text:
User:Victorpollo

1) $$lim_{x\to 0}\frac {3xtanx}{senx}$$
 * =$$lim_{x\to 0}\frac {3xsenx/cosx}{senx}$$
 * =$$lim_{x\to 0}\frac {3xsenx}{senxcosx}$$
 * =$$\frac {0}{1}$$
 * =$$\ 0$$

Victorpollo

2) $$lim_{x\to 0}\frac {sen3x}{2x}$$
 * =$$3/3lim_{x\to 0}\frac {sen3x}{2x}$$
 * =$$3*lim_{x\to 0}\1/3\frac {sen3x}{2x}$$
 * =$$2/2*3lim_{x\to 0}\frac {senx}{2x}$$
 * =$$3/2lim_{x\to 0}\frac {senx}{x}$$
 * =$$\frac {2}{3}$$

Victorpollo

3)Derive: $$\ y=3x^2-1/4x+3$$
 * $$y'=\frac{6x(4x+3)-(3x^2-1)4}{(4x+3)^2}$$
 * $$y'=\frac{12x^2+18x+4}{(4x+3)^2}$$

Victorpollo

4)Derive:$$\ y=1/2x(4-x^5)+\frac{3x-1}{x}$$
 * $$y'=1/2x(-5x^4)+(4-x^5)1/2+\frac{3*x-(3x-1)*1}{x^2}$$
 * =$$-5/2x^5+2-1/2x^5+\frac{3x-3x+1}{x^2}$$
 * =$$-3x^5+2+\frac{1}{x^2}$$
 * $$y'=\frac{-3x^7+2x^2+1}{x^2}$$

Victorpollo

5)Derive:$$\ y=\frac{2x^2-4x+3}{2-3x}$$
 * $$y^=\frac{(4x-4)(2-3x)-(2x^2-4x+3)(-3)}{(2-3x)^2}$$
 * =$$\frac{(-12x^2+20x-8)-(-6x^2+12x-9)}{(2-3x)^2}$$
 * $$y'(x)=\frac{-6x^2+8x+1}{(2-3x)^2}$$

Victorpollo

6)Derive:$$\ y=(3x-2x^2)(5+4x)$$
 * $$y'=(3x-2x^2)(4)+(5+4x)(3-4x)$$
 * $$y'=12x-8x^2)+(15-8x-16X^2)$$
 * $$y'=-24x^2+4x+15$$

Victorpollo - hallar primera y segunda derivada 7)$$y=x^3+3x^2+6x$$
 * $$y'=3x^2+6x+6$$
 * $$y''=6x+6$$

Victorpollo

8)$$y=senx^3$$
 * $$y'=(cosx^3)(3x^2)$$
 * $$y''=(-senx^3*3x^2)(3x^2)+(cosx^3)(6x)$$
 * $$y''=9x^4senx^3+6xcosx^3$$

Victorpollo

9)$$y=\frac{3x}{1-x}$$
 * $$y'=\frac{(3)(1-x)-(3x)(-1)}{(1-x)^2}$$
 * $$y'=\frac{3-3x+3x}{(1-x)^2}$$
 * $$y'=\frac{3}{(1-x)^2}$$
 * $$y''=\frac{(0)(1-x)^2-(3)(2(x-1)(-1))}{(1-x)^4}$$
 * $$y''=\frac{6(1-x)}{(1-x)^4}$$
 * $$y''=\frac{6}{(1-x^3)}$$

Victorpollo

10)$$y=(3x+5)^3$$
 * $$Y'=3(3x+5)^2(3)$$
 * $$y'=9(3x+5)^2$$
 * $$y''=18(3x+5)(3)$$
 * $$y''=54(3x+5)$$
 * $$y''=162x+270$$

Victorpollo

Derivar implicitamente 11)$$2xy=(x^2+y^2)^3/2$$
 * $$Dx(2xy)=Dx(x^2+y^2)^3/2$$
 * $$(2x)(y')+2y=3/2(x^2+y^2)^1/2(2x+yy')$$
 * $$2xy'+2y=3x(x^2+y^2)^1/2+3(x^2+y^2)^1/2yy'$$
 * $$2xy'-3(x^2+y^2)^1/2yy'=3(x^2+y^2)^1/2-2y$$
 * $$y'(2x-3y/x^2+y^2)^1/2))=3x(x^2+y^2)^1/2-2y$$
 * $$y'=\frac{3x(x^2+y^2)^1/2-2y}{2x-3y/x^2+y^2)^1/2}$$

Victorpollo

12)$$y^3+y^2-5y-x^2=-4$$
 * $$3y^2y'+2yy'-5y'-2x=0$$
 * $$y'(3y^2+2y-5)=2x$$
 * $$y'=\frac{2x}{3y^2+2y-5}$$

Victorpollo

13)$$xy+xy^2=6$$
 * $$xy'+y*1+x*2yy'+y^2*1=0$$
 * $$xy'+y+2xyy'+y^2=0$$
 * $$y'(x+2xy)=-y-y^2$$
 * $$y'=\frac-{y+y^2}{x+2xy}$$

Victorpollo

14)$$y^2=x^4+x^2y^2$$
 * $$2yy'=4x^3+x^2*2yy'+y^2*2x$$
 * $$y'(2y-2x^2y)=4x^3+2xy^2$$
 * $$y'=\frac{4x^3+2xy^2}{2y-2x^2y}$$

Victorpollo

15)$$xseny+cos2y=cosy$$
 * $$(x)(cosyy')+(seny)+(-sen2y)*2y'=(-senyy')$$
 * $$xcosyy'-2(sen2y)y'+senyy'=-seny$$
 * $$y'(xcosy-2seny+seny)=-seny$$
 * $$y'=\frac{-seny}{xcosy-2seny+seny}$$

Victorpollo

Problemas de razones de cambio relacionadas

16)De un tubo sale arena a razon de 16 pies^3/seg, si la arena al caer siempre forma un cono cuya altura siempre es 1/4 del tamaño de la base que tan rapido aumenta h cuando el monton tiene una h de 4 pies.

ANS: se sabe que h= 4 pies, y nos preguntan dh/dt es decir la razon de cambio de la altura con respecto al tiempo y tambien se sabe que 16pies^3/seg es dv/dt es decir la razon de cambio del volumen con respecto al tiempo.

 * $$V=1/3pir^2h$$
 * $$V=1/3pi(2h)^2h$$
 * $$V=1/3pi(4h^2)h$$
 * $$\frac{dv}{dt}=\frac{4pi}{3}*3h^2\frac{dh}{dt}$$
 * $$\frac{dv}{dt}=4pi*h^2\frac{dh}{dt}$$
 * $$\frac{dh}{dt}=\frac{dv}{dt}*\frac{1}{4pih^2}$$
 * $$\frac{dh}{dt}=16pies^3/seg*\frac{1}{64pi}$$
 * $$\frac{dh}{dt}=0.0795pies^3/seg$$

Victorpollo

title: User:Victorpollo


text:
User:Corredorclau

DERIVADAS
1)Derivar:$$F(x)=x^4-7x^2+6$$
 * $$F'(x)=4x^3-14x$$

--Corredorclau 14:08, 12 Jul 2004 (UTC)

2)Derivar:$$F(x)=5x^2-2x-7$$
 * $$F'(x)=10x-2$$

--Corredorclau 14:15, 12 Jul 2004 (UTC)

3)Derivar:$$F(x)=(2x^-5)^2$$
 * $$F'(x)=2(2x^2-5)(4x)$$
 * $$F'(x)=(4x^2-10)(4x)$$
 * $$F'(x)=16x^3-40

by: corredorclau$$

Los siguientes ejercicios fueron tomados del libro de Howard E. Taylor.

4)Derivar:$$ f(x)=\frac {3}{x}+\frac {7}{x^2}-x^{-3}$$
 * $$ f'(x)=\frac {x-3}{x^2}+\frac {x^2-(2x)(7)}{x^4}+3x^{-4}$$
 * $$ f'(x)=\frac {-3}{x^2}-\frac {14x}{(x^4}+3x^{-4}$$
 * $$ f'(x)=\frac {-3}{x^2}-\frac {14}{(x^3}+\frac{3}{x^4}$$

Corredorclau 18:18, 13 Jul 2004 (UTC)

5)Derivar:$$F(x)= 3x^{\frac {1}{3}}+7senx$$
 * $$F'(x)= \frac {1}{3}+3x^{\frac {1}{3}-1}+7cosx$$
 * $$F'(x)= 3x^{\frac {-2}{3}}+7cosx$$

Corredorclau

6)Derivar:$$F(x)= x\sqrt{5+x^2}$$
 * $$F'(x)= \sqrt{5+x^2}+x\cdot \frac {1}{2\sqrt{5+x^2}}\cdot 2x$$
 * $$F'(x)= \sqrt{5+x^2}+\frac {2x^2}{2\sqrt{5+x^2}}$$
 * $$F'(x)= \frac {\sqrt{5+x^2}+x^2}{\sqrt{5+x^2}}$$
 * $$F'(x)= \frac {5+x^2+x^2}{\sqrt{5+x^2}}$$
 * $$F'(x)= \frac {5+2x^2}{\sqrt{5+x^2}}$$

Corredorclau

7)Derivar:$$\ 3x^2+4y^2=12$$
 * $$\ 6x+8yy'=0$$
 * $$\ 8yy'=6x$$
 * $$\ y'=\frac {6x}{8y}$$
 * $$\ y'=\frac {-3x}{4y}$$

Corredorclau 21:44, 13 Jul 2004 (UTC)

8)Derivar:$$\ F(x)=(x^2-4)(x^4+5)$$
 * $$\ F'(x)=(2x)(x^4+5)+(x^5-4)(4x^3)$$
 * $$\ F'(x)=2x^5+10x+4x^5-16x^3$$
 * $$\ F'(x)=6x^5-16x^3+10x$$

Corredorclau 12:48, 13 Jul 2004 (UTC)

9)Derivar:$$\ F(x)=2x^2(2x-4)$$
 * $$\ F'(x)=4x(2x-4)+2x^2(2)$$
 * $$\ F'(x)=8x^2-16x+4x^2$$
 * $$\ F'(x)=12x2-16x$$

Corredorclau 12:48, 13 Jul 2004 (UTC)

10)Derivar:$$\ y(x)=3x^3-4x^2+5x+16$$
 * $$\ y'(x)=9x^2-8x+5+0$$
 * $$\ y'(x)=9x^2-8x+5$$

JORGE MARIO MEDINA MARTIN 5:10, 13 Jul 2004

11):$$ f(x)=\frac {senx}{x}$$
 * $$ f'(x)=\frac {cosx(x)-senx}{x^2}$$
 * $$ f'(x)=\frac {cosx}{x}-\frac {senx}{x^2}$$

Corredorclau

12)Derivar:$$ f(x)=\frac {2x^3+4x}{3senx}$$
 * $$ f'(x)=\frac {(6X^2-4(3senx))-(2x^3-4x)3cosx}{(3senx)^2}$$
 * $$ f'(x)=\frac {18x^2senx-12senx-6x^3cosx+12xcosx}{9sen^2x}$$

Corredorclau

13)Derivar:$$ f(x)=\frac {1}{(x^2-2x)^2}$$
 * $$ f'(x)=\frac {2(x^2-2x)(2x-2)}{(x^2-2x)^4}$$
 * $$ f'(x)=\frac {4x-4}{(x^2-2x)^3}$$

Corredorclau

14)Derivar:$$ f(x)=\frac {1-senx}{1+cosx}$$
 * $$ f'(x)=\frac {-cosx(1+cosx)-(1-senx)-senx}{1+cosx}$$
 * $$ f'(x)=\frac {-cosx-cos^2x+senx-sen^2x}{1+cos^2x}$$
 * $$ f'(x)=\frac {-cosx-1+sen^2x+senx-sen^2x}{(1+cosx)^2}$$
 * $$ f'(x)=\frac {-cosx-1+senx}{(1+cosx)^2}$$

Corredorclau

15)Derivar:$$ f(x)=\frac {cos^22x}{x^2}$$
 * $$ f'(x)=\frac {2(cos2x)sen2x(2)(x^2)-2x(cos^22x)}{x^4}$$
 * $$ f'(x)=\frac {4senx-2x}{x^2}$$

Corredorclau

16)Derivar:$$ f(x)=\frac {cosx}{7}$$
 * $$ f'(x)=\frac {-7senx}{49}$$
 * $$ f'(x)=\frac {-senx}{7}$$

Corredorclau

17)Derivar:$$ f(x)=\frac {(x-1)^2}{x^2}$$
 * $$ f'(x)=\frac {2(x-1)(x^2)-(x-1)^22x}{x^4}$$
 * $$ f'(x)=\frac {(2x-2)(x^2)-(x^2-2x+1)2x}{x^4}$$
 * $$ f'(x)=\frac {2x^3-^2x^2-2x^3+4x^2-2x}{x^4}$$
 * $$ f'(x)=\frac {2x^2-2x}{x^4}$$
 * $$ f'(x)=\frac {2x(x-1)}{x^4}$$
 * $$ f'(x)=\frac {2(x-1)}{x^3}$$

Corredorclau

18)Derivar:$$ f(x)=x+(\frac {1}{x})^2$$
 * $$ f(x)=2(x+\frac {1}{x})(1-\frac {-1}{x^2})$$
 * $$ f(x)=(2x+\frac {2}{x})(1-(\frac {1}{x^2})$$
 * $$ f(x)=(\frac {2x^2+2}{x})(\frac {x^2-1}{x^2})$$
 * $$ f(x)=\frac {2x^2-2x^2+2x^2-2}{x^3}$$
 * $$ f(x)=\frac {2x^4-2}{x^3}$$

Corredorclau

19)derivar:$$f(x)=cos^5(2x^3+4)$$
 * $$f'(x)=5cos^4(2x^3+4)(6x^2)$$
 * $$f'(x)=30x^2cos^4(2x^3+4)$$

Corredorclau

20)derivar:$$f(x)=sen7x$$
 * $$f'(x)=cos7x(7)$$
 * $$f'(x)=7cox7x$$

Corredorclau

21)derivar y calcular f'(1):$$f(t)=sen(t^2+3t+1)$$
 * $$f'(t)=cos(t^2+3t+1)(2t+3)$$
 * $$f'(1)=cos25$$

Corredorclau

22) derivar y hallar g'(1):$$g(t)=(t^2+9)^3(t^2-2)^4$$
 * $$g'(t)=3(t^2+9)(2t)(t^2-2)^4+(t^2+9)^3(4)(t^2-2)^3(2t)$$
 * $$g'(t)=(3t^2+27)^2(2t^3-4t)^4+(t^2+9)^3(4)(t^2-2)^3(2t)$$
 * $$g'(1)=-113600$$

Corredorclau

23)encontrar la recta tangente de
 * $$y=(x^2+1)^3(x^4+1)^2 en los puntos (1,32)$$
 * $$y'=3(x^2+1)(2x)(x^4+1)^2+(x^2+1)^32(x^4+1)(4x^3)$$
 * $$evaluo a x=1 en y'$$
 * $$224$$
 * $$la ecuacion de la recta es y=224x-192$$

Corredorclau

24) derivar:$$f(x)=5x^2+4x+\frac{7}{x^5}+8cosx$$
 * $$f'(x)=10x+4+\frac{35x^4}{x^10}-8senx$$
 * $$f'(x)=10x+4+\frac{35}{x^6}-8senx$$

Corredorclau

SEGUNDA DERIVADA
25)halle la segunda derivada de:$$f(x)=xsenx$$
 * $$f'(x)=senx+xcosx$$
 * $$f''(x)=cosx+cosx-xsenx$$
 * $$f''(x)=2cosx-xsenx$$

Corredorclau

26)halle la segunda derivada de$$f(x)=(1+x)^15$$
 * $$f'(x)=15(1+x)^14$$
 * $$f''(x)=210(1+x)^13$$

Corredorclau

27):$$F(x)=(7+x)^5$$
 * $$f'(x)=5(7+x)^4$$
 * $$f''(x)=2087+x)^3$$

Corredorclau

28):$$f(x)=(3-2x)^5$$
 * $$f'(x)=5(3-2x)^4(-2)$$
 * $$f'(x)=-10(3-2x)^4$$
 * $$f''(x)=-40(3-2x)^3(-2)$$
 * $$f''(x)=80(3-2x)^3$$

Corredorclau

29):$$f/(x)=(4+2x^2)^7$$
 * $$f'(x)=7(4+2x^2)^6(4x)$$
 * $$f'(x)=28x(4+2x^2)^6$$
 * $$f''(x)=28(4+2x^2)^6+28x(4+2x^2)^5(4x)$$
 * $$f''(x)=12(4+2x^2)^6+112x^2(4+2x^2)^5$$

Corredorclau

DERIVACION IMPLICITA
30):$$3X^2+4Y^2=12$$
 * $$6X+8YY'=0$$
 * $$8YY'=-6X$$
 * $$Y'=\frac{6x}{8y}$$

Corredorclau

31):$$x^3+y^3-3x^2+3y^2=0$$
 * $$3x^2+3y^2y'-6x+6x+6yy'=0$$
 * $$3y^2y'+6yy'=-3x^2+6x$$
 * $$y'(3y^2+6y)=-3x^2+6x$$
 * $$y'=-\frac{3x^2+6y}{3y^2+6y}$$

Corredorclau

32):$$senx+cosy=0$$
 * $$cosx-senyy'=0$$
 * $$-senyy'=-cosx$$
 * $$y'=\frac{cosx}{seny}$$

Corredorclau

33):$$4x^3+7xy^2=2y^3$$
 * $$12x^2+7y^2+7x2yy'=6y^2y'$$
 * $$12x^2+7y^2=6y^2y'-7x2yy'$$
 * $$12x^2+7y^2=y'(6y^2-7x2y)$$
 * $$\frac{12x^2+7y^2}{6y^2-7x2y}$$

Corredorclau

DERIVADAS por regla de la cadena
Es utilizada para derivar funciones compuestas,primero se deriva la compuesta y se multiplica por la interna.

34):$$f(t)=(\frac{3t-2}{t+5})^3$$
 * $$f'(t)=3(\frac{3t-2}{t+5})^2(\frac{3(t+5)-(3t-2)}{(t+5)^2})$$
 * $$f'(t)=3(\frac{3t-2}{t+5})^2(\frac{17}{(t+5)^2)}$$

Corredorclau

35):$$f(t)=\frac{83t-2)^3}{t+5}$$
 * $$f'(t)=\frac{3(3t-2)^23(t+5)-(3t-2)^3}{(t+5)^2}$$
 * $$f'(t)=\frac{6t+30(3t-2)^2-(3t-2)^3}{(t+5)^2}$$

Corredorclau

36):$$f(x)=sen^3x$$
 * $$f'(x)=3cosx^2(cos)$$

Corredorclau

37):$$f(t)=(senttan(t^2+1))$$
 * $$f´(t)=(costtan(t^2+1)+sentsec^2(t^2+1)(2t))$$
 * $$f'(t)=(costtan(t^2+1)+sentsec^2(2t^3+2t))$$

Corredorclau

38):$$H(x)=\sqrt{x^2-1}$$
 * $$H'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^2-1}}(2x)$$
 * $$H'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$$

Corredorclau

39):$$H(x)=sen^2x+senx^2$$
 * $$2senxcosx+cosx^2(2x)$$

Corredorclau

MÁXIMOS Y MINIMOS
1) Al lado de un gran muro de una granja. se quiere cercar un terreno que tenga forma rectangular. Se dispone solamente de 100 metros de malla de alambre para construir la cerca para que esta encierre la mayor parte de área posible.

 * $$A=xy$$
 * $$2x+y=100$$
 * $$y=100-2x$$
 * $$A=x(100+2x)$$
 * $$A=100x-2x^2$$
 * $$A'=100-4x$$
 * $$A'=0$$
 * $$100-4x=0$$
 * $$-4x=-100$$
 * $$x=\frac {100}{4}$$
 * $$x=25$$

 * $$y=100-2x$$
 * $$y=100-50$$
 * $$y=25$$

 * $$A=xy$$
 * $$A=25(50)$$
 * $$A=1250 metros$$

Corredorclau

''2) cual es la maxima area que puede tener un triangulo rectangulo cuya hipotenusa tenga 5cm de largo.

