extracted_text:
§ 4. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
Дифракция Френеля
1. Площадь любой зоны Френеля, построенной на ограниченном сферическом
фронте  волны   (дифракция   на   круглом  отверстии):

S

 
ad
a d
                                                  (1)
где  а  — расстояние от источника света до фронта волны;  b  — расстояние от
вершины волнового фронта до точки наблюдения дифракционной картины (до
экрана);  λ — длина волны, излучаемой источником света.
2. Радиус внешней границы kой зоны Френеля:
k

ad
a d
r
k

       (2)
3. При радиусе отверстия r0, много меньшем расстояний а и b, в нем
строится k зон:
k
2
r
0

(
1
a

)
1
b
                                                (3)
Дифракция Фраунгофера (дифракция от щели в параллельных
лучах)
1. Интенсивность света в точке, положение которой определяется углом
дифрагирования
:φ

I


I


sin )
sin(
b

2


sin )
b

0 (

      (4)
где I0 — интенсивность света в центре дифракционной картины.
2. Угловое положение kго максимума интенсивности дифракционной
картины определяется уравнением:
sin

k
 
2

1
k
b


2
                                          (5) Дифракционная решетка
1.
картины от решетки определяется уравнением:
Угловое положение kro минимума интенсивности дифракционной
sin
  
kì èí

k
b
,
(6)
где b — ширина щели дифракционной решетки.
2.
от решетки определяется уравнением:
Угловое положение kго главного максимума интенсивности картины
sin
 
kì àêñ

k
d
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
где d — период решетки.
3. Интенсивность света kгo главного максимума:

kI

2
N I

где N — число щелей решетки; I — интенсивность, создаваемая в
направлении угла
Кроме минимумов, определяемых условием
N b
k
φ
 одной щелью.
  
sin
kì èí
,
между двумя соседними максимумами располагаются N — 1 добавочных
минимумов. Угловые направления добавочных минимумов определяются
условием:
sin
N
 
;
k
k имеет все целочисленные значения, кроме О, N, 2N, ..., kN.
5.
Угловая дисперсия дифракционной решетки:

dD
k
cos

где k — порядок спектра.
6.
Разрешающая способность дифракционной решетки:
R



kN
Угловое расстояние между двумя точками, разрешаемыми те
7.
лескопом:
где, D — диаметр объектива телескопа.

  1,22  D
             (12)
8.
Расстояние  I,   разрешаемое объективом  микроскопа:
i  0,61
, — длина волны света;
λ

1
sin
n
n — показатель преломления среды,
u
где
заполняющей    пространство    между    предметом   и    объективом
                          (13)  микроскопа; u — половина угла между лучами, идущими от предмета к
краям объектива микроскопа.
9. Дифракцию рентгеновских лучей получают на кристаллических решетках.
Дифракционные максимумы определяются условием (формула Вульфа —
Брегга):
2 sind
k
 
где
θ
 — угол скольжения (угол, дополнительный к углу падения).
(14) дифракция Френеля — дифракционное изображение препятствия;
дифракция Фраунгофера — дифракционное изображение источника
ВОПРОСЫ
Какое дополнение в принцип Гюйгенса ввел Френель?
Как определяется радиус любой зоны Френеля? В каком соотношении
находятся площади этих зон?
Поясните следующие определения дифракции:
а)
б)
света.
Поясните следующее утверждение: «Когда источников (колебаний) мало,
например два, то результат их совместного действия
называют интерференцией, а если источников много, то чаще говорят о
дифракции».
Начиная с какого соотношения между радиусом отверстия r
и расстоянием от экрана до точки наблюдения b свет в точке наблюдения при
увеличении b не будет сменяться темнотой?
Как, пользуясь методом векторных диаграмм, показать, что,
если в отверстии вмещается четное число зон Френеля, в точке наблюдения
будет минимум освещенности, а при нечетном числе зон — максимум?
Что будет наблюдаться на экране при дифракции на одной
щели в параллельных лучах, если ширина щели равна длине волны
света?
Чем отличаются дифракционные картины на экране (рис. 4.1),
если:
а)
б)
одинаковой величины?
в экране Э1 одно отверстие?
в экране Э1 много беспорядочно расположенных отверстий
Рис 4.1
Какими   параметрами характеризуется    дифракционная решетка в
9.
качестве спектрального прибора?
10. Как   изменяется   разрешающая   способность   дифракционной
решетки   при   изменении    наклона    пучка     лучей, падающих на решетку?
11. Как изменится дифракционная картина, полученная с  помощью
решетки, если:
а) увеличить постоянную   решетки, не изменяя  общего числа
штрихов;
б) увеличить общее число штрихов, не изменяя постоянной решетки; в) увеличить ширину щелей, оставив неизменным постоянную
решетки и число щелей?
Примеры решения задач
1. Радиус четвертой зоны Френеля для плоского волнового фронта r4 = 3
мм. Определите радиус двенадцатой зоны из той же точки наблюдения.
Р е ш е н и е
Первый способ. Сделаем чертеж по условию задачи (рис. 4.2): А В —
фронт плоской волны; С — точка наблюдения; СО = b
CD = b + k
, DO=R k

2
Очевидно, что

так как λ мала, членом
2
kr

b k
(
2

)
2

2
b



k b k
2
2

4
;
2
2
4k   — пренебрегаем, следовательно,
Запишем условие задачи в виде двух уравнений:
2
kr
kb
;
,
уравнения друг на друга:
b
2
r
4
4
2
r
12
b
12
 Поделим почленно
2
r
4
2
12
r  ;
1
3
2
r
12
2
4
r 
3 Отсюда
2
r
12
r
2
43 Подставим значение r4, получаем r12 = 3  3  мм.
Второй   способ.     Преобразуем
формулу (2):   разделим числитель
и знаменатель подкоренного выражения на а:
при   а ∞ → 2
kr  = kbλ.
r
k


kb
b

a
1
; Рис 4.2
2.   На   круглое   отверстие   радиусом  R  =   2   мм   в   непрозрачном  экране
падает   параллельный   пучок   света   с   длиной   волны  λ  =  = 0,5 мкм. На
каком   максимальном   расстоянии   от   отверстия   на  экране   в   центре
дифракционной картины будет наблюдаться темное пятно?
Р е ш е н и е
В центре дифракционной картины получится темное пятно, если число зон
Френеля, укладывающихся в отверстии, четное. Число зон убывает по мере
удаления от отверстия.
Максимальное   расстояние,   при   котором   еще   будет   наблюдаться  темное
пятно,   это   расстояние,   при   котором   в   отверстии   укладываются   две   зоны
Френеля.
При   решении   предыдущей   задачи   мы   получили   формулу   зависимости
радиуса kой зоны от длины волны, расстояния от точки наблюдения и номера
зоны:
Выразим из этой формулы b:
b
2
kr

k
;
так как k = 2, rk = R, то b = 4 м.
3. При нормальном падении света на решетку длиной l = 2 см на экране с
помощью   линзы   с   фокусным   расстоянием  F  =   1   м   получено   несколько
спектров. Красная линия (λ = 630 нм) в спектре третьего порядка видна под
углом
ния   падающего   на   решетку   света.
Найдите: а) постоянную решетки;
б) разрешающую способность решетки в спектре третьего порядка;
в) линейную дисперсию решетки D.
  =   20°   относительно   направле
φ
Р е ш е н и е
а) Для определения постоянной решетки воспользуемся формулой (7), из
которой найдем
d


k
sin
;
Вычисления дают d = 5,525 мкм.
б) Разрешающая способность решетки R = kN.
Так как
dN  ,  то
l
dR      R = 10894.
kl
в) Линейной дисперсией дифракционной решетки называют величину, 
численно равную D* = d

d
 F
  где  F — фокусное расстояние линзы, проецирующей спектр на экран.
Дифференцируя уравнения максимума для решетки  (d  sin
 =  φ
=  kλ,
получаем:
откуда
d
cos
  
,

kd

d

d

d

k
cos

d
;
Так как
d


k
sin
, то

d

d
tg


 и
D
 

Ftg

.
Подставляя   числовые   значения,   получаем  D*   =   57,8   •   105.   Это   число
показывает,   во   сколько   раз   изменился   бы   в   данной   установке  (с   данной
линзой)   тангенс   угла   отклонения   (угла   дифрагирования),  если   бы   длина
волны изменилась на 1 м.
4. На шпиле высотного здания укреплены одна под другой две
красные лампочки (λ = 640 нм).  Расстояние между лампочками
l = 20 см. Здание рассматривают ночью в телескоп с  расстояния
L = 15 км. Определите наименьший диаметр объектива телескопа,
при котором можно видеть раздельные дифракционные изображения
лампочек.
Р е ш е н и е
Угловое расстояние между двумя точками, разрешаемыми телескопом,
 
1, 22

D
.
  — это угол между двумя лампочками, видимыми с расстояния в 15
км, т. е.
 
l
L
Следовательно,   l
L
=1,22

  , откуда  D = 1, 22L
l
D
Вычисляя, получаем D = 0,06 м.
5. Диаметр зрачка человеческого глаза при средней   яркости
рассматриваемого предмета D = 3 мм. Определите: а) минимальное
угловое расстояние между отдельными точками рассматриваемого
предмета; б) минимальное расстояние между этими точками,
рассматриваемыми с расстояния наилучшего зрения нормального глаза
(L = 25 см).
Р е ш е н и е
Глаз человека наиболее чувствителен к свету, длина волны которого X = 55 • 108 м. При решении задачи используем это значение длины волны.
Угловое расстояние между двумя точками, находящимися на
расстоянии l друг от друга,
 
l
L
Разрешающая способность человеческого глаза определяется выражением

1



A
R
0,61
Следовательно,

 
0,61
2D
а)

 
560 10


7
ðàä

34"
;
б) из равенства
 
l
L
 — находим:
 
l L

l
0,042
ì ì
Задачи для самостоятельного решения
4.1. Расстояние от экрана с отверстием до точки наблюдения 1 м.
Экран    освещают    монохроматическим   светом   с   длиной  волны
λ = 5 • 107 м. Вычислите радиус пятой зоны Френеля, если:  а) источник
света   точечный   и   расстояние между   ним   и экраном
а = 0,5 м; б) волновой фронт, падающий на экран,  плоский, падение света
нормальное.
Ответ



15,28 10
9,55 10
; )
м б r
5
)
а r
5
.
м



4
4
4.2. Экран находится на расстоянии L = 40 м от точечного мо
нохроматического источника света (λ = 5 • 104 мм). На расстоянии
а = 20 м от источника света помещен экран с ирисовой диафрагмой.
При  каком радиусе отверстия диафрагмы центр дифракционного
изображения отверстия будет:  а) наиболее темным; б) наиболее
светлым?
 Ответ
)
а r
мм б r
; )
2,24
3,16
.
мм


4.3. Точечный источник света (λ = 550 нм) находится на расстоянии L = 11 м
от экрана. Между источником света и экраном на рас
стоянии b = 5 м от экрана помещена ширма с круглым отверстием,
диаметр которого d = 4,2 мм. Как изменится освещенность в точке,
находящейся в центре дифракционной картины, если ширму убрать?
Ответ Освещенность уменьшится.
4.4. На щель нормально падает параллельный пучок монохроматического
света. Длина волны падающего света укладывается в ширине щели 8 раз. Какова ширина нулевого максимума в дифракционной
картине, проецируемой линзой на экран, отстоящий от
линзы на расстоянии l= 1 м?
 Ответ
xммV
0,252
.
4.5. На непрозрачную пластинку с узкой щелью нормально па
дает монохроматический свет. Угол отклонения лучей, соответствующий
второй светлой дифракционной полосе, равен  1°. Скольким
длинам волн падающего света равна ширина щели?
Ответ  143 .
4.6. На расстоянии 2 м от точечного монохроматического источника света
(λ = 5 • 107 м) находится экран. Посредине между источником и экраном
расположена непрозрачная ширма с отверстием
радиусом 1 мм. Ширму перемещают к экрану на расстояние 0,75 м.
Сколько раз при ее перемещении будет наблюдаться темное пятно
в центре дифракционной картины на экране?
 Ответ 2 раза.
4.7. Каково наибольшее значение числа k (номер дифракционного
максимума) для желтой линии натрия (λ = 589 нм) при нормальном падении
лучей на щель шириной 2 мкм? Сколько всего наблюдается максимумов?
Ответ
k 
5.
4.8. На решетку с периодом 6 • 105 м нормально падает моно
хроматический свет. Разность углов дифрагирования для максиму
мов второго и первого порядков равна 4°36'. Определите длину световой
волны.
Ответ
4,725 10

.м




7
Р е ш е н и е .    Для максимума второго порядка
sin
 для  максимума
 
2
;
d
2
первого порядка
sin
 
.
d
1
   
2
2
,sin


1

sin


 
1



d
cos
  
1
sin cos



2
.
d

cos

1

1



d

2
2
d
,



2 cos

sin

1


2
2
d
.



d
 2

2 cos

2

sin
.


