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s❡❝t✐♦♥s❀ ✐✐✮ t♦ r❡♣❤r❛s❡ t❤❡r❡✱ ✐♥ ❛ ♠♦❞❡r♥ ♥♦t❛t✐♦♥✱ t❤❡ r❡s✉•ts ♦❢ P✐♦•❛ ❬✶✶✽✱ ✶✷✷(✳ ■t ❤❛s t♦ ❜❡ r❡♠❛r❦❡❞ t❤❛t ✐♥ t❤❡ •✐t❡r❛t✉r❡ t❤❡ •❡❛st ❛❝t✐♦♥ ♣r✐♥❝✐♣•❡ ✐♥ ❝♦♥t✐♥✉✉♠ ♠❡❝❤❛♥✐❝s ✐s ♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ ❛ ✈❡r② ❝•❡❛r ✇❛② ✐♥ ❇❡r❞✐❝❤❡✈s❦② ❬✾(✳ ■t ✐s ❡✈✐❞❡♥t t❤❛t t❤❡ ❙♦✈✐❡t s❝❤♦♦• ✭s❡❡ ❡✳❣✳ ❙❡❞♦✈ ❬✶✸✾✱ ✶✹✵(✱ ✇❤✐❝❤ ❞❡✈❡•♦♣❡❞✱ ✐♠♣r♦✈❡❞ ❛♥❞ ❡•❛❜♦r❛t❡❞ ✐t ✐♥ s❡✈❡r❛• ❛s♣❡❝ts✮✱ ✇❛s ❛✇❛r❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥t❡♥t ♦❢ P✐♦•❛✬s ❝♦♥tr✐❜✉t✐♦♥ t♦ ❝♦♥t✐♥✉✉♠ ♠❡❝❤❛♥✐❝s ✻ ✱ ❡✈❡♥ ✐❢ ✐t ✐s ♥♦t s♦ ❝•❡❛r ❤♦✇ t❤❡ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ♠❛♥❛❣❡❞ t♦ r❡❛❝❤ ❙♦✈✐❡t s❝✐❡♥t✐sts✳ ❚♦ ❡st❛❜•✐s❤ t❤❡ ✇❛②s ✐♥ ✇❤✐❝❤ s✉❝❤ ❝♦♥♥❡❝t✐♦♥s ❛r❡ ❡st❛❜•✐s❤❡❞ ✐s ❛ s❝✐❡♥t✐✜❝ ♣r♦❜•❡♠ ❜② ✐ts❡•❢✱ ✇❤♦s❡ ✐♠♣♦rt❛♥❝❡ ❤❛s ❜❡❡♥ ✉♥❞❡r❡st✐♠❛t❡❞ ✉♣ t♦ ♥♦✇✳ ✸ ❋✐rst ❣r❛❞✐❡♥t ❝♦♥t✐♥✉❛ ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ r❡♣r♦❞✉❝❡✱ ❜② ✐♥tr♦❞✉❝✐♥❣ ♠♦r❡ r❡❝❡♥t ♥♦t❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❜② ❡①t❡♥s✐✈❡•② ✉s✐♥❣ ▲❡✈✐✲❈✐✈✐t❛✬s ❛❜s♦•✉t❡ t❡♥s♦r ❝❛•❝✉•✉s✱ t❤❡ ❛r❣✉♠❡♥ts ✉s❡❞ ❜② P✐♦•❛ ❢♦r ❢♦✉♥❞✐♥❣ t❤❡ ❝•❛ss✐❝❛• ❝♦♥t✐♥✉✉♠ ♠❡❝❤❛♥✐❝s✳ ❚❤❡ r❡❛❞❡r ✇✐•• ♦❜s❡r✈❡ ❜② s✐♠♣•❡ ❝♦♠♣❛r✐s♦♥ ✭s❡❡ P✐♦•❛ ❬✶✶✽✱ ✶✶✾✱ ✶✷✵✱ ✶✷✶✱ ✶✷✷(✮ t❤❛t t❤❡ ✉s❡ ♦❢ t❡♥s♦r ❝❛•❝✉•✉s ♠❛❦❡s t❤❡ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❞r❛♠❛t✐❝❛••② s❤♦rt❡r✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ ❛s ✇❡ ✇✐•• s❡❡ ✐♥ ❛ s✉❜s❡q✉❡♥t s✉❜s❡❝t✐♦♥✱ ❜② ♠❡❛♥s ♦❢ ✐ts ✉s❡ t❤❡ ❝❛•❝✉•❛t✐♦♥s ♥❡❡❞❡❞ t♦ ❞❡❛• ✇✐t❤ s❡❝♦♥❞ ❣r❛❞✐❡♥t ✢✉✐❞s ❜❡❝♦♠❡ ❢❡❛s✐❜•❡✳ ❆♥♦t❤❡r ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ✇✐t❤ P✐♦•❛✬s ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❝♦♥s✐sts ✐♥ ♦✉r ✉s❡ ♦❢ t❤❡ •❡❛st ❛❝t✐♦♥ ♣r✐♥❝✐♣•❡ ✐♥st❡❛❞ ♦❢ t❤❡ ♣r✐♥❝✐♣•❡ ♦❢ ✈✐rt✉❛• ✇♦r❦ ✭s❡❡ ❡✳❣✳ ❞❡••✬■s♦•❛ ❛♥❞ P•❛❝✐❞✐ ❬✺✸(✮✳ ❍♦✇❡✈❡r ✇❡ ❦❡❡♣ t❤❡ ❞✐st✐♥❝t✐♦♥ ❛♠♦♥❣ ✐♥❡rt✐❛•✱ ✐♥t❡r♥❛• ❛♥❞ ❡①t❡r♥❛• ❛❝t✐♦♥s✳ ◆♦t❛t✐♦♥s ✉s❡❞ ✐♥ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ❛r❡ ❞❡t❛✐•❡❞ ✐♥ t❤❡ ❆♣♣❡♥❞✐❝❡s✳ ✸✳✶ ❆❝t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥❛• ▲❡t ✉s ✐♥tr♦❞✉❝❡ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ❛❝t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥❛•✿ A = ∆ t1 to ∆B 1 2 ρ 0 v 2 -W (χ, F, X) dV dt + ∆ t1 to ∆∂B (-W S (χ, X)) dAdt ✇❤❡r❡ ✿ • t❤❡ ✜❡•❞ χ ❞❡♥♦t❡s t❤❡ ♣•❛❝❡♠❡♥t ✜❡•❞ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ r❡❢❡r❡♥t✐❛• ✭♦r ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥✮ B ❛♥❞ t❤❡ s♣❛t✐❛• ✭♦r ❊✉•❡r✐❛♥✮ χ (B) ⊂ E ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥s χ : B → E • t❤❡ ✜❡•❞ ρ 0 (X) r❡❢❡rs t♦ t❤❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ t✐♠❡✲✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♠❛ss ❞❡♥s✐t②✱ s♦ t❤❛t t❤❡ ❊✉•❡r✐❛♥ ♠❛ss ❞❡♥s✐t② ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ρ = det F -1 (ρ 0 ) -→ (E) ✇❤❡r❡ t❤❡ ✉s❡❞ ♥♦t❛t✐♦♥ ✐s ❝❛r❡❢✉••② ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆❀ • t❤❡ ♣•❛❝❡♠❡♥t ❣r❛❞✐❡♥t F = ∇ X χ ✐s ❛ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ t❡♥s♦r ✜❡•❞✱ ✐✳❡✳ ❛ t❡♥s♦r ✜❡•❞ ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ B❀ • t❤❡ ✈❡•♦❝✐t② ✜❡•❞ v = ∂χ ∂t ✱ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ t❤❡ ♣•❛❝❡♠❡♥t ✜❡•❞ χ, ✐s ❛ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✜❡•❞ ♦❢ ❊✉•❡r✐❛♥ ✈❡❝t♦rs❀ • t❤❡ ♣♦t❡♥t✐❛• W (χ, F, X) ✐s r❡•❛t✐✈❡ t♦ t❤❡ ✈♦•✉♠❡tr✐❝ ❞❡♥s✐t② ♦❢ ❛❝t✐♦♥ ✐♥s✐❞❡ t❤❡ ✈♦•✉♠❡ B❀ • t❤❡ ♣♦t❡♥t✐❛• W S (χ, X) ♣❡rt❛✐♥s t♦ t❤❡ ❛❝t✐♦♥s ❡①t❡r♥❛••② ❛♣♣•✐❡❞ ❛t t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ∂B✳ ✻ ■t ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❡①❝•✉❞❡❞ •♦❣✐❝❛••② t❤❛t P✐♦•❛ ❝♦✉•❞ ❤❛✈❡ s♦✉r❝❡s ✇❤✐❝❤ ✇❡ ❝♦✉•❞ ♥♦t ✜♥❞✳ ❍♦✇❡✈❡r ❤✐s ✇♦r❦s ✜① ❛ ❞❛t❡ ❢r♦♠ ✇❤✐❝❤ ❝❡rt❛✐♥ ❝♦♥❝❡♣ts st❛rt t♦ ❛♣♣❡❛r ✐♥ ♣✉❜•✐s❤❡❞✲♣r✐♥t❡❞ ❢♦r♠✳ ❚❤❡ r❡s✉•ts ✈❛•✐❞ ❢♦r ✐♥✜♥✐t❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛• ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ♠♦❞❡•s ✭s❡❡ ❡✳❣✳ ❞❡••✬■s♦•❛ ❛♥❞ P•❛❝✐❞✐ ❬✺✸( ❛♥❞ r❡❢❡r❡♥❝❡s t❤❡r❡✐♥✮ ❛♣♣•✐❡❞ t♦ t❤❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❛❝t✐♦♥✱ •❡❛❞ t♦ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ❊✉•❡r✲▲❛❣r❛♥❣❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ✭✇❤✐❝❤ ❤♦•❞ ❛t ❡✈❡r② ✐♥t❡r♥❛• ♣♦✐♥t ♦❢ B✮✿ - ∂ ∂t (ρ 0 v i ) + ∂ ∂X A ∂W ∂F i A - ∂W ∂χ i = 0 ❛♥❞✱ ✐❢ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ∂B ✐s s✉✐t❛❜•② s♠♦♦t❤✱ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✼ - ∂W ∂F i A N A - ∂W S ∂χ i = 0. ✇❤✐❝❤ ❤♦•❞ ❛t ❡✈❡r② ♣♦✐♥t P ❜❡•♦♥❣✐♥❣ t♦ t❤❡ ✭▲❛❣r❛♥❣✐❛♥✮ s✉r❢❛❝❡ ∂B ✇❤♦s❡ ♥♦r♠❛• ✜❡•❞ ✐s ❞❡♥♦t❡❞ N (P ) ♦r✱ ✐♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✱ N M (P )✳ ■♥ t❤❡ ❢♦r♠❡r ❡①♣r❡ss✐♦♥s ❛♥❞ t❤r♦✉❣❤♦✉t t❤❡ ♣❛♣❡r✱ ▲❛❣r❛❣✐❛♥ ✐♥❞✐❝❡s ❛r❡ ✇r✐tt❡♥ ✐♥ ✉♣♣❡r ❝❛s❡ ✇❤✐•❡ ❊✉•❡r✐❛♥ ✐♥❞✐❝❡s ❛r❡ ✇r✐tt❡♥ ✐♥ •♦✇❡r ❝❛s❡✳ ❋✉rt❤❡r♠♦r❡ t❤❡ ❝•❛ss✐❝❛• ❊✐♥st❡✐♥ ❝♦♥✈❡♥t✐♦♥ ✐s ❛♣♣•✐❡❞ ❛♥❞ t❤❡ s✉♠♠❡❞ ✐♥❞✐❝❡s ❛r❡ t❛❦❡♥ ❢r♦♠ t❤❡ ❜❡❣✐♥♥✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ❛•♣❤❛❜❡t✳ ✸✳✷ ❖❜•❡❝t✐✈❡ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ❡♥❡r❣② ❲❡ ♥♦✇ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ❡♥❡r❣② W ❝❛♥ ❜❡ s♣•✐t ✐♥t♦ t✇♦ ♣❛rts✱ t❤❡ ✜rst ♦♥❡ r❡♣r❡s❡♥t✐♥❣ t❤❡ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ❡♥❡r❣②✱ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♦♥❡ ❛♥ ❡①t❡r♥❛• ✭❝♦♥s❡r✈❛t✐✈❡✮ ❛❝t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❜✉•❦ •♦❛❞ W (χ, F, X) = W def (C, X) + U ext (χ, X) ✇❤❡r❡ C := F T F ✐s t❤❡ r✐❣❤t ❈❛✉❝❤②✲•r❡❡♥ t❡♥s♦r ✇❤✐❝❤✱ ✐♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✱ ❤❛s t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ❡①♣r❡ss✐♦♥s✿ C M N = g N A F A a F a M = F N a F a M = g ab F b M F a N , ✇❤❡r❡ g M N ❛♥❞ g ij ❞❡♥♦t❡s✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡•②✱ t❤❡ ✭❞✐st✐♥❝t✮ ♠❡tr✐❝ t❡♥s♦rs ♦✈❡r B ❛♥❞ E✳ ❚❤❡ ❊✉•❡r✲▲❛❣r❛♥❣❡ st❛t✐♦♥❛r✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❛r❡ t❤❡ s♦✲❝❛••❡❞ ❜❛•❛♥❝❡ ♦❢ •✐♥❡❛r ♠♦♠❡♥t✉♠✱ ♦r ❜❛•❛♥❝❡ ♦❢ ❢♦r❝❡s✱ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❜② t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s - ∂ ∂t (ρ 0 v i ) + ∂ ∂X C ∂W def ∂C AB ∂C AB ∂F i C - ∂U ext ∂χ i = 0.
∂C M N ∂F i P = g ab ∂ ∂F i P F b M F a N = g ab ∂F b M ∂F i P F a N + F b M ∂F a N ∂F i P = δ P M F iN + F iM δ P N ✇❡ ❣❡t ∂W def ∂C AB ∂C AB ∂F i P = 2 ∂W def ∂C P A F iA ❛♥❞ t❤❡ ❜❛•❛♥❝❡ ✭✶✮ ❜❡❝♦♠❡s -ρ 0 ∂v i ∂t + ∂ ∂X A 2F iB ∂W def ∂C AB - ∂U ext ∂χ i = 0.
✭✷✮ ❚❤❡ t❡♥s♦r B) , (∇ρ)

