François Dubois
email: francois.dubois@u-psud.fr

Benjamin Graille
email: benjamin.graille@u-psud.fr

S V Raghurama Rao

A notion of non-negativity preserving relaxation for a mono-dimensional three velocities scheme with relative velocity

Keywords: non-negativity preserving property, advection process, numerical oscillations 2008 MSC: 76M28, 65M12

In this contribution, we study a stability notion for a fundamental linear onedimensional lattice Boltzmann scheme, this notion being related to the maximum principle. We seek to characterize the parameters of the scheme that guarantee the preservation of the non-negativity of the particle distribution functions. In the context of the relative velocity schemes, we derive necessary and sufficient conditions for the non-negativity preserving property. These conditions are then expressed in a simple way when the relative velocity is reduced to zero. For the general case, we propose some simple necessary conditions on the relaxation parameters and we put in evidence numerically the non-negativity preserving regions. Numerical experiments show finally that no oscillations occur for the propagation of a non-smooth profile if the non-negativity preserving property is satisfied.

Introduction

Studying the stability of lattice Boltzmann schemes is a non-trivial problem. Classically for this purpose, the scheme is linearized around a constant state and a von Neumann-Fourier analysis is performed. For this notion of stability, we refer to the work of Sterling and Chen in [START_REF] Sterling | Stability analysis of lattice Boltzmann methods[END_REF] where some stability results for a 7-velocity hexagonal lattice, a 9-velocity square lattice, and a 15-velocity cubic lattice are proposed; the work of Lallemand and Luo [START_REF] Lallemand | Theory of the lattice Boltzmann method: dispersion, dissipation, isotropy, Galilean invariance, and stability[END_REF] for a 9-velocity square lattice scheme applied to hydrodynamics; the one of Sieber et al. for athermal and thermal models with a larger number of velocities in two space dimensions [START_REF] Siebert | Lattice Boltzmann equation linear stability analysis: Thermal and athermal models[END_REF]; the one of Ginzburg et al. [START_REF] Ginzburg | Truncation Errors, Exact And Heuristic Stability Analysis Of Two-Relaxation-Times Lattice Boltzmann Schemes For Anisotropic Advection-Diffusion Equation[END_REF] extending the Fourier analysis to a wide variety of different two and three-dimensional lattice Boltzmann schemes; the one of Krivovichev [START_REF] Krivovichev | Stability analysis of body force action models used in the single-relaxation-time single-phase lattice Boltzmann method[END_REF] for six widely used body force action models; the one of Wissocq et al. [START_REF] Wissocq | An extended spectral analysis of the lattice boltzmann method: modal interactions and stability issues[END_REF] for projecting information carried by the lattice Boltzmann eigenvectors on the physical modes. Instabilities and their interpretation in terms of bulk viscosity have been proposed by Dellar [START_REF] Dellar | Nonhydrodynamic modes and a priori construction of shallow water lattice Boltzmann equations[END_REF]. But no mathematical analysis has been performed. A new way of improving stability is proposed by Geier [START_REF] Geier | Cascaded digital lattice Boltzmann automata for high reynolds number flow[END_REF], who proposed a new generalized lattice Boltzmann scheme with the approach of relative velocities and utilized it for hydrodynamics applications [START_REF] Dubois | Lattice Boltzmann schemes with relative velocities[END_REF]. An attempt to analyze this method for a two-dimensional scalar linear problem has been also proposed [START_REF] Dubois | On the stability of a relative velocity lattice Boltzmann scheme for compressible Navier-Stokes equations[END_REF]. Interesting tentatives have been proposed to enforce stability conditions of multiple-relaxation time lattice Boltzmann schemes with raw or central moments with von Neumann analysis and heuristic selection of wave-number vectors by Golbert et al. [START_REF] Golbert | On the search of more stable second-order schemes in confined flows[END_REF] and Chávez-Modena et al. [START_REF] Chávez-Modena | Improving the stability of multiple-relaxation lattice boltzman methods with central moments[END_REF]. Even if it is a difficult task, it is well known that Fourier method (von Neumann analysis) is a linear approach and in consequence is not relevant for analyzing non-linear hyperbolic equations. Total variation diminishing schemes, developed for suppressing oscillations in higher-order CFD algorithms [START_REF] Boris | Flux corrected transport, i: Shasta, a fluid transport algorithm that works[END_REF][START_REF] Van Leer | Towards the ultimate conservative difference scheme v. a second-order sequel to godunov's method[END_REF][START_REF] Sweby | High resolution schemes using flux limiters for hyperbolic conservation laws[END_REF], provide an alternative nonlinear stability analysis tool for analyzing the schemes for nonlinear wave propagation. The convergence of such schemes is well established [START_REF] Osher | Convergence of generalized muscl schemes[END_REF]. The underlying stability notion concerns the maximum principle. In brief, if some solution of a partial differential equation is positive on the boundary, it remains positive in all the domain of study [START_REF] Hopf | Elementare bemerkungen über die lösung partieller differentialgleichungen zweiter ordnung vom elliptischen typus[END_REF][START_REF] Gilbarg | Elliptic partial differential equations of second order[END_REF][START_REF] Khobalatte | Maximum principle on the entropy and second-order kinetic schemes[END_REF]. The lattice Boltzmann schemes do not intrinsically satisfy the property of maximum principle or the associated nonnegativity constraint as detailed by Karimi et al. [14]. This notion can be extended to non-linear cases and a first attempt for lattice Boltzmann schemes has been proposed in [START_REF] Caetano | A result of convergence for a monodimensional two-velocities lattice Boltzmann scheme[END_REF], for the D1Q2 scheme used to simulate scalar non-linear hyperbolic equations. In this contribution, we propose to investigate the stability in the maximum sense, of a linear mono-dimensional lattice Boltzmann scheme with three velocities. More precisely, we look to a non-negativity constraint for the particle distribution functions in the context of relative velocities. The objective is the description of the parameter sets of the scheme that allow the particle distribution functions to remain non-negative. It is obviously linked with the non-negativity of their equilibrium values but it only coincides with the latter property if all the relaxation parameters are taken to 1. We refer for instance to Servan-Camas et al. [START_REF] Servan | Non-negativity and stability analyses of lattice Boltzmann method for advection-diffusion equation[END_REF] where this property is investigated for several schemes used to simulate advection-diffusion equation. In Section 2, we describe the scheme and the underlying advection model. More precisely, the local relaxation step is written as a linear operator on the particle distribution functions. If all the coefficients of the underlying matrix are nonnegative, the non-negativity of the distribution is maintained during this step. Because the transport step is just a change of locus, the non-negativity is maintained for the whole time step of the scheme. The question is then to find appropriate conditions to handle this property. In Section 3, a necessary and sufficient condition is derived on the parameters to ensure that the scheme has the stability property. In Section 4, we completely describe the classical case where the relative velocity is reduced to zero. In Section 5, the general case is presented, with an analytical study for necessary conditions and a numerical one for a complete description of the stability zones. In Section 6, the presented numerical experiments show the correlation of the positivity constraint for a particle distribution and the presence of oscillations for discontinuous profiles.

Description of the framework

Description of the scheme

In this contribution, we investigate a mono-dimensional 3 velocities linear lattice Boltzmann scheme with relative velocity [START_REF] Dubois | Lattice Boltzmann schemes with relative velocities[END_REF]. Denoting ∆x the spatial step, ∆t the time step, and λ = ∆x/∆t the scheme velocity, this scheme can be described in a generalized D. d'Humière's framework [START_REF] Humières | Generalized Lattice-Boltzmann equations[END_REF]:

(1) the 3 velocities c 1 = -1, c 2 = 0, and c 3 = 1;

(2) the 3 associated distributions f 1 , f 2 , and f 3 ;

(3) the 3 moments ρ, q(u), and ε(u) given by

ρ = 1≤j≤3 f j , q(u) = λ 1≤j≤3 (c j -u)f j , ε(u) = 3λ 2 1≤j≤3 (c j -u) 2 f j -2λ 2 1≤j≤3 f j ,
where u is a given scalar representing the relative velocity; (4) the equilibrium value of the 3 moments

ρ eq = ρ, q eq (u) = λ(V -u)ρ, ε eq (u) = λ 2 (3u 2 -6uV + α)ρ,
where V and α are given scalars (without loss of generality, we assume that V > 0); (5) the 2 relaxation parameters s and s such that the relaxation phase reads

q (u) = (1 -s)q(u) + sq eq (u), ε (u) = (1 -s )ε(u) + s ε eq (u).
In this formalism, the moments are defined as polynomial functions of discrete velocities and the discrete distribution functions. Indeed, introducing the one variable polynomials P 1 (X) = 1, P 2 (X) = λX, and P 3 (X) = λ 2 (3X 2 -2) relative to an abstract indeterminate X, the three moments read

ρ = 1≤j≤3 f j P 1 (c j -u), q(u) = 1≤j≤3 f j P 2 (c j -u), ε(u) = 1≤j≤3 f j P 3 (c j -u).
The equilibrium values are chosen such that the equilibrium distributions do not depend on the relative velocity u. Indeed, we have:

f eq j = 1 6 ρ 2 + 3c j V + (3c 2 j -2)α , 1 ≤ j ≤ 3.
Note that this scheme can be used (see e.g. [START_REF] Dubois | Towards higher order lattice Boltzmann schemes[END_REF]) to simulate a scalar transport equation with constant velocity λV given by

∂ t ρ + λV ∂ x ρ = 0.
This advection equation is a first-order asymptotic limit as the space and time steps tend to zero with a fixed ratio λ ≡ ∆x/∆t. We are not interested in this contribution in the second-order asymptotic expansion and refer to the relative velocity schemes of Février et al. [START_REF] Dubois | Lattice Boltzmann schemes with relative velocities[END_REF] for the same.

With the notation x k = k∆x, k ∈ Z, and t n = n∆t, n ∈ N, one time step of the scheme reads

f j (t n + ∆t, x k + c j ∆t) = f j (t n+1 , x k+j ) = f j (t n , x k ), 1 ≤ j ≤ 3.
Note that the scheme does not depend on the relative velocity u in the case where the relaxation parameters are identical, i.e., s = s . The two moments q(u) and ε(u) depend on u but the particle distribution functions remain identical at each time iteration. In that case, for all values of u, the scheme yields the standard BGK scheme.

A notion of non-negativity preserving relaxation

In this contribution, we are concerned with the non-negativity of the particle distribution functions. We propose the following definition of stability through non-negativity preserving relaxation.

Definition 1 (non-negativity preserving relaxation). The relaxation phase is said to be non-negativity preserving if

∀j f j ≥ 0 =⇒ ∀i f i ≥ 0. (1)
This property can be viewed as referring to a weak maximum principle for schemes. Indeed, it is always possible, by adding a constant, to assume that all the particle distribution functions are initially non-negative. If the scheme ensures that this property of non-negativity remains as time marches, each particle distribution function is then bounded, as their total sum is conserved. Moreover, as the transport step consists simply in exchanging the position of the particle distribution functions, we focus on the relaxation step.

