Thomas Durand-Texte
email: thomas.durand-texte@univ-lemans.fr

Elisabeth Simonetto

Stéphane Durand

Manuel Melon

Marie-Hélène Moulet

Estimation des incertitudes d'une méthode de mesure de déformées vibratoires par vision 3D

Keywords: MOTS-CLÉS : Photogrammétrie, vibrations, caméra ultra-rapide, traitement d'images Photogrammetry, vibrations, ultra-fast camera, image processing

L'objectif du présent article est de présenter le principe d'une méthode de mesure de vibrations, basée sur la photogrammétrie, et d'en déterminer l'incertitude de mesure. L'originalité de la méthode réside dans le système mis en oeuvre : une caméra ultra-rapide associée à un jeu de miroirs générant deux caméras virtuelles. Des simulations numériques sont réalisées afin de quantifier les incertitudes de mesure et de déterminer la configuration optimale du système.

ABSTRACT. This article aims to explain the principle of a vibrations measurement method based on photogrammetry, and to determine the corresponding uncertainty. Its originality comes from the system used : one ultra-fast camera and a set of mirrors generating two virtual cameras. Numerical simulations have been carried out in order to quantify the measurement uncertainties and to determine the optimal configuration of the system.

Introduction

Dans le domaine de la vibro-acoustique, la mesure de champs vibratoires est un enjeu capital, que ce soit pour étudier le comportement dynamique de structures [START_REF] Ewins | Modal testing: theory, practice, and application[END_REF] ou pour identifier les sources vibratoires excitant une structure [START_REF] Pezerat | Force analysis technique: reconstruction of force distribution on plates[END_REF]. Afin d'effectuer des mesures de vibrations, les outils les plus utilisés sont l'accéléromètre et le vibromètre laser. Néanmoins, outre l'aspect intrusif des accéléromètres, la nécessité d'effectuer une acquisition par point de mesure limite ces techniques aux phénomènes stationnaires. Pour les signaux transitoires, l'holographie acoustique temporelle [START_REF] Hald | Time domain acoustical holography and its applications[END_REF][START_REF] Thomas | Real-time nearfiel acoustic holography: implementation of the direct and inverse impulse responses in the timewavenumber domain[END_REF], l'imagerie par sources équivalentes [START_REF] Bai | Source identication system based on the time-domain neareld equivalence source imaging: Fundamental theory and implementation[END_REF] ou encore le retournement temporel [START_REF] Lobreau | Hemispherical double-layer time reversal imaging in reverberant and noisy environments at audible frequencies[END_REF] sont des méthodes permettant cette fois d'étudier des phénomènes transitoires grâce à un grand nombre de microphones; mais se pose alors le problème du bruit ambiant et de la régularisation due à l'étape de rétropropagation. L'intérêt se porte actuellement sur les techniques de mesure plein champ permettant de mesurer des phénomènes transitoires.

Au delà de ces approches bien établies, différentes méthodes optiques se développent : la déflectométrie [START_REF] Berry | Identification des excitations sur des panneaux par la mesure de leur réponse vibratoire et la méthode des champs virtuels[END_REF], qui mesure la forme d'un objet réfléchissant, l'holographie numérique [START_REF] Poittevin | Multi-point vibrometer based on high-speed digital in-line holography[END_REF] qui utilise le principe de l'interférométrie laser afin de mesurer des déplacements, et la photogrammétrie [START_REF] Baqersad | Photogrammetry and optical methods in structural dynamics -A review[END_REF] qui, à partir d'images capturées d'au moins deux points de vue différents, permet de mesurer la forme d'un objet en trois dimensions.

En la matière, [START_REF] Baqersad | Photogrammetry and optical methods in structural dynamics -A review[END_REF] décrivent les différentes avancées de mesure de vibrations grâce à des méthodes basées sur la photogrammétrie, notamment pour des systèmes difficilement instrumentables : des ponts [START_REF] Olaszek | Investigation of the dynamic characteristic of bridge structures using a computer vision method[END_REF], des systèmes rotatifs [START_REF] Stasicki | In-flight measurements of aircraft propellers deformation by means of an autarkic fast rotating imaging system[END_REF] ou encore des ailes en soufflerie [START_REF] Graves | Dynamic Deformation Measurements of an Aeroelastic Semispan Model[END_REF]. Ces méthodes visent généralement à mesurer des déformées modales et sont pour la pluspart limitées à des variations stationnaires ou 2D si une seule caméra rapide est utilisée. Néanmoins, le temps de calcul et la quantité de données sont souvent très (voire trop) importants et nécessitent un post-traitement adapté, utilisant les éléments finis par exemple (W. [START_REF] Mottershead | Finite element model updating from full-field vibration measurement using digital image correlation[END_REF]. Malheureusement, les logiciels actuels de photogrammétrie sont souvent mal adaptés à un tel post-traitement. Il est ainsi difficile de gérer la quantité colossale de données tout en limitant le temps de post-traitement [START_REF] Baqersad | Photogrammetry and optical methods in structural dynamics -A review[END_REF].

Il a été montré qu'il est possible de mesurer qualitativement des déformations vibratoires transitoires 3D avec la photogrammétrie, en utilisant une unique caméra ultra-rapide, grâce à des miroirs [START_REF] Durand-Texte | Mesure de déformations vibratoires par vision 3d[END_REF] à partir d'un montage proposé par [START_REF] Inaba | A stereo viewer based on a single camera with view-control mechanisms[END_REF]. On souhaite maintenant optimiser cette méthode afin d'obtenir des résultats quantitatifs avec une meilleure précision.

Cet article présente différents paramètres et les différentes étapes d'une méthode de mesure de phénomènes vibratoires 3D avec une seule caméra, peu de pixels (1024 × 1024), des miroirs et un nombre important de points de mesures (31 × 31 points dessinés sur une plaque). On cherche ainsi à définir les limites de la mesure, ainsi que l'in-fluence des paramètres et des méthodes de traitement sur son incertitude : par exemple, le motif utilisé comme cible pour les points de mesure, la méthode de détection de points d'intérêt et la position de la caméra et des miroirs.

Méthode

2.1. Principe de la photogrammétrie

• • • • • • • X • X? • X? xL xR eL eR CL CR ΠL ΠR lR Figure 1
. Schéma de principe de la vision par ordinateur adapté de [START_REF] Hartley | Multiple view geometry in computer vision[END_REF].

