Jesbeer Kallungal

Laurent Chazeau
email: laurent.chazeau@insa-lyon.fr

Jean-Marc Chenal

Jérôme Adrien

Eric Maire

Claire Barrès

Bernard Cantaloube

Patrick Heuillet

Fabien Wilde

Julian Moosmann

Timm Weitkamp

In situ observation of microscopic damage and crack initiation mechanisms in a filled EPDM

The paper presents a precise 3D quantification of damage evolution and eventual crack initiation due to metallic oxide particles and filler agglomerates in a peroxide crosslinked filled EPDM during uniaxial solicitation, thanks to synchrotron radiation X-Ray Tomography. An insitu tensile study using this technique reveals polymer debonding at the poles of all metallic oxide particles upon stretching. The cavities caused by this decohesion do not lead to crack initiation since they grow parallel to the applied stress direction. Conversely, crack always initiates from carbon black agglomerates (CBaggl). The crack initiation mechanism is a three step process that begins with the nucleation of cavities inside the CBaggl upon stretching. This is followed by the growth of these cavities which brings about the fracture of the agglomerates.

Finally, this fracture can lead to the creation of a matrix crack at the origin of the material rupture. It is also confirmed that CBaggl that initiate the critical crack in the material are the biggest sized CBaggl and are located close to the edges of the sample.

INTRODUCTION

In various applications, elastomers are required to withstand high strain deformation during different types of solicitations. Incorporation of reinforcing fillers is an efficient way to improve their rupture and fatigue properties during such solicitations [START_REF] Medalia | Morphology of aggregates. VII. Comparison chart method for electron microscopic determination of carbon black aggregate morphology[END_REF][START_REF] Medalia | Effect of Carbon Black on Ultimate Properties[END_REF][START_REF] Dizon | The Effect of Carbon Black Parameters on the Fatigue Life of Filled Rubber Compounds[END_REF]. If the fillers disperse improperly, they will remain as filler agglomerates. The existence of these agglomerates is inevitable in industrially produced materials [START_REF] Astruc | Étude rhéo-optique des mécanismes de dispersion de mélanges sous cisaillement simple . 1 Mélanges concentrés de polymères immiscibles . 2 Mélanges polymères-charges poreuse[END_REF][START_REF] Collin | New insights in dispersion mechanisms of carbon black in a polymer matrix under shear by rheo-optics[END_REF]. They are known to be crack precursors and are considered as defects in elastomer materials. Apart from these, there are other defects like metallic oxides particles, micro-bubbles and voids of different shapes [START_REF] Dizon | The Effect of Carbon Black Parameters on the Fatigue Life of Filled Rubber Compounds[END_REF][START_REF] Cam | Fatigue damage in carbon black filled natural rubber under uni-and multiaxial loading conditions[END_REF][START_REF] Saux | Evaluation of the fatigue defect population in an elastomer using X-ray computed micro-tomography[END_REF][START_REF] Huneau | Fatigue crack initiation in a carbon black-filled natural rubber[END_REF][START_REF] Glanowski | Fatigue crack initiation around inclusions for a carbon black filled natural rubber: an analysis based on micro-tomography[END_REF]. The latter appear in the matrix, mostly at the poles of the defects. There is a competition between cavitation mechanism and decohesion mechanism (void formation originating from the debonding between the polymer and the rigid inclusions), depending on the adhesion strength between the matrix and the inclusion [START_REF] Huneau | Fatigue crack initiation in a carbon black-filled natural rubber[END_REF][START_REF] Gent | Failure processes in elastomers at or near a rigid spherical inclusion[END_REF][START_REF] Zhuk | Debonding microprocesses and interfacial strength in particle-filled polymer materials[END_REF][START_REF] Gent | Detachment of an elastic matrix from a rigid spherical inclusion[END_REF]. These damage mechanisms, for instance decohesion at the poles of ZnO metallic particles and cavitation in the polymer between filler agglomerates, have been observed in industrial rubber compounds, [START_REF] Huneau | Fatigue crack initiation in a carbon black-filled natural rubber[END_REF][START_REF] Glanowski | Fatigue crack initiation around inclusions for a carbon black filled natural rubber: an analysis based on micro-tomography[END_REF]. Post mortem analysis using electron microscopy reveals agglomerates at the crack initiation sites in a ruptured material [START_REF] Cam | Fatigue damage in carbon black filled natural rubber under uni-and multiaxial loading conditions[END_REF][START_REF] Huneau | Fatigue crack initiation in a carbon black-filled natural rubber[END_REF].

Huneau et al. [START_REF] Huneau | Fatigue crack initiation in a carbon black-filled natural rubber[END_REF] have suggested that crack initiation from a filler agglomerate is due to cavity growth from its pole. However, this is contrary to the observations made by Gent et al. [START_REF] Gent | Failure processes in elastomers at or near a rigid spherical inclusion[END_REF] and Lefèvre et al.[13], who studied material rupture in the presence of more than one rigid inclusion.

They noticed that cavity growth at the midpoint distance between two inclusions leads to rupture rather than decohesion at their poles. Thus, there is no agreement in the literature on the mechanisms which allow the transition from local damage (cavitation or decohesion) associated to a defect, to a crack leading to the material ruptures , especially for carbon black agglomerates (CBaggl) in an industrial rubber compound. Such study requires a precise 3D quantification and visualization of the damage initiation, its evolution and the eventual crack initiation resulting from this damage.

To do so, we studied the rupture properties of 3 model materials with same rubber formulation containing a fixed low concentration of metallic particles (detected by tomography) and varying volume fraction of CBaggl. We performed an in-situ tensile study on these materials using Synchrotron Radiation Computed Tomography (SRCT). SRCT has been chosen compared to lab X-ray tomography as it enables better phase contrast, spatial and time resolution [START_REF] Bourlot | 20 Hz X-ray tomography during an in situ tensile test[END_REF][START_REF] Maire | Quantitative X-ray tomography[END_REF]. When performed concomitantly with mechanical testing, tomography enables a direct observation of damage mechanisms associated to defects like metallic oxide particles and CBaggl, the damage evolution and crack formation inside the material. This analysis enables to extract various features controlling crack initiation mechanism such as the morphology and the location of the critical defects at the origin of the material rupture.

MATERIALS AND TESTING

Composition and materials processing

Model materials used for the current study are based on a non-crystallizing Ethylene Propylene Diene Monomer rubber ( EPDM Keltan 4450 ) reinforced with high furnace carbon black (N326) and cross-linked using unsupported Bis (α,α-dimethylbenzyl) peroxide. The composition of the materials (Table 1) was kept constant whereas compounding process conditions were varied in order to generate more or less defects inside them. This specific composition enables the generation of CBaggl defects. All the ingredients except the peroxide were mixed in a Haake Rheomix 600 OS mixer (chamber volume: 120cm 3 ) using Banbury rotors (42 cm 3 ) at a certain rotor speed and mixing time (Table 1), and were then passed 10 times in a two-roll mill where the peroxide was added. The sequence of ingredients addition is detailed in Table 1. USD method refers to "upside down", i.e., the elastomer was added after carbon black, TD method refers to "top down", i.e., carbon black was introduced after the elastomer in the internal mixer. After processing the material in the internal mixer and the tworoll mill machine, the samples were molded as a 1 mm thick sheet at 170°C under 190 MPa for 12 min. Curing time (t98) was estimated from torque measurements performed using a Monsanto rheometer analyzer. The samples for mechanical tests were die cut from this sheet using pneumatic punching tool. Hereafter, the samples are named S_X with X corresponding to the volume fraction of CBaggl with a volume larger than 125 µm 3 . This minimum value is dictated by the tomography resolution and corresponds to the value under which the error on the evaluation of the agglomerates volume is too important.

Scanning electron microscopy (SEM)

We characterized the rupture surface of the materials by SEM using Zeiss Supra SEM (Germany). The materials were not metallized to avoid any closing of the crack. Observation of non-metallized surfaces requires low acceleration voltage to avoid any accumulation of charges. Thus, the energy of the electron beam was kept at 1 kV. The detector used is secondary electron detector. The composition of defects was obtained using Energy Dispersive X-Ray (EDX) detector. EDX needs a higher acceleration voltage of 10 kV for a higher emission of characteristic X-ray from the material surface.

Synchrotron radiation computed tomography (SRCT)

SRCT experiments were performed at the PETRA III P05 beamline at DESY [START_REF] Wilde | Micro-CT at the imaging beamline P05 at PETRA III[END_REF], Germany (operated by Helmholtz-Zentrum Hereon), and the Anatomix beamline at SOLEIL, France. We obtained information regarding the onset of damage and crack initiation mechanism using both beamlines. At P05 imaging beamline, the energy of the monochromatic X-rays was 15keV with a spatial resolution of 2.19µm. The sample was mounted in a tensile rig (see Figure 1a in reference [START_REF] Kallungal | Crack propagation in filled elastomers: 3D study of mechanisms involving the filler agglomerates[END_REF]). Its specific geometry (Figure 1) was designed to create as high stress as possible in the region of interest (ROI). The sample was rotated over 360° by steps of 0.225°. Each projection step lasted 30ms resulting in a total time per scan of 50s. We reconstructed 3D images with and without phase contrast. Images without phase contrast were used for the detection of damage (CBaggl fracture and cavities) in the materials during the test. Then the CBaggl associated to damage were segmented from the images acquired with phase contrast. This contrast was obtained by applying a phase retrieval algorithm implemented by Moosmann et al. [START_REF] Moosmann | Time-lapse X-ray phase-contrast microtomography for in vivo imaging and analysis of morphogenesis[END_REF].

