C Maalem

M Lairet

F Maza

M Bichat

R Zeller

Y N'guetta

Cottin

Dr Yves Cottin
email: yves.cottin@chu-dijon.fr

H.Y,H.D,B.M,C.L,M.M,F.B,M.Z,R. E G-R

Impact pronostique de l'HbA1c et de la glycémie plasmatique (Gp) à la

Keywords: Myocardial infraction, HbA1c, glycemic stress, in non-non diabetic, one-year mortality

de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d'enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Conclusion :

Dans notre travail, la Gp et l'HbA1c à l'admission, sont de puissants marqueurs prédictifs indépendants de la mortalité à un an chez les patients non diabétiques ayant présenté un IDM. Ces deux biomarqueurs pourraient permettre d'affiner la stratification du risque résiduel pour une optimisation de la prévention secondaire et une amélioration de la survie dans cette population.

Mots clés : Infarctus du myocarde, HbA1c, stress glycémique, non diabétique, mortalité à un an.

Introduction :

La prise en charge de l'infarctus du myocarde (IDM) a permis une réduction majeure de la mortalité durant ces dernières décennies (1). Par rapport aux patients non diabétiques, les patients diabétiques (connus et de novo) ont un pronostic défavorable, même en cas de reperfusion optimale incluant une intervention coronarienne percutanée primaire (ICP).

Les désordres métaboliques, principalement glycémiques, liés au diabète pourraient expliquer une partie de ce sur-risque. En effet, à l'admission d'un IDM les hyperglycémies sont fréquentes (2/3 des patients) et de deux types soit une hyperglycémie de stress ou chronique.

L'hyperglycémie de stress est définie par une élévation de la glycémie plasmatique (Gp) à la phase aiguë de l'IDM. Elle correspond à la réponse immuno-neuro-hormonale secondaire à l'agression ischémique. C'est un marqueur prédictif indépendant du pronostic à court terme que le patient soit diabétique ou non (2). L'impact du stress hyperglycémique sur le pronostic à long terme est cependant incertain. Ses mécanismes physiopathologiques sont multiples et associés au stress oxydatif, à l'inflammation, à l'apoptose, au dysfonctionnement endothélial, à l'hypercoagulation, à l'agrégation plaquettaire et possiblement à l'altération du préconditionnement ischémique. Ref ?

L'hyperglycémie chronique peut être évaluée par le dosage de l'Hémoglobine Glyquée Ces deux paramètres glycémiques sont susceptibles d'apporter des informations complémentaires, en lien avec des voies physiopathologiques en partie indépendantes.

Ainsi, l'intérêt de leur complémentarité peut être pertinent, compte tenu de l'importance du risque résiduel d'évènements CV, au-delà du traitement optimal post-IDM. Dans ce travail, nous posons l'hypothèse que chez les non diabétiques, la mesure conjointe de la Gp et de l'HbA1c à l'admission, pourrait permettre une amélioration de la stratification du risque CV résiduel. Notre objectif est donc de mesurer l'impact pronostique sur la mortalité après IDM de ces deux variables glycémiques, chez des patients non diabétiques issus d'une large base de données des IDM (RICO). Les critères d'exclusion étaient les suivants : patients décédés au cours de l'hospitalisation, patients diabétiques, patients perdus de vue au suivi à 1 an ou avec des variables d'intérêt non renseignées (fraction d'éjection du ventricule gauche (FEVG), HbA1c, Gp) (figure 1).

Matériel et Méthodes :

Définitions :

Un STEMI était défini selon les critères de la 4 ème définition universelle comme une douleur thoracique associée à une élévation de la

Données initiales :

Les caractéristiques des patients ont été recueillies à l'aide de cahiers d'observation du RICO comme décrits précédemment (4).

Les facteurs de risque CV recueillis étaient : l'âge, le sexe, l'hypertension, le diabète, l'obésité (indice de masse corporelle> 30 kg/m²), l'hypercholestérolémie traitée ou taux de cholestérol total >2,5g/L, le statut tabagique et les antécédents familiaux de coronaropathie (coronaropathie prématurée chez au moins un parent de premier degré de moins de 55 ans pour les hommes ou de moins de 65 ans pour les femmes).

Les antécédents CV comprenaient : coronaropathie, athérome carotidien et maladies artérielles périphériques.

RÉSULTATS :

Population

Résultats cliniques :

Les évènements sont reportés dans le tableau 2. Les patients avec Gp élevée (groupes 2 et 4) comparés aux patients avec Gp basse (groupes 1 et 3), présentaient une FEVG plus altérée (p<0,001), plus de STEMI (p<0,001) ou d'IDM de localisation antérieure (p<0,001).

Les patients du groupe 1 (HbA1c et Gp basses) avaient des niveaux de risque (score GRACE) plus faibles que ceux du groupe 2 (HbA1c basse et Gp haute) (respectivement 93 (73-120) vs 103 (80-128) ; p<0,001) ; cependant, aucune différence significative n'était retrouvée entre les groupes 3 et 4.

Résultats biologiques :

Les données biologiques sont présentées dans le tableau 3. Les patients des groupes 3 et 4 (HbA1c élevée) présentaient une valeur de CRP plus élevée comparativement au groupe 1 (HbA1c et Gp basses). En comparant les groupes 1 vs 2 puis 3 vs 4, la fonction rénale était significativement plus altérée chez les patients avec Gp élevée. Les groupes 2, 3 et 4 présentaient des taux de Nt-pro-BNP plus élevés que ceux du groupe 1 (HbA1c et Gp basses), sans différence dans la comparaison des trois groupes entre eux.

Le pic plasmatique de troponines Ic, reflétant la taille biologique de l'IDM, était plus élevé dans le groupe avec une Gp élevée pour les groupes 2 vs 1 (respectivement 40 (10-41) et 12

(3-41) ng/ml ; p<0,001) et 4 vs 3 (respectivement 40,0 (9,7-82,3) vs 11,3 (2,4-41,0) ng/ml ; p<0,001).

Évènements hospitaliers :

Les évènements hospitaliers sont présentés dans le tableau 4.

Dans les groupes avec Gp élevée, les troubles du rythme ventriculaires (TV/FV) étaient plus fréquents (groupe 1 vs 2 avec respectivement 5,4% vs 12,3% ; p<0,001 et groupe 3 vs 4 avec respectivement 4,4% vs 11,1% ; p<0,001) ainsi que la survenue d'une IC (groupe 1 vs 2, respectivement 16,7% vs 30.1% ; p<0,001 et groupe 3 vs 4, respectivement 24,7% vs 35% ; p<0,001) et d'IDM récurrent (groupes 1 vs 2 respectivement 4,6% vs 7,0% ; p=0,003).

Évènements à un an :

Les évènements à un an sont présentés dans le tableau 5 et la figure 3.

Comparativement aux patients du groupe 1 (HbA1c et Gp basses), ceux du groupe 2 (HbA1c basse/Gp élevée) présentaient significativement plus de décès toutes causes (respectivement 3,9% vs 7,0% ; p<0,001), de décès de cause CV (respectivement 2,3% vs 4,6% ; p<0,001) et plus de MACE (respectivement 15,7% vs 22,2% ; p<0,001). Dans le groupe 3 (HbA1c élevée/Gp basse) la survenue d'une insuffisance cardiaque était plus fréquente (respectivement 1.5% vs 3,6% ; p<0,001) Les patients des groupes 3 et 4 (HbA1c élevée)

présentaient plus souvent de décès toutes causes, de cause CV et de MACE (p<0,001).

Comparativement au groupe 3 (HbA1c élevée/Gp basse), les patients du groupe 4 (HbA1c/Gp élevées) présentaient deux fois plus de ré-hospitalisations pour IC (respectivement 1,7% vs 3,8% avec p<0,001), de décès toutes causes (7,9% vs 14,3% ; p<0,001), de décès de cause CV (6,1% vs 11,5%;p<0,001) et au final, souffraient davantage de MACE (20,5% vs 24,6% ; p<0,001).

Il n'y avait pas de différence entre les groupes concernant la survenue d'AVC.

Analyses multivariées :

Mortalité toutes causes à un an (Tableau 6) :

Les variables associées à la mortalité toutes causes étaient : l'âge (OR (IC à 95%)=1,087

(1,074-1,100

HbA1c à l'admission et IDM chez les non-diabétiques.

Notre travail met en évidence qu'une partie importante de la population (33%) présente une HbA1c intermédiaire entre 5,9 et 6,5%. Cette forte prévalence est en accord avec celle de la littérature, de 59,5% dans la série de Shin (HbA1c entre 5,7% et 6,5%) et de 24% dans la cohorte de Timmer (HbA1c entre 5,8 et 6,5%, à l'admission) (3, 10).

Concernant la valeur prédictive à 1 an, nos résultats sont en désaccord avec le travail de Shin

Hyperglycémie à l'admission et IDM chez les non-diabétiques.

En ce qui concerne la Gp, les données de la littérature sont convergentes à la phase aigüe mais peu nombreuses sur le pronostic à long terme.

A la phase aigüe, la méta-analyse de

Conclusion :

Nos données suggèrent que la Gp et l'HbA1c à l'admission d'un IDM chez les patients non-diabétiques sont des marqueurs associés à la mortalité à un an chez les survivants à la phase hospitalière. La présence d'au moins une de ces 2 anomalies biologiques est très fréquente (53% de notre population).

De plus, ces deux paramètres, ajoutés au score GRACE, seraient susceptibles de renforcer sa valeur pronostique, permettant ainsi de mieux stratifier le risque résiduel pour une optimisation de la prévention secondaire dans cette population. 1-Ibanez B, James S, Agewall S, Antunes MJ, Bucciarelli-Ducci C, Bueno H, et al. 2017

  Impact pronostique de l'HbA1c et de la Glycémie plasmatique à la phase aigüe d'un infarctus du myocarde sur la mortalité à un an chez des patients non diabétiques Prognostic value of HbA1c and Plasma glucose on one-year mortality in non-diabetic patients after myocardial infarction E Gueniat-Ratheau a , H Yao b , H Debeaumarche a , B Maalem a ,C Lairet a ,M Maza c , F Bichat c , M Zeller c , R N'Guetta b , Y Cottin a a Cardiology Department, CHU de Dijon, Dijon, France. b Cardiology Department, Institut de Cardiologie, 01 BP V 2062,Abidjan, Côte d'Ivoire. c Cardiology Department, CHU de Dijon, Dijon, France; Laboratory of Cardiometabolic Physiopathology and Pharmacology, INSERM U866, University of Burgundy, Dijon, France. intérêt pronostique à long terme du stress hyperglycémique et de l'HbA1c à la phase aigüe d'un infarctus du myocarde (IDM) chez les patients non diabétiques reste controversé. Matériels et Méthodes : Issus de la base de données de l'obseRvatoire des Infarctus de Côte-d'Or (RICO), tous les patients non diabétiques admis consécutivement aux soins intensifs cardiologiques de Côte-d'Or pour IDM, de 2001 à 2016, ont été inclus (n=6617). Le critère de jugement principal était la mortalité toutes causes à un an, chez les survivants à la phase hospitalière. Les seuils étaient déterminés par analyse des AUC des courbes ROC pour la prédiction de la mortalité toutes causes (HbA1c≥5.9% et Gp≥131mg/dL). Quatre groupes ont été définis : groupe 1 : HbA1C basse/Gp basse (n=3158), groupe 2 : HbA1C basse/Gp haute (n=1264), groupe 3 : HbA1C haute/Gp basse (n=1378) et groupe 4 : HbA1C haute/Gp haute (n=817). Résultats : Les patients avec une Gp≥131mg/dL présentaient plus souvent une FEVG<40% (p<0.001), un STEMI (p<0.001), un IDM antérieur (p<0,001), une altération du DFG<60ml/min/1,73m 2 (p<0.001) et un pic de troponine plus élevé (p<0.001). Ceux avec une HbA1c et une Gp élevées avaient un taux plus élevé de décès (p<0.001) et de MACE (p<0.001) à un an. En analyse multivariée, une Gp et une HbA1c élevées à l'admission étaient indépendamment associées à la mortalité toutes causes à un an (OR (IC à 95%)=1.641 (1.311-2.053), p<0.001) et OR (IC à 95%)=1.431 (1.153-1.776) p=0.001 respectivement).

(

  HbA1c) et constitue un outil diagnostic du diabète de type 2 après un événement cardiovasculaire (CV) lorsque sa valeur est ≥6,5%. Chez les non diabétiques, sa valeur pronostique est controversée. Timmer et al en 2011, a montré qu'une HbA1c>5,81%, était associée à une surmortalité à un an et à long terme, chez les non diabétiques ayant présenté un IDM avec élévation du ST (STEMI : ST-segment Elevation Myocardial Infarction) revascularisé par ICP (3).

