alternance

Situation de télétravail à 100%

En ce qui concerne la situation des salariés en situation de télétravail, le niveau de bien-être au travail sera influencé non seulement par le soutien social de leur responsable hiérarchique, comme dans la situation de présence dans l'entreprise, aussi par un management participatif, comme dans la situation d'alternance entre les deux situations, mais également par un management exemplaire. Ce constat touche plus particulièrement deux dimensions du bien-être au travail, à savoir, le sens au travail et le niveau de confort.

Parmi les variables de contrôle, le niveau d'encadrement joue un rôle dans le niveau de bienêtre au travail des salariés mais également la situation conjugale. En effet, les salariés dans les meilleures conditions de bien-être au travail sont ceux qui sont en situation d'encadrement hiérarchique dans leur vie professionnelle mais aussi en situation de couple dans leur vie personnelle.

Les télétravailleurs qui ressentiront le moins de sens dans leur travail sont ceux qui sont en situation de temps partiel. Ceux qui ressentiront le moins la qualité des relations interpersonnelles au travail sont les télétravailleurs les plus âgés et en situation personnelle de célibat. Pour chacune des trois situations (présentiel, alternance, télétravail), nos résultats mettent également en exergue que le genre, l'âge, le temps de travail et la situation parentale n'influencent pas le sentiment de bien-être au travail.

Tableau 6 -Résultats du modèle de bien-être au travail en situation de télétravail

Discussion

Sur le plan du soutien social, cette étude vient confirmer l'importance du soutien social tel qu'il figure dans le modèle de Karasek [START_REF] Karasek | The psychosocial work environment[END_REF]. On le voit, le soutien du supérieur hiérarchique direct apparaît comme une constante, une condition indispensable au bien-être des subordonnés, quelle que soit la situation de travail. En revanche, le fait de constater que l'empathie du manager n'est associée dans aucun cas avec du bien-être, pose la question de la nature de la relation managériale associée au bien-être. Elle semble plutôt se fonder sur des pratiques explicites et objectives qui apportent des compléments significatifs à l'assistance des salariés et à la réalisation leur activité. L'adoption d'une posture réflexive et affective sur la situation des uns et des autres ne semble donc pas être vecteur de bien-être. D'une certaine manière, ce qui est important pour le salarié, c'est avant tout ce qui contribue à la bonne réalisation du travail et moins à sa périphérie.

Nos résultats viennent également compléter le constat souvent émis [START_REF] Detchessahar | Faire face aux risques psycho-sociaux : quelques éléments d'un management par la discussion[END_REF]Clot 2010)

Conclusion

L'ensemble de ces résultats se doit d'être modéré par le contexte spécifique de la période de recueil des données. Si la situation de pandémie permet à des acteurs nouveaux d'accéder au télétravail, celui-ci s'exerce dans des conditions particulières. Si cette crise constitue un laboratoire d'expérimentation du télétravail, cela en constitue aussi une limite.

La période de crise sanitaire a souvent épuisé les managers de télétravailleurs devant assurer un soutien permanent de leurs équipes. Piloter des équipes composées à la fois de télétravailleurs et de salariés qui alternent ou sont en permanence dans les locaux de l'organisation apparaît comme une tâche particulièrement ardue. Cependant, même si ce registre de discours existe, nous constatons que ceux qui encadrent reportent un meilleur niveau de bien-être perçu.

Le management du télétravail apparaît donc comme se déployant sur un spectre plus large, mobilisant en plus d'un socle de soutien social, des dimensions participatives, et même exemplaires en ce qui concerne le télétravail permanent. À la lumière de ces résultats, le manager à distance apparaît comme un manager augmenté. De fait, le télétravail semble constituer une modalité de travail qui agit comme un révélateur des qualités et des insuffisances du manager.

L'observation de ces résultats conduit à envisager de nouvelles perspectives à la suite de cette recherche. Non seulement, il conviendrait de répliquer cette analyse dans une période plus « classique », mais il faudrait également examiner la dynamique qui s'installe autour du télétravail. On peut ainsi penser que les comportements associés au management de ces situations de travail sont susceptibles d'évoluer en fonction de l'expérience que les acteurs en auront. D'une manière complémentaire, les données quantitatives peinent à restituer la profondeur des vécus individuels et collectifs. Il existe un besoin important d'une exploration qualitative de la relation manager-managé en situation de télétravail.