Experiments performed at Anatomix @SOLEIL [START_REF] Weitkamp | Progress in Microtomography at the ANATOMIX Beamline of Synchrotron Soleil[END_REF][START_REF] Weitkamp | Microtomography on the ANATOMIX beamline at Synchrotron SOLEIL[END_REF] used a filtered white beam with a mean energy of 20keV and a spatial resolution of 1.3µm. We used a homemade tensile rig with 5kN load cell for the tensile tests (see Figure 1c in reference [START_REF] Kallungal | Methodology for 3D characterization of microstructural defects in filled polymer using X-ray Tomography[END_REF]) . The sample was rotated over 360° by steps of 0.18°. Each projection required 150 ms resulting in a total time per scan of 360s. At Anatomix, we improved the phase contrast of the image by applying Pagnanin filter before the 3D volume reconstruction [START_REF] Paganin | Simultaneous phase and amplitude extraction from a single defocused image of a homogeneous object[END_REF].

Figure 1: Sample geometry used for in-situ tensile test

After the reconstruction, we performed image analysis to optimize the contrast and to remove additional noise. The reference [START_REF] Kallungal | Quantitative analysis of carbon black agglomerate morphology in elastomer composites based on Xray Tomography by means of numerical clustering[END_REF] reports the details of the protocol. Each agglomerate is labelled in the binary image after its segmentation from the matrix. Its geometric features such as Volume V, Equivalent Diameter Eqdiam, Length of major principle axis a, Length of minor principle axis b and Eccentricity E are extracted using the regionprops module [START_REF] Van Der Walt | scikit-image: image processing in Python[END_REF] in Python.

The volume V of a CBaggl is proportional to the number of voxels it contains (1 voxel=10.50µm 3 ). The Equivalent diameter (Eqdiam) represents the diameter of a fictive inclusion having the same volume as the analyzed CBaggl. Length of major (a) and minor principal axis (b) are those of an ellipsoid that has similar normalized 2 nd central moment as the CBaggl. Eccentricity (E) of an ellipse is the ratio between the distance of its two foci and the major principal axis length. Here, E is the eccentricity of the centered elliptic section of the ellipsoid, perpendicular to the c axis (with a > c > b): = 1 -b a ⁄ . The bulk factor (B) of an agglomerate corresponds to the ratio of the free space (volume in this case, ∆V) between the agglomerate and the convex hull constructed around it to the total volume of the convex hull (V ), i.e. B(ΔV) = 1 -V/V .

Tensile testing

Tensile tests were conducted on an MTS 1/ME machine equipped with a 100N load cell. The nominal stress is defined as σ = F/S , where F is the force and S0 is the initial section of the sample. In most cases, true stress is used, which is defined as σ(t) = F(t)/S(t) where S(t) is the current section area of the sample. In elastomeric materials whose deformation is isochoric, the true stress can be defined as σ (1 + ϵ ), where σ is the nominal stress and ϵ is the nominal strain defined as ϵ = ∆ (L is the nominal length and ΔL is the displacement). The nominal strain is obtained using digital image correlation. The strain rate was around 0.005 s -1 .

The geometry of the sample used for tensile tests is presented in Figure 1. All the experiments were conducted at room temperature (25°C+/-2°).

Digital volume correlation

Digital Volume Correlation (DVC) is a correlation methodology to measure the 3-dimensional displacement and strain field inside a material volume during a solicitation (e.g. compression, tension etc.) The principle used in DVC is derived from DIC, where the displacement vector of each voxel in the volume subset is obtained and is used to calculate the strain field. The analysis was performed using a routine developed by Joel Lachambre in his Ph-D thesis [START_REF] Lachambre | Développement d'une Méthode de Caractérisation 3D des Fissures de Fatigue à l'aide de la Corrélation d'Images Numériques obtenues par Tomographie X[END_REF]. A ROI of 400*300*200 voxels has been defined within a sample volume of 850*1000*500 voxels. In order to have a good correlation, the step displacement during tensile test is limited to 40 µm

The chosen size of the mesh is 16 voxels. The resolution of the voxel is 2.19µm 3 . During the analysis, a continuous displacement field is measured when discretized over a finite element mesh made of 8-noded (C8) cubes [START_REF] Roux | Three-dimensional image correlation from X-ray computed tomography of solid foam[END_REF]. The mean green Lagrange strains are computed over each element associated with the C8 discretization. 𝜖 is the strain along the tensile direction.

RESULTS

Microstructural characterization of different defects

Filled EPDM contains mainly 2 kinds of defects, pre-existing metallic particles in the polymer and non-dispersed CBaggl. As illustrated in Figure 2, the metallic particles have high greyscale values, which indicates that they are made of elements with higher atomic number than carbon.

EDX analysis confirms that they are metallic oxides (Na2O or K2O). (SI 7. respectively. The distribution of their structure factor shows that CBaggl in S_11.5 are the most structured and those is S_9.0 are the least structured (see reference [START_REF] Kallungal | Quantitative analysis of carbon black agglomerate morphology in elastomer composites based on Xray Tomography by means of numerical clustering[END_REF] for the protocol analysis of similar sample prepared with the same process).

Tensile properties

Figure 3 shows the stress-strain curve obtained for the 3 model materials using the sample geometry in Figure 1. The mechanical properties are not affected by the concentration of CBaggl, like already observed for planar geometry (PS) geometry specimens [START_REF] Kallungal | Crack propagation in filled elastomers: 3D study of mechanisms involving the filler agglomerates[END_REF]. All the materials have similar strain and stress at break (Figure 4). Figure 4 shows the slice view of a metallic particle with V= 18000µm 3 (Eqdiam = 32µm) inside the material during its tensile testing. These particles are rigid, they do not deform during the experiment and do not fracture like observed in other studies with ZnO particles (see [START_REF] Huneau | Initiation mechanisms of fatigue cracks in carbon black filled natural rubber[END_REF], and the SI in section 7.1 which shows ZnO fracture in a material in which 3% ZnO was incorporated). As the material deforms, decohesion occurs at the poles of the particles since they have a weak adhesion with the matrix. The evolution of the interface is observed at every 1% strain, using X-ray tomography scan to determine the onset of decohesion at the poles of the particle. This decohesion appears as black pixels at the interface. Note that one may think from figure 4 that the particle surrounding has already a lower density, even without applied deformation. However, this is an artifact related to the strong phase contrast between the polymer and the particle. This artifact can be distinguished from void when comparing the evolution of the images with strain (said differently, this apparent lower density does not look like void). To avoid any misinterpretation, it requires a careful examination of the images, which is therefore very time consuming.

Decohesion can occur at the early stages of deformation, depending on the size of the particle.

Moreover, in the case of figure 4, the cavity volume increases with the strain up to around 135%, then slows down. We have found that the smaller the particle, the sooner the cavity volume stabilizes: as an example, as shown in SI section 7.2, it does at 90% nominal strain for a V=6700µm 3 (Eqdiam of 23µm).

The damage in CBaggl was already described in a previous article [START_REF] Kallungal | Crack propagation in filled elastomers: 3D study of mechanisms involving the filler agglomerates[END_REF]: cracks and voids appear inside the agglomerates at a certain applied strain. Upon further stretching, more cracks appear within the agglomerates. Most of the CBaggl undergo this damage sooner or later. Similar damage evolution was also observed in S_9.0 material (see SI section 7.3).

Decohesion onset

Besides the strain at which decohesion between metallic oxide particle and polymer occurs, the corresponding stress can also be analyzed (Figure 5). The comparisons are made with Eqdiam instead of V for an easy understanding.

particles The plot of macroscopically applied true stress 𝜎 at the onset of decohesion for metallic particles of different Eqdiam (Figure 5) clearly shows that smaller particles require higher macroscopic stress for decohesion, as often reported in literature [START_REF] Zhuk | Debonding microprocesses and interfacial strength in particle-filled polymer materials[END_REF][START_REF] Gent | Detachment of an elastic matrix from a rigid spherical inclusion[END_REF][START_REF] Gent | Failure processes in elastomers at or near a rigid spherical inclusion[END_REF][START_REF] Robertson | The Fatigue Threshold of Rubber and Its Characterization Using the Cutting Method[END_REF][START_REF] Abraham | Testing and simulation of the influence of glass spheres on fatigue life and dynamic crack propagation of elastomers[END_REF]. The stress at the decohesion onset depends on the size of the debonded zone. If one assumes that the stress depends only on the square root of the diameter of the inclusion and that the bond fracture surface area is independent of the particle size -like Gent et al. [START_REF] Gent | Detachment of an elastic matrix from a rigid spherical inclusion[END_REF] did for the decohesion from spherical inclusion-then one should find a linear dependence of 𝜎 with 𝐸𝑞 . . As shown in Figure 5, the curve fitting rather indicates a dependence with 𝐸𝑞 . . This discrepancy is not so surprising since the model relies on strong assumptions (spherical inclusions) whereas the metallic particles observed here are very irregular. Actually, the good quality of the fit is more surprising.

Similarly, the onset of cavitation (i.e. crack and void growth) inside the agglomerates is correlated to the true macroscopic stress, as shown on Figure 6. As shown in Figure 6, the linear curve fitting is satisfactory and suggests a dependence of 𝜎 on Eqdiam -0.5 . Moreover in this figure, one can see that the linear dependence of log(onset stress)

with the log(Eqdiam) is more convincing for the data taken from the S_4.3 material than for the S_9.0 material. This is not surprising as the larger quantity of agglomerates in the latter increases the probability for the agglomerates to be close to each other and therefore the probability for their stress/strain fields to be perturbed by their neighbors. Thus, this make less relevant the description of each agglomerate as an isolated one in an infinite medium submitted to a macroscopic tensile stress. In other word, this may explain the scattering of the data. The cavity being created inside the agglomerates, the Gent model previously cited seems irrelevant to explain these results. One may rather use the Mossakovskii and Rybka description (which is actually not so far from the Gent description), which derives the stress for the detachment of an elastic half space from a rigid plate when a circular debond of radius a occurs at the interface.