:

  Au total, 15241 patients ont été inclus dans la base de données RICO, entre Mai 2001 et Décembre 2016. Parmi ces patients, 8357 patients présentaient des critères d'exclusion et 267 sont décédés lors de l'hospitalisation. Finalement, 6617 patients ont été inclus (figure 1). La période de suivi moyenne était de 353 ± 23 jours. Les caractéristiques générales des patients sont présentées dans le tableau 1. Concernant les facteurs de risque CV, les patients du groupe 4 (HbA1c et Gp élevées) étaient significativement plus âgés que ceux des trois autres groupes. Le pourcentage de femmes dans les groupes 2, 3 et 4 était plus élevé que dans le premier groupe et les patients des groupes 3 et 4 (HbA1c élevée) présentaient plus d'hypertension que ceux du groupe 1 et 2 (HbA1c basse). De plus, le pourcentage de patients présentant un IMC>30kg/m 2 était significativement plus élevé dans les groupes 3 et 4 (HbA1C élevée) que dans les groupes 1 et 2 (HbA1C basse).

  d'une angioplastie primaire (3). Sur cette cohorte de 4132 patients non-diabétiques, des taux élevés d'HbA1c et de Gp à l'admission sont associés à une sur-mortalité à long terme (3,3 ±1,5 ans) (p=0,001). Leur stratégie d'analyse est néanmoins différente de la nôtre avec la constitution initiale de 4 groupes selon des quartiles de Gp et d'HbA1C (Tableau 8), puis par la constitution de 4 groupes selon les quartiles de Gp associés à une HbA1c de seuil 5,55%.Nos résultats sont donc en accord avec les travaux de Timmer, en effet une association est mise en évidence chez les patients non-diabétiques entre les quartiles d'HbA1c et la mortalité à long terme. Même si ces auteurs retrouvent une augmentation de la mortalité pour les 2 quartiles les plus élevés de Gp, cette valeur pronostique ne persiste pas après ajustement. Dans le travail de Timmer, il faut souligner que, contrairement à notre étude, les patients décédés lors de la phase hospitalière n'étaient pas exclus. Par contre, une analyse a été réalisée chez les patients survivants à 30 jours, et l'analyse multivariée a identifié 8 paramètres indépendants associés à la mortalité toutes causes à long terme : 1/ l'âge ; 2/ le sexe masculin ; 3/ une FC à l'admission >100 bpm ; 4/ une PAS à l'admission <100 mm Hg ; 5/ un débit de filtration glomérulaire <60mL/min/1,73m 2 ; 7/ une absence de flux TIMI 3 après l'angioplastie ; et 8/ le quartile d'HbA1c le plus élevé. Ainsi, nombre de ces critères font partie du score GRACE mais aucune analyse spécifique n'a été réalisée et contrairement à nos résultats, la Gp perd toute sa significativité sur la mortalité après exclusion des patients décédés dans les 30 jours. Ces résultats discordants, pour la Gp, peuvent être expliqués en partie par la différence des seuils utilisés et par une population étudiée différente (STEMI vs STEMI et NSTEMI) traitée uniquement par angioplastie primaire dans l'étude de Timmer.Quelles hypothèses pour cette surmortalité chez les non-diabétiques ?Dans notre étude, plusieurs facteurs peuvent rendre compte du rôle pronostique péjoratif de ces deux marqueurs biologiques. En effet, l'augmentation des taux d'HbA1c est clairement associée à un profil CV plus sévère. Elle est le reflet de l'équilibre glycémique sur les 8 à 12 semaines précédentes et son déséquilibre est lié à toutes les complications du diabète tant au niveau micro/macrovasculaires que sur les organes cibles (21). Ainsi comme Timmer, notre cohorte retrouve un pourcentage de patients tri-tronculaires significativement plus élevé avec une atteinte coronaire plus diffuse (comme en témoigne le score SYNTAX), chez les patients avec HbA1c élevée (Tableau 2) (3). De plus, l'association entre inflammation et la gravité de la coronaropathie est bien établie sur le long terme. Comme dans le travail de Mourra, en 2015, notre étude met en évidence une augmentation significative de l'inflammation chez les patients avec HbA1c élevée, ceci pouvant expliquer en partie son impact pronostique, constituant ainsi une cible thérapeutique spécifique. Ainsi, chez les non-diabétiques, l'inhibition des IL-1β par le CANAKINUMAB réduit le niveau d'HbA1c sur les 9 premiers mois (mais pas sur le long terme) et diminue significativement les évènements CV majeurs sur une période de 4 ans, sans toutefois réduire l'incidence du nombre de nouveaux cas de diabète (11, 22). Dans notre étude, la taille de l'infarctus enzymatique était significativement plus importante et sa localisation antérieure plus fréquente dans les groupes avec Gp élevée, ce qui pourrait en partie expliquer l'augmentation de la mortalité à long terme. En effet, un état de stress aigu lors d'un IDM, peut induire, via un niveau élevé de catécholamines et de cortisol, y compris chez les non-diabétiques, une hyperglycémie, une intolérance au glucose et une résistance à l'insuline, facteurs caractérisant le stress hyperglycémique. Il s'agit d'une réponse adaptative préservée au cours de l'évolution qui favorise la survie et qui est dépendante de l'axe hypothalamo-hypophyso-surrénalien et du système sympathique surrénalien ; mais cette réponse adaptative peut induire des effets délétères en lien avec le stress oxydatif, l'inflammation, l'apoptose, le dysfonctionnement endothélial, l'hypercoagulation, l'agrégation plaquettaire, l'altération microcirculatoire et du préconditionnement ischémique (23-25). Limites de notre étude. Bien que la robustesse de notre étude réside dans sa conception en tant qu'étude prospective et multicentrique incluant une population d'étude importante de patients non diabétiques atteints d'IDM (STEMI et NSTEMI) ; notre travail présente cependant quelques limites. Premièrement, notre étude de grande envergure aurait pu l'être davantage sans le manque de données concernant l'HbA1C (N=4113) et la Gp (N=570). Deuxièmement, comme il s'agit d'une étude observationnelle, nous ne pouvons pas exclure les facteurs confondants. Troisièmement, bien que l'ensemble de la population ait complété un suivi d'un an, la période de suivi aurait pu être plus prolongée. Par conséquent, il sera nécessaire d'étudier la relation à encore plus long terme entre la Gp ou l'HbA1C et la mortalité dans une population de patients non-diabétiques. Quatrièmement, nous n'avons qu'une seule évaluation de ces marqueurs biologiques et nous n'avons pas réalisé de test de charge en glucose. Cinquièmement, il est concevable que certains sujets appartenant aux groupes 3 et 4 (HbA1c élevée), aient évolués vers un diabète manifeste au cours de la période de suivi, aggravant alors leur pronostic à long terme. Aucune donnée sur l'occurrence de ce diagnostic ni sur le début d'un traitement hypoglycémiant au cours du suivi, n'a été recueillie et l'ampleur de ce phénomène reste inconnue dans notre étude. Une autre limite pourrait être que, bien que la glycémie à l'admission soit sensible au stress aigu lors d'un IDM, de nombreux autres facteurs peuvent contribuer à la variabilité des taux de ces deux biomarqueurs. Le dosage d'HbA1c n'est, en effet, pas précis et fait l'objet de controverses dans diverses situations : anomalie de synthèse et de renouvellement des globules rouges (grossesse, hémorragie récente ou transfusion sanguine), anémie et variants de l'hémoglobine, patients prédisposés à la variabilité glycémique, certains groupes raciaux/éthniques et chez les adolescents (26). À notre connaissance, très peu d'études ont évalué l'impact d'un traitement du désordre hyperglycémique, chez les non-diabétiques ayant présentés un IDM. Dans l'essai INSUCOR, l'insulinothérapie intensive initiale était considérée sans danger et plus efficace qu'un traitement conventionnel, sur la base de seulement 28 patients, en comparant l'évolution biologique de la glycémie et des marqueurs inflammatoires (27). Les études DIGAMI 1 et DIGAMI 2, ne se sont intéressées qu'au pronostic des patients diabétiques ; de même pour l'étude ACCORD en 2010 et d'autres études se sont révélées décevantes (28-31). La prise en charge thérapeutique de cet état hyperglycémique à la phase aigüe d'un IDM n'est pas claire et trop peu étudiée dans cette population non-diabétique et nécessite encore des travaux complémentaires de forte puissance.

DTableau 3 :Tableau 4 :Tableau 5 :Tableau 6 :Figure 1 :Figure 2 :Figure 3 :Figure 4 :Figure 5 :

 345612345 Figure 1 : Flow Chart de l'étude Figure 2 : Courbes ROC HbA1c et GpFigure 3 : Mortalité toutes causes et CV à an, chez les patients survivants Figure 4 : Facteurs associés à la mortalité toutes causes à un an, en analyse de régression logistique multivariée Figure 5 : Facteurs associés à la mortalité de causes cardiovasculaire à un an, en analyse de régression logistique multivariée

  Mortalité non CV à un an Mortalité CV à un an * p<0.05 vs HbA1c basse, Gp basse $ p<0.05 vs HbA1c basse, Gp haute £ p<0.05 vs HbA1c haute, Gp basse Mortalité non CV : p=0.079 Mortalité CV : p<0.Évènements à un an de suivi (n(%)).

  Données cliniques : les PAS/PAD et la FC étaient mesurées à l'admission. L'insuffisance cardiaque était définie par une classe Killip≥2 et le délai d'admission correspondait au délai entre le début des symptômes et l'admission hospitalière.

	Les évènements hospitaliers étaient recueillis : tachycardie ventriculaire (TV), fibrillation Les patients étaient divisés en quatre groupes en fonction de leur profil biologique : Groupe
	ventriculaire (FV), insuffisance cardiaque (Killip≥2) et la survenue d'un ré-infarctus dans les 1 : Gp et HbA1c basses (N=3150) ; groupe 2 : HbA1c basse et Gp haute (N=1264) ; groupe 3 :
	28 jours. HbA1c haute et Gp basse (N=1378) et groupe 4 avec les deux paramètres élevés (N=817).
	Chaque patient avait donné son consentement écrit avant participation et ce travail était Des modèles de régression logistique étaient construits pour estimer les Odds Ratios (OR)
	conforme à la Déclaration d'Helsinki et approuvé par le comité d'éthique du CHU de Dijon. des décès toutes causes et CV à un an. Les variables statistiquement significatives en analyse
	Données du suivi : univariée avec un seuil de 5% étaient introduites dans les modèles multivariés. Les variables
	Le suivi à 1 an après l'IDM a été réalisé dans le cadre de l'observatoire RICO, par courriers testées en univariées étaient l'âge, le sexe, l'hypertension, le tabac, l'hérédité coronarienne,
	et/ou appels téléphoniques au patient, et/ou son proche, et/ou son médecin traitant. La l'hypercholéstérolémie, l'IMC >30kg/m², les antécédents coronariens, l'insuffisance rénale
	survenue d'un décès était vérifiée auprès de la commune de naissance. chronique, le DFG<60mL/min/1,73m 2 , la glycémie≥131mg/dL, l'HbA1c≥5,9%, la CRP>3mg/L,
	Les évènements cardiaques majeurs (Major Adverse Cardiac Events, MACE) étaient définis le NtProBNP, le STEMI, l'atteinte multi-tronculaire, l'insuffisance cardiaque à l'admission
	par la survenue d'une ré-hospitalisation pour insuffisance cardiaque, récidive d'IDM non (Killip≥2), la FEVG <40% et le score GRACE.
	fatal, ICP non programmée, pontage aorto-coronarien (PAC), angor instable, angine de
	Des échantillons de sang étaient prélevés à l'admission pour la mesure des variables poitrine ou pour un décès de cause CV.
	biologiques : créatininémie, NT-proBNP (N-terminal proBrain natriuretic peptide), Les décès de cause CV étaient définis par les décès consécutifs à un accident vasculaire
	paramètres lipidiques (Cholestérol total, Triglycéridémie, HDLc et le LDLc évalués selon la cérébral (AVC), un IDM, un PAC, un angor instable ou une ICP programmée.
	formule de Friedwald) et CRP. Le débit de filtration glomérulaire était calculé par la formule Critères de jugement :
	du CKD-EPI (Chronic Kidney Disease-EPIdemiology Collaboration formula) à partir de la Le critère de jugement principal était la mortalité toutes causes à un an, chez les survivants à
	créatininémie. Le pic de troponine (TnIc) était obtenu à partir de 3 échantillons de sang la phase hospitalière. Les critères de jugement secondaires étaient la mortalité de cause CV
	toutes les 8h après l'admission. à un an, chez les survivants à la phase hospitalière, le taux de MACE, les AVC et le score
	Le dosage de l'HbA1C était réalisé dans les 24h après l'admission par chromatographie GRACE.
	d'échange ionique sur l'appareil G8 (Tosoh). L'incertitude de mesure élargie était égale à Analyses statistiques :
	3,7% et 2,1% pour des valeurs de l'ordre de 6% et 9% respectivement. Le dosage de la Gp Les résultats étaient exprimés en médianes [IQR] pour les variables continues et en
	était réalisé à l'admission sur un automate Vista (Siemens) avec le réactif dédié (méthode pourcentages pour les variables dichotomisées. La normalité de la distribution des variables
	enzymatique à l'hexokinase). L'incertitude de mesure élargie était égale à 2,9% et 3,1% pour était testée par le test de Kolmogorov-Smirnov. Pour des données continues, nous avons
	des valeurs de 115.3 et 342,9 mg/dL respectivement. utilisé le test de Kruskall Wallis (4 groupes) ou le test de Mann Whitney (2 groupes). Les
	La fraction d'éjection ventriculaire gauche (FEVG) était mesurée dans les 24 heures après variables catégorielles étaient comparées par le test χ². Une valeur de p<0,05 était
	l'admission par un praticien expérimenté utilisant la méthode Simpson biplan. Un seuil de considérée comme statistiquement significative. Les seuils optimaux permettant d'obtenir la
	FEVG à 40% était choisi pour sa relevance clinique. meilleure sensibilité/spécificité étaient déterminés par analyse des AUC des courbes ROC
	Le score SYNTAX, qui caractérise la sévérité des lésions coronariennes (longueur, bifurcation, pour la prédiction de la mortalité toutes causes (seuils d'HbA1c : 5,9% et de Gp : 131 mg/dL.
	maladie étendue, calcifications, thrombus, occlusion totale), était également calculé. Les sensibilités et spécificités correspondantes étaient respectivement de 52% et 68% pour
	l'HbA1c et de 47% et 70% pour la Gp (figure 2).

