Matthieu Quignard
email: mquignar@univ-lyon2.fr

Michael Baker
email: mbaker@univ-lyon2.fr

Conditions de production spontanée de dialogues argumentatifs entre élèves

Introduction

Le but de cette recherche est d'expérimenter des conditions de production spontanée de l'argumentation entre élèves, en situation de résolution de problème. Malgré le peu de littérature dédié à ce sujet, on a pu rassembler et formuler un ensemble restreint d'hypothèses, tant théoriques que pratiques, sur les conditions de production de tels dialogues. Un environnement informatique de communication écrite synchrone a été conçu pour éprouver ces hypothèses et recueillir un corpus d'argumentation lui-même adapté à la validation d'un modèle cognitif de ces interactions. Les premières analyses du corpus recueilli dans ces conditions ont donné des résultats tout à fait encourageants.

Il y a actuellement un grand courant de recherche sur l'apprentissage coopérant, et le rôle des interactions argumentatives dans l'acquisition ou la compréhension de concepts (par ex. : [START_REF] Thorley | Conflict within dyadic interactions as a stimulant for conceptual change in physics[END_REF][START_REF] Baker | Argumentation et co-construction de connaissances[END_REF]. Il y a en fait peu de travaux consacrés à l'étude des conditions favorables à la production d'argumentations dialoguées entre les élèves. Il est quand même important de citer les quelques recherches qui se font dans ce sens. [START_REF] Golder | Le développement des discours argumentatifs. Actualités pédagogiques et psychologiques[END_REF] a étudié auprès de jeunes élèves les critères d'obtention de textes argumentatifs (on demande à chaque sujet de composer un texte cohérent prenant tour à tour deux points de vue ou thèses opposés sur un problème donné). D'autres recherches se penchent sur le problème de conception d'environnements de communication médiatisée par ordinateur, stimulant certains types d'interaction, par une structuration ad hoc de l'interface (Baker & Lund, 1997). Toutes ces recherches montrent que les conditions de production d'argumentation dialoguée sont par nature très diverses, allant des aspects cognitifs, sociaux, à la conception de l'interface elle-même. 1 L'approche adoptée dans ce papier est plus pragmatique que théorique. Il s'agit avant tout de recueillir un corpus d'argumentations dialoguées à des fins de modélisation cognitive de telles interactions. Ce document présente une situation expérimentale mise au point pour la production spontanée d'argumentations dialoguées, en communication médiatisée par ordinateur (CMC), entre élèves dans le cas spécifique d'un exercice de sciences physiques : la construction de chaînes énergétiques [START_REF] Tiberghien | Modelling as a basis for analysing teaching-learning situations[END_REF]. Après avoir situé ce travail dans les recherches menées sur la modélisation de l'argumentation, nous présentons les hypothèses et les contraintes qui ont contribué à l'élaboration de cette situation. Nous exposons un échantillon des données recueillies, comprenant la discussion menée en CMC par une dyade et les attitudes personnelles de deux élèves, avant et après interaction. Nous concluons par une série de résultats qualitatifs sur la capacité de la situation à susciter spontanément des argumentations en CMC, ainsi que les perspectives de travaux à venir.

Projet de recherche

Le travail présenté dans ce papier s'inscrit dans le cadre d'une thèse en sciences cognitives, traitant des rapports entre les activités des participants d'un dialogue argumentatif et les changements cognitifs qui peuvent en résulter. Le but de la recherche est de modéliser, par un système d'intelligence artificielle, les changements d'attitudes des élèves au cours des phases argumentatives de la résolution collaborative de problème. La modélisation [START_REF] Quignard | Modelling Argumentation and Belief Revision in Agents Interactions[END_REF] met en relation des ensembles de croyances incorporés dans les agents artificiels [START_REF] Doyle | A Truth-Maintenance System[END_REF] et un modèle dialectique de l'argumentation [START_REF] Barth | From Axiom to Dialogue[END_REF][START_REF] Van Eemeren | The Study of Argumentation[END_REF], par l'intermédiaire d'actes de langage multifonctionnels [START_REF] Bunt | Information Dialogue as Communicative Action in relation to Partner Modelling and Information Processing[END_REF].

L'étude des conditions de production de dialogues argumentatifs intervient dans cette recherche au niveau méthodologique : il est en effet essentiel pour valider un modèle des changements d'attitude, de disposer de données expérimentales compatibles avec ces buts de recherche. Il s'agit donc de trouver un corpus susceptible de procurer, dans de bonnes conditions de traitement, des séquences argumentatives de dialogue ainsi qu'un accès aux attitudes des participants aux bornes de ces séquences. Ne disposant pas d'un tel corpus, nous nous sommes orientés vers la mise au point d'une situation expérimentale spécifiquement conçue pour ce recueil.

Problématique : hypothèses et contraintes de modélisation

Remarques préliminaires

Les personnes qui s'intéressent de près aux interactions entre élèves, qu'ils soient chercheurs ou professeurs sont unanimes sur ce constat : les élèves ne sont pas du tout enclins à argumenter spontanément les uns avec les autres. Les corpus de dialogues de résolution de problème montrent que les phases d'argumentation sont très rares et très brèves (quelques lignes dans une transcription de plusieurs pages), ce qui laisse penser que leur usage est coûteux. On remarque aussi que la présence de conflits interpersonnels ou de contradictions individuelles ne suffit pas à provoquer une argumentation ni même l'adoption d'attitudes argumentatives. Les travaux de [START_REF] Nonnon | Activités argumentatives et élaboration de connaissances nouvelles : le dialogue comme espace d'exploration[END_REF] expliquent en partie ce phénomène de refus du positionnement, par le fait que les concepts ne sont pas suffisamment maîtrisés (car en cours d'apprentissage) pour que les participants osent prendre partie les uns contre les autres.

Pour susciter des interactions argumentatives spontanées entre des élèves, nous appuyons notre démarche sur des hypothèses, élaborées à partir des études théoriques ou empiriques sur l'argumentation. Nous prenons également en compte les contraintes qu'impose la situation de recueil du corpus, pour l'obtention des données attendues pour l'élaboration et la validation du modèle cognitif de l'argumentation dialoguée.

Hypothèses pragma-dialectiques

Les recherches en pragma-dialectique [START_REF] Van Eemeren | The Study of Argumentation[END_REF][START_REF] Van Eemeren | Communication, Argumentation, Fallacies[END_REF] ont établi des règles de la discussion critique idéale, qui permettent essentiellement de reconstruire une argumentation à partir d'un dialogue. Parce qu'elles donnent une fine analyse des situations interpersonnelles, ces règles n'en demeurent pas moins pertinentes pour la conception pratique de situations favorables à l'argumentation, en tant que résolution de conflits par moyens verbaux. Nous retiendrons particulièrement les conditions suivantes :

-le conflit doit être externalisé: un désaccord doit avoir été manifesté ouvertement, de sorte que les positions personnelles soient connues et établies.

-les participants doivent partager un terrain commun minimal, sans lequel aucun accord n'est possible. En effet, la résolution d'un conflit par moyens verbaux présuppose le partage d'un même système de langage.

-des règles de discussion : les participants se mettent d'accord, implicitement ou explicitement, sur les règles à suivre pour résoudre le conflit. Ces règles de conduite définissent les coups autorisés d'attaque ou de défense, et rejettent les paralogismes, par exemple, les attaques ad hominem [START_REF] Walton | Commitment in dialogue : basic concepts of interpersonal reasoning[END_REF].

Cette théorie indique que pour pouvoir inciter les sujets à argumenter, il faut qu'ils aient un minimum de connaissances de la position de leur interlocuteur, du conflit qui les oppose et qu'ils aient une consigne de discussion qui oriente la résolution de conflit par la voie argumentative plutôt qu'une autre (la négociation par exemple).

Hypothèses psychologiques [START_REF] Golder | Le développement des discours argumentatifs. Actualités pédagogiques et psychologiques[END_REF] montre les difficultés psychologiques rencontrées par les sujets dans une tâche de construction d'un texte argumentatif. Étant tout à fait générales, ces difficultés se comprennent également dans le cadre d'un dialogue argumentatif. Les sujets peuvent argumenter si suffisamment d'espace leur est laissé à différents niveaux :

-l'espace référentiel : les sujets doivent pouvoir saisir les concepts généraux du problème (i.e. comprendre de quoi on parle). Cet espace peut être assez restreint dans le cas où les sujets sont des apprenants, car les concepts sont en cours d'élaboration [START_REF] Nonnon | Activités argumentatives et élaboration de connaissances nouvelles : le dialogue comme espace d'exploration[END_REF].

-l'espace cognitif : les sujets doivent pouvoir se positionner sur tel problème, avoir leur propre opinion, ainsi que comprendre que d'autres positions peuvent également être tenues. Il s'agit finalement de la capacité à se représenter des opinions.

-l'espace de production : les sujets doivent avoir la possibilité physique et morale d'exprimer leurs opinions (ex : sujets tabous dans un contexte institutionnel, situation matériellement défavorable à une discussion...).

Ces hypothèses mettent en évidence un fait essentiel : les sujets, surtout des élèves en salle de classe, ne sont pas disposés à argumenter spontanément. Une tâche préalable est nécessaire pour les aider à maîtriser les concepts et à prendre le recul nécessaire à l'appréhension des attitudes, l'appréciation des différences de vue et des contradictions. Enfin, les conditions de production doivent favoriser leur expression : une discussion écrite à distance favorise la dissimulation des émotions et la réflexion (car plus lente que l'oral) mais impose un registre de représentation des concepts qui peut être un obstacle sémiotique au raisonnement (le recours au dessin a été prohibé).

Contraintes de la modélisation

La modélisation de l'argumentation dialoguée, en conjonction avec les changements d'attitude des participants, impose des contraintes fortes sur la situation de recueil. Il est d'abord essentiel de recueillir juste avant et juste après l'interaction, les attitudes des participants ainsi que les justifications, afin d'obtenir en ces instants une représentation de leurs connaissances, des positions qu'ils peuvent prendre dans le discours et des arguments dont ils pourront faire usage Cela suppose de concevoir une intervention extérieure aux bornes de l'interaction, pour prélever ces informations. Cette intervention ne doit pas altérer le contenu ni le déroulement de l'interaction.

L'interaction doit s'engager spontanément sur le mode argumentatif sitôt les premières attitudes prélevées et les participants mis en communication. Cela suppose d'abord que les dyades soient constituées dans le plus bref délai, de sorte à ne pas laisser trop de temps entre l'expressions des attitudes et le début de l'interaction. On ne peut en effet garder les sujets inactifs trop longtemps, ni leur demander de revenir le lendemain. Le traitement de leur solution doit donc se faire automatiquement. Or la combinatoire est très importante (105 combinaisons pour constituer 4 paires).