In other words, if ρ is conserved during the relaxation step (and periodic boundary conditions are used for compact space set), the sum of ρ over all the space points x k , k ∈ Z, is constant. Then the particle distribution functions verify a maximum principle

∀k ∈ Z, ∀j f j (0, x k ) ≥ 0 =⇒ ∀k ∈ Z, ∀n ∈ N, ∀j 0 ≤ f j (t n , x k ) ≤ ρ with ρ = k∈Z j f j (0, x k ).
Note that the property of non-negativity preserving relaxation is automatically satisfied if the equilibrium values of the distribution functions are non-negative and if the relaxation parameters verify s = s ∈ (0, 1]. This result does not depend on the relative velocity u (as the equilibrium values of the distribution functions do not depend on u). We will recover this result in the following.

Matrix notation for the relaxation step

We use a matrix notation for the relaxation step as it can be read as a multiplication by a matrix. As this step is local in space, we omit the dependancy on time and space. We define the vector of the distribution functions

f f = (f 1 f 2 f 3 ) T .
One relaxation step then reads

f = R(u)f,
where the matrix R(u) is defined by

R(u) = M -1 T(-u) I + S T(u)ET(-u) -I T(u)M, with M =   1 1 1 -λ 0 λ λ 2 -2λ 2 λ 2   , T(u) =   1 0 0 -λu 1 0 3λ 2 u 2 -6λu 1   , S =   0 0 0 0 s 0 0 0 s   , E =   1 0 0 V λ 0 0 αλ 2 0 0   , I =   1 0 0 0 1 0 0 0 1   .
The coefficients of the matrix M are obtained by the relations M k,j = P k (c j ), 1 ≤ k, j ≤ 3 and those of the matrix T(u) by the change of basis formula: T(u) k,l is the coefficient of the l th -element P l (c j ) in the definition of P k (c ju) according to

P k (c j -u) = 1≤l≤3 T(u) k,l P l (c j ), 1 ≤ j ≤ 3.
The matrix M is then the change of basis that transforms the vector f into the vector m(0) = (ρ, q(0), ε(0)) T :

m(0) = Mf, m(u) = T(u)Mf.
The matrix T(u) can then be viewed as the change of basis matrix from the classical moments without relative velocity toward the moments with relative velocity.

Remark on the choice of the moments

Note that the last moment ε(u) that is chosen in this contribution is not the energy but a moment that is orthogonal to the two first ones, ρ and q(u). In this section, we show that all the results of the contribution would be identical by choosing the last moment as the energy: the relaxation matrix R(u) would still be the same. We consider two schemes with two different choices of polynomials: the moments of the first scheme are defined by (P 1 , P 2 , P 3 ) while the moments of the second scheme by ( P 1 , P 2 , P 3 ). The first moment is the same in both schemes to be able to simulate the same transport equation. We then have P 1 = P 1 . We define C the change of basis matrix associated to the tranformation M into M:

M = CM.
The first line of C is then (1, 0, 0).

Proposition 1. We assume that the equilibrium values of the distribution functions are the same, that is E = CEC -1 , and that the relaxation parameters are the same, that is S = S Then, we have R(u) = R(u) for all (s, s ) iff

P 2 ∈ Span(P 1 , P 2 ), P 3 ∈ Span(P 1 , P 3 ), in R[X]/X(X -1)(X + 1).
In a practical way, the exact choice of the moments has no influence on the precise computation of the matrix R(u) even in the relative velocity framework.

If for example, we use on one hand the matrix proposed previously in this contribution M and on the other hand the favorite moment matrix of one of us, M, with

M =   1 1 1 -λ 0 λ λ 2 -2λ 2 λ 2   , M =   1 1 1 -λ 0 λ λ 2 /2 0 λ 2 /2   ,
we just change the definition of the third moment named "energy" in this contribution. We observe that

C =   1 0 0 0 1 0 λ 2 /3 0 1/6   .
The equilibrium matrices E and Proof. First, we immediately obtain the following relations by identifying the coefficients of M and of M:

E E =   1 0 0 V λ 0 0 α λ 2 0 0   , E =   1 0 0 V λ 0 0 λ 2 α+2
P k (c j ) = 1≤l≤3 C k,l P l (c j ), 1 ≤ j ≤ 3.
We deduce that

T(u) = CT(u)C -1 .
We have

R(u) = M -1 T(-u) I + S T(u) E T(-u) -I T(u) M = M -1 T(-u)C -1 I + S CT(u)ET(-u)C -1 -I CT(u)M = M -1 T(-u) I + C -1 SC T(u)ET(-u) -I T(u)M. Then R(u) -R(u) = M -1 T(-u)C -1 SC -CS T(u) E -I M.
As the matrices M, T(u), T(-u), and C are invertible, the condition

R(u) = R(u) is equivalent to (SC -CS)T(u)(E -I) = 0. Denoting C =   1 0 0 c 21 c 22 c 23 c 31 c 32 c 33   , a straightforward calculation yields (SC -CS)T(u)(E -I) = (s -s )   0 0 0 c 23 λ 2 (α -6V ) c 23 6λu -c 23 c 32 λV -c 32 0   .
Then the property R(u) = R(u) for all values of s and s is equivalent to c 23 = c 32 = 0, that ends the proof.

Positivity of the R(u) matrix

The velocity V being fixed, we propose to give a full description of the sets

Ω V,u = (s, s , α) ∈ R 3 such that R(u) is a non-negative matrix , u ∈ R.
The relaxation phase is non-negativity preserving in the sense of the Definition 1, for given V and u, if and only if the parameters (s, s , α) are in Ω V,u . Indeed, the non-negativity of the matrix R(u) imposes that all the distributions f α , α ∈ {-, 0, +}, remain non-negative if they are so at the initial time. These sets are first described by a set of nine inequalities that can be joined into just one. Numerical illustrations are then given to visualize it in the characteristic cases including single relaxation time, multiple relaxation time and relative velocity scheme.

In this contribution, we assume that V ≥ 0 without loss of generality as

Ω -V,-u = Ω V,u .
This last property is obvious after some algebra or after remarking that the transformation just exchanges the f 1 and f 3 values (corresponding to the velocities ±λ).

Positivity of the iterative matrix

The nine inequalities obtained from the matrix R(u) can be combined neatly into one formula. The inequalities are

                               R 0,0 = V su -V s 2 -V s u + αs 6 + su -s 2 -s u -s 6 + 1 0, R 0,1 = V su -V s 2 -V s u + αs 6 + s 3 0, R 0,2 = V su -V s 2 -V s u + αs 6 -su + s 2 + s u -s 6 0, R 1,0 = -2V su + 2V s u -αs 3 -2su + 2s u + s 3 0, R 1,1 = -2V su + 2V s u -αs 3 -2s 3 + 1 0, R 1,2 = -2V su + 2V s u -αs 3 + 2su -2s u + s 3 0, R 2,0 = V su + V s 2 -V s u + αs 6 + su + s 2 -s u -s 6 0, R 2,1 = V su + V s 2 -V s u + αs 6 + s 3 0, R 2,2 = V su + V s 2 -V s u + αs 6 -su -s 2 + s u -s 6 + 1 0. (2)
We prove now that the previous nine inequalities can be written in a much more lucid way.

Proposition 2. We introduce the reduced parameters u and γ according to

u = 2u(s -s ), γ = s 6 (1 -α) -u(s -s )V. ( 3
)
Then the nine previous inequalities R i,j ≥ 0 displayed in (2) are equivalent to

max(s -1, |u|) ≤ 2γ ≤ min(2 -s -|u -sV |, s -|u + sV |, s -|sV |). (4)
Proof. Consider first the two inequalities associated with R 0,0 and R 2,2 :

V su -V s u + αs 6 -s 2 -s 6 + 1 V s 2 -su + s u V su -V s u + αs 6 -s 2 -s 6 + 1 -V s 2 + su -s u .
They can be synthesized in the following form:

u 2 - V s 2 ≤ 1 - s 2 - s 6 (1 -α) + u(s -s)V = 1 - s 2 -γ
and we can write this relation as

2 γ ≤ 2 -s -|u -s V | . (5)
Write now the inequalities (2) associated with R 0,1 and R 2,1 :

V su -V s u + αs 6 + s 3 V s 2 V su -V s u + αs 6 + s 3 -V s 2 .
In other words,

| V s 2 | ≤ -γ + s 2 . Then 2 γ ≤ s -|s V | . (6)
We now focus on the inequalities (2) associated with R 0,2 and R 2,0 :

V su -V s u + αs 6 + s 2 -s 6 V s 2 + su -s u V su -V s u + αs 6 + s 2 -s 6 -V s 2 -su + s u We have | V s 2 + su -s u| ≤ V su -V s u + αs 6 + s 2 -s 6 = s 2 -γ. In consequence, 2 γ ≤ s -|u + s V | . (7)
Considering the inequalities with R 1,0 and R 1,2 , we have

-V su + V s u -αs 6 + s 6 su -s u -V su + V s u -αs 6 + s 6 -su + s u and | 1 2 u| ≤ -V su + V s u -αs 6 + s 6 = γ. In consequence, |u| ≤ 2 γ . (8)
The last inequality R 1,1 ≥ 0 can be written as -V su + V s u -αs 6 -s 3 + 1 2 0 and this inequality is equivalent to γ -s 2 + 1 2 0. In other terms,

s -1 ≤ 2 γ . (9)
The inequalities ( 5), ( 6) and ( 7) establish a triple majoration of 2 γ whereas the inequalities ( 8) and ( 9) show a double minoration of the same quantity. The proof is completed.

The particular case u = 0

In this section, we suppose that the relative velocity u is reduced to zero. Then the necessary and sufficient conditions for non-negativity preserving relaxation can be written as Proposition 3. To fix the ideas, we suppose that the advection velocity V is positive:

max(s -1, 0) ≤ s 3 (1 -α) ≤ min(2 -s -|sV |, s -|sV |, s -|sV |). ( 10
) s 0 2 2 1+V 0 1 2 s s = 3 -(1 + V ) s s = 1 + (1 + V ) s s = V s
V ≥ 0. ( 11
)
The case V ≤ 0 follows directly. When u = 0, the reduced stability conditions

max(s -1, 0) ≤ min(2 -s -|sV |, s -|sV |, s -|sV |) (12)
are equivalent to the following conditions for the relaxation parameters

       0 ≤ s, s ≤ 2 s ≥ s V s ≤ 2 1+V s ≤ min (3 -(1 + V ) s , 1 + (1 -V ) s) (13)
joined with a natural Courant type condition for explicit schemes

V ≤ 1 ( 14
)
for the advection velocity.

Of course, the conditions (10) have still to be imposed for the equilibrium parameter α when the pair s, s is given. In particular,

α ≤ 1 ( 15
)
and s ≤ 3 α + 2 . ( 16
)
Proof. We first observe that 0 ≤ max (s -1, 0) ≤ |s V | ≤ min (2s, s). Then 0 ≤ s ≤ 2. Secondly, we have |s V | ≤ s and because both s and V are positive, we have 0 ≤ s V ≤ s . We have also s V ≤ s and ( 14) is established. Moreover, s ≥ 0 and |s V | ≤ 2s implies s ≤ 2 1+V . Due to the positivity of the parameter s, we deduce from [START_REF] Gilbarg | Elliptic partial differential equations of second order[END_REF] a new set of inequalities:

s -1 ≤ max (s -1, 0) ≤ min (2 -s -s V, s -s V ). Then s ≤ min (3 -(1 + V ) s, 1 + (1 -V ) s). Moreover, s ≤ 3 -(1 + V ) s ≤ 2 because V ≥ 0.
Conversely, if the relations ( 13) and ( 14) are satisfied, we have

s -1 ≤ 2-s-s V , s -1 ≤ s-s V and s -1 ≤ s -s V . Then s -1 ≤ min (2-s-s V, s-s V, s - s V ). Moreover, 0 ≤ 2 -s -s V , 0 ≤ s -s V because V ≤ 1 and 0 ≤ s -s V . Thus 0 ≤ min (2 -s -s V, s -s V, s -s V ).
Finally the inequalities ( 12) are established and the proposition is proven.

