M Aucejo
email: mathieu.aucejo@cnam.fr

Structural source identification using a generalized Tikhonov regularization

Keywords: Source identification, Generalized Tikhonov regularization, Bayesian inference

This paper addresses the problem of identifying mechanical exciting forces from vibration measurements. The proposed approach is based on a generalized Tikhonov regularization that allows taking into account prior information on the measurement noise as well as on the main characteristics of sources to identify like its sparsity or regularity. To solve such a regularization problem efficiently, a Generalized Iteratively Reweighted Least-Squares (GIRLS) algorithm is introduced. Proposed numerical and experimental validations reveal the crucial role of prior information in the quality of the source identification and the performance of the GIRLS algorithm.

Introduction

The control of the vibro-acoustic behavior of structures remains a challenging task in many industrial applications. A possible solution is to control vibration at source. In this situation, the knowledge of excitation sources is required. However, such information is sometimes difficult or even impossible to measure. A possible alternative to bypass this drawback is to identify excitation sources from vibration measurements. The resolution of this inverse problem has been extensively studied over the past three decades. The most widespread approaches are based on the transfer functions matrix of the structure under test [1, 2, 3, 4, 5], that can be numerically computed [2,[START_REF] Leclere | Indirect measurement of main bearing loads in an operating diesel engine[END_REF] or measured [START_REF] Janssens | A pseudo-forces methodology to be used in characterization of structure-borne sound sources[END_REF][START_REF] Guillaume | An inverse method for the identification of localized excitation sources[END_REF][START_REF] Parloo | Force identification by means of in-operation modal models[END_REF]. There exists, however, alternative approaches based on the numerical calculation of a local operator corresponding to the dynamic stiffness of a part of the structure [START_REF] Pezerat | Two inverse methods for localization of external sources exciting a beam[END_REF][START_REF] Ibrahim | Structural force identification at unmeasured locations[END_REF][START_REF] Zhang | Examples of using structural intensity and the force distribution to study vibrating plates[END_REF][START_REF] Renzi | Identification Expérimentale de Sources vibratoires par Résolution du probleme Inverse modelisé par un opérateur Eléments Finis local (Vibratory sources identification by solving the inverse problem modeled by a local Finite Element operator[END_REF][START_REF] Renzi | Vibratory source identification by using the finite element model of a subdomain of a flexural beam[END_REF].

Unfortunately, all the proposed methods are very sensitive to measurement errors causing the identification to fail. That is why, there have been numerous studies focusing on the development of regularization methods to stabilize this inverse problem. Except methods for which very specific procedures have been proposed [START_REF] Pezerat | Two inverse methods for localization of external sources exciting a beam[END_REF][START_REF] Leclere | Vibration source identification using corrected finite difference schemes[END_REF], the most popular regularization methods remain the Truncated Singular Value Decomposition (TSVD) [START_REF] Powell | Multichannel structural inverse filtering[END_REF][START_REF] Verheij | Inverse and reprocity methods for machinery noise source characterization and sound path quantification part 1 : Sources[END_REF][START_REF] Janssens | The use of an equivalent forces method for the experimental quantification of structural sound transmission in ships[END_REF][START_REF] Thite | The quantification of structure-borne transmission paths by inverse methods. part 1 : Improved singular value rejection methods[END_REF][START_REF] Liu | Reducing the impact of measurement errors when reconstructing dynamic forces[END_REF] and the Tikhonov regularization [START_REF] Leclere | Indirect measurement of main bearing loads in an operating diesel engine[END_REF][START_REF] Renzi | Identification Expérimentale de Sources vibratoires par Résolution du probleme Inverse modelisé par un opérateur Eléments Finis local (Vibratory sources identification by solving the inverse problem modeled by a local Finite Element operator[END_REF][START_REF] Renzi | Vibratory source identification by using the finite element model of a subdomain of a flexural beam[END_REF][START_REF] Liu | Reducing the impact of measurement errors when reconstructing dynamic forces[END_REF][START_REF] Busby | Optimal regularization of an inverse dynamics problem[END_REF][START_REF] Thite | The quantification of structure-borne transmission paths by inverse methods. Part 2 : Use of regularization techniques[END_REF].

In the present article, we are interested in solving the identification problem using the following generalized Tikhonov regularization [START_REF] Flemming | Generalized Tikhonov regularization: Basic theory and comprehensive results on convergence rates[END_REF]:

F c = argmin Fc 1 p HF c -X m p p + λ q LF c q q , ∀(p, q) ∈ ]0, ∞[ 2 , (1)
where X m is the vibration field (displacement, velocity or acceleration) measured over the structure, F c is the force vector to identify, H is the corresponding transfer functions matrix, • p is either the p norm if p ≥ 1 or the p quasi-norm if p < 1 and F c is the particular value of F c for which the functional reaches its minimum. Such a problem is said to be convex when p ≥ 1 and q ≥ 1 and non-convex otherwise. In the next of the paper, the proposed generalized Tikhonov regularization is also referred to as pq regularization. In Eq.(1), the functional to minimize is the sum of two terms. The first one is the data fidelity term 1 p HF c -X m p p , which is related to measurement noise and allows controlling the a priori on the nature of the noise [START_REF] Green | Statistics of Images, the TV Algorithm of Rudin-Osher-Fatemi for Image Denoising and an Improved Denoising Algorithm[END_REF][START_REF] Le | A variational approach to reconstructing images corrupted by poisson noise[END_REF].

The second one is the regularization term 1 q LF c q q , that introduces an a priori on the solution, like its regularity thanks to the differentiation matrix L [START_REF] Lange | Sound Source Reconstruction with Covariance Matrix Fitting[END_REF], or its sparsity, by using an q norm such as q < 2 [START_REF] Boyd | Convex optimization[END_REF]. Finally, these terms are related by the trade-off parameter, λ ∈ R + , that represents the balance between data fidelity and regularization terms. In this formalism, the standard Tikhonov regularization corresponds to p = q = 2. As shown in [START_REF] Renzi | Identification Expérimentale de Sources vibratoires par Résolution du probleme Inverse modelisé par un opérateur Eléments Finis local (Vibratory sources identification by solving the inverse problem modeled by a local Finite Element operator[END_REF][START_REF] Renzi | Vibratory source identification by using the finite element model of a subdomain of a flexural beam[END_REF], this regularization leads to a systematic smoothing of regularized solutions, which is not a desirable effect when one wants to identify localized sources, for instance.

To have a better understanding of this result, it is worth turning to deconvolution techniques developed in image and signal processing, in which the influence of data fidelity and regularization terms has been deeply studied.

It has been shown in [START_REF] Le | A variational approach to reconstructing images corrupted by poisson noise[END_REF] that having a data fidelity term reflecting the noise characteristics of the signal provides better reconstruction. In particular, it has been pointed out that using the 2 norm for the data fidelity term was most appropriate to remove additive gaussian white noise [START_REF] Green | Statistics of Images, the TV Algorithm of Rudin-Osher-Fatemi for Image Denoising and an Improved Denoising Algorithm[END_REF][START_REF] Nikolova | A variational approach to remove outliers and impulse noise[END_REF], whereas using 1 norm was suitable for removing impulsive noise [START_REF] Nikolova | A variational approach to remove outliers and impulse noise[END_REF][START_REF] Nikolova | Minimizers of cost-functions involving non-smooth datafidelity terms. application to the processing of outliers[END_REF]. Concerning the regularization term, it has been proven that sparsity-promoting terms allow preserving discontinuities in deconvolved signal or image [START_REF] Rudin | Nonlinear total variation based noise removal algorithms[END_REF][START_REF] Tibshirani | Regression shrinkage and selection via the lasso[END_REF][START_REF] Chambolle | Total variation minimization and a class of binary mrf models[END_REF][START_REF] Fu | Efficient minimization methods of mixed l 2 -l 1 and l 1 -l 1 norms for image restoration[END_REF][START_REF] Bioucas-Dias | Total variation image deconvolution: A majorization-minimization approach[END_REF].

The most widely used are the regularization terms based on the 1 norm [START_REF] Rudin | Nonlinear total variation based noise removal algorithms[END_REF][START_REF] Tibshirani | Regression shrinkage and selection via the lasso[END_REF]. However, it has been demonstrated recently that non-convex sparse regularization terms, i.e. based on the q quasi-norm (q ∈ ]0, 1[), yield even better discontinuities preservation when compared to the convex 1 type regularization [START_REF] Chartrand | Nonconvex regularization for image segmentation[END_REF][START_REF] Nikolova | Efficient reconstruction of piecewise constant images using nonsmooth nonconvex minimization[END_REF][START_REF] Hintermuller | Nonconvex TV q -models in image restoration: Analysis and a trust-region regularization based superlineraly convergent solver[END_REF]. To solve efficiently convex as well as non-convex sparse regularization problems, only a few algorithms are available. They are generally based on a generalized version of the Iteratively Reweighted Least-Squares approach (IRLS) [START_REF] Rodriguez | An iteratively weighted norm algorithm for total variation regularization[END_REF][START_REF] Bissantz | Convergence analysis of generalized iteratively reweighted least squares algorithms on convex function spaces[END_REF][START_REF] Lai | An unconstrained l q minimization with 0 < q ≤ 1 for sparse solution of under-determined linear systems[END_REF], originally proposed to deal with problems of the form of Eq.(1) for λ = 0 [START_REF] Lawson | Contributions to the Theory of Linear Least Maximum Approximation[END_REF][START_REF] Green | Iteratively reweighted least squares for maximum likelihood estimation, and some robust and resistant alternatives[END_REF][START_REF] Chartrand | Iteratively reweighted algorithms for compressive sensing[END_REF].

