extracted_text:
Негосударственное образовательное
частное учреждение высшего образования
«Московский финансовопромышленный университет
«Синергия»
Кафедра Высшей математики и естественнонаучных дисциплин
УТВЕРЖДАЮ
Первый проректор,
кандидат экономических наук
___________________
  А.И. Васильев
КОМПЛЕКТ ОЦЕНОЧНЫХ
СРЕДСТВ
для проведения текущего контроля успеваемости
по дисциплине
 «Математика и статистика»
Обсуждено
на заседании кафедры
Высшей математики и
 естественнонаучных дисциплин
«31» августа 2017 г.
Протокол № 1
Составитель(и):
Хамидуллин Р.Я. к.т.н., доцент, зав. кафедрой
Ravgat@yandex.ru
Рейтер К.А. к.ф.н., доцент
Cyrill_reiter@mail.ru Москва 2017
Содержание
I. Содержание дисциплины.............................................................................3
II. Практикумы по решению задач..................................................................5
III. Темы для обсуждения на семинаре и проведения дискуссии..............10
IV. Контрольные вопросы по темам.............................................................11
V. Тесты для проведения текущего контроля успеваемости по темам....13
VI. Практические задания / кроссворды......................................................25
VII. Задания для контрольных работ...........................................................32
VIII. Экзаменационные вопросы...................................................................35
IX. Экзаменационные билеты........................................................................46
2 I. Содержание дисциплины
Тема 1. Предельные теоремы теории вероятностей.
Закон больших чисел. Неравенство Чебышева (лемма). Теоремы
Чебышева,   Бернулли,   Пуассона,   Маркова.  Центральная   предельная
теорема (Ляпунова).
  выборка,
  функция   правдоподобия,
Тема 2. Выборочный метод в математической статистике.
Предмет   и   задачи   математической   статистики.   Генеральная
совокупность,
  способы
организации   выборок.  Представление   статистических   данных   и
оценивание закона распределения генеральной совокупности. Основные
термины   и   определения:   статистические   (выборочные)   данные,
вариационный   ряд,
  сгруппированный   статистический   ряд,
статистический   ряд   распределения,   полигон   частот,   гистограмма,
кумулята.
Тема 3. Статистики и оценки параметров распределений.
Понятия   статистики   и   оценки   параметра.   Свойства   оценок:
  Точность
(доверительная
несмещённость,
(доверительный   интервал)
вероятность) оценок. Точечные и интервальные оценки.
  и   надёжность
  состоятельность,
  эффективность.
Точечная   и   интервальная   оценки   вероятности.   Нормально
распределённая   оценка   вероятности.  Геометрическая   интерпретация
 Генеральная   и   выборочная   средняя
доверительного   интервала.
величина.  Точечная и интервальная оценки математического ожидания
(МО) при известной и неизвестной точности измерений (СКО).
Генеральная   и   выборочная   дисперсии.   Несмещённая   оценка
дисперсии.
Точечная и интервальная оценки дисперсии при известном или
неизвестном МО, при малом и большом числе испытаний.
Оценки   вероятностных   характеристик   двумерного   случайного
вектора:   МО,   дисперсий,   корреляционных   моментов,   коэффициентов
корреляции.   Оценка   элементов   корреляционной   и   нормированной
корреляционной матриц.
Точность оценки параметров распределений и число испытаний.
Тема 4. Статистическая проверка гипотез.
Понятие   статистической   проверки   гипотез   (СПГ).   Смысл   и
процедура СПГ. Статистические критерии качества СПГ. Область
допустимых   значений   и   критическая   область   критерия   качества
3 СПГ. Ошибки, допускаемые лицом, принимающим решения (ЛПР),
при СПГ: ошибки первого и второго рода. Вероятность ошибки ЛПР,
мощность статистического критерия.
Проверка непараметрических гипотез: критерии согласия. Критерии
хиквадрат Пирсона, Колмогорова. Проверка параметрических гипотез:
сравнение   двух   дисперсий   нормальных   генеральных   совокупностей,
сравнение двух МО при известных или неизвестных дисперсиях.
4 II. Практикумы по решению задач
Тема 1. Предельные теоремы теории вероятностей.
Вариант 1
1. Вычислить
2. Упростить
3. Вычислить
!4!6 
!3

)!1n(

)!2
n(
P 
P
6
5
P
4
8A ;
4
4. Вычислить
5. Сколькими способами могут разместиться 5 человек вокруг круглого
4
10C
стола?
6. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,8,9 так,
чтобы в каждом числе не  было одинаковых  цифр?
7. Решить уравнение
2x 
C2
21
Вариант 2
1. Вычислить
2. Упростить
3. Вычислить
!3!5
!6
1

!n
P 
4
P
3
13A ;
5
1

)!1n(
P
6
4. Вычислить
5. Сколькими способами можно расставить на полке 6 книг?
6. Сколько флажков 3 разных цветов можно составить из 5 флажков
4
8C
разного цвета?
7. Решить уравнение
C 2
x 
153
Вариант 3
1. Вычислить
2. Упростить
)!2n(
!5

!4!3
!n

P
20

PP
16
4
25A ;
5
2
36C
3. Вычислить
4. Вычислить
5. Сколькими   способами   собрание,   состоящее   из   18   человек,   может
выбрать из своего состава председателя собрания и секретаря?
6. Сколькими способами можно выбрать 3х дежурных, если в классе 30
человек?
7. Решить уравнение
2x 
C2
21
Вариант 4
5 1. Вычислить
2. Упростить
!5!7 
!6
1

