extracted_text:
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
к лабораторным и практическим занятиям
по учебной дисциплине
ООД.03
МАТЕМАТИКИ
Специальность: 08.02.01. Строительство и
эксплуатация зданий и сооружений

2023г.

Методические
рекомендации к  лабораторным и практическим занятиям предназначены для
закрепления теоретических знаний и приобретение необходимых практических
навыков и умений по программе учебной дисциплины ЕН.01 Элементы
высшей математики  составлены в соответствии с учебным планом и рабочей программой
учебной дисциплины по специальности среднего профессионального образования  08.02.01 Строительство и эксплуатация зданий и сооружений

Пояснительная
записка

 Методические
рекомендации по проведению лабораторных и практических занятий по учебной
дисциплине ЕН.01 Элементы высшей математики составлены
в соответствии с учебным планом и рабочей программой дисциплины по
специальности среднего профессионального образования   08.02.01 Строительство и эксплуатация зданий и
сооружений для студентов очной формы обучения.
В соответствии с рабочей программой   ЕН.01
Элементы высшей математики
на изучение учебной дисциплины предусмотрено 72 часа, из
которых 28 часов на проведение лабораторных работ и практических занятий,
14 часов на (внеаудиторную) самостоятельную работу.
Цель проведения практических
(лабораторных) занятий: формирование практических умений, необходимых в
последующей профессиональной и учебной деятельности.
Задачи:
-
обобщение, систематизация, углубление, закрепление полученных
теоретические знания по конкретным темам;
-
формирование умения применять полученные знания на практике;
-
выработка при решении поставленных задач таких профессионально
значимых качеств, как самостоятельность, ответственность, точность, творческая
инициатива.
 Освоение содержания учебной дисциплины ЕН.01
Элементы высшей математики
обеспечивает достижение
студентами следующих результатов:

Код
ПК, ОК

Умения

Знания

ОК 1,
ОК 5,

Выполнять операции над матрицами и
  решать системы линейных уравнений
Решать задачи, используя уравнения прямых
  и кривых второго порядка на плоскости
Применять методы дифференциального и
  интегрального исчисления
Решать дифференциальные уравнения
Пользоваться понятиями теории
  комплексных чисел

Основы математического анализа, линейной
  алгебры и аналитической геометрии
Основы дифференциального и интегрального
  исчисления
Основы теории комплексных чисел

 Перечень практических и/или лабораторных занятий   ЕН.01
Элементы высшей математики

Наименование
  раздела
(темы)

Практическая работа

Содержание практической  работы

Кол-во часов

Тема.   Теория пределов

ПЗ № 1

  Вычисление пределов

2

Тема.   Дифференциальное
  исчисление функции одной действительной переменной

ПЗ № 2

  Вычисление
  производных функций

2

Тема.    Интегральное исчисление функции одной
  действительной переменной

ПЗ № 3

Вычисление интегралов

2

Тема.   Дифференциальное исчисление
  функции нескольких действительных переменных

ПЗ № 4

Задача о наибольшем и наименьшем
  значениях

2

Тема.   Интегральное исчисление функции
  нескольких действительных переменных

ПЗ № 5

Вычисление двойного интеграла

2

Тема.  Теория рядов

ПЗ № 6

Решение задач на вычисление суммы
  ряда, на исследование сходимости числового ряда

2

Тема.   Обыкновенные дифференциальные
  уравнения

ПЗ № 7

Решение дифференциальных
  уравнений 2-го порядка

2

Тема.   Матрицы и определители

ПЗ № 8

Действия с матрицами

2

Тема.   Матрицы и определители

ПЗ № 9

Нахождение обратной матрицы

2

Тема.   Системы линейных уравнений

ПЗ № 10

Решение систем линейных уравнений
  различными методами

2

Тема.   Векторы и действия с ними

ПЗ № 11

Прямоугольные координаты на плоскости

2

Тема.  Аналитическая геометрия на
  плоскости

ПЗ № 12

Решение простейших задач
  аналитической геометрии на плоскости

2

Контрольная
  работа: «Интегральное
  исчисление функции нескольких действительных переменных»

Кр № 1

Интеграл

2

Контрольная работа: «Действия над векторами»

Кр № 2

Действия над векторами

2

ИТОГО

14

28

Общие методические рекомендации
и рекомендации по проведению практических/ лабораторных занятий
При выполнении каждой
практической/лабораторной работы необходимо придерживаться следующих правил:
1.
Внимательно прочитайте инструкцию по выполнению практической /лабораторной
работы.
2.
Пользуясь рекомендациями к работе, выполните предложенные
задания.
3.
Оформите письменный отчет по выполненной практической/лабораторной
работе.

Требования к содержанию и
оформлению отчета
по практической/лабораторной работе
-название и цель работы;
-оборудование;
-ход работы (краткое описание
порядка выполнения работы, результаты эксперимента, расчета, наблюдения
оформляются в виде таблицы. В таблицу заносятся все экспериментальные данные и
результаты расчетов. Все расчеты производятся ниже таблицы. К отчету
прилагаются графики в случае необходимости графической интерпретации полученных
результатов или другие материалы);
-вывод по работе, соответствующий полученным результатам
(Например, можно начать следующим образом: из полученных данных можно
сделать следующие выводы: (и перечисляем, к каким выводам в результате
проделанной работе вы пришли).

Критерии оценки результатов выполнения практической/лабораторной
работы
Критериями оценки результатов
выполнения практической (лабораторной) работы являются:
-степень реализации цели работы;
-качество оформления отчета;
-степень соответствия результатов работы заданным требованиям.

Оценка выполнения практической
(лабораторной) работы
Отметка 5– «отлично»
выставляется, если студент имеет глубокие знания учебного материала по теме
практической (лабораторной)работы, показывает усвоение взаимосвязи основных
понятий, используемых в работе, самостоятельно выполнил все рекомендации по
выполнению практической работе, смог ответить на контрольные вопросы, дает
правильный алгоритм решения задачи, выполнены поставленные цели работы.
Отметка 4– «хорошо»
выставляется, если студент показал знание учебного материала, допускает
небольшие неточности при выполнении экспериментальных заданий и расчетов, смог
ответить почти полно на все контрольные вопросы.
Отметка 3– «удовлетворительно»
выставляется, если студент в целом освоил материал практической работы, но
затрудняется с выполнением всех заданий практической (лабораторной) работы без
помощи преподавателя, ответил не на все контрольные вопросы.
Отметка 2–
«неудовлетворительно» выставляется студенту, если он имеет существенные пробелы
в знаниях основного учебного материала практической (лабораторной)работы, не
может самостоятельно выполнить задания практической (лабораторной)работы, не
раскрыл содержание контрольных вопросов.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ДЛЯ
СТУДЕНТОВ К
ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ

Практическое
занятие 1
1.Название темы  Вычисление пределов
2. Учебная цель:  Используя теоретический материал и образцы решения
задач, решить примеры по теме: «Вычисление пределов»
3. Продолжительность
занятия: 2 часа.
4.
Материалы, оборудование, ТСО, программное обеспечение, оснащение,
раздаточный материал ПК, проектор, сборник задач, карточки с
алгоритмом решения задач
5. Литература, информационное
обеспечение  Элементы высшей математики Гончаренко В.М. и др.
6.Методические рекомендации по выполнению работы:
изучите краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме
практического занятия. При выполнении работы соблюдайте последовательность
действий.
7.Порядок выполнения работы:
Краткая теория

 Краткие
теоретические сведения
Предел рациональной функции
Определение: Целой рациональной функциейназывается функция вида

Теорема 1.Предел целой рациональной функции при ,
равен значению этой функции в точке , т.е..
Предел дробно-рациональной функции
Определение: дробно-рациональной функциейназывается
функция вида
, где –целые рациональные функции.
Теорема 2: предел дробно-рациональной функции при ,
если при этом знаменатель не обращается в нуль, равен значению функции в точке ,
т.е.
Определение: функция называется
бесконечно малой при, если
.
Определение:функция называется
бесконечно большой при, если   .
Теорема 3: отношение функции, имеющий конечный
предел при , не равный нулю, к функции
бесконечно малой при есть величина бесконечно большая.
Задача. Вычислить
Решение. Предел знаменателя в точке  равен
нулю, поэтому теорема 2 не применима. Найдем отдельно предел числителя и предел
знаменателя при .
, .
Предел числителя конечен, предел знаменателя равен нулю,
используя теорему 3, получим.
Раскрытие неопределенности вида
Задача. Вычислить .
Пределы на бесконечность
Определение: предел целой рациональной функции приравен
.
Теорема 4: отношение функции, имеющий конечный
предел при к функции бесконечно большой, есть
величина бесконечно малая.
Задача. Вычислить
Решение. Предел числителя равен 5, предел
знаменателя равен,т.е. имеем отношение
конечного предела к функции бесконечно большой, поэтому, применив теорему 4
получим .
Задача.Вычислить
Предел дробно-рациональной функции при  равен
1) 0, если степень числителя ниже степени знаменателя;
2) отношению коэффициентов при старших степенях ,
если степени числителя и знаменателя равны;
3), если степень
числителя выше степени знаменателя.
Порядок выполнения работы:
Используя теоретические сведения выполнить предложенное
преподавателем задание.
Содержание работы
Задача 1.
Задача 2.
Задача 3.
Задача 4.
Задача 5.

Критерии оценивания
Оценка «5» - все задачи решены
верно.
Оценка «4» -все задачи решены
верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.
Оценка «3» - все задачи
решены, но допущены существенные ошибки и неточности.
Оценка «2» - задачи не решены.

8.Форма отчета: выполнение заданий в  тетрадях
для практических занятий.
9.
Место проведения самоподготовки: читальный зал библиотеки.

Практическое
занятие 2
1. Название темы  Вычисление производных функций
2. Учебная цель:   Используя теоретический материал и образцы решения
задач, решить примеры по теме «Вычисление производных и дифференциалов высших
порядков»
3.
Продолжительность занятия: 2 часа.

4.Материалы, оборудование, ТСО, программное обеспечение,
оснащение, раздаточный материал ПК, проектор, сборник задач,
карточки с алгоритмом решения задач
5. Литература, информационное
обеспечение  Элементы высшей математики Гончаренко В.М. и др.
6.Методические рекомендации по выполнению работы:
изучите краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме
практического занятия. При выполнении работы соблюдайте последовательность
действий.
7.Порядок выполнения работы:
Краткая теория
 Краткие
теоретические сведения:

Правила дифференцирования
1) ;
2) , в частности ;
3) ;
4) , если;
5) ,
если  и .