The general case

We analyse the general case of non-zero u in this section, with suitable illustrations of the stability region for various ranges of the parameters.

Necessary conditions for stability

In this subsection, we prove the following proposition. Proposition 4. We suppose that the necessary and sufficient non-negativity preserving relaxation conditions (4) are satisfied as

max(s -1, |u|) ≤ 2γ ≤ min(2 -s -|u -sV |, s -|u + sV |, s -|sV |)
with the notations (3):

u = 2u(s -s ), γ = s 6 (1 -α) -u(s -s )V.
We suppose also that the advection velocity V is non-negative. Then, the point (s, s ) satisfies the following inequalities

           0 ≤ s V ≤ s ≤ 2, 0 ≤ s V ≤ 1, 0 ≤ s ≤ 2, s ≤ min (2 -s V, s + 1, 3 -s), s ≤ 2 1+V . (17)
With these necessary stability conditions, the parameter u has been eliminated. We have also, necessarily

V ≤ 1 ( 18
)
and |u| ≤ 1 2 . ( 19
)
Proof. We start from the inequalities (4). Then we have In consequence, we have 0 ≤ s ≤ 2 and the third point is proven. Since we made the choice of V ≥ 0 then s ≥ 0. The first inequality of the two first points are established. From s V ≤ s we have V ≤ 1 and the relation ( 18) is true. Moreover, s V ≤ 2s and the last inequality of ( 17) is true. Consider now the the inequalities

0 ≤ |u| ≤ max(s -1, |u|) ≤ min(2 -s -|u -sV |, s -|u + sV |, s -|sV |) ≤ s -
s -1 ≤ 2 γ ≤ min (2-s-|u-s V |, s-|u+s V |). We deduce s -1+|u-s V | ≤ 2 -s and s -1 + |u + s V | ≤ s.
Due to the positvity of the absolute values, we have also s ≤ 3s and s ≤ s + 1. A part of the fifth inequality of ( 17) is proven. Finally, due to the triangular inequality,

s V = |s V | ≤ 1 2 |u -s V | + 1 2 |u + s V |.
We add this inequality with the two following ones:

s -1+|u-s V | ≤ 2-s and s -1 + |u + s V | ≤ s. Then s -1 + s V ≤ 1 2 (2 -s + s) = 1 and s ≤ 2 -s V .
The fifth inequality of ( 17) is completely established. Because s V ≥ 0, we have also s ≤ 2 and the first inequality of ( 17) is also established.

We illustrate the zones of necessary stability in the Figure 2 for five particular velocities : V = 0, 1 4 , 1 3 , 1 2 and 1.

Numerical study of necessary and sufficient conditions for stability

We now illustrate the necessary and sufficient stability regions for

V = 0, V = 1 4 , V = 1 3 , V = 1 2 , V = 2
3 and V = 1 for various ranges of u in the Figure 3. Each figure represents the projection of the set Ω V,u onto the two-dimensional plane (s, s ) ∈ R 2 given by the external inequalities of (4):

max(s -1, |u|) ≤ min(2 -s -|u -sV |, s -|u + sV |, s -|sV |).
Indeed, if (s, s ) verifies ( 4), there exists always a value of α such that (s, s , α) ∈ Ω V,u . The figures were obtained by following the straight edges of the domain, which can be written as an intersection of half-planes. For each value of V , the necessary and sufficient stability regions given by the relations (4) are displayed for several values of the relative velocity: u ∈ {-2V, -V, 0, V /2, V, 2V }. In dotted line, the necessary stability region of the Proposition 4 is added for comparison. The particular value u = 0 is enhanced by filling the region in gray. Some analysis can be drawn from these figures:

s 0 2 0 1 2 s s = s + 1 s = 3 -s s 0 2 2 1+V 0 1 2 s s = s + 1 s = 2 -V s s = V s s = 3 -s s 0 2 2 1+V 0 1 2 s s = s + 1 s = 2 -V s s = V s s = 3 -s s 0 2 2 1+V 0 1 2 s s = s + 1 s = 2 -V s s = V s s 0 2 2 1+V 0 1 2 s s = s + 1 s = 2 -V s s = V s s 0 2 2 1+V 0 1 2 s s = s + 1 s = 2 -V s s = V s
• the stability region changes with the relative velocity;

• the maximal value of the first relaxation parameter s is obtained (not only) for u = 0;

• the stability region is not clearly more favorable (larger or including greater value of s) for u = V ;

• the segment corresponding to s = s ∈ (0, 1] is always in the stability region.

To conclude this section, this notion of stability allows a large set of values for the relaxation parameters. If the scheme is used to simulate the hyperbolic advection equation without second-order operators, we can try to minimize the numerical diffusion while maintaining this stability property. This task is complicated and out of the scope of the paper as the numerical second-order term reads as a non-linear formula that links all the parameters s, α, and V .

Numerical illustrations

In this section, we illustrate the stability property with numerical simulations involving the D1Q3 model, with and without relative velocity, used to simulate the linear advection equation. The stability is demonstrated for the parameters chosen according to the analysis presented in the previous sections. Oscillations are seen whenever the parameters go beyond the stability limits presented, as highlighted in the results. The parameters chosen for the simulations are the following: Moreover, all the simulations are performed for the same space range [0, 1] with periodic boundary conditions, with the same space step ∆x = 1/128, the same time step ∆t = ∆x, such that λ = 1, until the final time t = 1. For the left figures, the parameters are chosen in order to satisfy the stability property. We observe numerically also a maximum principle (the conserved moment ρ remains in the interval [0, 1] corresponding to the initial condition), even if it is not formally the stability notion that we investigate. For the right figures, the parameters are chosen in order to break the stability property. The initial conditions are built from the polynomial functions φ 0 (X) = 1, φ 1 (X) = X, and φ 2 (X) = X(3 -X 2 )/2 by

ρ k (x) =            1 2 1 + φ k 2x -3 if ≤ x ≤ 2 , 1 2 1 + φ k 5 -2x if 2 ≤ x ≤ 3 , 0 otherwise
, with = 0.125, for 0 ≤ k ≤ 2. For Fig. 4, we choose ρ(0, x) = ρ 2 (x) to have a smooth initial condition, for Fig. 5, ρ(0, x) = ρ 1 (x) to have a continuous initial condition, and for Fig. 6, ρ(0, x) = ρ 0 (x) to have a discontinuous initial condition. If the profile is smooth (Fig. 4), we have observed that no numerical oscillations occur even if the non-negativity property of the matrix is not satisfied. If the profile is just continuous (Fig. 5), small negative values of the macroscopic quantity are observed when our non-negativity property is not satisfied. Last but not least, classical oscillations are visible for discontinuous profiles (Fig. 6) if our non-negativity property is not satisfied. These oscillations are eliminated when the non-negativity property of the matrix is realized.

Conclusion

In this contribution, we have investigated a stability property for a classical mono-dimensional linear three velocities lattice Boltzmann scheme with relative velocity. This property ensures that non-negativity of the initial particle distribution functions continues to remain the same in time. We then give a necessary and sufficient condition to describe the stability region. The case without relative velocity is completely described and simpler necessary conditions are given for the general case. We finally propose some numerical simulations that illustrate the stability property: even if the stability notion that we investigate is not exactly a constraint of convexity, a numerical maximum principle is observed if the parameters are inside the stability region whereas numerical oscillations appear (in particular for the non-smooth profiles) if the parameters are outside. Moreover, relative velocities modify the stability array in a nontrivial manner. For instance, intuition might have suggested that the stability region for the relative velocity equal to the advection velocity contains all the others but it is really not the case. For a given advection velocity, relative velocities cannot be used to increase the value of the first relaxation parameter, the one involved in the numerical diffusion operator.

In order to focus on fundamental aspects, we have assumed periodic boundary conditions in this contribution. Of course, the possibility of including more realistic boundary conditions and the associated source terms is an important task for a future work.

The non-negativity of the relaxation matrix could be extended to nonlinear schemes. The theoretical study will then be much more technical and has not been performed. Nevertheless, numerical experiments for the Burgers equation show that the behavior of the D1Q3 scheme, and in particular the appearance or absence of oscillations, is analogous to the linear case.

  by E = CEC -1 in order to maintain identical the equilibrium distribution functions. Then we maintain unchanged the relaxation coefficients because S = S.

Figure 1 :

 1 Figure 1: Necessary and sufficient stability regions described by the inequalities (12) for a null relative velocity u. Illustration proposed for V = 2 3 .

1 2 ( 2 -

 12 |sV | and s ≥ |sV | ≥ sV . With the same type of inequalities, |u|+|u-s V | ≤ 2-s and |u|+|u+s V | ≤ s. If we remark that |u| ≤ 1 2 |us V | + 1 2 |u + s V |, we deduce that 2 |u| ≤ s + s) = 1 and the inequality (19) is proven. We have the triangular inequality |s V | ≤ |u-s V |+|u|. Then from the general stability conditions (4), we deduce |us V | + |u| ≤ 2s and |s V | ≤ 2s. In a similar way, |s V | ≤ |u + s V | + |u|, |u + s V | + |u| ≤ s from (4) and finally |s V | ≤ 2s. We put together the two inequalities and we have 0 ≤ |s V | ≤ min (s, 2s).

Figure 2 : 4 [

 24 Figure 2: Necessary stability regions descibed by the inequalities (17) for V = 0, V = 1 4 [first line, from left to right], V = 1 3 , V = 1 2 [second line, from left to right], and for V = 2 3 , V = 1 [third line, from left to right].

Figure 3 :

 3 Figure 3: Numerical study of necessary and sufficient stability regions

Figure 4 :Figure 5 :Figure 6 :

 456 Figure 4: Smooth profile with a continuous derivative. The parameters for the D1Q3 are tuned in order to have (left) or not (right) the non-negativity property

Acknowledgements

This work was supported by the public grant "Lattice Boltzmann Methods and Extensions" given by the Indo-French Centre for Applied Mathematics (IF-CAM), affiliated to the Indo-French Centre for the Promotion of Advanced Research (CEFIPRA, India) and the Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS, France).