1
4.9.Длина волны монохроматического света λ = 590 нм. Определите
наибольший порядок максимума, который можно получить с помощью решетки, имеющей 500 штрихов на миллиметр, если:
а) свет падает на решетку нормально; б) свет падает на решетку
под углом 30°.
Ответ  a) k = 3; 6) k = 5.
4.10.На дифракционную решетку, имеющую 500 штрихов на
1 мм, нормально падает белый свет. Непосредственно за решеткой
помещена линза с фокусным расстоянием 2 м, проецирующая спектры  на
экран. Диапазон длин волн видимого спектра λ ф= 400 нм,
λk = 700 нм.
а) Могут ли перекрываться спектры первого и второго порядка?
б) Во сколько раз спектр второго порядка на экране длиннее
спектра   первого  порядка?
в) Какова разность углов отклонения конца первого и начала
второго спектров?
Ответ а) Спектры не перекрываются;
4.11. На   дифракционную   решетку,   имеющую   200  штрихов
на 1 мм, нормально падает свет от разрядной трубки с водородом.
Под каким   наименьшим   углом    дифракции    максимумы    линий
λ1 = 410,2 нм и λ 2 = 656,3 нм совпадают?

3,375; )3 10 .

б
)
o
в
l
2
l
1
Ответ Фмин=12°40'.
4.12. Ширина решетки l = 15 мм, период решетки d= 5 мкм.
В спектре какого наименьшего порядка получаются  раздельные
изображения двух спектральных линий с разностью длин   волн
2*1010м, если линии принадлежат диапазону крайней красной части видимого
спектра (780 нм ÷ 700 нм)?
Ответ Линии разрешаются в спектре второго порядка.
4.13. На щель шириной 10 мкм нормально падает монохроматический свет
с длиной волны λ = 6 • 107 м. Определите значения
интенсивностей первого, второго и третьего максимумов, приняв
интенсивность  нулевого максимума за единицу.
Ответ
I

1

4

2
9
,
I

2

4

2
25
,
I

3

4

2
49
.
4.14. Дифракционная решетка, имеющая 4000 штрихов на 1 см,
используется   в  спектрографе.   Вычислите  линейную   дисперсию
спектрографа при объективе с фокусным расстоянием 1 м в спектре
третьего порядка для длины волны 5 • 107 м.
Ответ D = 1,5 мм/нм. 4.15. Диаметр зеркала телескопа равен D = 2,6 м. Какой должна быть
минимальная длина l отрезка на Луне, чтобы его изображение
можно было бы отличить от изображения точки?
 Ответ
98 .
lм

Р е ш е н и е .
V
1,22
.
 Принимаем


55 10 м

8

 (к этой длине волны

D
наиболее чувствителен глаз человека);
4.16. Диаметр Марса D = 3400 км. Минимальное расстояние
1,22

.

V

l
L

D
между Землей и Марсом L = 78 10е км. Может ли человек с нормальным
зрением видеть Марс в виде диска? Каким должно быть
минимальное угловое увеличение телескопа, чтобы   изображение
Марса можно было отличить от изображения звезды?
Ответ Нет.  Угловое увеличение телескопа   должно быть не менее пяти
кратного.
a lсм б l
)
3,35 10



5
; )


2,2 10
см

5
.
4.17. Угол раскрытия объектива (угол, под которым падают лучи
от объекта   на   объектив)   микроскопа   L 2и =
а) наименьшее расстояние между двумя точками объекта, рассматриваемого в
микроскоп; б) наименьшее расстояние между двумя  точками объекта, если
пространство   между   объектом   и   объективом  заполнить   иммерсионной
жидкостью с показателем преломления п = 1,515 (кедровое масло).
Ответ d = 0,281   нм
.   Определите:

2
4.18.  Монохроматическое  рентгеновское  излучение длиной  волны  λ  =
0,0712   нм   отражается   от   грани   кристалла   поваренной  соли  NaCl.
Дифракционный   максимум   первого   порядка   наблюдается   при   угле
скольжения   7°18'.   Определите   расстояние   между   слоями   кристаллической
решетки NaCl (атомными плоскостями).
Ответ d = 0,281   нм.
§ 6. ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА, ФОРМУЛЫ ФРЕНЕЛЯ
1. Закон Малюса:
I

2
I
0 cos
a
,
где / — интенсивность света, прошедшего через анализатор и поляризатор; /0 — интенсивность   света,   вышедшего   из   поляризатора;  а  —   угол   между
главными   плоскостями   анализатора   и   поляризатора   (отражение   от
анализатора не учитывается).
2. Закон Брюстера:
tga


2
1

n
2
n
1
;
луч перпендикулярен преломленному;
где a — угол падения светового луча на диэлектрик, при котором отраженный

2
  — относительная диэлектрическая
1
n
2
n
1
проницаемость диэлектрика, на границе которого происходит отражение;
— относительный    показатель преломления диэлектрика.
3. Формулы Френеля при отражении света от диэлектрика:

E

P
E
(
)
E
(
0
)
E
P


a y
sin(

sin(
a y

tg a y
)

)
tg a y
(
(
)
)
.
Здесь   E   —   составляющая   напряженности   электрического   поля  в
отраженном   свете,   перпендикулярная   плоскости   падения;
0E    —
составляющая   напряженности   электрического   поля   в   падающем  свете,
0E P)   —составляющие
перпендикулярная   плоскости   падения;
напряженности E, лежащие в плоскости падения;
угол падения света;
λ — угол преломления.
  EP  и   (
 — α

Разность   фаз   между   обыкновенным   и   необыкновенным   лучами,
выходящими   из   кристалла,   если   направление   падающего  пучка
перпендикулярно оси кристалла:


2
где  λ  —   длина   волны   в   вакууме;  п0  и  пе  —   соответственно   показатели
преломления   обыкновенного   и   необыкновенного   лучей;
 h  —  толщина
кристалла.
0(
h n
)e
n
  
n
k E
2
,
5. Угол поворота плоскости поляризации света в оптически активных
кристаллах
al
,
где а — удельное вращение, зависящее от природы вещества, температуры и
длины волны света в вакууме; l —путь света в кристалле.
6. Угол  поворота  плоскости  поляризации  света в   растворах

aCl
где  а  —   удельное   вращение,   зависящее   от   природы   оптически   активного
вещества   и   растворителя;  l—толщина   слоя   раствора;   С   —  концентрация
оптически   активного   вещества.
7. Разность   показателей   преломления   анизотропной   жидкости для
необыкновенного и обыкновенного лучей монохроматического света в
направлении, перпендикулярном вектору напряженности
uv
электрического поля  E
,
где λ — длина волны света в вакууме, k — постоянная Керра, зависящая от
природы вещества, длины волны и температуры.
8. Угол поворота плоскости поляризации при прохождении света через
оптически неактивное вещество, находящееся в однородном
магнитном поле индукции В,
VlB
,
где V — постоянная Верде, зависящая от природы вещества и длины волны
света; l — длина пути света в магнитном поле.
ВОПРОСЫ
Интенсивность естественного света l0. Каковы средние значения
интенсивности и амплитуд колебаний электрического вектора во взаимно
перпендикулярных плоскостях,   содержащих  луч.
Какова интенсивность отраженного луча, если на
изотропный
диэлектрик падает под углом Брюстера   луч
плоско поляризованного
света   с электрическим   вектором: а) перпендикулярным плоскости падения;
б) лежащим в плоскости падения?
На рисунке 5.1 представлены
графики, выражающие зависимости
отношений потоков энергий в отраженной и падающей волнах от угла:
/ — свет поляризован в плоскости
падения; // — свет поляризован в
плоскости, перпендикулярной плоскости   падения. Как, пользуясь таким графиком, определить угол Брюстера? Как изменится
график при отражении света от среды с большим показателем преломления?
На пути пучка естественного света стоит поляризатор. Как
будет меняться интенсивность света, падающего на экран, при вращении
поляризатора вокруг направления луча? Как будет меняться интенсивность,
если перед экраном поставить анализатор и его
вращать вокруг луча, оставляя поляризатор неподвижным?
Как отличить естественный свет от света, поляризованного
по кругу, или от смеси естественного света с кругло поляризованным?
Как поляризован   свет,    падающий   на   анализатор,   если
при   любом положении   анализатора поле    зрения    оказывается
просветленным?
Каким образом можно   превратить  плоско поляризованный
свет в поляризованный по  кругу и наоборот?
8. В   некоторых    установках, предназначенных для   анализа
поляризованного света, пучок света пропускают через равномерно вра
щающийся  николь,   а затем направляют на фотоэлемент.   На какую
частоту должен быть рассчитан усилитель фототока, если ни
коль вращается с угловой скоростью  ?ω
9. Тонкая  двояко преломляющая   пластинка  помещена между
двумя призмами Николя. Почему при рассматривании пластинки
через   никольанализатор   ее   поверхность   кажется   окрашенной?
При каком положении анализатора относительно кристаллической
пластинки цветное окрашивание не наблюдается?
На рисунке 5.2 изображена установка, где S — источник
монохроматического  света;   N1   и   N2 — николи;   К — пластинка
одноосного кристалла. Что будет наблюдаться на экране Э при вращении
кристалла вокруг луча,  если оптическая ось кристалла:
а) перпендикулярна направлению распространения света; б) совпадает с
направлением распространения света?
Почему не наблюдается  интерференция лучей, вышедших
из пластинки двояко преломляющего кристалла, настолько тонкой,
что она не дает заметного разделения лучей? Что следует сделать
для   наблюдения   интерференции?
На рисунке 5.3 представлена в виде полярной диаграммы
зависимость мощности Р потока поляризованного света, прошедшего
сквозь призму Николя, от угла
 между направлением   короткой
α   диагонали и плоскостью, в которой происходят колебания электрического
вектора  Ео  в   свете,   падающем   на   призму.   Какая   существует
аналитическая зависимость между мощностью  Ро  поляризованного потока,
падающего на призму, и мощностью Р потока, прошедшего призму? Какова
амплитуда электрического вектора Е, вышедшего из призмы, если а = 60°?
Изобразите полярную диаграмму, показывающую такую же зависимость для
света, частично поляризованного. Как, пользуясь аналогичной диаграммой
для   эллиптически   поляризованного   света,   определить   направление   и
отношение полуосей эллипса?
Какими способами можно получить из оптически изотропного вещества
анизотропное?
Предположим, что зонная пластинка сделана из поляроида.
Во всех четных зонах поляроид имеет одну ориентацию, во всех
нечетных ориентация  перпендикулярна четным зонам.  Сравните
действие такой пластинки с обычной зонной пластинкой.
Плосковыпуклая стеклянная линза с малой кривизной сферической
поверхности лежит на плоской   металлической   поверхности. Будут ли
наблюдаться кольца Ньютона, если на линзу под
углом Брюстера падает свет, поляризованный: а) в плоскости падения;   б)
перпендикулярно  плоскости   падения?
В  оптических  приборах  поверхности  оптических деталей
покрывают тонкой пленкой, показатель преломления которой меньше
показателя преломления стекла. Для чего это делают?
Ячейка Керра в сочетании со скрещенными поляризатором
и анализатором используется в скоростной фотосъемке в качестве
быстродействующего светового затвора. В этом случае на конденсатор
ячейки Керра подаются периодически повторяющиеся прямо
угольные импульсы напряжения (рис. 5.4). Длительность каждого
импульса τ0 = 108 с. Объясните действие такого затвора. Какова
продолжительность экспозиции при съемке? Какова частота кино
съемки?
Примеры решения  задач
1. Под каким углом должен падать пучок света из воздуха на
поверхность жидкости, чтобы при отражении от дна стеклянного сосуда
(пх = 1,5), наполненного водой (n2 = 1,33), свет был полностью
поляризован?
Р е ш е н и е
На   границу   воздух — водападает   естественный    свет   (1) под углом
. Здесь он частич
ноотражается    (2),    частично
β Рис. 5.4
преломляется (3) (рис. 5.5). Пучки лучей 2 и 3 света частично
поляризованы: в пучке 2 электрический вектор преимущественно лежит в
плоскости, перпендикулярной плоскости падения, в пучке 3 электрический
вектор лежит преимущественно в плоскости падения. По закону
преломления
.                                           (1)
На  границу    вода — стекло  падает частично  поляризованный свет
под углом а. Здесь он частично отражается (4), частично  преломляется
(5).

