extracted_text:
Тема урока: Теорема о трех перпендикулярах
(вводный урок – 2 ч)
Цель урока:
обучающая:
·
Изучить теоретический материал по
теме, облегчить обучающимся понимание
содержания теоремы, обосновать необходимость теоремы о трех перпендикулярах;
·
Сформировать видение изученной
закономерности в различных ситуациях: при решении задач на доказательство или
задач, требующих найти численное (буквенное) значение, какого – либо элемента;
·
Учить умению читать чертеж;
развивающая:
·
Способствовать развитию общения
как метода научного познания, аналитико-синтетического мышления, смысловой
памяти и произвольного внимания;
·
Развивать навыки исследовательской
деятельности (выдвижение гипотез, анализ и обобщение полученных результатов).
воспитательная:
·
Развивать у учащихся коммуникативные
компетенции (культуру общения, умение работать в группах, элементы ораторского
искусства);
·
Способствовать развитию творческой
деятельности учащихся, потребности к самообразованию.
Оборудование:
1. Слайды по теме «Теорема о трех
перпендикулярах»;
2. Каркасная модель чертежа к
теореме;
3. Карточки с задачами.
4. Мультимедийное оборудование.
5. Экран.
6. Компьютер.
План урока

№ п/п

Структурные элементы.

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

Временная
  реализация

1.

Организационный момент

Учитель приветствует
  учащихся, объявляет цель урока, план, зачитывается эпиграф к уроку, используя
  презентационное сопровождение урока.

Обсуждение

1 минута

2.

Разминка.
  Математический диктант по готовому чертежу.

Урок
  ведет учитель совместно с консультантом (сильным учеником).
Учитель подает задачу по готовому
  чертежу на слайдах презентации. Демонстрирует после ответа учащегося
  соответствующие элементы задачи. При появлении вопросов учитель может
  возвратиться как к задаваемым вопросам, так и к соответствующим элементам
  задачи.

Обучающиеся отвечают на
  теоретические вопросы в тетради. После демонстрации элементов опорного
  конспекта ими проводится самооценка своих ответов

7 минут

3.

Постановка
  перед учащимися проблемы.

Учитель предлагает разобрать через
  исследование  предложенную задачу.

Обучающиеся рассматривают
  модель чертежа на спицах, параллельно чертеж представляется на слайде.
  Обсуждают ответы. Фиксируют в своих рабочих тетрадях отдельные части
  исследуемой задачи.

12 минут

4.

Изучение теоремы.

Учитель предлагает сформулировать
  теорему «О трех перпендикулярах». Консультант – помощник помогает
  сформулировать теорему с помощью модели и наводящих вопросов. Предлагаются
  альтернативные варианты формулировки теоремы. Затем учитель предоставляет
  слово любителям математики, которые дома подготовили свои варианты
  формулировки и доказательства теоремы.

Выступает представитель от
  каждой группы со своим способом доказательства теоремы. Учащиеся задают
  вопросы, выступают оппонентами. Обсуждают ответы. Фиксируют в своих рабочих
  тетрадях все способы доказательства теоремы.

15 минут

4.

Групповое решение задачи.

Учитель демонстрирует решение
  задачи на применение теоремы о трех перпендикулярах.

Обучающиеся решают задачу,
  комментируя ход решения.

5 минут

5.

Закрепление изученного
  материала.

Предлагаются задачи с числовыми
  данными. Раздаются индивидуальные карточки с условиями задач.

Обучающиеся решают задачи.

8 минут

6.

Практическое применение теоремы о трех перпендикулярах.
(выступления учащихся подготовлены заранее)

Учитель предлагает решить
  более сложные задачи

Обучающиеся демонстрирует
  опорные  задачи на применение теоремы о трех перпендикулярах.

10 минут

7.

Самостоятельное выполнение
  учащимися заданий.

Учитель предлагает применить
  полученные знания при выполнении заданий дифференцированного характера. Обязательно
  необходимо решить три любых задачи, остальные задачи решаются дома и сдаются
  на проверку учителю

Ребята выбирают любой
  уровень. (На карточке указан уровень и номер). Либо решают задачи из разных
  уровней.