P M i := 2F iA ∂W def ∂C AB g BM ✐s t❤❡ P✐♦•❛ str❡ss t❡♥s♦r✳ ■t ❛♣♣❡❛rs ❛•s♦ ✐♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❞❡❞✉❝❡❞ ❢r♦♠ ∂W def ∂F i A N A = - ∂W S ∂χ i ✭✸✮ ■♥ P✐♦•❛ ❬✶✷✶( t❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥t ♦❢ ♦❜•❡❝t✐✈✐t② ✭✐✳❡✳ t❤❡ ✐♥✈❛r✐❛♥❝❡ ✉♥❞❡r ❝❤❛♥❣❡s ♦❢ ♦❜s❡r✈❡r✮ ♦❢ P✐♦•❛ str❡ss ✐s ❝•❡❛r•② st❛t❡❞ ❛♥❞ ❛♥❛•②t✐❝❛••② ❢♦r♠✉•❛t❡❞✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❞✉❡ t♦ t❤❡ •❛❝❦ ♦❢ ❝♦♥❝❡♣t✉❛• t♦♦•s s✉♣♣•✐❡❞ ❜② t❡♥s♦r ❝❛•❝✉•✉s✱ ✐♥ ❤✐s r❡s✉•ts ❤❡ ❞✐❞ ♥♦t ❛❝❤✐❡✈❡ t❤❡ ❝•❛r✐t② ❛••♦✇❡❞ ❜② t❤❡ t❡♥s♦r✐❛• ❢♦r♠❛•✐s♠✳ ✼ ❚♦ ❛✈♦✐❞ ❛♥② ♠✐s✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣✱ ✐♥ t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ W S t❤❡ s✉❜s❝r✐♣t S r❡❢❡rs t♦ ✏❙✉r❢❛❝❡✑ ❛♥❞ ✐s ♥♦t ❛♥ ✐♥❞❡①✳ ✸✳✸ ❚❤❡ ❊✉•❡r✐❛♥ ❢♦r♠ ♦❢ ❢♦r❝❡ ❜❛•❛♥❝❡ ❯s✐♥❣ t❤❡ P✐♦•❛ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ✭s❡❡ ❆♣♣❡♥❞✐❝❡s✮✱ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ✭✷✮✱ ✇❤✐❝❤ r❡♣r❡s❡♥t t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♠♦t✐♦♥ ❜❡❝♦♠❡ -ρ 0 ∂v i ∂t X -→ (E) + J -→ (E) ∂ ∂x a   2J -1 F iA ∂W def ∂C AB F a B -→ (E)   - ∂U ext ∂χ i -→ (E) = 0. ❲❡ r❡♠❛r❦ ❤❡r❡ t❤❛t J -1 = det F -1 ✱ ❝♦♥s❡q✉❡♥t•② J -1 ❤❛s t♦ ❜❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❛s ❛♥ ❊✉•❡r✐❛♥ q✉❛♥t✐t②✳ ▼✉•t✐♣•②✐♥❣ t❤✐s ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❜② J -1 ♦♥❡ ❣❡ts -J -1 ρ 0 ∂v i ∂t X -→ (E) + ∂ ∂x a   2J -1 F iA ∂W def ∂C AB F a B -→ (E)   -J -1 ∂U ext ∂χ i -→ (E) = 0. ✭✹✮ ❚❤❡s❡ ❛r❡ r❡❝♦❣♥✐③❡❞ ❛s t❤❡ ❝❡•❡❜r❛t❡❞ ❜❛•❛♥❝❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ •✐♥❡❛r ♠♦♠❡♥t✉♠ ♦❢ ❝•❛ss✐❝❛• ❝♦♥t✐♥✉✉♠ ♠❡❝❤❛♥✐❝s✱ ♦♥❝❡ ♦♥❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡s✿ ✶✳ t❤❡ ❈❛✉❝❤② str❡ss t❡♥s♦r ✭✇❤✐❝❤ ✐s s❡•❢✲❛❞•♦✐♥t✮ T j i := 2J -1 F iA ∂W def ∂C AB F j B -→ (E) ✭✺✮ ✷✳ t❤❡ ♠❛t❡r✐❛• ❊✉•❡r✐❛♥ t✐♠❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ♦❢ ❛ ▲❛❣r❛❣✐❛♥ ✜❡•❞ Φ ❛s ∂Φ ∂t X -→ (E) ✸✳ t❤❡ ✜❡•❞ b ext := -J -1 ∂U ext ∂χ i -→ (E) ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ ❝❛••❡❞ t❤❡ ❊✉•❡r✐❛♥ ✈♦•✉♠❡ ❢♦r❝❡ ❞❡♥s✐t② ❢♦r ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❜✉•❦ •♦❛❞s✳ ❋✐♥❛••②✱ t♦ tr❛♥s♣♦rt t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✭✸✮ ✐♥t♦ t❤❡ ❊✉•❡r✐❛♥ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥✱ ✇❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ♥♦t❛t✐♦♥s✱ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s ❛♥❞ r❡s✉•ts✿ ✶✳ ❚❤❡ ❜♦❞② ❜♦✉♥❞❛r② ∂B✱ ✇❤♦s❡ ✉♥✐t ♥♦r♠❛• ✜❡•❞ ✐s ❞❡♥♦t❡❞ N ✱ ✐s ♠❛♣♣❡❞ ❜② t❤❡ ♣•❛❝❡♠❡♥t χ ♦♥t♦ t❤❡ ❊✉•❡r✐❛♥ s✉r❢❛❝❡ χ(∂B) ✇❤♦s❡ ✉♥✐t ♥♦r♠❛• ✜❡•❞ ✐s ❞❡♥♦t❡❞ n❀ ✷✳ P❛rt✐❝✉•❛r✐③✐♥❣ t❤❡ r❡•❛t✐♦♥s ✭✹✸✮ ❛♥❞ ✭✹✹✮ ♣r♦✈✐❞❡❞ ✐♥ t❤❡ ❛♣♣❡♥❞✐①✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❛t N -→ (E) M = J -1 F T a M n a J -1 (F T ) b A n b ✭✻✮ ❛♥❞ t❤❛t dA E dA B = J -1 F T a A n a -1 -→ (B) = J F -T A a N A ✭✼✮ ✸✳ ❚❤❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✭✸✮ ✐♠♣•② 2 ∂W def ∂C AB F iA N B = - ∂W S ∂χ i ✇❤✐❝❤✱ ❜② ✉s✐♥❣ ✭✻✮✱ ❜❡❝♦♠❡ 2F iA ∂W def ∂C AB F a B J -1 n a -→ (B) = - ∂W S ∂χ i J F -T A a N A ❚❤❡s❡ •❛st ❡q✉❛t✐♦♥s✱ ❜② ✉s✐♥❣ ✭✺✮ ❛♥❞ ✭✼✮✱ ❛••♦✇ ✉s t♦ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ✇❡••✲❦♥♦✇♥ ❊✉•❡r✐❛♥ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s T a i n a = - dA E dA B ∂W S ∂χ i -→ (E) ✭✽✮ ✸✳✹ ❊✉•❡r ✢✉✐❞s ❲❡ ♥♦✇ ❝♦♥t✐♥✉❡ t♦ ♣❛r❛••❡• P✐♦•❛ ✭❬✶✷✶( ❈❛♣♦ ❱ ♣❛❣❡s ✶✶✶✲✶✹✻✮✳ ❍♦✇❡✈❡r ♦✉r tr❡❛t♠❡♥t ❞✐✛❡rs s✐♥❝❡ ✇❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡ t❤❡ ♠❛t❡r✐❛• s②♠♠❡tr② ♦❢ ❊✉•❡r ✢✉✐❞s ❜② ❛ss✉♠✐♥❣ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✾✮ ❜❡•♦✇✱ ✇❤✐•❡ P✐♦•❛ ✐♠♣♦s❡s ✐t ♦♥ t❤❡ ❊✉•❡r✐❛♥ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ P✐♦•❛ str❡ss✳ ▲❡t ✉s ❛ss✉♠❡ t❤❛t W def (C) = Ψ(ρ -→ (B) (C)) = W eul (F ) ✭✾✮ ❛♥❞ r❡❝❛•• t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ r❡•❛t✐♦♥s✿ ρ -→ (B) = ρ 0 (det F ) -1 ; (det F ) 2 = det(F T F ) = det(C); ρ -→ (B) = ρ 0 (det C) -1 2 ❚♦ ♣❛rt✐❝✉•❛r✐③❡ ✭✹✮ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡ t❤❡ s♣❡❝✐❛• ❢♦r♠ ❛ss✉♠❡❞ ❜② ❈❛✉❝❤②✬s t❡♥s♦r ❢♦r ❊✉•❡r ✢✉✐❞s✳ ❚❤✐s ✐s ❞♦♥❡ ❜② ✉s✐♥❣✿ ✶✳ ❚❤❡ ❡q✉❛•✐t② ✭✹✼✮ ❣✐✈❡♥ ✐♥ t❤❡ ❛♣♣❡♥❞✐❝❡s ∂ρ -→ (B) ∂C M N = - ρ -→ (B) 2 F -1 M a F -1 N a ✷✳ ❚❤❡ ❡q✉❛•✐t② T j i = 2J -1 F iA ∂Ψ ∂ρ -→ (B) ∂ρ -→ (B) ∂C AB F j B -→ (E) = -J -1 ρ ∂Ψ ∂ρ δ a i δ j a = -ρ 2 ∂ Ψ/ρ -→ (E) 0 ∂ρ δ j i ✭✶✵✮ ✸✳ ❚❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥st✐t✉t✐✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ❣✐✈✐♥❣ t❤❡ ♣r❡ss✉r❡ ❛s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ ❞❡♥s✐t② p(ρ) := ρ 2 ∂ Ψ/ρ -→ (E) 0 ∂ρ ✭✶✶✮ ■♥ ❝♦♥❝•✉s✐♦♥✱ ❜② ✉s✐♥❣ ✭✶✶✮ ❛♥❞ ✭✶✵✮✱ t❤❡ ❊✉•❡r✐❛♥ ❢♦r❝❡ ❜❛•❛♥❝❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ❛ss✉♠❡ t❤❡ ❢♦r♠✿ -ρ -→ (E) 0 J -1 ∂v i ∂t X -→ (E) - ∂p(ρ) ∂x i -J -1 ∂U ∂χ i -→ (E) = 0. ❇② ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣ t❤❡ ❡①t❡r♥❛• ♣♦t❡♥t✐❛• ❡♥❡r❣② ♣❡r ✉♥✐t ♠❛ss✱ t❤❡ •❛st ❡q✉❛t✐♦♥ r❡❛❞s -ρ ∂v i ∂t X -→ (E) - ∂p(ρ) ∂x i -ρ ∂ (U/ρ 0 ) ∂χ i -→ (E) = 0. ❋✐♥❛••②✱ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❢♦r♠✉•❛ ❢♦r ❝❛•❝✉•❛t✐♥❣ t❤❡ ♠❛t❡r✐❛• ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ♦❢ ✈❡•♦❝✐t② ✇❡ ♦❜t❛✐♥ -ρ   ∂v -→ (E) i ∂t + ∂v -→ (E) i ∂x a (v a ) -→ (E)   - ∂p(ρ) ∂x i -ρ ∂ (U/ρ 0 ) ∂χ i -→ (E) = 0. ❚❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✭✶✵✮ ❢♦r t❤❡ ❈❛✉❝❤② str❡ss✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ✈❛•✐❞ ❢♦r ❊✉•❡r ✢✉✐❞s✱ t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✭✽✮ ✐♠♣•✐❡s t❤❛t✿ ◆♦t ❛•• ❡①t❡r♥❛••② ❛♣♣•✐❡❞ ❛❝t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ s✉st❛✐♥❡❞ ❜② ❊✉•❡r ✢✉✐❞s✳ ■♥❞❡❡❞ ❊✉•❡r ✢✉✐❞s ❝❛♥♥♦t s✉st❛✐♥ ❛r❜✐tr❛r② s✉r❢❛❝❡ tr❛❝t✐♦♥s ✭❛s ♣r❡ss✉r❡ ✐s ❛•✇❛②s ♣♦s✐t✐✈❡✮ ♥♦r s✉r❢❛❝❡ s❤❡❛r ❢♦r❝❡s✳ ❚❤✐s st❛t❡♠❡♥t✱ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ ❛•r❡❛❞② ❢♦✉♥❞ ✐♥ P✐♦•❛ ❬✶✷✶( ✭s❡❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✸✼✮ ♣❛❣❡ ✶✸✻ ❛♥❞ t❤❡ s✉❜s❡q✉❡♥t ❞✐s❝✉ss✐♦♥✮✱ ✐♠♣•✐❡s t❤❛t✿ ✏❚❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s ❛❜♦✉t t❤❡ ✐♥t❡r♥❛• ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ❡♥❡r❣② ❞❡t❡r♠✐♥❡ t❤❡ ❝❛♣❛❜✐•✐t② ♦❢ t❤❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❜♦❞② t♦ s✉st❛✐♥ ❡①t❡r♥❛••② ❛♣♣•✐❡❞ ❛❝t✐♦♥s✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✿ t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r♥❛• ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ❡♥❡r❣② ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡s t❤❡ ❝•❛ss ♦❢ ❛❞♠✐ss✐❜•❡ ❡①t❡r♥❛• ❛❝t✐♦♥s ♦❢ ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❜♦❞②✳✑ ❲❡ ✇✐•• r❡t✉r♥ ♦♥ t❤✐s ♣♦✐♥t ✐♥ t❤❡ ♥❡①t s❡❝t✐♦♥s✳ ✹ ❙❡❝♦♥❞ ❣r❛❞✐❡♥t ❝♦♥t✐♥✉❛ ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ❣❡♥❡r❛•✐③❡ t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❢♦r ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ❡♥❡r❣② ✉s❡❞ ✉♣ t♦ ♥♦✇ t♦ t❛❦❡ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❣r❛❞✐❡♥t ♦❢ t❤❡ ❞✐s♣•❛❝❡♠❡♥t ✜❡•❞ ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t✳ ■t ❤❛s t♦ ❜❡ r❡♠❛r❦❡❞ t❤❛t ✐♥ P✐♦•❛ ✭❬✶✷✶( ♣❛❣❡ ✶✺✷✮ ❛ ✜rst ✭❛♥❞ ♣❡rs✉❛s✐✈❡✦✮ ❛r❣✉♠❡♥t s✉♣♣♦rt✐♥❣ t❤❡ ♣♦ss✐❜•❡ ✐♠♣♦rt❛♥❝❡ ♦❢ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r♥❛• ✇♦r❦ ❢✉♥❝t✐♦♥❛• ♦♥ ❤✐❣❤❡r ❣r❛❞✐❡♥ts ♦❢ ❞✐s♣•❛❝❡♠❡♥t ✜❡•❞ ✐s ♣✉t ❢♦r✇❛r❞✳ ❚❤✐s ♣♦✐♥t ❞❡s❡r✈❡s ❛ ❞❡❡♣❡r ❞✐s❝✉ss✐♦♥ ❛♥❞ ✐s ♣♦st♣♦♥❡❞ t♦ ❢✉t✉r❡ ✐♥✈❡st✐❣❛t✐♦♥s✳ ❚♦ ♦✉r ❦♥♦✇•❡❞❣❡ P✐♦•❛ ✐s t❤❡ ✜rst ❛✉t❤♦r ✇❤♦ ❛♥❛•②③❡❞ s✉❝❤ ❛ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡ ✇❡ ♣r♦♣♦s❡ t♦ ♥❛♠❡ ❛❢t❡r ❤✐♠ t❤❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❣❡♥❡r❛•✐③❡❞ ❝♦♥t✐♥✉✉♠ t❤❡♦r✐❡s✳ ■t ✐s ❛ss✉♠❡❞ t❤❛t s❡❝♦♥❞ ❣r❛❞✐❡♥t ♠❛t❡r✐❛•s ❤❛✈❡ ❛ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ❡♥❡r❣② ✇❤✐❝❤ ❞❡♣❡♥❞s ❜♦t❤ ♦♥ t❤❡ ❈❛✉❝❤②✲•r❡❡♥ t❡♥s♦r ❛♥❞ ♦♥ ✐ts ✜rst ❣r❛❞✐❡♥t✳ ❚❤❡ ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛• ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❞❡♥s✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥ t♦ ❜❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ❤❛s t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ❢♦r♠ L = 1 2 ρ 0 v 2 -(W I (χ, F, X) + W II (χ, F, ∇F, X)). ✭✶✷✮ ✹✳✶ P✐♦•❛✲t②♣❡ s❡❝♦♥❞ ❣r❛❞✐❡♥t ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ❡♥❡r❣② ❚❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✭✶✷✮ ✇✐•• ❜❡ ❛ss✉♠❡❞ ✐♥ t❤❡ s❡q✉❡•✳ ❚❤❡ t❡r♠ W I (χ, F, X) ❝♦✐♥❝✐❞❡s ✇✐t❤ t❤❡ ✜rst ♦r❞❡r t❡r♠ ♣r❡✈✐♦✉s•② ❝♦♥s✐❞❡r❡❞✱ ✇❤✐•❡ W II (χ, F, ∇F, X) st❛♥❞s ❢♦r ❛♥ ❛❞❞✐t✐✈❡ t❡r♠ ✐♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡ ✜rst ♦r❞❡r ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ♦❢ t❤❡ ❣r❛❞✐❡♥t F ❛♣♣❡❛rs✳ ❆s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡✱ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ✜rst ✈❛r✐❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ❢✉♥❝t✐♦♥❛• A II = ∆B -W II (χ, F, ∇F, X)dV. P❛r❛••❡•✐♥❣ t❤❡ st②•❡ ♦❢ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✉s❡❞ ❜② P✐♦•❛✱ ✇❤✐•❡ ❞❡✈❡•♦♣✐♥❣ t❤❡ ❝❛•❝✉•❛t✐♦♥s ✇❡ ❝♦♠♠❡♥t ♦♥ t❤❡ r❡s✉•ts ❛s s♦♦♥ ❛s t❤❡② ❛r❡ ♦❜t❛✐♥❡❞✳ ❇❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ❛ss✉♠❡❞ str✉❝t✉r❡ ♦❢ t❤❡ ❛❞❞❡❞ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ❡♥❡r❣②✱ ✇❡ ❤❛✈❡ δA II = δ χ A II + δ F A II + δ ∇F A II = ∆B - ∂W II (χ, F, ∇F, X) ∂χ δχ + ∂W II (χ, F, ∇F, X) ∂F δF + ∂W II (χ, F, ∇F, X) ∂∇F δ∇F dV ■t ❝❛♥ ❜❡ ♦❜s❡r✈❡❞ t❤❛t t❤❡ ✜rst t✇♦ t❡r♠s ❝❛♥ ❜❡ tr❡❛t❡❞ ❡①❛❝t•② ✐♥ t❤❡ ♠❛♥♥❡r ♦❢ t❤❡ ✜rst ❣r❛❞✐❡♥t ❛❝t✐♦♥✳ ❚❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❜✉•❦ ❡q✉❛t✐♦♥ ✇✐•• ❜❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ DIV X ∂W II ∂F - ∂W II ∂χ ✭✶✸✮ t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ t❡r♠ ✐♥ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✿ - ∂W II ∂F • N. ✭✶✹✮ ❖♥ t❤❡ ❝♦♥tr❛r②✱ ♥❡✇ ❞✐✣❝✉•t✐❡s ❛♣♣❡❛r ✇❤❡♥ ❝❛•❝✉•❛t✐♥❣ t❤❡ ✜rst ✈❛r✐❛t✐♦♥ δ ∇F A. ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ t❡❝❤♥✐q✉❡s ❞❡✈❡•♦♣❡❞ ❜② ▼✐♥❞•✐♥✱ •r❡❡♥✱ |✐✈•✐♥✱ ❚♦✉♣✐♥ ❛♥❞ •❡r♠❛✐♥ ✭s❡❡ ❛•s♦ ❞❡••✬■s♦•❛ ❡t ❛•✳ ❬✺✹(✮ ❛••♦✇ ✉s t♦ tr❡❛t t❤✐s t❡r♠ ❡✣❝✐❡♥t•② ❛♥❞ ❡•❡❣❛♥t•②✳ ❙t❛rt✐♥❣ ❢r♦♠ ✭t❤❡ ❝♦♠♠❛ ✐♥❞✐❝❛t❡s ♣❛rt✐❛• ❞✐✛❡r❡♥t✐❛t✐♦♥✮ ✽ δ ∇F A II = ∆B - ∂W II ∂F a A,B δF a A,B dV ✇❡ ♣❡r❢♦r♠ ❛ ✜rst ✐♥t❡❣r❛t✐♦♥ ❜② ♣❛rts✳ ■♥❞❡❡❞ r❡♠❛r❦✐♥❣ t❤❛t ∂ ∂X B ∂W II ∂F a A,B δF a A = ∂ ∂X B ∂W II ∂F a A,B δF a A + ∂W II ∂F a A,B δF a A,B ❛♥❞ ❛♣♣•②✐♥❣ t❤❡ ❞✐✈❡r❣❡♥❝❡ t❤❡♦r❡♠ ✭r❡❝❛•• t❤❛t ✇❡ ❞❡♥♦t❡ ❜② N M t❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ t❤❡ ✉♥✐t ♥♦r♠❛• t♦ t❤❡ s✉r❢❛❝❡ ∂B✮✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ δ ∇F A II = ∆B - ∂W II ∂F a A,B δF a A,B dV = -∆B ∂ ∂X B ∂W II ∂F a A,B δF a A dV + ∆B ∂ ∂X B ∂W II ∂F a A,B δF a A dV = -∆∂B ∂W II ∂F a A,B N B δF a A dA + ∆B ∂ ∂X B ∂W II ∂F a A,B δF a A dV. ✭✶✺✮ ▲❡t ✉s ♦❜s❡r✈❡ t❤❛t t❤❡ s❡❝♦♥❞ t❡r♠ ♦❢ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❤❛s ❡①❛❝t•② t❤❡ s❛♠❡ ❢♦r♠ ❛s t❤❡ ✜rst ✈❛r✐❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✜rst ❣r❛❞✐❡♥t ❛❝t✐♦♥✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡ t❤✐s t❡r♠ ❜❡❝♦♠❡s ∆B ∂ ∂X B ∂W II ∂F a A,B δF a A dV = ∆B ∂ ∂X A ∂ ∂X B ∂W II ∂F a A,B δχ a dV -∆B ∂ 2 ∂X A ∂X B ∂W II ∂F a A,B δχ a dV = ∆∂B N A ∂ ∂X B ∂W II ∂F a A,B δχ a dA -∆B ∂ 2 ∂X A ∂X B ∂W II ∂F a A,B δχ a dV ✽ ■♥ t❤✐s ♣❛♣❡r ✇❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡ ✐♥ ❜♦t❤ r❡❢❡r❡♥t✐❛• ❛♥❞ s♣❛t✐❛• ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥s ❛ ❝❤❛rt ✇✐t❤ ✈❛♥✐s❤✐♥❣ ❈❤r✐st♦✛❡• s②♠❜♦• s♦ t❤❛t ❝♦✈❛r✐❛♥t ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ❝♦✐♥❝✐❞❡ ✇✐t❤ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s✳ ✇❤✐❝❤ ✐♠♣•✐❡s t❤❛t t♦ ✭✶✸✮ ❛♥❞ ✭✶✹✮ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ t❡r♠s ♠✉st✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡•②✱ ❜❡ ❛❞❞❡❞ t♦ t❤❡ ❜✉•❦ ❛♥❞ s✉r❢❛❝❡ ❊✉•❡r✲▲❛❣r❛♥❣❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s -DIV X DIV X ∂W II ∂∇F ; DIV X ∂W II ∂∇F • N ✹✳✷ ❋✐rst ❣r❛❞✐❡♥t s✉r❢❛❝❡ str❡ss ❲❡ ♥♦✇ ❤❛✈❡ t♦ tr❡❛t t❤❡ ✜rst t❡r♠ ✐♥ ✭✶✺✮✱ ♣❡r❢♦r♠✐♥❣ ❛ s✉r❢❛❝❡ ✐♥t❡❣r❛t✐♦♥ ❜② ♣❛rts✳ ❲❡ ♦❜t❛✐♥ -∆∂B ∂W II ∂F a A,B N B δF a A dA. ✭✶✻✮ |❡❝❛•• t❤❛t ✐♥ ❞❡••✬■s♦•❛ ❡t ❛•✳ ❬✺✹( t❤❡ ❢❛❝t♦r ∂W II ∂F a A,B N B ❛♣♣❡❛r✐♥❣ ✐♥ ❛ ✈✐rt✉❛• ✇♦r❦ ❢✉♥❝t✐♦♥❛• ♦❢ t❤❡ ❦✐♥❞ ❣✐✈❡♥ ✐♥ ✭✶✻✮ ✇❛s ❝❛••❡❞ ✜rst ❣r❛❞✐❡♥t s✉r❢❛❝❡ str❡ss✳ ❚♦ ♣r♦❝❡❡❞ ✐♥ t❤❡ ❝❛•❝✉•❛t✐♦♥s ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ✉s❡ s♦♠❡ r❡s✉•ts ❢r♦♠ •❛✉ss✐❛♥ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛• ❣❡♦♠❡tr② ✭s❡❡ ❡✳❣✳ ❆♣♣❡♥❞✐❝❡s ❢♦r ♠♦r❡ ❞❡t❛✐•s✮✳ ❚❤❡ ♠❛✐♥ t♦♦• ✇❡ ✉s❡ ❝♦♥s✐sts ✐♥ t❤❡ ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ♦❢ t✇♦ ♣r♦•❡❝t♦r ✜❡•❞s P ❛♥❞ Q ✐♥ t❤❡ ♥❡✐❣❤❜♦r❤♦♦❞ ♦❢ t❤❡ s✉r❢❛❝❡ ∂B✳ ❚❤❡ ♦♣❡r❛t♦r P ♣r♦•❡❝ts ♦♥t♦ ✐ts t❛♥❣❡♥t ♣•❛♥❡✱ ✇❤✐•❡ Q ♣r♦•❡❝ts ♦♥ t❤❡ ♥♦r♠❛•✳ ❚❤❡ ✉s❡❞ ✐♥t❡❣r❛t✐♦♥✲❜②✲♣❛rts t❡❝❤♥✐q✉❡s ✇❡r❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ t♦ ✉s ❜② ❙❡♣♣❡❝❤❡r ❬✶✹✶(✳ ❚❤❡② ❛r❡ ❞❡✈❡•♦♣❡❞ ✐♥ t❤❡ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ♦❢ ▲❡✈✐✲❈✐✈✐t❛ ❛❜s♦•✉t❡ t❡♥s♦r ❝❛•❝✉•✉s✱ ❤♦✇❡✈❡r ✐t ✐s ❝•❡❛r t❤❛t t❤❡ s♦✉r❝❡s ♦❢ ❇❡r❞✐❝❤❡✈s❦② ❬✾( s②st❡♠❛t✐❝❛••② ❡♠♣•♦②❡❞ t❤❡s❡ t❡❝❤♥✐q✉❡s✳ ❲✐t❤ t❤❡✐r ❤❡•♣✱ t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✭✶✻✮ ✐s tr❛♥s❢♦r♠❡❞ ✐♥ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ✇❛② -∆∂B ∂W II ∂F a A,B N B δχ a ,A dA = -∆∂B ∂W II ∂F a A,B N B δχ a ,C δ C A dA = -∆∂B ∂W II ∂F a A,B N B δχ a ,C Q C A + P C A dA = -∆∂B ∂W II ∂F a A,B N B δχ a ,C Q C D Q D A dA -∆∂B ∂W II ∂F a A,B N B δχ a ,C P C D P D A dA ✭✶✼✮ ■♥ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ s✉❜s❡❝t✐♦♥s✱ ❡❛❝❤ ❡•❡♠❡♥t❛r② t❡r♠ ✇✐•• ❜❡ ❞✐s❝✉ss❡❞✳ ✹✳✸ ❊①t❡r♥❛• ❛♥❞ ❝♦♥t❛❝t s✉r❢❛❝❡ ❞♦✉❜•❡ ❢♦r❝❡s ❈♦♥s✐❞❡r✐♥❣ t❤❛t Q C D := N C N D t❤❡ ✜rst t❡r♠ ✐♥ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✶✼✮ ✐s r❡✇r✐tt❡♥ -∆∂B ∂W II ∂F a A,B N B δχ a ,C Q C D Q D A dA = -∆∂B ∂W II ∂F a A,B N B δχ a ,C N C N D N D N A dA = -∆∂B ∂W II ∂F a A,B N B N A δχ a ,C N C dA ♦r✱ ✐♥ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡✲❢r❡❡ ❢♦r♠✱ -∆∂B ∂W II ∂∇F • (N ⊗ N ) • ∂δχ ∂N dA. ✭✶✽✮ ❚❤✐s •❛st ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❝❛♥♥♦t ❜❡ r❡❞✉❝❡❞ ❢✉rt❤❡r✱ ❛♥❞ ♠❛❦❡s ❝•❡❛r t❤❡ ❛♣♣❡❛r❛♥❝❡ ♦❢ ❛ ♥❡✇ ❦✐♥❞ ♦❢ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥✳ ❚❤✐s q✉❛♥t✐t② r❡♣r❡s❡♥ts t❤❡ ✇♦r❦ ❡①♣❡♥❞❡❞ ♦♥ t❤❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ❦✐♥❡♠❛t✐❝❛• q✉❛♥t✐t② ∂δχ ∂N ❜② ✐ts ❞✉❛• ❛❝t✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ✐s s♦♠❡t✐♠❡s ❝❛••❡❞ ❛ ❞♦✉❜•❡ ❢♦r❝❡ ✭s❡❡ ❡✳❣ •❡r♠❛✐♥ ❬✻✾(✮✱ ♥❛♠❡•② ∂W II ∂∇F • (N ⊗ N ) . ❆❝t✉❛••② t❤❡ ❛♣♣❡❛r❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ✇♦r❦ ❢✉♥❝t✐♦♥❛• ✭✶✽✮ •✉st✐✜❡s t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ st❛t❡♠❡♥t✱ ✇❤✐❝❤ ✜ts ✐♥ t❤❡ s♣✐r✐t ♦❢ P✐♦•❛ ❬✶✷✶( ❛♥❞ ✐s r❡❛✣r♠❡❞ ✐♥ ❇❡r❞✐❝❤❡✈s❦② ❬✾(✿ ❙❡❝♦♥❞ ❣r❛❞✐❡♥t ❝♦♥t✐♥✉❛ ❝❛♥ s✉st❛✐♥ ❡①t❡r♥❛• s✉r❢❛❝❡ ❞♦✉❜•❡ ❢♦r❝❡s✱ ✐✳❡✳ ❡①t❡r♥❛• ❛❝t✐♦♥s ❡①♣❡♥❞✐♥❣ ✇♦r❦ ♦♥ t❤❡ ✈✐rt✉❛• ♥♦r♠❛• ❣r❛❞✐❡♥t ♦❢ ❞✐s♣•❛❝❡♠❡♥t ✜❡•❞s✳ ❆s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡✱ ✐♥ t❤❡ ❛❝t✐♦♥ ❢✉♥❝t✐♦♥❛•✱ ♦♥❡ ✐s ❛••♦✇❡❞ t♦ ❛❞❞ ❛ t❡r♠ ♦❢ t❤❡ ❦✐♥❞✿ A II S = ∆ t1 to ∆∂B -W II S (χ, ∂χ ∂N , X) dAdt ✇❤❡r❡ t❤❡ ♣♦t❡♥t✐❛• W II S (χ, ∂χ ∂N , X) ❝❛♥ ❜❡ ❝❛••❡❞ s✉r❢❛❝❡ ❡①t❡r♥❛• ❞♦✉❜•❡ ♣♦t❡♥t✐❛•✳ ✹✳✹ ❊❞❣❡ ❝♦♥t❛❝t ❢♦r❝❡s ❚❤❡ t❡r♠ ❡①♣r❡ss✐♥❣ t❤❡ ✇♦r❦ ❡①♣❡♥❞❡❞ ♦♥ ✈✐rt✉❛• ❞✐s♣•❛❝❡♠❡♥t ✜❡•❞s ♣❛r❛••❡• t♦ t❤❡ t❛♥❣❡♥t s♣❛❝❡ t♦ ∂B✱ ♥❛♠❡•② ∆∂B δχ a ,C P C D P D A ∂W II ∂F a A,B N B dA ❝❛♥ ❜❡ r❡❞✉❝❡❞ ❜② ♠❡❛♥s ♦❢ ❛♥ ✐♥t❡❣r❛t✐♦♥ ❜② ♣❛rts ✐♥ t❤❡ s✉❜♠❛♥✐❢♦•❞ ∂B t♦ ∆∂B δχ a ,C P D A ∂W II ∂F a A,B N B P C D dA = ∆∂B ∂ ∂X C P D A ∂W II ∂F a A,B N B δχ a P C D dA -∆∂B ∂ ∂X C P D A ∂W II ∂F a A,B N B δχ a P C D dA. ✭✶✾✮ ❙✉r❢❛❝❡ ❞✐✈❡r❣❡♥❝❡ t❤❡♦r❡♠ ✐s t❤❡♥ ❛♣♣•✐❡❞ t♦ t❤❡ ✜rst t❡r♠✱ r❡s✉•t✐♥❣ ✐♥ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ❡q✉❛•✐t② ✭s❡❡ ❆♣♣❡♥❞✐❝❡s ♦r ❞❡••✬■s♦•❛ ❡t ❛•✳ ❬✺✹(✮ ∆∂B ∂ ∂X C P D A ∂W II ∂F a A,B N B δχ a P C D dA = ∆∂∂B ∂W II ∂F a A,B N B δχ a P C A ν C dL = ∆∂∂B δχ a ∂W II ∂F a A,B N B ν A dL ✭✷✵✮ ❲❤❡♥ t❤❡ s✉r❢❛❝❡ ∂B ✐s ♦r✐❡♥t❛❜•❡ ❛♥❞ C 1 ✱ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ∂∂B ✐s ❡♠♣t②✳ ❆•t❡r♥❛t✐✈❡•② ✱ ✐❢ ∂B ✐s ♣✐❡❝❡✇✐s❡ C 1 t❤❡♥ ∂∂B ✐s t❤❡ ✉♥✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡❞❣❡s ♦❢ ∂B ❛♥❞ t❤❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❡①♣r❡ss✐♦♥ r❡♣r❡s❡♥ts t❤❡ ✇♦r❦ ❡①♣❡♥❞❡❞ ❜② ❝♦♥t❛❝t ❡❞❣❡ ❢♦r❝❡s ♦♥ t❤❡ ✈✐rt✉❛• ❞✐s♣•❛❝❡♠❡♥t δχ. ❚♦ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✐t ✐s t❤❡r❡❢♦r❡ ♥❡❝❡ss❛r② t♦ ❛❞❞ ♦♥ ∂∂B t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ t❡r♠s✱ ✇❤✐❝❤ ❜❛•❛♥❝❡ ❡①t❡r♥❛• •✐♥❡ ❢♦r❝❡s ∂W II ∂F i A,B N B ν A . ❖♥❝❡ ❛❣❛✐♥✱ t❤❡ ❛♣♣❡❛r❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ✇♦r❦ ❢✉♥❝t✐♦♥❛• ✭✷✵✮ •✉st✐✜❡s t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ st❛t❡♠❡♥t✿ ❙❡❝♦♥❞ ❣r❛❞✐❡♥t ❝♦♥t✐♥✉❛ ❝❛♥ s✉st❛✐♥ ❡①t❡r♥❛• •✐♥❡ ❢♦r❝❡s✱ ✐✳❡✳ ❡①t❡r♥❛• ❛❝t✐♦♥s 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X) ■t ✐s ✐♥t❡r❡st✐♥❣ t♦ r❡♠❛r❦ t❤❛t ♠❛♥② ❝♦♥t✐♥✉✉♠ ♠♦❞❡•s ♦❢ ✜❜❡r r❡✐♥❢♦r❝❡❞ ♠❛t❡r✐❛•s ✭s❡❡ ❡✳❣ ❙t❡✐❣♠❛♥♥ ❬✶✺✷(✱ ❆t❛✐ ❛♥❞ ❙t❡✐❣♠❛♥♥ ❬✷(✱ ◆❛❞•❡r ❛♥❞ ❙t❡✐❣♠❛♥♥ ❬✶✶✹(✱ ◆❛❞•❡r ❡t ❛•✳ ❬✶✶✺(✱ ❍❛s❡❣❛♥✉ ❛♥❞ ❙t❡✐❣♠❛♥♥ ❬✼✻(✮ s❤♦✇ s♦♠❡ ♣❡❝✉•✐❛r✐t✐❡s ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣•❛✐♥❡❞ ❜② t❤❡ ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ♦❢ s❡❝♦♥❞ ❣r❛❞✐❡♥t ♦r ❡✈❡♥ ❤✐❣❤❡r ❣r❛❞✐❡♥t ♠♦❞❡•s✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ❝❛•❝✉•❛t❡ t❤❡ ♣❛rt✐❛• ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ F ❛♥❞ ∇F ❛♣♣❡❛r✐♥❣ ✐♥ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ✭✷✶✮✱ ✭✷✷✮✱ ✭✷✸✮ ❛♥❞ ✭✷✹✮✱ ✐t ✐s ♥❡❝❡ss❛r② t♦ ❝❛•❝✉•❛t❡ t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s •✐st❡❞ ✐♥ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ❢♦r♠✉•❛s ✭s❡❡ ❆♣♣❡♥❞✐① ✽ ❢♦r ♠♦r❡ ❞❡t❛✐•s ✮✳ • ❉❡r✐✈❛t✐✈❡s ♦❢ C ❛♥❞ ∇C ✿ ∂C M N ∂F i P = δ P M F iN + F iM δ P N ∂C M N,O ∂F i P = F iM,O δ N P + F iN,O δ M P ∂C M N,O ∂F i P,Q = δ P M δ Q O F N i + δ P N δ Q O F M i • ❉❡r✐✈❛t✐✈❡s ♦❢ C -1 ❛♥❞ ∇C -1 ✿ ∂C -1 M N ∂F i P = -F -1 M i F -1 P a F -1 a N -F -1 N i F -1 bP F -1 bM ∂C -1 M N,O ∂F l P = -F -1 aP F -1 N l F -1 M a,O + F -1 M l F -1 aN,O ∂C -1 M N,O ∂F i P,Q = -F -1 M i F -1 aP F -1 aN + F -1 N i F -1 bP F -1 bM δ O Q ✹✳✽ ❈❛♣✐••❛r② ✢✉✐❞s ■♥ P♦✐ss♦♥ ❬✶✷✺( ♣❛❣❡s ✺✲✻✿ ✭tr❛♥s•❛t❡❞ ❜② t❤❡ ❛✉t❤♦rs✮ ♦♥❡ ✜♥❞s t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ st❛t❡♠❡♥ts ❛❜♦✉t t❤❡ r❡❣✐♦♥ ♦❢ ❛ ✢✉✐❞ ✐♥ ✇❤✐❝❤ ❛ ♣❤❛s❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ♦❝❝✉rs ✭♣❛❣❡ ✺✮ ✏❇✉t ▲❛♣•❛❝❡ ♦♠✐tt❡❞✱ ✐♥ ❤✐s ❝❛•❝✉•❛t✐♦♥s✱ ❛ ♣❤②s✐❝❛• ❝✐r❝✉♠st❛♥❝❡ ✇❤♦s❡ ❝♦♥s✐❞❡r❛t✐♦♥ ✐s ❡ss❡♥t✐❛•✿ ■ r❡❢❡r t♦ t❤❡ r❛♣✐❞ ✈❛r✐❛t✐♦♥ ♦❢ ❞❡♥s✐t② ✇❤✐❝❤ t❤❡ •✐q✉✐❞ ❡①♣❡r✐❡♥❝❡s ✐♥ ♣r♦①✐♠✐t② ♦❢ ✐ts ❢r❡❡ s✉r❢❛❝❡ ❛♥❞ ♦❢ t❤❡ t✉❜❡ ✇❛••✱ ❬✈❛r✐❛t✐♦♥( ✇✐t❤♦✉t ✇❤✐❝❤ t❤❡ ❝❛♣✐••❛r② ♣❤❡♥♦♠❡♥❛ ❝♦✉•❞ ♥♦t ♦❝❝✉r ❬✳✳✳✳( ❆❝t✉❛••②✱ ✐♥ ❛♥ ❡q✉✐•✐❜r✐✉♠ st❛t❡✱ ❡❛❝❤ •❛②❡r ✐♥✜♥✐t❡•② t❤✐♥ ♦❢ ❛ •✐q✉✐❞ ✐s ❝♦♠♣r❡ss❡❞ ❡q✉❛••② ♦♥ ❜♦t❤ ♦❢ ✐ts ❢❛❝❡s ❜② t❤❡ r❡♣✉•s✐✈❡ ❛❝t✐♦♥s ♦❢ ❛•• ❝•♦s❡ ♠♦•❡❝✉•❡s ❞✐♠✐♥✐s❤❡❞ ❜② t❤❡✐r ❛ttr❛❝t✐✈❡ ❢♦r❝❡ ❬✳✳✳✳( ❛♥❞ ✐ts •❡✈❡• ♦❢ ❝♦♥❞❡♥s❛t✐♦♥ ✐s ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② t❤❡ ♠❛❣♥✐t✉❞❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦♠♣r❡ss✐✈❡ ❢♦r❝❡✳ ❆t ❛ s❡♥s✐❜•❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❢r♦♠ t❤❡ s✉r❢❛❝❡ ♦❢ t❤❡ •✐q✉✐❞ t❤❡ ❛❢♦r❡♠❡♥t✐♦♥❡❞ ❢♦r❝❡ ✐s ❡①❡rt❡❞ ❜② ❛ •✐q✉✐❞ •❛②❡r ❛❞•❛❝❡♥t t♦ t❤❡ ✐♥✜♥✐t❡•② t❤✐♥ •❛②❡r✱ ✇❤♦s❡ t❤✐❝❦♥❡ss ✐s ❝♦♠♣•❡t❡ ❛♥❞ ❡✈❡r②✇❤❡r❡ ❝♦♥st❛♥t✱ ✐✳❡✳ ❡q✉❛• 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♥✜♥✐t❡s✐♠❛• t❤✐♥ •❛②❡r ✐s ❝♦♠♣r❡ss❡❞ ♦♥•② ❜② t❤❡ ❛t♠♦s♣❤❡r✐❝ ♣r❡ss✉r❡✳ ❈♦♥s❡q✉❡♥t•②✱ t❤❡ ❝♦♥❞❡♥s❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ •✐q✉✐❞ ✐s ❛•s♦ ❞❡❝r❡❛s✐♥❣✱ ❢♦••♦✇✐♥❣ ❛♥ ✉♥❦♥♦✇♥ •❛✇✱ ✇❤❡♥ ♦♥❡ ✐s ❛♣♣r♦❛❝❤✐♥❣ ✐ts ❢r❡❡ s✉r❢❛❝❡ ❛♥❞ ✐ts ❞❡♥s✐t② ✐s ✈❡r② ❞✐✛❡r❡♥t ✐♥ t❤❛t s✉r❢❛❝❡ ❛♥❞ ❛t ❛ ❞❡♣t❤ ✇❤✐❝❤ ❡①❝❡❡❞s ❜② ❛ s♠❛•• ❛♠♦✉♥t t❤❡ ❛❝t✐✈✐t② r❛❞✐✉s ♦❢ ✐ts ♠♦•❡❝✉•❡s✱ ✇❤✐❝❤ ✐s s✉✣❝✐❡♥t ❢♦r ❤❛✈✐♥❣ t❤✐s ❞❡♥s✐t② t♦ ❜❡ ❡q✉❛• t♦ t❤❡ ✐♥t❡r♥❛• ❞❡♥s✐t② ♦❢ t❤❡ •✐q✉✐❞✳ ◆♦✇ ✐t ✇✐•• ❜❡ ♣r♦✈❡♥ ✐♥ t❤❡ ✜rst ❝❤❛♣t❡r ♦❢ t❤✐s ✇♦r❦ t❤❛t ✐❢ ♦♥❡ ♥❡❣•❡❝ts t❤✐s r❛♣✐❞ ✈❛r✐❛t✐♦♥ ♦❢ ❞❡♥s✐t② ✐♥ t❤❡ t❤✐❝❦♥❡ss ♦❢ t❤❡ ✐♥t❡r❢❛❝✐❛• •❛②❡r ✾ t❤❡♥ t❤❡ ❝❛♣✐••❛r② s✉r❢❛❝❡ s❤♦✉•❞ r❡s✉•t t♦ ❜❡ ♣•❛♥❡ ❛♥❞ ❤♦r✐③♦♥t❛• ❛♥❞ ♦♥❡ ❝♦✉•❞ ♥♦t ♦❜s❡r✈❡ ♥❡✐t❤❡r ❡•❡✈❛t✐♦♥ ♥♦r •♦✇❡r✐♥❣ ♦❢ t❤❡ •✐q✉✐❞ •❡✈❡•✳❬✳✳✳(✑ ❚❤❡r❡❢♦r❡ ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♥❝•✉❞❡ t❤❛t ❛•r❡❛❞② P♦✐ss♦♥ ✇❛♥t❡❞✱ ✇✐t❤ s♦♠❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥s ✇❤✐❝❤ ♣r♦❜❛❜•② ♥❡❡❞ t♦ ❜❡ ❝•❛r✐✜❡❞✱ t♦ ♠♦❞❡• t❤❡ ✐♥t❡r❢❛❝✐❛• •❛②❡r ❛s ❛ t❤✐♥ ❜✉t t❤r❡❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛• •❛②❡r✳ ■t ✐s ✐♥t❡r❡st✐♥❣ t♦ r❡♠❛r❦ t❤❛t ✐t ✐s ♦♥•② ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ❞❡✈❡•♦♣♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ✐❞❡❛s ❜② P✐♦•❛ ✭✐❞❡❛s ✇❤✐❝❤ P♦✐ss♦♥ ✈✐♦•❡♥t•② ❝r✐t✐❝✐③❡❞✮ t❤❛t t❤❡ ♠♦❞❡r♥ t❤❡♦r② ♦❢ ❝❛♣✐••❛r② ✢✉✐❞s ♠❛♥❛❣❡❞ t♦ ❣✐✈❡ ❛ ♣r❡❝✐s❡ ♠❡❛♥✐♥❣ t♦ t❤❡ P♦✐ss♦♥✬s ✐♥t✉✐t✐♦♥s✳ ❲❤❛t P♦✐ss♦♥ ❝❛••s ❛♥ ✉♥❦♥♦✇♥ •❛✇ ✐s ♥♦✇ ❡①♣•✐❝✐t•② ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② ✉s✐♥❣ s❡❝♦♥❞ ❣r❛❞✐❡♥t ❝♦♥t✐♥✉❛ ✭s❡❡ ❡✳❣✳ ❬✷✹✱ ✶✹✷(✮✳ ■♥ t❤❡ s♣✐r✐t ♦❢ P✐♦•❛✬s ✇♦r❦s✱ ✇❡ ♥♦✇ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ♠♦st s✐♠♣•❡ ❝•❛ss ♦❢ s❡❝♦♥❞ ❣r❛❞✐❡♥t ❝♦♥t✐♥✉❛✱ ✐✳❡✳ ❝❛♣✐••❛r② ✢✉✐❞s✳ ❲❡ r❡❝❛•• ❤❡r❡ t❤❛t ❝❛♣✐••❛r② ✢✉✐❞s ❛r❡ ❝♦♥t✐♥✉❛ ✇❤♦s❡ ❊✉•❡r✐❛♥ ✈♦•✉♠❡tr✐❝ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ❡♥❡r❣② ❞❡♥s✐t② ❞❡♣❡♥❞s ❜♦t❤ ♦♥ t❤❡✐r ❊✉•❡r✐❛♥ ♠❛ss ❞❡♥s✐t② ρ ❛♥❞ ♦♥ ✐ts ❣r❛❞✐❡♥t ∇ρ✳ ❋♦r ❝❛♣✐••❛r② ✢✉✐❞s ❛♥ ❛❞❞✐t✐✈❡ ❡①tr❛ t❡r♠ ✐♥ t❤❡ ♣❛rt ♦❢ ❛❝t✐♦♥ r❡•❛t❡❞ t♦ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ❡♥❡r❣② ❤❛s t♦ ❜❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞✿ A cap = ∆E Ŵ cap (ρ, ∇ρ) dv = ∆B J Ŵ cap (ρ) -→ (
-→ (B) dV ❚❤❡ ♥♦t❛t✐♦♥s (•) -→ (B) ❛♥❞ (•) -→ (E) ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ t❤❡ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆✱ ✇✐•• ❜❡ ♦♠✐tt❡❞ ♦❝❝❛s✐♦♥❛••② ❢♦r t❤❡ s❛❦❡ ♦❢ r❡❛❞❛❜✐•✐t②✳ ❖❜✈✐♦✉s•② t❤❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡ ♦❢ Ŵ cap ♦♥ ∇ρ ♠✉st ❜❡ ♦❜•❡❝t✐✈❡✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡ ✇❡ ♠✉st ❤❛✈❡ ✭s❡❡ ❡✳❣✳ ❇❛•• ❬✺(✮ Ŵ cap (ρ, ∇ρ) = W cap (ρ, β)
✭✷✺✮ ✇❤❡r❡ ✇❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ t❤❡ s❝❛•❛r B) dV .