sin
sin
n
1
a
Пучок лучей   4 должен   быть   полностью     поляризован     электрический
вектор  лежит    в   плоскости,   перпендикулярной   плоскости   падения),
при этом угол между пучками света 4 и 5 равен
поляризации.
; а — угол полной

2
По условию Брюстера, тангенс угла полной поляризации равен
показателю преломления второй среды относительно первой:
n
1
n
2
tga 
tgα= 1,125,
:β
.
o
Из уравнения (1) находим


o
1,33

sin
sin 48 24' 0,994

84

α
 = 48°24'.
2. Для сравнения яркости освещения двух поверхностей одну  из них
рассматривают   непосредственно,   а   вторую   через   два   николя.
 Каково
отношение   яркостей,   если   освещение   обеих   поверхностей  кажется
одинаковым  при угле между николями 70°? Каждый николь поглощает
10% проходящей через него энергии.
Р е ш е н и е АО — обыкновенная волна интенсивностью
I
0
2

Естественный свет интенсивностью /0 при переходе через поверхность призмы
Николя разделяется на две световые волны (рис. 5.6):  в направлении  АН
распространяется необыкновенная волна интенсивностью
 и в направлении
I
0
2
В месте склейки канадским бальзамом обыкновенная волна претерпевает
полное   отражение,   а   необыкновенная   проходит,   претерпев   небольшое
преломление.
Через

первую
призму

проходят
ля
лежащие
причем
поглощается николем.
в
0,1

только
плоскости
проходящей

  Нико
колебания,
чертежа,
энергии

Интенсивность   света,   прошедшего   через
первый   николь,
I
1

0,5 0,9

 .
I
0
По закону Малюса интенсивность света, прошедшего через второй николь
(анализатор),   пропорциональна   интенсивности   линейно   поляризованного
света, падающего на него, и квадрату косинуса  угла между направлениями
колебаний, падающих и пропускаемых анализатором.
Учитывая   поглощение   света   вторым   николем,   получаем   интенсивность
прошедшего света:

I
0,9 cos


a
2
I
1
2
0,5 0,81

2
I
0
2
cos
a
При прохождении через два николя интенсивность света уменьшилась в
I
I
= 21  раз.  Следовательно, яркость  поверхности, наблюдаемой   через   два
николя, в 21  раз больше.
0
2
3. Частично поляризованный свет проходит через николь. При  повороте
николя   на   60°   от   положения,   соответствующего   максимальной   яркости,
яркость   пучка   уменьшается   в   2   раза.   Пренебрегая  поглощением   света   в
николе,   определите:   а)   отношение   интенсивностей   естественного   и
плоскополяризованного света; б) степень поляризации пучка.
Р е ш е н и е
а)   При   первом   положении   николя,   соответствующем   максимальной
яркости,   через   николь   проходит   весь   ранее   поляризованный   свет
интенсивностью   /п  и   поляризованный   свет,   интенсивность   которого
составляет половину интенсивности естественного света.
Интенсивность прошедшего света равна:
/' = /п + 0,5/е.
                                    (1)
При втором положении николя прошедший свет имеет интенсивность: I
'

I

2
cos 60
o

0,5 e
I

1
4
I


1
2
I
e
.
                                     (2)
По условию задачи /' = 2/".
Используя соотношения (1) и (2), получаем:

0,5
2(


I

I
e
1
4
I

0,5 )
e
I
откуда,
 
I
I
e  Следовательно,   отношение   интенсивностей   естественного   и плоско
поляризованного света равно единице.
б)   Степень   поляризации   определяется   отношением   интенсивности
поляризованного света к общей интенсивности света, или отношением:
 
I
I
s
s


I
I
p
p
(3)
где Is и Iр — максимальная и минимальная интенсивности в двух взаимно
перпендикулярных направлениях.
Максимальная интенсивность света,   пропускаемого   николем,
I

I
'

I


0,5
I
s
                                                 (4)
При этом положении плоскости поляризации николя и падающего света
параллельны. При повороте николя на 90° свет, ранее  поляризованный, не
пройдет, а на экран будет падать свет с минимальной интенсивностью:
e

3
2
I

I
p

1
2
I
e

1
2
I
(5)
Используя определение степени поляризации (3) и уравнения  (4) и (5),
получаем:
∆= 0,5.
4. Сложный объектив состоит из двух линз, одна из которых сделана из
стекла с коэффициентом преломления  n1  = 1,52, а другая — из стекла с
коэффициентом   преломления  п2  =   1,6.   Во   сколько   раз   уменьшатся   в
объективе   потери   света   изза   отражений,  если склеить линзы канадским
бальзамом с коэффициентом преломления пъ — 1,6? Определите потери света
в склеенном объективе. Углы падения света на поверхности линз считать
малыми.
Р е ш е н и е
В случае нормального падения света на границу двух сред с относительным
показателем преломления п отношение потоков энергии W и W в отраженной
и   падающей   волне   для   света,   поляризованного   как   параллельно,   так   и
перпендикулярно плоскости падения, одно и то же и равно:
                                        (1)
Учитывая, что по условию задачи угол падения на отражающую поверхность
2

n
n

 .
1)
1)
(
(
'
W
W
2
мал, получим, что от первой отражающей поверхности отразится энергия
I
1

I

0 1

I
0
(
(
n
1
n
1
2
2

1)

1)

I
0
2
(0,52)
2
(1,52)

0,043
I
0
(I0 — интенсивность света, падающего на объектив). Через   первую   поверхность   пройдет   энергия  /2  =  0,957  /0.   Эта  энергия
падает на вторую границу раздела двух сред. Энергия, отражающаяся от этой
границы,
I
3
0,957
I

0 2

0,957
I
(
0 (
2

1)
2

1)
n
3
n
1
n
3
n
1

0
т. е. на границе стекло — канадский бальзам отражения практически нет.
Следовательно, склеивание канадским бальзамом ведет к уменьшению числа
отражающих   поверхностей   в   2   раза   и   уменьшению   потерь   в   результате
отражения тоже в 2 раза.
Энергия /2  падает на границу стекло — воздух и частично отражается.
Отраженная энергия
I
4

I
(
2 (
n
2
n
2
2
2

1)

1)

0,053
Через объектив пройдет свет интенсивностью
I
5

0,947
I
2

0,947 0,957


I
0

0,906
I
.
0
Потери энергии при отражении во всем объективе составляют  0,094 /0
или 9,4% падающей энергии.
Задачи для самостоятельного решения
5.1.Определите угол полной поляризации при отражении света:
а) от стекла; б) от границы лед — вода.
Ответ

45 25 .
56 40 ;
0,821

dнм

2

.
1

o

o
5.2.Под каким углом к горизонту должно находиться Солнце,
чтобы его лучи, отраженные от поверхности озера, были бы наиболее полно
поляризованы?
o
 Ответ
37 .

5.3.Определите  коэффициент   преломления:   а)   непрозрачной
эмали, для которой угол полной поляризации при отражении оказался
равным 58°; б) прозрачного вещества, для которого предельный угол
полного отражения равен углу полной поляризации.
 Ответ
1,6; )
б n
1,27.
)
а n


5.4.Луч света проходит через жидкость, налитую в стеклянный сосуд, и
отражается от дна. Отраженный луч полностью поляризован при падении его
на дно сосуда под углом 42°37’ Определите: а) показатель преломления
жидкости; б) угол, под которым дол жен падать на дно сосуда луч света, идущий в этой жидкости, чтобы
наступило полное отражение.
Ответ
1,63; )
б 
o
67 .
)
а n


5.5.Определите угол полной поляризации для луча, отраженного от
поверхности черного стекла (п = 1,65). Под каким углом к
отраженному лучу нужно поставить второе такое же стекло (диэлектрическое
зеркало), чтобы уменьшить интенсивность луча еще в
2 раза?
 Ответ

55 06 .

58 43 ;




o
o
5.6. Каким должен быть преломляющий угол у стеклянной приз
мы, чтобы углы входа и выхода луча из призмы были углами полной
поляризации? Чему равен при таком преломляющем угле
угол наименьшего отклонения?
Ответ

66 40 ;

46 40 .
мин



o
o
5.7.   Естественный   луч   1   света   падает   на
стеклянную
  Угол   падения   равен   углу
  При   таком   угле
падения на стекло интенсивность отраженного луча составляет около
0,1
от
интенсивности падающего естественного
плоскопараллельную
пластинку.
полной   поляризации.

света. Определите интенсивность естественного и поляризованного света в
лучах 1,2, 3, 4 (рис. 5.7), приняв интенсивность падающего луча за единицу.
Поглощением света в пластинке можно пренебречь.

Ответ

0,08 ;
n
0,1 ;
n

0,1
0,64
0,82
0,18
0,9;
0,8






I
1
I
2
I
3
I
4

e

n


e







n
(индекс е относится к интенсивности естественного света,
индекс п — к интенсивности линейнополяризованного света).
У к а з а н и е .      Коэффициент   отражения   энергии
I
  

I
0
I
P
.
Для нахождения интенсивности колебаний в плоскости падения  IPи пер
пендикулярных плоскости падения I  следует воспользоваться формулами
Френеля.
5.8. Естественный свет падает на стекло (п = 1,54) под углом
полной   поляризации.   Пренебрегая   потерями  света,   определите:
а) коэффициент отражения;  б) степень поляризации отраженных
лучей и лучей, прошедших в стекло.
Ответ
a kб
)
0,083; )0,09;1. 5.9. Пользуясь формулами Френеля, определите коэффициент
отражения света при нормальном падении света на границу раздела
вакуум — диэлектрик. Выразите этот коэффициент через показатель
преломления диэлектрика.
Ответ

 
2
.
n
n
21
21

1

1
5.10. Естественный свет проходит сквозь плоскопараллельную
стеклянную пластинку (п = 1,5), падая на нее под очень малым
углом.   Пренебрегая   потерями   света,   определите   интенсивность
света, вышедшего из пластинки.
I

Ответ
где, I 0 — интенсивность света, падающего на стеклянную пластинку.
0,81 .
e
0,92
I I
0


У к а з а н и е .     Воспользуйтесь результатом решения задачи 5.9.
5.11.В некотором оптическом приборе естественный свет про
ходит последовательно через две линзы, сделанные из стекла с показателем
преломления п1 = 1,6. Считая углы падения света на
линзы малыми, определите долю света, прошедшего через прибор.
Во сколько раз изменятся потери энергии изза отражения при на
несении на поверхность линз прозрачного слоя из материала, имеющего
показатель преломления п2 = 1,3?
I

Ответ
У к а з а н и е .  Следует воспользоваться результатом решения задачи 5.9,
Уменьшатся в 2,35 раза.
0,8 .
0
I
учтя при этом, что свет проходит через 4 отражающие поверхности.
5.12.
 При падении света на границу воздух — стекло (п = 1,6)
под углом 58° отражается 8,3% падающей энергии. Какова степень
поляризации отраженного и прошедшего в стекло света?
 Ответ 1; 0,09.
5.13. Главные плоскости двух призм Николя образуют между
собой угол в 30°. Как изменится интенсивность прошедшего света,
если главные плоскости поставить под углом 45°? Чему равен угол
между главными плоскостями двух николей, если после прохождения через
них света его интенсивность уменьшилась в 4 раза?
Ответ Уменьшится в  1,5 раза,
o.
45
   5.14. Поглощение света в николе таково, что наибольшая интенсивность


 поляризованного света,  прошедшего сквозь николь,
составляет 90% интенсивности поляризованного света, падающего на
него. Во сколько раз уменьшится интенсивность, если свет пройдет
последовательно через три николя, расположенные так, что плоскости
поляризации первого и третьего совпадают,  а плоскость
поляризации второго образует с этими плоскостями угол 63°
Ответ n=65.
5.15.  Поляроид пропускает частично поляризованный свет. Какова степень
поляризации, если известно, что отношение минимальной и максимальной
амплитуд колебаний в двух взаимно перпендикулярных направлениях равно
0,2?
Ответ 0,92.
5.16. На пути светового пучка стоят два поляроида с параллельными
плоскостями поляризации. Во сколько раз изменится интенсивность света,
прошедшего через поляроиды, при повороте одного
из них на 90°, если каждый поляроид пропускает свет со степенью
поляризации 0,9?
I
P
I 
19.
Ответ
У к а з а н и е .  По степени поляризации нужно найти отношение ин

