Hermann Weyl

Bernard Julien

L'unité de la pensée épistémologique de Weyl sur la notion d'espace

organisateurs de cette journée pour cette invitation. C'est un grand plaisir et une opportunité intéressante pour moi de venir parler d'Hermann Weyl. C'est l'auteur sur lequel je viens d'achever ma thèse au mois de novembre. Depuis lors, je ne travaille plus principalement sur Weyl, puisque je travaille dans le cadre de l'ANR Gödel, sur les manuscrits inédits de Kurt Gödel.

Cependant, je reste tout de même en contact avec la pensée de Weyl puisque je suis en train de rédiger des articles techniques en relation avec ma thèse, et je prépare avec Eric Audureau à Aix-en-Provence une traduction française commentée de l'Analyse mathématique du problème de l'espace, texte important de Weyl.

Pour aujourd'hui, on m'a demandé de proposer une intervention avec une partie un petit peu générale sur Weyl pour les non spécialistes de cet auteur, et une partie un plus technique pour les spécialistes. Je vais donc essayer de répondre à cette double exigence en traitant du thème de l'unité de la pensée épistémologique de Weyl à propos de la notion d'espace.

Je vais commencer directement en exposant les présupposés méthodologiques qui ont été les miens, et en exposant les résultats auxquels j'ai aboutis. Je reviendrai ensuite, si le temps le permet, sur les raisons qui justifient les choix méthodologiques qui ont été les miens pour aborder la pensée de Weyl.

Pour poser la question la question de l'unité de la pensée épistémologique de Weyl, nous avons mis de côté essentiellement la question de son rapport à la tradition philosophique, pour étudier les différentes thèses philosophiques qu'il fait siennes et qui lui servent véritablement de support pour son travail scientifique. Avec un tel point de vue interne au travail scientifique de Weyl, on va voir que l'unité de sa pensée ne va pas de soi.

On ne va pas considérer, dans ce qui suit, l'intégralité de la pensée philosophique de Weyl. Nous nous restreignons en fait à sa pensée de l'espace-temps. C'est une restriction qui n'est pas très coûteuse dans la mesure où l'essentiel de la réflexion philosophique de Weyl tient en deux thématiques : 1) l'espace-temps, et 2) la nature de la matière et de ses rapports à l'espace-temps. Notre restriction au premier grand thème correspond naturellement à une restriction chronologique. En effet, c'est à partir de 1923 que la réflexion de Weyl va progressivement évoluer, dans la mesure où il va peu à peu basculer son centre d'intérêt de la notion d'espace-temps vers la matière. Ce basculement coïncide (sans qu'il faille forcément y voir une relation de cause à effet) avec l'avènement d'une mécanique quantique mature, et la focalisation de Weyl sur la classification des groupes continus.

(*******) A présent, quand on regarde la production de Weyl pendant la période 1917-1923, pour interroger son unité, la très grande majorité de sa production concerne la notion d'espace, corrélée ou non avec la notion de temps, et prise d'un point de vue purement mathématique, ou en corrélation avec la physique.

(Cf. le tableau, page suivante)

A côtés des articles, on trouve deux monographies majeures : Das Kontinuum, ouvrage publié en 1918 sur les fondements de l'analyse, et Espace-Temps-Matière, monographie sur la géométrie dans ses rapports à la physique, en particulier à la nouvelle théorie de la relativité générale. Les cinq éditions de cet ouvrage s'échelonnent de 1917 à 1923. C'est le grand texte de la synthèse de la pensée de Weyl sur l'espace. Mais il est difficile à exploiter directement dans la mesure où Hermann Weyl y mêle sa propre pensée avec une reconstruction historique et génétique des concepts de la géométrie et de la théorie de la relativité.

Quand on regarde ces différentes productions et qu'on se focalise sur les thèses philosophiques qui y sont défendues, l'unité de la pensée de Weyl à propos de la notion d'espace ne va pas de soi. Voici, selon nous, les thèses majeures qu'on rencontre dans ses écrits, à propos de la notion d'espace, et que nous allons pour l'instant simplement juxtaposer pour montrer leur diversité, leur caractère apparemment hétéroclite.

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Principales thèses de Weyl sur l'espace pendant la période 1917-1923

UNE VISION ALGEBRIQUE DE LA GEOMETRIE.

Il affirme que la notion fondamentale de toute la géométrie est celle du groupe des congruences.

Ce n'est pas les droites, les plans et les points qui sont les objets premiers de la géométrie mais les transformations (projectives, affines, conformes, métriques)

UN IDEALISME DE L'ESPACE

Cela se manifeste chez Weyl par des affirmations comme « L'espace est la forme des apparences », ou il est « la forme de notre intuition ».

LA SCIENCE DE L'ESPACE OPERE PAR ELIMINATION DU SUJET,

Le système de coordonnée est la trace résiduelle inévitable de cet Ego que la géométrie doit par ailleurs éliminer.

L'HOMOGENEITE, PROPRIETE ESSENTIELLE DE L'ESPACE

Cette homogénéité est comprise comme possibilité de déplacer un objet géométrique en n'importe quelle portion de l'espace(temps), et la possibilité pour le sujet de retrouver les mêmes apparences de l'objet après que ce dernier se soit déplacé, pourvu que le sujet lui même se soit déplacer corrélativement.

L'APPEL RIEMANNIEN A LA PHYSIQUE POUR DETERMINER LES STRUCTURES METRIQUES

Einstein a confirmé la position de Riemann selon laquelle le champ des relations métriques doit être déterminé par des propriétés physiques de la matière.

UN RATIONALISME QUANT A LA NATURE DE L'ESPACE

Légitimité pour la raison de légiférer sur la notion d'espace. Les concepts de la géométrie reposent sur des exigences rationnelles et ne sont pas expérimentaux.

Par ses réquisits, la raison achève de déterminer de manière univoque la nature de l'espace.

LA « VRAIE » GEOMETRIE EST LA GEOMETRIE DE RIEMANN

La « vraie » géométrie, celle qui de droit peut s'appliquer au monde physique, s'avère être la géométrie différentielle telle qu'elle a été développée par Bernhard Riemann, ou plutôt une version généralisée de celle-ci où la notion mathématique de connexion structure adéquatement chacune des strates de la géométrie.

FUSION POSSIBLE DE LA PHYSIQUE ET DE LA GEOMETRIE

Weyl croit en la possibilité d'une théorie unifiée des champs de nature géométrique. L'espace, si on dévoile complètement la structure complexe dont il est muni, doit rendre compte simultanément et de manière harmonieuse de tous les types d'interactions physiques.

HOLISME

GEOMETRICO-PHYSIQUE.

Weyl nous apprend que seule la totalité formée par la géométrie + physique peut être comparée avec la réalité empirique Toutes ces positions sont des leitmotive de la pensée de Weyl dans les années 1917-1923, qui sont répétés aussi bien dans ses grandes monographies que dans ses articles scientifiques. La plupart de ces thèses perdureront après cette période.

A première vue, ces positions sont hétéroclites et semblent même contradictoires sur certains points. Montrer l'unité de la pensée épistémologique de Weyl, à propos de la notion d'espace, c'est notamment parvenir à monter comment s'articulent ces différentes thèses récurrentes dans ses écrits, et en particulier dépasser les apparentes oppositions.

Les oppositions les plus flagrantes qui apparaissent entre ces thèses sont :

1) Comment concilier l'idéalité de l'espace avec l'affirmation que la science de l'espace fonctionne par élimination du sujet ?

(x) '(x)
Maintenant, on applique une transformation passive (un changement de coordonnées) pour que la nouvelle répartition de la matière s'exprime dans les nouvelles coordonnées avec la même relation fonctionnelle que l'ancienne répartition de la matière dans le premier système de coordonnées.

Ainsi, on passe de

'(x) à (x').
Weyl interprète cela en disant que si un observateur se place au point x' de notre second système de coordonnée, après la reconfiguration de la matière, il attribuera à la matière les mêmes propriétés intrinsèques que celles que lui attribuait l'observateur placé au point x du premier système de coordonnée avant la reconfiguration. Ainsi, les propriétés intrinsèques de la matière n'ont pas changé.

Voyons à présent si les propriétés métriques de notre boule d'argile ont changé.

Cela dépend répond Weyl. Si la métrique avait un caractère absolu comme chez Newton, indépendante de la matière, alors on aurait d'abord g'  (x)= g  (x). C'est-à-dire que le déplacement de la matière n'entrainerait aucun changement de la métrique. Mais alors, lorsqu'on appliquerait le changement de coordonnées, les nouvelles fonctions g'  (x') différeraient de g  (x). Ainsi, les relations métriques entre les parties de la boule d'argile se seraient modifiées. On arriverait donc à la conclusion qu'un mouvement rigide de notre boule d'argile serait impossible. Tout mouvement impliquerait une déformation. Alors l'homogénéité de l'espace serait contredite.

