Murat Bronz

Hector Garcia De Marina

Gautier Hattenberger

In-Flight Thrust Measurement using On-Board Force Sensor

Preliminary results of an in-flight thrust measurement method are presented in order to determine the drag force. Flight experiments are conducted by an off-the-shelf aircraft which has been equipped with an autopilot system and additional sensors measuring the electric motor rotation speed, battery voltage, drawn current, and direct thrust of the motor. Several level cruise flights have been performed in order to measure the thrust, thus the drag force generated by the aircraft. The propulsion system used on the aircraft is first characterized in the wind-tunnel. The direct thrust measurement system which is on-board the aircraft presents a lot of noise coming from vibrations, characteristics of the sensor itself, and also the fuselage wake and propeller interaction. Hence a better estimation of the in-flight thrust and the resultant drag is obtained by sensor fusion of Gaussian signals.

I. Introduction

The use of small Unmanned Air Vehicles (UAVs) are increasing on daily basis. The possible applications are countless and not only limited with military but there are also civil applications such as surveillance, atmospheric research, 1 search and rescue, 2, 3 inspection, agriculture, etc... The compact size and ease of operation makes the small UAVs more attractive, however their relatively lower performance compared to bigger UAVs highly limits the endurance, range, and payload capabilities.

Therefore, enhancing the performances is a very active research topic and in that the aerodynamic characterization is one of the main issues. Optimization of the airframe specifically for a mission profile can result in big gains in flight performance and quality of the UAV as presented by Bronz and Hattenberger. [START_REF] Bronz | Design of A High-Performance Tailless MAV Through Planform Optimization[END_REF] Several other work investigated the identification techniques for small or larger UAVs. [START_REF] Nio | Model Identification of a Micro Air Vehicle[END_REF][START_REF] Valavanis | Handbook of Unmanned Aerial Vehicles, chap. UAV Modeling, Simulation, Estimation, and Identification: Introduction[END_REF][START_REF] Simsek | System Identification and Handling Quality Analysis of a UAV from Flight Test Data[END_REF] In most cases, the goal is to produce a state space model directly usable for applying advanced control theory, hence focusing on the dynamics. The work from Edwards [START_REF] Edwards | Performance Testing of RNR's SBXC Using a Piccolo Autopilotd[END_REF] proposes a simple and practical method to extract lift and drag coefficients from flight tests based on analysis on gliding phases. However, this last method is less applicable to smaller vehicles because of their small inertia, which makes them more vulnerable to external perturbations. Therefore the drag measurement remains hard to obtain.

A. Present Work

This study, being mainly a continuation of, [START_REF] Bronz | Aerodynamic Characterization of an Off-the-Shelf Aircraft via Flight Test and Numerical Simulation[END_REF] focuses on obtaining in-flight thrust measurements through an on-board mechanism that uses a contact pressure sensor. The direct force sensor measurement during flight is fused with additional sources that estimates the force generated by the propulsion system. Airspeed of the vehicle is estimated with an extended Kalman filter. The propulsion system used on the aircraft is first characterized in the wind-tunnel as a function of propeller rotation speed (RPM), and the incoming freestream velocity. Then during the flight, the instantaneous measured RPM and the estimated airspeed are used to obtain the propeller thrust force. A second linear Kalman filter estimates the acceleration of the aircraft by using the velocity difference between the previous and the actual states, and estimates the resultant net force on the aircraft. Later on, this acceleration is used to correct the direct force measurement mechanism's values. The corrected measurement distribution is fused with the estimated thrust measurement distribution coming from the characterized propeller equation. Finally the difference between the fused measurement distribution and the estimated net force gives the total drag force distribution as a result.

The proposed methodology is designed mostly for aerodynamic drag force characterization of small UAVs, however it can also be used to shed light on the propeller and fuselage wake interaction mechanism, propellerwing and propeller-propeller interaction on complex systems such as distributed electric propulsion. [START_REF] Stoll | Drag Reduction Through Distributed Electric Propulsion[END_REF] The precision of the selected force sensor becomes a keypoint for the latter investigations.

The aircraft specifications and all of the on-board sensors are presented in Section II. Propulsion system characterization and the resultant coefficients are presented in the Section III. The proposed methodology for the in-flight thrust and drag force estimation is explained in the following Section IV. Preliminary flight test results and the feasibility of the in-flight thrust and drag force measurements are discussed in the Section V, including the calibration problems and all other sources of errors. The paper is finalized with final conclusion and perspectives for further improvements of the system.

II. Instrumentation

The aircraft used during the flight tests is an off-the-shelf frame commercially available for recreational use. General specifications of the aircraft are given in Table 1. It is made up of Elapor foam material, which makes it light weight and easy to repair, however it also limits the maximum take-off mass and the flight velocity due to limited strength. Take-off mass and the flight velocity are given mainly according to the mentioned reason on aircraft's structural properties. The Apogee a autopilot board running the Paparazzi Autopilot System, [START_REF] Brisset | The paparazzi solution[END_REF][START_REF] Hattenberger | Using the Paparazzi UAV System for Scientific Research[END_REF] is used throughout the whole experimental flights. The Paparazzi system is a well known and proven open-source and open-hardware system, used by hundreds of individual user around the world.

A. Autopilot and Sensors

Wing

The Apogee board has 3-axis gyroscope, accelerometer, magnetometer (MPU-9150), and a lowresolution barometer (MPL-3115A2). A GPS receiver module (Ublox-NEO-M8N) is added externally.

B. On-board Force Sensor Mechanism

A thin-film force sensor (FlexiForce A301) is integrated to the motor mount in order to measure the thrust force during the flight. In an ideal cruise condition without acceleration on any axis, the thrust force measurements will give directly the total drag force of the aircraft at that flight speed. The mounting of the sensor and the motor mount mechanism is shown in Figure 2.

III. Propulsion System Characterization

The propulsion system used on the aircraft is first mounted on a test-bench placed inside a wind-tunnel in order to obtain the performance characteristics. The thrust and some other quantities are measured for a set of different wind-tunnel speeds and varying propeller rotation speeds. For the current study, thrust measures are gathered and fitted into an equation as a function of wind-tunnel freestream velocity V ∞ and propeller rotation speed as in revolution per minutes RPM. The resultant function serves as a thrust estimation function in order to be fused with in-flight thrust measurements. More detailed information on the measurements and characterization method can be found in. [START_REF] Hattenberger | Electric Propulsion System Characterization through Experiments[END_REF] A. Propulsion Test Bench In addition to the mechanical mounting of the motor and its propeller, an electronic board is required for the sensor signal conditioning. An in-house developed board is used for this, and then the analog signals are converted to 12 bit digital signal with an STM32-F4 micro controller and fed into the computer. A graphical interface is also developed in Python language, which allows to control the motor PWM command and synchronize all the measurements and filters, making the process almost fully automated for the user (the wind tunnel speed is currently controlled by hand).

B. Characterization

The propulsion test bench have been placed in a wind tunnel and the measurements have been recorded at different airspeed from 0 m/s (static thrust) up to 20 m/s. The resulting thrust versus RPM is shown in Figure 4. Maximum thrust at static condition is about 6 N and reduces down to 3 N at 20 m/s flight speed. It can be seen that at higher speed, the motor is not generating positive thrust at low RPM values (at 20 m/s it needs at least 70% of throttle) since the pitch of the propeller and the RPM at that throttle is not sufficient to have a positive local angle of attack on the blade section.

The C T coefficient can be extracted from these measurements using classical equation 1.

T (J, Ω) = T (Ω, V ) = ρn 2 D 4 C T (J, R e ) (1)
In addition, it is more desirable to present the thrust force as a function of flight speed and RPM, therefore C T (J, Ω) can be written by using three coefficients C T 0 , C T J , C T RP M as in Equation 2.

C T (J, Ω) = T ρn 2 D 4 = C T 0 + C T J J + C T RP M RP M (2)
The resultant coefficients after a linear regression are shown in Table 2.

Prop C T 0 C T J C T RP M R 2 APC 9x6 1.342e-01 -1.975e-01 7.048e-06 0.983

IV. Methodology

This section presents the signal processing algorithm for estimating the drag force of the aircraft. The signal flow is depicted in Figure 5. We use two Kalman filters that estimate the needed variables for calculating the set of forces that will be employed to obtain the drag force.

A. True airspeed and wind estimation

The true airspeed is estimated from the ground speed and tracking angle measurements coming from the on-board GPS. The estimation is done via a discrete extended Kalman filter, as show by Edwards [START_REF] Edwards | Autonomous Locator of Thermals (ALOFT) Autonomous Soaring Algorithm[END_REF] and Kahn, [START_REF] Kahn | Navigation, guidance and control for the CICADA expendable micro air vehicle[END_REF] whose states are

X1 = VT AS ŴN ŴE T , (3)
where VT AS is the true airspeed and ŴN,E are the North and East components of the estimated wind vector. The dynamics of X 1 are modelled as follows

X1 (k + 1) = I X1 (k), (4)
where I is the identity matrix, i.e. we consider that between two time instants k + 1 and k the state vector X 1 remains constant, which is not a very conservative assumption since the GPS signal employed in the observation model is measured at 5Hz frequency. However, in order to incorporate small variations of the state vector between two consecutive measurements, we consider the following process noise matrix Q 1 = 1 × 10 -4 I for the Kalman filter.

