file_name: КТЗ Математика и статистика ВПО.doc

description:
Негосударственное образовательное
частное учреждение высшего образования
«Московский финансовопромышленный университет
«Синергия»
Кафедра Высшей математики и естественнонаучных дисциплин
УТВЕРЖДАЮ
Первый проректор,
кандидат экономических наук
___________________
  А.И. Васильев
КОМПЛЕКТ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ
для проведения текущего контроля успеваемости
по дисциплине
 «Математика и статистика»
Обсуждено
на заседании кафедры
Высшей математики и
 естественнонаучных дисциплин
«31» августа 2017 г.
Протокол № 1
Составитель(и):
Хамидуллин Р.Я. к.т.н., доцент, зав. кафедрой
Ravgat@yandex.ru
Рейтер К.А. к.ф.н., доцент
Cyrill_reiter@mail.ru

description:
I. Содержание дисциплины
Тема 1. Предельные теоремы теории вероятностей.
Закон больших чисел. Неравенство Чебышева (лемма). Теоремы
Чебышева,   Бернулли,   Пуассона,   Маркова.  Центральная   предельная
теорема (Ляпунова).
  выборка,
  функция   правдоподобия,
Тема 2. Выборочный метод в математической статистике.
Предмет   и   задачи   математической   статистики.   Генеральная
совокупность,
  способы
организации   выборок.  Представление   статистических   данных   и
оценивание закона распределения генеральной совокупности. Основные
термины   и   определения:   статистические   (выборочные)   данные,
вариационный   ряд,
  сгруппированный   статистический   ряд,
статистический   ряд   распределения,   полигон   частот,   гистограмма,
кумулята.
Тема 3. Статистики и оценки параметров распределений.
Понятия   статистики   и   оценки   параметра.   Свойства   оценок:
  Точность
(доверительная
несмещённость,
(доверительный   интервал)
вероятность) оценок. Точечные и интервальные оценки.
  и   надёжность
  состоятельность,
  эффективность.
Точечная   и   интервальная   оценки   вероятности.   Нормально
распределённая   оценка   вероятности.  Геометрическая   интерпретация
 Генеральная   и   выборочная   средняя
доверительного   интервала.
величина.  Точечная и интервальная оценки математического ожидания
(МО) при известной и неизвестной точности измерений (СКО).
Генеральная   и   выборочная   дисперсии.   Несмещённая   оценка
дисперсии.
Точечная и интервальная оценки дисперсии при известном или
неизвестном МО, при малом и большом числе испытаний.
Оценки   вероятностных   характеристик   двумерного   случайного
вектора:   МО,   дисперсий,   корреляционных   моментов,   коэффициентов
корреляции.   Оценка   элементов   корреляционной   и   нормированной
корреляционной матриц.
Точность оценки параметров распределений и число испытаний.
Тема 4. Статистическая проверка гипотез.
Понятие   статистической   проверки   гипотез   (СПГ).   Смысл   и
процедура СПГ. Статистические критерии качества СПГ. Область
допустимых   значений   и   критическая   область   критерия   качества
3

description:
СПГ. Ошибки, допускаемые лицом, принимающим решения (ЛПР),
при СПГ: ошибки первого и второго рода. Вероятность ошибки ЛПР,
мощность статистического критерия.
Проверка непараметрических гипотез: критерии согласия. Критерии
хиквадрат Пирсона, Колмогорова. Проверка параметрических гипотез:
сравнение   двух   дисперсий   нормальных   генеральных   совокупностей,
сравнение двух МО при известных или неизвестных дисперсиях.
4

description:
II. Тесты для проведения текущего контроля успеваемости по темам
Тема 1. Предельные теоремы теории вероятностей.
1. Чему равна вероятность достоверного события?
а)  0, 1;             б) 0,5;       в) 0;    г) 0,25;         д) 1.
2. Чему равна вероятность невозможного события?
а)  0, 1;             б) 0,5;       в) 0;     г) 0,25;         д) 1.
3. Монета была подброшена 10 раз. «Герб» выпал 4 раза. Какова
частота выпадения «герба»?
а)  0,5;    б) 0,4;       в) 0,2;     г) 0,25;         д) 0,1.
4. Бросают игральный кубик. Найдите вероятность выпадения
грани с 6 очками:
а)  1/52;    б) 0,5;       в) 1/36;     г) 1/6;         д) 1/9.
5. Бросают игральный кубик. Найдите вероятность выпадения
грани с нечётным числом очков:
а)  1/4;    б) 1/2;       в) 1/36;     г) 1/6;         д) 1/8.
6. Бросают игральный кубик. Найдите вероятность выпадения
грани с чётным числом очков:
а)  1/4;    б) 1/8;       в) 1/2;     г) 1/6;         д) 1/3.
7. В урне 2 белых и 3 черных шара. Вынимают шар. Найти
вероятность того, что этот шар – белый:
а) 0,5;             б) 0,4;                  в) 0,6;            г) 0, 2;               д) 0,6.
8. В коробке 12 стандартных и 3 бракованных детали. Вынимают
1 деталь. Найти вероятность того, что эта деталь –
бракованная.
а) 0,2;             б) 0,1;                  в) 0,6;            г) 0, 3;              д) 0,25.
9. В коробке 12 стандартных и 3 бракованных детали. Вынимают
1 деталь. Найти вероятность того, что эта деталь –
стандартная.
а) 0,2;             б) 0,4;                  в) 0,6;            г) 0, 5;               д) 0,8.
10. Какова вероятность выпадения «орла» при подбрасывании
монеты?
а)  0,5;    б) 0,4;       в) 0,2;     г) 0,25;         д) 0,1.
11. В урне 2 белых и 3 черных шара. Подряд вынимают два шара,
при этом каждый раз шары возвращают обратно в корзину.
Найти вероятность того, что оба вынутых шара – не белые.
а) 0,4;          б) 0,3;           в) 0,06;          г) 0, 16;          д) 0,26.
12. В урне 2 белых и 3 черных шара. Подряд вынимают два шара,
при этом шары не возвращают обратно в корзину. Найти
вероятность того, что оба вынутых шара – белые.
5

description:
а) 0,2;           б) 0,1;          в) 0,6;            г) 0, 3;             д) 0,25.
13. Произведение двух событий обычно записывается в следующем
виде:
Ответ –  A B C
 
1. Сумма событий обычно записывается в следующем виде:
Ответ –  A B C
  .
15. Вероятности того, что во время работы цифровой
электронной машины произойдет сбой в арифметическом
устройстве, в оперативной памяти, относятся как 2:8.
Вероятности обнаружения сбоя в  арифметическом
устройстве, в оперативной памяти соответственно равны 0.8;
0.9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой
будет обнаружен.
а) 0,88;    б) 0,64;    в) 0,72;         г) 0, 66;          д) 0,92.
16. Три организации представили в контрольное управление счета
для выборочной проверки: первая – 2 счета, вторая 5, третья –
3. Вероятности правильного оформления счетов у этих
организаций соответственно таковы: 0.9, 0.8, 0.7. Какова
вероятность того, что выбранный наудачу счет оформлен
правильно?
а) 0,85;           б) 0,80;           в) 0,72;         г) 0, 66;           д) 0,79.
17. Какая группа событий изображена на схеме:

A
B
Ответ – совместимые
18. Какая группа событий изображена на схеме:

A
B
Ответ – несовместимые
19.Установите соответствие между экспериментатором и
показателями
Экспериментатор
1. ?
Число
бросаний
монеты
4040
Число
появлений
Частота
герба
2048
6
0,5080

description:
2. ?
А. Бюффон
Б. Пирсон
12000
6019
0,5016
Ответ: 1 – А, 2 – Б
20. Установите соответствие между предметной выборкой и
статистическими  показателями
6
1
2
Месяц
3
4
5
7
8
9
10
11
12
за
год
1.?
2.?
3.?
Частота
рождения
девочек
7280 6957 7883 7884 7892 7609 7585 7393 7203 6903 6552 7132 88273
3743 3550 4017 4173 4117 3944 3964 3797 3712 3512 3392 3761 45682
3537 3407 3866 3711 3775 3665 3621 3596 3491 3391 3160 3371 42591
0,486 0,489 0,490 0,471 0,478 0,482 0,462 0,484 0,4850,4910,4820,473 0,483
А. Новорожденные
Б. Мальчики
В. Девочки
Ответ: 1 – А, 2 – Б, 3 – В
Тема 2. Выборочный метод в математической статистике.
1. Вероятность того, что в страховую компанию в течение года
обратится с иском о возмещении ущерба первый клиент, равна
0.2. Для второго клиента вероятность такого обращения равна
0.1. Найти вероятность того, что в течение года в СК
обратится хотя бы один клиент, если обращения клиентов –
события независимые.
а)  0,4;    б) 0,44;       в) 0,72;     г) 0,34;         д) 0,66.
2. В каждой из трех партий, содержащих по 10 изделий, имеется
соответственно два, три и пять бракованных изделия. Из
каждой партии наудачу извлекают по одному изделию. Найти
вероятность того, что все три изделия окажутся
стандартным.
а) 0,29;        б) 0,28;         в) 0,038;         г) 0, 32;         д) 0,26.
3. Вероятность того, что в течении одной смены возникнет
поломка станка равна 0,05. Какова вероятность того, что не
возникнет ни одной поломки за три смены?
а) 0,81;       б) 0,88;          в) 0,78;            г) 0, 95;         д) 0,86.
4. В коробке 4 стандартных и 2 бракованных детали. Подряд
вынимают две детали, при этом не возвращают их обратно в
7

description:
коробку. Найти вероятность того, что обе вынутые детали –
бракованные.
а) 1/8;    б) 1/15;       в) 1/6;     г) 1/5;         д) 1/3.
5. В коробке 4 стандартных и 2 бракованных детали.
Последовательно по одной вынимают две детали, при этом
каждый раз возвращают их обратно в коробку. Найти
вероятность того, что обе вынутые детали – бракованные.
а) 1/4;    б) 1/15;       в) 1/6;     г) 1/7;         д) 1/9.
6. Три организации представили в контрольное управление счета
для выборочной проверки: первая – 4 счета, вторая 3, третья –
3. Вероятности правильного оформления счетов у этих
организаций соответственно таковы: 0.6, 0.7, 0.8. Какова
вероятность того, что выбранный наудачу счет оформлен
правильно?
а) 0,65;           б) 0,60;             в) 0,72;             г) 0, 69;             д) 0,79.
7. Вероятности того, что во время работы цифровой
электронной машины произойдет сбой в арифметическом
устройстве, в оперативной памяти, относятся как 3:7.
Вероятности обнаружения сбоя в  арифметическом
устройстве, в оперативной памяти соответственно равны 0.7;
0.8. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой
будет обнаружен.
а) 0,78;            б) 0,69;           в) 0,70;         г) 0, 76;         д) 0,72.
8. Три организации представили в контрольное управление счета
для выборочной проверки: первая – 2 счета, вторая4, третья –
4. Вероятности правильного оформления счетов у этих
организаций соответственно таковы: 0.7, 0.8, 0.9. Какова
вероятность того, что выбранный наудачу счет оформлен
правильно?
а) 0,85;           б) 0,82;         в) 0,70;           г) 0, 66;               д) 0,79.
9. Вероятности того, что во время работы цифровой электронной
машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в
оперативной памяти, относятся как 3:7. Вероятности
обнаружения сбоя в  арифметическом устройстве, в
оперативной памяти соответственно равны 0.7; 0.8. Найти
вероятность того, что возникший в машине сбой не будет
обнаружен.
а) 0,30;           б) 0,32;         в) 0,28;           г) 0, 36;            д) 0,29.
8

description:
10. Три организации представили в контрольное управление счета
для выборочной проверки: первая –2 счета, вторая 4, третья –
4. Вероятности правильного оформления счетов у этих
организаций соответственно таковы: 0.7, 0.8, 0.9. Какова
вероятность того, что выбранный наудачу счет оформлен
неправильно?
а) 0,17;            б) 0,20;            в) 0,21;         г) 0, 18;           д) 0,19.
11. Найти дисперсию случайной величины Х, если закон ее
распределения задан таблицей:
Х xi
pi
3
0,1
а) 2,85;             б) 3,70;       в) 2,45;         г) 4, 60;              д) 10,9.
–2
0,1
–1
0,2
0
0,3
2
0,3
12. Найти математическое ожидание случайной величины Х,
если закон ее распределения задан таблицей:
20
0,4
2
0,3
10
0,1
15
0,2
xi
pi
а) 12,85;             б) 13,70;       в) 12,60;         г) 14, 60;              д) 13,9.
13. На основании 20 наблюдений выяснено, что выборочная доля
дисперсии случайной величины у, вызванной вариацией х,
составит 64%. Известно, что коэффициент регрессии –
отрицательный. Чему не  равен выборочный парный
коэффициент корреляции:
а) 0,4;               б) 0,5;            в) – 0,6;          г) – 0,7;        д) – 0,8.
14. На основании 20 наблюдений выяснено, что выборочная доля
дисперсии случайной величины у, вызванной вариацией х,
составит 64%. Известно, что коэффициент регрессии –
положительный. Чему не равен выборочный парный
коэффициент корреляции:
а) 0,8;               б) 0,6;            в) 0,4;          г) – 0,4;        д) – 0,8.
15.  Формулировка теоремы: частота суммы двух несовместных
событий равна …
Ответ: Сумме этих событий
16.
  Формулировка   теоремы:   вероятность   суммы   двух
несовместных событий равна…
*
P A B
(

)

*
P A
)
(

P B
(
)
(
Ответ: Сумме вероятностей этих событий
17. Какое положение изображено на схеме:
P A B
 
)
)
P A
(

P B
(
),
AB

9

description:


H 1
H n
 . . .
 . . .
H 4 A
H n A
H 1 A
H 2 A
H 2
 . . .
 A
H 3 A
H 3
 . . .
H 4
Ответ: Произведения события  A  с гипотезами  (событиями
iH )
18. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что
сумма очков на выпавших гранях – чётная, причём на грани
хотя бы одной из костей появится «шестёрка»
Ответ: 5/36.
19. Для сигнализации об аварии установлены два независимо
работающие сигнализатора. Вероятность того, что при аварии
сработает первый сигнализатор равна 0,8, а второй – 0,9. Найти
вероятность того, что при аварии сработает только один
сигнализатор.
Ответ: 0,26.
20. Какая группа событий заключена в следующем положении:
n
i
i
H
 