It predicts a dependence with a -0.5 . We have indeed observed that the structure of agglomerates is very heterogeneous and may be described like an assembly of strong aggregate layers separated by soft polymer layers. In this description, the largest layers, close to the equator of the agglomerate (the poles indicating the tensile stress direction), are the ones where the void formation (originating here from decohesion) is the easiest [START_REF] Fond | Cavitation criterion for rubber materials: A review of void-growth models[END_REF] and have indeed a circular surface with a radius close/proportional to the radius of the agglomerate. Some similarities can also be found with the mechanisms of voids nucleation and growth observed in a semi crystalline polyamide 6 specimen undergoing tensile deformation [START_REF] Selles | Voiding Mechanisms in Deformed Polyamide 6 Observed at the Nanometric Scale[END_REF].

Visualization of crack initiation

The transition from a fracture within a CBaggl towards a crack inside the matrix has been visualized by tomography. This is illustrated on Figure 7 with the S_9.0 material. Note that the agglomerate shown in Figure 7a is of the same type as CBaggl_1 in Figure 2 i.e. it has a lower density compared to most of the observed agglomerates. The greyscale values show that its core is less dense. Nevertheless the observations on this agglomerate are very similar to those performed on other samples, and have been preferred for the quality of the images (see another example in SI section 7.4). The crack initiation in the agglomerate occurs at around 75% nominal strain for this CBaggl whose Eqdiam is 40µm. This crack inside the agglomerate transforms to a crack in the matrix at around 130% nominal strain. Such crack can then propagate through the material. Figure 7d shows the state of the crack inside the matrix just before material rupture. The evolution of nominal strain with the cavity volume (i.e. of the future catastrophic crack) created in the agglomerate has been deduced from the tomography images and is pictured in Figure 7e. Between 70%-120% nominal strain, the volume variation is almost negligible. Then, at higher strain, the cavity rapidly grows radially and its volume increases exponentially. When the cavity becomes a crack propagating in the matrix, its volume grows catastrophically. Tomography and SEM images (Figures 8a and8b) confirm the above observation, with evidence of crack initiation from one critical defect (CBaggl). However, a filled EPDM can also break due to multiple initiations as shown in Figure 9. In this case, the SEM image shows that cracks originate and propagate radially from the two CBaggl observed. The 2 cracks eventually coalesce and this leads to the material rupture. Even though other defects (metallic oxide particles) exist in the materials, crack always initiates from CBaggl defect(s). Moreover, we can conclude from our observations that the crack initiation mechanism remains the same whatever the CBaggl concentration in the material is (as shown in SI 7.4 for material with 4.3% of CBaggl). It is worth noting to be complete that, there are exceptions to this when there is a surface defect such as a pre-existing cut at the surface edge due to improper die cutting of the samples (SI 7.5).

Figure 9: SEM observation of the ruptured surface of S_11.5.

DISCUSSION

The filled material presented in this chapter contains two types of defects -metallic oxide particles and CBaggl. To understand their role on crack initiation mechanism, model materials with 3 different concentrations of CBaggl have been processed; the 1 st material contains very high concentration of CBaggl (S_11.5 with 11.5% volume fraction), the 2 nd material has CBaggl concentration representative of those commonly found in industrial production (4.3%) and the last material contains an intermediate CBaggl concentration between the former 2 model materials (9%). It is worth noting that we did not incorporate ZnO particles (commonly used in the industry) to avoid problems related to the non-visibility of CBaggl in their presence, as reported in some recent literature studies. However, the studied materials contain low concentrations (less than 0.05%) of pre-existing metallic oxide particles in the initial EPDM matrix (as usually observed in industrial materials). The mechanical properties characterization shows that despite their different concentrations of CBaggl, all the model materials have similar rupture properties, i.e. similar strain and stress at break, which is a counterintuitive result. A micron-scale characterization of the material is performed to understand this result.

Crack initiation is due to the nucleation of damage and its final evolution to a matrix crack. Matrix decohesion occurs at the pole of the rigid metallic oxide particles when the material is stretched. This does not lead to crack initiation. For instance, a cavity formed from decohesion between the matrix and a particle with Eqdiam of 35µm does not rupture the material even when the material is stretched above 135% nominal strain. The created cavities mostly grow in parallel to the applied stress direction as shown in previous studies [START_REF] Gent | Failure processes in elastomers at or near a rigid spherical inclusion[END_REF][START_REF] Cho | Internal fracture in an elastomer containing a rigid inclusion[END_REF]. This might be due to lower tearing energy along the direction of applied stress compared to propagation in the perpendicular direction: for instance, in an NR matrix, the fracture strength required for the tear to grow in the direction of applied stress is about 40% less than the strength required for it to grow in the perpendicular direction [START_REF] Gent | Tear Strength of Stretched Rubber[END_REF][START_REF] Gent | Why do cracks turn sideways?[END_REF]; the study concluded that this crack tends to stop.

Thus, defects like metallic oxide particles are not critical for crack initiation; we confirmed this through the observation of rupture surfaces of different samples (see SI section 7.6). This is consistent with the observations made by Huneau et al. [START_REF] Huneau | Fatigue crack initiation in a carbon black-filled natural rubber[END_REF] regarding materials containing ZnO particles submitted to fatigue solicitation.

Conversely, CBaggl can initiate cracks in the material upon stretching. Cavitation occurs inside the agglomerates. The dependence of the stress needed to observe this cavitation with power -0.5 of the agglomerate diameter suggests that it may originate from some decohesion mechanism at the interface between two of the layers (with different aggregates concentration) which form the agglomerates. In a second step, the cavity grows rapidly inside the CBaggl. Not all CBaggl transform their internal fracture into a crack in the matrix. To do so, their preferred location inside the sample is in a zone with larger strain, originating from the sample geometry.

Moreover, when they undergo multiple internal fractures, this likely delays the propagation of the main internal cavity to the matrix (and therefore its transformation as a crack in a matrix).

This was verified for all our model materials, using SRCT characterization combined with SEM analysis.

The morphology features of 9 critical CBaggl that initiated crack are presented on Figure 10. Critical agglomerates in S_11.5 have larger structure factor compared to S_4.3 (due to more shearing energy provided to S_4.3 inside the internal mixer, as explained in previous article [START_REF] Kallungal | Quantitative analysis of carbon black agglomerate morphology in elastomer composites based on Xray Tomography by means of numerical clustering[END_REF]),and they are more elongated, but this is also the case for all the agglomerates of S_11.5 when compared to those of S_4.3. Actually, the common feature of all the critical agglomerates, without distinction of the materials, is a minimum volume around 40000µm 3 .

All these critical CBaggl were also found to be closer to the surface edges. Indeed, due to the sample geometry, the strain at the edge is slightly larger compared to the specimen center. As an example, see Figure 11 where it is shown, for a specimen of S_9.0 stretched at 50% nominal strain , the region where the strain in the tensile direction is greater than 0.8 of the maximum strain and the position of the critical CBaggl (marked in blue color). Now, given the different CBaggl concentration, these results also show that in the range of the tested concentrations, the quantity of CBaggl is not important with respect to crack initiation (likely because the probability to find a critical agglomerate is large enough for all the tested materials). This is indirectly confirmed by results of tensile testing (Figure 4), which do not exhibit significant differences between the 3 materials. The black symbols characterize the morphology of the critical defects found in these materials.

Figure 11: Strain field for model material S_9.0 in the direction of applied stress, at a 50% nominal strain. The colored areas are those where local strain is greater than 80% of the maximal strain. "𝜖 " is the name of the strain applied in the tensile direction. Each cube is of the size 16 voxel (1 voxel=2.19µm 3 ).

After crack initiation, crack propagates and ruptures the material. A previous work [START_REF] Kallungal | Crack propagation in filled elastomers: 3D study of mechanisms involving the filler agglomerates[END_REF]showed that the crack propagation resistance of S_11.5 is higher than S_4.3 at high strain energy release rate (G). However, the ultimate properties of these materials remain the same in a tensile specimen geometry. At high G (high strain) crack propagation speed is in the order of magnitude of 10 -4 m/s. Note that G increases with the strain and the crack size. Therefore the sample breaks too fast to see any differentiation in the rupture properties between the materials.

Thus, in this geometry during tensile test, rupture properties are governed by the crack initiation mechanism.

CONCLUSION

An in-situ tensile study using SRCT on a filled EPDM shows the damage (here mainly void formation) and the crack initiation mechanisms associated to different defects which act differently upon stretching the material. We demonstrated that the mechanism associated to defects like metallic oxide particles is decohesion and the stress for its onset depends on their size. The power law dependence between applied stress and particle size requires further studies, which would take into account the debonded area, adhesion energy etc… In any case, the metallic particles are not critical defects in the studied materials and the cavities they bring about grow in the direction of the applied stress rather than perpendicular to it. On the other hand, CBaggl are found to be critical defects for crack initiation. The first step is nucleation of a cavity inside the agglomerate. This cavity is actually formed by the debonding of polymer layer from the aggregates layers. However, this needs to be further explored through a nanoscale characterization for better understanding of the nucleation mechanisms of these cavities inside CBaggl. The nucleated cavity grows as the fractured CBaggl undergoes further deformation, and then propagates into the matrix, which triggers rupture of the material. However, all the CBaggl that fracture do not lead to a crack propagating in the matrix. Only those with size bigger than 40000 m 3 and in the more deformed zone of the specimen (close to the edges of the sample in our test) initiate a critical crack. Evaluating the specific contribution of the agglomerates position would need the help of mechanical simulation, which could be a another nice prospect of this experimental work. CBaggl are fractured between 35%-65%, to be precise at 40% nominal strain. CBaggl undergo multiple fragmentations as the macroscopic deformation increases.