M Kretz

Jeanine Ohl
email: jeanine.ohl@chru-strasbourg.fr

Hélène Letur
email: helene.letur@cliniquedenavarre.com

Anne Guivarch
email: anne.guivarch@orange.fr

Sophie Catteau-Jonard

Jacques De Mouzon
email: jacques.de.mouzon@gmail.com

Mathilda Kretz
email: mathilda.kretz@chru-strasbourg.fr

Sous

Mme Kretz

Dr Letur Hélène

comparaison entre les nullipares et celles qui ont déjà procréé

à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d'enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Les derniers chiffres disponibles de l'Agence de Biomédecine concernant l'année 2017 (https://rams.agence-biomedecine.fr/don-de-gametes) rapportent une stabilité du nombre total de donneuses (756 en 2017 versus 741 en 2016) alors que le nombre de donneuses n'ayant jamais procréé a augmenté de 70% entre 2016 et 2017, passant de 144 à 245. Néanmoins, bien que 756 femmes aient donné des ovocytes, il en faudrait 4 à 5 fois plus pour prendre en charge l'intégralité des couples demandeurs. Des campagnes de dons ont aussi été réalisées mais le nombre de donneuses reste faible (756 en 2017, données Agence de la biomédecine 2019), avec 1245 cycles de transfert à une receveuse, alors que le besoin serait, selon la moyenne européenne (EIM 2018), de plus de 6000 cycles de transfert par an.

Le don d'ovocytes se pratique en France depuis les années 1985 [START_REF] Frydman | A protocol for satisfying the ethical issues raised by oocyte donation: the free, anonymous, and fertile donors[END_REF] et la loi de 1994, impose aux équipes françaises, pour l'exercice du don d'ovocytes, les principes éthiques français du don de sang, à savoir la gratuité et l'anonymat. La démarche de la donneuse doit être volontaire et le don ne peut être proposé qu'à des donneuses qui ont déjà procréé. L'ensemble de ces conditions fait que le nombre de donneuses reste très faible.

La loi de 2011 [3] (avec ses décrets publiés en 2015[1]), ouvre l'autorisation au don aux donneuses nullipares, avec l'obligation pour le praticien de les informer de la possibilité de conserver une partie de leurs gamètes à leur propre bénéfice selon des règles de répartition fixées par arrêté en décembre 2015. Ainsi, cette autoconservation est secondaire au don qui doit rester la démarche prioritaire.

De fait, en France, hors préservation pour risque d'altération prématurée de la fertilité, l'autoconservation ovocytaire n'est actuellement réalisable qu'au cours d'une démarche de don d'ovocytes ce qui soulève un problème éthique. Le Groupe d'Étude français pour le Don d'Ovocytes (GEDO) a émis des réserves sur cette mesure en raison de processus psychiques de nature différente dans le même temps, d'un statut inégalitaire dans le bassin des donneuses et dans la société, d'une insupportable pression pour certaines femmes dont la motivation première était l'autoconservation contraire au principe du volontariat -la donneuses peut consentir sans être volontaire -, d'une ambiguïté dans le principe de gratuité car environ deux tiers des femmes considèrent cette possibilité comme une compensation pour les contraintes inhérentes au don. Ce qui semble encore plus injuste est la faible efficience de l'autoconservation. Il faudrait 12 à 20 ovocytes matures vitrifiés pour espérer un enfant, alors que beaucoup moins sont effectivement conservés.

Alors que la loi de Bioéthique est en passe d'être actualisée cette année, le Groupe d'Étude français pour le Don d'Ovocytes (GEDO) présente dans ce travail les caractéristiques des donneuses en 2017-2018, faisant suite à une enquête en 2016 [START_REF] Ohl | Qui sont les donneuses nullipares? Présentation pour la Fédération Française d[END_REF]. Il s'agit de savoir si le décret de 2015 a permis de diversifier l'origine du don d'ovocytes grâce au recrutement de jeunes donneuses et si le don était forcément motivé par la possibilité d'autoconserver. Ce travail permet de mieux cerner le profil des donneuses d'ovocytes (nullipares et ayant procréé) et les issues des dons, notamment celles des femmes souhaitant une préservation de leur fertilité.

Patientes et Méthodes

Les patientes incluses dans l'enquête du GEDO sont celles ayant consulté pour un don Les questionnaires remplis par chaque centre ont été adressés au coordinateur de l'étude qui les a saisis sur un fichier Excel. Les données ont ensuite été analysées par l'épidémiologiste.

Elles sont présentées sous forme de pourcentages pour les variables qualitatives et de moyennes accompagnées de leur écart-type pour les variables quantitatives.

Des comparaisons ont été réalisées, notamment entre les donneuses multipares et les nullipares et entre les centres sur les caractéristiques des donneuses, ou les motifs de dons. Les comparaisons ont été réalisées par test de chi2 pour les variables qualitatives et par test de t de Student pour les variables quantitatives. Au moment du questionnaire, les donneuses sont âgées de 19 à 39 ans, en moyenne de 31,0 ± 4,5 ans (Tableau 1), avec des différences entre centres (p<0,05), légèrement plus jeunes à Lille (p<0,01) et plus âgées à Tenon (p=0,02). La différence entre les centres porte sur les femmes nullipares (p<0,01) et non sur les multipares (p=0,50).

Résultats

Les donneuses ont en général un niveau d'études supérieur à la licence et peu n'ont pas le baccalauréat (61,8% et 8,4% respectivement), avec quelques fluctuations non significatives entre centres (Tableau 1). Le pourcentage de donneuses sans activité (étudiantes incluses) est de 13,1 %, sans différence globale.

On note quelques fluctuations dans l'importance de la fratrie, avec une fratrie plus réduite à Paris (p<0,01) (Tableau 1). Parmi les 81 patientes exprimant un projet différé, 69 donnent une estimation du délai de réalisation, dans les 2 ans pour 47,8 % et entre 3 et 5 ans pour 44,9%, sans différence significative selon les centres (p=0,55 et p=0,95 respectivement). La raison principale du projet différé est donnée dans 71 cas. Il s'agit de l'absence de conjoint dans 29 cas, suivie de l'activité professionnelle (20 cas), de l'organisation familiale (11 cas), de l'âge (5 cas) ou de raisons diverses (6 cas).

Sensibilisation au don

Les questions sur le mode de sensibilisation au don ont été remplies par 222 patientes (98,7%). Parmi les répondeuses, la plupart (90,1%) ont rapporté un seul mode de sensibilisation au don et 9,9% plusieurs modes. On peut noter l'importance de l'environnement (familial, amical ou professionnel) cité dans 57,2% des cas, dont 50,0% comme unique mode. Viennent ensuite les médias, pour 20,7% des donneuses (dont 15,3% comme seul mode). Les autres modes de sensibilisation sont plus anecdotiques, notamment la campagne d'information de l'ABM (citée au total dans 9,5% des cas), internet (7,7%), les soignants, qu'il s'agisse de ceux du centre (6,8 %) ou d'autres (6,8%) ou les associations de patients (1,3%).

Le type de démarche a été renseigné par 223 patientes (99,1%). Elle a été qualifiée essentiellement comme spontanée (70,4 %, n=157). Dans de moindres proportions, la démarche est motivée par au moins une personne de l'entourage (dit « relationnel », 24,7%, n=55) ou mixte (2,7 %, n=6).

Pour quelques femmes, la démarche a été menée dans un but d'autoconservation, ou spontanément après AMP ou à travers une recherche d'information.

Toutes les donneuses ont répondu aux questions sur l'information qu'elles ont donnée de leur démarche à leur famille ou à leurs amis. Au total, 78,7% des femmes ont informé leur famille, 90,2 % leur amis, 73,3 % ont informé les 2, alors que 5,3 % n'ont informé que la famille, 16,9% n'ont informé que des amis et 4,4 % seulement n'ont informé personne. Les commentaires sont très divers, difficiles à analyser mais essentiellement positifs.

Enfin, sur 212 réponses, près de la moitié des couples ont eu une expérience d'infertilité dans l'entourage (47,6%). Parmi ces dernières, une infertilité était rapportée dans 61,5% des cas dans leur famille, 48,5% chez des amies et 13,1% dans leur propre histoire (plusieurs réponses possibles).

Raison du don

Parmi les 224 donneuses qui ont donné la raison de leur démarche, l'altruisme est le motif le plus fréquemment cité (94,6%). Il est cité seul dans 56,3%, associé à une utilité pour ellesmêmes (autoconservation) dans 13,8%, à une autovalorisation pour 17,9 % et aux 2 pour 6,7%.

Une utilité pour soi est donnée dans 24,6% des cas, seule (2,7%), associée à l'altruisme (13,8%) ou à une auto-valorisation (1,3%) ou aux 2 (6,7%). Enfin, l'autovalorisation est citée dans 27,3% des cas, seule (1,4%), associée à l'altruisme (17,9%), à l'utilité pour soi (1,3%) ou aux 2 (6,7%).

Souhaits de connaître l'issue

Au total, 219 femmes ont répondu à la question de savoir si elles aimeraient avoir une information sur l'issue du don. On peut noter que 167 souhaitent connaître le nombre d'ovocytes donnés (76,2%), 150 souhaitent savoir si le don a abouti à une grossesse (68,5%), 27 souhaitent connaître l'identité des enfants (12,3%) et 55 souhaitent que les enfants puissent les connaître (25,1%).

Comparaisons nullipares / multipares

Les donneuses nullipares sont âgées de près de 30 ans en moyenne (Tableau 3) et sont plus jeunes que les multipares d'un peu plus de 2 ans (p<0,001). Elles ont un niveau d'étude plus élevé (p<0,001) et sont plus souvent étudiantes (p<0,01). En revanche, les donneuses multipares ont des fratries un peu plus importantes bien que non significativement (p=0,11), sont beaucoup plus souvent en couple (83,2% vs. 31,7 ; p<0,001) et celles en couples habitent plus souvent avec leur conjoint (95,9% vs. 70,0% ; p<0,001). Enfin, elles ont moins souvent un désir d'un enfant (26,1% vs. 56,4% ; p<0,001).

Le mode de sensibilisation au don (Tableau 4) est légèrement différent entre nullipares et multipares (p<0,02). On retrouve des différences significatives pour la sensibilisation par le centre de FIV (1,0% pour les nullipares vs. 11,8% pour les multipares ; p<0,01) et pour l'ensemble des informations par les media, l'Agence de biomédecine et internet (47,1% vs. 29,2% ; p<0,01). La démarche est plus souvent spontanée chez les nullipares par rapport aux multipares (80,6% vs. 65,0% ; p<0,01) et moins souvent relationnelle (17,5% vs. 31,6% ; p<0,02). Elle est effectuée moins souvent par altruisme seul (36,5% vs. 73,3% ; p<0,001).

La proportion de femmes avec infertilité dans l'entourage est un peu plus élevée chez les multipares mais non significativement (p=0,15) et il n'y a pas de différence quant à l'information donnée à son entourage (p=0,48).

Il n'y a aucune différence entre nullipares et multipares en ce qui concerne l'information qu'elles souhaitent avoir après le don (Tableau 4). La très grande majorité souhaitent une information (86,7% chez les nullipares, 84,2% chez les multipares). Cette information concerne surtout le nombre d'ovocytes donnés (79,2% et 75,8%), voire l'obtention d'une grossesse chez la receveuse (65,3% et 72,9%). En revanche elles sont rares à vouloir connaître l'identité des enfants (11,5% et 13,8%) et à peine un peu plus nombreuses à souhaiter que ces derniers puissent connaître leur propre identité (24,0% et 27,8%).

Questionnaire spécifique aux nullipares et aux multipares

Toutes les nullipares (n=104) ont répondu à quelques questions spécifiques.