Cela suppose aussi que les phases préliminaires d'externalisation de conflit, d'établissement d'un terrain commun et de polarisation des participants sur des positions conflictuelles, qui habituellement se font dans un type de dialogue non argumentatif, doivent être évitées. Il faut donc que leur rôle soit rempli d'une autre façon que dans le dialogue.

L'interaction ne se fera que dans le seul mode du langage, pour que le corpus recueilli contienne le maximum du contenu échangé par les participants. L'interface de communication à distance exclura toute forme de communication non verbale (geste de la main, signes sur le visage) et de dessin (ce qui est une contrainte forte dans la communication de solutions graphiques). Nous avions remarqué dans le passé, que les corpus face-à-face ¡ recueillis sur la même tâche après transcription de l'enregistrement audio, ne permettent pas d'accéder à ce qui a été réellement communiqué.

Description de la situation expérimentale

Le choix d'une tâche : les chaînes énergétiques

Le choix de la tâche est crucial : il s'agit d'un compromis à trouver entre un sujet qui soit argumentable (au sens de Golder), modélisable, et notamment analysable automatiquement, pour que la constitution des dyades prenne le moins de temps possible. Nous avons choisi la tâche de modélisation qualitative de l'énergie par des chaînes énergétiques [START_REF] Tiberghien | Modelling as a basis for analysing teaching-learning situations[END_REF][START_REF] Tiberghien | Characterization of a modelling activity for a first qualitative approach to the concept of energy[END_REF] par des élèves de lycée (16-17 ans).

Le but est de construire une chaîne composée des éléments suivants : des réservoirs (qui stockent l'énergie), des transformateurs (qui la transforment) et des transferts (travail, chaleur, rayonnement) Cette tâche est intéressante à plusieurs titres. Les stratégies des élèves pour la résolution de problèmes sont bien connues à présent [START_REF] Tiberghien | Characterization of a modelling activity for a first qualitative approach to the concept of energy[END_REF][START_REF] Collet | Apports linguistiques à l'analyse des mécanismes cognitifs de modélisation en sciences physiques[END_REF][START_REF] Devi | Modelling students' construction of energy models in physics[END_REF]. Ce travail de modélisation ne sera donc pas à refaire.

Cette tâche laisse suffisamment d'espace pour débattre, car les élèves ont à leur disposition plusieurs systèmes explicatifs pour ce phénomène. Ainsi, plusieurs positions conflictuelles sont tenables et discutables (notamment le modèle électrocinétique).

Enfin, cette tâche est graphique, composée de peu d'éléments et structurée par des règles syntaxiques d'ordonnancement de ces éléments et donc permet une analyse automatique relativement simple. La composition des dyades pourra donc se faire automatiquement et dans un délai raisonnable (dix minutes maximum).

Déroulement général de l'expérience

L'expérience a été pratiquée sur un groupe de 8 élèves de 16 à 18 ans, trois garçons et cinq filles, de classe de seconde. Elle se déroule en quatre grandes phases : trois sont menées par les élèves (1-3-4), une est réalisée par le système (2). Il s'agit d'une démarche classique : pré-test, tâche, post-test, où vient s'insérer une phase technique, voulue la plus brève possible, pour l'organisation de la phase centrale (voir tableau 1).

Dans un premier temps, les élèves travaillent individuellement dans un environnement informatique dédié à la construction graphique de la chaîne énergétique, puis au recueil des attitudes individuelles, par rapport aux divers éléments de leur solution. Le système dispose ensuite de dix minutes (incluant le temps de recueil des solutions) pour analyser les solutions individuelles, constituer les dyades et préparer les consignes L'environnement informatique se compose pour l'essentiel en deux espaces : une fenêtre graphique, dans laquelle ils peuvent disposer les éléments de la chaîne (boîtes et flèches manipulables par des menus déroulants) et une fenêtre de texte, mise à jour par le système, qui décrit en quelques phrases la chaîne au fur et à mesure qu'elle est élaborée. Ils ont également un accès rapide, à l'écran ainsi que sur une feuille de papier, à une description du modèle des chaînes énergétiques (syntaxe et sémantique des éléments qui les composent).

Sur un deuxième écran (figure 3), les élèves se voient proposer les phrases (au nombre de 10 maximum) par lesquelles le système fait une description de leur solution. Ces phrases sont affichées dans des fenêtres séparées, disposées en colonne. À droite de chaque phrase se trouvent successivement un menu local déroulant, sur lequel figurent cinq attitudes possibles :

(1) J'en suis sûr.

(adhésion forte) (2) Oui, peut-être.

Rationale

Le but de cette phase est d'aider les sujets à se former leur propre opinion sur la solution de l'exercice, par une résolution graphique du problème (registre sémiotique adapté à la tâche de résolution de problème) suivie d'une réflexion individuelle sur la solution dans la langue (registre sémiotique adapté à la tâche de discussion). La transposition du problème dans la langue est nécessaire pour adapter les raisonnements aux modes de représentation des concepts [START_REF] Stenning | A Cognitive Theory of Graphical and Linguistic Reasoning : Logic and Implementation[END_REF]. Elle induit le développement d'un nouveau regard sur la solution [START_REF] Cox | Supporting the Use of External Representations in Problem-Solving : The Need for Flexible Learning Environments[END_REF], qui peut favoriser le développement d'un esprit critique, sans introduire de nouveaux concepts. Elle est soutenue par une description automatique des graphiques en phrases ou groupes de phrases, dans le but secondaire de proposer un mode universel de description des solutions, favorisant avant la discussion l'établissement d'un terrain commun.

Phase 2 : Constitution des dyades

La constitution des dyades est voulue automatique, pour que les discussions puissent commencer dans le quart d'heure qui suit l'expression des attitudes. Lors de la première phase, on ne sait pas a priori qui discutera avec qui. Le choix des dyades se fait en temps réel, en fonction des solutions individuelles, de sorte à mettre ensemble des personnes, dont les solutions s'opposent et ont les meilleures chances de produire des argumentations.

Le choix des participants se fait donc à partir d'une analyse précise de toutes les solutions produites par les sujets. Cette analyse est faite par le système de recueil des attitudes à la fin de ces dernières. Cette analyse linéarise les chaînes de sorte à pouvoir les comparer facilement. Suite à cette analyse, le système recherche les thèses que le sujet est susceptible de pouvoir soutenir. On distinguera trois facteurs qui pourraient provoquer l'engagement du sujet en faveur de sa solution :

-un obstacle conceptuel : considérons trois conceptions de modélisation (ou niveaux de description) pour les élèves : une modélisation purement descriptive (où on nomme les objets présents dans l'expérience), une modélisation électrocinétique (où on met en jeu des notions propres aux circuits électriques, comme le courant) et une modélisation énergétique (celle visée par la tâche). Chaque conception peut être en soi valide et justifiée, mais une solution commune ne peut être hétérogène. Le but est donc de placer ensemble des élèves qui n'ont pas résolu le problème de la même façon. Pour évaluer dans quelle démarche de modélisation l'élève a constitué sa chaîne, le système se focalise sur le groupement composé d'un élément sensé représenter la pile, celui sensé représenter l'ampoule ainsi que les flèches représentant les transferts entre ces deux éléments (sachant que les élèves sont libres d'attribuer les noms qu'ils souhaitent aux éléments qu'ils utilisent...). L'évaluation de la démarche se fait sur la base de l'analyse lexicale des labels attribués aux flèches de transferts, au nombre et au sens de ces flèches. Ces critères sont pondérés par le degré de croyance à l'égard de chaque élément, exprimée par l'attitude choisie par le sujet.

-un obstacle normatif : une chaîne qui ne vérifie pas certaines règles du modèle des chaînes énergétiques est susceptible de susciter chez son opposant des attaques bien justifiées. Ces attaques prennent à partie des règles implicites, et ne sont pas défaisables facilement. Des argumentations peuvent être alors en être issues.

-la justesse de sa solution : une solution juste peut être plus séduisante qu'une solution fausse. Partant du principe qu'une bonne solution se voit, il faut éviter que deux solutions très inégales tombent ensemble, sinon le partisan de la solution moins bonne renoncerait trop vite à la défendre. On évitera de la même façon de mettre ensemble deux solutions qui reçoivent des notes égales, car il y aurait alors de fortes chances qu'elles soient semblables, et donc sans conflit sur lequel il vaille la peine d'argumenter.

Une note pour chacune des combinaisons possibles

On évalue les capacités argumentatives de chaque combinaison de paire de solutions, sur la base des critères précédents. Par un algorithme d'optimisation, on découpe l'ensemble des sujets en paires, de sorte à ce que chacune soit potentiellement maximale, et qu'aucune ne soit trop faible. En fait, l'algorithme sort plusieurs configurations possibles, laissant la décision finale à l'expérimentateur.

Génération d'un texte de description pour chaque situation de conflit

Le choix étant fait, il faut présenter aux participants de chaque dyade une consigne susceptible de lancer chez eux une discussion argumentative. Respectant les règles pragmadialectiques de l'argumentation idéale et les contraintes de modélisation exposées plus haut, la consigne est constituée d'une description de la situation de conflit en langage commun, et de la phrase suivante :

Phase 3: Discussion des solutions en CMC

Les sujets sont disposés dans la salle face à un ordinateur, de façon à ce que chacun tourne le dos à son interlocuteur. Grâce à un système de partage d'écran à travers le réseau, les sujets d'une même paire se trouvent face au même écran.

Cet écran (voir figure 4) est divisé en deux. La partie supérieure contient la description de leur situation de conflit, et la phrase de consigne décrite plus haut. La partie inférieure est dédiée à la communication. Deux espaces personnels sont disposés de part et d'autre de l'historique du dialogue. Dans chaque espace, on peut intervenir dans le dialogue en sélectionnant un bouton particulier : Oui, Non, Pourquoi ?, D'accord, Pas d'accord... Ces boutons envoient ces bouts de texte directement dans l'historique et constituent des raccourcis, pour accélérer le dialogue (taper prend du temps) et pour inciter à leur emploi. En cliquant sur la bulle (voir figure 4), les sujets tapent du texte libre et libère le tour de parole par le clavier (touche tabulation). La conception et l'implémentation de cette interface est basée sur les travaux précédemment menés dans l'équipe GRIC-COAST (par ex. Baker & Lund, 1997).

La technologie du partage d'écran induit des effets de bord : les sujets doivent s'imposer des tours de parole pour ne pas taper simultanément. De même, une règle sociale implicite incite les sujets à respecter la propriété ¡ de ces espaces de communication, ce qui permet de différencier les contributions de l'un des contributions de l'autre. En effet, la technologie ne nous permet pas de savoir quel ordinateur a provoqué tel événement au clavier ou à la souris.