1
Ответ: полная
Тема 3. Статистики и оценки параметров распределений.
1. Случайная величина вырождена, если имеет:
1) нулевую дисперсию;
2) нулевое математическое ожидание;
2. Коэффициент корреляции равен 1, если случайные величины:
1) независимы;
2) зависимы;
3) линейно зависимы;
4) линейно независимы.
3. Дисперсия является:
1) центральным моментом второго порядка;
2) начальным моментом второго порядка;
3) центральным моментом первого порядка;
4) начальным моментом первого порядка.
4. Плотность   распределения   двумерной   случайной   величины
распадается в произведение в случае …
1) стохастической зависимости компонентов случайного вектора;
2) стохастической независимости компонентов случайного вектора.
5. Математическое ожидание является:
10

description:
1) центральным моментом второго порядка;
2) начальным моментом второго порядка;
3) центральным моментом первого порядка;
4) начальным моментом первого порядка;
6. Среднеквадратическое отклонение случайной величины:
1) есть величина безразмерная;
2) имеет ту же размерность, что и случайная величина;
7. Условное   математическое   ожидание   случайной   величины  
при условии А вычисляется по формуле:

1)
xF
AM 
)

xdF
)
/(
Ax
2)
/(
/(
A
)
M

;





(
dxAx
/
)
;
8. Математическое ожидание случайной величины:
1) безразмерно;
2) имеет те же размерность, что и случайная величина.
9. Матрица ковариации двумерного случайного вектора (где r –
коэффициент корреляции) имеет вид:
1)




2
1

1
2
r
r

1
2

2
2



;
2)



r

1
2
2

1
r



;
3)




2
r
1

1
2

1
2

2
r
2



.
10. Случайная величина имеет плотность распределения

(
xf
)







3
4
2
x


2

х
при

0
9
x
при
6

2
2


при
0

4
х

4
х
Ее математическое ожидание есть:
1) 4;
2) 3;
3) 1.
11. Случайная величина имеет функцию распределения

xF
(
)




1


0

x
4
e
при



х
0


при
х
0
Ее дисперсия есть:
1 .
1 ;
1)16
4
2)
12. Плотность распределения случайной величины есть:
при
при
при
при

х
1
0


1

х
0

х
1

1
х
)
(
xf










0

x
1
1
x

0
Ее дисперсия есть:
1 ;
1 ;
1)  3
4
2)
3)
1 .
6
11

intro:
Рабочая программа дисциплины «Математика и статистика» составлена в соответствии с требованиями Федерального Государственного образовательного направление подготовки: 42.03.01 Реклама и связи с общественностью (уровень бакалавриата), утвержденным приказом Минобрнауки России от 11.08.2016 N 997.
Предметом математической статистики является изучение вероятностных закономерностей, возникающих при взаимодействии большого числа случайных факторов, массовых однородных случайных явлений в науке и жизни общества, а также математических методов сбора, систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов.
Объектом изучения служат случайные события, случайные величины, результаты наблюдений, методы их статистической обработки и анализа.

title: РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «Математика и статистика»


extracted_text:
Негосударственное образовательное
частное учреждение высшего образования
«Московский финансовопромышленный университет
«Синергия»
Кафедра Высшей математики и естественнонаучных дисциплин
УТВЕРЖДАЮ
Первый проректор,
кандидат экономических наук
___________________
  А.И. Васильев
КОМПЛЕКТ ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ для
проведения текущего контроля успеваемости
по дисциплине
«Алгебра и теория чисел»
Обсуждено
на заседании кафедры
Высшей математики и
естественнонаучных дисциплин
«31» августа 2017 г.
Протокол № 1
Составитель(и):
Хамидуллин Р.Я. к.т.н., доцент, зав. кафедрой
Ravgat@yandex.ru
Рейтер К.А. к.ф.н., доцент
Cyrill_reiter@mail.ru Москва 2017
II. Тесты для проведения текущего контроля успеваемости по темам............4
...........................................................................................................................................14
IV. Экзаменационные билеты..............................................................................26
Содержани
2 I. Содержание дисциплины
Тема 1. Алгебра матриц
Определение матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами.
Тема 2. Определители
Перестановки   и   подстановки.  Определители   и   их   свойства.   Миноры   и
алгебраические   дополнения.   Вычисление   определителей  nго   порядка.
Обратная матрица, методы её вычисления. Ранг матрицы
Тема 3. Решение систем линейных уравнений
Общая   теория   систем   линейных   уравнений.   Метод   Крамера.   Метод
обратной матрицы. Решение систем линейных уравнений методом Жордана
Гаусса.   Теорема   КронекераКапелли.   Однородные   системы   линейных
уравнений.
Тема 4. Элементы теории чисел
Целые   и   комплексные   числа.  Многочлены   над   произвольным
полем. Вычисление корней многочлена. Алгебраические уравнения.
Тема 5. Векторные пространства
Векторные пространство.  Евклидовы и унитарные пространства.
Линейная   зависимость   и   независимость   векторов.   Базис   векторного
пространства.
Тема 6. Квадратичные формы
Квадратичный   формы.  Линейное   преобразование   переменных   в
квадратичной форме. Ортогональное преобразование квадратичной формы к
каноническому виду. Дробнорациональные функции.
Тема 7. Элементы общей алгебры
Основы теории групп. Группы: определение и примеры. Кольца. Поле.
Линейные отображения и операции. Алгебры.
3 II. Тесты для проведения текущего контроля успеваемости по темам
Тема 1. Алгебра матриц
Негосударственное образовательное частное учреждение высшего
«Московский финансовопромышленный университет «Синергия»
образования
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ
ДИСЦИПЛИН
Ф.И.О. студента

ТЕСТ (МатАнализ: Матрицы)
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
____________/Хамидуллин Р.Я./
«31» августа 2017 г.

 _____
а
с
о
р
п
о
в

№
Текст вопроса
Варианты ответов
1 Матрица называется квадратной, если …
2
…
При умножении матрицы на число

каждый член матрицы
представляет собой квадрат
целого числа
    квадрат числа столбцов
матрицы равен квадрату
числа её строк
     квадрат числа строк матрицы
равен квадрату числа её
столбцов
     число строк матрицы равно
числу её столбцов
   элементы любой строки
матрицы умножаются на это
число
    все элементы матрицы
умножаются на это число
   элементы любого столбца
матрицы умножаются на это
число
   на это число умножается
только наибольший элемент
матрицы
    если размерность второй
матрицы больше размерности
4 39.
Сложение двух матриц возможно …
4
Перемножение двух матриц
возможно, когда…
612.
Если все недиагональные элементы
квадратной матрицы равны нулю, то
матрица называется …
713.
Если у диагональной матрицы все
диагональные элементы равны единице, то
матрица называется …
814.
Матрица любого размера, все
элементы которой равны нулю, называется
…
917.
Матрица   A−1   называется
обратной по отношению к квадратной
матрице  А, если при умножении этой
матрицы на данную как справа, так и слева
получается …
5
первой матрицы
    во всех случаях
    если размерности матриц
слагаемых одинаковы
    если размерность первой
матрицы больше размерности
второй матрицы
   оба сомножителя имеют
одинаковое количество строк
и столбцов
   число столбцов первого
множителя равно числу
строк второго
   всегда
    число строк первого
множителя равно числу
столбцов второго
   перемножаемые матрицы
невырождены
    нулевой
    единичной
    диагональной
    вырожденной
    нулевой
    единичной
    диагональной
     вырожденной
    нулевой
    единичной
    диагональной
     вырожденной
    нулевая матрица
    невырожденная
матрица
    единичная матрица
    диагональная
матрица 1018.
Обратная матрица существует тогда
и только тогда, когда исходная матрица …
    вырожденная
    невырожденная
    диагональная
     единичная
КОЛИЧЕСТВО  ВЕРНЫХ  ОТВЕТОВ         ________
Пример 1. Вычислить  ABBA
3 −4 1
   А= (1 −3 2
2 −5 3)
   А= (1 5 −5
7)
3 10
2 0
0
1.
2.
 ,
1 2 0
 ,     B= (2 5 6
2 3 3)
6 5)
 ,      B= (3
2 5
4 −1 3
0
 .
Пример 2. Найти значение матричного многочлена  f(A), если
3 0 5
f(x)=7x2+(1−x)+3,      A=(−1 2 0
1 1 4)
(1 2 0
3 4 1)
Пример 3. Найти ранг матрицы
0 4 2
  .
а) 3;                       б) 2;                             в) 1.
Пример 4. Вычислить  |A|     A= (2 1 −1
4)
5 2
7 3
4
а) 25;                    б) –1;                 в) –8.
Пример 5. Найти  A−1 A= (1 2 −1
1)
0 −3 1
0 0
6 0
1
2( 1
0
2 −3 0
−1 1
1)
.
1
3(3
2
0 −1
0
0 −3)
1
1
а)
;  б)
(−3 −2 −1
0 −3)
0 −1 1
0
;      в)
7 Тема 2. Определители
\
Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования
«Московский финансовопромышленный университет «Синергия»
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ
ДИСЦИПЛИН
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
_____________/Хамидуллин Р.Я./
«31» августа 2017 г.
Ф.И.О. студента

ТЕСТ (Определители)

а
с
о
р
п
о
в

№
1
Текст вопроса
Минором
элемента
определител
я третьего порядка называется определитель
второго порядка, получающийся из данного
определителя …
2
Определитель равен нулю, если …
310.
Определитель не изменится, если …
8
Варианты ответов

вычёркиванием любой
строки и столбца, в
котором стоит данный
элемент
    вычёркиванием строки, в
которой стоит данный
элемент
    вычёркиванием любой
строки и любого столбца
    вычёркиванием строки и
столбца, на пересечении
которых стоит данный
элемент
    элементы какойлибо
строки определителя равны
элементам какоголибо
столбца
    элементы одной строки
(столбца) определителя
равны нулю
    элементы каких-либо
строк пропорциональны
    элементы каких-либо
столбцов
пропорциональны
    поменять местами две
строки
    поменять местами два столбца
    строки определителя
заменить столбцами, а
столбцы -
соответствующими
строками
     поделить элементы
какой-нибудь строки
(столбца) на их общий
делитель
    произведению элементов
главной диагонали
    сумме элементов главной
диагонали
    произведению элементов
побочной диагонали
    сумме элементов
побочной диагонали
   11
    11
    12
   12
    1
    2
   2
    1
    элементы главной
диагонали определителя
     элементы побочной
диагонали определителя
    элементы только одной
строки определителя
     элементы только одного
столбца определителя
    5
     5
    1
      1
4
Определитель треугольного вида
равен…
13.
5
614.
Вычислить определитель
|0 1 2
0 5 6|  .
3 4 0
Найти максимальное значение
неизвестной величины   x   в уравнении
|x 2 4
2 1 x|=0.
1 2 4
715.
При умножении определителя на
число, на это число умножаются
818.
Корень уравнения
|1−x 2
x+3 4|=−4x     равен
9 9
19.
10
Вычислить определитель    |3 6
2 5|  .
Вычислить      | 2 5
0 1
0 −1
0 1
|2 5
3 6|
1 1| +
8 9
2 1
6 1
КОЛИЧЕСТВО  ВЕРНЫХ  ОТВЕТОВ         ________
   1
   2
   3
   4
   1
   2
   3
   4
Пример 1. Вычислить определители матриц  А  и  В.
А= ( 2 −5
−3 7
5 −4
4 −6
1
2
−1 4
2 7
1 2)
  ,    B=( 3
−9
2
2
−5
5
3
3
−4
4
3
3
7 −8
−4 −5)
−9
2 −3
−7
−2
3
3
−1 −2
3
3 x
5 −1
5|=0 .
а) 5;                             б)  −2;                            в) –3.
Пример 2. Решить уравнение     |1
Пример 3.              Вычислить определитель:            |1 −3 1
2 −1 −2| .
4
2 −1
2 1
3
а) 18;                        б) –33;             в) 25.
Пример 4.       Вычислить определитель       |5 −2 1
1 −3 −1| .
2 1
2
а)  −33;         б) 28;            в) –28.
10 Пример 5.    Если матрицы      A=(2
   и    B=( 1
определитель матрицы   A∙B   равен:
 0              2)  16             3)  32               4)  2               5)  32
3 −4)
1)
0
2
−2 0)
, то
11 Тема 3. Решение систем линейных уравнений
Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования
«Московский финансовопромышленный университет «Синергия»
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ
ДИСЦИПЛИН
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
_____________/Хамидуллин Р.Я./
«31» августа 2017 г.