The correction stage for the Kalman filter is based on the relationship between the inertial wind velocity vector V w , airspeed inertial velocity vector V a , and the inertial ground velocity vector V g , namely

V g = V a + V w , (5)
which gives us the following set of equations

N a = V gn -ŴN (6)
E a = V ge -ŴE (7) = N 2 a + E 2 a -VT AS , (8)
where V ge and V gn are the inertial ground speed vectors for north and east components that are available from the on-board GPS and is what we choose to be the observable in order to correct X1 . Therefore the correction stage of the Kalman filter can be done by using (8), leading to following observation model

H 1 = ∂ ∂ VT AS ∂ ∂ ŴN ∂ ∂ ŴE , (9)
where is always estimated to be zero, i.e.

X+ 1 = X1 + K 1 (0 -), (10)
where the superscript + indicates the a posteriori value of the state vector and K 1 is the corresponding Kalman gain

K 1 = P 1 H T 1 (H 1 P 1 H 1 + R 1 ) -1 , (11)
where P 1 is the associated covariance matrix to the state vector X1 and R 1 corresponds to the uncertainty for the measurement of .

B. Net force estimation

The net force on the longitudinal axis of the aircraft can be estimated from the estimation of the true airspeed when the vehicle is close to level cruise flight. We consider the following state vector for the second Kalman filter in the Figure 5

X2 = V - T AS F N ET T , (12)
where V -T AS is the true airspeed at the time instant k -1. Therefore we can calculate

F N ET (k) = m ac VT AS (k) -V - T AS (k) ∆T , (13)
where ∆T = 0.2 seconds (corresponding to the frequency of the GPS employed in the first Kalman filter) and m ac is the mass of the aircraft. If we assume that the net force is kept constant between two consecutive time instants, then we can write the following dynamics for the second Kalman filter

X 2 (k + 1) = 0 0 -mac ∆T 0 X 2 (k) + 1 mac ∆T u(k) = F 2 X 2 (k) + G 2 u(k) (14)
where the input to the filter u k corresponds to the output VT AS (k) from the first Kalman filter. Note that since the variance of VT AS (k) is not constant, the dynamics of the covariance associated to X 2 is given by

P 2 (k + 1) = F 2 P 2 (k)F T 2 + G 2 σ 2 VT AS (k)G T 2 , ( 15
)
where the variance σ 2 VT AS can be identified from the covariance matrix P 1 . We have not included any correction stage in this second Kalman filter. The drag force can be estimated from the estimated net force and its variance calculated in the previous section and the direct measurements of the thrust force on the aircraft. Actually, the thrust force has been (indirectly) measured by two different sources as indicated in Figure 5. The first source comes from the characterization of the propeller in the wind tunnel, which needs as an input VT AS from the first Kalman filter in Figure 5. The second source is obtained from the (direct force) pressure sensor readings. It is located on top of the motor plate as depicted in Figure 6 and measures the sum of the propeller thrust F P ropellerT hrust , and the force generated by the motor plate block under acceleration F motorplate = a m motorplate . The estimated value of the thrust by this second source is just the subtraction of the two estimated values, F DirectSensor = F P ropellerT hrust -F motorplate , while its variance is the addition of the two variances associated to the force by the mounting plate and the force read by the sensor.

C. Fusion of gaussian signals to find drag force

The two measured thrust forces are assumed to be Gaussian signals, therefore the fusion of these signals is given by the following expression

F thrust = f 1 σ 2 f2 + f 2 σ 2 f1 σ 2 f1 + σ 2 f2 , σ 2 F thrust = σ 2 f1 σ 2 f2 σ 2 f1 + σ 2 f2 , (16)
where f 1 and f 2 are the thrust forces measured by the characterization of the propeller and the pressure sensor respectively, and σf 1 2 + σ 2 f2 are the respective variances of f 1 and f 2 . Finally, the drag force and its uncertainty is estimated by the relation

F drag = F N ET -F thrust , σ 2 F drag = σ 2 F N ET + σ 2 F thrust , (17)
note that since the variances of the states in the Kalman filter are time-varying, the uncertainty of F drag is also time-varying as we will see in the following section of experimental results.

V. Experimental Results

Several flight tests and ground calibration tests have been conducted. All of these data and plotting scripts have been made available for public in https://github.com/mrtbrnz/FlightEx.git . A typical flight test profile is shown in Figure 7. First graph shows the ground speed measurements obtained by the onboard GPS sensor and the estimated airspeed from the filter presented in the previous section. The second graph shows the GPS altitude in meters above the sea level, and the third graph shows the motor RPM measured from the on-board speed controller. It can be seen that both altitude, airspeed, and the motor RPM are kept constant during the whole flight tests except from take-off and landing phases. It should also be noted that the complete flight was done in fully autonomous mode. The measured output from the direct force sensor is shown in the Figure 8. The measurement noise is very significant, and at the first sight one can think it is a meaningless signal. The main sources of vibration could be coming from the sensor itself, analog-to-digital converters, external vibrations of the vehicle and also the effect that the wake of the fuselage is being cut by the propeller twice at each rotation. Additionally, the direct force measurement mechanism has a bottom hinge with bearings, so every force is generating a torque and then captured by the pressure sensor at the high end of the mechanism.

In order to avoid vibrations several methods are tested. The pressure sensor initinally was being pressed between two smooth metallic surfaces, but this was later modified by adding a 1 mm thick double-sided tape with the objective of absorbing some of the vibrations. This had almost no effect on the signal noise. The motor mount was rigidly connected to the motor in a first design, but later modifed by adding rubber vibration isolators. However this last addition increased the vibrations even more. Pre-loading the system with an elastic band or a metal spring resulted the best among all the designs.

Further investigation of the vibration problem showed that the main source was coming from the propeller and fuselage wake interaction. Each time when the propeller blade travels along the fuselage-wing wake, it experiences a pressure jump because of the shear layer, and this results a torque hence a force on the direct force sensor. This effect can be clearly seen in the Figure 9. The aircraft is first powered on the ground in static condition while being held by two people from the wings; and by keeping constant the throttle command, the aircraft is placed into the wind-tunnel test section. The increasing of the vibration level, the propeller RPM and the reduction on the measured force are clearly visible. This basically proves that the noisy signal is actually carrying useful information of the force measurements that should not be omitted. Direct Sensor Thrust KF Figure 9. Investigation of fuselage wake and propeller interaction is shown, the blue shaded sections are showing when the aircraft is inside the wind-tunnel, the existing of significant interaction is clearly visible with increased amplitude of the signal.

A. In-Flight Thrust and Drag Force Measurements Figure 10 shows the estimated forces during a short period of the flight shown in Figure 7. The dashed black line shows the direct force measurements, the red line shows the resultant in-flight thrust estimation and the green line shows the estimated drag force. Additionally, the propeller thrust force estimation is plotted in blue based on the wind tunnel characterized function that takes the estimated airspeed and the measured RPM as inputs. As mentioned before, high frequency vibrations show the interaction between the fuselage wake and the propeller. The average thrust and drag force is approximately 1 N and -1 N respectively. Once the drag force is estimated, additional variables can be investigated, such as the aerodynamic power generated by the propeller P Aero = VT AS T hrust. The propulsion system efficiency can also be extracted in real-time, with the ratio of aerodynamic power over electrical power η = P Aero /P Electrical . These variables are plotted in Figure 11. The total efficiency of the propulsion system varies between 30 -50 % which is wide range however averaging around 40 + % falls into the correct value for this propulsion couple according to previous experiences. According to the estimated flight speed of VT AS = 13.1 during the cruise flight phase, the resultant lift coefficient will be around C L = 0.35. The corresponding drag coefficient is around C D = 0.029 as shown on the histogram in Figure 12. The aircraft used in the flight tests has already been characterized at different flight speeds by using glide tests as described in. 9 However during the glide phase, the propeller was free-wheeling and generating some additional drag. This is clearly visible in Figure 4, where the propeller generates nearly 0.6 N of negative thrust when it is not powered. If this additional drag is removed, as a correction, from the estimated drag coefficient in, [START_REF] Bronz | Aerodynamic Characterization of an Off-the-Shelf Aircraft via Flight Test and Numerical Simulation[END_REF] the resultant drag coefficient becomes approximately C D = 0.03 for the given lift coefficient of C L = 0.35. This gives us confidence for the two characterization methods.

VI. Conclusion and Future Work

An alternative estimation method of in-flight thrust and drag force has been presented. Two sources of indirect thrust measurements are fused for a better in-flight thrust and drag force estimation. The propulsion system has been characterized in the wind-tunnel in order to obtain an analytic function for the thrust force. Measured propeller RPM and estimated airspeed have been used as inputs for this function in order to obtain the first source of thrust estimation. The second source comes from an on-board sensor that measures the sum of propeller thrust force and the reaction force of the motor plate generated because of an accelerating frame. The resultant thrust and drag forces from this fusion showed additional high frequency features generated by the interaction of fuselage wake and propeller. The fluctuations of forces during the flight makes it difficult to obtain a fixed value, however averaged values are usable for the thrust force, drag force, and the drag coefficient. These can be used for modeling and performance calculations of propeller driven small UAVs.

Figure 1 .

