extracted_text:
Министерство
образования и науки Самарской области
государственное
автономное профессиональное образовательное учреждение Самарской области
«ТОЛЬЯТТИНСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ
КОЛЛЕДЖ»

сборник методических указаний для ОБУЧАЮЩИХСЯ
 по выполнению ПРАКТИЧЕСКИХ работ
НА ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЯХ
ЕН.01 ЭЛЕМЕНТЫ
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

программы
подготовки специалистов среднего звена
09.02.07
Информационные системы и программирование

Тольятти,
2018

ОДОБРЕНО

методической
    комиссией
ЕН
    и ОД
протокол
    от  21 мая  2018  № 10

Председатель
    МК
________________/Г.И.
    Рожнова/

Составитель:
Рожнова Г.И. преподаватель ГАПОУ СО «ТМК».

Сборник
методических указаний для обучающихся по выполнению практических работ на практических
занятиях является частью программы подготовки специалистов среднего звена ГАПОУ
СО «ТМК» по специальности 09.02.07 Информационные системы и программирование в соответствии с
требованиями  ФГОС СПО.
Сборник методических
указаний по выполнению практических работ адресован  обучающимся очной формы
обучения при изучении дисциплины ЕН.01 Элементы высшей математики.
Настоящий сборник
методических указаний включает в себя пояснительную записку, рекомендации по
оформлению отчётов по выполняемым практическим работам, непосредственно
методические указания по выполнению каждой работы в соответствии с рабочей
программой дисциплины ЕН.01 Элементы высшей математики.

Содержание

Пояснительная записка

4

Введение

5

Практическая работа №1  Решение задач
  с комплексными числами

6

Практическая работа №2  Вычисление
  пределов с помощью замечательных пределов, раскрытие неопределённостей

10

Практическая работа №3  Полное
  исследование функций. Построение графиков

14

Практическая работа №4  Вычисление
  площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определённого
  интеграла

20

Практическая работа №5  Вычисление
  частных  производных и дифференциалов  функций  нескольких переменных

25

Практическая работа №6  Вычисление
  двойных интегралов

29

Практическая работа №7  Определение
  сходимости числовых рядов

37

Практическая работа №8  Решение дифференциальных  уравнений

42

Практическая работа №9  Нахождение обратной матрицы

54

Практическая работа №10  Решение системы линейных уравнений по
  формулам Крамера, методом Гаусса и с помощью обратной матрицы

58

Практическая работа №11 Решение задач по аналитической
  геометрии

63

1.      Пояснительная
записка
Методические
указания к выполнению практических занятий по дисциплине ЕН.01 Элементы высшей
математики предназначены для закрепления теоретических знаний, полученных на
лекциях, а также для овладения обучающимися умений и навыков применять эти
знания при самостоятельной работе.
Перечень
практических занятий соответствует рабочей программе по дисциплине ЕН.01
Элементы высшей математики.
Методические
указания выполняют функцию управления самостоятельной работой обучающегося,
поэтому каждое занятие имеет унифицированную структуру, включающую определение
целей занятия, оборудования занятия, порядок выполнения работы, а также задания
и контрольные вопросы для закрепления темы.
В результате освоения учебной дисциплины
обучающийся должен уметь:

Код

Наименование
  образовательного результата

У1

Выполнять операции над
  матрицами и решать системы линейных уравнений

У2

Решать задачи, используя
  уравнения прямых и кривых второго порядка на плоскости

У3

Применять методы
  дифференциального и интегрального исчисления

У4

Решать дифференциальные
  уравнения

У5

Пользоваться понятиями
  теории комплексных чисел

В результате освоения учебной дисциплины
обучающийся должен знать:

Код

Наименование
  образовательного результата

З1

Основы математического
  анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии

З2

Основы
  дифференциального и интегрального исчисления

З3

Основы теории комплексных чисел

2.      Введение
Уважаемый
обучающийся!
Методические
указания по дисциплине ЕН.01 Элементы высшей математики для выполнения
практических  работ созданы Вам  в помощь для работы на занятиях,
подготовки к практическим  работам, правильного составления отчетов.
            Приступая, к выполнению
практической работы Вы должны внимательно прочитать тему и  цель занятия,
пояснениями к работе (учебный материал), ответить на вопросы для закрепления
теоретического материала.
            Все задания к практической
работе Вы должны выполнять в соответствии с инструкцией, анализировать
полученные в ходе занятия результаты по приведенной методике.
            Отчет о практической работе Вы
должны выполнить по приведенному алгоритму, опираясь на образец.
            Наличие положительной оценки
по практическим работам необходимо для получения зачета по дисциплине, поэтому
в случае отсутствия на уроке по любой причине или получения
неудовлетворительной оценки за практическую работу Вы должны найти время для ее
выполнения или пересдачи.
Внимание! Если в процессе
подготовки к практическим работам или при решении задач у Вас возникают
вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается, необходимо обратиться к
преподавателю для получения разъяснений или указаний в дни проведения
дополнительных занятий.
            Время проведения
дополнительных занятий можно узнать у преподавателя или посмотреть на двери его
кабинета.

Нормы оценки знаний, умений и
навыков обучающихся

Оценка практических работ
обучающихся
Ответ оценивается отметкой «5»,
если:
-
работа выполнена полностью;
-
в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и
ошибок;
-
в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность,
описка, которая не является следствием незнания или непонимания учебного
материала).
 Отметка «4»
ставится в следующих случаях:
-
работа
выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение
обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);
-
допущены
одна ошибка или есть два – три недочёта в выкладках, рисунках, чертежах или
графиках (если эти виды работ не являлись специальным объектом проверки).
Отметка «3»
ставится, если:
-
допущено
более одной ошибки или более двух – трех недочетов в выкладках, чертежах или
графиках, но обучающийся обладает обязательными умениями по проверяемой теме.
Отметка «2»
ставится, если:
-
допущены
существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не обладает обязательными
умениями по данной теме в полной мере.
Преподаватель
может повысить отметку за оригинальный ответ на вопрос или оригинальное решение
задачи, которые свидетельствуют о высоком математическом развитии обучающегося;
за решение более сложной задачи или ответ на более сложный вопрос, предложенные
обучающемуся дополнительно после выполнения им каких-либо других заданий.

3. Сборник
практических работ

Тема
практической работы № 1:
Решение задач с комплексными числами

Цель
работы:
применить
умения графического изображения комплексных чисел, выполнения арифметических
операций с комплексными числами, заданных  в различных формах.

Оборудование:
1. Рабочая тетрадь в клетку.
2. Раздаточный материал: инструкционные
карты-20шт.
3. Калькулятор простой.

Задание:

Вариант 1

Вариант 2

1. Изобразите на
  плоскости заданные комплексные числа:

Z1
  = 4i
Z2
  = 3 + i
Z3=
  - 4 +3i
Z4=
  - 2 -5i

Z1=
  -5i
Z2=
  4 +  i
Z3=
  -7 + 2i
Z4= -3 – 6i

2 . Вычислите
  модуль комплексного числа

Z = 3 +
  4i

Z = 8 + 6i

3. Произведите
  сложение и вычитание комплексных чисел:

Z1
  = (3 + 5i) ,    Z2 = (7 – 2i)

Z1
  = (3 – 2i),     Z2 = (5 + 3i)

4. Выполните
  действие над комплексными числами:

а)
  (2 + 3i)(5 – 7i),
  б) (3 + 2i)(3 – 2i),
в)
  (3 + 5i)2,
г)
  .

а)
  (3 + 2i)(1 + 3i),
  б) (7 – 6i)(7 + 6i),
в)
  (2 – 7i)2,
г)
  .

5. Решите
  уравнения:

x2 – 4x +
  13 = 0.

2,5x2
  + x + 1 = 0.

6.
Представить данные комплексные числа в тригонометрической и
показательной форме.
7.
Вычислить в тригонометрической и показательной формах:
1) z1∙z2;       2) ;       3)  ;          4)

Z1= 2- 2i;     Z2=

Z1= ;    Z2=

Порядок выполнения:
1.
Внимательно
прочитать тему и цель практической работы.
2.
Изучить
учебный материал по теме.
3.
Ответить
на вопросы.
4.
Выполнить
задания.
5.
Подготовить
отчет.

Пояснения
к работе (учебный материал):
Комплексные числа - числа вида Z
= a + ib, где a,b – вещественные числа, а i =  - мнимая единица (i2 =
−1). Множество комплексных чисел обозначается C.
            Действительные числа a
и b комплексного числа Z = a + ib,
называются действительной и мнимой частью числа z и обозначаются,
соответственно, Rez=x и Imz=y.
            Два комплексных числа z1=a
+ ib и z2=c + id называются равными
в том и только том случае, если a = c, b = d.
Запись Z=a + ib
называют алгебраической формой комплексного числа z.
Числа Z=a
+ ib и =a − ib называют комплексно
сопряженными.
Геометрическое представление комплексного
числа
            Если рассмотреть плоскость с
прямоугольной системой координат, то любому комплексному числу z = a +
ib можно сопоставить точку на этой плоскости с соответствующими
координатами (a;b), и радиус-вектор R комплексного числа, т.е. вектор,
соединяющий начало координат с точкой на плоскости, соответствующей числу (рис.
1). Данная плоскость называется комплексной. Действительные числа располагаются
на горизонтальной (вещественной) оси, мнимые части – на вертикальной (мнимой)
оси.
 - модуль комплексного числа - расстояние
от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту
говоря, модуль – это длина радиус-вектора.
 , где - аргумент комплексного числа.
Действия над
комплексными числами в алгебраической форме.
Сложение:                                        Z1
+ Z2 = (a+ib)+(c+id)
= (a+c) + (b+d)i.
Вычитание:                                      Z1
- Z2 = (a+ib)-(c+id)
= (a-c) + (b-d)i.
Умножение:                                      Z1
· Z2 = (a+ib)(c+id)=(ac
− bd)+(ad + cb)i.
Деление:                                            .
Умножение на сопряженное:         Z · =(a + bi)(a  -bi)= a2 –b2i2=
a2 – b2·(-1) = a2 + b2 –
квадрат суммы
Для всякого
комплексного числа z = a + ib справедливо равенство:
z=R(cosφ+
isinφ)  называют
тригонометрической формой комплексного числа,

z =  – называют показательной
формой комплексного числа
            Здесь  - модуль комплексного числа - расстояние
от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту
говоря, модуль – это длина радиус-вектора.
            Угол φ между
положительной полуосью действительной оси  и радиус-вектором, проведенным из
начала координат к соответствующей точке, называется аргументом комплексного
числа - .

Действия над
комплексными числами в тригонометрической форме.

В
  тригонометрической форме
z1 =R1(cosφ1
  + isinφ1), z2 =R2(cosφ2
  + isinφ2)

В показательной
  форме
Z1
  = , Z2
  =

Умножение

    Z1 ∙ Z2
  = R1∙R2(cos(φ1+φ2)
  + isin(φ1+φ2)).

     Z1·Z2=

Деление

   .

   ,

Возведение в
  степень

   zn =Rn(cos
  nφ + isin nφ) - формула Муавра

   .

Извлечение корня

  , k = 0,1,2.....n-1

   ,
k = 0,1,2.....n-1

При выполнении
практической работы рассмотрите следующие примеры:
Пример 1.
Выполнить действия
над комплексными числами, представив результат в алгебраической форме:
Z1 = 4+
5i,    Z2 = 6−9i.
            Решение:   1) Z1
+ Z2 = (4+ 5i) + (6−9i)= 4+6+5i -9i.=
10 – 4i
               2) Z1
- Z2 = (4+ 5i) - (6−9i)= 4-6+5i +9i.=
-2 + 14i
             3) Z1
·Z2 = (4+5i)(6− 9i)= 24 −36i + 30i−
45i2= 24 -6i - 45·(-1) = 69 -6i.
             4)
Ответ: Z1 +
Z2 =10 – 4i, Z1 - Z2 = -2 + 14i,
Z1 ·Z2 =69 -6i,
Пример 2.
Раскрыть скобки,
используя формулы сокращенного умножения:
1) (2+ 3i)2 = 22 +
2·2·3i + (3i)2 = 4 +12i + 9·(-1) = -5+12i,
2) (5 + 4i)(5  - 4i)=
52 –42i2= 25 – 16·(-1) = 25 + 16 =4,
3) (3-5i)2 = 32 -
2·3·5i + (-5i)2 = 9 - 30i + 25(-1) = -16- 30i.
Пример 3.
Изобразим на комплексной плоскости числа
Z1 = 2 + i;         Z2
= 3i;
Z3 = -3 + 2i;     Z4
= -1 – i.
Пример 4.
А) Представить числа z1
= ,  в тригонометрической и
показательной форме,
Б) вычислить в
тригонометрической форме: 1) z1∙z2;  2) ; 3)  ; 4)
Решение:
А). Получим тригонометрическую и показательную форму z1
= ,
1) Найдем модуль числа - , 2) Найдем аргумент числа - ,
3) запишем к.ч. в тригонометрической и показательной форме:
z1 = .
,
1)  - модуль числа,
2)  - аргумент числа
3) запишем к.ч. в тригонометрической и показательной форме:
.
Б) Произведение:
z1∙z2 =
.
 Частное:
=
.
Возведение в степень:

.
Извлечение из под знака корня:
.
Пр k=0: ;
Пр k=1: .
Вопросы для закрепления теоретического
материала к практическому занятию:
1.      Дайте определение
комплексного числа.
2.      Какие числа
называются комплексно – сопряженными?
3.      Какие комплексные
числа называются равными?
4.      Как вычислить
модуль комплексного числа?
5.      Как производятся
действия над комплексными числами в алгебраической форме?

