Gilles Aubert
email: gaubert@unice.fr

Laure Blanc-Féraud
email: laure.blanc-feraud@inria.fr

Daniele Graziani
email: daniele.graziani@inria.fre.mail

Aubert Gilles

J A Laboratoire

Dieudonné

Analysis of a new variational model to restore point-like and curve-like singularities in imaging

Keywords: 65K10 49J45 49M20 49Q20 biological images, non smooth convex optimization, l 1 -minimization, Nesterov scheme, divergence-measure elds, p-capacity, relaxation

ou non, émanant des établissements d'enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Introduction

In biological image processing one might be interested in restoring an image, possibly corrupted by noise, characterized by an high intensity value on sets of low dimension, such as points (for example spot due to molecule) or curves in 2-D (for example laments) and 3-D images and which decreases toward 0 in a neighborhood of the singularities. Then across these sets there is no jump of the gradient of the image. This phenomenon requires a new approach, which is dierent from the classical denoising model based on the gradient operator. From a general point of view in order to restore the given data u 0 , one would like to minimize an energy with an L 2 -delity term and a proper regularization criterion F (assuming Gaussian noise or Gaussian approximation). To this end one has to solve the following minimum problem:

(1.1)

min u∈X F (u) + λ 2 u -u 0 2 2 .
λ > 0 is a positive weight, the functional space X and the criterion F must be chosen according to the singularities to be restored. In our case it means that F must be given in term of a proper dierential operator which is singular in a suitable sense on points and curves.

In this paper we are interested in function u, that locally behaves like the solution of the Dirichlet problem:

(1.2)

-∆u = µ x ∈ B u = 0 x ∈ ∂B
where µ is a Radon measure concentrated on points or open curves with boundary inside Ω (where

Ω ⊂ R N is
an open set) and nally B is a neighborhood of the support of the measure µ.

In fact our approach is inspired from the electrostatic and potential theory. For example we modelize a spot as a charged electrical particle. The resulting potential satises locally a PDE as (1.2) where µ is a Dirac mass concentrated on the spot. In the language of image processing the potential is called image intensity. Similar ideas can be developed for electrically charged lines or laments.

We will show with two examples that the L p -norm is not relevant for managing such singularities, while the variation of the Laplacian measure is on the contrary quite relevant (see Subsection 2.3 for examples). Despite the gradient is not sensitive to the singularities we want to preserve, we still need a regularization term depending on the gradient in order to be sure to remove as much as possible the noise. Indeed the Laplacian by itself does not guarantee strong regularization property because of cancellation eect due to its divergence form.

Hence, from a variational point of view, we have to nd a functional space whose elements are able to produce Radon measures, whose support contains the singularities we would like to preserve. Then, in line with recent works for detecting point-like target problem (see [START_REF] Aubert | Variational approximation for detecting point-like target problems[END_REF][START_REF] Graziani | Existence result for a free-discontinuity energy governing the detection of spots in image processing Applicable Analysis[END_REF][START_REF] Graziani | A formal Γ-convergence approach for the detection of points in 2-D images[END_REF]), we consider the divergence as an operator able of producing Radon measures concentrated on points and curves. We deal with the space ∆M p loc (Ω) of W 1,p loc -functions whose gradient is an L p -vector eld with distributional divergence given by a Radon measure, where 1 < p < N N -1 , Ω ⊂ R N is the image domain and N is the space dimension (see Section 2 below). The restriction on p is due to the fact that when p ≥ N N -1 the distributional divergence Div∇u of ∇u cannot be a measure concentrated on points (see [START_REF] Aubert | Variational approximation for detecting point-like target problems[END_REF][START_REF] Graziani | A formal Γ-convergence approach for the detection of points in 2-D images[END_REF]). Then to restore point-like and curve-like singularities in 2D or 3D, we consider general criterion of type

(1.3) F (u, Ω ) := Ω f (∆u)dx + Ω g(∇u)dx on C 2 (Ω), +∞ on ∆M p loc (Ω) \ C 2 (Ω),
where Ω ⊂⊂ Ω is an open set; f , g are convex functions with linear and p-growth from above respectively.

Then, since in general functional (1.3) is not lower semicontinuous with respect to the W 1,p loc -weak convergence, we deal with its lower semicontinuous envelope (or relaxed functional) on the space ∆M p loc (Ω).

So the rst goal of the paper is to provide an integral representation result for the relaxed functional of functional (1.3), which guarantees that the regularization criterion we have chosen, matches with the singularities we aim to preserve. When 1 < p < N N -1 we provide such a representation by using the notion of p-capacity which is a useful tool to distinguish sets of 0-Lebesgue measure. In fact it turns out that, to extend functional (1.3) to the whole space ∆M p loc (Ω), one has to measure the absolutely continuous part of the distributional divergence of ∇u and, at the same time, control its singular parts, encoded in two mutually singular measures µ a concentrated on sets of positive p-capacity such as 2D curves or 3D surfaces, and µ 0 concentrated on sets with 0 p-capacity, such as points in 2D or curves in 3D (see for instance [START_REF] Evans | Measure Theory and Fine Properties of Functions[END_REF][START_REF] Heinonen | Nonlinear Potential Theory of Degenerate Elliptic Equations[END_REF][START_REF] Ziemer | Weakly Dierentiable Functions[END_REF] for general properties of p-capacity). Indeed by applying the p-capacitary decomposition, proven in [START_REF] Maso | Renormalized solutions of elliptic equations with general measure data[END_REF], to the singular part, given by the Radon-Nykodim decompostion, of the measure Div∇u, we have Div∇u = ∆udx + Div s ∇u = ∆udx + µ a + µ 0 , (see subsection 2.2 below). Then we prove that according to previous decomposition, the lower semicontinuous envelope of F is given by: (1.4)

F(u, Ω ) := Ω f (∆u)dx + Ω g(∇u)dx + Ω f ∞ ( dµ a d|µ a | )d|µ a | + Ω f ∞ ( dµ 0 d|µ 0 | )d|µ 0 |,
where u ∈ ∆M p loc (Ω), Ω ⊂⊂ Ω and f ∞ is the recession function given by lim s→+∞ f (st) s

, with t ∈ R. In the second part of this work we focus on concrete applications in biological image processing in dimension 2. In practice we consider the following functional

J (u, Ω ) := Ω |∆u|dx + 1 p Ω |∇u| p dx + |µ a |(Ω ) + |µ 0 |(Ω ) + λ 2 Ω |u -u 0 | 2 dx,
which corresponds to the particular case f = | • | and g = | • | p p . As a consequence of the relaxation result, we derive the existence of a unique minimizer of J on the space ∆M p loc (Ω) and that J is the lower semicontinuous envelope of

J(u, Ω ) := Ω |∆u|dx + Ω |∇u| p dx + λ 2 Ω |u -u 0 | 2 dx, on C 2 (Ω), +∞ on ∆M p loc (Ω) \ C 2 (Ω),
Then, by adapting some ideas of [START_REF] Nesterov | A method for unconstrained convex minimization problem with the rate of convergence O( 1 κ 2 )[END_REF][START_REF] Weiss | Algorithmes rapides d'optimisation convexe. Application à la restauration d'images et à la détection de changements[END_REF][START_REF] Weiss | Ecient schemes for total variation minimization under constraints in image processing[END_REF] to our setting, we minimize the discrete version (see Subsection 4.1 for notation and denition in the discrete setting) of J by a fast descent gradient algorithm.

Finally we test the proposed model to both synthetic and biological real images provided for us by "Institut Pasteur de Paris".

Let us conclude this introduction by pointing out that, of course, the idea of using second order dierential operator is not new in image processing. One could mention, among the others, the recent work on second order generalized total variation of [START_REF] Bredies | Second order total generalized variation Siam[END_REF] or older based on Blake-Zisserman model (see for instance [START_REF] Carriero | Tomarelli A second order model in image segmentation: Blake & Zisserman functional Variational Methods for Discontinuous Structures[END_REF]). Nevertheless these models appear dierent from the one we propose here, since they focus on better preservation of jump discontinuities such as contour or corner, while we are interested in the restoration of dierent kind of singularities here.

The paper is organized as follows. Section 2 is devoted to notations, preliminary denitions, examples and results. In Section 3 we address the relaxation result and its consequences. In Section 4 we illustrate our model by showing experimental results on both synthetic and biological images.

Definition and main properties

2.1. Distributional divergence and classical spaces. In the next subsection we recall the denition of the distributional space L p,q (Div; Ω) and DM p (Ω), 1 ≤ p, q ≤ +∞, (see [START_REF] Anzellotti | Pairings between measures and bounded functions and compensated compactness[END_REF][START_REF] Chen | Frid Divergence-measure elds and conservation laws[END_REF]). In all the paper

Ω ⊂ R N is
For U ∈ L p (Ω; R N ), 1 ≤ p ≤ +∞, set |DivU |(Ω) := sup{ Ω U, ∇ϕ dx : ϕ ∈ C ∞ 0 (Ω), |ϕ| ≤ 1}.
We say that U is an L p -divergence measure eld, i.e. U ∈ DM p (Ω), if

U DM p (Ω) := U L p (Ω;R N ) + |DivU |(Ω) < +∞.
We recall that U ∈ L p (Ω; R N ) belongs to DM p (Ω) if and only if there exists a Radon measure denoted by DivU such that

Ω U, ∇ϕ = - Ω DivUϕ ∀ϕ ∈ C ∞ 0 (Ω),
and the total variation of the measure DivU is given by |DivU |(Ω).

