extracted_text:
Лекция №6.
Тема занятия: Обыкновенные дифференциальные уравнения. Задачи, приводящие к
дифференциальным уравнениям. Общее и частное решение. Дифференциальные
уравнения с разделяющимися переменными.
Цель занятия: Ввести понятие – дифференциальное уравнение. Познакомить с общими
сведениями о дифференциальных уравнениях.
6.1. Основные понятия. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
Общее и частное решение.
Термин  «дифференциальное уравнение»  был впервые введен Лейбницем   в 1676 г. для
обозначения   зависимости   между   дифференциалами   dx   и   dy   двух   переменных   х   и   у.   Эта
зависимость содержит переменные х ну вместе с другими символами а, Ь, с,..., которые являются
постоянными.   Такое   ограниченное   применение   термина   было   вскоре   заменено   другим;  в
настоящее время под «дифференциальными уравнениями» понимаются любые алгебраические
или трансцендентные равенства, содержащие дифференциалы или производные.
Однако   при   этом   подразумевается,   что   дифференциальное   уравнение   не   является
тождеством.



dx
dy
2



3
yd
3
dx



dy
dx
2



3
xd
3
dy

3
2
yd
2
dx
2
xd

2
dy

0
Дифференциальные уравнения классифицируются соответственно числу содержащихся в
них   переменных.   Обыкновенное   дифференциальное   уравнение   выражает   зависимость   между
независимой переменной (аргументом), зависимой переменной (функцией) и одной или более
производными функции.
Дифференциальное уравнение в частных производных содержит одну зависимую и две
или более независимых переменных вместе с частными производными зависимой переменной
относительно независимых.
Дифференциальное   уравнение   в   полных   дифференциалах   содержит   две   или   более
зависимых   переменных   вместе   с   их   дифференциалами   или   производными   относительно
некоторой независимой переменной, которая может входить или не входить в уравнение.
Порядок дифференциального уравнения определяется порядком высшей входящей в него
производной.   Если   уравнение   представлено   в   виде   полинома   от   производных,   то   степень,   в
которую возводится высшая производная, называется степенью уравнения. Если в уравнении в
обыкновенных или частных производных зависимая переменная и ее производные входят только
1 в первой   степени и не встречаются в более высоких степенях или произведениях, уравнение
называется линейным.
Следовательно,   коэффициенты   линейного   уравнения   представляют   собой   постоянные
или функции независимой переменной или переменных.
Так, например
2
yd
2
dx

y
x
3
         является обыкновенным линейным уравнением второго порядка;

x

2

y
dy

1
dx

степени;
  —   обыкновенное   нелинейное   уравнение   первого   порядка   первой
x
dz
dx

y
dz
dy
0
z
  — линейное   дифференциальное   уравнение   в   частных
производных первого порядка с" двумя независимыми переменными   и т.д.
Рассмотрим уравнение
ccyxf
,(
,
,
1
,.....,
nc
0
)
2
где х: и у— переменные, а с1, с2, ….сn— произвольные независимые постоянные. Это уравнение
служит   для   определения   у   как   функции   х.   Так   определяется   последовательность   функций,
причем   каждая   функция   соответствует   определенному   произвольному   значению     .   Можно
образовать   такое   обыкновенное   дифференциальное   уравнение,   которое   удовлетворилось   бы
любой   из   этих   функций.   Дифференцируем   заданное   уравнение   последовательно  n  раз
относительно х. Тогда мы получим новых уравнений, именно
y

0
df
dy


df
dx
2
fd
2
dx
..........
fd
n
dx
n
n
y
)(


y
y
dy
dx
2
yd

0
2
dx
.....
..........
..........
.
n
yd
n
dx

)(
y
n
2
2
fd
dxdy
y

2
y
fd
2
dy
..........

....
n

fd
n
dy
где
..........
..........
..........
..........

......

df
dy
)(
n
y

0
Каждое   уравнение   существенно  отличается   от  предшествующего;   из   всех  n  +1   уравнений  n
произвольных постоянных  с1, с2,. ..,сn могут быть исключены алгебраически, после чего получим
дифференциальное уравнение nго порядка:

yyyxF

,.....,
)( 
ny

,
0

,
,
Определение.  Соотношения,   в   которых   неизвестные   переменные   и   их   функции
находятся   под   знаком   производной   или   дифференциала,   называются   дифференциальными
уравнениями.
2 Определение.  Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение,
  и   её   производную
связывающее   независимую   переменную   x ,   искомую   функцию
первого порядка  y  или дифференциалы  dx  и  dy .
)(xf
y 
Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

F x y y 

,
,
0
                                                  (1)
Если это уравнение можно разрешить относительно у', то оно примет вид
y
 

f x y
,

.
                                                    (2)
Основной   задачей   теории   дифференциальных   уравнений   является   нахождение
неизвестных функций, определяемых дифференциальными уравнениями
Определение.  Решением   дифференциального   уравнения   (1)   называется   функция
( )
x
, обращающая уравнение в тождество.
 
y
Определение.  Общим   решением   дифференциального   уравнения   первого   порядка
называется функция
y
 
( , )
x c
,                                                      (3)
которая зависит от произвольной постоянной  с  и обращает дифференциальное уравнение (1) в
тождество.
Определение. Общее решение
Ф( ,
x y c 
, ) 0,
                                                  (4)
заданное в неявном виде, называется общим интегралом этого уравнения.
Определение.  Частным   решением   дифференциального   уравнения   (1)   называется
, которая получается из общего решения (3) при определенном числовом
)
функция
значении
y
c
 
c
0
( ,
x c
0
.
Теорема   существования   и   единственности   решения   дифференциального   уравнения
первого порядка.
Пусть в уравнении (2) функция
)
( ,
f x y   и её частная производная

f
   непрерывны в
y
некоторой   области   D на   плоскости  Oxy .   Тогда,   какова   бы   ни   была   точка
D ,   всегда   существует   (и   при   том   только   одно)   такое   решение
)
(
M x
0
y
этого уравнения  0
0(
x
, которое равно  0y  при
x
0
, называется начальным условием.
 
0(
)
x
)
x
 при
y
, т. к.  0
x
0
 
 
0(
x
x
,
y
0
)
.
0
y
Условие, что   0
Оно записывается в виде
y

x x
0

y
0
  или
y x
(
0
)
y
0
.
                                (5)
Поставим   задачу.  Найти   решение
y

y x
( )
  уравнения   (2),   удовлетворяющее
предыдущей теореме.
3 Такая задача называется задачей Коши.
Определение.  Решение, в каждой точке которого нарушается единственность решения
задачи Коши, называется особым.
Замечание. В некоторых случаях выгодно за искомую функцию считать переменную  x  и
записывать уравнение  (2)  в виде
 
x

g x y
,

,
      где

g x y
,


1
,

f x y

.
                   (6)
Учитывая, что
y
 
dy
dx
 и
 
x
dx
dy
,
записать в форме
 дифференциальные уравнения (1), (2) и (6) можно

P x y dx Q x y dy


,

,


0,
                                 (7)
где

,P x y

 и

,Q x y    известные функции.

Пример 1. Найти общее решение уравнения
y
 
23 .
x
Решение. Так как
y
 
dy
dx
, то получим

23 .
x
dy
dx
Тогда
dy

23
.
x dx
Интегрируя обе части уравнения, окончательно получим
y

3
x

.
c
Общее решение данного уравнения образует семейство кубических парабол, т.к. c может
принимать любое числовое значение.
у
Рассмотрим частное решение.
М
1
0                           x
Пусть наша кривая проходит через точку М(1,0), см.
рис. Подставим координаты точки   М   в общее решение.
Получим
3

0 1
 ,   откуда
c
c  
1.
Тогда частное решение имеет вид
x
3 1.

y
Геометрическое толкование дифференциального уравнения первого порядка заключается
в   том,   что   общее   решение   (общий   интеграл)   (4)   представляет   собой   семейство   кривых   на
координатной плоскости, зависящее от одной произвольной постоянной  c .
4 Эти кривые называются интегральными кривыми уравнениями (1), (2).
Частному   решению   (задачи   Коши)   соответствует   одна   кривая   этого   семейства,
проходящая через данную точку плоскости.
Решить дифференциальное уравнение (1)  значит:
1. найти его общее решение (если начальные условия не заданы);
2. найти  частное  решение  уравнения  (1), которое  удовлетворяет  начальным  условиям
или, другими словами, решить задачу Коши.
Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений первого порядка.
6.2. Уравнения с разделяющимися переменными
Определение.  Дифференциальное уравнение вида
M x dx N y dy


0,
                                    (8)




в котором коэффициент при    dx  является функцией только от  x , а коэффициент при    dy  
функцией только от  y , называется уравнением с разделенными переменными.
Функции
M x  и


N y  должны быть непрерывными для всех значений   x и   y .
Уравнение с разделенными переменными решается следующим образом:
Перенесем   слагаемое
M x dx   в  правую  сторону  равенства  (8)  с противоположным

знаком.
M x dx


 

N y dy

.
Проинтегрируем правую часть уравнения по  y , а левую по  х.

M x dx
 

N y dy





c
.
                                    (9)
Полученное   равенство   (9)   является   общим   интегралом   уравнения   с   разделенными
переменными (8).
Пример 2.  Решить уравнение
ydy

xdx

0.
Решение. Переменные уравнения разделены.
Тогда
ydy

xdx
.
Интегрируя, получим
ydy


xdx

        или
2
y
2

2
x
2

c
.

5 Тогда
2
y
2

2
x
2

c
.
 или
2
y
2

x

c
1
  семейство гипербол.
Замечание.  Дифференциалы   dx и   dy  должны всегда стоять в числителе.
Определение.  Дифференциальное уравнение вида
M x N y dy M x N y dx


1


1


2


2


0,
                      (10)
в   котором   коэффициенты   при   дифференциалах   можно   разложить   на   множители,   зависящие
только от  x  и только от  y , называется уравнением с разделяющимися переменными.
Разделим уравнение (10) на


2



M x N y ,
1


N y
M x


M x
N y
dy
1
2
2
1





0,

N y
2


0

  получим
0.
1

M x


dx

Далее

N y

N y
1
2


dy
 


M x


M x
2
1
dx
.
                                    (11)
Проинтегрировав обе части уравнения (11), получим общий интеграл уравнения (10):

N y

N y
1
2



dy
 


M x


M x
2
1

dx

c
.
Замечание 1. При делении обеих частей уравнения (10) на произведение

могут быть потеряны частные решения, обращающие в нуль произведение



M x N y .

M x N y
2
1

1
2


Замечание 2.  Уравнение с разделенными переменными (8) является частным случаем
уравнения с разделяющимися переменными.
Пример 3.  Решить уравнение
y
  
x
y
.
Решение. Так как
y
 
dx
dy
, то получим
dx
dy
 
x
y
,
(
x

0).
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Разделив это уравнение на
y
(
y 
0)
 и умножив его на  dx , получим
dy
y
 
dx
x
.
Интегрируя, получим
6 
dy
y
   
ln
y

dx
x
ln
  
x c
1
ln
y
ln
x

ln (
c
2
c
2

0,
c
1

ln
c
2
)

 
ln
y
ln
dx
c
2
x dy
.
 
x
y
, (
x

0).
Откуда
y

c
2
x
, (
c
2

0)
  общее решение нашего уравнения в общем виде.
При   делении   обеих   частей   уравнения   на   y   можно   потерять   решение
0y  .     Оно   также   является   особым   (или   частным)   решением   уравнения.   Заметим,   что   это
решение можно получить из общего при   2
c  .  Поэтому в ответе достаточно указать
0
y

c
2 .
x
Пример 4. Решить уравнение

y

2
x y y

2

xy
 
x
0.
Решение.  Представим уравнение в виде

y

2
x y dy



2
xy


x dx

0,т.к.

y

.
dy
dx
Вынесем общие множители за скобки

y
2
1

x

dy


x y
2


1
dx

0.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Перенесем второе слагаемое в правую сторону

y
2
1

x

dy
 

x y
2


1
dx
.
Разделим обе части уравнения на произведение

2
y
  
x
1
1


,
(
2


x dx

2

1
x
x
 
1).
.

ydy
2

1
y


Интегрируя обе части уравнения, найдем общее решение
ydy
2

1
y



 

x dx
2

x
1



1
2

Умножим обе части уравнения на 2

d y
2
y
2

1


1

1
2


d
1

1

x
2
x
2

.
7 

2

d y
2
y


1


1


d
1

1

x


ln

2
y
 
1


ln 1
2

x


ln
(
c c
 
0)
2
x
2



c
c
2
y
2
y
2
x
2
x
1
1



ln

 
1


ln 1
уравнения в неявном виде.


При делении обеих частей уравнения на произведение 

x   , которое находится из равенства  
 могли потерять
x     не
решение
являются   решением   нашего   уравнения,   т.к.   при   подстановке   в   уравнение   не   обращают   его   в
тождество.
  