-67 (64,4%) ont déclaré connaître l'existence de l'autoconservation avant la consultation. Enfin, 38 (32,2%) auraient pu demander à bénéficier de la conservation ovocytaire si celle-ci était autorisée en France pour toutes les femmes, en dehors du don d'ovocytes.

Avis généraux sur le don d'ovocytes

Au total, 222 patientes ont rempli la partie finale du questionnaire (Tableau 5

Discussion

Ce travail constitue à ce jour le plus important recueil des caractéristiques des femmes françaises se présentant pour donner des ovocytes.

Age des donneuses

En 2014 en Europe, Pennings [START_REF] Pennings | Sociodemographic and fertility-related characteristics and motivations of oocyte donors in eleven European countries[END_REF]

Révision de la loi de Bioéthique

Bien qu'actuellement 1 enfant sur 30 soit issu de l'assistance médicale à la procréation, le don d'ovocytes en France n'est à l'origine que de 1 % des naissances AMP (environ 250 enfants par an) [START_REF]Un âge supérieur ou égal à 65 ans a été retrouvé significativement associé à un risque accru de DV en analyse multivariée[END_REF] . La France ne réalise que 2 % des dons d'ovocytes de l'Union Européenne, ce qui est infime par rapport à l'Espagne, la République Tchèque et la Grèce qui réalisent 77 % de l'activité don d'ovocyte de l'UE (respectivement 59%, 9% et 8%). La rémunération du don pourrait expliquer en partie cette disparité : les donneuses d'ovocytes reçoivent de 400€ à 2000€ par procédure dans ces pays.

Des États généraux de la bioéthique ont été lancés en France en janvier 2018, appelant la société́ a ̀ réfléchir a ̀ de possibles évolutions du cadre législatif de l'AMP. L'accès a ̀ l'AMP pour toutes les femmes, y compris celles vivant seules ou en couple de même sexe, est débattu.

Beaucoup de personnes souhaitent le maintien de l'anonymat des donneurs mais suggèrent la possibilité de transmettre, avec l'accord du donneur, certaines informations non identifiantes aux personnes conçues par don et aux parents qui le demanderaient, voire l'identité des donneurs. Il faut souligner qu'il est actuellement impossible de garantir l'anonymat des donneurs devant l'avènement des banques d'ADN [START_REF] Harper | The end of donor anonymity: how genetic testing is likely to drive anonymous gamete donation out of business[END_REF]. Malgré tout, de nombreuses femmes sont désireuses de connaître l'issue de leur don, notamment le nombre d'ovocytes donnés (76,2%) et si le don a abouti à une grossesse (68,5%). Cependant il y a moins de volonté de connaître les enfants issus du don (12,3%), comme constaté également dans la littérature [START_REF] Miettinen | Attitudes of anonymous and identity-release oocyte donors towards future contact with donor offspring[END_REF].

En ce qui concerne l'autoconservation ovocytaire pour âge, il a été proposé de réfléchir davantage aux raisons sociétales qui poussent les femmes à repousser l'âge de la première grossesse, suggérant que ce n'est pas aux femmes de s'aligner sur les hommes qui ont le droit d'autoconserver avant une stérilisation. La question de la prise en charge financière se pose, le cas échéant cela entraînerait une discrimination envers les femmes moins aisées. Une autre solution serait de proposer par exemple une ponction où tous les ovocytes seraient attribués aux receveuses et, pour celles qui le souhaitent, de réaliser une autre ponction pour une conservation personnelle.

Pistes pour rendre le don plus attractif

La légalisation de l'autoconservation ovocytaire pour âge semble se profiler : quelles en seront les modalités ? Si la ponction ovocytaire recueille plus d'ovocytes que prévu, le partage ovocytaire va-t-il être encouragé ? A quel prix ? Devrait-il s'agir d'une demande de convenance ne relevant pas de la solidarité nationale ? Faudrait-il maintenir la gratuité pour les femmes acceptant une mutualisation après un certain délai ?

Pennings en 2018 [START_REF] Pennings | Attitude towards reciprocity as a motive for oocyte donation[END_REF] a étudié l'attitude des couples en attente d'un don de sperme par rapport à un don réciproque où la femme ferait un don d'ovocyte : cet acte réduirait leur temps d'attente et la majorité des couples sont favorable à contribuer au système auquel ils bénéficient.

La rémunération du don est une question épineuse dont il ne sera pas question en France, même si cela augmente le nombre de donneuses de plus jeune âge dans les autres pays.

Il serait intéressant de sensibiliser les jeunes femmes au don d'ovocytes dès leur majorité : au lycée, à l'université, dans les lieux fréquentés par une population jeune. Il se trouve que ce type de don est encore peu connu chez les jeunes (95% chez des élèves infirmières et 48% en école d'architecture, Mémoire de Marie Torres, 2017, non publié). Dans une étude menée auprès d'étudiantes italiennes en 2019 [START_REF] Tozzo | Understanding social oocyte freezing in Italy: a scoping survey on university female students' awareness and attitudes[END_REF], seulement 19,5% de ces jeunes femmes était en faveur de la préservation sociétale et 48,4% trouvait que les frais devraient être à la charge de la femme.

Limites de notre travail

La principale limite de ce travail est le faible effectif et la faible couverture nationale.

Un autre biais est le manque des réponses au questionnaire alors que l'issue de la ponction est connue et inversement, le questionnaire est déjà réceptionné mais la ponction n'a pas encore eu lieu. Peut-être qu'un questionnaire dématérialisé sur internet aurait été plus attractif.

De plus, le questionnaire par lui-même entraîne des biais difficilement atténuables.

Il aurait été intéressant de renseigner l'orientation sexuelle, au vu des futures modifications de la loi concernant les couples de femmes.

Conclusion

Neuf ans après la publication de la Loi Bioéthique et 5 ans après le début de l'application du décret autorisant le don d'ovocytes des nullipares et l'autoconservation de leurs gamètes non dédiés au don, cette étude a permis de cerner le profil des donneuses en France. En analyse multivariée, Hong et al [11] ont observé que le Qmax pré-opératoire était corrélé au risque de RAU post-opératoire immédiate (p=0,007). Dans cette étude, un Qmax inférieur à 15ml/sec était associé à une prévalence de 27% de RAU post opératoire. Enfin, une étude a observé qu'un Valsalva leak point pressure (VLPP) pré-opératoire >60cmH2O était prédictif d'une absence de DV post-opératoire (OR 0,13 (IC95% :0,036-0,5) ; p=0,03) [START_REF] Pennings | Central role of altruism in the recruitment of gamete donors[END_REF].

Discussion

Conclusion

Les facteurs associés à un risque important de RAU ou de DV en post-opératoire immédiat après BSU chez la femme sont l'âge supérieur à 65 ans, les antécédents de chirurgie pelvienne ou de RAU, une hypoactivité détrusorienne et un Qmax pré-opératoire inférieur à 15ml/sec.

Déclaration de conflits d'intérêts

Les auteurs déclarent ne pas avoir de conflits d'intérêts en relation avec cet article

  Bien que le don d'ovocytes soit accessible aux nullipares françaises depuis 2015[1], l'activité relative au don d'ovocyte en France reste faible et le nombre de dons reste cruellement insuffisant pour satisfaire les couples en attente. Ce délai d'attente est en partie responsable de la demande croissante de soins transfrontaliers pour le don d'ovocytes, notamment vers différents pays européens où des banques d'ovocytes émergent.

  d'ovocytes et/ou bénéficié d'une ponction ovocytaire entre le 1 er janvier 2017 et le 31 décembre 2018 dans 5 centres français d'Assistance Médicale à la Procréation : Lille-CHU, Rennes-CHU, Strasbourg-CHU, Paris Tenon (CHU) et l'Institut Mutualiste Montsouris (ESPIC) à Paris. Il s'agit donc d'une étude de cohorte rétrospective multicentrique observationnelle et descriptive. Un questionnaire anonymisé (cf. annexe 1) a été remis à la femme désireuse de donner ses ovocytes lors de la 1 ère consultation avec le gynécologue. Pour les patientes n'ayant pas eu le questionnaire immédiatement, il a été envoyé après le don ou après la récusation. Ce questionnaire a été élaboré par les membres du GEDO et validé par le comité d'éthique du GEDO. Il interrogeait ces femmes sur leur mode de vie, leur profil socio-professionnel, leurs motivations, leur point de vue et celui de leur entourage à propos du don d'ovocyte et de l'autoconservation. L'issue du don a été complétée anonymement par le centre. Avant d'accepter la patiente en don d'ovocytes, ses antécédents personnels et familiaux ont été recueillis, un bilan complet réalisé et le dossier était présenté à une commission spécifique où il était validé ou récusé. L'hyperstimulation ovarienne contrôlée est menée avec un protocole antagoniste. La ponction ovocytaire est réalisée environ 36 heures après un déclenchement de l'ovulation par agoniste de la GnRH le plus souvent. Les ovocytes sont ensuite attribués aux receveuses, soit lors du cycle de ponction (cycle frais) ou ultérieurement après vitrification. Pour les donneuses nullipares, si le nombre d'ovocytes est suffisant et si la donneuse le désire, des ovocytes sont vitrifiés pour l'autoconservation suivant la règle de répartition fixée dans l'arrêté de décembre 2015.

3. 1 .

 1 Description générale et caractéristiques des donneuses Devant le travail prospectif de cette enquête du GEDO seuls cinq centres d'Assistance Médicale à la Procréation ont souhaité participer parmi la trentaine des centres français pratiquant le don d'ovocytes. Entre le 1 er janvier 2017 et le 31 décembre 2018, 248 dossiers de don d'ovocytes ont été ouverts, dont 5 pour des patientes ayant donné 2 fois (Tableau 1), 108 chez des nullipares et 140 chez des multipares. Parmi les 248 dossiers de dons, 23 questionnaires n'ont pu être collectés : 20 n'ont pas été renvoyés par la donneuse même après rappel par courrier, une donneuse a refusé et 2 dossiers ont été perdus de vue. Le taux global de réponses est de 90,7%. L'enquête porte sur les 225 dossiers avec questionnaire rempli. La proportion de nullipares (43,5%) varie beaucoup selon les centres, elles sont bien plus représentées dans les centres parisiens (68,3% vs. 35,1% ; p<0,001).

  Parmi celles-ci, 54 (80,6%) souhaitaient conserver,[START_REF] Pennings | Central role of altruism in the recruitment of gamete donors[END_REF] non et 1 ne le savait pas. Parmi les 54 désirant conserver, 15 ont déclaré que l'autoconservation était leur démarche prioritaire (27,8%). Parmi les 67 femmes connaissant la possibilité d'autoconservation, 3 auraient souhaité ne pas faire de don et 44 (65,7 %) feraient toutefois un don même si elles n'étaient pas dans cette obligation. -40 femmes (38,5%) ne connaissaient pas l'autoconservation. Parmi celles-ci, 32 (80,0%) ont souhaité en bénéficier et 4 en ont fait leur démarche prioritaire. Parmi ces 40 femmes, 3 auraient souhaité ne pas faire de don, pourtant 3 femmes (82,5%) effectueraient un don même si la loi permettait l'autoconservation seule. Parmi les 121 multipares, 119 ont répondu au questionnaire spécifique. -Parmi celles-ci, 37 avaient eu 1 enfant, 55 en avaient eu 2, 23 en avaient eu 3 et 4 en avaient eu 4. Par ailleurs, 56 (47,1%) connaissaient avant la consultation médicale la possibilité de conserver des ovocytes pour les donneuses n'ayant pas encore eu d'enfant.