тенсивности колебаний в одном из главных направлений поляризатора к ин
тенсивности колебаний в другом. Это отношение является характеристикой
поляроида.
5.17.  Частично       поляризованный       пучок     света       проходит   через
николь.   Интенсивность   пучка   увеличивается   вчетверо,   если   повернуть
николь   на   угол   60°   от   положения,   соответствующего   минимальной
интенсивности. Какова степень поляризации пучка?
 Ответ   0,86.
5.18.
  Пучок   естественного   света,   длина   волны   которого   в   пусто
те   589   нм,   падает   нормально   на   пластинку   исландского   шпата,   вы
резанную   параллельно   оптической   оси.   Толщина   пластинки  h  =
=  0,03   мм;    п0  =   1,658;    пе  =   1,486.   Определите   длину   волны       в
кристалле   обыкновенного   и   необыкновенного   лучей,   разность   хода
лучей,   прошедших   через   пластинку.   Какой   наименьшей   толщины
нужно   сделать   пластинку,   чтобы   для   этого   света   она   была   «четверть
волновой»?
V
l


h n
0


nм
e
Ответ


0

3,55 10


7
,м

е

3,95 10


7
,
м

10
5,16 10

; h

h
4

n
0


nм
e

856 10


9
.
  5.19.
  волн
  в   одноосном   положительном
  Постройте,   пользуясь   принципом   Гюйгенса,   направление
преломленных
  кристалле   для
следующих   случаев:   а)   оптическая   ось   перпендикулярна   к   плоскости
падения и параллельна поверхности кристалла; б) оптическая  ось лежит в
плоскости
кристалла;
в) оптическая ось лежит в плоскости падения под углом 45° к поверхности
кристалла.
поверхности
параллельно

падения

5.20.  Пластинка кварца толщиной h = 1 мм, вырезанная пер
пендикулярно к оптической оси и помещенная между двумя параллельными
николями,   поворачивает   плоскость   поляризации   на
угол
же длины волны не будет выходить из второго николя?
 = 20°. При какой толщине кварцевой пластинки свет этой
α
Ответ

h

hмм

2

4,5
.
5.21.  Какой толщины пластинку кварца нужно поместить между
скрещенными  николями,  чтобы поле зрения стало максимально
светлым? Как в этой пластинке должна проходить оптическая ось?
Опыт производится в монохроматическом свете (  = λ 500 нм). Удельное
вращение кварца для этой длины волны 29,°7 на 1 мм.
Ответ
hмм
3,02
;
оптическая ось кристалла совпадает с направлением
распространения   света.
5.22. Какова концентрация сахара в растворе, если угол поворота
плоскости поляризации желтого света при прохождении его через трубку с
раствором сахара равен 20°? Длина трубки 15 см.
Удельное вращение сахара равно 66,°5 дм1   при  концентрации 1 г/см3.
Ответ
с

0,2 /
3
г см
.

5.23.  На рисунке 5.8 показана схема демонстрационного опыта
русского физика Н. А. Умова. Свет от монохроматического источника S
проходит сквозь поляризатор Р, а затем сквозь слегка замутненный раствор
сахара в стеклянном сосуде В. В сосуде видна винтообразно расположенная
темная полоса.
             Какова длина шага темного винта в растворе при следующих
условиях: раствор содержит р = 650 г сахара на q = 1 л воды,
плотность раствора D = 1,32 г/см3, освещение раствора производится
светом с длиной волны λ = 521 нм, для которого постоянная вращения равна а = 87° дм1.
Как изменится наблюдаемая картина, если пользоваться источником
белого света?



p q
Ответ

pD
цветную окраску.
Винтообразные полосы будут иметь

lсм
42
.


Рис. 5.8
5.24. Монохроматический свет (  λ = 404,7 нм)   проходит сквозь поляроид Р
(рис. 5.9)  и падает на кварцевую пластинку K, имеющую форму клина,   угол
между гранями   которого  равен
тической оси в
кварце   показано   штриховкой.   Свет   проходит   в   кварце   пути   порядка
нескольких   миллиметров.  Постоянная   вращения   для   указанной   длины
волны равна а = 48°9' мм1.  Почему наблюдатель,   смотрящий   через поля
роид А, видит полосы? Каково расстояние между ними?
 = 7°48’  Направление оп
θ
h

Ответ

2,7
.
cм


2
t
2
5.25. Параллелепипед,   вырезанный   из   плексигласа  с  линей
ными размерами а = 2b = 3d = 0,5 см, сжимается силой F в на
правлении оси Z (рис. 5.10) и освещается плоскополяризованным
монохроматическим светом (λ = 500 нм) в направлении оси X. Пло
скость колебаний падающего света составляет с осью анизотропии
угол 45°. Коэффициент фотоупругости плексигласа С = 2* 1011 м2/Н.
При какой силе давления F свет выйдет из плексигласа поляризо
ванным по кругу? Как в этом случае при поворотах анализатора А
относительно луча меняется освещенность экрана? Как будет меняться
освещенность экрана при поворотах анализатора, если перед
анализатором   поставить   «четвертьволновую»   пластинку?
Ответ

FН
4
с

41 .
Освещенность   экрана не   меняется.   Освещенность
экрана меняется: за один оборот она становится два раза максимальной.
5.26. Между скрещенными николями помещена пластинка кварца,
вырезанная параллельно оптической оси. Оптическая ось пластинки
составляет угол 45° с главными направлениями николей.
Рассчитайте минимальную толщину пластинки, при которой одна
линия водорода (λ1 = 656,3 нм) будет сильно ослаблена, а другая
(λ 2 = 410,2   нм)   будет  обладать  максимальной   интенсивностью. 
hм
.


2
0,58 .

18
V
n
Разность показателей преломления для обыкновенного и необыкновенного
лучей этих длин волн в кварце ∆n = 0,009.
Ответ
У к а з а н и е :   Интенсивность наименьшая, если колебания, падающие на
анализатор,   составляют с  главной  плоскостью анализатора   угол
Это будет, если из пластинки выходят колебания в фазе, т. е. разность
фаз.   Дф   =  2k  (k  —   целое   число).   Аналогично   рассуждая,   нужно
найти   разность  фаз   колебаний,   вышедших   из   пластинки.   При
наименьшей толщине пластинки число k наименьшее.
.
2
   5.27. В установке для наблюдения эффекта Керра плоский конденсатор с
длиной пластин l = 10 см заполнен нитробензолом и
помещен между поляроидами. Через систему проходит монохроматический
свет. Вектор напряженности электрического поля составляет с главным
направлением поляризатора угол  = 45°. Опре
для нитробензола, если наименьшее значение напряженности
электрического поля, при котором положение анализатора не влияет на
поле зрения, равно Е1 = 106 В/м.
Какова наименьшая напряженность поля конденсатора, если при
скрещенных поляризаторе и анализаторе поле зрения имеет наименьшую
освещенность? Изменится ли освещенность поля зрения,
если, не изменяя напряженности, заменить светофильтр?
делите постоянную Керра
α
Ответ


1
2
4
lE
1

2,5 10


12
м В Е
/
,
2

2
1
lk
 
2 10
4
,
В м
/
5.28. Ячейка Керра с расстоянием между электродами d = 1 мм
заполнена нитробензолом и помещена между двумя скрещенными
николями. Направление электрического поля в конденсаторе образует с
главными направлениями николей угол а = 45°. Через систему проходит монохроматический свет с длиной волны, для которой постоянная Керра К
= 2,21012 м/В2. Определите длину пути
света в конденсаторе, если минимальное напряжение между пластинками
конденсатора, при которой интенсивность света, прошедшего
через  ячейку,   при   вращении   николяанализатора  не  меняется,
равно U = 1 кВ.
Ответ

lм
2
d
kU
4
2

0,13 .
5.29. Некоторое вещество  помещено  в  продольное магнитное
поле   соленоида,   расположенного   между   двумя   поляроидами.
Длина трубки с веществом l = 30 см. При противоположных  на
правлениях магнитного поля напряженностью Н = 56,5*103 А/м
углы  поворота  плоскости  поляризации  составляют φх = +5° 10'
И φ2 = —3°20'. Определите постоянную Верде для вещества в трубке. При
каком угле между поляроидами свет может проходить толь
ко в одном направлении, т. е. система служит оптическим вентилем?
Какова при этом минимальная напряженность магнитного поля?

4
угол между поляроидами равен
3,24 10

A
V

1
;


4
;
Ответ

4
lV
минH

 

1
2
lH
2

2,78 10
7

/
Aм
.

file_name: § 4. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА.doc

description:
Отсюда
2
r
12
r
2
43

intro:
Дифракция света
4. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
Дифракция Френеля
1. Площадь любой зоны Френеля, построенной на ограниченном сферическом фронте  волны   (дифракция   на   круглом  отверстии):
                                                 	                              (1)
где а — расстояние от источника света до фронта волны; b — рас¬стояние от вершины волнового фронта до точки наблюдения дифрак¬ционной картины (до экрана);  λ — длина волны, излучаемой источ¬ником света.

2. Радиус внешней границы k-ой зоны Френеля:
                                             					       (2)
3. При радиусе отверстия r0, много меньшем расстояний а и b, в нем строится k зон:
 	                                                (3)
Дифракция Фраунгофера (дифракция от щели в параллельных лучах)
1. Интенсивность света в точке, положение которой определя¬ется углом дифрагирования φ:Дифракция света

title: Дифракция света


extracted_text:
§ 6. СКОРОСТЬ СВЕТА. ДИСПЕРСИЯ СВЕТА.
ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
1.
Скорость света в изотропной непоглощающей среде:
c
c
 или
n

ε
где с — скорость света в вакууме (с = 3*108 м*с1);
 — относи
электрическая проницаемость среды; μ — относительная магнитная
проницаемость среды; п — показатель преломления вещества.
2. Фазовая скорость:

3.
u
 

T
Групповая скорость (скорость распространения энергии):
  

d
d
 (формула Рэлея).



2
тельная
В области нормальной дисперсии и < v
в области аномальной дисперсии и > v но всегда и <с.
4. Эффект Доплера
v
B
2
0

v
0


1
m

1

)c
теля и
 
υ
;  — относительная скорость  наблюда
v
где v0 — частота колебаний источника; v — частота, воспринимаемая

наблюдателем;
c
источника колебаний.

v
0(1
При малых
5. Зависимость показателя преломления от длины волны в области
нормальной дисперсии выражается формулой Коши:
 
n A 
где А, В, С, ... — постоянные величины, определяемые для каждого
вещества опытным путем; λо — длина волны в вакууме. Обычно в
формуле Коши ограничиваются двумя первыми членами.
6. Электронная   теория   дисперсии   дает   зависимость   показа
ur
теля преломления от частоты колебаний вектора  E
n
где ε0 — электрическая постоянная; N — концентрация электронов; т
N
  
2
0
 
1
 …
C
4

0

2
e
m

1
2
0
2
: ω
и е — соответственно заряд и масса электрона; ω0 — собственная
частота колебаний электронов среды;
излучения.
При ω
Область  частот ω
7. Масса частицы с нулевой массой покоя (фотона):
cm 
 ≈ ωо формула неприменима (область поглощения).
 → ωо — область аномальной дисперсии.
 — частота колеба
ний
E
2
E
c
где Е = hv (h — постоянная Планка; h = 6,62*1034 Дж*с).
Импульс этой частицы
p 
8. Закон сложения скоростей в специальной теории относительности:
u