To the author's knowledge, the aforementioned methods have been seldom applied in the context of structural source identification. One can nevertheless cite the recent work of Chardon and Daudet [START_REF] Chardon | Narrowband source localization in an unknown reverberant environment using wavefield sparse decomposition[END_REF], in which they apply a convex 2 -1 regularization, processed by a group matching pursuit algorithm, to localize sources acting on a thin plate. Finally, it is important to cite works of Guillaume et al. [START_REF] Guillaume | An inverse method for the identification of localized excitation sources[END_REF][START_REF] Parloo | Force identification by means of in-operation modal models[END_REF] that propose using an IRLS type procedure to identify localized sources, as well as the work of Renzi et al. [START_REF] Renzi | Identification Expérimentale de Sources vibratoires par Résolution du probleme Inverse modelisé par un opérateur Eléments Finis local (Vibratory sources identification by solving the inverse problem modeled by a local Finite Element operator[END_REF][START_REF] Renzi | Identification of vibration excitation using a regularized finite element operator and a deconvolution post-process[END_REF]. This paper proposes demonstrating the ability of the generalized Tihkonov regularization to identify vibration sources from a GIRLS algorithm. Unlike the standard IRLS procedure, the proposed approach allows introducing, besides prior information on measurement noise, an a priori on the spatial distribution of sources.

To clearly distinguish the main features of the proposed regularization pro-cedure, the present article is divided into four parts. In section 2, the general methodology, based on a Finite Element (FE) modelling of a part of the structure under test, is presented. In section 3, the GIRLS algorithm is detailed. A particular attention is paid to the crucial choice of the regularization parameters and the definition of a robust stopping criterion. Finally, sections 4 and 5 are devoted to the numerical and experimental validations of the proposed methodology. Obtained results show that using properly a priori knowledges on the measurement noise and the spatial distribution of the solution improves drastically the quality of the identification and the performance of the GIRLS algorithm.

General principles of the identification process

As explained in the introduction, one seeks to deal with the structural source identification problem using the generalized Tikhonov regularization given by Eq.(1). To properly solve this problem, one needs to know the mechanical behavior of the part of the structure under test. Such information is given by the transfer functions matrix H. Since the measurement of H can be quite cumbersome, one prefers using a FE model of the structure instead.

Assuming the structure is linear and the damping is of structural type, the FE model of the structure is of the form:

K(1 + jη) -ω 2 M X(ω) = D(ω)X(ω) = F(ω), ( 2
)
where M is the mass matrix, K is the stiffness matrix, X(ω) is the vector containing the considered degrees of freedom (dofs), F(ω) is the excitation vector, η is the structural damping factor, D(ω) is the dynamic stiffness matrix of the structure and ω is the angular frequency.

In Eq.(2), the vibration displacement field X(ω) contains two types of degrees of freedom (dofs), namely translation and rotation dofs. However, in practical situations, some dofs, such as rotations, are difficult to measure directly. Considering this experimental fact, the FE model given by Eq.(2)

has to be transformed into a model containing only the measurable dofs.

Several techniques have been used for that purpose, such as static condensation [START_REF] Busby | Optimal regularization of an inverse dynamics problem[END_REF], observation matrix approach [START_REF] Renzi | Vibratory source identification by using the finite element model of a subdomain of a flexural beam[END_REF][START_REF] Balmes | Sensors, degrees of freedom and generalized modeshape expansion methods[END_REF] or exact dynamic condensation [START_REF] Ibrahim | Structural force identification at unmeasured locations[END_REF][START_REF] Renzi | Identification of vibration excitation using a regularized finite element operator and a deconvolution post-process[END_REF][START_REF] Renzi | Identification des sources vibratoires en utilisant un opérateur eléments finis (Source identification using a finite element operator)[END_REF][START_REF] Renzi | Vibration sources identification using vibratory measurements injected in a local finite element model[END_REF]. Finally, reduction techniques can be used to avoid the need of data in unmeasured areas, such as the Craig-Bampton reduction [START_REF] Renzi | Identification Expérimentale de Sources vibratoires par Résolution du probleme Inverse modelisé par un opérateur Eléments Finis local (Vibratory sources identification by solving the inverse problem modeled by a local Finite Element operator[END_REF][START_REF] Renzi | Identification of vibration excitation using a regularized finite element operator and a deconvolution post-process[END_REF][START_REF] Batou | Experimental identification of stochastic processes using an uncertain computational non-linear dynamical model[END_REF] or the modal reduction [START_REF] Corus | Force identification using a statically completed reduced model deriving from tests[END_REF].

In this paper, Eq.(2) is transformed using an exact dynamic condensation.

The basic idea is to express non-measurable dofs with respect to measurable dofs. To this end, the dynamic stiffness matrix is partitioned into measurable dofs m and non-measurable dofs m. After expressing non-measurable dofs in terms of measurable dofs, one obtains:

D c X m = F c , (3)
where

D c = D mm -D m mD m m-1 D mm is the condensed dynamic stiffness and F c = F m -D m mD m
m-1 F m is the equivalent excitation vector acting on the measurable dofs of the structure.

Finally, the transfer functions matrix H of the part of the structure under test is proportional to the inverse of the reduced dynamic stiffness matrix D c , namely:

H = D -1 c , (4)
Two comments have to be made concerning Eqs.( 3) and ( 4). First of all, the computation of the transfer functions matrix can be computationally expensive due to the inversion at each frequency of the reduced dynamic stiffness matrix D c . However, as shown in [START_REF] Pezerat | Two inverse methods for localization of external sources exciting a beam[END_REF][START_REF] Renzi | Identification Expérimentale de Sources vibratoires par Résolution du probleme Inverse modelisé par un opérateur Eléments Finis local (Vibratory sources identification by solving the inverse problem modeled by a local Finite Element operator[END_REF][START_REF] Renzi | Vibratory source identification by using the finite element model of a subdomain of a flexural beam[END_REF], the identification can be performed locally. This means that only a part of the studied structure can be modelled by using free boundary conditions in the corresponding local finite element model. As a consequence, the size of FE model can be limited, which makes the procedure described above applicable on industrial structures. Furthermore, using a FE model with free boundary conditions gives the possibility of identifying the reaction forces acting at boundaries of the studied structure [START_REF] Renzi | Vibratory source identification by using the finite element model of a subdomain of a flexural beam[END_REF].

Moreover, the transfer functions matrix being generally ill-conditioned, the inverse problem is very sensitive to errors in the measured data set X m .

That is why, regularized formulations, such as Eq.(1), have to be used to stabilize the identification with respect to measurement noise that corrupts input data. To go a little further, it could be noticed that the proposed generalized Tikhonov regularization allows including precisely additional information on the nature of the sources acting on a structure. Incidentally, it is expected to obtain better results than that obtained with a classical regularization method. In particular, it can be shown that the proposed regularized formulation can be seen as a Bayesian regularization using Gen-eralized Gaussian priors [START_REF] Flemming | Generalized Tikhonov regularization: Basic theory and comprehensive results on convergence rates[END_REF]. Indeed, in the Bayesian paradigm, the posterior probability distribution P (F c |X m ), corresponding to the probability of obtaining the force vector F c given a measured vibration field X m is written according to Bayes' rule [START_REF] Dosso | Bayesian focalization: Quantifying source localization with environmental encertainty[END_REF][START_REF] Antoni | A Bayesian approach to sound source reconstruction: Optimal basis, regularization, and focusing[END_REF]:

P (F c |X m ) ∝ P (X m |F c )P (F c ), (5)
where the likelihood function P (X m |F c ) corresponds to the probability of measuring the vibration field X m given a force vector F c , while the prior probability distribution P (F c ) represents the a priori knowledge on the unknown excitation field F c before measuring X m . From these definitions, it can be inferred that the likelihood function and the prior probability distribution introduce respectively prior information on the measurement noise and the nature of the excitation sources. Here, P (X m |F c ) and P (F c ) are supposed to be generalized Gaussian distributions defined such that:

P (X m |F c ) ∝ e -1/p HFc-Xm p p /α p and P (F c ) ∝ e -1/q LFc q q /β q , (6)
where α and β are the scale parameters of the generalized Gaussian distributions.

In the Bayesian philosophy, the most probable force vector F c is the maximum a posteriori estimate, that is:

F c = argmax Fc P (X m |F c )P (F c ). (7)
Then, it can be easily shown that the solution F c is also the solution of dual minimization problem given by Eq. (1) with λ = α p /β q . The wellknown conclusion of the Bayesian inference [START_REF] Lee | Bayesian reconstruction in emission tomography using Gibbs Priors[END_REF] is that the more the prior information is accurate, the more the posterior probability is high. From this observation, it is expected that accurate results can be obtained if the trade-off parameters λ and the tuning parameters p and q are properly chosen, since the regularization process gives the most probable solution given prior information on the measurement noise and the nature of the sources to identify.

At this stage of the identification process, the local transfer functions matrix H and the vibration field X m , measured on the corresponding part of the real structure, can be introduced in Eq.( 1) to solve the identification problem. To clearly distinguish measurement stages from numerical processing stages, an overview of the whole identification procedure is proposed under a block diagram form in Fig. 1.

The proposed block diagram shows that the general philosophy of the identification process shares some common points with previous works published in the source identification literature, such as the use of a finite element description of the structure [START_REF] Liu | Reducing the impact of measurement errors when reconstructing dynamic forces[END_REF][START_REF] Batou | Experimental identification of stochastic processes using an uncertain computational non-linear dynamical model[END_REF][START_REF] Corus | Force identification using a statically completed reduced model deriving from tests[END_REF] and the condensation of nonmeasurable dofs [START_REF] Ibrahim | Structural force identification at unmeasured locations[END_REF][START_REF] Renzi | Identification Expérimentale de Sources vibratoires par Résolution du probleme Inverse modelisé par un opérateur Eléments Finis local (Vibratory sources identification by solving the inverse problem modeled by a local Finite Element operator[END_REF][START_REF] Busby | Optimal regularization of an inverse dynamics problem[END_REF]. Furthermore, it highlights the central role of the regularization step in the whole process, since it allows gathering and postprocessing numerical and experimental input data to provide an estimate of the force vector. Consequently, one needs to use a robust solver to deal with both convex and non-convex minimization problems that can arise when using a generalized Tikhonov regularization. For this purpose, one proposes to use the GIRLS algorithm.

Generalized Iteratively Reweighted Least-Squares algorithm

The GIRLS approach is a very general iterative procedure that allows solving pq regularization problems for all (p, q) ∈ ]0, +∞[ 2 .

General algorithm

The core idea of the GIRLS algorithm is to replace the pq regularization by an equivalent iterative procedure based on a weighted 2 -2 functional.

