extracted_text:
ЧАСТНОЕ
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ-
СРЕДНЯЯ
ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА «НОВЫЙ ПУТЬ»

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ
ПРОЕКТ ПО МАТЕМАТИКЕ
ТЕМА:
«Роль
геометрических преобразований в решении задач школьного курса математики»

Предмет: математика
Вид проекта:
исследовательский
Выполнил:
Батоян Роберт Левонович,
 учащийся 10 класса
ЧОУ-СОШ «Новый путь»
Руководитель:
Санкина Лариса
Степановна,
учитель математики

г.
Армавир, 2020-2021 учебный год
ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение…………………………………………………………...………3-5
ГЛАВА 1.ДВИЖЕНИЯ
1.1Геометрические преобразования ……………...……….………..……6
1.2 Центральная симметрия……………………………………………….6-7
1.2 Симметрия относительно точки………………………......…………..7-8
1.3 Поворот…………………………………….…………...…...………...9-10.
1.4 Параллельный перенос……………………………………..……...…11
1.5 Осевая симметрия……………….…………………………………….11-12
ГЛАВА 2. ПОДОБИЕ
2.1 Подобие………………………………………………...………………13
2.2 Гомотетия……………………………………………………………....13-17
ГЛАВА 3. ЗАДАЧИ С
ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ
3.1 Движения………………………………………………………………18-24
3.2  Подобия……………………………………………………….……….24-32
ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………….33
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ………………………….………………………………….34

ВВЕДЕНИЕ
«Раз, стоя перед черной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры,
я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия приятна для глаз? Что такое
симметрия? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе. На чем же оно основано?
Разве во всём в жизни есть симметрия?»
Л. Толстой «Отрочество»

В
век всеобщей информатизации человек сталкивается с множеством проблем.
Немаловажной среди них является проблема поиска нужной информации за наименьшее
время. Ценнейшим умением становится умение обрабатывать материал, включающее в
себя систематизацию и выделение главного. Однако, не все люди обладают в
должной мере этими умениями, а нехватка литературы, способствующей решению
данной проблемы, к сожалению, ощущается в школе.
Настоящая
работа обращается к геометрическим преобразованием на
плоскости. Большую проблему составляет для данного курса
отсутствие задачников. В существующей литературе наблюдается серьезный разрыв
между книгами, успешно решающими вопрос пробуждения интереса к миру геометрических
преобразований (в них справедливо пропускается теоретический раздел
и небольшое
место отводится знакомству с симметрией, поворотом,
параллельным переносом, гомотетией) и солидными
пособиями, со всей строгостью излагающими теоретический материал, и содержащими
задачи, способы решения которых не всегда понятны, а указания к решениям носят
схематичный характер.
Следовательно,
существует потребность в литературе, содержащей как доступный для понимания учащихся,
так и подробно изложенный теоретический материал по геометрическим
преобразованиям на плоскости, подкрепленный
содержательной практической частью - задачами, закрепляющими знания ранее
приведенного материала. При этом большинство задач (а особенно содержащие в
своем решении ранее не использованные методы) должно быть с подробными
пояснениями к решению, понятными замечаниями или, как минимум, ответами. Именно
такойматериал
станет связующим звеном между первым увлечением удивительным миром преобразований
и уже серьезным изучением теории геометрических
преобразований, что обосновывает актуальность выбранной темы.
Цель
исследования: разработать комплекс практических задач,
в основе которых лежит теория геометрических преобразований на
плоскости..
Для
достижения данной цели определили следующие задачи исследования:
1.
Выполнить
анализ и обобщить результаты математической литературы по теории геометрических
преобразований на плоскости.
2.
Выстроить
логическую цепочку из определений и
свойств из теоретического материала теории геометрических
преобразований на плоскости.
3.
Разработать
комплекс заданий теории геометрических преобразований на
плоскости.
4.
Показать
решение заданий, включенных в комплекс.
Объектом
исследования данной работы является теория геометрических
преобразований на плоскости.
Предмет
исследования: содержание и решение практических
задач в основе которых лежит теория геометрических
преобразований на плоскости.
Для
решения поставленных задач были использованы следующие методы:
·
анализ
математической литературы;
·обобщение  и обработка теоретических положений,
включаемых в работу;
·
подбор
и решение заданий для комплекса теории геометрических
преобразований.
Новизна
состоит
в следующем:
·
разработан
комплекс заданий теории геометрических преобразований;
·
приведены
решения заданий, включенных в комплекс.
Практическая
значимость состоит в том, что проанализированный и обобщенный
теоретический материал, а также разработанный комплекс заданий теории геометрических
преобразований на плоскости. может быть
использован учителями школы при изучении тем: "Центральная и осевая
симметрия. Поворот. Параллельный перенос. Подобие. Гомотетия", в их
практической деятельности для повышения качества и эффективности обучения.
Проектная работа
состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