Por pitagoras
 * $$Z^2=x^2+y^2$$
 * $$z=5$$
 * $$x^2+y^2=25$$
 * $$y=\sqrt{25-x^2}$$

area del triangulo
 * $$A=\frac{xy}{2}$$
 * $$A=x(\frac{\sqrt{25-x^2}}{2})$$
 * $$\frac{1}{2}\sqrt{25-x^2}+(\frac({x}{2})(\frac{-2x}{2(\sqrt{25-x^2})}=0$$
 * $$\frac{25-x^2-x^2}{2\sqrt{25-x^2}}=0$$
 * $$25-2x^2=0$$
 * $$x=\sqrt{\frac{25}{2}}$$
 * $$y=\sqrt{25-\frac{25}{2}}$$
 * $$y=\sqrt{\frac{25}{2}}$$
 * $$A=\frac{\sqrt{\frac{25}{2}}}{\sqrt{\frac{25}{2}}}{2}$$
 * $$A=\frac{25}{4}cm^2$$

Corredorclau''

license: Creative Commons - Attribution Share-Alike - https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/

title: User:Corredorclau


text:
User:"Lina Rincon"

Dedicatoria
Esta pagina como cualquier pansamiento de calculo por mas minimo que sea se lo dedico al Profesor Alejandro Bello en muestra, de que si fuy capas y que muchas veces la perdida de una materia no es absoluta culpa del alumno si no tambien del profesor. Manos mal en este vacional, enconre a tres profesores aunque solo nos tocara dos, y cada uno mas que dejarme conocimientos de calculo, me devolvieron la confianza y el cariño natural que siente una ingeniera por el calculo.

Lina Maria Rincón Sotelo

Agradecimiento
Es para mi extraño escribir un agradecimiento sin hacer uso de la tinta, pero lo importante es la inspiración que proviene de la satisfaccion de lo echo y aun mas cuando existe tanta dedicacion y esfuerzo de mi parte. Pero como yo no soy autosufiente ha personas a las cuales le agradesco, empesemos por mi papá, gracias papi pues eres el es que paga la cuenta de internet para q yo pueda trabajar en este proyecto y asi no me tire calculo por insegura, tambien debo agradecer a Camilo mi monitor por sus exelentes claras y concisas explicaciones, a el profe Offray ya que gracias a el aprendi utilizar un editor de ecuaciones, por compartir con nosotros experiencias de las cuales siempre me acordare y tendre presentes y ademas por no tomar represarias por vernos mi, a Pablito y Jaimito donde el paisa.

Lina Maria Rincon Sotelo

Axiomas

 * Demuestre:

1.$$\ F(x)= \sqrt[2] $$ es irracional
 * Demostración:
 * Se supone que $$\ F(x)= \sqrt[2] $$ es $$\frac {p}{q}$$; Existe un m.c.d. de $$\frac {p}{q} = 1, q $$ diferente de $$\ 0 $$
 * (1)$$\ F(x)= \sqrt[2] = \frac {p}{q}$$    Por Hipotesis
 * (2)$$\ F(x)= 2  = \frac {p^2}{q^2}$$     Por Notancion
 * (3)$$\ p^2 = 2.q^2 $$ impica $$\ p^2 = $$ numero par entero positivo implica, $$ p = $$ número entero positivo
 * (4)p es par; exixte un m q pertenece a los naturales tal que $$ p = 2m $$
 * (5)$$\ p^2 = 2q^2 $$
 * (6)$$\ (2m)^2 = 2q^2 $$ Reemplazando (4)en(5)
 * (7)$$\ 4m^2 = 2q^2 $$
 * (8)$$\ 2m^2 = q^2 $$
 * (9)$$\ q^2 $$ = es un numero par y esto implica que
 * q es un numero par
 * por lo tanto esto contradice que el m. c. d. entre p/q sea 1

"Lina Rincon"

2.Demuestre que si $$\ a^2 < b^2 $$ implica $$\ a < b $$
 * Demostración:
 * (1)$$\ a, b, c $$ pertenecen a los reales    Por Hipotesis
 * (2)$$\ a^2 < b^2 $$ Por Hipotesis
 * (3)$$\ b^2 - a^2 < 0 $$
 * (4)$$\ (a+b)(a-b)> 0 $$
 * (5)$$\ b - a > 0 $$ por que $$\ b + a < 0 $$
 * (6)$$\ b > a $$
 * (7)$$\ a < b $$

"Lina Rincon"

3.Demuestre que si $$ \frac {1} {a} > \frac {1} {b} $$ implica $$\ a < b $$
 * Demostración:
 * (1)$$\ a, b, 1 $$ pertenecen a los reales    Por Hipotesis
 * (2)$$ \frac {1} {a} > \frac {1} {b} $$
 * (3)$$ \frac {1} {a} - \frac {1} {b} > 0 $$
 * (4)$$\ a.b \frac ({1} {a} - \frac {1} {b}) > 0(a.b) $$ por teorema 10
 * (5)$$ \frac {a.b} {a} - \frac {a.b} {b} > 0 $$
 * (6)$$\ b - a > 0 $$
 * (7)$$\ a < b $$ Por Propiedad Simetrica de la Igualdad

"Lina Rincon"

4.Demuestre que si $$\ a < b $$ implica $$\ a < \frac {1} {a} > \frac {1} {b} < b $$
 * Demostración:
 * (1)$$\ a, b $$pertenecen a los reales.Por Hipotesis
 * (2)$$\ a < b $$
 * (3)$$\ a + a < a + b, b + a < b + b $$
 * (4)$$\ 2a < a.b, b.a < 2b $$ por teorema 10
 * (5)$$\ a < \frac {a + b} {2}, \frac {b + a} {2} < b $$
 * (6)$$\ a < \frac {a + b} {2} < b $$

"Lina Rincon"

Inecuaciones
1.Reuelva:
 * $$\ |2x-1| $$ mayor o igual $$\ |x+1| $$
 * Respuesta:
 * $$\ {|2x-1|}^2 $$mayor o igual$$\ {|x+1|}^2 $$
 * $$\ {(2x-1)}^2 $$mayor o igual$$\ {(x+1)}^2 $$
 * $$\ {(2x-1)}^2 - {(x+1)}^2 $$mayor o igual$$\ 0 $$
 * $$\ {((2x-1)+(x+1))} {((2x-1)-(x+1))}  $$mayor o igual$$\ 0 $$
 * $$\ {(2x-1+x+1)} {(2x-1-x-1)}  $$mayor o igual$$\ 0 $$
 * $$\ {(3x)} {(x-2)}  $$mayor o igual$$\ 0 $$
 * $$\ {(3x)} $$mayor o igual$$\ 0 $$, $$\ {(x-2)} $$mayor o igual$$\ 0 $$
 * $$\ {x} $$mayor o igual$$\ 0 $$, $$\ {x} $$mayor o igual$$\ 2 $$
 * $$\ (-infinito,0] $$ unido $$\ [2,+infinito) $$

"Lina Rincon"

2.Reuelva:
 * $$\ -5 $$ menor o igual $$\ 2x+6 <4 $$
 * Respuesta:
 * $$\ -5 $$menor o igual$$\ 2x+6 $$ ; $$\ 2x+6 < 4 $$
 * $$\ -5-6$$menor o igual$$\ 2x $$ ; $$\ 2x<4-6 $$
 * $$\ -11$$menor o igual$$\ 2x $$ ; $$\ 2x<-2 $$
 * $$\frac{-11}{2}$$menor o igual$$ {x} ;  x<\frac{-2}{2} $$
 * $$\frac{-11}{2}$$menor o igual $$\ x< -1 $$
 * $$\ [\frac {-11}{2},1) $$

"Lina Rincon"

3.Reuelva:
 * $$\frac {x}{4+x} $$ menor o igual $$\frac {1}{x-1}$$
 * Respuesta:
 * $$\frac {x}{4+x} $$ -   $$\frac {1}{x-1}$$ menor o igual $$\ 0$$
 * $$\frac {x^2+x-4-x}{(4+x)(x+1)} $$ menor o igual $$\ 0$$
 * $$\frac {x^2-4}{(4+x)(x+1)} $$ menor o igual $$\ 0$$
 * $$\frac {(x-2)(x+2)}{(4+x)(x+1)} $$ menor o igual $$\ 0$$

Relizamos sementerio y la rta es $$\ (-4,-2]$$ u $$\ (-1,2]$$

4.Reuelva:
 * $$\ 7+|3x-5|$$ menor o igual $$\ 15$$
 * Respuesta:
 * Despejando tenemos
 * $$\ |3x-5|$$ menor o igual $$\ 15-7$$
 * $$\ |3x-5|$$ menor o igual $$\ 8$$
 * Es decir que
 * $$\ -8$$menor o igual$$\ 3x-5$$ menor o igual $$\ 8$$
 * $$\ -3$$menor o igual$$\ 3x$$ menor o igual $$\ 13$$
 * $$\frac {-3}{3}$$menor o igual$$\ 3x$$ menor o igual $$\frac {13}{3}$$
 * $$\ -1$$menor o igual$$\ 3x$$ menor o igual $$\frac {13}{3}$$

Rta $$\ [-1,\frac{13}{3}]$$

5.Reuelva:
 * $$\ |3-2x|$$ > $$\ |x+1|$$
 * Respuesta:
 * $$\ {(3-2x)}^2$$ > $$\ {(x+1)}^2$$
 * $$\ {(3-2x)}^2$$ - $$\ {(x+1)}^2$$ > $$\ 0 $$
 * $$\ [(3-2x)-(x+1)]$$ . $$\ [(3-2x)+(x+1)]$$ > $$\ 0 $$
 * $$\ (2-3x)$$ . $$\ $$ > $$\ 0 $$
 * Realizamos sementerio
 * Rta \ (-infinito, \frac{2}{3}) $$\ (4,+infinito) $$

Fuciones
Los siguientes ejercicios fueron tomados del purcel octava edición Diga si la funcion es ó no es continua en tres y por que?

1.$$\ f(x)=x^2-9$$
 * $$\ 3^2-9$$
 * $$\ 9-9$$
 * $$\ 0$$

Si es continua ya que toda funcion polinomial es continua.

2.$$\ h(x)=\frac{3}{x-3}$$
 * $$\frac {3}{3-3}$$
 * $$\frac {3}{0}$$

No es continua ya que el denominador de la funcion recional se hace $$\ 0$$

3.$$\ h(t)=\sqrt[2] $$
 * $$\sqrt[2] $$
 * $$\sqrt[2] $$

No es continua pues el termino n-esimo es par y el numero c no puede ser negativo

4.$$\ h(t)=\frac{|t-3|}{t-3} $$
 * $$\frac{|t-3|}{3-3} $$
 * $$\frac{|t-3|}{0} $$

No es continua ya que el denominador se hace cero ademas esta funcion es escalonada

5.$$\ g(f)=|f-2| $$
 * $$\ |3-2| $$
 * $$\ |1| $$
 * $$\ 1 $$

Si es continua pues la funcion valor absoluto es continua en todos los reales

6.Dada las funciones
 * $$\ f(x)=\frac{6x}{x^2-9}$$
 * $$\ g(x)=\sqrt[2]$$
 * a.Hallar sus dominios
 * b.Hallar f compuesta de g
 * c.Hallar f compuesta de g y evaluar cuando x=2
 * a.Dominio de f son todos los reales y de g son $$\ [0,infinito)$$
 * b.$$\ f(g(x))=\frac{6\sqrt[2]} $$
 * $$\ f(g(x))=\frac{6\sqrt[2]}{3x-9} $$

Dominio Todos los reales menos el 3 c.$$\ f(g(x))=\frac{6\sqrt[2]} $$
 * $$\ f(g(2))=\frac{6\sqrt[2]}{3.2-9} $$
 * $$\ f(g(2))=\frac{6\sqrt[2]}{6-9} $$
 * $$\ f(g(2))=\frac{6\sqrt[2]}{-3} $$
 * $$\ f(g(2))=-2\sqrt[2] $$

7.Sean
 * $$\ f(x)=\frac{4x-3}{5-2x}$$
 * $$\ g(x)=\frac{1}{x+1}$$

a.Determinar si :$$\ g(x)$$ es par, impar o ninguna de las dos. b.Encontrar f(g(x))
 * a.$$\ g(-x)=\frac{1}{-x+1}$$

La fincion no es par ni impar
 * b.$$\ f(x)=\frac{4{\frac{1}{x+1}}-3}{5-2{\frac{1}{x+1}}}$$
 * a.$$\ g(-x)=\frac{1}{-x+1}$$

La fincion no es par ni impar
 * b.$$\ f(x)=\frac{{\frac{4}{x+1}}-3}{5-{\frac{2}{x+1}}}$$

Derivadas
En los siguientes ejercicioutilice las reglas para en contrar derivadas. 1. $$\ Y = {2x^2} $$
 * Respuesta:
 * $$\ Dx Y= {2.2x^{2-1}} $$
 * $$\ Dx Y= {4x} $$

"Lina Rincon"

2. $$\ Y = {3x^3} $$
 * Respuesta:
 * $$\ Dx Y = {3.3x^{2-1}} $$
 * $$\ Dx Y = {9x^2} $$

"Lina Rincon"

3. $$\ Y = {pi.x} $$
 * $$\ pi DxY = {x} $$
 * $$\ pi DxY = {1} $$
 * $$\ DxY = {pi.1} $$
 * $$\ DxY = {pi} $$

"Lina Rincon"

4. $$\ Y = {pi.x^3} $$
 * $$\ piDxY = {3.1x^{3-1}} $$
 * $$\ piDxY = {3x^2}$$
 * $$\ DxY = {3pix^2}$$

"Lina Rincon"

5. $$\ DxY = \frac {500x^4} {x^10}$$
 * $$\ DxY = {2.(-2)x^{-2-1}} $$
 * $$\ DxY = {-4x^{-3}} $$

"Lina Rincon"

6. $$\ Y = {-3x^{-4}} $$
 * $$\ DxY = {-4.(-3)x^{-4-1}} $$
 * $$\ DxY = {-12x^{-5}} $$

"Lina Rincon"

7. $$\ Y = \frac {pi} {x}$$
 * $$\ DxY = \frac {(0.pi)-(1.pi)} {x^2}$$
 * $$\ DxY = \frac {0-pi} {x^2}$$
 * $$\ DxY = \frac {-pi} {x^2}$$

"Lina Rincon"

8. $$\ Y = \frac {100} {x^5}$$
 * $$\ DxY = \frac {(0.x^5)-(100.5x^4)} {{(x^5)}^2}$$
 * $$\ DxY = \frac {0-500x^4} {x^10}$$
 * $$\ DxY = \frac {500x^4} {x^10}$$
 * $$\ DxY = \frac {500} {x^6}$$

"Lina Rincon"

9. $$\ Y = {x^2+2x} $$
 * $$\ DxY = {Dx(x^2)+Dx(2x)} $$
 * $$\ DxY = {Dx(2x)+Dx(2)} $$
 * $$\ DxY = {2x+2} $$

"Lina Rincon" - 10. $$\ Y = {3x^4+x^3} $$
 * $$\ DxY = {Dx(3x^4)+Dx(x^3)} $$
 * $$\ DxY = {Dx(12x^3)+Dx(3x^2)} $$
 * $$\ DxY = {12x^3+3x^2} $$

"Lina Rincon"

11. $$\ Y = {x^4+x^3+x^2+x+1} $$
 * $$\ DxY = {Dx(x^4)+Dx(x^3)+Dx(x^2)+Dx(x)+Dx(1)} $$
 * $$\ DxY = {Dx(4x^3)+Dx(3x^2)+Dx(2x)+Dx(1)+Dx(0)} $$
 * $$\ DxY = {4x^3+3x^2+2x+1} $$

"Lina Rincon"

12.En el problema esta dibujada una recta tangente a una curva, evalue su pendiente.

$$\lim_{h\to 0} \frac {f(c+h) - f(c)} {h}$$
 * Respuesta:
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {(5+h)- (5)} {h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {25+10+h^2-25} {h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {10h +h^2} {h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {h(10 +h)} {h}$$
 * $$\ {10+0} $$
 * $$\ 10 $$
 * "Lina Rincon"

13. Encuentre las pendientes de las recta tangentes a la curva $$\ y = x^2-1 $$ en los puntos en donde x = -2, -1, 0, 1, 2.
 * Respuesta:
 * $$\lim_{h\to 0} \frac {f(c+h) - f(c)} {h}$$
 * Respuesta:
 * $$\lim_{h\to 0} \frac {((c+h)^2-1) - (c^2-1)} {h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {c^2+2ch+h^2-1-c^2+1} {h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {2ch+h^2} {h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {h(2c+h)} {h}$$
 * $$\ {2c+0} $$
 * $$\ 2c $$
 * (2.-2=-4), (2.-1=-2),  (2.0=0),  (2.1=2),  (2.2=4)
 * "Lina Rincon"

Correccion del Quiz #4
PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA CALCULO DIFERENCIAL INTERSEMESTRAL MONITOR:CAMILO GONZALEZ QUIZ # 4

Concidere las siguientes afirmaciones y diga si son verdaderas o falsas segun corresponda: 1. Si $$\ f$$ es una funcion cuntinua en reales, entonces $$\ Df(x)$$ existe para todo número real.
 * Esta afirmación es falsa.

Porque Aunque existe un teorema que dice "deiferenciabilidad implica continuidad: Si $$\ Df(c)$$ existe entonces un $$\ f$$ que es continua", pero el inverso de este teorema es falso pues hay funciones que son continuas pero no diferenciables. Caso qu se da cuando la grafica de una función tiene esquinas ejemplo valor absoluto, ó la grafica de la funcion tiene recta tangente que se dirige hacia infinito en el eje de las y.

2.Cualquier función trigonométrica es derivable en su dominio.
 * Esta afirmacion es verdadera.

Pues con base en el aspecto de las graficas sen y cos supondriamos q son continuas, y deacuerdo con la definición de senx y cosx se sabe que las coordenadas en el punto p son (senx,cosx). Cuando x tinende a 0 vemos q p tiende a el punto (1,0) y por consiguiente cosx tiende a 1 y senx tiende a 0. Cuando realizamos los limites de estas dos funciones y nos demuetran que son continuas en todos los realoes hasta en el cero, sinedo así a el sen y el cos se pueden aplicar las formulas de la diccion de funciones y asi deducir q son continuas en todas partes. Pero si tenemos en cuenta que $$\frac {f}{g}=$$ si $$\ g(c)$$ debe ser diferente de $$\ 0$$. Hay que tener en cuenta que en la funcion tangente $$\frac {senx}{cosx}=tangx$$ en tonces tangente seria discontinua en los puntos en que cosx vale 0. pero es importante ver que la afirmación nos habla de el dominio propio de la función siendo esta una restricción para que la firmación sea completamente verdadera.

3.Si$$\ f$$ es derivable en $$\ x=a$$ y $$\ Df(a)=0$$, entoces$$\ f$$tiene un maximo o un minimo local en $$\ x=a$$.
 * Esta afirmación es falsa:

pues sí $$\ x=a$$ y es un punto en el que $$\ Df(a)=a$$, lo llamamos punto estacionario, pues la grafica se coloca en una trayectoria horizontal, ya que la recta tangentye es horizontal, Esto lo podemos sustentar por el teorema de los puntos criticos, que en ningun momento nos hablan de puntos maximos y minimos de una ves, para conocer estos devemos tener en cuenta el criterio de la segunda derivada

4.Si $$\ f(x)=a^x$$ con $$\ a>1$$, entonces $$\ f$$ es concava en todo su dominio.
 * la afirmacion es vedadera.

Las graficas que pertenecen a esta funcion con la restriccion que se da en la afirmacion solo se tama la seccion concaba de la función. $$\ f(x)=a^x$$ con $$\ a>1 $$ $$\ Df(x)=a^x.ln.a$$ $$\ Ln.y=x.ln.a$$ $$\frac {Dy}{y}=ln.a $$ $$\ Df=a^x.ln.x$$ $$\ segundaDf=a^x-{(ln.a)}^2$$

5.Si $$\ Df(a)$$ esta definida en un intervalo avierto $$\ I$$ y $$\ SegundaDf(a)>0,$$ para todo $$\ a$$ pertenece $$\ I$$, entonces $$\ f$$ es concava en $$\ I$$.
 * La afirmación es vedadera.