Indeed, it has been shown in [START_REF] Rodriguez | An iteratively weighted norm algorithm for total variation regularization[END_REF][START_REF] Rodriguez | Efficient minimization method for a generalized total variation functional[END_REF][START_REF] Lai | An unconstrained l q minimization with 0 < q ≤ 1 for sparse solution of under-determined linear systems[END_REF][START_REF] Chartrand | Iteratively reweighted algorithms for compressive sensing[END_REF] that the p norm can be approximated, within an iterative scheme, by a weighted 2 -norm. This means that the functional

J q p (F c ) = 1 p HF c -X m p p + λ q LF c q q , (8)
is replaced, at each iteration k + 1 of an iterative process, by the equivalent quadratic functional

J2 2 (F c ) = 1 2 W (k) f 1/2 (HF c -X m ) 2 2 + λ (k+1) 2 W (k) r 1/2 LF c 2 2 , (9)
where λ (k+1) is the trade-off parameter at iteration k + 1, while

W (k) f
and

W (k)
r are weighting positive definite matrices, defined as follows [START_REF] Rodriguez | An iteratively weighted norm algorithm for total variation regularization[END_REF]:

W (k) f = diag 2 p T p f H F (k) c -X m and W (k) r = diag 2 q T q r L F (k) c , (10)
where

F (k)
c is the solution at iteration k.

As classically done in IRLS type algorithm [START_REF] Rodriguez | An iteratively weighted norm algorithm for total variation regularization[END_REF][START_REF] Scales | Robust methods in inverse theory[END_REF], the functions T p f (x (k) ) and T q r (x (k) ) are expressed as

T j i (x (k) ) =      |x (k) | j-2 if |x (k) | > (k) i | (k) i | j-2 if |x (k) | ≤ (k) i (11)
where i = f or r and j = p or q.

In Eq.( 11),

r are small positive numbers acting as damped parameters. They allows avoiding infinite weights when |x (k) | → 0 and j < 2.

As a result, the solution at iteration k + 1 is obtained by solving the equivalent minimization problem:

F (k+1) c = argmin Fc J2 2 (F c ) (12)
By expanding the equivalent quadratic functional J2 2 (F c ) and setting its gradient to zero, Eq.( 12) has the following explicit form:

F (k+1) c = H H W (k) f H + λ (k+1) L H W (k) r L -1 H H W (k) f X m , (13)
where H H is the hermitian transpose of H.

The resulting procedure therefore consists in solving Eq.( 13) iteratively until some stopping criterion is satisfied. Supposing now the stopping criterion is well chosen. In this situation, if the functional J q p (F c ) is convex and possesses a local minimum, then it is a global minimum. However, when dealing with non-convex sparse regularization, the final solution F c strongly depends on the initial guess F (0) c , since the corresponding non-convex functional does not necessarily have an unique minimizer. Consequently, one of the keys for a successful identification is finding a good initial guess. The question that arises here is: What is a good initial guess? Actually, it is a coarse solution of the problem, easy to calculate, but sufficiently close to the final solution to ensure the convergence of the iterative process. Such requirements are fulfilled by the solution of the standard Tikhonov regularization, that is:

F (0) c = argmin Fc 1 2 HF c -X m 2 2 + λ (0) 2 LF c 2 2 , (14)
or in a more explicit form:

F (0) c = H H H + λ (0) L H L -1 H H X m . ( 15
)
All the previous comments lead to the generic GIRLS algorithm given below: from Eq.( 13)

Generic
end return F c ← F (k) c 13

Choice of the tuning parameters p and q

To choose proper values of p and q, it is worth reminding some important results established in various contexts such as image deconvolution, signal denoising or convex optimization, already cited in the introduction of the paper. First, it has been proven that using an 2 -norm for the data fidelity term is suitable for removing additive Gaussian white noise [START_REF] Green | Statistics of Images, the TV Algorithm of Rudin-Osher-Fatemi for Image Denoising and an Improved Denoising Algorithm[END_REF][START_REF] Nikolova | A variational approach to remove outliers and impulse noise[END_REF], while using an 1 -norm is most appropriate to suppress impulsive noise [START_REF] Nikolova | A variational approach to remove outliers and impulse noise[END_REF][START_REF] Nikolova | Minimizers of cost-functions involving non-smooth datafidelity terms. application to the processing of outliers[END_REF].

Then, it has been shown that using an 2 -norm for the regularization term is perfectly adapted to smooth solutions [START_REF] Boyd | Convex optimization[END_REF], while using a non-convex regularization based on the q quasi-norm (q ∈]0, 1[) promotes the sparsity of the solution [START_REF] Grasmair | Non-convex sparse regularization[END_REF]. In short, selected values have to reflect the main characteristics of the measurement noise and the spatial distribution of sources. Thanks to the results recalled above and a set of numerical experiments, it is possible to give some general rules to properly choose the values of p and q. On one hand, in most of the cases, the noise corrupting the data is not known. As a result, a good choice of p is p = 2, meaning that the noise is assumed to be an additive Gaussian white noise. This is a reasonable assumption, since the noise generally results from a variety of causes. However, when the measurement noise is not additive Gaussian, it is preferable to use p < 2, with the special case of impulsive noise for which p = 1. On the other hand, the choice of the value of the tuning parameter q is less obvious. Nevertheless, one can notice that if the sources exciting the structure are smooth, then one can choose q = 2. On contrary, if the source vector to identify is sparse, it is recommended to choose q ≤ 1. Finally, in a situation where actual sources combine both localized and distributed sources, we can choose q ∈]1, 2[.

Automatic selection of the regularization parameters

Three iteration-dependent regularization parameters are involved in the GIRLS algorithm, namely λ (k) , The automatic selection of the trade-off parameter is at heart of numerous studies dealing with the Tikhonov regularization. Among all the automatic selection methods, one can cite the Morozov's discrepancy principle [START_REF] Scherzer | The use of Morozov's discrepancy principle for Tikhonov regularization for solving nonlinear ill-posed problems[END_REF], the Generalized Cross Validation [START_REF] Golub | Generalized cross-validation as a method for choosing a good ridge parameter[END_REF], the Unbiased Predictive Risk Estimator [START_REF] Lin | Application of the upre method to optimal parameter selection for large scale regularization problems[END_REF], the Bayesian estimator [START_REF] Antoni | A Bayesian approach to sound source reconstruction: Optimal basis, regularization, and focusing[END_REF] and the L-curve method [START_REF] Hansen | Rank-Deficient and Discrete Ill-Posed Problems: Numerical Aspects of Linear Inversion[END_REF]. In the present paper, the trade-off parameter λ (k) is obtained using the L-curve principle at each iteration. In few words, the principle is to plot, in a log-log scale, the l 2 norm of the regularization term versus the l 2 norm of the data fidelity term. The resulting L-shaped curve illustrates the trade-off between the two terms [see Fig. (2)]. The optimal regularization parameter is derived from the L-curve by calculating its maximum curvature.

Unfortunately, using the L-curve principle to determine the optimal tradeoff parameter λ (k) at each iteration is computationally intensive. It can thus be of great interest to use an unique value for this parameter throughout the iterative process. From a series of numerical experiments, we have found that using λ (k) = λ (0) gives similar results to those obtained from updated r , it has been shown in [START_REF] Rodriguez | Efficient minimization method for a generalized total variation functional[END_REF] that their optimal values were functions of the current solution. To adapt automatically the value of (k) f (resp.

(k) r ) at each iteration, it has been proposed to set its value so that a fixed percentage p f (resp. p r ) of the

smallest values of |H F (k) c -X m | (resp. |L F (k) c |) will be below (k) f (resp. (k) r ).
This can be easily implemented by calculating the cumulative histogram of

|H F (k) c -X m | (resp. |L F (k) c |) will be below (k) f (resp. (k)
r ). From our own numerical tests, we have found that setting p f =p r =5% allows obtaining good results. It can be notice that these values are consistent with those proposed in [START_REF] Rodriguez | Efficient minimization method for a generalized total variation functional[END_REF], namely p f ≤ 5% and p r ≤ 1%.

As for the automatic selection of the trade-off parameter λ (k) , accurate solutions can be obtained using fixed values of (k) f and (k) r . From a set of numerical experiment, we have found that using the values computed from the solution of the Tikhonov regularization has no significant impact on both the quality of the results and the time-performance of the algorithm.

Accordingly, the regularization parameters

(k) f and (k)
r can also be computed once for all during the initialization step.

Stopping criterion

The GIRLS algorithm being iterative, a practical test is needed to determine when to stop the iteration. In this paper, a stopping criterion related to the variation of the functional J2 2 (F c ) between two successive iterations is used.

In an iterative process, it is expected that

| J2 2 ( F (k) c ) -J2 2 ( F (k-1) c )| ≈ 0, (16)
when the convergence is reached.

From this observation, one defines the normalized variation δ such that:

δ = | J2 2 ( F (k) c ) -J2 2 ( F (k-1) c )| | J2 2 ( F (1) c ) -J 2 2 ( F (0) c )| , ( 17
)
where

2J 2 2 ( F (0) c ) = H F (0) c -X m 2 2 + λ (0) L F (0) c 2 2 .
If the iterative process is monotonically convergent, the variation between the initialization step and the first iteration is the larger possible one, insofar as J 2 2 ( F (0) c ) is the value of the functional for the coarsest solution. Consequently, one has 0 ≤ δ ≤ 1. This indicator allows controlling the behavior of the algorithm, since the iterative process is stopped when δ is smaller than or equal to a prescribed tolerance defined by the user. Experimentally, we have found that setting the tolerance to 10 -8 leads to accurate regularized solutions, while preserving the time-performance of the GIRLS algorithm.

Proposed GIRLS algorithm

By including the automatic selection procedures of regularization parameters and the stopping criterion previously described in the generic GIRLS algorithm, one obtains the following GIRLS algorithm:

Numerical validation

In this section, the ability of the GIRLS algorithm to deal with generalized Tikhonov regularization problems is assessed from the identification of a mechanical point force exciting a simply supported plate. The force is supposed acting perpendicularly to the plate. The main characteristics of the test case are given in Table 1.