ТЕСТ 2 (СЛАУ)

Ф.И.О. студента
 __

а
с
о
р
п
о
в

№
Текст вопроса
Варианты ответов
1 20.
Система уравнений, имеющая
хотя бы одно решение, называется  …
2 21.
Совместная система уравнений
называется определенной, если она
имеет …
3
Определитель системы
линейных уравнений состоит …
4 23.
Вспомогательный определитель
системы трёх линейных уравнений с
тремя неизвестными   B   получается
из определителя системы   A  …
5
Если матрица системы  n  уравнений
квадратная и ее определитель не равен
нулю, то система …
12
 совместной

     несовместной
     определенной
     неопределенной
     более одного решения
     единственное решение
     хотя бы два решения
     не менее одного решения
    из всех ее коэффициентов
    из коэффициентов при
переменных
    из свободных коэффициентов
    из переменных
    заменой i-й строки столбцом
свободных членов
    заменой i-го столбца столбцом
свободных членов
     заменой i-й строки i-м столбцом
     заменой i-го столбца J-й
строкой
     не имеет решений
     имеет единственное решение
     имеет не более n решений
     имеет ровно n решений 6
7
8
9
Если   A∙⃗x=⃗b  , то
При решении системы уравнений по
правилу Крамера используют формулы
…
Известно, что определитель
квадратной матрицы   A   равен Δ.
Укажите, чему будет равен
определитель матрицы, полученной из
матрицы   A   умножением первой
строки на число (–3).
Указать верные утверждения,
связанные с определением и
существованием обратной матрицы.
      имеет бесконечно много решений
∆i
∆
      ⃗x=⃗b/A
      ⃗x=A∙⃗b
      ⃗x=A−1∙⃗b
      ⃗x=⃗b∙A−1
     xi= ∆
∆i
     xi=∆i∙∆
     xi=
     xi=∆−∆i
     xi=∆+∆i
     ∆
     −∆
     −3∙∆
     −1
∆
3
       1
3
∆
    обратная матрица  A1
существует, если матрица  A –
квадратная и det A ≠ 0
    обратная матрица  A1
существует, если матрица  A –
квадратная
    обратная матрица  A1
существует, если матрица  A –
квадратная и вырожденная, т.е.
det A = 0
    A∙A1 = A1∙A = E, где  E –
единичная матрица
соответствующего размера
     A∙A1= A1∙A = A
    A∙A1 = A1∙A = I
13 10
Разложение определителя
det|−1 a 0
3 c 1|
2 b 2
     −4a+b−2c
     −a+2b+3c
     верныйответотсутствует
     4a+b+2c
     4a−b+2c
по второму столбцу имеет вид:
КОЛИЧЕСТВО  ВЕРНЫХ  ОТВЕТОВ         ________
Пример 1. Решить систему уравнений методами Гаусса и Крамера:
{ x1
+x3
+x2
3x1 −x2
+2x3
3x1 −2x2 +3x3
¿
¿
¿
6
3
2
Пример 2.  Выяснить, является  ли  система  линейных алгебраических
уравнений   совместной,   если   да   –   найти   общее   и   выписать   два   частных
решения:

x
3
x
2
2
1

x
3
x
2
2
1

3
x
x
2
2
1

3
x
2
x
2
1


x
4
x
4
3


x
4
x
4
3


7
x
2
x
4
3


2
x
7
x
4
3

1

0

2

1
.
Пример 3.  Для заданной матрицы А найти обратную матрицу двумя
способами   (методом   Гаусса   и   с   помощью   алгебраических   дополнений),
убедиться в совпадении результатов. Провести проверку.
A

1
4
2

2 0


2 7



1 4
14













 Тема 4. Элементы теории чисел
Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования
«Московский финансовопромышленный университет «Синергия»
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ
ДИСЦИПЛИН
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
_____________/Хамидуллин Р.Я./
«31» августа 2017 г.
Ф.И.О. студента

ТЕСТ_11 (ЭлТеорЧисел)

Варианты ответов
Текст вопроса

 __
№
1
2
Задано комплексное число
z=x+iy  .
Выбрать верные утверждения,
касающиеся   ℜz,ℑz,|z| .
     ℜz=y
     ℜz=iy
     ℜz=x
     ℑz=x
     ℑz=iy
     ℑz=y
     |z|=x2+y2
     |z|=|x|+|y|
     |z|=√x2+y2
Умножение комплексных чисел
z1   и   z2  , заданных в
тригонометрической форме,
осуществляется по формуле
|z2|∙|z2|∙(cos(φ1+φ2)+i∙sin(φ1+φ2))
|z2|∙|z2|∙(cos(φ1∙φ2)+i∙sin(φ1∙φ2))
|z2|∙|z2|¿∙(cos(φ1+φ2)+i∙sin(φ1+φ2))
   (
3 Деление комплексных чисел   z1   и
z2  , заданных в
тригонометрической форме,
осуществляется по формуле
|z2|∙|z2|∙(sin(φ1+φ2)+i∙cos(φ1+φ2))
    верный ответ отсутствует
φ1
+i∙sin
φ2)

|z1|
|z2|
∙(cos
φ1
φ2
|z1|
∙(cos(φ1−φ2)+i∙sin(φ1−φ2))
|z2|
∙(sin
|z1|
|z2|
φ2)
+i∙cos
φ1
φ2
φ1

15 4 Возведение в степень   n
комплексного числа   z
осуществляется по формуле …
5 Определите значение    2z1−z2
для комплексных чисел
z1=−2+3i    и   z2=3−4i  .
6
Установить соответствие между
алгебраической и соответствующей
показательной формой записи
комплексного числа       1.   2e
−π
6 i
−π
3 i
2.2e
−π
2 i
3.2e
4.1eπi
3π
4 i
5.√2e
7 Алгебраическая форма комплексного
числа   z  , изображённого на
рисунке, имеет вид:
|z1|
|z2|
∙(sin(φ1−φ2)+i∙cos(φ1−φ2))
     верный ответ отсутствует
     n∙|z|∙(cos(nφ)+i∙sin (nφ))
     |z|n∙(cosnφ+i∙sinnφ)
     |z|n∙(cos(nφ)+i∙sin(nφ))
|z|n∙(cos(φ+2πk
n ))
n )+i∙sin(φ+2πk
     |z|n∙(cosφn+i∙sinφn)
     −1+2i
       7−10i
       1−2i
     −7+10i
     −7−10i
     −1+i

     −1

     1−i√3

     2i
     z=4−2i
     z=−4+2i
     z=−2−4i
     z=−4−2i
     z=2−4i
16 8 Для квадратного уравнения
указать верные утверждения о корнях
9 Для комплексных чисел
z1=1−2i   и   z2=2−3i
указать верный результат операций
2+ ´z1∙z2
z1
z2−z1
16.
17.
10
18.
19.
Выбрать верное разложение
многочлена
f(x)=2x3−6x−4
на множители:
z2−2z+5=0
    z1=−1−2i,z2=1−2i
    z1=−1−2i,z2=−1+2i
    у данного уравнения нет
корней, ни комплексных, ни
действительных
    у данного уравнения нет
действительных корней
    z1=1+2i,z2=1−2i
     4−i
     −4−i
    4+i
     3i−5
     5−3i
     −2(x+1)2(x−2)
     2(x−1)2(x+2)
     2(x+1)2(x−2)
     2(x+1) (x−2)2
     2(x+1)(x−2)
КОЛИЧЕСТВО  ВЕРНЫХ  ОТВЕТОВ         ________
Пример 1. Найти все значения кубического корня из  1.
Пример 2. Представить в виде показательной функции числа:
z=1+π
4
i;z=1+i;z=1+π
2
i.
Пример   2.
  Разложить   на   множители   с   действительными
коэффициентами многочлены
а)  f(x)=x4−1;     а)  f(x)=x2−x−2;  а)  f(x)=x3+1.
Пример   3.   Функцию     f(x)=x4+12x3+54x2+108x+81   разделить   на
x+3 .
17 Тема 5. Векторные пространства
Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования
«Московский финансовопромышленный университет «Синергия»
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ
ДИСЦИПЛИН
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
_____________/Хамидуллин Р.Я./
«31» августа 2017 г.
ТЕСТ 5 (Плоскость)

Ф.И.О. студента
 ___

№
133.
234.
35.
36.
337.
38.
40.
Текст вопроса
Варианты ответов
Общее уравнение плоскости в
пространстве…
x
a+ y
b+ z
d=1

         { x=x0+¿
y=y0+mt
z=z0+nt
        Ax+By+Cz+D=0

x−x0
l =
y−y0
m =
z−z0
n
плоскостей
Условие перпендикулярности
  A1x+B1y+C1z+D1=0   и
  A2x+B2y+C2z+D2=0   ...
Условие параллельности
плоскостей
  A1x+B1y+C1z+D1=0   и
  A2x+B2y+C2z+D2=0   ...
       A1∙A2+B1∙B2+C1∙C2=0

A1
=
A2
B1
+
B2
B1
=
B2
C1
+
C2
C1
C2
=1
A1
A2

        A1∙B1∙C1=A2∙B2∙C2
       A1∙A2+B1∙B2+C1∙C2=0

A1
=
A2
B1
+
B2
B1
=
B2
C1
+
C2
C1
C2
=1
A1
A2

        A1∙B1∙C1=A2∙B2∙C2
441.
Каноническое уравнение прямой
в пространстве…

x
a+ y
x−x0
l =
=
b+z
c=1
y−y0
m =
y−y2
=
y2−y1
x−x2
x2−x1
z−z0
n
z−z2
z2−z1
=
    Ax+By+Cz+D=0
18 542.
Уравнение прямой в
пространстве, проходящей через две
точки:   M1(x1,y1,z1)
M2(x2,y2,z2)
  имеет вид …
  и

x
a+ y
x−x0
l =
=
b+z
c=1
y−y0
m =
y−y2
=
y2−y1
x−x2
x2−x1
z−z0
n
z−z2
z2−z1
Уравнение плоскости,
проходящей через 3 точки пространства:
M1(x1,y1,z1)
  и
M3(x3,y3,z3)имеетвид …
,   M2(x2,y2,z2)
       Ax+By+Cz+D=0
x3−x1 y−y1 z2−z1
x2−x1 y−y1 z3−z1
     |x−x1 y2−y1 z2−z1
x3−x1 y3−y1 z−z1|=0
     |x2−x1 y2−y1 z−z1
x−x1 y3−y1 z3−z1|=0
     |x−x1 y−y1 z−z1
x3−x1 y3−y1 z3−z1|=0
     |x−x1 x2−x1 x3−x1
z−z1 z2−z1 z3−z1|=0
x2−x1 y2−y1 z2−z1
y−y1 y2−y1 y3−y1
643.
745.
46.
844.
45.
       A1∙A2+B1∙B2+C1∙C2=0

A1
A2
=
B1
B2
=
C1
C2
        A1=A2,B1=B2
иC1=C2
        D1=D2
      cosφ= l

cosφ¿
B+ n
A+m
C
Al+Bm+Cn
√A2+B2+C2√l2+m2+n2

sinφ¿
Al+Bm+Cn
√A2+B2+C2√l2+m2+n2
      cosφ=√ l2+m2+n2
A2+B2+C2
Плоскости
A1x+B1y+Cz1+D1=0   и
  A2x+B2y+C2z+D2=0
перпендикулярны, если …
Прямая задана каноническим
уравнением
x−x0
l =
y−y0
m =
z−z0
n  , а
плоскость определена общим
уравнением    Ax+By+Cz+D=0 .
Тогда угол между прямой и плоскостью
определяется с использованием
формулы …
19 946.
46.
47.
10
48.
47.
Прямая задана каноническим
уравнением
x−x0
l =
y−y0
m =
z−z0
n  , а
плоскость определена общим
уравнением    Ax+By+Cz+D=0 .
Тогда  условие перпендикулярности
прямой и плоскости …
Прямая задана каноническим
уравнением
x−x0
l =
y−y0
m =
z−z0
n  , а
плоскость определена общим
уравнением    Ax+By+Cz+D=0 .
Тогда  условие параллельности прямой и
плоскости  …
      Al+Bm+Cn=0
A
l=B
m=C
n

      Al+Bm+Cn+D=0
n=1
m+C
l+ B
A
D
D
D

A
l= B
m=C
n

      Al+Bm+Cn+D=0
n=1
m+C
l+ B
A

D
D
D
      Al+Bm+Cn=0
КОЛИЧЕСТВО  ВЕРНЫХ  ОТВЕТОВ         ________
Пример 1. Доказать, что скалярное произведение двух любых векторов


x
xx
1
,
2
,...,
x
n



y
yy
1
,
2
,...,
y
n

евклидова пространства тогда и только тогда выражается x1  равенством

yx
,


yx
11

yx
22

...
nn yx
,
когда базис, в котором взяты координаты, является ортонормированным.
Пример 2. Разложить вектор    а=(3,1,13)   по базису
b1=(1,3,5), b2=(3,4,2), b3=(0,1,5).
Пример 3. Являются ли линейно зависимыми векторы:
а1=(2,0,1,1), а2=(0,2,3,3), а3=(1,1,2,4), а4=(4,1,0,3)?
20 Тема 6. Квадратичные формы
ТЕСТ

 (пример)
1. Найти ранг квадратичной формы
f(x1,x2,x3)=x1
2−4x2
2+x3
2+4x1x2+6x1x3−4x2x3 .
2. Найти положительный индекс инерции квадратичной формы
f(x1,x2)=x1
2+4x1x2+x2
2  .
3. Какое из высказываний о квадратичной форме
2+8x1x2+2x1x3+6x2x3
2+x3
2+7x2
f(x1,x2,x3)=3x1
является  истинным?
1) f−¿  положительно определена
2) f−¿  отрицательно определена
3) f−¿
не   является   положительно   или   отрицательно
определённой.
4. Найти канонический вид, к которому приводится каноническая форма
f(x,y)=5x2+2√3xy+3y2
с помощью ортогональной замены переменных. В ответе указать сумму
коэффициентов при квадратах новых переменных.
5. При   каком   положительном   t   матрица
  является
(0,6 t
−t 0,6)
ортогональной?
6. Найти матрицу квадратичной квадратичной формы, получаемой из
f(x1,x2)=2x1
линейной   заменой   переменных
2
2+4x1x2−x2
  x1=3y1+y2,x2=2y1−y2 .   В   ответе
указать элемент, стоящий в правом верхнем углу матрицы.
Пример   1.
 Выяснить,   какие   кривые   определяются   следующими
уравнениями.
1. а)
2. а)
3. а)
4. а)
5. а)
2
x
 y
3 2

0
12
2
3
x
 y
2
2

06
;
2
2
x
2
 y

08
2
x
 y
4 2

04
2
x
 y
2 2

04
;
;
;
;
б)
б)
б)
б)
б)
;
;
;
2
y
 x
4 2

4
2
x
 y
4 2

4
2
y

99
x
2
;
2
x
 y
16 2

16
;
2
y
 x
25 2

25
21
в)
в)
в)
в)
в)
.
.
.
2
y
x
4
2
y
x
4
2
x
y
3
.
.
2
y
 x
2
2
2
x
 y
2
4 Пример   2.  Доказать,   что   если   квадратичная   форма   с   матрицей   А
положительно определена, то и квадратичная форма с обратной матрицей
1A  положительно определена.
;
;
;
;
;
;
;
;
Примеры. Записать квадратичную форму в матричном виде:
3.1.
3.2.
3.3.
3. 4.
3. 5.
3. 6.
3. 7.
3. 8.
3. 9.
3.10.
Каждую из квадратичных форм исследовать на знакоопределённость
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
;
.
22 III. Задания контрольной работы
(75 баллов)   Ниже  в  условиях  задач  следует букву

