Corentin Briat
email: cbriat@math.kth.se

Alexandre Seuret
email: alexandre.seuret@gipsa-lab.grenoble-inp.fr

Sur la stabilité des systèmes linéaires impulsifs par fonctionnelles de Lyapunov

Keywords: Systèmes impulsifs, Fonctionnelles de Lyapunov, Inégalités Linéaires Matricielles

Une nouvelle approche pour l'analyse de stabilité des systèmes linéaires impulsifs est proposée. Elle repose sur l'utilisation d'une nouvelle classe de fonctionnelles de Lyapunov autorisant l'utilisation de fonctions de Lyapunov localement croissantes. Les conditions de stabilité sont exprimées sous forme d'inégalités linéaires matricielles et sont dépourvues de termes exponentiels. Cette approche peut être appliquée à une plus grande classe de systèmes que les méthodes existantes. Quelques exemples, notamment sur les systèmes échantillonnés, sont traités.

I. Introduction

Les systèmes impulsifs [START_REF] Bainov | Systems with impulse effects : Stability, theory and applications[END_REF][START_REF] Yang | Impulsive control theory[END_REF][START_REF] Cai | Converse Lyapunov theorems and robust asymptotic stability for hybrid systems[END_REF][START_REF]Smooth Lyapunov functions for hybrid systems Part ii : (pre)asymptotically stable compact sets[END_REF][START_REF] Hespanha | Lyapunov conditions for input-to-state stability of impulsive systems[END_REF] sont une classe importante de systèmes hybrides pour lesquels la trajectoire admet des discontinuités à certains instants. De tels modèles sont utilisés dans différents domaines comme l'épidémiologie [START_REF] Stone | Theoretical examination of the pulse vaccination policy in the SIR epidemic model[END_REF][START_REF] Briat | A new delay-SIR model for pulse vaccination[END_REF], les systèmes échantillonnés ou encore les systèmes commandés en réseau [START_REF] Naghshtabrizi | Exponential stability of impulsive systems with application to uncertain sampled-data systems[END_REF]. Les systèmes impulsifs peuvent être divisés en deux groupes : ceux dont les instants des impulsions dépendent de l'état du système et ceux dont ils dépendent seulement du temps. Les systèmes appartenant à cette dernière classe peuvent être représentés de la manière suivante ẋ(t) = Ax(t), t ∈ R + \I, x(t + ) = Jx(t), t ∈ I,

où x ∈ R n est l'état du système et l'ensemble I := {t i } i∈N est un ensemble dénombrable d'instants d'impulsions tel que t i+1 > t i , i ∈ N et n'admettant aucun point d'accumulation. La notation x(t + ) dénote le limite à droite de x en t, i.e. x(t + ) = lim s↓t x(s). Selon la structure des matrices A et J, le système peut avoir des comportements relativement différents. En particulier, les notions de temps d'attente minimum et maximum peuvent être définies pour les systèmes impulsifs [START_REF] Hespanha | Lyapunov conditions for input-to-state stability of impulsive systems[END_REF], comme pour les systèmes à commutations [START_REF] Liberzon | Switching in Systems and Control[END_REF][START_REF] Geromel | Stability and stabilization of continuous-time switched linear systems[END_REF]. Dans le cas des systèmes impulsifs, ces notions réfèrent aux propriétés d'un système telles que des trop petits ou trop grands intervalles entre les impulsions déstabilisent le système. Dans le cas d'impulsions périodiques de période T > 0, le problème se réduit à analyser le spectre de la matrice Je AT , qui s'avère être un problème très simple. Cependant , cette formulation souffre de certains défauts :

1. l'analyse du spectre ne permet pas de conclure sur la stabilité du système quand les impulsions ne sont plus périodiques puisque le rayon spectral n'est, en générale, pas sous-multiplicatif ; 2. il est donc nécessaire de recourir à des approches de type Lyapunov conduisant à des inégalités linéaires matricielles robustes dépendant d'une incertitude scalaire à l'exponentielle, connues pour être complexe numériquement, bien que résolvables ; 3. L'extension à la stabilité robuste est aussi difficile, encore à cause du terme exponentiel. Il n'y a, pour le moment, aucune méthode efficace permettant de traiter des incertitude matricielles à l'exponentielle.

L'approche proposée dans cet article a pour avantage de résoudre tous les problèmes ci-dessus. L'idée sous-jacente a été développée dans le récent papier [START_REF] Seuret | A novel stability analysis of linear systems under asynchronous samplings[END_REF] où une connexion entre le temps-continu et le temps-discret a été proposée. Il est en effet montré que la stabilité en temps-discret est équivalente à un certain type de stabilité en temps-continu si cette dernière est prouvée à l'aide de fonctionnelles bien spécifiques. L'avantage des critères de stabilité en tempsdiscret est de s'intéresser à la stricte décroissance d'une séquence de points plutôt qu'à la stricte décroissance d'une fonction pour le cas continu. En choisissant ces points sur la fonction de Lyapunov de manière judicieuse et satisfaisant certains critères, il est donc possible d'obtenir une suite de valeurs décroissantes alors que la fonction n'est pas strictement décroissante, violant ainsi la condition de Lyapunov pour la stabilité asymptotique. Il est important de noter que seule la décroissance globale de la fonction de Lyapunov est importante pour la stabilité asymptotique, elle est néanmoins plus difficile à vérifier que la stricte décroissante qui impose une condition évidente sur la dérivée. De ce fait, le critère en temps discret est plus intéressant puisqu'il permet de transformer la décroissance globale en temps-continu en une stricte-décroissance en temps discret, simplifiant donc l'analyse et améliorant la précision de la méthode. Cette méthode peut être appliquée à de nombreux types de systèmes, notamment les systèmes hybrides présentant des événements discrets indiquant les points à utiliser pour la condition de stabilité en temps-discret. Cela est aussi généralisable à d'autres sousclasses de systèmes pour lesquels ces 'marqueurs temporels' peuvent être définis.

L'approche par fonctionnelles présentée ci-dessus conduit à des conditions qui peuvent être exprimées par des inégalités linéaires matricielles qui sont affines en la valeur de l'intervalle entre les impulsions, dépourvues de termes

H H H H H J A [λ(A)] < 0 [λ(A)] > 0 otherwise |λ(J)| < 1 TAa TAM TAmM |λ(J)| > 1 TAm - - otherwise
TAm -TAmM

II. Résultats préliminaires

A. Un résultat général de stabilité L'approche basée sur fonctionnelles repose sur la caractérisation du système (1) via l'utilisation d'un formalisme similaire a celui utilisé pour les systèmes échantillonnés [START_REF] Yamamoto | New approach to sampled-data control systemsa function space method[END_REF]. L'espace d'état considéré ici consiste en l'espace des fonctions continues a support variable

K := {C(( , ∼), R ) : ∼ ∈ [T , T ]}.
Les éléments de K sont donc des fonctions continues de la forme

χ k : (0, T k ] → R n , où T k = t k+1 -t k < ∞, k ∈ N. Le nouvel espace d'état est donc de dimension infinie et vérifie χ k (τ ) := x(t k + τ ), τ > 0 χ k (τ ) = e Aτ χ k (0), lim τ ↓ χ k (τ ) = Jχ k-1 (T k-1 ) = Jx(t k+1 ).
(2) Afin de prouver la stabilité, l'idée est de regarder le comportement d'une fonction de Lyapunov candidate aux instants d'impulsion, c'est-à-dire, nous cherchons une fonction quadratique V (x) telle que la séquence {V (x(t k ))} k∈N soit décroissante monotone1 . Cela est formalisé dans le résultat ci-dessous :

Théorème 1: Soient deux réels positifs T min ≤ T max < +∞ et une fonction quadratique

V : R n → R + vérifiant ∀x ∈ R n , µ 1 ||x|| 2 2 ≤ V (x) ≤ µ 2 ||x|| 2 2 , (3)
pour des scalaires strictement positifs µ 1 < µ 2 . Alors les deux assertions suivantes sont équivalentes.