La version 12.0.1 de SPSS (IBM Inc, USA) était utilisée pour tous les tests statistiques.

  Shin est issu de la cohorte nationale de Corée du Sud, dont les caractéristiques démographiques ne sont pas identiques à celles d'une population Européenne. Par contre, nos résultats sont en accord avec le travail de Moura qui, sur une population de 326 patients non-diabétiques ayant présenté un STEMI, a démontré qu'un taux score GRACE, sur un suivi 40,8 mois. Dans cette étude, il faut tout de même souligner que les auteurs ne disposent pas du niveau d'HbA1c et que la charge en glucose a permis d'identifier 229 diabétiques sur les 1056 patients étudiés (soit 22 % de leur population) et que ces derniers n'ont pas été exclus des analyses.

	d'HbA1c>5,8% est prédictif de MACE à un an, avec une sensibilité de 75% et une spécificité Un travail de la même équipe datant de 2016 met en évidence que 50 % des patients
	de 53% (11). présentant une charge en glucose pathologique à la phase aigüe d'un IDM ont une HbA1c >
	Le travail de Liu X-J, incluant 549 patients non diabétiques ayant présenté un SCA avec un 6,5% (16). Dans notre étude, les patients avec diabète nouvellement diagnostiqué
	suivi moyen de 42 mois (39-44 mois), a mis en évidence que le score GRACE et le niveau (2775/11128, soit 25%) ont été exclus.
	d'HbA1c sont des prédicteurs indépendants de MACE. Le seuil d'HbA1c associé à un sur-Ces résultats mettent en évidence des pistes de travail concernant : 1/ l'évolution des
	risque était similaire à celui de notre étude soit 5,9% (12). valeurs d'HbA1c entre l'admission et le 3 ème mois chez nos patients ; 2/ l'estimation du
	Enfin, la méta-analyse de Geng publiée en 2017, incluait 22428 patients coronariens, non-risque de développer un diabète à court, moyen ou long terme, en particulier chez les
	patients avec une HbA1c > 5.8% à l'admission d'un IDM ; 3/ l'évaluation de l'impact des
	à 95%)=1,57
	(0,99-2,48), p=0,053).
	Dans le cadre du post-IDM, notre travail souligne que les patients présentant une HbA1c
	intermédiaire comprise entre 5,9% et 6,5% représentent une population à très haut risque ;
	en conséquence une surveillance accrue du statut glycémique à distance semble
	indispensable chez ces patients à risque de développer un diabète. Un travail récent a
	d'ailleurs étudié l'intérêt d'un dépistage du diabète en post IDM chez 262 patients en
	réadaptation, avec comme seul critère d'inclusion, une HbA1c<6,5 % au 3 ème mois (14). Les
	patients ont bénéficié d'un test d'intolérance au glucose et les résultats montrent une
	normoglycémie chez 60% des patients, un diabète chez 13% des patients et une
	D, incluant 2470 STEMI, tous traités par angioplastie primaire (10). En effet à 12 mois, la hyperglycémie non-diabétique chez 27% des patients.
	mortalité toutes causes est comparable entre le groupe de patients avec HbA1c<5,7% et Un second travail récent, publié dans l'European Heart Journal en 2018 par S Chattopadhyay
	celui avec 5,8%≤HbA1c<6,5%, respectivement 4,5% versus 5,0% (p=0,574). Toutefois, même et al, a évalué rétrospectivement la valeur de la charge en glucose avant la sortie chez 1056

si les auteurs précisent que la mortalité hospitalière est comparable entre les deux groupes (2,7 versus 3,0% ; p=0,723), il faut souligner que le travail de Shin a étudié la mortalité cumulée (hospitalière et à 1 an). Nos discordances peuvent s'expliquer par le fait que le travail de diabétiques (stables et post-IDM) à partir de 22 cohortes ; avec un suivi moyen de 2,7 ans (13). Cette méta-analyse a mis en évidence qu'un niveau d'HbA1C ≥ 5,7% est associée à un taux plus élevé de décès et d'IDM à long terme avec respectivement OR (IC à 95%)=1,76

(1,44-2,16) ; p<0,001) et OR (IC à 95%)=1,69 (1,07-2,67) ; p=0,026). Toutefois, il faut remarquer que le travail de Geng n'a inclus que 5 cohortes de patients non-diabétiques post-IDM (soit 3364 patients). Dans cette population spécifique, un niveau d'HbA1C ≥ 5,7% est associé à un taux plus élevé de décès mais pas de récidive d'IDM (OR (IC patients ayant présenté un IDM (15). Les auteurs démontrent que la glycémie post-charge (à 2 heures), est un facteur prédictif indépendant de mortalité et de réinfarctus après ajustement au traitements hypoglycémiants après la phase hospitalière. À notre connaissance aucune étude randomisée n'est à ce jour disponible sur cette population au sein de laquelle les enjeux thérapeutiques et pronostiques s'avèrent majeurs.

admission et IDM chez les non-diabétiques.

  Notre travail est donc en accord avec les données de cette méta-analyse de Capes, avec 2081 patients non-diabétiques post-IDM, soit 31,5% de notre population présentant un seuil de Gp ≥131mg/dL à l'admission. De plus, cette méta-analyse met en évidence que la Gp élevée est associée à une augmentation significative du taux d'insuffisance cardiaque congestive et de choc cardiogénique.

	glycémie : 6,5%, 12,5% et 15,2%. À l'inverse, la survie à un an a diminué de 92,5 % à 88 %, 83 HbA1c≥5,1 % et Gp≥120mg/dL (n=117) avec un suivi moyen de 4,7 ans. La mortalité toutes
	% et 75 % (p < 0,001) (17). La méta-analyse de Zhao et al, publiée en 2015, qui a inclus des causes est respectivement de 7%, 8,8%, 8,4% et 15,7% pour les groupes 1 à 4. Pour le critère
	patients non-diabétiques présentant un STEMI, retrouve également un sur-risque de combiné de l'étude (infarctus non fatal ou décès toutes causes), l'analyse multivariée
	mortalité hospitalière et à 30 jours chez les patients pour une Gp comprise entre 110 et identifiait trois critères indépendants associés à un sur-risque de mortalité toutes causes à
	200mg/dL avec respectivement [RR (IC à 95%)=4,38 (3,23-5,94) ; p<0,001] et [RR (IC à long terme :1/ l'âge, 2/ le sexe masculin, et 3/ les patients du groupe 4 (HbA1c≥5,1% et
	95%)=1,14 (1,09-1,19) ; p<0,01]. Cependant, lors de l'analyse chez les survivants à la phase Gp≥120mg/dL). Les données de notre étude sont donc en accord avec celles de Naito ; il faut
	aigüe, aucune différence significative n'est retrouvée [RR (IC à 95%) =1,01 (0,93-1,11) ; p=ns] pourtant insister sur le fait que notre cohorte a inclus des STEMI et des NSTEMI et que nous
	(18). mettons en évidence, non pas l'impact de l'association des deux critères glycémiques, mais
	Notre travail est également en accord avec les données de Timmer, qui mettent en évidence leur valeur individuelle sur la mortalité toutes causes et de cause CV à un an, donc plus
	une surmortalité toutes causes à 3 ans, chez les survivants non diabétiques avec une Gp > précocement. Deux hypothèses permettent d'expliquer nos différences : d'une part, nous
	173mg/dL après un IDM, avec une mortalité de 8% (3). Il faut néanmoins souligner que dans possédons une plus large cohorte de patients mais surtout, les seuils identifiés grâce aux
	ce travail, 4 quartiles ont été réalisé selon la Gp à l'admission (avec des seuils très différents courbes ROC sont beaucoup plus élevés (aussi bien pour l'HbA1c que pour la Gp avec
	de notre étude) : <124 ; 125-146 ; 147-172 et ≥173mg/dL avec respectivement pour la respectivement : 5,1% vs 5,9% et 120 vs 131mg/dL).
	mortalité à 3 ans : 3.8% ; 2.3% ; 4.9% et 8.0% (p<0.001). Pourtant, même si la cohorte de
	Le travail de Naito R. publié en 2016, a inclus 452 patients non-diabétiques ayant présenté
	En 2006, une analyse des données de l'étude USIC 2000 sur l'impact pronostique de la un STEMI et traité par angioplastie primaire (20). L'analyse statistique est assez similaire à la
	glycémie d'admission après IDM a été réalisée (18). La mortalité hospitalière, comparée à nôtre avec la constitution de 4 groupes selon la médiane à l'admission pour l'HbA1c et la Gp
	celle des patients dont la glycémie à l'admission était inférieure à la valeur médiane de 6,88 : Groupe 1 : HbA1c<5,1% et Gp<120mg/dL (n=113) ; Groupe 2 : HbA1c≥5,1 % et
	mmol/l (3,7%), a augmenté progressivement avec chacun des trois sextiles supérieurs de la Gp<120mg/dL (n=114) ; Groupe 3 : HbA1c<5,1 % et Gp≥120mg/dL (n=108) ; Groupe 4 :

Capes publiée dans le Lancet en 2000 (2), a inclus 7 études chez les patients non diabétiques (soit 1856 patients). Dans cette étude, les auteurs ont mis en évidence une association entre une Gp élevée et une surmortalité hospitalière [RR (IC à 95%) =3,93 (2,86-5,39), p<0,001] ; le pourcentage d'hyperglycémie à l'admission était de 29%. Timmer présente un pourcentage plus important que dans notre étude de patients nondiabétiques avec une Gp > 147mg/dL (2024/4132 patients, soit 49%), ce paramètre biologique, en analyse multivariée, n'est plus associé à la mortalité à long terme (contrairement à nos résultats).

Notre étude est aussi en accord avec les résultats du travail de Timoteo publié en 2014, incluant 2099 patients diabétiques et non-diabétiques en post-IDM, sur l'intérêt pronostique de la Gp sur la mortalité toutes causes à un an (19). Cette étude démontre également la valeur incrémentale de la Gp à l'admission sur le score GRACE, en soulignant que dans ce modèle, la valeur de Gp prédictive de décès toutes causes à 1 an était > 160mg/dL. Ce seuil beaucoup plus élevé que dans notre étude est lié à l'inclusion d'une population diabétique et non-diabétique, avec respectivement 160mg/dL vs 131mg/dL).

HbA1c/Hyperglycémie à l'

La seconde étude est celle de Timmer, qui inclut uniquement des STEMI ayant bénéficié

  p<0.05 vs HbA1C basse, Gp basse ; $p<0.05 vs HbA1C basse, Gp haute ; £p<0.05 vs HbA1C haute, Gp basse Tableau 6 : Analyses de régression logistique multivariées, estimant la mortalité toutes causes à un an. Analyses de régression logistique multivariée estimant la mortalité de cause CV à un an.