Porque el teorema de concavidadque dice que sea dos veces derivable en el intervalo abierto $$\ I$$

Correccion del parcial final
PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA

Departamento de Matematicas

Facultad: Indgenieria Examen Final: Calculo Diferencial

 * 1. Se da un tabla de valores para $$\ f$$, $$\ g$$, $$\ Df$$,

$$\ Dg$$.

 * Si $$\ h(x)= g(f(x))$$, el valor de $$\ Dh(1)$$es igual a

 * a.34       b.5        *c.36*        d.24        e.30

 * $$\ Dh=Dg(f(x)).Df(x)$$Planteamos una regla de la cadena
 * $$\ Dh(1)=Dg(f(1)).Df(1)$$y evaluamos cuando las x valen 1.
 * $$\ Dh(1)=Dg(3).4$$Como cuando x vale 1 Df vale 4, reemplazo
 * $$\ Dh(1)=9.4$$Como cuando x vale 3 Dg vale 9, reemplazo
 * $$\ Dh(1)=36$$

Y como por arte de magia esta es la respuesta. Ojala ubiera pensado esto en el parcial "Lina Rincon"

 * 2. Un punto se mueve a lo largo de un eje coordenado horizontal, de manera tal que su posición,

en el instante t esta especificada por $$\ S=t^3-12t^2+36t-30$$. Aqui $$\ s$$

se mide en centímetros y $$\ t$$ en segundos. ¿Cuando se mueve el objeto a la izquierda?

 * a.$$\ t$$ pertence $$\ (-infinito,2)$$U$$\ (6,+infinito)$$
 * b.*$$\ t $$ pertenece $$\ (2,6)$$*
 * c.$$\ t$$ pertenece $$\ (-infinito,6)$$U$$\ (18,+infinito)$$
 * d.$$\ t$$ pertenece $$\ (6,18)$$

$$\ S=t^3-12t^2+36t-30$$ Tomamos la ecuacion y la derivamos

$$\ S=3t^2-24t+36$$ Despues de estar derivada la igualamos a cero para hallar puntos

criticos pero antes podemos sacar 3ª a todos los terminos

$$\ t^2-8t+12=0$$ Ahora si igualamos a cero para hallar puntos criticos

$$\ (t-6)(t-2)$$

$$\ t=6$$, $$\ t=2$$ Estos son los puntos criticos

 * Intervalos
 * $$\ (-infinito,2)>0$$
 * $$\ (2,6)<0$$
 * $$\ (6,+infinito)$$

Y facilmente podemos asegurar que la particula se mueve a la izquierda es en el intervalo $$\

(2,6)$$ "Lina Rincon"

3. Un rectangulo tiene dos vertices en el eje x y otros dos sobre la parabola $$\

y=12-x^2$$. Vease la figura.
 * ¿Cuales son las dimenciones del rectangulo de este tipo con area maxima?

 * $$\ Area=2x.y$$ Primero planteamos la ecuacion de area para el rectanulo
 * $$\ y=12-x^2$$ y luego al observar la ecuacion de la parabola me da el valor de $$\

y$$
 * $$\ Area= 2x(12-x^2)$$ y reemplazamos la ecuacion de la parabola en la del area
 * $$\ Area=24x-2x^3$$ realizamos operaciones
 * $$\ DArea=24-6x^2$$derivamos la ecuacion resultante
 * $$\ 24-6x^2=0$$igualamos la ecuacion a cero para poder encontrar el valor de x y os

puntos criticos.
 * $$\ -6x^2=-24$$
 * $$\ x^2=\frac{-24}{-6}$$
 * $$\ x^2=4$$
 * $$\ x=\sqrt[2] $$
 * $$\ x=+-2$$
 * Intervalos
 * $$\ (-infinito,-2)<0$$
 * $$\ (-2,2)>0$$
 * $$\ (2,+infinito)<0$$
 * $$\ x=2$$
 * $$\ x=4$$
 * $$\ y=12-x^2$$
 * $$\ Y=12-2^2$$Reemplazo en la ecuacion de la curva el valor de x que es 2
 * $$\ y=12-4$$
 * $$\ y=8$$

Despues de este corto y simple proceso deducimos que las dimenciones del rectangulo con area

maxima son de $$\ y=8$$ y $$\ x=2$$ "Lina Rincon"

4.Para una funcion $$\ f(x)$$, apartir de la siguiente informacion determine a.Intevalos de creciomiento y de decreciomiento b.Intervalos de concavidad c.Puntos criticos y su naturaleza d.Bosqujo de la grafica $$\ f$$

 * a.$$\ (-infinito,2)$$ u $$\ (2,infinito)$$ Creciente
 * $$\ (-2,2)$$ Decreciente

 * b.$$\ (-infinito.-\sqrt[2])$$ u \ (2,infinito)/math> Convexo
 * $$\ (-\sqrt[2],0) $$ u $$\ \sqrt[2],infinito$$ Concavo

 * c.$$\ x=-2$$ Maximo
 * $$\ x=o $$ Punto de inflexiòn
 * $$\ x=2$$ Minimo

title: User:"Lina Rincon"


text:
User:Marcelaburaglia

RECTA TANGENTE EN UN PUNTO
I. Obtener la ecuación de la recta tangente en el punto dado. (Ejercicios tomados del libro: 7 ed. de Leithold)

1)$$\ y = 9-x^3;(2,5)$$
 * $$\ m(x)= lim_{h\to 0}\frac {9-(x+h)^2-(9-x^2)}{h}$$
 * $$\ m(x)= lim_{h\to 0}\frac {9-(x^2+2xh+h^2)-9+x^2}{h}$$
 * $$\ m(x)= lim_{h\to 0}\frac {9-x^2-2xh-h^2-9+x^2}{h}$$
 * $$\ m(x)= lim_{h\to 0}\frac {-2xh-h^2}{h}$$
 * $$\ m(x)= lim_{h\to 0}\frac {(h)(-2x-h)}{h}$$
 * $$\ m(x)= lim_{h\to 0} -2x-h$$
 * $$\ m(x)= -2(2)-(0)$$
 * $$\ m(x)= -4$$

 * $$\ y-5=-4(x-2)$$
 * $$\ y-5=-4x+8$$
 * $$\ y=-4x+8+5$$
 * $$\ y=-4x+13$$

2)$$\ y=2x^2+4x;(-2,0)$$

 * $$\ m(x)= lim_{h\to 0}\frac {2(x+h)^2+4(x+h)-(2x^2+4x)}{h}$$
 * $$\ m(x)= lim_{h\to 0}\frac {2(x^2+2xh+h^2)+4x+4h -2x^2-4x}{h}$$
 * $$\ m(x)= lim_{h\to 0}\frac {2x^2+4xh+2h^2+4x+4h -2x^2-4x}{h}$$
 * $$\ m(x)= lim_{h\to 0}\frac {4xh+2h^2+4h}{h}$$
 * $$\ m(x)= lim_{h\to 0}\frac {(h)(4x+2h+4)}{h}$$
 * $$\ m(x)= lim_{h\to 0}4x+2h+4$$
 * $$\ m(x)= 4(-2)+2(0)+4$$
 * $$\ m(x)= -4$$

 * $$\ y-0=-4(x-(-2))$$
 * $$\ y=-4x-8$$

3)$$\ y=x^3+3;(1,4)$$
 * $$\ m(x)= lim_{h\to 0}\frac {(x+h)^3+3-(x^3+3)}{h}$$
 * $$\ m(x)= lim_{h\to 0}\frac {x^3+3x^2h+3xh^2+h^3+3-x^3-3)}{h}$$
 * $$\ m(x)= lim_{h\to 0}\frac {3x^2h+3xh^2+h^3)}{h}$$
 * $$\ m(x)= lim_{h\to 0}\frac {(h)(3x^2+3xh+h^2)}{h}$$
 * $$\ m(x)= lim_{h\to 0} 3x^2+3xh+h^2$$
 * $$\ m(x)= 3(1)^2+3(1)(0)+(0)^2$$
 * $$\ m(x)= 3$$

 * $$\ y-4=3(x-1)$$
 * $$\ y-4=3x-3$$
 * $$\ y=3x-3+4$$
 * $$\ y=3x+1$$

II)Determine la pendiente de la recta tangente en el punto $$(x_1,f(x_1))$$ y dónde es horizontal

1)$$\ f(x)= 3x^2-12x+8$$
 * $$\ f(x_1)= 3x_1^2-12x_1+8$$
 * $$\ f(x_1+h)= 3(x_1+h)^2-12(x_1+h)+8$$

 * $$\ m(x)= lim_{h\to 0}\frac {(3(x_1+h)^2-12(x_1+h)+8) - (3x_1^2-12x_1+8)}{h}$$
 * $$\ m(x)= lim_{h\to 0}\frac {(3(x_1^2+2x_1h+h^2)-12x_1-12h)+8) - (3x_1^2-12x_1+8)}{h}$$
 * $$\ m(x)= lim_{h\to 0}\frac {3x_1^2+6x_1h+3h^2-12x_1-12h+8 - 3x_1^2+12x_1-8)}{h}$$
 * $$\ m(x)= lim_{h\to 0}\frac {6x_1h+3h^2-12h}{h}$$
 * $$\ m(x)= lim_{h\to 0}\frac {(h)(6x_1+3h-12)}{h}$$
 * $$\ m(x)= lim_{h\to 0}6x_1+3h-12$$
 * $$\ m(x)= 6x_1+3(0)-12$$
 * $$\ m(x)= 6x_1-12$$

Horizontal

 * $$\ 6x_1-12=0$$
 * $$\ 6x_1=12$$
 * $$\ x_1=\frac {12}{6}$$
 * $$\ x_1=2$$

 * $$\ y=3(2^2)-12(2)+8$$
 * $$\ y=-4$$

2)$$\ f(x)= x^3+6x^2-9x-2$$

 * $$\ f(x_1)= x_1^3+6x_1^2-9x_1-2$$
 * $$\ f(x_1+h)= (x_1+h)^3+6(x_1+h)^2-9(x_1+h)-2$$

 * $$\ m(x)= lim_{h\to 0}\frac {((x_1+h)^3+6(x_1+h)^2-9(x_1+h)-2) - (x_1^3+6x_1^2-9x_1-2)}{h}$$
 * $$\ m(x)= lim_{h\to 0}\frac {3x_1^2h+3x_1h^2+h^3-12x_1h-6h^2-9h}{h}$$
 * $$\ m(x)= lim_{h\to 0}\frac {(h)(3x_1^2+3x_1h+h^2-12x_1-6h-9)}{h}$$
 * $$\ m(x)= lim_{h\to 0}3x_1^2+3x_1h+h^2-12x_1-6h-9$$
 * $$\ m(x)= 3x_1^2+3x_1(0)+(0)^2-12x_1-6(0)-9$$
 * $$\ m(x)= 3x_1^2-12x_1-9$$

Horizontal

 * $$\ 3x_1^2-12x_1-9=0$$
 * $$\ (x_1-3)(3x+3)=0$$
 * $$\ x_1=3$$
 * $$\ x_1=1$$

 * $$\ y_1=3(1)^2-12(1)-9$$
 * $$\ y_1=0$$

 * $$\ y_3=3(3)^2-12(3)-9$$
 * $$\ y_3=-56$$

DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS
1) $$\lim_{x\to 0}\frac {(x-sen(x))^2}{x^2}$$
 * =$$\lim_{x\to 0}\frac {x^2-2xsen(x)+sen^2x}{x^2}$$
 * =$$\lim_{x\to 0}\frac {x^2}{x^2} - \lim_{x\to 0}\frac {2xsen^2x}{x^2}+ \lim_{x\to 0}\frac {sen^2x}{x^2}$$
 * =$$\ 1 - \lim_{x\to 0}\frac {2x}{x}\cdot\frac {senx}{x}+\frac {senx}{x}\cdot\lim_{x\to 0}\frac {senx}{x}$$
 * =$$\ 1 - (2)(1) + (1)(1)$$
 * =$$\ 1 - 2 + 1$$
 * =$$\ 0$$
 * Marcelaburaglia

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Estime los números críticos de cada función y luego encuentre los valores máximos y mínimos

1)$$\ f(x) = x^3+7x^2-5x$$
 * $$\ f'(x) = x^3+7x^2-5x$$
 * $$\ f'(x) = 3x^2+14x-5$$
 * $$\ f'(x) = (x+5)(3x-1)$$
 * $$\ x = -5$$

 * $$\ x = \frac {1}{3}$$
 * $$\ f_{(-5)}= (-5)^3+7(-5)^2-5(-5)$$
 * $$\ f_{(-5)}= -125+175+25$$
 * $$\ f_{(-5)}= 75$$ Máximo

 * $$\ f_{(\frac {1}{3})}= (\frac {1}{3})^3+7(\frac {1}{3})^2-5(\frac {1}{3})$$
 * $$\ f_{(\frac {1}{3})}= \frac {1}{27}+\frac {7}{9}-\frac {5}{3}$$
 * $$\ f_{(\frac {1}{3})}= \frac {-23}{27}$$ Mínimo

Marcelaburaglia

DERIVACIÓN IMPLÍCITA
1)$$\ Sen\left( \frac {x}{y}\right)+Cos\left( \frac {y}{x}\right)=0$$
 * $$\ Cos\left( \frac {x}{y}\right)\cdot \left( \frac {y-x\frac {dy}{dx}}{y^2}\right)-Sen \left( \frac {y}{x}\right)\cdot \left( \frac {x\frac {dy}{dx}-y}{x^2}\right)=0$$
 * $$\ \frac {Cos\left( \frac {x}{y}\right)}{y^2}\cdot \left( y-x\frac {dy}{dx}\right) - \frac {Sen\left( \frac {y}{x}\right)}{x^2}\cdot \left(x\frac {dy}{dx}-y\right)=0$$
 * $$\ \frac {x^2[Cos\left( \frac {x}{y}\right)\cdot(y-x \frac {dy}{dx})]- y^2[Sen\left( \frac {y}{x}\right)\cdot(x\frac {dy}{dx}-y)]}{x^2y^2}=0$$
 * $$\ x^2[yCos\left( \frac {x}{y}\right)-x\frac {dy}{dx}Cos\left( \frac {x}{y}\right)] - y^2[x\frac {dy}{dx}Sen\left( \frac {y}{x}\right)\cdot ySen\frac {y}{x}] = 0\cdot x^2y^2$$
 * $$\ x^2yCos\left(\frac {x}{y}\right)-x^3\frac {dy}{dx}Cos\left(\frac {x}{y}\right) - xy^2\frac {dy}{dx}Sen\left(\frac {y}{x}\right)+y^3Sen\left(\frac {y}{x}\right) = 0$$
 * $$\ -x^3\frac {dy}{dx} Cos\left(\frac {x}{y}\right) - xy^2\frac {dy}{dx}Sen\left(\frac {y}{x}\right) = -x^2yCos\left(\frac {x}{y}\right)-y^3Sen\left(\frac {y}{x}\right)$$
 * $$\ \frac {dy}{dx}\left(-x^3Cos\left(\frac {x}{y}\right) - xy^2Sen\left(\frac {y}{x}\right)\right) = -x^2yCos\left(\frac {x}{y}\right)-y^3Sen\left(\frac {y}{x}\right)$$
 * $$\ \frac {dy}{dx}= \frac {-x^2yCos\left(\frac {x}{y}\right)-y^3Sen\left(\frac {y}{x}\right)}{-x^3Cos\left(\frac {x}{y}\right) - xy^2Sen\left(\frac {y}{x}\right)} $$
 * $$\ \frac {dy}{dx}= \frac {y\left(-x^2Cos\left(\frac {x}{y}\right)-y^2Sen\left(\frac {y}{x}\right)\right)}{x \left(-x^2Cos\left(\frac {x}{y}\right) - y^2Sen\left(\frac {y}{x}\right)\right)} $$
 * $$\ \frac {dy}{dx}= \frac {y}{x}$$

 * $$\ Sen(u) = Sen(Sen^{-1}(x))$$
 * $$\ Sen(y) = x$$

3)$$\ y = Sen^{-1}(x)$$
 * $$\ Sen(y) = x$$
 * $$\ Cos(y)\frac {dy}{dx} = 1$$
 * $$\ \frac {dy}{dx} = \frac {1}{Cos(y)}$$
 * $$\ \frac {dy}{dx} = \frac {1}{\sqrt {1-Sen^2(x)}}$$
 * $$\ \frac {dy}{dx} = \frac {1}{\sqrt {1-x^2}}$$

4)$$\ y = Cos^{-1}(x)$$
 * $$\ Cos(y) = x$$
 * $$\ -Sen(y)\frac {dy}{dx} = 1$$
 * $$\ \frac {dy}{dx} = \frac {-1}{Sen(y)}$$
 * $$\ \frac {dy}{dx} = \frac {-1}{\sqrt{1-Cos^2x}}$$
 * $$\ \frac {dy}{dx} = \frac {-1}{\sqrt{1-x^2}}$$

title: User:Marcelaburaglia


text:
User:Jorgemontes

=Límites=

1) $$\lim_{x\to 0}\frac {senx}{2x}$$
 * $$\frac {1}{2} \lim_{x\to 0}\frac {senx}{x}$$
 * $$\frac {1}{2}.1$$
 * $$\frac {1}{2}$$ by:Jorge Montes Jorgemontes

2)$$\lim_{x\to -1}\frac {x^3-4x^2+x+6}{x+1}$$
 * $$\lim_{x\to -1}\frac {(x+1)(x^2-5x+6)}{x+1}$$
 * $$\lim_{x\to -1}\ {x^2-5x+6}$$
 * $$\ {(-1)^2-5(-1)+6}$$
 * $$\ {1+5+6}$$
 * $$\ {12}$$                                      by:Jorge Montes Jorgemontes

3)$$\lim_{x\to 3}\frac {x^4-18x^2+81}{(x-3)^2}$$
 * $$\lim_{x\to 3}\frac {(x-3)(x^3+3x^2-9x-27)}{(x-3)^2}$$
 * $$\lim_{x\to 3}\frac {x^3+3x^2-9x-27}{x-3}$$
 * $$\lim_{x\to 3}\frac {(x-3)(x^2+6x+9)}{x-3}$$
 * $$\lim_{x\to 3}\ {x^2+6x+9}$$
 * $$\ {(3)^2+6(3)+9}$$
 * $$\ {9+18+9}$$
 * $$\ {36}$$                                       by:Jorge Montes Jorgemontes

4)$$\lim_{h\to 0}\frac {(x+h)^2-x^2}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {x^2+2hx+h^2-x^2}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {2hx+h^2}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {(h)(2x+h)}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\ {(2x+h)}$$
 * $$\ {(2x)}$$                                     by:Jorge Montes Jorgemontes

5) $$\lim_{x \to 0} \frac {tan^2x}{senx}$$
 * $$\lim_{x \to 0} \frac {(sen^2x/cos^2x)}{senx}$$
 * $$\lim_{x \to 0} \frac {2senx cosx}{(senx)(cos^2x-sen^2x)}$$
 * $$2\lim_{x \to 0} \frac {cosx}{(cos^2x-sen^2x)}$$
 * $$2\lim_{x \to 0} \frac {cosx}{cos^2x-(1-cos^2x)}$$
 * $$2\lim_{x \to 0} \frac {cosx}{2cos^2x-1}$$
 * $$\frac $$
 * $$\frac {(2)(1)}{(2)(1)-1}$$
 * $$\ 2$$                                           by:Jorge Montes Jorgemontes