The FE mesh of the whole plate is made up of 567 linear quadrilateral shell elements. Assuming that only bending motions are measurable, the resulting FE model, obtained from MSC Nastran, is used to compute the corresponding noiseless vibration displacement field X exact m . In practical situations, the exact vibration field is corrupted by measurement noise, causing the identification to fail due to the extreme sensitivity of the inverse problem 15) Compute

(0) f from the cumulative histogram of |H F (0) c -X m | Compute (0) r from the cumulative histogram of |L F (0) c | Initialize δ to 1 Iteration: while δ > tol Compute W (k) f and W (k)
r from Eq.( 10) using

(k) f = (0)
f and

(k) r = (0) r Compute F (k+1) c
from Eq.( 13) using λ (k+1) = λ (0)

Update δ using Eq.( 17)

end return F c ← F (k) c
Table 1: Simulation parameters of test case 2 corrupted by introducing a multiplicative noise [START_REF] Pezerat | Two inverse methods for localization of external sources exciting a beam[END_REF][START_REF] Aucejo | Identification of source velocities on 3D structures in non-anechoic environments: Theoretical background and experimental validation of the inverse patch transfer functions method[END_REF] and an addtive noise [START_REF] Leclere | Acoustic imaging using under-determined inverse approaches: Frequency limitations and optimal regularization[END_REF]to simulate calibration errors and measurement noise respectively:

Parameters Values

Plate

X m = β m e jφm X exact m + β a e jφa , (18)
where In what follows, the noise percentage p n is set to 2%.

β m = 1+p n |X exact m |Z 1 , φ m = arctan(p n )Z 2 , β a = p n M -1/2 X exact
Finally, a local model of the plate is used to compute the transfer functions matrix H of measurable dofs. As suggested in [START_REF] Renzi | Identification Expérimentale de Sources vibratoires par Résolution du probleme Inverse modelisé par un opérateur Eléments Finis local (Vibratory sources identification by solving the inverse problem modeled by a local Finite Element operator[END_REF][START_REF] Renzi | Vibratory source identification by using the finite element model of a subdomain of a flexural beam[END_REF], this local model corresponds to the FE model with free boundary conditions of a part of the structure. In this example, the local model covers the whole extent of the plate, which has the advantage of enabling the identification of external excitations acting on the structure as well as reaction forces at boundaries. In the present case, it should be noted that H is computed by using the value of the structural damping defined in Table 1.

The reference force vector F ref c is obtained from the condensed dynamic stiffness D c of the local model and the exact vibration displacement field X exact m thanks to the following equation:

F ref c = D -1 c X exact m . (19)
Fig. 3 presents the reference force vector to identify at 350 Hz. As expected, a unit point force appears at (x 0 ,y 0 ) = (1.04 m,0.93 m) m as well as smooth reacting forces at the boundaries of the plate.

As presented in Fig. 4, when one replaces exact data X exact m by the corrupted ones X m in Eq. ( 19), the identification of the force vector fails. This figure emphasizes the extreme sensitivity of the identification problem with respect to measurement noise and allows explaining the need for a regularization process.

The first idea to stabilize the source identification is to use the standard Tikhonov regularization, corresponding to Eq. ( 1) where p = q = 2 and L is the identity matrix I. The corresponding result, presented in Fig. 5(a), shows that the localization of the point force is properly estimated while the amplitude is greatly underestimated. On contrary, reaction forces at boundaries are well identified. This contrasted result can be explained by the use of the the case for reaction forces but not for the point force. A better identification of the point force can be obtained by using a sparsity-promoting regularization term. This can be achieved from an 2 -1 regularization in which L = I.

Unlike the standard Tikhonov regularization, the 2 -1 regularization allows well identifying the point force, but not the reaction forces at boundaries [see Fig. 5(b)]. In fact, this is the logical outcome of the actual spatial distribution of vibration sources over the plate, that is smooth along the edges, while the solution is supposed to be sparse. Hence, a great number of iterations are necessary to obtain a solution compatible with the prior information. In this example, the 2 -1 regularization regularization has required 80 iterations to reach the tolerance. A faster convergence can be achieved by using properly our a priori on the measurement noise and the target force vector. Indeed, one knows not only that the noise is a combination of multiplicative and additive random noises, but also that the force vector to identify is very sparse, except at boundaries where the force vector is smooth. Regarding the regularization term, a compromise has to be found between the smoothness of the reaction forces at boundaries and the non-smoothness of the point force.

Considering the characteristics of the measurement noise, the actual spatial distribution of sources as a prior information and the general rules given in section 3.2, , a consistent result is found after 61 iterations using a convex 1.9 -1.1 regularization [see Fig. 5(c)]. These results are consistent with the remark done in section 2 concerning the relation between the proposed formulation and the Bayesian regularization, since the more the prior information on the measurement noise and the spatial distribution of the solution is accurate, the more a reliable regularized solution can be obtained. From a computational point of view, the immediate consequence is that the GIRLS algorithm converges within a few iterations.

Finally, it is interesting to notice that the L-curve used to determine the trade-off parameter has the typical aspect of an L-curve as shown in

Experimental validation

This section aims at assessing the relevance of the proposed approach in operating conditions and confirm the conclusions drawn in the previous numerical validation. As presented in Fig. 6, the structure of interest is a steel parallelepiped box, excited on one of its faces by a shaker equipped with a force sensor. The main features of the proposed experimental validation are listed in table 2. Regarding now the definition of the FE mesh used to model the dynamic behavior of the excited surface, it has been designed so as to perfectly match the measurement mesh. Hence, it is made up of 378 shell elements. The corresponding FE model with free boundary conditions has then been used to compute the transfer functions matrix H, considering that transverse motions are the only available data. In this experimental validation, the structural damping is a priori unknown, even if it could be assessed from the vibration measurements. However, instead of neglecting the structural damping, its value is set to 0.1 percent to avoid numerical difficulties when calculating H from Eq. (4). Assuming that the measurement noise is similar to that modeled in section 4

and the force vector to identify is sparse, one obtains after 74 iterations the results presented in Fig. 7(c) corresponding to a generalized Tikhonov regularization with (p, q) = (1.9, 0.5) and L = I. As expected, the point force is well identified, since F 0 = 0.975 and ( x 0 , y 0 , z 0 ) = (0 m, 0.1026 m, 0.0875 m).

However, spurious point forces appear at boundaries, indicating that our a priori on the spatial distribution of sources is not suited to identify the boundary conditions. Finally, the best compromise between the smoothness of reacting forces at boundaries and the singularity of the point force is achieved after 65 iterations by setting (p, q) = (1.9, 1.1) and L = I [see Fig. 7(d)]. In this situation, the spatial distribution of reacting forces is in accordance with that obtained with the standard Tikhonov regularization, whereas the amplitude of the point force is spread around its actual location.

Incidentally, the amplitude of the identified point force is under-estimated.

Nevertheless, the actual amplitude of the point force can be retrieved by performing a spatial summation of the force distribution around the identified peak location. Such a summation compensates for the dispersion of the point force amplitude. In the present case, the spatial summation is performed by taking all the nodes included in the area defined in Fig. 8. By doing so, the estimated point force amplitude is F 0 = 1.08, which approaches the target value of 1.

Furthermore, as for the numerical validation, it should be noted that the L-curve used to automatically select the trade-off parameter has the typical aspect of an L-curve as presented in Fig. 9. At this stage, it is interesting to provide the results obtained at other frequencies given in Table 2 when using the proposed generalized Tikhonov regularization for (p, q) = (1.9, 1.1) to verify whether the analysis performed previously remains valid. Fig. 10 presents the force vector identified at 225 Hz, 650 Hz, 1350 Hz and 1650 Hz. For each case, it can be pointed out that the reaction forces are consistent with our expectation and the location of the point force is properly estimated, while its amplitude is distributed around the actual location. Consequently, these results are in agreement with those obtained at 350 Hz.

Finally, for the sake of completeness, the amplitude of the identified point force is calculated for each frequency studied previously by performing a spatial summation in the area defined in Fig. 8. The corresponding results are 3. In particular, it should be noted that the estimated point force amplitude is relatively close to the target value of 1 for each studied frequency, with a maximal error of 12% observed at 650 Hz. This indicates that the proposed identification procedure allows obtaining solutions consistent with the distribution and the amplitudes of actual sources.

Table 3: Summary of the experimental results for (p, q) = (1.9, 1.1) at various frequencies The presented experimental results therefore tend to confirm that the quality of the source identification is closely related to prior information, reflecting the expectation of the experimenter according to his knowledge of the whole system (measurement devices and structure under test). In other words, if no prior knowledge is assumed, the probability of good identification is weak.

Conclusion

In the present study, the problem of source identification using a generalized Tikhonov regularization was investigated. This approach allows introducing prior information on the measurement noise corrupting the data as well as on the nature of sources to identify, making possible to exploit the a priori knowledge of the experimenter on the system to identify. From a mathematical point of view, such a formulation can lead to solve either convex or non-convex problems. To deal with both problems properly, a Generalized Iteratively Reweighted Least-Squares algorithm has been proposed. It requires the knowledge of the vibration field measured over the real structure and the transfer functions matrix that characterizes the dynamic behavior of the structure under test. Several strategies can be developed to obtain the transfer functions matrix. In this study, it has been calculated from a FE model of the structure by taking into account only the measurable dofs.

From these input data, both subsequent numerical and experimental validations have pointed out the crucial role of prior information in the source identification process as well as on the performance of the GIRLS algorithm.

In particular, it can be emphasized that such a regularization process gives the most probable solution given prior information on the measurement noise and the spatial distribution of sources to identify. Consequently, if prior information properly reflects the actual measurement noise (additive Gaussian, impulsive, multiplicative, etc.), as well as the nature of the actual sources to identify (distributed and/or localized), then the convergence of the GIRLS algorithm is obtained within a few iterations.

[1] K. Stevens. Force identification problem -an overview. In Proceedings of the SEM Spring Meeting, Houston, USA, 1987.

Figure 1 :

 1 Figure 1: Block diagram of the whole identification procedure

  GIRLS Algorithm Inputs: Transfer functions matrix: H, Measured vibration field: X m Differentiation matrix: L Output: Estimated force vector: F c Initialization: Compute F (0) c from Eq.(15) Iteration: while Stopping criterion is not satisfied Compute W (k) f and W (k) r from Eq.(10) Compute F (k+1) c

  role in the iterative process is fundamental, since λ (k) represents the trade-off between data-fidelity and regularization terms, while(k) f and (k) rcontrols the trajectory of each iteration. Choosing manually appropriate values for these parameters is not an easy task. That is why, the development of automatic selection procedures has been extensively studied in the literature.