	HbA1C basse, GP basse N=3158 15 (0.5%) 124 (3.9%) 74 (2.3%) 150 (4.7%) 46 (1.5%) Récidive IDM 59 (1.9%) AVC Décès toutes causes Décès CV PAC IC ICP non-programmée 155 (4.9%) Angor instable 33 (1.0%) Angine de poitrine 56 (1.8%) MACE* 495 (15.7%) Modèle 1 Variables OR (IC95%) Âge (par an) 1.088 (1.075-1.101) Femme vs Homme 0.811 (0.640-1.027) Hypertension vs non 1.200 (0.943-1.526) Tabac vs non/ex fumeurs 1.801 (1.294-2.507) Antécédents coronariens vs non 1.606 (1.237-2.085) IRC vs non 2.615 (1.789-3.822) Glycemie≥131mg/ dL 1.667 (1.333-2.084) HbA1c ≥5.9% X CRP >3 mg/L 2.079 (1.584-2.729) STEMI vs NSTEMI 0.848 Variables Femme vs Homme 0.900 HbA1C basse, GP haute N=1264 6 (0.5%) 88 (7.0%)* 58 (4.6%)* 68 (5.4%) 45 (3.6%)* 36 (2.8%) 75 (5.9%)/ 16 (1.3%) 27 (2.1%) 281 (22.2%)* 283 (20.5%)* HbA1C haute, GP basse N=1378 5 (0.4%) 109 (7.9%)* 84 (6.1%)* 70 (5.1%) 23 (1.7%)/$ 42 (3.0%) 72 (5.2%)// 13 (0.9%) 15 (1.1%) Modèle 2 p OR (IC95%) p <0.001 1.087 (1.074-1.100) <0.001 1.087 (1.074-HbA1c haute, Gp haute N=817 7 (0.9%) 117 (14.3%)*$£ 94 (11.5%)*$£ 35 (4.3%) 31 (3.8%)*/£ <0.001 p 0.460 <0.001 <0.001 0.673 19 (2.3%) 0.059 25 (3.1%)*$£ 0.029 3 (0.4%) 0.224 13 (1.6%) 0.193 201 (24.6%)*£ <0.001 Modèle 3 OR (IC95%) p 1.100) <0.00 1 0.082 0.806 (0.637-1.020) 0.073 0.802 (0.633-1.016) 0.068 0.138 1.184 (0.931-1.506) 0.169 1.189 (0.935-1.514) 0.159 <0.001 1.757 (1.263-2.443) 0.001 1.813 (1.302-2.523) <0.00 1 <0.001 1.533 (1.182-1.989) 0.001 1.577 (1.214-2.048) 0.001 <0.001 2.607 (1.784-3.808) <0.001 2.610 (1.784-3.820) <0.00 1 <0.001 X 1.641 (1.311-2.053) <0.00 1 1.460 (1.177-1.811) 0.001 1.431 (1.153-1.776) 0.001 <0.001 2.057 (1.567-2.700) <0.001 2.049 (1.560-2.691) <0.00 1 0.154 0.938 0.571 0.858 (0.683-0.187 Modèle 4 Modèle 5 Modèle 6 OR (IC95%) p OR (IC95%) p OR (IC95%) p (0.675-1.201) 0.475 0.894 (0.670-1.193) 0.448 0.890 (0.666-1.188) 0.42 9 Hypertension vs non 1.249 (0.923-1.692) 0.150 1.214 (0.896-1.644) 0.211 1.221 (0.901-1.657) 0.19 8 Tabac vs non/ex fumeurs 1.584 (1.050-2.388) 0.028 1.527 (1.013-2.303) 0.043 1.605 (1.063-2.422) 0.02 4 IRC vs non 1.257 (0.756-2.089) 0.378 1.181 (0.707-1.973) 0.525 1.229 (0.736-2.054) 0.43 0 Glycémie ≥131mg/dL 1.791 (1.361-2.358) <0.001 X 1.756 (1.332-2.315) <0.0 01 HbA1c ≥5.9% X 1.867 (1.419-2.457) <0.00 1 1.831 (1.390-2.411) <0.0 01 CRP >3 mg/L 1.472 (1.056-2.052) 0.023 1.437 (1.0230-2.005) 0.033 1.430 (1.025-1.997) 0.03 5 FEVG<40% 2.383 (1.775-3.199) <0.001 2.524 (1.883-3.385) <0.00 1 2.280 (1.693-3.071) <0.0 01 Score GRACE 1.039 (1.033-1.044) <0.001 1.038 (1.032-1.043) <0.00 1 1.038 (1.032-1.043) <0.0 01 Indice de qualité -2LL=1620.557; pHL=0.776; -2LL=1617.630; pHL=0.446; -2LL=1601.927; pHL=0.540; Tableau 7 : Seuil d'inclusion : 5% %class=95.5 %class=95.5 %class=95.4
		(0.676-		(0.751-		1.077)
		1.064)		1.171)
	FEVG<40%	2.543	<0.001 2.666	<0.001 2.475 (1.940-	<0.00
		(1.996-		(2.095-		3.157)	1
		3.240)		3.392)
	Indice de qualité -2LL=2437.970;	-2LL=2445.950;	-2LL=2427.475;
		pHL=0.518;		pHL=0.530;		pHL=0.241;
		%class=93.3		%class=93.5		%class=93.4
	Seuil d'inclusion : 5%

AVC : Accident Vasculaire Cérébral, CV : Cardiovasculaire, PAC : Pontage Aorto-Coronarien, IC : Insuffisance Cardiaque, IDM : Infarctus Du Myocarde, ICP : Intervention Coronarienne Percutanée, * Réhospitalisation pour IC, Récidive d'IDM, ICP non-programmée, PAC, Angor instable, Angine de poitrine ou Décès CV. *

Tableau 1 : Facteurs de risque et traitements chroniques ((n%), médiane (IQR) ou moyenne ± écart-type).

HbA1c basse, Gp basse N=3158


Eric Martinent
email: eric.martinent@univ-lyon3.fr

Ma'n Zawati
email: man.zawati@mcgill.ca

Le virage numérique comme vecteur d'égalité (territoriale) en santé (I) The digital shift as a

est destinée au dépôt

2 assujetties. Leurs choix et leurs décisions s'inscrivent dans un parcours de traitements normalisés. La rencontre initiale du « pacte de soin » où la médecine est une « réponse à un appel » connaît des filtres. L'autonomie relationnelle qui se tisse par un parcours de soin qui est toujours frappé du sceau de la singularité et de l'interdépendance s'en trouve heurtée.

Cette journée d'étude participe à des travaux relatifs à la « santé durable » qui ont pour esprit « l'idéalisme pratique » des droits de l'Homme au soin. Ils s'attachent au droit qu'à chaque et toute personne de jouir du meilleur état de santé physique et mentale possible. La santé y est appréciée comme un investissement vecteur de croissance et de développements économique, social, personnel et humain. Si cette dernière ne saurait être numérique, les technologies et les innovations numériques y concourent. Les pouvoirs publics en valorisent le déploiement et la généralisation. Un tel essor ne constitue toutefois pas une fin en soi pour le système de santé et dans la perspective de la santé durable. Le virage numérique s'est accéléré du fait de l'épidémie de Covid-19. Les offres des technologies de l'information et de dispositifs médicaux se sont fortement déployées dans et en urgence.

À la suite des dé confinements généralisés, les autorités publiques et privées dans leurs domaines de compétences, se sont dotées de plusieurs dispositifs numériques dont la légitimité et la légalité sont parfois discutées. Les villes dans leurs activités de police des épidémies ont mis en place des registres d'alerte et d'information des populations, des traitements de données associés aux opérations de distribution de masques, l'utilisation des caméras dites « intelligentes » et des caméras thermiques ou de drones. Les autorités compétentes en matière de santé publiques cherchent avec des outils numériques, à repérer, isoler et soigner toutes les personnes positives à la Covid-19, mais, aussi à repérer, tester et isoler leurs personnes-contacts. Des systèmes d'information de suivi du taux d'incidence de l'épidémie fonctionnent afin que les résultats des laboratoires de tests COVID-19 soient systématiquement enregistrés et les personnes-contacts recherchées afin que ces dernières puissent être contactées, informées, testées, et accompagnées.En matière d'organisation du système de santé, la numérisation des parcours covid-19 et non Covid-19 s'est amplifiée. Il en est ainsi des logiciels de traitements de prise de rendezvous et de gestion des flux de patients qui bouleversent l'accès et les prises en charge au sein même des établissements ou des maisons de santé ou des cabinets libéraux. Les plateformes de télémédecine, de télé soin, de télé expertise, de télé suivi ou les dispositifs de télé

consultation et de télé surveillance connaissent de même un certain succès liés à la distanciation physique. En matière de santé-connectée, les applications mobiles qui permettent aux patients de recevoir et de gérer de l'information médicale sans la consultation d'un expert se déploient. La plus connue est StopCovid qui est une application mobile disponible sur smartphones, dont l'objectif est d'alerter les utilisateurs d'un risque de contamination lorsqu'ils ont été à proximité d'un autre utilisateur ayant été diagnostiqué ou dépisté positif à la COVID-19. Il s'agit d'un dispositif de suivi de contacts (contact tracing), qui repose sur le volontariat des personnes et utilise la technologie Bluetooth. La croissance des outils numériques en santé qui ne sont pas tous des dispositifs médicaux, nécessite de bien comprendre ses enjeux et implications en matière : * de libertés publiques et d'attentes des personnes * de formation et d'acceptation par les professionnels et des utilisateurs * de changements dans l'organisation du système de santé * de coûts abordables et de protection sociale * de recherche et développement par les opérateurs de technologies responsables.Quand Michel Foucault pense le bio-pouvoir et le contrôle de la santé de la population à des fins de puissance économique, industrielle ou militaire ; Didier Fassin, réfléchit à la biolégitimité, où la vie biologique est tout à la fois un principe et une valeur en forme de totalité.Cette politique de la vie, n'est pas la protection de toute vie, ni de toute existence. La conception de vie biologique comme bien suprême, n'est pas celle de la vie politique des sociétés démocratiques ou républicaines. Celle-ci renvoie à l'engagement de chacun et de tous en ayant comme horizon la liberté, l'égalité et la fraternité agissante au coeur du soin.Sans être ni technophobes ni technophiles, les auteurs ici rassemblés ont conscience avecAndré Sigfrid, que toute épidémie ne va pas sans idéologie. L'objet des textes qui suivent a pour objet de dire la foi, de délier les croyances et de mettre en lumière les dérives du numérique en santé tout en reconnaissant qu'il sera, sans conteste, un outil essentiel de l'accès aux soins de demain.La première livraison à la revue éthique, médecine et politiques publiques intéresse des questions globales. Elle comporte les contributions suivantes :

/details/entretien/le-virage-numerique-comme-vecteur-delegalite-

//www.centrejacquescartier.com/


MD Johanne Silvain

MD Mathieu Kerneis

MD Michel Zeitouni

MD Benoit Lattuca

Sophie Galier

Delphine Brugier

Emilie Mertens

Niki Procopi

Gaspard Suc

Tomy Salloum

PhD Eric Frisdal

PhD Wilfried Le Goff

MD Jean-Philippe Collet

MD Eric Vicaut

PhD Philippe Lesnik

Professor Gilles Montalescot
email: gilles.montalescot@aphp.fr

PhD Maryse Guerin

Interleukin-1β and Risk of Premature Death in Patients With Myocardial Infarction

Keywords: Interleukin-1β, myocardial infarction, inflammation, C-reactive protein, mortality Interleukin-1β IL-6: Interleukin-6 HR: Hazard Ratio hs-CRP: High sensitivity C-reactive protein MACE: Major cardiovascular events MI: Myocardial Infarction PCI: Percutaneous Coronary Intervention

à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d'enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Introduction

High-sensitivity C-reactive protein (hs-CRP) and Interleukin-6 were identified as biomarkers of cardiovascular risk stratification in acute myocardial infarction (MI) patients [START_REF] Lindmark | Relationship between interleukin 6 and mortality in patients with unstable coronary artery disease: effects of an early invasive or noninvasive strategy[END_REF][START_REF] Ridker | C-reactive protein and other markers of inflammation in the prediction of cardiovascular disease in women[END_REF] as they were associated with the size of myocardial infarction and the risk of recurrent events [START_REF] Orn | C-reactive protein, infarct size, microvascular obstruction, and left-ventricular remodelling following acute myocardial infarction[END_REF]. Based on large studies, hs-CRP testing is also recommended in American guidelines to stratify the risk of events among individuals at intermediate risk of atherosclerotic cardiovascular disease. [START_REF] Ridker | Has the time finally come to measure hsCRP universally in primary and secondary cardiovascular prevention?[END_REF] The interleukin 1-β (IL-1β) immune innate pathway has generated growing interest as prior studies demonstrated the pivotal role of the proinflammatory cytokine IL-1β in the atherothrombosis process [START_REF] Libby | Inflammation in atherosclerosis: from pathophysiology to practice[END_REF][START_REF] Ross | Atherosclerosis--an inflammatory disease[END_REF]. This includes the promotion of monocyte and leukocyte adhesion to endothelial cells, induction of a procoagulant activity, and the growth of vascular smooth-muscle cells [START_REF] Dinarello | Interleukin-1 in the pathogenesis and treatment of inflammatory diseases[END_REF][START_REF] Dinarello | Treating inflammation by blocking interleukin-1 in a broad spectrum of diseases[END_REF][START_REF] Libby | Endotoxin and tumor necrosis factor induce interleukin-1 gene expression in adult human vascular endothelial cells[END_REF]. Recently, inhibition of IL-1 β with the human monoclonal antibody, canakinumab, led to a reduction of cardiovascular events in stable coronary artery disease patients with both, previous myocardial infarction (MI) and elevated hs-CRP, establishing the proof of concept of the so-called 'inflammatory hypothesis of atherosclerosis' [START_REF] Ridker | Antiinflammatory Therapy with Canakinumab for Atherosclerotic Disease[END_REF]. In addition, high IL-1β concentrations were recently found to be associated with an increased risk of death in patients with acute heart failure [START_REF] Da | The Interleukin-1 Axis and Risk of Death in Patients With Acutely Decompensated Heart Failure[END_REF][START_REF] Everett | Heart Failure, the Inflammasome, and Interleukin-1beta: Prognostic and Therapeutic?[END_REF]. In acute MI patients, there is no information on IL-1β as a risk marker of mortality and no evidence to suggest that targeting IL-1β during the acute phase may impact clinical outcome. In this context, we sought to evaluate whether IL-1 β level, measured during the acute phase of MI, is associated with short-and long-term all-cause mortality and major cardiovascular events in patients hospitalized for mechanical reperfusion of an acute ST-elevation MI.

Methods

Study population and data collection

A total of 1398 consecutive patients treated for an acute MI were enrolled in the ongoing ePARIS registry, a prospective registry with extensive clinical and biological data collection.

Patients were included if they had an acute ST segment elevation MI treated by primary percutaneous coronary intervention (PCI). Biological sampling was obtained at admission in the catheterization laboratory, following sheath insertion. Patients with other final diagnosis were excluded as well as the patients who did not consent to participate. Following revascularization, patients received anti-ischemic, lipid-lowering and antithrombotic drugs according to the current guidelines. Clinical outcomes were obtained from medical reports or by telephone call. In case of loss to follow-up, the survival status was checked in the birth city hall registry.

Study endpoint and objectives

The primary objective was to evaluate the association between IL-1β with all-cause mortality at 90 days. The primary endpoint of the study was all-cause mortality at 90 days. Follow-up was continued until the last patient included reached one year of follow-up.