Содержание
отчета:
Название
практической работы.
Учебная
цель.
Решение
заданий практической работы.
Ответы
на вопросы для закрепления теоретического материала.

Литература:
1.    Григорьев В.П.
Элементы высшей математики. –М.: ОИЦ «Академия», 2016.
2.    Григорьев В.П.
Сборник задач по высшей математике: Учеб.
пособие для студентов учрежд. СПО / В.П.Григорьев, Т.Н.Сабурова. – М.:
Издательский центр «Академия», 2017. – 160 с.
3. Григорьев Г.В Математика. М.ИЦ
Академия, 2017 г.
4. Богомолов Н.В. Практические
занятия по математике, учебное пособие для СПО.    М.: «Высшая школа», 2016.
5. Богомолов Н. В., Самойленко П.И.
Математика. Учебник для ссузов. М.«ДРОФА», 2017.
6. Пехлецкий И. Д. Математика:
учебник для студентов образовательных учреждений специального профессионального
образования – 3-е издание.  – М.: Издательский центр «Академия», 2016.
9.
Бардушкин
В.В., Прокофьев А.А. Математика. Элементы высшей математики: учебник: в 2 т. Т.
2 / В.В., А.А.— М.: КУРС, НИЦ ИНФРА-М, 2018. — 368 с. — (Среднее
профессиональное образование). - Режим доступа: http://znanium.com/
10.
Шабунин М.И. Математика: Пособие /- 7-е изд., (эл.) - М.:Лаборатория знаний,
2016. - 747 с.: ISBN 978-5-93208-204-1 - Режим доступа: http://znanium.com/
11.
Филипова Е.Е Математика: Учебное пособие /. - Вологда:ВИПЭ ФСИН России, 2015. -
378 с.: ISBN 978-5-94991-312-3 - Режим доступа: http://znanium.com/
12.
Балдин, К.В. Математический анализ : учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, Л.В.
Рукосуев ; под общ. ред. К.В. Балдина. - 3-е изд., стер. - Москва : ФЛИНТА,
2015. - 361 с. - ISBN 978-5-9765-2067-7. - Режим доступа: http://znanium.com/

Тема
практической работы № 2:
Вычисление
пределов с помощью замечательных пределов, раскрытие неопределённостей

Цель
работы:
применить умения по вычислению пределов и
раскрытию неопределенностей, используя принцип замены эквивалентными, I и  II замечательные
пределы.

Оборудование:
1. Рабочая тетрадь в клетку.
2. Раздаточный материал: инструкционные
карты-20шт.
3. Калькулятор простой.

Задание:

I Вариант                                                                                II Вариант
Вычислить пределы.
1)                                                                                1)

2)                                                                                2)

3)                                                                                3)
4)                                                                                4)

5)                                                                           5)

6)                                                                                6)

7)                                                                                7)

8)                                                                                8)

9)                                                                                9)
10)                                                                           10)
Порядок выполнения:
1.
Внимательно
прочитать тему и цель практической работы.
2.
Изучить
учебный материал по теме.
3.
Ответить
на вопросы.
4.
Выполнить
задания.
5.
Подготовить
отчет.

Пояснения
к работе (учебный материал):
 - 1-й замечательный предел.
Следствие.

 –  2-й замечательный предел.
Следствие 1.

Следствие 2.
Сделаем
замену:  = y
=>  x =  . Тогда при x→∞,
y→0.
Две
бесконечно малые величины 𝛂(x) называются эквивалентными (или равносильными) при x→a, если
Таблица
эквивалентных величин (всюду x→0)
sinx
arcsin xx
tg xx
arctg xx
ex-1x
ln(1+x)x
axx ln a ,
a≠1, a>0
loga(1+x)
(1+x)𝛂 -1𝛂x, 𝛂R
1-cos x
При
выполнении практической работы рассмотрите следующие примеры:
Пример 1.

Пример
2.

Пример
3.

Пример 4.

Пример 5.

Пример
6.
    =
Пример 7.

==

Пример 8.

Пример 9.

Вопросы для закрепления теоретического
материала к практическому занятию:
1. Какие неопределённости вы знаете?
2. Назовите 1-й замечательный предел.
3. Назовите второй замечательный предел.

Содержание
отчета:
Название
практической работы.
Учебная
цель.
Решение
заданий практической работы.
Ответы
на вопросы для закрепления теоретического материала.

Литература:
1.    Григорьев В.П.
Элементы высшей математики. –М.: ОИЦ «Академия», 2016.
2.    Григорьев В.П.
Сборник задач по высшей математике: Учеб.
пособие для студентов учрежд. СПО / В.П.Григорьев, Т.Н.Сабурова. – М.:
Издательский центр «Академия», 2017. – 160 с.
3. Григорьев Г.В Математика. М.ИЦ
Академия, 2017 г.
4. Богомолов Н.В. Практические
занятия по математике, учебное пособие для СПО.    М.: «Высшая школа», 2016.
5. Богомолов Н. В., Самойленко П.И.
Математика. Учебник для ссузов. М.«ДРОФА», 2017.
6. Пехлецкий И. Д. Математика:
учебник для студентов образовательных учреждений специального профессионального
образования – 3-е издание.  – М.: Издательский центр «Академия», 2016.
9.
Бардушкин
В.В., Прокофьев А.А. Математика. Элементы высшей математики: учебник: в 2 т. Т.
2 / В.В., А.А.— М.: КУРС, НИЦ ИНФРА-М, 2018. — 368 с. — (Среднее
профессиональное образование). - Режим доступа: http://znanium.com/
10.
Шабунин М.И. Математика: Пособие /- 7-е изд., (эл.) - М.:Лаборатория знаний,
2016. - 747 с.: ISBN 978-5-93208-204-1 - Режим доступа: http://znanium.com/
11.
Филипова Е.Е Математика: Учебное пособие /. - Вологда:ВИПЭ ФСИН России, 2015. -
378 с.: ISBN 978-5-94991-312-3 - Режим доступа: http://znanium.com/
12.
Балдин, К.В. Математический анализ : учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, Л.В.
Рукосуев ; под общ. ред. К.В. Балдина. - 3-е изд., стер. - Москва : ФЛИНТА,
2015. - 361 с. - ISBN 978-5-9765-2067-7. - Режим доступа: http://znanium.com/

Тема
практической работы № 3:
Полное исследование функций. Построение
графиков.

Цель
работы:
применить умения дифференциального
исчисления по исследованию функции по схеме и построению график функции на его
основе.

Оборудование:
1. Рабочая тетрадь в клетку.
2. Раздаточный материал: инструкционные
карты-20шт.
3. Калькулятор простой.

Задание:

I
  вариант

II
  вариант

Исследовать и
построить графики следующих функций.
а) ух3+х2-5х+3;                                                           а)
ух3+6х2+9х+4;
б) у =.                                                                б)
у =

Порядок выполнения:
1.
Внимательно
прочитать тему и цель практической работы.
2.
Изучить
учебный материал по теме.
3.
Ответить
на вопросы.
4.
Выполнить
задания.
5.
Подготовить
отчет.

Пояснения
к работе (учебный материал):
Общая
схема построения графиков функций.

Область
     определения функции.
Четность,
     периодичность функции.
Точки
     пересечения графика с осями координат (если это не вызывает затруднений).
Асимптоты
     графика функции.
Промежутки
     монотонности функции и экстремумы.
Промежутки
     выпуклости графика функции и точки перегиба.
Дополнительные
     точки (если возможно)

График
функции.
При выполнении
практической работы рассмотрите следующие примеры:
Пример
1.

Исследовать
функцию у=х3-5х2+3х-5 построить график.

D(у)=(-∞; ∞)
у(-х)=(-х)3-5(-х)2+3(-х)-5 = -х3-5х2-3х-5≠у(х)
     ≠-у(х).

Функция
не является ни чётной ни нечётной.
      3.
точка пересечения с осью у:
x=0,у=03-502+30-5=-5
(0;-5)
– точка пересечения с осью у.
Точки
пересечения с осью х найти затруднительно.
4.      вертикальных
асимптот нет, т.к. функция непрерывна на (-∞;∞).
Наклонная асимптота: у=kх+b.
Наклонных асимптот нет.
5.      у/=(х3-5х2+3х-5)/=3х2-10х+3;
у/=0;         3х2-10х+3=0,
                  D=100-433=100-36=64,
                  x1=
                  x2=  .
x1=3;х2 =   -критические точки функции.

x

(-)

3

у/

+

0

-

0

+

у

-14

max

min

y(3)=33-532+33-5=27- 45+9-5= -14
() – точка max; (3;-14) – точка min

у//=(3х2-10х+3)/=6х-10

у//=0   ;      6х-10=0,
                  6х=10,
                  x= ,
                  x=  ,
                  x= 1.

х

у//

-

0

+

у

точка перегиба

у(
точка перегиба

x

y

-1

-14

2

-11

4

-9

5

10

y

x

Пример
2.
Исследовать
функцию F(x)= и построить её график.
1)      х-2≠0,
х≠2,
D(f)=(-∞;2)(2;∞)
2)f(-х)=функция не является ни чётной, ни
нечетной.
Функция не периодическая.
3) точка пересечения с осью Оу:
x=0;   у=0
(0;0) – точка пересечения с осью Оу. Точки
пересечения с осью Ох.
y=0,
                  x=0 или          х+6=0,
                                         x=-6.
(0;0), (0;-6) – точки пересечения с осью
Ох.
4) х=2 – точка разрыва II рода.

x=2 – вертикальная
асимптота.
y= kx+b – наклонная
асимптота.

y=1х+8;
y= х+8 - наклонная
асимптота.
5)

у/=0                                          , х≠2
                              х2-4х-12=0
D=16-41(-12)=16+48=64

x1=6;  х2=-2 – критические
точки

х

(-∞;-2)

-2

(-2;2)

2

(2;6)

6

(6; ∞)

у/

+

0

-

-

0

+

у

2

18

max

точка разрыва

min

y(-2)=
y(6)=
(-2;2) – точка max
(6;18) – точка min
6) у//=

у//=0 ;                  х≠2.
                  32≠0
нет критических точек II рода.

х

(-∞;2)

2

(2; ∞)

у//

-

+

у

точка разрыва

7) дополнительные
точки
х    у
4   20
10 20

Вопросы для закрепления теоретического
материала к практическому занятию:
1. Какая функция называется чётной?
2. Какая функция называется нечётной?
3. Как найти критические точки функции?
4. Общий вид уравнения наклонной
асимптоты.
Содержание
отчета:
Название
практической работы.
Учебная
цель.
Решение
заданий практической работы.
Ответы
на вопросы для закрепления теоретического материала.

Литература:
1.    Григорьев В.П.
Элементы высшей математики. –М.: ОИЦ «Академия», 2016.
2.    Григорьев В.П.
Сборник задач по высшей математике: Учеб.
пособие для студентов учрежд. СПО / В.П.Григорьев, Т.Н.Сабурова. – М.:
Издательский центр «Академия», 2017. – 160 с.
3. Григорьев Г.В Математика. М.ИЦ
Академия, 2017 г.
4. Богомолов Н.В. Практические
занятия по математике, учебное пособие для СПО.    М.: «Высшая школа», 2016.
5. Богомолов Н. В., Самойленко П.И.
Математика. Учебник для ссузов. М.«ДРОФА», 2017.
6. Пехлецкий И. Д. Математика:
учебник для студентов образовательных учреждений специального профессионального
образования – 3-е издание.  – М.: Издательский центр «Академия», 2016.
9.
Бардушкин
В.В., Прокофьев А.А. Математика. Элементы высшей математики: учебник: в 2 т. Т.
2 / В.В., А.А.— М.: КУРС, НИЦ ИНФРА-М, 2018. — 368 с. — (Среднее
профессиональное образование). - Режим доступа: http://znanium.com/
10.
Шабунин М.И. Математика: Пособие /- 7-е изд., (эл.) - М.:Лаборатория знаний,
2016. - 747 с.: ISBN 978-5-93208-204-1 - Режим доступа: http://znanium.com/
11.
Филипова Е.Е Математика: Учебное пособие /. - Вологда:ВИПЭ ФСИН России, 2015. -
378 с.: ISBN 978-5-94991-312-3 - Режим доступа: http://znanium.com/
12.
Балдин, К.В. Математический анализ : учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, Л.В.
Рукосуев ; под общ. ред. К.В. Балдина. - 3-е изд., стер. - Москва : ФЛИНТА,
2015. - 361 с. - ISBN 978-5-9765-2067-7. - Режим доступа: http://znanium.com/

Тема
практической работы № 4:
Вычисление
площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определённого интеграла

Цель
работы:
применить
умения по нахождению геометрического смысла интеграла для вычисления площадей
плоских фигур и объемов тел вращения

Оборудование:
1. Рабочая тетрадь в клетку.
2. Раздаточный материал: инструкционные
карты-20шт.
3. Калькулятор простой.

Задание:

I Вариант
II Вариант
1. Вычислите
площади фигур, ограниченных указанными линиями.
а), ,
, ;                              а)
, ,
, ;
б)
, ,
;                                         б)
, ,
, ;
в)
, ,
;                            в) , ,
;
г)
, .                            г)
, .
2. Найти объемы
тел вращения, образованных вращением вокруг оси Оx площадей,
ограниченных линиями.
 y2 –
4x = 0, x – 2 = 0, x – 4 = 0, y = 0                                 y2
– 6x = 0, x – 2 = 0, x – 6 = 0, y = 0

Порядок выполнения:
1.
Внимательно
прочитать тему и цель практической работы.
2.
Изучить
учебный материал по теме.
3.
Ответить
на вопросы.
4.
Выполнить
задания.
5.
Подготовить
отчет.