---o-

  La donneuse nullipare est plus jeune de deux ans en moyenne avec un niveau d'études plus élevé que la donneuse ayant procréé laquelle vit plus volontiers en couple. Par ailleurs, les femmes sont sensibilisées au don d'ovocytes de plus en plus par les médias que par leur environnement et on observe une augmentation des dons spontanés par rapport aux dons relationnels qui sont plus souvent associés aux donneuses ayant procréé. Le don est principalement altruiste, non motivé par une compensation, y compris chez les nullipares, mais on remarque également une augmentation des demandes d'autoconservation qui est souvent considéré comme une forme de compensation, et, dans ce contexte, il n'est pas aisé de faire la part des motivations claires entre les deux démarches. La législation française n'offre pas actuellement de proposition satisfaisante pour les femmes souhaitant autoconserver. Une évolution semblerait néanmoins se profiler. Pour le don stricto sensu, l'ouverture du don d'ovocytes aux femmes nullipares a permis d'augmenter le bassin de population des donneuses, de le rajeunir et d'en modifier le profil sur certains points, mais en raison de la possibilité d'autoconserver pour celles-ci, l'efficience de cet apport reste à analyser. De surcroît, la démarche de don d'ovocytes et d'autoconservation dans le même temps n'est pas souhaitable et a été appelée par le GEDO à être amendée au niveau de la future Loi Bioéthique. Annexe 1 : Questionnaire Numéro patiente (sera effacé au moment de l'analyse statistique de l'enquête) /____________________/ « Sans préjudice de la Loi de Bioéthique actuellement en vigueur » ENQUÊTE GEDO SUR LES DONNEUSES D'OVOCYTES NOM DU CENTRE : QUESTIONNAIRE DONNEUSE 1. Informations concernant toutes les donneuses -Date de votre premier contact avec le centre pour don (mois/année) : /_____/_________/ -Âge (en années) lors de ce premier contact : /___/___/ Pays ou département de naissance (en clair si pays) : /___/___/ Département de domiciliation /___/___/ Niveau d'études (cocher) /__/ inférieur à baccalauréat ; /__/ baccalauréat ou plus ; Si oui, Nombre d'années d'études après le Bac : /_____/ Activité professionnelle (cocher) : /__/ En activité ; /__/ sans profession ; /__/ Étudiante o Si étudiant : discipline en clair) : _________________________________ -Profession (en clair) : ______________________________________________ -Nombre de frères et soeurs : /___/

  Dans la plupart de ces études, l'évaluation s'étendait sur plusieurs semaines en post opératoire bien que cette procédure soit réalisée principalement en ambulatoire et que cette complication semble être la principale cause d'échec d'ambulatoire. A notre connaissance, notre travail est le premier à réaliser un état des lieux de la littérature sur les facteurs de risques de ce type de complications en post opératoire immédiat. L'une des principales limites de cette analyse est la grande hétérogénéité de la définition de la DV et de la RAU. Il est en effet plus difficile de conclure lorsque le fait étudié n'est pas strictement défini de la même façon dans les différentes publications. Cependant, l'objectif de l'étude était l'évaluation des facteurs prédictifs quelle que soit la définition choisie, aucune définition n'étant consensuelle dans la littérature. De plus, les définitions choisies dans les articles sélectionnés étaient toutes cohérentes et présentaient souvent de fortes similitudes entre elles. Une autre limite est que seulement 3 études ne comprenaient pas de chirurgie concomitante. La chirurgie concomitante dans ce contexte peut être un biais d'interprétation important. Cependant, aucune des études ne retrouvait la chirurgie concomitante comme un facteur prédictif de DV ou de RAU post opératoire. Une explication est probablement que la grande majorité de ces interventions étaient des réfections/plicatures vaginales postérieures ou antérieurs peu étendues. Les antécédents de chirurgie pelvienne ont en revanche été mis en évidence comme des facteurs prédictifs de DV dès le début des années 2000. Mutone et al [25] montraient sur 153 patientes qu'un antécédent de chirurgie de l'incontinence (p=0,08) ou de chirurgie correctrice de prolapsus (p=0,06) était associé à un sur-risque de DV. Certains auteurs ont avancé l'hypothèse d'une mobilité altérée de la paroi vaginale antérieure et des lésions nerveuses secondaires aux dissections pelviennes lors des chirurgies telles que la correction du prolapsus, de l'incontinence ou l'hystérectomie , ceci pouvant expliquer les DV ou RAU post-opératoires [28]. L'âge élevé supérieur à 65 ans a été décrit comme facteur prédictif dans de nombreuses études. Dans une analyse multivariée, Salin et al [29] ont observé que l'âge était un facteur prédictif de DV à 3 mois et Mutone et al [25] ont retrouvé une tendance significative entre l'âge et les DV post BSU. Une des explications pourrait être une prévalence accrue d'hypoactivité détrusorienne chez les femmes de plus de 65 ans. L'étiologie peut être le diabète, mais dans beaucoup de cas, elle demeure multifactorielle voire idiopathique. Bien que d'autres facteurs cliniques aient été mis en évidence certains d'entre eux sont difficilement interprétables. Ainsi, l'anxiété pré-opératoire (évoquée par Barron et al [12]) est particulièrement difficile à évaluer et l'utilisation d'échelles subjectives et le seuil de significativité choisi dans l'étude (p<0,2) sont contestables. L'anesthésie générale est apparue comme un facteur prédictif de survenue de DV et l'anesthésie loco-régionale comme facteur protecteur dans plusieurs études. On peut cependant imaginer que cette association soit liée aux critères de choix de l'anesthésie plutôt qu'au type d'anesthésie elle-même. En effet, l'anesthésie loco-régionale (rachi-anesthésie) est associée à une « vessie périphérique » expérimentale transitoire qui peut être un facteur limitant la reprise mictionnelle, même lorsque des drogues à action courte sont utilisées (prilocaïne ou chloroprocaïne versus bupivacaïne). De plus ce résultat est d'autant plus surprenant que les données de la littérature suggèrent précisément l'inverse cependant ces études n'évaluaient pas spécifiquement la recherche de facteurs de risque de RAU ou de VD dans le post-opératoire immédiat (<72h) des BSU [30, 31]. Concernant les paramètres urodynamiques, le facteur principalement retrouvé était le Qmax préopératoire. Ce résultat est en adéquation avec de nombreuses études qui ont mis en évidence ce critère urodynamique comme majeur pour prédire la survenue de DV ou de RAU post BSU. L'obtention d'un seuil discriminant est fondamentale afin de prédire au mieux la survenue de telles complications. Dans une étude de 2005, Park et al [32] proposaient un seuil de 20ml/sec comme prédictif de DV post BSU. Il semble qu'un seuil de 15 ml/sec soit toutefois plus pertinent, associé à une prévalence des DV et des RAU allant de 12 à 35% [6, 11, 13]. Duckett et al [6] ont observé une absence de DV ou de RAU pour un Qmax>30ml/sec. L'hypoactivité détrusorienne a été retrouvé dans trois études concernant les BSU et avait déjà était évoqué comme facteur de risque de RAU pour l'ancien gold-standard chirurgical (colposuspension retropubienne) [33]. Une étude prospective unicentrique, avec un faible nombre d'opérateurs portant sur une technique de BSU donnée et évaluant spécifiquement les facteurs prédictifs de RAU et de VD pourrait être particulièrement intéressante dans ce contexte.

  a montré que les donneuses françaises, qui avaient toutes eu au moins un enfant, avaient en moyenne 31 ans contre 25,6 ans pour les espagnoles (dont 65,2% de nullipares) et 30,1 ans pour les anglaises (dont 62,1% de nullipares). En Belgique, l'âge moyen des donneuses était de 30,2 ans et seulement 26,1% étaient nullipares. Dans l'étude européenne de Pennings[START_REF] Pennings | Sociodemographic and fertility-related characteristics and motivations of oocyte donors in eleven European countries[END_REF], 61,7% des donneuses françaises (tout au moins primipares) avaient un niveau universitaire, contre 22,5% en Espagne (34,8% avaient au moins un enfant) et 52,3% en Belgique (73,9% avec au moins un enfant). Dans le Minnesota, Klock[START_REF] Klock | Minnesota Multiphasic Personality Inventory (MMPI-2) profiles in the assessment of ovum donors[END_REF] observait un niveau d'éducation élevé chez 37% des donneuses (49% des nullipares).Les femmes sont de plus en plus sensibilisées par les médias. La démarche est alors plus spontanée. Le don relationnel est en déclin ce qui est une bonne chose quand on connaît les limites du système. En effet, le don relationnel ou dirigé a été accusé de permettre à un couple en attente de gamètes de réduire son temps d'attente en « recrutant » une donneuse. Même si elles ont compris que leur don n'aurait pas été destiné à leurs proches. C'est le constat de Pennings[START_REF] Ohl | Qui sont les donneuses nullipares? Présentation pour la Fédération Française d[END_REF] où le plus grand groupe de donneuses étrangères en Belgique étaient des françaises voulant faire un don direct ou dirigé[START_REF] Pennings | Sociodemographic and fertility-related characteristics and motivations of oocyte donors in eleven European countries[END_REF].Le contre-don reste marginal et ne concerne que 4 femmes de notre cohorte. Pennings a observé en 2018[START_REF] Pennings | Attitude towards reciprocity as a motive for oocyte donation[END_REF] chez les couples ayant bénéficié d'une naissance par don de sperme une volonté de réciprocité à hauteur de 49 %[START_REF] Pennings | Attitude towards reciprocity as a motive for oocyte donation[END_REF] . Ces couples estiment à 40 % que chacun doit participer aux dons de gamètes s'il en a profité. Il est à noter que dans notre étude, près de la moitié des femmes ont été confrontées à l'infertilité dans leur entourage.En 2018, 61,5% des donneuses nullipares (contre 53,2% en 2016) étaient informées de la possibilité de conserver des ovocytes pour elles-mêmes avant la consultation médicale. Cela montre que la possibilité d'autoconserver à travers un don est de plus en plus connue des femmes et qu'il est fort probable que cette possibilité de conservation ait influencé le pourcentage de dons spontanés au cours de ces dernières années d'observation. La diffusion des