β := ∇ρ • ∇ρ. ❆ ♣❛rt✐❝✉•❛r ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ ❡♥❡r❣② ✭✷✺✮ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ♦♥❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ❜② ❈❛❤♥ ❛♥❞ ❍✐••✐❛r❞ W cap (ρ, β) = 1 2 λ (ρ) β = 1 2 λ (ρ) (∇ρ • ∇ρ) ✇❤❡r❡ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ λ (ρ) ❤❛s ❜❡❡♥ ♦❢t❡♥ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ t♦ ❜❡ ❝♦♥st❛♥t✳ ✹✳✽✳✶ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❢♦r t❤❡ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ❡♥❡r❣② ♦❢ ❝❛♣✐••❛r② ✢✉✐❞s ■t ✐s t❤❡r❡❢♦r❡ ♥❡❡❞❡❞ t♦ ❝❛•❝✉•❛t❡ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ✜rst ✈❛r✐❛t✐♦♥ δA cap = δ ∆B J W cap (ρ) -→ (B) , (β) -→ (
❖♥❝❡ ✇❡ ❤❛✈❡ ❞❡✜♥❡❞ ✭✇✐t❤ ❛♥ ❛❜✉s❡ ♦❢ ♥♦t❛t✐♦♥✮ W cap (F, ∇F ) := J W cap (ρ) -→ (B) , (β) -→ (B) = ρ 0 (ρ) -→ (B) W cap ✭✷✻✮ ✾ ❚❤✐s t❤✐❝❦♥❡ss ♠✉st ❤❛✈❡ ❛ ✜♥✐t❡ ✈❛•✉❡ ❜✉t t❤✐s ✈❛•✉❡ ♠✉st ❜❡ ✉♥❞❡t❡❝t❛❜•❡ ♥♦t s❡♥s✐❜•❡✱ ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡ ❤②♣♦t❤❡s✐s ✇❤✐❝❤ ✇❛s ❛❝❝❡♣t❡❞ ❛❜♦✉t t❤❡ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ ♠♦•❡❝✉•❛r ❛❝t✐✈✐t②✳ ❚❤✐s ✐s ❝♦♥✜r♠❡❞ ❜② t❤❡ ❡①♣❡r✐❡♥❝❡ ♠❛❞❡ ❜② ▼✳•❛②✲▲✉ss❛❝✳ ✐t ✐s ❝•❡❛r t❤❛t δ J W cap =   W cap δJ + J ∂ W cap ∂ (ρ) -→ (B) δ (ρ) -→ (B) + J ∂ W cap ∂ (β) -→ (B) δ (β) -→ (B)   =   W cap ∂J ∂F δF + J ∂ W cap ∂ (ρ) -→ (B) ∂ (ρ) -→ (B) ∂F δF   + ∂ W cap ∂ (β) -→ (B) J   ∂ (β) -→ (B) ∂F δF + ∂ (β) -→ (B) ∂∇F δ∇F   ❆s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡ ✭✇✐t❤ ❛♥♦t❤❡r ❛❜✉s❡ ♦❢ ♥♦t❛t✐♦♥✮ ✇❡ ❤❛✈❡ ∂W cap ∂F = W cap ∂J ∂F + J ∂ W cap ∂ρ ∂ρ ∂F + J ∂ W cap ∂β ∂β ∂F ✭✷✼✮ ∂W cap ∂∇F =J ∂ W cap ∂β ∂β ∂∇F ✭✷✽✮ ✹✳✽✳✷ ❊✉•❡r✐❛♥ ❜❛•❛♥❝❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ❢♦r ❝❛♣✐••❛r② ✢✉✐❞s ❋♦••♦✇✐♥❣ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛• ♠❡t❤♦❞s ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❜② P✐♦•❛✱ ❛❢t❡r ❤❛✈✐♥❣ ❛♣♣•✐❡❞ t❤❡ ♣r✐♥❝✐♣•❡ ♦❢ •❡❛st ❛❝t✐♦♥ ♦r t❤❡ ♣r✐♥❝✐♣•❡ ♦❢ ✈✐rt✉❛• ✇♦r❦ ✐♥ t❤❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥✱ ✇❡ ♠✉st tr❛♥s❢♦r♠ t❤❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ st❛t✐♦♥❛r✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✐♥t♦ s♦♠❡ ♦t❤❡r ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ✈❛•✐❞ ✐♥ t❤❡ ❊✉•❡r✐❛♥ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥✳ ❆s ♣r❡✈✐♦✉s•② s❡❡♥✱ ✐♥ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ t❤❡ ❜❛•❛♥❝❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ❢♦r ❝❛♣✐••❛r② ✢✉✐❞s r❡❛❞ - ∂ ∂t (ρ 0 v i ) + DIV X ∂W eul ∂F + ∂W cap ∂F -DIV X DIV X ∂W cap ∂∇F = 0 ✭✷✾✮ ✇❤❡r❡ W eul ❛♥❞ W cap ✇❡r❡ ❞❡✜♥❡❞✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡•②✱ ✐♥ ✭✾✮ ❛♥❞ ✭✷✻✮✳ ❚❤❡ t❡r♠s ✐♥ ✭✷✾✮✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ s♣❡❝✐✜❝ t♦ ❝❛♣✐••❛r② ✢✉✐❞s✱ ♠✉st t❤❡r❡❢♦r❡ ❜❡ ❡st✐♠❛t❡❞✳ ❙t❛rt✐♥❣ ❢r♦♠ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✷✼✮ ❛♥❞ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ r❡s✉•t ✭❝❛•❝✉•❛t❡❞ ✐♥ ✭✽✳✶✳✼✮ ❛♥❞ ✭✽✳✶✳✷✮✮ ∂J ∂F i M = J F -1 M i , ∂ρ ∂F i M = -ρ F -1 M i , ∂β ∂F i M = -2g ab ρ ,a ρ ,i F -1 M b + ρ ,a ρ F -1 M i ,b ✇❡ ♦❜t❛✐♥ ✭t❤❡ ♥♦t❛t✐♦♥ (•) -→ (B) ❤❛s ❜❡❡♥ ❞r♦♣♣❡❞ t♦ ②✐❡•❞ ♠♦r❡ r❡❛❞❛❜•❡ ❢♦r♠✉•❛s✮✱ ∂W cap ∂F i M = -P cap J F -1 M i -2 ∂ W cap ∂β J g ab ρ ,a ρ ,i F -1 M b + β F -1 M i + g ab ρ ,a ρ F -1 M i,b
✭✸✵✮ ✇❤❡r❡ ✇❡ ❤❛✈❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞

P cap := ρ ∂ W cap ∂ρ -W cap ✹✳✽✳✸ P✐♦•❛ str❡ss ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ■♥ t❤❡ r❡♠❛✐♥✐♥❣ ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ♣❛♣❡r✱ ❞✐✛❡r❡♥t P✐♦•❛ str❡ss t❡♥s♦rs ✇✐•• ❜❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ❛♥❞ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ❛✈♦✐❞ ❛♥② ♠✐s✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣✱ s♦♠❡ t✐♠❡ ✇✐•• ❜❡ ❞❡✈♦t❡❞ t♦ ♣r♦♣❡r•② ❞❡✜♥❡ t❤❡s❡ ❞✐✛❡r❡♥t str❡ss t❡♥s♦rs✳ ❚❤✐s ❞✐s❝✉ss✐♦♥ ✐s s♣❡❝✐✜❝ t♦ ❤✐❣❤❡r✲♦r❞❡r ❝♦♥t✐♥✉❛✱ s✐♥❝❡ ❢♦r t❤❡ ✜rst ❣r❛❞✐❡♥t ❝♦♥t✐♥✉✉♠ t❤❡s❡ ❞✐✛❡r❡♥t t❡♥s♦rs ❛r❡ ❡✐t❤❡r ✐❞❡♥t✐❝❛• ♦r ♥✉••✳ ❆s ❛ st❛rt✐♥❣ ♣♦✐♥t ✇❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❜✉•❦ P✐♦•❛ str❡ss ❢♦r ❝❛♣✐••❛r② ✢✉✐❞s ❜② P M i := ∂W eul ∂F i M + ∂W cap ∂F i M - ∂ ∂X A ∂W cap ∂F i M,A ✭✸✶✮ ❛s t❤❡ q✉❛♥t✐t② t❤❛t ❛♣♣❡❛rs ✐♥ t❤❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❜❛•❛♥❝❡ ❡q✉❛t✐♦♥ - ∂ ∂t (ρ 0 v i ) + ∂P A i ∂X A - ∂U ext ∂χ i = 0 ❚❤✐s t❡♥s♦r ✐s ❛♥ ❡✛❡❝t✐✈❡ t❡♥s♦r ✭✐♥ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ❡✛❡❝t✐✈❡ t❡♥s♦r ❛r❡ ✇r✐tt❡♥ ✉s✐♥❣ ❜•❛❝❦❜♦❛r❞ ❢♦♥ts✮ s✐♥❝❡ ✐t ✐s ❝♦♠♣♦s❡❞ ♦❢ t❡♥s♦rs ♦❢ ❞✐✛❡r❡♥t ♦r❞❡r✱ ❛s P M i := P M i + ∂ ∂X A H M A i , ✇❤❡r❡ P M i ✐s t❤❡ ❝•❛ss✐❝❛• P✐♦•❛ str❡ss✱ ❛♥❞ H M A i ✐s t❤✐r❞✲♦r❞❡r ❍②♣❡r P✐♦•❛ str❡ss ❞❡✜♥❡❞ ❛s H M N i := ∂W ∂F i M,N . ■t ✐s ✇♦rt❤ ♥♦t✐♥❣ t❤❛t ❢♦r ❝❛♣✐••❛r② ✢✉✐❞s✱ t❤❡ ❝•❛ss✐❝❛• P✐♦•❛ str❡ss ❝❛♥ ❜❡ ❞❡❝♦♠♣♦s❡❞ ❛s P M i := (P eul ) M i + (P cal ) M i ❍❡♥❝❡✱ ❛♥♦t❤❡r ❡✛❡❝t✐✈❡ t❡♥s♦r ❝❛♥ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ (P cal ) M i := (P cal ) M i + ∂ ∂X A H M A i r❡s✉•t✐♥❣ ✐♥ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ❛❞❞✐t✐✈❡ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❜✉•❦ P✐♦•❛ str❡ss P M i := (P eul ) M i + (P cal ) M i ✹✳✽✳✹ P✐♦•❛ str❡ss ❢♦r ❝❛♣✐••❛r② ✢✉✐❞s ◆♦✇ ✇❡ ✇✐•• ❡✛❡❝t✐✈❡•② ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❡✛❡❝t✐✈❡ ❜✉•❦ P✐♦•❛ t❡♥s♦r✳ ❚♦ t❤❛t ❛✐♠✱ ✇❡ st❛rt ❜② ❝❛•❝✉•❛t✐♥❣ t❤❡ r❡•❡✈❛♥t t❡r♠ ❜② ✉s✐♥❣ ✭✷✽✮ ❛♥❞ ✭✺✻✮ t❤✉s✱ ∂β ∂F i M,N = -2g ab ρρ ,a F -1 M i F -1 N b , - ∂ ∂X A ∂ W cap ∂F i M,A = - ∂ ∂X A J ∂ W cap ∂β ∂β ∂F i M,A = ∂ ∂X A ρ 0 2g ab ρ ,a ∂ W cap ∂β F -1 M i F -1 A b = ∂ ∂X A ρ 0 2g ab ρ ,a ∂ W cap ∂β F -1 M i F -1 A b + ρ 0 2g ab ρ ,a ∂ W cap ∂β F -1 M i ∂ ∂X A F -1 A b = ∂ ∂x b ρ 0 2g ab ρ ,a ∂ W cap ∂β F -1 M i + ρ 0 2g ab ρ ,a ∂ W cap ∂β F -1 M i F -1 A b,A . ◆♦✇ ✇❡ ✉s❡ ✭✹✷✮✱ ✐✳❡✳ F -1 A i,A = ρ ,A ρ F -1 A i = ρ ,i ρ t♦ ❞❡r✐✈❡ - ∂ ∂X A ∂W cap ∂F i M,A = ∂ ∂x b 2 ∂ W cap ∂β ρ 0 g ab ρ ,a F -1 M i + 2 ∂ W cap ∂β ρ 0 g ab ρ ,a F -1 M i,b + 2β ∂ W cap ∂β J F -1 M i . ✭✸✷✮ ❯s✐♥❣ ✭✸✵✮ ❛♥❞ ✭✸✷✮ ✐♥ ✭✸✶✮ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ P M i = -(p (ρ) + P cap ) + ρ ∂ ∂x b 2 ∂ W cap ∂β g ab ρ ,a J F -1 M i -2 ∂ W cap ∂β g ab ρ ,a ρ ,i J F -1 M b ,
✇❤❡r❡ ✇❡ ❤❛✈❡ ✉s❡❞

∂W eul ∂F i M = -Jp (ρ) F -1 M i . ✹✳✽✳✺ ❈❛✉❝❤② str❡ss ❢♦r ❝❛♣✐••❛r② ✢✉✐❞s ❆s ❢♦r t❤❡ ❡✛❡❝t✐✈❡ ❜✉•❦ P✐♦•❛ str❡ss✱ ✇❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❡✛❡❝t✐✈❡ ❜✉•❦ ❈❛✉❝❤② str❡ss ❛s t❤❡ q✉❛♥t✐t② t❤❛t ❛♣♣❡❛rs ✐♥ t❤❡ ❊✉•❡r✐❛♥ ❜❛•❛♥❝❡ ❡q✉❛t✐♦♥ -ρ   ∂v -→ (E) i ∂t + ∂v -→ (E) i ∂x a (v a ) -→ (E)   - ∂ ∂x b T b i -ρ ∂ (U exp /ρ 0 ) ∂χ i -→ (E) = 0.
❚❤✐s ❡✛❡❝t✐✈❡ t❡♥s♦r ❝❛♥ ❜❡ ❞❡❝♦♠♣♦s❡❞ ❛s