)!1n(
3. Вычислить
P
5
6 
P
!5
13A ;
5
4. Вычислить
5. Сколько   различных   пятизначных   чисел   можно   составить   из   цифр
8
10C
1,2,3,4,5 при условии, что ни одна цифра в числе не повторяется?
6. Сколько вариантов распределения 3х путевок в санаторий различного
профиля можно составить для 5 претендентов?
7. Решить уравнение
A 
3
x
1
20
A
4
x
Тема 2. Выборочный метод в математической статистике.
Вариант 1
1. При   бросании   игральной   кости   вычислить   вероятность   события
«Выпало 2 очка».
2. В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого
кубка   написана   одна   из   следующих   букв:   о,   п,   р,   с,   т.   Найти
вероятность того, что на вытянутых по одному и расположенных «в
одну линию» кубиков можно будет прочесть слово «спорт».
3. В   цехе   работают   6   мужчин   и   4   женщины.   По   табельным   номерам
наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди
отобранных лиц окажутся три женщины.
4. По   цели   произведено   20   выстрелов,   причем   зарегистрировано   18
попаданий. Найти относительную частоту попаданий в цель.
5. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик
наудачу   извлекает   3   детали.   Найти   вероятность   того,   что   все
извлеченные детали окажутся окрашены.
6. В окружность вписан квадрат. В круг наудачу бросается точка. Какова
вероятность того, что эта точка попадает в квадрат.
1. При бросании монеты вычислить вероятность выпадения «решки».
2. Пять   различных   книг   расставлены   наудачу   на   одной   полке.   Найти
Вариант 2
вероятность того, что две определенные книги окажутся рядом.
3. В   группе   12   студентов,   среди   которых   8   отличников.   По   списку
наудачу  отобраны 9 студентов, найти  вероятность  того, что  среди
отобранных студентов 5 отличников.
6 4. При   испытании   партии   приборов   относительная   частота   годных
приборов оказалась равной 0,9. Найти число годных приборов, если
всего было проверено 200 приборов.
5. В конверте среди 100 фотокарточек находится одна разыскиваемая.
Из конверта наудачу извлекают 10 карточек. Найти вероятность того,
что среди них окажется нужная.
6. В   окружность   вписан   квадрат.   В   круг   наудачу   бросается   точка.
Какова вероятность того, что эта точка попадает в круг.
1. При   бросании   игральной   кости   вычислить   вероятность   выпадения
Вариант 3
четного числа очков.
2. В   корзине   находятся   20   красных,   15   зеленых   шаров.   Найти
вероятность того, что из 4 выбранных наудачу шаров будет 3 зеленых.
3. На каждой из шести карточек написаны буквы А, Б, И, Р, Ж. После
тщательного   перемешивания   берут   по   одной   карточке   и   кладут
последовательно   рядом.   Найти   вероятность   того,   что   получится
слово «Биржа».
4. Отдел технического контроля обнаружил пять бракованных книг в
партии   из   случайно   отобранных   100   книг.   Найти   относительную
частоту появления бракованных книг.
5. В партии из ста банок консервов 12 бракованных. Найти вероятность
того, что три взятые банки консервов окажутся бракованными.
6. В   окружность   вписан   квадрат.   В   круг   наудачу   бросается   точка.
Какова вероятность того, что эта точка попадает в квадрат.
1. При   бросании   игральной   кости   вычислить   вероятность   выпадения
Вариант 4
нечетного числа очков.
2. В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них окрашены.
Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, что среди
двух извлеченных изделий окажется одно окрашенное изделие.
3. В  ящике   100  деталей,  из   них  10  бракованных.  Наудачу   извлечены
четыре   детали.   Найти   вероятность   того,   что   среди   извлеченных
деталей нет бракованных.
4. В партии из 100 деталей отдел технического контроля обнаружил 5
нестандартных деталей. Чему равна относительная частота появления
стандартных деталей.
5. В канцелярии народного суда находится 26 дел, среди которых 17
уголовных. Наудачу для проверки документации извлекается 5 дел.
Найти   вероятность   того,   что   взятые   наудачу   дела   окажутся   не
уголовными.
7 6. В   окружность   вписан   квадрат.   В   круг   наудачу   бросается   точка.
Какова вероятность того, что эта точка попадает в круг.
Тема 3. Статистики и оценки параметров распределений.
Вариант 1
1. В   электрическую   цепь   последовательно   включены     три     элемента,
работающие   независимо   один   от   другого.   Вероятности     отказов
первого0,1,второго0,15, третьего0,2. Найти вероятность  того, что
тока в цепи  не будет.
2. Среди   100   лотерейных
    билетов   есть   5   выигрышных.   Найти
вероятность   того,   что   2   наудачу   выбранные   билета   окажутся
выигрышными.
3. На   стеллаже   библиотеки   в   случайном   порядке     расставлено     15
учебников,   причем    5  из     них     в    переплете.   Библиотекарь   берёт
наудачу 3  учебника. Найти  вероятность  того, что  хотя  бы один  из
взятых  учебников  окажется  в  переплёте.
4. Два   спортсмена   независимо   друг   от   друга   стреляют   по одной
мишени. Вероятность попадания  в  мишень  первого 0.7,  второго
0,8. Какова вероятность того, что мишень будет  поражена?
5. Отдел технического  контроля проверяет  на  стандартность  по  двум
параметрам   серию   изделий.   Было   установлено, что   у 8   из     25
изделий  не  выдержан  только первый параметр, у  6  изделий только
второй, а   у   3   изделий   не   выдержаны   оба     параметра. Наудачу
берется   одно из   изделий. Какова   вероятность   того, что   оно не
удовлетворяет  стандарту?
6. От здания     аэровокзала    к   трапам самолётов   отправились    два
автобуса.       Вероятность     своевременного     прибытия     каждого
автобуса  к  трапам  равна  0,95. Найти  вероятность  того, что хотя
бы один  из  автобусов  прибудет  вовремя.
Вариант 2
1. В электрическую цепь последовательно   включены   три   элемента,
работающие   независимо   один   от   другого.   Вероятности     отказов
первого0,1,второго0,15, третьего0,2. Найти вероятность  того, что
тока в цепи  не будет.
2. Среди     100     лотерейных       билетов     есть   5   выигрышных.   Найти
вероятность   того,  что   2    наудачу  выбранные   билета   окажутся
выигрышными.
3. На   стеллаже   библиотеки   в   случайном порядке   расставлено   15
учебников, причем   5 из   них   в   переплете. Библиотекарь   берёт
наудачу 3  учебника. Найти  вероятность  того, что  хотя  бы один  из
взятых  учебников  окажется  в  переплёте.
8 4. Два   спортсмена   независимо   друг   от   друга   стреляют   по одной
мишени. Вероятность попадания  в  мишень  первого 0.7,  второго
0,8. Какова вероятность того, что мишень будет  поражена?
5. Отдел технического  контроля проверяет  на  стандартность  по  двум
параметрам   серию   изделий.   Было   установлено, что   у 8   из     25
изделий  не  выдержан  только первый параметр, у  6  изделий только
второй, а   у   3   изделий   не   выдержаны   оба     параметра. Наудачу
берется   одно из   изделий. Какова   вероятность   того, что   оно не
удовлетворяет  стандарту?
6. От здания     аэровокзала    к   трапам самолётов   отправились    два
автобуса.       Вероятность     своевременного     прибытия     каждого
автобуса  к  трапам  равна  0,95. Найти  вероятность  того, что хотя
бы один  из  автобусов  прибудет  вовремя.
Тема 4. Статистическая проверка гипотез.
Вариант 1
Используя   критерий   Пирсона,   при   уровне   значимости   0,05
проверить,   согласуется   ли   гипотеза   о   нормальном   распределении
генеральной совокупности Х с эмпирическим распределением выборки
объема n=200.
xi
ni
0,3
6
0,5
9
0,7
26
0,9
25
1,1
30
1,3
26
1,5
21
1,7
24
1,9
20
2,1
8
2,3
5
Вариант 2
Используя   критерий   Пирсона,   при   уровне   значимости   0,01
установить, случайно или значимо расхождение между эмпирическими
частотами ni  и теоретическими частотами ni, которые вычислены, исходя
из гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности Х:
xi
ni
16
18
40
36
72
76
36
39
18
18
10
7
8
6
9 III. Темы для обсуждения на семинаре и проведения дискуссии
Тема 1. Предельные теоремы теории вероятностей.
1. Опыт и события.
2. Частота и вероятность события.
3. Геометрическая вероятность.
4. Условные частота и вероятность.
5. Зависимые и независимые события.
Тема 2. Выборочный метод в математической статистике.
1. Теоремы умножения частот и вероятностей.
2. Теоремы сложения частот и вероятностей.
3. Следствия теоремы сложения.
4. Вероятность   появления   события   хотя   бы   один   раз   в   нескольких
независимых опытах.
5. Формула полной вероятности.
6. Формула Бейеса (теорема гипотез).
7. Повторение опытов.
Тема 3. Статистики и оценки параметров распределений.
1. Понятие случайной величины (СВ).
2. Закон распределения СВ.
3. Моменты и числовые характеристики СВ.
4. Случайный вектор.
5. Числовые характеристики двумерного случайного вектора.
6. Зависимые и независимые СВ.
Тема 4. Статистическая проверка гипотез
1. Оценки параметров распределений и их свойства.
2. Методы получения оценок параметров распределений.
3. Оценка вероятности случайного события.
4. Оценка математического ожидания случайной величины.
5. Оценка дисперсии случайной величины.
6. Оценка корреляционного момента и коэффициента корреляции.
10 IV. Контрольные вопросы по темам
Тема 1. Предельные теоремы теории вероятностей.
1. Предмет и задачи дисциплины «Теория вероятностей (ТВ) и
математическая статистика (МС)».
1. Случайное явление.
2. Задачи МС.
3. Опыт и событие в ТВ.
4. Свойства событий.
5. Операции над событиями.
6. Частота и вероятность событий.
7. Схема случаев, классическая формула для вычисления вероятности
события.
8. Геометрическая вероятность.
9. Условные частота и вероятность.
10. Зависимые и независимые события.
Тема 2. Выборочный метод в математической статистике.
1. Теорема   умножения   вероятностей   для   зависимых   и   независимых
событий.
2. Теорема сложения вероятностей.
3. Вероятность объединения двух событий.
4. Следствие теоремы сложения.
5. Вероятность появления события хотя бы один раз в  nнезависимых
опытах.
6. Формула полной вероятности. Априорные вероятности.
7. Формула Бейеса. Апостериорные вероятности.
8. Повторение опытов в неизменных условиях. Формула Бернулли.
9. Повторение   опытов   в   изменяющихся   условиях.   Вычисление
вероятности
,mnP  с помощью производящей функции.
Тема 3. Статистики и оценки параметров распределений.
1. Случайная величина (СВ).
2. Дискретные и непрерывные СВ.
3. Начальные и центральные моменты СВ.
4. Математическое   ожидание,   дисперсия   СВ,   среднее   квадратическое
отклонение.
5. Квантиль, процентная точка.
6. Случайный вектор.
7. Плотность   вероятности,   функция   распределепния   случайного
вектора.
8. Начальные и центральные моменты случайного вектора.
11 9. Корреляционный момент, коэффициент корреляции, корреляционная
матрица, нормированная корреляционная матрица.
10.Зависимые и независимые СВ.
Тема 4. Статистическая проверка гипотез
  выборочный   метод   исследований.
1. Понятие   генеральной   совокупности.   Выборка   из   генеральной
совокупности,
  Функция
правдоподобия. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма.
2. Выборочная функция (статистика). Оценка параметра распределения.
Свойства   оценки:   несмещенность,  эффективность,  состоятельность.
Доверительный интервал, доверительная вероятность.
3. Точечные и интервальные оценки параметров распределений:
3.1. вероятности случайного события;
3.2. математического ожидания случайной величины;
3.3 дисперсии случайной величины;
корреляционного момента и коэффициента корреляции.
12 V. Тесты для проведения текущего контроля успеваемости по темам
Тема 1. Предельные теоремы теории вероятностей.
1. Чему равна вероятность достоверного события?
а)  0, 1;             б) 0,5;       в) 0;    г) 0,25;         д) 1.
2. Чему равна вероятность невозможного события?
а)  0, 1;             б) 0,5;       в) 0;     г) 0,25;         д) 1.
3. Монета была подброшена 10 раз. «Герб» выпал 4 раза. Какова
частота выпадения «герба»?
а)  0,5;    б) 0,4;       в) 0,2;     г) 0,25;         д) 0,1.
4. Бросают игральный кубик. Найдите вероятность выпадения
грани с 6 очками:
а)  1/52;    б) 0,5;       в) 1/36;     г) 1/6;         д) 1/9.
5. Бросают игральный кубик. Найдите вероятность выпадения
грани с нечётным числом очков:
а)  1/4;    б) 1/2;       в) 1/36;     г) 1/6;         д) 1/8.
6. Бросают игральный кубик. Найдите вероятность выпадения
грани с чётным числом очков:
а)  1/4;    б) 1/8;       в) 1/2;     г) 1/6;         д) 1/3.
7. В урне 2 белых и 3 черных шара. Вынимают шар. Найти
вероятность того, что этот шар – белый:
а) 0,5;             б) 0,4;                  в) 0,6;            г) 0, 2;               д) 0,6.
8. В коробке 12 стандартных и 3 бракованных детали. Вынимают
1 деталь. Найти вероятность того, что эта деталь –
бракованная.
а) 0,2;             б) 0,1;                  в) 0,6;            г) 0, 3;              д) 0,25.
9. В коробке 12 стандартных и 3 бракованных детали. Вынимают
1 деталь. Найти вероятность того, что эта деталь –
стандартная.
а) 0,2;             б) 0,4;                  в) 0,6;            г) 0, 5;               д) 0,8.
10. Какова вероятность выпадения «орла» при подбрасывании
монеты?
а)  0,5;    б) 0,4;       в) 0,2;     г) 0,25;         д) 0,1.
11. В урне 2 белых и 3 черных шара. Подряд вынимают два шара,
при этом каждый раз шары возвращают обратно в корзину.
Найти вероятность того, что оба вынутых шара – не белые.
а) 0,4;          б) 0,3;           в) 0,06;          г) 0, 16;          д) 0,26.
12. В урне 2 белых и 3 черных шара. Подряд вынимают два шара,
при этом шары не возвращают обратно в корзину. Найти
вероятность того, что оба вынутых шара – белые.
13 а) 0,2;           б) 0,1;          в) 0,6;            г) 0, 3;             д) 0,25.
13. Произведение двух событий обычно записывается в следующем
виде:
Ответ –  A B C
 
1. Сумма событий обычно записывается в следующем виде:
Ответ –  A B C
  .
15. Вероятности того, что во время работы цифровой
электронной машины произойдет сбой в арифметическом
устройстве, в оперативной памяти, относятся как 2:8.
Вероятности обнаружения сбоя в  арифметическом
устройстве, в оперативной памяти соответственно равны 0.8;
0.9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой
будет обнаружен.
а) 0,88;    б) 0,64;    в) 0,72;         г) 0, 66;          д) 0,92.
16. Три организации представили в контрольное управление счета
для выборочной проверки: первая – 2 счета, вторая 5, третья –
3. Вероятности правильного оформления счетов у этих
организаций соответственно таковы: 0.9, 0.8, 0.7. Какова
вероятность того, что выбранный наудачу счет оформлен
правильно?
а) 0,85;           б) 0,80;           в) 0,72;         г) 0, 66;           д) 0,79.
17. Какая группа событий изображена на схеме:

A
B
Ответ – совместимые
18. Какая группа событий изображена на схеме:

A
B
Ответ – несовместимые
19.Установите соответствие между экспериментатором и
показателями
Экспериментатор
1. ?
Число
бросаний
монеты
4040
Число
появлений
Частота
герба
2048
0,5080
14 2. ?
А. Бюффон
Б. Пирсон
12000
6019
0,5016
Ответ: 1 – А, 2 – Б
20. Установите соответствие между предметной выборкой и
статистическими  показателями
6
1
2
Месяц
3
4
5
7
8
9
10
11
12
за
год
1.?
2.?
3.?
Частота
рождения
девочек
7280 6957 7883 7884 7892 7609 7585 7393 7203 6903 6552 7132 88273
3743 3550 4017 4173 4117 3944 3964 3797 3712 3512 3392 3761 45682
3537 3407 3866 3711 3775 3665 3621 3596 3491 3391 3160 3371 42591
0,486 0,489 0,490 0,471 0,478 0,482 0,462 0,484 0,4850,4910,4820,473 0,483
А. Новорожденные
Б. Мальчики
В. Девочки
Ответ: 1 – А, 2 – Б, 3 – В
Тема 2. Выборочный метод в математической статистике.
1. Вероятность того, что в страховую компанию в течение года
обратится с иском о возмещении ущерба первый клиент, равна
0.2. Для второго клиента вероятность такого обращения равна
0.1. Найти вероятность того, что в течение года в СК
обратится хотя бы один клиент, если обращения клиентов –
события независимые.
а)  0,4;    б) 0,44;       в) 0,72;     г) 0,34;         д) 0,66.
2. В каждой из трех партий, содержащих по 10 изделий, имеется
соответственно два, три и пять бракованных изделия. Из
каждой партии наудачу извлекают по одному изделию. Найти
вероятность того, что все три изделия окажутся
стандартным.
а) 0,29;        б) 0,28;         в) 0,038;         г) 0, 32;         д) 0,26.
3. Вероятность того, что в течении одной смены возникнет
поломка станка равна 0,05. Какова вероятность того, что не
возникнет ни одной поломки за три смены?
а) 0,81;       б) 0,88;          в) 0,78;            г) 0, 95;         д) 0,86.
4. В коробке 4 стандартных и 2 бракованных детали. Подряд
вынимают две детали, при этом не возвращают их обратно в
15 коробку. Найти вероятность того, что обе вынутые детали –
бракованные.
а) 1/8;    б) 1/15;       в) 1/6;     г) 1/5;         д) 1/3.
5. В коробке 4 стандартных и 2 бракованных детали.
Последовательно по одной вынимают две детали, при этом
каждый раз возвращают их обратно в коробку. Найти
вероятность того, что обе вынутые детали – бракованные.
а) 1/4;    б) 1/15;       в) 1/6;     г) 1/7;         д) 1/9.
6. Три организации представили в контрольное управление счета
для выборочной проверки: первая – 4 счета, вторая 3, третья –
3. Вероятности правильного оформления счетов у этих
организаций соответственно таковы: 0.6, 0.7, 0.8. Какова
вероятность того, что выбранный наудачу счет оформлен
правильно?
а) 0,65;           б) 0,60;             в) 0,72;             г) 0, 69;             д) 0,79.
7. Вероятности того, что во время работы цифровой
электронной машины произойдет сбой в арифметическом
устройстве, в оперативной памяти, относятся как 3:7.
Вероятности обнаружения сбоя в  арифметическом
устройстве, в оперативной памяти соответственно равны 0.7;
0.8. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой
будет обнаружен.
а) 0,78;            б) 0,69;           в) 0,70;         г) 0, 76;         д) 0,72.
8. Три организации представили в контрольное управление счета
для выборочной проверки: первая – 2 счета, вторая4, третья –
4. Вероятности правильного оформления счетов у этих
организаций соответственно таковы: 0.7, 0.8, 0.9. Какова
вероятность того, что выбранный наудачу счет оформлен
правильно?
а) 0,85;           б) 0,82;         в) 0,70;           г) 0, 66;               д) 0,79.
9. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной
машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в
оперативной памяти, относятся как 3:7. Вероятности
обнаружения сбоя в  арифметическом устройстве, в
оперативной памяти соответственно равны 0.7; 0.8. Найти
вероятность того, что возникший в машине сбой не будет
обнаружен.
а) 0,30;           б) 0,32;         в) 0,28;           г) 0, 36;            д) 0,29.
16 10. Три организации представили в контрольное управление счета
для выборочной проверки: первая –2 счета, вторая 4, третья –
4. Вероятности правильного оформления счетов у этих
организаций соответственно таковы: 0.7, 0.8, 0.9. Какова
вероятность того, что выбранный наудачу счет оформлен
неправильно?
а) 0,17;            б) 0,20;            в) 0,21;         г) 0, 18;           д) 0,19.
11. Найти дисперсию случайной величины Х, если закон ее
распределения задан таблицей:
Х xi
pi
3
0,1
а) 2,85;             б) 3,70;       в) 2,45;         г) 4, 60;              д) 10,9.
–2
0,1
–1
0,2
0
0,3
2
0,3
12. Найти математическое ожидание случайной величины Х,
если закон ее распределения задан таблицей:
20
0,4
2
0,3
10
0,1
15
0,2
xi
pi
а) 12,85;             б) 13,70;       в) 12,60;         г) 14, 60;              д) 13,9.
13. На основании 20 наблюдений выяснено, что выборочная доля
дисперсии случайной величины у, вызванной вариацией х,
составит 64%. Известно, что коэффициент регрессии –
отрицательный. Чему не  равен выборочный парный
коэффициент корреляции:
а) 0,4;               б) 0,5;            в) – 0,6;          г) – 0,7;        д) – 0,8.
14. На основании 20 наблюдений выяснено, что выборочная доля
дисперсии случайной величины у, вызванной вариацией х,
составит 64%. Известно, что коэффициент регрессии –
положительный. Чему не равен выборочный парный
коэффициент корреляции:
а) 0,8;               б) 0,6;            в) 0,4;          г) – 0,4;        д) – 0,8.
15.  Формулировка теоремы: частота суммы двух несовместных
событий равна …
Ответ: Сумме этих событий
16.
  Формулировка   теоремы:   вероятность   суммы   двух
несовместных событий равна…
*
P A B
(