Пояснения
к работе (учебный материал):
Найдём площадь S криволинейной
трапеции, ограниченной кривой , осью Ox и двумя прямыми x=a и x=b, где , .

Так как дифференциал переменной площади S есть площадь
прямоугольника с основанием dx и высотой ,т.е.
, то интегрируя это равенство в
пределах от a до b, получим .

Если криволинейная
трапеция прилегает к оси Oy так, что ,
, то   дифференциал переменной
площади S равен , откуда .

В том случае, когда криволинейная
трапеция, ограниченная кривой , осью Ox и прямым  и ,
лежит под осью Ox, площадь находится по формуле .

Если
фигура,  ограниченная кривой , осью
Ox и прямыми и ,
расположена по обе стороны от оси Ox, то .

Пусть, наконец, фигура S ограничена двумя
пересекающимися кривыми  и  и прямыми  и  и
. Тогда её площадь находится по
формуле .

Объем тела вращения.
 Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x).
Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с
основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело
вращения.

Т.к. каждое сечение тела плоскостью x = const
представляет собой круг радиуса , то объем тела вращения может быть
легко найден по полученной выше формуле:

Формулы объемов
тел вращения около:
оси Ох    ;        оси Оу
При выполнении
практической работы рассмотрите следующие примеры:
Пример
1.

Вычислите
площади фигур, ограниченных указанными линиями.
1)
, ,
,
В данном случае
требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой , прямыми , ,
и . Посмотрим эти линии.

Ответ:
1,5 кв. ед.

2)
,  ,
,

Ответ:
3,5 кв. ед.
3)
,  ,
,  .
-парабола
-парабола

 кв. ед.
Ответ:кв. ед.
4) ,  .

-парабола
,
,
(1;2)
- вершина параболы

-прямая

Для
нахождения точек пересечения решим систему:

,
,
,
,
,

кв.
ед.
Ответ:
9,5 кв. ед.
Пример
2.
Вычислить
объем тела, образованного вращением вокруг оси Оx площадки,
ограниченной линиями y2 = 4x и y = x.

Решение. Решив систему  находим точки
пересечения параболы и прямой: О (0; 0) и А (4; 4). Следовательно, пределы
интегрирования a = 0 и b = 4. Объем тела вращения представляет
собой разность объемов параболоида, образованного вращением кривой y2 = 4x (V1) и конуса,
образованного вращением прямой y = x (V2). Тогда

Ответ:  (куб. ед.)
Вопросы для закрепления теоретического
материала к практическому занятию:
1.
Какова формула вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченой кривой , осью Ox и прямые  и ?
2.
Какова формула вычисления полощади криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью Ox и прямыми  и ,
лежит под осью Ox?
3.
Какова площадь фигуры ограниченной двумя пересекающимися кривыми  и  и
прямыми  и , где  и
?
4.От
чего зависит выбор формулы для нахождения объема тела вращения?

Содержание
отчета:
Название
практической работы.
Учебная
цель.
Решение
заданий практической работы.
Ответы
на вопросы для закрепления теоретического материала.

Литература:
1.    Григорьев В.П.
Элементы высшей математики. –М.: ОИЦ «Академия», 2016.
2.    Григорьев В.П.
Сборник задач по высшей математике: Учеб.
пособие для студентов учрежд. СПО / В.П.Григорьев, Т.Н.Сабурова. – М.:
Издательский центр «Академия», 2017. – 160 с.
3. Григорьев Г.В Математика. М.ИЦ
Академия, 2017 г.
4. Богомолов Н.В. Практические
занятия по математике, учебное пособие для СПО.    М.: «Высшая школа», 2016.
5. Богомолов Н. В., Самойленко П.И.
Математика. Учебник для ссузов. М.«ДРОФА», 2017.
6. Пехлецкий И. Д. Математика:
учебник для студентов образовательных учреждений специального профессионального
образования – 3-е издание.  – М.: Издательский центр «Академия», 2016.
9.
Бардушкин
В.В., Прокофьев А.А. Математика. Элементы высшей математики: учебник: в 2 т. Т.
2 / В.В., А.А.— М.: КУРС, НИЦ ИНФРА-М, 2018. — 368 с. — (Среднее
профессиональное образование). - Режим доступа: http://znanium.com/
10.
Шабунин М.И. Математика: Пособие /- 7-е изд., (эл.) - М.:Лаборатория знаний,
2016. - 747 с.: ISBN 978-5-93208-204-1 - Режим доступа: http://znanium.com/
11.
Филипова Е.Е Математика: Учебное пособие /. - Вологда:ВИПЭ ФСИН России, 2015. -
378 с.: ISBN 978-5-94991-312-3 - Режим доступа: http://znanium.com/
12.
Балдин, К.В. Математический анализ : учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, Л.В.
Рукосуев ; под общ. ред. К.В. Балдина. - 3-е изд., стер. - Москва : ФЛИНТА,
2015. - 361 с. - ISBN 978-5-9765-2067-7. - Режим доступа: http://znanium.com/
Тема
практической работы № 5:
Вычисление частных  производных и
дифференциалов  функций  нескольких переменных

Цель
работы:
применить
умения по дифференциальному исчислению функции нескольких действительных
переменных

Оборудование:
1. Рабочая тетрадь в клетку.
2. Раздаточный материал: инструкционные
карты-20шт.
3. Калькулятор простой.

Задание:

I Вариант
II Вариант
1. Найдите частные
производные функции.
а)                                                                                а)

б)                                                                             б)

в)                                                                                в)

г)                                                                                г)

д)                                                                                д)

е)                                                                                е)

ж)                                                                                ж)

2.
Вычислите значение частной производной функции.
 в точке М(-1;2).                                                              в точке М(-2;1).
3.
Вычислите полный дифференциал функции.
 в точке М(0;1).                                                        в точке М(1;0).
4.
Найдите частные производные второго порядка.

Порядок
выполнения:
1.    Внимательно
прочитать тему и цель практической работы.
2.    Изучить учебный
материал по теме.
3.
Ответить
на вопросы.
4.
Выполнить
задания.
5.
Подготовить
отчет.

Пояснения
к работе (учебный материал):
Частной
производной функции  по переменной x называется
производная этой функции при постоянном значении переменной y; она обозначается
 или .
            Частной
производной функции  по переменной y при постоянном
значении переменной x; она обозначается или .
            Частная
производная функции нескольких переменных по одной переменной определяется как
производная этой функции по соответствующей переменной при условии, что
остальные переменные считаются постоянными.
            Полным
дифференциалом функции  в некоторой
точке М(x;y) называется
выражение , где  и вычисляются в точке M(x;y), а
, .
Если
и  имеют
в точке М частные производные по переменным x и y, то они
называются частными производными второго порядка от функции Z(M) в этой точке и
обозначаются:
 ,   ,   ,  .
Частные
производные второго порядка вида ,   называются смешанными частными
производными.
            Частные
производные третьего порядка определяются как частные производные от частных
производных второго порядка и т.д..
При выполнении
практической работы рассмотрите следующие примеры:
Пример
1.
Найдите
частные производные функции.
а)
;
;
;
б)
;
;
;
в)
;
г)

д)

е)
;

Пример
2.
Вычислить
значение частной производной функции в точке М(-2;-2).

Пример
3.

Вычислить
полный дифференциал функции в точке М(1;1).

По
формуле , получим .

Пример
4.
Найти
частные производные второго порядка функции
,

Вопросы для закрепления теоретического
материала к практическому занятию:
1. Что называется частичной производной по переменной x?
2. Что называется частичной производной по переменной y?
3. Что называется полным дифференциалом функции?

Содержание
отчета:
Название
практической работы.
Учебная
цель.
Решение
заданий практической работы.
Ответы
на вопросы для закрепления теоретического материала.

Литература:
1.    Григорьев В.П.
Элементы высшей математики. –М.: ОИЦ «Академия», 2016.
2.    Григорьев В.П.
Сборник задач по высшей математике: Учеб.
пособие для студентов учрежд. СПО / В.П.Григорьев, Т.Н.Сабурова. – М.:
Издательский центр «Академия», 2017. – 160 с.
3. Григорьев Г.В Математика. М.ИЦ
Академия, 2017 г.
4. Богомолов Н.В. Практические
занятия по математике, учебное пособие для СПО.    М.: «Высшая школа», 2016.
5. Богомолов Н. В., Самойленко П.И.
Математика. Учебник для ссузов. М.«ДРОФА», 2017.
6. Пехлецкий И. Д. Математика:
учебник для студентов образовательных учреждений специального профессионального
образования – 3-е издание.  – М.: Издательский центр «Академия», 2016.
9.
Бардушкин
В.В., Прокофьев А.А. Математика. Элементы высшей математики: учебник: в 2 т. Т.
2 / В.В., А.А.— М.: КУРС, НИЦ ИНФРА-М, 2018. — 368 с. — (Среднее профессиональное
образование). - Режим доступа: http://znanium.com/
10.
Шабунин М.И. Математика: Пособие /- 7-е изд., (эл.) - М.:Лаборатория знаний,
2016. - 747 с.: ISBN 978-5-93208-204-1 - Режим доступа: http://znanium.com/
11.
Филипова Е.Е Математика: Учебное пособие /. - Вологда:ВИПЭ ФСИН России, 2015. -
378 с.: ISBN 978-5-94991-312-3 - Режим доступа: http://znanium.com/
12.
Балдин, К.В. Математический анализ : учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, Л.В.
Рукосуев ; под общ. ред. К.В. Балдина. - 3-е изд., стер. - Москва : ФЛИНТА,
2015. - 361 с. - ISBN 978-5-9765-2067-7. - Режим доступа: http://znanium.com/

Тема
практической работы № 6:
Вычисление двойных
интегралов.

Цель
работы:
применить
умения по интегральному исчислению функции нескольких действительных переменных

Оборудование:
1. Рабочая тетрадь в клетку.
2. Раздаточный материал: инструкционные
карты-20шт.
3. Калькулятор простой.

Задание:
I Вариант
  II Вариант
1. Вычислите
повторные интегралы.
а)                                                   а)

б)                                                     б)

2. Вычислите двойной интеграл по областям,
ограниченным указанным линиями.

3. Вычислите двойной интеграл по областям,
ограниченным указанными линиями, предварительно разбив данную область на 2
области.

4. Измените порядок интегрирования в
двойном интеграле.

Порядок выполнения:
1.
Внимательно
прочитать тему и цель практической работы.
2.
Изучить
учебный материал по теме.
3.
Ответить
на вопросы.
4.
Выполнить
задания.
5.
Подготовить
отчет.

Пояснения
к работе (учебный материал):
Двойным интегралом
функции f(x;y) по области D называться предел
этой суммы:
-
наибольший из диаметров элементарных областей
.
Функция z = f(x;y), для которых
предел существует и конечен, называется интегрируемой в этой области.
В прямоугольных координатах дифференциал
площади , тогда двойной интеграл
примет вид

Если f(x;y) > 0, то двойной
интеграл функции по области D равен объему
тела, органического сверху поверхностью ,
сбоку цилиндрической поверхностью,
образующие которой параллельны оси Oz, а направляющей
служит контур фигуры D, и снизу плоскостью z=0.
Основные свойства двойного интеграла.
1)
2)
3)
Основные случаи
вычисления двойного интервала в прямоугольных координатах.
1) Если область D, в которой
рассматривается двойной интеграл, есть прямоугольник со сторонами,
параллельными координатным осям и заданным уравнениями ,, у=с,, то двойной интеграл вычисляется
по одной из формул.

Интегралы в правых частях формул
называться повторными (или двукратными), а интегралы  и  называются внутренними.
Под символом  в формуле (1) подразумевается
дважды произведенное интегрирование. Первое интегрирование (внутреннее) по
переменной y совершается в
пределах от с до d в предположении, что x остается
постоянным; результат интегрируется по переменной x в пределах от a до b.
Если вычисление двойное интеграла
выполняется по формуле (2), то порядок интегрирования меняется; внутренний
интеграл вычисляется по переменной х, причем у сохраняет
постоянное значение, а внешнее (повторное) интегрирование производиться по
переменной y.
2) Если область D такова, что любая
прямая, проходящая внутри этой области и параллельная оси Oy, пересекает ее
границу в двух точках, то эта область называется простой относительно оси Ox и определяется
системой неравенств вида

В этом случае двойной интеграл выражается
через повторный интеграл по формуле.

                                                                                (3)
3) Если граница области D пересекается в
двух точках всякой прямой, проходящей внутри этой области и параллельной оси Oy и определяется
системой неравенств вида

В этом случае двойной интеграл выражается
формулой
,
где интегрирование сначала выполняется по
переменной х, а затем по переменной y.

3)Если нижняя или верхняя линии границы
состоят из нескольких участков, имеющих различные уравнения, то область D необходимо
разбить прямыми, параллельными оси Oy, на такие части,
чтобы каждый из участков выражался одним уравнением. В этом случае вычисление
двойного интеграла сводиться к вычислению двух (и более) повторных интегралов.
В случае,
изображенном на рисунке, область  определяется
системой неравенств  а область  - системой неравенств  и значит

(4).