We say that U ∈ DM p loc (Ω), if U ∈ DM p (Ω ) for every Ω ⊂⊂ Ω. Let us recall the following result (see [START_REF] Chen | On the theory of divergence-measure elds and its applications[END_REF] Proposition 3.1).

Theorem 2.1. Let {U

h } h ⊂ DM p (Ω) be such that (2.1) U h U in L p (Ω; R N ), as h → +∞ for 1 ≤ p < +∞. Then U L p (Ω;R N ) ≤ lim inf h→+∞ U h L p (Ω;R N ) , |DivU |(Ω) ≤ lim inf h→+∞ |DivU h |(Ω).
Finally we dene the following space (2.2)

∆M p loc (Ω) := {u ∈ W 1,p loc (Ω), ∇u ∈ DM p loc (Ω)}.
2.2. p-capacity. If K ⊂ R N is a compact set and χ K denotes its characteristic function, we dene:

Cap p (K, Ω) = inf{ Ω |∇f | p dx, f ∈ C ∞ 0 (Ω), f ≥ χ K }.
If U ⊂ Ω is an open set, its p-capacity is given by

Cap p (U, Ω) = sup K⊂U Cap p (K, Ω). Finally if A ⊂ U ⊂ Ω with A Borel set and U open, then Cap p (A, Ω) = inf A⊂U ⊂Ω Cap p (U, Ω).
We recall the following result (see for instance [START_REF] Heinonen | Nonlinear Potential Theory of Degenerate Elliptic Equations[END_REF], Theorem 2.27) that explains the relationship between p-capacity and Hausdor measures. Such a result is crucial to have geometric information on null p-capacity sets.

Theorem 2.2. Assume

1 < p < N . If H N -p (A) < ∞ then Cap p (A, Ω) = 0.
For general properties we refer the reader to [START_REF] Evans | Measure Theory and Fine Properties of Functions[END_REF][START_REF] Heinonen | Nonlinear Potential Theory of Degenerate Elliptic Equations[END_REF][START_REF] Ziemer | Weakly Dierentiable Functions[END_REF].

It is known (see [START_REF] Maso | Renormalized solutions of elliptic equations with general measure data[END_REF]) that given a Radon measure µ the following decomposition holds

(2.3) µ = ν a + µ 0 ,
where the measure ν a is absolutely continuous with respect to the p-capacity and µ 0 is singular with respect to the p-capacity, that is concentrated on sets with zero p-capacity. Besides it is also known (see [START_REF] Maso | Renormalized solutions of elliptic equations with general measure data[END_REF]) that every measure which is absolutely continuous with respect to the p-capacity can be characterized as an element of L 1 + W -1,p , leading to the ner decomposition:

(2.4)

µ = f dx -DivG + µ 0 , where G ∈ L p (Ω; R 2 ) with 1 p + 1 p = 1 and f ∈ L 1 (Ω).
In particular if u ∈ ∆M p (Ω) by applying the classical Radon-Nikodym decomposition together with (2.4) to the measure Div∇u, denoted in this case with ∆u, we get:

Div∇u : = ∆u = ∆udx + ∆ s u = ∆udx + ν a + µ 0 = ∆udx + f -DivG + µ 0 = ∆udx -DivG + µ 0 = ∆udx + µ a + µ 0 , (2.5)
where f = 0, since we have applied decomposition (2.4) to the singular part ∆u s , with respect to the Lebesgue measure, of the measure ∆u. To simplify the notation we have adopted the notation ∆udx for the absolute continuous part of ∆u. Moreover we have denoted by µ a the measure -DivG which is absolutely continuous with respect to the p-capacity and also singular with respect to the Lebesgue measure.

Examples.

In this subsection we briey discuss some examples related to our model, in order to give an intuitive explanation of why the Laplacian operator is a right operator to restore point-like and curve-like singularities.

Example 2.1. We begin with an example of point-like singularity. Let Ω = B 1 (0) ⊂ R 2 be a ball centered at the origin with radius 1. Let B (0) ⊂ R 2 be a ball centered at the origin with radius such that B (0) ⊂ Ω. Let δ 0 be the Dirac's measure concentrated at the origin. Then we consider the solution of the Dirichlet problem:

(2.6)

-∆u = δ 0 x ∈ B (0) u = 0 x ∈ ∂B (0).
Suppose the image I ∈ W 1,p 0 (Ω) is of the following form:

I = u x ∈ B (0) 0 x ∈ Ω \ B (0)
We compute now

B (0) |∇I | p dx = B (0) |∇u | p dx.
Let q > p be such that pq < 2, that is q > 2 2-p . The by Holder inequality we have:

(2.7)

B (0) |∇u | p dx ≤ L 2 (B (0)) 1 q B (0) |∇u | pq dx 1 q .
Since u is the solution of problem, (2.6), classical a priori estimation (see [START_REF]Stampacchia Le problème de Dirichlet pour les equations elliptiques du second ordre à coecients discontinuous[END_REF] Theorem 9.1) ensures that (2.8)

∇u L s (B (0) ≤ C|δ 0 |(B (0)) = C < +∞,
for all s < 2 where the constant C does not depend on . Therefore by using (2.8) together with (2.7) by taking into account that pq < 2, we get B (0

) |∇I | p → 0.
It means that the L p -norm of the gradient is not sensitive to point-like singularities.

On the contrary, to the variation of the Laplacian measure in R of I is equivalent to compute the variation of the measure δ 0 . Therefore

|∆I |(B (0)) = sup ϕ∈C ∞ 0 (B (0)) ϕ ∞≤1 B (0) |ϕ|dδ 0 = 1
It means that, the variation of the Laplacian measure, counts point-like singularities, which is precisely what is needed to preserve the singularities.

Example 2.2. We discuss an example of curve-like singularity. Let Ω = B 1 (0) ⊂ R 2 be a ball centered at the origin with radius 1. Let Γ be the segment with parametrization α(t) = (t, 0) with t ∈ [0, 1 2 ]. Let δ Γ be the measure supported on Γ dened in the following way: for every A ⊂ Ω Borel set

δ Γ (A) = A∩Γ α (t)dt = H 1 (A ∩ Γ). Let R ⊂ Ω be the rectangle [0, 1 2 ] × [-, ].
We consider the weak solution of the Dirichlet problem:

(2.9)

-∆u = δ Γ x ∈ R u = 0 x ∈ ∂R .
As before we suppose to have an image I given by:

I = u x ∈ R 0 x ∈ Ω \ R
The same arguments of the previous example shows that

R |∇I (x)| p dx → 0.
It means that the L p -norm of the gradient is not sensitive to curve-like singularities. Next as in the example 2.1 we would like to compute the variation of the Laplacian measure. Since u is a weak solution of problem (2.9), we have that the variation of the Laplacian measure in R coincides with the variation of the measure δ Γ , that is the length of the segment. Thus, by taking into account that u = I , we have

|∆I |(R ) = H 1 (Γ).
It means that Laplacian is sensitive to curve-like singularity.

2.4. Functionals and their properties. Let f : R → [0, +∞] and g : R N → [0, +∞] be convex functions such that (2.10)

f (t) ≤ C 1 (1 + |t|) ∀t ∈ R,
where 0 < C 1 < +∞ is a constant;

(2.11)

g(ξ) ≤ C 2 (1 + |ξ| p ) ∀ξ ∈ R N ,
where 0 < C 2 < +∞ is a constant. We shall consider the following functionals for u ∈ ∆M p loc (Ω) and A ∈ A(Ω):

(2.12)

F (u, A) := A f (∆u)dx + A g(∇u)dx on C 2 (A), +∞ on ∆M p loc (A) \ C 2 (A);
(2.13)

F(u, A) := A f (∆u)dx + A g(∇u)dx + A f ∞ ( dµ a d|µ a | )d|µ a | + A f ∞ ( dµ 0 d|µ 0 | )d|µ 0 |,
where f ∞ is the recession function given by lim s→+∞ f (st) s

, with t ∈ R and the measure µ a and µ 0 are given by decomposition (2.5). dµ a d|µ a | , dµ 0 d|µ 0 | are the Radon-Nikodym derivatives of the measures µ a and µ 0 with respect to their total variation. Finally we will always assume 1 < p < N N -1 . This restriction on p is due to the fact that when p ≥ N N -1 the distributional divergence of U , and therefore the distributional Laplacian of a Sobolev function, cannot be a measure concentrated on sets with zero p-capacity (see [START_REF] Aubert | Variational approximation for detecting point-like target problems[END_REF]). We do this in order to allow concentration on sets of N -2 dimension such as points in 2D and curves in 3D. Indeed in this case the support of µ a = f -DivG contains sets of dimension N -1 such as N -1 manifolds with or without boundary inside Ω (see [START_REF] Ziemer | Weakly Dierentiable Functions[END_REF], Section 4.7, for a detailed discussion on the space W -1,p (Ω)), while the support of the term µ 0 contains lower dimensional sets such as points for N ≥ 2 or curves for N ≥ 3.

2.5. Relaxation. Let F be the functional dened in (2.12). For every u ∈ ∆M p loc (Ω) we dene the lower semicontinuous envelope or relaxed functional with respect to the W 1,p loc -weak convergence of F given by: (2.14)

SC -F (u, Ω ) := inf u h ⊂C 2 (Ω ) {lim inf h→+∞ F (u h , Ω ) u h u},
For the convenience of the reader we recall here that a sequence {u h } ⊆ W 1,p loc (Ω) W 1,p loc -weakly converges to u ∈ W 1,p loc (Ω) if and only if for all ϕ ∈ W 1,-p (Ω ) and Ω ⊂⊂ Ω we have

u h , ϕ W 1,p (Ω )×W 1,-p (Ω ) → u, ϕ W 1,p (Ω )×W 1,-p (Ω ) .
We recall that if G : ∆M p loc (Ω) → R is a continuous functional with respect to the W 1,p loc -weak convergence we have:

(2.15)

SC -(F + G) = SC -F + G.
For general properties of the relaxation we refer to [START_REF] Braides | Γ-convergence for beginners[END_REF][START_REF] Maso | Introduction to Γ-convergence[END_REF].