Secondary objectives evaluated the association of IL-1β with i) all-cause mortality at one-year follow-up; ii) cardiovascular mortality up to 1 year; iii) major cardiovascular events defined by the association of cardiovascular death, recurrent MI or stroke, up to 1 year.

In an exploratory analysis, we assessed the interplay of IL-1β with hs-CRP on mortality at 90 days.

Blood samples and biochemical measurements

Blood collected was placed into gel-containing vacutainer tubes, centrifuged within 1 hour, and serum was stored at -80°C until used. Serum concentrations of IL-1β were quantified with ELISA Kit (ThermoFisher Scientific) according to the manufacturer's instructions. The limit of detection of human IL-1β is 0.3 pg/ml. For individuals below the level of detection (n=150) values have been fixed at 0.3 pg/ml. The calculated overall intra-assay and inter-assay coefficient of variation for IL-1β were 3.8% and 5.3%, respectively. Lipids and hs-CRP levels were analyzed on an autoanalyser Konelab 20 (ThermoFisher Diagnostics) and by using commercial kits from Roche Diagnosis for total cholesterol and from ThermoFisher Diagnostics for triglycerides and direct high-density lipoprotein cholesterol (HDL-C) and from Diasys for hs-CRP. The coefficient of variation of hs-CRP for blinded split samples was 4.4%. The level of detection for the CRP was 0.05 mg/L, the intra-and interassay coefficients of variation were 1.7% and 2.5%, respectively. Low density lipoprotein-cholesterol (LDL-C) was calculated using Friedewald formula when triglyceride levels were below 340 mg/dl or by using commercial kit from ThermoFisher Diagnostics for direct LDL-C when triglyceride levels were above 340 mg/dl. Cardiac Troponin I (cTnI; Dade Behring) measurements were performed by immunoassay using an AXSYM analyser (Abbott, Rungis, France).

Study Oversight

The first and last authors (JS and MG) designed the study, gathered and analyzed the data and drafted the manuscript. All the authors vouch for the data and analyses reported. The study conforms to the principles outlined in the declaration of Helsinki. The ePARIS registry was declared to the French ministry of Health and Data Protection Authority (CNIL 1542887v0).

Written informed consent was obtained from each patient participating to the registry.

Statistical analyses

Based on an alpha risk of 0.05, a power of 80% and an mean all-cause mortality rate of 8.4% reported previously in a recent analysis of the ePARIS registry [START_REF] Guerin | Association of Serum Cholesterol Efflux Capacity With Mortality in Patients With ST-Segment Elevation Myocardial Infarction[END_REF], we estimated that 1056 patients would be necessary to detect to difference of at least 5% of all-cause mortality between patients with low and high level of IL-1β at 90 days.

Continuous variables were tested for normal distribution using the Kolmogorov-Smirnov test. Normally distributed continuous variables are presented as mean ± standard deviation (SD), whereas continuous variables with skewed distribution (IL-1β, hs-CRP, CPK, cTnI and triglycerides) are given as median and interquartile (Q1-Q3) and were logarithmically transformed prior to analysis. Comparisons between 2 groups of subjects were performed using unpaired Student's t-test or Mann-Whitney test as appropriate. The qualitative variables presented as proportions were compared using the chi-square test. IL-1β and hsCRP levels were analyzed either as continuous variables or as tertiles. Since the 3 pg/ml cut-off point was previously identified as the minimum concentration of IL-1β that can be reliably measured, patients with circulating IL-1β levels< 3 pg/ml served as a reference group [START_REF] Testa | Circulating levels of cytokines and their endogenous modulators in patients with mild to severe congestive heart failure due to coronary artery disease or hypertension[END_REF]. Patients with IL-1β levels > 3 pg/ml were divided into tertiles. Patients with circulating hs-CRP levels below 2mg/l served as the reference group [START_REF] Goff | ACC/AHA guideline on the assessment of cardiovascular risk: a report of the American College of Cardiology/American Heart Association Task Force on Practice Guidelines[END_REF]. Patients with hsCRP levels > 2 mg/l were divided into tertiles. Comparisons across subgroups of circulating IL-1 β levels were analyzed using the Jonckheere-Terpstra trend test. Circulating levels of IL-1β and hsCRP were equally modelled as a binary variable dichotomized below and above the 3rd tertile. A categorical variable was created using all possible combinations of elevated levels of IL-1β and hs-CRP as follows: IL-1β < 3rd tertile and hs-CRP < 3rd tertile (Low-Low); IL-1β > 3rd tertile and hs-CRP < 3rd tertile (High-Low); IL-1β < 3rd tertile and hs-CRP > 3rd tertile (Low-High); IL-1β > 3rd tertile and hs-CRP > 3rd tertile (High-High). The association between variables and all-cause mortality at 90 days and one year were assessed by Cox regression analysis. The variables identified as potential risk markers of all-cause mortality in univariate analysis (p<0•1) were included in the multivariate cox regression model. Co-variates used in multivariable analysis included: age, gender, creatinine levels, left ventricular ejection fraction <45%, Killip class ≥2, out-hospital cardiac arrest, cardiac-troponin I levels, hsCRP and IL-1β levels, low density lipoproteincholesterol levels, high density lipoprotein-cholesterol levels, current smoking, status with regard to use of statins, angiotensin-converting enzyme inhibitors/angiotensin II receptor blocker and beta blockers. Statistical analyses were performed using the R statistical software computer program. Results were considered to be statistically significant at p<0•05.

Results

Study population

The flow chart of the study is presented in Figure 1. A total of 1398 ST segment elevation MI patients treated with primary PCI had an available measurement for IL-1β and were, therefore, included in the analysis. The median time from symptoms onset to blood sampling (sheet insertion) was 300 minutes (IQR: 160-750). The follow-up of the cohort was complete for all patients at 90 days and at one-year, with a median follow-up of 5.5 years (interquartile range: 1.2 to 8.2 years). During the first 90 days, 117 patients died (8.4%). At oneyear, 153 deaths were recorded (10.9%). Baseline characteristics are displayed in Table 1, according to the survival status.

Association between IL-1β with all-cause mortality and cardiovascular events

Concentration of IL-1β analyzed as a continuous variable was associated with all-cause mortality at 90 days (adjusted hazard ratio [HR] 1.47 per one SD increase; 95% CI, 1.16 to 1.87; p<0.002). The results of the univariate and multivariate analysis for all-cause mortality at 90 days are presented in Table 2. After adjustment for all factors associated with mortality including cardiovascular risk factors and established prognostic factors including LDL cholesterol, troponin and hs-CRP level, the Cox proportional hazards regression analysis identified that elevated IL-1β levels were significantly associated with a higher risk of death (Figure 2). According to tertiles of IL-1β concentrations, the mortality rate at 90 days was higher among patients at the highest tertile compared with the reference group (adjHR: 2.77; 95% CI: 1.49-5.16, p=0.0013, Central Illustration A, Supplemental Table 1). Kaplan-Meier survival curves for 90 days and one-year mortality (all cause and cardiovascular) showed that patients with elevated IL-1β levels (> Tertile 3) at admission had a marked increased risk of mortality at 90 days and one year compared to those with lower IL-1β levels (< Tertile 3) (Figure 3). The analysis of major cardiovascular events showed that the majority of all-cause deaths were cardiovascular deaths (80%) and that cardiovascular mortality and MACE at 90 days were associated with IL-1β concentration (adjHR: 2.42; 95% CI: 1.36-4.28, p=0.002 and 2.29; 95% CI: 1.31-4.01, p=0.004, respectively for patients with IL-1β concentration higher than the third tertile). Results were consistent and even stronger at one-year follow-up (Figure 4). Results for non-fatal cardiovascular events showed a similar trend (NS, Figure 4).

Interplay between hs-CRP levels, IL-1β and 90 days mortality

Median hs-CRP level at admission was 5.8 mg/l (2. 3-26.8). A marked increased risk of all-cause mortality at 90 days was observed in patients with elevated hs-CRP levels (highest tertile) as compared to the reference group (adjHR: 2.44; 95% CI: 1.15-5.18, p<0.02, Central Illustration B). In the study population, 58.7% (n=821) of patients displayed low levels (<3 rd tertile) of both hs-CRP and IL-1β. In contrast, 4.9% (n= 68) of the population had elevated levels ( >3 rd tertile) of both IL-1β and hs-CRP. Kaplan-Meier survival curves for 90 days according to combination categories of risk based on both IL-1β and hs-CRP levels (below or above the 3 rd tertile) show the association between all-cause mortality and inflammatory profile (Central Illustration C). Patients with elevated IL-1β levels (>3 rd tertile), with or without concomitant elevated hs-CRP, had a higher risk of mortality at 90 days than those with low concentrations (<3 rd tertile) of both IL-1β and hs-CRP.

Discussion

In this prospective cohort study of homogeneous and well characterized acute MI patients, we demonstrate that IL-1 β concentration at admission is independently associated with all-cause mortality. We demonstrate that this relationship is not linear and is driven by the markedly increased risk of premature death during the first 90 days among patients with the highest level of IL1-β. Finally, both cardiovascular death and MACE were associated with high level of IL-1β and our results suggest that IL-1 β concentration can risk stratify acute MI patients in a synergic fashion with hs-CRP.

Although our findings do not provide mechanistic explanations for the link between IL-1β and mortality, the data on the association of inflammation and myocardial damage are accumulating. Indeed, at the early phase of MI, IL-1β plays an important role during myocardial ischemia-reperfusion injury [START_REF] Hwang | Neutralization of interleukin-1beta in the acute phase of myocardial infarction promotes the progression of left ventricular remodeling[END_REF], that may impact short term outcomes of patients undergoing revascularization by primary PCI. Inhibition of IL-1β resulted in attenuated inflammatory injury and, in-vitro, protected cells from IL-1β -induced apoptosis, suggesting an effect on myocardial preservation [START_REF] Suzuki | Overexpression of interleukin-1 receptor antagonist provides cardioprotection against ischemia-reperfusion injury associated with reduction in apoptosis[END_REF]. Prior study has also demonstrated that targeting IL-1β following coronary artery ligation decreased the leukocyte production, inflammation and finally reduced the risk of post-MI heart failure in ApoE (-/-) mice with atherosclerosis [START_REF] Sager | Targeting Interleukin-1beta Reduces Leukocyte Production After Acute Myocardial Infarction[END_REF]. Additionally, IL-1 β was associated with an increased risk of death in a recent cohort of patients with acutely decompensated heart failure [START_REF] Da | The Interleukin-1 Axis and Risk of Death in Patients With Acutely Decompensated Heart Failure[END_REF]. Three drugs, canakinumab, anakinra and rilonacept, are now approved by the United States Food and Drug Administration to inhibit the IL-1 pathway making IL-1β a prognostic and therapeutic target in coronary patients [START_REF] Buckley | Interleukin-1 blockade in cardiovascular diseases: a clinical update[END_REF]. Indeed, canakinumab, a monoclonal antibody neutralizing IL-1β was shown to reduce hs-CRP and the risk of recurrent ischemic events in stable patients with prior MI [START_REF] Ridker | Antiinflammatory Therapy with Canakinumab for Atherosclerotic Disease[END_REF]. The discrepancy between levels of IL-1β and CRP observed in our study may be explained by different kinetics in the release of these biomarkers that is unknown in acute myocardial infarction patients and would have required serial measurement of biomarkers of the inflammatory response to fully explore this hypothesis. However, from a physiologic and clinical perspective, IL-1β, and CRP should be interpreted as parts of the same the central NLRP3 to IL-1 to IL-6 to CRP signaling pathway of innate immunity, that have, at the end, the same pro-atherothrombotic effect. Further, in the CANTOS trial, the impact of IL-1β inhibition on the reduction of clinical events was directly related to the magnitude of both IL-6 and CRP reduction achieved [START_REF] Ridker | Relationship of C-reactive protein reduction to cardiovascular event reduction following treatment with canakinumab: a secondary analysis from the CANTOS randomised controlled trial[END_REF][START_REF] Ridker | Modulation of the interleukin-6 signalling pathway and incidence rates of atherosclerotic events and all-cause mortality: analyses from the Canakinumab Anti-Inflammatory Thrombosis Outcomes Study (CANTOS)[END_REF]. Anakinra, an IL-1 receptor inhibitor, can also effectively reduce inflammation and possibly the incidence of heart failure in patients with myocardial infarction, with or without CRP elevation [START_REF] Van Tassell | Rationale and design of the Virginia Commonwealth University-Anakinra Remodeling Trial-3 (VCU-ART3): A randomized, placebo-controlled, double-blinded, multicenter study[END_REF][START_REF] Morton | The effect of interleukin-1 receptor antagonist therapy on markers of inflammation in non-ST elevation acute coronary syndromes: the MRC-ILA Heart Study[END_REF]. This effect would be consistent with the results of the prespecified analysis of the CANTOS trial that demonstrated a signal toward a dose-dependent reduction in heart failure outcomes [START_REF] Everett | Anti-Inflammatory Therapy With Canakinumab for the Prevention of Hospitalization for Heart Failure[END_REF]. More importantly, these findings should be put in perspective with the recent results of the randomized, placebo controlled, COLCOT trial, that demonstrated a reduction of ischemic cardiovascular events in acute MI patients treated with colchicine, a drug that target nonspecific inflammation through NLRP3 inflammasome and IL-1β axis [START_REF] Tardif | Efficacy and Safety of Low-Dose Colchicine after Myocardial Infarction[END_REF]. These results are promising for the potential use of these anti-inflammatory drugs in MI patients, although none of these interventions were biomarkerguided using CRP or the level of IL-1β.

