Alban Mbina Mbina
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Guy Martial Nkiet
email: bgnkiet@hotmail.com

Fulgence Eyi-Obiang
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Variable selection in discriminant analysis for mixed variables and several groups

Keywords: Variable selection, Discriminant analysis, Classification, Mixed variables MSC:62H30, 62H12

We propose a method for variable selection in discriminant analysis with mixed categorical and continuous variables. This method is based on a criterion that permits to reduce the variable selection problem to a problem of estimating suitable permutation and dimensionality. Then, estimators for these parameters are proposed and the resulting method for selecting variables is shown to be consistent. A simulation study that permits to study several poperties of the proposed approach and to compare it with an existing method is given.

Introduction

The problem of classifying an observation into one of several classes in the basis of data consisting of both continuous and categorical variables is an old problem that have been tackled under different forms in the literature. The earliest works in this field go back to Chang and Afifi (1974) and [START_REF] Krzanowski | Discrimination and classification using both binary and continuous variables[END_REF] who used the location model introduced by [START_REF] Olkin | Multivariate correlation models with mixed discrete and continuous variables[END_REF] to form a classification rule in the context of discriminant analysis involving two groups. More recent work has focused on defining distance measures between populations or making inference on them (e.g., [START_REF] Krzanowski | Stepwise location model choice in mixed variable discrimination[END_REF][START_REF] Krzanowski | On the null distribution of distance between two groups, using mixed continuous and categorical variables[END_REF], Bar-Hen and [START_REF] Bar-Hen | Generalization of the Mahalanobis distance in the mixed case[END_REF][START_REF] Bedrick | Estimating the Mahalanobis distance from mixed continuous and discrete data[END_REF], de Leon and Carrière 2005). One of the most important problem in the context described above is the problem of selecting the appropriate categorical and/or continuous variables to use for discrimination. Indeed, it is well recognized that using fewer variables improve classification performance and permits to avoid estimation problems (e.g. [START_REF] Mclachlan | Discriminant analysis and statistical pattern recognition[END_REF][START_REF] Mahat | Variable selection in discriminant analysis based on the location model for mixed variables[END_REF]). There are several works dealing with this problem, mainly in the context of location model. Some of these works are based on the use of distances between populations for determining the most predictive variables [START_REF] Krzanowski | Stepwise location model choice in mixed variable discrimination[END_REF][START_REF] Daudin | Selection of variables in mixed-variable discriminant analysis[END_REF], Bar-Hen and Daudin 1995, Daudin and Bar-Hen 1999). Krusinska (1989aKrusinska ( , 1989b[START_REF] Krusinska | Suitable location model selection in the terminology of graphical models[END_REF]) used methods based on the percentage of missclassification, Hotelling's T 2 and graphical models. More recently, [START_REF] Mahat | Variable selection in discriminant analysis based on the location model for mixed variables[END_REF] proposed a method based on distance between groups as measured by smoothed Kullback-Leiler divergence. All these works consider the case of two groups and, to the best of our knowledge, the case of more than two groups have not yet been considered for variable selection purpose. So, it is of great interest to introduce a method that can be used when the number of groups is greater than two. Such an approach have been proposed recently in [START_REF] Nkiet | Direct variable selection for discrimination among several groups[END_REF] for the case of continuous variables only. It is based on a criterion that permits to characterize the set of variables that are appropriate for discrimination by means of two parameters, so that the variable selection problem reduces to that of estimating these parameters.

In this paper, we extend the approach of [START_REF] Nkiet | Direct variable selection for discrimination among several groups[END_REF] to the case of mixed variables. The resulting method has two advantages; first, it can be used when the number of groups is greater than two, and secondly it just require that the random vector consisting of the continuous variables has finite fourth order moment. No assumption on the distribution of this random vector is needed and, therefore, we do not suppose that the location model holds. In section 2, we introduce a criterion by means of which the set of variables to be estimated is characterized by means of suitable permutation and dimensionality. Then, estimating this criterion is tackled in section 3. More precisely, empirical estimators as well as non-parametric smoothing procedure are used for defining an estimator of the criterion. In the first case, we obtain properties of the resulting estimator that permits to obtain its asymptotic distribution. Section 4 is devoted to the definition of our proposal for variable selection. Consistency of the method, when empirical estimators are used, is then proved. Section 5 is devoted to the presentation of numerical experiments made in order to study several properties of the proposal and to compare it with an existing method. The first issue that is adressed concerns the impact of chosing penalty functions that are involved in our procedure, and that of the type of estimators that is used. The results reveal low impact on the performance of the proposed method. Since this method depends on two real parameters, it is of interest to study their influence on its performance and, consequently, to define a strategy that permits to chose optimal values for them. The simulation results clearly show their impact on the performance, and we propose a method based on leave-one-out cross validation for obtaining optimal results. When using this appoach, the obtained results show that the proposal is competitive with that of [START_REF] Mahat | Variable selection in discriminant analysis based on the location model for mixed variables[END_REF]. All the proofs are given in Section 6.

Statement of the problem

Letting (Ω, A, P ) be a probability space, we consider random vectors

X = X (1) , • • • , X (p) T and Y = Y (1) , • • • , Y (d) T
defined on this probability space and valued into R p and {0, 1} d respectively. The r.v. X consists of continuous random variables whereas Y consists of binary random variables. As usual, Y may be associated to a multinomial random variable by considering

U = 1 + d j=1 Y (j) 2 j-1 which is valued into {1, • • • , M }, where M = 2 d .
Suppose that the observations of (X, Y ) come from q groups π 1 , • • • π q (with q ≥ 2) characterized by a random variable Z valued into {1, • • • , q}; this means that (X, Y ) belongs to π if, and only if, one has Z = . Such framework has been considered in the literature for classification purpose. Indeed, for the case of two groups, that is when q = 2, Krzanowski (1975) proposed a classification rule based on the location model under the assumption that the distribution of X, conditionally to U = m and Z = , is the multivariate normal distribution N (µ m , Σ). This rule allocates a future observation (x, y) of (X, Y ) to π 1 if

(µ m1 -µ m2 ) T Σ -1 x - 1 2 (µ m1 + µ m2 ) ≥ log p m2 p m1 + log(α), (1)
where m = 1 + d j=1 y (j) 2 j-1 , p m = P (U = m|Z = ) and α is a constant that depends on costs due to missclassification and prior probabilities for the two groups. The case where q > 2 was considered by de [START_REF] Leon | Classification with discrete and continuous variables via general miseddata models[END_REF] in the context of general mixed-data models. In this case, the optimum rule classifies an observation (x, y) as belonging to

π * if δ ( * ) m (x, y) = max =1,••• ,q δ ( ) m (x, y) (2)
where

δ ( ) m (x, y) = (µ m ) T Σ -1 x - 1 2 (µ m ) T Σ -1 µ m + log(p m ) + log(β ),
with β = P (Z = ). As it can be seen, these rules involve observations of all the variables X (j) in X. Nevertheless, as it is well recognized (see, e.g., [START_REF] Mclachlan | Discriminant analysis and statistical pattern recognition[END_REF][START_REF] Mahat | Variable selection in discriminant analysis based on the location model for mixed variables[END_REF]), using fewer variables improve classification performance. So, it is of real interest to perform selection of the X (j) 's from a sample of (X, Y, Z). For doing that, we extend to the case of mixed variables an approach used in Nkiet (2012) for the case of continuous variables only. This approach first consists in introducing a criterion by means of which the set of variables that are adequate for discrimination is characterized. From now on, we assume that E X 4 < +∞, where • denotes the usual Euclidean norm of R p , and for any m ∈ {1, • • • , M } we consider

p m = P (U = m), µ m = E (X|U = m) and µ ,m = E (X|Z = , U = m) .
We denote by ⊗ the tensor product defined as follows: for any (u, v) ∈ (R p ) 2 , u ⊗ v is the linear map h ∈ R p → u, h v, where •, • > is the usual Euclidean inner product of R p . Then, we consider the conditional covariance operator given by

V m = E ((X -µ m ) ⊗ (X -µ m ) |U = m)
and assume that it is invertible. Let us put I := {1, • • • , p} and, for any subset K of I:

Q K|m := A * K (A K V m A * K ) -1 A K (3)
where A K denotes the projector:

x = (x i ) i∈I ∈ R p → x K = (x i ) i∈K ∈ R card(K) .
Then, putting

p |m = P (Z = |U = m),
we introduce

ξ K|m = q =1 p 2 |m I R p -V m Q K|m (µ ,m -µ m ) 2 , (4)
where I R p is the identity operator of R p . This leads us to consider the criterion

ξ K = M m=1 p 2 m ξ K|m (5)
by means of which we will try to characterize the subset of variables that is adequate for discrimination. For defining this subset of I, let us keep in mind that if a variable X (j) is not adequate for discrimination, then it is the case whatever Y . So, denoting by I 0,m the subset of I consisting of continuous variables in X that are not adequate for discrimination when U = m, we can consider the subset

I 0 = M m=1 I 0,m
as the subset of variables that are not adequate for discrimination in the mixed case. Therefore, our problem reduces to the problem of estimating the subset I 1 given by

I 1 = I -I 0 = M m=1 I 1,m
where I 1,m = I -I 0,m . As it was done in Nkiet (2012) for the case of continuous variables only, an explicit expression of I 1,m can be obtained by using results from [START_REF] Mckay | Simultaneous procedures for variable selection in multiple discriminant analysis[END_REF]. Indeed, let

λ 1,m ≥ λ 2,m ≥ • • • ≥ λ p,m denote the eigenvalues of T m = V -1 m B m
where B m is the between groups covariance operator conditionally to U = m given by

B m = q =1 p |m (µ ,m -µ m ) ⊗ (µ ,m -µ m ),
and let

υ m i = (υ m i1 , • • • , υ m ip ) T (i = 1, • • • , p) be an eigenvector of T m associated with λ i,m . Then, I 1,m = {k ∈ I|∃i ∈ {1, • • • , r m }, υ m ik = 0}
. Now, we are able to give a characterization of I 1 by means of the criterion given in [START_REF] Daudin | Selection of variables in mixed-variable discriminant analysis[END_REF]. Proposition 1. For K ⊂ I, we have ξ K = 0 if and only if I 1 ⊂ K.

