Claire Parjouet

LA CONSTITUTION DE TRANSITION, UN

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les Constitutions provisoires fondent un « système de règles qui régit une communauté humaine, globalement efficace et sanctionné 3 ».

Leur matérialité constitutionnelle découle de l'attention régulièrement portée par leurs auteurs aux « trois objets du droit constitutionnel moderne » identifié par Louis Favoreu, soit « les institutions, les normes et les libertés » 4 . En effet, si elles ne comprennent à l'origine que des dispositions institutionnelles 5 , elles tendent à laisser une place toujours plus importante au droit constitutionnel substantiel et normatif 6 .

À ces aspects matériels s'ajoute une perspective « formelle » : la valeur suprême et fondamentale de ces normes est affirmée et protégée. En effet, outre la dénomination affirmant la nature constitutionnelle de ces normes, des procédures rigides de révision constitutionnelle se voient régulièrement précisées. De plus, les juridictions constitutionnelles se sont peu à peu affirmées comme les gardiennes de la transition constitutionnelle. Par conséquent, ces « normes intermédiaires entre la Constitution révolue et la Constitution future encore au stade de projet 7 » méritent une attention particulière, notamment en raison de la particularité de leur contexte d'élaboration.

Structurer une transition constitutionnelle demande en effet la prise en considération des impératifs du moment. Cette « période qui permet le passage d'un régime institutionnel à un autre 8 », notamment lorsqu'il implique « le passage d'une Constitution à une autre 9 », suppose l'enchaînement de deux processus. À la phase déconstituante -menant à l'abrogation de l'ordre juridique précédant -succède la phase reconstituante, reposant sur un processus constituant originaire 10 . Ces deux mouvements, et les procédures qu'ils induisent, forment l'objet atypique des Constitutions provisoires.

3. Nicoletta Perlo, « Les Constitutions provisoires, une catégorie normative au coeur des transitions constitutionnelles », Communication lors du IX e Congrès de l'Association de Droit constitutionnel, Lyon, 26-27-28 juin 2014, en ligne : http://www.droitconstitutionnel.org/congresLyon/CommLF/F-perlo_T2.pdf site consulté en mars 2019.

4. L. Favoreu, « Le droit constitutionnel, droit de la Constitution et constitution du droit », RFDC, 1990, n o 1, p. 71-89.

5. Voir par exemple en France la Loi du 2 novembre 1945 portant organisation provisoire des pouvoirs publics.

6. Voir par exemple le développement de plus en plus important du droit constitutionnel de transition en République centrafricaine et en République Démocratique du Congo.

7. E. Cartier, « Les petites Constitutions : contribution à l'analyse du droit constitutionnel transitoire », RFDC, 2007, n o 71, p. 513-534, p. 513.

8. Isabelle Thumerel, « Les périodes de transition constitutionnelle : contribution à l'étude du pouvoir constituant et des actes pré-constituants », thèse de doctorat de l'Université de Lille 2, 3 octobre 2008, p. 2. 9. Idem, p. 5 : Les transitions constitutionnelles formelles ou légales, soit réalisées via une révision de la norme constitutionnelles en vigueur, ne sont pas considérées dans le cadre de cette étude. 10. J.-P. Massias (dir.), Droit constitutionnel des États d'Europe de l'Est, Paris, Puf, 2008, 2 e éd., p. 19.

Apparaît ainsi le triptyque développé par Nicoletta Perlo. Ces normes fondamentales se composent non seulement de dispositions « constitutives » dont l'objet est d'assurer le fonctionnement de l'État durant la période de transition, mais également de la décision « déconstituante » et de la définition d'une procédure constituante. Elles ont donc pour mission d'encadrer l'exercice du pouvoir constituant et de régir l'exercice du pouvoir politique par le gouvernement provisoire. Selon cette auteure, ces trois types de disposition composent l'objet caractéristique des Constitutions provisoires et permettent leur identification 11 .

Cette spécificité matérielle s'explique par la particularité de la fonction attribuée à la norme constitutionnelle. En ce sens, le Pr Emmanuel Cartier présente les petites Constitutions comme étant l'origine d'un « système juridique intermédiaire relais, à la fois provisoire et fondateur, qui doit se situer -négativement ou positivement -par rapport au système auquel il succède 12 ». Nicoletta Perlo, de façon plus pragmatique, relève qu'il s'agit pour les acteurs de la transition de « garantir l'ordre et la paix sociale dans la période transitoire » et « légitimer […] le nouveau détenteur du pouvoir et la Constitution définitive » 13 grâce aux Constitutions provisoires.

Or, lorsque la transition constitutionnelle supporte une transition démocratique, cette spécificité des Constitutions provisoires se trouve accentuée par l'objectif de la démocratisation, justifiant la catégorisation spécifique des Constitutions de transition.

Schématiquement, la démocratisation résulte « du processus de dissolution d'un régime autoritaire », qui découle le plus souvent de son essoufflement ou d'un conflit armé, et vise « l'installation d'une forme de démocratie » 14 . Elle peut être séquencée en trois périodes : la chute du régime autoritaire, la construction d'un nouveau régime démocratique et enfin la consolidation démocratique. L'objectif de la transition constitutionnelle se précise alors : le processus constituant doit soutenir la construction d'un régime démocratique notamment par l'élaboration d'une Constitution post-transition adaptée.

Le triptyque de Nicoletta Perlo prend alors une autre dimension. À la rupture juridique s'ajoute une rupture philosophique et politique notoire. Aux yeux de la société, la Constitution de transition traduit juridiquement et symboliquement l'aboutissement des manoeuvres visant la chute de l'ancien régime. Étant donné la violence accompagnant généralement ces processus, il lui revient également la difficile tâche de solder les comptes du passé, gérer les difficultés présentes tout en construisant le régime démocratique à venir. Elle peut dès lors être appréhendée comme la première pierre du futur régime, comme un premier pas vers l'objectif de la démocratie.

Le contexte de démocratisation interroge ainsi spécifiquement le sens réel de ces normes exceptionnelles. Comment les Constitutions de transition participent-elles à la construction d'un régime démocratique ?

Envisager une fonction démocratisante des Constitutions de transition suppose de préciser en amont les caractéristiques de la démocratie. Bien qu'il s'avère complexe de donner une définition essentialiste de ce régime politique, quelques éléments paraissent emporter un certain consensus. Pour les besoins de cette analyse, ces critères seront utilisés. Est donc considéré démocratique, tout régime respectueux des droits de l'homme, assurant l'encadrement du pouvoir politique par le droit, un pluralisme politique effectif, le respect du principe de la séparation des pouvoirs et le déroulement régulier d'élections libres et transparentes ainsi que le respect de leurs résultats 15 .

OEuvrant à l'établissement de ces caractéristiques, la participation des Constitutions de transition à la construction de la démocratie repose sur deux dynamiques : l'intégration par les acteurs de principes structurant tout régime démocratique (I) et l'édification d'un système institutionnel répondant aux impératifs minimaux de la séparation des pouvoirs et de l'État de droit (II).

Pour mener à bien cette démonstration, l'analyse du régime politique de transition -« le texte, la Constitution stricto sensu » -sans connexion avec le système politique dans sa globalité -« la pratique, l'application de la Constitution » -ne pourrait suffire à l'appréhension des Constitutions de transition 16 . En effet, tout processus de démocratisation paraît reposer sur « un processus de reconstruction de l'État, non seulement dans les faits et les institutions mais aussi dans la tête de ses acteurs 17 ». Par conséquent, cette étude se fonde tant sur l'analyse textuelle de ces normes atypiques que sur leur usage par les protagonistes de la transition.

I -LA CONSTITUTION DE TRANSITION, INSTRUMENT D'INITIATION AUX PRINCIPES DÉMOCRATIQUES

Actant la disparition du régime antérieur et visant la réussite de la transition démocratique, la Constitution de transition a pour première mission d'assurer la stabilisation du contexte politique et la légitimité de l'ensemble du processus transitionnel. Pour y parvenir, ses rédacteurs ont recours à des mécanismes « démocratisants 18 », inaccoutumés du droit constitutionnel classique (A). En plus de rassurer les acteurs politiques quant à leur participation réelle à la transition en cours, l'usage de ces mécanismes entraîne indirectement la mise en oeuvre de deux principes structurant de la démocratie : le dialogue et le pluralisme politique (B).

A -DES MÉCANISMES DÉMOCRATISANTS, CONDITIONS DE L'ABOUTISSEMENT DE LA TRANSITION CONSTITUTIONNELLE

L'aboutissement d'une transition constitutionnelle demande la promulgation d'une nouvelle norme fondamentale et la reconnaissance du texte par la majorité des acteurs. Dès lors, le choix des procédures -et notamment de la procédure constituante -s'avère crucial : c'est d'elles que dépend la légitimité de la future norme constitutionnelle. Ainsi, par sa disposition constituante, la Constitution de transition peut en réalité oeuvrer à la légitimation de la Constitution post-transition. Nicoletta Perlo distingue trois « stratégies légitimantes » possibles : « donner l'apparence qu'une partie de la procédure constituante est fondée sur les normes de l'ordre juridique précédent », « ressusciter des textes constitutionnels révolus, issus d'un ordre juridique précédent considéré comme légitime », ou permettre une réelle participation du peuple au processus. Cette dernière stratégie peut se traduire par le recours aux élections, au référendum, à la représentation des différents corps sociaux ou encore à des technologies relevant de la démocratie directe 19 .

Or, sans pacification préalable du contexte, ces stratégies risquent d'être inefficaces. En effet, une transformation constitutionnelle aussi radicale que celle nécessaire à la démocratisation accroît les risques de frictions entre les différents protagonistes. Ces tensions -politiques et/ou armées -sont susceptibles de conduire à l'anéantissement du processus. Pour éviter une telle remise en question, la multilatéralité reste une solution 20 . Tous les acteurs devraient sinon s'entendre du moins contribuer à l'élaboration de la nouvelle norme fondamentale, et être rassurés quant à la tangibilité de leur participation.

En ce sens, de nombreux travaux ont souligné l'importance de l'inclusivité pour la réussite d'une transition 21 . Qu'elle soit due à une perte d'influence politique ou à une défaite électorale, l'exclusion d'un groupe du processus transitionnel aboutit selon les cas à un blocage de la prise de décision politique à court terme ou à la non-reconnaissance de l'ensemble du processus à plus long terme 22 . À l'inverse, la participation de l'ensemble des acteurs est un facteur d'acceptation et de stabilité du processus 23 . En effet, la répartition équilibrée des postes à responsabilité politique entre les différents protagonistes auparavant en conflit reste la solution la plus efficace pour l'aboutissement de la transition constitutionnelle. La comparaison entre les printemps tunisien et égyptien illustre ce constat.