(i) La séquence {V (x(t k ))} k∈N est décroissante ; i.e. V (x) est une fonction de la Lyapunov discrète pour le système

x(t k+1 ) = e AT Jx(t k ), T ∈ [T min , T max ]. (ii) Il existe une fonctionnelle différentiable V : [0, T max ] × K → R satisfaisant V(T, z) = V(0, z), (4)
pour tout z ∈ K et pour tout T ∈ [T min , T max ] tels que l'inégalité W k (τ, χ k ) = Λ k + d dτ [T k V (χ k (τ )) + V(τ, χ k )] < 0, (5) soit vérifiée pour tout τ ∈ [0, T k ), T k ∈ [T min , T max ], k ∈ N et où Λ k := V (χ k (0)) -V (χ k-1 (T k-1 )). (6)
Preuve :

(ii)⇒(i) : Soient k ∈ N, τ ∈ [0, T k ] et T k ∈ [T min , T max ]. Supposons que (ii) soit satisfaite. En intégrant W on obtient T k 0 W k (τ, χ k )dτ = T k (V (χ k (0)) -V (χ k-1 (T k-1 )))) +T k (V (χ k (T k )) -V (χ k (0))) +V(T k , χ k ) -V(0, χ k ).
Les deux derniers disparaissent en utilisant (4). Sachant que

χ k (0) = x(t + k ), χ k-1 (T k-1 ) = x(t k ), χ k (T k ) = x(t k+1 ), on obtient T k 0 W k (τ, χ k )dτ = T k V (x(t + k )) -V (x(t k )) + V (x(t k+1 )) -V (x(t + k )) = T k [V (x(t k+1 )) -V (x(t k ))] . Alors la suite {V (x(t k ))} k∈N est décroissante en k puisque Ẇk est négatif sur [0, T k ).
(i)⇒(ii) : Supposons maintenant que (i) soit satisfaite. De manière similaire à [START_REF] Seuret | A novel stability analysis of linear systems under asynchronous samplings[END_REF], nous introduisons la fonctionnelle

V(τ, χ k (τ )) = -T k V (χ k (τ )) + τ (V (x(t k+1 )) -V (x(t k ))).
De simples calculs montrent que la condition (4) est vérifiée. En substituant dans [START_REF] Hespanha | Lyapunov conditions for input-to-state stability of impulsive systems[END_REF], on obtient Ẇk (τ,

χ k ) = V (x(t k+1 )) -V (x(t k )) < 0. L'équivalence est démontrée.
La fin de la démonstration porte sur le comportement du système continu entre deux impulses. Il s'agit de montrer que les solutions du système ne diverge pas entre ces deux instants bien que les solutions convergent en temps discret. Cela se prouve en notant que l'équation (2) assure que les solutions du système sont bornées à partir du moment où T max est borné.

L'intérêt de considérer des fonctions de Lyapunov discrètes se justifie par la possibilité de surmonter le problème des 'fonctions de Lyapunov' continues localement croissantes. En effet, en dépit d'être localement croissante, la 'fonction de Lyapunov' peut être globalement décroissante, contenant donc l'information de stabilité asymptotique du système. Cette propriété est extrêmement importante dans le cadre des systèmes impulsifs afin de tolérer des sauts expansifs et des dynamiques continues instables. En utilisant un tel cadre de travail, seulement la décroissance de la fonction évaluée aux instants d'impulsions est importante. Sur la Figure 1, nous pouvons en effet remarquer que les deux enveloppes générées par les valeurs pre-et post-impulsions de la fonction de Lyapunov continue caractérisent la stabilité asymptotique. La fonctionnelle W du Théorème 1 coincide avec l'enveloppe inférieure. Notons que les deux enveloppes sont équivalentes en terme de mesure de stabilité puisque qu'elles sont reliées par l'égalité

V (x(t + k )) = V (Jx(t k ))
. Il sera montré qu'une telle approche est capable de caractériser la stabilité d'une classe de systèmes plus large que les méthodes existantes [START_REF]Smooth Lyapunov functions for hybrid systems Part ii : (pre)asymptotically stable compact sets[END_REF][START_REF] Hespanha | Lyapunov conditions for input-to-state stability of impulsive systems[END_REF], plus précisément la classe pour laquelle ni A ni J ne sont stables.

B. Quelques inégalités importantes

De nombreuses fois dans ce qui suit, nous utiliserons les inégalités linéaires matricielles suivantes : C(P, A) := A T P + P A, D(P, J) := J T P J -P, I(P, A, J, T ) := J T e A T T P e AT J -P,

C. Temps d'attente pour les systèmes impulsifs

Cette section concerne l'obtention de conditions suffisantes pour la caractérisation des temps d'attente des systèmes impulsifs.

Lemme 1 (TAm) Supposons que, pour un T ≥ 0 donné, il existe une matrice P = P T 0 telle que

C(P, A) ≺ 0, (8)
et

I(P, A, J, T ) ≺ 0. ( 9
)
Alors pour n'importe quelle séquence d'impulsions {t k } k∈N satisfaisant t k+1 -t k ≥ T , le système (1) est asymptotiquement stable.

Preuve : Le but est de montrer que les conditions cidessus impliquent que I(P, A, J, θ) ≺ 0 est vraie pour tout θ ∈ [T, +∞). La LMI (8) implique que nous avons e A T θ P e Aθ -P 0 [START_REF] Geromel | Stability and stabilization of continuous-time switched linear systems[END_REF] pour tout θ ≥ 0. Cela se prouve facilement en montrant qu'une solution P de (8) est aussi une solution de [START_REF] Geromel | Stability and stabilization of continuous-time switched linear systems[END_REF]. En partant de [START_REF] Geromel | Stability and stabilization of continuous-time switched linear systems[END_REF], il est immédiat de montrer que, pour un κ > 0 fixé, l'inégalité e A T (κ+δ) P e A(κ+δ) e A T κ P e Aκ [START_REF] Seuret | A novel stability analysis of linear systems under asynchronous samplings[END_REF] est vérifiée pour tout δ > 0. Ainsi, nous avons

J T e A T ( T +δ) P e A( T +δ) J J T e A T T P e A T J (12)
pour tout δ ≥ 0 et donc ( 9) implique que

J T e A T ( T +δ) P e A( T +δ) J -P ≺ 0 (13)
est vérifiée pour tout δ ≥ 0. La preuve est complète. Lemme 2 (TAM) Supposons que pour un T > 0 donné, il existe une matrice P = P T 0 telle que C(P, A) ≺ 0 et I(P, A, J, T ) 0 soient vérifiées. Alors pour n'importe quelle suite d'instants d'impulsions {t k } k∈N satisfaisant t k+1 -t k ≤ T , le système (1) est asymptotiquement stable.

Preuve : La preuve est similaire à celle du Lemme 1. Le principal inconvénient des résultats ci-dessus repose sur la présence de termes exponentiels empêchant une possible extension au cas incertain. Nous verrons que grace au Théorème 1 il sera possible d'obtenir des conditions suffisantes pour les Lemmes 1 and 2 présentant des propriétés intéressantes permettant l'extension au cas incertain. Le corollaire suivant est une conséquence immédiate du Lemme 1.

Corollaire 1 (TAa) Le système (1) est asymptotiquement stable indépendamment de la séquence d'impulsions {t k } k∈N s'il existe une matrice P = P T 0 telle que C(P, A) ≺ 0 et D(P, J) ≺ 0 soient satisfaites.

Preuve : Il suffit de poser T = 0 dans (9) pour obtenir ce résultat.

Il est intéressant de noter que la même condition peut être trouvée dans [2, Théorème 4.1.1] et dans [5, Théorème 2] bien qu'exprimée de manière différente.

III. Analyse de stabilité nominale des systèmes linéaires impulsifs Cette section détaille des résultats de stabilité nominale pour le cas d'impulsions périodiques et apériodiques.