From this proposition, it is easily seen that, putting K i = I -{i}, one has the equivalence: ξ Ki > 0 ⇔ i ∈ I 1 . Now, let σ be the permutation of I such that:

(A1) ξ Kσ(1) ≥ ξ Kσ(2) ≥ • • • ≥ ξ Kσ(p) ; (A2) ξ Kσ(i) = ξ Kσ(j) and i < j imply σ (i) < σ (j) .
Since I 1 is a non-empty set, there exists an integer s ∈ I which is equal to p when I 1 = I, and satisfying

ξ Kσ(1) ≥ • • • ≥ ξ Kσ(s) > ξ Kσ(s+1) = • • • = ξ Kσ(p) = 0 when I 1 = I. Hence I 1 = {σ (i) ; 1 ≤ i ≤ s} .
Therefore, estimating I 1 reduces to estimating the two parameters σ and s. For doing that, we first need to consider an estimator of the criterion given in (5).

3 Estimating the criterion

Let {(X i , Y i , Z i )} 1≤i≤n be an i.i.d. sample of (X, Y, Z) with X i = (X (1)
i , • • • , X (p) i ) T and Y i = (Y (1)
i , • • • , Y (d) i ) T ;
we put

U i = 1 + d j=1 Y (j) i 2 j-1 .
In this section, we define estimators for the criterion given in ( 5) by estimating the parameters involved in its definiion. First, empirical estimators are introduced and properties of the resulted estimator of the criterion are given, and secondly we consider estimators obtained by using non-parametric smoothing procedures as in [START_REF] Mahat | Variable selection in discriminant analysis based on the location model for mixed variables[END_REF].

Empirical estimators

Putting

N (n) m = n i=1 1 {Ui=m} and N (n) ,m = n i=1 1 {Zi= ,Ui=m} ,
we estimate p m , p |m , µ m , µ ,m and V m respectively by:

p (n) m = N (n) m n , p (n) |m = N (n) ,m N (n) m , µ (n) m = 1 N (n) m n i=1 1 {Ui=m} X i , µ (n) ,m = 1 N (n) ,m n i=1 1 {Zi= ,Ui=m} X i and V (n) m = 1 N (n) m n i=1 1 {Ui=m} (X i -µ (n) m ) ⊗ (X i -µ (n) m ).
Then, considering

Q (n) K|m = A * K A K V (n) m A * K -1 A K and ξ (n) K|m = q =1 ( p (n) |m ) 2 I R p -V (n) m Q (n) K|m µ (n) ,m -µ (n) m 2 ,
we take as estimator of ξ K the random variable ξ

(n)

K defined by:

ξ (n) K = M m=1 p (n) m 2 ξ (n) K|m . (6)
Now, we will give a result which establishes strong consistency for ξ

(n) K and will be useful for determining its asymptotic distribution and consistency of the proposed method for selecting variables. Let us consider the random variables

X =      1 {Z=1,U =1} X . . . 1 {Z=1,U =M } X 1 {Z=2,U =1} X . . . 1 {Z=2,U =M } X . . . . . . . . . 1 {Z=q,U =1} X . . . 1 {Z=q,U =M } X      , X i =      1 {Zi=1,Ui=1} X i . . . 1 {Zi=1,Ui=M } X i 1 {Zi=2,Ui=1} X i . . . 1 {Zi=2,Ui=M } X i . . . . . . . . . 1 {Zi=q,Ui=1} X i . . . 1 {Zi=q,Ui=M } X i     
valued into the space M qp,M (R) of pq × M matrices. We also introduce the random vectors

Y =      1 {U =1} X 1 {U =2} X . . . 1 {U =M } X      , Y i =      1 {Ui=1} X i 1 {Ui=2} X i . . . 1 {Ui=M } X i      , Z =      1 {U =1} 1 {U =2} . . . 1 {U =M }      , Z i =      1 {Ui=1} 1 {Ui=2} . . . 1 {Ui=M }     
, the random variables valued into M q,M (R),

U =      1 {Z=1,U =1} . . . 1 {Z=1,U =M } 1 {Z=2,U =1} . . . 1 {Z=2,U =M } . . . . . . . . . 1 {Z=q,U =1} . . . 1 {Z=q,U =M }      , U i =      1 {Zi=1,Ui=1} . . . 1 {Zi=1,Ui=M } 1 {Zi=2,Ui=1} . . . 1 {Zi=2,Ui=M } . . . . . . . . . 1 {Zi=q,Ui=1} . . . 1 {Zi=q,Ui=M }     
, and the random variables

V =      1 {U =1} X ⊗ X 1 {U =2} X ⊗ X . . . 1 {U =M } X ⊗ X      , V i =      1 {Ui=1} X i ⊗ X i 1 {Ui=2} X i ⊗ X i . . . 1 {Ui=M } X i ⊗ X i      valued into (L(R p )) M
, where L(R p ) denotes the space of operators from R p to itself. Further, we consider the random variables

W = (X , Y, Z, U, V), W i = (X i , Y i , Z i , U i , V i )
valued into the Euclidean vector space

E = M qp,M (R) × R pM × R M × M q,M (R) × L(R p ) M ;
then, we put

W (n) = √ n 1 n n i=1 W i -E(W) . (7)
Note that, for any (a, b, c, d, e) ∈ E, we can write:

a =      a 1,1 a 1,2 . . . a 1,M a 2,1 a 2,2 . . . a 2,M . . . . . . . . . . . . a q,1 a q,2 . . . a q,M      , where a ,m ∈ R p , 1 ≤ ≤ q, 1 ≤ m ≤ M, b =      b 1 b 2 . . . b M      , where b m ∈ R p , 1 ≤ m ≤ M, c =      c 1 c 2 . . . c M      , where c m ∈ R, 1 ≤ m ≤ M, d =      d 1,1 d 1,2 . . . d 1,M d 2,1 d 2,2 . . . d 2,M . . . . . . . . . . . . d q,1 d q,2 . . . d q,M      , where c ,m ∈ R, 1 ≤ ≤ q, 1 ≤ m ≤ M, e =      e 1 e 2 . . . e M     
, where e m ∈ L(R p ), 1 ≤ m ≤ M.

We introduce the projectors

π m 1 : (a, b, c, d, e) ∈ E → a ,m ∈ R p , π m 2 : (a, b, c, d, e) ∈ E → b m ∈ R p , π m 3 : (a, b, c, d, e) ∈ E → c m ∈ R, π m 4 : (a, b, c, d, e) ∈ E → d ,m ∈ R, π m 5 : (a, b, c, d, e) ∈ E → e m ∈ L(R p ), the vector ∆ ,K|m = I R p -V m Q K|m (µ ,m -µ m )
and the operators Λ K|m , Φ ,K|m and Ψ ,K|m defined on E by

Λ K|m (T ) = 2p m π m 3 (T ) ξ K|m , Φ ,K|m (T ) = p -1 m π m 4 (T ) -π m 3 (T ) p |m ∆ ,K|m , and
Ψ ,K|m (T ) = p -1 m (I R p -V m Q K,m ) p -1 |m π m 1 (T ) -π m 4 (T )µ ,m -π m 2 (T ) + π m 3 (T )µ m -(π m 5 (T ) -π m 3 (T ) (V m + µ m ⊗ µ m )) Q K|m (µ ,m -µ m ) + ((π m 2 (T ) -π m 3 (T )µ m ) ⊗ µ m ) Q K|m (µ ,m -µ m ) + (µ m ⊗ (π m 2 (T ) -π m 3 (T )µ m )) Q K|m (µ ,m -µ m ) .
Then, we obtain the following theorem that gives consistency for ξ

(n)
K and a results that permits to derive its asymptotic distribution, and that is useful for proving consistency of the proposed method for variable selection.

Theorem 1. For any subset K of I,

(i) ξ (n) K converges almost surely to ξ K as n → +∞. (ii) n ξ (n) K = M m=1 √ n Λ (n) K|m ( W (n) ) + M m=1 q =1 p m Φ (n) ,K|m W (n) + p m p |m Ψ (n) ,K|m W (n) + √ n∆ ,K|m 2
where

Λ (n) K|m n∈N * , Φ (n)
,K|m n∈N * and Ψ

(n)

,K|m n∈N * are sequences of random operators that converge almost surely uniformly to Λ K|m , Φ ,K|m and Ψ ,K|m respectively.