1
x
  
1
x
2

1
   Функции
0
    общее решение (общий интеграл)
1
1
2
y
2
y
1




2
6.3. Уравнения, приводящиеся к уравнениям  с разделяющимися переменными
Уравнения вида
y
,a b  и с  постоянные числа  
a
где
переменными с помощью подстановки

0,
b
 

0


f ax by


c
 ,
 (12)
, приводятся к уравнениям с разделяющимися
t

ax by


c
,

t
 
a by

,где

t

dt
.
dx
Замечание 1.  Если с = 0,  получим уравнение
y
 
которое решается с помощью замены
t

ax by

,
t


f ax by
 
a by


                                        (13)
 ,
.
Замечание   2.
переменными.
  Если  а  =   0   или  b  =   0,   то   получим   уравнение   с   разделяющимися
Пример 5.  Решить уравнение
y


y x

.
cos

t x
( )
Решение. Введем новую переменную
t
 по формуле
t
 
y
x
,

t


y
   
1
y
t


1.
Подставим  t  и   y  в первоначальное уравнение, получим уравнение с разделяющимися
переменными относительно   x   и  t .
8 
t
 
1 cos
t

dt

1 cos
t
 
t

cos
t
 
1

dx


dx
2
2sin
t
2
dt
dx


 
1 cos
t

dx
,т.к. 1 cos

t

2
Интегрируя обе части равенства, получим общий интеграл уравнения

ctg
t
2
  
x
c
ctg
t
2
 

x
 
c

ctg
x
y

2
 

x

c

  общее решение уравнения.
Замечание

 .  В   примерах   частные   и   особые   решения   дифференциальных   уравнений
рассматривать не будем.
9

file_name: лекция диф уравнения.doc

intro:
Данная лекция содержит материал по теме: Дифференциальные уравнения.
Рассмотрены пункты:
1. Основные понятия. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Общее и частное решение.
2. Уравнения с разделяющими переменными.
3. Уравнения , приводящие к уравнениям с разделяющими переменными.
Также разобраны подробно 5 примеров по данной теме.

title: Лекция по математике на тему: Дифференциальные уравнения


extracted_text:
Пермский институт железнодорожного транспорта – филиал государственного
образовательного учреждения  высшего профессионального образования
«Уральский государственный университет путей сообщения» в г. Перми
Центр дополнительного профессионального образования (ЦДПО)
(ПИЖТ УрГУПС)
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ
ОХРАНА ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЫ И ЭКОЛОГИЧЕСКАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ
НА ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОМ ТРАНСПОРТЕ
Автор: преподаватель ЦДПО                                                                       Сазонова Е.А.
Пермь
 2011 Вопросы:
1
2
3
Основные принципы охраны окружающей среды
Ответственность за нарушение законодательства в области охраны  окружающей среды
Порядок оценки и возмещения вреда нанесенного  окружающей природной среде
1. Основные принципы охраны окружающей среды
Экологическое право – отрасль права, которая регулирует общественные отношения в сфере
взаимодействия  общества   и   природы.   Экологическое   право   является   важным   инструментом,
используемым государством в интересах сохранения и рационального использования окружающей
среды.
Источниками   экологического   права   являются   следующие   нормативноправовые   акты:   1)
Конституция; 2) законы и кодексы в области охраны природы; 3) указы и распоряжения Президента
по   вопросам   экологии   и   природопользования;   правительственные   природоохранные   акты;   4)
нормативные   акты   министерств   и   ведомств;   5)   нормативные   решения   органов   местного
самоуправления.
1.  Конституционные   основы  охраны   окружающей   среды   закреплены   в   Конституции
Российской Федерации, принятой 12 декабря 1993 г. Конституция провозглашает право граждан на
землю   и   другие   природные   ресурсы,   закрепляет   право   каждого   человека   на   благоприятную
окружающую   среду   (экологическую   безопасность)   и   на   возмещение   ущерба,   причиненного   его
здоровью.   Она   также   определяет   организационные   и   контрольные   функции   высших   и   местных
органов   власти   по  рациональному   использованию   и   охране  природных   ресурсов,   устанавливает
обязанности граждан по отношению к природе, охране ее богатств.
2. Законы и кодексы в области охраны окружающей среды составляют природноресурсную
правовую основу. В их число входят законы о земле, недрах, охране атмосферного воздуха, об
охране и использовании животного мира и др.
Систему   экологического   законодательства   возглавляет   Федеральный   закон   «Об   охране
окружающей   среды»   от   10.01.02   №7ФЗ.   В   вопросах   охраны   природной   среды   нормы   других
законов не должны противоречить Конституции России и данному законодательному акту.
В   этом   главном   Федеральном   законе   отражены   следующие   вопросы   в   области   охраны
окружающей среды:
• общие положения (гл. I);
• основы управления в области охраны окружающей среды (гл. II);
• права и обязанности граждан, общественных и иных некоммерческих организаций (гл. III);
• экономическое регулирование (гл. IV);
• нормирование (гл. V);
• оценка воздействий на окружающую среду и экологическая экспертиза (гл. VI);
• требования в области охраны окружающей среды при осуществлении хозяйственной и иной
деятельности (гл. VII);
• зоны экологического бедствия, зоны чрезвычайных ситуаций (гл. VIII);
• природные объекты, находящиеся под особой охраной (гл. IX);
• государственный мониторинг окружающей среды (гл. X);
• контроль в области охраны окружающей среды (экологический контроль) (гл. XI);
• научные исследования (гл. XII);
• основы формирования экологической культуры (гл. XIII);
• ответственность за нарушение законодательства (гл. XIV); • международное сотрудничество (гл. XV);
• заключительные положения (гл. XVI).
Действующий   ныне   Федеральный   закон   РФ   «Об   охране   окружающей   среды»   (2002)
значительно расширяет полномочия государственной власти субъектов Российской Федерации и
органов местного самоуправления в сфере отношений, связанных с охраной окружающей среды. В
частности, субъектам Федерации предоставлено  право разрабатывать и издавать законы и иные
нормативные акты в области охраны окружающей среды с учетом географических, природных,
социальноэкономических и иных особенностей, ограничивать и (или) запрещать хозяйственную и
иную антиэкологическую деятельность на своих территориях и др.
Земельный   кодекс   РФ  (2001)   регламентирует   охрану   земель   и   защиту   окружающей
природной   среды   от   возможного   вредного   воздействия   при   использовании   земли.   Основные
правовые функции охраны земель: сохранение и повышение плодородия почв, сохранение фонда
сельскохозяйственных   земель.   Экологическими   нарушениями   считаются   порча,   загрязнение,
засорение и истощение земель. Кодекс регламентирует куплюпродажу земель и совершение других
земельных сделок.
Водный кодекс Российской Федерации  (1995) регулирует правовые отношения в области
рационального   использования   и   охраны   водных   объектов,   устанавливает   ответственность   за
нарушение водного законодательства. Правовые нормы направлены на охрану вод от загрязнения,
засорения и истощения.
Лесной   кодекс   Российской   Федерации  (1997)   закрепляет   требования,   предъявляемые   к
ведению лесного хозяйства. Основные правовые нормы направлены на рациональное использование
леса   как   природного   ресурса,   воспроизводство   лесов,   охрану   и   защиту   лесов.   При   этом   лес
рассматривается   как   совокупность   лесной   растительности,   земли,   животного   мира   и   других
компонентов природной среды.
Правовые основы охраны атмосферного воздуха отражены в Федеральном законе РФ «Об
охране окружающей среды»  (2002), а также в  Федеральном законе «Об охране атмосферного
воздуха»  (1999). Важнейшими общими мероприятиями по охране воздушного бассейна являются
установление  нормативов предельно допустимых вредных воздействий  (ПДК, ПДВ) и платы  за
выбросы в атмосферу загрязняющих веществ.
Закон   Российской   Федерации   «О   радиационной   безопасности   населения»  (1995)
провозглашает   принцип   приоритета  здоровья   человека   и   окружающей   природной   среды   при
использовании объектов ионизирующих излучений. Правовая защита людей, вовлеченных в сферу
использования ядерных и радиационных установок, радиоактивных веществ  и.др., гарантируется
этим   Законом.   В   случае   аварии   Закон  гарантирует   возмещение   ущерба   здоровью   и   имуществу
граждан,   устанавливает   компенсацию   за   повышенный   риск   проживающим   вблизи   ядерных   и
радиационных установок в виде улучшения социальнобытовых условий и др.
Федеральный закон «О недрах»  (1992) устанавливает правовые отношения при изучении,
использовании   и   охране   недр.   Законом   устанавливается   строгая   система   лицензирования   на
использование   недр   и   введение   оплаты   за   использование   недр   как   объекта   государственной
собственности. К числу экологоправовых нарушений, затрагивающих недра как часть природной
среды, закон в первую очередь относит их загрязнение.
Федеральный   закон   «О   животном   мире»  (1995)   определяет   экологоправовые   и
административные нормы с учетом новых экономических отношений. Согласно Закону к эколого
правовым   нарушениям   отнесены:   незаконный   лов   рыбы,   уничтожение   редких   и   исчезающих
животных и др.
Федеральный закон «Об отходах производства и потребления» (1998) содержит правовые
основы обращения с отходами производства и потребления в целях предотвращения  их вредного
воздействия на здоровье человека и окружающую среду.
Важнейшие   экологические   требования   отражены   также   в  Федеральном   законе   РФ   «О
санитарноэпидемиологическом  благополучии населения»  (1999) и  Основах законодательства
Российской Федерации об охране здоровья (1993).
3.  Указы и распоряжения Президента, Постановления Правительства  затрагивают
широкий   круг   экологических   вопросов.   Примером   могут   служить   Указ   Президента   РФ  «О
концепции перехода Российской Федерации к устойчивому развитию» от 01.04.96 и Постановление Правительства   РФ   от   11.06.96   «Об   утверждении   Положения   о   порядке   проведения
государственной экологической экспертизы».
4. Нормативные акты природоохранных министерств и ведомств издаются по самым
разнообразным вопросам рационального использования и охраны окружающей природной среды в
виде постановлений, инструкций, приказов и считаются обязательными для других министерств и
ведомств, физических и юридических лип.
5.  Нормативные решения местных административных органов  (мэрий, сельских и
поселковых  органов) дополняют и конкретизируют действующие  нормативноправовые  акты по
охране окружающей среды.
2.
   Ответственность за нарушения законодательства в области охраны
окружающей среды
Экологоправовая   ответственность   представляет   собой   систему   юридических   норм,
обеспечивающих   порядок   применения   и   реализацию   принудительных   мер   воздействия   к
правонарушителю. Содержание состава экологического правонарушения и степень опасности его
последствий определяют вид юридической ответственности.
Юридическая ответственность за экологические правонарушения является одной из форм
государственного   принуждения;   ее  задача  –  обеспечить   реализацию  экологических   интересов   в
принудительном порядке.
Экологические правонарушения  различны по своему составу, но всегда складываются в
сфере природы: будь то загрязнение природной среды, незаконная порубка леса или нарушение
законодательства о континентальном шельфе.
Наибольшее   число   экономических   правонарушений   связано   с   охраной   и   использованием
животного мира (охота и рыболовство) и с охраной атмосферного воздуха.
Общий   критерий   всех   экологических   нарушений   –   причинение   вреда   окружающей
природной среде. В тех случаях, когда вред наносят среде обитания человека, например, сверх
нормативов   загрязняют   воздух   в   производственных   помещениях,   говорят   о   санитарных
правонарушениях.
Экологические   правонарушения,   не   относящиеся   к   категории   общественно   опасных,
считаются  экологическими  проступками.  Если  же  они  представляют  общественную  опасность,
посягают   на   экологическую   безопасность   общества,   причиняют   ощутимый   вред   окружающей
природной среде и здоровью человека, их относят к категории экологических преступлений.
Согласно   Федеральному   закону   «Об   охране   окружающей   среды»   (2002)   (ст.   75)   «за
нарушение   законодательства   в   области   охраны   окружающей   среды   устанавливается
имущественная, дисциплинарная, административная и уголовная ответственность в соответствии с
законодательством».
Дисциплинарные   наказания  (предупреждение,   выговор,   строгий   выговор,   понижение   в
должности и в окладе, увольнение с работы) налагаются на должностных лиц, рабочих и служащих
руководителем   предприятия,
  учреждения   за   невыполнение   ими   своих
производственных обязанностей, связанных с правовой охраной окружающей среды.
  организации,
При этом следует учитывать два важных момента:
1)   дисциплинарная   ответственность   может   наступить   лишь   за   нарушение   экологических
правил,   исполнение   которых   входило   в   круг   должностных   обязанностей   нарушителя.   Так,
например, нельзя привлекать к ответственности водителя за выпуск в эксплуатацию автомобиля, у
которого   содержание   загрязняющих   веществ   в   выхлопе   превышало   установленные   нормы,
поскольку исполнительный контроль за этот выпуск не входит в число водительских обязанностей;
2)   недопустимо   наказывать   в   дисциплинарном   порядке   лиц,   которые   нарушают
экологические правила в нерабочее время.
Административная  ответственность  устанавливается  за противоправное   действие   или
бездействие, нарушающее законодательство об охране окружающей природной среды. К их числу относятся порча, повреждение, уничтожение природных объектов, несоблюдение
экологических требований при захоронении вредных веществ и т.д. Наиболее распространенная
мера административного взыскания – денежный штраф, кроме того, применяются предупреждения,
общественное   порицание,   изъятие   орудий   и  средств   совершения   правонарушения,   конфискация
незаконно добытой продукции и т.д.
За экологические правонарушения, которые отличаются наивысшей степенью общественной
опасности   и   тяжкими   последствиями,   предусмотрена   уголовная  ответственность  (лишение
свободы, конфискация имущества, крупный денежный штраф и т.п.). Применение мер этого вида
ответственности за экологические преступления определяется Уголовным кодексом РФ (1996).
К тяжким экологическим преступлениям относится, например, умышленное уничтожение
или повреждение лесных массивов путем поджога. Оно наказывается лишением свободы сроком от
3   до   8   лет.   Менее   тяжкими   преступлениями   считаются   загрязнение   водоемов   и   атмосферного
воздуха, незаконная порубка леса, незаконная охота и некоторые другие. Например, уничтожение
критических местообитаний, т.е. мест постоянной концентрации объектов животного мира, для
организмов,   занесенных   в   Красную   книгу   РФ,   повлекшее   гибель   популяций   этих   организмов,
наказывается лишением свободы до трех лет.
Предприятия   и   граждане,   причинившие   вред   окружающей   природной   среде,   здоровью   и
имуществу   других   граждан   и   народному   хозяйству,   обязаны   возместить   его   в   полном   объеме.
Должностные лица, по вине которых предприятие понесло расходы по возмещению вреда, несут
материальную ответственность.
3. Порядок оценки и возмещения вреда нанесенного окружающей
природной среде
В России  создан и функционирует  экономический  механизм охраны окружающей среды,
ориентированный на рыночную экономику. Его главная особенность – ориентация не на плановое
централизованное финансирование из  государственного бюджета, а в основном на экономические
методы   регулирования.   Новая   структура   экономического   механизма   сочетает   как   ранее
действующие нормы (природноресурсные кадастры, материальнотехническое обеспечение и др.),
так и новые  экономические  стимулы (экологические  фонды, плата  за пользование природными
ресурсами,   экологическое   страхование   и   др.).   В   качестве   обязательных   элементов
предусматривается   включение   экологических  требований   в   процедуру   оценки   принимаемых
хозяйственных решений.
Согласно   Федеральному   природоохранному   закону   (2002)   к   основным   методам
экономического   регулирования   государственных   и   рыночных   отношений   в   области   охраны
окружающей среды относятся:
• установление платы за негативное воздействие на окружающую среду;
• установление лимитов на выбросы и сбросы загрязняющих веществ и микроорганизмов, а
также лимитов на размещение отходов и на другие виды негативного воздействия на окружающую
среду;
•  проведение   экономической   оценки  воздействий  хозяйственной  и  иной  деятельности  на
окружающую среду;
•  предоставление   налоговых,   кредитных   и   иных   льгот   при   внедрении   малоотходных   и
ресурсосберегающих   технологий   и   нетрадиционных   видов   энергии,   осуществлении   других
эффективных мер по охране окружающей природной среды;
• возмещение вреда, причиненного природной среде и здоровью человека.
Важнейшая задача нового экономического механизма – сделать охрану окружающей среды
составной   частью   производственнокоммерческой   деятельности,
  чтобы   хозяйственник,
предприниматель   были   заинтересованы   в   охране   окружающей   среды   не   меньше,   чем   он
заинтересован, и в выпуске конкурентоспособной продукции.
Платность природных ресурсов способствует повышению материальной заинтересованности
природопользователя в сохранении, эффективном использовании и воспроизводстве природного ресурса,   а   также   дает   возможность   хотя   бы   частично   компенсировать   ущерб,   наносимый
загрязнением и другими вредными воздействиями. Платность природопользования – важнейший
принцип   экономического   регулирования   лицензируемых   видов   природопользования.   Общее
природопользование осуществляется гражданами бесплатно.
Плата за использование природных ресурсов. Плата за землю, воду, леса и др. взимается:
а)   в   пределах   установленных   лимитов;   б)   за   сверхлимитное   и   нерациональное   использование
природных   ресурсов;   в)   на   их   воспроизводство   и   охрану.   Платежи   устанавливаются   с   учетом
кадастровой   оценки   природных   ресурсов,   а   при   ее   отсутствии   используют   другие   показатели,
характеризующие качество природных ресурсов, их местоположение и продуктивность.
Формы платежей за природные ресурсы в зависимости от их вида и назначения могут быть
различными. Например, за пользование лесными ресурсами плату взимают в виде лесных податей
(налога) и арендной платы, водными объектами – в виде регулярных платежей в течение срока
водопользования,   землей   –   в   виде   земельного   налога,   арендной   платы.   Поступают   платежи   в
местный бюджет (города или района), фонды воспроизводства и охраны природных ресурсов. Эти
платежи повышают материальную заинтересованность природопользователя в сохранении ресурсов
и их рациональном использовании.
Плата  за  негативное   воздействие  на  окружающую  среду.   Федеральным   законом   «Об
охране   окружающей   среды»   (2002)   предусмотрена   плата   за   выбросы   (сбросы)   загрязняющих
веществ и размещение отходов как в пределах, так и сверх установленных лимитов за загрязнение
недр,   почв,   загрязнение   окружающей   среды   шумом,   электромагнитными   и   другими   видами
физических   воздействий.   Платежи   за   выбросы   (сбросы)   загрязнений   производятся   за   счет
себестоимости  продукции  предприятия, а  в случае  превышения лимитов  загрязнений – за счет
прибыли, которая получена предприятиемзагрязнителем. При этом из общей суммы 90% платежей
перечисляют во внебюджетные экологические фонды, а 10% в доход федерального бюджета.
В   случае   убыточности   предприятиязагрязнителя   платежи   производятся   за   счет   всех
имеющихся у него средств, на которые может быть обращено взыскание. Эти виды платы имеют три
значения: компенсационное, стимулирующее и экономическое.
Поскольку платежи взимаются за счет себестоимости продукции или прибыли, они должны
стимулировать предприятиезагрязнитель к сокращению выбросов (сбросов) загрязняющих веществ
и   отходов.   Именно   в   этом   главный   ключ   экологизации   хозяйственной   деятельности,   пользуясь
которым можно сделать охрану окружающей среды экономически выгодным делом.