En Tunisie, dès le mois de février 2011, l'Instance supérieure pour la réalisation des objectifs de la révolution, de la réforme politique et de la transition démocratique (« ISROR ») s'organise selon le principe d'inclusion, dont la mise en application sera renforcée dès les premiers travaux de l'assemblée 24 . Le retour de la logique majoritaire est cependant acté lors les élections du 23 novembre 2011. Cette seconde phase de la transition tunisienne se voit dominée par une troïka -réunissant le parti Ennahdha, le Congrès pour la République (« CPR ») et le parti Ettakatol -devenue amplement dominante au sein de la nouvelle Assemblée nationale constituante (« ANC »). Cumulée à la possibilité pour l'ANC de fixer elle-même les nouvelles règles du jeu politique, la disparition de l'inclusivité ne manque pas d'entraîner le blocage d'un processus pourtant bien engagé. De fait, forts de leur position, les trois partis alliés adoptent la Loi constituante n o 2011-06 qui encadre constitutionnellement la deuxième phase de la transition. L'opposition, bien que représentée au sein de l'ANC, se voit exclue tant de la gestion des affaires courantes que du processus constituant. Ce choix ne sera pas sans conséquence. Dans une société récemment libérée de l'autoritarisme présidentiel et malgré le soutien populaire important dont bénéficie le parti islamiste, l'absence de considérations pour l'ensemble des opinions et la crainte d'un détournement de la transition mettent à mal la pratique de la troïka. Une « bipolarisation génératrice de violences » apparaît et fait plusieurs victimes durant l'année 2013 25 . De plus, le processus constituant n'aboutit pas : en juin 2013, le quatrième avant-projet de Constitution est rejeté 26 . Finalement, l'ANC ne parvient à voter une nouvelle Constitution qu'après la mise en place d'un Dialogue national. Issue de négociations multilatérales, la nouvelle norme fondamentale ne sera pas remise en question par la suite 27 .

Si dans le cas tunisien le retour à l'inclusivité malgré les élections a permis l'aboutissement du processus constituant, la transition égyptienne s'est révélée plus complexe. Les tensions opposant le Conseil Suprême des Forces Armées (« CSFA ») -se présentant comme étant au service de la Révolution depuis le départ du Président Moubarak -et le Parti de la Liberté et de la Justice (« PLJ ») -récent vainqueur des élections législatives et présidentielles -ont entraîné l'échec de la stabilisation du régime. En effet, l'absence de l'opposition politique -qui boycotte le travail de l'Assemblée constituante -et l'adoption précipitée de la Constitution post-transition marquent le processus constituant mené entre 2011 et 2013. Le rejet du nouveau texte est immédiat. Il se traduit à la fois par une dénonciation des acteurs politiques écartés durant la transition, mais également par une protestation populaire. Les manifestations reprennent sitôt la nouvelle norme fondamentale entrée en vigueur. Elles entraînent, dès le 3 juillet 2013, l'ouverture d'une nouvelle transition constitutionnelle sous la houlette de l'armée 28 .

Cette comparaison des transitions égyptienne et tunisienne illustre l'importance de l'inclusivité. Rétablie dans le contexte tunisien, elle permet de sauver la transition constitutionnelle et la consolidation du nouveau texte fondamental. À l'inverse, en excluant certains acteurs, le processus égyptien reste -aujourd'hui encore -fragile. Ainsi, par la mise en oeuvre de ce principe démocratisant au sein de ses dispositions constituantes et constitutives, la Constitution de transition réduit les risques de déstabilisation du processus à court et moyen terme.

Cependant, pour assurer la concrétisation de ce principe -et non son seul emploi comme étendard visant à satisfaire les attentes des bailleurs internationaux -les rédacteurs de la Constitution de transition doivent prendre des précautions procédurales gageant a minima de la participation et a maxima du consensus des acteurs autour du projet de Constitution 29 . Or, si ces garanties procédurales consacrent l'effectivité de l'inclusion, leur dévoiement peut également conduire à une dénonciation du processus. En conséquence, se pose la question de l'opportunité d'instaurer un « gardien » de la procédure constituante, soit un mécanisme plus démocratisant que démocratique.

Selon le Pr Jean-Pierre Massias, deux principaux arguments justifient le recours incongru au « gardien » pour encadrer un processus traditionnellement défini comme initial, inconditionné et illimité. Le premier tient à l'objet du processus : la Constitution post-transition. Pièce maîtresse de la consolidation démocratique, elle doit poser les jalons de l'adhésion des acteurs au futur régime. Ces derniers doivent pouvoir se projeter dans le fonctionnement constitutionnel futur. En découle le second argument : prévoir un contrôle du processus constituant permet de leur assurer que les décisions constituantes prises dans le cadre d'institutions inclusives sont bien respectées 30 .

L'exemple le plus marquant et le plus audacieux en la matière demeure le contrôle de certification opéré par la Cour constitutionnelle sud-africaine. La volonté des rédacteurs de la Constitution intérimaire sud-africaine de 1993 est de préserver le contenu des négociations constitutionnelles commencées en 1991. Protéger les droits fondamentaux définis durant la transition et veiller à ce que certains principes désormais considérés comme intangibles soient respectés par la future Constitution est un impératif. En ce sens, le Pr Xavier Philippe explique que « [l] a démocratie sud-africaine s'est ainsi constituée autour des "principes constitutionnels", sorte de "commandements" liant toutes les parties aux "négociations multipartis" à travers 34 principes fondamentaux », définis à l'issue de la Conférence pour une Afrique du Sud démocratique (« CODESA ») 31 . Pour y parvenir, la Constitution intérimaire prévoit la possibilité d'un contrôle de constitutionnalité des lois à la fois diffus et concentré, ainsi que le contrôle du processus constituant 32 .

Le contrôle de certification ou d'homologation défini à l'article 74 de la Constitution intérimaire a pour objectif de « vérifier le respect de ces principes [les 34 principes fondamentaux] par le texte final et de s'assurer que l'Assemblée constituante [n'a] pas dévié des principes fondateurs acceptés par les parties trois ans auparavant 33 ». En effet, après avoir dans un premier temps « estimé que le texte adopté par les constituants devait être révisé », la certification du projet constitutionnel « a sans conteste contribué à l'ancrage de la démocratie » et de la Constitution de 1996 34 . La particularité de ce contrôle et sa mise en oeuvre avec application par la Cour constitutionnelle conduisent à l'adoption d'une nouvelle Constitution respectueuse des compromis ayant jalonné son élaboration et conforme aux attentes des différents acteurs.

La Constitution de transition peut ainsi travailler à la pacification du contexte d'une part en rassurant les protagonistes quant à leur participation au processus transitionnel, et d'autre part en protégeant les compromis et arrangements trouvés. La mise en oeuvre de ces mécanismes démocratisants favorise à court terme l'aboutissement de la transition constitutionnelle et l'adhésion à la Constitution post-transition. À plus long terme, accepter l'inclusion implique la mise en application par les acteurs de nouveaux principes structurant désormais la vie politique.

B -LES PRINCIPES DÉMOCRATIQUES, SUBSTRUCTION DE LA TRANSITION DÉMOCRATIQUE

Parfois, le régime précédant la transition reconnaît le multipartisme, mais le travestit de façon à s'en accommoder. Dans la majorité des cas cependant, l'opposition agit dans la clandestinité. L'ouverture de la transition démocratique et la chute de l'ancien régime signifient donc pour elle le retour à la légalité, et le recours à l'inclusivité comme principe directeur de la transition, son intervention réelle. Or, inclure suppose en premier lieu de reconnaître l'existence des différents protagonistes, et d'organiser de réelles négociations pour que l'ensemble fonctionne. Dès lors, si les besoins immédiats de la transition constitutionnelle relèvent de l'inclusion et de sa garantie procédurale, leur mise en oeuvre fonde le fonctionnement démocratique futur en imposant l'application de deux principes démocratiques : le pluralisme politique et l'usage du dialogue.

Le pluralisme est ici entendu comme une « conception de l'ordre politique et juridique qui privilégie la diversité des opinions, des intérêts et de leurs groupements dans la société civile et fait de leur pluralité une condition de la liberté 35 voit quant à elle élevée au rang de principe constitutionnel en 1993 39 . Mais, malgré ces affirmations normatives, un pluralisme réel reste inenvisageable dans l'esprit du Grand Léopard.

Loin de prendre en considération l'existence d'opinions divergentes, le chef de l'État zaïrois impose sa vision du processus. Rejetant l'idée d'accéder ou parfois de prêter attention aux propositions présentées, le président braque une large partie de l'opposition politique. Cette situation aboutit à un conflit ouvert et à la mise en place d'un dédoublement institutionnel. Refusant de considérer l'autre comme participant à la transition, chaque camp met en place son propre gouvernement et son assemblée constituante. Les manoeuvres entreprises par les deux mouvances ne font qu'amplifier la défiance et, malgré une tentative de réunification en 1994, conduisent à l'échec du processus 40 . Ce dénouement paraît ainsi trouver sa source dans la volonté de chacun des deux groupes de ne pas réellement prendre en considération la diversité des opinions présentes, empêchant de facto toute démarche inclusive.

À l'inverse, et cela peut s'expliquer par le conflit armé entraînant le second processus de démocratisation, Joseph Kabila fait le choix de reconnaître les différentes parties au conflit avant même l'entrée en vigueur de la Constitution de transition de 2003. En effet, le Dialogue intercongolais, bien que laborieux, présente l'avantage d'admettre à la fois l'opposition armée, l'opposition non armée et les forces vives de la Nation, en conférant à chaque entité une place à la table des négociations 41 . Résultant de ces discussions, l'Accord global et inclusif et la Constitution de la Transition du 5 avril 2003 mettent en oeuvre à leur tour le principe d'inclusivité. Chaque institution se trouve à nouveau divisée en quatre branches, imposant la reconnaissance par chaque groupe de l'existence des trois autres 42 . Au terme de la transition, le pluralisme -même s'il reste relatif du fait du dévoiement des acteurs et du problème de la corruption -apparaît comme partiellement acquis.

L'analyse de ces deux processus met en lumière la relation réciproque liant l'inclusion au pluralisme politique. Toutefois, l'efficacité de l'inclusion entraîne la mise en oeuvre d'un second mécanisme cher à la démocratie : la négociation. En effet, la démocratie moderne comprend une Or, cette nécessité est en profonde contradiction avec la pratique autoritaire du pouvoir, qui bien souvent impose ses vues par le recours à la violence physique ou politique. À cette première donnée s'ajoute l'empressement dont peut faire preuve une opposition restée trop longtemps dans l'ombre, à qui la possibilité de prendre la parole est enfin donnée. Dès lors, l'application du principe d'inclusion durant la transition prend un nouveau sens : en assurant la participation et la reconnaissance de tous, il impose le dialogue et la recherche d'un compromis.

En effet, les organes inclusifs intégrés au système de transition privilégient généralement le recours au consensus plutôt qu'au vote majoritaire. Cette modalité se définit comme « un mode de décision spécifique consistant à ce qu'une décision ne soit adoptée que lorsque les participants ne manifestent plus de désaccord quant à son contenu 44 ». Cette association inclusivité/consensus se justifie une nouvelle fois par la volonté de travailler à la stabilisation de la transition démocratique. Magalie Besse souligne à ce sujet qu'un « mode d'arrêt des décisions fondé sur l'application du principe majoritaire n'est pas cohérent avec la mise en place d'un organe inclusif, car il tend à n'associer à chaque décision prise que le seul groupe l'ayant approuvée 45 ». Pour autant, l'usage du consensus demande la mise en oeuvre et l'aboutissement d'un réel processus de négociation. La période de transition se présente dès lors comme un moment d'apprentissage pour les différentes protagonistes, tel que le souligne l'exemple de la République Démocratique du Congo.