Non-parametric smoothing procedure

As it is well known, empirical estimators could be not suitable, because many cell incidences could be very small or zero, so that corresponding estimates could be poor or non-existent (see [START_REF] Aspakourov | Non-parametric smoothing of the location model in mixed variables discrimination[END_REF]. To overcome these problems, we propose in this section a non-parametric smoothing procedure for estimating the criterion (5). This procedure is based on smoothing as it is done in Aspakourov and Krzanowki (2000) and [START_REF] Mahat | Variable selection in discriminant analysis based on the location model for mixed variables[END_REF]. Denote by D the dissimilarity defined on

{1, • • • , M } 2 by D(m, k) = x m -x k 2 ,
where, for any

k ∈ {1, • • • , M }, x k = x (1)
k , • • • , x (d) k
p (n) m = M j=1 w(m, j) N (n) j M k=1 M j=1 w(m, j) N (n) j , p (n) |m = M j=1 w(m, j) N (n) ,j p (n) m M k=1 M j=1 w(m, j) N (n) ,j , µ (n) m =    M j=1 w(m, j) N (n) j    -1 M j=1 w(m, j) n n=1 X i 1 {Ui=j} , µ (n) ,m =    M j=1 w(m, j) N (n) ,j    -1 M j=1 w(m, j) n n=1 X i 1 {Zi= ,Ui=j} and
V (n) m =    M j=1 w(m, j) N (n) j    -1 M j=1 w(m, j) n n=1 1 {Ui=j} (X i -µ (n) m ) ⊗ (X i -µ (n) m ) .
Then, we obtain an estimator ξ

(n)
K of the criterion by replacing in (3), ( 4) and ( 5) the parameters p m , p |m , µ m , µ ,m and V m by their estimators given above.

Selection of variables

Estimation of I 1 reduces to that of σ and s. In this section, estimators for these two parameters are proposed. When empirical estimators are used, we then obtain consistency properties for these estimators.

Estimation of σ and s

Let us consider a sequence (f n ) n∈N * of functions from I to R + such that f n ∼ n -α f where α ∈ ]0, 1/2[ and f is a strictly decreasing function from I to R + . Then, recalling that K i = I -{i}, we put

φ (n) i = ξ (n) Ki + f n (i) (i ∈ I)
and we take as estimator of σ the random permutation σ (n) of I such that

φ (n) σ (n) (1) ≥ φ (n) σ (n) (2) ≥ • • • ≥ φ (n) σ (n) (p) and if φ (n) σ (n) (i) = φ (n) σ (n) (j) with i < j, then σ (n) (i) < σ (n) (j)
. Furthermore, we consider the random set J

(n) i = σ (n) (j) ; 1 ≤ j ≤ i and the random variable ψ (n) i = ξ (n) J (n) i + g n σ (n) (i) (i ∈ I)
where (g n ) n∈N * is a sequence of functions from I to R + such that g n ∼ n -β g where β ∈ ]0, 1[ and g is a strictly increasing function. Then, we take as estimator of s the random variable

s (n) = min i ∈ I / ψ (n) i = min j∈I ψ (n) j
.

The variable selection is achieved by taking the random set

I (n) 1 = σ (n) (i) ; 1 ≤ i ≤ s (n)
as estimator of I 1 .

Consistency

When the empirical estimators defined in section 3.1 are considerd, we establish consistency for the preceding estimators. We first give a proposition that is useful for proving the consistency theorem. There exist t ∈ I and

(m 1 , • • • , m t ) ∈ I t such that m 1 + • • • + m t = p, and ξ K σ(1) = • • • = ξ K σ(m 1 ) > ξ K σ(m 1 +1) = • • • = ξ K σ(m 1 +m 2 ) > • • • • • • > ξ K σ(m 1 +•••+m t-1 +1) = • • • = ξ K σ(m 1 +•••+m t ) . Then considering the set E = { ∈ N * ; 1 ≤ ≤ t, m ≥ 2}
and putting m 0 := 0 and F :=

-1 k=0 m k + 1, • • • , k=0 m k -1 ( ∈ {1, • • • , t}), we have: Proposition 2. If E = ∅, then for any ∈ E and any i ∈ F , the sequence n α ξ (n) K σ(i) -ξ (n) K σ(i+1) converges in probability to 0, as n → +∞.
From a proof that uses the preceding proposition and that is similar to the proof of Theorem 3.1 in Nkiet (2012), we obtain the consistency theorem given below.

Theorem 2. We have:

(i)

lim n→+∞ P σ (n) = σ = 1; (ii) s (n) converges in probability to s, as n → +∞.
As a consequence of this theorem, we easily obtain:

lim n→+∞ P I (n) 1 = I 1 = 1.
This shows the consistency of our method for selecting variables in discriminant analysis with mixed variables.

Numerical experiments

In this section, we report results of simulations made for studying properties of the proposed method. Several issues are adressed: the influence of the penalty functions, the type of estimator and the parameters α and β on the performance of the procedure, optimal choice of these parameters and comparison with the method proposed in [START_REF] Mahat | Variable selection in discriminant analysis based on the location model for mixed variables[END_REF]. Since this latter method consider only the case of two groups, we have placed ourselves in this framework although our method can be used for more than two groups. Each data set was generated as follows: X i is generated from a multivariate normal distribution in R 5 with mean µ and covariance matrix given by Γ = 1 2 (I 5 + J 5 ), where I 5 is the 5-dimensional identity matrix and J 5 is the 5 × 5 matrix whose elements are all equal to 1; U (i) is generated from the uniform distribution in {1, • • • , 8}, that is equivalent to generate Y i as random vector with 3 coordinates being binary random variables. Two groups of data was generated as indicated above with µ = µ 1 = (0, 0, 0, 0, 0) T for the first group (for which Z i = 1), and µ = µ 2 = (1/4, 0, 1/2, 0, 3/4) T for the second group (for which Z i = 2) . Our simulated data is based on two independent data sets: training data and test data, each with sample size n = 100, 200, 300, 400, 500 and with size n 1 = n 2 = n/2 for the two groups. The training data is used for selecting variables and the test data is used for computing the classification capacity (CC), that is the proportion of correct classification (obtained by using the rule (1)) after variable selection. The average of CC over 1000 independent replications is used for measuring the performance of the methods.

Influence of penalty functions and type of estimator

In order to evaluate the impact of penalty functions on the performance of our method we took

f n (i) = n -1/4 /h k (i) and g n (i) = n -1/4 h k (i), k = 1, • • • , 13, with h 1 (x) = x, h 2 (x) = x 0.1 , h 3 (x) = x 0.5 , h 4 (x) = x 0.9 , h 5 (x) = x 10 , h 6 (x) = ln(x), h 7 (x) = ln(x) 0.1 , h 8 (x) = ln(x) 0.5 , h 9 (x) = ln(x) 0.9 , h 10 (x) = x ln(x), h 11 (x) = (x ln(x)) 0.1 , h 12 (x) = (x ln(x)) 0.
5 , h 13 (x) = (x ln(x)) 0.9 . For each of these functions, we computed classifcation capacity by using both empirical estimators and non-parametric smoothing procedure introduced in section 3.2. For this latter type of estimator, the smoothing parameter λ was computed from a cross validation method on the training sample in order to maximize classification capacity. The results are given in Table 1. Comparing the results it is observed that there is no significant difference between the results obtained for the different functions, and also between the two types of estimators. So, it seems that chosing penalty functions have no influence on the performance of our method.

Influence of parameters α and β

Since tuning parameters may have impact on the performance of a statistical procedure, it is important to study their influence. That is why numerical experiments was made in order to appreciate the influence of α and β on the performance of our method. For doing that, we made simulations as indicated above by taking

f n (i) = n -α /h 7 (i) and g n (i) = n -β h 7 (i) (8)
with α = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.45, and β varying in [0, 1[. The results are reported in Fig. 1 (a)-(c) and show that the parameters α and β clearly have impact on the performance of the method. Indeed, the obtained curves vary as α varies. Further, for a fixed α, CC is not constant as β varies in [0, 1[. Finally, choosing the proper values for α and β is an important issue to address in practice. An approach for doing that via cross-model validation is described in the following section.

Chosing optimal (α, β)

We propose a method for making an optimal choice of (α, β) based on leave-one-out cross validation used in order to minimize classification capacity. For each k ∈ {1, • • • , n}, after removing the k-th observation for X and Y in the training sample our method for selecting variable is applied on this remaining sample with a given value for (α, β) and penalty functions taken as in [START_REF] Leon | Classification with discrete and continuous variables via general miseddata models[END_REF]. Then, the observation that have been removed is allocated to a group g α,β (k) in {1, • • • , q} by using the rule given in (1) (for the two groups case) or in (2) (for the case of more than two groups) based on the variables that have been selected in the previous step. Then, we consider

= n -1/4 /h k and g n = n -1/4 h k , k = 1, • • • ,
CV (α, β) = 1 n n k=1 1 {Z k = g α,β (k)}
and we take as optimal value for (α, β) the pair (α opt , β opt ) defined by:

(α opt , β opt ) = argmax (α,β)∈]0,1/2[×]0,1[ CV (α, β). (9)

CC

Comparison with the method of Mahat et al. (2007)

For each of the 1000 independent replications:

(i) the training sample is used for selecting variables from our method and that of [START_REF] Mahat | Variable selection in discriminant analysis based on the location model for mixed variables[END_REF]; our method is used with penalty functions given in [START_REF] Leon | Classification with discrete and continuous variables via general miseddata models[END_REF] and optimal (α, β) obtained by using leave-one-out cross validation as indicated in ( 9);

(ii) the test sample is then used for computing classification capacity for the two methods.

The average of classification capacity over the 1000 replications is then computed. The results, given in Table 2, do not show a superiority of one of the methods compared to the other.

