Bernard Calmettes

Frédéric

Sens des actions didactiques de l'enseignant en classe. Approche compréhensive par la valuation

, de résultats de recherches que nous avions présentés par ailleurs (Maizières et Calmettes, 2012) et que nous rappelons.

Ces recherches, en didactique de la physique et en didactique de l'éducation musicale, sont relatives à différents rapports qu'entretiennent les enseignants avec leurs disciplines et avec leurs actions en classe. Nous avons pu relever que des professeurs peuvent enseigner selon des modalités différentes de celles qu'ils expriment par ailleurs comme une nécessité, ou que des enseignants peuvent fixer tout à fait consciemment des objectifs pour les apprentissages des élèves, des objectifs qui peuvent être différents de ceux qu'ils pensent par ailleurs importants à transmettre.

Les chercheurs, placés d'un point de vue externe au regard de la situation didactique qu'ils observent et qu'ils analysent, ont longtemps désigné ces phénomènes de "contradictions", ou d'"écarts entre le dire et le faire" (dans le cadre d'une comparaison entre des analyses de discours et des analyses externes des pratiques). Ils les ont aussi parfois interprétés comme des problèmes de logique ou de rationalités, comme des incohérences, ou comme des manques en matière de formation aux contenus disciplinaires ou aux méthodes d'enseignement (Calmettes & al., 2008). Ces chercheurs construisent une référence a priori pour les situations en classe à partir de leurs propres interprétations des instructions officielles (analyses curriculaire, didactique, épistémologique), fondées sur des cadres conceptuels spécifiques utilisés de manière plus ou moins déterministes : constructivisme ou socio-constructivisme, interactionnisme, pratiques de référence, déterminisme institutionnel, etc. (posture 1).

Pour comprendre ces phénomènes au niveau du "terrain", nous proposons une autre approche, ancrée dans les discours que font les enseignants à propos de leurs actions et des contextes de ces actions, et dans ceux qu'ils produisent lorsqu'ils discutent des instructions officielles. Ce sont les développements de cette approche, à portée modélisante et théorétique, que nous présentons dans cette communication (posture 2).

Dit autrement, il s'agit donc ici de distinguer, d'un point de vue méthodologique :

-Des données descriptives relatives à l'action (aux actions) conduite(s) par un acteur, montrées et interprétées ainsi par le chercheur placé comme un observateur extérieur, en référence à un cadre théorique et à une analyse a priori (posture 1) ;

-Et des données pratiques correspondant à des descriptions et des justifications des actions exprimées par l'acteur, et étudiées dans un second temps par le chercheur, en référence à des concepts et à un cadre théorique en construction (posture 2).

Des données empiriques de la recherche à la problématisation.

Les études que nous avons réalisées s'appuient sur le postulat que l'acte d'enseigner, quelle que soit la discipline scolaire en jeu, repose sur des valeurs ou des principes qui mobilisent l'enseignant et le guident, notamment dans ses choix didactiques et pédagogiques (par exemple, [START_REF] Forquin | Les valeurs au risque de l'école[END_REF][START_REF] Houssaye | Valeurs et éducation. Education et philosophie. Approches contemporaines[END_REF].

Les principaux résultats, à partir desquels nous construisons notre exposé, peuvent être présentés ainsi (cf. annexe pour les références théoriques méthodologiques). Il existe une diversité et une variabilité importantes des pratiques et des actions des enseignants en classe. Il existe des écarts entre, d'une part les déclarations de certains enseignants à propos des valeurs, des principes et des savoirs portés par leurs disciplines, et d'autre part les valeurs, les principes et les savoirs qui soutiennent leurs actions en classe et qu'ils décrivent et justifient dans des entretiens à visée pragmatique [START_REF] Calmettes | Modélisation pragmatique de l'action didactique des enseignants. Cas des démarches d'investigation en physique[END_REF]Maizières, 2009).

Par exemple, en Éducation musicale à l'École primaire, les actions en classe de certains Professeurs des Écoles (enseignants généralistes, polyvalents) peuvent aller de l'évitement à une implication régulière et affirmée, en décalage, ou en dépit, des rapports personnels que l'enseignant entretient avec la musique dans sa vie privée, et même des valeurs qu'il associe à cet enseignement. En physique en Collège, les enseignants associent aux démarches d'investigation, dans leurs discours à portée générale, des valeurs de type constructiviste ou socio-constructiviste, et, en même temps, justifient un guidage relativement serré des situations qu'ils construisent en classe [START_REF] Maizières | Les valeurs et les rapports aux savoirs des enseignants. Discours et pratiques[END_REF].

Ces écarts semblent pouvoir être reliés à leurs possibilités et à leur volonté de mobilisation de leurs ressources propres (connaissances, valeurs), au regard de ce qu'ils considèrent comme important à enseigner et comme expériences à faire vivre à leurs élèves en fonction, notamment, de ce qu'il perçoive et évalue comme des ressources mais aussi plus souvent des contraintes pour leurs actions, dans leur environnement.

Dans cette communication, nous présentons des principes théoriques et méthodologiques permettant de fonder une recherche sur ces différents éléments.

Le cadre théorique et méthodologique mis en oeuvre. L'ancrage de la théorie

Nous proposons donc un essai de modélisation des justifications des enseignants lorsqu'ils produisent des discours à propos de leurs actions didactiques en classe. L'objectif final n'est pas de dire ce qui doit être fait (prescription), mais bien de rendre compte de ce qui est fait et dit par les acteurs impliqués dans les actions en classe, et des écarts assumés que les acteurs discutent entre ce qu'ils font et ce qu'ils disent qu'ils pourraient ou souhaiteraient faire.

Nous questionnons donc les situations d'enseignement lues et explicitées par les enseignants, en adoptant ainsi une posture de recherche au second degré (Corcuff, 2007, p. 103). C'est bien en effet la compréhension de l'action didactique de l'enseignant, via son discours, qui est recherchée. Même lorsqu'il y a des observations de situations par les chercheurs, celles-ci ne sont utilisées que pour assurer l'accroche empirique des discours, et illustrer les propos des enseignants, les descriptions et les justifications de leurs actions.

Notre connaissance des faits et des actions :

-Ne repose pas sur des événements interprétés que le chercheur a observés : inférence et raisonnement à partir d'un cadre théorique préétabli pour la construction d'une certaine réalité, avec le risque d'une part d'une réification des événements et des phases retenus, ou/et des concepts utilisés a priori ; et d'autre part d'une rupture importante entre l'action vécue par l'enseignant et le sens qu'il lui donne, et le sens de l'action de l'enseignant défini par le chercheur (posture 1).

-Repose plutôt sur des événements relatés par l'enseignant, sur les raisonnements pratiques qu'il met en oeuvre. Le savoir, l'action et les discours de l'enseignant doivent permettre d'accéder au sens de son action (posture 2).

Le chercheur reconnaît ces événements et il en construit une compréhension à partir des discours que l'enseignant produit (description et justification). Ces actions sont réalisées en contexte et dans la contingence. Le chercheur considère également des discours de l'enseignant à portée plus générale, discours portant sur les conditions de son action et de son travail en classe. Le chercheur considère donc ici que, les "situations", les "actions", les "contextes", les "environnements" « [préexistent] à [son] entrée sur le terrain » Baszanger, p. 13).

La recherche est considérée à partir d'un « processus où travail empirique et travail théorique sont liés dans un va-et-vient constant » (Baszanger, 1992, p. 12), comme une dialectique entre réflexions (de l'enseignant, du chercheur) et actions (de l'enseignant, du chercheur).

Cela ne signifie pas pour autant que le chercheur est (ou même joue à l') ignorant et donc qu'il ne dispose pas de références conceptuelles pour son étude.

Cela signifie plutôt :

-D'une part que dans les premiers temps de la recherche, les références conceptuelles du chercheur sont relativement diverses ;

-Et que, d'autre part, la (re)construction et la structuration des concepts permettant de comprendre l'action de l'enseignant est un but (une fin-envue, Dewey) de l'activité scientifique (et non un a priori pour l'étude des actions).

Cela signifie aussi que, d'un point de vue méthodologique, une cohérence et des complémentarités (triangulation de données, triangulation conceptuelle, par exemple) sont recherchées. L'objet d'étude est ainsi construit peu à peu, par une élaboration théorique qui progresse, à partir d'hypothèses forgées sur le terrain selon une méthodologie souple permettant une confrontation critique, intime, entre données de terrain et compréhension théorique (Kaufmann, 1996, p. 21-22).

La recherche, dans ses premiers temps, repose plutôt sur des principes généraux que la posture 2 présentée ci-dessus a permis de synthétiser (pour un développement à ce propos, voir [START_REF] Calmettes | Modélisation pragmatique de l'action didactique des enseignants. Cas des démarches d'investigation en physique[END_REF] (Bidet & al., 2011, p. 19-24, p. 26).

Dewey précise l'idée de valuation à partir de l'exemple suivant.

Soit « une personne qui se rend compte, après mûre réflexion, qu'il faudra des efforts considérables pour créer les conditions nécessaires à la réalisation de son désir (y compris peut-être sacrifier d'autres valeurs […]) : ne sera-t-elle pas conduite à modifier son désir de départ, et donc, par définition, sa valuation ? » Cette personne sera alors conduite à délibérer, c'est-à-dire « soupeser plusieurs désirs alternatifs (et donc des valeurs visées comme fins) du point de vue des moyens que requiert leur satisfaction et qui, comme tels, déterminent les conséquences effectivement produites. » Selon l'auteur, « l'examen des expériences où sont formées des fins-en-vue et où la délibération transforme des tendances spontanées en un désir choisi, révèle que c'est l'évaluation des conditions existantes en tant que moyens qui détermine, dans sa composition concrète, l'objet valué comme fin à atteindre (ends-in-views) » (Dewey, 1939(Dewey, /2011, p. 105-106), p. 105-106).

Dans ces conditions, pour être comprise, la valuation d'un objet requiert l'expression de ce qui conduit aux désirs et aux intérêts qui la motivent dans la réalité vécue par l'acteur. Il s'agit notamment de différencier « ce qui est désiré » (vouloir, savoir), et « ce qui est désirable » (pouvoir, savoir, dans le contexte). Pour cela, il est nécessaire de dire ce qui permet la « révision de l'impulsion première » par un « examen critique attentif des conditions qui décideront du résultat effectif » (Dewey, 1939(Dewey, /2011, p. 115-116) , p. 115-116) ; à partir notamment de la prise en considération des moyens pour la « faire advenir » (Dewey, 1939(Dewey, /2011, p. 121), p. 121).