ACKNOWLEDGEMENTS

SUPPORTING INFORMATION

  2). Their volume fraction is around 0.03-0.05% in the 3 model materials. Their average and largest Eqdiam are 7.5µm and 32µm, respectively.

Figure 2 :

 2 Figure 2: a) slice view of ROI of an S_9.0 test sample. Zoomed areas correspond to a metallic particle and two CBaggl. The grey scale intensity values across the lines drawn through these defects are plotted in b).

Figure 3 :

 3 Figure 3: a) nominal stress vs nominal strain for the 3 materials with different concentrations of CBaggl. Filled circles (blue: S_11.5, black: S_9.0, red: S_4.3) in the graph denotes the nominal stress and nominal strain at break for the 3 materials.

Figure 5 :

 5 Figure 5: log plot of evolution of true stress at the decohesion onset (𝜎 ) with the Eqdiam of the metallic particle (S_4.3 material). Dotted line for the linear curve fitting.

Figure 6 :

 6 Figure 6: applied true stress at the cavitation onset (𝜎 ) as a function of the Eqdiam of the agglomerate in which it occurs (results from S_4.3 and S_9.0 materials). Dotted line for the linear curve fitting. Each point in the figure represents an agglomerate either from the material S_4.3 or S_9.0 (Note that this already represents a huge amount of work as it requires a careful examination of many images, to avoid any misinterpretation of artifacts).

Figure 7 :

 7 Figure 7: visualization of crack initiation in a filled EPDM, a)-d) microstructural evolution of the critical defect with nominal strain (𝜖). The inset photo in each figure shows a magnified CBaggl..b) onset of the fracture/cavitation inside the CBaggl at 75% nominal strain, c) onset of matrix cracking at 132% nominal strain, d) state of the crack just before sample rupture, e) volume of the cavity inside the agglomerate as a function of the macroscopic deformation.

Figure 8 :

 8 Figure 8: Continuation of Figure 8, a) slice view of the broken sample with the critical defect. The inset photo shows the magnified critical CBaggl. B) SEM observation confirming the crack initiation and further propagation of the crack from the critical defect.

Figure 10 :

 10 Figure 10: morphology features: a) V vs B and b) E vs B for materials S_11.5, S_4.3 and S_9.0.

  This work was supported by LRCCP and ANRT (CIFRE N° 2018 /0429). Parts of this research were carried out PETRA III P05 beamline at DESY, Germany (operated by Helmholtz-Zentrum Hereon). We would like to thank the beamline staff for assistance in conducting the experiments. Some parts of the study were also carried out at ANATOMIX beamline at Soleil.ANATOMIX is an Equipment of Excellence (EQUIPEX) funded by the Investments for theFuture program of the French National Research Agency (ANR), project NanoimagesX, grant no. ANR-11-EQPX-0031.

7. 1

 1 Figure A1: Damage evolution in a material containing 3% volume fraction of ZnO. A) at 120%nominal strain, there is a decohesion at the poles followed by fracture of ZnO at 140% nominal strain. B) decohesion at the poles of ZnO inclusion at 120% nominal strain, without subsequent fracture of the inclusion.

7. 2

 2 Figure A2: Evolution of cavity associated to a defect with Eqdiam= 23µm

Figure

  Figure A3: a)-f) evolution of CBaggl during a tensile test in material S_9.0 observed using SRCT.

7. 4 3 7. 5

 435 Figure A4: Crack initiation mechanism for S_4.3

Table 1 :

 1 Composition of the Model Materials and processing conditions

	Samples	S_11.5	S_9.0	S_4.3
	Ingredients	(Phr)	(Phr)	(Phr)
	EPDM Keltan 4450	100	100	100
	Carbon Black	50	50	50
	Peroxide	3.2	3.2	3.2
	Rotor Speed (rpm)	30	30	60
	Mixing Time (min)	2	2	4
	Introduction Protocol	TD	USD	USD
	Filler Volume fraction	19.3%	19.3%	19.3%


Thomas Hausberger
email: thomas.hausberger@umontpellier.fr

Keywords: objectivité des mathématiques, structuralisme mathématique, épistémologie expérimentale, didactique des mathématiques mathematical objectivity, mathematical structuralism, experimental epistemology, didactics of mathematics Présentation

La présente étude questionne l'objectivité des mathématiques à travers l'analyse de la pratique mathématique, dans une modalité didactique. A travers des dialogues en classe (dans l'esprit de Lakatos), nous examinons la thèse, inspirée des travaux de Granger, que le développement de mathématiques formelles selon la méthode abstraite structuraliste ne se réduit pas à un langage mais engage un « contenu formel » qui se déploie dans une intuition symbolique. La didactique ou épistémologie expérimentale contribue ainsi à la philosophie par un commentaire d'expériences et l'interprétation de significations, dans des regards croisés.

Introduction

La notion de structure mathématique est la « conséquence de la constatation que ce qui joue le rôle primordial dans une théorie, ce sont les relations entre les objets mathématiques qui y figurent, plutôt que la nature de ces objets »1 . Ce point de vue relationnel abstrait change radicalement la pratique mathématique : Corry2 souligne une inversion de la hiérarchie conceptuelle de l'algèbre, où les propriétés des nombres, des polynômes et autres objets mathématiques sont désormais appréhendées comme des conséquences de ce qui est connu au niveau des structures générales (plutôt que l'inverse). La pensée structuraliste se caractérise ainsi par une méthodologie et un style spécifique, qui font école à Göttingen dans les années 1920. Il s'agit d'une refondation mathématique3 qui apporte une vision nouvelle et unifiée de la matière mathématique tout en ouvrant la voie à des constructions inédites, de nouveaux objets.

Cette transformation du champ des mathématiques impacte également les champs voisins. Du côté de l'enseignement des mathématiques, la réforme des mathématiques modernes vise, dans les années 1960, à répandre à tous les niveaux (du primaire à l'université), une mathématique des structures allant du simple au plus complexe, selon les principes de Bourbaki. En psychologie cognitive, Piaget4 voit dans les structures mathématiques (algébriques, d'ordre et topologiques) des modèles des structures cognitives, lesquelles s'organisent via un processus d'abstraction réfléchissante à partir des actions ou opérations menées sur les objets. La didactique5 des mathématiques naît en France de ce terreau, dans les années 1970 ; appelée « épistémologie expérimentale » par Brousseau 6 , à ses origines, elle incorpore des apports d'épistémologie historique (Bachelard) et d'épistémologie génétique (Piaget) dans le but d'étudier, de concevoir et d'expérimenter des conditions reproductibles qui peuvent déterminer l'apprentissage d'une connaissance chez un actant. Enfin, en philosophie des mathématiques, le structuralisme ravive le questionnement sur la nature des objets (ontologie) et l'accès à ces objets par un sujet (épistémologie). Des tentatives de résolution des paradoxes qui émergent (comme le problème de Benacerraf) naissent différentes philosophies du structuralisme (in re, ante rem, modal ; voir Shapiro 7 ).

Ces différents questionnements sont liés. Par exemple, Heinzmann 8 montre que le relationalisme de Poincaré possède un fondement épistémologique lié à son conventionalisme : la formation du concept de groupe est suggérée par un système similaire issu de l'expérience perceptive (sensations musculaires), avant de s'autonomiser dans une expression sémiotique. Les structures que considère Poincaré sont ainsi des « universaux mixtes ». De façon similaire, Heinzmann et Petitot 9 (2020) soulignent que le structuralisme de Bourbaki s'inscrit dans une tension entre fonder l'objectivité des mathématiques sur la seule stipulation de structures, organisées en une hiérarchie, et engager les particularités d'objets (nombres, figures géométriques) porteurs d'intuitions propres. Il en résulte un structuralisme pragmatique et fonctionnel, tirant profit d'un arrière-fond informel derrière les structures mères formalisées, notamment à travers le pouvoir heuristique des analogies de structures (comme celles entre corps de fonctions et corps de nombres). Heinzmann et Petitot défendent cette thèse à la lumière d'une étude de cas, autour des travaux de géométrie arithmétique et théorie des nombres qui ont conduit à la démonstration du théorème de Fermat par Wiles et Taylor. Ils mentionnent également les travaux de Beth et Piaget pour pointer que les concepts structuralistes n'émergent pas de façon naturelle de la pensée réflexive mais nécessitent un apprentissage. En d'autres termes, les structures sont des mixtes entre des normes socio-culturelles et des outils confirmés par l'expérience.

La présente étude vise également à contribuer à la réflexion philosophique sur l'objectivité des mathématiques à travers l'analyse de la pratique mathématique, mais dans une modalité didactique, c'est-à-dire en situation d'enseignement-apprentissage. Le procédé n'est pas nouveau : bien qu'il se soit inspiré de la preuve de Cauchy de la conjecture de Descartes-Euler, donc de l'épistémologie historique, Lakatos 10 se place dans le contexte d'une classe imaginaire pour développer la méthode des preuves et réfutations en tant que méthode de découverte et de développement des théories mathématiques non formelles (ou « quasi-empiriques », qui échappent en partie au positivisme logique). Cette fiction est la manière choisie par Lakatos pour réaliser la « démonstration philosophique », en l'occurrence d'étudier une thèse sur le développement des mathématiques. Pour autant, elle fait directement écho à un problème didactique : la présentation des mathématiques selon la méthode euclidienne relève d'un « escamotage » réalisé par un « illusionniste » (le mathématicien-enseignant) ; le style déductiviste « cache la lutte, dissimule l'aventure » [START_REF] Lakatos | Preuves et réfutations : essai sur la logique de la découverte mathématique[END_REF] . Le dialogue, en tant que reconstruction rationnelle de la dialectique de l'histoire, rapproche alors la phylogenèse (développement historique des concepts) et l'ontogenèse (sa reconstruction par le sujet) de la pensée mathématique.