6 Proofs

Proof of Proposition 1

For any fixed m ∈ {1, • • • , M }, we denote by P {U =m} the conditional probability to the event {U = m}. Then applying Theorem 2.1 of [START_REF] Nkiet | Direct variable selection for discrimination among several groups[END_REF] with the probability space Ω, A, P {U =m} , we obtain the equivalence: ξ K|m = 0 ⇔ I 1,m ⊂ K. Thus:

ξ K = 0 ⇔ M m=1 p 2 m ξ K|m = 0 ⇔ ∀m ∈ {1, • • • , M } , ξ K|m = 0 ⇔ ∀m ∈ {1, • • • , M } , I 1,m ⊂ K ⇔ M m=1 I 1,m ⊂ K.

Some useful results

In this section, we give two lemmas that are useful for proving Theorem 1.

Lemma 1. We have:

(i) √ n p (n) m -p m = π m 3 ( W (n) ); (ii) √ n p (n) |m -p |m = p -1 m π m 4 W (n) -π m 3 W (n) p (n) |m ; (iii) √ n µ (n) m -µ m = p -1 m π m 2 ( W (n) ) -π m 3 ( W (n) ) µ (n) m ; (iv) √ n µ (n) ,m -µ ,m = p -1 m p -1 |m π m 1 ( W (n) ) -π m 4 ( W (n) ) µ (n) ,m ;. (v) √ n V (n) m -V m = p -1 m π m 5 W (n) -π m 3 W (n) ( V (n) m + µ (n) m ⊗ µ (n) m ) -p -1 m π m 2 ( W (n) ) -π m 3 ( W (n) ) µ (n) m ⊗ µ (n) m + µ m ⊗ π m 2 ( W (n) ) -π m 3 ( W (n) ) µ (n) m .
Proof. (i). Clearly,

π m 3 W (n) = √ n 1 n n i=1 1 {Ui=m} -E(1 {U =m} ) = √ n p (n) m -p m .
(ii).

π m 4 W (n) = √ n 1 n n i=1 1 {Zi= , Ui=m} -E(1 {Z= , U =m} ) = √ n N (n) ,m n -P (Z = , U = m) = √ n p (n) m p (n) |m -p m p |m .
Further,

√ n p (n) m p (n) |m -p m p |m = √ n p (n) m -p m p (n) |m + p m √ n p (n) |m -p |m = π m 3 W (n) p (n) |m + p m √ n p (n) |m -p |m . Hence √ n p (n) |m -p |m = p -1 m π m 4 W (n) -π m 3 W (n) p (n)
|m .

(iii).

π m 2 W (n) = √ n 1 n n i=1 1 {Ui=m} X i -E(1 {U =m} X) = √ n p (n) m µ (n) m -p m µ m = √ n p (n) m -p m µ (n) m + p m √ n µ (n) m -µ m = π m 3 W (n) µ (n) m + p m √ n µ (n) m -µ m ) . Hence √ n( µ (n) m -µ m ) = p -1 m π m 2 W (n) -π m 3 W (n) µ (n) m .
(iv).

π m 1 W (n) = √ n 1 n n i=1 1 {Zi= , Ui=m} X i -E(1 {Z= , U =m} X) = √ n p (n) ,m µ (n)
Moreover,

√ n p (n) ,m µ (n) ,m -p ,m µ ,m = √ n p (n) ,m -p ,m µ (n) ,m + p ,m √ n µ (n) ,m -µ ,m = π m 4 W (n) µ (n) ,m + p ,m √ n µ (n) ,m -µ ,m .
From this last equality and the second one in [START_REF] Krusinska | Two step semi-optimal branch and bound algorithm for feature selection in mixed variable discrimination[END_REF], we deduce that

√ n( µ (n) ,m -µ ,m ) = p -1 m p -1 |m π m 1 W (n) -π m 3 W (n) µ (n) ,m . (v). π m 5 W (n) = √ n 1 n n i=1 1 {Ui=m} X i ⊗ X i -E(1 {U =m} X ⊗ X) = √ n p (n) m 1 N (n) m n i=1 1 {Ui=m} X i ⊗ X i -p m E(X ⊗ X|U = m) = √ n p (n) m V (n) m + p (n) m µ (n) m ⊗ µ (n) m -p m V m -p m µ m ⊗ µ m = p m √ n( V (n) m -V m ) + (n)
K|m converges almost surely to ξ K|m as n → +∞;

(ii) n ξ (n) K|m = q =1 Φ (n) ,K|m ( W (n) ) + p |m Ψ (n) ,K|m ( W (n) ) + √ n∆ ,K|m 2 .
Proof. (i). First, using the strong law of large numbers (SLLN) we obtain the almost sure convergence of

N (n) m /n (resp. N (n) ,m /n) to p m (resp. p ,m = p m p |m ) as n → +∞. Then, as n → +∞, p (n)
|m converges almost surely (a.s.) to p |m and, by the preceding convergence properties and the SLLN,

µ (n) m = N (n) m n -1 1 n n i=1 1 {Ui=m} X i a.s. -→ p -1 m E 1 {U =m} X = µ m , µ (n) ,m = N (n) ,m n -1 1 n n i=1 1 {Zi= ,Ui=m} X i a.s. -→ p -1 ,m E 1 {Z= ,U =m} X = µ ,m and
V (n) m = N (n) m n -1 1 n n i=1 1 {Ui=m} X i ⊗ X i -µ (n) ⊗ µ (n) a.s. -→ p -1 m E 1 {U =m} X ⊗ X -µ ⊗ µ = V m .
Hence, Q

K|m converges almost surely to Q K|m as n → +∞ and, finally, we obtain from all these results the required almost sure convergence of ξ

(n) K|m to ξ K|m as n → +∞. (ii). Putting ∆ (n) ,K|m = I R p -V (n) m Q (n) K|m µ (n) ,m -µ (n) m , we have √ n ∆ (n) ,K|m = I R p -V m Q K|m √ n µ (n) ,m -µ ,m - √ n µ (n) m -µ m - √ n V (n) m -V m Q (n) K|m µ (n) ,m -µ (n) m + √ n∆ ,K|m .
Then, using Lemma 1, we obtain

√ n ∆ (n) ,K|m = Ψ (n) ,K|m W (n) + √ n∆ ,K|m , where Ψ (n)
,K|m is the random operator defined on E by

Ψ ,K|m (T ) = p -1 m I R p -V m Q K|m p -1 |m π m 1 (T ) -π m 4 (T ) µ (n) ,m -π m 2 (T ) + π m 3 (T ) µ (n) m -π m 5 (T ) -π m 3 (T ) V (n) m + µ (n) m ⊗ µ (n) m Q (n) K|m µ (n) ,m -µ (n) m + π m 2 (T ) -π m 3 (T ) µ (n) m ⊗ µ (n) m Q (n) K|m µ (n) ,m -µ (n) m + µ m ⊗ π m 2 (T ) -π m 3 (T ) µ (n) m Q (n) K|m µ (n) ,m -µ (n) m . Since n ξ (n) K|m = q =1 √ n p (n) |m -p |m ∆ (n) ,K|m R p + p |m √ n ∆ (n) ,K,m 2 ,
we deduce from what precedes and Lemma 1 that

n ξ (n) K|m = q =1 Φ (n) ,K,m W (n) + p |m Ψ (n) ,K,m W (n) + √ n∆ ,K|m 2
where Φ

,K|m is the random operator defined on E by

Φ (n) ,K,m (T ) = p -1 m π m 4 (T ) -π m 3 (T ) p (n) |m ∆ (n) ,K|m .
The almost sure convergences obtained in the proof of (i) imply that Φ

,K|m (resp. Ψ

,K|m ) converges almost surely uniformly to Φ ,K|m (resp.Ψ ,K|m ) as n → +∞.

Proof of Theorem 1

Using Assertion (i) of Lemma 2 we obviously obtain (i). For proving (ii), note that

p (n) m 2 ξ (n) K|m = p (n) m -p m p (n) m + p m ξ (n) K|m + p 2 m ξ (n) K|m .
Then, using Lemma 1 and Lemma 2, we obtain

n p (n) m 2 ξ (n) K|m = √ n Λ (n) K|m ( W (n) ) + q =1 p m Φ (n) ,K|m W (n) +p m p |m Ψ (n) ,K|m W (n) + √ n∆ ,K|m 2 ,
where Λ

(n)

K|m is the random operator defined on E by

Λ (n) K|m (T ) = π m 3 (T ) p (n) m + p m ξ (n) K|m .
Then from [START_REF] Daudin | Selection in discriminant analysis with continuous and discrete variables[END_REF], it follows:

n ξ (n) K = M m=1 √ n Λ (n) K|m ( W (n) ) + M m=1 q =1 p m Φ (n) ,K|m W (n) + p m p |m Ψ (n) ,K|m W (n) + √ n∆ ,K|m 2 .
The almost sure convergence of p K|m converges almost surely uniformly to Λ K|m , as n → +∞.