Phase 4 : Reconstruction personnelle de la solution commune et attitudes

Sitôt qu'ils estiment avoir fini -il ne pèse sur eux aucune contrainte de temps -les sujets appellent l'expérimentateur, afin qu'il désactive le partage des écrans. Les sujets se retrouvent dans l'environnement initial de constitution de chaînes (cf. figures 2 et 3). Ils ont pour consigne de reconstruire la chaîne, sur laquelle ils se sont mis d'accord au cours du dialogue qui précède. Le système effectue les descriptions langagières de la même manière que par le passé. Les sujets doivent alors exprimer leurs attitudes personnelles pour chaque phrase décrivant la chaîne commune.

L'idée sous-jacente est de connaître le degré d'accord qui s'est contracté sur cette solution. Cela permet aussi de savoir le cas échéant, quelles explications ils donnent à propos d'éléments nouveaux voire contradictoires avec leur ancienne solution personnelle.

Résultats

Les solutions produites par les élèves sont relativement proches les unes des autres, ce qui ne facilite pas l'obtention de dyades conflictuelles. Deux dyades ont faiblement argumenté, car il n'y avait pas grandes différences entre leurs solutions. Après une courte opposition au début, les participants des ces dyades se sont attachés à vérifier leur solution. Les deux autres dyades ont donné de meilleures argumentations : il s'agissait de celles qui présentaient le plus de différences conceptuelles.

Extrait du corpus

Afin d'illustrer les premiers résultats, nous présentons le travail d'une dyade qui a particulièrement bien fonctionné. Il s'agit de deux élèves, Basile et Roméo (les prénoms ont été changés), dont on a pu apprécier grâce à l'algorithme de constitution de dyades qu'ils avaient des solutions très différentes.

La situation initiale

Les chaînes de Basile et Roméo ont été reproduite figure 5. On peut reconstruire le raisonnement de Basile à partir de ses attitudes et des explications qu'il donne. Basile considère que le réservoir final doit être différent du réservoir initial. C'est pour cela qu'il fait intervenir une deuxième pile. Les transferts sont désignés par les labels fil nn ¡ . Il en fait intervenir trois, même s'il n'est pas bien sûr de l'existence d'un troisième fil, pour relier les deux piles.

En revanche, pour Roméo, il s'agit d'un simple circuit électrique ¡ (sic). Il dessine entre la pile et l'ampoule deux transferts de sens opposés, qu'il nomme fil conducteur¡ . Ses attitudes sont fermement affirmées.

La discussion

Le tableau 2 présente leur discussion, telle que nous l'avons recueillie et dont nous proposons une première analyse dialectique. Pour information, nous rappelons qu'il ne s'agit pas d'une transcription mais des contenus véritables que les sujets ont tapés à l'écran. Il s'agit donc, à l'exclusion des mouvements de la souris, de l'intégralité du contenu informatif échangé par les élèves. L'observateur et le système ont donc un accès différé à tout ce qui constitue la discussion entre les participants. Nous avons passé sous silence les contributions 18 à 28 qui constituent une sous-phase sans conséquence pour le débat global et les contributions 32 à 36 qui n'ont pas rapport avec la tâche.

Chaque intervention dure en moyenne deux minutes. Le débat entier s'est clos naturellement (i.e. par la décision commune des participants) au bout de 71 minutes. Pour une meilleure lisibilité du corpus, les interventions de Roméo sont indentées.

La situation finale

Basile et Roméo ont reconstruit chacun de leur côté la solution à laquelle ils ont abouti dans la discussion. Comme le laisse entendre le débat, les participants se sont alignés sur la solution de Basile (diagramme circulaire, à deux réservoirs et un transformateur). Leurs deux schémas sont identiques, dans tous les éléments de la chaîne, hormis sur les labels portés par les flèches. Pour Basile, il s'agit de transferts ¡ (alors que sa solution initiale faisait intervenir des fils ¡ ) ; pour Roméo, il s'agit de fils conducteurs ¡ , comme les flèches de sa solution initiale. Cette différence s'explique a posteriori par le fait que la question des labels attribués aux flèches n'a pas été abordée.

Les attitudes individuelles sont saturées chez les deux participants, sauf Roméo envers le transfert entre les deux réservoirs, qui n'est que faiblement positive ('Oui, peut-être.'). Les explications de Basile sont expéditives et sans changement notable. Par contre, Roméo

Premiers résultats

Les résultats obtenus après les premières analyses faites sur le corpus, demeurent essentiellement qualitatifs et nous permettent au moins de valider l'adéquation de la situation expérimentale aux buts de la recherche. Cette interface -qui fait automatiquement la description langagière des chaînes énergétiques, les analyse, décrit les situations conflictuelles, et par dessus tout, constitue les dyades -est en mesure de favoriser la production spontanée de dialogues de type argumentatif, entre des apprenants.

L'activité d'expression d'attitudes est effectuée sans difficulté par les élèves et permet à l'expérimentateur de recueillir attitudes et explications. On ne peut garantir que les degrés d'attitude sont d'usage identique chez les différents sujets, du moins sur les attitudes positives. Il faut remarquer que les attitudes d'ignorance et de dénégation sont plus rarement utilisées et sont donc preuve d'une plus grande objectivité. D'autres part les élèves ont rempli systématiquement et précautionneusement les champs pour les explications. En outre l'apparition d'éléments nouveaux (et donc d'attitudes nouvelles), on remarquera des changements d'explications notoires, et en particulier, certaines explications de la dernière phase reprennent des arguments énoncés par l'opposant dans le dialogue précédent. De même, les explications précédant le dialogue permettent d'anticiper sur les arguments produits par la suite, dans le dialogue. La phase de recueil d'attitudes permet donc, d'une certaine façon, de reconstruire les conceptions des sujets avant et après dialogue, ainsi que de les relier avec les énoncés du dialogue.

Les dyades ont interagi massivement sur le mode argumentatif. Il y a très peu de prises de parole avant la phase proprement argumentative et ces contributions sont sans contenu relatif à la tâche. Ils ont pour but d'apprécier le fonctionnement de l'interface (ils n'ont pas eu d'exercice de familiarisation avec l'environnement CMC). On trouve également un dialogue informel en fin de dialogue, après que la phase argumentative a été clairement close. Ce type de discussion est dû au fait que les sujets tardent un peu à prévenir l'expérimentateur et la liaison reste établie. L'argumentation est qualitativement satisfaisante, puisqu'une analyse dialectique a pu être effectuée sans problème. Les contri-butions sont facilement découpables en contenus propositionnels, grâce au bon respect des tours de parole et au faible usage de référents, par rapport aux dialogues face à face avec un support papier. Il nous est donc possible de tirer une conclusion positive sur la qualité des discussions menées dans cette phase. Tant du point de vue dialectique, que des transitions entre séquences de dialogue de types définis [START_REF] Walton | Informal Logic : a handbook for critical argumentation[END_REF][START_REF] Walton | Commitment in dialogue : basic concepts of interpersonal reasoning[END_REF], le corpus recueilli est bien de l'argumentation dialoguée, produite spontanément, et modélisable par un système dialectique.

Perspectives et conclusions

La réussite de l'argumentation tient pour l'essentiel à l'implication des élèves dans leur propre solution et à la distance conceptuelle existant entre les points de vue. À l'issue de ce premier recueil de corpus, les solutions obtenues sont trop ressemblantes, et trop classiques ¡ (i.e. contraintes par le modèle électrocinétique). Nous espérons obtenir de meilleurs dyades donnant aux élèves une meilleure présentation du modèle énergétique, afin de leur faire comprendre qu'une toute autre description phénoménologique leur est demandée. On espère ainsi obtenir des chaînes bien plus personnelles et plus diverses que celles obtenues à ce jour.

On souhaite également améliorer la description de la situation de conflit initiale, qui sert de base de terrain commun au dialogue. En effet, on devrait pouvoir introduire davantage de marqueurs d'opposition entre les deux solutions. La phrase de consigne peut, elle aussi être retravaillée, afin de promouvoir entre les élèves des argumentations plus complexes et plus longues, en leur demandant d'explorer toutes les différences entre leurs solutions. Ils se bornent trop souvent à la discussion sur le conflit principal, décrit dans le terrain commun, sans trop se soucier du reste de la chaîne.

Enfin, un nouveau recueil de corpus est prévu sur un plus grand nombre de sujets, qui laissera davantage de chance à chaque sujet de se voir attribuer un partenaire complémentaire.

Conclusion

Nous avons présenté une situation expérimentale de recueil de corpus d'argumentations dialoguées spontanément produites par des élèves en CMC. Les données obtenues sont exploitables à des fins de modélisation cognitive des dialogues argumentatifs. Nous avons présenté les hypothèses sur lesquelles se fonde notre système : la prise en compte de dispositions argumentatives individuelles (maîtrise des concepts manipulés), interpersonnelles (conflits et choix de l'oppposant) et techniques (interface de dialogue). Les résultats ayant donné qualitativement satisfaction, nous nous orientons vers la validation d'un tel protocole à une échelle plus grande et la poursuite de nos recherches sur la modélisation cognitive de ces interactions.

¡

  Version française d'un article qui figure dans les actes de la 4 e Conférence Internationale de l'International Society for the Study of Argumentation(ISSA'98), Amsterdam, Juin 1998, 661-668.

FIG. 1 -

 1 FIG.1-La chaîne énergétique correcte pour le problème pile-ampoule ¡ .

Phase 1 :

 1 Résolution individuelle du problème et attitudesDescriptionSur un premier écran (voir figure2), chaque sujet doit construire la chaîne énergétique, correspondant à la situation expérimentale qu'ils ont sous les yeux. Celle-ci se compose d'une pile et d'une ampoule allumée, reliées par deux fils électriques. Il s'agit exactement du matériel dont ils disposent habituellement en salle de travaux pratiques.

  FIG.2-Écran 1 : Environnement de construction graphique de la solution (à gauche) avec description automatique de ses éléments (à droite).

FIG. 3 -

 3 FIG. 3 -Écran 2 : Attribution des attitudes et explications. Pour chaque phrase (à gauche) formulée par le système à partir de la solution graphique, le sujet exprime son attitude par le menu déroulant (au centre) et explique son choix dans l'espace réservé, à droite.

  FIG. 4 -Écran 3 : Environnement de communication partagé par les deux sujets de la dyade. La partie supérieure décrit la situation de conflit. La partie inférieure est dédiée à la communication. De part et d'autre de l'historique du dialogue (au centre), les sujets disposent d'un espace réservé à la formulation d'actes communicatifs. La bulle permet de taper du texte libre. Les autres boutons envoient des messages-types, indiqués sur chacun d'eux.

  FIG. 5 -Solutions individuelles de Basile et Roméo avant interaction.

  Déroulement général de l'expérience de dialogues spécifiques à chaque dyade. La troisième phase consiste en une discussion en dyade, à distance, en langue écrite pour établir une solution commune. Une fois la discussion terminée, les élèves construisent individuellement la solution commune (telle qu'ils la conçoivent personnellement) et expriment leurs attitudes à son sujet.