Figure 2 :

 2 Figure 2: Typical L-curve

  Transfer functions matrix: H, Measured vibration field: X m , Differentiation matrix: L, Tolerance: tol Output: Estimated force vector: F c Initialization: Compute λ (0) from the L-curve principle Compute F (0) c from Eq.(

  E = 2.1 × 10 11 Pa Density ρ = 7800 kg.m -3 Structural damping η = 0.01 Amplitude of the force F 0 = 1 N Location of the force (x 0 , y 0 ) = (1.04 m, 0.93 m) Studied frequency f 0 = 350 Hz to uncertainties. To highlight this phenomenon and assess the efficiency of generalized Tikhonov regularization to solve this problem, the exact data are

m 2 Z 3

 3 and φ a = U, with p n being the noise percentage,M being the number of measurable dofs, (Z 1 , Z 2 , Z 3 ) being three independent Gaussian random vectors and U being a random vector uniformly distributed over the interval [0, 2π].

Figure 3 :

 3 Figure 3: Reference force vector F ref c at 350 Hz

Figure 4 :

 4 Figure 4: Identification of the force vector F c at 350 Hz from corrupted data and without regularization

Table 2 :

 2 Experiment parameters Parameters Values Length of the parallelepiped L x = 0.45 m Width of the parallelepiped L y = 0.3 m Height of the parallelepiped L z = 0.35 m Wall thickness h = 0.005 m Young's modulus E = 2.1 × 10 11 Pa Density ρ = 7800 kg.m -3 Location of the force (x 0 , y 0 , z 0 ) = (0 m, 0.11 m, 0.09 m) Studied frequency f 0 = 350 Hz In this experiment, the source identification has been performed on the excited surface only [see Fig 6]. Measurements of the vibration field were

Figure 5 :Figure 6 :

 56 Figure 5: Identification of the force vector F c at 350 Hz from corrupted data and with regularization -Identified force vector using (a) a Tikhonov regularization or a sparse regularization with (b) (p,q) = (2,1) and (c) (p,q) = (1.9,1.1)

Fig. 7 (

 7 Fig.7(a) presents the force vector identified at 350 Hz when no regularization is applied. As expected, the source identification fails. Here again, the first idea to stabilize the identification problem is to use the standard Tikhonov regularization [see Fig.7(b)]. As previously observed, the singularity related to the point force is over-smoothed, while the distribution of the identified reaction forces seems consistent with what is expected when analyzing the experimental set-up. To improve this result, prior information on the measurement noise and the spatial distribution of sources has to be used.

Figure 7 :Figure 8 :Figure 9 :

 789 Figure7: Experimental identification of the force vector F c at 350 Hz using (a) a Tikhonov regularization or a sparse regularization with (b) (p,q) = (1.9,0.5) and (c) (p,q) = (1.9,1.1)

Figure 10 :

 10 Figure 10: Experimental identification of the force vector F c using a generalized Tikhonov regularization with (p, q) = (1.9, 1.1) at (a) 225 Hz, (b) 650 Hz, (c) 1350 Hz and (d) 1650 Hz

Frequency

[ 2 ]

 2 B. J. Dobson and E. Rider. A review of the indirect calculation of excitation forces from measured structural response data. Journal of Mechanical Engineering Science, 204:69-75, 1990.

-norm for the regularization term that promotes smooth solutions, which is


Hélène Rey

Mariam Sy

EFFETS ECONOMIQUES DES INFRASTRUCTURES DE DONNEES GEOGRAPHIQUES EXPLORATION METHODOLOGIQUE ET APPLICATION à l'IDG SIG-LR EN LANGUEDOC-ROUSSILLON

Keywords: Information géographique, évaluation économique, coupes rases, forêt, télédétection

Cette communication présente les effets économiques générés par l'Infrastructure d'Information Géographique (IDG), SIG-LR située en Languedoc-Roussillon. A partir de l'analyse de la bibliographie et du fonctionnement des IDG une typologie des effets a été produite, à partir de laquelle une enquête menée auprès de 51 adhérents de SIG-LR, a permis de mesurer les principaux effets en termes d'emploi, de gain de productivité et d'économies d'intrants. En outre l'enquête a aussi permis de caractériser un faisceau d'effets qualitatifs en termes de diversification et de qualité des services rendus, de mise en réseau, de transparence de l'information et d'impacts sur la gouvernance territoriale. Une exploration des effets de l'utilisation des données de télédétection pour le suivi des coupes rases a ensuite été réalisée. Sachant que le budget de SIG-LR est de 0,9 millions d'euros on obtient un total d'effets de 3,77 millions soit un ratio d'un euro investi qui produit un impact économique de quatre euros à l'échelle de la communauté des usagers de SIG-LR et de l'économie régionale.

Introduction

Au fur et à mesure du développement de l'information géographique, l'intégration, la mutualisation, puis l'interopérabilité des données et enfin la standardisation des produits ainsi générés sont devenus des questions centrales. L'enjeu est de garantir les conditions et les moyens de l'intégration d'informations géographiques issues de sources multiples. La création d'Infrastructures de Données Géographiques (ou Géo-spatiales) IDG veut répondre à ces besoins [START_REF] Crompvoets | Worldwide impact assessment of spatial data clearinghouses in "National spatial data clearinghouses, worldwide development and impact[END_REF]. Ce concept d'IDG a été défini dans les années 1990 en Nouvelles Zélande et aux Etats-Unis par le « New Zealand Land Information Council (ANZLIC) » et le Comité fédéral des données géographiques (FGDC) (Nedovic-Budic, 2004). Selon [START_REF] Groot R | Geospatial Data Infrastructure: Concepts, Cases, and Good Practice[END_REF] « L'IDG englobe les bases de données et de données géo-spatiales en réseau, l'ensemble des ressources institutionnelles, organisationnelles, technologiques et économiques qui interagissent les unes avec les autres et soutiennent la conception, la mise en oeuvre et le maintien de mécanismes facilitant le partage, l'accès et l'utilisation responsable des données géo-spatiales à un coût abordable pour un domaine d'application spécifique ou une entreprise». Par ailleurs de nouveaux enjeux récents de mise à disposition et de diffusion de ces données géographiques ont été émis à travers notamment en Europe, la directive cadre INSPIRE.

Au-delà de l'accès et de la libéralisation des données, l'impact des données géographiques et surtout des infrastructures et dispositifs mis en oeuvre à l'échelle régionale pour favoriser leur diffusion et mutualiser certains services ou traitements est particulièrement complexe à évaluer. Peu de travaux existent dans ce domaine et les travaux présentés ici constituent une étape exploratoire pour identifier et mesurer certains types d'effets générés par une Infrastructure de Données Géographiques (IDG) régionale, à savoir l'association SIG-LR (SIG Languedoc-Roussillon), une des plus ancienne structure de ce type en France. Créée en 1994, l'association SIG-LR disposait de 135 adhérents en 2014 année de référence de notre étude, sachant qu'en 2016, cet effectif est à présent de 170 adhérents. Le choix de cette IDG tient au nombre et à la diversité importante des utilisateurs, à son ancrage fort dans la communauté scientifique locale et à l'existante de partenariats institutionnels étroits avec des acteurs structurants et des IDG voisines. Tandis qu'il existe une confusion fréquente entre les effets de l'Information géographique et les effets des IDG, notre analyse ici vise à mesurer l'impact d'une IDG, ce qui implique de définir d'une part ses effets directs liés à son fonctionnement et aux services offerts à ses adhérents, et d'autre part les effets indirects qui en résultent sur les fournisseurs d'accès et sur les usagers finaux des produits diffusés par les adhérents à l'IDG. Ce domaine d'évaluation est pour l'instant assez peu investi par les économistes, bien qu'il constitue un champ de recherche innovant tant par les approches que par les enjeux qui sont concernés (nouvelles activités, efficacité et transparence de l'action publique, effets de la mutualisation de l'information et de la mise en réseau des acteurs…).

L'objectif de cet article est de présenter les premiers résultats de cette recherche. Dans une première partie nous détaillerons la problématique et les approches mobilisées pour ce type d'évaluation à partir d'une revue de la littérature. Nous présenterons ensuite le détail de notre méthodologie d'enquête avant d'en détailler les résultats dans une troisième et dernière partie.

Contexte et problématique

Si quelques études ont été menées dans certains pays [START_REF] Waterhouse | Australian Land and Geographic Data Infrastructure: Benefits Study[END_REF][START_REF] Crompvoets | Worldwide impact assessment of spatial data clearinghouses in "National spatial data clearinghouses, worldwide development and impact[END_REF]Joint Research Center, 2008 ;[START_REF] Tasman | The value of spatial information: the impact of modern spatial information technologies on the Australian economy, Report prepared for the CRC for Spatial Information and ANZLIC, the Spatial Information Council[END_REF]Joint Research Center, 2009 ;[START_REF] Coote A | The Value of Geospatial Information to Local Public Service Delivery in England and Wales[END_REF][START_REF] Genovese | The EcoGeo Cookbook for the assessment of Geographic Information Value[END_REF][START_REF] Castelein | The economic value of the Dutch geo-information sector[END_REF][START_REF] Campagna | The socioeconomic impact of the spatial data infrastructure of Lombardy[END_REF]Oxera, 2013 ;[START_REF] Bhatnagar | Estimating benefits of Spatial Data Infrastructures: A case study on e-Cadastres[END_REF]Landsat Advisory Group 2014 ;Joint Research Center 2014), aucune évaluation n'a encore été menée en France que ce soit des effets de l'information géographique ou des effets des infrastructures de données géographiques. L'analyse de cette bibliographie témoigne des difficultés d'évaluation monétaire en montrant que dans la majorité des études les effets sont évalués sous forme qualitative. Cette difficulté est particulièrement importante pour le secteur public dont les effets sont très qualitatifs (transparence, image, participation…). Ainsi, hormis le cas de l'Australie où l'évaluation a été réalisée à partir d'un modèle d'équilibre général calculable (ACIL [START_REF] Tasman | The value of spatial information: the impact of modern spatial information technologies on the Australian economy, Report prepared for the CRC for Spatial Information and ANZLIC, the Spatial Information Council[END_REF], ou celui de l'évaluation de la valeur économique de l'imagerie (Landsat) à travers une évaluation contingente (Landsat Advisory Group, 2014), lorsqu'il y a une quantification monétaire des effets, ces évaluations sont toujours limitées à certains effets ou certains services spécifiques, notamment les services de localisation (OXERA, 2013) ou de cadastre [START_REF] Bhatnagar | Estimating benefits of Spatial Data Infrastructures: A case study on e-Cadastres[END_REF].