Relaxation theorem and existence of minimizers

In this section we state and prove the relaxation formula. The result is close, in the spirit, to the the classical theorem of Gomann-Serrin (see [START_REF] Gomann | Sublinear functions of measures and variation integrals[END_REF]) in the BV -framework. Indeed, in a similar way, to extend functional (2.12) to the whole space ∆M p loc (Ω), the singular parts of the distributional divergence of ∇u, have to be taken into account. To prove the relaxation argument we adapt the proof of ( [START_REF] Gomann | Sublinear functions of measures and variation integrals[END_REF]) to our variational framework. Theorem 3.1. Let f : R → [0, +∞), g : R N → [0, +∞) be convex functions satisfying (2.10) and (2.11). Then the following formula holds:

(3.1) SC -F (u, Ω ) = F(u, Ω ) ∀u ∈ ∆M p loc (Ω), ∀Ω ⊂⊂ Ω.
Proof.

Step one: We prove rst the lower bound:

(3.2)

F(u, Ω ) ≤ SC -F (u, Ω ) ∀u ∈ ∆M p loc (Ω), ∀Ω ⊂⊂ Ω. Let {u h } h ⊂ C 2 (Ω ) such that u h u ∈ ∆M p loc (Ω). Since f is convex we have (3.3) f (t) = sup k (a k + b k t), f ∞ (t) = sup k (b k t) t ∈ R.
Then for every test function ϕ ∈ C ∞ 0 (Ω ) such that 0 ≤ ϕ ≤ 1 we get

F (u h , Ω ) ≥ Ω ϕf (∆u h )dx + Ω g(∇u h )dx ≥ Ω ϕ(a k + b k ∆u h )dx + Ω g(∇u h )dx.
By integrating by parts we obtain

F (u h , Ω ) ≥ Ω ϕa k dx - Ω b k ∇ϕ∇u h dx + Ω g(∇u h )dx.
Then taking the weak limit and integrating by parts we get

lim inf h→+∞ F (u h , Ω ) ≥ Ω a k ϕdx + Ω b k ϕ dDiv∇u + Ω g(∇u)dx;
hence by taking into account decomposition (2.5) we infer

lim inf h→+∞ F (u h , Ω ) ≥ Ω ϕ(a k + b k ∆u)dx + Ω ϕb k dµ a |dµ a | |dµ a | + Ω ϕb k dµ 0 |dµ 0 | |dµ 0 | + Ω g(∇u)dx.
Finally, since the measures dx, µ a and µ 0 are mutually singular, to achieve inequality (3.2) it suces to take the supremum over ϕ and k rst, and then inmum over all the sequences {u h } h ⊂ C 2 (Ω ) . So we get (3.2).

Step two : We now prove the upper bound SC -F (u, Ω ) ≤ F(u, Ω ) for every u ∈ ∆M p loc (Ω) and for all Ω ⊂⊂ Ω.

For u ∈ ∆M p loc (Ω), let {ũ h } h ⊂ C ∞ (Ω h )
be the mollied sequence of u dened as ũh := u * ρ h with {ρ h } h a standard sequence of molliers and

Ω h = {x ∈ Ω such that dist(x, ∂Ω) > 1 h }. For x ∈ Ω h the support of ρ h (x -•) is contained in Ω,
then by standard properties of the mollifying sequence, we have for

x ∈ Ω h a k + b k ∆ũ h := a k + b k Ω ρ h (x -y) dDiv∇u = Ω ρ h (x -y)(a k + b k ∆u(y))dy + Ω ρ h (x -y)b k dµ a |dµ a | |dµ a | + Ω ρ h (x -y)b k dµ 0 |dµ 0 | |dµ 0 |;
(for x ∈ Ω h we can write the integral over all Ω, since the integration with respect to y is actually performed on the compact support of the kernel ρ h (x -•)).

By taking into account (3.3) we obtain

a k + b k ∆ũ h ≤ Ω ρ h (x -y)f (∆u(y))dy + Ω ρ h (x -y)f ∞ ( dµ a |dµ a | )|dµ a | + Ω ρ h (x -y)f ∞ ( dµ 0 |dµ 0 | )|dµ 0 |. (3.4)
Let Ω ⊂⊂ Ω an open set. Since Ω h is a sequence invading Ω, we have for h large enough Ω ⊂ Ω h . Then for h large enough by taking the supremum on k on the left hand side of (3.4) and integrating over Ω with respect to x we get:

Ω f (∆ũ h )dx ≤ Ω Ω ρ h (x -y)f (∆u(y))dy dx + Ω Ω ρ h (x -y)f ∞ ( dµ a |dµ a | )|dµ a | dx + ρ h (x -y)f ∞ ( dµ 0 |dµ 0 | )|dµ 0 | dx. (3.5)
By applying, thanks to (2.10), Fubini's Theorem to the right hand side of (3.5) we have

Ω Ω ρ h (x -y)f (∆u(y))dy dx = Ω f (∆u(y)) Ω ρ h (x -y)dx dy, Ω Ω ρ h (x -y)f ∞ ( dµ a d|µ a | )d|µ a | dx = Ω f ∞ ( dµ a d|µ a | ) Ω ρ h (x -y)dx d|µ a |, Ω Ω ρ h (x -y)f ∞ ( dµ 0 d|µ 0 | )d|µ 0 | dx = Ω f ∞ ( dµ 0 d|µ 0 | ) Ω ρ h (x -y)dx d|µ 0 |, and then (3.6
)

Ω f (∆ũ h )dx ≤ Ω f (∆u)dx + Ω f ∞ ( dµ a d|µ a | )d|µ a | + Ω f ∞ ( dµ 0 d|µ 0 | )|dµ 0 |,
where we have used the fact that

Ω ρ h (x -y)dx ≤ R N ρ h (x -y)dx = 1.
By the same argument we get also that

(3.7) Ω g(∇ũ h )dx ≤ Ω g(∇u)dx.
Then (3.6) and (3.7) imply

(3.8) Ω f (∆ũ h )dx + Ω g(∇ũ h )dx ≤ F(u, Ω ).
Therefore since {ũ h } h ⊂ C 2 (Ω ) and ũh u with respect to the W 1,p loc (Ω) convergence, we have by taking into account (3.8)

SC -F (u, Ω ) = inf u h ⊂C 2 (Ω ) {lim inf h→+∞ F (u h , Ω ) u h u} ≤ lim inf h→+∞ F (ũ h , Ω ) ≤ F(u, Ω ),
and therefore, being Ω arbitrary, the thesis is achieved.

Numerical Applications

In view of numerical applications we will always consider N = 2, f (t) = |t| and g(ξ) = 1 p |ξ| p (with 1 < p < 2), so that the recession function f ∞ (t) is equal to |t|. Moreover we add an L 2 -discrepancy term, and we consider the following functionals: (4.1)

J(u, Ω ) := Ω |∆u|dx + 1 p Ω |∇u| p dx + λ 2 Ω |u -u 0 | 2 dx on C 2 (Ω), +∞ on ∆M p loc (Ω) \ C 2 (Ω),
and for all Ω ⊂⊂ Ω (4.2)

J (u, Ω ) := Ω |∆u|dx + 1 p Ω |∇u| p dx + |µ a |(Ω ) + |µ 0 |(Ω ) + λ 2 Ω |u -u 0 | 2 dx,
where u 0 ∈ L 2 (Ω ) is the observed data, and λ is a positive weight. Let us prove the existence and uniqueness of a minimum for functional J , before that we focus on discrete analysis. Proposition 4.1. There exists a unique minimum u ∈ ∆M p loc (Ω) of functional J dened in (4.2). Moreover the following equality holds for all Ω ⊂⊂ Ω (4.3)

inf u∈C 2 (Ω) J(u, Ω ) = inf u∈∆M p loc (Ω) J(u, Ω ) = min u∈∆M p loc (Ω) J (u, Ω ).
Proof. Let {u h } h ⊂ ∆M p loc (Ω) be a minimizing sequence of J . Then it follows that

u h p L p loc (Ω) + ∇u h p W 1,p loc (Ω) ≤ M.
Therefore, there exists a subsequence, still denoted by {u h } h ⊂ ∆M p loc (Ω), and a function u ∈ W 1,p loc (Ω)

such that u h → u with respect to the W 1,p loc (Ω)-weak convergence. From Theorem 2.1 we have for all

Ω ⊂⊂ Ω |Div∇u|(Ω ) ≤ lim inf h→+∞ J (u h , Ω ) ≤ M,
which implies u ∈ ∆M p loc (Ω). As immediate consequence of Theorem 3.1 and property (2.15), functional J is lower semicontinuous with respect to the W 1,p loc -weak convergence. Then the existence of a minimum follows via the direct methods of the calculus of variations, while the uniqueness is consequence of the strong convexity of J .

Finally property (4.3) can be achieved by standard arguments (see for instance [START_REF] Maso | Introduction to Γ-convergence[END_REF]).