 1 Figure 1. Mako aircraft general view on the left, and the FlexiForce A301 thin film force sensor on the right.

a

  http://wiki.paparazziuav.org/wiki/Apogee/v1.00

Figure 2 .

 2 Figure 2. Developed mechanism for the on-board thrust force measurements is shown, starting from left to right with isometric and side CAD drawing views, CNC-manufactured real piece and its integration to the test aircraft.

Figure 3

 3 Figure3shows the propulsion test bench. Two force sensors (SMD S-100 b ) are used to measure the propulsive force and the motor torque. ESC32v3 speed controller is used for controlling the rotation speed of the brushless motor and recording the voltage, current, and motor rotation speed data through its serial connection.

Figure 3 .

 3 Figure 3. On the left, propulsion test bench mounted in the wind tunnel of ENAC, and on the right a detailed CAD drawing view of the sensor integration and the moving parts are shown.

Figure 4 .

 4 Figure 4. Thrust versus RPM at different airspeed from wind tunnel experiment are shown.

Figure 5 .

 5 Figure 5. Main parts of the drag estimation method is presented.

Figure 6 .

 6 Figure 6. Net forces.

Figure 7 .

 7 Figure 7. Basic flight informations of a typical flight experiment, after the take-off the altitude during the whole test remains almost constant, likewise for the propeller rotation speed and estimated airspeed.

Figure 8 .

 8 Figure 8. Showing the calibrated direct force sensor measurement outputs.

Figure 10 .

 10 Figure 10. Result of information fusion for thrust and drag force estimation.

Figure 11 .

 11 Figure 11. Aerodynamic power, electrical power and the instantaneous propulsion system efficiency are shown.

Figure 12 .

 12 Figure 12. Drag Coefficient histogram over a short period taken from the real flight test.

Table 1 .

 1 General specifications of the Aircraft.

	Span	1.288	[m]
	Wing Surface Area	0.27	[m 2 ]
	Mean Aero. Chord	0.21	[m]
	Electric Motor	AXI 2212/26
	Prop Diameter	0.228	[m]
	Take-off Mass	0.7-2.0	[kg]
	Flight Velocity	10-25	[m/s]

Table 2 .

 2 Resultant coefficients for C T function.

b www.smdsensors.com

of 11

Acknowledgments

The authors would like to thank to Antoine Drouin for the explanations and discussion on Kalman filter, Michel Gorraz for building the electric circuit, Alexandre Bustico for debugging the ESC telemetry module code, and Xavier Paris for his support during the whole flight tests.

Appendix

The thin film force sensor reduces its resistance when a pressure is applied on it. However, the calibration curve using the resistance is cumbersome, therefore as suggested by the supplier, a dedicated electronics board has been build in order to measure conductance instead of resistance, which has a linear relation, making it easier to calibrate. Figure 13 shows the schematics of the board. In the presented application, the resistance values are respectively R 1 = 1 KΩ, R 2 = 4.7 KΩ, and R F = 47 KΩ.


In the ABC framework, the posterior distribution is given by: π ABC (θ|D sim , D obs , M) ∝ f w (D obs |D sim , θ, M)f (D sim |θ, M)π(θ|M) D sim is the simulated data. If ε is small enough, π ABC (θ|D sim , D obs , M) is a good approximation of the true posterior distribution. Sequence of the tolerance thresholds:

ε 1 > ε 2 > . . . > ε T .
Type of kernels to move particles and models.

N number of particles per population.

Stopping criterion.

The efficiency of the algorithm depends heavily on the selection of the tuning parameters.

Always the objective is to strike the right balance between computational requirements and acceptable precision.

ABC favours automatically simpler models.

Example 1: Cubic and CQ models → Two competing models: each model is characterised by a set of parameters Θ. Example 1: Cubic and CQ models

M 1 : mz + c ż + kz + k 3 z 3 = f (t), M 2 : mz + c ż + kz + k 3 z 3 + k 5 z 5 = f (t
Input force: Gaussian with µ = 0, σ = 10. Training data from the CQ model (noise of 1% r.m.s was added). Equal prior probabilities: p(M 1 ) = p(M 2 ) = 1 2 . Uniform priors for model parameters.

Uniform kernels are used to move particles.

The tolerance thresholds sequence is set successively to be ε i=1:19 = (100, 80, . . . , 0.05, 0.03).

The MSE is considered to measure the level of agreement:

∆(u obs , ǔsim ) = 100 pσ 2 u p =1 u obs -ǔsim 2
Model posterior probabilities: The ABC-SMC algorithm tends first to converge to the cubic model (the model with less parameters).

M1 M2 0 0.5 p=1, ε=100 M1
Example 1: Cubic and CQ models

Outline

Aims

The general Bayesian approach ABC-SMC for model selection

ABC-NS as a new alternative

Conclusions

The ABC-NS algorithm is based on the concept of the nested sampling (NS) algorithm proposed by Skilling Ref. 2 and the ellipsoidal sampling technique proposed by Mukherjee et al. Ref. 3 .

The implementation of the algorithm requires the selection of a number of hyperparameters, (the values used here are given):

β 0 : proportion of the alive particles (β 0 = 0.6).

α 0 : proportion of the died particles (α 0 = 0.3).

f 0 : enlargement factor (f 0 = 1.1).
The first iteration of the ABC-NS algorithm is described in the pseudocode given in the next slide. For the next iteration, (1 -β 0 )N particles are sampled (subjected to the constraint ∆(u, u * ) < ε 2 ) inside the ellipse defined by its covariance matrix and mean value estimated based on the alive particles obtained previously. For the next iterations, the same procedure is repeated until the convergence criterion is met.

Principle of the ABC-NS algorithm:

Algorithm 1 ABC-NS sampler Require: u: Observed data, M(•), ε1, N 1: while i ≤ N do 2: repeat 3:
Sample θ * from the prior distributions π(•)

4:

Simulate u * using the model M(•)

5: until ∆(u, u * ) ≤ ε1 6: set Θi = θ * , ei = ∆(u, u * ) 7:
set i = i + 1 8: end while 9: Sort e on ascending order, ε2 = e(α0N ), α0 ∈ [0.2, 0.3]

10: ωi ∝ 1 ε1 1 -( ei ε1
) 2 11: Remove dead particles, ∆(u, u * ) ≥ ε2, ωj=1:α 0N = 0 12: Normalise the weights such that Training data (free-of-noise). Illustration of the ABC-NS algorithm.

Frequency

Comparison between the acceptance rates.

M 1 : mz + c ż + kz = f (t), M 2 : mz + c ż + kz + k 3 z 3 = f (t).
→ Objective: Identify the most likely model.

The training data was synthetically generated from the cubic model (free-of-noise). Evolution of the number of particles for the linear model.

-

  f w (D obs |D sim , θ, M) is the weighting function so-called indicator function.f w (D obs |D sim , θ, M) ∝ I(d(D obs , D sim|θ ) ≤ ε, M) d(D obs , D sim|θ) is a distance measure between the observed data and the simulated data.

  2 >⋯ > 𝜀 𝑇 𝜀 𝑇 pM i = Number of particles accepted for M i Total number of particles Hyperparameters to be defined: ∆(u, u * ): distance to measure the degree of similarity.

  general BA ABC-SMC for model selection ABC-NS as a new alternative Conclusions Example 1: Cubic and CQ models → Selection of the ABC-SMC Ref. 1 hyperparameters: Number of particles N =1000.

  Select β0N alive particles, β0 ∈ [0.5, 1 -α0] 14: Define the ellipse by its covariance matrix and mean value E1 = {B1, µ1} 1 The equation of motion is given by: mÿ + c ẏ + ky + k 3 y 3 = f (t) Objective: identify the unknown parameters Θ = (k, k 3 ) from the training data. m = 1. c = 0.05. k ∼ U(20, 80). k 3 ∼ U(500, 1500).

  general BA ABC-SMC for model selection ABC-NS as a new alternative Conclusions Example 2: ABC-NS for parameter estimation Illustration of the ABC-NS algorithm.

1

  The equation of motion is given by: mÿ + c ẏ + ky + k 3 y 3 = f (t)Objective: identify the unknown parameters Θ = (c, k, k 3 ) from the training data (free-of-noise). general BA ABC-SMC for model selection ABC-NS as a new alternative Conclusions Example 3: ABC-NS for parameter estimation general BA ABC-SMC for model selection ABC-NS as a new alternative Conclusions Example 3: ABC-NS for parameter estimation general BA ABC-SMC for model selection ABC-NS as a new alternative Conclusions Example 3: ABC-NS for parameter estimation Comparison between the posterior distributions using the differential entropy.

  Figure: 3 unknown parameters

  general BA ABC-SMC for model selection ABC-NS as a new alternative Conclusions Example 4: ABC-NS for model selection Evolution of the number of particles for the linear model.

  After few iterations, the linear model is eliminated and the algorithm converges to the right model: model posterior probabilities over few populations:

  ).

	Parameter True value Lower bound Upper bound
	m	1	0.1	10
	c	0.05	0.005	0.5
	k	50	5	500
	k 3 k 5	10 3 10 5	10 2 10 4	10 4 10 6

  Evolution of the number of particles for the linear model. Outline Aims The general BA ABC-SMC for model selection ABC-NS as a new alternative Conclusions Example 4: ABC-NS for model selection Evolution of the number of particles for the linear model. Evolution of the number of particles for the linear model.