Concernant l'impact socio-économique d'une l'IDG, on peut citer l'étude réalisée pour la région de Lombardie par [START_REF] Campagna | The socioeconomic impact of the spatial data infrastructure of Lombardy[END_REF] Définition de ratios moyens d'effets à partir de l'expérience des personnes ressources ou de données de référence administratives Extrapolation au secteur en fonction des données macroéconomiques Tableau 1 : Types de méthodologies utilisées dans l'évaluation des impacts de l'IG et des IDGS Les principaux effets mis en évidence par ces études sont relatifs à des différentiels de recettes, de coûts des intrants (notamment de carburant du fait de la réduction des déplacements) et de productivité au sein des structures qui utilisent les produits de l'information géographique. Les études se limitent le plus souvent à identifier ou hiérarchiser les types d'effets. Elles sont généralement plus centrées sur l'usage de l'information géographique que sur l'apport des infrastructures de données géo-spatiales, en particulier leurs fonctions de mutualisation pour l'accès aux données, de fourniture de services communs au niveau de certains traitements de base, d'appui à la constitution de réseaux d'usagers, à l'apprentissage et l'innovation. On note aussi que les effets de baisse des prix résultant de l'augmentation de l'offre de données ou de leur mutualisation sont peu pris en compte.

Les résultats des études existantes sont difficilement transférables car ils sont spécifiques au contexte et difficiles à standardiser, notamment du fait du faible nombre d'observations. On observe que la structure des effets diffère pour les structures privées ou publiques. Enfin si la diversité des effets étudiés est très large, il n'existe pas de typologie de référence en fonction de leur nature. Nous avons donc, à partir d'une liste des effets appréhendés par les différentes études et d'entretiens avec les responsables de SIG-LR, produit une typologie de référence permettant de caractériser la nature des effets (tableau 2).

Domaine Catégories Exemples

Recettes

Détails méthodologiques

Présentation du protocole d'enquête

Une enquête en ligne a été réalisée auprès des adhérents de SIG-LR durant le mois de septembre 2015. Après plusieurs relances téléphoniques par SIG-LR, du fait de la complexité de certaines rubriques, le taux de réponse a été de 38%, soit 51 réponses. Le questionnaire comportait 40 questions réparties selon les 9 modules suivants :

• Usages des données et service offerts par SIG-LR

• Usages des données et service offerts par d'autres fournisseurs

• Moyens internes lies à l'information géographique

• Evaluation de l'impact économique sur les recettes ou le budget de votre structure (questions différenciées structures publiques et privées)

• Evaluation de l'impact économique sur les coûts et la productivité de service

• Evaluation de l'impact économique en matière de Recherche Développement (tableau 3). Pour simplifier, l'évaluation de l'importance des changements sur les postes de dépenses et sur la productivité était réalisée en % selon une gradation de « aucun » à « 30% » ; les enquêtés devant préciser eux même la proportion au-delà de 30% (tableau 4).

Déterminant

Estimation de l'impact de SIG-LR sur les recettes des structures

L'impact sur les recettes peut être lié à une amélioration de la qualité ou de la diversité des produits proposés pour les structures privées ou, pour les structures publiques, à une augmentation de la collecte des taxes, notamment lorsque le recours à l'information géographique permet de faciliter et de renforcer le suivi et le contrôle de règlementations. Dans le cas de notre échantillon, seulement 16% des structures étaient concernées par la collecte de taxes (contre 40% qui ne l'étaient pas et à cette question une forte proportion d'enquêtés qui ne savaient pas (40%)). En l'absence de données sur les montants de ces recettes fiscales, il n'a pas été possible de monétariser cet effet. Tableau 9 : Estimation des économies de coûts de fonctionnement et des gains de productivité liés à l'adhésion à SIG-LR

Estimation

Estimation de l'impact de SIG-LR sur les budgets de recherche & développement des structures

Comme pour les recettes fiscales, il n'était pas possible dans le cadre de ce type d'enquête de collecter les montants des budgets de recherche et de développement des structures. Néanmoins, 6% des enquêtés ont signalé qu'il y avait un impact à ce niveau (contre 75% sans impact et 19% qui ne savaient pas). Parmi les structures ayant évoqué un impact celui-ci est jugé moyen pour les deux tiers d'entre elles et faible pour un tiers.

Bilan des effets directs générés par l'infrastructure de données SIG-LR

Il s'agit ici d'évaluer la valeur ajoutée créée par SIG-LR, c'est-à-dire la différence entre son budget de fonctionnement (par équivalence à son chiffre d'affaires) et ses consommations intermédiaires.

L'analyse du compte d'exploitation de la structure permet d'établir des données moyennes sur les trois dernières années (2012 à 2014). On obtient un budget moyen de 856 836 euros et un montant moyen de consommations intermédiaires de 127 936 euros. La valeur ajoutée directe ainsi générée s'établit en moyenne sur la période à 728 900 euros soit un taux de valeur ajoutée de 85%, dont l'importance s'explique par le fait que les coûts de fonctionnement relèvent essentiellement des salaires versés.

Synthèse des effets générés par SIG-LR

Le tableau suivant établit un bilan des résultats de façon à synthétiser les effets qui ont pu être monétarisés. Enfin, il convient de préciser que le champ de notre évaluation était ici circonscrit aux services chargés de la gestion de l'information géographique au sein des adhérents de SIG-LR. Tableau 13 : Evaluation qualitative de certains effets complémentaires pour les adhérents (sur une échelle de 1 à 10)

Effets de réseaux générés par SIG-LR

Nous avons aussi cherché à étudier les effets de réseaux et l'apport des formations. Il était en premier lieu demandé aux enquêtés de se prononcer sur l'importance de leur participation aux réunions ou aux formations organisées par SIG-LR. On note un écart important entre les adhérents qui ne participent jamais aux formations (63%) par rapport aux réunions (23%) tandis que l'écart entre ceux qui participent souvent ou régulièrement aux formations (13%) ou aux réunions (37%) est plus faible.

Source enquête EDATER LAMETA SIG-LR 2015

Figure 1 :

 1 Figure 1 : Schéma de référence des effets générés par une infrastructure de données géographiques

•

  Evaluation de l'impact organisationnel sur le fonctionnement interne • Evaluation de l'impact économique et social sur la gouvernance des territoires et les usagers • Effet de réseau et sur les compétences • Commentaires libres Pour les questions qualitatives, nous avons proposé une grille d'évaluation de l'importance des effets qui associe le principe d'une échelle de Likert et une évaluation relative sur une échelle de 1 à 10

Tableau 5 :

 5 Type de données les plus utilisées par les adhérents3. Estimation des effets3.1. Estimation de l'impact de SIG-LR sur l'emploiCette évaluation a nécessité en premier lieu d'identifier le volume moyen d'emplois liés à l'information géographique par structure, les niveaux de rémunération puis d'évaluer dans quelles proportions le recours à l'IDG a permis de créer ou de réduire le nombre d'emplois. Au total dans les 51 structures qui ont répondu à l'enquête le nombre d'emplois concernés s'élève à 198, soit une moyenne de 4 emplois par structure. La distribution des résultats montre que la majorité des structures (85%) ont moins de 5 emplois. Par rapport au nombre total d'emplois, les emplois liés à l'information géographique représentent 6% de l'effectif total. Le salaire moyen brut mensuel des géomaticiens est évalué à 2240 euros (de 1400 pour un technicien à 3400 pour un ingénieur).L'extrapolation des données de l'enquête (nombre d'emploi *salaire moyen) permet de donner une estimation de la masse salariale totale à l'échelle de l'ensemble des 135 adhérents, soit 540 emplois pour un total de 21 millions d'euros annuel. Convcernant les effets liés à l'apport de SIG-LR, on note que pour 6% des structures, l'adhésion à SIG-LR s'est traduite par l'embauche d'un géomaticien, soit, toujours sur la base du salaire moyen observé, une masse salariale de 300 000 euros supplémentaires. Compte tenu de la durée moyenne d'adhésion à SIG-LR (qui est de 7 ans), on peut imaginer que ces embauches s'effectuent donc sur une période de 7 ans, soit un montant moyen annuel de 43 000 euros.Cependant en fonction de l'origine des personnes, notamment si elles sont déjà en poste en Languedoc-Roussillon, cet apport peut correspondre à un transfert et être neutre pour l'économie régionale… sauf si on fait l'hypothèse que les postes laissés feront à leur tour l'objet d'embauche et qu'in fine il y aura bien un apport pour l'économie régionale. Il convient de souligner que l'importance des stuctures publiques dans l'échantillon enquêté et dans les adhérents à SIG-LR tend à réduire ces effets d'embauche du fait des restrictions actuelles de recrutement dans la fonction publique. Par ailleurs, la mise en place du projet GEOSUD centré sur l'imagerie satellitaire a permis récemment aussi l'embauche de 6 personnes qui n'ont pas été prises en compte ici. Ainsi, au fur et à mesure de la diffusion de l'usage des plateformes d'information géographique ou spatiale, de nouvelles embauches devraient regulièrement intervenir chez les adhérents, mais il est difficile d'évaluer leur nombre et par là les effets économiques sur l'économie régionale.

  entreprises) Effets de transparence et d'efficacité des politiques publiques (appui au débat, gouvernance, image …) Total des effets monétarisés 3,77 M€ 100% Source enquête EDATER LAMETA SIG-LR 2015 Tableau 10 : Bilan des effets générés par l'Infrastructure SIG-budget de SIG-LR est de 0,9 millions d'euros, on obtient un total d'effets de 3,77 millions soit un ratio d'un euro investi qui produit un impact économique de quatre euros à l'échelle de la communauté et de l'économie régionale. Cependant il convient de souligner compte tenu de la structure des effets que les 3,77 millions d'euros ne correspondent pas à des flux monétaires distribués dans l'économie. Il s'agit en effet essentiellement de gains de productivité qui ont un impact positif sur l'efficacité des structures et des politiques mises en oeuvre. Par ailleurs soulignons que seulement une partie des effets a pu être estimée à partir de données qui restent partielles et qui reposent sur un petit échantillon d'adhérents qui n'a pas permis de tenir compte des éventuels effets de seuil ou de levier en fonction de la taille des structures. Il convient donc d'utiliser ces résultats exploratoires avec précaution, plutôt comme des indicateurs rendant compte d'ordres de grandeurs.