Proof of Proposition 2

From Theorem 1, we obtain:

n α ξ (n) K σ(i) -ξ (n) K σ(i+1) = A (n) i + B (n) i + C (n) i + D (n) i (11)
where

A (n) i = M m=1 n α-1/2 Λ (n) K σ(i) |m ( W (n) ) -Λ (n) K σ(i+1) |m ( W (n) ) , B (n) i = M m=1 q =1 p 2 m n α-1 Φ (n) ,K σ(i) |m ( W (n) ) 2 -Φ (n) ,K σ(i+1) |m ( W (n) ) 2 , C (n) i = M m=1 q =1 p 2 m p 2 |m n α-1 Ψ (n) ,K σ(i) |m ( W (n) ) + √ n∆ ,K σ(i) |m 2 -Ψ (n) ,K σ(i+1) |m ( W (n) ) + √ n∆ ,K σ(i+1) |m 2 , D (n) i = M m=1 q =1 2p 2 m p |m n α-1 Φ (n) ,K σ(i) |m ( W (n) ) Ψ (n) ,K σ(i) |m ( W (n) ) + √ n∆ ,K σ(i) |m -Φ (n) ,K σ(i+1) |m ( W (n) ) Ψ (n) ,K σ(i+1) |m ( W (n) ) + √ n∆ ,K σ(i+1) |m .
Denoting by . ∞ the usual uniform convergence norm defined by T ∞ = sup x =0 T x / x , and by • E the norm of E, we have

| A (n) i | ≤ n α-1/2 Λ (n) K σ(i) |m ∞ + Λ (n) K σ(i+1) |m ∞ W (n) E , (12)
| B (n) i | ≤ n α-1 Φ (n) ,K σ(i) |m 2 ∞ + Φ (n) ,K σ(i+1) |m 2 ∞ W (n) 2 E , (13)
| D (n) i | ≤ n α-1/2 W (n) E Φ (n) ,K σ(i) |m ∞ n -1/2 Ψ (n) ,K σ(i) |m ∞ W (n) E + ∆ ,K σ(i) |m + Φ (n) ,K σ(i+1) |m ∞ n -1/2 Ψ (n) ,K σ(i+1) |m ∞ W (n) E + ∆ ,K σ(i+1) |m . ( 14
)
Since i ∈ F , we have

∆ ,K σ(i) |m = ξ K σ(i) = ξ K σ(i+1) = ∆ ,K σ(i+1) |m
and, therefore,

Ψ (n) ,K σ(i) |m ( W (n) ) + √ n∆ ,K σ(i) |m 2 -Ψ (n) ,K σ(i+1) |m ( W (n) ) + √ n∆ ,K σ(i+1) |m 2 = Ψ (n) ,K σ(i) |m ( W (n) ) 2 -Ψ (n) ,K σ(i+1) |m ( W (n) ) 2 + 2 √ n < Ψ (n) ,K σ(i) |m ( W (n) ), ∆ ,K σ(i) |m > -2 √ n < Ψ (n) ,K σ(i+1) |m ( W (n) ), ∆ ,K σ(i+1) |m > . Hence | C (n) i | ≤ n α-1/2 W (n) E n -1/2 Ψ (n) ,K σ(i) |m 2 ∞ + Ψ (n) ,K σ(i+1) |m 2 ∞ W (n) E + 2 Ψ (n) ,K σ(i) |m ∞ ∆ ,K σ(i) |m + 2 Ψ (n) ,K σ(i+1) |m ∞ ∆ ,K σ(i+1) ,m . (15)
From (7) and the central limit theorem, W (n) converges in distribution, as n → +∞, to a random variable having a normal distribution in E. Then, the almost sure uniform convergences of Λ (n)

K σ(j) |m , Φ (n)
,K σ(j) |m and Ψ (n)

,K σ(j) |m (j ∈ I), and the inequality α < 1/2 permit to deduce from ( 12), ( 13), ( 14) and (15) that A (n) i converge in probability to 0, as n → +∞. Finally, the required result is obtained from [START_REF] Krusinska | Suitable location model selection in the terminology of graphical models[END_REF].

T∈k 2

 2 {0, 1} d is the vector of binary variables satisfying j-1 = k. Then, given a smoothing parameter λ ∈]0, 1[, we consider the weights w(m, k) = λ D(m,k) and estimate p m , p |m , µ m , µ ,m and V m respectively by:

  Fig.1-(a)

Figure 1 :

 1 Fig.1-(c)

  ,m -p ,m µ ,m , |m and p ,m = P (Z = , U = m) = p m p |m .

m

  to p m , as n → +∞, and Assertion (i) of Lemma 2 imply that Λ (n)

Table 1 :

 1 Average of classification capacity (CC) over 1000 replications with different penalty functions f n

		Empirical Estimator Non-parametric Estimator
	n = 100(n 1 =n 2 =50) Function	CC	CC
	h 1	0.60800	0.60800
	h 2	0.60900	0.60900
	h 3	0.61000	0.61000
	h 4	0.60900	0.60900
	h 5	0.60800	0.60800
	h 6	0.61028	0.61028
	h 7	0.60903	0.60903
	h 8	0.61066	0.61066
	h 9	0.60898	0.60898
	h 10	0.60842	0.60842
	h 11	0.60948	0.60948
	h 12	0.60915	0.60915
	h 13	0.60908	0.60908
	n = 300(n 1 =n 2 =150) Function
	h 1	0.56421	0.56424
	h 2	0.56328	0.56332
	h 3	0.56417	0.56417
	h 4	0.56346	0.56346
	h 5	0.56382	0.56382
	h 6	0.56343	0.56343
	h 7	0.56374	0.56374
	h 8	0.56354	0.56354
	h 9	0.56312	0.56312
	h 10	0.56379	0.56379
	h 11	0.56404	0.56404
	h 12	0.56345	0.56345
	h 13	0.56375	0.56375
	n = 500(n 1 =n 2 =250) Function
	h 1	0.54998	0.54998
	h 2	0.55047	0.55067
	h 3	0.55032	0.55039
	h 4	0.55049	0.55058
	h 5	0.54982	0.55982
	h 6	0.55058	0.55062
	h 7	0.55050	0.55054
	h 8	0.55008	0.55013
	h 9	0.54972	0.54934
	h 10	0.55013	0.55018
	h 11	0.55036	0.55037
	h 12	0.55046	0.55046
	h 13	0.55028	0.55028

Table 2 :

 2 n n 1 = n 2 Our method Average of classification capacity (CC) over 1000 replications.

	Mahat method


Palakiyèm Kpemoua
email: kpemouap@yahoo.fr

ANALYSE DE L'IMPACT DE L'

Keywords: Consommation d'énergie électrique, Croissance économique, test de causalité au sens de Granger. Classification JEL : C33, O13, O40 electricity consumption, Economic growth, Granger causality test. JEL Codes : Q50, H63, O49, C32

Cet article à pour objectifs d'examiner empiriquement l'impact de l'énergie électrique sur la croissance économique globale et sectorielle (agriculture, industrie, service) au Togo ainsi que l'existence d'une relation de causalité entre l'énergie électrique et la croissance économique globale et sectorielle à partir d'une fonction de production de type néoclassique augmentée, par l'estimateur du maximum de vraisemblance (ARMA) et du test de causalité de Granger. Les résultats indiquent l'existence de corrélations positives significatives entre la consommation d'électricité et la croissance économique globale et sectorielle (secondaire et tertiaire) à long terme. Les résultats du test de causalité de Granger montrent qu'à long terme, il existe une causalité bidirectionnelle entre la consommation d'électricité et la croissance économique globale, une causalité unidirectionnelle de la consommation d'électricité vers l'agriculture et les services, et de l'industrie vers la consommation d'électricité.

INTRODUCTION

Le rôle de l'énergie électrique dans le développement économique des nations n'est plus à démontrer. Depuis la révolution industrielle de 1780 basée sur l'utilisation de nouvelles sources d'énergie dont l'énergie électrique et, considérée comme la deuxième révolution dans le monde après celle de l'agriculture au néolithique, l'énergie électrique est entrain de changer toutes les habitudes de l'activité humaine.

Selon la littérature économique, la croissance économique d'un pays est souvent liée au niveau de consommation de l'énergie électrique. En effet, la disponibilité en quantité et en qualité de l'énergie électrique peut offrir de nouvelles opportunités d'emplois, une meilleure efficacité des investissements en matériels de production incorporant de nouvelles innovations, des progrès dans le domaine de la santé, l'éducation et un accès aux nouvelles technologies de l'information et de la communication, et par conséquent une augmentation de la croissance économique. Pour [START_REF] Rosenberg | The role of electricity in industrial development[END_REF], l'électrification dans l'industrie permet d'intensifier la production en l'automatisant, ce qui a pour effet d'améliorer la productivité des firmes. La croissance économique peut donc entraîner une amélioration du bien-être, et des niveaux élevés de revenus, qui incitent à l'acquisition à terme, des appareils électroménagers par la population. Ainsi, une augmentation simultanée de la population, du nombre d'équipements électriques, peut provoquer une forte demande de l'énergie électrique.

L'Afrique est considérée comme le continent le moins électrifié dans le monde. [START_REF] Wolde-Rufael | Electricity consumption and economic growth: a time series experience for 17 African countries[END_REF] estime le taux d'électrification en Afrique subsaharienne à seulement 26 %.

Pour [START_REF] Reinikka | Coping with poor public capital[END_REF], l'insuffisance de la production ou la mauvaise qualité des infrastructures provoquent des coupures d'électricité, qui sont préjudiciables à la production et ternissent également la réputation des entreprises ne pouvant livrer leurs commandes dans les délais. Ainsi, la déficience de l'approvisionnement d'électricité décourage d'une part les investisseurs potentiels dans les activités productrices dépendantes de l'énergie électrique et limite le développement industriel local. Pour répondre aux coupures de courant, certaines firmes se dotent alors de leur propre générateur. En réduisant les autres opportunités d'investissement, les coupures de courants réduisent aussi la productivité des firmes.