заменить номером варианта :

 N
 N    = 1,2,…,10.
                           Тема 1. АЛГЕБРА МАТРИЦ
Задача 1 (8 баллов). Вычислить   3А+4В, АВВА.
3 −4 N
   А= (N −3 2
2 −5 3)
  А= (N 5 −5
7)
3 10
2
0
0
3.
4.
N 2 N
 ,     B= ( 2 5 6
N 3 3)  ,
5)
 ,     B= ( 3
5
4 −1 3
N 6
2
 .
Задача 2 (8 баллов).  Найти значение матричного многочлена  f(A), если
f(x)=7x2+(N−x)+3,      A=(−1 2 0
N 1 4)
3 0 5
  .
Тема 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Задача 3 (8 баллов). Вычислить определители матриц  А  и  В.
А= ( 2 −5
−3 7
5 N−5
4 −6
N 2
−1 4
2 7
1 2)
  ,    B=( 3
−9
2
−5
3
2
5
3
4
3
3
7 −8
N−5
−4 −5)
−9
2 −3
−7
−2
3
3
−N −2
3
Тема 3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
Задача   4   (11   баллов).  Методом   Гаусса      Жордана   решить   системы
линейных   уравнений    (а),  (б).   Определить   класс   системы   (совместная   /
несовместная, определенная / неопределенная); для неопределенной системы
указать размерность многообразия решений.
23 
x
1

xN
1

2
x

x
6
x
3
2


x
x
3
2
3
2

3
24
x
N
3

xN
1
2
.
  (а)












2
xN
1
)2
x
1
x
1


(
N

x
3
2
)
xN
)
xN
2


2


11(

8(


3
9
)11
)2
4(
4(

N

N
4
x
x
x
4
4
 (б)

,3

2

2
N
N
,11
.14

x
3
xN
3
)24
x
(
N

)24
2(

N
Тема 4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Задача 5 (5 баллов). Найти:
а)
(3+5i)∙(N−i);     б)
3−Ni
4+5i ;    в)
(N−i)3;     г)   √−5−(N+2)i  .
Задача 6 (5 баллов). Разложить на множители многочлен:
f(x)=x3−6x2+(N+1)x−6.
Тема 5. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Задача 7 (10 баллов). Разложить векто    а=(9,1,N+10)    по базису
b1=(1,3,5), b2=(3,4,2), b3=(0,1,N).
Задача 8 (10 баллов). Даны векторы
⃗
a
1






1
N
N





,
⃗
2a

1


1



2






 ,
⃗
3a






1
2
3





 ,
⃗
b






6
3
24

N
.





Доказать, что векторы
⃗3
a
пространстве и найти координаты вектора
⃗2  ,
a
⃗1  ,
a
 образуют   базис в трехмерном

⃗ этом базисе. Соответствующую
b
систему линейных уравнений решить  по правилу Крамера.
Тема 6. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
Задача 9 (5 баллов).    Выясните, является ли положительно
определенной квадратичная форма
f(x1,x2,x3)=13x1
2+2x2
2+3x3
2−Nx1x2−6x1x3 .
24 Задача   10   (5   баллов).
 Выяснить,   какие   кривые   определяются
следующими уравнениями:
а) N x2 +3 y2−12=0 ;      б)  x2=25y2+N2 ;      в)  y2=x−N ;
г) 2 x2 +5 y2−N=0 ;        д)  y2=4y2+N2 ;         е)  x2=8−Ny .
25 IV. Экзаменационные билеты
Негосударственное образовательное частное учреждение высшего
образования «Московский финансовопромышленный университет
«Синергия»
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
_______________/Хамидуллин Р.Я./
                                «31» августа 2017 г.
АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Дисциплина
БИЛЕТ № 1
1. Вычислить скалярное произведение векторов
⃗a=4 ⃗i+3⃗j−12 ⃗k      и      ⃗a=−⃗i+2 ⃗j+⃗k  .
2. Найти произведение матриц   ⃗AB   и    ⃗BA  , если    A=(0 1
2 −3),B=(1 2
3 0).
3. Вычислить
3−2i
2+4i   .
Негосударственное образовательное частное учреждение высшего
образования «Московский финансовопромышленный университет
«Синергия»
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
_______________/Хамидуллин Р.Я./
                                «31» августа 2017 г.
АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Дисциплина
БИЛЕТ № 2
1. Даны векторы    ⃗a (3,1,1,0)  и   ⃗b (0,3,2,1). Найдите их модули и косинус
угла между ними.
2. Являются ли линейно зависимыми векторы:
а1(2,0,1,1),   а2(0,2,3,3),   а3(1,1,2,4),   а4(4,1,0,3)?.
26 3. Привести к каноническому виду выражение
x2+y2−2x+12y+28=0.
Негосударственное образовательное частное учреждение высшего
образования «Московский финансовопромышленный университет
«Синергия»
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
_______________/Хамидуллин Р.Я./
                                «31» августа 2017 г.
АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Дисциплина
БИЛЕТ № 3
1. Вычислить определитель    |0 1 2
0 5 6| .
3 4 0
1. Решить матричным методом систему уравнений
2. Вычислить
(1+i)5
1−i  .
3x +4y=¿x +2y=¿−10
6
¿
¿
 .
Негосударственное образовательное частное учреждение высшего
образования «Московский финансовопромышленный университет
«Синергия»
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
_______________/Хамидуллин Р.Я./
                                «31» августа 2017 г.
АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Дисциплина
БИЛЕТ № 4
27 1. Найти матрицу, обратную матрице      A=(3 5
2 3)
2. Вычислить скалярное произведение векторов   ⃗a=(−4;0;8)и⃗a=(3;2;1)
3. Привести к каноническому виду уравнение
 .
16x2−9y2−64x−18y+199=0.
 .
Негосударственное образовательное частное учреждение высшего
образования «Московский финансовопромышленный университет
«Синергия»
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
_______________/Хамидуллин Р.Я./
                                «31» августа 2017 г.
АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Дисциплина
БИЛЕТ № 5
1. Решить систему уравнений    { x +2y +z
3x +2y +z
4x +3y −2z
.
¿8
¿10
¿4
   методом Гаусса.
2. Написать уравнение окружности, имеющей центр в точке   A(1;−2)
3. Показать, что векторы    ⃗a(1;−2;3),⃗b(4;7;2),⃗c(6;4;2)
   образуют базис в
и радиус   R=3 .
пространстве    ⃗R3 .
Негосударственное образовательное частное учреждение высшего
образования «Московский финансовопромышленный университет
«Синергия»
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
_______________/Хамидуллин Р.Я./
                                «31» августа 2017 г.
Дисциплина
28 АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
БИЛЕТ № 6
1. Найти координаты вектора     ⃗b=−5 ⃗i+4 ⃗j    в базисе векторов
2. Дано линейное преобразование
⃗a1=2 ⃗i+5⃗j     и     ⃗a2=⃗i+3⃗j  .
u1 ¿2v1
+v2
u2 ¿3v1 −2v2

Найти матрицу преобразования, переводящую    ⃗u    в    ⃗v  .
3. Вычислить
(1+i√2)(1+i)
.
Негосударственное образовательное частное учреждение высшего
образования «Московский финансовопромышленный университет
«Синергия»
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
_______________/Хамидуллин Р.Я./
                                «31» августа 2017 г.
АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Дисциплина
БИЛЕТ № 7
1. Разложить вектор   ⃗a (9,1,29) по базису  ⃗b 1(1,3,5),  ⃗b 2(3,4,2),  ⃗b
3=(0,1,5).
2. Найти значение неизвестной величины   x   в уравнении      |x 2 4
2 1 x|=0.
1 2 4
3. Найти угол между векторами    ⃗a=⃗i+⃗j+2 ⃗kи2⃗i−⃗j+⃗k   .
Негосударственное образовательное частное учреждение высшего
образования «Московский финансовопромышленный университет
«Синергия»
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН
29 УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
_______________/Хамидуллин Р.Я./
                                «31» августа 2017 г.
АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Дисциплина
БИЛЕТ № 8
1. Установить, образуют ли векторы   ⃗a(1;−2;3),⃗b(4;7;2),⃗c(6;3;8)
  базис
в пространстве    ⃗R3  .
2. Найти произведение матриц   AB    и   BA  ,  если
a=(1 2
3. Найти все значения корня      3√2+2i .
4 −3 1)
0
, b= ( 1
2
3 −4
−2 1)
 .
Негосударственное образовательное частное учреждение высшего
образования «Московский финансовопромышленный университет
«Синергия»
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
_______________/Хамидуллин Р.Я./
                                «31» августа 2017 г.
АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Дисциплина
БИЛЕТ № 9
1.
2.
3.
Доказать, что векторы     ⃗a=⃗3i−2⃗j+⃗k,   ⃗b=7⃗i+3 ⃗j−⃗k,⃗c=2 ⃗j+3 ⃗k
образуют базис.
u1 ¿2v1
+v2
u2 ¿3v1 −2v2
Дано линейное преобразование
Найти матрицу преобразования, переводящую    ⃗u    в    ⃗v  ..
Найти произведение    AB   и   BA    матриц    A=(4 −3
5 )
  и
B=(6 1
7 −2)
2

30 Негосударственное образовательное частное учреждение высшего
образования «Московский финансовопромышленный университет
«Синергия»
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
_______________/Хамидуллин Р.Я./
                                «31» августа 2017 г.
АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Дисциплина
БИЛЕТ № 10
1. Найти угол между векторами    ⃗a(1;1;0),⃗b(0;1;1)
2. Вычислить определитель     ∆=|1 0 2
3 6 −1| .
3. Решить систему линейных уравнений      { x +2y ¿−5
3x +5y ¿4
2 5 4
матричным методом
31

file_name: КОС Алгебра и теория чисел ВПО.docx

intro:
КОМПЛЕКТ ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ предназначен для контроля и оценки образовательных достижений, обучающихся по программе учебной дисциплины «Алгебра и теория чисел» в пределах освоения основной профессиональной образовательной программы ВПО.
КОМПЛЕКТ ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ входит в состав учебно-методического комплекса дисциплины «Алгебра и теория чисел» и является неотъемлемой частью нормативно-методического обеспечения системы оценки результата освоения обучающимися ООП ВО.
КОМПЛЕКТ ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ по дисциплине «Алгебра и теория чисел» представляет собой совокупность оценочных средств и методов их использования для осуществления контроля процесса освоения компетенций, определенных в ФГОС ВПО.

математика

group: Дисциплины

доп. образование взрослых

group: Другое


extracted_text:
Негосударственное образовательное
частное учреждение высшего образования
«Московский финансовопромышленный университет
«Синергия»
Кафедра Высшей математики и естественнонаучных дисциплин
УТВЕРЖДАЮ
Первый проректор,
кандидат экономических наук
___________________
  А.И. Васильев
КОМПЛЕКТ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ для
проведения текущего контроля успеваемости
по дисциплине
«Алгебра и теория чисел»
Обсуждено
на заседании кафедры
Высшей математики и
естественнонаучных дисциплин
«31» августа 2017 г.
Протокол № 1
Составитель(и):
Хамидуллин Р.Я. к.т.н., доцент, зав. кафедрой
Ravgat@yandex.ru
Рейтер К.А. к.ф.н., доцент
Cyrill_reiter@mail.ru Москва 2017
Содержани
...........................................................................................................................................14
2 I. Содержание дисциплины
Тема 1. Алгебра матриц
Определение матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами.
Тема 2. Определители
Перестановки   и   подстановки.  Определители   и   их   свойства.   Миноры   и
алгебраические   дополнения.   Вычисление   определителей  nго   порядка.
Обратная матрица, методы её вычисления. Ранг матрицы
Тема 3. Решение систем линейных уравнений
Общая   теория   систем   линейных   уравнений.   Метод   Крамера.   Метод
обратной матрицы. Решение систем линейных уравнений методом Жордана
Гаусса.   Теорема   КронекераКапелли.   Однородные   системы   линейных
уравнений.
Тема 4. Элементы теории чисел
Целые   и   комплексные   числа.  Многочлены   над   произвольным
полем. Вычисление корней многочлена. Алгебраические уравнения.
Тема 5. Векторные пространства
Векторные пространство.  Евклидовы и унитарные пространства.
Линейная   зависимость   и   независимость   векторов.   Базис   векторного
пространства.
Тема 6. Квадратичные формы
Квадратичный   формы.  Линейное   преобразование   переменных   в
квадратичной форме. Ортогональное преобразование квадратичной формы к
каноническому виду. Дробнорациональные функции.
Тема 7. Элементы общей алгебры
Основы теории групп. Группы: определение и примеры. Кольца. Поле.
Линейные отображения и операции. Алгебры.
3 II. Тесты для проведения текущего контроля успеваемости по
темам
Тема 1. Алгебра матриц
Негосударственное образовательное частное учреждение высшего
«Московский финансовопромышленный университет «Синергия»
образования
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ
ДИСЦИПЛИН
Ф.И.О. студента

ТЕСТ (МатАнализ: Матрицы)
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
____________/Хамидуллин Р.Я./
«31» августа 2017 г.

