extracted_text:
Министерство образования Российской Федерации
Департамента образования администрации
муниципального образования «город Нижний Тагил»
Муниципальное общеобразовательное учреждение
Политехническая гимназия
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ Нижний Тагил
2007
2 СОДЕРЖАНИЕ
Введение …………………………………………………………….   3
Системы уравнений. Основные понятия ………………………….   4
I.
II.
III. Методы решений систем уравнений
1. метод подстановки ………………………………………………   8
2. метод алгебраического сложения ………………………………  11
3. метод введения новой переменной   …………………………….   13
4. метод Гаусса ……………………………………………………..   17
5. метод разложения на множители ………………………………   19
6. метод почленного умножения и деления уравнений системы .   22
7. геометрический метод …………………………………………..   25
8. решение систем уравнений с параметрами …………………....   29
9. решение показательных и логарифмических систем уравнений 31
10.решение систем тригонометрических уравнений ……………..  35
IV. Список литературы ………………………………………………….  40
3 ВВЕДЕНИЕ
Начальные   сведения   о   системах   уравнений   даются   в   последней   теме
курса алгебры 7 класса –   “Уравнения и системы уравнений”. В дальнейшем
системы уравнений встречаются на протяжении всего курса математики.
Вообще, система уравнений может состоять из нескольких уравнений с
несколькими   переменными.   В   школьном   курсе   математики   в   основном
изучаются   системы  уравнений  с  двумя  переменными,  но  число   переменных
может   быть   и   большим.   Системы   уравнений   бывают   разные   и   методы   их
решения тоже различны.
Существует множество методов решения систем уравнений. Наиболее
часто   встречаются:   метод   подстановки,   метод   алгебраического   сложения,
метод   введения   новой   переменной,   разложение   на   множители,   метод
почленного   умножения   и   деления   уравнений   системы.   А   так   же
геометрический   метод,   метод   Гаусса,   решение   систем   уравнений   с
параметрами, решение показательных и логарифмических систем уравнений и
решение   систем   тригонометрических   уравнений.   В   сборнике   подробно
рассматривается   каждый   из   методов.  Применение   методов   решений   систем
уравнений   будет   показано   на   примерах.   И   к   каждому   методу   подобраны
задания для самостоятельного решения.

4 СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.
образуют  систему, если
Несколько уравнений с двумя переменными
ставится   задача   об   отыскании   всех   таких   пар   
,   которые   удовлетворяют
каждому   из   заданных   уравнений.   Каждая   такая   пара   называется  решением
системы. Решить систему уравнений – значит найти все ее решения. Множество
решений системы может быть, в частности, пустым – в этом случае говорят, что
система не имеет решений или что эта система несовместна.
yx,
yx,
Несколько   систем   уравнений   с   двумя   переменными
  образуют
yx,
совокупность систем, если ставится задача об отыскании всех таких пар  
,
каждая из  которых удовлетворяет, по крайней мере, одной из заданных систем.
Каждая такая пара  называется решением совокупности систем.
yx,
Процесс   решения   системы   уравнений   состоит,   как   правило,   в
последовательном   переходе   с   помощью   некоторых   преобразований   от   данной
системы   к   другой,   более   простой   и   т.д.   Если   в   результате   некоторых
преобразований  системы




,
;
,
yxg
yxf
1
1




,
;
,
yxf
yxg
2
2
..........
..........
..........



,
yx
f
yxg




,







n
n
(1)
мы перешли к системе

(2)








1
f
yx
,


1





yx
g
,



yx
f
,
g
..........
..........


;

yx
;
,
2
..........


yx
,
yx
,


g
2
f
n
n

5 и если при этом каждое решение системы (1) является в то же время решением
системы (2), то система (2) называется  следствием системы  (1). Следствием
системы   уравнений   может   быть   и   одно   уравнение.   Например,   уравнение
3

2
3
y
x

 является следствием системы

,5
y

2
3
y

2
x
x




 (как сумма уравнений системы).
Вообще   следствием   системы   уравнений   может   быть   система,   как   с
меньшим, так и с большим числом уравнений. Так, система

2
x
3
x

x

,5
y

y
3
,2


2
y
3





есть следствие системы
x



,5
y

y
3
2

2

x

Две системы уравнений называются  равносильными, если множества их
решений совпадают. Ясно, что две системы равносильны тогда и только тогда,
когда вторая является следствием первой и первая является следствием второй.
Отсюда, в частности, следует, что если к системе уравнений добавить еще одно
уравнение,   являющееся   следствием   данной   системы,   то   новая   система   будет
равносильна   исходной.   Если   же   опустить   какоелибо   уравнение   системы,   то
полученная   система   уравнений   (или   одно   оставшееся   уравнение)   будет
следствием исходной системы.
Приведем две теоремы, применяющиеся при решении систем уравнений.


1


g
1

yx
,
 Если   уравнение
  (или   является   его   следствием),   а   уравнение
  равносильно   уравнению
yx
,
  (или   является   его   следствием),   то
yxg


g
yx
,
yx
,
yx
,







f
f
,
2
2
f
2
2
1
,


yxg
Теорема   1:


yxf
,
1
равносильно   уравнению
система

f






yx
;
g
,



yx
,
g
равносильна системе


yx
,


1


yx
,
f
2
2
1
6 

yxf
,
1


yxf
,
2



yxg
;
,
1



yxg
,
2



2
2
1
,
,



;

и
yx
,
;
(или является ее следствием).
Теорема   2:  Если   уравнение



yxf
1






yxg



 и
f





yxf
,
yxg
,
1
1





yxg
yxf
,
,




yxg
yxf
,
,
2
2





yxg
yxf
,
,





yxg
yxf
;
,
,
1
1





yxf
yxg
,
,
2
2
а система





,
;
yxg
yxf
,
1
1





,
,
yxg
yxf
;
2
2





yxf
,
,
.
yxg
является следствием системы








равносильна системе (3).

yxf
yxg
,

yxg

, 
, то каждая из систем
,
  является   следствием   уравнений
                                                                                (3)

                                                               (4)

                                                                  (5)


;

,


,
yxg
1

,
yxg
2
В частности, следствием системы (3) будут такие системы:



yxf
,
1



,
yxf

1



yxf
,
1



,
yxf

1



,
yxf
1



,
yxf

2



yxg
,
1



f
,
yx
2



,
yxg
,
1




,
yxf
2



,
,
yxg
1




2

,
yxg
2

,
yxgyxg
1

;





,
.
2
2
                                                                                (6)
7 Если не существует таких пар  
yx,
, при которых оба выражения
  одновременно   обращаются   в   нуль,   то   уравнение

f
2
yx
,


yxg

,
2
yxg
.   Тогда   системе   (3)   равносильна
yxf
2


,
,
2
1
 и

yxf
,
2
1


2
,

yxg
равносильно   уравнению
следующая система:

yxg
,
1
1

yxg
,
2

yxf
,
1
1
yx
,











,
2
,



1






yxf
,
2

yxg
,
1


yxg
,
2

yxg
,
1
1
f
Ее следствием, в свою очередь, является система:


yxf
,
1



yxf
,

1
Таким образом, приходим к следующему выводу: если не существует таких
yx,
  одновременно
,   при   которых   оба   выражения


yxf
,
1


yxf
,
1


yx
f
,
                                                                                (7)


yxg
,
,
1


yxg
,
1


yxg
,
2
yxg
yxf
  и





,
,
2
2
2




пар   
обращаются в нуль, то система
является следствием системы (3).
Если,   решая   систему,   мы   преобразовали   ее   в   систему,   являющуюся
следствием   исходной,   то   найденные   решения   новой   системы,   безусловно,
подлежат проверке (например, подстановкой найденных значений переменных в
исходную систему). В дальнейшем будут полезными следующие утверждения:
1. Система (4) равносильна системе (3).
2. Если не существует таких пар 
yx,
,



yxf
1
равносильна системе (3).
yxg

,
1
, при которых обе части уравнения
  одновременно   обращаются   в   нуль,   то   система   (5)
3. Система (6) равносильна системе (3), если для любых
,
определения системы (3) выполняется неравенство

yx,


  из области


0

,

yxgyxf
2
2
4. Если   не   существует   таких   пар   
,   при   которых   одновременно
обращаются в нуль обе части второго уравнения системы (3), то система
(7) равносильна системе (3).
yx,
Отметим еще один результат, вытекающий из теорем 1 и 2:
Теорема 3: Если совокупность уравнений
8 yxg

,
2
  (или   является   его   следствием),   то









21
22
f
yx
,
yx
f
,
..........
f
yx
,

21






;
yx
,
g


yx
g
,
;
22
..
..........
..........



yx
g
,


yx
,

f
2
k
2
;



21
k
2
равносильна   уравнению
совокупность систем







,
yxg
yxf
,
,
1
1





yx
,
yx
,
g
f


21







yxf
yxg
,
,
,

1
1







f
yx
yx
;
,
g
,

22

..........
..........
......
..........








yxf
,
,
yxg
,

1
1




f
,
g
yx
yx
,





.
22

2
2
k
k
равносильна системе (3) (или является ее следствием).
является совокупность систем:
,

21


,
yxg
1


0
В частности, следствием системы



yxf
,
1


yx
f
,





,
,
yxg
yxf
1
1



f
,
yx
0
..........
..........





,
,
,
yxf
yxg
1
1



f
yx
,
.0
.......
22

,
2
k







9 МЕТОДЫ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
0
y 

xf

1.   Метод   подстановки  основан   на   том,   что   если   из   одного   уравнения
системы   выразить   одну   переменную   через   другую   (например,
)   и
подставить полученное выражение во второе уравнение, то системы







,

xf



,
xf
y



yxF
,



,
xf
y



xfxF
,


, находим соответствующие значения  y .
равносильны.   Решение   последней   системы   сводится   к   решению   уравнения

 с одной переменной  x . Подставляя затем найденные  x  в уравнение
xfxF
0
y 
 и

0

Этот  метод  особенно  удобен, если   в  одно  из  уравнений  системы  какая
нибудь переменная входит в первой степени.
Пример 1: (линейная система)
Решим систему уравнений:

,5
2
y

x
4
y
x
2



25 
y
. Подставляя это значение во


y
y
y
x
4
4


Решение: Из первого уравнения находим
второе уравнение, получаем

252
Из этого равенства находим

10
4
y

6
3
y

y
2
Подставляя найденное значение  y  в выражение
Ответ:  
2,1
Пример 2:

Решим систему уравнений:
 (нелинейная система)
.
x
4
2
x
2

y
,4

2
16
y




x
25 
y
, находим
1x
.
10 4
y
22

x

16
24

224
x


. Подставляем это значение во
Решение: Из первого уравнения находим
второе уравнение, получаем
x
Приведя это уравнение к стандартному виду, получим биквадратное уравнение
5
Решая его, находим
4
5
x
3
1 x
2 x
4
5
16
x

0
4
x
,

,0

2
Подставляя найденные значения   x
 в выражение
y

224
x
, находим

,4
y
2
y
3
Ответ:

;4,0



4
5

,
12
5


;





1 y




12
5
.
4
5

;
12
5






.
Решите самостоятельно, используя метод подстановки:
;
;
xy
,
;
2
7
x
x
x
y
x
6
x
x
2

2


x

x

y
1.
2.
3.
4.
5.





















,5
3
y

y
3
4


2
,7
xy

2
3
y

8
y

x
2
0

2
,0
y

3
3
x
y
y
8

2

3
y
x

x
2

,4
.

1

y
x
;
1
2. Метод алгебраического сложения уравнений  основан на том, что если
к обеим частям одного из уравнений системы
11 

yxf
,
1


yxf
,
2



yxg
;
,
1



yxg
,
2



прибавить соответствующие части другого уравнения, умноженные на одно и то
же   число,   а   другое   уравнение   оставить   без   изменения,   то   получим   систему,
равносильную данной, т.е. системы





xf
xg
,
1
1





xg
xf
2
2




xf
xfc
1
2





f
x
xg
2
равносильны.






и
2



xg
1



xgc
2

,
Обычно   с   помощью   этого   метода   получают   систему,   к   которой   затем
применяют метод подстановки.
Пример: Решим систему уравнений:

3
2
xy

,2




3
2
x
x


3

y
2
yx
2
3
x

1
Решение:   Если   выразить   из   второго   уравнения   y   и   подставив   в   первое,   то
получим   уравнение   девятой   степени.   Поступим   иначе.   Умножим   второе
уравнение на 3 и сложим с первым. Получим систему

x
2
x






3


,1
y

2
yx
,1
которая равносильна системе
x
x

,1
y

2
2
yx




.1
Из   первого   уравнения   находим
уравнение, получим кубическое уравнение
уравнения на множители, получим:
1x
y
.  Подставив   это   выражение   во   второе
. Разлагая левую часть

01
2 2
x
x

3

x


1


2
x

x

0

1
Решая это уравнение, находим его корни:
1 x
,1
1
x
2

2
5

,
1
x
3

5
.
2
12 Подставляя найденные значения  x
 в выражение

, находим,

5
y
2
y
2
1x

2

,0
1
1
y
,


;0,1



1

2
5
,
1

2
1

5


;




2
1 y




Ответ:

2
5
5

1
,

2
5







.
Решите самостоятельно, используя метод алгебраического сложения:



















1.
2.
3.
4.
5.
2

,17
;


,8

6
y
;

1

;
2

x
y
x
y
2
1
4
3
1

,2




3
2


3
4







5
3
y
2
x
2





x
y
35
4
2
2







3
5
1
y
x
x
y







2
53
52
x
7
y
x



xxy
,30
y

3
3
x
35
y


2
x
2
,208


2
3
1
y
y
x
2
2
;
.
3. Метод введения новой переменой состоит в следующем: если


yxF
,
1


,
yxF
2


1




,
yxgyxgf
,
1




,
yxgyxgf
,
2

;

;


,
,
2
2
1



то систему
13 






2 , vu
2
, …, 
n vu ,
n

,0

0
yxg
1
,
u
,
yxg
,
v
2

,0

0
, 
 можно записать в виде
с помощью новых переменных
  решения последней системы. Тогда задача



Пусть 
сводится к решению следующей совокупности систем:


yxF
,
1


,
yxF
2


vuf
,
1


vuf
,
2
1
1, vu



,
u
yxg
,
1
1



;
v
,
yxg
1
2



u
,
,
yxg
2
1



v
;
,
yxg
2
              ...;




u
,
yxg
n
1




v
,
yxg

2
Решения этой совокупности будут одновременно и решениями системы



yxF
,
1



,
yxF

2
Рассмотрим   примеры   применения   данного   метода   при   решении   систем

,0

0







2
,
.
n

уравнений.
14 Пример 1: Решим систему уравнений:

x
2
yx
xy


,11
y

2
30
xy



Решение: Это система симметрических уравнений, поэтому полезно будет ввести
новые переменные
v  . Сделаем замену переменных.

xy
,
x
u
y
Система примет вид:


vu
,11


uv
30

2 v
Решая эту систему, находим
6
Остается найти решение совокупности систем уравнений:
2 u
5
1 v
5
1 u
6
,
,
,
.







,6


y
x

xy
;5

y
x
,5

xy
.6


y
x


xy
;5



y
x
,5


xy
6

 
3,2;2,3;5,1;1,5
 
 
,6
1 x
5
,
1 y
1
;
2 x
1
,
2 y
5
.
3 x
3
,
3 y
2
;
4 x
2
,
4 y
3
.
Система
   имеет решение
Система
   имеет решение
Ответ:  


.
Симметрические   системы.
 Напомним   основные   сведения   о
  называется  симметрическим,
симметрических выражениях. Выражение
если   оно   при   замене   переменных   x   на   y или   y   на   x   не   изменится.   Так
симметрическими будут следующие выражения:
yxF ,



yxF
,
yxF
,



x
2
3
xy

y
2
,

y
x
2
xy

1
x
1
y
.
Основными   симметрическими   многочленами   с   двумя   переменными
x    и   xy .   Все   остальные   симметрические   многочлены   с   двумя
считаются
переменными могут быть выражены через основные. Положив для краткости
u
v  , получаем, например:

xy
,
y
y
x
15 2
3
4
5
2
x
x
x
x
x
2
3
4
2
2
y
y
x
x



x

x
2
y



y


2
xy


y
y


y
y


2
xy
x
Система,
2
2
5
22
2

2
2




xy
xy
u
y
2

,2
v




2
uu
v
3


2

2
u

yx
x
y

xy
u
2


3
x
2
  все   уравнения   которой   симметрические,
v
2

2
uv
,3

4
u

uv
2

4
vu

3
uv
3
yx

3
y

y
2
v
,2


uv
2

xy

u
v
2

u
u
2

v

2
3
2
2
2
2
5
3
5
vu
2
 и т.д.

2
uv
5
,
  называется
симметрической. Ее можно решить методом введения новой переменной, выбрав
в качестве новых переменных основные симметрические многочлены.
16 Пример 2: Решим систему уравнений:



x
x
,17
3
3
3


3
yx
y


xy
5
y
Решение: Введем новые переменные
, то заданная система сводится к следующей
3
3
3
,
x
3
uv
3
,17


y
u
x


xy
v

Так как

u
y



3
3
uv
v
u


vu
5

Из этой системы находим:

u
1

v

1
Теперь остается решить следующую совокупность систем:




y
x
y
,3
x




xy
.3
xy
;2


2 x
1 y
1 x
;
Получим
,
2
1
1,2;2,1
Ответ:  

 

.

,3

;2

,2

.3

2 y
1

u
v



,2
2
,
2
2
.
Однородные   системы.   Система   двух   уравнений   с   двумя   переменными
вида




n
n
xa
0
xb
0


xa
1
n
xb
1

n
1

1

xay
2

n
xby
2

n
2

2
2
y
2
y

...
a

b
...
n

n

1
xy
1
n
xy

n

1
1

ya
n

n
yb
n
n
,

c

d
называется однородной (левые части обоих уравнений – однородные многочлены
степени  n  от   двух   переменных).  Однородные   системы   решаются   комбинацией
двух методов: линейного преобразования и введения новых переменных.
Пример 3: Решим систему уравнений:




2
2
3
2
x
x



xy
3
xy
2

,0
2
y

1
y
2
17 Решение:   Первое   уравнение   системы   –   однородное   (напомним,   что   так

yxf
называются   уравнения   вида
     однородный   многочлен).
,
. Но
Заметим, что если
0x


xy
2
пара   
,   и,
0y
следовательно,   обе   части   однородного   уравнения
  можно
разделить на
  находим
  не   удовлетворяет   второму   уравнению   системы,   поэтому

0
, то из уравнения
,   где
x
3

, yxf
0,0
0y
xy


0
0
2
3
y
y
2
x


2
2
2
2y  (это не приведет к потере корней).

x

y

  и   далее
xy
2
y
0
2
y


3

x
y


2
,
2
2
2
,0
Получим:
что
x
y
1
  или
2
3
,
   или
y
x 
2
3
y
.
3
x
2
y
x
y

2
y
2
y
 т.е.
x
  откуда   находим,
18 Теперь задача свелась к решению совокупности систем уравнений:
2
x
;1

xy

x
2
,
y
3

y


2
x
2
3








2
Первая из этих систем несовместна, а вторая имеет два решения:   
3,2 


Ответ: 

. Это и будут решения заданной системы.
 
;3,2

y

3,2

xy
.1
3
x
y
,


.
2
2
Решите самостоятельно, используя метод введения новой переменной:






















1.
2.
3.
4.
5.
2
2

y
x
y
x

x
y

x
xy

2
x
y

2
5

7
x
x
2
2
;
y
2
6
8
12

y
,1


2
2
11
2
x


xy
y
5
,29


7
43
xy
y
13
4


6
1

y
xy

2
xy
x


2
x
y

1
xy

y
y
2
2
2
2

x

xy
5

8

x
xy

2
yx
xy

2
2
x
y
2

,18
;
;
;
,
2

,1
.
4. Метод Гаусса.
Линейным уравнением с n переменными
1x ,
2x ,…,
nx
3,2
,
19 Называется уравнением вида
n 
b
xa
...
n
2
2
xa
11
1a ,

xa
2a ,…,

na ,  b   некоторые числа. Если все числа
,                                                                                (1)
1a , …,
где
na ,  b  равны
нулю, то любой набор n чисел является решением этого уравнения. Если же все
числа
1a , …,
В дальнейшем будем предполагать, что не все коэффициенты
, то уравнение (1) не имеет решений.
na  равны нулю, а
1a , …,
na
0b
равны нулю.
При нахождении решений системы m линейных уравнений с n переменными
удобно   пользоваться  методом Гаусса.  Этот   метод   является   частным   случаем
метода   исключения   переменных   и   состоит   в   том,   сто   равносильными
преобразованиями   данную   систему   приводят   к   так   называемой    треугольной
форме.
Рассмотрим решение системы линейных уравнений данным методом.
Пример: Решим систему уравнений:
,13
2
x
3
y

x
3
z

y
,6

8
x
z
y
z





Решение: Прибавив почленно к первому уравнению второе, умноженное на   –2,
получим
1 z
  или
1
y
y
z
.

Далее, к третьему уравнению системы прибавим второе, умноженное на
–3, получим уравнение

2
y

2
z

10
.
Наконец, прибавив к этому уравнению уравнение
y
1 z
, умноженное на
2, получим

4
z

12
, т.е.
3z
.
,6
В результате преобразований получили систему уравнений

x

y


z


z
y

,1
z

,3
которая, очевидно, равносильна данной.
Системы   такого   вида   называются  треугольными.   Они   легко   решаются.

Действительно,   из   третьего,   второго   и   первого   уравнений   последовательно
находим
Ответ:  
3z
3,2,1
21 z

1

,
.
,
6
y
x
y
z
.
Решение системы линейных уравнений приведением к треугольной форме
называется методом Гаусса.
Решите самостоятельно, используя метод Гаусса:
20 1.
2.
3.
4.
5.
;
;
4
4
4

6
2


2
x
x


x
x
2
1


2
x
x

2
1


5
x
3
x

2
1


x
3
x
2
1


8
x
x

2
1


3
x
4
x

1


x
2
x
1


2
3
x

1


x
4
3

1


4
x
x

1


x
x
2
1


2
x
x

1
2


x
2
x
3

1


x
x
5
2

1


3
x
x
2
1


2
x
x

1


x
x
3

1


3
2
x

1
2
x
3
x
3
x
x
4

,2


x
3

3
x
3

5
x
3

x
5
7
x

9
2

3
x

4

x
2
3

2
x

x

x
3

x
3

x
3
x
2
3
x
7
x
2

7

,1

x
4
3
x
4

,7
3

,12

9
3


4
x
,11

x
,12
3


x
2
,13


x
3
14
3
4


4
x
x
,0
5



x
2
3
,0
x



x
x
2
,0
5
4



2
2
0
x
x
5



x
,1
x
5
4



3
5
x
,2
x



x
x
5
7
,3



5
8
3
2



3
x
4
x
5
x
4
4
2
2
3
4
;
;
2
3
4
5
5
2
2
2
4
5
3
.
5.   Метод   разложения   на   множители  основывается   на   том,   что   если
 определены для всех значений переменных  x  и  y ,
yxf
 и

,
2
выражения
то система


,0
1
,
yxf





,
,
yxgyxf
1
1



,
yxf
0
2


yxf
,
1


,
yxf
2

,0

0







равносильна совокупности систем
21 и




yxg
,
1

yxf
,
2

x
2
x
2







,0

.0


3
xy
2

2
10
y
Пример 1: Решим систему уравнений:

2
y


y
,0
x
Решение: Система равносильна совокупности  двух систем
2
2
2


3
xy
2
y

2
10
y

,0
y

2
2
y

x



x

x

x

Заметим, что
.10


,0

2
x

3
xy

2
2
y

0
  однородное уравнение и
0y
 не входит в
 и
решение системы. Разделим первое уравнение на
2y . Получается уравнение
2
z

3
2
2
.0
x
y
x
y


3










Введем новую переменную

z
1 z
Получим
2
Значит,   либо
поочередно   во   второе   уравнение   системы,   получаем   совокупность
z     и найдем корни квадратного уравнения
2 z
1
2
,   либо
.   Подставляя
2
y
,
x
y
  и
x 
1
x
y
x
y
.0
2
y
x
.

уравнений
10
  и
10

2 2 y
5 2 y
Решая   уравнение
.
5 2 y
10
найденные значения в выражение
x
   и подставляя результаты в выражение
10
3 x
Решая уравнение
y
4
,   находим
1 y
2 , получаем

y
2
22
2 2 y
,
находим:
2
x
2
,
2
1 x
x
4
3 y
,
,
,
5
5
5
5
y
.
.
.   Подставляя
22
x  ,
y
22 ;
2
22
,
22
,
5
5
1 y
2
,
y
2
;
3 y
,
Таким образом, решение первой системы является:
1 x
x
2
3 x
x
4
Решая вторую систему, выразим из первого уравнения   y . Получим
Но этот случай мы уже рассмотрели.
Ответ:  
 
 

;5,5;2
 
;2,22
5
x
4
,22
5

,5
5
;




.
.
y  .
x
Решите самостоятельно, используя метод разложения на множители:


x
2
x
x
x
y
3
2
2
2
y
3


xy
4


2
5
y

y
,
z


2
2
3
z


3
x

,
z

y
y
2
2
4
3
xy
2
3

y
2
x
2


2
1
y
x

y
x
2

,3
y
z

2
2
z
,5
y

9
z
y


1
y


2
y

x
2
x
x
x
x
2
3
3

x
xy
;























1.
2.
3.
4.
5.


y
,0
x
;
;
26

x
,6
2
y
;


1
,0
2
y


3
61
x
.
6.  Метод   почленного   умножения   и   деления   уравнений   системы
достаточно часто встречается при решении систем уравнений. Название данного
метода говорит само за себя. Рассмотрим данный метод на примерах.
Пример 1: Решим систему уравнений:
23 yz
zx
xy






,24

,10

15
Решение: Перемножим почленно все три уравнения системы, получим:
2
2
2
xzy
24
10
или
xyz
345
15
24 Тогда получаем следующее


,10

,6

4



2
 
;4,6,10

x
1

y

1

z

1

x
2

y


z

Ответ: 

Пример 2: Решим систему уравнений:
,10
,6
4
4,6,10



.
2


y
z
x

z

x

y
xyz
,
,
xyz
xyz





Решение: Сразу можно сказать, что решением данной системы будет
x
y
z

,0

,0

0





так как эти значения удовлетворяют уравнениям нашей системы.
Найдем другие решения системы:
Разделим   почленно   первое   уравнение   системы   на   второе,   второе   на   третье   и
первое на третье. Получим


1

,1

,1

z

x

x

y

z

y

z
z

x
x

x
z

y

z


z

x


y

x


y

z


y

Таким образом
x
,
y
,
y
или
x

y
z
.
25 Тогда

x
x
x


3
x
2
x
0



0
xx
2
1 x
0
2 x
2
2
,
,

 
 
Ответ:  
;2,2,2
;,0,0,0
3
x
3

,2

,2


2
.
26 Решите   самостоятельно,   используя   метод   почленного   умножения   и   деления
уравнений системы:


























1.
2.
3.
4.
5.
yz
x
zx
y
xy
z
xy
xz
yz
x
2
y
3
2
x
3
2
2
y
x
x
,
,
;
;



10
3
15
2
6
5

,2

,3

6

2
3
yx
,20

2
2
yx
5


xy
3
x
,8
3
y




2
xy
2
6
4
x
y



2
y
xy
3
,6
y
x



2
xy
y
5
3
2
x


y
;
;
2
4
2
2
.
7. Геометрический метод.
Пример 1: Рассмотрим пример:
Из условий
вычисляя их значений, укажите значение выражения
 y
9
z
y 2
  и
,
16
xz
y
x
2
2
2
2
xy 
yz
.
 для положительных  x ,  y  и  z , не
2
2
Т.е. требуется, не решая систему

x

y


y


,9
y

,16
z

xz
2
2
2
ответить на вопрос, чему равно значение выражения
xy 
yz
.
x ,   y   и   z      положительны   и   таким     образом   задачу   можно   решить
геометрически.
27 По   теореме,  обратной   теореме   Пифагора,  числа     x ,   y   и   3   являются
длинами   соответственно   катетов   и   гипотенузы   треугольника  ABD  (угол  D
прямой).
Тогда, рассмотрев второе уравнение системы, можно сделать вывод, что  y ,
z   и   4   являются соответственно длинами катетов и гипотенузы треугольника
BCD, с прямым углом D.
Третье уравнение системы разрешает утверждать, что число  y  есть среднее
пропорциональное   чисел   x   и   z .   Тогда   по   теореме,   обратной   теореме   о
пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике, угол  ABC  прямой.
yz
Теперь, чтобы ответить на главный вопрос задачи, рассмотрим выражение
.
xy 


z
x
y
yz

S
xy
Примечание: Для данной системы задания могут быть и другие. Например,
 или в каком отношении находятся числа


43
12
ABC
2
y
x
z
.
чему равно значение выражения
x  и  y ;  z  и  y ;
Пример 2: Решим систему уравнений:
x   и  y ?
y




y
x
2

x

y

2
y

2
x

,48

2
y
24
Решение:   Нетрудно   убедиться,   что   x   и   y   положительны.   Так   как
 и  x  являются длинами соответственно
y
катетов и гипотенузы треугольника ABC с прямым углом ACB.
, то числа  y ,
x 




y
x
x
y

2
2
2
2
2
2
2

28 .
Из второго уравнения системы получаем
Ответ:  

8,10;6,10

 
.
y
y

2
Площадь этого треугольника равна 48, а его периметр 24. Тогда радиус
окружности, вписанной в треугольник  ABC, равен 2. Так как длина гипотенузы
AB рана сумме длин катетов AC и BC без удвоенной длины радиуса вписанной в
треугольник окружности, то

4
x
x

2
10x
. Значит,
6y
 или
8y
.
29 Пример 3: Решим систему уравнений
x
x
3





2
2
x
2

xy
y

x


2
8

y
2
y

yz
,0

2
,0
yz

xy
yz
8
8

2
x

4
z

2
Решение: Перепишем эту систему в виде
2
2
2



y

1
y


1


,
xb






z
x
y
,0
y
x






x
2
,0
1
z
y
x








2




1
4
y
z
z
4
2
x
x



yxa ,
Рассмотрим векторы
 ,
  Из   первого   уравнения   получаем

, а из третьего уравнения имеем
24
b
Если
Если
Если
Из   этих   уравнений
0 y
x

 и  c
2 , то есть

, то
a
0

, то   b
0a


b
c

0ca
удовлетворяют только

b

c
2
Если
Из этих уравнений

2,1


xc
,  из   второго   уравнения   имеем
1

z
.
yy
z
,


0ba

 .
c
2
z
2

c

b
2

21

b
z
.
1z
.
2
2  или

 и

0x
 и из третьего уравнения

 коллинеарные, то есть
c
y



21
x
x
y
1y
  z      любое.   Однако   системе
,

2
1z
1y
.
,
,
0x
2
2
y

 и
, то есть

1
2
x
x
3 
1
3 ,   x    любое. Однако уже первое
y
2
2
x



2
z
,


4
1
2
x
y
z
z
.
,
.
уравнение системы не выполняется ни при каких значениях  x .
Ответ:
,0,0


.
1
2




,0;


1
,2
1
2












Решите самостоятельно, используя геометрический метод:
1.   Вычислите   значение

y
x

1
2

z
,   если
0y
,
x
2  y
25,7
,
2
y
 z
2
2
y

1
x
2

z
.
2.   Для   положительных  x ,   y   и    z  из   условий
2
x

xy

2
y
2

169
,
2
y
 z
2
50
,
,
2
2


xz
z
x
2
выражения

144

xy
,   не   находя   значений   x ,
yz
zx

.
3. Решите систему уравнений
  y   и
 z,   вычислите   значение
30 x
y
x
x
z









y
z
y
y
x

3

,3
z
x

z
,3
z
x

4. Решите систему уравнений

y
z
,3


2
2
z
3
y
2
x
x



 5. Решите систему уравнений

x

x


x

     если
2
3

y

2
y

y
0x

z
,2

3
4
z
,4

8
z
,
0y
5
4
3
,
0z
.
ax
8. Решение систем уравнений с параметрами.
Коэффициенты,   заданные   в   уравнении   не   конкретными   числовыми
значениями,   а   обозначенные   буквами,   называют  параметрами.   Придавая
параметрам   различные   числовые   значения,   получаем   различные   уравнения.
  x   переменная,   a и  b   параметры.
Например, в линейном уравнении
0 b
 имеет три параметра  a ,
Квадратное уравнение стандартного вида
ax
b ,  c . При изучении квадратных уравнений и квадратного трехчлена мы видим,
что   при   одних   значениях   параметров  уравнение   не   имеет   корней,  при   других
имеет   только   один   корень,   при   третьих      два   корня.   Поэтому   при   решении
уравнений  с параметрами  необходимо  вначале   выяснить,  при  каких  значениях
параметров   уравнение   имеет   корни   и   сколько   их   в   зависимости   от   значений
параметров.   Заметим   найти   все   выражения   для   корней   и   указать   те   значения
параметров,   при   которых   это   выражение   действительно   определяет   корень
уравнения.

bx

0
c
2
Все сказанное в равной мере  относится и к решению систем уравнений,
содержащих параметры.
Пример 1: Решим систему уравнений

,0
a
0

10
y

ay
xy
xy






6
2
2
2
6
2
x
x
x
x
y
y


2
2




2
2
Решение: Сложив первое уравнение со вторым, перейдем к равносильной системе
31 x
2
2
x
2

2

2
y
y

2

8
xy
2
x


2
4
x

y
,0
10


2
ay
0




Эта система в свою очередь равносильна системе

2

0

2
2
2
y

x

2


2


1
x
2

2
y

xy
,0

ay


2



x
Первое   уравнение   системы   не   зависит   от   параметра   a ,   и   имеется
, которая удовлетворяет этому уравнению.
единственная пара чисел
Значит,   система   совместна   только   в   том   случае,   когда   пара   чисел   
1,2
удовлетворяет   и   второму   уравнению   системы,   т.е.   выполняется   равенство

Ответ: при
            при
  
 система несовместна.
. Отсюда заключаем, что только при
 данная система совместна.
1a
1a
1a
2x
1y
1,2
,
1
a
0
2
,
Решите самостоятельно системы уравнений с параметрами:

xx


y
;
;
,1
2
2
2
2
;


2

,1
y

4


y

2
ax




x
3
ax

xy
x
3


y
1

2
1
,2
a
x
y

a

xa

2
x
y

2
2
x
y

x
y
1


3
,
2
ay
x
ax

ay
2
y
ax

x
;
3
1.
2.
3.
4.
5.



















.
32 9. Решение показательных и логарифмических систем уравнений.
При   решении   систем   показательных   и   логарифмических   уравнений
применяются те же приемы, что при решении систем алгебраических уравнений.
Следует лишь подчеркнуть, что во многих случаях, прежде чем применить тот
или   иной   метод   решения   систем,   следует   преобразовать     каждое   уравнение
системы к возможно более простому виду.
Пример 1: Решим систему уравнений

,30




25
25
2
x
y
2

25


yx
55
Решение:   Введем   замену   переменных
уравнений
u
25 ,
x

v
25
y
,   получим   систему

,5

2
2
,30

v

55

u



uv
Данная система имеет четыре решения:


u
,5
1


v
;5

1




;5







3


u


v

Но
u
,5
.5
25 ,
u
v
2
u
v
,   значит,
,5
;5
0u

v
25
y
2
3
4
4
x
,
0v
,   т.е.   из   найденных   четырех

решений надо взять лишь первые два.
Таким   образом,   задача   сводится   к   решению   следующей   совокупности
систем уравнений:




x
y
25
25

,5

;5

33 x
25
25

,5

.5




Из первой системы находим:
y
Из второй:
2 x
Ответ:






1
2
,
1
4


;




1
2
1
4
1
4
,
2 y
,
1
2






.
1 x
1
2
,
1 y
1
4
Пример 2: Решим систему уравнений




x
y
2
2

y
3
,12

x
18
3
Решение: Перемножив  почленно уравнения системы, получим  уравнение
2
откуда

yx
 
yx
3
3 y
x
216
, или
6  yx
36
,

.
Разделив почленно первое уравнение системы на второе, получим уравнение

yx
2
 
xy
3

2
3
, или



2
3
 yx



2
3
,
откуда
x
1 y
.
Таким образом, решение системы сводится к решению следующей системы

y
,3

1
y
уравнений:

x

x

Решением этой системы будет
Ответ:  
Пример 3: Решим систему уравнений
2x
1,2
,
.
1y
.
9
y

9
y

6

,8

4
2
y

2

x



x
0x

5
y
2

Решение: Взяв логарифмы по основанию 2 от обеих частей каждого из уравнений
системы, получим следующую систему уравнений:




log
log
2
2
x
x
2
2
y

9
y

9
2
y

5
y

6

,3

,2
34 
log
9

log
или






2
y
2
9
y

5

y

6

x
,3

2
2
y
Разделим   первое   уравнение   этой   системы   на   второе   (это   деление   не
0

2
x
1x
log 2 x
, т.е.
 и

0
6
5
y
y
2

2
приведет к потере решений, так как ясно, что
):
2



2
y
9
y
9

2
6
5
y
y
1 y
2 y
откуда
,
3

3
2
.
0
,
2

y
x
6


;2

log
Таким образом, решение системы мы свели к решению совокупности:


,3
y



2
y
5



,0
y



2
5
y

Первая   система   этой   совокупности   решений   не   имеет,   а   пара  
0,23
решение второй системы – является решением нашей системы.
Ответ: 
Пример 4: Решим систему уравнений

log

.2

6
x
y

.
2
0,23

Решение: Приведем первое уравнение системы к более простому виду. Для этого
возьмем от обеих частей уравнения логарифм по основанию  y :




log
x
log
5
2
xy

y

log
y
x

y
,
y

3
x


1
4

log
y
x
x

y

5
2
,
log
y
x
log
y
далее
log
y
x
log
y
x

log
y
y

5
2
log
y
x
,

log
5
2
log
x
x
y
y
u

2
y
x
1
log
Введем
u

01
,   корни   которого
2
u

5
2
,   получим   квадратное   относительно   u   уравнение
,   тогда
.   Значит,   либо
1
2
y  .   Итак,   следствием   первого
log xy
1 u
2 u
,
2x
2
2
2y
x  .   Либо
уравнения системы является совокупность уравнений:
x  ,   т.е.
,   тогда
log xy
y
1
2
x  ,
2y
y  .
2x
35 Приведем теперь второе уравнение системы к более простому виду. Для
этого перейдем от логарифма по основанию  y  к логарифму по основанию 4:
log
4

x

,1
y
log



y
3 
x

y
4
log
3
x
.
4

3
y
 1

4
,
log 4

y
и далее
откуда
Таким образом, решение системы мы свели к решению следующей совокупности
систем уравнений:


16,4
;4
.4


,2
y


3
x

,2
x


3
x

x

y


y

y

Первая система не имеет решений, вторая имеет два решения:
,  
Проверка: Решения системы должны удовлетворять следующим условиям:


x
,0


y
,0



y
3
x



y
.1

Пара   
  единственное решение системы.
  этой   системе   удовлетворяет,   а   пара   
16,4
1,1
1,1
.

,0
     нет.   Значит,

16,4
Ответ:  
16,4
.
Решите самостоятельно системы показательных и логарифмических уравнений:
1.
2.







9
3
2
x

yx

,729



1yx
1

y
,12
2

y
5
x
36 x
3

2
y
2

,77
x
2
3


y
y

6
2

2
y
2
y
2
x
9
9

2

y
5
x
x
64
64
log
x
log
3

2
x
lg

x
lg
7

,4

64


y
2
,12
64


yx
24


log
,27
2
y


1
x
log
y
3



2
,13
lg
1
y





y
x
lg
y
1
4
log
log

,4

x


x
3
y
3
4
2lg3
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.

























10.
9
2

2
xy
2
x
log
y
log




log
xy
2

x
xy


,1
y


2
3

x

,1
4

log

log
y
x
y

2
y
log


x
1

log
2
10.   Решение   систем   тригонометрических   уравнений.   При   решении
систем тригонометрических уравнений используются те же приемы, что и при
решении   систем   алгебраических   уравнений.   Но   часто   бывает   удобнее   вместо
a
общих   формул,   по   которым   решаются   уравнения   вида
,
a
записывать решения этих уравнений в виде совокупности двух систем.
Пример 1: Решим систему уравнений
x 
cos
x 
sin
,
37 






x


y
sin
1
2
,

x


y
cos
2
2
Решение: Если воспользоваться общими формулами, то придем к системе






k
x


y

1


y
4
откуда находим:
x

k
,


6

,2
n
k
x

1










k
2
12

k
12
2
решение системы.



1


8
8
y
k


n
,


n
                                                                              (1)
Если решение первого уравнения системы записать в виде совокупности
x


;2
k
y
а решение второго уравнения системы записать в виде совокупности

6

5
6
x

y


2
k
,
x
x
y


4


4
y

;2
n


,2
n
то получим совокупность четырех систем:


y
6


y
4


6


y
4
y
x
x
x
x












откуда


,2
k

;2
n

,2
k



;2
n












x
x
x
x
y

5

6


y
4

5

y
6

4

y


,2
k

;2
n

,2
k

,2
n
38 k
n
k
n

k
n

k
y
2
x
2

,

;

,





;
x
1
y
1










5

24


24

24

5

24












Эта совокупность представляет собой решение нашей системы. Конечно,
такая запись не столь компактна, как запись решения в виде системы (1), но более
наглядна, поэтому часто подобной записи отдают предпочтение.

13

24

7

24

7

24

13

24























.





;

,

,
x
3
y
3
x
4
y
4

k

k
n
n
n
k
n
n
k
Обратим   внимание   на   следующее   обстоятельство:   при   записи   решений
первого уравнения системы мы использовали параметр  k , а для записи решений
второго уравнения системы – другой параметр  n . Употребление только одного
параметра, например  k , привело бы нас к потере решений.
Пример 2: Решим систему уравнений
,75,0
sin
tgx





sin
x
y

tgy
3
Решение:   Разделив   левую   и   правую   части   первого   уравнения   системы
соответственно на левую и правую части второго уравнения системы, получим
уравнение

cos
cos

y
x
.
1
4
,
x
y

sin

sin
Заменив этим уравнением второе уравнение системы, получим систему






3
4
1

4

cos
cos
y
x
,
равносильную нашей системе.
Заменим   теперь   первое   уравнение   системы   суммой   уравнений   этой
системы, а второе уравнение – разностью второго и первого уравнений. Получим
новую систему:

cos

sin

,1
cos
sin

y
x
y
x
cos
x

cos
y

sin
x

sin
y

1
2
,
39



 или


x
x


y
,1

cos




Из   первого   уравнения   полученной   системы   находим

y
cos
1
2
,
уравнение системы равносильно совокупности уравнений

2
3

2
3

;2
n


.2
n

y
x
x

y
x
2
k
y
,   второе
40 Таким образом, мы перешли к совокупности систем

x
x
x
x



.2
n

;2
n

y

y

y

,2
k

2

y
3

2
,
k

2
3








Из первой системы совокупности находим семейство решений:






Из второй системы совокупности находим семейство решений:








3


3

3

3

kn

kn

kn

kn










y
1
x
1

.

.



,

,
x
2
y
2
Проверка:   Так   как   в   процессе   решения   выполнялись   только   равносильные
преобразования (это отмечалось в ходе решения), то совокупность семейств
,
;


x
1
y
1






kn

kn
Из первой системы совокупности находим семейство решений:














3


3

3

3

kn

kn








y
x


,
2
2

является решением системы.
Решите самостоятельно системы тригонометрических уравнений:
41 1.
2.
3.













x
3


,
y
4


tgx
2
tgy


5
2sin
x
tgy
,12


y
5
6
2sin
tgx
1

2
1

2
cos
cos
sin
sin
y
,
3
x
3
x
y
4.
5.












,
z
y
x

tgx
,2
tgz

tgy
18
tgz

x
y
cos
sin
,


6
tgz
sin
y


z
sin
3
2
,
ctgx
42 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Алгебра для 9 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с
углубленным изучением математики. Под редакцией Виленкина Н.Я. – 2е
издание. – М.: Просвещение, 1998г.
2. Варпаховский   Ф.Л.,   Солодовников   А.С.   Алгебра:   Элементы   теории
множеств. Линейные уравнения и неравенства. Матрицы и определители. –
М.: Просвещение, 1974г.
3. Галицкий М.Л. и др. Сборник задач по алгебре для 89 классов. Учебное
пособие   для   учащихся   школ   и   классов   с   углубленным   изучением
математики. – 3е издание. – М.: 1996г.
4. Генкин Г. геометрические приемы решения систем уравнений                //
Математика в школе. – 2004  № 34.
5. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. –
М.: Наука, 1970г.
6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1974г.
7. Лапушкина Л.И., Шабунин М.И. Системы алгебраических уравнений [на
вступительных экзаменах в ВУЗы] // Математика в школе. – 1998  № 6.
8. Литвиненко   В.Н.,   Мордкович   А.Г.   Практикум   по   элементарной
математике:   Алгебра.   Тригонометрия:   Учебное   пособие   для   студентов
43 физико – математических специальностей педагогических институтов. – 2е
издание. – М.: Просвещение, 1991г.
9. Малаев М. О приемах решения некоторых систем уравнений
      // Математика в школе. – 1981  № 6.
10.Моденов В.П. О системах уравнений второй степени с двумя неизвестными
[в помощь учителю] // Математика в школе. – 1973      № 2.
11.Муравин Г.К. Об одном из способов изучения систем уравнений           //
Математика в школе. – 1984  № 1.
12.Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Решение систем уравнений.
– М.: Издательство МГУ, 1992г.
13.Росошек С.К. и др. Системы уравнений: Учебное пособие по математике. –
М.: Издательство Томского университета, 1996г.
14.Скорняков Л.А. Системы линейных уравнений. – М.: Наука, 1986г.
15.Эвини   А.Ю.   Пять   решений   одной   системы   уравнений.   //   Математика   в
школе. – 1998  № 6.
44 45

file_name: СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ , Азарова Е.Е.,Н.Тагил.doc

description:
Нижний Тагил
2007
2

intro: В данной разработке рассматриваются методы решения различных систем уравнений, приводится теоретический материал для каждого метода, разбираются примеры для применения разобранного приема, а также приводятся задания для самостоятельного решения систем, закрепления изученного метода. Представленный сборник предназначен для учащихся 9-11 классов, может применяться для изучения темы на уроках, факультативах и самостоятельной работы дома.Методическая разработка по теме(сборник)

title: Методическая разработка по математике "Системы уравнений и методы их решения"


extracted_text:
Использование электронных ресурсов в системе
внутришкольного мониторинга учебновоспитательного процесса.
А.С. Ракитянский *, С.Ю. Ракитянская *
Оренбургский государственный педагогический университет,
г.Оренбург
Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение
«Гимназия №5», г.Оренбург
Одним   из   важнейших   направлений   реформирования   системы   российского
образования,   реализации   Национальной   доктрины   образования   и   стратегических
документов   Правительства   РФ   о   модернизации   образования   является
совершенствование управления качеством образования.
Прогнозирование   развития   системы   образования   и   принятие   решений   о   ее
совершенствовании   не   может   осуществляться   без   должной   опоры   на   регулярно
собираемую   и   объективно   представленную   информацию   о   функционировании
системы образования.
Мониторинг качества образования является механизмом контроля и слежения
за   качеством   образования   и   позволяет   выявить   тенденции   в   развитии   системы
образования.
Ключевые   слова:  мониторинг,   индикаторы,   услуга,   потребитель,   качество
образования, единая образовательная сеть.
Мониторинг   становится   частью   государственной   программы   в
области образования, в которую будут вовлечены все объекты системы
образования   страны,   как     на   федеральном,   так   и   на   региональном
уровнях. Частью мониторинга являются международные сравнительные
исследования   качества   образования.  Такая   система   позволяет   оценить
качество   образования   в   стране,   в   отдельных   ее   регионах,   а   также
сравнить его с другими странами мира.
Мониторинг качества образования и единство процедур оценивания
в   системе   реформирования   российского   образования   направлены   не
только  на  получение  качественного  образовательного результата,  но и
способствуют   защите   интересов   обучающихся   и   их   родителей,   всех
потребителей образования на рынке услуг.
Усиление   процессов   стандартизации   в   образовании   неизбежно
влечет усиление контроля исполнения государственных образовательных
*декан физико – математического факультета ОГПУ, кандидат физико
математических наук, доцент г.Оренбург
* заместитель директора по УВР высшей   категории, учитель математики
высшей категории МОБУ «Гимназия №5» г.Оренбург стандартов
  и   процедур   их   применения.   Главным   образом,   это
происходит в части реализации установленных государством минимума
содержания   образования
  и   требований   к   подготовке   и   нагрузке
выпускников.   Мониторинговые   исследования   будут   способствовать
установлению   соответствия   образовательного   продукта   или   услуги
нормам   государственного   образовательного   стандарта   и   социального
заказа.
В   рамках   мониторинга   проводится   выявление   и   оценивание
проведенных  педагогических   действий.   При   этом   обеспечивается
обратная связь, осведомляющая о соответствии фактических результатов
деятельности   педагогической   системы,   ее   конечным   целям.   То,   что
конечные   цели   всегда   не   соответствуют  заданным,   планируемым
ситуация обычная, но не всегда учитываемая практическими работниками
образования.   Задача   состоит   именно   в   том,   чтобы   правильно   оценить
степень, направление и причины отклонения.
Эти отклонения вызываются влиянием на педагогическую систему
различных внешних и внутренних факторов. В педагогической системе в
качестве   причин,   снижающих   эффективность   ее   функционирования,
могут   выступать:  изменения   в   целях   образовательного   учреждения,   в
образовательных   и   учебных  программах,   планах,   несовпадение   личных
целей участников образовательного процесса с целями образовательного
учреждения, опережающее развитие науки, формирующей учебные курсы,
переход   к   новым   методикам   и   технологиям   обучения,   объемное
изменение состава обучающихся и педагогического персонала в процессе
достижения цели.
В   условиях   рыночной   экономики   каждая   желающая   выжить
организация должна оказывать услугу привлекательную для потребителя.
«Субъективные   измерения»   часто   важны   для   достижения   успеха   при
оказании услуг, поскольку для потребителя они являются устойчивыми и
объективными индикаторами.
Решение   проблемы   качества   образования   зависит   от   того,
насколько   своевременно   и   адекватно   реагирует   школа   на   изменения
внешней   среды   и   потребностей   общества.   Необходимо   сознательное
воздействие на возникающие процессы, что невозможно без изучения их
динамики.   Обеспечение   должного   качества   образовательной   системы
достигается благодаря объективной информации о функционировании и
развитии   всех   ее   элементов,   получаемой   в   мониторинговом   режиме.
Система   мониторинга   представляет   собой   инструментарий,
предназначенный   для   формирования   рейтинговой   оценки   знаний   как
отдельного субъекта процесса обучения, так и коллектива обучающихся
в целом на протяженном временном интервале. Для   создания   целостной   системы   мониторинга   воспитательно   –
образовательного процесса в школе разработана программа мониторинга.
Итак,   мониторинг   позволяет   проводить   непрерывный   контроль
знаний   учащихся   и   диагностику   профессионального   мастерства
педагогов.   Решение   этих   задач   требует   сбора   и   обработки   большого
количества   информации,   что   связано   со   значительными   временными
затратами, а также соблюдением регламента  работы с диагностической
информацией:
 информация должна быть достоверной, убедительной для учителя,
учащегося, представлена в виде, доступном для осмысления;
 одна и та же информация исследуется с различных позиций;
 распоряжаться   информацией   и   превращать   ее   в   деятельный
инструмент   управления   возможно   только   на   основе   личностных
характеристик   субъектов   учебной   деятельности   и   их
возможностей.
Практически   внедрить   систему   мониторинга   можно   с   помощью
современных   информационных   технологий.   Компьютерная   обработка
поступающей   в   ходе   мониторинга   информации   обеспечивает
возможность   создания   информационных   баз   данных   системы
образования. Это делает управление школой оперативным. В   МОБУ
«Гимназия №5» была разработана система компьютерного мониторинга
учебно  –  воспитательного   процесса.  Она  состоит   из   библиотеки   книг,
 MSExcel  –   «Мониторинг   успеваемости   класса»,
созданных   в
«Выполнение   программного   материала»,
  «Результаты   работы
предметников».
Книга «Результаты работы предметников» создана для хранения,
обработки   и   анализа   результатов   профессиональной   деятельности
педагогов.   Учителя   –   предметники   заполняют   непосредственно   в
компьютер стандартную таблицу – отчет за четверть, полугодие, которая
автоматически   высчитывает   итоговые   показатели:   успеваемость,
качество обучения, уровень обученности по предметам. По этим данным
проводится   графический   анализ   в   виде   диаграмм,   графиков,   которые
можно распечатать и приложить к аналитическим документам. Рис. 1.  Книга «Результаты работы предметников»
На сегодняшний день гимназия переходит на одну из эффективных
систем   информирования   родителей   об   успеваемости   и   посещаемости
учащихся   через   единую   образовательную   сеть   «dnevnik.ru».Система
позволяет во многом автоматизировать управленческую деятельность и
учебновоспитательный процесс. Имея индивидуальные логины и пароли,
администрация, учителя, родители и учащиеся могут входить в систему с
любого   компьютера,   подключенного   к   сети   Интернет.   Например,
находясь дома или на работе, родитель может отслеживать успеваемость
и   посещаемость   своего   ребёнка,  получать   информацию   от   учителей   и
администрации   гимназии,   в   т.ч.   через   систему   SMSсообщений.
Учащийся может удалённо получать домашние задания, просматривать
свой   электронный   дневник   и   расписание.   Учитель   со   школьного   или
домашнего   компьютера   имеет   возможность   готовить   и   размещать   в
системе   учебные   материалы,   работать   с   электронным   журналом,
осуществлять мониторинг образовательной деятельности.
Рис. 2.  Единая образовательная сеть «dnevnik.ru». Единая образовательная сеть «dnevnik.ru» использовалась нами с
учетом возможности регистрации и функционирования в пределах одной
образовательной организации. В дальнейшем   можно будет говорить об
использовании всего потенциала «dnevnik.ru» по объединению в единую
сеть школ города и управления образования. Может быть сформировано
единое городское информационное образовательное пространство.
Однако,   одно   только   внедрение   передовых   информационных
технологий, развитие и укрепление материальной базы гимназии не даст
желаемого результата, пока не будут созданы условия способствующие
развитию самого учителя в этой среде.
Для   того   чтобы   педагоги   уверенно   владели   информационно
коммуникационными   технологиями,
  грамотно   и   эффективно
использовали   компьютерное   и   проекционное   оборудование,   цифровые
образовательные   ресурсы,
  с   2011   года   в   гимназии   начала
функционировать   внутришкольная   система   постоянной   методической
поддержки учителей в области использования ИКТ.
С   учетом   практики   работы   гимназии   и   положительно
зарекомендовавших себя технологий, считаем, что школы города должны
принять во внимание и использовать у себя возможности:
Дистанционного обучения (общение учителя и ученика в реальном
времени во время актированных дней,  длительном отсутствии учащихся
по разным причинам).
Сетевого   взаимодействия   (работа   с   другими   образовательными
организациями ).
ее

внедрение
Положительным моментом является то, что система фактически
бесплатна, в гимназии не нужно ничего дополнительно устанавливать –
она уже готова к работе, доступна отовсюду через Интернет и то, что в
гимназии   происходит
  и   продуктивное
использование.Информационнообразовательная   среда   гимназии   за
последние три годапретерпела существенные положительные изменения,
ее   информационное   наполнение   обеспечивает   открытость,
масштабируемость   и   преемственность.
  Оно   предусматривает
возможность   адаптации   ресурсов   к   требованиям   участников
образовательного   процесса   и   их   интеграцию.   Создаваемая   система
сотрудничества между образовательной организацией с одной стороны и
родительской общественностью с другой основана на принципе общего
стремления   и   заинтересованности   администрации   и   педагогического
коллектива   в   повышении   качества   предоставляемых   образовательных
услуг   на   основе   применения   информационнокоммуникационных
технологий в педагогической практике.
Литература 1.  Национальная   образовательная   инициатива  «Наша   новая   школа»
http://www.educom.ru/ru/nasha_novaya_shkola/school.php
2. Кузнецов А.А., Хеннер Е.К., Имакаев В.Р. и др. «Информационно

коммуникационная   компетентность   современного   учителя».
Информатика и образование. 2010. № 4.
3.   Трубинина,   Л.А.   Программа   информатизации   школы   /Л.А.
Трубинина, Осина В.В.//Практика административной работы. – 2007. №8,
стр. 1921
4. Материалы с сайта центрального хранилища ЕКЦОР  http://school
collection.edu.ru/
5. Единая образовательная сеть www.dnevnik.ru

file_name: ПН-46 Секция 16 Ракитянский.docx

intro:
Одним из важнейших направлений реформирования системы российского образования, реализации Национальной доктрины образования и стратегических документов Правительства РФ о модернизации образования является совершенствование управления качеством образования.
Прогнозирование развития системы образования и принятие решений о ее совершенствовании не может осуществляться без должной опоры на регулярно собираемую и объективно представленную информацию о функционировании системы образования.
Мониторинг качества образования является механизмом контроля и слежения за качеством образования и позволяет выявить тенденции в развитии системы образования.
Ключевые слова: мониторинг, индикаторы, услуга, потребитель, качество образования, единая образовательная сеть.Одним из важнейших направлений реформирования системы российского образования, реализации Национальной доктрины образования и стратегических документов Правительства РФ о модернизации образования является совершенствование управления качеством образования.
Прогнозирование развития системы образования и принятие решений о ее совершенствовании не может осуществляться без должной опоры на регулярно собираемую и объективно представленную информацию о функционировании системы образования.
Мониторинг качества образования является механизмом контроля и слежения за качеством образования и позволяет выявить тенденции в развитии системы образования.
Ключевые слова: мониторинг, индикаторы, услуга, потребитель, качество образования, единая образовательная сеть.

администрации

group: Педагогика

title: Использование электронных ресурсов в системе внутришкольного мониторинга учебно-воспитательного процесса.


extracted_text:
Открытый урок по
музыке в 5 классе
    «Музыка и кино» Хамуева Екатерина Владимировна
Орг. момент. Звучит песня "Кинематограф"
Ход урока     Здравствуйте ребята! Приветствие.
Исполняю песню "Улыбка"
Дети, какое у вас настроение, покажите смайлик!
Как это настроение называется в музыке?    мажор
А противоположное мажору настроение?    минор
Я хочу, чтобы это настроение сохранилось у вас до конца урока!
Я вам желаю удачи и у вас все получится.  Посмотрите, что лежит перед
каждым из вас?    нотный стан
Да. За правильные ответы вы будете на него прикреплять нотки. И в конце
урока у вас должны получиться свои собственные мелодии.
Итак, ребята, я приглашаю вас в мир музыки. Послушайте мелодии и узнайте их
?  (Звучат фрагменты  музыки из м/ф и к/ф) Откуда эти мелодии?
  (ответы детей).Молодцы! Прикрепите нотки
Как вы думаете, о чем мы сегодня будем говорить? Посмотрите на доску, здесь
для вас подсказка  !!!   (ответы детей)Замечательно! Прикрепите нотки
Сегодня мы будем говорить о музыке, которая написана для  к/ф и
мультфильмов. 2016 год по указу президента Владимира Путина объявлен годом
отечественного кино.
Давайте отправимся в мир кинематографа, чтобы понять нужна ли музыка в
кино?
Викторина. Я предлагаю вам музыкальную викторину.
 Вам нужно назвать м/ф или к/ф и спеть  песню к данному  фрагменту.
( викторина)
Ребята, можем ли мы представить м/ф или кино без музыки и песен? Почему?
(Ответы детей). Молодцы! Прикрепите нотки
Ответить на этот вопрос нам поможет следующий видеофрагмент
А сейчас посмотрите кадры из фильма и скажите, что вам показалось необычным
в этом фильме.
(Перед включением фильма первый раз, убрать звук на колонках.
Что в нем необычного? нет звука, чернобелый, смешной (звук на колонках включить) А теперь интересней? Что же внесла музыка
в этот фрагмент?
Правильно, кино родилось  сначала чернобелым, смешным и беззвучным.
Обычно говорят немым. Зрители не могли услышать с экрана ни одного слова.
И его называли даже Великим Немым.
 А вы узнали главного персонажа этого фрагмента ? Это Чарли Чаплин
 А как вы догадались? (Ответы детей: смешной, усы, походка,
трость). Отлично, прикрепляем нотки!
Конечно же, это Ч. Чаплин.   Про этого знаменитого актера знают все и даже
сочиняют  про него песни . А давайте представим себя в роли  Чарли Чаплина.
Встаньте так, чтобы вам было удобно танцевать . Физминутка
Молодцы, ребята. Прекрасно танцевали! Прикрепите себе нотки! А сейчас
мы с вами продолжаем работу.
Так  как человек всегда воспринимает картины мира  эмоционально, то
музыка оказалась в кино просто незаменимой.  Она стала звучать без
остановок от первого до последнего кадра.
Появилась даже такая профессия, без которой невозможно было смотреть
фильм. А как называлась эта профессия кто знает?
Обсудите в группах. Отгадайте ребус! У кого готов ответ? (Ответы детей)
Молодцы! прикрепите нотки!
Чаще всего начинающие музыканты, молодые композиторы.  В 20 годы среди
них были и такие известные в будущем композиторы, как Д. Шостакович, Г.
Свиридов, В. Соловьев  Седой.   При этом таперам давались строгие
предписания  когда и что им нужно играть. Как вы думаете, что должен был
знать и уметь тапёр?  (Хорошо играть на инструменте, знать весь фильм,
быстро ориентироваться по ходу фильма)
Ребята, а какая современная профессия заменила тапёра? слайд
звукорежиссёр
Импровизация    А сейчас, я предлагаю вам попробовать себя в роли
тапёров и звукорежиссёров.  Вы будете  озвучивать видеофрагменты. Каждая
команда получит свой видеофрагмент.
1 команда                                                              2 команда Подумайте, посовещайтесь, определитесь какие инструменты или мелодии
вам понадобятся. Время для подготовки 3 минуты (Дети смотрят
фрагменты.)     ОЗВУЧКА.   Замечательно, молодцы! Прикрепите нотки все . А теперь
давайте посмотрим эти фрагменты в оригинале.                                                             Я
думаю , вы получили удовольствие от импровизации. И  ведь действительно
музыка и кино неразделимы!    Вывод урока:    слайд
Музыка пробуждает...................чувства    зрителей!
Музыка   создаёт......................настроение картины!
Музыка помогает.......................понять кино!
Молодцы, ребята. Прикрепите нотки, за правильные ответы!
Сегодня мы создали мелодию нашего урока. Покажите какая она у вас
получилась! Прекрасная, чудесная, добрая, великолепная, трогательная,
классная мелодия!
Эта мелодия напомнила мне одну замечательную песню!
Давайте её исполним!    "Хорошее настроение"
Возьмите с собой ваши мелодии на память об этом уроке! До свидания!!
   Если вы нахмурясь выйдете из дома,
   Если вам не в радость солнечный денек,
   Пусть вам улыбнется, как своей знакомой,
   С вами вовсе незнакомый встречный паренек.

   Припев:
   И улыбка, без сомненья,
   Вдруг коснется ваших глаз,
   И хорошее настроение
   Не покинет больше вас.

intro: Музыка и кино- не разделимы! К этому выводу должны прийти учащиеся к концу урока. Урок разработан в рамках школьной программы для 5 класса, а так же приурочен к теме года Российского кино. Открытый урок по музыке в 5 классе «Музыка и кино» Орг. момент. Звучит песня "Кинематограф" Ход урока Здравствуйте ребята! Приветствие. Исполняю песню "Улыбка" Дети, какое у вас настроение, покажите смайлик! Как это настроение называется в музыке? мажор А противоположное мажору настроение? минор Я хочу, чтобы это настроение сохранилось у вас до конца урока! Я вам желаю удачи и у вас все получится. Посмотрите, что лежит перед каждым из вас? нотный стан Да. За правильные ответы вы будете на него прикреплять нотки. И в конце урока у вас должны получиться свои собственные мелодии. Итак, ребята, я приглашаю вас в мир музыки. Послушайте мелодии и узнайте их ? (Звучат фрагменты музыки из м/ф и к/ф) Откуда эти мелодии? (ответы детей).Молодцы! Прикрепите нотки Как вы думаете, о чем мы сегодня будем говорить? Посмотрите на доску, здесь для вас подсказка !!! (ответы детей)Замечательно! Прикрепите нотки Сегодня мы будем говорить о музыке, которая написана для к/ф и мультфильмов. 2016 год по указу президента Владимира Путина объявлен годом отечественного кино. Давайте отправимся в мир кинематографа, чтобы понять нужна ли музыка в кино? Викторина. Я предлагаю вам музыкальную викторину. Вам нужно назвать м/ф или к/ф и спеть песню к данному фрагменту. ( викторина) Ребята, можем ли мы представить м/ф или кино без музыки и песен? Почему? (Ответы детей). Молодцы! Прикрепите нотки Ответить на этот вопрос нам поможет следующий видеофрагмент А сейчас посмотрите кадры из фильма и скажите, что вам показалось необычным в этом фильме. (Перед включением фильма первый раз, убрать звук на колонках. Что в нем необычного? нет звука, черно-белый, смешной (звук на колонках включить) А теперь интересней? Что же внесла музыка в этот фрагмент? Правильно, кино родилось сначала черно-белым, смешным и беззвучным. Обычно говорят немым. Зрители не могли услышать с экрана ни одного слова. И его называли даже Великим Немым. А вы узнали главного персонажа этого фрагмента ? Это Чарли Чаплин А как вы догадались? (Ответы детей: смешной, усы, походка, трость). Отлично, прикрепляем нотки! Конечно же, это Ч. Чаплин. Про этого знаменитого актера знают все и даже сочиняют про него песни . А давайте представим себя в роли Чарли Чаплина. Встаньте так, чтобы вам было удобно танцевать . Физминутка Молодцы, ребята. Прекрасно танцевали! Прикрепите себе нотки! А сейчас мы с вами продолжаем работу. Так как человек всегда воспринимает картины мира эмоционально, то музыка оказалась в кино просто незаменимой. Она стала звучать без остановок от первого до последнего кадра. Появилась даже такая профессия, без которой невозможно было смотреть фильм. А как называлась эта профессия кто знает? Обсудите в группах. Отгадайте ребус! У кого готов ответ? (Ответы детей) Молодцы! прикрепите нотки! Чаще всего начинающие музыканты, молодые композиторы. В 20 годы среди них были и такие известные в будущем композиторы, как Д. Шостакович, Г. Свиридов, В. Соловьев - Седой. При этом таперам давались строгие предписания - когда и что им нужно играть. Как вы думаете, что должен был знать и уметь тапёр? (Хорошо играть на инструменте, знать весь фильм, быстро ориентироваться по ходу фильма) Ребята, а какая современная профессия заменила тапёра? слайд звукорежиссёр Импровизация А сейчас, я предлагаю вам попробовать себя в роли тапёров и звукорежиссёров. Вы будете озвучивать видеофрагменты. Каждая команда получит свой видеофрагмент. 1 команда 2 команда Подумайте, посовещайтесь, определитесь какие инструменты или мелодии вам понадобятся. Время для подготовки -3 минуты (Дети смотрят фрагменты.) ОЗВУЧКА. Замечательно, молодцы! Прикрепите нотки все . А теперь давайте посмотрим эти фрагменты в оригинале. Я думаю , вы получили удовольствие от импровизации. И ведь действительно музыка и кино неразделимы! Вывод урока: слайд Музыка пробуждает...................чувства зрителей! Музыка создаёт......................настроение картины! Музыка помогает.......................понять кино! Молодцы, ребята. Прикрепите нотки, за правильные ответы! Сегодня мы создали мелодию нашего урока. Покажите какая она у вас получилась! Прекрасная, чудесная, добрая, великолепная, трогательная, классная мелодия! Эта мелодия напомнила мне одну замечательную песню! Давайте её исполним! "Хорошее настроение" Возьмите с собой ваши мелодии на память об этом уроке! До свидания!! Если вы нахмурясь выйдете из дома, Если вам не в радость солнечный денек, Пусть вам улыбнется, как своей знакомой, С вами вовсе незнакомый встречный паренек. Припев: И улыбка, без сомненья, Вдруг коснется ваших глаз, И хорошее настроение Не покинет больше вас.Музыка и кино- не разделимы! К этому выводу должны прийти учащиеся к концу урока. Урок разработан в рамках школьной программы для 5 класса, а так же приурочен к теме года Российского кино. Открытый урок по музыке в 5 классе «Музыка и кино» Орг. момент. Звучит песня "Кинематограф" Ход урока Здравствуйте ребята! Приветствие. Исполняю песню "Улыбка" Дети, какое у вас настроение, покажите смайлик! Как это настроение называется в музыке? мажор А противоположное мажору настроение? минор Я хочу, чтобы это настроение сохранилось у вас до конца урока! Я вам желаю удачи и у вас все получится. Посмотрите, что лежит перед каждым из вас? нотный стан Да. За правильные ответы вы будете на него прикреплять нотки. И в конце урока у вас должны получиться свои собственные мелодии. Итак, ребята, я приглашаю вас в мир музыки. Послушайте мелодии и узнайте их ? (Звучат фрагменты музыки из м/ф и к/ф) Откуда эти мелодии? (ответы детей).Молодцы! Прикрепите нотки Как вы думаете, о чем мы сегодня будем говорить? Посмотрите на доску, здесь для вас подсказка !!! (ответы детей)Замечательно! Прикрепите нотки Сегодня мы будем говорить о музыке, которая написана для к/ф и мультфильмов. 2016 год по указу президента Владимира Путина объявлен годом отечественного кино. Давайте отправимся в мир кинематографа, чтобы понять нужна ли музыка в кино? Викторина. Я предлагаю вам музыкальную викторину. Вам нужно назвать м/ф или к/ф и спеть песню к данному фрагменту. ( викторина) Ребята, можем ли мы представить м/ф или кино без музыки и песен? Почему? (Ответы детей). Молодцы! Прикрепите нотки Ответить на этот вопрос нам поможет следующий видеофрагмент А сейчас посмотрите кадры из фильма и скажите, что вам показалось необычным в этом фильме. (Перед включением фильма первый раз, убрать звук на колонках. Что в нем необычного? нет звука, черно-белый, смешной (звук на колонках включить) А теперь интересней? Что же внесла музыка в этот фрагмент? Правильно, кино родилось сначала черно-белым, смешным и беззвучным. Обычно говорят немым. Зрители не могли услышать с экрана ни одного слова. И его называли даже Великим Немым. А вы узнали главного персонажа этого фрагмента ? Это Чарли Чаплин А как вы догадались? (Ответы детей: смешной, усы, походка, трость). Отлично, прикрепляем нотки! Конечно же, это Ч. Чаплин. Про этого знаменитого актера знают все и даже сочиняют про него песни . А давайте представим себя в роли Чарли Чаплина. Встаньте так, чтобы вам было удобно танцевать . Физминутка Молодцы, ребята. Прекрасно танцевали! Прикрепите себе нотки! А сейчас мы с вами продолжаем работу. Так как человек всегда воспринимает картины мира эмоционально, то музыка оказалась в кино просто незаменимой. Она стала звучать без остановок от первого до последнего кадра. Появилась даже такая профессия, без которой невозможно было смотреть фильм. А как называлась эта профессия кто знает? Обсудите в группах. Отгадайте ребус! У кого готов ответ? (Ответы детей) Молодцы! прикрепите нотки! Чаще всего начинающие музыканты, молодые композиторы. В 20 годы среди них были и такие известные в будущем композиторы, как Д. Шостакович, Г. Свиридов, В. Соловьев - Седой. При этом таперам давались строгие предписания - когда и что им нужно играть. Как вы думаете, что должен был знать и уметь тапёр? (Хорошо играть на инструменте, знать весь фильм, быстро ориентироваться по ходу фильма) Ребята, а какая современная профессия заменила тапёра? слайд звукорежиссёр Импровизация А сейчас, я предлагаю вам попробовать себя в роли тапёров и звукорежиссёров. Вы будете озвучивать видеофрагменты. Каждая команда получит свой видеофрагмент. 1 команда 2 команда Подумайте, посовещайтесь, определитесь какие инструменты или мелодии вам понадобятся. Время для подготовки -3 минуты (Дети смотрят фрагменты.) ОЗВУЧКА. Замечательно, молодцы! Прикрепите нотки все . А теперь давайте посмотрим эти фрагменты в оригинале. Я думаю , вы получили удовольствие от импровизации. И ведь действительно музыка и кино неразделимы! Вывод урока: слайд Музыка пробуждает...................чувства зрителей! Музыка создаёт......................настроение картины! Музыка помогает.......................понять кино! Молодцы, ребята. Прикрепите нотки, за правильные ответы! Сегодня мы создали мелодию нашего урока. Покажите какая она у вас получилась! Прекрасная, чудесная, добрая, великолепная, трогательная, классная мелодия! Эта мелодия напомнила мне одну замечательную песню! Давайте её исполним! "Хорошее настроение" Возьмите с собой ваши мелодии на память об этом уроке! До свидания!! Если вы нахмурясь выйдете из дома, Если вам не в радость солнечный денек, Пусть вам улыбнется, как своей знакомой, С вами вовсе незнакомый встречный паренек. Припев: И улыбка, без сомненья, Вдруг коснется ваших глаз, И хорошее настроение Не покинет больше вас.

музыка

group: Дисциплины

title: Открытый урок по музыке  «Музыка и кино»


extracted_text:
Планконспект урока по физической культуре для 5 класса
Учитель физической культуры:  Савельева В.А.
Тема: «Баскетбол»
Цель: Закрепление техники ловли и передачи мяча двумя руками от груди,
изза головы, снизу двумя руками  на основе спортивных игр (баскетбол и
пионербол), развитие физических качеств
Ожидаемый результат:
1. Предметный:
Совершенствование навыков и умений в баскетболе, пионерболе: передачи
мяча, ловли мяча развитие физических качеств.
2. Метапредметные:
Познавательные/ обучающиеся научатся: применять правила; выбирать
наиболее эффективные способы решения поставленных задач.
Коммуникативные/ обучающиеся научатся: взаимодействовать в группе,
находить общие рациональные способы ведения игры. Способствовать
развитию у учащихся критического мышления (способность оценить свои
действия при выполнении упражнений)
3. Личностный:
Использовать полученные практические знания в своей деятельности.
Задачи:
Образовательные:
 совершенствовать технику передачи мяча двумя руками от груди и изза
головы, снизу двумя руками;
 совершенствовать ловлю мяча двумя руками;
 совершенствовать двигательные навыки и умения;
  развитие  физических качеств.
Развивающие:
 развивать навык взаимодействия учащихся, силу, быстроту, координацию
движений.
Воспитательная:
 развития навыка сотрудничества со сверстниками;
 умение не создавать конфликта в спорных ситуациях;  воспитание трудолюбия и чувства коллективизма.
Тип урока: комплексное применение знаний и умений (урок закрепления).
Метод проведения: фронтальный, поточный, индивидуальный, групповой,
соревновательноигровой.
Место проведения: спортивный зал.
Инвентарь: баскетбольные мячи, волейбольные мячи
Время проведения: 45 минут.
Содержание урока
Дозировка
Организационнометодические указания
Подготовительная часть (организационный этап)
Построение, сдача рапорта, приветствие.
1 мин
Обратить внимание на спортивную форму одежды.
Постановка цели и задач урока.
12 мин.
 Проверка домашнего задания. (Что вначале урока нужно делать: играть,
сдавать зачет или разминаться? Почему?)
 1012 мин.
1.Ходьба, бег с заданием (правым, левым боком, спиной вперед, ходьба на
пятках, носках, прыжки в приседе левым, правым боком, спиной вперед);
2.ОРУ в шеренги.
Основная часть (Деятельностный этап)
1 Работа с карточками по станциям:
2025 минут
1.Прыжки через скамейку   10 прыжков
2.Лазанье по гимнастической стенке (двумя способами – правая нога, левая
рука, левая, нога и рука) 2 раза
3.Сгибание и разгибание рук в упоре лежа м. 15,д.10 раз
4.Поднимание туловища руки за головой   15 раз

2.Ловля и передача мяча баскетбол
Ученики построены в две шеренги лицом друг к другу.
Стараться мяч не терять на пол, к груди мяч не прижимать, обращаю
внимание на положение пальцев на мяче (руки образуют  «воронку») во время
передачи и ловли мяча; 1. Передача двумя руками от груди в парах
а) подбросить мяч вверх, хлопок перед собой, за спиной, поймать мяч,
передать своему партнёру от груди двумя руками
2.Передача мяча изза головы
3.Передача мяча снизу двумя руками
4Ловля и передача мяча пионербол, тоже, но через сетку.
5.Учебная игра в пионербол.
Заключительная часть (Оценочнорефлексивный этап)
35 минут
Построения, задания на дом 1.История баскетбола,2.Правила игры в
баскетбол,3.Передачи мяча, ведения мяча.
1 Рефлексия
Что делали?
 Зачем это делали?
 Что получилось?
Для освобожденных:
1.Составить слова из слова
Универсиада
Бадминтон
Баскетбол

file_name: открытый урок 5 класс.doc

intro:
Данный материал представляет конспект урока по теме "Баскетбол.Ловля и передачи мяча". на данном уроке  также предусмотрено развитие физических качеств обучающихся 5 класса. Ожидаемый результат:
Совершенствование навыков и умений в баскетболе, пионерболе: передачи мяча, ловли мяча развитие физических качеств. На уроке представлены разные виды деятельности.

title: Баскетбол.Ловля и передачи мяча, 5 класс


extracted_text:
День птиц
Цель: Обобщить знания детей о птицах, живущих в нашей местности.
Развивать кругозор. Воспитывать бережное отношение ко всему окружающему, любовь к
родной природе.
Оборудование: рисунки птиц, карточки к игре «Крестики нолики», грамзапись с
голосами птиц, выставка детских рисунков на тему «Наши пернатые друзья», обзор книг о
птицах.
Слайд 1,2
Ведущий: День птиц как массовый детский праздник стал проводиться в Соединённых
Штатах Америки в 1894 году. Вскоре День Птиц стал проводиться во всех штатах США и
проник в Старый Свет. Проник он и в Россию. Первый раз День Птиц в России был
проведён в мае 1924 года. С тех пор ежегодно 1 апреля отмечается этот праздник.
Слайд 3
Веселитеся, подружки,
К нам весна скоро придёт.
Весна придёт, солнце взойдёт.
Сгонит снежки.
Разольются ручейки,
Расцветут в поле цветочки,
Все ивовы кусточки.
Промежу этих кусточков
Каменка речка протекла.
А на этих на кусточках
Мелки пташечки поют.
Мелки пташечки соловушки
Больно весело поют.
Приди к нам, Весна, Со радостью,
Со великою к нам со милостью.
Со пшенишечкой золотистою,
Со овсом кучерявым,
Со просом, со гречею, Со калиною малиною,
С чёрной смородиной, С грушами, со яблочками,
Со всякой садовинкой.
С травушками муравушками,
Со малыми пташечками.
А вот и ВеснаКрасна.
ВеснаКрасна,на чём пришла?
Весна: На кнутике, на хомутике,
На овсяном пучке, на пшеничном колоске.
Ведущий: Раньше в Москве на Благовещенье соблюдали обряд «отпущение птиц на волю».
Утром горожане покупали у ловцов птиц и тут же выпускали их.
Синички сестрички,
Тёткичечётки,
Краснозобые снегирюшки,
Щеглята молодцы,
Воры воробьи.
Вы во поле полетайте, Вы на вольной поживите,
К нам весну скорей ведите.
Весна красна, что ж ты нам принесла?
Весна: Принесла я вам дни тёплые, дни тёплые да пригожие, праздники весенние, а самый
первый да весёлый  День Птиц.
Каждому  небольшой приз. Победителю  отдельный приз.
Конкурс на лучший скворечник.
Ведущий: Птицы дороги нам как часть чудесной природы России. Их мелодичные,
весёлые, звонкие песни, яркое оперение оживляют природу. Без птиц природа мертва.
Сейчас вы услышит голоса хорошо известных вам птиц. Попробуйте узнать их по голосу.
(Запись пения птиц.)
Слайд 4
1. Соловей
2. Серая ворона
3. Болотная сова
Слайд 5
Весна: Если вы увидите летящих в родные края журавлей, нужно, вторя их голосам,
приветствовать. Повторяйте за мной: Ики, ики, ики,ики, Крики, крики, крики. Икли, икли,
икли, Это журавли! Это журавли! Курли, курли, курли, Летят, летят журавли. Курлы си,
курлы си По Руси! По Руси!
Ведущий: К нам на праздник прилетели наши пернатые друзья. Добро пожаловать!
Слайд 6
Грач: Мы спешили к вам, ребята, на праздник. Весна идёт, пора браться за дела: заселять
домики, приготовленные вами, устраивать гнёзда, высиживать и растить птенцов.
Дятел: Мой клюв как долото. Я круглый год отыскиваю на коре и под корой деревьев
вредных насекомых, их яйца и личинки.
Кукушка: Я съедаю за день 39 кузнечиков, 43 гусеницы бабочки капустницы, 5 личинок
майского жука, 3 куколки бабочки, 4 паука и много муравьиных яиц.
Скворец: Мы, скворцы, поедаем много майских жуков, слизней, бабочек и других,
вредных насекомых. Кроме того, мы большие мастера пения, способны копировать чужие
голоса; с успехом подражаем соловью.
Воробей: Мы выкармливаем своих птенцов гусеницами шелкопряда, мухами и их
личинками.
Все (хором): Птицы  ваши друзья! Берегите птиц!
Ведущий: Не вредите птицам. Не разоряйте гнёзд, подкармливайте в зимнюю стужу.
Пускай всегда такой обычай В моей останется стране Встречай любовно стаи птичьи, Всем
сердцем радуясь весне. Конкурс стихов « Поэты о пернатых друзьях».
Слайд 7
Радист в лесу.
М. Сергеев
Я шёл сквозь лес,
Был путь не мал,
А стужа птицы мёрзли.
Вдруг ктото «здравствуй» простучал
По азбуке, по Морзе.
Я снова вспомнил о войне, О битвах, об отряде...
И вдруг я вижу на сосне
Сидит весёлый дятел.
Он головой кивал, дразня,
С таким смешным задором,
Как будто приглашал меня
К лесному разговору.
Тогда с земли я палку взял
И по сосне вихрастой
Неторопливо простучал
Простое слово «здравствуй».
Раненая птица
Раненая птица в руки не давалась
Раненая птица птицей оставалась.
Этот сон давнишний
До сих пор мне снится.
На траве кровавой вздрагивает птица.
Птицы, рыбы, звери
В души людям смотрят.
Вы их жалейте, люди,
Не убивайте зря.
ведь небо без птиц  не небо!
А море без рыб  не море!
А лес без зверей  не лес!
Совы
Павел Барто
Все совы дети ночи,
Во тьме сверкают очи.
Обличье  человечье,
Да два крыла в заплечье.
Полёт совы беззвучен
Весь лес насквозь изучен.
Птицы вернулись
Павел Барто
Словно идём под звенящим дождём
Льются нам с неба певучие струи.
Мы вас давно с нетерпением ждём,
Лейтесь ручьями на землю родную.
Льются на травы, озимую рожь.
Льются на стадо,
И клюв, и коготь прочен,
А слух совы так точен –
Малейший шорох слышит;
Притихла мышь  не дышит...
Совиной шеи поворот
Глаза назад, глаза вперёд.
Гудит сова в лесную мглу
Иугуугу Иугуугу
Из  под земли дышать смогу.
Напрасно прячешься ты, мышь, Ты от меня не убежишь –
Я с тьмой кромешной так в ладу,
Что без очков тебя найду…
Слайд 8,9
Пословицы и поговорки о птицах
• Лучше синица в руках, чем синица в небе.
• Журавль в небе – не добыча.
• Одна у журавля дорога – на теплые воды.
• Курица не птица, а рак – не рыба.
• Учись у курочки – разгребай, да подбирай.
• Не к добру курица петухом запела.
• Курица пьет, а на небо смотрит.
• Всяк кулик свое болото хвалит.
• Кулик не велик, а все –таки курица.
• Кулик на месте соколином не будет птичьим господином.
• Не диво, что кукушка по чужим гнездам летает, а вот диво, кабы свое завела.
• О том кукушка кукует, что своего гнезда нет
• Орел всем птицам птица.
• Орел с воронами не толкуется.
• Орел не охотится за мухами.
• Куда орел летает, туда сороки не достигают.
• Сова о сове, а всяк о себе.
• Курица в сережках, а петух в сапожках.
• И петух знает, кто на него лает.
• Слово – не воробей, вылетит – не поймаешь.
•
• Не считай утят, пока не вывелись.
• Утиного зоба не наполнишь.
• Сколько утке не бодрись, все равно соколом не станет.
Гусь свинье не товарищ.
Загадки про птичьи повадки
Эта птица символ мира
Пролетит сквозь дым и тьму.
В Будапеште и в Каире,
В Пакистане и Алжире
Люди рады все ему.    (голубь) Слайд 10
«Он умом богат»,
 Это в шутку говорят.
Не особенно умён.
Тем лишь и приметен,
Что окраской разноцветен,
Напускает важный вид,
Что услышитповторит (попугай) Слайд 11
Днём ёе не встретишь ты.
Из дупла лишь вылетает
С наступленьем темноты.
Гроза мышей она тогда,
Кто же эта птица?   (сова)   Слайд 12 Она черна, она шумна,
Стоит галдит, летит  галдит:
Галгал, галгал!
Кто угадал?        (галка)    Слайд 13
На одной ноге стоит,
В воду пристально глядит.
Тычет клювом наугад
Ищет в речке лягушат.
На носу повисла капля...
Узнаете? Это...      (цапля)   Слайд 14
Зимой на ветках  яблоки!
Скорей их собери!
И вдруг вспорхнули яблоки,
Ведь это...    (снегирь)           Слайд 15

Слайд 16
Игра «Крестики  нолики» На доске  табло из 9 квадратов на разные темы. Одна команда
 крестики, вторая команда  нолики. Игра продолжается до тех пор, пока по горизонтали,
вертикали или диагонали не получится линия из крестиков или ноликов.
М  П  А
П  М  Б
Ж  Б   Г
1. Музыка. Спеть песни, где встречается название птиц.
2. Музыка. Узнай птиц по голосу (запись). Кукушка, соловей.
3. Живопись. Узнай картину и художника. Саврасов. Грачи прилетели.
4. География. Где зимуют наши перелётные птицы? (Африка, Ирак, Иран, Румыния,
Турция, Балканские острова).
5. Биология. В чём главная причина перелёта птиц?(Не хватает светового дня для поиска
корма)
6. Биология. Что весит больше  яйцо до инкубации или только что вылупившийся
цыплёнок со скорлупой от яйца? (яйцо)
7. Математика.(Алгебра) Назовите 5 видов насекомых  вредителей, съедаемых кукушкой?
(кузнечики, гусеницы, майский жук, пауки, муравьиные яйца)
8. Поэзия. Узнайте стихотворение и поэта.
9. Поэзия. Буриме  сочинить стихотворение по рифмам.
Выбрать по 1 знатоку из команды и наградить.
Слайд 17
Весна. Я принесла вам, как бывало в старину, печёных жаворонков. А было это так.
Печёных жаворонков раздавали детям, а те закликали жаворонков, а с ними и весну такими
словами:
Жаворонки, прилетите! Красну весну принесите! И только потом съедали жаворонка. В
одну из птичек запекали монету. Тот, кому доставалась птичка с монетой, считался весь год счастливейшим. Найденную монету хранили на божнице или носили с собой для
счастья. Счастливчик разбрасывал первые пригоршни зёрен во время начала посева.
Раздаёт жаворонков.
Жаворонки, прилетите!
Красну весну принесите!
Нам зима  то надоела,
Весь хлеб у нас поела.
Нет ни хлеба, ни картошки,
Самовар стоит на окошке.
Чай я выпил, сахар съел,
Самовар на кол надел!
Объявляет счастливчика  засевальщика.
Обзор книг.
Ведущий: Заканчиваем наш праздник словами, с которых мы его и начали:
Птицы  наши друзья!
Берегите птиц!
Слайд 18
Развешивание скворечников.
Конкурс рисунков Интегрированный урок окружающего мира и
изобразительного искусства
2 класс
Тема: В гости к весне.
Тема: Рисуем весну.
Цель: Дать учащимся представление о характерных признаках весны в неживой природе; дать
представление об изменениях в жизни растений весной; показать связь этих изменений с неживой
природой. Учить детей выражать своё отношение к природе через изображение. Развивать у детей
наблюдательность, умение анализировать и делать выводы. Воспитывать любовь и интерес к
природе. Воспитывать чувство сострадания, любви к представителям живой природы. Развивать
творческие способности детей.
Оборудование: рисунки птиц, репродукции картин, учебник, карандаши цветные, кроссворд
«Водоёмы».
Ход урока.
Организационный момент.
Календарная минутка.
Опишите погоду сегодняшнего дня и сделайте прогноз на завтра.
Проверка домашнего задания.
Отгадайте кроссворд на тему: «Водоёмы».
1.Кругом вода, а с питьём  беда.(море)
2.Все обходят это место: здесь земля, как будто тесто;
Здесь осока, кочки, мхи...Нет опоры для ноги.(болото)
З.Лежит зеркало посреди поля:
Рама зелёная, стекло голубое, (пруд)
4.Тихий, Северный, Ледовитый, Атлантический, Индийский  это...(океаны)
5.В голубеньких рубашках бегут по дну овражка.(ручьи) 6.Не конь, а бежит, не лес, а шумит, (река)
Какое ключевое слово получилось?(родник)
Что такое родник или ключ?(это место выхода подземных вод на поверхность земли. Из родников
берут начало ручейки, которые, сливаясь вместе, образуют реки)
Разделите названные в кроссворде водоёмы на две группы.(естественные и искусственные)
Какие ещё искусственные водоёмы вы знаете?(водохранилище, канал) Для чего создают
искусственные водоёмы?
Введение в тему урока.
Послушайте стихотворение Афанасия Фета и скажите: о каком времени года в нём говорится?
Снова птицы летят издалёка
К берегам, расторгающим лёд,
Солнце тёплое ходит высоко
И душистого ландыша ждёт.(весна)
Как вы догадались, что говорится о весне? Какие признаки весны назвал автор в своём
стихотворении?(прилёт птиц, освобождение рек от льда, солнце находится выше над горизонтом,
чем зимой, весной цветут ландыши) Сочинения детей.
На уроке мы поговорим о том, какие изменения происходят в природе с приходом весны,
попробуем нарисовать картину весны.
Весенние изменения в неживой природе. Как вы себе представляете весну? Как бы вы её себе
нарисовали?
Плакат с изображением девушки  весны. Что она с собой принесла?(цветы, капель, вернулись
перелётные птицы) Молодая, так как пробуждается природа. Весна это пробуждение природы,
радость. Какие весенние месяцы вы знаете?(март, апрель, май).
Таблички с названиями месяцев  на доску. Послушайте загадки о весенних месяцах, скажите, о
каком идёт речь. И какие признаки этого месяца вы услышали.
Дует тёплый южный ветер, Яростно река ревёт и разламывает лёд.
Солнышко всё ярче светит, В домик свой скворец вернулся,
Снег худеет, мякнет, тает. А в лесу медведь проснулся.
Грач горластый прилетает. В небе жаворонка трель.
Что за месяц? Кто узнает? Кто же к нам пришёл?
(март) (апрель)
Зеленеет даль полей, запевает соловей. В белый цвет оделся сад, пчёлы первые летят. Гром
грохочет. Угадай, что за месяц это?.. (май)
Сразу после зимы наступает первый весенний месяц  март. Про него говорят, что наступила
первая весна  шумная. Почему?(тает снег, бегут ручьи)
Приметы марта: Вода с гор потекла  весну принесла. В марте курица напьётся из лужицы.
Основное изменение в неживой природе в марте  таяние снега. Какой снег тает быстрее : чистый
или грязный?(грязный  он более тёмный) Где снег тает вначале? Где остаётся последний снег?
Когда появились первые лужи? Какой второй месяц весны?(апрель)
Про него говорят, что наступила вторая весна  полноводная, разноцветная. А пословица такая:
«Апрель с водою, май с травою»
Приметы апреля: Ледоход. Появление первоцветов. Разливаются реки половодье. Прилетают
птицы.
Физминутка.
На доске  картина Саврасова «Грачи прилетели».
Как меняется жизнь птиц с приходом весны?(возвращаются в родные края перелётные птицы,
строят или ремонтируют гнёзда, откладывают яйца, выводят птенцов.)
Почему стали возможны такие изменения в жизни птиц?(стало больше корма, насекомые)
Каждая перелётная птица возвращается в родные края в определённое время. Отгадайте загадки и
скажите, в какой из весенних месяцев возвращается каждая птица на родину. Всех перелётных птиц черней, Своё гнездо он в поле вьёт,
Чистит он пашню от червей. Где тянутся растения.
Взад  вперёд по пашне вскачь. Его и песня, и полёт
А зовётся птица... Вошли в стихотворения!
(грач  в марте) (жаворонок  нач. апреля)
Он прилетает каждый год Прилетел к нам, наконец,
Туда, где домик ждёт. Лучший наш певец.
Чужие песни петь умеет. Дни и ночи напролёт
А всё же голос свой имеет. Он поёт.
(скворец  конец марта) (соловей  середина мая)
Прилетает к нам с теплом,
Путь проделав длинный.
Лепит домик под окном Из травы и глины, (ласточка  май)
На доске  рисунок берёзки и картинки разных птиц.
Посадите на деревце тех птичек, которые прилетают к нам весной с приходом весны  2 человека.
Третий месяц весны  май.
Какие главные изменения в природе происходят в мае?(распускаются листья на деревьях)
Закрепление.
Как встречают весну звери?(просыпаются, детёныши, линяют) В каком из весенних месяцев были
самые короткие дни?(в марте) Какой месяц самый холодный?(март) Самый тёплый?(май) Были ли
грозы? Когда?
Работа в учебнике. Как изменялся цвет неба от марта к маю?(становилось выше и голубе) Какого
цвета бывает небо?(голубое, весёлое, хмурое, жёлтое, лиловое) А настроение?(какое неботакое и
настроение) А облака? На что они похожи?(кудрявые, похожи на белые кораблики)
Не облака  мохнатые бока
Летят над землёю, а небо само
Куда  то летит надо мною! Демонстрация репродукций картин о весне.
Вы можете нарисовать что хотите, можете передать светлое и весёлое или грустное и хмурое
настроение.
Рисование весны.
3 человека рассказывают о своих рисунках.
Приметы весны.
Игра «Отгадай пословицу». Начало и конец пословиц.
Итог урока.
В каком месяце зацветают подснежники?(апрель) В каком распускаются листья на деревьях?(май)
В каком месяце бывают грозы?(май) В каком бывает половодье?(апрель)
Что вы можете сделать для охраны животных и птиц?(не беспокоить птиц на гнёздах, развесить
скворечники, не разорять гнёзда, не прикасаться к яйцам и птенцам в гнёздах птиц)
Домашнее задание: сочинить стихотворение о весне (буриме), раскрасить рисунок в цвете.
Учебник  стр.86  89.

file_name: Den ptic.doc

intro: Презентация к уроку

title: Праздник День птиц