'
u

'
1 u
2
c
где и'—относительная скорость; v — переносная скорость; и u—
абсолютная скорость.
ВОПРОСЫ
Какие методы определения скорости света вам известны?
Какие   экспериментальные   методы   позволяют   определить
величину показателей преломления различных газов и зависимость
показателя преломления данного газа от давления?
Распространение   какого   параметра   колебаний характеризуется фазовой
скоростью волны?
Какую величину называют групповой скоростью?
Объясните, почему все экспериментальные методы определения скорости
света дают значения групповой скорости.
Каким соотношением связаны групповая и фазовая скорости?
В каком случае групповая и фазовая скорости равны?
Какую величину принято называть средней дисперсией вещества в диапазоне
длин волн от λг до λ2?
Какую величину называют дисперсией вещества для данной длины волны?
10. Как   групповая   скорость связана с дисперсией вещества? И. Почему
аномальная   дисперсия наблюдается в области поглощения и вблизи от
нее?
Как   экспериментально   обнаруживаются области  аномальной дисперсии
среды?
Начертите примерный   график зависимости показателя преломления от
длины волны в области полосы поглощения. При  каких   условиях применимы формулы преобразования
Галилея и когда следует применять формулы преобразования специальной
теории относительности?
Как сказывается быстрое движение тела на плотности вещества этого тела?
Примеры решения задач
1. Установка для измерения скорости света, предложенная Фуко, состоит
из линзы (рис. 61), зеркала аа, вращающегося вокруг перпендикулярной
чертежу оси С, неподвижного зеркала А и источника света S, находящегося
в фокальной плоскости линзы. Какое значение скорости света получили,
π 1; расстояние
если зеркало аа вращалось с угловой скоростью
 с
между вращающимся и неподвижным зеркалами l = 4 м, фокусное
расстояние
 = 1600
ω Рис. 6.1
линзы F = 1  м   и    смещение    изображения    источника    света х = 0,28
мм?
Р е ш е н и е
Так как лучи после преломления в линзе и после отражения от
вращающегося зеркала идут параллельными пучками, то источник света S и
его изображение S' находятся на пересечении фокальной плоскости линзы и
оптических осей OS и OS'. Следовательно, угол поворота пучка лучей
L
x
при этом зеркало повернулось на угол

2
Такой поворот зеркала произошел за время t =


Значит, за это время свет прошел расстояние, равное 2l.
Скорость света

u
l
a

lL
x

4
l


4


l
2
t
2
 Вычисления дают и = 2,87*108 м/с.
a)
2. Найдите зависимость между групповой скоростью и и фазовой скоростью
v для следующих законов дисперсии:

bk
б)
;

c
в)
2

a
; 3
2

b

a

1
2

3
2
,
u

,



 


a
 
 



  
a
где    a, b, с — некоторые постоянные; λ, k,   ω — соответственно длина
волны, волновое число и циклическая частота.
Р е ш е н и е   Воспользуемся формулой
u
а)

б)
k
в)
 
2
u
3. Показатель преломления воздуха при нормальных условиях для желтой
линии натрия (λ = 5893*1010 м) п1 = 1,0002918. Определите показатель
преломления n2 воздуха при температуре 30° С и давлении 3*106 Па.

 
2
2
,
c
2


1
3

, 2
 
2 2

4
2


,

2
b




,



2






3
2

,
3
1
3







2
c
2

4
,
a
1
2
c
2

4

3
2


1
2
,
3
2
3
1
2
 
l
2
1 N
  
m
2
0
Р е ш е н и е
Области поглощения в спектрах азота кислорода и натрия не совпадают,
поэтому для  решения  задачи  используем  уравнение
n
Полагая, что концентрация электронов прямо пропорциональна
концентрации молекул или массе единицы объема вещества, а масса
пропорциональна плотности, можем записать:
N
1
N


1
2
(1)
2
0
2
Циклическая частота обращения электронов в атоме не зависит от
температуры вещества, так что ωо = const.
Отношение

1
   определим из системы уравнений Клапейрона —Менделеева
2

2

1,

1

RT p
2
для двух состояний газа:


p
1
откуда

 
1
2
p T
1 2
p T
2 1
RT
2 Уравнение (1) также используем для составления системы уравнений двух
состояний газа:
2
N e
2
n
1

1
m
0
 
1
 
1
N e
2

m
0
2
n
2
,
2

1
2

0

1
2

0
откуда
 

1
1
2
n
1
2
n
2
N
1
n
2


1

2

p T
1 2
p T
2 1
Разрешая  полученное уравнение относительно n2,   получаем:
n
2

(
2
n
1
p T
2 1

1)
p T
1 2

1
Вычисления дают: n2 = 1,00793.
Показатель преломления прозрачного вещества для небольшого интервала
длин волн, вдали от линий поглощения, связан с длиной волны
соотношением
n A 
B
2
 
Определите:   а)   дисперсию   вещества;   б)   фазовую   скорость; в)
групповую скорость.
Р е ш е н и е
а) Дисперсия
п от изменения длины волны λ:
d
Дифференцируя   (1),   получаем:
 показывает зависимость изменения показателя
η
dn
преломления
 

2
B
3

,

0
c
A
,
c
n
B
2




следовательно, дисперсия нормальная,
 б) Фазовая скорость света в веществе
  
2

c
2


A
в) Групповая скорость


u


5. С какой скоростью удаляется от Солнечной системы некоторая
туманность, если линия водорода λ = 434 нм в ее спектре смещена в сторону
 
 


2
 

c
2

B
(

2
cB
2


A
B
A
(
2

A


u
B
)
2
)
B
(

2
) длинных волн на 13 нм?
Р е ш е н и е
Смещение спектральной линии произошло вследствие эффекта Доплера
v

v
0


1
c


1
c
(1)
c


Так как
v
,c
v
 
0
(1) запишем в виде:


)
,(
  

c
  


c


c
c
 и,   упрощая   подкоренное   выражение,    соотношение
2

c
c




Разрешая последнее уравнение относительно v, получаем:

c

1 (

1 (
2

 


)

 
)
2
,
3 c
1
6. Ионизированный атом, вылетев из ускорителя со скоростью 0,89с
испустил фотон в направлении своего движения. Определите скорость
фотона относительно ускорителя.
Р е ш е н и е
Применим формулу релятивистского сложения скоростей
u


'
n

'
1 u
2
c
Фотон — квант света, его скорость с (скорость света), тогда
u

0,89
1

c c

0.89
c c
2
c
Скорость света в вакууме не зависит от скорости источника света и
одинакова во всех инерциальных системах отсчета (2й постулат
Эйнштейна).
Задачи для самостоятельного решения
6.1. При определении скорости света по способу Физо зеркало отстояло от
зубчатого колеса на расстоянии l = 8633 м. Колесо имело N = 720
зубцов и столько  же  промежутков.   Для


 
xм
наблюдателя   свет  исчезает  впервые  при v = 12,6  об/с.   Какое значение
скорости света было получено при этих условиях?
6.2. Каким должно быть смещение х изображения   источника
света в опыте Фуко (см. рис. 6.1), если расстояние между неподвижным и
вращающимся зеркалами  l = 10 м, зеркало   аа    делает
500 об/с, фокусное расстояние линзы F = 1,25 м? Путь между зеркалами
свет проходит в воде  (n=4/8) Скорость света   принять
равной 3108 м/с.
Ответ
69,8 10
6.3. Насыщающие пары бензола (С6Н6) для света, длина волны
которого λ = 5893*1010 м (желтая линия натрия), при температуре 40° С и
давлении 7,6 мм рт. ст. имеют показатель преломления
n1 =s 1,001812,   Чему  равен  показатель  преломления  этого  газа
при температуре 400° G и давлении 60,6 мм рт, ст?
Ответ
 п = 1,000684.

u

 

1
.
.

5

 
2
1

 
 
1
2

n

n
1

2

n
2


2


n
1
 
 
n
1
1
2
 

2
1



6.4. Показатель преломления некоторого прозрачного вещества при длине
волны света λ1 равен n1 а при длине волны λ2 равен
n2 (λ1 > λ2, п1 < n2). Определите отношение групповой и фазовой
скоростей   света   в   этом   веществе   для  света   с длиной  волны
Ответ
Р е ш е н и е .    Фазовая скорость
 Для определения п используем
.
c
n
n
2
V
n
n
1
V
  
1



2
,
откуда
понятие средней дисперсии в диапазоне
 
2 :
1


n   
1

1

2 .



n
Тогда


n
1

c
n
n
2
1
 
2
1


.

 
1
2


Так  как

d
  
,

d
 


c d
n d
,


 
c
2
n
dn

.

d
то

u


1
dn



n d
.

V
Далее,  n
V можно заменить конечными приращениями











 

1,56.

1

2

0,925 ,
2
u
0,952 ,
1
2
6.5. Показатель преломления сероуглерода для  света, длина
волны которого соответственно равна λ1 = 589  нм,   λ2 = 527 нм
и λ3 = 656 нм, имеет следующие значения: п1 = 1,629, п2 = 1,642,
n3 = 1,620.  Определите соотношение между средней фазовой   и
средней групповой скоростью в интервалах длин волн λ1 — λ3 и
λ1 — λ2. В каком из этих интервалов дисперсия больше?
Ответ  1
u
6.6. Коэффициент преломления  воды в  интервале длин волн
от 546 до 589 нм меняется от 1,33447 до 1,33300. Определите среднюю
фазовую и среднюю групповую скорости света для этого интервала
длин волн.
6.7. Вычислите  групповую скорость для  различных  законов
дисперсии,   если   фазовая    скорость:     a) vt = а\    б) v2 = b 
в) v3 = ck2, где a, b, с — некоторые постоянные; k — волновое
число.
Ответ   1
u
6.8. С какой скоростью по направлению к Земле должен лететь
космический корабль, чтобы луч лазера, направленный с Земли
на корабль (длина волны рубинового лазера λ0 = 694,3 нм), пока
зался наблюдателю, находящемуся на корабле, зеленым (λ= 555 нм)? Ответ
(аномальная
дисперсия).

3
3

2
1
2
u
2


1
,


,
u
3

c


2

1

1
d
0



0


2

57 10

3
/
.
км с

.
нм
 
2,11
V

,
нм
2
3,11
 При помощи приемника радиолокационной станции определяют
У к а з а н и е .    См. решение задачи 2 (§ 6).
6.9. Каково  доплеровское смещение  ∆λ, линии  водорода  Нз
(λ = 486,1  нм)   при наблюдении вдоль пучка водородных канало
вых лучей, имеющих среднюю скорость v = 1,3*108 см/с? Ответ
V

1
6.10.
скорость приближения самолета по частоте биений между
частотой сигнала передатчика и частотой отраженных от самолета
сигналов. На какой длине волны должен работать радиолокатор,
чтобы приближающийся со скоростью v = 800 км/ч самолет дал
частоту биений ∆v = 400 Гц?
Ответ
 
0
0,55
.см



















file_name: § 6. СКОРОСТЬ СВЕТА. ДИСПЕРСИЯ СВЕТА..doc

intro:
СКОРОСТЬ СВЕТА. ДИСПЕРСИЯ СВЕТА.
ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
1.	Скорость света в изотропной непоглощающей среде:

  или
где с — скорость света в вакууме (с = 3*108 м*с-1); ε — относи¬тельная электрическая проницаемость среды; μ — относительная магнитная проницаемость среды; п — показатель преломления вещества.
2.	Фазовая скорость:

3.	Групповая скорость (скорость распространения энергии):
  (формула Рэлея).
В области нормальной дисперсии и < v
в области аномальной дисперсии и > v но всегда и <с.
4.	Эффект Доплера

где v0 — частота колебаний источника; v — частота, воспринимае¬мая наблюдателем;    ; υ— относительная скорость  наблюдателя и источника колебаний.СКОРОСТЬ СВЕТА. ДИСПЕРСИЯ СВЕТА.
ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

физика

group: Дисциплины


extracted_text:
§ 7. КВАНТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ОПТИКЕ
1. Энергия и импульс фотона соответственно равны:
r
E=h ,pω 
r
hω
c
 — циклическая  частота   излучения;
ω
h

2
2.Закон сохранения энергии при фотоэффекте:
где
h
;
h — постоянная Планка:
hw= A+ mw
1
2
2
макс
= A+eU ;
3
где A — работа выхода электрона из металла.
Максимальная   кинетическая   энергия   электрона  может  быть
определена через запирающее напряжение на фотоэлементе:
3. Световое давление, возникающее за счет передачи фотонами
2 m
1
 