Nota : Le terme "pragmatiste" n'est donc surtout pas à prendre dans le sens commun : mise en oeuvre d'une stratégie, pour une espèce d'efficacité d'ailleurs souvent indéfinissable en elle-même. Le terme "pragmatiste" est référencé aux valeurs et aux valuations qui fondent l'action et qui sont exprimées ainsi par l'acteur.

Il convient de relever que ce que Dewey (qui est un pragmatiste "des valeurs") exprime sous le terme "désir" ne relève :

-Ni d'une psychologie mentaliste, et ce mot ne doit pas être associé à des sentiments, des états mentaux ou des états d'esprit (contre le mentalisme et l'internalisme, Dewey, 1939Dewey, /2011, p. 124), p. 124). En ce sens, « l'introspection […] n'a aucune place dans la discussion » (Bidet & al., 2011, p. 11, p. 18) On peut ici faire un lien avec l'approche herméneutique développée par Gadamer (1993Gadamer ( -1995Gadamer ( /1996) ) d'autant que celui-ci fournit des pistes utiles d'un point de vue théorique et d'un point de vue méthodologique pour étudier l'action : place du langage et réflexions à propos des « conditions dans lesquelles se tient toute compréhension », reconnaissance des « préjugés […] mis en jeu dans le processus même de la compréhension » (Gadamer, 1993(Gadamer, -1995(Gadamer, /1996, p. 107, p. 116), p. 107, p. 116).

-
Ce que nous investissons, ce sur quoi porte notre enquête (inquiry), c'est bien le sens de l'action de l'enseignant, pour l'enseignant, et donc "sens" non pas comme une direction donnée et observable d'un point de vue extérieur, mais plutôt "sens" comme chemin et construction de ce chemin qui conduit à l'action par des mises en tension des objets dont la valuation est envisagée par l'enseignant.

Nous sommes conscients que la posture herméneutique s'applique aux locuteurs engagés dans des échanges à propos d'un objet (ici, l'action de l'enseignant). Autrement dit, l'action comprise, dite et justifiée par l'enseignant relève de ce qui lui sert à dire (ses préjugés, son monde, son regard). Dans l'échange entre l'enseignant et le chercheur, il convient de mettre en exergue ces éléments qui fondent son action et les valuations. Et la compréhension du sens de l'action de l'enseignant, telle qu'elle est finalement donnée par le chercheur, dépend aussi des références qu'il utilise pour le décrire. Ici, au coeur de ses discours, des références didactiques.

Des entretiens compréhensifs.

D'un point de vue méthodologique, nous prenons appui, sur des entretiens compréhensifs (Kauffmann, 1996) éventuellement complétés par des observations (cf. introduction).

En physique.

En physique, nous réalisons des entretiens didactiques pragmatistes [START_REF] Calmettes | Modélisation pragmatique de l'action didactique des enseignants. Cas des démarches d'investigation en physique[END_REF]. En suivant la logique pragmatiste, on peut dire que « le terrain n'est plus une instance de vérification d'une problématique préétablie mais le point de départ de cette problématisation […] L'entretien compréhensif a l'ambition de […] proposer une combinaison intime entre travail de terrain et fabrication concrète de la théorie » (Kaufmann, 1996, p. 20, p. 24)… Ce qui correspond aux principes de construction d'une théorie ancrée.

L'entretien didactique pragmatiste est l'élément méthodique le plus important pour aborder la modélisation de l'action de l'enseignant. Il se déroule environ une semaine après la réalisation de la (ou des) séance(s), sur le lieu de travail de l'enseignant (laboratoire ou salle de classe). Les situations font l'objet d'enregistrements audio et/ou vidéo et d'une prise de notes in situ réalisée par le chercheur présent au fond de la classe.

Dans l'intervalle de temps entre la séance et l'entretien, le chercheur effectue des lectures de la séance de manière à pouvoir repérer au mieux, au moment de l'entretien, les éléments sur lesquels l'enseignant construit son discours. Durant la même période, l'enseignant a la possibilité de consulter ses préparations et les différentes traces de la séance, notamment les productions écrites des élèves (compte-rendu d'expérience, évaluation). Il peut préparer l'entretien par une prise de notes.

Pendant l'entretien, l'enseignant dispose de ces documents et de tout autre média qu'il pense nécessaire pour illustrer ses discours ; par exemple les instruments et les objets utilisés pour les expériences. Il s'agit de favoriser chez l'enseignant la mémorisation puis le discours constructif sur l'action menée pendant la séance par la présence d'éléments tangibles permettant une immersion dans l'histoire des événements passés, qu'ils soient matériels, cognitifs ou sociaux.

Pour le chercheur, cet entretien est inscrit dans une continuité de données qui comprennent un entretien ante séance visant à comprendre les intentions didactiques de l'enseignant (objectifs, organisations des groupes, des matériels, des groupes et du temps), le vécu de la séance elle-même et un court entretien post visant à recueillir des éléments sur les déroulements (atteinte des objectifs, aménagements). Les verbatims d'extraits de séances sont réalisés par le chercheur après l'entretien pragmatiste, en fonction des résultats de cet entretien. Ils permettent d'illustrer les éléments factuels auxquels l'enseignant fait référence pendant l'entretien, et de vérifier la cohérence entre un fait ou un phénomène en classe, l'action décrite et la justification qui en est donnée.

En éducation musicale.

En (Maizières, 2009), 26 enseignants ont été interrogés sur les valeurs qu'ils rattachent à l'Éducation musicale à partir de leurs déclarations sur leurs pratiques.

Enfin, c'est à partir d'une étude sur les savoirs enseignés que nous avons interrogé 30 enseignants sur les oeuvres qu'ils choisissent de faire interpréter ou écouter à leurs élèves. Appuyée à la théorie de la transposition didactique, cette étude met en évidence, outre des savoirs de références différents selon les activités (savoirs savants et/ou pratiques sociales), des choix guidés par des valeurs (valeur de la musique savante, valeur de la culture « cultivée », valeur sociale de l'éducation musicale, etc.).

La responsabilité de l'enseignant… Et celle du chercheur.

Nous attribuons aux enseignants la responsabilité de leurs actions, aussi bien dans leurs classes que dans leurs discours et leurs échanges avec le chercheur.

Dans les deux lieux d'action (dans la classe, pendant l'entretien), on peut reconnaître l'expression de la référence éthique triadyque (Ricoeur, 1990(Ricoeur, /2005) :

-Reconnaissance et accomplissement d'une action qui participe de soi et de l'estime de soi ;

Conduite de cette action avec/pour l'autre ; l'action peut être lue comme une interaction, quelle que soit sa forme, symétrique ou dissymétrique ;

-L'action est conduite dans une institution légitime dans sa globalité (légitimité liée ici à l'enseigner et à l'apprendre Les enseignants assument ces responsabilités qui relèvent de l'acceptation :

-D'une part de la mission d'enseignement qu'ils accomplissent avec leurs élèves dans la classe (premier temps) ;

-Et d'autre part du contrat de recherche (deuxième temps).

Nous considérons donc que les enseignants sont capables de faire, de dire, de décrire et de justifier leurs actions, avec leur point de vue (référence aux jeux de et aux formes de vie : Wittgenstein 1953Wittgenstein /2004Wittgenstein , 1969Wittgenstein /1980). L'idée de "responsabilité", telle qu'on l'approche ici, correspond aussi à l'expression d'un libre arbitre qui implique, de la part de l'enseignant, d'une part la prise en compte de la complexité de l'environnement qu'il perçoit en situation, la nécessité et la possibilité d'une certaine réflexion à propos des choix possibles conduisant à sa prise de décision (Sénik, 2002, p. 35) ; d'autre part, la possibilité de dire l'action et sa justification.

Nous construisons les fondements formels des échanges entre le chercheur et les enseignants (contrat de recherche) à partir des conditions de l'entente (Habermas, 1981/1987Gadamer, 1993-1995[START_REF] Kaufmann | L'entretien compréhensif[END_REF] qui permettent par exemple que les interactions entre eux ne relèvent pas du type débat ou conflit, mais bien plutôt de l'exposition (de l'enseignant vers le chercheur) ou de la coopération.

Ces échanges et cette entente n'aboutissent pas pour autant à un accord, au sens de Habermas, sur le fond des discours ("accord", comme "être d'accord", comme "s'accorder sur le fonds"). Habermas (1981Habermas ( /1987) ) fonde son raisonnement à finalité sociale sur la possibilité et la nécessité que les locuteurs s'accordent pour dire le vrai à propos de ce qui a conduit à l'action ou qui amènera à définir l'action à tenir. Par contre, il s'agit bien d'un accord, au sens de Gadamer (1993de Gadamer ( /1996de Gadamer ( , 1960de Gadamer ( /1996)), c'est-à-dire d'un accord sur ce qui est dit à propos de l'action (quoi, comment et pourquoi), sur ce qui est juste pour l'enseignant, d'une compréhension de ses raisons pratiques pour l'action. L'accord correspond à la compréhension de ce qui est dit, mais pas à l'acceptation en terme de vérité, pour le chercheur, de ce qui est dit par l'enseignant.

Nous considérons ici que les statuts, les expertises, les références des discours et les postures du chercheur et des enseignants doivent être différenciés (Gadamer, 1995). Le discours de l'enseignant est inscrit dans son jeu de langage et dans la forme de vie qu'il adopte relativement à sa fonction et à l'interaction avec le Le chercheur essaie, pendant l'interaction avec l'enseignant, d'inscrire ses propos dans le monde de l'enseignant. Cette position est facilitée par la connaissance didactique du travail de l'enseignant, issue de recherches antérieures. Mais son travail ensuite inscrit ses propres discours dans des jeux de langage et sous des formes de vie spécifiques, ceux du monde de la recherche.

La responsabilité donnée aux enseignants est finalement marquée par les projets, les intentions, les actions qu'ils se montrent capables de s'imputer. On trouve ici une forme opérationnelle des quatre modalités du "je peux" chez Ricoeur (2000, pp. 15-16) : « Je peux parler, je peux agir, je peux raconter, je peux m'imputer mes propres actions ».

Dans le contrat de recherche, nous exprimons aussi la responsabilité du chercheur. Celui-ci, pendant l'entretien, est réceptif et positif de manière à comprendre le système de pensée et le monde du locuteur. Il s'engage modestement et discrètement, de manière attentive (concentration), dans l'entretien pour provoquer l'engagement de l'enseignant, en maniant les propres catégories de langage de celui-ci (intimité conceptuelle). Après l'entretien, le chercheur essaie de traduire le sens de l'action de l'enseignant, en l'intégrant dans la construction à portée générique et théorique qu'il construit. L'interprétation qu'il en donne n'est bien sûr pas évitée ; elle est même décisive. Mais, dans ses interprétations, le chercheur reste "au plus près" de l'ancrage dans le "terrain".