Le principe d'une mesure photogrammétrique repose sur celui de la triangulation : on définit deux plans images Π L et Π R (de deux caméras), sur lesquels un point de l'espace X se projette en x L et x R . Si l'on connait la position (C L et C R ) et l'orientation relative (R L et R R ) de ces plans dans l'espace, ainsi que la position des points x L et x R , il est alors possible de calculer, dans l'espace à trois dimensions (X, Y, Z), la position des droites (C L x L ) et (C R x R ). À partir de ces deux droites, on estime la position du point X dans l'espace. REMARQUE 1. -Il existe toujours une incertitude de mesure. En conséquence, le point x R ne se trouve généralement pas sur la projection (l R ) de la droite (C L x L ) sur Π R . Il est nécessaire de prendre en compte ce paramètre lors de l'étape de triangulation. REMARQUE 2. -Il est également possible d'utiliser plus de deux points de vue pour une mesure photogrammétrique, ce qui permet de diminuer les incertitudes de mesure.

L'équation (1) décrit la relation entre un point X de l'espace 3D et son image x sur une caméra, en fonction de la matrice caméra K, de la position du centre de perspective C et de la matrice de rotation R liant le repère monde au repère caméra (cf. équation 2).

x =   k * x c k * y c k   = KR[Id| -C]     X Y Z 1     (1)
La matrice de rotation est définie telle que :

R(θ, t) = Id + sin(θ)[ t] x + (1 -cos(θ))[ t] 2 x
(2) avec t l'axe de rotation, θ l'angle de rotation et [.] x la matrice anti-symmétrique.

La position dans l'espace des points est triangulée à partir de l'équation (3) [START_REF] Hartley | Multiple view geometry in computer vision[END_REF] qui décrit la relation entre l'image x L d'un point détecté sur la caméra de gauche, la distance Z L de ce point à la caméra et l'image x R du point détecté sur la caméra de droite. On cherche alors la valeur de Z L qui minimise la distance entre le point détecté à droite et le point détecté à gauche reprojeté sur la caméra de droite.

x R = K R R LR Z L K -1 L x L + K R T LR (3)
avec R LR et T LR la matrice de rotation et le vecteur translation entre les deux caméras.

Afin d'obtenir les paramètres internes des caméras K L et K R et les paramètres externes du système (R L , C L , R R et C R ), il est nécessaire de calibrer à la fois la caméra et le système. Dans cet article, le calibrage est réalisé avec les outils de la bibliothèque OpenCV [START_REF] Bradski | Open Computer Vision, OpenCV[END_REF], basés sur [START_REF] Zhang | A flexible new technique for camera calibration[END_REF][START_REF] Bouguet | Camera calibration toolbox for matlab[END_REF] La Figure 2 présente le synoptique de la démarche appliquée. Des images d'une plaque de 330 mm x 330 mm en vibration et d'une mire de calibrage présentant des motifs cibles sont simulées. Ensuite, les centres des motifs sont détectés sur chaque image. La position des centres détectés pour la mire de calibrage est utilisée pour effectuer le calibrage de la caméra et du système. Puis, les signaux correspondant aux positions détectées pour la plaque en vibration sont filtrés avec un filtre fréquentiel passe-bas. Finalement, à partir des données de calibrage et des signaux filtrés, la position dans l'espace et le temps du centre des motifs est triangulée et comparée avec le signal de vibration de référence afin de calculer des erreurs.

À chaque étape de la démarche, on cherche à minimiser les incertitudes de mesure. Pour ce faire, on compare et on étudie les résultats obtenus pour :

-différentes configurations du système ; -trois motifs pour les points de mesure ; -trois algorithmes de détection ; -deux fréquences de coupure pour le filtrage des signaux temporels.

Paramètres étudiés

On cherche ici à obtenir la précision de la mesure et à déterminer un certain nombre de paramètres permettant de minimiser les incertitudes. Ces paramètres sont : l'agencement du système, la définition des points de mesure et la méthode de détection. Pour ce faire, deux outils de simulation sont utilisés et comparés : un code de simulation développé pour cet article sous C++ utilisant la bibliothèque OpenCV [START_REF] Bradski | Open Computer Vision, OpenCV[END_REF] et le logiciel de modélisation et de rendu 3D Blender (Blender Foundation, s. d.).

Agencement du système

Pour réaliser une mesure photogrammétrique, au moins deux points de vue d'un objet sont nécessaires. On cherche alors à déterminer les positions et orientations optimales des points de vue afin de maximiser la précision de la mesure. Il est cependant possible d'utiliser une unique caméra afin d'obtenir deux points de vue différents simultanément, et ce en utilisant des miroirs, tel que présenté sur la Figure 3.

En effet, en plaçant un double miroir central (deux miroirs à 90˚) devant la caméra, la première moitié de la matrice de pixels regarde vers la gauche de la caméra et la seconde vers la droite. Il suffit ensuite de placer un miroir latéral de chaque côté afin de redresser les vues vers l'objet à mesurer. Ainsi, deux caméras virtuelles sont générées à partir d'une caméra réelle et d'un jeu de miroirs. Ce montage a déjà été utilisé en robotique [START_REF] Inaba | A stereo viewer based on a single camera with view-control mechanisms[END_REF], et a également été étudié pour des applications de stéréovision [START_REF] Nene | Stereo with mirrors[END_REF][START_REF] Wang | Analysis and optimization of the stereo-system with a fourmirror adapter[END_REF].

Définition des points de mesure

L'objectif est d'avoir un grand nombre de points de mesure sur la plaque, de l'ordre de 1000. Cependant, les caméras ultra-rapides ne disposent actuellement que de relativement peu de pixels, typiquement 1024 × 1024. Avant de définir les points de mesure sur la plaque, il est nécessaire de choisir la technique qui sera utilisée. Il existe trois approches : le suivi de cibles, la corrélation d'images et l'approche sans cibles [START_REF] Baqersad | Photogrammetry and optical methods in structural dynamics -A review[END_REF].

La méthode retenue ici est le suivi de cibles pour sa relative facilité d'implémentation et sa relative rapidité. La question qui se pose est la suivante : quel motif peut-on suivre de manière suffisamment précise avec peu de pixels à disposition ? Un premier élément de réponse se situe au niveau des discontinuités du motif, qu'il faut éviter au maximum. Cette hypothèse est vérifiée en comparant trois formes :

-un point blanc sur fond noir ; -un point blanc à bords profilés gaussiens ; -un niveau de gris évoluant suivant un profil gaussien. Sur la Figure 4, les trois motifs sont représentés, tels que vus par une caméra dans une configuration similaire à ce que l'on souhaite réaliser. Le motif point présente une discontinuité importante, ce qui est impossible à rendre correctement sur une image discrétisée. Les autres motifs, quant à eux, présentent moins de discontinuités et semblent être bien imagés et ce malgré le peu de pixels utilisés.