Comme cela a été expliqué précédemment, les évènements survenus entre 1992 et 1997 sont marqués par la difficile reconnaissance réciproque des acteurs et l'absence de dialogue qui en découle. La mouvance présidentielle et l'opposition politique menée par Étienne Tshisekedi se révèlent incapables de trouver un accord pour conduire le processus à son terme. L'adoption de l'Acte constitutionnel de la transition par une assemblée composée de représentants de l'ensemble des acteurs politiques -les soutiens du Président Mobutu demeurant toutefois majoritaires -en 1994 n'y change rien. Le consensus trouvé est large, mais de la présidence de la République. Elle est « composée du président de la République et de quatre vice-présidents » sans qu'il y ait de hiérarchie. En effet, « [l]e président de la République traite avec les vice-présidents de toutes les questions relatives à la gestion du Gouvernement » et ne peut prendre aucune décision sans eux.

43 La recherche de compromis et la négociation s'avèrent ainsi à la fois nécessaires et particulièrement complexes. Néanmoins, l'expérience se révèle bénéfique à bien des égards. En effet, elle travaille à la modération de la vie politique et imprègne les différents protagonistes du réflexe de recourir au dialogue plutôt qu'à la violence. Certes, les acteurs des transitions démocratiques de RDC issus de l'opposition armée et de la majorité présidentielle ont pu utiliser la force pour tenter d'imposer leurs opinions, mais ce ne fut pas le cas de l'opposition politique ni des forces vives de la nation. Et, sous la pression de la communauté internationale, tous ont finalement dû utiliser la négociation pour parvenir à leurs fins. Le même constat peut être observé dans la transition tunisienne, où l'organisation du Dialogue national a permis la sortie de crise.

Dès lors, il apparaît que les Constitutions de transition participent à la démocratisation en travaillant dans un premier temps à la pacification du contexte politique et à la légitimation du processus. Ces impératifs de court terme imposent le recours à des mécanismes démocratisants. Cependant, à plus long terme, l'usage de l'inclusion entraîne une reconnaissance minimale du pluralisme politique et l'expérience de la négociation. À cette initiation aux principes-clés de la démocratie moderne s'ajoute la construction d'une structure institutionnelle démocratique. Dès lors, dans un contexte où la règle de droit a souvent été bafouée, l'élaboration d'une Constitution de transition ne peut être anodine. Par l'affirmation de sa suprématie formelle et la mise en oeuvre d'une garantie juridictionnelle, elle introduit -ou parfois réintroduit -les principes structurants de l'État de droit.

En effet, l'importante formalisation -par comparaison avec les autres instruments composant le droit constitutionnel de transition -des Constitutions de transition, malgré la variété de leur dénomination, manifeste une volonté d'asseoir l'autorité des nouvelles règles du jeu politique. Trois techniques différentes sont employées -de manière cumulée ou non -par le pouvoir constituant de transition pour consacrer le caractère suprême de la norme constitutionnelle.

La première est l'affirmation expresse de la valeur constitutionnelle du texte. éthiopienne s'identifient respectivement à la « loi fondamentale de la République [START_REF]Charte de transition de la République du Tchad[END_REF] » ou à la « loi suprême durant la Transition 55 ». Cette sacralisation est particulièrement appuyée en RDC et en Afrique du Sud. La Constitution de la transition congolaise de 2003 affirme ainsi au sein d'un même article qu'elle constitue -avec l'Accord global inclusif 56la « seule source du pouvoir pendant la transition » puis que « tous les pouvoirs sont établis et exercés de la manière déterminée par l'Accord global et inclusif ainsi que par la présente Constitution » [START_REF]Constitution de la Transition[END_REF] . L'article 4 de la Constitution intérimaire sud-africaine affirme son caractère « suprême » avant de spécifier qu'elle lie « tous les organes législatifs, exécutifs et judiciaires de l'État à tous les niveaux de gouvernement » [START_REF]Constitution of the Republic of South Africa, Act 200[END_REF] .

Outre cette première les Constitutions de transition peuvent comporter des dispositions mentionnant l'obligation de conformité des normes infraconstitutionnelles. La Loi constituante n o 2011-6 tunisienne spécifie que : « [s]ont abrogées, les lois contraires à la présente loi Constituante […]. Demeurent en vigueur, les textes juridiques compatibles avec la présente loi Constituante 59 ». L'Acte fondamental n o 1/ CTSP malien précise que toute loi, mais également « tout règlement ou acte administratif contraires au présent Acte fondamental sont nuls et de nul effet 60 ». L'article 35 de la Déclaration constitutionnelle du Conseil National de Transition libyen se révèle moins strict : « [t]outes les dispositions prescrites dans les législations actuelles sont en vigueur, sans obstruer avec les dispositions de la présente Déclaration, jusqu'à leur amendement ou abrogation 61 ».

Enfin, les Constitutions de transition peuvent intégrer une disposition relative à leur propre modification, distinguant ainsi la procédure de révision constitutionnelle de la procédure législative. La Constitution de transition de la République du Burundi encadre par exemple matériellement toute modification du texte, et impose que le projet ou la proposition soit adopté aux neuf dixièmes des membres de l'Assemblée nationale de Transition et du Sénat de Transition [START_REF]Loi portant promulgation de la Constitution de transition de la République du Burundi[END_REF] .

Pour autant, la présence d'une de ces dispositions ne signifie pas une volonté réelle de s'y soumettre. Tout dépend des objectifs poursuivis par les auteurs du texte et des mécanismes de contrôle qu'ils déploieront. Si ces derniers demeurent absents, alors le recours à la Constitution de transition peut être néfaste pour le sens du droit à l'avenir, la norme demeurant un instrument politique. Au contraire, leur présence et leur diversité peuvent réellement s'avérer positives et redonner à la norme constitutionnelle sa fonction d'encadrement du pouvoir politique.

Dès lors, l'identité du gardien de la Constitution de transition importe. Une grande majorité des normes constitutionnelles de transition intègre l'idée d'un arbitre politique 63 , chargé de trancher les conflits d'interprétation du texte le plus souvent. Si l'idée apparaît séduisante, dans les faits, cette fonction est généralement attribuée aux institutions exerçant un rôle prépondérant sur la scène politique, de sorte que cette fonction arbitrale paraisse stérile.

À l'inverse, l'intégration d'un juge constitutionnel au sein du système institutionnel peut se révéler fructueuse. Tout dépend alors de la composition et des compétences réelles de la juridiction, deux éléments clés pour la construction de l'État de droit futur. Dans tous les cas, le processus de construction de l'État de droit se trouve enclenché, avec plus ou moins de réussite selon les cas. En effet, comme souvent, le comportement des acteurs juridictionnels peut anéantir tout effort d'encadrement juridique du pouvoir politique, et doit donc également être pris en considération. Trois exemples illustrent cette idée.

La Cour constitutionnelle d'Afrique du Sud est régulièrement instituée en modèle de la juridiction constitutionnelle de transition. Sa jurisprudence solide et sa neutralité politique ont permis de fonder la future démocratie. Elle a notamment largement investi le champ des droits et libertés fondamentaux, « pierre angulaire du nouveau régime » pour reprendre les termes du Pr Xavier Philippe 64 . Un exemple marquant de l'intervention de cette juridiction est la décision du 6 juin 1995 portant inconstitutionnalité de la peine de mort. Par le biais de la décision Makwanyane, la Cour constitutionnelle affirme à la fois la suprématie de la Constitution sur la loi et le caractère fondateur des droits de l'homme pour la nouvelle démocratie 65 . Disposant d'importantes compétences, cette juridiction exceptionnelle a participé à l'enracinement de l'État de droit. Cependant, il convient de préciser que contrairement à bon 63. Seules les Constitutions de transition libyennes et soudanaises font exception. 64. X. Philippe, « La démocratie constitutionnelle sud-africaine : un modèle ? », art. cit., p. 159.

65. Voir Fabrice Hourquebie, « La diffusion du constitutionnalisme en Afrique du Sud : une analyse à travers la décision de la Cour constitutionnelle du 6 juin 1995 portant inconstitutionnalité de la peine de mort », art. cit. nombre de ses homologues, cette Cour a travaillé dans un contexte relativement pacifié par les négociations entre les différentes parties.

Tel ne fut pas le cas de la Cour constitutionnelle de transition (« CCT ») centrafricaine. Mise en place lors de la transition démocratique commencée en 2013 à la suite de l'arrivée au pouvoir de la Séléka, cette Cour a également pu investir la scène institutionnelle, mais son impact sur la consolidation démocratique est moindre. Entre 2013 et 2017, la CCT aura à se prononcer tant sur des questions relatives à la constitutionnalité de lois, de règlements d'assemblée ou du Code électoral, que sur des questions d'interprétation de la Charte de transition du 18 juillet 2013. Saisie tour à tour par le président de la Transition, le Premier ministre et le président du Conseil national de transition, elle procède également à plusieurs requalifications de demandes d'avis en requêtes, et n'hésite pas à invalider plusieurs dispositions législatives. Dans le cadre de la procédure constituante, les avis rendus sont guidés par « les grands principes constitutionnels démocratiques » et sont suivis d'effets. Pour autant, et bien que cette Cour soit aujourd'hui active, elle ne semble pas disposer de l'autorité qui lui revient 66 .

De fait, le contrôle du respect de la Charte de transition du 18 juillet 2013 est double : le contrôle juridictionnel est confié à la CCT, tandis que la Communauté internationale assure un suivi politique. Tous deux se complètent. Certes, la Cour remplira son rôle avec attention, mais dans la mesure de ses moyens. De l'aveu même de sa vice-présidente, la professeur Danièle Darlan, l'autorité des décisions de la CCT résulte plus de la crainte d'une sanction internationale que de la volonté de jouer le jeu du droit 67 . En conséquence, la Cour constitutionnelle centrafricaine jouit certes aujourd'hui d'une certaine légitimité, et n'hésite pas à prendre des risques, mais il est encore difficile de parler d'État de droit en République centrafricaine.

À l'opposé, les interventions de la juridiction constitutionnelle égyptienne se sont révélées néfastes tant pour la conduite de la transition démocratique que pour la construction de l'État de droit. Alors qu'elle bénéficiait jusque-là d'une certaine légitimité, pour avoir notamment défendu les droits de l'opposition sous l'ère Moubarak, elle est rapidement accusée de vouloir entraver la gestion de la transition par le parti vainqueur lors des dernières élections législatives. En ce sens, Nathalie Bernard-Maugiron estime que la Haute Cour constitutionnelle a fait « déraper » la transition démocratique égyptienne, « avant de se ranger du côté du nouveau pouvoir » [START_REF] Bernard-Maugiron | Justice constitutionnelle et transition démocratique dans le monde arabe après 2011[END_REF] .

Dès lors, il s'avère que la construction d'un État de droit par le biais de la Constitution de transition dépend de l'existence ou non d'une juridiction de contrôle, mais également de la volonté réelle des membres de la cour constitutionnelle. De la même façon, l'instauration de la séparation des pouvoirs et la nature du régime politique dépendront tant du contenu de la Constitution de transition, que du comportement des acteurs.