	Phases	Acteurs	Écran
	1 Construction de la chaîne personnelle	Sujet	1
	Travail sur cette chaîne dans la langue	Sujet	2a, 2b
	2 Analyse des solutions et des attitudes	Système
	Constitution des dyades	Système
	Attribution d'une consigne de dialogue Système
	3 Dialogue écrit à distance, mono-modal	Dyade	3
	4 (Re-)construction individuelle de la	Sujet	1'
	chaîne de la dyade
	Positionnement personnel par rapport	Sujet	2a', 2b'
	à la solution de la dyade
	TAB. 1 -

  TAB. 2 -Dialogue Basile-Roméo et son analyse dialectique (les interventions de Roméo sont indentées). explique les propositions concernant les nouveaux éléments (existence d'une deuxième pile et d'un transfert entre les deux réservoirs) en reprenant exactement les arguments apportés par Basile dans le dialogue, cf. tableau 3. Attitudes et explications fournies par Roméo à propos des éléments nouveaux de la chaîne après discussion ; la dernière colonne fait référence aux interventions du dialogue.

	Proposition	Attitude	Explication	N
	Il y a un réservoir	J'en suis sûr	Car comme il est indiqué sur	9-10
	nommé pile2		la feuille, le réservoir final est
			différent du réservoir initial
	Il y a un transfert de	Oui, peut-être Car, s'il y a deux réservoirs, il	13-17
	pile2 à pile nommé		faut bien qu'il y ait un raccord
	FIL CONDUCTEUR
	TAB. 3 -

Note : 1 et 1' (resp. 2a, 2b et 2a', 2b') correspondent aux mêmes activités. Voir les copies d'écran, plus loin.

Remerciements

Nous voudrions remercier les élèves et leur professeur de sciences physiques qui se sont prêtés au jeu de cette expérience, ainsi qu'à nos collègues de l'équipe GRIC-COAST qui nous ont bien aidés,


Matthieu Quignard
email: quignard@univ-lyon2.fr

In Frans

H Van Eemeren

J Anthony Blair

Charles A Willard

A Collaborative Model of Argumentation in Dyadic Problem-Solving Interactions *

, where the meaning of utterances stays in their relation to a particular problem that they locally transform.

Introduction

Within a cognitive approach to argumentation, our research deals with the argumentative processes of knowledge co-construction in dialogue [START_REF] Baker | Argumentation and Constructive Interaction[END_REF]. From this point of view we have been designing experimental situations favouring argumentation in dyadic problem-solving [START_REF] Quignard | Provoking spontaneous argumentative dialogues between learners[END_REF]Baker, Quignard, Lund & van Amelsvoort, this volume) over several years, in order to understand the roles of argumentation in the resolution of conceptual problems [START_REF] Baker | The function of argumentation dialogue in cooperative problem-solving[END_REF]Baker, Brixhe & Quignard, 2002). Whereas our previous research focussed on socio-cognitive conditions promoting emergence of argumentation between learners [START_REF] Quignard | Favouring modellable computer-mediated argumentative dialogue in collaborative problem-solving situations[END_REF] from a previous work of [START_REF] Golder | Le développement des discours argumentatifs[END_REF], in this paper we address the problem of analysing the argumentation processes carried out in problemsolving dialogues and the interactional phenomena by which knowledge is collaboratively elaborated. On one hand, our cognitive approach to argumentation is naturally very closely related to pragmatics studies of dialogue, which aim to describe or analyse the relationships between the use of language and its social or contextual implications in concrete situations. On the other hand, the phenomenon we want to explain -argumentation -has been very well described in normative models of dialectics, which give quite solid bases for defining the limits of argumentation phases, their genuine moves and schemes (attacks and defences) and their rules. The proof of the consistency of such dialectical systems (see fore example [START_REF] Barth | From Axiom to Dialogue: A philosophical study of logics and argumentation[END_REF] is another argument in favour of their universal domain of application. These two very different approaches to argumentation are not necessarily to be opposed when the pragmatic foundations of the logic of these systems can be defined with some degree of formality (see for example [START_REF] Quignard | Modelling argumentation and belief revision in agents interactions[END_REF]. Recent developments in pragma-dialectics [START_REF] Van Eemeren | Communication, Argumentation, Fallacies[END_REF] have shown the efficiency of this combination, being both a normative and descriptive method for understanding argumentative discourse [START_REF] Van Eemeren | Reconstructing Argumentative Discourse[END_REF] or designing argumentation situations, even for the purposes of learning (see [START_REF] Jackson | The Importance of Being Argumentative: Designing Disagreement in Teaching/Learning Dialogues[END_REF].

In fact, -and without playing on words -the previous models of argumentation meet their limits when dialogue is not yet or no longer argumentative. In other terms, when argumentation is too much considered as a verbal activity per se (with its own rules and own moves) there are some difficulties in taking into account cognitive continuum underlying the dialogue, for example rational commitments or problem-solving goals. Krabbe (1988) in an answer to Lorenz (Ibid.) stated that argumentative commitments can obtain in non-argumentative phases (e.g. theses), and thus some argumentative rules could prevail outside argumentative phases. In a later paper with [START_REF] Walton | Commitments in dialogue: basic concepts of interpersonal reasoning[END_REF], he tried to provide a logical framework for keeping trace of commitments across different dialogue phases, but that approach cannot be considered as a cognitive model. Another difficulty concerns the definition of a set of argumentative moves for the sake of describing argumentation processes. These moves cannot relate to the general process of dialogue, since they concentrate on purely argumentative objects of discourse: theses and arguments. Therefore, argumentation is disconnected from the pragmatic context of the dialogue from which it emerged, like a dialectical game interrupting a collaborative action. In fact, collaborative action (or the general goal of the dialogue) underlies the argumentation, and may change at any time (for example a conflict dissolution because they need to carry on to another topic). Nevertheless, it is clear that providing two separate sets of speech acts for analysing both parallel processes independently (argumentation and general dialogue) is not a satisfactory solution either since at least for cognitive reasons, these processes are very much linked with each other.

Therefore, a solution would be to derive argumentation moves from general dialogue categories, allowing a unique cognitive action to achieve several functions at a time. The multi-functionality of utterances has been already used in many cases to explain the quantity of things one can do with so few words. Authors like [START_REF] Allwood | An Activity Based Approach to Pragmatics[END_REF] or [START_REF] Bunt | Context and Dialogue Control[END_REF] have used it to distinguish task-oriented speech acts to dialogue control ones (for interaction management). Our main idea is based on the very pragmatic conception of dialogue from Morris or Clark, who considered dialogue as a verbal problem-solving activity (people use language for collaborating with respect to a given problem). The key point for our concern is to consider argumentation as a specific case of problem-solving, where the problem is the "conflict of avowed opinions" (Barth & Krabbe, op. cit.).

In this framework, three basic and independent components (universe of reference, interlocutory orientation and critical thinking operation) are necessary for identifying the problem-solving functions of utterances, i.e. the way the locutor intends the problem situation to be transformed or improved. Two supplementary components are required to describe the dialectical function of the same utterance: the proponent of the thesis and the argumentative polarity of the argument. Since the independence of these components can be shown, a systematic classification of dialectical functions of utterances can be elaborated, giving rise to eighteen mutually exclusive categories covering the classical dialectical moves and other argumentation moves that contribute to conflict resolution in a non-orthodox manner (such as clarification or ratification moves in dialectics).

This systematic decomposition of argumentation moves provides a powerful analytic method since the identification of five independent criteria allows us to choose within the large set of the resulting categories. Another benefit of such a method is to provide a schematic representation of dialogical argumentation, that can be used either by participants to externalise and reflect on their opinions or to analyse argumentative activities (dialogues or texts). In the following sections we present our collaborative model of argumentation in problem-solving dialogues and its graphical extension. We illustrate the theoretical and the graphical model by extracts from corpus of argumentative interactions between students. Finally we provides some critiques of these models and suggest some improvement for further research.

A Collaborative Model of Argumentation in Dyadic Problem-Solving Interactions

Our model for analysing argumentation follows the pragmatic and collaborative view of language, whose function is to coordinate actions and cognitions of participants for solving a common problem (Clark & Schaefer, 1989). We postulate that a problem is always at the origin of a dialogue even if it is not explicitly defined. The dialogic activity is thus oriented toward the realisation of a certain goal, which can be a concrete, practical result or a pure social or even phatic role. With respect to this conception of dialogue, speech acts are by definition the basic actions that take part to the resolution of this particular problem, and thus cannot be intrinsically defined inside language 1 .

Analysing dialogues consists thus in the identification of problem-solving functions of utterances, i.e. the manner each utterance contributes to the resolution of the various problems met along the dialogue 2 . These problems can be of course the original problem that triggered the interaction and its correlated questions, but also dialogal, interactional problems irrupting in conversation (perception, turn management, time management, understanding difficulties), due to the dialogue activity itself (see the feedback functions of [START_REF] Allwood | An Activity Based Approach to Pragmatics[END_REF], or dialogue control from Bunt's work, 1994). In this framework, utterances are already multi-functional since they can contribute at any time to the main problem (we call it dialogic) and to the control of dialogue (we call such problems dialogal). These basic functions are analysed according to the following criteria:

-Universe of reference: this first criteron denotes the problem the utterance focuses on and can be further developed when we specify which particular aspect of the problem the participant would like to address. If the universe of reference is the problem-solving task (a learning exercise), we can identify whether the participants focuses on a particular solution, a rule, a notion, etc. For dialogal problems, we can specify whether the utterance concerns the dialogue structure (opening, topic management, closing), mutual understanding, time or turn management, etc.

-Critical thinking operation: this criterion defines the cognitive action expected by the speaker to locally improve the problematic situation. We distinguish two kinds of operations: evaluations (axiological contributions) whose function is to judge, appreciate or evaluate a situation or a particular point of the problem (EVAL) and explicitation (epistemic contributions) which transforms the state of knowledge by some conceptual operations such as explanation, reformulation, inference...

-Interlocutory orientation: in the utterance, the speaker expects one particular participant to perform the cognitive action on the problem. Speakers set their contribution in the interlocutory space of the interaction. The expected agent can be speakers themselves in a case of a direct contribution or other participants if they request someone else to do it.Each utterance is then analysed at least on the basis of what problem(s) is (are) to be solved, by whom and by which cognitive operation(s).

Each triplet of <referent, critical thinking operation, interlocutory orientation>defines one problemsolving function, allowing a single utterance to be multifunctional. This framework may be easily developed to make the analysis more accurate, depending on which particular aspect of dialogue the analyst is interested in.