При выполнении
практической работы рассмотрите следующие примеры:
Пример1.
Вычислите повторный
интеграл.
а) .

б)

Пример 2.
Вычисление двойной интеграл по
областям, ограниченным указанными линиями.

Находим точки пересечения этих линий:

Область D определяется
системой неравенств

Вычислим двойной интеграл по области D

Пример 3.
 Вычислите двойной интеграл по областям,
ограниченным указанным линиями, предварительно разбив заданную область на 2
области.
,  ,
.
Находим точки пересечения этих линий:

Область D разобьем на две
области  и , которые соответственно
определяются системами неравенств.

Вычислим двойной интеграл по области :

Вычислим двойной интеграл по области:

Пример 4.
Изменить порядок интегрирования в двойном
интеграле.

Запишем область интегрирования D в виде системы
неравенств,
Построим линии:
Найдем точку пересечения линий:

Область D является простой
относительно оси Ox. Рассмотрим область D относительно оси Oy. Через точку M(1; 1), в которой
стыкуются участки верхней границы области D, проведем прямую
параллельную оси Ox эта прямая делить область D на две области  и ,
которые запишем в виде систем неравенств   и
Тогда согласно формуле получим

Вопросы для закрепления теоретического
материала к практическому занятию:
1. Что называется двойным интегралом?
2.По какой формуле вычисляется двойной
интеграл?

Содержание
отчета:
Название
практической работы.
Учебная
цель.
Решение
заданий практической работы.
Ответы
на вопросы для закрепления теоретического материала.

Литература:
1.    Григорьев В.П.
Элементы высшей математики. –М.: ОИЦ «Академия», 2016.
2.    Григорьев В.П.
Сборник задач по высшей математике: Учеб.
пособие для студентов учрежд. СПО / В.П.Григорьев, Т.Н.Сабурова. – М.:
Издательский центр «Академия», 2017. – 160 с.
3. Григорьев Г.В Математика. М.ИЦ
Академия, 2017 г.
4. Богомолов Н.В. Практические
занятия по математике, учебное пособие для СПО.    М.: «Высшая школа», 2016.
5. Богомолов Н. В., Самойленко П.И.
Математика. Учебник для ссузов. М.«ДРОФА», 2017.
6. Пехлецкий И. Д. Математика:
учебник для студентов образовательных учреждений специального профессионального
образования – 3-е издание.  – М.: Издательский центр «Академия», 2016.
9. Бардушкин В.В., Прокофьев А.А. Математика.
Элементы высшей математики: учебник: в 2 т. Т. 2 / В.В., А.А.— М.: КУРС, НИЦ
ИНФРА-М, 2018. — 368 с. — (Среднее профессиональное образование). - Режим
доступа: http://znanium.com/
10. Шабунин М.И. Математика: Пособие /-
7-е изд., (эл.) - М.:Лаборатория знаний, 2016. - 747 с.: ISBN 978-5-93208-204-1
- Режим доступа: http://znanium.com/
11. Филипова Е.Е Математика: Учебное
пособие /. - Вологда:ВИПЭ ФСИН России, 2015. - 378 с.: ISBN 978-5-94991-312-3 -
Режим доступа: http://znanium.com/
12. Балдин, К.В. Математический анализ :
учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, Л.В. Рукосуев ; под общ. ред. К.В.
Балдина. - 3-е изд., стер. - Москва : ФЛИНТА, 2015. - 361 с. - ISBN
978-5-9765-2067-7. - Режим доступа: http://znanium.com/

Тема
практической работы № 7:
               Определение сходимости
числовых рядов

Цель
работы:
применить
умения на методы дифференциального исчисления, на определение сходимости
числовых рядов.

Оборудование:
1. Рабочая тетрадь в клетку.
2. Раздаточный материал: инструкционные
карты-20шт.
3. Калькулятор простой.

Задание:

I вариант                                                                          II
вариант
1.      Найдите
первые четыре члена ряда по заданному общему члену:
а)                                                      а)

б)                                                      б)

2. Найдите формулу общего члена ряда:
а)                                                              а)

б)                                                            б)

3. Вычислите сумму членов ряда:

4. Используя
признак сравнения, исследуйте сходимость ряда:

5. Используя
признак Даламбера, исследуйте сходимость ряда:

Порядок выполнения:
1.
Внимательно
прочитать тему и цель практической работы.
2.
Изучить
учебный материал по теме.
3.
Ответить
на вопросы.
4.
Выполнить
задания.
5.
Подготовить
отчет.

Пояснения
к работе (учебный материал):
Числовым рядом называется сумма вида , где числа
, ,
,…,,…
называемые членами ряда, образуют бесконечную последовательность; член называется общим членом ряда.
Суммы
,
,
,
…………………..
,
составленные
из первых членов ряда называются частичными суммами этого ряда.
            Каждому
ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм , ,
, …,,...
Если при бесконечном возрастании номера n частичная
сумма ряда  стремится к пределу S, то ряд называется сходящимся, а число S-суммой
сходящегося ряда, т.е.  или .
            Эта
запись равносильна записи
            Если
частичная сумма  ряда при
неограниченном возрастании n не имеет конечного
предела (в частности стремится к  или к , то такой ряд называется
расходящимся. Если ряд сходится, то значение при
достаточно большом n является приближенным
выражением суммы ряда S.
            Разность
 называется остатком ряда. Если ряд
сходится, то его остаток стремится к нулю, т.е. , и наоборот, если остаток
стремится к нулю, то ряд сходится.
Ряд
вида  называется
гармоническим.
            Ряд
 может сходиться только при
условии, что его общий член  при
неограниченном увеличении номера n стремится к нулю:
Если
, то ряд  расходится – это достаточный
признак расходимости ряда.
1.
Признак сравнения рядов с положительными членами.
Исследуемый
ряд сходится, если его члены не превосходят соответствующих членов другого,
заведомо сходящегося ряда; исследуемый ряд расходится, если его члены
превосходят соответствующие члены другого, заведомо расходящегося ряда.
            При
исследовании рядов на сходимость и расходимость по этому признаку часто
используется геометрический ряд ,
который сходится при  и расходится
при  и гармонический ряд  являющийся расходящимся.
            При
исследовании рядов используется также обобщённый гармонический ряд
Если
р=1, то данный ряд обращается в гармонический ряд, который является
расходящимся.
            Если
p<1 , то члены данного ряда больше
соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При p>1 имеем геометрический ряд, в котором  он является сходящимся. Итак,
обобщённый гармонический ряд сходится при p>1 и
расходится при .

2.
Признак Даламбера.
            Если
для ряда с положительными членами  выполняется
условие , то сходится при  и расходится при .
            Признак Даламбера не даёт ответа, если . В этом случае для исследования
ряда применяются другие приёмы.
При выполнении практической работы
рассмотрите следующие примеры:
Пример 1.
Найдите первые четыре члена ряда по
заданному общему члену:

Пример
2.
Найдите
формулу общего члена ряда:

Числители
членов ряда образуют натуральный ряд чисел, а соответствующие им знаменатели –
натуральный ряд чисел, начиная с 3. Знаки чередуются по закону  или по закону . Значит, n-й
член ряда имеет вид
 или

Пример
3.
Вычислите
сумму членов ряда.

Находим
частичные суммы членов ряда:

………………………………………………….
Общий
член этой последовательности:

Последовательность
частных сумм имеет предел, равный . Итак,
ряд сходится и .
Пример
4.
Используя
признак сравнения, исследуйте сходимость ряда:
а)

Необходимый
признак сходимости ряда выполняется.
Сравним
данный ряд с геометрическим рядом ,
который сходится, так как .
Сравнивая
члены данного ряда, начиная со второго, с соответствующими членами
геометрического ряда, получим неравенства т.е. члены данного ряда, начиная со
второго, соответственно меньше членов геометрического ряда, откуда следует, что
данный ряд сходится.
б)

Здесь
выполняется достаточный признак расходимости ряда, следовательно ряд
расходится. При сравнении данного ряда с гармоническим также убеждаемся, что
ряд расходится.

Пример
5.
Исследовать
сходимость ряда, используя признак Даламбера:
а)

Следовательно,
данный ряд сходится.
б)

, т.е. ряд расходится.
Вопросы для закрепления теоретического
материала к практическому занятию:
1.
Что называется числовым рядом?
2.
Какой ряд называется расходящимся?
3.
Какой ряд называется сходящимся?
4.
Какой ряд называется геометрическим?
5.
Какой ряд называется гармоническим?

Содержание
отчета:
Название
практической работы.
Учебная
цель.
Решение
заданий практической работы.
Ответы
на вопросы для закрепления теоретического материала.

Литература:
1.    Григорьев В.П.
Элементы высшей математики. –М.: ОИЦ «Академия», 2016.
2.    Григорьев В.П.
Сборник задач по высшей математике: Учеб.
пособие для студентов учрежд. СПО / В.П.Григорьев, Т.Н.Сабурова. – М.:
Издательский центр «Академия», 2017. – 160 с.
3. Григорьев Г.В Математика. М.ИЦ
Академия, 2017 г.
4. Богомолов Н.В. Практические
занятия по математике, учебное пособие для СПО.    М.: «Высшая школа», 2016.
5. Богомолов Н. В., Самойленко П.И.
Математика. Учебник для ссузов. М.«ДРОФА», 2017.
6. Пехлецкий И. Д. Математика:
учебник для студентов образовательных учреждений специального профессионального
образования – 3-е издание.  – М.: Издательский центр «Академия», 2016.
9. Бардушкин В.В., Прокофьев А.А. Математика.
Элементы высшей математики: учебник: в 2 т. Т. 2 / В.В., А.А.— М.: КУРС, НИЦ
ИНФРА-М, 2018. — 368 с. — (Среднее профессиональное образование). - Режим
доступа: http://znanium.com/
10. Шабунин М.И. Математика: Пособие /-
7-е изд., (эл.) - М.:Лаборатория знаний, 2016. - 747 с.: ISBN 978-5-93208-204-1
- Режим доступа: http://znanium.com/
11. Филипова Е.Е Математика: Учебное
пособие /. - Вологда:ВИПЭ ФСИН России, 2015. - 378 с.: ISBN 978-5-94991-312-3 -
Режим доступа: http://znanium.com/
12. Балдин, К.В. Математический анализ :
учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, Л.В. Рукосуев ; под общ. ред. К.В.
Балдина. - 3-е изд., стер. - Москва : ФЛИНТА, 2015. - 361 с. - ISBN 978-5-9765-2067-7.
- Режим доступа: http://znanium.com/

Тема
практической работы № 8:
Решение дифференциальных  уравнений

Цель
работы:
применить
умения по решению дифференциальных уравнений

Оборудование:
1. Рабочая тетрадь в клетку.
2. Раздаточный материал: инструкционные
карты-20шт.
3. Калькулятор простой.

Задание:
I Вариант
II Вариант

Найдите
     общее решение уравнений с разделяющимися переменными.

2. Решите однородное дифференциальное
уравнение первого порядка.

Найдите
     частные решения дифференциальных уравнений.

Найдите частные решения
     дифференциальных уравнений.

Порядок выполнения:
1.
Внимательно
прочитать тему и цель практической работы.
2.
Изучить
учебный материал по теме.
3.
Ответить
на вопросы.
4.
Выполнить
задания.
5.
Подготовить
отчет.

Пояснения
к работе (учебный материал):
Дифференциальным
уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную
х, искомую функцию у и ее производное или дифференциалы.
Символически дифференциальное уравнение
записывается так: .
Дифференциальное
уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного
независимого переменного.
Порядком
дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или
дифференциала), входящей в данное уравнение.
Решением (или
интегралом) дифференциального уравнения называется такая функция, которая
обращает это уравнение в тождество.
Общим решением
(или общим интегралом) дифференциального уравнения называется такое решение, в
которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок
уравнения. Так, общее решение дифференциального уравнения первого порядка
содержит одну произвольную постоянную.
Частным решением
дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при
различных числовых значимых произвольных постоянных. Значения произвольных
постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента или
функции.
График  частного
решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Общему решению
дифференциального уравнения соответствует совокупность (семейство) всех
интегральных кривых.
Дифференциальным
уравнениям первого порядка называются уравнение, в которое входят производные
(или дифференциалы) не выше первого порядка.
Дифференциальным
уравнением с разделяющимися переменными называются уравнения вида

Для решения этого уравнения нужно сначала
разделить переменные:
, а
затем проинтегрировать обе части полученного равенства:

Уравнения вида  называется однородным, если и-однородные
функции одного измерения.
Функция  называется однородной измерения m , если ии
С помощью подстановки  однородное уравнение приводится к
уравнению с разделяющимися переменными.
Уравнение вида  где и -
функции от х, называется линейным дифференциальным уравнением первого
порядка. В частном случае и могут быть постоянными величинами.
Это уравнение приводит к уравнению с
разделяющимися переменными с помощью подстановки ,
где и - новые функции от .
Уравнение, содержащие производные (или
дифференциалы) не выше второго порядка, называется дифференцированным
уравнением второго порядка. В общем виде уравнение второго порядка записывается
следующим образом:

Общее решение дифференциального уравнения
второго порядка содержит две произвольные постоянные.
Линейным однородным дифференциальным
уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение
вида
                                                                                (1)
где
p и q – постоянные величины.
            Для
отыскания общего решения уравнения  (1) заменой  на соответствующие степени причем сама функция заменяется единицей.
            Тогда
общее решение дифференциального уравнения строится в зависимости от корней  и  характеристического
уравнения. Здесь возможны три случая.
I
случай. Корни  и - действительны и различные. В этом
случае общее решение уравнения (1) имеет вид:
                                                                                (3)
II случай. Корни  и -
действительные и равные:  Тогда
общее решение уравнение (1) записывается так:
                                                                                (4)
III случай. Корни  и -
комплексно-сопряженные:  В
этом случае общее решение уравнения (1) записывается следующим образом:
                                                                                (5)
При выполнении практической работы
рассмотрите следующие примеры:
Пример
1.
Найдите
общее решение уравнений с разделяющимися переменными.
а)

;

б)

Пример
2.
Решите
однородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Замена:

=

Пример
3.
Решите
линейное дифференциальное уравнение первого порядка.
 -  -
3 =0;
Положим
. Продифференцируем по : = + .
Подставим
эти выражения в уравнения, получим:
+  - ;
+  - -3=0;
                                                                       (*)
 - ;
 - ;
=;
= ;
;
;
;
Подставим
теперь выражение для  в уравнение
(*), тогда получим уравнение
-3=0;
=3;
;
;
;
;
.
Зная
 и ,
теперь получаем общее решение данного уравнения:

Пример
4.
Найдите
частные решения дифференциальных уравнений.