The present study has limitations and biases inherent to registries. First, despite adjustment for variables known to be associated with all-cause mortality, we may have unmeasured cofounding variables in this analysis. Second, clinical outcomes were not adjudicated, but obtain from medical records, telephone follow-up or national vital statistics system when necessary. Third, IL-1β measurement varies widely across assay platforms and our findings need to be validated in an external cohort. Fourth, IL-6 was not measured and may be superior to CRP or IL-1β to predict the risk of outcomes among patients with ST segment elevation MI [START_REF] Fanola | Interleukin-6 and the Risk of Adverse Outcomes in Patients After an Acute Coronary Syndrome: Observations From the SOLID-TIMI 52 (Stabilization of Plaque Using Darapladib-Thrombolysis in Myocardial Infarction 52) Trial[END_REF]. However, all these biomarkers provide information on the central NLRP3 to IL-1 to IL-6 to CRP signaling pathway of innate immunity and this analysis highlight the key role of IL-1 in the inflammatory process involved during acute myocardial infarction.

Conclusion

Our study demonstrates that high IL-1β at admission is associated with all-cause mortality, cardiovascular mortality and, MACE in an unselected acute MI population undergoing primary PCI. Elevated IL-1β levels identifies patients at higher risk of mortality at 90 days. This study reinforces the need to further evaluate the benefit of IL-1β inhibitors in patients with acute MI possibly with a selective IL-1β guided approach for treatment.

Clinical Perspectives:

Competency in Medical Knowledge: Elevated level of Interleukin 1β, a proinflammatory cytokine, is associated with an increased risk of all cause and cardiovascular mortality among patients with acute myocardial infarction treated by primary PCI.

Translational Outlook: Prospective trials are needed to further evaluate the benefit of IL-1β inhibitors in patients with with acute myocardial infarction possibly with a selective IL-1β guided approach.

Figure 1 .

 1 Figure 1. Flow chart of the study. Between January 2003 and April 2014, 1,398 patients treated

Figure 2 .

 2 Figure 2. Adjusted Cox proportional Hazards regression analysis of all-cause mortality at

Figure 3 :

 3 Figure 3 : Kaplan-Meier cumulative survival curve for All-cause mortality (A) and

Figure 4 :

 4 Figure 4: Hazard Ratios at 1 year according to elevated concentration of IL-1 β (> 3 rd tertile 3). Patients with circulating IL-1β levels < 3 rd tertile served as a reference group. Crude

Table 1 : Baseline characteristics of the study population according to mortality status at 90 days.

 1 Values are mean±SD or median and interquartile (Q1-Q3). P value indicates significant difference between patients who died or survived at 90 days

		Alive at 90 days (n=1281)	Dead at 90 days (n=117)	P value
	Cardiovascular Risk Factor
	Age, year	62.7±13.9	71.6±14.3	<0.0001*
	N, (Men/Women)	975/306	71/46	0.0002*
	Body Mass Index, (kg/m²)	26.0±4.3	25.5 ±4.5	0.32
	Dyslipidemia	43.4%	29.9%	0.0047*
	Diabetes	18.3%	18.8%	0.88
	Hypertension	47.1%	51.3%	0.38
	Smoker	41.9%	19.7%	<0.0001*
	Family history of coronary artery disease	21.5%	8.5%	0.0009*
	Previous cardiovascular events	19.4%	24.8%	0.16
	Cardiac Risk Factor on arrival
	Heart rate (beats per min)	75.6±16.7	86.8±24.1	0.0001*
	Systolic Blood Pressure (mmHg)	131.0±25.3	122.0±32.5	0.0010*
	Left ventricular ejection fraction	50.6±10.9	36.0±15.3	<0.0001*
	Left ventricular ejection fraction <45%	23.2%	66.3%	<0.0001*
	Out-of-hospital cardiac arrest	4.0%	47.0%	<0.0001*
	Killip class ≥2	12.3%	45.2%	<0.001*
	Late Presenter (STB>360 min)	39.1%	37.8%	0.79
	Biomarkers
	IL-1β, pg/ml	4.40 (1.59-8.67)	5.19 (2.00-12.21)	0.0482*
	hs-CRP, mg/l	5.4 (2.2-23.6)	27.3 (4.7-60.0)	<0.0001*
	Creatinine Clearance (ml/min)	85 (60-112)	48 (25-77)	<0.0001*
	Creatinine Clearance <60 ml/min	24.7%	63.2%	<0.0001*
	CPK, U/L	1195 (400-2543)	1107 (488-3161)	0.46
	Cardiac Troponin I, pg/ml	37.1 (10.7-91.7)	48.0 (10.5-139.0)	0.070
	Triglycerides, (mmol/l)	0.92 (0.66-1.33)	0.93 (0.69-1.40)	0.42
	Total Cholesterol, (mmol/l)	4.35±1.12	3.80±1.34	<0.0001*
	LDL Cholesterol (mmol/l)	2.93±1.01	2.45±1.22	<0.0001*
	HDL cholesterol (mmol/l)	0.90±0.31	0.84±0.31	0.0337*
	Discharge Therapy
	Statins	91.5%	43.6%	<0.0001*
	Beta-Blockers	84.2%	26.5%	<0.0001*
	ACEI/ARB	85.5%	36.8%	<0.0001*

Table 2 :

 2 Association between variables and of all-cause mortality at 90 days in univariate and multivariate Cox regression analyses

	Univariate Analysis	Multivariate Analysis

This work was supported by the ACTION Coeur study group (www.action-coeur.org), the Institut National de la Santé et de la Recherche Médicale (INSERM), Sorbonne University, the Institute of CardioMetabolism and Nutrition (ICAN), and by the French National Agency through the national program Investissements d'Avenir Grant ANR-10-IAHU-05.

Disclosures: Johanne SILVAIN reports during the past 2 years the following disclosures: Consulting Fees or Lecture Fees or Travel Support from AstraZeneca, Bayer HealthCare SAS, Mathieu KERNEIS received Research Grants from Institut Servier, Federation Francaise de Cardiologie, Sanofi, Consulting fees from Bayer, Sanofi, Servier. Michel ZEITOUNI has received research grants from Servier and Fédération Francaise de Cardiologie. Benoit LATTUCA has received research grants from Daiichi-Sankyo and Fédération Francaise de Cardiologie; consultant fees from Daiichi-Sankyo and Eli Lilly; and lecture fees from AstraZeneca. Eric VICAUT reports consulting or speaker fees from Abbott, Bristol Myers Squibb, Celgene, Edwards, Pfizer, Sanofi And Novartis. Jean-Philippe COLLET has received research grants or honorarium from AstraZeneca, Bayer, Bristol-Myers Squibb, Daiichi-Sankyo, Eli-Lilly, Fédération Francaise de Cardiologie, Lead-Up, Medtronic, MSD, Sanofi-Aventis, WebMD all outside of the scope of this study. Gilles MONTALESCOT has received research grants or honorarium from ADIR, Amgen, AstraZeneca, Bayer, Berlin Chimie AG, Boehringer Ingelheim, Bristol-Myers Squibb,

Data sharing including for biological analyses require specific authorizations of the Hospital and Ethics committee on the basis of any new study proposal


Tianyi Bai
email: bai@math.univ-paris13.fr

On the cover time of λ-biased walk on supercritical Galton-Watson trees

 for the simple random walk on binary trees, we establish the scaling limit of the cover time in the biased setting.

1 Introduction

The model

A planar tree T is a subset of ∪ n≥0 N n + such that

• The root ∅ is in T, where by convention, N 0 + = {∅}.

• For every vertex x = (x 1 , • • • , x n ) ∈ T, its parent

← - x = (x 1 , • • • , x n-1 ) ∈ T.
• There exists an integer ν x (T) ≥ 0 representing the number of children of x, i.e., for every j ∈ N + ,

(x 1 , • • • , x n , j) ∈ T if and only if 1 ≤ j ≤ ν x (T).
For x ∈ T, denote by |x| = n its height. For two vertices x, y ∈ T, write x y if x is on the simple path from ∅ to y. Denote by z = x∧y the common ancestor, i.e. the vertex with maximum height |z| such that z x, y. Denote the tree T chopped at height n by T n = {x ∈ T, |x| ≤ n} (in T n , ν x = 0 if |x| = n), and the population in generation n by Z n = x∈T 1 |x|=n . Denote the subtree of T rooted at x by T x = {y ∈ T, x y}, and the population in the n-th generation of T x by Z x n = y∈T x 1 |y|=n . For convenience of further usage (local time related calculations), an artificial root ← -∅ with height -1 is added to be the parent of ∅.

For any fixed probability distribution µ = (µ n ) n∈N , the Galton-Watson tree with offspring distribution µ is a measure P GW on the set of planar trees, such that all the vertices have children distributed identically and independently as µ, i.e. ν x iid ∼ µ, ∀x = ← -∅ . The expectation under this probability measure is denoted by E GW .

Let m = ∞ i=0 iµ i denote the average number of children for a vertex (except ← -∅ ), then there is a standard result on Galton-Watson trees which states that, if m > 1 (so-called supercritical), then the tree extends to infinity with a positive probability. In other words, denote by S the event that a Galton-Watson tree survives, {T : Z n (T) > 0, ∀n ≥ 0}, then P GW (S) > 0 for m > 1. To study the asymptotic behavior of the cover time, we study the first n generations of a supercritical Galton-Watson tree under the conditional probability measure P GW (•|S).

By the Kesten-Stigum theorem (cf. [START_REF] Kesten | A limit theorem for multidimensional galton-watson processes[END_REF]), ( Zn m n ) n≥0 is a martingale, and that it converges to a nontrivial limit P GW (•|S)-almost surely,

W := lim n→∞ Z n m n ∈ (0, ∞), (1.1)
when

E GW (Z 1 log Z 1 ) = k≥1 k log kµ k < ∞.
Given a surviving tree T and fix n > 0, let (X n (t)) t≥0 be a continuous time Markov jump process on T n starting at X n (0) = ← -∅ , with transition rates p( ← -

∅ , ∅) = 1, p(x, ← - x ) = λ λ + ν x , p(x, x (i) ) = 1 λ + ν x , ∀x ∈ T n \{ ← - ∅ }, 1 ≤ i ≤ ν x .
The probability measure for this random walk is denoted by P w (•|T n ), and its corresponding expectation by E w (•|T n ). In fact, it is more natural to call the discrete walk λ-biased random walk, and the results for both settings are the same, see Remark 1.2 (1). We shall work under the following hypotheses denoted by (H),

λ > 1, m > 1, k≥0 k 2 µ k < ∞.
Conventions:

(1) The probability of a generic law independent of the constructions above is denoted by P, with its expectation E.

(2) When an integer index is needed in the presence of a real value, we mean its integral part, for instance, we write Z log n for Z [log n] .

(3) We write f g, if there exists a constant C > 0 such that f ≤ Cg. This constant may depend on parameters m and λ.

(4) All the O(•), o(•) notations are under the limit n → ∞.

(5) For convenience of the readers, notations used throughout the paper are gathered here:

σ n = λ n+1 -1 λ -1 , t µ n = σ 2 n (log Z n + µ), s n = n i=0 Z i λ i .

Main results

The goal in this paper is to estimate the cover time defined by

T cov n (T) = inf {t : {X n (s), 0 ≤ s ≤ t} = T n } .
The main result is Theorem 1.1. Under (H), for P GW (•|S)-almost surely any tree T, with x ∈ R and n → ∞, when λ > m,

P w (λ -1)T cov n 2λ n+1 ∞ i=0 Z i λ i -n log m -log W ≤ x T n → e -e -x ; when λ = m, P w (m -1)T cov n 2m n+1 n i=0 Z i -n log m -log W ≤ x T n → e -e -x ;
when 1 < λ < m,

P w ( m λ -1)(λ -1)T cov n 2W m n+1 -n log m -log W ≤ x T n → e -e -x .
Remark 1.2. (1) The the same result holds for the discrete time random walk with the same transition probabilities, since (X n (t)) 0≤t≤t 0 takes t 0 + O( √ t 0 ) steps, and the error is negligible for the cover time.

(2) In fact, the conditions in Lemma 2.1 are the only requirements for T. Therefore, the result applies to other (random) trees satisfying these conditions, not necessarily the Galton-Watson trees.

(3) The λ-biased case agrees with the case of the simple random walk (cf. eg. [START_REF] Dembo | Limit law for the cover time of a random walk on a binary tree[END_REF]) in first order in the number of excursions (round trips from ← -∅ ) performed, for details see Remark 3.5.

(4) If one define the random walk on T instead of T n , the relation of λ and m discussed in Theorem 1.1 correspond to whether the walk is transient, positive recurrent, or null recurrent.

Related works

The cover time of a finite graph (by the simple random walk), T cov (G), is a fundamental object for a finite graph G = (V, E) (Section 2, Lovász [START_REF] Lovász | Random walks on graphs: a survey[END_REF]). For a simple graph G with |V | = n, a tight bound for its cover time was given in Feige [START_REF] Feige | A tight lower bound on the cover time for random walks on graphs[END_REF], [START_REF] Feige | A tight upper bound on the cover time for random walks on graphs[END_REF] (1 -o(1))n log n ≤ T cov (G) ≤ 4n 3 /27. Bounds using hitting time were given in Matthews [START_REF] Matthews | Covering problems for Markov chains[END_REF],

max S⊆G min u,v∈S H(u, v)(log(#E) -1) ≤ T cov (G) ≤ max u,v∈G H(u, v)(1 + log n),
where H(u, v) is the expected time that the walk takes from u to v.