)

*
P A
)
(

P B
(
)
(
Ответ: Сумме вероятностей этих событий
17. Какое положение изображено на схеме:
P A B
 
)
)
P A
(

P B
(
),
AB

17 

H 1
H n
 . . .
 . . .
H 4 A
H n A
H 1 A
H 2 A
H 2
 . . .
 A
H 3 A
H 3
 . . .
H 4
Ответ: Произведения события  A  с гипотезами  (событиями
iH )
18. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что
сумма очков на выпавших гранях – чётная, причём на грани
хотя бы одной из костей появится «шестёрка»
Ответ: 5/36.
19. Для сигнализации об аварии установлены два независимо
работающие сигнализатора. Вероятность того, что при аварии
сработает первый сигнализатор равна 0,8, а второй – 0,9. Найти
вероятность того, что при аварии сработает только один
сигнализатор.
Ответ: 0,26.
20. Какая группа событий заключена в следующем положении:
n
i
i
H
 


1
Ответ: полная
Тема 3. Статистики и оценки параметров распределений.
1. Случайная величина вырождена, если имеет:
1) нулевую дисперсию;
2) нулевое математическое ожидание;
2. Коэффициент корреляции равен 1, если случайные величины:
1) независимы;
2) зависимы;
3) линейно зависимы;
4) линейно независимы.
3. Дисперсия является:
1) центральным моментом второго порядка;
2) начальным моментом второго порядка;
3) центральным моментом первого порядка;
4) начальным моментом первого порядка.
4. Плотность   распределения   двумерной   случайной   величины
распадается в произведение в случае …
1) стохастической зависимости компонентов случайного вектора;
2) стохастической независимости компонентов случайного вектора.
5. Математическое ожидание является:
18 1) центральным моментом второго порядка;
2) начальным моментом второго порядка;
3) центральным моментом первого порядка;
4) начальным моментом первого порядка;
6. Среднеквадратическое отклонение случайной величины:
1) есть величина безразмерная;
2) имеет ту же размерность, что и случайная величина;
7. Условное   математическое   ожидание   случайной   величины  
при условии А вычисляется по формуле:

1)
xF
AM 
)

xdF
)
/(
Ax
2)
/(
/(
A
)
M

;





(
dxAx
/
)
;
8. Математическое ожидание случайной величины:
1) безразмерно;
2) имеет те же размерность, что и случайная величина.
9. Матрица ковариации двумерного случайного вектора (где r –
коэффициент корреляции) имеет вид:
1)




2
1

1
2
r
r

1
2

2
2



;
2)



r

1
2
2

1
r



;
3)




2
r
1

1
2

1
2

2
r
2



.
10. Случайная величина имеет плотность распределения

(
xf
)







3
4
2
x


2

х
при

0
9
x
при
6

2
2


при
0

4
х

4
х
Ее математическое ожидание есть:
1) 4;
2) 3;
3) 1.
11. Случайная величина имеет функцию распределения

xF
(
)




1


0

x
4
e
при



х
0


при
х
0
Ее дисперсия есть:
1 .
1 ;
1)16
4
2)
12. Плотность распределения случайной величины есть:
при
при
при
при

х
1
0


1

х
0

х
1

1
х
)
(
xf










0

x
1
1
x

0
Ее дисперсия есть:
1 ;
1 ;
1)  3
4
2)
3)
1 .
6
19 13.Случайная величина имеет плотность распределения

(
xf
)









sin

0

x
при
при

х
0

0
при

х

2

0

х

2

Ее математическое ожидание есть:
1) 2;
2) 1.
14. Найти математическое ожидание случайной величины Х,
если закон ее распределения задан таблицей:
xi
pi
3
0,3
4
0,1
5
0,2
6
0,4
а) 3,85;         б) 3,70;        в) 4,40;         г) 4,66;        д) 4,95.
15. Найти математическое ожидание случайной величины Х,
если закон ее распределения задан таблицей:
xi
pi
5
0,3
6
0,1
7
0,2
8
0,4
а) 6,85;            б) 6,60;        в) 6,70;      г) 6, 66;        д) 6,95.
16. Установите соответствие между понятием и графиком
1. Случайный вектор на плоскости
2. Случайный вектор в трехмерном пространстве

(X,Y)

y
Y

R2

     0                            X                 x
z

Z

(X,Y,Z)

R3

   0
R2

Y
y

А.
Ответ: 1 – А, 2 – Б
X
x

Б.
17. На схеме представлена графическая интерпретация функции
…

X

file_name: КОС Математика и статистика ВПО.doc

description:
13.Случайная величина имеет плотность распределения

(
xf
)









sin

0

x
при
при

х
0

0
при

х

2

0

х

2

Ее математическое ожидание есть:
1) 2;
2) 1.
14. Найти математическое ожидание случайной величины Х,
если закон ее распределения задан таблицей:
xi
pi
3
0,3
4
0,1
5
0,2
6
0,4
а) 3,85;         б) 3,70;        в) 4,40;         г) 4,66;        д) 4,95.
15. Найти математическое ожидание случайной величины Х,
если закон ее распределения задан таблицей:
xi
pi
5
0,3
6
0,1
7
0,2
8
0,4
а) 6,85;            б) 6,60;        в) 6,70;      г) 6, 66;        д) 6,95.
16. Установите соответствие между понятием и графиком
1. Случайный вектор на плоскости
2. Случайный вектор в трехмерном пространстве

(X,Y)

y
Y

R2

     0                            X                 x
z

Z

(X,Y,Z)

R3

   0
R2

Y
y

А.
Ответ: 1 – А, 2 – Б
X
x

Б.
17. На схеме представлена графическая интерпретация функции
…

X<x
X
.
.

   x1               x2            x                               x

.
.
.
20

description:
Ответ: Распределения
18. Какое понятие скрыто за символом Х

X
.
.

   x1         x2         x3                                xn       x

.
.
.
.
Ответ: Дискретная случайная величина
19. Какое понятие скрыто за символом

X

   xmin                     x                          xmax      x

Ответ: Непрерывная величина
20. Используя график распределения установите соответствие в

0,36
F(x)
1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,16
       0                  1                      2                     x

.
.
0,48
ряду распределения:
ix
(
)iF x
0
1?
1
2?
2
3?
2 
4?
А – 0
Б – 0,16
В – 0,64
Г – 1,00
Ответ: А – 1, Б – 2, В – 3, Г – 4
Тема 4. Статистическая проверка гипотез
21

description:
1. Оценка дисперсии случайного параметра равна:
(
2
;
)
x
1
n
x mn 

i
1
1
n
x m
2
 

)
(
x
n 
1
i
1
n x m
n
2
 
)
x
n 
11
i

(
;
.
1)
2)
3)
1)
2)
3)
2. Оценка   математического   ожидания   случайной   величины
равна:
i
n
1
x
n  1
i
1
1
n
xn 
1
;
n x
n  11
n
i
i
i
i
;
.
3. Определите доверительный интервал для оценки вероятности
события A с надежностью 0,95, если в 100 опытах событие A
появилось 70 раз.
1) 0,42 … 0,98; 2) 0,32 … 0,88; 3) 0,20 … 0,90.
4. Определите доверительный интервал для оценки по 10 опытам
xm 12 6 с надежностью 0,90 при
математического ожидания
,
известной точности измерений s 3.
1) 11,04 … 14,16; 2) 12,50 … 16,30; 3) 10,00 … 18,00.
*
5. Определите доверительный интервал по 20 наблюдениям
математического ожидания
оценка СКО по тем же наблюдениям оказалась равной
xm  25 с надежностью 0,95, если
,xs  2 5.
*
*
1) 23,50 … 25,50; 2) 24,04 … 25,96; 3) 24,50 … 25,50.
6. Определите   доверительный   интервал   для   оценки   по   37
xd 16  с   надежностью
независимым   испытаниям   дисперсии   *
0,95 при известном МО и нормальной оценке дисперсии.
1) 5,50 … 25,50; 2) 8,60 … 23,40; 3) 9,20 … 26.80.
7. Математическая статистика является по отношению к
прикладной статистике …
Ответ: разработчиком и поставщиком существенной части
используемого в последней математического аппарата
8. По результатам выборочных наблюдений были получены
выборочные коэффициенты регрессии:
Чему не равен выборочный коэффициент детерминации?
 b = 0,5;    b = 1,62
xy
yx
22

description:
-
а)  0,9
;               б)  0,81
-
;          в) 0,9;          г) 0, 4 ;        д)0,81.
9. По результатам выборочных наблюдений были получены
выборочные коэффициенты регрессии:
не равен выборочный коэффициент детерминации?
-
а)  0,9
;               б)  0,81;            в) 0,9;          г) 0, 4 ;        д) 0,81
-
xy
yx
.
 b = 0,5;    b = 1,62   Чему
10. По результатам выборочных наблюдений были получены
следующие характеристики:
не равен выборочный коэффициент регрессии
а) 1, 23;               б) 1,81;            в)1,9;          г) 1, 23
-
x
xy
 b ?
;        д)1,81.
r = 0,94;   S = 4,37; S = 3,35

y
. Чему
11. По результатам выборочных наблюдений были получены
следующие характеристики:
не  равен выборочный коэффициент регрессии
а)  0,9
;     г) 0, 23
;               б)  0,81;            в) 0,72
-
-
-
x
y

 b ?
;        д) 0,81
-
yx
r = 0,94;   S = 4,37; S = 3,35
.
. Чему
12. По результатам выборочных наблюдений были получены
следующие характеристики:
равен выборочный коэффициент регрессии
-
а) 1, 23;               б)  1,81
xy
;            в)1,9;          г) 1, 23

 b ?
-
x
r = 0,94;   S = 4,37; S = 3,35
;        д)1,81.
.  Чему
13. По результатам выборочных наблюдений были получены
следующие характеристики:
равен выборочный коэффициент регрессии
-
а)  0,9
;               б)  0,72 ;            в) 0,72
yx
;      г) 0, 23

 b ?
-
-
x
r = 0,94;   S = 4,37; S = 3,35
;       д) 0,81
.
-
.  Чему
14. В качестве точечной оценки математического ожидания (МО)
случайной величины принимают …
Ответ: среднее арифметическое наблюденных значений этого
параметра (выборочное среднее):
y
y
m
*
x
n
1
xn 
 1
i
i
.
15. Оценка дисперсии случайного параметра равна:
1)
2)
3)
;
(
2
)
x
1
n
x mn 