Mais, Weyl s'en sort par une pirouette étonnante. En effet, il nous dit que, si on accepte l'idée Riemanno-Einsteinienne que la métrique est déterminée par la matière, alors la situation est différente. C'est-à-dire que la métrique g'  (x), après le déplacement de la matière, se sera modifiée pour suivre précisément le mouvement de la matière. g'  (x)  g  (x). Et, quand on change ensuite le système de coordonnées, ce qui correspond à déplacer l'observateur simultanément avec la métrique et la matière, alors les relations métriques fonctionnelles g'  (x') redeviennent identiques à celles qu'elles étaient avant le déplacement de la matière : Si Weyl produit ce renversement, s'il peut faire paradoxalement de Riemann le sauveur de l'homogénéité de l'espace, c'est parce que la notion même d'espace a subi dans cette argumentation un déplacement crucial. En effet, en tant qu'elle a dû être déplacée simultanément avec la matière pour rétablir l'homogénéité, la métrique ne doit plus faire partie de la notion d'espace proprement dite, mais elle fait à présent partie du contenu de l'espace. Ainsi, si la solution de Weyl esquissée ici sauve bien la cohérence de sa pensée, en articulant la notion mathématique d'espace et la notion physique d'espace… En revanche elle concède trop à la notion physique d'espace. La notion mathématique d'espace, comme forme homogène, en tant qu'elle a été dépouillée de sa structure métrique, est alors réduite à la seule idée topologico-différentielle d'une variété. On peut montrer (je ne le ferai pas ici) qu'une variété différentiable est toujours homogène (au sens de Klein) quant à ses propriétés topologiques et différentielles. Cette solution pour articuler l'espace mathématique et l'espace physique est proche de ce que proposait Albert Einstein lui-même. En effet, il est bien connu qu'Einstein affirmait que sa théorie de la relativité générale était parvenue, par le réquisit de la covariance générale, à « ôter à l'espace-temps les dernières traces d'objectivité physique ». (Einstein, les fondements de la relativité générale, 1916) A travers ce genre d'affirmations, Einstein caractérise l'espace-temps, non comme une réalité physique, mais comme un support mathématique posé par le sujet pour rendre possible la mesure physique. Cet usage du terme « espace-temps » est alors proche de la terminologie idéaliste employée par Weyl quand il parle d'espace « Raum ». Ce support subjectif qu'est l'espace-temps pour Einstein n'est pas métrique puisqu'il est caractérisé par le principe de covariance généralisé, c'est-à-dire par la possibilité de passer indifféremment d'un système de coordonnées à un autre par une transformation continue quelconque. C'est donc la notion de l'espace-temps comme pure variété différentiable qui est visée ici. Et la réalité physique qui est appréhendée à travers ce support subjectif, comprend en particulier la métrique qui a pris chez Einstein le statut d'une entité physique dynamique qui s'identifie au champ gravitationnel.

g'  (x') = g  (x) Ainsi,
On peut alors supposer que le texte de l'argument de la boule d'argile, présent dès la première édition d'Espace-Temps-Matière correspond à un état précoce de la pensée de l'espace de Weyl où il était encore fortement marqué par l'oeuvre grandiose d'Einstein. La solution proposée dans ce texte à la question de l'articulation entre la notion mathématique d'espace et la notion physique d'espace a le mérite d'être cohérente. Cependant, elle fait une place trop importante à la notion physique d'espace par rapport à la notion mathématique d'espace. En effet, cette solution ne laisse de place pour penser la détermination des relations géométriques par la raison, uniquement en ce qui concerne les relations topologico-différentielles. Cette position épistémologique réduit la géométrie mathématique à une branche relativement récente de la géométrie institutionnelle, la topologie donc, et qui n'est même pas une géo-métrie au sens étymologique du terme, puisqu'elle n'est même pas fondée sur une notion de métrique. Le domaine des mesures est alors laissé au domaine de l'empirie. Dans une telle hypothèse épistémologique, la géométrie au sens étymologique du terme semble ne pouvoir être que physique comme étude de l'entité physique « champ gravitationnel ».

Nous soutenons que le problème posé par le paragraphe 12 d'Espace-Temps-Matière, celui de l'articulation entre l'espace mathématique homogène et l'espace physique hétérogène et dynamique, est le problème central pour comprendre l'unité d'Espace-Temps-Matière et donc l'unité de la pensée épistémologique de Weyl à propos de la notion d'espace. En revanche, la solution à ce problème, esquissée dans ce texte, sera dépassée. Weyl va construire une solution plus acceptable à ce problème, qui sera moins influencée par la figure d'Einstein, que par celles de Gauss, de Riemann, et de leurs successeurs, Christoffel, Ricci et Levi-Civita, c'est-à-dire les penseurs mathématiciens, pionniers de la géométrie différentielle. Cette nouvelle solution prend forme au sein des travaux géométriques effectués par Weyl dès 1918, et sera exposé de façon systématique dans la troisième édition d'Espace-Temps-Matière.

(*******) La solution définitive de Weyl au problème de l'articulation entre espace mathématique et espace physique, peut être désignée par l'idée d'une Nahegeometrie, qu'on peut traduire par « géométrie de contact », ou par l'idée d'une « géométrie infinitésimale ». Ces termes, « Nahegeometrie » ou « Infinitesimalgeometrie » renvoient souvent dans la littérature à une structure mathématique particulière. Il s'agit de celle qui est introduite par Weyl en 1918, celle qu'Alexander Afriat, après d'autres, appelle sa première théorie de jauge, et qu'on appelle parfois aussi aujourd'hui un « espace de Weyl ». Bref, il s'agit d'une variété différentiable munie de structures telles que la notion de direction d'un vecteur aussi bien que la notion de longueur d'un vecteur, ne sont transportées d'un point de la variété à un autre que de façon non-intégrable.

Pour notre part, nous donnons au terme de « Nahegeometrie » ou de « géométrie infinitésimale » une extension plus large. Nous ne signifions pas seulement cette structure mathématique, mais plus généralement tout l'appareil épistémologique que Weyl met en place en 1918, et qui a fourni le cadre à l'intérieur duquel Weyl a effectué ses recherches sur les espaces de Weyl, mais aussi sur sa théorie unitaire des champs, sur l'analyse mathématique du problème de l'espace, en fait toutes ses recherches géométrico-physiques des années 1917-1923.

Dans la Nahegeometrie, la frontière qui va séparer le lieu légitime d'application de la notion mathématique d'espace et le lieu légitime d'application de la notion physique d'espace va être la frontière entre les relations infinitésimales (locales) et les relations à distance finie (globales).

Ainsi, dans le cadre épistémologique de la Nahegeometrie, il y aura bien un rationalisme quant à la nature de l'espace. Mais cette nature de l'espace aura une signification seulement locale, infinitésimale. La raison va imposer deux choses. D'une part, elle impose la structure locale infinitésimale que revêtent les relations (qu'il s'agisse de relations affines ou métriques). Pensons ici à ce qu'on appelle en géométrie différentielle les espaces tangents à une variété, et la façon dont les relations affines, métriques ou vont s'exprimer à l'intérieur de ces espaces tangents. D'autre part, la raison impose aussi la forme générale des connexions (au sens mathématique du terme) qui imposent la façon dont les mesures effectuées dans un espace infinitésimal local vont pouvoir se transporter aux espaces infinitésimaux voisins.

Maintenant, ces structures infinitésimales, et cette forme générale de la connexion imposée par la raison, vont pouvoir s'exprimer algébriquement. En cela, la vision algébrique de la géométrie est conservée. Par exemple, la strate métrique va s'exprimer localement : 1) Par la caractérisation de ce que Weyl appelle « Drehungsgruppe », le groupe des rotations infinitésimales. Il faut comprendre ici qu'il s'agir du groupe de Lie des isométries linéaires agissant sur l'espace tangent.

2) Il faut aussi se donner la structure algébrique que revêtent ce que Weyl appelle les « Kongruenten Verpflanzungen » « transplantations congruentes infinitésimales ». Il s'agit du groupoïde des isométries linéaires qui envoient les éléments d'un espace tangent sur un autre espace tangent infiniment voisin.

Quant à l'homogénéité de l'espace mathématique, elle est également valable, mais pourvu qu'on l'interprète localement. Ainsi, l'espace est homogène, seulement au sens où tous les espaces infinitésimaux, les espaces locaux sont indiscernables les uns des autres. En termes algébriques, les groupes des rotations infinitésimales associés à chacun des points de la variété sont tous isomorphes.

Maintenant, dans une Nahegeometrie, si on veut effectuer une mesure sur un objet spatial non local, c'est-à-dire ayant une extension finie, il faut intégrer les mesures des éléments infinitésimaux qui le composent. Ce processus d'intégration mathématique ne peut prendre sens qu'en tenant compte de la valeur contingente que vont prendre les coefficients de la connexion, sur toute l'étendue finie caractérisant l'objet. Ainsi, en raison de cette contingence des coefficients de la connexion, la raison n'est plus compétente pour légiférer sur les formes possibles de tels objets finis. L'appel Riemannien à la physique est alors inévitable. La façon effective dont opère la connexion est l'expression de champs physiques dynamiques qui finissent de donner une structure à la spatialité dans le domaine fini. Ainsi, Weyl s'attend-il, à cette époque, à une fusion possible du physique et du géométrique.

(*******)

Enfin, à la question « Quelle est la vraie géométrie ? », c'est-à-dire quelle géométrie doiton adopter pour faire de la physique, Weyl répond de façon très fine. Il y a une rupture épistémologique radicale entre la sphère des relations infinitésimales et la sphère des relations à distances finies. Dans l'infinitésimal, la raison est souveraine. Weyl essaie donc de déterminer de façon univoque les structures algébriques caractérisant les structures infinitésimales de l'espace.

Cette détermination univoque se fait par l'imposition de réquisits de nature rationnels :

( 2) Axiome 2 : La connexion affine est uniquement déterminée par la connexion métrique.