4.1. Discrete setting. We dene the discrete rectangular domain Ω of step size δx = 1 and dimension

d 1 d 2 ,
where Ω = {1, ..., d 1 }×{1, ..., d 2 } ⊂ Z 2 . In order to simplify the notations we set X = R d1×d2 and Y = X × X. u ∈ X denotes a matrix of size d 1 × d 2 . For u ∈ X, u i,j denotes its (i,j)-th component with (i, j) ∈ {1, ..., d 1 } × {1, ..., d 2 }. For g ∈ Y , g i,j denotes the i,j-th component of g with g i,j = (g 1 i,j , g 2 i,j )

and (i, j) ∈ {1, ..., d 1 } × {1, ..., d 2 }

We endowed the space X and Y with standard scalar product and standard norm. For u, v ∈ X we have:

u, v X = d1 i=1 d2 j=1 u i,j v i,j .
For g, h ∈ Y we have:

g, h Y = d1 i=1 d2 j=1 2 l=1 g l i,j h l i,j .
For u ∈ X and p ∈ [1, +∞) we set:

|u| p := ( d1 i=1 d2 j=1 |u i,j | p ) 1 p .
For g ∈ Y and p ∈ [1, +∞):

g p := ( d1 i=1 d2 j=1 |g i,j | p 2 ) 1 p .
If G, F are two vector spaces and H : G → F is a linear operator, then the norm of H is dened by

H := max u G ≤1
( Hu F ).

Denition 4.1. A function F : X → R is said to be L-lipschitz dierentiable if it is dierentiable and

|∇F (u) -∇F (v)| 2 ≤ L|u -v| 2 ,
for every u, v ∈ X.

where F 1 is a convex L-Lipschitz dierentiable function and F 2 a simple function. Then the following algorithm 3 :

(4.4)

                                 u 0 ∈ X A 0 = 0 g = 0 u = 0 do for k : 1, ..., K t = 2 L a = t + √ t 2 + 4tA v = prox AF2 (u 0 -g) y = Au+Av A+a u = prox 1 L F2 (y -1 L ∇F 1 (y)) g = g + a∇F 1 (u) A = A + a ensures that: (4.5) 0 ≤ F (u k ) -F (u * ) ≤ L |u * -u 0 | 2 2 k 2 ,
where u * ∈ X is a minimum point of F and u 0 ∈ X is an initial data.

Remark 4.1. In order to apply the previous algorithm it is crucial to compute exactly the proximal operator prox αF2 for every α ∈ R + . This is the case since by assumption F 2 is a simple function.

J(u) = ∆u 1 + 1 p ∇u p p + λ 2 |u -u 0 | 2 2 .
We also introduce its smoother counterpart given by: (4.7)

J (u) = d1 i=1 d2 j=1 w (|(∆u) i,j |) + 1 p d1 i=1 d2 j=1 w (|(∇u) i,j | p ) + λ 2 d1 i=1 d2 j=1 |u i,j -(u 0 ) i,j | 2 ,
where > 0 is a small xed parameter and w is the Huber function given by:

w (x) = |x| if |x| ≥ x 2 2 + 2 .
We shall consider the minimization problems:

(4.8)

min u∈X J(u), (4.9
)

min u∈X J (u).
As in [START_REF] Weiss | Ecient schemes for total variation minimization under constraints in image processing[END_REF] we dene the notion of δ-solution associated to problem (4.8), which will be used to give an estimation of the number of iterations of the minimization algorithm. Denition 4.3. A δ-solution of (4.8) is an element u δ ∈ X such that

J(u δ ) -J(u) ≤ δ,
where u is a solution of problem (4.8). restored image by using our method. Right bottom: restored image by using classical total variation minimization. Since the gradient is not sensitive to curve-like singularities, the total variation does not preserve such singularities and some laments tends to disappear.

In gure 2 we compare our method with the classical total variation minimization one, in order to verify that the minimization of the proposed functional performs a better preservation of curve-like singularities. In 3 and 4 we test the algorithm against noise on the ideal synthetic image u. A Gaussian Noise is added to the original image. The image domain is of size d 1 × d 2 = 256 × 256. CPU time is about 40 s running on an Intel (R) Xeon(R) CPU 5120 at 1.86GHz. 4.7. Test on real images. Here we test our model on real images. We assume that these image behave like the ideal image u 0 in previous section. On the y-axis the value of J(u k ). On the x-axis the number of iterations. . since the level of noise is not too high and the intensity of the images on spots is elevated, the algorithm is capable to restore the image by preserving point-like structures. On the x-axis the number of iterations .

dµ a d|µ a | , dµ 0 d|µ 0 |

 0 are the Radon-Nikodym derivatives of the measures µ a and µ 0 with respect to their total variation (see Theorem 3.1) and Ω ⊂⊂ Ω open set.

  an open bounded set with Lipschitz boundary. N ≥ 2 is the space dimension. We denote by A(Ω), the family of all open bounded subsets A ⊂ Ω. H d stands for the d-dimensional Haussdorf measure. Notation for Sobolev's and Lebesgue's spaces are standard. Denition 2.1.

4. 3 .

 3 The discrete functionals. For u ∈ X we dene the discrete version of functional (4

3Figure 1 .Figure 2 .

 12 Figure 1. Synthetic images. The construction of the ideal original image. Top left: the image of laments δ Γ . Top right: the image u, that we consider as original image.

Figure 5 Figure 3 . 1 757×510.Figure 4 .

 5314 Figure 3. Synthetic images. Top left: Original images. Top right: noisy image. Down left: Restored image given by a δ-solution of order 1. Down right: The support of |∆u|, where u is the restored image. The curve like-singularities are preserved in the denoising process

Figure 5 .

 5 Figure 5. Noisy image of cell spots.

Figure 6 .

 6 Figure 6. Restored image given by a δ-solution of order 1. Number of iterations K = 2000, λ = 1 20. since the level of noise is not too high and the intensity of the images on spots is elevated, the algorithm is capable to restore the image by preserving point-like structures.

Figure 7 .

 7 Figure 7. Convergence of the algorithm. On the y-axis the value of J(u k ).On the x-axis the number of iterations.

Figure 8 .

 8 Figure 8. Real noisy image: we test our algorithm on a real image of a blood vessels network corrupted by Gaussian noise. Image size d 1 × d 2 = 560 × 570.

Figure 9 . 2000 Figure 10 .

 9200010 Figure 9. Restored image: δ = 1, λ = 1 100 , =

Acknowledgments: The authors thank "Institut Pasteur de Paris" for providing them with biological images. The corresponding author warmly thanks Mikael Carlavan, Phd student of Ariana project at INRIA, to help him with the Matlab code.

Daniele Graziani was supported until January 2010 by ANR under the research project "Detectne" (Laboratory I3S, Université de Nice Sophia antipolis).

is called proximal operator associated to ψ.

If prox λψ can be computed exactly for every λ ≥ 0 and every x ∈ X, the function ψ is said to be simple.

If u ∈ X the gradient ∇u ∈ Y is given by: (∇u) i,j = ((∇u) 1 i,j , (∇u) 2 i,j )

where

We also introduce the discrete version of the divergence operator dened as the adjoint operator of the gradient: div = -∇ * . If p ∈ Y , we have

Then we can dene the discrete version of the Laplacian operator as ∆u = div(∇u).

4.2. Nesterov scheme. Here we briey recall the fast descent gradient Nesterov's algorithm (see [START_REF] Nesterov | A method for unconstrained convex minimization problem with the rate of convergence O( 1 κ 2 )[END_REF][START_REF] Nesterov | Smooth minimization of non-smooth functions[END_REF]). We state it in the formulation proposed in [START_REF] Weiss | Algorithmes rapides d'optimisation convexe. Application à la restauration d'images et à la détection de changements[END_REF][START_REF] Weiss | Ecient schemes for total variation minimization under constraints in image processing[END_REF]. For further details and general statements we refer the reader to [START_REF] Weiss | Algorithmes rapides d'optimisation convexe. Application à la restauration d'images et à la détection de changements[END_REF][START_REF] Weiss | Ecient schemes for total variation minimization under constraints in image processing[END_REF] and references therein.

Proposition 4.2. Let F : X → R be given by:

4.4. The proposed algorithm. We minimize J by applying algorithm (4.4) with

Indeed it is not dicult to check that (4.10)

where

Then, taking into account that Ψ and Φ are Lipschitz functions with constant 1 and 1

p respectively, we infer

Therefore, by recalling that, if N = 2, ∆ 2 ≤ 8 and div 2 ≤ 2 √ 2, we conclude that (4.11)

Thanks to inequality (4.11) we are in position of applying algorithm (4.4). Then in our case algorithm (4.4) ensures that: (4.12)

where u * is a minimum of J .

4.5.

Computer examples. Before running our algorithm all the parameters have to be xed. It is easy to see that for every u ∈ X we have (4.13)

Then by using (4.13) (4.12) and the fact that u * is a minimum of J we have

where u is a minimum of J. By applying again bound (4.13) we deduce

Therefore the worst case precision to get a δ-solution of (4.8) is:

then the optimal choices are

where C := max X |u -u 0 | 2 and K the total number of iterations. For images rescaled in [0, 1], in the worst case problem we deal with (see Figure 5), the number of iterations K needed to get a δ-solution of order 1 does not exceed the value 30000. In all numerical tests we let run the algorithm for no more than 2000 iterations. The parameter is always xed in order to get a δ-solution of order 1. This choice seems to lead to good restoration results. The parameter λ is tuned according to the level noise and its value is specied on each numerical test.

Finally as exponent p we always take p = 1.5.

4.6. A model synthetic example. In Figure 1

To compute v i we minimize via classical descent gradient the following functional:

Indeed, if v i is a minimum we have that

Moreover F is Lipschitz dierentiable with Lipschitz constant L ≤ ∆ 2 ≤ 8. In order obtain a minimum v i we iterate the standard procedure:

L (we consider dt = 1 10 ). Thus lim n→+∞ v n i = v i , with v i minimum of F . Then we extend v i as 0 outside W . So we have :

We repeat this procedure for every i and we dene the ideal original image as

In such a way we have a synthetic image u which locally behaves as the solution of Dirichlet problem (4.14) (see Figure 1).