Les transformées de Fourier 2D des sous-images, affichées sur la Figure 5 avec une dynamique de 50 dB, donnent des informations supplémentaires sur la validité des motifs. Le motif "point" contient des hautes fréquences et donc du recouvrement spectral. Les motifs "point -gaussien" et "gaussien" ont un contenu fréquentiel plus limité et ne présentent pas ou peu de recouvrement. Le motif "point -gaussien" a le plus d'énergie tout en évitant les variations trop hautes fréquences et devrait donc fournir les meilleurs résultats.

Méthode de détection

Le but est de mesurer le déplacement de l'image d'un motif sur la matrice de pixels de la caméra. Il faut donc d'abord les détecter. Quelle méthode est la plus précise pour cette détection ? Trois algorithmes sont comparés :

-le "detecteur de blob" implémenté dans OpenCV [START_REF] Bradski | Open Computer Vision, OpenCV[END_REF], basé sur l'algorithme de détection de contour [START_REF] Suzuki | Topological structural analysis of digitized binary images by border following[END_REF] ; -un algorithme de "moyenne pondérée", moyennant la position (x,y) des pixels en la pondérant par l'intensité de l'image ; -un algorithme de "détection d'ellipse", basé sur la résolution d'un système à valeurs propres et sur la méthode des moindres carrés [START_REF] Fitzgibbon | Direct least square fitting of ellipses[END_REF].

Pour les algorithmes de moyenne pondérée et de détection d'ellipse, une première détection "grossière" est réalisée avec une méthode de corrélation de motif. S'en suit une étape de traitement d'images (cf. Figure 6) : un masque de forme elliptique est calculé à partir de 8 points correspondant à un certain niveau de gris, détectés autour du pixel central. Les valeurs numériques de la sous-image sont étalées (équation (4)) et filtrée, via une opération de convolution 2D avec un filtre gaussien (cf. équation ( 5)) pour limiter l'influence du bruit de l'image. (4)

f (x) 1D = 1 √ 2πσ exp( (x -x 0 ) 2 2 * σ 2 ) (5)
Finalement, l'algorithme de détection est appliqué.

REMARQUE 3. -Il est possible de filtrer une image 2D avec un filtre 1D en convoluant (2D) le vecteur du filtre 1D avec son vecteur transposé si le filtre final est réalisable à partir de deux filtres 1D. Le filtre gaussien est ici appliqué en effectuant deux convolutions successives, une dans le sens des colonnes puis une autre dans le sens des lignes, ce qui est équivalent à un filtre gaussien 2D, tout en étant plus rapide.

Filtrage fréquentiel des signaux de déplacement

La mesure et l'enregistrement d'un signal se font à une certaine fréquence d'échantillonnage. Le signal obtenu est donc discrétisé. Or, afin de décrire correctement un signal sinusoïdal, il est nécessaire d'avoir suffisamment de points par période, idéalement 6 à 10 points minimum, si l'on souhaite minimiser les erreurs. Il est alors habituel de réaliser un filtrage fréquentiel du signal pour limiter la bande de fréquence étudiée et de diminuer le bruit de mesure, généralement situé dans les hautes fréquences.

Dans le protocole proposé, un signal de déplacement est mesuré pour chaque point. Un filtre de butterworth d'odre 9 est appliqué, avec deux fréquences de coupure différentes (f e/3 et f e/7) afin de déterminer la bande de fréquences mesurable.

Simulations

2.4.1. Choix de l'outil L'objectif est de simuler 100 images (donc 100 points de mesure temporels) d'une plaque vibrante de dimension 330 mm x 330 mm avec le plus de réalisme possible, et ce pour différents agencements des éléments du montage (cf. Figure 3). Deux outils de simulation sont comparés :

-un code développé sous C++, simulant la projection d'une plaque avec un certain pas spatial sur la caméra, utilisant les équations linéaires de vision par ordinateur (cf. [START_REF] Hartley | Multiple view geometry in computer vision[END_REF])) et la bibliothèque openCV [START_REF] Bradski | Open Computer Vision, OpenCV[END_REF] ; -le logiciel de modélisation, animation et rendu 3D Blender (Blender Foundation, s. d.), utilisant le tracé de rayons et intégrant la distorsion optique et le flou de mouvement.

On compare donc les résultats obtenus à partir des images simulées par les deux outils avec les paramètres suivants :

-pour la caméra : la focale est de 50 mm, la taille des pixels est de 14,6 µm, le centre de perspective est centré sur l'image et l'image est codée sur 8 bits.

-la plaque vibre selon un mouvement de corps rigide avec une composition de 3 fréquences (cf. Tableau 1), avec au moins 10 points par période pour minimiser les erreurs.

Tableau Un écart notable est observé entre les résultats obtenus avec les deux outils de simulation. Les résultats obtenus à partir des simulations sous Blender semblent cependant similaires pour toutes les configurations angulaires simulées du système.

On cherche à savoir si l'écart observé vient du pas de simulation de la plaque dans les simulations C++. L'incertitude est donc étudiée pour la précision de la triangulation initiale de la position dans l'espace du centre des motifs pour différents pas de simulation de la plaque. Les résultats sont présentés sur la Figure 10. Le pas spatial utilisé pour simuler influence les résultats, et le pas utilisé est trop grossier. Afin d'obtenir des résultats réalistes, il est nécessaire d'utiliser un pas très petit, ce qui implique un (trop) gros temps de calcul (plus de 5 min par image).

En conséquence, le logiciel Blender est choisi pour la prochaine étape de simulation. Le calcul par tir de rayons est plus rapide (quelques secondes par image) et la distorsion optique ainsi que le flou de mouvement sont déjà implémentés.

Paramètres des simulations

Le logiciel Blender est utilisé. Pour la caméra, la taille de la matrice de pixels est fixée à 1024 x 1024 pixels avec une largeur de pixel égale à 14,6 µm, la distorsion optique à 0,2%, et l'ouverture du diaphragme à 25%. La défocalisation liée à l'objectif n'est pas prise en compte. La surface des miroirs est définie comme plane et parfaitement réfléchissante, le miroir central est un cube de 25 mm de côté et les miroirs latéraux sont des plaques de 200 mm x 200 mm. À la différence de la première série de simulations, la taille de l'image sur la matrice de pixels est optimisée pour chaque configuration, puisque l'on a une matrice de pixels plus grande. Sur la Figure 11, sont affichées des images de la plaque dans deux configurations et une image de la mire de calibrage utilisée. L'agencement pour les différentes configurations est présenté dans le Tableau 4. La plage de mesure est de 300 mm x 300 mm et la plaque vibre selon un mouvement de corps rigide sinusoïdal comprenant trois fréquences et amplitudes différentes. Trois signaux sont définis, s 1 (t), s 2 (t) = s 1 (t)/10 et s 3 (t) = s 1 (t)/100. Les valeurs des fréquences et amplitudes pour le signal s 1 (t) sont données dans le Tableau 5. Afin de se rapprocher d'un cas réel, les fréquences vont de f e/50 à f e/4 et produisent un nombre entier de périodes pour 100 points de mesure.