ГЛАВА 1.ДВИЖЕНИЯ

Геометрические
преобразования.
     Преобразования -
одно из важнейших понятий математики, возникающее при рассмотрении разного рода
соответствий, связывающих элементы различной природы. (9).
    При геометрических
исследованиях часто приходится изменять все размеры той или иной фигуры в одном
и том же отношении, увеличить радиусы кругов на одну и ту же величину, вообще
сопоставлять данной фигуре другую, получаемую из нее по определенным правилам.
    Преобразование
называют соответствием, в силу которого каждому элементу Х некоторого множества
Х сопоставляется вполне определенный элемент у некоторого другого множества У.
Преобразование - отображение
некоторого множества М (наделенного некоторой структурой) в себя. Образ
элемента  а Î  М при преобразовании и обозначается    u(α)
или uα ,  или   α u
, или    αu .
Геометрическое преобразование плоскости - взаимно-однозначное отображение этой  пло   скости на себя. Наиболее важными геометрическими преобразованиями являются движения т.е. преобразования, сохраняющие расстояние. Иначе говоря, если  f-движение плоскости,
то для любых двух точек А, В этой     плоскости   расстояние   между   точками  f(A) и f(B)равно АВ (48).
Преобразование фигур в пространстве определяется таким же образом, как и преобразование фигур на
плоскости Помимо преобразования относительно точки и преобразования
относительно прямой, в пространстве рассматривают преобразование относительно
плоскости.
Движение в пространстве определяется таким же образом, как и на плоскости. При движении в
пространстве сохраняются расстояния между точками. И так же, как и на
плоскости, прямые переходят в прямые, отрезки в отрезки, углы между полупрямыми
сохраняются. Новым свойством, которым обладает движение в пространстве,
являются то, что при движении плоскость переходит в плоскость.

Центральная симметрия:
Определения:
Расстоянием между
двумя точками будем называть длину отрезка с концами в этих точках.
Преобразованием
пространства называется взаимно-однозначное отображение пространства на себя.
при любом преобразовании
пространства образы любых двух различных точек пространства различны и любые
две различные точки пространства являются образами двух его различных точек.

Преобразование пространства, при котором каждая точка пространства
отображается на точку, симметричную ей относительно точки, называется центральной
симметрией пространства относительно точки. При этом
точка  отображается на себя и называется центром симметрии.

рисунок 1

рисунок 2

Симметрия относительно
плоскости (зеркальная симметрия):
Определение.
Преобразование пространства, при котором сохраняются расстояния между любыми
двумя точками, называется движением пространства.
Свойства:
при движении в пространстве прямые переходят в прямые, полупрямые – в
полупрямые, отрезки – в отрезки, плоскости – в плоскости; сохраняются углы
между полупрямыми. Две фигуры называются равными, если они совмещаются
движением.
Определение. Преобразование пространства, при котором каждая точка
пространства отображается на точку, симметричную ей относительно
плоскости , называется симметрией пространства относительно
плоскости . Плоскость называется плоскостью симметрии.

рисунок 3

рисунок 4

рисунок 5

Поворот:

Определение. Поворотом фигуры вокруг
точки  O на
угол α в
заданном направлении называется такое ее преобразование, при котором
каждой точке X фигуры
соответствует такая точка X′, что OX′=OX, ∠X′OX=α и
луч OX′ откладывается
от луча OX в
заданном направлении.
Если точка O принадлежит фигуре, то ей соответствует она
сама.
Точка O называется центром поворота, α — углом
поворота.
Можно считать, что −180∘<α⩽180∘. При этом число α считается положительным, если направление
поворота против часовой стрелки, и отрицательным — если по часовой

Следствия
и остальные свойства.

Преобразование,
     обратное повороту, есть поворот с тем же центром на противоположный угол.
Композиция двух поворотов с общим
     центром есть поворот на угол, равный сумме углов данных поворотов
     (возможно, с точностью до прибавления или вычитания 360∘).
Поворот
     на нулевой угол является тождественным преобразованием.
Поворот, отличный от тождественного
     преобразования, имеет единственную неподвижную точку (центр поворота).
     Если угол поворота, отличного от тождественного преобразования, не
     равен 180∘,
     то неподвижных прямых нет.
Координатные
     формулы. Пусть
     точка M с
     координатами (x;y) при
     повороте с центром в начале координат на угол φ переходит в
     точку M′(x′;y′).
     Тогда x′=xcosφ−ysinφ и y′=ycosφ+xsinφ.

рисунок 6

рисунок 7
ц
рисунок 8
Параллельный
перенос:
Определение. Параллельным переносом на вектор называется такое
преобразование пространства, при котором любая точка  отображается на
такую точку , что выполняется векторное равенство  . Это перенос
(движение) всех точек пространства в одном и том же направлении, на одно и то
же расстояние
Если
плоскость (прямая) не параллельна вектору переноса, то при переносе на этот
вектор она отображается на параллельную ей плоскость (прямуюц).

рисунок 9
Осевая симметрия:
Определение. Осевая
симметрия — это симметрия относительно проведённой прямой (оси).

рисунок 10

рисунок 11

рисунок 12

ГЛАВА 2. ПОДОБИЯ

Подобие:
Подобием
называется такое преобразование на множестве точек плоскости, которое изменяет
расстояние между произвольными точками плоскости в постоянное число раз  k ( k>
0), то есть, какие бы две точки   M и  N  мы не взяли, в результате
преобразования подобия они перейдут в такие точки  M¢
и  N¢
, что   M¢N¢ = k×
MN, где через  MN  обозначено расстояние между точками  M и N,  k –
коэффициент, число положительное (7).
Каждое движение так же
можно рассматривать как преобразование подобия с коэффициентом k = 1.