Publié dans un ouvrage collectif, Guillemin H., Jorda H. et Pouchol M. (éd.), La démocratie et le marché. Economie et démocratie volume II,coll. Economie et innovation,série Krisis,Innoval,L'Harmattan, 1

Globalisation et politiques internationales de coopération

François Facchini

La globalisation1 est devenue un sujet de société. Elle est le plus souvent critiquée et condamnée parce qu'elle serait à l'origine d'une concurrence déloyale des pays pauvres, de l'accroissement de la pauvreté et des inégalités (entre les pays et entre les populations d'un même pays) et du démantèlement de l'Etat Providence. Une partie de l'opinion publique estime, alors, qu'il faut réguler le commerce mondial par des politiques de coopération internationales. Elle juge donc qu'il est souhaitable que les gouvernements usent de leur pouvoir de coercition pour obliger les marchands à respecter des lois internationales qui modifieront les conditions contractuelles de leurs échanges en faveur du bien être social. Une telle politique suppose donc que le libre échange nuit au bien être social et qu'il doit laisser la place à un échange contraint par une loi internationale.

L'inefficacité et/ou l'iniquité du libre échange n'explique pas cependant la dimension internationale du protectionnisme. Les Etats qui estiment que le libre échange a des effets négatifs sur leurs économies peuvent très bien décider de mettre en place des politiques de protection nationale. Le caractère international du protectionnisme contemporain appelle donc une explication complémentaire.

Le protectionnisme devient international parce qu'il est inefficace lorsqu'il est pratiqué de manière unilatérale. Ce constat marque un tournant dans l'histoire du commerce mondial, car désormais ce ne sont plus les marchands qui revendiquent le libre échange contre le pouvoir politique des Etats, mais les gouvernements politiques qui estiment que la liberté de contraindre les marchands est menacée par la globalisation.

Les partisans des politiques de régulation définissent donc la globalisation comme une contrainte qui empêche les gouvernements d'agir en faveur du bien être social et la coopération internationale comme un moyen de desserrer la contrainte de globalisation et de redonner aux gouvernements la possibilité d'agir.

Publié dans un ouvrage collectif, Guillemin H., Jorda H. et Pouchol M. (éd.), La démocratie et le marché. Economie et démocratie volume II,coll. Economie et innovation,série Krisis,Innoval,L'Harmattan, 2 Cette manière de définir la globalisation et la coopération ne dévoile cependant qu'un aspect des liens qui unissent le pouvoir politique à l'échange. Outre les bénéfices que retirent les individus qui entrent dans l'échange mondial, il est important de comprendre la véritable nature de la contrainte que fait peser la globalisation sur les gouvernements afin de rappeler qu'elle est plus une chance pour les Etats de connaître la nature des réformes institutionnelles qu'ils doivent engager qu'une atteinte à leur souveraineté.

La contrainte de globalisation n'est pas coercitive, elle laisse donc aux Etats une totale souveraineté. Cela signifie qu'elle ne dicte aucune règles sanitaires, écologiques, financières et fiscales aux gouvernements. Elle ne fait qu'intensifier la concurrence institutionnelle sans jamais substituer un quelconque pouvoir économique à la souveraineté des Etats.

La contrainte de globalisation ne suppose, de plus, aucun modèle de développement pré-établi, elle repose uniquement sur la concurrence que se livrent les Etats pour favoriser le bien être2 de leur population3 . Elle se définit comme un processus ouvert qui ne présage pas des solutions que retiendront les Etats mais qui les obligent à prendre en compte les préférences constitutionnelles des individus. Comme l'élection, elle met le pouvoir politique sous le contrôle des préférences constitutionnelles des citoyens.

C'est dans cette perspective qu'est écrit ce texte qui se donne pour objectif d'éclairer les débats sur la gouvernance internationale par le concept de concurrence institutionnelle forgé par l'économie politique constitutionnelle. La première partie rappelle les raisons qui poussent les Etats des pays développés à s'engager dans des politiques de coopération internationales. La deuxième partie montre que la coopération internationale aura pour effet de ralentir l'ajustement des institutions à la demande sociale et de re-territorialiser le droit.

Les raisons des politiques de coopération internationales

Les gouvernements des pays développés mettent en place des politiques de coopération internationales parce qu'ils craignent que la globalisation rende leur Etat Providence obsolète.

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Les craintes des Etats vis-à-vis de la globalisation

Ils redoutent, tout d'abord, l'immigration massive de la main d'oeuvre des pays pauvres vers les pays riches (tension à la baisse des salaires nominaux), la délocalisation de leurs entreprises dans les pays où le coût du travail est plus bas (tension à la baisse des salaires réels)4 , et la fermeture d'entreprises dans des secteurs non compétitifs de leur économie comme l'agriculture ou les textiles. Ils s'effraient, ensuite, des conséquences fiscales des décisions de délocalisation des firmes multinationales5 . La sortie des hommes et du capital a des effets négatifs sur la valeur du patrimoine national. Elle réduit la productivité des facteurs de production, diminue le rendement de l'impôt et limite ainsi les marges de manoeuvre budgétaires des Etats qui sont obligés d'emprunter (impôt de demain) et/ou d'accroître la pression fiscale pour financer leur dépense publique. La contrainte électorale les empêchant d'augmenter massivement les impôts, les gouvernements préfèrent privatiser les entreprises publiques ou baisser la qualité des biens publics6 . La menace de délocalisation oblige donc les gouvernements à entrer, d'une part, dans une logique de moins disant fiscal sur les facteurs mobiles et à favoriser, d'autre part, une augmentation des dépenses fiscales en faveur des firmes étrangères7 . Ils craignent, enfin, toutes les formes de dumping réglementaire. Ils ont peur que la main d'oeuvre des pays en voie de développement pratique un dumping social injuste vis-àvis des travailleurs des pays riches. Ils soutiennent, sur la même logique, que l'absence de droit de l'environnement dans les pays les moins développés est une forme de dumping environnemental8 .

4

Les politiques de coopération internationales se présentent alors comme un moyen de desserrer la contrainte de globalisation et de sortir de la logique de l'attractivité9 . Au lieu de renforcer les systèmes de protection nationaux pour lutter contre la concurrence des firmes étrangères10 en instituant des barrières douanières et/ou des restrictions sanitaires, écologiques et sociales, ils instaurent un système de protection internationale11 .

Les politiques d'harmonisation et la mise en place d'un droit international

La coopération internationale, qu'elle prenne la forme de politiques de confédération (Union européenne), d'harmonisation et/ou d'accords internationaux sur le commerce mondial, protège les systèmes institutionnels des pays développés de la concurrence. Il s'agit de contraindre les décisions de délocalisation à respecter un certain nombre de règles qui sont jugés efficaces ou équitables ex ante. Les accords sur le commerce mondial12 limitent par exemple les échanges avec les pays qui ne respectent pas un certain nombre de normes minimums en matière de droit du travail et de droit de l'environnement13 . L'harmonisation des systèmes fiscaux et réglementaires uniformise les systèmes nationaux et précède ainsi la concurrence en substituant aux choix des acteurs une procédure complexe de décision collective. Ce ne sont plus les individus de chaque pays qui choisissent economics of scale" and public sector adjustement: insight from fiscal federalism", Review of International Political Economy, vol.7, n°1, spring.

Publié dans un ouvrage collectif, Guillemin H., Jorda H. et Pouchol M. (éd.)

Harmonisation fiscale et concurrence institutionnelle

17 Seule l'action des citoyens nous permet de savoir s'ils jugent les institutions improprement coercitives ( Wiseman [1990], p.114). Pour cela, il faut qu'ils aient la possibilité de s'exprimer et de changer d'environnement institutionnel. Ces possibilités sont formalisés par A.O. Hirschmann (1970) par les notions de prise de parole (voice) et de défection (exit). 18 Un individu est d'autant plus captif de la loi qui régit un territoire que ses coûts de sortie sont élevés. Ces coûts de sortie sont d'autant plus élevé qu'il est enraciné et attaché à son territoire par le patrimoine qui lui a été légué par les générations passées, car les coûts de sortie ne comprennent pas que les coûts de transport, ils tiennent aussi compte des coûts d'apprentissage qui fondent le rapport intime de l'habitant à son cadre de vie. La logique patrimoniale réduit donc la mobilité et crée de la captivité. (Facchini F. [1995], « Economie et paysage: la place de la gestion politique », L'Espace Géographique, 1995, 4, pp.319-327). Le protectionnisme en agriculture s'explique parfaitement par la captivité des agriculteurs et l'importance du patrimoine économique et culturel qui leur est transmis. L'immobilité de leur capital foncier et l'enracinement qu'il produit les incitent à préférer la protection au libre échange afin de limiter les effets de la concurrence. Une fois les transferts publics acquis, ils sont encore plus captifs, car toute tendance au libre échange remet en cause leur culture (style de vie) et leur capacité de survie économique. La concurrence institutionnelle, contrairement à l'harmonisation, est donc un processus ouvert qui ne présage pas de la solution qui sera retenue par les Etats. Elle ne repose pas sur un modèle pré-établi, mais sur un processus qui définit petit à petit les contours des systèmes institutionnels en maintenant leur pluralité.