15 минут

8.

Подведение итогов урока

Учитель предлагает
  обобщить обучающимся весь теоретический материал, используемый на уроке и
  решить задачу для демонстрации успехов в изучении теоремы о трех
  перпендикулярах.

Обучающиеся отвечают,
  решают задачу.

5 минут

9.

Домашнее задание

Учитель диктует домашнее
  задание. Делает соответствующие пояснения о том, что результаты их работы
  будут необходимы и на последующих уроках.

Обучающиеся записывают
  задание.

2 минуты

Ход урока
Урок ведет учитель
совместно с консультантом (сильным учеником).

j Разминка. Математический диктант.
Задание: Перечислите и запишите в тетради
названия элементов (отрезков) чертежа, если АВ  (смотрите
Рис. 1).

                                                Ответ:
АВ – перпендикуляр;
                                      ВС
– наклонная;

А

АС – проекция.

Рис. 1

Дополнительные вопросы:
1)    Какой формулой связанны между собой
перечисленные отрезки?
(Ответ:  - теорема Пифагора).
2)    Чему равно ВС, если АВ
= 3 см, АС = 4 см.? (Ответ: 5 см.).

k Постановка перед учащимися проблемы.
Задача: Через конец А отрезка АВ
длины «в», проведена плоскость, перпендикулярная отрезку. И в этой же
плоскости проведена прямая. Найти расстояние от точки В до прямой, если
расстояние от точки А до прямой равно «а»
Исследование задачи.
1) Рассматривается модель
чертежа к теореме из спиц (карандашей), ярко окрашенных, чертеж приводиться на
слайде (Рис. 2);

?

D

2)
По частям
разбирается задача.
а) дан отрезок АВ = в,
он перпендикулярен плоскости:
б) в плоскости проводиться прямая,
назовем ее СD:

В

в) по условию задачи известно
расстояние от точки А до прямой СD.
! Очень важно именно здесь разобраться,
что такое расстояние от точки до прямой на плоскости. Желательно на спицах
(карандашах) показать это расстояние, предварительно вспомнив определение:
«Расстояние от точки до прямой, есть перпендикуляр, проведенный из этой точки
на прямую».

Теперь нужно выяснить,
сколько перпендикуляров на чертеже (два: АВ и АА1) и
чему ровно АА1? (АА1=а).
г) по условию задачи, необходимо найти
расстояние от точки В до прямой СD. Наступил очень важный момент – тот момент, ради
которого проводиться этот урок. Необходимо провести перпендикуляр из точки В
на прямую СD.
На спицах (карандашах) консультант – помощник показывает модель:

Создается проблемная ситуация: куда
пойдет перпендикуляр из точки В?  Где будет находиться его основание на прямой
СD?
Выясняются мнения учащихся.
Интуитивно некоторые из них догадываются, что основание перпендикуляра,
опущенного из точки В на прямую СD, должна находиться в точке А1.
Но как это доказать?
«Знаем ли мы какую-нибудь теорему,
подтверждающую эту догадку?» - спрашивает преподаватель, и продолжает: - «Нет,
еще не знаем, а значит, и задачу решить не сможем, пока не изучим нужную
теорему. Сегодня мы познакомимся с такой теоремой. Но сначала еще раз вспомним,
как называются отрезки АА1 и предполагаемый отрезок ВА1.
(АА1 – проекция наклонной ВА1.; а ВА1.
– наклонная).
Выясним также, сколько
перпендикуляров получилось на чертеже (на модели).
(Три: АВ, АА1., ВА1.).

На модели ВА1. –
спица (карандаш) желтая, а как только убедились в том, что перпендикуляр,
опущенный из точки В, проходит через точку А1.,
поменяем желтую спицу на синюю.

l Изучение теоремы.