Quoi qu'il en soit, cette étude montre que le télétravail est un mode d'organisation qui requière la présence, le soutien et l'accompagnement du manager, plus encore qu'en situation de travail « classique » dans les locaux de l'organisation.

Bibliographie

  ;[START_REF] Conjard | Ouvrir des espaces de discussion pour manager le travail[END_REF] Abord de Chatillon et Desmarais, 2017). Ces échanges permettent à chacun de s'emparer du sens de son travail, de co-construire les futures trajectoires de travail, d'avoir un soutien social, ainsi qu'une reconnaissance collective. Pour les managers, ce sont des espaces de prise de connaissance du « travail réel » et de ses contraintes, à partir desquels ils peuvent réaliser un travail de « traduction » et d'ajustement entre les exigences de l'organisation et les attentes de leurs subordonnés[START_REF] Desmarais | Le rôle de traduction du manager : Entre allégeance et résistance[END_REF].

Si l'on transpose cela dans l'organisation actuelle du travail, à la fois « déspatialisée » et hybride, que peut-il advenir de cette relation à distance, alors même qu'elle apparaît difficile à créer et à maintenir en présentiel ? D'autant plus que la construction d'un lien durable exige des rencontres en face-à-face

[START_REF] Detchessahar | Faire face aux risques psycho-sociaux : quelques éléments d'un management par la discussion[END_REF]

. Il se pose ainsi toute une série de questions. Comment assurer des relations sociales prolifiques à distance ? Comment stimuler la motivation, l'accomplissement et le sens du travail, lorsqu'un salarié n'est pas dans les locaux de son organisation ? Et enfin, comment assurer le confort et la sécurité de chacun ? A distance, ces impératifs deviennent de véritables défis pour les organisations et leurs lignes managériales. En effet, les déterminants du bien-être des télétravailleurs dépendent aussi de l'environnement extérieur dans lequel ils travaillent et des ressources individuelles qu'ils peuvent mobiliser pour gérer ce travail à distance.

  et l'exemplarité (Abord de Chatillon etDesmarais, 2017). Dès lors, ses subordonnés perçoivent leur activité comme satisfaisante et porteuse de sens pour eux-mêmes, tout en étant animée par des relations sociales profitables et réalisée dans des conditions confortables.Cette revue de la littérature témoigne du rôle particulier que doivent jouer les managers en situation de télétravail pour favoriser le bien-être de leurs subordonnés, et des pratiques qu'ils peuvent adopter pour le stimuler et le maintenir. Pour autant, les recherches antérieures ne nous permettent pas de déterminer s'il existe des postures ou des modalités d'encadrement plus ou moins adaptées ou vertueuses selon le mode d'organisation (télétravail permanent, travail exclusif sur site, ou alternance entre les deux) pour favoriser le bien-être. A ce jour, la littérature ne propose que des pratiques ciblées pour endiguer tel ou tel inconvénient lié au travail à distance, mais nous ne disposons pas d'un tableau d'ensemble comparatif des modalités de management vertueuses selon la situation de travail.Au regard des chamboulements induis par le télétravail en matière de bien-être, notre hypothèse centrale est que, plus un salarié travaille à distance des locaux de son organisation, plus il a besoin que son manager s'investisse dans le suivi, le soutien et l'accompagnement de son travail. Ainsi, nous supposons qu'un télétravailleur permanent attend davantage de soutien,

d'empathie, d'exemplarité et de participation aux décisions qu'un télétravailleur alternant avec le présentiel, qui lui-même, en attend davantage qu'un salarié exclusivement sur site.

  Après avoir réalisé une analyse factorielle pour vérifier que les variables étaient suffisamment corrélées pour constituer un score composite, en calculant l'indice KMO (Kaiser-Meyer-Olkin Measure), nous avons vérifié la consistance interne de chaque score composite par une analyse de fiabilité en calculant l'alpha de Cronbach.