Le Togo, à l'instar des autres pays d'Afrique subsaharienne, connaît des difficultés d'accès à l'énergie électrique. En effet, selon les résultats du 4ème recensement général de la population et de l'habitat (RGPH) en 2010, près de 36.9 % des ménages togolais utilisent l'électricité de la communauté d'énergie électrique du Togo (CEET) comme mode principal d'éclairage surtout en milieu urbain où la proportion est de 73 % (DGSCN (2014)). Or, face à une augmentation de la population (2.84 %), un déficit de l'offre de l'énergie électrique, d'une demande qui s'accroit, la pénurie d'énergie électrique peut donc entrainer une hausse des coûts de production, par conséquent un renchérissement de leur prix aux consommateurs, la baisse de la compétitivité des entreprises, des sorties de devises pour supporter les dépenses Pour ce faire, cet article sera organisé comme suit : une première section sera consacrée à la revue de la littérature, une deuxième à l'analyse du lien entre la consommation d'énergie électrique et les productions globale et sectorielle, ainsi que leur lien de causalité. Enfin la dernière section en guise de conclusion sera réservée aux recommandations qui en découlent.

REVUE DE LITTERATURE

La relation entre la consommation d'énergie électrique et la croissance économique a été largement discutée dans les travaux de recherche. Cette section examine brièvement la littérature dans ce domaine. [START_REF] Ferguson | Electricity use and economic development[END_REF] ont constaté que pour les pays développés, il y a une corrélation forte entre l'augmentation de la richesse dans le temps et l'augmentation de la consommation

DONNEES ET METHODOLOGIE DE L'ETUDE

Le modèle

Le modèle utilisé repose sur une fonction de production néoclassique augmentée dont la forme générale est : 𝑌 = 𝐹 (𝐾, 𝐿, 𝐸)

(1)

𝜕𝑌 𝜕𝐾 ≻ 0 , 𝜕𝑌 𝜕𝐿 ≻ 0 , 𝜕𝑌 𝜕𝐸 ≻ 0
Où Y désigne respectivement l'output global et la production sectorielle (valeurs ajoutées de l'agriculture, de l'industrie et des services), K le capital, L le travail et E l'énergie électrique.

L'énergie électrique (E) n'est pas en principe un argument de la fonction de production néoclassique, mais son incorporation permet de prendre en compte les facteurs qui affectent l'output et la production sectorielle, mais qui ne sont pas capturés par les facteurs K et L.

Mesure des variables et source des données

Les données utilisées pour l'estimation de l'équation (1) sont annuelles. Les estimations indiquent que le stock de capital, le travail ont un impact positif et significatif à long terme respectivement sur la croissance économique, des valeurs ajoutées de l'industrie et des services dans le cas du travail aux seuils de 1 %, et de 5 % pour les services, alors qu'en ce qui concerne la valeur ajoutée de l'agriculture on observe un impact négatif non significatif du stock de capital mais significatif et de façon disproportionnée par rapport au travail au seuil de 1 % .

Ainsi, une augmentation de 1 % du stock de capital et du travail se traduira par une augmentation respective de 0.11 et 0.64 % de la croissance économique, 1.12 % de la valeur ajoutée de l'agriculture, 0.29 et 0.48 % de la valeur ajoutée de l'industrie et de 0.22 et 0.3 % de la valeur ajoutée réelle des services.

Une augmentation de la consommation d'électricité de 1 %, peut entraîner une augmentation respective de 0.08, 0.18 et 0.12 % du taux de croissance économique, des valeurs ajoutées de l'industrie et des services.

Ces résultats montrent donc que c'est le secteur industriel qui est le plus dépendant de la consommation d'énergie électrique suivi respectivement des services et au niveau global. En effet, cette prépondérance de la consommation d'électricité dans le secteur des services et des industries peut s'expliquer par la présence d'industries lourdes, manufacturières et minières ainsi que du développement des nouvelles technologies de l'information et de la communication et de l'urbanisation croissante de la société togolaise. Cependant l'absence d'impact positif significatif au niveau du secteur agriculture s'explique par l'utilisation massive des moyens traditionnels de production (bois de chauffe, houes, dabas, animaux attelés, lampes à pétrole, etc.), le faible taux de déploiement des infrastructures au niveau rural. En outre, les populations rurales considèrent l'électricité comme un bien de luxe et hors de leur portée à cause de la faiblesse de leurs revenus et utilisent l'énergie électrique uniquement qu'à des fins d'éclairage.

Analyse de la causalité

L'analyse de la causalité se fera suivant l'approche séquentielle de Granger. La causalité de [START_REF] Granger | Investigating causal relations by econometric models and crossspectral methods[END_REF] Au terme de cette étude, des recommandations émergent. En effet, les pouvoirs publics devraient s'engager activement à oeuvrer pour une augmentation de la production et une sécurisation de la distribution de l'énergie électrique par un accroissement adéquat des investissements, tout en favorisant l'apparition de nouveaux producteurs privés d'énergie avec de meilleurs contrats de partenariat publics-privés, ainsi qu'un suivi adéquat des activités de régulation assurées par l'autorité de régulation du secteur de l'énergie électrique au Togo (ARSE). Mettre en oeuvre des mécanismes d'utilisation rationnelle de l'énergie disponible avec des équipements économes et la sensibilisation des usagers à de meilleures pratiques en vu de limiter les pertes et gaspillage et une promotion et vulgarisation de l'énergie solaire.

  d'approvisionnement en énergie pour le pays qui est un importateur net, et engendrer souvent des crises énergétiques. Au Togo, la production de l'énergie électrique est assurée par la CEET (basse tension), qui partage les services de distribution avec la communauté électrique du Bénin (CEB) (haute tension). La CEB est fournie en électricité par le Ghana, la Côte d'Ivoire et le Nigéria. Selon la Direction de l'Economie (2013) en 2010, l'énergie électrique totale livrée au réseau s'élève à 918 Gwh dont 878 Gwh livrés par la CEB et 40 Gwh produits par la CEET. Le taux d'électrification est de 26 %. Par ailleurs, à la fin de l'année 2012, les disponibilités totales de la CEET atteignent 901 255 944 Kwh contre 907 162 812 en 2011. La production locale a augmenté de 27.4 % tandis que les achats auprès de la CEB ont diminué de 1 % pour se situer respectivement à 14 001 392 Kwh et 887 254 552 Kwh. La consommation d'énergie moyenne tension facturée au cours des douze mois de l'année 2012 se chiffre à 229 470 953 Kwh, soit une hausse de 8.7 % par rapport à l'année 2011. Le montant hors TVA facturé se chiffre à 29.6 milliards de FCFA, en hausse de 8.1 % par rapport à l'année 2011. Sur la même période, la quantité et le montant hors TVA facturés de l'énergie basse tension augmentent respectivement de 6.6 % pour se situer respectivement à 437 439 833 Kwh et 49.7 milliards de FCFA. Le secteur de l'énergie électrique au Togo a enregistré, ces quarante dernières années, des crises plus ou moins importantes : 1983-1984, 1998, 2006 liées aux vols des câbles, des branchements clandestins « araignée », de la sécheresse, aggravée par la crise sociopolitique des années 1993 et à de longues pauses dans les investissements, occasionnant des pertes énormes d'énergie compte tenue de la vétusté des équipements. Ces crises sont devenues régulières, vu leur durée, leur fréquence et leur généralisation sur toute l'étendue du territoire. Elles se traduisent par des coupures régulières du courant électrique. En considérant les études de cas et des analyses économiques passées relatives à certains pays, la présente étude examine deux questions : celle touchant l'incidence de la consommation totale d'électricité, les productions globale et sectorielle et le lien de causalité entre cette consommation totale d'électricité et ces productions. Il faut signaler qu'en ce qui concerne le Togo, il existe un manque de connaissances sur le lien entre la consommation totale d'électricité et les productions globale et sectorielle. Cette étude apparaît donc comme une contribution au débat dans ce domaine.

  photovoltaïques au Kenya. Ses conclusions sont (1) que des panneaux solaires bénéficient en priorité à la classe moyenne, (2) qu'ils jouent un rôle modeste dans la création d'activités productives et d'activités liées à l'éducation, (3) qu'ils participent principalement à l'expansion de l'utilisation du téléviseur et de l'éclairage artificiel. Le panneau solaire photovoltaïque constitue donc ici un bien de consommation destiné à la classe moyenne avant d'être un investissement productif. Jacobson note cependant que le téléviseur peut participer à une demande accrue pour des bien de consommation et donc à un accroissement de l'activité, et que l'éclairage artificiel peut favoriser l'apprentissage scolaire pour les enfants de la classe moyenne et augmenter ainsi le niveau d'éducation. Le caractère de « contribution au développement » est dans ce cas conditionné par l'utilisation que la population cible fait du système énergétique. La problématique devient donc socioculturelle et non plus purement économique.