Tableau 5. Composantes du signal de déplacement de la plaque s 1 (t) composante numéro fréq. (normalisée par f e) amplitude (µm) 1 1/50 120 2 1/10 70 3 1/4 100

Résultats

Les résultats présentés dans cette section sont obtenus à partir des simulations réalisées sous Blender en prenant en compte la distorsion optique, le flou de mouvement, et en optimisant la taille de l'image de la plaque sur la matrice de pixels. La précision de la mesure de vibrations est étudiée pour trois motifs, trois algorithmes de détection et six agencements différents pour le système. Puis, une étude de signaux temporels mesurés dans la configuration otpimale est présentée.

Influence du motif

Pour étudier l'influence du motif, on s'intéresse à la précision de la triangulation des signaux de vibrations pour une configuration correspondant aux déformées les plus importantes dans le motif, obersvées pour un angle de 55˚. On étudie l'influence de trois motifs sur le suivi temporel de la position des points d'intérêt dans l'espace :

-un point blanc sur fond noir ; -un point blanc à bords profilés gaussiens ; -un niveau de gris évoluant selon un profil gaussien.

Les valeurs d'incertitude sur la triangulation de la vibration des points de mesure selon l'axe (Z) avec les différents motifs sont affichées dans le tableau 6. Le motif "point" présente une incertitude environ 10 fois plus élevée que les deux autres, et on note que le motif "point -gaussien" donne la meilleure précision, avec un écart type moyen de 0,28 µm. Pour le signal s 1 (t), les incertitudes sont entre 3 et 5 fois plus élevées et sont environ moitié moins importantes pour le signal s 3 (t); mais dans tous les cas, les meilleurs résultats sont obtenus avec le motif "point -gaussien".

Influence de la méthode de détection

On s'intéresse maintenant à l'influence de la méthode de détection sur la précision de la mesure. Les trois algorithmes sont appliqués sur des images de la plaque. Le motif utilisé est le motif "gaussien".

Dans un premier temps, la triangulation de la forme initiale de la plaque est comparée pour les trois algorithmes de détection. La configuration 55˚est choisie. La Figure 12 montre la déformation engendrée par la distorsion optique sur la position initiale avec le détecteur de blob ainsi que la position initiale avec correction de la distorsion optique pour les trois algorithmes de détection. La distance entre la plaque et la mire de calibrage (centre du repère dans l'espace) est de 30 mm. On note que :

-la distorsion optique est correctement corrigée ;

-le détecteur par moyenne pondérée affiche le biais le plus fort;

-le biais moyen est de l'odre de 0,75 mm.

Dans un second temps, les résultats de triangulation selon l'axe Z pour les trois algorithmes de détection sont comparés. Les courbes correspondantes sont affichées sur la Figure 13. Le détecteur de blob présente l'incertitude la plus élevée et les résultats pour le détecteur par moyenne pondérée et pour le détecteur d'ellipse sont équivalents. REMARQUE 5. -Pour la mesure de vibrations, la précision du déplacement des points d'intérêt est plus importante que la précision de la position sur une image.

Influence de l'agencement

Pour l'analyse de l'influence de l'agencement du système sur la précision de la mesure, on souhaite utiliser une simulation réaliste. La distorsion optique et le flou de mouvement sont donc simulés et la taille de la plaque sur la matrice de pixels de la caméra est optimisée. Le motif choisi est le motif "point -gaussien", et les algorithmes de détection d'ellipse et par moyenne pondérée sont utilisés.

Les résultats de triangulation de vibration selon les trois axes X, Y et Z sont étudiés. La Figure 14 présente les valeurs d'incertitude obtenues avec le signal s 1 (t) et le détecteur par moyenne pondérée. L'incertitude est globalement constante quelque soit l'angle choisi et est de l'ordre de quelques micro-mètres.

Étude d'un signal temporel dans une configuration optimisée

L'évolution temporelle d'un des signaux triangulés sur 100 points est ensuite étudiée pour la configuration 55˚avec le motif "point -gaussien". Le point de mesure choisi est celui dans le coin en haut à gauche de la plaque, afin de prendre en compte la distorsion optique et sa correction dans les résultats. Le signal mesuré (avec le détecteur par moyenne pondérée), filtré avec un filtre butterworth d'ordre 9 et une fréquence de coupure f c = f e/3 est présenté sur la Figure 15. Sur la Figure 16, la fréquence de coupure est f c = f e/7. Dans les deux cas, l'erreur maximale est de [-3,0 +4,3] µm pour le signal s 1 (t), [-1,2 +0,5] µm pour le signal s 2 (t) et ±0,2 µm pour le signal s 3 (t). Sur la courbe d'erreur de la Figure 16 on constate facilement que l'erreur n'est pas purement aléatoire.

On regarde ensuite la densité spectrale de puissance (DSP) du signal mesuré afin de le comparer avec les trois signaux s 1 (t), s 2 (t) et s 3 (t). Les DSP des signaux mesurés et filtrés sont affichées sur les figures 17 et 18 pour s 1 (t) et s 3 (t). Afin de limiter les effets de fenêtrage, le signal, contenant un nombre entier de périodes, est recopié 500 fois et fenêtré avec une fenêtre gaussienne. Les fréquences des raies mesurées sont correctes avec des amplitudes proches des valeurs de référence. La limite de la détection est aussi recherchée. La densité spectrale de puissance pour le signal s 3 (t) est affichée sur la Figure 18. Les valeurs des amplitudes des raies ainsi que les erreurs associées sont présentées dans le Tableau 7. Les spectres mesurés indiquent la présence de distorsion. En effet, des raies sont visibles à des fréquences pour lequelles il n'y a théoriquement pas d'énergie. En comparant les résultats pour les trois signaux, on remarque que la distorsion diminue avec l'amplitude (avec une limite à -40 dB pour les signaux s 2 (t) et s 3 (t)) mais que le taux de distortion harmonique augmente. Il semble que l'on s'approche donc de la detection du mouvement des motifs sur les images.