	Evolution of the number of particles for the linear model. Evolution of the number of particles for the linear model. Evolution of the number of particles for the linear model.
					p=12, ε=3.31198e+00, n 1 = 466 p=13, ε=2.98674e+00, n 1 = 422 p=14, ε=2.78183e+00, n 1 = 388 p=15, ε=2.66418e+00, n 1 = 362 p=16, ε=2.60102e+00, n 1 = 295 p=17, ε=2.56111e+00, n 1 = 147
	62.4 62.2 62 61.8 61.7 61.6 61.44
	62.2 62 61.7 61.55 61.43
		61.8 61.6
	62 61.6 61.42
		61.8 61.5
		61.8
	61.6 61.5 61.5 61.41
	61.6 61.6 61.45
		61.4 61.4
	3 3 3 3 3 3
	k k k k k k	61.4 61.4 61.4 61.4 61.4
	61.3 61.39
	61.2 61.2 61.35
	61.2 61.2 61.3 61.38
		61
		61 61.3
	60.8 61.1 61.37
		61 61.2
	60.6 60.8 61 61.25 61.36
	60.4 60.6 60.8 60.9 61.1 61.2 61.35
		0.04 -0.02 -0.01 -0.02 -0.02 -0.01 -0.01 -0.005 -5 -2 0 1.96 1.98	0 2	0 0	0 0 2 2.02 2.04 2.06 2.08 2.1 2.12 2.14 2.16 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 5 10 15 20 4 6 8 10 12
					c c c c c c c	×10 -3 ×10 -3 ×10 -3

Acknowledgement

The authors gratefully acknowledge the support which has been provided through the EPSRC Programme Grant "Engineering Nonlinearity" (EP/K003836/1).

Evolution of the number of particles for the linear model.

Conclusions

The parsimony principle is well embedded in the ABC algorithm.

ABC-SMC and ABC-NS provide good estimates.

The ABC-NS outperforms the ABC-SMC in terms of computational efficiency.

The ABC-NS can be applied simultaneously for parameter estimation and model selection.

ABC-NS requires less parameters to be tuned compared with the ABC-SMC.

To run the ABC-NS algorithm, Matlab files calc ellipsoid.m and draw from ellipsoid.m from the MultiNest package Ref. 4 have been used.

Future work

Compare the ABC-NS with other variants of ABC algorithms.

Introduce the use of the ABC-NS for real applications.

Extend the use of the ABC to infer systems with complex behaviours and systems with larger datasets by extracting useful features.

More details and examples about the implementation of the ABC-NS algorithm and hyperparameters selection will be investigated and presented in a forthcoming journal paper.

To cite this version:

Anis Ben Abdessalem, Keith Worden, Nikolaos Dervilis, David Wagg. Recent advances in approximate Bayesian computation methodology: application in structural dynamics. ENL Workshop, January 2017, Bristol, United Kingdom.


Nassima Medjadi-Cheikh

Saıd Hamou

Djezouli Moulai-Khatir

Abdelmadjid Cheikh
email: nmcheikh@yahoo.fr

Jean-Marc Linares

Tolérance Fonctionnel optimisé par la méthode des dispersions ¨

Keywords: Méthode des dispersions, optimisation, chaîne de cotes, tolérances fonctionnelles, synthèse, ISO Dispersions method, optimization, dimension chains, functional tolerances, synthesis, ISO

Cet article présente l'optimisation du tolérancement fonctionnel par la méthode des dispersions, celle-ci a fait ces preuves dans l'optimisation des cotes de fabrication. Dans ce travail la méthode des dispersions inconnues est combinée avec la méthode du transfert minimum pour la modélisation de l'automatisation de la simulation des exigences fonctionnelles d'un assemblage mécanique. La simulation consiste en l'extraction automatique des chaînes fonctionnelles d'une part, et en l'optimisation des dispersions d'autre part. Enfin, les cotes fonctionnelles sont synthétisées à partir des dispersions optimisées en terme de cotes moyennes et intervalles de tolérances centrés. Elles sont en adéquation avec l'écriture au sens de la norme ISO des cotes fonctionnelles.

Introduction

L'expérience a montré que la détermination des tolérances des pièces en conception mécanique nécessite des choix importants qui influent sur le mode de fabrication et le prix de revient des pièces. Si l'on ne définit pas un tolérancement optimal, on risque soit d'augmenter les cou ˆts de fabrication par des tolérances trop sévères ou mal placées, soit de produire des pièces qui ne conviendront pas dans l'assemblage ou encore des assemblages peu fiables en fonctionnement. En eff et, les décisions prises durant la phase de conception induisent près de 70 % du cou ˆt total de réalisation du produit [START_REF] Marty | Industrialisation des produits mécaniques, conception et industrialisation[END_REF]. Pour cela il faut optimiser les moyens de fabrication pour produire des pièces de bonne qualité et à moindre cou ˆt. L'objectif de l'optimisation des tolérances de conception est de minimiser le cou ˆt total de fabrication de toutes les tolérances tout en respectant les exigences fonctionnelles. Actuellement les outils, les méthodes et les théories associées au tolérancement restent encore très pauvres [START_REF] Mathieu | Modelling, Representation and Processing of Tolerances, Tolerance Inspection: a survey of current hypothesis, Geometric Design Tolerancing: Theories, standards and Applications[END_REF]. Le concepteur trouve quelques systèmes dédiés [START_REF] Shah | A comparative study of tolerance analysis methods[END_REF] mais peu de solutions intégrées. Dans cette off re, les outils proposés traitent essentiellement de l'analyse des tolérances [START_REF] Mathieu | Modélisation par les surfaces fonctionnelles en CAO : une solution pour l'intégration du tolérancement dans la maquette numérique des produits[END_REF]. L'optimisation des tolérances fonctionnelles a longuement été traitée par la méthode vectorielle non rationnelle [START_REF] Gaunet | Modèle formel de tolérancement de position[END_REF], qui a pour inconvénient de donner des tolérances serrées, donc un cou ˆt de fabrication élevé. La méthode des dispersions appelée méthode Δl introduite par Bourdet [START_REF] Bourdet | Chaînes de cotes de fabrication[END_REF] représente une méthode effi cace pour la simulation d'usinage [START_REF] Anselmetti | Tolérancement : Langage des normes ISO de cotation[END_REF][START_REF] Bourdet | Chaînes de cotes unidirectionnelles[END_REF]. Dans le cas de chaînes de cotes unidirectionnelles, les jeux sont tous modélisés par une seule composante de translation dont les intervalles de variation sont notées Δl i dans la méthode Δl [START_REF] Mathieu | Tolérancement géométrique des produits, Traité IC2, série productique, Lavoisier librairie[END_REF]. Dans ce contexte, ce travail présente une modélisation de la simulation des tolérances de conception d'un assemblage mécanique par la méthode des dispersions qui est basée sur le principe du pire des cas. La méthode Δl est combinée avec la méthode du transfert minimum introduite par Duret [START_REF] Duret | Simulation de gamme d'usinage[END_REF] pour automatiser la procédure d'extraction des chaînes de cotes fonctionnelles par un calcul matriciel. L'optimisation des dispersions est eff ectuée à l'aide de la méthode des dispersions inconnues [START_REF] Marty | Industrialisation des produits mécaniques, conception et industrialisation[END_REF][START_REF] Hamou | Machining dispersions based procedures for computer aided process plan simulation[END_REF]. Les dispersions optimisées sont utilisées pour calculer les intervalles de tolérances et les longueurs de simulation sont utilisées pour synthétiser les valeurs moyennes pour les cotes fonctionnelles.

2 Modélisation de la simulation des conditions fonctionnelles

Principe de la méthode des dispersions

Lors de l'usinage en série de la longueur L d'une pièce, dans les mêmes conditions, on remarque pour un réglage donné, une variation dimensionnelle des pièces successivement usinées. On appelle donc dispersion globale ou dispersion totale, la diff érence entre la plus grande et la plus petite dimension relevée sur une série de pièces réalisées à partir d'un même réglage d'outil.

Δl = L maxi -L mini (1)
Le modèle des Δl introduit la notion de cotes de simulation Li qui permet de situer dans chaque repère de la production, la surface d'appui et les diff érentes surfaces fabriquées. Δl i est la dispersion permise d'une cote de simulation Li représentant la variation de position de la surface i dans le repère fixe lié à la machine de production.