Harmonisation réglementaire et concurrence institutionnelle

19 Vanberg V. (2000), "Globalization, Democracy, and Citoyens, Sovereignty: Can Competition Among Governments Enhance Democracy", Constitutional Political Economy, 11, pp.87-112. 20 Vanberg (2000). 21 Il est important, en effet, de rappeler que décider politiquement qu'un bien est public (justice, police, santé, défense, etc.) ne signifie pas qu'il doit être produit par l'Etat. La nécessité d'accroître la productivité des services publics peut susciter une réflexion féconde sur les politiques de délégation que ne suscite pas la protection institutionnelle. 22 L'investissement direct à l'étranger, outre les effets bénéfiques sur l'emploi qu'il suscite, accroît la concurrence sur le marché intérieur avec les entreprises locales (nationales) et favorise une meilleure affectation des ressources. Il permet notamment d'importer de nouvelles pratiques salariales et des compétences qui sont imités et se diffusent sur l'ensemble du territoire (Oman C.[(2000], Quelles politiques pour attirer les investissements directs étrangers. Une étude de la concurrence entre gouvernements, OCDE, Paris). 23 Cette possibilité est étudiée et envisagée par J. Wilson (1996). Elle est aussi confirmée par l'importance des investissements directs à l'étranger (IDE) effectuée sur les territoires des pays les plus développés. L'IDE se fait entre pays riches aux normes sociales et environnementales importantes. Wilson J. (1996) Le développement des échanges modifie, pour cette raison, la perception que les hommes se font de l'étranger et ouvre la res publica au monde. Il sort l'homme de sa communauté naturelle en lui faisant prendre conscience que la res publica n'est pas forcément ce qu'il a de plus cher. Alors que le citoyen antique trouvait le bonheur dans le civisme parce qu'il ne pouvait guère le trouver ailleurs, le citoyen moderne parce qu'il s'est enrichi dans l'échange a vu le nombre de ses choix s'accroître et ainsi pu progressivement échapper à la 25 La mondialisation ne date pas de la fin du XIX ème siècle. Il est préférable de penser l'histoire comme l'histoire d'un processus de nationalisation du commerce qui aurait débuté au XVIIème siècle avec le mercantilisme (Schmidtchen D. (1990),"Time, Uncertainty and Subjectivism/ How to Get Law-and-Economics Out for the Steady-State", Paper prepared for the second symposium on the economic analysis of civil law, Travemünde (West Germany)), cité par Schmidtschen et al. (1990).

Publié dans un ouvrage collectif, Guillemin H., Jorda H. et Pouchol M. (éd.), La démocratie et le marché. Economie et démocratie volume II,coll. Economie et innovation,série Krisis,Innoval,L'Harmattan, 10 logique de la communauté 26 . L'homme moderne ne tire plus alors son identité et son bien être de son groupe, mais de son travail et de son individualité. Le commerce est pour cette raison par nature cosmopolite 27 . Il transcende les frontières territoriales dessinées par les groupes sociaux qui se sont appropriés au cours de l'histoire des espaces qu'ils ont ordonné autour de règles politiques, religieuses et économiques originales.

Les marchands engagés dans le commerce mondial sont, dans ces conditions, confrontés à un problème de choix de la juridiction appropriée. Chaque territoire assure les possessions de ses ressortissants, mais ne reconnaît pas la propriété des étrangers 28 . L'échange avec l'étranger suppose, par conséquent, un processus de reconnaissance de ses droits. Les marchands sont obligés de passer outre la fragmentation territoriale des lois, de se reconnaître mutuellement des droits et d'instituer des systèmes privés d'exécution des contrats (arbitrage en cas de litige). Le commerce développe ainsi son droit hors des frontières dessinées par les communautés humaines regroupées autour des Etats. Il dé-territorialise le système de protection des droits de propriété par la confiance que se font les co-échangistes et les règles qu'ils adoptent pour s'assurer de la bonne exécution des contrats. Il modifie, alors, la hiérarchie des souverainetés au profit des souverainetés individuelles et au détriment de la souveraineté des Etats. L'ordre des échanges entre donc progressivement en conflit avec l'ordre politique parce qu'il l'intégre à son propre système juridique. Il s'autonomise de l'ordre politique parce que ce dernier dresse des frontières territoriales qui nuisent à son développement en créant une incertitude sur le processus de reconnaissance privée des droits de propriété.

La coopération internationalise re-territorialise le droit

Les gouvernements politiques peuvent empêcher la dé-territorialisation de la loi par la coercition et/ou le développement de la coopération internationale. 26 Nous développons plus précisément ce point dans notre article Facchini F. (2002), "Complex individualism and the legitimacy of absolute property right", European Journal of Law and Economics, vol.10, n°1, January, 2002. 27 Thèse de Wilhem Röpke rapportée par Schmidtchen D. and Schmidt-Trenz J. (1990),"The Division of Labor is limited by the extent of the Law -A constitutional Economics Approach to International Private Law", Constitutional Political Economy, vol.1, n°3, fall, pp.49-71. 28 D. Schmidtchen et J. Schmidt-Trenz (1990). Alors que Wilhem Röpke explique la territorialité de la loi par le non-respect de la souveraineté individuelle et l'avènement de groupes nationaux qui s'opposent par nature au cosmopolitisme du commerce, Schmidtchen et Schmidt-Trenz (1990) proposent de comprendre la territorialité de la loi par les coûts de négociation que suppose la constitution d'un groupe social capable de sécuriser les droits de propriété individuels. Ils supposent qu'il existe une taille optimale de l'état protecteur (augmentation des coûts de négociation lorsque la taille du groupe augmente) qui impose la fragmentation territoriale de la loi.

Publié dans un ouvrage collectif, Guillemin H., Jorda H. et Pouchol M. (éd.), La démocratie et le marché. Economie et démocratie volume II,coll. Economie et innovation,série Krisis,Innoval,L'Harmattan, La forme la plus simple de coercition est la violence. Le pourvoir politique utilise les forces armées pour régler la concurrence commerciale à son profit. L'importance de la prospérité d'un territoire dans la stabilité financière des royaumes et leur capacité à financer la guerre expliquent que les guerres nées de conflits commerciaux se sont ajoutées aux guerres religieuses et dynastiques (Doyen 1969, p.53). En intervenant dans le processus de reconnaissance des droits, le pouvoir politique renforce donc la fragmentation territoriale de la loi en sa faveur et transforme la concurrence en conflit.

La coopération est une forme plus sophistiquée de coercition. Il s'agit de défendre la logique des Nations contre le cosmopolitisme du commerce et de rappeler que les marchands ne sont pas libres de reconnaître n'importe quel droit à l'étranger. Les accords internationaux interdisent ou contraignent (taxe), par exemple, d'échanger avec un marchand qui n'a pas respecté un certain nombre de normes environnementales ou sanitaires. Ils interviennent donc dans le processus de reconnaissance des droits en produisant un droit commercial international concurrent du droit privé né spontanément des échanges. Ils introduisent alors une incertitude sur les droits de l'étranger parce qu'ils admettent la possibilité qu'un groupe d'Etat institue de manière discrétionnaire des conditions particulières d'échange entre les ressortissants de l'entente et les étrangers.

La re-territorialisation de la loi renforce donc la souveraineté des Etats en produisant un contrôle de plus en plus strict des pouvoirs politiques sur le processus de reconnaissance des droits que suppose le commerce. Cela n'est pas sans conséquences sur les moyens dont disposent les individus pour réaliser leur fin et sur le respect des droits politiques dans le monde.

Les conséquences politiques et éthiques de la coopération internationale

La re-territorialisation de la loi par les politiques de coopération internationales réaffirme les droits de la collectivité et rappelle à l'individu qu'il ne peut agir que dans le cadre des procédures de décision collective mis à sa disposition par le pouvoir politique.

Les politiques de coopération augmentent les coûts de contournement des décisions politiques des coalitions majoritaires en uniformisant les règles. Elles limitent ainsi l'étendue des choix pour les individus insatisfaits de leurs institutions. Elles augmentent donc la coercition non consentie en uniformisant les règles29 et en valorisant les solutions collectives 12 (prise de parole) au détriment des solutions individuelles (défection). L'individu est, désormais, sommé de changer les institutions par une action politique ou de s'y soumettre.

La re-territorialisation de la loi par les politiques de coopération internationales a aussi pour effet d'augmenter les coûts de reconnaissance des droits et de limiter ainsi la division du travail. En freinant l'intensification des échanges elle réduit les gains de productivité et ralentit la croissance économique mondiale. Cela a au moins deux conséquences.

Moins de croissance mondiale, notamment dans les pays en voie de développement, limite les perspectives de croissance des pays développés qui voient la taille de leur marché ne pas augmenter aussi vite qu'elle ne le pourrait.

Moins de croissance mondiale c'est aussi un frein à la généralisation des systèmes démocratiques dans le monde. L'avènement des régimes de démocratie représentative 30 s'explique, en effet, essentiellement par le développement économique 31 . Statistiquement on constate que les pays non démocratiques qui ont fait l'expérience d'un développement économique substantiel ont eu tendance à devenir plus démocratique. Le Chili, l'Espagne, Taiwan et le Portugal en sont des exemples récents 32 . En ralentissant la croissance mondiale, les politiques de coopération retardent donc l'avènement de la démocratie dans les pays en voie de développement les plus dépendants du commerce mondial 33 . pas qu'une situation efficace soit en fait une situation sans coercition. Les règles sociales (système de loi) sont coercitives par nature. Les hommes peuvent, par conséquent, accepter d'être contraint par des règles parce qu'ils estiment que l'absence de règle à un coût d'opportunité plus important que la contrainte qu'elle provoque. Ils n'exercent pas leur droit de veto parce qu'ils ne se sentent pas improprement contraint. 30 Esposto et Zaleski (1999) classent les études sur la relation entre croissance économique et régime politique en trois catégories : conflit, complémentarité et sceptique. 31 L'évolution dans le temps de la moyenne non pondérée de l'indice de démocratie pour les différents pays pour 1960,1965 et 1972, 1994 32 Barro ([1998], p.61). 33 Ce résultat ne présage aucunement, en revanche, du fait que l'institutionnalisation de la démocratie soit un facteur de développement, car les gouvernements démocratiques sont le plus souvent garants des libertés politiques et religieuses, mais plus occasionnellement garants des libertés économiques qui sont à la cause principale du développement (Esposto et Zaleswski ([1999], p.188). Les études économétriques se permettent encore de faire une opinion sur la relation de causalité qui unit le développement et à la démocratie. Sur treize études trois suggèrent une relation négative entre démocratie et développement, six aucune relation et quatre suggèrent une relation positive. (Esposto A. and Zalescki P.A. (1999, p.87), "Economic Freedom and the Quality of Life: An Empirical Analysis", Constitutional Political Economy,vol.10,n°2,.

Publié dans un ouvrage collectif, Guillemin H., Jorda H. et Pouchol M. (éd.) Il est vraisemblable, cependant, que ces politiques coopératives ne soient pas pérennes, car les gains de la stratégie coopérative (pour les Etats) ne seront pas toujours supérieurs aux gains de la stratégie de passager clandestin. L'entente ne sera par ailleurs jamais planétaire. Il existera toujours des gouvernements qui exploiteront le fait de ne pas appartenir à l'entente (paradis fiscaux par exemple). L'ordre social, enfin, sera toujours menacé par le fantôme de la surpopulation. Tant que les sociétés humaines n'auront pas trouvé de moyens alternatifs aux gains de productivité pour gérer leur dynamique démographique rien ne permet de penser que sur le long terme la globalisation n'aura pas tendance à s'étendre et à véhiculer les valeurs cosmopolites qui se nourrissent de l'universalisme et de l'inaliénabilité des droits naturels de l'homme.

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  les règles qu'ils jugent les meilleures mais les gouvernements qui jugent ex ante des bénéfices que la collectivité peut retirer de l'application uniforme d'une même règle pour tous les pays.Les Etats estiment donc les effets de la globalisation sur les systèmes fiscaux et réglementaires sont négatifs et qu'il est préférable d'asseoir la souveraineté du pouvoir politique que de respecter les choix souverains des individus qui participent au développement du commerce.Cette position néglige, cependant, les bénéfices des individus engagés dans l'échange mondial, les maux publics induits par l'usage de la contrainte publique 14 , et l'importance des bénéfices que les gouvernements des pays développés peuvent retirer de la concurrence institutionnelle suscitée par les décisions de délocalisation. La concurrence institutionnelle est un processus d'expérimentation, d'exploration et de découverte dans lequel des arrangements institutionnels alternatifs sont essayés afin de répondre à la concurrence des autres groupes qui sont caractérisés par des systèmes institutionnels différents 15 . Elle a pour vertu de favoriser la flexibilité institutionnelle en engageant les espaces nationaux dans un processus d'expérimentation sociale qui produit de la nouveauté et lutte contre la routine. Les politiques de coopération internationales contrarient ce processus en y substituant une procédure de décision collective. Elles modifient alors l'ajustement des systèmes économiques aux préférences constitutionnelles des agents16 .2 La coopération internationale ralentit l'ajustement institutionnelLes marchands, et plus généralement tous les individus qui comparent deux systèmes institutionnels, pour prendre une décision de localisation, pour voter, ou pour se faire une opinion sur les choix constitutionnels que devraient faire les élus, mettent en concurrence les systèmes parce qu'ils évaluent leurs caractéristiques. Les résultats de ce travail d'appréciation des coûts et des bénéfices des systèmes institutionnels en présence peuvent alors expliquer une décision de sortie, de prise de parole et/ou un comportement illégal. L'individu exprime par ses actes ses choix constitutionnels. Ils révèlent aux autorités politiques ses préférences Publié dans un ouvrage collectif, Guillemin H., Jorda H. et Pouchol M. (éd.), La démocratie et le marché. Economie et démocratie volume II, coll. Economie et innovation, série Krisis, Innoval, L'Harmattan, pp.317-331. 6 constitutionnelles 17 . Un mouvement massif de défection (sortie de la main d'oeuvre et du capital), une forte augmentation de l'illégalité (développement de l'économie souterraine) ou une importante contestation de l'ordre institutionnel (révolte, manifestation, grève, opposition politique, etc.) sont les principaux indicateurs dont disposent les gouvernements pour évaluer l'inadaptation des institutions aux besoins humains. La réaction des autorités politiques à la défection, à l'illégalité et à la prise de parole peut être la répression et l'interdiction. Le pouvoir politique soutenu par les individus les plus captifs 18 de la société refuse d'adapter les institutions aux exigences de la concurrence. Les dictatures agissent souvent de cette manière en sanctionnant tous les individus qui remettent en cause leur souveraineté. Elles interdisent la liberté d'expression (censure) et la libre circulation des biens et des personnes (contrôle des changes, mur de Berlin). Elles ferment leur territoire au contact des étrangers. Cette politique coercitive a pour conséquence de rendre les préférences constitutionnelles des citoyens opaques. Elle correspond à l'image d'un malade qui casse son thermomètre pour ignorer sa fièvre et ne pas prendre le remède qui lui a été prescrit. Il s'agit pour le dictateur d'hypothéquer le futur pour profiter du présent. Les démocraties n'ont pas par nature la possibilité d'interdire la prise de parole (liberté d'expression) ou la défection. Elles peuvent, en revanche, décider d'harmoniser leurs systèmes fiscaux et réglementaires, et/ou de négocier les conditions d'échange entre leur ressortissant. Elles se privent, alors, des informations véhiculées par les décisions de localisation et limitent leurs capacités d'ajustement.

  Publié dans un ouvrage collectif,Guillemin H., Jorda H. et Pouchol M. (éd.), La démocratie et le marché.Economie et démocratie volume II, coll. Economie et innovation, série Krisis, Innoval, L'Harmattan, Les politiques d'harmonisation fiscale empêchent les gouvernements d'évaluer l'efficacité de leur politique. Si les capitaux se localisent dans les pays où les niveaux d'imposition sont les plus faibles, c'est que les biens publics fournis par l'Etat ne compensent pas les pertes occasionnées par le paiement de l'impôt 19 . L'investisseur estime qu'il est préférable d'investir dans un pays où les services publics sont de moins bonne qualité, mais où l'impôt est plus faible 20 . La concurrence fiscale est un aiguillon pour les Etats qui sont obligés d'améliorer la performance de leur politique publique par des politiques de management public actives, de délégation et/ou de privatisation 21 .Inversement, lorsque les investissements directs à l'étranger se localisent dans les pays à forte pression fiscale et à niveau élevé de biens publics (infrastructures, systèmes de santé et d'éducation), ils informent 22 les gouvernements de la qualité relative de leur politique et de l'importance que les firmes accordent à une main d'oeuvre qualifiée et en bonne santé. Rien ne permet, dans ces conditions, de penser que la concurrence sélectionnera le moins disant fiscal. Il est possible que « le plus disant » prévaudra 23 .

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  Les politiques d'harmonisation des lois sanitaires, sociales, et environnementales, obéissent à la même logique. Elles uniformisent, tout d'abord, les systèmes institutionnels et se privent des informations révélées par les choix de localisation des firmes et du travail. Aucune mesure réglementaire en faveur de la qualité de l'environnement ne semble, par exemple, avoir d'effet significatif sur les investissements directs à l'étranger 24 . La concurrence institutionnelle informe ainsi sur l'inutilité des mesures contre le dumping environnemental et permet aux Etats de ne pas utiliser la baisse des normes sur la qualité de l'environnement comme un avantage concurrentiel. Elles substituent, ensuite, à la concurrence une autorité administrative. Par ces politiques les démocraties s'obligent à connaître les règles les mieux adaptées à leurs avantages comparatifs. Si la règle est inadaptée un fort développement de l'économie souterraine est prévisible dans tous les secteurs pour lesquelles les réglementations adoptées sont inadaptées. Elles diminuent, enfin, l'attractivité des territoires pour lesquelles une forme de réglementation (son absence) ou/et un type de fiscalité sont les seuls avantages comparatifs. Les mesures de lutte contre le dumping social augmentent, par exemple, les coûts de production des entreprises étrangères et limitent la délocalisation des entreprises de main d'oeuvre peu qualifiée vers les pays pauvres. Elles freinent donc le développement des pays où la main d'oeuvre possède une faible productivité. L'harmonisation des systèmes fiscaux et réglementaires empêche donc les gouvernements de se différencier. Elle favorise le statu-quo, bloque l'ajustement sur des critères arbitraires (niveau des taux, type de réglementation, etc.) et oblige les gouvernements à connaître ex ante ce qui est le meilleur pour leur économie. Alors que la concurrence différencie, l'harmonisation uniformise et limite l'étendue des choix pour les citoyens qui ne sont plus en mesure de modifier leur environnement institutionnel autrement que par l'action politique (prise du pouvoir politique). En négligeant la fonction de la concurrence institutionnelle les Etats s'engagent donc dans une politique qui sous-estiment ses bénéfices et renforcent leur souveraineté au Publié dans un ouvrage collectif, Guillemin H., Jorda H. et Pouchol M. (éd.), La démocratie et le marché. Economie et démocratie volume II, coll. Economie et innovation, série Krisis, Innoval, L'Harmattan, pp.317-331. 9 détriment de la souveraineté des individus. Les politiques de coopération internationales s'inscrivent, pour cette raison, dans un processus de re-territorialisation du commerce mondial 25 . 3 Coopération internationale, re-territorialisation du droit et souveraineté individuelle Pour comprendre pourquoi la coopération internationale re-territorialise le droit commercial il faut expliquer pourquoi la globalisation est un processus de dé-territorialisation du droit. 3.1 La globalisation dé-territorialise le droit La globalisation s'inscrit dans l'histoire longue des sociétés humaines. Le passage des économies d'auto-suffisance aux économies d'échanges monétaires décrit dans ses grandes lignes cette histoire. Après des siècles d'économie d'auto-suffisance les individus ont finalement appris les vertus de l'échange et se sont progressivement spécialisés. La division du travail a considérablement accru la productivité et rendu l'homme moins dépendant de la nature, mais plus dépendant des autres hommes, car en fragmentant la connaissance (compétence dispersée) elle a fait dépendre la satisfaction d'un besoin d'une chaîne complexe de production où chacun est conduit par les prix monétaires à servir des besoins qui lui sont invisibles.