 _____
а
с
о
р
п
о
в

№
Текст вопроса
Варианты ответов
1 Матрица называется квадратной, если …
2
…
При умножении матрицы на число

каждый член матрицы
представляет собой квадрат
целого числа
    квадрат числа столбцов
матрицы равен квадрату
числа её строк
     квадрат числа строк матрицы
равен квадрату числа её
столбцов
     число строк матрицы равно
числу её столбцов
   элементы любой строки
матрицы умножаются на это
число
    все элементы матрицы
умножаются на это число
   элементы любого столбца
матрицы умножаются на это
число
   на это число умножается
только наибольший элемент
матрицы
    если размерность второй
4 39.
Сложение двух матриц возможно …
4
Перемножение двух матриц
возможно, когда…
612.
Если все недиагональные элементы
квадратной матрицы равны нулю, то
матрица называется …
713.
Если у диагональной матрицы все
диагональные элементы равны единице, то
матрица называется …
814.
Матрица любого размера, все
элементы которой равны нулю, называется
…
917.
Матрица   A−1   называется
обратной по отношению к квадратной
матрице  А, если при умножении этой
матрицы на данную как справа, так и слева
получается …
5
матрицы больше размерности
первой матрицы
    во всех случаях
    если размерности матриц
слагаемых одинаковы
    если размерность первой
матрицы больше размерности
второй матрицы
   оба сомножителя имеют
одинаковое количество строк
и столбцов
   число столбцов первого
множителя равно числу
строк второго
   всегда
    число строк первого
множителя равно числу
столбцов второго
   перемножаемые матрицы
невырождены
    нулевой
    единичной
    диагональной
    вырожденной
    нулевой
    единичной
    диагональной
     вырожденной
    нулевой
    единичной
    диагональной
     вырожденной
    нулевая матрица
    невырожденная
матрица
    единичная матрица
    диагональная
матрица 1018.
Обратная матрица существует тогда
и только тогда, когда исходная матрица …
    вырожденная
    невырожденная
    диагональная
     единичная
КОЛИЧЕСТВО  ВЕРНЫХ  ОТВЕТОВ         ________
Пример 1. Вычислить  ABBA
3 −4 1
   А= (1 −3 2
2 −5 3)
   А= (1 5 −5
7)
3 10
2 0
0
1.
2.
 ,
1 2 0
 ,     B= (2 5 6
2 3 3)
6 5)
 ,      B= (3
2 5
4 −1 3
0
 .
Пример 2. Найти значение матричного многочлена  f(A), если
3 0 5
f(x)=7x2+(1−x)+3,      A=(−1 2 0
1 1 4)
(1 2 0
3 4 1)
Пример 3. Найти ранг матрицы
0 4 2
  .
а) 3;                       б) 2;                             в) 1.
Пример 4. Вычислить  |A|     A= (2 1 −1
4)
5 2
7 3
4
а) 25;                    б) –1;                 в) –8.
Пример 5. Найти  A−1 A= (1 2 −1
1)
0 −3 1
0 0
6 0
1
2( 1
0
2 −3 0
−1 1
1)
.
1
3(3
2
0 −1
0
0 −3)
1
1
а)
;  б)
(−3 −2 −1
0 −3)
0 −1 1
0
;      в)
7 Тема 2. Определители
\
Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования
«Московский финансовопромышленный университет «Синергия»
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ
ДИСЦИПЛИН
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
_____________/Хамидуллин Р.Я./
«31» августа 2017 г.
Ф.И.О. студента

ТЕСТ (Определители)

а
с
о
р
п
о
в

№
1
Текст вопроса
Минором
элемента
определител
я третьего порядка называется определитель
второго порядка, получающийся из данного
определителя …
2
Определитель равен нулю, если …
310.
Определитель не изменится, если …
8
Варианты ответов

вычёркиванием любой
строки и столбца, в
котором стоит данный
элемент
    вычёркиванием строки, в
которой стоит данный
элемент
    вычёркиванием любой
строки и любого столбца
    вычёркиванием строки и
столбца, на пересечении
которых стоит данный
элемент
    элементы какойлибо
строки определителя равны
элементам какоголибо
столбца
    элементы одной строки
(столбца) определителя
равны нулю
    элементы каких-либо
строк пропорциональны
    элементы каких-либо
столбцов
пропорциональны
    поменять местами две
строки
    поменять местами два столбца
    строки определителя
заменить столбцами, а
столбцы -
соответствующими
строками
     поделить элементы
какой-нибудь строки
(столбца) на их общий
делитель
    произведению элементов
главной диагонали
    сумме элементов главной
диагонали
    произведению элементов
побочной диагонали
    сумме элементов
побочной диагонали
   11
    11
    12
   12
    1
    2
   2
    1
    элементы главной
диагонали определителя
     элементы побочной
диагонали определителя
    элементы только одной
строки определителя
     элементы только одного
столбца определителя
    5
     5
    1
      1
4
Определитель треугольного вида
равен…
13.
5
614.
Вычислить определитель
|0 1 2
0 5 6|  .
3 4 0
Найти максимальное значение
неизвестной величины   x   в уравнении
|x 2 4
2 1 x|=0.
1 2 4
715.
При умножении определителя на
число, на это число умножаются
818.
Корень уравнения
|1−x 2
x+3 4|=−4x     равен
9 9
19.
10
Вычислить определитель    |3 6
2 5|  .
Вычислить      | 2 5
0 1
0 −1
0 1
|2 5
3 6|
1 1| +
8 9
2 1
6 1
КОЛИЧЕСТВО  ВЕРНЫХ  ОТВЕТОВ         ________
   1
   2
   3
   4
   1
   2
   3
   4
Пример 1. Вычислить определители матриц  А  и  В.
А= ( 2 −5
−3 7
5 −4
4 −6
1
2
−1 4
2 7
1 2)
  ,    B=( 3
−9
2
2
−5
5
3
3
−4
4
3
3
7 −8
−4 −5)
−9
2 −3
−7
−2
3
3
−1 −2
3
3 x
5 −1
5|=0 .
а) 5;                             б)  −2;                            в) –3.
Пример 2. Решить уравнение     |1
Пример 3.              Вычислить определитель:            |1 −3 1
2 −1 −2| .
4
2 −1
2 1
3
а) 18;                        б) –33;             в) 25.
Пример 4.       Вычислить определитель       |5 −2 1
1 −3 −1| .
2 1
2
а)  −33;         б) 28;            в) –28.
10 Пример 5.    Если матрицы      A=(2
   и    B=( 1
определитель матрицы   A∙B   равен:
 0              2)  16             3)  32               4)  2               5)  32
3 −4)
1)
0
2
−2 0)
, то
11 Тема 3. Решение систем линейных уравнений
Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования
«Московский финансовопромышленный университет «Синергия»
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ
ДИСЦИПЛИН
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
_____________/Хамидуллин Р.Я./
«31» августа 2017 г.

ТЕСТ 2 (СЛАУ)

Ф.И.О. студента
 __

а
с
о
р
п
о
в

№
Текст вопроса
Варианты ответов
1 20.
Система уравнений, имеющая
хотя бы одно решение, называется  …
2 21.
Совместная система уравнений
называется определенной, если она
имеет …
3
Определитель системы
линейных уравнений состоит …
4 23.
Вспомогательный определитель
системы трёх линейных уравнений с
тремя неизвестными   B   получается
из определителя системы   A  …
5
Если матрица системы  n  уравнений
квадратная и ее определитель не равен
нулю, то система …
12
 совместной

     несовместной
     определенной
     неопределенной
     более одного решения
     единственное решение
     хотя бы два решения
     не менее одного решения
    из всех ее коэффициентов
    из коэффициентов при
переменных
    из свободных коэффициентов
    из переменных
    заменой i-й строки столбцом
свободных членов
    заменой i-го столбца столбцом
свободных членов
     заменой i-й строки i-м столбцом
     заменой i-го столбца J-й
строкой
     не имеет решений
     имеет единственное решение
     имеет не более n решений
     имеет ровно n решений 6
7
8
9
Если   A∙⃗x=⃗b  , то
При решении системы уравнений по
правилу Крамера используют формулы
…
Известно, что определитель
квадратной матрицы   A   равен Δ.
Укажите, чему будет равен
определитель матрицы, полученной из
матрицы   A   умножением первой
строки на число (–3).
Указать верные утверждения,
связанные с определением и
существованием обратной матрицы.
      имеет бесконечно много решений
∆i
∆
      ⃗x=⃗b/A
      ⃗x=A∙⃗b
      ⃗x=A−1∙⃗b
      ⃗x=⃗b∙A−1
     xi= ∆
∆i
     xi=∆i∙∆
     xi=
     xi=∆−∆i
     xi=∆+∆i
     ∆
     −∆
     −3∙∆
     −1
∆
3
       1
3
∆
    обратная матрица  A1
существует, если матрица  A –
квадратная и det A ≠ 0
    обратная матрица  A1
существует, если матрица  A –
квадратная
    обратная матрица  A1
существует, если матрица  A –
квадратная и вырожденная, т.е.
det A = 0
    A∙A1 = A1∙A = E, где  E –
единичная матрица
соответствующего размера
     A∙A1= A1∙A = A
    A∙A1 = A1∙A = I
13 10
Разложение определителя
det|−1 a 0
3 c 1|
2 b 2
     −4a+b−2c
     −a+2b+3c
     верныйответотсутствует
     4a+b+2c
     4a−b+2c
по второму столбцу имеет вид:
КОЛИЧЕСТВО  ВЕРНЫХ  ОТВЕТОВ         ________
Пример 1. Решить систему уравнений методами Гаусса и Крамера:
{ x1
+x3
+x2
3x1 −x2
+2x3
3x1 −2x2 +3x3
¿
¿
¿
6
3
2
Пример 2.  Выяснить, является  ли  система  линейных алгебраических
уравнений   совместной,   если   да   –   найти   общее   и   выписать   два   частных
решения:

x
3
x
2
2
1

x
3
x
2
2
1

3
x
x
2
2
1

3
x
2
x
2
1


x
4
x
4
3


x
4
x
4
3


7
x
2
x
4
3


2
x
7
x
4
3

1

0

2

1
.
Пример 3.  Для заданной матрицы А найти обратную матрицу двумя
способами   (методом   Гаусса   и   с   помощью   алгебраических   дополнений),
убедиться в совпадении результатов. Провести проверку.
A

1
4
2

2 0


2 7



1 4
14













 Тема 4. Элементы теории чисел
Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования
«Московский финансовопромышленный университет «Синергия»
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ
ДИСЦИПЛИН
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
_____________/Хамидуллин Р.Я./
«31» августа 2017 г.
Ф.И.О. студента

ТЕСТ_11 (ЭлТеорЧисел)

Варианты ответов
Текст вопроса

 __
№
1
2
Задано комплексное число
z=x+iy  .
Выбрать верные утверждения,
касающиеся   ℜz,ℑz,|z| .
     ℜz=y
     ℜz=iy
     ℜz=x
     ℑz=x
     ℑz=iy
     ℑz=y
     |z|=x2+y2
     |z|=|x|+|y|
     |z|=√x2+y2
Умножение комплексных чисел
z1   и   z2  , заданных в
тригонометрической форме,
осуществляется по формуле
|z2|∙|z2|∙(cos(φ1+φ2)+i∙sin(φ1+φ2))
|z2|∙|z2|∙(cos(φ1∙φ2)+i∙sin(φ1∙φ2))
|z2|∙|z2|¿∙(cos(φ1+φ2)+i∙sin(φ1+φ2))
   (
3 Деление комплексных чисел   z1   и
z2  , заданных в
тригонометрической форме,
осуществляется по формуле
|z2|∙|z2|∙(sin(φ1+φ2)+i∙cos(φ1+φ2))
    верный ответ отсутствует
φ1
+i∙sin
φ2)

|z1|
|z2|
∙(cos
φ1
φ2
|z1|
∙(cos(φ1−φ2)+i∙sin(φ1−φ2))
|z2|
∙(sin
|z1|
|z2|
φ2)
+i∙cos
φ1
φ2
φ1

15 4 Возведение в степень   n
комплексного числа   z
осуществляется по формуле …
5 Определите значение    2z1−z2
для комплексных чисел
z1=−2+3i    и   z2=3−4i  .
6
Установить соответствие между
алгебраической и соответствующей
показательной формой записи
комплексного числа       1.   2e
−π
6 i
−π
3 i
2.2e
−π
2 i
3.2e
4.1eπi
3π
4 i
5.√2e
7 Алгебраическая форма комплексного
числа   z  , изображённого на
рисунке, имеет вид:
|z1|
|z2|
∙(sin(φ1−φ2)+i∙cos(φ1−φ2))
     верный ответ отсутствует
     n∙|z|∙(cos(nφ)+i∙sin (nφ))
     |z|n∙(cosnφ+i∙sinnφ)
     |z|n∙(cos(nφ)+i∙sin(nφ))
|z|n∙(cos(φ+2πk
n ))
n )+i∙sin(φ+2πk
     |z|n∙(cosφn+i∙sinφn)
     −1+2i
       7−10i
       1−2i
     −7+10i
     −7−10i
     −1+i

     −1

     1−i√3

     2i
     z=4−2i
     z=−4+2i
     z=−2−4i
     z=−4−2i
     z=2−4i
16 8 Для квадратного уравнения
указать верные утверждения о корнях
9 Для комплексных чисел
z1=1−2i   и   z2=2−3i
указать верный результат операций
2+ ´z1∙z2
z1
z2−z1
16.
17.
10
18.
19.
Выбрать верное разложение
многочлена
f(x)=2x3−6x−4
на множители:
z2−2z+5=0
    z1=−1−2i,z2=1−2i
    z1=−1−2i,z2=−1+2i
    у данного уравнения нет
корней, ни комплексных, ни
действительных
    у данного уравнения нет
действительных корней
    z1=1+2i,z2=1−2i
     4−i
     −4−i
    4+i
     3i−5
     5−3i
     −2(x+1)2(x−2)
     2(x−1)2(x+2)
     2(x+1)2(x−2)
     2(x+1) (x−2)2
     2(x+1)(x−2)
КОЛИЧЕСТВО  ВЕРНЫХ  ОТВЕТОВ         ________
Пример 1. Найти все значения кубического корня из  1.
Пример 2. Представить в виде показательной функции числа:
z=1+π
4
i;z=1+i;z=1+π
2
i.
Пример   2.
  Разложить   на   множители   с   действительными
коэффициентами многочлены
а)  f(x)=x4−1;     а)  f(x)=x2−x−2;  а)  f(x)=x3+1.
Пример   3.   Функцию     f(x)=x4+12x3+54x2+108x+81   разделить   на
x+3 .
17 Тема 5. Векторные пространства
Негосударственное образовательное частное учреждение высшего образования
«Московский финансовопромышленный университет «Синергия»
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ
ДИСЦИПЛИН
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
_____________/Хамидуллин Р.Я./
«31» августа 2017 г.
ТЕСТ 5 (Плоскость)