6)$$\frac {1}{\sqrt [2]{3x}}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {\frac {1}{\sqrt [2]{3x+3h}}-\frac {1}{\sqrt [2]{3x}}}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {\frac {\sqrt {3x}-\sqrt {3x+3h}}{(\sqrt {3x+3h})(\sqrt {3x})}}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {\sqrt {3x}-\sqrt {3x+3h}}{(h)((\sqrt {3x+3h})(\sqrt {3x}))}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {\sqrt {3x}-\sqrt {3x+3h}}{(h)((\sqrt {3x+3h})(\sqrt {3x}))}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {\sqrt {3x}-\sqrt {3x+3h}}{(\sqrt {h^2})((\sqrt {3x+3h})(\sqrt {3x}))}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {\sqrt {3x}-\sqrt {3x+3h}}{(\sqrt {(h^2)(3x^2+9hx)})}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {\sqrt {3x}-\sqrt {3x+3h}}{\sqrt {(3x^2h^2+9h^3x)}}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {\sqrt {3x}-\sqrt {3x+3h}}{\sqrt {3x^2h^2+9h^3x}}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {\sqrt {3x}-\sqrt {3x+3h}}{\sqrt {(3h^2x)(3x+3h)}}$$

=Derivadas=

1)$$\lim_{h\to 0}\frac {(2+h)^2-4}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {4+4h+h^2-4}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {4h+h^2}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {h(4+h)}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\ {4+h}$$
 * $$\ {4+0}$$
 * $$\ {4}$$                           by:Jorge Montes

Jorgemontes

2)Derivar:$$\ F(x)= \frac {(x+1)^2}{x-1}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {\frac {(((x+h)+1)^2)}{(x+h)-1}-\frac {(x+1)^2}{x-1}}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {\frac {hx^2+h^2x-3h-2hx}{(x+h-1)(x-1)}}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {(h)(x^2+hx-3-2x)}{(h)((x+h-1)(x-1))}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {x^2+hx-3-2x}{(x+h-1)(x-1)}$$
 * $$\frac {x^2-2x-3}{(x-1)^2}$$ by: jorge montes Jorgemontes

3)Hallar la derivada de:
 * y=x
 * $$\ y'=1$$
 * $$\ lim_{x\to 0}\frac {f(x+h)-F(x)}{h}$$
 * $$\ lim_{x\to 0}\frac {x+h-x}{h}$$
 * $$\ lim_{x\to 0}\frac {h}{h}$$
 * $$\ 1$$

by: jorge montes and Zorraidorsito Jorgemontes

4)Derive:$$\frac {6}{x^2+1}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {\frac {6}{(x+h)^2+1}-\frac {6}{x^2+1}}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {\frac {6x^2+6-6x^2-12hx-6h^2-6}{((x+h)^2+1)(x^2+1)}}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {\frac {-6h^2-12hx}{((x+h)^2+1)(x^2+1)}}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {-6h^2-12hx}{(h)(((x+h)^2+1)(x^2+1))}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {(h)(-6h-12x)}{(h)(((x+h)^2+1)(x^2+1))}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {-6h-12x}{((x+h)^2+1)(x^2+1)}$$
 * $$\frac {-6(0)-12x}{((x+(0))^2+1)(x^2+1)}$$
 * $$\frac {-12x}{(x^2+1)^2}$$ by: jorge Montes Jorgemontes

5)Derive por implícita: $$\ {y^2-x^2=1}$$
 * $$\ {\frac {d}{dx}y^2-\frac {d}{dx}x^2=\frac {d}{dx}1}$$
 * $$\ {\frac {d}{dx}2y-\frac {d}{dx}2x=\frac {d}{dx}0}$$
 * $$\ {\frac {d}{dx}2y-\frac {d}{dx}2x=0}$$
 * $$\ {\frac {d}{dx}(2y-2x)=0}$$
 * $$\ {\frac {d}{dx}(2y)=2x}$$
 * $$\ {\frac {d}{dx}=\frac {2x}{2y}}$$
 * $$\ {\frac {d}{dx}=\frac {x}{y}}$$

6)calcular $$\ f^,(0),f^,(\frac {1}{2}),f^,(1),f^,(-10)$$
 * $$\ {f(x)=2+x-x^2}$$
 * $$\ {f^,(x)=1-2x}$$

 * $$\ {f^,(0)=1}$$
 * $$\ {f^,(\frac {1}{2})=0}$$
 * $$\ {f^,(1)=-1}$$
 * $$\ {f^,(-10)=-19}$$

=Recta Tangente=

Encuentre la ecuación de la recta tangente en el punto propuesto

1)$$\ {x^3y+y^3x=30}$$

=Parcial=

1)Se da una tabla de valores para f, g, f´ y g´

 * / x  /  f(x)  /  g(x)  /  f´(x)  /  g´(x)  /
 * /  1   /   3    /   2    /   4     /   6     /
 * /  2   /   1    /   8    /   5     /   7     /
 * /  3   /   7    /   2    /   7     /   9     /

 * Si h(x) = g(f(x)), el valor de h´(1) es igual a:
 * a)4    b)5     c)36     d)24     e)30

 * R/

2)

3)Un rectángulo tiene dos vértices sobre el eje x y otros dos sobre la parabola $$\ {y=12-x^2}$$ ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de este tipo con área máxima?
 * $$\ {A = (2x)(y)}$$
 * $$\ {A = (2x)(12-x^2)}$$
 * $$\ {A = 24x-2x^3}$$
 * $$\ {A^, = 24-6x^2}$$
 * $$\ {0 = 24-6x^2}$$
 * $$\ {24 = 6x^2}$$
 * $$\ {\frac {24}{6} = x^2}$$
 * $$\ {4 = x^2}$$
 * $$\ {\sqrt {4} = x}$$
 * $$\ {2 = x}$$
 * $$\ {y=12-x^2}$$
 * $$\ {y=12-(2)^2}$$
 * $$\ {y=12-4}$$
 * $$\ {y=8}$$
 * $$\ {A = (2(2))(8)}$$
 * $$\ {A = (4)(8)}$$
 * $$\ {A = 32}$$

--Jorgemontes 13:07, 19 Jul 2004 (UTC)

4)

title: User:Jorgemontes


text:
User:Monica

1)Hallar f´´(x) si f(x)=$$\frac {x^2}{x^2-9}$$
 * $$f(x)=\frac {x^2}{x^2-9}$$
 * $$f'(x)=\frac {2x(x^2-9)-x^2(2x)}{(x^2-9)^2}$$
 * $$f'(x)=\frac {2x^3-18x-2x^3}{(x^2-9)^2}$$
 * $$f'(x)=\frac {-18x}{(x^2-9)^2}$$
 * $$f''(x)=\frac {-18(x^2-9)^2+18x(4x)(x^2-9)}{(x^2-9)^4}$$
 * $$f''(x)=\frac {(x^2-9)[-18(x^2-9)+72x^2]}{(x^2-9)^4}$$
 * $$f''(x)=\frac {54x^2+162}{(x^2-9)^3}$$

Monica

2)Derive:$$\ x^3+2x^2+1$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {((x+h)^3+2(x+h)^2+1)-(x^3+2x^2+1)}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {x^3+hx^2+2hx^2+2h^2x+h^2x+h^3+2x^2+4hx+2h^2+1-x^3-2x^2-1}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {3hx^2+3h^2x+h^3+4hx+2h^2}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {(h)(3x^2+3hx+h^2+4x+2h)}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\ 3x^2+3hx+h^2+4x+2h$$
 * $$\ 3x^2+3(0)x+(0)^2+4x+2(0)$$

.$$\ 3x^2+4x$$ by: monica perez Monica

3)Hallar:$$\frac {dy}{dx}$$ si $$y^3-xy^2+cosxy=2$$
 * $$3y^2(\frac {dy}{dx})-y^2+x2y(\frac {dy}{dx})-sen(xy)(y+x(\frac {dy}{dx})=0$$
 * $$3y^2(\frac {dy}{dx})-2xy(\frac {dy}{dx})-x(\frac {dy}{dx})sen(xy)=y^2+ysenxy$$
 * $$(\frac {dy}{dx})(3y^2-2xy-xsen(xy))=y^2+ysenxy$$
 * $$(\frac {dy}{dx})=\frac {y^2+ysen(xy)}{3y^2-2xy-xsen(xy)}$$

Monica

4)Derivar:$$\frac {6}{x}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {\frac {6}{(x+h)}-\frac{6}{x}}{h}$$
 * $$lim_{h\to 0}\frac {\frac {-6h}{(x+h)(x)}}{h}$$
 * $$lim_{h\to 0}\frac {-6h}{(x+h)(x)(h)}$$
 * $$lim_{h\to 0}\frac {-6}{(x)(x+h)}$$
 * $$\frac {-6}{x^2}$$

Monica

5)Derivar:$$\ f(x)=(x^2)senx$$
 * $$\ f'(x)=(x^2)senx+x^2cosx$$
 * $$\ f'(x)=(2x)senx+x^2cosx$$
 * $$\ f'(x)=(x)(2senx+xcosx)$$

Monica

6)Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva $$x^\frac {2}{3}-y^\frac {2}{3}-2y=2$$ en el punto (1,-1)

 * $$\frac {2}{3}x^\frac {-1}{3}-\frac {2}{3}y^\frac {-1}{3}(\frac {dy}{dx})-2\frac ({dy}{dx})=0$$
 * $$\frac {dy}{dx}(-\frac {2}{3}y^\frac {-1}{3}-2)=-\frac {2}{3}x^\frac {-1}{3}$$
 * $$\frac {dy}{dx}=\frac {-\frac {2}{3}x^\frac {-1}{3}}{(-\frac {2}{3}y^\frac {-1}{3}-2)}$$
 * $$\frac {dy}{dx}=\frac {\frac {2}{3\sqrt [3]x}}{\frac {2}{3\sqrt [3]y}+2}$$
 * $$Mt=\frac {dy}{dx}(1,-1)=\frac {\frac {2}{3\sqrt [3]1}}{(\frac {2}{3\sqrt [3]-1}+2}$$
 * $$=\frac {\frac {2}{3}}{\frac {2}{3}+2}$$

$$=\frac {\frac {2}{3}}{\frac {4}{3}}$$
 * $$=\frac {2}{4}=\frac {1}{2}=Mt$$

Ya teniendo la pendiente reemplazamos:

 * $$(y+1)= \frac {1}{2}{x-1}$$
 * $$y= \frac {1}{2}x-\frac {1}{2}-1$$
 * $$y= \frac {1}{2}x-\frac {3}{2}$$

RAZON DE CAMBIO
1)El radio de un circulo cambia a razón de $$\frac {-2}{pi}m/sg$$. ¿Cual es la razón de cambio del area del circulo cuando $$r=10m$$

 * $$\frac {dr}{dt}=\frac {-2}{pi}m/sg$$ y $$r=10m$$
 * $$A=pir^2$$
 * $$\frac {dA}{dt}=2pir\frac {dr}{dt}$$
 * $$\frac {dA}{dt}=2pi(10)\frac {-2}{pi}$$
 * $$\frac {dA}{dt}=-40m^2/sg$$

Monica

2)El area de la superficie de un cilindro circular recto se relaciona con el radio de la base r y la altura h mediante la ecuacion $$s=2pir^2+2pirh$$
 * a)¿Como se relaciona $$\frac {ds}{dt},\frac {dr}{dt}$$ si h es constate?
 * b)¿Como se relaciona $$\frac {ds}{dt}y\frac {dh}{dt}$$ si r es constate?
 * c)¿Como se relaciona $$\frac {ds}{dt},\frac {dh}{dt};\frac {dr}{dt}$$ si ni r, ni t,ni h son constates?

a)$$\frac {ds}{dt}=4pir\frac {dr}{dt}+2pih\frac {dr}{dt}$$
 * $$\frac {ds}{dt}=(4pir+2pih)\frac {dr}{dt}$$

b)$$\frac {ds}{dt}=0+2pih\frac {dh}{dt}$$
 * $$\frac {ds}{dt}=2pih\frac {dh}{dt}$$

c)$$\frac {ds}{dt}=4pir\frac {dr}{dt}+2pih\frac {dr}{dt}+2pir\frac {dh}{dt}$$
 * $$\frac {ds}{dt}=2pi\frac {dr}{dt}(2r+h)+2pir\frac {dh}{dt}$$

3)Un balón esférico se infla a razón de 100 pies cúbicos por minuto. ¿Cuál es la razón de crecimiento del radio en el instante en que el radio mide 10pies?
 * $$ V=\frac {dv}{dt}=100pies/mn$$
 * $$\frac {dr}{dt}=?$$
 * $$V=\frac {4pir^3}{3}$$
 * $$V=\frac {4pi3r^2}{3}(\frac {dr}{dt})$$
 * $$\frac {V}{\frac {4pi3r^2}{3}}=(\frac {dr}{dt})$$
 * $$\frac {100}{\frac {4pi3(10)^2}{3}}=(\frac {dr}{dt})$$
 * $$\frac {100}{\frac {3769.9}{3}}=(\frac {dr}{dt})$$
 * $$\frac {3769.9}{300}=(\frac {dr}{dt})$$
 * $$12.5=(\frac {dr}{dt})$$

4)Dos automóviles parten de un mismo punto en igual momento. Uno se dirige hacia el norte a una velocidad constante de 25Km/h, y el otro se dirige al oriente a una velocidad constante de 60Km/h. ¿Qué tan rápido aumenta la distancia entre ellos después de 1 hora?

 * $$z^2=x^2+y^2$$
 * $$2z\frac {dz}{dt}=2x\frac {dx}{dt}+2y\frac {dy}{dt}$$
 * $$\frac {dz}{dt}=\frac {dx}{dt}+\frac {dy}{dt}$$
 * $$\frac {dz}{14}=\frac {d60}{140}+\frac {d25}{14}$$
 * $$dz=85Km/h$$

5)Dos lados de un triangulo tiene longitudes de 12m y 15m respectivamente. El ángulo formado por ellos aumenta a razón de 2º/mn. ¿Con qué velocidad aumenta la longitud del tercer lado cuando el ángulo formado por los lados de longitud fija es 60º?

 * $$z^2=x^2+y^2-2xycostheta$$
 * $$z^2=144+225-2(12)(15)costheta$$
 * $$z^2=369-360costheta$$
 * $$z^2=369-360cos(60)$$
 * $$z^2=369-180$$
 * $$z=\sqrt [2]189$$
 * $$z=13.74$$
 * $$2z\frac {dz}{dt}=-360(-sentheta)\frac {dtheta}{dt}$$
 * $$\frac {dz}{dt}=\frac {180sentheta\frac {dtheta}{dt}}{z}$$
 * $$\frac {dz}{dt}=\frac {180sen(60)(2)}{13.74}$$
 * $$\frac {dz}{dt}=22.7m/mn$$

MAXIMOS Y MINIMOS
¿Cuál es la máxima área que puede tener un triangulo rectángulo cuya hipotenusa tenga 5cms de largo?
 * $$A=\frac {base*altura}{2}$$
 * $$z^2=x^2+y^2$$
 * $$z=5$$
 * $$25=x^2+y^2$$
 * $$\sqrt [2]{25-x^2}=y$$
 * $$A=\frac {x\sqrt [2]{25-x^2}}{2}$$
 * $$A'=\frac {1}{2}\sqrt [2]{25-x^2}+(\frac {x}{2})\frac {-2x }{2\sqrt [2]25-x^2}$$
 * $$A'=\frac {25-x^2-x^2}{2\sqrt [2]{25-x^2}}=0$$
 * $$25-2x^2=0$$
 * $$x=\sqrt [2]\frac {25}{2}$$
 * $$\sqrt [2]{25-\frac {25}{2}}= y$$
 * $$\sqrt [2]\frac {25}{2}= y$$
 * $$A=\frac {\sqrt [2]\frac {25}{2}*\sqrt [2]\frac {25}{2}}{2}$$
 * $$A=\frac {25}{4}cm^2$$

2) Hay una ventana que tiene la forma de semicírculo montado sobre un rectángulo. El rectángulo es de cristal transparente, mientras que el semicírculo es de un cristal de color que transmite la mitad de luz por unidad de área que el transparente. El perímetro total es fijo. Hallar las proporciones de la ventana que proporcionen la mayor cantidad de luz. No considere el grosor del marco.

 * $$Perimetro=x+2y+\frac {2pir}{2}$$
 * $$P= x+2y+pi\frac {x}{2}$$
 * $$y= \frac {P}{2}-\frac {x}{2}-\frac {pix}{4}$$
 * A= área del rectángulo + área del semicírculo
 * $$A= x*y+\frac {pir^2}{4}$$
 * $$A= x(\frac {P}{2}-\frac {x}{2}-\frac {pix}{4})+\frac {pix^2}{16}$$
 * $$A= \frac {Px}{2}-\frac {x^2}{2}-\frac {pix^2}{4})+\frac {pix^2}{16}$$
 * $$A= \frac {P}{2}x-\frac {x^2}{2}-\frac {3pix^2}{16}$$
 * $$A'= \frac {P}{2}-x-\frac {6pix}{16}=0$$
 * $$\frac {P}{2}=x+\frac {6pix}{16}$$
 * $$\frac {P}{2}=x(1+\frac {3pi}{8})$$
 * $$\frac {P}{2}=x(\frac {8+3pi}{8})$$
 * $$\frac {8p}{2(8+3pi)}=x$$
 * $$\frac {4p}{8+3pi}=x$$

Reemplazando en y

 * $$y= \frac {P}{2}-\frac {4P}{2(8+3pi)}-\frac {pi4P}{4(8+3pi)}$$
 * $$y= \frac {P}{2}-\frac {2P}{8+3pi}-\frac {piP}{8+3pi}$$
 * $$y= \frac {P(8+3pi)-4P-2piP}{2(8+3pi)}$$
 * $$y= \frac {8P+3Ppi-4P-2piP}{2(8+3pi)}$$
 * $$y= \frac {4P+piP}{2(8+3pi)}$$
 * $$y= \frac {P(4+pi)}{2(8+3pi)}$$
 * $$y= \frac {P(4+pi)}{16+6pi}$$

3) Una hoja rectangular con perímetro de 36cm y con dimensiones de xcm por ycm se hace girar sobre uno de los lados de largo y para formar un cilindro. ¿Qué valores para y y x darán el volumen máximo?