A. Cas périodique

Théorème 2: Le système impulsif (1) avec t k+1 -t k = T , k ∈ N est asymptotiquement stable s'il existe des matrices

P, Z ∈ S n ++ , Q, U ∈ S n , R ∈ R n×n et N ∈ R n×2n telles que les LMIs Ψ(T ) := F 0 + T (F 2 + F 3 ) ≺ 0, Φ(T ) := F 0 -T F 3 N T -Z T ≺ 0, (14)
soient vérifiées avec

M x = I 0 , M ζ = I -J , M -= 0 I , F 3 = M T -U M -et F 0 = T M T x (A T P + P A)M x -M T ζ QM ζ +M T -(J T P J -P )M -+ He[N T M ζ -M T ζ RM x ], F 2 = He[M T x A T QM ζ + M T x A T RM x + M T ζ RAM x ] +M T x A T ZAM x . (15
) De plus, la fonction quadratique V (x) = x T P x est une fonction de Lyapunov discrète pour le système (1), c'est à dire la LMI I(P, A, J, T ) ≺ 0 est vérifiée.

Preuve : La preuve est inspirée de [START_REF] Seuret | A novel stability analysis of linear systems under asynchronous samplings[END_REF]. En posant

V (x) = x T P x et V(τ, χ k ) = ( T -τ )ζ k (τ ) T [Qζ k (τ ) + 2Rχ k (τ )] +( T -τ ) τ 0 χk (s) T Z χk (s)ds +τ ( T -τ )χ k-1 ( T ) T U χ k-1 ( T ) (16) où ζ k (τ ) = χ k (τ ) -χ k (0) = χ k (τ ) -Jχ k-1 ( T ), P = P T 0, Q = Q T , Z = Z T 0 et U = U T , nous obtenons après différentiation Ẇk := T k V + V + Λ k ≤ ξ k (τ ) T [F 0 + τ F 1 + (T -τ )F 2 +( T -2τ )F 3 ξ k (τ ) (17) où F 1 = N T Z -1 N , ξ k (t) = col(χ k (τ ), χ k-1 ( T )) et Λ k = χ k-1 ( T ) T J T P J -P χ k-1 ( T ).
Pour obtenir la borne sur Ẇk , nous avons utilisé une version affine de la borne de Jensen [START_REF] Seuret | Stability analysis for sampled-data systems with a time-varying period[END_REF][START_REF] Briat | Convergence and equivalence results for the Jensen's inequality -application to time-delay and sampled-data systems[END_REF] sur le terme intégral

- τ 0 χk (s) T Z χk (s)(s)ds ≤ ξ k (τ ) T 2N T M ζ +τ N T Z -1 N ξ k (τ ). ( 18
)
Comme l'inégalité matricielle est affine en τ , afin de vérifier sa faisabilité sur tout l'intervalle [0, T ], il est nécessaire et suffisant de la vérifier aux sommets de l'ensemble, c'est à dire pour tout τ ∈ {0, T }. Enfin, un complément de Schur sur le terme quadratique T N T Z -1 N produit le résultat.

Il est important de noter que le Théorème 1 propose une condition nécessaire et suffisante alors que le résultat cidessus n'en propose qu'une suffisante. La nécessité est en effet détruite lorsque la fonctionnelle (16) est sélectionnée. En dépit de ça, il sera montré à travers des exemples que cette fonctionnelle peut conduire à de bons résultats. Les avantages du résultat ci-dessus repose sur la possibilité de considérer des fonctions de Lyapunov non-monotones et sur l'absence de termes exponentiels facilitant l'obtention de critères pour les systèmes incertains. Le lemme ci-dessous propose une condition pour la stabilité pour des périodes arbitrairement petites.

Lemme 3: Quand T → 0, les conditions LMIs [START_REF] Briat | Convergence and equivalence results for the Jensen's inequality -application to time-delay and sampled-data systems[END_REF] tendent vers la condition D(P, J) ≺ 0, impliquant alors que la matrice J est Schur.

Preuve : Quand T → 0, nous avons Ψ(T )

→ F 0 | T =0 et Φ(T ) → F 0 | T =0 où F 0 | T =0 est donné par -M T ζ QM ζ -M T ζ RM x -M T x R T M ζ +N T M ζ + M T ζ N + M T -(J T P J -P )M -≺ 0 (19)
En vertu du Lemme de Finsler [START_REF] Skelton | A Unified Algebraic Approach to Linear Control Design[END_REF], la matrice N peut être éliminée et nous obtenons la LMI équivalente

M T ⊥ M T -(J T P J -P )M -M ⊥ ≺ 0 (20)
où M ⊥ = J T I T . En évaluant l'expression, on obtient le résultat. Cela signifie que la condition donnée dans le Théorème 2, lorsqu'elle est évaluée pour des périodes arbitrairement faibles, peut être remplacée, dans le cas où J est Schur, par l'inégalité de Stein.

B. Caractérisation des temps d'attente minimal et maximal

Nous développons dans cette section des conditions suffisantes pour la caractérisation de temps d'attente en utilisant l'approche basée fonctionnelle proposée.

Théorème 3 (Temps d'Attente Minimal) Supposons que pour un T > 0 donné, il existe des matrices 1) est asymptotiquement stable et nous avons I(P, A, J, θ) ≺ 0 pour tout θ ∈ [ T , +∞).

P, Z ∈ S n ++ , U, Q ∈ S n et R ∈ R n×n telles que Ψ(T ) ≺ 0, Φ(T ) ≺ 0 et C(P, A) ≺ 0 soient satisfaites. Alors, pour n'importe quelle séquence {t k } k∈N vérifiant t k+1 -t k ≥ T , le système (
Preuve : La résultat est conséquence du Lemme 1 et du Théorème 2.

Théorème 4 (Temps d'Attente Maximal) Supposons que pour un T > 0 donné, il existe des matrices P, Z ∈ S n ++ , U, Q ∈ S n et R ∈ R n×n telles que Ψ( T ) ≺ 0, Φ( T ) ≺ 0 et C(P, A) ≺ 0 soient satisfaites. Alors, pour n'importe quelle séquence {t k } k∈N vérifiant t k+1 -t k ≤ T , le système (1) est asymptotiquement stable et nous avons I(P, A, J, θ) ≺ 0 pour tout θ ∈ [ T , +∞).

Preuve : La preuve utilise le Lemme 2 et le Théorème 2.

C. Stabilité sur un intervalle -Temps d'attente minmax

Comme les résultats ci-dessus ne peuvent être appliqués seulement quand la matrice A est Hurwitz ou anti-Hurwitz, nous dérivons le résultat suivant qui s'applique a n'importe quel type de système. Une condition suffisante pour le temps d'attente minmax est donnée en termes de problème de faisabilité robuste convexe Preuve Comme les LMIs du Théorème 2 sont convexes en T , par un argument de convexité le résultat est obtenu.

I(P, A, J, θ) ≺ 0 (21)
Il semble important de noter que ce résultat peut être appliqué à une grande classe de systèmes, notamment ceux dont ni A ni J ne sont stables. Tous les résultats actuels, par exemple [5, Théorèmé 1], concernant la stabilité des systèmes impulsifs nécessitent qu'une de deux matrices soit stable. Cela démontre l'intérêt de cette approche qui peut être étendue aux systèmes avec des entrées/sorties.