Ф.И.О. студента
 ___

№
133.
234.
35.
36.
337.
38.
40.
Текст вопроса
Варианты ответов
Общее уравнение плоскости в
пространстве…
x
a+ y
b+ z
d=1

         { x=x0+¿
y=y0+mt
z=z0+nt
        Ax+By+Cz+D=0

x−x0
l =
y−y0
m =
z−z0
n
плоскостей
Условие перпендикулярности
  A1x+B1y+C1z+D1=0   и
  A2x+B2y+C2z+D2=0   ...
Условие параллельности
плоскостей
  A1x+B1y+C1z+D1=0   и
  A2x+B2y+C2z+D2=0   ...
       A1∙A2+B1∙B2+C1∙C2=0

A1
=
A2
B1
+
B2
B1
=
B2
C1
+
C2
C1
C2
=1
A1
A2

        A1∙B1∙C1=A2∙B2∙C2
       A1∙A2+B1∙B2+C1∙C2=0

A1
=
A2
B1
+
B2
B1
=
B2
C1
+
C2
C1
C2
=1
A1
A2

        A1∙B1∙C1=A2∙B2∙C2
441.
Каноническое уравнение прямой
в пространстве…

x
a+ y
x−x0
l =
=
b+z
c=1
y−y0
m =
y−y2
=
y2−y1
x−x2
x2−x1
z−z0
n
z−z2
z2−z1
=
    Ax+By+Cz+D=0
18 542.
Уравнение прямой в
пространстве, проходящей через две
точки:   M1(x1,y1,z1)
M2(x2,y2,z2)
  имеет вид …
  и

x
a+ y
x−x0
l =
=
b+z
c=1
y−y0
m =
y−y2
=
y2−y1
x−x2
x2−x1
z−z0
n
z−z2
z2−z1
Уравнение плоскости,
проходящей через 3 точки пространства:
M1(x1,y1,z1)
  и
M3(x3,y3,z3)имеетвид …
,   M2(x2,y2,z2)
       Ax+By+Cz+D=0
x3−x1 y−y1 z2−z1
x2−x1 y−y1 z3−z1
     |x−x1 y2−y1 z2−z1
x3−x1 y3−y1 z−z1|=0
     |x2−x1 y2−y1 z−z1
x−x1 y3−y1 z3−z1|=0
     |x−x1 y−y1 z−z1
x3−x1 y3−y1 z3−z1|=0
     |x−x1 x2−x1 x3−x1
z−z1 z2−z1 z3−z1|=0
x2−x1 y2−y1 z2−z1
y−y1 y2−y1 y3−y1
643.
745.
46.
844.
45.
       A1∙A2+B1∙B2+C1∙C2=0

A1
A2
=
B1
B2
=
C1
C2
        A1=A2,B1=B2
иC1=C2
        D1=D2
      cosφ= l

cosφ¿
B+ n
A+m
C
Al+Bm+Cn
√A2+B2+C2√l2+m2+n2

sinφ¿
Al+Bm+Cn
√A2+B2+C2√l2+m2+n2
      cosφ=√ l2+m2+n2
A2+B2+C2
Плоскости
A1x+B1y+Cz1+D1=0   и
  A2x+B2y+C2z+D2=0
перпендикулярны, если …
Прямая задана каноническим
уравнением
x−x0
l =
y−y0
m =
z−z0
n  , а
плоскость определена общим
уравнением    Ax+By+Cz+D=0 .
Тогда угол между прямой и плоскостью
определяется с использованием
формулы …
19 946.
46.
47.
10
48.
47.
Прямая задана каноническим
уравнением
x−x0
l =
y−y0
m =
z−z0
n  , а
плоскость определена общим
уравнением    Ax+By+Cz+D=0 .
Тогда  условие перпендикулярности
прямой и плоскости …
Прямая задана каноническим
уравнением
x−x0
l =
y−y0
m =
z−z0
n  , а
плоскость определена общим
уравнением    Ax+By+Cz+D=0 .
Тогда  условие параллельности прямой и
плоскости  …
      Al+Bm+Cn=0
A
l=B
m=C
n

      Al+Bm+Cn+D=0
n=1
m+C
l+ B
A
D
D
D

A
l= B
m=C
n

      Al+Bm+Cn+D=0
n=1
m+C
l+ B
A

D
D
D
      Al+Bm+Cn=0
КОЛИЧЕСТВО  ВЕРНЫХ  ОТВЕТОВ         ________
Пример 1. Доказать, что скалярное произведение двух любых векторов


x
xx
1
,
2
,...,
x
n



y
yy
1
,
2
,...,
y
n

евклидова пространства тогда и только тогда выражается x1  равенством

yx
,


yx
11

yx
22

...
nn yx
,
когда базис, в котором взяты координаты, является ортонормированным.
Пример 2. Разложить вектор    а=(3,1,13)   по базису
b1=(1,3,5), b2=(3,4,2), b3=(0,1,5).
Пример 3. Являются ли линейно зависимыми векторы:
а1=(2,0,1,1), а2=(0,2,3,3), а3=(1,1,2,4), а4=(4,1,0,3)?
20 Тема 6. Квадратичные формы
ТЕСТ

 (пример)
1. Найти ранг квадратичной формы
f(x1,x2,x3)=x1
2−4x2
2+x3
2+4x1x2+6x1x3−4x2x3 .
2. Найти положительный индекс инерции квадратичной формы
f(x1,x2)=x1
2+4x1x2+x2
2  .
3. Какое из высказываний о квадратичной форме
2+8x1x2+2x1x3+6x2x3
2+x3
2+7x2
f(x1,x2,x3)=3x1
является  истинным?
1) f−¿  положительно определена
2) f−¿  отрицательно определена
3) f−¿
не   является   положительно   или   отрицательно
определённой.
4. Найти канонический вид, к которому приводится каноническая форма
f(x,y)=5x2+2√3xy+3y2
с помощью ортогональной замены переменных. В ответе указать сумму
коэффициентов при квадратах новых переменных.
5. При   каком   положительном   t   матрица
  является
(0,6 t
−t 0,6)
ортогональной?
6. Найти матрицу квадратичной квадратичной формы, получаемой из
f(x1,x2)=2x1
линейной   заменой   переменных
2
2+4x1x2−x2
  x1=3y1+y2,x2=2y1−y2 .   В   ответе
указать элемент, стоящий в правом верхнем углу матрицы.
Пример   1.
 Выяснить,   какие   кривые   определяются   следующими
уравнениями.
1. а)
2. а)
3. а)
4. а)
5. а)
2
x
 y
3 2

0
12
2
3
x
 y
2
2

06
;
2
2
x
2
 y

08
2
x
 y
4 2

04
2
x
 y
2 2

04
;
;
;
;
б)
б)
б)
б)
б)
;
;
;
2
y
 x
4 2

4
2
x
 y
4 2

4
2
y

99
x
2
;
2
x
 y
16 2

16
;
2
y
 x
25 2

25
21
в)
в)
в)
в)
в)
.
.
.
2
y
x
4
2
y
x
4
2
x
y
3
.
.
2
y
 x
2
2
2
x
 y
2
4 Пример   2.  Доказать,   что   если   квадратичная   форма   с   матрицей   А
положительно определена, то и квадратичная форма с обратной матрицей
1A  положительно определена.
;
;
;
;
;
;
;
;
Примеры. Записать квадратичную форму в матричном виде:
3.1.
3.2.
3.3.
3. 4.
3. 5.
3. 6.
3. 7.
3. 8.
3. 9.
3.10.
Каждую из квадратичных форм исследовать на знакоопределённость
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8.
;
.

22

file_name: КТЗ Алгебра и теория чисел ВПО.docx

intro:
КОМПЛЕКТ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ предназначен для контроля и оценки образовательных достижений, обучающихся по программе учебной дисциплины «Алгебра и теория чисел» в пределах освоения основной профессиональной образовательной программы ВПО.
КОМПЛЕКТ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ входит в состав учебно-методического комплекса дисциплины «Алгебра и теория чисел» и является неотъемлемой частью нормативно-методического обеспечения системы оценки результата освоения обучающимися ООП ВО.
КОМПЛЕКТ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ по дисциплине «Алгебра и теория чисел» представляет собой совокупность оценочных средств и методов их использования для осуществления контроля процесса освоения компетенций, определенных в ФГОС ВПО.


extracted_text:
Негосударственное образовательное
частное учреждение высшего образования
«Московский финансовопромышленный университет
«Синергия»
Кафедра Высшей математики и естественнонаучных дисциплин
УТВЕРЖДАЮ
проректор по учебнометодической работе
кандидат экономических наук
_______________________
А.И.Васильев
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
ДИСЦИПЛИНЫ
«Алгебра и теория чисел»
Направление подготовки: 09.03.02 Информационные системы и
технологии
Профиль подготовки: Разработка, сопровождение и обеспечение
безопасности информационных систем
Квалификация выпускника: Бакалавр
Форма обучения: очная
Обсуждено
на заседании кафедры
Высшей математики и естественнонаучных дисциплин
«31» августа 2017 г.
протокол № 1
Составитель(и) программы:
Хамидуллин Р.Я. к.т.н., доцент, зав. кафедрой
Ravgat@yandex.ru Рейтер К.А. к.ф.н., доцент
Cyrill_reiter@mail.ru
Москва 2017
Содержание
I. Аннотация к дисциплине................................................................................................3
II. Перечень планируемых результатов обучения, соотнесенных с планируемыми
результатами освоения образовательной программы.................................................4
III. Тематический план.......................................................................................................6
IV. Содержание дисциплины.............................................................................................8
V. Методические указания для обучающихся...............................................................10
по освоению дисциплины.................................................................................................10
VI . Перечень основной и дополнительной литературы, необходимой для освоения
дисциплины..................................................................................................................12
Основная литература:..................................................................................................12
1.Пантина И.В., Куприянова М.А., Харитонов С.В. Алгебра и теория чисел. – М.:
Издательский дом Университет Синергия, 2016. – 180 с.........................................12
Дополнительная литература:.......................................................................................12
VII. Перечень ресурсов информационнокоммуникационной сети «Интернет»,
необходимых для освоения дисциплины...................................................................12
VIII. Описание материальнотехнической базы, необходимой для осуществления
образовательного процесса по дисциплине...............................................................12
IX. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении
образовательного процесса по дисциплине...............................................................13
X. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации
обучающихся по дисциплине......................................................................................13
В отношении компетенции: ОК2 «Способность использовать основные законы
естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять
методы математического анализа и моделирования, теоретического и
экспериментального исследования»..........................................................................14
Типовые задания для проведения промежуточной аттестации обучающихся............22
Промежуточная аттестация по дисциплине «Алгебра и теория чисел» проводится в
форме экзамена............................................................................................................22
Задания первого типа:......................................................................................................22
25
2 I. Аннотация к дисциплине
Рабочая программа дисциплины «Алгебра и теория чисел»
составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО по направлению
подготовки 09.03.02 Информационные системы и технологии (уровень
бакалавриата), утвержденным приказом Минобрнауки России от
12.03.2015 N 219.
Дисциплина «Алгебра и теория чисел» посвящена изучению
базовых понятий и формированию представлений у обучающихся о:
терминологии и основных понятиях высшей алгебры; основных
принципах и подходах к решению систем линейных уравнений;
матричных операциях; многомерных пространствах и преобразованиях;
билинейных и квадратичных формах; решении типовых задач.
Дисциплина формирует общую систему теоретических и
концептуальных представлений необходимых для освоения дисциплин,
использующих алгебраические понятия.
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина включена в учебные планы по программам
подготовки бакалавров по направлению «Информационные системы и
технологии», входит в Базовую часть.
Для изучения дисциплины требуются знания и навыки
обучающихся по дисциплинам: «Математика», «Дискретная
математика».
Знания по дисциплине «Алгебра и теория чисел» могут
использоваться при подготовке выпускной квалификационной работы.
Дисциплина изучается на  1 курсе  в 1 семестре.
Цель и задачи дисциплины
Целью изучения дисциплины «Алгебра и теория чисел» является
изучение стандартного базового курса алгебры, включающегося в себя
теорию систем линейных уравнений, теорию матриц и определителей,
теорию многочленов от одной переменной, векторные пространства и
линейные операторы, основы теории чисел. Формирование у
обучающихся знаний и умений, позволяющих применять алгебраический
материал к решению задач различного характера.
Задачи дисциплины:
 раскрыть роль основных алгебраических понятий курса, как
важнейшего инструмента исследования, приспособленного к задачам
практики;
3  научить формулировать и излагать теоретические вопросы в общем
виде, анализировать накопившийся конкретный материал с общих
позиций, создавая основу для введения фундаментальных понятий
алгебры;
 научить основным методам исследования и решения задач.
II. Перечень планируемых  результатов обучения, соотнесенных с
планируемыми результатами освоения образовательной программы
Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих
общепрофессиональных (ОПК) и профессиональных (ПК) компетенций,
предусмотренных ФГОС ВО по направлению подготовки «Информационные
системы и технологии» (уровень бакалавриата).
Формы и методы
Результаты
освоения ООП
(содержание
компетенций)
Способность
использовать
основные законы
естественнонаучных
дисциплин в
профессиональной
деятельности,  и
моделирования,
теоретического и
экспериментального
исследования.
Способность
проводить
моделирование
процессов и систем
Код
компетенции
Перечень планируемых результатов
обучения по дисциплине
ОПК2
Знать:
 математические основы
информатики.( З1)
Уметь:

применять полученные
теоретические знания при изучении
дисциплин профессионального
цикла.(У1)
Владеть:
 математическим инструментарием
предмета. (В1)
ПК5
Знать:

основные инструменты алгебры
(З2).
Уметь:

применять математические знания
для анализа различных задач (У2).
Владеть:
 навыками математического
описания задач из различных
научных дисциплин (В2).
4
обучения,
способствующие
формированию и
развитию
компетенции
Работа на занятиях,
выполнение
практикумов по
решению задач,
выполнение
домашних заданий,
самостоятельная
работа
Работа на занятиях,
выполнение
практикумов по
решению задач,
выполнение
домашних заданий,
самостоятельная
работа Формы и методы
обучения,
способствующие
формированию и
развитию
компетенции
Работа на занятиях,
выполнение
практикумов по
решению задач,
выполнение
домашних заданий,
самостоятельная
работа
Результаты
освоения ООП
(содержание
компетенций)
Способность
разрабатывать
средства реализации
информационных
технологий
(методические,
информационные,
математические,
алгоритмические,
технические и
программные)
Код
компетенции
Перечень планируемых результатов
обучения по дисциплине
ПК12
Знать:

основы фундаментальных
математических знаний. (З3);
Уметь:

использовать фундаментальные
математические знания в
компьютерных науках.(У3);
Владеть:

навыками использования основных
законов линейной алгебры и теории
чисел в профессиональной
деятельности.(В3)
5 III. Тематический план
Контактная работа обучающихся с
преподавателем (по видам учебных
занятий)
Активные
занятия
Интерактивные
занятия
Наименование тем

й
и
ц
н
е
т
е
п
м
о
к
х
ы
м
е
у
р
и
м
р
о
ф
ы
д
о
К

ОПК2,
ПК5,
ПК12
ОПК2,
ПК5,
ПК12
ОПК2,
ПК5,
ПК12
ОПК2,
ПК5,
ПК12
ОПК2,
ПК5,
ПК12
ОПК2,
ПК5,
ПК12
1. Алгебра матриц
2. Определители
3. Решение системы
линейных уравнений
4. Элементы теории
чисел
5. Векторные
пространства.
6. Квадратичные формы.
Всего:
Контроль, час
Объем дисциплины (в
академических часах)
Объем дисциплины  (в
зачетных единицах)
и
и
ц
к
е
Л
4
6
10
4
8
6
38

й
ы
н
р
о
т
а
р
о
б
а
Л
м
у
к
и
т
к
а
р
п
с
с
а
л
к

р
е
т
с
а
М

г
н
и
н
е
р
Т

я
а
к
с
е
ч
и
т
к
а
д
и
Д

36
216
6

ы
р
а
н
и
м
е
С
й
ы
н
н
о
и
ц
а
у
т
и
С
м
Очная форма
у
к
и
т
к
а
р
п
о
п
м
у
к
и
т
к
а
р
П
ч
а
д
а
з

ю
и
7
н
е
ш
е
р
10
12
10
10
8
57
6
я
с
х
и
щ
ю
а
ч
у
б
о

а
т
о
б
а
р

я
а
н
ь
л
е
т
я
о
т
с
о
м
а
С
14
14
15
14
14
14
85
Форма ТКУ
Форма ПА
Практикум по
решению задач /
16
Практикум по
решению
задач/17
Практикум по
решению
задач/18
Практикум по
решению
задач/16
Практикум по
решению задач /
17
Практикум по
решению
задач/16
100
Экзамен 7 IV. Содержание дисциплины
Тема 1. Алгебра матриц
Определение матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами.
Литература к теме 1:
1.  Алферова З.В., Балюкевич Э.Л., Романников А.Н. Алгебра и
теория чисел. Учебнометодический комплекс.  Евразийский открытый
институт, 2011. – гл.1
2. Магазинников Л.И., Магазинникова А.Л. Линейная алгебра и
аналитическая геометрия: учебное пособие.  Эль Контент, 2012. – гл.1
3. Матыцина Т.Н., Коржевина Е.К. Линейная алгебра: учебно
методическое пособие.  КГУ им. Н. А. Некрасова, 2015. – гл.3
Тема 2. Определители
Перестановки и подстановки. Определители и их свойства.
Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителей nго
порядка. Обратная матрица,  методы  ее вычисления. Ранг матрицы.
Литература к теме 2:
1.  Алферова З.В., Балюкевич Э.Л., Романников А.Н. Алгебра и
теория чисел. Учебнометодический комплекс.  Евразийский открытый
институт, 2011. – гл.2.
2. Михалева М.М., Веретенников Б.М. Алгебра и теория чисел. Ч.
1: учебное пособие.  Издательство Уральского университета, 2014.
гл.2
3. Матыцина Т.Н., Коржевина Е.К. Линейная алгебра: учебно
методическое пособие.  КГУ им. Н. А. Некрасова, 2015. – гл.4,5
Тема 3. Решение системы линейных уравнений
Общая теория систем линейных уравнений. Метод Крамера.
Метод обратной матрицы. Решение систем линейных уравнений
методом ЖорданаГаусса. Теорема КронекераКапелли. Однородные
системы линейных уравнений.
Литература к теме 3:
1. Алферова З.В., Балюкевич Э.Л., Романников А.Н. Алгебра и
теория чисел. Учебнометодический комплекс.  Евразийский открытый
институт, 2011. – гл.4
8 2. Михалева М.М., Веретенников Б.М. Алгебра и теория чисел. Ч.
1: учебное пособие.  Издательство Уральского университета, 2014.
гл.3
3. Матыцина Т.Н., Коржевина Е.К. Линейная алгебра: учебно
методическое пособие.  КГУ им. Н. А. Некрасова, 2015. – гл.6
Тема 4. Элементы теории чисел
Целые и комплексные числа. Многочлены над произвольным
полем. Вычисление корней многочлена. Алгебраические уравнения.
Литература к теме 4:
1. Алферова З.В., Балюкевич Э.Л., Романников А.Н. Алгебра и
теория чисел. Учебнометодический комплекс.  Евразийский открытый
институт, 2011. – гл.9
2.  Михалева М.М., Веретенников Б.М. Алгебра и теория чисел. Ч.
1: учебное пособие.  Издательство Уральского университета, 2014.
гл. 4
3. Матыцина Т.Н., Коржевина Е.К. Линейная алгебра: учебно
методическое пособие.  КГУ им. Н. А. Некрасова, 2015. – гл.7
Тема 5. Векторные пространства
Векторные пространство. Евклидовы и унитарные
пространства. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис
векторного пространства.
Литература к теме 5:
1. Алферова З.В., Балюкевич Э.Л., Романников А.Н. Алгебра и
теория чисел. Учебнометодический комплекс.  Евразийский открытый
институт, 2011. – гл.5
2. Михалева М.М., Веретенников Б.М. Алгебра и теория чисел. Ч.
1: учебное пособие.  Издательство Уральского университета, 2014.
гл.4
3. Матыцина Т.Н., Коржевина Е.К. Линейная алгебра: учебно
методическое пособие.  КГУ им. Н. А. Некрасова, 2015. – гл.8
Тема 6. Квадратичные формы
Квадратичный формы. Линейное преобразование переменных в
квадратичной форме. Ортогональное преобразование квадратичной
формы к каноническому виду. Дробнорациональные функции.
Литература к теме 6:
9 1. Алферова З.В., Балюкевич Э.Л., Романников А.Н. Алгебра и
теория чисел. Учебнометодический комплекс.  Евразийский открытый
институт, 2011. – гл.7
2. Михалева М.М., Веретенников Б.М. Алгебра и теория чисел. Ч.
1: учебное пособие.  Издательство Уральского университета, 2014.
гл.5
3. Матыцина Т.Н., Коржевина Е.К. Линейная алгебра: учебно
методическое пособие.  КГУ им. Н. А. Некрасова, 2015. – гл.10,11
V. Методические указания для обучающихся
по освоению дисциплины
В процессе преподавания дисциплины «Алгебра и теория чисел»
используются такие виды учебной работы, как лекции, консультации,
практические занятия, а также различные виды самостоятельной работы
обучающихся по заданию преподавателя.
Методические указания для обучающихся при работе над
конспектом лекций во время проведения лекции
Лекция – систематическое, последовательное, монологическое
изложение преподавателем учебного материала, как правило, теоретического
характера.
В процессе лекций рекомендуется вести конспект, что позволит
впоследствии вспомнить изученный учебный материал, дополнить содержание
при самостоятельной работе с литературой, подготовиться к экзамену.
Следует также обращать внимание на категории, формулировки,
раскрывающие содержание тех или иных явлений и процессов, научные выводы
и практические рекомендации, положительный опыт в ораторском искусстве.
Желательно оставить в рабочих конспектах поля, на которых делать пометки
из рекомендованной литературы, дополняющие материал прослушанной
лекции, а также подчеркивающие особую важность тех или иных теоретических
положений.
Любая лекция должна иметь логическое завершение, роль которого
выполняет заключение. Выводы по лекции подытоживают размышления
преподавателя по учебным вопросам. Формулируются они кратко и лаконично,
их целесообразно записывать. В конце лекции обучающиеся имеют
возможность задать вопросы преподавателю по теме лекции.
Методические рекомендации для обучающихся по выполнению
практикумов по решению задач
10 Практикумы по решению задач выполняются в соответствии с рабочим
учебным планом при последовательном изучении тем дисциплины.
Порядок проведения практикума.
1. Получение задания и рекомендаций к выполнению практикума.
2. Настройка инструментальных средств, необходимых для
выполнения практикума.
3. Выполнение заданий практикума.
4. Подготовка отчета в соответствии с требованиями.
5. Сдача отчета преподавателю.
В ходе выполнения практикума необходимо следовать
технологическим инструкциям, использовать материал лекций,
рекомендованных учебников, источников интернета, активно
использовать помощь преподавателя на занятии.
Требования к оформлению результатов практикумов
При подготовке отчета: изложение материала должно идти в
логической последовательности, отсутствие грамматических и
синтаксических ошибок, правильное оформление рисунков.
Методические рекомендации по организации
самостоятельной работы
Самостоятельная работа обучающихся направлена на
самостоятельное изучение отдельных тем и вопросов учебной
дисциплины.
Самостоятельная работа является обязательной для каждого
обучающегося, ее объем по курсу «Алгебра и теория чисел»
определяется учебным планом.
При самостоятельной работе обучающийся взаимодействует с
рекомендованными материалами при минимальном участии
преподавателя.
Перечень учебнометодического обеспечения для
самостоятельной работы обучающихся по дисциплине
Дидактические
единицы,
вынесенные на
самостоятельное
изучение
Определение матрицы.
Наименование темы
Тема 1.
Алгебра матриц
Формы самост.
работы
Учебно
методическое
обеспечение
Форма
контроля
Литература к
теме 1
Отчет по
практикуму
Решение
практических
заданий
11 Наименование темы
Тема 2.
Определители
Тема 3.
Решение системы
линейных уравнений
Тема 4.
Элементы теории
чисел
Тема 5.
Векторные
пространства
Тема 6.
Квадратичные
формы.
Дидактические
единицы,
вынесенные на
самостоятельное
изучение
Перестановки и
подстановки
Миноры и
алгебраические
дополнения.
Метод Крамера.
Метод обратной
матрицы.
Комплексные числа.
Алгебраические
уравнения.
Линейная зависимость
и независимость
векторов.
Линейное
преобразование
переменных в
квадратичной форме.
Формы самост.
работы
Учебно
методическое
обеспечение
Форма
контроля
Решение
практических
заданий
Решение
практических
заданий
Решение
практических
заданий
Решение
практических
заданий
Решение
практических
заданий
Литература к
теме 2
Отчет по
практикуму
Литература к
теме 3
Отчет по
практикуму
Литература к
теме 4
Отчет по
практикуму
Литература к
теме 5
Отчет по
практикуму
Литература к
теме 6
Отчет по
практикуму
VI . Перечень основной и дополнительной литературы,
необходимой для освоения дисциплины
Основная литература:
1. Пантина И.В., Куприянова М.А., Харитонов С.В. Алгебра и теория
чисел. – М.: Издательский дом Университет Синергия, 2016. – 180 с.
Дополнительная литература:
1. Балюкевич Э.Л., Романников А.Н. Алгебра и теория чисел. Учебно
методический комплекс.  Евразийский открытый институт, 2011. – 279 с.
VII. Перечень ресурсов информационнокоммуникационной сети
«Интернет», необходимых для освоения дисциплины
1. http://algebrarings.ucoz.ru/index/017#str22
2. http://virlib.eunnet.net/books/numbers/text/23.html
3. www.cryptography.ru
VIII. Описание материальнотехнической базы, необходимой для
осуществления образовательного процесса по дисциплине
Лекционные и практические занятия:
12  Аудитория, оснащенная презентационной техникой: проектор, экран,
компьютер (ноутбук), звуковые колонки, микрофон (в случае количества
обучающихся более 80 человек);
 Рабочее место преподавателя, оснащенное компьютером с доступом в
Интернет.
IX. Перечень информационных технологий, используемых при
осуществлении образовательного процесса по дисциплине
 Программное обеспечение общего назначения Microsoft Office.
 Специализированное оборудование и специализированное
программное обеспечение при изучении дисциплины не используется.
X. Фонд оценочных средств для проведения промежуточной
аттестации обучающихся по дисциплине
Промежуточная аттестация по дисциплине «Алгебра и теория
чисел» проводится в форме экзамена.
Перечень компетенций с указанием этапов их
формирования в процессе освоения
образовательной программы
Компетенции
Начальный этап
Основной этап
Завершающий этап
ОПК2
Способность
использовать основные
законы
естественнонаучных
дисциплин в
профессиональной
деятельности,
применять методы
математического
анализа и
моделирования,
теоретического и
экспериментального
исследования
ПК5
Способность
критически
анализировать учебный
процесс   и   учебные
материалы   с   точки
зрения
их
эффективности
ПК12
Способность
использовать основные

Дискретная
математика
Математика
Алгебра и теория
чисел
Технология
программирования
Теория вероятностей
и математическая
статистика
Информационно
аналитические
системы
Дискретная
математика
Математика
Алгебра и теория
чисел
Теория вероятностей
и математическая
статистика
Архитектура
информационных
систем
Инструментальные
средства
информационных
систем
Дискретная
математика
Алгебра и теория
Управления данными
Основы
использования и
Разработка
серверных
приложений для
13 Компетенции
Начальный этап
Основной этап
Завершающий этап
законы
естественнонаучных
дисциплин в
профессиональной
деятельности,
применять методы
математического
анализа и
моделирования,
теоретического и
экспериментального
исследования
чисел
конфигурирования
1С: Предприятие
WEB
Разработка и
реализация
конфигураций 1С:
Предприятие
Показатели и критерии оценивания на различных этапах
формирования компетенций
В отношении компетенции: ОК2 «Способность использовать
основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной
деятельности, применять методы математического анализа и
моделирования, теоретического и экспериментального исследования».
Показатель
оценивания
Пороговый
(удовлетворительно)
Критерий оценивания
Этап
формирования
Основной
Знает:
Определение матрицы.
Виды матриц. Действия
над матрицами.
Умеет:
Решать системы
линейных уравнений
методом подстановки
Владеет:
Достаточным
математическим
инструментарием
предмета
Перечень
планируемых
результатов
обучения по
дисциплине
Знать:
математические
основы информатики
(З1)
Уметь:
Анализировать
социально
экономические
процессы (У1)
Владеть:
математическим
инструментарием
предмета не в полном
объёме (В1)
14 Базовый
(хорошо)
Высокий
(отлично)
Основной
Основной
Знать:
математические
основы информатики
(З1)

Уметь:
применять полученные
теоретические знания
при изучении
дисциплин
профессионального
цикла (У1)
Владеть:
математическим
инструментарием
предмета  (В1)
Знать:
математические
основы информатики.
(З1)

Уметь:
применять полученные
теоретические знания
при изучении
дисциплин
профессионального
цикла.(У1)
Владеть:
математическим
инструментарием
предмета. (В1)
Знает
Методику вычисления
определителей nго
порядка. Обратная
матрица, методы ее
вычисления. Ранг
матрицы. Общая теория
систем линейных
уравнений. Метод
Крамера. Метод
обратной матрицы.
Умеет
Вычислять
определители, находить
обратные матрицы,
решать СЛАУ методом
Крамера, Жордана
Гаусса.
Владеет:
Математическими
инструментами
вычислений.
Знает
Векторные
пространства.
Евклидовы и унитарные
пространства. Линейная
зависимость и
независимость векторов.
Базис векторного
пространства. Теорию
чисел.
Умеет
Находить связь  между
базисами систем
векторов, определять
линейную зависимость
векторов. Вычислять
линейные операторы.