(Cf i,j ) moy = L j -L i (2)

Matrice des dispersions

L'exemple simplifié de la figure 1 [START_REF] Bourdet | Chaînes de cotes unidirectionnelles[END_REF], représente la modélisation de la simulation unidirectionnelle d'un assemblage de pièces. Toutes les surfaces sont modélisées par des points de substitutions [START_REF] Hamou | Interfacing of unidirectional manufacturing dimensions in standardized specifications[END_REF] (situés à l'extérieur de la matière, ces derniers sont supposés représenter la géométrie réelle des pièces). Ils sont numérotés par ordre croissant de gauche a ` droite. Les pièces sont repérées par des lettres alphabétiques. L'assemblage est ensuite représenté sous forme d'une matrice de dispersions affectées aux surfaces des pièc es [START_REF] Hamou | A stochastic concept for the optimization of manufacturing tolerances in computer aided process plan simulation[END_REF]. Enfin, un calcul matriciel est eff ectué pour chaque condition fonctionnelle de l'assemblage par la méthode du transfert minimum. Les conditions fonctionnelles sont les suivantes : e = 2 ± 0, 25 : Retrait de la tête de l'arbre A par rapport a ` la pièce B ; f = 4 ± 0, 75 : Dépassement de la tête extérieure de filetage de l'arbre A par rapport a ` l'écrou D ; g = k = 2 ± 0, 5 : Dépassements intérieurs suffi sants des filetages pour la prise des écrous D et G ;

(B) (A) e 1, 2 = Cf 1, 8 -Cf 2, 8 f 2, 3 = Cf (A) -Cf (B) -Cf (C) -Cf (D) 2, 8 6, 8 4, 6 3, 4 (C) (B) (A) (B) (A) (A) (E) (F) (A) (A) (F) (G)

Extraction des chaînes de cotes fonctionnelles par la méthode du transfert minimum

Le principe de la méthode comme l'illustre la figure 2 est de reconnaître tout d'abord les surfaces qui délimitent une cote condition. Nous les notons l et m. Nous procédons à l'annulation des dispersions uniques qui sont présentes dans toutes les colonnes, excepté celles qui se trouvent sur les colonnes l et m. Nous procédons de la même manière pour les lignes, mais cette fois-ci sans exception bien su ˆr.

Nous répétons ces opérations jusqu'a ` l'aboutissement a ` un transfert minimum donné par 0 ou 2 Δl par colonne. Une fois qu'on est en transfert minimum, les cotes fonctionnelles qui participent a ` la réalisation des cotes conditions sont les cotes délimitées par les surfaces qui abritent les deux dispersions présentes sur la pièce (même ligne de la matrice).

Optimisation par la méthode des dispersions inconnues

L'application de la procédure d'extraction des chaînes de cotes fonctionnelles appliquée à l'assemblage a permis d'avoir les chaînes de tolérances associées suivantes : X Δe

1,2 = Δl i = (Δl (A) + Δl (A) ) + (Δl (B) + Δl (B) ) Δf 2,3 = Δl i = (Δl (A) + Δl (A) ) + (Δl (B) + Δl (B) ) + (Δl (C) + Δl (C) ) + (Δl (D) + Δl (D) ) Δg 4,5 = Δl i = (Δl (A) + Δl (A) ) + (Δl (B) + Δl (B) ) + (Δl (C) + Δl (C) ) Δh 6,7 = Δl i = (Δl (A) + Δl (A) ) + (Δl (B) + Δl (B) ) Δq 9,10 = Δl i = (Δl (A) + Δl (A) ) + (Δl (E) + Δl (E) ) Δk 12,13 = Δl i = (Δl (A) + Δl (A) ) + (Δl (F) + Δl (F) ) Δj 14,15 = Δl i = (Δl (A) + Δl (A) ) + (Δl (F) + Δl (F) ) + (Δl (G) + Δl (g) ) `
A partir des chaînes de tolérances exprimées en fonction des dispersions, on forme une matrice globale d'optimisation de nc lignes et nd colonnes. Dans cette matrice, chaque ligne Ic représente une cote condition et chaque colonne Id représente une dispersion comme le montre le tableau 2 [START_REF] Hamou | Contribution à l'optimisation de la spécification des états intermédiaires dans le processus de fabrication[END_REF]. On remarque que chaque ligne correspond a ` une chaîne de tolérances associée à une chaîne de cotes fonctionnelles. On remplit dans chaque colonne la valeur de la dispersion repérée par la variable x si celle-ci fait partie de la chaîne de tolérance. Dans le cas contraire on remplit la valeur 0.

Organigramme d'optimisation

Comme le montre l'organigramme de la figure 3, en premier lieu, on calcule le coeffi cient de répartition k 0 j pour toutes les cotes condition CC par la relation (3) ou ` w représente le nombre des dispersions connues, p le nombre des dispersions inconnues et j le numéro d'itération. On commence par la ligne dont le coeffi cient k 0 j est le plus petit. Une fois que les valeurs des dispersions de la ligne sont calculées par la relation (3), nous les affi chons sur toute la colonne ou ` elles sont présentes. On recommence a ` calculer les nouveaux coeffi cients k 0 j avec les nouvelles Δli jusqu'a ` l'épuisement des lignes des cotes condition CC.

Procédure d'optimisation

Détermination de la ligne de traitement pour le rang 1 (Tab. 3).

D'après le tableau 3 on remarque que la ligne 5 a le plus petit coeffi cient (k 0 j = 0,05), donc on va commencer par traiter cette ligne.

En traitant ligne par ligne, on va retrouver le tableau des dispersions optimisées (Tab. 4).

Synthèse des cotes fonctionnelles

´ La méthode des dispersions peut être utilisée pour simuler et déterminer les valeurs des cotes fonctionnelles qui répondent aux exigences fonctionnelles. Etant donné que les cotes fonctionnelles doivent être a ` la fin fabriquées, le modèle fondamental des cotes moyennes permet d'établir des relations entre les cotes fonctionnelles et les cotes de simulation Li comme le montre la relation ( 4)

Cf i, j = Lj -Li avec j > i (4)
Pour positionner n surfaces il faut déterminer (n -1) longueurs moyennes de base [START_REF] Bourdet | Chaînes de cotes de fabrication[END_REF]. Nous aurons besoin donc de (n -1) équations a ` résoudre pour déterminer les (n -1) longueurs sachant que L 1 = 0 (en prenant l'origine sur la première surface). Un système d'équations est ainsi construit en utilisant les valeurs moyennes des cotes condition CC et cotes standard CS par les relations ( 5) et [START_REF] Bourdet | Chaînes de cotes de fabrication[END_REF]. Les cotes CS sont choisies pour compléter le système parmi les cotes fonctionnelles de pièces standard, par exemple de sous-traitance.

(CCi ,j ) moy = Lj -Li x x 0 0 0 0 0 0 0 x x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 2 f2,3 0 x x x x 0 x x 0 x x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,5 3 g4,5 0 0 0 x 0 x x x 0 x x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 h6,7 0 0 0 0 0 0 x 0 x x x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 q9,10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x x x x 0 0 0 0 0 0 0,2 6 k12,13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x 0 x x x 0 0 0 1 7 j14,15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

x 0 x 0 x x x
Δl (A) Δl (E) Δl (A) Δl (E) Δl (F) Δl (A) Δl (F) Δl (G) Δl (G) Δl (A) IT k 0 1 1 e1,2
x x 0 0 0 0 0 0 0 x x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,5 0,125 2 f2,3 0 x x x x 0 x x 0 x x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,5 0,1875 3 g4,5 0 0 0 x 0 x x x 0 x x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,166 4 h6,7 0 0 0 0 0 0 x 0 x x x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,25 5 q9,10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

x x x x 0 0 0 0 0 0 0,2 0,05 6 k12,13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 IT 1 e1,2 0,125 0,125 0 0 0 0 0 0 0 0,125 0,125 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,5 2 f2,3 0 0,125 0,281 0,187 0,281 0 0,187 0,187 0 0,125 0,125 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,5 3 g4,5 0 0 0 0,187 0 0,187 0,187 0.187 0 0,125 0,125 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 h6,7 0 0 0 0 0 0 0,187 0 0,562 0,125 0,125 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 q9,10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,05 0,05 0,05 0,05 0 0 0 0 0 0 0,2 6 k12,13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,05 0 0,316 0,316 0,316 0 0 0 1 7 j14,15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,05 0 0,316 0 0,316 0,439 0,439 0,439 2 ou ` i et j sont les surfaces qui délimitent les cotes condition CC ou CS. Dans le cas de cotes unilimites, CC moy et CS moy sont calculées en utilisant l'intervalle de tolérance optimisé par les relations suivantes :

x 0 x x x 0 0 0 1 0,25 7
CC moy = CCmin + CCmax 2 (7)
CS = CS min + CS max moy 2 (8)
Les équations (5) a ` (8) donnent un système de n équations a ` n inconnues Li. Une fois que les longueurs de simulation Li sont trouvées, on calcule les cotes fonctionnelles moyennes par la relation ( 4).

-La matrice élargie après optimisation des dispersions à l'aide des IT des cotes conditions bilatérales pour cet exemple est donnée comme suit (Tab. 5). -Calcul des longueurs moyennes de base Li.

Pour cet exemple nous avons 15 surfaces alors nous aurons besoin de 14 cotes conditions. On complète donc les 7 exigences fonctionnelles e, f, g, h, q, k et j par 7 autres cotes conditions comme cotes mini. Celles-ci sont données par les pièces standards ou de sous-traitance.