file_name: Сазонова Лекции ООС1.doc

intro: Конспект лекции "Охрана окружающей среды и экологическая безопасность на железнодорожном транспорте" предназначен для слушателей дополнительного профессионального образования. В конспекте рассмотрены следующие вопросы:  основные принципы охраны окружающей среды; ответственность за нарушение законодательства в области охраны  окружающей среды; порядок оценки и возмещения вреда нанесенного  окружающей природной среде

экология

group: Дисциплины

доп. образование взрослых

group: Другое

title: Конспект "Охрана окружающей среды"


extracted_text:
Лекция №7.
Тема занятия: Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка. Линейные
однородные уравнения дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными
коэффициентами.
Цель занятия: Вспомнить понятие – дифференциальное уравнение 1 и 2 порядка.
Познакомить с Методами Бернулли и Лагранжа.
7.1.  Однородные дифференциальные уравнения
Определение. Функция
F x y
( ,
)
 называется однородной функцией степени    m , если для
  выполняется тождество
0m

F tx ty
,


m
t F x y
,

                                      (14)

.
Пример 1.  Рассмотрим функцию

F x y
,

2

x

xy

2
.
y
Решение.  Данная функция однородная степени
.
2m 
Покажем это.
Вычислим

F tx ty
,

2 2
t x


2
t xy
2 2
t y

2

t

2
x

xy

y
2


Пример 2.  Проверить, является ли данная функция
2
t F x y
,


,т.е.
m

2.
однородной?

,F x y


2
x

2
y
Решение.

F tx ty
,


2 2
t x
2 2
t y


2
t

2
x

2
y


t x
2
2

y
Данная функция является однородной степени  m = 1.
Определение.  Дифференциальное уравнение первого порядка
 
t F x y
,


. 
P x y dx Q x y dy


,

,

                                      (15)

0
называется   однородным,   если

,и
P x y


,
Q x y

    однородные   функции   одной   и   той   же
степени.
Замечание. Всякая однородная функция нулевой степени является функцией отношения её
аргументов:
                                             (16)

F x y
,

y
  
x
.
Тогда любое однородное дифференциальное уравнение может быть записано в следующем
виде:
                                               (17)
y
y
   
x
f
.
Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью
подстановки
y
x

t
,где
t

( ),
t x
 (18)
тогда
y

xt
,

y
 
t
xt

,где

t

dt
.
dx
                        (19)
Подставляя   (18)   и   (19)   в   уравнение   (17),   получим   уравнение   с   разделяющимися
переменными относительно
  и  x .
t
Пример 3.  Решить уравнение
xdy

ydx

ydy
.
Решение.  Разделив данное уравнение на произведение
, получим
x dx





 
y

y
x

y
x
y

,
(
x

0).
Выразим    у'

y


y

y
x
y
x


y
1

y

x

y
x


y

y x

y x
1
.
Получили однородное уравнение. Сделаем замену:

t
,
y

xt
,

y
 
t
xt

,где
y
x

t

dt
.
dx
Тогда
t

t x

t

t
1
.

Получили уравнение с разделяющимися переменными.
Далее

t x

t

t
1
  
t

t x
2
t
t
 
t

1
t
 

t x
2
t

1
t

x
dt
dx

2
t

1
t

t

1
2
t
dt

dx
x
.
Интегрируя последнее равенство, получим

t

1
2
t
dt


dx
x


dt
2
t


dt
t


dx
x
  
1
t
ln
t
 
c
ln
x
.
Умножим последнее равенство на  (1)
1
t

ln
t
  
c
ln
x
 
1
t
ln
t

ln
x
 
1
t
ln
tx

c
.
Подставив вместо
t

y x
,  получим общее решение уравнения
x
y

ln
y

c
.




 Пример 4.  Решить уравнение
xy
  
x e
y x

y
.
Решение.  Учитывая, что x  0,  разделим данное уравнение на  х:
y
 
e
y x

y
x
.
y
 
e
y x

y
x
.
y
x

t
,
y

xt
,

 
t

t x
y
.
Подставим в преобразованное уравнение

t
,
y

xt
,

y
 
t

t x
.
y
x
Учитывая, что
 
t
dt
dx
, тогда
x
dt
dx

.t
e
Разделим переменные
t

e dt

dx
x
.
Интегрируя, получим

t

e
+ln
c
  
ln
x

t
e

ln

t

e
=ln
c
  
ln
x
e

t
ln
x
c
x
 
ln
c
  
t
ln ln
c

x
.
Вернемся к старым переменным

y
x

ln ln
c

x
  
y
x
ln ln
  общий интеграл уравнения.
c

x
7.2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Определение.  Линейными дифференциальными уравнениями первого порядка называются
уравнения, линейные относительно неизвестной функции и её производной.














 Линейное дифференциальное уравнение имеет вид:

 
y P x y Q x



                                      (20)
 ,
где

P x
 и

Q x
   непрерывные функции от   x .
Замечание 1

 .   y  и
y
 входят в уравнение (20) только в первой степени.
Замечание   2.

P x
  или

Q x
  могут   быть   постоянными   числами,   если   же   они
одновременно являются константами, то уравнение   (20)   будет уравнением с разделяющимися
переменными.
Пример 5.  Рассмотрим дифференциальное уравнение

xy

e
x

dx

xdy

0.
Решение. Полагая, что х  0, разделим обе части равнения на
, получим
x dx
Перенесем слагаемое
xe
x
y

xe
x


y

0.
 в правую сторону, тогда
y

y
 
xe
x
.
Данное уравнение является линейным, так как содержит у   и   у' только в первой степени,
Замечание. В отдельных случаях дифференциальное уравнение нелинейное относительно  y
 является линейным относительно  x  и
. Такое уравнение имеет вид:
yx
и
xy

 
x P y x Q y



 ,
 (21) где

P x
 и

Q y
  непрерывные функции от  x или могут быть константами.
Пример 6. Определить тип уравнения
y
 
1

.
2
y
2
x
воспользовавшись тем, что
 тогда
Решение.  Это уравнение нелинейное относительно  у  и  у'. Представим его в другом виде,
y
 
1

x
.
1

x

1

2
y
2
x

 
x
2
x

2
y

 
x
2
x
 
y
2
.
Получили уравнение линейное относительно  x  и
yx

P y  

2,


Q y

y 
2.
Решение линейного уравнения  (20)  (метод подстановки)
Решение уравнения (20) будем искать в виде произведения двух функций от   x

y u x




v x

 
y



u x



v x



u x




v x
 .
Подставим  у и  у' в уравнение  (20):

u v
   


  
v u P x u v Q x


                               (22)
 .
Собираем слагаемые при  v   в первой степени (можно при  u):


v u P x u







  
v u Q x
 .
Выберем функцию u такой, чтобы множитель при  v   обращался в
.
0

u P x u



    


v u Q x
0

.
Таким образом, получим систему 


 
 
u
P x u


 
v u Q x
0
Решая первое уравнение системы (уравнение с разделяющимися переменными относительно
x  и  u , найдем искомую функцию
.
( )u x
Так как одна из неизвестных функций
 и
( )
v x
( )u x
 может быть выбрана произвольно, то в
качестве
( )u x
  возьмем любое частное (ненулевое) решение уравнения

u P x u
 
0


, а в
качестве
v x
( )
  возьмем общее решение второго уравнения системы
, в которое,

 
v u Q x

прежде чем решать его, подставим найденную функцию
.
( )u x
Общее решение уравнения (20)  запишем в виде

y u x




v x

, подставив найденные функции.
Замечание

 . Если в уравнении (22) сначала вынести общий множитель  u  в первой степени,
то искомые функции найдем в обратном порядке, вначале
, а потом
.
( )u x
( )
v x
Пример 7. Решить задачу Коши
y
 
2

1
x
y


x

 2
1 ,
y
(0) 1.

Решение.  Данное уравнение линейно относительно у  и  у' .

P x


2

x
1
,

Q x



x

 2
1 .
Решение ищем в виде
 
y u v
,

y


   
u v u v
,где


u u x
,



v v x
.

Подставим  у  и  у'  в уравнение

 
uv
  
v u
2

1
x

  
x
u v
 2

1 .
Вынесем  v   в первой степени за скобки
v u


2

1
x

u



  
v u
x
 2

1 .
Полагаем
u
 
2
u

1
x

0
, тогда

 
v u
x
 21 .