Les résultats pour la mesure de l'amplitude des différentes raies sont similaires pour les deux algorithmes de détection : l'erreur est inférieure à 1% pour les raies à f e/50 et f e/10 et d'environ 3% pour la raie à f e/4 pour les signaux s 1 (t) et s 2 (t) et f c = f e/3. Cependant, l'erreur augmente à environ 5% pour f c = f e/7 pour la raie à f e/10, et l'erreur moyenne est de 2% pour le signal s 3 (t) avec f c = f e/7. La fréquence de coupure doit donc être suffisamment élevée pour ne pas affecter la bande de fréquences que l'on souhaite étudier. 97, 4/ -2, 6% mesure f c = f e/7 119, 4/ -0, 4% 66, 7/ -4, 7% ∅ signal 10 µm 12 7 10 mesure f c = f e/3 11, 94/ -0, 5% 7, 04/ + 0, 6% 9, 68/ -3, 2% mesure f c = f e/7 11, 94/ -0, 5% 6, 75/ -3, 5% ∅ signal 1 µm 1.2 0.7 1 mesure f c = f e/3 1, 24/ + 3, 4% 0, 714/ + 2, 1% 1, 006/ + 0, 6% mesure f c = f e/7 1, 241/ + 3, 4% 0, 685/ -2, 1% ∅ On s'intéresse finalement à l'influence du bruit de l'image sur la mesure. Pour ce faire, un bruit gaussien conséquent, d'écart type égal à 1,8 et de moyenne nulle, est ajouté aux images simulées. Le point détecté est celui en haut à gauche de la plaque, pour les différentes configurations proposées. Les résultats pour le détecteur d'ellipse et le détecteur par moyenne pondérée avec la plaque vibrant selon le signal s 1 (t) sont affichés sur la Figure 19. Le bruit augmente fortement l'incertitude pour les angles inférieurs à 40˚et le détecteur par moyenne pondérée est plus sensible au bruit gaussien que le détecteur d'ellipse. Néanmoins, l'écart type reste inférieur à 5 µm malgré un bruit surestimé. Les deux méthodes de détection semblent donc relativement bien supporter un bruit gaussien sur les images. Des mesures avec une caméra réelle permettront de mieux définir le bruit et d'optimiser les simulations afin de quantifier plus précisément l'erreur induite.

Conclusion

L'influence de différents paramètres et de différentes méthodes de traitement sur les résultats finaux a été étudiée par le biais de simulations, permettant de définir une version optimisée du protocole de mesure.

À partir d'images simulées, il a été prouvé qu'il est possible de mesurer avec 31 x 31 points de mesure simultanément, sur une surface de mesure de 300 mm x 300 mm, des déformations vibratoires de l'ordre de 1 µm d'amplitude avec une erreur inférieure à 4%, correspondant à une erreur inférieure à 1/7500000 de la largeur de l'objet mesuré. De plus, les simulations ont permis d'étudier l'influence de différents paramètres et des méthodes de post-traitement sur la précision de la mesure. Le protocole proposé s'appuie sur la méthode de suivi de points et permet de limiter la quantité de données et le temps de traitement. Notons que la méthode de corrélation d'images permet d'avoir beaucoup plus de points de mesures, de l'ordre de 100000 dans les configurations étudiées, mais avec une erreur généralement de l'ordre de 1/50000 de la taille de la plage de mesure [START_REF] Orteu | Mesure de forme et de déformations par stéréo-corrélation d'images : applications et mécanique expérimentale des solides[END_REF] et un temps de traitement beaucoup plus long.

Par ailleurs, le motif utilisé est un point clef de la mesure. En effet, avec peu de pixels à disposition, les discontinuités genèrent des bords en escalier de par le repliement spectral. Un motif avec des bords suivant un profil gaussien limite la présence de discontinuités et est donc bien approprié dans le cas présenté.

Il a aussi été observé que l'imprécision sur la localisation exacte du centre des points d'intéret semble ne pas influencer la précision de la mesure de vibrations. En effet, afin d'optimiser la mesure, l'algorithme de détection doit principalement permettre de suivre très précisément le déplacement des motifs sur les images.

Finalement, la taille de l'objet sur l'image est cruciale. Plus l'angle entre les caméras virtuelles et la plaque augmente, plus l'image prend de place sur la matrice de pixels et plus le déplacement des motifs sur l'image est grand. En conséquence, le choix d'un angle de 55˚permet potentiellement de détecter des vibrations d'amplitudes plus faibles. Néanmoins, la déformation des motifs est d'autant plus importante que l'angle est grand. Notons qu'avec un angle supérieur à 55˚l'algorithme de détection de la bibliothèque OpenCV [START_REF] Bradski | Open Computer Vision, OpenCV[END_REF] décroche pour le calibrage du système.

Il est intéressant de comparer la méthode photogrammétrique proposée à une méthode d'interférométrie laser : l'holographie numérique [START_REF] Poittevin | Multi-point vibrometer based on high-speed digital in-line holography[END_REF]. La précision de la mesure est d'environ 20 nm pour l'holographie quelque soit la taille de l'objet (inférieur à 300 mm de diamètre), tandis que pour la photogrammétrie, elle dépend de la taille maximale de la surface de mesure (D) et est d'environ D/7500000. Notons aussi que la taille potentiellement mesurable de l'objet est plus grande pour la photogrammétrie. De plus, l'holographie utilise l'interférométrie laser : la mesure est limitée à un seul axe de vibration et potentiellement influencée par le bruit lumineux ambient, et le déplacement entre deux images ne doit pas excéder la longueur d'onde du laser. La surface doit aussi être la plus réfléchissante possible. Pour la méthode proposée, un spot lumineux LED est bien approprié pour éclairer la surface, il n'y a pas de problème avec la lumière ambiante et le déplacement est mesuré dans les 3 axes de l'espace. Néanmoins, il est nécessaire d'avoir des motifs sur l'objet mesuré. Finalement, le nombre de points de mesure est de 961 pour le présent article et 5916 pour l'holographie [START_REF] Poittevin | Multi-point vibrometer based on high-speed digital in-line holography[END_REF]. Les deux méthodes sont complémentaires quant aux possibilités de mesures et aux paramètres des configurations.

Toutefois, la méthode permet de mesurer des déplacements et non des vitesses ou des accélérations. Il faut donc faire attention au repliement de spectre si le signal d'excitation contient de trop hautes fréquences. De plus, l'amplitude de vibrations en déplacement décroit de 40 dB/octave, ce qui peut donc être à la fois un avantage (on évite le repliement de spectre) et un inconvénient (il s'agit d'une limite potentielle de la mesure pour les hautes fréquences). Néanmoins, si l'on s'intéresse à des résonances, l'amplitude de vibration est probablement suffisante.