T j i := T j i + ∂ ∂x A S ja i , ✇❤❡r❡ T j i ✐s t❤❡ s❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ❝❛♣✐••❛r② ❈❛✉❝❤② str❡ss✱ ❛♥❞ S jk i ✐s t❤❡ t❤✐r❞✲♦r❞❡r ❝❛♣✐••❛r② ❍②♣❡r ❈❛✉❝❤② str❡ss✳ ❆s ♣r❡✈✐♦✉s•② ❡①♣•❛✐♥❡❞✱ t❤❡ s❡❝♦♥❞✲♦r❞❡r ❈❛✉❝❤② str❡ss ❝❛♥ ❜❡ ❞❡❝♦♠♣♦s❡❞ ❛s T j i := (T eul ) j i + (T cap ) j i ❍❡♥❝❡✱ ❛♥♦t❤❡r ❡✛❡❝t✐✈❡ t❡♥s♦r ❝❛♥ ❜❡ ❞❡✜♥❡❞ (T cap ) j i := (T cap ) j i + ∂ ∂x a S ja i , r❡s✉•t✐♥❣ ✐♥ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ❛❞❞✐t✐✈❡ ❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ❜✉•❦ ❈❛✉❝❤② str❡ss✿ T j i := (T eul ) j i + (T cap ) j i . ▲❡t ✉s ♥♦✇ r❡t✉r♥ t♦ t❤❡ ❡①♣•✐❝✐t ❞❡t❡r♠✐♥❛t✐♦♥ ♦❢ T j i ✳ ❇② r❡❝❛••✐♥❣ ✭s❡❡ ❆♣♣❡♥❞✐① ❆✮ t❤❡ P✐♦•❛ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❡♥s♦rs ❢r♦♠ t❤❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ t♦ t❤❡ ❊✉•❡r✐❛♥ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥✱ ✐✳❡✳ T j i = J -1 P A i F j A -→ (E)
, t❤❡ ❜✉•❦ ❈❛✉❝❤② str❡ss t❡♥s♦r ❢♦r ❝❛♣✐••❛r② ✢✉✐❞s ✐s ♦❜t❛✐♥❡❞ ❛s

T j i = -(p (ρ) + P cap ) + ρ ∂ ∂x b 2 ∂ W cap ∂β g ab ρ ,a δ j i -2 ∂ W cap ∂β g aj ρ ,a ρ ,i . ■♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❈❛❤♥✲❍✐••✐❛r❞ ✢✉✐❞s ✇✐t❤ ❛ ❝♦♥st❛♥t λ ✇❡ ❤❛✈❡ 2 ∂ W cap ∂β = λ, W cap = -P cap = λ 2 g ab ρ ,a ρ ,b ,
s♦ t❤❛t

T j i = -p (ρ) + λ 2 g ab ρ ,a ρ ,b + ρ ∂ ∂x b λg ab ρ ,a δ j i -λg aj ρ ,a ρ ,i , ✇❤✐❝❤ ✐s ❡①❛❝t•② t❤❡ r❡s✉•t ❢♦✉♥❞ ✐♥ t❤❡ •✐t❡r❛t✉r❡ ✭s❡❡ ❙❡♣♣❡❝❤❡r ❬✶✹✸( ♦r ❈❛s❛• ❛♥❞ •♦✉✐♥ ❬✷✻✱ ✷✼(✮✳ ▲❡t ✉s ♥♦✇ ❞❡✈❡•♦♣ t❤❡ ❊✉•❡r✐❛♥ ❞✐✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ t❤❡ ❡✛❡❝t✐✈❡ ❝❛♣✐••❛r② ❈❛✉❝❤② t❡♥s♦r✿ ∂ ∂x c (T c i ) = ∂ ∂x c -p (ρ) + λ 2 g ab ρ ,a ρ ,b + ρ ∂ ∂x b λg ab ρ ,a δ c i -λg ac ρ ,a ρ ,i = - ∂ ∂x i p (ρ) + λg ab ρ ,a ρ ,bi + ∂ ∂x i ρλg ab ρ ,ab -λg ac ρ ,ac ρ ,i -λg ac ρ ,a ρ ,ic = - ∂ ∂x i p (ρ) + λρ ∂ ∂x i g ab ρ ,ab . ■♥ ❝♦♥❝•✉s✐♦♥ t❤❡ ❊✉•❡r✐❛♥ ❜❛•❛♥❝❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ❢♦r ❈❛❤♥✲❍✐••✐❛r❞ ✢✉✐❞s ✐s✿ -ρ   ∂v -→ (E) i ∂t + ∂v -→ (E) i ∂x a (v a ) -→ (E)   - ∂ ∂x i p(ρ) + λρ ∂ ∂x i g ab ρ ,ab -ρ ∂ (U exp /ρ 0 ) ∂χ i -→ (E) = 0. ❚♦ ❝♦♠♣•❡t❡ t❤❡ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦❞❡•✱ t❤❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❤❛✈❡ t♦ ❜❡ s✉♣♣•✐❡❞✳ ✹✳✽✳✻ ❇♦✉♥❞❛r② t❡r♠s ■♥ t❤❡ ♣❛rt✐❝✉•❛r ❝❛s❡ ♦❢ ❝❛♣✐••❛r② ✢✉✐❞s t❤❡ ❍②♣❡r P✐♦•❛ t❡♥s♦r ❤❛s t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ❡①♣•✐❝✐t ❡①♣r❡ss✐♦♥✿ H M N i = ∂W cap ∂β ∂β ∂F i M,N = -λρ 0 ρ ,a g ab F -1 M b F -1 N i . ■ts ❊✉•❡r✐❛♥ ❡q✉✐✈❛•❡♥t ✐s t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ❍②♣❡r ❈❛✉❝❤② t❡♥s♦r S jk i = -J -1 H AB i F j B F k A = -J -1 ρ 0 g ab ρ ,a λ F -1 B i F -1 A b F j B F k A = -λρg ak ρ ,a δ j i . ❉♦✉❜•❡ ❢♦r❝❡ ❚❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ♦❢ ❝♦♥t❛❝t ❞♦✉❜•❡ ❢♦r❝❡ ✇✐•• ❜❡ ❞✐s❝✉ss❡❞ ✜rst✳ ■♥ t❤❡ ❛❜s❡♥❝❡ ♦❢ s✉r❢❛❝❡ ❡①t❡r♥❛• ❞♦✉❜•❡ ❢♦r❝❡✱ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s r❡❛❞ ∂W cap ∂∇F • (N ⊗ N ) = 0 ♦r✱ ✐♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ∂W cap ∂F i A,B N A N B = -λρ 0 ρ ,a g ab F -1 A b F -1 B i N A N B = 0 ❯s✐♥❣ t❤❡ P✐♦•❛ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❢♦r ♥♦r♠❛•s ✭✹✸✮✱ t❤❡ ❢♦r♠❡r ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✐s r❡✇r✐tt❡♥ -λρ 0 ρ ,a g ab F -1 M b F -1 N i J -1 F c M n c J -1 F e N n e = 0, ❍❡♥❝❡✱ ❢♦r •✐♥❡ ❢♦r❝❡s ✭✷✸✮ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ -J -1 λρρ ,a g ab n b ν i = 0. ❋♦r❝❡ ■♥ t❤❡ ❛❜s❡♥❝❡ ♦❢ ❡①t❡r♥❛• ❢♦r❝❡✱ t❤❡ ♥❡✇ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s r❡❛❞ P A i N A + ∂ ∂X E P D C H BC i N B P E D = 0, ♦r✱ ✉s✐♥❣ t❤❡ P✐♦•❛ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥✱ ✐♥ ❊✉•❡r✐❛♥ ❢♦r♠ T a i n a + ∂ ∂x e P d c S bc i n b P e d = 0. ❚❤❡ ✜rst t❡r♠ ✇✐•• ✜rst ❜❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞✳ ❚❤✐s t❡r♠ ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣❛♥❞❡❞ ❛s T a i n a = -p (ρ) + λ 2 g bc ρ ,b ρ ,c + ρ ∂ ∂x c λg bc ρ ,b δ a i -λg ba ρ ,b ρ ,i n a = -p (ρ) + λ 2 g bc ρ ,b ρ ,c + ρ ∂ ∂x c λg bc ρ ,b n i -λg ab ρ ,b ρ ,i n a = -p (ρ) + λ 2 g bc ρ ,b ρ ,c + ρ ∂ ∂x c λg bc ρ ,b n i -λn b ρ ,b ρ ,i = -p (ρ) + λ 2 g bc ρ ,b ρ ,c + ρ ∂ ∂x c λg bc ρ ,b -λn i ρ ,i n b ρ ,b n i . ■t r❡♠❛✐♥s ♥♦✇ t♦ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ •❛st ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✱ ✐✳❡✳ ∂ ∂x d P c b S ab i n a P d c . ❚❤✐s ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ✐s ❛ ❜✐t ♠♦r❡ tr✐❝❦②✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❡❛s✐•② ❞❡r✐✈❡ t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥✱ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ✐❞❡♥t✐t✐❡s ✇✐•• ❜❡ ❡st❛❜•✐s❤❡❞✿ Q • (v ⊗ n) = (v.n)Q ✭✸✸✮ P • (v ⊗ n) = (v.n)P ❚❤❡✐r ❞❡♠♦♥str❛t✐♦♥ ✐s str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞✿ Q i a v a n j = n i n a v a n j = n a v a n i n j = Q i j v a n a , P i a v a n j = (δ i a -Q i a )v a n j = (δ i j δ j a v a n j ) + Q i j v a n a = δ i j v a n a + Q i j v a n a = (δ i j + Q i j )v a n a = P i j v a n a ◆♦✇✱ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❤②♣❡rstr❡ss ❢♦r ❝❛♣✐••❛r② ✢✉✐❞s✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ S aj i n a = -λρρ j n i . ■♥ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣✱ t❤❡ ❢❛❝t♦r -λρ ✇✐•• ❞r♦♣♣❡❞ ❛♥❞ ♦♥•② ❛❞❞❡❞ ❛t t❤❡ ❡♥❞✳ ❯s✐♥❣ t❤❡ ✐❞❡♥t✐t② ✭✸✸✮ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ✜rst tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ r❡•❛t✐♦♥ P i a (ρ a n j ) = ρ a n a P i j .
❚❤❡r❡❢♦r❡✱