La maîtrise du processus de recherche est d'autant plus essentielle que le chercheur change radicalement de position entre le début : ouverture au matériau, aux divergence, aux directions inattendues; et la fin de la recherche : structure, cohérence, architecture, argumentation, articulations, autonomisation du modèle (Kaufmann, 1996, p. 104-105).

Retour sur quelques résultats de nos recherches.

L'enseignant discourt pendant l'entretien compréhensif d'abord à propos de son action pendant la séance (physique), puis d'une manière plus générale de la manière dont il value ses actions en classe (physique, éducation musicale).

Il peut discuter ainsi des durées des séances, des matériels, de la gestion des activités des élèves, de ses choix et de ses intentions didactique, de la différenciation, des attentes de la hiérarchie en termes de priorités disciplinaires, des interprétations des textes officiels, des relations qu'il entretient avec les parents d'élèves et avec ses collègues, de la lourdeur -ou du manque de richesse -des programmes, du poids des évaluations dont leurs pratiques sont objets et de celles qu'ils font des apprentissages de leurs élèves.

En physique

Nous présentons les résultats correspondant à un RPE, majoritaire. Les situations présentent une succession de phases, repérables par les modalités de travail, par groupe ou en classe entière. L'analyse des justifications des enseignants met en évidence que la gestion didactique de leurs séances correspond à des choix, à des nécessités qu'ils expriment dans des termes valuatifs pour leurs actions : « suivre le fil du savoir » (ne pas diverger), « [reprendre] la main », « ne va pas sortir du programme », « avancer [car l'heure tourne », « [possibilité de s'appuyer sur] les réponses correctes [repérées] ».

L'enseignant justifie ses actions en déclarant prendre en compte ensemble, dans la recherche d'une espèce de « meilleur équilibre » :

-Son projet d'enseignement : ses intentions, ses objectifs, sa programmation ; -Les contraintes et les ressources qu'il perçoit : temps de l'horloge, matériel, savoirs préacquis, limites du programme, propositions et productions des élèves (hypothèses, schémas, résultats d'expériences, interprétations).

Les enseignants expriment souvent des regrets au regard des incomplétudes que leurs pratiques impliquent, vis-à-vis d'une réelle construction des savoirs par tous les élèves selon une « option constructiviste » qu'ils disent souhaiter pouvoir « un jour » mettre « réellement » en oeuvre. Un enseignant explique que le rythme didactique qui est imposé à certains élèves fait que ceux-ci se trouvent alors en décalage d'une part avec leurs possibles en termes de prises de conscience des enjeux de savoirs, et d'autre part, avec la nécessaire maturation de leurs apprentissages. En ce sens, on peut dire que les rapports aux démarches d'investigation de ces enseignants (rapports aux savoirs, connaissances et valeurs), tels qu'ils les expriment dans une espèce d'« idéalité », sont en décalage avec leurs rapports pragmatiques à l'enseigner.

En Éducation Musicale

Les enseignants expriment également en regard de possibilités, d'envie, ou de limites, les objets et les valeurs personnelles qu'ils souhaiteraient développer avec leurs élèves, en soulevant également la question de leurs propres motivations :

-Des contraintes extérieures : gestion du temps, lourdeur des programmes, pression des collègues ou/et des parents.

- Comme pour les démarches d'investigation en Physique, on peut dire que les des Professeurs des Écoles à la musique (rapports aux savoirs, connaissances, valeurs) tels qu'ils les expriment dans une sorte d' « idéalité », sont en décalage avec les justifications de leurs actions en classe (valuations).

Discussion et conclusion.

Dans les deux études, l'analyse des discours des enseignants met en évidence, dans les cas dont nous avons souhaité évoquer dans le cadre de cette communication, un écart entre les valeurs générales relatives à la discipline qu'ils enseignent et les valuations de ces disciplines et de leurs actions, en situation, en contexte. Ils parlent d'écart entre ce qu'ils souhaiteraient faire et ce qu'ils peuvent faire et qu'ils font.

Les décisions des enseignants relèvent de délibérations, d'arrangements dans des situations complexes, à partir de valuations mises en oeuvre dans les préparations et dans la contingence. Il s'agit, selon eux, de prendre en compte des désirs (au sens de Dewey) relevant d'une certaine abstraction, par exemple "tous les élèves doivent et peuvent comprendre ce qui est fait dans une séance", et en même temps d'effectuer un « examen critique » (Dewey, 1939(Dewey, /2011, p. 105-106) , p. 105-106) des conditions relatives aux environnements qu'ils projettent ou/et qu'ils perçoivent dans les déroulements : les connaissances disponibles dans la classe, le temps de l'horloge, les problèmes posés par les élèves, le matériel, etc. En bref, ce qui constitue leur milieu didactique. Et c'est ainsi qu'ils redéfinissent la réalité qu'ils vivent (ou qu'ils ont vécue) et les fins-en-vue possibles.

Les enseignants tentent d'intégrer « au mieux » dans leur action en classe, et finalement selon une volonté, une éthique et une certaine perception de leur responsabilité :

-Ce qui relève de leur rapport au devoir, les missions de l'enseignant, la mise en oeuvre des programmes… Mais avec la possibilité d'orienter leurs interprétations, de les adapter.

-Ce qui relève de leurs rapports aux savoirs, leurs connaissances scientifiques et les relations possibles avec les situations de classe (épistémologie scientifique et épistémologie scolaire), leurs connaissances expérientielles, leurs compétences professionnelles.

-Ce qui relève de leur rapport au pouvoir, à leur puissance d'action, notamment sur les environnements, et des éventuelles adaptations de ce pouvoir, en termes de ressources et en termes de contraintes : temps, matériel, objectif.

-Ce qui relève de leur rapport au vouloir et de leur motivation, de leur confiance dans leur capacité à agir, à développer l'action qu'ils pensent nécessaire.

L'action finalement mise en oeuvre peut être comprise comme le résultat des valuations du "devoir", du "savoir", du "pouvoir" et du "devoir", chacun d'entre ces termes n'ayant à lui seul une légitimité absolue pour l'action (Calmettes, à paraître) .

La décision que nous présentons ici ne relève ni d'un rationalisme strict (solution unique et universelle correspondant à une vérité morale), ni d'un déterminisme institutionnel (norme), ni d'un situationnisme (tout vient de la contingence), ni d'un relativisme (tout se vaut). La décision relève de la responsabilité de l'acteur ; elle est légitime de son point de vue. Elle correspond à une forme de rationalité pratique délibérante, à un arrangement, dans la contingence, des valuations de différentes modalités de pensée, supports de l'action didactique, comme fin légitime : pouvoir, devoir, savoir, vouloirs (Descombes, 2007, p. 96-100).

de la recherche et pour amender la réflexion didactique. Une entrée par la théorie de la valuation.

	"valuation" associé à un objet, est lié à une propriété pratique, pour l'action ou
	l'activité qu'un acteur entreprend avec cet objet. « À la valuation correspond une
	formation raisonnée [et active] des désirs, des intérêts et des fins dans une situation
	concrète »
	. Mais, au fur et à mesure que des
	données et des interprétations sont intégrées, le cadre de référence pour l'étude
	passe du statut d'heuristique à celui de modèle théorique, relativement stable et
	fédérateur de nouvelles compréhensions affermissant son noyau (Lakatos).
	Le terme "didactique" qui qualifie notre travail est important. S'il n'est pas réinscrit
	systématiquement par la suite pour ne pas surcharger le texte, il reste présent,
	même si (et surtout lorsque) les développements théorétiques (participant à la
	construction de la théorie) sont inspirés de concepts issus d'autres champs
	(philosophie et sociologie). Au coeur de nos préoccupations, se trouve en effet la
	réflexion sur les actions relatives aux savoirs et aux démarches (discipline et
	didactique).
	Même si dans les références non didactiques que nous utilisons, les actions et les
	langages sont étudiés dans le cadre de la "vie ordinaire", de la "vie sociale et
	citoyenne ordinaire", nous pensons que ces théories et les concepts associés, à
	condition d'être adaptés à nos problématiques, peuvent être utiles pour penser
	l'épistémologie Ce que nous exposons ici est le résultat de nos réflexions actuelles. Ce n'est pas le
	parcours historique vivant de l'épistémologie de notre recherche.
	Nous conduisons d'abord notre réflexion à partir de la théorie philosophique
	pragmatiste de la valuation (Theory of Valuation, Dewey, 1939/2011). En effet,
	donner la parole à l'acteur enseignant (cf. notre posture) signifie la possibilité pour
	lui (et par la suite pour les chercheurs) d'exprimer le sens de son action, c'est-à-dire
	de dire ce qui fonde d'un point de vue pragmatiste son action ; c'est-à-dire les
	valeurs et les valuations.
	Selon Dewey, la "valeur" désigne des choses, des objets, des faits, qui ont cette
	propriété en dehors de leur connexion à une quelconque activité. Le terme

étude… Une approche herméneutique : comprendre le sens de l'action.

  Pour Dewey, si l'origine du questionnement de l'acteur est négative, dans le sens où elle relève d'un problème perçu et de la nécessité à terme de choisirpour faire -et donc d'éliminer -, la valuation et la détermination des fins-en-vue en tant que désirs possibles relèvent d'une positivité puisqu'elles aboutissent à la mise en oeuvre d'une solution possible au problème perçu, et d'un faire. Selon Dewey, « le contenu de la fin, comme objet en vue, est intellectuel ou méthodologique ; le contenu du résultat obtenu ou de la fin comme conséquence, est existentiel » pour l'acteur(Dewey, 1939(Dewey, /2011, p. 141), p. 141).

Ni d'un déterminisme social ou d'un déterminisme situationnel, et ce mot ne doit pas être associé à des normes ou des absolus (contre une soumission à des espèces de volonté, de normes ou de déterminations de nature externe ou/et institutionnelle,

Dewey, 1939Dewey, /2011, p. 140), p. 140)

.

En effet, « Les valeurs sont des choses qui se produisent dans le monde et […] leur formation doit être soumise aux méthodes de l'enquête

[inquiry]

. Elles correspondent à ce à qui

[, à quoi]

nous tenons manifestement », c'est-à-dire à des fins-en-vue, et non à des fins-en-soi.

En ce qui nous concerne et en référence à Dewey, c'est bien l'examen et la justification de ce qui est fait, et des résultats de l'action, qui permettent de mettre en évidence la valuation (selon l'acteur) et de questionner les délibérations qui ont conduit à la construction puis à la mise en oeuvre de l'action. Il faut ici « reconstituer le sens des événements réels ou potentiels (en les mettant en relation entre eux), explorer les caractéristiques de la situation, ses relations et ses potentialités, anticiper les conséquences, etc. »

(Bidet & al., 2011, p. 48-49)

.