 * $$2x+2y=36$$
 * $$y=18-x$$
 * Vcilindro=(área de la base)(altura)
 * $$V=pir^2h$$
 * $$V=pix^2y$$
 * $$V=pix^2(18-x)$$
 * $$V=18pix^2-pix^3$$
 * $$V'=36pix-3pix^2=0$$
 * $$3pix (12-x)=0$$
 * $$12-x=0$$
 * $$x=12$$
 * $$y=18-12$$
 * $$y=6$$

SIENTO NO HABER PUESTO MAS PERO NO TENGO INTERNET EN CASA Y ESTO ES LO QUE PUDE HACER EN LA BIBLO DE LA U ESPERO QUE SIRVAN.

title: User:Monica


text:
User:Cristianmejia

2):$$\ f(x) = x^4-27x^2$$
 * $$\ f'(x) = 4x^3-54x$$
 * $$\ 0 = 4x^3-54x$$
 * $$\ 0 = x(4x^2-54)$$
 * $$\ x_1 = 0$$
 * $$\ x_2 = 4x^2-54$$
 * $$\ 4x^2 = 54$$
 * $$\ x^2 = \frac{54}{4}$$
 * $$\ x_2 = +\sqrt[2](54/4)=3.67$$
 * $$\ x_2 = -\sqrt[2](54/4)=-3.67$$

 * $$\ f''(x) = 12x^2-54$$
 * $$\ f''(0) = 12(0)^2-54$$
 * $$\ f''(0) = -54$$ Máximo

 * $$\ f''(-3.67) = 12(-3.67)^2-54=107.6 $$ Minimo
 * $$\ f''(+3.67) = 12(+3.67)^2-54=107.6$$ Minimo

cristianmejia

3):$$\ f(x) = x^3-4x^2+4x-1$$
 * $$\ f'(x) = 3x^2-8x^+4$$
 * $$\ 0 = 3x^2-8x^+4$$
 * $$\ 0 = (x-2)(3x-2)$$

 * $$\ x_1 = 2$$
 * $$\ x_2 = 3x-3$$
 * $$\ x_2 = 2/3 $$

 * $$\ f''(x) = 6x-8$$
 * $$\ f''(2) = 6(2)-8= 4$$ Minimo
 * $$\ f''(2/3) = 6(2/3)-8= 1$$ Minimo

cristianmejia

$$\lim_{x\to -3}\frac {x^2-x-12}{x+3}$$

 * RESPUESTA:
 * evaluando:
 * $$\lim_{x\to -3}\frac {x^2-x-12}{x+3}$$

=$$ \frac {(-3)^2-(-3)-12}{(-3)+3}$$ =$$ \frac {9+3-12}{0}$$ =$$ \frac {0}{0}$$

 * $$\lim_{x\to -3}\frac {x^2-x-12}{x+3}$$

=$$\lim_{x\to -3}\frac {(x+3)(x-4)}{x+3}$$ =$$\lim_{x\to -3}{x-4}=-7$$

cristianmejia

$$\lim_{x\to 0}\frac {\sqrt (2-t)-\sqrt 2}{t}$$

 * RESPUESTA:
 * evaluando:

$$\lim_{x\to 0}\frac {\sqrt (2-t)-\sqrt 2}{t}$$ =$$\frac {\sqrt (2-0)-\sqrt 2}{0}$$ =$$\frac {\sqrt 2-\sqrt 2}{0}=\frac {0}{0}$$

$$\lim_{x\to 0}\frac {\sqrt (2-t)-\sqrt 2}{t}$$ =$$\lim_{x\to 0}\frac {(\sqrt (2-t)-\sqrt 2)(\sqrt (2-t)+\sqrt 2}{t(\sqrt (2-t)+\sqrt 2}$$ =$$\lim_{x\to 0}\frac {(\sqrt (2-t))^2-(\sqrt 2)^2}{t(\sqrt (2-t)+\sqrt 2)}$$ =$$\lim_{x\to 0}\frac {(2-t)-2)}{t(\sqrt (2-t)+\sqrt 2)}$$ =$$\lim_{x\to 0}\frac {-t}{t(\sqrt (2-t)+\sqrt 2)}$$ =$$\lim_{x\to 0}\frac {-1}{\sqrt (2-t)+\sqrt 2}=\frac {-1}{\sqrt (2-0)+\sqrt 2}$$ =$$\frac {-1}{\sqrt (2)+\sqrt 2}$$ =$$\frac {-1}{2\sqrt 2}$$

cristianmejia

$$\lim_{x\to 0}\frac {x}{\sqrt (1+3x)-1}$$
 * RESPUESTA:
 * evaluando:

$$\lim_{x\to 0}\frac {x}{\sqrt (1+3x)-1}$$ =$$\frac {0}{\sqrt (1+3(0))-1}$$ =$$\frac {0}{\sqrt 1-1}$$ =$$\frac {0}{0}$$

$$\lim_{x\to 0}\frac {x}{\sqrt (1+3x)-1}$$ =$$\lim_{x\to 0}\frac {x(\sqrt (1+3x)+1)}{(\sqrt (1+3x)-1)(\sqrt (1+3x)+1)}$$ =$$\lim_{x\to 0}\frac {x(\sqrt (1+3x)+1)}{(\sqrt (1+3x))^2(1)^2}$$ =$$\lim_{x\to 0}\frac {x(\sqrt (1+3x)+1)}{(1+3x)-(1)}$$ =$$\lim_{x\to 0}\frac {x(\sqrt (1+3x)+1)}{3x)}$$ =$$\lim_{x\to 0}\frac {(\sqrt (1+3x)+1)}{3}=\frac {(\sqrt (1+3(0))+1)}{3}$$ =$$\frac {(\sqrt 1+1)}{3}=\frac {2}{3}$$

cristianmejia

$$\lim_{x\to 1}\frac {\sqrt[3]x-1}{\sqrt[2]x-1}$$
 * RESPUESTA:
 * evaluando:

$$\lim_{x\to 1}\frac {\sqrt[3]x-1}{\sqrt[2]x-1}$$= $$\frac {\sqrt[3]1-1}{\sqrt[2]1-1}$$= $$\frac {1-1}{1-1}$$= $$\frac {0}{0}$$ Indeterminado

$$\lim_{x\to 1}\frac {\sqrt[3]x-1}{\sqrt[2]x-1}$$

title: User:Cristianmejia


text:
User:JORGEMARIOMEDINAMARTIN

1)Derivar:
 * $$\ y(x)=3x^3-4x^2+5x+16$$
 * $$\ y'(x)=9x^2-8x+5+0$$
 * $$\ y'(x)=9x^2-8x+5$$

JORGE MARIO MEDINA MARTIN 5:10, 13 Jul 2004

2)Hallar el limite:
 * $$\lim_{x\to 1}\frac {x^2-1}{x-1}$$
 * $$\lim_{x\to 1}\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}$$
 * $$\lim_{x\to 1}{x+1}$$
 * $$\lim_{x\to 1}{1+1}$$
 * $$\ 2$$

JORGE MARIO MEDINA MARTIN 5:10, 13 Jul 2004

3)Hallar el limite:
 * $$\lim_{x\to 1}\frac {2x^2-5x-3}{x-3}$$
 * $$\lim_{x\to 3}\frac {(2x+1)(x-3)}{(x-3)}$$
 * $$\lim_{x\to 3}{2x+1}$$
 * $$\lim_{x\to 3}{2(3)+1}$$
 * $$\lim_{x\to 3}{6+1}$$
 * $$\ 7$$

JORGE MARIO MEDINA MARTIN 5:10, 13 Jul 2004

4)Con la formula de derivada en limite halle:
 * $$\lim_{h\to 0}{2x^2}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {2(x+h)^2-2x^2}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {2(x^2+2xh+h^2)-2x^2}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {2x^2+4xh+2h^2)-2x^2}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {2x^2+4xh+2h^2-2x^2}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {4xh+2h^2}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {h(4x+2h)}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0} {4x+2h}$$
 * $$\ 4x$$

JORGE MARIO MEDINA MARTIN 5:10, 13 Jul 2004

5)Con la formula de derivada en limite halle:
 * $$\lim_{h\to 0}{senx}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {sen(x+h)-senx}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {(senxcosh+senhcosx)-senx}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {senx(cosh-1)+senhcosx}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {senx(cosh-1)}{h} + \frac {senhcosx}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}senx \frac{(cosh-1)}{h} + cosx \frac{senh}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}senx(0)+ cosx (1)$$
 * $$\ cosx$$

JORGE MARIO MEDINA MARTIN 5:10, 13 Jul 2004

6)Con la formula de derivada en limite halle:
 * $$\lim_{h\to 0}{12x^2-6x+6}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {(12(x+h)^2-6(x+h)+6)-(12x^2-6x+6)}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {(12(x^2+2xh+h^2)-6x-6h+6-12x^2+6x-6}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {12x^2+24xh+12h^2-6x-6h+6-12x^2+6x-6}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {24xh+12h^2-6h}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {h(24x+12h-6)}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}{24x+12h-6}$$
 * $$\ 24x-6$$

JORGE MARIO MEDINA MARTIN 5:10, 13 Jul 2004

7)Hallar las derivadas en su maxima expresion de:
 * $$\ y =x^4-x^3+3x^2$$
 * $$\ y''=4x^3-3x^2+6x$$
 * $$\ y'''=12x^2-6x+6$$
 * $$\ y=24x-6$$
 * $$\ y'=24$$
 * $$\ y=0$$

JORGE MARIO MEDINA MARTIN 5:10, 13 Jul 2004

8)Hallar la derivada de:
 * $$\ y = \frac {x^4-1}{x^2}$$
 * $$\ y' = \frac {(x^2)(4x^3)-(4x^3-1)(2x)}{(x^2)^2}$$
 * $$\ y' = \frac {(4x^5)-(8x^4-2x)}{(x^2)^2}$$
 * $$\ y' = \frac {4x^5-8x^4+2x}{x^4}$$

JORGE MARIO MEDINA MARTIN 5:10, 13 Jul 2004

100)$$\lim_{x\to 1}\frac {\sqrt[2]x-1}{\sqrt[3]x-1}$$
 * $$\lim_{x\to 1}\frac{(\sqrt[2]x-1)(\sqrt[2]x+1)}{(\sqrt[3]x-1)(\sqrt[2]x+1)}$$
 * $$\lim_{x\to 1}\frac{(\sqrt[2]x)^2-(1)^2}{(\sqrt[3]x-1)(\sqrt[2]x+1)}$$

title: User:JORGEMARIOMEDINAMARTIN


text:
User:Andregonz

Derive:\ f(x)=5x-8
 * $$\ lim_{h\to 0}\frac {5(x+h)-8-(5x-8)}{h}$$
 * $$\ lim_{h\to 0}\frac {5x+5h-8-5x+8}{h}$$
 * $$\ lim_{h\to 0}\frac {5h}{h}$$
 * $$\ 5$$

Determine la derivada en x:(libro purcell)
 * $$\ f(x)=ax^2+bx+c$$
 * $$\ lim_{h\to 0}\frac {a(x+h)^2+b(x+h)+c-(ax^2+bx+c)}{h}$$
 * $$\ lim_{h\to 0}\frac {a(x^2+2xh+h^2)+bx+bh+c-ax^2-bx-c}{h}$$
 * $$\ lim_{h\to 0}\frac {ax^2+2axh+ah^2+bx+bh+c-ax^2-bx-c}{h}$$
 * $$\ lim_{h\to 0}\frac {h(2ax+ah+b)}{h}$$
 * $$\ 2ax+b$$

Derive::$$\ x^3+5x^2+6x+4$$
 * $$\ lim_{h\to 0}\frac {(x+h)^3+5(x+h)^2+6(x+h)+4-(x^3+5x^2+6x+4)}{h}$$
 * $$\ lim_{h\to 0}\frac {x^3+3x^2h+3xh^2+h^3+5x^2+10xh+5h^2+6x+6h+4-x^3-5x^2-6x-4}{h}$$
 * $$\ lim_{h\to 0}\frac {3x^2h+3xh^2+6h^2+10xh+6h}{h}$$
 * $$\ lim_{h\to 0}\frac {h(3x^2+3xh+6h+10x)}{h}$$
 * =$$\ 3x^2+10x+6 $$

Derive implícitamente:

 * $$\ y=(4-5x)^4 $$
 * $$\ 4(4-5x)^3(-5)$$
 * =$$\ -20(4-5x)^3$$

encuentre y':

 * $$\ y=(3-6x^3)^8$$
 * $$\ y'=8(3-6x^3)^7(3-6x^3)$$
 * $$\ y'=8(3-6x^3)^7(-18x^2) $$

Encuentre y':
 * $$\ y=(x^3-3x+2)^9$$
 * $$\ y'=9(x^3-3x+2)^8(x^3-3x+2)$$
 * $$\ y'=9(x^3-3x+2)^8(3x^2-3)$$

Encuentre y':
 * $$\ y= sen^4(13x)$$
 * $$\ y=[sen(13x)]^4$$
 * $$\ y'=4[sen(13x)]^3[sen(13x)]$$
 * $$\ y'=4[sen(13x)]^3[cos(13x)](13x)$$
 * $$\ y'=4[sen(13x)]^3[cos(13x)](13)$$
 * $$\ y'=52cos(13x)sen^3(13x)$$

(calculo purcell) 44)Derive:$$\ y= sen^3(cos t)$$
 * $$\ y=[sen(cos t)]^3$$
 * $$\ y'=3[sen(cos t)]^2[sen(cos t)]$$
 * $$\ y'=3[sen(cos t)]^2[cos(cos t)](cos t)$$
 * $$\ y'=3[sen(cos t)]^2[cos(cos t)](-sen t)$$
 * $$\ y'=-3sen t sen^2(cos t)cos(cos t)]$$

45)Derive:
 * $$\ y= sen^5(x^3+5x)$$
 * $$\ y= [sen(x^3+5x)]^5$$
 * $$\ y'=5[sen(x^3+5x)]^4[sen(x^3+5x)]$$
 * $$\ y'=5[sen(x^3+5x)]^4[cos(x^3+5x)](x^3+5x)$$
 * $$\ y'=5[sen(x^3+5x)]^4[cos(x^3+5x)](3x^2+5)$$
 * $$\ y'=5(3x^2+5)sen^4(x^3+5x)cos(x^3+5x)$$

46)Derive:$$\ 4x^3+7xy^2=2y^3$$
 * $$\ 4x^3+7xy^2=2y^3$$
 * $$\ 12x^2+7x2yy'+7y^2=6y^2y'$$
 * $$\ 7x2yy'-6y^2y'=-7y^2-12x^2$$
 * $$\ y'(14xy-6y^2)=-7y^2-12x^2$$
 * $$\ y'=\frac {-7y^2-12x^2}{14xy-6y^2}$$
 * $$\ y'=\frac {7y^2+12x^2}{6y^2-14xy}$$

47)Derive:$$\ 9x^2+12y^2=32$$
 * $$\ 18x+24yy'=0$$
 * $$\ 24yy'=-18x$$
 * $$\ y'=\frac {-18x}{24y}$$
 * $$\ y'=\frac {-3x}{4y}$$

48)Derive:$$\ xy+5x^2-8y^3=1$$
 * $$\ xy'+y+10x-24y^2y'=0$$
 * $$\ xy'-24y^2y'=-y-10x$$
 * $$\ y'(x-24y^2)=-y-10x$$
 * $$\ y'=\frac {-y-10x}{x-24y^2}$$
 * $$\ y'=\frac {y+10x}{24y^2-x}$$

1)(purcell 3.9)Un disco metálico se dilata con el calor. Si su radio aumenta a razón de 0.02 pulgadas por segundo.¿Con qué rapidez aumenta el área de una de sus caras, cuando su radio es de 8.1 pulgadas?

$$\frac {dr}{dt}=0.02$$

$$\frac {da}{dt}=?/ r=8.1p$$

La fórmula que nos permite llevar a cabo este ejercicio es: $$\ A=Pir^2$$
 * $$\frac {dA}{dt}=2Pir\frac {dr}{dt}$$

reemplazo los valores conocidos, en la fórmula obtenida al derivar:
 * $$\frac {dA}{dt}=2(3.14)(8.1)(0.02)$$
 * $$\frac {dA}{dt}=1.01\frac {p^2}{s}$$

(purcell 3.9)De un tubo sale arena a razon de 16 pies cúbicos por segundo. Si la arena al caer forma un montón cónico en el piso, cuya altura siempre es 1/4 del diámetro de la base. Qué tan rápido aumenta la altura cuando el montón es de 4 pies de altura?

El volúmen del cono de arena es:
 * $$\ V=\frac {pir^2h}{3}$$

h(t)= Altura del cono de arena en el instante t r(t)= Radio del circulo de la base del cono de arena v(t)=volumen del cono de arena $$\frac {dh}{dt}=?/h=4 pies $$

 * $$\frac {V(t)}{d(t)}=16 p^3$$

La fórmula para el volúmen del cono, tiene una variable no deseada r; no es deseada puesto que no conocemos su razón dr/dt. entonces lo dejamos en un variable conocida:

sabemos que el diámetro es igual a decir 2r.

 * $$\ h=\frac {1}{4}diametro$$
 * $$\ h=\frac {1}{2}r$$
 * $$\ 2h=r$$

Este resultado se reemplaza en la ecuación original.
 * $$\ V=\frac {1\pi(2h)^2h}{3}$$
 * $$\ V=\frac {\pi4h^3}{3}$$
 * $$\frac {dv}{dt}=\frac {4\pi}{3}3h^2\frac {dh}{dt}$$
 * $$\frac {dv}{dt}\frac {1}{4pih^2}=\frac {dh}{dt}$$
 * $$\frac {dh}{dt}=16\frac {1}{4\pi(4)^2}$$
 * $$\frac {dh}{dt}=\frac {1}{4\pi}\frac {p}{s}$$

(purcell 3.9)Una escalera de 20 pies está recargada contra un edificio. Si la perte inferior de la escalera se desliza a lo largo del pavimento alejándose directamente del edificio a una velocidad de 1 pie por segundo, ¿Qué tan rápido está descendiendo el extremo superior la escalera, cuando cuando el pie de la escalera está a 5 pies de la pared?

S=20 pies (la longitud de la escalera se toma como un valor constante) h(t)= Altura de la pared x(t)= Distancia desde el pie de la escalera hasta la pared

La fórmula a ultilizar en este ejercicio es pitágoras:
 * $$\ s^2=x^2+h^2$$

 * $$\frac {dx}{dt}=1\frac {p}{s}$$
 * $$\frac {dh}{dt}=?/x=5$$

se reemplazan los valores conocidos en la fórmula original.
 * $$\ (20)^2=x^2+h^2$$

y se deriva:
 * $$\ 0=2x\frac {dx}{dt}+2h\frac {dh}{dt}$$

Como no conocemos el valor de h, lo encontramos despejandolo de la fómula original:
 * $$\ s^2-x^2=h^2$$
 * $$\ (20)^2-(5)^2=h^2$$
 * $$\ 400-25=h^2$$
 * $$\ h=19,36$$

Ahora el resultado se reemplaza:
 * $$\ -2x\frac {dx}{dt}=2h\frac {dh}{dt}$$
 * $$\ -2(5)=2(19,36)\frac {dh}{dt}$$
 * $$\frac {-10}{19,36}=\frac {dh}{dt}$$
 * $$\frac {dh}{dt}=-0,25$$

El signo negativo indica que el cambio de h con respecto de t va disminuyendo.

title: User:Andregonz


text:
Cookbook:Tomatoes with Cheese Stuffing

| Side Dishes

The addition of cheese to the stuffing used in these stuffed tomatoes means added flavor, as well as nutritive value in the form of protein, the food substance in which the tomatoes themselves are lacking. The bread crumbs used for the stuffing supply a large amount of carbohydrate, so that the completed dish, besides being a very attractive one, contains all the food principles in fairly large quantities. Stuffed tomatoes may be served as the main dish in a light meal or as a vegetable dish in a heavy meal.

Ingredients

 * 6 tomatoes
 * 1 cup bread crumbs
 * 1 cup grated cheese
 * ½ tsp salt
 * ⅛ tsp black pepper
 * 2 tbsp butter
 * ¼ cup hot water

Procedure

 * 1) Select medium-sized tomatoes and hollow out the centers, reserving the pulp.
 * 2) Mix the crumbs, cheese, salt, pepper, butter, and hot water with the pulp from the centers of the tomatoes.
 * 3) Fill the tomatoes with this stuffing, place in a pan, and bake in a moderate oven until the tomato can be pierced easily with a fork.
 * 4) Serve hot.

title: Cookbook:Tomatoes with Cheese Stuffing


text:
User:Jdl32579~enwikibooks

I am preparing to teach a writing course at a university here in Minnesota. I received my BA at the University of Kansas in English Literature and Creative Writer. Doing work in a text book setting is kind of a new thing for me, so I hope that I don't go too crazy. Big words are not generally my thing. The work I want to accomplish with Wikibooks is going to be in the Literature department for the most part. I would also like to dabble in History, but it looks like there are a lot of articles in there already. I'll see what I can do.

title: User:Jdl32579~enwikibooks


text:
Cookbook:Apple Tapioca

| Desserts

The combination of fruit and tapioca is agreeable to most people. Peaches and apples, either fresh or canned, are used most often for this purpose. For this recipe, the apples should be somewhat sour, as there will then be more character to the dessert. Canned or fresh peaches or canned pineapple may be used in exactly the same way as apples. If canned fruit is used, not so much sugar nor baking in the oven will be necessary.

Ingredients

 * ¾ cup pearl tapioca or ½ cup minute (instant) tapioca
 * 2 cups boiling water
 * ½ teaspoon salt
 * 6 apples
 * ½ cup brown sugar
 * 1 teaspoon cinnamon
 * 1 tablespoon butter

Procedure

 * 1) If pearl tapioca is used, soak it for 4 or 5 hours and then drain off all the water. Minute tapioca will need no soaking. Add the tapioca to the boiling water and salt.
 * 2) Cook in a double boiler until the tapioca is entirely transparent.
 * 3) Peel and core the apples. Place them in a buttered baking dish, fill each cavity with sugar and cinnamon, and place a piece of butter on top of each.
 * 4) Pour the hot tapioca over these, place in a hot oven, and bake until the apples are soft.
 * 5) Serve either hot or cold with sugar and cream.