∇ S k P i a (ρ a n j ) = ∇ S k ρ a n a P i j = ∇ S k (ρ a n a ) P i j + ρ a n a ∇ S k P i j , ✇❤❡r❡ ∇ S k := P a k ∂ ∂xa ❞❡♥♦t❡s t❤❡ s✉r❢❛❝❡ ✭t❛♥❣❡♥t✐❛•✮ ❣r❛❞✐❡♥t✳ ▲❡t ✉s ♥♦✇ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ s✉r❢❛❝❡ ❣r❛❞✐❡♥t ♦❢ t❤❡ ♣r♦•❡❝t✐♦♥ ♦♣❡r❛t♦r P ✱ ∇ S k P i j = ∇ S k δ i j -∇ S k (n i n j ) = -(∇ S k (n i )n j + n i ∇ S k (n j )) = L i k n j + n i L kj ✇❤❡r❡ L ij := -P a i n aj ✐s t❤❡ ❲❡✐♥❣❛rt❡♥ ❝✉r✈❛t✉r❡ t❡♥s♦r✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ✐t ❢♦••♦✇s t❤❛t ∇ S k P i a (ρ a n j ) = ∇ S k (ρ a n a ) P i j + ρ a n a (L i k n j + n i L kj ). ❚♦ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ s✉r❢❛❝❡ ❞✐✈❡r❣❡♥❝❡ ✐t r❡♠❛✐♥s t♦ ♠✉•t✐♣•② t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s r❡s✉•t ❜② δ i k ∇ S i P i a (ρ a n j ) = ∇ S i (ρ a n a ) P i j + ρ a n a (L i i n j + n i L ij ). ❚❤✐s ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ s✐♠♣•✐✜❡❞✱ ✉s✐♥❣ ∇ S i P i j = P a i ∂ ∂x a P i j = P a i P i j ∂ ∂x a = ∇ S j , n i L ij = n i P a i n aj = 0, ❛♥❞ 2H := L i i , ✇❤❡r❡ H ✐s t❤❡ s✉r❢❛❝❡ ♠❡❛♥ ❝✉r✈❛t✉r❡✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ❛t t❤❡ ❡♥❞ ♦❢ t❤❡ •♦✉r♥❡②✱ ∇ S i P i a (ρ a n j ) = ∇ S j (ρ a n a ) + 2ρ a n a Hn j . ❖♥❝❡ t❤❡ t✇♦ ♣❛rts ❛❞❞❡❞✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ -p (ρ) + λ 2 g ab ρ ,a ρ ,b + ρ ∂ ∂x b λg ab ρ ,a -λn i ρ ,i n a ρ ,a + 2ρ a n a H n i + ∇ S i (ρ a n a ) = 0, ♦r -p * n i + ∇ S i (ρ a n a ) = 0, ✐♥ ✇❤✐❝❤ p * = p (ρ) - λ 2 g ab ρ ,a ρ ,b -ρ ∂ ∂x b λg ab ρ ,a + λn i ρ ,i n a ρ ,a + 2ρ a n a H . ❚❤✐s ✐s ❡①❛❝t•② t❤❡ r❡s✉•t ❢♦✉♥❞ ✐♥ ❬✶✹✸✱ ✶✹✹✱ ✷✻✱ ✷✼(✳ ✹✳✽✳✼ ❇❡r♥♦✉••✐ ▲❛✇ ❢♦r ❝❛♣✐••❛r② ✢✉✐❞s ❚❤❡ r❡s✉•ts ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s❡❝t✐♦♥s ✐♠♣•② t❤❛t ❢♦r ❝❛♣✐••❛r② ✢✉✐❞s t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ❊✉•❡r✐❛♥ ❇❛•❛♥❝❡ ♦❢ ❢♦r❝❡ ❤♦•❞s ✭s❡❡ ❛•s♦ ❬✷✺✱ ✷✻(✮ -ρ   ∂v -→ (E) i ∂t + ∂v -→ (E) i ∂x a (v a ) -→ (E)   - ∂ ∂x i (p(ρ)) + ∂ ∂x b (T cap ) b i -ρ ∂U/ρ 0 ∂χ i -→ (E) = 0, ✇❤❡r❡ ✇❡ ❤❛✈❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ t❤❡ ❝♦♥st✐t✉t✐✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥s (T cap ) b i = -P cap (ρ, β) + ρ ∂ ∂x b 2 ∂ W cap ∂β g ab ρ ,a δ j i -2 ∂ W cap ∂β g aj ρ ,a ρ ,i , -P cap := W cap -ρ ∂ W cap ∂ρ ; p(ρ) := ρ 2 ∂(Ψ/ρ0) ∂ρ . ■❢ t❤❡ •❛st r❡•❛t✐♦♥s❤✐♣ ✐s ✐♥✈❡rt✐❜•❡ ♦♥❡ ❝❛♥ ❡①♣r❡ss t❤❡ ❞❡♥s✐t② ❛s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ρ ♦❢ t❤❡ ♣r❡ss✉r❡ ❛♥❞ ✐♥tr♦❞✉❝❡ t❤❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ Q(p) = ∆ 1 ρ(p) dp, ✇❤✐❝❤ ❤❛s t❤❡ r❡♠❛r❦❛❜•❡ ♣r♦♣❡rt② ∂Q(p) ∂x i = 1 ρ(p) ∂p ∂x i . ❆s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡✱ ♦♥❝❡ ❞✐✈✐❞❡❞ ❜② ρ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ❜❡❝♦♠❡ - ∂v -→ (E) i ∂t - ∂v -→ (E) i ∂x a (v a ) -→ (E) - ∂ ∂x i (Q(p)) + 1 ρ ∂ ∂x b (T cap ) b i - ∂U/ρ 0 ∂χ i -→ (E) = 0. ✭✸✹✮ ❚❤❡ ❝❛•❝✉•❛t✐♦♥ ♦❢ ∂ ∂x a (T cap ) a i ❲❡ ❤❛✈❡ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ t❡r♠ ∂ ∂x a (T cap ) a i = ∂ ∂x a -P cap (ρ, β) + ρ ∂ ∂x b 2 ∂ W cap ∂β g bc ρ ,c δ a i -2 ∂ W cap ∂β g da ρ ,d ρ ,i = ∂ ∂x i W cap -ρ ∂ W cap ∂ρ + ρ ∂ ∂x b 2 ∂ W cap ∂β g bc ρ ,c A -2 ∂ ∂x a ∂ W cap ∂β g da ρ ,d ρ ,i . B ▲❡t ✉s ♣r♦❝❡ss ✜rst t❤❡ t❡r♠ •❛❜❡•❡❞ A✿ A = ∂ ∂x i W cap - ∂ ∂x i ρ ∂ W cap ∂ρ + ∂ ∂x i ρ ∂ ∂x b 2 ∂ W cap ∂β g bc ρ ,c = ∂ W cap ∂ρ ∂ρ ∂x i + ∂ W cap ∂β ∂β ∂x i -ρ ,i ∂ W cap ∂ρ -ρ ∂ ∂x i ∂ W cap ∂ρ + ∂ ∂x i ρ ∂ ∂x b 2 ∂ W cap ∂β g bc ρ ,c = ∂ W cap ∂β ∂β ∂x i -ρ ∂ ∂x i ∂ W cap ∂ρ + ρ ,i ∂ ∂x b 2 ∂ W cap ∂β g bc ρ ,c + ρ ∂ ∂x i ∂ ∂x b 2 ∂ W cap ∂β g bc ρ ,c . ❚❤❡ t❡r♠ B ✐s ❡❛s② t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡✿ B = -2ρ ,i ∂ ∂x a ∂ W cap ∂β g ad ρ ,d -2 ∂ W cap ∂β g da ρ ,d ρ ,ia ❚❤❡r❡❢♦r❡ ✇❡ ❤❛✈❡ ∂ ∂x a (T cap ) a i = -ρ ∂ ∂x i ∂ W cap ∂ρ + ρ ∂ ∂x i ∂ ∂x b 2 ∂ W cap ∂β g bc ρ ,c + ∂ W cap ∂β ∂β ∂x i -2 ∂ W cap ∂β g da ρ ,d ρ ,ia , ❛♥❞ r❡❝❛••✐♥❣ t❤❛t ∂β ∂x i = ∂ ∂x i g ab ρ ,a ρ ,b = 2g ab ρ ,a ρ ,bi , t❤❡ ❞❡s✐r❡❞ r❡s✉•t ✐s ✜♥❛••② ♦❜t❛✐♥❡❞ ∂ ∂x a (T cap ) a i = -ρ ∂ ∂x i ∂ W cap ∂ρ + ρ ∂ ∂x i ∂ ∂x b 2 ∂ W cap ∂β g bc ρ ,c = ρ ∂ ∂x i ∂ ∂x b 2 ∂ W cap ∂β g bc ρ ,c - ∂ W cap ∂ρ = ρ ∂ ∂x i P eff ρ; ρ ,a ; g ab ρ ,ab . ✹✳✽✳✽ ❇❡r♥♦✉••✐ ❝♦♥st❛♥t ♦❢ ♠♦t✐♦♥ ❛•♦♥❣ ✢♦✇ ❝✉r✈❡s ❚♦ ❝♦♥❝•✉❞❡ ♦✉r ❛r❣✉♠❡♥t ✇❡ ♥❡❡❞ ❛ •❛st t❡♥s♦r✐❛• ❡q✉❛•✐t② ✭s❡❡ ❡✳❣✳ ▲❡❜❡❞❡✈ ❡t ❛•✳ ❬✽✽(✮ ∂v i ∂x a v a = ∂v a ∂x i v a + ∂v i ∂x a v a - ∂v a ∂x i v a = ∂ ∂x i 1 2 v a v a + W a i v a , ✭✸✺✮ ✇❤❡r❡ t❤❡ t❡♥s♦r W j i ❞❡✜♥❡❞ ❜② W j i := ∂v i ∂x j - ∂v j ∂x i ❝•❡❛r•② s❛✐s✜❡s t❤❡ ❡q✉❛•✐t② W a b v a v b = ∂v b ∂x a v b v a - ∂v a ∂x b v b v a = 1 2 ∂ v b v b ∂x a v a - ∂ (v a v a ) ∂x b v b = 0. ▲❡t ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ✭✸✹✮ - ∂v -→ (E) i ∂t - ∂v -→ (E) i ∂x a (v a ) -→ (E) - ∂ ∂x i (Q(p)) + 1 ρ ∂ ∂x b S b i - ∂U/ρ 0 ∂χ i -→ (E) = 0. ■❢ t❤❡ ❛♣♣•✐❡❞ ❜✉•❦ ❡①t❡r♥❛• ❢♦r❝❡s ❛r❡ s✉❝❤ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ s❝❛•❛r ❊✉•❡r✐❛♥ ❢✉♥❝t✐♦♥ V ❢♦r ✇❤✐❝❤ ∂U/ρ 0 ∂χ i -→ (E) = ∂V ∂x i , ❛♥❞ ❜② ♠❛❦✐♥❣ ✉s❡ ♦❢ ✭✸✺✮ ✭ t❤❡ ♥♦t❛t✐♦♥ (•) -→ (E) ❤❛s ❜❡❡♥ ❞r♦♣♣❡❞✮✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ - ∂v i ∂t - ∂ ∂x i 1 2 v c v c + W d i v d - ∂ ∂x i (Q(p)) + ∂ ∂x i ∂ ∂x b 2 ∂ W cap ∂β g ab ρ ,a - ∂ W cap ∂ρ - ∂V ∂x i = 0. ❇② ❝❛•❝✉•❛t✐♥❣ t❤❡ ✐♥♥❡r ♣r♦❞✉❝t ✇✐t❤ v ✇❡ ❣❡t ∂ ∂t 1 2 v • v + ∇ 1 2 v • v + Q(p(ρ)) -P eff ρ; ρ ,a ; g ab ρ ,ab + V • v = 0, ❛♥❞ ✐❢ t❤❡ ✜❡•❞ v ❜❡ st❛t✐♦♥❛r②✱ ✐✳❡✳ ✐❢ ∂v ∂t = 0, t❤❡ •❛st ❡q✉❛t✐♦♥ ❜❡❝♦♠❡s ∇ 1 2 v • v + Q(p(ρ)) -P eff ρ; ρ ,a ; g ab ρ ,ab + V • v = 0 ✐✳❡✳ ❛•♦♥❣ ✭st❡❛❞②✮ ✢♦✇ ❝✉r✈❡s t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝♦♥st❛♥t K 0 s✉❝❤ t❤❛t 1 2 v • v + Q(p(ρ)) -P eff ρ; ρ ,a ; g ab ρ ,ab + V = K 0 . ✺ ❈♦♥❝•✉s✐♦♥s✿ t♦✇❛r❞s ❝♦♥t✐♥✉✉♠ ❛♥❛•②t✐❝❛• ♠❡❝❤❛♥✐❝s ❄ ❚❤❡ r♦•❡ ♦❢ t❤❡ ♣r✐♥❝✐♣•❡ ♦❢ •❡❛st ❛❝t✐♦♥ ✭♦r ♦❢ ✐ts ✇❡❛❦❡r ✈❡rs✐♦♥ t❤❡ ♣r✐♥❝✐♣•❡ ♦❢ ✈✐rt✉❛• ✇♦r❦✮ ✐♥ ❛♣♣•✐❡❞ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝s✱ ❛♥❞ ✐♥ ♣❛rt✐❝✉•❛r ✐♥ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛• ♣❤②s✐❝s✱ ❤❛s ❜❡❡♥ ❝♦♥tr♦✈❡rs✐❛• s✐♥❝❡ ✐ts ✈❡r② ✜rst ❢♦r♠✉•❛t✐♦♥s✳ ❚❤❡ ❛tt✐t✉❞❡ t♦✇❛r❞s t❤✐s ♣♦st✉•❛t✐♦♥ ✐s ♦❢t❡♥ ♦♥❡ ♦❢ t♦t❛• r❡•❡❝t✐♦♥✳ ■♥❞❡❡❞✱ ❜♦t❤ t❤❡ s✉♣♣♦rt❡rs ♦❢ ✈❛r✐❛t✐♦♥❛• ♣♦st✉•❛t✐♦♥s ❛♥❞ t❤❡ s✉♣♣♦rt❡rs ♦❢ ❜❛•❛♥❝❡ ♦❢ ❡✈❡r②t❤✐♥❣ ❜❡❤❛✈❡ ♦❢t❡♥ ❛s ✐❢ t❤❡ ❝♦♥tr♦✈❡rs② ❞♦❡s ♥♦t ❡①✐st✳ ❚❤❡② s✐♠♣•② ♣r❡t❡♥❞ t❤❛t t❤❡ ♦t❤❡r ♣♦st✉•❛t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss ✐s ♥♦t ✉s❡❞ ❛t ❛•• ♦r ❛♥②♠♦r❡✳ ❖❢ ❝♦✉rs❡ t❤❡ s✉♣♣♦rt❡rs ♦❢ ❜❛•❛♥❝❡ ♦❢ ❡✈❡r②t❤✐♥❣ ❛r❡ ❛✇❛r❡ ♦❢ t❤❡ ✐♠♣♦rt❛♥❝❡ ♦❢ ❛ ✈❛r✐❛t✐♦♥❛• ♣r✐♥❝✐♣•❡✱ ❡s♣❡❝✐❛••② ✇❤❡♥ ❛ ♥✉♠❡r✐❝❛• ❝♦❞❡ ❤❛s t♦ ❜❡ ❞❡s✐❣♥❡❞ ♦r ❛♥ ❡①✐st❡♥❝❡ ❛♥❞ 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C C C C C C C C C C C C R R T X D α F / / gα O O a a D D D D D D D D D D D D T x D β g β O O = = { { { { { { { { { { { { ❋✐❣✉r❡ ✸✿ ❉✐❛❣r❛♠ ♦❢ ❋✐❣✉r❡ ✸✳ ✼✳✷ ❚r❛♥s♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ •✐♥❡❛r ♠❛♣♣✐♥❣s ❚❤❡ tr❛♥s♣♦s❡❞ F T ♦❢ t❤❡ •✐♥❡❛r ♠❛♣♣✐♥❣ F ❢r♦♠ t❤❡ ✈❡❝t♦r s♣❛❝❡ T X D α t♦ t❤❡ ✈❡❝t♦r s♣❛❝❡ T x D β ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❛s t❤❡ ✉♥✐q✉❡ •✐♥❡❛r ♠❛♣♣✐♥❣ ❢r♦♠ T ⋆ x D β t♦ T ⋆ X D α s✉❝❤ t❤❛t ❢♦r ❡✈❡r② ❝♦✉♣•❡ (V, l) ∈ T X D α × T ⋆ x D β l, F V (T ⋆ x D β ,TxD β ) = F T l, V (T ⋆ X Dα,T X Dα) ✇❤❡r❡ t❤❡ ❜r❛❝❦❡t ❞❡♥♦t❡s t❤❡ ❞✉❛•✐t② ♣r♦❞✉❝t✳ ■❢ ❜♦t❤ D α ❛♥❞ D β ❛r❡ ❡q✉✐♣♣❡❞ ✇✐t❤ ❛♥ ✐♥♥❡r ♣r♦❞✉❝t ♦♥ t❤❡✐r t❛♥❣❡♥t s♣❛❝❡ ❛t ❡❛❝❤ ♣♦✐♥t ✶✵ ✱ t❤❡♥ t❛♥❣❡♥t ❛♥❞ ❝♦t❛♥❣❡♥t s♣❛❝❡ ❝❛♥ ❜❡ ✐❞❡♥t✐✜❡❞✳ ▲❡t ✉s ❞❡♥♦t❡ ❜② g α ❛♥❞ g β t❤❡ ✜❡•❞s ♦❢ ♠❡tr✐❝ ❞❡✜♥❡❞✱ r❡s♣❡❝t✐✈❡•②✱ ♦♥ D α ❛♥❞ D β ✳ ❚❤r♦✉❣❤ g β ❛ ✈❡❝t♦r w ❝❛♥ ❜❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ t♦ ❛♥② ❝♦✈❡❝t♦r l✱ ♠♦r❡ ♣r❡❝✐s❡•②✿ ∀lǫT ⋆ x D β , ∃ w ǫ T x D β , l = g β w ❚❤❡r❡❢♦r❡ t❤❡ ❡q✉❛•✐t② ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❞✉❛•✐t② ❜r❛❝❦❡t ❝❛♥ ❜❡ r❡✇r✐tt❡♥ g β w, F V (T ⋆ x D β ,TxD β ) = F T g β w, V (T ⋆ X Dα,T X Dα) ❚❤✐s ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ s✉♠♠❛r✐③❡❞ ❜② t❤❡ ❞✐❛❣r❛♠ ♦❢ ❋✐❣✉r❡ ✸✳ ❖♥❝❡ ❜❛s❡s ❛r❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ T X D α ❛♥❞ T x D β ✱ ✇❡ ❝❛♥ r❡♣r❡s❡♥t ✈❡❝t♦rs✱ t❡♥s♦rs ❛♥❞ ✐♥♥❡r ♣r♦❞✉❝ts ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡✐r ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✳ ❚❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ r❡•❛t✐♦♥ ✐s ✇r✐tt❡♥ ✐♥ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ D β ✱ ❤❡♥❝❡ q✉❛♥t✐t✐❡s ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ D α ❤❛✈❡ t♦ ❜❡ tr❛♥s♣♦rt❡❞✿ g ab w b (F a A V A ) -→ (β) = V A F T a A g ab w b (V A ) -→ (β) ∀V A , ∀w b , ✇❤✐❝❤ ✐♠♣•✐❡s g ab (F a A ) -→ (β) -F T a A V A w b = 0 ∀V A , ∀w b . ❚❤❡r❡❢♦r❡ ✇❡ ❤❛✈❡ (F i M ) -→ (β) = F T i M , ✭✸✻✮ ❛♥❞✱ ❝♦♥✈❡rs❡•②✱ (F -1 ) M i -→ (α) = F -T M i . ✭✸✼✮ ✶✵ ■♥ ♦t❤❡rs t❡r♠s✱ ✐❢ ❜♦t❤ Dα ❛♥❞ D β ❛r❡ |✐❡♠❛♥♥✐❛♥ ♠❛♥✐❢♦•❞s✳ ❚❤❡s❡ r❡•❛t✐♦♥s ✇✐•• ❜❡ ✐♠♣♦rt❛♥t ✐♥ t❤❡ ♥❡①t s✉❜s❡❝t✐♦♥ t♦ ♣r♦♣❡r•② ❞❡✜♥❡ t❤❡ P✐♦•❛ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥✳ ▲❡t ✉s ♥♦✇ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ✐♥♥❡r ♣r♦❞✉❝t ✭✇✐t❤ ❛ s•✐❣❤t ❛❜✉s❡ ♦❢ ♥♦t❛t✐♦♥✮ F V, F W TxD β , ✇❤❡r❡ F ✐s t❤❡ s❛♠❡ •✐♥❡❛r ♠❛♣♣✐♥❣ ❛s ❜❡❢♦r❡✳ ❇② ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣ t❤❡ tr❛♥s♣♦s❡❞ ♠❛♣♣✐♥❣ ♦♥❡ ❣❡ts F V, F W TxD β = F T F V, W T X Dα , ✇❤✐❝❤ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ❜❡❝♦♠❡s (g ab ) -→ (α) F a A V A F b B W B = g CB (F T F ) C B V A W B , t❤❡r❡❢♦r❡ (F T F ) M N = (g ab ) -→ (α) F a M F b N = (F M a ) -→ (α) F a N , ♦r ♠♦r❡ s✐♠♣•②✱ ❞r♦♣♣✐♥❣ t❤❡ ❝❤❛♥❣❡ ♦❢ ❞♦♠❛✐♥✿ (F T F ) M N = F M a F a N ; (F T F ) M N = F M a F aN . ✼✳✸ P✐♦•❛ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❢♦r ✈✐rt✉❛• ✇♦r❦ ❛♥❞ str❡ss t❡♥s♦rs ❲❡ ❝❛•• ✈✐rt✉❛• ❞✐s♣•❛❝❡♠❡♥t st❡♠♠✐♥❣ ❢r♦♠ χ ❛ ✈❡❝t♦r ✜❡•❞ δχ ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ D α ❛♥❞ s✉❝❤ t❤❛t✱ ❢♦r ❡✈❡r② X ✐♥ D α ✱ t❤❡ ✈❡❝t♦r δχ(X) ❜❡•♦♥❣s t♦ t❤❡ t❛♥❣❡♥t s♣❛❝❡ ❛t t❤❡ ♣♦✐♥t χ(X). ❲❡ ✇✐•• ❞❡♥♦t❡ ❜② D t❤❡ s♣❛❝❡ ♦❢ s✉❝❤ ✈✐rt✉❛• ❞✐s♣•❛❝❡♠❡♥ts✿ D = {δχ : D α → T D β , X → δχ(X)}. ❆ ✈✐rt✉❛• ✇♦r❦ ❢✉♥❝t✐♦♥❛• ♠✉st ♦❜✈✐♦✉s•② ❜❡ ✐❞❡♥t✐✜❡❞ ❛s ❛ •✐♥❡❛r ❛♥❞ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❢✉♥❝t✐♦♥❛• ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ D ✭❢♦r ❛ ❞❡t❛✐•❡❞ ❞✐s❝✉ss✐♦♥ ♦❢ t❤✐s ♣♦✐♥t s❡❡ ❞❡••✬■s♦•❛ ❡t ❛•✳ ❬✺✹( ❛♥❞ r❡❢❡r❡♥❝❡s t❤❡r❡✐♥✮✱ ✐✳❡ t♦ ❛♥ ❡•❡♠❡♥t ♦❢ D ⋆ t❤❡ ❞✉❛• s♣❛❝❡ ♦❢ D D ⋆ = {W : D → R, δχ → W }. ❇❡❝❛✉s❡ ♦❢ ❛ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ t❤❡♦r❡♠ ❞✉❡ t♦ ❙❝❤✇❛rt③ ❬✶✸✺( ✇❡ ❝❛♥ st❛t❡ t❤❛t ❢♦r ❛♥② ✈✐rt✉❛• ✇♦r❦ ❢✉♥❝t✐♦♥❛• W ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ D α t❤❡r❡ ❡①✐st N r❡❣✉•❛r ✜❡•❞s P γ ✭✇❤❡r❡ γ = 1, ...N ✮ s✉❝❤ t❤❛t W (δχ) = N γ=1 ∆ Dα P γ ∇ α γ (δχ) dV α , ✇❤❡r❡ ∇ α γ = D α → ⊗ γ T ⋆ D α ⊗ T D β ; P γ = D α → ⊗ γ T D α ⊗ T ⋆ D β . ▼♦❞✐❢②✐♥❣ s•✐❣❤t•② t❤❡ ♥♦♠❡♥❝•❛t✉r❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❜② ❚r✉❡s❞❡•• ❛♥❞ ❚♦✉♣✐♥ ❬✶✻✸( ✇❡ ❝❛♥ ❝❛•• P γ t❤❡ γ -th ♦r❞❡r P✐♦•❛ str❡ss t❡♥s♦r✳ ◆♦✇✱ ❢♦••♦✇✐♥❣ P✐♦•❛ ❬✶✷✶(✱ ✇❡ ❝❛♥ tr❛♥s♣♦rt t❤❡ ✜❡•❞ δχ ♦♥ D β ❛♥❞ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❈❛✉❝❤② str❡ss t❡♥s♦rs T γ ❜② ♠❡❛♥s ♦❢ t❤❡ ❡q✉❛•✐t② ∆ Dα P γ ∇ α γ (δχ) dV α := ∆ D β T γ ∇ β γ δχ -→ (β) dV β ∀δχ ∈ D, ✐♥ ✇❤✐❝❤ ∇ β γ = D β → ⊗ γ T ⋆ D β ⊗ T D β ; T γ = D α → ⊗ γ T D β ⊗ T ⋆ D β . ❚♦ ♣r♦✈❡ t❤❛t s✉❝❤ ❛ t❡♥s♦r ❡①✐sts✱ ❛♥❞ t♦ ❣❡t ✐ts r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥✱ •❡t ✉s ✇r✐t❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t✲✇✐s❡ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❡q✉❛t✐♦♥✿ ∆ Dα P A1...Aγ i (δχ) i ,A1...Aγ dV α = ∆ D β T j1....jγ i δχ -→ (β) i ,j1....jγ dV β ∀δχ ∈ D. ❚❤❡♥ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❝❤❛✐♥ r✉•❡ t❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡s✿ δχ -→ (β) i ,j1....jγ = (δχ) i ,A1...Aγ -→ (β) F -1 A1 j1 ... F -1 Aγ jγ , ❛♥❞ ❛ ❝❤❛♥❣❡ ♦❢ ✈❛r✐❛❜•❡ ✐♥ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ✐♥t❡❣r❛•✱ ✇❡ ♦❜t❛✐♥ ∆ Dα P A1...Aγ i (δχ) i ,A1...Aγ dV α = ∆ Dα J T j1....jγ i F -1 A1 j1 ... F -1 Aγ jγ -→ (α) (δχ) i ,A1...Aγ dV α ∀δχ ∈ D, ✇❤✐❝❤ ✐s ❡q✉✐✈❛•❡♥t t♦ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ P✐♦•❛ ❢♦r♠✉•❛ ❢♦r tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ str❡ss t❡♥s♦rs P A1...Aγ i = J T j1....jγ i F -1 A1 j1 ... F -1 Aγ jγ -→ (α) ; ♦r✱ ✉s✐♥❣ t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ✭✸✼✮ ✿ P γ = J T γ -→ (α) F -T . . . F -T γ . ❲✐t❤ s✐♠♣•❡ ❛•❣❡❜r❛ ✇❡ ❛•s♦ ❣❡t J -1 P A1...Aγ i F i1 A1 ....F iγ Aγ -→ (β) = T i1....iγ γi ♦r✱ ✉s✐♥❣ t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ✭✸✻✮ ✿ T γ = J -1 P γ -→ (β) F T . . . F T γ . ✼✳✹ P✐♦•❛ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❞✐✈❡r❣❡♥❝❡ ❋♦r ❛♥② t❡♥s♦r ✜❡•❞ T α t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ❡q✉❛•✐t② ❤♦•❞s ✭❢♦r ❛ ♣r♦♦❢ s❡❡ ❡✳❣✳ ❞❡••✬■s♦•❛ ❡t ❛•✳ ❬✺✸( ♦r ❍✉❣❤❡s ❛♥❞ ▼❛rs❞❡♥ ❬✾✻(✮✳ ∇ α • T α = J ∇ β • J -1 T -→ (β) F T -→ (α) ✭✸✽✮ ✇❤✐❝❤ ♦❜✈✐♦✉s•② ✐♠♣•✐❡s✱ ✈✐❝❡ ✈❡rs❛✱ (∇ α • T α ) -→ (β) = J -→ (β) ∇ β • J -1 T -→ (β) α F T . ■♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts t❤✐s r❡•❛t✐♦♥ r❡❛❞s ✭✇❤❡r❡ X L ❛♥❞ x j ❞❡♥♦t❡ t❤❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ♦❢ t❤❡ ♣♦s✐t✐♦♥ ✈❡❝t♦r ✐♥ D α ❛♥❞ D β r❡s♣❡❝t✐✈❡•②✮ ∂T A α ∂X A -→ (β) = J -→ (β) ∂ ∂x a J -1 T A α F a A -→ (β) . ✭✸✾✮ ❙✐♠✐•❛r•② ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ r❡•❛t✐♦♥s❤✐♣✱ ✐♥ s♦♠❡ s❡♥s❡ ✐♥✈❡rs❡ ♦❢ t❤❡ r❡•❛t✐♦♥ ✭✸✽✮✿ ∇ β • T β = J -1 ∇ α • JT -→ (α) β F -T -→ (β)
. β) .