2
макс
eU
;
3
импульса при соударении с преградой:
p=(1+R)N =I
hω
c
1+R
c
;
h   — импульс фотона;  N — число фотонов, падающих  на
где  c
единичную площадку в единицу времени; R — коэффициент отражения
(по энергии); / — световой поток, падающий на единичную площадку в
единицу времени.
4.   Эффект   Комптона   —   изменение   длины   волны   рентгеновского
излучения при рассеянии на свободных электронах:
β ,
(1cos )
λ
Δ =
h
m e =
0
 — угол  рассеяния;
β
где
0,00242 нм).
ВОПРОСЫ
h
m e
0
Λ
 — комптоновская
длина волны (Λ =
1. Изобразите вольтамперную характеристику вакуумного фото
элемента при освещении его монохроматическим светом. Как изменится
вид вольтамперной характеристики, если, не меняя величины светового
потока, изменить длину волны падающего света?
2. Как изменится вольтамперная характеристика фотоэлемента, если,
не меняя длину волны падающего света, увеличить световой поток?
3. Начертите   график,   показывающий   зависимость  величины
ω
запирающего напряжения  U3 от циклической частоты
некоторый металл излучения. Здесь же покажите, как
 падаю
щего на ω
 для металла, имеющего большую работу выхода.
зависит и’з от
Как
при   этом   изменилась   «красная   граница»   фотоэффекта?   Как,
пользуясь таким графиком, определить постоянную Планка?
Как   интенсивность   монохроматического   светового   потока
связана с энергией фотонов, входящих в состав данного потока?
Как объясняется возникновение светового давления с волновой
точки зрения?
Эффект  Комптона  наблюдается  при  рассеянии фотонов  на
свободных электронах. Какие электроны в веществе можно считать
свободными?
Почему эффект  Комптона   не   наблюдается  при  рассеянии
видимого света?
Примеры решения задач
1.   Световой   поток,   состоящий   из  п  =   5104  фотонов   света,
обладающих   энергией,   соответствующей   длине   волны   λ  =   300   нм,
падает на фоточувствительный слой, чувствительность которого  k
= 4,5 мА/Вт. Найдите количество  фотоэлектронов, освобождаемых
таким импульсом света.
Р е ш е н и е
Чувствительностью   фотоэлемента   принято   называть   величину
фототока, вызванного световым потоком единичной мощности
i ф
Pk=
;
Время облучения фотокатода светом и время протекания фототока
одно и то же (процесс без инерционный). Энергия импульса,
содержащего п квантов:
E=nh =nh2ω
π ;
c
λ
Мощность,  переданная  этим  импульсом фотокатоду,
где t — время облучения.
Заряд,  переносимый  N электронами,  вырванными  импульсом
света с катода, q = Ne.
Этот заряд создает фототок
i
tф=
Ne
;
где   t — то   же   время   облучения;е — заряд   электрона.
Следовательно,   чувствительностьфотоэлемента   может   быть
выражена так:
k=
λ
Ne t
tnhc×2
π
=
λ
Ne
×2 cπ
nh откуда
N=
knh×2 cπ
eλ
;
Подстановка числовых данных приводит к результату:
N = 930.
2. Поверхность металла освещается светом с длиной волны λ = 350
нм.   При   некотором   задерживающем   потенциале   фототок  становится
равным   нулю.   При   изменении   длины   волны   на   50   нм  задерживающую
разность   потенциалов   пришлось   увеличить   на  0,59   В.   Считая
постоянную   Планка   и   скорость   света   известными,  определите   заряд
электрона.
Р е ш е н и е
Явление   фотоэффекта   описывается   уравнением   Эйнштейна,   вы
ражающим закон сохранения энергии для одного фотона и электрона:
h =A+ω
2mυ
2
;
2
где  h  — энергия фотона;
 А — работа выхода для данного металла;
m  —кинетическая энергия электрона.
2
Энергия электрона
U3 — разность потенциалов между катодом и анодом, полностью
задерживающая фототок.
Если при изменении длины волны света, вызывающего фототок, пришлось
m  — может быть заменена  выражением  eU3,где
2
2
увеличить запирающий потенциал, значит, длина волны уменьшилась.
Дважды записываем уравнение Эйнштейна:
h 2 =A+lU ,h
c
λ
3
π
c2π
λ λ
=Δ
=A+l(U +ΔU)
3
;
откуда
и
π
h×2 c(

1
1
Δλ λ λ
)=eΔU
;
e=
h×2 cπ
ΔU
(

1
Δλ λλ
1
) .
Вычисления дают: e= 1,6*1019 Кл.
3.   Определите   давление   лучей   Солнца:   а)   на   поверхность   черного
тела, помещенного на таком же расстоянии от Солнца, как и Земля; б)
на   поверхность   тела,   отражающего   все   лучи;   в)   на  поверхность
стеклянной   пластинки,   отражающей   4%   энергии   солнечных   лучей   и
поглощающей   6%   этой   энергии.   Угол   падения   лучей   во   всех   случаях
равен нулю, интенсивность солнечной радиации  I0  =1,35*10  3  Дж*м 2*с
1.  Р е ш е н и е
Световое давление на поверхность тела с коэффициентом отражения R
рассчитывают по формуле:
p

I
c
(1

R
)
;
где I — интенсивность светового потока; с — скорость света.
а)
p 
a
p 
á
0I
c
02 I
c
б)
в) Давление на стеклянную пластинку возникает в результате
отражения и поглощения света; свет, проходящий через пластинку,
давления не создает.
Следовательно,
âp

p
1

p
2
;
где  р1 — давление, оказываемое при отражении света, а р2 — давление,
оказываемое при поглощении света.
I
2 ,
1
c
p
2
I
1

и
где
Вычисления дают: р3 = 6,3*107 Н/м2.
 
4 10
I
,

I
2
;
0
I
 
2
6 10
2


7
6,3 10 Í
2
I
c
p
3
.
2
ì
p
1

;
0
4.   Длина   волны   рентгеновского   излучения,   падающего   на  вещество   со
свободными   электронами,   λо  =   0,003   нм.   Какую   энергию   приобретает
комптоновский электрон отдачи при рассеянии фотона под углом 60°?
Из закона сохранения энергии следует:
 
2
 
0
Эффект Комптона описывается формулой:

h
c
2
 

2
E
эл

h
c
откуда
 
0,0024 0,5

í ì
Eэл = 120 кэВ.
   

(1 cos

0,0012
í ì

)
,
. После вычислений имеем:
4. Покажите, что свободный электрон при движении в вакууме  не может
полностью поглотить фотон и не может излучать энергию.
Р е ш е н и е
Свободный электрон не может поглотить фотон и не может излучать энергию;
это утверждение вытекает из законов сохранения энергии и импульса.
а) Закон сохранения энергии для фотона и свободного электрона:

h

m c
0
2
(
1
2


(1
)

1),



( )
c
;                                                    (1) Закон сохранения импульса:
uur uuuuur
h


m
c
 
 
uuuuur

m
0
2


1
 ;
или

m
0
2

1
(так как эти импульсы анти параллельны).
 
h

c
.                                                 (2)
Совместное решение уравнений (1) и (2) дает два значения для β :
  =   1   (после   раскрытия   неопределенности).   Но   элект
 = 0 и
β
рон   не   может
приобрести   скорость,   равную   скорости   света,   и,  обладая   импульсом,   не
может   иметь   скорость,   равную   нулю,   следовательно,   оба   значения   лишены
физического смысла.
β
б) Для излучающего электрона закон сохранения энергии выглядит так:
2
m c mc 
,


h
2
0
m

m
0
2

1

m
0
,   следовательно,   предположение    о   воз
но
можности излучения свободным электроном энергии также лишено смысла.
Задачи для самостоятельного решения
7.1.Селеновый фотоэлемент имеет чувствительность по току,
равную 200 мкА/лм. Принимая, что такая чувствительность имеет
место   при   освещении   фотоэлемента   монохроматическим   светом
с длиной волны 550 нм, определите число фотонов, приходящихся
на 1 электрон, участвующий в фототоке.
 Ответ  4.
7.2.Определите энергию одного фотона: а) для красного света
(λ, = 600 нм); б) для жестких рентгеновских лучей (  λ = 0,1 А).
 Ответ
; ) 1,25 10
эВ б
эВ
.



2
а
)
4
7.3.Средняя длина волны излучения  лампочки  накаливания
о
λ = 12102 А. Найдите число фотонов, испускаемых 200ваттной лампочкой в
единицу   времени   (считать,   что   вся   потребляемая  мощность   идет   на
излучение).
 Ответ


Nфотонов
1,21 10
21
.
7.4.Найдите   массу   фотона:    а)   монохроматического    света
(λ = 5*107 м); б) рентгеновских лучей (  λ = 0,025 нм); в) гамма
лучей (λ = 1,24*103 нм).
Ответ

; ) 8,8 10

; )1,8 10
)4,4 10
кг б
кг в
кг



36

30
а
30
.
 7.5.Какова длина волны света, масса фотона которого равна
массе покоящегося электрона?
Ответ
0,0024

.нм
7.6.Найдите импульс фотона (λ = 500 нм). Сравните его с импульсом
молекулы водорода при комнатной температуре. Массу молекулы водорода
считать равной 2,35*107 кг.
 Ответ
3
7 10 .
 
2
P
H
P
Ф
7.7.При какой длине волны импульс фотона будет равен импульсу молекулы
водорода при комнатной температуре?
Ответ
0,127

.нм
7.8.
 Монохроматический пучок параллельных световых лучей
падает нормально на щель и создает на экране   дифракционную
картину. Найдите энергию и импульс фотонов светового потока,
если ширина щели b = 5 мм, а первый минимум возникает в на
правлении угла
 Ответ

EэВ
;

pкг м с
1,27 10


30

/
.
φ
 = 6°.

2,35 10

3
7.9.На дифракционную решетку с постоянной d = 3*105 м падает
нормально   плоский   монохроматический  световой   поток.
Углы дифракции, отвечающие двум соседним максимумам на экране,
соответственно   равны   φn = 23°35'   и   φn+1 = 36°52'. Вычислите энергию
фотонов данного светового потока.
эВ
.
2,07
)
а E


Ответ
hc

1

d  
sin
sin
7.10. Чему   равны   максимальные   скорости   фотоэлектронов,
вырываемых с поверхности цезия и платины   излучением с длиной волны:
а) λ1 = 185 нм; б) λ2 = 422,7 нм?


,
м с платина


7,05 10
макс
/
;



5
 Ответ а)
 
)

макс

5
6,05 10
макс
4


1,3 10

/
м с цезий
м с цезий

/
,
б
7.11. «Красная   граница» фотоэффекта   для   калия  соответствует
длине волны λ о = 577 нм. Вычислите минимальную энергию кванта,
необходимую для освобождения фотоэлектрона из данного металла.
Ответ 2,15 эВ. 7.12. «Красная граница» для цезия λ 0 = 6,6*107 м. Найдите:
а) работу выхода электронов из цезия; б) максимальную скорость и
энергию электронов, вырываемых из цезия излучением с длиной волны λ
= 220 нм.
 Ответ а) А = 1,88 эВ;
б
 
)
макс
1,15 10

6
м с Е
/
,

3,75
.
эВ
макс
7.13. Медный шарик, удаленный от других тел, облучают моно
хроматическим светом с длиной волны λ = 2*104 м. До какого
максимального потенциала зарядится шарик, теряя фотоэлектроны?
Ответ
Ф
макс

hc
eh

Ф
вых

1,72 .
В
7.14. Плоскую цинковую пластинку освещают излучением со
сплошным спектром, коротковолновая граница которого соответствует
длине волны λ = 30 нм. Вычислите, на какое максимальное расстояние
от поверхности пластинки может удалиться фотоэлектрон, если вне
пластинки имеется задерживающее однородное электрическое поле с
напряженностью Е = 10 В/см?
 Ответ
lсм 
макс
3,76
.
7.15. Фотоэффект  у  некоторого  металла  начинается  при  частоте
падающего света v0 = 6* 1014с1.  Определите частоту света, при  которой
освобождаемые  им с  поверхности данного  металла электроны
полностью   задерживаются   разностью   потенциалов   в 3 В. Найдите
работу выхода для данного металла.
  А = 2,48 эВ.
15
1,33 10
 Ответ

1
,с



7.16. При освещении некоторого металла излучением с длиной
волны λ1 = 279 нм задерживающий потенциал равен 0,66 В, при длине
волны λ 2 = 245 нм задерживающий потенциал становится равным 1,26
В. Считая заряд электрона и скорость света известны ми, определите
постоянную Планка и работу выхода электрона из данного металла.
 Ответ h = 6,55   103  Дж   с,   А = 3,74  эВ.
7.17. Квант света длиной волны λ = 232 нм освобождает с поверхности
платинового электрода фотоэлектрон. Определите импульс,
сообщаемый при этом электроду, если известно, что фотоэлектрон
вылетает навстречу падающему кванту.
Ответ

1,38 10
25
кг м с
.