Le structuralisme mathématique occasionne également un problème didactique, qui rencontre la question de l'objectivité des mathématiques et que Patras résume en ces termes, dans la lignée de Husserl :

Faire la part de modernisme dans le style d'exposition et de retour au système d'intuitions originales qui sous-tendent une théorie est sans nul doute l'une des difficultés majeures auxquelles est confrontée la pédagogie mathématique aujourd'hui, car la science est condamnée à être stérile si elle cesse de prendre appui sur une intuition pleine et vivante de ses contenus. C'est la conscience de cette stérilité qui gouverne les réactions de rejet de l'enseignement mathématique comme un bloc d'abstractions gratuites et dépourvues de significations tangibles [START_REF] Patras | La pensée mathématique contemporaine[END_REF] .

Notre ambition est de poursuivre l'oeuvre de Lakatos en étudiant la thèse, proche de Granger [START_REF] Granger | Formes, opérations[END_REF] , que le développement de mathématiques formelles selon la « méthode abstraite » 14 ne se réduit pas à un langage, à une syntaxe vide, mais qu'une telle pratique mathématique engage un « contenu formel » (voir ci-dessous). Cependant, à la différence de Lakatos, les dialogues qui sont présentés ci-dessous sont des dialogues réels. En d'autres termes, les travaux en didactique de l'algèbre abstraite ( 15 , [START_REF] Hausberger | La "théorie des banquets" : une ingénierie didactique pour faciliter l'entrée dans la pensée structuraliste[END_REF] ) offrent un nouveau laboratoire de la pensée pour nourrir la philosophie de la pratique mathématique, en contexte d'enseignement-apprentissage. Les aspects essentiellement didactiquesc'est-à-dire les conséquences d'une relation aux savoirs régie par un « contrat didactique » et les modalités de gestion de la relation didactique -seront en grande partie passés sous silence. En bref, le contrat didactique [START_REF] Brousseau | Théorie des situations didactiques[END_REF] désigne l'ensemble des obligations réciproques qui lient les partenaires d'une situation didactique, explicitement ou implicitement, relativement à la connaissance visée. Cette notion peut être reliée 18 à celle d'horizon d'attente en phénoménologie et herméneutique. De fait, notre propos est, dans la présente contribution, centré sur les aspects épistémologiques et sémiotiques de l'activité mathématique en tant qu'expérience vécue par un sujet épistémique : l'apprenant, lequel peut être considéré, pour les étudiants les plus avancés, comme proche d'un mathématicien professionnel.

Enfin, notre intérêt pour la pensée de Granger dans le cadre d'une étude d'épistémologie expérimentale portant sur le structuralisme mathématique -et en lien avec un questionnement sur l'objectivité des mathématiques -s'explique par les raisons suivantes. Tout d'abord, Granger reprend la « dialectique des concepts » [START_REF] Benis-Sinaceur | Structure et concept dans l'épistémologie mathématique de Jean Cavaillès[END_REF] de Cavaillès : alors que Cavaillès identifie dans le déploiement de la pensée structuraliste deux mouvements d'abstraction, l'idéalisation et la thématisation, qui se succèdent de façon dynamique pour exprimer une dialectique entre forme et contenu, Granger [START_REF] Granger | Formes, opérations[END_REF] voit dans ce mouvement dialectique une relation de co-détermination des opérations et des objets et en fait une catégorie fondamentale de la pensée. Ensuite, Granger développe une notion de « style » pour rendre compte du travail mathématique qui « suscite à la fois forme et contenu au sein d'une expérience, sans doute elle-même structurée, mais à un niveau inférieur d'abstraction. Le fait de style va consister essentiellement dans les modalités de cette mise en opposition. […] Le style nous apparaît ici, d'une part, comme une certaine manière d'introduire les concepts d'une théorie, de les enchaîner, de les unifier ; d'autre part, comme une certaine manière de délimiter l'apport intuitif dans la détermination de ces concepts. » [START_REF] Granger | Essai d'une philosophie du style[END_REF] . L'analyse stylistique se propose ainsi de « découvrir les conditions internes à l'oeuvre qui rendent possible l'avènement des significations » [START_REF]Style et contenus formels chez Gilles Gaston Granger[END_REF] . Elle rejoint l'analyse didactique, qui étudie les conditions de production des apprentissages visés dans le cadre de genèses expérimentales des concepts.

Cet article s'organise comme suit. Dans une première partie, nous rappelons les principales thèses de Granger et présentons un premier dialogue d'épistémologie expérimentale : la rencontre d'un binôme d'étudiants avec la structure de schmilblick (une invention didactique), présentée sous forme axiomatique. Ce dialogue, qui vise l'étude des thèses de Granger selon le procédé de Lakatos, met en évidence un premier fait épistémologique et didactique : les étudiants mettent en oeuvre un processus d'abstraction incomplet. Dans une seconde partie, nous présentons les différentes étapes d'un processus complet, selon Marquis [START_REF] Marquis | Mathematical Abstraction, Conceptual Variation and Identity[END_REF] . Un second dialogue entre les deux étudiants, ponctué d'interventions de l'enseignant qui en font une maïeutique socratique, vient éclairer les difficultés d'émergence d'un principe d'identité pour la structure de schmilblick, en écho aux analyses de Marquis fondées sur l'épistémologie historique. Dans une troisième partie, la structure de schmilblick est renommée « banquet » et intégrée à un ensemble de tâches dédiées à produire une genèse expérimentale en classe de la méthode abstraite. La stratégie pédagogique fait du concept de banquet un « concept concret », au sens de Benis-Sinaceur [START_REF] Benis-Sinaceur | Facets and levels of mathematical abstraction[END_REF] , et ouvre de nouvelles affordances cognitives. Ces dernières sont illustrées par des extraits d'un troisième dialogue au sein d'un second binôme d'étudiants plus avancés (Doctorat et au-delà) ainsi que par des travaux d'étudiants de fin de Licence. Les conséquences philosophiques de l'ensemble du corpus de données produites par l'épistémologie expérimentale sont résumées dans une section conclusive.

L'objectivisation du formel, selon Granger : le cas de la structure de schmilblick

Granger [START_REF] Granger | Formes, opérations[END_REF] part de l'opposition classique entre matière et forme, qui est vue comme une relation de co-détermination entre une forme et son contenu. Cette opposition est relative : ce qui est forme peut devenir contenu à un niveau supérieur d'organisation, comme l'a montré Cavaillès avec le processus de thématisation. Granger définit la forme comme « le cadre invariant à l'intérieur duquel le contenu fonctionne comme porteur d'information ». Il s'oppose ainsi à l'idée que les mathématiques ne seraient qu'un langage, un cadre vide : il soutient la thèse qu'elles possèdent un « contenu formel »26 . Ce contenu est formel parce que l'expérience sensible n'y joue « aucun rôle essentiel ».

Par information, Granger entend l'établissement de propriétés décrivant des objets. Ces derniers sont soumis à des opérations de pensée comme comparer, classer, mesurer et la forme en constitue les invariants opératoires. Précisément, Granger pose un principe de détermination réciproque de tout système d'objets de pensée avec le système d'opérations intellectuelles associées et parle de « dualité entre opérations et objets » par analogie avec les cas de dualité en mathématique. Il donne pour exemple la théorie des probabilités : « le système opératoire détermine une espèce d'objets : les variables et les suites aléatoires [...], le travail d'élaboration axiomatique a permis de rendre corrélatives de propriétés syntaxiques les intuitions plus ou moins précises de l'aléatoire ».

Pour Granger, « l'institution d'une opposition de forme à contenu est toujours, et à tous les degrés d'élaboration, le premier moment décisif de l'objectivation d'une expérience, de sa transposition dans un système symbolique ». Le processus phénoménologique de reconnaissance de forme se déroule dans l'intuition sensible mais la mise en évidence d'une forme nécessite une représentation symbolique du vécu. Aux formes kantiennes de l'intuition sensible, Granger substitue une intuition symbolique (ou encore une sémiotique transcendantale, les significations étant liées aux différents niveaux de symbolisation qu'exprime le style27 ), pour laquelle la dualité entre opérations et objets sert de principe transcendantal. Le contenu formel est de ce fait un a priori synthétique dont la source est « conceptuelle plutôt qu'intuitive ». Dans les termes de Granger, un schmilblick est la donnée d'une forme. La pensée symbolique est devenue formelle : la définition ne fait référence à aucune signification particulière, si bien que l'opératoire a pris le dessus sur l'objectal, il s'est autonomisé. Ne subsiste qu'un système de règles ; le moment d'objectivation d'une expérience est passé. L'expérience est de ce fait à reconstruire (l'activité didactique présente une inversion par rapport à la chronologie de l'invention mathématique), son absence se présente comme un mystère. Quels actes de pensée se dissimulent derrière l'opératoire symbolique ? Il s'agit également de noter la présence d'un deuxième niveau forme/contenu : l'opération mentale de classifier introduit un second niveau opératoire qui vise à déterminer le schmilbick en tant que structure (la forme devient objet ; c'est la thématisation de Cavaillès). Les étudiants thématisent cet exemple à l'aide de « shifts » à gauche et à droite sur des ensembles de nombres tels que N, Z et R. Ils produisent également de nouvelles représentations sémiotiques pour les axiomes (ii) et (iii), ce qui les amène à représenter un schmilblick de cardinal 3 dans le formalisme de la théorie des graphes (sans pour autant lui donner le statut de modèle au sens de Tarski) : Les étudiants associent la forme de schmilblick aux actions de décaler à droite ou à gauche, ou tourner dans le sens horaire ou anti-horaire. L'intuition symbolique se développe ainsi en appui sur les formes de l'intuition sensible. D'une façon générale, toute structure est figurée par la spatialité des symboles, ce qui s'avère classiquement fertile en mathématique (raisonnements géométriques, combinatoire). Cependant, il est remarquable que les étudiants symbolisent spontanément la relation xRy par une flèche orientée : le formalisme de la théorie des graphes offre un point de vue géométrique synthétique global par rapport au point de vue axiomatique analytique local et ouvre sur un point de vue structuraliste, comme l'exprime Carnap : Les étudiants montrent une réflexivité remarquable : ils soulignent à la fois l'abstraction de la nature des éléments (« les éléments on peut toujours les numéroter », « on réfléchit pas sur les objets eux-même ») et celle de la sémantique des relations (« on n'a pas pris une relation particulière »). Pour autant, leur réponse témoigne d'un processus d'abstraction incomplet pour arriver à une description de structure au sens de Carnap : les sommets des graphes ne sont pas assimilés à des points, les différentes représentations produites par les étudiants ne sont pas subsumées sous un même diagramme de flèches, au sens de Carnap. Ceci nous amène à approfondir les différentes étapes de la méthode abstraite, telles qu'elles sont notamment identifiées par Marquis.