✭✹✵✮ ✼✳✺ ❚❤❡ P✐♦•❛✲|✐❝❝✐✲❇✐❛♥❝❤✐ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❚❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✹✵✮ ✇❛s ✜rst ❢♦✉♥❞✱ ✇✐t❤♦✉t t❤❡ ❤❡•♣ ♦❢ t❡♥s♦r ❝❛•❝✉•✉s✱ ❜② P✐♦•❛ ❬✶✷✶(✳ ■♥ t❤❡ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ T β r❡❞✉❝❡s t♦ t❤❡ ✐❞❡♥t✐t②✱ t❤❡ ❢♦r♠❡r ❡q✉❛t✐♦♥ t❛❦❡s t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ❢♦r♠ ∇ • JF -T = 0, ✭✹✶✮ ✇❤✐❝❤ ✐♥ ❝♦♠♣♦♥❡♥ts ❝❛♥ ❜❡ ✇r✐tt❡♥ ∂ ∂X A J F -1 A i = 0 ❊q✉❛t✐♦♥ ✭✹✶✮ ✐s ❛ ♣❛rt✐❝✉•❛r ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ ❇✐❛♥❝❤✐ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ |✐❝❝✐ ❝✉r✈❛t✉r❡ t❡♥s♦r✱ ✇❤❡♥ ✐♥t❡r♣r❡t✐♥❣ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ❛s ❛ ❝❤❛rt ❢♦r t❤❡ ❊✉•❡r✐❛♥ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❜♦❞②✳ ❋r♦♠t❤❡ P✐♦•❛✲|✐❝❝✐✲❇✐❛♥❝❤✐ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ∂ ∂X A J F -1 A i = 0 ♦♥❡ ❣❡ts J ,A F -1 A i + J F -1 A i,A = 0 F -1 A i,A = -J -1 ρ 0 ρ ,A F -1 A i = -ρ 0 J -1 - 1 ρ 2 ρ ,A F -1 A i = 1 ρ ρ ,A F -1 A i . ■♥ ❝♦♥❝•✉s✐♦♥ F -1 A i,A = ρ ,A ρ F -1 A i = ρ ,i ρ . ✭✹✷✮ ✼✳✻ P✐♦•❛ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❢♦r ❞♦✉❜•❡ ❞✐✈❡r❣❡♥❝❡ ❚♦ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❊✉•❡r✐❛♥ ❢♦r♠ ❢♦r ❜❛•❛♥❝❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝❛♣✐••❛r② ✢✉✐❞s ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ❛♣♣•② t❤❡ ❞✐✈❡r❣❡♥❝❡ t✇✐❝❡ t♦ ❝❛•❝✉•❛t❡ t❤❡ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❞♦✉❜•❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❞✐✈❡r❣❡♥❝❡✳ ❲❡ ♣r♦❝❡❡❞ ❛s ❢♦••♦✇s✿ t❤❡ ❡q✉❛•✐t② ✭✸✾✮ ✐♠♣•✐❡s t❤❛t ✭r❡♠❛r❦✿ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ t❡♥s♦r T AB α ✐s s②♠♠❡tr✐❝✮ ∂T AB α ∂X B -→ (β) = J -→ (β) ∂ ∂x b J -1 T AB α F b B -→ (β) ❚❤❡♥ ∂ ∂X A ∂T AB α ∂X B -→ (β) = J -→ (β) ∂ ∂x a   J -1   ∂T AB α ∂X B -→ (β) (F a A ) -→ (β)     = J -→ (β) ∂ ∂x a J -1 J -→ (β) ∂ ∂x b J -1 T AB α F b B -→ (β) (F a A ) -→ (β) = J -→ (β) ∂ ∂x a ∂ ∂x b J -1 T AB α F b B -→ (β) (F a A ) -→ (β) . ■♥ ❝♦♥❝•✉s✐♦♥ ✇❡ ❤❛✈❡✿ ∂ ∂X A ∂T AB α ∂X B -→ (β) = J -→ (β) ∂ ∂x a ∂ ∂x b J -1 T AB α F b B -→ (β) (F a A ) -→ (
✼✳✼ P✐♦•❛ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❢♦r ♥♦r♠❛•s ❋♦r ♥♦r♠❛•s ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ❢♦r♠✉•❛ ✭s❡❡ ❡✳❣✳ ❞❡••✬■s♦•❛ ❡t ❛•✳ ❬✺✶(✮ N -→ (β) α = J -1 F T N β (J -1 F T ) N β ✭✹✸✮ ✇❤✐•❡✱ ❢♦r t❤❡ ♣❛ss❛❣❡ ❢r♦♠ α t♦ β ❞♦♠❛✐♥✱ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❢♦r♠✉•❛ ❢♦r ❛r❡❛s ❤♦•❞s✿ J -1 F T N β -1 -→ (α) = JF -T N α = dA β dA α . ✭✹✹✮ ✼✳✽ ▼❛t❡r✐❛• ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ❋♦r t❤❡ ❢♦r♠✉•❛ ♦❢ ♠❛t❡r✐❛• ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ✇❡ st❛rt ❜② r❡♠❛r❦✐♥❣ t❤❛t T -→ (β) α -→ (α) = T α . ❚❤❡r❡❢♦r❡ ∂T α ∂t X =       ∂ T -→ (β) α -→ (α) ∂t X       =     ∂ T -→ (β) α • χ ∂t X     =     ∂ T -→ (β) α (χ(X, t) , t) ∂t X     =     ∂ T -→ (β) α (x, t) ∂t x • χ     + ∇ x T -→ (β) α (x, t) x • χ • ∂χ ∂t X . ❆s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡✱ ∂T α ∂t X -→ (β) =     ∂ T -→ (β) α (x, t) ∂t x     + ∇ x T -→ (β) α (x, t) x • ∂χ ∂t -→ (β) X . ✽ ❆♣♣❡♥❞✐① ❇✳ ❇❛s✐❝ ❦✐♥❡♠❛t✐❝ ❢♦r♠✉•❛s ■♥ t❤✐s s❡❝t✐♦♥ s♦♠❡ ✉s❡❢✉• ❦✐♥❡♠❛t✐❝ ❢♦r♠✉•❛s ❛r❡ ♣r♦✈❡♥ ✭❢♦r ❛ ❝♦♠♣•❡t❡ ♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤✐s s✉❜•❡❝t s❡❡ ❡✳❣✳ ❬✽✽(✮✳ ❚❤❡② ❛r❡ t❤❡ ❜❛s✐s ♦❢ t❤❡ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ♦♥ ✇❤✐❝❤ ❍❛♠✐•t♦♥✲P✐♦•❛ ♣♦st✉•❛t✐♦♥ ✐s ❢♦✉♥❞❡❞✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ ❜❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❡② ❝❡♥tr❛• r♦•❡✱ t❤❡② ❝❛♥♥♦t ❜❡ ❛✈♦✐❞❡❞ ✐♥ ❛♥② ❝❛s❡✿ t❤❡✐r ✉s❡ ❝❛♥ ❜❡ ♦♥•② ♣♦st♣♦♥❡❞ t♦ s✉❜s❡q✉❡♥t st❡♣s✱ ✇❤❡♥ ❞✐✛❡r❡♥t ♣♦st✉•❛t✐♦♥s ❛r❡ ❛tt❡♠♣t❡❞ ❛♥❞ ✐♥❞❡❡❞ ❦✐♥❡♠❛t✐❝ ❢♦r♠✉•❛s ♦❢ t❤✐s t②♣❡ ❛r❡ ♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ ❛♥② t❡①t❜♦♦❦ ♦❢ ❝♦♥t✐♥✉✉♠ ♠❡❝❤❛♥✐❝s✳ ❋r♦♠ ♥♦✇ ♦♥✱ t❤❡ α ❞♦♠❛✐♥ ✇✐•• ❝♦✐♥❝✐❞❡ ✇✐t❤ t❤❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ s❡t ♦❢ ❝♦♦r❞✐♥❛t❡s ✇❤✐•❡ β ❞♦♠❛✐♥ ✇✐•• ❝♦✐♥❝✐❞❡ ✇✐t❤ t❤❡ ❊✉•❡r✐❛♥ ❞♦♠❛✐♥ ❛♥❞ t❤❡ ♥♦t❛t✐♦♥ (•) -→ (B) ❛♥❞ (•) -→ (E) ✇✐•• ❜❡ ❝♦♥s✐st❡♥t•② ✉s❡❞✳ ❚❤❡② ✇✐•• ❜❡ ♦♠✐tt❡❞ ♦❝❝❛s✐♦♥❛••② ❢♦r t❤❡ s❛❦❡ ♦❢ r❡❛❞❛❜✐•✐t②✳ ✽✳✶ ❋♦r♠✉•❛s ♦♥ ❊✉•❡r✐❛♥ ♠❛ss ❞❡♥s✐t② ❛♥❞ ✐ts ❣r❛❞✐❡♥ts ▼❛ss ❞❡♥s✐t② ❛♥❞ ✐ts ❣r❛❞✐❡♥ts ♣•❛② ❛ ♣✐✈♦t❛• r♦•❡ ✐♥ t❤❡ str❛✐♥ ❡♥❡r❣② ♦❢ ✢✉✐❞s✳ ❍❡r❡ ✇❡ ❣❛t❤❡r s♦♠❡ ✉s❡❢✉• ❢♦r♠✉•❛s r❡•❛t✐♥❣ t❤❡♠ t♦ C✱ F ❛♥❞ ∇F ✭✇❡ ✇✐•• ♦♠✐t t❤❡ ♥❡❡❞❡❞ (•) -→ (B) , (•) -→ (E) ) ❢♦r t❤❡ s❛❦❡ ♦❢ ❦✐♥❣ r❡❛❞❛❜✐•✐t②✮✳ ✽✳✶✳✶ ❚❤❡ ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ♦❢ t❤❡ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥t ❛ ♠
∂J ∂F i M = J F -T i M = ρ 0 ρ F -T i M , ∂ρ ∂F i M = -ρ F -1 M i , ✭✹✺✮ ∂ F -1 N j ∂F i M = -F -1 N i F -1 M j .
✭✹✻✮ ✽✳✶✳✸ P❛rt✐❛• ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ♦❢ ♠❛ss ❞❡♥s✐t② ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ C ❚♦ ♣r♦✈❡ t❤❡ ✐❞❡♥t✐t②

∂ρ ∂C M N = - ρ 2 F -1 M a F -1 N a , ✭✹✼✮ ✇❡ ♣r♦❝❡❡❞ ✐♥ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ✇❛②✿ ∂ρ ∂C M N = ρ 0 ∂ (det C) -1 2 ∂C M N = ρ 0 ∂ (det C) -1 2 ∂ det C ∂ det C ∂C M N = - ρ 0 2 (det C) -3 2 ∂ det C ∂C M N . ■♥ ❝♦♥❝•✉s✐♦♥ ✇❡ ❤❛✈❡ ∂ρ ∂C M N = - ρ 0 2 (det C) -1 2 C -1 M N = - ρ 2 F -1 M a F -1 LN a . ✽✳✶✳✹ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ❛♥❞ ❊✉•❡r✐❛♥ ❣r❛❞✐❡♥ts ♦❢ F -1 ❙t❛rt✐♥❣ ❢r♦♠ F -1 M a F a N = δ M N ,
❛❢t❡r ❞✐✛❡r❡♥t✐❛t✐♦♥ ✇❡ ♦❜t❛✐♥✿

F -1 M a F a N,O + F a N F -1 M a,O = 0, ✇❤✐❝❤ ♣r♦❞✉❝❡s t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ❝❤❛✐♥ ♦❢ ❡q✉❛•✐t✐❡s✿ F a N F -1 M a,O = -F -1 M a F a N,O F -1 M i,O = -F -1 A i F -1 M a F a A,O ✭✹✽✮ ❚❤❡ •❛st ❡q✉❛•✐t② ❝❛♥ ❜❡ t❤❡♥ ♠✉•t✐♣•✐❡❞ ❜② F -1 t♦ ❣❡t t❤❡ ❊✉•❡r✐❛♥ ❣r❛❞✐❡♥t F -1 M i,j = -F -1 A j F -1 B i F -1 M a F a B,A .
■t ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❢✉• t♦ ♦❜s❡r✈❡ t❤❛t✿

-ρ F -1 M i ,j = -ρ ,j F -1 M i -ρ F -1 M i,j = -ρ ,j F -1 M i + ρ F -1 A j F -1 B i F -1 M a F a
ρ ,i = ρ 0 det F -1 ,i = ρ 0 ∂ det F -1 ∂ (F -1 ) A a ∂ F -1 A a ∂x i = ρ 0 det F -1 F a A F -1 A a,i , ❛♥❞ ✜♥❛••② ρ -→ (B) ,i = ρF b A F -1 A b,B F -1 B i . ❚♦ s✉♠♠❛r✐③❡✱ ❢r♦♠ ❛•• t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❡①♣r❡ss✐♦♥s ✇❡ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ✉s❡❢✉• ❢♦r♠✉•❛s ✿ ρ ,i ρ = -F -1 A a F -1 B i F a A,B = -F -1 A a F a A,i ✭✺✶✮ ρ ,i = ρF a A F -1 B i F -1 A a,B = ρF a A F -1 A a,i F a A F -1 A a,M = ρ ,i ρ F i M F -1 M j,A F -1 A i = F -1 M j ρ ,i ρ .
∂ρ ,i ∂F j M = ∂ ∂F j M -ρ F -1 A a F -1 B i F a A,B . ❆s ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t   ∂ρ ∂F i M F -1 N j F -1 O k + ρ F -1 O k ∂ F -1 N j ∂F i M + ρ F -1 N j ∂ F -1 O k ∂F i M   = -ρ F -1 M i F -1 N j F -1 O k -ρ F -1 N i F -1 M j F -1 O k -ρ F -1 N j F -1 O i F -1 M k , ✇❤❡r❡ ✇❡ ✉s❡❞ t❤❡ ❡q✉❛•✐t✐❡s ✭✹✺✮ ❛♥❞ ✭✹✻✮✱ ✇❡ ❝❛♥ t❤❡♥ ❝♦♥❝•✉❞❡ ∂ρ, i ∂F j M = ρ F -1 M j F -1 A i F -1 B a F a B,A + F -1 C j F -1 M i F -1 D b F b D,C + F -1 E i F -1 F j F -1 M c F c F,E , ❜② ✉s✐♥❣ ✭✺✶✮ ✇❡ ❣❡t ∂ρ, i ∂F j M = -ρ ,i F -1 M j -ρ ,j F -1 M i + ρ F -1 A i F -1 B lj F -1 M a F a B,A . ❋✐♥❛••② ❜② s✉❜st✐t✉t✐♥❣ ✭✹✾✮ ✇❡ ❝❛♥ ❝♦♥❝•✉❞❡✿ ∂ρ, i ∂F j M = -ρ ,j F -1 M i -ρ F -1 M j ,i
∂F i P = -F -1 M i F -1 P a F -1 a N -F -1 N i F -1 bP F -1 bM . ✽✳✷✳✹ ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ∂C -1 M N,O ∂F i P ∂C -1 M N,O ∂F i P = F -1 M a,O ∂ F -1 a N ∂F i P + ∂ F -1 M b ∂F i P F -1 b N,O = -F -1 N i F -1 aP F -1 M a,O + F -1 M i F -1 aP F -1 aN,O = -F -1 aP F -1 N i F -1 M a,O + F -1 M i F -1 aN,O . ✽✳✷✳✺ ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ∂C M N,O ∂F i P,Q ❚❤❡ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ✐s str❛✐❣❤t❢♦r✇❛r❞ ∂C M N,O ∂F i P,Q = ∂ ∂F i P,Q F a M,O F N a + F b N,O F M b = δ a i δ P M δ Q O F N a + δ b i δ P N δ Q O F M b = δ P M δ Q O F N i + δ P N δ Q O F M i . ✽✳✷✳✻ ❈♦♠♣✉t❛t✐♦♥ ♦❢ ∂C -1 M N,O ∂F i P,Q ❲❡ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ♣❛rt✐❛• ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ❛s t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ♣r♦❞✉❝t✿ ∂C -1 M N,O ∂F i P,Q = ∂C -1 M N,O ∂ (F -1 ) a A,B ∂ F -1 a A,B ∂F i P,Q
.

❚❤❡ ✜rst t❡r♠ ✐s ❞✐r❡❝t•② ♣r♦❝❡❡❞✿

∂C -1 M N,O ∂ (F -1 ) i P,Q = ∂ ∂ (F -1 ) i P,Q g ab F -1 a N F -1 b M,O + F -1 M c F -1 c N,O = g ab δ b i δ P M δ O Q F -1 a N + δ c i δ P N δ O Q F -1 M c F -1 c N,L = δ O Q δ P M F -1 iN + δ P N F -1 M i .
❉❡r✐✈✐♥❣ ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✹✽✮ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦

F i P,Q ✇❡ ♦❜t❛✐♥ ∂ F -1 M i,N ∂F j P,Q = -F -1 M j F -1 P i δ Q N ,
❈♦♠❜✐♥✐♥❣ t❤❡ r❡s✉•ts ❛♥❞ ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣ t❤❛t δ j i = P j i + Q j i , P a i P j a = P j i , Q a i Q j a = Q j i , P a i Q j a = 0.

F -1 i M,N = g ia g M A F -1 A a,N , ✇❡ ✜♥❛••② ❤❛✈❡ ∂C -1 M N,O ∂F i P,Q = -δ O A δ B M F -1 aN + δ B N F -1 M a F -1 Bi F -1 aP δ A Q = -δ O Q F -1 M i F -1 aP F -1 aN + F -1 N i F -1 bP F -1 M b .