IV. Exemples

Exemple 1: Considérons le système (1) avec les matrices

A = 1 3 -1 2 , J = 0.5I 2 . ( 22
)
La matrice A a deux valeurs propres instables situées à 1.5 ± 1.6583j, nous avons donc besoin d'un J stabilisant, c'est-à-dire J Schur. Il est aussi facile de voir que si les impulsions sont trop espacées, la stabilité ne peut pas tenir. En appliquant le Théorème 2 (impulsions périodiques) avec une approche par dichotomie pour trouver le maximal T > 0, nous obtenons T max = 0.4471. En utilisant un résultat basé sur le rayon spectral nous trouvons 0.4620. Cela montre que l'approche proposée est capable d'estimer de manière assez précise la période maximale pour cet exemple. En choisissant T = 0.3, nous obtenons les trajectoires des états et de la fonction de Lyapunov représentés sur les Figures 1 et 2. En posant J = σI 2 , nous pouvons calculer le maximal T max (σ) ; voir Figure 3. Exemple 2: Considérons maintenant le système (1) avec les matrices

A = -1 0 1 -2 , J = 2 1 1 3 . ( 23
En appliquant le Théorème 2, nous obtenons la période d'échantillonnage constante maximale T max = 1.7239 comme dans [START_REF] Seuret | A novel stability analysis of linear systems under asynchronous samplings[END_REF][START_REF] Briat | Stability criteria for asynchronous sampled-data systems -a fragmentation approach[END_REF]. Pour comparaison, la condition basée sur le rayon spectral donne une valeur maximale de 1.7294. Dans le cas apériodique, le Théorème 5 donne la valeur T max = 1.7239 pour la valeur donnée T min = 10 -5 .

V. Conclusion

Une approche basée sur des fonctionnelles pour l'analyse de systèmes impulsifs a été proposée. Le principal avantage de cette méthode vient de la possibilité d'analyser la stabilité du système en temps-discret via une approche en temps-continu. Cette approche permet de considérer facilement des 'fonctions de Lyapunov' non monotones et d'analyser une plus grande classe de systèmes que les méthodes existantes. Elle conduit également à des critères linéaires de stabilité, soulignant donc la possible généralisation des résultats au cas incertain. Plusieurs exemples confirment son intérêt.

  Fig. 1. 'Fonction de Lyapunov' continue V (trait plein) pour le système (22) et les enveloppes à temps-discret (tirets) ; W coincide avec l'enveloppe inférieure qui décroit de manière monotone.

( 7 )

 7 où C, D et I respectivement signifiant 'continu', 'discret' et 'impulsif'.

  qui doit être satisfait pour un P = P T 0 et pour tout θ ∈ [T min , T max ]. Le théorème suivant expose une condition suffisante pour (21) dépourvue de termes exponentiels :Théorème 5: Le système impulsif (1) avecT k ∈ [T min , T max ], 0 < T min ≤ T max < ∞ est asymptotiquement stable s'il existe des matrices P, Z ∈ S n ++ , Q, U ∈ S n , R ∈ R n×n et N ∈ R n×2n telles que Ψ(T ) ≺ 0 et Φ(T ) ≺ 0soient satisfaites pour tout T ∈ {T min , T max }. Dans ce cas, l'inégalité I(P, A, J, θ) ≺ 0 est satisfaite pour tout θ ∈ [T min , T max ].

Fig. 2 . 3 .

 23 Fig. 2. Trajectoire des états du système (22) pour une période d'impulsions T = 0.3. Dans le cas apériodique, nous utilisons le Théorème 4 et nous trouvons T max = 0.4471, le système est donc pour n'importe quel T k ∈ [0, T max ]. Quand le Lemme 2 est plutôt considéré, nous obtenons 0.4620. Cela montre que le Théorème 4 fournit une approximation relativement précise du temps d'attente. Exemple 2: Considérons maintenant le système (1) avec les matrices

  3.75 11.5 .

TABLE I Table d

 Id

	'application des résultats développés (TA signifie
	'Temps d'Attente' et tous : TA minimal, TA maximal et
	impulsions arbitraires)
	exponentiels et capables de considérer avec précision les
	sauts de l'état en autorisant la 'fonction de Lyapunov'
	à être localement croissante. En effet, si les sauts sont
	expansifs, la stabilité est préservée si l'état décroît suffi-
	samment entre les sauts. Inversement, l'état peut croître
	entre les sauts pourvu que les sauts soient contractants.
	Les conditions obtenues permettent de caractériser effica-
	cement les cas de sauts périodiques ou apériodiques. Dans
	le cas apériodique, quatre différents cas sont considérés :
	-le temps d'attente minimal (TAm)
	T k := t k+1 -t k ∈ [T min , +∞) ;
	-le temps d'attente maximal (TAM)
	T k ∈ [0, T max ],
	-le temps d'attente 'min/max' (TAmM)
	T k ∈ [T min , T max ],
	-le temps d'attente arbitraire (TAa)
	T k ∈ R +
	Les domaines d'applications de ces concepts sont ras-
	semblés dans la Table I. Il est important de noter que le
	cas (3,3) ne peut pas être analysé en utilisant les méthodes
	existantes car aucune des matrices n'est stable.
	Les notations sont relativement standards. Étant
	données deux matrices symétriques A, B, A ≺ B signifie
	que A -B est définie négative. Les ensembles des matrices
	symétriques et symétriques définies positives de dimension
	n sont respectivement notés S n et S n ++ . Le rayon spectral
	et l'opérateur de valeurs propres sont dénotés réelle par ρ(•)
	et λ(•) respectivement. Étant donnée une matrice carrée A,
	on définit He[A] = A + A T .

  ) Dans ce cas ci, A est Hurwitz et J est anti-Schur. Donc si T est trop faible, le système est instable. Le Théorème 2 est utilisé avec une approche par dichotomie pour trouver le minimal T > 0 préservant la stabilité et nous trouvons T min = 1.2323. La condition de rayon spectral conduit à la valeur 1.14053. Encore une fois la condition proposée conduit à des résultats assez précis. Dans le cas apériodique, on utilise le Théorème 3 et on trouve T min = 1.2322, le système est donc stable pour n'importe quels T k ∈ [T min , +∞). Quand le Lemme 2 est employé, on trouve 1.1405. Il est important de noter que ce type de systèmes ne peut pas être analysé avec les méthodes existantes [4, 5] car ni A ni J ne sont stables. Dans le cas périodique, le Théorème 2 est utilisé avec deux dichotomies. Il est déterminé que T min = 0.1824 et T max = 0.5760. L'analyse des valeurs propres donne les valeurs 0.1824 et 0.5776. Une fois encore, les résultats obtenus avec le Théorème 2 collent très bien avec les résultats théoriques par analyse de valeurs propres. Pour montrer que ce cas ne peut pas être considéré avec les méthodes existantes, prenons T = 0.3 et nous trouvons P = diag(2.3622, 1.4752) ainsi que Dans le cas apériodique, le Théorème 5 est utilisé et nous obtenons l'intervalle [0.1907, 0.5063], qui est inclus dans l'intervalle obtenu dans le cas périodique. Exemple 4: Considérons maintenant le système échantillonné suivant ẋ(t) = Ãx(t) + Bu(t) u(t) = Kx(t k ), t ∈ [t k , t k+1 ) (26) où t k+1 -t k = T , k ∈ N. Il est possible de reformuler le système ci-dessus en un système impulsif [8] :

						1
						0.9
						0.8
						0.7
						0.6
					T (σ)	0.5
						0.4
						0.3
						0.2
						0.1
	ż(t) z(t + k ) = =	Ã B 0 0 K 0 I n 0	z(t) z(t k )	(27)	0 0 Fig. 3. Evolution de la période d'impulsions maximale T par rapport 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 σ à σ dans l'exemple 1.
	où z(t) = col(x(t), u(t)). Choisissons les matrices [8, 11, 16]
					Exemple 3: Soit le système (1) avec les matrices
						A =	-1 0.1 0 1.2	,	J =	1.2 0 0 0.5	.	(24)
					Dans ce cas-ci, la dynamique à temps-continu du premier
					état est stable tandis que celle du second est instable. En
					parallèle, la matrice J est instable pour le premier état
					et instable pour le deuxième. Ainsi, si la période est trop
					petite, une impulsion déstabilisante arrivera trop souvent.
					Inversement, si la période T est trop grande, l'impulsion
					stabilisante ne sera pas en mesure de stabiliser la dyna-
					mique à temps-continu instable. Il est donc escompté que
					la période admissible appartienne à un intervalle excluant
					0 et +∞. C(P, A) D(P, J)	-cP e -d P	(25)

où c = -2.4036 et d = -0.3646. Comme c et d sont simultanément négatifs, la méthode de

[START_REF] Hespanha | Lyapunov conditions for input-to-state stability of impulsive systems[END_REF]

ne permet pas de conclure. Ce fait démontre l'intérêt de l'approche proposée.