Figure 3 :

 3 Figure 3 : Niveau de participation aux réunions et formations proposées par SIG-LR

  récurrente de notre évaluation tient au fait que les structures ont soit adhéré trop récemment à SIG-LR et donc qu'elles n'ont pas encore suffisamment de recul pour évaluer les changements, soit au contraire les structure sont adhérentes depuis trop longtemps pour avoir des données antérieures pertinentes et comparables du fait des changements rapides de pratiques et d'accès aux données dans ce domaine. Si nous avons pu montrer qu'il y a un effet important de simplification des modes d'accès à l'information géographique, nous n'avons pas évalué les différentiels de coût d'accès aux données du fait de la mutualisation. Ce type d'évaluation dans un contexte d'accès gratuit croissant chez les autres fournisseurs de données est difficile à établir de façon stable. Il y a par contre des effets liés à la qualité, l'actualisation ou la précision des données, qui sont plus difficiles à évaluer et qui ne relèvent pas des seuls aspects de tarification des données. Par ailleurs le changement de mode de tarification (augmentation des cotisations et introduction de différentiels selon la taille des structures) qui vient d'être mis en place par SIG-LR peut conduire à des renversements de situation en termes de différentiels de coût d'accès selon les usagers. L'effet sur la productivité au sein des structures apparaît être un impact très important mais comme nous l'avons vu, difficile à évaluer, car s'il existe des gains évidents de temps dans l'accès à l'information, selon les traitements, les usages, les compétences présentes au sein des structures et les connaissances du terrain indépendantes de l'IG, les situations peuvent être très différentiées. Néanmoins il ressort que, plus les infrastructures d'information géographique auront tendance à fournir des services, par exemple de prétraitement des données, plus ces effets de productivité et de mutualisation seront importants. De plus on observe des effets de seuils, au niveau des gains de temps et plus généralement peu d'impacts directs en termes de recrutement (voire de suppression d'emplois). Ces gains induisent des changements organisationnels qui peuvent améliorer le fonctionnement des structures, ou bien générer des surcharges de travail lorsque l'accès à l'information géographique implique de nouvelles tâches ou de nouvelles fonctions, notamment en termes de contrôle de la règlementation. Enfin même si leur niveau reste moyen, l'enquête a aussi permis de montrer l'existence d'un faisceau d'effets qualitatifs favorables sur le fonctionnement et l'image des structures à l'échelle des adhérents mais aussi à l'échelle des politiques publiques et des territoires concernés.

  et celle concernant la Catalogne réalisée par le Joint Research Center d'Ispra (2008). Le tableau suivant tente de caractériser les différentes approches et les types de résultats disponibles.

	Types		Principes		Type de résultats
	Evaluation contingente	Mesure du Consentement à Payer (CAP) pour un scénario avec IG/scénario sans IG	Valeur d'utilité et non pas évaluation des effets monétaires distribués dans l'économie.
	Modèle	Modélisation	intersectorielle	des
	d'équilibre	interdépendances entre marchés à l'échelle	Evaluation de l'IG en termes de VA
	général	nationale (régressions économétriques des	créée et de poids/ PIB national
	calculable	fonctions d'offre et demande)
	Etudes de	Evaluation ordinale pour identifier les effets	Qualification des types d'effet
	satisfaction	et les points critiques		Niveau de satisfaction
	Enquête qualitative auprès des usagers	Différents types d'usagers et d'enquêtes (face à face, focus group, en ligne) Evaluation ordinale (échelle de type likert ou note relative de 1 à 10)	Evaluation multicritère pour ordonner l'importance relative des effets
	Enquête quantitative auprès des usagers	Mesure des différentiels d'écart de temps de travail ou de coût Elaboration de ratio /données globale de la structure (%/CA, %/ETP, %/données…)	Ratio d'effet unitaire extrapolé au secteur en fonction du nombre de structures ou de citoyens concernés
	Evaluation à dire
	d'expert

Gains de temps et de productivité du personnel en % par rapport à la situation sans accès aux données et services de SIG-LR

  Tableau s'adressent régulièrement à d'autres fournisseurs. Le classement des produits les plus utilisés montre l'importance des orthophotos en haute résolution et des Scans 25 qui étaient aussi identifiées comme prioritaires lors de la dernière enquête réalisée en 2013 par SIG-LR auprès de ses adhérents.

				Orthophoto HR		90%
				Scan 25 Topographique	56%
				Scan Départemental	37%
				Scan 25 Express Standard	21%
				Scan 25 Express Classique	21%
				Scan 25 Touristique	12%
				Source enquête EDATER LAMETA SIG-LR 2015
			Très important	Important	Moyen		Faible		Négligeable
		10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
	0%	<5%	5%	10% 20% 25%	30%	>30% : donner un montant…………..
	0%	<5%	5%	10% 20% 25%	30%	>30% : donner un montant ……………..
	Au total 51 structures ont répondu. La majorité (90%) des répondants sont adhérents à SIG-LR, le
	questionnaire ayant été envoyé aussi à quelques structures non adhérentes mais ayant participé à
	des réunions ou des formations. En moyenne les structures sont adhérentes depuis 7 ans (médiane 8
	ans) avec 23% qui le sont depuis plus de 10 ans, 40% entre 5 ans et 10 ans et 36% depuis moins de 5
	ans. Il s'agit essentiellement (85%) de structures publiques ou parapubliques. La répartition
	géographique est assez diversifiée par rapport à Montpellier qui ne regroupe que 22% des structures,

3 : Détail de l'échelle de quantification qualitative des effets Economies réalisées en % / situation sans accès aux données et services de SIG-LR Tableau 4 : Mode d'évaluation des changements générés par l'adhésion à SIG-LR

2.2. Caractéristiques des répondants à l'enquête en ligne

tandis que 16% sont situées dans l'Hérault, 45% en Languedoc-Roussillon et 18% dans la région Provence Alpes Côte d'Azur. Près de la moitié des structures interrogées (46%) ont plusieurs services qui utilisent l'information et seulement un tiers des adhérents ont souvent recours à d'autres plateformes tandis que 15%

de l'impact de SIG-LR sur la productivité au sein des structures

	50% 60% On note que les économies ou gains de productivité sont majoritairement liées à l'accès aux données 80% 60%
	40%	8).				40%
	20% 30%	Type d'économie ou de gain de productivité Recherche de l'information et des données	20%		% des répondants 76%
	0% 10%	Coûts administratifs pour l'obtention de données Opérations de traitements des données	0%	Charge fixes Equipement (ordinateur,	Prestataires (hébergement 63% 49%	Autres	Aucun
		ordinateur Importance des déplacements logiciel Dispositifs autre stockage Amélioration du suivi et de la planification des opérations aucun	logiciel)	serveur…) 24% 22%
	Source enquête EDATER LAMETA SIG-LR 2015 Coûts des intrants			Source enquête EDATER LAMETA SIG-LR 2015 20%
	Distribution des charges d'investissement Source enquête EDATER LAMETA SIG-LR 2015	Distribution des coûts de fonctionnement
	Figure 2 : Structure des coûts de fonctionnement et d'investissement Tableau 8 : Détail des domaines d'économies et de gains de productivité liés à l'adhésion à SIG-LR
		Poste		Eventail des coûts			Médiane	Nombre
								d'observations
					Investissement
		Ordinateurs		De 0 € à 10 000 €			21 000 €	22
		Logiciels		De 500 € à 75000 €			6 000 €	21
		Dispositif de stockage Autres		De 0 € à 2 millions De 400 € à 50 000 € Données sur l'échantillon Fonctionnement (29 réponses à ces questions) 14 000 € 7 000 € Ensemble des adhérents 7 5 (135)
	Equipement annuel Dépense moyenne		De 0 € à 50 000 € 22 000 € /an / structure	6 000 €	27 3 millions /an
	Prestataires (hébergement serveur, traitement…) Economie annuelle	De 1 000 € à 50 000 € 3000 € / an / structure	10 000 €	15 400 000 €/an
	Autres charges fixes (loyer, Nombre d'emplois existants	De 200 € à 49 000 € 198 emplois		2000 €	5 540 emplois
	électricité) Source enquête EDATER LAMETA SIG-LR 2015 Gains de productivité	0,5 emploi /structure		68 emplois
		Tableau 6 : Evaluation des coûts médians de fonctionnement et d'investissement Equivalent monétaire (masse salariale) 2,6 millions €/an
	Source enquête EDATER LAMETA SIG-LR 2015
	Outre l'estimation des budgets, l'enquête a permis d'évaluer dans quelles proportions l'adhésion à SIG-
	LR a permis d'effectuer des économies de fonctionnement et des gains de temps et de productivité. Les
	enquêtés devaient se prononcer en choisissant des pourcentages d'impact allant de 0% à 30% ou
	des répondants (53%). La distribution des types de dépenses (figure 2) témoigne de l'importance des indiquer eux même une proportion si celle-ci était supérieure à 30%.
	ordinateurs et des logiciels, tant en fonctionnement qu'en investissement. Nous avons ensuite
	Economies de coût de fonctionnement évalué ces coûts, en retenant la médiane plutôt que la moyenne du fait de l'importante diversité des Gains de temps et de productivité (en % des répondants) (en % des répondants)
	montants (tableau 6). Aucun effet	21%				17%
	<5%		23%				19%
	5 à 10%	25%				35%
	20% à 29%	14%				19%
	30% et plus	17%				10%
		Source enquête EDATER LAMETA SIG-LR 2015
		Tableau 7 : Evaluation des gains résultant de l'adhésion à SIG-LR