Up to the first order approximation, a general bound with Discrete Gaussian Free Field (DGFF) was given in Ding, Lee and Peres [START_REF] Ding | Cover times, blanket times, and majorizing measures[END_REF], then improved in Zhai [START_REF] Zhai | Exponential concentration of cover times[END_REF],

P T cov (G) -#EM 2 ≥ #E( √ sRM + sR) ≤ Ce -cs , where M = E(max x∈V η x ), R = max x,y∈V R eff (x, y), (η x ) x∈V is a DGFF on G (centered Gaussian variables such that Cov(η x , η y ) = R eff (x, y))
, and R eff is the effective resistance (cf. [START_REF] Aldous | Reversible markov chains and random walks on graphs[END_REF], consider each edge as a wire of electrical resistance 1, and take effective resistance in the physics sense, following Ohm's law). Sharper results can be obtained if one restricts to trees. The first order estimate for the cover time of an m-ary trees was obtained in Aldous [START_REF] Aldous | Random walk covering of some special trees[END_REF],

T cov n = (2 + o(1))n 2 m n+1 m -1 log m.
It is showed in Andreoletti and Debs [START_REF] Andreoletti | The number of generations entirely visited for recurrent random walks in a random environment[END_REF] that, the first R n = (γ + o(1)) log n generations are covered in n steps, by a recurrent Markovian random walk on the Galton-Watson tree, where γ is an explicit constant.

The case of simple random walk on binary trees received extensive studies recently, originally as a counterexample showing that at second order, the cover time is no longer determined by the DGFF (cf. [START_REF] Ding | A sharp estimate for cover times on binary trees[END_REF]). Second order asymptotics with error O(log log 8 n) were given in Ding and Zeitouni [START_REF] Ding | A sharp estimate for cover times on binary trees[END_REF], then refined to O(1) in Belius, Rosen and Zeitouni [START_REF] Belius | Barrier estimates for a critical Galton-Watson process and the cover time of the binary tree[END_REF], and a scaling limit was established independently by Cortines, Louidor and Saglietti [START_REF] Cortines | A scaling limit for the cover time of the binary tree[END_REF] and Dembo, Rosen and Zeitouni [START_REF] Dembo | Limit law for the cover time of a random walk on a binary tree[END_REF],

P T cov n 2 n+1 n -n log 2 + log n ≤ s = E exp -CZe -s ,
for some explicit constant C and distribution Z.

In the studies of the cover time, the continuous counterpart for trees is the two-dimensional torus. The first order estimate of its cover time was determined by Dembo, Peres, Rosen and Zeitouni [START_REF] Dembo | Cover times for Brownian motion and random walks in two dimensions[END_REF], then the result was improved in Ding [START_REF] Ding | On cover times for 2D lattices[END_REF], Belius and Kistler [START_REF] Belius | The subleading order of two dimensional cover times[END_REF], Abe [START_REF] Abe | Second-order term of cover time for planar simple random walk[END_REF], and most recently studied by Belius, Rosen and Zeitouni [START_REF] Belius | Tightness for the cover time of the two dimensional sphere[END_REF] to the extent that lim K→∞ lim sup

→0 P T cov (S 2 ) -2 √ 2 log -1 - 1 4 log log -1 > K = 0,
where T cov (S 2 ) is the time for the walk to intersect every ball of radius on the 2-dimensional sphere.

Proof outline

The cover time is determined by the excursion time and local times defined as follows.

Definition 1.3. Let T be an infinite tree, and let (X n (t)) t≥0 be a random walk on T n .

(1) The excursion time is denoted by

t cov n = T cov n 0 1 {Xn(s)= ← - ∅ } ds.
(2) To establish the relation between t cov n and T cov n , let

τ n (t) = inf r > 0 : r 0 1 {Xn(s)= ← - ∅ } ds ≥ t . (3) The (normalized) local time at x ∈ T n \{ ← - ∅ } is L x n (t) = 1 π n (x) τn(t) 0 1 {Xn(s)=x} ds,
where the normalization factor

π n (x) = λ + ν x λ |x|+1 , x ∈ T n \{ ← - ∅ },
is the stationary distribution of the λ-biased walk scaled at

π n ( ← - ∅ ) = 1.
Intuitively, the walk (X n (t)) can be seen as independent samples of random walks that starts and ends at ← -∅ . Each of these trials is called an excursion. Then t cov n is the number of excursions performed to cover the tree T n , τ n (t) is the actual time spent in t excursions, and L x n (t) encodes the status of x in t excursions. From these definitions, we have

τ n (t cov n ) ≤ T cov n ≤ lim →0+ τ n (t cov n + ) τ n (t) = x∈Tn π n (x)L x n (t). (1.2)
In fact, it is not hard to determine L x t (Lemma 2.3) and τ n (Lemma 4.1), and the main part of the proof is to estimate t cov n . The key observation is that, when the tree is almost covered (at the first order estimate of the cover time), the non-visited vertices can be seen as independent. (This is inspired by the extremal landscape structure in [START_REF] Cortines | A scaling limit for the cover time of the binary tree[END_REF], see Remark 3.5 (1) for details.) The scaling limit of the cover time is then established by characterizing the process afterwards.

The paper is organized as follows. In Section 2, we give the regularity conditions on trees and determine the distribution of local times L x n . In Section 3, we establish the scaling limit for t cov n . And in Section 4, we estimate T cov n by studying τ n , and finish the proof of Theorem 1.1.

Preliminaries

Z i Z n , (2.3
)

|Z n -m n W | ≤ m n/2 log n, (2.4
)

|x|=n-c log n (Z x n ) 2 ≤ Z 1+ n .
(2.5)

Proof. By (1.1), P GW (•|S)-almost surely, W ∈ (0, ∞). Therefore, there exists a constant C > 1 (depending on T) such that for all n ≥ 0,

1 C W m n < Z n < CW m n .
(There are only finitely many n violating this relation with C = 2, take the maximum constant among these n.) One can then deduce (2.3). Moreover, by Theorem 2, [START_REF] Heyde | Improved classical limit analogues for galton-watson processes with or without immigration[END_REF]:

P GW (•|S)-almost surely, lim sup n→∞ Z n -m n W √ Z n log n = 2Varµ m 2 -m ,
where we recall that µ is the offspring distribution of P GW . Therefore one can take n large enough such that

|Z n -m n W | Z n log n ≤ CW m n log n,
and (2.4) follows.

By standard calculations,

E GW Z n = m n , Var GW (Z n ) = m n-1 m n -1 m -1 Varµ m 2n ,
therefore, for n large enough,

P GW   |x|=n-c log n (Z x n ) 2 > m (1+ )n S   ≤ E GW ( |x|=n-c log n (Z x n ) 2 |S) m (1+ )n E GW (Z n-c log n )m 2c log n m (1+ )n m -n 2 ,
and (2.5) follows from the union bound,

P GW   ∃n > N, |x|=n-c log n (Z x n ) 2 > m (1+ )n S   n>N m -n 2 N →∞ -→ 0.
We remark that |x|=n-r (Z x n ) 2 is monotone increasing in r, therefore, the event (2.5) is decreasing in r, and once it is valid for c log n, it is valid for all 0 ≤ r ≤ c log n simultaneously.

The local times

Definition 2.2. Let T be a tree.

(1) The effective resistance (for the λ-biased walk) between x, y ∈ T is

R eff (x, y) = (z, ← -z ) on the simple path from x to y λ |z| .
(2) The effective resistance between ← -∅ and any vertex at generation n is abbreviated as

σ 2 n = λ n+1 -1 λ -1 .
(3) For a, b > 0, let PG(a, b) be the distribution of P i=1 E i , where P and E i are independent random variables such that P ∼ Poisson(a) has Poisson distribution of expected value a, and E i ∼ Exp(b) has exponential distribution of expected value 1 b . The following lemma characterizes local times.

Lemma 2.3. On any infinite tree T, let x, y ∈ T n such that y ≺ x (i.e. y is a strict ancestor of x), let s, t > 0. Then under

P w (•|T n ), L x n (t) ∼ PG t σ 2 |x| , 1 σ 2 |x| , (L x n (t)|L y n (t) = s) ∼ PG s σ 2 |x| -σ 2 |y| , 1 σ 2 |x| -σ 2 |y| .
Proof. By the memoryless property of the exponential distribution (if X ∼

Exp(1), then (X -c|X > c) d = X), L x n (t)
is only affected by local times on the ray from ← -∅ to x, independent of movements on other branches or offspring of x.

By knowledge of reversible Markov chains (cf. eg. (3.24), p.69, [START_REF] Aldous | Reversible markov chains and random walks on graphs[END_REF], it can be easily checked that R eff defined in Definition 2.2 do correspond to that of a reversible Markov chain, since there is only one simple path between two vertices),

1 R eff (x, y) = π(x)P x (τ y < τ + x |T n ),
where P x is the λ-biased walk starting at x, τ y is the first hitting times of y, i.e. τ y = inf{t > 0, X n (t) = y}, and τ + x is the first returning time to x, τ +

x = inf{t > 0, X n (t) = x, X n (s) ≡ x, 0 ≤ s ≤ t}. In particular,

P x (τ ← - ∅ < τ + x |T n ) = 1 σ 2 |x| π n (x)
.

Up to excursion time t, there are Poisson(t) departures from ← -∅ , and by the equation above, each trip hits x independently with probability 1 (1) The PG distribution has basic properties bX ∼ PG(a, 1),

E(X) = a b , Var(X) = 2a b 2 , P(X = 0) = e -a .
(2) If a > b, then

P(X ≤ 1) ≤ e 2 √ ab-a-b .
Proof. (1) is clear by definition. For (2), by Chernoff bounds, for any θ > 0,

P(X ≤ 1) = P e -θX ≥ e -θ ≤ e θ ∞ k=0 e -a a k k! 1 + θ b -k = e θ-θ b+θ a ,
and the result follows by choosing θ = √ ab -b.

Ray-Knight Theorem

Definition 2.5. A Discrete Gaussian Free Field (DGFF) on a tree T is a family of random variables (η x ) x∈T such that η ← - ∅ = 0, (η x ) x = ← - ∅ are centered Gaussian variables with (both the effective resistance and the DGFF can be defined up to any scale, the factor 1 2 is taken in accordance to [START_REF] Cortines | A scaling limit for the cover time of the binary tree[END_REF])

E(η x -η y ) 2 = 1 2 R eff (x, y).
Remark 2.6. Since we have explicit relative resistances, if we attach an independent Gaussian variable N y ∼ N 0, λ |y| 2 at each vertex y ∈ T\{ ← -∅ }, and let η x = y x N y , then (η x ) x∈T is a DGFF on T.

Theorem 2.7. (Second Ray-Knight theorem, [START_REF] Eisenbaum | A Ray-Knight theorem for symmetric Markov processes[END_REF]) For any infinite tree T, let (η x ) x∈T be a DGFF on T independent of P w (•|T n ). For any t > 0,

L x n (t) + η 2 x : x ∈ T n d = (η x + √ t) 2 : x ∈ T n .
In fact, Remark 2.6 indicates a direct proof of this theorem by induction.

Lemma 2.8. Let (η x ) x∈T be a DGFF on a tree T, let n ≥ 0 and µ ∈ R such that Z n > 0, log Z n + µ > 0,

we have

P max |x|=n η x > σ n log Z n + µ ≤ e -µ 2 π(log Z n + µ) .
Proof. We first recall the Gaussian tail estimate for x > 0 and X ∼ N (0, 1),

P(X > x) = 1 √ 2π ∞ 0 e -(y+x) 2 /2 dy ≤ e -x 2 /2 √ 2π ∞ 0 e -xy dy = e -x 2 /2 x √ 2π .
Then by the union bound, when log Z n + µ > 0,

P max |x|=n η x > σ n log Z n + µ ≤ Z n e -(log Zn+µ) 2 π(log Z n + µ) = e -µ
2 π(log Z n + µ) .

Excursion time

As showed in the proof outline, the excursion time t cov n is compared to the quantity

t µ n = σ 2 n (log Z n + µ), (3.6)
where we recall that

σ 2 n = λ n+1 -1 λ -1 .
To start with, we show that the first n-c log n layers have negligible influences in terms of local times.

Lemma 3.1. Let c > 3 log λ , µ ∈ R, and T be an infinite tree satisfying the conditions in Lemma 2.1. For n → ∞, with probability 1 -o(1) under

P w (•|T n ), max |x|=n-c log n L x n (t µ n ) -t µ n σ 2 n 1 √ n .
Proof. Let (η x ) be a DGFF on T independent of P w (•|T n ). Denote the joint law of the DGFF and

P w (•|T n ) by P(•|T n ) in this proof.
It is guaranteed by Lemma 2.1 that log Z n + µ > 0 for n large enough. Then one can apply Lemma 2.8,

P max |x|=n-c log n |η x | ≤ σ n-c log n log Z n-c log n + µ T n = 1 -o(1).
Moreover, by Theorem 2.7,

P max |x|=n-c log n L x (t µ n ) + η 2 x -t µ n ≤ σ n-c log n log Z n-c log n + µ T n = 1-o (1).
Thus with probability 1 -o(1), for n large enough,

max |x|=n-c log n |L x (t µ n ) -t µ n | = max |x|=n-c log n L x (t µ n ) + η 2 x -t µ n L x (t µ n ) + η 2 x + t µ n -η 2 x ≤ max |x|=n-c log n L x (t µ n ) + η 2 x -t µ n 2 + 2 t µ n max |x|=n-c log n L x (t µ n ) + η 2 x -t µ n + max |x|=n-c log n |η x | σ 2 n λ -c log n/2 (log Z n + µ) σ 2 n n -1/2 ,
where the last line follows from Lemma 2.1 and the condition c > 3 log λ .