Cela ne signifie pas pour autant que l'étude des fins-en-vue doive conduire, selon nous (et ici contre Dewey, et parce que nos études l'ont mis en évidence) à une standardisation déterministe et scientifique des valuations référées à une action, dans une situation. Si les valuations peuvent/doivent en effet être évaluées et rectifiées si nécessaire pour une action future, elles ne servent pas pour autant de règles et de normes pour toutes les situations et tous les acteurs enseignants. Les situations que nous étudions sont complexes, et les enseignants n'ont pas a priori les mêmes connaissances et les mêmes désirs, et rien ne permet de dire qu'il existe une solution unique à chaque type de situation. Et ce n'est pas l'objectif de notre

  éducation musicale, 56 entretiens compréhensifs sont réalisés en 2007 (n= 26) et en 2012 (n= 30). Ils sont relatifs aux différentes questions qui ont jalonné nos étapes de recherche visant à décrire et à comprendre les pratiques enseignantes des des écoles en Éducation musicale. Il s'est agi d'une part de comprendre les raisons pour lesquelles un professeur des écoles met en oeuvre plus ou moins régulièrement et fréquemment des activités musicales dans sa classe à partir de son propre rapport à la musique (ses pratiques, ses goûts, son éducation scolaire et familiale, sa formation, son environnement)

(n=26)

. Suite à une étude quantitative mettant en évidence l'impact incertain sur les pratiques enseignantes en Education musicale d'une pratique musicale personnelle (écoute, concert, instrument et/chant), contrairement à l'hypothèse communément admise

  pas une norme pour faire, un "il faut"). Cette institution est reconnue par l'acteur enseignant et par les autres interactants.Cette responsabilité est formalisée dans l'expression du contrat de recherche. Par exemple, dans la recherche en didactique de la physique, le chercheur se présente et s'adresse ainsi à l'enseignant, lors de leurs premiers échanges : « Je ne viens pas pour juger, évaluer ou aider. Je viens pour observer des situations de classe et pour vous écouter en parler. C'est vous qui, selon moi, êtes compétent à conduire [les séances], et c'est vous qui êtes capables ensuite[d'expliquer] ce que vous avez fait. cherche à décrire et à comprendre ce que vous faites ; et vous pouvez m'y aider ». Cela est particulièrement important dans le cas de l'Éducation musicale à l'école primaire où les enseignants, souvent peu formés, dévalorisent leur pratique quand ils sont amenés à la décrire (un « petit » chant, un « peu » d'écoute, « ça ne va vraiment pas loin », etc.). Lors des entretiens, il est particulièrement important que le chercheur adopte une attitude valorisante par rapport à ce qui est dit pour ne pas ajouter au déséquilibre qui peut être ressenti entre un enseignant non spécialisé dans une discipline et le chercheur par ailleurs souvent expert, formateur dans le domaine (même s'il ne se présente pas sous ces qualifications).

). Mais la praxie, entendue comme l'ensemble des règles d'excellence du fonctionnement didactique ne peut pas être donnée (la légitimité n'implique pas un déterminisme absolu, il n'existe

  Leurs possibilités personnelles et les limites du réalisable en classe. Un enseignant parle d'une insuffisance de « motivation » qui peut être liée à une certaine appréhension face à des activités qu'il pense ne pas maîtriser et ne pas pouvoir réussir. Un autre enseignant regrette, malgré ses connaissances, de ne pas faire autant qu'il voudrait. Il explique qu'il se sent plus à l'aise « avec des choses entre guillemets, dirigées » parce qu'il a « peut-être un petit peu peur de ne pas savoir assez où [il va] ».-Leur interprétation des textes institutionnels. Des enseignants déclarent par exemple les valeurs esthétiques et éthiques (épanouissements social et personnel, culture, échanges, égalité) portées par la discipline comme fondamentales mais ils considèrent pourtant qu'il faut centrer l'école sur l'enseignement des mathématiques et du français. C'est en effet, selon eux, ce que la société et l'Education Nationale attendent en priorité.Comme pour la physique, c'est souvent en termes de regrets que les Professeurs de Écoles s'expriment lorsqu'il s'agit de décrire leurs pratiques enseignantes en Éducation musicale. De manière générale, ils perçoivent l'Éducation musicale en opposition ou en complémentarité des disciplines fondamentales (français et mathématiques), d'où leur difficulté à objectiver le savoir qui est en jeu. C'est particulièrement l'activité d'écoute qui semble souffrir d'une insuffisance d'enseignement, en raison de la difficulté pour eux de dégager du temps pour la mise en oeuvre dans un programme contraint, et pour la conception des séances laquelle ils disent manquer de références et de méthode pour didactiser les oeuvres. Même si les enseignants déclarent majoritairement fondamentale l'ouverture culturelle que doit proposer l'école face à l'impact des gros médias sur les goûts musicaux des élèves, ils déplorent le plus souvent l'insuffisance de leur pratique dans le domaine.

ANNEXE : Les études initiales (Maizières et Calmettes, 2012) Éducation musicale à l'école primaire Sciences Physiques au Collège

Question de départ

Les valeurs qui mobilisent les enseignants pour la mise en oeuvre des activités musicales.

Les valeurs qui mobilisent l'enseignant dans la mise en oeuvre des démarches d'investigation.

Cadre théorique

Didactique. Rapport au savoir (Charlot, 1997). Valeurs (Houssaye, Reboul…) Pragmatisme. Sociologie pragmatisme. Didactique.

Public

Professeur des écoles. Professeurs de physique en lycée et collège.

Méthodologie Entretiens. Entretiens et observations

Échantillon

Non représentatif -Études de cas.

Traitement des données

Analyse des discours des enseignants justifiant leurs actions. En physique, mise en perspective des descriptions et des justifications des enseignants avec des éléments de verbatim de séance.

Résultats

Les valeurs esthético-éthiques. Les rapports pragmatiques à l'enseigner (RPE), en appui sur des principes, des grandeurs, des valeurs.

Le "rapport pragmatique à l'enseigner" (RPE) est le résultat d'une modélisation des discours tenus par les enseignants lorsqu'ils décrivent et justifient leurs pratiques. L'enseignant exprime ce qui, pour lui, compte-tenu des contraintes ou des ressources qu'il connaît (connaissance des contextes et des textes officiels), qu'il a construites (à partir de ses intentions, dans ses préparations) ou qu'il perçoit (contingence), fait "vérité" dans son action, est "juste" pour son action (d'où le terme de justification). Les rapports pragmatiques à l'enseigner sont référés à des valeurs et à des principes qui guident l'action de l'enseignant en classe. Les RPE sont déclinés selon trois axes relevant de l'épistémologie (savoirs et démarches scientifiques), de la gestion de l'étude, des curriculums (curriculum formel et contextes locaux).


Gilles Millérioux
email: gilles.millerioux@univ-lorraine.fr

Jamal Daafouz
email: jamal.daafouz@univ-lorraine.fr

On persistent excitations for the identification of switched linear dynamical systems over finite fields

Keywords: Identification, switched discrete-time systems, finite fields

This paper discusses the issue of the Persistent Excitation (PE) conditions in the context of identification for dynamical systems defined over a finite field. The work is motivated by the fact that the asymptotical property of the PE conditions for dynamical systems defined over the field of real numbers is no longer valid in the case of systems defined over finite fields. The special class of switched linear discrete-time systems for which the mode is assumed to be unknown is considered. A necessary and sufficient condition that provides the minimum amount of data required for the identification is first proposed. Next, a necessary condition is derived that gives the structural condition the system must satisfy, regardless of the availability of data. Finally, some computational aspects are discussed and examples are given to illustrate the validity of the proposed results.

Discrete Dynamical Systems (DDSs), whereby both time and state space are discrete, are encountered in various practical applications ranging from communication networks to biological systems. These systems, with a countable number of states, are known to be appropriate models in computer science for specification, verification and resource allocation problems on software and hardware systems [START_REF]Synthesis and Control of Discrete Event Systems[END_REF][START_REF] Zhou | Petri Net Synthesis for Discrete Event Control of Manufacturing Systems[END_REF][START_REF] Kumarand | Discrete Event Systems, Manufacturing Systems, and Communication Networks[END_REF]. Typically, manufacturing systems, communication networks, traffic networks, transportation systems and logistic systems can be reasonably modelled under a discrete dynamical framework. In addition, DDSs can be employed in life sciences to model population growth (humans, genes, molecules, neurons). In such areas, discrete models are usually a discrete abstraction of continuous dynamics. This is typically the case in immunology and virology [START_REF] Delgado-Eckert | Reverse engineering time discrete finite dynamical systems: A feasible undertaking?[END_REF], and in applications in biological networks [START_REF] Batt | Symbolic reachability analysis of genetic regulatory networks using discrete abstractions[END_REF][START_REF] Laubenbacher | System identification for discrete polynomial models of gene regulatory networks[END_REF][START_REF] Dimitrova | Parameter estimation for boolean models of biological networks[END_REF][START_REF] Stigler | Polynomial dynamical systems in systems biology[END_REF]. One of the important areas where models over finite fields find its importance is in applications like secure communication and cryptography. Here, DDSs defined over finite fields are used to cipher and decipher data that are intrinsically of a discrete nature. Ciphers can take the form of cellular automata being either autonomous (see [START_REF] Wolfram | Cryptography with cellular au-tomata[END_REF] for a pioneering work on the topic) or non-autonomous [START_REF] Tripathy1 | Lcase: Lightweight cellular automata-based symmetric-key encryption[END_REF].

There exists a variety of formal models to describe DDSs. A detailed classification of DDSs is given in [START_REF] Hrúz | Modeling and Control of Discrete-event Dynamic Systems[END_REF] whereby a distinction between the various tools employed for their representation is highlighted; namely graphical tools (state transition diagrams or finite-automata, Petri net, Grafcet, state charts, ladder logic diagrams), algebraic tools (Boolean algebra, algebraic expressions over state space, max-plus algebra) and formal languages. It is also important to note that any one of these representations can be mapped to another. In effect, mappings between finite state automata, Boolean systems and Grafcets to systems described by polynomial expressions over the Galois field are detailed in [START_REF] Germundsson | Symbolic Systems -Theory, Computation and Applications[END_REF][START_REF] Gunnarsson | Algebraic methods for discrete event systems -a tutorial[END_REF][START_REF] Reger | Linear Systems over Finite Fields -Modeling, Analysis and Synthesis[END_REF].