[Chaque système de n 3 nombres  i kr ] doit pouvoir admettre une décomposition d'une et une seule manière conformément à la formule :  i kr = A i kr - i kr, où A i k1, …, A i kn est un système de n matrices infinitésimales de l'algèbre de Lie associée à Isom(T P , T P ) , et  i kr est un système de n 3 nombres vérifiant la symétrie  i kr =  i rk .

Cette détermination univoque par la raison des structures infinitésimales de l'espace est finalement la forme que prend le rationalisme, la forme d'idéalisme transcendantal que défend Weyl.

C'est par un même mouvement épistémologique, que Weyl justifie l'appel à la physique pour la détermination des relations à distance finie puisque, comme l'indique le premier axiome, « la nature de l'espace n'impose aucune restriction à la connexion métrique ». Autrement dit, la connexion est sous-déterminée par les exigences de la raisons qui imposent la nature de l'espace. La physique trouve alors sa place légitime au sein de la géométrie, en tant que c'est à elle de déterminer la valeur effective des coefficients de la connexion, en fonction des interactions physiques qui sont en jeu au sein de l'espace.

Pour conclure, nous avons donc montré, au sein du travail scientifique de Weyl de 1917 à 1923, une pensée épistémologique cohérente quant à la nature de l'espace et aux places respectives que jouent la raison et l'expérience dans la détermination des relations géométriques. On a vu comment certaines difficultés superficielles disparaissaient quand on acceptait la terminologie singulière de Weyl à propos de la notion de sujet. Le problème central à résoudre pour comprendre l'unité de la pensée de Weyl était donc d'arriver à comprendre comment articuler ensemble la notion mathématique d'un espace comme forme homogène, et la notion physique d'espace comme champ dynamique hétérogène en interaction avec la matière. Ce problème est celui que pose explicitement Weyl dans le paragraphe 12 d'Espace-Temps-Matière, avant ce que nous avons appelé « l'argument de la boule d'argile ».

Cet argument est intéressant par ce qu'il nous apprend sur le principe de Mach, lorsqu'on le compare avec l'argument du trou d'Einstein.

Mais l'argument nous a surtout intéressé aujourd'hui parce qu'il pose la question essentielle pour comprendre l'unité de la pensée épistémologique de Weyl à propos de la notion d'espace. La réponse proposée dans le texte de l'argument de la boule d'argile, réponse d'inspiration encore très einsteinienne s'est révélée épistémologiquement insuffisante. On a esquissé comment l'idée de Nahegeometrie fournissait finalement à Weyl une réponse définitive au problème de l'articulation entre espace mathématique et espace physique.

L'épistémologie qui se dégage de cette idée de Nahegeometrie justifie simultanément une forme d'idéalisme transcendantal réduite aux relations infinitésimales, et l'avènement d'une géométrie physique qui pourrait s'identifier à la limite avec l'intégralité de la science physique. La raison a donc un domaine d'action limité à l'infinitésimal au sein du spatial, mais, dans cette sphère, elle est entièrement souveraine comme le montre la résolution par Weyl du problème de l'espace. En contrepartie, avec Weyl, la raison abandonne sa prétention à légiférer sur les relations spatiales à distance finie. Et c'est pourquoi la Nahegeometrie a fourni un cadre épistémologique aussi bien pour son analyse mathématique du problème de l'espace, que pour ses travaux d'unification de l'électromagnétisme avec la gravitation, et sa tentative d'une théorie unifiée des champs.

La justification de cette rupture épistémologique entre les relations spatiales infinitésimales et les relations spatiales à distance finie, peut sans doute être fondée sur la conception du sujet par Weyl. Pour Weyl, le sujet, s'il partage avec ses congénères des facultés rationnelles communes, se caractérise aussi essentiellement par la place singulière qu'il occupe dans le monde du fait de son incarnation. Ce caractère fondamentalement local du sujet fonde la rupture épistémologique entre le domaine de l'infinitésimal et le domaine du fini. L'unité de la pensée épistémologique de Weyl sur l'espace repose sur cette rupture épistémologique.

Merci pour votre attention… (Fin probable de l'intervention. Ce qui suit sera présenté si le temps le permet)

Les arguments généraux liés aux rapports de Weyl à la philosophie

Expliquons pourquoi nous avons adopté cette méthodologie interne aux textes scientifiques de Weyl, pour rendre compte de sa philosophie.

Quand on s'intéresse à l'unité de la pensée philosophique de Weyl, on rencontre un type d'arguments qui concerne de manière générale les rapports de Weyl à la philosophie. Il s'agit ici, en partie, d'arguments ad hominem. Weyl est avant tout un mathématicien de profession, sans doute un des plus grands du siècle dernier, et non pas un philosophe. Aussi peut-on le suspecter de faire un usage grossier de la philosophie, depuis un point de vue extérieur à la discipline.

Quelques arguments peuvent étayer cette accusation :

Une pensée philosophique non systématique D'abord, Weyl ne propose pas de système philosophique. S'il a l'habitude de produire de la philosophie au sein de ses ouvrages, cela ne prend pas la forme d'une oeuvre achevée où toutes ses thèses philosophiques se donneraient de manière explicite et exhaustive, et s'organiseraient de manière organique. Le seul ouvrage à proprement parler de philosophie qu'il publie, Philosophy of mathematics and natural sciences, n'est pas structuré par un système philosophique mais plutôt par une histoire, celle des rapports entre les problèmes philosophiques traditionnels et la science qui y fait face. En général, la production philosophique de Weyl prend plutôt la forme de courtes citations ou de commentaires, égrainés au sein de ses publications scientifiques, participant à forger cette image d'un savant qui utiliserait des morceaux de philosophie, plutôt qu'un véritable producteur d'une pensée philosophique systématique.

Une diversité inconciliable de références à la tradition

Ensuite, on peut reprocher la diversité apparemment inconciliable des auteurs philosophes auxquels il dit être redevable. Suivant les textes, il affirme adhérer à la pensée de Husserl ou à celle de Fichte, se reconnaître en partie dans la philosophie de Kant ou dans celle de Leibniz. Cette multiplicité des références peut nous mener parfois à lui attribuer une forme d'éclectisme suspect. Comment, en récupérant des idées philosophiques à des penseurs dont les systèmes philosophiques sont mutuellement inconciliables, Weyl pourrait-il parvenir à une pensée épistémologique cohérente ? N'y a-t-il pas une forme d'opportunisme de sa part dans cette facilité de passer d'une référence philosophique à l'autre ?

Une utilisation désinvolte des références philosophiques

Enfin, en plus de cette diversité suspecte des références, on pourrait lui reprocher une utilisation désinvolte de chacun des philosophes qu'il invoque. En effet, il se contente souvent de donner simplement le nom du philosophe qui est sa référence au moment voulu. Il cite assez peu explicitement les textes philosophiques, se contentant de reproduire la pensée du philosophe qu'il exploite sur le moment, sous une forme très souvent altérée.

Contrarguments par ceux qui ont étudié les rapports de Weyl à la tradition philosophique

Certains commentateurs de Weyl ont essayé de défendre la légitimité de son rapport à la tradition philosophique, en approfondissant la signification des appels de Weyl à cette tradition. Ainsi, par exemple, Paulo Mancosu et Thomas Ryckman ont-ils approfondi les liens de Weyl à la phénoménologie husserlienne, tandis que Norman Sieroka a montré l'interprétation que Weyl faisait des pensées de Fichte et de Husserl, en relation avec son ami philosophe, Fritz Medicus, à Zurich.

A la lecture de ces différentes recherches et des textes mêmes de Weyl, il nous semble clair que:

1) Premièrement, Weyl est un véritable lecteur en première main des textes philosophiques de la tradition, et il entretient des rapports intellectuels étroits avec plusieurs professionnels de la philosophie.

2) Deuxièmement, c'est de manière consciente qu'il ne reçoit en bloc aucun système philosophique. Il ne souhaite pas plus être kantien, que fichtéen, leibnizien ou husserlien, si on entend par là qu'adopterait complètement la philosophie d'un de ces auteurs pour ensuite l'« appliquer » (pour peu qu'une telle application ait un sens) à la science de son époque. Il trouve plutôt dans la pensée de ces auteurs des idées plus ou moins isolées qui aiguillent sa recherche, ce qu'on peut appeler des heuristiques. Ce n'est pas qu'il démente la nature systématique de la philosophie, et le fait que, de droit, elle devrait pouvoir être établie a priori comme un système, avant le mouvement de la science. C'est plutôt parce que, dans les faits, selon lui, la philosophie n'a pas atteint un état suffisamment mature pour pouvoir prendre la place qui lui reviendrait et établir une telle théorie de la connaissance qui a priori. Les métaphysiciens qui procèdent ainsi, dit-il, sont des impatients qui ratent leur objet par précipitation. Au lieu d'une philosophie spéculative et hâtive, Weyl plaide pour une philosophie prudente qui se construit dans le dialogue avec l'avancée scientifique.

3) Troisièmement, en tant précisément qu'il ne cherche pas chez ces auteurs philosophes une pensée déjà unifiée, mais plutôt des « heuristiques », Weyl se permet de s'approprier un vocabulaire philosophique, des concepts philosophiques, ou des thèses philosophiques, en les faisant varier de leur sens original. Les commentateurs de Weyl montrent que cette déviation est d'autant plus importante qu'il hérite de certaines interprétations locales de la pensée des auteurs de la tradition. Ce sont par exemple les interprétations de Medicus à Zurich, comme le montre Sieroka. Ce particularisme local des interprétations que Weyl reçoit de la tradition philosophique n'est pas gênant, à partir du moment où Weyl ne fait pas oeuvre d'historien de la philosophie, mais plutôt fait usage de cette tradition pour comprendre la science de son époque.

