extracted_text:
Негосударственное образовательное
частное учреждение высшего образования
«Московский финансовопромышленный университет
 «Синергия»
Кафедра Высшей математики и естественнонаучных дисциплин
УТВЕРЖДАЮ
проректор по учебнометодической работе,
кандидат экономических наук
___________________
А.И. Васильев
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
ДИСЦИПЛИНЫ
«Линейная алгебра»
Направление подготовки: 38.03.01 Экономика
Профиль подготовки: Банковское дело
Квалификация выпускника: бакалавр
Форма обучения: очная
Обсуждено
на заседании кафедры
Высшей математики и естественнонаучных дисциплин
«31» августа 2017 г.
Протокол № 1
Составитель(и) программы:
Хамидуллин Р.Я. к.т.н., доцент, зав. кафедрой Ravgat@yandex.ru
Рейтер К.А. к.ф.н., доцент
Cyrill_reiter@mail.ru
Москва 2017
Содержание
I. Аннотация к дисциплине.............................................................................................................3
II. Планируемые результаты обучения..........................................................................................5
III. Тематический план....................................................................................................................7
V. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины................................11
В процессе преподавания данной дисциплины используются как классические методы
обучения (лекции, практические занятия), так и различные виды самостоятельной работы
обучающихся по заданию преподавателя, которые направлены на развитие творческих
качеств обучающихся и на поощрение их интеллектуальных инициатив................................12
VII. Перечень ресурсов информационнокоммуникационной сети «Интернет», необходимой
для освоения дисциплины............................................................................................................18
X. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации обучающихся по
дисциплине.....................................................................................................................................18
Контрольные вопросы для коллоквиума....................................................................................29
 Задание 3. Используя матрицы А и В, вычислить методом алгебраических дополнений и
методом ЖорданаГусса:..........................................................................................................37
Задание 4. Найти ранг матрицы двумя способами: методом окаймляющих миноров и при
помощи элементарных преобразований..................................................................................37
Задание 5. Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным способом.
После решения необходимо выполнить проверку..................................................................37
Задание 6. Решить системы уравнений методом ЖорданаГаусса. Если система является
неопределенной, то в ответ записать одно базисное решение и одно частное, не
являющееся базисным...............................................................................................................38
Задание 7. Найдите собственные значения и собственные вектора матриц: , .....................38
2 I. Аннотация к дисциплине
Рабочая   программа   дисциплины   «Линейная   алгебра»   составлена   в
соответствии с требованиями ФГОС ВО по направлению подготовки 38.03.01
«Экономика», утвержденным приказом Минобрнауки России от 12.11.2015г.
№ 1327.
Дисциплина   является   одной   из   важнейших   теоретических   и
  определяющих   уровень
прикладных
профессиональной подготовки современного бакалавра в области управления
различными социальноэкономическими процессами.
 математических   дисциплин,
Преподавание   дисциплины   состоит   в   том,   чтобы   на   примерах
математических  понятий   и   методов   продемонстрировать   сущность
научного   подхода,  специфику   раздела  математики линейной алгебры и её
роль как способ познания мира, общности её понятий и представлений для
решения   возникающих   проблемных   задач   в   процессе   профессиональной
деятельности.
Прочное   усвоение   современных   математических   методов   позволит
будущему   бакалавру   в   области   экономики,
  бухгалтерского   учета,
банковского дела и налогов и налогообложения  решать в своей повседневной
деятельности   актуальные   практические   задачи,   понимать   написанные   на
современном научном уровне результаты других исследований и тем самым
совершенствовать свои профессиональные навыки.
Место дисциплины в структуре ОП бакалавриата.
Настоящая   дисциплина   включена   в   учебные   планы   по   программам
подготовки   бакалавров   по   направлению   «Экономика»,   входит   в   базовую
(обязательную) часть математического и естественнонаучного цикла.
Требования   к   входным   знаниям   и   умениям   студента:  для   успешного
освоения данной дисциплины студент должен владеть знаниями, умениями  и
навыками, сформированными  школьной программной  знание элементарной
математики, алгебры, элементарных функций, умение дифференцировать.
3 Дисциплина «Линейная алгебра»  имеет логические и методологические
последующие   связи  с  дисциплинами   базовой   части     математического   и
профессионального циклов: Математический  анализ, Теория вероятностей  и
математическая   статистика,   Микроэкономика,   Макроэкономика,   Методы
оптимальных решений, Теория Игр, Эконометрика.
Цель и задачи дисциплины
Целью изучения дисциплины «Линейная алгебра» является создание у
студентов   базы   для   освоения   математических   дисциплин,   оперирующих
алгебраическими   понятиями,
  использующих
математические   модели   в   экономике,
  формирование   и   развитие
профессиональных навыков обучающихся.
  а   также   дисциплин,
Основной   задачей   изучения   данной   дисциплины   является   прочное
усвоение   студентами   теоретических   основ   линейной   алгебры,   обучение
использованию методов этой дисциплины в экономических исследованиях.
Задачи дисциплины:
 понимание математики как особого способа познания мира, общности ее
понятий и представлений;
 понимание   значения   математических   дисциплин,   их   месте   в   системе
фундаментальных наук и роли в решении прикладных задач;
 изучение   фундаментальных   разделов   математики   для   дальнейшего   их
применения в профессиональной деятельности;
 выработать у студентов навыки применения математического аппарата
при исследовании  различных экономических и управленческих задач;
 развитие умения составить план решения и реализовать его, используя
выбранные математические методы и модели;
 развитие   умения   анализа   и   практической   интерпретации   полученных
математических результатов;
 выработка умения пользоваться справочными материалами и пособиями,
самостоятельно   расширяя   математические   знания,   необходимые   для
решения прикладных задач.
4 II. Планируемые результаты обучения
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих
(профессиональных   (ПК)   компетенций,   предусмотренных   ФГОС   ВО   по
направлению подготовки 38.03.01 Экономика (уровень бакалавриата).
Формы и методы
обучения,
способствующие
формированию
и развитию
компетенции
Работа на
занятиях,
выполнение
домашних заданий,
самостоятельная
работа, текущий
контроль,
контрольные
работы
Работа на
занятиях,
выполнение
домашних заданий,
самостоятельная
работа, текущий
контроль,
контрольные
работы
Результаты освоения
ООП (содержание
компетенций)
Код
компетенции
Перечень планируемых результатов
обучения по дисциплине
Способность выбрать
инструментальные
средства для
обработки
экономических
данных в соответствии
с поставленной
задачей,
проанализировать
результаты расчетов и
обосновать
полученные выводы
Способность собрать
и проанализировать
исходные данные,
необходимые для
расчета
экономических и
социально
экономических
показателей,
характеризующих
деятельность
хозяйствующих
субъектов
Способность на
основе описания
экономических
процессов и явлений
строить стандартные
теоретические и
эконометрические
модели,
ОПК3
Знать (З):

основы
необходимые
экономических задач (З1).
линейной
для

алгебры,
решения
Уметь (У):

применять
  методы   линейной
алгебры   для   теоретического   и
экспериментального исследования и
решения экономических задач (У1).
Владеть (В):

навыками применения современного
математического   инструментария
для   решения   экономических   задач
(В1).
ПК1
Знать (З):

основы   теории   математического
моделирования,   необходимые   для
решения экономических задач (З2).
Уметь (У):


применять
математического
моделирования  для  теоретического
и экспериментального исследования
и   решения   экономических   задач
(У2).
Владеть (В):

навыками   математического   анализа
и   применения   математических
моделей   для   оценки   состояния,   и
прогноза   развития   экономических
явлений и процессов (В2).
ПК4
Знать (З):

основы
необходимые
экономических задач (З3).
линейной
для

алгебры,
решения
Уметь (У):

применять
  методы   линейной
алгебры   для   теоретического   и
экспериментального исследования и
5 Результаты освоения
ООП (содержание
компетенций)
Код
компетенции
Перечень планируемых результатов
обучения по дисциплине
Формы и методы
обучения,
способствующие
формированию
и развитию
компетенции
анализировать и
содержательно
интерпретировать
полученные
результаты
решения экономических задач (У3).
Владеть (В):

навыками применения современного
математического   инструментария
для   решения   экономических   задач
(В3).
6 Наименование тем

й
и
ц
н
е
т
е
п
м
о
к
х
ы
м
е
у
о
р
и
м
р
о
ф
ы
д
о
К

III. Тематический план
Виды учебной деятельности, включая
самостоятельную работу (в часах)
а Активные
и
и
ц
к
е
Л
Форма
ТКУ
Форма ПА
т
о
б
а
р

я
а
н
ь
л
е
т
я
о
т
с
о
м
а
С

занятия
ю
и
н
е
ш
е
р
ы
р
а
н
и
м
е
С

о
п
м
у
к
и
т
к
а
р
П
ч
а
д
а
з
Интерактивные занятия
г
н
и
н
е
р
т
а
р
г
и

я
а
к
с
е
ч
и
т
к
а
д
и
Д
с
с
а
л
к

р
е
т
с
а
М

м
у
к
и
т
к
а
р
п
й
ы
н
р
о
т
а
р
о
б
а
Л
)
и
и
д
а
т
с

с
й
е
к
(

й
ы
н
н
о
и
ц
а
у
т
и
С
Тема 2. Теория
определителей
Тема 1. Алгебра матриц ОПК3
(З1, У1,
В1)
ПК1
(З2, У2,
В2)
ПК4
(З3, У3,
В3)
ОПК3
(З1, У1,
В1)
ПК1
(З2, У2,
В2)
ПК4
(З3, У3,
В3)
ОПК3
(З1, У1,
В1)
ПК1
(З2, У2,
В2)
ПК4
(З3, У3,
В3)
ОПК3
(З1, У1,
В1)
ПК1
(З2, У2,
В2)
ПК4
Тема 3. Системы
линейных
алгебраических
уравнений (СЛАУ)
Тема 4. Векторные
пространства
Очная форма
4
6

8
8
4
8
6
6
4
8
8
4
7

Практикум
по решению
задач/5
Практикум
по решению
задач/5
Контрольная
работа по
темам
№1,2/15
Практикум
по решению
задач/5
Контрольная
работа по
теме № 3/15
Практикум
по решению
задач/5 Тема 5. Линейные
операторы
Тема 6. Квадратичные
формы
Тема 7. Применение
матричного   исчисления
к   решению   некоторых
экономических задач
(З3, У3,
В3)
ОПК3
(З1, У1,
В1)
ПК1
(З2, У2,
В2)
ПК4
(З3, У3,
В3)
ОПК3
(З1, У1,
В1)
ПК1
(З2, У2,
В2)
ПК4
(З3, У3,
В3)
ОПК3
(З1, У1,
В1)
ПК1
(З2, У2,
В2)
ПК4
(З3, У3,
В3)
2
4
2
4
4
6
4
4
4
Итого:
Экзамен
Общая трудоемкость
дисциплины (в часах)
38
32
38