  Source : calculs de l'auteur Les résultats du test de cointégration de Johansen révèlent que pour la relation entre la croissance économique, le capital, le travail et la consommation d'électricité, l'hypothèse (r = 0) c'est-à-dire qu'il n'existe aucune relation entre ces variables est à rejeter. Pour cette hypothèse, la statistique de la trace reporte une valeur de 53.8187, supérieure à la valeur critique de 47.8561 au seuil de 5 %. Cependant, on ne peut rejeter l'hypothèse d'au plus une relation de cointégration (r ≤ 1). En effet, la statistique de la trace reporte une valeur de 27.6407, inférieure à celle de la valeur critique de 29.7970 au seuil de 5 %. Ces résultats conduisent à retenir pour ces variables l'hypothèse de l'existence d'une seule relation de cointégration. Les résultats du test de cointégration de Johansen révèlent que pour la relation entre la valeur ajoutée de l'agriculture, le capital, le travail et la consommation d'électricité, les hypothèses de (r = 0) et (r ≤ 1) c'est-à-dire qu'il n'existe aucune relation d'une part et d'au plus une relation de cointégration d'autre part, entre ces variables sont à rejeter. Pour ces hypothèses, les statistiques de la trace reportent respectivement 64.7150 et 38.4015, supérieures aux valeurs critiques au seuil de 5 % respectivement de 54.0790 et 35.1927. Cependant, on ne peut rejeter l'hypothèse d'au plus deux relations de cointégration (r ≤ 2). En effet, la statistique de la trace reporte une valeur de 17.2649, inférieure à la valeur critique de 20.2618 au seuil de 5 %. Ces résultats conduisent à retenir pour ces variables l'hypothèse de l'existence de deux relations de cointégration. Les résultats du test de cointégration de Johansen révèlent que pour la relation entre la valeur ajoutée de l'industrie, le capital, le travail et la consommation d'électricité, l'hypothèse (r = 0) c'est-à-dire qu'il n'existe aucune relation entre ces variables est à rejeter. Pour cette hypothèse, la statistique de la trace reporte une valeur de 47.2038, supérieure à la valeur critique de 40.1749 au seuil de 5 %. Cependant, on ne peut rejeter l'hypothèse d'au plus une relation de cointégration (r ≤ 1). En effet, la statistique de la trace reporte une valeur de 21.0777, inférieure à celle de la valeur critique de 24.2759 au seuil de 5 %. Ces résultats conduisent à retenir pour ces variables l'hypothèse de l'existence d'une seule relation de cointégration. Les résultats du test de cointégration de Johansen révèlent que pour la relation entre la valeur ajoutée des services, le capital, le travail et la consommation d'électricité, les hypothèses de (r = 0), (r ≤ 1) et (r ≤ 2) c'est-à-dire qu'il n'existe aucune relation, d'au plus une relation d'une part, et d'au plus deux relations de cointégration d'autre part, entre ces variables sont à rejeter. Pour ces hypothèses, les statistiques de la trace reportent respectivement 86.0657, 55.4315 et 26.1785, supérieures aux valeurs critiques au seuil de 5 % respectivement de63.8761, 42.9152 et 25.8721. Cependant, on ne peut rejeter l'hypothèse d'au plus trois relations de cointégration (r ≤ 3). En effet, la statistique de la trace reporte une valeur de 5.5256, inférieure à la valeur critique de 12.5179 au seuil de 5 %. Ces résultats conduisent à retenir pour ces variables l'hypothèse de l'existence de trois relations de cointégration.Pour savoir si toutes les variables appartiennent effectivement à ces relations de cointégration, des tests d'exclusion seront réalisés(voir Johansen et Juselius, 1990). Les résultats des tests du ratio de vraisemblance (Tableau 3) indiquent que les sept variables ne peuvent être exclues de leur espace de cointégration.

  Source : calculs de l'auteurLes tests de diagnostic indiquent que les spécifications adoptées sont globalement satisfaisantes. Les tests de Jarque-Bera ne permettent pas de rejeter l'hypothèse de normalité des erreurs. Les tests effectués pour détecter la présence de résidus ARCH (Autoregressive Conditional Heteroscedasticity) dans les équations estimées ne mettent en évidence aucun problème d'hétéroscédasticité au seuil de 5 %. Les variables « dummies » ont été introduites pour améliorer la spécification du modèle.

  Les résultats du test de causalitéde Granger indiquent une absence de causalité à court terme entre les variables d'intérêt de cette étude. Cependant à long terme il existe une causalité bidirectionnelle entre la consommation d'électricité et la croissance économique aux seuils respectifs de 5 et 10 %, une causalité unidirectionnelle à long terme de la consommation d'électricité vers l'agriculture et les services aux seuils respectifs de 5 et 10 % et de l'industrie vers la consommation d'électricité au seuil de 5 %. CONCLUSION L'objectif de ce travail était d'analyser la relation qui lie la consommation d'électricité à la croissance économique au Togo eu égard à l'importance de l'énergie électrique dans presque toutes les activités humaines. Les résultats ont montré que la consommation d'électricité a eu un impact positif à long terme plus sur les secteurs industriel, des services qu'au plan global respectivement, alors que cet impact est négatif et non significatif dans le cas du secteur agricole. Les résultats du test de causalité de Granger indiquent qu'à long terme il apparait une causalité bidirectionnelle entre la consommation d'électricité et la croissance économique, une causalité unidirectionnelle à long terme de la consommation d'électricité vers l'agriculture et les services et de l'industrie vers la consommation d'électricité.

Résultats des tests de stationnarité et de cointégration

  Elles proviennent essentiellement des bases de données de la Banque Mondiale (World Development Indicators) à l'exception de la consommation d'électricité qui provient de la base de données de la BCEAO. La période couverte va de 1965 à 2014. L'output global ou PIB est le produit intérieur brut réel, la production sectorielle est représentée par les valeurs ajoutées réelles de l'agriculture, de l'industrie et des services, le capital est la formation de capital réel. Toutes ces variables sont en FCFA constants. L, le travail, représente la population totale. E, la consommation d'électricité est en KWh. Toutes les variables sont en logarithmes naturels.

	appliquées.
	2.3.1 Résultats empiriques
	2.3.1.1

2.3 Méthodologie

La méthodologie empirique utilisée dans cette étude se déroule en trois étapes et consiste à déterminer le degré d'intégration de chacune des variables. Dans la littérature économétrique, plusieurs tests statistiques sont utilisés pour déterminer le degré d'intégration d'une variable.

Les tests qui seront utilisés dans le cadre de cette étude sont les tests de Dickey-Fuller Augmenté (ADF), celui de Phillips-Perron (PP) et le test de Kwiatkowski, Phillips, Schmidt et Shin (KPSS). Une fois l'ordre d'intégration des séries connu, l'étape suivante consistera à l'examen de la présence éventuelle de relations de cointégration qui peut exister à long terme entre les variables. Cette analyse se fera suivant la procédure de test de cointégration de

[START_REF] Johansen | Statistical analysis of cointegrating vectors[END_REF]

plus efficace que la stratégie en deux étapes d

[START_REF] Engle | Cointegration and Error-Correction: Representation, Estimation and Testing[END_REF]

lorsque l'échantillon est d'une certaine taille et le nombre de variables élevé.

La troisième étape porte sur le test de causalité entre les variables de la croissance économique, du stock de capital, le travail et la valeur ajoutée de l'industrie ainsi que la valeur des exportations manufacturières toutes les deux rapportées au PIB. Les procédures de test dite séquentielle de Granger et celle non séquentielle de Toda et Yamamoto (1995) seront La mise en oeuvre des différents tests de stationnarité pour chaque série aboutit aux résultats résumés dans le tableau 1 ci dessous.

Tableau 1 : Résultats

des tests de stationnarité

	Tableau 2:
	Variables		En niveau		En différences premières	CONCLUSION
		ADF	PP	KPSS	ADF	PP	KPSS
	ln(Y)	3.933	3.859	0.936	-6.481***	-6.473***	0.193***	I(1)
	ln(Agri)	2.369	3.731	0.919	-8.126***	-8.806***	0.107***	I(1)
	ln(Ind)	1.533	2.564	0.855	-6.904***	-8.463***	0.199***	I(1)
	ln(Serv)	1.935	1.997	0.837	-6.845***	-6.845***	0.104***	I(1)
	ln(K)	0.723	1.199	0.381*** -7.888***	-8.369***	0.153***	I(1)
	ln(L)	0.304	14.864	0.946	-0.394	-0.387	0.286***	I(1)
	ln(E)	3.556	3.488	0.865	-11.684*** -11.963***	0.294***	I(1)
			Note : *** dénotent le rejet de l'hypothèse nulle au seuil de 1%.
	La présence d'au moins deux séries non-stationnaires conduit à rechercher la présence d'une
	relation d'équilibre de long terme entre les variables du modèle par la procédure de Johansen
	basée sur l'estimation d'un modèle vectoriel autorégressif par la méthode du maximum de
	vraisemblance.
	L'ensemble des résultats du test de cointégration est présenté dans le tableau 2 ci-dessous :

Source : calculs de l'auteur

Les résultats obtenus pour les variables en niveau indiquent que les séries ln(Y), ln(K), ln(L), ln(Agri), ln(Ind), ln(Serv) et 𝑙𝑛 𝐸 ne sont pas stationnaires au seuil de 1 %. En effet pour ces séries, les statistiques des tests ADF, KPSS et PP ont des probabilités supérieures à 1 % et autorisent donc à ne pas rejeter l'hypothèse nulle de racine unitaire (non stationnarité) sauf que pour la série ln(K), le test de KPSS indique sa stationnarité.

Le test effectué sur les séries en différence première permet de rejeter l'hypothèse nulle de non stationnarité pour toutes les séries au seuil de 1 %. Cependant pour la série ln(L), les tests d'ADF et de PP acceptent l'hypothèse de présence de racine unitaire (non stationnarité) alors que le test KPSS permet de rejeter l'hypothèse nulle de non stationnarité ; compte tenu de l'efficacité du test de KPSS, il convient d'accepter l'hypothèse de stationnarité de cette série en différence première. En définitive, il convient de retenir que toutes les séries sont stationnaires en différences première.