  ✉s t❤❡♦r② ✐s ❢♦r♠❡❞ ✇❤✐❝❤ ✐s s♦ ✇❡•• ❣r♦✉♥❞❡❞ t❤❛t ✐t ❝❛♥ ✐♥❢✉s❡ ✈✐❣♦r ❢♦r ❢✉rt❤❡r ♣r♦❣r❡ss❡s✳✑❲❡ ❝♦♥❝•✉❞❡ ♦✉r ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❜② ❝✐t✐♥❣ ❛ ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛• ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ♦❢ P✐♦•❛ ❬✶✷✶(✱ ♣❛❣❡ ✺✱ ✇❤✐❝❤ ✐s s✉✐t❛❜•❡ t♦ ❜❡ ✐♥❝•✉❞❡❞ ❛•s♦ ✐♥ t❤❡ ♣r❡s❡♥t ♦♥❡ ✸ ✱ ✇❤❡♥ ❞❡❝♦♥t❡①t✉❛•✐③✐♥❣ t❤❡ r❡❢❡r❡♥❝❡s t♦ ♣r❡✈✐♦✉s ✇♦r❦s ❛♥❞ r❡♣•❛❝✐♥❣ t❤❡ ✇♦r❞ ✢✉✐❞s ❜② ❝❛♣✐••❛r② ✢✉✐❞s ✿ ✏❲❤✐•❡ ✇✐t❤ t❤❡ ♣r❡s❡♥t ♠❡♠♦✐r ■ ✇✐•• ❛✐♠ ❛❣❛✐♥ t♦ t❤❡ ❣♦❛• ♥♦✇ ❞❡✈✐s❡❞ ✹ ■ ✇✐•• ♠❛♥❛❣❡ t♦ r❡❛❝❤ ❛•s♦ ♦t❤❡r ♦♥❡s✳ ❬■♥❞❡❡❞( ✐t ✐s r✐❣♦r♦✉s•② ♣r♦✈❡❞ ✐♥ ♠❛♥② ♣•❛❝❡s t❤❛t t❤❡ ❣❡♥❡r❛• ❡q✉❛t✐♦♥ ♦❢ ♠❡❝❤❛♥✐❝s✱ ✇r✐tt❡♥ ✇✐t❤ t❤❡ ♥♦t❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❝❛•❝✉•✉s ♦❢ ✈❛r✐❛t✐♦♥s✱ ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❛ ✇❤❛ts♦❡✈❡r ❞✐s❝r❡t❡ s②st❡♠ ♦❢ ❜♦❞✐❡s r❡❣❛r❞❡❞ ❛s ♣♦✐♥ts ✐♥ ✇❤✐❝❤ ❞✐✛❡r❡♥t ❝♦♥❝❡♥tr❛t❡❞ ♠❛ss❡s ❛r❡ s✉❜•❡❝t❡❞ t♦ ❡①t❡r♥❛• ❛❝t✐✈❡ ❢♦r❝❡s ❛♥❞ t♦ ✐♥t❡r♥❛• ❛❝t✐✈❡ ❛♥❞ ♣❛ss✐✈❡ ❢♦r❝❡s✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t♦ st❛rt ❢r♦♠ t❤✐s •❛st ❡q✉❛t✐♦♥ ❬✐✳❡✳ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ❢♦r ❛ ❞✐s❝r❡t❡ s②st❡♠ ♦❢ ♣♦✐♥ts( ❛♥❞ t♦ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ❢♦r♠✉•❛s ❢♦r t❤❡ ❡q✉✐•✐❜r✐✉♠ ❛♥❞ ♠♦t✐♦♥ ♦❢ ❜♦❞✐❡s ✇✐t❤ t❤r❡❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥❛•❡①t❡♥s✐♦♥s ❬✐✳❡✳ ❞❡❢♦r♠❛❜•❡ ❜♦❞✐❡s(✱ ✐t ✐♥❞❡❡❞ ✐s ❛ st❡♣ ✈❡r② ❞✐✣❝✉•t ❢♦r t❤♦s❡ ✇❤♦ ❛r❡ ✇✐

  s✐sts ✐♥ ❞❡♠♦♥str❛t✐♥❣ ❛♥❡✇ ✭❈❛♣♦ ❱✮✱ ❜② ❛❞♦♣t✐♥❣ t❤❡ ✐❞❡❛s ❜❡tt❡r ❢♦✉♥❞❡❞ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ♣r♦✈✐❞❡❞ ❜② ♠♦❞❡r♥ P❤②s✐❝s ❛❜♦✉t ✢✉✐❞s✱ t❤❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛• ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡✐r ♠♦t✐♦♥s✳ ■♥s♦❢❛r ❛s ■ tr❡❛t❡❞ ❛t •❡♥❣t❤ ✐♥ ♦t❤❡r ♠② ✇♦r❦s t❤❡ ♣r♦❜•❡♠s ♦❢ ❤②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s ✭❙❡❡ t❤❡ ✜rst t✇♦ ✈♦•✉♠❡s ♦❢ ▼❡♠♦✐rs ♦❢ ■✳ |✳ ■st✐t✉t♦ ▲♦♠❜❛r❞♦✮ ✐t ✇❛s ♦❜•❡❝t❡❞ t❤❛t ♠② ❞❡❞✉❝t✐♦♥ ❝♦✉•❞ ❜❡ ❞❡❢❡❝t✐✈❡✱ ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣ ✇❤❛t ✇❛s st❛t❡❞ ❜② P♦✐ss♦♥ ❛❜♦✉t t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ♦r❞✐♥❛r② ❍②❞r♦❞②♥❛♠✐❝s✳ ◆♦✇ ■ ❜❡•✐❡✈❡❞ t♦ ❜❡ ❛❜•❡ t♦ ♣r♦✈❡ t❤❛t t❤❡ ❝♦♥s✐❞❡r❛t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ ❋r❡♥❝❤ •❡♦♠❡t❡r ✐♥ t❤✐s ❝✐r❝✉♠st❛♥❝❡ ✇❡r❡ ♣✉s❤❡❞ t♦♦ ❢❛r ❛❤❡❛❞✱ ❛♥❞ t❤❛t

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  ♦t✇✐t❤st❛♥❞✐♥❣ ❤✐s ♦❜•❡❝t✐♦♥s t❤❡ ❢✉♥❞❛♠❡♥t❛• t❤❡♦r② ♦❢ t❤❡ ♠♦t✐♦♥s ♦❢ ✢✉✐❞s ✐s ✇❡•• ❣r♦✉♥❞❡❞ ❛s ❡st❛❜•✐s❤❡❞ ❜② ❉✬❆•❡♠❜❡rt ❛♥❞ ❊✉•❡r✱ ❛♥❞ ❡①❛❝t•② ❛s ✐t ✇❛s r❡♣r♦❞✉❝❡❞ ❜② ❋♦✉r✐❡r ❤✐♠s❡•❢ ✇✐t❤ t❤❡ ❛❞❞✐t✐♦♥ ♦❢ ❛♥♦t❤❡r ❡q✉❛t✐♦♥ ❞❡❞✉❝❡❞ ❢r♦♠ t❤❡ t❤❡♦r② ♦❢ ❤❡❛t✱ ❬❡q✉❛t✐♦♥( t♦ ✇❤✐❝❤✱ ❤♦✇❡✈❡r✱ ✐t ✐s ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r② t♦ r❡❢❡r ✐♥ t❤❡ ♠♦st ♦❜✈✐♦✉s q✉❡st✐♦♥s ❝♦♥❝❡r♥✐♥❣ t❤❡ s❝✐❡♥❝❡ ♦❢ •✐q✉✐❞s✳ ❋♦r ✇❤❛t ❝♦♥❝❡r♥s t❤❡ ♠♦t✐♦♥ ♦❢ ✢✉✐❞s✱ t❤❡ ♣r❡s❡♥t ▼❡♠♦✐r ✐s ✐♥t❡♥❞❡❞ t♦ s✉♣♣♦rt ❛♥❞ ❝♦♠♣•❡♠❡♥t t❤❡ ❛❢♦r❡♠❡♥t✐♦♥❡❞ ♦♥❡s✳✑ ❲❡ ❤❛✈❡ ❣❛t❤❡r❡❞ ✐♥ t❤❡ ❆♣♣❡♥❞✐① ❇ ✈❛r✐♦✉s ❦✐♥❡♠❛t✐❝ ❢♦r♠✉•❛s✱ ✇❤✐❝❤ ✐♥ ♦✉r ♦♣✐♥✐♦♥ ✇✐•• ❜❡ ✉s❡❢✉• ✐♥ ❢✉rt❤❡r ❞❡✈❡•♦♣♠❡♥ts ♦❢ ❛♥❛•②t✐❝❛• ❝♦♥t✐♥✉✉♠ ♠❡❝❤❛♥✐❝s✳ ❚❤❡ r❡❛❞❡r s❤♦✉•❞ ❛•s♦ ❡①♣•✐❝✐t•② ♥♦t❡ t❤❛t ❛•r❡❛❞② P✐♦•❛ ❤❛s st❛t❡❞ t❤❛t t❤❡ ❤❡❛t ❡q✉❛t✐♦♥ ✭✐✳❡✳ t❤❡r♠♦❞②♥❛♠✐❝s✮ ❞♦❡s ♥♦t ♥❡❡❞ t♦ ❜❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ✇❤❡♥ ♣✉r❡•② ♠❡❝❤❛♥✐❝❛• ♣❤❡♥♦♠❡♥❛ ❛r❡ ✐♥✈♦•✈❡❞✳ ✶✳✷ ❚❤❡ ♠❡❛♥✐♥❣s ❣✐✈❡♥ t♦ t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥s✿ s❡❝♦♥❞ ❣r❛❞✐❡♥t ❝♦♥t✐♥✉❛ ❛♥❞ ❝❛♣✐••❛r② ✢✉✐❞s ❆s ❞♦♥❡ ✐♥ •❡r♠❛✐♥ ❬✻✾( ✇❡ ✇✐•• ❝❛•• s❡❝♦♥❞ ❣r❛❞✐❡♥t ❝♦♥t✐♥✉❛ t❤♦s❡ ♠❡❞✐❛ ✇❤♦s❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✈♦•✉♠❡tr✐❝ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ❡♥❡r❣② ❞❡♣❡♥❞s ❜♦t❤ ♦♥ t❤❡ ✜rst ❛♥❞ s❡❝♦♥❞ ❣r❛❞✐❡♥ts ♦❢ t❤❡ ♣•❛❝❡♠❡♥t ✜❡•❞✳ ❲❤❡♥ ✉s✐♥❣ t❤❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❝❛♣✐••❛r② ✢✉✐❞s ✇❡ ✇✐•• r❡❢❡r t♦ t❤♦s❡ ❝♦♥t✐♥✉❛ ✇❤♦s❡ ❊✉•❡r✐❛♥ ✈♦•✉♠❡tr✐❝ ❞❡❢♦r♠❛t✐♦♥ ❡♥❡r❣② ❞❡♥s✐t② ❞❡♣❡♥❞s ❜♦t❤ ♦♥ t❤❡✐r ❊✉•❡r✐❛♥ ♠❛ss ❞❡♥s✐t② ρ ❛♥❞ ✐ts ❣r❛❞✐❡♥t ∇ρ✳ ❖❢ ❝♦✉rs❡ t❤❡ ❛❢♦r❡♠❡♥t✐♦♥❡❞ ❝♦♥st✐t✉t✐✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ♠✉st ❜❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ t❤❡ ♦❜s❡r✈❡r ✭t❤✐s r❡q✉✐r❡♠❡♥t ✇❛s ❛•r❡❛❞② ❞❡♠❛♥❞❡❞✱ ✉s✐♥❣ t❤❡ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛• ♠❡t❤♦❞s ❛✈❛✐•❛❜•❡ t♦ ❤✐♠✱ ❜② P✐♦•❛ ❬✶✶✾(✮✳ ❲❡ ♣r❡❢❡r t♦ ❛✈♦✐❞ ♥❛♠✐♥❣ t❤❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❝•❛ss ♦❢ ✢✉✐❞s ❛❢t❡r ❈❛❤♥ ❛♥❞ ❍✐••✐❛r❞ ♦r ❑♦rt❡✇❡❣ ❛♥❞ ❞❡ ❱r✐❡s✱ ❛s ❞♦♥❡ s♦♠❡t✐♠❡s ✐♥ t❤❡ •✐t❡r❛t✉r❡ ✭❙❡❡ ❡✳❣✳ ❙❡♣♣❡❝❤❡r ❬✶✹✷✱ ✶✹✺✱ ✶✹✻✱ ✶✹✼✱ ✶✹✽(✱ ❈❛s❛• ❛♥❞ •♦✉✐♥ ❬✷✻✱ ✷✼(✮✳ ❚❤✐s ❝❤♦✐❝❡ ✐s ❛✐♠❡❞ t♦ tr② t♦ r❡❞✉❝❡ ♣♦ss✐❜•❡ ❛♠❜✐❣✉✐t✐❡s✿ ❈❛❤♥ ❛♥❞ ❍✐••✐❛r❞✱ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡✱ ✐♥t❡♥❞❡❞ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ✇❤✐❝❤ ✇❡r❡ s✉❜s❡q✉❡♥t•② ♥❛♠❡❞ ❛❢t❡r t❤❡♠ t♦ ❜❡ ✈❛•✐❞ ❢♦r t❤❡ ❝♦♥❝❡♥tr❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ s♦•✉t❡ ✐♥ ♠♦t✐♦♥ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ❛ st❛t✐♦♥❛r② s♦•✈❡♥t✱ ❛♥❞ ❞❡❞✉❝❡❞ t❤❡♠ ✈✐❛ ♠♦•❡❝✉•❛r ❛r❣✉♠❡♥ts ✭♠♦❞✉•♦ s♦♠❡ t❤❡r♠♦❞②♥❛♠✐❝❛••② r❡•❡✈❛♥t t❡r♠s✱ s❡❡ ❈❛s❛• ❛♥❞ •♦✉✐♥ ❬✷✻(✮✳ ❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞ t❤❡ ❑♦rt❡✇❡❣✲❞❡ ❱r✐❡s ❡q✉❛t✐♦♥s ❬✽✵( ✇❡r❡ ♦r✐❣✐♥❛••② ❞❡❞✉❝❡❞ ❢♦r ❛ ❝♦♠♣•❡t❡•② ❞✐✛❡r❡♥t ❝•❛ss ♦❢ ♣❤❡♥♦♠❡♥❛✿✇❛✈❡s ♦♥ s❤❛••♦✇ ✇❛t❡r s✉r❢❛❝❡s✳ ▲❛t❡r ✐t ✇❛s ❞✐s❝♦✈❡r❡❞ t❤❛t t❤❡② ❝❛♥ ❛•s♦ ❜❡ ❞❡❞✉❝❡❞ ❢r♦♠ ❛♥ ❛t♦♠✐st✐❝ ❛r❣✉♠❡♥t✱ s✐♥❝❡ t❤❡ s♦✲❝❛••❡❞ ❋❡r♠✐✲P❛st❛✲❯•❛♠ ❬✻✸( ❞✐s❝r❡t❡ s②st❡♠ ❤❛s ❑♦rt❡✇❡❣✲❉❡ ❱r✐❡s ❡q✉❛t✐♦♥s ❛s ✐ts

  ✭✶✮ ❖❜s❡r✈❡ t❤❛t t❤❡ ❡q✉❛•✐t② ❝♦♥❝❡r♥s ❊✉•❡r✐❛♥ ✈❡❝t♦rs✱ ❜✉t t❤❡ ✜❡•❞s ❛r❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥ ✈❛r✐❛❜•❡s❀ t❤❡r❡❢♦r❡ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛• ♦♣❡r❛t♦rs ❛r❡ ▲❛❣r❛♥❣✐❛♥✳ ▲❡t ✉s ♥♦✇ ♦❜s❡r✈❡ t❤❛t ❛s✿

  r❦ ✇❛s s✉♣♣♦rt❡❞ ❜② t❤❡ ■♥t❡r♥❛t✐♦♥❛• |❡s❡❛r❝❤ ❈❡♥t❡r ▼✫▼♦❈❙✳ ❱✳❆✳❊✳ ✇❛s s✉♣♣♦rt❡❞ ❜② t❤❡ |❋❇| ❬❣r❛♥t ♥✉♠❜❡r ✶✷✲✵✶✲ ✵✵✵✸✽(✳ ❆✳▼✳ ✇❛s s✉♣♣♦rt❡❞ ❜② t❤❡ ♣r♦•❡❝t ❇◗| ✷✵✶✸ ✏ ▼❛tï➽÷r✐❛✉① ▼ï➽÷s♦ ❡t ▼✐❝r♦✲❍ï➽÷tï➽÷r♦❣ï➽÷♥❡s✿ ❖♣t✐♠✐s❛t✐♦♥ ♣❛r ▼♦❞ï➽÷•❡s

  ❛tr✐① ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t ✐ts ❡♥tr✐❡s❲❡ st❛rt ❜② r❡❝❛••✐♥❣ t❤❡ ✇❡••✲❦♥♦✇♥ ❢♦r♠✉•❛ ∂ det(A) ∂A i M = det A A -T M i , ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ r❡❝♦✈❡r❡❞ ❜② ✉s✐♥❣ t❤❡ ▲❛♣•❛❝❡ r✉•❡ ❢♦r ❝❛•❝✉•❛t✐♥❣ t❤❡ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥t δ N M det A = A a M (A * ) N a , ✇❤❡r❡ (A * ) N i ✐s t❤❡ ❝♦❢❛❝t♦r ♦❢ t❤❡ ❡•❡♠❡♥t A i N ✳ ❖❜s❡r✈✐♥❣ t❤❛t t❤❡ ❝♦❢❛❝t♦rs ♦❢ ❛•• ❡•❡♠❡♥ts ♦❢ t❤❡ M -th r♦✇ ❛r❡ ✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦❢ t❤❡ ❡♥tr② A i M ✱ t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ t❤❡ ✐♥✈❡rs✐♦♥ t❤❡♦r❡♠ ❢♦r ♠❛tr✐❝❡s✱ ♦♥❡ ❣❡ts ♦❢ ρ, J ❛♥❞ F -1 ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ F ❖♥❝❡ ♦♥❡ r❡❝❛••s t❤❛t ρ 0 det F = ρ, ❛♥❞ ❤❛✈✐♥❣ ❞❡✜♥❡❞ t❤❡ ❝♦❢❛❝t♦r ♦❢ F ❛s

  ♦♥ ♦❢ ❊✉•❡r✐❛♥ ❣r❛❞✐❡♥t ♦❢ ❞❡♥s✐t② ✐♥ t❡r♠s ♦❢ F ❛♥❞ ✐ts ❣r❛❞✐❡♥ts ❲❡ st❛rt ❢r♦♠ t❤❡ ❞❡✜♥✐♥❣ r❡•❛t✐♦♥s❤✐♣✿ ρ = ρ 0 det (F ) = ρ 0 det F -1 .✭✺✵✮ ❆s ✐t ✐s ♣♦ss✐❜•❡ t♦ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ρ 0 ✐s ❝♦♥st❛♥t✱ ✇❡ ❝❛•❝✉•❛t❡ t❤❡ ❣r❛❞✐❡♥t ♦❢ t❤❡ ❞❡♥s✐t② ❛s ❢♦••♦✇s

  ✽✳✶✳✻ ❈❛•❝✉•❛t✐♦♥ ♦❢ ♣❛rt✐❛• ❞❡r✐✈❛t✐✈❡ ♦❢ ❊✉•❡r✐❛♥ ❣r❛❞✐❡♥t ♦❢ ♠❛ss ❞❡♥s✐t② ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ F ❲❡ ♥❡❡❞ t♦ ❡st✐♠❛t❡ t❤❡ ❢♦••♦✇✐♥❣ ♣❛rt✐❛• ❞❡r✐✈❛t✐✈❡✿

=

  ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t F ❛♥❞ ∇F ❲❡ st❛rt ❢r♦♠ ❛ ❞✐r❡❝t ❡①♣r❡ss✐♦♥ ❢♦r (β) ab ρ ,a ρ ,i F -1 M b + ρ ,a ρ F -1 C, C -1 , ∇C ❛♥❞ ∇C -1 ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ F ❛♥❞ ∇F g ab δ b i δ P M F a N + F b M δ a i δ P N = δ P M F iN + F iM δ P N .

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