36
144
Практикум
по решению
задач/5
Практикум
по решению
задач/5
Практикум
по решению
задач/5
Контрольная
работа по
темам №
4,7/15
Коллоквиум
по темам/20
 100 бал.
Экзамен
8 VI. Содержание учебной дисциплины
Тема 1. Алгебра матриц
Определение матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами и их
свойства: сложение, умножение на число, произведение, возведение в целую
неотрицательную степень, транспонирование.
Литература к теме 1
1. Асланов Р. М. , Ли О. В. , Мурадов Т. Р. Математический анализ:
учебное пособие для студентов высших учебных заведений. М.: Прометей,
2014. http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=426687&sr=1
2. Гулиян Б.Ш., Хамидуллин Р.Я. Математика. Базовый курс: учебник. –
М.: Маркет ДС, 2012, гл.1.
Интернетссылки:
1. http://scilib.com/mathematics
Тема 2. Теория определителей
Основные понятия. Вычисление определителей 13 порядка, правило
Саррюса, вычисление определителей nго порядка. Свойства определителей.
Понятие минора, алгебраического дополнения. Вычисление определителей
путем разложения определителей по элементам некоторой строки или
некоторого столбца. Формулы разложения.
Миноры и алгебраические дополнения. Обратная матрица,  методы  ее
вычисления. Матричные уравнения. Ранг матрицы. Метод окаймляющих
миноров для нахождения ранга матрицы. Метод Гаусса. Метод
присоединенной матрицы для вычисления обратной матрицы. Линейная
зависимость и независимость строк матрицы.
Литература к теме 2
1. Асланов Р. М. , Ли О. В. , Мурадов Т. Р. Математический анализ:
учебное пособие для студентов высших учебных заведений. М.: Прометей,
2014. http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=426687&sr=1
2. Гулиян Б.Ш., Хамидуллин Р.Я. Математика. Базовый курс: учебник. –
М.: Маркет ДС, 2012, гл.1.
Интернетссылки:
1. http://scilib.com/mathematics
Тема 3. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Общая теория систем линейных уравнений. Основные понятия и
определения: СЛАУ, решение СЛАУ, совместная, несовместная,
9 определенная, неопределенная СЛАУ, элементарные преобразования.
Матричная форма СЛАУ. Теорема КронекераКапелли. Методы решения
системы n линейных уравнений с n неизвестными. Метод обратной матрицы.
Метод Крамера. Метод Гаусса. Метод ЖорданаГаусса. Структура общего
решения неоднородной системы. Однородные системы линейных уравнений.
Структура общего решения однородной системы.
Литература к теме 3
1. Асланов Р. М. , Ли О. В. , Мурадов Т. Р. Математический анализ:
учебное пособие для студентов высших учебных заведений. М.: Прометей,
2014. http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=426687&sr=1
2. Гулиян Б.Ш., Хамидуллин Р.Я. Математика. Базовый курс: учебник. –
М.: Маркет ДС, 2012, гл.14.
Интернетссылки:
1. http://scilib.com/mathematics
Тема 4. Векторные пространства
Понятие векторного пространства. Линейная зависимость и
независимость векторов. Базис nмерного векторного пространства. Переход
к новому базису. Преобразование координат вектора при изменении базиса.
Евклидово пространство. Ортогональные преобразования.
Литература к теме 4
1. Асланов Р. М. , Ли О. В. , Мурадов Т. Р. Математический анализ:
учебное пособие для студентов высших учебных заведений. М.: Прометей,
2014. http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=426687&sr=1
2. Гулиян Б.Ш., Хамидуллин Р.Я. Математика. Базовый курс: учебник. –
М.: Маркет ДС, 2012, гл.4.
Интернетссылки:
1. http://scilib.com/mathematics
Тема 5. Линейные операторы
Линейные операторы. Действия с линейными операторами.
Изменение линейного оператора при переходе к новому базису.
Характеристический многочлен и характеристическое уравнение.
Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы).
Литература к теме 5
1. Асланов Р. М. , Ли О. В. , Мурадов Т. Р. Математический анализ:
учебное пособие для студентов высших учебных заведений. М.: Прометей,
10 2014. http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=426687&sr=1
2. Гулиян Б.Ш., Хамидуллин Р.Я. Математика. Базовый курс: учебник. –
М.: Маркет ДС, 2012, гл.5.
Интернетссылки:
1. http://scilib.com/mathematics
Тема 6. Квадратичные формы
Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к
каноническому виду. Положительно определенные квадратичные формы.
Критерий Сильвестра.
Литература к теме 6
1. Асланов Р. М. , Ли О. В. , Мурадов Т. Р. Математический анализ:
учебное пособие для студентов высших учебных заведений. М.: Прометей,
2014. http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=426687&sr=1
2. Гулиян Б.Ш., Хамидуллин Р.Я. Математика. Базовый курс: учебник. –
М.: Маркет ДС, 2012, гл.7.
Интернетссылки:
1. http://scilib.com/mathematics
Тема 7. Применение матричного исчисления к решению некоторых
экономических задач
Линейные модели. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.
Линейная модель обмена (модель международной торговли). Применение
методов линейной алгебры при исследовании и решении экономических
задач.
Литература к теме 7
1. Асланов Р. М. , Ли О. В. , Мурадов Т. Р. Математический анализ:
учебное пособие для студентов высших учебных заведений. М.: Прометей,
2014. http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=426687&sr=1
2. Гулиян Б.Ш., Хамидуллин Р.Я. Математика. Базовый курс: учебник. –
М.: Маркет ДС, 2012, гл.7.
Интернетссылки:
1. http://scilib.com/mathematics
V. Методические указания для обучающихся
по освоению дисциплины
11 В процессе преподавания данной дисциплины используются как
классические методы обучения (лекции, практические занятия), так и
различные виды самостоятельной работы обучающихся по заданию
преподавателя, которые направлены на развитие творческих качеств
обучающихся и на поощрение их интеллектуальных инициатив.
Обучение   по   данной   учебной   дисциплине     предполагает   следующие
формы занятий:
 аудиторные  занятия  (лекции, практические  занятия)  под  руководством
преподавателя,
 обязательная   самостоятельная   работа   обучающегося   по   заданию
преподавателя,   выполняемая   во   внеаудиторное   время,   в   том   числе   с
использованием технических средств обучения,
 индивидуальная   самостоятельная   работа   обучающегося   под
руководством преподавателя,
 индивидуальные консультации.
Методические   указания   для   обучающихся   при   работе   над
конспектом лекций во время проведения лекции
Лекция   –   систематическое,
  монологическое
изложение преподавателем учебного материала, как правило, теоретического
характера.
  последовательное,
В   процессе   лекций   рекомендуется   вести   конспект,   что   позволит
впоследствии вспомнить изученный учебный материал, дополнить содержание
при самостоятельной работе с литературой, подготовиться к экзамену.
Следует   также   обращать   внимание   на   категории,   формулировки,
раскрывающие   содержание   тех   или   иных   явлений   и   процессов,   научные
выводы   и   практические   рекомендации,   положительный   опыт   в   ораторском
искусстве.   Желательно   оставить   в   рабочих   конспектах   поля,   на   которых
делать   пометки   из   рекомендованной   литературы,   дополняющие   материал
прослушанной   лекции,   а   также   подчеркивающие   особую   важность   тех   или
иных теоретических положений.
Любая   лекция   должна   иметь   логическое   завершение,   роль   которого
выполняет   заключение.   Выводы   по   лекции   подытоживают   размышления
преподавателя   по   учебным   вопросам.   Формулируются   они   кратко   и
лаконично, их целесообразно записывать. В конце лекции обучающиеся имеют
возможность задать вопросы преподавателю по теме лекции.
Методические   указания   для   обучающихся   по   выполнению
практикумов по решению задач
Практикум   по   решению   задач   –   выполнение   обучающимися   набора
практических   задач   предметной   области   с   целью   выработки   навыков   их
12 решения.
Практикумы по решению задач выполняются в соответствии с рабочим
учебным планом при последовательном изучении тем дисциплины.
Прежде чем приступать к решению задач, обучающемуся необходимо:
 ознакомиться с соответствующими разделами программы дисциплины  по
учебной литературе, рекомендованной программой курса;
 получить от преподавателя  информацию о порядке проведения занятия,
критериях оценки результатов работы;
 получить от преподавателя конкретное задание и информацию о сроках
выполнения,  о   требованиях   к   оформлению   и   форме   представления
результатов.
При выполнении задания необходимо привести развёрнутые пояснения
хода решения и проанализировать полученные результаты.
При необходимости обучающиеся имеют возможность задать вопросы
преподавателю по трудностям, возникшим при решении задач.
Методические   рекомендации   для   обучающихся   по   выполнению
домашних контрольных работ
В соответствие с учебным планом каждый студент должен выполнить
контрольные работы  по дисциплине. Задачи контрольной работы выдаются
преподавателем индивидуально по вариантам.
Правила:
 работа должна быть сдана за 10 дней до мероприятий промежуточной
аттестации;
 студент обязан выполнять контрольные  работы только своего варианта.
Контрольные работы следует выполнять в отдельной для каждой работы
ученической тетради, оставляя поля для замечаний преподавателя.
Рекомендуется оставлять в конце тетради несколько чистых страниц для
исправлений и дополнений в соответствии с указаниями преподавателя.
На обложке тетради студент должен указать форму обучения,
направление, профиль, курс, номер группы, свою фамилию, имя, отчество,
номер работы, номер зачетной книжки, номер варианта;  ученую степень
(звание) фамилию, имя, отчество преподавателя.
В конце работы необходимо привести список.
Перед решением задачи каждого задания нужно полностью выписать ее
условие. Если несколько задач имеют общую формулировку, переписывать
следует только условие задачи  нужного варианта. Решение каждой задачи
студент должен сопровождать подробными объяснениями и ссылками на
соответствующие формулы, теоремы и правила. Вычисления должны быть
доведены до конечного числового результата.  Ответы и выводы, полученные
при решении задач, следует подчеркнуть.
13 В случае  возвращения работы на доработку,  следует переделать те
задачи, на которые указывает преподаватель, а при отсутствии такого
указания вся контрольная работа должна быть выполнена заново.
Переделанная работа сдается на повторную проверку обязательно с не
зачтенной ранее работой.
В случае возникновения затруднений студент может обратиться к
преподавателю или на кафедру.
Методические   указания   для   обучающихся   по   организации
самостоятельной работы
Самостоятельная работа обучающихся направлена на самостоятельное
изучение отдельных тем/вопросов учебной дисциплины.
Самостоятельная   работа   является   обязательной   для   каждого
обучающегося, ее объем по дисциплине  определяется учебным планом.
При   самостоятельной   работе   обучающиеся   взаимодействуют   с
рекомендованными материалами при минимальном участии преподавателя.
Работа с литературой
Самостоятельная работа с учебниками, учебными пособиями, научной,
справочной и популярной литературой, материалами периодических изданий и
Интернета,   статистическими   данными   является   наиболее   эффективным
методом   получения   знаний,   позволяет   значительно   активизировать   процесс
овладения информацией, способствует более глубокому усвоению изучаемого
материала,   формирует   у   обучающихся   свое   отношение   к   конкретной
проблеме.
Изучая   материал   по   учебной   книге   (учебнику,   учебному   пособию,
монографии, и др.), следует переходить к следующему вопросу только после
полного уяснения предыдущего, фиксируя выводы и вычисления, в том числе
те, которые в учебнике опущены или на лекции даны для самостоятельного
вывода.
Особое   внимание   обучающийся   должен   обратить   на   определение
основных   понятий   курса.   Надо   подробно   разбирать   примеры,   которые
поясняют определения. Полезно составлять опорные конспекты.
Выводы,   полученные   в   результате   изучения   учебной   литературы,
рекомендуется в конспекте выделять, чтобы при перечитывании материала
они лучше запоминались.
При самостоятельном решении задач нужно обосновывать каждый этап
решения, исходя из теоретических положений курса.
Вопросы,   которые   вызывают   у   обучающегося   затруднение   при
подготовке,   должны   быть   заранее   сформулированы   и   озвучены   во   время
занятий в аудитории для дополнительного разъяснения преподавателем.
Самопроверка
14 После изучения определенной темы по записям конспекта и учебнику,
решения соответствующих задач на практических занятиях и самостоятельно,
обучающемуся   рекомендуется,
  используя   лист   опорных   сигналов,
воспроизвести   по   памяти   определения,   выводы   формул,   формулировки
основных положений и доказательств.
В   случае   необходимости   нужно   еще   раз   разобраться   в   материале.
Помните,   недостаточность   усвоения   того   или   иного   вопроса   выясняется
только при изучении дальнейшего материала. Если это имеет место быть, надо
вернуться назад и повторить плохо усвоенный материал. Важный критерий
усвоения   теоретического   материала      умение   решать   задачи   или   пройти
тестирование по пройденному материалу.
Консультации
Если в процессе самостоятельной работы над изучением теоретического
материала   или   при   решении   задач   возникают   вопросы,   разрешить   которые
самостоятельно   не   удается,   необходимо   обратиться   к   преподавателю   для
получения у него разъяснений или указаний. В своих вопросах надо четко
выразить,   в   чем   испытываете   затруднения,   характер   этого   затруднения.   За
консультацией  следует обращаться и в случае, если  возникнут сомнения в
правильности ответов на вопросы самопроверки.
Подготовка к экзаменам/зачетам
Подготовка к экзамену/зачету  способствует закреплению, углублению и
обобщению знаний, получаемых, в процессе обучения, а также применению их
к   решению   практических   задач.   В   процессе   подготовки   к   экзамену/зачету,
ликвидируются   имеющиеся   пробелы   в
  углубляются,
систематизируются   и   упорядочиваются   знания.
  На   экзамене/зачете
демонстрируются знания, приобретенные в процессе обучения по конкретной
учебной дисциплине.
знаниях,
Методические указания для обучающихся по подготовке и выполнению
теста.
Тестирование   позволяет   путем   поиска   правильного   ответа   и   разбора
допущенных ошибок лучше усвоить тот или иной материал.
Тестовые задания позволяют оценить знания студентов по всему курсу.
Данные тесты могут использоваться:
 студентами при подготовке к зачету в форме самопроверки знаний;
 преподавателями для проверки знаний в качестве формы промежуточного
контроля на семинарских занятиях;
 для проверки остаточных знаний студентов, изучивших данный курс.
Тестовые   задания   рассчитаны   на   самостоятельную   работу   без
использования вспомогательных материалов. То есть при их выполнении не
следует пользоваться учебниками или конспектами лекций и т.д.
15 Для выполнения тестового задания, прежде всего, следует внимательно
прочитать   поставленный   вопрос.   После   ознакомления   с   вопросом   следует
приступать   к   прочтению   предлагаемых   вариантов   ответа.   Необходимо
прочитать все варианты и в качестве ответа следует выбрать лишь один индекс
(цифровое   обозначение),   соответствующий   правильному   ответу.   Тесты
составлены таким образом, что в каждом из них правильным является лишь
один из вариантов. Выбор должен быть сделан в пользу наиболее правильного
ответа.
На   выполнение   теста   отводится   ограниченное   время.   Оно   может
варьироваться   в   зависимости   от   уровня   тестируемых,   сложности   и   объема
теста.   Как   правило,   время   выполнения   тестового   задания   определяется   из
расчета 3045 секунд на один вопрос.
Критерии   оценки   выполненных   студентами   тестов   определяются
преподавателем самостоятельно. Рекомендуются следующие критерии оценки:
85% – 100% правильных ответов – «отлично»;
66% – 84% правильных ответов – «хорошо»;
50% – 65% правильных ответов – «удовлетворительно»;
менее 50% правильных ответов – «неудовлетворительно».
При   подведении   итогов   по   выполненной   работе   необходимо
проанализировать   допущенные   ошибки,   прокомментировать   имеющиеся   в
тестах неправильные ответы.
Перечень учебнометодического обеспечения для самостоятельной
работы обучающихся по дисциплине
Наименование
темы
1
Тема 1.
Алгебра матриц
Тема 2.
Теория
определителей
Дидактические
единицы,
вынесенные на
самостоятельное
изучение
Формы
самост.
работы
Учебно
методическо
е
обеспечение
Форма контроля
2
4
5
6
Возведение в целую
неотрицательную
степень.
Написание
конспекта
Литература к
теме 1
Матричные
уравнения.
Написание
конспекта
Литература к
теме 2
Конспект
Проверка домашних
заданий.
Конспект
Проверка домашних
заданий.
Тема 3.
Системы
линейных
алгебраических
Однородные
системы линейных
уравнений.
Структура общего
Написание
конспекта.
Литература к
теме 3
Конспект.
Проверка домашних
заданий.
16 Дидактические
единицы,
вынесенные на
самостоятельное
изучение
2
решения
однородной
системы.
Формы
самост.
работы
Учебно
методическо
е
обеспечение
Форма контроля
4
5
6
Ортогональные
преобразования
Написание
конспекта
Литература к
теме 4
Написание
конспекта
Литература к
теме 5
Конспект
Проверка домашних
заданий.
Конспект
Проверка домашних
заданий.
Написание
конспекта
Литература к
теме 6
Написание
конспекта
Литература к
теме 7
Конспект
Проверка домашних
заданий.
Конспект
Проверка домашних
заданий.
Собственные
векторы и
собственные
значения линейного
оператора
(матрицы).
Критерий
Сильвестра.
Линейная модель
обмена (модель
международной
торговли).
Наименование
темы
1
уравнений
(СЛАУ)
Тема 4.
Векторные
пространства
Тема 5.
Линейные
операторы
Тема 6.
Квадратичные
формы
Тема 7.
Применение
матричного
исчисления к
решению
некоторых
экономических
задач
Основная литература:
1. Асланов Р. М. , Ли О. В. , Мурадов Т. Р. Математический анализ:
учебное пособие для студентов высших учебных заведений. М.: Прометей,
2014. http://biblioclub.ru/index.php?page=book_red&id=426687&sr=1
2. Гулиян Б.Ш., Хамидуллин Р.Я. Математика. Базовый курс: учебник. –
М.: Маркет ДС, 2011.
Дополнительная литература:
1. Архипов   Г.И.,   Садовничий   В.А.,   Чубариков   В.Н.   Лекции   по
математическому анализу. – М.: Высшая школа, 2004.
2. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник
задач по математическому анализу. Интегралы. Ряды. – М.: Наука, 2006.
3. Ильин В. А. Позняк Э. Г. Основы математического анализа. – М.: 2004.
17 4. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. –
М.: Наука, 2008.
5. Высшая математика для экономистов. Под редакцией профессора Н.
Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2008.
VII. Перечень ресурсов информационнокоммуникационной сети
«Интернет», необходимой для освоения дисциплины
№
1.
2.
3.
4.
5.
Наименование портала
(издания, курса, документа)
Новости математики
Национальный Открытый университет
Российское образование. Федеральный портал
Единый портал интернеттестирования в сфере
образования
Национальный исследовательский университет
Ссылка
http://scilib.com/mathematics/
http
 ://   www
http://www.

http://www.iexam.ru/
 .  intuit

 edu
 .  ru   /
 .ru/
https://math.hse.ru/news/
VIII. Описание материальнотехнической базы, необходимой для
осуществления образовательного процесса по дисциплине
Требования к аудиториям (помещениям) для проведения занятий:
 лекционные аудитории с компьютерным и видеопроекционным
оборудованием для презентаций с выходом в Интернет;
 компьютерный класс с установленным программным обеспечением.
Демонстрационный материал: Слайды согласно тематическому плану
занятий.
IX. Перечень информационных технологий, используемых при
осуществлении образовательного процесса по дисциплине
 Microsoft Office;
 Система дистанционного обучения eeducation.
X. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
обучающихся по дисциплине
Промежуточная   аттестация   по   дисциплине  «Математический   анализ»
проводится в форме экзамена.
Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе
освоения образовательной программы
18 Компетенция
Начальный этап
Основной этап
Завершающий этап
ОПК3 Способность
выбрать
инструментальные
средства для
обработки
экономических данных
в соответствии с
поставленной задачей,
проанализировать
результаты расчетов и
обосновать
полученные выводы
Линейная алгебра
Математический
анализ
Теория вероятностей
и математическая
статистика
Статистика
Деньги, кредит, банки
Рынок ценных бумаг
ПК1 Способность
собрать и
проанализировать
исходные данные,
необходимые для
расчета
экономических и
социально
экономических
показателей,
характеризующих
деятельность
хозяйствующих
субъектов
ПК4 Способность на
основе описания
экономических
процессов и явлений
строить стандартные
теоретические и
эконометрические
модели, анализировать
и содержательно
интерпретировать
полученные
результаты
Линейная алгебра
Финансовая
математика
Математический
анализ
Теория
вероятностей и
математическая
статистика
Микроэкономика
Макроэкономика
Линейная алгебра
Математический
анализ
Теория вероятностей
и математическая
статистика
Теория игр
Международные
валютнокредитные и
финансовые
отношения
Комплексный
экономический анализ
хозяйственной
деятельности
Финансовый анализ
Методы оптимальных
решений
Практика по
получению
профессиональных
умений и опыта
профессиональной
деятельности**
Теория игр
Корпоративные
финансы
Теория отраслевых
рынков
Банковское дело
Национальная
экономика
Практика по
получению первичных
профессиональных
умений и навыков, в
том числе первичных
умений и навыков
научно
исследовательской
деятельности**
Теория игр
Практика по
получению первичных
профессиональных
умений и навыков, в
том числе первичных
умений и навыков
научно
исследовательской
деятельности**
Валютные операции
банка
Технологическая
практика**
Преддипломная
практика**
Выпускная
квалификационная
работа***
Финансовые кризисы
Антикризисное
управление
Практика по получению
профессиональных
умений и опыта
профессиональной
деятельности**
Технологическая
практика**
Преддипломная
практика**
Выпускная
квалификационная
работа***
Макроэкономическое
планирование и
прогнозирование
Эконометрика
Финансовый анализ
Выпускная
квалификационная
работа***
Показатели и критерии оценивания на различных этапах
формирования компетенций
19 В   отношении   компетенции
 «Способность   выбрать
инструментальные   средства   для   обработки   экономических   данных   в
соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов
и обосновать полученные выводы».
 ОПК3
Показатель
оценивания
Пороговый
(удовлетворительно)
Перечень
планируемых
результатов
обучения по
дисциплине
Знать (З):

основы линейной
алгебры,
необходимые для
решения
экономических
задач (З1).
Критерий оценивания
Этап
формирования
Знает:
основы линейной алгебры,
необходимые для решения
экономических задач.
Начальный
Начальный
Знает:
основы линейной алгебры,
необходимые для решения
экономических задач.
Умеет:
применять методы
линейной алгебры для
теоретического и
экспериментального
исследования и решения
экономических задач.
Базовый
(хорошо)
Высокий
(отлично)
Знать (З):

основы линейной
алгебры,
необходимые для
решения
экономических
задач (З1).
Уметь (У):

применять методы
линейной алгебры
для теоретического
и
экспериментальног
о исследования и
решения
экономических
задач (У1).
Начальный
Знать (З):

основы линейной
алгебры,
необходимые для
решения
экономических
задач (З1).
Уметь (У):

применять методы
линейной алгебры
для теоретического
и
экспериментальног
о исследования и
решения
Знает:
основы линейной алгебры,
необходимые для решения
экономических задач.
Умеет:
применять методы
линейной алгебры для
теоретического и
экспериментального
исследования и решения
экономических задач.
Владеет:
навыками применения
современного
математического
инструментария для
20 Критерий оценивания
Этап
формирования
решения экономических
задач.
Показатель
оценивания
Перечень
планируемых
результатов
обучения по
дисциплине
экономических
задач (У1).
Владеть (В):

навыками
применения
современного
математического
инструментария
для решения
экономических
задач (В1).
В   отношении   компетенции
 собрать   и
проанализировать исходные данные, необходимые для расчета экономических
и   социальноэкономических   показателей,   характеризующих   деятельность
хозяйствующих».
«Способность
 ПК1
Показатель
оценивания
Пороговый
(удовлетворительно)
Перечень
планируемых
результатов
обучения по
дисциплине
Знать (З):

основы теории
математического
моделирования,
необходимые для
решения
экономических
задач (З2).
Базовый
(хорошо)
Знать (З):

основы теории
математического
моделирования,
необходимые для
решения
экономических
задач (З2).
Уметь (У):

применять
математического
моделирования для
теоретического и
21
Критерий оценивания
Этап
формирования
Начальный
Начальный
Знает:
основы теории
математического
моделирования,
необходимые для решения
экономических задач.
Знает:
основы теории
математического
моделирования,
необходимые для решения
экономических задач.
Умеет:
применять
математического
моделирования для
теоретического и
экспериментального
исследования и решения Показатель
оценивания
Высокий
(отлично)
Критерий оценивания
Этап
формирования
Начальный
экономических задач.
Знает:
основы теории
математического
моделирования,
необходимые для решения
экономических задач.
Умеет:
применять
математического
моделирования для
теоретического и
экспериментального
исследования и решения
экономических задач.
Владеет:
навыками математического
анализа и применения
математических моделей
для оценки состояния, и
прогноза развития
экономических явлений и
процессов.
Перечень
планируемых
результатов
обучения по
дисциплине
экспериментальног
о исследования и
решения
экономических
задач (У2).
Знать (З):

основы теории
математического
моделирования,
необходимые для
решения
экономических
задач (З2).
Уметь (У):

применять
математического
моделирования для
теоретического и
экспериментальног
о исследования и
решения
экономических
задач (У2).
Владеть (В):

навыками
математического
анализа и
применения
математических
моделей для оценки
состояния, и
прогноза развития
экономических
явлений и
процессов (В2).
В   отношении   компетенции  ПК4  «Способность  на   основе   описания
экономических   процессов   и   явлений   строить   стандартные   теоретические   и
эконометрические модели, анализировать и содержательно интерпретировать
полученные результаты».
22 Показатель
оценивания
Пороговый
(удовлетворительно)
Перечень
планируемых
результатов
обучения по
дисциплине
Знать (З):

основы теории
математического
моделирования,
необходимые для
решения
экономических
задач (З2).
Базовый
(хорошо)
Высокий
(отлично)
Знать (З):

основы теории
математического
моделирования,
необходимые для
решения
экономических
задач (З2).
Уметь (У):

применять
математического
моделирования для
теоретического и
экспериментальног
о исследования и
решения
экономических
задач (У2).
Знать (З):

основы теории
математического
моделирования,
необходимые для
решения
экономических
задач (З2).
Уметь (У):

применять
математического
моделирования для
теоретического и
экспериментальног
о исследования и
решения
экономических
задач (У2).
Владеть (В):

навыками
23
Критерий оценивания
Этап
формирования
Начальный
Начальный
Начальный
Знает:
основы теории
математического
моделирования,
необходимые для решения
экономических задач.
Знает:
основы теории
математического
моделирования,
необходимые для решения
экономических задач.
Умеет:
применять
математического
моделирования для
теоретического и
экспериментального
исследования и решения
экономических задач.
Знает:
основы теории
математического
моделирования,
необходимые для решения
экономических задач.
Умеет:
применять
математического
моделирования для
теоретического и
экспериментального
исследования и решения
экономических задач.
Владеет:
навыками математического
анализа и применения
математических моделей
для оценки состояния, и
прогноза развития
экономических явлений и Критерий оценивания
Этап
формирования
процессов.
Показатель
оценивания
Перечень
планируемых
результатов
обучения по
дисциплине
математического
анализа и
применения
математических
моделей для оценки
состояния, и
прогноза развития
экономических
явлений и
процессов (В2).
Описание показателей и критериев оценивания компетенций на
различных этапах их формирования, описание шкал оценивания
№
п/п
Наименование
оценочного
средства
Краткая
характеристика
оценочного
средства
Шкала оценки, балл
Критерии
оценивания
компетенции
Текущий контроль успеваемости
1.
Тестовые задания
2.
Дидактическая игра
3.
Эссе, конспект
Тест состоит из 20
заданий с одним или
несколькими
вариантами
правильного ответа
Включение
обучающихся в процесс
нахождения путей
оптимального решения
поставленной задачи в
соответствии с
выбранной или
назначенной ролью
Умение обучающегося
письменно излагать
суть поставленной
проблемы,
самостоятельно
проводить анализ этой
24
ОПК3
(З1; У1; В1)
ПК1
(З2; У2; В2)
ПК4
(З3; У3; В3)
ОПК3
(З1; У1; В1)
ПК1
(З2; У2; В2)
ПК4
(З3; У3; В3)
«67» – верные ответы
составляют более
90% от общего
количества;
«45» – верные ответы
составляют более
80% от общего
количества;
«13» – более 50%
правильных ответов
«10» – активное участие в
процессе в заранее
определенной роли,
выступление логично
и аргументировано;
«5» –   участие в процессе в
определенной роли,
выступление в
основном логично,
недостаточная
аргументация
«57» – грамотное
использование
историкоправовой
терминологии,
свободное изложение
рассматриваемой
проблемы, логичность
ОПК3
(З1; У1; В1)
ПК1
(З2; У2; В2)
ПК4
(З3; У3; В3) «34» – грамотное
и обоснованность
выводов;
использование
историкоправовой
терминологии,
частично верные
суждения в рамках
рассматриваемой
темы, выводы
недостаточно
обоснованы;
«12» – грамотное
проблемы с
использованием
методологического
инструментария
дисциплины, делать
выводы, обобщающие
авторскую позицию по
поставленной проблеме
4.
Доклад,
сообщение
Самостоятельная
работа обучающегося,
представляющая собой
публичное выступление
по представлению
полученных
результатов изучения
темы
«64» – доклад выполнен в
ОПК3
(З1; У1; В1)
ПК1
(З2; У2; В2)
ПК4
(З3; У3; В3)
использование
философской
терминологии,
способность видения
существующей
проблемы,
необоснованность
выводов, неполнота
аргументации
собственной точки
зрения
соответствии с
заявленной темой,
презентация легко
читаема и ясна для
понимания, грамотное
использование
философской
терминологии,
свободное изложение
рассматриваемых
проблем, докладчик
правильно ответил на
все вопросы в ходе
дискуссии;
оформление либо
отсутствие
презентации,
грамотное
использование
философской
терминологии, в
основном свободное
изложение
рассматриваемых
проблем, докладчик
частично правильно
ответил на все
вопросы в ходе
дискуссии
«31» – некорректное
5.
Семинар
Дискуссия
Включение
обучающихся в процесс
обсуждения спорного
вопроса, проблемы
«2» –   активное участие в
дискуссии,
обсуждение 2 и более
выступлений, точка
зрения
ОПК3
(З1; У1; В1)
ПК1
(З2; У2; В2)
ПК4
25 (З3; У3; В3)
ОПК3
(З1; У1; В1)
ПК1
(З2; У2; В2)
ПК4
(З3; У3; В3)
ОПК3
(З1; У1; В1)
ПК1
(З2; У2; В2)
ПК4
(З3; У3; В3)
аргументирована и
обоснована;
«1» –   обсуждение 1
выступления, ответы
построены в основном
логично,
недостаточная
аргументация
«6» –   верные ответы
составляют более
90% от общего
количества;
6.
Контрольная работа Два вопроса, при ответе
на которые необходимо
аргументировать выбор
ответа, и задача
«53» – верные ответы
составляют 8050%
от общего
количества;
«30» – менее 50%
правильных ответов.
7.
Составление
таблицы
Продукт
самостоятельной
работы студента,
который представляет
из себя обобщённое,
формализованное
знание, полученное при
самостоятельном
изучении заданной
темы, когда ход
выполнения анализа
изучаемого
исторического
материала, с
определением
категорий сравнения,
сопоставления,
оформляется виде
таблицы.
«3» – логичное изложение, без
пропусков, основных идей
исторического материала,
заданного для
самостоятельного
ознакомления и изучения.
Корректные категории
сравнения, сопоставления.
Грамотное оформление
таблицы.
«21» – не вполне логичное
изложение, с единичными
пропусками, основных
идей исторического
материала, заданного для
самостоятельного
ознакомления и изучения.
Не вполне корректные
категории сравнения, не
вполне корректное
сопоставление. В
оформлении таблицы есть
недочёты.
«0» – не логичное изложение,
с пропусками, основных
идей исторического
материала, заданного для
самостоятельного
ознакомления и изучения.
Не корректные категории
сравнения, не корректное
сопоставление. В
оформлении таблицы есть
ошибки.
26 8.
Составление схемы
9.
Конспект
Продукт
самостоятельной
работы студента,
который представляет
из себя обобщённое,
формализованное
знание, полученное при
самостоятельном
изучении заданной
темы, когда ход
выполнения анализа
изучаемого
исторического
материала
оформляется виде
схемы.
Продукт
самостоятельной
работы студента,
представляющий собой
краткое логичное
изложение в
письменном виде
основных идей
исторического
материала, заданного
для самостоятельного
ознакомления и
изучения.
ОПК3
(З1; У1; В1)
ПК1
(З2; У2; В2)
ПК4
(З3; У3; В3)
ОПК3
(З1; У1; В1)
ПК1
(З2; У2; В2)
ПК4
(З3; У3; В3)
 «2» – логичное изложение,
без пропусков, основных
идей исторического
материала, заданного для
самостоятельного
ознакомления и изучения.
«1» – не вполне логичное
изложение, с единичными
пропусками, основных
идей исторического
материала, заданного для
самостоятельного
ознакомления и изучения.
«0» – не логичное изложение,
с пропусками, основных
идей исторического
материала, заданного для
самостоятельного
ознакомления и изучения
«2» – грамотное, логически
стройное изложение, без
пропусков, основных идей
исторического материала,
заданного для
самостоятельного
ознакомления и изучения.
Материал представляет
единое логическое целое.
«1» – грамотное, не вполне
логически стройное
изложение, с единичными
пропусками, основных
идей исторического
материала, заданного для
самостоятельного
ознакомления и изучения.
«0» – не грамотное,
нелогичное изложение, с
пропусками, основных
идей исторического
материала, заданного для
самостоятельного
ознакомления и изучения.
Материал не представляет
единое логическое целое.
Методические материалы, определяющие процедуры оценивания
27 знаний, умений, навыков и(или) опыта деятельности,
характеризующих этапы формирования компетенций в процессе
освоения образовательной программы1
№
1
Форма
контроля/ коды
оцениваемых
компетенций
Экзамен
ОПК3, ПК1,
ПК4
Процедура оценивания
Шкала и критерии оценки, балл
Выполнение обучающимся заданий
оценивается по следующей балльной
шкале:
1:030;
2:030;
3:040.
«5» – 90100 (отлично) – ответ
правильный, логически выстроен,
приведены необходимые формулы,
использована профессиональная
лексика.
Задача решена правильно.
Обучающийся правильно
интерпретирует полученный
результат.
«4» – 7089 (хорошо) – ответ в целом
правильный, логически выстроен,
приведены необходимые формулы,
использована профессиональная
лексика. Ход решения задачи
правильный, ответ неверный.
Обучающийся в целом правильно
интерпретирует полученный
результат.
«3» – 5069 (удовлетворительно) –
ответ в основном правильный,
логически выстроен, приведены не
все необходимые формулы,
использована профессиональная
лексика.
Задача решена частично.
«2» – Менее 50
(неудовлетворительно) – ответы на
теоретическую часть неправильные
или неполные. Задача не решена
Экзамен представляет
собой выполнение
обучающимся заданий
билета, включающего в
себя:
Задание №1 –
теоретический вопрос на
знание базовых понятий
предметной области
дисциплины (курса), а
также позволяющий
оценить степень владения
обучающимся принципами
предметной области
дисциплины (курса),
понимание их
особенностей и
взаимосвязи между ними;
Задание №2 – задание на
анализ ситуации из
предметной области
дисциплины (курса) и
выявление способности
обучающегося выбирать и
применять
соответствующие
принципы и методы
решения практических
проблем, близких к
профессиональной
деятельности;
Задание №3 – задание на
проверку умений и
навыков, полученных в
результате освоения
дисциплины (курса).
результате освоения
дисциплины (курса)
1 Положение о текущем контроле успеваемости и промежуточной аттестации обучающихся по программам
бакалавриата, программам специалитета и программа магистратуры в  НОУ МФПУ «Синергия»
28 (решение задачи).
Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для
процедуры оценивания знаний, умений, навыков и(или) опыта
деятельности, характеризующих этапы формирования компетенций в
процессе освоения образовательной программы2
Контрольные вопросы для коллоквиума
1. Что называется матрицей? Перечислите виды матриц.
2. Какую роль в линейной алгебре играют единичная и нулевая матрицы?
3. Какая матрица называется диагональной?
4. Дайте определение квадратной матрицы.
5. Какая матрица называется транспонированной по отношению к данной?
6. Для каких матриц определена операция сложения?
7. Перечислите основные свойства сложения матриц.
8. Какие матрицы называются коммутирующими между собой?
9. Для каких матриц определена операция умножения?
10.Перечислите   основные   свойства   умножения   матриц.Для   каких   матриц
применимо понятие определителя?
11.Что понимается под определителем?
12.Сформулируйте определение определителя  второго и третьего порядков.
13.Проиллюстрируйте правило треугольников.
14.Что называется минором  данного элемента  определителя?
15.Что   называется   алгебраическим   дополнением   данного   элемента
определителя?
16.Какая   связь   между   минором   и   алгебраическим   дополнением   данного
элемента определителя?
17.Сформулируйте   основные   свойства   определителей   и   проверьте   их   для
определителей второго порядка.
18.В   чем   заключается   выражение   определителя   непосредственно   через   его
элементы?
19.Опишите основные методы вычисления определителей.
20.Дайте определение обратной матрице. Всякая ли матрица имеет обратную?
21.Сформулируйте алгоритм нахождения обратной матрицы.
22.Что такое ранг матрицы? Каков смысл этого понятия?
23.Что называется базисным минором?
24.Изменится   ли   ранг   матрицы   при   перестановке   какихлибо   строк
(столбцов)?
25.Изменится   ли   ранг   матрицы   при   умножении   каждого   элемента   строки
(столбца) на одно и  тоже отличное от нуля число?
2 Положение о текущем контроле успеваемости и промежуточной аттестации обучающихся по программам
бакалавриата, программам специалитета и программа магистратуры в  НОУ МФПУ «Синергия»
29 26.Чему равен ранг нулевой матрицы?
27.Чему равен ранг ступенчатой матрицы?
28.Что Вы понимаете под элементарными преобразованиями?
29.Какая матрица называется эквивалентной по отношению к данной матрице?
30.Что понимается под системой линейных алгебраических уравнений?
31.Запишите   в   общем   виде   СЛАУ.   Каков   смысл   величин,   входящих   в
уравнения системы?
32.Дайте   определение   решения   системы,
  определения   совместной,
несовместной системы.
33. При каких условиях СЛАУ имеет единственное решение?
34. К какой СЛАУ применим метод обратной матрицы?
35. К какой СЛАУ применимо правило Крамера?
36.Сформулируйте теорему КронекераКапелли.
37.Сформулируйте   алгоритм   решения   произвольной   системы   линейных
уравнений.
38.  Какая   система   линейных   алгебраических   уравнений   называется
однородной?
39.При   каких   условиях   система   однородных   уравнений   имеет   ненулевое
решение?
40.Исследование и решение систем линейных уравнений методом Жордана
Гаусса.
41.Однородные   системы   линейных   уравнений.   Фундаментальные   системы
решений.
Типовые задания практикумов по решению задач
Задание 1.  1. Вычислить
1.
A
2.
A
3 
A 4

1


3


2


1


3


2

B



5
10
9
AB 
,

23

14


35



5

0


7

BA
.
B
B












652
521
231
3
4
9





2
5

31
6
5






Задание 2.  Дана:
0
2
0
5


4
2


;
3x5

1
3
1

x7
f(x)
2

A
  )a
.     Найти значение матричного многочлена f(A):
  )б
f(x)

x5
3

x7
2

2x2

.
30









 Задание 3.  Вычислить  определители матриц A и B.
9
2
8
3
5
3
8
21
41
72
21

















3
2
5
3
4
3
7
5
7
9
6
2
3
5
4










1.
A
B





3
2
2
3
1
4













3
7
3
2
3
5




Задание 4 Вычислить ранг матрицы.
1.


342
21
0
972






5



1

2

2.







1
3
5
10
2
1
4
9

3
2

1

5

4



1

2



9
Задание 5.  Решить систему линейных уравнений методом Крамера.
1.





2
4
2
x
1
x
1
x
1



5
3
3
x
x
x
2
2
2



8
9
5
x
3
x
3
x
3

8

9

7
2.






x
8
x
1
2

2
3
x
x
1

x
x
6
8
1
2

2

x
7
3

5
x
3
x
17
3

12

7

17
Типовые задания контрольных работ
Вариант 1
1. Даны:


A


;
2
2
5
3
5
0






1
4
1
Найти:
2. Найти произведение матриц АВ и ВА (если это возможно):

1
5

5
Т 
A3D  )б






0
2
1
B5





;
B4A4C  )a
E5A2F  )в

3

1
8








;
B
.

31 )Aа
 )Aб












174
423
125
432






;
B
 





2
1
3





.
;
B






3
2
03
1
4





.






 ) Aв


3. Дана:


1


3


1


x7
f(x)

A

0
2

0
5



2
4


;
3x5


1
4
1

2
2
5

3
5
0





;
B







3

1
8

1
5
5


0
2
1





.
.     Найти значение матричного многочлена f(A):
2
  )б
  )a
f(x)
4. Вычислить определители:


 )a 
 ) б
;
cos
sin
41
23

x5
3

x7
2

2x2

.
sin
cos


.
5. Решить уравнения:



31x2

5x
2
 )б
;
 )a

0

1x1x2

1x
x
2

6
.
Вариант  2
1. Вычислить определители третьего порядка по правилу треугольников,
разложением по второй строке, по третьему столбцу, используя свойства
определителей:
 )a

2
5
1

4
3
12
3
2
;
 )б

1
3
3

2

4
12
5
7
15
.

2. Вычислить определители, используя разложение по какойнибудь строке
или по столбцу,  свойства определителей:
32 )a 
0250
4538
1427
0140
 )б

;
2
1
3
5

1
1
2
2

3

2

1
1

1
4
3
2

.
3. Найти обратную матрицу
1A  :
A






143
132
225





.

4. Решить по формулам Крамера систему уравнений:






5

4

10
x3

x
2

x2
x2
x5
3

x3
x
1
x3
1
x4


.
3
2
2
3
1
5. Исследовать на совместность, решить методом Гаусса  и Жордана
Гаусса  систему уравнений:


x
6
x
2
3


x
3
x
2


x2
5
x
2



x6
6
3
x5
x
1
x2
x
1
x3
1

.
3
3
2
1







Промежуточная аттестация по дисциплине «Линейная алгебра»
проводится в форме экзамена.
Задания 1 типа.
Теоретические вопросы на знание базовых понятий предметной
области дисциплины:
1. Понятие матрицы, виды матриц.
2. Действия над матрицами.
3. Элементарные преобразования матриц.
4. Приведение матриц к ступенчатому виду элементарными
преобразованиями.
5. Понятие   определителя,   определители   второго   и   третьего   порядков,
свойства определителей.
6. Миноры   и   алгебраические   дополнения,   вычисление   определителей
произвольного порядка n.
33 7. Вычисление определителя через элементарные преобразования.
8. Невырожденные матрицы. Обратная матрица.
9. Построение обратной матрицы при помощи алгебраических дополнений.
10.Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы. Вычисление ранга при помощи
элементарных преобразованиях. Ранг ступенчатой матрицы.
11.Линейная зависимость и независимость строк матрицы.
12.Системы   линейных   алгебраических   уравнений      определения   СЛАУ,
однородной,   неоднородной,   совместной,   несовместной,   определенной,
неопределенной СЛАУ, решений СЛАУ, равносильных СЛАУ.
13.Матрица системы уравнений и расширенная матрица системы.
14.Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы.
15.Теорема Крамера. Формулы Крамера
16.Метод Гаусса решения системы линейных уравнений
17.Исследование совместности системы линейных алгебраических уравнений
(теорема КронекераКапелли).
18.Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система
решений.
19.Построение множества решений системы линейных уравнений.
20.Модель Леонтьева многоотраслевой экономики (балансовый анализ)
21.Понятие векторного пространства. Линейная зависимость и независимость
векторов.
22.Базис   nмерного   векторного   пространства.   Переход   к   новому   базису.
Преобразование координат вектора при изменении базиса.
23.  Линейные   операторы.   Действия   с   линейными   операторами.   Изменение
линейного оператора при переходе к новому базису.
24.Характеристический многочлен и характеристическое уравнение.
25.Собственный вектор и собственное число линейного оператора (матрицы).
26. Квадратичные формы.
27. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
28.Положительно определенные квадратичные формы.
29. Критерий Сильвестра.
30.Линейные   модели.   Применение   методов   линейной   алгебры   при
исследовании и решении экономических задач.
Задания 2 типа.
Теоретические вопросы, позволяющие оценить степень владения
обучающегося принципами предметной области дисциплины, понимание их
34 особенностей и взаимосвязи между ними:
Задание  1.  Решить систему уравнений с применением теории матриц:
1)


x
2
3
,7
z
y

2
y
2
x
,2
z


x
2
z
3
.3
y





           2)






6
x
1
2
x
1
4
x
1

6
x
2

5
x

x
3
2
2
14

8

9
x
3
x
3
x
3

16

8

9
n  )   к
Задание   2.    Как   свести   вычисление   определителя  nго   порядка   (
вычислени ию определителя   П или Ш порядков? Вычислить определитель
матриц А и В:
4
A








6
9
5
4

5
7
5
8
8
5
3
8

4
2
7
3







B












3
1
3
2
3
1
7



12
5
2
9
2
2
7
21
5
2
5
4
5
1
7











15
3
2
5
2
3
7
Задание 3.   Дать определение ранга матрицы. Ранг какой матрицы равен 0?
Чему равен ранг матриц
A




00
10



B,




21
21



C,






0001
8765
0100





 ?
Задание   4.    Какая   матрица   называется   обратной   к   А.   Для   каких   матриц
существует обратная ? Найти обратную матрицу для матриц А и В, если  это
возможно:



23
14
35





B






652
521
231





A






1
3
2
Задание 5.  Сформулировать критерий совместности линейной системы
(теорема КронекераКапелли). Исследовать на совместность СЛАУ:
2
2
x
1
3
x
1



20
x
4
x
x
5
x
1
3
2
4




10
9
7
x
x
x
x
1
3
2
4



2
x
11
x
3
x
3
4




9
2
x
8
3
37
40
x
4
.
2
x
2
35 Задание 6.  В чем отличие методов Гаусса и ЖорданаГаусса?  Решить
методом Гаусса СЛАУ:
2
x
1
3
x
1

x
x
1
2

x
2
2

3
x
2



3
x
3
2
x
3

x
3
x

4

x
4

x
2


3
2
x
5

x
4
5

2
x
5
4

5
x
Задание 7.  В чем отличие методов Гаусса и ЖорданаГаусса?  Решить
методом ЖорданаГаусса СЛАУ:
x
1
x
1
2
x
1
3
x
1

3
3
x
3

4
2

4
x
3

2

2
7
x
5

2
x
5

1
3
x
5

4

4
2
x
2

3

x

x
4

8
4

x
3

x
5

5
x
x
2

x


2
x
4
2
Задание
  8.

 Алгоритм   построения   обратной   матрицы   при   помощи
алгебраических дополнений. Найти обратную матрицу:
A






1
3
2



23
14
35





Задание  9. Какие матрицы можно умножать? Найти произведение матриц АВ
и ВА (если это возможно):


 )Aа




174
423



;
B
 





2
1
3





.
Задание    10.  Формулы   разложения.  Вычислить   определители,   используя
разложение по какойнибудь строке или по столбцу,  свойства определителей:
36 )a 
0250
4538
1427
0140
б
)
 

1
3
2

3 2

4 1

5 3
.
Задания 3 типа.
Задания на анализ ситуации из предметной области дисциплины и
выявление   способности   обучаемых   выбирать   и   применять
соответствующие   принципы   и   методы   решения   практических   проблем,
близких к профессиональной деятельности:
Задание 1. Для матриц А и В определить:
)1

а)
A

1
3
2

3 2


4 1



5 3
,
В
 
2 5 6

1 2 5


1 3 2
   б)
А
 

B
)2;3
A
4
1
5
3 10
2
9


5

0


7
 ,

BA
В


3
4
9
2
.
AB
2
5


1 3


6
5
.
Задание 2. Вычислить определители матриц А и В:
А

2

3
5
4

5
7

9

6
2
1

1 4
2
7
1
2
,
В

3
2
5
3
4
3
7


9
2
8
3
5
3

8



3
2
2
3

1

4

3

7
3
2
3

5

 Задание 3.  Используя матрицы А и В, вычислить методом алгебраических
дополнений и методом ЖорданаГусса: 
 AB
 1
А

1
3
2

3 2


4 1



5 3
,
В
 
2 5 6

1 2 5


1 3 2
.
Задание 4. Найти ранг матрицы двумя способами: методом окаймляющих
миноров и при помощи элементарных преобразований.
А
 

2 4 3
0
1 2

72
9
5


1


2
,
В
 
2
1
1
3
5
4
10 9

3
2

1

5
4


1


2


9
.
Задание 5.  Решить систему уравнений по формулам Крамера и матричным
37




















































 способом. После решения необходимо выполнить проверку.
8
9
5
x
3
x
3
x
3

8

9

7
,         б)






8
x
x
2
1

2
3
x
x
1

8
6
x
x
1
2

2

7
x
3

5
x
3
17
x
3

12

7

17
а)





2
4
2
x
1
x
1
x
1



5
3
3
x
x
x
2
2
2



.
Задание 6.  Решить системы уравнений методом ЖорданаГаусса. Если
система является неопределенной, то в ответ записать одно базисное решение
и одно частное, не являющееся базисным.


5
x
x
2
1

5
18
x
x
1

x
x
7
2
1

x
3
x
1


8
x
1
9
x
4
3



5
x
12
4
x
3
4
2



x
4
5
x
3
4
2
3



x
2
3
x
5
3

2
x
3

x
5
3
2


x
7
3
3


x
x
3
14
3
x
x

x
2
1

3
x
1

x
x
2
1

2
x
3
1
,                 б)














а)
.
2
2
4
2
Задание 7. Найдите собственные значения и собственные вектора матриц:
А

1
3
2

3 2


4 1



5 3
  ,
В

4 5
0 1
3 2
2


3


6
.
38















file_name: РПД Линейная алгебра ВПО.doc

intro:
Рабочая программа дисциплины «Линейная алгебра» составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО по направлению подготовки 38.03.01 «Экономика», утвержденным приказом Минобрнауки России от 12.11.2015г. № 1327.
Дисциплина является одной из важнейших теоретических и прикладных математических дисциплин, определяющих уровень профессиональной подготовки современного бакалавра в области управления различными социально-экономическими процессами.


extracted_text:
Негосударственное образовательное частное
учреждение высшего образования «Московский
финансовопромышленный университет «Синергия»
Кафедра Высшей математики и естественнонаучных дисциплин
УТВЕРЖДАЮ
Первый проректор,
кандидат экономических наук
___________________
А.И. Васильев
КОМПЛЕКТ ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
для проведения текущего контроля
успеваемости по дисциплине
«Математический анализ»
Обсуждено
на заседании кафедры
Высшей математики
и естественнонаучных дисциплин
«31» августа 2017 г.
Протокол № 1
Составители:
Хамидуллин Р.Я. к.т.н., доцент, зав. кафедрой
Ravgat@yandex.ru
Рейтер К.А. к.ф.н., доцент
Cyrill_reiter@mail.ru Москва 2017
Содержание
Содержание...........................................................................................................................2
Тема 2. Теория пределов.......................................................................................................7
Контрольные вопросы для проверки готовности к практикуму по решению задач...7
Контрольные вопросы для проверки готовности к практикуму по решению задач. 11
11.Из каких двух частей состоит полное приращение функции?.................................11
12.Чем является для функции ее линейная часть относительно приращения
независимой переменной?...................................................................................................11
13.Сравните неглавную часть с главной частью. Ваши выводы...................................11
14.Может ли функция иметь дифференциал в точке, если она не имеет
производной в этой точке?................................................................................................11
15.Каков геометрический смысл дифференциала функции?........................................11
16.В чем состоит инвариантность формы первого дифференциала?........................11
17.При каких условиях, налагаемых на функцию , имеет место теорема Ролля?.......11
18.При каких условиях, налагаемых на функцию , имеют место теоремы Лагранжа и
Коши?.................................................................................................................................11
19.Можно ли из полученных формул, являющихся результатами теорем Лагранжа и
Коши, сформулировать основные требования, налагаемые на функцию ? Если да, то
обоснуйте утверждение....................................................................................................11
20.Сформулируйте условия, налагаемые на функции в теореме Лопиталя. При каких
условиях можно переходить к пределу отношений вторых производных числителя и
знаменателя дроби?...........................................................................................................11
21.Каковы условия применения правил Лопиталя?.......................................................11
22.Сформулируйте необходимые и достаточные условия монотонного возрастания
(убывания) функции на интервале (а; b).........................................................................12
20. Найти по правилу Лопиталя следующие пределы:...................................................14
1) ; 2) ; 3) ;..........................................................................................................................14
4) ; 5) ; 6) ;..........................................................................................................................14
7) ; 8) ; 9) ;..........................................................................................................................14
10) ; 11) ; 12) .....................................................................................................................14
Контрольные вопросы для проверки готовности к практикуму по решению задач. 17
Контрольные вопросы для проверки готовности к практикуму по решению задач. 23
3.Определить интервал убывания и возрастания функции:..........................................66
2 3 ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
1й семестр
Тема 1. Введение в математический анализ
Контрольные вопросы для проверки готовности к практикуму
по решению задач
1. Что называется частным значением функции?
2. Какие функции называются алгебраическими, а какие
трансцендентными?
3. Какие функции называются рациональными, а какие
иррациональными?
4. Какие функции называются целой рациональной функцией,
правильной рациональной дробью и неправильной рациональной
дробью?
5. Какие функции называются обратными?
6. Какая функция называется заданной явно, а какая  неявно?
7. Что называется областью определения и областью изменения
функции?
8. Какая функция называется четной, нечетной и общего вида?
Каков их геометрический смысл?
9. Какая функция называется периодической? Что называется
периодом функции?
10.Каков геометрический смысл периодической функций?
4 Задания для проведения практикумов по решению задач
.
)

у
х
x
2

4ln(
1.Найти область определения функции:
2.Выяснить четность (нечетность) функций: у = х2 lnx.
3.Найти область значений функции: y = 6sinx – 8cosx.
y   частным значением функции
x
2
y
4. Является ли
«да», то при каком значении   x  она принимает это значение.
x 
x
5. Является ли
6. Найдите частное значение функции, заданной графически при х = 3.
 частным значение функции
 ? Если
1
 при
y 
10
lg
5

y
10
?
У
2
1
y f(x)
0
1
2
3
Х
7. Какие из приведенных функций алгебраические, а какие
трансцендентные?
1) y 3x

2

 ,
5x 2

2) y


x 1

2
x
3
  .
x
x 2
,
3) y

log x
a
,


 ,
arcsin 2x 1
4) y
8. Какие из приведенных функций рациональные, а какие иррациональные?
5) y
1) y 3x

4

5x
3
 ,
2

2) y

3)  y

 ,
x 1
4)
y

,
 
2 x 3

2
x
3

x
2

x 1
.
9. Какие из приведенных функций являются целой рациональной
функцией, правильной рациональной дробью и неправильной рациональной
дробью?
5
x
x

2x 5


3x 7

2x 3
3x
5x
2) y
3) y
1) y
4x







x
2
2
3
10. Укажите, какие функции обратные, а какие нет? 1)
2)
3)
y
y
y
4)
y
2
x

sin
a
x
x
3
 
.
;           y
x

x
arcsin
y
;

loga
x
y
;

x 1
3
 ;
1
y
.
.
x
.
2)
y
y
x

3 sin
x
e
xy
;

y
sin
11. Укажите, какие функции заданы явно, а какие неявно?
1)
;
x
x

e
3)
12. Найдите область определения следующих функций:
 .
5
5x

x 1
;    3)
y

2
x

3x 1


8x 15
,   4)  y

5x 10

;
1)
y
5)
y
 ;       2)
x
23
5

2x 1

3x 6


;       6)

;   9)

y

y

x

y

lg 6x 12

8)
13. Исследовать на четность и нечетность следующие функции:
y lg 3x
5x 10
,  10)
3x 2




2
2
2

6x 5
 ,           7)

3x 10

2
y

x

y lg x


;

.
1)
y
 
4)
y

2
2x cos x sin 3x
 ;           2)
x sin x x


x
 ;    8)  y
x cos x x
;    5)

x
2
3
y


2x 1
;           3)

3
2
x
x

2 x
y log

2 x
;        9)
;       6)
x tgx

3
y

y

7)
14. Найти наименьший период функций:
1)  y cos 4x
;           2)  y sin(5x 3)



 
;           3)
y

tg
x
2
;
y ln


1 x

1 x
;
y

3
5
5x

3
x

sin 5x
;
4
x
 .
1`
;         5)  y sin 2x cos3x


;
4)
y cos 5x

2 Тема 2. Теория пределов
Контрольные вопросы для проверки готовности к практикуму
по решению задач
1. Что называется последовательностью?
2. Какая последовательность называется возрастающей (убывающей)?
3. Какая   последовательность   называется   ограниченной?   Приведите
примеры.
4. Что называется пределом последовательности?
5. Сколько пределов может иметь последовательность?
6. Сформулируйте   необходимое   условие   существования   предела
последовательности.
7. Какая   последовательность   называется   бесконечно   большой?
Приведите примеры.
8. Какая   последовательность   называется   бесконечно   малой?
Приведите примеры.
9. Сформулируйте основные теоремы о пределах.
10. Назовите основные виды неопределенностей.
11. Напишите формулу первого замечательного предела и прочитайте
ее.
12. Напишите формулы второго замечательного предела.
13. На   чем   основывается   сравнение   бесконечно   малых
величин?
14. Приведите примеры бесконечно малых функций. Задания для проведения практикумов по решению задач
2
1. Напишите первые пять членов последовательностей,
n ые члены которых выражаются формулами:
1)
2. По заданным первым членам последовательности подберите одну из
формул для  n го члена:

1
n
2)  3

1
n
4) 1 ( 1)n

( 1)

2
n
n

n
 
3)

1
4
a
b
;
;
;
.
2
2
n
1)
1
2
,
2
2
2
,
3
3
2
,
4
4
2
,...
2) 1,2, 3,4,… 3)
2
2



1
3



,



2
5



,



3
7



2
,...
1)
lim

n
3. Доказать, что
n
1


2
n
1
2
 
2
n
8
5

4
n
2
lim

n
4)
2
;        2)
2
;       5)
 
n
3
2
lim

1
n
n
4

lim
n
n

3
2
;     3)
0
;        6)
n
lim

2
n
n
3
3
n
lim
3
n
n

0
;
1
 
7

1
3
.
2
2
5
   1) lim

4. Найти пределы (раскрыть неопределённости):

2
3
x

x
10

x
2

27

2

3

2
x
 
2 2
x
;        3) lim

;   2) lim

;   6) lim

3
;   5) lim

2
   3) lim

1
x
2
2
x
3
x
2
x
3
2
x
x
x
x
x
x
5
3
6
3
x
,

;
5. Вычислите пределы:


3
x

2
5
x


5
x

2
x
1

1

1
.
   7) lim
31

x
x
x
1)
lim

x
4)
lim

x
;
2
x

x
5

4
3
x

x
7
3
x
2
3
x
7)
lim

x
(
10)
lim

x

x
2
x

2

2

1)(
x
2)
lim

x

5
4
x
; 5)
lim

x
5
x

3
2
x
10
;
8)
lim

x
3
x
3
2
x


2
 
2
x
x
1
4
;
      3)
lim

x

x
2
x

3
x
4
5
;
lim

x
;        9)
lim

x
3
x

2
x
x

x

;
2
;

x
1
2

x
7

3

2
1
x

11
1 3
x

5
2

5)


x
8
4)(
x
3
;   6)


7

3
x

;  13)

x
2)(
3)(
x

5
9
x
10


x
8
x


2
x
3
2


x
5
2


8
x
4
 
4 2
 
9 3
;     16)
;         19)
5
2
x
10
5
x
5
x
2
5
x
x
3
2
x
2
12)
lim

x
15)
lim

2
x
18)
lim

x
0
;             11)
lim

x
lim

1
x
7
3
x
5
7
x
x
2
7
x
2
2
lim

x
2

1

4

7

4
8

11
x

2
3
x

x
5

3
x

3

2
x
x
;    14)
;     17)
;        20)
;
;
lim

x
lim

3
x
lim

3
x
3
7


2
x
8
x
10
x


2
7
7
x
1
x
11


2
x
15
8
x


x
x
2
8
42
 
2 1
x
 
2
x
3 3
;
2

lim

x
2
x

5
x

x

;




 
x
; 22)

lim 9

x
2
x

7
x

3
x

.

2
2
x
x
2
5

lim 4

x

21)
6.Найти пределы:


x
2
7
a)


10
x
2


x
5
2


1
7
x


2
5
x
x
x
3
2
x
6
2
x
3
x
6
lim( 4

x
lim

x
lim

1
x
b)
c)
2
2 )
x
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
3
lim

x
0
sin
x
3
x
sin(
lim
3
x
3
x
sin
x

1 cos
2
x

x
lim

x
0
lim

x
0
3
3

3)
27
x
3
x
x
x
sin
arc
3
x
sin 5
2
x
arctg x
4
arc
x
x
2
3
sin
x
sin
2
lim

x
0
lim

x
0
lim

x
0
lim

x
0
lim

x
0
x
2

2
tg x
3
x
25
) n
n
32
) x
x
lim(1

n

lim(1

x

0
3

x
lim(1 2 ) x

x

x
3
2

10
2
x
lim(

x
3
x
)
. Тема 3. Дифференциальное исчисление функции одной
переменной Контрольные вопросы для проверки готовности к практикуму
по решению задач
y

(
x y
0
;
0
)
( )
f x
 и напишите уравнение касательной.
1. Дайте определение производной функции в точке.
2. Найдите по четырехступенчатому правилу производную функции
у(х) = х2.
3. На   основании   основных   правил   взятия   производных   найдите
производную функции у(х) = 5х2 – 3х + 4.
4. Непрерывность функции является необходимым или достаточным
условием?
5. Для существования производной  в точке каковы ее достаточные
условия?
6. Перечислите   наименования   точек   разрыва   производной
непрерывной функции.
7. Каков геометрический смысл производной?
8. Каков механический смысл первой производной?
9. Приведите   пример   применения   понятия   производной   функции   в
экономике.
10. Дайте   определение   касательной   к   графику   функции
точке
11. Из каких двух частей состоит полное приращение функции?
12. Чем   является   для   функции   ее   линейная   часть   относительно
приращения независимой переменной?
13. Сравните   неглавную   часть   с   главной   частью.
выводы.
14. Может ли функция иметь дифференциал в точке, если она не имеет
производной в этой точке?
15. Каков геометрический смысл дифференциала функции?
16. В   чем   состоит   инвариантность   формы   первого
дифференциала?
17. При   каких   условиях,   налагаемых   на   функцию
место теорема Ролля?
18. При   каких   условиях,   налагаемых   на   функцию
место теоремы Лагранжа и Коши?
19. Можно   ли   из   полученных   формул,   являющихся   результатами
теорем   Лагранжа   и   Коши,   сформулировать   основные   требования,
налагаемые на функцию
? Если да, то обоснуйте утверждение.
20. Сформулируйте   условия,   налагаемые   на   функции   в   теореме
Лопиталя. При каких условиях можно переходить к пределу отношений
вторых производных числителя и знаменателя дроби?
21. Каковы условия применения правил Лопиталя?
,   имеют
,   имеет
  Ваши

f x


f x


f x

y

y

y

в 22. Сформулируйте необходимые и достаточные условия монотонного
возрастания (убывания) функции на интервале (а; b).
23. Сформулируйте определение экстремума функции.
24. Сформулируйте   необходимые   условия   экстремума
функции.
25. Сформулируйте   достаточные   условия   экстремума   функции   по
первой производной; по второй производной
26. Какие точки называются точками разрыва функции?
27. Какие   прямые   называются   асимптотами   графика
функции?
28. Какая точка называется точкой перегиба функции?
29. Каковы необходимые и достаточные условия, чтобы функция у = f
(х) в точке х = х0 имела точку перегиба?
30. Каковы   необходимые   и   достаточные   условия   монотонного
возрастания и монотонного убывания функции?
31. Каковы условия, накладываемые на функцию  f  (х), при которых
график функции у = f (х) был бы выпуклым (вогнутым) на интервале (а;
b)?
32. Что понимается под асимптотой графика функции?

file_name: КОС Математический анализ ВПО.doc

intro:
КОМПЛЕКТ ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ предназначен для контроля и оценки образовательных достижений, обучающихся по программе учебной дисциплины «Математический анализ» в пределах освоения основной профессиональной образовательной программы ВПО.
КОМПЛЕКТ ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ входит в состав учебно-методического комплекса дисциплины «Математический анализ» и является неотъемлемой частью нормативно-методического обеспечения системы оценки результата освоения обучающимися ООП ВО.
КОМПЛЕКТ ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ по дисциплине «Математический анализ» представляет собой совокупность оценочных средств и методов их использования для осуществления контроля процесса освоения компетенций, определенных в ФГОС ВПО.

математика

group: Дисциплины

доп. образование взрослых

group: Другое


extracted_text:
Негосударственное образовательное частное
учреждение высшего образования «Московский
финансовопромышленный университет «Синергия»
Кафедра Высшей математики и естественнонаучных дисциплин
УТВЕРЖДАЮ
Первый проректор,
кандидат экономических наук
___________________
А.И. Васильев
КОМПЛЕКТ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ
для проведения текущего контроля
успеваемости
по дисциплине
«Математический анализ»
Обсуждено
на заседании кафедры
Высшей математики
и естественнонаучных дисциплин
«31» августа 2017 г.
Протокол № 1
Составители:
Хамидуллин Р.Я. к.т.н., доцент, зав. кафедрой
Ravgat@yandex.ru
Рейтер К.А. к.ф.н., доцент
Cyrill_reiter@mail.ru Москва 2017
Содержание
Содержание...........................................................................................................................2
2  Тесты
1й семестр
Тема 1. Введение в математический анализ
1. Частным значение функции у = х2 + 2 при х = 3 является:
а) –1;
б) 11;
в) 0;
г) –3;
д) –5.
2. Областью определения функции
y

3
4
16 x

2
 является:
а) х  (– ∞; + ∞);
б) х  ( 4; + ∞);
в) х  (– ∞; 4);
г) х  [– 4; 4];
д) х  (– 4; 4).
3. Какая из заданных функций является четной:
а) у = х2 – х;
б) у = х4– 2х2;
в) у = х4– х3;
г) у = х + 2;
д) у = х.
4.Областью определения функции
y

1.
2.
3.
4.
;
4;


x    ;


x   ;


x   ;

x  
;
;4
4;4
4
3
4
16 x

2
 является: 5.

x  
4;4
.
5 Областью определения функции
y


5 x

2
8x 7

x
 является:
y

lg

x

3

 является:
y

arcsin
x
 является:
y

lg |
x

2 |
 является:
1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
3.
4.
5.
1.
2.
3.
4.
5.
;












7;
7;
0;
3;
3;
3;
;
1;7
;
1;7
;

;1

;1

x    ;
x 
x 

x    ;

x     .
6. Областью определения функции

x    ;

x   ;

x   ;

x    ;

x    .
7. Областью определения функции


x    ;


x   ;
0;
1;1

x  
;

1;1
x  
;
0;1

x 
.
8. Областью определения функции

x    ;

x   ;


x     ;


x     ;

x   .
9. Функция
;2
;2
2;
2;







2;
0;
x
;
;
y
2
3


  является:
54
x
1. трансцендентной,
2. иррациональной,
3. целой рациональной,
4. правильной рациональной дробью,
5. неправильной рациональной дробью.
  является:
x
y
2
5


10.Функция
27
x
1. трансцендентной,
2. иррациональной,
3. целой рациональной,
4. правильной рациональной дробью,
5 5. неправильной рациональной дробью.
11.Функция может быть задана:
a. аналитически
b. литературно
c. графически
d. таблично
e. по аналогии
f. иерархически
12.Функция может быть:
a. монотонной
b. слабой
c. периодической
d. начальной
e. неявной
13. Установите соответствие между объектами и их типами:
МНОЖЕСТВА
ФУНКЦИИ
a. возрастающие
b. закрытые
c. открытые
d. пустые
e. убывающие
ОТВЕТ: МНОЖЕСТВА: b, c, d; ФУНКЦИИ a, e.
14. Установите соответствие между объектами и их типами:
ЧИСЛА
ИНТЕРВАЛЫ
a. целые
b. закрытые
c. открытые
d. иррациональные
e. транcцендентные
f. рациональные
ОТВЕТ: ЧИСЛА: a, d, e, f; ИНТЕРВАЛЫ: b, c.
15. Установите последовательность построения графика функции:
a. определение области изменения функции
b. определение областей убывания и возрастания
c. определение точек пересечения с осями координат
d. построение графика
6 e. определение асимптот
f. определение экстремумов
ОТВЕТ: a, c, e, b, f, d.
7 16. Установите последовательность фраз в определении чётной функции:
a. если
b. на симметричном промежутке
c. выполняется условие
d. функция называется чётной,
e. и для любых х
f. она задана
g. f(x) = f(– x)
ОТВЕТ: d, a, f, b, e, c, g.
17. Как называется математическая дисциплина, изучающая наиболее
общие свойства различных совокупностей объединённых какимлибо
признаком объектов?
ОТВЕТ: теория множеств.
18. Каким общим термином объединяются целые рациональные, дробно
рациональные и иррациональные функции?
ОТВЕТ: алгебраические функции.
19. Постоянно возрастающие или убывающие функции называются …
ОТВЕТ: монотонными.
20. Всякая неалгебраическая функция называется …
ОТВЕТ: трансцендентной. Тема 2. Теория пределов
6
x
2

x

5
x

3
lim

x
2
2
6
3
x
x


5
7
x
x


4
2
1. Найти предел:
lim

3
x
а) 1;
б) ;
в) 0;
г) 2;
д) 3.
2. Найти предел:
а) ;
б) 2;
5
3
г) 0;
д) 1.
в)
;
3. Найти предел:
lim

3
x
x
x
2

9
 
1 2
а) 0;
б) ;
в) 1;
г) 24;
д) 18.
lim

0
x
x
10
sin
x
4. Найти предел
а) 10;
б) 1;
в) 0;
г) ;
д) 5.
5. Найти предел
x
25

1

x
lim

x
а) 0;
б) е10;
в) 1;
г) е2;
д)  .
6. Последовательность

1
n
a.
 имеет своим пределом
 ;






 b.
c.
d.
e.
0;
1;
2;
10.
7. Начиная с какого номера последовательность
1
2
n
становится меньше
?
0,0001

a.
b.
c.
d.
e.
8. Сравнить бесконечно малые   и
сравнению с бесконечно малой  является:
100;
1000;
101;
10;
10000
3 
. Бесконечно малая  по
a. одного порядка;
b. второго порядка;
c. третьего порядка;
d. бесконечно большой;
e. эквивалентной.
x
16
 
3 1

2
x
lim

x
4
9. Найти предел
lim

n
3
n

3

2
2
5
n
3
n

1
a. 0;
b.  ;
c. 1/ 2 ;
1/ 2
d.
e. 2.
;
10.Найти предел
a.
b.
c.
d.
e.
11.Последовательность может быть:
a. расходящейся
b. слабой
c. монотонной
d. сходящейся
e. графической
f. неустойчивой
0;
 ;
2;
3;
1.
10





 12.Предел функции может быть:
a. конечным
b. большим
c. односторонним
d. малым
e. бесконечным
13. Установите соответствие между объектами и их типами:
ТОЧКИ РАЗРЫВА
ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ
a. односторонние
b. 1го рода
c. конечные
d. бесконечные
e. 2го рода
ОТВЕТ: ТОЧКИ РАЗРЫВА: b, e; ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ a, c, d.
14. Установите соответствие между объектами и их типами:
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
ФУНКЦИИ
a. монотонные
b. сходящиеся
c. чётные
d. расходящиеся
e. нечётные
f. ограниченные
ОТВЕТ: ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ: a, b, d, f; ФУНКЦИИ: c, e, f.
15. Установите последовательность фраз в формулировке первой теоремы
БольцаноКоши:
a. принимающая
b. на его концах,
c. хотя бы один ноль
d. непрерывная на отрезке функция,
e. имеет
f. различные значения
g. на этом отрезке
ОТВЕТ: d, a, f, b, e, c, g.
16. Установите последовательность фраз в определении непрерывной
функции:
a. и в некоторой её окрестности
11 b. если
c. в точке х,
d. она определена
e. функция называется непрерывной
f. в этой точке
ОТВЕТ: e, c, b, d, f, a.
17. Как называется точка разрыва, если односторонние пределы функции в
этой точке не равны друг другу?
ОТВЕТ: точка разрыва 1го рода.
18. Какие бесконечно малые величины называются эквивалентными?
ОТВЕТ: предел отношения которых равен единице.
19. Необходимым условием дифференцируемости функции является …
ОТВЕТ: непрерывность.
20. Если функция непрерывна и монотонна в своей области определения,
то обратная функция …
ОТВЕТ: также монотонна и непрерывна.
12 Тема   3.   Дифференциальное   исчисление   функций   одной
переменной
1. Производная функции
y


23
x

2
x

2
 5
 равна
y

x

2 sin 2
x
 равна
y
xe
2x
 равна
a.
b.
c.
d.
e.

2
x

 ;
6
x
x
2

2
2
2

x
x

5 3

5 3

23
x

5 6

23
x
x

2

x
 
2 3

x

2
;
 4
 4


6
x

2
x
4


6
x
2
2

x

2
2

 ;
2
 4

 .
2
2

;
;
;
x
.
x ;
x ;

x


x
x
x
2. Производная функции
2 cos 2
a.
b. 2 sin 2
x
c.
2 sin 2
x
cos 2
x
x
2
d.
2 sin 2
x
2
x
cos 2
x
2
x
2
cos 2
2 sin 2
x
e.
3. Производная функции
a.
b.
c.
d.
e.
2 xe ;
2 xxe ;
xxe ;
22

2
22
xe
e
xe
x
2
e
;
.
2
x
x
x
x

1x
e
 при
x   равна
0
4. Производная функции
y

a. 0;
b. 1;
1
2 ;
c.
d. 3;
e. –1.
5. Производная функции
xy

sin
y
 , заданной неявно, в точке
0

2

;


2

равна
a.
b.
0;

2
;
13



 c.
d.
;
;
2
4

2

4
1.
e.
6.Производная функции
ye
   равна:
y
x
a.
b.
c.
d.
e.
x
e
x
e
1
e
y
e
xy
e
1
1
1
1
1
;
;
y
y
y ;
;
;
y
y
7. Дифференциал функции
1.
2.
3.
4.
5.




;
4
x

3
x
23
x

6
23
x

6
3
3


2
x dx


dx

x dx
3
x
;
;
4
x
4

x

3 3
2
x

2
dx;
x

4 3
x

3

dx
;
y

3
x

23
x

3
x
 равен
8. Дифференциал функции
y


2
ax

b
 3
 равен
1.
2.
4.
5.
3. 3.
;
;

2ax

 3

b dx
 2

2ax ax b dx
 2

b dx

b dx

b dx
2ax ax



4ax ax
2ax ax


;
.
2
2
2
;
9. Дифференциал функции
y


ax b

 2
 равен
1.

ax b dx

 4
;
14




 2.
3.
;
;



 2

3 ax b dx
 2
3a ax b dx
 2
3ax ax b dx

3 ax b dx

.
;

4.