Формулы дифференцирования

в частности,
в частности,
 в частности,

                     Производная
сложной и обратной функций
Определение. Пусть  и
, тогда -
сложная функция с промежуточным аргументом  и
независимым аргументом .
Теорема. Если функция  имеет
производную  в точке ,
а функция  имеет производную  в соответствующей точке , то сложная функция  имеет производную  в точке  которая
находится  по формуле .
Правило нахождения производной сложной функции:
Для нахождения производной сложной функции надо
производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную
промежуточного аргумента по независимому аргументу.
Дифференциал функции
Определение. Если функция  дифференцируема
в точке  , т.е. имеет в этой точке конечную
производную, то ее приращение  можно записать в виде , где .
Главная, линейная относительно  часть
 приращения функции называется
дифференциалом функции и обозначается:
.
При достаточно малых  приращение
функции приближенно равно ее дифференциалу т.е.  .
Примеры:
Найти дифференциал функции у = .

Решение:
       Используя формулу,  получаем dy = (-sinx+10x)dx.
2.   Для функции  найти приращениепри и.
Решение:
Используя формулу,  получаем ()=
=(). Выполняя подстановку  и, находим приращение:
=(3)=0,05
Ответ:  =0,05
Порядок проведения работы:
Используя теоретические сведения выполнить предложенное
преподавателем задание
Содержание работы
1.Найдите производную функции:

2.Найдите дифференциал
  функции:

8.Форма отчета: выполнение заданий в  тетрадях
для практических занятий.
9.
Место проведения самоподготовки: читальный зал библиотеки.

Практическое
занятие 3
1. Название темы  Вычисление интегралов
2.
Учебная цель:   Используя
теоретический материал и образцы решения задач, сформировать умение и навык
вычисления интегралов
3.
Продолжительность занятия: 2 часа.

4.Материалы, оборудование, ТСО, программное обеспечение,
оснащение, раздаточный материал ПК, проектор, сборник задач,
карточки с алгоритмом решения задач
5. Литература, информационное
обеспечение   Элементы высшей математики Гончаренко В.М. и др.
6.Методические рекомендации по выполнению работы:
изучите краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме
практического занятия. При выполнении работы соблюдайте последовательность
действий.
7.Порядок выполнения работы:
 Краткие
теоретические сведения:
Определенный интеграл
Определение. Если существует конечный предел интегральной
суммы , когда так, что , то этот предел называют
определенным интегралом от функции  на отрезке [a;b] и обозначают следующим
образом:      или   . В этом случае функция  называется интегрируемой на отрезке
[a;b] . Числа a и  b называются
соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, – переменной интегрирования.
Отметим, что непрерывность функции является достаточным
условием ее интегрируемости.
Основные свойства определенного интеграла

;   ;
;
где a, b, c  любые числа.
;
.
Формула Ньютона – Лейбница
Если функция  непрерывна на
отрезке [a;b] и функция у = F(x) является некоторой ее
первообразной на этом отрезке, то имеет место формула Ньютона – Лейбница    .
Вычисление определенных интегралов
Простым и удобным методом вычисления определенного
интеграла  от непрерывной функции является
формула Ньютона-Лейбница:    .
При вычислении определенных интегралов широко
используется метод замены переменной и метод интегрирования по частям.
Интегрирование подстановкой
Пусть для вычисления интеграла  от непрерывной функции сделана
подстановка =(t)
Теорема. Если:
1) функция  и её
производная  непрерывны при ;
2) множеством значений функции  при
 является отрезок [a;b];
3)  и  то
Интегрирование по частям
Теорема. Если функции и имеют непрерывные производные на отрезке
[a;b], то имеет место формула  .
Пример.     Вычислить .
Решение:

Ответ:
Неопределенный интеграл
 Основные свойства неопределенного интеграла
  ;
  ;
  ;
           ;
  .
Таблица основных интегралов.

в частности,

Основные методы интегрирования
Метод непосредственного интегрирования
Определение. Метод интегрирования, при котором
данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или
выражения) и применения свойств неопределенного интегрирования приводится к
одному или нескольким табличным интегралом, называется непосредственном
интегрированием.
Примеры:
1)
Метод интегрирования подстановкой
Метод подстановки (или замены переменной) заключается в
том, что заменяют  на , где  -
непрерывно дифференцируемая функция, полагают  и
получают  .
13.3. Метод интегрирования по частям

Порядок проведения работы:
Используя теоретические сведения выполнить предложенное
преподавателем задание
Содержание работы
№ 1. Вычислить определенный интегралы:

          Вариант 1

      Вариант 2

1.

1.

2.

2.

3.

3.

4.

4.

№2. Применяя метод непосредственного интегрирования,
вычислить интегралы:

              Вариант 1

               Вариант 2

1.

1.

2.

2.

3.

3.

4.

4.

№3. Пользуясь методом подстановки вычислить интегралы:

        Вариант 1                                   Вариант
2
1.
1.
2.
2.

3.
3.
4.
4.
№ 4. С помощью метода интегрирования по частям вычислить
интегралы:
     Вариант 1                                        Вариант
2
1.         1.
2.
2.
 3.
3.
 4.
4.

8.Форма отчета: выполнение заданий в  тетрадях
для практических занятий.
9.
Место проведения самоподготовки: читальный зал библиотеки.

Практическое
занятие 4
1. Название темы  Задача о наибольшем и наименьшем
значениях
2. Учебная цель:   Формирование умения решать задачи на нахождение наибольших и
наименьших значений
3.
Продолжительность занятия: 2 часа.

4.Материалы, оборудование, ТСО, программное обеспечение,
оснащение, раздаточный материал ПК, проектор, сборник задач,
карточки с алгоритмом решения задач
5. Литература, информационное
обеспечение   Элементы высшей математики Гончаренко В.М. и др.
6.Методические рекомендации по выполнению работы:
изучите краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме
практического занятия. При выполнении работы соблюдайте последовательность
действий.
7.Порядок выполнения работы:
Краткая теория
 Пусть
функция y = f (x) непрерывна на отрезке [a; b].
В этом случае, как известно, она принимает как наибольшее, так и наименьшее
значения на этом отрезке. Во многих прикладных вопросах важно найти те точки
отрезка [a; b], которым отвечают наибольшее и наименьшее значения
функции.
При решении этой задачи возможны
два случая:
1.
либо наибольшее (наименьшее) значение
функции достигается внутри отрезка, и тогда эти значения окажутся в числе
экстремумов функции;
2.
либо наибольшее (наименьшее) значение
достигается на концах отрезка [a; b].
Итак, чтобы найти наибольшее и
наименьшее значения непрерывной на отрезке функции y = f (x),
достаточно:

1.
Найти все критические точки,
принадлежащие [a; b], и вычислить значения функции в этих точках.
2.
Вычислить значения функции на концах
отрезка [a; b], то есть найти f (a) и f (b).
3.
Сравнить полученные результаты:
наибольшее из найденных значений является наибольшим значением функции на
отрезке [a; b]; аналогично, наименьшее из найденных значений
является наименьшим значение функции на этом отрезке.
Замечание 1. При нахождении критических точек можно использовать
соображения геометрического характера, изобразив схематически график функции.
Замечание 2. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции
можно упростить, если воспользоваться следующими свойствами непрерывных
функций:
1.
если функция y = f (x)
на отрезке [a; b] непрерывна и возрастает, то m = f (a)
и M = f (b);
2.
если функция y = f (x)
на отрезке [a; b] непрерывна и убывает, то m = f (b)
и M = f (a);
3.
если функция y = f (x),
непрерывная на отрезке [a; b], имеет на этом отрезке только
одну точку максимума x0 (и ни одной точки
минимума), то наибольшее значение на данном отрезке есть M = f (x0);
4.
если функция y = f (x),
непрерывная на отрезке [a; b], имеет на этом отрезке только
одну точку минимума x0 (и ни одной точки
максимума), то наименьшее значение на данном отрезке есть m = f (x0).
Алгоритм решения задач на
нахождение наибольшего или наименьшего значения функции:
Если в задаче требуется найти
максимальное или минимальное значение функции f(x)
на отрезке [a; b], выполняем следующие действия:
1.
Найти производную функции: f '(x).
2.
Решить уравнение f''(x) = 0.
Если корней нет, пропускаем третий шаг и переходим сразу
к четвертому.
3.
Из полученного набора корней
вычеркнуть все, что лежит за пределами отрезка [a; b].
Оставшиеся числа обозначим x1, x2, ..., xn —
их, как правило, будет немного.
4.
Подставим концы
отрезка [a; b] и точки x1, x2, ..., xn в исходную
функцию. Получим набор чисел f(a), f(b), f(x1), f(x2), ..., f(xn),
из которого выбираем наибольше или наименьшее значение —
это и будет ответ.
Небольшое пояснение по поводу
вычеркивания корней, когда они совпадают с концами отрезка.
Их тоже можно вычеркнуть, поскольку на четвертом шаге концы отрезка
все равно подставляются в функцию — даже если уравнение
f '(x) = 0
не имело решений.
Также следует внимательно читать
условие задачи. Когда требуется найти значение функции (максимальное
или минимальное), концы отрезка и точки x1, x2, ..., xn подставляются
именно в функцию, а не в ее производную.
Задача 1. Найти
наибольшее значение функции y = x3 + 3x2 − 9x – 7
на отрезке [−5; 0].
Решение. Для начала найдем производную: y' = (x3 + 3x2 − 9x − 7)’ =
3x2 + 6x − 9.
Затем решаем уравнение:
y' = 0 ⇒ 3x2 + 6x − 9 = 0 ⇒ ... ⇒ x = −3; x = 1.
Вычеркиваем корень x = 1,
потому что он не принадлежит отрезку [−5; 0].
Осталось вычислить значение функции
на концах отрезка и в точке x = −3:
y(−5) = (−5)3 + 4·(−5)2 − 9·(−5) − 7 = −12;
y(−3) = (−3)3 + 4·(−3)2 − 9·(−3) − 7 = 20;
y(0) = 03 + 4·02 − 9·0 − 7 = −7.
Очевидно, наибольшее значение
равно 20 — оно достигается в точке x = −3.
Ответ: 20
Задача 2. Найти
наибольшее и наименьшее значения функции
f (x) = 2x3 –
6x + 5 на отрезке .
Решение. 1. Находим критические точки, принадлежащие :
f (x) = 6x2 – 6 = 6(x2 –
1), 6(x2 – 1) = 0, x1 =
–1, x2 = 1.
Вычислим значения функции в этих
точках:
f (–1) = 2 (–1)3 – 6 (–1) + 5 =
9; f (1) = 2 13 – 6 1 + 5 = 1.