1
i
1
n
x m
2
 

)
(
x
n 
1
i
1
n x m
n
2
 
)
x
n 
11
i

(
;
.
16.   Оценка   математического   ожидания   случайной   величины
равна:
1
x
n  1
i
1
1)
n
i
;
23

description:
2)
3)
i
n
1
xn 
1
;
n x
n  11
n
i
i
.
i
17. Какая критическая область отмечена на графике
ОДЗ
f u
0 ( )
H0
КРО
H1
1 

0
крu
u
Ответ: Правосторонняя
18. Какая критическая область отмечена на графике
КРО
H1
0( )
f u
ОДЗ
H0

1 
*
крu
Ответ: Левосторонняя
u
19. Как формируется критерий Колмогорова при проверке
непараметрических гипотез?
Ответ: Сравнением гистограммы и сглаживающей кривой
распределения;
20. Как формируется критерий «хи – квадрат» Пирсона при
проверке непараметрических гипотез?
Ответ: Сравнением эмпирической и сглаживающей функций
распределения.
24

description:
VI. Практические задания / кроссворды
Тема 1. Предельные теоремы теории вероятностей.
По горизонтали
3. Событие, которое может произойти либо не произойти при соблюдении
определенных условий
5. Степень (мера, количественная оценка) возможности наступления
некоторого события?
25

description:
6. Случайное событие, которое не разделяется на другие, более мелкие
события
7. Два или более событий, которые могут произойти вместе
(одновременно) в данном испытании?
10. функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная
величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х.
11. Классический расчет вероятности (до опыта)
12. Называется произвольное множество некоторого множества всех
возможных исходов
14. Расчет вероятности после опыта на основе полученной информации
15. Отрасль знаний, в которой излагаются общие вопросы сбора,
измерения и анализа массовых статистических (количественных или
качественных) данных
18. Единичное осуществление какого –либо эксперимента?
19. Французский математик, физик, литератор, механик, философ
20. Кавалер, азартный игрок
По вертикали
1. Множество случаев (испытуемых, объектов, событий, образцов), с
помощью определённой процедуры выбранных из генеральной
совокупности для участия в исследовании
2. Событие, которое обязательно происходит в результате испытания?
4. раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества
(сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и
отношения на них?
8. Численная характеристика реальности появления того или иного
события?
9. Нормальный закон распределения также называется законом
13. распределение вероятностей непрерывной случайной величины,
которое описывается плотностью вероятности
16. Любой результат испытания называется
17. Мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от
математического ожидания?
26

description:
Тема 2. Выборочный метод в математической статистике.
По горизонтали
2. Все виды имущественных и интеллектуальных ценностей
27

description:
8. Ряд распределения, построенный по количественному признаку
12. Инвестиции сроком до 10 лет
16. Ошибки, возникающие вследствие несоответствия структуры
выборки структуре генеральной совокупности
18. Статистическое не сплошное наблюдение, состоящее в детальном
описании одной единицы совокупности, рассматриваемой как типичной
23. Совокупность материальных элементов, призванных обслуживать все
процессы, связанные с коммерческой деятельностью
По вертикали
1. Наука, изучающая количественную сторону массовых явлений
3. Какое статистическое наблюдение подвергается обследованию по
специальной методики единиц совокупности
4. Разбиение совокупности на группы, однородные по какомулибо
признаку
5. Взаимосвязь двух признаков или величин
6. Статистическое наблюдение, проводимое по мере необходимости
7. Совокупность, из которой производится отбор
9. Статистическое не сплошное наблюдение, при котором из всей
изучаемой совокупности отбирается определенное число единиц
10. … величины отражающие физические размеры изучаемых явлении
11. Ошибки, возникающие изза неправильных или неточных сведений
13. Общенаучный метод сбора первичной информации путем
непосредственной регистрации исследователем событий, явлений и
процессов, происходящих в определенных условиях
14. Вид опроса, позволяющий опрашивать людей и с их слов заполнять
формуляры
15. Способ статистического наблюдения, при котором обследуемое лицо
после инструктажа самостоятельно заполняет регистрационный бланк
16. Ошибки, возникающие вследствие несоответствия структуры
выборки структуре генеральной совокупности
17. Значение признаков выражаемого словом
19. Соответствие условий и методов расчета статистических
показателей, обеспечивающих правильность получаемых при их
сравнении выводов о различиях между изучаемыми явлениями
20. Какой учет проводится с целью получения данных о численности или
размещении изучаемого объекта
21. Значение признака, выражаемого числом
22. Статистическое наблюдение, проводимое через определенные
интервалы времени
24. Инвестиции сроком до 1 года
28

description:
Тема 3. Статистики и оценки параметров распределений.
По горизонтали
5. Количественные признаки делятся на непрерывные и …
7. Степень, до которой совпадают результаты повторных измерений тем
же наблюдателем в идентичных условиях
14. Среднее, применяемое в рядах динамики для определения средних
темпов изменения
29

description:
19. Совокупность социальноэкономических объектов и явлений
общественной жизни, объединенная некоторой качественной основой,
общественной связью, но отличающихся друг от друга отдельными
признаками – это статистическая …
21. Свойство распределения выборки, которое характеризует
несимметричность распределения
24. Значения признака, делящие упорядоченную совокупность на четыре
равные части
По вертикали
1. Среднее квадратическое отклонение индивидуальных значений
признака в квадрате от средней арифметической.
2. Систематическое распределение явлений и объектов по определенным
группам, разрядам на основании их сходства и различия
3. Количественное значение признака на основе которого исследуемое
явление, лежащее в определенных границах, разбивается на группы
4. форма проявления связи, выражающаяся в последовательности,
регулярности, повторяемости событий с достаточно высокой степенью
вероятности.
6. Доля пациентов с точно диагностированным заболеванием
8. Значение моды определяется на основе графика
9. Группировка представляет собой разделение исследуемой
совокупности на однородные группы
10. Группировка, в которой происходит разделение однородной
совокупности на группы, характеризующие ее структуру по какомуто
варьирующему признаку.
11. Что определяет долю группы единиц совокупности в общем ее
объеме
12. Учёт основных средств, денежных средств, материалов в пределах
предприятий и организаций
13. Метод сбора данных, который предполагает самостоятельное
заполнение респондентом опросного листа и последующий ее возврат
интервьюеру
15. Сочетание диаграммы с географической картой
16. Значение признака, приходящееся на середину ранжированной
совокупности
17. Расчленение множества единиц изучаемой совокупности на группы по
определенным, существенным для них признакам
18. Графическое представление распределения частот для
количественного признака, образуемое соприкасающимися
прямоугольниками, основаниями которых служат интервалы классов, а
площади пропорциональны частотам этих классов
20. Статистика населения
30

description:
22. Зависимость среднего значения какойлибо величины от некоторой
другой величины
23. Специально организованное статистическое наблюдение,
направленное на учет численности и состава определенных явлений
25. Изменение величины либо значения признака при переходе от одного
объекта (или группы объектов) к другому
31

description:
VII. Задания для контрольных работ
Тема 2. Выборочный метод в математической статистике.
Вариант 1
1. Вероятность   того,   что   посеянное   семя   взойдет,   равна   0,А.
Составить   закон   распределения   случайной   величины   –   числа
взошедших семян из 5 посеянных. Найти математическое ожидание
и дисперсию этой случайной величины.
2. Завод   отправил   в   торговую   сеть   1000   изделий.   Вероятность
повреждения изделия в пути равна 0,00А. Найти вероятность того,
что при транспортировке будет повреждено:
а) ровно три изделия;
б) более 3х изделий;
в) хотя бы одно изделие.
3. Среднее время безотказной работы прибора равно  А0 ч. Полагая,
что время безотказной работы прибора имеет показательный закон
распределения, найти:
а)   выражение   его   плотности   вероятности   и   функции
распределения;
б)   вероятность   того,  что   в  течение   120  ч.   прибор   не  выйдет   из
строя.
4. Текущая   цена   акции   может   быть   смоделирована   с   помощью
нормального закона распределения с математическим ожиданием
15 ден. ед. и средним квадратическим отклонением 0,А ден. ед. 1.
Найти вероятность того, что цена акции: а) не выше 15,4 ден. ед. и
не ниже 15,3 ден. ед.
5. Найти математическое ожидание, дисперсию случайной величины
Х, если закон ее распределения задан таблицей:
xi
pi
2+А
0,3
3+А
0,1
4+А 5+А
0,2
0,4
Вариант 2
1. Вероятность   того,   что   посеянное   семя   взойдет,   равна   0,А.
Составить   закон   распределения   случайной   величины   –   числа
взошедших семян из 5 посеянных. Найти математическое ожидание
и дисперсию этой случайной величины.
2. Завод   отправил   в   торговую   сеть   1000   изделий.   Вероятность
повреждения изделия в пути равна 0,00А. Найти вероятность того,
что при транспортировке будет повреждено:
а) ровно три изделия;
б) более 3х изделий;
в) хотя бы одно изделие.
32

description:
3. Среднее время безотказной работы прибора равно  А0 ч. Полагая,
что время безотказной работы прибора имеет показательный закон
распределения, найти:
а)   выражение   его   плотности   вероятности   и   функции
распределения;
б)   вероятность   того,  что   в  течение  120  ч.  прибор   не   выйдет   из
строя.
4. Текущая   цена   акции   может   быть   смоделирована   с   помощью
нормального закона распределения с математическим ожиданием
15 ден. ед. и средним квадратическим отклонением 0,А ден. ед. 1.
Найти вероятность того, что цена акции: а) не выше 15,4 ден. ед. и
не ниже 15,3 ден. ед.
5. Найти математическое ожидание, дисперсию случайной величины
Х, если закон ее распределения задан таблицей:
xi
pi
2+А
0,3
3+А
0,1
4+А 5+А
0,2
0,4
Тема 4. Статистическая проверка гипотез
Вариант 1
1. Разыграть восемь возможных значений ДСВ, закон распределения
которой:
х
р
3
0,2
8
0,12
12
0,43
23
0,23
2. Заданы вероятности трех событий А1, А2, А3, образующих полную
группу событий: р1=р(А1)=0,2   р2=р(А2)=0,31    р3=р(А3)=0,47.
Разыграть пять испытаний, в каждом из которых появляется одно
из трех рассматриваемых событий.
3. Разыграть 4 испытания, в каждом из которых вероятность
появления события А равна 0,52.
4. Разыграть 4 возможных значения НСВ, распределенной равномерно
в интервале (6;14)
xF
)(
ax
ab


5. События А и В независимы и совместны. Разыграть 5 испытаний, в
каждом из которых р(А)=0,5; р(В)=0,8
Вариант 2
1. Разыграть шесть возможных значений ДСВ, закон распределения
которой:
х
р
2
0,15
4
0,25
13
0,2
15
0,4
33

description:
2. Заданы вероятности трех событий А1, А2, А3, образующих полную
группу событий: р1=р(А1)=0,2   р2=р(А2)=0,32    р3=р(А3)=0,48.
Разыграть шесть испытаний, в каждом из которых появляется одно
из трех рассматриваемых событий.
3. Разыграть 4 испытания, в каждом из которых вероятность
появления события А равна 0,48.
4. Разыграть 4 возможных значения НСВ, распределенной равномерно
в интервале (4;14)
xF
)(
5. События А и В независимы и совместны. Разыграть 4 испытания, в
ax
ab