Notes, tips, and variations

 * This recipe was copied from "Woman's Institute Library of Cookery, Vol. 4: Volume 4: Salads and Sandwiches; Cold and Frozen Desserts; Cakes, Cookies and Puddings; Pastries and Pies" found at http://www.gutenberg.net/etext06/8loc410h.htm and wikified for this cookbook.

title: Cookbook:Apple Tapioca


text:
Arabic/Some history

The Arabic alphabet consists of 17 shapes. The Arabic alphabet represents 28 constanants. In order for Arabic writing to represent 28 consonants with 17 shapes without ambiguity, dots are used. Later foreign languages took Arabic shapes, and added dots to make letters needed to represent their language correctly.

Early Arabic writing included no dots. The dots found today in Arabic writing were one of the first innovations that came after the spread of Arabic (after Islam). These dots make it clear what consonant is to be pronounced. Before the dots, people read the text without any dots. They could do this through experience, and using context to differentiate between words that sound different and look the same. Arabic Writing has been using dots since the dotting system was first invented.

A need for a rigid orthography (writing system) with no ambiguity arose in the early days of Islam. This was due to the influx of non-native speakers trying to read the language. With new converts unused to reading Arabic, they made mistakes while reading texts. Thus they would learn to pronounce a word incorrectly.

 * Example: kitaab AND kutaab are not differentiated without the vowel marks. (which are not usually used)
 * Example: bint AND bayt are not differentiated in writing without using the dots (which are always used today)

To ensure the language remains intact, as well as keeping the pronunciation of religious text correct, rulers introduced the Dotting whereby dots and indicators were added to individual letters to help with pronunciation and to differentiate them from those based on the same form. First the dots were added, later on signs to indicate vowels were introduced in the same manner and for the same reasons.

Modern Arabic books and print media usually do not indicate the vowelling in the text. However, they do indicate the consonants (they are all fully dotted (not dotting a text correctly is considered a spelling mistake)). Educated and fluent speakers do not need the indication of the short vowels and are used to reading text without it. The short vowels are indicated to some extent in Children's books, when children learn to read.

As you begin to feel more comfortable with the script and text, your need for pronunciation indicators diminishes. All modern Arabic texts include the dotting of the forms which indicates what consonant is pronounced, but do not fully indicate the vowels.

The Qur'an provides an ideal text to practise your pronunciation of various letters and words. The feeling of intimidation when you first see an excerpt of the text is understandable. Should you experience this, there are a plethora of books that explain the concepts in easy step by step lessons.

title: Arabic/Some history


text:
User:Angelicapulido

DERIVAR LAS SIGUIENTES FUNCIONES

1) $$\ f(x)=10x^2-9x-4$$
 * $$\ f'(x)=20x+9$$

2) $$\ f(x)=6x^3-5x^2+x-9$$
 * $$\ f'(x)=18x^2-10x+1$$

3) $$\ f(x)=(x^3-7)(2x^2+3)$$
 * $$\ f'(x)=(x^3-7)(4x)+(2x^2+3)(3x^2)$$
 * $$\ f'(x)=4x^4-28x+6x^4+9x^2$$
 * $$\ f'(x)=10x^4+9x^2-28x$$

4)$$\ f(x)=x^2(3x^4-7x+2)$$
 * $$\ f'(x)=(x^2)(12x^3-7)+(3x^4-7x+2)(2x)$$
 * $$\ f'(x)=12x^5-7x^2+6x^5-14x^2+4x$$
 * $$\ f'(x)=18x^5-21x^2+4x$$

5)$$\ f(x)=\frac {4x-5}{3x+2}$$
 * $$\ f'(x)=\frac {(3x+2)(4)-(4x-5)(3)}{(3x+2)^2}$$
 * $$\ f'(x)=\frac {12x+8-12x+15}{(3x+2)^2}$$

 * $$\ f'(x)=\frac {23}{(3x+2)^2}$$

6)$$\ f(x)=\frac {8-x+3x^2}{2-9x}$$
 * $$\ f'(x)=\frac {(2-9x)(6x-1)-(8-x+3x^2)(-9)}{(2-9x)^2}$$
 * $$\ f'(x)=\frac {12x-2-54x^2+9x+72-9x+27x^2}{(2-9x)^2}$$
 * $$\ f'(x)=\frac {12x-27x^2+70}{(2-9x)^2}$$

7)$$\ f(x)=\frac {1}{1+x+x^2+x^3}$$
 * $$\ f'(x)=\frac {(1+x+x^2+x^3)(0)-(1)(1+2x+3x^2)}{(1+x+x^2+x^3)^2}$$
 * $$\ f'(x)=\frac {0-1+2x+3x^2}{(1+x+x^2+x^3)^2}$$
 * $$\ f'(x)=\frac {-3x^2-2x-1}{(1+x+x^2+x^3)^2}$$

8)$$\ f(x)=\frac {3x-1}{x^2}$$
 * $$\ f'(x)=\frac {(x^2)(3)-(3x-1)(2x)}{(x^2)^2}$$
 * $$\ f'(x)=\frac {3x^2-6x^2-2x}{(x^4}$$
 * $$\ f'(x)=\frac {-3x^2-2x}{(x^4)}$$

9)$$\ x^2+y^2=1$$
 * $$\ 2x+2y\frac {dy}{dx}=0$$
 * $$\ 2y\frac {dy}{dx}=-2x$$
 * $$\ \frac {dy}{dx}=\frac {-2x}{2y}$$
 * $$\ \frac {dy}{dx}=\frac {-x}{y}$$

10)$$\ y^2=\frac {x-1}{x+1}$$
 * $$\ 2y\frac {dy}{dx}=\frac {(x+1)-(x-1)}{(x+1)^2}$$
 * $$\ 2y\frac {dy}{dx}=\frac {x+1-x+1}{(x+1)^2}$$
 * $$\ \frac {dy}{dx}=\frac {2}{2y(x+1)^2}$$
 * $$\ \frac {dy}{dx}=\frac {1}{y(x+1)^2}$$

11)$$\ x^2+xy=2$$
 * $$\ 2x+x\frac {dy}{dx}+y=0$$
 * $$\ x\frac {dy}{dx}=-2x-y$$
 * $$\ \frac {dy}{dx}=\frac {-2x+y}{x}$$

12)$$\ x^2y+xy^2=6$$
 * $$\ x^2\frac {dy}{dx}+2xy+2xy\frac {dy}{dx}+y^2=0$$
 * $$\ x^2\frac {dy}{dx}+2xy\frac {dy}{dx}=-2xy-y^2$$
 * $$\ \frac {dy}{dx}(x^2+2xy)=-2xy-y^2$$
 * $$\ \frac {dy}{dx}=\frac {-2xy-y^2}{x^2+2xy}$$

13)$$\ \frac {1}{y}+\frac {1}{x}=1$$
 * $$\ y^-1+x^-1=0$$
 * $$\ -y^-2\frac {dy}{dx}-x^-2=0$$
 * $$\ -y^-2\frac {dy}{dx}=x^-2$$
 * $$\ \frac {dy}{dx}=\frac {x^-2}{-y^-2}$$

14)$$\ y^2=x^2(x^2+1)$$
 * $$\ 2y\frac {dy}{dx}=2x(x^2+1)+(2x)(x^2)$$
 * $$\ 2y\frac {dy}{dx}=2x(x^2+1+x^2)$$
 * $$\ \frac {dy}{dx}=\frac {2x(x^2+1+x^2)}{2y}$$
 * $$\ \frac {dy}{dx}=\frac {x(2x^2+1)}{y}$$

15)$$\ x^2y^2=x^2+y^2$$
 * $$\ 2yx^2\frac {dy}{dx}+2xy^2=2x+2y\frac {dy}{dx}$$
 * $$\ 2yx^2\frac {dy}{dx}-2y\frac {dy}{dx}=2x-2xy^2$$
 * $$\ 2y\frac {dy}{dx}(x^2-1)=2x-2xy^2$$
 * $$\ \frac {dy}{dx}= \frac {2x-2xy^2}{2y(x^2-1)}$$
 * $$\ \frac {dy}{dx}= \frac {2x(1-y^2)}{2y(x^2-1)}$$
 * $$\ \frac {dy}{dx}= \frac {x(1-y^2)}{y(x^2-1)}$$

HALLAR EL LIMITE DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES

dada :$$\ f(x)=x^2-3x$$ hallar:$$\lim_{h\to 0}\frac {f(x+h)-f(x)}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {(x+h)^2-3(x+h)-(x^2-3x)}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {x^2+2xh+h^2-3x-3h-x^2+3x}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}\frac {2xh+h^2-3h}{h}$$
 * $$\lim_{h\to 0}2x+h-3=2x-3$$

title: User:Angelicapulido


text:
Cookbook:Cuisine of Japan

| East Asian cuisines

Recipes
 Rice  (ご飯 gohan) Short-grain white rice.
 * Onigiri (お握り onigiri) also called omusubi (お結び)
 * Sushi (寿司 sushi)
 * Sashimi (刺身 sashimi)
 * Donburi (丼物 Donburimono) Rice bowl dishes.
 * Oyako Don
 * Katsu Don
 * Ten Don
 * Gyu Don

 Noodles  (麺 men)
 * Soba (蕎麦・そば soba) Japanese (buckwheat) noodles.
 * Udon (饂飩・うどん udon) Japanese (thick) noodles in soup.
 * Kitsune Udon - This is named after a Japanese fox deity. It contains fried tofu.
 * Tanuki Udon - This is named after the Japanese raccoon dog. It might be the same as Kitsune Udon, or alternately be topped with tenkasu (scraps of fried tempura batter).
 * Tsukimi Udon - Tsukimi means "moon-viewing". This is udon with soup, served hot with any number of toppings or no toppings, and either a raw or poached egg in the center of the bowl.
 * Ramen (拉麺・ラーメン ramen) Chinese-style (thin) noodles in soup.
 * Somen Thin white wheat noodles, served in a chilled broth, or with a chilled dipping sauce.
 * Yakisoba - Japanese style Stir-fried noodles.

 Soup  (汁物 shirumono)
 * Miso Soup
 * Tonjiru(豚汁) Pork and miso soup with root vegetables.

 Bento  (お弁当 obentô) Box lunches.

 Sweets & Dessert  (お菓子 okashi)
 * Anko - Sweet red bean paste
 * Daifuku (大福)
 * Daigakuimo (大学芋 daigakuimo) Candied Sweet Potato.
 * Kushi-dango Skewered Sweet Dumplings.

 Simmered dishes  (煮物 nimono)
 * Niku Jaga (肉じゃが nikujaga, meaning 'meat and potatoes').
 * Furofuki Daikon (ふろふき大根 furofukidaikon) Simmered radish with miso sauce.

 Grilled dishes  (焼き物 yakimono)
 * Yakinasu (焼きなす yaknasu) Grilled eggplant.
 * Buri no Teriyaki (ぶりの照り焼き burinoteriyaki) Grilled amberjack (sometimes called yellowtail) with teriyaki sauce.
 * Okonomiyaki (お好み焼き okonomiyaki) A savory pancake made of eggy batter, shredded cabbage, and toppings of the diner's choice.
 * Dashimakitamago (だし巻き卵 dashimakitamago) Rolled Omelet.
 * Negima beef and scallion rolls
 * Buta-niku no Shouga-yaki Pork with a ginger sauce. May be cooked in a skillet or grilled.

 Deep-fried dishes  (揚げ物 agemono)
 * Tempura
 * Tonkatsu (とんかつ tonkatsu) Deep-fried pork cutlet.
 * Potato croquette (ポテトコロッケ potetokorokke) Deep-fried potato croquette.

 Steamed dishes  (蒸し物 mushimono)

 One-pot dishes  (鍋物 nabemono)
 * Sukiyaki (すき焼き sukiyaki)
 * Shabushabu (しゃぶしゃぶ shabushabu)
 * Oden (おでん oden)
 * Yosenabe (寄せ鍋 yosenabe)

 Vegetable dishes  (野菜 yasai)
 * Kinpira Gobo (金平ゴボウ)

 New Year Special Dishes  (おせち料理 osechiryori)

 Japanized versions of other cuisines
 * Japanese Curry (カレー karee)
 * Tsukemono - Pickles. Usually these are not as highly preserved as western pickles.
 * Teriyaki Sauce (照り焼き):
 * Tofu (豆腐: Soybean curd)
 * Gyôza (餃子: Pan-fried dumplings. "Potstickers")

About Japanese food
The word Gohan (御飯) means rice but because rice is the staple diet of the Japanese, it also means meal and applies to all food.

Meal
A typical Japanese meal consists of:
 * Rice
 * Main dish (fish or meat)
 * Side dish (cooked vegetables)
 * Soup (usually Miso soup)
 * Pickled vegetables

Custom
Before eating, Japanese put their hands together as if in prayer and say Itadakimasu (頂きます). This is a polite phrase meaning "I receive (this food with thanks)".

After eating, both hands are put together as before and Gochisousama deshita (御馳走様でした) is said. This is another polite phrase meaning "That was a feast".

Eating
When eating a traditional Japanese meal, the usual order is as follows: This order is then repeated.
 * Take a bite from the main dish or side dish.
 * Eat a bit of rice.
 * Drink some soup straight from your soup bowl (no spoons are used).

 * Leave some rice remaining in your bowl.
 * Eat the pickled vegetables.
 * Don't leave any rice in your bowl; this is considered wasteful and impolite.

Vegetarians and Japanese Food
On the surface, Japanese food might seem very friendly for vegetarians. Indeed, its extensive use of vegetables clearly makes it quite healthy. However, fish is an important ingredient in almost all Japanese dishes, even when it's not immediately apparent. Japanese cooking employs dried fish products shaved on the top of many foods, but most problematic for vegetarians is dashi, a broth made of dried bonito fish that is used extensively through the cuisine. This stock appears in many foods that would otherwise appear vegetarian, such as miso soup. Although miso is made of a fermented soybean paste, it is traditionally added to a dashi base, and it's almost impossible to find miso soup at a restaurant in Japan that does not contain dashi. Similarly, other foods such as tamago-zushi (egg custard sushi), which many ovo-vegetarians would enjoy, also generally contains dashi broth.

Ancient times

 * Asuka period
 * Shotoku Taishi

Heian cooking

 * Kojiki (God of Iwakamutsukari no Mikoto in Takabe Shrine)

title: Cookbook:Cuisine of Japan


text:
User:Jenny buitrago

Introduccion
Todos los ejercicios aqui expuestos en esta pagina hacen parte del libro Purcell

Problemas de razón de cambio
1. Un aeroplano que vuela hacia el oeste a 300 millas por hora pasa por arriba de la torre de control al mediodía y un segundo aeroplano que vuela hacia el norte, a la misma altitud, a 400 millas por hora, pasa por por la torre una hora después. ¿Que tan rápido está cambiando la distancia entre los aeroplanos a las 2:00 pm?

Primero se identifican las variables que vamos a utilizar durante la resolución del problema:

x(t): es la distancia recorrida por el avión numero 1 a la 1 pm (para este caso avión uno lo nombraremos como A1) y(t): es la distancia recorrida por el avión numero 2 a a 1 pm ( igual que en el anterior lo nombraremos como A2) x'(t): es la derivada de la distancia de A1 por lo tanto es la velocidad de A1 que es 300 m/h y'(t): la velocidad de A2 que es de 400 m/h lo que tenemos que buscar es s'(t) que es el cambio de distancia entre los dos aviones.

Despues pasaremos a graficar la situacion para que nos sirva como apoyo sabemos en que direcciones se dirigen los aviones por lo tanto nos da un triangulo rectangulo de donde los catetos seran "x" y "y" y la hipotenusa sera "s" y el origen sera la torre de control.

sabemos que como el A1 lleva una velocidad de 300m/h significa que cada hora el avion recorrerá 300 millas, por lo tanto cuando el A2 pasa por la torre de control a la 1 el A1 llevara recorrido 300 millas.

La ecuación principal nos quedaría asi: $$(300 + x)^2+ y^2= s^2$$ para este caso reeplazamos por "x" 30 y a "y" 400 $$(300 + (300))^2+ (400)^2= s^2$$ y como queremos conocer el valor de s sacamos la raíz cuadrada y nos da como resultado que s=721.11 Como ya conocemos el valor de s, sacamos la derivada de la ecuación principal:

$$(300 + x)^2+ y^2= s^2$$ $$2(300 + x)\cdot x'+ 2y\cdot y'= 2s\cdot s'$$ y como queremos conocer s' entonces la despejamos en la ecuacion $$\frac{(300 + x)\cdot x'+ y\cdot y'}{s}= s'$$ reemplazamos por los valores que obtuvimos anteriormente $$\frac{(300 + 300)\cdot 300+ 400 \cdot 400}{721.11}= s'$$ $$ 471.45 m/h= s'$$ esta es la respuesta al problema.

2.  Cada arista de un cubo variable esta aumentando a razon de 3 pulgadas por segundo que tan rapido esta aumentando el nivel del cubo cuando una arista es de 12 pulgadas de longitud?

x(t): la longitud de una arista v(t): el volumen del cubo x'(t): 3 pulg/seg v'(t): es la incognita a encontrar

El volumen de un cubo es $$v(t)=x^3$$ sacamos la derivada $$ v'(t)=3 \cdot x^2\cdot x'$$ reemplazamos $$ v'(t)=3\cdot(12 pulg)^2\cdot(3 pulg/seg$$ donde $$ v'(t)=1296 pulg^3*seg$$

Limites algebraicos
3. $$\lim_{x\to 1}\frac  {x-1}{\sqrt[2]{x+1}}$$

 * Respuesta:

 * $$\lim_{x\to 1}\frac {x-1}{\sqrt[2]{x+1}} \cdot  \frac {\sqrt[2]{x-1}} {\sqrt[2]{x-1}}$$
 * $$\lim_{x\to 1}\frac {x-1\sqrt[2]{x+1}}{x-1}$$
 * $$\lim_{x\to 1}{\sqrt[2]{x+1}}$$
 * $$\lim_{x\to 1}{\sqrt[2]{1+1}}$$
 * $$\lim_{x\to 1}{2}$$

4. $$\lim_{w\to -2}\frac {(w+2)(w^2-w-6)}{w^2+4w+4}$$
 * $$\lim_{w\to -2}\frac {(w+2)(w-3)(w+2)}{(w+2)(w+2)}$$
 * $$\lim_{w\to -2}{w-3}$$
 * $${-5}$$

5. $$\lim_{x\to -3}\frac {x^2-14x-51}{x^2-4x-21}$$
 * $$\lim_{x\to -3}\frac {(x-17)(x+3)}{(x-7)(x+3)}$$
 * $$\lim_{x\to -3}\frac {x-17}{x-7}$$
 * $$\lim_{x\to -3}\frac {-20}{-10}$$
 * $${2}$$

6. $$\lim_{x\to -1}\frac {x^3-6x^2+11x-6}{x^3+4x^2-19x+14}$$
 * $$\lim_{x\to -1}\frac {(x-2)(x^2-4x+3)}{(x-1)(x^2+5x-14}$$
 * $$\lim_{x\to -1}\frac {(x-2)(x-1)(x-3)}{(x-1)(x-2)(x+7)}$$
 * $$\lim_{x\to -1}\frac {x-3}{x+7}$$
 * $$\frac {-4}{5}$$

7. $$\lim_{x\to 1}\frac {x^2+x-2}{x^2-1}$$
 * $$\lim_{x\to 1}\frac {(x-1)(x+2)}{(x+1)(x-1)}$$
 * $$\lim_{x\to 1}\frac {x+2}{x+1}$$
 * $$\frac {3}{2}$$

8. $$\lim_{x\to -2}\frac {x^2+7x+10}{x+2}$$
 * $$\lim_{x\to -2}\frac {(x+2)(x+5)}{x+2}$$
 * $$\lim_{x\to -2}{x+5}$$
 * $$\lim_{x\to -2}{3}$$

9. $$\lim_{x\to 1}{2x+1}$$
 * $$\lim_{x\to 1}{2x}+ \lim_{x\to 1}{1}$$
 * $${2+1}$$
 * $${3}$$

10. $$\lim_{x\to 0}{(2x+1)(x-3)}$$
 * $$\lim_{x\to 0}{2x+1}\cdot \lim_{x\to 0}{x-3}$$
 * $${1}\cdot {-3}$$
 * $${-3}$$

11. $$\lim_{x\to 1}\frac {(3x-1)^2}{(x+1)^3}$$
 * $$\lim_{x\to 1}\frac {(3(1)-1)^2}{((1)+1)^3}$$
 * $$\frac {4}{8}$$
 * $${2}$$

12. $$\lim_{x\to 2}\frac  {x-2}{\sqrt[2]{x^2-4}}
 * {0}
 * {0}
 * {0}

13.
 * {1}{2a}
 * {1}{2a}
 * {1}{2a}

14.
 * {-0.4}
 * {-0.4}

15.
 * {1}
 * {1}
 * {1}

16.