Apart from modeling, control issues have also been addressed for discrete systems in the literature. The issues of controllability, reachability and state feedback control have been investigated using different approaches such as the theory of polynomial dynamical systems [START_REF] Le Borgne | Dynamical systems over galois fields and deds control problems[END_REF], graph theory [START_REF] Delgado-Eckert | Boolean monomial control systems[END_REF][START_REF] Bollman | A control theory for boolean monomial dynamical systems[END_REF], max-plus algebra [START_REF] Schutter | Max-plus algebra and max-plus linear discrete event systems: An introduction[END_REF][START_REF] Van Loenhout | Model predictive control for stochastic switching max-pluslinear systems[END_REF], finite field theory [START_REF] Reger | Linear Systems over Finite Fields -Modeling, Analysis and Synthesis[END_REF][START_REF] Sundaram | Structural controllability and observability of linear systems over finite fields with applications to multi-agent systems[END_REF], discrete abstraction and state transition graphs [START_REF] Batt | Symbolic reachability analysis of genetic regulatory networks using discrete abstractions[END_REF], linear modular systems [START_REF] Delgado-Eckert | Discrete Time Systems[END_REF] to name a few. Observability for DDSs has also been the subject of a number of research works. For instance, one can refer to the interesting work in [START_REF] Sundaram | Information dissemination in networks via linear iterative strategies over finite fields[END_REF] which deals with Boolean networks or to [START_REF] Sundaram | Structural controllability and observability of linear systems over finite fields with applications to multi-agent systems[END_REF] where the observability issue is treated for finite multi-agent systems.

Identification plays a centrol role for modeling purposes. An important property in the context of identification is identifiability. Identifiability is related to the notion of uniqueness of solution. Such a notion is important since the estimation of the parameters of a model, with a prescribed structure and based on experimental data, can lead to several solutions. Hence, before proceeding with identification, it is necessary to check whether uniqueness of solution is guaranteed. Uniqueness of solution depends both on the a priori structure of the model and on the richness of the data, known as Persistent Excitation (PE) conditions. An exhaustive list of papers dealing with identifiability can be found in [START_REF] Anstett | Identifiability of discrete-time nonlinear systems: the local isomorphism approach[END_REF][START_REF] Evans | Structural identifiability of surface binding reactions involving heterogeneous analyte: Application to surface plasmon resonance experiments[END_REF]. However, none of these papers addresses the problem of identifiability for DDSs whereby identifiability may still play a central role and the values of the model parameters may capture some important physical meanings. As mentioned before, cryptography is one of the areas where identification can be applied under a DDS framework. In this context, the parameters of the dynamical system are expected to act as the secret key. Hence, identification can be viewed as an attack which is generally referred to as an algebraic attack. In this case, uniqueness of the solution is a necessary condition for security. Indeed, the larger the key space, the weaker the probability of recovering the secret key by means of an exhaustive search.

Beside discrete dynamical systems, Switched Dynamical Systems (SDSs) are valuable models regardless of whether we consider systems defined over the field of real numbers or over finite fields. Recall that a switch is an event which entails a change in the dynamics of the system. For instance, in circuit theory, that may correspond to a switched capacitor in a digital filter or an electronic switch in a power converter. For an interesting work on finite fields in the context of circuit theory and their applications, the reader may refer to the book [START_REF] Lidl | Finite fields[END_REF]. On the other hand, switches may also reflect changes of modes of operation in a plant [START_REF] Van Loenhout | Model predictive control for stochastic switching max-pluslinear systems[END_REF]. More generally, switches may correspond to any transition rule that determines the mode of the system. The mode can be an external event or can depend on the input and/or the state of the system. This is precisely the case of cellular automata [START_REF] Neumann | The Theory of Self-Reproducing Automata[END_REF]. Indeed, a cellular automaton is a discrete dynamical system that consists of an arrangement of basic components, called cells, together with a transition rule based on the states of neighboring cells. This paper aim to provide a contribution toward the identification of switched dynamical systems over finite fields and to the underlying notion of identifiability. We investigate the case when the discrete mode of the switching rule is not accessible. By being not accessible, it is meant that, for an input-output pair of the data set used for the identification, the corresponding mode is unknown. The purpose of the paper is two-fold: i) to provide a procedure for identifying the parameters of a switched linear discrete system and ii) to reconsider the PE conditions in such a case. Indeed, the PE conditions deserve a special investigation over finite fields because they can no longer be stated similarly to the case of the field of real numbers. The main reason lies in that the PE conditions in the field of real numbers are based on an underlying asymptotic property that does not hold over finite fields. In this regards, two conditions are established. First, we establish a necessary and sufficient condition on the minimum amount of data set required for the identification. Secondly, we establish a necessary condition that gives the system's structural requirement (given the underlying finite field); involving the dimension and the number of modes of the system. This paper is organized as follows. In Section 1, a background on algebra over finite fields is first recalled. Next, the general principle of the identification procedure for switched linear systems and the associated PE conditions are provided. In Section 2, a structural condition that the dynamical system must fulfill in order to meet the PE conditions is proposed. Finally, in Section 3, computational issues regarding the operations required for the identification over finite fields are addressed. Two simple examples are given to illustrate the approach and to highlight the uniqueness of solution issue.

Preliminaries

Algebra over finite fields -definitions

In this section, we recall some basic and classical definitions that are employed throughout the paper.

Commutative ring:

A commutative ring R is a set of elements and two operations, + and •, that are both commutative, associative, distributive and closed in R. Operations + and • have identity elements 0 and 1 respectively. For every element a ∈ R, there exists an element b ∈ R such that a + b = 0, i.e. + has an inverse.

Field:

A field F is a commutative ring where every element except 0 has a multiplicative inverse, i.e. for every element a ∈ F\{0}, there exists an element ā ∈ F\{0} such that a • ā = 1.

Finite field:

A finite field is a field that contains a finite number of elements, which is also referred to as the order of the field. A field of order p will be denoted with F p .

In this paper, the finite field F p under consideration will be the set {0, 1, • • • , p -1} together with the addition and the multiplication modulo p, with p being a prime number.

Polynomial ring:

A polynomial ring denoted by F p [z] or F p [z (1) , . . . , z (i) , . . . , z (n) ] is a ring whose elements are polynomials. The indeterminates are the vector components z (i) and the coefficients are in F p .

Switched systems over F p

We consider the switched linear dynamical system:

x k+1 = A σ(k) x k + B σ(k) u k y k = C σ(k) x k + D σ(k) u k (1)
where

u k ∈ F p , y k ∈ F p and x k ∈ F n p . The switching function σ σ : k ∈ N → j = σ(k) ∈ {1, . . . , J}
is arbitrary with J being the number of modes. In other words, at a specific discrete time k, the index j corresponds to the mode of the system given by the switching function σ. No specific dwell time is imposed. The terminology 'dwell time' is used here in accordance with the definition given in [START_REF] Geromel | Stability and stabilization of discrete time switched systems[END_REF] for the discrete-time case. Alternatively, the terminology 'dwell iteration' could be used instead. All the matrices, namely

A σ(k) ∈ F n×n p , B σ(k) ∈ F n×1 p , C σ(k) ∈ F 1×n p and D σ(k) ∈ F p belong to the finite sets (A j ) 1≤j≤J , (B j ) 1≤j≤J , (C j ) 1≤j≤J and (D j ) 1≤j≤J respectively. A sequence of modes over the interval of time [k 1 , k 2 ] is a sequence of k 2 -k 1 + 1 integers in the set {1, . . . , J}.
An admissible sequence of modes is a (k 2 -k 1 + 1)-tuple of integers (i 1 , . . . , i k2-k1+1 ) which corresponds to a realization (σ(k 1 ), . . . , σ(k 2 )). The maximum number of admissible sequences is N = J k2-k1+1 . In what follows, the N sequences of modes will be simply denoted by σ 1 , . . . , σ N . We assume that it is possible to derive an equivalent input/output (I/O) model for the above system. The reader may refer to [START_REF] Weiland | On the equivalence of switched affine models and switched ARX models[END_REF][29] for a detailed explanation of this I/O equivalence problem. In particular, it is shown in [START_REF] Paoletti | A necessary and sufficient condition for input-output realization of switched affine state space models[END_REF] that at least all observable systems admit an equivalent I/O model. Furthermore, for s = 1, . . . , N , the I/O model assigned to the state space form (1) can be rewritten, for any discrete-time k, as

y k = K1 j=1 a j (σ s )y k-j + K2 j=0 c j (σ s )u k-j (2)
where a j (σ s ) and c j (σ s ) are coefficients depending on the entries of the matrices (A j ) 1≤j≤J , (B j ) 1≤j≤J , (C j ) 1≤j≤J and (D j ) 1≤j≤J of (1). The quantities K 1 and K 2 correspond to the maximum number of monomials involving the outputs and the inputs taken over all the submodels respectively. The coefficients a j (σ s ) and c j (σ s ) of the I/O model (2) can be expressed in terms of the matrices of the state space model (1) by solving a set of linear equations. To this end, the reader may refer to [START_REF] Vo Tan | Left invertibility, flatness and identifiability of switched linear dynamical systems: a framework for cryptographic applications[END_REF] for the case when the system (1) is flat (see [START_REF] Fliess | Flatness and defect of non-linear systems: introductory theory and examples[END_REF][START_REF] Millérioux | Flatness of switched linear discrete-time systems[END_REF] for general notions on flatness) or to [START_REF] Paoletti | A necessary and sufficient condition for input-output realization of switched affine state space models[END_REF] for the general case. In the sequel, we set

K = K 1 + K 2 .
Proposition 1 The maximum number of input/output relations, N = N I/O , regardless of the number J of modes, is finite and equal to

N I/O = p K+1 .
Proof 1 The proof is a direct consequence of the fact that i) the input/output relation (2) involves K + 1 coefficients and ii) each of the coefficient takes its value in the set F p , which is of finite cardinality p.

If σ s is accessible, then the corresponding sequence of modes σ(k), σ(k + 1), . . . over the horizon [k, k + max(K 1 , K 2 )] is known. Hence, for every s ∈ [1, N ], an input-output pair of the data set can be assigned to a sequence σ s . As a result, the identification is easy since for every σ s (s ∈ [1, N ]), the parameters c j (σ s ) and a j (σ s ) appear in a linear fashion in the I/O relation [START_REF] Zhou | Petri Net Synthesis for Discrete Event Control of Manufacturing Systems[END_REF]. Indeed, for a given sequence of modes σ s , the identification can be performed by iterating the relation (2) until a set of linear independent equations is obtained and which can then be solved.

In this work, the problem under consideration corresponds to the case where σ s is not accessible. In such a case, it is impossible to assign the I/O data with the sequence of modes σ s . The identification procedure employed here is inspired from that suggested in [START_REF] Ma | Identification of deterministic switch arx system via identification of algebraic varieties[END_REF] for ARX models over the field of real numbers. Since this procedure constitutes a prerequisite for the main result of the present paper, its main steps are recalled for the sake of clarity.