Nous pensons que ces différentes analyses défendent pertinemment Weyl contre le type d'attaques que nous avions présentées d'abord, qui voudraient mettre en question l'unité,

(

2) Comment concilier le fait que la propriété essentielle de l'espace soit l'homogénéité avec la position selon laquelle la véritable géométrie soit celle de

Riemann, voire une variété à connexion (C'est étonnant les espaces de Riemann sont précisément le prototype même des géométries qu'on nommerait métriquement hétérogènes)

3) Comment concilier l'idée que c'

est la raison et non pas l'expérience qui légifère dans le domaine des fondements de la géométrie, avec l'idée selon laquelle les relations métriques sont déterminées par les lois physiques d'interaction de la matière ? 2 Connexions les plus faciles à établir entre ces thèses Pour

  Weyl, nous semble-t-il, ne veut pas signifier quelque chose comme un idéalisme transcendantal. Il veut plutôt signifier que les structures de l'espace ne peuvent être données numériquement qu'après la détermination d'un certain nombre de paramètres contingents qui représentent la place singulière occupée par le sujet dans le monde. Ce sont tous ces paramètres contingents, pris ensembles, qui constituent ce qu'on appelle le système de coordonnées, et qui permettent la mesure numérique des grandeurs physiques. L'exemple le plus simple de tel paramètre contingent est la distinction entre l'Ici et l'Ailleurs, marque de l'emplacement local du sujet, et qui devient en mathématiques, le choix de l'origine 0 des coordonnées.Maintenant, ces Egos sont autant de points de vue possibles sur une réalité structurelle de l'espace qui, quant à elle, n'a plus rien de subjectif en ce sens là de la subjectivité. Ce qui se laisse exprimer dans chacun des systèmes de coordonnées possibles c'est une structure qui peut être projective, affine, conforme ou métrique, et qui se trouve exprimée d'une façon équivalente à travers chacun des points de vue constitués par les systèmes de coordonnées.

lever la première contradiction apparente, il faut distinguer entre deux types de subjectivité apparaissant dans la pensée de Weyl.

Le premier type de subjectivité auquel on peut s'intéresser dans la pensée de Weyl, c'est le sujet au sens d'une entité individuelle, incarnée, et qui, par l'intermédiaire de son corps, occupe une place singulière dans le monde. En fait, cette première notion de sujet est la seule à laquelle Weyl réserve la terminologie de « sujet »

[Subjekt]

. C'est pourquoi on comprend que, pour Weyl, l'objectivité du savoir géométrique soit gagnée par une élimination du sujet. En fait, par « élimination du sujet », il faut comprendre que l'objectivité de la géométrie doit s'obtenir en « neutralisant » la singularité de la place qu'occupe le sujet-observateur dans le monde géométrique. On ne peut éviter d'introduire la place du sujet à travers la donnée du système de coordonnées. Mais aussitôt après avoir accompli notre description de l'espace depuis ce point de vue singulier, on s'abstrait de la singularité de ce point de vue par la possibilité de basculer indifféremment d'un système de coordonnées à un autre. C'est le sens que Weyl donne au principe de relativité.

Ainsi, quand il a en tête cette notion de sujet (et c'est très souvent le cas) et quand il affirme alors le caractère idéal de l'espace, (*******)

Conformément à la vision algébrique de la géométrie (*******), ces structures sont en fait exprimées à travers l'étude du groupe des transformations qui les préservent. Le caractère algébrique de la notion d'espace se manifeste donc sous

	autant de formes équivalentes qu'il y a de sujets-coordonnées possibles. Le fait qu'il y ait
	une structure unique qui se dégage derrière toutes les différentes représentations
	subjectives de l'espace est précisément ce que Weyl appelle l'homogénéité de l'espace.
	(

*******) En effet, L

	C'est-à-dire qu'il montrera que certains réquisits de la raison suffisent pour déterminer
	notre choix vers une forme unique des relations métriques. On y reviendra
	A travers cette détermination par la raison, on aperçoit chez Weyl quelque chose que nous
	aimerions appeler une nouvelle forme d'idéalité de l'espace. Mais ici l'idéalité ne renverrait
	plus à un sujet singulier et incarné, situé en un emplacement contingent du monde. Ici,
	« idéalité » renverrait plutôt au fait que nous donnons à l'espace une forme qui est
	commune à tous les sujets empiriques, au-delà de leurs singularités. Cette idée est présente
	chez Weyl. Et c'est sans doute pourquoi, à juste titre, les commentateurs le rangent parmi
	la famille (au sens large) des idéalismes transcendantaux. Mais, en revanche, il faut bien
	voir que Weyl refuse d'utiliser les termes de « sujet » ou d'« idéalité » pour parler de cette
	forme commune à chaque sujet individuel, et qui est au fondement de la possibilité pour
	eux de partager une même expérience géométrique. Autrement dit, il y a bien des facultés
	du sujet chez Weyl au coeur de la détermination des structures géométriques, mais, à la
	lettre, il refuse de parler dans les termes d'un sujet transcendantal.
	3 L'
	'espace n'est pas seulement homogène vis-à-vis de ses points, mais
	plus généralement vis-à-vis des différents systèmes de coordonnées. Cette homogénéité a
	une fonction épistémique essentielle. Elle exprime une forme d'intersubjectivité, une
	possibilité a priori de passer indifféremment d'un point de vue subjectif à un autre, pour la
	description d'une même réalité géométrique sous-jacente. Ainsi l'espace se présente
	comme une structure qui peut s'exprimer algébriquement, et l'homogénéité de cette
	structure est le fondement de l'objectivité (intersubjectivité) géométrique.
	A présent, cette structure géométrique unique qui se dévoile lorsqu'on s'abstrait de la
	particularité du système de coordonnées choisi, a un caractère subjectif dans un sens
	nouveau de la subjectivité. C'est en effet pour Weyl, la raison qui impose ses exigences et
	qui conduit à déterminer a priori quelles sont les bonnes structures que l'on doit poser
	pour faire de la géométrie. Cette idée d'une détermination des structures de l'espace par la
	raison atteindra son apogée dans la pensée de Weyl entre 1921 et 1923, lorsqu'il
	parviendra à résoudre ce qu'il appelle l'analyse mathématiques du problème de l'espace.

apparente dualité de la notion d'espace chez Weyl

	Quand on est lecteur d'Espace-Temps-Matière et qu'on commence ainsi à établir les ponts
	entre les différentes thèses de Weyl sur la notion d'espace, on voit se dessiner à première
	vue non pas une unité de la pensée de Weyl sur l'espace, mais plutôt une dualité.
	D'une part, on a vu, à l'instant, se dessiner (*******) une notion mathématique d'espace.
	Il s'agit d'une forme, par essence homogène, et dont la nature est fixée a priori et qui peut
	s'exprimer algébriquement. Cet espace mathématique est déterminé par des exigences de la
	raison. Enfin, l'homogénéité de cet espace fonde en fait l'objectivité de la géométrie.
	D'autre part, les thèses de Weyl dont on n'a pas encore traité se relient facilement les unes
	aux autres,

et

  Enfin, elle est le lieu où la raison est souveraine et impose ses exigences.De l'autre, on a une notion physique d'espace. Le champ métrique d'Einstein est une entité dynamique dont les propriétés ne peuvent être imposées a priori. Ce sont les interactions de la matière qui déterminent sa structure. Et une conséquence de ce lien entre la matière et le champ métrique, c'est la nécessaire hétérogénéité de cet espace vis-à-vis des relations métriques.Nous allons voir que ces deux concepts, que nous appellerons pour simplifier le concept mathématique d'espace et le concept physique d'espace, ne forment pas véritablement une dualité irréductible dans la pensée de Weyl. espace mathématique et l'espace physique. Weyl voulait concilier sa vision idéaliste, rationaliste et algébrique de l'espace avec la conception Riemanno-Einsteinienne des relations métriques déterminées par la matière.Il y a un texte dans Espace-Temps-Matière dans lequel je soutiens qu'on peut trouver le problème clef qui a permis à Weyl de construire une philosophie de l'espace cohérente. Ce texte se trouve précisément à un moment charnière d'Espace-Temps-Matière, à la fin du chapitre 2, au paragraphe 12. C'est le moment où, après avoir développé sa notion mathématique d'espace, Weyl demande au lecteur de reconnaître la validité du raisonnement épistémologique de Riemann qui conduit à faire appel à la physique pour déterminer les coefficients de la métrique.Outre qu'il est central pour comprendre l'unité de la pensée de Weyl, ce texte a attiré mon attention en tant qu'il comporte un raisonnement analogue à ce que les historiens des sciences appellent l'argument du trou chez Albert Einstein. . Pour l'instant, cette seconde solution exprime le même contenu physique dans un autre système de coordonnées. Einstein nous demande ensuite de modifier notre interprétation de la transformation xx'. Au lieu d'un changement de coordonnées, on va l'interpréter comme un déplacement des deux champs T  et g  à même la variété spatio-temporelle. Le changement de coordonnées devient donc ce qu'on appelle parfois aujourd'hui une « transformation active ». Et les deux champs sont tractés par cette transformation active. Le résultat de tout ceci est qu'on est conduit à une nouvelle solution (T  (x), g'  (x)). Autrement dit, on a conservé les fonctions mathématiques T  et g' ¸o btenues par notre changement de coordonnée initial, Dans « l'argument de la boule d'argile » (je l'appelle comme ça car Weyl remplace le trou d'Einstein par une boule d'argile), Weyl pose une version du principe de Mach très forte , à savoir que le champ métrique g  est entièrement déterminé par la matière, elle-même réduite à une pluralité de fonctions scalaires (x). Weyl demande alors qu'on considère une portion de l'espace avec de la matière. Pour simplifier, il n'y aura rien d'autre dans l'espace qu'une boule d'argile. On part d'une configuration ((x), g  (x)). On suppose ensuite que la matière se déplace. Cela va se traduire par une transformation active qui se traduit numériquement par :