б)

Пример
5.
Найдите
частное решение уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условием.

Пример
6.
Найдите
частные решения дифференциальных уравнений.
а)
 при  при .
Составим
характеристическое уравнение и найдите его корни.

Так
как корни характеристического уравнения действительны и различны, то общее
решение данного дифференциального уравнения согласно формуле (3) запишется так:

Для
нахождения искомого частного решения нужно определить значения постоянных С1
и С2. Подставив в общее решение значения  получим:

Продифференцировав
общее решение и подставив в полученное выражение , имеем:

Таким
образом, искомое частное решение имеет вид

б)
.

Вопросы для закрепления теоретического
материала к практическому занятию:
1. Что называется дифференциальным
уравнением?
2. Что называется решением
дифференциального уравнения?
3. Что называется частными решениями
дифференциального уравнения?
4. Какой вид имеет дифференциальное
уравнение с разделяющимися переменными?
5. Какой вид имеет однородное
дифференциальное уравнение?
6. Какой вид имеет линейное
дифференциальное уравнение первого порядка.
7.
Какое уравнение называется дифференциальным уравнением второго порядка?
8.
Какой общий вид уравнения второго порядка?
9.
какой общий вид линейного однородного дифференциального уравнения второго
порядка с постоянным коэффициентами?

Содержание
отчета:
Название
практической работы.
Учебная
цель.
Решение
заданий практической работы.
Ответы
на вопросы для закрепления теоретического материала.

Литература:
1.    Григорьев В.П.
Элементы высшей математики. –М.: ОИЦ «Академия», 2016.
2.    Григорьев В.П.
Сборник задач по высшей математике: Учеб.
пособие для студентов учрежд. СПО / В.П.Григорьев, Т.Н.Сабурова. – М.:
Издательский центр «Академия», 2017. – 160 с.
3. Григорьев Г.В Математика. М.ИЦ
Академия, 2017 г.
4. Богомолов Н.В. Практические
занятия по математике, учебное пособие для СПО.    М.: «Высшая школа», 2016.
5. Богомолов Н. В., Самойленко П.И.
Математика. Учебник для ссузов. М.«ДРОФА», 2017.
6. Пехлецкий И. Д. Математика:
учебник для студентов образовательных учреждений специального профессионального
образования – 3-е издание.  – М.: Издательский центр «Академия», 2016.
9. Бардушкин В.В., Прокофьев А.А. Математика.
Элементы высшей математики: учебник: в 2 т. Т. 2 / В.В., А.А.— М.: КУРС, НИЦ
ИНФРА-М, 2018. — 368 с. — (Среднее профессиональное образование). - Режим
доступа: http://znanium.com/
10. Шабунин М.И. Математика: Пособие /-
7-е изд., (эл.) - М.:Лаборатория знаний, 2016. - 747 с.: ISBN 978-5-93208-204-1
- Режим доступа: http://znanium.com/
11. Филипова Е.Е Математика: Учебное
пособие /. - Вологда:ВИПЭ ФСИН России, 2015. - 378 с.: ISBN 978-5-94991-312-3 -
Режим доступа: http://znanium.com/
12. Балдин, К.В. Математический анализ :
учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, Л.В. Рукосуев ; под общ. ред. К.В.
Балдина. - 3-е изд., стер. - Москва : ФЛИНТА, 2015. - 361 с. - ISBN
978-5-9765-2067-7. - Режим доступа: http://znanium.com/

Тема
практической работы № 9:
Нахождение обратной матрицы

Цель
работы:
применить
умения по линейной алгебре: выполнять операции над матрицами.

Оборудование:
1. Рабочая тетрадь в клетку.
2. Раздаточный материал: инструкционные
карты-20шт.
3. Калькулятор простой.

Задание:
I вариант                                                                         II вариант
1.
Найти обратную матрицы с помощью формулы.

2.Найдите обратную
матрицу с помощью элементарный преобразований.

3. Найдите
обратную матрицу

Порядок выполнения:
1.
Внимательно
прочитать тему и цель практической работы.
2.
Изучить
учебный материал по теме.
3.
Ответить
на вопросы.
4.
Выполнить
задания.
5.
Подготовить
отчет.

Пояснения
к работе (учебный материал):
Для каждого числа  существует обратное число  такое, что произведение .
Матрица называется обратной по отношению к
квадратной матрице , если при
умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная
матрица: . Только квадратная
матрица имеет обратную; в этом случае и обратная матрица является матрицей того
же порядка.
Не каждая
квадратная матрица имеет обратную. Для существования матрицы  необходимым и достаточным условием
является требование .
Если определитель
матрицы отличен от нуля (), то
такая квадратная матрица называется невырожденной, или неособенной; в противном
случае (при ) – вырожденной, или
особенной.
Обратная матрица  существует (и единственна) тогда и
только тогда, когда исходная матрица невырожденная.
Алгоритм
вычисления обратной матрицы.
1)      Находим
определитель исходной матрицы. Если , то
матрица  вырожденная и обратной
матрицы  не существует.
Если , то матрица  невырожденная и обратная матрица
существует.
2)      Находим матрицу , транспонированную к .
3)      Находим
алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и составляем из
них присоединенную матрицу .
4)      Вычисляем матрицу
по формуле:
Любую
невырожденную квадратную матрицу  с
помощью отдельных элементарных преобразований только строк или только столбцов
можно привести к единичной матрице  того
же порядка. При этом те же преобразования, совершенные над матрицей  в том же порядке, приводят ее к
обратной матрице . На этом
основан ещё один способ нахождения обратной  матрицы. Удобно совершать
элементарные преобразования над матрицами  и
 одновременно, записывая их рядом
через черту.
При
выполнении заданий рассмотрите примеры.
Пример
1.
Найти матрицу,
обратную к данной:

1) Находим
определитель матрицы .

Т.к. , то матрица  невырожденная и обратная матрица  существует.

2) Находим
транспонированную к  матрицу .

3) Находим
алгебраические дополнения элементов матрицы  и
составляем из них присоединенную матрицу .
;
;                  ;
;                      ;
;                              ;
.
.
4) Вычислим по
формуле обратную матрицу .
.
Пример
2.
Найти матрицу,
обратную к матрице , преобразуя
исходную матрицу в единичную .
.

∙(-6)

∙(-6)

Следовательно,
матрица  имеет обратную

∙(-1)

∙(-1)

Слева получим
единичную матрицу. Найденная справа от черты квадратная матрица является
обратной к исходной матрице :

Вопросы для закрепления теоретического материала
к практическому занятию:
1.    Какая матрица
называется обратной?
2.    Сформулировать
необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы?

Содержание
отчета:
Название
практической работы.
Учебная
цель.
Решение
заданий практической работы.
Ответы
на вопросы для закрепления теоретического материала.

Литература:
1.    Григорьев В.П.
Элементы высшей математики. –М.: ОИЦ «Академия», 2016.
2.    Григорьев В.П.
Сборник задач по высшей математике: Учеб.
пособие для студентов учрежд. СПО / В.П.Григорьев, Т.Н.Сабурова. – М.:
Издательский центр «Академия», 2017. – 160 с.
3. Григорьев Г.В Математика. М.ИЦ
Академия, 2017 г.
4. Богомолов Н.В. Практические
занятия по математике, учебное пособие для СПО.    М.: «Высшая школа», 2016.
5. Богомолов Н. В., Самойленко П.И.
Математика. Учебник для ссузов. М.«ДРОФА», 2017.
6. Пехлецкий И. Д. Математика:
учебник для студентов образовательных учреждений специального профессионального
образования – 3-е издание.  – М.: Издательский центр «Академия», 2016.
9. Бардушкин В.В., Прокофьев А.А. Математика.
Элементы высшей математики: учебник: в 2 т. Т. 2 / В.В., А.А.— М.: КУРС, НИЦ
ИНФРА-М, 2018. — 368 с. — (Среднее профессиональное образование). - Режим
доступа: http://znanium.com/
10. Шабунин М.И. Математика: Пособие /-
7-е изд., (эл.) - М.:Лаборатория знаний, 2016. - 747 с.: ISBN 978-5-93208-204-1
- Режим доступа: http://znanium.com/
11. Филипова Е.Е Математика: Учебное
пособие /. - Вологда:ВИПЭ ФСИН России, 2015. - 378 с.: ISBN 978-5-94991-312-3 -
Режим доступа: http://znanium.com/
12. Балдин, К.В. Математический анализ :
учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, Л.В. Рукосуев ; под общ. ред. К.В.
Балдина. - 3-е изд., стер. - Москва : ФЛИНТА, 2015. - 361 с. - ISBN
978-5-9765-2067-7. - Режим доступа: http://znanium.com/

Тема
практической работы № 10:
Решение системы
линейных уравнений по формулам Крамера, методом Гаусса и с помощью обратной
матрицы

Цель
работы:
применить
умения по линейной алгебре: решать системы линейных уравнений.

Оборудование:
1. Рабочая тетрадь в клетку.
2. Раздаточный материал: инструкционные
карты-20шт.
3. Калькулятор простой.

Задание:
I вариант                                                                         II вариант
1.Решите систему
уравнений по правилу Крамера.

2.Решите систему уравнений
матричным методом.

3. Решите систему
линейных уравнений методом Гаусса.

4.Решите систему
линейных уравнений любым способом.

Порядок выполнения:
1.
Внимательно
прочитать тему и цель практической работы.
2.
Изучить
учебный материал по теме.
3.
Ответить
на вопросы.
4.
Выполнить
задания.
5.
Подготовить
отчет.

Пояснения
к работе (учебный материал):
Пусть
дана система n алгебраических
уравнений с n неизвестными
видами.

или
в матричной форме AX = b, где
A= - матрица системы,
X=- матрица –
столбец неизвестных,
B = - матрица –
столбец свободных членов данной системы.
Правило Крамера.

Если в системе ∆ ≠ 0 , т.е. матрица А невырожденная и имеет
единственное решение.
X = A-1  ·В, или x =  , i = 1,2,…,n, где  – определитель, получаемый из
определителя ∆ системы заменой i – го столбца на
столбец свободных членов.
Метод Гаусса
Метод Гаусса – метод последовательного
исключения переменных – заключается в том, что с помощью преобразований система
уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного)
вида, из которой последовательно, начиная с последних
(по номеру) переменных, находятся все
остальные переменные.
При
выполнении заданий рассмотрите примеры.
Пример
1.
Решить
систему уравнений по правилу Крамера.

Тогда

Ответ:
(3;-1;1).
Пример
2.
Решите
систему линейных алгебраических уравнений матричным способом.

A =  -
матрица системы уравнений,
X = - матрица –
столбец неизвестных,
B=  – матрица – столбец свободных
членов данной системы.
Тогда
в матричной форме данная система будет иметь вид: АX = B. Найдем
определитель матрицы  .

Так
как ≠ 0, то матрица A невырожденная, и
существует обратная матрица А -1.
Обратную
матрицу А-1 находим по формуле:

Находим
алгебраические дополнения элементов матрицы AТ  и составляем из
них присоединенную матрицу .

A11 = (-1)1+1  = 2-1=1;
               A21 = (-1)2+1
 = - (4-1) = -3;
A12 = (-1)1+2 =
-(-2-1)=3;                                       A22 = (-1)2+2 = 2 – 1 = 1;
A13 = (-1)1+3  = -1-1=-2;
A23 = (-1)2+3 = - (-1-2) = 1;
A31 = (-1)3+1 = 2-1 = 1;
A33 = (-1)3+3 = 1+2=3.
A32 = (-1)3+2 = -(1+1) = -2;
.
A-1 = ·   и решение системы найдем по формуле
 X = A-1 · В, т.е.

Ответ: (4;2;1)
Пример
3.
Решите
систему методом Гаусса.

 .
Получаем
систему уравнений:
;

Ответ:
(3;0;6)
Пример
4.
Методом
Гаусса решите систему уравнений

И
так, уравнение, соответствующее третьей строке последней матрицы,
противоречиво, т.к. в результате преобразований получено неверное равенство:
0= -1, следовательно, данная система несовместная.
Ответ:
нет решений.
Вопросы для закрепления теоретического материала
к практическому занятию:
1.
Что называется решением системы линейных уравнений?
2.
Какая система уравнений называется совместной?
3.
Какими способами можно решить системы линейных уравнений?