B -LA CONSTRUCTION DE LA SÉPARATION DES POUVOIRS, UN PROCESSUS EXPÉRIMENTAL Bien qu'elle soit parfois minime et illusoire, la distinction entre le pouvoir exécutif et le pouvoir législatif est un dénominateur commun à l'ensemble des Constitutions de transition. De cette reconnaissance minimale d'une distinction des pouvoirs peut naître un véritable système de pouvoirs et contrepouvoirs. Disposant désormais d'un texte constitutionnel pour défendre ses droits, l'ancienne opposition va généralement s'emparer du droit constitutionnel de transition pour devenir un réel contrepouvoir institutionnel. Et, l'expérimentation n'est pas sans conséquence sur l'équilibre final au sein de la Constitution post-transition, comme l'illustre le déroulement de la transition tunisienne. Sa première phase s'ouvre avec le Décret-loi n o 2011-14 du 23 mars 2011, portant organisation des pouvoirs publics [START_REF]Décret-loi n o 2011-14 du 23 mars 2011, portant organisation des pouvoirs publics[END_REF] . Il traduit la volonté des acteurs d'encadrer le pouvoir présidentiel, par la naissance d'un contrepouvoir législatif, et l'affirmation du bicéphalisme exécutif.

Désormais, le président de la République doit collaborer avec son Gouvernement dans certains domaines. Jusque-là réduits au rôle de commis, le Premier ministre et le Gouvernement disposent désormais d'une autonomie relative au sein du nouveau régime. Ce changement sous-tend un partage du pouvoir entre les deux têtes de l'exécutif [START_REF]2011-14 du 23 mars 2011, portant organisation des pouvoirs publics[END_REF] .

Paradoxalement, ce n'est pas le chef du Gouvernement qui profitera de cette évolution pour s'imposer au sein du régime, mais l'ISROR. En effet, l'évolution de l'assemblée démontre la capacité des acteurs à se saisir d'un texte constitutionnel et profiter de ces lacunes. Car, contrairement au second régime de transition, le premier régime provisoire repose sur un texte relativement court, comprenant dix-neuf articles seulement, et non exhaustif.

Conçue en février 2011 dans le but d'assurer la représentation des différents acteurs de la Révolution sur la scène politique, l'ISROR a pour missions d'« étudier les textes législatifs » relatifs à l'organisation politique, « proposer des réformes à même de réaliser les objectifs de la Révolution relative au processus démocratique » et « émettre un avis sur le Gouvernement », selon l'article 2 du Décret-loi n o 2011-06 du 18 février 2011 71 . Cependant, aucune précision n'est apportée concernant les procédures de collaboration ou de contrôle du pouvoir exécutif, ni quant à la valeur réelle des avis donnés. Adopté le mois suivant, le Décret-loi n o 2011-14 n'aborde pas plus ces questions. Seule l'obligation pour le Premier ministre de veiller au respect des propositions émanant de l'Instance est mentionnée 72 . Cette imprécision constitutionnelle permet l'ouverture d'une brèche dans la toute-puissance présidentielle. Jouissant d'une légitimité et d'un soutien populaire importants, les membres de cette institution profitent du flou pour conquérir une parcelle du pouvoir et instaurer les prémices d'un contrepouvoir législatif. En effet, l'Instance décide de débattre des conditions de l'élection de l'ANC, de présenter des projets de loi et de tenter, à la manière d'une assemblée parlementaire, de contrôler l'action du Gouvernement 73 . Aucune institution n'aura les moyens de l'en empêcher.

Si cette première situation est loin d'être idéale, la quasi-totalité du pouvoir se trouvant entre les mains du couple exécutif, du moins le droit constitutionnel de transition et son interprétation par les acteurs instaurent-ils désormais un partage minimal du pouvoir.

Se révèle alors le caractère expérimental de la Constitution de transition. La reconnaissance du pluralisme politique, l'apprentissage de la négociation et la première apparition d'une distinction des pouvoirs sous l'oeil attentif ou non d'une juridiction constitutionnelle ne peuvent être indifférents aux rédacteurs de la future Constitution post-transition. Les 75 . D'autant que, si le Gouvernement peut être renversé lors de son investiture ou par une motion de censure, la dissolution de l'Assemblée, elle, n'est pas envisagée 76 . Cette consolidation de l'ANC au sein du régime se confirme à l'étude du pouvoir exécutif évoluant quant à lui en faveur du Premier ministre.

Alors que le président de la République est désormais élu par l'Assemblée, qu'il ne dispose plus que de rares compétences -bien souvent exercées après consultations du chef du Gouvernement, du président de l'Assemblée ou de l'Assemblée elle-même -et qu'il encourt le risque d'une révocation, le Premier ministre dispose d'importantes prérogatives au sein d'un Gouvernement qui « exerce le pouvoir exécutif » 77 . A priori, le Premier ministre -candidat présenté par le parti majoritaire au sein de l'ANC et nommé par le chef de l'État -serait donc devenu un acteur institutionnel important, contrepouvoir exécutif à l'Assemblée législative. Mais l'installation de la troïka permet aux trois partis politiques de placer leurs candidats sur l'ensemble de l'échiquier. Moncef Marzouki, jusque-là président du CPR devient président de la République. Le poste de chef du Gouvernement revient quant à lui au candidat du parti majoritaire, soit à Hamadi Jebali, secrétaire général d'Ennahdha. Enfin, le secrétaire général d'Ettakatol obtient le poste de président de l'ANC 78 . Pareille répartition du pouvoir entre les trois partis alliés permet difficilement de considérer ce régime comme instaurant une séparation des pouvoirs, l'ANC se trouvant être la véritable pièce maîtresse. La rédaction même de la Loi constituante sous-entend cette évolution, plaçant pour la première fois le pouvoir législatif et le pouvoir constituant avant le pouvoir exécutif dans l'ordre des Titres.

Si cette organisation des pouvoirs publics affirme l'indépendance du pouvoir législatif et un nouvel affaiblissement du président de la République, il n'en demeure pas moins que la toute-puissance réelle de la troïka a mené au blocage.

En révélant les tactiques politiciennes et la volonté de chacun de trouver une place au sein du fonctionnement institutionnel définitif, ces expériences constitutionnelles ont pu conduire les acteurs à intégrer la nécessité des procédures de contrôle et de contrepouvoirs institutionnels pour le bon fonctionnement d'un régime. Elles ont participé à la mise en place d'un système institutionnel tenant compte des enseignements de la transition. Ainsi, le président de la République, le Gouvernement et l'Assemblée des représentants du Peuple (« ARP ») voient leurs domaines de compétences clairement définis et soumis au contrôle de la Cour constitutionnelle 79 . Des mécanismes de freins et contrepoids classiques -tels que la dissolution, la question de confiance ou la motion de censure -sont instaurés, afin de limiter tant le pouvoir du Gouvernement que celui de l'ARP, mais adaptés. Le président devient un arbitre institutionnel -seul capable de prononcer la dissolution et de demander un renouvellement de confiance au Gouvernement -dont la responsabilité peut également être engagée 80 . Enfin, les conditions d'utilisation de ces procédures démontrent la recherche d'une stabilité gouvernementale permanente, permettant de diriger les affaires de l'État sans interruption. Par exemple, le vote d'une motion de censure doit être accompagné de la proposition d'un nouveau Premier ministre 81 . Il s'avère ainsi que la mise en application et l'observation des effets de la Constitution de transition sur la scène politique par les acteurs de la transition peuvent avoir un impact sur la rédaction de la Constitution post-transition. À ce titre, elle se révèle être une expérience, une première tentative dans la construction d'un régime démocratique. * Pour conclure, le caractère démocratisant de la Constitution de transition se révèle au travers des principes et des mécanismes démocratiques dont elle permet l'ébauche. Première pierre de la démocratie future, cette norme atypique remplit une fonction plus large que celle d'une Constitution classique, travaillant à l'aboutissement futur d'un processus tout en répondant à ses besoins présents. Dès lors, elle n'apparaît plus seulement comme une modalité de création du droit ou d'organisation du pouvoir politique, mais également comme un instrument de pacification, de réconciliation et de pédagogie. En ce sens, la Constitution de transition amène à une réflexion transcendant la théorie du droit constitutionnel et questionnant ses plus grands concepts.

  révolution, de la réforme politique et de la transition démocratique, Journal officiel de la République tunisienne, 2011, n o 24, 8 avril 2011. 25. E. Gobe, L. Chouikha, « La Tunisie de la Constitution aux élections : La fin de la transition politique ? », L'Année du Maghreb, 2015, n o 13, p. 261-282, § 1-3 ; E. Gobe, L. Chouikha, Histoire de la Tunisie depuis l'indépendance, Paris, La Découverte, 2015, p. 93-96. 26. G. Weichselbaum, X. Philippe, « Le processus constituant et la Constitution tunisienne du 27 janvier 2014 : un modèle à suivre ? », Maghreb -Machrek, 2015, n o 223, p. 49-69, p. 54. 27. H. M'rad, « Le Dialogue national : une autre révolution tranquille », en ligne : https://hatmrad.wixsite.com/science-politique/single-post/2015/02/13/Le-Dialogue-national%C2 %A0-une-autre-r%C3 %A9volution-tranquille, site consulté en mars 2019 ; Constitution de la République Tunisienne, promulguée le 27 janvier 2014, entrée en vigueur le 10 février 2014, publication en français, Journal officiel de la République tunisienne, n o spécial, 20 avril 2015.

  28. Voir S. Ben Nefissa, « Trajectoires transitionnelles et élections en Tunisie et en Égypte », Confluences Méditerranée, 2012, vol. 82, n o 3, p. 9-27 ; M. Besse, « L'écriture multilatérale des Constitutions, facteur de réussite des transitions démocratiques », art. cit. 29. Loi constituante n o 2011-6 du 16 décembre 2011, relative à l'organisation provisoire des pouvoirs publics, Journal officiel de la République tunisienne, 2011, n o 97, 23 décembre 2011. À titre d'exemple, il est possible de citer le choix du double vote au sein de l'ANC tunisienne : le projet constitutionnel doit d'abord être adopté article par article, avant de procéder à un vote sur l'ensemble du texte. 30. J.-P. Massias, « Le contrôle des processus constituants et du contenu des Constitutions : faut-il un gardien des processus constituants ? », Annuaire international de justice constitutionnelle 2014, Juges constitutionnels et doctrine, constitutions et transitions, Economica, 30/ 2014, 2015, p. 603-621, p. 604.

  39. Loi n o 93-001 du 2 avril 1993 portant Acte constitutionnel harmonisé relatif à la période de transition, idem, Préambule § 7 ; Acte constitutionnel de la transition, idem. Préambule § 7. 40. Voir G. De Villers, Zaïre, La transition manquée, 1990-1997, Paris, L'Harmattan, « Cahiers Africains » n o 27-28-29, « Zaïre, années 90 », vol. 1, 1997. 41. Voir P. Winter, Une cause sacrée. Le Dialogue intercongolais, 2000-2003, Paris, L'Harmattan, « Études Africaines », 2015 ; J.-C. Willame, Les « faiseurs de paix » au Congo. Gestion d'une crise internationale dans un État sous tutelle, Bruxelles, GRIP-Éditions Complexe, 2007. 42. Accord Global et Inclusif sur la Transition en République Démocratique du Congo, Journal officiel, n o spécial, 44 e année, 5 avril 2003 ; Constitution de la Transition, Journal officiel, n o spécial, 44 e année, 5 avril 2003, art. 80-81 : Le caractère particulièrement inclusif de cette transition est illustré par le système nommé « I +4 » mis en place pour l'exercice dimension délibérative. Elle implique idéalement que chaque décision ait fait l'objet d'une argumentation, d'un débat, avant d'être adoptée 43 .