Таким образом, получим систему
u
 
u
2

1
x

 
v u
x

0,
 2

1 .
Решаем   первое   уравнение   системы,
  Это   уравнение   с   разделяющимися
u
 
u
2

x
1

0.
переменными.

u

2
u

1
x
  
0

u
2
u

1
x

du
dx

2
u

1
x

du
u

2
x
dx

1
.
Интегрируя полученное уравнение, имеем
ln
u

2ln
x

1.
(постоянную   интегрирования   при   нахождении
не   вводим,   т.к.   достаточно   найти   любое
( )u x
(ненулевое) частное решение уравнения
).
u
 
u
2

x
1

0
Далее
ln
u

ln

x

2

1


u x



x

2

1 .
Подставим

u x


x

 21
 во второе уравнение системы и найдем  v :









 
v


x
2


1


x
2


1
 
1

v

dv dx

.
Интегрируя, получим общее решение второго уравнения системы:
dv


dx



v x

 
x
c
.
Таким образом, общее решение данного линейного уравнения имеет вид:

y u x v x







x
21



x

c

.
Найдем частное решение уравнения. Используя начальное условие
    найдем  с.
(0) 1,
y
Подставив
 и
x 
0
0
у 
0 1
 в общее решение линейного уравнения, получим
1




0 1
2

0
     
1.
1 1
c
c
c

Тогда частное решение линейного уравнения при
  имеет вид:
1с 
y


x


1
2

x


1


x

3

1 .
Пример 8.  Решить задачу Коши
y
 
y
y
2
y

ln
 
y
x
,
y
(0) 1.

Решение.  Данное уравнение нелинейно относительно   y и
.
xy
Преобразуем уравнение, воспользовавшись там, что
y
 
:
1

x
1

x

y
y
2
y

ln
 
y
x


x

2
y

ln
  
2 ln

x
y
 
1
x
y
 

x
 
y
x

 
2 ln
y

1.
y
y
x
y Полученное уравнение линейно относительно   x   и
.
x y
Решение будем искать в виде
 
x u v
,где

u u y
,



v v y
.


Тогда

x

   
v u

u v
.

Подставим   x  и
x
 в уравнение
 
x
x
y
 
2 ln
y

1.

2ln
y
 
1
v u

u


y

  
v u
2ln
y
 
1

u v
uv
   
y

v u

0,
u

u
y
 
v u
2ln
y

1.
Вначале решаем первое уравнение системы
 
0

u
  
u
y
du
dy
  
u
y
du
u
  
dy
y

u



u
y
du
u
 

dy
y

ln
u
 
ln
y

ln
u

ln
1
y
 
u
1
y
 
x dx
 частное решение первого уравнения системы.
Подставим
x dx

u y
 1
y
 во второе уравнение системы
 
v u
2ln
y

1
:

v
v
1
 
y

2

2ln
ln
y
y
  
1

v
2 ln
y
y

  
y
v

2 ln
y
y


y dy

y dy


y dy
.
Вычислим отдельно каждый интеграл:




 a
) 2

y
ln
y dy

u

ln ,
y
du

dy
y
dv

ydy
,
v


y dy



2
y
2


2
2
y
2

ln
y
1

2

2
y
dy


y
2

y

ln
y
ydy


2

y

ln
y


;
c
2
y

2
б)
y dy


2
y
2

c
.
Подставляя решение этих двух интегралов в  v ,  получим
v

2
y

ln
y

2
y
2

2
y
2
 
c
y
2

ln
y

c
.
Тогда, общее решение линейного дифференциального уравнения (23) имеет вид:


x u y



v y


1

y
2
y

ln
y


c
 
ln
y
y
c

y
.
Воспользуемся начальными условиями
y

(0) 1
  и найдем  c .
x
 
ln
y
y
c
   
y
0 1 ln1
c
  
1
c
0 (ln1 0).

Тогда частное решение линейного уравнения (23) при
  имеет вид:
0c 
x
 
ln
y
y

0
y
 
y
ln .
y
7.3. Уравнение  Бернулли
Определение. Уравнение вида

 
y P x y Q x



                                      (24)

y
,n






 называется уравнением Бернулли, где
P x

   и

Q x
  непрерывные функции от    x ,
,
0n 
.
1n 
Замечание. При
0n 
 получается линейное уравнение первого порядка относительно  y
, а при
и
xy
1n 
 получается уравнение с разделяющимися переменными.
Уравнение Бернулли приводится к линейному следующим образом:
Разделим все члены уравнения  (24)  на
ny 
y 
0



P x Q x


                               (25)

.

n
y

y

y
 
1
n
Сделаем замену:
z

y 
1.
n
Тогда

z

 
1

n y

n
 
y

y

n

 
y
1

z

n
.
Подставим
z
и

z

n
1
   в уравнение  (25)  вместо
 
n
1 и
y

n
y

y
:


z

n
1
 

z P x Q x



 .
Умножим полученное уравнение на
:
(1
)n
  
1

z


n z P x
 


 
1


n Q x

                                 (26)

.
Преобразованное уравнение (26) является линейным относительно   z   и
.
z
Решив его, найдем общий интеграл уравнения  (26). Далее, подставив
1
z 
1 n
y
,  получим общее решение уравнения Бернулли (24).
Замечание. При интегрировании уравнений Бернулли можно сразу применить подстановку


y u x



v x

,  не преобразовывая их в линейные.
Пример 9.  Решить задачу Коши
xy
  
y
2 ln ,

x
y
y

(1) 1.
Решение.  Разделим уравнение на
x x 
,
0.
y
 
y
x

x
ln
x

y
2
.
Получим   уравнение   Бернулли,   т.   к.   в   правую   часть   входит  у  и  у',


P x


1
x
,

n

2,
(
n

0,
n

1)
.

Q x


ln
x
x
,
Решение ищем в виде:
 
y u v
,где

u u x
,



v v x


      (см. Замечание),

y


   
u v u v
.
Подставим   y   и
y
 в уравнение
    получим
y
 
y
x

x
ln
x

y
2
,
   
u v
v u

u v
x
x
ln

x


uv
 2
.
Вынесем за скобки    в первой степени v u


u

x
  

v u
ln
x
x
2

u
2

v
.
Полагая, что
, имеем
u
  
u
x
0
 
v u
ln
x
x
2

u
2

v
.
Запишем систему уравнений
u
  
u
x
 
v u
0,
x
ln
x
2

u
2

v
.
Решая первое уравнение системы, найдем его частное решение.

u
     
0
u

u
x
du
u
  
dx
x
u
x

ln
u
 
ln
x

ln
u

ln
1
x
 
u
du
u
 

dx
x

1
x
.
Подставим
1u
x
 во второе уравнение системы и найдем её общее решение.

v u
 

x
ln
x

dv
dx
2

u
ln
x
2
x

v
x
ln
2
  
v
x
ln
x

2
x
dv
2
v
2
 
v

2
v
x
ln
   
u v
x
ln
x


2
x
dv
2
v

dx

1
x
dx
.
2
  
v
Интегрируя левую часть уравнения, получаем
dv
2
v

  
1
v
c
.
Интеграл,   стоящий  в  правой  части   равенства,  найдем  с  помощью  формулы  интегрирования   по
частям

u dv

u v

  
vdu
.
Вычислим:











 
ln
x
2
x
dx

u

ln ,
x
du

dv

dx
2
x
,
v


dx
x
dx
2
x
 
1
x
Окончательно получим
  
ln
1
x
x


dx
2
x
1
 
x
ln
x
1

x
.
   
c
1
v
1
x
ln
x
1
x
    
1
v
1
x
ln
x
 
1
x
c
.
Умножим последнее равенство на (1) и выразим из него функцию v .
1
v

x
ln
x

1
x
 
c
ln
x
cx
 
1
x

v

x
 
1
.
cx
ln
x
Тогда общий интеграл уравнения Бернулли имеет вид:
x
 
1
1
 
ln
x


y u x


v x
x



ln
x
1
 
1
.
cx
cx
Воспользуемся начальными условиями  у(1) = 1  и найдем  c .
y

1
 
1
cx
ln
x
 
1
 
1
1

1
c
c
(ln1 0)

1
 
ln1 1
1
    
1
c
c
0.
Подставив  с = 0  в общее решение уравнения, найдем его частное решение:

y

1
x
ln

1
7.4. Уравнение  в полных дифференциалах.
Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида

P x y dx Q x y dy




,
,
                                      (27)

0
называется   уравнением   в   полных   дифференциалах,   если   его   левая   часть   является   полным
дифференциалом некоторой функции
, то есть

u x y
,


P x y
,


u

x
,


Q x y
,


u

y
.
                            (28) Для того чтобы уравнение (27) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось условие
                                                     (29)

P

y

Q

x
.
Нахождение общего решения уравнения
Если выполняется условие  (29),  то уравнение  (27)  может быть записано в виде
du x y
,



0,где
du x y
,




u

x
dx


u

y
dy
Тогда общий интеграл этого уравнения имеет вид
                                                   (30)

u x y
,

c
,
где c    произвольная постоянная.
Функция

u x y
,

   может быть найдена, используя уравнения  (28).
Интегрируя   равенство
 
u

x

P x y
,

    по     x     при   фиксированном     y     и   учитывая,   что
произвольная постоянная в этом случае может зависеть от  y ,  получим

u x y
,




P x y dx

,
                               (31)


c y

.
Затем,   дифференцируя   найденную   функцию
  по     y     и   подставляя   её   в   равенство

u x y
,

, найдем
.

c y

 
u

y

Q x y
,

Подставим   функцию
  в   уравнение   (31),   получим

интегралом уравнения (27) с точностью до произвольной постоянной.

u x y

c y

,
,   которая   является   общим Замечание.  Для   нахождения   общего   решения   уравнения     (27)     можно  было   начать   с
  при фиксированном   x .  Тогда постоянная интегрирования
интегрирования равенства
 
u

y

Q x y
,

может зависеть от   x .
Пример 10.  Решить уравнение
y
e dx


y

x e
2

y dy

0.
Решение.

P x y
,


e
y
,

Q x y
,

 
x e
y

2 .
y
Проверим условие (29):

P

y

e
y
,

Q

x

e
y
.
Следовательно,   левая   часть   уравнения   есть   полный   дифференциал   некоторой   функции
 и решение будет иметь вид:

u x y
,

Воспользуемся условиями  (28).
Тогда

u

x

e
y
,

u

y


y

x e

2
y

u x y
,

c
.

.
Проинтегрируем первое соотношение по  х:

c y

u x y
y
e dx



,


 
x e
y


c y

.
Затем продифференцируем

u x y
,

 
x e
y


c y

  по   y :

u

y
 
x e
y



c y
 .
Так как
 
u

y

Q x y
,

,  то получим
y

x e



c y

y
 
x e

2 .
y Отсюда


c y

  
2
y

c y

 
2

ydy
 
y
2

c
.
Пусть


c y

 
2 .
y
Тогда

u x y
,

 
x e
y
2

y
  и общий интеграл уравнения имеет вид

y

x e
2

y

c
.
Уравнения Лагранжа и Клеро.
Некоторые дифференциальные уравнения  первого порядка приходиться решать  методом
введения вспомогательного параметра. К числу таких уравнений относятся
уравнение Лагранжа:
y


(
x
y

)

(
y

)
                           (32)
и уравнение Клеро:
y
 где    ,
  известные функции от
y
 
yx
(y
                                   (33)

)
, запишем уравнение в
Уравнение (32)  интегрируется  следующим образом: обозначая

y
. Дифференцируя полученное уравнение по x, имеем
p
виде
y

 
(
x
p
)
(
p
)
p


(
p
)



(
x
(
p
)


(
p
))
dp
dx
Откуда получим
(
p


(
p
))
dx
dp


(
x
p
)


(
p
)
  линейное уравнение относительно x  и
dx
dp
Если его решение будет
x 
,( Cpf
)
  ,   то общее решение  уравнения (32)  записывается в виде:

x

),
,(
Cpf




x
)
y
p
(
)
,
(
(
Cpf


()
p
p
(
)

p
)



Уравнение (32) может иметь особое решение, вида
y


(
xp
)
0


(
p
)
0
, где
0p
  корень уравнения Уравнение   Клеро   является   частным   случаем   уравнения   Лагранжа   при
.   Его
)
y
(
y
общее   решение   имеет   вид

y

Cx
(C
,   особое   решение   получается   путем   исключения
)
параметра   р   из уравнений:
y
x


px
(


(
)
p
p
)
Пример 11.  Решить уравнение Лагранжа.
y

2)
y
1(
y
x
(
)
Решение:  Пусть
. Тогда имеем:
y 
p
y

1(
x
.
p
)

2
p
Дифференцируя по х, приходим к уравнению
y

1(
p
)

xp

2
pp

Откуда:
(
x

)2
pp

01
    ,    т.е.
(
x

)2
p
dp
dx

1
x
x
p
2



x
2
dx
dp
p
Решим  последнее  уравнение  методом  Бернулли.  Пусть
p
Находим  v  ,   сгруппируем,   приравняем   скобку   к   нулю   и   разделим   переменные,   получим:
x  , получаем
uv
2
vuvu
uv
.
Выбираем простейшее решение:
        Тогда:
v

pe
p
 
eu
p
2

p
pe
u
2
Отсюда:
u
u
x
y
y

p
(2

pe
2
C

p
p
p
2


pe

pe
2

uv
e

1(
p
)
x

22(
p
dp

2
e

p
2(

p

Ce


p
1)(

p
)

2
p
p
pe

e
p
)