Владеет:
математическими
инструментами
вычислений.
15 В отношении компетенции: ПК5 «Способность критически
анализировать учебный процесс и учебные материалы с точки зрения их
эффективности»
Показатель
оценивания
Пороговый
(удовлетворительно)
Критерий оценивания
Этап
формирования
Основной
Знает:
определение предела
последовательности и
функции;
понятие производной и
задачи, приводящие к
производной.
Умеет:
Находить пределы и
производные
элементарных функций.
Перечень
планируемых
результатов
обучения по
дисциплине
Знать:
основные
инструменты алгебры
(З2).
Уметь:
применять
математические
знания для анализа
различных задач (У2).
Владеть:
навыками
математического
описания задач из
различных научных
дисциплин (В2).
16 Базовый
(хорошо)
Высокий
(отлично)
Основной
Знать:
основные
инструменты алгебры
(З2).
Уметь:
применять
математические
знания для анализа
различных задач (У2).
Владеть:
навыками
математического
описания задач из
различных научных
дисциплин (В2).
Знает:
все приёмы нахождения
пределов; понятие
производной и задачи,
приводящие к
производной.
Умеет:
Находить производные
любых функций.
Владеет:
Полноценными
знаниями основ
математического
анализа.
Основной
Знать:
основные
инструменты
математического
анализа (З2).
Уметь:
применять
математические
знания для анализа
различных задач (У2).
Владеть:
навыками
математического
описания задач из
различных научных
дисциплин (В2).
Знает:
все приёмы нахождения
пределов;
 в совершенстве, что
такое производная и
задачи, приводящие к
производной.
Умеет:
Находить производные
любых функций.
Находить
неопределённые и
определённые
интегралы.
Владеет:
Полноценными
знаниями основ
математического
анализа.
Способностями
применять полученные
знания для анализа
новых задач из
различных областей
науки и техники;
Методами постановки
17 В отношении компетенции: ПК12 «Разрабатывать средства
реализации информационных технологий (методические,
информационные, математические, алгоритмические, технические и
программные)»
Показатель
оценивания
Пороговый
(удовлетворительно)
Базовый
(хорошо)
Критерий оценивания
Этап
формирования
Начальный
Начальный
Знает:
Перестановки и
подстановки. Миноры и
алгебраические
дополнения. Ранг
матрицы.
Умеет:
Вычислять миноры,
алгебраические
дополнения, ранг матриц
Владеет:
Математическими
инструментами
вычислений
Знает:
Целые и комплексные
числа. Многочлены над
произвольным полем.
Вычисление корней
многочлена.
Алгебраические
уравнения.
Умеет:
Решать алгебраические
уравнения.
Владеет:
Математическими
инструментами
вычислений.
Перечень
планируемых
результатов
обучения по
дисциплине
Знать:
методы использования
фундаментальных
математических
знаний. (З3);
Уметь:
применять основные
современные
программные средства
(У3)
Владеть:
операционными и
сетевыми оболочками,
сервисными
программами (В3)
Знать:
основы
фундаментальных
математических
знаний. (З3);
Уметь:
использовать
фундаментальные
математические
знания в
компьютерных науках.
(У3);
Владеть:
навыками
использования
основных законов
линейной алгебры и
теории чисел в
профессиональной
18 Высокий
(отлично)
Начальный
Знает
Основы теории групп.
Группы: определение и
примеры. Кольца. Поле.
Линейные отображения
и операции. Алгебры.
Умеет
Применять
математические знания в
компьютерных науках.
Владеет
Математическими
инструментами
вычислений.
Знать:
основы
фундаментальных
математических
знаний. (З3);
Уметь:
использовать
фундаментальные
математические
знания в
компьютерных науках.
(У3);
Владеть:
навыками
использования
основных законов
линейной алгебры и
теории чисел в
профессиональной
19 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на
различных этапах их формирования, описание шкал оценивания
Шкала и критерии оценки, балл
Отчет по практикуму
1512 – практикум выполнен верно в срок,
представлен грамотный отчет.
11  9– практикум выполнен верно в срок,
представлен неполный отчет, имеются
ошибки, не влияющие на логику и
алгоритм расчета.
8  2 практикум выполнен в срок и содержит
концептуальные ошибки.
0      практикум не выполнен.
Отчет по практикуму
10  7 – практикум выполнен верно в срок,
представлен грамотный отчет.
6  5 – практикум выполнен верно в срок,
представлен неполный отчет, имеются
ошибки, не влияющие на логику и
алгоритм расчета.
4 1  практикум выполнен в срок и содержит
концептуальные ошибки.
0  практикум не выполнен.
№ п/п
1
2
Наименование
оценочного
средства
Практикум по
решению задач 1
6
Краткая
характеристика
оценочного
средства
Практическое
занятие,
проводимое в
письменной форме
Практикум по
решению задач 7
Практическое
занятие,
проводимое в
письменной форме
20 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания
знаний, умений, навыков и(или) опыта деятельности,
характеризующих этапы формирования компетенций в процессе
освоения образовательной программы
№
1
Форма
контроля/ коды
оцениваемых
компетенций
Экзамен
ОПК2, ПК6,
ПК7
Процедура оценивания
Шкала и критерии оценки,
балл
Выполнение обучающимся
заданий билета оценивается по
следующей балльной шкале:
1 вопрос: 030;
2 вопрос: 030;
3 вопрос: 040.
90100 (отлично) – ответ
правильный, логически
выстроен, использована
профессиональная
терминология. Обучающийся
правильно интерпретирует
полученный результат.
70 89 (хорошо) – ответ в целом
правильный, логически
выстроен, использована
профессиональная
терминология. Обучающийся
в целом правильно
интерпретирует полученный
результат.
5069 (удовлетворительно) –
ответ в основном
правильный, логически
выстроен, использована
профессиональная
терминология.
менее 50 баллов
(неудовлетворительно) –
ответы на теоретическую
часть неправильные или
неполные.
Экзамен  представляет собой
выполнение обучающимся
заданий билета, включающего в
себя:
Задание №1 – теоретический
вопрос на знание базовых
понятий предметной области
дисциплины (курса), а также
позволяющий оценить
степень владения
обучающимся принципами
предметной области
дисциплины (курса),
понимание их особенностей
и взаимосвязи между ними;
Задание №2 – задание на анализ
ситуации из предметной
области дисциплины (курса)
и выявление способности
обучающегося выбирать и
применять соответствующие
принципы и методы решения
практических проблем,
близких к профессиональной
деятельности;
Задание №3 – задание на
проверку умений и навыков,
полученных в результате
освоения дисциплины
(курса).
результате освоения
дисциплины (курса)
(решение задачи).
21 Типовые контрольные задания или иные материалы,
необходимые для процедуры оценивания знаний, умений, навыков
и(или) опыта деятельности, характеризующих этапы
формирования компетенций в процессе освоения образовательной
программы1
Типовые задания к практикумам по решению задач
Задание №1          Вычислите ранг матрицы
Задание №2       Решите систему линейных уравнений методом
обратной матрицы
Задание №3    Привести квадратичную форму к каноническому виду
Задание №4    Вычислить корни многочлена в поле комплексных чисел
Задание №5         Решите систему линейных уравнений методом Гаусса
Типовые задания для проведения промежуточной аттестации
обучающихся
Промежуточная   аттестация   по   дисциплине  «Алгебра   и   теория
чисел» проводится в форме экзамена.
Задания первого типа:
Теоретический вопрос на знание базовых понятий предметной
области дисциплины (курса), а также позволяющий оценить степень
владения обучающимся принципами предметной области
дисциплины (курса), понимание их особенностей и взаимосвязи
между ними;
1. Матрицы: определение, виды матриц.
2. Однородные системы. Фундаментальные системы решений.
3. Целые и комплексные числа
4. Дробнорациональные функции.
5. Сложение матриц, умножение матрицы на скаляр. Свойства этих
операций.
6. Умножение матриц, его свойства. Единичная матрица.
7. Транспонирование. Свойства транспонирования.
8. Перестановки и инверсии, чётность перестановки.
1 Положение о текущем контроле успеваемости и промежуточной
аттестации обучающихся по программам бакалавриата, программам
специалитета и программа магистратуры в  НОУ МФПУ «Синергия»
22 9. Перестановка строк и свойства линейности. Разложение по
строке. Методы вычисления определителей.
10. Ранг матрицы в терминах ее миноров. Ранг трапециевидной
матрицы.
11. Основные алгебраические структуры: группа, кольцо, модуль.
Подструктуры.
12. Теорема о делении с остатком для многочленов.
13. Значение многочлена в точке, функциональное равенство
многочленов.
14. Теорема Безу. Многочлены от нескольких переменных.
15. Определение поля комплексных чисел.
16. Формула Муавра и ее применение в вещественных вычислениях.
17. Извлечение корня из комплексного числа. Корни из 1. Решение
алгебраических уравнений.
18. Канонические разложения комплексных и вещественных
многочленов. Матричная запись линейной системы.
19. Теорема Крамера.
20. Метод Гаусса.
21. Теорема КронекераКапелли.
Задания второго типа:
Задание на анализ ситуации из предметной области дисциплины
(курса) и выявление способности обучающегося выбирать и
применять соответствующие принципы и методы решения
практических проблем, близких к профессиональной деятельности;
1. Формулы Крамера.
2. Теорема о ранге матрицы.
3. Алгебры.
4. Поле
5. Теорема о тождестве.
6. Базис векторного пространства.
7. Определитель Вандермонда.
8. Докажите теоремы о транспонировании произведения и суммы
матриц.
9. Определитель транспонированной матрицы.
10. Определение детерминанта квадратной матрицы произвольного
порядка.
11. Неизменность ранга при элементарных преобразованиях.
12. Связь между решениями неоднородной и соответствующей
однородной систем.
13. Комплексное сопряжение.
23 14. Обратная матрица и ее свойства, методы вычисления.
15. Простые и составные числа, бесконечность множества простых.
Каноническое разложение целого числа.
16. Число решений линейной системы. Однородные системы,
условия существования нетривиального решения.
17. Теорема о комплексных корнях многочлена с вещественными
коэффициентами.
18. Формулировка основной теоремы алгебры.
19. Модуль и аргумент.
20. Тригонометрическая форма записи, связь с действиями.
21. Схема Горнера. Корень многочлена, теорема о числе корней.
22. Изоморфные структуры.
Задания третьего типа:
Задание на проверку умений и навыков, полученных в результате
 



32
4
1






2
1
3
3




1

2

освоения дисциплины (курса).
2
3

1






1
4
5





Задание №1: Вычислить:
Задание №2: Найти определитель матрицы А и указанные минор и
алгебраическое дополнение к элементам матрицы:
.
A



=



2
3
2
3
1
3 3
2
4 5

3 0 4
2
3 2






,
M A
23
,
42
.
Задание №3:  Решить систему линейных алгебраических уравнений
методами ЖорданаГаусса и Крамера, сравнить ответы:





x
1
x
1
x
1



x
2
4
2
x
x
=
6
x
3
=
9
x
3
=

3
2
x
3
2
2
.
Задание №4:  Выяснить, является ли система линейных алгебраических
уравнений совместной, если да – найти общее и выписать два частных
решения:
24 
x
2
x
3
1
2

2
3
x
x
1
2

2
3
x
x
1
2

2
x
3
x
1
2


x
x
4
3
4


4
x
x
3
4


2
7
x
x
3
4


7
x
2
x
3
4

1

0

2

1
.
Задание №5: Для заданной матрицы А найти обратную матрицу двумя
способами (методом Гаусса и с помощью алгебраических дополнений),
убедиться в совпадении результатов. Провести проверку.
A

1
4
2

2 0


2 7



1 4
Задание № 6: Доказать, что скалярное произведение двух любых
векторов

=
n
y
и только тогда выражается равенством
 евклидова пространства тогда
xx
1
yy
1
,
,...,

=
y
x
,
,...,
x
n
2

2

yx
,

=
yx
11

yx
22

...
nn yx
,когда базис, в котором взяты
координаты, является ортонормированным.
Задание № 7: Доказать, что если квадратичная форма с матрицей А
положительно определена, то и квадратичная форма с обратной
матрицей
1A  положительно определена.
25















file_name: РПД Алгебра и теория чисел ВПО.docx