Содержание
отчета:
Название
практической работы.
Учебная
цель.
Решение
заданий практической работы.
Ответы
на вопросы для закрепления теоретического материала.

Литература:
1.    Григорьев В.П.
Элементы высшей математики. –М.: ОИЦ «Академия», 2016.
2.    Григорьев В.П.
Сборник задач по высшей математике: Учеб.
пособие для студентов учрежд. СПО / В.П.Григорьев, Т.Н.Сабурова. – М.:
Издательский центр «Академия», 2017. – 160 с.
3. Григорьев Г.В Математика. М.ИЦ
Академия, 2017 г.
4. Богомолов Н.В. Практические
занятия по математике, учебное пособие для СПО.    М.: «Высшая школа», 2016.
5. Богомолов Н. В., Самойленко П.И.
Математика. Учебник для ссузов. М.«ДРОФА», 2017.
6. Пехлецкий И. Д. Математика:
учебник для студентов образовательных учреждений специального профессионального
образования – 3-е издание.  – М.: Издательский центр «Академия», 2016.
9. Бардушкин В.В., Прокофьев А.А. Математика.
Элементы высшей математики: учебник: в 2 т. Т. 2 / В.В., А.А.— М.: КУРС, НИЦ
ИНФРА-М, 2018. — 368 с. — (Среднее профессиональное образование). - Режим
доступа: http://znanium.com/
10. Шабунин М.И. Математика: Пособие /-
7-е изд., (эл.) - М.:Лаборатория знаний, 2016. - 747 с.: ISBN 978-5-93208-204-1
- Режим доступа: http://znanium.com/
11. Филипова Е.Е Математика: Учебное
пособие /. - Вологда:ВИПЭ ФСИН России, 2015. - 378 с.: ISBN 978-5-94991-312-3 -
Режим доступа: http://znanium.com/
12. Балдин, К.В. Математический анализ :
учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, Л.В. Рукосуев ; под общ. ред. К.В.
Балдина. - 3-е изд., стер. - Москва : ФЛИНТА, 2015. - 361 с. - ISBN 978-5-9765-2067-7.
- Режим доступа: http://znanium.com/
Тема
практической работы № 11:
Решение задач по аналитической геометрии

Цель
работы:
применить
умения по решению задач, используя уравнения прямых и кривых второго порядка на
плоскости.

Оборудование:
1. Рабочая тетрадь в клетку.
2. Раздаточный материал: инструкционные
карты-20шт.
3. Калькулятор простой.

Задание:

I Вариант
1. Построить прямые
а)
б)
в)
г)
2. Составьте уравнение прямой, проходящей
через данную точку Мо и перпендикулярной данному вектору n: М0(-2;3),
n=(4;-5).
3. На прямой  найдите
точку равноудаленную от точек: А(5;1) и В(2;-4)
4. Составьте уравнение прямой в отрезках
на осях, если она пересекает оси координат в точках: А(-2;0) и В(0;3).
5. Составьте уравнение прямой, проходящей
через точку (-1;1) и имеющей угловой коэффициент k=1.
6. Составьте уравнение прямой, проходящей
через две точки: А(-3;-2), В(1;5).
7.  Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС
даны соответственно уравнениями                       Определить координаты его вершин.
8. Даны вершины треугольника АВС. Составить
уравнения медианы, высоты и биссектрисы, проведенных из                   вершины
А.

7. Найдите центр и радиус окружности и
постройте ее
8. Найдите вершины, фокусы,
эксцентриситет, асимптоты гиперболы:

9. Построите параболу:

II Вариант

1. Построить прямые
а)
б)
в)
г)
2. Составьте уравнение прямой, проходящей
через данную точку Мо и перпендикулярной данному вектору n:
М0(1;-1), n=(-3;4)
3. На прямой  найдите точку равноудаленную от
точек: А(-8;-3) и В(-5;6).
4. Составьте уравнение прямой в отрезках
на осях, если она пересекает оси координат в точках: А(3;0) и В(0;-4).
5. Составьте уравнение прямой, проходящей
через точку (2;0) и имеющей угловой коэффициент k=-2.
6. Составьте уравнение прямой, проходящей
через две точки: А(-1;-3), В(3;5)
7. Стороны АВ, ВС и АС
треугольника  АВС даны
соответственно уравнениями
   Определить координаты его вершин.
8. Даны вершины треугольника АВС:  .  Составить уравнения медианы,
высоты и биссектрисы, проведенных из вершины А.
7. Найдите центр и радиус окружности и
постройте ее
8. Найдите вершины, фокусы,
эксцентриситет, асимптоты гиперболы:

9. Построите параболу:

Порядок выполнения:
1. Внимательно прочитать тему и цель
практической работы.
2. Изучить учебный материал по теме.
3.
Ответить
на вопросы.
4.
Выполнить
задания.
5.
Подготовить
отчет.

Пояснения
к работе (учебный материал):
            Уравнение
первой степени относительно x и
y, т.е. уравнение вида при условии, что коэффициенты A и B одновременно не
равны нулю, называется общим уравнением прямой.
Частные случаи общего уравнения прямой.

Значение коэффициента

Вид уравнения

Положение прямой

Проходит через начало координат

Параллельна оси Oх

Параллельна оси Oу

Совпадает с осью Ох

Совпадает с осью Оу

            – каноническое уравнение прямой.
 - равнение прямой
в отрезках на осях где a и b – соответственно
абсцисса и ордината точек пересечения прямой с осями Ох и Оу.
            – уравнение прямой
с угловым коэффициентом, где –
угловой коэффициент.
            – уравнение
прямой, проходящей через данную точку  в
заданном направлении, где  –
угловой коэффициент прямой.
             – уравнение
прямой, проходящей через две точки  и .
Окружность.
            Окружностью  называется множество
всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки этой плоскости, называемой
центром.
Уравнение окружности с центром в начале
координат и радиусом r имеет вид .
Уравнение окружности с центром в точке О1(а;b) и радиусом r имеет вид .
Уравнение окружности в общем виде
записывается так:
, где А,В,С,D – постоянные
коэффициенты.
Гипербола.
              Гиперболой называется
множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до
двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (2а), меньшая
расстояния между фокусами (2с).
              Уравнение гиперболы, фокусы
которой лежат на оси Ох, имеет вид , где а – длина действительной
полуоси, b – длина мнимой
полуоси.
Зависимость между параметрами a,b,c выражается
соотношением .
Эксцентриситетом гиперболы называется
отношение фокусного расстояния к ее действительной оси:
.
Гипербола имеет две асимптоты, уравнения
которых .
Если действительная и мнимая оси гиперболы
равны (т.е. a=b), то гипербола
называется равносторонне. Уравнение равносторонней гиперболы записывается в
виде , а уравнения ее
асимптоты .
Если фокусы гиперболы лежат на оси Оу,
то ее уравнение имеет вид , или , а уравнения асимптоты такой
гиперболы .
Уравнения равносторонней гиперболы с
фокусом на оси Оу имеет вид .
Парабола с
вершиной в начале координат.
            Параболой называется множество
точек на плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой директрисой.
Уравнение параболы с вершиной в начале
координат, осью симметрии которой служит ось Ох и ветви направлены
вправо, имеет вид , где р>0
(параметр параболы) – расстояние от фокуса до директрисы.
Уравнение параболы с вершиной в начале
координат, осью симметрии которой служит ось Ох и ветви направлены
влево, имеет вид  (р>0)
Уравнение ее директрисы .
Уравнение параболы с вершиной в начале
координат, осью симметрии которой служит ось Оу и ветви направлены
вверх, имеет вид  (р>0)
Уравнение ее директрисы .
Уравнение параболы с вершиной в начале
координат осью симметрии которой служит ось Оу и ветви направлены вниз,
имеет вид  (р>0).
Уравнение параболы с вершиной в точке (а;b), с осью симметрии,
параллельной оси Ох, и ветвями, направленными вправо имеет вид .
Уравнение параболы с вершиной в точке (а;b), с осью симметрии,
параллельной оси Ох, и ветвями, направленным влево, имеет вид .
Уравнение параболы с вершиной в точке (а;b), с осью симметрии,
параллельной оси Оу, и ветвями, направленным вверх, имеет вид .
Уравнение параболы с вершиной в точке (а;b), с осью симметрии,
параллельной оси Ох, и ветвями, направленным вниз, имеет вид .
В каждом из уравнений параметр параболы p>0
– расстояние от фокуса параболы до ее директрисы.
При выполнении
заданий рассмотрите примеры:
Пример 1.
Построить прямые: а) , б) ,
в) .
Решение.
 а) Найдите координаты точек пересечения с
осями Ох и Оу.
Полагая ,
получим
,
,
.
.
При х=0, получим
,
,
.

Через точки А и В проводим искомую
прямую.

б) На оси Ох возьмем точку. Через эту точку проведём прямую,
параллельную оси Оу.
в) На оси Оу возьмем точку. Через эту точку проводим прямую,
параллельную оси Ох.
Пример 2.
 Составить уравнение прямой, проходящей
через точку и перпендикулярной
вектору .
Решение.
Пусть – произвольная точка искомой прямой.
Вектор перпендикулярен вектору .  Так как векторы перпендикулярны, то их
скалярное произведение равно нулю:.
Записав произведение этих векторов в координатной форме, получим
,
,
,
,
,
Ответ: .
Пример 3.
На прямой  найти
точку М, равноудаленную от точек  и

Решение.
Обозначим
координаты точки М через ,
получим:

Приравняем правые части уравнений.

,
,
,
.
Точка  принадлежит
прямой , следовательно, ее
координаты удовлетворяют этому уравнению.
Решаем систему уравнений

,
,
,
,
,
.
Ответ:
Пример 4.
Построить прямую
Решение.  Перепишем уравнение так: , т.е.  и
. Таким образом, получаем точки и . Строим
прямую, проходящую через точки А и В.

Пример 5.
Составим уравнение прямой пересекающей ось
Ох в точке , а ось ординат
– в точке .
Решение.
 и . Следовательно,  .
Ответ:  .
Пример 6.
Составить уравнение прямой, проходящей
через точку  и имеющей угловой
коэффициент
Решение.
, , .
,
,
,
,
.
Ответ: .
Пример 7.
Составить уравнение прямой, проходящей через
точки А(2;-3) и   В(-1;4).
Решение.
, , ,
.
,
,
,
,
,
.
Ответ: .
Пример 8.
Определить, какие из точек М1(3;1),
М2(2;3), М3(6;3), М4(-3;-3),М5(3;-1),М6(-2;1)
лежат на прямой L: 2х-3у-3=0 и какие не лежат на ней.
Решение.
            Для того, чтобы определить,
какие из точек лежат на данной прямой и какие не лежат на ней, надо подставить
координаты данных точек в уравнение; если получим верное равенство, то точки
лежат на прямой, в противном случае – нет.

Ответ: точки  и
 лежат на данной прямой; точки  и  не
лежат на ней.
Пример
9.
Найти точку пересечения двух прямых
Решение.
            Так как точка  лежит на обеих прямых, то
координаты этой точки должны удовлетворять системе уравнений

Ответ:
Пример 10.
Стороны АВ, ВС и АС
треугольника АВС даны соответственно уравнениями . Определить координаты его вершин.
Решение.
Найдем точку В
пересечения сторон АВ и ВС треугольника АВС.

Точка
            Найдем точку А
пересечения сторон АВ и АС данного треугольника

Точка
Найдем точку С пересечения сторон АС
и ВС данного треугольника

Точка
Ответ:
Пример 11.
Даны вершины  треугольника АВС. Составить
уравнения медианы, высоты и биссектрисы, проведенных из вершины В.
Решение.
1) Пучок прямых,
проходящих через точку  имеет вид
2) Найдем
уравнение медианы . Найдем
координаты середины  отрезка АС

т.е.  Найдем угловой коэффициент .
Подставляя k=-1 в формулу, получаем уравнение медианы BD: , или.
3) Найдем уравнение высоты BE. Найдем угловой
коэффициент AC .
На основании условий перпендикулярности
двух прямых .
Следовательно по формуле  уравнение высоты BE примет вид
, или
4) Найдем уравнение биссектрисы BF.
Первый способ. Угловой
коэффициент  получаем из равенства :
, или ,
(где ),
Откуда после преобразований имеем и .
Так как биссектриса BF образует тупой
угол с осью Ox то .
Теперь по формуле уравнение BF примет вид
 , или .
Второй способ. По формуленайдем уравнения сторон
треугольника AB и BC, учитывая, что :
, или       (AB);
, или             (BC).
Учитывая, что по свойству биссектрисы
расстояния ее от любой точки M(x;y) до сторон AB и BC равны, по формуле получаем
ее уравнение

Записанному уравнению удовлетворяют два
уравнения:
, или (после
преобразований)  и , из которых последнее – уравнение
с отрицательным угловым коэффициентом.
Пример 12.
Найдите
координаты центра и радиус окружности .
Решение.
,
,
,
, , .
Центр
окружности – точка (4;5).
Радиус
r=7.

Пример 13.
Найдите
вершины, фокусы эксцентриситет и асимптоты гиперболы.
Решение.
Уравнение
данной гиперболы имеет вид , т.е.
фокусы ее лежат на оси Оу. Из уравнения получим ,  и
, .
Вершины
гиперболы находятся в точках А1(0;8) и А2(0;8).
,
; следовательно, фокусами служат точки F1(0;-10) и F2(0;10).
Эксцентриситет
вычислим по формуле ;
.
Асимптоты
гиперболы найдём по формуле .
.