каждом из которых р(А)=0,4; р(В)=0,6
34

description:
VIII. Экзаменационные вопросы
Задания 1 типа
Теоретические вопросы на знание базовых понятий предметной
области дисциплины:
1. Элементы комбинаторики (размещения, сочетания, перестановки)
2. Случайное событие и его вероятность. Классическое определение
вероятности.
3. Случайное событие. Классификация случайных событий
4. Случайное событие и его вероятность. Статистическое
определение вероятности
5. Аксиомы теории вероятностей. Правило сложения вероятностей
6. Условная вероятность события. Правило умножения
вероятностей
7. Формула полной вероятности. Примеры использования на
практике.
8. Теорема гипотез. Формула Байеса. Примеры использования на
практике.
9. Понятие случайной величины. Виды случайных величин
10. Закон распределения случайной величины (определение, способы
задания)
11. Дисперсия дискретной случайной величины. Основные свойства
дисперсии случайной величины
12. Математическое ожидание дискретной случайной величины.
Основные свойства математического ожидания
13. Плотность распределения непрерывной случайной величины.
Свойства плотности распределения непрерывной случайной величины
14. Функция распределения случайной величины. Свойства функции
распределения
15. Локальная теорема Лапласа
16. Интегральная теорема Лапласа.
17. Биномиальный закон распределения (определение, МО, СКО)
18. Закон Пуассона (определение, МО, СКО)
19. Равномерный закон распределения (определение, МО, СКО)
20. Показательный закон распределения (определение, МО, СКО)
21. Нормальный закон распределения (определение, МО, СКО)
22. Биномиальный закон распределения (определение, МО, СКО)
23. Аксиомы теории вероятностей. Правило сложения вероятностей
24. Условная вероятность события. Правило умножения
вероятностей
25. Формула полной вероятности. Примеры использования на
практике.
35

description:
26. Теорема гипотез. Формула Байеса. Примеры использования на
практике.
27. Закон распределения случайной величины (определение, способы
задания)
28. Дисперсия дискретной случайной величины. Основные свойства
дисперсии случайной величины
29. Плотность распределения непрерывной случайной величины.
Свойства плотности распределения непрерывной случайной величины
30. Функция распределения случайной величины. Свойства функции
распределения
Задания 2 типа
Теоретические вопросы, позволяющие оценить степень владения,
обучающегося   принципами   предметной   области   дисциплины,
понимание их особенностей и взаимосвязи между ними:
1. Страховая компания разделяет застрахованных клиентов по
классам риска: I класс – малый риск, II класс –  средний риск, III класс –
большой риск. Среди этих клиентов 50% – первого класса риска, 30% –
второго и 20% – третьего. Вероятность необходимости выплачивать
страховое вознаграждение для первого класса риска равно 0.01, второго
– 0.03, третьего – 0.08. Какова вероятность того, что застрахованный
клиент получит денежное вознаграждение за период страхования?
2. Три организации представили в контрольное управление счета для
выборочной проверки: первая – 15 счетов, вторая 10, третья – 25.
Вероятности правильного оформления счетов у этих организаций
соответственно таковы: 0.9, 0.8, 0.85. Был выбран один счет, и он
оказался правильным. Определить вероятность того, что этот счет
принадлежит второй организации.
3. В первом цехе завода производится в среднем 90% стандартных
деталей, во втором – 95%, в третьем – 85%. В сборочном цехе этого же
завода поступает 50% деталей из первого цеха, 30% – из второго и 20% –
из третьего. Найти вероятность того, что деталь, наудачу взятая
сборщиком, окажется стандартной.
4. В вычислительной лаборатории имеются шесть клавишных
автоматов и четыре полуавтомата. Вероятность того, что за время
выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0.95;
для полуавтомата эта вероятность равна 0.8. Студент производит расчет
на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до
окончания расчета машина не выйдет из строя.
5. Из трех станков, обслуживаемых одним рабочим, вероятность
остановки в течение рабочей смены для первого станка равна 0.1, для
второго – 0.15, для третьего – 0.2. Найти вероятность бесперебойной
работы всех трех станков в течение одной смены.
36

description:
6. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе № 1, 20
– на заводе № 2 и 18 деталей – на заводе № 3. Вероятность того, что
деталь, изготовленная на заводе № 1, отличного качества, равна 0.9; для
деталей, изготовленных на заводах № 2 и № 3, эти вероятности
соответственно равны 0.6 и 0.9. Найти вероятность того, что извлеченная
наудачу деталь окажется отличного качества.
7. У сборщика имеются 80 деталей, 36 из которых изготовлены в
первом цехе, 24 – во втором и 20 – в третьем. Вероятность того, что
деталь, изготовленная в первом цехе, стандартна, равна 0.8, для второго
цеха – 0.6 и для третьего цеха – 0.8. Найти вероятность того, что наудачу
взятая сборщиком деталь стандартна.
8. Детали для сборки изготовляются на двух станках, из которых
первый производит деталей в три раза больше второго. При этом брак
составляет в выпуске первого станка 2.5%, а в выпуске второго – 1.5 %.
Взятая наудачу сборщиком деталь оказалась годной. Найти вероятность
того, что она изготовлена на втором станке.
9. Три организации представили в контрольное управление счета для
выборочной проверки: первая – 15 счетов, вторая 10, третья – 25.
Вероятности правильного оформления счетов у этих организаций
соответственно таковы: 0.9, 0.8, 0.85. Определить вероятность того, что
наудачу взятый счет окажется правильно оформленным.
10. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной
машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной
памяти и в остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятности
обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти
и в остальных устройствах соответственно равны 0.8; 0.9; 0.9. Найти
вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.
11. В данный район изделия поставляются тремя фирмами в
соотношении 5:8:7. Среди продукции первой фирмы стандартные
изделия составляют 90%, второй – 85%, третьей – 75%. Найти
вероятность того, что:
а) приобретенное изделие окажется нестандартным;
б) приобретенное изделие оказалось стандартным. Какова
вероятность того, что оно изготовлено третьей фирмой?
12. Страховая компания разделяет застрахованных клиентов по
классам риска: I класс – малый риск, II класс –  средний риск, III класс –
большой риск. Среди этих клиентов 50% – первого класса риска, 30% –
второго и 20% – третьего. Вероятность необходимости выплачивать
страховое вознаграждение для первого класса риска равна 0.01, второго –
0.03, третьего – 0.08. Какова вероятность того, что получивший денежное
вознаграждение застрахованный клиент относится к группе малого
риска?
37

description:
13. Вся продукция цеха проверяется двумя контролерами, причем
первый контролер проверяет 55% изделий, а второй – остальные.
Вероятность того, что первый контролер пропустит нестандартное
изделие равна 0,01, второй – 0,02. Взятое наудачу изделие,
маркированное как стандартное, оказалось нестандартным. Найти
вероятность того, что изделие проверялось вторым контролером.
14. Вероятность того, что посеянное семя взойдет, равна 0.5.
Составить закон распределения случайной величины – числа взошедших
семян из 5 посеянных. Найти математическое ожидание и дисперсию
этой случайной величины.
15. Страховая компания разделяет застрахованных клиентов по
классам риска: I класс – малый риск, II класс –  средний риск, III класс –
большой риск. Среди этих клиентов 50% – первого класса риска, 30% –
второго и 20% – третьего. Вероятность необходимости выплачивать
страховое вознаграждение для первого класса риска равно 0.01, второго
– 0.03, третьего – 0.08. Какова вероятность того, что получивший
денежное вознаграждение застрахованный клиент относится к группе
большого риска?
16. В среднем из каждых 100 клиентов отделения банка 60
обслуживаются первым операционистом и 40 – вторым операционистом.
Вероятность того, что клиент будет обслужен без помощи заведующего
отделением, только самим операционистом, составляет 0.9 и 0.75
соответственно для первого и второго служащих банка. Найти
вероятность полного обслуживания клиента первым операционистом.
17. Прибор может собираться из высококачественных деталей и из
деталей обычного качества; вообще около 40 % приборов собирается из
высококачественных деталей. Если прибор собран из
высококачественных деталей, его надежность (вероятность безотказной
работы) за время t равна 0.95, если из деталей обычного качества – его
надежность равна 0.7. Прибор испытывался в течение времени t и работал
безотказно. Найти вероятность того, что он собран из
высококачественных деталей.
18. Прибор может работать в одном из двух режимов: нормальном и
неблагоприятном. Нормальный режим наблюдается в 80 % случаев
эксплуатации прибора; неблагоприятный – 20 % случаев. Вероятность
безотказной работы прибора в нормальном режиме равна 0.9, в
неблагоприятном – 0.6. Найти вероятность безотказной работы прибора.
19. Обнаружен факт сброса в водоем неочищенных стоков.
Известно, что потенциальными источниками загрязнения являются два
предприятия, причем исходно вероятность того, что сброс произведен
первым предприятием, оценивается в 90 %, а вторым – в 10 %. Известно,
что в 15 % стока первого предприятия и в 92 % второго ртуть превышает
предельно допустимую концентрацию (ПДК). Определить, какому
38

description:
предприятию может принадлежать обнаруженный сброс, если взятая
проба показывает превышение ПДК по ртути.
20. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе № 1,
20 – на заводе № 2 и 18 деталей – на заводе № 3. Вероятность того, что
деталь, изготовленная на заводе № 1, отличного качества, равна 0.9; для
деталей, изготовленных на заводах № 2 и № 3, эти вероятности
соответственно равны 0.6 и 0.9. Наудачу извлеченная деталь оказалась
отличного качества. Найти вероятность того, что деталь изготовлена на
заводе № 2.
21. Страховая компания разделяет застрахованных клиентов по
классам риска: I класс – малый риск, II класс –  средний риск, III класс –
большой риск. Среди этих клиентов 50% – первого класса риска, 30% –
второго и 20% – третьего. Вероятность необходимости выплачивать
страховое вознаграждение для первого класса риска равно 0.01, второго
– 0.03, третьего – 0.08. Какова вероятность того, что застрахованный
клиент не получит денежное вознаграждение за период страхования?
22. Три организации представили в контрольное управление счета
для выборочной проверки: первая – 15 счетов, вторая 10, третья – 25.
Вероятности правильного оформления счетов у этих организаций
соответственно таковы: 0.9, 0.8, 0.85. Был выбран один счет, и он
оказался правильным. Определить вероятность того, что этот счет
принадлежит первой организации.
23. В первом цехе завода производится в среднем 90% стандартных
деталей, во втором – 95%, в третьем – 85%. В сборочном цехе этого же
завода поступает 50% деталей из первого цеха, 30% – из второго и 20% –
из третьего. Найти вероятность того, что деталь, наудачу взятая
сборщиком, окажется нестандартной.
24. В вычислительной лаборатории имеются шесть клавишных
автоматов и четыре полуавтомата. Вероятность того, что за время
выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0.95;
для полуавтомата эта вероятность равна 0.8. Студент производит расчет
на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до
окончания расчета машина выйдет из строя.
25. Из трех станков, обслуживаемых одним рабочим, вероятность
остановки в течение рабочей смены для первого станка равна 0.1, для
второго – 0.15, для третьего – 0.2. Найти вероятность, того в течение
одной смены бесперебойно будут работать не более двух  станков.
26. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе № 1,
20 – на заводе № 2 и 18 деталей – на заводе № 3. Вероятность того, что
деталь, изготовленная на заводе № 1, отличного качества, равна 0.9; для
деталей, изготовленных на заводах № 2 и  № 3, эти вероятности
соответственно равны 0.6 и 0.9. Извлеченная наудачу деталь оказалась
39

description:
отличного качества. Найти вероятность того, что деталь изготовлена на
заводе № 3.
27. У сборщика имеются 80 деталей, 36 из которых изготовлены в
первом цехе, 24 – во втором и 20 – в третьем. Вероятность того, что
деталь, изготовленная в первом цехе, стандартна, равна 0.8, для второго
цеха – 0.6 и для третьего цеха – 0.8. Найти вероятность того, что наудачу
взятая сборщиком деталь нестандартна.
28. Детали для сборки изготовляются на двух станках, из которых
первый производит деталей в три раза больше второго. При этом брак
составляет в выпуске первого станка 3.5%, а в выпуске второго – 2.5 %.
Взятая наудачу сборщиком деталь оказалась годной. Найти вероятность
того, что она изготовлена на втором станке.
29. Три организации представили в контрольное управление счета
для выборочной проверки: первая – 25 счетов, вторая 15, третья – 40.
Вероятности правильного оформления счетов у этих организаций
соответственно таковы: 0.85, 0.75, 0.95. Определить вероятность того,
что наудачу взятый счет окажется правильно оформленным.
30. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной
машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной
памяти и в остальных устройствах, относятся как 6:4:10. Вероятности
обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти
и в остальных устройствах соответственно равны 0.85; 0.75; 0.95. Найти
вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.
Задания 3 типа
Задания на анализ ситуации из предметной области дисциплины
и   выявление   способности   обучаемых   выбирать   и   применять
соответствующие   принципы   и   методы   решения   практических
проблем, близких к профессиональной деятельности:
1. Предприятие изготовляет 98% изделий стандартных, причем из
них 90% – первого сорта. Найти вероятность того, что взятое наудачу
изделие окажется первого сорта. Изделие первого сорта считается
стандартным.
2. В ящике имеются 20 изделий первого сорта и 5 – высшего сорта.
Из ящика наудачу берут одно за другим два изделия. Найти вероятность
того, что оба изделия окажутся высшего сора.
3. На автомашине установлены два противоугонных устройства,
вероятности отключения которых равны 0.02 и 0.04 соответственно.
Найти вероятность включения сигнала «тревоги» при угоне.
4. Найти математическое ожидание, дисперсию и СКО случайной
величины Х, если закон ее распределения задан таблицей:
X:
xi
pi
1
0,3
2
0,1
3
0,2
40
4
0,4

description:
5. В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим
прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле
из винтовки с оптическим прицелом, равна 0.95; для винтовки без
оптического прицела эта вероятность равна 0.7. Найти вероятность того,
что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из
наудачу взятой винтовки.
6. По оценкам экспертов, вероятности банкротства для
выделенных трех предприятий, производящих однотипную продукцию,
равны соответственно 0.1, 0.2, 0.3. Найти вероятность банкротства не
менее двух предприятий.
7. В каждой из трех партий, содержащих по 20 изделий, имеется
соответственно одно, два и четыре бракованных изделия. Из каждой
партии наудачу извлекают по одному изделию. Найти вероятность того,
что все три изделия окажутся бракованными.
8. Вероятность того, что стодолларовая купюра фальшивая равна
0.01. Найти вероятность того, что из 100 купюр, хотя бы одна
фальшивая.
9. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов.
Вероятность отказа каждого элемента равна 0.3. Составить закон
распределения числа отказавших элементов в одном опыте.
10. Вероятность того, что  наудачу взятая электрическая лампочка
отработает предусмотренный стандартом срок, равна 0.95. Составить
закон распределения случайной величины – числа лампочек среди 3
купленных, которые отработают гарантийный срок.
11. Среднее время безотказной работы телевизора равно 800 ч.
Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный
закон распределения, найти:
а) выражение его плотности вероятности и функции распределения;
б) вероятность того, что в течение 1000 ч. телевизор не выйдет из
строя.
12. Вероятность того, что  наудачу взятая электрическая лампочка
отработает предусмотренный стандартом срок, равна 0.95. Составить
закон распределения случайной величины – числа лампочек среди 4
купленных, которые отработают гарантийный срок.
13. В среднем пятая часть поступающих в продажу автомобилей
некомплектны. Найти вероятность того, что среди десяти автомобилей
имеют некомплектность:
а) три автомобиля;
б) менее трех.
14. В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных,
во втором 30 деталей, из них 24 стандартных, в третьем – 10 деталей, из
41

description:
них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная
деталь из наудачу взятого ящика – стандартная.
15. Вероятность того, что стодолларовая купюра фальшивая равна
0.01. Найти вероятность того, что из 100 купюр окажется  не менее трех
фальшивых.
16. Некоторая компания имеет сеть дилеров на бирже. Вероятность
того, что дилер будет играть удачно, равна 0.7. Найти вероятность того,
что из пяти дилеров окажутся в убытке двое (считается, что действия
дилеров на бирже независимы друг от друга).
17. Некоторая компания имеет сеть дилеров на бирже. Вероятность
того, что дилер будет играть удачно, равна 0.7. Найти вероятность того,
что из пяти дилеров окажутся в убытке хотя бы двое (считается, что
действия дилеров на бирже независимы друг от друга).
18. Дана случайная величина Х, имеющая нулевое математическое
ожидание:
Х
:
xi
pi
?
1/
2
0
1/3
2
1/6
Найти
дисперсию этой случайной величины.
19. Среди 10 билетов лотереи 3 выигрышных. Составить закон
распределения случайной величины – количества выигрышных билетов
среди двух взятых наудачу.
20. Среди 5 телевизоров, находящихся в продаже, 3 требуют
дополнительной настройки. Найти вероятность того, что из 2 купленных
телевизоров 1 будет требовать дополнительной настройки.
21. Предприятие изготовляет 96% изделий стандартных, причем из
них 80% – первого сорта. Найти вероятность того, что взятое наудачу
изделие окажется первого сорта. Изделие первого сорта считается
стандартным.
22. В ящике имеются 25 изделий первого сорта и 10 – высшего
сорта. Из ящика наудачу берут одно за другим два изделия. Найти
вероятность того, что оба изделия окажутся высшего сора.
23. На автомашине установлены два противоугонных устройства,
вероятности отключения которых равны 0.02 и 0.04 соответственно.
Найти вероятность того, что при угоне сработает хотя одно
противоугонное устройство.
24. Найти математическое ожидание, дисперсию и СКО случайной
величины Х, если закон ее распределения задан таблицей:
X:
xi
pi
2
0,25
5
0,3
6
0,1
4
0,35
42

description:
25. В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим
прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле
из винтовки  с оптическим прицелом, равна 0.95; для винтовки без
оптического прицела эта вероятность равна 0.7. Найти вероятность
непопадания в мишень, если стрелок произведет один выстрел из наудачу
взятой винтовки.
26. По оценкам экспертов, вероятности банкротства для
выделенных трех предприятий, производящих однотипную продукцию,
равны соответственно 0.1, 0.2, 0.3. Найти вероятность банкротства хотя
бы двух предприятий.
27. В каждой из трех партий, содержащих по 20 изделий, имеется
соответственно одно, два и четыре бракованных изделия. Из каждой
партии наудачу извлекают по одному изделию. Найти вероятность того,
что все три изделия окажутся стандартными.
28. Вероятность того, что стодолларовая купюра фальшивая равна
0.01. Найти вероятность того, что из 100 купюр не более трех  окажутся
фальшивыми.
29. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов.
Вероятность отказа каждого элемента равна 0.4. Составить закон
распределения числа отказавших элементов в одном опыте.
30. Вероятность того, что  наудачу взятая электрическая лампочка
отработает предусмотренный стандартом срок, равна 0.95. Составить
закон распределения случайной величины – числа лампочек среди 4
купленных, которые отработают гарантийный срок.
43

description:
Негосударственное образовательное
частное учреждение высшего образования
«Московский финансовопромышленный университет
«Синергия»
Кафедра Высшей математики и естественнонаучных дисциплин
УТВЕРЖДАЮ
Первый проректор,
кандидат экономических наук
___________________
  А.И. Васильев
Комплект оценочных средств
для проведения промежуточной аттестации
по дисциплине
«МАТЕМАТИКА И
СТАТИСТИКА»
Обсуждено
на заседании кафедры
Высшей математики и
 естественнонаучных дисциплин
«31» августа 2017 г.
Протокол № 1
Составитель(и):
Хамидуллин Р.Я. к.т.н., доцент, зав. кафедрой
Ravgat@yandex.ru
44

description:
Москва 2017
45

description:
IX. Экзаменационные билеты
Негосударственное образовательное частное учреждение высшего
образования «Московский финансовопромышленный университет
«Синергия»
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
_______________/Хамидуллин Р.Я./
                                «31» августа 2017 г.
МАТЕМАТИКА И СТАТИСТИКА
Дисциплина
БИЛЕТ № 1
1. Элементы комбинаторики (размещения, сочетания, перестановки)
2. Страховая компания разделяет застрахованных клиентов по классам
риска: I класс – малый риск, II класс – средний риск, III класс – большой
риск. Среди этих клиентов 50% – первого класса риска, 30% – второго и
20% – третьего. Вероятность необходимости выплачивать страховое
вознаграждение для первого класса риска равно 0.01, второго – 0.03,
третьего – 0.08. Какова вероятность того, что застрахованный клиент
получит денежное вознаграждение за период страхования?
3. Предприятие изготовляет 98% изделий стандартных, причем из них 90% –
первого сорта. Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие
окажется первого сорта. Изделие первого сорта считается стандартным.
46

description:
Негосударственное образовательное частное учреждение высшего
образования «Московский финансовопромышленный университет
«Синергия»
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
_______________/Хамидуллин Р.Я./
                                «31» августа 2017 г.
МАТЕМАТИКА И СТАТИСТИКА
Дисциплина
БИЛЕТ № 2
31.Случайное событие и его вероятность. Классическое определение
вероятности.
32.Три организации представили в контрольное управление счета для
выборочной проверки: первая – 15 счетов, вторая 10, третья – 25.
Вероятности правильного оформления счетов у этих организаций
соответственно таковы: 0.9, 0.8, 0.85. Был выбран один счет, и он оказался
правильным. Определить вероятность того, что этот счет принадлежит
второй организации.
33.В ящике имеются 20 изделий первого сорта и 5 – высшего сорта. Из ящика
наудачу берут одно за другим два изделия. Найти вероятность того, что
оба изделия окажутся высшего сора.
47

description:
Негосударственное образовательное частное учреждение высшего
образования «Московский финансовопромышленный университет
«Синергия»
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
_______________/Хамидуллин Р.Я./
                                «31» августа 2017 г.
МАТЕМАТИКА И СТАТИСТИКА
Дисциплина
БИЛЕТ № 3
1. Случайное событие. Классификация случайных событий
2. В первом цехе завода производится в среднем 90% стандартных деталей,
во втором – 95%, в третьем – 85%. В сборочном цехе этого же завода
поступает 50% деталей из первого цеха, 30% – из второго и 20% – из
третьего. Найти вероятность того, что деталь, наудачу взятая сборщиком,
окажется стандартной.
3. На автомашине установлены два противоугонных устройства, вероятности
отключения которых равны 0.02 и 0.04 соответственно. Найти вероятность
включения сигнала «тревоги» при угоне.
48

description:
Негосударственное образовательное частное учреждение высшего
образования «Московский финансовопромышленный университет
«Синергия»
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
_______________/Хамидуллин Р.Я./
                                «31» августа 2017 г.
МАТЕМАТИКА И СТАТИСТИКА
Дисциплина
БИЛЕТ № 4
1. Случайное событие и его вероятность. Статистическое определение
вероятности
2. В вычислительной лаборатории имеются шесть клавишных автоматов и
четыре полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения
некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0.95; для
полуавтомата эта вероятность равна 0.8. Студент производит расчет на
наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания
расчета машина не выйдет из строя.
3. Найти математическое ожидание, дисперсию и СКО случайной величины
Х, если закон ее распределения задан таблицей:
X:
xi
pi
1
0,3
2
0,1
3
0,2
4
0,4
50

description:
Негосударственное образовательное частное учреждение высшего
образования «Московский финансовопромышленный университет
«Синергия»
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
_______________/Хамидуллин Р.Я./
                                «31» августа 2017 г.
МАТЕМАТИКА И СТАТИСТИКА
Дисциплина
БИЛЕТ № 5
1. Аксиомы теории вероятностей. Правило сложения вероятностей
2. Из трех станков, обслуживаемых одним рабочим, вероятность остановки в
течение рабочей смены для первого станка равна 0.1, для второго – 0.15,
для третьего – 0.2. Найти вероятность бесперебойной работы всех трех
станков в течение одной смены.
3. В пирамиде пять винтовок, три из которых снабжены оптическим
прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из
винтовки с оптическим прицелом, равна 0.95; для винтовки без
оптического прицела эта вероятность равна 0.7. Найти вероятность того,
что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из
наудачу взятой винтовки.
51

intro:
КОМПЛЕКТ ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ предназначен для контроля и оценки образовательных достижений, обучающихся по программе учебной дисциплины «Математика и статистика» в пределах освоения основной профессиональной образовательной программы ВПО.
КОМПЛЕКТ ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ входит в состав учебно-методического комплекса дисциплины «Математика и статистика» и является неотъемлемой частью нормативно-методического обеспечения системы оценки результата освоения обучающимися ООП ВО.
КОМПЛЕКТ ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ по дисциплине «Математика и статистика» представляет собой совокупность оценочных средств и методов их использования для осуществления контроля процесса освоения компетенций, определенных в ФГОС ВПО.


extracted_text:
Негосударственное образовательное
частное учреждение высшего образования
«Московский финансовопромышленный университет
«Синергия»
Кафедра Высшей математики и естественнонаучных дисциплин
УТВЕРЖДАЮ
Первый проректор,
кандидат экономических наук
___________________
  А.И. Васильев
КОМПЛЕКТ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ
для проведения текущего контроля успеваемости
по дисциплине
 «Математика и статистика»
Обсуждено
на заседании кафедры
Высшей математики и
 естественнонаучных дисциплин
«31» августа 2017 г.
Протокол № 1
Составитель(и):
Хамидуллин Р.Я. к.т.н., доцент, зав. кафедрой
Ravgat@yandex.ru
Рейтер К.А. к.ф.н., доцент
Cyrill_reiter@mail.ru Москва 2017
Содержание
I. Содержание дисциплины.............................................................................3
II. Тесты для проведения текущего контроля успеваемости по темам......5
.........................................................................................................................16
2 I. Содержание дисциплины
Тема 1. Предельные теоремы теории вероятностей.
Закон больших чисел. Неравенство Чебышева (лемма). Теоремы
Чебышева,   Бернулли,   Пуассона,   Маркова.  Центральная   предельная
теорема (Ляпунова).
  выборка,
  функция   правдоподобия,
Тема 2. Выборочный метод в математической статистике.
Предмет   и   задачи   математической   статистики.   Генеральная
совокупность,
  способы
организации   выборок.  Представление   статистических   данных   и
оценивание закона распределения генеральной совокупности. Основные
термины   и   определения:   статистические   (выборочные)   данные,
вариационный   ряд,
  сгруппированный   статистический   ряд,
статистический   ряд   распределения,   полигон   частот,   гистограмма,
кумулята.
Тема 3. Статистики и оценки параметров распределений.
Понятия   статистики   и   оценки   параметра.   Свойства   оценок:
  Точность
(доверительная
несмещённость,
(доверительный   интервал)
вероятность) оценок. Точечные и интервальные оценки.
  и   надёжность
  состоятельность,
  эффективность.
Точечная   и   интервальная   оценки   вероятности.   Нормально
распределённая   оценка   вероятности.  Геометрическая   интерпретация
 Генеральная   и   выборочная   средняя
доверительного   интервала.
величина.  Точечная и интервальная оценки математического ожидания
(МО) при известной и неизвестной точности измерений (СКО).
Генеральная   и   выборочная   дисперсии.   Несмещённая   оценка
дисперсии.
Точечная и интервальная оценки дисперсии при известном или
неизвестном МО, при малом и большом числе испытаний.
Оценки   вероятностных   характеристик   двумерного   случайного
вектора:   МО,   дисперсий,   корреляционных   моментов,   коэффициентов
корреляции.   Оценка   элементов   корреляционной   и   нормированной
корреляционной матриц.
Точность оценки параметров распределений и число испытаний.
Тема 4. Статистическая проверка гипотез.
Понятие   статистической   проверки   гипотез   (СПГ).   Смысл   и
процедура СПГ. Статистические критерии качества СПГ. Область
допустимых   значений   и   критическая   область   критерия   качества
3 СПГ. Ошибки, допускаемые лицом, принимающим решения (ЛПР),
при СПГ: ошибки первого и второго рода. Вероятность ошибки ЛПР,
мощность статистического критерия.
Проверка непараметрических гипотез: критерии согласия. Критерии
хиквадрат Пирсона, Колмогорова. Проверка параметрических гипотез:
сравнение   двух   дисперсий   нормальных   генеральных   совокупностей,
сравнение двух МО при известных или неизвестных дисперсиях.
4 II. Тесты для проведения текущего контроля успеваемости по темам
Тема 1. Предельные теоремы теории вероятностей.
1. Чему равна вероятность достоверного события?
а)  0, 1;             б) 0,5;       в) 0;    г) 0,25;         д) 1.
2. Чему равна вероятность невозможного события?
а)  0, 1;             б) 0,5;       в) 0;     г) 0,25;         д) 1.
3. Монета была подброшена 10 раз. «Герб» выпал 4 раза. Какова
частота выпадения «герба»?
а)  0,5;    б) 0,4;       в) 0,2;     г) 0,25;         д) 0,1.
4. Бросают игральный кубик. Найдите вероятность выпадения
грани с 6 очками:
а)  1/52;    б) 0,5;       в) 1/36;     г) 1/6;         д) 1/9.
5. Бросают игральный кубик. Найдите вероятность выпадения
грани с нечётным числом очков:
а)  1/4;    б) 1/2;       в) 1/36;     г) 1/6;         д) 1/8.
6. Бросают игральный кубик. Найдите вероятность выпадения
грани с чётным числом очков:
а)  1/4;    б) 1/8;       в) 1/2;     г) 1/6;         д) 1/3.
7. В урне 2 белых и 3 черных шара. Вынимают шар. Найти
вероятность того, что этот шар – белый:
а) 0,5;             б) 0,4;                  в) 0,6;            г) 0, 2;               д) 0,6.
8. В коробке 12 стандартных и 3 бракованных детали. Вынимают
1 деталь. Найти вероятность того, что эта деталь –
бракованная.
а) 0,2;             б) 0,1;                  в) 0,6;            г) 0, 3;              д) 0,25.
9. В коробке 12 стандартных и 3 бракованных детали. Вынимают
1 деталь. Найти вероятность того, что эта деталь –
стандартная.
а) 0,2;             б) 0,4;                  в) 0,6;            г) 0, 5;               д) 0,8.
10. Какова вероятность выпадения «орла» при подбрасывании
монеты?
а)  0,5;    б) 0,4;       в) 0,2;     г) 0,25;         д) 0,1.
11. В урне 2 белых и 3 черных шара. Подряд вынимают два шара,
при этом каждый раз шары возвращают обратно в корзину.
Найти вероятность того, что оба вынутых шара – не белые.
а) 0,4;          б) 0,3;           в) 0,06;          г) 0, 16;          д) 0,26.
12. В урне 2 белых и 3 черных шара. Подряд вынимают два шара,
при этом шары не возвращают обратно в корзину. Найти
вероятность того, что оба вынутых шара – белые.
5 а) 0,2;           б) 0,1;          в) 0,6;            г) 0, 3;             д) 0,25.
13. Произведение двух событий обычно записывается в следующем
виде:
Ответ –  A B C
 
1. Сумма событий обычно записывается в следующем виде:
Ответ –  A B C
  .
15. Вероятности того, что во время работы цифровой
электронной машины произойдет сбой в арифметическом
устройстве, в оперативной памяти, относятся как 2:8.
Вероятности обнаружения сбоя в  арифметическом
устройстве, в оперативной памяти соответственно равны 0.8;
0.9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой
будет обнаружен.
а) 0,88;    б) 0,64;    в) 0,72;         г) 0, 66;          д) 0,92.
16. Три организации представили в контрольное управление счета
для выборочной проверки: первая – 2 счета, вторая 5, третья –
3. Вероятности правильного оформления счетов у этих
организаций соответственно таковы: 0.9, 0.8, 0.7. Какова
вероятность того, что выбранный наудачу счет оформлен
правильно?
а) 0,85;           б) 0,80;           в) 0,72;         г) 0, 66;           д) 0,79.
17. Какая группа событий изображена на схеме:

A
B
Ответ – совместимые
18. Какая группа событий изображена на схеме:

A
B
Ответ – несовместимые
19.Установите соответствие между экспериментатором и
показателями
Экспериментатор
1. ?
Число
бросаний
монеты
4040
Число
появлений
Частота
герба
2048
6
0,5080 2. ?
А. Бюффон
Б. Пирсон
12000
6019
0,5016
Ответ: 1 – А, 2 – Б
20. Установите соответствие между предметной выборкой и
статистическими  показателями
6
1
2
Месяц
3
4
5
7
8
9
10
11
12
за
год
1.?
2.?
3.?
Частота
рождения
девочек
7280 6957 7883 7884 7892 7609 7585 7393 7203 6903 6552 7132 88273
3743 3550 4017 4173 4117 3944 3964 3797 3712 3512 3392 3761 45682
3537 3407 3866 3711 3775 3665 3621 3596 3491 3391 3160 3371 42591
0,486 0,489 0,490 0,471 0,478 0,482 0,462 0,484 0,4850,4910,4820,473 0,483
А. Новорожденные
Б. Мальчики
В. Девочки
Ответ: 1 – А, 2 – Б, 3 – В
Тема 2. Выборочный метод в математической статистике.
1. Вероятность того, что в страховую компанию в течение года
обратится с иском о возмещении ущерба первый клиент, равна
0.2. Для второго клиента вероятность такого обращения равна
0.1. Найти вероятность того, что в течение года в СК
обратится хотя бы один клиент, если обращения клиентов –
события независимые.
а)  0,4;    б) 0,44;       в) 0,72;     г) 0,34;         д) 0,66.
2. В каждой из трех партий, содержащих по 10 изделий, имеется
соответственно два, три и пять бракованных изделия. Из
каждой партии наудачу извлекают по одному изделию. Найти
вероятность того, что все три изделия окажутся
стандартным.
а) 0,29;        б) 0,28;         в) 0,038;         г) 0, 32;         д) 0,26.
3. Вероятность того, что в течении одной смены возникнет
поломка станка равна 0,05. Какова вероятность того, что не
возникнет ни одной поломки за три смены?
а) 0,81;       б) 0,88;          в) 0,78;            г) 0, 95;         д) 0,86.
4. В коробке 4 стандартных и 2 бракованных детали. Подряд
вынимают две детали, при этом не возвращают их обратно в
7 коробку. Найти вероятность того, что обе вынутые детали –
бракованные.
а) 1/8;    б) 1/15;       в) 1/6;     г) 1/5;         д) 1/3.
5. В коробке 4 стандартных и 2 бракованных детали.
Последовательно по одной вынимают две детали, при этом
каждый раз возвращают их обратно в коробку. Найти
вероятность того, что обе вынутые детали – бракованные.
а) 1/4;    б) 1/15;       в) 1/6;     г) 1/7;         д) 1/9.
6. Три организации представили в контрольное управление счета
для выборочной проверки: первая – 4 счета, вторая 3, третья –
3. Вероятности правильного оформления счетов у этих
организаций соответственно таковы: 0.6, 0.7, 0.8. Какова
вероятность того, что выбранный наудачу счет оформлен
правильно?
а) 0,65;           б) 0,60;             в) 0,72;             г) 0, 69;             д) 0,79.
7. Вероятности того, что во время работы цифровой
электронной машины произойдет сбой в арифметическом
устройстве, в оперативной памяти, относятся как 3:7.
Вероятности обнаружения сбоя в  арифметическом
устройстве, в оперативной памяти соответственно равны 0.7;
0.8. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой
будет обнаружен.
а) 0,78;            б) 0,69;           в) 0,70;         г) 0, 76;         д) 0,72.
8. Три организации представили в контрольное управление счета
для выборочной проверки: первая – 2 счета, вторая4, третья –
4. Вероятности правильного оформления счетов у этих
организаций соответственно таковы: 0.7, 0.8, 0.9. Какова
вероятность того, что выбранный наудачу счет оформлен
правильно?
а) 0,85;           б) 0,82;         в) 0,70;           г) 0, 66;               д) 0,79.
9. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной
машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в
оперативной памяти, относятся как 3:7. Вероятности
обнаружения сбоя в  арифметическом устройстве, в
оперативной памяти соответственно равны 0.7; 0.8. Найти
вероятность того, что возникший в машине сбой не будет
обнаружен.
а) 0,30;           б) 0,32;         в) 0,28;           г) 0, 36;            д) 0,29.
8 10. Три организации представили в контрольное управление счета
для выборочной проверки: первая –2 счета, вторая 4, третья –
4. Вероятности правильного оформления счетов у этих
организаций соответственно таковы: 0.7, 0.8, 0.9. Какова
вероятность того, что выбранный наудачу счет оформлен
неправильно?
а) 0,17;            б) 0,20;            в) 0,21;         г) 0, 18;           д) 0,19.
11. Найти дисперсию случайной величины Х, если закон ее
распределения задан таблицей:
Х xi
pi
3
0,1
а) 2,85;             б) 3,70;       в) 2,45;         г) 4, 60;              д) 10,9.
–2
0,1
–1
0,2
0
0,3
2
0,3
12. Найти математическое ожидание случайной величины Х,
если закон ее распределения задан таблицей:
20
0,4
2
0,3
10
0,1
15
0,2
xi
pi
а) 12,85;             б) 13,70;       в) 12,60;         г) 14, 60;              д) 13,9.
13. На основании 20 наблюдений выяснено, что выборочная доля
дисперсии случайной величины у, вызванной вариацией х,
составит 64%. Известно, что коэффициент регрессии –
отрицательный. Чему не  равен выборочный парный
коэффициент корреляции:
а) 0,4;               б) 0,5;            в) – 0,6;          г) – 0,7;        д) – 0,8.
14. На основании 20 наблюдений выяснено, что выборочная доля
дисперсии случайной величины у, вызванной вариацией х,
составит 64%. Известно, что коэффициент регрессии –
положительный. Чему не равен выборочный парный
коэффициент корреляции:
а) 0,8;               б) 0,6;            в) 0,4;          г) – 0,4;        д) – 0,8.
15.  Формулировка теоремы: частота суммы двух несовместных
событий равна …
Ответ: Сумме этих событий
16.
  Формулировка   теоремы:   вероятность   суммы   двух
несовместных событий равна…
*
P A B
(

)

*
P A
)
(

P B
(
)
(
Ответ: Сумме вероятностей этих событий
17. Какое положение изображено на схеме:
P A B
 
)
)
P A
(

P B
(
),
AB

9 

H 1
H n
 . . .
 . . .
H 4 A
H n A
H 1 A
H 2 A
H 2
 . . .
 A
H 3 A
H 3
 . . .
H 4
Ответ: Произведения события  A  с гипотезами  (событиями
iH )
18. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что
сумма очков на выпавших гранях – чётная, причём на грани
хотя бы одной из костей появится «шестёрка»
Ответ: 5/36.
19. Для сигнализации об аварии установлены два независимо
работающие сигнализатора. Вероятность того, что при аварии
сработает первый сигнализатор равна 0,8, а второй – 0,9. Найти
вероятность того, что при аварии сработает только один
сигнализатор.
Ответ: 0,26.
20. Какая группа событий заключена в следующем положении:
n
i
i
H
 


1
Ответ: полная
Тема 3. Статистики и оценки параметров распределений.
1. Случайная величина вырождена, если имеет:
1) нулевую дисперсию;
2) нулевое математическое ожидание;
2. Коэффициент корреляции равен 1, если случайные величины:
1) независимы;
2) зависимы;
3) линейно зависимы;
4) линейно независимы.
3. Дисперсия является:
1) центральным моментом второго порядка;
2) начальным моментом второго порядка;
3) центральным моментом первого порядка;
4) начальным моментом первого порядка.
4. Плотность   распределения   двумерной   случайной   величины
распадается в произведение в случае …
1) стохастической зависимости компонентов случайного вектора;
2) стохастической независимости компонентов случайного вектора.
5. Математическое ожидание является:
10 1) центральным моментом второго порядка;
2) начальным моментом второго порядка;
3) центральным моментом первого порядка;
4) начальным моментом первого порядка;
6. Среднеквадратическое отклонение случайной величины:
1) есть величина безразмерная;
2) имеет ту же размерность, что и случайная величина;
7. Условное   математическое   ожидание   случайной   величины  
при условии А вычисляется по формуле:

1)
xF
AM 
)

xdF
)
/(
Ax
2)
/(
/(
A
)
M

;





(
dxAx
/
)
;
8. Математическое ожидание случайной величины:
1) безразмерно;
2) имеет те же размерность, что и случайная величина.
9. Матрица ковариации двумерного случайного вектора (где r –
коэффициент корреляции) имеет вид:
1)




2
1

1
2
r
r

1
2

2
2



;
2)



r

1
2
2

1
r



;
3)




2
r
1

1
2

1
2

2
r
2



.
10. Случайная величина имеет плотность распределения

(
xf
)







3
4
2
x


2

х
при

0
9
x
при
6

2
2


при
0

4
х

4
х
Ее математическое ожидание есть:
1) 4;
2) 3;
3) 1.
11. Случайная величина имеет функцию распределения

xF
(
)




1


0

x
4
e
при



х
0


при
х
0
Ее дисперсия есть:
1 .
1 ;
1)16
4
2)
12. Плотность распределения случайной величины есть:
при
при
при
при

х
1
0


1

х
0

х
1

1
х
)
(
xf










0

x
1
1
x

0
Ее дисперсия есть:
1 ;
1 ;
1)  3
4
2)
3)
1 .
6
11 13.Случайная величина имеет плотность распределения

(
xf
)









sin

0

x
при
при

х
0

0
при

х

2

0

х

2

Ее математическое ожидание есть:
1) 2;
2) 1.
14. Найти математическое ожидание случайной величины Х,
если закон ее распределения задан таблицей:
xi
pi
3
0,3
4
0,1
5
0,2
6
0,4
а) 3,85;         б) 3,70;        в) 4,40;         г) 4,66;        д) 4,95.
15. Найти математическое ожидание случайной величины Х,
если закон ее распределения задан таблицей:
xi
pi
5
0,3
6
0,1
7
0,2
8
0,4
а) 6,85;            б) 6,60;        в) 6,70;      г) 6, 66;        д) 6,95.
16. Установите соответствие между понятием и графиком
1. Случайный вектор на плоскости
2. Случайный вектор в трехмерном пространстве

(X,Y)

y
Y

R2

     0                            X                 x
z

Z

(X,Y,Z)

R3

   0
R2

Y
y

А.
Ответ: 1 – А, 2 – Б
X
x

Б.
17. На схеме представлена графическая интерпретация функции
…

X

file_name: КТЗ Математика и статистика ВПО.doc

description:
13.Случайная величина имеет плотность распределения

(
xf
)









sin

0

x
при
при

х
0

0
при

х

2

0

х

2

Ее математическое ожидание есть:
1) 2;
2) 1.
14. Найти математическое ожидание случайной величины Х,
если закон ее распределения задан таблицей:
xi
pi
3
0,3
4
0,1
5
0,2
6
0,4
а) 3,85;         б) 3,70;        в) 4,40;         г) 4,66;        д) 4,95.
15. Найти математическое ожидание случайной величины Х,
если закон ее распределения задан таблицей:
xi
pi
5
0,3
6
0,1
7
0,2
8
0,4
а) 6,85;            б) 6,60;        в) 6,70;      г) 6, 66;        д) 6,95.
16. Установите соответствие между понятием и графиком
1. Случайный вектор на плоскости
2. Случайный вектор в трехмерном пространстве

(X,Y)

y
Y

R2

     0                            X                 x
z

Z

(X,Y,Z)

R3

   0
R2

Y
y

А.
Ответ: 1 – А, 2 – Б
X
x

Б.
17. На схеме представлена графическая интерпретация функции
…

X<x
X
.
.

   x1               x2            x                               x

.
.
.
12

description:
Ответ: Распределения
18. Какое понятие скрыто за символом Х

X
.
.

   x1         x2         x3                                xn       x

.
.
.
.
Ответ: Дискретная случайная величина
19. Какое понятие скрыто за символом

X

   xmin                     x                          xmax      x

Ответ: Непрерывная величина
20. Используя график распределения установите соответствие в

0,36
F(x)
1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,16
       0                  1                      2                     x

.
.
0,48
ряду распределения:
ix
(
)iF x
0
1?
1
2?
2
3?
2 
4?
А – 0
Б – 0,16
В – 0,64
Г – 1,00
Ответ: А – 1, Б – 2, В – 3, Г – 4
Тема 4. Статистическая проверка гипотез
13

description:
1. Оценка дисперсии случайного параметра равна:
(
2
;
)
x
1
n
x mn 

i
1
1
n
x m
2
 

)
(
x
n 
1
i
1
n x m
n
2
 
)
x
n 
11
i

(
;
.
1)
2)
3)
1)
2)
3)
1. Оценка   математического   ожидания   случайной   величины
равна:
i
n
1
x
n  1
i
1
1
n
xn 
1
;
n x
n  11
n
i
i
i
i
;
.
2. Определите доверительный интервал для оценки вероятности
события A с надежностью 0,95, если в 100 опытах событие A
появилось 70 раз.
1) 0,42 … 0,98; 2) 0,32 … 0,88; 3) 0,20 … 0,90.
4. Определите доверительный интервал для оценки по 10 опытам
xm 12 6 с надежностью 0,90 при
математического ожидания
,
известной точности измерений s 3.
1) 11,04 … 14,16; 2) 12,50 … 16,30; 3) 10,00 … 18,00.
*
5. Определите доверительный интервал по 20 наблюдениям
математического ожидания
оценка СКО по тем же наблюдениям оказалась равной
xm  25 с надежностью 0,95, если
,xs  2 5.
*
*
1) 23,50 … 25,50; 2) 24,04 … 25,96; 3) 24,50 … 25,50.
6. Определите   доверительный   интервал   для   оценки   по   37
xd 16  с   надежностью
независимым   испытаниям   дисперсии   *
0,95 при известном МО и нормальной оценке дисперсии.
1) 5,50 … 25,50; 2) 8,60 … 23,40; 3) 9,20 … 26.80.
7. Математическая статистика является по отношению к
прикладной статистике …
Ответ: разработчиком и поставщиком существенной части
используемого в последней математического аппарата
8. По результатам выборочных наблюдений были получены
выборочные коэффициенты регрессии:
Чему не равен выборочный коэффициент детерминации?
 b = 0,5;    b = 1,62
xy
yx
14

description:
-
а)  0,9
;               б)  0,81
-
;          в) 0,9;          г) 0, 4 ;        д)0,81.
9. По результатам выборочных наблюдений были получены
выборочные коэффициенты регрессии:
не равен выборочный коэффициент детерминации?
-
а)  0,9
;               б)  0,81;            в) 0,9;          г) 0, 4 ;        д) 0,81
-
xy
yx
.
 b = 0,5;    b = 1,62   Чему
10. По результатам выборочных наблюдений были получены
следующие характеристики:
не равен выборочный коэффициент регрессии
а) 1, 23;               б) 1,81;            в)1,9;          г) 1, 23
-
x
xy
 b ?
;        д)1,81.
r = 0,94;   S = 4,37; S = 3,35

y
. Чему
11. По результатам выборочных наблюдений были получены
следующие характеристики:
не  равен выборочный коэффициент регрессии
а)  0,9
;     г) 0, 23
;               б)  0,81;            в) 0,72
-
-
-
x
y

 b ?
;        д) 0,81
-
yx
r = 0,94;   S = 4,37; S = 3,35
.
. Чему
12. По результатам выборочных наблюдений были получены
следующие характеристики:
равен выборочный коэффициент регрессии
-
а) 1, 23;               б)  1,81
xy
;            в)1,9;          г) 1, 23

 b ?
-
x
r = 0,94;   S = 4,37; S = 3,35
;        д)1,81.
.  Чему
13. По результатам выборочных наблюдений были получены
следующие характеристики:
равен выборочный коэффициент регрессии
-
а)  0,9
;               б)  0,72 ;            в) 0,72
yx
;      г) 0, 23

 b ?
-
-
x
r = 0,94;   S = 4,37; S = 3,35
;       д) 0,81
.
-
.  Чему
14. В качестве точечной оценки математического ожидания (МО)
случайной величины принимают …
Ответ: среднее арифметическое наблюденных значений этого
параметра (выборочное среднее):
y
y
m
*
x
n
1
xn 
 1
i
i
.
15. Оценка дисперсии случайного параметра равна:
1)
2)
3)
;
(
2
)
x
1
n
x mn 

1
i
1
n
x m
2
 

)
(
x
n 
1
i
1
n x m
n
2
 
)
x
n 
11
i

(
;
.
16.   Оценка   математического   ожидания   случайной   величины
равна:
1
x
n  1
i
1
1)
n
i
;
15

description:
2)
3)
i
n
1
xn 
1
;
n x
n  11
n
i
i
.
i
17. Какая критическая область отмечена на графике
ОДЗ
f u
0 ( )
H0
КРО
H1
1 

0
крu
u
Ответ: Правосторонняя
18. Какая критическая область отмечена на графике
КРО
H1
0( )
f u
ОДЗ
H0

1 
*
крu
Ответ: Левосторонняя
u
19. Как формируется критерий Колмогорова при проверке
непараметрических гипотез?
Ответ: Сравнением гистограммы и сглаживающей кривой
распределения;
20. Как формируется критерий «хи – квадрат» Пирсона при
проверке непараметрических гипотез?
Ответ: Сравнением эмпирической и сглаживающей функций
распределения.

16

intro:
КОМПЛЕКТ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ предназначен для контроля и оценки образовательных достижений, обучающихся по программе учебной дисциплины «Математика и статистика» в пределах освоения основной профессиональной образовательной программы ВПО.
КОМПЛЕКТ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ входит в состав учебно-методического комплекса дисциплины «Математика и статистика» и является неотъемлемой частью нормативно-методического обеспечения системы оценки результата освоения обучающимися ООП ВО.
КОМПЛЕКТ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ по дисциплине «Математика и статистика» представляет собой совокупность оценочных средств и методов их использования для осуществления контроля процесса освоения компетенций, определенных в ФГОС ВПО.

математика

group: Дисциплины

доп. образование взрослых

group: Другое