Each I/O relation (2) can be rewritten, for s = 1, . . . , N , as

z T k b s = 0 (3)
with

z k = [y k , • • • , y k-K1 , u k , • • • , u k-K2 ] T ∈ F K+2 p b s = [1, -a 1 (σ s ), . . . , -a K1 (σ s ), -c 0 (σ s ), . . . , -c K2 (σ s )] T ∈ F K+2 p
Here, z k is the regressor vector while b s is the parameter vector corresponding to the mode sequence σ s .

Remark 1

The size of the regressor and of the parameter vector can be clearly reduced if some of the coefficients a j (σ s ) and c j (σ s ) are known or are zero. Indeed, in such a case, the coefficients that are always zero are not incorporated into b s .

We define N hyperplanes S s , s = 1 . . . , N as

S s = {z k : z T k b s = 0} 1.

Identification procedure and the PE conditions

The following equation holds regardless of the switching sequences

p N (z k ) = N s=1 (z T k b s ) = ν N (z k ) T h N = 0 ( 4
)
where h N ∈ F M N is the vector whose components are the coefficient of p N and ν N :

z k ∈ F K+2 p → ξ k ∈ F M N p is a
map of degree N , the components of ξ k corresponding to all the M N monomials (product of the components z (i) k of z k ) sorted in the degree-lexicographic order 1 . By definition, the map ν N is a so-called Veronese map and the quantity M N is given by

M N (K) = (N + K + 1)! N !(K + 1)! (5)
In the sequel, M N (K) will be sometimes simply written as M N when no possible confusion can arise.

Remark 2

The first component h

N of h N is equal to 1.

In [START_REF] Ma | Identification of deterministic switch arx system via identification of algebraic varieties[END_REF], the polynomial p N is referred to as the Hybrid Decoupling Constraint Polynomial while the equality (4) as the Hybrid Decoupling Constraint equation. It must be stressed that the constraint ( 4) is still valid in the context of this present study. Indeed, since the multiplication is closed in the ring

F p [z], the product p N (z k ) is also in F p [z].
For the identification of the parameters b s in (3), it is first required to compute the coefficients h N of (4).

Computation of h N Let L N denote the embedded data matrix involving N ′ mapped regressor vectors

z k through ν N L N =        ν N (z k1 ) ν N (z k2 ) ... ν N (z k N ′ )        T ∈ F N ′ ×M N p (6)
The following relation applies:

L N h N = 0 (7)
The following proposition gives a necessary and sufficient condition that must be fulfilled by the regressors. It allows to assess the minimum amount of data that is required for the identification to guarantee uniqueness of solutions.

Proposition 2

The solutions space of ( 7) is of dimension one and the uniqueness of h N is ensured if and only if the integer N ′ is large enough so that the ν N (z ki ) (i = 1, . . . , N ′ ) satisfies

rank(L N ) = M N -1 (8)
Proof 2 The rank condition (8) guarantees that the ν N (z ki ) (i = 1, . . . , N ′ ) span a M N -1 dimensional vector space. Since L N is of dimension N ′ × M N , the solution of ( 7) is one-dimensional. In addition, h N is unique according to Remark 2 and can be calculated by h N ∈ Ker(L N ) such that h

(1)

N = 1 (9)
The lower bound of N ′ is clearly M N -1. Recall that over R, the assumption that the mapped regressor vectors ν N (z ki ) are sufficiently exciting is known as the Persistent Excitation (PE) conditions [START_REF] Goodwin | Adaptive Filtering Prediction and Control[END_REF]. Over a finite field such as F p , the number of possible regressors z ki is finite, and thus, the definition used over R no longer holds. The PE conditions are expressed in terms of the rank condition [START_REF] Stigler | Polynomial dynamical systems in systems biology[END_REF].

Computation of b s

Let us first recall the following definition:

Definition 1 [START_REF] Lang | Algebra, Graduate Texts in Mathematics[END_REF] A derivative D on the field F p is a mapping D : F p → F p which is linear and satisfies the ordinary rule for derivatives, i.e., for every element x, y in F p , D(x + y) = D(x) + D(y) and D(x • y) = xD(y) + yD(x).

As a result, the derivative Dp N (z k ) of p N (z k ) in ( 4) is also in the polynomial ring F p [z] and is given by

Dp N (z k ) = ∂p N (z k ) ∂z k = ∂ ∂z k N s=1 (z k T b s ) = N s=1 b s N l =s (z k T b l ). ( 10
) • z (i) k < z (i) k+l , ∀l ∈ N, • z (i) m < z (j) l ⇒ z (i) m+t < z (j) l+t , ∀m ∈ N, ∀l ∈ N, ∀t ∈ N, • z (i) k < z (j) k ⇒ (z (i) k ) α < (z (j) k ) β , ∀α ∈ N, ∀β ∈ N
We rewrite [START_REF] Tripathy1 | Lcase: Lightweight cellular automata-based symmetric-key encryption[END_REF] as

Dp N (z k ) = b s N l =s (z k T b l ) + N i =s b i N j =i (z k T b j ). ( 11
)
Now, consider an arbitrary vector w s ∈ F K+2 p such that w T s b s = 0. Replacing w s (s = 1, . . . , N ) into [START_REF] Hrúz | Modeling and Control of Discrete-event Dynamic Systems[END_REF] yields

Dp N (w s ) = b s N l =s (w T s b l ) (12)
One could be concerned by the fact that the quantity b s is defined up to the scalar N l =s (w T s b l ), which is actually unknown. Indeed, its computation would require the knowledge of all vectors b s , l = s. However, since Dp N (w s ) is known and the first component of b s is equal to 1, the true parameter vector b s is obtained by merely normalizing Dp N (w s ). Hence, whenever the solution h N is guaranteed to be one-dimensional, its uniqueness, as well as the uniqueness of the b s , is also guaranteed.

Structural conditions

In this section, a necessary condition is established. It gives a structural condition that the system needs to satisfy in order for the kernel h N to be one-dimensional, regardless of whether the data is available or not. Note that the system can be characterized by the triplet (p, K, N ). Consequently, we can state the following proposition: Proposition 3 In order for the kernel h N to be one-dimensional, it is necessary that the triplet (p, K, N ) satisfies

p (K+1) ≥ M N (K) -1 (13)
Proof 3 First, let note that the maximum number N ′ = N ′ max of regressors z ki that (1) can generate, regardless of the number J of modes, is N ′ max = p K+1 . Indeed, the number of components of the regressor vector z k is K +2. On the other hand, regarding (2), the component y k is linearly congruent to the other ones that are y k-1 , . . . , y k-K1 , u k , . . . , u k-K2 . These K +1 components take value in the set F p which is of finite cardinality p.

Moreover, the Veronese map in (4)

ν N : z k ∈ F K+2 p → ξ k ∈ F M N p
is surjective over the finite field F p . Thus, the cardinality of the sets {z k } and {ξ k } satisfies:

card ({ξ k }) ≤ card ({z k }) ≤ N ′ max = p (K+1)
It follows that rank(L N ) ≤ N ′ max = p (K+1) (14) Finally, by considering the relations ( 8) and ( 14), we obtain the condition of the proposition and which completes the proof of the latter.

The following proposition allows to assess the influence of the triplet (p, K, N ) on the uniqueness of the kernel.

Proposition 4 For every pair (p, K c ) with p ≥ 2, there exists an integer

N ∈ [1, N I/O ] such that M N (K) -1 ≤ N ′ max = p (K+1) for K ≥ K c
Proof 4 First, let us recall the expression (5) of M N (K):

M N (K) = (N + K + 1)! N !(K + 1)!
On one hand, since M 1 (K) -1 = K + 1, it is clear that, for all p ≥ 2 and for all K

p (K+1) > M 1 (K) -1 (15)
On the other hand, for all p ≥ 2 and for all K

p (K+1) < M N I/O (K) -1 (16)
Next, for all p ≥ 2 and all l ∈ {2, . . . , K + 1}, we have

p K+1 + l > l Hence, K+1 i=2 (p K+1 + i) > (K + 1)!
Multiplying both sides by (p (K+1) + 1)! yields

(p (K+1) + 1)! K+1 i=2 (p K+1 + i) > (p (K+1) + 1)!(K + 1)! ⇔ (p (K+1) + K + 1)! > (p (K+1) + 1)!(K + 1)!
Dividing both sides by (p (K+1) )!(K + 1)!, we get

(p (K+1) + K + 1)! (p (K+1) )!(K + 1)! -1 > p (K+1)
Now, from ( 5) and taking into account that N I/O = p K+1 , the following equality holds:

M N I/O (K) = (p (K+1) + K + 1)! (p (K+1) )!(K + 1)!
which proves [START_REF] Delgado-Eckert | Boolean monomial control systems[END_REF].

Finally, it is easy to see that the functions K → p K+1 and K → M N (K) -1, for any N , are monotonically increasing with respect to K. As a result, for all pairs (p, K) with p ≥ 2, there exists an integer N ∈ [1, N I/O ] so that the functions K → p K+1 and K → M N (K) -1 intersect each other. Then, for all pairs (p, K c ) with p ≥ 2, there exists an integer N so that p (K+1) > M N (K) -1 f or K ≥ K c . This completes the proof of Proposition 4.

In other words, Proposition 4 gives, for a given cardinality p of the set F p and a prescribed integer K (related to the dimension n of the system), a bound on the number N of I/O relations (related to the number J of modes) so that ( 13) is satisfied. However, although [START_REF] Gunnarsson | Algebraic methods for discrete event systems -a tutorial[END_REF] holds, owing to the dynamics of the system, the number N ′ of independent regressors z ki may be lower than the maximum number N ′ max . Indeed, the trajectory of the state vector does not necessarily visit all the possible states over F p . Hence, the maximum rank of the embedded data matrix may not attain M N (K) -1, thereby preventing the uniqueness of h N . A graphical interpretation of Proposition 4 is illustrated in Fig. 1. For a prescribed p, all the pairs (K, N ) with K > K c for which the curve p K+1 is above the curve M N (K) -1 satisfy [START_REF] Gunnarsson | Algebraic methods for discrete event systems -a tutorial[END_REF]. Therefore, it turns out that the larger the distance between p K+1 and M N (K) -1, the higher the chance of getting sufficient independent regressors to guarantee uniqueness of the solution.