рисунок 13

Гомотетия:
         Ученики 10
класса хорошо знакомы, а ученики 9 класса уже познакомились с такими
геометрическими преобразованиями  плоскости как поворот вокруг некоторой
точки на заданный угол, параллельный перенос, осевая и центральнаясимметрии.
Наша задача: сделать небольшой шаг за рамки школьного учебника и изучить еще
несколько замечательных преобразований плоскости. Начнем мы с гомотетии.
         Определение 1.
Гомотетией с центром О и коэффициентом к¹0 называется геометрическое преобразование, которое произвольно взятую точку А переводит в такую точку А', что ОА' = к×ОА () (рис. 8).
Гомотетия переводит каждую прямую в параллельную ей прямую, каждую окружность снова переводит в окружность. Гомотетия сохраняет углы, а все длины увеличивает в | к
| раз: если при гомотетии точки А, В переходят в А'В', то А'В¢= êкê×АВ.Из этого вытекает, что гомотетия сохраняет форму (но не размеры) фигур; если, например, к >
1, то фигура F¢, в которую переходит
фигура Fпри гомотетии с центром О и коэффициентом к,представляет собой увеличенную копию фигуры F(рис. 1), а если 0<к< 1-уменьшенную копию.
Поскольку при гомотетии все длины изменяются в одинаковое число раз, отношение длин не меняется. На этом основаны различные
способы оценки расстояний; например, зная длину руки и длину большого пальца и прикинув, сколько раз большой палец вытянутой руки укладывается в видимом образе предмета, можно найти
отношение высоты  вертикального предмета к
расстоянию до него (на рис. 9) имеем АВ:ВО = А'В¢: В¢ О, откуда, измерив  ВО, можно найти АВ, а потому и высоту трубы, которая примерно втрое больше   АВ(48)
.

рисунок 15

Фигура  F называется подобной
фигуре  F¢, если существует преобразование подобия, при котором
F  ®
F¢.
Подобная фигура является отношением эквивалентности, то есть обладает
свойствами: рефлексивности, симметричности и транзитивности.
     Преобразование
подобия точки, лежащие на одной прямой, преобразуются в точки , так же лежащие
на одной прямой с сохранением порядка их следования. Действительно,
соотношение  АВ + ВС = АС выполняется только для трех точек одной прямой,
таких, что В лежит между А и С . Но из справедливости этого отношения для А,В,С
следует что
A¢B¢
+ D¢C¢
= kAB + kBC
= k ( AB
+ BC ) = kAC
= AC   ,то есть точки А¢,
В¢,
С¢,
так же лежат на одной прямой и В  находится между А¢С¢
Подобие есть взаимно –
однозначное отражение эвклидова пространства –пространство, свойства, которого
описываются аксиомами евклидовой геометрии. (20 (Т2); 395) на себя. Подобие
сохраняет порядок точек на прямой, то есть, если точка В лежит между точками А
и С и В¢,
А¢
,С¢
- соответствующие их образы при некотором подобии, то  В  так же лежит между
точками А¢, С¢ точки , не лежащие на прямой, при
любом подобии переходят в точки, не лежащие на одной прямой. Подобие
преобразует прямую в прямую; отрезок в отрезок; луч в луч; угол в угол;
окружность в окружность. Однако,
в отличие от гомотетии,
подобие может переводить
прямую в прямую, не параллельную ей. При подобии угол сохраняет величину (рис. 10).

Простейшие свойства
гомотетии:
  1. Гомотетия есть
взаимнооднозначное отображение евклидова пространства в себя с одной
неподвижной точкой.
 2. При к = 1 гомотетия
есть тождественное преобразование.
 3. Гомотетия задается
чаще всего (геометрически) центром гомотетии и парой соответственных точек.
Гомотетия есть аффинное преобразование – взаимно однозначное точечное
отображение плоскости на себя, при котором трем точкам, лежащим на одной прямой
соответствуют три точки, так же лежащие на одной прямой (20 (Т1);362)-имеющие
одну (и только одну) двойную точку.
На рис. 11 и 12  изображены
два плана Р и Р¢,  одного и того же участка местности, выполненные в разных масштабах и по-разному лежащие   на   плоскости.   Эти   планы   представляют собой подобные, но не гомотетичные фигуры;
например,   прямая   АВ   и   соответствующая
ей прямая А1В1не параллельны. Чтобы получить план
Р¢, исходя из плана Р, можно
поступить   так:   сначала   повернуть план   Р,   чтобы   его   стороны   стали   параллельными сторонам плана Р¢; а затем применить гомотетию. Иначе говоря, план Р¢подобный   Р,   получается   из   Р   при
помощи композиции  движения  (поворота)  и   гомотетии.

Р

Р¢
     В элементарной
геометрии теория подобия опирается на учение о пропорциональности отрезков.
Такой подход был осуществлен еще в «Началах» Евклида, где подобию посвящена 6
книга. Подобие многоугольников определяется следующим образом: два
многоугольника подобны, если стороны одного пропорциональны сторонам другого, а
углы между пропорциональными сторонами равны.
        Для подобия
треугольников необходимым и достаточным является  каждый из следующих
признаков:
 1.Стороны одного
пропорциональны сторонам другого;
 2. Два угла одного равны
двум углам другого;
 3.Две стороны одного
пропорциональны двум сторонам другого, а углы между этими сторонами равны;
 4. Две стороны одного
пропорциональны двум сторонам другого, а наибольший угол одного равен
наибольшему углу другого.
      Два многоугольника
подобны тогда и только тогда , если между их точками можно установить
взаимнооднозначное соответствие, при котором треугольники с вершинами лежащими
в соответствующих точках подобны. Это свойство принимается за определение
подобия произвольных фигур. Правильные одноименные многоугольники подобны между
собой; подобны так же все окружности. В подобных фигурах углы между каждыми
двумя линиями одной фигуры равны углам между соответствующими линиями другой, а
отношение расстояния между двумя точками одной фигуры к расстоянию между
соответствующими точками другой равно постоянному числу, называемому коэффициентом
подобия.
      Площади замкнутых
подобных фигур относятся, как квадраты их коэффициентов подобия, а объемы – как
кубы.
     Геометрическое
преобразование, при котором каждый треугольник переходит в треугольник,
подобный ему, называется подобным преобразованием. Подобное
преобразование является частным случаем аффинного преобразования. Две фигуры
подобны тогда и только тогда, когда
            Таким образом,
мы доказали, что интересующие нас прямые пересекаются на большой окружности в
точке С нетрудно видеть, что точка С однозначно определена хордой MN –
это точка через которую проходит касательная к большой окружности, параллельная
рассматриваемой хорде

ГЛАВА 3. ЗАДАЧИ С
ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ

Задачи
на центральную симметрию
Задача .
В какую точку перейдет точка  при
центральной симметрии относительно точки ?
Найти координаты получившейся точки .