C
p
2
e

22
C
)
p

Ce

p
Таким образом, общее решение уравнения имеет вид (в параметрической форме):




22
x

y
22(
p
p


Ce
Ce

p

p

2
1)(
p
)
p



file_name: лекция линейные диф ур.docx

intro:
Данная лекция содержит материал по теме: Линейные дифференциальные уравнения 1 порядка. Линейные однородные уравнения дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами.
Цель занятия: Вспомнить понятие – дифференциальное уравнение 1 и 2 порядка. Познакомить с Методами Бернулли и Лагранжа.
Также подробно  разобраны 10 примеров по данной теме.

title: Лекция по математике на тему: Линейные дифференциальные уравнения


extracted_text:
Безопасность ребенка в автомобиле

железная дорога, велосипед или ходьба
пешком.
Пристёгиваться   ремнями   следует
абсолютно всем! В том числе и в чужом
автомобиле,   и   при   езде   на   короткие
расстояния.
Если   это   правило   автоматически
выполняется   взрослыми,   то   оно   легко
войдет   и   у   ребенка   в   постоянную
привычку.
Если это возможно, дети должны
занимать   самые   безопасные   места   в
автомобиле: середину или правую часть
заднего сиденья, так как с него можно
безопасно выйти прямо на тротуар.
Как   водитель   или   пассажир   вы
тоже постоянно являетесь примером для
подражания.   Не   будьте   агрессивны   по
отношению   к   другим   участникам
движения, не обрушивайте на них поток
проклятий.   Вместо   этого   объясните
конкретно,
  в   чем   их   ошибка.
Используйте   различные   ситуации   для
объяснения
дорожного
движения, спокойно признавайте и свои
собственные ошибки.
правил

Во   время   длительных   поездок
почаще   останавливайтесь.
  Детям
необходимо   двигаться.   Поэтому   они
будут   стараться   освободиться   от
пристяжных ремней или измотают вам
все нервы.
Прибегайте   и   к   альтернативным
  автобус,
способам   передвижения:
Подготовила воспитанница
ТОГБУ «ЦПСиПД «Семейный
причал»
 Головачева О.,
под руководством воспитателя
 Мещеряковой Е.С. Безопасность ребёнка вне дома
Ребёнок и посторонние люди
Первое, что стоит объяснить ребёнку,
это   то,   что   все   люди,   не   являющиеся   его
родными,   будут   для   него   посторонними,
даже если он этих людей часто видит у себя
в доме.
 Оставляя   ребёнку   ключи   от
квартиры, не вешайте их ему на шею и не
закрепляйте на поясе, оставьте их у соседей
или   родственников,   живущих   поблизости,
или кладите во внутренний карман.
 Приучите   ребёнка   не   доверять
ключи  от квартиры посторонним, которые
представились вашими знакомыми.
 Ваш ребёнок не должен приводить к
себе   домой   незнакомых   людей,   даже   если
они   сослались   на   вас.   В   крайней
необходимости   только   с   разрешения
родителей.
 Ваш   ребёнок   никогда   не   должен
уходить   из   учебного   заведения   (детского
сада) с людьми, которых он не знает, даже
если они сослались на вас.
 Если вы не сможете прийти за ним
в   школу   (детский   сад),   предупредите,   кто
его   заберет,   и   покажите   этого   человека   в
лицо   (или   он   должен   знать   человека   в
лицо).

 Не
забудьте
предупредить
воспитателя о том, кто придет за ребёнком.
 Попросите воспитателя связаться с
  если   за   ребёнком   пришли
Вами,

посторонние   люди,   о   которых   вы   его   не
предупреждали.   После   этого   обязательно
обратитесь в полицию.
 Если   вашего   ребёнка   пытаются
увести   насильно,   он   должен   привлечь   к
себе   внимание   людей,   крича:   «Это   не   мои
родители! Я их не знаю!»
 Чужому   человеку   можно   ответить
односложно:   «Мама   не   разрешает   мне
разговаривать с незнакомыми людьми». На
любые   дальнейшие   высказывания,   он
должен ответить: «Я Вас не знаю».
 Если   с   расспросами   пристаёт
человек довольно знакомый, но не близкий,
не вхожий в ваш дом, рекомендуйте ребёнку
так же отвечать очень сухо «Здравствуйте, я
очень спешу», на расспросы простой ответ:
«Я не могу Вам сказать».
 Категорически   запретите   ребёнку
отвечать пьяным и цыганам.
Безопасность ребенка на улице
Оставляя   ребёнка   на
улице,
договоритесь с кемто из соседей, гуляющих
с детьми, присмотреть за ним.
Выбирая место для игр, используйте
места, удалённые от шоссе, или специально
оборудованные   площадки.
  Расскажите
ребёнку,   как   правильно   приближаться   к
качелям   или   другим   движущимся
аттракционам.
Переходя   дорогу,
  обязательно
пользуйтесь   переходами   и   соблюдайте
правила безопасности на дороге.
Не разрешайте ребёнку прятаться за
стоящей машиной или доставать изпод неё
закатившийся мяч, пусть он обратиться к
вам за помощью.
Собирая   ребёнка   гулять,
  не
надевайте   на   него   дорогих   украшений,
которые могут стать причиной нападения
на него.
Если   вы   отпустили   ребёнка   гулять
одного,   присматривайте   за   ним   из   окна
или договоритесь.
Заметив,   что   к   ребёнку   подошёл
незнакомый   человек,   позовите   ребёнка
домой и тут же спуститесь к нему сами.
Уходя   из   дома   в   отсутствии
родителей,   ребёнок   должен   оставить
записку, куда и с кем идёт и когда будет
дома,   по   возможности   оставить   телефон
либо   иной   способ   связи   с   ним.   Если   в
обозначенное   время   прийти   домой   нет
возможности   необходимо   обязательно
позвонить   родителям   и   предупредить   о
задержке.
Ребёнок   не   должен   выбегать   из
подъезда,   а   открыв   дверь   необходимо
осмотреться,
  нет   ли   поблизости
транспорта,   под   колёсами   которого   он
может оказаться. Заметив друга на другой
стороне   улицы,   не   надо   спешить   ему   на
встречу,   а   необходимо   помнить,   что
впереди проезжая часть.

ребёнка
Отпуская
гулять,
предупредите   его   о   наиболее   опасных
местах   во   дворе   (подвалы,   чердаки,
стоящие   машины).   Играя   в   прятки,   не
стоит прятаться за стоящей машиной, она
может   неожиданно   поехать,   не   стоит заходить   в   подвал,   там   может   поджидать
свою   жертву   насильник,   или   собралась
пьяная компания, или просто подвал могут
закрыть.

file_name: по ЧП на транспорте.doc

классное руководство

group: Педагогика

title: Буклет "Безопасность ребенка"


extracted_text:
Лекция №3.
Тема занятия: Первообразная. Неопределенный интеграл. Способы вычисления
неопределенного интеграла.
Цель занятия: Научить вычислять производные функции при данном значении аргумента;
исследовать функции с помощью производной и строить графики.
3.1. Понятие неопределенного интеграла.
Напомню,   что:  Дифференцирование  –   это   действие,   с   помощью   которого   по   данной
функции находиться ее производная или дифференциал.
В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции
)(xf
  найти ее
производную  (или  дифференциал).   Интегральное  исчисление   решает обратную  задачу:  найти
функцию
)(xF
, зная ее производную
)(
xf
 (или дифференциал). Искомую функцию
)(xF
 называют первообразной функции
Определение. Функция
)(xF

)(
xF
)(xf
.
Если
с
xF
)(
 называется первообразной функции
)(xf
 на интервале
(a,b), если для любого
x 
),( ba
 выполняется равенство:

)(
xF
)(
xf
.
Например:   первообразной   функции
y
 ,2
x
Rx

  является   функция
xF  ,   т.к.
)(
3х
3

)(
xF
(
3
х
3
)

х
2
)(
xf
.
Очевидно, что первообразными будут также любые функции:
xF
)(

3
х
3
с
, где с  постоянная

с
х
)
2
)(
xf
3
(

)(
xF
х
3
Например:

xf
)(
xF
)(


cos
sin
x
x
)(xF
     первообразная   для
)(xf
  на   некотором   промежутке,   то   и   функция
, где с постоянная,  также является первообразной для
Определение. Множество всех первообразных функций
)(xf
.
)(
xF
с
 для
)(xf
 называется
неопределенным   интегралом   от   функции

dxxf
xF
)(
)(


c
.
)(xf
  подынтегральная функция
dxxf
)(
  подынтегральное выражение
х – переменная интегрирования
  знак неопределенного интеграла.

)(xf

и   обозначается   символом
1 Определение. Операция нахождения  неопределенного интеграла от функции называется
интегрированием этой функции.
Определение.  Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство
.   График   каждой   первообразной   (кривой)   называется
«параллельных»   кривых
)(
xF
с
интегральной кривой.
Определение.  Если   функция
)(xf
  имеет   на   некотором   промежутке   хотя   бы   одну
первообразную, то ее называют интегрируемой на этом промежутке.
3.2. Свойства неопределенного интеграла.
1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.


)(
xf
dx



)(
xf
2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

xfd
)(
dx

dxxf
)(
3. Неопределенный   интеграл   от   дифференциала   функции   равен   этой   функции,
сложенной с постоянной.

dF
x
)(

xF
)(

c
4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.

xaf
)(
dx

dxxfa
)(
5. Неопределенный   интеграл   от   алгебраической   суммы   равен   такой   алгебраической
сумме неопределенных интегралов.


xf
)(
1

f
2
x
)(

dx


xf
)(
1
dx


f
2
x
)(
dx
2 3.3. Таблица основных неопределенных интегралов.
.1
n
dx

dx

x
dx

x

x
e

dxa
dx
x
.2
.3
.4
.5

x
c

x
n
x

c
n

1

1

c

ln

e
x

a
ln
x
a
c

c
xdx
xdx
.8
.6
.7

cos

sin
dx

2
cos
dx

2
sin
x

.10
tgxdx
.9
x

sin
x

c

cos
x

c

tgx
c

ctgx

c

ln
cos
x

c
.11
.12
.13
.14

ctgx
dx

sin
x
dx

cos

x
dx

x
1
dx

x
2
.15

1

ln
sin
x

c

ln
tg

ln
tg
x
2




c
x
2


4



c

arcsin
x

c
2

arctgx

c
3.4. Основные методы интегрирования.
1. Непосредственное интегрирование.
Определение.
 Метод   интегрирования,   при   котором   данный   интеграл   путем
тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) применения свойств
непосредственного интеграла приводится   к одному или нескольким  табличным интегралам,
называется непосредственным интегрированием.
При   сведении   данного   интеграла   к   табличному   часто   используются   следующие
преобразования дифференциала:
число
dx




0
число
(
),

aaxd
1
a

dx
axd
),
a
(
2
d
x
x
(
)
xd
1
2

d
(sin
x

d
(cos
)
)
x
xdx
xdx
cos
sin
1
x
                                и другие.
(ln
dx

d
x
)
3 Примеры
.1
dx


x

3(.2
x

3
xd
(

x

24
)1
dx
.3

ctg
2
xdx

1

.4

dx

34
2
x


)3

3
1

3(
3
sin
2
2

x

sin
1

3


1


ln
x

3
c
x

)1
24
xd
3(

)1
x
3(
1
3


dx

24
)1

25
1

2
sin
x
3
2

2
1
2
sin
1

x

2
1
3
arcsin
x
dx





x
)3(

x
)3(
d
2
2

c
dx


dx
x

ctgx

x
c
.5

sin
2
1
2
6

xdx

cos
2. Интегрирование методом подстановки.

dx
cos
12



dxx
1
2
1
2
12
xdx

x
1
2
1
2

cos
12
xd
12(
x
)
1

12
1
2
x
Метод   интегрирования   подстановкой   заключается   во   введении   новой   переменной
интегрирования   (т.е.   подстановки).   При   этом   заданный   интеграл   приводится   к   новому
интегралу,   который   является   табличным   или   к   нему   сводящимся   (в   случае   «удачной
подстановки»).   Общих   методов   подбора   не   существует.   Умение   правильно   определить
подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл   dxxf
)(t   функция, имеющая непрерывную производную.
)(
. Сделаем  подстановку
x 
(t
),
   где
Тогда
dx
)(
t
dt
 и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования
непосредственного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой

dxxf
)(


f


))((
t
t
)(
dt
Эта   формула   также   называется   формулой   замены   переменных   в   неопределенном
интеграле. После нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от новой
переменной интегрирования  t  назад к переменной х. Иногда эту   формулу можно применять
справа налево.
Для интегрирования методом подстановки можно использовать следующую схему:
1. часть подынтегральной функции надо заменить новой переменной
2. найти дифференциал от обеих частей замены
3. все подинтегральное  выражение  выразить через новую переменную (после  чего
должен получиться табличный интеграл)
4. найти полученный табличный интеграл
4 5. сделать обратную замену.
5 Встречаются еще и следующие формулы интегралов:
.1

e
kx
dx

e
1
k
kx

c
kx
dx


c
kxdx

cos
kx

c
kxdx

sin
kx

c
.2
.3
.4
.5
a


sin

cos

cos
1
x
kx
a
a
ln
1
k
1
k
1
k
dx
2

kx
tgkx

c
dx
2

1
k
ctgkx

c

.6
sin

.7
k

.8
2
k
2
kx
dx

xn
dx

2
2
xn
2
1
nk
1
n


2
arctg
n
k
x

c
arcsin
n
k
x

c
3.5. Интегрирование тригонометрических функций.
Вычисление  неопределенных  интегралов тригонометрических  функций типа  cosx,  sinx
(принято   обозначать
R
(sin
;
x
cos
x
)
,   где  R  –   знак   рациональной   функции)     сводится   к
вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой
tg 
t
x
2
  которая называется
универсальной.
Действительно,
sin
x
2
tg

tg

1
x
2
2
x
2
2
t

t
2

1
1

1


t
t
2
2
x
2
x
2
cos
x
1

1

2
tg

tg
2
x

2
arctgt
dx

1
2

t
dt
2
Поэтому


R(sinx;
cosx)dx


R



2t

t1
2
;
1
1


t
t
2
2


1

2

t
2
dt


tR
)(
1
dt
Где R1(t) – рациональная функция от t. Обычно этот способ весьма громоздкий, зато он
всегда приводит к результату.
На практике применяют и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств
(и вида) подынтегральной  функции. В частности, удобны следующие правила:
6 1. если функция
R
(sin
;
x
cos
x
)
 нечетна относительно sinx, т.е.
R 
(
sin
;
x
cos
x
)
=
R
(sin
x
;
cos
x
)
2. если   функция
x
cos
(sin
;
x
R