2. Вычислим значения функции на
концах отрезка:

3. Таким образом, наибольшее
значение данной функции на рассматриваемом отрезке есть f (–1) = 9,
а наименьшее
Ответ: f (–1) = 9,

Задача 3 Найдите наименьшее значение функции на отрезке: у = на
отрезке [1;14].
Решение. Заметим, что функция не определена в точке 0.
Берем производную дроби:

Приравниваем производную к нулю и
отыскиваем корни:

Один из корней нас не интересует,
так как промежутку не принадлежит, а во второй точке производная меняет знак с
отрицательного на положительный. То есть функция имеет минимум в данной точке.
Определим ее минимальное значение:
Ответ: 4.
Задача 4. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .
Решение. Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Указанному в условии интервалу
принадлежит точка х = –1.
Вычисляем значения функции в
точках   –2, –1 и 0:

Наибольшее значение функции равно
6.
Ответ: 6
Задача 5. Найдите
наибольшее значение функции у = х3 –
6х2  на отрезке
[–3;3].
Решение. Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Указанному в условии интервалу принадлежит точка х = 0.
Вычисляем значения функции в
точках  –3, 0 и 3:

Наименьшее значение функции равно
0. Ответ: 0
Задача 6. Найдите
наименьшее значение функции у = х3 – 2х2 + х +3
на отрезке [1;4].
Решение. Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной, решаем
квадратное уравнение:
3х2 – 4х + 1 = 0
Получим корни:  х1 =
1    х1 = 1/3.
Указанному в условии интервалу
принадлежит  только х = 1.
Найдём значения функции в
точках  1 и 4:

Получили, что наименьшее значение
функции равно 3.
Ответ: 3

Критерии оценивания
Оценка «5» - все задачи решены
верно.
Оценка «4» -все задачи решены
верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.
Оценка «3» - все задачи
решены, но допущены существенные ошибки и неточности.
Оценка «2» - задачи не решены.

8.Форма отчета: выполнение заданий в  тетрадях
для практических занятий.
9.
Место проведения самоподготовки: читальный зал библиотеки.

Практическое занятие 5
1. Название темы  Вычисление двойного интеграла
2. Учебная цель:   сформировать навык при решении примеров.
3. Продолжительность занятия: 2 часа.

4.Материалы, оборудование, ТСО, программное обеспечение,
оснащение, раздаточный материал ПК, проектор, сборник задач,
карточки с алгоритмом решения задач
5. Литература, информационное
обеспечение   Элементы высшей математики Гончаренко В.М. и др.
6.Методические рекомендации по выполнению работы:
изучите краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме
практического занятия. При выполнении работы соблюдайте последовательность
действий.
7.Порядок выполнения работы:
Краткая теория
 Понятие двойного
интеграла
Определение: Двойной интеграл представляет собой
обобщение понятия определенного интеграла на случай функции двух переменных. В
этом случае вместо отрезка интегрирования будет присутствовать какая-то плоская
фигура.
Двойной интеграл в общем виде записывается
следующим образом:
 ,
где  – знак двойного интеграла;
D – область интегрирования (плоская фигура);
f(x;y) – подынтегральная функция двух переменных;
dx, dy  – элементы площади интегрирования.
Пусть D – некоторая замкнутая ограниченная
область, а f(x,y) – произвольная функция, определенная и
ограниченная в этой области. Будем предполагать, что границы области D состоят
из конечного числа кривых, заданных уравнениями вида y=f(x)
или x=g(y), где f(x) и g(y)
– непрерывные функции.

Свойства двойного интеграла

Если
     С – числовая константа, то  ,

Если
     область D  “разбита” на области D1 и D2, то
 .

Правила вычисления двойного
интеграла

Чтобы
     вычислить двойной интеграл, нужно для начала построить область D в системе
     координат и определить границы этой области по оси Ох и по оси Оу. Затем
     выбрать один из видов области интегрирования по правилу 2, подставить в
     функцию и вычислить двойной интеграл по 3 правилу.
Различают
     два основных вида области интегрирования.

Область
     интегрирования D ограничена слева и справа прямыми х=а и х=b (ab), а снизу
     и сверху – непрерывными кривыми y= и
     y= ( ).

Для такой области интеграл вычисляется
следующим образом

Область
     интегрирования D ограничена снизу и сверху прямыми у=с и y=d (cd), а слева
     и справа – непрерывными кривыми x= и
     y= ( )

Для такой области интеграл вычисляется
следующим образом

При
     вычислении двойного интеграла сначала вычисляется внутренний интеграл,
     используя формулу Ньютона-Лейбница, считая одну из переменных постоянным
     числом:

 здесь х
     считается постоянным числом.
 здесь у
     считается постоянным числом.

Затем, вычисляется внешний интеграл также по формуле
Ньютона-Лейбница.
Пример1. Вычислить двойной интеграл  ,
где

Решение. 1. Строим область интегрирования D
2 .
Находим границы области, то есть пределы интегрирования 1xy
3. Выбираем вид области интегрирования  .
Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая у - числом, которое
можно вынести за знак интеграла. Получаем  .
Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только
что внутреннего (правого):

Результат и будет решением данного двойного интеграла.
Пример 2. Вычислить двойной
интеграл  ,
где  .
Решение. 1. Строим область интегрирования D
2. Находим границы области, то есть пределы интегрирования 1xy
3. Выбираем вид области интегрирования
Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая х - число.
Получаем.
Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только
что внутреннего (правого):
Результат и будет решением данного двойного интеграла.
Ответить на контрольные вопросы:

Что
     называется двойным интегралом?
Перечислите
     основные свойства двойного интеграла.
На
     какие виды делится область интегрирования?
Каким
     образом вычисляется двойной интеграл?
Что
     делать с переменной, если она в интеграле не является интегрируемой?

Порядок и методика выполнения заданий:
1. Повторить теоретический материал по теме практического
занятия.
2. Оформить решение задач в тетради.

Критерии оценивания:
Оценка «5» -  все задачи уровня «С» решены верно.
Оценка «4» - все задачи уровня
«В» решены верно или в решении задач уровня «С» допущены неточности,
несущественные ошибки.
Оценка «3» - все задачи уровня
«А» решены верно или в решении задач уровня «В» и уровня «С» допущены
существенные ошибки и неточности.
Оценка «2» - задачи не решены или допущены существенные ошибки и
неточности.

8.Форма отчета: выполнение заданий в  тетрадях
для практических занятий.
9.
Место проведения самоподготовки: читальный зал библиотеки.

Практическое занятие 6
1. Название темы  Решение задач на вычисление суммы
ряда, на исследование сходимости числового ряда
2. Учебная цель:  Познакомиться с
признаками Коши и Даламбера,
на
конкретных примерах научиться применять данные признаки  для исследования ряда
на сходимость.
3. Продолжительность занятия: 2 часа.

4.Материалы, оборудование, ТСО, программное обеспечение,
оснащение, раздаточный материал ПК, проектор, сборник задач,
карточки с алгоритмом решения задач
5. Литература, информационное обеспечение
 Элементы высшей математики Гончаренко В.М. и др.
6.Методические рекомендации по выполнению работы:
изучите краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме
практического занятия. При выполнении работы соблюдайте последовательность
действий.
7.Порядок выполнения работы:
Краткая теория

Признак Даламбера. (Жан Лерон
Даламбер (1717 – 1783) – французский математик)
            Если для
ряда  с положительными членами
существует такое число q<1,
что для всех достаточно больших n
выполняется неравенство  то ряд  сходится, если же для
всех достаточно больших n
выполняется условие то
ряд  расходится.
Признак
Коши (радикальный признак)
            Если для
ряда с неотрицательными членами
существует такое число q<1,
что для всех достаточно больших n
выполняется неравенство ,
то ряд сходится, если же для всех
достаточно больших n
выполняется неравенство
 то
ряд расходится.
Пример1:
Определить сходимость ряда .
  Вывод: ряд сходится.
Пример2:
Исследовать на сходимость ряд   .
Решение. По признаку
Даламбера ряд сходится, так как
.

Задания для
самостоятельной работы

1
  вариант

2
  вариант

 3
  вариант

4
  вариант

5
  вариант

6
  вариант

1.
  Найти общий член числового ряда

2.
  Исследовать ряд на сходимость

8.Форма
отчета: выполнение заданий в  тетрадях для практических занятий.
9.
Место проведения самоподготовки: читальный зал библиотеки.

Практическое занятие 7
1. Название темы  Решение дифференциальных уравнений
2-го порядка
2. Учебная цель:  На
конкретных примерах научиться решать дифференциальные уравнения второго порядка
3. Продолжительность занятия: 2 часа.
4.Материалы, оборудование, ТСО, программное обеспечение,
оснащение, раздаточный материал ПК, проектор, сборник задач,
карточки с алгоритмом решения задач
5. Литература, информационное
обеспечение  Элементы высшей математики Гончаренко В.М. и др.
6.Методические рекомендации по выполнению работы:
изучите краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме
практического занятия. При выполнении работы соблюдайте последовательность
действий.
7.Порядок выполнения работы:
1. Повторить теоретический материал по теме практической работы.
2. Оформить решение в тетради.

Пример. Решить уравнение

Характеристическое
уравнение:

Общее решение:

            Пример.
Решить уравнение

Характеристическое
уравнение:

Общее
решение:

Задания для
самостоятельной работы:

В.П.
     Григорьев, Т.Н. Сабурова  «Сборник задач по математике», см. стр. 136-138;
     №12.33-12.34
Практическая работа

I
  вариант:

I
  I вариант:

I
I
I вариант:

 Решите
  уравнения 2го порядка

а)

б)

а)

б)

а)

б)

Критерии оценивания
Оценка «5» - все задания
вычислены верно.
Оценка «4» -все задания
вычислены верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.
Оценка «3» - все задания
вычислены, но допущены существенные ошибки и неточности.
Оценка «2» - задания не
вычислены.

8.Форма отчета: выполнение заданий в  тетрадях
для практических занятий.
9.
Место проведения самоподготовки: читальный зал библиотеки.

Практическое
занятие 8
1. Название темы  Действия с матрицами
2. Учебная цель:  Используя теоретический материал и образцы решения
задач, решить примеры по теме «Действия с матрицами»
 3. Продолжительность занятия: 2 часа.

4.Материалы, оборудование, ТСО, программное обеспечение,
оснащение, раздаточный материал ПК, проектор, сборник задач,
карточки с алгоритмом решения задач
5. Литература, информационное
обеспечение  Элементы высшей математики Гончаренко В.М. и др.
6.Методические рекомендации по выполнению работы:
изучите краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме
практического занятия. При выполнении работы соблюдайте последовательность
действий.
7.Порядок выполнения работы:
 Краткие
теоретические сведения:
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел,
состоящая из m строк и n столбцов, которую записывают в следующем
виде:
.
Для обозначения матрицы используют прописные латинские
буквы, для обозначения элементов матрицы – строчные латинские буквы с указанием
номера строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Запись «
матрица B имеет размер mxn» означает, что речь идет о
матрице, состоящей из m строк и n столбцов. Например, матрица  имеет размер 2x3.
Далее, bij  - обозначение элемента, стоящего на пересечении i-й
строки и j-го столбца данной матрицы (в примере b23=5).
Матрица, у которой число строк совпадает с числом
столбцов, называется квадратной. Элементы a11 , a22 ,…,
 ann  квадратной матрицы A (размера nxn)
образуют главную диагональ. Квадратная матрица, у которой отличные от
нуля элементы могут стоять только на главной диагонали, называется диагональной.
Диагональная матрица, у которой все элементы (главной диагонали!) равны 1,
называется единичной. Наконец, квадратная матрица, у которой ниже (выше)
главной диагонали находятся только нули, называется верхней (нижней) треугольной
матрицей. Например, среди квадратных матриц размера 3x3 , ,
, матрица
A является верхней треугольной, B – диагональной, C –
нижней треугольной, E – единичной.
Матрицы A, B называются равными (A=B),
если они имеют одинаковый размер, и их элементы, стоящие на одинаковых
позициях, совпадают.
Арифметические действия с матрицами.
Чтобы умножить матрицу A на отличное от нуля
вещественное число k, необходимо каждый элемент матрицы умножить на это
число:
Чтобы найти сумму матриц A, B одной
размерности, необходимо сложить элементы с одинаковыми индексами (стоящие на
одинаковых местах):
Пример 1. Найти 2A-B, если , .
Решение. Сначала умножаем матрицу A на
число «2», затем матрицу B на число «-1», и, наконец, находим сумму
полученных матриц:

Имеем: 6
Произведение AB можно определить только для
матриц A размера mxn и B размера nxp,
при этом AB=C, матрица C имеет размер mxp, и ее
элемент cij находится как скалярное произведение i-й строки
матрицы A на j-й столбец матрицы B:  (i=1,2,…,m;  j=1,2,…,p).
Фактически необходимо каждую строку матрицы  A (стоящей слева) умножить
скалярно на каждый столбец матрицы B (стоящей справа).
Пример 2. Найти произведение матриц   и .
Решение.  Матрицей,
транспонированной к матрице A размера mxn, называется
матрица AT размера nxm, строки которой являются
столбцами исходной матрицы.
Например, если  ,
то .
Пример 3. Найти  .
Решение. Воспользовавшись
вычислениями, проведенными при решении примера, а также правилами умножения
матрицы на число и сложения матриц, получим:
Матрицы A, B
называются эквивалентными, если одна получена из другой путем
элементарных преобразований.
Рангом матрицы A в дальнейшем
будем считать число строк эквивалентной ей ступенчатой матрицы, используя
обозначение  r(A). Так, в рассмотренном выше примере 3.4 r(A)=3,
r(B)=2.
Вычисление определителей. Определитель
матрицы A размера 2x2 (определитель 2-го порядка) – это
число, которое можно найти по правилу:

(произведение элементов, стоящих на главной диагонали
матрицы, минус произведение элементов, стоящих на побочной диагонали).
Определитель матрицы A размера 3x3  (определитель
3-го порядка) – число, вычисляемое по правилу «раскрытие определителя по
первой строке»:
  Порядок
проведения работы:
Используя теоретические сведения выполнить предложенный преподавателем
вариант задания.
Примеры по теме:
Задание 1. Выполнить арифметические действия с
матрицами:
1) ;      2) ;
 3) ;       4) ;
5)  ;
6);
7)
Задание 2. Доказать равенство (AB)C=A(BC)
для матриц:
1) ,  ,  ;
2) ,  ,  ;
3) ,  ,  ;
Задание 3. Найти: 1) ;       2) ;       3) .
Задание 4. Вычислить определители:

1);2)

3)

  4) ;   5)

6)

Критерии оценивания
Оценка «5» - все задания
вычислены верно.
Оценка «4» -все задания
вычислены верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.
Оценка «3» - все задания
вычислены, но допущены существенные ошибки и неточности.
Оценка «2» - задания не
вычислены.

8.Форма отчета: выполнение заданий в  тетрадях
для практических занятий.
9.
Место проведения самоподготовки: читальный зал библиотеки.

Практическое
занятие 9

1. Название темы Нахождение обратной матрицы
2. Учебная цель:  Используя теоретический материал и образцы решения
задач, решить примеры по теме «Действия с матрицами»
 3. Продолжительность занятия: 2 часа.

4.Материалы, оборудование, ТСО, программное обеспечение,
оснащение, раздаточный материал ПК, проектор, сборник задач,
карточки с алгоритмом решения задач
5. Литература, информационное
обеспечение   Элементы высшей математики Гончаренко В.М. и др.
6.Методические рекомендации по выполнению работы:
изучите краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме
практического занятия. При выполнении работы соблюдайте последовательность
действий.
7.Порядок выполнения работы:
 Краткие
теоретические сведения:

Обратная матрица

Квадратная матрица называется вырожденной, если ее
определитель равен нулю.

Невырожденной называется квадратная
матрица,
определитель которой не равен нулю.
     Квадратная
матрица  называется обратной к
невырожденной матрице если , где  - это
единичная матрица соответствующего порядка.
Свойства обратной
матрицы
1.

2.

3.

4.

Правило:
Если
определитель квадратной матрицы А  , то
обратная матрица существует и равна

При
условии  обратная
матрица находится по формуле

Для
нахождения обратной матрицы используют следующую схему:

1.
Находят
определитель матрицы А;

2.
Находят
алгебраические дополнения   Аij всех элементов
матрицы А и записывают новую матрицу;

3.
Меняют
местами столбцы полученной матрицы (транспонирую матрицу);

4.      Умножают
полученную матрицу на

Примеры
1)
Найти
обратную матрицу к матрице
Решение:
Вычисляем
определитель матрицы:

Так
как определитель не равен нулю, то матрица имеет обратную.
Вычислим
алгебраические дополнения к элементам матрицы  :

Критерии оценивания
Оценка «5» - все задания
вычислены верно.
Оценка «4» -все задания
вычислены верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.
Оценка «3» - все задания
вычислены, но допущены существенные ошибки и неточности.
Оценка «2» - задания не
вычислены.

8.Форма отчета: выполнение заданий в  тетрадях
для практических занятий.
9.
Место проведения самоподготовки: читальный зал библиотеки.

Практическое
занятие 10
1. Название темы  Решение систем линейных уравнений
различными методами
2. Учебная цель:  Используя теоретический материал и
образцы решения задач, решить примеры по теме «Решение систем линейных
алгебраических уравнений различными способами»
3.
Продолжительность занятия: 2 часа.

4.Материалы, оборудование, ТСО, программное обеспечение,
оснащение, раздаточный материал ПК, проектор, сборник задач,
карточки с алгоритмом решения задач
5. Литература, информационное
обеспечение   Элементы высшей математики Гончаренко В.М. и др.
6.Методические рекомендации по выполнению работы:
изучите краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме
практического занятия. При выполнении работы соблюдайте последовательность
действий.
7.Порядок выполнения работы:

          Краткие
теоретические сведения
1.Пусть дана система линейных уравнений

(1)
     Коэффициенты a11,12,..., a1n,
... , an1 , b2 , ... , bn   считаются
заданными.
Вектор -строка íx1
, x2  , ... , xn  ý
- называется решением системы (1), если при подстановке этих чисел вместо
переменных все уравнения системы (1) обращаются в верное равенство.
       Определитель n-го порядка D=çAê=ça ij  ç, составленный из коэффициентов при
неизвестных, называется определителем системы (1). В зависимости от
определителя системы (1) различают следующие случаи:
         a) Если D¹, то
система (1) имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам
Крамера :  x1=,
где
определитель n-го порядка Di
( i=1,2,...,n) получается из определителя системы путем замены i-го столбца
свободными членами b1 , b2 ,..., bn.
         б) Если D= , то
система (1) либо имеет бесконечное множество решений, либо несовместна ,т.е.
решений нет.
2. Рекомендации по выполнению заданий
1. Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя
неизвестными.

(2).
 1.  В данной системе составим определитель    и вычислим.
  2. Составить и вычислить следующие
определители:
       3. Воспользоваться
формулами Крамера.

Практическое значение правила
Крамера для решения системы n линейных уравнений с п неизвестными невелико, так
как при его применении приходится вычислять п +1 определителей n-го
порядка: D, Dx1, Dx2, …,Dxn. Более удобным является так называемый метод Гаусса. Он
применим и в более общем случае системы линейных уравнений, т. е. когда число
уравнений не совпадает с числом неизвестных.
Более удобным является так
называемый метод Гаусса. Он применим и в более общем
случае системы линейных уравнений, т. е. когда число уравнений не совпадает с числом
неизвестных.
Дана система, содержащая m линейных
уравнений с п неизвестными:
                                    а11х1
+ а12х2 + …+ а1nхn
= b1;

а21х1 + а22х2 + …+ а2nхn
= b2;
                                     ……………………………………

аm1х1 + аm2х2 + …+ аmnхn =
bm
 Метод Гаусса решения системы заключается в
последовательном исключении переменных.
Алгоритм для решения системы линейных уравнений методом
Гаусса
Выражаем первое неизвестное из первого уравнения и
подставляем его в остальные уравнения.
Получаем новую систему, в которой число уравнений и
неизвестных на 1 меньше.
С новой системой поступаем таким же образом и так
продолжаем до тех пор, пока не останется одно линейное уравнение, которое легко
решается.
Когда получено значение последнего неизвестного xn,
подставляем его в уравнение, которое позволяет найти xn – 1
по xn.
По найденным xn – 1 и xn
находим xn – 2 и таким образом находим последовательно все
неизвестные.
Для систем нелинейных уравнений этот метод не всегда
применим уже в силу того, что из уравнений системы совсем не обязательно можно
будет выразить одну неизвестную через остальные.
Порядок выполнения работы:
Используя теоретические сведения выполнить предложенное
преподавателем задание
Примеры по теме:
Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Решить системы:

Примеры по теме:
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Решить системы:

Критерии оценивания
Оценка «5» - все задания
вычислены верно.
Оценка «4» -все задания
вычислены верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.
Оценка «3» - все задания
вычислены, но допущены существенные ошибки и неточности.
Оценка «2» - задания не
вычислены.

8.Форма отчета: выполнение заданий в  тетрадях
для практических занятий.
9.
Место проведения самоподготовки: читальный зал библиотеки.

Практическое
занятие 11
1. Название темы  Прямоугольные координаты на плоскости
2. Учебная цель:   формирование умения определять координаты точек в
прямоугольной системе координат.
3.
Продолжительность занятия: 2 часа.

4.Материалы, оборудование, ТСО, программное обеспечение,
оснащение, раздаточный материал ПК, проектор, сборник задач,
карточки с алгоритмом решения задач
5. Литература, информационное
обеспечение   Элементы высшей математики Гончаренко В.М. и др.
6.Методические рекомендации по выполнению работы:
изучите краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме
практического занятия. При выполнении работы соблюдайте последовательность
действий.
7.Порядок выполнения работы:
1. Повторить теоретический материал по теме практической  работы.
2. Оформить решение заданий в тетради.
Краткая теория.
Ели на плоскости задана прямоугольная декартова система
координат xOy, то точку М этой плоскости, имеющую
координаты x и y, обозначают
М (x; y).
Расстояние d между точками М1(x1;y1)
и М2(x2;y2)
определяется по формуле:

(1)

В частности, расстояние d точки М(x;y) от
начала координат определяется по формуле:

(2)

Координаты точки М(x;y), делящей в
заданном отношении ë отрезок между двумя точками А(x1;y1) и В(x2;y2), определяется
по формулам:

x=(x1+ëx2)
  /(1+ë) y=(y1+ëy2)/(1+ë)

(3)

В частности, при ë=1 получаем
формулы для координат середины отрезка:

х=(х1+x2)/2 y=(y1+y2)/2

(4)

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

Общее уравнение прямой

Всякое уравнение первой степени, относительно х и у,
т.е. уравнение вида:

Ах+Ву+С=0

(5)

где А, В и С постоянные
коэффициенты, причем А2+В2≠0,
определяет на плоскости некоторую прямую.
Геометрическое место точек плоскости, координаты которых
удовлетворяют уравнению Ах+Ву+С=0, называется прямой на
плоскости.
Уравнение Ах+Ву+С=0 называется общим
уравнением прямой.
Частные случаи:
1. С=0; А≠0, В≠0.
Прямая, определяемая уравнением Ах+Ву=0, проходит
через начало координат.
2. А=0; В≠0, С≠0.
Прямая, определяемая уравнением Ву+С=0, параллельна
оси Ох.
3. В=0, А≠0, С≠0.
Прямая, определяемая уравнением Ах+С=0, параллельна
оси Oу.
4. В=С=0; А≠0.
Прямая, определяемая уравнением Ах=0, совпадает
с осью Оу.

5. А=С=0; В≠0.
Прямая, определяемая уравнением Ву=0,
совпадает с осью Ох.

Критерии оценивания
Оценка «5» - все задания
вычислены верно.
Оценка «4» -все задания
вычислены верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.
Оценка «3» - все задания
вычислены, но допущены существенные ошибки и неточности.
Оценка «2» - задания не
вычислены.

8.Форма отчета: выполнение заданий в  тетрадях
для практических занятий.
9.
Место проведения самоподготовки: читальный зал библиотеки.

Практическое занятие 12
1. Название темы  Решение простейших задач
аналитической геометрии на плоскости
2. Учебная цель:   сформировать
навык решения простейших
задач аналитической геометрии на плоскости
3.
Продолжительность занятия: 2 часа.

4.Материалы, оборудование, ТСО, программное обеспечение,
оснащение, раздаточный материал ПК, проектор, сборник задач,
карточки с алгоритмом решения задач
5. Литература, информационное
обеспечение   Элементы высшей математики Гончаренко В.М. и др.
6.Методические рекомендации по выполнению работы:
изучите краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме
практического занятия. При выполнении работы соблюдайте последовательность
действий.
7.Порядок выполнения работы:
1. Повторить теоретический
материал по теме практической работе.
2. Оформить доказательство тождеств и упрощение выражений в тетради.
Теоретический материал
Аналитическая
геометрия – это раздел в геометрии, в котором
геометрические фигуры и их свойства исследуются средствами алгебры.

В
основе решения задач данного раздела геометрии лежит метод координат. Согласно
методу координат каждому геометрическому соотношению ставится в соответствие
некоторое уравнение, которое связывает координаты фигуры или тела.

Основателем
аналитической геометрии полноправно считается Декарт, который в 1637 году
серьезно взялся за развитие данного направления в математике. Среди ученых,
внесших свой вклад в развитие аналитической геометрии, можно выделить Ньютона,
Лейбница и др.

Все,
что изучается в аналитической геометрии, можно разделить на два основных
раздела:
·
аналитическая
геометрия на плоскости, изучающая такие элементы как преобразование координат,
прямая, эллипс, окружность, парабола и гипербола;
·
аналитическая
геометрия в пространстве, изучающая плоскость, сферу, прямую.

Основные формулы
При
решении задач по аналитической геометрии в первую очередь используются
различные действия над векторами, которые заданы в координатной форме.
Приведем примеры часто используемых формул:
·
расстояние
между двумя точками:

·
угол
между векторами:

·
деление
отрезка в отношении λ:

Понятие
«уравнение линии» это элемент дальнейшего развития метода координат. Через
любые две точки на плоскости можно провести прямую. Таким образом, если точка
на плоскости определяется двумя числами (т.е. координатами точки), то линия на
плоскости определяется уравнением, которое связывает координаты любой точки
линии.

Приведем
примеры некоторых уравнений:
·
общее
уравнение прямой на плоскости:

·
Уравнение
окружности радиуса r с центром в точке (x0, y0):

·
и
многие другие.

Если
же мы имеем дело с пространством, то там все аналогично плоскости, за
исключением того, что координат используется не две, а три.

Приведем
примеры уравнений и формул, используемых в пространственной аналитической
геометрии:
·
уравнение
сферы:

·
расстояние
между двумя точками:

·
и
т.д.

Примеры задач
Рассмотрим
несколько задач из курса аналитической геометрии.
Пример
1. Составить уравнение линии, каждая точка которой
равноудалена от прямой
x = -1 и точки E(2;2).
Решение:
Этап 1. В условии
задачи точка E(2;2) определяется двумя координатами x =
2 и y = 2, следовательно, имеем «плоскую» задачу.
Этап
2. По условию задачи, можно выделить три различных
фигуры – линия, точка, прямая.
Этап
3. Выполним схематический чертеж:

Этап
4.
1.    Рассмотрим произвольную
точку линии — K(x, y). Расстояние от точки K до
прямой x = -1 есть длина перпендикуляра KN,
который опущен из точки K на прямую x = -1.
Далее определим координаты точки N. Абсцисса точки N равна
-1, а ордината точки N равна ординате точки K,
т.е. N(-1, y) — координаты точки.
2.    По условию задачи
имеем ρ(K, N) = ρ(K, E). Тогда
для любой точки K(x, y), которая принадлежит
искомой линии, справедливо равенство:

или

3.    Упростим
полученное уравнение:

4.    Искомое уравнение
линии:

Ответ: 6x = (y — 2)2 + 5.

Пример
2. Найти расстояние от точки M(1, 1, 1)
до плоскости α: 5x + y — z +
1 = 0.
Решение:
Этап 1. В условии
задачи точка M(1, 1, 1) определяется системой трех координат (x, y, z),
следовательно, имеем пространственную задачу.
Этап
2. По условию задачи, можно выделить две различных
фигуры – точка и плоскость.
Этап
3. Выполним схематический чертеж:

Этап
4.
1.    Расстояние от
точки M(1, 1, 1) до плоскости α есть длина
перпендикуляра KN, опущенного из точки M на эту
плоскость.
2.    Расстояние от
точки до плоскости определяется по формуле:

3.    3. Вычислим
искомое расстояние:

Ответ: .

Критерии оценивания
Оценка «5» - все задачи решены
верно.
Оценка «4» -все задачи решены
верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.
Оценка «3» - все задачи
решены, но допущены существенные ошибки и неточности.
Оценка «2» - задачи не решены.

8.Форма отчета: выполнение заданий в  тетрадях
для практических занятий.
9.
Место проведения самоподготовки: читальный зал библиотеки.

 .

Контрольная
работа №1
1. Название темы  Интеграл
2. Учебная цель: проверить усвоение изученного
материала
3. Продолжительность занятия: 2 часа.

4.Материалы, оборудование, ТСО, программное обеспечение,
оснащение, раздаточный материал ПК, проектор, сборник задач,
карточки с алгоритмом решения задач
5. Литература, информационное
обеспечение   Элементы высшей математики Гончаренко В.М. и др.
6.Методические рекомендации по выполнению работы:
изучите краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме
практического занятия. При выполнении работы соблюдайте последовательность
действий.
7.Порядок выполнения работы:
 Теоретические
сведения
Первообразная функции. Неопределенный
интеграл
Функция , определенная на
интервале ,
называется первообразной для функции , определенной на том же
интервале ,
если
Если  — первообразная для
функции , то любая другая
первообразная для
функции  отличается от  на некоторое постоянное
слагаемое, т. е.  где
.
Неопределенным интегралом
от
функции  называется совокупность
всех первообразных для этой функции. Обозначается неопределенный интеграл:  где
Операция нахождений
первообразной для данной функции называется интегрированием.
Интегрирование является обратной операцией к дифференцированию:

Для проверки правильности
выполненного интегрирования необходимо продифференцировать результат
интегрирования и сравнить полученную функцию с подынтегральной.
Свойства неопределенного
интеграла:
1.
2.
3.
4.
Таблица
основных интегралов
1.                            2.

3.
4.                                        5.

6.                                         7.
8.                              9.

10.                               11.

12.          13.
14.                    15.
16.                    17.
18.
Каждая из приведенных в
таблице формул справедлива на промежутке, не содержащем точек разрыва
подынтегральной функции. Вычисление интегралов с использованием таблицы и
основных свойств называют непосредственным интегрированием.
Метод
замены переменной
Теорема 1. Пусть монотонная, непрерывно
дифференцируемая функция, тогда
                        (1)
При этом, если  то  где —
функция, обратная .
Формула (1) называется формулой замены
переменной в неопределенном интеграле.
Алгоритм замены
переменной:
1) Связать старую переменную
интегрирования  с новой
переменной  с помощью замены .
2) Найти связь между дифференциалами .
3) Перейти под знаком интеграла к новой
переменной.
4) Проинтегрировать и в полученной
первообразной вернуться к старой переменной, подставив
Пример1. Проинтегрировать подходящей
заменой переменной.

Решение:

Интегрирование по
частям
Некоторые виды интегралов, вычисляемых по частям
Если производные функций  и  непрерывны,
то справедлива формула:
                                 (3)
называемая формулой интегрирования по
частям.
В качестве   обычно
выбирают функцию, которая упрощается при дифференцировании.
Некоторые стандартные случаи функций,
интегрируемых по частям, указаны в таблице 1. Там же дается способ выбора
множителей  и .
Таблица 1

Вид интеграла

Вид интеграла

— многочлен от  степени , т. е. ,  где .
Пример 2. Проинтегрировать по
частям.

Решение.

Задания для
самостоятельной работы.
Задание 1. Проинтегрировать
функции заменой переменной:
Вариант 1.
Вариант 2.
Вариант  3.
Задание 2. Найти
интеграл интегрированием по частям:
Вариант 1.
Вариант 2.
Вариант3.

8.Форма отчета: выполнение заданий в  тетрадях
для практических занятий.
9.
Место проведения самоподготовки: читальный зал библиотеки.

Контрольная
работа № 2
1. Название темы  Действия над векторами
2. Учебная цель: проверить усвоение материала
по теме «Действия
над векторами »
3. Продолжительность занятия: 2 часа.

4.Материалы, оборудование, ТСО, программное обеспечение,
оснащение, раздаточный материал ПК, проектор, сборник задач,
карточки с алгоритмом решения задач
5. Литература, информационное
обеспечение   Элементы высшей математики Гончаренко В.М. и др.
6.Методические рекомендации по выполнению работы:
изучите краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме
практического занятия. При выполнении работы соблюдайте последовательность
действий.
7. Порядок выполнения работы
Теоретические сведения

1  Вектором
называется отрезок, у которого указано, какой из концов является началом, а
какой – концом (направленный отрезок), обозначается , , где  - начало вектора, - конец.
2  Векторы называются
коллинеарными, если они расположены на одной или параллельных прямых.
3  Векторы называются
ортогональными, если угол между ними .
4  Векторы можно
складывать ( по правилам треугольника и параллелограмма), можно умножать на
число:                 ;    .
5  Необходимое и
достаточное условие коллинеарности векторов:
6  Модуль
вектора    равен
7  Если заданы начало   и конец  вектора   , то его координаты и
длина  находятся следующим образом:
 ;      .
8  Скалярным
произведением векторов называется число, равное произведению длин этих векторов
на косинус угла между ними

9  Косинус угла между
векторами
10  Необходимое и
достаточное условие ортогональности векторов: .
11  Проекция вектора на
направление:
Задание
1
Найти линейную комбинацию векторов
2
Найти длины векторов
3
Найти косинусы углов между векторами
4
Найти  ф
5
Найти
6
Выяснить, коллинеарны ли векторы  и
7
Выяснить, ортогональны ли векторы  и
Исходные данные:
Задание 1
Решение:

Задание 2
Решение:

Задание 3
Решение:

Задание 4
Решение:
Даны точки  .

 Даны
точки
Задание 5
Решение:
,
, ,
.
.
Задание 6
Решение:
,
 векторы не являются коллинеарными.
Задание 7
Решение:
,
, следовательно, векторы не являются ортогональными.

Задания к практической
работе.

1  A
(2; 3; -1); B (0; 1; 2); C
(4; -1; -1); D (2; -3; 1)
2
A (3; -1; 1); B (1; 3; 2); C (1; -1; -1);
D (4; 0; 3)
3
A (4; 1; 2); B (1; 0; 1); C (-1; 2; -1); D
(3; 1; 0)
4
A (3; -2; 1); B (2; -1; 1); C (4; 0; 2); D
(1; 1; -1)
5
A (-2; 2; 1); B (3; 0; 4); C (7; 1; 0); D
(3; 0; 5)
6
A (1; -1; -1); B (2; 5; 7); C (-3; 1; -1);
D (2; 2; 3)
7
A (-3; 1; 4); B (1; -2; -3); C (2; 2; 3);
D (5; 3; 1)
8
A (2; -5; 1); B (4; 3; 5); C (-1; 0; 1); D
(2; 1; 0)
9
A (-2; 2; 1); B (3; -1; 0); C (4; 4; 0); D
(1; -1; 1)
10
A (4; 2; 5); B (0; 1; 3); C (-1; -1; 1); D
(2; -2; 1)
11
A (1; 0; 1); B (7; 4; 3); C (3; -5; 1); D
(-2; 2; 2)
12
A (5; 1; 0); B (-1; -1; -1); C (2; 4; 7);
D (1; 0; 1)
13
A (10; 1; 1); B (-2; -1; 1); C (4; 3; 2);
D (1; 0; -1)

14
A (2; -7; 4); B (2; -1; 3); C (1; 0; -1);
D (2; 1; 3)
15
A (6; 3; 3); B (-1; 0; -2); C (3; 1; 1); D
(0; 4; 5)
16
A (3; 2; 0); B (2; -1; 7); C (4; 0; 5); D
(1; -2; -1)
17
A (4; -1; 2); B (1; 0; 3); C (-2; 1; 5); D
(3; 8; -1)
18
A (1; 1; -3); B (-7; 5; 2); C (2; 1; 0); D
(3; -3; 1)
19
A (5; 0; 1); B (2; -1; -1); C (-6; -1; 1);
D (3; 1; 3)
20
A (3; 5; 1); B (7; -4; 3); C (2; 1; 1); D
(0; -1; 3)
21
A (1; -2; 1); B (-1; 8; -3); C (3; 2; 1);
D (5; 3; 1)
22
A (-3; -1; 1); B (2; -3; 0); C (1; 4; 5);
D (2; 3; 4)
23
A (3; -1; 2); B (4; 0; 4); C (-1; 9; -1);
D (3; -2; -2)
24
A (3; -2; 1); B (4; 2; 1); C (-1; -1; 1);
D (3; 0; 1)
25
A (-2; 0; 1); B (4; -1; 3); C (-3; 2; 1);
D (4; 1; 1)
26
A (2; -2; 1); B (2; 5; 7); C (1; 3; 5); D
(7; 0; 3)
27
A (2; 3; 3); B (-2; 4; 1); C (3; 5; 2); D
(3; 8; -1)
28
A (1; 1; -3); B (-3; 2; -1); C (4; 1; 2);
D (7; -3; 0)
29  A
(7; 6; 1); B (2; -1; -1); C
(1; 0; 1); D (-2; 1; -1)
30  A
(-7; 2; -1); B (2; 5; 1); C
(2; 1; 1); D (0; 1; 3)

Критерии оценивания
Оценка «5» - все задания
вычислены верно.
Оценка «4» -все задания
вычислены верно, но допущены неточности или несущественные ошибки.
Оценка «3» - все задания
вычислены, но допущены существенные ошибки и неточности.
Оценка «2» - задания не вычислены.

8.Форма отчета: выполнение заданий в  тетрадях
для практических занятий.
9.
Место проведения самоподготовки: читальный зал библиотеки.

Скачано с
www.znanio.ru

file_name: Мет рек  ЕН.01 Эл высш матем ИСиП.docx

alt: Теорема 2 : предел дробно-рациональной функции при , если при этом знаменатель не обращается в нуль, равен значению функции в точке , т

alt: Теорема. Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция имеет производную в точке которая находится…

alt: Найдите дифференциал функции: 8

alt: Основные методы интегрирования

alt: Найти все критические точки, принадлежащие [ a; b ], и вычислить значения функции в этих точках

alt: Найдем нули производной: Указанному в услов ии интервалу принадлежит точка х = 0

alt: Продолжительность занятия: 2 часа

alt: Найти общий член числового ряда 2

alt: Задания для самостоятельной работы:

alt: Пример 3. Найти . Решение

alt: Задание 3 . Найти: 1) ; 2) ; 3)

alt: Порядок выполнения работы : 1

alt: Упростим полученное уравнение: 2

alt: Контрольная работа №1 1. Название темы

alt: Решение: Интегрирование по частям

alt: Пример 2. Проинтегрировать по частям

alt: Контрольная работа № 2 1. Название темы

alt: Проекция вектора на направление:

alt: Задание 4 Решение: Даны точки

alt: Задания к практической работе

intro: МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ  ПО  ООД.03 МАТЕМАТИКИ

title: МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ  К ЛАБОРАТОРНЫМ И ПРАКТИЧЕСКИМ ЗАНЯТИЯМ


extracted_text:
Урок 11 (28). Защита Отечества
Слайд
1. Название урока.
Вы узнаете:
- Когда война бывает «справедливой»
- о святых защитниках Родины
Можно начать тему с
прослушивания песни «Солнечный круг». Для перехода на скрытые для демонстрации
слайды щелкнуть по кнопке «грамофончик». Если песня не используется, то просто
щелчком по полю слайда в любом месте переходим на слайд 9.
Скрытые слайды 2-8. Солнечный
круг.
Слушаем и/или поем песню
«Солнечный круг». Смена слайдов клипа автоматическая.
Солнечный круг
Слова: Л.Ошанин, музыка: А.Островский.

Солнечный круг, небо вокруг —
Это рисунок мальчишки.
Нарисовал он на листке
И подписал в уголке:

Припев:
Пусть всегда будет солнце,
Пусть всегда будет небо,
Пусть всегда будет мама,
Пусть всегда буду я.

Тише, солдат, слышишь, солдат,-
Люди пугаются взрывов.
Тысячи глаз в небо глядят,
Губы упрямо твердят:
Припев.

Против беды, против войны
Встанем за наших мальчишек.
Солнце — навек! Счастье — навек! —
Так повелел человек.
Припев.

Предварительная беседа
Слайд 9. Блаженны миротворцы.
Помните 7-ю Заповедь
блаженств: «Блаженны миротворцы, ибо они будут названы сынами Божьими». Давайте
попробуем вместе разобраться, почему сохранение мира так важно для христианина.
Слайд 10. Война и мир.
Работа с заданием 1.
Напишите, что сопутствует, по-вашему, войне и миру.
Дети зачитывают, учитель может
записывать на доске. Резюмируем.
Как вы думаете, что
лежит в основе войны? (дети
отвечают)
(щелчок) В основе войны лежит эгоизм.
А что лежит в основе мира? (дети отвечают)
(щелчок) В основе мира лежит любовь.
Слайд 11. Микробы.
Давайте совсем немного отвлечемся
и поговорим о микробах.
В каких условиях
болезнетворные микробы лучше размножаются и развиваются – в чистой или грязной
среде? (дети отвечают)
Грязь не только некрасива,
она еще и очень опасна. Вместе с частицами земли и пыли на нашей коже
скапливаются болезнетворные микробы. Холера, брюшной тиф, дизентерия,
гельминтозы и многие другие инфекционные заболевания ожидают грязнулю. Самое
противное, что через грязные руки можно не только заразиться самому, но и заразить
любого другого человека. И даже можно стать источником эпидемии в целой стране.
А как можно постараться
ограничить возможность инфекционных заболеваний? (дети отвечают)
(щелчок) С помощью профилактических мер.
Слайд 12. Война - грех.
Так вот как грязь -
благоприятная среда для микробов, так и война – желанная среда для грехов. Война
особенно способствует развитию  ненависти, жестокости, грабительства, насилия,
всему тому, что калечит душу и тело человека. Но человек предназначен к вечности,
и вся его земная жизнь оценивается с точки зрения достижения спасения. Т.е. как
проходит его духовное развитие, насколько здорова душа.
В условиях войны или в
условиях мира возможно правильное духовное развитие человека? (дети отвечают)
Конечно в условиях мира. Божий мир – это мир любви. Поэтому для
христианина так важно сохранять мир между людьми. И поэтому миротворцы будут
названы сынами Божиими. А защита Отечества, защита мира и
спокойствия считается христианами святым подвигом.
Слайд 13. «Профилактика»
против войны.
Есть народная мудрость:
«Худой мир лучше доброй ссоры» или «худой мир лучше доброй войны».
Т.е. нужно всеми
средствами и силами стараться предотвратить войну.
Как вы думаете, что
является «профилактическими» мерами против войны? (дети отвечают)
(щелчок) Одна из мер, предотвращающих войну, как
и при любой ссоре – это переговоры. И наше правительство, которое несет
ответственность за состояние страны, чтобы создать дружественные связи, старается
заключать различные мирные договоры с другими странами.
(щелчок) И Русская Православная Церковь в лице
Святейшего Патриарха Кирилла и других иерархов также проводит международные
встречи. И не только с представителями других церквей, но и с правителями
стран.
Такая деятельность
относится к миротворческой.
Слайд 14. «Профилактика»
против войны.
Как вы думаете, на кого
скорее всего нападет грабитель – на сильного или на слабого? (дети отвечают)
Чаще всего нападают на
слабых. Ведь сильный может дать отпор, а преступники трусливы. И иногда надо
показать свою силу, чтобы избежать впоследствии ее применения. Т.е., чтобы
испугать преступника.
А чтобы кто-то побоялся
нападать на нашу страну, что нам нужно? (дети отвечают)
Слайд 15. Сильная армия.
Нужна сильная армия. Но,
конечно же, не для того, чтобы нападать самим. Наша страна – мирное государство, которое допускает
военные действия только при нападении на территорию нашей страны. Или как
помощь страдающим от захватчиков соседям и друзьям, если они попросят. А те,
кто развязывает войну, по сути своей грабители. Ведь цель любой захватнической
войны – отнять у других народов их землю, богатства, свободу, честь, жизнь.

Самостоятельное чтение
Слайд 16. Защитники.
Не раз мирный труд и тихая семейная жизнь Руси-России
нарушалась военными грозами. Точнее – половина из тысячи лет нашей истории
прошла в войнах.
Христос учил прощать. Он учил любить даже врагов. Он
говорил, что лучше подставить левую щеку, если тебя ударили в правую.
Но это – когда речь идет об обидах, причиненных тебе. Ты
можешь простить свою обиду. А если обижают твою сестренку? Маму? Родину?
Есть ведь и другие слова Христа: «всякий гневающийся на
брата своего напрасно, подлежит суду». Значит, гнев бывает напрасным, а бывает
уместным.
Вечером 28 ноября 2008 года пьяный бандит позвонил в
квартиру Табаковых в подмосковном городе Ногинск-9. Дома были только дети:
7-летний Женя и его 11-летняя сестра Яна. Они поверили словам за дверью, будто
им принесли «заказное письмо». Угрожая ножом, бандит потребовал отдать ему
деньги. Затем он связал девочку и стал её мучить. В это время в комнату вошёл
её младший брат. Бандит пригрозил, что убьёт его, если он не выйдет. Сбегав на
кухню, мальчик взял нож и ударил мужчину. Преступник побежал за Женей, а
девочка выбежала из квартиры и позвала на помощь. В это время насильник схватил
мальчика и нанёс ему 8 ударов ножом в спину. Женя скончался. Указом Президента
Российской Федерации Женя Табаков награждён посмертно Орденом Мужества за
самоотверженность, проявленную при исполнении гражданского долга.
Анализ текста
Слайд 17. Насилие.
↓4.
Одинаково ли надо реагировать на обиды, нанесенные тебе и любимому тобой
человеку? (дети
отвечают)
Работа с заданием 2. Прочерти правильные
ответы из этих слов…

Самостоятельное чтение
Слайд 18. Защита Родины.
Когда в 1812 году французский император Наполеон привел
свою армию в Россию, то все народы России – русские, украинцы, калмыки,
башкиры, грузины, татары и другие встали на защиту нашей общей Родины.
С христианской точки зрения справедливой может быть только
оборонительная война. Нападение, агрессия не могут быть оправданы.
Война может быть справедливой, если ведется «За алтари и
очаги», то есть за свою семью, за свою большую семью – Отчизну, и за ее
духовные святыни.
Но нельзя силой оружия навязывать свою веру. Русская
поговорка гласит: «Невольник - не богомольник». Христос никого не заставлял
слушать Его слова. Он много раз говорил Своим ученикам, что их будут
преследовать из-за веры в Него, но он никогда не говорил им: «Вы должны
преследовать других во имя Мое».
Если же надо защитить свою Родину, семью и веру –
православный человек берется за оружие.
↓ВРЕЗКА
Как Всевышний Бог терпит на земле все веры, то и Ея
Величество из тех же правил, содействуя Его святой воле, в сем поступать
изволит, желая только, чтобы между ее подданными всегда любовь и согласие
царствовали» - указ императрицы Екатерины Великой (1773 г.).
Анализ текста
↓5.
Знаете ли вы войны, где против общих недругов России вместе сражались
христиане, мусульмане, буддисты (татары, калмыки, русские и другие народы)? (дети отвечают)
↓1. Может ли война быть
справедливой? В каком случае?
(дети отвечают)

Слушаем текст
Слайд 19. Куликовская битва.
В 1380 году войско монгольского хана Мамая шло на Москву.
До этого Мамай сверг законного правителя татарской державы, теперь он шел на
Русь. (щелчок)
Святой
московский князь Дмитрий Донской собрал полки русских городов для отпора. Пока
дружины собирались, князь поехал в подмосковный Троицкий монастырь, основанный
святым Сергием Радонежским. (щелчок) Сергий стал уговаривать князя избежать
кровопролития. Может, можно послать послов? Заплатить дань? Князь сказал, что
все возможности исчерпаны. Путей к миру больше нет. И тогда святой Сергий тихо
шепнул ему: «Ступай с Богом! Ты победишь». (щелчок) И благословил Пересвета и
Ослябю - двух бывших воинов, ставших уже монахами в его монастыре - вернуться в
боевые ряды. Пересвет и Ослябя в трудную для Родины минуту из монастыря снова
вышли на поле боя – это было поле Куликово. (щелчок) Именно как монахи они хорошо
знали слова Христа – «нет больше той любви, как если кто положит душу свою за
ближних своих» (здесь слово душа - в значении жизнь).
Анализ текста
Слайд 20. Куликовская битва.
О чем уговаривал прп.
Сергий Радонежский Дмитрия Донского, прежде чем благословил князя на битву? Почему он это делал? (дети отвечают)
Как вы думаете, почему
прп. Сергий все-таки благословил князя Дмитрия на битву, хотя есть заповедь «Не
убий»? (дети отвечают)
Чтобы уменьшить зло,
которое может принести захват татаро-монголами русской земли.

Архиепископ Волоколамский
Иларион (Алфеев): "Церковь никогда не благословляет людей на убийства.
Церковь против того, чтобы, вообще, происходила война. Проблема в том, что
войны иногда происходят. И если речь идет, например, о защите Отечества, то
Церковь – об этом свидетельствует история – всегда благословляла защитников
Отечества на ратный подвиг. Более того, Церковь всегда воспринимала этот подвиг
как исполнение слов Христа: "Нет больше той любви, как если кто душу свою
положит за ближних своих". Ратный подвиг – это самопожертвование человека,
и Церковь всегда благословляла воинов на защиту Отечества, церковь всегда
утешала тех людей, которые оказывались на поле битвы. Именно в этом смысл
благословения воинов на брань, именно в этом смысл благословения того оружия,
которым воины будут пользоваться".

↓3. Какие слова Христа
вдохновили Пересвета и Ослябю на участие в Куликовской битве? (дети отвечают)
 (щелчок) «нет больше той любви, как если кто
положит душу свою за ближних своих».
Самостоятельное чтение
Слайд 21. Воин-христианин.
Воин-христианин верит, что его душа бессмертна. Поэтому он
может исполнять свой воинский долг, не боясь даже смертельной угрозы.
Но даже на войне христианский воин не должен превращаться в
машину для убийства. Даже на войне надо остаться человеком. Нельзя добивать
раненых. Нельзя трогать безоружных. Нельзя грабить местных жителей. Если враг
сдается или если война закончена – надо к недавнему недругу отнестись уже
просто как к человеку.
Законы милосердия и справедливости должны прийти на смену
законам войны
Когда, разбив Наполеона, русская армия подошла к его
столице – Парижу - французы сдались. Парижане в трепете ждали мести за
сожженную Москву. Но все было мирно. И вот на балу русский Император Александр
Первый пригласил на танец бывшую жену Наполеона Жозефину. Та с тревогой
спросила: «Теперь, наверно, вы переименуете парижский мост Аустерлиц?». За 9
лет до этого в битве под Аустерлицем войска Наполеона нанесли поражение русской
армии, которой командовал Александр. В честь той победы Наполеон назвал мост в
своей столице...  Но русский царь ответил: «Зачем мне переименовывать этот мост?
Мне достаточно, что по нему прошли мои солдаты!».
Анализ текста
Слайд 22. Французы в Москве,
1812 г.
↓2.
Какие поступки недопустимы даже на войне? (дети отвечают)
Слайд 23. Россия начиналась не
с меча.
Слушаем аудиофайл со стихотворением
Э. Асадова или зачитываем его сами.
Россия начиналась не с
меча!
Э.А. Асадов

Россия начиналась не с
меча,
Она с косы и плуга
начиналась.
Не потому, что кровь не
горяча,
А потому, что русского
плеча
Ни разу в жизни злоба не
касалась...

И стрелами звеневшие бои
Лишь прерывали труд ее
всегдашний.
Недаром конь могучего Ильи
Оседлан был хозяином на
пашне.

В руках, веселых только от
труда,
По добродушью иногда не
сразу
Возмездие вздымалось. Это
да.
Но жажды крови не было ни
разу.

А коли верх одерживали
орды,
Прости, Россия, беды
сыновей.
Когда бы не усобицы
князей,
То как же ордам дали бы по
мордам!

Но только подлость
радовалась зря.
С богатырем недолговечны
шутки:
Да, можно обмануть
богатыря,
Но победить - вот это уже
дудки!

Ведь это было также бы
смешно,
Как, скажем, биться с
солнцем и луною.
Тому порукой - озеро
Чудское,
Река Непрядва и Бородино.

И если тьмы тевтонцев иль
Батыя
Нашли конец на родине
моей,
То нынешняя гордая Россия
Стократ еще прекрасней и
сильней!

И в схватке с самой лютою
войною
Она и ад сумела
превозмочь.
Тому порукой -
города-герои
В огнях салюта в
праздничную ночь!

И вечно тем сильна моя
страна,
Что никого нигде не
унижала.
Ведь доброта сильнее, чем
война,
Как бескорыстье
действеннее жала.

Встает заря, светла и
горяча.
И будет так вовеки
нерушимо.
Россия начиналась не с
меча,
И потому она непобедима!

Самостоятельное чтение
Слайд 24. Святые воины.
Православные воины умели воевать и умели достойно
возвращаться с войны.
Легендарный богатырь Илья Муромец, одержав победы во многих
поединках, в конце концов стал монахом. Кстати, в православной Церкви память
святого Ильи Муромца отмечают на Новый год - 1 января. Его останки – «мощи» -
до сих пор лежат в Киево-Печерском монастыре.
Князь Александр Невский - великий воин. Он одерживал победы
и над шведскими и над немецкими рыцарями, когда те вторгались в пределы Руси.
Но еще князь Александр - великий миротворец. В то время русские княжества были
завоеваны монгольской Ордой. В любую минуту отряды завоевателей могли вновь
обрушиться на русские города. Но князь Александр с помощью переговоров
несколько десятилетий удерживал Русь и Орду от столкновений. В 1262 году
правитель Орды - хан - послал своих людей собирать русских воинов для участия в
ордынском походе в далекую Персию (ныне – Иран). И тогда князь поехал в Орду -
«дабы отмолить люди от бед». Там на переговорах он одержал величайшую из своих
побед: хан отказался от призыва русских воинов на свою войну, и тысячи жизней
были спасены. А на обратном пути из Орды князь Александр скончался…
Он причислен к лику святых (в этом случае слово «лик»
означает «собрание»). В его честь построено множество храмов, его именем назван
величественный монастырь: Александро-Невская лавра в Петербурге. В истории
Российской Империи было три императора с именем Александр – все они получали
свои имена в честь святого князя Невского.
Среди святых православной церкви – адмирал Федор Ушаков. Он
сражался с флотами Франции и Турции. Св. Феодор провел десятки морских сражений
– и ни одного не проиграл. Более того: он не потерял ни одного судна и не отдал
в плен ни одного матроса. Выйдя в отставку, он мог бы ездить по балам,
показывая свои многочисленные заслуженные ордена. Но вместо этого он поселился
рядом с Санаксарским монастырем в Мордовии и в монашеской молитве провел
последние годы своей жизни.
Анализ текста
Как вы думаете, почему на
Руси престарелые воины часто уходили в монастырь? (дети отвечают)
Когда физические силы
оставляли тело и чувствовалась близость кончины, в традициях Руси было
посвящать остаток жизни Богу. И многие бывшие воины, свершив свои ратные
подвиги, чуя приближение старости, уходили в монастыри спасать души, молиться
за Святую Русь, за родных и близких, за себя.