	Comparons brièvement les deux textes.

dessinent ce qu'on pourrait convenir d'appeler, contre l'usage de Weyl, une (*******) notion physique d'espace. En effet, Weyl défend que la véritable géométrie, est celle de Riemann (ou une généralisation de celle-ci). Cependant, la notion d'espace de Riemann ne détermine pas univoquement le champ des relations métriques. Une fois qu'on a la notion abstraite du champ métrique g  (x), encore faut-il déterminer la valeur contingente des fonctions g  (x). Ici, aucune analyse a priori ne peut justifier un tel choix. (*******) L'appel à la physique est alors inévitable. Einstein nous permet de préciser que c'est la (*******) gravitation qui est le phénomène physique qui achève de déterminer la métrique. Gravitation et géométrie ont fusionné en une seule discipline et le holisme en découle naturellement. (*******) De plus, cela nous encourage à avoir un espoir, celui de trouver une théorie des champs unifiée qui soit de nature entièrement géométrique, et qui achève la fusion su physique avec le géométrique. (*******) Ainsi, on voit ici nettement se dessiner deux notions d'espace dans la pensée de Weyl. Et ces deux notions sont d'autant plus facilement discernables l'une de l'autre qu'elles ont des caractères opposés. D'un côté, nous avons une notion mathématique d'espace. Elle est caractérisée avant tout par son homogénéité. Ces caractères algébriques sont posés a priori. (*******) La première raison est purement terminologique, mais elle peut être significative. En effet, Weyl réserve le terme d'espace « Raum » uniquement à ce que nous avons décidé d'appeler « espace mathématique ». C'est donc cette partie de la spatialité qui est homogène et qui est le lieu où la raison est souveraine. Quand il veut parler du champ gravitationnel d'Einstein, Weyl évite soigneusement d'employer le terme « espace ». Il parle plus volontiers de « la métrique » ou du « champ gravitationnel ». De ce point de vue purement terminologique, il y a donc une seule notion d'espace chez Weyl et celle-ci semble tout à fait cohérente comme nous l'avons montré.

Une deuxième raison plus fondamentale tient aux liens qu'entretiennent ces deux notions dans la pensée de Weyl. Une lecture superficielle d'Espace-Temps-Matière pourrait nous faire penser que ces deux notions seraient deux moments où une notion (la notion physique d'espace d'Einstein), viendrait se substituer à une autre notion (la notion mathématique d'espace de Klein) par un mouvement historique de la pensée. De fait, il est vrai que la notion mathématique d'espace est surtout développée dans le premier chapitre d'Espace-Temps-Matière, au moment où Weyl développe la géométrie euclidienne qui sera ensuite abandonnée. La considération des espaces de Riemann, et l'appel nécessaire à la physique pour la détermination de la métrique interviennent dans le chapitre 2. Le tour partiellement historique de l'écriture de Weyl pourrait nous faire penser qu'une certaine conception mathématique de l'espace, exemplifiée par la géométrie d'Euclide, et que les kantiens avaient voulu lier nécessairement à une forme de notre sensibilité, auraient été remplacée, après le triomphe de la physique d'Einstein, par une notion physique et dynamique de l'espace.

Une telle lecture chronologique ne rend pas justice à l'unité de la pensée épistémologique de Weyl. Non seulement, Weyl continue bel et bien dans ses écrits postérieurs à l'avènement de la théorie de la relativité générale, à affirmer les traits caractéristiques de l'espace qui correspondent à ce que nous avons appelé l' « espace mathématique ». Mais on a même un texte où Weyl montre que toute sa pensée géométrique n'a pu se développer de manière cohérente et unifiée, que parce qu'il cherchait à dépasser cette opposition entre l'(*******) Dans « l'argument du trou », Albert Einstein pose que le principe de Mach, c'est-à-dire le principe de la détermination de l'inertie par la matière, doit être pensée comme une détermination de la métrique par la matière. La matière doit être représentée par le tenseur énergie-impulsion T  . Et la détermination de la métrique par la matière doit prendre la forme d'une égalité tensorielle entre le T  et un tenseur G  , représentant indistinctement l'inertie et la gravitation, et qui est une fonction de la métrique et de ses dérivées. Ce sont les équations du champ. Einstein demande alors qu'on considère une portion de l'espace où aucune matière n'est présente, un « trou ». On part d'une solution supposée (T  (x), g  (x)) aux équations du champ. On considère alors un changement de coordonnées qui se réduit à l'identité en dehors du trou, mais qui est différent de l'identité dans le trou. Cela nous conduit à une seconde solution (T  '(x'), g'  (x')) des équations du champ. En raison de la présence du trou, T  '= T et on les a appliquées non pas aux nouvelles coordonnées (x') mais aux anciennes (x). On se trouve au final avec deux solutions (T  (x), g  (x)) et (T  (x), g'  (x)) des équations du champ qui expriment une même répartition de la matière mais deux répartitions de la métrique g  (x) et g'  (x) différentes. Ainsi, le principe de Mach semble violé.

  la boule d'argile n'a pas à changer de forme quand elle se déplace dans le monde Riemanno-Einsteinien. L'homogénéité de l'espace est sauvée conclut Weyl.Le premier intérêt de ce texte ressort quand on fait une analyse comparative de l'argument de la boule d'argile de Weyl avec l'argument du trou d'Albert Einstein. Le résultat de cette comparaison nous montre certaines faiblesses techniques de l'argument de Weyl, qui ne nous intéressent pas directement aujourd'hui pour la question de l'unité de la pensée épistémologique de Weyl, mais qui sont très intéressantes du point de vue épistémologique, par ce qu'elles nous apprennent plusieurs choses sur le principe de Mach. Je me contente donc uniquement de quelques mots sur ce point. La traduction réciproque n'est pas possible en général mais j'ai montré que, dans les cas restreints qui intéressent Weyl et Einstein, la traduction est possible. la métrique qui devaient être déterminés par la matière, mais seulement les relations métriques entre évènements physiquement identifiables. La différence entre détermination des coefficients de la métrique, et détermination des relations métriques entre événements physiques, en théorie de la relativité générale, tient à ce qu'on appelle en général, une jauge mathématique, c'est-à-dire une forme de liberté conventionnelle entre plusieurs manières mathématiques de paramétrer une même réalité physique.2) (*******) La modélisation de la matière par des fonctions scalaires conduit Weyl à exprimer un principe de Mach beaucoup plus fort que celui d'Einstein. En effet, dans la théorie de la relativité générale, ce n'est pas la métrique qui est déterminée directement par la matière mais le tenseur gravitationnel d'Einstein, qui est une fonctionnelle de la métrique et de ses dérivées. Et ce tenseur n'est pas déterminé par une matière scalaire, mais par le tenseur d'énergie-impulsion. Cette notion recouvre l'idée de la densité de l'énergie, de l'impulsion de l'énergie, c'est-à-dire qu'il s'agit d'une notion de « matière » qui est déjà porteuse d'une dimension métrique. On peut prendre l'Univers dans sa globalité qui en vient, dans la situation de l'argument de la boule d'argile, a être complètement immobile. Comme dans la philosophie éléatique, ou en particulier dans le chemin de la vérité du Poème de Parménide, la possibilité même du mouvement semble contredite. Weyl dit nous dit que l'homogénéité de l'espace a été sauvée mais qu'il semble qu'on n'arrive même plus à comprendre la possibilité de malaxer une boule d'argile entre nos mains. nécessité de mettre au même plan ontologique matière et métrique, plutôt qu'à chercher à faire de la matière un substrat pour les propriétés métriques.On a dit plus haut que le raisonnement de Weyl semblait une pirouette étonnante. Et en effet, chez des penseurs de la géométrie comme Henri Poincaré ou Hermann Ludwig von Helmholtz, le point de vue de Riemann est fondamentalement opposé à l'idée même

	Ce texte de Weyl, étrangement analogue à l'argument du trou d'Einstein, est intéressant à un double titre. (*******) (*******) Considérons maintenant les différences entre les arguments d'Einstein et de Weyl. Du point de vue technique, l'argument de Weyl est défaillant par rapport à celui d'Einstein parce que : Cette aporie dans laquelle tombe Weyl, sans doute par excès de simplifications didactiques, nous apprend par contraste beaucoup sur le principe de Mach adopté par publication : « From the hole argument to the ball of clay argument » (*******) J'en viens maintenant au deuxième intérêt de ce texte. Il s'agit à présent de quitter le point de vue comparatif avec l'argument d'Einstein et de montrer l'objectif interne du texte de Einstein. Je renvoie pour ces développements techniques à un article que j'ai proposé à la Weyl par rapport à l'unité de son épistémologie.