In the framework of an argumentative phase, -that is in a dialectical sense a situation in the dialogue where someone is defending one of his/her previous statements -, all statements automatically refer to theses. The argumentative problem is thus a "conflict" to be solved, or at least an agreement to be reached with respect to one or several theses. Argumentation is thus to be analysed as a particular case of dialogal problem solving (the highest stage of Allwood's model of communication: determine attitudes towards an agreement). Universe of reference in argumentation is thus composed of the conflicting theses that we identify by their proponents (my thesis, MT, or your thesis, YT). Another criterion is also needed to understand the argumentative function of utterances: the argumentative orientation of the contribution in favour (PRO) or not (CONTRA) with respect to the thesis. We retain the typology of critical thinking operations (evaluations and elicitation) even if they are called differently in an argumentative context: evaluations have functions of taking dialectical positions (TDP) and explicitations of providing arguments (ARG).

The combination of these 4 independent criteria gives rise to a large set of 18 dialectical functions, listed and explained in the following table (Table 1). Here are some of them:

-ARG-PRO-MT: the speaker provides an argument in favour of his own thesis -REQ-ARG-PRO-YT: the speaker asks his opponent to provide an argument in favour of her thesis (ask for justification)

-TDP-CONTRA-MT: this is a case of a retraction of a thesis up to here defended by the speaker -REQ-TDP-MT: the speaker asks his opponent to take a position with respect to his thesis.

TAB. 1 -Dialectical functions

We note that concession is not present in the table. It is actually a conjunction of an argument and a dialectical position with opposing dialectical orientation (for example ARG-CONTRA-MT + TDP-PRO-MT).

The main interest of this classification is to cover the classical categories of dialectical systems and to propose new categories whose function is to clarify the dialectical situation. Despite these categories are not provided in formal models, they are quite often used in natural dialogues. For example ARG-CONTRA-MT justifies a retraction, REQ-TDP-PRO-MT and REQ-ARG-PRO-MT respectively ask to confirm the acceptation of the opponent's thesis and to justify it... Another useful aspect is more practical than theoretical. The systematisation based on the independence of four criteria guarantees the sets of functions will cover all the cases with mutually exclusive categories and provides a practical and powerful method for analysing argumentation, since 4 categorisations are sufficient to identify without any doubt the right category amongst the others.

Corpus sample 1: a chat interaction analysis

In Table 2 we present the argumentative phase of a problem-solving dialogue between two students. These two 16 years old girls discussed in physics exercise via synchronous typewritten computer-mediated communication (cf. CHAT): modelling energy flows in an electrical circuit composed by a battery and a bulb connected to each other with two wires 3 . The main difficulty of this exercise is to bypass the habitual electrical model and to understand that the electrical work transfers the energy from the battery (initial reservoir) to the bulb, which transforms it into light and heat that are transferred to the environment (final reservoir). Note how the graphical solution is different from the electrical circuit diagram.

The names of the two students have been changed to preserve anonymity and their dialogue has been translated into English from the original French, without rendering the original orthographic or typographic mistakes (but we kept the capitalised words and most of the punctuation). This dialogue contained an important closure phase that has not been reported here. Their dialogue immediately begins with a dialectical phase on a mixed conflict where each participant upholds her thesis (TDP-PRO-MT) against her opponent's thesis (TDP-CONTRA-TT). Anna's argumentation (A5) leads Daisy to retract her thesis (It is "true" that there must be only one transfer) even if she maintains her critique with respect to Daisy's thesis (it would be "logical" to have two wires). In the remainder of the dialogue, Daisy requires the help of Anna to dissipate her doubts (D8) and to be convinced with respect to her solution (D20).

TAB. 2 -Analysis of an argumentative chat interaction

An important episode happens between utterances D10 and A17 when, after the reformulation of her thesis by her opponent (D10), Anna retracts her thesis (AA3) and Daisy asks her to uphold her role of proponent (D14, D16). This reformulation in fact hides a new solution (the correct one), built as a compromise between Anna's solution (one transfer) and Daisy's solution (two wires). But when Anna seems to be convinced by this solution (A17), she comes back to her initial thesis in which there was only the positive wire as a transfer. Daisy asks Anna to take a clear position between her two theses and follows Anna's final choice: the transfer is achieved by the positive wire only.

The dialectical analysis shown on the last column of the table shows the dissymmetry of collaboration in this problem-solving and conflict resolution:

1. Theses (dialectical referents): only 4 argumentative moves refer to Daisy's thesis (utterances 2 to 5) whereas 19 referring to Anna's all along the dialogue. The major part of argumentation (8 to 20) is thus organised like a simple conflict where Daisy critiques what Anna proposes.

Interlocutory orientation:

Anna performs only direct contributions. She gets from Daisy the charge to provide answers to Daisy questioning.

3. Critical thinking operations: the cognitive activity of the participants is for the essential axiological and rarely epistemic (17 vs. 6). This argumentation is thus very much deliberative and very few arguments have been produced.

These briefly presented results reveal a quite original form of argumentation that classical models of dialectics would have some difficulties to apprehend. It is a case of a simple conflict won by the proponent whose resolution does not come by the means of convincing arguments but rather by the expression of a convinced opinion: Daisy accepted Anna's thesis as soon as the latter seemed to be convinced. The rare arguments provided in the dialogue and even a reformulation leave few opportunities for co-constructing a new solution. The agreement is met on Anna's initial solution by eradication of Daisy's one (too close to the electrical circuit diagram to integrate the constraints of the energetical model).

A Graphical Representation of Dialogical Argumentation

As argumentation moves can be decomposed into four basic sub-components, we may use the model for providing a graphical language for describing argumentation. Boxes will represent the epistemic part of arguments, directed arrows will make explicit the reference of the argument to the thesis. On this link we put a node with a label for the argumentative orientation (the symbol "+" for PRO and "-" for CONTRA). Attitudes are made manifest by the state of checkboxes situated in the margin of the graphical zone, and are displayed when the corresponding object (box or node) is selected.

This graphical language is recursive: argumentative relations represented by the nodes can be attacked, defended by second-order arguments. There are thus two ways of defeating an argument: either by attacking its backing boxes (undercut) or its node (rebuttal).

Colours are another graphical feature used in this framework for showing which participants are committed to which potential thesis. Each participant has a coloured signature, and every time s/he evaluates a box or a node (either PRO or CONTRA) the border of the object is surrounded with his/her colour. When two opposite attitudes have been expressed, the shape of the object changes to show that a conflict has arisen.

FIG. 1 -The Java Interface for Graphical Argumentation in DREW

Figure 1 is a screen dump of the implementation of this graphical system in a Java applet, running in the collaborative environment DREW 4 . In this simulated example, two participants (Matthieu in blue and Bill in orange) discuss about the pros and cons of Internet. The main thesis is "Internet is good". Participants disagree on this thesis as shown by the shape of the box. An argument against Internet is provided, denoted by the negative node: "Big Brother is watching you" (Internet is a means to control users communication and interfere with individual liberties). Both participants agree on this argument because the shape of the node is a circle. It becomes a lozenge when participants disagree. This is the case of the argument "Free speech" that supports Internet (positive node). Bill attacked this argument in its relation to the thesis: free speech is not necessary a good argument for Internet since pornographic messages could not be controlled anymore.

This representation shares this common point with the Toulminian graphical structure of argument [START_REF] Toulmin | The Uses of Argument[END_REF][START_REF] Suthers | Groupware for developing critical discussion skills[END_REF] to propose a distributed vision of argument as networked subcomponents. Nevertheless our graphical framework differs radically from the former on two main points:

1. There is no typology of boxes in data, claims, warrants, backings, etc. and therefore no epistemological discrimination between the components of arguments. We are closer to a dialectical representation of argumentation than a representation of reasoning.

2. This is a dialogical representation of argumentation, whereas Toulminian graphs are a monological representation of an argumentative discourse structure. Different points of view can be simultaneously represented and related to each other, giving rise to expression of agreements or disagreements.

Two implementations of this system have been carried out, both in Java. One called JigaDREW 5 is used as a means of collaboration in the collaborative environment DREW, and thus enable participants to 4. Dialogical Reasoning Educational Web tools. The DREW environment is a development of the RIM research team of the Ecole des Mines de St-Etienne (http://drew.emse.fr). It is available under GPL in different european languages (French, English, Finnish, Dutch, Hungarian and Portuguese).

5. Java Interface for Graphical Argumentation in DREW. This interface has been implemented by Matthieu Quignard in 2001 under contract with the Ecole des Mines de St-Etienne, with the help of Philippe Jaillon, the main designer of the DREW environment.

argue through the production of an argumentation graph and the use of other communication modules (a chat for example). Another one can be used as a standalone applet for analysis purpose 6 . The analyst simulates the presence of several protagonists to represent polyphonic aspects of argumentative text or naturally dialogues.

Corpus sample 2: a graphical argumentative interaction

The following figure (Figure 2) represents the final stage of a multimodal discussion on the topic "Should we authorise the production of Genetically Modified Organisms (GMOs)?". This example is taken from an experiment carried out in France for the SCALE European project 7 . As before, the graph has been translated from French into English and the names of the participants have been changed. This was the first time that we evaluate this kind of representation in a pedagogical debate activity (see Baker, Quignard, Lund & van Amelsvoort, this volume). One should be aware that this is only a snapshot of a moving graph, interactively modified by the participants.

FIG. 2 -The final stage of a chat-graphical debate on Genetically Modified Organisms.

Evaluating a graph is not an easy thing to do, especially if we neglect the historical process of its generation 8 (that is, argumentation). If we temporarily only look at the boxes omitting the relations 6. More information on this applet on http://levant.univ-lyon2.fr/SCALE/DREW/GrapheurAlone/ index.html 7. The SCALE project (Internet-based intelligent tool to Support Collaborative Argumentation-based LEarning in secondary schools, March 2001-February 2004) is funded by the European Community under the Information Societies Technology (IST) Programme. Information on the project can be found at: http://www.euroscale.net/ 8. The interested reader is invited to replay on demand of this interaction on http://levant.univ-lyon2.fr/ between them, we must admit that these two participants succeeded in exploring many parts of the debate: medical developments, ethics questions, food quality issues (taste and nutritive value) and geopolitics issues for GMOs against malnutrition. Participants generally agree on the expressed arguments. They only disagree on food issues and the ability for GMOs to resist to antibiotics. This example shows the interest of such a tool to express ideas (at least) and to elaborate a common ground.

If we take into account the argumentative relationships (arrows and nodes), we have some difficulties to understand the argumentative structure. Of course, one can easily observe that the debate consists in two connected sets of arguments (two subdebates), one on the medical issues and the other on alimentation issues. Participants actually confused argumentative orientation and causality relationship. For example, "GMOs can cure diseases" and "create vaccines" are two arguments in favour of GMOs, thus should have arrows in the opposite direction.