Pour notre cas, on prend : Pour les 15 surfaces, il y aura 15 longueurs moyennes de base inconnues a ` déterminer (donc 15 équations a ` résoudre, avec L 1 = 0). Les équations des conditions bilimites sont données par :

´ IT P Δli 1 e1,2 0,125 0,125 0 0 0 0 0 0 0 0,125 0,125 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,5 0,5 2 f2,3 0 0,125 0,281 0,187 0,281 0 0,187 0,187 0 0,125 0,125 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1,5 1,5 3 g4,5 0 0 0 0,187 0 0,187 0,187 0,187 0 0,125 0,125 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 4 h6,7 0 0 0 0 0 0 0,187 0 0,562 0,125 0,125 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 5 q9,10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,05 0,05 0,05 0,05 0 0 0 0 0 0 0,2 0,2 6 k12,13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,05 0 0,316 0,316 0,316 0 0 0 1 1 7 j14,15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,05 0 0,316 0 0,316 0,439 0.439 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,125 0 0,05 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0,175

´ ´ ´ ´ ´ ´ Equation 1 : e = L 2 -L 1 = 2 Equation 2 : f 2,3 = L 3 -L 2 = 4 Equation 3 : g 4,5 = L 5 -L 4 = 2 Equation 4 : h 6,7 = L 7 -L 6 = 2
(E)
12 CS 10,11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,05 0 0,05 0 0 0 0 0 0 -0,1

(F)
13 CS 11,13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,316 0 0,316 0 0 0 -0,632

(G)
14 CS 13,14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,439 0,439 0 Tableau 6. Système d'équations linéaires. Ceci nous permet par la suite de calculer les cotes fonctionnelles moyennes

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 1 4 9 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎡ -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎡ L ⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎢ 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ L2 ⎥ ⎢ 4 ⎥ ⎢ 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ L3 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ L ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ L5 ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎢ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 ⎥ ⎢ L6 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 ⎥ ⎢ L7 ⎥ ⎢ 4 ⎥ ⎢ 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ L8 ⎥ = ⎢ 10, 281 ⎥ ⎢ 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ L ⎥ ⎢ 4, 187 ⎥ ⎢ -1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ L10 ⎥ ⎢ 40, 125 ⎥ ⎢ 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 0 ⎥ ⎢ L11 ⎥ ⎢ 5, 088 ⎥ ⎢ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 ⎥ ⎢ L12 ⎥ ⎢ 16, 05 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 ⎥ ⎢ L13 ⎥ ⎢ 4, 317 ⎥ ⎣ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 0 ⎦ ⎣ L14 ⎦ ⎣ 10

Programmation et tests de validation

Un module a été programmé sur la base des organigrammes précédemment donnés. Ce programme est nommé OTF (outil de tolérancement fonctionnel). Il a été programmé sous langage Visual Basic. Le programme a été testé et validé sur plusieurs exemples donnant des résultats concordant avec la simulation manuelle. Nous allons appliquer le programme OTF a ` l'assemblage (Fig. 1). L'écran de la figure 4, représente le fichier de données de l'assemblage, et l'écran de la figure 5, illustre le fichier des résultats.

Conclusion et perspectives

L'objectif de ce travail est de contribuer au développement d'un outil CFAO de synthèse des cotes fonctionnelles exprimées par les cotes moyennes et les intervalles de tolérance centrés, en utilisant la méthode des dispersions. Cette dernière a fait ses preuves dans la simulation des avant-projets de fabrication en optimisant les tolérances et en vérifiant la faisabilité des gammes d'usinage [START_REF] Hamou | A stochastic concept for the optimization of manufacturing tolerances in computer aided process plan simulation[END_REF]. Un module nommé OTF (outil de tolérancement fonctionnel) a été réalisé. L'automatisation consiste premièrement en l'extraction automatique des chaînes (cotes et tolérances) fonctionnelles. Ensuite une procédure d'optimisation des dispersions est eff ectuée. Enfin les cotes fonctionnelles sont synthétisées à partir des dispersions optimisées en terme de cotes moyennes et intervalles de tolérance centrés, pour être en adéquation avec l'écriture au sens de la norme ISO des cotes fonctionnelles. En perspectives, l'intégration du module OTF dans un système CFAO permettra d'avoir automatiquement les cotes fonctionnelles exprimées par les cotes moyennes et les intervalles de tolérance centrés comme résultat final.

Fig. 1 .

 1 Fig. 1. Exemple d'assemblage.

Fig. 2 .

 2 Fig.2. Organigramme de la méthode du transfert minimum[START_REF] Medjadi-Cheikh | Simulation des tolérances fonctionnelles : Modélisation par la méthode des dispersions[END_REF].

Tableau 1 .Fig. 3 .

 13 Fig.3. Organigramme de l'optimisation des dispersions par la méthode des dispersions inconnues[START_REF] Medjadi-Cheikh | Simulation des tolérances fonctionnelles : Modélisation par la méthode des dispersions[END_REF].

( 5 ) 6 ) 2 .

 562 (CSi ,j ) moy = Lj -LI (Tableau Matrice d'optimisation globale de l'assemblage.

x 2 Tableau 3 .

 23 Détermination de la ligne de traitement pour le rang 1.

Tableau 4 .

 4 Tableau des dispersions optimisées.

  la pièce B (CS 1,8 = 40 mini) ; le côté gauche de l'arbre A (CS 8,9 = 5 mini) ; la pièce E (CS 10,11 = 16 mini) ; la rondelle C (CS 11,13 = 4 mini) et l'écrou D (CS 13,14 = 10 mini).

Equation 7 : 8 :Tableau 5 .

 785 q 9,10 = L 10 -L 9 = 3 Equation 5 : k 12,13 = L 13 -L 12 = 2 Equation 6 : j 14,15 = L 15 -L 14 = 4. Les équations des conditions unilimites sont données par : CS 3,4 = L 4 -L 3 = 10,281 Equation 9 : CS 4,6 = L 6 -L 4 = 4,187 Equation 10 : CS 1,8 = L 8 -L 1 = 40,125 Equation 11 : CS 8,9 = L 9 -L 8 = 5,088 Equation 12 : CS 10,11 = L 11 -L 10 = 16,05 Equation 13 : CS 11,13 = L 13 -L 11 = 4,317 Matrice élargie après optimisation.

14 :

 14 CS 13,14 = L 14 -L 13 = 10,439 Et comme équation 15 : L 15 = 0. ` A partir de ces équations, on forme le système d'équations linéaires (Tab. 6).Après résolution du système nous obtenons les valeurs suivantes pour les longueurs moyennes :L 1 = 0 L 2 = 2 L 3 = 6 L 4 =16,281 L 5 = 18,281 L 6 = 20,468 L 7 = 22,468 L 8 = 40,125 L 9 = 45,213 L 10 = 48,213 L 11 = 64,263 L 12 = 66,535 L 13 = 68,535 L 14 = 78,974 L 15 = 82,974

Fig. 4 .

 4 Fig. 4. Fichier de donné es de l'assemblage.

Fig. 5 .

 5 Fig. 5. Fichier des ré sultats de l'assemblage.


est destinée au dépôt

Exemple d'investigation en technologie au collège : ébauche de solutions formelles dans le processus de conception d'une table basse

Activité de conception et apprentissages technologiques

Concevoir un objet relève de processus complexes qui consistent à prévoir une matérialité à un objet qui n'existe pas encore et qui n'existe que dans l'esprit de ceux qui le conçoivent [START_REF] Lebahar | L'enseignement du design industriel : entre art et technologie[END_REF]. Ainsi, le mode d'existence des objets techniques repose en grande partie sur la capacité à organiser l'activité humaine en l'orientant vers une fin, celle de produire un objet [START_REF] Lebahar | Les deux systèmes d'existence de l'artefact : objet et système[END_REF][START_REF] Vérillon | Artefacts and cognitive development: how do psychogenetic theories of intelligence help in understanding the influence of technical environments on the development of thought[END_REF]. Assimilé à une stratégie de résolution de problèmes ouverts sur plusieurs solutions, le processus de conception supposent des niveaux de description et d'intégration des contraintes du cahier des charges (Andreucci & Chatoney, 2009;[START_REF] Chatoney | Make a plan, make choices and prove the quality of its job. Simples' gestures for learning something else than technics[END_REF] qui conditionnent les interactions entre fonctionnement-fonction-structure-forme-matière.

Selon Visser (2004) Ces représentations peuvent être externes [START_REF] Gibson | The ecological approach to perception[END_REF][START_REF] Huot | Une nouvelle approche pour la conception créative : De l'interprétation du dessin à main levée au prototypage d'interactions nonstandard[END_REF][START_REF] Lebahar | La conception en design industriel et en architecture. Désir, pertinence, coopération et cognition[END_REF][START_REF] Safin | Processus d'externalisation graphique dans les activités cognitives complexes : le cas de l'esquisse numérique en conception architecturale individuelle et collective[END_REF] et utiliser différents systèmes sémiotiques : modalités verbales, gestuelles ou graphiques sous forme de dessins, de maquettes, de modèles… mais aussi internes, telles que des images mentales.

En particulier, le dessin (croquis, esquisses et autres formes) intervient dans ces différentes activités et de nombreux auteurs cités par Visser soulignent qu'il a une fonction essentielle due à son caractère imprécis et provisoire. Le dessin est vu par les spécialistes de la psychologie cognitive [START_REF] Goël | Sketches of Thought[END_REF][START_REF] Schön | The reflexive practitionner : how profesionals think in action[END_REF]) comme une trace de l'activité mentale, fixant les idées dans les premières phases de la conception.

Ces représentations se construisent notamment à l'aide d'intermédiaires graphiques [START_REF] Rachedi | Les modalite ́s de compre ́hension et d'utilisation des interme ́diaires graphiques : l'exemple de la lecture de plans dans le bâtiment, conse ́quences pe ́dagogiques et ergonomiques[END_REF] aux contenus et aux contours approximatifs.