Nous pourrions regarder la séquence {V (x(t + k ))} k∈N à la place. Le choix est purement arbitraire.

Remerciements

Ce travail a été soutenu par les projets ACCESS http: //www.access.kth.se et RICSNET, KTH, Stockholm, Sweden.

Références


Katia Mocellin

Esteban Vanegas

Jérémy Veysset

Elise Deloye

Roland E Logé

Laminage de tubes ODS

à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d'enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Mots clefs : Laminage, nuance ODS, éléments finis, identification par analyse inverse 1 Le laminage à pas de pèlerin

Le principe

Le laminage à pas de pèlerin est une opération de mise en forme à froid d'un tube sans soudure. Le tube est placé sur un mandrin central qui permet de calibrer le diamètre interne final du tube. Le passage d'outils répartis autour du tube, réduit simultanément l'épaisseur et le diamètre d'un tube par déformation plastique. Au cours ou en fin de passage de l'outil, l'ébauche (le tube) est avancée et tournée. On choisit un angle qui ne soit pas un sous-multiple simple de π pour éviter qu'une particule matérielle ne soit laminée toujours aux mêmes positions ortho radiales, ce qui peut amener à polygonaliser le tube. Un élément de matière donné se déplace vers l'aval de la zone de déformation ; l'entrefer qui est laissé à cet élément décroît, ce qui assure que le coup de cage suivant assurera la réduction d'une autre zone du tube. La zone de déformation fait quelques centaines de millimètres de longueur, ce sont donc plusieurs dizaines de coups de cage qui seront nécessaires pour q'une section du tube soit entièrement déformée.

Le laminage HPTR

Pour le laminage de type HPTR (High Pressure Tube Reduction), l'outillage est constitué de 3 galets (axisymétriques) qui tournent autour de leur axe pendant qu'ils se déplacent tout au long de l'axe de laminage. Pour les gammes de fabrication qui nous intéressent, le tube est tourné et avancé après un aller-retour des galets.

2

Les sollicitations de la matière pendant le procédé

Chaque coup de cage impose localement au tube un incrément de déformation plastique de quelques pourcent, la matière subit au final une série de petites déformations tridimensionnelles, avec une triaxialité variable [START_REF] Montmitonnet | 3D elastic-plastic finite element simulation of cold pilgering of zircaloy tubes[END_REF]. Cette histoire mécanique complexe peut conduire à la nucléation de défauts (fissures longitudinales) dans le régime de la fatigue oligocyclique [START_REF] Lodej | Accelerated 3D FEM computation of the mechanical history of the metal deformation in cold pilgering of tubes[END_REF].

Une première analyse numérique du procédé HPTR a été réalisée dans [START_REF] Vanegas | Modélisation numérique du laminage à pas de pèlerin et optimisation de la fabrication de tubes ODS[END_REF] pour un matériau de type Zircaloy-4 en utilisant une loi monotone classique. Les niveaux de contrainte relevés sont trop élevés car l'adoucissement/durcissement cyclique du matériau n'est pas pris en compte avec ce type de formalisme.

Le problème de mise au point des gammes de laminage est d'autant plus critique pour des aciers ODS car la présence des nano oxydes renforce leurs caractéristiques mécaniques mais abaisse leur capacité à être déformés. Le matériau doit donc subir une série de traitements thermiques pour abaisser ses caractéristiques mécaniques [START_REF] Toualbi-Bénévise | Rôle des transformations de phase sur l'optimisation de la mise en forme à froid de tubes ODS[END_REF] Pour étudier la faisabilité des gammes de laminage il faut être capable de renseigner une loi de comportement réaliste dans le logiciel. Cette loi doit être identifiée à partir d'essais réalisés sur des éprouvettes ayant subi des traitements thermiques adaptés à chaque nuance.

2 Détermination de la loi de comportement et identification des paramètres

Les essais

La production d'échantillons en aciers renforcés pas ODS est difficile car elle nécessite la maîtrise de diverses étapes d'élaboration délicates : le co-broyage des poudres, la mise en container et le filage à chaud qui amène à la consolidation du matériau. L'approvisionnement en éprouvettes est également limité par le coût de la matière première. La réalisation d'essais en condition cyclique ne pourra, en conséquence, être réalisée que sur une seule éprouvette qui sera soumise à un chemin de sollicitation complexe où la vitesse de déformation est fixée et l'amplitude de déformation varie de ±0.2%, ±0.3%, ±0.4%, ±0.5%, ±0.7%, ±1% avant de revenir à ±0.5% et finalement remonter à ±1.5% et ±2%.

La loi de comportement

Le modèle de comportement cyclique développé par Chaboche [START_REF] Chaboche | Constitutive equations for cyclic plasticity and cyclic viscoplasticity[END_REF] a été implémenté pour décrire le comportement élasto-plastique du matériau. Ce modèle est décrit par une décomposition du critère de plasticité en une partie cinématique et une partie isotrope. Chacune des ces parties est définie par un système d'équations différentielles. La formulation choisie ici est décrite par l'expression suivante de la surface de plasticité :

0 ) ( 2 ≤ - - - = ∑ ∑ y i i i i R X J f σ σ (1)
où y σ est la surface de charge initiale, X est le tenseur des contraintes cinématiques internes et R représente l'écrouissage isotrope. L'écrouissage cinématique est décrit par le modèle non linéaire Lemaître-Chaboche:

p C X d i p i i & & γ ε - = 3 2 (2) i C et i γ sont
Q : )) exp( 1 ( p b Q R i i i - - = (3)
i Q et i b sont des constantes. Comme on le verra, dans la suite,une solution satisfaisante est trouvée en utilisant un modèle à 2 varibales cinématiques ( 1 X and 2 X ) et deux variables isotropes ( 1 R and 2 R ). Ce modèle a été implémenté dans le logiciel éléments finis utilisé.

Identification des paramètres

Les paramètres sont identifiés par une procédure semi-automatique où on utilise le module d'optimisation du logiciel éléments finis.

o Un premier jeu est évalué par analyse inverse en simulant le cycle stabilisé obtenu pour une amplitude de déformation de 1 %. A cette amplitude, on observe une déconsolidation minime entraînant une chute de 50 Mpa sur la demi-amplitude de contrainte (figure 3). On considère donc les paramètres isotropes à 0 pour cette première étape et on identifie

i C et i γ , i=1,2.
o Connaissant les paramètres de la partie cinématique, on identifie par une série de tests les valeurs des paramètres de la partie isotrope sur le cycle stabilisé à une amplitude de 1%

o Les paramètres liés à l'écrouissage cinématique sont ensuite recalibrés par analyse inverse en prenant en compte le cycle stabilisé à 0.7% et le passage transitoire vers le premier cycle à 1%.

La comparaison des courbes expérimentales et numériques est présentée en figure 3.

FIG. 3 -Comparaison des résultats numériques et expérimentaux pour l'identification des paramètres matériau à partir d'essais cycliques ;

3 Simulation numérique des procédés

La première difficulté pour la simulation de procédés de type laminage à pas de pèlerin est la prise en compte de l'aspect incrémental de la déformation. Certains auteurs ont fait le choix de simplifier la modélisation du procédé en considérant la déformation sur une configuration quasi stationnaire du procédé [START_REF] Lodej | Accelerated 3D FEM computation of the mechanical history of the metal deformation in cold pilgering of tubes[END_REF] pour diminuer les temps de calcul des simulations du procédé. On a chois i ici d'étudier l'ensemble des événements de déformation vu par la matière. On se limite simplement à l'étude d'une portion du tube (20mm). Les extrémités du tube ne sont pas représentatives de l'histoire du matériau car les conditions de bord libre d'un coté et les conditions de déplacements imposés de l'autre coté entraînent des perturbations. On étudie alors l'histoire thermomécanique du matériau sur la portion intérieure du tube (figure 4).