17.

18.
 * {18}
 * {18}
 * {18}
 * {18}

Límites trigonometricos
19.

20.
 * {1}{0}
 * {0}
 * {1}{0}
 * {0}
 * {1}{0}
 * {0}

21.
 * {0}
 * {0}
 * {0}

Derivadas
Encuentre la tercera derivada

22.
 * y''=6x + 6
 * y'''= 6
 * y'''= 6

23. y= (3x+5)^3
 * y''=27
 * y'''=0
 * y'''=0

24. y= sen(7x)

25.

26.

27. math>\ f(x)= 2x+ 1$$
 * $$\ f'(x)lim_{x\to 0}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
 * $$\ f'(x)lim_{x\to 0}= \frac{(2x+2h+1)- (2x+1)}{h}

$$
 * $$\ f'(x)lim_{x\to 0}= \frac{2h}{h}

$$
 * $$\ f'(x)= {2} $$

28. $$\ f(x)= x^2- x $$
 * $$\ f'(x)lim_{x\to 0}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
 * $$\ f'(x)lim_{x\to 0}= \frac{((x+h)^2-(x+h)) -(x^2-x)}{h} $$
 * $$\ f'(x)lim_{x\to 0}= \frac{((x^2+xh+h^2-x-h)-x^2+x}{h}

$$
 * $$\ f'(x)lim_{x\to 0}= \frac{2xh+h^2-h}{h} $$
 * $$\ f'(x)lim_{x\to 0}= \frac{h(2x+h-1)}{h} $$
 * $$\ f'(x)lim_{x\to 0}= \frac{2x+h-1}{h} $$
 * $$\ f'(x)= {2x-1} $$

29. $$\ f(x)= (2x)^2$$
 * $$\ f'(x)lim_{x\to 0}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
 * $$\ f'(x)lim_{x\to 0}= \frac{((2x+2h)^2)-4x^2)}{h}

$$
 * $$\ f'(x)lim_{x\to 0}= \frac{((4x^2+8xh+4h^2-4x^2)}{h}$$
 * $$\ f'(x)lim_{x\to 0}= \frac{h(8x+4h)}{h} $$
 * $$\ f'(x)lim_{x\to 0}= {8x+4h}$$
 * $$\ f'(x)= {8x} $$

30. $$\ f(x)= \frac{1}{x-1}$$
 * $$\ f'(x)lim_{x\to 0}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
 * $$\ f'(x)lim_{x\to 0}= \frac{\frac{1}{x+h-1}- \frac{1}{x-1}}{h} $$
 * $$\ f'(x)lim_{x\to 0}= \frac{\frac{x-1-x-h+1}{(x+h-1)(x-1)}}{h} $$
 * $$\ f'(x)lim_{x\to 0}= \frac{\frac{-h}{(x+h-1)(x-1)}}{h} $$
 * $$\ f'(x)lim_{x\to 0}= \frac{-1}{(x+h-1)(x-1)}$$
 * $$\ f'(x)= \frac{-1}{(x-1)^2} $$

31. $$\ f(x)={x^2+x+1}$$
 * $$\ f'(x)lim_{x\to 0}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$
 * $$\ f'(x)lim_{x\to 0}= \frac{((x+h)^2+x+h+1)-(x^2+x+1)}{h} $$
 * $$\ f'(x)lim_{x\to 0}= \frac{((x^2+2xh+h^2+x+h+1)-(x^2+x+1)}{h} $$
 * $$\ f'(x)lim_{x\to 0}= \frac{2xh+h^2+h}{h} $$
 * $$\ f'(x)lim_{x\to 0}= \frac{h(2x+h+1)}{h} $$
 * $$\ f'(x)lim_{x\to 0}= 2x+h+1 $$
 * $$\ f'(x)= 2x+1 $$

32. $$\ y={x^5+4x^4-3x^3+24x^2-45x+28}$$
 * $$\ y'= {5x^4+16x^3-9x^2+48x-45}$$

33. $$y= 2^x$$
 * $$(ln y)'=x \cdot ln2$$
 * $$1/y\cdot y'=ln2$$
 * $$y'=2^x \cdot ln2$$

34. $$y=\frac{cos(t^2-1)}{1-(\frac {t^2}{3})}$$ $$y'=\frac{-2tsen(t^2-1)(1-(\frac{t^2}{3})-(cos(t^2-1)(-\frac {2t}{3})}{(1-(\frac{t^2}{3}))^2}$$

35. $$y = x^2x$$ $$lny = 2x \cdot x$$ $$\frac{1}{y}\cdot y'=2 \cdot lnx + 2x \cdot (\frac {1}{x})$$ $$y'=y(2 lnx + 2)$$ $$y'=2x^2(lnx + 1)$$

Maximos, mínimos y puntos críticos
36. $$f(x)=x^3 - 6x^2 + 4$$
 * $$f'(x)=3x^2-12x$$
 * $$f'(x)=0$$
 * $$3x^2-12x=0$$

x=0 y x=4 esos son los puntos críticos f(0)=4 es un máximo f(4)=-28 es un mínimo

37. $$f(x)=x^3 - 6x^2 + 9x$$
 * $$f'(x)=3x^2-12x + 9$$
 * $$f'(x)=0$$
 * $$3x^2-12x+ 9 =0$$
 * $$(x-1)(x-3) =0$$

x=1 y x=3 esos son los puntos críticos f(1)=4 es un máximo f(3)=0 es un punto indefinido

38. $$f(x)=x^3-3x+2$$
 * $$f'(x)=3x^2-6x$$
 * $$f'(x)=0$$
 * $$3x^2-6x=0$$

x=0 y x=2 esos son los puntos críticos f(0)=2 es un mínimo f(2)=4 es un máximo

39. $$f(x)=x^3-2x^2 +2$$
 * $$f'(x)=3x^2-4x$$
 * $$f'(x)=0$$
 * $$3x^2-6x=0$$
 * $$x(3x-6)=0$$

x=0 y x=4/3 esos son los puntos críticos f(0)=2 es un máximo f(4/3)=0.8 es un mínimo

40. $$f(x)=x^3-2x^2+x-2$$
 * $$f'(x)=3x^2-4x+ 1$$
 * $$f'(x)=0$$
 * $$3x^2-4x +1=0$$
 * $$(x-1/3)(x-1)=0$$

x=1/3 y x=1 esos son los puntos críticos f(1/3)=-1.85 es un máximo f(1)=-2 es un mínimo

41. $$f(x)=x^3-3x$$
 * $$f'(x)=3x^2-3$$
 * $$f'(x)=0$$
 * $$3x^2-3 +1=0$$

x=0 y x=1 esos son los puntos críticos f(0)=0 es un punto indeterminado f(1)=-3 es un mínimo

42. $$f(x)=2x^3-9x^2+12x$$
 * $$f'(x)=6x^2-18x+12$$
 * $$f'(x)=0$$
 * $$6x^2-18x+12=0$$
 * $$(x-1)(x-2)=0$$

x=2 y x=1 esos son los puntos críticos f(1)=5 es un máximo f(2)=-4 es un mínimo

43. $$f(x)=x^3 - 12x^2 + pi$$
 * $$f'(x)=3x^2-24x$$
 * $$f'(x)=0$$
 * $$3x^2-24x=0$$

x=0 y x=8 esos son los puntos críticos f(0)=pi es un máximo f(8)=-285.85 es un mínimo

44. $$f(x)=x^3 - 3x$$
 * $$f'(x)=3x^2-3$$
 * $$f'(x)=0$$
 * $$3x^2-3=0$$

x=1 y x=0 son los puntos críticos f(1)=-2 es un mínimo f(0)=0 es un punto indeterminado

45. $$f(x)=x^4 - 2x^3$$
 * $$f'(x)=4x^3-6x^2$$
 * $$f'(x)=0$$
 * $$4x^3-6x^2=0$$

x=0 y x=6/4 esos son los puntos críticos f(0)=0 es un punto indeterminado f(6/4)=-1.6 es un mínimo

46. $$f(x)=(x - 2)^5$$
 * $$f'(x)=5(x-2)(1)$$
 * $$f'(x)=0$$
 * $$5x-10=0$$

x=2 es el punto crítico f(2)=-243 es un mínimo

title: User:Jenny buitrago


text:
User:"Jose Freyle"

LIMITES
En esta sección encontraremos la solución de algunos problemas relacionados con limites al infinito, trigonométricos y algunos que se demuestran directamente.

Ejercicio 1
$$\lim_{x\to 0}\frac {sen(x)}{3x}$$ =$$\frac {1}{3}\lim_{x\to 0}\frac {3}{1}\frac {sen(x)}{x}$$ =$$\frac {1}{3} * 1$$ =$$\frac {1}{3}$$

Ejercicio 2
$$\lim_{x\to 0}\frac {sen(x)}{x}$$ =$$\lim_{x\to 0}\frac {5}{1}\frac {sen(5x)}{5x}$$ =$$\frac {5 * 1}{1}$$ =$$\ 5 (1)$$ =$$\ 5$$

Ejercicio 3
$$\lim_{x\to 0}\frac {(x^3+16x)}{x^2+4x}$$ =$$\lim_{x\to 0}\frac {x(x^2+16)}{x(x+4)}$$ =$$\lim_{x\to 0}\frac {x^2+16}{x+4}$$ =$$\frac {0^2+16}{0+4}$$ =$$\frac {16}{4}$$ =$$\ 4$$

Ejercicio 4
$$\lim_{x\to 1}\frac {x^2+3x-4}{x-1}$$ =$$\lim_{x\to 1}\frac {(x-4)(x-1)}{x-1}$$ =$$\ 1 + 4 $$ =$$\ 5$$

Ejercicio 5
$$\lim_{x\to 3}\frac {2}{x}+1$$ =$$\lim_{x\to 3}\frac {2 + x}{x}$$ =$$\frac {2+3}{3}$$ =$$\frac {5}{3} $$

Ejercicio 6
$$\lim_{x\to 1}\frac {5x-x^2}{x^2+2x-4}$$ =$$\frac {5(1)-(1)^2}{12+2(1)-4}$$ =$$\frac {5-1}{1+2-4}$$ =$$\frac {6}{-1}$$ =$$\ -4$$

Ejercicio 7
$$\lim_{x\to 1}\frac {x^2-x}{2x^+5x-7}$$ =$$\lim_{x\to 1}\frac {x(x-1)}{7(x-1)}$$ =$$\frac {1}{7}$$

Ejercicio 8
$$\lim_{x\to -1}\frac {x^2-1}{x^2+3x+2}$$ =$$\lim_{x\to -1}\frac {(x+1)(x-1)}{(x+2)(x+1)}$$ =$$\frac {-1-1}{-1+2}$$ =$$\frac {-2}{1}$$ =$$\ -2 $$

Ejercicio 9
$$\lim_{x\to 2}\frac {3x^5-8x^4+5x^3-3x-2}{7x^2-6x-16}$$ =$$\lim_{x\to 2}\frac {(x-2)(3x^4-2x^3+x^2+2x+1)}{(x-2)(7x+8)}$$ =$$\frac {48-16+4+4+1}{14+8}$$ =$$\frac {41}{22}$$

Ejercicio 10
$$\lim_{x\to \infty}\frac {x^3-2x+1}{x^2+1}$$ =$$\lim_{x\to \infty}\frac {\frac{x^3}{x^2}-\frac{2x}{x^2}+\frac{1}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}}$$ =$$\frac {x-0+0}{1+0}$$ =$$\frac {x}{1}$$ =$$\infty $$

Ejercicio 11
$$\lim_{x\to \infty}\frac {5}{x^2+8x+15}$$ =$$\lim_{x\to \infty}\frac {\frac {5}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}+ \frac {8x}{x^2}+\frac {15}{x^2}}$$ =$$\frac{0}{1+0+0}$$ =$$\frac {0}{1}$$ =$$\ 0$$

Ejercicio 12
$$\lim_{x\to \infty}\frac{1}{x^2+5x-6}$$ =$$\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2}+\frac{5x}{x^2}-\frac{6}{x^2}}$$ =$$\frac{0}{1+0-0}$$ =$$\frac{0}{1}$$ =$$\ 0$$

Ejercicio 13
$$\lim_{t\ 0}\frac (\sqrt[2]{2t})-\sqrt[2]{2}){t}$$ $$\lim_{t\ 0}\frac {\sqrt[2]{2t}-\sqrt[2]{2}}{t}* \sqrt[2]{2t}+\sqrt[2]{2} \sqrt[2]{2t}+\sqrt[2]\sqrt[2]{2}$$ $$\lim_{t\ 0}\frac {-t}{t(\sqrt[2]{2t}+\sqrt[2])}$$ $$\lim_{t\ 0}\frac {-1}{(\sqrt[2]{2t}+\sqrt[2])}$$ $$\frac {-1}{(\sqrt[2]{2*0}+\sqrt[2])}$$ $$\frac {-1}{({0}+\sqrt[2]{2})}$$ $$\frac {-1}{(\sqrt[2]{2})}$$

Ejercicio 14
$$\lim_{x\to \infty}\ ((x^5+7x^4+2)^(c)-x)$$ $$\lim_{x\to \infty}\frac {(x^5+7x^4+2)^(2c)}{(x^5+7x^4+2)^(c)+x}$$

$$\lim_{x\to \infty}\ ((x^5+7x^4+2)^(\frac {1}{5})-x)$$

$$\frac {7}{5}$$

Ejercicio 1
$$\ y=(3x^5-1)(2x+3)$$ $$\ y'= (3x^5-1)(2)+(2x+3)(15x^4)$$ $$\ y'= 6x^5-2+30x^5+45x^4$$ $$\ y'= 36x^5+45x^4-2$$

Ejercicio 2
$$\ y=6x^4+3x^3+6x^2-8x+2$$ $$\ y'=24x^3+9x^2+12x-8$$

Ejercicio 3
$$\ f(x)= cos(x)$$ $$f'(x)= lim_{h\to 0}\frac {f(x+h)-f(x)}{h}$$ $$f'(x)= lim_{h\to 0}\frac {cos(x+h)-cosx}{h}$$ $$\lim_{h\to 0}\frac {cos(x)*cos(h)-sen(x)*sen(h)-cos(x)}{h}$$ $$\lim_{h\to 0}\frac {cos(x)(cos h-1)}{h}* \frac {sen(x)sen(h)}{h}$$ $$\cos(x)* lim_{h\to 0}\frac {cos(h)-1}{h}-sen(lim_{h\to 0}\frac {sen(h)}{h}$$ $$\lim_{h\to 0}\ 0*cos(x)- lim_{h\to 0}\ 1* -sen(x)$$ $$\ 0-sen(x)$$ $$\ - sen(x)$$

Ejercicio 4
$$\ f(x)= x*e^{-x}$$ $$\ f'(x)= e^{-x}(1-x)$$

Ejercicio 5
$$\ f(x)=5x^5+4x^4+3x^3+2x^2+x$$ $$\ f'(x)= 25x^4+16x^3+9x^2+4x+1$$

title: User:"Jose Freyle"


text:
User:StevenM

LIMITES
Ejercicio 1

 * $$\lim_{x\to -2}\frac {5x+10}{x+2}$$

 * $$\lim_{x\to -2}\frac {5(x+2)}{x+2}$$

 * $$\ 5$$

Ejercicio 2

 * $$\lim_{x\to -4}\frac {x^2-3x-4}{x^2+7x+6}$$

 * $$\lim_{x\to -4}\frac {(x-4)(x+1)}{(x+6)(x+1)}$$

 * $$\lim_{x\to -4}\frac {(x-4)}{x+6}$$

 * $$\frac {-4-4}{-4+6}$$

 * $$\frac {-8}{2}$$

 * $$\ -4$$

Ejercicio 3

 * $$\lim_{x\to -5}\frac {x+5}{x^2+8x-15}$$

 * $$\lim_{x\to -5}\frac{-5+5}{-5^2+8*5-15}$$

 * $$\lim_{x\to -5}\frac{0}{30}$$

 * $$\ 0$$

Ejercicio 4

 * $$\lim_{x\to 6}\frac {x^2-8x+12}{x^2-9x+18}$$

 * $$\lim_{x\to 6}\frac{(x-6)(x-2)}{(x-6)(x-3)}$$

 * $$\lim_{x\to 6}\frac{x-2}{x-3}$$

 * $$\frac {6-2}{6-3}$$

 * $$\frac {4}{3}$$

Ejercicio 5

 * $$\lim_{x\to \infty}\frac{2x^5-x^3+1}{x^5}$$

 * $$\lim_{x\to \infty}\frac{\frac{2x^5}{x^5}-\frac{x^3}{x^5}+\frac{1}{x^5}}{\frac{x^5}{x^5}}$$

 * $$\frac {(2-0+0)}{(1)}$$

 * $$\ 2$$

DERIVADAS
Ejercicio 1

 * $$\ y={3x^5-2x}{2x^3}$$

 * $$\ y'=\frac {(15x^4-2)(2x^3)-(3x^5-2x)(6x^2)}{4x^6}$$

 * $$\ y'=\frac {(30x^7-4x^3-18x^7+12x^3)}{4x^6}$$

 * $$\ y'=\frac {12x^7+8x^3}{4x^6}$$

Ejericicio 2

 * $$\ y=\frac {(3x^2-8x)(2x-4)}{4x^6}$$

 * $$\ y'=\frac {4x^6((3x^2-8x)(2)+(2x-4)(6x-8))}{(4x^6)^2}$$

 * $$\ y'=\frac {4x^6(6x^2-16x+12x^2-16x-24x+32)}{(4x^6)^2}$$

 * $$\ y'=\frac {4x^6(18x^2-56x+32)}{(4x^6)^2}$$

 * $$\ y'=\frac {124x^7+98x^6}{(4x^6)^2}$$

Ejercicio 3

 * $$\ f(x)= sen^10({x+1})^\frac {1}{2}$$

 * $$\ f'(x)= 10sen^9({x+1})^\frac {1}{2}*cos({x+1})^\frac {1}{2}*\frac {1}{2}(x+1)^\frac{-1}{2}$$

Ejercicio 4

 * $$\ f(x)= (cos^2(3X)+sen^4(5X))^\frac {1}{3}$$

 * $$\ f'(x)= \frac {1}{3}(cos^2(3X)+sen^4(5X))^\frac {-2}{3}*({2cos(3x)}*{-sen(3x)*(3)}

{4sen^3(5x)}*{cos(5x)*(5)})$$

Ejercicio 5

 * $$\ f(x)= cos(cos(cos(3x)))$$

 * $$\ f'(x)= -sen(cos(cos(3x)))*-sen(cos(3x))*-sen(3x)*3$$

Ejercicio 6

 * $$\ y^3tang^2(x^2)+y^2sec(x)+(y)^\frac {1}{3}=0$$

 * $$\ y^3*2tang(x^2)*sec^2(x^2)*2x+tang^2(x^2)*3y*y'+y^2*sec(x)tang(x)+sec(x)*2y*y'+ \frac {1}{3}(y)^\frac {-2}{3}*y'=0$$

 * $$\ tang^2(x^2)*3y*y'+sec(x)*2y*y'+ \frac {1}{3}(y)^\frac {-2}{3}*y'=-(y^3*2tang(x^2)*sec^2(x^2)*2x+y^2*sec(x)tang(x))$$

 * $$\ y'(tang^2(x^2)*3y+sec(x)*2y+ \frac {1}{3}(y)^\frac {-2}{3})=-(y^3*2tang(x^2)*sec^2(x^2)*2x+y^2*sec(x)tang(x))$$

 * $$\ y'= \frac {-(y^3*2tang(x^2)*sec^2(x^2)*2x+y^2*sec(x)tang(x))}{(tang^2(x^2)*3y+sec(x)*2y+ \frac {1}{3}(y)^\frac {-2}{3})}$$

RAZON DE CAMBIO
Ejercicio 1

Dos personas "a" y "b"caminan por calles rectas, que se crusan en un angulo recto, el caminante "a" se hacerca a la intersecciòn a 2m/sg y el "b" se aleja a 1m/sg. ¿cual es la razon de cambio del angulo "x" cuando "a" este a 10m de la intersecciòn y "b" a 20m?.