Discussion

The collaborative model of argumentation in problem-solving dialogue provides an open framework for analysing the role of argumentation in problem-solving dialogues. This model derives from a more general model of dialogue as a collaborative verbal problem solving activity, in which argumentation appears as a specific phase focussed on the resolution of a disagreement. This embedded approach to argumentation enables argumentative utterances to have others functions than argumentative, and to avoid an exclusive/reductive dialectical analysis of some parts of the dialogue. With the multi-functionality of speech acts, this model thus provides free opportunities to refine categories or to entail further aspects of communication (for example, the co-construction of the social relationship between participants), whilst the model remains cognitively consistent (to the extent that all functions are based on the same set of critical thinking operations).

We provide a set of non ad hoc argumentative functions, generated systematically on the basis of clear and simple theoretical principles. These categories cover a larger set of moves than classical dialectical systems and reveal the use of dialectical clarification moves in natural dialogues. But the organisation of dialectical functions on the basis of 4 independent criteria provides a means to analyse the collaborative roles of participants and the different colours of dialectics in learning situations. Unfortunately what we gain in coverage is lost in accuracy. The reduction of argumentative moves to basic functions break down reasoning processes or strategies. Reasoning features such as reductio ad absurdam, concessions, etc. need to be recomposed to be effective. Non-adversarial argumentative moves are difficult to be analysed as well. Hypothetical thesis, or collaboratively supported thesis may be discussed, defended or attacked, without being necessarily the thesis of one or the other participant. The proponent role should not be restricted to a particular participant and be supported by a set of persons or for a hypothetical one by no one in particular.

This model gives the theoretical foundations for a graphical representation of dialogic argumentation. As opposed to Toulminian graphs and the Belvedere environment, this graphical representation takes into account dialogic features of argumentation, since several voices can be represented and confronted. The representation focuses on argumentative relationships between propositions, with the recursive possibility to argue on arguments as well as on argumentative relationships. This model can be used for analysing argumentation or for interacting with other people by co-constructing an argumentation graph. The latter usage of this tool has been tested with a class of 18 years old students. The results are divided: although JigaDREW offers a good means for externalising opinions and arguments, the graphical meaning of arrows are not very well understood, and need probably an intensive teaching sequence to stress on the difference between an argumentative graph and a conceptual map. An important difference with the analytical model it is based on, is that only direct contributions are graphically represented. When participants request some information or some particular action, they are forced to use another means of communication. Therefore, as a communicative tool, JigaDREW cannot be used alone. Further SCALE/samples/index.html developments are planned for improving features of JigaDREW, within the framework of the SCALE European project, for example an automatic layout algorithm, a intelligent tutoring system giving feedback to participants in specific configuration of the graph, etc. But the most important work is planned for the integration of this tool (either for producting or for analysing argumentation) in pedagogical situations, within collaborative work with teachers.

Conclusions

We have presented a collaborative model of argumentation in problem-solving dialogues. This model aims to provide an analytical framework for describing the cognitive processes of argumentation and their potential roles in problem solving. To preserve cognitive coherence and continuity of the dialogue, argumentation has been considered as a specific case of problem solving, where a "conflict" is to be solved. We show the way in which we can derive argumentation moves from general functions of problem solving; those we use for analysing various aspect of communication management. A large set of dialectical functions has been generated on the basis of four simple criteria: thesis proponent, argumentative orientation, interlocutory orientation and the critical thinking operation. This model has shown to be relevant for analysing collaboration and cognitive roles of participants and quite easy to apply despite the number of categories.

This model is also at the foundations of a graphical representation of dialogic argumentation, providing at least a tool for representing the structure and the evolution of argumentation dialogues. This graphical system has been implemented in a standalone Java applet for analysis purpose and in a communication module for interaction purpose, fitting into an existing collaborative environment, DREW. This interface is currently under development and aims to support argumentation learning and debate through Internet for pedagogical purpose. A deep collaboration between researcher and teachers, in the framework of the SCALE European project, will undoubtly be beneficial in improving the functionality of this interface and its pedagogical utility.

Acknowledgements

I would like to thank gratefully my thesis supervisor and colleague Dr. Michael Baker for his guidance in my doctoral and postdoctoral research. The development of the JigaDREW interface could not have been possible without the support of the SCALE project consortium, the Ecole des Mines de St-Etienne, and especially the help of Philippe Jaillon, the core designer of DREW and also the brilliant network engineer that help us to carry out the first experimentation of the interface. Finally, I would like to thank warmly all participants of the experiments related here, students from Bron and La Mulatière and their teachers, and all colleagues that helped me in their organisation.


Louise Nyssen

Test vectors for trilinear forms, when two representations are unramified and one is special

Introduction

Let F be a finite extension of Q p , with ring of integers O F , and uniformizing parameter π F , whose residual field has q elements. For G = GL 2 (F ), let (π 1 , V 1 ), (π 2 , V 2 ) and (π 3 , V 3 ) be three irreducible, admissible, infinite dimensional representations of G. Using the theory of Gelfand pairs, Diprenda Prasad proves in [P] that that the space of G-invariant linear forms on V 1 ⊗ V 2 ⊗ V 3 has dimension at most one. He gives a precise criterion for this dimension to be one, that we will explain now.

Let D * F be the group of invertible elements of the quaternion division algebra D F over F . When (π i , V i ) is a discrete serie representation of G, denote by (π ′ i , V ′ i ) the irreducible representation of D * F associated to (π i , V i ) by the Jacquet-Langlands correspondance. Again, by the theory of Gelfand pairs, the space of D * F -invariant linear forms on V ′ 1 ⊗ V ′ 2 ⊗ V ′ 3 has dimension at most one.

Let σ i be the two dimensional representations of the Weil-Deligne group of F associated to the irreducible representations π i . The triple tensor product σ 1 ⊗ σ 2 ⊗ σ 3 is an eight dimensional symplectic representation of the Weil-Deligne group, and has local root number ε(σ 1 ⊗ σ 2 ⊗ σ 3 ) = ±1. When ε(σ 1 ⊗ σ 2 ⊗ σ 3 ) = -1, one can prove that the representations π i 's are all discrete serie representations of G.

Theorem 1. (Prasad,theorem 1.4 of [P] ) Let (π 1 , V 1 ), (π 2 , V 2 ), (π 3 , V 3 ) be three irreducible, admissible, infinite dimensional representations of G such that the product of their central characters is trivial. If all the representations V i 's are cuspidal, assume that the residue characteristic of F is not 2. Then ε(σ 1 ⊗ σ 2 ⊗ σ 3 ) = 1 if and only if there exist a non zero G-invariant linear form on

V 1 ⊗ V 2 ⊗ V 3 ε(σ 1 ⊗ σ 2 ⊗ σ 3 ) = -1 if and only if there exist a non zero D * k invariant linear form on V ′ 1 ⊗ V ′ 2 ⊗ V ′ 3 . Once you got a non zero G-invariant linear form ℓ on V 1 ⊗ V 2 ⊗ V 3 , or a non zero D * k - invariant linear form ℓ ′ on V ′ 1 ⊗ V ′ 2 ⊗ V ′ 3 , you want to find a vector in V 1 ⊗ V 2 ⊗ V 3 which is not in the kernel of ℓ, or a vector in V ′ 1 ⊗ V ′ 2 ⊗ V ′
3 which is not in the kernel of ℓ ′ . Such a vector is called a test vector. At first sight, it appears to have strong connections with the new vectors v 1 , v 2 and v 3 of the representations π 1 , π 2 et π 3 .

Theorem 2. (Prasad,theorem 1.3 of [P]) When all the π i 's are unramified principal series representations of G, v 1 ⊗ v 2 ⊗ v 3 is a test vector for ℓ.

Theorem 3. (Gross and Prasad,) When all the π i 's are unramified twists of the special representation of G :

if ε(σ 1 ⊗ σ 2 ⊗ σ 3 ) = 1, then v 1 ⊗ v 2 ⊗ v 3 is a test vector for ℓ, if ε(σ 1 ⊗ σ 2 ⊗ σ 3 ) = -1, let R ′ be the unique maximal order in D F . Then the open compact subgroup R ′ * × R ′ * × R ′ * fixes a unique line in V ′ 1 ⊗ V ′ 2 ⊗ V ′ 3 .
Any vector on this line is a test vector for ℓ ′ .

The proof by Gross and Prasad of the first statement of this theorem, actually contains another result: Theorem 4. When two of the π i 's are unramified twists of the special representation of G and the third one belongs to the unramified principal serie of G, v 1 ⊗ v 2 ⊗ v 3 is a test vector for ℓ.

But the paper [G-P] ends up with an evidence that v 1 ⊗ v 2 ⊗ v 3 is not always a test vector for ℓ. Let K = GL(O F ) be the maximal compact subgroup of G. If π 1 and π 2 are unramified and if π 3 has conductor n ≥ 1, ℓ being G-invariant, v 1 and v 2 being K-invariant, one gets a K-invariant linear form

V 3 -→ C v -→ ℓ(v 1 ⊗ v 2 ⊗ v)
which must be 0 since π 3 is ramified. Then ℓ(v 1 ⊗ v 2 ⊗ v 3 ) = 0. Now Gross and Prasad make the following suggestion. Let Γ 0 (π n F ) be the congruence subgroup

Γ 0 (π n F ) = { a b c d ∈ K c ≡ 0 mod π F n }
and R be a maximal order M 2 (F ) such that

R * ∩ K = Γ 0 (π n F ). If v * 2 is a R * -invariant vector inV 2 , the linear form V 3 -→ C v -→ ℓ(v 1 ⊗ v * 2 ⊗ v) is invariant under the action of R * ∩ K = Γ 0 (π n
F ), and one can still hope that v 1 ⊗ v * 2 ⊗ v 3 is a test vector for ℓ. In theorem 5 we will focus on the case n = 1, and prove that v 1 ⊗ v * 2 ⊗ v 3 is a test vector for ℓ, up to a condition on π 1 and π 2 . This will almost complete the study of test vectors when the π ′ i s have ramification 0 or 1.

In the long term, the search for test vectors is motivated by the subconvexity problem for L-functions. Roughly speaking, one wants to bound some L-functions along the critical line ℜ(z) = 1 2 . A recent and successful idea in this direction has been to relate triple products of automorphic forms to special values of L-functions on the critical line. In [B-R 1] and [B-R 2] Joseph Bernstein and Andre Reznikov did this in the eigenvalue aspect , and in [V] Akshay Venkatesh did it in the level aspect. More details about subconvexity and those related techniques will be found in [M-V]. Test vectors are key ingredients. Bernstein and Reznikov use an explicit test vector. Venkatesh uses a theoretical one, but explains that the bounds would be better with an explicit one (see paragraph 5 of [V]). Unfortunately, the difficulty of finding them increases with the ramification of the representations involved.