FIG. 4 -Conditions d'analyse de la déformation -un tube cours est traité, les effets de bords ne sont pas considérés.

Le laminage HPTR

Le laminoir HPTR du CEA est utilisé pour la réalisation des tubes à l'échelle laboratoire. Ce dispositif est utilisé pour valider la faisabilité des gammes de déformation et de traitement thermique adéquats pour la matière. Des essais interrompus permettent de comprendre l'aspect incrémental du procédé. La simulation numérique du procédé doit tenir compte de la cinématique des outillages, en particulier des galets. Ces galets roulent sur une réglette qui définit la diminution de diamètre extérieur du tube. Les vitesses de la cage à réglettes et de la cage à galets sont imposées par un système de barres/manivelles de manière à imposer un roulement sans glissement entre la réglette et le galet et entre le galet et le tube. On considérera que le déplacement de l'outil s'effectue dans un mouvement de roulement sans glissement par rapport au tube. La cinématique de l'outillage se résume à une translation des galets suivant la trajectoire définie par les

Zone d'étude

mouvements relatifs de la réglette et du système de bielle. Il faut environ 75 coups de cages pour que la portion de tube considéré soit entièrement laminée. Le temps de calcul d'une telle simulation atteint 140 heures sur 5 processeurs d'un cluster Opteron (AMD64 -264Hz).

La taille de stockage et les quantités d'information nécessitent la mise en place de méthodologie de traitement de l'information. Ainsi, l'histoire thermomécanique d'un point de matière est étudiée par le suivi des grandeurs mécanique représentatives en un capteur numérique lagrangien attaché au point. On relève ainsi par exemple les composantes de déformation plastique cumulée (figure 5) mais aussi les composantes du tenseur des contraintes, la valeur de la triaxialité,…

Le laminage VMR

La société Valinox est leader mondial dans la fabrication de tubes sans soudure pour générateurs de vapeur. Elle dispose de plusieurs laminoirs de type VMR. Afin d'adapter ces outils et gammes de production aux nouveaux matériaux étudiés dans le cadre du projet STRATOTUBE, la mise en place d'une modélisation numérique précise est un outil important. La de géométrie des cannelures l'entrée et la sortie de la zone de déformation (essentiellement dans le diamètre de la gorge) oblige à considérer le mouvement de rotation/ translation des cannelures pendant la simulation du procédé contrairement au laminage VMR. Une adaptation du logiciel de calcul est nécessaire pour prendre en compte la rotation des outillages, en particulier la rotation des axes de rotation propres des cannelures d'un coup de cage à l'autre. Le nombre de coups de cage nécessaire pour laminer la longueur du tube est de l'ordre de 140. L'aspect cyclique de la loi de comportement est donc primordial pour ne pas surestimer les valeurs du champ de contrainte et surestimer l'endommagement de la matière.

Conclusion

La mise au point de gammes de laminage pour des nuances d'aciers renforcés en ODS représente un réel challenge scientifique et économique. Le projet STRATOTUBE a pour but de montrer la faisabilité de cette mise au point en combinant une analyse du procédé par la simulation numérique et l'utilisation d'un laminoir pilote et , une caractérisation fine du matériau dans des conditions de sollicitation proches du laminage. Les travaux présentés ici montrent que la simulation des gammes de fabrication est désormais possible. La simulation numérique et en particulier le module d'optimisation permettent d'exploiter des essais rendus complexes par le faible approvisionnement de la matière pour identifier le comportement des matériaux en condition cyclique. La principale perspective de ce travail est désormais d'introduire les lois de comportement identifiées dans le logiciel afin de pouvoir analyser les gammes de laminage et produire des prototypes à échelle industrielle.

FIG. 1 -

 1 FIG. 1 -Schéma de principe du laminage HPTR

FIG. 5 -o∆

 5 FIG. 5 -Evolution de la déformation plastique cumulée suivant chaque composante. Une analyse est ensuite conduite pour identifier les situations «endommageantes ». C'est à dire où les 3 critères suivants sont réunis à un même instant : o Triaxialité supérieure à -1/3 [6] o Contrainte positive (la matière est localement en traction) o Incrément de déformation positif On peut ainsi définir un critère d'endommagement basé sur le formalisme de Latham et Cockroft et appliqué dans chaque direction (en coordonnées cylindriques). Ainsi, la valeur de l'endommagement cumulé suivant l'axe de laminage z est exprimé par : ∑ >

  des constantes liées au matériau, p ε& est le tenseur des vitesses de déformation et p & la vitesse de déformation plastique. La variable d'écrouissage isotrope est introduite pour décrire les phénomènes d'écrouissage cyclique durcissement et/ou adoucissement. Son évolution est gouvernée par la déformation plastique cumulée. L'état stabilisé est atteint lorsque R atteint la valeur asymptotique

Remerciements :

Les auteurs remercient Louise Toualbi-Bénévise, Patrick Olier, Denis Sornin, Benjamin Fournier et Yann de Carlan (CEA Saclay DEN/DMN) pour leur support technique et scientifique.

Ces travaux de recherche sont financés dans le cadre du projet ANR STRATOTUBE.


S Xia

L Ponson

G Ravichandran

K Bhattacharya

Toughening and asymmetry in peeling of heterogeneous adhesives

Keywords: numbers: 62.20.Mk, 46.50.+a, 68.35.Ct

The effective adhesive properties of heterogeneous thin films are characterized through a combined experimental and theoretical investigation. By bridging scales, we show how variations of elastic or adhesive properties at the microscale can significantly affect the effective peeling behavior of the adhesive at the macroscale. Our study reveals three elementary mechanisms in heterogeneous systems involving front propagation: (i) patterning the elastic bending stiffness of the film produces fluctuations of the driving force resulting in dramatically enhanced resistance to peeling; (ii) optimized arrangements of pinning sites with large adhesion energy are shown to control the effective system resistance, allowing the design of highly anisotropic and asymmetric adhesives; (iii) heterogeneities of both types result in front motion instabilities producing sudden energy releases that increase the overall adhesion energy. These findings open potentially new avenues for the design of thin films with improved adhesion properties, and motivate new investigation of other phenomena involving front propagation.

Bridging microscale properties of materials with their effective mechanical behavior at the macroscale is a major challenge in both pure and applied science. A great deal of research effort has been dedicated to the study of effective elastic properties in heterogeneous systems. Composite materials, structures and meta-materials can achieve extraordinary effective properties, e. g. negative Poisson's ratio [START_REF] Rothenburg | [END_REF] or stiffness greater than diamond [2], and elegant homogenization techniques have been developed in order to efficiently link micro to macroscale in elastic settings [START_REF] Milton | The Theory of Composites[END_REF][START_REF] Nemat-Nasser | Micromechanics: Overall properties of heterogeneous materials[END_REF][START_REF] Sanchez-Palencia | Homogenization Techniques in Composite Media[END_REF]. Surprisingly, our understanding of the role of heterogeneities on the overall resistance of these systems to failure resulting from the propagation of free boundaries and free discontinuities is rather limited, despite the major importance of this question in engineering science. For example, stress concentration generated by brittle cracks makes the macroscopic system extremely sensitive to microscopic features -the scale invariant roughening of cracks as well as their highly intermittent dynamics are good illustrations of this effect [START_REF] Ponson | [END_REF]7] -raising fundamental impediments to the development of reliable homogenization techniques for fracture problems.