Обучающимся предлагается
сформулировать теорему «О трех перпендикулярах». Консультант – помощник
помогает сформулировать теорему с помощью модели и наводящих вопросов.
Предлагаются альтернативные варианты формулировки теоремы. Затем учитель
предоставляет слово любителям математики, которые дома подготовили свои
варианты формулировки и доказательства теоремы. Они поочередно выходят к доске.
Обучающиеся их слушают внимательно и выбирают тот вариант, который больше
понравился.
Первый выступающий.
Теорема формулируется следующим
образом:
Прямая, проведенная на плоскости
через основание наклонной перпендикулярно ее проекции, перпендикулярна и самой
наклонной.

Доказательство.
1)
Проведем СА1. СА1||АВ
по построению, т. к. АВ(Теорема: Если
две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны). Проведем через
АВ и СА1 плоскость .
2)
 по Теореме: «Если прямая
перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она
перпендикулярна к этой плоскости».
ч.т.д.
Второй выступающий.

Дано: ;
АС – наклонная, ВС – проекция. ВС,
АВ.
Доказать: АС.

Доказательство.
(векторное
доказательство)
1)

2)
По условию . Значит, .
Таким образом получаем: .
ч.т.д.

Третий выступающий.

Дано: ; АС – наклонная, ВС
– проекция. ВС, АВ.
Доказать: АС.

Доказательство.
1)    Достроим рисунок так, что

Значит, (как наклонные, имеющие равные
проекции).
3) - равнобедренный и, - медиана и высота. .
ч.т.д.

Консультант обсуждает с
группой все предложенные варианты доказательства теоремы о трех
перпендикулярах.
Учащиеся высказывают свое
мнение, они могут выбрать для себя любое доказательство.
После этого учитель вновь
обращает внимание ребят на предложенную в начале урока задачу.
mГрупповое решение задачи.
Выясняется, что задача
решается в одно действие по теореме Пифагора.

Дано: .
.
Найти: Расстояние от точки В
до прямой CD

Решение.
1)
Расстояние от
точки до прямой является перпендикуляр. По теореме «О трех перпендикулярах».  - проекция наклонной ВА1.
2)
Из , по теореме Пифагора:

Ответ: Расстояние от
точки В до прямой CD
равно .

n Закрепление изученного материала.
Предлагаются задачи с
числовыми данными. Раздаются индивидуальные карточки с условиями задач
1)
Дано:

Найти: АС
Решение.
Из  по т. Пифагора  далее, подставляя числа
Ответ: 0,3 см.

2) Чертеж тот же.                Дано: АС=6
см., ВС=10 см.
                                             Найти:
АВ
Решение
.                                          Ответ:
8 см.

o Практическое применение теоремы о
трех перпендикулярах.
(выступления
учащихся подготовлены заранее)
Первый
выступающий.
Теорема о трех
перпендикулярах будет использована при изучении многогранников, когда появиться
необходимость в изображении угла между боковой гранью пирамиды и ее основанием.
В будущем узнаем, что
угол между боковой гранью пирамиды и ее основанием измеряется линейным углом.
Разберем на примере
решения задачи, как построить линейный угол двугранного угла.
Задача: В правильной треугольной пирамиде
боковые грани наклонены под углом . Изобразить
этот угол (см. рисунок).

Не
будем вдаваться в определение линейного угла, запомним только: чтобы,
построить линейный угол, надо в общую точку общего ребра боковой грани и
основания пирамиды провести перпендикуляры. Угол между этими перпендикулярами и
есть угол .
Проведем из точки D на сторону BD перпендикуляр DK.
Далее из точки D опустим перпендикуляр DO ,
соединим точку О с точкой К. Будет ли ОК перпендикуляром к ВС?
Да, т.
к. ОК – проекция наклонной DK.
По
теореме о трех перпендикулярах, .

Второй
выступающий.

Задание: Установить взаимное положение прямых а и в по готовым
чертежам.
1.     ABCD – квадрат
BEABCD                                                                   Ответ: .

2.     ABCD – квадрат
BEABCD                                                                        Ответ:

3.     ABCD – ромб
АEABCD
                                                                        Ответ: .

4.     ABCD – ромб
BEABCD                                                                         Ответ: .

p Самостоятельная работа
В конце урока
предлагается самостоятельная работа по изученному материалу.
Карточки составлены
дифференциально – трехуровневые: А, В, С. Ребята выбирают любой уровень.
(На карточке указан уровень и номер). Либо решают задачи из разных уровней.
Обязательно необходимо решить три любых задачи, остальные задачи решаются дома
и сдаются на проверку учителю.