	L'enquête menée par Pennings jusqu'en 2012 indique que l'altruisme est la motivation de toutes Les dispositions du décret de 2015 donnent des possibilités assez partielles aux nullipares
	les donneuses françaises (toutes déjà mères). En Espagne (65,2% de nullipares), 30,4% souhaitant une autoconservation. Ce dispositif est souvent irréalisable en raison d'un nombre
	seulement donnent par pur altruisme, 56,5% avec une double motivation (financière et altruiste) limité d'ovocytes recueillis et quand des ovocytes sont tout de même conservés, leur nombre
	et 19,1% ne donnent que pour des raisons financières. Au Royaume-Uni, 30% des donneuses est insuffisant pour obtenir une naissance (Rienzi[13] : 46% d'accouchement à partir de 8
	(62,1% nullipares) donnent par pur altruisme et 47,3% par altruisme et pour financer leur ovocytes ; Cobo[14] 40,8%).
	Dans notre étude, la grande majorité des donneuses travaillent (86,9%) et 61,8% d'entre elles traitement personnel. Aux États-Unis, dans l'enquête du Midwest (60,4% nullipares), la grande Cette situation est paradoxale : la loi française interdit la vitrification pour âge, dite
	ont un niveau supérieur à la licence. Il y a donc une légère tendance à l'augmentation du niveau majorité des donneuses (98%) ont indiqué avoir fait des dons par altruisme mais 81,32% des « sociétale », mais l'autorise à travers un don bien que le rendement soit souvent insuffisant
	d'étude des nouvelles donneuses. donneuses ont déclaré que la rémunération était déterminante[8]. En Finlande, 80,6% des pour obtenir une naissance.
	Nous observons 13,1% de femmes étudiantes ou sans emploi, ce qui est stable par rapport à donneuses ont été fortement influencées par l'idée altruiste entre 1990 et 2007 et 73,9%
	2015-2016 (11,7%) et légèrement inférieur par rapport à 2014 (15,7%)[5]. La diminution de ce seulement entre 2008 et 2012[11]. Une forte influence de la compensation financière est 4.7. Reconnaissance
	taux est-elle due au manque d'information dans les lieux d'enseignement ou aux contraintes de reconnue pour 1% des donatrices pendant la première période contre 4,6% durant la deuxième Dans notre étude, un peu plus de la moitié des donneuses (59,0%) considèrent la possibilité
	la procédure du don ? période.
	Cependant, une fois informées, une majorité de femmes (82,2%) souhaitaient préserver leur
	fertilité. La lecture de ces résultats permet d'affirmer que cette nouvelle disposition législative
	conduit au début de la conservation des ovocytes dite "sociétale". Le don d'ovocytes, même
	altruiste au départ, devient un moyen de préserver voire le prix à payer pour bénéficier de
	Le don d'ovocytes peut parfois être vécu par certaines donneuses comme la seule expression du l'autoconservation.
	Par rapport au désir de grossesse, en 2016 près de la moitié (44,9%) des participantes à la pouvoir reproducteur. Cette idée se retrouve également dans l'étude américaine du Midwest[8] En 3 ans, les femmes ont globalement plus connaissance de cette possibilité mais souhaitent
	première enquête du GEDO souhaitaient une grossesse, d'une manière un peu plus prononcée où 23% des donneuses (60,4% de nullipares) souhaitent, par le biais de dons, transmettre leurs faire un don même si cela n'était pas obligatoire. Les femmes célibataires sont nettement plus
	si elles étaient célibataires (61,2%) que si elles vivaient en couple (38,8%). Nous retrouvons gènes alors qu'elles ne veulent pas d'enfant. Toujours aux États-Unis, où les étudiantes sont demandeuses que celles en couple : dans l'incertitude du futur, l'autoconservation doit être

Dans notre étude, l'âge moyen des donneuses semble être stable depuis 2015

[START_REF] Ohl | Qui sont les donneuses nullipares? Présentation pour la Fédération Française d[END_REF]

. Ce chiffre se rapproche de celui des donneuses de 11 pays européens en 2011-2012 qui était de 27 ans. Le recrutement de donneuses plus jeunes est un effet positif du changement législatif de 2011, il permet ainsi d'abaisser la moyenne d'âge des donneuses françaises (multipares à l'époque) qui était le plus élevé d'Europe (31 ans)

[START_REF] Pennings | Sociodemographic and fertility-related characteristics and motivations of oocyte donors in eleven European countries[END_REF]

[START_REF] Ohl | Qui sont les donneuses nullipares? Présentation pour la Fédération Française d[END_REF]

. Le jeune âge des donneuses devrait assurer de meilleurs taux de succès de fécondation en FIV.

4.2. Vie familiale

En ce qui concerne la vie conjugale, 66,7% des patientes nullipares de l'enquête de 2016 étaient célibataires, tandis que 33,3% déclaraient vivre en couple. Dans l'enquête de Pennings

[START_REF] Pennings | Sociodemographic and fertility-related characteristics and motivations of oocyte donors in eleven European countries[END_REF]

, 81,7% des donneuses françaises (100% multipares) vivaient en couple contre 41,6% de la population espagnole (65,2% de nullipares), 78,1% des Belges (26,1% de nullipares) et 92,2% des donneuses britanniques (62,1% de nullipares). Pour Klock

[START_REF] Klock | Minnesota Multiphasic Personality Inventory (MMPI-2) profiles in the assessment of ovum donors[END_REF]

aux États-Unis, 25% des donneuses sont mariées (49% nullipares). Ces données explicitent le fait que les donneuses nullipares ne sont généralement pas mariées. Dans la méta-analyse de Bracewell-Milnes

[START_REF] Bracewell-Milnes | Investigating psychosocial attitudes, motivations and experiences of oocyte donors, recipients and egg sharers: a systematic review[END_REF]

, les donneuses américaines "indemnisées" sont plus jeunes et pour la plupart nullipares et souvent non mariées. En 2017-2018, le taux des femmes en couple augmente

[START_REF] Pennings | Sociodemographic and fertility-related characteristics and motivations of oocyte donors in eleven European countries[END_REF]

[START_REF] Ohl | Qui sont les donneuses nullipares? Présentation pour la Fédération Française d[END_REF]

. ces proportions dans notre nouvelle étude, cela correspond à la tendance européenne d'augmentation de l'âge maternel lors de la première grossesse.

4.3. Vie professionnelle et niveau d'études

Le niveau des études sur les donneuses varie considérablement d'un pays à l'autre, peu corrélé avec la parité mais probablement avec d'autres aspects motivationnels.

4.4. Sensibilisation au don

Pour les donneuses nullipares de l'enquête GEDO, l'approche est spontanée pour 70,4 % d'entre elles et relationnelle pour 24,7 % (61,5 % et 38,5% en 2016, respectivement).

Un peu moins des deux tiers des participantes ont déclaré avoir été informées par leur famille, leurs amis ou leur environnement professionnel. L'efficacité des médias est plus faible mais non négligeable (15,3%) et les campagnes d'information de l'Agence de Biomédecine ont eu un impact très modeste (6,8% versus 14,5% en 2016). Les autres modes de sensibilisation sont plus anecdotiques. L'enquête donne ainsi une idée du travail d'information qui reste à faire pour espérer augmenter les dons spontanés en France. Dans une étude américaine

[START_REF] Gezinski | Exploring Motivations, Awareness of Side Effects, and Attitudes among Potential Egg Donors[END_REF]

, 40% des donneuses découvrent les possibilités de faire un don via Internet. cela n'a été qu'exceptionnellement observé, cela peut être la source d'une pression psychologique des deux côtés avec une notion de dette perpétuelle. Quelques patientes (surtout les multipares) étaient sensibilisées par des proches infertiles et certaines d'entre-elles se sont rétractées quand informations à toutes les jeunes femmes devrait encore augmenter tous les types de dons, en particulier les dons spontanés.

Une grande majorité des donneuses nullipares informent de leur don la famille (78,7% versus 74,5% en 2016) et leurs amis (90,2% versus 80%). Il est clair qu'elles peuvent à leur tour devenir un très important relais d'information concernant le don d'ovocytes en France dans le contexte de "pénurie" que nous connaissons.

4.5. Motivations

Dans notre enquête française, où le don est gratuit, la grande majorité (94,6%) des donneuses ont engagé la procédure de don avant tout par altruisme mais celui-ci n'est total que dans 56,3% des cas. C'est une donnée déjà retrouvée dans la littérature : la revue de Platts

[START_REF] Platts | Investigating attitudes towards oocyte donation amongst potential donors and the general population: a systematic review[END_REF]

en 2019 retrouve un taux de 82-98% de donneuses principalement motivées par altruisme. souvent décrites comme étant plus facilement motivées par l'aspect financier, certaines d'entre elles sont plus intéressées par le don en tant qu'outil d'évaluation de leur propre fertilité

[START_REF] Bracewell-Milnes | Investigating psychosocial attitudes, motivations and experiences of oocyte donors, recipients and egg sharers: a systematic review[END_REF]

.

Ainsi, l'existence d'une compensation, quelle que soit sa forme, est indiscutablement impliquée dans les motivations du don d'ovocytes. En outre, comme le souligne Pennings, il est difficile de déterminer si une personne a des motivations strictement altruistes lorsqu'une "récompense" est possible

[START_REF] Pennings | Central role of altruism in the recruitment of gamete donors[END_REF]

. Pour lui, tous les arguments doivent être pris en compte et la seule situation à éviter serait celle d'une motivation exclusivement financière.

4.6. Autoconservation ovocytaire

Elle est une mesure de prévention proposée actuellement uniquement aux nullipares face au vieillissement physiologique de la réserve ovocytaire. Dans l'ensemble, pour 72,2% (versus 83,8% en 2016) des donneuses nullipares, le processus de don n'est pas prioritairement motivé par le désir de garder des ovocytes pour elles-mêmes. rassurante. Il semblerait qu'une fois la trentaine passée, plus le niveau d'études est élevé, plus la femme souhaite autoconserver. d'une conservation des ovocytes comme contrepartie ou compensation du fardeau du processus de don d'ovocytes. Cet "avantage en nature" est peu demandé. Il en va de même pour un avantage financier potentiel. En effet, la plupart des patientes (68,9%) n'estiment pas nécessaire une compensation pour leur don d'ovocytes. Comme nous le savons, aux États-Unis, l'état d'esprit est radicalement différent. Le récent sondage en ligne de Lee visait à clarifier l'opinion publique sur la rémunération des dons de gamètes[15]. Sur 1185 répondants issus d'une population générale, 90% estimaient que les donneurs d'ovocytes devraient être indemnisés financièrement.

  IntroductionLa chirurgie de l'incontinence urinaire chez la femme a été grandement simplifiée dans les deux dernières décennies par le développement des techniques de bandelettes sous-urétrales (BSU).