There is an extension of Prasad's result in [H-S], where Harris and Scholl prove that the dimension of the space of G-invariant linear forms on V 1 ⊗V 2 ⊗V 3 is one when π 1 , π 2 and π 3 are principal series representations, either irreducible or reducible with their unique irreducible subspace, infinite dimensional. They apply the global setting of this to the construction of elements in the motivic cohomology of the product of two modular curves constructed by Beilinson.

I would like to thank Philippe Michel for suggesting this problem, and Wen-Ching Winnie Li who invited me to spend one semester at PennState University where I could write the first draft of this paper.

Strategy 2.1 Notations

Let (ρ, W ) be a smooth representation of a closed subgroup H of G. Let ∆ H be the modular function on H. The induction of ρ from H to G is a representation π whose space is the space Ind G H ρ of functions f from G to W satisfying the two following conditions :

(1

) ∀h ∈ H ∀g ∈ G f (hg) = ∆ H -1 2 (h)ρ(h)f (g), (2) there exist an open compact subgroup K f of G such that ∀k ∈ K f , ∀g ∈ G, f (gk) = f (g)
where G acts by right translation. The resulting function will be denoted π(g), f that is

∀g, g 0 ∈ G π(g), f (g 0 ) = f (g 0 g).
With the additional condition that f must be compactly supported modulo H, one gets the compact induction denoted by ind G H . When G/H is compact, there is no difference between Ind G H and ind G H . Let B the Borel subgroup of upper triangular matrices in G and T be the diagonal torus.

Then we will use

δ = ∆ B -1 with δ a b 0 d = | a d | and ∆ T is trivial.
The quotient B\G is compact and can be identified with P 1 (F ).

For a smooth representation V of G, V * is the space of linear forms on V . The contragredient representation π is given by the action of G on V , the subspace of smooth vectors in

V * . If H is a subgroup of G, V ⊂ V |H ⊂ V * .
More information about induced and contragredient representations will be found in

[B-Z]. Let (π 1 , V 1 ), (π 2 , V 2
) and (π 3 , V 3 ) be three irreducible, admissible, infinite dimensional representations of G such that the product of their central characters is trivial. Assume that π 1 and π 2 are unramified principal series, and that π 3 has conductor n ≥ 1. Then, according to theorem 1, there exist a non-zero, G-invariant linear form ℓ on V 1 ⊗ V 2 ⊗ V 3 , and we are looking for a vector v in V 1 ⊗ V 2 ⊗ V 3 which is not in the kernel of ℓ. In order to follow Gross and Prasad suggestion, we will consider

γ = π n F 0 0 1 and R = γ -1 M 2 (O F )γ.
One can easily check that

R * = γ -1 Kγ and R * ∩ K = Γ 0 (π n F ).
If v 1 , v 2 and v 3 denote the new vectors of π 1 , π 2 and π 3 , the vector

v * 2 = π 2 (γ -1 ) • v 2
is invariant under the action of R * . Hence we can write

v 1 ∈ V 1 K v * 2 ∈ V 1 R * v 3 ∈ V 3 R * ∩K
According to Gross and Prasad v 1 ⊗ v * 2 ⊗ v 3 should be a test vector for ℓ , for any n ≥ 1. In this paper, we will focus on the case where n = 1. We will need the following condition regarding π 1 and π 2 : since they are unramified principal series, they are induced from characters χ 1 and χ 2 of B, that are required to satisfy

χ 1 π F 0 0 π F -1 = -1 or χ 2 π F 0 0 π F -1 = -1 (1)
We will prove

Theorem 5. If n = 1, and (1) is satisfied, v 1 ⊗ v * 2 ⊗ v 3 is a test vector for ℓ.
The proof will follow the same pattern as Prasad's proof of theorem 2 in [P], with the necessary changes.

Central characters

Let ω 1 , ω 2 and ω 3 be the central caracters of π 1 , π 2 and π 3 . Notice that the condition ω 1 ω 2 ω 3 = 1 derives from the G-invariance of ℓ. Since π 1 and π 2 are unramified, ω 1 and ω 2 are unramified too, and so is ω 3 because ω 1 ω 2 ω 3 = 1. Let η i , for i ∈ {1, 2, 3} be unramified quasi-characters of F * with η 2 i = ω i and η 1 η 2 η 3 = 1. Then

V 1 ⊗ V 2 ⊗ V 3 ≃ V 1 ⊗ η -1 1 ⊗ V 2 ⊗ η -1 2 ⊗ V 3 ⊗ η -1 3
as a representation of G. Hence it is enough to prove theorem 4 when the central characters of the representations are trivial.

When n = 1, it is also enough to prove theorem 5 when V 3 is the special representation Sp of G : take η 3 to be the unramified character such that V 3 = η 3 ⊗ Sp.

Prasad's exact sequences

Let us now explain how Prasad finds ℓ. It is equivalent to search ℓ or to search a non zero element in Hom G V 1 ⊗ V 2 , V 3 . Since the central characters of π 1 and π 2 are trivial, there are unramified characters µ 1 and µ 2 such that for i = 1 and i = 2

π i = Ind G B χ i with χ i a b 0 d = µ i a d Hence V 1 ⊗ V 2 = Res G Ind G×G B×B χ 1 × χ 2
where G is diagonally embedded in G×G for the restriction. The action of G on B×B\G×G = P 1 (F ) × P 1 (F ) has precisely two orbits : the first one is

{(u, v) ∈ P 1 (F ) × P 1 (F ) | u = v},
it is open and can be identified with T \G, the second one is the diagonal embedding of P 1 (F ) in P 1 (F ) × P 1 (F ), it is closed and it can be identified with B\G. Then, we have a short exact sequence of G-modules

0 → ind G T χ 1 χ 2 ext --→ V 1 ⊗ V 2 res --→ Ind G B χ 1 χ 2 δ 1 2 → 0 (2)
The surjection res is the restriction of functions from G × G to the diagonal part of B\G × B\G, that is

∆ B\G = (g, bg) | b ∈ B, g ∈ G .
The injection ext takes a function

f ∈ ind G T χ 1 χ 2 to a function F ∈ Ind G×G B×B χ 1 × χ 2 given by the relation F g, 0 1 1 0 g = f (g).
Applying the functor Hom G • , V 3 , one gets a long exact sequence

0 → Hom G Ind G B χ 1 χ 2 δ 1 2 , V 3 → Hom G V 1 ⊗ V 2 , V 3 → Hom G ind G T χ 1 χ 2 , V 3 ↓ • • • ← Ext 1 G Ind G B χ 1 χ 2 δ 1 2 , V 3 (3)

The simple case

The situation is easier when n = 1 and

µ 1 µ 2 | • | 1 2 = | • | -1 2 .
Then π 3 is special and there is a natural surjection

Ind G B χ 1 χ 2 δ 1 2 -→ V 3
whose kernel is the one dimensional subspace of constant functions. Thanks to the exact sequence (2) one gets a surjection

Ψ : V 1 ⊗ V 2 -→ V 3 which corresponds to ℓ V 1 ⊗ V 2 ⊗ V 3 -→ C v ⊗ v ′ ⊗ v ′′ -→ Ψ(v ⊗ v ′ ).v ′′ The surjection Ψ vanishes on v 1 ⊗ v * 2 if and only if res(v 1 ⊗ v *
2 ) has constant value on P 1 (F ) ≃ B\G. Easy computation proves that it is not constant : the new vectors v 1 and v 2 are functions from

G to C such that ∀i ∈ {1, 2}, ∀b ∈ B, ∀k ∈ K, v i (bk) = χ i (b) • δ(b) 1 2 and ∀g ∈ G, v * 2 (g) = v 2 (gγ -1 ). Then (v 1 ⊗ v * 2 ) 1 0 0 1 = v 1 1 0 0 1 v 2 γ -1 = v 2 π -1 F 0 0 1 = µ 2 (π F ) -1 |π F | -1 2 = √ q µ 2 (π F ) and (v 1 ⊗ v * 2 ) 0 1 1 0 = v 2 0 1 1 0 π -1 F 0 0 1 = v 2 1 0 0 π -1 F 0 1 1 0 = µ 2 (π F ) √ q .
The representation π 2 is principal so

√ q µ 2 (π F ) = µ 2 (π F ) √ q and (v 1 ⊗ v * 2 ) 1 0 0 1 = (v 1 ⊗ v * 2 ) 0 1 1 0 . Hence, Ψ does not vanish on v 1 ⊗ v * 2 . Then, v 1 being K-invariant and v * 2 being R * -invariant, Ψ(v 1 ⊗ v * 2 ) is a non zero Γ 0 (π n F )-invariant element of V 3
, that is, a new vector for π 3 , and it does not vanish on v 3 :

ℓ(v 1 ⊗ v * 2 ⊗ v 3 ) = Ψ(v 1 ⊗ v * 2 ).v 3 = 0 Then v 1 ⊗ v * 2 ⊗ v 3 is a test vector for ℓ.

The other case

If n ≥ 2 or µ 1 µ 2 | • | 1 2 = | • | -1 2 then Hom G Ind G B χ 1 χ 2 δ
1 2 , V 3 = 0 and by corollary 5.9 of [P] Ext

1 G Ind G B χ 1 χ 2 δ 1 2 , V 3 = 0
Through the long exact sequence (3) we get an isomorphism

Hom G V 1 ⊗ V 2 , V 3 ≃ Hom G ind G T χ 1 χ 2 , V 3
and by Frobenius reciprocity

Hom G ind G T χ 1 χ 2 , V 3 ≃ Hom T χ 1 χ 2 , V 3|T
By lemmas 8 and 9 of [W], this latter space is one dimensional. Thus, we have a chain of isomorphic one dimensional vector spaces

ℓ ∈ Hom G V 1 ⊗ V 2 ⊗ V 3 , C ↓ ≀ Ψ ∈ Hom G V 1 ⊗ V 2 , V 3 ↓ ≀ Φ ∈ Hom G ind G T χ 1 χ 2 , V 3 ↓ ≀ ϕ ∈ Hom T χ 1 χ 2 , V 3|T
with generators ℓ, Ψ, Φ and ϕ corresponding via the isomorphisms. Notice that ϕ is a linear form on V 3 such that

∀t ∈ T ∀v ∈ V 3 ϕ π 3 (t)v = χ 2 (t) χ 1 (t) ϕ(v) (4) Lemma 1. ϕ(v 3 ) = 0.
Proof : this is proposition 2.6 of [G-P] with the following translation :

-the local field F is the same, -the quadratic extension K/F of Gross and Prasad is F × F (this case in included in their proof) and their group K * is our torus T , -the infinite dimensional representation V 1 of Gross and Prasad is our π 3 , -the one dimensional, unramified representation V 2 of Gross and Prasad is χ 1 χ 2 . Then the representation that Gross and Prasad call V is χ 1 χ 2 ⊗π 3 and their condition (1.3) is exactly our condition (4). The character ω of Gross and Prasad, which is the central character of their V 1 , is trivial for us. Let α K/F the quadratic character of F * associated to the extension K/F by local class-field theory, and let σ and σ 3 be the representations of the Weil-Deligne group of F associated to χ 1 χ 2 and π 3 . Thanks to [T] we know that ε(σ⊗σ 3 ) = α K/F (-1) because K is not a field, and we are in the first case of proposition 2.6. The restriction of χ 1 χ 2 ⊗ π 3 to the group

M = x 0 0 z | x, y ∈ O * F × Γ 0 (π n F )
fixes a unique line in V 3 : it is the line generated by the new vector v 3 . According to Gross and Prasad, a non-zero linear form on V 3 which satisfies (4) cannot vanish on v 3 .