(*******) D'abord, en ce qui concerne les similarités entre l'argument d'Einstein et celui de Weyl, on voit que l'analogie va assez loin. Les deux arguments partent du principe de Mach et jouent sur la possibilité d'interpréter indifféremment une transformation comme active ou passive, pour produire au final une contradiction apparente, manifestant un point d'articulation problématique dans les rapports du mathématique au physique. Chez Einstein la contradiction est la violation du principe de Mach. Chez Weyl, la contradiction, comme on va le voir, est l'impossibilité du mouvement. Pour ce qui est de la distinction entre transformation passive et transformation active, il s'agit d'une manière contemporaine de parler, mais qui recouvre quelque chose d'essentiel dans les arguments d'Einstein et de Weyl. Mathématiquement, dans n'importe quelle variété, on peut passer automatiquement d'une interprétation active à une interprétation passive. 1) (*******) Weyl n'a pas tenu compte des enseignements de l'argument du trou d'Einstein. En effet, sa formulation du principe de Mach stipule que les coefficients de la métrique sont déterminés par la matière, alors précisément que l'argument du trou avait était surmonté par Albert Einstein en 1915 en comprenant que ce n'était pas les coefficients de

La version du principe de Mach qui est valable en théorie de la relativité générale ne relie pas l'ensemble des relations métriques à un temps t dans le cosmos à la répartition de la matière dans le cosmos au même instant. Plutôt, conformément à l'enseignement de la relativité restreinte, l'interaction entre métrique et matière ne peut se propager qu'à vitesse finie. Les équations d'Einstein expriment une interaction locale entre la matière et la métrique. Et la détermination de la métrique par la matière ne peut valoir que si elle est comprise dynamiquement, comme l'exigence d'une solution unique au problème de Cauchy.

Weyl, parce que le principe de Mach qu'il suppose n'a pas ce caractère dynamique, tombe dans une aporie en un sens plus problématique que celle d'Einstein. En effet, on a vu qu'il voulait sauver, dans un contexte de géométrie Riemannienne déterminée par la matière, la possibilité d'un déplacement rigide, possibilité qui exprimait l'homogénéité de l'espace. Toutefois, la conséquence de l'argument de la boule d'argile va beaucoup trop loin. Il ne montre pas seulement la possibilité, mais même la nécessité du caractère rigide de tout déplacement. Et comme l'argument vaut, quelle que soit la portion d'espace considérée. L'argument de Weyl nous montre qu'une physique où le principe de Mach n'a pas le caractère dynamique qu'il a en théorie de la relativité générale, et où on pose qu'une notion de matière absolument dénuée de tout aspect métrique déterminerait univoquement la métrique. Une telle physique donc est une impossibilité logique. Et cette impossibilité semble indiquer la d'homogénéité de l'espace. Selon eux, si on veut garder un espace homogène, on doit éliminer tous les espaces à courbures variables, les espaces de Riemann, pour ne conserver que les trois espaces à courbures constantes. Chez Weyl, on observe un renversement qui produit un effet rhétorique étonnant. En effet, il nous dit que, pourvu qu'on n'oublie pas de joindre l'hypothèse Riemannienne de la dépendance de la métrique à l'égard de la matière, à l'hypothèse d'une courbure variable de l'espace, alors l'homogénéité de l'espace est automatiquement sauvée. Nos deux concepts mathématiques et physiques d'espace peuvent donc cohabiter. Et c'est là l'objectif du texte.

La nature de l'espace n'impose aucune restriction à la connexion métrique.

  Cf. page suivante) Nous ne rentrerons pas ici dans le contenu technique complexe que recouvrent ces axiomes. L'important est de voir le statut épistémologique que Weyl leur donne. Il énonce clairement qu'il s'agir d'exigences rationnelles. Et Weyl démontre (c'est ce qu'il appelle l'analyse mathématique du problème de l'espace) que ces axiomes déterminent univoquement la structure infinitésimale de l'espace. Algébriquement, les groupes des rotations infinitésimales doivent être du typeSO(p, n). Les rotations ont pour invariant une formule de Pythagore généralisée du type :(dx 1 )² + .. +(dx n )² -(dx n+1 )² -(dx p+n )²[C'est-à-dire qu'] Il est toujours possible de trouver une connexion affine dans l'espace entre le point P 0 et les points de son voisinage de telle façon que la formule [(*)] représente un système de

	1) Axiome 1 :
	transports congruents pour des nombres  i	kr arbitraires.


Bernard Julien
email: philo-bernard.frju_bernard@yahoo.fr

The co-emergence of sets and functions in Hermann Weyl's Das Kontinuum

The chapter I of Das Kontinuum invites us to rethink, in a radical way, the nature of the relations between the two main categories of mathematical entities: sets and functions. An outstanding point of this reform is what I called the "co-emergence" of sets and functions within the mathematical universe. In other words, none of these two types of entities come first in the genesis of this universe. Sets and functions cover the totality of it and came from the same "mathematical process".

 What does this co-emergence mean?

 What can we learn from it about the nature of the relations between the notion of set and the notion of function in Das Kontinuum?

To make explicit Weyl's position and to test its consistency, we will study the nature of sets and functions from a strictly logical and mathematical point of view.

In this way, we are putting deliberately the continuum problem aside.

Nevertheless, the continuum problem constitutes the heart of Weyl's project and gives to the mathematical construction his pertinence, submerging it in the theoretical project of physics. In this way, the arithmetical construction of the continuum is justified from the outside and on the whole. However, the internal point of view on the first chapter of Das Kontinuum is legitimate in the opinion of Weyl himself1 .

Thus, let's take this mathematical and logical point of view, and let's return to the co-emergence of sets and functions. This feature of Weyl's system seems to have not been very studied. In fact, the first chapter of Das Kontinuum is often studied by the means of axiomatic reconstructions. This method permits to have a comprehensive view on the system and permits to make a direct comparison with similar systems. However, all the axiomatic reconstructions I know conceal partly the common nature of sets and functions in this system. For example, the translation of Weyl's system in usual notations often compels us to replace the single mathematical process by several comprehension axioms (one for sets and one for functions). Thus, without really betraying Weyl's system, these reconstructions are inadequate for the understanding of the specificity of Weyl's notion of function and of its particular relations to the notion of set. But Weyl's conception of the relations between the notions of function and set merits our attention. Indeed, Weyl turns upside down the order between the notion of function and the notion of set that is the one of Set Theory. Our comparison with Set Theory is not arbitrary. Since it is not only the theory that is used as a basis for numerous mathematical disciplines today but this theory is also the starting point of Weyl's thought on the mathematical foundations2 .

Let's remind us that, in Set Theory, a function is nothing but a particular kind of set. A function is likened to its graph. A function from X to Y is a particular subset of the product X*Y. "particular" means that this subset must verify the property of uniqueness of the "y" for each "x".

In fact, Set Theory use another notion of function; that which is used, for example, in the wording of Fraënkel's replacement axiom for the axiomatic theory ZF. In this other sense, a function is a two-arguments predicate whose arguments are not restricted to two sets X and Y. A function, in this sense, can apply to any set in order to define another set. But such a function is only an intensional entity to which we cannot assign any extension3 . A function, in this sense, is not really an object from the mathematical universe of Set Theory but it is rather a definitional entity that takes part in the definition of sets.

If we pay attention only to the extensional notion of function, the functions are thus kinds of set. We don't have to be surprised by this result since Set Theory defends an ontological monism. The universe of Set Theory seems to be plentiful but all its entities must be placed under one single kind: they are all "sets". Functions are ontologically derived. That is, their admission in the mathematical universe needn't axioms in addition to those that are given for the existence of sets.

In the opposite direction, sets and functions spring up simultaneously in Weyl's system. The mathematical process stands in for the comprehension axiom. It permits to assume simultaneously sets and functions in the mathematical universe. It is what I called "co-emergence". However, we don't have an ontological dualism since sets and functions are defined so that sets become kinds of functions. The inclusion between sets and functions is therefore turned upside down in comparison to Set Theory. We have still an ontological monism but this is not this time a Set Theory but rather a function theory.

The link between these two notions is however stronger in Weyl's system. Indeed, the notion of set is integral part of the notion of function.

Thus, the notion of function is an extension of the notion of set. On the contrary, in Set Theory, none of the two notions were the extension of the other.

After having emphasized the originality of the relations of the notions of set and function in Weyl's position, we propose carrying out two tasks:

1) First, we will lighten the meaning of this "co-emergence" of sets and functions in Weyl's system, making explicit the reasons for their having a common nature and for the origin of their distinction.

2) Secondly, we will explain why Weyl was compelled to assume, in his mathematical universe, these odd entities that he called « functions » and whose notion is the origin of the turning upside down we have expounded.

Owing to the reasons given above, we will try to complete these tasks analysing how Weyl himself sets out his system in the first chapter of Das Kontinuum and in a letter to Hölder4 .

In order to complete the first task, we must first outline Weyl's position in 1918 about the (internal) foundations of mathematics. We will base our sketch on the text of Das Kontinuum, on two articles of Solomon Feferman, and on personal thoughts. This position can be sketched by four terms: definitionism, intuitionism, predicativism, and arithmetism. Let's explain what those terms mean.

Definitionism

This position consists in refusing to assume the insertion of a new ideal object (that is a set or a function) if it is not introduced by the way of giving explicitly the relation which links together the constituent elements of this ideal object. We can express it in a different way asserting that each extensional entity must be introduced by the means of an intensional entity.