Remark 3 It is worth pointing out that the result still holds for dynamical systems with state-transition functions and output functions with polynomial nonlinearities, including Boolean functions. Indeed, for such systems, the I/O relations take the form of a linear combination of monomials, involving the products of inputs and outputs which are generically written as

y p0 k • • • y p K 1 k-K1 u r0 k • • • u p k 2 k-K2
. It is clear that switched linear systems constitute a special case with monomials of degree no greater than 1. Such an I/O relation can be obtained by resorting to standard elimination techniques (for example see the Gröbner basis approach [START_REF] Buchberger | Grobner bases: an algorithmic method in polynomial ideal theory[END_REF]). As a result, equation (3), on which all the remaining reasoning is based, still applies whenever the regressor vector

z k = [y k , • • • , y k-K1 , u k , • • • , u k-K2 ]
T is replaced by the vector whose components are the monomials 3 Practical considerations and examples

y p0 k • • • y p K 1 k-K1 u r0 k • • • u p k 2 k-K2 .

Computation of the kernel

To calculate the kernel in ( 9), we can resort to a Gaussian elimination over F p . However, compared with the computation over R, the method must be slightly modified by replacing the division operation by the multiplication with the inverse over the finite field F p . Among the efficient procedures for inversion over a finite field like F p , the Extended Euclidean Algorithm [START_REF] Menezes | Handbook of Applied Cryptography[END_REF] is particularly interesting. It is based on the computation of a greatest common divisor.

Calculating the points w s

To calculate the N distinct points w s that lie on the N hyperplanes S s , the following algebraic procedure can be followed.

Consider a parametrized random line with direction v and base point w 0 :

D : µv + w 0 ∀µ ∈ Z
The line D intersects with all the hyperplanes at N distinct points under the condition that it is not parallel with any hyperplanes. In other words, the equation of degree N p N (µv + w 0 ) = 0 [START_REF] Bollman | A control theory for boolean monomial dynamical systems[END_REF] admits N distinct integer roots {µ s } N s=1 under the constraint p N (v) = 0 (or equivalently v / ∈ S s ). Therefore, the intersection of D with all of the hyperplanes are given by w s = µ s v + w 0 ∀s ∈ {1, .., N } Since w s belongs to a finite field, an exhaustive search for the recovery of µ s could be effective and could act as an alternative to solving [START_REF] Bollman | A control theory for boolean monomial dynamical systems[END_REF].

Examples

The aim of this subsection is to illustrate, with two simple examples, the identification procedure over finite fields and to highlight the influence of the triplets {p, N, K} on the uniqueness of the solution.

Example 1

Consider a one-dimensional switched dynamical system over the finite field F 251 (p = 251) of the form (1) with

A σ(k) = q σ(k) ∈ F 251 , B σ(k) = 5 , C σ(k) = 1 , D σ(k) = 0.
The switching function σ(k) is assumed to be inaccessible and defined by: σ

: k ∈ N → σ(k) = j ∈ {1, 2}
and finally q σ(k) = {q 1 , q 2 } = {38, 213}.

The I/O model is given by:

y k = q σ(k-1) y k-1 + 5u k-1 (18)
The two parameter vectors are b The regressor vector is given by z k = [y k , y k-1 , u k-1 ] T and, according to the proof of Proposition 3, the maximum number of regressors is N ′ max = p K+1 = 251 1+1 = 63001. On the other hand, there exist two input/output relations according to the value of q σ(k) . Hence, N = 2.

1 = [1, -q 1 , -5] T and b 2 = [1, -q 2 , - 5
For N = 2 and K = 1, we have M N (K) -1 = 5. Thus, the necessary condition ( 13) is fulfilled but h N may be not unique.

Computation of h N After applying a sufficiently long input sequence to (1), it turns out that the embedded data matrix L N reaches its maximal rank. After a Gaussian elimination, a kernel of dimension one is obtained and, after normalization (see Remark 2), is given as: Finally, the parameter vectors b s according to [START_REF] Germundsson | Symbolic Systems -Theory, Computation and Applications[END_REF] are given by:

b 1 = [1, 213, 246] T b 2 = [1, 38, 246] T
As expected, the correct parameter vectors b s are obtained. This result can be explained by the fact that not only the necessary condition ( 13) is fulfilled but also because the number of independent regressor vectors is large enough.

Example 2

Consider a one-dimensional switched dynamical system over the finite field F 2 (p = 2) of the form (1) with A σ(k) = q σ(k) ∈ {0, 1}, B σ(k) = C σ(k) = 1 and D σ(k) = 0. The corresponding I/O model is given by:

y k = q σ(k-1) y k-1 + u k-1
For this example, K = 1. The regressor vector is given by z k = [y k , y k-1 , u k-1 ] T and, according to the proof of Proposition 3, the maximum number of regressors is N ′ max = p K+1 = 2 1+1 = 4. Also, there exist two input/output relations according to the value of q σ(k-1) . Hence, N = 2.

For N = 2 and K = 1, we have M N (K) -1 = 5. Thus, the necessary condition (13) is not fulfilled. Consequently, it is impossible for the kernel h N to be one-dimensional. This is explained by the fact that, regardless of the dynamics, the number of independent regressor vectors cannot be large enough.

The embedded data matrix L N cannot reach its maximum rank. A Gaussian elimination yields, precisely, four possible vectors h N for the kernel of L N : h N ∈ ( [1, 1, 1, 0, 0, 0] T , [1, 1, 0, 0, 1, 1] T , [1, 0, 0, 1, 0, 1] T , [1, 0, 1, 1, 1, 0] T ) For each vector of the kernel h N , the corresponding parameter vector b s can be assigned. Only the vector [1, 1, 0, 0, 1, 1] T of h N gives the correct solution for b s : b 1 = [1, 1, 1] T and b 2 = [1, 0, 1] T .

Remark 4

The maximum number of regressors is N ′ max = p K+1 = 2 1+1 = 4 but actually, only two independent regressors are obtained. This explains why h N involves four distinct vectors since M N (K) -2 = 6 -2 = 4.

Concluding remarks

In this paper, the persistent excitation conditions that guarantee the uniqueness of the solution for identification problems have been revisited in order to treat dynamical systems defined over finite fields. Special emphasis has been placed on switched linear discrete-time systems. First, a necessary and sufficient condition that provides the minimum amount of data required for the identification has been proposed. Next, a necessary condition that gives the structural constraint the system must satisfy, regardless of the availability of the data, is derived. The necessary condition involves the dimension and the number of modes of the system. Some examples are given to illustrate the validity of the results.

Fig. 1 .

 1 Fig. 1. Graphical interpretation of Proposition 4

  ] T . Since 213 = -38 (mod 251) and 246 = -5 (mod 251), it results that b 1 = [1, 213, 246] T and b 2 = [1, 38, 246] T . For this example K = 1.

  h N = [1, 0, 241, 62, 0, 25] T Computation of b s First, we compute N = 2 points w s so that w T s b s = 0. Now, consider a random line D with a direction v = [25, 181, 61] T and a base point w 0 = [42, 155, 208] T . Solving (17) gives the solution µ 1 = 59, µ 2 = 197 with two corresponding intersections w 1 = [11, 41, 42] T , w 2 = [198, 170, 177] T .

A lexicographic order is a ranking according to the names of the variables and their iterates such that:


Raouf Boucekkine
email: raouf.boucekkine@univ-amu.fr

Benteng Zou
email: benteng.zou@uni.lu

Giorgio Fabbri

Cuong Le Van

Patrick Pintus

Fabien Prieur

John Stachurski

Stochastic stability of endogenous growth: The AK case *

Keywords: Optimal growth, AK model, Ito stochastic differential equation, balanced growth paths, stochastic stability JEL classification: O40, C61, C62

This note studies the stochastic stability of the standard AK growth model under uncertain output technology. Capital accumulation follows a stochastic linear homogenous differential equation. It's shown that exponential balanced paths, which characterize optimal trajectories in the absence of uncertainty, are not robust to uncertainty. Precisely, it's demonstrated that the economy almost surely collapses at exponential speed even though productivity is initially arbitrarily high.

Introduction

The neoclassical stochastic growth models has been the subject of a quite visible economic theory literature since the celebrated Brock and Mirman's 1972 paper (see also [START_REF] Mirman | On optimal gowth under uncertainty[END_REF], and the less known contribution of [START_REF] Merton | An asymptotic theory of growth under uncertainty[END_REF]. This notably includes the study of the existence of stochastic steady states and their stability.

In contrast, no such a literature exists for endogenous growth models. This is partly due to the fact that many of these models rely on zero aggregate uncertainty as in the early R&D based models (see for example, Barro and Sala-i-Martin, 1995, chapters 6 and 7). When uncertainty does not vanish by aggregation as in de [START_REF] Hek | On endogenous growth under uncertainty[END_REF], the usual treatment consists in applying Merton's portfolio choice methodology [START_REF] Merton | Lifetime portfolio under uncertainty: the continuous-time case[END_REF][START_REF] Merton | Optimum consumption and portfolio rules in a continuous-time model[END_REF] to track expected growth rate and its volatility. Recently, [START_REF] Steger | Stochastic growth under Wiener and Poisson uncertainty[END_REF] and [START_REF] Boucekkine | Growth and financial liberalization under capital collateral constraints: The striking case of the stochastic AK model with CARA preferences[END_REF] apply the same methodology to study the stochastic AK model for a closed economy and for a small open capital constrained economy respectively. Precisely, these authors assume the existence of balanced growth paths (as in the deterministic counterparts) and compute the associated expected growth rates and growth volatilities, without addressing the issue of stochastic stability of the selected paths.

In this note we tackle the latter issue. It's important to notice at this stage that one cannot solve the problem by adapting the available proofs in Brock and [START_REF] Mirman | Optimal economic gowth and uncertainty: The discounted case[END_REF] or [START_REF] Merton | An asymptotic theory of growth under uncertainty[END_REF]. For example, strict concavity of the production function is needed in the latter in order to build up the probability measure for stability in distribution.

We take a much simpler approach here taking advantage of the linearity of the production function. When uncertainty is modelled as a Brownian motion, we show that the study of stochastic stability in such a case amounts to studying stability of a standard stochastic linear differential equation. Relying on the specialized mathematical literature [START_REF] Mao | Stochastic Diferential Equations and Applications[END_REF][START_REF] Khasminskii | Stochastic Stability of Differential Equations. Completely Revised and enlarged 2nd edition[END_REF], we are able to conclude. Strikingly enough, we ultimately show that the typical balanced growth paths are hardly stochastically stable in our simple framework. This note is organized as follows. Section 2 presents the stochastic AK model as consid-ered and the inherent stochastic stability problem. Section 3 gives the stability results after some preliminary definitions.