Nous allons maintenant appliquer les catégories de

Le problème du principe d'identité du schmilblick

Marquis29 met en évidence quatre moments clefs de la méthode abstraite : un premier moment de constitution d'un « domaine de variation significative » (au moins trois types distincts d'objets partagent des caractéristiques invariantes) ; un second moment de formalisation des objets particuliers où il est fait abstraction de leur sémantique pour les traiter formellement ; un troisième moment où les propriétés invariantes sont abstraites et présentées de façon autonome (la méthode axiomatique est un bon outil pour cela, mais plusieurs modes de présentation demeurent possibles) ; enfin, un dernier moment où un critère d'identité est fixé. Le domaine de variation peut alors continuer de s'étendre mais l'attention est rapidement dirigée vers des problèmes internes (à la catégorie d'objets) comme les problèmes de classification ou de décomposition en sous-structures élémentaires (les « théorèmes de structure »).

Les deux premiers moments de Marquis correspondent plus ou moins à l'idéalisation de Cavaillès, tel qu'en rend compte Benis-Sinaceur 30 , tandis que la thématisation renvoie aux deux derniers moments. Marquis souligne également les distinctions à opérer entre méthode abstraite, méthode formelle (symbolique) et méthode axiomatique. Par exemple, si les théories des groupes et des corps étaient considérées comme abstraites vers 1910, en vertu du symbolisme et d'un certain usage de l'axiomatique, la méthode abstraite n'était pas encore en place. Marquis pointe la recherche d'un critère d'identité comme « l'angle mort » dans ce cheminement : ainsi différents critères ont été proposés en topologie avant que les mathématiciens n'accèdent à une bonne compréhension de l'importance des homéomorphismes en topologie, au bout de plusieurs dizaines d'années. De même, la notion d'isomorphisme de catégories a précédé celle d'équivalence, qui est le critère retenu de nos jours. En définitive, l'épistémologie historique nous apprend que le critère d'identité ne peut être donné a priori, il dérive au contraire de la théorie.

L'épistémologie historique informe le didacticien sur les difficultés potentielles liées aux apprentissages (les obstacles épistémologiques de Bachelard). Réciproquement, Marquis propose de tester avec des étudiants certaines hypothèses issues de sa reconstruction épistémologique de la méthode abstraite : Furthemore, the properties that have to be substracted are not necessarily the same in the given theories [within the domain of significant variation]. I submit that this a real cognitive stumbling block to abstraction in mathematics. A clear empirical hypothesis could be formulated and be tested on students 31 .

Combiner épistémologie historique et épistémologie expérimentale pour rendre compte de l'abstraction mathématique fait d'autant plus sens que l'abstraction, en tant que processus fondamental de la pensée, possède deux facettes : logique et psychologique. Revenons donc au travail des étudiants Claude et Dominique : ces derniers sont transportés directement au moment de thématisation sans idéalisation. Nous avons vu qu'ils montrent une bonne maîtrise de la méthode formelle, en appui sur le symbolisme : ils ont effectué une abstraction de la nature des objets et de la sémantique des relations. Ils traduisent le système d'axiomes dans un autre mode de présentation (géométrique) que la méthode axiomatique. Ceci vient souligner la distinction de Marquis alors que les mathématiciens ont tendance à confondre méthode abstraite et méthode axiomatique. Mais ils ne parviennent pas à l'étape du nouveau principe d'identité attendu : l'isomorphisme de schmilblicks φ:(E,R)→(E',R') comme bijection E→E' vérifiant xRy φ ⇔ (x)R'φ(y). Ceci vient questionner la nécessité du principe attendu et fait écho au relativisme pointé par Marquis.

Marquis met en avant différentes fonctions de la méthode abstraite : « it was used to solve problems, to introduce new concepts and organizing principles, and even to install norms of construction ». La notion de norme fait référence à une pratique sociale. En didactique, cela renvoie à la classe en tant que communauté scientifique et au rôle du professeur en tant que porteur de la norme, chargé de désigner la nouvelle connaissance quand elle apparaît. Ce dernier intervient ainsi dans le milieu pour faire émerger le principe d'identité au cours d'un dialogue qui prend la tournure d'une maïeutique socratique : Claude : En fait, on a fait 2 sortes de représentations : la représentation graphique et l'autre qui nous évite de refaire tous les graphes. Professeur : Et pourquoi dites-vous que ce sont deux classes ? Claude : Deux classes, c'est-à-dire ? Professeur : Vous dites que ce sont 2 classes distinctes parce que... Dominique : Oui, parce que nous... Claude : On a mis toutes les permutations derrière, de toute façon. Professeur : Et pourquoi (x y z t) et (x y t z) seraient les mêmes ? Claude : Non, pas les mêmes, du même type. Professeur : Que veut dire « être du même type » ? Claude : Je pense aux permutations. Il y en a une qui va boucler plus vite que l'autre. Je pense clairement à l'ordre qu'il y a derrière. Dominique : Une bijection. On peut passer d'un élément de cette classe à un autre par une bijection, mais pas entre les 2 classes. Professeur : Ne peut-on pas toujours trouver une bijection entre 2 ensembles de cardinal 4 ? Claude : Si ! Dominique : Ah oui, mais est-ce qu'elle va respecter la structure ?

Les étudiants tentent de lire dans les réactions du professeur s'ils s'approchent de la réponse attendue (des effets du contrat didactique : les étudiants savent que le problème a été posé pour qu'ils acquièrent une connaissance spécifique, qui sera ultimement pointée par le professeur). Ils comprennent ainsi rapidement qu'il s'agit de mettre en évidence deux classes d'isomorphisme. On peut aussi observer un fonctionnement de la thématisation transversal aux différentes structures : les étudiants s'appuient sur une analogie avec la théorie des groupes. En l'absence d'un développement théorique à même de guider le choix d'un nouveau critère d'identité, c'est l'analogie avec la théorie des groupes de permutations et l'intuition symbolique ancrée dans le phénoménologique (« boucler plus vite ») qui guident le travail. Un critère syntaxique d'isomorphisme comme bijection préservant la relation n'intervient pas spontanément. Les étudiants introduisent la représentation symbolique des permutations mais ne font pas le lien avec les axiomes : xRy y=σ ⇔ (x) définit une permutation σ ; par cette correspondance, l'isomorphisme de schmilblicks se ramène à la conjugaison des permutations. En définitive, ils font preuve d'une semiosis remarquable mais le travail montre un blocage au niveau noétique.

Affordances cognitives des concepts concrets : le schmilblick est un banquet

Le but de ce dernier épisode d'épistémologie contemporaine est de renforcer les aspects phénoménologiques et cognitifs, en accord avec la pratique contemporaine du structuralisme telle qu'on peut l'observer chez Bourbaki et en appui sur des distinctions épistémologiques pointées par Sinaceur 32 .

Sinaceur considère les concepts comme des produits historiques de l'activité intellectuelle. Leur émergence dépend ainsi de nombreux facteurs (théorique, culturel, social, économique, politique, …) tandis que leur formation par abstraction se produit via le processus logique de subsumation. A la suite de Frege, Sinaceur pose le principe sémiotique qu'un signe possède un « contenu conceptuel » (son sens), ce qui rejoint la notion de contenu formel de Granger. Cependant, les concepts, en tant qu'objets de pensée, n'existent pas avant l'acte d'abstraction ; ils sont donc a posteriori (à la différence de Granger qui considère l'expérience dans une perspective kantienne). Enfin, Sinaceur distingue concepts « concret » et « abstrait » : le concret se rapporte à des référents sensoriels directs tandis que l'abstrait fait allusion à des référents non sensoriels (produits par exemple par la répétition d'actes d'abstraction). Cette distinction est relative et correspond à une gradation des processus d'abstraction. Elle peut être reliée à la cognition : les concepts abstraits impliquent le cerveau verbal (pour comprendre les différents aspects du concept à travers un discours) tandis que les concepts concrets impliquent le cerveau perceptif (image mentale du concept). Dans un second sens, un concept devient concret par l'usage, lorsqu'il reçoit de plus en plus de déterminations de sens.