рисунок 19
Решение
Вариант .
Если точка  переходит
в некоторую точку ,
то  –
середина .
Значит, координаты точки  есть
полусумма координат  и :

То есть точка  имеет
координаты .
Вариант .

Получаем: .
То есть .
Ответ: .
Задача .
Докажите, что при центральной симметрии прямая, не проходящая через центр
симметрии, перейдет в прямую, параллельную исходной.
Решение
Пусть .
Нужно доказать, что  (Рис.
10).

рисунок 20Иллюстрация к условию
Точка  перешла
в точку ,
а точка  –
в точку .
Образовалась прямая ,
т.к. образом прямой при движении является прямая.
Распишем вектор :  (коллинеарные
векторы). Значит, .

Задачи на осевую симметрию
Задача .
Есть ли ось симметрии у прямоугольного параллелепипеда?
(Рис. 21)

рисунок 21
Решение
Рассмотрим прямую, проходящую через центр любой грани
параллелепипеда, перпендикулярно ей (Рис. 19).

рисунок 22
Рис. 16.
Перпендикулярная прямая, проходящая через центр грани
Тогда очевидно, что каждое перпендикулярное сечение
будет симметрично относительно этой оси (повернув прямоугольник на ,
получим такой же прямоугольник), а значит, и вся фигура также будет
симметрична.
Ответ: да, есть.
Задача .
Рассмотрим правую перчатку. Проведем через средний палец ось параллельно пальцу
и сделаем осевую симметрию перчатки относительно этой оси. В какую перчатку:
правую или левую перейдет исходная перчатка?
Ответ: В правую перчатку, ведь это просто поворот относительно
прямой на .

Задачи на поворот
Задача. Построить отрезок , который получается из отрезка  поворотом вокруг данного
центра  на:
а) -150
б) 100
в) 180
Решение.
Для поворота
отрезка, повернем концы этого отрезка. Для того, чтобы повернуть точку А,
построим прямую ОА. От точки О с помощью транспортира отметим 150° (мы помним,
что если угол меньше 0, то поворачиваем по часовой стрелки, то есть угол будем
откладывать в эту сторону). С помощью циркуля измеряем расстояние АО и отложим
это расстояние на получившейся прямой.

рисунок 23
Поставим точку А1. Аналогично,
построим точку B1. Тогда получившийся отрезок A1B1 –
искомый. Для того, чтобы выполнить поворот на 100°, надо 100° отложить против
часовой стрелки.

рисунок 24
Все остальные построения проводятся
аналогично тому, как мы делали в первом пункте. При повороте на 180° точка A1 будет
лежать на продолжении прямой ОА. Точка B1 будет лежать на
продолжении прямой OB.

рисунок 25

Задача. Постройте треугольник, который получается
из данного треугольника  поворотом вокруг:
а) точки
А на 80 градусов
б) вокруг
точки О, не лежащей внутри треуольника на 50 градусов
в)  вокруг
точки О, лежащей внутри треугольника на -65 градусов
Решение.
Строить треугольник будем по точкам.
Поскольку центром поворота является точка А, то она отображается сама на себя.
Отобразим точку B. От точки А отложим против часовой стрелки угол равный 80°.
Отложим на этой прямой отрезок равный стороне AB и получим точку B1.
Аналогично построим точку C1. Тогда треугольник AB1C1 –
искомый.

рисунок
26
Проведя аналогичные построения, построим
треугольники A1B1C1 для остальных двух
случаев.

рисунок 27 ; 28

Задачи на параллельный перенос:
Задача: начертить треугольник АВС и вектор а .
Построить треугольник А1В1С1, который получится из треугольникa АВС
параллельным переносом на вектор а.
Решение: отобразим с помощью параллельного переноса
точки А, В, С в точки А1, В1,С1. Соединив
полученные точки, мы получим искомый треугольник А1В1С1.

рисунок 28

Задача: начертить пятиугольникABCDE и вектор a. Построить пятиугольник A1B1C1D1E1, который получится из пятиугольника ABCDE параллельным переносом на вектор a.
Решение:
решать эту задачу будем аналогично тому,
как мы решали предыдущую задачу. Отобразим каждую вершину пятиугольника с
помощью параллельного переноса на вектор a. Соединим получившиеся точки и получим искомый пятиугольник A1B1C1D1E1.

рисунок 29

ЗАДАЧИ
НА ПОДОБИЕ
Для девятого
класса:
Проектор
полностью освещает экран A высотой 80 см, расположенный на
расстоянии 250 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах)
от проектора нужно расположить экран B высотой 160 см, чтобы
он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?

рисунок 30
Решение.
Заметим, что
высота экрана, расположенного на расстоянии 250 см, в 2 раза меньше высоты
экрана, расположенного на искомом расстоянии, значит, по теореме о средней
линии, искомое расстояние в два раза больше первоначального экрана: 250·2 =
500.

Ответ: 500.

Человек ростом
1,7 м стоит на расстоянии 8 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень
человека равна четырем шагам. На какой высоте (в метрах) расположен фонарь?