The problem

Consider strictly increasing and strictly concave utility

max c E 0 ∞ 0 U (c)e -ρt dt, (1)
subject to

dk(t) = (Ak(t) -c(t) -δk)dt + bAkdW (t), ∀t ≥ 0 (2)
where initial condition k(0) = k 0 is given, positive constants δ and ρ measure depreciation and time preference, respectively, W (t) is one-dimensional Brownian motion, and b reads volatility. Define Bellman's value-function as

V (k, t) = max c E t ∞ t u(c)e -ρt dt.
Then using [START_REF] Merton | Lifetime portfolio under uncertainty: the continuous-time case[END_REF], the stochastic Hamilton-Jacob-Bellman equation is

ρV (k) = max c U (c(t)) + V k • (Ak(t) -c(t) -δk) + 1 2 b 2 A 2 k 2 V kk (3)
with V k reads first order derivative with respect to k. First order condition on the right hand side of (3) reads

U (c) = V k (k). (4)
Due to the strictly concave utility, the solution of ( 4), c * (t) = c * (k(t)), is optimal to the right hand side of (3). Substituting this optimal choice into (3), it follows

ρV (k) = U (c * (t)) + V k • (Ak(t) -c * (t) -δk) + 1 2 b 2 A 2 k 2 V kk . (5)
To find an explicit solution, we take CRRA-Constant Relative Risk Aversion:

U (c) = c γ γ , 0 < γ < 1.
It's worth pointing out here that such a range of values for γ implies that U (0) = 0, that's instantaneous utility is bounded from below. Therefore, consumption going to zero is not ruled out from the beginning. Moreover, the assumed γ-values imply that the intertemporal elasticity of substitution (equal to 1 1-γ ) is above unity, which has the typical economic implications on the relative size of the income vs substititution effects. This will reveal important for the stochastic stability results obtained in Section 3.2. The first order condition yields the optimal choice

c * = V 1 γ-1 k .
Substituting into the HJB equation ( 5), we have

ρV (k) = V k • (A -δ)k + 1 -γ γ V γ γ-1 k + 1 2 b 2 A 2 k 2 V kk . (6)
Parameterizing the solution as

V (k) = H 1-γ k γ γ ,
with constant H undetermined, and substituting into [START_REF] Khasminskii | Stochastic Stability of Differential Equations. Completely Revised and enlarged 2nd edition[END_REF], it is easy to obtain

1 H = ρ 1 -γ + b 2 A 2 γ 2 - γ(A -δ) 1 -γ . (7)
Thus, the optimal choice is

c * = k H .
Then the dynamics of optimal capital accumulation follow

dk(t) = A -δ - 1 H k(t)dt + bAkdW (t) (8)
which is a linear stochastic differential equation and the explicit solution is

k(t) = k(0) exp A -δ - 1 H - b 2 A 2 2 t + bAW (t) . (9)
Two observations are in order here. First of all, it is worth pointing out that in the absence of uncertainty, that's when b = 0, one gets the typical results: in particular, for any initial condition k(0) > 0, the economy jumps on the optimal path given by ( 9) under b = 0, and the growth rate is exactly A-δ-ρ 1-γ . The growth rate is strictly positive if and only if A > δ + ρ given that 0 < γ < 1. Since there are no transitional dynamics, the convergence speed to the balanced growth path is infinite. Second, it is easy to see from the explicit solution above that due to the extra negative term, -b 2 A 2 2 , the stability conditions may differ from the deterministic case. In order to state clearly the results of the stability, we first present the simplest linear homogenous stochastic differential equation and then introduce the definition(s) of stochastic stability. We finally apply the latter mathematical apparatus to the stochastic AK-growth model.

Stochastic stability results

Consider the typical linear Ito stochastic differential equation dx(t) = ax(t)dt + bx(t)dB(t), t ≥ 0 with initial condition x(0) = x 0 given, B(t) standard Brownian Motion, a and b constants. The general solution takes the form

x(t) = x 0 exp a - b 2 2 t + bB(t). (10)
As argued at the end of the previous section, an extra negative term, -b 2 2 shows up in the deterministic part of the solution compared to the solution of the counterpart deterministic differential equation (that is when b = 0). It's therefore easy to figure out why the noise term, bx(t)dB(t), is indeed stabilizing. Incidentally, introducing some specific white noises is one common way to "stabilize" dynamics systems. The pioneering work belongs to [START_REF] Khasminskii | Stochastic Stability of Differential Equations. Completely Revised and enlarged 2nd edition[END_REF] and some more recent results can be found in [START_REF] Appleby | Stabilization and destabilization of nonlinear differential equations by noise[END_REF] and references therein. Thus, the stability conditions under stochastic environments may well differ from the case with certainty. To tackle seriously this issue, we display some useful preliminary definitions.

Stability conditions under stochastic environments

For simplicity, we only present results of one-dimensional stochastic differential equation. First let us consider a homogenous linear Ito stochastic differential equation dx(t) = f (x(t), t)dt + g(x(t), t)dB(t), t ≥ t 0 [START_REF] Mirman | On optimal gowth under uncertainty[END_REF] with initial condition x(t 0 ) = x 0 given and B(t) standard Brownian Motion. Functions f (x(t), t) and g(x(t), t) check f (0, t) = 0 and g(0, t) = 0, ∀t ≥ t 0 .

Thus, solution x * = 0 is a solution corresponding to initial condition x 0 = 0. This solution is also called trivial solution or equilibrium solution.

Then for the stability, we take the following definitions from the Definition 2.1 and 3.1,

Mao (2011). 1

Definition 1 (i) The equilibrium (or trivial ) solution (x * = 0) of equation ( 11) is said to be stochastically stable or stable in probability if for every pair of ε ∈ (0, 1) and r > 0, there exists a δ = δ(ε, r) > 0, such that, probability checks

P {| x(t; x 0 , t 0 ) |< r f or all t ≥ t 0 } ≥ 1 -ε whenever | x 0 |< δ.
Otherwise, it is said to be stochastically unstable.

(ii) The equilibrium solution, x * = 0, of equation ( 11) is said to be stochastically asymptotically stable if it is stochastically stable and, moreover, for every ε ∈ (0, 1), there exists a δ = δ(ε) > 0, such that,

P { lim t→∞ | x(t; x 0 , t 0 ) |= 0} ≥ 1 -ε whenever x 0 < δ.
(iii) The equilibrium solution, x * = 0, of equation ( 11) is said to be stochastically asymptotically stable in the large if it is stochastically stable and, moreover, for all x 0

P { lim t→∞ | x(t; x 0 , t 0 ) |= 0} = 1.
(iv) The equilibrium solution, x * = 0, of equation ( 11) is said to be almost surely exponential stable if

lim t→∞ sup log | x(t; x 0 , t 0 ) | t < 0 a.s.
for all x 0 .

For our study of AK-model and dynamic equation ( 8), we first consider a homogenous linear stochastic differential equation

dx(t) = a(t)x(t)dt + b(t)x(t)dB(t), t ≥ t 0 (12)
with initial condition x(t 0 ) = x 0 given, B(t) standard Brownian Motion, a(t) and b(t)

known functions, we have solution as

x(t) = x 0 exp t t 0 a(s) - b 2 (s) 2 ds + t t 0 b(s)dB(s) (13)
Then the following stability results can be demonstrated for the general linear stochastic equation [START_REF] Steger | Stochastic growth under Wiener and Poisson uncertainty[END_REF], whose proof can be found in [START_REF] Mao | Stochastic Diferential Equations and Applications[END_REF] That is, equilibrium solution, x * = 0, of ( 12) is stochastically asymptotically stable in the large if a < b 2 2 .

• (iv) The equilibrium solution, x * = 0, of ( 12) is almost surely exponentially stable if

a < b 2 2 .
The last two results read that if a < b 2 2 , then almost all sample paths of the solution will tend to the equilibrium solution x * = 0 and the this convergence is exponentially fast. This is not the case in the deterministic case.

Following the above proposition, to study the stability of capital accumulation [START_REF] Merton | Lifetime portfolio under uncertainty: the continuous-time case[END_REF] in the stochastic AK-model, we have to study the relationship between parameters Aδ -1 H and bA.

Application to the stochastic AK model

It is easy to check in AK-model, σ(t)

= t 0 bAds = bAt. Therefore, σ(∞) = ∞.
uncertainty in the sense of condition (a) of Proposition 2 will destroy the usual deterministic growth paths even if productivity is initially very high (so even if A >> δ + ρ).

Second, since 0 < γ < 1, we are in the typical case where uncertainty boosts contemporanous consumption at the expense of savings and growth because the inherent . Condition (b) states that the economy collapses almost surely and at an exponential speed either if A < A 1 or A > A 2 . Condition A < A 1 , which amounts to A < ρ, is compatible with the deterministic counterpart as exponentially increasing paths require A > ρ when δ = 0. However, A > A 2 is not since A 2 > ρ for ρ small enough: exponentially optimal increasing paths exist in the deterministic path but not in the stochastic counterpart where the economy optimally almost surely collapses. In such case, balanced growth is not robust to uncertainty.

1 2ρ( 1 -γ 2 )

 112 income effects are dominated by the intertemporal substitution effects. In such a case, even if uncertainty is not large in the sense of condition (b) of Proposition 2, the usual deterministic growth paths are not robust to uncertainty. To understand more clearly the associated productivity values, it is interesting to come back to the parametric case considered by[START_REF] Steger | Stochastic growth under Wiener and Poisson uncertainty[END_REF]. Steger sets b = 1 and δ = 0. Then, the first part of condition (b) holds for ρ small enough. Indeed, condition 1 ≤ is fulfilled for ρ going to zero and given 0 < γ < 1. The second part of condition (b) is more interesting. For ρ close to zero, and using elementary approximation, one can easily show that A 1 ≈ ρ and A 2 ≈ 2-ρ(1-γ 2 ) 1-γ 2

See also[START_REF] Khasminskii | Stochastic Stability of Differential Equations. Completely Revised and enlarged 2nd edition[END_REF], section 5.3, page 152, section 5.4, page 155, and Definition 1 in section 5.4, page 157.

See also[START_REF] Khasminskii | Stochastic Stability of Differential Equations. Completely Revised and enlarged 2nd edition[END_REF], section 5.3, page 154, and section 5.5, page 159-160.

From the above mathematical results, the capital stock tends to equilibrium k * = 0 if

Substituting 1 H from (7) into the above inequality, we have

which is equivalent to

Obviously, F (A) is a second degree polynomial in term of A and opens upward. De-

The above analysis is concluded in the following:

The final proposition is striking at first glance. In contrast to the deterministic case, where the economy will optimally jump on an exponentially increasing path provided A > ρ + δ, it turns out that under uncertainty, our economy almost surely collapses (at an exponential speed) for a large class of parameterizations. Two engines are driving this result. First, the size of uncertainty as captured by parameter b matters: a too large