Intuitionism

Secondly, his mathematical universe is restricted in the sense that all the entities assumed must be generated by the logical principles from the a basic category of entities which are given intuitively. This basic category is a very structure made up of primitive objects and relations. The intuitive knowledge we must have of those entities must give foundations to the Excluded-Middle Principle. Each rightly built proposition, which concerns only the primitive entities, admits one truth-value, regardless our ability to determine it. Weyl expresses it asserting that such a category is a "complete system of definite self-existent objects". This kind of "intuitionism" is therefore far from Brouwer's one to which Weyl adhered a few years later.

Predicativism

Weyl refuses every impredicative definition, that is every definition which supposes the prior given information of a totality of entities of which the object to define is one of the members. Weyl's predicativism is expressed by the "restricted principle". In a language which is not that of Weyl, it consists in restricting the scopes of the quantifiers to the primitive entities. This principle permits to eliminate impredicative definitions while it expresses the privileged access we have to the basic categories. In the language of the Ramified Type Theory(RTT), introduced by Russell and Whitehead in the Principia Mathematica, the restricted principle consists in assuming only the entities of level 1.

The logical principles

Those three major thesis of Weyl's position (definitionism, intuitionism and predicativism) gives rise to the formulation of 6 logical principles which can be indifferently interpreted as principles of the construction of propositions or as principles of the construction of relations.

There are six principles:

1) The negation principle 2) The blanks-identification principle 3) The conjunction principle 4) The disjunction principle 5) The "filling in" principle 6) The "there is" principle5

We don't give details of those principles. Let's remind us solely that they permit to construct each property (or relation) which can be expressed in the first-order-predicates language, from the primitives relations, and including symbols for sets, functions and for the membership relation Є.

Arithmetism : natural numbers and iteration

The completeness condition, which Weyl demands from the basic categories, is a very strong one. Owing to this fact, Weyl develops only one such category: that of natural numbers.

The natural numbers series is important in Weyl's position because it makes up the intuitive datum which permits the foundation of a new type of definition of relation (the principle of iteration) and therefore a new form of inference(the inference by complete induction).

Two types of intuition are linked to the natural numbers series. 1) We have the intuition that gives us the natural numbers series as a complete system.

2) We have the intuition of the iteration. We mean here the intuition by which we can assert that, when we have an homogeneous relation (that is a relation which links each object to another object of the same nature), we can then consider the iteration of this operation an indefinite number of times.

Those two intuitions are linked together because:

1) The category of natural numbers can be regarded as the totality of the elements obtained by the iteration of the "successor relation" from the number 1.

2) The completeness of the natural numbers series exports itself to the outside, in a way, by the means of the intuition of iteration. Let's take an homogeneous one-to-one relation R(x,y) (x and y belong to any same category) Then, the totality of the elements obtained by the successive iterations of the relation "R" must be regarded as a complete system just like the natural numbers series itself.

Those two intuitions (that of the « completeness » of the natural numbers series, and that of the possibility to repeat indefinitely the iteration of an homogeneous operation) are blending together so that Weyl seems to confuse them entirely: «[…]the idea of iteration, i.e., of the sequence of the natural numbers, is an ultimate foundation of mathematical thought » 6The second feature we have expounded is an essential one for Weyl's system. I choose the term "transcendence" to designate this distinctive feature of Weyl's theory by which the completeness of natural numbers series exports itself outside. This property of Weyl's system shows that he had, in a way, a formal conception of natural numbers in spite of his rejection of a formalist opinion on mathematics. His conception of natural numbers is a formal one in the sense that what is important in the natural numbers series is its structure. But it is not a formalist opinion because Weyl didn't think at all that this structure emerges from an arbitrary choice. We have to remind that the natural numbers series is given intuitively to us, and is given in such a way that we know it is a complete totality and we know that its completeness exports itself to other series. We are then far from a formalist position.

(We can't here develop all the arguments we have to show that Weyl's notion of the natural series is a in a way a formal one. The main arguments are:

-Weyl's assimilation of the idea of the iteration and of the idea of the natural numbers series. -Weyl's refusal to base the natural numbers series on the definition of an essence for each isolated natural number. The only satisfactory way to define a number is to give is place in the succession.7 -Weyl's agreement with an axiomatic point of view on the natural numbers series (providing that we give their real status to axioms).

-The fact that, in Das Kontinuum, nothing is told about the nature of natural numbers but in relation with their succession. -The particular form of the principle of iteration wich assumes Weyl. Cf above)

The principle of iteration

This principle is the principle of construction that expresses, at the logical level, what we have called the transcendence of the natural numbers series. According to this principle, a totality of sets obtained by successive iterations of an homogeneous set-operation Φ(X) can be regarded as a complete totality, available for the definition of a new entity.

The schema below illustrate the meaning of this principle in the simplest case.

b) homogeneous function Φ homogeneous function Φ X 1 X 2 X 3 …
This totality is complete. We can thus use, in order to define a new entity, a relation like "there is a set among (X 1 , X 2 , …) such as…"

Explanation of the relations between sets and functions in Das Kontinuum

Having reminded the main thesis of Weyl about the foundations of mathematics, we can now carry out the two tasks we had proposed to us. To explain the relations between sets and functions we have to study the nature of the transition from intension to extension.

The mathematical process

We have already referred to the fact that this transition works, for sets and functions, by the same way: the process that Weyl calls "mathematical process". Let's see how it works.

Let's assume we have a relation R( , , …) that is constructed in accordance to Weyl's principles and which can therefore be used for the definition of an ideal entity. (this kind of relation is called "finitist" by Weyl).

Each argument is linked to a category which can be basic or not (a category of sets, etc.) We have to suppose that the arguments are divided in two groups: the dependent ones and the independent ones. R ( x 1 , … , x k | y 1 , … , y n ) Dependent Independent Variables Variables

Case of sets

Let's talk firstly of the case n=0, that is the case where there is no independent variable. Then, the mathematical process links to the relation R ( x 1 , … , x k ) the k-dimensional set Ř. Two factors step in this transition from the relation to the set:

1) The variables disappear. In Frege's way of speaking, the set Ř is a saturated entity on the contrary to the relation from which it is constructed.

2) The identification criterion changes. Let's quote Weyl :

« Therefore, how two sets […] are defined […] does not determinate their identity [on the contrary to relations] Rather an objective fact, which is not decidable from the definition in a purely logical way, is decisive; namely, whether each element of the one set is also an element of the other, and conversely. »

Case of functions

Let's assume now that n≠0, that is there is at least one independent variable. Then, the mathematical process links to the relation R ( x 1 , … ,

x k | y 1 , … , y n ) the function Ř(y 1 , … , y n ). For each possible value of the arguments, the function Ř(y 1 , … , y n ) becomes a set. This transition from the relation to the function includes two factors:

1) One part of the variables disappears (the dependent ones).

2) The identification criterion changes in a similar way to the case of sets.

Two functions are identical if their values are identical for each possible determination of the variables.

Thus, We find again the same two factors.

Before giving details about it, let's make two remarks.

First, we can see immediately the difference between this notion of function and the set-theoretical one. Indeed, in Set Theory, the value of a function can be of any nature whereas in Weyl's system the value of a function can't be a basic object. In fact, to express a one-to-one relation between basic objects, the notion of set (in Weyl's sense) is enough. (such a relation can be rendered in Weyl's system by a two-dimensional set Ř which verify the property that for each x there is a y such as « (x,y) Є Ř ». this property is a finitist one) Secondly, we can see now the exact relation between the notions of sets and functions in Das Kontinuum. We remark that the notion of function is defined by the means of the notion of set. Sets become borderline cases of function: those where the number of independent variables has been reduced to 0. That's why we said above that the notion of function were an extension of that of set.

We have distinguished two moments within the transition from intension to extension: 1) the abstractive moment and 2) the change of identification criterion. In fact, each of those two processes have is own autonomy. This autonomy is a distinctive feature of Weyl's system which is never explicitly explained in Das Kontinuum. But Weyl gives a few indications in this direction in some remarks and he confirms this fact in his Letter to Hölder. Those two moments are not only distinguishable but they can also be separated in a way.

Explaining this separation, we will be able to lighten the relations between sets and functions in Das Kontinuum as for their common nature as well as their distinction.

The common nature of sets and functions

To understand their common nature, we just have to consider individually the second moment of the transition between intension and extension.

Weyl asserts that the identification criterion of relations(that is intensions) is a purely logical one. It means that the identity between two relations must be decided on solely from their definitions by the way of their logical structure.

At the opposite side, the criterion of identification of sets and functions is irreducible to logical aspects. Weyl asserts that it must be based on an "objective fact". In fact, such an objective fact is given to us by the means of the intuitive access we have to basic categories. Thus, this basic-category intuition is what is needed to give a content to the logical entities. That intuition is the condition to enter in the very domain of mathematics. We can see this is an attitude close to the kantian one.

To summarize, in the mathematical process, takes place the very synthesis of logic and intuition. It permits the constitution of the mathematical universe. This synthesis works in a similar way for sets and functions and explains their common nature.

Processus mathématique

I Intension Extension

Logical Mathematical Point of view synthesis of logic Point of view over relations and intuition over sets and functions

The origin of the distinction between sets and functions

We can see that the abstraction process can be separated from the change of the identification criterion because the abstraction process step in already at the intensional level, that is at the logical level of the relations. Indeed, two principles of construction given by Weyl use explicitly sets and functions: the principle of substitution and the principle of iteration. But, in so far as those principles are used to the logical definition of relations, they must be conceived prior to the extensional level. Indeed, the mathematical universe emerges in Weyl's position from a single application of the mathematical process. Thus, how is it possible that sets and functions, which are the extensional entities, step in the use of intensional principles? This problem can be solved easily if we assume the distinction of the abstractive moment and the moment of the identification-criterion change, in the transition from intension to extension. Indeed, Weyl, in a few brief but essential notes, asserts that the sets and functions used for the definitions are not sets and functions in the full sense of those terms 8 . We can see that those particular notions of set and function, which Weyl describes as "purely formal" ones, correspond to abstract entities for which the identification criterion is still a logical one. This fact is confirmed by the fact that Weyl forbids the use of the extensional identity for the definition of relations.