 4
5.
6. 2a(ax+b)
10.Дифференциал функции
1. 2sin 2xdx ;
2. 2cos 2xdx ;

;
2sin 2xdx
3.
sin 4xdx ;
4.
5. 2sin 4xdx .
11.Производная – это:
y

2
sin 2
x
 равен
a. приращение функции
b. скорость изменения функции
c. тангенс угла наклона касательной к горизонтальной оси
d. убывание функции
e. изменение функции
12.Какие задачи приводят к понятию производной?
a. о касательной к гладкой линии
b. о нахождении корней уравнения
c. о мгновенной скорости
d. о работе силы
e. о производительности труда
13. Установите соответствие между объектами и их типами:
ПРОИЗВОДНЫЕ
ФУНКЦИИ
a. чётные
b. односторонние
c. первые
d. периодические
e. нечётные
f. вторые
ОТВЕТ: ПРОИЗВОДНЫЕ: b, c, e; ФУНКЦИИ a, d, e.
14. Установите соответствие между объектами и их характеристиками:
МИНИМУМ
МАКСИМУМ
15 a. производная функции равна нулю
b. вторая производная положительна
c. вторая производная отрицательна
d. выпуклость графика функции
e. вогнутость графика функции
ОТВЕТ: МИНИМУМ: a, b, e; МАКСИМУМ: a, c, d.
15. Установите последовательность построения графика функции:
a. определение области изменения функции
b. определение областей убывания и возрастания
c. определение точек пересечения с осями координат
d. построение графика
e. определение асимптот
f. определение экстремумов
ОТВЕТ: a, c, e, b, f, d.
16. Установите последовательность фраз в определении производной
функции:
a. отношения приращения
b. приращению аргумента
c. последнего
d. производная есть предел
e. при стремлении
f. функции к
g. к нулю
ОТВЕТ: d, a, f, b, e, c, g.
17. Что выражает отношение дифференциалов функции и независимой
переменной?
ОТВЕТ: производную данной функции.
18. Что геометрически представляет собой дифференциал функции?
ОТВЕТ: приращение ординаты касательной.
19. На участке убывания функции её производная …
ОТВЕТ: отрицательна.
20. В точке экстремума производная функции  …
ОТВЕТ: равна нулю.
16 2й семестр
Тема 4. Интегральное исчисление функции одной переменной
.

13
C;
C;
C;
1.
2.
3.
4.
5.
dx
x
2 6

C;
1. Найти интеграл

arcsin x
x
arcsin

arctg x
1
arctg
2
2

x
3

 
3
2
3


 
3
x
2




3
C.
arc tg x
dx

2.Найти интеграл
2
x
5
 
2
C;
3
 
2
x
3
C;
 
2
3
 
2
3
1
3
1
3
1
3
3
arcsin
x
3
x
x
arcsin
1.
2.
3.
4.
5.
C;
C.
arcsin
arctg
arc tg
C;
.
4
x


x
3. Найти интеграл
x
2
e dx
e
2
1 3
.
x
x C;
x C;
x C;
 
 
2xe
 
2xe
21
xe
2


22
3xe
x C;
21
1


xe
x C.
2
3
1.
2.
3.
4.
5.
6. – (ln(1 – 3e2x))/6 + С
4. Найти интеграл

2
sin x cos xdx.

3
sin x


C;
3
2
cos x C;
1.
2. 3
sin x
3
C;
3.
4. sin x cos x C;
5.

sin x cos x C.
2

4 5xdx.


1


12
5.Вычислить
a.
b.
c.
2
54 ;
3
1
18 ;
3
2
64 ;
3
d. 15;
e. 10.
6. Вычислить
x

e dx.
1
3


e  ;
2 1
;
3 1
e
31
e
2

1
e
;
a.
b.
c.
d.
3
e

33e
e.
;
1
e
e .
7.Найти   площадь   плоской   фигуры,
  ограниченной   линиями
y

1
x
; y
 
1
4
x

5
4
.
a.

7
3

ln
4

(кв.ед.);
b.   10 (кв.ед.);
c.
d.
15
8
19
8

ln
4

(кв.ед.);

ln
4

(кв.ед.);
18














 e.

3
4ln

(кв.ед.).
y
9
6


, y
23
x
 , вокруг оси Ox .
8.   Найти   объём   тела,   полученного   от   вращения   плоской   фигуры,
ограниченной линиями
a. 13,5   (куб. ед.);
b. 12,5   (куб. ед.);
c. 12   (куб. ед.);
d. 10   (куб. ед.);
e. 9,5   (куб. ед.).
9.Вычислить несобственный интеграл


1
dx
3
x
.
.
a. 3.
b. 2
3
c. 1
2 .
1
2
2
d.
.
10.Вычислить несобственный интеграл
a. 2.
b. 1.
.
c. 4
d. 0.
.
e. 2
11.Неопределённый интеграл это:


0
dx

2
x
.
4
a. совокупность всех первообразных
b. первообразная
c. функция, производная которой равна подинтегральной
функции
d. сумма значений функции в некоторых точках
e. сумма первообразных
12.Неопределённый интеграл отличается от первообразной:
a. на любое число
b. на целое число
c. на константу
d. на дробное число
e. на постоянное число
19 13. Установите соответствие между объектами и их свойствами:
ПРОИЗВОДНАЯ
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
a. линейность
b. определённость с точностью до константы
c. единственность
d. ясный геометрический смысл
e. чёткие правила вычисления
f. предлагаемые методы вычисления не всегда срабатывают
ОТВЕТ: ПРОИЗВОДНАЯ: a, c, d, e;
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ: a, b, f.
14. Установите соответствие между объектами и их свойствами:
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
a. это число
b. это функция
c. линейность
d. ясный геометрический смысл
e. всегда вычисляется
f. не всегда «берётся»
ОТВЕТ: НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ: b, c, e;
ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ: a, c, d, f.
15. Установите последовательность шагов по вычислению площади
криволинейной фигуры:
a. определение аналитических формул для функций, ограничивающих
данную фигуру
b. вычисление соответствующих определённых интегралов
c. определение границ данной фигуры по независимой переменной
(верхних и нижних пределов интегрирования)
d. Вычисление площади как алгебраической суммы определённых
интегралов с соответствующим знаками
ОТВЕТ: a, c, b, d.
16. Установите последовательность слов в определении неопределённого
интеграла:
a. это
b. всех первообразных
c. для данной
d. неопределённый интеграл
e. функций
f. совокупность
g. функции
20 ОТВЕТ: d, a, f, b, e, c, g.
17. Чему равен определённый интеграл от нечётной функции по
симметричному относительно нуля интервалу?
ОТВЕТ: нулю.
18. Какие учёные являются создателями дифференциальноинтегрального
исчисления?
ОТВЕТ: Ньютон и Лейбниц.
19. Первообразной данной функции называется функция, производная
которой …
ОТВЕТ: есть исходная функция.
20. Геометрический смысл определённого интеграла  –  …
ОТВЕТ: площадь криволинейной трапеции.
21 Тема 5. Функции нескольких переменных
1
 . Вычислить
f
3
 
x
y

2
2
2
y

f x y
1. Дана функция

x

;

2;1
.
2.Дана функция
от точки
1;1M
;

f x y


x

 к точке
N
2
2

y

1,1;1
. Найти частное приращение при переходе
.
3.Найти   полное   приращение   функции
точки
 к точке
1,1;0,9
N
.



f x y
;


2
x

2
y
  при   переходе   от
.
a. 0.
b. 1
9
c. 2
9 .
1
 .
3
d.
e. 1.

a. 0,1.
b. 0,2.
c. 0,21.
d. 0,25.
e. 3.

1;1M
a. 0,01.
b. 0,02.
c. 0,03.
d. 0,04.
e. 0,05.
4.Найти область определения функции
z

2
x

3
y
 .
4


a.
b.
c.
d.
e. 0
0;
0;
y
y
x
x
x
x
     .
0
         .
y
  
 .
0
 .
0
;
;
; 0
x
y
2
   .
x
2
x
y


y
2
y
.
5.Найти предел
lim

1
x

2
y
1
 .
5
.
a.
b. 1
5
c. 2.
d. 3.
e. 1
2
. 6.Найти точку разрыва функции
z


x

2

1
1


.
y

2
2

a. (1;2).
b. (1;2).
c. (1;2).
d. (1;3).
e. (0;0).
7.Найти   частную   производную   по   x   от   следующей   функции
z
x
y
2


a.
b.
c.
d.
e.

.
y

xy

2 3
xy


xz
2


2
xz
 
xz
2


xz
2


2
xz

4
x

x
2

2
x

x
3

2
x


yy
 .

5
y
8

 
4 5
3
y
y


 
3
y
y y
3
 .
y
4

 
4 5
3
y
y
y


.
 
y
4 5
3
y

 .
8
 
4 5

y
.
8.Вычислить значение частной производной по  x  функции
z
M

0 3;2
.

a. 1.
b. 2.
c. 3.
d. 4.
e. 5.

x
x
y
  в точке
y
3
2
x y
2

3
5
xy
.
2
2
y
2
5
3
6
2
2
3
6
4
4
3
3
6
3
y
3
y
3
x
3
x
3
x
4
4
y
6
4
y
4
x
4
6
4
4
4
dz
dz
xy
3
9.Найти полный дифференциал функции

z


2
15
x y


2
6
x y
15


3
2
x y


2
5
6
x y



3
y dx
5



3
y dx



2
x y dx


2
x y dx


2
x y dx
2
6 2
x


6



a.
b.
c.
d.
e.





x
y
xy dy



.
2

.
xy dy

15
xy dy

3
y dy

y





4

4
y








.
6
y
3
dz
dz
4
y
y
x
4
6
4
4

xy
dz
15
2
x y

xy dy
10.Заменив   приращение   функции   дифференциалом,
приближенно
a. 3,01.
b. 3,003.
c. 3,001.
d. 3,1.
2,02
1,03
1,97


2

2

2

3

3
2
.


.
.
  вычислить
11.Функция многих переменных может быть задана:
a. аналитически
b. литературно
c. графически
23 d. таблично
e. по аналогии
f. иерархически
12. Линии уровня функций многих переменных часто используются:
a. в географических картах
b. в художественных картинах
c. в топографических картах
d. телеизображениях
e. картах изотерм и изобар
13. Установите соответствие между объектами и их свойствами:
ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
a. плоская линия
b. поверхность в пространстве нескольких переменных
c. монотонные
d. знакопеременные
e. чётные
f. нечётные
ОТВЕТ: ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ: a, c, d, e, f;
ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ: b, d.
14. Установите соответствие между объектами и их свойствами:
ЧАСТНОЕ ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ПОЛНОЕ ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
a. изменение функции многих переменных при изменении только одной
из переменных
b. изменение функции многих переменных при изменении всех
переменных
c. является разностью функции многих переменных в двух точках
ОТВЕТ:
ЧАСТНОЕ ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ:
a, c;
ПОЛНОЕ ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ:
b, c.
15. Установите последовательность нахождения экстремумов  функции
многих переменных:
a. определение вторых частных производных в стационарных точках
b. определение первых частных производных
c. определение соответствующей квадратичной формы
24 d. нахождение стационарных точек посредством приравнивания
первых частных производных нулю и нахождения корней
соответствующих уравнений
e. определение типа экстремумов по знаку квадратичной формы
ОТВЕТ: b, d, a, c, e.
16. Установите последовательность фраз в определении инвариантности
формы дифференциала функции многих переменных:
a. не зависит от
b. если они связаны
c. дифференцируемым преобразованием
d. форма дифференциала функции многих переменных
e. непрерывно
f. вида переменных,
ОТВЕТ: d, a, f, b, e, c.
17. Что называется касательной плоскостью к поверхности?
ОТВЕТ: плоскость, в которой расположены все касательные к
кривым, лежащим на данной поверхности.
18. Что называется точкой максимума функции многих переменных?
ОТВЕТ: точка, значение данной функции в которой превышает все
значения функции в некоторой окрестности этой точки.
19. Частной производной второго порядка называется …
ОТВЕТ: частная производная от частной производной первого
порядка.
20. Полным дифференциалом второго порядка называется …
ОТВЕТ: полный дифференциал от полного дифференциала первого
порядка.
25

file_name: КТЗ Математический анализ ВПО.doc

intro:
КОМПЛЕКТ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ предназначен для контроля и оценки образовательных достижений, обучающихся по программе учебной дисциплины «Математический анализ» в пределах освоения основной профессиональной образовательной программы ВПО.
КОМПЛЕКТ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ входит в состав учебно-методического комплекса дисциплины «Математический анализ» и является неотъемлемой частью нормативно-методического обеспечения системы оценки результата освоения обучающимися ООП ВО.
КОМПЛЕКТ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ по дисциплине «Математический анализ» представляет собой совокупность оценочных средств и методов их использования для осуществления контроля процесса освоения компетенций, определенных в ФГОС ВПО.