ˆПодведение итогов урока.
Учитель предлагает
обобщить учащимся весь теоретический материал, используемый на уроке и решить
задачу, которая продемонстрирует успех изучения теоремы о трех перпендикулярах.
Выставляются оценки за урок.

Задача.
Дано: AD ┴ (ABC), < BAC =
62º, < ACB = 28º.
Каково взаимное расположение прямых СВ и BD ?
Ответ обоснуйте.

‰ Домашнее задание
Учащиеся записывают
задание.  ДЗ: №145, №143, №140, п.19,20.

Список используемой литературы.

1.
Геометрия, 10-11: Учебник для
общеобразовательных учреждений/ Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С, Б. Кадомцев и
др.- М.: Просвещение, 2020.
2.
А. П. Ершова, В. В. Голобородько.
Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 10 класса. – М.: Илекса,
2018
3.
Геометрия. 10-11 кл.: Учебник для
общеобразовательных учреждений/ Шарыгин И. Ф.- М. Дрофа, 2000.
4.
Лоповок Л. М. Факультативные
задания по геометрии для 7-11 классов: Пособие для учителя. - К.: Рад. Шк.,
1990.

Задачи для
самостоятельной работы.
Уровень А
1. АВ – перпендикуляр к плоскости, АС – наклонная, ВС – ее
проекция на плоскость, CD
– прямая на плоскости, перпендикулярная прямой ВС. Почему угол ACD – прямой?
2. АВ – перпендикуляр к плоскости, АС – наклонная, ВС – ее
проекция на плоскость, CD
– прямая на плоскости, перпендикулярная прямой АС. Почему угол ВCD – прямой?
3. На плоскости взяты прямая а и
точка А вне ее. Из точки А на прямую а опущен
перпендикуляр АВ. Из точки А к плоскости восстановлен
перпендикуляр АС. Точку С соединим с точкой В. Сделайте
соответствующий чертеж. Укажите все полученные прямые углы. Дайте основание
ответу.

Уровень В
1. Угол С треугольника АВС
– прямой. AD – перпендикуляр к плоскости
треугольника АВС. Докажите, что треугольник BCD – прямоугольный.
2. АВСD – квадрат диагонали которого
пересекаются в точке Е. АН – перпендикуляр к плоскости квадрата.
Докажите, что прямые НЕ и BD перпендикуляры.
3. Из вершины А квадрата ABCD со стороной 16 см., восстановлен
перпендикуляр АЕ длиной 12 см. Докажите, что треугольник ВСЕ –
прямоугольный. Найдите его площадь.
4. Из центра О квадрата ABCD со стороной 18 см. к его плоскости
восстановлен перпендикуляр ОМ длиной 12 см. Найдите площадь треугольника
АВМ.
5.     Отрезок АМ перпендикулярен
плоскости треугольника АВС и имеет длину 24 см. Найдите расстояние от
точки М до прямой ВС, если АВ = АС = 20 см., ВС
= 24 см.
6.     В правильном треугольнике АВС
точка О – центр. ОМ – перпендикуляр к плоскости АВС.
Найдите расстояние от точки М до стороны АВ, если АВ = 10
см., ОМ = 5 см.

Уровень С
1. Из вершины А прямоугольного
треугольника АВС (  - прямой) к
плоскости треугольника проведен перпендикуляр АК. Докажите, что прямые КВ
и ВС взаимно перпендикулярны.
2. МАВС – пирамида, , АК – высота . Докажите, что МК – высота
грани МВС (см. чертеж).