/
7.18. Интенсивность   параллельного   монохроматического   светового
потока I = 30 Дж/(м2*с). Определите, пользуясь квантовыми представлениями, импульс, переносимый данным потоком за время
с через площадку S = 100 см2.
Ответ

5 10
9
кг м с
.
/

τ
 = 5
7.19. Найдите   величину   нормального  давления   на   плоскую
поверхность при отражении параллельного светового потока с
интенсивностью I = 3,5*103 Дж/(м2с), если коэффициент отражения
R = 0,6, а угол падения i = 60°.
Ответ

1,3 10
5

2
Н м
.
7.20. Часть  стенки   колбы  электролампы   накаливания,   представляющей
сферу  радиусом r = 4 см,  посеребрена  и  является
зеркально отражающей. Лампа потребляет мощность 50 Вт, из которых 90%
идет на излучение. Что больше: давление газа в колбе (108 мм рт. ст.)   или
световое давление на посеребренную часть стенки?
 Ответ Давление света в 11 раз больше давления газа в колбе.
7.21. Поверхность площадью 100 см2 каждую минуту получает 63 Дж
световой энергии.  Найдите световое давление в случаях,
когда поверхность: а) полностью отражает все лучи и б) полностью
поглощает все падающие на нее лучи.
Ответ
2
Н м
/
Н м б з
; )


3,5 10
 
7 10
)
а з

7
/
.

7
2
7.22. Прибор П. Н. Лебедева для исследования светового давления на
твердые тела состоял из легкого подвеса на тонкой нити, к которому были
прикреплены тонкие и легкие крылышки, имевшие форму кружка диаметром
5 мм. Одно из крылышек было зачернено, а другое оставалось блестящим.
Подвес помещался в откачанном сосуде, образуя весьма чувствительные
крутильные весы. Определите  силу  светового  давления   на   зачерненный
кружок, если каждую минуту падает на него поток лучистой энергии
W = 6,3 Дж.
 Ответ
3,5 10
H
10
F


.
7.23. Прибор П. Н. Лебедева для измерения светового давления
(см. предыдущую задачу) был снабжен зеркальцем, которое служило для
зеркального отсчета угла закручивания нити подвеса.
В одном из опытов отклонение зайчика по шкале, удаленной от
зеркальца на расстояние 1,2 м, было равно 76 мм. Диаметр кружка 5 мм,
расстояние от центра кружка до оси вращения 9,2 мм.
Коэффициент отражения  света от блестящего  кружка  R = 0,5.
Постоянная   кручения  нити  k = 2,2* 1011  Нм/рад.  Определите: а) световое давление на блестящий кружок; б) интенсивность па
дающего света.

 Ответ
pН м I


2
7,7 10
Дж м с
3,85 10

/
,
.
6
2

2


7.24. Найдите световое давление на зачерненный кружок, если
угол поворота нити в приборе П. Н. Лебедева (см. задачи 7.22 и
7.23) составил  10'.
Ответ
3,55 10
pН м


/
.

7
2
7.25.
Длина волны света, падающего на вещество со свободными
электронами, X = 0,003 нм.  Какую энергию приобретут электроны отдачи
при рассеянии кванта под углом
Ответ 120 кэВ.
 = 60°?
β

7.26.
При   облучении   вещества   со   свободными   электронами
рентгеновыми лучами с длиной волны λ. = 0,01 нм было обнаружено под углом
β
чение с длиной волны λ в
 по отношению к первоначальному излучению излу
λ + 0,0024 нм. Найдите угол рассеяния
 и энергию, переданную электронам
отдачи.
Ответ
7.27.

2
 При облучении вещества фотонами с длиной волны 0,05 А
кэВ
.
24
β
Е

,
рассеяние фотонов происходит под углом β = 20°. Каков импульс
электрона отдачи?
Ответ

эдPкг м с
1,6 10


22
/
.

7.28.
 Первоначальная   длина    волны    падающего    излучения
λ = 0,003 нм, скорость электрона отдачи равна 0,6 c (с — скорость
света). Определите изменение длины волны и угол рассеяния фотона.
 Ответ

,0 68 20 .
 
,cos0 1
0,00135
V

нм


o
V

m c
0
h
7.29.Найдите длину  волны,  соответствующую фотону,   если
известно, что энергия рассеянного фотона и электрона отдачи равны между
собой при угле φ = 90° между направлениями их движении.
Ответ
0,0242

.нм
7.30.В одном из опытов по наблюдению комптоновского рас
β
сеяния  было  обнаружено,   что   угол   рассеяния  фотона
а электрон отдачи описал окружность радиусом
 = 1,5 м в маг
нитоном поле с индукцией В = 2*102 Тл. Найдите длину волны,
соответствующую падающему фотону, если магнитное поле перпендикулярно
 = 60°,
ρ плоскости движения электрона.
 Ответ
0 013
б

.
нм
изошло под  углом
250 кэВ?
 Ответ Е = 143   кэВ.
β
7.29.
Какова энергия рассеянного фотона, если рассеяние про
 = 120°  и энергия падающего фотона была

file_name: § 7. КВАНТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ОПТИКЕ.doc

intro:
§ 7. КВАНТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ОПТИКЕ
1.	Энергия и импульс фотона соответственно равны:
 ;
где ω — циклическая  частота   излучения; h — постоянная Планка:
2.	Закон сохранения энергии при фотоэффекте:
 ;
где A — работа выхода электрона из металла.
Максимальная   кинетическая   энергия   электрона  может  быть определена через запирающее напряжение на фотоэлементе:
 ;
3.	Световое давление, возникающее за счет передачи фотонами импульса при соударении с преградой:
 ;
где    — импульс фотона;  N — число фотонов, падающих  на единичную площадку в единицу времени; R — коэффициент отра¬жения (по энергии); / — световой поток, падающий на единичную площадку в единицу времени.КВАНТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ОПТИКЕ

title: КВАНТОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ОПТИКЕ


extracted_text:
§ 8. ИЗЛУЧЕНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА (ТЕПЛОВОЕ
ИЗЛУЧЕНИЕ)
1. Закон  Кирхгофа:
M aM
,
T
где  М   —  интегральная   энергетическая   светимость1  с   поверхности  тела,
имеющего температуру  Т а  — коэффициент поглощения  данного тела при
температуре  Т  (коэффициент серости);  Мτ  —  интегральная энергетическая
светимость абсолютно черного тела при температуре Т.
2. Закон Стефана — Больцмана:
,
где
  —   интегральная   энергетическая   светимость   абсолютно
черного тела при температуре T; а — поглощательная способность данного
тела (коэффициент серости), σ  — постоянная Стефана — Больцмана (
 =σ
5,67*108 Вт*м2*К4).
3. Спектральная   энергетическая   светимость   абсолютно   чер
ного тела, являющаяся функцией температуры и длины волны (час
тоты), вычисляется по формуле Планка:
h
2 2

4
c
h

c
2


kT
1)
r

T

5

(
e
где с — скорость света в вакууме; h — постоянная Планка; k —
постоянная Больцмана.
При подстановке численных значений постоянных  (
, π с, h, к) формула
Планка принимает вид:
где с1 = 3,74 *1016 Вт*м2, с2 = 1,44*102 м*К.
______________________________________________________
1 Интегральной энергетической светимостью называется поток
энергии всех длин волн, излучаемых с единицы излучающей
поверхности.
4. Первый закон Вина:
1b
T=
макс
где λмакс — длина волны, на которую приходится максимум спектральной
светимости тела; b1 — первая постоянная Вина (b1 =   = 2,89 • 103
м*К).
5.
Второй закон Вина:
r
Tì àêñ
 — максимальная монохроматическая интенсивность излучения
где
абсолютно черного тела (максимальная спектральная  светимость); b —
r
Tλ макс
2=b T
5 вторая постоянная Вина (b2 = 1,3 • 105 Вт*м3 * К5)
6.
Закон   Бугера:
xI

I e
0
kx
где  1Х  — интенсивность света, прошедшего в поглощающей среде  путь
х,  I0  —   начальная   интенсивность   света   в   поглощающей   среде;  k  —
коэффициент поглощения.
ВОПРОСЫ
В   чем  основное  отличие  теплового   излучения   от  других
видов излучений: фотолюминесценции, хемилюминесценции,
электролюминесценции,  катодолюминесценции?
Можно ли Солнце считать абсолютно черным телом?
Как величина светового потока данного спектрального интервала
связана с излучательной способностью тела?
Какой   физический   смысл   имеет   универсальная   функция
Кирхгофа?
Два одинаковых тела имеют одну и ту же температуру,   но одно из
них находится   в  окружении  более  холодных  тел,   чем другое.
Будут ли при этих условиях равны мощности излучения этих тел?
Объясните   последовательность   изменения   цвета   твердого тела
при его нагревании.
Как  изменится длина волны, соответствующая  максимуму
излучения абсолютно черного тела, если это тело окружить абсолютно
поглощающей оболочкой с большей поверхностью,  чем у тела, но
излучающей такую же мощность, как и тело?
Какое  предположение  ввел  Планк  в  рассмотрение задачи об
обмене энергией излучения между телами?
9. Какой физический смысл имеет постоянная Планка?
10.
В каком случае квантовый характер обмена энергией между
телами переходит в классический?
11.
Какой физический смысл имеет коэффициент поглощения k
в формуле Бугера?
12.
Зависит ли коэффициент поглощения k в формуле Бугера
от длины волны? Приведите примеры. Примеры решения задач
1.   Найдите   отношение   энергетических   светимостей   электрических
ламп   накаливания,   если   температуры   нитей   накала   соответственно
равны: а) угольной — T1 = 2100 К; б) вольфрамовой вакуумной — Т2 =
2400   К;   в)   вольфрамовой   газонаполненной   —  Т3  =>  2900   К;   г)
специальной фотографической — T4 = 3200 К.
Считать,   что   мощности,   потребляемые   лампами   от   сети,   равны;
энергетическую   светимость   газонаполненной   лампы   можно   принять  за
единицу.
Коэффициент серости угля а = 0,8, коэффициент серости вольфрама
взять из таблицы IV.
1
Р е ш е н и е
Воспользуемся законом Стефана — Больцмана:
а)
б)
в)
г)
 .
11
BT ì
7,88 10



2
11
BT ì
96,2 10


11
218,3 10
BT ì


11
356.5 10
BT ì


0,8).
M
1

0,29).
M

M
0,33).
3

0,34).
M

4
(
M a T
a
1 1
1

4
M a T
(
a
2 2
2

4
(
M a T
a
3
3 3

4
(
M a T
a
4 4
4




 .

 .
 .