Les limites technologiques de la méthode sont liées aux caméras ultra-rapides, qui ont actuellement une cadence d'acquisition dépendante de la taille de la matrice de pixels; mais la technologie des caméras ultra-rapides s'améliore rapidement. On peut donc s'attendre à voir apparaître prochainement des caméras avec de grandes vitesses d'acquisition avec plusieurs millions de pixels. De plus, la distorsion optique des objectifs, même si elle est corrigeable, induit de la distorsion dans le signal mesuré. En ce qui concerne l'éclairement de l'objet mesuré, le développement actuel de la technologie LED offre de nouvelles possibilités d'éclairement puissant avec un minimum d'échauffement de l'objet éclairé, permettant donc d'augmenter la cadence d'acquisition des images.

Figure 2 .

 2 Figure 2. Schéma synoptique de la méthode.

Figure 3 .

 3 Figure 3. Schéma du montage.

Figure 4 .

 4 Figure 4. Différents motifs vus par le système.

Figure 5 .

 5 Figure 5. Transformées de Fourier 2D des différents motifs vus par le système.

Figure 6 .

 6 Figure 6. Traitement d'une sous-image. À gauche : calcul d'un masque elliptique (• : 8 points détectés, -: ellipse estimée, -: ellipse agrandie), à droite : image masquée, normalisée et filtrée.

Figure 7 .

 7 Figure 7. Agencement du modèle réalisé sous Blender.

Figure 8 .

 8 Figure 8. Droites épipolaires dans deux coins de la plaque sur la caméra de gauche.

Figure 9 .

 9 Figure 9. Incertitude sur la triangulation du déplacement de chaque point (selon l'axe Z) (• : Simulation sous C++, • : Simulation sous Blender, -. : minimum, -: moyen, --: maximum).

Figure 10 .

 10 Figure 10. Incertitude sur la triangulation de tous les points sans mouvement (selon l'axe Z) avec des images simulées sous C++ (• : un point tous les 1/16 µm, • : un point tous les 1/32 µm).

Tableau 4 .Figure 11 .

 411 Figure 11. Images de la plaque pour différents angles (30˚et 55˚) et image de la mire de calibrage, simulées sous Blender avec distorsion optique.

Figure 12 .

 12 Figure 12. Triangulation à t = 0 , en haut à gauche : sans correction de distorsion (détecteur de blob), en haut à droite : avec correction (détecteur de blob), en bas à gauche : avec correction (détecteur par moyenne pondérée), en bas à droite : avec correction (détecteur d'ellipse).

Figure 13 .

 13 Figure 13. Incertitude sur la mesure de déplacement des points selon l'axe Z. (• : détecteur de blob, • : détecteur par moyenne pondérée, • : détecteur d'ellipse,-. : minimum, -: moyen, --: maximum).

Figure 14 .

 14 Figure 14. Incertitude sur la mesure de déplacement des points selon les axes X, Y et Z. (-. : minimum, -: moyen, --: maximum).

Figure 15 .

 15 Figure 15. Signal mesuré pour le point en haut à gauche de la plaque (signal s 1 (t), f c = f e/3, • : signal mesuré, • : signal vrai).

Figure 16 .

 16 Figure 16. Signal mesuré pour le point en haut à gauche de la plaque (signal s 1 (t), f c = f e/7, • : signal mesuré, • : signal vrai).

Figure 17 .

 17 Figure 17. Densité spectrale de puissance du signal de déplacement mesuré pour un point selon l'axe Z (signal s 1 (t), • : signal filtré à f e/3, • : signal filtré à f e/7, • : signal de référence).

Figure 18 .

 18 Figure 18. Densité spectrale de puissance du signal de déplacement mesuré pour un point selon l'axe Z (signal s 3 (t), • : signal filtré à f e/3, • : signal filtré à f e/7, • : signal de référence).

Tableau 7 .

 7 Amplitude des pics des DSP (détecteur d'ellipse) raie f e/50 raie f e/10 raie f e/4 amp. (µm)/err. amp. (µm) /err. amp. (µm) )err. signal 100 µm 120 70 100 mesure f c = f e/3 119, 1/ -0, 7% 69, 4/ -0, 8% 97, 2/ -2, 8% mesure f c = f e/7 119, 1/ -0, 7% 66, 6/ -4, 8% ∅ signal 10 µm 12 7 10 mesure f c = f e/3 11, 91/ -0, 7% 7, 06/ + 0, 2% 9, 68/ -3, 2% mesure f c = f e/7 11, 91/ -0, 7% 6, 72/ -= f e/3 1, 188/ -1, 0% 0, 686/ -2, 0% 0, 965/ -3, 5% mesure f c = f e/7 1, 188/ -1, 0% 0, 658/ -6, 1% ∅ Tableau 8. Amplitude des pics des DSP (détecteur par moyenne pondérée) raie f e/50 raie f e/10 raie f e/4 amp. (µm)/err. amp. (µm) /err. amp. (µm) )/err. signal 100 µm 120 70 100 mesure f c = f e/3 119, 4/ -0, 5% 69, 6/ -0, 6%

Figure 19 .

 19 Figure 19. Incertitude sur la triangulation de la vibration selon l'axe Z du point en haut à gauche de la plaque (signal s 1 (t), f c = f e/3, • : image non bruitée, • : image bruitée et détecteur par moyenne pondérée, • : image bruitée et détecteur d'ellipse).

  ).

	2.2. Protocole de mesure
	33Simulation d'images d'une plaque en vibration	33Détection des points d'intérêt dans le temps	33Filtrage des signaux de détection temporels	33Triangulation de la position points détectés dans l'espace des	33Résultats x(t),y(t),z(t)
	33Simulation d'images d'une mire de calibrage	33Détection des points d'une mire pour différentes positions	33Calibrage de la caméra et du système		33Calcul des erreurs

  Tableau 6. Incertitudes sur la triangulation de la vibration des points de mesure pour un angle de 55˚et le signal s 2 (t)

		écart type (µm) écart type (µm) écart type (µm)
	motif	moyen	maximum	minimum
	point	2, 38	13, 56	0, 35
	point -gaussien	0, 28	0, 49	0, 15
	gaussien	0, 47	1, 02	0, 24
	REMARQUE 4. -Un motif contenant des discontinuités (hautes fréquences) est mal
	imagé dû au repliement spectral et les résultats de détection sont dégradés. Les motifs
	"gaussien" et "point -gaussien" limitent le contenu fréquentiel et sont donc mieux
	imagés et détectés.

I2M. Volume -n o /2017

I2M. Volume -n o /2017

Prochainement, des mesures seront réalisées sur une plaque réelle, avec un motif "point -gaussien" imprimé et collé, afin de comparer les résultats obtenus par simulation avec des résultats expérimentaux (pour la méthode photogrammétrique et une autre méthode, avec des accéléromètres par exemple). Les mesures permettront aussi de déterminer le bruit sur les images afin d'obtenir un valeur plus précise de l'impact sur l'incertitude, bien que les algorithmes de détection semblent robustes au bruit. Finalement, un des objectifs est aussi, à terme, de mesurer des objets moins académiques qu'une plaque, tels qu'un haut-parleur ou une carrosserie de voiture.

Remerciements

Ce projet est soutenu par "Le Mans Acoustique" et financé par la région "Pays de la Loire" et le "Fonds européen de développement économique et régional".


domain: spi chim phys sdv

text:
Catherine Bonazzi
email: catherine.bonazzi@agroparistech.fr

Mathilde Courel

Souad Fehaili

Bertrand Broyart

Xuân-Mi Meyer
email: xuanmi.meyer@ensiacet.fr

Pierre Giampaoli

Professor Petros Taoukis

Methodology for extracting an

Keywords: Reaction kinetics, baking, identifiable reaction pathway, Maillard reaction, stoichio-kinetic model

INTRODUCTION

The development of a complex food with controlled nutritional and organoleptic properties (like flavour compounds contents) requires the development of strategies allowing the appearance and the protection of valuable compounds to be controlled. Moreover, the development of food properties, either desirable (from organoleptic or functional point of view) or undesirable (off-flavours or potential toxicity), often results from chemical reactions initiated by technological treatments. This study is part of the project REACTIAL "Prediction and control of the appearance or disappearance of reactional markers during food process and conservation ", carried out with the financial support of the ANR-The French National Research Agency. The objective was to develop rational strategies in order to preserve as well as possible the integrity of the nutritional compounds of a food and to optimize the production of positive newly-formed compounds. The project aimed at analysing the impact of formulation and heat and mass transfers on the reaction kinetics in order to understand how the processes act on reactions, and can favour the appearance, disappearance or preservation of such newly-formed compounds. Synchronous experimental data on heat and mass transfer phenomena and reactions on a sponge-cake like product were used as inputs in a methodological thinking. The latter aimed at creating a tool for integrating knowledge and decision-making aid in order to propose new technological pathways or new operating conditions for existing technologies. Maillard reaction is among the main reactions occurring during thermal processing of food. This reaction concerns a complex network of different pathways producing a huge number of newly-formed compounds at variable amounts and lead to important changes in food flavour, colour, and nutritional value, with positive and negative consequences. The role of the Maillard reaction on food quality has been a matter of interest for years, but only few studies are dealing with the simultaneous effect of physical and chemical variables on the development of Maillard products. Studies of Maillard reaction have been performed in aqueous solutions containing carbohydrates and amino acids. These simplified model systems have given useful information, but bakery products are complex and heterogeneous solids in which the development of Maillard reaction is certainly very different from the one observed in aqueous model systems. The added value of studying a real solid food like a bakery product lays in the complexity of the reactional system, with numerous possible reactants evolving in the heterogeneous, multiphasic structure. Moreover, the quantification of all reactants and products in a precise way remains a real analytical challenge. The objective of the present work is to propose a methodological approach to apprehend the product-process interactions starting from measurable experimental information in order to analyse the impact of formulation and heat and mass transfers on reaction kinetics. It is based on a comprehensive "chemical engineering" approach which aims at supplementing and making reliable the knowledge on mechanisms and reaction kinetics, in order to formalize them into models for optimizing the product/process system. The development of an instrumented pilot oven equipped with a dynamic on-line measurement of volatile compounds and a sampling system made it possible to obtain synchronous physical and chemical kinetic experimental data. The obtained knowledge on transfers and reactions on such a solid food during baking was thus used to contribute to a methodological reflexion onto the ways in which the matter, the reaction, and the coupled transfer-reaction system can be represented.

MATERIALS & METHODS

A sponge-cake like product was formulated, containing flour (25%, moisture content 13% w/w), monohydrate dextrose (25%), palm oil (4%), sodium chloride (1%), and pasteurized liquid eggs (45%; 76% w/w moisture content). The mixing and forming protocols are detailed in [START_REF] Fehaili | An instrumented oven for the monitoring of thermal reactions during the baking of sponge cake[END_REF]. A semi-industrial pilot oven was designed to perfectly characterize and control baking conditions, insuring thermal homogeneity, sampling of products during processing, and continuous trapping of the volatile fraction above the product. An on-line extraction device was used for monitoring the release of newly-formed volatile compounds generated during baking [START_REF] Fehaili | An instrumented oven for the monitoring of thermal reactions during the baking of sponge cake[END_REF]. Extraction and analysis methods have been developed for non-volatile markers such as HMF (hydroxymethylfurfural), free amino groups as precursors for Maillard reaction, and reducing sugars. For volatile markers, monitoring of aldehydes issued from lipid oxidation and products from Strecker degradation, caramelization and Maillard reaction was performed by dynamic SPME-GC-MS. Quantification of volatile compounds was performed through the evaluation of vapour/fibre partition coefficients from equilibrium measurements between gas and liquid phases.

RESULTS & DISCUSSION

The reaction system can be described as a complex network of many chemical reactions. But only a small part of all the molecules produced by these reactions can be assessed by analytical means. A major stake of this work was to extract a simplified reaction pathway which can give a reliable representation of the complex reaction system based on measurable compounds. It has been necessary to determine exhaustively the reactions which really take place in the product and to specify the occurrence of these reactions during the baking process. The theoretical knowledge of the system and the analysis of available information made it possible to extract an apparent reaction pathway. The methodological approach could be summarized as follows: "pose the problem in all its complexity starting from data of the literature, simplify it on the basis of realistic assumption in relation to the actual knowledge of the system and to the accessible experimental information, and capitalize this knowledge in the form of a model". It is drawn as a diagram in Figure 1 corresponding to the following steps: i) Selection of the key-reaction pathways related to previously defined organoleptic and nutritional qualities of the sponge cake and the links occurring between the different reaction pathways. Three types of reactions were focussed on: Maillard, lipid oxidation, and caramelization reactions. ii) Selection of relevant chemical markers to follow the selected reactions pathways. iii) Extraction of an apparent but identifiable reaction scheme from the exhaustive set of theoretical reactions by considering the experimental available information and making as few assumptions as possible. iv) Acquisition of experimental data taking into account the key-variables likely to influence the reaction. v) Identification of the reaction rates of the apparent reaction scheme from the experimental data. vi) Development of a knowledge based model in order to determine the influence of process parameters on the final quality. This representation of the reaction system combined with the involved physical laws can provide a better knowledge on the transfer-reaction coupling and the consequences on the final products characteristics. Reaction markers were selected according to their ability to point out different advancement steps of the reactions (Maillard reactions, lipids oxidation and caramelization), taking into account the availability of reliable methods of analysis. A relevant reaction marker can either be a substrate or a product of a reaction pathway, possibly with a sensorial or nutritional interest.