L'effet sur la productivité des services est un des effets les plus cités avec les économies d'intrants dans la littérature. Il convient en premier lieu d'évaluer les dépenses d'investissement et de fonctionnement pour les structures chargées de l'information géographique. Soulignons que le taux de réponse pour ces données financières a été plus faible, avec seulement un peu plus de la moitié Le croisement des données de budget et d'économies ou de gains de productivité permet d'estimer l'impact de l'IDG SIG-LR sur le fonctionnement et la productivité des structures. L'estimation est effectuée sur la base de l'échantillon enquêté, puis globalement en extrapolant ces résultats à l'effectif de l'ensemble des adhérents de la structure (tableau 9).

sur le fonctionnement de la structure

  Néanmoins, il apparait qu'un peu plus du quart (27%) des services enquêtés transmettent régulièrement ou souvent les informations à d'autres services ou partenaires (tableau 11), ce qui implique aussi l'existence d'effets de productivité ou de recette induits dans ces structures qui n'ont pas été évalués. Les données transmises sont plutôt des orthophotos, puis plus ponctuellement des données du cadastre, des réseaux et des Pour certains aspects difficiles à évaluer quantitativement, notamment dans ce type d'enquête en ligne, nous avons préféré demander aux enquêtés de proposer une évaluation de leur importance à travers un score sur une échelle décimale (cf. tableau 13). On observe que pratiquement aucun poste n'obtient de score supérieur à la moyenne. Plutôt que de chercher à hiérarchiser ces effets, il convient plutôt de remarquer l'existence d'un faisceau d'effets diversifiés. Un petit nombre d'enquêtés (4% à 10%) ont spécifié à leur propos qu'avec un travail supplémentaire, certains de ces effets pouvaient être quantifiés.

		Nb	%
	Autres collectivités territoriales	3	30%
	Bureaux d'études		4	40%
	En interne à d'autres services	3	30%
			10	100%
	Tableau 12 : Nature des services ou partenaires bénéficiaires des transferts de données géographiques
	4. Un faisceau d'effets qualitatifs diversifiés
	4.1. Effets qualitatifs sur l'activité ou la politique
	scans 25.				Moyenne Médiane
	Effets sur l'activité
	Progression de l'activité résultant d'une actualisation des données		5,5	6
	Nb Progression de l'activité liée à de nouveaux usages et nouveaux services %		5,2	5,5
	Jamais Progression de l'activité résultant d'une meilleure qualité des données 16 31,37%		4,9	5
	Parfois Création de nouveaux partenariats	21	41,18%		3,8	3
	Régulièrement Diversification des produits proposés à des structures ou des associations 8 15,69%	3,6	3
	Souvent Diversification des produits proposés aux usagers ou citoyens 6	11,76%		3,4	3
	Total Effets Augmentation du sentiment d'appartenance à une communauté professionnelle 51 100,00%	4,4	4,5
	Tableau 11 : Transmission de l'information géographique à d'autres services ou partenaires Amélioration de la collaboration entre les services 3,7	3
	Modification de la stratégie				3,2	2,5
	Besoin de compétences plus précis				3,2	3
	Quelques structures ont renseigné la nature des bénéficiaires de ces transferts (tableau 12). On observe Redynamisation des équipes 2,7 2
	qu'il s'agit de bureaux d'études (40%) ou bien dans des proportions similaires d'autres collectivités ou Source enquête EDATER LAMETA SIG-LR 2015
	d'autres services au sein de la structure (30%).

Hiérarchisation des effets sur la gouvernance des territoires et les usagers

  ).ConclusionMalgré un niveau de précision peu important, ce travail permet de proposer une revue « exhaustive » de la littérature sur les impacts des infrastructures d'information géographique (IDG), un domaine encore peu investi par les approches économiques, et une matrice des effets référencés et documentés dans la littérature scientifique. De plus, au-delà des quelques indicateurs quantitatifs que nous avons pu établir, et qui représentent une estimation approximative et minimale des effets explorés, notre analyse permet d'offrir un schéma de référence des types d'effets qui peut être généralisable à l'étude d'autres IDG ainsi qu'un questionnaire opérationnel qui peut être transposable pour d'autres enquêtes de

			Moyenne Médiane
	Participation des partenaires facilitée		4,2	4
	Amélioration de l'image de la structure		4,1	4
	Amélioration de la connaissance des citoyens ou parties prenantes (effet cognitif)	3,9	4
	Amélioration de la transparence de l'information pour les usagers (effet démocratie)	3,8	3
	Participation des citoyens facilitée		2,5	2
	Autre précisez			1,9	1
	Source enquête EDATER LAMETA SIG-LR 2015
	Tableau 15 : Evaluation qualitative des effets sur la gouvernance des territoires et les usagers
	70%	(sur une échelle de 1 à 10)
	60%	Réunion	Formation
	50%
	40%
	30%
	20%
	10%
	4.3. 0%	Répondants Nbre 21 25% % 19 23% 16 19% 10 12% 6 7% 3 4% 5 6% 4 5% Tableau 14 : Diversité des effets de la mise en réseau des adhérents SIG-LR Accroissement du réseau Augmentation des compétences Partage et mutualisation de données Renforcement des innovations Facilitation des consortiums sur des projets Autre Aucun Ne sais pas Source enquête EDATER LAMETA SIG-LR 2015 Jamais parfois souvent Régulièrement

Enfin quelques questions portaient sur les effets sur la gouvernance des territoires et l'efficacité des politiques publiques. L'évaluation témoigne d'une importance relativement modeste de ces effets.


Raphaël Romero

Christophe Menichelli

Jean-Michel Marin

Sophie Lèbre

Charles-Henri Lecellier

Laurent Brehelin

Rapha Ël Romero

Sophie L Èbre

Laurent Br Éh Élin

Using positional information for predicting

come

Introduction

Transcription factors (TF) are proteins that play a central role in the mechanism of transcription. Those proteins bind DNA in promoters (the region around the Transcription Start Sites -TSSs-of each gene) or in enhancers (a region distant from TSS but also associated with gene regulation). Each TF usually recognises and binds a specific set of k-mers. TFs often bind together with other TFs and cooperate to regulate the transcription.

Adapted from Lenhard et al. [START_REF] Lenhard | Metazoan promoters: emerging characteristics and insights into transcriptional regulation[END_REF].

Scoring TF binding affinity

The set of k-mers recognised by a TF are usually slight variations of a common motif that can be resumed in a probabilistic model known as a binding motif or Position Weight Matrix (PWM). PWMs of many TFs are available in dedicated database (JASPAR [START_REF] Sandelin | JAS-PAR: an open-access database for eukaryotic transcription factor binding profiles[END_REF]). TF: MEF2, image adapted from Wasserman and Sandelin April 2004 [START_REF] Wasserman | Applied bioinformatics for the identification of regulatory elements[END_REF] Such motif can be used to scan a DNA sequence and to identify potential binding sites of the associated TF. At each position, a score is computed on the basis of the probability to generate the k-mer that starts at this position with PWM. The affinity of the TF for a given DNA sequence is estimated by the maximal score computed at any position of the sequences (Best-hit approach). This approach is known to suffer from low accuracy, with lot of false positives.

TFcoop

• TFcoop [START_REF] Vandel | Probing transcription factor combinatorics in different promoter classes and in enhancers[END_REF] is a recent statistical approach which considers PWM scores of all TFs possibly cooperating with the target TF.

• 22.000 sequences (promoters) centred around the TSS (size = 1kbp).

• Predictive variables: binding affinities of JASPAR PWMs (S i , i ∈ {1, . . . , p} p = 662) and dinucleotide rates of the sequences (R i , i ∈ {1, . . . , q} q = 12).

• Predicted variable Y: Promoters bound or not bound by the TF.

• Logistic regression with L1 penalisation -LASSO

ln P(Y = 1 | X) 1 -P(Y = 1 | X) = β 0 + p i=1 β i S i + q j=1 γ j R j +
Where X = (S 1 , . . . , S p , R 1 , . . . , R q ) and ∼ N (0, σ 2 )

• TFcoop outperforms the single PWM method (Best-Hit) in term of prediction accuracy

• Additional information may help to improve the accuracy of this approach.

We propose to use positional information of TFs occurrences

Principle of our approach

Computing binding affinities in various sub-sequences rather than in the entire sequence solely. For each PWM and each promoter sequence a lattice is computed:

• Each node of the lattice contains the binding affinity of PWM for the associated subsequence.

• Allows to quickly explore many different sub-sequences.

Methods

• For each PWM, compute the lattices associated with each sequence

• We have two sets of lattices: bound or not bound sequences

• Each lattice position is assessed to identify the sub-sequence allowing the best discrimination between bound and unbound sequences.

New model

The most discriminative position of each PWM is used to create a new variable (positional variable P k , k ∈ {1, . . . , p}) that is added to the TFcoop model:

ln P(Y = 1 | X) 1 -P(Y = 1 | X) = β 0 + p i=1 β i S i + q j=1 γ j R j + p k=1 α k P k +

Simulations

• Take one ChIP-seq experiment.

• Add some false positives occurrences in %FP of sequences, position follows a U [0, 1000]

• Add some true positives occurrences in %TP of sequences, position follows a N (µ, σ)

• Run the approach and compare the identified sub-sequence R 1 to the region

R 2 = [µ -1, 96σ; µ + 1, 96σ]
• Compare both regions with Jaccard index :

J = |R 1 ∩R 2 | |R 1 ∪R 2 |
TP=1% TP=7% TP=30% FP=1% 0.24 0.64 0.97 FP=7% 0.24 0.75 0.97 FP=30% 0.25 0.68 0.89

Means of Jaccard indexes

Experiments

We apply our approach for discriminating the sequences bound by two different TFs sharing very similar PWMs • Slightly better accuracy than the TFcoop approach (AUC = 0.80 vs 0.82)

•

  A set of sequences bound by Fra1 (FOSL1) and a set of sequences bound by Fra2 (FOSL2).

Acknowledgements

Thanks to Fabienne Bejjani and Isabelle Jariel-Encontre from IGMM for providing us Fra1/Fra2 data.

Perspectives

1. Use this method to discriminate other TF pairs with very similar motifs.

2. Improve the approach by including relative position information between TFs.

• binary variable: the TF is upstream/downstream of another TF.

• distance (bp) between two TF binding sites.

Huge increase of the number of variables: adequate strategies are needed.