Cette distinction fait écho aux considérations pédagogiques de Freudenthal, pour lequel :

Our mathematical concepts, structures, ideas have been invented as tools to organise the phenomena of the physical, social and mental world. [...] Concepts are the backbone of our cognitive structures. But in everyday matters, concepts are not considered as a teaching object. [...] Children grasp them [mathematical objects] as mental objects and carry them as mental activities 33 .

Freudenthal centre ainsi l'enseignement-apprentissage des mathématiques sur celui des concepts concrets au sens de Sinaceur, lesquels sont porteurs d'images mentales et permettent le développement d'intuitions. Il rejoint le point de vue de nombreux mathématiciens, dont Bourbaki34 ou encore Poincaré. Dans une conférence sur le rôle de l'intuition et de la logique en mathématiques, ce dernier souligne les rapports entre abstraction, analogie et intuition : Ce guide, c'est d'abord l'analogie. [...] Les analystes, pour ne pas laisser échapper ces analogies cachées, c'est-à-dire pouvoir être inventeurs, doivent, sans le secours des sens et de l'imagination, avoir le sentiment direct de ce qui fait l'unité d'un raisonnement, de ce qui en fait pour ainsi dire l'âme et la vie intime. Causez avec M. Hermite ; jamais il n'évoquera une image sensible, et pourtant vous vous apercevrez bientôt que les entités les plus abstraites sont pour lui comme des êtres vivants. Il ne les voit pas, mais il sent qu'elles ne sont pas un assemblage artificiel, et qu'elles ont je ne sais quel principe d'unité interne 35 . L'analogie nécessite un processus d'abstraction tandis que l'abstraction permet un fonctionnement analogique et une unification, d'où un va-et-vient entre abstraction et analogie. On notera qu'un principe d'unité est pour l'analogie ce qu'est un principe d'identité pour l'abstraction. L'analogie permet ainsi un transfert d'intuitions par la mise en relation des contenus (formels), ce qui rejoint les analyses de Heinzmann et Petitot36 sur le structuralisme de Bourbaki. A cet égard, les discussions qui ont eu lieu au sein du groupe Bourbaki relativement aux choix terminologiques des concepts est particulièrement éclairant et rejoint les distinctions de Sinaceur :

On peut distinguer divers modes de construction des termes mathématiques ; l'école algébrique allemande nous a légué une très riche terminologie qui en français donne : « groupe » ou « anneau » ou « corps ». Mais ces mots appartiennent à ce qu'on peut appeler la catégorie abstraite-abstraite où les notions abstraites d'algèbre sont désignées par des termes issus directement d'une tradition philosophique : les mots « groupe, ensemble, système, collection, catégorie,... » se réfèrent tous à la notion aristotélicienne de classe. Un autre procédé peut être baptisé d'abstrait-figuratif. Bourbaki a fait sensation en introduisant dans son ouvrage d'Analyse Fonctionnelle la notion de tonneau, qui est décrite comme « ... un ensemble... borné et cerclé ». Il était si fier de son invention terminologique que la récitation de cette définition faisait partie des rituels jeux de rôles qui ponctuaient les réunions du groupe Bourbaki et forgeaient son identité37 .

Tournons-nous maintenant vers les apports de l'épistémologie expérimentale. Dans ses travaux sur la didactique du structuralisme, Hausberger 38 n'utilise pas la terminologie schmilblick pour désigner la structure dont l'axiomatique a été présentée ci-dessus, mais celle de « banquet ». Ceci fait du concept de banquet, défini abstraitement, un concept concret au sens de Sinaceur, ou encore abstrait-figuratif au sens de Cartier. En outre, il est porteur d'une image mentale sous-jacente : celle de convives assis autour de tables.

Les représentations sémiotiques suivantes (figure 3) ont été produites par des étudiants de fin de Licence de mathématiques lors d'un travail en classe : On y retrouve des représentations à peine idéalisées des tables d'un banquet de mariage, ou davantage idéalisées, des représentations sous forme de graphe, ou matricielle (la matrice d'incidence du graphe), ou encore des produits de cycles (permutations). Ces différents signes (ou interprétants, au sens de Pierce, de l'axiomatique des banquets en tant que premier signe) renvoient ultimement au même objet (signifié), lorsque le sens est posé, en passant par des concepts éventuellement considérés comme différents (selon les domaines d'interprétation de la structure), si l'on entreprend une analyse stylistique à la manière de Granger 39 .

En outre, dans son analyse terminologique, Cartier rajoute : « Bourbaki a fait un effort très important dans la recherche du juste nom, la terminologie adéquate au concept permettant l'économie des moyens et la rigueur de la définition et du raisonnement ». Cette remarque suscite d'emblée les questions suivantes : la terminologie de banquet est-elle un juste nom ? En quoi un choix terminologique peut-il produire de tels effets sur la pratique mathématique ? Le dialogue entre deux étudiants avancés (de niveau Doctorat et au-delà), dénommés Alice et Bob dans cet article, apporte des éléments de réponse.

Alice : Classique, on spécifie la structure par des relations, d'accord. Bob : Anti-symétrie [à propos de l'axiome (i)] Alice : C'est pas tout à fait ça, c'est la non-réflexivité ; il y a un seul type à droite et un à gauche, c'est l'idée, quoi [des rires] ; il y a personne qui est assis tout seul à une table Bob : Les éléments sont des personnes ? Et en relation si ensemble à table ? Alice : Oui, c'est ça. La relation est d'être assis à la droite (ou à la gauche). Par contre, tu peux avoir au plus un type à droite et au plus un à gauche, il y a au moins un type à droite. Oui [continuant à lire l'énoncé du problème]... il y a la théorie et les modèles. Pour montrer que c'est non contradictoire, on peut montrer qu'il y a un modèle. Je propose de prendre un type. Non, un type ne marche pas, 2 types assis l'un à côté de l'autre. Donc tu prends E={x,y}. On peut aussi mettre {0,1}. L'activité des banquets est une ingénierie didactique qui vise une genèse expérimentale de la méthode abstraite. Elle comprend pour cela différentes tâches proposées aux apprenants : une tâche de construction de modèles en relation avec l'examen logique du système d'axiomes ; une tâche de classification de modèles ; une tâche de définition axiomatique des tablées (on veut placer n personnes quelconques autour d'une table ronde et demander de définir une relation entre les personnes et ses propriétés pour définir abstraitement une telle tablée) ; enfin, une tâche d'élaboration théorique (définition d'un sous-banquet, banquet irréductible et banquet engendré, énoncé et preuve du théorème de structure des banquets : tout banquet est union disjointe de tablées).

En référence aux moments de Marquis, la première tâche se présente comme un moment d'enrichissement sémantique pour contribuer à rendre concrète la structure et cerner l'extension du concept : le domaine significatif de variation est recréé en contrastant les modèles empiriques, (Z/4Z, R) et d'autres modèles mathématiques possibles (sur des domaines de nombres ou encore dans le formalisme de la théorie des graphes). Le moment formaliste et le moment de présentation de Marquis sont présents partiellement (le moule abstrait des banquets est déjà posé) lors de la tâche de définition axiomatique des tablées. Le quatrième moment de Marquis est divisé en la tâche de classification et celle d'élaboration théorique. Selon Marquis, la seconde devrait précéder la première ; l'expérimentation avec des étudiants a confirmé les difficultés soulevées par un ordre inverse (motivé par des contraintes du système didactique, dont l'économie du temps didactique).

Conclusion

Notre propos est double : montrer comment le didacticien est susceptible de s'appuyer sur les analyses des épistémologues et philosophes (notamment les clarifications conceptuelles apportées relativement aux connaissances et méthodes scientifiques, autour des questions que pose la problématique de l'objectivité des mathématiques) pour construire des situations d'apprentissage cohérentes et potentiellement efficaces ; réciproquement, la soumission de ces situations à la contingence à travers l'expérimentation contribue à étayer le discours épistémologique et philosophique parce que l'épistémologie expérimentale offre un environnement contrôlé d'actualisation et de renouvellement de l'acte de connaître.

Ceci a permis : d'observer et d'analyser, dans le travail des apprenants, comment une intuition symbolique se manifeste en appui sur les formes kantiennes de l'intuition pour appréhender un contenu formel ; d'étayer le caractère problématique (relatif et normatif) d'un critère d'identité, qui mérite toute l'attention de l'épistémologue et du didacticien (illusion de transparence) ; de discuter l'idée philosophique qu'une terminologie est adéquate à un concept en ce qu'elle permet une économie de moyens.

Tous ces points relèvent d'un questionnement sur l'objectivité des mathématiques, dont notre étude a permis de mettre en évidence des modalités didactiques, c'est-à-dire en situation d'enseignementapprentissage. A son niveau, l'épistémologie expérimentale contribue ainsi à la philosophie, si l'on conçoit, à la suite de Granger, que « le travail du philosophe est un commentaire perpétuel d'expériences dont il tente de montrer la possible intégration en une totalité qui ne sera jamais celle d'un système abstrait, d'une théorie comme en constituent la physique ou les mathématiques » 40 . 40 G.-G. Granger, Formes, opérations, objets, op. cit., p. 390.

  Granger à un épisode d'épistémologie expérimentale. La structure de schmilblick (appelée ainsi en référence à un jeu télévisé des années 70 dont l'objectif était de poser des questions pour découvrir un objet mystère) est une invention didactique élaborée dans le but d'étudier et de favoriser le travail de conceptualisation d'une structure mathématique abstraite, autrement dit d'élaboration de son contenu formel. Un « schmilblick » est la donnée d'un ensemble E muni d'une relation binaire R tel que les axiomes suivants sont satisfaits : (i) Aucun élément ne vérifie xRx; (ii) Si xRy et xRz alors y = z; (iii) Si yRx et zRx alors y = z; (iv) Pour tout x, il existe au moins un y tel que xRy. L'ensemble des entiers relatifs modulo 4 muni de xRy y = x+1 ⇔ est un schmilblick. On demande de classifier les schmilblicks de cardinal 3 et 4.