  II -LA CONSTITUTION DE TRANSITION, INSTRUMENT D'ÉDIFICATION DES STRUCTURES DÉMOCRATIQUES L'objectif affiché lors de la mise en oeuvre d'une transition démocratique est la construction d'une démocratie électorale et respectueuse des droits de l'homme. Pour y parvenir, deux concepts constitutionnels doivent idéalement être instaurés : l'État de droit et la séparation des pouvoirs. Or, bien que ne pouvant les réaliser pleinement, la Constitution de transition participe à leur implantation. En effet, le recours au droit comme instrument d'encadrement du pouvoir politique (A) et l'organisation d'un système institutionnel rompant avec la pratique antérieure du pouvoir (B) forment deux premières expériences des structures démocratiques. A -LA CONSTRUCTION DE L'ÉTAT DE DROIT, UN PROCESSUS CONDITIONNEL Dans un contexte de démocratisation, confier le pouvoir politique à une institution et plus à un homme est primordial pour permettre par la suite l'exercice du « pouvoir du peuple, c'est-à-dire, concrètement, de l'ensemble des citoyens statuant majoritairement 49 ». Le fait que « [l]'État [soit] cette idée d'une puissance organisée de la communauté sur chacun de ses membres et d'une puissance permanente dissociée de son titulaire passager 50 » découle du déploiement d'un État de droit. Schématiquement, ce concept soutient l'encadrement par le droit constitutionnel du pouvoir exercé par les dirigeants, quand bien même seraient-ils élus. En ce sens, [l]'État de droit […] exige une structuration délibérée de la hiérarchie des normes : un encadrement déterminé des formes normatives par la Constitution formelle, des lois précises et traçant des limites exactes aux organes d'exécution, des juridictions habilitées à contrôler la conformité des normes individuelles et générales par rapport à toutes les exigences qui les concernent ainsi qu'à mettre en oeuvre la responsabilité des organes ayant violé leurs obligations 51 .

  66. Recueil des décisions de la Cour constitutionnelle de transition, années 2013-2017, publié sous le haut patronage de la Cour constitutionnelle. 67. Entretiens avec la professeur Danièle Darlan, présidente de la Cour constitutionnelle de la République centrafricaine, 19 janvier 2019 et 8 mars 2019.

  31. X. Philippe, « La démocratie constitutionnelle sud-africaine : un modèle ? », Pouvoirs, 2009, vol. 129, n o 2, p. 157-168, p. 158. 32. Sur la particularité du modèle de justice constitutionnelle d'Afrique du Sud et l'activité de la Cour constitutionnelle de transition, voir notamment F. Hourquebie, « La diffusion du constitutionnalisme en Afrique du Sud : une analyse à travers la décision de la Cour constitutionnelle du 6 juin 1995 portant inconstitutionnalité de la peine de mort », art. cit. ; X. Philippe, « La Cour constitutionnelle sud-africaine et le règlement des conflits », RFDC, 1996, n o 27, p. 461-463 ; X. Philippe, « La Cour constitutionnelle sud-africaine. Présentation de la Cour constitutionnelle sud-africaine », Les Cahiers du Conseil constitutionnel, n o 9, 2000.

33. Idem. 34. X. Philippe, « La démocratie constitutionnelle sud-africaine : un modèle ? », art. cit., p. 162-163.

  ». Il est un des piliers de la démocratie moderne, laquelle suppose l'existence de partis politiques capables d'exprimer et de défendre un projet36 . Or, s'il est souhaité dans le cadre d'un système fonctionnant selon une logique majoritaire, le pluralisme s'avère indispensable pour concevoir une réelle inclusivité. C'est parce que les différents protagonistes sont reconnus qu'ils doivent participer au processus, et réciproquement. L'analyse des deux transitions démocratiques en République Démocratique du Congo (« RDC ») entre 1992 et 1997, puis 2001 et 2006 illustre cette idée. Menée sous la domination du Maréchal Mobutu Sese Seko, la première découle de la libéralisation du régime autoritaire à la fin des années 1990. Autorisé -mais restreint -depuis le 18 juillet 1990 37 , le multipartisme est reconnu par les trois textes constitutionnels organisant successivement -et parfois simultanément -la transition 38 . L'inclusion se 35. O. Duhamel (dir.), Y. Meny (dir.), Dictionnaire constitutionnel, Paris, Puf, « Grands Dictionnaires », 1992, p. 256. 36. H. Kelsen, La Démocratie. Sa nature -sa valeur, op. cit., p. 29. 37. Loi 90/007 du 18 juillet 1990 portant organisation et fonctionnement des partis politiques, Journal officiel de la République du Zaïre, 1990-07, n o spécial : L'ouverture n'est pas totale cependant. Seuls trois partis politiques sont autorisés, avec plusieurs conditions préalables et restrictions concernant l'adhésion. 38. Acte portant dispositions constitutionnelles relatives à la période de transition, 4 août 1992, art. 7 ; Loi n o 93-001 du 2 avril 1993 portant Acte constitutionnel harmonisé relatif à la période de transition, Journal officiel de la République du Zaïre, n o spécial, 34 e année, avril 1993, art. 8 ; Acte constitutionnel de la transition, Journal officiel de la République du Zaïre, n o spécial, 35 e année, avril 1994, art. 7.

  Joseph Kabila tente de pallier ce défaut dès sa prise de pouvoir en janvier 2001. Il choisit de recourir immédiatement aux négociations, mais trouver un accord prend du temps : il faut plus de deux ans pour que le Dialogue intercongolais organisé sous l'égide de la Communauté internationale aboutisse à l'Accord politique global de 2003. Ce retard s'explique par les difficultés rencontrées par les acteurs au sujet d'une question clé : le nombre de représentants accordé à chaque partie.Dès le 4 mai 2001, la Déclaration des principes fondamentaux des négociations politiques intercongolaises de Lusaka pose le principe de l'égale représentation des participants aux négociations et du recours au consensus comme mode de décision. Par la suite, le pré-dialogue de Gaborone tenu au mois d'août 2001 précise plusieurs points procéduraux concernant le déroulement du Dialogue. L'ouverture de ce dernier est fixée au 15 octobre 2001 à Addis-Abeba. Mais, finalement en désaccord concernant les modalités de représentation de chaque partie, plusieurs acteurs sont absents -parmi lesquels Joseph Kabila et Étienne Tshisekedi -et un regain de tensions entraîne le report du processus. Ce n'est qu'au mois de février 2002 qu'un accord est finalement trouvé et que les négociations de fond commencent46 .Elles aboutissent plus d'un an plus tard, avec la mise en place par la Constitution de transition d'une ingénierie constitutionnelle complexe, fondée sur une inclusivité chirurgicale et le retour de la logique majoritaire. Toutefois, en réaction aux échecs connus durant le Dialogue intercongolais, l'usage du consensus est également programmé en « cas de désaccord entre l'Assemblée nationale et le Sénat ou en cas d'urgence déclarée par le Gouvernement » durant le processus législatif 47 , et pour réviser la Constitution de transition 48 .

	une frange des partisans d'Étienne Tshisekedi exclut de s'y associer. Un
	point d'achoppement en particulier rend tout dialogue impossible : le
	maintien du chef de l'État. L'éternel opposant au Grand Léopard estime
	que seule la Conférence nationale souveraine de 1992 jouit de la légiti-
	mité nécessaire à l'élaboration d'une nouvelle norme constitutionnelle,
	tandis que le Maréchal refuse d'envisager toute perte de pouvoir. Dès
	lors, l'incapacité à trouver un compromis -voire à aborder la question
	épineuse de la présidence -est également un facteur ayant mené à l'échec
	de la première transition démocratique zaïroise.
	Au même titre que pour l'inclusivité, 46. Voir P. Bouvier, F. Bomboko, Le Dialogue intercongolais. Anatomie d'une négociation à la
	lisière du chaos. Contribution à la théorie de la négociation, Paris, L'Harmattan, « Cahiers Afri-
	cains », n o 63-64, 2004 ; J. Omasombo Tshonda, N. Obotela Rashidi, « La "dernière" tran-
	sition politique en RDC », L'Afrique des Grands Lacs, Annuaire 2005-2006, 2006, p. 223-
	. O. Duhamel, Les Démocraties. Régimes, histoire, exigences, Paris, Éditions du Seuil, 259 ; V. Mbavu Muhindo, La RD Congo piégée. De Lusaka à l'AGI (1999-2005), Paris,
	« Science Politique », 1993, p. 331. L'Harmattan, « Points de vue concrets », 2005.
	44. M. Besse, Les transitions constitutionnelles démocratisantes. Analyse comparative, op. cit.,
	p. 270.
	45. Idem, p. 269.

47. Constitution de la Transition, Journal officiel, n o spécial, 44 e année, 5 avril 2003, art. 104. 48. Idem, art. 201.

  Ainsi au Niger, l'Ordonnance n o 2010-01 du 22 février 2010 « a valeur constitutionnelle 52 ». Les rédacteurs maliens, congolais, centrafricains et togolais ont préféré préciser que leurs textes doivent être exécutés « comme Constitution de l'État 53 ». Les Chartes tchadienne et 49. A.-M. Le Pourhiet, « Définir la démocratie », RFDC, 2011, n o 87, p. 453-464, p. 454. 50. O. Duhamel, Les Démocraties. Régimes, histoire, exigences, op. cit., p. 302. 51. L. Favoreu, P. Gaia, R. Ghevontian, J.-L. Mestre, O. Pfersmann, A. Roux, G. Scoffoni, Droit constitutionnel, Paris, Dalloz, 2013, 16 e éd., p. 91. 52. Ordonnance n o 2010-001 portant organisation des pouvoirs publics pendant la période de transition, Niamey, 22 février 2010, art. 18. 53. Acte fondamental n o 1/CTSP du 31 mars 1991, Journal officiel de la République du Mali, 30 avril 1991, p. 279-284, art. 64 ; Acte n o 7 du 23 août 1991 portant loi constitutionnelle organisant les pouvoirs durant la période de transition, Journal officiel de la République togolaise, 17 décembre 1991, p. 6-11, art. 70 ; Acte fondamental portant organisation des pouvoirs publics durant la période de transition, Journal officiel de la République du Congo, juin 1991, art. 91 ; Acte fondamental, 24 octobre 1997, Brazzaville, art. 86 ; Loi n o 13-001 portant Charte constitutionnelle de Transition, 18 juillet 2013, Bangui, art. 108. RCA.