рисунок 31
Решение.
Столб и
человек образуют два прямоугольных треугольниках ABC и FEB.
Эти треугольники подобны по двум углам. Пусть высота фонаря равна  тогда, поскольку расстояние от фонаря до конца тени равно 12
шагов, получаем:AC:FE=BC:BE
 откуда(1.7*12)/4

Поэтому
фонарь расположен на высоте 5,1 м.

Ответ: 5,1.

Короткое плечо шлагбаума имеет длину 1 м, а длинное плечо – 3 м.
На какую высоту (в метрах) опустится конец короткого плеча, когда конец
длинного плеча поднимается на 1,8 м?

рисунок 32

Решение.
Найдём синус
угла, на который поднимается длинное плечо:

Угол подъема
длинного плеча равен углу на который опустится короткое плечо. Пусть x —
высота, на которую опустится короткое плечо, имеем:

Таким
образом, короткое плечо опустится на 0,6 м.

Ответ: 0,6.

Человек ростом
1,8 м стоит на расстоянии 12 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 5,4
м. Найдите длину тени человека в метрах.

рисунок 33
Решение.
Столб и
человек образуют два прямоугольных треугольниках ABC и FEB.
Эти треугольники подобны по двум углам. Пусть длина тени равна x, тогда

откуда

Поэтому длина
тени равна 6 м.

Ответ: 6.

На каком
расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 2 м, если длина его
тени равна 1 м, высота фонаря 9 м?

рисунок 34
Решение.
Введём
обозначения, как показано на рисунке. Рассмотрим прямоугольные
треугольники  и  они имеют общий угол  и, следовательно, подобны по двум углам. Значит,  откуда  Получаем, что

Ответ: 3,5.

Для одиннадцатого класса:
В
треугольнике АВС проведены высоты АК и СМ.
На них из точек М и К опущены
перпендикуляры МЕ и КН соответственно.

а) Докажите,
что прямые ЕН и АС параллельны;
б) Найдите отношение ЕН : АС, если
угол АВС равен 30°.
рисунок 35
Решение.
Заметим, что
отрезок AC виден из точек K и M под
углом 90°, поэтому точки М, К, С и А лежат
на одной окружности, диаметром которой является отрезок АС.
Аналогично, точки M, K, H, E лежат
на окружности, диаметром которой является MK.
Пусть  Тогда , так как они опираются на одну дугу KC в
окружности, описанной вокруг четырёхугольника AMKC. Кроме
того,  так как они опираются на одну дугу KH в
окружности, описанной вокруг четырёхугольника MKHE. Так как  прямые EH и АС параллельны,
поскольку это соответственные углы при пересечении EH и AC секущей OA.
Это и требовалось доказать.

б) Используем
подобие треугольников:
,  кроме того,  поэтому  тогда EH =
Тем самым
искомое отношение длин сторон равно 3:4.

Приведем
другое решение пункта б).
Пусть КС = 2x,
тогда из треугольника KHC находим HC = X,
из ΔOKC: ∠KOC = 30°, тогда OC = 4x,
откуда
В силу
подобия ΔOEH и ΔОАС получаем:

рисунок 36

Приведем
решение Александра Шевкина (Москва).
а) Построим
вспомогательную окружность с диаметром MK. Она пройдёт через
точки E и H, так как
Построим
вспомогательную окружность с диаметром AC. Она пройдёт через
точки M и K, т. к.
По свойству
вписанных углов , а , значит, . А это соответственные углы при прямых ЕН и АС и
секущей AE. Из равенства этих углов следует параллельность
прямых ЕН и АС, что и требовалось доказать.
б)
Прямая MK, проходящая через основания высот треугольника ABC,
отсекает треугольник KMB, подобный треугольнику ABC.
Коэффициент подобия равен
Рассмотрим
треугольники MOK и EOH. Они подобны по двум
углам:  (свойство вписанных углов),  (вертикальные). Коэффициент подобия равен
Умножив
полученные равенства

найдём
отношение  оно
равно

Ответ: 3:4

Приведем
решение Софии Николенко (Москва).
а) Пусть
высоты АК и СМ пересекаются в точке О.
Рассмотрим треугольник AMO. В нем ME является
высотой, проведенной к гипотенузе, поэтому треугольники AME и OME подобны,
а углы MAE и OME равны. Пусть эти углы равны
α, тогда ∠MOE = 90° − α. Углы KOH и MOE равны
90° − α, тогда угол OKH равен α.
Углы EMO и OKH равны так как опираются на
одну дугу EH, таким образом, в четырехугольник EMKH можно
вписать в окружность.
Четырехугольник AMKC также
можно вписать в окружность с диаметром AC. Углы KAC и KMC равны,
углы KEH и KMC тоже равны, поэтому угол KEH равен
углу KAC. Углы KEH и KAC являются
соответственными при пересечении прямых EH и AC секущей AO.
Таким образом, прямые EH и AC параллельны.
б) Рассмотрим
треугольник AMO, пусть ME = x, тогда

Рассмотрим
треугольник AME, в нем:

ТреугольникиAOCиEOH подобны
по двум углам. Значит,  откуда

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Геометрические преобразования играют исключительно важную роль в
геометрии. Более того, известна трактовка геометрии как науки о свойствах
фигур, инвариантных относительно группы геометрических преобразований.
Последнюю широко применяют в таких научных областях как физика, химия, биология
и т.д.
Применение во внеурочной работе мероприятий на тему
«Геометрические преобразования» не только повысит уровень знаний учащихся, но и
позволит им освоить способы решений широкого класса задач на доказательство, вычисление,
построение и исследование.
В заключении хочется сказать, что использование геометрических
преобразований в школьном курсе имеет большое методическое значение. Методы
симметрии, поворота, параллельного переноса, гомотетии позволяют учащимся решать
большой класс задач. Использование метода геометрических преобразований при
решении задач развивает образное мышление, способствует развитию различных форм
мыслительной деятельности школьников. Геометрические
преобразования являются связующим звеном между курсами алгебры и геометрии. Они
используются при построении графиков функций и служат хорошим материалом для
развития пространственного воображения, творческих способностей учащихся,
воспитания интереса к предмету, самостоятельности, инициативы и других качеств
личности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
Аммосова Н.В. «Движение
фигур на плоскости, их положение и композиция движения» // Математика в школе.
– 1987-№3 с.6
Большая советская
энциклопедия, М., «БЭС»,1957, т.23,с 413
Большой справочник для
школьников. Математика. Изд.дом «Дрофа»   2000.
Вейль Г., Симметрия, пер.
с англ., М., 1968.
Вульф Г.В., Симметрия и
ее проявление в природе,5 изд., М.-1959.
 Гинзбург А.И., Симметрия
на плоскости , Харьков, 1964,
Леонтьев А. Н.
Деятельность, сознание, личность. – М., Политизд.,  1975.
Математическая
энциклопедия, М., «Советская энциклопедия: 1984.-Т1, Т2, Т4.
Математический
энциклопедический словарь - М.: Советская энциклопедия, 1988
Подходова Н.С.
Теоретические основы построения курса геометрии 1-6 классов (Целостный подход в
обучении геометрии). //Наука и школа.-1999, №1, с 20.
Энциклопедия для детей.
Т.11 Математика/ Глав. Ред. М.Д. Аксенова.- М.: Аванта+, 2000.

file_name: проект Роль геометрических преобразований в решении задач школьного курса математики.docx

alt: ЧАСТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ-

alt: Именно тако йматериал станет связующим звеном между первым увлечением удивительным миром преобразований и уже серьезным изучением теории геометрических преобразований , что обосновывает актуальность выбранной темы

alt: Новизна состоит в следующем: · разработан комплекс заданий теории геометрических преобразований ; · приведены решения заданий, включенных в комплекс

alt: ГЛАВА 1.ДВИЖЕНИЯ

alt: Поворот : Определение. Поворотом фигуры вокруг точки

alt: Композиция двух поворотов с общим центром есть поворот на угол, равный сумме углов данных поворотов (возможно, с точностью до прибавления или вычитания 360 ∘ )

alt: Параллельный перенос: Определение

alt: рисунок 10 рисунок 11 рисунок 12

alt: ГЛАВА 2. ПОДОБИЯ Подобие:

alt: Определение 1 . Гомоте тией с центром

alt: ГЛАВА 3. ЗАДАЧИ С ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ

alt: Пусть . Нужно доказать, что (Рис

alt: Задачи на параллельный перенос:

alt: Найдите отношение ЕН : АС , если угол

alt: Приведем другое решение пункта б)

alt: Рассмотрим треугольники MOK и

alt: Рассмотрим треугольник AME , в нем:

alt: Большая советская энциклопедия,

intro:
Настоящая работа обращается к геометрическим преобразованием на плоскости и в пространстве при решении задач в школьном курсе математики. Цель исследования: разработать комплекс практических задач, в основе которых лежит теория геометрических преобразований на плоскости..
Для достижения данной цели определили следующие задачи исследования:
1.	Выполнить анализ и обобщить результаты математической литературы по теории геометрических преобразований на плоскости.
2.	Выстроить логическую цепочку из определений и свойств из теоретического материала теории геометрических преобразований на плоскости.
3.	Разработать комплекс заданий теории геометрических преобразований на плоскости.
4.	Показать решение заданий, включенных в комплекс.
Объектом исследования данной работы является теория геометрических преобразований на плоскости.
Предмет исследования: содержание и решение практических задач в основе которых лежит теория геометрических преобразований на плоскости.
Для решения поставленных задач были использованы следующие методы:
•	анализ математической литературы;
•	обобщение  и обработка теоретических положений, включаемых в работу;
•	подбор и решение заданий для комплекса теории геометрических преобразований.
Новизна состоит в следующем:
•	разработан комплекс заданий теории геометрических преобразований;
•	приведены решения заданий, включенных в комплекс.
Практическая значимость состоит в том, что проанализированный и обобщенный теоретический материал, а также разработанный комплекс заданий теории геометрических преобразований на плоскости. может быть использован учителями школы при изучении тем: "Центральная и осевая симметрия. Поворот. Параллельный перенос. Подобие. Гомотетия", в их практической деятельности для повышения качества и эффективности обучения.
Проектная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

математика

group: Дисциплины

tags: ЧОУ-СОШ "Новый путь"

title: Роль геометрических преобразований в решении задач школьного курса по математике