 * $$\ Datos:$$
 * $$\ sa=10m$$
 * $$\ sb=20m$$
 * $$\frac {da}{dt}=-2m/sg$$
 * $$\frac {db}{dt}=1m/sg$$
 * $$\frac {dx}{dt}=?$$

 * $$\ Solucion:$$

 * $$\ tang(x)=\frac {sa}{sb}$$
 * $$\ tang(x)=(sa)(sb)^-1$$
 * $$\ sec^2(x)*\frac {dx}{dt}=(sa)(-sb)^-2*\frac {db}{dt}+(sb)^-1*\frac {dx}{dt}$$
 * $$\ sec^2(x)*\frac {dx}{dt}=\frac {sa}{(-sb)^2}*\frac {db}{dt}+\frac {1}{sb}*\frac {dx}{dt}$$
 * $$\frac {dx}{dt}=\frac {\frac {sa}{(-sb)^2}*\frac {db}{dt}+\frac {1}{sb}*\frac {dx}{dt}}{sec^2(x)}$$
 * $$\frac {dx}{dt}=\frac {\frac {10}{(-20)^2}*1+\frac {1}{20}*(-2)}{sec^2(x)}$$
 * $$\frac {dx}{dt}=\frac {\frac {10}{-400}+\frac {-1}{10}}{sec^2(x)}$$
 * $$\frac {dx}{dt}=\frac {\frac {1}{-40}+\frac {-1}{10}}{sec^2(x)}$$
 * $$\frac {dx}{dt}=\frac {\frac {40+10}{-400}}{sec^2(x)}$$
 * $$\frac {dx}{dt}=\frac {\frac {50}{-400}}{sec^2(x)}$$
 * $$\frac {dx}{dt}=\frac {\frac {5}{-40}}{sec^2(x)}$$
 * $$\frac {dx}{dt}=\frac {\frac {5}{-40}}{\frac {5}{4}}$$
 * $$\frac {dx}{dt}=\frac {20}{-200}$$
 * $$\frac {dx}{dt}=\frac {2}{-20}$$
 * $$\frac {dx}{dt}=\frac {1}{-10}$$
 * $$\frac {dx}{dt}=-0.1rad/sg$$

Ejercicio 2

Un recipiente tiene forma de cono circular con altura "h" igual a 10m y un radio "r" igual a 4m, se introduce agua en el recipiente a una velocidad constante de 5m/min, ¿con que velocidad se eleva el nivel del agua cuando la profundidad es de 5m y el vertice del cono esta hacia arriba?.

 * $$\ Datos:$$
 * $$\ h=10m$$
 * $$\ r=4m$$
 * $$\frac {dv}{dt}=5m^3/min$$
 * $$\frac {dh}{dt}=?$$

 * $$\ Solucion:$$

primero se deja todo en funciòn de una sola variable.

 * $$\frac {r}{4}=\frac {h}{10}$$
 * $$\ r=\frac {4h}{10}$$
 * $$\ r=\frac {2h}{5}$$

luego se deriva y se remplaza en la ecuaciòn del volumen

 * $$\ v=\frac {4*phi*r^3*\frac {dr}{dt}}{3}$$
 * $$\ 5m^3/min=4*phi*\frac {2h^2}{5^2}*\frac {dh}{dt}$$
 * $$\ 5m^3/min=4*phi*\frac {2h^2}{25}*\frac {dh}{dt}$$
 * $$\frac {dr}{dt}=\frac {5m^3/min*25}{4*phi*{2h^2}}$$
 * $$\frac {dr}{dt}=75m^3/min$$

Ejercicio 3

un globo se eleva verticalmente desde un punto situado a 150 pies de de un observador, el globo sube a razon de 8pies/sg, ¿cual sera la rapidez de separaciòn del globo con respecto al observador, cuando la altura sea de 50 pies?.

 * $$\ Datos:$$
 * $$\ d=150m$$
 * $$\ h=50m$$
 * $$\ s=?$$
 * $$\frac {dh}{dt}=8pies/sg$$
 * $$\frac {ds}{dt}=?$$

 * $$\ Solucion:$$

primero se despeja el valor de la que forman la altura y la distancia con el observador.

 * $$\ s^2=h^2+150^2$$
 * $$\ s=(50^2+150^2)^\frac {1}{2}$$
 * $$\ s=(2500+67500)^\frac {1}{2}$$
 * $$\ s=70000^\frac {1}{2}$$
 * $$\ s=264.57pies$$

luego se derivan las variables y se remplazan los valores.

 * $$\ s^2=h^2+150^2$$
 * $$\ 2s*\frac {ds}{dt}=2h*\frac {dh}{dt}$$
 * $$\frac {ds}{dt}=\frac {2h}{2s}*\frac {dh}{dt}$$
 * $$\frac {ds}{dt}=\frac {h}{s}*\frac {dh}{dt}$$
 * $$\frac {ds}{dt}=\frac {50}{264.57}*8pies/sg$$
 * $$\frac {ds}{dt}=0.188*8pies/sg$$
 * $$\frac {ds}{dt}=1.51pies/sg$$

Ejercicio 4

las aristas de un cubo variable aumentan a razon de 3pulg/sg, ¿cual sera la rapidez de variaciòn del volumen del cubo, cuando la arista tiene 10 pulgadas de largo?.
 * $$\ Datos:$$
 * $$\ l=10pulg$$
 * $$\frac {dl}{dt}=3pulg/sg$$
 * $$\frac {dv}{dt}=?$$

 * $$\ Solucion:$$
 * $$\ v=l^3$$
 * $$\ v=3l^2*\frac {dl}{dt}$$
 * $$\ v=3(10pulg)^2*3pulg/sg$$
 * $$\ v=3(100pulg^2)*3pulg/sg$$
 * $$\ v=300pulg^2*3pulg/sg$$
 * $$\ v=900pulg^3/sg$$

Ejercicio 5

Suponiendo que una burbuja de jabon mantenga una forma esferica constante, ¿cual sera la rapidez de cambio del radio de la burbuja, cuando el radio sea igual a 2 pulgadas, sabiendo que se le inyecta aire a razon de 4 pulgadas cubicas por segundo?.

 * $$\ Datos:$$
 * $$\ r=2pulg$$
 * $$\frac {dv}{dt}=4pulg^3/sg$$
 * $$\frac {dr}{dt}=?$$

 * $$\ Solucion:$$
 * $$\ v=\frac {4*phi*r^3}{3}$$
 * $$\frac {dv}{dt}=\frac {4*phi}{3}*3r^2*\frac {dr}{dt}$$
 * $$\frac {dv}{dt}=4*phi*r^2*\frac {dr}{dt}$$
 * $$\frac {dr}{dt}=\frac {\frac {dv}{dt}}{4*phi*r^2}$$
 * $$\frac {dr}{dt}=\frac {4pulg^3/sg}{4*phi*(2pulg)^2}$$
 * $$\frac {dr}{dt}=\frac {4pulg^3/sg}{4*phi*(4pulg^2)}$$
 * $$\frac {dr}{dt}=\frac {1pulg^3/sg}{phi*(4pulg^2)}$$
 * $$\frac {dr}{dt}=0.079pulg/sg$$

title: User:StevenM


text:
Talk:Calculus/Partial differential equations

Has anyone else checked all this (to date) for clarity, appropriate scope, algebraic errors etc? More, and better, diagrams and examples would probably be helpful too. Carandol 20:27, 14 Jul 2004 (UTC)

Hi all, I have a basic doubt about calculus, in partial differential Equations. ie how to solve a PDE of two or More functions. for eg
 * $$ \frac{1}{r} \frac {\partial (r*u(r)*psi(r)*rho)}{\partial r}$$

 * Extend the methods used for systems of ODE's. If the PDE's are linear, for example, it may be possible to eliminate one function and get a single PDE of higher order. Carandol

Problem
Hi, I found this site very intersting. I still have a problem: I don't know how to solve an hyperbolic partial differential equation like:

f(x)D^2g(x,t)/Dx^2 - D^2g(x,t)/Dt^2= 0,

where f(x) is a positive real continuous function. Can anybody help me please? Thanks a lot,

Cris

Page Layout for Computer Monitors
It is an amazing fact that here we are, thirty years into personal computing, and we still handle text as though a page were 8.5 inches by 11. We haven't noticed that the computer screen is generally 3x4 in aspect ratio, with 12 x 16, the extended screen, on the horizon. Seems to me a simple thing follows: text should generally be formatted in 3x4 ratio chunks, and all the stuff around the margins -- headers, logos for the source organization, "print," "bulletin board" and all those other allied services --  jammed into a single pop-up box that could be accessed by clicking on an inconspicuous switch in the corner of the screen. -dlj.


text:
User:JUANLEAL

DERIVADAS Y RAZON DE CAMBIO
 Derivar:

1)$$\ (x^2)(cos(x))+(x^2)(cos(x))^2 $$              = $$\ (2xcosx)-(x^2senx)$$

2)$$\ cos^5(2x^2-1) $$                =$$\ 5cos^4(-sen(2x^2-1))(4x)$$

3)$$\ (3x-2x^2)(5-4x)$$               =$$\ (3x-2)(4)+(5+4x)(3-4x) p$$                =$$\ (12x-8x^2)(15-8x-16x^2) $$                =$$\ -24x^2+4x+15 $$ 4)$$\frac {2x^2-4x+3}{2-3x}$$ =$$\frac {(4x-4)(2-3x)-(2x^2-4x+3)(-3)}{(2-3x) ^2}$$ =$$\frac {(-12x^2+20x-8)-(-6x^2+12x-9)}{(2-3)^2}$$ =$$\frac {(-6x^2+8x+1)}{(2-3x)^2}$$

5) $$\frac {3x^2-1}{4x+3}$$                =$$\frac {6x(4x+3)-(3x^2-1)4}{(4x+3)^2}$$                 =$$\frac {12x^2+18x+4}{(4x+3)^2}$$

6)$$\ (x^3-3x^2+10x)^10$$

=$$\ 10(x^3-3x^2+10x)^9.(3x^2-6x+10)$$

7)$$\frac {3}{(4x^3+11x)^3}$$               =$$\frac {-3(4x^3+11x)^3}{((4x^3+11x)^2)^2}$$                =$$\frac {-9(12x^2+11)}{(4x^3+11)^4}$$

8)$$\ sen(3x^2+11x)$$                =$$\ cos(3x^2+11x).(6x+11)$$

9)$$\ sen^3x$$                =$$\ 3sen^2x . cosx$$

10)sen $$\frac {3x-1}{2x+5}$$                =sen $$\frac {3x-1}{2x+5}$$                  =cos $$\frac {3x-1}{2x+5}$$\frac{13}{(2x+5)^2}

11)$$\ (2x-1)^3.(x^2-3)^2$$

=$$\ (2x-1)^3.(x^2+3)^2+(2x-1).(x^2-3)^2$$ = 3 $$\ (2x-1)^2.(2).(x^2-3)^2+(2x-1).2(x^2-3).(2x)$$

12)$$\frac {senx}{cos2x} $$               = 3 $$\frac {senx}{cos2x}$$. $$\frac{(cosx).(cos2x)-(senx).(-sen2x)}{(cos2x)^2}$$

13)Suponga que:

$$\ f(2)=4$$ $$\ f*(4)=6$$ $$\ f*(2)=-2$$

HALLAR:

13.1) $$\ (f(x))^3$$       en x=2

=$$\ (f(2))^3$$ =$$\ (4)^3$$                       =$$\ 3(4)^2$$                        =$$\ 48$$

13.2)$$\frac {3}{f(x)}$$          en x=2

=$$\frac {3}{f(2)}$$ =$$\frac {3}{4}$$

RAZON DE CAMBIO

1- Con que rapidez baja el nivel de un fluido contenido en un tanque cilìndrico, si bombeamos hacia afuera el fluido, a razón de : 3.000 l/min?

R: DATOS:

$$\ M^3 $$: 1000 LITROS $$\ r $$: constante $$\ H(t)$$: ? $$\frac {Dv}{Dt}$$: -3000 l/min $$\frac {Dh}{Dt}$$: PREGUNTA DEL PROBLEMA TENIENDO LOS DATOS CLAROS, PODEMOS HALLAR ECUALCIONES:

$$\ V $$ :&pi.$$\ r^2 $$. $$\ h $$           = VOLUMEN DEL CILINDRO

= $$\frac {Dv}{Dt}$$ : 1000&pi. $$\ r^2 $$

= -3000 :1000&pi .$$\ r^2$$. $$\frac {Dh}{Dt}$$

= $$\frac {-3}{pi(r^2)}$$ : $$\frac {Dh}{Dt}:  \frac {-3}{pi(r^2)}m/min $$

2-una patrulla de policía, al acercarce a una intersección en angulo recto desde el norte,está siguiendo a un auto que ha dado la vuelta a la esquina y se mueve hacia el éste,cuando la patrulla está a 0.6km al norte, el otro auto està a 0.8km al éste.La policia determina con el radar que la distancia entr ellos aumenta a razón de 20kmph. sí la patrulla se mueve a 60kmph en eéste instante, cual es la velocidad del otro auto?

R: DATOS:

X(T) :0.6KM Y(T) :0.8KM $$\frac {Dz}{Dt}$$: 20kmph $$\frac {Dx}{Dt}$$: -60kmph $$\frac {Dy}{Dt}$$: pregunta del problema

sabiendo esto, entonces:

Z:(0.6)^2+(0.8)^2 : 1

= 2Z.$$\frac {Dx}{Dz} $$: 2X $$\frac {Dx}{Dt}$$ + 2Y .$$\frac {Dy}{Dt}$$

= $$\frac{2(20)-2(0.6)(-60)}{2(0.8)}$$ : $$\frac {Dy}{Dt}$$

=$$\frac {Dy}{Dt}$$ : 70kmph

3-SE VIERTE AGUA EN UN TANQUE CÓNICO A RAZÓN DE 9M/MIN, EL TANQUE TIENE SU VÉRTICE ABAJO Y TIENE UNA ALTURA DE 10F Y UN RADIO DE LA BASE DE 5M3, ¿CON QUE RAÌDEZ SE ESTA ELEVANDO EL NIVEL DEL AGUA, CUANDO LA PROFUNDIADA ES DE 6F?

DATOS:

V:1/3PI.r^2.h    Dv/Dt: 9M3/MIN Dh/Dt:? Pregunta del problema H:10m R:5m3 H:6F SABIENDO ESTO, ENTONCES:

=V: $$\frac {1}{3}.PI.r^2. h$$ V: $$\frac {1}{12}.PI.h^3$$ Dv/Dt: $$\frac {1}{12}.PI.3h^2.$$. Dh/Dt Dh/Dt:$$\frac {1}{PI}$$ F/m

title: User:JUANLEAL


text:
User:IvanH

1) $$\lim_{x\to 9}\frac {x^2-81}{\sqrt x-3}$$ =$$\lim_{x\to 9}\frac {(x-9)(x+9)}{\sqrt x-3} \cdot \frac {\sqrt x+3}{\sqrt x+3}$$ =$$\lim_{x\to 9}\frac {(x-9)(x+9)(\sqrt x+3)}{x-9}$$ =$$\lim_{x\to 9}\ {(x+9)(\sqrt x+3)}$$ =$$\ {((9)+9)(\sqrt 9+3)}$$ =$$\ {(18)(6)}$$ =$$\ {108}$$

2) $$\lim_{x\to 0}\frac {x}{\sqrt {1+3x}-1}$$ =$$\lim_{x\to 0}\frac {x}{\sqrt {1+3x}-1} \cdot \frac {\sqrt {1+3x}+1}{\sqrt {1+3x}+1}$$ =$$\lim_{x\to 0}\frac {(x)(\sqrt {1+3x}+1)}{(1+3x)-1}$$ =$$\lim_{x\to 0}\frac {(x)(\sqrt {1+3x}+1)}{3x}$$ =$$\lim_{x\to 0}\frac {\sqrt {1+3x}+1}{3}$$ =$$\frac {\sqrt {1+3(0)}+1}{3}$$ =$$\frac {\sqrt 1+1}{3}$$ =$$\frac {2}{3}$$

3) $$\ f(x)= {x^2-10x+100}$$ =$$\  f'(x)= {(2)x^{2-1} - 10(1)x^{1-1}+0}$$ =$$\  f'(x)= {2x - 10}$$

4) $$\ f(r)= /frac {4πr^3}{3}$$ =$$\  f'(r)= /frac {(3)4πr^{3-1}}{3}$$ =$$\  f'(r)= {4πr^2}$$

5) $$\   F(x) = {(16x)^3}$$ =$$\   F(x) = {(16^3)(x^3)}$$ =$$\   F(x)= {4096x^3}$$ =$$\   F'(x)= {(3)(4096x^{3-1})}$$ =$$\   F'(x)=  {12288x^2}$$

6) $$\  Y(t)=  {6t^-9}$$ =$$\  Y'(t)=  {(-9)(6t^{-9-1})}$$ =$$\  Y'(t)=  {-54t^-10}$$

7) $$\  g(x)=  {x^2+ \frac {1}{x^2}}$$ =$$\  g'(x)=  {(2)(x^{2-1}) +  \frac  {(0)(x^2)-(1)(2)(x^{2-1})}{(x^2)^2}$$ =$$\  g'(x)=  {2x} + \frac  {0-2x}{x^4}$$ =$$\  g'(x)=  {2x} - \frac  {2}{x^3}$$

8) $$\ h(x)=  \frac {x+2}{x-1}$$ =$$\  h'(x)=  \frac {(1)(x^{1-1})(x-1)-(x+2)((1)(x^{1-1})}{(x-1)^2}$$ =$$\ h'(x)=  \frac {(x-1)-(x+2)}{(x-1)^2}$$ =$$\ h'(x)=  \frac {-3}{(x-1)^2}$$

9) $$\ G(s)= {(s^2+s+1)}{(s^2+2)}$$ =$$\  G'(s)=  {((2)(s^{2-1})+(1)(s^{1-1}))(s^2+2)}+{(s^2+s+1)(2)(s^{2-1})}$$ =$$\  G'(s)=  {(2s+1)(s^2+2)}+{(s^2+s+1)(2s)}$$ =$$\  G'(s)=  {(2s^3+s^2+4s+2)}+{(2s^3+2s^2+2s)}$$ =$$\  G'(x)=  {4s^3+3s^2+6s+2}$$

10) Una caja con tapa se fabricará con una hoja rectangular de cartón, que mide 5 por 8 pies. Esto se realiza cortando las regiones sombreadas de la figura y luego doblando por las líneas discontinuas.  ¿ Cuales son las dimensiones x, y, z que maximizan el volumen?

$$\ z = {5-2x} $$ $$\ 2y= {8-2x} $$ =$$\ y= \frac  {(2)(4-x)}{2} $$ =$$\ y= {4-x} $$

$$\ Area= {(L)(L)(L)} $$ =$$\ A=  {(x)(5-2x)(4-x)} $$ =$$\ A=  {2x^3-13x^2+20x} $$ =$$\ \frac  {dA}{dx}=  {(3)(2x^{3-1})-(2)(13x^{2-1})+(20)} $$ =$$\ \frac  {dA}{dx}=  {6x^2-26x+20} $$ =$$\ \frac  {dA}{dx}=  {(6)6x^2-(26)6x+(6)20} $$ =$$\ \frac  {dA}{dx}=  {36x^2-(26)6x+120} $$ =$$\ \frac  {dA}{dx}=  {(6x-20)(6x-6)}$$ =$$\ x= \frac  {20}{6}= \frac  {10}{3}$$ =$$\ x= \frac  {6}{6}= {1}$$

=$$\ x={1}$$ =$$\ y={4-(1)}={3}$$ =$$\ z={5-2(1)}={3}$$

Proximamente mas..................

200.71.53.4

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