  Le dialogue qui suit est une retranscription partielle du travail d'un binôme d'étudiants (dénommés dans cet article Claude et Dominique) préparant l'agrégation de mathématiques. Dominique : Alors c'est quoi cette structure ? Claude : La relation d'ordre sur R ressemble à ça... le fait que R soit archimédien. Puis il se ravise. Dominique : C'est une sorte de shift sur Z/nZ (au vu de l'exemple donné dans l'énoncé).

Figure 1 .

 1 Figure 1. Représentations des schmilblicks de cardinal 3 Claude : Globalement, on a un point x qui s'amène sur y et sur z, on a nécessairement l'égalité. Professeur : Quel est pour vous le statut de ces dessins ? Claude : Ceux-là, c'est pour expliciter un peu les relations, enfin (ii) et (iii), et celui-là [dessin de droite de la figure 1], c'est pour nous donner une idée d'un modèle qui ressemblerait à ça [désignant l'axiomatique du schmilblick].

  Pour comprendre ce que l'on entend par la structure d'une relation, pensons au diagramme de flèches suivant : représentons tous les membres de la relation par des points. De chaque point, une flèche va vers les autres points qui lui sont en relation. Une flèche double désigne les paires pour lesquelles la relation vaut dans les deux directions. Une flèche qui retourne à son origine désigne un membre en relation avec lui-même. Si deux relations ont le même diagramme de flèches, on les dit structurellement équivalentes, ou isomorphes. Le diagramme de flèches est la représentation symbolique de la structure 28 . En d'autres termes, l'identité des graphes (non étiquetés) permet de traduire géométriquement la relation d'isomorphisme de structure, pour se ramener à un processus visuel de reconnaissance de forme selon l'étymologie d'isomorphisme. Cependant, les étudiants parviennent à une classification des schmilblicks d'ordre 4 comportant 9 éléments, au lieu de 2 classes (figure2) :

Figure 2 .

 2 Figure 2. Classification des schmilblicks d'ordre 4 Claude : Il y en aurait 9. Dominique : Après, on fait que réfléchir sur des objets que l'on connaît. Or depuis le début, on parle de structure. Claude : Mais attends, les éléments on peut toujours les numéroter. Qu'est-ce qui pourrait boguer ? Dominique : Notre propre cohérence. Claude : Mais là, on a réfléchi sur les relations, on réfléchit pas sur les objets eux-mêmes, on n'a pas pris une relation particulière Dominique : Bon passons.

Professeur:

  Pour vous, c'est une classification abstraite parce que vous n'avez pas considéré des relations particulières et que, pour n'importe quel ensemble, vous pouvez numéroter les éléments et finalement vous ramener à x,y,z,t. Dominique : Il y aurait donc 2 classes à isomorphisme près, ce genre d'objets et ce genre d'objets Claude : Là, du Z/4Z et là du Z/2Z x Z/2Z, en fait Professeur : Vous pensez à la classification des groupes ? Dominique : Nécessairement, on pense aux classifications que l'on connaît. Professeur : Donc il y a 2 types d'objets et là, vous les avez énumérés tous sur x,y,z,t. Dominique : On a énuméré tous les isomorphismes possibles. Professeur : Tous les quoi ? Dominique : Tous les graphes, enfin tous les éléments... Professeur : Vous avez listé tous les graphes orientés possibles sur x,y,z,t qui vérifient les axiomes.

Figure 3 .

 3 Figure 3. Représentations sémiotiques de banquets

  Bob : {1,2} ? Alice : Allez, on prend E={a,b} et pour la relation les couples (a,b) et (b,a). Donc c'est bien un modèle. Bob : Le cardinal 3... Alice : Le truc circulaire, des personnes a,b,c autour de la table. (a,b),(b,c),(c,a). Reste à voir que c'est le seul. (a,b) moyennant numérotation, c'est toujours valable Bob : (a,c),(c,b),(b,a) ? Alice : C'est le même modèle, à isomorphisme près. Bob : C'est vrai. Alice : (b,a)... il va avoir un soucis, car c va être envoyé sur quoi ? Si c est envoyé sur a ou b, comme a et b sont déjà atteints, on va nier (ii). Bob : Si on avait (a,b) et (b,a) on ne saurait pas quoi faire avec c... Alice : Oui, c'est ça. Parce que ses deux voisins de droite potentiels ont déjà un voisin Bob : Donc c'est forcément (b,c) et on complète. Alice : Le cardinal 4 sera peut-être plus intéressant. On va dire {a,b,c,d} ? [...] Alice : Donc on a toujours (a,b) ; on a toujours (b,c)... ah, est-ce que b peut s'envoyer sur a ? Ça ferait un premier branchement. Bob : Ça ferait un banquet à deux tables, en quelque sorte. La différence avec le travail de Claude et Dominique est frappant : l'image mentale des banquets s'avère d'emblée un point d'appui aux raisonnements syntaxiques sur les axiomes pour classifier les banquets et reconnaître les classes d'isomorphismes à travers leurs modèles phénoménologiques (un banquet comme union de tables). De façon similaire, les étudiants lors du travail en classe s'avèrent capables de déterminer la classe de (Z/4Z, R) par conversion vers le registre des banquets empiriques et reconnaissance d'une congruence de formes (figure 4) :

Figure 4 .

 4 Figure 4. Détermination de la classe d'isomorphisme via une conversion Il s'agit là d'un exemple de fonctionnement analogique particulièrement fertile via la production d'une représentation symbolique figurant le principe d'unité (au sens de Poincaré). Pour autant, d'autres étudiants s'avèrent tentés d'entreprendre une classification quasi-empirique des banquets (figure 5) :

Figure 5 .

 5 Figure 5. Classification quasi-empirique des banquets d'ordre 3 La nature de concept concret des banquets génère une confusion entre une axiomatique matérielle (telle la géométrie d'Euclide) et une axiomatique abstraite possédant une pluralité de modèles. Cet épisode ravive ainsi l'objection de Frege face à la méthode de Hilbert tandis que les étudiants appliquent comme critère d'identité celui des banquets empiriques.

J. Dieudonné, Pour l'honneur de l'esprit humain : les mathématiques aujourd'hui, Paris, Hachette, 1987, p. 114.

L. Corry, Modern Algebra and the Rise of mathematical Structures, Bâle, Birkhaüser, 1996.

N. Bourbaki, « L'architecture des mathématiques », dans F. Le Lionnais (dir.), Les grands courants de la pensée mathématique, Paris, Hermann, 1998, p. 35-47.

J. Piaget et E. W. Beth, Épistémologie mathématique et psychologie. Essai sur les relations entre la logique formelle et la pensée réelle, Paris, Presse Universitaires de France, 1961.

M. Artigue et R. Douady, « Note de synthèse. La didactique des mathématiques en France -Emergence d'un champ scientifique », Revue française de pédagogie, 76, 1986, p.

69-88. 6 G. Brousseau, « Epistémologie et didactique des mathématiques », Actes du colloque Didactiques, quelles références épistémologiques, IUFM d'Aquitaine, 2005. 7 S. Shapiro, Philosophy of Mathematics : Structure and Ontology, Oxford, Oxford University Press, 1997. 8 G. Heinzmann, « Objectivity in Mathematics: The Structuralist Roots of a Pragmatic Realism », dans E. Agazzi (éd.), Varieties of Scientific Realism, Springer, Cham, 2017. 9 G. Heinzmann et J. Petitot, « The Functional Role of Structures in Bourbaki », dans E. H. Reck et G. Schiemer (éds.), The Prehistory of Mathematical Structuralism, Oxford University Press, 2020. 10 I. Lakatos, Preuves et réfutations : essai sur la logique de la découverte mathématique, traduction française, Paris, Hermann, 1984.

Ibid., chap. 2.

Voir G.-G. Granger, Essai d'une philosophie du style, op. cit., et H. Benis-Sinaceur, « Style et contenus formels chez Gilles Gaston Granger », op. cit.

R. Carnap, Der logische Aufbau der Welt, Berlin, Weltkreis, 1928, cité par F. Patras, « Carnap, l'Aufbau, et l'idée mathématique de structure », dans J. Bouveresse et P. Wagner (dirs.), Mathématiques et expérience. L'empirisme logique à l'épreuve, Odile Jacob -Collège de France, p. 49.

J.-P. Marquis, « Mathematical Abstraction, Conceptual Variation and Identity », op. cit., et J.-P. Marquis, « Stairway to Heaven: The Abstract Method and Levels of Abstraction in Mathematics », op. cit.

H. Benis-Sinaceur, « Structure et concept dans l'épistémologie mathématique de Jean Cavaillès », op. cit., p. 94-95.

J.-P. Marquis, « Stairway to Heaven: The Abstract Method and Levels of Abstraction in Mathematics », op. cit., p. 44.

H. Freudenthal, Didactical phenomenology of mathematical structures, Dordrecht, Reidel, 1983.

N. Bourbaki, « L'architecture des mathématiques », op. cit.

H. Poincaré, La Valeur de la Science, Paris, Flammarion, 1911.

G. Heinzmann et J. Petitot, « The Functional Role of Structures in Bourbaki », op. cit.

P. Cartier et K. Chemla, Notes sur l'histoire et la philosophie des mathématiques, II. La création des noms mathématiques : l'exemple de Bourbaki, Bures-sur-Yvette, Publication de l'IHES, 1998, p. 5-6.

T. Hausberger, « La "théorie des banquets" : une ingénierie didactique pour faciliter l'entrée dans la pensée structuraliste », op. cit.