In this letter, we address the challenge of finding the macroscopic resistance to front propagation in a heterogeneous media in the context of thin film peeling. There has been a recent renewal of interest in adhesive systems driven by the exploration of exceptional properties of biological systems like geckos. Consequently, much attention has focused on adhesion enhancement achieved by 3D features of the adhesive surface, such as arrays of fibrils [8,9] or hierarchical structures [10]. Here, we will show that such a rather complex microstructure is not required to achieve enhanced adhesion: heterogeneities in the elastic properties of the film and vari- ations of the frature energy introduced on the flat adhesive surface can lead to similar, and even better, performance.

Taking advantage of the rather simple geometry of peeling thin films, we have designed an experimental set-up (see Fig. 1) for which the microscale material properties are fully controlled and tunable. First, we consider thin films with inhomogeneous elastic properties (see Fig. 1(a)), and show that these inhomogeneous elastic properties can be used to control both the effective peeling force and the overall adhesion energy without any modification of the adhesive surface of the film. Second, we investigate systems with heterogeneous adhesive properties (see Fig. 1(b)), and show that these can be used to produce strength anisotropy and asymmetry. We then discuss optimizing the microstructure for strong macroscopic effects. We conclude with a discussion of applications of these concepts to other front propagation systems.

In the first set of experiments, we consider thin films with

Heterogeneous tape

Homogeneous tape

Model

Model

Experiment

FIG. 2: Measured force required to peel a tape of alternating bending stiffness (blue solid line) compared to that required to peel a homogenous tape (red solid line) as well as theoretical predictions for both materials (black dashed lines). Here, we impose θp = 90 • for peel angle at the extremity of the tape. The inset shows the variations of the enhancement factor F het F hom as a function of the imposed peel angle for experiments and model. alternating stiff and compliant stripes peeled from a rigid substrate with uniform adhesion (G c = 5.1 J.m -2 ). This heterogeneous tape is made by gluing patches of thin polyester film of thickness ∆h = 130 µm on the back-side of a continuous polyester film of thickness h 0 = 161 µm [START_REF]Young's modulus E = 3.8 GPa, Poisson's ratio ν = 0.42 and the spacing of the patches is λ = 20 mm[END_REF]. As reference, we use two thin films of constant thickness, one with uniform thickness h 0 and one with uniform thickness (h 0 + ∆h). We peel these tapes from an epoxy substrate that can be considered to be perfectly rigid relative to the film compliance. The extremity of the film is pulled at a constant velocity v m (indicated by arrows in Fig. 1(a)) while maintaining a constant peel angle θ p between the mean plane of the film and the horizontal plane. This causes the film to peel, and the force required to maintain the constant velocity is measured and shown in Fig. 2 (the peel force is normalized by the width of the tape in the figure). The force required to peel the two reference homogeneous tapes coincide as anticipated by Rivlin [START_REF] Rivlin | [END_REF]. However, the force required to peel the heterogeneous tape oscillates as the peel front negotiates the stiff and compliant regions, with the peaks attained as the peeling front goes from a compliant to a stiff portion of the tape. The effective force required to peel a macroscopic length of this tape is equal to the maximum measured force. Indeed, the peeling front would get stuck if the applied force were smaller than the peak force. Therefore, we refer to the peak force as the effective peel force. Remarkably, the effective peel force is 29.0 N.m -1 which is almost six times the force of 5.1 N.m -1 required to peel either homogenous tape. The experiment is repeated at various imposed peeling angles θ p , and no effect is noticeable in the enhancement factor (see inset of Fig. 2).

To understand why patterning the elastic stiffness of the tape significantly enhances its stickiness, we treat the film as inextensible and apply Griffith's criterion [13]. Accordingly, the driving force per unit width for peeling is given by the incremental work dW of the external loading system and the variations of the stored elastic energy dU (due to bending):

G = 1 b d(W -U ) dc
where c is the peel front position. The peel front propagates when this driving force equal a critical value, G = G c . For homogeneous thin films, only the first contribution is relevant to the driving force since U remains unchanged as peeling progresses. This so-called Rivlin model [START_REF] Rivlin | [END_REF] leads to the expression of the peeling force per unit width

F hom = G c 1 -cos θ p . (1)
Note that this behavior is independent of the elastic properties of the tape as we observe in Fig. 2 for the homogenous systems.

On the contrary, for heterogenous elastic properties, the stored elastic energy varies rapidly as the peeling front crosses from a compliant to a stiff region. To describe this effect quantitatively, the tape is modeled by an unextensible heterogeneous Euler-Bernoulli beam, and its geometry as peeling proceeds is described by the angle θ(s) that the tangent to the film at a distance s from the peeling front makes with the horizontal plane of the epoxy substrate (see Fig. 1(a)). The latter is governed by the equation [START_REF] Antman | Nonlinear Problems of Elasticity[END_REF][START_REF] Landeau | Theory of Elasticity[END_REF]

d ds D(s) dθ ds = bF sin(θ p -θ(s)) (2)
where D(s) is the bending rigidity of the film at position s, F is the applied peeling force per unit width and θ p is the imposed peel angle at the extremity of the film. We solve this equation semi-analytically, and the computed variation of peeling force is compared with the experimental data in Fig. 2.

The effective or peak force as the peel front crosses over from the compliant to the stiff region can be calculated exactly for a film with large periodicity λ of the heterogeneities with respect to characteristic material length r b = Dc 2bGc (the radius of curvature of a tape of a homogenous compliant material during peeling). It follows

F het F hom = D s D c (3)
where D s (resp. D c ) is the bending rigidity of the stiff (resp. compliant) region. The enhancement ratio is predicted to be independent of peel angle in agreement with experimental observation (see inset of Fig. 2). Further, the enhancement ratio depends on the ratio of the bending rigidity

D = Ebh 3 12(1-ν 2 )
which in turn depends on the third power of the thickness, h. This is the reason why modulating the thickness of the tape has a significant effect on the adhesion. The mechanism of peeling force enhancement is clear from both the experiment and the model: as the peeling front traverses from the compliant to the stiff material, a significant portion of the work done by the peel force goes into bending, the suddenly stiffer region draining energy away from the peeling front. This gives rise to a drop in the total driving force for peel resulting in a peak in the peel force when a constant velocity is imposed. Similarly, the dip as the front traverses from the stiff to the compliant region is explained by the sudden release of bending energy. Bending energy is small, but its rate of change is large enough to create dramatic effects. Fig. 3(a) shows the enhancement ratio for various levels of heterogeneity. The analytic prediction of Eq. ( 3) for large periode (λ r b ) is compared with that of a film with a small period (λ r b ). The latter is obtained by numerically solving Eq. ( 2). Note that the enhancement drops for a film with small period because the region being bent spans a number of periods and the peeling zone senses the effective bending stiffness which is strictly larger that the stiffness of the compliant region.

We look now at the mechanism of peeling from an energy perspective, and investigate the effective adhesion energy G eff c required to peel the film over a macroscopic length. For a quasi-static process, this energy is the average work 1-cos θp λb λ 0 F (δ)dδ of the external force required to peel the front over one period λ. It is given by the area below the curve F (δ) of Fig. 2. Obviously, the effective adhesion energy as measured in the experiments is larger for the heterogeneous tape than that for the homogeneous one.

To understand the mechanisms leading to this toughening, we need to look more closely at the theoretical curve F (δ) for heterogeneous tapes shown in Fig. 2. Note that F (δ) is multivalued: this is because the theoretical calculation is indexed by the position of the peel front along the tape. However, in the experiment, the displacement is imposed and increases monotonically. Consequently the snap-back branches are not observed; instead there is an abrupt drop of the force accompanied by a sudden jump of the peeling front from one position to another. Therefore, the energy that is stored in the bending region while the peel force increases is not recovered (this recovery corresponds in the theoretical model to the descending branch), but instead partly dissipated as heat, acoustic emissions etc. We compute the area under the curve and describe this as the effective adhesion energy G eff c . The predicted toughening factor

G eff c
Gc is shown in Fig. 3

(b) as a function of the level of heterogeneity Ds

Dc . Note that this represents toughening under quasistatic conditions. Under dynamic conditions, the drops would not be abrupt and the amount of energy dissipated would be larger.

We emphasize that the significant enhancement of the effective force and the effective adhesion energy do not result from improvements made at the adhesive interface, but through variations of the structural properties of the film. We remark that the toughening mechanism and instabilities are generic and not limited to peeling of thin films. The peeling of a stiff plate from a compliant substrate can lead to oscillations in the peeling moment in the presence of heterogeneities [START_REF] Ghatak | [END_REF]. Heterogeneities of fracture energy in 3D brittle materials have been shown to lead to similar instabilities, producing the so-called crackling noise [7,17,18]. This effect was shown to increase considerably the macroscopic fracture energy of brittle disordered materials [19,20].

We now turn to the second experiment where we keep the elastic modulus of the film uniform but pattern the adhesive energy in order to investigate the effect of microscale heterogeneities at the film-substrate interface on the overall peeling behavior. We mold a polydimethylsiloxane (PDMS) film on to a rigidly supported polyester transparency sheet patterned with a periodic array of ink features using a regular laser printer. This produces a well-controlled heterogeneous tape as shown schematically in Fig. 1(b), since the adhesive energy of the region with the printed ink is about four times larger than that of the bare transparency sheet (3.55 vs. 0.65 J.m 2 at a peel front velocity of 1.0 µm.s -1 ).). As we peel the film, the peeling front becomes wavy as it tries to go ahead in the weaker region as shown in Fig. 1 (b). This results in additional bending of the debonded part of the film (see the corrugations of the tape in the figure), the elastic energy of which balances the gain in fracture energy.

We model this problem analytically by treating the film as a (finite deformation) Kirchhoff plate where the film is assumed to be inextensible in the plane and the stored energy density is proportional to the curvature. If the peeling front were straight, then the film being peeled would bend only in one direction, and Kirchhoff plate theory would reduce to the Euler-Bernoulli beam modified by Poisson's ratio. We assume that the peeling front displays small geometrical perturbations f (x, t) with respect to the straight configuration ( x is here parallel to the peeling front), so that the shape of the film is close to the singly curved solution associated with the straight front. We linearize the Kirchhoff plate theory around the singly curved solution to obtain the shape of the film, and then calculate the total deformation energy of the film. The perturbation δG(x) of the force driving the peeling front is obtained by calculating the variation of this energy with respect to an infinitesimal increment of the peel front. We obtain an evolution law for the peeling front by postulating that the normal velocity is proportional to the net driving force G 0 + δG -G c in which G 0 is the driving force of the straight front. It is convenient to express this in terms of the Fourier transform with respect to x (hat represents the transform and k is the Fourier variable). We obtain

∂ f ∂t ∝ g(k) f + Ĝf (4)
where g(k) = -α 0 |k| except for very small k with α 0 = 2F tan 2 θ p , and

G f = F (1-cos θ p )-G c (x, f (x, t), ḟ (x, t)).
In our experiments, G c is slightly rate dependent and we use G c ∝ ( ḟ ) n with n 0.3 on the basis of measurements on homogeneous ink or polyester interfaces. We can obtain a relation between average velocity and the overall force by averaging over x, or equivalently looking at the limit k → 0. We obtain, F Gc(x,f (x,t), ḟ (x,t)) x 1-cos θp

. Consequently, the shape f (x, t) and the velocity ḟ (x, t) of the front that are collective responses to the overall pattern govern the overall peeling force. This opens the door for the design of adhesives with heterogeneities patterned to achieve desired effective peeling blue behavior. We exploit this idea to create asymmetry. It has been recognized that one can introduce anisotropy whereby fronts propagating in different directions have different adhesion strengths [21,22]. However, it is possible to go further, and show that the effective adhesive strength depends not only on the direction but also on the sense. In other words, the adhesive strength of peeling a tape from left to right can be significantly different than that of peeling from right to left. This is accomplished by creating pinning sites with asymmetric geometry so that the shape of the front as it navigates the pinning sites in one direction is different from that as it goes in the opposite direction. The effective force is different since it depend on the shape of the front.

We demonstrate this idea with the arc pattern shown in Fig. 4. We create two regions with the pattern pointing in opposite directions. This allows us to examine the adhesive strength in both directions in a single test and removes artifacts resulting from variations in sample preparation and loading. As we peel the film, the peel force oscillates as it passes each column of arc-shaped regions of higher adhesion energy. More importantly, the effective adhesive strength in the forward region (front first touching the convex portion of the arc) is 25 % higher than that in the backward region. As the front propagates in the forward region, it first encounters the curved convex portion of the arc and sees them as significant obstacles that require a large peeling force to overcome. On the other hand, as the front propagates in the backward region, it first encounters the narrow arms of the arc and sees these as smaller obstacles. The evolution equation Eq. ( 4) is used to model this phenomenon. The computed front shape as well as the peel forces are also shown in Fig. 4 and agree with the experimental observations.

In order to achieve stronger asymmetry, we can optimize the pattern. Using an algorithm developed in the context of elastic manifolds driven in random media [23], the strength of asymmetry is computed efficiently allowing the exploration of a large range of geometrical parameters and strength contrast. It shows that heterogeneous tapes with resistance at least twice larger in one direction than the opposite one can be designed.

The significance of these results to adhesion is clear: exceptional strength, anisotropy and asymmetry. But it extends beyond, since we may regard adhesion fronts as a prototypical problem in condensed matter physics. The equation of motion for the peeling front (Eq. ( 4)) arises in the study of myriad phenomena including brittle fracture [24,25], dislocations [START_REF] Hirth | Theory of dislocations[END_REF], phase boundaries [START_REF] Dondl | [END_REF] and wetting fronts [28]. Most of the research effort has focused on the disordered case where G c is described by a quenched noise, resulting in universal features through intermittent dynamics and scaleinvariant roughening [18,29]. Our work shows that there is much to gain in terms of overall properties by studying the deterministic and periodic cases. Specifically it identifies three distinct mechanisms: (i) patterning the elastic bending stiffness produces fluctuations of the driving force resulting in largely enhanced resistance to peeling; (ii) optimized arrangements of pinning sites with large adhesion energy are shown to control the effective system resistance allowing significant anisotropy and asymmetry; (iii) heterogeneities of both types result in front instabilities producing sudden energy release that increase the overall dissipated energy in the system. Together these can potentially open the door to engineering new materials where the toughness, strength, etc., can be tuned through designed defects [30].

B. Leblond, P. Mithal and A. Rosso for helpful discussions. The financial support from the US National Science Foundation (all authors) and from the European Union through the PhyCrack Marie Curie Fellowship (LP) is gratefully ackowledged.

FIG. 1 :

 1 FIG. 1: Peeling of adhesive tapes with (a) elastic and (b) adhesive heterogeneities.

FIG. 3 :

 3 FIG. 3: Toughening in elastically heterogeneous adhesives: (a) Predicted enhancement factor F het F hom achieved on the macroscopic peeling force as a function of the level of heterogeneity Ds Dc . The analytical prediction of Eq. (3) is represented by the dotted line for the large period case (λ r b ), and the numerical solution for a small period of heterogeneity is shown by the solid line (λ r b ). (b) Predicted enhancement factor G eff c Gc achieved on the effective adhesion energy as a function of the level of heterogeneity Ds Dc .

FIG. 4 :

 4 FIG. 4: Exceptional asymmetry due to adhesive strength heterogeneity: (a,b) The peeling front is distorted as it negotiates regions of enhanced/diminished adhesion energy. Top halves show the experimental observations while the bottom halves show the results of the theory. The arc features have a constant line thickness of 100 µm and a vertical span of 4 mm. (c)The measured force to peel a film from a patterned substrate: note that the force in the forward-facing region is higher than that in the backward-facing region.

Acknowledgement This work was conducted when SX and LP held post-doctoral positions at Caltech. We thank J.-