Пример
14.
Построить
параболу .
Решение.

Найдем
вершину параболы, преобразовав уравнение  к виду

,

Откуда
a=1, b=-9
А(1;-9)
Найдем
точки пересечения параболы с осями Ох и Оу.
С
осью Ох:

Точки
пересечения с осью Ох: (-2;0), (4;0).
С
осью Оу: (0;-8).

Вопросы для закрепления теоретического
материала к практическому занятию:
1.
Назовите общий вид уравнения прямой?
2.
Назовите уравнение прямой с угловым коэффициентом?
3.
Назовите каноническое уравнение прямой?
4.
Назовите уравнение прямой, проходящей через данную точку?
3.
Что называется окружностью?
4.
Что называется гиперболой?
5.
Что называется параболой?

Содержание
отчета:
Название
практической работы.
Учебная
цель.
Решение
заданий практической работы.
Ответы
на вопросы для закрепления теоретического материала.

Литература:
1.    Григорьев В.П.
Элементы высшей математики. –М.: ОИЦ «Академия», 2016.
2.    Григорьев В.П.
Сборник задач по высшей математике: Учеб.
пособие для студентов учрежд. СПО / В.П.Григорьев, Т.Н.Сабурова. – М.:
Издательский центр «Академия», 2017. – 160 с.
3. Григорьев Г.В Математика. М.ИЦ
Академия, 2017 г.
4. Богомолов Н.В. Практические
занятия по математике, учебное пособие для СПО.    М.: «Высшая школа», 2016.
5. Богомолов Н. В., Самойленко П.И.
Математика. Учебник для ссузов. М.«ДРОФА», 2017.
6. Пехлецкий И. Д. Математика:
учебник для студентов образовательных учреждений специального профессионального
образования – 3-е издание.  – М.: Издательский центр «Академия», 2016.
9. Бардушкин В.В., Прокофьев А.А. Математика.
Элементы высшей математики: учебник: в 2 т. Т. 2 / В.В., А.А.— М.: КУРС, НИЦ
ИНФРА-М, 2018. — 368 с. — (Среднее профессиональное образование). - Режим
доступа: http://znanium.com/
10. Шабунин М.И. Математика: Пособие /-
7-е изд., (эл.) - М.:Лаборатория знаний, 2016. - 747 с.: ISBN 978-5-93208-204-1
- Режим доступа: http://znanium.com/
11. Филипова Е.Е Математика: Учебное
пособие /. - Вологда:ВИПЭ ФСИН России, 2015. - 378 с.: ISBN 978-5-94991-312-3 -
Режим доступа: http://znanium.com/
12. Балдин, К.В. Математический анализ :
учебник / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, Л.В. Рукосуев ; под общ. ред. К.В.
Балдина. - 3-е изд., стер. - Москва : ФЛИНТА, 2015. - 361 с. - ISBN
978-5-9765-2067-7. - Режим доступа: http://znanium.com/

Критерии оценки за
выполнение практического занятия

Оценка

Критерии

«Отлично»

Показал полное знание технологии
  выполнения задания.
Продемонстрировал умение применять
  теоретические знания/правила выполнения/технологию при выполнении задания.
Уверенно выполнил
  действия согласно условию задания.

«Хорошо»

Задание в целом выполнил, но допустил
  неточности.
Показал знание технологии/алгоритма
  выполнения задания, но недостаточно уверенно применил их на практике.
Выполнил
  норматив на положительную оценку.

«Удовлетворительно»

Показал знание общих положений, задание
  выполнил с ошибками.
Задание выполнил
  на положительную оценку, но превысил время, отведенное на выполнение задания.

«Неудовлетворительно»

Не выполнил задание.
Не продемонстрировал умения самостоятельного
  выполнения задания.
Не знает технологию/алгоритм выполнения
  задания.
Не выполнил
  норматив на положительную оценку.

Скачано
с www.znanio.ru

file_name: МУ ПР.doc

alt: Министерство образования и науки

alt: ОДОБРЕНО методической комиссией

alt: Содержание Пояснительная записка 4

alt: Введение Уважаемый обучающийся!

alt: Сборник практических работ

alt: Пояснения к работе (учебный материал):

alt: Возведение в степень z n =R n (cos nφ + isin nφ) - формула

alt: Частное: = . Возведение в степень:

alt: Тема практической работы № 2:

alt: Тема практической работы № 3:

alt: Пример 2. Исследовать функцию

alt: II рода. x =2 – вертикальная асимптота

alt: II рода. х (-∞;2) 2 (2; ∞) у // - + у точка разрыва 7) дополнительные точки х у 4 20 10 20

alt: Тема практической работы № 4:

alt: Тема практической работы № 5:

alt: Частной производной функции по переменной y при постоянном значении переменной x ; она обозначается или

alt: Тема практической работы № 6:

alt: Если f ( x ; y ) > 0 , то двойной интеграл функции по области

alt: Вычислим двойной интеграл по области :

alt: Филипова Е.Е Математика : Учебное пособие /

alt: Тема практической работы № 7:

alt: Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм , , , …, ,

alt: Признак Даламбера.

alt: Тема практической работы № 8:

alt: Пояснения к работе (учебный материал):

alt: Положим . Продифференцируем по : = +

математика

group: Дисциплины

title: СБОРНИК МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ  ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ  НА ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЯХ ЕН.01 ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ


extracted_text:
-
РФ –
Московская
область
Администрация
Дмитровского городского округа
МУНИЦИПАЛЬНОЕ
ДОШКОЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ДЕТСКИЙ САД КОМБИНИРОВАННОГО ВИДА №2 «Жемчужинка»

 141800,
г.Дмитров, мкр.Аверьянова д.13, тел. 8(222)3-08-01

КРАТКОСРОЧНЫЙ
ПРОЕКТ
по
познавательному, речевому и
художественно-эстетическому
развитию
в
старшей группе №9
МДОУ
№2 «Жемчужинка»
«ОГОРОД
НА ОКНЕ»

Руководители
проекта:
Плотникова Сталина
Викторовна

Участники проекта:
Дети
подготовительной группы №9

Дмитров,
2019 г.

Актуальность:
Дошкольный возраст самое время стать первооткрывателем и исследователем этого
огромного мира. Мы взрослые на этом этапе главные помощники. Ведь именно от
нашего одобрительного слова, помощи и поддержки во многом зависит, разгорится
или нет «искорка
интереса» в «пламя открытий». Одной из форм познания окружающего
мира является наблюдение. Это сложное познавательное занятие, т. к. требует
устойчивого внимания и включает в работу одновременно восприятие, мышление и
речь. Для понимания объекта наблюдения большое значение имеют знания ребенка и
его опыт. В процессе наблюдения воспитатель задает вопросы, предлагает
внимательно обследовать объекты наблюдения, сравнить их между собой.
Наблюдение приучает детей внимательно приглядываться и подмечать
все особенности, развивая тем самым у них наблюдательность и, следовательно,
решая задачи интеллектуального воспитания.
Участие дошкольника в проектной деятельности
способствует систематическому усвоению ребёнком знаний, полученных в результате
практической деятельности и включенного наблюдения. Логично выстроенная
деятельность по уходу за «огородом» позволяет заложить
основы планирования, умения ставить перед собой цель и достигать результата.
Создание огорода на окне способствует
развитию любознательности и наблюдательности у детей, помогает лучше узнать
растительную жизнь. Он способен расширять представления детей о растениях как о
живых организмах, рассказать об условиях необходимых для роста и развития,
развивать эстетические чувства, прививает желание трудиться и умение видеть
результат своего труда.
Тип проекта: исследовательский -
познавательный.
Сроки реализации проекта:
февраль-апрель.
Участники проекта:
дети старшей
группы, родители, педагоги.
Проблема: дети в
недостаточной степени имеют представления о растениях, о необходимых условиях
их роста; недостаточно развит интерес к познавательно-исследовательской
деятельности.
Цель: вовлечь
детей в практическую деятельность по выращиванию культурных растений, развитие
интереса к опытнической и исследовательской деятельности.
Задачи:
- формировать интерес к познавательной деятельности;
- расширять знания об условиях роста
растений (свет,
тепло, влага, почва) ;
- уточнить представления детей о том, из чего можно вырастить
растение;
- учить детей приемам посева семян;
- формировать умение выращивать рассаду из семян;
- воспитывать желание ухаживать за растениями;
- формировать партнёрские отношения между педагогами, детьми и
родителями.
Проект реализуется
в несколько этапов, каждый из которых решает определённые задачи.
1 этап. Подготовительный
•Создание проблемной ситуации: внесение
семян томатов и огурцов.
•Презентация «Необходимые условия для роста
растений»
•Беседа с детьми «Можно ли вырастить овощи
на окне»
II этап. Организационный
•Беседа с детьми о создании огорода на окне.
•Родительское собрание «Участвуем
в проекте «Огород на окне»»
•Беседа с детьми «Что такое огород
и что на нем растет».
III этап. Этап реализации
•НОД «Посев семян помидоров для выращивания рассады»
•Совместный уход за растениями в огороде на окне (полив, рыхление,
опрыскивание).
•Практическая деятельность: посадка лука на зелень.
•Наблюдение за ростом лука и всходами семян.
•Чтение детям: Е.
Алябьева «Овощи?»,
Т. Шорыгина «Три
горошины»[1], А. Максакова «Посадили огород», Г.
Козырина «А у
нас в саду порядок», О. Емельянова «Что растет в огороде», В.
Корнин «Что
растет на нашей грядке», Т. Шорыгина «Не сажайте огород возле дорог!»,
Ю. Тувим «Овощи»,
В. Пальчинскайте «Гороховый домик», А. Кочергина «Что растет у Натки на зеленой грядке?»,
В. Кудрявцева «Тяпы-ляпы»,
русская народная сказка «Мужик и медведь», белорусская сказка «Пях», Дж.
Родари «Чиполлино»,
Р. Е. Дерикот «Фасолинки».
•Дидактическая игра «Что растет в саду, огороде?».
•Оформление дневника наблюдений за ростом растений.
•Хороводная игра «Кабачок»,
хоровод «Огородная-хороводная».
•Художественное творчество: лепка из соленого теста «Натюрморт из овощей».
•Пальчиковая гимнастика «Капуста».
•Экспериментальная деятельность «Нужен ли корешкам воздух?».
•Практическая деятельность: посадка семян огурцов.
•Художественное творчество: рисование «Загадки с грядки».
•Дидактическая игра «В саду ли в огороде».
•Пальчиковая игра «Растение».
•Подвижная игра «Баба сеяла горох».
•Подбор стихотворений и загадок об
овощах.
•Дидактическая игра «Найди по описанию».
•Труд «Высадка рассады помидоров в горшки».
•Сюжетно-ролевая игра «Фруктовое кафе».
•Опыт «На свету и в темноте».
•Дидактическая игра «Вершки и корешки».
•Игра-эстафета «Посади картошку».
•Наблюдение первыми цветами огурцов.
•Дидактическая игра «Чудесный мешочек».
•Настольная игра лото «Что где растет?».
•Сбор первого урожая огурцов.
•Игра-эстафета «Сварим суп из овощей».
•Составление рассказов из личного
опыта «Что
растет на нашей    даче?».
•Фотографирование фаз роста растений,
деятельности детей.
•Дидактическая игра «Угадай на вкус».
•Сюжетно-ролевые игры «Семья».
•«Супермаркет», «Овощная база».
IV этап. Итоговый
•Подготовка к презентации проекта «Огород на окне»
•Создание фотоальбома «Огород на окне».
Формы взаимодействия с семьёй:
- круглый стол «Участвуем в проекте «Огород на окне»»
- оформление огорода (закупка земли, приобретение
семян);
- участие в наблюдении;
Продукты проекта:
дневник наблюдений, картотека загадок, фотоальбом «Огород на окне»,
презентация проекта «Огород на окне».
Результативность:
дети имеют представления о растениях, о необходимых условиях их роста; развит
интерес к познавательно-исследовательской деятельности.

Приложение
Конспект
занятия по ознакомлению с окружающим миром «Можно ли вырастить овощи на
подоконнике»
Цель:

расширять представления детей о саде
     и огороде;
обобщить и расширить знания
     школьников о том, как ухаживать за растениями в комнатных условиях;
привлечь к работе как можно больше
     детей.