We still need to prove that ℓ(v 1 ⊗ v * 2 ⊗ v 3 ) = 0. For the reason described at the end of section 2.4, it is enough to prove that

V 3 -→ C v -→ ℓ(v 1 ⊗ v * 2 ⊗ v)
is non zero in V 3 . In order to do that we want to build a function

F in V 1 ⊗ V 2 , of the form F = i∈I a i (π 1 ⊗ π 2 )(g i ), v 1 ⊗ v * 2 (5)
which vanishes on the closed orbit of G in P 1 (F ) × P 1 (F ). Then, F is in the kernel of res so it is the image by ext of a function

f ∈ ind G T χ 1 χ 2 .
The important point is that f must be the characteristic function of the orbit of the unit in the decomposition of T \G under the action of Γ 0 (π n F ), which means :

f (g) = χ 1 (t) χ 2 (t) if g = tk with t ∈ T and k ∈ Γ 0 (π n F ) 0 else (6)
Then, the function

G -→ C g -→ f (g) ϕ π 3 (g)v 3
is invariant by the action of T by left translation and we can do the following computation: on the one hand

Ψ(F ) (v 3 ) = Φ(f ) (v 3 ) = T \G f (g) ϕ π 3 (g)v 3 dg = (T ∩K)\Γ 0 (π n F ) ϕ π 3 (k)v 3 dk = λ • ϕ(v 3 ).
where λ is a non zero constant. Thanks to lemma 1 we know that ϕ(v 3 ) = 0 then

Ψ(F ) (v 3 ) = 0.
On the other hand, it comes from (5) that

Ψ(F ) (v 3 ) = i∈I a i ℓ π 1 (g i )v 1 ⊗ π 2 (g i )v * 2 ⊗ v 3 = i∈I a i ℓ v 1 ⊗ v * 2 ⊗ π 3 (g -1 i )v 3 = Ψ(v 1 ⊗ v * 2 ) i∈I a i π 3 (g -1 i ) v 3 then Ψ(v 1 ⊗ v * 2 ) = 0 and v 1 ⊗ v * 2 ⊗ v 3 is a test vector for ℓ.
3 Calculations

The big function F and the little function f

The function F has to be ext(f ), where f is the function described by formula (6

). Since F is in V 1 ⊗ V 2 = Res G Ind G×G B×B χ 1 × χ 2 and G = BK, it is enough to know the values of F on K × K. Lemma 2. ∀(k, k ′ ) ∈ K × K, F (k, k ′ ) = 1 if k ∈ Γ 0 (π n F ) and k ′ ∈ Γ 0 (π F ) 0 else (7)
Proof : F must vanish on

∆ B\G = (g, bg) | b ∈ B, g ∈ G
The other part of B\G × B\G can be identified with T \G via the bijection

     B\G × B\G \ ∆ B\G → T \G Bg, B 0 1 1 0 g -→ T g
through which, the orbit of the unit in T \G under the action of Γ 0 (π n F ) corresponds to

Bk, B 0 1 1 0 k | k ∈ Γ 0 (π n F ) Pick any (k, k ′ ) ∈ K × K. If k ′ ∈ Bk, then k ′ ∈ Γ 0 (π n F ) if and only if k ∈ Γ 0 (π n F ), and k ′ ∈ Γ 0 (π F ) if and only if k ∈ Γ 0 (π F ). Else, put k = a b c d and k ′ = a ′ b ′ c ′ d ′ .
There

exist (b 1 , b 2 ) ∈ B × B such that    k = b 1 k 0 k ′ = b 2 0 1 1 0 k 0 with k 0 = c ′ d ′ c d .
Then

k 0 ∈ Γ 0 (π n F ) ⇐⇒ c ≡ 0 mod π F n and c ′ d ∈ O * F ⇐⇒ c ≡ 0 mod π F n and c ′ ∈ O * F ⇐⇒ k ∈ Γ 0 (π n F ) and k ′ / ∈ Γ 0 (π F ).
It follows that (k, k ′ ) corresponds to an element of the orbit of the unit in the decomposition of T \G under the action of Γ 0 (π n F ) if and only if k ∈ Γ 0 (π n F ) and k ′ / ∈ Γ 0 (π F ).

The big function F when n = 1

Now we have to find the coefficients a i and elements g i of (5) to get the right F . This can be done for n = 1. For the sake of simplicity, for any family (g i ) of elements of G, and (a i ) some complex numbers, denote

i a i • g i (v 1 ⊗ v * 2 ) = i a i • (π 1 × π 2 )(g i ), v 1 ⊗ v * 2 Let { τ 0 , . . . τ q-1 } be a set of representatives of O F /π F O F in O F ,
and A be the number

A = µ 1 (π F ) √ q - √ q µ 1 (π F ) -1 µ 2 (π F ) √ q - √ q µ 2 (π F ) -1
which can be defined because the representations π 1 and π 2 are principal so µ 1 (π F ) 2q = 0 and µ 2 (π F ) 2q = 0. Lemma 3. When n = 1 and 1 + µ 1 (π F ) 2 = 0 the function F is given by

F = A • √ q µ 2 (π F ) • 0 1 π F 0 + µ 1 (π F ) √ q • 1 0 0 1 - 1 (1 + µ 1 (π F ) 2 ) • µ 1 (π F ) √ q • µ 1 (π F ) µ 2 (π F ) • q-1 i=0 π F τ i 0 1 + 0 1 π F 0 - 1 (1 + µ 1 (π F ) 2 ) • µ 1 (π F ) √ q • q-1 i=0 1 τ i π F 0 1 + 0 1 π F π F 0 (v 1 ⊗ v * 2 )
When n = 1 and 1 + µ 2 (π F ) 2 = 0 the function F is given by

F = A • √ q µ 2 (π F ) 0 1 π F 0 + µ 1 (π F ) √ q 1 0 0 1 - 1 (1 + µ 2 (π F ) 2 ) • µ 1 (π F ) √ q • q-1 i=0 1 0 τ i 1 + 0 1 1 0 - 1 (1 + µ 2 (π F ) 2 ) • µ 2 (π F ) √ q • q-1 i=0 1 π F 0 τ i 1 + 0 1 π F 1 0 (v 1 ⊗ v * 2 ) Proof : for g ∈ G and k = a b c d ∈ K in order to compute π 1 (g), v 1 (k) = v 1 (kg) and π 2 (g), v * 2 (k) = v 2 (kgγ -1 ) write kg = x y 0 z k 1 and kgγ -1 = x ′ y ′ 0 z ′ k 2 with k 1 and k 2 in K. Then v 1 (kg) = µ 1 (x) µ 1 (z) • x z 1 2 = µ 1 (π F ) √ q (val x-val z) v 2 (kg) = µ 2 (π F ) √ q (val x ′ -val z ′ )
The following tables give the pairs π 1 (g), v 1 (k), π 2 (g), v * 2 (k) . The entries, are : an element g in G, val(c) and val(d) where (c, d) is the second line of k.

The first table is inspired by the formula

T π F = K π F 0 0 1 K = ⊔ q-1 i=1 π F τ i 0 1 K + 0 1 π F 0 K g val(c) = 0 val(c) ≥ 1 π F τ i 0 1 such that cτ i + d ∈ O F * µ 1 (π F ) √ q , 1 µ 1 (π F ) √ q , 1 π F τ i 0 0 1 such that cτ i 0 + d ∈ π F O F µ 1 (π F ) √ q -1 , 1 ∅ 0 1 π F 0 µ 1 (π F ) √ q , 1 µ 1 (π F ) √ q -1
, 1

Fix

F 1 = q-1 i=0 π F τ i 0 1 + 0 1 π F 0 (v 1 ⊗ v * 2 ) It comes out that ∀(k, k ′ ) ∈ K × K F 1 (k, k ′ ) = q. µ 1 (π F ) √ q + √ q µ 1 (π F ) = √ q µ 1 (π F ) • (1 + µ 1 (π F ) 2 )
Now consider γ -1 F 1 (k, k ′ ). On the one hand

γ -1 F 1 = q-1 i=0 γ -1 π F τ i 0 1 + γ -1 0 1 π F 0 (v 1 ⊗ v * 2 ) = q-1 i=0 1 τ i π F 0 1 + 0 1 π F π F 0 (v 1 ⊗ v * 2 ).
On the other hand, for any (k, k ′ ) in K × K,

γ -1 F 1 (k, k ′ ) = F 1 (kγ -1 , k ′ γ -1 ).
1 0 0 1 1, µ 2 (π F ) √ q 1, µ 2 (π F ) √ q 1, µ 2 (π F ) √ q -1
1 0 τ j 1 such that τ j = 0 and

dτ j + c ∈ O F * 1, µ 2 (π F ) √ q 1, µ 2 (π F ) √ q 1, µ 2 (π F )
√ q 1 0 τ j 0 1 such that τ j = 0 and

dτ j 0 + c ∈ π F O F ∅ 1, µ 2 (π F ) √ q -1 ∅ 0 1 1 0 1, µ 2 (π F ) √ q -1 1, µ 2 (π F ) √ q 1, µ 2 (π F ) √ q
one gets a function

F 2 = q-1 i=0 1 0 τ i 1 + 0 1 1 0 (v 1 ⊗ v * 2 ) which satisfies ∀(k, k ′ ) ∈ K × K F 2 (k, k ′ ) = q. µ 2 (π F ) √ q + √ q µ 2 (π F ) = √ q µ 2 (π F ) • (1 + µ 2 (π F ) 2 ).
This is the same situation as the previous one : by computing γ -1 F 2 and choosing the right coefficients, one gets the second formula of lemma 3.

Conclusion : Thus, we could write the function F for n = 1 and 1 + µ 1 (π F ) 2 = 0 or 1 + µ 2 (π F ) 2 = 0. The latter condition is precisely condition 1 of theorem 5, which is now proved. Of course, it would be interesting to remove this condition and then to find F for any n.

If val c ≥ 1, then val d = 0 and

The same calculation with k ′ leads to the following:

Now, with the simple table

, 1 and

one gets the first formula of lemma 3.

The second formula of lemma 3 is obtained by considering the decomposition