		• /__/ Association : laquelle ? __________________________________
	• /__/ Internet : sur quel site ? __________________________________ 3. Remplissez cette partie seulement si vous avez déjà un (des) enfant (s)
	• /__/ Information venant du centre d'AMP -Nombre de grossesses (fausses-couches, IVG incluses) : /___/	Nombre	d'accouchements :
	/__/	• /__/ Autre gynécologue ; /__/ Médecin traitant ; /__/ Autre médecin / soignant
	-Comment qualifieriez-vous votre démarche : /__/spontanée ; /__/ relationnelle (service à une -Nombre d'enfants : /___/ Années de naissance du dernier : /__/__/__/__/ Cette technique a progressivement remplacé la colposuspension rétropubienne comme gold
	amie) ; -Connaissiez-vous avant la consultation médicale la possibilité de conserver des ovocytes pour les /__/ Autre : préciser donneuses n'ayant pas encore eu d'enfant standard dans cette indication. Le taux de succès de cette technique et sa réalisation en /__/oui ; /__/ non Avez-vous informé de votre démarche de don quelqu'un : /__/Oui ; /__/Non -Si la conservation ovocytaire était autorisée en France pour toutes les femmes le demandant, en dehors ambulatoire ont entrainé sa large diffusion dans le cadre de l'incontinence urinaire de la femme. Si oui, Qui : /__/vos parents ; /__/ Vos frères / soeurs ; /__/ D'autres membres de la famille ou des amis du don d'ovocytes, auriez-vous demandé à en bénéficier ? /__/oui ; /__/ non Le taux de complications des BSU semble être similaire aux précédentes techniques
	Si oui, qu'en ont-ils dit (en clair) majoritairement pratiquées[1]. La prévalence de dysfonction de vidange vésicale (DV) post-4. Cette partie est à remplir par tout le monde Si non, pourquoi ne les avez-vous pas informés (en clair) opératoire semble varier entre 3% et 10% [2] [3] [4]. Celle des rétentions aiguës d'urine (RAU) -Y-a-t-il eu des situations d'infertilité pour vous même ou dans votre entourage : /__/Oui ; /__/Non o Si oui, qui : Une indemnisation du don d'ovocytes pour les femmes, en raison des contraintes inhérentes à après ce type de procédure est comprise entre 2% et 19% [2][5][6][7]. Les BSU sont la démarche de don d'ovocytes vous semble-t-elle nécessaire ? /__/oui ; /__/ non -Pour quelles raisons faites-vous une démarche de don d'ovocytes (plusieurs réponses possibles) o Le nombre d'ovocytes donnés : /__/oui ; /__/ non 6. Aimeriez-vous à distance du don : -Aimeriez-vous connaître : compensation pour les contraintes inhérentes à la démarche de don d'ovocytes ? : /__/oui ; /__/ non o /__/ Autre (en clair) : ________________________________________________ 5. Voyez-vous la possibilité de cette auto conservation ovocytaire comme une contrepartie ou une o /__/ Pour préserver des ovocytes pour vous même ii. /__/ D'une autre nature. Si oui, laquelle (en clair) : o /__/ Valorisation de soi par le don i. /__/ Financière Si oui, quelle somme (euros) : /_______/ o /__/ Aider un couple en difficulté à avoir un enfant a. Si oui (plusieurs réponses possibles): majoritairement pratiquées en ambulatoire dont la faisabilité a été montrée pour la première
		o Si votre don a abouti à une grossesse a. Un entretien médical	/__/oui ; /__/ non /__/oui ; /__/ non
		o L'identité de ces enfants b. Un examen médical	/__/oui ; /__/ non /__/oui ; /__/ non
		o Que ces enfants puissent vous connaître c. Un entretien avec un psychologue ou un psychiatre /__/oui ; /__/ non	/__/oui ; /__/ non
	-Vie en couple (cocher : -Avez-vous déjà eu des ponctions avec don d'ovocytes /__/oui ; /__/non d. Que représente pour vous un ovocyte : /__/ Une simple cellule ; /__/ Un bébé potentiel ; /__/oui ; /__/ non
		o Si oui, dans le même lieu : /__/ oui ; o Si oui, combien en avez-vous eu avant celle-ci: /__/ Autre réponse : Si oui, En clair /__/non /___/
	-Désirez-vous une grossesse : /__/ Oui, maintenant ; /__/ Oui, plus tard. ; /__/ Non ; coût de la procédure par une prise en charge des BSU en ambulatoire, comparativement à une /__/ Que vous évoque le don d'ovocytes (donner 5 mots) ne sait pas o Si oui, sous quel délai (ans) ? : /____/___//` 2. Remplissez cette partie seulement si vous n'avez pas encore d'enfant Issue de la démarche (à remplir par le centre) hospitalisation classique. A notre connaissance aucune étude ne s'était jusqu'à présent focalisée
	o Si vous souhaitez différer votre projet de grossesse, est-ce -Connaissiez-vous avant la consultation médicale la possibilité de conserver des ovocytes pour vous-7. Ce dossier de don d'ovocytes rentre-t-il dans le cadre : sur les facteurs de risque de RAU/DV en post-opératoire immédiat. L'objectif principal de cette
	/__/ Parce que vous n'avez pas de conjoint en ce moment ? /__/ Pour des raisons professionnelles ? /__/oui ; /__/ non -Souhaitez-vous conserver des ovocytes pour vous-même ? même ? /__/oui ; /__/ non a. /__/ D'un don spécifique par une femme ayant déjà procréé b. /__/ D'un don spécifique d'une femme n'ayant jamais procréé revue de la littérature était de rapporter les principaux facteurs prédictifs de DV et de RAU en
	/__/ Pour une autre raison ? laquelle (en clair) -Votre démarche est-elle prioritairement motivée par le souhait de conserver des ovocytes pour vous-c. /__/ D'un partage d'ovocytes chez une femme elle-même dans un cycle de FIV / ICSI post-opératoire immédiat (<72h) après la pose d'une BSU chez la femme.
	-Comment avez-vous été sensibilisée au don d'ovocytes (plusieurs réponses possibles) même ? /__/oui ; /__/ non 8. La patiente a-t-elle : /__/ poursuivi la démarche ; /__/ arrêté la démarche ; /__/été perdue de vue
	-Auriez-vous souhaité ne pas faire don d'ovocytes ?	/__/oui ; /__/ non
	-Si l'autoconservation d'ovocytes sans don était autorisée en France, feriez-vous un don/__/oui ; /__/
	non

• /__/ Environnement familial / amical / professionnel • /__/ Media. Préciser : ________________________________________ • /__/ Campagne d'information Agence de la Biomédecine a. Si elle a arrêté la démarche est-ce : /__/ d'elle-même ; /__/ par refus du centre i. Si c'est d'elle-même, a-t-elle donné la raison : /__/ Oui ; /__/ Non ; Si oui, laquelle (en clair)

fois par Ulmsten et al en 1995

[START_REF] Gezinski | Exploring Motivations, Awareness of Side Effects, and Attitudes among Potential Egg Donors[END_REF]

. Dans une revue de la littérature portant sur la faisabilité des BSU en ambulatoire Serey-Eiffel et al

[START_REF] Pennings | Attitude towards reciprocity as a motive for oocyte donation[END_REF]

ont observé un taux de prise en charge ambulatoire allant de 20% à 84% (médiane 79%).Cette même revue mettait en évidence comme principale cause de non sortie à J0 (hors erreur de programmation) les RAU. Dans ce contexte, affiner les conditions d'éligibilité à la prise en charge ambulatoire des BSU semble fondamental, tant cette prise en charge représente un bénéfice pour les patientes et une source d'économie substantielle pour la collectivité. Ainsi, Castillon Vela et al

[START_REF] Platts | Investigating attitudes towards oocyte donation amongst potential donors and the general population: a systematic review[END_REF]

ont observé une diminution d'un tiers du

L'ovocyte est considéré comme une simple cellule (Tableau 5) pour 108 patientes (49,5%) et comme un bébé potentiel pour 110 (50,5%). Il n'y a pas de différence entre nullipares et multipares (p=0,59).

Poursuite de la démarche de don d'ovocytes

Cette information est connue dans 210 cas. (Tableau 6). On peut noter que la démarche est plus souvent poursuivie par les multipares (81,6% vs. 69,1% ; p=0,03) et plus souvent arrêtée par les nullipares (21,6% vs. 7,9% ; p<0,01).

Les arrêts sont plus souvent d'origine médicale (72,4%) que du fait des patientes (26,6%), sans impact de la parité. Parmi les 21 arrêts d'origine médicale, on note une cause génétique dans 11 cas (dont 9 chez les nullipares) une insuffisance ovarienne prématurée dans 6 cas (dont 5 chez des nullipares). Parmi les 30 arrêts, on note le début d'un cycle de stimulation ovarienne sans ponction (peur d'une patiente nullipare). Parmi les 160 patientes avec démarche poursuivie, 152 ont eu une stimulation ovarienne, 151 avec ponction (62 nullipares et 89 multipares), dont 5 ponctions blanches (1 seule chez une nullipare). Les données sont détaillées dans le Tableau 6, après exclusion des ponctions blanches (61 nullipares et 85 multipares). Le délai moyen entre la consultation et la ponction était très proche entre nullipares et multipares (194 ± 139 vs. 195 ± 191 jours, p=0,77) et l'âge moyen à la ponction était inférieur de 1,5 ans chez les nullipares (30,8 ± 5,0 vs. 31,7 ± 4,3 ans ; p=0,04) (de 18 à 39 ans). Le nombre moyen d'ovocytes ponctionnés est de 12,5 ± 7,9, légèrement supérieur chez les nullipares (NS) et le nombre d'ovocytes donnés un peu inférieur (NS). Il n'y a pas non plus de différence dans la répartition entre ovocytes inséminés et vitrifiés, ni dans le nombre d'ovocytes écartés. Chez les nullipares (104), 84 désiraient conserver. Elles ont été traitées sur 62 cycles dont 48 avec désir de conservation, 14 sans. Parmi les 48 désireuses d'autoconserver, 28 ont eu une conservation avec en moyenne 7,5 ± 4,9 ovocytes conservés et 7,6 ± 3,9 ovocytes donnés. Parmi les 20 femmes qui n'ont pas préservé leur fertilité, 6,1 ± 4,1 ovocytes ont été donnés en moyenne.

Remerciements

Un grand merci à l'équipe du don d'ovocyte du CMCO pour son aide dans la collecte des données.

Matériel et méthodes

Une revue systématique de la littérature scientifique a été réalisée selon une méthodologie PRISMA, à partir de la base de Toutes les études étaient observationnelles. Neuf études étaient rétrospectives [11][START_REF] Pennings | Central role of altruism in the recruitment of gamete donors[END_REF][START_REF] Rienzi | Consistent and predictable delivery rates after oocyte vitrification: an observational longitudinal cohort multicentric study[END_REF][START_REF] Cobo | Oocyte vitrification as an efficient option for elective fertility preservation[END_REF][15][START_REF]Un âge supérieur ou égal à 65 ans a été retrouvé significativement associé à un risque accru de DV en analyse multivariée[END_REF][START_REF] Harper | The end of donor anonymity: how genetic testing is likely to drive anonymous gamete donation out of business[END_REF][START_REF] Miettinen | Attitudes of anonymous and identity-release oocyte donors towards future contact with donor offspring[END_REF][START_REF] Tozzo | Understanding social oocyte freezing in Italy: a scoping survey on university female students' awareness and attitudes[END_REF], quatre études étaient prospectives [START_REF] Pennings | Sociodemographic and fertility-related characteristics and motivations of oocyte donors in eleven European countries[END_REF][START_REF] Klock | Minnesota Multiphasic Personality Inventory (MMPI-2) profiles in the assessment of ovum donors[END_REF]20,[START_REF] Mostafa | [6utilisaient le résidu post mictionnel (RPM) supérieur à 100ml comme définition de la DV. Les critères permettant de définir RAD et DV dans chaque publication de cette revue de la littérature sont présentés dans le tableau I. La prévalence de la DV ou de la RAU variait dans les différentes études[END_REF]. Dès le début des années 2000 plusieurs études ont mis en évidence certains facteurs prédictifs potentiels de DV ou de RAU dans les BSU tels que l'âge, les antécédents de chirurgie pour prolapsus ou incontinence , les chirurgies concomitantes