Задачи:
Образовательные:
Осуществлять выращивание овощей на окне, рассада цветочных
культур;
закреплять знания детей об условиях необходимых для роста
растений;
Рассказать детям о каждой выращенной культуре, об особенностях
выращивания;
Заполнять дневник наблюдений за огородом;
Проследить рост растений от семени до ростка;
Понять какую роль играют условия в разные периоды их
роста и развития.
Воспитательные:
Воспитывать желание добиваться результата;
Участвовать в общем деле, развивать трудовые умения.
Прививать умение детей самостоятельно ухаживать за огородом,
выполняя соответствующие манипуляции, на основе уже полученных навыков и
умений;
Работа над словарем:
Развивать связную речь детей, расширять словарный запас, обучать
навыкам сравнения, систематизировать представления детей о признаках объектов;
Оборудование и материалы:
Рассада посаженных культур: петрушка, укроп
Цветы: бархатцы, лук.
Инвентарь: лейка, лопаточка для рыхления, тряпочка.
Дидактический материал: картинки с изображением овощей и цветов,
дневник наблюдений «сад-огород и т. д.
1. Предварительная работа:
В группе для детей на подоконнике был создан мини сад-огород.
Изготовлены таблицы – указатели с названиями растений и с датой их посадки. В
специально подготовленный ящик с грунтом были высажены семена культур, дата и
цель посадки были зафиксированы в дневник наблюдений. Так же были подобраны:
художественная литература, стихи, поговорки, загадки об овощах, цветах,
иллюстрации и картинки (демонстрационный материал). Проведена консультация с
родителями на тему: «Участвуем в проекте «Сад – огород», оказание посильной
помощи родителей в создании проекта «Сад-огород», был проведен опрос родителей
на тему: «Экологическое воспитание детей в детском саду».
2. Практическая работа. Вводная часть
Ход занятия:
Воспитатель: Ребята, посмотрите за окно, какое сейчас время года?
Дети: Весна.
В. : Правильно, весна! Какие признаки весны мы с Вами можем
отметить?
Д. : Тает снег, прилетают перелетные птицы, становится теплее,
появляются первые проталины, первые цветы.
В. : Совершенно верно! Скажи дети, а что же происходит на огороде?
Д. : Взрослые и дети начинают сажать овощи, цветы, ягоды!
В. : Давайте, мы с Вами вместе рассмотрим наш огород.
Огород, огород
Что за чудо! Вот так класс!
На подоконнике у нас,
Мини-огород живет,
Растет, и урожай дает!
Основная часть.
Дети с воспитателем рассматривают огород, на котором высажены
садово-огородные культуры: петрушка, укроп, перец, бархатцы, . Ребята замечают,
что ростки саженцев направленны к свету!
В. : Ребята, посмотрите внимательно на наш огород, как вы думаете,
что необходимо нашей рассаде, чтобы мы получили хороший урожай?
Д. : Земля, вода, воздух, свет, тепло.
В. : Правильно, ребята. Давайте рассмотрим каждое условие по
отдельности. Поиграем в игру «Наша ладошка».
Дети показывают свою ладонь, поочередно указывая на пальцах руки:
Самое важное условие для развития и роста любого растения – это
земля. Чтобы получить хороший урожай, мы с вами набрали земли, прорыхлили
почву. Посадили семена. Но что еще необходимо сделать для нашего семени, чтобы
оно проросло?
Д. : Вода.
В. : Правильно, ребята, чтобы семечко дало росток, необходимо его
полить. Любой живой организм не может обойтись без воды. (Показывает на
указательный палец, дети повторяют действие.) Итак, мы с вами посадили, полили
наше семечко и через некоторое время мы увидели, что появился маленький
росточек, затем первый листочек, второй и т. д.
Как вы думаете, без чего наше растение не сможет существовать.
Д. : Без воздуха.
В. : Правильно. Растения, как и мы с вами, дышат воздухом, т. е.
или необходим кислород и углерод (Дети показывают на средний палец). А теперь,
посмотрим на наш огород. Как вы думаете, почему эти ростки мы не можем сейчас
высадить в открытый грунт.
Д. : На улице еще холодно, земля не прогрелась солнце, и наши
ростки могут погибнуть.
В. : Совершенно верно, как Вы думаете, какое еще условие
необходимо для дальнейшего роста наших растений?
Д. : Тепло. Земля должна быть прогрета.
(Дети указывают на безымянный палец)
В. : Да, ребята, тепло представляет собой
основной фактор жизни растений.
Давайте мы внимательно посмотрим на наши ростки.
Что мы можем увидеть?
Д. : Ростки повернуты в сторону окна.
В. : Почему?
Д. : Растение тянется к свету, к солнцу.
В. : Да, ребята, чем больше света, тем лучше и быстрее растут наши
растения. Они как мы, радуются каждому лучику солнца. (Показывает на мизинец).
Посмотрите наша ладонь и пальцы – единое целое, как и наше растение неразрывно
связанно и зависит от всех перечисленных факторов и условий: земли, воздуха,
света, тепла, воды.
(Показывают друг другу ладошки)
-Молодцы ребята, а теперь давайте послушаем стихотворение про наш
огород.
Петрушка.
Сказала бабушка:
-Пора, петрушку высевать… Ура!
Вот всем на удивленье
Задам я представленье!
И будут у Петрушки
Такие же веснушки, колпак,
Вихор из пакли,
Как в кукольном спектакле:
Но через месяц или два
Взошла обычная ботва.
Где же колпак, веснушки
У этого… Петрушки?
Укроп.
Укроп - полезное растение,
И в этом нет у нас сомненья,
Овощи и фрукты –
Результат трудов.
Красный и зеленый,
Желтый, как лимон,
Вовремя взращенный.
В. : Кроме овощей и зелени у нас есть рассада
цветочных культур. Послушайте стихотворения.
Бархатцы.
Ярким солнечным букетом
Предо мною бархатцы.
Расцветают ранним летом
Я смеюсь от радости!
Пусть просты, зато нарядны.
Пышным кустиком горят.
Запах горький, но приятный,
И лучистый добрый взгляд.
Физкультминутка:
Я
волшебной палочкой превращаю вас в маленькие семена. (Дети приседают,
обхватывают ноги, головы опущены.)
Тепло,
свет, вода дружили с семенами. Ростки росли, росли, тянулись к свету. (Дети,
покачиваясь, приподнимаются на носки.)
Из
ростков выросли прекрасные растения. (Руки над головой – ладони
раскрыты.)
Забыли
полить растения, завяли, поникли они. (Дети медленно приседают; руки
поникли, на лице грусть.)
Полили
растения, ожили растения, радостно тянутся к свету. (Дети плавно
приподнимаются, взмахивают руками, прыгают на месте.)
В.: Молодцы!
Отдохнули, а теперь продолжим нашу работу. Сначала я покажу вам, ребята, как
выглядит процесс посадки овощей, а потом вы сами посадите свои овощи. У нас
подготовлены специальные контейнеры с землей для посадки овощей. Вот так
высаживают лук: втыкаем лук в землю донцем вниз. Затем его поливаем и ставим в
светлое теплое место. Теперь высаживаем чеснок. Сначала мы палочкой сделаем
неглубокую лунку в середине стаканчика. В эту лунку заглубляем зубчик чеснока
донцем вниз. Теперь землю нужно слегка прижать ладошкой, а затем аккуратно
полить из леечки. Стаканчики ставим в светлое теплое место.
(Воспитатель
демонстрирует детям поэтапно посадку овощей, комментируя весь процесс.)
В.: Вот,
что у меня получилось! Ребята, перед вами контейнеры с землей. В них вы будете
высаживать свои лук
(Всю
последовательность посадки воспитатель с детьми повторяет на модели; затем дети
приступают к посадке. Все контейнеры после посадки  размещают в ящичек.)
В.: Ребята,
как вы думаете, завтра мы уже сможем пооробовать лучок? Нет, надо
подождать некоторое время, пока лук прорастет – даст зеленые стрелки. А для
этого за посадками нужно ухаживать.  Ребята, давайте еще раз повторим как
нужно ухаживать за луком.
Д.: ответы
детей.
В.: Молодцы!
Правильно – нужно поливать и рыхлить землю, в которую мы посадили лук. Сегодня
мы с вами очень много узнали нового! Много поработали! Теперь у нас на подоконнике
появился свой огород, за которым мы ежедневно будем наблюдать и ухаживать.

Опыт «На свету и в темноте».
Цель:определить факторы внешней среды, необходимые для роста и развития
растений.Побуждать детей к познавательно-исследовательской деятельности.
Задачи:
Обучающая:  Продолжать учить детей участвовать в
экспериментах, делать выводы.
Развивающая: развивать способности к логическому мышлению,
формировать умение устанавливать причинно-следственные связи.
Воспитательная: воспитывать познавательный интерес к природе.
Организация образовательной деятельности:
Подгруппа детей-5 человек.
Место проведения – групповая комната.
Оборудование: лук, коробка из прочного
картона, две емкости с землей, игрушка-крот.
Предварительная работа: беседы о пользе лука,
рассматривание иллюстраций, чтение художественной литературы, проращивание
лука.
Ход:
Раздается стук .  Из под стола воспитатель достаёт
игрушку-крота Тишку. Дети здороваются.
Вос-ль: Здравствуй зверёк. Кто ты такой и как к нам попал?
Т: Здравствуйте, ребята. Я крот Тишка. Живу под землёй. Куда это я
попал?
Вос-ль:  Тишка ты попал к детям в детский сад.
Т: Как у вас здесь красиво. А что это у вас такое зеленое растёт?
Д: Лук.
Вос-ль: Мы с ребятами вырашиваем лук, для того чтобы его кушать и
не болеть. В нём очень много витаминов.
Т: Но ваш лук совсем не похож на тот лук, который растет в домике.
В темноте. У вас очень красивый зелёный, а у меня совсем светлый.
В-ль: Ребята и Тишка хотите узнать почему у нас зелёный лук, а у
Тишки светлый?
Д: Да.
Вос-ль: Сейчас мы с вами часть нашего лука спрячем под колпак,
представим что он растет в домике у Тишке где всегда темно.Дети закрывают часть
лука колпаком из плотного темного картона. И будем с вами наблюдать за тем, что
будет происходить с луком в темном домике. А тебя Тишка  мы будем ждать
каждый день в гости. И отмечать все изменения, которые происходят с луком.
Вос-ль: - Ребята, чем мы сегодня с вами занимались?
Вос-ль: Для чего мы посадили луковицы?
Вос-ль? Чего в зеленом луке очень много? (витаминов)
Вос-ль:Для чего нам нужны витамины? (укрепить здоровье).
Вос-ль: - Кто сегодня был у нас в гостях? Где он живёт?
Каждый день дети наблюдают за изменением лука (лук с каждым днём
становится светлее). Дети в конце экспериментирования делают вывод: для роста
лука и чтобы он был зеленым, а не светлым нужен свет.
Изменения цвета лука  дети фиксируют на фланелеграфе в виде
модели.

file_name: огород на окне.docx

alt: РФ – Московская область Администрация

alt: Актуальность : Дошкольный возраст самое время стать первооткрывателем и исследователем этого огромного мира

alt: Художественное творчество : лепка из соленого теста «Натюрморт из овощей»

alt: Опыт «На свету и в темноте» .

title: Экологический проект в старшей группе "Огород на окне"


extracted_text:
1.       Осетин-извозчик
неутомимо погонял лошадей, чтоб успеть до ночи взобраться на Койшаурскую гору.
2.       Кругом
было тихо, так тихо, что по жужжанию комара можно было следить за его полетом.
3.       Эта
история продолжалась всякий раз, как приезжал Азамат.
4.       А
когда отец возвратился, то ни дочери, ни сына не было.
5.       Хороводы
звезд чудными узорами сплетались на далеком небосклоне и одна за другою гасли
по мере того, как бледноватый отблеск востока разливался по темно-лиловому
своду, озаряя постепенно крутые отлогости гор, покрытые девственными снегами.
6.       Воздух
становился так редок, что было больно дышать.
7.       Подложили
цепи по колеса вместо тормозов, чтоб они не раскатывались, взяли лошадей под
уздцы и начали спускаться.
8.       Нам
должно было спускаться еще верст пять по обледеневшим скалам и топкому снегу,
чтоб достигнуть станции Коби.
9.       Мы
долго от нее это скрывали, пока она [Бэла] не
привыкла к своему положению.
10.   Если он меня не любит,
то кто ему мешает отослать меня домой?
11.   Мы сидели на углу
бастиона, так что в обе стороны могли видеть все.
12.   Когда дым рассеялся,
на земле лежала раненая лошадь и возле нее Бэла.
13.   Она[Бэла]  чувствовала
внутренний жар, как будто в груди у ней лежала раскаленное железо.
14.   Уже было поздно и
темно, когда я снова отворил окно и стал звать Максима Максимыча, говоря, что
пора спать…
15.   Он побежал, как будто
члены его получили вновь юношескую силу и гибкость.
16.   Казак мой был очень
удивлен, когда, проснувшись, увидел меня совсем одетого…
17.   Нынче в пять часов
утра, когда я открыл окно, моя комната наполнилась запахом цветов, растущих в
скромном палисаднике.
18.   Под виноградными
аллеями, покрывающими скат Машука, мелькали порою пестрые шляпки любительниц
уединения вдвоем, потому что всегда возле такой шляпки я замечал или военную
фуражку или безобразную круглую шляпу.
19.   Проходя мимо кислосерного
источника, я остановился у крытой галереи, чтоб вздохнуть под ее тенью…
20.   Мы друг друга скоро
поняли и сделались приятелями, потому что я к дружбе неспособен…
21.   Я лежал на диване,
устремив глаза в потолок и заложив руки под затылок, когда Вернер взошел в мою
комнату.
22.   Наши мужчины так не
любезны вообще, что с ними кокетничать, должно быть, для умной женщины
несносно.
23.   Наконец мы расстались;
я долго следил за нею взором, пока ее шляпка не скрылась за кустарниками и
скалами.
24.   Спустясь в один из
таких оврагов, называемых на здешнем наречии балками, я остановился, чтоб
напоить лошадь.
25.   Если я имел дерзость
вас чем-нибудь оскорбить, то позвольте мне иметь еще большую дерзость просить у
вас прощения...

26.   Скачано с www.znanio.ru

file_name: СПП с придаточными обстоятельственными.docx

intro: Материал можно использовать для отработки навыков нахождения придаточных обстоятельственных, постановки знаков препинания при них, составления схем СПП.

title: Дидактический материал "Сложноподчиненные предложения с придаточными обстоятельственными" (по материалам романа М.Ю.Лермонтова "Герой нашего времени")