Lorsqu'ils prennent la forme de croquis, relativement peu structurés, ils peuvent donner au concepteur accès à des connaissances inaccessibles autrement et conduire à de nouveaux points de vue sur le projet en cours. Ceux-ci peuvent même déboucher sur des orientations entièrement nouvelles et contribuer ainsi à une diversification des propositions et à une plus grande variété de solutions.

Dans le modèle général de l'activité de conception, Lebahar (1983) fait apparaître trois grandes étapes permettant de décrire le processus de conception dans le domaine de l'architecture (Cf. Figure 1). Ce modèle général des aspects cognitifs de la conception, assimile cette activité à la « résolution de problèmes mal définis » [START_REF] Simon | Sciences des systèmes Sciences de l'artificiel[END_REF] et se caractérise par la « conception créative » (Lebahar, 1983). Cette notion de créativité se développe au travers des mécanismes qu'elle met en jeu : l'exploration du problème, la génération de solutions possibles au problème et la modélisation d'une ou de plusieurs solutions en vue de la fabrication. Ce modèle permet de rendre compte du rôle essentiel des intermédiaires graphiques dans l'activité de conception [START_REF] Rachedi | Les modalite ́s de compre ́hension et d'utilisation des interme ́diaires graphiques : l'exemple de la lecture de plans dans le bâtiment, conse ́quences pe ́dagogiques et ergonomiques[END_REF]. Le dessin sous toutes ses formes, y compris produit par l'utilisation d'outils informatiques, apparait dans chacune des étapes du modèle de Lebahar (1983) : Souvent, l'enseignement technologique ne permet pas aux élèves d'effectuer par eux-mêmes le choix entre plusieurs solutions possibles qui caractérise les pratiques industrielles [START_REF] Ginestié | Vers une éducation technologique pour tous : les savoirs en jeu dans les disciplines technologiques, quelques éléments sur la constitution d'un enseignement de la technologie[END_REF][START_REF] Ginestié | Résolutions de problèmes en éducation technologique[END_REF][START_REF] Ginestié | Les activités de production en technologie : organisations didactiques et aménagement des conditions d'étude[END_REF] Dans les premières phases de recherche de solutions, lors de l'exploration, mais aussi pour la génération des solutions et pour leur évaluation, les outils de représentation graphique jouent un rôle dans le processus de création. À partir du modèle de Lebahar (figure 1), nous considèrerons l'activité de conception en référence à l'enseignement comme l'articulation de trois phases, d'exploration, de génération et de modélisation. Distinguer les différents outils de représentation permet d'adapter une nouvelle modélisation (figure 2) de l'activité d'un élève de collège en situation de résolution de problèmes de conception [START_REF] Laisney | Intermédiaires graphiques et conception assistée par ordinateur. Étude des processus d'enseignement-apprentissage à l'oeuvre dans l'éducation technologique au collège[END_REF]. difficultés rencontrées par l'élève [START_REF] Ginestié | Résolutions de problèmes en éducation technologique[END_REF][START_REF] Ginestié | How pupils solve problems in technology education and what they learn[END_REF]

  Patrice Laisney, Pascale Brandt-Pomares To cite this version: Patrice Laisney, Pascale Brandt-Pomares. Exemple d'investigation en technologie au collège : ébauche de solutions formelles dans le processus de conception d'une table basse. L'investigation scientifique et technologique, PUR, pp.271-287, 2016, 978-2-7535-4355-3. hal-01437434 Exemple d'investigation en technologie au collège : l'ébauche de solutions formelles dans le processus de conception d'une table basse Patrice Laisney Pascale Brandt-Pomares Dans ce chapitre nous proposons un dispositif d'enseignement visant à faire acquérir aux élèves des savoirs relatifs à la conception d'objet technique en classe de 5 e . Cet enseignement consiste à faire produire par les élèves des ébauches de solutions techniques sous forme de représentations graphiques (de dessins de solutions de formes) d'un objet technique, en l'occurrence d'une table basse de salon. Après avoir précisé, d'une part, ce que recouvre l'activité de conception et, d'autre part, son intérêt du point de vue spécifique des apprentissages technologiques, nous la situerons dans le cadre de l'enseignement de la technologie au collège. Nous présenterons ensuite le dispositif d'enseignement et sa mise en oeuvre. Il se concentre sur les premières phases créatives du processus de conception. La représentation graphique, en tant que représentation externe de l'objet à concevoir, y occupe une place centrale. Le dessin constituant le langage qui instrumente l'activité, il est mis en oeuvre au travers d'un outil informatisé de CAO (Conception Assistée par Ordinateur) ou par le dessin à main levée (papier-crayon).

Figure 1 .

 1 Figure 1. Modèle de la démarche de conception créative(Lebahar, 1983)

  2. L'enseignement de la conception en technologie au collège En technologie au collège, la conception s'inscrit dans le domaine du design industriel et de l'architecture. Elle recouvre l'ensemble de tâches permettant d'aboutir aux choix définitifs des solutions satisfaisant aux exigences fonctionnelles et aux performances attendues. Cette activité constitue la plupart du temps une réponse à un Cahier Des Charges Fonctionnel (CDCF) et porte sur l'analyse et le choix définitif du produit en réponse aux objectifs du CDCF. Une relation étroite est nécessaire entre conception, fabrication et utilisation afin de pouvoir intégrer très tôt les techniques qui y sont associées. Dans cette perspective, l'étude des solutions est effectuée par les élèves au cours de tâches de conception concrétisées sous la forme de dessins d'avantprojet mettant souvent en oeuvre des outils informatisés tels que des logiciels de CAO et de CFAO (Conception et Fabrication Assistée par Ordinateur) de plus en plus performants. Enfin, l'évaluation des solutions doit permettre d'effectuer un choix selon les points de vue des coûts, de la faisabilité, des risques en termes de sécurité pour l'utilisateur et de leur combinaison. Cette phase peut nécessiter un travail de maquettage et d'essais préliminaires.

Figure 2 .

 2 Figure 2. Modèle de l'activité de conception des élèves[START_REF] Laisney | Intermédiaires graphiques et conception assistée par ordinateur. Étude des processus d'enseignement-apprentissage à l'oeuvre dans l'éducation technologique au collège[END_REF]

  Dans un premier temps (séance 1), les élèves proposent individuellement plusieurs solutions de table basse répondant aux contraintes du cahier des charges (Cf. Annexe 1). Dans un deuxième temps (séance 2), à partir des solutions précédemment élaborées les élèves réalisent les modèles numériques à l'aide du logiciel Google SketchUp. Ce logiciel de dessin 3D utilisé par les élèves est destiné à créer des objets techniques en 3D ; chaise, maison, marteau, etc. Le site tice-education (http://www.tice-education.fr/ consulté le 29 juin 2011) précise que ce logiciel « est utilisable à l'école et au collège dans plusieurs champs disciplinaires : mathématiques, arts plastiques et technologie notamment ». La figure 3 permet de visualiser l'interface graphique du logiciel avec son espace de travail 3D et la barre d'outils permettant notamment la gestion des vues et la réalisation de volumes à partir de formes élémentaires (ligne, cercle, rectangle…) extrudées. Dans un troisième temps (séance 3) les élèves procèdent à une hiérarchisation de ces différentes solutions en vue du choix final de l'une d'entre elles. Ils doivent construire l'argumentation permettant de justifier ce choix, notamment en précisant les critères qu'ils retiennent pour effectuer ce choix (forme, structure, isostatisme, assemblage et matériaux). L'articulation entre objet, activité et langage, proposée par Ginestié (1999) renvoie à des « organisations praxéologiques spécifiques qui indiquent la manière de faire mais aussi le discours sur ces manières de faire ».

Figure 3 .

 3 Figure 3. L'interface du logiciel Google SketchUp

Figure 4 .

 4 Figure 4. Exemple de solution

  (ne pas se renverser facilement) -Dimensions : o Encombrement maximum (L x l x H) : 1000 x 500 x 500 o Dimension minimum du plateau (Lp x lp) : 950 x 450 o Position du plateau (Hp) : 400 < Hp < 500 Travail à faire : Votre travail consiste à proposer des solutions en respectant le cahier des charges ci-dessus.

  . Le fait de rendre saillants les obstacles et d'offrir à l'élève, dans l'environnement didactique mis à sa disposition, les moyens de les surmonter soutient son activité d'apprentissage. Notre dispositif a pour ambition d'illustrer ce point de vue en montrant ce que peut être un enseignement relatif à la conception d'objet visant

	pendant la phase d'exploration, dès les premiers dessins relèvent d'une forme
	de « libre expression » des élèves. Le tableau 1 présente l'organisation du
	dispositif en quatre séances.
	Séance 1
	Les élèves proposent plusieurs	Travail individuel
	solutions répondant au cahier des	Esquisses (dessin à la main)
	charges.
	Séance 2
	Les élèves modélisent les solutions	Travail individuel
	élaborées lors de la séance 1.	Logiciel Google SketchUp
	Séance 3
	Hiérarchisation des solutions
	Élaboration d'une argumentation en
	vue du choix final d'une solution.
	La possibilité donnée aux élèves de se confronter à un problème ouvert, laisse
	un espace à leur créativité et leur permet de mettre en jeu les différents
	concepts technologiques (forme, structure, matériau…) caractérisant un
	problème de conception industriel. Les évolutions des traces graphiques

à favoriser la créativité. À partir de la consigne, les élèves doivent proposer des solutions possibles (innovantes) différentes de ce qui existe déjà. Tout n'est pas « possible » puisque la solution doit respecter le cahier des charges : la stabilité de la table et le respect dimensionnel qui constituent des variables didactiques en lien avec le savoir en jeu. En plus de ces variables didactiques, la situation proposée incite à l'utilisation des outils de représentation : dessin à la main et CAO.