2


2
2
2
3
4
2
4
Отсюда
M M M M 
:
:
:
1
2
3
4
0,36 : 0, 44 :1:1, 43
.
2. Определите длину волны, соответствующую максимуму энергии
излучения лампы накаливания. Нить накала лампы имеет длину l = 15
см и диаметр d = 0,03 мм. Мощность, потребляемая ламой, Р = 10
Вт. Нить лампы излучает как серое тело с коэффициентом
поглощения a = 0,3;  20%   потребляемой энергии  передается другим
телам вследствие теплопроводности и конвекции.
Р е ш е н и е
По первому закону Вина
1b
T=
макс

(1)
Температуру нити находим, используя закон Стефана — Больцмана:
0,8P a T
 
dl

4
.
(2)
Выразив Т из соотношения (2) и подставив в (1), получим:
=b
4
макс
1
dlσπ
a
o,8P
Вычисления дают:

макс

1, 2 10 м

6

.
3. Металлический шар диаметром D и теплоемкостью С с начальной
температурой   То остывает  вследствие  лучеиспускания. Коэффициент поглощения а. Через сколько времени температура шара
станет равной T1?
Р е ш е н и е
Изменение внутренней энергии шара при остывании выражается формулой:
dE = —CdT
где dT — изменение температуры.
То же изменение внутренней энергии можно выразить через
энергетическую светимость,  площадь поверхности шара и время:
dE MSdt M D dt


2
1
4
Приравняем правые части:

CdT

1
4
Разделяем переменные:
Интегрируя,   получаем:
M D dt

2

1
4
 
a T D dt
4
2

dT
4
T

2
 
a D
4
c
dt
 
a D
4
c
где А — постоянная интегрирования.

t
При
Тогда
T T A
1
3
T
;T
0;


1
3
0
3
;
0
2

t A
Находим отсюда t:
1
3
T
3
2
 
a D
4
c
t

t

4 (
c

1
1
3
3
T
T
0
3
 
3
a D
1
3
T
0
)
4.   Определите   мощность   излучения   раскаленной   вольфрамовой  нити   с
температурой Т = 2000 К в интервале длин волн, отличающихся от длины
волны,   соответствующей   максимуму   излучения,   на   1%.   Площадь
поверхности нити S = 1,5 • 105 м2.
Р е ш е н и е
Вольфрамовая нить не является абсолютно черным телом. При Т = 2000
К коэффициент поглощения вольфрама а = 0,26 (см. табл. IV).
Мощность излучения в интервале длин волн ∆ ,λ
P



 
S

r
 Tr  — спектральная энергетическая светимость абсолютно черного
где
тела:
r

T

2 2

4
c
hl

2

kT
(
e
h

1)
5

Длина волны
 λ по условию задачи есть длина волны, соответствующая
максимуму  излучения,  следовательно,

0
  
 
2
 
0
0,02




;
1
b
1
T
Используя полученные уравнения, имеем:
 
2 2

2
?
1
b
4
P

aS
1
25


8
4
h
2 2
c T
h

2
c
l
b k
1
(

1)
100
4
b
1
h

l
(
1
h

2
c
b k
1

1)
4
T
Произведя вычисления, получим:
P  
4,35 10 BT
2
.
Задачи для самостоятельного решения
8.1.Энергия  излучения Солнца,  падающая за пределами  атмосферы
Земли на 1 м2 поверхности, перпендикулярной солнечным лучам, за 1 с
(солнечная постоянная), равна 1,35 • 103 Дж. Принимая, что Солнце
излучает как абсолютно черное тело, определите:
а) температуру поверхности Солнца;  б) длину волны, соответствующую
максимуму излучения Солнца. Расстояние от Земли до
Солнца 15 • 1010 м. Радиус Солнца 6,96 • 108 м.
Ответ
)
а Т

5750 ; )
К б

макс

504
.
нм
8.2.Мощность   потока   энергии,   излучаемой   из   смотрового
окошка мартеновской печи,  Р = 2,17 кВт.  Площадь смотрового
окошка S = 6 см2. Определите температуру печи.
Ответ
2828 .
K


T
4
P
S
8.3.Нагретая до 2500 К поверхность площадью 10 см2 излучает
в 1 с 6,7*102 Дж энергии. Чему равен коэффициент поглощения
поверхности?
Площадь поверхности вольфрамовой нити накала 25ватт
ной   вакуумной   лампы   S = 0,403   см2.    Температура    накала
Т = 2177 К. Во сколько раз эта лампа излучает меньше энергии,
чем абсолютно черное тело при тех же значениях поверхности и
температуры?   Каков   коэффициент   поглощения   вольфрама   при
этой  температуре?
 Ответ 0,304 8.4.Вольфрамовая нить накаливается в вакууме током I1= 1 А
до температуры Т1 = 1000 К.  Какое значение должен иметь ток I2,
чтобы температура нити была  Т2 = 3000 К?  Потерями  энергии
вследствие теплопроводности и изменениями линейных параметров
нити пренебречь.
 Ответ
I
У к а з а н и е .    Следует воспользоваться таблицей IV.
7,9 .
A
0,3.
n 

2
8.6.Термостат   потребляет   от   сети   мощность  N  =   0,5   кВт.   Тем
пература  его внутренней  поверхности, определенная  по излучению  из
открытого  круглого  отверстия  диаметром   D = 5  см,   равна700 К.
Какая   часть   потребляемой   мощности   рассеивается   внешней
поверхностью  термостата?
Ответ
 
6 10

Sм
,

3
2

P
макс

4
b
1
8.7.Вольфрамовая   нить   диаметром  d1  =   0,1   мм   соединена   по
следовательно   с   другой   вольфрамовой   нитью.   Нити   накаливаются  в
вакууме   электрическим   током,   причем   первая   нить   имеет   тем
пературу  T1  =   2000   К,   а   вторая   —  Т2  =   3000   К.   Каков   диаметр
второй нити?
Ответ D2 = 0,055  мм.
У к а з а н и е .    Следует воспользоваться таблицей IV.
8.8.Мощность   излучения   абсолютно   черного   тела  Р  =   105  Вт.
Чему разна  площадь  излучающей    поверхности      тела,     если    длина
волны,    на    которую    приходится     максимум     излучения, λмакс =
7* 107   М?

P
Ответ
макс

4
b
1
 
6 10

Sм
,

3
2
8.9.Вследствие     изменения       температуры       тела     максимум   его
спектральной энергетической светимости переместился  λ1  = 2,5 мкм  до
λ2 = 0,125 мкм. Тело абсолютно черное. Во сколько раз изменилась: а)
температура тела; б) интегральная энергетическая светимость?
Ответ
20 ,
T M
1
16 10
T
2
M



.
4
2
1
8.10.  Максимальная   спектральная   светимость   абсолютно   черного
тела  r tλ макс=  4,16 *1011  Вт*м2. На какую длину волны она  приходится?
Ответ  макс
 
.мкм
1,45
8.11. В   электрической  лампе  вольфрамовая  нить  диаметром
D = 0,05 мм накаливается при работе лампы до температуры Т1 = 2700
К. Через сколько времени после выключения тока температура нити
упадет до Т2 = 600 К? При расчете принять, что нить излучает  как
серое тело с  коэффициентом  поглощения а = 0,3 и энергия
передается только излучением. t

Ответ
внутренней енергии нити:
0,02 .
c
  Р е ш е н и е .  Излучаемая нитью энергия равна изменению
 
T Dldt
4
 
p
lCdT
,
2

D
2

4
pDC

DC
.
dt
;
  интегрируя, получаем:
1

3
3
1

1

3
3
2


4
pDC
t
,
откуда
 
dT
4
T
1

3
T
2

12

1
3
T
1
t

8.12.В   черный   тонкостенный   металлический   сосуд,   имеющий
форму   куба,   налита   вода   массой   1   кг   при   температуре  t1  =   50°   С,
целиком заполняющая сосуд. Определите время остывания сосуда  до
температуры  t2  =   10°   С,   если   сосуд   помещен   в   черную   полость,
температура стенок которой близка к абсолютному нулю.
4
t


6,2 10 .
c
Ответ
8.13.Вычислите   спектральную   энергетическую   светимость   черного
тела, нагретого до температуры Т = 3000 К для длины волны К = 500
нм.
2
.


r



Bт м
12
1,03 10
Ответ
8.14.Принимая       положительный       кратер       электрической       дуги
за абсолютно черное тело, определите отношение мощности излучения
в   диапазоне   длин   волн   от  λ1  =  695   нм   до  λ2  —  705   нм   к   полной
мощности излучения. Температура кратера дуги Т = 4000 К.
Ответ n=0,009.
8.15.Мощность   излучения,   измеренная   в   интервале   ∆λ  =   0,5   нм
вблизи длины волны, соответствующей максимуму излучения λмаКс, равна
мощности излучения в интервале ∆λ2     вблизи длины волны  λ = 2λмакс.
Определите ширину интервала ∆λ2.
2
.нм
1,225
Ответ
8.16.Определите   значения   спектральных   мощностей   излучения
абсолютно черного тела для   следующих  длин   волн:  λ1  =  λмакс, λ2 =
0,75   λмакс,    Х3 = 0,5λмакс,    λ4 = 0,25    λмакс.    Температура тела  Т = 3000
К.
 V
2


2



2


8.17.

10
315,9 10

12
63,9 10
По   найденным   данным   постройте   график   зависимости   спект
ральной   мощности   излучения   от   длины   волны.  Ответ
r

1
r

3
,
Bт м r
Bт м r
,
Сколько фотонов за 1 с будет испускать 1 см2  поверхности
абсолютно   черного   тела,   нагретого   до  Т  =   2400   К,   если   среднюю
энергию кванта излучения считать равной 2,75  kTy  где  k  — постоянная
Больцмана?


10
257 10


10
3,15 10


Bт м


2
Bт м

4
,
,
2




 .
k

1
k
; )
n 
; )

в d
ln10
ln 2
k
21
2,1 10 .
Ответ
8.18.

Коэффициент   поглощения   вещества для   монохроматиче
ского   света   равен  к.  Слой   какой   толщины   этого   вещества   надо
взять,   чтобы   ослабить   свет:   а)   в   2   раза;   б)   в  е  раз  (е  —   основание
натуральных логарифмов);
в) в 10 раз?
Ответ

)
a dб d
8.19.
Свет,   представляющий  собой   совокупность  двух   моно
хроматических   излучений   с   длинами   волн  λ1  и  λ2,  проходит   в   по
глощающую среду.  При  падении  на  поверхность  поглощающей среды
интенсивности  I01  и  I02  равны,   а   на   глубине  е  интенсивность  света   с
длиной   волны  λ1  в   2   раза   больше   интенсивности   света   с  длиной
волны λ2. На какой глубине интенсивности будут отличаться в 10 раз?
Ответ
 
У к а з а н и е .
I 
10
2
8.20.
1609.

 
I
e
I
1
0 1


e 
x
k
k

.
1
Пластина   (пленка)   поляроида   имеет толщину   0,05 мм.
При     падении     на     поляроид   монохроматического     света     с   длиной
волны  λ  = 500 нм интенсивность вышедшего света составляет 40%  от
интенсивности падающего света. Чему равен коэффициент поглощения
поляроида?
Ответ
8.21.
Многие прозрачные для видимого света вещества сильно
 Аналогично для
  получаем:

2 10 ln1,25.
 
1
0 2
I 
1
ln 5
 и
,2




k l
1

k l
2
k
1

k
2
e
,
I
e
x

l
.


I
l
l
4
2
поглощают более коротковолновые электромагнитные колебания.
Так, например, измерено, что поглощается 50% падающего излучения λ
= 350 нм слоем органического стекла толщиной 10 мм; λ = 338 нм
слоем толщиной 5 мм; λ = 332 нм слоем толщиной 2 мм.
Чему   равны   коэффициенты   поглощения   органического   стекла   для
этих трех длин волн?
,
0,0639

1
1
1


,
,

kмм
2

kмм
3
0,1386
0,3465
Ответ
8.22.

kмм
1
Точечный монохроматический источник испускает световой
  На   расстоянии  l  от   источника   находится   плоско
поток   Ф.
параллельная      пластина     толщиной   d,     коэффициент     поглощения
которой   линейно   изменяется   по   толщине   от   значения  kx  до  k2.
Пренебрегая   отражением   света   от   поверхностей   пластины,   найдите
интенсивность света, выходящего из нее.
Ответ
I



k
1

k
2

d
2
.
e
Ф

2


l d
4
Источник монохроматического света силой I кд находится в
среде,   коэффициент   поглощения   которой   изменяется   с   расстоянием
8.23. от   источника   света   по   закону  kt  =  k0  —  аl,   где  k0  —   коэффициент
поглощения   света   непосредственно   около   источника,
  а   —
постоянный множитель, l — расстояние от источника света.
Определите   интенсивность   света   на   расстоянии  R  от   источника.
Ответ

R


2

e

R k
0
I
I
0
2
R






file_name: § 8. ИЗЛУЧЕНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА (ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ).doc

intro:
ИЗЛУЧЕНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА (ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ)
1.	Закон  Кирхгофа:
 ,
где М — интегральная энергетическая светимость1 с поверхности тела, имеющего температуру Т а — коэффициент поглощения данного тела при температуре Т (коэффициент серости); Мτ — интегральная энергетическая светимость абсолютно черного тела при температуре Т.
2.	Закон Стефана — Больцмана:
 ,

где   — интегральная энергетическая светимость абсо¬лютно черного тела при температуре T; а — поглощательная способность данного тела (коэффициент серости), σ — постоянная Стефана — Больцмана (σ = 5,67*10-8 Вт*м-2*К-4).
3.	Спектральная   энергетическая   светимость   абсолютно   чер¬
ного тела, являющаяся функцией температуры и длины волны (час¬
тоты), вычисляется по формуле Планка:

где с — скорость света в вакууме; h — постоянная Планка; k — постоянная Больцмана.
При подстановке численных значений постоянных  (π, с, h, к) формула Планка принимает вид:
где с1 = 3,74 *10-16 Вт*м2, с2 = 1,44*10-2 м*К.ИЗЛУЧЕНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА (ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ)