extracted_text:
Конспект урока: «Цилиндр, конус».
Для подготовки к урокусеминару всем учащимся необходимо выучить
теоретический   материал   из   учебника  (Глава  VI,  п. 5963).  Учащиеся   были
разделены на группы, каждая группа получила задание:
Цилиндр как тело вращения. Модель. Сечения цилиндра.
Развертка цилиндра. Две модели (цилиндр и его развертка).
Площадь боковой поверхности цилиндра. Определение. Вывод формул для
вычисления площадей боковой и полной поверхностей.
Конус как тело вращения. Модель. Сечения конуса.
Развертка конуса.
Площадь   боковой   поверхности   конуса.   Определение.   Вывод   формул   для
вычисления площадей боковой и полной поверхностей.
Усеченный конус как тело вращения. Модель. Сечения конуса.
Площадь   боковой   поверхности   усеченного   конуса.   Определение.   Вывод
формул для вычисления площадей боковой и полной поверхностей.
I. подготовить   наглядный   материал   (модель,   плакат,   презентация)   к
следующим темам:
II. группа 10: подготовка сообщения на тему "Конические и цилиндрические
сечения".
В ходе подготовки к семинару проводятся консультации для учащихся во
избежание   неверного   изготовления   рисунков,   моделей,   чтобы   учитель   мог
координировать   учеников.   Также   требуется   дополнительная   консультация
для учащихся, готовящих сообщение на тему «Конические и цилиндрические
сечения» и наглядный материал к ним, поскольку этот материал в учебнике не
изложен, учащимся необходимо при подготовке воспользоваться следующей
литературой:
 Потоскуев   Е.В.   Геометрия.   11   класс.   Учеб.   для   общеобразоват.
учреждений с углублен. и проф. изучением мат–ки / Е.В. Потоскуев, Л.И.
Звавич. – М.: Дрофа, 2006.
 Энциклопедический словарь юного математика. – М.: просвещение, 1989,
с. 147150, 324326. Заданные на рассмотрение пункты из учебника небольшие по объему, на
подготовку   не   нужно   много   времени,   однако   о   необходимости   изготовить
наглядный материал группы учащихся  оповещаются заранее.
Для   проведения   данного   семинара   целесообразно   в   классе   расставить
парты в форме полукруга, чтобы учащиеся могли отвечать на небольшие по
объему вопросы   с места, могли демонстрировать модели цилиндра, конуса
так,   чтобы   их   видел   весь   класс.   Это
  необходимо   для   поддержания
дисциплины на уроке.
У   доски,   пользуясь   презентацией,   ученики   будут   рассказывать   о
вычислении  площади боковой  поверхности  и  площади полной  поверхности
цилиндра   и   конуса,   площади   боковой   поверхности   усеченного   конуса,
рассматривать сечения цилиндра и конуса.
Поскольку   для   большинства   вопросов
  к   уроку   (за   исключением
цилиндрических и конических сечений) учащиеся не изучают дополнительную
литературу,   каждый   из   них   должен   быть   готов   продолжить   рассказ
предыдущего,   ответить   на   вопросы   учителя.   Это   способствует     более
глубокому и осознанному изучению заданного на дома материала, повышению
уровня   внимательности   на   уроке  в   связи   с  необходимостью   быть   готовым
ответить, а также большему интересу к уроку, поскольку излагать учебный
материал будут сами ученики.
Тема: « Цилиндр. Конус».
Тип урока: семинарское занятие по изучению нового материала.
Форма работы: групповая.
Средства обучения: презентация, ноутбук, проектор.
Учебные задачи:
 продолжить формирование представлений о пространственных фигурах на
примере тел вращения;
 выявить уровень овладения учащимися:
o понятиями цилиндр, конус;
o основными свойствами цилиндра, конуса;
 выявить умения учащихся:
o выводить формулы нахождения площадей поверхностей тел вращения;
o строить сечения цилиндра, конуса;
 развитие   пространственного   воображения,   логического   мышления,
культуры устной математической речи. Диагностируемые цели:
Ученик знает:  определения цилиндра, конуса; формулы площадей цилиндра,
конуса; элементы цилиндра, конуса; приемы изображения цилиндра, конуса.
Ученик   умеет:  характеризовать   каждый   вид   тел   вращения;   определять
элементы цилиндра, конуса; изображать цилиндр, конус.
Структура урока:
1. Мотивационноориентировочный этап (10 минут)
2. Содержательный этап (30 минут)
3. Рефлексивнооценочный этап (5 минут)
План семинара:
1) Понятие цилиндра, его элементов.
2) Формулы   площади   боковой   поверхности   цилиндра,   площади   полной
поверхности цилиндра.
3) Сечения цилиндра.
4) Понятие конуса, его элементов.
5) Формулы   площади
поверхности конуса.
  боковой   поверхности   конуса,   площади   полной
6) Сечения конуса.
7) Понятие усеченного конуса, его элементов.
8) Формула площади боковой поверхности усеченного конуса.
9) Подведение итогов урока, домашнее задание.
Ход урока.
На прошлом уроке мы изучили новые
фигуры. Какие? Какое общее название они
имеют?
Вспомним, какую фигуру называется
цилиндром?
Что называют цилиндрической
поверхностью?
Цилиндр, конус, усеченный конус. Тела
вращения.
Тело ограниченное цилиндрической
поверхностью и 2 кругами с границами L и
L1 называется цилиндром.
 α и β
Рассмотрим 2 параллельные плоскости
и окружность L с центром в точке O радиуса
r,   расположенную   в   плоскости
ерез
каждую   точку   окружности   L   проведем
.α
прямую, перпендикулярную к плоскости
.   Возьмем
Например,   проведем  прямые
отрезки этих прямых
  и
. По
построению   концы   таких   отрезков,   на
плоскости
L.   А
  заполняют   окружность
  точки пересечения
.   Чα
  точки
,
 с прямыми
β
α β
β
  заполняют   окружность
концы   этих   же   отрезков,   лежащие   в
плоскости
L1  с
центром   О1  радиуса  r  ,где  O1       точка
пересечения   плоскости
  с   прямой,
проходящей через точку О перпендикулярно
к плоскости
 также
 и
будут лежать на этой окружности.
Поверхность, образованная этими прямыми
называется цилиндрической поверхностью.
Сами прямые  образующими
цилиндрической поверхности.
α
. То есть
 точки
β
, то есть
 осью   цилиндрической
Прямая,   проходящая   через   точку   О
перпендикулярно к плоскости
,
  называется
поверхности.
Так   как   все   образующие   и   ось
α
перпендикулярны   к   плоскости
,   то   они
параллельны друг другу
По   теореме   о   том,   что,   если   две   прямые
перпендикулярны одной плоскости,  то они
параллельны.

называются
заключенные
заключенные
Отрезки   образующих   цилиндрической
поверхности,
  между

основаниями,
  называются  образующими
цилиндра,   а   образованная   ими   часть
цилиндрической   поверхности   называется
боковой поверхностью цилиндра.
Круги  с границами L и L1 ограничивающие
цилиндр
 основаниями
цилиндра.
Отрезки   образующих   цилиндрической

поверхности,
  между
основаниями,
  называются  образующими
цилиндра,   а   образованная   ими   часть
цилиндрической   поверхности   называется
боковой поверхностью цилиндра.
Ось
цилиндрической
называется осью цилиндра.
Свойство   цилиндра:
цилиндра параллельны и равны друг другу.
Это следует из того, что отрезки
параллельных прямых, заключенные между
параллельными плоскостями равны.
Тело,
конической
поверхностью   и   кругом   с   границей   L,
называется конусом.
все   образующие
ограниченное
поверхности

Какие еще элементы цилиндра необходимо
назвать?
Каким свойством обладают образующие и
ось цилиндрической поверхности?
Почему мы можем утверждать, что они
параллельны?
Посмотрите на ваши модели, какие еще
элементы цилиндра вы знаете? Дайте их
определения.
Сформулируйте свойство цилиндра.
Откуда это следует?
Какую фигуру называют конусом? Что называют конической поверхностью?
Какие элементы конуса необходимо еще
назвать?
Каким свойством обладают образующие
конуса? Откуда это следует?
Какую фигуру называют усеченным
конусом? Назовите основные элементы
усеченного конуса.
Рассмотрим   окружность   L   с   центром   O   и
радиусом  r;   прямую,   проходящую   через
точку О и перпендикулярную к плоскости
этой окружности. На этой прямой возьмем
точку Р.
Через точку Р и каждую точку окружности
проведем прямую.  Поверхность,
образованная этими прямыми, называется
конической поверхностью, а сами прямые –
образующими конической поверхности.
Точка Р называется вершиной, а прямая ОР
– осью конической поверхности.
Круг с границей L ограничивающий
коническую поверхность называется
основанием конуса, вершина конической
поверхности – вершиной конуса, отрезки
образующих, заключенных между вершиной
и основанием,  образующие конуса, а
образованная ими часть конической
поверхности – боковой поверхностью
конуса. Ось конической поверхности
называется осью конуса, а ее отрезок,
заключенный между вершиной и
основанием,  высотой конуса.
Все образующие конуса равны друг другу.
Их равенство следует из равенства
прямоугольных треугольников, катетами
которых являются высота конуса и радиусы
основания.
Возьмем   произвольный   конус   и   проведем
секущую   плоскость,   перпендикулярную   к
его   оси.   Эта   плоскость   пересекается   с
конусом по кругу и разбивает конус на две
части. Одна из частей (верхняя на рисунке)
представляет   собой   конус,   а   другая
называется усеченным конусом.
Основание   исходного   конуса   и   круг,
полученный   в   сечении   этого   конуса
плоскостью,
 основаниями
усеченного конуса, а отрезок, соединяющий
их центры,  высотой усеченного конуса.
поверхности,
Часть
конус,
ограничивающая
называется   его  боковой   поверхностью.
конической
Отрезки

поверхности,
  между
основаниями,   называются  образующими
усеченного конуса.
Все   образующие   усеченного   конуса   равны
друг другу.
образующих

  называются
заключенные

усеченный

конической Цилиндр как тело вращения. Модель. Сечения цилиндра.
Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника ABCD вокруг одной из его
сторон, например, AB. (демонстрирует на модели) Поэтому цилиндр является телом
вращения. При этом боковая поверхность цилиндра образуется вращением стороны CD, а
основания цилиндра – вращением сторон BC и AD.
Секущая плоскость может проходить через ось цилиндра, перпендикулярно оси цилиндра,
параллельно оси цилиндра, пересекать ось цилиндра под углом.
1. Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой
прямоугольник,   две   стороны   которого   –   образующие,   а   две   другие   –   диаметры
оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым.  (Демонстрирует на модели)
Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым
сечением.
2. Если   секущая   плоскость   перпендикулярна   к   оси   цилиндра,   то   сечение   является
кругом.
3. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет прямоугольник.
Косые сечения цилиндра.
1. Секущая плоскость пересекает только боковую поверхность цилиндра. В этом случае
сечение цилиндра  плоская фигура, ограниченная эллипсом. Пример такого сечения
вы могли видеть при косом разрезе батона колбасы.
2. Секущая плоскость пересекает боковую поверхность и одно из оснований цилиндра. В
этом   случае   сечение   цилиндра      плоская   фигура,   ограниченная   эллипсом   и
прямолинейным отрезком, перпендикулярным большой оси эллипса.
3. Секущая  плоскость   пересекает   боковую   поверхность   и  оба   основания   цилиндра.   В
этом   случае   сечение   цилиндра   –   плоская   фигура,   ограниченная   эллипсом   и   двумя
прямолинейными отрезками, перпендикулярными большой оси эллипса.
Развертка цилиндра. Две модели (цилиндр и его развертка).
Представим   себе,   что   боковую   поверхность   цилиндра   разрезали   по   образующей   АВ   и
развернули   его   таким   образом,   что   все   образующие   оказались   расположенными   в
некоторой плоскости
ABB1A1.
Стороны   АВ   и  A1B1   прямоугольника   представляют   собой   два   края   разреза   боковой
поверхности цилиндра по образующей АВ. Этот прямоугольник называется  разверткой
боковой поверхности цилиндра.
α
. В результате в плоскости
α
 получился прямоугольник
Площадь   боковой   поверхности   цилиндра.   Определение.   Вывод   формул   для
вычисления площадей боковой и полной поверхностей. Рассмотрим   развертку   боковой   поверхности   цилиндра      прямоугольник  ABB1A1.
Основание   АА1  прямоугольника  ABB1A1  –   развертка   окружности   основания   цилиндра,
тогда АА1=2πr,  высота АВ прямоугольника – образующая цилиндра и АВ=h. За площадь
боковой поверхности цилиндра принимается площадь его развертки.
Тогда  площадь боковой поверхности цилиндра  равна произведению длины окружности
основания на высоту цилиндра:
Площадь полной поверхности цилиндра  равна сумме площадей боковой поверхности и
двух оснований.
.
.
Конус как тело вращения. Модель. Сечения конуса.
Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника  SAB вокруг одного
из его катетов, например,  SB. Тогда боковая поверхность конуса образуется вращением
гипотенузы SA, а основание конуса – вращением катета AB.
Поэтому конус – фигура вращения. (Показывается на модели).
Сечения конуса.
Если   секущая   плоскость   проходит   через   ось   конуса,   то   сечение   представляет   собой
равнобедренный треугольник, так как образующие конуса равны, основание которого –
диаметр   основания   конуса,   а   боковые   стороны   –   образующие   конуса.   Такое   сечение
называется осевым.
Если секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса, то сечение представляет собой
круг с центром расположенным на оси конуса.
Конические сечения.
а)  секущая  плоскость  пересекает  все   образующие   конуса  в  точках  одной  его  полости;
линия пересечения  замкнутая овальная кривая – эллипс. Мы уже рассматривали частный
случай,   когда   плоскость   перпендикулярна   оси   конуса,    окружность;   (демонстрирует
модель)
б) секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конуса; в сечении
получается незамкнутая, уходящая в бесконечность кривая  парабола, целиком лежащая в
одной полости;
в)   секущая   плоскость   пересекает   обе   полости   конуса;   линия   пересечения гипербола
состоит   из   двух   одинаковых   незамкнутых,   простирающихся   в   бесконечность   ветвей,
лежащих на обеих полостях конуса.
Развертка конуса.
Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на
плоскость, разрезав ее по одной из образующих.  (Показывают на модели).
Разверткой боковой конуса является круговой сектор, радиус которого равен образующей
конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.
Площадь боковой поверхности конуса. Определение. Вывод формул для вычисления
площадей боковой и полной поверхностей.
За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки. Площадь боковой поверхности конуса  равна произведению половины длины окружности
основания на образующую.
Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности
и основания. Для вычисления площади полной поверхности конуса получается формула:
.
Усеченный конус как тело вращения. Модель. Сечения конуса.
Усеченный   конус   может   быть   получен   вращение   прямоугольной   трапеции   вокруг   ее
боковой   стороны,   перпендикулярной   к   основаниям.   На   рисунке   изображен   усеченный
конус,   полученный   вращением   прямоугольной   трапеции  ABCD
  вокруг   стороны  CB,
перпендикулярной   к  основаниям  CD  и  AB.  При  этом  боковая   поверхность  образуется
вращением боковой стороны AD , а основания усеченного конуса – вращением оснований
CD и BA  трапеции.
Сечения усеченного конуса.
1. Если секущая плоскость проходит через ось усеченного конуса, то сечение представляет
собой равнобедренную трапецию, так как образующие усеченного конуса равны, основания
которой – основания усеченного конуса. Такое сечение называется осевым.
2.   Если   секущая   плоскость   перпендикулярна   к   оси   усеченного   конуса,   то   сечение
представляет собой круг с центром, расположенным на оси усеченного конуса.
Площадь боковой поверхности усеченного конуса. Определение. Вывод формул для
вычисления площадей боковой и полной поверхностей.
Пусть   Р   –   вершина   конуса,   из   которого   получен   усеченный   конус,   АА1  –   одна   из
образующих   усеченного   конуса,
     центры   оснований.   Используя

формулу
,
 Отсюда, учитывая, что
,   точки

поверхности

получаем

площади

боковой

конуса
находим
Выразим
.(*)
 через
, Прямоугольные треугольники
подобны, так как
имеют общий острый угол Р, поэтому
 или
. Отсюда получаем
.
Подставив это выражение в формулу (*) приходим к формуле
.
Запишите домашнее задание: §1, 2, п. 5963. №547, 521

file_name: урок-семинар цилиндр,конус.doc

title: Урок-семинар по геометрии на тему  "Цилиндр,конус,шар" (10-11 класс)


extracted_text:
Разработка конспекта урока
Тип урока: урок изучения нового.
Класс: 6
Технология: технология проблемного обучения
Время проведения: первый урок по теме « Длина окружности. Площадь круга».
Цель: при   помощи   технологии   проблемного   обучения   создать   условия   для
осмысления   нового,
 изучить   формулу   длины   окружности   и   показать   ее
применение при решении задач.
Задачи урока:
Образовательные:











изучить формулу длины окружности;
показать применение её при решении задач;
познакомиться с числом  π , с историей его возникновения;.
Развивающие:
развивать познавательный интерес учащихся в процессе ознакомления с
историческим материалом;
развивать интерес к математике;
развивать творческую деятельность учащихся;
развивать умение излагать чётко свои мысли;
развивать пространственное воображение учащихся.
Воспитательные:
воспитывать   умение   работать   с   имеющейся   информацией   в   необычной
ситуации;
воспитывать   умение   видеть   математические   задачи   в   окружающем   нас
мире;
Оборудование:
компьютер, проектор, экран; 

презентация ,рабочий лист, кармашки с раздаточным материалом
модели окружности, нитка, линейка, калькулятор
Основные понятия:
 окружность, длина окружности, радиус,диаметр,центр окружности,число «пи»
Ход урока:
1. Мотивация. Создание проблемной ситуации.
Мотивация.
Учитель:      Название   нашей   темы   урока   состоит   из   двух   слов.   Отгадайте
кроссворд и вы узнаете одно слово темы.
т
о
т
о
е
р
и
я
т
О
 К
Р
4 У
Ж
Н
О
С
Т
Ь
р
Г
Е
И
Б
Л
Ь
о
о
н
е
ь
и
н
л
и
т
ы
е
е
л
Ь
2 о
Т
Р
1 с
з
е
3  м е
н
н
7 д
8 ч
9 п
с
6 у
Р
5 у
А
м
в
а
З
Н
о
10
р
Вопросы:
1. У трегольника есть углы и ....
2. часть прямой, соединяющая две точки;
3. единица измерения длины;
4. фигура, состоящая из двух лучей, выходящих из одной точки;
5. математическое действие;
6. равенство, содержащее букву, значение которой нужно найти;
7. обыкновенная, десятичная…. ;
8. число 1 в записи
1
9 ;
9. число v  ( римская запись);
10.результат вычитания .
 (на экране появляется слово окружность) (презентация слайд 2)  А другое слово вы узнаете, выполнив следующее задание
Округлите число 3,1415926  до заданного разряда, из предложенных вариантов
выберете правильный ответ, каждому числу поставлена в соответствие буква , из
букв вы составите слово :
1) до целых (3) (буква Д)
2) до десятичных (3,1) (буква Л)
3) до сотых  (3,14) (буква И)
4) до тысячных (буква Н)
5) до десятитысячных (буква А)
(   ученики   выбирают   варианты   из   предложенных   на   слайде)  (   на   экране
появляются правильные ответы) (презентация слайд 3)
   Итак,   какая   будет   тема   сегодняшнего   урока?(дети   отвечают)
 Правильно «Длина окружности» (презентация слайд 4)
   Откройте   тетради,   запишите   число   и   тему   урока:   «Длина   окружности»
(фиксирует учитель на доске)
Давайте вместе с вами посмотрим на цели нашего урока
 Мы с вами сегодня должны:
1.
2.
3.
Повторить основные понятия темы «Окружность».
Познакомиться с  формулой для вычисления длины окружности.
Учиться применять эту формулу при решении задач.
( презентация слайд 5)
Актуализация опорных знаний.
Давайте   вспомним,
  что   мы   уже
знаем   про   окружность.
 Какая фигура называется окружностью?  ( презентация слайд 6)
С   какими   основными   понятиями   мы   сталкиваемся,   когда   говорим   о
окружности?(центр окружности, радиус окружности, диаметр окружности)
(презентация слайд 7)
Какой точкой на нашем рисунке обозначен центр окружности?(точка О) (презентация слайд 8)
Посмотрите на рисунок. Назовите радиус  окружности. Вспомном, что такое
радиус? Какой буквой обозначается радиус?
(презентация слайд 9)
 О каком элементе мы ещё забыли? (о диаметре)
 Посмотрите на рисунок. Выберите из всех отрезков диаметр окружности.Дайте
определение диаметра. Какой буквой обозначается? (презентация слайд 10)
 Как связаны радиус и диаметр окружности?
(учащиеся отвечают на вопросы учителя).( презентация слайд 11)
 Создание проблемной ситуации.
Учитель:  Хорошо, немного вспомнили основные онятия. Обратимся к целям. С
первой целью разобрались. Обратим внимание на вторую.Нам предстоит решить
задачу нахождения длины окружности. В математике длина окружности имеет
своё обозначение и обозначается буквой С
( презентация слайд 1213)
 Мы говорим о длине, нужно вспомнить единицы измерения длины.
(ученики дают свои ответы)
 С помощью какого инструмента можно измерять длину, например длину
отрезка? (линейки)
 Как вы считаете, можно ли измерять линейкой длину окружности?
Выдвижение гипотез и их запись на доске.
 Давайте подумаем, как можно измерять длину окружности?
(выдвигают гипотезы, учитель фиксирует их на доске)
Исследование (практическое).
 Для проверки ваших предположений выполним практическую работу.
Работать вы будете в парах. На   каждой   парте   вы   видите   кармашек.   Там   много   листов.   Возьмите   лист
голубого цвета. Это листок с таблицей. Это ваш рабочий лист. Аналогичный
листок у меня на доске. ( презентация слайд 14)
Также На парте находятся 3 модели окружности и нитки. Как мы с вами видим,
окружность   в   нашей   жизни   встречается   часто.   Вот   и   наши   модели   взяты   из
жизни.(   стакан,скотч,   круглая   крышка   и   т.д.).   Вы   берете   первую   модель,
обвязываете её ниткой, распрямляете и измеряете длину нитки.
 ( ученики выполняют).
   Скажите,   пожалуйста,   измеряя   длину   нитки,   мы   измеряем   что?   (измеряем
длину окружности.)
Затем вписываем результат в таблицу в столбик длина окружности.
 А вот в последнюю графу мы видите формулу. Воспользуемся калькуляторами
и посчитаем получившееся значение. Записываем в таблицу.
Аналогично проведите измерения со всеми моделями и запишите результаты в
таблицу. ( презентация слайд 15)
Предоставление работы. Проверка работы.
Учитель:
Что у вас получилось?
(Учитель выписывает несколько результатов на доске. С/d 3,14.)
 Посмотрим на последнюю колонку . Какой можно сделать вывод? (получились
≈
примерно одинаковые числа)
Учитель:   Мы получили, во сколько раз длина окружности больше диаметра?
Ученики: (отвечают)
  Обработка   информации
подтверждение или опровержение высказанных ранее гипотез).
Учитель:
π ≈

 3,1415926…  ( презентация слайд 16)
  Число,
(выделение   значимой   информации,
  которое   мы   получили,
  обозначается
π

. Историческая   справка. (   о   числе   пи)   (возможно   выступление   заранее
подготовленного ученика)
Учитель: Число   бесконечная десятичная дробь. Обозначение числа
π
происходит от первой буквы греческого слова периферия, что означает
"окружность". Общепринятым это обозначение стало, после издания одной из
работ Эйлера. (презентация слайд 17)
На ранних ступенях человеческого развития пользовались неточным числом
 . π
Оно было равно 3. Египетские и римские математики установили отношение
длины окружности к диаметру не строгим геометрическим расчётом, как
позднейшие математики, а нашли его просто из опыта. В 3в. до н.э. Архимед без
измерений одними рассуждениями вычислил точное значение числа
π
 = 22/7.
( презентация слайд 18)
На   некоторых   столах   есть   в   кармашке   жёлтые   листочки.   Достаньте   их и
прочитайте вслух исторические сведения (по порядку, на карточках написан
порядок).
  Первым обозначение  (пи) ввёл в1706 году английский математик Джонс.
    Французский   математик   Франсуа   Виет   нашёл   значение  (пи)   с   девятью
десятичными знаками
   В 1988 году японский учёный Ясума Канеда вычислил   с помощью ЭВМ 400
миллионов цифр после запятой
Учитель: Для обычных вычислений с числом
знака после запятой (3, 14).
π
 вполне достаточно запомнить два
Интересные факты:
Неофициальный   праздник   «День   числа   Пи»   отмечается   14   марта,   которое   в
американском   формате   дат   (месяц/день)   записывается   как   3/14,что
способствует приближённому значению числа  π . Мировой рекорд по запоминанию знаков числа  π  принадлежит японцу Акира
Харагучи. Он запомнил число   π до 100тысячного знака после запятой. Ему
понадобилось почти 16 часов, чтобы назвать всё число целиком.
Германский король Фридрих Второй был настолько зачарован этим числом, что
посвятил ему целый дворец Кастель дель Монте, в пропорциях которого можно
вычислить   число   Пи   .   Сейчас   волшебный   дворец   находится   под   охраной
ЮНЕСКО. (рассказ сопровождается презентацией  слайд 19)
Подведение итогов урока
Вернемся к нашей проблеме нахождения длины окружности.
Так можно ли измерять длину окружности линейкой?    ( да)
Согласитесь, проблематично каждый раз измерять нитку, чтобы узнать длину
окружности. Поэтому математики и вывели формулы.
Но зная, что с:d =
π
Итак, длина окружности равна произведению диаметра на число
d=2r то С =2
π
, сможем выразить длину окружности С=  * d.
π
. А так как
 r.π
 Запишите формулы в тетрадь. ( презентация слайд 20)
5. Динамическая пауза.
Раз — подняться, потянуться.
Два — согнуться, разогнуться.
Три — в ладоши три хлопка,
Головою три кивка.
На четыре — руки шире.
Пять — руками помахать.
Шесть — за парту тихо сесть.
6. Закрепление изученного.
Учитель:  Я сегодня утром проснулась. В ключила телевизор и услышала, что
длина экватора Земли составляет...и тут связь оборвалась. Этот вопрос меня заинтересовал. Я так и не знаю, какова длина экватора Земли. Но, я знаю, что
радиус Земли 6370 км.Давайте вместе ответим на мой вопрос.
 Для начала скажите форму какой геометрической фигуры имеет экватор
Земли?(окружность)
 Что необходимо знать, чтобы найти длину экватора? (радиус и число «пи»)
Приблизительно, возьмём  π  =3,14
Итак, оформляем задачу. Записываем краткую запись ( один ученик выходит к
доске)
Задача. ( презентация слайд 21)
R = 6370км.
С?
Решение:
С=2
π ≈
 r.С 2*3,14*6370 40003,6 км
≈
Учитель:  Мы решили  задачу и вы можете уже сказать насколько хорошо или
не очень вы усвоили формулы.
На слайде задачи разного уровня первая самая простая, вторая посложнее,
третья ещё сложнее ( презентация слайд 22)
   Прочтите   задачи   и   выберете   одну   для   самостоятельного   решения.
 Проверьте свои ответы. ( презентация слайд 23)
Поднимите руку, кто верно выполнил задание?
Можно провести  тестирование.  ( презентация слайд 24) Тесты будут демонстрироваться как на слайде, так и распечатаны в кармашке у
раждого ученика на парте.
Учитель:  Кто справился с тестом на отлично?
Поставьте оценки на свои листочки и сдайте их мне. ( презентация слайд 25)
7. Рефлексия (презентация слайд 2627)
А сейчас давайте вспомним, что сегодня на уроке мы:
1.
2.
3.
Повторили…
Узнали…
Закрепили…
Дополните предложения:
 Мне на уроке понравилось.....
 Мне удалось....
 Мне нужно поработать......
Учитель: Ребята, как вы считаете, понадобятся знания по данной теме в жизни и
где?
 Наш урок закончен. Спасибо за урок.
8. Домашнее задание
№852,   №851задачи   аналогичные   тем,   что   мы   решали   сегодня   на   уроке.
И ещё одно задание.Творческое.  Придумайте и составьте сами задачу из жизни
по теме «Длина окружности» . ( презентация слайд 28)
 Наш урок закончен. Спасибо за урок. ( презентация слайд 29)

file_name: урок (1).docx

intro:
Цель : при помощи технологии проблемного обучения создать условия для осмысления нового , изучить формулу длины окружности и показать ее применение при решении задач . Основные понятия :
 окружность , длина окружности , радиус , диаметр ,центр окружности ,число «пи»

математика

group: Дисциплины

title: Урок по математике на тему "Длина окружности. Площадь круга" (6 класс)


extracted_text:
Внеклассное мероприятие по математике обобщающий урок – игра по
теме «Обыкновенные дроби» в 5 классе
«Путешествие в мир дробей»
Цели урока:
1. Систематизировать знания учащихся по теме: «Обыкновенные дроби»
2. Закрепить умения применять изученные правила при вычислении,
сравнении чтении дробей.
3. Активизировать мыслительную деятельность учащихся через
разнообразные виды работы.
4.
Развитие практических навыков работы с обыкновенной дробью;
повышение и развитие интереса к предмету
Ожидаемые результаты: учащиеся должны знать правила записи
обыкновенной дроби, сравнения и действий с обыкновенными дробями, уметь
применять их при решении примеров; свободно оперировать обыкновенными
дробями; показать умения прикидки и оценки результата действий, быстрого
обнаружения  правильной и неправильной дроби.
Этапы урока:
1.
2.
3.
Организационный момент – 1мин;
Сообщение темы, постановка целей урока2мин;
Повторение правил и выполнение заданий32мин;
Итог урока5мин
4.
Ход урока:
1. Историческая справка. Появление дробей связано у многих народов с делением добычи на
охоте. Также вжизни человеку приходилось не только считать предметы,
но и измерять величины. Люди встретились с измерениями длин, площадей
земельных участков, объемов, массы тел. При этом случалось, что единица
измерения не укладывалась целое число раз в измеряемой величине.
Например, измеряя длину участка шагами, человек встречался с таким
явлением: в длине укладывалось десять шагов и оставался остаток меньше
одного шага. В связи с этой необходимой работой люди стали употреблять
выражения: половина, треть, два с половиной шага. Откуда можно было
сделать вывод, что дробные числа возникли как результат измерения
величин.
 Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина.
В русском языке слово «дробь» появилось в VIII  веке, оно происходит от
глагола «дробить»  разбивать, ломать на части. В первых учебниках
математики ( в XVII веке) дроби так и назывались –«ломаные числа» . У
других народов название дроби также связанно с глаголами «ломать»,
«разбивать», «раздроблять».
    С Древних времен людям приходилось не только считать предметы (для
чего требовались натуральные числа), но и измерить длину, время, площадь,
вести расчеты за купленные или проданные товары.
    Не всегда результат измерения или стоимость товара удавалась выразить в
натуральным числом. Приходилось учитывать и части, доли меры. Так
появились дроби.
         Современное обозначение дробей

  берет свое начало в Древней Индии;
его стали использовать и арабы, а от них в XII – XIV веках оно было
заимствовано европейцами. Вначале в записи дробей не использовалась
дробная черта; например числа 1/5; 2 1/3 2
                                1      1
записывались так:  5  ;   3. Черта дроби стала постоянно использоваться лишь
около 300лет назад.
Римский оратор и писатель Цицерон говорил, что без знаний дробей никто не
может признаваться знающим арифметику.
1 конкурс
Каждая команда экипаж корабля. Но какого корабля? Прежде чем
отправиться в путешествие, нужно выяснить название вашего корабля.
Помните, как говорил капитан Врунгель? «Как вы яхту назовете, так она и
поплывет!» Сейчас все вы получите карточки с кроссвордами. Правильно
отгадав их, вы сможете прочесть выделенное слово. Это и будет название
вашего корабля.
д
л
н
ь
т
ю
в
1.знак математического действия
П
О
Б
Е
Д
А
т
о
м
р
р
у
ю
н
р
й
н
с
а
м
е
н
и
е
2.единица измерения массы, равная 1000 кг.
3.обыкновенная, десятичная….
4.единица измерения длины 5.единица длины, «большой палец»
6.равенство, содержащее букву, значение которой нужно найти.
о
т
р
р
е
а
М
О
Л
Н
И
Я
е
к
у
о
с
т
т
ч
с
л
ь
з
з
ч
п
р
т
и
1.единица измерения длины
2.часть прямой, соединяющая две точки.
ь
т
е
л
ь
3.точка делит прямую на две части. Как называется каждая из них?
4.результат вычитания
5.число 1 в записи
1
9
6.число v( римская запись)
2 КОНКУРС
Мы с вами выяснили, как называются ваши корабли. Но готовы ли вы к
плаванию? Сейчас мы с вами проверим готовность экипажей.
Капитаны проверяют домашние задания у членов своей команды. Верно
выполненное задание у члена команды 1 балл, за каждое невыполненное
задание снимается 1 балл. После проверки результаты заносят в таблицу.
( шарики с номерами)
Первый тур начинаем  победителя узнаем.
На слайде таблица со следующими дробями:
3 слайд
Вопросы:
1.Какая из дробей выражает «четверть»?(4)
1. Назовите дробь равную
.(6)
3
2
5
2. Найдите под каким номером стоит дробь равная 4?(7)
3. Какая дробь выражает половину? (5)
4. Назовите дробь больше 1 , но меньше 2.(3)1,1
5.  Какие из дробей неправильные? (3,6,7.)
Тур второй.
Исключи лишнюю дробь.
Задание:
Среди представленных дробей найди лишнюю дробь:
 Какая из этих дробей неправильная?
4
7
;
8
11
;
133
121
;
453
657
.
Ответ:
133
121
;
Тур третий. Расположи дроби
1
8
;
1
4
;
1
3
;
1
7
в порядке возрастания
 и выполни действия с дробями (примеры).
Четвёртый тур.
Кто из них сказал?
6 слайд
 Математика  царица наук, а арифметика – царица математики.
 Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит.
 Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед.
Подсказка Нивен А.(3), Ломоносов М.(2),Гаусс К.(1), Н. Чебышев.
Пятый тур.
Исправь логическую ошибку.
На портретах изображены математики так ли это?
И.Н. Крылов  баснописец
Математикам без шуток « …жить нельзя на свете, нет». Поэтому
математики шутки ценят и любят, а так же они любят загадывать загадки.
Отгадай  ка.
Акробат и собачонка
Весят два пустых бочонка
Шустрый пёс без акробата
Весит два мотка шпагата.
А с одним мотком ягнёнок Весит – видите – бочонок.
Сколько весит акробат в пересчёте на ягнят?
Ответ:  2 ягнёнка
Шестой тур.
Знатоки математических терминов.
Задание:
 Написать математические термины, начинающиеся
на буквы из которых состоит слово ЧИСЛИТЕЛЬ.
(число, частное, индекс, интеграл, икс, сложение, сумма, тождество, литр,
локоть, логарифм.)
ЗНАМЕНАТЕЛЬ (знаки, номер, арифметика, множитель, математика,
единица, таблица, и др)
 Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина.
В русском языке слово «дробь» появилось в VIII  веке, оно происходит от
глагола «дробить»  разбивать, ломать на части. В первых учебниках
математики ( в XVII веке) дроби так и назывались –«ломаные числа» . У
других народов название дроби также связанно с глаголами «ломать»,
«разбивать», «раздроблять».
    С Древних времен людям приходилось не только считать предметы (для
чего требовались натуральные числа), но и измерить длину, время, площадь,
вести расчеты за купленные или проданные товары.
    Не всегда результат измерения или стоимость товара удавалась выразить в
натуральным числом. Приходилось учитывать и части, доли меры. Так
появились дроби.
         Современное обозначение дробей

  берет свое начало в Древней Индии; его стали использовать и арабы, а от них в XII – XIV веках оно было
заимствовано европейцами. Вначале в записи дробей не использовалась
дробная черта; например числа 1/5; 2 1/3
                                        2
                                1      1
записывались так:  5  ;   3. Черта дроби стала постоянно использоваться лишь
около 300лет назад.
2) Древняя Греция и Индия  (конкурс капитанов)
Старинная задача на дроби: Задача из "Папируса Ахмеса" (Египет, 1850 г.
до н. э.),
"Приходит пастух с 70 быками. Его спрашивают:
—    Сколько приводишь ты своего многочисленного стада?
Пастух отвечает:
—    Я привожу две трети от трети скота. Сочти!"
Используя схему, найди, сколько быков было во всем стаде
Домашнее задание
В ХIХ веке в России чеканились монеты – денежка и
полушка.
В копейке содержалось 2 денежки, в денежке – 2 полушки.
А) Какую часть составляла денежка от копейки, полушка
от денежки, полушка от копейки? (ответ:
)
1
2
;
1
2
;
1
4
.
Б)Сколько денежек содержалось в рубле? (200д.)
Какую часть рубля составляла денежка?(одну двухсотую)
Итоги урока: 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
сегодня я узнал…
было интересно…
было трудно…
я выполнял задания…
я понял, что…
теперь я могу…
я почувствовал, что…
я приобрел…
я научился…
10.
у меня получилось …
11.
я смог…
12.
я попробую…
13. меня удивило…
14.
урок дал мне для жизни…
15. мне захотелось…
Цветовая рефлексия: данная методика может быть полезна в том случае, когда
нет времени проводить развернутую рефлексию, а также для учащихся младшего
возраста. На каждом уроке я выдаю ученикам карточки трех цветов, в конце
урока  каждый   ученик   сдает   карточку   того   цвета,  который   соответствует   его
оценке   прошедшего   урока.   Данная   рефлексия   может   проходить   и   анонимно. Карточка красного цвета означает: «я удовлетворен уроком, он был полезен для
меня, я много, с пользой и хорошо работал на уроке и получил заслуженную
оценку.   Я   понимал   все,   о   чем   говорилось   и   делалось   на   уроке».   Карточка
желтого цвета означает: « Урок был интересен, и я принимал активное в нем
участие, урок был в большей степени полезен для меня, я отвечал на вопросы, я
смог выполнить ряд заданий. Во время урока мне было достаточно комфортно».
Карточка зеленого цвета означает: «пользы от урока я получил мало, я не многое
понимал из того, о чем говорилось и что делалось на уроке, мне это не очень
нужно, домашнее задание я не понял, к ответам готов не был».
 Словарь единиц измерения
           Верста (поприще) – мера длины, равная 1,06 км
Аршин – мера длины, равная 0,71 м
Алтын – денежная единица, равная 3 копейкам
Полушка – денежная  единица, равная 0,25 рублей
Гривна – денежная единица, равная 10 копейкам
Фунт – мера веса, равная 453,6 г
Сажень – мера длины, равная 2,13 м
Четверть – мера, равная четвертой части какойлибо единицы
измерения
Пядь – расстояние между вытянутыми большим и указательным
пальцами руки при их наибольшем удалении. (19 – 23 см)
Локоть – расстояние от конца вытянутого среднего пальца руки до
локтевого сгиба. (38 – 46 см)
Вершок – мера длины, равная 4,5 см

file_name: Урок Путешествие в мир дробей (2).docx

intro: Ожидаемые результаты: учащиеся должны знать правила записи обыкновенной дроби, сравнения и действий с обыкновенными дробями, уметь применять их при решении примеров; свободно оперировать обыкновенными дробями ; показать умения прикидки и оценки результата действий, быстрого обнаружения  правильной и неправильной дроби .


extracted_text:
Тема: «Квадратное уравнение и его корни.»
Цели урока:
Ввести определение квадратного уравнения.
 Научиться выделять квадратные уравнения.
Ввести формулу корней квадратного уравнения вида х2=d и рассмотреть
зависимость числа корней от знака d.
Сформулировать и доказать теорему для случая d>0.
Научиться составлять квадратные уравнения по его коэффициентам.
Научиться решать квадратные уравнения вида х2=d.
Диагностируемые цели:
По окончании изучения темы ученик воспроизводит:
определение квадратного уравнения;
символьную  и словесную формулировку квадратного уравнения;
Ученик понимает:
признак приведенных квадратных уравнений;
способ получения приведенного квадратного уравнения из квадратного
уравнения в общем виде;
основную идею доказательства теоремы х2=d;
приемы решения задач на применение формулы х2=d;
Ученик умеет:
получать квадратные уравнения по заданным коэффициентам;
определять коэффициенты а и b, свободный член в  квадратных уравнениях;
доказывать и обосновать теорему х2=d;
применять теорему х2=d на практике.
Развивающие задачи:
1. развивать логическое мышление при доказательстве теоремы, выявлении
способа получения квадратных уравнений, их отличие от других уравнений.
 2. Развивать познавательную мотивацию.
 3. Развивать логичную и связную математическую речь.
4. Развивать рациональное мышление.
Воспитательные задачи: воспитывать коммуникативные способности и
культуру речи.
Ход  урока и  используемы методы:
1.Мотивационноориентировочный этап.
   На данном этапе при помощи фронтального опроса происходит
актуализация и систематизация изученного материала. Повторение способов
разложения на множители, затем применение формулы сокращенного
умножения при доказательстве теоремы. Проблемная ситуация связана с получением нового вида уравнения, решить которое предоставляется
возможным лишь при неудобном способе способе группировки. Нужно
другое решение.
2.Операционнопознавательный этап.
  На данном этапе вводится определение  квадратного уравнения через род и
видовое отличие. Вводится конструктивно. Эмпирическим путем ученики
получают гипотезу, которую затем доказываю. Применение теоремы  к
решению задач выполняется по аналогии с тем, как первоначально показал
учитель. Объясняется каждый переход и контролируется понимание новой
темы всем классом. Учитель просит учащихся обосновывать каждое действие.
3.Рефлексивнооценочный этап.
  Происходит сопоставление целей урока  и его результата.
Тип урока: Урок изучения нового.
Оборудование: Учебник, тетрадь, карточка.
Длительность урока: 45 минут.
   Мотивационноориентировочный этап.
Актуализация.
Речь учителя: на предыдущих уроках вы изучали тему «Квадратные корни»,
после чего вы написали по теме контрольную работу. Мы переходим с вами к
новой теме, знания же полученные от предыдущей темы вам окажутся
полезными в нашей новой теме. Обратите внимание на доску:
Записи на доске: 5х3=0
Речь учителя: что это за уравнение, Антон?
Речь ученика: линейное.
Речь учителя: как выглядит общая формула линейных уравнений, Илья?
Речь ученика: ах+b=0.
Речь учителя: что такое х, Лиза?
Речь ученика: неизвестное.
Речь учителя: А а и b, Ксюша?
Речь ученика: коэффициенты.
Речь учителя: а теперь попробуем разложить многочлены на множители.
Вспомним, какие мы знаем способы разложения на множители, Вадим? Речь ученика: вынесение общего множителя за скобку, способ группировки,
формулы сокращенного умножения.
Речь учителя: отлично! Я вам раздам карточки, которые помогут при
разложении на множители. Вклейте их в тетради. Они будут вам памяткой.
Тогда приступим к заданию: разложить многочлен на множители.
Записи на доске:
2ас3а+5аb=…
а35а22а+10=…
(а+b)2=
(ab)2=
a2b2=
Мотивация.
Речь учителя: молодцы! Давайте тогда решим задачу: основание
прямоугольника больше его высоты на 10 сантиметров, а его площадь равна
24 см2. Найти его высоту.
Можем мы решить эту задачу?
Речь ученика: да.
Речь учителя: как? Кирилл….
Речь ученика: за х обозначим одну сторону, тогда х+10 другая сторона.
Речь учителя: а как находится площадь прямоугольника?
Речь ученика: произведение его смежных сторон.
Речь учителя: то есть одна х*(х+10)=?
Речь ученика: =24.
Записи на доске: х(х+10)=24.
Речь учителя: что значит решить уравнение, Маша?
Речь ученика: найти его корни или установить, что их нет.
Речь учителя: что нужно сделать, чтобы решить это уравнение? Речь ученика: раскрыть скобки и переместить 24 влево.
Речь учителя: разложим левую часть на множители. Как это можно сделать,
Маша?
Речь ученика: методом группировки.
Записи на доске: х2+10х24= х2+12х2х24=х(х+12)2(х+12)=(х2)(х+12).
Речь учителя: полученное уравнение приравняем к нулю.
Записи на доске: (х2)(х+12)=0
Речь учителя: решите это уравнение. Когда произведение равно нулю,
Вадим?
Речь ученика: когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Речь учителя: значит какие корни имеет уравнение, Аня?
Речь ученика: х=12, х=2.
Записи на доске: х+12=0,       х2=0
                             х=12;           х=2.
Речь учителя: мы получили два ответа. Значит чему равна высота, Мая?
Речь ученика: высота равна 2. 12 не может быть, так как высота есть число
положительное.
Речь учителя: давайте ввернемся к двум уравнениям и сравним их.
В чем их сходство, Варя..
Записи на доске:  х2+10х24=0, 5х3=0.
Речь ученика: оба содержат х.
Речь учителя: в какой степени?
Речь ученика: в первой.
Речь учителя: а чем отличаются?
Речь ученика: в первом уравнении появляется х во второй степени.
Речь учителя: как вы думаете, как называются такие уравнения?
Речь ученика :квадратные. Речь учителя: а можем ли мы решать такие уравнения какимто другим
способом, не раскладывая на множители?
Речь ученика: нет.
2. Операционнопознавательный этап.
Речь учителя: мы с вами научимся решать такие уравнения, которые
называются квадратными, научимся  находить его корни. Значит, какая тема
урока?
Речь ученика: Квадратные уравнения и его корни.
Речь учителя: открываем тетради, записываем число. Классная работа и
тема: Квадратные уравнения.
Записи на доске: Квадратные уравнения.
Речь учителя: Запишем определение: уравнение вида ах2+bx+c=0, где а≠0, а,
b, c любые заданные числа называется квадратным уравнением. а  первый или
старший коэффициент, bвторой или средний коэффициент, с  свободный
член, х  неизвестное.
Записи на доске: ах2+bx+c=0, где а≠0, а, b, c любые заданные числа
квадратное уравнение. а  первый или старший коэффициент, bвторой или
средний коэффициент, с  свободный член.
Речь учителя : как вы думаете, почему в уравнении а≠0? Какое уравнение мы
получим?
Речь ученика: bx+c=0. Получим линейное уравнение.
Речь учителя: ввернемся к нашему квадратному уравнению. Назовем его
коэффициенты и свободный член.
Речь ученика: а=1, b=10, c=24.
Записи на доске: х2+10х24=0,  а=1, b=10, c=24.
Речь учителя: молодцы. Теперь приступим к решению уравнения х2=64.
Запишите его в тетради. Что можем сделать? Речь ученика: перенести 64 из правой части уравнения в левую. Изменив знак
на противоположный.
Записи на доске:х264=0.
Речь учителя: дальше?
Речь ученика: разложить на множители.
Записи на доске: (х8)(х+8)=0
Речь учителя: какой формулой пользовались?
Речь ученика: формулой сокращенного умножения.
Речь учителя: какие получаем корни?
Речь ученика: х=8 и х=8.
Записи на доске: х+8=0, х1=8     х8=0, х2=8.
Ответ: х1=8, х2=8.
Речь учителя: не забываем записывать ответ. Как связаны между собой 8 и
64?
Речь ученика: 8 есть арифметический квадратный корень из 64.
Речь учителя: а 8 и 8?
Речь ученика: противоположные.
Речь учителя: значит х1= 64 , х2= 64 .Эти формулы можно объединить в
одну х1,2=± 64 .
Записи на доске: х1,2=± 64 .
Речь учителя: зададим общий вид данного уравнения.
Записи на доске: х2=d.
Речь учителя: число d может ли быть отрицательным?
Речь ученика: нет, так как при возведении любого числа в квадрат получим
неотрицательное число.
Речь ученика: если d>0 сколько корней, какие?
Речь ученика: два корня. х1= d , х2= d .
Речь учителя: а если d=0? Речь ученика: один кореньх=0.
Записи на доске:
если d>0, то два корня х1= d , х2= d .
если d=0. то один кореньх=0.
если d<0, то корней нет.
Таким образом, мы с вами сформулировали теорему и запишите её. Теперь
докажем её. «уравнение х2=d, где d>0, имеет два корня х1= d , х2= d .»
Пишем доказательство. И рассуждаем так же, как решали предыдущее
уравнение. Перенесем d в левую часть. Дальше представим d как ( d )2. Тогда
получим формулу сокращенного умножения, а именно разность квадратов.
Затем произведение равно нулю, значит хотя бы один из множителей равен
нулю. Решаем, получаем корни.
Записи на доске: 1)х2( d )2=0.
                              2)(х d )(х+ d )=0.
                              3) )(х d )=0, х1= d
                                    (х+ d )=0, х2= d
Речь учителя: доказали? Значит теперь мы непосредственно подставляем в
формулу. Таким образом, мы и решаем уравнения такого вида.
Непосредственно приступим к практике. Выполняем номера из учебника.
Номер 401, 402 устно. По порядку читаем пример и решаем его. Начинаем с
Арины и продолжаем по всему ряду, затем переходим на следующий.
Речь ученика:  какие из данных уравнений являются квадратными.
Речь ученика: 1)5х214х+17=0 квадратное , так как оно подходит под нашу
формулу.
Речь учителя: Олеся…
Речь ученика:
2 х2+4=0. Есть х в квадрате, степени выше икса в квадрате
3
нет.
3) 7х213х+8=0;                                4) 14х+17=0 5) 13х4+26=0;                                    6) х2х=0.
(аналогично спрашиваются другие 4 уравнений)
Речь учителя: теперь приступим к выполнению номера 402. Лиз, прочитай
задание.
Речь ученика: Назвать коэффициенты и свободный член уравнения.
Речь учителя: что за коэффициенты? Свободный член?
Речь ученика: а и b коэффициенты, с свободный член.
Речь учителя: Илья, давай первый пример.
Речь ученика:
2
2

x
5
3
x
0
. Так, а=2, b=3, с=5.
Речь учителя: правильно. Молодец. Аня, приступай к следующему.
Речь ученика:
2
x
 x
6
0
, а=1, b=1, с=6.
Речь учителя: Вадим, следующий.
Речь ученика:
5
2
x
2
0
. а=5, с=2, b=0.
2

0
4
3
x
x

6
2

01
x
x
2
.
x
x
0
7


(аналогично решаются другие 3 уравнения).
Речь учителя: теперь выполним задания письменно. Номер 403 под
нечетными. Максим, что значит под нечетными?
Речь ученика: 1, 3, 5, 7….
Речь учителя: Есть общий вид уравнения. Заданы его коэффициенты. Что
нужно сделать, чтобы составить уравнение?
Речь ученика: непосредственно подставить данное слагаемое и свободный
член.
Речь учителя: Аня Лапшова. Иди  к доске!
Записи на доске: 1)а=2, b=3, с=4; 2х2+3х+4=0.
Речь ученика: выполняем далее. Ксюша…
3)а=1, b=0, c=9; х2+9=0 Речь учителя: Вадим…
Речь ученика: 5)а=1, b=5, с=0. х25х=0.
(Учащиеся проговаривают, называя каждый коэффициент и аргументируют
каждый свой шаг)
Речь учителя: молодцы! Теперь выполняем номер из учебника. Номер 408.
Настя, прочитай задание.
Речь ученика: найти корни уравнения.
Речь учителя: значит надо решить данное уравнение.
Речь учителя: какую формулу мы доказали?
Речь ученика: если d>0, то два корня х1= d , х2= d .
если d=0. то один кореньх=0.
если d<0, то корней нет.
Речь учителя: можем мы решить данные уравнения согласно введенной
формуле? На что сначала обратим внимание?
Речь ученика: Можем. На d.
9
Речь учителя: Первый пример х2= 16
корни?
9
.  16
Речь ученика: х1,2=±
9 , х1,2=±
16
3 .
4
 больше нуля? Значит какие
Речь учителя: решаем самостоятельно, через 2 минуты буду вызывать к
доске.
7
Записи на доске: х2= 9
1
,                                                       х2=5                                  7х2=1
                              х1,2=±
16 ,                           х1,2=± 5             Ответ: корней
9
нет
                               х1,2=±
4 .                             Ответ: х1,2=± 5
3
                           Ответ:  х1,2=±
4 .
3 3) Рефлексивнооценочный этап.
Речь учителя: Итак, давайте подведем итоги урока. Что вы сегодня узнали
нового?
Речь ученика: Мы узнали что такое  квадратные уравнения.
Речь учителя: Сформулируйте, пожалуйста, определение.
Речь ученика: уравнение вида ах2+bx+c=0, где а≠0, а, b, c любые заданные
числа называется квадратным уравнением. а первый или старший
коэффициент, bвторой или средний коэффициент, с свободный член, х
неизвестное.
Речь учителя: Что ещё сегодня изучили?
Речь ученика: х2=d.
Речь учителя: как зависит число корней от знака d?
Речь ученика: если d>0, то два корня х1= d , х2= d .
если d=0. то один кореньх=0.
если d<0, то корней нет.
Речь учителя: чем еще мы пользовались? что  мы вспомнили?
Речь ученика: способы разложения на множители.
Речь учителя: а именно?
Речь ученика: вынесение общего множителя за скобку, способ группировки,
формулы сокращенного умножения.
Речь учителя: все было понятно на уроке? Что не понятно?
Откроем дневники и запишем домашнее задание параграф 25, номера 403,
407 и 408 под четными. До свидания!
Анализ урока:
1)
Данный урок был проведён 27 ноября 2010 года в 8 «б» классе, в 53
гимназии Советского района, студентом – практикантом Логиновой М. Н.
Тема урока: «Квадратное уравнение и его корни» изучается в главе
2)
«Квадратные уравнения» после темы «Квадратные корни».
Дидактические единицы:
 Теорема: «уравнение х2=d, где d>0, имеет два корня х1= d , х2= d »  Определение квадратного уравнения.
 Новые понятия: метод доказательства, основанный на применении одной из
формул сокращённого умножения + свойства квадратного корня (d=( d )2)
Этот урок является по типу уроком изучения нового, где даются основные
теоретические сведения необходимые для последующих занятий, на которых
будет проходить отработка доказанной теоремы. Поэтому в системе уроков
по данной теме этот урок имеет важное фундаментальное значение. В самой
главе тема также важна, изученные факты помогают  при решении неполных
квадратных уравнений. Термин  «теорема» учащимся уже был знаком, как из
курса геометрии, так из курса алгебры. На этом уроке впервые учащихся
знакомят с определением квадратного уравнения, с которым впоследствии,
как уже сказано выше, будет связана вся математика. Новым является метод
доказательства. Он основан на применении одной формул сокращённого
умножения.
3)
Учебная задача урока : В совместной деятельности с учащимися,
научиться решать квадратные уравнения вида х2=d. Учебная задача
сформулирована на операционно – познавательном этапе учителем.
Диагностируемые цели:
По окончании изучения темы ученик воспроизводит:
определение квадратного уравнения;
символьную  и словесную формулировку квадратного уравнения;
Ученик понимает:
признак приведенных квадратных уравнений;
способ получения приведенного квадратного уравнения из квадратного
уравнения в общем виде;
основную идею доказательства теоремы х2=d;
приемы решения задач на применение формулы х2=d;
Ученик умеет:
получать квадратные уравнения по заданным коэффициентам;
определять коэффициенты а и b, свободный член в  квадратных уравнениях;
доказывать и обосновать теорему х2=d;
применять теорему х2=d на практике. 4)  Тип урока: урок изучения нового.
 Методы обучения: частично – поисковой, репродуктивны й.
Средства обучения: мел, доска, учебник, раздаточный материал, плакат.
Форма работы: фронтальная.
Учитель при решении каждой задачи обращался к наглядным средствам: к
плакату   на   доске,   к   раздаточному   материалу.   Таким   образом,   дети
визуально могли представлять материал, изучаемый на уроке.
1.
2.
3.
4.
Структура урока
Организационный момент
Мотивационноориентировочный этап:
-Актуализация: решение заданий
-Мотивация
-Постановка цели урока
Содержательный этап
Введение определения квадратного уравнения;
«открытие» теоремы, её доказательство,
решение примеров.
Рефлексивнооценочный этап.
 Подведение итогов
 Домашнее задание
Была избрана традиционная структура урока. Ребята и ранее в начале
урока решали задания , чтобы включиться в учебную деятельность. На
актуализации были повторены задания, которые впоследствии помогли
на   операционно   –   познавательном   этапе   «открыть»   теорему.   Также
раздавались карточки, с помощью которых учащиеся повторили способы
разложения   многочлена   на   множители,   формулы   сокращенного
умножения. Домашнее задание на уроке не проверялось, так как ученики
на прошлом уроке писали контрольную работу и не получили домашнего
задания.   В   качестве   мотивации   выступила   задача,   которую   учащиеся
могли решить одним способом, но учитель им сообщил, что можно иначе
решить эту задачу. Впоследствии учитель вместе с учащимися «открыл»
определение   квадратного   уравнения,   проведя   аналогию   с   изученными
раннее линейными уравнениями, а затем ввёл теорему.
Для   активизации   познавательной   деятельности   учащихся   учитель
использовал раздаточный материал, математические задания , которые
необходимо было решать по заданной учителем схеме.
Система   упражнений   и   заданий   на   различных   этапах   урока
соответствовала   целям.   На   этапе   актуализации   ученики   вспомнили некоторые формулы, определения, которые они изучали ранее, способ
решения   линейных   уравнений.   В     мотивационном   и   содержательном
этапах   использовались   задания,   необходимые   для   достижения   целей
урока.
  По   окончании   урока,   учитель   подвёл   итоги,   повторил   с   учениками,
какие   теоретические   факты   получены   на   уроке,   все   определения   и
теоремы, свойства,  используемые  на  уроке. Далее  Мария  Николаевна
задала домашнее задание.
5) В   целом,   урок   прошел   довольно   хорошо.   Учитель   достиг   всех
поставленных целей, выполнил запланированный материал. Особо мне
понравилось, что Мария ввела определение квадратного уравнения,
проведя   аналогию   с   линейными   уравнениями.   При   повторном
проведении урока на эту тему я , наверное, ввела иначе мотивацию,
подобрала другую задачу.
Мне урок очень понравился и оцениваю я его на отлично.

file_name: Квадатное уравнение и его корни (1).doc

intro:
Цели урока:
-Ввести определение квадратного уравнения.
- Научиться выделять квадратные уравнения.
-Ввести формулу корней квадратного уравнения вида х2=d и рассмотреть зависимость числа корней от знака d.
-Сформулировать и доказать теорему для случая d>0.
-Научиться составлять квадратные уравнения по его коэффициентам.
-Научиться решать квадратные уравнения вида х2=d.

title: урок по алгебре в 8 классе на тему " Квадратное уравнение и его корни"


extracted_text:
Урок решения ключевых задач по теме:
«Площадь параллелограмма и треугольника»
Учебник:  Геометрия:   Учеб.   для   79   кл.   сред.   шк./   Л.С.   Атанасян,   В.Ф.   Бутузов,   С.Б.
Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 1990. – 336с. Глава VI, §2.
Учебная задача: выделить основные виды задач, решаемых на основе теорем о площади
параллелограмма и треугольника, следствий из теоремы о площади треугольника, приёмы их
решения, в частности приёмы метода площадей, алгебраический метод в геометрии.

Диагностируемые цели:
В результате урока ученики:



знают:   основные   виды   задач,   решаемых   на   основе   изученной   теории,   приёмы   их
решения, в частности алгебраический метод в геометрии, приёмы метода площадей;
умеют: применять формулы нахождения площадей параллелограмма и треугольника,
следствия 1 и 2, теорему об отношении площадей треугольников имеющих по равному углу в
соответствующих задачных ситуациях;
понимают: когда и как применяется та или иная теорема, формула, метод, приём. Метод   обучения:   метод   укрупнения   дидактических   единиц,
репродуктивный метод.
  частичнопоисковый,
Форма работы: фронтальная.
Средства обучения: доска, мел, учебник, тетрадь, ручка, карандаш, линейка.
Структура урока:
I.Мотивационноориентировочный этап (10 минут)
II.Содержательный этап (32 минут)
III.Рефлексивнооценочный этап (3 минут)
2 Ход урока:
Деятельность учителя.
Деятельность учащихся.
I. Мотивационноориентировочный этап.
Актуализация:
К началу урока учитель на доске делает рисунки, к которым потом даются задачи. Идёт фронтальная
работа, учитель устно просит решить учеников каждую из задач.
                                                   а = 16 см
                                                   h = 5 см

                                                    S = ?

                 а                                         Рис.1
a = 10 см
h = 4 см
   S = ?
                   a                              Рис. 2
А              АВС – прямоуг.

                            C = 900
                       В = 300
                       АВ = 60 см
                       ВС = 48 см
                      S = ?

C                В      Рис. 3
Задача   1.  На   рис.
  1   изображён
параллелограмм.   Найдите   его   площадь,
если его основание равно 16 см, высота 5
см.
 Чем вы пользовались при решении этой
задачи?
 Сформулируйте её.
  На   рис.
Задача   2.
  2   изображён
треугольник.   Найдите   его   площадь,   если
основание равно 10 см, высота равна 4 см.
 Чем вы пользовались при решении этой
задачи?
 Сформулируйте её.
  На   рис.
 АВС.
  3   изображён
Задача   3.
прямоугольный
  Найдите   его
площадь, если В = 300, АВ = 60 см, ВС =
48 см
   Какое   свойство   вы   применяли,   когда
находили АС?
   Чем   вы   пользовались   при   подсчёте
площади?
 Сформулируйте его.
Решение:
S =
5
16   = 80 (см2)
Теоремой о площади параллелограмма.
Площадь   параллелограмма   равна   произведению   его
основания на высоту,
т.е.: S = ah
Решение:
S
20
10
(см2)
4
1
2
Теоремой о площади треугольника.
Площадь   треугольника   равна   половине   произведения   его
основания на высоту,
S
т.е.:
1
2
Решение:
ah
.
ÀÑ

ÂÑ
S

1
2
АС =
S

1
2
1
2
ÀÑ
1
2
1
2
ÀÂ
60
30
(см)

ÂÑ
48
30
720
(см2)
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла
в 300 равен половине гипотенузы.
Следствием 1 из теоремы о площади треугольника.
Площадь   прямоугольного   треугольника   равна   половине
произведения его катетов,
т.е.:
S
1
2
ab
3 А                                              А1
АН = А1Н1
ВС = 24 см
В1С1 = 16 см
S
S
ABC
CBA
111
Задача   4.  На   рис.   4   изображены   два
треугольника.   Найдите   соотношение   их
площадей,   если:   АН   =   А1Н1,   ВС   =   24,
В1С1= 16.
   В                                              С  В1                                           С1
                            Н                                              Н1
                                                                    Рис. 4
Решение:
АН и А1Н1 – высоты треугольников, АН = А1Н1.
ВС и В1С1 – основания треугольников.
S
S

1
24
16
1
2


BC
CB
1
1
3
2

?
ÀÂÑ
ÑÈÀ
11
1
Следствием 2 из теоремы о площади треугольника.
Если   высоты   двух   треугольников   равны,   то   их   площади
относятся как основания.
 Чем вы пользовались при решении этой
задачи?
 Сформулируйте его.
Мотивация:
На прошлых занятиях вы изучили теоремы
о   площади   параллелограмма
  и
треугольника,   2   следствия   из   теоремы   о
площади   треугольника,
  теорему   об
отношении   площадей   треугольников
имеющих   по   равному   углу,   решали
простейшие   задачи   на   применение   этих
теорем.
  Необходимо   переходить   к
решению   более   сложных   задач,   в   том
числе, из учебника.
Постановка цели урока:
Поэтому,   целью   сегодняшнего   урока
является   рассмотрение   основных   видов
задач,   решаемых   на   основе   изученной
теории,   выделение   приёмов,   методов   их
решения.
II. Содержательный этап.
Идёт фронтальная работа учителя с классом. Т.к. как задачи ключевые, то все учащиеся записывают себе
решения этих задач как образец.
Учитель сначала просит записать домашнее задание: № 465, 470, 474, 502.
Решим № 461.
Смежные стороны параллелограмма равны
12 см и 14 см, а его острый угол равен 300.
Найдите площадь параллелограмма.
Дано: АВСД  параллелограмм, АВ = 12см, АD = 14 см,    
ВАD = 300.
Найти: SАВСD.
   По   какой   формуле   находится   площадь
Решение:
Отвечают учащиеся:
4 параллелограмма?
   Что   нам   известно,   а   что   надо   найти,
чтобы воспользоваться этой формулой?
   площадь   параллелограмма   равна   произведению   его
основания на высоту.

BH
Т.е.
 Нам известно основание: AD = 14 см. Нужно найти, чему
равна высота BH.
(на рисунке изображается высота)
S ÀBCD
AD

Пишут в тетрадях, а учитель на доске:
1).
S ÀBCD

BH
AD
, где ВН – высота ABCD, AD = 14 см

   В   какой   треугольник   ВН   входит   как
сторона?
 Рассмотрим  ВАН, что нам известно в
нём?
  В АBH  прямоугольный
2).  АBH  прямоугольный, т.к. ВН – высота АВСD,
 ВНА = 900,  ВАН = 300, АВ = 12см.
 Чем являются АВ и ВН в прямоугольном
треугольнике?
АВ – гипотенуза, ВН – катет.
 ВН лежит против угла в 300.
   В   прямоугольном   треугольнике   катет,   лежащий   против
угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
(Продолжение записи в пункте 2).):
Значит, BH =
АВ =
1
2
6

12
6
(см).
1
2
(см2).
S
84
14 ABCD
3).
Ответ: 84 см2
 Записали формулу площади, нашли неизвестное.
   Нашли   прямоугольный   треугольник   с    300  и   нашли
неизвестный нам элемент.
 подставили найденное значение в формулу площади.
  Против  какого   угла  лежит  катет  ВН  в
АBH?
 Какой факт мы можем использовать?
 Значит, в пункте 2) решения можно найти
ВН.
   Подставьте   найденное   значение   в
формулу.
 Что мы сделали в пункте 1).?
 Далее, что мы сделали в пункте 2).?
 А что сделали в пункте 3).?
   Сформулируем   и   запишем   этапы
решения данной задачи:
1. Записать формулу площади, выделить
неизвестный элемент.
2. Найти   прямоугольный   треугольник,
является
стороной
неизвестная величина, а острый угол в
нем равен 300.
которого

3. Найти неизвестную величину.
4. Подставить   найденное   значение   в
формулу, выполнить вычисления.
 В учебнике есть достаточно много задач,
решаемых по данной схеме. Например, в
домашней работе это № 465.
№ 469.
Стороны   АВ   и   ВС   треугольника   АВС
равны   соответственно   16   см   и   22   см,   а
высота, проведённая к стороне АВ, равна
11   см.   Найдите   высоту,   проведённую   к
Дано: АВС, АВ = 16см, ВС = 22см,
СН2, АН1 высоты АВС, СН2 = 11см.
Найти: АН1
5 стороне ВС.
   В   какой   теореме   используется   высота
треугольника?
 Как выражается площадь треугольника?
Решение:
 В теореме о площади треугольника.
 Площадь треугольника равна половине произведения его
основания на высоту, т.е.:
S
1
2
ah
.
   Так   как   в   задаче   рассматриваются   две
высоты одного и того же треугольника, то
запишем   площадь   этого   треугольника
двумя способами.
 Итак, левые части равны. Тогда равны и
правые части.
   Выразите   искомую   величину   из
последнего равенства и найдите её.
   Чем   пользовались   при   решении   этой
задачи?
 В условии и заключении данной задачи
речь   о   площадях   не   идёт,   но   в   ходе   её
решения понятие площади используется и
приводит к ответу, поэтому говорят, что
данная
задача   решается   методом
площадей.
   Итак,   зная   две   стороны   и   высоту,
проведённую   к   одной   из   сторон
треугольника,   вы   можете   найти   высоту,
проведённую к другой известной стороне,
записав   площадь   треугольника   двумя
способами.   Аналогично   решается   задача,
если   задана   одна   сторона   и   2
соответствующие   высоты,   тогда   можно
найти вторую сторону треугольника.
Аналогично   вы   будите   решать   №   470   в
домашней работе.
BC
AB

AH
1

CH
2

1
2
1
2

AH

1).
S ABC
2).
3).
S ABC
1
2
BC
4).
AH
1

AB
1

1
2

CH
BC
AB

CH
или
BC
2

AH
1

AB
CH
1

16

11
22

8
(см)
Ответ: AH1 = 8 см.
 Теоремой о площади треугольника.
2
6 № 472.
Площадь   прямоугольного   треугольника
равна   168   см2.   Найдите   катеты,   если
отношение их длин равно
7
12
.
Дано:  АВС – прямоугольный,    А = 900,  SАВС  = 168 см2,
АВ:АС =  7:12.
Найти: АВ, АС.
    В
  А                                                         С
Решение:
(Если ученики затрудняются ответить, тогда отвечает
сам учитель).
Т.к. АВ:АС = 7:12, то обозначим:
1). АВ = 7х, АС = 12х,
где х – некоторая общая составная часть.
   По   первому   следствию   из   теоремы   о   площади
треугольника: площадь прямоугольного треугольника равна
половине произведения его катетов.
1
2
2).


AC
AB
S ABC
Подставим все известные и обозначенные величины:
168

õ 12
7
õ
1
2
х2 = 4
х = 2
Так как длина отрезка не может быть отрицательным
числом, то х = 2.
3). АВ = 7х =
АС = 12х =
27   = 14 (см)
12   = 24 (см)
Ответ: АВ = 14 см,  АС = 24см.
2
 Разберёмся  в условии:  АВ:АС =   7:12.
Что это означает?
 Это означает, что длины катетов можно
записать следующим образом:
  Как

прямоугольного треугольника?
выражается

площадь
 Известна площадь АВС:
 Тогда можно найти х, решив уравнение:
 Подставим найденное значение х:
 При решении данной задачи, исходя из
условия   для   катетов,   была   введена
неизвестная   величина  х,  и   тогда   всё
решение   свелось   к   решению   некоторого
уравнения.
Такой   метод   решения   геометрических
задач называется алгебраическим.
 Иногда вводятся 2 неизвестные величины
и   решение   сводят   к   решению   системы
уравнений. Аналогично вы будете решать
№ 502 из домашнего задания.
7 № 473.
Через   вершину   С   треугольника   АВС
проведена   прямая
  параллельная
стороне   АВ.
  что   все
треугольники с вершинами на прямой m и
основанием АВ имеют равные площади.
  Докажите,
 m,
 Чему равна площадь треугольника?
   Чтобы   записать   площадь,
провести высоты.
 Запишем площади треугольников.
  нужно
   Что   общего   в   рассматриваемых
треугольниках?
 Как расположены прямые m и АВ?
   Чем   определяется   расстояние   между
параллельными прямыми?
 Расстояние – это какая это величина?
   Что   нам   известно   о   треугольниках   с
равными высотами?
Дано:  АВС, m || AB, С m, С1 m,
Доказать:

ABC
S
S
ABC
1
                      С               С1            m
     A              H                H1             B
Поиск доква:
 Площадь треугольника равна половине произведения его
основания на высоту, т.е.:
S
ah
.
(На рисунке изображаются высоты)
1
2
1
2
1

2
1).
S ABC

AB

CH
1
S ABC
HCAB
2)
1
 АВ – общее основание.
1

 m || АВ
 Строится перпендикуляр к этим прямым.
3) Т.к. m || АВ, С m, С1 m,
ÑÍ 
AB
и
HC
1
1
AB
, то
СН и С1Н1 – расстояния.
 Постоянная, т.е. расстояние сохраняется, значит,
СН = С1Н1.
 По следствию 2 из теоремы о площади треугольника: если
высоты   двух   треугольников   равны,   то   их   площади
относятся как основания.
4). Т.к. СН = С1Н1, то
S
S
ABC
AÂC
1

AB
AB

1
, т.е. SАВС =
1AÂCS
Что и требовалось доказать.
(Учитель   на   доске,   а  ученики   в   тетрадях   оформляют
докво).
Докво:
1). Т.к. m || АВ, С m, С1 m,
HC
1
СН и С1Н1 – расстояния, значит, СН = С1Н1
ÑÍ 
1
, то
AB
AB
и
2). Т.к. СН = С1Н1, то
 т.е.
S 
ABC
S
.
1AÂC
S
S
ABC
AÂC
1

AB
AB

1
 (по следствию 2)
 Эта задача довольно сложная, изза того,
что   в   ней   используется   понятие
расстояния   между   параллельными
8 прямыми.
 Какие ещё расстояния вы знаете?
 Расстояние от точки до прямой  длина перпендикуляра,
проведённого из точки к прямой.
 Высота в треугольнике показывает расстояние от вершины
треугольника до его основания. Высота в параллелограмме
показывает   расстояние  от  любой   точки   противоположной
стороны к прямой, содержащей основание.
 СН и С1Н1  являются как расстояниями
между  2  параллельными   прямыми,   так  и
высотами треугольника.
   Что   показывает   величина   высоты   в
треугольнике, в параллелограмме?
 Здесь мы применяли Следствие 2: если
высоты двух треугольников равны, то их
площади   относятся   как   основания.   Мы
можем воспользоваться и тем, что если у
нас   известны   площади   треугольников,   то
отношения   оснований   можно   заменить
отношением площадей.
 Какова была цель урока?
III. Рефлексивнооценочный этап.
   Рассмотреть   основные   виды   задач,   решаемые   на   основе
изученной теории, выделить приёмы, методы их решения.
 Достигли ли мы её?
 Да.
 Как мы её достигли?
 Прорешали некоторые задачи и сделали выводы.
 Что вы делали в первой задаче?
 Находили прямоугольный треугольник с углом в 300,  т.е.
получили   схему   решения   задачи,   в   которой   один   из
неизвестных   элементов   формулы   площади   находится   из
прямоугольного треугольника с углом в 300.
 Что делали во второй задаче?
   Приравнивали   площади,   выражали   искомый   элемент.
Узнали, как применяется метод площадей.

  Какой   новый   метод   решения
геометрических   задач   рассмотрели   в   3
задаче?
   Какое   понятие   ещё   раз   повторили   в
последней задаче?
 алгебраический метод решения геометрических задач.
 Высота в треугольнике показывает расстояние от вершины
треуголька   до   его   основания.   Высота   в   параллелограмме
показывает   расстояние  от  любой   точки   противоположной
стороны к прямой, содержащей основание.
Домашнее задание:
№ 465, 470, 474, 502.
9 № 465.
Острый угол параллелограмма равен 30°, а
высоты,   проведенные   из   вершины  тупого
угла, равны 2 см и 3 см. Найдите площадь
параллелограмма.
Дано: ABCD параллелограмм, A =
высоты, BH1 = 2см, BH2 = 3см
Найти: SABCD.
30 , BH1, BH2
Решение:
1)
.
Рассмотрим   ABH1 – прямоугольный,   A =
30
1
2
Следовательно,
BH
1 
AB
(т.к. в прямоугольном
треугольнике катет лежащий против угла в
половине гипотенузы).
AB = 2BH1 = 4 (см)
30  равен
АВ = CD = 4 см  (по свойству параллелограмма).
SABCD =
CD 
2BH
=
34  =12 (см2) (По теореме о
2)
3)
площади параллелограмма)
Ответ: SABCD = 12 см2
№ 470.
Две стороны треугольника равны 7,5 см и
3,2   см.   Высота,   проведенная   к   большей
стороне,   равна   2,4   см.   Найдите   высоту,
проведенную к меньшей из данных сторон.
Дано:  АВС, ВН1  и СН2  – высота треугольника, АС = 7,5
см, АВ = 3,2 см, ВН1 = 2,4 см.
Найти: СН2.
Решение:

1).
S ABC
2).
3).
S ABC
1
2
AC
4).
CH
2

AC
AB

BH
1

CH
2
1
2
1
2

BH

1

1
2

BH
AB
AC
Ответ: СН2 = 5, 625 см.
AB

CH
 или
AC

BH
1

AB
CH
4,25,7
1


625,5
 (см)
2

2,3
2
10 № 474.
Сравните площади двух треугольников, на
которые разделяется данный треугольник
его медианой.
Дано: АВС, BM – медиана.
Сравнить: SABM и SBMC.
                                         В
А                          M         H             C
№ 502.
Высоты параллелограмма равны 5 см и 4
см,   а   периметр   равен   42   см.   Найдите
площадь параллелограмма.
AM 
BH
MC 
BH
Решение:
1
SABM =
2
1
2
SBMC =
ÀÂÌ
1
AM
MC
ÀÂÌ 
BMC
ВН – высота обоих треугольников, тогда по Следствию 2:
S
S
Т.к. ВМ – медиана АВС, то АМ = МС, тогда:
S
S
Следовательно: SABM = SBMC.
Ответ: SABM = SBMC.
Дано: АВСD – параллелограмм, АН1, СН2 – высоты, АН1= 4
см, СН2 = 5 см, PABCD = 42 см.
Найти: SABCD
BMC
Решение:
1) PABCD = АВ + ВС + СD + AD = 2 (AD + CD)
2) SABCD =
SABCD =
Тогда,
ÑD 
AD 
ÑD 
1AH
2CH
1AH
=
AD 
2CH
3) Запишем следующем образом: AD = x, CD = y
,42
Тогда получим систему уравнений:


(2
õ
ó
)


.4
õ
5
ó

Решим эту систему:
11 


ó
2
2|,42
2
õ



ó
.0
4
5
õ



y
,84
4
4
x



x
y
.0
4
5


x
9
.84
28
3
28

3

,42

2
2
y
x
y
11
2
3
ÑD
4) SABCD =

AH
1

114
4
y
Ответ: SABCD =
46 (см2).
2
3
2
3

46
2
3
(см2)
12

file_name: Площадь параллелограмма и треугольника (2) (1).doc

intro: Учебная задача : выделить основные виды задач , решаемых на основе теорем о площади параллелограмма и треугольника , следствий из теоремы о площади треугольника , приёмы их решения , в частности приёмы метода площадей , алгебраический метод в геометрии .Учебная задача: выделить основные виды задач, решаемых на основе теорем о площади параллелограмма и треугольника, следствий из теоремы о площади треугольника, приёмы их решения, в частности приёмы метода площадей, алгебраический метод в геометрии.

title: урок по геометрии на тему "Площадь параллелограмма и треугольника" (8 класс)


extracted_text:
Фрагмент урока «Задачи, приводящие к понятию производной»
Учебник : Мордкович и др. 10 класс профильный уровень, 10 класс .
Тип урока: изучение нового материала.
Продолжительность урока: 45 минут.
Цели урока:
1. Образовательные:



повторить теоретический материал к теме;
изучить задачи, приводящие к понятию производной;
определить новую математическую модель;
добиться понимания геометрического и физического аспектов вопроса;

 закрепить полученные знания в ходе решения задач.



2. Воспитательные:
продолжить формирование научного мировоззрения учащихся;
способствовать овладению мыслительными операциями: анализом,
синтезом и др.;
воспитывать графическую культуру учащихся.
3.
Развивающие:
 развитие умений интегрировать знания из курсов математики и физики
и применять их на практике;
 формирование познавательного интереса.
Структура урока:
1. Организационный момент (3 мин).
2. Актуализация знаний (15 мин).
3. Изучение нового материала (10 мин).
4. Рефлексия, закрепление материала (3 мин). 5. Практикум по решению задач (12 мин).
6. Домашнее задание (2 мин).
   Добрый   день,   ребята.   Наш   сегодняшний   урок   начнем   с   высказывания
Имануила Канта  «В каждой естественной науке заключено  столько истины,
сколько   в   ней
есть
  математики».
  На
  доске

слайд:
Насколько   нам   известно,   математика   наука   о   математических   моделях.
Вспомним, что математическая модель – это упрощенное описание реальной
действительности   с   помощью   математических   понятий.     Сила   математики
состоит в том, что она разрабатывает способы оперирования той или иной
математической   моделью,   которыми   потом   пользуется   в   других   областях
знаний.   То   есть   математика   изучает   реальную   действительность,   создавая
модели.   Но,   часто   бывает   так,   что,   решая   задачи   совершенно   разные   по
содержанию,  мы   приходим   к   одной   и   той   же   математической   модели.  Со
многими математическими моделями вы знакомы, такими как   неравенства,
уравнения и т.д. В ближайшее время мы познакомимся с совершенно новой
для вас математической моделью, которую назвали «производная», но для
начала нам необходимо выяснить, какие задачи, далекие друг от друга по
содержанию   привели   математиков   к   одной   и   той   же   модели,   которую   в
дальнейшем   стали   называть   «производная»?   Итак,   записываем   тему
сегодняшнего урока « Задачи, приводящие к понятию производной».

(ученики   пишут   тему).
  На   доске   слайд   с   темой:
 Оказывается, существуют две задачи приводящие к понятию производной :
1) задача математики (  построение касательной к кривой)
Дан гафик функции у=f(x). На нем выбрана точка А(х0, f(x0)), в этой точке к
графику   функции   проведена   касательная.   Найти   угловой   коэффициент
касательной.
2) задача естествознания ( определение скорости неравномерного движения):
по   прямой,   на   которой   заданы   начало   отсчета,   единица   измерения   и
направление,   движется   некоторое   тело.   Закон   движения   задан   формулой
s=s(t), где  t  время,  s(t)  – положение тела на прямой в момент времени  t  по
отношению начала отсчета. Найти скорость движения тела в момент времени
t.
Немного   из   истории.   Первой   задачей   (задачей   о   касательной   к   кривой)
занимался известный итальянский ученый Н. Тарталья.(учитель рассказывает
историю, на доске слайд): А над задачей на определение скорости неравномерного двиджения работал
итальянский физик и математик Г. Галилей. (слайд):
Работая над своими задачами, оба ученых пришли к вычислению пределов
одного и того же типа (слайд): Давайте с вами попытаемся сформулировать цели нашего урока.
   Изучить   задачи,   приводящие   к   понятию   производной;   определить   новую
математическую модель; добиться понимания геометрического и физического
аспектов вопроса; закрепить полученные знания в ходе решения задач.
   Хорошо,   но,для   того,   чтобы   добиться   всех   поставленных   целей,   нам
необходимо повторить изученный нами ранее материал. Давайте вспомним,
какие виды пределов функции вы знаете?
 Пределы функции в точке и на бесконечности.
 Какие свойства пределов используются для их вычислений?
   Предел   суммы   равен   сумме   пределов,   предел   произведения   равен
произведению   пределов,   предел   частного   равен   частному   пределов,
постоянный множитель можно вынести за знак предела.
 Хорошо, а какие частные случаи вычисления пределов вы знаете?

,
,
.
 Какие приемы вычислений пределов вы знаете?  Деление и числителя и знаменателя функции на х в наибольшей степени.
 Хорошо, я вам предлагаю решить задачи ( по одному ученику вызывается к
доске   для   каждого   примера,
  решают   примеры).

(на   слай
Ученики решают примеры в тетрадях.
 А помимо пределов, мы с вами с какими понятиями ещё познакомились на
прошлых уроках?
 Приращение функции и приращение аргумента.
   Вспомном   эти   понятия,   посмотрим   на   доску.   Как   найти   приращение
аргумента?
x
x


                        ,(слайд).

x
0
(
x
0

)  А как найти приращение функции?

)(
xf



(
xf
0


x


)


(
xf
0

)

  ,   (слайд)
Хорошо,   а   теперь,   пожалуйста,   решите   задачу:   Найти   предел   отношения
x
приращения функции                      к приращению аргумента при              .
2 x
)(
xf
5
2
0  Ученики решают задачу в тетрадях, затем сверяют  с слайдом. На слайде:
   Вспомните   из   курса   геометрии   определение   тангенса   острого   угла
прямоугольного треугольника.
   Тангенс   острого   угла   прямоугольного   треугольника   –   это   отношение
противолежащего катета к прилежащему.
Хорошо,   давайте   на   примере
нашей   кривой   найдем   тангенс
угла  α ?
На слайде:
   А   теперь  вспомните   из   курса
алгебры определение углового коэффициента линейной функции?
 Угловой коэффициент функции равен тангенсу наклона этой функции  к оси
Ох.  Давайте на примере нашей кривой найдем угловой коэффициент прямой. На
слайде:

слайде:
Посмотрите   на   слайд.   На
 Как называется прямая АВ?
Секущая.
Что будет происходить с прямой АВ, если точка В стремится к точке А?
Прямая АВ будет превращаться в пряму АС.
Как будет называться прямая АС?
Касательной.
Что представляет собой угол
?
1
 Это угол между касательной и положительным направлением оси Ох.  Как угол
1
 связан с угловым коэффициентом касательной?
 Тангенс
1
 равен угловому коэффициенту касательной.
При каком условии для
x
 секущая займет положение прямой АС?
 В том случае, когда приращение аргумента становится всё меньше и меньше,
то есть стремится к 0.

касk
 Хорошо, из всего вышесказанномого можно сделать вывод                            .

1

tg
lim

0
x
tg
То есть, касательная это предельное положение секущей.
На слайде:
( ученики записывают итоговую информацию в тетрадь).
   Итак,   давайте   обобщим   сказанное   выше.   Кто   может   подвести   итог
вышесказанному для задачи о построении касательной к кривой?
 Задача о построении касательной к кривой свелась к нахождению предела
отношения приращения функции к приращению аргумента при  стремлении
приращения   аргумента   к   нулю,   а   отношения   приращения   функции   к
приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю это предел   тангенса   угла   наклона   секущей   с   осью   Ох,   а   это,   в   свою   очередь
тангенс угла наклона касательной с осью Ох, что является коэффициентом
касательной.
 На доске слайд.
(ученики записывают вывод).
   А   теперь   перейдем   ко   второй   задаче.   Задаче   о  определении   скорости
неравномерного   движения.     Задача:   по   прямой,   на   которой   заданы   начало
отсчета, единица измерения и направление, движется некоторое тело. Закон
движения задан формулой s=s(t), где t время, s(t) – положение тела на прямой
в момент времени t по отношению начала отсчета. Найти скорость движения
тела в момент времени t.
( решая эту задачу ученики записывают вывод)
Для начала изобразим прямую с заданным началом отсчета, направлением.
Предположим, что в момент времени  t  тело находилось в точке М. Тогда
какое расстояние прошло тело?
 Расстояние, которое прошло тело s(t)=OM.
Дадим аргументу t приращение ∆t и рассмотрим ситуацию в момент времени
t+∆t. Что теперь можно сказать про тело?  В этот момент времени тело будет находиться в другой точке Р и пройдет
расстояние ОР= s(t+∆t ).
 Найдем, какое расстояние прошла точка? От точки М в точку Р?
 МР= s(t+∆t ) s(t).
 Как называется такая разность? Как она обозначается?
 Приращением функции. И она обозначается ∆ s= s(t+∆t ) s(t).
 Найдем среднюю скорость движения  тела за промежуток от t до t +∆t?
 Средняя скорость равна отношению
Хорошо, но нам же нужно найти мгновенную скорость. Как вы считаете, как
.
из средней скорости получить мгновенную?
 Мгновенная скорость это то же, что и средняя, только при условии того, что
∆t все меньше и меньше, то есть стремится к 0.
 Поэтому рассмотрим следующий предел, мы получили,
кто может подвести итог второй задачи?
Ребята,
   Чтобы   найти   мгновенную   скорость,   нужно   найти   среднюю   скорость   на
промежутке,   а   затем   найти   предел   средней   скорости,   при   стремлении
приращения времени к нулю.
Слайд:
 Давайте сравним системы обозначений на физическом и математическом
языках. Слайд:
. ( далее решаются практические задачи).
Рефлексивнооценочный этап.
Подведем итоги: Какие задачи привели к одной и той же математической
модели?
 Задача построения касательной к графику функции,   задача о нахождении
мгновенной скорости неравномерного движения тела.
Как записывается новая математическая модель?


f
lim
x 
x

0
 Мы видим, что различные задачи из различных областей знания приводят к
одной и той же математической модели. А что такое математика?
 Это наука о математических моделях.
   Значит,   если   жизнь   выдвигает   на   повестку   дня   новую   модель,   дело
математиков заняться изучением новой модели в отрыве от её конурентного
содержания. А что для еэтого нужно?
   ввести   названия   новой   модели,   ввести   обозначения   новой   модели,
исследовать свойства новой модели, изучить сферы её приложения.
Этим мы и займемся на следующих уроках. Домашнее задание :
1. Обязательная   часть:
 Закон   движения   точки   по   прямой
задается   формулой  s=s(t),  где  t   –  время   в   секундах,  s(t)   –
отклонение   точки   в   момент   времени  t   (в   метрах)   от   начального
положения. Найдите мгновенную  скорость движения точки в момент
времени t, если s(t)=3t+2.
2. Функция  y=f(x)  задана   своим   графиком.   Определите
предел   отношения   приращения   функции   к
соответствующему   приращению   аргумента   в   точке   х1,
если   график
  функции   изображен   на   рисунке.
По желанию:
1. Функция y=f(x) задана своим  графиком. Определите предел
отношения приращения функции к соответствующему приращению
аргумента в точке х2, если график функции изображен на рисунке Поскольку   в   планировании   37м   уроком   выступает   уроксеминар   по
защите   проектов,  то  необходимо  раскрыть   суть   проектной  деятельности   и
привести этот урок.

file_name: урок по введению производной.docx

intro: Насколько нам известно, математика- наука о математических моделях. Вспомним, что математическая модель – это упрощенное описание реальной действительности с помощью математических понятий.  Сила математики состоит в том, что она разрабатывает способы оперирования той или иной математической моделью, которыми потом пользуется в других областях знаний. То есть математика изучает реальную действительность, создавая модели. Но, часто бывает так, что, решая задачи совершенно разные по содержанию, мы приходим к одной и той же математической модели. Со многими математическими моделями вы знакомы, такими как  неравенства, уравнения и т.д. В ближайшее время мы познакомимся с совершенно новой для вас математической моделью, которую назвали «производная», но для начала нам необходимо выяснить, какие задачи, далекие друг от друга по содержанию привели математиков к одной и той же модели, которую в дальнейшем стали называть «производная»?

title: Урок по алгебре на тему "Производная" (10-11 класс)


extracted_text:
Формула площади трапеции
Тема: изучение формулы площади трапеции
Учебник: Атанасян. Геометрия 79. Глава VI §2 п.53
Тип урока: урок изучения нового.
Учебная задача: в совместной деятельности с учащимися открыть формулу
площади трапеции, доказать её.
Диагностируемые цели:
в результате урока ученик:
 воспроизводит запись формулы площади трапеции;
 умеет читать её разными формулами;
 выражает линейный элемент трапеции из формулы её площади;
 знает прием доказательства формулы и при этом использует свойства
площадей;
 применяет формулу при решении простейших задач на нахождение
площади трапеции.
Методы обучения:
 частичнопоисковой
 репродуктивный
Форма работы: фронтальная
Средства обучения: мел, доска, учебник, инструменты.
Структура урока:
 мотивационноориентировочный этап(10 мин)
 содержательный этап (30 мин)
 рефлексивнооценочный этап (5 мин)
Ход урока
I.Мотивационно  ориентировочный этап.
Актуализация:
Речь учителя: Мы с вами изучаем тему «Площадь».  Площади каких фигур вы
уже умеете вычислять?
Речь ученика: квадрата, треугольника, прямоугольника, параллелограмма.
Речь учителя: Хорошо, посмотрим на рисунок 1.
Записи на доске:
          B                                     C
    8                                                     SABCD?

A                                    D
                     20
300 Речь учителя: Что дано?
Речь ученика: АВ=8, АD=20,     BAD=30˚.
Речь учителя: Что нужно найти?
Речь ученика: SABCD.
Речь учителя: Чему она равна?
Речь ученика: 80 см.2
Речь учителя: Молодцы. Чем пользовались при нахождении площади ABCD?
Речь ученика: формулой для вычисления площади S=ah.
Речь учителя: а теперь посмотрим на след. рисунок:
Записи на доске:
E
A
D
                                                                      Выразить SABCDЕ=?
               B
C
Речь учителя: что изображено на рисунке?
Речь ученика: пятиугольник ABCDE.
Речь учителя: что надо сделать?
Речь ученика: найти его площадь.
Речь учителя: какие фигуры можно получить из этого пятиугольника?
Речь ученика: соединим В с Е, C c Е. Получим 3 треугольника.
Записи на доске:

E A
D
  C
                           B
Речь учителя: как тогда можно выразить SABCDЕ?
Речь ученика:  SABCDЕ= SABЕ+SBCЕ+ SCDЕ
Записи на доске: SABCDЕ= SABЕ+SBCЕ+ SCDЕ
Речь учителя: выразили площадь?
Речь ученика: да
Речь учителя: чем пользовались при выражении площади пятиугольниками?
Речь ученика: тем, что площадь многоугольника равна сумме площадей
многоугольников, из которых составлен данный многоугольник.
Мотивация.
Речь учителя: молодцы! Вернемся к рис.1. На продолжении стороны АD
отложим DK=3 см. Найдите площадь полученного четырехугольника.
Записи на доске:
            B
                                C
8
300
A
20                   D
3                                              K
Речь учителя: чем является ABCK?
Речь ученика: трапецией.
Речь учителя: почему это трапеция?
Речь ученика: так как ВС//АК, а АВ и СК пересекаются.
Речь учителя: что надо найти?
Речь ученика: SABCК
Речь учителя: каким способом можно вычислить площадь SABCК?
Речь ученика: как сумма площадей параллелограмма АВСD и треугол. АСК.
Речь учителя: верно. Чему равна площадь параллелограмма.
Речь ученика: 80 см2
Речь учителя: верно. А чему равна высота ВМ в параллелограмме? Речь ученика: ВМ=4, т.к. ВМ это катет прямоугольного  треугольника АВМ,
у которого АВ=8, а угол А=300 ).
Речь учителя: как найти SDCK?
Речь ученика: S=1/2*CH*DK=1/2*4*3
Речь учителя: Почему СH=4?
Речь ученика: так как CH=BM.
Речь учителя: итак, чему равна SABCК?
Речь ученика: SABCК= SABCD+ SDCК=80+6=86.
Записи на доске:
h= BM=CH=1/2*AB=1/2*8=4
SABCD=80
SCDК=6
SABCК= SABCD+ SDCК=80+6=86.
Речь учителя: итак, как найдена площадь трапеции?
Речь ученика: как сумма площадей треугольника и параллелограмма.
Речь учителя: всегда ли можно использовать такой способ для нахождения
площади трапеции?
Речь ученика: да
Речь учителя: а всегда ли удобно?
Речь ученика: нет, так много действий.
Речь учителя: как вы думаете, можно ли найти другой способ для вычисления
площади трапеции?
Речь ученика: наверное, да.
Речь учителя: как мы находим площади параллелограмма и треугольника?
Речь ученика: по формулам
Речь учителя: так, оказывается, для трапеции тоже существует формула
нахождения её площади. Какую цель мы поставим перед собой на
сегодняшнем уроке?
Речь ученика: вывести формулу для вычисления формулы трапеции.
Речь учителя: итак, открываем тетради и записываем тему урока: «Площадь
трапеции»
Записи на доске: Площадь трапеции.
Содержательный этап
Речь учителя: как вы думаете, что нам поможет при нахождении формулы
трапеции?
Речь ученика: рисунок 1.
Речь учителя: правильно. Начертим у себя в тетради трапецию ABCK  по
рис.1, сохраняя не только построения, но и буквенные обозначения.
Записи на доске: B
C

A                              D                                K
Речь учителя: что надо найти?
Речь ученика: формулу площади трапеции
Речь учителя: вспомним, как решали предыдущую задачу на нахождение
площади трапеции
Речь ученика: мы говорили, что площадь трапеции равна сумме площадей
параллелограмма и трапеции
Речь учителя: значит, что в нашей задаче нужно сделать?
Речь ученика: провести CD//АВ, ВМ, СМ.
Речь учителя: как находиться площадь параллелограмма АВСD?
Речь ученика: SABCD=АD*BM.
Речь учителя: обозначим ВМ=h(высота), AD=а(основание), так как АВСD
параллелограмм, то ВС=АD=а, АВ=СD. Как находится площадь треугольника
СDK?
Речь ученика: SCDК=1/2*CH*DK.
Речь учителя: чему равна СН?
Речь ученика: СН=ВМ=h, так как высоты в трапеции равны.
Речь учителя: как связаны основания трапеции АК, основание
параллелограмма AD и основание треугольника DK?
Речь ученика: основание трапеции состоит из основания параллелограмма и
треугольника.
Речь учителя: какой вывод можно сделать о формуле площади трапеции, зная,
что формула площади параллелограмма выражается через основание и высоту
и треугольника выражается через основание и высоту?
Речь ученика: наверно площадь трапеции выражается через основание и
высоту.
Речь учителя: обозначим нижнее основание трапеции за b, то есть АК= b.
Выразим площадь трапеции.
Речь ученика: SABCК =SABCD+ SCDК
Записи на доске: SABCК =аh+1/2*(ba)h=ah+1/2*b*h1/2*ah=1/2*(ah+bh)=
=1/2*h(a+b).
Речь учителя: мы с вами получили формулу для вычисления формулы
площади трапеции. Какие величины используются в формуле?
Речь ученика: 2 основания и высота.
Речь учителя: а что мы называем основанием трапеции?
Речь ученика: две параллельные стороны трапеции. Речь учителя: видите, в формуле снова используются высота и основание.
Значит, наше предположение было верным. Вернемся к рисунку 1. и
проверим, правильно ли мы нашли формулу? Подставляем, получим:
Записи на доске: SABCК = ½*ВМ(ВС+АК)=1/2*4*(23+20)=2*43=86
Речь учителя: ответ совпал?
Речь ученика: да.
Речь учителя: удобна ли эта формула?
Речь ученика: да, помогает быстро найти площадь трапеции.
Речь учителя: кто сформулирует мне теорему?
Речь ученика: площадь трапеции равна произведению полусуммы её
оснований на высоту.
Речь учителя: хорошо! А теперь запишем её разными способами, а вы мне её
прочитаете.
Записи на доске:
S=1/2*h(a+b)= h/2*(a+b) =h(a+b)/2=(h*(a+b))/2.
Речь учителя: молодцы! А теперь давайте по шагам восстановим
доказательство. Шаг первый?
Речь ученика:  построили трапецию и провели прямую CD//АВ.
Речь учителя: шаг второй?
Речь ученика:  обозначили ВМ за h, ВС и АК за а и b.
Речь учителя: третий шаг: как выразили площадь трапеции ABCК?
Речь ученика: SABCК =SABCD+ SCDК
Речь учителя: шаг четвертый…
Речь ученика: все поставили, раскрыли скобки, привели подобные и
вычислили.
Записи на доске:
1.АВСКтрапеция
2.Построили CD//АВ.
3. Обозначим ВМ=h,  ВС = а, АК=b.
4. SABCК =SABCD+ SCDК.       SABCD=ha,  SCDК= ½*h*(ba)
5. SABCК = ha+½*h*(ba)= ½*h(b + a)
Речь учителя: используя формулу площади трапеции какие элементы мы
можем находить?
Речь ученика: высоту и основания.
Речь учителя: а теперь задание по рядам  выразите первый ряд из этой
формулы h, второй b, третий  а.
Записи на доске:
2S=h(b + a)                     2S=hb + ha                              2S=hb + ha
h=2S/ (b + a)                   hb =2Sha                               ha=2Shb
                                        b=2Sha/h                              a=2Shb/h
Речь учителя: а теперь посмотрим на рисунки на доске и решим след. задачи.
Записи на доске: 25
C
    O
                 C
4
      B 22 C
2
A    H
          24
D
B
5
A
D
  B             D
27                                                  10
A     H

SABCD? (46)                               SABCD?(130)                                      SAOCD?(15)
Учащиеся устно решают задачи, последнюю оформляют в тетради.
Записи на доске:
1. Проведем высоту ОН. Так как  ∆ АОН прямоугольный,  ОАН=300, то
ОН=1/2АО=1/2*4=2
2. SAOCD=1/2*(AD+OC)*OH
3. ОС=НВ=1/2АD=1/2*10=5.
4.
 SAOCD=1/2*(10+5)*2=15.
Рефлексивнооценочный этап
Речь учителя: какая задача стояла перед нами в начале урока?
Речь ученика: вывести формулу площади трапеции
Речь учителя: достигли ли мы её?
Речь ученика: да
Речь учителя: как выражается формула площади трапеции?
     Речь ученика: S= ½*h(b+a)
Речь учителя: какими свойствами и формулами мы пользовались?
Речь ученика: S=S1+S2, S=ah, S=1/2(ba)h.
Речь учителя: а что мы можем найти из формулы площади трапеции?
Речь ученика: два основания, высоту.
Речь учителя: молодцы! А теперь мы запишем домашнее заданиепараграф
2, пункт.53, номера 481, 480. Анализ увиденного урока учителя:
Данный урок был проведён 26 ноября 2010 года в 8 «а» классе, в 53
1)
гимназии Советского района, учителем математики Гусевой Е.П.
2)
Тема урока: «Формула площади трапеции» изучается в главе
«Четырёхугольники» после изучения площади треугольника.
Дидактические единицы:
 Теорема: «площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований
на высоту».
  свойства площадей.
 Формулы площади параллелограмма, треугольника.
Используется метод доказательства, основанный на методе площадей . Этот
урок является по типу уроком изучения нового, где даются основные
теоретические сведения , необходимые для последующих занятий, на которых
будет проходить отработка доказанной теоремы. Поэтому в системе уроков
по данной теме этот урок имеет важное фундаментальное значение. Далее формула нахождения площади трапеции будет часто использоваться
при решении различных задач. С термином « теорема» учащиеся знакомы
давно, метод доказательства, основанный на свойствах площадей также уже
знаком ученикам при доказательстве формулы нахождения площади
прямоугольника.
3)Учебная задача урока : в совместной деятельности с учащимися открыть
формулу площади трапеции, доказать её. Учебная задача была
сформулирована учащимися при помощи учителя на мотивационно
ориентировочном этапе.
Диагностируемые цели:
в результате урока ученик:
 воспроизводит запись формулы площади трапеции;
 умеет читать её разными формулами;
 выражает линейный элемент трапеции из формулы её площади;
 знает прием доказательства формулы и при этом использует свойства
площадей;
 применяет формулу при решении простейших задач на нахождение
площади трапеции.
4)Тип урока: урок изучения нового.
Методы обучения: частично – поисковой, репродуктивны й.
Средства обучения: мел, доска, учебник.
Форма работы: фронтальная.
При решении каждой задачи учитель строил фигуру и писал решение на
доске,   таким   образом,   ученики   могли   наглядно   представлять   материал,
изучаемый на уроке.
1.
2.
3.
4.
Структура урока
Организационный момент
Мотивационноориентировочный этап:
-Актуализация: решение заданий
-Мотивация
-Постановка цели урока
Содержательный этап
«открытие» теоремы, её доказательство,
решение задач.
Рефлексивнооценочный этап.
 Подведение итогов
 Домашнее задание
Была избрана традиционная структура урока. Ребята и ранее в начале
урока решали задания , чтобы включиться в учебную деятельность. На
актуализации были повторены задания, которые впоследствии помогли на операционно – познавательном этапе «открыть» теорему. Домашнее
задание на уроке не проверялось из – за ограниченности во времени. В
качестве мотивации выступила задача, которую учащиеся могли решить
одним способом, но учитель им сообщил, что можно иначе решить это
задание.   Впоследствии   учитель,   при   помощи     хорошо   разработанной
системы вопросов, помог ребятам «открыть» теорему, доказать её.
Система   упражнений   и   заданий   на   различных   этапах   урока
соответствовала   целям.   На   этапе   актуализации   ученики   вспомнили
некоторые   формулы,   определения,   которые   они   изучали   ранее.   В
мотивационном   и   содержательном   этапах   использовались   задания,
необходимые для достижения целей урока.
По окончании урока, учитель подвёл итоги, повторил с учениками, какие
теоретические факты получены на уроке, все определения, свойства  и
теоремы,   используемые   на   уроке.   Далее     Елена   Павловна   задала
домашнее задание.
5)   Урок   прошел   отлично.   Учитель   достиг   всех   поставленных   целей,
выполнил запланированный материал, ребятам было интересно работать
с   Еленой   Павловной.   Я   считаю,   что   интересным   было   само
доказательство теоремы. Оно отличается от доказательства в учебнике,
тем   самым,   учитель   показал   своё   мастерство.   При   повторном
проведении урока на эту тему я, наверное, ничего бы не поменяла.
    Мне урок очень понравился, я считаю его полностью продуманным  и
оцениваю я его на отлично.

file_name: формула площади трапеции (1).doc

intro:
Тип урока: урок изучения нового.
Учебная задача: в совместной деятельности с учащимися открыть формулу площади трапеции, доказать её.
Диагностируемые цели:
в результате урока ученик:
•	воспроизводит запись формулы площади трапеции;
•	умеет читать её разными формулами;
•	выражает линейный элемент трапеции из формулы её площади;
•	знает прием доказательства формулы и при этом использует свойства площадей;
•	применяет формулу при решении простейших задач на нахождение площади трапеции.
Методы обучения:
•	частично-поисковой
•	репродуктивный
Форма работы: фронтальная

title: Урок по геометрии на тему "Площадь трапеции" (8 класс)