3. если   функция
)

=
R
, то подстановка cosx=t рационализирует интеграл
R
нечетна   относительно
(sin
cos
;
x
x
)

 cosx,
  т.е.
R
(sin
x
;
cos
, то делается подстановка sinx=t

x
)
(sin
;
x
cos
x
)

четна   относительно
 sinx
  и  cosx
R
(

sin
;
x

cos
x
)
=
R
(sin
x
;
cos
x
)
,
  то   интеграл   рационализируется
подстановкой tgx=t. Такая же подстановка применяется, если интеграл имеет вид

tgxR
dx
)
(
.
7 Закрепление материала по занятию №3.
Тема занятия: Первообразная. Неопределенный интеграл. Способы вычисления
неопределенного интеграла.
1. Примеры. Непосредственное интегрирование.
xdx
dx

2
2
x

dx
xdx
.1
5
x

xdx

5.2

8.3


4.4
x
dx

x

cos

4(.7

x8.8
.5
.6
dx
cos
x

sin2
x
)
dx
2. Примеры. Интегрирование методом подстановки.
x
4
.1
x

e
dx

t
4

dx

4
dt

x
4

e
dx

4
t

dte

4
c
e
t
x
4
4
e

c
.2
3
dx



xx

x
t

t
3

tdt
3
2
2
x
dx


xx

3
dx

2

t
(

dt
)3
t
2
t

t
(2
4

2
)3
t
dt

2

t
4
dt

6

t
2
dt


c
6
2
5
t
5
3
t
3
5
2
(
x

)3

(2
x

)3
3
2

c
2
5
)2
100
dx

.3
x
x


x
(
x

t
2

t
2
dx

dt

xx
(

)2
100
dx


t
(
)2
t
100
dt


t
101
dt

2

t
100
dt
(
x

102

)2
102
101

(2

x
)2
101

c


2(.4

2
cos
x
cos

x
t
2
)
sin
xdx


102
t
102

2
101
t
101

c

sin
xdx

dt

2(

cos
x
)
2
sin
xdx


t
2

(
dt
)


t
2
dt

3
t
3

c
1
3
2(

cos
x
)
3

c
8 
.5
cos
x
2
dx

x
2
1
2

t
dx

dt
dx

2
dt


cos
x
2
dx


cos
t

2
dt
2

cos
tdt

sin2
t

c
sin2
x
2

c
3. Примеры. Интегрирование тригонометрических функций.
dx

x

cos
x

.1
3

t
dx
sin
cos
tg

sin
x
2
dt
2


2
t
1
t
2


t
1

1
t


1
t
x
x
2
2
2


3

sin
dx

x
cos
x




 

td


 

t

1
2
2



1
2

2
7
arctg
7
4
t

7
1
2
2
dx
sin

2
x



1(
2

t


3)



c
2
7
arctg
2
1
dt
t
2

t

dt

2

t
t

2

2
1
1


t
t
2
2



x
2

c
21

tg
7
1
sin


2

x

1

1
sin
2
x

R
(sin
x
;
cos
x
)
2
t
1
2


1(
2

t
dx


1)


1
arctg
2(
tgx
)

c
2
t

2
t


t
2
dt

2
1

1
2



d
t
)2(


t
)2(
2

1
9

.2
1

R
(
sin
x
;

cos
)
x

1
arctgt
tgx
dx

x
t
dt

t
2

1
2
sin
x

1
2
tg

x
2
tg

1
x
t

2

1
2
arctg
t
2

c

file_name: лекция неопр интеграл.doc

description:
5. сделать обратную замену.
5

intro:
Данная лекция по Теме: Первообразная. Неопределенный интеграл. Способы вычисления неопределенного интеграла.
Цель занятия: Научить вычислять производные функции при данном значении аргумента; исследовать функции с помощью производной и строить графики.
Также разобраны свойства неопределенного интеграла и таблица интегралов. Основные методы интегрирования. Закрепление материала по этой теме.

title: Лекция по математике на тему: Неопределенный интеграл


extracted_text:
Сценарий спортивного развлечения
в средней группе
«Берегите Землю» Сценарий  спортивного развлечения в средней группе
«Берегите Землю»
Цель: создание у детей радостного настроения, воспитание любви и бережного отношения к
природе.
Задачи:
• Формировать представление о многообразии природного мира.
• Закрепить умение выразительно читать стихотворения.
• Воспитывать у детей ответственное, гуманное, бережное, эмоционально – положительное
отношение к природе и друг к другу.
• Доставить детям радость от участия в общем празднике.
Ход развлечения:
Ведущий:
Мы праздник начинаем, зритель, проходи скорей
В сказку нашу приглашаем, всех: взрослых и детей.
Звучит легкая музыка
Мы вам расскажем сказку,
А может и не сказку.
А может, это было,
Но вам друзья решать.
Жилабыла планета Земля
Чиста и красива она была.
И каждую весну встречала день рожденья
И этот праздник был всем на удивленье.
Наша с вами Земля  прекрасная планета, полная чудес и загадок. Нас окружает
великолепная природа. На Земле живут люди, животные, птицы, рыбы, растения, всем им
должно быть хорошо, а люди должны заботиться
о живой природе.
Но, к сожалению люди не всегда замечают красоту окружающую нас, не заботятся о
природе и, что ещё хуже, наносят ей непоправимый вред. Все люди, живущие на нашей
планете Земля должны охранять, беречь и преумножать её богатство.
Выходят дети :
1 Ребенок:
Здравствуй, наш веселый праздник,
Славный праздник – день Земли.
Вместе с вами мы сегодня
Отмечать его пришли.
2 Ребёнок:
Здравствуй, планета! Здравствуй, Земля!
Отныне мы дети твои и друзья!
Отныне мы вместе – большая семья:
Цветы и деревья, птицы и я! 3 Ребенок:
На Земле с тобой живем.
Нет прекрасней Земли родной!
Так давайте беречь, любить,
Охранять ее, не губить.
4 Ребенок:
Природу обижать нельзя!
Земля наш общий дом!
Живут в нем звери, птицы,
И мы с тобой живем.
5 Ребенок:
Чтобы могли леса цвести
И сады, и реки
Все живое берегите
Вы на этом свете!
Ведущий:
Ребята, сегодня при входе в детский сад , я нашла письмо (берет со стола письмо) Тут
написано… город Кизляр, детский сад «Ласточка».
Адрес верный, тогда прочтем его?
Письмо:
Дорогие ребята!
Я про праздник ваш узнал.
И письмо свое для вас
Прямо из лесу послал.
Как получите письмо,
Время зря вы не теряйте.
Веселиться начинайте.
Ведущий:
Не понятно, кто нам пишет, вместо подписи крючок.
Да ведь это наш знакомый –Лесовичок.
Да тут и продолжение есть:
Поздравляю Вас, друзья, с праздником!
Желаю всем расти сильными, крепкими и здоровыми.
Берегите нашу планету, нашу землю, наши воды и поля.
Если чистым будет лес – чище станет вся Земля.
Выходят дети.
1 Ребенок
Мы хотим, чтоб птицы пели,
Чтоб вокруг леса шумели,
Чтобы были голубыми небеса.
Чтобы речка серебрилась,
Чтобы бабочка резвилась
И была на ягодах роса.
2 Ребенок Мы хотим, чтоб солнце грело,
И берёзка зеленела,
И под ёлкой жил смешной колючий ёж.
Чтобы белочка скакала,
Чтобы радуга сверкала,
Чтобы лил весёлый дождь.
3 Ребенок
Дерево, трава, цветок и птица
Не всегда умеют защититься.
Если будут уничтожены они,
На планете мы останемся одни!
4 Ребенок
Сбережем свою красивую планету,
Нашу Матушку Природу сбережем.
Мы должны быть очень благодарны
Ей за то, что счастливо живем!
Исполняется песня
Ведущий:
Мы с вами и пришли на лесную полянку. Давайте вспомним, как нужно вести себя в лесу,
на природе? Можно ли ломать ветки? Рвать много цветов? Пугать птиц? Громко
разговаривать в лесу? Топтать и сшибать несъедобные и старые грибы?
Дети отвечают.
Звучит музыка, и появляется Кикимора. Она начинает хулиганить, мусорить.
Кикимора:
Чегото я сегодня, какаято вредная. Не люблю, когда в лесу красиво, когда птицы поют, у
меня от них голова болит. Не люблю, когда кругом тишина и покой. Давай ка я все здесь
посвоему переделаю! А?
Так цветов нарву, да побольше. БабаЯга их очень любит. А ещё веточек для веников
наломаю, вот будет нам хорошая банька!
Ведущий:
Ребята, что мы видим! Ужас какой! Хорошо или плохо делает Кикимора?
Дети:
Плохооооо! Так делать нельзя. Её надо остановить!
Ведущий:
Крикнем все громко: "Нельзя!" (кричат 3 раза.)
Дети (хором):
Нельзя! Нельзя! Нельзя!
Кикимора:
Ой, что это? Гром, что ли? Али сила нечистая? Я, кажется, ее и не звала,
сама управлюсь.
Ведущий:
Это вы тут хулиганите, все ломаете, рвете, гнезда разоряете?
Кикимора: Ой к нам гости пожаловали! Милые гости, не ждала я вас, а то бы побольше нарвали
цветов, наломали веток, вместе бы в баньку сходили. Хихихи! Вы, наверное, тоже
вредные, не любите природу, все живое и красивое, все поющее и все цветущее? Я
приглашаю вас вместе похулиганить.
Проходите, гости дорогие. Будем вместе вредничать и безобразничать.
Ведущий:
Друзья, надо чтото делать, както остановить.
 А давайте позовем Лесовичка, пусть он нам поможет!
Дети:
Старичоклесовичок, приходи скорее к нам!
Все дружно зовут Лесовичка.
Звучит музыка, и появляется Лесовичок.
Лесовичок :
Здравствуйте, дорогие ребятушки!
Я – старичок Лесовичок.
В лесу оставил сундучок.
В том сундучке мои задания,
Смекалки требуют и знаний, и старания.
Желаю вам с заданьем справиться,
Тогда природа от беды избавится.
Внимательно смотри вокруг –
Поймёшь тогда, кто враг, кто друг.
Поторопись, дружок, в путь отправляйся,
И под ноги смотри, не спотыкайся! (отходит в сторонку)
Двое, трое детей вместе с Ведущей идут по кругу, изображая поход в лес. На фоне
слышатся «Звуки природы». Находят сундучок.
Ведущий:
Дети, сундучок мы нашли.! Давайте возьмем его.
Дети садятся.
Ведущий:
Откроем сундучок, посмотрим, что в нём.
Открывает сундучок, достаёт открытку, читает:
Мои милые ребятки, отгадайтека загадки!
Шарик голубой,
Домик наш родной.
Планета любимая моя,
Любимая твоя,
Называется …  (земля)
Есть у ребят зелёный друг,
Весёлый друг, хороший.
Он им протянет сотни рук
И тысячи ладошек. (лес) Течет, петляет тут и там
И по полям, и по лугам,
Водой омыты берега.
Что это, знаешь ты? (река)
Ты весь мир обогреваешь
И усталости не знаешь,
Улыбаешься в оконце,
А зовут тебя все. (солнце)
Лесовичок: (ловит Кикимору)
Ах ты, нехорошая! Это что же ты творишь? (Обращается к Кикиморе.)
Разве можно лес обижать? Цветы и веточки ломать? Птичьи гнезда разорять?
 (Обращается к детям.) Можно, ребята? Конечно, нельзя. Ведь деревья, цветы, трава и
птицы – все они живые.
Ведущая:
Не горюй Лесовичок. Мы чтонибудь придумаем с ребятами. Проучим Кикимору. Но
сначала мы поможем прибрать весь мусор на полянке.
Игра «Уборка мусора»
Разделимся на 2 команды: бумажный мусор убирает первая команда, пластиковый –
вторая. Все нужно сделать быстро и аккуратно.
Лесовичок:
Вот и молодцы!Вот и порядок на поляне, сразу стало чисто и красиво. Спасибо вам ребята.
Смогли вы славно потрудиться,
Пора настала веселиться
Выходите малыши,
Попляшите для души!
Общий танец.
Лесовичок:
Птицы молчат в чаще лесной,
Вокруг тишина и дремота,
А как мне, ребята, весенней порой
Послушать птичек охота.
Ведущая:
 Давайте поможем Лесовичку, заменим птиц.
Вы воробушки, по чирикайте – «Чикчирик».
Вы вороны, по каркайте – «Каркар».
Вы сороки, по стрекочите – «Срекеке».
Вы кукушки, кукуйте – «Куку». Лесовичок: Спасибо, ребята. Здорово получилось, а вы слышите, птицы вернулись в мой
лес.
Звучит фонограмма.
Лесовичок:
 Лес мой сразу ожил. Я предлагаю вам поиграть в игру «Солнышко и дождик»
Цель: Учить быстро действовать по сигналу воспитателя; не наталкиваясь, друг на друга.
Развивать ловкость, умение соблюдать правила.
А теперь мне пора пройтись по лесу, навести порядок.
Ребята, а знаете ли вы правила поведения в лесу? Что в лесу можно делать, а чего нельзя?
Давайте поиграем в игру: «Если я приду в лесок». Я буду говорить вам свои действия, а вы
отвечайте. Если я буду поступать хорошо, говорим «ДА», если плохо, то «НЕТ».
Если я приду в лесок и сорву ромашку (нет)
Если съем я пирожок и выброшу бумажку (нет)
Если хлебушка кусок на пеньке оставлю (да)
Если ветку подвяжу, колышек поставлю (да)
Если разведу костёр, а тушить не буду (нет)
Если сильно насорю и убрать забуду (нет)
Если мусор уберу, банку накопаю (да)
Я люблю свою природу, я ей помогаю (да)
Молодцы, ребята! Я не сомневаюсь, что именно вы никогда не причините вреда Матушке
Природе. Будете ее оберегать и любить всем сердцем.
Ведущий:
 Ребята, слышите, ктото сюда пробирается.
 Выходит Кикимора.
Кикимора:
Так что же я сегодня в лесу плохого сделала? Да, я сегодня постаралась: березу сломала,
муравьев разогнала, муравейник разорила, цветов редких нарвала целую кучу и в ручей
бросила, птичье гнездо разорила, мусор накидала.Вот я молодец! Так и запишем в книгу
«Злых дел».
Ведущий:
 Ребята, так вот кто хулиганит в лесу. Да разве можно в лесу таких злодеев терпеть?
Кикимора:
 А что такое? Вы посмотрите сколько я дел за день переделала. (отдает книгу «Злых дел»)
Ведущий: (читает)
 Сколько же ты вреда Земле причинила: деревья сломала, муравейник разорила. Так если
все будут уничтожать, рвать, ломать, так и жизни на земле не будет. И нас не будет.
Кикимора:
 И меня не будет? А что же теперь делать?
Ведущий:
 Об этом вам расскажут наши ребята.
            Ребенок: Как много звуков тут и там!
В лесу не нужен шум и гам, Нельзя шуметь, галдеть, кричать,
И громко музыку включать.
            Ребенок: Если я сорву цветок,
Если ты сорвешь цветок,
Если все и ты и я
Если все сорвут цветы,
То не будет в нашем мире
Ни добра, ни красоты.
Ребенок: Нельзя стекло в лесу кидать,
Нельзя бутылки разбивать;
Осколки острые опасны –
О них порежешься ужасно!
           Ребенок: Ты змею не обижай,
И, увидев, палку не хватай,
Хоть опасны змеи, но нужны:
Чистоту беречь они должны.
           Ребенок: Целлофан, железки, склянки …
Оставлять в лесу нельзя!
Мусор тут, в лесу, чужой,
Заберем его с собой!
Кикимора: Спасибо, ребята, научили уму разуму. Поэтому я постараюсь и обещаю вам,
что теперь буду делать только добрые дела, и вы, берегитеприроду, ведь от этого зависит
вся наша жизнь! А давайте поиграем.
            ИграЭстафета«Добеги до ёлочки».
            Цель: Упражнять в прыжках на двух ногах.
                        Дети по очереди прыгают на двух или одной ноге от дерева до дерева. Сколько кому
придется сделать прыжков, чтобы достичь цели?
                     Ну всё побегу добрые дела делать.
Ведущий:
Взгляните, как стало красиво вокруг,
Уже зеленеют деревья и луг.
Цветы распустились и птицы запели,
Красавицыбабочки в лес прилетели.
Не надо зла, пусть победит добро,
Пусть будет всем уютно и тепло.
Общий танец.
Лесовичок: О, мой лес, мой дивный лес!
Опять ты полон сказок и чудес!
Веселятся все зверята:
И лисята, и зайчата.
Поют птицы до зари, распевают соловьи.
Ожила вся Земля
Вы спасли ее друзья! Ребенок: Давайте вместе Землю украшать,
Сажать сады, цветы сажать повсюду.
Давайте вместе Землю уважать
И относиться с нежностью, как к чуду!
Мы забываем, что она у нас одна –
Неповторимая, ранимая, живая.
Прекрасная: хоть лето, хоть зима …
Она у нас одна, одна такая!
Лесовичок: Пора мне возвращаться в свой лес, там без меня никак нельзя!
 До свидания, ребятня! (уходит)
Ведущий:
Наш дом родной, наш общий дом
Земля, где мы с тобой живем!
Чудес нам всех не перечесть,
Одно у них названье есть:
Леса, и горы, и моря
Все называется Земля.
Давайте будем беречь планету
Во всей Вселенной похожей нету.
Во всей Вселенной только одна,
Для жизни и дружбы она нам дана. На этом наш праздник окончен!
 До свидания!