Résultats des tests de cointégration de Johansen-Juselius

	Nombre de relations de cointégration	Valeurs propres Statistique de la trace	Valeurs critiques à 5%
	Test

de cointégration entre le PIB réel, le capital, le travail et la consommation d'électricité

	r = 0	0.40759	53.8187	47.8561*
	r ≤ 1	0.37647	27.6407	29.7970
	r ≤ 2	0.06649	4.0222	15.4947
	r ≤ 3	0.01157	0.5820	3.8414
	Test

de cointégration entre la valeur ajoutée de l'agriculture, le capital, le travail et la consommation d'électricité

	r = 0	0.43562	64.7150	54.0790*
	r ≤ 1	0.36839	38.4015	35.1927*
	r ≤ 2	0.24489	17.2649	20.2618
	r ≤ 3	0.09010	4.3436	9.1645
	Test

de cointégration entre la valeur ajoutée de l'industrie, le capital, le travail et la consommation d'électricité

	r = 0	0.43333	47.2038	40.1749*
	r ≤ 1	0.21283	21.0777	24.2759
	r ≤ 2	0.13792	10.0690	12.3209
	r ≤ 3	0.06805	3.2423	4.1299
	Test

de cointégration entre la valeur ajoutée des services, le capital, le travail et la consommation d'électricité

  indique le nombre de relations de cointégration. Le critère d'information de SC a été utilisé pour déterminer le nombre de retards optimal. * indique le rejet de l'hypothèse nulle de non-cointégration à 5 %.

	r = 0	0.48622	86.0657	63.8761*
	r ≤ 1	0.47055	55.4315	42.9152*
	r ≤ 2	0.36171	26.1785	25.8721*
	r ≤ 3	0.11318	5.5256	12.5179
	Note : r

  Note : Les nombres entre parenthèses sont les t-ratios. Pour les statistiques de tests de diagnostic, les nombres entre parenthèses sont les p-values. *** et ** = significativité à 1% et 5%.

		0.987	0.984	0.956	0.931
		0.985	0.981	0.948	0.923
		0.578	0.574	0.467	0.636
		(0.002)	(0.000)	(0.000)	(0.000)
				-0.534
				(0.000)
			-0.362
			(0.005)
		684.88	375.08	130.99	118.85
		(0.000)	(0.000)	(0.000)	(0.000)
		50	50	50	50
	Jarque-Bera	3.679	0.592	1.093	3.352
		(0.158)	(0.743)	(0.578)	(0.187)
	ARCH(1)	0.453	0.586	0.027	0.122
		(0.500)	(0.443)	(0.867)	(0.726)
	ARCH(2)	0.858	0.808	0.039	0.302
		(0.651)	(0.667)	(0.980)	(0.859)

Résultats des tests de causalité de Granger

  est une approche de la causalité qui renvoie non pas au caractère théorique de la causalité (cause-effet) mais au caractère prédictif de l'éventuelle cause sur l'effet. Le fondement de la causalité de Granger est la relation dynamique entre les variables. Les résultats de ces tests reportés dans le tableau 5..

	Tableau 5: Variables		Causalité de Court terme		Source de causalité (variables indépendantes)		Causalité de Long terme
	dépendantes	∆ln(Y)t	∆ln(Agri)t	∆ln (In d)t	∆ln(Serv)t	∆ln(K)t	∆ln (L)t	∆ln (E)t	λt-1 (t-statistics)	∆ln(Y)t / λt-1	∆ln(Agri)t / λt-1	∆ln (In d)t / λt-1	∆ln(Serv)t / λt-1	∆ln(K)t / λt-1	∆ln (L)t / λt-1	∆ln(E)t / λt-1

Test de causalité entre le PIB réel, le stock de capital, le travail et la consommation d'électricité

	∆ln(Y)t	-	-	-	-	0.275 (0.599)	0.448 (0.503)	0.024 (0.875)	-0.313 (-3.202)	-	-	-	-	3.212 (0.360)	1.665 (0.644)	9.120 (0.027)**
	∆ln(K)t	0.492 (0.483)	-	-	-	-	1.278 (0.258)	1.322 (0.250)	-	2.567 (0.463)	-	-	-	-	0.263 (0.446)	2.938 (0.401)
	∆ln (L)t	6.308 (0.012)**	-	-	-	1.989 (0.158)	-	0.125 (0.723)	-	2.006 (0.571)	-	-	-	1.550 (0.670)	-	0.372 (0.945)
	∆ln (E)t	1.148 (0.283)	-	-	-	6.581 (0.010)***	0.311 (0.577)	-	-	7.242 (0.064)*	-	-	-	2.649 (0.448)	2.599 (0.457)	-

Test de causalité entre la valeur ajoutée réelle de l'agriculture, le stock de capital, le travail et la consommation d'électricité

	∆ln(Agri)t	-	-	-	-	0.057 (0.811)	0.293 (0.588)	0.832 (0.361)	-0.545 (-2.570)	-	-	-	-	5.223 (0.156)	2.288 (0.514)	9.053 (0.028)**
	∆ln(K)t	-	0.286 (0.592)	-	-	-	0.113 (0.736)	1.106 (0.292)	-	-	5.486 (0.139)	-	-	-	5.637 (0.130)	1.331 (0.721)
	∆ln (L)t	-	0.093 (0.759)	-	-	2.566 (0.109)	-	0.449 (0.502)	-	-	0.246 (0.969)	-	-	4.094 (0.251)	-	2.198 (0.532)
	∆ln (E)t	-	2.573 (0.108)	-	-	2.486 (0.114)	0.437 (0.508)	-	-	-	0.764 (0.858)	-	-	0.343 (0.951)	7.965 (0.046)**	-

Test de causalité entre la valeur ajoutée réelle de l'industrie, le stock de capital, le travail et la consommation d'électricité

	∆ln(Ind)t	-	-	-	-	0.002 (0.958)	0.076 (0.781)	0.317 (0.572)	-0.173 (-0.646)	-	-	-	-	0.595 (0.897)	3.294 (0.348)	0.960 (0.810)
	∆ln(K)t	-	-	0.136 (0.711)	-	-	0.093 (0.759)	0.694 (0.404)	-	-	-	4.801 (0.186)	-	-	1.337 (0.720)	2.704 (0.439)
	∆ln (L)t	-	-	2.579 (0.108)	-	4.883 (0.027)**	-	1.452 (0.228)	-	-	-	0.896 (0.826)	-	2.225 (0.527)	-	0.626 (0.890)
	∆ln (E)t	-	-	0.389 (0.532)	-	1.958 (0.161)	0.221 (0.638)	-	-	-	-	8.280 (0.040)**	-	0.439 (0.932)	4.106 (0.250)	-

Test de causalité entre la valeur ajoutée réelle des services, le stock de capital, le travail et la consommation d'électricité

  Notes: *, ** et *** indiquent une significativité aux seuils de 10, 5 et 1 %. Les nombres entre parenthèses se réfèrent aux p-values. Les nombres figurant dans la colonne et λt-1 se réfèrent aux coefficients du terme de rappel dérivé de la méthode de Johansen, et ceux entre parenthèses correspondent aux t-statistiques associées à ces coefficients.

	∆ln(Serv)t	-	-	-	-	0.021 (0.883)	0.069 (0.792)	0.130 (0.717)	-0.995 (-4.534)	-	-	-	-	4.227 (0.238)	3.513 (0.319)	7.694 (0.052)*
	∆ln(K)t	-	-	-	0.029 (0.863)	-	0.094 (0.758)	0.901 (0.342)	-	-	-	-	2.024 (0.567)	-	4.018 (0.259)	1.049 (0.789)
	∆ln (L)t	-	-	-	0.944 (0.331)	3.775 (0.052)*	-	0.805 (0.369)	-	-	-	-	0.322 (0.955)	0.764 (0.857)	-	10.691 (0.013)**
	∆ln (E)t	-	-	-	0.402 (0.525)	3.473 (0.062)*	0.337 (0.561)	-	-	-	-	-	2.749 (0.431)	1.493 (0.683)	3.766 (0.287)	-

Source : calculs de l'auteur


ONLINE MULTI-MODEL PARTICLE FILTER-BASED TRACKING

TO STUDY BEDLOAD TRANSPORT Hugo Lafaye de Micheaux 1,2 * , Christophe Ducottet 1 and Philippe Frey 2 [START_REF] Hergault | Image processing for the study of bedload transport of two-size spherical particles in a supercritical flow[END_REF] Université de Lyon, UJM-Saint-Étienne, CNRS, UMR5516, Laboratoire Hubert Curien, Saint-Étienne, France [START_REF] Breitenstein | Online multiperson tracking-by-detection from a single, uncalibrated camera[END_REF] Université Grenoble Alpes, Irstea, UR ETGR, Saint-Martin-d'Hères, France *E-mail: hugo.lafaye-de-micheaux@irstea.fr

Context & Objectives

Global aim: studying bedload transport thanks to experiments with two-size beads in a water flow.

Main objective: track beads over long time sequences to better understand size segregation responsible for complex morphology structures.

The idea: propose an online particle filter-based algorithm integrating several improvements 1. Include an adapted multiple motion models with known mechanical dynamics to better anticipate bead locations. Perspectives: Use configuration and state of neighboring objects as an information to help choosing between motion states.

2 .

 2 Exploit detector confidence to handle missing detections. 2a. Experimental setup 5. Conclusions & Perspectives  New online particle filter-based tracking algorithm based on multiple dynamic models:  Input of object mechanical dynamics helps approaching real trajectories.  Allows studying bedload transport with higher confidence.  Our multiple motion model based algorithm provides high tracking precision and accuracy with different detector qualities:  Outperforms single dynamic models.  Effect of inaccurate detections reduced by detector confidence.

Acknowledgements

This research is funded by Irstea, labex OSUG@2020, ANR and the Rhône-Alpes region as part of its higher education, research and innovation regional Strategy (Environment Academic Research Community).

2b. Tracking & bedload transport

Sketch of the experimental arrangement (modified from [1])

MOTP: precision to ground truth in pixels

Flow (left to right)

Correct track: >95% of the track without FN or mismatches

Example of 2 trajectories from the experiment