  71. Décret-loi n o 2011-6 du 18 février 2011, portant création de l'instance supérieure pour la réalisation des objectifs de la révolution, de la réforme politique et de la transition démocratique, Journal officielde la République tunisienne, 2011, n o 013, 1 er mars 2011, art. 2. 72. Décret-loi n o 2011-6 du 18 février 2011, portant création de l'instance supérieure pour la réalisation des objectifs de la révolution, de la réforme politique et de la transition démocratique, Journal officiel de la République tunisienne, 2011, n o 013, 1 er mars 2011, art. 9. 73. S. B. Abdesselem, B. Nabli, « Tunisie : de la Révolution à la Constitution de la nouvelle République », TerraNova, 6 mai 2011, https://tnova.fr/system/contents/files/000/ 000/906/original/110428_-_Tunisie_de_la_r_volution___la_constitution_de_la_nouvelle_ R_publique_-_Abdesselem__Nabli.pdf?1437043084, site consulté en mars 2019 ; R. Ben Achour, S. Ben Achour, « La transition démocratique en Tunisie : entre légalité constitutionnelle et légitimité révolutionnaire », RFDC, 2012, n o 92, p. 715-732, p. 720-721.obstacles ou réussites rencontrés pendant la transition constitutionnelle donnent parfois lieu à une adaptation des mécanismes classiques du droit constitutionnel, démontrant ainsi l'importance de la Constitution de transition dans la construction du futur régime.En ce sens, en Tunisie, à la suite de l'émergence hasardeuse d'un pouvoir législatif entre mars et octobre 2011, la seconde phase de transition rencontre de nouveaux blocages qui conduiront à l'apparition de nouveaux mécanismes dans la Constitution du 27 janvier 2014.En effet, le Décret-loi n o 2011-14 cessant de s'appliquer sitôt l'ANC élue, cette dernière se charge d'instituer un second régime politique provisoire, sans qu'aucune restriction ne soit imposée par le régime constitutionnel précédent. Les élections du 23 octobre 2011 voient la victoire de la troïka, qui fait alors logiquement et légalement le choix d'un agencement lui étant favorable au sein de la Loi constituante n o 2011-6 74 . Sont observés un renforcement notable de l'Assemblée législative et une importante soumission du pouvoir exécutif. Jusque-là dominantes, les institutions exécutives perdent toute indépendance, ce qui se traduit par une nouvelle absence de contrepouvoirs.Selon la Loi constituante n o 2011-06, l'ANC devient titulaire du pouvoir constituant, du pouvoir législatif et d'une partie du pouvoir exécutif. Même s'il existe une distinction claire entre les compétences exécutives et législatives, ces dernières sont suffisamment englobantes pour que le président de la République et son gouvernement se trouvent en réalité largement démunis

  74. E. Gobe, L. Chouikha, Histoire de la Tunisie depuis l'indépendance, op. cit., p. 87-90 : le parti Ennahdha arrive en tête avec 89 sièges, suivi du CPR avec 29 sièges et Ettakatol avec 20 sièges. 75. Loi constituante n o 2011-6 du 16 décembre 2011, relative à l'organisation provisoire des pouvoirs publics, JORT 2011 n o 097, 23 décembre 2011, art. 6. 76. Idem, art. 15-19. 77. Idem, art. 10-11-17.

  78. E. Gobe, L. Chouikha, Histoire de la Tunisie depuis l'indépendance, op. cit., p. 91-92. 79. Constitution de la République tunisienne, promulguée le 27 janvier 2014, entrée en vigueur le 10 févier 2014, publication en français, Journal officiel de la République tunisienne, n o spécial, 20 avril 2015, art. 65-77-78-92. 80. Idem, art. 88-89-99. 81. Idem, art. 97.

© Presses Universitaires de France | Téléchargé le 28/11/2022 sur www.cairn.info via Université de Pau (IP: 194.167.156.15) © Presses Universitaires de France | Téléchargé le 28/11/2022 sur www.cairn.info via Université de Pau (IP: 194.167.156.15)


Henri Prade
email: prade@irit.fr

Gilles Richard
email: richard@irit.fr

Proportional reasoning in a Boolean setting

Extrapolations are often based on parallels made between two situations that are thus compared. Comparative information may pertain to similarities as well as to dissimilarities. Analogical proportions, i.e., statements of the form "A is to B as C is to D", provide a natural way for stating such a parallel. In the Boolean setting, logical proportions, a recently introduced notion that generalizes the idea of analogical proportion, relate four objects through the conjunction of two equivalences between comparison indicators expressing similarities or dissimilarities. Among the 120 existing logical proportions, we identify the ones that are suitable candidates for getting a unique D from C and comparison indicators whose values are obtained from A and B. In order to provide a new introduction to the idea of logical proportion, we first investigate comparative reasoning about objects described in terms of Boolean properties. More precisely, thanks to comparative information that we may have about an object w.r.t. another known object, it is sometimes possible to complete the information we have regarding the initial object.

Introduction

Extrapolation is often used in a numerical setting for predicting values. Extrapolation in a logical setting has not been much investigated, up to the exception of few recent works [START_REF] Schockaert | Interpolative and extrapolative reasoning in propositional theories using qualitative knowledge about conceptual spaces[END_REF][START_REF] Schockaert | Completing rule bases using analogical proportions[END_REF] for completing rule bases with new rules. Analogical proportions, i.e. statements of the form "A is to B as C is to D", provide a way of extrapolating D from A, B and C, when the analogical proportion relating the four items has been cast in a logical form [START_REF] Miclet | Handling analogical proportions in classical logic and fuzzy logics settings[END_REF]. The logical expression of an analogical proportion has been shown to be an important particular case of the remarkable notion of logical proportion which has been recently introduced [START_REF] Prade | Reasoning with logical proportions[END_REF][START_REF] Prade | From analogical proportion to logical proportions[END_REF][START_REF] Prade | Homogenous and heterogeneous logical proportions[END_REF]. The general form of a logical proportion is a conjunction of two equivalences between comparison indicators expressing similarities or dissimilarities pertaining to pairs of Boolean variables (A, B) and (C, D). Thus logical proportions appear to be of interest for comparative reasoning.

Comparative thinking is pervasive in human mind. It plays a key role in our appraisal of situations, but also in taxonomic reasoning and extrapolative reasoning. A simple form of comparative reasoning amounts to reconstruct the description of an object from the result of comparisons with another object. It is this latter type of reasoning that we more particularly discuss in the first part of the paper in order to provide a new introduction to the idea of logical proportion, before identifying the logical proportions that have an extrapolative power.

Given a collection U of Boolean properties, it is a common practice to describe an object A by a set a of properties that this object satisfies. Thus, a is a representation of A, where a is a subset of U. Note that a = ∅ or a = U are not forbidden, since A may have none of the properties in U, or all of them. Having all the characteristics of A w.r.t. the properties in U means that we have a complete knowledge of a (with respect to the conceptual space induced by U). But it may be the case that we have no direct information at our disposal about A, but only some comparative information with respect to another known object B (i.e., where b is known w.r.t. U).

Obviously, if we know that A is identical to the known object B, then a = b and we are done. On the other hand, if we know that A is the exact opposite of B, then we are done again with a = U \ b = b (in the following b denotes set complementation). But, in general, we may only have information about partial match and/or partial mismatch. For instance, A shares (or does not share) some properties with another known object B: they are both red, they have both wheels, A has no engine but B has one, etc.

From that perspective, there are only 4 types of comparative information between 2 objects A and B:

the properties that A and B share: a ∩ b; the properties that A has but that B does not have: a ∩ b; the properties that B has but that A does not have: a ∩ b; the properties that neither A nor B have: a ∩ b.

In the following, we assume that the information is complete (with respect to U) about some of the above comparison indicators. For instance, we know all the properties in U that A and B share. In a k-nearest neighbors-like approach for instance, if a ∩ b and a ∩ b are "sufficiently" large, then we infer that some unknown property of A outside U is the corresponding one for B. For instance, if we know that they are both red, they have both wheels and that B is a vehicle then we may infer that A is plausibly a vehicle as well. This approach, focusing on the similarities between A and B, is indeed quite successful in classification.

But, in this paper, we want to take into account other kinds of comparative knowledge, not only similarities, but also dissimilarities. Our primary aim is to devise a rigorous method to get accurate information regarding A starting from some of the previous types of comparative information.

The paper is organized as follows. In Section 2, we investigate how we can comparatively describe an object A w.r.t. another object B with the help of the different types of comparative information, and we determine, by easy Boolean calculations, in what cases the description of an object may be recovered from the description of another object and the knowledge of two comparative indicators relating them. We also establish a strong link with logical proportions: these proportions will become the backbone of our ampliative reasoning method. In Section 3, we provide a short background on logical proportions, highlighting some of their remarkable properties. In Section 4, in relation with our initial problem, we investigate the way to solve Boolean equations involving logical proportions, and identify the proportions suitable for extrapolation. After listing and discussing problems of interest in relation with extrapolation in Section 5, we suggest a generic transduction / extrapolation rule in Section 6, which, when combined with the equation solving process, provides a potential basis for implementing classifiers, for performing matrix abduction, and more generally for achieving prediction tasks.

Indicators as comparative descriptors

The 4 expressions given in the introduction provide comparative information regarding A and B and we call them set indicators or indicators for short. We have two types of indicators:

a ∩ b and a ∩ b telling us about properties that both A and B have, or that both A and B do not have: we call them similarity indicators, -a ∩ b and a ∩ b telling us about properties that only one among A and B has: we call them dissimilarity indicators.

We notice that the union of the 4 indicators is just U and the intersection of any 2 indicators is empty.

Basic elements of a theory of set indicators

Let us here denote s, t, u, v the four set indicators pertaining to a and b: s = a ∩ b, u = a ∩ b, v = a ∩ b, and t = a ∩ b. Considering that a set indicator can be empty or not, we have 4 × 2 = 16 configurations that we describe in Table 2.1.

To each indicator i ∈ {s, t, u, v}, we can associate a Boolean variable i defined as:

i = 1 if i = ∅ and i = 0 otherwise. configuration s = u = v = t = a ∩ b = ∅ a ∩ b = ∅ a ∩ b = ∅ a ∩ b = ∅ 1 a ∩ b = ∅, a ⊆ b; 1 1 1 1 b ⊆ a; a ∪ b = U 2 a ∩ b = ∅, a ⊆ b; 1 1 1 0 b ⊆ a; a ∪ b = U 3 b ⊂ a ⊂ U 1 1 0 1 4 b ⊂ a; a = U 1 1 0 0 5 a ⊂ b ⊂ U 1 0 1 1 6 a ⊂ b; b = U 1 0 1 0 7 a = b ⊂ U 1 0 0 1 8 a = b = U 1 0 0 0 9 a ∩ b = ∅; a ∪ b = U 0 1 1 1 10 a ∩ b = ∅; a ∪ b = U 0 1 1 0 11 a ⊂ X; b = ∅; 0 1 0 1 12 a = X; b = ∅ 0 1 0 0 13 a = ∅; b ⊂ U 0 0 1 1 14 a = ∅; b = U 0 0 1 0 15 a = b = ∅; U = ∅ 0 0 0 1 16 a = b = ∅ = U 0 0 0 0 Table 1. Respective configurations of two subsets
Then the following properties can also be checked in Table 1.

max(s , t , u , v ) = 1.
This means that the four set indicators cannot be simultaneously empty, except if the referential U is empty which corresponds to line 16 in Table 1. In logical terms we have:

s ∨ t ∨ u ∨ v ≡ . If a = ∅, b = ∅, a = U, b = U, we have max(n(u ), n(v )) ≤ min(s , t ).
where n(x) = 1 if x = 0 and n(x) = 0 if x = 1. A counterpart of this property holds in possibility theory and have also been noticed in formal concept analysis [START_REF] Dubois | Possibility theory and formal concept analysis: Characterizing independent sub-contexts[END_REF]. This corresponds to lines 1, 2, 3, 5, 7, 9, 10 in Table 1. This also corresponds to the 5 possible configurations of two non-empty subsets a and b (lines 1, 3, 5, 7, 9), first identified by Gergonne [START_REF] Gergonne | Essai de dialectique rationnelle[END_REF][START_REF] Faris | The Gergonne relations[END_REF] when discussing syllogisms, plus two configurations (lines 2, 10) where

a ∪ b = U (but where a = U, b = U).
Is should be also noticed that a subset a can be defined from another subset b, with the help of some of its positive and negative similarities s and t with a, and its differences u and v, in many different ways:

a = s ∪ u a = v ∪ t a = s ∪ (b ∩ t) a = v ∪ (b ∩ u) = u ∪ (b ∩ v)
The four indicators s, t, u, v are thus jointly necessary for describing all the situations pertaining to the relative position of two subsets.

Minimal number of indicators for recovering a subset

It is quite clear that, knowing b and having only one indicator cannot give us the complete knowledge of a. For instance, there is not a unique subset a such that s = a ∩ b is given.

In order to get an accurate view of A starting from comparative information w.r.t. B, we need at least 2 of them. So our problem can now be stated as follows: what are the pairs of indicators which could lead to a complete knowledge of A? More formally, what are the pairs of indicators

(i 1 , i 2 ) such that a is a function of b, i 1 , i 2 ?
As we have 4 indicators, we have 4 choices for i 1 and then 3 remaining choices for i 2 leading to a total of 12 options. But as the problem is entirely symmetrical in i 1 and i 2 , we have only 6 cases to manage.

1. i 1 = a ∩ b and i 2 = a ∩ b: in that case, we compute a = (a ∩ b) ∪ (a ∩ b) = i 1 ∪ i 2
as the unique solution. 2. i 1 = a ∩ b and i 2 = a ∩ b: in that case, the solution is not unique for a. In other words, we do not have enough information for computing a.

3. i 1 = a ∩ b and i 2 = a ∩ b: we start from a = (a ∩ b) ∪ (a ∩ b) = i 1 ∪ (a ∩ b), but a ∩ b = (a ∪ b) ∩ b = i 2 ∩ b = i 2 ∪ b leading to a unique a = i 1 ∪ i 2 ∪ b. 4. i 1 = a ∩ b and i 2 = a ∩ b: starting from a = (a ∩ b) ∪ (a ∩ b) = (a ∩ b) ∪ i 1 . Since b = (a ∩ b) ∪ (a ∩ b) = (a ∩ b) ∪ i 2 , we have (a ∩ b) = b \ i 2 leading to the unique solution a = i 1 ∪ (b \ i 2 ). 5. i 1 = a ∩ b and i 2 = a ∩ b: this case is the dual of case 2 where b is replaced with b.
Similarly, the solution is still not unique.

6. i 1 = a ∩ b and i 2 = a ∩ b: obviously a = i 1 ∪ i 2 then a = i 1 ∪ i 2 .
As we can see, there are only 4 pairs of indicators leading to a unique a (we recognize the expressions of the previous subsection), while the 2 remaining pairs are not informative enough to uniquely determine the set a.

It could also happen that the given disjoint subsets i 1 ⊂ U and i 2 ⊂ U are themselves indicators for other objects C and D different from A and B. A related question arises: given 2 disjoint subsets i 1 and i 2 , can we always find a pair of objects (C, D) such that i 1 and i 2 are the values of indicators for the pair (C, D)?

In fact the answer to this question is positive and can be proved as follows. Considering only similarity indicators, let us look for a pair Finally, since the power set 2 U is just a Boolean lattice, it is convenient to reword the problem in a simple Boolean setting. When turning to a Boolean framework, ∩ is translated into ∧, ∪ into ∨, and = into ≡. We keep the complementation overbar, as a compact notation, for negation. Ultimately, equivalences between indicators lead to the notion of logical proportion. Let us investigate this Boolean view in the next section.

(C, D) such that c ∩ d = i 1 and c ∩ d = i 2 , knowing that i 1 ∩ i 2 = ∅.

Brief background on logical proportions

120 logical proportions

As shown in the introductory discussion, it makes sense to consider at least 2 equalities to be in a position to compute d. As a consequence, it is legitimate to consider all the conjunctions of 2 equivalences between indicators: such a conjunction is called a logical proportion [START_REF] Prade | Reasoning with logical proportions[END_REF][START_REF] Prade | Logical proportions -Typology and roadmap[END_REF] Since we have to choose 2 distinct equivalences among 4 × 4 = 16 possible ones for defining a logical proportion, we have [ 16 2 ] = 120 such proportions and it has been shown that they are all semantically distinct. Consequently, if two proportions are semantically equivalent, they have the same expression as a conjunction of two equivalences between indicators (up to the symmetry of the conjunction). Then a logical proportion is just a particular Boolean formula involving 4 variables and as such, has a truth table with 16 lines. It has been shown [START_REF] Prade | From analogical proportion to logical proportions[END_REF] that an equivalence between 2 indicators has exactly 10 lines leading to 1 in its truth table and any logical proportion has exactly 6 lines leading to 1 in its truth table.

First of all, depending on the way the indicators are combined, different types of logical proportions are obtained [START_REF] Prade | Logical proportions -Typology and roadmap[END_REF][START_REF] Prade | From analogical proportion to logical proportions[END_REF]. There are

The 4 homogeneous logical proportions

When we add the constraint of considering homogeneous equivalences only, i.e., considering logical proportions that involve only dissimilarity, or only similarity indicators, 4 logical proportions remain which are listed below with their name: analogy: A(a, b, c, d), defined by

((a ∧ b) ≡ (c ∧ d)) ∧ ((a ∧ b) ≡ (c ∧ d))
reverse analogy: R(a, b, c, d), defined by

((a ∧ b) ≡ (c ∧ d)) ∧ ((a ∧ b) ≡ (c ∧ d))
paralogy: P (a, b, c, d), defined by

((a ∧ b) ≡ (c ∧ d)) ∧ ((a ∧ b) ≡ (c ∧ d))
inverse paralogy: I(a, b, c, d), defined by

((a ∧ b) ≡ (c ∧ d)) ∧ ((a ∧ b) ≡ (c ∧ d))
Reverse analogy expresses that "a differs from b as d differs from c", and conversely; paralogy expresses that "what a and b have in common, c and d have it also". The inverse paralogy expresses a complete opposition between the pairs (a, b) and (c, d). The truth tables of these homogeneous proportions are recalled in Table 2, where we only show the lines leading to truth value 1. The following proposition, easily deducible from the definition, establishes a link between analogy, reverse analogy and paralogy (while inverse paralogy I is not related to the 3 others through a simple permutation): A R P I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 Table 2.
Analogy, Reverse analogy, Paralogy, Inverse Paralogy truth tables It is not the aim of this paper to investigate the whole set of properties of this class of Boolean formulas, nevertheless we recall in Table 3 the basic behavior which could be expected from these proportions.

To conclude this section, let us note that the analogical proportion is the Boolean counterpart of the numerical proportion a b = c d . As such, it is expected that this proportion enjoys a property similar to the well known rule of three for numerical proportions: knowing 3 of the variables, we can compute a 4th one in order to build up a proportion. This is obviously linked to our initial problem where we want to derive some missing information. We will investigate this issue in Section 4.

T ( - → a , - → b , - → c , - → d ) iff ∀i ∈ [1, n], T (a i , b i , c i , d i )
where 3) is still valid:

- → x = (x 1 , • • • , x n ) for x = a
T ( - → a , - → b , - → c , - → d ) → T ( - → a , - → c , - → b , - → d )

Equation solving process

As said in the introduction, the main problem we want to tackle is to compute missing information starting from existing one. In the context of logical proportions, the equation solving problem can be stated as follows.

Given a logical proportion T and 3 Boolean values a, b, c, does it exist a Boolean value x such that T (a, b, c, x) = 1, and in that case, is this value unique?

This is what we call the equation solving problem. First of all, it is easy to see that there are always cases where the equation has no solution. Indeed, the triple a, b, c may take 2 3 = 8 values, while any proportion T is true only for 6 distinct valuations, leaving at least 2 cases with no solution. For instance, when we deal with analogy A, the equations A(1, 0, 0, x) and A(0, 1, 1, x) have no solution.

When the equation T (a, b, c, x) = 1 is solvable, a proportion T which has a unique solution will be said univocal. The following proportion is not univocal as can be seen on its truth table (Table 4), despite the fact that it satisfies full identity, reflexivity, symmetry and transitivity:

((a ∧ b) ≡ (c ∧ d)) ∧ ((a ∧ b) ≡ (c ∧ d)).
We have the following result:

Proposition 2 There are exactly 64 univocal proportions (including the homogeneous ones). They are the 4 homogeneous proportions, 8 conditional proportions, 12 hybrid proportions, 24 semi-hybrid proportions, and 16 degenerated proportions.

0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 Table 4. A non univocal proportion
The formal expressions of the 60 non homogeneous univocal proportions are given in the Appendix at the end of the paper.

When considering only the homogeneous proportions A, R, P, I, we have a more detailed result: (already shown in [START_REF] Prade | Reasoning with logical proportions[END_REF] except for I):

Proposition 3 The analogical equation A(a, b, c, x) is solvable iff (a ≡ b) ∨ (a ≡ c) holds. The reverse analogical equation R(a, b, c, x) is solvable iff (b ≡ a) ∨ (b ≡ c) holds. The paralogical equation P (a, b, c, x) is solvable iff (c ≡ b) ∨ (c ≡ a) holds.
In each of the three above cases, when it exists, the unique solution is given by

x = c ≡ (a ≡ b), i.e. x = a ≡ b ≡ c. The inverse paralogical equation I(a, b, c, x) is solvable iff (a ≡ b) ∨ (b ≡ c) holds. In that case, the unique solution is x = c ≡ (a ≡ b).
As we can see, the first 3 homogeneous proportions A, R, P behave similarly. Still, the conditions of their solvability differ. Moreover, it can be checked that at least 2 of these proportions are always simultaneously solvable. Besides, when they are solvable, there is a common expression that yields the solution. This again points out a close relationship between A, R, and P . This contrasts with proportion I which in some sense behaves in an opposite manner.

When moving to B n , the previous result remains valid, i.e. for 64 proportions, the equation T ( -→ a , -→ b , -→ c , -→ x ) = 1 has at most one solution.

From an inference perspective, the equation solving property is the main tool: when we have 3 known objects A, B, C and another one D whose properties are unknown, but we have the information that T (A, B, C, D) for a given univocal proportion, then we can compute D.

Let us start with an example to highlight the link with our initial problem. Let us assume B n contains 6 properties such that every object can be represented as a 6 digits Boolean vector. For instance the object C is represented by the vector c = 100110. Another object D is unknown but we have some comparative information w.r.t. C : for instance we know c ∩ d i.e. the properties that C and D share: c ∩ d = 100100. And we know c ∩ d = 000010. We are exactly in the case 2 of section 2 and we cannot recover D as 3 components are not deducible as shown in Table 5. This is coming for instance from the fact that we have no information regarding the properties which do not belong to C.

c 1 0 0 1 1 0 c ∩ d 1 0 0 1 0 0 c ∩ d 0 0 0 0 1 0 d 1 ? ? 1 0 ?
Table 5. Non computable solution But in the case where we know c ∩ d = 010000, we recover D as in Table 6 where the set d is just

(c ∩ d) ∪ c ∩ d ∪ c. c 1 0 0 1 1 0 c ∩ d 1 0 0 1 0 0 c ∩ d 0 1 0 0 0 0 d 1 0 1 1 0 1 Table 6. Computable solution

Existence of a logical proportion linking 4 Boolean vectors

Now we are back to our initial framework of objects represented as collection of Boolean properties. In that case, an object A is represented as a Boolean vector and then belongs to B n where n is just the cardinal of U (the whole set of properties) We then can provide a list of relevant problems we may need to solve:

1. Given 4 objects A, B, C, D, is there a proportion T among the 120 proportions, such that T (a, b, c, d)? 2. If the answer to question 1 is "Yes", can we exhibit such a proportion? 3. If the answer to question 1 is "Yes", is such a proportion unique? 2 From a practical viewpoint, as soon as we observe this class appearing as a part of the n valuations (a i , b i , c i , d i ), we know that there is no suitable proportion.

If m = 5 or m = 6, we get 0 or 1 candidate proportion.

Induction with proportions

We can now adopt a viewpoint, similar in some sense to the k-nearest neighbors philosophy, where we infer unknown properties of a partially known object D starting from the knowledge we have about its other specified properties. This induction principle can be stated as follows (where

J is a subset of [1, n]): ∀i ∈ [1, n] \ J, T (a i , b i , c i , d i ) ∀i ∈ J, T (a i , b i , c i , d i )
This can be seen as a continuity principle assuming that if it is known that a proportion holds for some attributes, this proportion should still holds for the other attributes. It is in some sense similar to the inference principle defined in [START_REF] Stroppa | Analogical learning and formal proportions: Definitions and methodological issues[END_REF][START_REF] Stroppa | An analogical learner for morphological analysis[END_REF] in the case of the analogical proportion.

Let us now explain how we can use this inference principle to predict missing information for a given object D. Suppose the known part of D are the attributes belonging to [1, n] \ J, the unknown part being the attributes belonging to J: if we are able to find a triple of known objects A, B, C and a univocal proportion T satisfying the premisses of the rule, we solve the equations T (a i , b i , c i , x i ) for every i ∈ J, and the (unique) solution is considered to be the value of d i .

A particular case of this inductive principle has been implemented for classification purposes, i.e., when there is only one missing information which is the class of the object. Diverse approaches have been implemented, mainly using homogeneous proportions, all of them relaxing the induction principle to allow some flexibility: one can cite [START_REF] Bayoudh | Learning by analogy: A classification rule for binary and nominal data[END_REF] using analogical proportion only, [START_REF] Moraes | Classification based on homogeneous logical proportions[END_REF] using the 4 homogeneous. In terms of accuracy, it appears that the results are similar when using A, R, P , while I exhibits a different behavior. The prediction of missing values, using A, has been recently experimented with success [START_REF] Beltran | Estimating null values in relational databases using analogical proportions[END_REF] This leads us to the question of choosing the most suitable proportion for a given dataset. We can also consider other proportions among the 60 remaining univocal ones. These proportions express different kinds of regularities, which may be more or less often encountered in datasets. Some of them could also appear as suitable candidates for classification purposes or for completing missing values. The respective roles of the univocal logical proportions is a topic for further research. Generally speaking, the proposed approach tends to indicate the possibility of transposing the idea of proportional reasoning from numerical settings to Boolean or nominal worlds.

We have outlined a systematic discussion of the interest of logical comparison indicators, and of their potential value for reasoning tasks such as classification or completion of missing information. We have emphasized the role of logical proportions in these reasoning tasks exploiting similarities and dissimilarities. In particular, we have identified the univocal logical proportions that are the basic tool in that respect.

Appendix

The 60 univocal non-homogeneous proportions.

  The second equation is equivalent to c ∪ d = t * where t * = i 2 , and the problem can be restated as a well known equivalent one:Knowing that i 1 ⊆ t * , find 2 sets c and d such that: c ∩ d = i 1 and c ∪ d = t * . It is well known that this problem has solutions (generally not unique).This simple property allows us to change the setting of our initial problem since it appears that having the values of 2 indicators for a pair (A, B) is equivalent to have 2 equalities between indicators for the pair (A, B) and indicators for another pair (C, D).

  Adopting a Boolean notation, for a given pair of Boolean variables (a, b), we have 4 distinct indicators: a ∧ b and a ∧ b that we call similarity indicators, a ∧ b and a ∧ b that we call dissimilarity indicators. Following the set analysis, comparing a pair of variables (a, b) to another pair (c, d) is done via a pair of equivalence between indicators.

  . More formally, let I (a,b) and I (a,b) 1 (resp. I (c,d) and I (c,d) ) denote 2 indicators for (a, b) (resp. (c, d)). Definition 1 A logical proportion T (a, b, c, d) is the conjunction of 2 distinct equivalences between indicators of the form (I (a,b) ≡ I (c,d) ) ∧ (I (a,b) ≡ I (c,d) )

- 4

 4 homogeneous proportions that involve only dissimilarity, or only similarity indicators: analogy A, reverse analogy R, paralogy P and inverse paralogy I (see definitions below). -16 conditional proportions defined as the conjunction of an equivalence between similarity indicators and of an equivalence between dissimilarity indicators, as, e.g., ((a ∧ b) ≡ (c ∧ d)) ∧ ((a ∧ b) ≡ (c ∧ d)), which expresses that the two conditional objects 2 b|a and d|c have the same examples (1st condition) and the same counterexamples (2nd condition). -20 hybrid proportions obtained as the conjunction of two equivalences between similarity and dissimilarity indicators, as in the following example: a ∧ b = c ∧ d and a ∧ b = c ∧ d. -32 semi-hybrid proportions for which one half of their expressions involve indicators of the same kind, while the other half requires equivalence between indicators of opposite kinds, as, e.g., a ∧ b = c ∧ d and a ∧ b = c ∧ d. -48 degenerated proportions whose definition involves 3 distinct indicators only.

Proposition 1 A

 1 (a, b, c, d) ↔ R(a, b, d, c) and A(a, b, c, d) ↔ P (a, d, c, b).

  symmetry T (a, b, c, d) → T (c, d, a, b) 12 A, R, P, I central permutation T (a, b, c, d) → T (a, c, b, d) 16 A, I all permutations ∀i, j, T (a, b, c, d) → T (pi,j(a, b, c, d)) 1 I transitivity T (a, b, c, d) ∧ T (c, d, e, f ) → T (a, b, e, f ) 54 A, P code independency T (a, b, c, d) → T (a, b, c, d) 8 A, R, P, I

  , b, c, and d. All the previous properties of Boolean proportions remains valid for their counterpart in B n : For instance, if T = A, then the central permutation property (see Table

4 .

 4 Given 3 objects A, B, C and a proportion T , can we compute an object D such that T (A, B, C, D)? (i.e. is T a univocal proportion?) Reasoning about the first problem is relatively straightforward. As soon as we have the Boolean representation a, b, c, d of A, B, C, D, we have to consider the n valuations (a i , b i , c i , d i ) corresponding to the components of a, b, c and d. Among these n valuations, some can be identical: so let us denote m the number of distinct valuations among these n valuations. Obviously, if m > 7, there is no proportion such that T (a, b, c, d) since only 6 valuations can lead a given proportion to true. If m = 1, we have exactly 45 candidate proportions. If m = 2, we have exactly 15 candidate proportions. If m = 3, we have 3 or 6 candidate proportions. If m = 4, the landscape is a bit different. Obviously, we cannot get more than 6 proportions, but some combinations lead to 0 candidate proportion. In fact, we can have 0, 1, 3 or 6 candidate proportions. For instance: Lemma A logical proportion cannot satisfy the class of valuation {0111, 1011, 1101, 1110} or the class {1000, 0100, 0010, 0001}. Proof: It is enough to show that this is the case for an equivalence between indicators. So let us consider such an equivalence l 1 ∧ l 2 ≡ l 3 ∧ l 4 . If this equivalence is valid for {0111, 1011}, it means that its truth value does not change when we switch the truth value of the 2 first literals from 0 to 1: there are only 2 indicators for a and b satisfying this requirement: a ∧ b and a ∧ b. On top of that, if this equivalence is still valid for {1101, 1110}, it means that its truth value does not change when we switch the truth value of the 2 last literals from 0 to 1: there are only 2 indicators for c and d satisfying this requirement: c ∧ d and c ∧ d. Then the equivalence l 1 ∧ l 2 ≡ l 3 ∧ l 4 is just a ∧ b ≡ c ∧ d, a ∧ b ≡ c ∧ d, a ∧ b ≡ c ∧ d or a ∧ b ≡ c ∧ d. None of these equivalences satisfies the whole class {0111, 1011, 1101, 1110}. The same reasoning applies for the other class.

- 8

 8 conditional proportions:(a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) ; (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) ; (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) ; (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) ; (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) -12 hybrid proportions: (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) ; (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) ; (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) ; (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) ; (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) ; (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) ; (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) -24 semi-hybrid proportions: (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) ; (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) ; (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) ; (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) ; (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) ; (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) ; (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) ; (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) ; (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) ; (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) ; (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) ; (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) ; (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) -16 degenerated proportions: (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) ; (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) ; (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) ; (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) ; (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) ; (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) ;(a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) ; (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d) ; (a ∧ b ≡ c ∧ d) ∧ (a ∧ b ≡ c ∧ d)

Table 3 .

 3 Properties of logical proportions3.3 Extension to B nIt is unlikely that we can represent objects in practice with only one property. In standard datasets, objects are represented by Boolean vectors, and it does make sense to extend the previous framework to B n . The simplest way to do it is to consider a definition involving componentwise proportions as follows (where T denotes any proportion and

	-→ a ,	-→ b , -→ c and	-→ d are in B n ):

Note that I (a,b) (or I (a,b) ) refers to one element in the set {a ∧ b, a ∧ b, a ∧ b, a ∧ b}, and should not be considered as a functional symbol: I (a,b) and I (c,d) may be indicators of two different kinds. Still, we use this notation for the sake of simplicity.

A conditional object b|a can take three truth values: true if a ∧ b is true, false if a ∧ ¬b is true, not applicable if a is false; it may be intuitively thought as representing the rule "if a then b"[START_REF] Dubois | Conditional objects as nonmonotonic consequence relationships[END_REF].