file_name: Спортивный праздник Земля.docx

intro:
Создание у детей радостного настроения, воспитание любви и бережного отношения к природе.
Формировать представление о многообразии природного мира.
• Закрепить умение выразительно читать стихотворения.
• Воспитывать у детей ответственное, гуманное, бережное, эмоционально – положительное отношение к природе и друг к другу.
• Доставить детям радость от участия в общем празднике.


extracted_text:
Консультация для родителей
 «Пальчиковая гимнастика»
Движения пальцев и кистей рук ребенка имеет особое развивающее воздействие. У
новорожденного кисти всегда сжаты в кулачки, и если взрослый вкладывает свои указательные
пальцы в ладони ребенка, тот их плотно сжимает. Эти манипуляции ребенок совершает на
рефлекторном уровне, его действия еще не достигли высокого мозгового контроля. По мере
созревания мозга этот рефлекс переходит в умение хватать и отпускать. Чем чаще у ребенка
действует хватательный рефлекс, тем эффективнее происходит эмоциональное и
интеллектуальное развитие малыша.
До сих пор недостаточно осмысленно взрослым значение игр «Ладушки», «Коза рогатая» и др.
Многие родители видят в них развлекательное, а не развивающее, оздоравливающее
воздействие. Простые движения рук помогают убрать напряжение не только с самих рук, но и
с губ, снимают умственную усталость. Они способны улучшить произношение многих звуков, а
значит развивать речь ребенка. Развитие тонких движений пальцев рук предшествует
появлению артикуляции слогов. Благодаря развитию пальцев в мозгу формируется проекция
«схемы человеческого тела», а речевые реакции находятся в прямой зависимости от
тренированности пальцев.
Такую тренировку следует начинать с самого раннего детства.
Исходя из оздоровительного воздействия на организм ребенка каждого из пальцев, помогайте
ребенку координировано и ловко ими манипулировать. Обращайте внимание на овладение
ребенком простыми, но в тоже время жизненно важными умениями – держать чашку, ложку,
карандаши, умываться. Например, если в четыре года он не умеет доносить в пригоршне воду
до лица – значит, у него отстает в развитии мелкая мускулатура.
Обнаружив отставания у ребенка, не огорчайтесь. Займитесь с ним пальчиковой гимнастикой.
Что же происходит, когда ребенок занимается пальчиковой гимнастикой?
1. Выполнение упражнений и ритмических движений пальцами индуктивно приводит к
возбуждению в речевых центрах головного мозга и резкому усилению согласованной
деятельности речевых зон, что, в конечном итоге, стимулирует развитие речи. 2. Игры с пальчиками создают благоприятный эмоциональный фон, развивают умение
подражать взрослому, учат вслушиваться и понимать смысл речи, повышают речевую
активность ребёнка.
3. Малыш учится концентрировать своё  внимание  и  правильно  его  распределять.
4.Если  ребёнок  будет  выполнять  упражнения,  сопровождая  их  короткими стихотворными
строчками, то его речь станет более чёткой, ритмичной, яркой, и усилится контроль за
выполняемыми движениями.
5.Развивается память ребёнка, так как он учится запоминать определённые положения рук и
последовательность движений.
6. У малыша развивается воображение и фантазия. Овладев всеми упражнениями, он сможет
«рассказывать руками» целые истории.
7. В результате усвоения всех упражнений кисти рук и пальцы приобретут силу, хорошую
подвижность, а это в дальнейшем облегчит овладение навыком письма.
Все упражнения можно разделить на три группы.
I группа. Упражнения для кистей рук:
 развивают подражательную способность, достаточно простые и не требуют тонких
дифференцированных движений;
  учат напрягать и расслаблять мышцы;
 развивают умение сохранять положение пальцев некоторое время;
  учат переключаться с одного движения на другое.
«Солнце»
Солнце утром рано встало,
Всех детишек приласкало.
Ладошки скрестить, пальцы широко раздвинуть II группа. Упражнения для пальцев условно статические:
  совершенствуют полученные ранее навыки на более высоком уровне и требуют более точных
движений.
«Человечек»
«Топтоптоп!»  топают ножки,
Мальчик ходит по дорожке.
Указательный и средний пальцы «ходят» по столу.
 III группа. Упражнения для пальцев динамические:
  развивают точную координацию движений;
  учат сгибать и разгибать пальцы рук;
  учат противопоставлять большой палец остальным.
«Посчитаем»
Поднять кисть руки вверх, широко раздвинуть пальцы.
Раз два три четырепять!
Будем пальчики считать –    Крепкие, дружные,
Все такие нужные…
Поочередно сгибать пальцы в кулачок, начиная с большого.
  Пальчиковая гимнастика:
1.Сначала все упражнения выполняются медленно. Следите, чтобы ребенок правильно
воспроизводил и удерживал положение кисти или пальцев и правильно переключался с одного
движения на другое. При необходимости помогите малышу или научите его помогать себе
второй рукой. 2.Упражнения отрабатываются сначала одной рукой (если не предусмотрено участие обеих
рук), затем – другой рукой, после того – двумя одновременно.
3.Некоторые упражнения даны в нескольких вариантах. Первый – самый легкий.
4.Сначала покажите ребёнку и объясните, как должно выполняться упражнение. Постепенно
надобность в объяснениях отпадает: Вы называете упражнение, а малыш вспоминает, какое
положение кистей рук или пальцев он должен воспроизвести.
Помните!
Любые упражнения будут эффективны только при регулярных занятиях. Занимайтесь
ежедневно около 5 минут.
Помогите своему ребёнку развить тонкую моторику рук и быстрее научиться правильно,
красиво, говорить.

file_name: консультация для родителей.docx

intro: Движения пальцев и кистей рук ребенка имеет особое развивающее воздействие. У новорожденного кисти всегда сжаты в кулачки, и если взрослый вкладывает свои указательные пальцы в ладони ребенка, тот их плотно сжимает. Эти манипуляции ребенок совершает на рефлекторном уровне, его действия еще не достигли высокого мозгового контроля. По мере созревания мозга этот рефлекс переходит в умение хватать и отпускать.консультация для родителей

title: Консультация для родителей


file_name: лекция опред интеграл.doc

description:
Лекция №4.
Тема занятия: Определенный интеграл, методы его вычисления. Геометрический
смысл определенного интеграла.
Цель занятия: Знать основные методы интегрирования; таблицу простейших интегралов;
научиться интегрировать простейшие  определенные интегралы.
4.1. Определенный  интеграл как предел интегральной суммы.
Пусть   функция
y 
)(xf
  определена   на   отрезке   [a,b],  a<b.   Выполним   следующие
действия:
1. С помощью точек  x0=a,  x1  ,x2  ,…,  xn  =b  (x0<x1<…xn) разобьем отрезок [a,b] на  n
частичных отрезков [x0,x1], [x1,x2], [x2,x3], … [xn1,xn]
2. В каждом частичном отрезке [xi1,xi], i=1, 2, 3, …. n   выберем  произвольную точку
ci  [xi1,xi]  и вычислим значение функции в ней, т.е. величину
( iсf
)
.
3. Умножим   найденное   значение   функции
)
  на   длину

x
x
i
i
x
i
1
соответствующего частичного отрезка:
сf
(
i
( iсf
x
.
i
)
4. Составим сумму Sn всех таких произведений:
S
n

cf
(
1
)

x
1
cf
(
2
)

x
2
.....

cf
(
)
n

x
n
n

i

1
cf
(
i
)

x
i
Определение.  Эта   сумма   называется  интегральной   суммой  функции
отрезке [a,b]. Обозначим через  длину наибольшего частичного отрезка:
2, 3, …. N

y 
ix
  на
)(xf
,    i=1,
max
5. Найдем предел интегральной суммы, когда
n
, так, что
0
.
Определение. Если при этом интегральная сумма Sn    имеет предел I, который не зависит
ни от способа разбиения отрезка [a,b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число I
называется  определенным интегралом  от функции
  на отрезке [a,b] и обозначается
b
)(xf
y 
dxxf
)(

a
. Таким образом,

dxxf
)(
b
a

lim

n
n

i

1
cf
(
i
)

x
i
Определение.  Числа  a,  b   называются   соответственно  нижним и верхним пределами
интегрирования,
 подынтегральным
выражением,     х   –   переменной   интегрирования,   отрезок   [a,b]   –   областью   (отрезком)
интегрирования.
    подынтегральной   функцией,
dxxf
)(xf