В стране у нас много
войсковых частей, где солдаты постоянно несут службу, следят за
неприкосновенностью границ нашей Родины. Их служба идет для того, чтобы
населению спалось спокойно. Монастыри - это тоже своеобразные войсковые части.
Монахи - воины войска Христова - молятся Господу, чтобы Господь защитил народ
от врага невидимого - диавола, от его нападок и козней. Потому, чем больше
монастырей будет в нашей России, тем лучше для нее, нашего народа. Чем больше
будет действующих храмов, тем благополучнее и живее будут души людей. Мы живем
по молитвам святых, по милости Божией, на нас нисходящей. Постоянно идущая к
Богу монашеская молитва испрашивает небесную поддержку и благодать всему
народу.

Слайд 25. Святые покровители
русского воинства.
В российской армии
существует легенда, что кокарда на головных уборах наших воинов являет собой
память о святых Русской Православной Церкви - покровителях русского воинства.
Исстари кокарда имеет 32 луча, символизирующих 32 святых, стоящих перед
престолом Небесного Царя с молитвой о христолюбивом воинстве.
Конечно, на самом деле
небесных покровителей гораздо
больше чем 32. Так же, как неотделима от судьбы России судьба ее воинства, так
же невозможно, как-то особенно, выделить имена его святых покровителей. Некоторые из святых воинов известны
всем, но некоторые из этих святых - лишь немногим.
На иконах святые воины чаще
всего изображаются в латах, с копьями или мечами. Сегодня мы с вами уже
говорили о некоторых из них.
Вспомните и назовите
эти святые имена? (дети
отвечают)
Благоверные князья
Димитрий Донской и Александр Невский, преподобные Илия Муромец, Ослябя и
Пересвет, праведный Феодор Ушаков, преподобный Сергий Радонежский.
Слайд 26. Святые покровители русского
воинства.
Вот еще некоторые небесные
покровители нашего воинства: Архангел Михаил, праведный Иисус Навин, мученик
Лонгин Сотник, апостол Андрей Первозванный, Слайд 27. Святые покровители русского воинства.
великомученик Георгий Победоносец,
великомученик Никита, великомученик Мина, великомученик Меркурий, великомученик
Иаков Персянин,
Слайд 28. Святые покровители
русского воинства.
великомученики Феодор
Стратилат и Дмитрий Солунский, великомученик Феодор Тирон, великомученик
Евстафий Плакида, великомученик Артемий, великомученик Прокопий,
Слайд 29. Святые покровители
русского воинства.
мученик Христофор, мученики
Арефа, Настер и Никита, мученик Аффоний, мученик Савва Стратилат, мученик
Андрей Стратилат, мученик Иоанн воин,
Слайд 30. Святые покровители
русского воинства.
равноапостольный великий
князь Владимир, благоверный великий князь Игорь Черниговский, благоверный и
преподобный князь Даниил Московский, благоверный князь Всеволод,
Слайд 31. Святые покровители
русского воинства.
страстотерпцы князья Борис
и Глеб, благоверный князь Довмонт Псковский.

Это совсем маленькая
толика из того числа святых воинов, которые защищали своих ближних, родину и
отдали за них свою жизнь. А сколько еще безвестных святых воинов, сложивших
свою голову на ратном поле в годы Второй мировой войны и в наше время.

Слушаем и подпеваем песню
«Служить России». Переход на слайды 32- 43 щелчком по кнопке «грамофончик».
Слайды 32-43. Служить России.

Служить России
Э. Ханок, И. Резник

Полки идут стеной, красиво
держат строй
И гордо шелестят знамёна.
Комбат и рядовой, единою
судьбой
Мы связаны с тобой, друг
мой.

Припев:
Служить России суждено
тебе и мне,
Служить России,
удивительной стране,
Где солнце новое встаёт на
небе синем.
Плечом к плечу идут
российские войска
И пусть военная дорога не
легка,
Мы будем верою и правдою
служить России.

Бесстрашием атак спасли мы
русский флаг,
И дом родной, и наши
песни.
А, коль придёт беда, собою
мы тогда
Отчизну заслоним, друг
мой.
Припев:

Полки идут стеной, красиво
держат строй
И вместе с нами вся
Россия.
И он, и ты, и я -
армейская семья,
И этим мы сильны, друг
мой.
Припев:

↑ВРЕЗКА
Как Всевышний Бог терпит на земле все веры, то
и Ея Величество из тех же правил, содействуя Его святой воле, в сем поступать
изволит, желая только, чтобы между ее подданными всегда любовь и согласие
царствовали» - указ императрицы Екатерины Великй (1773 г.).
Вопросы
↑1.
Может ли война быть справедливой? В каком случае?
↑2.
Какие поступки недопустимы даже на войне?
↑3.
Какие слова Христа вдохновили Пересвета и Ослябю на участие в Куликовской
битве?
↑4.
Одинаково ли надо реагировать на обиды, нанесенные тебе и любимому тобой
человеку?
Прочерти правильные ответы из этих слов
Я:
 Могу                   простить обиду                    сестренку
 Не должен        защитить                              мою
 должен              вступиться за                       себя
                            отомстить за                        Родину
↑5.
Знаете ли вы войны, где против общих недругов России вместе сражались
христиане, мусульмане, буддисты (татары, калмыки, русские и другие народы)?
_________________________________________________

Методическое обеспечение
экспериментальных уроков по Основам православной культуры для 4-5 классов. Урок
№28 «Защита Отечества».
http://experiment-opk.pravolimp.ru/lessons/28
_________________________________________________
Помяните!
Памяти воинов Великой Отечественной
Игорь Алексеев

Помяните...
Не надо оваций,
Блеска стали, дежурных речей -
В храмах свечи затѐплите, братцы:
Пусть горят миллионы свечей!
За народа свободу и счастье
Нас несметная рать полегла, -
Шли мы в бой без святого причастья,
Но в сердцах наших вера жила.
Нам не нужно посмертных регалий
И обёрнутых в лозунги фраз:
Мы за други свои умирали
И за землю, родившую нас.
Помяните...
Не пьяным застольем,
Не "фанерными" воплями
"звёзд",
А молитвой своей и любовью
С горьким привкусом пролитых слёз.

РОДИНА
Константин Симонов
 Касаясь трех великих океанов,
 Она лежит, раскинув города,
 Покрыта сеткою меридианов,
 Непобедима, широка, горда.

Но в час, когда последняя граната
 Уже занесена в твоей руке
 И в краткий миг припомнить разом надо
 Все, что у нас осталось вдалеке,

Ты вспоминаешь не страну большую,
 Какую ты изъездил и узнал,
 Ты вспоминаешь родину — такую,
 Какой ее ты в детстве увидал.

Клочок земли, припавший к трем березам,
 Далекую дорогу за леском,
 Речонку со скрипучим перевозом,
 Песчаный берег с низким ивняком.

Вот где нам посчастливилось родиться,
 Где на всю жизнь, до смерти, мы нашли
 Ту горсть земли, которая годится,
 Чтоб видеть в ней приметы всей земли.

Да, можно выжить в зной, в грозу, в
морозы,
 Да, можно голодать и холодать,
 Идти на смерть… Но эти три березы
 При жизни никому нельзя отдать.
 1941г.

СЛАВА
 Константин Симонов
За пять минут уж снегом талым
 Шинель запорошилась вся.
 Он на земле лежит, усталым
 Движеньем руку занеся.

Он мертв. Его никто не знает.
 Но мы еще на полпути,
 И слава мертвых окрыляет
 Тех, кто вперед решил идти.

В нас есть суровая свобода:
 На слезы обрекая мать,
 Бессмертье своего народа
 Своею смертью покупать.
1942г.

ЗАПАС ПРОЧНОСТИ
Юлия Друнина
 До сих пор не совсем понимаю,
 Как же я, и худа, и мала,
 Сквозь пожары к победному Маю
 В кирзачах стопудовых дошла.

И откуда взялось столько силы
 Даже в самых слабейших из нас?..
 Что гадать!— Был и есть у России
 Вечной прочности вечный запас.

ПОБЕДИТЕЛЯМ
Анна Ахматова
Сзади Нарвские были ворота,
Впереди была только смерть…
Так советская шла пехота
Прямо в желтые жерла «Берт».
Вот о вас и напишут книжки:
 «Жизнь свою за други своя»,
Незатейливые парнишки —
Ваньки, Васьки, Алешки, Гришки,—
Внуки, братики, сыновья!
29 февраля 1944, Ташкент

Сын и отец.
Вячеслав Попов

Я отца попросил:
 - Расскажи, как сражался,
 Как поганых фашистов
 В боях убивал.
 Но отец о войне
 Говорить отказался,
 Только брови нахмурил
 И тихо сказал:
 - Ты что думаешь, сын,
 Убивать очень просто?
 Так в кино лишь бывает
 И то не всегда.
 - Но ведь это ж враги?!
 Я б их всех шашкой острой
 Покрошил, если б только
 Был взрослым тогда.
 - Да, то были враги,
 Но они тоже люди,
 И у каждого дома
 Детишки и мать.
 Их погнали, как скот,
 К нам фашисты-паскуды
 И заставили силой
 Всех нас убивать.
 Но уж тут кто кого.
 Жить нам тоже хотелось,
 Да к тому же свой дом нам
 Пришлось защищать.
 На войне было все –
 Кровь, жестокость и смелость.
 И поверь, нелегко мне
 Войну вспоминать.
_____________________________________________

***
Протоиерей  Дмитрий Смирнов:
"Христианин идет на войну не убивать, а умирать".

***
В чем видел главный секрет своих побед
великий полководец Суворов, не проигравший ни одного сражения за всю жизнь? Сам
он говорил просто: «Молись Богу, от Него – победа!..»
(93 сражения – 93 победы)

Скачано с
www.znanio.ru

file_name: урок 28.docx

alt: Урок 11 (28). Защита Отечества

alt: Слушаем и подпеваем песню «Служить

alt: Касаясь трех великих океанов,

title: круг