Frédérique Leblanc
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Les libraires de 1945 à nos jours, dispositions socioprofessionnelles et adaptations au monde culturel Les libraires de 1945 à nos jours, dispositions socioprofessionnelles et adaptations au monde culturel

l'accès au livre, avec des trajectoires individuelles4 , celles de trois générations de libraires qui aspirent à être des « acteurs » de la chaîne du livre.

HÉRITAGE ET INVESTISSEMENT DANS DU CAPITAL SYMBOLIQUE (1945-MILIEU DES ANNÉES 1960)

Au sortir de la Seconde guerre mondiale, les libraires en activité avant et pendant la période vichyste continuent à exercer pour la quasi totalité d'entre eux5 car la librairie n'est pas en première ligne dans la participation au régime de Vichy. Une majorité de libraires ont été des « collaborationnistes passifs », essentiellement par conservatisme. Ils plaideront la nécessaire soumission aux lois du temps (dont la liste Otto6 ), alors même que la réorganisation des métiers par l'État français leur valait une plus forte remise de la part des éditeurs qu'aux petits points de vente, moins achalandés et fréquentés par la clientèle populaire. L'univers syndical du patronat de la librairie restera marqué par cette période pendant plusieurs années : avant leur réunion au sein de la Depuis le XIX e siècle, le monde du travail est marqué par l'attrait du statut d'indépendant 9 : après-guerre le nombre de nouvelles immatriculations aux registres du commerce, surpasse à la fois la disparition de petits commerçants et le manque de création. pendant la guerre Les petits commerçants « voulaient avant tout "être à leur compte" pour échapper aux contraintes du salariat, gagner plus d'argent, et "monter" dans l'échelle sociale. (…) Aujourd'hui comme hier, le petit commerce apparaît donc comme une voie de "promotion sociale" ouverte à ceux (…) qui n'avaient au départ "ni fortune, ni diplôme, ni relations" » 10 . Pourtant, parmi les propriétaires des « moyens de travail », les commerçants ont un capital économique relativement faible, et leur capital social, indispensable pour accéder à une position dominante quelque soit le groupe social que l'on considère, est faible dans une société industrielle qui n'a aucune considération pour le commerce. C'est pourquoi, les nouveaux venus plus motivés par l'accès à l'indépendance que par l'aspect culturel de la vente de livres, ne sont pas appréciés par les adhérents de la Chambre syndicale qui, déjà indépendants, cherchent surtout à accroître leur capital symbolique : « ne demandez pas à ces nouveaux messieurs ce que c'est que le Livre (…) Ils s'en moquent car ils vendent, ils font recette et cela leur suffit » 11 . C'est le capital culturel et social que procure la librairie qui permet de renverser le stigmate, sinon au sein des métiers du livre (essentiellement parisiens et loin du commerce), du moins localement dans la ville où est implantée la librairie. D'autres nouveaux venus sont justement attirés par une conception du métier qui a partie liée au monde de la culture à un moment où moins de 10 % d'une classe d'âge accède au collège et au lycée. Ainsi, en 1946, Jean Legué préfère-t-il ouvrir une libraire que reprendre le café paternel, métier plus à même de séduire la famille de gros agriculteurs de sa future femme12 . Cette manière de venir à la librairie est emblématique d'une pratique qui se perpétue depuis le XIX e siècle : telle famille d'origine rurale rachète la librairie de l'archevêché d'Arras en 1860 pour des raisons idéologiques, et fait de la 8 Chantal Horellou-Lafarge, « Les vendeurs en librairie : d'agents de service à agents culturels », Histoire de la librairie…, op. cit., p. 518. 9 Robert Castel, Les Métamorphoses de la question sociale, une chronique du salariat, Paris, Fayard, 1995. 10 vente par correspondance, mais aussi pendant un temps de l'édition, pour les missions catholiques dans les colonies ; une lignée de quincailliers de bateaux à Bordeaux, tenue de se reconvertir après la faillite de la marine à voile, achète à son fils une papeterie en 1920 ; un peu plus tard encore, en 1932, des négociants en grains de Tourcoing en difficulté, achètent la librairie de l'archevêché de Cambrais à leur fils 13 Leclerc, ne seront pas en reste mais sur un assortiment beaucoup plus étroit). Jérôme Lindon, président des Éditions de Minuit, associé à quelques autres éditeurs et libraires, se lance immédiatement dans la promotion du prix unique du livre. Il met en avant la nécessaire complémentarité entre une édition de création et une librairie de création qui s'engagent à produire et à diffuser des textes exigeants de littérature ou de sciences humaines 28 . Promesse électorale des socialistes lors de la campagne présidentielle de 1981, le projet de loi est défendu par le tout nouveau ministre de la Culture Jack Lang (d'où une loi souvent appelée « loi Lang ») et la loi est votée à peine deux mois après l'élection de François Mitterrand, avant même l'abolition de la peine de mort (votée le 9 octobre). La librairie vient ainsi de quitter la tutelle du ministère de l'Industrie et du Commerce pour celle du ministère de la Culture. Ce fait, souvent oublié, marque une double institutionnalisation : d'une part, il ne s'agit pas d'une aide à la librairie mais d'une nouvelle manière de penser la chaîne du livre dans son entier, chaîne dans laquelle la librairie a toute sa place ; d'autre part, la librairie passe d'une dimension sociale à une autre… comme le pharmacien est un commerçant et un personnel de santé, le libraire est un commerçant et un acteur du secteur culturel.

Premier effet de la loi Lang : c'est désormais l'édition qui, par le prix des livres et la remise consentie aux libraires, décide, pour une part seulement mais pour une part certaine, des revenus de la librairie. Il y a ainsi un changement de positions relatives entre les deux professions dont l'une a, semble-t-il, tout pouvoir sur l'autre. Toutefois, les libraires traditionnels, assujettis à la valeur sociale attachée au statut d'indépendant, n'avaient jamais constitué une force collective unie en mesure de contrer les éditeurs dans les relations interprofessionnelles. Mais si la domination de « l'édition » sur « la librairie » n'est pas devenue totale, c'est surtout parce que la division du champ littéraire entre éditeurs de création 29 et éditeurs commerciaux 30 s'accentue encore dès lors qu'une part de l'édition commence à avoir partie liée avec des groupes financiers. L'opposition entre édition de création et édition commerciale qui structure le champ littéraire est à ce point forte que les éditeurs de création ont davantage intérêt à s'allier à des libraires du même type qu'à des éditeurs commerciaux. C'est ce qui explique le déroulement de la préparation de la loi Lang, et s'exprimera ensuite dans diverses coopérations commerciales pérennes entre ces éditeurs et ces libraires. Le prix à payer pour les libraires est toutefois très élevé puisque les éditeurs commerciaux préfèrent calculer la remise selon des critères bien plus quantitatifs que qualitatifs. Ce 28 En 2006, « la librairie indépendante (…) maintient sa place en littérature et en sciences humaines (50 % du marché) », Antoine Gallimard, Rapport de la Mission de réflexion sur la Librairie indépendante, Ministère de la Culture, septembre 2007, p. 3. 29 À partir de 1986, nombre de ces éditeurs se retrouveront dans l'Association pour le développement de la librairie de création, l'ADELC … aux côtés de France Loisirs qui a besoin d'une librairie indépendante pour repérer les livres à succès qu'il rééditera et vendra à prix réduit (au moins neuf mois après leur sortie, protection de la loi Lang oblige). 30 Sur les fondements de cette division durant le XIX e siècle, Pierre Bourdieu, Les règles de l'art. Genèse et structure du champ littéraire, Paris, Le Seuil,1992. Sur les rapports entre éditeurs et libraires après 1945, voir Luc Pinhas, « Libraires et éditeurs : des relations ambivalentes », Histoire de la librairie …, op. cit., pp. 538-551. contournement de la loi imposera plusieurs interventions de l'État pour exiger l'ouverture de négociations interprofessionnelles sur des accords commerciaux.

Second effet de la loi Lang : le libraire ne fait plus lui-même ses prix31 … il devient donc un commerçant « pas comme les autres »32 . D'une part, c'est désormais au niveau du service au client (lieux d'implantation, largeur et profondeur de l'offre, mise en scène de l'assortiment33 , conseil, voire rencontres entre auteurs et lecteurs -signatures, débats, etc.) que se joue la concurrence. Des outils de communication, voire de marketing, violemment rejetés par les libraires traditionnels, sont développés. En outre, la formation, des patrons comme des salariés, dont les libraires traditionnels ne voulaient pas davantage entendre parler -préférant l'apprentissage « sur le tas » -, est de plus en plus diversifiée34 et recherchée… même si les salaires restent bas. D'autre part, déchargé de l'élaboration du prix, le libraire peut plus facilement mettre en avant le versant culturel de son activité. Les commerçants du livre ont donc une alternative : soit travailler l'assortiment et le conseil en mettant la vente au service de leur objectif, soit mettre la vente au centre de leur activité.

Les premiers dirigent des librairies de création ou indépendantes, les seconds des librairies à caractère commercial.

La profession s'est retrouvée avec d'un côté ceux, on l'a vu, favorables à la loi Lang, et de l'autre ceux, essentiellement membres de la FFSL, fermement opposés car confiant dans leur santé économique et leur réputation 35 . Ce qui ressemble à une opposition entre « gros » et « petits » libraires révèle une déchirure bien plus profonde entre deux conceptions inconciliables du métier : une rupture générationnelle en termes d'attentes et de dispositions professionnelles. La notion d'indépendance si chère aux générations précédentes n'est plus portée par ceux qui souhaitent être déléguée voire soustraitée) dont certains se sont emparé pour offrir un service de vente en ligne aux internautes, quelques un pratiquant la vente par correspondance avant Internet. L'activité de commerce en ligne des librairies indépendantes, en volume comme en valeur, est toutefois sans commune mesure avec celle des deux géants précités. La production et la diffusion de supports numériques (textes, images et sons), dont le développement est encore plus récent, questionne différemment le rôle social des libraires41 . Certes, le développement de la circulation des supports numériques ne « tuera » pas la librairie en tant que diffuseur de produits culturels principalement en rapport avec l'écrit -confusion ordinaire entre un besoin social, la médiation entre un écrit et un acheteur/lecteur en aval de la production, et la forme qu'il prend dans une société donnée à un moment donné, ainsi que le rôle qui lui est conféré. Sont toutefois, interrogées non seulement la séparation des rôles et des fonctions entre éditeurs et libraires, mais aussi la nécessité d'intermédiaires, voire les frontières, entre auteurs et lecteurs.

Dans ce cadre, le double processus, d'une part d'une distance qui se creuse entre la librairie de création et/ou indépendante et la librairie commerciale, et d'autre part de rapprochements d'intérêts entre libraires et éditeurs de chacun des deux pôles42 dans un paysage de la création aujourd'hui en devenir, pourrait bien aboutir à une radicale recomposition de la chaîne qui relie un créateur au client/utilisateur final.

Les outils techniques et les moyens qu'exigent les contenus numériques (compétences techniques et culturelles de haut niveau et diversifiées pour le texte, l'image et le son, coûts de la maintenance et du développement des différents systèmes de lecture en attentant la normalisation des formats, coûts de la qualification des salariés dédiés et de leur formation permanente, etc.) sont sans commune mesure avec ce que suppose la vente en ligne (compétences, investissements financiers, emplois dédiés, etc.). En revanche, les savoir-faire des libraires au contact des livres et des supports numériques restent les mêmes : adopter une attitude extrêmement réactive à la nouveauté, qui sera encore démultipliée, en « la canalisant, la sélectionnant et la cartographiant. (…) L'acte de lire se situe en effet au coeur du métier et revêt une dimension sélective et professionnelle comparable à celle de l'éditeur qui élit les manuscrits qui seront édités, ou du bibliothécaire qui choisit les livres ayant leur place dans un espace public de la culture. Choisir un livre [ou un support numérique] s'apparente à une seconde maïeutique de la création, à une deuxième découverte de l'oeuvre (la troisième étant celle, essentielle, du lecteur) »43 . À la différence du problème de place que pose le livre de papier, la

Fédération

  française des syndicats de libraires (FFSL) en 1959, coexisteront la Chambre syndicale fondée en 1892, et le Syndicat national de la librairie française (SNLF) créé par des libraires résistants. De fait, au même titre que tout autre secteur d'activité, c'est tout le commerce du livre qui est en difficulté en 1945. « 605 librairies ont été victimes de destruction, totale ou partielle, empêchant une activité économique normale pendant la guerre, soit environ 8 % des entreprises alors en activité en 1938. Une Union des libraires sinistrés, fondée en 1945 et rattachée à la Chambre syndicale des libraires de France affirme représenter [encore] 102 libraires [fin] 1946 » 7 . Par ailleurs le rationnement du papier a très fortement touché la presse mais aussi l'édition, et les libraires ont bien du mal à répondre à la demande d'une clientèle pourtant avide de nouveautés. Cette librairie d'après guerre est largement dominée par la « librairie classique » présentant, outre la littérature, souvent un rayon religion important, mais surtout des manuels et des fournitures scolaires ainsi que de la papeterie qui disparaîtront au fur et à mesure de la prise en charge des livres scolaires par les pouvoirs publics et du développement de l'offre de papeterie en grandes surfaces. Le client ne circule pas librement entre les rayons : « jusqu'au début des années 1950 les vendeurs de librairie étaient habillés de blouses grises et se tenaient derrière un comptoir. "C'étaient des grouillots, il n'y avait que les responsables pour porter de grandes blouses blanches". La clientèle leur présentait une liste d'ouvrages qu'ils allaient chercher dans des rayons. "Il y avait un côté mondain, on faisait asseoir les clients" » 8 . Les vitrines sont peu séduisantes car les livres euxmêmes n'attirent pas le regard : les couvertures ne connaissent pas d'innovations majeures avant que plusieurs secteurs éditoriaux fassent leur « révolution » un peu plus tard, comme le secteur des livres d'art dans les années 1950 avec les éditions Skira, ou le secteur jeunesse dans les années 1970.

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  Après guerre, l'offre culturelle se concentre dans quelques grande villes et surtout à Paris. Sur le reste du territoire, en dehors d'éventuelles Maisons des jeunes et de la culture, les librairies sont souvent les principaux lieux culturels, tandis que la plupart des bibliothèques municipales de lecture publique sont encore très repliées sur elles-mêmes, pauvres en fonds et d'accès difficile. Mais les publics de ces établissements sont si différents qu'ils s'excluent le plus souvent l'un l'autre : la librairie est fréquentée par une petite élite lettrée et cultivée, qui achète d'autant plus de livres que cette pratique est, à elle seule, classante. Lorsqu'il se souvient de son enfance Jean Rouaud, né en 1952, parle de la librairie comme d' « un des éléments de la culture bourgeoise » 14 . « Sitôt entré, on se trouvait interpellé de derrière un comptoir : "Vous désirez ?" Et si le téméraire se risquait à répondre qu'il souhaitait d'abord "jeter un coup d'oeil", il se sentait immédiatement enveloppé d'un regard soupçonneux, comme si ledit coup d'oeil était susceptible de ne pas laisser les lieux aussi propres qu'il les avait trouvés en entrant » 15 . Dans la majorité des cas, les nouveaux libraires n'investissent donc pas ce métier pour développer des idées ou des modes de fonctionnement nouveaux, mais pour se conformer à une image sociale localement valorisée, donc productrice de capital symbolique, comme en témoignent l'histoire familiale de plusieurs libraires. Nombre d'entre eux sont donc culturellement (très) conservateurs. Ils se font fort de défendre l'ordre moral16 , prônent longtemps un certain anti-américanisme de bon aloi, rejetant autant les comics et autres bandes dessinées que les méthodes marketing 17 , ou encore rejettent le livre de poche à sa sortie en 1953 craignant la clientèle nouvelle qu'il risque d'attirer, des jeunes et des lecteurs moins cultivés qui effraieraient leur clientèle habituelle18 .Le commissaire provisoire de l'Office professionnel du livre19 insistait en 1945 sur le rôle essentiel du libraire : « comme l'éducateur, le médecin, le juge, [il] assume une fonction sociale : il a des devoirs sociaux à remplir, les plus larges devoirs. (…) [C'est une] place d'élite que le libraire a le droit de revendiquer » 20 . Depuis lors, les libraires n'ont eu de cesse de déplorer la non reconnaissance de la valeur sociale de leur activité… qui deviendra effectivement de moins en moins évidente au fur et à mesure que se renforce la contradiction entre une librairie réservée à une élite lettrée et une société qui privilégie désormais l'allongement de la scolarisation pour tous (obligatoire jusqu'à 16 ans à partir de 1959) et la démocratisation de l'accès à l'université. Manifestement, le monde commence à changer et la librairie traditionnelle ne répond plus aux attentes de l'ensemble de la clientèle du livre… ni à celles de certains libraires. Quelques uns tentent, mais trop tôt encore, d'initier une réelle formation professionnelle, ou expérimentent de nouvelles façons de faire, en particulier pour favoriser les rencontres entre des livres et leurs publics : en développant des ventes ambulantes en entreprises comme Jacques Plaine de la librairie du même nom à Saint-Étienne à la fin des années 1950 ; en reconfigurant l'espace du magasin pour l'ouvrir à la libre circulation des clients et en investissant dans un mobilier propre à mettre les ouvrages en valeur ; en organisant des rencontres entre auteurs et lecteurs comme Catherine Martin-Zay de la librairie Les Temps modernes à Orléans dès 1965 ; en ouvrant des « pochothèques » comme Paul Callens du Furet du Nord à Lille dès 1964 (150 m 2 de ce qui a longtemps été « la plus grande librairie de France ») 21 , etc. DU SECTEUR COMMERCIAL VERS SECTEUR CULTUREL (DU MILIEU DES ANNÉES 1960 -MILIEU DES ANNÉES 1990) La date fondatrice du réseau de librairies tel que nous le connaissons, est celle du 10 août 1981, jour du vote de la loi du prix unique du livre qui entrera en vigueur le 1 er janvier 1982. Partie prenante d'une politique de développement de l'égalité d'accès au livre et à la lecture (quelques mois plus tard, l'impôt indirect sur le livre sera réduit à 5,5 %, et n'a jamais été réévalué depuis), cette loi devait permettre, et a permis, de conserver un « tissu serré » de points de vente du livre sur l'ensemble du territoire en interdisant tout dumping sur les prix. Toutefois, elle n'est pas un événement « tombé à point », mais une construction à la fois sociale, politique et culturelle d'une 18 Robert Escarpit et Nicole Robine (Atlas de la lecture à Bordeaux, Bordeaux, Faculté des lettres et sciences humaines, 1963) décrivent deux types de magasins : des librairies de tailles diverses en centre ville, fréquentées par une clientèle lettrée ; des petits points de vente situés en périphérie, où le livre est souvent une marchandise parmi d'autres, et dont les clients sont de classe populaire ou de petite classe moyenne. 19 Il remplace le Comité d'organisation du livre créé par Vichy de 1944 à 1945. génération d'acteurs dans une situation sociale, juridique et politique donnée qui a permis à une partie des libraires d'imposer un modèle de professionnalisme contre d'autres modèles possibles 22 . Cette victoire a ouvert la porte à de nouveaux entrants auxquels ce modèle, devenu dominant, offrait des opportunités d'insertion socioprofessionnelle qui leur paraissait socialement enviable. Certes ils n'ont pas éliminé les libraires qui ne partageaient pas leur conception du métier, ni les autres acteurs de la vente de livre, bien au contraire, ils ont simplement réussi à s'imposer. Au cours des années 1960, la librairie change profondément. Les premiers effets du baby boom et des démocratisations scolaire puis universitaire, préparent des générations de lecteurs aux aspirations nouvelles. Tout en se diffusant de plus en plus largement, la lecture demeure une pratique socialement « classante » et porteuse d'espoir d'ascension sociale, alors que l'accès à plus de consommation et à « la civilisation des loisirs » devient une réalité pour des catégories sociales jusqu'alors exclues, et qu'émergent de nouveaux médias (la télévision d'abord très lentement, plus tard les radios libres). Dans ces années-là, les sciences humaines connaissent un grand renouveau et attirent un public nombreux. Divers courants politiques, pour lesquels les livres et la lecture sont autant de moyens d'accès la connaissance que de lutte, s'investissent dans la librairie : l'anticolonialisme a sa librairie phare avec La Joie de lire ; les féminisme ouvrent les Librairies des Femmes à partir de 1974 ; les mouvements d'extrême gauche ont leurs points de vente respectifs (les maoïstes, Le Phénix par exemple) ; et le Parti communiste compte plusieurs librairies 23 . Non liées à des mouvements politiques, mais dans la mouvance de ceux qui pensent que le livre est un moyen de réalisation personnelle, culturelle et/ou sociale, les librairies dites « différentes » sont de plus en plus nombreuses. C'est enfin la FNAC, « Fédération nationale d'achat des cadres » fondée par deux militants trotskistes en 1959, qui ouvre sa première librairie en 1974 24 … À partir de la seconde moitié des années 1970, les librairies s'agrandissent et s'éclairent, incitées en cela par l'évolution des offres éditoriales, les attentes des nouvelles clientèles, et la concurrence que représentent non seulement l'évolution générale des magasins en tous genres, mais aussi quelques magasins en pointe. Parmi eux, le Furet du Nord (1 000 m 2 dès 1964) mais surtout la FNAC, symbole de modernité pour un point de vente du livre visant une clientèle jeune, diplômée, et en ascension sociale… pour laquelle le livre conserve une valeur symbolique forte. En outre, jusque dans les années 1980, c'est une entreprise où il fait bon travailler du fait de sa renommée, mais aussi parce que les pratiques de gestion du personnel y procurent un sort bien plus enviable que dans nombre de librairies 25 . De manière générale, l'abandon progressif de la vente au comptoir au profit de la libre circulation des clients révolutionne le rôle et la place des vendeurs : leur contact avec le livre et le client les met au centre de l'activité de conseil. Le travail au contact du livre et du client est alors moins routinier et laisse une place, variable selon les points de vente mais bien réelle dans certains cas, à l'autonomie, l'initiative et à une liberté relative. La caractéristique culturelle de la vente de livres qui, pourtant, ne nécessite aucun diplôme, « rachète » en partie les bas salaires, notamment pour les femmes, car la faiblesse de la rémunération est le lot de la grande majorité des emplois féminins. Dans les années 1960-1970, si les salaires sont trop bas et/ou la marge de liberté trop faible, ouvrir sa propre librairie est une perspective envisageable à plus ou moins long terme. D'ailleurs, de plus en plus de femmes, aussi nombreuses que les hommes à entrer à l'université depuis 1971, commencent à ouvrir leurs propres librairies. Dès les années 1970, les précurseurs de la période précédente rencontrent une plus grande écoute. De manière générale, il s'agit de professionnels assurés de la solidité de leur assise dans le champ de leur secteur d'activité, voulant/pouvant jouer de cette position forte pour la conserver tout en imposant un changement des règles du jeu qu'ils sont, dans un premier temps, les seuls à maîtriser. Leur ancienneté dans cette position dominante et, de fait, leur capital symbolique, leur assurent une autorité morale auprès de leur pairs. Mais le changement peut aussi venir de nouveaux venus, ce qui est le cas ici avec des membres de la génération du baby boom 26 . Cette fois, c'est le fait d'être récemment arrivés qui fait d'eux les porteurs privilégiés de nouvelles manières de faire, car ils n'ont pas à rompre avec une image professionnelle préalable. Ainsi, de plus en plus dépassé le « notable », parfois aidé de sa femme au statut d'aide familiale, replié dans la tradition de la librairie élitiste laisse place petit à petit à la librairie qui fait vivre le livre par le travail de conseil à des clients très divers, d'entretien d'un assortiment large et profond 27 , mais aussi d'animation autour du livre dans la librairie, et jusque dans des manifestations culturelles et/ou militantes. C'est dans ce contexte que se prépare la loi sur le prix unique qui représente une véritable « métamorphose » de la librairie, au point qu'il n'est possible d'en parler qu'en termes d' « avant » et « après » 1981. L'élément déclencheur est le discount de 20 % dont la FNAC fait, dès l'ouverture de sa librairie, « un », sinon « le », moyen d'attirer le client (les supermarchés, en premier lieu

  Nona Mayer, « Commerçants traditionnels et nouveaux commerçants, la résistance du petit commerce traditionnel », pp. 170-176, in Claudine Marenco et Nona Mayer (dir.), Commerce et consommation : les acteurs et les stratégies, UER Sciences des Organisation, Paris Dauphine, cahier n° 130, 1984. Enquête menée entre 1972 et 1977. 11 Raymond Picquot, Bulletin des libraires, n° 620, mars 1946, p. 33.

Manuel Carcassonne, directeur littéraire chez Grasset, in Daniel Garcia, « Exception de culture », Livres Hebdo, n° 666, 17 nov.

2 Alain Cordier, Bernard Fontaine, Lê Nhat Binh, Mission d'audit et de modernisation, Rapport sur la chaîne du livre, Inspection générale des finances et Inspection générale des affaires culturelles, juil. 2007, p. 165 (www.audits.performance-publique.gouv.fr/bib_res/805.pdf, consulté le 16 juin 2009). 3 Le MOTif, Qui vend quoi ?, mars 2009. (http://www.lemotif.fr/fr/etudes-et-analyses/etudes-du-motif/qui-vend-quoi-/, consulté le 15 janv. 2010). Frédérique Leblanc -Cresppa-CSU & Paris ouest Nanterre

Francine Muel-Dreyfus, Le métier d'éducateur, Paris, Éditions de Minuit, 1983, p. 7.

Seule la librairie Rive gauche, ouverte en 1941 à Paris, sera fermée pour faits de collaboration ; a contrario, 21 librairies ont été victimes d'aryanisation ; enfin, plusieurs libraires ont été poursuivis pour infraction à la législation fiscale et commerciale, in Marie-Cécile Bouju, « Le commerce du livre au sortir de la guerre », in Frédérique Leblanc et Patricia Sorel, Histoire de la librairie française, Paris, Éditions du Cercle de la librairie, 2008, p. 249.

Liste des livres interdits à la vente (du prénom de l'ambassadeur d'Allemagne à Paris de 1940 à 1944, Otto Abetz), établie et mise à jour par les autorités nazies avec l'aide du Syndicat national des éditeurs.

Marie-Cécile Bouju, art. cité, p. 249. Frédérique Leblanc -Cresppa-CSU & Paris ouest Nanterre

Pierre Cohen-Hadria, « De la librairie Au livre d'or à la librairie Legué », Histoire de la librairie …, op. cit., p. 254. Frédérique Leblanc -Cresppa-CSU & Paris ouest Nanterre

F. Leblanc, Du statut social à la pratique professionnelle, construction d'une identité professionnelle : libraire, Thèse de doctorat, Paris VIII, déc. 1995 (enquête menée de 1992 à 1994).

Jean Rouaud, in Christian Vogels, « L'auteur et le libraire », in Sylvie Ducas (dir.), Jean Rouaud. Les fables de l'auteur, Angers, Presses de l'Université d'Angers, 2005. D'origine modeste, Jean Rouaud, auteur de plusieurs ouvrages, a obtenu le Prix Goncourt pour son premier roman, Les Champs d'honneur (Minuit, 1990).

François Maspero, « Préface », in Sabine Landré, L'Année des cocktails : quand on brûlait des livres, Forcalquier, HB édition, 2008, p. 9. Engagé contre la guerre d'Algérie et en faveur de la décolonisation, François Maspero a fondé la célèbre librairie La Joie de lire.

Avant l'ouverture des sex-shops à la fin des années 1960, la littérature pornographique est vendue en librairie, « discrètement » comme l'impose la loi de 1949 sur la protection des mineurs, Désirée Frappier, « La diffusion des oeuvres licencieuses et politiques sous la férule des IV e et V e République », Histoire de la librairie …, op. cit., pp. 302-312.

 17 Ainsi un article de la presse syndicale s'intitule-t-il encore en 1960 : « Drug-store … go home !… », Roger Cayotte, Sélection des libraires de France, août-septembre 1960, p. 3.Frédérique Leblanc -Cresppa-CSU & Paris ouest Nanterre

Georges Rageot, Bulletin des libraires, n° 616, 1945, p. 1.

Françoise Hache-Bissette, « Le Furet du Nord, la saga des Callens », Histoire de la librairie …, op. cit., p. 609 Frédérique Leblanc -Cresppa-CSU & Paris ouest Nanterre

Yves Surel « Les années 1970 et l'arrêté Monory » et « Les prix unique et les libraires, la loi Lang du 10 août 1981 », Histoire de la librairie …, op. cit., pp. 337-344 et 345-352.

Les mouvements d'extrême droite, qui ont leurs propres librairies, s'attaqueront régulièrement à ces libraires, de la fin des années 1970 au début des années 1980. Julien Hage, « Les librairies militantes en Allemagne et en Italie », Histoire de la librairie …, op. cit., p. 326.

Sensiblement au même moment en Europe, la République fédérale d'Allemagne, avec le réseau Verband, et l'Italie, avec celui des librairies Feltrinelli, voient aussi l'émergence de libraires issus des réseaux militants Julien Hage, « L'âge d'or des librairies partisanes et militantes », Histoire de la librairie …, op. cit., pp. 321-331. Frédérique Leblanc -Cresppa-CSU & Paris ouest Nanterre

Vincent Chabault, « Entre le commerce et la culture. Les pratiques de travail des vendeurs de livres de la FNAC », Sociétés contemporaines, n° 67, 2007/3, pp. 27-46.

Hormis les « héritiers » parfois obligés de reprendre très jeunes la librairie familiale, peu de personnes dirigent une librairie dès leur entrée dans la vie active. Cette nouvelle génération est le plus souvent née avant les années 1950.

Un assortiment « large » est constitué d'un choix diversifié, un assortiment « profond » d'un choix important sur un sujet pointu. Frédérique Leblanc -Cresppa-CSU & Paris ouest Nanterre

Frédérique Leblanc -Cresppa-CSU & Paris ouest Nanterre

Le « prix conseillé » ou « prix catalogue », défini par l'éditeur, comprend une remise au libraire dont le calcul est fixé dès 1924 et revu en 1940. L'importance de la remise dépendait d'une classification complexe des points de vente. Les libraires obtiennent son maintien non contraignant après 1953 malgré un décret-loi libérant les prix de tous les produits : la FNAC et Leclerc pratiquent un discount légal. En 1979, le « prix net », institué par le ministre de l'Économie et des Finances René Monory, libère le prix des livres.

Formule généralement attribuée à Jérôme Lindon, elle a été utilisée par Jaques Plaine, alors président de la FFSL : « le livre n'est pas un produit comme les autres. Il est un instrument de prise de conscience et un facteur d'évolution », Le Monde, 11 janv. 1974, in Yves Surel, art. cité, p. 340.

L'assortiment est l'ensemble de l'offre proposée par le libraire, composée de deux parts variables de livres de fonds, de vente lente, et de nouveautés, de vente rapide (les points de ventes à orientation commerciale ont peu, voire pas de fonds). Il se travaille à la fois dans l'espace disponible par le « dialogue » entre les rayons sachant que tous les genres éditoriaux ne se marient pas entre eux, et par le circuit du livre dans le magasin (il inclut la vitrine, les tables où il est exposé de face et/ou en pile, et les rayons où il reste comme livre de fonds -il est « réassorti » après chaque venteà moins qu'il ne quitte le point de vente parce qu'il n'est pas recommandé, ou qu'il est retourné comme invendu contre un avoir)

.34 Depuis 1971, les organisations patronales sont tenues d'encourager la formation professionnelle. Pour la librairie, l'organisme qui gère actuellement la taxe d'apprentissage et organise des formations de divers niveaux, est l'Institut national de formation des libraires, l'INFL. À l'université, les Instituts universitaires de technologies, préparant au Diplôme universitaire de technologie (Bac +2) donnant accès à des emplois de niveau technicien, ont été les premiers à se consacrer aux métiers du livre ; d'autres formations ont été initiées

depuis.35 Dés la fin des années 1980, les disquaires indépendants ne sont plus que quelques centaines face à l'offre des grandes surfaces, culturelles ou multiproduits, pour avoir refusé que le prix unique s'applique à la musique.Frédérique Leblanc -Cresppa-CSU & Paris ouest Nanterre

Alors que c'est dans une logique politique offensive de développement des pratiques de lecture que la loi Lang pose la librairie en acteur de la chaîne du livre, la question des supports numériques arrive à un moment où le politique donne des signes forts de désinvestissement du champ culturel… augurant mal de l'avenir proche.

Les techniques marketing et managériales (construites, dans notre société, en opposition aux valeurs culturelles d'indépendance, de diversité, etc., la culture étant elle-même construite comme une « exception ») permettrait une standardisation de l'offre recherchée par l'édition et la librairie commerciales pour réaliser des économies d'échelle dans la production comme dans la diffusion (pour l'illustration de ce processus aux États-Unis : André Schiffrin, L'édition sans éditeurs, Paris, La Fabrique 1999).

Élise Henry et Frédérique Leblanc, « Reconnaissance sociale et professionnelle du travail de libraire », Histoire de la librairie …, op. cit., p. 491. Frédérique Leblanc -Cresppa-CSU & Paris ouest Nanterre

Frédérique Leblanc -Cresppa-CSU & Paris ouest Nanterre 14/14

adaptations qu'elle suppose (et les « vocations » qu'elle suscite), qu'une révolution des mentalités : ce qui est en jeu n'est pas l'utilité sociale de la médiation entre une oeuvre et un acheteur, mais sa formalisation dans une activité économique juridiquement encadrée, exercée par des professionnels du secteur culturel.


Sarra Jlassi

Sami Tliba
email: sami.tliba@lss.supelec.fr

Yacine Chitour

An Online Trajectory Generator-Based Impedance Control For Co-manipulation Tasks

Keywords: Physical Human-Robot Interaction, Co-manipulation, Online Trajectory Generation, Impedance Control

This paper addresses the problem of heavy load co-manipulation in the context of physical human-robot interactions (PHRI). During PHRI, the resulting motion should be truly intuitive and should not restrict in any way the operator's will to move the robot such he would like. The idea proposed in this paper consists in considering the PHRI problem for handling tasks as a constrained optimal control problem. For this purpose, we have designed a new modified impedance control method named Online Trajectory generator-Based Impedance (OTBI) Control. This method relies on the implementation of a specific event controlled online trajectory generator (OTG) interconnected to a classical structure of impedance control allowing a good tracking of the generated trajectory. This OTG is designed so as to translate the human operator intentions to ideal trajectories that the robot must follow. It works as an automaton with two states of motion whose transitions are controlled by comparing the magnitude of the force to an adjustable threshold, in order to enable the operator to keep authority over the robot's states of motion. The key idea of this approach consists in generating a velocity trajectory for the end-effector that would stay collinear at every moment to the PHRI force. The overall strategy is applied to a two DOF robot.

Introduction

For the past ten years, robots are more and more envisioned as helpers of mankind, closely cooperating with and assisting people in their daily life. Several active areas of research concern physical human-robot interaction (PHRI). In [START_REF] Charnnarong | Interactive robot therapist[END_REF], robots help in alleviating therapists of the physical rigors of their work, freeing them to concentrate on patient needs. The concept of human extender was introduced in [START_REF] Kazerooni | Human extenders[END_REF]] and deeply studied. The purpose was to boost the force capacity of human limbs while retaining the human brain as the high-level controller. These devices allow human operator (HO) and robot to exchange mutually informations: the HO applies small forces along a desired direction where he wants to drive the robot, and the robot's position is sensed by the HO. The robot assists the HO during his motion while relieving him from the important effort without any human perceptible resistive forces like inertia, friction etc. The concept of virtual fixtures was introduced in [Rosenberg, 1993] and conceived as collaborative control strategies that help humans to perform robot-assisted manipulation tasks by limiting movement into restricted regions and/or by influencing movement along desired paths. The benefits of virtual fixtures for PHRI were evaluated in [START_REF] Bowyer | Active constraints/virtual fixtures: A survey[END_REF] in order to improve the HO's performance in terms of both speed and accuracy, since they can alert the user for changes in the state of the environment and support hand-eye coordination for object manipulation tasks. During PHRI, the skills of HO and industrial robot should be combined and the resulting cooperative motion should be truly intuitive and should not restrict in any way the human motion. This is often referred to as transparency. There are still many challenges on the road to achieving an efficient PHRI [START_REF] Santis | An atlas of physical human-robot interaction[END_REF]. These challenges are mainly related to the fundamental problem of ensuring the user safety. Any collision involving the robot and the human must result in a soft bouncing of the robot. This is named compliant behavior. One of the most commonly used control approach to give interactive robots a compliant behavior is the so called impedance/admittance control [START_REF] Akella | Cobots for the automobile assembly line[END_REF]. Its purpose is to reduce the interaction point (IP) mechanical impedance so as to make it equal to that of HO [Buerger, 2005]. In the context of co-manipulation for handling tasks, impedance control based methods have few drawbacks, particularly noticeable during the starting and the stopping phases. This paper presents a novel modified impedance control method named Online Trajectory-Based Impedance (OTBI) Control. This control method consists of an event controlled online trajectory generator associated to a classical structure of impedance control allowing a good tracking of the generated trajectory. It is obvious that the force applied by the HO is the only physically exchanged signal, showing the robot how to move according to his will. Indeed, this force gives the information about the desired displacement direction of the end-effector. But, this direction should necessarily be collinear to the IP velocity. In [START_REF] Jlassi | On human-robot co-manipulation for handling tasks: Modeling and control strategy[END_REF], the idea of maintaining to the maximum the collinearity of the end-effector velocity and the interaction force was proposed to concur in achieving a transparent co-manipulation. The required force to accomplish the co-manipulation task is supplied by the robot's actuators, controlled in order to ensure a good trajectory tracking. Furthermore, for sake of safety, we consider that the displacement velocity should not entirely depend on HO's desire but must be conform to a given velocity template. The literature provides a very rich set of approaches and algorithms of trajectory generation for industrial manipulators [Kroger, 2012]. In this paper we address the case of force sensor-based trajectory generation. The interaction force processing should contribute to both interpreting the triggering times of movements/immobility and in commanding how the robot has to move or stop, while leaving the final position under the human authority. The trajectory is calculated on-line, i.e. each desired position is updated during every control cycle because the input values based on the HO force (intensity and direction) may change unpredictably.

The remainder of this paper is organized as follows: After a brief study in Section 2 about the impedance control evolution, an analysis of the co-manipulation requirements and their consequences on the problem statement is presented in Section 3. The control strategy based on the criterion of collinearity between the interaction force and the end-effector velocity is presented in Section 4. The description of the proposed OTG is developed in Subsection 4.3. The controller design is explained in Section 4.4. Section 5 proposes an illustration of this approach for a 2DOF robot.

Impedance control for physical human robot interaction

Based on studies analyzing the cooperation between two human operators when accomplishing a heavy loads handling task, the authors in [START_REF] Ikeura | Variable impedance control of a robot for cooperation with a human[END_REF] have investigated the HO characteristics and have shown that the damping parameters in the impedance model are the predominant coefficients that allow setting the acceleration/deceleration features in the context of PHRI. In the context of human-robot co-manipulation for handling tasks classical impedance control based methods have shown few drawbacks, particularly noticeable during the starting and the stopping phases.

First, as explained in [START_REF] Duchaine | Safe, stable and intuitive control for physical human-robot interaction[END_REF], the use of a fixed virtual damping can lead to an inefficient co-manipulation. Indeed, if the damping is set to a low value the robot will tend to accelerate, then, when the HO wants to stop the robot the system will be unstable and the robot arm could collapse, which may cause a serious danger to the HO. In the case of high damping, the robot will be hard to manipulate and thereby restricts the human motion. In this latter case, the human operator can not operate as fast as if it is in cooperation with another HO. Another drawback of admittance control is related to security. Admittance control is known to potentially exhibit unstable behaviour when facing rigid environments [Surdilovic, 1996]. This problem is difficult to be solved in the context of PHRI since human operators, who acts as the environment, have a variable stiffness. In order to solve these problems, the so called variable impedance control was introduced. Several works dealing with this control method were published. The variable impedance control proposed in [START_REF] Ikeura | Variable impedance control of a robot for cooperation with a human[END_REF] consisted in choosing where the virtual damping coefficient between two prescribed values according to the end-effector velocity. Later, they proposed in [START_REF] Ikeura | Optimal variable impedance control for a robot and its application to lifting an object with a human[END_REF] to adjust on-line the damping parameters, in an optimal manner by minimizing a selected cost function. An online adjustment of this coefficient based on a real-time estimation of the human arm stiffness was also proposed in [START_REF] Tsumugiwa | Variable impedance control based on estimation of human arm stiffness for human-robot cooperative calligraphic task[END_REF]. More recently, in order to insure a better PHRI with respect to transparency, it was proposed in [START_REF] Duchaine | Safe, stable and intuitive control for physical human-robot interaction[END_REF] to continuously adapt the virtual damping coefficient as a function of the human intention. This method allows satisfying a good co-manipulation task. However, one drawback of this approach is that the estimation of the HO intention was performed using the time derivative of the measured force and position, for which the measurement noises can cause problems with the numerical differentiation (dividing by zero, etc).

In this paper, the co-manipulation problem for load handling is addressed in a different way. The proposed control method, named Online Trajectory generator-Based Impedance (OTBI) Control, consists in an interconnection between an event-controlled online trajectory generator and a control structure achieving a trajectory tracking with good properties. In particular, compared to other methods, the one proposed here appears as a good alternative to overcome the static equilibrium issue while handling a load.

Problem description: requirements and trade-offs

This work focuses on heavy load handling tasks characterized by having motion with moderate velocities. A potential application field for the strategy proposed in this paper is the manufacturing industry such as construction industry and assembly where material handling requires considerable efforts. The main purpose is reducing these efforts, decreasing the consumed time and the costs of these activities. In the following, we consider industrial robots with a load linked to the last arm with which the HO interacts. A force sensor measures the interaction force and gives its corresponding coordinates along each direction in the end-effector frame. The robot actuators are torque controlled and without saturation. Moreover, position and velocity measurements are available.

The human-robot co-manipulation problem is considered here as the achievement of a master-slave relationship, for which the HO decides when and where the robot should move. In other words, the HO contributes in the co-manipulation process by making a visual feedback loop of the current robot configuration with the desired one that he has in mind (as depicted in Figure 1 of [START_REF] Jlassi | On human-robot co-manipulation for handling tasks: Modeling and control strategy[END_REF]). This problem consists in guaranteeing the safety of the HO while manipulating the robot from its end-effector and driving it to the desired position without having to exert the whole required force to move the load, or even to perceive the resistive forces due to the robot dynamics such as its strong inertia, joints friction etc. Hence, this problem should be designed in a way that it satisfies the co-manipulation's requirements i.e. security, assistance and transparency as detailed in [START_REF] Jlassi | On human-robot co-manipulation for handling tasks: Modeling and control strategy[END_REF]. The level of importance of each requirement depends on the expected purpose of co-manipulation. For the case of heavy load handling task, ensuring the maximum possible of transparency may cause a serious danger for the operator. Thus a trade-off between transparency and security appears necessary. Here, this trade-off will of-course be in favor of security. The main difference between the proposed approach and other works dealing with PHRI lies in the sought control objectives formulation. Our control objectives are based on the key concept that the velocity of the IP should remain collinear at every moment to the force exerted by the HO while being of moderate amplitude. The collinearity concurs to achieve part of the transparency requirement whereas a velocity of moderate amplitude allows to partly fulfill the security. Indeed, the standard ISO-10218 developed by the International Organization for Standardization specifies the safety requirements for the integration of industrial robots in the context of PHRI by imposing an upper bound to the velocity of the end-effector, it must not exceed 0.25m/s. In [START_REF] Moon | Survey on iso standards for industrial and service robots[END_REF] a study on the various existing standards was presented. All these studies show that the robot velocity is the most important parameter to control. In order to comply with the security constraint, the velocity of the robot must be bounded during the co-manipulation task. The acceleration and jerk must also be bounded to insure comfort for the HO as well as robot attrition. Notice that exerting a force is the only way for the HO to transmit the information that contains intrinsically the desired direction of displacement and this direction is given by the velocity vector at each instant. In consequence, the measured force should serve in generating a trajectory for the end-effector velocity that this latter has to track. Moreover, the trajectory to track must be generated online by an appropriate real-time processing of this information while leaving the desired position under the HO authority. To cope with safety requirement, the kinetic energy stored by the robot during the motion has to be limited by imposing either a profile or a template to the desired trajectory for the end-effector velocity. A template basically consists in imposing an upper bound on the magnitude of the end-effector velocity. But, this also requires imposing an upper bound on its successive derivatives in order to filter the tremors introduced by the exerted force. On the other hand, the choice of a profile, which consists in using parameterized functions, is easier to implement in an OTG and allows to cope with the problem of tremors. This latter approach will thus be adopted in the sequel.

Control Strategy

As explained previously, the control strategy is both based on the online generation of an appropriate trajectory that the end-effector has to track and a control structure for the trajectory tracking with a given impedance property. The overall control strategy is described in Figure 1. For its implementation, the measurements of the interaction force, as well as the positions and velocities of the joints are necessary.

Modified Impedance

Control Structure q ŷ Generator Online Trajectory Direct Geom. Model & Jacobian Controller Impedance - → X - → X - → X - -→ X d - → X d Linearizing Feedback Loop - → X d - → F h - → X τ q X ˙ X + Robot Figure 1: Modified impedance control structure.

Working frame and notations

Let n be the total number of the Degrees Of Freedom (DOFs). The dynamical model of the robot is given by M(q) q +C(q, q) q + g(q

) = τ + τ h , (1)
where q ∈ R n , q ∈ R n and q ∈ R n are the vectors of the generalized joints displacements, the generalized joints velocities and the generalized joints accelerations respectively. The vector of applied motor torques is denoted by τ ∈ R n . The vector of PHRI torques is denoted by τ h = J(q) T - → F h , where -→ F h is the interaction force and J(q) is the manipulator Jacobian matrix. The terms M(q) ∈ R n×n , C(q, q) q ∈ R n and g(q) ∈ R n are employed to denote the inertia matrix, the vector of centrifugal and Coriolis forces and the vector of gravitational forces respectively. In the following, we denote the desired task space positions, velocities, and accelerations as -→

X d := x d y d T ∈ R 2 , - → X d
, and -→ X d , respectively. Without loss of generality we will focus our development on the case of planar robots. Let -→ X := x y T ∈ R 2 be the position vector of the end-effector and -→ F h ∈ R 2 the vector of forces exerted at the end-effector. This force vector is characterized by its Euclidean norm noted

F h := - →
F h 2 and its orientation, defined by the unitary vector, noted -→ U θ h where θ h is the angle formed by the interaction force -→ F h and a unitary vector of the fixed frame.

Collinearity between force and end-effector velocity

As mentioned in Section 3, maintaining to the maximum the collinearity of the end-effector velocity and the interaction force while having the same direction, should concur in achieving a transparent co-manipulation. The co-manipulation expected requirements should lead the end-effector velocity and the interaction force to satisfy a relationship like

- → X = χ q, q, - → F h , (2)
under the constraints of zero cross-product

- → X × - → F h = -→ 0 and of positive scalar product - → X | - → F h > 0,
where χ q, q, -→ F h is a mathematical operator that can be assimilated to an admittance relationship, but which expression is non-trivial and certainly hard to express analytically, because it has to satisfy all the requirements in an optimal manner. In particular, χ q, q, -→ F h should be able to cope with discrete events such as the human decision of starting or stopping the robot motion, and to maintain a stable robot equilibrium position, robust to exogenous disturbances. Usually, this operator is described in frequency domain and taken as a linear admittance. As mentioned in Section 2, it is hard to cope with start and stop phases using simply linear admittance. In this paper, the seeking of the operator χ q, q, -→ F h is addressed using a two-step approach, following the method described thereafter.

Online Trajectory Generator

The block diagram of this component is described by Figure 2. Each step of the interaction force measurement processing is detailed and justified in the sequel.

-

→ X d 2 θ h θ h cartesian Polar to algorithm Recursive Numerical and Integration matrix Rotation - → F h ∠ 2 Differentiation - → X d - → X d -→ X d - → F h 2 F x F y

Online Trajectory Generator

a) Force intensity processing

Define two force thresholds, the first noted f th+ allows distinguishing the intention to move the robot if the interaction force amplitude is greater than f th+ with a rising edge. The second, noted f th-, is used to detect the will to stop it if the force is lower. Both threshold concur in defining a hysteresis detection to prevent small changes corresponding to unwanted triggering events, from having any effect. Let h r be the logical quantity that switches to 1 when the force measurement crosses the threshold f th+ with a rising edge and and h f that switches to 1 when the force measurement crosses the threshold f th-with a falling edge. When h r switch to 1, it means that the robot enters into a state of motion, noted Σ motion , and it remains there. It is therefore an event from which two phases follow each other, a transient phase corresponding to the motion startup, noted φ rise , and a phase of established motion, φ cruise . When h f switch to 1, it means that the robot enters into a state of immobility, noted Σ imm , and stops at the desired position. It is also an event from which two phases follow each other, a transient phase corresponding to the decelerating motion until the stop, noted φ f all , and another one in which the robot configuration is maintained in a equilibrium position, φ stop . To realize a more natural motion, the transient phases and the one of established motion should be customizable. Let ε f be the duration of φ f all and ε r that of φ rise . These settings depend on the nature of the manipulated object, its environment and the HO's and robot capabilities. The customization of the transient part should allow adjusting the reaction time to match the minimum effort that can apply the operator, according to his abilities. The setting of the established motion phase should be compatible with the constraint imposed on the IP's velocity, i.e. with a velocity of constant and moderate amplitude, noted V 0 . Only the duration control of φ stop and φ cruise is left to the HO's decision. Hence, the interaction force processing allows the identification of the initiation moment denoted t 0 , of the rising or the falling phase, making thus the OTG event-controlled with two discrete states governed by the automaton of Figure 3. This moment is captured by comparing continuously the increasing magnitude of this force with f th+ or the decreasing magnitude with f th-. The sequencing of each phase always follows the same closed periodical cycle as depicted in Figure 3. Figure 4 depicts the force F h , the trajectory progression of the end-effector velocity during PHRI and the force thresholds. In this figure, we voluntarily increased the reaction times in order to distinguish the different succeeding motion phases, depending on the position of F h with respect to the force thresholds. The durations of each phase (φ stop , φ rise , φ cruise and φ fall ) is shown.

Σ imm. - → F h 2 ≥ f th+ - → F h 2 < f th- φ rise φ cruise φ f all φ stop
0 5 1 0 1 5 0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 1 .2 time (sec) Normalized curves Stop Rise Cruise Fall Stop F h (t) F h (t) ∞ - → X d (t) 2 - → X d (t) 2 ∞ f th+ F h (t) ∞ f th- F h (t) ∞

b) Low-jerk velocity profile

The role of the OTG is to convert the real-time processing of the interaction force into displacement instructions of the IP, that depend on the phase in which is the PHRI. These instructions should rely on a specific velocity profile, noted V p (t), that meets the expected requirements on the norm of -→ X d , viz safety, transparency and fluidity of movement interaction. A clear understanding of the human arm motions, as studied extensively by authors in [START_REF] Tee | Concurrent adaptation of force and impedance in the redundant muscle system[END_REF], should contribute to a better consideration of the co-manipulation requirements in the definition of the trajectories to track. However, for simplicity and conciseness reasons of this paper, we made the choice of not including the human arm's dynamic to model the PHRI in terms of force and common trajectories, whereas it should be included for a more rigorous and complete study.

In return, a simpler representation of the PHRI is considered. Since natural trajectories are required for a safe, smooth and comfortable interaction between the HO, the robot and the hanged load, we adopted the minimal-jerk trajectories to represent the PHRI. Indeed, smoothness can be quantified as a function of jerk as reported in [Hogan, 1985]. It is now well established and experimentally demonstrated that limiting jerk is important for reducing the robot attrition as well as for improving fast and accurate tracking [START_REF] Piazzi | Global minimum-jerk trajectory planning of robot manipulators[END_REF]. Moreover, it leads to a smoother control of the actuators, which reduces the excitation of the manipulator's fast dynamics such as vibrating modes. This consequently reduces danger for the HO, wear of the actuators, etc. To gather these specifications, the proposed low-jerk time function V p (t) imposed to -→ X d and satisfying each phase's requirement is given by a piecewise defined polynomial based on the following quintic polynomial

V p (t) = V i + V f -V i 10 t -t 0 T 3 -15 t -t 0 T 4 + 6 t -t 0 T 5
where T , V i and V f are parameters governed by the current phase, as described in Table 1.

Phase Parameters setting

Velocity profile expression

φ stop T = 0, V i = 0, V f = 0 V p (t) = 0 φ rise T = ε r , V i = 0, V f = V 0 V p (t) = V 0 10 t-t 0 ε r 3 -15 t-t 0 ε r 4 + 6 t-t 0 ε r 5 φ cruise T = 0, V i = V 0 , V f = V 0 V p (t) = V 0 φ f all T = ε f , V i = V 0 , V f = 0 V p (t) = V 0 1 -10 t-t 0 ε f 3 + 15 t-t 0 ε f 4 -6 t-t 0 ε f 5
Table 1: Phase dependent velocity profile expression.

c) Force direction processing

The desired velocity -→ X d of the IP should remain collinear at every moment to the force exerted by the HO while having the same direction. Thus the angle formed by the IP's desired velocity and the interaction force -→ X d , -→ F h should be zero during the co-manipulation task, which is equivalent to ensuring

- → X d × - → F h = 0 with - → X | - → F h > 0. In other words, - → X d should
have the same orientation angle than -→ F h , namely θ h . So, the direction to track, given by the unitary vector -→ U θ h , has to be extracted from the measured force -→ F h . The force sensor delivers the coordinates of -→ F h in the end-effector frame. A simple use of rotational transformations gives the corresponding coordinates in task space frame,

- → F h = F x F y T
. Then, the orientation angle is given by θ h = tan -1 F y F x . In consequence, once the desired norm of -→ X d computed as indicated in Paragraph b), the coordinates of -→ X d in task-space frame are easily derived by the relation:

- → X d = V p -→ U θ h . The desired position -→ X d
is obtained by a coordinate numerical integration of -→ X d , using for example an Euler explicit method, whereas the corresponding acceleration ( -→ X d ) is deduced through basic numerical differentiation.

d) Recursive algorithm

Because the HO may change his desired motion unpredictably (a sudden presence of an obstacle, an unexpected change of destination etc), the real-time processing of the interaction force requires to store the starting or stopping moment t 0 of the robot's motion in memory, together with the values of the corresponding state, i.e. position, velocity and acceleration.

Since the desired motion signals

-→ X d , - → X d , - →
X d are generated in real-time, the information needed at the next computation cycle must be stored at each instant. Thereby, the algorithm for generation of these guidelines is necessarily recursive. It is described by the block diagram in Figure 5.

Threshold hit-crossing detection

Force features

Interaction

f th+ f th - z -1 Digital clock z -1 z -1 z -1
Recursive code

h f h r t 0 (t) -→ X d (t -1), - → X d (t -1), - → X d (t -1) V p (t) V p (t -1) t 0 (t -1) F h (t -1) F h (t) θ h (t) V 0 , ε r , ε f , f th+ , f th- Traj. parameters (discrete time) t -→ X d (t) - → X d (t) - → X d (t)
Figure 5: Block-scheme of the recursive algorithm.

Trajectory tracking with given impedance property

It is assumed here that the robot never takes a singular configuration, so that the Jacobian is always invertible. Moreover, the joints' positions and velocities are assumed to be measured. The robot parameters and the handled load are supposed to be quite well known. As indicated in Figure 4, the trajectory tracking is ensured through two controllers. The first realizes a linearization of the nonlinear motion equations in (1). It is based on the control law τ = M(q) ŷ +C(q, q) q + g(q) -J(q

) T - → F h , (3)
where ŷ is a new input vector whose expression is given thereafter. Substituting (3) in (1) and by considering the invertibility of M(q), then, the motion equations (1) become q = ŷ.

(4)

The second controller is design, from the exact linearized system in (4), in order to ensure trajectory tracking in task space, with some properties stated by the desired mechanical impedance of the robot along these trajectories. According to [Hogan, 1985], an impedance controller imposes, along each direction of the task space, a desired impedance relation between the robot end-effector displacement and the interaction force. Usually, the desired impedance is chosen linear and of second order, as in a mass-spring-damper system. In that case, it is given, in Laplace domain, Let X = -→ X d --→ X , the task space error between the desired and the actual end-effector position. Let the control law of the second controller be given by ŷ

= J -1 M -1 d M d - → X d + B d ˙ X + K d X -M d J q -W - → F h . (5)
Since we have -→ X = J q + J q, then, the resulting impedance control along the trajectories is

M d ¨ X + B d ˙ X + K d X = W - → F h ,
where W (q) := J(q)M(q) -1 J T (q) (called the mobility tensor). As indicated in [START_REF] Siciliano | Robotics: Modelling, Planning and Control[END_REF], the matrices M d , B d and K d must be chosen to be constant and diagonal, positive definite for M d and semi-positive definite for B d and K d . The convergence speed of the tracking error depends on the values taken for these matrices. These parameters also permit to tune the impedance felt by the HO when the robot tracks the generated trajectory. A stiff impedance allows a rejection of an excessive interaction force amplitude during the co-manipulation, but it decreases the feeling of comfort and smoothness of the physical interaction, i.e. the transparency. On the contrary, an elastic impedance increases the feeling of transparency but it deteriorates the tracking properties like precision, speed etc.

Application and simulation results

x-axis y-axis Our control strategy is illustrated through the planar robot with two joints depicted in Figure 6. This robot holds a load of mass M at the end-effector. Each joint is actuated with its own motor. The first [respectively the second] is located at point O 1 [resp. O 2 ] and exerts a torque denoted τ 1 [resp. τ 2 ]. The angular position of the first [resp. the second] arm with respect to the fixed frame [resp. w.r.t. the first arm] is denoted by θ 1 [resp. θ 2 ]. The HO drives the robot by applying a force -→ F h at the IP.

O 1 θ 1 L 1 m1 θ 2 O 2 L 2 m 2 IP × - → F h load
Denote by q = q 1 q 2 T := θ 1 θ 1 + θ 2 As a first step, in order to emphasize the importance of the collinearity criterion, a simulation test was done. To move the load, without the mechanical power's assistance of the robot, from the initial position q i 1 = -π/3, q i 2 = π/18

to the final one q f 1 = -π/6, q f 2 = π/4 , the HO needs to apply a force whose amplitude and direction are as shown in Figure 7 (left). This force results in a velocity of the end-effector shown in Figure 7 (right). One can notice that force and end-effector velocity have not the same direction. For the case of co-manipulation, the HO is now exerting a force having the same direction (orientation) than that of the end-effector velocity from the simulation test, but with a considerably lower amplitude, in order to emphasize the satisfaction of the assistance criterion, i.e. in order to show that the robot ensures the provision of the necessary power to move the handled object or to maintain it in a desired equilibrium position. The impedance parameters are set as follows: M d = diag(1, 1), B d = diag (198,198) and K d = diag(0, 0). The trajectory tracking simulations for the obtained control law are depicted in Figure 9. One can observe a good trajectory tracking for both position and velocity. Figure 8 highlights the fulfillment of the requirement of collinearity between the force applied by the HO and the velocity of the end-effector. This collinearity is obviously observed during the motion state. When the norm of the applied force crosses the threshold f th+ while increasing, the velocity of the end-effector quickly converges toward the orientation of the force and it remains collinear till the occurrence of the immobility state.

Conclusion

This paper addressed the co-manipulation problem for handling tasks through a modified impedance control method named Online Trajectory-generator Based Impedance (OTBI) Control. This approach mainly lies on the implementation Laboratoire des Signaux & Systèmes Division Systèmes 11/13 of a specific event-controlled online trajectory generator (OTG), that delivers trajectories to track when the operator exerts a force which amplitude is greater than a given threshold of low intensity, combined with a control structure that ensures a trajectory tracking with an impedance property. The proposed approach permitted to address the issue of maintaining the immobility of the robot configuration when there is no interaction force.

Figure 2 :

 2 Figure 2: Block diagram of the Online Trajectory Generator.

Figure 3 :

 3 Figure 3: Automaton governing the motion states (left). Periodical cycle of phases (right).

Figure 4 :

 4 Figure 4: Desired velocity profile generated by the processing of the interaction force measurement.

F

  h (s) = Z(s) Ẋ(s), where Z is the desired mechanical impedance and s ∈ C is the Laplace variable. In terms of end-effector position, we can write F h (s) = sZ(s)X(s), where sZ(s) := M d s 2 + B d s + K d , M d , B d and K d are the desired inertia, damping and stiffness matrices of mass-spring-damper system respectively.

Figure 6 :

 6 Figure 6: A planar robot with two joints holding a load of mass M.

T.

  The following simulations were done using MATLAB. The parameters are m 1 = 10 kg, m 2 = 8 kg, M = 2 kg, L 1 = 5 m, L 2 = 4 m and g = 9.81 m/s 2 . The rise and fall times are set to ε r = ε f = 0.3 s. The thresholds are set to f th+ = 1 N and f th-= 0.75 N.

Figure 7 :

 7 Figure 7: Directions (bottom) and amplitudes (top) of the interaction force (left) vs the IP velocity (right), case of simulation test.

Figure 8 :Figure 9 :

 89 Figure 8: Top: collinearity achievement between the interaction force and the velocity of the end-effector. Bottom: amplitude of the applied interaction force.

Université Paris-Sud XI UFR des Sciences d'Orsay 6/13 Laboratoire des Signaux & Systèmes Division Systèmes Σ motion

Laboratoire des Signaux & SystèmesDivision Systèmes

Université Paris-Sud XI UFR des Sciences d'Orsay

Université Paris-Sud XI UFR des Sciences d'Orsay 8/13 Laboratoire des Signaux & Systèmes Division Systèmes


František Kardoš
email: frantisek.kardos@upjs.sk

Jozef Miškuf
email: jozef.miskuf@upjs.sk

Maximum Vertex and Face Degree of Oblique Graphs

Keywords: Oblique graph, vertex degree, face degree, orientable surface, non-orientable surface

Let G = (V, E, F ) be a 3-connected simple graph imbedded into a surface S with vertex set V , edge set E and face set F . A face α is an a 1 , a 2 , . . . , a k -face if α is a k-gon and the degrees of the vertices incident with α in the cyclic order are a 1 , a 2 , . . . , a k . The lexicographic minimum b 1 , b 2 , . . . , b k such that α is a b 1 , b 2 , . . . , b k -face is called the type of α.

Let z be an integer. We consider z-oblique graphs, i.e. such graphs that the number of faces of each type is at most z. We show an upper bound for the maximum vertex degree of any z-oblique graph imbedded into a given surface. Moreover, an upper bound for the maximum face degree is presented. We also show that there are only finitely many oblique graphs imbedded into non-orientable surfaces.

Introduction

The concept of the graphs with restricted number of types of graph elements was introduced by Jendrol' and Tkáč in [START_REF] Jendrol | On the simplicial 3 polytopes with only two types of edges[END_REF], [START_REF] Jendrol | Convex 3 polytopes with exactly two types of edges[END_REF]. The concept of obliqueness was defined in the paper [START_REF] Walther | Polyhedral graphs with extreme numbers of types of faces[END_REF] by Walther. Later, in the paper [START_REF] Voigt | Polyhedral graphs with restricted number of faces of the same type[END_REF] the z-obliqueness was defined. Obliqueness of graphs was next studied by Walther [START_REF] Walther | Polyhedral graphs with extreme numbers of types of faces[END_REF], Schreyer [START_REF] Schreyer | Oblique Graphs[END_REF] and others.

All graphs considered in this paper are simple (without multiple edges or loops), and we use the standard notation due to Diestel [START_REF] Diestel | Graph theory[END_REF].

A graph is a pair G = (V, E), where V = V (G) is the set of vertices of the graph G and E = E(G) is the set of edges of graph G. We shall not distinguish strictly between the graph and its vertex or edge set. For example, we may speak of a vertex v ∈ G rather than v ∈ V (G), and so on.

An embedding of a graph G on a surface S is a drawing of G on S without edges crossing (vertices are represented by points, edges are represented by arcs between their endvertices). If all components of S -G are homeomorphic to open discs, then the embedding is cellular. In this case the components of S -G are called faces of G. We deal only with cellular embeddings.

The degree deg(v) of a vertex v ∈ V (G) is the number of vertices adjacent to v. The maximum degree in a graph G is denoted by ∆(G).

The size (or degree) deg(α) of a face α is defined to be the length of the shortest closed walk containing all edges from the boundary of α, where the boundary of a face α is a set of all edges incident with α.

Let us remind the definition of the oblique graph. A face α is an a 1 , a 2 , . . ., a k -face if deg(α) = k and the degrees of the vertices incident with α along its boundary in the cyclic order are a 1 , . . . , a k . The lexicographic minimum b 1 , b 2 , . . . , b k such that α is a b 1 , b 2 , . . . , b k -face is called the type of α. Let z be an integer. A graph is said to be z-oblique if the number of faces of each type is at most z. If z = 1 (all faces are of different types), the graph is said to be oblique.

Voigt and Walther [START_REF] Voigt | Polyhedral graphs with restricted number of faces of the same type[END_REF] proved that the set of all z-oblique graphs imbedded into the sphere is finite. Schreyer [START_REF] Schreyer | Oblique Graphs[END_REF] proved that the set of all z-oblique graphs imbedded into any given orientable surface is finite as well. There is also found the upper bound for the number of all z-oblique graphs imbedded into an orientable surface with genus g. Recently Kardoš and Miškuf [START_REF] Kardoš | The maximal vertex degree of oblique triangulations[END_REF] showed that the maximum degree of an oblique triangulation imbedded into the sphere is less than 50.

Vertex degrees

Using the method of charging and discharging we show an upper bound for the maximum degree of a z-oblique graph imbedded into the surface with Euler's characteristic e. According to the definition of the type of a face α we are only interested in the boundary walk of this face, hence, we do not have to distinguish the orientable and the non-orientable surface.

Theorem 1 Let G be a z-oblique graph with maximum degree ∆ imbedded into the surface with Euler's characteristic e. Then ∆ ≤ 35.7z 2 + 56.9z + 42 ln(41 + 21z)z -6e + 6.

Especially for every oblique graph G imbedded on the sphere we have ∆ ≤ 235.

PROOF. Let the vertex with the maximum degree be denoted by v ∆ ; if there are more vertices with maximum degree we choose any one of them. At first let us define the initial charges of the vertices x and the faces α in the following way:

w(x) =        0 if deg(x) < 42 + 21z, △ -6 if x = v ∆ , 3z otherwise. w(α) = 2(deg(α) -3) + x∈α x =v ∆ deg * (x) -6 deg(x) ,
where deg * (x) is defined as In the next step we relocate some of the initial charges from vertices with big degree (distinct from v ∆ ) into the faces incident with them according to the following discharging rules:

deg * (x) =        deg(x) if deg(x) < 42 + 21z, deg(x) if x = v ∆ , deg(x) -3z otherwise. From Euler's formula we have α∈F 2(deg(α) -3) + x∈V (deg(x) -6) = -6e, so we get the sum of the initial charges α∈F w(α) + x∈V w(x) = = α∈F 2(deg(α) -3) + x∈α x =v ∆ deg * (x) -6 deg(x) + x =v ∆ deg(x)≥42+21z 3z + ∆ -6 = = α∈F 2(deg(α) -3) + α∈F x∈α x =v ∆ deg * (x) -6 deg(x) + x =v ∆ deg(x)≥42+21z 3z + ∆ -6 = = -6e - x∈V (deg(x) -6) + x =v ∆ (deg * (x) -6) + x =v ∆ deg(x)≥42+21z 3z + ∆ -6 = = -6e + x∈V (deg * (x) -deg(x)) + x =v ∆ deg(x)≥42+21z 3z = -6e,
(1) For x = v ∆ and deg(x) = d ≥ 42 + 21z we set w ′ (x) := w(x) and (a) if x ∈ α and α is a 3, 3, d -face, then w ′ (α) := w(α) + 8 7 and w ′ (x) := w ′ (x) -8 7 , (b) if x ∈ α and α is a 3, 4, d -face, then w ′ (α) := w(α) + 5 7 and w ′ (x) := w ′ (x) - 5 7 , (c) if x ∈ α and α is a 3, 5, d -face, then w ′ (α) := w(α) + 3 7 and w ′ (x) := w ′ (x) - 3 7 , (d) if x ∈ α and α is a 3, 6, d -face, then w ′ (α) := w(α) + 1 7 and w ′ (x) := w ′ (x) - 1 7 , (e) if x ∈ α and α is a 4, 4, d -face, then w ′ (α) := w(α) + 1 7 and w ′ (x) := w ′ (x) - 1 7 , (f) if x ∈ α and α is a 3, 3, 3, d -face, then w ′ (α) := w(α) + 1 7 and w ′ (x) := w ′ (x) - 1 7 .

(2) For all faces not mentioned above w ′ (α) := w(α) and w ′ (x) := w(x) for all vertices x such that deg(x)

< 42 + 21z or x = v ∆ .
For the new charge of vertices we have

w ′ (x)        = 0 if deg(x) < 42 + 21z, = △ -6 if x = v ∆ , ≥ 2 7 z if deg(x) ≥ 42 + 21z and x = v ∆ .
Observe that in the first and the third case the charge has not been changed. In the second case the vertex x would redistribute at most 19 7 z of his previous charge and so the new charge is at least 2 7 z. Hence, the new charge of all the vertices is non-negative.

It is easy to check that for the faces with degree at least 6 we have

w ′ (α) = w(α) ≥ 2(deg(α) -3) + x∈α (-1) = 2 deg(α) -6 -deg(α) ≥ 0,
thus only the faces with degree at most 5 can have a negative charge.

We compute the amount of the negative charge in the whole graph. Due to previous remarks we deal only with the faces with degree at most 5. According to our discharging rules we can list the types of the faces with the negative charge. They can be divided into small faces incident with many vertices with small degree (see Tables 1 and2) and small faces incident with the vertex v ∆ (see Table 3). Now we clarify why in the first column of Table 3 it is sufficient to have the interval 3, 41 + 21z instead of 3, ∆ . Every vertex x with degree at least 42 + 21z has charge at least 2 7 z. The face of type 3, x, ∆ can occur at most z times. We redistribute the charge of x into these at most z faces. The vertex donates 1 7 of its charge to each of those faces. Obviously, the charge of the 1 The list of all the faces of types a 1 , a 2 , a 3 with a negative charge, not incident with the vertex v ∆ . 2 The list of all the faces of types a 1 , a 2 , a 3 , a 4 or a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 with a negative charge, not incident with the vertex v ∆ . 3 The list of all the faces incident with the vertex v ∆ having a negative charge.

a 1 = 3 3 3 3 3 3 3 3 3
a 2 =
a 3 = ∆ ∆ ∆ ∆ 3 a 4 < - - - 6 6 Table
vertex is still non-negative after the second discharging. The charge of the face α = 3, x, ∆ will be non-negative too, since deg(x) ≥ 42 + 21z:

w ′ (α) = -1 + deg * (x) -6 deg(x) + 1 7 = deg(x) -3z -6 deg(x) - 6 7 = 1 7 - 3z + 6 deg(x) ≥ 0.
The whole negative charge in the faces not incident with the vertex v ∆ is at least the sum of the charges of faces in the Tables 1 and2, each of the face types counted z times. We show the computation only for the first column of Table 1, the others go in the same lines and for brevity we omit them. The amount of the negative charge of the faces in the Table 1 in the first column can be bounded by

41+21z d=3 -2 + d -6 d = -(39 + 21z) -6 41+21z d=3 1 d > > -39 -21z -6 41+21z 2 1 x dx = -39 -21z -6 ln(41 + 21z) + 6 ln 2.
Hence, the amount of the negative charge of faces in the first column of Table 1, since they can occur z times, is at least (-39 -21z -6 ln(41 + 21z) + 6 ln 2)z.

With similar computing, i.e. estimating of finite harmonic sums with logarithmic integrals, we obtain that the whole amount of the negative charge of the faces in the Tables 1 and2 is at least (-54.8 -35.7z -36 ln(41 + 21z))z.

But there are also faces with negative charge incident with v ∆ -the faces listed in the Table 3. The sum of their charges can be bounded by

41+21z d=3 -1 + d -6 d -6.2 = -6 41+21z d=3 1 d -6.2 > -6 41+21z 2 1 x -6.2 = = -6 ln(41 + 21z) + 6 ln 2 -6.2 > -6 ln(41 + 21z) -2.1 .
These faces can also occur z-times, thus the amount of the negative charge of them is at least (-6 ln(41 + 21z) -2.1)z. Since the sum of the charges for whole graph is -6e, the (positive) charge of the vertex v ∆ can not exceed the amount of the negative charge in the whole graph increased by -6e: For every oblique graph imbedded on the sphere we have ∆ 1 + ∆ 2 ≤ 268.

w ′ (v ∆ ) ≤ (
PROOF. We use the technique of charging and discharging again. The initial charges of the vertices and the faces are assigned in the following way:

w(x) =        0 if deg(x) < 42 + 21z, deg(x) -6 if x ∈ {v 1 , v 2 }, 3z otherwise. w(α) = 2(deg(α) -3) + x∈α x ∈{v 1 ,v 2 } deg * (x) -6 deg(x) , where deg * (v) is defined as deg * (v) =        deg(x) if deg(x) < 42 + 21z, deg(x) if x ∈ {v 1 , v 2 }, deg(x) -3z otherwise. a 1 = 3 4 5 3 3
a 2 = 3, 41 + 21z 4, 12 5, 7 3 ∆ 1 a 3 = ∆ 1 ∆ 1 ∆ 1 ∆ 1 3 a 4 ≤ - - - 5
5 Table 4 The list of all the faces of types a 1 , a 2 , a 3 and a 1 , a 2 , a 3 , a 4 with a negative charge incident with the vertex v 1 .

a 1 = 3 4 5 3 3
a 2 = 3, 41 + 21z 4, 12 5, 7 3 ∆ 2 a 3 = ∆ 2 ∆ 2 ∆ 2 ∆ 2 3 a 4 ≤ - - - 5
5 Table 5 The list of all the faces of types a 1 , a 2 , a 3 and a 1 a 2 , a 3 , a 4 with a negative charge incident with the vertex v 2 .

a 1 = 3 4 5 a 2 = ∆ 2 ∆ 2 ∆ 2 a 3 = ∆ 1 ∆ 1 ∆ 1 Table 6
The list of all the faces of types a 1 , a 2 , a 3 with a negative charge incident with the vertices v 1 and v 2 .

charges of these faces can be bounded by the estimating of finite harmonic sums with logarithmic integrals as follows (-12 ln(41 + 21z) -5.9)z.

Hence, the whole amount of the negative charge of faces of the graph is at least (-60.7 -35.7z -48 ln(41 + 21z))z.

The positive charge of the vertices v 1 and v 2 can not exceed the amount of negative charge of the faces in whole graph increased by -6e, therefore,

w ′ (v 1 ) + w ′ (v

  and hence, α∈F w(α) + x∈V w(x) = -6e.

  (G) = {v 1 , v 2 , . . . , v n } be the set of vertices of a graph G such that deg(v i ) ≥ deg(v i+1 ), i = 1, . . . , n -1.We show an upper bound for the sum deg(v 1 ) + deg(v 2 ). Let G be a z-oblique graph imbedded into the surface with Euler's characteristic e. Let v 1 and v 2 be the vertices with the highest degree among all vertices of the graph G and let∆ i = deg(v i ), i = 1, 2. Then ∆ 1 + ∆ 2 ≤ 35.7z 2 + 60.7z + 48z ln(41 + 21z) -6e + 12.

	42 ln(41 + 21z) + 35.7z + 56.9)z -6e
	deg(v ∆ ) -6 ≤ (42 ln(41 + 21z) + 35.7z + 56.9)z -6e
	∆ ≤ 35.7z 2 + 56.9z + 42 ln(41 + 21z)z -6e + 6
	If z = 1, we obtain ∆ ≤ 271-6e. If we sum the charge of all faces with negative
	charge without using logarithmic estimates, we can improve this bound to
	∆ ≤ 247 -6e.
	Let V Theorem 2

  2 ) ≤ (60.7 + 35.7z + 48 ln(41 + 21z))z -6e, ∆ 1 + ∆ 2 ≤ (60.7 + 35.7z + 48 ln(41 + 21z))z -6e + 12.If z = 1, we obtain ∆ 1 + ∆ 2 ≤ 306 -6e. If we sum the charges of all faces with negative charge without using logarithmic estimates, we can improve this bound to ∆ 1 + ∆ 2 ≤ 280 -6e.

We have to mention that this result can be proven also by the technique showed by J. Schreyer in [5]. It is sufficient to observe that deciding if the graph is oblique we only need to trace the boundary walks of its faces, therefore, the proof is the same for the non-orientable surface as for the orientable surface.

PROOF. Consider all z-oblique graphs imbedded into N . From Theorem 1 and Theorem 3 we know that the vertex and the face degree of the z-oblique graphs in the surface N is bounded. Hence, also the number of face types is bounded, thus the number of faces and vertices is bounded, too. Therefore, there are only finitely many such graphs.

 [START_REF] Diestel | Graph theory[END_REF]This work was supported by the Slovak Minerva grant during the second author's stay at Technical University of Ilmenau, Germany. Support of the the Science and Technology Assistance Agency under the contract No. APVT-20-004104 is acknowledged as well.

From Euler's formula we get the sum of initial charges α∈F w(α) + x∈V w(x) = -6e.

In the next step we relocate some of the initial charge from vertices with big degree (distinct from v 1 and v 2 ) into the faces incident with them according to the following discharging rules:

(1) if x ∈ {v 1 , v 2 } and deg(x) = d ≥ 42 + 21z we set w ′ (x) := w(x) and (a) if x ∈ α and α is a 3, 3, d -face, then w ′ (α) := w(α) + 8 7 and w ′ (x) := w ′ (x) -8 7 , (b) if x ∈ α and α is a 3, 4, d -face, then w ′ (α) := w(α) + 5 7 and w ′ (x) := w ′ (x) - 5 7 , (c) if x ∈ α and α is a 3, 5, d -face, then w ′ (α) := w(α) + 3 7 and w ′ (x) := w ′ (x) - 3 7 , (d) if x ∈ α and α is a 3, 6, d -face, then w ′ (α) := w(α) + 1 7 and w ′ (x) := w ′ (x) - 1 7 , (e) if x ∈ α and α is a 4, 4, d -face, then w ′ (α) := w(α) + 1 7 and w ′ (x) := w ′ (x) - 1 7 , (f) if x ∈ α and α is a 3, 3, 3, d -face, then w ′ (α) := w(α) + 1 7 and w ′ (x) := w ′ (x) - 1 7 .

(2) For all faces not mentioned above w ′ (α) := w(α) and w ′ (x) := w(x) for all vertices x such that deg(x)

The new charges of all vertices are non-negative and we have

Faces with degree greater than 5 can not have negative charge. Faces with negative charge can be listed like in the previous proof. There are the faces listed in Tables 1 and2 and the faces listed in Tables 4,5, and 6.

In the first column of the Tables 4 and5 it is sufficient to have interval 3, 41 + 21z , using the same arguments as in the proof of Theorem 1.

The whole negative charge of the faces not incident with the vertex v 1 or v 2 is at least (-54.8 -35.7z -36 ln(41 + 21z))z.

But there are also faces with negative charge which are incident with vertex v 1 and/or v 2 -the faces listed in the Tables 4, 5, and 6. The sum of negative

Face degrees

We bound the face degree of z-oblique graphs imbedded into any given surface S.

Theorem 3 Let G be a z-oblique graph with maximum face degree ∆ f imbedded into the surface with Euler's characteristic e. Then ∆ f ≤ 35.7z 2 + 54.8z + 36z ln(41 + 21z) -6e + 6.

For every oblique graph G imbedded on the sphere we have ∆ f ≤ 210.

PROOF. The proof uses the charging and discharging method. Let ∆ f denote the maximum face degree of the graph G. The initial charges of the vertices and the faces is set similarly to the charge in previous proofs: 7 and w ′ (x) := w ′ (x) - 5 7 , (c) if x ∈ α and α is a 3, 5, d -face, then w ′ (α) := w(α) + 3 7 and w ′ (x) := w ′ (x) - 3 7 , (d) if x ∈ α and α is a 3, 6, d -face, then w ′ (α) := w(α) + 1 7 and w ′ (x) := w ′ (x) - 1 7 , (e) if x ∈ α and α is a 4, 4, d -face, then w ′ (α) := w(α) + 1 7 and w ′ (x) := w ′ (x) - 1 7 , 10 (f) if x ∈ α and α is a 3, 3, 3, d -face, then w ′ (α) := w(α) + 1 7 and w ′ (x) := w ′ (x) - 1 7 .

(2) For all faces not mentioned above w ′ (α) := w(α) and w ′ (x) := w(x) for all vertices x such that deg(x) < 42 + 21z.

The new charge of the vertices is non-negative, moreover, we have

For the new charge of faces it holds w ′ (α) ≥ deg(α) -6. The whole negative charge in the faces is at least (-54.8 -35.7z -36 ln(41 + 21z))z (see the proof of Theorem 1).

The charge of the face with the maximum degree can not be greater than the amount of negative charge in whole graph increased by -6e:

w ′ (α) ≤ (54.8 + 35.7z + 36 ln(41 + 21z))z -6e.

On the other hand This theorem can be proved using the same technique like in the proofs of the previous ones.

Corollary 5 For any non-orientable surface N the number of all z-oblique graphs imbedded into N is finite.