)(

1

description:
Теорема Коши. Если функция
y 
)(xf
 непрерывна на отрезке [a,b] , то определенный
интеграл  
b
a
xf
)(
dx
 существует.
4.2. Геометрический и физический смысл определенного интеграла.
Пусть  на  отрезке  [a,b]  задана  непрерывная   функция
.  Фигура,  ограниченная
, снизу – осью Ох, сбоку прямыми  x=a  и  x=b, называется
)(xf
y 
сверху графиком функции
криволинейной трапецией.
y 
)(xf
Для   этого   разобьем   отрезок   [a,b]   точками
  на  n  частичных
отрезков [x0,x1], [x1,x2], …..,[xn1,xn].  В каждом частичном отрезке возьмем произвольную точку ci
и вычислим  значение    функции в ней, т.е.  f(ci). Умножим  значение функции    f(ci) на длину

  равно
. Сумма всех таких произведений
площади прямоугольника с основанием
  соответствующего   частичного   отрезка.   Произведение
ix  и высотой
( icf
)
xx
1
,
,......,
cf
(
nx
b
a
i
1
x
x
x
i
x
i
)

i
i

0

(
cf
1)

x
1
+
(
cf
2 )

x
2
+…..+
cf
(
n
)

x
n
n

i
1
cf
(
i
)

x
i
S
n
Равна   площади   ступенчатой   фигуры   и  приближенно   равна   площади  S  криволинейной
трапеции:
S
 nS
n

i

1
cf
(
i
)

x
i
.
Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади
криволинейной трапеции.
В этом и состоит геометрический смысл определенного интеграла.
A

lim


0
n

i

1
(
cF
i
)

x
i

dxxF )(
b
a
Итак,  работа   переменной   силы  F,   величина   которой   есть   непрерывная   функция
F=F(x), действующей на отрезке [a,b], равна определенному интегралу от величины  F(x)
силы , взятой по отрезку [a,b].
2

description:
Другими словами можно сказать, что путь S, пройденный за промежуток времени от t=a
до t=b , равен определенному интегралу от скорости v(t):
S

tv
)(
dt
b
a
4.3. Формула Ньютона – Лейбница.
Формула Ньютона–Лейбница дает удобный способ вычисления определенного интеграла.
 на отрезке [a,b], надо
Чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывной функции
найти ее первообразную F(x) и взять разность F(a) F(b) значений этой первообразной на концах
отрезка [a,b].
)(xf

dxxf
)(
b
a

)(
xF
b
a

)(
bF

)(
aF
4.4. Основные свойства определенного интеграла.
1. Постоянный  множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

dxxfc
)(
b
a

c
b

a
dxxf
)(
2. Интеграл от суммы равен сумме интегралов
b

(
a
xf
)(
1

f
2
(
x
))
dx

b

a
dxxf
)(1
+ 
f
b
a
)(2
dxx
3. Если поменять местами пределы интегрирования, то меняется знак у определенного
интеграла:
b

a
dxxf
)(
= 
a
b
dxxf
)(
4. Определенный интеграл можно разбивать на несколько частей:
b

a
dxxf
)(
= 
с
a
dxxf
)(
+ 
b
с
dxxf
)(
5. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:
a

a
dxxf
)(

0
6. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования:

dxxf
)(
b
a

b

f
a
t
)(
dt


zf
)(
b
a
dz
3

description:
7. Для любого действительного числа с:

cdx
(
abc
)
b
a
Примеры:
1.
2.
2
4
0
4

xdx
2
x
2
4
2

1
2
2
4(

2
)2

16(
1
2

6
12
)4
1
2

3
x
2
dx
3
x

3
3
4
0
3

4
0
4

64
4.5. Вычисление определенного интеграла методом подстановки (заменой переменной).
Чтобы   вычислить   определенный   интеграл   методом   подстановки   необходимо
воспользоваться следующим планом:
1. Часть подынтегральной функции заменить новой переменной
2. Найти новые пределы интегрирования
3. Найти дифференциал от обеих частей замены
4. Все   подинтегральное   выражение   выразить   через   новую   переменную   (должен
получиться табличный интеграл)
5. Вычислить полученный табличный интеграл
Примеры:
2

(
1
x
3
2
dx

)2
2
x

x
3
x
x
x










3
x
2


2
t

2
dx
dt
1
3

t
3
2
1

3
t
2
10
2
3
1
2
dx
dt











10

1
3

t
3
dt
2

1
3
10

t
3
2
dt
1
t


3

1
10
1
3
10
1
1

(
3
3
1
t
3

)

1
10
1
3
7
90
4.6. Вычисление определенного интеграла методом – интегрирование по частям.
4

description:
Если функции
u 
)(xu
  и
v 
)(xv
 имеют непрерывные производные на отрезке [a,b],
то имеет место формула:
Пример:

udv
b
a
b

vu
a

vdu
b
a
Вычислить
:

ln
x
2
x

2

e
1
e

x
1
ln
xdx

пусть
u

ln
x


du
dv

xdx

v







dx
1
x
2
x
2






2
e
x

2
1
1

x

dx
1
4
2
(
e

)1
5

description:
Закрепление материала по занятию №4.
Тема занятия: Определенный интеграл, методы его вычисления. Геометрический
смысл определенного интеграла.
x
2
dx
.1

xdx
3
0
5

4.2


2.3
2
3
0

.4
0


cos
xdx
3
x

5
x


2
dx
.5

(cos
x


sin
dxx
)
4
2
2

5(3.6
2
x

)4
dxx
2.7

x
5
dx

2

xdx
3
6

2
(
x

.8
3

0
dxx
)2
x
3
4
.9
e

0
x
dx
x

4(.10
x

)3
dxx
6

description:
Тема занятия: Применение определенного интеграла к решению прикладных задач.
Цель занятия: Научиться применять интегралы для вычисления прикладных задач.
Лекция №5.
Известно, что площадь криволинейной трапеции (рис. 2) вычисляется как
5.1. Вычисление площади плоской фигуры

у
    0      a                       b      x
Рис. 2.
S
b
 
a
( )
f x dx
.
(2)
Отметим,   что   если   криволинейная   трапеция
, то площадь может
f x 
( ) 0

расположена ниже оси 0х,  
быть найдена по формуле
S
b
 
a
( )
f x dx
.
              (3)
Формулы (2) и (3) можно объединить в одну
S
b
 
a
( )
f x dx
.

Площадь   фигуры,   ограниченной   кривыми
( )
x

x a x b f


,
2

1( )
f x
y


( )
f x
1

f
y
  и
 можно найти по формуле
2( )
x
,   прямыми
у
у = f2(x)
у = f1(x)
    0      a                       b      x
Рис. 3.
S



b

a
( )
x

f
2
f x dx
1
( )

.

Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то её
следует   разбить   на   части   по   прямым,   параллельным   оси
Oy ;  чтобы можно было применить известные формулы.
Если

криволинейная

трапеция

ограничена

кривой,

заданной
параметрически


находится по формуле
x
y
x t
( )
( )
y t
t
  
]
[ ,
, прямыми
x

,
a x b
   и осью  Ox , то площадь
 =  ()

S




y t
( )


x t dt
( )
.
    
        0                               x
Рис. 4.
7




description:
Если уравнение линии задано в полярных координатах
площадь криволинейного сектора определяется по формуле
   
( ),
       (см. рис.4),  то
S

1
2



Примеры.
2
  
( )
d
.
1) Вычислить площадь  S  фигуры, ограниченной кривыми   y
x
  и
y
x
3
 (см. рис. 5).

у
у =x3
у =  x

     0            1              x
Рис. 5.
у
0
b
S/4
Рис. 6.
x
a
(см. рис. 6).
Находим точки пересечения кривых:
3
x
x
,
x
x
6
x
и, значит,  1

0,
x
2
 .
1
Следовательно
S


1

0
x

3
x dx


3/ 2
x
2
3
1
0

4
x
4
1
0
  
2
3
1
4
5
12
.

Вычислить площадь   S   фигуры, ограниченной эллипсом
 
x a
 
y b
cos
sin
t
t
t


[0;2 ].
Сначала найдем площадь 1 4  части  эллипса
Здесь х изменяется от 0 до  , следовательно, t  изменяется от
2
 до 0.
Находим, что
1
4
S

0


2
b
sin
t


a
sin

t dt


(1 cos2 )
t dt

 
ab
0


2
2
sin
t dt

ab
2
0


2
Таким образом,  S
 
ab
.

ab
2
t

1
2
t
sin 2


2
0


ab
4
.
8









description:
2) Вычислить площадь S фигуры, ограниченной  «трехлепестковой розой»:
r
a

cos3 .
0
/6

Рис. 7.
Найдем вначале площадь половины одного лепестка «розы»
(см. рис. 7).
1
6
1
6
S

1
2

6

0
2
a
2
cos 3
 
d
S

1
2
6


0
2
a
2
cos 3
 
d
2
a
1
2
6


0

1
2

1 cos6

 
d
2
a
4
 
sin 6
6


0
6

2
a
4

6

0


2

a
24
.

Следовательно,
S
2

a
 
24
6
2
.

a

4
5.2. Вычисление длины дуги плоской кривой.
Длина  L  дуги  АВ  кривой,  заданной уравнением
y 
)(xf
значению

(см. рис. 8)  находится по формуле:
точка

  x a ,
 В
соответствует
, где точка  А  соответствует

значению
  x b

у
А
    0      a                        b     x
Рис. 8.
L

b

a
1



( )
f x
 2
dx
.
В
Длина дуги АВ кривой L, заданной параметрическими
уравнениями
  
 
x
y




t
t
t
  
]
[ ;
находится по формуле
L


'

t
2


 
2

'
t
dt
.



Если плоская линия задана уравнением
          в полярных координатах, то
( ),
,
L





 
( )
2



  
( )

2
d

.

b
Примеры.
у
0
L/4
r
Рис. 9.
1) Найти длину окружности   2
x
Вычислим длину окружности.

2
y
2

r
 (см. рис. 9).
x
Вначале найдем L/4.
9













description:
y

2
r
2

x
,

y

 
1 2
2

r
x
2
x
.
2
L
4

r

0
1

2
x

2
x
2
r
dx

r

0
r

2
r
2
x
dx r
 
arcsin
x
r
r
0


r
2
.
Длина окружности
L

r
 
2
4
 
2
.
R
2) Вычислить длину дуги винтовой линии
x a
 
cos ,
t
y
 
a
sin ,
t
z b t
 между точками
t

0,и
t
 
.
Поскольку
l



0

x
  
a
sin ,
t

y
 
a
cos ,
t

'
x
t
2



'
y
t

z
2

 , то
b


'
z
t
2


2
a
2 .
b

2
a

2
b dt

2
a
2

b

.
 Найти длину кардиоиды
r
a  

(1 cos ).
Кардиоида имеет вид  (см. рис. 10).  Она симметрична относительно полярной оси   .
Найдем половину длины кардиоиды  L/2:


0
l

2
Длина кардиоиды
l
 
2 4
a

8 .
a
5.3. Вычисление объема тела.

L/2
0

2а
Рис. 10.
1
2

a



0


a
0
a

 
1 cos


2

 
sin
a



0

4 .
a

2 2cos
2 2cos

  
d
cos

2
d
 
4 sin
a


2
a

0
Пусть   требуется   найти   объем  V  тела,   причем   известна   площадь
( )S x   сечения тела,
плоскостями, перпендикулярными к оси
Ox
:
S

( ),
S x a
    то
x b
,
S
b
 
a
( )
S x dx
.
Пример.  Найти объем эллипсоида
2
2
x
a

2
2
y
b

2
2
z
c

1.
Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости Oyz  и на расстоянии  x  от неё
x a
     получим эллипс
a

2
2
y
b
1

2

2

x
a
2
x
c
1

2

2

x
a

1.
2
10





















description:
Площадь этого эллипса равна
( )
S x
 
bc

1
2


2
x
a
,
поэтому
V
 
bc
a


a
1

2


2
x
a
dx
 
abc
.
4
3
5.4. Вычисление объема тела вращения.
Объем   тела,
  полученного   вращением   кривой   вокруг
  оси   ох

у
d
с
    0      a                        b     x
Рис. 11.
(см. рис. 11), определяется интегралом
V
x
b
 
a
2
y dx
.
Аналогично, вокруг оси  0у.
V
y
d
 
c
2
x dy
.
Пример. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями
y

2
x
2
,
x

0,
y

2 2 ,
 вокруг оси  Oy .
b
r

у
y 
2 2

0
Рис. 12.
Находим
V
 
y
d

c
2
x dy

2 2

0
2
ydy

y
2 2
2
0
 
8
y 

2
x
2
x
11












description:
Тема занятия: Применение определенного интеграла к решению прикладных задач.
Закрепление материала по занятию №5.
 Найти площадь фигур ограниченных линиями:
.1
y

3
x

,
y

9x
2.y

sinx,
y

2sinx,
    x

0,
    x


7
4
.3
y

x
2

,
y

1
2
x
y
,

0,
    x

0,
    x

3
2
4.y

2
x
,1

y

1x
5.y

2
,x

y

2x,
y

x
6.y

x
2
2
x

,3

y

13x
12

intro:
Данная лекция по Теме: Определенный интеграл, методы его вычисления. Геометрический смысл определенного интеграла.
Цель занятия: Знать основные методы интегрирования; таблицу простейших интегралов; научиться интегрировать простейшие  определенные интегралы.
Разобраны пункты: определенный интеграл как предел интегральной суммы; геометрический и физический смыслы;  основные свойства; закрепление материала.

title: Лекция по математике на тему: Определенный интеграл