		Tableau 3 -Validité des échelles de mesure
	Échelle de mesure	KMO	Alpha de Cronbach
	SLAC		0.712	0.740
	Management exemplaire	0.745	0.900
	Management participatif	0.752	0.917
	Management empathique	0.753	0.902
	Soutien social du manager	0.837	0.894
	Échelle de mesure Exemples d'items
	SLAC	-Ce que je fais à mon travail a du sens pour moi. -J'apprécie les relations que je tisse à mon travail.
	Empowering leadership	À propos de votre supérieur hiérarchique… -Il (elle) utilise les propositions de l'équipe pour prendre des décisions. -Il (elle) montre l'exemple par son comportement.
		À propos de votre supérieur hiérarchique…
	Soutien social

en 4 items.

Tableau 2 -Exemples d'items pour chaque échelle de mesure -Pouvez-vous bénéficier de son aide dans les moments difficiles ? -Prend-il (elle) le temps de vous aider à rendre votre travail plus facile ?

2.1.3. Méthodologie d'analyse des données

  d'une relative absence des cadres de la scène du travail. Si cette absence peut être compensée sur site par la présence des collègues, qui participent à l'environnement de travail de l'individu de manière spontanée, naturelle et informelle, il n'en est pas de même à distance. Physiquement isolé, le télétravailleur a manifestement un besoin aigu d'encadrement et de présence de la part de son superviseur. D'une certaine manière, cette recherche pose la question de ce qui fait management. Il semble que les besoins des salariés apparaissent comme notablement différents selon la situation de travail. En présentiel, on peut penser que les collectifs de travail donnent la pleine mesure de leurs capacités à permettre l'ajustement, la collaboration, le développement personnel. Cependant, la mise à distance complexifie profondément cette dynamique et amène le télétravailleur à se retourner vers son superviseur. Ce constat nous conduit à penser l'activité de management comme intimement dépendante du fonctionnement des équipes concernées. Ainsi, l'hypothèse d'une plus grande difficulté à faire vivre des espaces de discussion[START_REF] Detchessahar | Faire face aux risques psycho-sociaux : quelques éléments d'un management par la discussion[END_REF] ; Abord de Chatillon et Desmarais, 2017) à distance, peut être avancée.Tableau 7 -Synthèse des variables d'influence du bien-être selon la situation de travail D'autre part, ces résultats montrent l'importance de la situation statutaire en regard de la santé au travail. Ici, nos résultats complètent ceux de[START_REF] Desmarais | Encadrer, une promenade de santé ?[END_REF] et montrent que la situation des encadrants est spécifique. Dans cette recherche, le niveau d'encadrement est systématiquement, quelle que soit la situation de travail, associé à un meilleur bien-être au travail. En sachant que la mesure du bien-être reste subjective, cela pose la question de savoir si cet effet correspond à une situation objective de travail meilleure sur le plan psychosocial ; ou s'il s'agit à un phénomène résultant d'une « culture » managériale qui associe le métier d'encadrant à une forme de dynamisme, d'engagement, par surcroit, de bien-être supérieur. Un résultat d'autant plus surprenant que le travail des managers était considéré comme plus compliqué durant cette période de pandémie, du fait de la gestion des chamboulements induis par la mise à distance du travail.

		Bien-être au travail	Bien-être au travail	Bien-être au
		en situation de	en situation de	travail en situation
		travail sur site	d'alternance	de télétravail
	1	Soutien social du manager	***	***	***
	2	Management exemplaire			*
	3	Management participatif		**	***
	4	Management empathique
	5	Niveau d'encadrement	**	***	*
	6	Genre
	7	Tranche d'âge
	8	Temps de travail
	9	Situation parentale
	10 Situation conjugale			**
	Note : *** p<0.001 ; ** p<0.01 ; * p<0.1

  Abord de Chatillon E. etDesmarais C. (2017), « Espace de discussion, management et épuisement professionnel », @GRH, De Boeck Supérieur, n° 23, p. 13-36. Abord de Chatillon E. et Richard D. (2015), « Du sens, du lien, de l'activité et du confort (SLAC). Proposition pour une modélisation des conditions du bien-être au travail pour le SLAC », Revue françaisede gestion, n°249, p. 53-71.

Aguilera A., Lethiais V., Rallet A. et Proulhac L. (2016)

, « Le télétravail, un objet sans désir ? Métropolisation, cohésion et performances : futurs pour nos territoires ? », Revue d'Économie

Régionale & Urbaine,