Initial theoretical reaction pathway and choice of markers

The following reaction scheme first produced from the literature (Figure 2) was considered:

• Maillard reaction, resulting from the non-enzymatic addition reaction between a carbonyl group (from sugar essentially) and a free amino group (R-NH 2 from amino acids or proteins), with three main stages: (i) the early stage, consisting of the formation of the Amadori product; (ii) the advanced stage, comprising degradation of the Amadori product, and (iii) the final stage, typified by the production of brown polymers and co-polymers, the melanoidins; • caramelization reaction, with the formation of α-dicarbonyl (3-deoxyosones and 1-deoxyosones) from sugars; such α-dicarbonyl can also be produced by Maillard reaction; • lipid autoxidation reactions;

• interactions between Maillard reaction and lipid oxidation (formation of alkylpyrazines).

Figure 2. Theoretical reaction pathway.

A list of markers was chosen allowing the reactions to be followed during baking (Table 1). The choice was based on a survey of the literature and preliminary studies [START_REF] Rega | On-line dynamic HS-SPME for monitoring endogenous aroma compounds released during the baking of a model cake[END_REF], and it consisted in precursors (glucose and free amino groups (RNH 2 ) supplied by amino acids, peptides and proteins), possible markers of the main reaction pathway and molecules mainly associated with organoleptic properties (aroma compounds). In the case of such a complex solid, it appears clearly that the extraction and analytical techniques currently available do limit the number of possible markers. In the baking vapours Hexanal

Interactions between Maillard reaction and lipid oxidation In the baking vapours Alkylpyrazines

Observable reaction pathway

The type and amount of detected markers depend on the product formula and applied analytical tools. Maltol, Strecker's aldehydes, 2,5 dimethylpyrazine, and any alkylpyrazines could not be detected within the limits of detection of the analytical methods, and this list was finally reduced to a set of 8 markers (= species in a rectangle in Figure 2). Fructose was lower than the limit of quantification, making the isomerization reaction impossible to observe. Due to the absence of alkylpyrazines, the global route from lipid oxidation to interaction with Maillard reaction disappeared from the reaction pathway. Moreover, as furosine was not measured, and no pyrazine was detected, the Maillard and caramelization reactions were pointed out by the same markers making it not possible to completely differentiate the two pathways. According to the number of observable chemical markers, the initial reaction pathway was therefore updated and simplified to an observable apparent reaction scheme with only 6 chemical reactions (Figure 3). This number is the maximum number of independent reactions corresponding to the rank of the matrix of stoichiometric coefficients [START_REF] Fehaili | Reaction engineering for sponge cake baking: development of a methodology to extract an apparent identifiable reaction scheme[END_REF]. This reaction scheme is much less exhaustive than the first one, but it can make it possible to identify kinetic parameters on a real product baked under realistic operating conditions and to analyse the impact of the process parameters.

Identification of the reaction rates

A semi-industrial convective oven was designed and characterized in order to generate reliable kinetic data on thermal reactions occurring during the transformation of bakery products under real processing conditions [START_REF] Fehaili | An instrumented oven for the monitoring of thermal reactions during the baking of sponge cake[END_REF]. It provided precise and reproducible thermal conditions on a large uniform baking area. The oven was also equipped with two original sampling devices enabling to acquire synchronous kinetic data on reaction products in the food matrix as well as in the vapors emitted by the product during baking and this, without disturbing the thermal environment.

A stoichio-kinetic model was implemented for the simulation of reaction kinetics as a function of temperature and initial concentrations. Partial orders of all reactions were assumed equal to one, and temperature effects were described using the Arrhenius equation. Kinetic constants were identified on a set of experimental data obtained for 3 levels of air temperature (140 -170 -200 °C) and 2 levels of convection.

Temperature and moisture profiles in the products were predicted by heat and mass transfer balance equations taking into account internal moisture evaporation and vapour migration within the open porosity of the product during heating as well as apparent liquid moisture migration described by Fick's law. Internal heat transfer phenomena were described using Fourier's law and apparent thermal heat conductivity. External heat and mass transfer phenomena taken into account were convective drying, convective and radiative heat transfer for both heating product and baking tray [START_REF] Penicaud | Coupling between heat and mass transfer and stoechio-kinetic models to bring insight into Maillard reaction kinetics during baking of sponge-cake products[END_REF]. As a first approach, the optimal values of unknown kinetic parameters were determined using a trial and error methodology. Experimental measurements were relatively well described by this model, except glucose consumption which was largely overestimated by the model (Figure 4). Such a result is certainly due to the lack of specific markers of caramelization in the apparent reaction scheme. The values of the identified kinetic parameters must nevertheless be used with caution in extrapolated conditions and a study of sensibility on parameters has to be done before any further interpretation.

CONCLUSION

The proposed methodology enabled a qualitative analysis of the studied system, and is expected to lead to a quantitative formalization of the observed phenomena. It is based on various stages of formalization and modelling of the matter, reaction system and physical phenomena, essential to pass from an industrial system to an experimental system. These stages of formalization and modelling necessarily involve a "degradation" of the real system and the results can only give a partial representation of the real process. But the resulting models are structurally identifiable and can be used for new formulating and processing food strategies and for a cognitive purpose of interpretation of reaction pathway. It must be outlined that a careful process of discussion between multidisciplinary actors (chemists, process specialists, model makers…) is necessary for this partial view to be as realistic as possible, and to make sure that the experimental data acquired are in agreement with the objectives of modelling. Such a "chemical engineering" approach is innovative for food processing, and offers interesting perspectives for controlling processes and the sensorial and nutritional properties of the products.

Figure 1 .

 1 Figure 1. Methodological approach.

Table 1 .

 1 List of possible markers (finally retained markers)

Figure 3 .

 3 Figure 3. Apparent reaction scheme.

Figure 4 .

 4 Figure 4. Comparison between experimental (dots) and predicted (continuous lines) concentrations for water and chemical species during baking at 170°C (maximum ventilation).

ACKNOWLEDGEMENTS

This work was carried out with the financial support of the French National Research Agency under the "Programme National de Recherche en Alimentation et nutrition humaine", project ANR-06-PNRA-023.