8 [1918], p40 « in a purely formal way » and note n°35. cf also [1919] This distinction between those two moments (of the transition from intension to extension) shows that the distinction between sets and function in Weyl's system can be found in the only abstractive moment before the distinction between intension and extension. Functions are obtained by keeping independent some variables. It amounts to saying that functions are partly abstracted entities whereas sets are totally abstracted entities.

Let's take the same example as above:

R ( x 1 , … , x k | y 1 , … , y n ) Dependent Independent Variables Variables
When we form the function Ř(y 1 , … , y n ), we erase the distinction between all the k-dimensional systems (x 1 , …,x k ) which are linked to each n-dimensional system (y 1 , … , y n ). This process by which we erase the distinction between some entities is the essence of the abstraction for Weyl in a quite classic way of thinking. Functions are then partly abstracted in the sense that some residual variables are always present after the transition from intension to extension.

The distinction between sets and functions is now clear. We now have to explain why Weyl was compelled to assume, in his mathematical universe, those partly-abstracted extensional entities which he calls "functions", that is those kinds of hybrid entities between relations and sets.

Why was Weyl compelled to assume « functions » in his mathematical universe ?

We can found several reasons that have unequal importances.

1) The possibility to apply partly the abstractive process supplies a convenient means to "fit" relations into other relations, according to their dimension. In his Letter to Hölder, Weyl gives the example of a 5-dimensional relation R (u, v | x, y, z). He shows that the possibility to distinct the independent variables from the dependent ones permits to consider this relation as a "binary relation which depends on the three parameters x, y, z and is realized between u and v". This relation can then become an object for any relation S(X) whose argument refers to a binary relation. Thus, the possibility to abstract relations is a means for regarding a relation as an object for another relation. And the possibility to apply partly this abstractive process permits to make fitting the dimensions of the relations we want to connect.

2) However, there is a deeper reason to the fact that Weyl assumes "functions" in his system. Indeed, it was a necessary condition for Weyl in order to maintain his particular predicativist position, without assuming Russell's RTT.

We have already referred to the fact that Weyl expressed his predicativist position by the way of the restricted principle, that is by the prohibition to regard a set as a given totality available for the definition of a new relation. But mathematics, and analysis in particular, can't be developed without the possibility to use, for definition, totalities of ideal objects. This restriction is partly compensated by what I called "arithmetism". Indeed, Weyl's arithmetism permits to regard a countable totality of sets as available for the definition of a new relation, provided that this totality is given by the way of a "finitist" relation.

More precisely, if a totality of sets is given by the means of a set (of level>1) then the "restricted principle" forbids us to quantify over the elements of this set. On the opposite, if the totality of sets is given by the way of a relation on which the abstractive process have been partly applied, leaving independent the variable which is used to enumerate the sets, then we can regard this totality of sets as available for definitions, without infringing the restricted principle.

Let's give an example.

We can speak of a real number as a set of rational numbers. If we want to speak about a single real number, then a set is enough. For example, √2 can be defined as the extension of the property «x²<2 ». On the other hand, we can speak about the series √n only if the argument "n", which is a part of the relation by which the series is defined, have not been abstracted. Thus, we define the relation R(x|n) which means « x²<n » and we apply the mathematical process, without abstracting the "n". We obtain a function Ř(n) which was the series we were looking for. This series is available for the definition of a new relation.

Weyl shows more generally that we have to use this kind of "function" everywhere we have to use a totality of sets for definition. The partial abstraction is then a means to use totalities of sets in a system where the quantification over sets is forbidden.

3) In fact, the situation is more complex because the use of functions and sets, in Weyl's system, becomes fertile only when it is used simultaneously with the principle of iteration. Indeed, we could prove the fact below:

Sterility of sets and functions without the principle of iteration

For every basic-objects finitist property P(x), which is defined without the use of the principle of iteration, there is a property P'(x) which is equivalent to P and which is defined without any reference to a set or a function.

(Weyl lets us think that this is a distinctive feature of his system. But he doesn't prove it nor express it clearly. Nevertheless, we can see briefly that it is true on an example.

Let's suppose we have a finitist property P(n) of natural numbers which is defined without the use of the principle of iteration. Let's suppose moreover that the definition of P uses only one function: θ(t). For each t, this function refers to a set of natural numbers.

The only principles that use a function in Weyl's system are the principle of iteration and the principle of substitution. Since we have supposed that the principle of iteration was not used to define P, we must admit that the function θ(t) bas been substituted to a set-variable "X" in the definition of P. But the only primitive relation which uses sets(or functions) in Weyl's system is the membership relation Є. Therefore, P must be a property logically derived from the two-arguments relation: "( s Є θ(t) )" without using another function or set (by hypothesis). Now, Weyl's definitionism compels us to admit that the function θ(t) has been obtained by a partial abstractive process over a two-arguments relation of natural numbers: T(u | t) which doesn't use another set or function (by hypothesis). Thus, we know that the relation "( s Є θ(t) )" is equivalent to T ( s , t ). Finally, P is equivalent to a property P' where all the occurrences of "( s Є θ(t) )" have been changed in "T ( s , t )". P' is defined without any use of sets or functions. QED The general proof must be just a little more complex)

Owing to this fact, we have to say that the use of the principle of iteration is the last grounds for the assuming of the "functions" in Weyl's system. What we said in 2) (on page 13) is still right. We have to introduce "functions" in Weyl's system in order to use legitimately totality of sets. But this introduction is fertile only because of the principle of iteration. Indeed, without this principle, even the operation of addition between natural numbers is not given in Weyl's system.

Conclusion

We began our research noting a remarkable feature of Weyl's system: sets and functions (the two kinds of extensional entities) co-emerge in the mathematical universe. And they do in such a way that sets become particular cases of functions.

Why is there such a turning upside out in comparison to Set Theory? Separating two moments in the transition from intension to extension, we tried to explain the origin of the common nature of sets and functions and the origin of their distinction. It appeared that sets and functions are two kinds of abstract entities whose identification criterion is based on a basic-category intuition. But, unlike sets, functions are partly abstractive entities. Why was Weyl compelled to assume those partly abstractive entities?

The predicativist position, when it is expressed only by restricting the universe of the TTR to the level 1, seems not to be able to reconstruct analysis in an appropriate way. Russell was very conscious of it. That's why he adopted his principle of reducibility. Weyl judges that it is a mere treachery toward the predicativist position.

Weyl wanted to keep faithful to the predicativist position and chose not to assume other entities than those of level 1. Functions, as partly abstracted entities, became the only way for him to use totalities of sets for definition, without betraying the restricted principle, which expressed for Weyl his predicativist position.

But, in fact, this system would have been entirely sterile if this restriction had not been compensated by the position of Weyl I called "arithmetism". The use of "functions" became fruitful because of the iterative principle assumed by Weyl. This principle poses a problem because we know, since a work of Kleene 9 , that it permits to get over the first level, in the strict sense of the TTR of Russell. Has Weyl unconsciously betrayed the predicativist position too? I don't know. But at least we have given a reason to understand why Weyl assumed this principle in its particular form. The problem raised by Weyl's principle came from the fact that it permits to assume series of sets as complete series. We saw that this is a consequence of what I called Weyl's "arithmetism". The position of Weyl about the natural numbers series is a radical one not only because he assumed that this series is intuitively given as a complete one (in the particular sense Weyl gives to the word "complete"), but also because he gave to this series a transcendental aspect (in the sense I gave above to the word "transcendental"). In other words, Weyl had a very formal or structural notion of the natural numbers series. And the formal aspect of his notion had great consequences outside the natural numbers series. This is confirmed by several passages of Weyl's work. He has probably never used the word "formal" for a strategic reason, because he didn't want to create an ambiguity with the formalist positions against which he fought.

Therefore, from a purely mathematical and logical point of view, Weyl succeeded in reconstructing mathematical analysis without assuming quantification over sets. It is possible because of the use of functions, as partly abstracted entities, simultaneously with the particular arithmetism he defended. Nevertheless, we have to wonder if this radical position about the natural numbers series is more legitimated than the principle of reducibility itself.

Bernard Julien Ju_Bernard@yahoo.fr 9 cf [F1988]

  This totality is complete. We can thus use, in order to define a new entity, a relation like "there is a natural number n such as…"Transcendence of the natural numbers series

[1918], Preface, p1.

[1918], p47

This assertion would have to be qualified if we considered the situation from the point of view of Classes theory, for example that of Bernays and Von Neumann. From this point of view, the kind of functions intervening in the replacement axiom is regarded as a kind of class. Their status is then ambiguous. A class is an extensional entity only in a weak sense. Most of the operations allowed for sets are forbidden for classes. This point is not however very important according to our intention??.

[1919]

[1918], p9-10

Julien Bernard-www.philo-bernard.fr-The co-emergence of sets…

[1918], p48

cf [1918] p47 for the refusal of Frege's and Russell's trial to define each natural number as an equivalent classes.Cf [1949] I. 6, p34 where Weyl asserts that "the succession of numbers appears as their constitutive characteristic".