3. Из вершины С правильного
треугольника АВС со стороной 10 см. проведен к его плоскости
перпендикуляр СМ длинной 6 см. Вычислить расстояние от точки М до
стороны АВ.
4. В равнобедренном треугольнике CEH точка А – середина основания EH. Из точки С к плоскости
треугольника проведен перпендикуляр СК. Докажите, что прямые АК и
ЕН взаимно перпендикулярны.
5.     Катеты прямоугольного треугольника АВС
15 см. и 20 см. Из вершины прямого угла С проведен отрезок СD, перпендикулярный плоскости этого
треугольника, CD = 35 см.
Найти расстояния от точки D
до гипотенузы АВ.
6.     Доказать, что если точка равноудалена
от всех сторон многоугольника, то она проектируется на его плоскость в центр
вписанного круга.

file_name: Конспект урока по теме Теорема о 3 перпендикулярах.doc

alt: Закрепление изученного материала

alt: Ответ : АВ – перпендикуляр;

alt: АВ = в , он перпендикулярен плоскости: б ) в плоскости проводиться прямая, назовем ее

alt: В до прямой С D . Наступил очень важный момент – тот момент, ради которого проводиться этот урок

alt: На модели ВА 1 . – спица (карандаш) желтая, а как только убедились в том, что перпендикуляр, опущенный из точки

alt: Второй выступающий. Дано: ;

alt: Ответ: 0,3 см. 2) Чертеж тот же

alt: Далее из точки D опустим перпендикуляр

alt: ABCD – ромб BE ABCD

alt: Задачи для самостоятельной работы

alt: В правильном треугольнике АВС точка

intro:
•	Изучить теоретический материал по теме, облегчить обучающимся понимание содержания теоремы, обосновать необходимость теоремы о трех перпендикулярах;
•	Сформировать видение изученной закономерности в различных ситуациях: при решении задач на доказательство или задач, требующих найти численное (буквенное) значение, какого – либо элемента;
•	Учить умению читать чертеж.

математика

group: Дисциплины


extracted_text:
10 простых
способов развития памяти.
Слышал
ли ты когда-нибудь знаменитую фразу Черчилля «Кто владеет информацией, тот
владеет миром»? В наш век, чтобы добиться успеха, нужно удерживать в голове
невероятно огромное количество данных: имена, номера телефонов, адреса, явки,
пароли. Конечно, для удобства можно завести блокнот или ежедневник, но порою
жизнь настолько динамична, что воспользоваться записями не представляется
возможным. Что же делать? Конечно, воспользоваться памятью! А как ее развить и
натренировать, чтобы в нужный момент она не подвела.

1.
Попробуй чистить зубы левой рукой, если ты правша, и правой рукой, если ты
левша. Таким образом, ты тренируешь оба полушария, развиваешь скорость мышления
и память.

2. Когда ходишь в магазин, приучи себя держать список покупок в голове, а не на
листочке бумаги. В противном случае, к 60 годам тебе будет не по силам вообще
выйти за покупками.

3. Если любишь смотреть фильмы – такое упражнение покажется тебе детской
забавой: после каждого просмотра прокрути фильм в памяти от начала до конца.
Это займет не более 20 секунд, но польза просто колоссальная!

4. Каждый день читай развивающую литературу. В идеале, 1 книгу в неделю.
Получится, что ты осилишь 52 книги за год, и 520 книг за 10 лет!

5. Если тебе нужно развить суперпамять – учи хотя бы часть стихотворения каждый
день. Схема та же, что и с книгами: 1 стих в неделю, 52 стиха в год, 520 стихов
за 10 лет. Впечатляет, правда?

6. Не забывай правильно и полноценно питаться! Грецкие орехи, мед, морская
капуста (ламинария), рыба – все эти продукты не только помогают улучшить
память, но и укрепляют твое здоровье.

7. Если ты до сих пор куришь, избавляйся от этой вредной привычки.

8. Влюбись! В крови вырабатывается оксид азота, который восстанавливает
поврежденные сосуды и стимулирует мозговую деятельность.

9. Чаще бывай на свежем воздухе. Чем больше кислорода поступает в кровь, тем
лучше становится память.

10. Двигайся! Помни: жизнь – это движение. Если у тебя есть лишний вес, самое
время от него избавиться.

доп. образование детей

group: Другое

title: 10 простых способов развития памяти.