3.1. Les tâches demandées aux élèves

Les élèves ont à concevoir une table basse de salon en proposant des solutions qui doivent respecter les contraintes définies dans un cahier des charges qui contextualise la demande et précise des contraintes, notamment dimensionnelles (Cf. Annexes 1). Les tâches proposées aux élèves et l'objet à concevoir relèvent du domaine d'application « habitat et ouvrage » du programme de technologie du collège. Indépendamment des prescriptions qui peuvent évoluer au fil des changements de programmes, les tâches de conception proposées ont un sens dans le cadre d'une éducation technologique.

Nombre de solutions élaborées par élève

  Pour des élèves de 5 e , la découverte du logiciel est donc assez rapide. le dispositif d'enseignement proposé dans ce chapitre les élèves ont été mis en situation de rechercher des solutions par eux-mêmes. est l'illustration d'une investigation qu'il est possible de mettre en oeuvre dans le cadre de la technologie au collège. Cet exemple s'accompagne d'une volonté de construire des dispositifs permettant à l'élève de conduire sa propre réflexion au travers de la résolution de problèmes « ouverts » sur plusieurs solutions et non pas guidé vers la solution prédéterminé par le professeur. Cette approche est d'autant plus en phase sur plan épistémologique avec le processus de conception en l'occurrence ici d'un meuble que ce processus n'est pas conditionné par un résultat unique. Ce dispositif est conçu en tirant parti des résultats d'une recherche conduite récemment sur le rôle des intermédiaires graphiques dans le processus d'enseignement apprentissage de la conception dont les conclusions portent notamment sur le fait qu'il est important de penser l'introduction des outils de représentations graphiques traditionnels et de CAO propres à l'activité de conception d'objets techniques et leur articulation pour favoriser et faciliter le processus de recherche de solutions.BibliographieAmigues, R.,& Ginestié, J. (1991). Représentations et stratégies des élèves dans l'apprentissage d'un langage de commande. Le travail humain, 54(1), 37-64. Andreucci, C., & Chatoney, M. (2009). Enseigner la technologie pour réinventer la roue à l'école primaire. In P. Charland, F. Fournier, M. Riople & P. Potvin (Eds.), Apprendre et enseigner la technologie : Regards multiples (pp. 61-72). Québec: Editions multimondes. Fiche élève -Concevoir une table basse de salon Concevoir une table

	Les connaissances technologiques disponibles chez les élèves Modèle structurel et fonctionnel de l'objet table Mode de représentation (dessin) Objets matériels fabriqués et utilisés par l'homme Tables connues C2 -L'enseignant Réaliser des modèles numériques des solutions. F -Sélection de certaines solutions conceptions, Les croyances de des élèves Théorie/Modèle Objets naturalisés (pas de conscience du processus de conception). Relations entre théorie/modèles et objets/évènements) Objets/événements Utilité du meuble « table » Représentations de tables C1 -L'enseignant présente la tâche 1 : Réaliser des esquisses (dessin à la main) des solutions. C3 -L'enseignant Processus de conception conception et Relation forme, structure, matériaux. Représentation graphique ou modèle numérique des solutions proposées. Représentation de différentes solutions de tables possibles comme résultat d'un processus de conception. présente la tâche 3 : Hiérarchiser les solutions. C4 -L'enseignant Propriétés d'une table (stabilité, dimension, forme, variabilité) Objet technique « table » présente la tâche 4 : Argumenter le choix d'une solution. H -L'enseignant institutionnalise les connaissances. G -élèves et enseignant contrôle la validité des solutions au regard des contraintes du cahier des charges. D -Élaboration des solutions à partir des connaissances disponibles chez les élèves E -L'enseignant contrôle la validité des solutions en cours d'élaboration fort guidage (Brandt-Pomares & Boilevin, 2009). Le professeur ne s'efforce pas de conduire les élèves vers « la » solution qu'il a préalablement définie réduisant ainsi les possibilités d'investigation de la part des élèves. Tout en contrôlant le bon déroulement du dispositif et le fait que les élèves exécutent les tâches prévues, le travail de l'enseignant est très différent, il ne consiste plus « à aplanir les difficultés en les anticipant autant que faire ce peut et en transférant au dispositif de guidage de l'action le soin de les éviter » (Amigues & Ginestié, 1991). Au contraire, les élèves ont à se poser des questions et à y répondre par eux-mêmes. Ils ne sont plus cantonnés au rôle d'exécutant. Le problème posé (problème ouvert) et les moyens donnés aux élèves (outils graphiques traditionnel et CAO) permettent de favoriser une recherche de solution qui ne se limite pas à la solution du professeur. La variété des solutions qu'ils proposent est un indicateur de leur démarche. Le tableau 4 montre que les élèves qui réalisent des esquisses à la main élaborent quantitativement plus de solutions (222) que les élèves qui utilisent la CAO (81). Concernant le nombre de Tableau 5. Ainsi dans le dispositif d'enseignement Google SketchUp est un outil, comme le traditionnellement proposées aux élèves qui relèvent la plupart du temps d'un Total 94 60 24 303 Le dispositif rompt avec le caractère très stéréotypé des tâches numériques 68 3 2 81 Modèles présente la tâche 2 : analyse permettant de mesurer leur diversité. (Laisney, 2012). « à la main » 26 57 22 222 Esquisses numériques réalisés avec Google SketchUp) ont notamment fait l'objet d'une 1 2 Total + de 2 productions des élèves (243 esquisses réalisées à la main et 112 fichiers utilisation facilement appropriés le dispositif et l'ont mis en oeuvre dans leurs classes. Les 5. Conclusion Tableau 4. Nombre de productions et de solutions élaborées Articulation Conception créative B -L'enseignant définit une succession de tâche que les élèves devront réaliser pour atteindre le but par quatre enseignants de technologie auprès de 200 élèves de 5 e de quatre collèges, soit 10 classes, de l'académie d'Aix-Marseille. Les enseignants se sont Modèles Total 355 303 658 du dispositif d'enseignement proposé. numériques 112 81 193 de la capacité des élèves à concevoir, capacité qui est l'enjeu d'apprentissage tous les jours Les connaissances à enseigner Le savoir de référence A -L'enseignant définit de façon explicite le but à atteindre : élaborer des solutions à un problème technique 4. Mise en oeuvre du dispositif Le dispositif a fait l'objet d'une mise en oeuvre de décembre 2010 à février 2011, Productions Solutions Total « à la main » 243 222 465 produites constituent le fruit de leur investigation. Ce sont autant d'indicateurs Esquisses L'engagement des élèves dans les tâches proposées et la variété des solutions Annexe 1
	solutions variées, leur analyse montre que les élèves élaborent très dessin à la main, au service du processus de conception.
	Figure 5. Modélisation des actions réalisées au cours du dispositif d'enseignement majoritairement une seule solution avec la CAO pendant que les élèves en Le but principal recherché dans l'élaboration du dispositif est l'aménagement du
	élaborent majoritairement deux et plus (tableau 5) à la main. milieu de travail des élèves de telle sorte qu'ils soient mis en situation de
	résoudre par eux-mêmes le problème qui leur est soumis, qu'ils soient en
	mesure de contrôler leur action et leur stratégie de progression dans la tâche.

Dans l'enseignement de la conception, l'usage d'un outil informatisé n'est pas toujours au service de l'activité dans le sens où celui-ci fait souvent l'objet luimême d'un apprentissage indépendant de l'activité de conception et par lequel il faut d'abord passer. Cette phase d'apprentissage du logiciel réduit d'autant l'activité de conception elle-même. C'est pourquoi le choix de Google SketchUp a été retenu pour l'enseignement. Il rejoint celui des architectes qui l'utilisent pour ses « possibilités de modification rapide du modèle en temps réel devant le client »

[START_REF] Huot | Une nouvelle approche pour la conception créative : De l'interprétation du dessin à main levée au prototypage d'interactions nonstandard[END_REF]

. Les fonctionnalités inspirées du dessin traditionnel plus « intuitives » que d'autres logiciels offrent un apprentissage rapide. Basé sur une manipulation directe du modèle, masquant l'aspect géométrique de la modélisation traditionnelle, le logiciel permet de modeler interactivement les formes à l'aide d'une seule fonctionnalité permettant de les pousser, les tirer, etc. Avec

Créer une table basse de salon

  Un célèbre détaillant de mobilier vous demande de créer une nouvelle table basse de salon pour développer sa gamme de produit. La gamme existante :

Table basse 1

 basse Table basse 2 Table basse 3

Le cahier des charges est le suivant :

-Usage intérieur (table basse pour salon) -Utilisation de matériaux innovants, de préférence translucides (verre, résines translucides). -Le coût de revient n'est pas pris en compte -Formes : o Design contemporain o Le plateau supérieur de la table basse doit être plat o La table doit être stable