Now we present the key observation that, non-visited vertices up to time t µ n have distinct ancestors at generation n -c log n. Lemma 3.2. Let c > 3 log λ , µ ∈ R, and T be an infinite tree satisfying the conditions in Lemma 2.1. There exists > 0 such that max |y∧z|≥n-c log n+1, |y|=|z|=n,y =z

P w L y n (t µ n ) = L z n (t µ n ) = 0 (L x n (t µ n )) |x|=n-c log n , T n = o Z -1- n ,
uniformly in any choices of local times at generation n -c log n satisfying the conditions in Lemma 3.1.

Proof. For simplicity, the conditional probability

P w •|(L x n (t µ n )) |x|=n-c log n , T n is abbreviated as P w (•|R n ),
and we write L x for the local time L x n (t µ n ). Let δ > 0. Fix two vertices y, z at generation n of T n , such that they have common ancestor w = y ∧ z after generation n -c log n. Let |w| = n -s ≥ n -c log n + 1, and denote by x the ancestor of w with |x| = n -log n. Then

P w (L y = L z = 0 | R n ) ≤ P w (L y = L z = 0, L w ≥ 2δt µ n | R n ) + P w (L w < 2δt µ n | R n ) = P w (L z = 0 | L y = 0, L w ≥ 2δt µ n , R n ) P w (L y = 0, L w ≥ 2δt µ n | R n ) + P w (L w < 2δt µ n | R n ) = P w (L z = 0 | L w ≥ 2δt µ n , R n ) P w (L y = 0, L w ≥ 2δt µ n | R n ) + P w (L w < 2δt µ n | R n ) ≤ P w (L z = 0 | L w = 2δt µ n , R n ) P w (L y = 0 | R n ) + P w (L w < 2δt µ n | R n )
. By Lemma 3.1, for n large enough we have

L x > (1 -δ)t µ
n , moreover, by Lemma 2.3,

(L w |L x ) d = PG L x σ 2 n-s -σ 2 n-c log n , 1 σ 2 n-s -σ 2 n-c log n .
where denominator above is bounded by

λ -1 λ σ 2 n-s ≤ σ 2 n-s -σ 2 n-s-1 ≤ σ 2 n-s -σ 2 n-c log n ≤ σ 2 n-s .
Therefore, for local times of the generation n -c log n satisfying Lemma 3.1 and for n large enough,

P w (L w < 2δt µ n | R n ) = P w PG L x σ 2 n-s -σ 2 n-c log n , 1 σ 2 n-s -σ 2 n-c log n < 2δt µ n R n ≤ P PG (1 -δ)t µ n σ 2 n-s , λ/(λ -1) σ 2 n-s ≤ 2δt µ n ≤ e -λ √ 1-δ- √ 2δλ/(λ-1)
where

E w (1 {y,z∈F µ n } |R n ) = o(Z -(1+ ) n
) by Lemma 3.2. Therefore, by (2.5),

E w (#E µ n | R n ) = E w (#F µ n |R n ) + E w (#E µ n -#F µ n |R n ) = e -µ+o(1) + o   Z -(1+ ) n |x|=n-c log n+1 (Z x n ) 2   = e -µ+o(1) + o(1),
where is the parameter in Lemma 3.2. Moreover, conditioned on local times of layer n -c log n, the subtrees (T x ) |x|=n-c log n+1 are independent, thus for any θ > 0, the Laplace transform of #E µ n is given by Finally, by Lemma 3.2 and the union bound again, we have

E w e -θ#E µ n R n = |x|=n-c log n+1 E w e -θ•1 x∈E µ n R n = |x|=n-c log n+1 1 -1 -e -θ P w (x ∈ E µ n | R n ) = |x|=n-c
P w (#E µ n = #F µ n |R n ) = 1 -o(1)
, thus #F µ n has the same distributional limit as #E µ n , completing the proof of (3.8).

As for (3.9), {t cov n ≤ t µ n } differs from {#F µ n = 0} by whether the leaves of T n in early generations are covered, which is controlled in Lemma 3.3. Therefore, by (3.8),

P w (t cov n ≤ t µ n |R n ) = P w (#F µ n = 0|R n ) + o(1) → e -e -µ , then (3.9) follows from the asymptotic of t µ n , t µ n σ 2 n -n log m -log W → µ.
Remark 3.5. (1) For the complete binary tree, we have m = 2. Take λ → 1, then P w (•|T n ) converges to a simple random walk, our result gives (non-rigorously)

t cov n ≈ n 2 log 2 + O(n),
whereas the cover time on the binary tree of a simple random walk is (cf. eg. [START_REF] Dembo | Limit law for the cover time of a random walk on a binary tree[END_REF])

t cov n = n 2 log 2 -n log n + O(n).
Lack of the second order term n log n is due to a difference in extremal landscapes: recall the notations in the proof of Proposition 3.4, in the case of a simple random walk [START_REF] Cortines | A scaling limit for the cover time of the binary tree[END_REF], the set F µ n is approximately identically distributed clusters indexed by E µ n , whereas for the λ-biased walk, these clusters are single points instead.

(2) Following exactly the same structure of the proof, one can study the maximum of a DGFF (η x ) (recall Definition 2.5),

P max |x|=n η x ≤ σ n log Z n - 1 2 log log Z n + µ → exp - e -µ 2 √ π .
(3) Comparing the cover time to the maximum of the corresponding DGFF, as suggested in [START_REF] Ding | Cover times, blanket times, and majorizing measures[END_REF], [START_REF] Ding | A sharp estimate for cover times on binary trees[END_REF], one has Similarly, for any α > 0, and any β(α) > 0 small enough,

t cov n = λ n+1 λ -1 (n log m + O(1)), max |x|=n η 2 x = λ n+1 λ -1 n log m - 1 2 log n + O(1) .
= n i=0 Z i λ i , t > 0, then E w (τ n (t)|T n ) = E w x∈Tn π n (x)L x n (t) T n = 2ts n , ( 4
P
m i λ i W = O   m n/2 λ n/2 + n i=n/2 m i/2 log n λ i   = o m n nλ n .
Therefore, s n can be replaced by ( m λ -1) -1 m n+1 λ n+1 W , and the conclusion follows. For λ > m, similarly, the difference between ∞ i=0 Z i λ i and s n is negligible,

∞ i=0 Z i λ i -s n = ∞ i=n+1 Z i λ i = O m n λ n .
For λ = m, s n = n i=0 Z i follows from its definition in Lemma 4.1.

2. 1

 1 The trees Lemma 2.1. Let c, > 0. Under (H), for P GW (•|S)-almost surely any tree T, when n is large enough, n i=0

2 |x|σ 2 |x| 2 |x| , 1 σ 2 |x|

 22212 arrivals on x. Upon arrival at x, the walk returns to ← -∅ in exponential time, with rateP x (τ ← - ∅ < τ + x |T n ) =1 πn(x) . Therefore, the total time spent at x has distribution PG t σ πn(x) . Recall that local times are normalized by1 πn , and the result follows. Conditioned at L y n (t), the proof is similar. (Only to notice that the local times at both x, y are normalized.) Lemma 2.4. Let a, b > 0, let X ∼ PG(a, b).

→

  log n+1 e -(1-e -θ +o(1))Pw(x∈E µ n |Rn) = e -(1-e -θ +o(1))Ew(#E µ n | Rn) → e -(1-e -θ )e -µ , Poisson(e -µ ).

λx λ + ν y λ + ν x ν y λ 2 ,-|x| 2 +≤ λ n s 2 n n 2 + 2 ,

 22222 |x∧y|-|x|-|y| 1 + ν where ν x is the number of children for x ∈ T n .Moreover,λ |x∧y|-|x|-|y| ν x λ = ←z =x λ |z∧y|-|z|-|y| ,therefore the variance above is further bounded byVar w (τ n (t)|T n ) ≤ 8t λ λ -1 x,y∈Tn λ |x∧y|-|x|-|y| .Now it suffices to prove thatx,y∈Tnλ |x∧y|-|x|-|y| = o λ n s 2 n n .Indeed, fix any c > 0,x,y∈Tnλ |x∧y|-|x|-|y| ≤ |x∧y|<n-c log n λ n-c log n-|x|-|y| + |x∧y|≥n-c log n λ n-|x|-|y| ≤ λ n-c log n x∈Tn λ |x∧y|≥n-c log n λ n-2(n-c log n) λ 2c log n-n |x|=n-c log n (Z x n ) Let α → 0+,we have lim sup n→∞ P w (T cov n ≤ 2s n t µ n |T n ) ≤ e -e -µ .

  .10) Proof. The expected value (4.10) is clear using the fundamental estimates E w (L x (t)|T n ) = t and |x|=k ν x = Z k+1 . As for (4.11), for any x, y ∈ T n , conditioned at L x∧y n (t), local times L x n (t) and L y n (t) are independent with the same expected value L x∧y n (t), thus by Lemma 2.4 (1),

	Cov w (L x n (t), L y n (t)|T n ) = Var w (L x∧y n (t)|T n ) = 2tσ 2 |x∧y| ≤ 2t	λ λ -1	λ |x∧y| ,
	then by (1.2),
	Var w (τ n (t)|T n )
	= Var w	π(x)L x n (t) T n
		x∈Tn
	=	π(x)π(y)Cov w (L x n (t), L y n (t)|T n )
	x,y∈Tn
	≤ 2t	λ λ -1	x,y∈Tn
	Var w (τ n (t)|T n ) = o	tλ n s 2 n n	.	(4.11)

  w (T cov n ≤ 2s n t µ n |T n ) ≥ P w τ n (t cov n + β) ≤ 2s n t µ n , t cov n ≤ t µ-α |T n -P w τ n (t cov n + β) ≥ 2s n t µ n , t cov n ≤ t µ-α n |T n → e -e -µ+α . Proof of Theorem 1.1. By Proposition 4.2, it suffices to estimate s n . For 1 < λ < m, one can use (2.4) to show that

	n	|T n
	= P w t cov n ≤ t µ-α n
	s n -

n i=0

(log Zn+µ) ,

Acknowledgement. The author would like to thank Yueyun Hu for pointing out this topic, and providing valuable advice. I would also like to thank Yijun Wan and the reviewers for various suggestions on this paper.

where the notation P(PG(a, b) ≤ x) stands for the probability that a random variable distribution as PG(a, b) is smaller than x, and the last line is due to Lemma 2. [START_REF] Andreoletti | The number of generations entirely visited for recurrent random walks in a random environment[END_REF].

Similarly, study (L z |L w ) and (L y |L x ) by Lemma 2.3, for n large enough,

To show that the two probabilities above are bounded by

which is always possible when λ > 1.

The estimate above is enough to control the cover time of the n-th generation, however a Galton-Watson tree may have leaves in younger generations, in other words, the walk visits all vertices in the n-th generation does not guarantee that it covers T n . We treat leaves before the generation n -1 separately.

Lemma 3.3. Let µ ∈ R, and let T be an infinite tree satisfying the conditions in Lemma 2.1, then

Proof. By Lemma 2.3 and Lemma 2.4 (1), each x ∈ T n with |x| ≤ n -1 is not visited at excursion time t µ n with probability

thus by the union bound,

and the conclusion follows from (2.3).

13

Returning to the n-th generation, by Lemma 3.2, the non-visited vertices are almost independent at excursion time t µ n . Intuitively, the time to cover them is a binomial random variable of Z n-c log n trials, converging to a Poisson distribution. We conclude upon this intuition: Proposition 3.4. Let µ ∈ R, and let T be an infinite tree satisfying the conditions in Lemma 2.1, recall t µ n defined in (3.6), we have

Proof. Since both the conclusions allow a o(1) error, we may assume the conditions in Lemma 3.1 at generation n -c log n for an arbitrarily fixed c > 3 log λ . For simplicity, recall the abbreviation P w (•|R n ) in the proof of Lemma 3.2, then it suffices replace P w (•|T n ) by P w (•|R n ). Moreover, denote by

the goal is to estimate F µ n , which is achieved by comparison to E µ n . By Lemma 2.3, under P w (•|R n ), local times are distributed as

for each pair of vertices

Therefore, by Lemma 3.1, (1) .

Furthermore, by definition one has

where by (2.5) and definition of s n ,

Proposition 4.2. Recall s n from Lemma 4.1, and recall that σ 2 n = λ n+1 -1 λ-1 . Under (H), for any µ ∈ R and P GW (•|S)-almost surely any tree T,

Proof. By Lemma 2.1,

therefore it suffices to show that (rigorously speaking, one should prove the following convergence for µ ± , then take → 0 to deduce the proposition),

In other words (recall t µ n defined in (3.6)), it suffices to prove that

By (1.2), for any α > 0,