  montre une baisse de 1960 à 1975. Cette baisse s'expliquerait par l'évolution des régimes politique en Afrique sub-saharienne. De nombreux pays africains adoptèrent des institutions démocratiques lors de leur indépendance, mais évoluèrent généralement vers un régime dictatorial à parti unique à partir du début des années soixante dix (Barro [1998], p.55, Determinants of Economic Growth. A Crosscountry Empirical Study, The MIT Press, Cambridge, Massachusetts, London, England, traduit en français sous le titre Les Facteurs de la croissance économique. Une analyse transversale par pays, Economica, Paris).

  coopération internationales masquent donc les indicateurs de déclin économiques et sociaux que sont les décisions d'immigration, de délocalisation des firmes, d'exportation et d'importation. Elles ne respectent pas le principe d'efficacité wickséllienne et freinent la reconnaissance des droits politiques. Elles favorisent une re-nationalisation du processus de reconnaissance des droits de propriété qui rend à nouveau les firmes captives des Etats et accroît leur coûts de transaction (négociation). Elles protègent, pour ces raisons, la logique communautaire (souveraineté des Etats) et combattent le cosmopolitisme du libre commerce (souveraineté individuelle).

  Publié dans un ouvrage collectif,Guillemin H., Jorda H. et Pouchol M. (éd.), La démocratie et le marché. Economie et démocratie volumeII, coll. Economie et innovation, série Krisis, Innoval, L'Harmattan,

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  La démocratie et le marché. Economie et démocratie volume II, coll. Economie et innovation, série Krisis, Innoval, L'Harmattan, pp.317-331.

Harmonisation and Fair Trade: Prerequisites for Free Trade?,

  , « Capital Mobility and Environmental Standards : Is there a Theoritical Basis for a Race to the Bottom », in Bhagwati J. and Hudec R. (Ed.), Cambridge; Mass: MIT Press, two volumes.Publié dans un ouvrage collectif, Guillemin H.,Jorda H. et Pouchol M. (éd.), La démocratie et le marché. Economie et démocratie volumeII, coll. Economie et innovation, série Krisis, Innoval, L'Harmattan,

  Publié dans un ouvrage collectif,Guillemin H., Jorda H. et Pouchol M. (éd.), La démocratie et le marché. Economie et démocratie volumeII, coll. Economie et innovation, série Krisis, Innoval, L'Harmattan,

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  La démocratie et le marché. Economie et démocratie volume II, coll. Economie et innovation, série Krisis, Innoval, L'Harmattan, pp.317-331.

La globalisation est défini ici comme le développement du libre échange. Nous préférons l'usage de ce terme pour éviter la dimension plus sociologique du terme mondialisation. Voir la différence faite par E.Cohen (2001), "La mondialisation : un fait social total", Sociétal n°32,

2° Trimestre.

Chaque gouvernement peut dans ces conditions choisir le critère de bien être social qu'il lui sied tant qu'il ne contraint pas de manière coercitive les membres de sa communauté qui ne sont pas d'accord avec lui et qu'il ne les empêche pas de trouver une solution en immigrant, en mettant leur argent dans d'autres pays, ou en prenant la parole pour exprimer leur mécontentement.

Nous ne remettons pas en cause l'hypothèse de bienveillance des Etats comme l'a fait l'école des choix publics. Il serait pourtant intéressant d'opposer les maux publics de la globalisation aux maux publics de la coopération internationale et de montrer l'ampleur des effets redistributifs induits par les accords sur le commerce mondial.

Pour J. Bhagwati (1995) la baisse des salaires réels aux Etats-Unis et l'augmentation du chômage en Europe ne sont pas dus au développement du commerce avec les pays en voie de développement mais au changement technique. Bhagwati J. (1995), "Trade and Wages: Choosing Among Alternative Explanations", Federal Reserve Bank of New York Economy Policy Review, January.

Les gouvernements cherchent à inciter fiscalement et financièrement les investissements directs étrangers sur leur territoire. Fiscalement ils peuvent lever les droits de douane, baisser l'impôt sur les sociétés, réduire les taxes locales, introduire des exonérations et des ristournes. Financièrement, ils peuvent verser des subventions, garantir des prêts ou financer auprès des banques des prêts bonifiés.

Voir : Sinn H.W. (1994), « How Much Europe ? Subsidirity, Centralization and Fiscal Competition », Scottish Journal of Political Economy, 41, pp.85-107 ou Sinn H.W. (1997), "The Selection Principle and Market Failure in System Competition", Journal of Public Economics, 66, pp.247-274.

L'OCDE mesure les dépenses fiscales, c'est-à-dire l'ensemble des allègements fiscaux consentis à certaines catégories de contribuables ou d'opérations répondant à des objectifs que les pouvoirs publics entendent privilégiées, à partir d'un indicateur appelé équivalent dépense de transfert ou perte réelle de recette. Les dépenses fiscales comprennent : avoir fiscal, abattements, soutien à l'investissement, à l'épargne, au commerce extérieur, etc.. La notion de dépense fiscale a été introduite en France en 1980 dans la loi de Finance.

L'objectif de stabilité des politiques monétaires serait aussi imposé par l'obligation dans laquelle se trouvent les Gouvernements d'attirer les investissements directs étrangers.Hüslsemeyer A. (2000), "Changing "political

La logique de l'attractivité est désormais la stratégie des pays en voie de développement depuis les années 70. Comme les pays développés durant les années 1950-1960 (négociation du GATT), les pays en voie de développement souhaitent depuis les années 70 le développement des échanges internationaux et la liberté de circulation des capitaux (Bhagwati J. (Ed.)(1977), The New International Economic Order: The North-South Debate, Cambridge, Mass: MIT Press, chapitre 1). Les accords de Marrakech en 1994 conclurent le cycle de l'Uruguay Round(1986)(1987)(1988)(1989)(1990)(1991)(1992)(1993)(1994). Les pays en développement déplorent à cette occasion que contrairement à la lettre de ces accords, les pays riches n'aient pas suffisamment ouvert leurs marchés à leurs exportations de produits agricoles et textiles.

10 Le protectionnisme national a été la stratégie des pays en voie de développement qui durant les années 1950-1960 ont développé des politiques de restriction parce qu'ils jugeaient les effets de l'intégration économique plutôt négatifs (Bhagwati

1977).11 La Nouvelle Zélande a par exemple totalement libéralisé sa politique agricole et cela de manière

unilatérale.12 Les accords sur le libre échange nord-américain (ALENA), le cycle de l'Uruguay du GATT (General Agreement on Trade and Tariffs) et les accords de Marrakech de 1994 qui conclurent le cycle de l'Uruguay Round(1986)(1987)(1988)(1989)(1990)(1991)(1992)(1993)(1994) sont les grands moments de ces mesures d'accompagnement politique de la

globalisation.13 Les barrières douanières touchent encore aujourd'hui (2000) 40% des échanges mondiaux (Jacquet R .,Pisani J. et Strauss-Kahn D.(2001), « Comment Gouverner la mondialisation ? », La Lettre de l'OFCE, n°205, 10 mai). L'organisation mondiale du commerce (OMC) a introduit des normes en matière d'environnement (boite verte) et de travail (boite bleu). Ces boites autorisent les gouvernements à élever des barrières douanières sur les produits des pays qui ne respectent des normes minimums en matière d'environnement et de droit du travail.

L'école des choix publics a parfaitement montré qu'une défaillance du marché n'était pas une raison suffisante d'intervenir. Il ne faut pas seulement arbitrer entre le bien public et les maux privés, mais entre les maux publics et les maux privés.

Kerber W. and Vanberg V. (1994), "Competition Among Jurisdictions: An Evolutionnary Approach", Constitutional Political Economy,5, pp.193-219).

L'économie politique constitutionnelle distingue les choix constitutionnels des choix sub-constitutionnels. Les choix constitutionnels portent sur la règle qui guide l'action. Les choix sub-constitutionnels se font à règle donnée. La règle est dans ce cas un paramètre qui définit ou limite les options possibles.

On peut en déduire que les investisseurs prennent leur décision sur d'autres critères. Le volume des investissements directs à l'étranger dépend de la stabilité politique, de la stabilité macro, de l'accès au marché, des potentiels de croissance sur le long terme, de la qualification de la main d'oeuvre, de la qualité des infrastructures, du système fiscal et du capital humain(Oman 2000).

Wiseman J. [1990], p.109), « Principles of Political Economy : An Outline Proposal, Illustrated by Application to Fiscal Federalism », Constitutional Political Economy, vol.1, n°1, Inaugural Issue, Winter. Cela ne signifie