extracted_text:
АКТ
(заключение)
аудиторского
контроля финансово-хозяйственной деятельности совместного
украинско-швейцарского предприятия «Гермес» (СП «Гермес»)
г.
Киев                                                                                26
января 199 _ г.
Аудитором
аудиторской фирмы «Киеваудит-1» Ассоциации бухгалтеров и аудиторов Украины
кандидатом экономических наук В. П. Горилым проведен аудиторский контроль финансово-хозяйственной
деятельности СП «Гермес» по данным бухгалтерского учета и отчетности за
периода с 1 января 199 ___ г. по 31 декабря 199 _ г.
1.
Вступительная часть
Основание
для проведения аудиторского контроля
Задание
аудиторской фирмы «Киеваудит-1» на проведение аудиторского контроля в СП
«Гермес» согласно договору от 20 декабря 199 _ г. № 142. Лицензия на право
занятия аудиторской деятельностью от 15 мая 199 _ г. серия АБ № 100140,
сертификат серия АБ № 000062.
Лица,
ответственные за финансово-хозяйственную деятельность
Генеральный
директор Хоменко Александр Петрович — за весь период деятельности согласно п.
10 Устава СП «Гермес».
Главный
бухгалтер Ющенко Сергей Петрович ответственный за состояние бухгалтерского
учета и отчетности — за весь контролируемый период.
Аудиторский
контроль проведен при участии генерального директора Хоменко А. П. и главного
бухгалтера Ющенко С. П.
Аудит начат
10 января 199 _ г.
Аудит закончен
26 января 199 _ г.
Вопросы,
поставленные на решение аудиторского контроля
1. Проверить
состояние бухгалтерского учета финансово-хозяйственной деятельности СП «Гермес»
на соответствие его законодательству и нормативно-правовым актам за период с 1
января 199 _ г. по 31 декабря 199 _ г.
2. Сделать
выводы относительно достоверности бухгалтерского баланса и отчетности о
финансово-хозяйственной деятельности СП «Гермес» и правильности распределения
прибыли за 199 _ г.
Документы,
предъявленные для аудиторского контроля
Сплошной
проверке подвергнуты первичные документы по кассовым, банковским операциям, по
оплате труда и заработной плате, кредитным операциям, основным средствам,
финансовой деятельности за период с 1 января 199 _ г. по 31 декабря 199 _ г.
Выборочной
проверке подвергнуты документы по поставкам товаров зарубежными поставщиками
за март, июнь, сентябрь и декабрь 199 _ г.
Учетные
аналитические регистры проверены сплошным порядком по учету кассовых и
банковских операций, ценных бумаг, труда и заработной платы, резервов и фондов,
расчетно-кредитных операций, расчетов с бюджетом по уплате налогов, финансовым
результатам.
Регистры
аналитического учета — машинограммы. Главная книга, а также текущая и годовая
отчетность, бухгалтерские балансы — проверены по отчетным периодам — март,
июнь, сентябрь, декабрь 199 _ г.
Юридическая
правомочность СП «Гермес»
Совместное
украинско-швейцарское предприятие СП «Гермес» создано в соответствии с
договором о намерениях от 30 мая 199 _ г. между Киевской коммерческой фирмой №
1, размещенной на улицe Старокиевской, 16 в г. Киеве
(украинский участник), и «Монголф», Швейцарской конфедерацией, г. Берн, 22
Гларус (иностранный участник). СП «Гермес» финансово-хозяйственную деятельность
осуществляет в соответствии с уставом и законодательством Украины.
Учредительные документы зарегистрированы администрацией Старокиевского района
г. Киева 10 июня 199 _ г.
Предметом и
целью деятельности СП «Гермес» являются организация и хозяйственная
деятельность предприятий торговли и общественного питания; осуществление
экспортно-импортных операций для обеспечения нужд СП «Гермес» в соответствии
с действующим законодательством и учредительскими документами.
В структуре СП
«Гермес» по состоянию на 1 января 199 _ г. находится 15 магазинов розничной
торговли непродовольственными и продовольственными товарами, рестораны «Крещатик»
и «Днепр», размещенные в центральных районах г. Киева.
2.
Исследовательская часть
При
исследовании хозяйственных операций аудитором изучены документы, учетные
регистры, бухгалтерский баланс и отчетность СП «Гермес» за период с 1 января
199 _ г. по 31 декабря 199 _ г., а также нормативно-правовая документация,
регулирующая финансово-хозяйственную деятельность совместных предприятий в
Украине. Аудитор применял следующие методические приемы: расчетно-аналитические
(экономический анализ, статистические расчеты); документальные — информационное
моделирование, нормативно-правовое регулирование; исследование документов — по
форме и содержанию, встречную проверку документов, взаимный контроль операций,
расчетно-аналитическую и логическую проверку документов; группирование данных,
полученных в процессе исследования, — хронологическое, систематизированное и
хронологическо-систематизированное.
2.1.
Исследование по первому вопросу — Проверить состояние бухгалтерского
учета финансово-хозяйственной деятельности СП «Гермес» на соответствие его
законодательству и нормативно-правовым актам за период с 1 января 199 _ г.
по 31 декабря 199 _ г.
Организация и
методология бухгалтерского учета финансово-хозяйственной деятельности СП
«Гермес» осуществляется в соответствии с Законом Украины «О предприятиях», а
также нормативно-правовыми актами о предпринимательской деятельности.
Первичные
документы по учету финансово-хозяйственной деятельности составлены на типовых
формах, утвержденных Госкомстатом Украины. Хозяйственные операции в первичных
документах отражают согласно нормативным актам о документах и документообороте
в бухгалтерском учете, утвержденным Минфином и Госкомстатом Украины.
Вместе с тем
аудитором выявлены факты нарушения Порядка ведения кассовых операций в народном
хозяйстве Украины, утвержденного постановлением Национального банка Украины,
при уплате пошлины сотрудникам Киевской таможенной службы. Такие выплаты
проведены сотрудникам таможенной службы по частным распискам, в долларах США:

Осуществленные
операции наличными деньгами в долларах США в соответствии с действующими в
Украине нормативно-правовыми актами являются противоправными.
Аудитом
выявлены факты нарушения Инструкции о служебных командировках, утвержденной
Минфином Украины и Министерством труда и соцполитики Украины. В тех случаях,
когда документы, подтверждающие проезд работника в командировку, не
предъявлены бухгалтерии, руководитель предприятия имеет право разрешить выплаты
по минимальной оплате. Этот порядок не соблюден, оплата проводится по тарифу
стоимости проезда в мягком вагоне. Переплачено работникам при командировках 10
370 грн.
Хозяйственные
операции в бухгалтерском учете СП «Гермес» отражены в соответствии с Планом
счетов бухгалтерского учета финансово-хозяйственной деятельности предприятий,
утвержденному Министерством финансов Украины.
Бухгалтерский
учет осуществляется по машино-ориентированной форме на базе персональных
электронных вычислительных машин (ПЭВМ).
Хозяйственные
операции в бухгалтерском учете СП «Гермес» отражены своевременно, аналитический
и синтетический учет между собой тождественны, расхождений не выявлено.
2.2.
Исследование по второму вопросу — Сделать заключения о достоверности
бухгалтерского баланса и отчетности о финансово-хозяйственной деятельности СП
«Гермес» и правильности распределения прибыли за 199 __ г.
Отчетность СП
«Гермес» составлена в соответствии с нормативными документами о бухгалтерских
отчетах и балансах, утвержденными Минфином и Госкомстатом Украины.
Аудиторской
проверке подвергнуты баланс СП «Гермес» (ф. № 1) по состоянию на 1 января 199 _
г.; отчет о финансовых результатах и их использовании (ф. .№ 2); отчет о
финансово-имущественном состоянии предприятия (ф. № 3). В перечисленных
отчетных формах в полном объеме отражена финансово-хозяйственная деятельность
СП «Гермес» за 199 _ г. Внеуставной деятельности не выявлено. Проверив
содержание указанных отчетных форм, аудит установил, что показатели в них
взаимосвязаны и тождественны между собой, соответствуют данным регистров
бухгалтерского учета, Главной книги и бухгалтерского баланса.
Прибыль
за 199 _ г. составляет, грн.                                     22 575
Отчислено в
резервный фонд СП
согласно
Уставу (25 575 15) : 100                                              3836
Начислен налог
на прибыль
(25 575 30) :
100
7672
Прибыль к
распределению между учредителями СП           11 067
Распределение
прибыли, оставшейся в распоряжении СП, грн.
Отчислено на
социальное развитие                                         4000
Доля прибыли
иностранного участника —
фирмы
«Монтголф» (7067 57) : 100                                        4028
Доля прибыли
украинского участника
(7067 43) :
100                                                                            3039
Образование
прибыли и ее распределение соответствуют нормативно-правовым актам, Уставу и
данным бухгалтерского баланса и отчетности за 199 _ г. Распределение прибыли
произведено согласно решению правления СП «Гермес».

Формирование
уставного фонда соответствует аналитическому и синтетическому бухгалтерскому
учету и отчетности СП «Гермес» за 199 _ г.
Статьи
бухгалтерского баланса подтверждены инвентаризацией, проведенной в
соответствии с нормативными документами о бухгалтерских отчетах и балансах,
действующими в Украине.

3.
Результативная часть (выводы)
Аудитором
исследованы представленные заказчиком СП «Гермес» документы по форме и
содержанию, изучены пояснения работников предприятия. На основании проведенного
исследования сделаны выводы по вопросам, поставленным заказчиком.
3.1. По
первому вопросу — Проверить состояние бухгалтерского учета
финансово-хозяйственной деятельности СП «Гермес» на соответствие его
законодательству и нормативно-правовым актам за период с 1 января 199 __ г. по
31 декабря 199 _ г.
Аудиторская
проверка бухгалтерского учета финансово-хозяйственной деятельности СП «Гермес»
за период с 1 января 199 _ г. по 31 декабря 199 _ г. позволяет сделать вывод,
что состояние бухгалтерского учета соответствует законодательству и
нормативно-правовым актам Украины. В бухгалтерском учете своевременно в полном
объеме и правильно отражено финансово-хозяйственная деятельность СП «Гермес» за
проверенный период. Внеуставной деятельности не выявлено. Вместе с тем аудитом
выявлено нарушение нормативных актов при осуществлении валютных операций и
компенсации расходов работникам за период командировок.
3.2. По
второму вопросу — Сделать вывод о достоверности бухгалтерского баланса и
отчетности о финансово-хозяйственной деятельности СП «Гермес» и правильности
распределения прибыли за 199 __ г.
Аудиторская
проверка бухгалтерского баланса и отчетности, представленных заказчиком СП
«Гермес» за 199 __ г., дает основания утверждать, что они составлены в
соответствии с действующими в Украине нормативными актами по вопросам
бухгалтерского учета и отчетности СП, подтверждены инвентаризацией статей
бухгалтерского баланса, что полностью подтверждается аудиторским заключением.
4.
Предложения и рекомендации СП «Гермес»
4.1. В осуществлении
кассовых и валютных операций соблюдать нормативные акты о валютных операциях
регулирования и валютного контроля, а также о ведении кассовых операций в
народном хозяйстве Украины. Выручку из магазинов приходовать в центральной
кассе. Деньги из кассы выдавать только по кассовым документам типовой формы,
утвержденным Госкомстатом Украины и Национальным банком Украины в валюте
Украины.
4.2. Оплату
пошлины проводить Киевской таможенной службе по безналичной форме в порядке
плановых платежей через учреждение банка в валюте Украины. Произвести
перерасчет средств, выплаченных Киевской таможенной службе в иностранной
валюте, по курсу национальной валюты Украины и отразить в бухгалтерском учете.
4.3. При
возмещении расходов работникам во время командировок соблюдать Инструкцию о
служебных командировках, утвержденную Министерством финансов Украины и Министерством
труда и социальной политики Украины.
Аудитор
аудиторской фирмы «Киеваудит-1»
Ассоциации
бухгалтеров
и аудиторов
Украины                                                   В. П. Горилый

Ознакомлены
Генеральный
директор
СП
«Гермес»                                                                  А. П.
Хоменко
Главный
бухгалтер                                                        С. П. Ющенко